´ COMPORTAMIENTO DINAMICO DE LA ´ ´ MAQUINA DE INDUCCION ´ ELO386 - CONTROL DE ACCIONAMIENTOS ELECTRICOS ´ CNICA F EDERICO S ANTA M AR ´IA U NIVERSIDAD T ECNICA E IA
Miguel San Mart´ Mart´ın ın A. 201121074-3 I I I . D ESARROLLO interes e´ s en que se centra esta tarea en analizar y Resumen—El inter´ comprender el funcionamiento de la m´ maquina a´ quina de inducci´ induccion. o´ n. Para III-A. Caracter ´ ´ıstica estacionaria de la m aquina ´ esto se estudiar´ estudiara´ el modelo estacionario y el din´ dinamico, a´ mico, planteando las ecuaci ones caracter´ıstica de esta m´ maquina a´ quina adem´ ademas a´ s de graficar Los motore motoress de inducc inducciion o´ n depe depend nden en de los los volt voltaj ajes es y el comportamiento comportamiento que tiene el torque torque con respecto respecto a la velocidad corrientes inducidos en el rotor desde el estator. Este proceso de giro. Finalmente se simular´ simulara´ ambos modelos en vacio y con de inducc inducci´ i´on on consti constituy tuyee una acci´ acci´on on transf transform ormado adora ra de las carga utilizando las herramientas herramientas computacionales computacionales “Simulink” “Simulink” y variables antes mencionadas, por lo tanto es l ogico o ´ gico realizar un “Plecs” —Maquina a´ quina Index Terms—M´
AC, AC, Squirrel-Cag Squirrel-Cage, e, Modelo din´ dinamico, a´ mico,
Modelo estacionario
I.
´ I NTRODUCCION
La maquina a´ quina AC es una herramienta capaz de transformar energ´ energ´ıa ıa el´ electrica e´ ctrica en mec´ mec anica a´ nica o viceversa. Dependiendo como se utilice puede ser denominada motor o generador, pero en b´asicamen asicamente te la construcc construcci´ i´on o n de la m´aquina aquina es la misma en ambos ambos casos. casos. As´ı mismo, mismo, existen existen principal principalment mentee dos clases clases de maqui a´ quina nass AC: la maquina a´ quina s´ıncro ncrona na y la maquina a´ quina de ´ (tambi inducci´ induccion (tambi´en e´ n denominada denominada as´ as´ıncrona). ıncrona). La primera primera son motores y generadores cuya corriente de campo magn etica e´ tica es suministrada por una fuente de potencia AC externa, mientras que la m´aquina aquina de inducci´on on provee el campo magn´etico etico a trav´ traves e´ s de induccion o´ n magn´ magnetica e´ tica (accion o´ n transformadora)[1]. En esta esta tare tareaa se da espe especi cial al enfa e´ nfasi siss a las las m aquinas a´ quinas de inducci´ induccion, ´ espec´ espec´ıficamente ıficamente a la llamada llamada squirrel squirrel-cage -cage (jaula de ardilla), la cual est a´ presente en mucha de las aplicaciones industriales para el movimiento de ventiladores, correas, bombas hasta puede ser encontrado en veh´ıculos ıculos el ´ectricos ectricos tal como se da en los reconocidos “Tesla Motors” . II.
DATOS
Para esta tarea se utiliza los siguientes par ametros a´ metros para el motor de inducci on: o´ n: P = 2 pares de polos.
J m = 0,135[ 135[Kg Kg m2 ] (Solo el motor) Lm = 50[mH 50[mH ], Ls = 52[mH 52[mH ], Lr = 53[mH 53[mH ]; R2 = 0,2[Ω] , R 1 = 0,2[Ω]
Este motor es conectado directamente a la red el ectrica e´ ctrica de 50 [Hz] y V ll . A su vez el rotor es conectado 380[V rms rms] ll = 380[V r´ıgidamente ıgidamente a un ventilador (curva cuadr´atica atica de carga) que a velocidad velocidad nominal ejerce ejerce un torque torque igual a 80 % del torque torque 2 J = 1 , 54[kgm 54[ kgm ] nominal del motor y cuya inercia es L .
equivalente con el modelo de un transformador.Sin p erdida e´ rdida de generalidad se puede considerar que la relaci on o´ n en el n´ numero u´ mero de vueltas del devanado entre primario y secundario es igual a uno, si se reflejan las componentes hacia el lado de la fuente se puede obtener un equivalente como se muestra en la figura (1).
