Compression Et Detente Des Gaz Ou Des Vapeurs

Dossier délivré pour Madame, Monsieur 12/09/2008

Compression et détente des gaz ou des vapeurs par André LALLEMAND Ingénieur, Ingénieur, Docteur ès sciences Professeur des Universités à l’Institut National des Sciences Appliquées de Lyon

1. 1.1 1.2 1.2 1.3

Relat elatio ions ns de bas base ........................................ .............................................................. ........................................... ......................... Relati Relations ons thermo thermodyn dynami amique quess ...... ......... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ..... .. Rela Relati tion onss mécan mécaniq ique uess ...... ......... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ... Définition Définition généra générale le du rendement rendement d’une d’une compressi compression on ou d’une détente détente

2. Étude Étude comp comparé arée e des des divers divers types types de compre compressi ssion on ........................ 2.1 Travail ravail technique technique mis en en œuvre dans dans les divers divers types types de compressio compression n et de détente réversibles ...... ......... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ..... .. 2.2 Étude comparati comparative ve des des transform transformatio ations ns réversib réversibles les .... ...... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .. 2.3 Cas d’une d’une transfor transformatio mation n irrévers irréversible ible partic particulièr ulièree : la transformation adiabatique ......... .............. ......... ......... .......... ......... ......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ....... 2.4 2.4 Rend Rendem emen ents ts.. Défin Définit itio ions ns..... ......... ......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... ......... .......... ......... ......... .......... .......... ..... 2.5 Relati Relations ons entre entre dive divers rs paramè paramètre tress ...... ......... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ..... 2.6 Puissance.......... ............... .......... ......... ......... .......... ......... ......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... ......... .......... ......... ......... .......... .......

BE 8 013 - 2 — 2 — 5 — 6 —

7

— —

7 9

— — — —

12 12 14 15

3. Étude Étude parti particul culièr ière e des comp compres ressio sions ns réfri réfrigér gérées ées .... ...... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... 3.1 Réfrig Réfrigéra ératio tion n contin continue. ue...... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... ......... .......... ......... ......... .......... .......... .......... ....... .. 3.2 Réfrig Réfrigéra ératio tion n fracti fractionn onnée ée .......... ............... ......... ......... .......... ......... ......... .......... ......... ......... .......... .......... .......... .......... ......... ....

— — —

16 16 17

4.

Appo Apport rt the therm rmiq ique ue en en cour courss de dét déten ente te ...... ......... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...

—

20

5. Étude Étude exer exergét gétiqu ique e des compre compressi ssions ons et et détent détentes es..... ...... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... 5.1 Rappels .......... ............... .......... .......... .......... ......... ......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... ......... .......... ......... ......... .......... .......... ........ ... 5.2 Définition Définition du du rendement rendement exergétiq exergétique ue d’une d’une compress compression ion ou d’une détente .......... ............... ......... ......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... ......... .......... ......... ......... .......... .......... ........ ... 5.3 Applicati Application on aux aux divers divers types de transfo transformati rmations ons .... ...... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ....

— —

21 21

— —

23 24

Notations et symboles ...... ......... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...

—

3

es compressions et détentes des fluides compressibles, gaz ou vapeurs, sont des opérations fondamentales dans le fonctionnement des machines thermiques telles que les machines frigorifiques ou les moteurs, que ceux-ci soient à combustion interne alternatifs (moteurs à essence et moteurs Diesel) ou à flux continu (turbines à gaz) ou à apport énergétique externe comme les turbines à vapeur. Dans les moteurs à combustion interne les deux opérations se présentent successivement, alors que dans le cas des turbines à vapeur on ne trouvera que la détente et dans les machines frigorifiques courantes que la compression. Ces opérations correspondent à des transformations ouvertes d’un système, au sens thermodynamique du terme, mettant en jeu toujours de l’énergie mécanique et, selon les cas, de l’énergie thermique. En effet, la recherche de la production maximale de travail au cours d’une détente de gaz ou celle de la consommation minimale d’énergie mécanique pour une compression néces- site, non seulement de chercher à se rapprocher au maximum d’un processus réversible (deuxième principe de la thermodynamique), mais également de

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BE 8 013 − 1

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mettre en jeu des échanges de chaleur particuliers (premier principe de la ther- ther- modynamique). Le cas le plus simple de transformation étant de type adiabatique, il convient de connaître quelle pénalité ce type d’évolution entraîne sur les performances des machines. Cet article de thermodynamique appliquée a pour but d’obtenir des réponses à l’ensemble de ces questions, par une bonne connaissance des phénomènes de base et par une étude comparative des différents types de transformations envisageables et réalisables. Le développement de ces analyses met en œuvre les principes fondamentaux de la thermodynamique et les divers bilans corres- pondants, dont les bilans d’énergie et d’exergie. Il débouche sur la définition de divers rendements aux significations particulières et au chiffrage de l’intérêt d’un type de compression ou de détente par rapport à un autre.

1. Re Rela latio tions ns de ba base se Les diverses relations données ci-dessous, utilisables directement dans le cadre de la compression et de la détente des gaz ou des vapeurs, ne font pas l’objet des démonstrations classiques. En effet, elles ne sont que des rappels des relations fondamentales de la thermodynamique et de la mécanique des fluides dont on pourra trouver l’introduction dans des ouvrages classiques de thermodynamique et dans l’article [BE 8 153] Écoulement des fluides. Équations de bilans .

1.1 Relations Relations thermodynami thermodynamiques ques 1.1.1 1.1.1 Premier Premier principe principe Schématiquement, une machine de compression (compresseur) ou de détente (détendeur) transvase un gaz ou une vapeur (fluide compressible) d’un réservoir ou plus généralement d’une zone 1 où sa pression est P 1 , sa température T 1 , à une zone 2 où sa température est T 2 et sa pression P 2 (figure 1). Le premier principe appliqué à l’unité de masse de ce fluide en écoulement s’écrit : q 12 + w t 12 = ∆h 12 + (∆e c )12 + (∆e p )12

avec q 12

(1)

la quantité de chaleur échangée avec le milieu extérieur au fluide au cours de son passage de l’état 1 à l’état 2, w t 12 le travail de transvasement ou travail technique qui représente l’ énergie mécanique échangée entre le fluide et les éléments mobiles de la machine au cours de son passage de l’état 1 à l’état 2, h l’enthalpie massique du fluide (= u + + Pv avec avec : u l’éner l’énergie interne et v le le volume massique), e c l’énergie cinétique de l’unité de masse de fluide, e p son énergie potentielle gravifique.

Machine de compression Zone 1 P 1 ,T 1

Zone 2 P 2 ,T 2

Figure 1 – Transvasement ransvasement d’un d’un fluide entre deux deux réservoirs réservoirs

BE 8 013 − 2

En notant l’altitude par z et et la vitesse absolue par c , cette équation devient : 2 2 c 2 c 1 q 12 + w t 12 = h 2 + gz 2 + -------- – h 1 + gz 1 + -------(2)



2



2



avec g l’accélération de la pesanteur. La quantité : 2 h + gz + -c -------

2

=

h t

(3)

est l’enthalpie totale massique. Elle permet une écriture simplifiée de l’équation (2) : q 12 + w t 12 = (∆h t )12 (4) L’enthalpie totale massique représente une somme de termes énergétiques par unité de masse de fluide, à savoir : — son énergi énergiee interne interne u ; ; ρ (où ρ est la masse — son énergie énergie potentielle potentielle de pression P / ρ volumique) ; — son énergie énergie potentielle externe gz ; ; — son énergie énergie cinétique externe c 2 /2.

1.1.2 1.1.2 Deuxième Deuxième principe principe À ces diverses écritures du premier principe, il faut ajouter les résultats essentiels du deuxième principe : — tout échange échange de chaleur s’accompagne d’une variation variation d’entropie du système qui correspond : • soit à une augmentation augmentation d’entropie d’entropie si le système reçoit de la chaleur (q > > 0), • soit à une diminution diminution d’entropie si le système donne de la chaleur. leur. Dans ce cas cependant, si les irréversibilités sont importantes, il peut également y avoir augmentation d’entropie ; — toute évoluti évolution on adiabatiqu adiabatiquee conduit conduit à : • une évolution nulle nulle d’entropie si l’évolution est réversible, réversible, • une augmentation augmentation d’entropie si l’évolution est irréversible, irréversible, quel que soit le sens de cette évolution (compression ou détente). Plus généralement, la variation d’entropie d s du du fluide est liée à l’échange thermique δq qu’il a avec son milieu extérieur par la relation : δ q (5) d s = -------- + d s ′ext + d s ′int T avec T la température de la source avec laquelle ont lieu les échanges thermiques, d s ′int la création interne d’entropie, d s ′ext la création externe d’entropie, due au transfert de chaleur non isotherme entre le fluide et la source.

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Notations et symboles Symbole

Unité

a, a ′

Définition

Notations et symboles Symbole

Unité

v

m3 · kg–1

Anergie

˙ W t

W

Anergie massique

w t

J · kg–1

Charge du fluide

x

m

Coordonnée selon la direction i

Vitesse

z

m

Altitude

Ω

m2

Aire de la section droite

(γ –1)/ γ , (k –1)/ k

An

J

an

J · kg–1

C

m

c

m · s–1

c p

J · kg–1 · K–1

Capacité thermique massique sous pression constante

c v

J · kg–1 · K–1

Capacité thermique massique sous volume constant

e c

J · kg–1

Énergie cinétique massique

e p

J · kg–1

Énergie potentielle gravifique

Ex

J

ex

J · kg–1

F

Définition

Volume massique Puissance technique Travail technique massique

δ

Taux de compression ou de détente

γ

Coefficient isentropique

η

Rendement

τ

J · kg–1

Énergie massique dissip ée par les

Exergie massique

ρ

kg · m– 3

Masse volumique

N

Force de champ

ϖ

N · m– 3

Poids volumique

f

N

Force visqueuse

g

m · s– 2

Accélération de la pesanteur

h

J · kg–1

Enthalpie massique

k

Exergie

Coefficient polytropique



m

Abscisse curviligne

M

kg

Masse

M

kg · mol–1

Masse molaire

˙ M

kg · s–1

Débit massique

n

m

Direction normale

P

Pa

Pression

q

J · kg–1

Re

Chaleur échangée par unité de masse

frottements

Liste des indices 1

État, entrée

2

État, sortie

a

Atmosphérique, ambiant

comp dét

Compression Détente

e

Effective, étage

E

Énergie

F

Final

I

Initial

Nombre de Reynolds

j

Relatif au paramètre j ou à la direction j

R

J · mol–1 · K–1

Constante molaire des gaz parfaits

p

Polytropique

r

J · kg–1 · K–1

Constante du gaz

q

Adiabatique

S

J · K –1

Entropie

r

Arrêt, réversible

s

J · kg–1 · K–1

s

Isentropique

t

s

Temps

T

Isothermique

t

m

Direction tangentielle

t

Total, direction tangentielle

T

K

Température

v

Par unité de volume

u

J · kg–1

V

m3

V

m3 · mol–1

Entropie massique

Énergie interne massique

Liste des exposants

Volume Volume molaire

′

créé

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BE 8 013 − 3

Dossier délivré pour Madame, Monsieur 12/09/2008 COMPRESSION ET DÉTENTE DES GAZ OU DES VAPEURS _______________________________________________________________________________________

1.1.3 Équation d’état. Caractéristiques du gaz ou de la vapeur

T

PV avec

V R r M V

=

h1 = h2

1

(6)

5

RT

T 3

h3

3 a

la constante molaire des gaz parfaits [= 9,814 J/(K · mol)], =

2

4

b

s 1

R / M ),

s 2

s

∆s 12

sa masse molaire, le volume molaire du gaz.

