Compendio 2015-II Grupo Ingenierias

GRUPO INGENIERÍAS

Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

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GRUPO INGENIERÍAS


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GRUPO INGENIERÍAS


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GRUPO INGENIERÍAS ELEMENTOS FUNDAMENTALES DE LA GEOMETRIA

ELEMENTOS DE LA GEOMETRIA El punto: Es un ente matemático, es la mínima representación geométrica de cualquier figura geométrica, el punto no tiene dimensiones por lo tanto no existe en la naturaleza, pero si en el pensamiento humano. .p  Dos puntos cualesquiera no pueden ser congruentes, semejantes ni equivalentes ya que estas no poseen dimensiones.  El punto es un conjunto convexo, pues el punto es sub conjunto de sí mismo  Al unir dos puntos mediante un conjunto de puntos sucesivos se obtienen una línea.

TÉRMINOS MATEMÁTICOS Proposición: Una proposición matemática es un enunciado declarativo, no ambiguo del cual tiene sentido determinar su valor de verdad, en toda proposición subyace la idea de tiempo pasado o actual, así de una afirmación a futuro difícilmente se puede determinarse su veracidad o falsedad. Axioma: Proposición evidente por si misma que no necesita demostración.

Postulado: La recta: Es una proposición evidente que sin tener la Es una sucesión infinita de puntos que siguen evidencia del axioma se acepta sin demostración una misma dirección y que es ilimitada en ambos sentidos Teorema: Es una proposición que para ser evidente requiere ser demostrada, tiene dos partes:  Por dos puntos cualesquiera pasa una única recta.  Por un punto pasan infinitas rectas a las cuales se les denomina haz de rectas.  A una recta pertenecen infinitos puntos y existen también infinitos puntos que no pertenecen a ella.

a) Hipótesis: Es lo que se plantea para la demostración del teorema. b) Tesis: Es la demostración del teorema. Corolario: Es una consecuencia deducida de un teorema ya demostrado.

El plano Lema: Es una proposición que sirve de base para la Es una superficie llana, lisa, sin espesor que es ilimitada en todo sentido. demostración de un teorema. Escolio: Es una proposición que sirve para aclarar, restringir o ampliar alguna proposición.

P  Tres puntos no colineales determinan un plano.  Dos rectas paralelas determinan un plano.  Una recta y un punto exterior a ella terminan un plano.  Por una recta pasan infinitos planos a las cuales se les denominan haz de planos.  A un plano pertenecen infinitos puntos y existen también infinitos puntos que no pertenecen a ella.

Problema: Enunciado en el cual se pide hallar una cantidad o construir una figura geométrica según condiciones dadas.


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GRUPO INGENIERÍAS pertenecen a la región triangular. Son conjuntos convexos: El punto, la recta, la región triangular, cualquier Es cualquier conjunto de puntos, los cuales región poligonal, la esfera, el cilindro, el cono, el determinan líneas, superficies y sólidos exaedro regular (cubo), el plano, etc. FIGURA GEOMETRICA

Conjuntos no convexos: Se llama conjunto no convexo (cóncavo) a una figura geométrica si por lo menos un punto o un Linea Linea Linea Superficie Solido conjunto de puntos del segmento de recta que recta curva mixtilinea une dos puntos cualesquiera de dicho conjunto no están contenidos en este. Ejemplo CLASIFICACIÓN DE LAS SUPERFICIES El triángulo es un conjunto no convexo esto se GEOMÉTRICAS debe a que algunos puntos como P1, P2, … no pertenecen al triangulo u y por ende el segmento 1. CONGRUENTES PQ no está incluido en el triángulo. Si tienen igual forma y tamaño. -Dos figuras congruentes poseen igual Son conjuntos no convexos: El triángulo, el ángulo, superficie esférica, longitud, área o volumen según sea el caso. -Dos regiones poligonales congruentes superficie cilíndrica superficie cónica, etc. poseen igual perímetro POSTULADOS DE LA SEPARACIÓN 2. SEMEJANTES Cuando tienen igual forma pero tamaños diferentes. -Sus longitudes, áreas o volúmenes son diferentes. -En regiones poligonales semejantes sus perímetros son distintos.

1. Un punto contenido en una recta divide a esta recta en dos semirrectas. 2. Una recta contenida en un plano divide a este plano en dos semiplanos. 3. Un plano divide al espacio en dos semiespacios. Línea recta: Sucesión continúa de puntos que siguen una misma dirección y que es ilimitada en ambos sentidos

3. EQUIVALENTES Si tienen igual longitud, área o volúmenes sin importar su forma. -Dos regiones poligonales son equivalentes si poseen igual área sin importar sus formas. -Dos sólidos son equivalentes si poseen igual volumen sin importar sus formas.

.

.

A

B

AB

Semirrecta Parte de la recta que carece de punto de origen.

CONJUNTOS GEOMETRICOS FUNDAMENTALES

A

A  AB

.

B

Conjuntos convexos: Rayo: Se llama conjunto convexo a una figura geométrica si el segmento de recta que une dos Parte de la recta que posee punto de origen. puntos cualesquiera de dicho conjunto está A B A  AB contenido en este. Ejemplo La región triangular es un conjunto convexo, esto se debe a que si cogemos dos puntos P y Q que pertenecen a la región, entonces todos los SEGMENTOS puntos que conforman el segmento PQ

.


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GRUPO INGENIERÍAS a) 6m b) 7m c) 8m 01. Dados los puntos consecutivos y colineales d) 9m e) 10m A, B, C y D en el cual se cumple que 2AB  3BC  5CD y AD  62 . Hallar la 07. Sobre una recta se ubican ordenadamente los puntos A, B, C y D. Si AB  3BC  4CD , distancia entre los puntos medios de AB y

CD . a) 24 d) 50

b) 41 e) 48

AD  19m Calcular la longitud de BC a) 4m b) 8m c) 9m d) 5m e) 3m

c) 30

02. Sean los puntos colineales y consecutivos L, 08. Dados los puntos consecutivos y colineales A, B, C y D en el cual se cumple que: LN 1 M, N, P y Q, siendo 2LM  MN y  . 2AB  3BC  5CD y AD  93 . Determinar MQ 5 la distancia entre los puntos medios de BC y NQ CD. Hallar: a) 20 b) 15 c) 24 LM d) 18 e) 27 a) 12 b) 11 c) 10 d) 14 e) 13 09. En una recta se ubican los puntos consecutivos A; B; C y D de modo que 03. Sean los puntos colineales y consecutivos P, PQ QR RS  AC  2   CD  2  8  BC  ;   Q, R y S, tales que: y 3 4 5 Además: AB  BD Calcule AD. 2PQ  5QR  8RS  132 , Hallar: PQ . a) 1 b) 6 c) 8 a) 3 b) 6 c) 9 d) 4 e) 2 d) 12 e) 4 10. Sobre un segmento AE de un metro de longitud, se colocan las marcas B, C, D de 04. Se tienen los puntos colineales y tal manera que: AB  CE  80 ; consecutivos M, A, O y B. hallar el valor de . Halle: BE-CD. AE  DE  60 2 AB a) 50 b) 45 c) 40 MO , además que:  MA.MB  81 y 4 d) 60 e) 55 AO  OB . 11. Sobre una línea recta se consideran los a) 6 c) 8 c) 9 puntos consecutivos A, B, C y D, d) 10 e) 4 cumpliéndose que: CD  3  AB  I. 05. Los puntos A, B, C y D se encuentran sobre una línea recta de modo que: II. AD  3  BC   60 CD n I. AB  Halle la longitud del segmento AC . 2 a) 10 b) 20 c) 15 II. 3  AC  AB    AD  BC  d) 25 e) 30 Hallar el valor de BC . 12. Sobre una recta se consideran los puntos n 2 a) n 2 b) c) 2n 3 consecutivos A, B, C, D y E de modo que: 2 I. AC  BD  CE  36 d) n 3 e) 2n 2 4 II. BD   AE  5 06. Sobre una recta se consideran los puntos Halle la longitud del segmento AE consecutivos A, B, C y D. Si: CD  2BC ; a) 15 b) 20 c) 12 2AB  AD  21m ; Calcular: AC . Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

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GRUPO INGENIERÍAS d) 16

e) 18

Hallar CD. Además M es punto medio de AD. a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

13. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D tal que se verifica: AC DA I.  1 20. Se ubican los puntos colineales M, A, O y B. CB DB Si O es punto medio de AB. Hallar OM, si: II.  AC  AD   529  AB  2  9 Calcule el valor de AB.  MA  MB   4 a) 23 b) 21 c) 13 a) 1 b) 2 c) 3 d) 17 e) 27 d) 4 e) 9 14. Sobre una recta se ubican los puntos ÁNGULOS I consecutivos M, N, P y Q. Si A y B son los

puntos medios de los segmentos MN y PQ 01. En las siguientes proposiciones, indicar respectivamente, tal que MP=3 y AB=4. verdadero o falso, según corresponda: Calcular NQ. a. Los ángulos alternos internos siempre son a) 5 b) 3 c) 4 congruentes. d) 3,5 e) 4,5 b. Los ángulos conjugados externos siempre son suplementarios. 15. Sobre una recta se ubica los puntos c. Los ángulos correspondientes siempre consecutivos A, B, C y D. Hallar AC, si se son congruentes. AB d. a) VVV b) VVF c) FVV CD  cumple: ; AC  2CD  BD  48 . 3 e. d) FFV e) FFF a) 12 b) 22 c) 26 d) 20 e) 24 02. Sean los ángulos consecutivos AOB , BOC , COD y DOE ; OB biseca AOC ; OC

16. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D. Si se cumple: AB BC CD   . Calcular CD, si: AD=20. 2 3 5 a) 6 b) 9 c) 12 d) 8 e) 10

biseca AOD y OD , biseca AOE . Si: 2 AOB  3 BOC  4 COD  AOE  210º



 

 



Hallar la medida del AOB . a) 10º b) 21º d) 5º e) 16º

c) 42º

17. En una recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C, D, E y F. Si se cumple 03. Se tienen los ángulos consecutivos AOB y la siguiente relación: BOC , donde AOC  102º . Se traza la AC  BD  CE  DF  20 y BE=6. Halle: AF. bisectriz OM del AOB . Hallar la medida del a) 2 b) 3 c) 5 d) 10 e) 14 BOC , si:

BOC  MOB  36º . 18. Sobre una recta se ubican los puntos a) 51º b) 66º consecutivos A, B, C y D. Se cumple: AB=3, d) 48º e) 58º AC=5, 4 AB  BD  2CD  4 , hallar AD. a) 3 b) 5 c) 7 04. AOB , BOC , COD , DOE d) 9 e) 11 consecutivos y AOF llano. 19. Se tienen los puntos colineales A, B, C y D AOC , OE biseca DOF y tal que: AB  CD  13 y BM  MC  1 . Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

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c) 68º

y EOF , son OB , biseca

BOE  112º .

GRUPO INGENIERÍAS 10. Dos ángulos suplementarios son tales que, el suplemento del complemento del complemento del suplemento de uno de ellos, es igual, al doble del complemento del suplemento del suplemento del 3 complemento del otro. El menor de los 05. Si los del complemento de un ángulo  4 ángulos es: es igual al suplemento del mismo ángulo. a) 40º b) 50º c) 60º Hallar  . d) 70º e) 80º a) 720º b) 270º c) 450º d) 500º e) 350º 11. La diferencia entre el suplemento y el complemento de un ángulo es 6 veces el 06. El suplemento del complemento de un ángulo. El suplemento del complemento de dicho ángulo es: 3 ángulo es igual a de la diferencia entre el a) 165º b) 75º c) 105º 2 d) 100º e) 90º suplemento y el complemento de dicho ángulo. Hallar el ángulo. 12. El complemento del suplemento de un a) 38º b) 42º c) 45º ángulo es igual al doble del suplemento del d) 48º e) 50º doble del ángulo. Hallar la medida del ángulo. 07. El complemento de la diferencia que existe a) 72º b) 80º c) 90º entre el suplemento y el complemento de la d) 60º e) 85º 4 medida de un ángulo es igual a de la 9 13. La diferencia entre la medida de un ángulo y diferencia que existe entre el suplemento de su suplemento es igual al triple de su la medida de dicho ángulo y el suplemento complemento. Hallar la medida de dicho del suplemento de la medida del mismo ángulo. ángulo. Calcular el valor de dicho ángulo. a) 0º b 45º c) 60º a) 45º b) 60º c) 90º d) 90º e) 80º d) 70º e) 80º Hallar la medida de COD . a) 44º b) 54º d) 68º e) 34º

c) 64º

14. El triple del suplemento del complemento de un ángulo menos el doble del complemento del suplemento del doble de dicho ángulo es igual a ocho veces el complemento del complemento de dicho ángulo. Hallar el ángulo a) 40º b) 60º c) 50º d) 70º e) 30º

08. La diferencia entre el suplemento y el complemento de la medida de un ángulo es 3 igual a los del complemento del 2 suplemento de la mitad de la medida del mismo ángulo ¿Cuál es dicho ángulo? a) 150º b) 300º c) 120º d) 135º e) 140º

15. El complemento de la diferencia que existe entre el suplemento de un ángulo y su 4 complemento es igual a los de la 5 diferencia que existe entre el suplemento y el suplemento del suplemento del mismo ángulo. Hallar la medida del ángulo. a) 0º b) 85º c) 90º d) 70º e) 75º

09. Se tienen las medidas de los ángulos de modo que la suma del complemento de la suma de los complementos y el suplemento de la suma de los suplementos es 30º. Calcular el complemento de la semisuma de dichos ángulos a) 20º b) 30º c) 10º d) 25º e) 15º


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GRUPO INGENIERÍAS 16. El complemento de la diferencia que existe 01. En la figura. Calcular “x”. entre el suplemento y el complemento de la medida de un ángulo es igual al duplo del a) 36º  x complemento de dicho ángulo. Calcular la b) 45º  medida de dicho ángulo. c) 28º a) 80º b) 60º c) 120º d) 30º d) 90º e) 135º e) 50º 4x

L1

17. Si al suplemento del complemento de la medida de un ángulo se le aumenta el 02. Siendo L1 L 2 . Calcular “x”. complemento del suplemento de la medida de dicho ángulo, resulta 90º más el z suplemento de la medida de dicho ángulo. z a) 140º n Hallar la medida de dicho ángulo. b) 130º m a) 60º b) 80º c) 75º n c) 120º 160º d) 90º e) 45º d) 110º e) 100º a 18. Se tienen los ángulos adyacentes x a suplementarios y AOB BOC

 AOB  BOC 

cuya

diferencia

de

sus

03. Sí m n ;   50º .

medidas es 40º, se trazan OX , OY y OZ

calcular

bisectrices de los ángulos AOB , BOC y a) 50º b) 60º c) 80º d) 90º e) 70º

XOY . Calcular la medida del ángulo BOZ . a) 10º b) 20º c) 30º d) 40º e) 45º 19. Si se cumple que: CC 2  + CCCC 4  + CCCCCC 6   ........... 

a

b



m

2

L2

L1

L2

aº  bº cº .

Siendo

c



2

n

CC...C 2n  56  , encontrar "n " donde "  " es la medida de un ángulo y C es su 04. En el gráfico L1 L 2 . Calcular: “  ”. complemento. a) 5 b) 6 c) 7 40º d) 10 e) 15 L 1 100º a) 20º 3 b) 22º 20. Sí C   C 2  C 3   ...  C n  nS n , "  " es c) 24º la medida de un ángulo, C es su d) 26º  complemento. Encontrar "  " e) 28º 90º 90º 180º  a) b) c) n 1 n 1 n 1 180º 90º 05. Hallar x, si: L1 L 2 , aº  bº  4x . d) e) n 1 2n  1 x 2x ÁNGULOS ENTRE RECTAS PARALELAS a) 20º L1 b) 30º c) 40º aº d) 50º bº e) 60º L2 x Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

8

L2

GRUPO INGENIERÍAS 06. Hallar “x”  

4x

x

a) 20º d) 30º

d) 150º e) 153º 11. En el gráfico L1 L 2 Calcular el valor de “x”.



b) 15º e) 35º



a) 18º b) 36º c) 72º d) 54º e) 27º



c) 25º



L1

x

3x

L2

07. Hallar "  " , si: M N C y A B A

B

12. En la figura L1//L2//L3 y m–n=40º, Hallar el valor de “x”. L1 m  a) 40º  b) 20º c) 65º L 2   d) 30º x e) 36º n L3

M

a) 18º b) 20º c) 15º d) 22º e) 17º

75º

N

3 4

C

08. Según la figura, hallar “x”. L1 L 2

a) 55º b) 60º c) 64º d) 65º e) 68º



2

13. Hallar el valor de “x”: L1



x

a) 100º b) 65º c) 35º d) 80º e) 45º

2



L2

L

35º



L // L1

x

65º

L1

09. Si: L1 L 2 . Hallar  

a) 8º b) 10º c) 12º d) 15º e) 14º

14. Halle el valor de “x”:

L1 2

30º L

3 4



7

L//L1

L2

 30º

10. Si: L1 L 2 , L 3 L 4 hallar “x”. 

a) 140º b) 145º c) 148º



54 º

a) 60º d) 130º

L1

x 



L3

x

L2 L4


9

b) 110º e) 90º

L1

c) 120º

GRUPO INGENIERÍAS 15. Siendo L1 L 2 L 3 Calcule “x”. L1 a) 80° b) 100° c) 120° d) 150° e) 40°

  x



L2



L3





16. Calcular “x” sabiendo que L1 L 2 : 

a) 14º b) 18º c) 20º d) 24º e) 36º

m BAN  m BCA . a) 10° b) 20° d) 70° e) 80°

    200º ,

y





02. Se tiene un triángulo cuyas medidas de los pares angulares se encuentran en progresión aritmética. Calcule el máximo valor entero de la medida de un par angular. a) 60° b) 90° c) 120° d) 119° e) 78° 03. Dado un triángulo rectángulo ABC, recto en B, en AC y en la región exterior relativa a BC, se ubican los puntos E y D respectivamente. Sí BC  DE   P  ;

L1



m BAC  m DPC ; BD=DC=BC=EC, calcule la m ACB . a) 10° b) 15° c) 20° d) 25° e) 28°

x

4x



 



c) 60°

L2

04. De la figura, calcule x. 17. Determinar el ángulo “x” 5

a) 30º b) 45º c) 50º d) 70º e) 80º

x

a

a) 110° b) 90° c) 115° d) 120° e) 130°

L1







a

a

05. En la figura, calcule        .

L2

a) 430° b) 650° c) 630° d) 510° e) 580°

18. Si: L1 L 2 L 3 , calcular “x” x

20º

a) 30º b) 45º c) 50º d) 65º e) 80

x

L1



 70





L2

06. En la figura, ME=MP; FN=NQ; AE=ED y FD=FC. Calcule x. a) 20° B x b) 30° TRIÁNGULOS E F c) 40° N d) 60° M 120 Q 01. Dado un triángulo ABC, en AC y BC se P e) 35° ubican los puntos N y M respectivamente, tal A C D que AB=BN=BM y m BNM= 50° . Calcule: 30º


L3

10

GRUPO INGENIERÍAS 07. Se tiene un triángulo ABC, se trazan las 12. En un triángulo ABC equilátero se ubica el bisectrices CD y DE; D pertenece a AB, E punto D exterior al triangulo, de manera que BD intercepta al lado AC. Si el ángulo ADC pertenece a AC; Calcular la m ADE , si: es obtuso, AD=7 y DC=13, entonces el m ABC  m AED  150  . mayor perímetro entero del triángulo ABC a) 75° b) 50° c) 60° es: d) 30° e) 45° a) 55 b) 56 c) 57 d) 58 e) 59 08. De la figura, a  b  220  . Calcule x. 

a) 40° b) 45° c) 35° d) 60° e) 70°



13. En la figura mostrada, se verifica: AC=21u, BC=7u y AB=x, calcule el mayor valor entero de: 2x  3 . C a) 36 b) 37 c) 38 d) 39 e) 40 A B 14. En un triángulo KLM se trazan las medianas LQ y KP (Q en KM y P en LM). Si LQ=24u y KP=30u, entonces la mayor longitud (en u) del lado KM es: a) 45 b) 50 c) 55 d) 60 e) 65

 

x





a

b

09. En la figura,     6  . Calcule x. a) 66° b) 68° c) 70° d) 73° e) 80°



  70

x 

15. En un triángulo ABC, obtuso en B se cumple que m A  2m C y AB=4u. Calcule el mínimo valor entero de la longitud de BC. a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

 

16. En un triángulo isósceles ABC (AB=BC), se

10. Según la figura, AN=NP. Calcule x.

traza la bisectriz interior AD D  BC , si AD=16u, entonces la menor longitud entera del segmento CD es: a) 7u b) 8u c) 9u d) 10u e) 11u

3x

a) 25° b) 20° c) 18° d) 16° e) 22°

A

2  

m m

P

n n



17. En triangulo escaleno los lados miden 5; 4 y



2

x  1 . ¿Cuántos valores enteros positivos tiene “x”?. a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

N

x

11. En un triángulo ABC se cumple que 18. Los lados AB, BC y AC de un triángulo ABC miden 8u, 10u y 12u se ubica un punto m A  3m C , AB=3u y el ángulo ABC es BF CF obtuso. Calcule la longitud entera de BC.  interior F tal que AF  , ¿Cuántos 2 3 a) 7 b) 4 c) 5 valores enteros puede tener el perímetro del d) 6 e) 8 Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

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GRUPO INGENIERÍAS triángulo AFC? a) 1 b) 2 d) 4 e) 5

m B. a) 40° d) 75°

c) 3

b) 60° e) 55°

c) 80°

07. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B LÍNEAS NOTABLES 01. Calcular “x”. a) 18° b) 20° c) 30°  d) 37° e) 45° 2 02. Calcular “x”. a) 18° b) 20° c) 30°  d) 37° e) 40° 30

se traza la altura BH . La bisectriz del HBC interseca en P a HC . Si AB=5. Calcular el máximo valor entero de BP. a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

x  60  



08. En un triángulo ABC; AB=BC; CR es una ceviana interior, tal que m RCB  24  . La bisectriz del ángulo ARC corta a AC en el punto Q. hallar la medida del ángulo AQR . a) 78° b) 48° c) 86° d) 96° e) 72°

x  45

15

09. Según el grafico dado, calcular “x”. a) 40º b) 50º c) 60º d) 70º e) 80º

03. Calcular “x”. a) 18° b) 20° c) 25° d) 30° e) 45°

 25 75 

x  

2x

 

x 30

10. Del grafico calcular “x”.

04. Calcular “x”. a) 15° b) 22° c) 28° d) 30° x e) 36° 18



a) 9º b) 10º c) 11º d) 12º e) 14º

42 

30

40º

x 3



3



05. En un triángulo ABC se traza la ceviana 11. Del grafico calcular “x”. interior BD, de tal manera que AB+BC=30 y   AC=20. Hallar el mínimo valor entero de BD. a) 10º a) 2 b) 3 c) 4 b) 15º d) 5 e) 6 c) 20º d) 25º   06. El ángulo A de un triángulo ABC mide 20°. e) 30º 2x 4x 4x Se traza la ceviana CT y en el triángulo 12. De la figura mostrada calcular el valor de “x”. ATC se traza la ceviana TQ . Si m ATQ  40  y TQ=QC=BC. Calcular la Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

12

GRUPO INGENIERÍAS a) 10º b) 11º c) 15º d) 20º e) 16º

40º

18. Calcular “x”

x  

a) 118º b) 146º c) 122º d) 106º e) 130º





3



13. En un triángulo ABC se traza la bisectriz

30º



 

 

70º

 

x

36º

interior BD tal que AB=BD=DC. Hallar la CONGRUENCIA DE TRIANGULOS medida del ángulo C. a) 35° b) 30° c) 22,5° 01. En la siguiente figura calcular el segmento d) 36° e) 18° MN, sabiendo que: MB=MA, MO=OC, MN paralela a OA, además OA  12 . 14. Si AD=DC=BC; calcular “x” en la figura: B a) 6 x B N b) 8 A 35º a) 80º c) 10 M b) 90º 60º C d) 12 O c) 85º e) 15 d) 95º C A e) 70º 02. En la figura mostrada, hallar BC, si CD  4

D

B

a) 4

15. Del grafico mostrado, calcular "  " .

31º 46º

b) 2 6 a) 15º b) 16º c) 20º d) 18º e) 22º

48º

c) 5 2 d)

6

e) 4 2 A

2



z z

a a

14º 14º

D

03. En la siguiente figura se sabe que: AH=FC; AF=BC; AB=BC. Calcular "  "

16. Calcular “x”, si m  n  p  q  252º

C F

a) 59º b) 56º c) 62º d) 60º e) 54º

17. Calcular “x” a) 50º b) 70º c) 40º d) 80º e) 60º

a) 10º b) 12º c) 15º d) 20º e) 25º

p

n

m

C

q







a) 20º b) 30º c) 40º d) 50º e) 60º

 80º

m m

2 A

H

B

04. Del gráfico mostrado, halle el valor de “x”

x



3

B 80º x

n n x


A

13

20º

D

C

GRUPO INGENIERÍAS 10. Los lados AB y BC de un triángulo ABC

05. Sí BC  9 2 . Calcular CD.

miden 9 y 15, se traza AD perpendicular a la bisectriz interior del ángulo B. Hallar la distancia del punto D al punto medio del lado

B

a) 12 b) 15 c) 18 d) 12 e) 9 A

C

32º 24º

13º 13º

AC a) 6 d) 4,5

D

06. En el triángulo ABC mostrado AC  10 .

a) 12º b) 13º c) 16º d) 18º e) 28º A

B

 M

A

x

B

 M 45º

B

07. En el triángulo ABC es equilátero, m EAB  m FBC , AE=BF, hallar "  " . F





B



A 08. Calcular HM en la siguiente figura.