Figura 1: Circuito equivalente por fase del motor Donde R 1 y X 1 modelan la parte del estator, R 2 /S y X 2 la parte del rotor y finalmente R f y X m la magnetizaci on o´ n entre estas dos. Se define la variable S como el deslizamiento de la maquina a´ quina el cual es diferencia relativa entre la velocidad del campo magn´ magnetico e´ tico y la velocidad del motor
S = =
(ωsin − ωm ) ωsin
(1)
Donde ωsin = 2πf es la frecuencia de alimentaci´on o n en el estator y ωm es la velocidad del rotor. Bajo el supuesto que no hay perdidas en la magnetizaci on o´ n de la m´ maquina, a´ quina, entonces o´ n del circuito Rf = 0[Ω]. Posteriormente, para la simplificaci on de la figura figura (1), se puede realizar realizar un equival equivalente ente Thevenin Thevenin visto desde los terminales de X m . De esta manera el nuevo circuito queda reducido a la imagen de la figura (2)
Figura 2: Circuito equivalente Thevenin por fase del motor
X 1 = ω(Ls − Lm ) → 2 · 1500
2π 2 · 10 60
X 2 = ω(Lr − Lm) → 2 · 1500
2π 3 · 10 60
V th = 220
X R + (X + X ) m
2 1
m
(2)
2
1
jX m (R1 + X 1 ) → R th + jX th R1 + j(X m + X 1 )
Z th =
(3)
Debido a que X m >> R1 y tambi´en X m >> X 1 las ecuaciones (2) y (3) pueden aproximarse a lo siguiente:
V th ≈ V 1
X m X m + X 1
X m X m + X 1
Rth ≈ R1
(4)
−3
= 0,628[Ω]
= 0,942[Ω]
Si se realizan los correspondientes reemplazos con los datos iniciales se obtienen los siguientes valores :
Donde es posible determinar que :
V th = V 1
−3
Rth =
T =
15,7 → 211,5[V ] 15,7 + 0,628 15,7 · 0,628 → 0,6[Ω] 15,7 + 0,628 3 · 2202 0S ,2
157,08 · [(0,628 +
0,2
S
)2 + (0,628 + 0,628)2 ]
En base a la ecuaci o´ n anterior, se puede graficar el torque de la m´aquina el´ectrica en funci o´ n de la velocidad. Dicha gr a´ fica se encuentra en la imagen de la figura (3).
2
(5)
200 100
X th ≈ X 1
(6)
En cuanto en a la potencia en el entrehierro, esta viene dada por: 2
P EH = 3(I 2 )
] m N [ e u q r o T
0
−100 −200
R 2
(7)
S
−300
Donde la corriente es definida como :
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
Velocidad [rpm]
I 2 =
V th
(R
th +
R2 2 ) S
(8)
+ (X th + X 2 )
2
Hay que destacar que la ecuaci´on (7) considera toda la potencia inyectada al rotor, la cual un porcentaje es disipada por el cobre y la otra parte se convierte en energ´ıa mec´anica. Espec´ıficamente, la potencia mec´anica puede escribirse como: 2
P mec = 3(I 2 ) R2
1 − S S
(9)
Por otra parte el torque se define de la siguiente manera: 2 R 3V th P EH S → R 2 ωsin ωsin[(Rth + S ) + (X th + X 2 )2 )] 2
T =
2
(10)
Finalmente, transformando las componentes a sus respectivas impedancias:
X m = ωL m → 2 · 1500
2π 50 · 10 60
−3
= 15,7[Ω]
