COMPOSICION DE FUNCIONES Pueden combinarse dos funciones al aplicar primero una función a un número, y después la otra función al resultado. Por ejemplo, suponga que g(x) = 3x, f(x) = x 2 y x=2. Entonces g(2)= 3.2 = 6. Así, g envía la entrada a la salida !" g
!
#espués se determina que la salida ! se convierte en la entrada para f " $!% & ! & '! f $!% #e modo que f envía envía ! al '! f
!
'!
Al aplicar primero g y después f , se envía el al '!" f
g
!
'!
FUNCIONES Y GRAFICAS: COMPOSICION DE F CON G
#ominio de g
#ominio de f (ango de f
x
g
g(x
f
f(g(x))=(f
f g
#e manera m)s general se reempla*ar) el por x , donde x est) en el dominio de g $ver la +gura anterior%. Al aplicar g a x , se obtiene el número g(x), el cual se supone est) en el dominio de f. Al aplicar f a g(x), se obtiene f(g(x)), se lee f de g de x -, que est) en el rango de f . Esta operación de aplicar g y después aplicar f al resultado se llama composición, y la función se obtiene, denotada por f g, se conoce como la función compuesta de f con g. #ica función asigna al número de entrada x el número de salida f(g(x)). $/er la 0eca inferior en la +gura anterior%. #e esta manera, (f g)(x) = f(g(x)).
DEFINICIÓN: 1i f y g son funciones, la composición de f con g es la función f g denida por: (f
g)(x) = f(g(x))
#ónde el dominio de f g es el conjunto de todas las x en el dominio de g, tales que g(x) esté en el dominio de f .
Para f(x) = x 2 y g(x) = 3x, puede obtenerse una forma sencilla para f g"
(f
Por ejemplo, (f
g)(x) = f(g(x)) = f(3x) = (3x)2 = 9x 2
g)(2) = 9(2)2 = 36, como se vio anteriormente.
2uando se trata con números reales y la operación de suma, 3 es un caso especial, para cualquier número real a, se tiene" a+0 = a = 0+a
El numero 4 tiene una propiedad similar con respecto a la multiplicación. Para cualquier número real a, se tiene" a1 = a = 1a
EJEMPLO 1 (COMPOSICIÓN): Si F(p) = p2 + p ! 3, "(p) = 2p + 1 y #(p) = $p$, encuent%e& a) F("(p)) ') F("(#(p))) c) "(F(1))
SOLUCIÓN: a) F("(p)) = F(2p + 1) = (2p + 1)2 + (2p + 1) ! 3 = p2 + 12p + 2 = (F ")(p) ') F("(#(p))) = (F (" #))(p) = ((F ") #)(p) = (F ")(#(p)) = (F ")($p$) = $p$2 + 12$p$ + 2 = p2 + 12$p$ + 2 c) "(F(1)) = "(12 + . 1 ! 3) = "(2) = 2 . 2 + 1 =
EJEMPLO 2 (EXPRESIÓN DE UNA FUNCIÓN COMO UNA COMPOSICÓN): xp%ese *(x) = (2x ! 1) 3 como una composición.
SOLUCIÓN: Se observa que *(x) se obtiene al encontrar 5 6 4 y elevar al cubo el resultado. 1uponga que se determina g(x) & 5 6 4 y f(x) & 5'. Entonces" *(x) = (2x ! 1)3 = g(x)3 = f(g(x)) = (f g)(x), da * como una composición de dos funciones.
. 7na compa8ía que vende microcomputadoras determinó que su 2 utilidad total est) dada por U ( x )=0,08 x + 80 x + 260 , donde 5- es el número de unidades producidas y vendidas. 1uponga que 5- est) en función del tiempo, en meses, donde X (t )=4 t +3. 9alle U [ x ( t )] e interprete el resultado. U ( x )=0,08 x
2
+ 80 x + 260
X ( t )=4 t + 3 U [ x ( t )]=U (4 t + 3 ) U [ x ( t ) ]=0,08 ( 4 t + 3)
2
+ 80 ( 4 t + 3 )+ 260
U [ x ( t ) ]=0,08 ( 16 t + 24 t + 9 ) + 320 t + 240 + 260 2
U [ x ( t ) ]= 1,28 t + 1,92 t + 0,72 + 320 t + 240 + 260 2
U [ x ( t ) ]=1,28 t + 321,92 t + 500,72 2
Interpreta!"n: :a utilidad es una función que depende del tiempo. '. El ingreso mensual $;% que se obtiene por vender *apatos es una función de la demanda $5% del mercado. 1e observó que, como una función del precio $p% por par, el ingreso mensual y la demanda son" 2 I ( p )=300 p −2 p y x ( p )= 300− p . 9alle la composición de $;% con $5% e interprete el resultado obtenido. I ( p )= 300 p −2 p
2
x ( p ) = 300− p
I [ x ( p ) ] = I [ 300− p ] I [ x ( p ) ] =300 ( 300 − p )−2 ( 300 − p )
2
I [ x ( p ) ] =90000−300 p −2 ( 90000− 600 p + p
2
)
I [ x ( p ) ] =90000−300 p −180000 + 1200 p −2 p I [ x ( p ) ] =2 p
2
2
+ 900 p − 90000
Interpreta!"n: El ingreso es función que depende del precio
<. 7n fabricante puede vender q - unidades de un producto al precio p- por unidad, donde dado por obtenido.
3p + <3q = !33.