AB  CE

D





a) 15 d) 10

P

H

 8

A

C

10

D

C

13. Calcular AE del gráfico, si AB  DE  15.

E



C

D

A

a) 45º b) 37º c) 53º d) 60º e) 75º

C

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

2x

50º 80º

N

B

12. Calcular "  " .



a) 90º b) 120º c) 60º d) 150º e) 104º

c) 9

11. Calcular “x” si: AD  2BC .

Hallar la mediana CM .

a) 6 b) 5 c) 4 d) 7 e) 3

b) 3 e) 7,5



C

d) 20 e) 30

c) 25

14. Calcular AB en la figura si CE  ED 

M

B

a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13

F

09. En un triángulo ABC la ceviana

CD

interseca a la mediana AF en “E”. Si: AE=EF; ED=6. Calcular “CE”. a) 18 b) 16 c) 15 d) 12 e) 6 Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

C

E

A

14

3

6

D

E

y

GRUPO INGENIERÍAS 15. En el cuadrado ABCD, calcular CF, si 03. Si la medida de un ángulo interno de un DE  6 C B polígono regular convexo es igual a cuatro veces la medida de su ángulo central. a) 3 Calcular el número total de diagonales. b) 2 a) 18 b) 26 c) 30 c) 6 F d) 35 e) 42 d) 12 A e) 2,5 D 04. Calcular el número de diagonales de aquel E polígono cuya suma de las medidas de los ángulos interiores y centrales es 2520º. 16. Calcular el valor de AE, si se cumple que: a) 25 b) 42 c) 54 AB  BD , BE  BC , DC  6 d) 64 e) 77 B a) 3 05. Los ángulos externos de un polígono b) 12 regu8lar miden cada uno un quinto del c) 8 ángulo recto. Como se denomina dicho C d) 6 polígono. e) 4 a) Heptágono b) Dodecágono A c) Icoságono d) Octágono D E e) Endecágono 17. Encontrar EA  3 . a) 4 b) 5 c) 7 d) 8 e) 9

AD,

B

si:

CE  CD ,

BE  2 , 06. ¿Cuál es el polígono convexo, en el cual la suma del número de ángulos rectos a que equivale la suma de sus ángulos interiores, más el número de vértices y más el número de diagonales es igual a 23? a) Hexágono b) Pentágono c) Nonágono d) Octágono e) Decágono

C

E

A

D

07. En un hexágono regular ABCDEF se toman los puntos internos P, R y S de modo que PBC y EFSR son dos polígonos regulares. POLÍGONOS Calcular la m PER . a) 10º b) 15º c) 30º 01. Calcule el número de ángulos rectos a que d) 35º e 45º equivale la suma de medidas de ángulos internos de un polígono. En el cual de los 4 primeros vértices consecutivos se pueden 08. En un polígono regular de “n” lados se le disminuye su ángulo interno en 15º resulta trazar 25 diagonales. otro polígono regular cuyo número de lados a) 20 b) 25 c) 16 d) 14 e) 7 3 es n , el valor de “n” es: 4 02. ¿En qué polígono convexo, la suma de las a) 4 b) 16 c) 8 medidas de los ángulos interiores excede en d) 12 e) 20 720º a la suma de las medidas de los ángulos exteriores? 09. En un octágono regular ABCDEFGH; se a) Hexágono b) Heptágono ubica el punto P en la diagonal AE, de tal c) Octágono d) Icosígono forma que la m PDC  52º 30 ' . Calcule la e) Dodecágono medida del AHP . Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

15

GRUPO INGENIERÍAS a) 37º 30 ' d) 45º

b) 18º 30 ' e) 26º 30 '

c) 30º

m PEA . a) 44º d) 30º

b) 56º e) 60º

c) 42º

10. En un icoságono regular ABCDEF…; calcule la medida del menor ángulo determinado por 17. Las medidas de los ángulos interiores de dos polígonos regulares difieren en n10º y AC y BD . uno de ellos tiene 6 lados menos que el otro. a) 10º b) 20º c) 15º Hallar el polígono de mayor número de d) 18º e) 24º lados. a) 10 b) 12 c) 18 11. En un polígono convexo el número total de d) 15 e) 14 triángulos que se pueden formar trazando diagonales desde un solo vértice es al número de diagonales como 4 es a 9. 18. En un hexágono equiángulo ABCDEF, se conoce que AB  7 , BC  3 , CD  5 y Calcule el número de lados del polígono. EF  2 , determinar los valores de DE y FA a) 9 b) 7 c) 5 . d) 8 e) 6 a) 8 y 6 b) 8 y 7 c) 4 y 6 d) 3 y 6 e) 5 y 8 12. ¿Cuál es el polígono regular en el cual al aumentar en 3 su número de vértices, la medida de su ángulo exterior disminuye en 19. En un pentágono convexo, dos ángulos miden 90º cada uno y los otros ángulos son 27? congruentes. Calcular la medida de estos a) Triangulo b) Pentágono últimos. c) Heptágono d) Hexágono a) 150º b) 120º c) 135º e) Cuadrilátero d) 105º e) 145º 13. En un heptágono, tres de sus ángulos interiores miden 120º cada uno, calcular la medida de los otros cuatro ángulos, 20. Los segmentos AB , BC , CD , DE son sabiendo que son iguales. cuatro lados consecutivos de un icoságono a) 140º b) 120º c) 135º regular ABCDEF…, hallar la medida del d) 150º e) 145º ángulo formado por las prolongaciones de los lados AB y ED . 14. ¿Cuál es el polígono convexo que al duplicar a) 124º b) 126º c) 128º su número de lados, la suma de sus d) 130º e) 132º medidas de sus ángulos interiore4s se cuadruplica? CUADRILÁTEROS a) Triangulo b) Pentágono c) Heptágono d) Hexágono 01. En un trapecio recto, el menor lado no e) Cuadrilátero paralelo mide 8, el menor ángulo inferior mide 53º. Hallar el segmento que une los 15. La diferencia entre el número de diagonales puntos medios de las diagonales. de un polígono regular con el número de a) 4 b) 3 c) 6 ángulos rectos a que equivale la suma de las d) 4,5 e) 3,5 medidas de sus ángulos interiores es 8. ¿Calcular la medida de su ángulo central? 02. En un rectángulo ABCD, se traza la bisectriz a) 30º b) 20º c) 50º del ángulo B que corta a AD en E. hallar la d) 45º e) 40º longitud del segmento que une los puntos medios de EC y BC, sí AB  20 . 16. En el interior de un pentágono regular a) 10 b) 5 2 c) 10 2 ABCDE se ubica el punto P, de tal manera que: AE  PC y m BPC  66º , calcular la Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

16

GRUPO INGENIERÍAS d)

5 2

2

e)

5 3

2 B

a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

03. Hallar “x”, si ABCD es un trapezoide: B  a) 5  C b) 7 10 c) 11 x 12 d) 9 53º 30º e) 8 D A

M

C 

x

N

 A

45º

D

09. En un trapecio recto ABCD, A  90 B  90º ; CD  10 , AD  14 ; las BC  8 , bisectrices interiores de los ángulos C y D se 04. En la figura ABCD es un cuadrado y T es cortan en el punto F. Hallar la distancia del punto de tangencia, calcular “x” punto F al lado AB . a) 18º30’ b) 26º30’ c) 30º d) 37º e) 53º

a) 6 d) 8

C

B

b) 4 e) 9

c) 12

x T

10. En el gráfico, calcular MH, si BM=MC,

AB  2 2 y CD  2 3 . A

D

a) 1 b) 1,5 c) 2 d) 2,5 e) 3

M

C

B

05. En un triángulo ABC, el ángulo C mide 45º y AC  12 . Sobre el lado, se construye 60º 45º exteriormente el cuadrado ABDE. Hallar la A D H distancia del centro del cuadrado al lado AC. a) 3 u b) 4 u c) 5 u 11. Según el gráfico, ABCD es un cuadrado, d) 6 u e) 8 u AMD es un triángulo equilátero y además 06. En un cuadrilátero convexo ABCD; AB  8u AB  2 3  3 . Calcular: DN  CN ; CD  12u . Hallar el perímetro del B C cuadrilátero que se forma al unir los puntos M a) 6 medios de BC , AC , BD y AD . b) 5 a) 18 u b) 22 u c) 24 u N c) 8 d) 20 u e) 26 u d) 3 e) 2 07. En un cuadrado ABCD, calcular la distancia D A de su centro a una recta exterior que pasa por el vértice B, la proyección de la diagonal 12. En los cuadrados ABCD y DEFG, los puntos AC sobre la recta exterior mide 16 u. O y O 1 son sus centros. Calcular la a) 12 u b) 6 u c) 8 u d) 10 u e) 16 u distancia entre los puntos medios de OO 1 y 08. En el gráfico, se cumple que: AB  20 , BC  8 , MB  5 Hallar “x”: CF , si AB  4 2 y DG  3 2 .


17

GRUPO INGENIERÍAS

E

F

O

18. En un paralelogramo ABCD. AB  5 ; Las bisectrices interiores de los ángulos B y C se

O1

A

13. En

c) 8 d) 9 e) 10

C

B

a) 3 b) 3,5 c) 4 d) 4,5 e) 5

un

trapezoide

cortan en un punto del lado AD . Hallar el perímetro del paralelogramo. a) 20 b) 30 c) 25 d) 35 e) 40

G

D

asimétrico

ABCD,

mA  60º , mB  90º , AD  10 3 , BC  5 . Calcular la distancia del punto medio del 19. Calcular la base mayor de un trapecio, los lados no paralelos miden 5 y 7, las lado CD al lado AB. bisectrices interiores de los ángulos a) 8 b) 9 c) 10 adyacentes a la base menor se cortan en un d) 11 e) 12 punto de la base mayor. a) 10 b) 11 c) 12 14. Sí. AP  PB , AD  CN  10 y BC  DN , d) 13 e) 14 Hallar PQ . C 2

B

a) 4 b) 6 c) 5 d) 7 e) 8

P

N 

Q

CIRCUNFERENCIAS I

A

D

01. En una circunferencia de diámetro 10, la distancia del centro a una cuerda AB mide

15. En un trapecio ABCD, donde AD es la base mayor y BC la base menor; se sabe que: m A  8y , m B  140º , m C  5x  12º , m D  3x  8º . Hallar la relación: K 

a) 4 d) 15

b) 5 e) 20

x y

3. Hallar la longitud de AB . a) 6 b) 8 d) 12 e) 16

c) 10

02. En la figura: AB  4 y CD  10 . Hallar BC .

c) 10 a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16

C

16. Los catetos AB y BC de un triángulo B rectángulo ABC miden 2 y 5 respectivamente. Exteriormente se construye el cuadrado ACDE. Calcular la distancia del punto D a la recta que contiene D A a AB. 03. Según el grafico. Calcular el valor de “  ” a) 6 b) 5 c) 7 d) 8 e) 9 siendo T punto de tangencia. 17. En la figura ABCD es un trapecio. Si se sabe a) 15º que: BC  4 y CD  5 ; calcular AD. T b) 20º B C c) 25º d) 30º a) 6 x e) 40º K 40º b) 7 A A

70º

40º


D

18

GRUPO INGENIERÍAS 04. Del gráfico: AB  7 , BC  8 Calcular la mAM .

y AC  9 .

B

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 A

M

C

09. Se tiene un triángulo cuyos catetos miden “a” y “b” unidades. Calcular la suma de los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita a dicho triangulo. ab a) a  b b) 2  a  b  c) 3 ab d) e) 2a  b 2

05. Calcular la mDE , sí mBC  6 . a) 6 b) 3 c) 9 d) 12 e) 18

10. Del gráfico R  3 , calcular la mAB . E

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

D C B A

B

R A

37º

C

06. Hallar el perímetro del triángulo TBC siendo 11. Si ABCD es un cuadrado de lado 4, calcular ABCD: cuadrado y r  2 . el valor de “r”. B C B C a) 8 a) 1 b) 10 b) 1,5 c) 12 c) 2 d) 14 d) 2,5 T e) 16 e) 3 D A D A 07. Del gráfico mAB  3 , mBC  4 . Calcular el 12. Calcular el valor de “  ”, si ABCD es un valor de “R”. cuadrado y T punto de tangencia. B E  C a) 1 a) 30º R b) 2 b) 45º B c) 3 c) 37º T d) 4 d) 53º e) 5 e) 36º C D A F A 08. Calcular el valor de “R” si el perímetro del 13. Calcular el perímetro de la región trapecial triángulo rectángulo ABC es 10. ABCD. B C a) 3 a) 22 b) 4 b) 30 R c) 5 c) 28 2 d) 6 d) 26 e) 8 e) 23 A 30º 53º D A

B 121 –Telf. C Av. Arenas N° 322577–Anexo 302

19

GRUPO INGENIERÍAS 14. El perímetro de un trapecio isósceles es 64. c) 15º Los ángulos congruentes determinados por d) 20º la base mayor y los lados no paralelos miden e) 25º 30º cada uno. Calcular el radio de la circunferencia inscrita en el trapecio. 02. En la figura mostrada. Calcular “x”: a) 1 b) 2 c) 3 P  d) 4 e) 5 a) 20º b) 30º 15. En la figura M y N son puntos medios de BC c) 36º 3x  L x M y Ac respectivamente. Calcular el perímetro d) 45º e) 35º del triángulo ABC si MN  3  B W a) 32 03. En la semicircunferencia mostrada “O” es b) 24 N c) 20 centro, AO  MN , hallar " " d) 30 a) 10º M e) 18 b) 15º c) 20º N C A d) 5º M e) 30º 70º   16. El perímetro de un triángulo rectángulo es B L O A 24cm; su hipotenusa mide 10cm. ¿Cuánto mide el inradio? 04. Si “O” es centro y AO  NT , hallar “x”. a) 1cm b) 2cm c) 3cm J d) 4cm e) 5cm a) 21º b) 22º c) 23º d) 24º e) 27º

17. Del gráfico hallar “x”. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

x2 C B 2x  1

3x  2

N

81º  O

A

x B

T

05. En la figura mostrada. Si AO = DC y “O” es centro. Calcular x; siendo “T” el punto de A D 5x  1 tangencia. E 18. El semiperímetro del cuadrilátero ABCD es  a) 41º D 30m, la diagonal AC mide 22m. Calcular:  b) 48º r1  r2 26º C c) 51º O  B  d) 64º A B e) 69º a) 6 C b) 7 x  r1 c) 8 T d) 9 r2 06. Si “O” es centro; M y N puntos de tangencia, e) 10 D A hallar “” B ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA M 01. Hallar x: a) 5º b) 10º

O 60º



x

25º


20

A

N

C

GRUPO INGENIERÍAS a) 120º d) 108º

b) 135º e) 144º

11. Calcular “x”:

c) 150º

07. En la figura mostrada. Si DP / /AC y “T” es punto de tangencia. Calcular x: P

a) 35º b) 30º c) 40º d) 45º e) 60º

T

4x

a) 10º b) 20º c) 40º d) 15º e) 25º

x

x C

D

20º A

D

O


x

D

a) 100º b) 135° c) 105° d) 120° e) 115°

80º

a) 10º b) 25º c) 100º d) 80º e) 75º

08. Calcular el valor de “x”, según el gráfico dado, sabiendo que: m A  30º ; el arco CE con el arco ED son congruentes. E A C

x

M

13. Hallar “x” O

x

a) 70º b) 75º N c) 25º B d) 45º e) 35º 09. En la figura, O es el centro y T es punto de 14. Calcular el valor de “n” en: tangencia. Si el ángulo A es 28° y ET//AB. Hallar la medida del ángulo ETC. a) 5º

T

a) 28° b) 56° c) 17° d) 31° e) 32°

C

5n

O A

15. En la figura mostrada. Calcular “x”:

B

a) 20° b) 20,5° c) 36° d) 45° e) 22,5°


a) 5º b) 10º c) 12º d) 20º e) 15º

P

4n

b) 20º c) 25º d) 12º e) 10º

E

70º

6x

W

5x

8x

O 2x


21

M

2x

I

GRUPO INGENIERÍAS 16. Según el gráfico, m AB  60º . Calcule “x”: a) 45º b) 50º B C c) 40º 2x d) 60º e) 70º A D

03. En la figura mostrada, calcular: "  " si AB=CD. B a) 20º 4  b) 22º    c) 22,5º d) 23º 2 C  e) 24º A D 17. En la figura, ABC es un triángulo equilátero y la medida del ángulo “” es de 100º. 04. A partir del gráfico adjunto calcular: "  " , si Calcular la media del ángulo “”. AB=2BH. B B a) 40º D  a) 30º b) 20º 80º b) 40º 25º c) 30º c) 50º  d) 15º x d) 60º A C e) 10º e) 70º H C A 18. Si:     160º . Calcular la m VWL . W a) 40º b) 80º c) 20º  d) 60º  e) 120º CUADRILÁTEROS INSCRIPTIBLES

L

V

06. En el grafico mostrado; hallar: "  " . Si: AB=AC

01. En la figura, hallar “x”: B

a) 20º b) 30º c) 40º d) 45º e) 60º

05. Sobre el lado AD de un trapezoide ABCD, se considera el punto P, tal que: m PBC  m PDC y m PAB  m BCP , luego se trazan BE y CF perpendiculares a AD. Si EF=5, hallar AD. a) 8 b) 9 c) 10 d) 12 e) 14

B

A C xº F

120º



a) 30º b) 40º c) 45º d) 60º e) 37º

100º

D

2

A

C 



D

E

02. Se tiene un cuadrilátero ABCD inscrito en 07. En la figura, AC es diámetro; hallar "  " . B una circunferencia. Calcular: m ADC , si a) 36º mAD  100º y mCD  120º . b) 15º D a) 50º b) 60º c) 70º c) 30º d) 80º e) 90º d) 45º  e) 24º  A C O E 08. Dado la siguiente figura hallar el valor de Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

22

GRUPO INGENIERÍAS "  " , si AM=MC.

a) 20º b) 24º c) 22,5º d) 30º e) 35º

13. Hallar: "  " , si AB=BC, AD=DE y CD=BC. B a) 60º b) 70º E c) 50º  d) 80º e) 65º 40º 30º A C D

B



 2

A "  " . Si H AM=MCMen el triángulo. C 09. Calcular: B a) 50º  b) 52º 55º c) 35º d) 45º e) 30º 35º A C M

14. Calcular “x” en:

120  

a) 40º b) 60º c) 80º d) 90º e) 50º

x 140  

10. Del gráfico mostrado, calcular: además se sabe que: AM=MC. B a) 20º b) 10º 70º  c) 30º d) 15º 20º e) 25º A M

" " . Si 15. Del gráfico, calcular “  ”.

5

a) 20º b) 30º c) 40º d) 10º e) 50º

3

C

4

11. Hallar el valor de "  " . a) 65º b) 70º c) 77º d) 78º e) 80º

16. Del gráfico, calcular “  ” 17º 60º

30º

a) 20º b) 25º c) 27º d) 30º e) 40º

 34º

12. El triángulo ABC es equilátero AM=MB,

BN  NC . Hallar el valor de " " . B a) 45º b) 50º N c) 60º M d) 65º e) 70º  A C

3

2

PUNTOS NOTABLES 01. ¿Qué fracción de la longitud de la hipotenusa, es la distancia del CIRCUNCENTRO al BARICENTRO, de un triángulo rectángulo? a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4 d) 1/6 e) 2/3 02. Un cateto de un triángulo rectángulo mide


23

GRUPO INGENIERÍAS 15. Calcule la altura, si la distancia del BARICENTRO al ORTOCENTRO es 25/3. a) 10 b) 12 c) 8 d) 5 e) 9

a) 8 3 d) 3 5

b) 2 3 e) 3 2

c) 2 2

10. La suma de las distancias del BARCENTRO de un triángulo a sus vértices es 26. 03. En un triángulo ABC, la m ABC  60º , si el Calcular la suma de las medianas de dicho punto “O” es el CIRCUNCENTRO y el triangulo. circunradio mide 12, halle AC. a) 30 b) 39 c) 36 a) 12 3 b) 2 3 c) 3 3 d) 52 e) 48 d) 5 3 e) 11 3 11. En un triángulo ABC, la m A  45º , la recta 04. Encontrar el circunradio de un triángulo de EULER es paralelo al lado BC, la altura equilátero, si su inradio mide 4. AQ mide 6m. hallar la longitud del a) 4 b) 2 c) 8 CIRCUNRADIO de dicho triangulo. d) 12 e) 16 a) 8 3 b) 2 3 c) 2 2 d) 3 5 e) 3 2 05. En un triángulo ABC, la altura BH mide 6 y la m ABC  45º ; la recta de EULER es 12. El ángulo B de un triángulo acutángulo mide paralela al lado AC. Hallar la distancia del 45º, la distancia de su ORTOCENTRO al CIRCUNCENTRO al vértice A. vértice B es 8. Calcular el CIRCUNRADIO a) 4 3 b) 2 3 c) 2 de dicho triangulo. d) 2 2 e) 3 2 a) 8 3 b) 2 3 c) 2 2 d) 4 2 e) 3 2 06. Se tiene el triángulo acutángulo ABC, se ubica el EXCENTRO “E” relativo al lado BC, 13. Se tiene el triángulo ABC donde se trazan de modo que se verifica: m AEB  40º , las cevianas AM y BN que se intersecan en m AEC  25º , encuentre la medida del “O”, siendo “O” el CIRCUNCENTRO del menor ángulo formado por AE y BC. triángulo. Si se verifica que: mAMB  70º y a) 70º b) 75º c) 72º mANB  80º . Calcule la medida del ángulo d) 85º e) 80º C. a) 45º b) 35º c) 50º 07. En un triángulo rectángulo, calcular la d) 75º e) 60º distancia del BARICENTRO al CIRCUNCENTRO, la hipotenusa mide 30m. 14. En un triángulo acutángulo ABC de a) 15m b) 10m c) 5m ORTOCENTRO L, la recta de EULER corta d) 12m e) 12,5m al lado AC en el punto F. calcular la medida del ángulo AFL, si: AF=2FC=2LB. 08. La altura BH de un triángulo acutángulo a) 30º b) 45º c) 60º ABC mide 12, la recta que pasa por el d) 37º e) 53º ORTOCENTRO y el BARICENTRO es 15. La distancia del CIRCUNCENTRO de un paralela al lado AC. Hallar el triángulo acutángulo ABC al lado AC es 5m. CIRCUNRADIO de dicho triangulo, si hallar la medida de la altura BH, si la recta AC=16. de EULER es paralela al lado AC. a) 4 3 b) 2 3 c) 2 a) 10 b) 13 c) 17 d) 15 e) 12 d) 4 5 e) 3 2 16. Determinar la distancia del circuncentro al baricentro en un triángulo si sus lados miden 09. En un triángulo ABC isósceles, mB  120º 5; 12 y 13. y AB=4. Hallar la distancia del INCENTRO al a) 13/2 b) 13/3 c) 13/4 EXCENTRO relativo al lado AC. Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

24

GRUPO INGENIERÍAS d) 13/6

e) 13/5

a) 10 d) 13

b) 11 e) 14

c) 12

17. Calcular el valor de “x”, sabiendo que: T, P y Q son puntos de tangencia, tal como se indica en el gráfico adjunto. T

a) 32º b) 74º c) 52º d) 68º e) 64º

05. El lado AB de un triángulo mide 12 cm. Por el baricentro del triángulo se traza una paralela a AC que corta en Q a AB . Hallar 52º C BQ. Q A a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 10 18. En un triángulo acutángulo ABC, O es el O

B

x

circuncentro; BO prolongado interseca en D a AC , calcular m BDC . Si m ABO  10º y m OBC  30º a) 70º b) 80º c) 50º d) 75º e) 85º

06. En la figura: MN // AC ; AB=6m, AC=14m. Calcular MN.

PROPORCIONALIDAD 01. Hallar x si AC + BD = 48. E

A

B

a) 4 b) 4,5 c) 5 d) 5,5 e) 6

N

M 

 a) 6 C A b) 12 21 c) 14 B F 07. Se tiene el ∆ABC donde AB=BC=12cm, en d) 16 x 12 e) 18 AB se toma el punto medio P, sobre la G C 02. En un triángulo ABC, AB=40cm, BC=20cm y prolongación de AC se toma el punto R de 7 D trazan las bisectrices H AC=42cm, Se interior manera que AC=CR, sobre BP se toma el BD y exterior BE. Calcular la longitud de CE. punto F de manera que BF=4cm, PR y FR a) 40 b) 41 c) 42 intercepta el lado BC en los puntos E y D d) 43 e) 44 respectivamente. Calcule la longitud de DE. a) 1 b) 3 c) 2 d) 5 e) 4 03. Del gráfico EB // CD ; AB=11; BC=7; AE=EF 08. Del gráfico calcular x si: 4AB=3BC; EF=8. y BP=14. Hallar PF. C

a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12

a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8

B P A

E

D

x

D

B

F

F

E

A

C

09. En un triángulo ABC se trazan la bisectriz interior AD y la ceviana BP que se cortan 04. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz BD y en los triángulos ABD y BDC se trazan las AP 1  perpendicularmente. Si y BC = 25, bisectrices interiores BE y BF tal que AE=2u, PC 3 EB=3u, DF=5u. calcular FC. Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

25

GRUPO INGENIERÍAS hallar BD. a) 4,5 d) 7,5

b) 5 e) 10

10. En la figura AE=5, EF=8 y CD=6. Hallar DF. a) 9,5 b) 10,5 c) 9,6 d) 7,5 e) 10

con el baricentro es paralelo a AC . a) 8 b) 9 c) 12 d) 18 e) 24

c) 6

B

15. Hallar IG, sí IG // AC . I: incentro, G: baricentro. B

E A

θ

θ

18

10

C

I

F

G

C A D 11. En un triángulo acutángulo ABC, se trazan 4 1 3 las bisectrices interiores AQ y CP . Hallar A) B) C) QC, si AP=2, PB=3 y BQ=4. 3 14 15 17 22 32 3 2 a) b) c) D) E) 7 7 7 4 21 12 18 d) e) 16. Se tienen dos circunferencias tangentes 7 7 interiormente en A luego se trazan las 12. En la figura mostrada, BC=8m, CD=12m, cuerdas AC y AD en la circunferencia mayor DE=9m; calcular AB. cortando a la menor en B y E respectivamente. Si AB=1m, BC=1,5m, a) 8m b) 9m AE=2m; hallar DE. c) 12m d) 7m a) 4m b) 3m c) 5m e) 6m d) 6m e) 7m B A