Figura 3: Curva caracter´ıstica torque vs velocidad de la m´aquina de inducci´on A partir de esta curva, se pueden realizar varios comentarios: El torque es cero a velocidad s ´ıncrona Existe un torque m´aximo el cual no se puede exceder. Por lo general es 2 o 3 veces m´as grande que el torque nominal de la m´aquina. El torque de arranque (cuando la m a´ quina se encuentra a velocidad cero) es un poco mayor que su torque nominal. Si la velocidad del rotor del motor de inducci o´ n es superior a la velocidad s´ıncrona, se invierte la direcci ´on del torque y esta comienza a trabajar como generador, transformando energ´ıa mec´anica en el´ectrica. Si la m´aquina gira en relacio´ n contraria a los campos magn´eticos, el torque detendr´a r´apidamente al motor y tratar´a de hacerla girar en sentido inverso. Esta es una manera de detener r´apidamente la m a´ quina recibe el nombre ”frenado por contracorriente”
Para determinar la velocidad nominal de la m a´ quina, es necesario utilizar la ecuaci o´ n (10) sabiendo que el motor tiene una potencial nominal de 15[kW]. Reemplazando los datos se obtiene una velocidad de V nom = 1464[rpm]. Finalmente, con la imagen de la figura (3) se puede determinar el que el torque nominal de la m a´ quina a velocidad nominal es de T nom = 94[N m]. Como bien se sabe, el curva caracter´ıstica de un ventilador puede describirse como una ecuaci o´ n cuadr´atica de la forma T v = K · V v2 , donde T v es el torque ejercido en el eje del ventilador, V v es la velocidad de giro del ventilador y K una constante, la cual es necesario ajustar para hacerla coincidir con el enunciado del problema. Seg u´ n este, el motor conectado al ventilador a velocidad nominal aplica un 80 % del torque nominal entonces, con los datos obtenidos anteriormente se puede plantear lo siguiente: 2 T nom · 0,8 = K · V nom → K = 0,8
#»
# »
# »
αβ αβ Ψαβ r = L r i r + Lm i s
Despejando la corriente de rotor ir de la ecuacion ´ (14) y reemplaz a´ ndola en la ecuaci o´ n (12) se obtiene: # »
dΨαβ Lm Rr αβ R r αβ r = is − Ψ + jω Ψαβ r dt Lr Lr r # »
#»
#»
# »
Ψαβ s
Lm αβ L2m = Ψr + i αβ L 1 − s s Lr Ls Lr # »
# »
(16)
tiene: # »
Donde la velocidad es medida en [rad/s]. Si se realiza la intersecci´on entre la curva del ventilador y la curva del motor de inducci´on se obtiene la imagen de la figura (4)
Es conveniente realizar el cambio de variable σ = (1 − Lm2/(Ls Lr )). De esta manera, derivando la ecuaci´on (16) se # »
# »
dΨαβ Lm dΨαβ d i αβ s r s = + Ls σ dt Lr dt dt
T v = 0,0032V v2
(15)
Haciendo el mismo procedimiento anterior pero ahora reemplazando en la ecuaci o´ n (13).
94 (1464 260π )2
As´ı, la ecuacio´ n que describe la curva caracter´ıstica del ventilador, en este caso, es:
(14)
(17)
Reemplazando la ecuacio´ n (15) en (17) y el resultado reemplaz a´ ndolo en la ecuaci o´ n (11) se obtiene finalmente la siguiente ecuaci o´ n, la cual ha sido reorganizada de manera conveniente, adem´as de realizar el cambio de variable τ r =
Lr /Rr #»
250
d i αβ αβ αβ αβ Ls σ s = V αβ s − i s C 1 + Ψ r C 2 − j Ψ r ωr C 3 (18) dt Las variables C 1 ,C 2 y C 3 son valores constantes que
200
dependen intr´ınsecamente de los par a´ metros del motor. Estos pueden ser calculado como:
# »
C 1 =
150
] m N [ e u q r o T
# »
# »
L2m Rs + τ r Lr
100
C 2 =
Lm τ r Lr
C 3 =
Lm Lr
# »
50 0 0
500
1000
1500
2000
2500
3000
Velocidad [rpm]
Figura 4: Punto de operaci o´ n con ventilador conectado III-B.
