CONCEPTO DE ANTIDERIVADA ANTIDERIVADA
La anti derivada es la función que resulta del proceso inverso de la derivación, es decir, consiste en encontrar una función que, al ser derivada produce la función dada. Por ejemplo: Si f(x) = 3×2, entonces, F(x) = x3, es una anti derivada de f(x). Observe que no existe una derivada única para cada función. Por ejemplo, si G(x) = x3+ 5, entonces es otra anti derivada de f(x). La anti derivada también se conoce como la primitiva o la integral indefinida se expresa de la siguiente manera: en donde: f(x) es el integrando; dx, la variable de integración o diferencial de x y C es la constante de integración. Concepto de Integral
Proceso que permite restituir una función que ha sido previamente derivada. Es decir, la operación opuesta de la derivada así como la suma es a la resta. Por conveniencia se introduce una notación para la anti derivada de una función Si F!(x) = f(x), se representa
A este grafo grafo ∫ se le llama símbolo símbolo de la integral integral y a la notación ∫f x dx se le llama llama integral indefinida de f(x) con respecto a x. La función f(x) se denomina integrando, el proceso recibe el nombre de integración. Al número C se le llama conste de integración esta surge por la imposibilidad de la constante derivada. Así como dx denota diferenciación son respecto a la variable x, lo cual indica la variable derivada.
∫f x dx Esto se lee integral de fx del diferencial de x Propiedades
·
∫ kfx dx = k ∫f x dx
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∫ (f x+ gx) dx = ∫f x dx + ∫g x dx
Función Primitiva
Para algunas funciones de la forma f(x): X → Y, la primitiva se define como cualquier otra función la cual cuando es diferenciada nos da de nuevo la función original f(x). Esto significa que f(x) es la derivada de su función primitiva o que la función primitiva es la integral de la presente función f(x).
Por tanto, podemos decir que si F(x) es la función primitiva de f(x) entonces F(x) + c es también su función primitiva para los valores distintos de c sin ningún prerequisito para obtener a c. Aquí F(x) + c representa a la familia de funciones primitivas. Al asignar distintos valores de c, obtenemos diferentes miembros de esta familia. Geométricamente, estos miembros se pueden obtener al cambiar cualquiera de las curvas paralelas a ellos. Existen muchos sinónimos para las funciones primitivas tales como primitiva integral, anti derivada, etc. Matemáticamente, para una función valorada real f(x), la cual, para un intervalo abierto (a, b), es de naturaleza continua, tenemos una función primitiva F(x) la cual es también una función valorada real derivable para el mismo intervalo abierto (a, b) y es continua para un intervalo cerrado [a, b]. Concepto de primitiva Esto puede ser representado como, La función primitiva de cualquier función puede ser encontrada a través del proceso de integración o anti diferenciación. Como se mencionó anteriormente no existe solo una función primitiva sino que existe toda una familia de tales funciones. Ahora bien, G(x) es un miembro de la familia de la función primitiva F(x) si esta satisface la condición, Aquí c es la constante arbitraria de integración. La función primitiva a veces se denomina también como integral indefinida para la función f(x). Sabemos que es posible calcular el valor de una integral definida para la función f(x) al calcularle valor de la función primitiva en el límite superior e inferior de la función y encontrando la diferencia entre los dos. Por tanto se puede establecer que, Esto significa que nunca tenemos una sola función primitiva F(x) para la función dada f(x). También que para la función dada f(x) de grado n, la función primitiva F(x) será de un grado más alto que el de la función dada. Un punto digno de mención es que a través de la declaración anterior podemos relacionar las integrales definidas con las integrales indefinidas; esto es parte del teorema fundamental del cálculo.