17. En la figura AB, BC, AC son diámetros. AB=4, EF=10 y CG=12; hallar GH

C

F

E

a) 4,5 b) 4,2 c) 4,7 d) 4,8 e) 4,6

D

E

13. Dado el triángulo ABC, se traza la bisectriz B A C DM interior BD y la mediana BM . Hallar: , AC G AB 3 si = H BC 5 1 1 1 SEMEJANZA DE TRIANGULOS a) b) c) 4 5 8 01. En un triángulo ABC, mA=2mC, AB=6 y 2 1 d) e) BC=10. La bisectriz de B corta al lado AC 7 9 en P. Hallar PC. a) 6 b) 7 c) 19/2 14. El perímetro de un triángulo ABC es 36 cm. d) 20/3 d) 19/3 Hallar AC si el segmento que une el incentro Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

26

GRUPO INGENIERÍAS 02. En la figura, hallar ML, si AB=c, MN=a, AC=b B a) abc b) ab/c c) ac/b d) bc/a e) ab

07. AE=6, BC=12, AC=18, CB // DE , BP=PE. Hallar DE. B

 N L



 M

A

  A

08. Del gráfico, calcular x. Q x

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

B

a) 6 2 m M

B 5  F

d) 9 2 m

A

e) 8 2 m

A

N

E

D

C

03. En la figura se tiene que AN=4 m y AC=18 m. Hallar AH.

b) 5 2 m c) 8 m

P

C

a) 2 b) 6 c) 5 d) 7 e) 4

M

 9

H

C

3

C

H

09. En un triángulo ABC se traza la mediana BM luego se traza una paralela a BM que corta a AC y BC en los puntos E y F las alturas AR y CQ . Calcular RQ, si AC=8 respectivamente y a la prolongación de AB y mB=60º en G, BM=8m y EF=3m. calcular FG. a) 2 2 b) 3 c) 3 3 a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 d) 5 e) 4

04. En un triángulo acutángulo ABC se trazan

05. En un triángulo obtusángulo (AB=BC) se 10. Según el gráfico, calcular BA, si BC=12 y traza la mediatriz de AB que corta a la AR PD CQ   prolongación de CB en P. Hallar AC, si AB=6 7 5 2 R y BP=9. B P a) 4 a) 6 b) 2 6 c) 3 6 Q b) 6   c) 7 d) 4 6 e) 5 6 d) 8 e) 10 06. En la figura, calcular el valor de x a) 12 b) 16 c) 18 d) 20 e) 22

8n 14n

A C 11. En la figura, ABCD D es un paralelogramo. Si AB=9, AD=12 y PR=6. hallar PQ. B



 6

A) 1.2 B) 6.3 C) 4 D) 4.5 E) 5

x


27

R

A

C

P Q

D

GRUPO INGENIERÍAS 12. Un triángulo ABC está inscrito en una circunferencia, la bisectriz del ángulo A encuentra a BC en D y a la circunferencia en E. si AD=5m, DE=4m. calcular BE. a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 13. La circunferencia inscrita en un triángulo ABC es tangente a AB, BC y AC, en M, N y L respectivamente, la recta paralela a MN trazada por B interseca a la prolongaciones de LM y LN en P y Q respectivamente, si PB=9m y BQ=12m. hallar BN a) 2 2 d)

2

b) 3 2

c) 5 2

e) 6 2

14. Calcular PQ, PQ//AC. Si AC=12 y G: Baricentro del ABC. a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 8

Q

G

A

01. Hallar: AB; BH=2 a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

A

M

A

B

B

D

16. Calcular “x”. B a) 5 x D 6 C b) 7,5 c) 9 12 d) 10 e) 12,5 E A 17. En un romboide ABCD,15M es punto medio de AC, P es punto de AD y Q es punto interior del triángulo ACD tal que m∠BCA=m∠ACQ=m∠QCD, si MC=2AM, PM//QC, MQ // BC y PM=5u. Hallar MQ a) 9 b) 10 c) 11 d) 15 e) 12 18. En un triángulo MNP, se traza la ceviana PQ Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

F

28

B

C

03. Hallar: “AB”; BH=9; HC=4 y MH=2

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

C

C

H

E

A

T

P

02. En la figura, AB=12 y BC=4. Calcular EF.

C

15. Calcular “AT”, si “T” es punto de tangencia, AB=4 y TC=3TB. a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 16

RELACIONES METRICAS EN TRIANGULOS RECTANGULOS

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

B

P

tal que MQ=3,5u, NP=6u, m∠NMP=m∠NPQ. Hallar MN. a) 9 b) 8 c) 7 d) 6 e) 5

H

B

C

2 M

A

D

04. Hallar “AP”; BH=4; AF=6 ABCD es un cuadrado P B

a) 6 b) 8 c) 9 d) 10 e) 12

C

H F

A

D

GRUPO INGENIERÍAS d) 20 05. Hallar: “x” a) 10 3 b) 6 c) 15 d) 20 e) 100 06. Hallar:

x

10. En un triángulo NMP, recto en N. si MN 3 = , Q en un punto de MN NP = 7u ; MP 4 tal que MQ es media aritmética de MN y QN. Calcule la longitud de MQ. a) 1,0 b) 1,5 c) 2,0 d) 2,5 e) 3,0

5 8

17

a b

11. En la figura AD es diámetro; BM=4u y MC=9u. Calcule FM b

a

4

B

2 b) 9

d) 9

e) 7

c)

1 3

A) 10 3 B) 10 2 4 3

D) 2 3

P

E) 3 2

O

08. Siendo A, B, C puntos de tangencia. Hallar

R3 ; Si: AB=2BC R1 A

R1

C

A

07. En la figura. Hallar la distancia OP entre los centros de las circunferencias.

C) 5 2

M

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 10

81

1 a) 2

a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4 d) 2/3 e) 2/5

e) 11

B

R2

D

O

12. En ambas orillas del río Apurímac, crecen dos árboles de eucalipto de 30m y 20m, respectivamente; se encuentran separados a una distancia de 50m; en la copa de cada árbol se ubica un pato esperando la aparición de algún pez; de súbito los dos patos descubren un pez; se lanzan con la misma velocidad y logran atraparlo. ¿A qué distancia de la base del tronco del eucalipto mayor fue atrapado el pez? a) 25 b) 40 c) 30 d) 20 e) 15 13. Calcular “x”, si AB=8, BP=4 y PC=9 A) 0,5 B) 1 C) 1,5 D) 2 E) 2,5

C

R3

B

P

C

x

A

D

O

14. Una rueda está apoyada en un ladrillo como muestra el gráfico. AB=12, BC=8. Hallar R.

09. Se tiene un triángulo ABC, AC=16m, la distancia del ortocentro al vértice B es 12m. Calcule la longitud del circunrario del triángulo ABC. a) 10 b) 16 c) 15 Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

F

29

a) 12 b) 13 c) 14 d) 15

R C

B

A

GRUPO INGENIERÍAS e) 17

las bases.

a) 2 7 b) 3 7 c) 2 14 15. En un triángulo rectángulo ABC, recto en d) 3 14 e) 21 "B", se traza la altura y la bisectriz interior las cuales se cortan en "P". Si: AD.PD = 72, calcular "BP". En un triángulo rectángulo 03. En un triángulo ABC, AB=c, BC=a y AC=b, calcular la m∠BAC, ABC, recto en "B", se traza la altura y la bisectriz interior las cuales se cortan en "P". Si: a2 = b2 + c 2 + 3.bc Si: AD.PD=72, calcular "BP" a) 90º b) 135º c) 150º a) 3 b) 4 c) 5 d) 127º e) 143º d) 6 e) 8 16. En un triángulo ABC, recto en B, se traza la ceviana interior BR, tal que AB=BR. Hallar AB, si AC.AR=72 a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 8

04. Hallar "AP", si: AB=8cm, AC=BC=10cm y AM=MC B a) 2 b) 3 c) 4 d) 3,2 e) 4,8

17. En un triángulo rectángulo ABC recto en B desde el pie de la altura BH se traza la perpendicular HS a AB; si BH+AH=12m y AB.HS=32m. Hallar AB a) 4 5 b) 6 5 c) 30 d) 8 6

a) 3 2

18. Los lados de un triángulo rectángulo se encuentran en progresión aritmética de razón igual a 2. Evaluar la longitud del cateto mayor. a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 RELACIONES METRICAS EN TRIANGULOS OBLICUANGULOS 01. Calcular "PB", si: AO=OB= 3 y R= 2

A

b) c) d)

2 4 2 3 2 2 3 2

H

M

C

05. Las medianas de un triángulo rectángulo, trazadas a partir de los vértices de los ángulos agudos miden 5u y longitud de la hipotenusa es.

13

b) 3 13

d) 2 3

e) 5 13

a)

40 u. la

c) 2 13

06. Si la mediana relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 5cm y forma un ángulo cuya medida es 30º con el cateto mayor. Hallar la distancia del baricentro al vértice opuesto del cateto menor.

B a)

P

13 3

b)

2 13 3

d) 2 3

e)

5 13 3

a)

R P

c) 2 13

07. En un triángulo ABC, M es punto medio de AC y N ∈ BC tal que la m∠NMC=90º, si AB=13cm, BC=14cm. Hallar la longitud de 02. Las bases de un trapecio miden 4 y 10 u y MN. los lados no paralelos miden 5 y 7 u. Hallar el segmento que une los puntos medios de e)

A


0

30

GRUPO INGENIERÍAS a)

20 3

b)

25 3

c)

28 3

14. En el grafico mostrado calcular “x”, si: OA=OB=20 y OM=MB. d) 28 e) 25 A A) 6 08. Dado el triángulo ABC circunscrito a una B) 8 circunferencia, la cual es tangente al lado C) 4 2 AC en el punto F. si AB=5cm, BC=7cm y x D) 10 AC=6cm. Calcule BF E) 5 a) 4 b) 5 c) 6 d) 8 e) 7 O B M 09. En un triángulo ABC, la medianas BM y CN 15. En un triángulo ABC se cumple que: 2 2 son perpendiculares. Calcule AB + AC 2 2 a  c  bc y mB  54º ; calcular mC . 2 BC a) 46º b) 42º c) 44º A) 4 B) 5 C) 6 d) 52º e) 36º D) 8 E) 7 10. Si ABCD es un trapecio isósceles, 16. Los lados de un triángulo miden 2k, 3k, 4k. determinar k, si la altura relativa al lado determinar “x”. CD=10 intermedio mide 15 B C A) 7 a) 1 b) 2 c) 3 8 d) 4 e) 5   B) 69 x M N C) 89 17. En un paralelogramo ABCD, AB=6, la   diagonal AC=8 y BD=12. Hallar AD. D) 79 12 a) 5 b) 17 c) 2 5 E) 9 D A d) 2 17 e) 17 5 11. En un triángulo ABC se traza BH perpendicular a la bisectriz interior trazada 18. En el cuadrilátero ABCD, donde sus de “C” calcular AH, sí AB=15; BC=13 y diagonales AC y BD se cortan AC=14 perpendicularmente, se cumple que: AB=3, a) 12 b) 6 c) 8 BC=2, CD=5. Calcular la longitud del cuarto lado. d) 61 e) 51 a) 15 b) 30 c) 2 15 12. Los lados AB y CD de un trapezoide ABCD miden 18 y 20; y el segmento que une los d) 2 21 e) 4 22 puntos medios de los otros dos lados mide 17, calcular la medida del ángulo que RELACIONES METRICAS EN UNA forman las rectas que contienen a los lados CIRCUNFERENCIA AB y CD. a) 60º b) 120º c) 53º 01. Calcular “EF”, si: AG=DC=4, DE=5 y AB=2. d) 37º e) 74º 13. En un triángulo acutángulo sus lados forman una progresión aritmética de razón r, calcular el máximo valor entero de r, si el perímetro del triángulo es 144. a) 13 b) 9 c) 12 d) 10 e) 11 Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2

31

G

D C E

B A F

GRUPO INGENIERÍAS 02. Si "T" es punto de tangencia; AB=4u; TC=6u y la media del arco BT=2θ. Hallar "BC" A θ

e) 2 5

06. Calcular PC, si: AM=MC, AQ=2 y PQ=4.

T

A

B

a) 6 b) 7 c) 5 d) 8 e) 4

a) 2 5

e) 3 2

C

03. Si: AB=8u, BC=10u y CT=TE=6u. Hallar "TD" A E a) 2 b) 3 c) 4 B T d) 2,5 e) 3,5 D C

P

C

B

P

A) 3 2 B) 3 2

M

N

C) 3 2 D) 3 2

C

E) 3 2

B

A

08. En la figura mostrada, calcular AT, si: AH=a y HB=b. P a) a 2  b 2

E B

M

07. En la figura mostrada; calcular PB, si 3AM=5PM; PN=BN; AB=10 y BC=6.

04. Si: ABCD es un romboide; además AQ=10u y QD=12u. Hallar "CE"

a) 3,6 b) 2,8 c) 5,4 d) 4,4 e) 6,3

Q

b) 2 6 c) 6 d) 3

2

b)

a  ab

c)

a  ab

d)

ab

e)

a  b  ab

2

2

A

T H

B

2

C Q

09. En la figura O es centro y C es punto de tangencia de EO con la circunferencia D A menor. Si además se sabe que: AB=1, 05. la figura se muestra un cuadrado ABCD, BC=2 y CE  7 ; calcular CD. cuyo lado mide 4. Se ha inscrito una circunferencia tangente a todos los lados y un cuadrante que lo interseca en P y Q a) 6 E según como se muestra. Se pide determinar b) 7 A EP. C B c) 3 7 C B Q d) 14 a) 3 e) 12 b) 2 D F O c) 3,6 P d) 2,4 E 10. En la figura mostrad; “T” es punto de A

D


32

GRUPO INGENIERÍAS tangencia y TA  PQ , si: AB=2, BC=1 y 15. En un triángulo acutángulo ABC la CD=7, calcular AQ. semicircunferencia de diámetro AC P intercepta a la altura BQ en el punto P tal a) 2 2 que BP=3u y PQ=6u. Calcule la distancia T D del ortocentro del triángulo ABC al lado AC. b) 5 a) 2 b) 6 c) 3 c) 2 d) 4 e) 5 B C d) 1 e) 2 A 16. En un triángulo KLM, de mediana LN, se Q traza la circunferencia que pasa por L y N (N es un punto de tangencia), e intercepta a LK y LM en los puntos P y Q. si LK=8cm, 11. En la figura mostrada; AC es diámetro; si: LP=6cm y LM=10cm, entonces LQ mide. EF=3 y FG  2 , calcular: GH. a) 8 b) 8,2 c) 8,3 E d) 8,4 e) 9 a) 5 b) 5 F 17. En la figura, O es centro del arco FT c) 6 tangente en T a la circunferencia de centro d) 4 P. Calcular la longitud del radio r. G e) 2 3 a) 6 T C A b) 6,4 H c) 6,8 P d) 7,2 12. En una semicircunferencia de diámetro AB y e) 8 de centro O, se inscribe un cuadrado OPQL, de modo que Q pertenece a la O A F circunferencia, se traza la cuerda BE que 12 8 contiene al punto P, si PO=3cm. Calcule 18. En la figura, O es centro de la EP. circunferencia, r=3,5 y HC=9. Hallar BC. a) 2 b) 5 c) 3 B a) 11 d) 2 3 e) 3 3 b) 13 c) 14 13. Dado un cuadrado de centro F, por F y D d) 12 pasa una circunferencia que intercepta a los r e) 15 lados AD y CD, desde B se traza la secante A BPQ a la circunferencia, si BP=4cm y O C H PQ=5cm. Calcular BC. a) 6 b) 7 c) 3 d) 4 e) 5 POLIGONOS REGULARES 2

2

14. Del gráfico, calcule PE / TE , si DE=2r a) 1 b) 1,2 c) 1,25 d) 2 e) 0.8

P

r A

C O

D

01.

E

una circunferencia mide 8 3cm . Calcular el perímetro del cuadrado circunscrito a la misma circunferencia. a) 48 b) 52 c) 56 d) 64 e) 72

T


El lado de un triángulo equilátero inscrito en

33

GRUPO INGENIERÍAS 02.

El perímetro de un hexágono regular es 60. Calcular su apotema. a) 10 b) 12 c) 4 3 d) 16

03.

04.

un triángulo equilátero de lado 18. a) 3 3 d) 3 09.

En un hexágono regular ABCDEF de lado 10. igual a 13 las prolongaciones de la diagonal CA y el lado "P". Hallar "PD”

13

d) 13/2

EF se cortan en

a) 2 2

b)

d) 2

e) ( 2 + 3 )

En un triángulo equilátero cuyo perímetro mide 18 13cm . calcular el perímetro del hexágono regular inscrito en dicho triángulo 11. equilátero. a)

13

d) 10 13 06.

b) 13 13

c) 2 13

e) 12 13

Se tiene un cuadrado cuyo lado mide 8 2 . Si a partir de cada vértice se disminuye una cierta longitud "x", se formarán en cada esquina triángulos rectángulos isósceles; eliminándolos quedará un octógono regular. Calcular "x". a) 8( 2  1) b) 2( 2  1) c) d) 6 2

07.

08.

e)

c) 48

b) 36

d) 36 3

B

d) 2 3 e) 4

15°

P

C D

Se tiene un hexágono regular inscrito en una circunferencia de radio “R”. Determinar el perímetro del cuadrilátero que se forma al unir los puntos medios de dos lados consecutivos con el centro de la circunferencia. a) 7R b) R 3 - 1



3 -3



 d) R 

 3 +1

c) R(2 3 -1) 12.

e) 30

Hallar la apotema de un hexágono regular circunscrito a una circunferencia inscrita en


3

c) R

Hallar el perímetro del cuadrado circunscrito a una circunferencia circunscrita a un  equilátero de lado igual a 6 3 . a) 24 3

A

2

2 1

22

c) 1+ 3

inscrito y BC = 2 3 . Hallar el radio de la circunferencia.

b) 4 3

e) 3 13

6

En la figura, AD es el lado de un cuadrado

a) 6

c) 2 13

b) 13

En una circunferencia de radio 2 m se encuentra inscrito un ABC. Calcular la medida del lado AC si el arco AB mide 90° y el arco BC mide 120°.

c) 05.

c) 4

e) 5 3

Se tiene un hexágono regular inscrito en una circunferencia cuyo radio mide "a". Hallar el perímetro del polígono que se forma al unir los puntos medios de tres lados no consecutivos del hexágono a) 3a b) 5a c) 6a d) 3,5a e) 4,5a

a)

b) 6 3 e) 6

34

Hallar la longitud del lado del polígono regular inscrito en una circunferencia, cuyo radio mide 5 cm, si se sabe que la longitud de su apotema es igual a la diferencia de la longitud del lado del polígono con la longitud del radio de la circunferencia circunscrita. a) 7 cm. b) 8 cm. c) 9 cm. d) 6 cm. e) 5 cm.


En la figura, “O” es centro, AQ=R 2 y BP= R 3 . Calcular “x”

P a) 45º b) 30º c) 60º d) 75º e) 90º

14.

15.

A

Q

e) 2 - 2 18.

x

O R

B

Calcular la altura del trapecio ABCD. 60º Si R  3 -1 P Q a) 1 b) 2 O c) 3 R A d) 2 / 2 B e) 3 / 2 120º

a) 2 5 5 2 3 d) 5

Calcular la razón entre los lados de los cuadrados inscritos y circunscritos a uma misma circunferencia. a) 2 / 2 b) 2 / 4 c) 1/2 d) 2 / 3

La figura muestra un hexágono regular y un triángulo equilátero. ¿Qué relación hay entre sus perímetros?

b) 2 3 3 2 5 e) 7 ÁREAS

01. En la figura mostrada, calcular la razón de las áreas de las regiones triangulares ABC y MTN. B a) 1 b) 1/2

e) 2 / 8

A

2 c) 2

16.

02. En

x

H

Q

M

N

la

150

a) 3m

C

De la figura. Calcular FM a) 2 2 b) 4 - 2 c) 4 - 2 2

B

2 O D


mostrada;

OA=OB=6m,

A

2

d) 6m

N

2

2

P

2

e) 1,5m

d) 2 2 - 2

A

figura

c) 3 2m

C H

F x M

C



b) 4m 17.

T

OM=MB y AN  NB , determinar el área de la región triangular OPM.

B

A



3 d) 2 2 e) 3

Dado un triángulo ABC: m A =10º , m C = 20º y AC = 4 3 . Hallar la longitud del segmento que une los pies de las alturas trazadas de los vértices A y C. a) 3 b) 3 3 c) 6 d) 6 3 e) 9

c) 3 5 5

2

O

M

B

03. En una circunferencia se inscribe un cuadrilátero ABCD, si AB=2m y BC=4m,

35

GRUPO INGENIERÍAS calcular el área de la región triangular ACD, 07. Hallar el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado de lado 10m. sabiendo además que él  ACD es equilátero. 10 2

b) 7 3m

2

e) 14m

a) 6 3m d) 8 3m

2

c) 5 3m

B

2

C

2

10

25 25     2 b) 3 3 25  A 25  D 3 3  4 3  4 c) d) 3 3 25  e) 2 08. Siendo I el incentro del triángulo ABC; AI=6 y CI=8 2 , calcular SAIC.

2

04. Determinar “S”, si: m.n  18m . a) 9m

a)

2

b) 18m

2

c) 4,5m d) 27m e) 6m

m

2

S

2

n

2

a) 24 b) 24 2 c) 18 d) 18 2 e) 16

05. Determinar el área de la región sombreada: a) 164 cm

2

b) 166 cm

2

2

10

d) 170 cm

2

37º

e) 150 cm

2

c) 126 cm

cm

sabiendo que AB es diámetro centro:

a) 200 c) 400 e) 90

y “O” es

AC  CD  DB  6 cm y AC, CD, DB son diámetros.

b) 43  cm

2

c) 36  cm

2

d) 40  cm

2

e) 45  cm

2

A

A

C

región sombreada, sí AB  40 mA .

06. Hallar el área de la región sombreada,

a) 48  cm

I

09. En la figura mostrada, hallar el área de la 25 cm

2

B

C

D

10.

B

Sí: R 1  r 1  2 1 Hallar el área de la región sombreada. a) 8 b) 16 c) 9 d) 13 e) n.a.

B

b) 100 d) 156

R

r

11. En un triángulo ABC el segmento que une el incentro con el baricentro es paralela a AC. Si AB+BC=16u y el inradio mide 2u. Calcule el área de la región triangular ABC. a) 12 b) 16 c) 18 d) 21 e) 24 12. Sea ABCD un cuadrado y AEF un triángulo equilátero inscrito en ABCD. Si el área de la


36

GRUPO INGENIERÍAS 2

región triangular AEF es 3 cm , el área de la región cuadrada ABCD es. a) 2 

3

b) 2 

c) 3 

5

3

d) 4  3 e) 5  3 13. En rectángulo ABCD, se traza la diagonal AC y DF perpendicular a AC (F en AC). Si DF=6 y AB=2(CD), el área de la región rectangular es. a) 30 b) 45 c) 60 d) 120 e) 90

d) 3 e) 2 8 5 17. Halle el área de la región sombreada, si el 2 área de la región triangular ABC es 90 cm 2

a) 2cm 2 b) 3cm 2 c) 4cm 2 d) 5cm 2 e) 6cm

14. En la figura, I es centro de la circunferencia inscrita en el triángulo ABC. Si el área de la 18. Calcule el área de la región sombreada, si 2 AR=RQ, BP=PR, PQ=QC y el área de la región rectangular ABCD es 34u . Calcule 2 región triangular ABC es 28u el área de región rectangular EIFD 2 B B C A) 24u a) 28 2 B) 3u b) 36 P I F c) 24 C) 4u2 d) 18 Q D) 7u2 e) 16 E) 28 u2 A

3

D

E

R

A

C

15. En un ΔABC de ortocentro H y circuncentro 19. Si ABCD es un rectángulo y CMNQ es cuadrado de 2 m de lado. Hallar el área de O. Hallar la relación entre las áreas de las la región sombreada AD=8m regiones AOC y ABCH.

B

a) 1 b) 1/2 c) 1/3 d) 2/3 e) ¾

H

O

A

C

16. En la figura: G es baricentro del ▲ABC. Si AM=10cm; BN=9cm; NC=3cm, Calcular la relación: SMBN / SABC

B a

M 10

.

G

a) 16 b) 18 c) 20 d) 24 e) 25

N 3 C

b) 1 2

c) 9 20


N A

C

M

D

20. De la figura, calcular el área de la región ABC, si S(APH) = 4 y S(HQC) = 9.

9

A a) 3 10

Q

B

2

a) 4m 2 b) 8 m 2 c) 6 m 2 d) 10 m 2 e) 14 m

37

B Q

P A

H

C

GRUPO INGENIERÍAS


38

GRUPO INGENIERÍAS SEMANA 01 ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO Y SISTEMA DE MEDICIÓN ANGULAR

B)

S.CENTESIMAL (C) 1 vuelta 1g  400

Ángulo trigonométrico 



100 g

El ángulo trigonométrico se genera por la rotación de un rayo alrededor de su origen, desde una posición inicial hasta una posición final.

0g 400 g

200 g

Si la rotación es en sentido antihorario el ángulo es positivo. Si la rotación es en sentido horario, el ángulo es negativo

C)

S.300 RADIAL (R) g 1 rad  2

θ

B

Lado final(-)



 rad

Lado final

A

2 rad

Si: θ = 1radián  R = LAB 1 vuelta = 2πrad

3 rad 2

θ (+)

O 

rad

Lado inicial

O

Equivalencias: 1 vuelta = 400g 1g = 100m = 10 000s 1m = 100s

RELACIÓN DE CONVERSIÓN DE LOS TRES SISTEMAS

Lado inicial

Su magnitud es ilimitada:

S Ángulos coterminales Son ángulos que tienen los mismos elementos (vértice, lado inicial y lado final).



0



Entonces se cumple:

S  180k S



0

    K (360º ) , k  Z



C R

O Donde:  S: Número de grados sexagesimales.  C : Número de grados centesimales.  R : Número de radianes.