Modelo dinamico en Simulink ´
Para caracterizar el modelo din a´ mico de la m´aquina de inducci´on, se deben plantear las cuatro ecuaciones que describen su comportamiento en αβ # »
# »
V αβ s
# »
= Rs i αβ s
d Ψ αβ s + dt
(11)
# »
# »
0 = Rr i αβ r # »
d Ψαβ r − jω Ψ αβ + r dt #»
# »
#»
αβ αβ Ψαβ s = L s i s + Lm i r
Ahora bien, es necesario expresar por separado el valor real con el imaginario de los vectores involucrados para posteriormente construir el diagrama de bloques. La forma gen´erica de separar estos vectores es la siguiente: # »
A αβ s = A sα + jA sβ Lo anterior es v´alido para todos los vectores de las ecuacio´ 18 puede ser dividida nes descritas. De esta forma, la ecuaci on en dos, una parte real y otra imaginaria respectivamente:
Ls σ
disα = V sα − isα C 1 + Ψ rα C 2 + Ψ rβ ωr C 3 (19) dt
Ls σ
disβ = V sβ − isβ C 1 + Ψ rβ C 2 − Ψrα ωr C 3 (20) dt
(12) (13)
Aplicando la transformada de Laplace a las ecuaciones (19) y (20), adem´as de acomodarlas de manera conveniente, se logra obtener las siguientes funciones de transferencia:
isα 1 = (V sα + K 1 ) (Ls σs + C 1 )
(21)
isβ 1 = (V sβ + K 2 ) (Ls σs + C 1 )
(22)
Donde, y por simplicidad, K 1 = C 2 Ψrα +C 3 Ψrβ ωr y K 2 = C 2 Ψrβ − C 3 Ψrα ωr . De manera an´aloga, se puede expresar la ecuaci o´ n (11) en su parte real e imaginaria:
τ r
dΨrα + Ψrα + ωr τ r Ψrβ = L m isα dt
(23)
τ r
dΨrβ + Ψrβ − ωr τ r Ψrα = L m isβ dt
(24)
Sus funciones de transferencias son las siguientes:
Figura 6: Funci´on de transferencia Ψ s /I s Ambos sub-sistemas antes presentados pueden ser conectados sin mayor inconveniente, se dan de forma separada para evitar confusi o´ n hacia el lector. Para finalizar el modelo, solo falta representar el torque que ejerce esta m a´ quina, esta puede ser escrita en funci´on de las corrientes de estator y flujos del rotor como:
Ψrα 1 = (Lm I sα − ωr τ r Ψrβ ) (τ r s + 1)
(25)
3 Lm T e = − p Im{Ψr αβ · is αβ } 2 Lr
Ψrβ 1 = (Lm I sβ + ωr τ r Ψrα ) (τ r s + 1)
(26)
Realizando la respectiva multiplicaci o´ n de las variables complejas del flujo y la corriente se puede llegar a la siguiente expresi on: ´
Con las funciones de transferencias (21),(22),(25) y (26) es posible representarlas como diagrama de bloques en Simulink. A continuacio´ n se presenta la funci o´ n de transferencia i s /V s , se recuerda al lector que al ser funciones vectoriales pueden ser expresadas de forma separada en su parte real e imaginaria.
#»
# »
∗
3 Lm T e = p (Ψrα isβ − Ψrβ isα) 2 Lr
(27)
(28)
Se sabe que el torque el e´ ctrico tambi e´ n cumple con la siguiente ecuaci´on, la cual nos permitira obtener la frecuencia ωr a partir del torque:
T e − T L =
J dωr p dt
(29)
La figura imagen (7) muestra el diagrama de como se puede obtener el torque el´ectrico, a partir de las funciones de transferencias antes calculadas, adem´as de realimentar el sub-sistema de la figura (6)
Figura 5: Funci o´ n de transferencia i s /V s Como se observa de la figura (5) los voltajes de entrada son separados en su parte real V sα y en su parte imaginaria V sβ . El sub-sistema es simple, de primer orden con polos en Lm σ/C 1 y que contiene una perturbaci o´ n modelada como K 1 , en la parte real, y K 2 , en la parte imaginaria. Mientras que en la imagen de la figura (6), el sub-sistema es un poco m´as complejo puesto que existen perturbaciones por variables cruzadas, es decir, la perturbaci o´ n que afecta a la parte real viene dado por Ψ rβ y a su vez la perturbaci o´ n que afecta a la parte imaginaria viene dada por Ψ rα . Este sistema tambi´en es de primer orden con polos en τ r
Figura 7: Obtenci o´ n de T e y ωr a trav´es de Ψ r y i s
III-C.