L’équation d’état peut être appliquée : — tout au long de la transformation si celle-ci est r éversible ; — seulement pour l’état initial et l’état final (à condition que ceux-ci représentent des états d’équilibre) si la transformation est irréversible. Par ailleurs, pour un gaz parfait, l’enthalpie massique est li ée à la température par : (7) dh = c p dT avec

T 1 = T 2

le volume de la masse M de gaz, la constante du gaz ( r

P 2 < P 1

P 1

Dans toute la suite de cet article, le fluide considéré est un gaz ou une vapeur. Quel qu’il soit, l’hypothèse des gaz parfaits permet d’utiliser une équation d’état du fluide particulièrement simple, qui peut prendre l’une des formes suivantes :

Pv = P / ρ = rT PV = MrT

h

c p la capacité thermique massique du gaz sous pression

Figure 2 – Compression et détente en diagramme entropique

dans laquelle T t est la température totale ou température génératrice : 2 gz T t = T + ----c -------- + -------2 c p c p

Dans l’expression (3) de l ’enthalpie totale, qui s’écrit encore :

constante.

c 2 h t = u + Pv + -------- + gz 2

La variation d’entropie massique est donnée par : ds = c p dT / T – r dP / P

(8)

En diagramme entropique (T , s ), la représentation (figure 2) d’une isobare d’un GPI (gaz parfait idéal , qui est un gaz parfait, donc obéissant à la relation (5), dont la capacit é thermique c p est . Ainsi, les constante) est une exponentielle dont la pente vaut T / cp diverses isobares, ayant une m ême pente pour une même température, s’obtiennent par translation dans la direction entropique. Comme, pour ce gaz parfait idéal, l’intégration de l’expression (8) donne simplement :

∆s 12 = c p ln (T 2 / T1 ) – r ln (P 2 / P 1)

(9)

on note que pour T 2 = T 1 , si ∆s 12 > 0 alors P 2 < P 1 . Ainsi, sur la figure 2, l’évolution 3-4 correspond à une compression, alors que l’évolution 4-5 est une détente. Par ailleurs, pour un GPI, on note également que tout diagramme entropique est aussi un diagramme enthalpique puisque :

∆h = c p ∆T La linéarité entre h et T permet d’affecter à l ’axe vertical du diagramme soit une échelle enthalpique, soit une échelle de temp érature (figure 2). Précisons que dans tout ce qui précède et dans la suite, P désigne la pression absolue qu’il faut distinguer de la pression effective ou pression relative ou encore pression manométrique qui est la pression, mesur ée par rapport à la pression atmosphérique P a et qui, en général, est notée P e :

P = P a + P e Par analogie avec la relation (7) qui lie l’enthalpie et la temp érature d’un gaz parfait, on retiendra, pour l’enthalpie totale , la relation : (10) dht = c p dT t

BE 8 013 − 4

(11)

(12)

les trois derniers termes correspondent à ce qui, en hydraulique et pour l’unité de poids, est appel é la charge du fluide C et qui correspond à une énergie pondérale de type « mécanique » :

c 2 C = -Pv -------- + ---------- + z g 2 g

(13)

h t = u + gC

(14)

Ainsi : La charge multipli ée par le poids volumique est homog ène à une pression, soit à une énergie volumique. On a : ρ g C

=

c 2 P + ρ -------- + ρ g z = P t 2

(15)

Cette équation (15) définit la pression totale du gaz qui est l’énergie mécanique totale volumique. Dans les définitions de la température totale et de la pression totale, la non-prise en compte de l’altitude conduit aux définitions des température et pression d’arrêt. La température d’arrêt :

c 2 T r = T + -----------2 c p

(16)

est la temp érature obtenue au point d’arrêt A (ou point de stagnation sur un obstacle plac é dans l’écoulement) d’un écoulement de fluide à la température T ( figure 3). La pression d’arrêt :

c 2 P r = P + ρ -------2

(17)

est la pression obtenue dans ce m ême écoulement au point d’arrêt A lorsque la pression est P dans l’écoulement à l ’amont de A.



t

Ligne de courant

c

X

2

Écoulement

T

A

c

P

T r , P r

n

e i r X1 o t e c j a r T

Obstacle

Figure 4 – Repère du mouvement d’une particule de fluide

1.2.3 Équation de l’énergie cinétique (ou théorème des travaux des forces appliquées à une masse quelconque)

Figure 3 – Écoulement de fluide avec point d’arrêt

1.2 Relations mécaniques

Si on prend comme rep ère du mouvement la tangente t à la trajectoire d’une particule de fluide et la normale n à cette trajectoire (figure 4), l’accélération de la particule correspondant à l’unité de volume s’écrit :

1.2.1 Équation de continuité ou de conservation de la masse L’équation de continuité traduit le principe de la conservation de ˙ la masse. En notant par M le débit massique et par Ω l’aire de la section droite d’une canalisation, on a la relation suivante : ˙ M = ρ c Ω = Cte

(18)

dans laquelle on a supposé que ρ et c sont constantes en tout point de la section droite. Cette hypoth èse peut être considérée comme acceptable en écoulement turbulent, c’est-à-dire lorsque le nombre de Reynolds Re est supérieur à 2 000 (cf. article [BE 8 161] Écoule- ment des fluides. Écoulements en conduites. Réseaux ). Cette relation est en fait le résultat d’une forme plus rigoureuse, qui doit être utilisée si la vitesse c et/ou ρ ne peuvent pas être considérées comme constantes sur toute la section droite : ˙ M =



d c ρ ---------d t

ment permanent

 ∂∂c t 0 donne : ---------- =

∂ c ρ c -------avec

f t la projection de f sur t .

Si on note que les éléments diff érentiels ne concernent que des éléments qui sont « le long de la trajectoire », on peut écrire :

d

F

(19)

les forces visqueuses par unit é de masse, les forces volumiques par unit é de masse ou forces de champ (forces s ’exerçant à distance).

Si les forces de volume sont uniquement dues à la gravitation terrestre, on a : d c ρ ---------d t

= –

1 d P – d ( gz ) – f t d  ρ

grad P – ρ grad gz – ρ f

– -----

(20)

2

 c 2  --------

+

v d P + d ( gz )

= –

δ τ

En intégrant cette expression entre deux points 1 et 2 de la trajectoire (figure 4), on obtient finalement : 2

Pour tout fluide – compressible ou incompressible – en écoulement conservatif (sans puits, ni source de courant) permanent ou non la traduction de ce th éorème donne, pour l’unité de volume :

avec f

∂ P ρ --∂---gz ------- – ρ f t ∂ ∂

= – -------- –

∂

ou encore, en posant f t d  = δτ = travail des forces de frottement le long de l’élément d  de trajectoire considéré :

variation de la vitesse c ou de la quantité de mouvement mc de cette masse.

ρ F



l’équation (20) sur la tangente à la trajectoire t et pour un écoule-

c d c =

+

∂ c d n ∂ n d t

d étant égal au module de la vitesse c , la projection de d t

Théorème de la quantité de mouvement ou théorème de l’impulsion : toute force appliquée à une masse m provoque une

grad P – ρ f

∂ c d  ∂  d t

------------ + ---------- -------- + ---------- ---------

ρ c d Ω

1.2.2 Bilan de la quantité de mouvement

= –

 ∂∂c t

ρ

--------

Ω

d c ρ ---------d t

=

2

c 2 – c 1 --------------------- +

2



2

1

v d P + g ( z 2 – z 1 ) + τ 12

=

0

(21)

Dans cette expression, écrite pour l’unité de masse : — le premier terme correspond à la variation d’énergie cinétique ; — le deuxième à une variation d ’énergie potentielle de pression ; — le troisième à une variation d’énergie potentielle de position ; — le quatrième à de l’énergie dissipée par les forces de frottement. Selon cette formulation seuls apparaissent des termes d ’énergie mécanique puisque l’on ne considère les frottements que du point de vue de la perte d ’énergie mécanique qu’ils entra î nent (notion de perte de charge en mécanique des fluides – cf. article [BE 8 161]). Ainsi, pour un fluide incompressible, cette part d ’énergie mécanique est en fait transform ée en chaleur interne qui :


BE 8 013 − 5


— soit sert à élever l’énergie interne du fluide ∆u ; — soit est échangée avec l’extérieur sous forme de chaleur q (ou encore, les deux à la fois). Pour un fluide quelconque, on démontre (cf. article [BE 8 153] É coulement des fl uides. É quations de bilans ) que : τ 12

∆ u 12 – q 12 +

=



P d v

Pour l’établissement de la formule (21) on suppose qu’il n’y a aucune machine entre 1 et 2. Dans le cas contraire, il convient de tenir compte de l ’échange supplémentaire d’énergie mécanique entre le fluide et les éléments mobiles qui se trouvent sur le parcours du fluide et qui appartiennent au milieu ext érieur. Le travail échangé w t (travail technique) agit comme une perte de charge. Il est cependant de signe contraire. En effet, un travail thermodynamiquement positif correspond à un gain d’énergie pour le fluide. On écrit alors, d’une manière g énérale : w t 12

=



2

1

v d P + g ( z 2 – z 1 ) +



2

2

c 2 – c 1



--------------------- +

2

τ 12

(22)

Pour une évolution réversible, qui exclut tout frottement, le terme τ 12 est nul. L’expression (20) devient alors :

( w t 12 )rév

=



2

1

2

v d P + g ( z 2 – z 1 ) + ---------------------

2

2

1

η comp

v d P

(24)

Alors que le principe de la conservation de l ’énergie ne fait aucunement appel aux notions de réversibilit é et d’irréversibilité, le principe de l’énergie cinétique en mécanique a une expression qui diff ère selon que l ’évolution s’effectue de façon réversible ou non car il ne tient pas compte de toutes les formes d’énergie. En particulier, l ’énergie thermique n’appara î t pas en tant que telle. En fait l ’expression (22) doit être davantage consid érée comme r ésultant d’une étude des travaux de forces appliquées à un système, que comme une équation énergétique, puisque seule l’énergie mécanique y est prise en compte explicitement.

2

c 1 ρ -------- + P 1 + ϖ z 1 2

2

=

c 2 ρ -------- + P 2 + ϖ z 2 – ( w t 12 )v + τ 12 v 2

(25)

avec (w t 12)v le travail technique par unité de volume de fluide, τ 12 v

le travail des forces de frottement par unit é de volume.

1.3 Définition générale du rendement d’une compression ou d’une détente Le rendement d’une transformation, ici une compression ou une détente d’un gaz, doit toujours rendre compte de la qualit é de la transformation réelle par rapport à la transformation théorique associ ée , qui thermodynamiquement doit au moins être réversible.

BE 8 013 − 6

2

v d P + ---------------------

2



v d P + ∆ e c

= ------------------------- = ---------------------------------------------------- = ----------------------------------2 2 w t réelle h t – q c 2 – c 1 h 12 + --------------------- – q

∆

∆

(26)

2

2

η dét

2

c 2 – c 1

∆

h 12 + --------------------- – q w t réelle h t – q = -------------------------- = ----------------------------------------------------- = -----------------------------------

(

)



( w t ) rév

2

2 c 2 –



2 c 1

v d P + ---------------------

2

∆

(27)

v d P + ∆ e c

Si la transformation r éelle est adiabatique, la transformation théorique associée est isentropique et le rendement est dit isentropique (ou quelquefois, mais improprement, adiabatique). Il est noté η s . Si la transformation est refroidie fortement, de telle sorte que les temp ératures finale et initiale soient identiques, la transformation théorique associée est isothermique r éversible et le rendement est dit isothermique ηT . Dans le cas g énéral d’une transformation réelle refroidie ou réchauff ée, avec des temp ératures initiale et finale quelconques, la transformation théorique est polytropique. On admettra, par d éfinition, que cette transformation est une transformation réversible qui obéit à la loi de transformation suivante : k

P 1 v 1

avec Lorsque la compressibilit é du fluide peut être négligée la relation (22) correspond à l’équation de Bernoulli (cf. article [BE 8 153]) :



( w t ) rév ( )

2

c 2 – c 1

Pour une détente, la situation est invers ée : le travail technique récupéré réellement par la machine de d étente est inf érieur au module du travail technique qui serait fourni par la transformation théorique. On a donc :

(23)

et si les variations d ’énergie cinétique et potentielle sont négligeables :



En négligeant les variations de l ’énergie potentielle gravifique du fluide, ce qui est toujours admissible en pratique pour les compressions et d étentes de gaz, on peut écrire :

2

c 2 – c 1

( w t 12 )rév ≅

Pour une compression, le travail r éel – positif – est toujours supérieur, en module, au travail th éorique. Ainsi, quel que soit le type de compression, le rendement est toujours d éfini comme le rapport entre : — le travail technique nécessaire pour effectuer cette compression réversiblement ; — et le travail technique correspondant à la transformation réelle.

=

k

P 2 v 2

=

P v k

=

Cte

(28)

k le coefficient polytropique.

Par ailleurs, la transformation polytropique associée à la transformation réelle doit avoir les mêmes états initial et final que ceux de la transformation r éelle. Cela a comme corollaire que toutes les variations de fonctions d’état ont la même valeur pour la transformation réelle et sa transformation polytropique associ ée. Sur la figure 5, on montre diverses transformations r éelles (en traits tiretés car, en g énéral, on ne conna î t pas précisément le chemin parcouru par les param ètres au cours de l ’évolution – seuls doivent être parfaitement ma î trisés les états initial et final) avec leurs transformations polytropiques associ ées (en traits pleins, les états intermédiaires étant des états d’équilibre comme le veut la notion de transformation réversible). Si les variations de fonctions d ’état sont identiques pour les deux transformations, réelle et polytropique associée, les échanges énergétiques sont diff érents. On peut écrire : w t 12 + q 12 = ∆h t 12 = w tp 12 + q p 12

avec

(29)

w tp 12

le travail technique polytropique, diff érent de w t 12 le travail technique réel,

q p 12

l’échange thermique polytropique, diff érent q 12 l’échange thermique réel.



T

h

P 2 > P 1

∆s

P 1

2

∆h

s 2

δq p

∫

∆h12

T

h2c

∆s'

w t

δq

∫ ∫ δ

h1

q T

2

w t

p

∆s'

T

s 1

Compressions

q p

w t q p

q

q q

q w t

p

w t

w t

h2d

1

Détentes a

s a

cas d'une augmentation de l'entropie

compressions

∆s T

∆h

Compressions

h2c

h

P 1 > P 2

P 2

w t

w t

p

s 1

1

h1

δq p

∫

∆h12

δq

∫

T

q

T

s 2

2

q p

q p

q w t

p

∆s'

w t

h2d

Détentes 2

b

s b

détentes

Figure 5 – Transformations réelles avec leurs transformations polytropiques associées

Comme la transformation polytropique est r éversible, dans cette transformation, toute variation d ’entropie n’est due strictement qu’à un échange de chaleur. Ainsi pour :

∆s 12 > 0 ⇔

q p 12 > 0

∆s 12 < 0 ⇔

q p 12 < 0

Pour la transformation réelle :

∆ s 12 avec

=



2

1

δ q -------- + ∆ s ′ T

12

∆ s 12 ′ > 0 la création d’entropie au cours de la transformation irréversible 1-2.