C



180



200

R π

k

C  200k R  πk

Luego: S  9k

S

SISTEMA DE MEDICIÓN ANGULAR A)

9

S. SEXAGESIMAL (S)



C



10

π

k

C  10k R

1 vuelta 1º  90º 360

180º

20R

π 20

0º 360º

9º  10

Equivalencias: 1 vuelta = 360°

1° = 60’= 3 600” 270º 1’= 60” Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

g



π

rad

20 PROBLEMAS

39

k

GRUPO INGENIERÍAS 06. Calcular 01. Del gráfico 10x  9y

mostrado a qué es igual:

la medida en grados sexagesimales de un ángulo que verifique la siguiente relación:

C +S+ R 40R 1 = + 19R 19 2

xº

A) 1 100 B) 360 C) 280 D) 2 400 E) 1 800

y

g

2 rad 3

A) 60° D) 80°

B) 30° E) 100°

C) 90°

07. En la Figura adjunta calcular la medida del

ángulo A (en radianes) B

02. Determinar la medida de un ángulo en el

A) 30° D) 48°

B) 36° E) 54°

A) D)

π

π

B) π

E)

C)

π

π

convertir

04. Siendo

S, C y convencionales y condiciones:

R los números verificándose las

medida de un ángulo en los sistemas conocidos, si se verifica que: S  2 SC  C  3 5  5 2 Hallar la medida de dicho ángulo en radianes π π π A) B) C)

E)

S 3  CS 4 A) π π

A) 1,2 D) 4,8

B) E)

π

C) 2π

π

40

B) 2,4 E) 5,4

C) 3,6

10. Determinar “R” si se cumple que

A = B.

π


el número de grados centesimales y sexagesimales, verifica a la siguiente igualdad.

09. Efectuar:

05. R, C y S son los números que indican la

π

08. Cuál es el ángulo en radianes para el cual

D)

7 mS  nC  20R  6m+5n= 12 m Determinar el valor de: n A) 3/5 B) 5/3 C) 9/10 D) 10/9 E) 2/3

D)

80 D °

A

C) 45°

 rad a grados 50 sexagesimales se obtiene AºB' , Calcular: B  2A M B  10A A) 7 B) 5 C) 11 D) -2 E) -3

03. Al

C

80 °

sistema sexagesimal, si se cumple:

GRUPO INGENIERÍAS 15. Del gráfico hallar “x”

A)

π π

D)

π

B) E)

C)

π

25(x + 1)g

π

(13x + 10)°

11. De la figura ¿Qué alternativa es correcta?

A) α + β = 90° B) α - β = 90° C) β - α = 90° D) - α - β = 90° E) β = -2α

A) 3 D) 6

β

B) 4 E) 7

C) 5

16. Los

ángulos iguales de un triángulo g isósceles son: (5x - 3)° y (7x - 25) . Hallar el ángulo desigual expresado en radianes.

α

12. De la figura calcular el valor positivo que

toma “x”

A)

C

B

(4 – 8x)g

D)

O

A) 6 D) 9

B) 7 E) 10

A) 319 D) 296

D)

π

B) E)

π

C)

π

C) 303

Calcular:

C) 4π

C)

B) 309 E) 285

18. Sabiendo que:

A) 1 D) 4

Sabiendo que S representa un número entero de grados sexagesimales contenidos en un ángulo, hallar la medida de dicho ángulo en radianes.

π

E)

π π

C) 8

radianes α = 180° + 90° + 45° + 22°30’ + 11°15’ + …

A)

B)

A

13. Calcular el valor de α expresado en

A) 6π B) 5π D) 3π E) 2π 14. En la expresión:

π

17. Reducir la expresión:

(5x - 4)°

D

π

B) 2 E) 5

C) 3

19. R. representa la medida de un ángulo en

radianes.

π

Hallar la medida de dicho ángulo en grados

π


41

GRUPO INGENIERÍAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO Se llama razón trigonométrica al cociente que se A) 20° B) 30° C) 40° da entre las longitudes de dos lados de un D) 50° E) 60° triángulo rectángulo respecto a uno de sus 20. Se inventa un sistema de medición angular ángulos agudos. “α” de tal manera que su unidad angular equivale a la 150ava parte del ángulo de Las razones trigonométricas en total son seis y una vuelta. ¿A cuántos grados “α” equivalen estas son: Seno, Coseno, Tangente, Cotangente, Secante y Cosecante. 300°? sexagesimales

Considerando: C.O. : Cateto opuesto C.A. : Cateto adyacente H : Hipotenusa 21. Los números que representan la medida de un ángulo en los sistemas sexagesimal y centesimal son números pares Tener presente que la hipotenusa siempre es consecutivos. Hallar el complemento de mayor que los catetos dicho ángulo expresado en radianes. A) 100 α D) 90

π

A) D)

α

α

B) 120 C) 125 α E) 105

π

B)

π

E)

α

C)

Guiándonos en el triángulo rectángulo anterior, podemos deducir las Razones Trigonométricas

π

π

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

22. Determine la medida de un ángulo en

radianes, si: A=B

A) D)

π π

B) E)

π

C)

π

π

Def.

Seno

C.O. H

Coseno

C.A. H

Tangente

C.O. C.A.

Cotangente

C.A. C.O.

Secante

H C.A.

Cosecante

H C.O.

 a sen  b c cos   b a tan   c c cot   a b sec   c b csc   a

 c b a cos   b c tan   a a cot   c b sec   a b csc   c sen 

Propiedades de las razones trigonométricas: I. Razones trigonométricas Recíprocas Conocemos que el recíproco de un número cualesquiera viene a ser la inversa de dicho número, en donde el producto del número y su recíproco resulta ser la unidad Ejemplo:

SEMANA 02


Razón



42

1 El recíproco de N será su inversa N , en

GRUPO INGENIERÍAS

N.

CONCLUSIÓN:

1 1 N

donde: Se denomina razones trigonométricas recíprocas si el producto de ellos resulta la unidad. 

a   b

C

.  b   1 a

1   sen  A   csc    csc   1  sen 

.



.

c

B

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES: 30°, 60°, 45°, 37° y 53°

1  cos     sec    sec   1  cos  

.

a   c

a

b   1 c

cos sec   1





b

sen csc   1

c   b

Para determinar la cofunción o co–razón de las funciones seno, tangente y secante se antepone el prefijo “Co”.  Sen60° = Cos30°  Senβ = Sen(90 - β)

.  c   1

k

53º

5k

a

74º

25k 3k

7k 16º

37º

24k

4k 75º

4k

5

15º

sen . csc=1

(

82º

2k

k

8º 6

7k

2 )k

sen3 . csc=3

k

26,5º

18,5º

2k

3k

 67,5º

2

4k

72º



2 k

a

    90º

18º

22,5º



2

B

2k

4k

Tangente     Co tangente   



Secante     Co sec ante   


54º

10  2 5 k

Seno     Co s eno   



c

63,5º

5k

k



b

A

71,5º

10k

2k

C



45º

3k

II. Razones trigonométricas de Ángulos Complementarios (Co–Razones) Recordando que ángulos complementarios es la suma de dos ángulos agudos cualesquiera en donde la suma resultante debe ser un ángulo recto (90º)



k

30º

.



45º

2k k

1   tan   cot  tan cot   1   cot   1 tan   Nota: no cometas estos errores frecuentes:

 

60º

2k

36º ( 5  1)k

43

10  2 5k

GRUPO INGENIERÍAS PROBLEMAS 01. Del gráfico, calcular: K = Tgα + Tgβ

04. Del gráfico, calcular: α

α

4 A

β

A) 13/7 D) 15/4

C

θ

B D

13

5

5

C θ

A) A 2 C) 4 D) 5

B) 13/6 C) 11/6 E) 5/9

02. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se cumple que:

M

α B) 3 E) 6

05. En la figura, calcular el valor de: “Ctgα”

B

E

C

α

2 G

Calcular:

3

F A A) 7/3 D) 2/5

B) 5/4 E) 13/8

B

D

C) 10/9

03. Del triángulo rectángulo mostrado, calcular el valor de: E = Secα + Tgα

A) 2/5 D) 2/9

B) 3/4 E) 3/7

C) 4/5

06. A partir del gráfico, calcular: M = Ctgα - Tgθ

B M

(3x - 2)

(2x + 2)

A

θ

α

x

A) 3/5 D) 6/7

B) 3/2 E) 2/3

A) 1/2 D) 2

C) 5/4

B) 3/4 E)

C) 1

07. A partir de la figura, calcule el valor de:


44

C

GRUPO INGENIERÍAS

M

2sen , si: AD  DC cos . cos B

   A

D

A) 1 D) 3

C

B) 1/2 E) 1/3

C) 2 A) 4 D) 16

08. Conociendo que: A = Tg1°.Tg2°.Tg3°….Tg45° B = Tg46°.Tg47°.Tg48°….Tg89° 2 Calcular: M   AB 

A) 3 D) 1/3

B) 8 E) 20

C) 12

12. Hallar Tgθ A

. tan  AB  

B) 2 E) 1



4

C) 1/2

09. Del gráfico adjunto, calcule: M = 3Ctgθ – 11Tgθ

37°

O

θ

B

A) 1 D) 1/2

30°

B) 2 E) 1/3

C) 3

13. Si Tgθ=2/3, AB=2, AD=3, calcular: Tgα

60°

B C A) B) C) D) E) 10. De un triángulo rectángulo ABC, se cumple: TgA + TgC = m. Calcular el valor de: SenA.SenC A) m

B)

D)

E)

A) 7/4 D) 9/4

C)

B) 4/7 E) 2/5

14. Hallar el valor de: (Ctgθ+Ctgα)Tgβ

11. De la figura siguiente, determine el valor de “d” Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

D

A

45

C) 4/9

GRUPO INGENIERÍAS 17. Del gráfico mostrado, calcule “Tgθ”. Si se tiene que : 13Cscα-12Ctgα = 15 B °

C 5 ° O A) 1 D) 1/2

B) 2 E) 1/4

A

12

C) 4 A) 5/3 D) 4/3

15. Calcular el valor de “Tgθ” A

B) 3/5 E) 4/5

C) 3/4

18. De la figura mostrada, calcular el valor de “Tgθ”

° D

n

53° E m

45°

C

B

A) 1/4 D) 1/8

B) 1/5 E) 1/9

°

C) 1/6

16. Calcular el valor de “Senθ” si ABCD es un cuadrado

P

B

C

A)

B)

D)

E)

C)

19. Si el área del triángulo sombreado es 2 de 66 m y además : Tgα=3/5; determine “d” C

°

37°

° d

A

M

A)

B)

C)

D)

D

D 37° A

E) Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

A) 15m

46

B

B) 19m C) 23m

GRUPO INGENIERÍAS D) 27m

(Triángulo Isósceles)

E) 31m

A

20. De la figura, si AOB es un sector circular, además . Calcule ctgɸ

A) 3 B) 5 C) 9 D) 6 E) 4

m α

B

21. De la figura, calcule L = ctgθctgα

C

30° A

θ

C

B

B A) 6 B) 9 C) 3 D) 8 E) 12

α

mcosα mcosα ÁREA DE LA REGIÓN TRIANGULAR Área de un triánguloBC en=función de dos lados y el 2mCosα ángulo comprendido El área de un triángulo cuales quiera se puede hallar conociendo dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.

a

α

h

c A

c

D

b

SEMANA 03 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS – ÁREAS DE REGIONES TRIANGULARES

ÁREA DE UN CUADRILÁTERO Conociendo las diagonales y el ángulo comprendido.

CASOS DE RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS. A) Cuando se conoce un ángulo agudo y el cateto hipotenusa a este. B) Cuando se conoce un ángulo agudo y el cateto adyacente a este. C) Cuando se conoce un ángulo agudo y el cateto opuesto.

A

A b

α

B

bcosα

01. Hallar “x”

asecα

A C

d2

PROBLEMAS

atgα

bsenα

α d1

α

B

a

m

C

mcscα m x

CASO ESPECIAL

α

B

mctgα

A) mSenαSenβ

C


47

B) mSenαCosβ

GRUPO INGENIERÍAS C) mCosαCosβ E) mTgαCtgβ 02. Hallar “x”

D) mCosαSenβ

D

A

m

x

B

A) mSenθTgθ B) mCosθCtgθ 2 C) mCos θ 2 D) mSen θ E) mSenθ

R

A) R(Cscθ+Ctgθ+1) B) R(Cscθ+1)Tgθ C) R(Cscθ+1)Ctgθ D) (Cscθ+1)Cosθ E) R(Secθ+1)Ctgθ

06. Calcule el área de la región limitada por terreno de forma triangular, donde dos sus dimensiones miden 8m y 11m y ángulo que forman dichas dimensiones 45°.

03. Hallar “x”

A) C) E)

A R

O

C

B) D)

un de el es

B

8m

07. De la figura hallar “x” en términos de : a; α y S β



A

a

H

11m

x B

A) R(1 – senθ) C) R(1 – cosθ) E) R(1 – tgθ)

C

x

B) R(secθ – 1) D) R(cscθ – 1) A) aCscβSenα C) aCscαSenβ E) aTgαCtgβ

04. Hallar “x”

B) aTgαTgβ D) aSenβSenα

08. La longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es m y uno de sus ángulos agudos mide θ. Halle el área de dicha región en términos de m y θ. R 2


θ

A)

x

A) RCtgθ B) RTgθ C) R(Ctgθ+1) D) R(Tgθ+1) E) R(Senθ+1) 05. Hallar: CD

B) C)

48

θ

θ θ

θ

GRUPO INGENIERÍAS D)

θ

θ

E)

θ

θ

D) RCos

E) 2RSen

09. En un triángulo ABC, se tiene que B = 60°, se traza la bisectriz BD ( ∈ Calcule BD, si AB = 4, BC = 2.

A)

B)

D)

E)

 2

13. Calcular “x” en la figura: A) a  bsen B) asen  ncos x C) acos  bsen D) asen  bcos  E) acos  bsen

.

C)

b

a

14. Hallar “x” en términos de m; α; θ

10. Hallar “x”

x

D

B

θ α

x A

A) mctgαtgθ B) mtgαctgθ C) msenαtgθ D) mtgαcosθ E) msecαcscθ 15. Del gráfico mostrado, hallar: S = OA + OB + OC + OD + ….

 H

m C 2 2 A) mSen θ B) mCos θ C) mSenθCosθ D) mSenθTgθ E) mSecθCscθ

11. En la figura mostrada, calcular el valor de “x”. si AC=4 y mBPC  53º .

A) B)

C

C) A

 x

D)

B

P

E) A) 3Cos  4Sen C) 4Cos  3Sen E) 4Cos  3Sen

B) 3Cos  4Sen D) 3Ctg  3Sec

A B

1 θ θ θ

O

θ θ

θ θ θ θθ

C D

θ θ

E

θ

16. Del gráfico mostrado, halle la longitud del segmento PB en términos de m, θ, α B

12. En la circunferencia de radio R se ha inscrito el triángulo ABC con AB=AC. Si la medida del ángulo BAC es  , entonces la longitud del lado BC es: A

A) msenθtg(θ – α) B) msenθctg(θ – α) C) mcosθtg(θ – α) D) mcosθctg(θ – α) E) m(tgθ – ctgα)

A) RSen B) RSen

m

.O

 2

C) 2RCos B


C

49

P θ

A

m

α

C

GRUPO INGENIERÍAS 17. Expresar PQ en términos de “α”; “θ” y “x”

A)

RM

A

D

Q

8

x

P

θ

B

A) C) E)

α

θ θ

α

α

Q

θ

θ

R B) M C) R  M  1 D) R  M  1

C

θ

B)

α α

 B

C

2

E) RM

θ θ

D)

P

θ

θ α

θ

21. En la figura la longitud del segmento PS y RT es L y el segmento TS es k. el valor de k T está dado por:

18. Hallar el área del rectángulo ABCD en función de “θ”, si : MN = 1 N

S A

B

P M

D

C

2

2

A) Secθ.Cscθ B) Sec θ.Csc θ 2 2 C) Senθ.Cosθ D) Sen θ.Cos θ 3 3 E) Sen θ.Cos θ 19. La figura muestra un cuadrado cuya área es 2

64m y tal que PC  BP . Calcular AM si AP  6m . A) 12 5m 12 3m B) 5 16 3m C) 5 12 5m D) 5

A

A) L  Sen  Sen 

B) L  Sen  Sen 

C) L  Sen  Sen 

D) L  Sen.Sen 

K  5 10.Cos A) 18 B) 15 C) 12 D) 9 E) 6

C

D E

A

B

O

figura mostrada, mABC  90º , mCBD   ; AB  p ; BC  x ; BD  q . B Calcule x.

23. De

P C

Q

22. Si ABCD es un cuadrado mEBA  53º , Calcular: mDCE   , mBEA  90º ,

P' M

 R

E) L  Cos  Sen 

B

6m



D

la

E) 12 3m 20. En la figura mostrada se cumple:

A

2

AB  BC  R y sen   cos  M ,

Determinar: PQ . ABC y PBD son sectores circulares concéntricos.


50

A) pqCos

p  qSen C) pqSen q  pCos

D

B) pqSen

C

p  qCos pq D) pSen  qCos

GRUPO INGENIERÍAS E) pqCos

División de un segmento en una razón (r) dada

q  pSen

Utilizar la fórmula: y1

SEMANA 04:

y

P1 mk

(m + n)P = nP1 +PmP2 INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA S y ANALÍTICA nk PLANO CARTESIANO P2 El plano cartesiano son dos rectas reales R y2 perpendiculares, una horizontal cuyo nombre es ABSCISAS, más conocida como eje x y la otra vertical, llama eje de ORDENADAS, más x2 x x1 BARICENTRO DE UN TRIÁNGULO conocida como eje y. También llamado punto de equilibrio de un y triángulo, centroide, el centro del triángulo. 4 A P3(x3; y3) P(3; 2) 3 y G(x; y) -4 -3 -2 -1 2 3x 2 1 1

B

-1 Recta x : Abscisas Recta y : Ordenadas O :-2 Origen de coordenadas -3 Ejemplo: Punto P(3; 2) abscisa 3 y ordenada 2. -4 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS y A

x

0

4

P1(x1; y1)

P2(x2; y2)

P1(x1; y1) G(x, y): BARICENTRO

ÁREA DE UN POLÍGONO Daremos la fórmula, para un polígono de tres vértices, para polígonos de más vértices, la fórmula generalizada.

3 2

P3(x3; y3)

1 -4

-3

-2

-1

0

x 1

2

y

3

-1

S

-2 -3

0

-4

x

P1(x1; y1)

P2(x2; y2)

P2(x2; y2) Según Pitágoras:

S = (x1y2 + x2y3 + x3y1 –x2y1 – x3y2 – x1y3)


51

GRUPO INGENIERÍAS (5;3)

(-2;4)

PROBLEMAS

n

01. Determine las coordenadas de un punto “P” que equidiste de los puntos A(2;7), B(-4;3) y C(6;3). A) (1;2) D) (2;1)

E 2n

B) (2;-1) C) (1/2;1) E) (1;1/2)

(-3;-1)

02. Qué tipo de triángulo, determinan los puntos A(-1;3), B(-3;-3) y C(11;-1) A) Isósceles B) Equilátero C) Escaleno D) Rectángulo E) Rectángulo isósceles 03. Dados los puntos A(2;5) y B(14;17); determine las coordenadas de los puntos que trisecan al segmento AB.

A) (1;2) D) (6;-1)

06. En un triángulo ABC, las coordenadas del baricentro son (5;5) y las coordenadas de dos de los puntos medios de sus lados son (5;3) y (6;8); determine las coordenadas de los vértices del triángulo.

A) (3;-1), (5;9), (7;7) B) (3;-1), (5;9), (4;13) C) (2;-3), (7;5), (6;13) D) (4;2), (5;9), (6;4) E) (4;5), (3;6), (8;4)

A) (5;9) y (10;13) B) (6;9) y (12;15) C) (8;10) y (10;13) D) (6;9) y (10;13) E) (6;9) y (12;14)

07. En la figura mostrada, siendo Tgθ=2/5; determine las coordenadas del punto “M”. y

04. Los puntos P(7;3) y Q(5;1) son los puntos medios de los lados BC y AC de un triángulo ABC; siendo el baricentro del triángulo el punto G(5;3); determine la suma de los cuadrados de las medianas del triángulo ABC. A) 36 D) 120

B) 72 E) 144

B) (3;-2) C) (6;-3) E) (-3;5)

(3; 8)

C) 81

x (1; 0)

05. En la figura mostrada, determine las coordenadas del punto “E”.

A) (4;0) D) (10;0)

M

B) (8;0) C) (9;0) E) (12;0)

08. Dados los puntos A(2;2) y B(5;-2), halle las coordenadas de un punto “P” en el eje de abscisas, de tal manera que el ángulo ∢APB sea recto. A) (2;0) y (6;0) Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

52

B) (1;0) y (5;0)

GRUPO INGENIERÍAS C) (2;0) y (5;0) E) (1;0) y (8;0)

REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE

D) (1;0) y (6;0)

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NEGATIVOS

09. Los puntos A(1; 2), B(4; 6) y C(12; 0) son los vértices de un triángulo ABC; determine Si un determinado ángulo trigonométrico lo las coordenadas del punto de intersección hacemos rotar en sentido antihoraio y horario, de la bisectriz interior que parte de “B” con determinamos las funciones de ( ) y ( ) en el el lado AC. gráfico: A)

B)

C)

D)

Luego de compararlos tenemos:

sen(  )   sen

E)

cos(  )  cos 

10. Determine las coordenadas del baricentro del triángulo MNP. (4;6) 2m

csc(  )   csc 

P

3n

cot(  )   cot  sec(  )  sec 

n N

tan(  )   tan 

3m

REDUCCIÓN DE ÁNGULOS POSITIVOS MENORES QUE 360º Aquí se vera como podemos hallar el equivalente de un R.T. que se encuentra en el segundo, tercer o cuarto cuadrante a uno que se encuentre en el primer cuadrante.

(-4;2) M (14; -4)

A) (5; 3) C) (3; 6) E) (5; 2)

B) (6; 3) D) (2; 5)

R.T.  90º      CO R.T.   

11. El lado de un rombo es igual a y dos de sus vértices opuestos son los puntos P(2;1) y Q(4;9); determine el área del rombo y la medida de la altura. A) 250 y 5 B) 150 y 3 C) 300 y 6 D) 150 y 6 E) 300 y 3 12. El triángulo ABC de vértices A(6;5), B(3;7) y C(2; -1). Hallar la mediana relativa al lado AC. A) D)

B) E)

C)

R.T.  180º     R.T.    R.T.  360º     R.T.   

Tener en cuenta que los signos  del segundo miembro se eligen de acuerdo al cuadrante donde se encuentre el ángulo que se está reduciendo y la función trigonométrica que se le esta aplicando. Considerar “  ” ángulo agudo con el fin de ubicar con facilidad el cuadrante. Conclusión: * Si el ángulo cuadrantal es 90º ó 270º la razón trigonométrica equivalente es su co-razon.

SEMANA 05 Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

R.T.  270º      CO R.T.   

* Si el ángulo cuadrantal es 180º ó 360º la

53

GRUPO INGENIERÍAS razón trigonométrica equivalente es la misma Trabajamos con el resto sec  1657º   sec 217º  sec 180º 37º 

Ejemplo: *

sen 300º  sen  360º 60º  sig

no

3 sen  360º 60º    sen 60º   2 Cuarto cuadrante

sig n

o

5 sec  180º+37º    sec 37º   4 Tercer cuadrante El signo será negativo, esto porque en el tercer cuadrante secante es negativo.

El signo será negativo, esto porque en el cuartoPROBLEMAS cuadrante seno es negativo. 1. Simplificar: * sec 300º  sec  270º 30º  s en 270º  s en  270º  a   cosa M sig cot  270º a   tan a  tan 30º n o

sec  270º  30º    csc 30º  2 Cuarto cuadrante El signo será positivo, esto porque en el cuarto cuadrante secante es positivo.

A) 3

B)  3 C) 2

D)  2

E) 1

2. ÁNGULOS MAYORES QUE 360º Si el ángulo a reducir es mayor a 360º ó 2 rad , lo que se debe hacer es dividir el ángulo que se desea reducir entre 360º ó 2 rad y a continuación se toma la misma función trigonométrica al residuo, así:

A)

3.

R.T.  n  2     R.T.     ; n 

Calcular:

J  3Sec 45º  Csc 330º  Cos240º  Sen150º 

B) 3 3  2  1

C) 6 2

D) 2 6 E) 6 2

4.

tan  1845º 

Calcular el valor de: c os  288º  cot 72º F  tan18º tan  162º  s en108º

A) 0 D) ½

1845º 360º 1800º 5 vueltas 45º

5.

B) 1 E) –1/2

Hallar  a  b 2

2



C) –1

siendo:

a  Sen510º  Cos510º b  Sen420º  Cos420º

Trabajamos con el resto tan  1845º   tan 45º  1 sec  1657º 

A) 4

B) 2

D) 3

E)  3

6.

1657º 360º 1440º 4 vueltas 217º Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

3 4 E) 1

B)

tan 765º  cot1035º csc390º 2 C) 3

A) 2 6

Ejemplo:

*

4 3

D) 0

R.T.  n  360º     R.T.     ; n 

*

Hallar el valor de: E 

54

Calcular el valor de:

C) 0

GRUPO INGENIERÍAS c os  750º   s en  1020º  cot  210º  A) 0 B) 1 C) –1 D) 3 E) –3 7. Reducir:  37  s en  44     c os     2  M  53    s ec      csc 19    2 

12. Siendo:

E

2

2

D)  Sec 

8.

n 1 7

 sen  n  x 

Calcule: P 

3 3

A)

C) Cos 

D)

3 24

E) Sen 

3 4

C) E)

4 3

tan x  sec x

B) 

D) 1 E) 

2

B)

1 13

4 3

C) 1

2 3

13. Dato

33 23 41 s en c os tan 4 3 6 Calcular: I  19 23 11 cot s ec csc 6 6 3

A)

 7; x  IV C

n 1

2

B)  Sen 

A) 0

6

 tan  n  x 

f() 

Sin 2  Cos 4  ,Calcular : f(  ) Tg8  Csc6 4

4 C) 2 2 2 D) 3 E)  3 14. Siendo  y  complementarios, reducir: Sin( 2   ) Tg( 3  2 )  Sin(2  3 ) Tg(3  4 )

A) 2 B) 

3 12

2 16

9.