($q% = '333q − 4=q
R ( q ) =3000 q− 15 q
. 9alle
El ingreso semanal total est)
R( q( p))
e interprete el resultado
2
20 p + 40 q =600 40 q =600 −20 p ÷ 20 2 q= 30− p
q=
30 − p 2
q ( p ) =
30 − p 2
R [ q ( p ) ] = R
(
R ( p )= 3000
30 − p
(
2
)
30− p 2
) ( −15
R ( p )= 1500 ( 30− p ) −
R ( p )=
2
)
450−15 p
R ( p )= 45000 − 1500 p −
R ( p )=
30 − p
2 450 −15 p 2
90000 −3000 p − 450 + 15 p 2
−2985 p + 89550 2
Interpreta!"n: El ingreso es función que depende del precio semanal.
=. En una f)brica, el costo total de elaborar q- unidades durante un 2 día de trabajo es C ( q )=q + q + 900 dólares. En un día típico de trabajo, durante las primeras - oras se fabrican t
q$t%
=
=t
unidades.
a% E5prese el costo de fabricación total como una función de t-. b% >2u)nto se abr) gastado en la producción al +nal de la tercera ora? c% >2u)ndo llegar) el costo total de fabricación a los @44333? C ( q )=q
a%
2
+ q +900
q ( t )=25 t
C [q ( t )]=C ( 25 t )
C [ q ( t ) ]= ( 25 t )
2
+ 25 t + 900
C [ q ( t ) ]=625 t + 25 t + 900 2
2
C ( t )=625 t + 25 t + 900
b%
C ( 3 )= 625 ( 3 )
2
+ 25 ( 3 )+ 900
C ( 3 )= 625 ( 9 ) + 75 + 900 C ( 3 )= 6600
Interpreta!"n: El costo de la producción al +nal de la tercera ora ser) de @!!33.
c%
2
11000 =625 t + 25 t + 900 2
0 =625 t 2
0 =25 t
+25 t −10100
+ t −404
25 t + 101
t −4 0 =( 25 t + 101 ) ( t − 4 )
25 t + 101 =0 t −4 = 0 25 t =−101 t =4 horas
t =
−101 25
Interpreta!"n: El costo total de fabricación llegar) a los @44333 en < oras. !. En una compa8ía de celulares el costo total de elaborar q unidades durante un día de trabajo es 2 $q%&q=33 dólares. En un día típico de trabajo, durante las primeras t oras se fabrican q $t%&'3t unidades. a% E5prese el costo de fabricación total como una función de t . b% >2u)nto se abr) gastado en la producción al +nal de la quinta ora? c% >2u)ndo llegar) apro5imadamente el costo total de fabricación a los @4=333? C ( q )=2 q
2
+ 500
q ( t ) =30 t
a%
C [ q ( t ) ] =C [ 30 t ]
C [ q ( t ) ] =2 (30 t )
2
+ 500
900 t (¿ ¿ 2 )+ 500
C [ q ( t ) ] =2 ¿ C [ q ( t ) ] =1800 t + 500 2
b%
C ( 5 )=18000 ( 5 )
2
+500 =1800 ( 25 )+ 500
C ( 5 )= 45000 + 500 C ( 5 )= 45500
Interpreta!"n: 1e abr) gastado @<==33 en la producción al +nal de la quinta ora.
2
c% 15000=1800 t + 500 2
14500 = 1800 t 2
145=18 t 145
= t 2
18
√
145 18
=t
2,83=t 3 horas =t
Interpreta!"n: El costo total de la fabricación llegar) a los @4=333 en apro5. ' oras. B. 7n importador de café estima que los consumidores locales comprar)n apro5imadamente Q( p ) =
4374 p
2
Cilogramos de café a la semana, cuando el precio sea p dólares por Dilogramo. 1e estima que dentro de t semanas el precio ser)
p (t ) = 0,04t
2
+
0,2t + 12
dólares por Dilogramo.
a% E5prese la demanda de consumo semanal de café como una función de t. b% #entro de 43 semanas >2u)ntos Dilogramos de café comprar)n los consumidores al importador? c% >2u)ndo alcan*ar) la demanda de café '3 'B= Dilogramos?
Q ( p )=
4374
p
2
Q [ p ( t ) ] =Q ( 0,04 t
2
+ 0,2 t +12 )
Q (t )=
a)
( 0.04 t + 0,2 t + 12)
Q (10 )=
#)
Q ( 10 ) =
Q ( 10 ) =
4374 2
4374 2
0,04 ( 10 )
+ 0,2 ( 10 )+ 12
4374
0,04 ( 100 ) + 2 + 12
4374 4 + 14
Q (10 )=
4374 18
Q (10 )=243 kg .
Interpreta!"n: #entro de 43 semanas los consumidores comprar)n al importador <' Dg. de café. )
30,375=
4,374 2
0,04 t + 0,2 t + 12
2
0,04 t + 0,2 t + 12=
4,374 30,375
2
0,04 t + 0,2 t + 12=144 2
0,04 t + 0,2 t −132 = 0 ( × 100 ) 2
4 t + 20 t −13200=0 ( ÷ 4 ) 2
t + 5 t − 3300 =0 t + 60 t −55
( t + 60 ) ( t −55 )=0
t + 60=0 t −55 =0 t =−60 t =55
1emanas
Interpreta!"n: :a demanda de café alcan*ar) los '3,'B= Dg. en == semanas.
$I$LIOGRAFIA: ;7:F #E: :;G(F" HAEHA;2A1 PA(A A#H;I;1(A2;FI J E2FIFH;A PAK;IA1" LBMLN 2O#;KF" =43 9AE7H 33L