Ainsi pour la transformation r éelle adiabatique ( q 12 = 0), on a q p 12 > 0 puisque ∆s 12 = ∆s p 12 , l’entropie étant une fonction d’état. La transformation polytropique associ ée doit donc être une transformation réchauff ée. Plus généralement, on peut considérer les quatre cas illustr és sur les figures 5 et 6 et pour lesquels on peut donner les résultats suivants :

cas d'une diminution de l'entropie

Figure 6 – Positionnement algébrique des énergies transférées pour des transformations réelles et polytropiques associées

Ainsi, quelle que soit l ’évolution de ∆s 12 , on a toujours le même positionnement algébrique des énergies transf érées lors de chacune des deux transformations, r éelle et polytropique.

2. Étude comparée des divers types de compression La compression ou la détente d’un gaz peut se faire sans échange de chaleur ou au contraire avec refroidissement ou réchauffage, ce qui correspond à deux cas extr êmes théoriques : la compression ou la détente adiabatique réversible, donc isentropique, et la compression ou la d étente isothermique réversible. Entre les deux, il existe une in finité de possibilit és de transformations réversibles : les compressions ou les d étentes polytropiques.

∆s 12 > 0, ce qui entra î ne

∆s 12 > 0 ( figure 6a ) : q 12 < q p 12 ⇒ w t 12 > w tp 12 (en valeurs algébriques) notons que, dans ce cas, alors que q p 12 > 0, q 12 peut être positif mais aussi négatif, à condition d’avoir une très forte cr éation d’entropie, donc de fortes irr éversibilités, qui compense la perte d’entropie due au transfert thermique. C ’est l’un des cas not és sur la figure 6a ;

∆s 12 < 0 ( figure 6b ) : q 12 < q p 12 ⇒ w t 12 > w tp 12 (en valeurs alg ébriques)

2.1 Travail technique mis en œuvre dans les divers types de compression et de détente réversibles Dans l’étude qui suit, on négligera toujours les variations d ’énergie cinétique et d’énergie potentielle. En effet : — d’une part, la masse volumique d ’un gaz étant très faible, sa variation d’énergie potentielle est toujours négligeable dans les opérations de compression ou de d étente ; — d’autre part, malgré la variation de masse volumique, on supposera que les vitesses d ’entrée et de sortie du fluide dans la machine sont suffisamment proches pour pouvoir n égliger la variation d’énergie cinétique.


BE 8 013 − 7


Rappelons également que l’énergie mécanique échangée entre le gaz et la machine de compression ou de d étente correspond à ce qui a été appelé travail technique.

P

2.1.1 Transformation isentropique

P 2

2T 2p 2s 2p ds = 0

Pour un gaz parfait idéal (GPI) en évolution adiabatique réversible, donc isentropique, on sait que (cf. article [BE 8 040] Dia- grammes thermodynamiques. G én ér alit é s ) : γ

P 1 v 1

=

γ

P 2 v 2

P v γ

=

=

Cte

dT = 0

(30) P 1

avec γ = c p / c v , c v étant la capacité thermique massique sous volume constant du gaz. Dans la suite, γ sera dit : coefficient isentropique, bien que cette appellation ne soit rigoureuse que dans le cas spécifique du GPI.

1 v a

Compte tenu de l’équation d’état, et de cette loi isentropique, on peut écrire : T 2

-------- =

T 1

P 2 ( γ – 1 ) / γ

 P  --------

=

1

v 1

 v 

P

γ – 1

(31)

-------

2

1 P 1

Ce sont les relations de Poisson. Dans ces relations, le rapport des pression P 2 et P 1 est le taux de compression ou le taux de détente δ : δ =

compressions

P 2

ds = 0

(32)

--------

P 1

dT = 0 P 2

2p 2s 2p

2T v

b

P 2 > P 1

T

détentes

P 1

2p

Figure 8 – Transformations réversibles en diagramme de Clapeyron 2s 2p T 1

La figure 7a représente une compression isentropique 1-2 s en diagramme entropique et la figure 8a , cette même compression en diagramme de Clapeyron ( P , v ). Les figures 7b et 8b représentent le cas d’une détente isentropique.

2T 1

s a

compressions

P 1 > P 2

T

1

T 1

Pour une évolution isentropique, le travail technique, not é w t 12s , est donné par la relation (1) qui, compte tenu des diverses hypothèses, devient : w t 12s = ∆h12s (33) Pour un gaz parfait idéal, la variation d ’enthalpie étant, par intégration de (7) : (34) ∆h = c p ∆T

P 2

on obtient :

2T

w t 12s = c p (T 2s – T 1 )

C’est une première forme d ’écriture de w t 12s , qui pour simplifier l’écriture sera not é simplement w ts . La relation de Mayer :

2p

c p – c v = r

2s

et la définition de γ permettent d’écrire une relation entre c p , r et γ :

2p

c p = s b

détentes

Figure 7 – Transformations réversibles en diagramme entropique

BE 8 013 − 8

(35)

γ

-------------γ –

1

r

Avec l’équation d’état, on a aussi : c p

γ

Pv

= -------------- --------γ – T

1


(36)


Compte tenu de ces diverses relations, le travail technique isentropique peut être écrit sous les diverses formes suivantes : w ts w ts

γ

= -------------γ –

1

c p

( P 2 v 2 s – P 1 v 1 )

= -------

r

( P 2 v 2 s – P 1 v 1 )

w ts =

γ

------------γ –

1

w ts

w ts =

=

P 1 v 1

v 1

 v 



γ

1

γ γ – 1

r -------------- ( T 2 s – T 1 ) γ – 1

----------

–

1

2 s

γ – 1 --------------

c p T 1 δ

-------------- r γ –

=

(37)



γ

–

1

γ – 1 --------------

T 1 δ

γ



(39)



–

(38)

(40)

1



(41)

Toutes ces relations établies au départ à l’aide de l’équation de la conservation de l ’énergie (1) auraient pu l’être de la même manière à l’aide de l’équation dynamique (22) qui, du fait des conditions particulières d’utilisation, se réduit à la relation (24). En pratique, pour une compression ou une d étente, on conna î t l’état initial du gaz par sa temp érature et sa pression et le taux de compression ou le taux de d étente à réaliser δ . Ainsi, c’est la forme (41) du travail isentropique qui est privil égiée. Pour simplifier l ’écriture, on pose : γ – 1 a = -------------γ Alors, la forme utile du travail technique isentropique est : w ts

r T ( δ a – 1 ) a 1

(42)

= -----

2.1.2 Transformation isothermique réversible Au cours de cette transformation 1-2 T ( figures 7 et 8), on a : P 1 v 1 = P 2 v 2 = Pv = Cte

(43)

L’expression du travail de technique s ’obtient encore à partir de la relation (2) dans laquelle on néglige les variations d’énergie potentielle et cinétique et en remarquant qu’une transformation isothermique d’un gaz parfait a lieu à enthalpie constante ∆h tT r = 0. Ainsi : w t 12Tr = – q 12Tr = – T ∆s 12Tr (44)

Le travail technique d ’une telle transformation 1-2p (figures 7 et 8), noté w t 12p s’obtient toujours à partir de l’équation (1) dans laquelle les énergies cinétiques et potentielles ont des variations négligeables : w t 12p = ∆h 12p – q 12p (47) Pour un gaz parfait idéal, la variation d’enthalpie est :

∆h 12p = c p (T 2p – T 1) et la chaleur échangée : q 12 p

=



2 p

1

c p d T –



2 p

1

v d P = c p ( T 2 p – T 1 ) –

w t 12 p =



1

(48)

expression identique à l ’équation « dynamique » (24). Dans ce cas, l’équation de la conservation de l’énergie ne donne pas directement le résultat cherché : il faut int égrer l’équation (24) en tenant compte de la loi d’évolution polytropique donnée par l’équation (28). On trouve : w t 12 p

k

= -------------k –

1



k – 1 --------------

r T 1 δ

k

–

1



(49)

La loi de transformation polytropique (28) étant analogue à la loi de transformation isentropique (30) dans laquelle γ doit être remplac é par k , et sachant que les travaux de ces deux transformations peuvent être calculés par une relation du type (48), il est logique de trouver pour le travail technique isentropique et le travail technique polytropique des relations semblables (41) et (49), la seule diff érence étant la présence du paramètre γ dans le travail isentropique et celle du param ètre k dans le travail polytropique. Notons également que, pour la même raison, les relations de Poisson (31) sont aussi valables pour une transformation polytropique, à condition d’y remplacer γ par k . Pour cette transformation également, on simplifiera l’écriture de la relation (49) en notant : k – 1 a ′

(50)

= --------------

k

w tp

v 2 T r ln ----------v 1

(45)

Ainsi, le travail technique est donn é par : P 2 T

w t 12 Tr = r T ln ----------P 1

=

r T ln δ =

–

v 2 T

r T ln ----------v 1

(46)

v d P

v d P

P 2 T r ln ----------P 1

=

1

2 p

et en simpli fiant aussi l ’écriture de w t 12 p par w tp :

–

2 p

On trouve alors, pour le travail technique :

À température constante, la variation d ’entropie d’un gaz parfait, donnée par la relation (9) est :

∆ s 12 Tr =



r T ( δ a ′ – 1 ) a ′ 1

(51)

= -------

C’est sous cette forme que sera utilis ée cette relation donnant le travail technique de la transformation polytropique en fonction de la température initiale et du taux de compression ou de détente.

2.1.3 Transformation polytropique La transformation polytropique, définie au paragraphe 1.3, est une transformation réversible à états final et initial quelconques. Elle représente donc une généralisation des transformations réversibles. Notons d’ailleurs que pour des valeurs particuli ères du coefficient polytropique k , on retrouve les transformations r éversibles classiques : — isobare : k = 0 ; — isotherme : k = 1 ; — isentrope : k = γ ; — isochore : k = ∞.

2.2 Étude comparative des transformations réversibles Les divers types de transformation (compression ou d étente) ne nécessitent pas de mettre en œuvre le même travail technique. Dans ce paragraphe, on se propose d ’analyser les valeurs relatives de ces travaux. Cette étude peut se faire de mani ère analytique. La présentation suivante, basée sur une analyse graphique est p édagogiquement préf érable.


BE 8 013 − 9


T

h

P 2

On énonce : la variation d ’enthalpie entre deux états 1 et 2p est donnée par l’aire sous-tendue par le segment de l ’isobare P 2 limitée par le point 3 situé sur l ’isotherme du point initial 1 et par le point 2p représentant l’état final (aire c ,3,2p ,b – positive pour la compression, n égative pour la détente).

P 1

2p

La quantité de chaleur échangée pour toute transformation réversible étant donnée par :

w t

p

3

T 3 = T 1

∆h12p > 0

1

q 12 p



=

2 p

T d s

1

soit l’aire sous-tendue par la ligne 1-2 p , le travail technique polytropique : c a

T

s

a b compressions

h

T 3 = T 1



2 p

1

T d s

2.2.1.2 Diagramme de Clapeyron et travail technique

P 2

Pour toute transformation réversible, comme une transformation polytropique 1-2p par exemple (figures 10a pour une compression et 10b pour une détente), l’équation de la dynamique (24) est :

3

w t 12 p

2p ∆h12p < 0 w t < 0 p

b

∆ h12 p –

=

correspond à l ’aire c ,3,2p ,1,a du diagramme de la figure 9.

P 1

1

w t 12 p = w tp

a b c détentes

=



2 p

1

v d P

Ainsi dans le diagramme de Clapeyron, le travail technique est représenté par l’aire sous-tendue par la transformation dans le diagramme v , P (aire bleutée sur la figure 10).

s P

Figure 9 – Représentation du travail technique en diagramme entropique

2p P 2

w t > 0 p

2.2.1 Utilisation des diagrammes entropiques et des diagrammes de Clapeyron

P 1

1

2.2.1.1 Diagramme entropique. Variation d’enthalpie et travail technique

v

Au cours d’une transformation quelconque réversible, pour obtenir le travail technique :

a

compression

w t 12 = ∆h 12 – q 12

il faut conna î tre la chaleur échangée et la variation d ’enthalpie. Cherchons à représenter cette variation d’enthalpie par une aire sur le diagramme entropique. Pour cela consid érons le cas le plus général, celui d’une transformation polytropique 1 → 2p (figures 9a pour une compression et 9b pour une détente). Du fait de l’hypothèse du gaz parfait , un point 3 situé sur l’isobare P 2 , et à la même température que le point 1, a la m ême enthalpie que ce point : h 3 = h 1

P

1

P 1

w t < 0 p

P 2

2p

Entre les points 3 et 2 p , toute évolution isobare réversible est telle que :

∆ h32 p =

q 32 p =



2 p

3

T d s

Ainsi l’aire sous-tendue par l ’isobare P 2 entre 3 et 2 p correspond à la diff érence d’enthalpie ∆h 32p = ∆h 12p .