Simplificar:    3  s en   x  tan    x  s ec   x 2   2  V  3      c os  x   cot  x    csc  x   2 2    A) c sc x B) tan x C)  tan x D) 1 E) 1

A) 1 D) -2

A) 2Senβ D) -2Senβ

B) 2Cosβ E) -2Cosβ

C) 2Tgβ

16. Si: SenA - 2CosA = 0, calcular :

Tg(90  A).Sec(180  A).Tg(270  A) Sen(360  A).Csc(180  A).Cos(180  A)

11. Reduzca:


C) 2

15. Si: β+θ=180°, reducir : Senβ+Senθ+Cosβ+Cosθ+Tgβ+Tgθ

10. Reduzca al tercer cuadrante: tan 2480º A) tan 220º B)  tan 240º C) tan 200º D) tan 240º E)  tan 220º

 57  2 tan  57     3 cot    2   G  79  4sen  82     5 cos     2  5 1 A) sec  B)  sec  C) 5 sec  D) 9 9 2 E)  csc   csc  9

B) -1 E) 0

A) -1/8 D) 5/8

B) 3/8 E) -5/4

C) -5/8

17. En un ΔABC, reducir:

Sen(A  B)  Tg(2B  2C).Ctg2A SenC A) 1 D) -2

55

B) -1 E) 0

C) 2

GRUPO INGENIERÍAS 18. Calcular el valor de: P = Cos10° + Cos30° + Cos50° + .... + Cos170° A) 1/2

B) 1

D) -1

E) 0

C)

que los ángulos están orientados; se atribuye un signo al sentido de giro, si los ángulos se miden desde el eje positivo de x, crecen positivamente en sentido contrario al de las agujas del reloj por lo tanto si se miden en sentido horario, los ángulos serán negativos.

3 2

Elementos de una Circunferencia Trigonométrica

19. Si α + θ = 360°, reducir:

Tg Sen Cos   Sen( ) Cos( ) Tg( ) A) 1 D) -3

B) 2 E) -2

y

C) 3

B  0;1

y 1

eje de cotangentes

A '  1;0 

SEMANA 06

O

B '  0; 1

El estudio de las R.T. de números reales se efectúa a partir de las características que posee la circunferencia unitaria, más conocida como circunferencia trigonométrica o también denominada circunferencia goniométrica. La circunferencia trigonométrica (C.T.) posee las siguientes características.

 Su

centro es el origen del sistema de coordenadas.

x 1

: Origen de arcos

B  0 ; 1

: Origen de complementos

A '  1 ; 0 

: Origen de suplementos

B '  0 ; 1

: No tiene nombre especial

P x ; y

: Extremo del arco 

x 1

: Eje de tangentes : Eje de cotangentes

y 1

REPRESENTACIÓN DE LAS R.T. CON SEGMENTOS DIRIGIDOS EN LA C.T. Línea Seno: El seno de cualquier número real (o arco) en la C.T. está representado por la ordenada del extremo del arco

2

x  y 1

y

C.T.

y

 P(x,y)

x

x'

En general las circunferencias cuyo radio posee una longitud determinada, pueden convertirse en circunferencias trigonométricas si dicha longitud se constituye en un equivalente unitario. En la circunferencia trigonométrica se considera Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

B

C.T.

1

 0;0 

x

Radio = r = 1 A  1; 0 

 Su radio es igual a la unidad  r  1 2

A  1;0 

P  x;y 

Circunferencia trigonometrica

 Su ecuación es:

eje de tangentes

56

sen  r 

A'

O

A

B'

y'

x

GRUPO INGENIERÍAS Variación de la Línea Seno:

Variación de la línea tangente: Se observara que se puede hallar la tangente P(x,y) para cualquier arco a excepción de los arcos de C.T. 1 la forma: Si :     1  sen   1  2n  1  ;  n  , para ellos la R.T. no esta 2 mínimo x' xmáximo 0 definida.  Línea Coseno: El coseno de cualquier número y real (o arco) en la C.T. está representado por la 1 abscisa del extremo del arco. B P y 'y y

B cos 

C.T.

x'



A'

x'

A

x

O

 A'

C.T.

B ' Coseno: Variación de la Línea

y' y

B'

y' P(x,y)

C.T.

Si:  

x'



x

x

O



   2n  1 ;  n 2    tan   

La tangente no tiene máximo ni mínimo

1

Si :  



PROBLEMAS

y' 0

1

1. Señale la expresión de mayor valor en: A) Sen190º B) Sen210º C) Sen260º D) Sen310º E) 1

 1  cos   1

mínimo

máximo

Línea Tangente: La Tangente de un arco, es la ordenada del punto de intersección entre la recta tangente que pasa por el origen de arcos y la prolongación de radio o diámetro que pasa por el extremo del arco.

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. Cos10º  Cos50º II. Cos100º  Cos170º III. Cos290º  Cos340º A) VFV D) VFF

x'

tan 

B

C.T.

O

x

Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302 B'

A)  3;3 

P



A'

3m  1 2  1 1 C)   ;   3 3

3. Indicar el intervalo de "m" si: Sen x 



y

B) FVF C) VVV E) FFF

57

1  B)  3;  3 

GRUPO INGENIERÍAS D)  0;3 

 1  E)   ;1  3 

A)

 C.T. 5 P 3 2 C)  5 O x 3 D)  5 3 E) 5 10. Si: 90º      180º , determinar la verdad (V) o falsedad (V) de las siguientes proposiciones: ( ) s en   s en  ( ) c os   c os  ) tan   tan  (

E) 0;3

5. Ordenar de menor a mayor: Sen1 ; Sen 4 ; Sen6 A) Sen1 , Sen 4 , Sen6 B) Sen1 , Sen6 , Sen 4 C) Sen6 , Sen1 , Sen 4 D) Sen 4 , Sen6 , Sen1 E) Sen6 , Sen 4 , Sen1 6. Ordenar de mayor a menor los siguientes números: Cos20º , Cos140º , Cos300º A) Cos20º ; Cos140º ; Cos300º B) Cos140º ; Cos300º ; Cos20º C) Cos20º ; Cos300º ; Cos140º D) Cos300º ; Cos20º , Cos140º E) Cos140º ; Cos20º ; Cos300º

A) VVV D) FFV

B) FFF E) FVV

C) VF

11. Hallar el área de la región sombreada:

y 

2n  6 5 determinar los valores enteros que asume "n": A) 2 Y 3 B) 5 Y 6 C) 2 Y 5 D) 1 Y 2 E) –1 Y –2

7. Si   IIIQ y además: Sen  

C.T.

O

x

A)  Sen  B) Sen C) Cos Cos  Sen  D) E) 2 2 12. Determinar el máximo y mínimo valor de F: 7  3cos F 2  cos 10 3 A) 4 y B) 3 y C) 4 Y 2 3 2 D) 5 Y 3 E) 6 Y 2

8. Indicar verdadero (V) o falso (F), si:  0 2 I) s en   s en  II) c os   c os  III) tan   tan  A) VVV B) VVF C) VFF D) FFF E) FVV 9. En la figura mostrada, las coordenadas del 15   punto P son  a ;  ; hallar el valor de: 17   E  c sc   cot 


y

B) 

4. Determine el intervalo de "a", si x  IIIQ . 1 a Cos x  2 A) 1;3  B)  1;3  C) 1;3 D) 1;3

5 3

58

GRUPO INGENIERÍAS 13. Del siguiente circulo trigonométrico calcular el y área del triángulo BCD. B Cos  A) D 2  Sen  B) 2 O x C) Sen  D) Cos  C E) 1 14. Del siguiente circulo trigonométrico calcular el área del triángulo ABC. Tg  y a) B 2 C Ctg  b) 2  A Ctg  O x c)  2 Tg  d)  2 e) Tg   Ctg 

 1  A)   ; 2   2 

B)  1;1

C)  0,1

1 2 18. Sabiendo que   IIC . ¿Cuál es la variación de: L  3sen  1 ? A) 0;2 B) 1;2 C) 0;3

D)   1;0

E)

D) 1;1

E)  4;2 

1;

19. Sabiendo que   III C ; sabiendo la variación de: L  2cos   1 A)  1;3 

B) 1;3

D) 0;3

E) 2;2

20. Sabiendo que: x  

C) 1;1

  ; ; señale la 4 4 2

variación de: L  3 tan x  1 A) 0;1 B)  0;1 C) 1;4 D) 1; 4

E)  2; 4

15. Indicar con (V) si es verdadero y con (F) si es SEMANA 07 falso las siguientes proposiciones: I. Sen50º  Cos 70º IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS II. Tg50º  Tg200º I) IDENTIDADES BÁSICAS III. Ctg89º  Ctg350º  0 A) VVV B) VFV C) FVV IDENTIDADES RECIPROCAS. D) VFF E) FVV 1) Senx Cscx  1 2) Cosx Secx  1 16. Ordenar de mayor a menor: 3) Tgx Ctgx  1 Sen10º , Cos18º , Sen172º A) Sen10º  Cos18º  Sen172º IDENTIDADES POR DIVISIÓN B) Sen172º  Sen10º  Cos18º Senx Cosx C) Sen10º  Sen172º  Cos18º 4) Tgx  5) Ctgx  D) Cos18º  Sen10º  Sen172º Cosx Senx E) Cos18º  Sen172º  Sen10º IDENTIDADES PITAGÓRICAS. 2 2 17. Si "" es un arco positivo menor de que una 6) Sen x  Cos x  1 vuelta que pertenece al IIQ, tal que: 7) Tg 2 x  1  Sec 2 x   n1  Cos      8) Ctg 2 x  1  Csc2 x 6 2  Hallar el conjunto de valores que puede tomar II) IDENTIDADES AUXILIARES. "n".


59

GRUPO INGENIERÍAS 3. Reducir:

4 4 2 2 9) Sen x  Cos x  1  2Sen xCos x

 Sen x  Cos x  1  Sen x  Cos x  1  C) Cos x D) Sen x E) 2 Sen x Cos x

6 6 2 2 10) Sen x  Cos x  1  3Sen xCos x ;

A) 2 B) Sen x Cos x

Sen 8 x  Cos8 x  1  4Sen 2 xCos 2 x  2Sen 4 x Cos4 x Sen10x  Cos10x  1  5Sen 2xCos2x  5Sen 4x Cos4x senx 1 cos x cos x 1 s enx 13)  ;  1  cos x senx 1  s enx cos x

4. A que es igual:

2  Tg x  Ctg x   Sec x  Cos x  Csc x  Sen x 

A) 0 B) 0,5 D) 1,5

14) Senx  Cosx  2Sen(x  45º ) 15) Tgx  Ctgx  SecxCscx

5. Simplificar:

2 2 2 2 16) Sec x  Csc x  Sec xCsc x

17) 18) 19) 20)

C) 1 E) 2

(1  Senx  Cosx) 2  2(1  Senx)(1  Cosc)

3

Vers x  1  Cosx Cov x  1  Senx Ex Sec x  Secx  1

Csc x  Sen x Sec x  Cos x

A) Sen x

B) Cos x

D) Ctg x

E) Sec x

C) Tg x

Observación: la forma de aplicar las identidades 6. Reducir: trigonométricas es muy variada y es importante 2 Ctg x  Cos x  Csc x  1  2 Sen x  aplicar operaciones algebraicas e identidades algebraicas: A) Sen x B) Cos x C) Tg x 1.D) Ctg x E) Sec x 2.3.7. Simplificar: 4.2 2 5.Tg x 1  Ctg x  Ctg x 1  Tg x 6.A) 0 B) 0,5 C) 1 D) 1,5 E) 2 7.8. Reducir: 8.4 4 6 6 6 Sen x  Cos x  4 Sen x  Cos x 9.A) 0 B) 0,5 C) 1 10.D) 2 E) 2,5







6

6

A) Sen x D) 2 E) 4

2

C) Cos x

10. Reducir: 2

 Sen x  Cos x    Sen x  Cos x  2

2

B) 1



2

6

A) Sec x

C) –1

2

D) Ctg x

D) 2 E) 4

C) Cos x

4

2

6

B) Cos x E) 1

11. A qué es igual: Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

2



Tg x Tg x  3 Tg x  3  1

2. Simplificar: A) 0 B) 4 Sen x Cos x





4  Sen x  Cos x   3  Cos x  Sen x 

1. Simplificar: Ctg x  Cos x  Sen x A) 1 B) Sen x D) 0 E) –1





9. Simplificar:

PROBLEMAS

2



60

6

C) Tg x

2

GRUPO INGENIERÍAS 2  3 2  1  Sen x  Cos x 1  Sen x   Cos x  1  Sen 2 x Cos x  A) 2 B) 1 C) 2 Cos x

D) 2 Sec x

2

A) 11 D) 14

B) 12 E) 9

C) 13

18. Si: Sen x  a y Tg x  b ,



Calcular: 1  a A) 2 B) 0 D) 1 E) 0,5

1 1  Csc x  Ctg x Csc x  Ctg x A) 2 B) 2 Tg x C) 2 Ctg x D) Sec x

2

Hallar: m Csc x  n Sec x A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 SEMANA 08

2

2

C) Tg x

2

D) Ctg x

E) Sec x

3 3 Tg x  Ctg x  m Sen x  Cos x  Tg x  Ctg x  2  Sen x  Cos x  3

Calcular: "m". A) 0 B) 1 D) 2 E) –2

C) –1

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPUESTOS A) SENO Y COSENO DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS. 1. 2.

Sen (  )  Sen Cos  Cos Sen Cos (  )  Cos Cos  Sen Sen

B) TANGENTE Y COTANGENTE SE LA SUMA Y DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS.

15. Reducir:

Sec   Cos  Csc   Sen   Sen  Cos 

A) Sec  D) Csc 

B) Sec  Csc  E) Cos 

C) Sen 

3.

Tg(   ) 

4.

Ctg(  ) 

Tg   Tg  1  Tg  Tg  CtgCtg  1 Ctg  Ctg

16. Reducir:

 Csc   Ctg   1  Csc   Ctg   1  Csc  Ctg   A) –2 D) 1

y

Cos x  Cos x  n

2

2

3

3

Sen x 1  1  Sen x  1  Sen x  A) Sen x B) Cos x

2

Sen x  Sen x  m

20. Si:

1

1

C) –1

Determinar:  Csc x  Sen x  A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

1

1 

 1  b 2  2

1

1

2

19. Si:  Sen x  Csc x   9

E) Csc x

13. A qué es igual:

M

calcular:

2

Tg x  Ctg x

E) 2 Tg x

12. Simplificar:

14. Si:

Tg x  Ctg x  11 ,

17. Si:

B) –1 E) 2

1

C) IDENTIDADES ADICIONALES 5.

Sen(x  y)Sen(x  y)  Sen 2x  Sen 2 y

6.

Cos(x  y)Cos(x  y)  Cos2 x  Sen 2 y

7.

Tg   Tg  

2

Tg  C) 4


61

Sen (  ) CosCos


Ctg  Tg  

5. Si: ABCD es un cuadrado, hallar " Tg  ".

Sen (  ) SenSen

4

A

9. Tg   Tg   Tg (  )Tg Tg   Tg (  ) 10. Tg  Tg  Tg(   )TgTg  Tg(   )

 3 5  , , , ..,(2k  1) ; K  z 2 2 2 2 * CtgA  CtgB  CtgC  CtgA.CtgB.CtgC * TgA.TgB  TgA.TgC  TgB.TgC  1

7 4 4 D) 7 A)

A) 2 B) 1

Sen  x  y   Sen  x  y  Cos  x  y   Cos  x  y  C) 2 Cos x

D) 2 Sec x

E) Tg y

Sen x  Cos x 

2. Si:

2 , 8

2 2

D)  2

E)

C) 5

3

A) Sen 

B) Cos 

1 D) 2

E) 1

C) 0

Tg   Tg    x  se obtiene: 1  Tg  Tg    x  A) Tg  B) Tg x C) Ctg x D) Ctg  E) Tg x Tg 

calcular: 8. Al reducir:

Cos  x  y   Cos  x  y  se obtiene: Sen  x  y   Sen  x  y  Ctg x C) Tg x A) Tg y B) D) Ctg y E) Tg 2x

Cos 35º Cos10º  Sen10º

9. Simplificar:

K

2

3


Sen  a  b  Sen  b  c  Sen  c  a    Sen a Sen b Sen b Sen c Sen a Sen c

A) 1 B) 2 D) –1

C) 9

C) 0 E) –2

10. Si: Sen x  Cos x  

2 8

  x 4 

Calcular: E  8 Sen 

3 4. Si: Tg  15º  x   ; hallar: " Tg  60º  x  " 5 A) 4 B) 1 C) 5 D)  1

E)

C

F

R

C) 9

E)

3

7. Al simplificar la expresión:

E) Tg y

B) 1

B) 3

P

3. Calcular el valor de: P 

A)

D

K  Sen  30º   Cos   Sen  Cos  30º  

  E  16 Sen  x    4 A) 2 B) 1 D)  2

B

6. El equivalente de la expresión:

PROBLEMAS 1. Reducir: E 

2



Si A  B  C  , 2, 3, ...,K; K  z 11. * TgA  TgB  TgC  tgA.TgB.TgC * CtgA.CtgB  CtgA.CtgC  CtgB.CtgC  1

Si A  B  C 

E

A) 1 B) 2 D) 4 E) 5 11. Al simplificar:

62

C) 3

GRUPO INGENIERÍAS

E

Cos  x  45º  1   2  Ctg x  Cos  x  90º  2

A) Sen 

B) Cos 

D) Cos

E) Sen  Cos 

C) Sen 

se obtiene: A) 2 B)

2 2

C) 

18. Calcular aproximadamente:

2 2

E  3 Cos7º  Sen 7º 4 6 A) B) 5 5 2 12 D) E) 5 5

D) 1 E)  2 12. Calcular aproximadamente:

K  24 Sen14º  7 Cos14º 25 A) 25 B) 2 D) 12

C) 24

19. Calcular: P 

E) 10

Sen   3 Cos  A) Sen    60º  C) 2 Sen    60º 

B) Sen    60º  D) Sen    30º 

5 5  Cos  Tg 12 12 12

A) 1 B) 2 D) 4 E) 5

1 E) 2 3 20. Si: Tg   ; 180º    270º 4 12 y Sen   ; 90º    180º 13 Calcular: Tg     

56 65 16 D)  65 A)

C) 3

15. Hallar: Tg 21º

32 25 7 D) 24 A)

25 32 117 E) 44 B)

C)

44 117

6 2

6 D)  6

B)

2

6 4

C) 

56 65

SEMANA 09

A) SENO Y COSENO DEL ÁNGULO DOBLE Se sabe:

Calcular: Sen a  Sen b A)

16 65 33 E)  56 B)

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS MULTIPLOS

16. Si: a  b  60º y a  b  45º 2

C) 1

1 D) 3

E) Cos 2 14. Reducir: 4 3 Sen

8 5

Tg 70º Tg 80º  Tg10º

A) 3 B) 2 13. Transformar a monomio:

C)

Sen (  )  Sen Cos  Cos Sen

C)

Como  y  son dos ángulos cualesquiera, podemos decir que  =  , se tiene:

6 6

6 E)  4

Sen (  )  Sen Cos  Cos Sen

Entonces: 1.

17. Simplificar:

Sen 2  2SenCos

Se sabe:

Cos (  )  Cos Cos - Sen Sen

Cos      Cos       Sen  2


Haciendo:

63

 =  , se tiene:

GRUPO INGENIERÍAS Cos (  )  Cos Cos  Sen Sen

Cosecante del ángulo doble en función de la tangente del ángulo simple: 2Tg  7. Sen 2  1  Tg 2 

Entonces: 2.

Cos2  Cos2   Sen 2 

Coseno del ángulo doble se puede expresar en 8. función del seno del ángulo simple, así:

Cos2  Cos   Sen  2

1  Tg 2  2Tg 

2

9.

Cos2  1  Sen 2   Sen 2 

Tg 2 

1  Tg 2 

Entonces: 3.

1  Tg 2 

Cos2 

10. Ctg2 

Cos2  1  2Sen 2 

1  Tg 2  2Tg 

Coseno del ángulo doble se puede expresar en 1  Tg 2  función del coseno del ángulo simple, así: 11. Sec2  1  Tg 2  Cos2  Cos2   Sen 2 

Cos2  Cos2  (1  Cos2 )

Csc2 

13.

Tg 2  1  Sec2 Tg 

Entonces: 4.

Cos2  2Cos2   1

B) TANGENTE Y COTANGENTE DEL ÁNGULO DOBLE De la fórmula: Tg   Tg  , haciendo  =  , Tg(   )  1  Tg  Tg  obtenemos: Tg   Tg  Tg(   )  1  Tg  Tg  Luego: 2Tg  5. Tg2   1  Tg 2  De la fórmula: CtgCtg - 1 , haciendo  =  , Ctg(  )  Ctg  Ctg obtenemos: CtgCtg - 1 Ctg(  )  Ctg  Ctg Luego:

6.

Ctg2 

Ctg2  - 1 2Ctg

1  Tg 2 2Tg 

12.

14. Ctg  Tg   2Csc2 15. Ctg  Tg   2Ctg2

3 1  Cos4 4 4 5 3 6 6 17. Sen   Cos    Cos4 8 8 4 4 16. Sen   Cos  

D) SENO Y COSENO DEL ÁNGULO TRIPLE 18. 19. 20.

Sen3  3Sen  4Sen3 Sen3  Sen(2Cos2  1) Sen3  4SenSen(60º )Sen(60º )

21. Cos3  4Cos   3Cos 22. Cos3  Cos(2Cos2  1) 23. Cos3  4CosCos(60º)Cos(60º ) E) TANGENTE DEL ÁNGULO TRIPLE 3

3Tg   Tg 3 

24.

Tg3  

25.

Tg 3  Tg Tg (60º )Tg (60º )

26.

Tg 3 2Cos2  1  Tg  2Cos2  1

1  3Tg 2 

PROBLEMAS C) IDENTIDADES ADICIONALES DE 1 ANGULOS DOBLES Sen x  Cos x  Seno, Coseno, Tangente, Cotangente, Secante y 1. Si: 4 , hallar: " Csc 2x " Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

64

GRUPO INGENIERÍAS

16 11 16 16 D) E) 13 7    2. Dado: Cos      4  A) 16

B)

C)

Cos   Sen  Cos   Sen   Cos   Sen  Cos   Sen  A) Tg  B) 2 Tg  C) Tg 2 D) 2 Tg 2 E) 4 Tg 2

16 15

m.

9. Simplificar:

Calcular: " Sen 2 " A) 2m B) 2m  1 D) 1  2m E) 1  m

2  2  2  2 Cos 8

C) 2m  1

3. Hallar "k" si se cumple que: 2 Cos  45º    Sen  45º    k Sen  Cos 

A) Sen 

B) Cos 

D) 2 Cos 

E) 2 Sen 

C)

1 Sen  2

2

A) –2

B) –1

D) 2 E)

C) 1

 1  , hallar: 2 2 Sen 2 Cos   1  Cos 2   1  Cos  

10. Dado: Ctg

1 2

4. Calcular el valor de la expresión:

Cos10º  Ctg 40º  Tg 40º 

A) 1 B) 2 D) 4 E) 6

C) 3

A) 1

B) 2

1 D) 2

1 E) 4

C) 4

11. Reducir la siguiente expresión: 5. Hallar "n" en:

2 2 Cos       Cos       Cos 2 Cos 2

n

16 Sen  Cos  Cos 2 Cos 4  Cos 8   Sen 2  A) 1 B) 2 D) 4 E) 5

A) 1 B) 2

C) 3

2

D) Sen 

6. Reducir la siguiente expresión:

2 2 Cos  a  b   Cos  a  b  4 Sen a Sen b

2

1  8 Sen  Cos  A) 1 B) Sen  D) 2 E) Cos 

C) Cos 2

7. Simplificar la siguiente expresión: 4  1  Tg   x  4  4  Sec   x  4 

A) Sen 2x

B) Cos 2x

D) Ctg 2x

E) Sec 2x

E) Cos 

12. Simplificar:

Cos 4  2

C) 3 2

A) Cos a Cos b

B) 2 Cos a Cos b

1 C) Cos a Cos b 4

D)

1 Cos a Cos b 2

E) 4 Cos a Cos b 13. Dado: Tg  45º     1, 5 . Calcular: Ctg 2 A) 1,8 B) 2,1 D) 2,7 E) 3

C) Tg 2x

8. Reducir la siguiente expresión:


2

C) 2,4

5 Tg   Tg   5  0 ; Calcular: " Tg 2 "

14. Dado:

65

GRUPO INGENIERÍAS A)

5

B) 2 5 C)

D)

5 5

E)

A) –2 D) 1 E) 2

5 2

21. Hallar

2 5 5

26 5 24 B) 5 21 C) 5 5 E) 26



D)

D)

5 21

1 9 2 E) 3 B)

B)

Cos C)

4 9

Tg

2 3

C)





1  Cos 2



1  Cos 2



1  Cos 1  Cos



1  Cos 1  Cos

2

 2



Ctg

2

 2

Identidades auxiliares:

3 4

Tgx  csc 2 x  ctg 2 x Ctgx  csc 2 x  ctg 2 x Ctgx  Tgx  2 csc 2 x Ctgx  Tgx  2ctg 2 x

18. Reducir:

2 Tg 2x  2 Tg  2x  90º   4 Ctg  4x  180º  A) Tg 2x B) 2 Tg 2x C) 4 Tg 2x

EJERCICIOS

1.

