Concepto de inecuación En estas expresiones se utilizan signos como ≤, > , ≥. Todas ellas son desigualdades a las que llamamos inecuaciones. inecuaciones. La solución de cada una de estas inecuaciones es un conjunto de valores que hace que la desigualdad sea cierta.
Veamos un ejemplo: En la inecuación 2x + 1 > 9, 9, ¿qué valores pueden tomar las incógnitas para que la inecuación sea cierta? Damos valores arbitrarios a la incógnita x, obteniendo: Para x = 1: Para x = 2: Para x = 3: Para x = 4: Para x = 5:
2·1+1=3<9 2·2+1=5<9 2·3+1=7<9 2·4+1=9 2 · 5 + 1 = 11 > 9
Por tanto, la inecuación es cierta cuando sustituimos x por un número mayor que 4. La solución esx esx > 4. 4. Una inecuación es una desigualdad que relaciona letras y números mediante las operaciones aritméticas. Las letras se llaman incógnitas. incógnitas. Las soluciones de una inecuación son los valores que pueden tomar las incógnitas de manera que al sustituirlos en la inecuación hacen que la desigualdad sea cierta.
Reglas de la suma y del producto Para resolver una inecuación, necesitamos pasarla a otra equivalente que sea más sencilla. Para ello, necesitamos repasar un par de reglas básicas: REGLA DE LA SUMA
REGLA DEL PRODUCTO
Queremos resolver la inecuación:
Queremos resolver la inecuación:
x – 2 < 3
5x < 25
Sumamos 2 en los dos miembros de la desigualdad:
Dividimos toda la inecuación por 5:
x–2+2<3+2 Obtenemos: Obtenemos:
x < 5
Esta inecuación es equivalente a la primera, y nos dice que todos los valores menores que cinco son solución de la inecuación inicial.
x < 5
Veamos lo que ocurre cuando tenemos que multiplicar o dividir una inecuación por un número negativo:
Observa cómo resolvemos la siguiente inecuación: –3x > 9
Dividimos por –3 en ambos miembros, así que debemos cambiar el sentido de la desigualdad:
Obtenemos: x < –3
Regla de la suma: Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o resta un mismo número o una misma expresión algebraica, se obtiene otra ecuación equivalente. Regla del producto: Si los dos miembros de una inecuación se multiplican o dividen por un mismo número, se obtiene otra inecuación: - Equivalente a la dada si el número es positivo. - Equivalente a la dada, cambiando el sentido, si el número es negativo.
Sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita
Para formar parte del equipo de baloncesto, el entrenador ha puesto la siguiente extraña condición para la altura de los jugadores:
¿Qué quiere decir esta expresión?
Vamos a resolver cada inecuación por separado:
Por tanto, la condición que pone el entrenador es que la altura de los jugadores esté comprendida entre 1,80 y 2,20 metros, ambos inclusive. Un sistema de inecuaciones de primer grado con una incógnita está formado por varias inecuaciones de primer grado con una incógnita. Para resolverlo debemos encontrar las soluciones comunes a todas las inecuaciones; para hallarlas, se resuelve cada inecuación por separado y se ve cuáles son las soluciones comunes.
Inecuaciones de primer grado con dos incógnitas En la imagen de la derecha hemos representado la recta 2x + y = 5 determinada por los puntos A(0, 5) y B(1, 3). Esta recta divide el plano en tres conjuntos de puntos: La recta. El semiplano superior. El semiplano inferior.
Cada semiplano se corresponde con una de estas dos inecuaciones: 2x + y > 5
2x + y < 5
¿Pero con qué semiplano se corresponde cada inecuación? Para comprobarlo, elegimos un punto que no pertenezca a la recta; por ejemplo el origen, (0, 0). Este punto verifica 2x + y < 5, ya que 2 · 0 + 0 < 5. Por tanto, la inecuación 2x + y < 5 corresponde al semiplano inferior, ya que en él se encuentra el punto (0, 0). Esto lo representamos del siguiente modo:
Resolución de una inecuación de segundo grado
Resuelve la siguiente inecuación de segundo grado: x2 + x – 6 > 0
Descomponemos Descomponemos en factores la i necuación. Para ello calculamos las soluciones de la ecuación: x2 + x – 6 = 0 Por tanto: x2 + x – 6 = 0
Por tanto, la descomposición en factores de l a inecuación es: (x – 2)(x + 3) > 0
Representamos las raíces en rectas reales sucesivas y se ve el signo de cada factor: - Negativo a la izquierda de la raíz. - Positivo a la derecha de la raíz.
En una nueva recta determinamos el signo de la inecuación, a partir de los signos de las inecuaciones de primer grado.
Como la inecuación que estamos estudiando es cierta en los intervalos positivos.
Resolución de un sistema de inecuaciones de primer grado con dos incógnitas
Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones:
Representamos las rectas, r: 2x + y = 2, s: -x + 2y = -4, en el plano. Para representarlas obtenemos un par de puntos de cada una de ellas: Par de puntos de la recta r: 2x + y = 3 x = 0, y = 2; (0, 2) y = 0, x = 1; (1, 0) Par de puntos de la recta s: -x + 2y = -4 x = 0, y = -2; (0, -2) y = 0, x = 4; (4, 0)
Determinamos el semiplano solución de la primera inecuación. Como el origen (0, 0) verifica 2x + y < 3, la solución es el semiplano inferior, ya que este semiplano contiene al origen.
Determinamos el semiplano solución de la segunda inecuación. Como el origen (0, 0) no verifica x + 2y > 4, la solución es el semiplano inferior, ya que este semiplano no contiene al origen.
Las soluciones del sistema, recinto solución, son los puntos determinados por la intersección de los semiplanos solución de cada una de las inecuaciones.