BE 8 013 − 10

v b

détente

Figure 10 – Représentation du travail technique en diagramme de Clapeyron



T

P 2

2pc

T

P 1

1 k =1

3,2T

k

k > γ

<

γ

γ =

k

2s k = 1

2pf

>

k = γ k < γ

3

c

2pf

b

s

b a

a

diagramme entropique

a

a

s

c


P

P

P 2

2s

k

1

2T

2pc

γ

b

3 2pf 2s 2pc k = 1

k <

k =

γ

P 1

k

a

1

>

γ γ

k

P 1

a

P 2

= k k k 1 > = < γ γ γ

b

2pf 2s 2pc

1

3,2T v

v b

b

diagramme de Clapeyron

Figure 12 – Évolutions du fluide lors d’une détente

Figure 11 – Évolutions du fluide lors d’une compression

2.2.2 Comparaison des diverses transformations à l’aide des représentations dans les diagrammes Sur la figure 11 sont représentées les évolutions du fluide lors d’une compression en diagramme entropique ( figure 11a ) et en diagramme de Clapeyron ( figure 11b ). Quatre types d’évolutions réversibles y sont port és. Ils repr ésentent tous les cas de r éf érence théoriques donc réversibles : — compression isentropique (adiabatique réversible) : k = γ ; — compression avec apport de chaleur : k > γ (cas purement théorique) ; — compression refroidie : k < γ ; — compression isothermique : k = 1. Le travail technique étant proportionnel aux aires : — c ,3,2,1,a dans le diagramme entropique ; — a ,1,2,b dans le diagramme de Clapeyron, le simple examen de la figure 11 permet de conclure : w tTr < (w tp )k <γ < w ts < (w tp )k >γ


(52)

Pour une détente (figure 12), en prenant les mêmes types d’évolution, on note des diff érences dans les valeurs relatives de k pour les transformations avec échange thermique, ainsi pour une : — détente isentropique (adiabatique réversible) : k = γ ; — détente avec apport de chaleur : k < γ ; — détente refroidie : k > γ (cas purement théorique) ; — détente isothermique : k = 1.

L’application de la règle des surfaces équivalentes au travail technique : — c ,3,2,1,a dans le diagramme entropique ; — a ,1,2,b dans le diagramme de Clapeyron, montre que les travaux sont dans l ’ordre suivant : w tTr < (w tp )k <γ < w ts < (w tp )k >γ

pour leurs valeurs alg ébriques (< 0) (même ordre que pour la compression), mais dans l ’ordre inverse pour les valeurs absolues : | w tTr | > |(w tp )k <γ | > | w ts | > |(w tp )k >γ |

(53)

Cette étude fait appara î tre que le refroidissement d’un compresseur permet de diminuer notablement le travail à fournir. Il permet en outre de ne pas atteindre une temp érature de compression trop élevée. En revanche, le réchauffage d’une détente permet d’augmenter le travail récupéré. Ainsi, on cherchera toujours à refroidir le gaz au cours d’une compression (jamais à le réchauffer), on cherchera souvent (1) à réchauffer un gaz en cours de détente (jamais à le refroidir, sauf pour des

questions éventuelles de tenue des matériaux à la température). Nota(1) : pratiquement, il n ’y a pas de sym étrie entre compression et d étente car, si le refroidissement est souvent économiquement peu onéreux, le chauffage à un co ût économique fort.

Ce résultat peut être retrouvé de manière intuitive en notant que, si dans la compression isothermique r éversible le travail ne sert qu’à augmenter la pression, dans une compression isentropique il doit augmenter également l’énergie interne du gaz. Inversement,


BE 8 013 − 11


T

h

2q

On note que l’expression de w tq est un « panaché », pour ce qui concerne les lettres a et a ′, entre les équations de w ts [équation (42)] et de w tp [ équation (51)]. 2p

Sur le plan graphique, la valeur du travail technique adiabatique est proportionnelle, dans le diagramme T , s ( figures 13a et 13b ) à l’aire sous-tendue par l’élément d’isobare 3-2q . À cette transformation adiabatique, on peut faire correspondre une transformation polytropique de même état initial et de m ême état final 2p ≡ 2q , dont le coef ficient polytropique k est nécessairement sup érieur à γ pour la compression et inf érieur à γ pour la détente. Cette transformation polytropique particulièrement notée pq est telle que :

2s

∆h12 = w t q

k > γ

3 1

w t > 0 q

c a

T

a

s

b

compressions

h

1

3

∆h12 = w t p

q

2p 2q

| w tq | = |(aire c ,3,2q ,b )| < | w tpq | = |(aire c ,3,2p ,1,a )| pour une détente

(56)

Il est aussi naturel de comparer la transformation adiabatique à

2s

b

(55)

Le travail technique de compression (positif) adiabatique est supérieur au travail technique de compression polytropique correspondant. Le module du travail technique de détente (travail négatif) adiabatique est inf érieur au module du travail technique de détente polytropique correspondant.

P 2

P 1

w tq = (aire c ,3,2q ,b ) > w tpq = (aire c ,3,2p ,1,a ) pour une compression

la transformation isentropique associée : celle qui a le m ême état initial et qui est aussi adiabatique, mais réversible. Contrairement

w t < 0 q

à la transformation polytropique associ ée, la transformation isentropique associée a un état final 2s diff èrent de celui de la transformation adiabatique 2q (figure 13). Pour chacun des deux cas étudiés, compression et d étente, l’étude des aires montre que :

s

a b c détentes

w tq = (aire c ,3,2q ,b ) > w ts

Figure 13 – Transformations adiabatiques

dans une détente isothermique, toute la chute de pression est r écupérée sous forme de travail, alors qu ’en d étente isentropique, une partie de la chute de pression sert également à minimiser l ’énergie interne du gaz.

= (aire c ,3,2s ,a ) pour une compression

(57)

| w tq | = |(aire c ,3,2q ,b )| < | w ts | = |(aire c ,3,2s ,a )| pour une détente

(58)

2.4 Rendements. Définitions

2.3 Cas d’une transformation irréversible particulière : la transformation adiabatique

Comme cela a été souligné au paragraphe 1.3, une transformation réelle est toujours compar ée à la transformation théorique associ ée. On définit ainsi un certain nombre de rendements dont les expressions générales ont été données par les relations (26) et (27). On applique, ci-après ces expressions g énérales aux diverses transformations particulières.

De toutes les transformations r éelles, la transformation adiabatique est la seule qui se pr ête, de manière évidente et pratique,

2.4.1 Rendement isentropique (ou adiabatique)

à une interprétation graphique et à la détermination des énergies mécaniques mises en jeu. Pour une transformation adiabatique quelconque 1-2 (irréversible, figure 13) le travail technique, noté w t 12q ou plus simplement w tq , est donné par :

C’est par définition le rapport entre le travail technique d’une transformation isentropique à la même transformation irr éversible adiabatique : — pour une compression :

w t 12q = w tq = ∆h 12q

η s comp =

soit, en admettant l’hypothèse du GPI : tq =

w

c p ( T 2 q – T 1 )

r γ

= -------------- T 1 γ –

1

w tq =

BE 8 013 − 12

(59)

w tq

— pour une détente : T 2 q

 T 1

η s d ét =

----------- –

1

En utilisant l’équation de Poisson pour la transformation polytropique associée à la transformation adiabatique ( T 2q = T 2p ), ainsi que les définitions de a et de a ′, on a : r ----- T ( δ a ′ – 1 ) a 1

w ts

-----------

(54)

w tq

(60)

-----------

w ts

Les échanges de chaleur étant nuls dans les deux cas, ce rendement s’écrit aussi : η s comp =

∆ h12s ; ∆ h12 q

------------------

η s d ét

∆ h12 qs ∆ h12 s

= --------------------


(61)


2.4.2 Rendement isothermique Il permet de comparer une transformation isothermique r éelle ou plus fréquemment une transformation refroidie ou r échauff ée à une transformation isothermique r éversible : η T comp =

w tTr

et

-------------

w tT

η T d ét =

w tT

w tTr

-------------

w t

ηs comp =

----------

w t

et

η T d ét =

w t

-------------

w tTr

w tp w t

dT p

d P P +

dT s

P

a P 1

(62)

supérieur à l ′ unité

À toute transformation réelle on peut associer une compression polytropique ayant même état initial 1 et même état final 2 (polytrope associée). La compression polytropique étant réversible par définition nécessite un travail moindre que la compression r éelle associ ée et la détente polytropique fournit plus de travail que la détente réelle associée. On définit alors le rendement polytropique par le rapport : -----------

c

k

s

2.4.3 Rendement polytropique

ηp comp =

b

Étage n

1

avec w t , le travail technique dans le cas d ’une compression refroidie ou d’une détente réchauff ée. Dans ce cas de compression refroidie, la comparaison entre les travaux r éels et réversibles a lieu en effet de préf érence avec la compression isothermique réversible ; la comparaison avec la compression isentropique conduirait pour les forts refroidissements à un rapport : w ts

' dT s

t e C

=

3

Plus généralement, on notera : η T comp =

P 2

-------------

avec w tT , le travail technique nécessaire à une compression isothermique irréversible ou fourni par une d étente de même type, w tTr étant le cas isothermique r éversible.

w tTr

2

T

et

η p d ét =

w t

-----------

w tp

(63)

Comme cela a été mentionné au paragraphe 2.3, pour une

transformation adiabatique (cas très fréquent en pratique) on

considère en général deux transformations th éoriques associ ées : la transformation polytropique et la transformation isentropique. On peut donc utiliser les deux rendements : polytropique et isentropique. Considérant que (figure 13) :

— pour une compression : w tq = (aire c ,3,2q , b ) > w tp = (aire c ,3,2p ,1, a ) > w ts = (aire c ,3,2s , a )

on a : η p comp > η s comp

(64)

— pour une détente : | w tq | = |(aire c ,3,2q ,b )| < | w ts | = |(aire c ,3,2s ,a )| < | w tp | = |(aire c ,3,2p ,1,a )| on a : η p d ét < η s d ét

(65)

On note un résultat très important en pratique : la valeur relative des rendements isentropique et polytropique des transformations adiabatiques est diff érente dans le cas de la compression et dans celui de la détente. Il appara î t ainsi comme tr ès important de bien préciser le type de rendement dont on parle : selon que l ’on est client ou producteur, on a intérêt à utiliser préf érentiellement l’un ou l ’autre de ces rendements.

Figure 14 – Évolution entre étages pour une machine adiabatique

2.4.4 Rendement d’étage Le rendement d’étage est défini de la mani ère suivante. On imagine une machine adiabatique comportant une in finité d’étages (ou un très grand nombre) fonctionnant irr éversiblement, mais dont les états d’entrée a et de sortie b relatifs à chacun d’entre eux, soient situés sur la polytrope associ ée à la transformation r éelle (figure 14 où le cas de la compression est repr ésenté). À la limite (nombre d’étages infini), cela revient à faire évoluer un fluide selon une loi polytropique à l’aide d’une machine fonctionnant de manière adiabatique irréversible. Une telle situation se rencontre en pratique essentiellement dans les compresseurs et d étendeurs de type « dynamique », c’est- à-dire dans le cas des machines axiales ou centrifuges ou encore centripètes (dans lesquelles, sans être bien évidemment infini, le nombre d’étages peut être grand, de l ’ordre de dix ou de plusieurs dizaines). Le rendement d’étage est par définition égal au rendement isentropique d’un étage, c’est-à-dire au rendement isentropique d’une transformation élémentaire. Dans le cas d ’une compression (seul cas envisag é ici, celui de la d étente s’obtient simplement en inversant numérateur et dénominateur), on a : η e comp =

δ w ts δ w tq

d h s d h q

-------------- = ------------

(66)

Comme l’évolution adiabatique élémentaire correspond à un élément d’évolution polytropique : dhq = dhp Ainsi, le rendement d ’étage peut encore s’écrire, avec l ’hypothèse du gaz parfait : dh d T (67) --η e comp = ----------s -- = ---------s d h p d T p Il diff ère du rendement isentropique de la transformation totale qui serait donné par : η s =

d T s ′ ----------d T p

(au niveau de la transformation élémentaire). Dans cette notion de rendement d’étage, on fait l’hypothèse (justifiée amplement en pratique) que la machine est telle que tous les étages ont le même rendement d’étage. Cette hypothèse sera retenue dans la suite.


BE 8 013 − 13


2.5 Relations entre divers paramètres

T , P et dP étant identiques pour les deux transformations, l’équation (67) permet d’écrire, pour une compression :

2.5.1 Équation de la polytrope en fonction du rendement d’étage

η e comp =

Le rendement d’étage ηe étant commun par hypothèse à tous les étages, l’entropie peut être reliée à la température par l’intermédiaire de ηe . En effet, c et b étant situés sur une isobare, la quantité de chaleur :

γ – k -------------- --------------k – γ

1

1

ηe d ét =

γ k – -------------- -------------γ – k

1

γ

et k =

1

s 2 – s 1

d’où : d T p d s p = c p ------------ ( 1 – η e comp ) T

En intégrant le long de la transformation polytropique, avec l’hypothèse du gaz parfait idéal ( c p = Cte ) : (68)

Pour une détente, il suf fit d’inverser le terme du rendement

d’étage. Ainsi :

s

=





T 1 s 1 + 1 – --------------- c p ln -------ηe d ét T 1

=

s 2 – s 3

T 2 c p ln --------T 3

=

— l’équation entropique écrite en fonction du rendement d’étage (68) ou (69) :

ou

s 2 – s 1

=

s 2 – s 1

=

T 2

------( 1 – ηe comp ) c p ln --T

1

1

1

T 2

 c ln T

– ----------------

ηe d ét

---------

p

1

En éliminant s 2 – s 1 , entre ces deux équations, on obtient :

(69)

T 2

------( 1 – η e comp ) ln --T

T 2

=

ln ---------

--------- =

ln ---------

T 3

1

2.5.2 Expressions du coefficient polytropique et des rendements en fonction des paramètres d’état

1

ou

Expression de k en fonction de

T et

de

=

P

T 2

ln T 2 / T 1 ----------------------ln P 2 / P 1

=

1 ln T 2 / T 1 1 – ----------------------ln δ

T 2

--------- =

(70)

On peut aussi obtenir, en utilisant les rapports des volumes massiques : ln δ k = ----------------------ln v 1 / v 2 