Simulaci´ on en arranque directo
300
Con los diagrama de bloques descritos en el punto anterior es posible simular el arranque directo de la m´aquina y ver el comportamiento de las variables como torque,velocidad y corrientes en el tiempo. En el anexo de esta tarea se adjunta la figura que muestra la conexi o´ n del circuito en su totalidad. Primero se analiza cuando el motor est a´ en vac´ıo, es decir, sin carga.
I
a
I
200
b
] 100 A [ s e t n 0 e i r r o C−100
−200
300
−300 0
200 ] m 100 N [ e u q r 0 o T
0.1
0.2 0.3 Tiempo [s]
0.4
0.5
Figura 10: i sα azul,isβ rojo Las corrientes ia y ib tienen aspecto muy semejante en cuanto a la forma, se puede comprobar de que estas se encuentran en cuadratura durante el tiempo de simulaci o´ n
−100 −200 0
0.1
0.2 0.3 Tiempo [s]
0.4
0.5
400 300
Figura 8: Torque vs tiempo
] 200 m N [ e 100 u q r o 0 T
2000
−100
] 1500 M P R [ d a 1000 d i c o l e V
−200 0
500 1000 Velocidad [RPM]
1500
Figura 11: Torque vs velocidad
500
0 0
0.1
0.2 0.3 Tiempo [s]
0.4
0.5
Ahora bien, si se acopla el eje de la m a´ quina a un ventilador, el cual tiene una curva caracter´ıstica Torque vs velocidad igual a T = 0,0032V 2 , como si vio en el primer apartado, las gr´aficas correspondientes son las siguientes.
Figura 9: Velocidad vs tiempo 400
Como se puede observar, al comienzo el torque var´ıa sinusoidalmente al pasar el tiempo hasta el punto que la oscilaci o´ n se reduce en frecuencia y luego en amplitud hasta de llegar a cero y esto coincide cuando el motor alcanza su m a´ xima velocidad que se da en los 1500 [RP M ]. A su vez la velocidad crece de una forma cuadr´atica con una peque˜na oscilaci o´ n al principio. Existe un peque n˜ o sobrepaso en la velocidad, lo que se podr´ıa denominar overshoot y esto sucede por el modelo de la planta. Posteriormente la velocidad se mantiene constante a su valor nominal. El contraste del modelo din a´ mico con respecto al modelo estacionario es similar , ambas describen el comportamiento de la m´aquina cuando esta llega a un estado estacionario, la cual es un torque igual cero a velocidad nominal
300 ] 200 m N [ e 100 u q r o T 0
−100 −200 0
1
2 Tiempo [s]
3
Figura 12: Torque vs tiempo
4
1500
400 300
] M1000 P R [ d a d i c o l e 500 V
] 200 m N [ e 100 u q r o 0 T
−100 −200
0 0
1
2 Tiempo [s]
3
Figura 13: Velocidad vs tiempo
III-D.
I
a
I
b
] 100 A [ s e t 0 n e i r r o C−100
−200 −300 0
1
2 Tiempo [s]
3
500 1000 Velocidad [RPM]
1500
Figura 15: Modelo din a´ mico (azul), Modelo estacionario (rojo)
300 200
0
4
4
Comparaci´ on con el modelo en PLECS
A modo de tener un buena comparaci´on con el modelo antes realizado en Simulink, se puede utilizar herramientas computacionales que est´an dise˜nadas para este fin, el cual es analizar variables de sistemas el e´ ctricos, magn´eticos, mec´anicos, entre otros. Plecs nos ofrece la simulaci o´ n de varios tipos de sistemas, los cuales pueden ir combinados si se requiere. Dentro de este, podemos hallar distintos modelos previamente caracterizados listos para ser utilizados. En este caso, se ocupa el motor de inducci o´ n “Squirrel-Cage” conectado directamente a una fuente trif ´asica como se muestra en la imagen figura (16).
