ANTIDERIVADA Definición : Se llama antiderivada de una función f definida en un conjunto D de números reales a otra función g derivable en D tal que se cumpla que: g ( x) f ( x )
x D
Teorema : Si dos funciones h y g son antiderivadas de una misma función f en un conjunto D de números reales, entonces esas dos funciones h y g solo difieren en una constante constante.. h( x) g( x) c h(x) h(x)=g =g(x (x)+ )+c c
x D x D
Conclusión: Si g(x) es una antiderivada de f en un conjunto D de números reales, entonces cualquier antiderivada de f es en ese conjunto D se puede escribir como g(x) c x D , c constante real.
Integral indefinida:
D 1 f ( x) g ( x) c
antiderivada de f ó integral indefinida de f .
f ( x). dx dx g( x) c
f(x) : Integrando
f ( x) dx g( x) c
,
c
;
c : constante de integración.
: cte real
g ( x) f ( x )
g ( x) f ( x) g ( x).d dx x f (x ). dx
d g ( x ) f ( x ). dx dx
f ( x)dx d g( x) g( x) c
Técnica para resolver antiderivada basada en la regla de derivación de funciones compuestas. D x f u( x) f u ( x). u( x)
f u ( x). u ( x).dx f u( x). d u( x) d f u( x) f u( x) c
f (u)du d f (u) f (u) c
Propiedades de las antiderivadas: antiderivadas: se basa en las propiedades de las derivadas ya que cualquier propiedad de las derivadas implica una propiedad correspondiente en las antiderivadas.
Sean f y g dos funciones definidas en un conjunto D de números reales y sean : antiderivadas Si es un número real, entonces se cumple :
1)
2)
1)
. f ( x)dx . f ( x)dx
f ( x) g ( x) dx f ( x)dx g( x)dx
,
f ( x) dx y
g( x) dx
x D
, x D
MÉTODOS O TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN Integración de funciones racionales Son integrales de la forma:
P(x )
f( x).d x Q(x ) . dx
;
f( x)
P(x ) Q(x )
;
Q (x ) 0
, donde
P
y Q son funciones polinomiales.
Método de descomposición en fracciones simples Es un método algebraico aplicable solo a funciones racionales y consiste en descomponer una fracción en suma de fracciones simples, o sea, fracciones que tengan denominadores mas sencillos que el dado. El procedimiento para la descomposición de fracciones simples, es el siguiente :
P( x )
Q( x)
R( x )
C ( x)
Por definición de división: u(x) y v(x)
gra do P( x) gra do Q( x)
1) Si el grado resto:
;
efectuamos la división, obteniendo un cociente y el
Q ( x )
divido en
r1 r, 2 ,...,r s
gra do R( x) gra do Q( x )
R( x)
2)
2)
Vamos a descomponer
Q( x)
siendo
gra do R( x)gra do Q( x)
Factoreamos el denominador. ( por teorema del álgebra : Todo polinomio con coeficientes reales puede descomponerse en factores lineales o en factores cuadratico irreducibles).
Q( x) x r 1 x r 2 ...... x r s . x
2
b1 x c1 ... x2 bn x cn
*
son números reales algunos iguales o todos distintos Si hay factores iguales, hay factores lineales repetidos.
*
r1 ,r 2 ,...,r s
b1 ,...,b p , c1 ,..., cp
son números reales algunos iguales o todos distintos.
Diferentes casos: Caso 1) Todos los factores que aparecen en el denominador Caso 2)
El denominador de
Q( x)
Q( x)
son lineales y distintos.
es un producto de factores todos lineales y algunos están
repetidos. Caso 3) En
Q( x)
aparecen factores cuadráticos irreducibles que no se repiten.
Caso 4) En
Q( x)
aparecen factores cuadráticos irreducibles repetidos.
Método de integración por partes
Se basa en la regla de derivación del producto de dos funciones derivables en un dominio común. Sean u(x) y v(x) dos funciones derivables en un dominio común. Entonces : Du ( x).v( x) v( x).u ( x) u ( x).v ( x)
d u( x).v( x) v( x).d u( x) u ( x).d v( x)
x dom. común x domcomun
d u. v v. du u. dv
b1 ,...,b p ,c1 ,...,cp u. dv u.v v .du
u.dv u.v v.du
Formula del método de integración por partes
Procedimiento : Identificar la integral dada con la formula del método parar ello descomponemos el integrando en dos factores u y v de tal modo que el dv contenga al dx . 2) 2) Aplicar bien el método surge de una buena elección de u y dv . 3) 3) Elijo el dv tal que v dv y sea fácil de calcularlo. Al aplicar la formula nos reemplaza el problema de resolver la en el problema 4) 4) de resolver la v.du 1)
1)
u.dv
Condiciones para aplicar el método: u y v
En el integrando aparece el producto de dos funciones. y a partir de v sea posible obtener v . 1)
1)
La integral que resulta al usar la formula del método complejidad o menor complejidad que la dada. 2)
2)
tal que u sea derivable,
v.
(
du
) debe ser de igual
Método de integración por sustitución Este método se basa en la regla de derivación de funciones compuestas.
Definición : Sea f ( x)dx la integral que queremos resolver y sea la sustitución x (t ) donde es una función 1 derivable con derivada no nula (t ) 0 y sea biunivoca o sea que también es derivable,
si
f (t ). (t). dt H( t) c
entonces :
f ( x). dx H
1
( x)
c
Condiciones para aplicar el método:
*
Exista una función
/ x ( t )
con
biunivoca y derivable con derivada no nula. (t ) . (t ). dt
* La nueva integral en t que resulta al aplicar el método f de menor complejidad .
, debe ser inmediata o