Expression de k en fonction de

En diff érenciant les équations de Poisson relatives, d’une part, aux compressions isentropiques, d ’autre part, aux compressions polytropiques, on obtient : d T s = et

BE 8 013 − 14

d T P

=

T 3 1 / ηecomp

  ---------

T 1

k – 1 d P T -------------- --------k P

T 3

1 ln T 2 / T 3 1 – -----------------------ln T 2 / T 1

ηe d ét =

(73)

------------------------------------

ou

T 2

T 2

--------- =

T 1

=

1 – η ed é t

T 1

  T 3

η e d ét

T 3

(74)

η ed ét

(75)

---------

T 1

2.5.2.3 Rendement isentropique Ce rendement est, en g énéral, toujours relatif à une transformation adiabatique. Sur la figure 15, et dans le d éveloppement qui suit, pour simplifier les écritures, l’état final de la transformation isentropique est noté 3, l’état final de la transformation r éelle (ici adiabatique) et celui de sa polytrope associ ée est noté 2. L’équation (61), avec l ’hypothèse du gaz parfait idéal, s’écrit :

 e

γ – 1 d P T -------------- --------γ P

1

( ηecomp – 1 ) / ηecomp 1 / ηecomp T 1 T 3 ou

T 1

------------------------------------

ηe d ét

T 2

Si ηe est connu, cette équation permet de déterminer T 2 :

soit : k =

T 2

 ln T

ln T 2 / T 3 η e comp = 1 – ------------------------ ou ln T 2 / T 1

Les relations entre k , la température, la pression et le volume s’obtiennent à partir des relations de Poisson (31) appliquées aux transformations polytropiques (k remplace γ ). Ainsi, on a : k – 1 -------------k

1

– ----------------

soit, pour le rendement d ’étage :

2.5.2.1 Coefficient polytropique 

(72)

------------------------------------------------γ – γ ηe d ét + ηe d ét

— l’équation entropique d’un gaz parfait idéal, équation (9) :

T ds p = dhp – dhs = dhp (1 – ηe comp )

=

(71)

Entre les états 1 et 2 ( figure 15), la variation d’entropie peut se calculer par deux méthodes :

Ainsi, et pour une compression :

s

1

2.5.2.2 Rendement d’étage

dh cb = dh p – dhs

T s 1 + ( 1 – η e comp ) c p ln -------T 1

η e comp γ

-------------------------------------------η e comp γ – γ +

Dans le cas d ’une détente, ces relations sont, respectivement :

δq cb = T ds p

est aussi égale à la variation d’enthalpie :

k =

ou encore

η s c om p =

T 3 – T 1 -------------------T 2 – T 1

ou

η s d ét

T 2 – T 1 = -------------------T 3 – T 1

(76)

On peut éliminer T 2 dans cette équation, en reliant le rendement isentropique au rendement d’étage. D’après l ’équation (75) : η s c om p =

/

1

T 3 T 1 – --------------------------------------------------T 3 T 1 1 / ηe c o mp –



/



1

ou η s d ét =

 T 3 / T 1  η

1

e d é t – -----------------------------------------T 3 T 1 –


/

1

(77)


2.5.2.4 Rendement polytropique T

Exprimons tout d’abord ce rendement en fonction du rendement isentropique défini ici pour la transformation quelconque envisagée :

h

2

η s c om p =

w ts w t

k > λ

3

w t

-----------

w ts

soit : ηp c om p = 1

η p d ét

ou s a

ou η s d ét =

-----------

w tp

----------- =

w t w t

= --------- =

w tp

w tp η s c om p ----------w ts w ts η s d ét ----------w tp

(79)

En utilisant la relation (38) et une relation équivalente pour le travail polytropique, on obtient :

compressions

γ – 1 k T 2 – T 1 ηp c om p = ηs c om p ------------- -------------- -------------------γ k – 1 T 3 – T 1 T

h

ou

(80)

En éliminant le coef ficient polytropique à l’aide de l’équation (70), on obtient : γ – 1 ln P 2 / P 1 T 2 – T 1 η p c om p = η s c om p -------------- ------------------------ -------------------γ ln T 2 / T 1 T 3 – T 1

1 k < λ

2 3

ou

γ ln T 2 / T 1 T 3 – T 1 η p d ét = ηs d ét -------------- ------------------------ -------------------γ – 1 ln P 2 / P 1 T 2 – T 1

(81)

Si la transformation réelle est adiabatique , on peut utiliser l’équation (76). Les équations (81) deviennent alors :

s b

k – 1 γ T 3 – T 1 η p d ét = ηs d ét -------------- -------------- -------------------k γ – 1 T 2 – T 1

détentes

ηp c o mp = Figure 15 – Compressions et détentes isentropiques, polytropiques et adiabatiques

γ – k -------------- -------------γ k –

1

et

1

η p d ét =

γ k – -------------- -------------k γ –

1

1

(82)

ce qui, d’après les équations (71) et (72) donne : ηp = ηe

(83)

quel que soit le type de transformation, compression ou d étente. Il est parfois int éressant, pour une transformation adiabatique, de conna î tre le lien entre le rendement isentropique et le coef ficient polytropique k de la polytrope associ ée à l’adiabate. Cette relation s’obtient en combinant les relations (70) et (76) :

k comp – 1





1

T 3

ln 1 + ---------------------- -------- – 1 η s c om p T 1

C ’est ce qui fait l ’intérêt du rendement poytropique qui, dans le cas d’une machine multicellulaire (machine à grand nombre d’étages), est égal au rendement isentropique moyen des diff érents étages. Ce rendement présente un intérêt pour le constructeur.



------------------------- = --------------------------------------------------------------------------

k comp

ou

k d ét – 1

ln δ



ln 1 + η s d ét



T 3

-------- –

T 1

1



2.6 Puissance

------------------- = ------------------------------------------------------------------

ln δ

k d ét

ce qui s’écrit, en ne conservant que le taux de compression δ :

k comp – 1



1 ln 1 + ----------------------  δ a – 1  η s c om p

k d ét – 1



ln 1 + η s d ét  δ a – 1 



--------------------- = ----------------------------------------------------------

k d ét

ln δ

˙ formation par le débit massique M traversant la machine : ˙ W t

=

˙ w t M

(84)

Si la transformation réelle est adiabatique , on utilisera de pr éf érence, le travail et le rendement isentropiques :

ln δ

k comp

La puissance de compression ou de d étente est égale au produit du travail technique massique w t mis en œuvre dans cette trans-



------------------------- = --------------------------------------------------------------------

ou

Ainsi, on note que, pour une transformation adiabatique, le

rendement polytropique est égal au rendement d’étage.

— pour la compression : (78)

˙ W t

=

w

ts ˙ ----------M η s


BE 8 013 − 15


W t (kW)

400

T W t

s

300

h

W t '

T

2 200

2p

2T

1

100 0

1

5

10

15

s

P 2 / P 1

Figure 17 – Compressions réfrigérées Figure 16 – Puissances thermiques isentropique et isothermique pour le cas des compressions

— pour la détente : ˙ W t

˙ η s w ts M

=

Si la transformation est refroidie , on utilisera le travail et le ren-

dement polytropiques :

— pour la compression : ˙ W t

=

w tp

˙ ----------- M η p


˙ η p w tp M

=

Si la compression est isothermique , on utilisera le travail isothermique réversible et le rendement isothermique :

— pour la compression : ˙ W t


=

=

w tT r

˙ ------------- M η T

˙ η T w tT r M

La figure 16 donne les courbes de puissance en fonction du taux de compression pour une compression isentropique d ’une part et isothermique réversible d’autre part, d’air à la pression initiale atmosph érique. Elle met en évidence l’avantage de la seconde sur la première.

3. Étude particulière des compressions réfrigérées Comme l’ont mis en évidence les développements précédents et particulièrement la figure 16, les compressions refroidies consomment moins d’énergie mécanique que les compressions non ou peu refroidies. Ainsi, en pratique et d ès que les puissances mises

en œuvre seront conséquentes (quelques kilowatts), on refroidira le gaz en cours de compression. Deux types de refroidissement sont utilisés, séparément ou simultanément : le refroidissement continu ou réfrigération continue, d’une part, la réfrigération fractionnée, d ’autre part.

BE 8 013 − 16

Généralement, pour toute compression refroidie, le travail technique nécessaire à la compression réelle est comparé au travail de la compression polytropique associ ée, dont le coef ficient polytropique k est compris entre 1 et γ . On peut également le comparer : — soit au travail de la compression isothermique r éversible associ ée, si la r éfrigération est continue ; — soit à des éléments de compression isentropique dans le cas d’une réfrigération fractionnée.

3.1 Réfrigération continue La r éfrigération continue consiste à refroidir le gaz au cours de sa variation de pression. C ’est un mode de refroidissement tr ès employé dans le cas de tous les compresseurs volum étriques. On le rencontre moins fr équemment dans les compresseurs centrifuges et il est rare, pour des raisons technologiques de construction, dans les compresseurs axiaux.

À la limite, et théoriquement, la réfrigération continue conduit à une compression isothermique r éversible. Pratiquement, la temp érature augmente malgré le refroidissement et l ’évolution est irréversible. Dans le cas d ’une compression isothermique 1-2T (figure 17) réversible ou non, le travail technique est égal, en module, à la quantité de chaleur évacuée par le fluide réfrigérant (eau ou air en général) – voir l’équation (44). Le travail en transformation r éelle étant supérieur au travail n écessaire à une compression r éversible, la quantité de chaleur à évacuer pratiquement est sup érieure à celle qui correspond à l ’évolution réversible : q 12

T

=

T ∆ s 12

T

Pratiquement, le travail w tT s ’obtient : — soit par détermination expérimentale ; — soit par mesure de la quantit é de chaleur évacuée par le réfrigérant ; — soit enfin à partir de la connaissance du rendement isothermique ηT et des états initial et final : w tT

w tT r

= ------------- =

η T

–

T 1

--------

η T

∆ s 12

T

rT 1 ln δ

= --------------------

η T

La comparaison entre une compression id éale refroidie (isothermique réversible) et idéale non refroidie (isentropique) est concrétisée par un paramètre appelé efficacité théorique de la



e th 1,6

1 2

3

4

1,4 11

21

12

22

13

23

14

24

1,2

1

1

5

10

Figure 19 – Schéma d’un compresseur à n étages et n –1 réfrigérants extérieurs

15 P 2 / P 1

Figure 18 – Évolution de l’efficacité théorique de la réfrigération

réfrigération e th . C’est par définition le rapport entre les travaux

correspondant à ces deux types de compressions : e th



1

w ts c p T 1 δ a – = ------------- = ------------------------------------rT 1 ln δ

w tT r

ou, en prenant en compte la relation entre c p , r et γ : e th

γ δ ( γ – 1 ) / γ – = ------------ -------------------------------γ – δ

1

1

ln

(85)

Cette équation est représentée graphiquement sur la figure 18 qui traduit la diff érence observée entre les courbes de puissance de compression de la figure 16. On remarque que, pour un taux de compression de 15, une compression isentropique consomme environ 50 % d ’énergie de plus qu’une compression isothermique réversible. Pratiquement les compressions sont irr éversibles. On d éfinit une ef ficacit é pratique de la r éfrigération e par le rapport : e =

w tq

ηT e η s th

----------- = --------

w tT

Les rendements, pour chacune des compressions r éelles étant du même ordre de grandeur, les efficacités théorique et pratique e et e th sont sensiblement égales. Lorsque la compression n ’est pas isothermique (évolution 1-2 sur la figure 17), le travail réel w t doit être comparé à celui de la compression polytropique associée : w t

=

∆ h12 – q =

w tp

∆ h12 – q p

η p

η p

3.2 Réfrigération fractionnée La réfrigération fractionnée est utilisée pratiquement dans tous les cas de compression multi étagée. Elle a lieu à l’extérieur de la zone de compression, dans des échangeurs de types divers et, aux pertes de charge près (très faibles vis- à-vis des taux de compression) sous pression constante. Dans chaque étage, la compression est alors soit adiabatique, soit refroidie si elle est soumise également à une réfrigération continue. À chacune de ces compressions, on peut associer une compression polytropique dont le coef ficient k pourra alors être soit supérieur (adiabatique), soit inf érieur à γ (refroidie).