D) 0 E) 1 19. Reducir:

Cos  x  60º   Cos  x  60º   0,5 Cos 2x 2

2

B) 0,5 E) 2 2

3

E)

Sen

E) 3

A) 0 D) 1,5

2

x

17. Si: Ctg x  Tg x  6 . Hallar: Tg 4x

1 3 4 D) 3

C) 2

SEMANA 10 FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULO MITAD

16. Dado: Tg   Ctg   3 . Evalúe: Cos 4

A)

Tg   x  1 ;



2

1 3 8 D) 9

  3 ,

si:

Tg   x  1

3

A)

"x"

C) 0

A) 0 B) 1

15. De la figura, hallar "x". A)

B) –1

C) 1

2

20. Si: Tg   2 Tg   1 .


Halle: H  sen  x   

2

A)

1 2

B)

3 4

D)

1 8

E)

1 5

2

Calcular: Cos 2  Sen 

1 o 0 Si: cos x   ; x  180 ;270 8

2. Si: csc   2,6;

66

C)

 

3 2

5 7

GRUPO INGENIERÍAS Halle:

 E  tg   2

A) -1 D) 6

8. Reducir:

B) - 2 E) 8

x x P  Tgx  Ctg   Ctg Secx 2 2

C) -5

2Sen 2  Sen  ;   270;360 

3. Si:

9. Si: E  tg5º  ctg10º 

1  cos 20º B  sen20º cos10º

Hallar:

   2  3Sen  5Cos  2 2 

E=

B) 1 E) 2

A) 1 D) 1/2 4. Reduce:

Halle: A= B.E

C) 0

x   A  Senx Tgx .Ctg( )  1 2  

A) Tg x

B) Ctg x C) 1

D) 0

1 E) 2

A) 0

B) 1

D) 1

E) 1

x  E  Ctgx  Cosx  Tgx  Tg  2  A) Senx D) Cosx

2

11. Si:

A) 3  10 B) 3  10 C) 1 D) 3  10

A)

x Csc( )  2Cscx 2 A x x Sec ( ).Ctg( ) 2 4 B) 1

2

D)

A) 1 D) Tg x

B) x

C)

y

x y

E) 1

  E  tg    2 tg    4 ctg  4   2  A) tg  B) tg   C) 1 2  

C) 1

3

x x B  Ctg( )  2Cos 2 ( )Ctgx 2 2

  2

D) ctg 

B) Cos x C) Sen x E) Ctg x


y x

2

12. Reduce:

D) 0 E) -1

7. Reduce:

 x  y  sen   x  y ; 4

3

1

B) Cscx C) Tgx E) 2Ctgx

Halle: M  tg       

E) 1

A)

1 2

10. Reducir la expresión:

Halle: H  ctg  45º     

6. Simplifique:

C)

4

3

5. Si: tg   3;   III c



C) 1

A) 1 B) 2 D) 0 E) 1 /2

67

  4  

E) ctg  

y x

GRUPO INGENIERÍAS

Secx  Secy  Tgx  Tgy x  y Calcule: M  Tg Tg  2 2

13. Si:

A) 1

B) -1

C) 2

18. Reducir:

2 x  (Cscx  Ctgx ) Tg x 2 x x Tg  Ctg 2 2

(Cscx  Ctgx ) Ctg A

D) -2 E) 1

2

A) Senx D) 2Cosx

14. Si:

CscA  CscB  CscC  CtgA  CtgB  CtgC

19. si: (m+n) cscx + (m-n) ctgx = 2

Calcule:

A B C Tg 3 ( )  Tg 3 ( )  Tg 3 ( ) 2 2 2 M A B C Tg( )Tg( )Tg( ) 2 2 2 A) 1 D) 4

B) 2 E) 6

H

Cscx  Ctgx

C) 3

x Cscx  Ctgx   1 2

x 2 x csc 2 2

sec 2

B)

csc 2 x

D)

sec 2 x

E) 0

21. Calcule: m + n + p; en la siguiente identidad:

Tg  Csc4  Ctg  Csc4   Csc n m  Ctg n p A) 4 B) 6 D) 2 E) 12

C) 8

F  (Ctg5 o  Tg5 o )(Ctg25 o  Tg25 o ).

Ctg2x  Cscx

(Ctg35 o  Tg35 o )

Se comprueba que:

Csc2x  Cgt 2x

x x  nTg 2 2

22. Calcular:

17. Sabiendo que:

Ctgx 

E) n/m

C)

A) 2Ctgx B) 2Tgx C) 2 D) 0 E) 2Cscx

Csc2x 

A) 1 B) 2 D) m/n

A)

B) Ctg θ C) Sec θ E) Sen θ

csc 4x  csc 2x csc 2x  csc 4x  cot x  cot 4x tan x  ctg4x

E  m Ctg

Q  Ctg

C) 3

16. Reducir:

Calcular:

20. Simplificar:

 15. Reducir: A = Tag(45º + )  Sec 2 A) Tag θ D) Csc θ

B) Cosx C) 2Senx E) Tgx

 Sec (mx )  n

Calcule: (m+n) A) 2 B) 1,5 C) 3 D) 2,5 E) -1/2 Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

A)

2 3

B)

4 3 C) 8 3

D)

16 3

E)

32 3

TRANSFORMACIONES TRIGONOMETRICAS I). RELACIONES DE SUMA O DIFERENCIA A

68

GRUPO INGENIERÍAS PRODUCTO.

E) 1 

A B A B ). cos( ) 2 2

senA  senB = 2sen(

cosA + cosB = 2cos(

A B A B ). cos( ) 2 2

cosA - cosB = - 2sen(

A B A B ).sen( ) 2 2

2senx cosy = sen(x  y)  sen( x - y) 2cosx seny = sen(x  y)  sen( x - y)

4.

  11º15' , evalué sen   sen2   sen3  W cos   cos 2   cos 3 

Siendo

2 1 C) 1 2 5.

Hallar :

A) EJERCICIOS

F  Sen 70  Cos70 A) C) E) 1 2.

D)

Transformar a producto :

2 Cos25° 2 Sen20°

Reducir : M =

o

B) D)

6.

2 Sen25° 2 Cos20°

Cos11x  Cos7x Sen11x  Sen7x

2

7.

Si:

A B 

Halle:

P

 12

6  3  2 2

B)

6  3  2 2

C)

6  3  2 2

D)

6  3  2 2


2 2 1 2

Sena  Senb Cosa  Cosb

B)

2 3

E)

3

C)

3 2

Reducir : E = 4(Cos5x + Cos3x)(Sen3x  Senx) A) 2Sen4x B) 2Cos8x C) 2Sen8x D) 2Cos4x E) 2Sen4x.Cos4x Hallar el valor de “ M “ :

A) 0 D) – 1 8.

cos A  cosB senB  sen A

A)

E

M = Sen85°- Cos5°-Sen25°- Cos115°

2

A) 2Sen 2x B) 2Cos 2x C) Tag9x D) 2Sen3x 2 E) 2Sen x 3.

B)

E) 1 Si : a + b = 60° .

2senx seny = cos(x - y) - cos( x + y

o

2 1 D) 2 2

A)

2cosx cosy = cos(x + y) + cos (x - y)

1.

3 2

Reducir : R = (Tg2 +Tg4)(Cos2+Cos6) A) Sen2 C) 2Sen2 E) 2Sen6

9.

Reducir : E=

69

B) – 0.5 C) 0.5 E) 3

B) Sen6 D) Sen12

Cos4x  Cos2x  Cosx Sen2x(1  2Cos3x)


1 Cscx B) Cscx 2

D) Cosx

15. Si: 21 =  . Hallar el valor de:

C) Csc2x

E) Secx R=

Sen 23x  Sen 7 x Sen14x  Sen 2x

10. Reducir :

A

Sen3x  Sen6x  Sen9x Cos3x  Cos6x  Cos9x

Si x=5

3 3 3

A) D)

B)

C)

2 2

E  Cos 2 20  Cos 2 100  Cos 2 140

/2

A) 1 D) 5/2

B) Tag2x E) Tag4x

C) 2

ABC,

se

cumple

C A 2Sen  Sen ( ) 2 2

C) Tag3x

A) 5 senB B) 2 senB C) 2 sen  B   

D)

2

A) Cos4x.Cos6x B) Cos2x.Cos10x C) 2Cos4x.Cos6x D) 2Cos2x.Cos10x E) 4Cos2x.Cos10x

E)

B sen   2

1 B Sen ( ) 2 2

18. Simplificar:

M  senx  sen3x  sen5x  ...  sen15x Sabiendo que:

13. Hallar el valor de "n" igualdad :

Sen 2x  Sen 2 8x.Cosx

para que la

Sen5  Sen Sen5  Sen  Sen10  Sen2    n  Cos5  Cos Cos5  Cos  Cos10  Cos2 

Siempre sea nula. B) -2

3 /3

B)

D)

2

E) 2

3 /6 3 /3


B)

D) 1

E) 3

C) 4

E  sen  x  20  senx

Cos50o 2Sen70o  Sen50o

A)

1 2

A) 2

19. Halle el valor de x, comprendido entre 0º y 360° , que vuelva máxima a la expresión:

C) 2 E) -1

E

triángulo

Halle el equivalente de:

12. Expresar como producto : 2 2 E = Cos 4x – Sen 6x

14. Reducir:

un

sen A  sen C  2 sen B,

Senx  Sen3x  Sen5x  Sen7x Cosx  Cos3x  Cos5x  Cos7x

A) 1 D) 1/2

B) 3/2 E) 3

E) 1 17. En

A) Tagx D) Tag6x

C) 1

16. Hallar el valor de “ E “ :

3 2

11. Reducir:

E

B) – 2 E) 1/2

A) 2 D)  1

A) 270° D) 80° C) 1

B) 170° C) 350° E) 70°

20. Determine la suma del máximo y mínimo valor de:

70

GRUPO INGENIERÍAS

M  sen 2x  10º sen 20º 2 x  ECUACION

senx  a

cos x  b tgx  c ctgx  f

sec x  d csc x  e

D) 

2 2

Dada una ecuación trigonométrica elemental donde solo interviene una función trigonométrica básica se denomina valor principal a aquella A solución que pertenece al rango de la función ) inversa de la función dada. 3 Ejemplo:

CONJUNTO DE SOLUCION

n  (1) n Vp 2n  Vp n  Vp n  Vp 2n  Vp

2

B) 3.

C)

1.

2 2

A) 111º D) 132º

P  8Sen (15o  x).Sen (x  45o )

C) 122º

Indique el número de soluciones positivas y menores a una vuelta de la ecuación:

sec x  cos x  sen x B) 2

C) 3

C) - 6 3.

Calcule: a + b B) 1 E) 4

2 2

B) 133º E) 123º

A) 1 D) 4 E) 5

sen7 x  a  b  cos 2x  cos 4x  cos 6x  sen x

A) -1 D) 3

Halle la suma de las 3 primeras soluciones positivas de la ecuación:

sen 5x  10º 

5 2

B) 12 E) -3

Conjunto de solución. EJERCICIOS

21. Halle el producto de los valores máximo y 2. mínimo que toma la expresión:

A - 12 D) 6 22. Si:

1 1 1  Vp  ArcSen  Vp  2 2 2

3  2

n  (1) n Vp

E)

senx 

Resolver y dar la suma de soluciones de la ecuación: cos 2 x  sen x  0; x  0º;360º A) 450º D) 360º

B) 630º C) 540º E) 300º

C) 2 4.

Halle la suma de las soluciones de la ecuación: ctg x – csc 2x = 1 Para ángulos positivos menores de 360º

SEMANA 11 ECUACIONES TRIGONOMETRICAS Una ecuación trigonométrica es una igualdad en la que intervienen funciones trigonométricas y se A) 360º B) 630º C) 450º verifica para determinados valores de la variable D) 660º E) 810º 1. Ecuación trigonométrica elemental. Denominamos de esta manera a aquellas 5. Resolver: Senx  Cosx  1  Sen 2x ecuaciones trigonométricas cuya forma es la siguiente: A) /8 ; 0 B) /6 ; /2 Donde: C) /3 ; 0 D) /10 ; /6 E) /12 ; /4 a,b y N son constantes reales. F.T(ax  b)  N

x: Variables o incognita 2. Valor principal (Vp) Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

6.

71

Resolver :

Tg 2 x  3Tgx ;

GRUPO INGENIERÍAS

3Tagx - 4 = 0

Si x<180°; 360°> A) 150° ; 210° C) 180°; 240° E) 210°; 270° 7.

A) 53° ; 127° B) 53° ; 233° C) 75° ; 225° D) 75° ; 105° E) 45° ; 135°

o Resolver : 2Sen x  1  Cosx 13. Resolver : Tg(5x  25 )  1 Indicar la suma de sus dos primeras Encontrar las tres primeras soluciones soluciones. positivas.

2

A) 180° D) 360° 8.

B) 240° ; 360° D) 240° ; 270°

B) 120° E) 200°

Resolver :

C) 240°

A) 32° ; 68° ; 104° B) 31°; 62°; 102° C) 32° ; 64° , 106° D) 32° ; 68° ; 102° E) 32°; 66° ; 108°

(Senx  Cosx) 2  1  Cosx

Indicar la tercera solución positiva. A) 180° D) 720° 9.

B) 270° E) 450°

C) 390°

Sen 3x.Cscx  2

Resolver :

Hallar el número de soluciones en A) 1 B) 2 D) 4

14. Determinar todas las soluciones de la ecuación:

1  tg x 3  ctg x ; KZ  1  tg x 3  ctg x

0;2 

  k    4     C) K    12     E) K    4  A)

C) 3 E) 5

10. Resolver :

2Secx .Cscx  3Tgx  2Ctgx  5 3 Indicar la tercera solución. A) 210° D) 520°

B) 360° E) 650°

11. Resolver Cosx = -

C) 420°

 

A)

3 ; 4 6

C)

3 ;5 4 4

E)

3 ;7 4 4





B)



15. Resolver la ecuación:

3(1  Cosx)  Sen 2 x ; n  Z A) { 2  n } B) {  n }

2 ; 2

x   0 ; 2 

  K    6     D) K    18   B)



  n 2    E)  n 4  C) 



5 ;5 4 3

D)  /4 ; /2

16. Resolver e indicar la solución general:



2 2 π π A) k ± 2 6 Cos3x =

12. Resolver si : x   0 ; 2  Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

D) 4  n

72

B) 2k

π π ± 3 3

GRUPO INGENIERÍAS

π π ± 3 12 π π E) k ± 2 4

D) kπ ±

C) 2k

17. Resolver :

b)

c)

10Sen x  Senx  2 2

K  (1) k

a)

π 8

 K  (1) k 3  K  (1) k 4

21. Resolver: Sen2x = Senx Indicar la solución general. A)

 6

C)

E)

A) /8 D) /12

Senx  Cos2x  1 B) /4 E) /7

19. Resolver: Sen(4x - 20°) =

B)

D)

 4  k  2

k 

Sen 2 x  Sen 2 2x  Cos 2 x  Cos 2 2x     a) 2k  b) 2k  3 4 3 6     c) 2k  d) 2k  3 2 4 2  e) k  6

2 K  (1) k ArcSen ( ) 5

18. Resolver :

 6  2k  3  k  6 2k 

22. Resolver e indicar una de las soluciones generales.

d) Ay E e)

B) 45° ; 125° ; 405° ; 495° C) 135° ; 225° ; 495° ; 585° D) 135° ; 315° ; 495° E) 225° ; 315° ; 858°

C) /6

3 2

π π π + (-1)n + 4 24 36 π n π - π B) n + (-1) 4 24 12 π n π C) n + (-1) 4 12 π n π +π D) n + (-1) 4 18 6 π π π E) n + (-1)n + 4 8 6 A) n

SEMANA 12 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Resolver un triángulo, implica determinar sus elementos básicos (es decir, sus tres lados y sus tres ángulos), relacionándolos mediante las leyes trigonométricas. Sea el triángulo ABC mostrado: Elementos del triángulo:  Lados: a, b, c  Ángulos: A, B, C

20. Resolver : Ctgx +1 = 0 ; x  < 0 ; 600°> A) 45° , 225° , 405° ; 850° Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

73

GRUPO INGENIERÍAS

B c

a

A

C

b

cos A 

b2  c2  a2 2bc

cos B 

a2  c2  b2 2ac

cos C 

a2  b2  c2 2ab

1. LEY DE SENOS Del gráfico, se cumple:

3. LEY DE TANGENTE Del gráfico, se cumple:

B

B

a

c A R

C

b

c

a

A a b c    2R senA senB senC

2

a b  ab

Además: Donde: R circunradio del triángulo ABC

a  2 R.senA b  2 R.senB c  2 R.senC

 A B  tg    2   A B  tg    2 

4. LEY DE PROYECCIONES Del gráfico, se cumple:

A

2. LEY DE COSENOS Del gráfico, se cumple:

c

B c A

C

b

B

a b

b C

a

a = b cosC + c cosB

C

b = a cosC + c cosA

c = acosB + b cosA

a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cosA b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cosB

EJERCICIOS

c 2  a 2  b 2  2abCosC Además: Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

1. Las longitudes de los lados de un triángulo son tres números enteros consecutivos y el

74

GRUPO INGENIERÍAS ángulo A. A) 60º D) 20º

ángulo mayor es el doble del menor (). La relación del lado mayor al lado menor es: A) 2 cos  C) cos  E) 5/3

B) cos 2 D) 2 sen 



Calcule el lado “a”. A) 3 D) 4

C) c

C) 5

a 2  b 2  c 2  10m 2 , calcule k  bc cos A  ac cos B  ab cos C

a(SenA + SenB + SenC) CscA A) P B) 2P C) a D) a/2 E) p/2

2

A) 4 m 2 D) 3 m

4. Dado un triángulo ABC, se cumple: 3 senC = 4 senB = 4 SenA Calcule su perímetro si su área es B) 14  E) 15 

B) 2 E) 6

9. En un triángulo ABC, se cumple que:

3. En un triángulo ABC, simplificar:

A) 10  D) 20 



a b 2  c 2  4senA  bcsen 2A 2R

b cos B  c Cos C CosB  C B) b E) b - c

C) 50º

8. Dado un triángulo ABC, se cumple:

2. En un triángulo ABC simplificar:

A) a D) b + c

B) 40º E) 30º

8 5

2

B) 6 m 2 E) 5 m

C) 7 m

2

10. Si el área de un triángulo ABC es igual a 8m2

C) 18 

calcule el valor de:

M

5. Si en un triángulo ABC se cumple: 2

ab = 4R cos A cos B. Calcule la medida del ángulo C (R: circunradio del  ABC)

A) 2 m

a 2 sen B sen C 2 Sen A

2

B) 6m

2

E) 10m

D) 4 m

2

C) 8m

2

2

11. En un triángulo ABC reduzca: A) 20º D) 60º

B) 80º E) 120º

C) 90º

M

6. En un triángulo ABC se cumple b  c2  bCtgB  c Ctg C2  4R 2 Donde R : circunradio Calcule la medida del ángulo A A) 20º D) 60º

B) 50º E) 40º

C) 70º

b sen C sen 2 A   c sen B senBsenC

A) Sen A B) 2Sen A C) Cos A D) – CosA E) 2 CosA 12. El Coseno del mayor ángulo de un triángulo cuyos lados son tres números enteros y consecutivos es iguales a 1 /5. Hallar el perímetro del triángulo. A) 15 B) 20 C) 18 D) 21 E) 24

7. En un triángulo ABC se cumple que:

a 2  b 2  c 2  bc, calcule

la medida del


13. Hallar “ x” si : Ctg θ = 2 2

75

GRUPO INGENIERÍAS



θ

x

20

3 37°

A) 24 D) 36

B) 30 E) 42

5

θ 32 C)

A) 9 /10 3 D) 19/20

14. En un triángulo ABC ; m  ABC  60 ; o

b  3 2 ; y c  3  3 . Hallar el ángulo 19. B) 30° E) 20°

C) 45°

15. Si los lados b y c de un triángulo miden 31 cm. y 7 2 cm. respectivamente y el ángulo A = 45°. Hallar el lado “a”. A) 20° D) 30° 6.

B) 15° E) 25°

Hallar el valor del ángulo “A” A) 80 B) 45 D) 30 E) 60

2 bc 3

a  b2  c2 

C) 28°

Hallar E = TgA

16. En un triángulo ABC simplificar:

b  a SenA  SenC  b  a SenB  Senc

3 3

A) 1 B) D)

2 2

C) E)

21. En la figura ABCD es un cuadrado; M y N son puntos medios. Hallar “Sec x”

N

A

5

B)

D) M8

x E)

A)

17. En un triángulo ABC se sabe que : b  20 2 ; c  a  16 y m  A  45o .

18. Hallar : M 

C) 56

2

3

A) b + c B) a + c C) 1 D) 2 E) a  c

Calcular el valor del lado a. A) 42 B) 52 D) 62 E) 64

C) 70

20. En un triángulo ABC se cumple :

En un triángulo de lados : x ; x + 3 y (x4) el ángulo medio mide 60°. Hallar “ x “ A) 25 B) 28 C) 30 D) 37 E) 42

M

En un triángulo ABC se cumple :

a 3  b3  c3  a2 a bc

A A) 25° D) 15°

B) 9 /20 C) 10 /9 4 E) 10 /19

6

B C)

7

10

22. Hallar el perímetro de un triángulo si los ladosD son tres números consecutivos y C además de los ángulos miden 30° y 37° respectivamente. A) 12 B) 14 C ) 16 D) 18 E) 20

Sen  Sen 

23. En un triángulo ABC se tiene que : b  5 ,

c6


76

, mA = 37° y el radio inscrito r = 0.9

GRUPO INGENIERÍAS . Hallar el lado a. A) 8 B) 9 D) 12 E) 14

 Ángulos Horizontales: Son aquellos que están contenidos en un plano horizontal.  : Ángulo horizontal

C) 10

2 2

24. En la figura si Tg 

.Hallar

DE

C 4 D

3

5

x 

60° A

A) 1 B) 2 D) 4 E) 5

E

B

C) 3

 Rosa Naútica o compas marino: Es la representación esquematica de la brújula, la cual esta dividida en 32 partes iguales.

25. En un triángulo ABC se cumple que: abc = 16 y

SenA .SenB.SenC 

A)

Rumbos Notables

B)

Rumbos Cualesquiera

1 . 4

Calcular el circunradio de dicho triángulo. A) 1 B) 2 D) 4 E) 5

C) 3

SEMANA 13 ANGULOS VERTICALES Y HORIZONTALES

N ºE N55 35º E S O

O  S

EJERCICIOS 1. Donde: α: ángulo de elevación β: ángulo de depresión El ángulo formado por dos líneas de mira se denomina ángulo de observación o de visibilidad Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

77

Una hormiga observa lo alto de un poste con un ángulo de elevación “”, si se acerca hacia él una distancia igual a su altura y mira lo alto de dicho poste nuevamente, el nuevo ángulo de elevación es el complemento del anterior. Halle: “tg”.


5 1 2

5 +1

C) 2.

B)

5 1 2

D)

51

5 E) Desde un punto en tierra se observa lo alto de un edificio con un ángulo de elevación de 37º . Nos acercamos una distancia “x” y el ángulo de elevación tiene por tangente 4. Si 6. la altura del edificio es “h”. Halle:

x h

(Tomar: sen 37º = 0,6) A) 1,21 3

B) 1,08 2

C) 1,08 3

D)2,13 2

D) 3 4.

B)

4 3

C)

7 3

B) 30,6 E) 38,4

C) 34,6

Al observar la parte superior de una torre, el ángulo de elevación es 53º, medido a 36m de ella, y a una altura de 12m sobre el suelo. Hallar la altura de la torre. A) 24m B) 48m C) 50m D) 60m E) 30m

E) 2

Una antena de radio de 15m. de longitud se encuentra en la azotea de un edificio. Desde un punto del plano horizontal que pasa por la 9. base del edifico las elevaciones angulares de la parte superior e inferior de la antena son “” y “  ” respectivamente. Si: tan = 0,76 y tan  =0,19, determinar (en m) la altura del edifico. A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

5.

Una persona colocada a la orilla del rio ve un árbol plantado sobre la ribera opuesta bajo un ángulo de elevación de 60º se aleja 40mts, y nuevo ángulo de elevación mide 30º ¿Cuál es la altura del árbol?

8.

ctg

(Tomar: sen37º = 0,6)

5 3

C) 90º

Subiendo por un camino inclinado un ángulo de 37º respecto a la horizontal, se divisa lo alto de un poste con un ángulo de elevación de45º. Si el poste se encuentra a 20m del punto de observación; ¿Cuál es la altura del poste? A) 2m B) 3m C) 6m D) 4m E) 8m

torre con un ángulo de elevación “  ”. Nos acercamos una distancia igual a la altura de la torre y el ángulo de elevación es ahora

A)

B) 67º30’ E) 120º

7.

Desde un punto de tierra se ve lo alto de una

37º. Calcule:

A) 22º30’ D) 60º

A) 43,6 D) 36,4

E) 3,01 5 3.

su misma trayectoria la pista de aterrizaje de extensión igual al doble de la altura a la que se encuentra, si ve el extremo más alejado con ángulo de depresión de 22º30’ .Calcule con que ángulo observa el otro extremo.

Desde una balsa que se dirige hacia un faro se observa la parte más alta con ángulo de elevación de 15º, luego de acercarse 56m se vuelve a observar el mismo punto con un ángulo de elevación de 30º. Determinar la altura del faro. A) 14m D) 30m

B) 21m E) 36m

C) 28m

Un avión que esta por aterrizar observa en 10. Al estar ubicados en la parte más alta de un


78

GRUPO INGENIERÍAS edificio se observan dos puntos “A” y ”B” en el mismo plano con ángulo de depresión de 37º y 53º. Se pide hallar la distancia entre estos puntos, si la altura del edificio es de 120m. A) 70m B) 90m C) 120m D) 160m E) 100m

un ángulo de depresión de 37º, dicho automóvil se desplaza con velocidad constante. Luego que avanza 28m acercándose al edificio es observado con un ángulo de depresión de 53º. Si de esta posición tarda en llegar al edificio 6seg. Hallar la velocidad del automóvil en m/s.