Figura 14: i sα azul,isβ rojo Con respecto al torque en el modelo con carga, se puede ver que la oscilaci´on es es mucho mayor que el modelo en vac´ıo y perdura por mucho m a´ s tiempo. Tambi´en se observa que luego que se estabiliza el torque este comienza a aumentar hasta llegar a los 200[Nm] y luego decae hasta llegar a cero en estado estacionario. La velocidad crece de la misma forma que en el modelo al vac´ıo, solo que no presenta oscilaci´on al principio de esta y se demora mucho m´as en llegar a la velocidad nominal por el efecto que tiene el ventilador. En cuanto al modelo din´amico con respecto al modelo estacionario, se ve la gran similitud ya que describe de una forma m´as precisa el comportamiento del motor conectado al ventilador en la totalidad del gr a´ fico. Se ve que a velocidad nominal ahora el motor aplica un torque que es 0.8 veces el torque nominal de la m a´ quina. Las corrientes tiene el mismo comportamiento que en el ejemplo al vac´ıo, solo que esta vez las corrientes se mantienen en un valor de 200 [A] por mucho m a´ s tiempo, necesitando una mayor potencia para poder sacar de la inercia al ventilador y mantenerlo girando. Se corrobora que ambas se nales ˜ continuan ´ en cuadratura.
Figura 16: Esquema del motor de inducci´on en vac´ıo Donde el bloque del torque modela la carga que se le aplica al motor, en este primer caso se realiza en vac´ıo T L = 0. El voltaje de la fuente es V LLRMS = 380[V ]. El resultado obtenido sin carga se encuentra en la imagen de la figura (17), el cual es el mismo resultado que lo obtenido en la imagen de la figura (11). Hay que destacar que este gr a´ fico es con velocidad en radianes, la velocidad nominal a la que llega es 157,08[rad/s] lo que es alrededor de 1500[RP M ], por lo que se verifica el resultado de ambas simulaciones.
IV.
´ CONCLUSI ON
A partir de los resultados obtenidos en esta tarea se puede concluir lo siguiente:
Figura 17: Torque vs Velocidad sin carga Ahora bien, el esquema utilizado en el modelo de motor con el ventilador se presenta en la imagen de la figura (18), donde se modifica la estructura de la m´aquina incorpor´andole una salida de velocidad la cual es realimentada hacia el bloque de torque simulando la curva caracter´ıstica del ventilador T = 0,0032 ∗ V 2 .
Figura 18: Esquema del motor de inducci o´ n con carga Nuevamente, el resultado obtenido coincide con la respuesta hallada en el punto anterior. En la imagen de la figura (19) se presenta la respuesta del torque vs la velocidad con el ventilador como carga. La respuesta es altamente oscilatoria en un comienzo para luego estabilizarse y comenzar a aumentar poco a poco hasta llegar a un valor m´aximo, luego de esto decae al valor del torque nominal T = 76[N m]
Figura 19: Torque vs Velocidad con carga
El modelo de la m´aquina de inducci o´ n es m´as complicada que el de la m´aquina DC y es tener necesario conocimientos apropiados para realizar un buen an´alisis. En consecuencia del punto anterior, el cambio de coordenadas Alfa-Beta contribuyo de buena manera al estudio de esta m´aquina ya que simplifico y transformo un sistema de tres coordenadas en uno de dos, que f ´acilmente puede ser expresado en un plano con vectores rotatorios en el tiempo. La caracter´ıstica torque vs velocidad del modelo estacionario tiene un aspecto gr´afico singular pero es posible describir con precisi o´ n el comportamiento de la m a´ quina cuando funciona como motor o generador. El modelo din´amico dise n˜ ado en Simulink, a partir de las cuatro ecuaciones caracter´ıstica, describe de una forma bastante precisa la m a´ quina. Los resultados son tan buenos que son comparables con PLECS, el cual es un software enfocado en este tipo de simulaciones. Este tipo de m´aquina puede ser alimentadas directamente de una fuente trif ´asica (arranque directo), pero el bobinado tiende a exigir corrientes muy superior a la nominal,lo que hace que las l´ıneas de alimentacio´ n incrementen considerablemente su carga y como consecuencia directa se reduzca la ca´ıda de tensi o´ n. La intensidad de corriente durante la fase de arranque puede tomar valores entre 6 a 8 veces mayores que la corriente nominal del motor. Su ventaja principal es el elevado par de arranque, que es 1.5 veces el nominal. [4] R EFERENCIAS [1] Stephen J. Chapman M a´ quinas el´ectricas vol 5 pp. 205-270 [2] USM Apuntes Control Vectorial [3] S EUNG-K I S UL Control of Electric Machine Drive Systems [4] Irving L. Kosow Maquinas El´ectricas 2da ed. –
V.
A NEXOS
Figura 20: Modelo completo en Simulink