3.2.1 Choix des pressions intermédiaires Soit un compresseur à n étages et (n – 1) réfrigérants extérieurs, schématisé sur la figure 19. On fait les hypothèses suivantes : — au niveau de chaque étage, la compression est adiabatique ; — le coefficient polytropique k correspondant à la compression au niveau de chaque étage est indépendant de l’étage considéré. Cela implique [équation (71)] un rendement d’étage ηe identique pour tous les étages ; — le refroidissement entre étages est tel que la température en fin d’échange est égale à la température du fluide à l’amont de l’étage précédent. En affectant de l’indice 1 suivi de l ’indice i les paramètres à l ’entrée de l’étage i , on a, par hypoth èse (figure 20) : T 1i = T 1 (i – 1) = T 11 = T 1

Le but de l’étude suivante est de calculer les pressions interm édiaires qu’il faut utiliser pour que le travail de compression total soit minimal. Au niveau de chaque étage, le travail technique de compression

w ti est donné par la relation : w ti

----------- = ---------------------------

=

( ∆ h12 )i =

Ce travail est alors obtenu :

— soit par détermination expérimentale ; — soit à partir de la mesure de la quantit é de chaleur réelle et de la connaissance des points 1 et 2 ; — soit à partir de la connaissance du rendement polytropique ηp et des états 1 et 2 ce qui permet de calculer w tp .

w ti

=

c p ( T 2 i – T 1 )

c p T 1



P 2 i

---------

P 1 i



=

c p T 1

k – 1 -------------k

–

1



T 2 i

--------- –

T 1



1

 (86)

En notant par δ i le taux de compression P 2i / P 1i de l’étage i , le travail total : w t

=

∑ w

ti

i

En général pour des compresseurs bien refroidis, le coef ficient polytropique k est de l’ordre de 1,3 à 1,35 dans le cas fréquent de l’air.

s’écrit : w t

=

k – 1 --------------

c p T 1 δ

1

k

+

k – 1 --------------

..... + δ n k


–

n

BE 8 013 − 17


T

T

P F

23

P 6

25

T 2 j = T 2

21

P 5

24

P 4

23

P 3

22

P 2

P 1

21

22

24

P I

13

14

12

T 1 j = T 1

11

15

13

14

12

11

s a

s


Figure 21 – Températures du fluide à la sortie de chaque étage dans un compresseur multiétagé à réfrigération fractionnée

P

24

P 5

La pression de sortie de chaque étage peut être exprimée en fonction de la pression d ’admission du compresseur P I : P 2i = δ i / n P I

23

P 4

14

A'

Dans ces conditions de travail minimal, le travail de chaque

étage est le même quel que soit l’étage i considéré :

A

22

P 3

13

w ti

P 2

21

12

P 1

=

c p T 1  δ ( k – 1 ) / kn – 1 

Le travail total étant : 11

w t

=

γ n -------------- rT 1  δ ( k – 1 ) / kn – 1  γ – 1

(90)

En utilisant les relations de Poisson appliqu ées aux transformations polytropiques :

v


b

(89)

P 2 i

 

T 2 i

Figure 20 – Évolution du fluide en compression multiétagée

k – 1 -------------k

---------

--------- =

δ ( k – 1 ) / kn

=

P 1 i

T 1

on a : Ce travail sera minimal quand le terme entre crochets sera également minimal. Si on fait le produit des termes entre crochets en remarquant que P 2i = P 1(i +1) , on a :

  P 21

----------

P 11

avec

k – 1 -------------k



...........



k – 1 -------P 2 n ------k

  -----------

P 1 n

=

k – 1 -------P 2 n ------k

  -----------

P 11

=

k – 1 -------P F ------k

  --------

P I

= Ct e

P I la pression initiale, P F la pression finale.

Or on sait que, lorsqu ’un produit de terme est constant, leur somme est minimale lorsque tous les termes sont égaux entre eux. Ainsi, la condition de travail minimal est : P 2 i

P 2 j

P 1 i

P 1 j

--------- = --------- =

  P F

--------

P I

(88)

w tp i

= -------------

η p

Avec la relation (51), on a : w ti

Ainsi, on peut énoncer le résultat suivant : pour que, dans un compresseur multi étagé à réfrigération uniquement fractionnée, le travail soit minimal, il faut que les pressions de sortie de chaque étage soient en progression g éométrique.

BE 8 013 − 18

w ti

(87)

δ i = δ j = δ 1/ n P 2i = δ 1/ n P1i

On notera que la d émonstration précédente suppose que chaque compression se fait de mani ère adiabatique. Le résultat trouvé reste encore valable lorsqu ’il y a réfrigération continue (figure 22). En effet, on peut toujours écrire :

1

n

(91)

Ainsi, on peut énoncer : dans un compresseur multi étagé à réfrigération externe (ou fractionnée) lorsque les pressions intermédiaires sont telles qu ’elles conduisent au minimum de travail, les temp ératures du fluide à la sortie de chaque étage sont égales (figure 21).

-----

Si le rapport des pressions extr êmes P F / P I est noté δ cette relation s’écrit simplement :

ou

T 2i = T 2 j = T 2

1

k

= -------- -----------------η p k –

(

1)

rT 1

  P 2 i

---------

k – 1 -------------k

P 1 i

–

1



Cette relation étant, dans sa forme, identique à (86), la démonstration faite à propos de l ’échelonnement des pressions entre étages et des temp ératures en fin de compression reste valable. Le travail technique total avec r éfrigération intermédiaire est alors donné par : w t

n

k

= -------- -------------η p k –

1

rT 1  δ ( k – 1 ) / kn – 1 


(92)


T

T

T 2 T 1

P 6

25

24

P 5

P 4

23

22

P 3

P 2

P 1

2

T 2

21

3

T 3

15

13

14

12

T 1

11

1

s

s

Figure 22 – Évolution du fluide dans un compresseur multiétagé à réfrigération continue et fractionnée avec minimisation du travail

Figure 23 – Réfrigération avec efficacité inférieure à 1

T

3.2.2 Économie de travail due à la réfrigération fractionnée La figure 20b met en évidence, sur le diagramme de Clapeyron, le gain d’énergie réalisé grâce à la réfrigération fractionnée. Sans réfrigération, le travail de compression est proportionnel à l’aire A + A ′. Avec réfrigération, il n’est plus proportionnel qu’à l ’aire A. Comme dans le cas de la r éfrigération continue, l’économie d’énergie mécanique peut être reliée à un coefficient d’efficacité fractionnée e f . C’est par définition, le rapport entre le travail w tq nécessaire à une compression adiabatique (voire refroidie) qui aurait une transformation polytropique associ ée de même coef ficient k que celui des transformations adiabatiques (ou refroidies) réelles élémentaires d’une part et le travail dans la compression fractionnée d ’autre part : e f

T 3 T 1

23

22

13

14

21

12 11

s

Figure 24 – Évolution du fluide avec efficacité inférieure à 1 dans le premier échangeur

w tq w t

(

1 ) /

δ k – k – = ----------------------------------------------

1

n  δ ( k – 1 ) / kn – 1 

Pour les étages de numéro d ’ordre supérieur à 2, il est possible d’appliquer le raisonnement du paragraphe 3.2.1. La condition (88) se transforme en :

(93)

C’est une fonction de trois param ètres : δ , k et n .

pour i  2 P 2 i =

En général, il n’est pas possible de revenir à la température initiale T 1 après compression dans le premier étage, car la température d’admission du fluide à comprimer est tr ès proche de la température du fluide réfrigérant (il faudrait des surfaces d’échanges trop importantes). On d éfinit alors une ef ficacit é du syst ème r éfrigérant (figure 23) : T 2 – T 3 T = -------------------- = --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------T 2 – T 1 T –

∆ ( circuit chaud) ∆ ( entrée circuit chaud entrée circuit froid )

Cette définition sous-entend que le flux de capacit é thermique du gaz est inf érieur à celui du réfrigérant. Pour une compression multi étagée réfrigérée, on peut faire l’hypothèse que, après la premi ère compression, toutes les temp ératures de fin de réfrigération seront identiques (figure 24) : T 1i = T 3

si i  2

P F 1 / n – 1

  --------

P 21

P 1 i

Pour obtenir la pression P 21 , on cherche une nouvelle condition d’obtention du travail minimal. Pour la compression totale, le travail est :

3.2.3 Influence de l’efficacité des réfrigérants

e r

15

24

= -----------

Les relations (86), appliqu é e à la compression adiabatique directe 1 → 2, et (90) permettent de transformer cette d éfinition : e f

25

T 2

w t

=



c p T ( n – 1 ) 3

  P F

( k – 1 ) / k ( n – 1 )

--------

P 21

–

( n – 1 ) T 3 + T 1

P 21 ( k – 1 ) / k

  ----------

P I

–

T 1

=

0



Ce travail est minimal si : ∂ w t ∂ P 21

-------------- =



 

P F k – 1 c p T ( n – 1 ) ----------------------- -------3 k ( n – 1 ) P 21

(

)

k 2 – n – 1 --------------------------------k n – 1

(

)

k – 1 + T 1 -----------k

P 21

---------- =

P I

δ 1 / n

  T 3



–

P F



----------------

( P 21 ) 2

P 21 – 1 / k 1 ----P I P I

  ----------



k ( n – 1 ) / n ( k – 1 )

--------

T 1


(94)

BE 8 013 − 19


La température T 3 se calcule à partir de l ’ef ficacit é de l’échangeur et de (94). En effet : e r T 2

-------- =

T 1

  P 21

T 2 – T 3 = -------------------- = T 2 – T 1 k – 1 ---------------

----------

P I

k

k – 1 ---------------

= δ kn

f  T 1 , T 2 , T 3 

  T 3

--------

n – 1 --------------n

T 1

= f  T 1 , T 3 , δ 

Si l ’on suppose que l’ef ficacité de l’échangeur er est connue, T 1 et δ étant des données, on a un système de deux équations à deux inconnues T 2 et T 3 . L’évolution du fluide en diagramme entropique a alors l ’allure du schéma de la figure 24.

3.2.4 Cas particulier de la réfrigération d’un compresseur de turbine à gaz Dans de nombreux cas, c ’est la condition de travail minimal vue au paragraphe 3.2.1 qui guide le choix des pressions interm édiaires. Il convient cependant de vérifier dans tous les cas que la température de sortie soit acceptable d ’un point de vue technologique (graissage en particulier, dans le cas des compresseurs volumétriques, par exemple) et du point de vue de l ’utilisation du fluide comprim é. Il est un cas particulier o ù cette température revêt une grande importance c’est celui des compresseurs de turbine à gaz. En effet, dans ce cas, la temp érature de sortie du compresseur correspond à la température d’entrée des gaz dans la chambre de combustion : or cette temp érature est directement li ée à la quantité de chaleur nécessaire pour porter les gaz à la température requise pour obtenir un travail de détente prédétermin é. Plus la temp érature d’entrée est élevée moins la quantit é de chaleur est grande. Par contre, l ’élévation de cette température conduit à augmenter l’énergie de compression du gaz. Il faut alors choisir une temp érature de compromis correspondant à un optimum de fonctionnement de toute la turbine à gaz. En général, la compression a lieu suivant le schéma de la figure 25 qui tient compte : — d’une efficacité des réfrigérants diff érente de l’unité ; — d’une température à atteindre en fin de compression sup érieure aux températures intermédiaires ; — d’un minimum de travail au niveau du premier étage et des étages intermédiaires.

3.2.5 Conclusions sur la réfrigération des compressions En pratique, les considérations précédentes trouvent une double limitation :

P F

T T 2

P I

— le rendement le plus élevé n’est pas le seul but à atteindre : il faut tenir compte du prix de l’installation ; — la réfrigération étagée a souvent lieu entre plusieurs corps de compresseurs. La rationalisation des puissances entre les diff érents corps peut être diff érente de celle qui préside à la constitution des étages. Notons enfin qu’il existe une autre possibilit é de réfrigération non mentionnée ci-dessus : l ’injection d’eau ou d’huile dans le fluide comprimé en cours de compression.

4. Apport thermique en cours de détente Comme le travail technique n écessaire à une compression est minimis é lorsque la compression est refroidie, le travail technique « récupéré » sur l’arbre d’une machine de d étente est plus grand (en module) lorsqu’il y a apport de chaleur en cours de d étente [équations (53)] afin d’approcher une détente isothermique. Mais, l’apport de chaleur a un co ût, lié directement à la quantité d ’énergie apportée, que n’a pas le refroidissement. Ainsi, on n ’envisage pas forcément, dans le cas des d étentes d’opérer de manière isothermique, mais plus g énéralement de mani ère adiabatique. Cependant, pour certaines applications, cette d étente isothermique ou, pour le moins, cette d étente réchauff ée est envisagée. Ce sont des applications pour lesquelles de la chaleur est mise en jeu par ailleurs dans le syst ème global. Le cas typique est celui des turbines à gaz terrestres. Dans ces installations motrices (cf. article [BM 4 560] Turbines à fl uide compressible. Conception et fonctionnement ), des gaz chauds, préalablement comprimés, doivent être admis dans une turbine de d étente. On peut alors envisager, a fin d’obtenir un travail technique de d étente supérieur, de réchauffer le gaz en cours de détente. Compte tenu du type de machine utilisé, turbines axiales en g énéral, le r échauffage continu (à l ’opposé de la réfrigération continue) n’est pas envisageable. On procède alors au réchauffage fractionné, les d étentes intermédiaires étant toutes adiabatiques ( figure 26). On peut alors, comme dans le cas des compressions avec r éfrigération fractionnée, rechercher s ’il existe un optimum à respecter pour la répartition des pressions au niveau de chaque r échauffage. La reprise du raisonnement fait au paragraphe 3.2.1 montre que le résultat final est applicable dans ce cas également à condition de faire également l’hypothèse que les temp ératures à l’entrée de chaque zone de détente T 1i sont toutes égales entre elles. En g énéral, cette hypothèse est respect ée, car ce niveau de temp érature est fixé par des conditions de r ésistance à la température des mat ériaux des organes de d étente.