11. Un avión observa un faro con un ángulo de A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10 depresión de 37º si la altura del avión es 210 y la altura del faro es 120m. Hallar a que 16. Se observan 2 puntos consecutivos “A” y “B” distancia se encuentra el avión. con ángulos de depresión de 37º y 45º A) 250m B) 270m C) 280m respectivamente desde lo alto de la torre. D) 290m E) 150m Hallar la altura de la altura si la distancia 12. Obtener la altura de un árbol, si el ángulo de entre los puntos “A” y “B” es de 100m elevación de su parte mas alta aumenta de A) 200m B) 300m C) 400m 37º hasta 45º, cuando el observador avanza D) 500m E) 600m 3m hacia el árbol. A) 3 B) 6 C) 8 17. Un niño observa la parte superior de un árbol D) 9 E) 10 con un ángulo de elevación , cuando la distancia que los separa se ha reducido a la 13. Desde 3 puntos colineales en tierra A, B y C tercera parte, la medida del ángulo de (AB = BC) se observa a una paloma de un elevación se ha duplicado. Halle . mismo lado con ángulos de elevación de 37º, 53º y “” respectivamente. Calcule A) 45° B) 60° C) 37° “Tg”, si vuela a una distancia de 12m. D) 30° E) 53° A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10 18. Una persona se dirige a un edificio y observa 14. Un avión que vuela a 1Km sobre el nivel del lo alto del mismo bajo un ángulo de mar es observado en 2 instantes; el primer elevación , después de caminar 10 m. instante a una distancia de 1,41Km de la Observa la misma altura bajo un ángulo de vertical del punto de observación y el otro elevación a. Si la altura del edificio es de instante se halla 3,14Km de la misma 30m vertical. Si el ángulo de observación entre 1  estos dos puntos es “”. Calcule: 3Tg Ctg   3 Calcular: E = Ctg - Ctg2  Considere A)

2

2  1,41; B)

3

3  1,73 C)

A) 1 B) 2 D) 1/2

5

C) 5 E) 3

19. Desde un punto se observa lo alto de una torre con un ángulo de elevación , desde la' D) 7 E) 10 mitad de la distancia el ángulo de elevación es el complemento del anterior. 15. Desde lo alto de un edificio se observa con Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

79

GRUPO INGENIERÍAS Halle tan A)

2 2

B)

D)

3

E) 1

3 2

C)

2

20. Una antena de radio está colocada en la azotea de un edifico. A 12 m de distancia del edifico sobre el suelo, los ángulos de elevación de la punta de la antena y de la parte superior del edificio son 53° y 37° respectivamente. Halle la longitud de la antena. A) 7m B) 6m C) 5m D) 8m E) 6,5m


80

GRUPO INGENIERÍAS


81


ANALISIS DIMENSIONAL

10 2 10 1 10 Factor

Sistema Legal de Unidades de Medida del Perú (SLUMP) – Ley Nº 23560

10

EL SLUMP establece en el Perú el Sistema de Unidades (SI), tal como es aceptado en casi todos los países del mundo. El SLUMP comprende:  Unidades de medida, sus definiciones y

10 10 10

símbolos.

10

 Prefijos, sus equivalencias y símbolos.

10

 Reglas de uso y escritura de unidades,

10

múltiplos, submúltiplos y símbolos.  Reglas

de

presentación

de

10 valores

10

numéricos, de fechas y del tiempo.

10

 Reglas de uso de unidades, prefijos y valores numéricos en cálculos, conversión y redondeo.

–1 –2 –3 –6 –9 –12 –15 –18 –21 –24

kilo hecto deca Prefijo

k h da Símbolo

deci

d

centi

c

mili

M

micro



nano

N

pico

P

femto

F

atto

A

zepto

Z

docto

Y

MAGNITUDES FÍSICAS

Magnitud: Es todo aquello que sea susceptible de aceptar una comparación con otra de la Establece siete unidades básicas con sus misma especie. múltiplos y submúltiplos (Sistema Internacional ampliado) correspondientes a siete magnitudes Clasificación de las magnitudes: fundamentales. Además, en la XI conferencia Se clasifica en dos grupos: Internacional de Pesos y Medidas celebrada en 1. Por su origen: París en 1960, por sugerencia de Alemania, se a) Magnitudes Fundamentales establece un tercer grupo de unidades b) Magnitudes Derivadas complementarias o auxiliares (radián y c) Magnitudes Auxiliares estereorradián). Magnitudes Fundamentales: A las unidades fundamentales le corresponden Son aquellas que sirven de base para escribir las las Magnitudes fundamentales siguientes: magnitudes, en mecánica tres Longitud, Masa, Tiempo, Intensidad de corriente demás eléctrica, Temperatura absoluta, Intensidad magnitudes fundamentales son suficientes: Longitud (L), masa (M) y tiempo (T). luminosa y Cantidad de materia o sustancia. El Sistema Internacional de unidades (S.I.)

Múltiplos y submúltiplos de unidades en el S.I. Factor Prefijo Símbolo 24 10 Yotta Y 21 10 Zeta Z 18 10 Exa E 15 10 Peta P 12 10 Tera T 9 10 Giga G 6 10 Mega M Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

Las magnitudes fundamentales son: Magnitud

Nombre

Símbolo

E. dim

Longitud

metro

m

L

Masa

kilogramo

kg

M

Tiempo

segundo

s

T

82

GRUPO INGENIERÍAS Capacidad

Temperatura termodinámica

Kelvin

Intensidad de corriente eléctrica

ampere

A

I

Intensidad luminosa

candela

cd

J

radiación

Cantidad de sustancia

Mol

mol

N

Magnitudes suplementarias:



K

faradio

eléctrica Radiación ionizante Dosis

de

F

Gray

Gy

sievert

Sv

Realmente no son ni fundamentales ni derivadas, sin embargo se les considera como magnitudes fundamentales. El radián es considerado unidad Son aquellas magnitudes que están expresadas de medida de ángulos planos y el estereorradián en función de las magnitudes fundamentales. se utiliza para medir ángulos sólidos. Ejemplos: Magnitudes Derivadas:

Magnitud

UNIDAD

SÍMBOLO

Unidades Suplementarias

UNIDAD radián estereorradián

SÍMBOLO rad sr

Frecuencia

Hertz

Hz

Fuerza

Newton

N

Presión

Pascal

Pa

Trabajo, Energía

Joule

J

Potencia

Watt

W

Carga eléctrica

Coulomb

C

Voltio

V

Son aquellas magnitudes que están perfectamente determinadas con sólo conocer su valor numérico y su respectiva unidad. Ejemplos: Volumen, temperatura, tiempo, etc.

Siemens

S

Magnitudes Vectoriales:

Potencial eléctrico Conductancia eléctrica Actividad

2.

Por su naturaleza: a) Magnitudes escalares b) Magnitudes vectoriales c) Magnitudes tensoriales

Magnitudes Escalares:

Son aquellas magnitudes que además de conocerse su valor numérico y su unidad, se necesitan su dirección y su sentido para que dicha magnitud quede perfectamente determinada. Ejemplos: Velocidad, aceleración, fuerza, peso, impulso, campo eléctrico, etc.

Becquerel

Bq

Carga magnética

Weber

Wb

Flujo magnético

Tesla

T

Henry

H

ANÁLISIS DIMENSIONAL

ºC

Es la parte de la Física que estudia la forma cómo se relacionan las magnitudes derivadas con las fundamentales.

radiactiva

Intensidad

del

flujo magnético Temperatura

grado Celsius

Flujo luminoso

lumen

Lm

Finalidades del Análisis Dimensional:

Iluminancia

lux

Lx

1. Sirve para expresar las magnitudes derivadas en términos de las fundamentales


83

GRUPO INGENIERÍAS 2. Sirven para comprobar la veracidad de las 1 fórmulas físicas haciendo uso del Principio del sen30º  Homogeneidad Dimensional. 2 3. Sirven para deducir fórmulas a partir de datos experimentales log 2  0, 301030

 sen30º   1

 log 2   1

Ecuaciones Dimensionales:

2  3e    ln b 2   1 3e    ln b Son expresiones matemáticas que relacionan las magnitudes fundamentales, utilizando para ello las reglas básicas del álgebra, excepto las de Resumen de algunas magnitudes derivadas FORMULA suma y resta. Estas ecuaciones se diferencian de MAGNITUD ECUACIÓ DIMENSIO las algebraicas porque sólo operan en las N NAL magnitudes. Área o (Largo)x(anc 2 Una ecuación dimensional se denota por:   Superficie ho) Ejemplo:  A  : se lee ecuación dimensional de A. Volumen o (Área) x 3 capacidad (altura) Principio de Homogeneidad

L L

Si una expresión es correcta en una fórmula, se debe cumplir que todos sus miembros deben ser dimensionalmente homogéneos. Así:

Densidad

A B  C  D  E  A   B    C    D    E 

Caudal gasto



masa 3 ML volumen

o

Propiedades: 1. En el análisis dimensional se cumplen las leyes del álgebra a excepción de la adición y diferencia.

Velocidad lineal

2. La ecuación dimensional de todo número es la unidad, llamadas también magnitudes adimensionales.

Aceleración lineal o de la gravedad

3. En toda ecuación adimensionalmente correcta, los términos de su ecuación deberán de ser iguales (principio de homogeneidad). Ecuaciones algebraicas

Ecuaciones dimensionales

4M  3M  7M

4M  3M  M

3L  3L  0

3L  3L  L

LT 1  5LT 1  6LT 1

LT 1  5LT 1  LT 1


Fuerza, peso, tensión, reacción Impulso, ímpetu, impulsión Cantidad de movimiento

84

Volumen Tiempo

L3T 1

Dis tan cia LT 1 Tiempo

Velocidad LT 2 Tiempo (Masa) x(Aceleració n)

MLT 2

( Fuerza).(tiempo ) 1 MLT

(masa).(velocidad MLT) 1

GRUPO INGENIERÍAS Trabajo, Torque o momento de fuerza Energía, calor(E.Ct)

(   0 )(d e ) 2 T H

( Fuerza).(distncia ML2)T 2 2 (masa).(velcidad ML)2T 2

Donde:  : Peso específico del líquido de la gota.

 0 : Peso específico del vapor que la rodea. fuerza ) T : Tensión superficial ( longitud

ML2T 3

Potencia

trabajo tiempo

Presión

Fuerza ML1T 2 àrea àngulo T 1 tiempo velcdad ànglar 2 tiempo T

Velocidad angular Aceleración angular

Capacidad calorífica

Calor específico

H : una función determinada experimentalmente. ¿Qué dimensiones debe tener H para que la ecuación sea dimensionalmente homogénea? 1 2 4 A) M L T  2 B) ML 1 1 3 C) M L T  D) 1 E) 0

calor ML2T 2 temperatur a

capcidd .calrfic ML T  masa 2

Carga eléctrica (q)

q  I  Tiempo

Peso específico(  )

Peso   Volumen

2

2. Si en la ecuación, las dimensiones están correctamente expresadas, hallar “  ” .

3

1

3.

I.T

A) 30º D) 120º

B) 150º E) 53º

cos 

tan  C)90º

Encontrar las dimensiones de N en la siguiente ecuación dimensionalmente correcta.

X .U .N .I  Log ( X )Cos(U .T )

ML2T 2

La forma de una gota de líquido suspendida puede expresarse mediante la siguiente formula desarrollada por estudios fotográfico de la gota.


3

Sabiendo que: I = distancia, T = tiempo 3 2 A) L t B) L T 3 1 3 C) L  D) M T  1 E) L T

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1.

2

A  B  AB

4.

85

La capacitancia (C) de un capacitor es la división entre el valor de la carga (Q) que almacena una de sus armaduras y la diferencia de potencial (V) entre las armaduras del capacitor. Determine las dimensiones de la capacitancia. 2 3 1 A) M L T  I

GRUPO INGENIERÍAS M L T  I 3 1 MT I 1 2 4 2 M L T I 1 2 4 1 M L T  I 1

B) C) D) E)

1

3

1

E) 8.

3

A B  C  3 2

A) L T 3  2

C) L

T

6.

3 2

BD 3 2



B) L T

3 2

9.

3 2



D) M

AVlog 20 3

3 2

T

3 2



E) L

3 2

M

3 2

W q

B)

MLT

C)

ML T

D)

M L T 

E)

L T 

1

2

1

2

2

1

2

La densidad (D) de un sólido según la temperatura, está dada por la siguiente ecuación :

Donde M es la masa y ∆T la variación de la temperatura. Determinar las dimensiones de B. 3 1 3 1 A) L  B) L  3 1 1 3 C) L  D) M  T  1 1 E) M L 

La diferencia de potencial eléctrico “ V ” entre dos puntos de un material está dada por:

V 

3

Con respecto a la gráfica, determine la dimensión del área sombreada. 2 1 A) M  L T 

5. En la expresión correctamente dimensional, V: velocidad, hallar  B  . 2

M L

número de Reynolds es un valor adimensional el cual nos indica si un flujo Donde W es el trabajo necesario para es turbulento o laminar, dentro de un tubo. trasladar las cargas entre dichos puntos y El número de Reynolds “R”, se calcula q es la cantidad de carga neta que se mediante la siguiente ecuación: traslada. Determine las dimensiones de la R =  V d / diferencia de potencial eléctrico. 1 3 1 Donde  es la densidad, V la rapidez A) ML T I 2 3 1 promedio y d el diámetro del tubo. B) ML T I Determinar las dimensiones de la 1 1 3 1 C) M L T I viscosidad . 3 1 D) MT I 2 1 1 A) M L T  3 1 E) ML I 3 1 1 B) M L T 1 1 C) M L T  7. Con respecto a la gráfica A vs B mostrada 2 1 D) ML T en la figura, determine la dimensión de la 1 2 E) M L T  pendiente de la recta. Donde A es masa y 11. La velocidad de una onda transversal en una B es volumen. 1 cuerda elástica se establece con: A) M L A 2 V  F x y x B) M L F : Tensión en la cuerda (fuerza) 1 1 C) M  L : Densidad lineal de la cuerda (kg/m)  3 Hallar la fórmula física. 4 D) M T 0 m

12 Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302 ss

10. El

B

86

GRUPO INGENIERÍAS a) c)

1 

F

A) B) C) D) E)

F 

b)

 F

d) F 

e)

F

define la velocidad, si T : tensión y densidad lineal.  A) v  k B) v  k T T k T

E) v  k

D) v  k

III

15. En un evento físico, se determina que la siguiente fórmula empírica:

12. La velocidad de propagación de una onda en una cuerda tensa, depende de la fuerza de tensión en la cuerda y de su densidad lineal kg m  . Calcular la formula empírica que

C) v 

I y III Sólo II I y II II y III I , II y

K

sbd

 cos 2   e

correcta;

:

,es

dimensionalmente

donde:

s  fuerza ,

b  aceleración , y d  velocidad e  potencia . Entonces K expresada en el Sistema Internacional (SI) de unidades, es: 1 A) ms B) ms 3 C) ms D) m.kgs 2 E) ms ANALISIS VECTORIAL

2 T

T 

13. Si la fórmula física es dimensionalmente correcta. Hallar x  y  z  w  s VECTOR.- Es un ente matemático que sirve para representar a las magnitudes de carácter z w 1v m vectorial. Ejemplo: La velocidad, la aceleración, x y F m a  la fuerza, campo magnético, impulso, s 2 t desplazamiento, campo eléctrico, etc. Siendo: F : fuerza v : rapidez ELEMENTOS DE UN VECTOR A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 14. De las siguientes afirmaciones: I.

Dado:

L

longitud,

M , DA

donde

"L" es la

"M " masa, " A" área y

3 "D" densidad, entonces A  L

Mó

lo du

Línea de acción Sentido

A

Dirección Tres magnitudes que han de  sumarse deben tener las mismas Línea horizontal unidades III. Dos magnitudes que han de Módulo: Llamado también NORMA, TAMAÑO, multiplicarse deben tener las es la medida de la longitud del vector mismas unidades  Dirección: Es el ángulo que forma el vector ¿Cuál o cuáles son afirmaciones con respecto a un sistema de coordenadas correctas? cartesianas. II.


87

GRUPO INGENIERÍAS  Sentido: Representado por la flecha del vector. B

 Línea de Acción: Es aquella línea donde se encuentra contenido el vector a través de la cual puede deslizarse.

 Vectores opuestos: Dos vectores serán opuestos cuando tienen igual dirección, módulo pero sentido contrario.

CLASIFICACIÓN  Vectores colineales: Son aquellos que se encuentran contenidos en una misma línea de acción.

C

B

A

L1 A



A

 Vectores iguales: Dos vectores serán iguales cuando tienen la misma dirección, módulo y sentido. //

L 1 L // L 1 2

L2 B

L1 // L 2



 Vectores concurrentes: Son aquellos que sus líneas de acción se cortan entre sí, en un mismo punto.

C

B

//

L2

 Vector unitario: Es aquel cuyo módulo es la unidad y tiene por misión indicar la dirección y sentido de un determinado vector.

A A u

C

A

P



u

B

C

A OPERACIONES CON VECTORES

B

A

SUMA: Al vector “suma” también se le llama resultante. La resultante produce el mismo efecto que los  Vectores paralelos: Son aquellos que tienen sumandos. sus líneas de acción paralelas entre sí. L1 L2 L3 1. MÉTODO DEL TRIÁNGULO A

A



a







L1  L 2  L 3 

b 



A A



B B



RabS

C

 Se forma el triángulo, cuando son “SOLO” 2 vectores

C



 Para hallar el valor de R se aplica la Ley de senos. Teorema de LAMY

 Vectores coplanares: Son aquellos que se encuentran contenidos en un mismo plano. Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

88

GRUPO INGENIERÍAS  El extremo del último llega al origen del primero.

R a b   sen  sen  sen 

A

B

2. MÉTODO DEL PARALELOGRAMO

R0

CA  B  C  D  E  F  0

F //

R

//

A

S

DIFERENCIA D E (D )  La diferencia de vectores es llamada también  resultante.  La suma ( S ) o resultante ( R ) es la diagonal del paralelogramo formado. B  La suma o resultante se denota:

 ANALÍTICAMENTE:

R

2

D 180  

2

A  B  2AB cos 

A //

//

A B  R



B D  A  B  D  A  (B) 

Ley del Paralelogramo 3. MÉTODO DEL POLÍGONO

D

B

A2  B2  2AB cos 

3.1 Método del Polígono Abierto: Ley de cosenos  Se usa generalmente para sumar más de dos vectores. CASOS PARTICULARES  Se colocan uno a continuación del otro, manteniendo constante su VALOR,  Cuando   0 y los vectores A y B son DIRECCIÓN y SENTIDO. paralelos y del mismo sentido.  La resultante es el vector que parte del origen del primero y llega al extremo del último. Rmáx  A  B Ejemplo: a b

1

3

2

Construyendo el polígono: 2

d

4

c

 Cuando   180 y los vectores A y B son paralelos y del mismo sentido.

b

Rmín  A  B

a

1

3 c

RR a  b  c  d 3.2 Polígono Cerrado:

 Cuando   90 , los vectores A y B son perpendiculares.

4

R  A2  B 2

d

 En este caso todos tienen la misma secuencia  Cuando dos vectores tienen el mismo módulo (horario). Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

89

GRUPO INGENIERÍAS y forman 120°. | A|  X;| B|  X PRODUCTO ESCALAR ( A.B ) Llamado también producto interno vectores

de

2

R

B X

A.B | A| | B| cos 

R X

120

 Cuando dos vectores tienen el mismo módulo A X y forman 60°. | A|  X;| B|  X

;

0  Propiedades:

B X

R

R 1)  XA.B 3

60

A X

 Cuando dos vectores tienen el mismo módulo y forman 90°. | A|  X;| B|  X

 B.A.

2)

A.(B  C)  A.B  A.C

3)

i.i  j.j  k.k  1

Vectores paralelos

i.j  j.k  k.i  0

4)

Vectores

perpendiculares

B X

R

5) Si:

A.B  0

R X 2

y además A y B  0

 AB PRODUCTO VECTORIAL ( AXB ) Llamado también producto cruz de vectores

A X

| AXB| | A| | B| sen  ;

DESCOMPOSICIÓN RECTANGULAR DE UN VECTOR

0 

Y AXB

A

B

AY  Asen  



A

| AXB|  Área del paralelogramo

 Para la dirección respecto a X

A AX tan  Acos   Y AX

X Definición matemática de AxB

 Para el módulo del vector A

| A| 

AX2  AY2


90

GRUPO INGENIERÍAS

i AxB  a 1 b1

j a2 b2

AxB  i(a 2 b 3  a 3 b 2 ) 

ternas de números o coordenadas espaciales.

k a3 b3

(x, y, z)

Puntos en el espacio:

Y

X: eje de abscisas Y: eje de ordenadas j(a 1 b 3  a 3 b1 )  k(a Z: a 2cotas b1 ) 1 beje 2 de

a2

Propiedades

AXB  BXA AX(B  C)  AXB  AXC ixi  jxj  kxk  0 Vectores paralelos

1) 2) 3)

ixj  k   jxk  i   kxi  j

4)

a3

Vect. Perpendiculares

Expresión vectorial de un vector en R 3

COMPONENTES DE UN VECTOR A cualquier conjunto de vectores que, al sumarse



, se les llama componentes de

A.

y

Component es rectangular es de un vector en un plano.

j

A = Axi + Ay j i

A

A  a 1i  a 2 j  a 3 k Dados dos puntos en el espacio, se puede hallar el vector que dichos puntos determinan, aplicando:

A

Ay

a1

Un vector A  (a 1 , a 2 , a 3 ) , se puede escribir como combinación lineal de sus vectores unitarios canónicos, así:

 A // B

A

A(a 1,a 2 ,a 3 )

Z

5) Si: AXB  0 y además A y B  0

den

A

O

V  Pfinal  Pinicial

x

Módulo de un vector en R 3 El módulo de un vector A  a 1i  a 2 j  a 3 k ; está dado por:

Ax

A

Ax2  B 2y

2

2

a1  a 2  a 3

2

Del gráfico: Vector Unitario Dado un vector: A  (a 1 , a 2 , a 3 ) , se define como vector unitario en la

Y

VECTORES EN EL ESPACIO

a2

Análogamente a los puntos del plano cartesiano que están representados por un par ordenado, Z los puntos del espacio se representan mediante

a3

O

A

a

1

X


91

X

GRUPO INGENIERÍAS dirección de A , a la expresión: Dirección con el eje Z: U

U

A

A



A A



2

cos  

a3 A

Propiedad: 2

cos   cos   cos 2   1

a 1i  a 2 j  a 3 k CON VECTORES EN R 3 a 1 2  a 2 2 OPERACIONES  a 32 c)

Dirección de un vector en R 3 :

PRODUCTO

INTERNO

3 La dirección de un vector en R 3 , está dada por PUNTO EN R : sus ángulos de orientación con respecto a los 3 Dados dos vectores: ejes coordenados. Y a los cosenos de dichos ángulos se denominan cosenos directores. B  b 1i  b 2 j  b 3 k

O

PRODUCTO

A  a 1i  a 2 j  a 3 k

Se define como producto interno Cosenos directores: Las direcciones del vector con respecto a los vectores a la expresión dada por: ejes coordenados están dados por:

A. B

y

de

A  B  a 1b1  a 2 b 2  a 3 b 3

Otra definición: Es posible también definir el producto interno mediante la relación:

Y

A  B  AB cos 

a2

a3 Z

O







Donde:

A

A : módulo del vector A

B : módulo del vector B

a1

 : ángulo formado por los vectores A y B d) PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO

X

 : ángulo de inclinación con respecto al eje X

CRUZ EN R 3 Dados dos vectores:



B  b1i  b 2 j  b 3 k ; se define como producto



Z

:ángulo de inclinación con respecto al eje Y :

A  a 1i  a 2 j  a 3 k

y

ángulo de inclinación con respecto al eje vectorial A  B , a la expresión definida por el determinante:

a1 Dirección con el eje X: cos   A Dirección con el eje Y: cos 



a2 A


i j k A  B  a 1 a 2 a 3  (a 2 b 3  a 3 b 2 )i  (a 1 b 3  a 3 b1 )j  (a 1 b 2  a 2 b1 )k b1 b 2 b 3

Cosenos directores

92

GRUPO INGENIERÍAS Propiedades del Producto Vectorial

A  B  8  4  4  3 Dado los vectores A, B y C  R y los escalares A B r, s  R , se cumple: b) cos   

8

A B 

A B

1. A  B  B  A 2. A  (B  C)  (A  B)  C

A B

(2, 2, 1)  (4, 2,  4)

cos   A

3. r(A)  B  r(A  B) 4. (A  B)  C  A  C  B  C

2  2 2  12

cos  



5. A  B  ABsen 

2

6. Si: A // B  A  B  0

cos  

(4)2  2 2  (4)2

8  4  4 3(6) 8



cos  



4

B del18 9 Representación gráfica 7. Si A  B  A  B  AB c) producto vectorial Producto de vectores canónicos: i j k Puesto que un vector siempre es paralelo a sí A  B  2 2 1  (8  2)i  (8  4)j  (4  8)k  mismo: i  i  j  j  k  k  0 4 2 4 Además: j i j  k j k  i i k ki  j 1. Regla de la mano derecha: Sirve para determinar la dirección del vector

A B

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 

Sea el vector A de módulo 5 u que forma 63° con respecto al eje +x, y las rectas L1 y L2 que forman ángulos de 137° y 10° con respecto al eje +x. Determine los módulos de 

las componentes del vector L2.

¡Observe! A B

A) 4 u y 6 u El momento de fuerza es un ejemplo práctico del producto vectorial C) 5 u y 6 u

A

2.

EJEMPLO ILUSTRATIVO los

sobre L1 y

B) 8 u y 5 u D) 4 u y 5 u

E) 4 u y 3 u

B

Dados

A

vectores

A  2i  2j  k

y A) Cero B) 30° C) 45° D) 37° E) 74°

B  4i  2j  4k . Calcular: a) El producto escalar A  B b) El coseno del ángulo que forman los vectores

A y B c) El producto vectorial A  B Solución:

3.

a) A  B  (2, 2, 1)  (4, 2,  4)


Hallar “ ” para que la resultante forme 53° con el eje positivo de las abscisas.

93

Determinar la magnitud del vector resultante, Si: | | = y | |=3

GRUPO INGENIERÍAS A) B) C) D) E) 1

4.

B) 5 Cm E) 11 Cm

9.

C)7Cm

D) 13 u

E) 15 u

Determínese el vector x en función

A) C) E)

1 4

(2A  B)

B)

(2B  A)

D)

1 4 1 4

1 2 1 4

Hallar el modulo del vector resultante.

4

A) 4 B) 6 C) 10 D) 12 E) 14

de los

vectores A y B

6.

B) 14 u C) 24 u

8. Dado los vectores: A=2i-j+k, B=i+3j-2k C=2i+j-3k, D=3i+2j+5k. Hallar a+b+c, si se cumple: D= aA+bB+Cc Dos vectores forman un ángulo de 106°, uno A) 4,5 B) 3,2 C) de ellos tiene 25cm de longitud y forma un 2,4 ángulo de 16° con el vector suma de ambos. D) 4,2 E) 3,6 Calcular la magnitud del segundo vector. A) 3 Cm D) 9 Cm

5.