T

26 25

T '

24

23

22

T 1'

21

11

12

13

14

15

2

T 2 T 3

16

T 1

15

14

13

21

22

23

24

25

12 11 s s

Figure 25 – Température de compromis à l’optimum de fonctionnement d’un compresseur de turbine à gaz

BE 8 013 − 20

Figure 26 – Détentes avec réchauffage fractionné



On notera donc que l’optimisation du réchauffage d’une détente en vue d’augmenter le travail de d étente, nécessite de respecter un échelonnement des pressions en progression géométrique : P 2 i

--------- =

P 1 i

δ i =

  P F

--------

1

1

---

n

P I

=

---

δ n

=

δ j

et que, dans ces conditions, les températures de fin de chaque détente sont égales : T 2 j = T 2i

Dans cette équation, toutes les grandeurs extensives sont relatives à la totalité du syst ème considéré. Pour l’unité de masse, on écrit : (96) ∆ex 12 = ∆h t 12 – T a ∆S 12 L’anergie An (ou an pour l’unité de masse) est la part d ’énergie du système thermodynamique consid éré (ici un gaz), évoluant dans une machine parfaite, qui ne pourra jamais être transformée en énergie mécanique (c’est le compl ément de l’exergie pour retrouver l ’enthalpie totale du fluide) :

Le travail technique total recueilli a pour valeur : w t

=

γ n -------------- rT 1  δ ( k – 1 ) / kn – 1 

∆ An 12 = T a ∆S 12

(97)

∆ an 12 = T a ∆S 12

(98)

∆ H t 12 = ∆Ex 12 + ∆ An 12

(99)

∆ ht 12 = ∆ex 12 + ∆ an 12

(100)

ou

γ – 1

et :

avec k le coef ficient polytropique de détente (k < γ ), n le nombre d’étages de détente.

ou

Bien évidemment, ce nombre d ’étages doit être le plus élevé possible, le passage à la limite donnant la transformation isothermique réversible. Il est cependant limit é par des consid érations technologiques et de coût.

On peut noter, en considérant toutes ces relations, que l’exergie et l’anergie, comme l ’enthalpie et l’entropie, sont des fonctions d’état. Sur le plan graphique, et dans le cas des compressions pour lesquelles on peut admettre que la temp érature du fluide avant compression est égale à la température ambiante (T 1 = T a ), l ’exergie, comme l ’enthalpie et le travail technique, est représentée par des aires dans le diagramme entropique ( figure 27a ou b ). Il s’agit de l ’aire (c ,3,2,d ,1,a ).

5. Étude exergétique des compressions et détentes L’exergie fait l’objet de l’article [BE 8 015] Analyse exerg ét ique . Pour conna î tre le développement complet relatif à cette grandeur, le lecteur est invit é à s ’y reporter. Les transformations consid érées dans le pr ésent article étant obtenues au cours de transferts de fluides on se limitera ici à l ’utilisation de ce qui a été appelé dans l’article sur l ’exergie : exergie de transfert .

T

2

2'

5.1 Rappels

∆ex 12 3

T a

5.1.1 Définition - Expression

1

d

Iq I L’exergie Ex correspond à la potentialité industrielle maximale qu’à un système à fournir de l’énergie mécanique. Un tel travail ne peut être fourni par un système que grâce à des transformateurs parfaits : moteur électrique sans pertes pour l ’énergie électrique, machine de Carnot pour l ’énergie thermique par exemple. La source thermique de plus basse temp érature consid érée est le milieu ambiant : température T a . Selon cette définition, on rappelle que : — l’énergie mécanique (le travail technique en particulier) est de l’exergie pure ; — l’énergie thermique, à la température T , n’est que partiellement de l’exergie, puisque l’exergie correspond au travail obtenu dans un moteur de Carnot fonctionnant entre des sources à température T et T a respectivement. Ainsi, l ’exergie contenue dans une quantité de chaleur Q à la température T vaut : Ex

=



T a Q 1 – -------T

c a

compression réchauffée (en adiabatique)

T

2' 2

∆ex 12 3

T a

∆Ex 12 = ∆H t 12 – T a ∆S 12

Iq I

c

(95)

d

1



La variation d’exergie de transfert d’un système quelconque qui évolue d’un état 1 à un état 2 est liée à sa variation d’enthalpie totale et à sa variation d’entropie par la relation :

s

a b

b

b a

s

compression refroidie

Figure 27 – Représentation des variations exergétiques en diagramme entropique


BE 8 013 − 21


T

Q

h

dP = 0 T

1

3

ht 1 1 m1

2

∆h12

2' e

T a

T a

Iq I b

∫ δT q

Une machine de compression ou de d étente étant un système ouvert, on ne rappelle ici que l ’expression du bilan exergétique d’un tel système :

T

T a

δ W t + δ Q 1 – -------T



+

∑ e x d m i

i –

δ Q i

T a ----------T

(101)

la température à laquelle le flux de chaleur quitte (ou entre dans) le système,

ex i l’exergie de la masse d mi de fluide qui entre ou sort par la frontière i avec le milieu ext érieur (figure 29), Q i

la « chaleur interne », qui est l’équivalent d’une quantité de chaleur qu’il faudrait apporter à un système équivalent en évolution réversible pour produire une augmentation d’entropie égale à celle qui est cr éée par les irréversibilit és de la transformation réelle (δQ i est donc toujours positive).

dmi ex i

i

ex j

dm j

δW t

j

dE x

ex 3

dm3 T

1

dm1

3

δQ ex 1

ex 2

T a

2 dm2

Figure 29 – Flux d’exergie et variation d’exergie appliquée à un système ouvert quelconque

BE 8 013 − 22

m2

Cette relation exprime que le flux net exergétique à travers la frontière du syst ème et la destruction d ’exergie par les irr éversibilités sont la cause de sa variation d ’exergie (dEx ). En effet, dans la relation, les termes du membre de droite repr ésentent successivement, d’une part, les échanges exergétiques dus à l ’énergie mécanique échangée (exergie pure), à la chaleur échangée et au flux de matière, d’autre part, la transformation interne d ’exergie en aner-



δ Q



i gie T a ----------- du fait des irréversibilités internes au syst ème. Cette

5.1.2 Bilan exergétique

avec

Sortie

Figure 30 – Flux énergétiques pour une machine de compression ou de détente

s

c

Dans le cas d ’une détente de fluide (figure 28), pour laquelle la température T a a une valeur quelconque inf érieure aux temp ératures T 1 et T 2 , l’application de la relation (96) implique que la variation d’exergie est repr ésentée par l’aire (c ,3,2,d,e,a ).



W t

Entrée

i

Figure 28 – Détente d’un gaz : correspondance aire/énergie

d Ex =

ht 2

∆ex 12

d

a

2

T

transformation correspond à une véritable destruction d’exergie compens ée par une cr éation ou production d’anergie en quantité égale. Notons que la production d’anergie est accompagnée d’une production d’entropie (ou création d’entropie). Pour une machine de compression ou de d étente fonctionnant en régime permanent, la variation d ’exergie (fonction d’état) du système [compris entre l’entrée et la sortie ( figure 30)] dEx est



nulle. Ainsi, pour l ’unité de masse de gaz d m i = 1 entrant (et sortant) du système, et en admettant que la temp érature soit évolutive dans le système, l’équation (101) s ’écrit :



 δq T

2

w t 12 +

1

T a

1 – -------

+

ex 1 – ex 2 –



δ q i T a ---------1 T 2

=

0

(102)

La figure 31 schématise les flux exergétiques mis en œuvre dans deux systèmes ouverts diff érents : un compresseur d ’une part (figure 31a ), une machine de détente d’autre part (figure 31b ). Dans le compresseur, par exemple, on note trois entr ées exergétiques : celle qui accompagne l ’entrée du fluide, celle qui accompagne le travail technique (exergie pure) fourni au fluide et celle qui accompagne la chaleur q e (chaleur entrante) éventuellement apportée au fluide. Deux flux exergétiques sortent du système : celui qui accompagne le fluide qui sort du compresseur et celui qui accompagne une perte thermique éventuelle q s (chaleur sortante ou refroidissement du fluide en cours de compression). On note que cette exergie, qui part du système avec la chaleur, se transforme toujours, progressivement, en anergie puisque la chaleur correspondante finit toujours par se retrouver dans le milieu ambiant où elle n’a plus aucun contenu exerg étique (T = T a ). C ’est une destruction d’exergie (donc une production d’anergie) par irréversibilité de transfert thermique externe . Ainsi, il y a lieu, dans toutes ces études exergétiques, de distinguer la chaleur qui entre et celle qui sort du syst ème fluide. Enfin, une partie de l’exergie se transforme dans le syst ème en anergie du fait des irr éversibilit és internes. Il y a destruction d ’exergie et production d’anergie par irréversibilités internes. Pour mettre en évidence la potentialité de destruction exergétique par transferts thermiques externes irr éversibles, on écrira l’équation (102) sous la forme :

 2

ex 2 – ex 1 = w t 12 +

1

 δq T

T a

1 – -------

e +

 2

1

 δq T

T a

1 – -------


s –



2

δ q i

T ---------1 a T

(103)


Entrée ex 1

dans l’expression du rendement puisqu’elle se transforme in fi ne également en anergie lors du transfert de chaleur à l’extérieur du syst ème fluide. Ainsi, et selon les relations (96) et (103), on peut alors écrire :

Sortie

Fluide

Fluide

ex 2

∫ (1w t

∫ (1-

T a T

∫

T a

) δq e

anergie produite ou exergie détruite

) δq s

∆

 

 δ q T

2

1

1

w t 12 +

e

 δq T

2

w t 12 +

T a

1 – -------

 2

T a

1 – -------



1

T a

1 – ------T

 δq T  1 T T  δq 2

e +

1

T a

1 – -------

 δq

e

T a

s –



2

1

δ q i

----------

T

= -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(105)

2

w t 12 +

Milieu ambiant T a

a

– -------

1

e

ou encore : compression

a

–

Entrée ex 1

∆

ex 2 – ex 1 h t 12 – T a s 12 ------------------------------------------------------------- = ------------------------------------------------------------w t 12 +

(anergie produite par irréversibilités de transferts externes)

δq i T (anergie produite par irréversibilités internes)

exergie

T a T

ηex comp =

ex 2

Fluide

2

T a

1 – -------

2

q s + T a

q i

----------

T 1 1 T η excomp = 1 – ---------------------------------------------------------------------------------2 T a w t 12 + 1 – ------- q e T 1

Sortie

Fluide

   δ  δ   δ

(106)

où q s est négatif.

∫ (1-

T a T

∫

) δq e

T a δq i T

exergie anergie produite ou exergie détruite

Ce rendement est une mesure des irr éversibilités attachées à la compression : — irréversibilités externes de transferts thermiques :

w t

∫ (1-

T a T

) δq s

détente

2 T

1

a

-------

T

δ q +



2 T

1

a

------

T

δ q i = 0

T

 δq (qui n’existeraient pas si la chaleur échangée δq

s

s

Le rendement exergétique d’une détente ( fi gure 31 b ) rend compte du rapport entre le travail technique – exergie pure – qui est fourni par le fluide lors de la transformation et la variation d’exergie du système fluide qui traverse la machine de d étente augmentée de l’ exergie apportée éventuellement au syst ème sous forme thermique. Dans cette analyse relative au rendement exerg é tique, l’exergie qui sort sous forme thermique du syst ème est, ici encore, considérée comme perdue puisque la chaleur correspondante est, en général, transf érée irréversiblement au milieu ambiant. Ainsi, le rendement exergétique d’une détente a comme expression : 

Le bilan anergétique, dans les mêmes conditions s ’écrit :



T a

1 – -------

servait à faire fonctionner un moteur de Carnot entre la temp érature T et la température T a ) ; — irréversibilités internes dues aux frottements et aux transferts thermiques internes se traduisant par l ’apparition d’une « chaleur interne » δq i .

Figure 31 – Diagramme de Sankay des flux exergétiques

an 1 – an 2 +

2

1

Milieu ambiant T a b



(104)

Dans cette équation, les deux premiers termes repr ésentent l’anergie contenue dans l’unité de masse qui entre et qui sort de la machine, le troisi ème est dû à l ’anergie qui accompagne le flux de chaleur (positive ou n égative), le dernier (toujours positif), l ’anergie qui est créée ou produite du fait des irréversibilités responsables d’une destruction correspondante et égale d’exergie.

η ex d ét =

w t 12

-------------------------------------------------------------------------------

  2

ex 2 – ex 1 +

1

T a

1 – ------T

 δq  e

w t 12

w t 12

= ---------------------------------------------------------------------------------------= -------------------------------------------------------------------------------------------

5.2 Définition du rendement exergétique d’une compression ou d’une détente Dans les paragraphes précédents, divers rendements on d éjà été définis et utilisés. Ce sont : les rendements isentropiques, isothermiques et polytropiques qui correspondent tous à une comparaison entre la dépense ou la fourniture d’énergie mécanique lors du cas réel et les m êmes entités mises en jeu dans le cas th éorique associ é. Le rendement exergétique d’une compression ( figure 31a ) rend compte du rapport entre la variation d ’exergie du syst ème fluide qui traverse le compresseur et le travail technique – exergie pure – qui a été mis en jeu lors de la compression auquel il convient d ’additionner l’exergie introduite sous forme thermique. L’exergie sortant du syst ème avec le flux de chaleur δq s est considérée comme perdue 

∆ ht 12 – T a ∆ s 12

 2

–

1

 δ q T

T a

1 – -------

e



 δq T

2

w t 12 +

1

T a

1 – -------

s –

δ 2

T a

q i

----------

T (107)

1

ou encore : η ex d ét =

1

--------------------------------------------------------------------------------------------

 2

T a





2

δ q i

(108)

---------– 1 – ------- δ q s + T a T 1 1 T 1 – ---------------------------------------------------------------------------------

w t 12

Dans cette expression, comme dans la relation (106), tous les termes sont des valeurs alg ébriques avec, notamment, q s < 0 et w t 12 < 0. Dans ce cas également, on note que le rendement exergétique rend compte de l’importance des irr éversibilités internes et des irréversibilités externes éventuelles.


BE 8 013 − 23


Dans chacun des cas pr ésentés (compression et d étente), on ne prend pas en compte la destruction exerg étique qu’il y aurait en pratique lors de l ’apport de chaleur qui se ferait n écessairement à partir d’une source à une température T ′ > T . Cette perte exergétique ne peut pas être chiffrée ici car elle d épend essentiellement de l’écart entre T ′ et T qui est propre à chaque application. Cependant, pour la prendre en compte, il suf firait de remplacer T par T ′ au d énominateur des relations (105) et (107) partielles. Les relations (106) et (108) sont alors inadaptées, comme la derni ère égalité de l’équation (107).

ηex Zone de perte thermique

5.3 Application aux divers types de transformations

γ a

5.3.1 Transformations réversibles

 2

η excomp =

1

Zone d'apport thermique

2

e +

a

– -------

1

s

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2

η ex d ét =

a

– -------

1

e

w t 12

 2

1

T a

1 – ------T

 δq

— cas a. Si δ q p  0 :

δq p = δq e et δq s = 0 On a, selon l’équation (109) : ηexcomp = ηex d ét = 1

Ainsi une transformation polytropique avec apport thermique ou adiabatique (figure 32) a un rendement exerg étique égal à un. C’est un résultat normal car, il n ’y a aucune dégradation d’énergie, donc pas de destruction d ’exergie. On notera que, dans ce cas : k  γ pour les compressions, k B γ pour les détentes ;

δq p = δq s et δq e = 0

 2

η excomp =

1

T a

1 – ------T

 δ q

s

-------------------------------------------------------------- 

w t 12

k

détente

Figure 32 – Évolution du rendement exergétique des divers types de transformations polytropiques

η ex d ét =

et

w t 12

-------------------------------------------------------------- 

 2

w t 12 +

1

T a

1 – ------T

 δq

1

s

Dans le cas de la détente et de la compression, le rendement est égal à l ’unité pour le cas adiabatique (déjà noté ci-dessus). Pour la compression, la valeur unit é peut être aussi atteinte dans le cas de la transformation isothermique, à condition que toute la compression ait lieu à la température ambiante (T = T a ). C’est le cas choisi pour la repr ésentation de la figure 32a . En r ésumé, le rendement exerg étique d’une compression r éversible est égal à l ’unité pour une polytrope associée par exemple à une compression r éelle adiabatique. Il est égal à 1 pour une isentrope, passe par un minimum lorsque k diminue pour être de nouveau égal à 1 si k = 1 avec T = T a . Le rendement exerg étique d’une détente est égal à l’unité pour une polytrope associ ée à une détente réelle adiabatique, ainsi qu ’à des détentes réchauff ées. Il est inf érieur à l’unité pour les polytropes refroidies, c ’est-à-dire associ ées à des détentes réelles très fortement refroidies. On peut donner une expression math ématique de la valeur des rendements dans le cas des polytropes refroidies (cas b ). En effet, en considérant les relations (105) et (107), appliquées à ce cas, on a : — pour les compressions :

On a, selon l ’équation (109) : w t 12 +

b

s

La compression étant polytropique, la présence à la fois de chaleur qui entre et qui sort du système fluide, dans l’équation de la compression, est insolite. Ce sera soit l ’un, soit l’autre des termes thermiques. Il convient donc d ’examiner deux cas d ’échanges thermiques. Par ailleurs, pour la plupart des transformations r éelles (hormis les compresseurs frigori fiques), T étant supérieur à T a le rendement exergétique peut être supérieur ou inf érieur à 1 selon le signe de δq p :

— cas b . Si δq p < 0 :

γ

(109)

--------------------------------------------------------------

w t 12 +

BE 8 013 − 24

Zone de perte thermique

 δq   1 T T  δq T  1 T T  δq

T a

1 – -------

w t 12 +

ou

k

compression

ηex

Le cas le plus g énéral de transformations r éversibles est la compression ou la d étente polytropique. Du fait même de la réversibilité, la création de chaleur interne δq i est nulle. Alors, pour une évolution du fluide de 1 à 2, le rendement exerg étique s’écrit : w t 12 +

Zone d'apport thermique

1

η excomp =

a ′ δ a ′ – a δ – T a h t 12 – T a s 12 a T 1 δ – ------------------------------------------ = ------- ------------------------------------------------------------------------------------a w t 12 T 1 δ a ′ –

∆

∆

′

(

1)


( ln

(

1)

ln

)


Cette partie pourrait en effet être transformée en énergie mécanique par un moteur de Carnot. Ainsi, dans la conception exerg é-

soit, si T 1 = T a : ηex comp =

a δ a ′ – – δ a ′ + a δ a ------- ---------------------------------------------------------------a δ a ′ –

′

1

ln

ln

1

— pour les détentes : η ex d ét =

avec a =

T 1 δ a ′ –

( 1) a ----- ---------------------------------------------------------------------------------------a ′ a ′ T 1 (δ – 1 ) – T a ( ln δ a ′ – a ln δ a )

w t 12

------------------------------------------ = h t 12 – T a s 12

∆

∆

γ – --------------

1

γ

et a ′

k – = ------------

1

k

5.3.2 Transformations réelles En pratique, on distinguera deux types de compressions (les compressions adiabatiques et les compressions refroidies) et deux types de détentes (les détentes adiabatiques et les détentes réchauff ées), les détentes adiabatiques étant les plus fréquentes.

5.3.2.1 Cas des compressions Compressions adiabatiques Dans ce cas, la variation d ’exergie du fluide, donnée par l’équation (105) est : 

ηex comp =



2

∆

2′

----------

T

q i comme une perte mais

qui est l’anergie correspondante.

L’écart entre le rendement exerg étique et le rendement polytropique est plus faible. Cela tient au fait que dans la transformation polytropique seule intervient une quantité de chaleur δq p équivalente à la chaleur interne δq i (= T ds ) de la transformation r éelle, chaleur étant due aux frottements internes. Entre la transformation isentropique et la transformation r éelle intervient une chaleur supplémentaire représentée par l’aire 1,2 ′,2. Cette chaleur supplémentaire est appelée chaleur de réchauffage. 

Compressions refroidies

Dans ce cas, l ’expression du rendement exerg étique, défini par la relation (105), est simpli fiée, δq e étant nulle : ηex comp =

∆

∆

ex 2 – ex 1 h t 12 – T a s 12 --------------------------- = -----------------------------------------w t 12

w t 12



 δ q T

2

w t 12 +

1

T a

1 – --------

s –



2

1

δ q i

----------

T

= -----------------------------------------------------------------------------------------

(111)

En conservant les m êmes notations sur le plan graphique (figure 27a et b ), on peut écrire, q étant négatif :

Sur le plan graphique (figure 27a ), on note que :

∆ h12 – q = aire c , 3,2, b + q w tp = ∆ h 12 – q p = aire c , 3,2,1, a ∆ ex 12 = aire c , 3,2, d ,1 , a w t

w t = ∆h12 = aire c ,3,2,b

∆ex 12 = ∆h12 – T a ∆s 12 = aire c ,3,2,d ,1,a soit :

=

soit : ηex

=

aire c , 3 , 2 , d ,1, a ------------------------------------------------- < 1 aire c , 3,2, b

η p =

Pour comparer ce rendement aux rendements polytropique et isentropique, on note que :

aire c , 3,2,1, a aire , 3,2,

-----------------------------------------------c b + q

et

η ex

aire c , 3,2, d ,1 , a aire , 3,2,

= -----------------------------------------------c b + q

et : η p

aire c , 3,2,1, a aire c , 3,2, d ,1 , a

----------- = -------------------------------------------------

η ex

w tp = aire c ,3,2,1,a

On voit alors que, selon que la polytropique a un coef ficient :

soit : aire c , 3,2,1, a

k > γ :

< ηex

--------------------------------------p = ----aire c , 3,2, b

δq p > 0 ⇒ ηp < ηex

c’est le cas d ’une compression faiblement refroidie,

w ts = aire c,3,2 ′,1,a

k = γ :

δq p = 0 ⇒ ηp = ηex

soit : aire c , 3,2 ′ ,1 , a

1< k < γ :

<η

---------------------------------------s = -----aire c , 3,2, b

δq p < 0 ⇒ ηp > ηex

c’est le cas d ’une compression fortement refroidie.

Ainsi, on note : ηex > ηp > ηs

(110)

Ce résultat indique que les « pertes exergétiques » sont inf érieures aux « pertes polytropiques » qui elles-mêmes sont inf érieures aux « pertes isentropiques ». La diff érence entre ηs et ηex s’explique simplement par le fait que le suppl ément de travail entre une compression adiabatique et une compression isentropique, dû aux irréversibilités et correspondant à partie, égale à :

δ q i

2

2

Elle rend compte des pertes exerg étiques de transferts thermiques externes et d’irréversibilités internes.

Le rendement exergétique est toujours inf érieur à l ’unité du fait des irréversibilités internes.

et que :

2

w t 12

<1

w t 12

w t 12



seulement sa fraction T a

δ q i

---------w t 12 – T a h t 12 – T a s 12 1 T ------------------------------------------ = -----------------------------------------------

∆

δ

tique, il n’y a pas lieu de consid érer

 2

2′

mis en réserve dans le fluide.

T a

1 – -------T





2

2′

T d s est en

Le cas dans lequel k = γ est celui d ’une compression dans laquelle le refroidissement est tel que l ’augmentation d’entropie due aux irréversibilités dans la transformation r éelle est compensée par la chute d’entropie due aux pertes thermiques. La comparaison des rendements polytropique et exerg étique peut aussi se faire de fa çon analytique. En effet, on peut écrire : η p

w tp 12 w t 12 w t 12 ∆ ex 12

w tp 12

----------- = ---------------- ------------------ = ------------------

η ex

∆ ex 12

r

δ q i

a ′ 1 (δ –

------ T

a′

1)

= -----------------------------------------------------------------------------------------------

r r (δ a ′ – 1 ) – T a  ---- ln δ a ′ – r ln δ   a 1 a

(112)

----- T


BE 8 013 − 25


En conservant l’hypothèse T 1 = T a , cette relation devient :

( δ a ′ – 1 ) a ------ ------------------------------------------------------------------------a ′ (δ a ′ – 1 ) – ( ln δ a ′ – a ln δ a )

η p

----------- =

η ex

on note : ηex > ηs > ηp (113)



(115)

Détentes réchauffées L’application de l’équation (107) à ce cas donne :

5.3.2.2 Cas des détentes 

Détentes adiabatiques L’équation (107) applicable à ce cas, se simpli fie par le fait que

η ex d ét =

w t 12

2

w t 12

w t 12

∆

w t 12 – T a



1

δ

i

w t = ∆h12 = ∆h32 = aire c ,3,2,b

∆ex 12 = ∆h12 – T a ∆s 12 = aire c ,3,2,d,e,a soit : w t

η ex =

aire c , 3,2, b <1 aire c ,3,2, d , e , a

----------------- = -------------------------------------------------

∆ ex 12

∆ ht 12 – T a ∆ s 12

T

Sur le plan graphique ( figure 28), on note que :

soit : η p =

w t

aire c , 3,2, b η < ex aire c , 3,2,1, a

----------- = -----------------------------------------

w tp

et que :

w ts = aire c ,3,2 ′,a w t

aire c , 3,2, b η < ex aire c , 3,2 ′ , a

----------- = -------------------------------------

w ts

Comme par ailleurs : η p -------η s

BE 8 013 − 26

=

aire c , 3,2 ′ , a ------------------------------------------- < 1 aire c , 3,2,1, a



q e

w t 12

 2

–

1

T a

δ

1 – -------T

δ

2

w t 12 – T a

q e

1

q i

----------

T

Sur le plan graphique ( figure 28), on note que : w t = ∆h12 – q = aire c ,3,2,b – [aire positive « q »]

Cette aire « q » n ’est que représentée qualitativement sur le graphique. Il s’agit d’une aire correspondant à la chaleur réelle apportée au fluide : w t – T a

δ

q i

---------- =

T

aire c , 3,2, b – « q » – aire « q i »

où l ’aire « q i », qui représente litativement sur la figure 28.



T a

--------

T

δ q i est mise en évidence qua-

Le rendement exerg étique peut ainsi être représenté par : η ex

w t c b – q = ------------------------------------------------------------------- = -----------------------------------------------------------------------------c b – q – q i 2

∆ ex 12 –

soit : η s =

δ

Cette relation est identique à celle du cas adiabatique. Ce r ésultat est logique, puisque dans les deux cas, le coef ficient polytropique est inf érieur au coef ficient isentropique, ce coef ficient se rapprochant de l’unité avec l’apport thermique et les irréversibilités.

Pour comparer ce rendement aux rendements polytropique et isentropique, on note que : w tp = aire c ,3,2,1,a

T

= ---------------------------------------------------------------------------------------------= --------------------------------------------------

----------

Le rendement exerg étique est toujours inf érieur à l ’unité du fait des irréversibilités internes.

1

T a

1 – --------

w t 12

< 1 (114)

--------------------------- = ------------------------------------------ = -------------------------------------------------ex 2 – ex 1 h t 12 – T a s 12 2 q

∆

 

ex 2 – ex 1 +

q = 0. On obtient ainsi :

η ex d ét =

w t 12

-------------------------------------------------------------------------------------

 1

T a

1 – -------T

δ

aire , 3,2, « aire , 3,2,

« » » «

»

<1

q e

Pour comparer ce rendement au rendement polytropique, on note que : w tp = aire c ,3,2,1,a soit : η p =

w t c b – q ----------- = -------------------------------------------------------w tp

« » aire , 3,2, aire c , 3,2,1, a


< η ex

Compression Et Detente Des Gaz Ou Des Vapeurs

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