A) 12 u

2

3

10. A partir del gráfico, determine el módulo de la resultante del sistema de vectores

(2A  B)

mostrados, siendo A  5 u y E  6 u .

(2A  2B)

B

(2A  3B)

C

G

a) 12 u

A

b) 13 u

Determinar el módulo de la resultante del conjunto de vectores mostrado, si A = 10, E = 6.

c) 14u

E

F

D

d) 15 u e) 18 u 11. A partir del gráfico, determine el vector B si A) 46 B) 45 C) 35 D) 49 E) 40 7. Determine el módulo de la resultante de los 

vectores 

A  4 6u

y

C

B) i 

. 


Z

3 j k 2

C) 3i  j  k D) i  j  k

B = 4u

60° 60°

17 u. 2

A) i  3 j  k





A, B

su módulo es

4

1 B j k 3 O sistema de 12. De acuerdo a la figura, en el coordenadas XYZ, 4 se tiene un E) 3i 



C = 4u 94

X

6

GRUPO INGENIERÍAS paralelepípedo de dimensiones: 2, 3 y 4, calcular el vector unitario de la resultante. A, B y C :

La magnitud de cada una de esas fuerzas es de 14 kN. Exprese vectorialmente la suma de la fuerza ejercida por los cables FAC y FAD sobre la torre. Las coordenadas de los apoyos son C = (2,−3), B = (0,4) y D = (−2,−3).

 2; 1; 2 

A)

3

Z

 2; 4; 3 

B)

a)

29

A

 2;  3; 4 

C)

B

29

4

A

 1;  1;1

D)

C

3

Y

2

D

3

E) NA 13. En el grafico los vectores A)

z

se

muestra

X

y

. Hallar

C

B) C) D)

B

x

 12 ˆj  24kˆ

4iˆ  12 ˆj  24kˆ c) 4iˆ  6 ˆj  12kˆ b)

E)

d)  4iˆ  6 ˆj  12kˆ

14. Se tiene un hexágono regular de lado 4 u. Si de uno de sus vértices se empieza a trazar vectores dirigidos a cada uno de los vértices restantes, ¿qué módulo tiene la resultante del sistema de vectores? a) 12 u d) 24 u

b) 18 u e) 20 u 

e) FD

17. Encuentre el vector unitario de la fuerza F cuya magnitud es de 10

c) 21 u 



15. Expresar el vector x en función de A y B Considere G baricentro del triángulo PMN. 





A) A  B

2 GN.

A)



B) A  B

6

6





C) A  B 3 





D) A  B 2



E) A  B 3

16. La torre de 6 m de altura que se muestra en la figura está soportada por tres cables que ejercen sobre ella las fuerzas FAB, FAC y FAD . Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

95

 4iˆ  5 ˆj  3kˆ 5 2

B)

 4iˆ  5 ˆj  3kˆ 5 2

GRUPO INGENIERÍAS

C)

E)

4iˆ  5 ˆj  3kˆ 5 2  4iˆ  5 ˆj  3kˆ 5

 4iˆ  5 ˆj  3kˆ 5 3

D)

 

16.

Los





R  0,3 i  0,8 j

18. Calcular el módulo de la resultante y su respectiva dirección del conjunto de vectores mostrados en la figura. Y



A,B y C

vectores



E)

9

a) 12 y 53º b) 10 y 37º c) 10 y 127º d) 10 y 53º

están

ubicados en el sistema ortogonal, tal como se muestra en la figura. Determine la resultante de los vectores.

B

1

-6 

A

e)

= 10u

10

A

5

y 127º Y

4

-5

-1 D

19. Hallar el producto vectorial y el producto

30° A) B)  C) C D) E)

Los vectores



C = 2,5 cm



A =2

53°cm 



A)

R  0,8 i  0,3 j

B)

R  0,8 i  0,3 j

C)

R  0,8 i  0,3 j B = 2 2 cm







D)





45°









4

F

X

T

Y

A)

40iˆ  300 ˆj 10 500kˆ

B)

400iˆ  300 ˆj  500kˆ y 250

C)

40iˆ  30 ˆj  50kˆ y 260

D)

40iˆ  300 ˆj  500kˆ y 250

E)

400iˆ  300 ˆj  500kˆ y 250

y 250

20. En el sistema mostrado, hallar el módulo el vector resultante. A)

26

Y



R  0,8 i  0,3 j

B) 10 13

50

50

C) 6 2


y

6

= 82 u A,B y C están B ubicados



16°

C

Z 3



F  25-5 N

T , si:

38°

83°

en el sistema ortogonal, tal como se muestra en la figura. Determine la resultante de los vectores.



y

T  30 N .

4 u  7º 1u8º u0º = 410u 1u0º 1 u  10 º

 

17.

escalar de F

96

68º

22º 15º

X

GRUPO INGENIERÍAS estado de movimiento o reposo de un cuerpo. acción de una fuerza sobre un cuerpo produce deformaciones sobre él.

D) 10 26

 La

E) 2 26 21. En la figura hallar el producto vectorial.

Unidades (S.I.) Newton (N)  La fuerza se representa por medio de un segmento dirigido (vector)

F  : medida o módulo de F  : dirección de la fuerza De acuerdo a su origen las fuerzas se caracterizan en:  Fuerzas débiles, Fuerzas gravitacionales línea de acción  Fuerzas mecánicas,  Fuerzas electromagnéticas F  Fuerzas nucleares Se lee F

Rsta: (0, -3, 0) ESTÁTICA Es una rama de la mecánica, cuyo objetivo es el estudio de las condiciones que debe cumplir un conjunto de fuerzas que actúan sobre un cuerpo o un sistema rígido para que este se encuentre en equilibrio mecánico. Equilibrio Mecánico Un cuerpo se halla en equilibrio cuando se halla en reposo (equilibrio estático); o en movimiento rectilíneo uniforme (equilibrio cinético). Equilibrio estático



fuerza "F "

x

FUERZAS MÁS USUALES EN MECÁNICA TENSIÓN O TRACCIÓN Son aquellas fuerzas que aparecen en el interior de los cuerpos (cables, sogas, hilos, cadenas, vigas o barras).  Para graficar esta fuerza se debe hacer un corte imaginario sobre el cuerpo.  La tensión se caracteriza por apuntar al punto de corte. D.C.L.

Equilibrio cinético V  cte; a  0;   0

Polea

V  0; a  0

T

Barra sometida a Trac c ió n



FUERZA Magnitud física vectorial bastante utilizada en la estática y dinámica que viene a ser el resultado de la interacción (la acción mutua de dos cuerpos) de dos o más cuerpos. Una fuerza tiende a desplazar un cuerpo en la dirección de su acción sobre dicho cuerpo.  También es todo agente capaz de modificar el Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

T

FUERZA ELÁSTICA ( F e ).- Es aquella fuerza externa que se manifiesta en los cuerpos elásticos, cuando son estirados o comprimidos por fuerzas externas. Esta fuerza se opone a las fuerzas externas y trata que el cuerpo elástico recupere su longitud original. La fuerza elástica es directamente proporcional a la deformación

97

GRUPO INGENIERÍAS longitudinal.

la cual es aplicada en el centro de gravedad de la figura geométrica que forman las líneas de fuerza. Transformación de fuerzas distribuidas a sistemas equivalentes Distribución Representación Equivalente

LEY DE HOOKE Fe Resorte sin deformar

Fe

R

K

x0

q

x

L 2

Rectangular

M

R  qL

L

V0

q

Resorte sin deformar q

F

F Fe

L 3

FFee  Kx

q1

F

q1

q2

x  Elongación o estiramiento:m ó cm

Trapezoidal

FUERZA NORMAL ( F N ).- Es una fuerza externa que se encuentra en el contacto de 2 cuerpos o superficies, surge debido a la presión que un cuerpo ejerce sobre otro. 

La fuerza normal siempre es perpendicular a la superficie donde se apoya un cuerpo.

FUERZAS DISTRIBUIDAS De manera ideal las cargas sobre un cuerpo se suponen puntuales, pero en realidad se aplican sobre una superficie o una línea. A partir de esto se definen nuevos conceptos denominados densidad lineal y densidad superficial, dependiendo sobre que actúan las fuerzas. La finalidad es la reducción de un sistema distribuido de fuerzas a una sola fuerza puntual, Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

R

L

Fe

N N K= Constante de elasticidad o rigidez : ó m cm

F

R

Triangular

L 3

q2

R1 R2 L 2

L era

1 qL 2

R  R1  R 2

1 LEY DE NEWTON (LEY DE INERCIA) Todo cuerpo trata de mantener su estado de reposo o movimiento rectilíneo a no ser que un agente exterior le obligue a cambiar su estado de reposo. era 3 LEY DE NEWTON (LEY DE ACCIÓN Y REACCIÓN) Cuando dos cuerpos "A" y "B" interactúan, a la ACCIÓN de "A" se opone una REACCIÓN de "B" en la misma dirección, con la misma intensidad pero de sentido opuesto. CONDICIONES DE EQUILIBRIO PRIMERA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO MECÁNICO (para una partícula) Un cuerpo se encuentra en equilibrio cuando la fuerza resultante que actúa

98

GRUPO INGENIERÍAS sobre él, es igual a cero; para esto las fuerzas componentes deben ser necesariamente coplanares y concurrentes, esto implica que en cada eje, la sumatoria de fuerzas también debe ser cero. Condición Algebraica

R  F1  F 2  F 3  F 4  RX  0 R  0  RY  0  RZ  0 F  0

F4 F1

un punto o eje de rotación. El momento o torque de una fuerza es una magnitud vectorial. Observe! Al observar los ejemplos gráficos y notamos que el momento de una fuerza (capacidad de producir giro) depende del valor de la fuerza aplicada y la distancia al centro o eje de giro, luego: Cabeza hexagonal de un perno

F  10 N

F3 F2

5 cm

F  10 N

¡El perno no gira!

10 cm ¡El perno gira!

Método Práctico

En el eje X:

 F()   F()

En el eje Y:

 F()   F()

Punto de giro

10 cm F  10 N ¡El perno gira lentamente!

10 cm F  30 N ¡El perno gira rá pida mente!

Si se expresa en forma matemática este CONDICIONES GRAFICAS.- Se sabe que si la fenómeno, podemos representar el momento de resultante de un sistema de vectores forma un fuerza mediante un esquema que nos ayudará a comprender mejor su significado. polígono cerrado entonces la resultante es cero. M  rxF

F1

Línea de acción de F

F4 F2

O

r

Eje de giro F1  F 2  F 3  F 4  0 d F  P TEOREMA DE LAMY.- Si un sólido se encuentra en equilibrio bajo la acción de tres fuerzas coplanares y concurrentes en un plano el valor La distancia del punto “O” a la línea de acción de de cada una de estas fuerzas es directamente “F” es: proporcional al seno del ángulo que se le opone.

F3

d  rsen

F1

 

F2



F3

      360  módulo

del Momento de la fuerza “F” con respecto al punto “O” será:

M0  Frsen  F1 F2 F3 Nota: Un mismo momento de fuerza puede ser   sen  sen  sen causado por una fuerza de módulo pequeño,

cuyo brazo es grande y por una fuerza de módulo MOMENTO DE UNA FUERZA O TORQUE ( MF0 grande cuyo brazo es pequeño. ).- Siempre que abres una puerta o un grifo o que ajustes una tuerca con una llave, ejercerás una fuerza de giro que produzca un torque. El torque no es lo mismo que la fuerza, si quieres que un objeto se desplace le aplicaras una fuerza, la fuerza tiende a acelerar los objetos. Si quieres que un objeto gire o de vueltas le aplicaras un torque, los torques producen giros alrededor de Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

99

GRUPO INGENIERÍAS CONVENCIÓN DE SIGNOS

F4

Qué fácil

Qué dificil

F3 F

F

FR = F1 + F2 + F3 +

r3

r4

O r2 ¡El brazo de palanca es más corto!

“El momento de la resultante es igual a la suma de los momentos de cada una de las fuerzas componentes ”

F1

r1

¡El brazo de palanca es más largo!

F2 Momento Negativo

Momento Positivo

O

O d

d

Antihorario

r× F R = r1 × F1 + r2 × F 2 + r3 × F 3 + r4 × F 4

 

F

MR   Mi

Horario

F M0 F  ()

M0 F  ()

Diversas reacciones en sistemas estáticos Denominación Detalle Diagrama

SEGUNDA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO.– Para que un Apoyo de rodillo cuerpo mantenga su estado de equilibrio, no debe rotar por lo tanto, el momento resultante que actúa sobre el debe ser cero, respecto a cualquier punto (centro de giro). EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO Apoyo simple o Cuando un grupo de fuerzas externas, están pasador actuando sobre un cuerpo rígido, es necesario considerar:  1ra. condición:  F i  0 : es decir:  

 Fx  0

;

 Fy  0

;

 0 lisa y  FzSuperficie

Ax

Ay Ax

Rugoso

Ay

A

rugosa

2da. condición:  M0 = 0

By

Liso

MOMENTO RESULTANTE.- Si sobre un cuerpo actúan varias fuerzas externas entonces el momento resultante será igual a la suma algebraica de los vectores del momento, Plano inclinado generado por cada fuerza externa. TEOREMA DE VARIGNON.- El momento resultante liso de un grupo de fuerzas respecto de un punto arbitrario es siempre igual a la suma algebraica de los momentos de las fuerzas componentes respecto del mismo punto.


Ry

100

B

N

mg cos 

 mg

mgsen 

GRUPO INGENIERÍAS movimiento relativo, la característica más resaltante es que siempre se oponen al movimiento. Las fuerzas de rozamiento se clasifican en convenientes y nocivas. CONVENIENTES: Nos permite caminar, montar bicicleta, conducir autos o recoger objetos.  Se aplica en la maquinaria como los frenos y las correas de transmisión. NOCIVAS:  Se producen en las maquinarias, y originan, pérdida de energía y desgaste de las superficies en contacto que se deslizan una sobre otra. CLASIFICACIÓN: ROZAMIENTO POR DESLIZAMIENTO: Llamado rozamiento seco o rozamiento de “Coulomb” describe la componente tangencial de la fuerza de contacto que existe cuando dos superficies secas se deslizan o tienden a deslizarse una respecto a la otra.

Cuña

FUERZAS DE ROZAMIENTO: Rugosidad Bloque

Bloque

fR Suelo

 R

mg

Suelo

N

R

R  fR  N

2

fR  N

2

Análisis de las superficies de contacto y la rugosidad

Fc : Fuerza de contacto

Blo que

Fc Fc

V

Bx Rozamiento por contacto

Ax Wc Wb

R n S uelo

Un cuerpo sometido a fuerzas externas se mantiene en equilibrio o se mueve dependiendo de la intensidad de dichas fuerzas, pero se podrá notar la existencia de otras fuerzas que impiden el movimiento libre de dicho cuerpo, debido generalmente al contacto entre el cuerpo y la superficie sobre la cual se apoya, a dichas fuerzas internas se denominan fuerzas de fricción o rozamiento. Más adelante en el capítulo de Energía se enfocará este fenómeno como un disipador de energía, puesto que el rozamiento produce calor y dicho calor representa la energía disipada por un cuerpo. Las fuerzas de rozamiento se presentan en la superficie de contacto de los cuerpos en Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

Rozamiento por deslizam

R3 R2 R

COEFICIENTE DE ROZAMIENTO (): Es una magnitud adimensional definida como la tangente trigonométrica del ángulo máximo de rozamiento. CLASES DE ROZAMIENTO POR DESLIZAMIENTO: Rozamiento estático ( f e ): Es aquella fuerza que se opone al posible movimiento relativo del cuerpo respecto a la superficie de contacto. Su módulo es variable desde cero hasta un valor

101

GRUPO INGENIERÍAS  máximo, justo cuando el cuerpo se encuentra en movimiento inminente; es decir, está a punto de deslizarse.

cada uno y el bloque C pesa 96 N. determine el valor de h.

mg

mg mg

F'

F '' fe N

N

Reposo Inminente

fe

N

No hay movimiento Mov.

fe  0

F '  fe

F ''  fe máx  e N F” viene a ser la mínima fuerza que se requiere para que el cuerpo inicie su movimiento.

0  fc  fe   e N

fe   e N

 Rozamiento cinético o dinámico ( f c ): Es aquella fuerza de rozamiento que se opone al 2. movimiento relativo del cuerpo respecto a la superficie en contacto. Para movimientos lentos y uniformes su módulo se considera constante. mg

A) 3 m 2m D) 1,13 m

E) 1,34 m

25N

48N

53°

126N

fc  c N

fR

C)

La placa es un hexágono regular de lado 2 m. Calcular el momento resultante respecto al vértice “A” en (N x m). Rpta.: 1.7

V mov.

F

B) 4 m

N

Determinación experimental del coeficiente de rozamiento estático (  e ) N En equilibrio:

 fe máx  mgsen    N  mgcos f  e máx   e N

A

14N

fe máx

mgsen 



3. mgcos

Determinar las coordenadas del centro de gravedad de la figura mostrada.

y

mg

6m

Igualando fuerzas en el eje Y:

mgsen    e mg cos   e  tan  1.

6m

PROBLEMAS PROPUESTOS En el esquema de la figura adjunta los tres cuerpos unidos por cables están en equilibrio. Los bloques A y B pesan 60N


102

A) (5,2) B) (2,5)

C) (3,3)

9m

x

GRUPO INGENIERÍAS D) (5,5) 4.

D) E)

E) (2,2)

Se muestra una lámina metálica de sección 7. “T” . Hallar las coordenadas de su centro de gravedad

Determinar el peso de la maceta y la tensión en la cuerda B, si la tensión en la

2c m

2c m 4c m

2c m

Estirado 1cm Comprimido 10cm

A) (0; 3,34) B) (1; 19) C) (0; 3,0) 2c D) (0; 3,8) E) (0; 3,5)

m

5.

Hallar el C.G. del alambre de la figura.

Y

A) 45.95 lb, 25 lb B) 45.95 lb, 50 lb C) 46 lb, 15 lb D) 45.85 lb, 25 lb E) Que lo resuelvan en la CPU.

40cm

20cm

30º

o

A) (13,11; 13,34) (19,0;18,0) D) (18,34; 19,11) 6.

cuerda C es de 30 lb.

30cm

X B) (18; 19)

8. C)

E) (19,11; 18,34)

En el sistema en equilibrio, si el bloque A es 2 de 5kg, el resorte está: (g=10m/s )

A) B) C)

Estirado 5cm Comprimido 5cm Estirado 10cm


Un pequeño aro tiene una carga vertical de peso P y está sostenido por dos cuerdas AB y BC, la última de las cuales soporta en su extremo libre un peso PQ =100N, como se observa en la figura. Determinar la magnitud del peso de la carga P y la tensión de la cuerda AB, si el sistema se encuentra en equilibrio.

A)

103

25( 12  2) N ;50 3N

GRUPO INGENIERÍAS B) 25(

9.

12  2) N ;50 3N

C)

25(2 3  2) N ;50 3N

D)

25( 3  2) N ;50 3N

E)

F.D

A) 25 N B) 50 dinas D) 100 dinas E) 50 N

C) 25 dinas

11. Para la armadura mostrada en la figura, halle las reacciones en los apoyos.

Halle las fuerzas ejercidas sobre el talón de una mujer de 120 lb cuando lleva zapatos normales y cuando lleva zapatos de tacón alto. Suponga que todo su peso recae sobre uno de sus pies y que las reacciones ocurren en los puntos A y B como se muestra la figura.

Rsta:…………………………………… 12. Para la armadura mostrada en la figura, calcular las reacciones en los apoyos.

A) 20 lb, 25 lb B) 80 lb, 50 lb C) 80 lb, 90 lb D) 90 lb, 80 lb E) Que lo resuelvan en la CPU. 10. Si la carretilla y su contenido tienen un peso de 140 dinas y centro de gravedad G, determine la magnitud de la fuerza resultante que el hombre debe ejercer sobre cada uno de los dos mangos para mantenerla en equilibrio.

Rsta:…………………………………… 13. Para la armadura mostrada en la figura, calcular las reacciones en los apoyos.


104

GRUPO INGENIERÍAS

Rsta: …… …… …… …… ………………

Rsta:……………………………… …… b)

14. Tres fuerzas actúan sobre la esfera mostrada en la figura. La magnitud de FB es de 60N y la resultante de las tres es igual a cero Determine las magnitudes de FA y FC.

30 º

FA

Rsta:…………………………………… 

FC Determine el torque de la fuerza de 50kgf 16. respecto a los puntos A, B y C de la figura.

 Rsta:……………………………………

50 kgf

15. Para cada una de las armaduras mostradas en las figuras, calcular las reacciones en los apoyos.

B

A

a)

6m


105

C

4m

GRUPO INGENIERÍAS Rsta: −300kˆ kgf m; 0; 200kˆ kgf m

lleva hacia arriba un bloque de 50N con

A) 375 N

17. Determine la magnitud del torque de la fuerza distribuida indicada en la figura respecto al punto A y la posición de su centro de fuerza.

B) 600 N C) 300 N

10 N/m

D) 450 N E) 500 N A 5m

21. velocidad constante sobre el plano inclinado que se muestra en la figura. Si el coeficiente de rozamiento cinético entre el plano y el bloque es 0,5. Determine la magnitud de dicha fuerza 2 (g = 10 m/s )

10 m

A) 1000 kgf.pie 200 kgf.pie F.D

B) 1000 N. m D) 300 N.m

C) E)

18. Determine la magnitud del torque de la fuerza distribuida indicada en la figura respecto al punto A y la posición de su centro de fuerza.

A) 25N B) 5N C) 65N D) 105N E) 275N



F 53°

A) 483. 33 N.m 200 N.m 485Kp .m

B) 481 N. m D) 483.33 Kp.m

22. En el esquema de la figura adjunta, el cable AC está unido por su extremo C a un muelle cuya constante de rigidez es de 50 N/m. si se aplica en el extremo C del cable una fuerza vertical descendente F0= 80 N el sistema está en equilibrio cuando el ángulo

C) E)

 0  60 . Determinar la longitud natural l 0 del muelle.

19. Un joven de masa m = 60 kg se encuentra sujeto de una cuerda inextensible de 5 m de longitud, a través de una argolla lisa, tal como se muestra en la figura. Si las paredes están separadas 4 m entre si, halle la magnitud de la tensión en la cuerda. 2 (g = 10 m/s ) 

20. ediante una fuerza horizontal F , se Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

106

GRUPO INGENIERÍAS

C)

 13iˆ  8 ˆj  1kˆ  13iˆ  8 ˆj  1kˆ

E)

 13iˆ  8 ˆj  10kˆ

A)

13iˆ  8 ˆj  1kˆ D)  13iˆ  8 ˆj  1kˆ

B)

25. La fuerza de 100 N, actúa sobre el extremo Q de la estructura que está fija en A. hallar el torque de la fuerza con respecto al punto A. A)

(20  15 3 ) N.m B)

(20  15 3 ) N.m C) A) 3, 66 m 2m

B) 2,66 m

D) 1,13 m

E) 2

C)

(10  5 3 ) N.m

3m

D)

(20  5 3 ) N.m

23. En la viga isostática ABC, calcular las reacciones en cada una de los apoyos.

E)

(70  15 3 ) N .mkˆ

3N . está dirigida a lo 26. Una fuerza de largo de la recta que va del punto de coordenadas (4, 2, 0) hasta el punto de coordenadas (1, 5, 3) tal como se muestra en la figura. Los valores de las coordenadas 3 lb. B) 120 lb, 30 lb,

A) 110 lb, 20 lb, 40 40

están en metros. Determinar el momento respecto del origen O.

3 lb.

C) 210 lb, 20 lb, 40 40 2 lb. E) NA.



24. Una fuerza F el extremo

3 lb.

D) 240 lb, 10 lb,

 2iˆ  3 ˆj  2kˆ , actúa en del

 r  iˆ  2 ˆj  3kˆ .  F.

vector

posición

Hallar el torque de


107

F

GRUPO INGENIERÍAS Rsta:

AX  0; A Y  1820 N ; BY  1280 N b)

A)

3iˆ  4 ˆj  1kˆ 2iˆ  4 ˆj  6kˆ

Rsta: …………………………..

2iˆ  4 ˆj  6kˆ D)  3iˆ  4 ˆj  6kˆ

B)

29. En la plaza de armas una pareja de esposos están sentados en una de las bancas tal como se muestra en la figura, halle las ˆ ˆ ˆ E)  13i  8 j  10k reacciones en los apoyos A y B. si la masa de la esposa es el doble del hijo y del 27. En el sistema el peso de cada polea es de 4 esposo el doble de la esposa. 2 newton, el peso “w” del bloque es: 100 (g=10m/s )(mhijo=1 kg.) Newton. Halle la lectura del dinamómetro. a) 50, 40N A) 52 b) 46, 24N B) 28 c) 30, 46N C) 56 Dinamómetro D) 112 d) 20, 24N E) 104 e) 45, 25N C)

28. Determinar las reacciones en cada apoyo en W cada una de las vigas mostradas. a)

30. Un cuerpo de 250kg de masa está unido al sistema de cables indicada en la figura y se mantiene en equilibrio en la posición Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

108

GRUPO INGENIERÍAS indicada. Determinar las tensiones en los ciencias físicas que estudia el movimiento de los 2 cables. (g= 9.8 m/s ) cuerpos. RSTA: La mecánica clásica, es el estudio de TBA  1414 N , TBC  TCB  2829 N movimiento de los cuerpos lentos donde la masa permanece invariable. T  1505 N , T  2965 N CD

CE

31. Una barra homogénea de 200 N de peso y longitud l se apoya sobre dos superficies tal como se muestra en la figura. La superficie inclinada es lisa y la horizontal rugosa, si la reacción en B es de 100 N, determinar A:) El valor de la fuerza de rozamiento en A para mantener la barra en equilibrio en la posición indicada; B) El coeficiente de rozamiento mínimo para el equilibrio. RSTA:

3 f R  50 3N ,   3

32. En el gráfico hallar el módulo del momento resultante, con respecto al punto A:

B

La mecánica cuántica, es el estudio de las partículas que se mueven a velocidades aproximadas a la de la luz y la masa tiene un comportamiento dual (se comporta como materia –energía)

Mecánica de Sólidos

CINEMÁTICA.- Parte de la mecánica de sólidos que estudia las propiedades geométricas del movimiento mecánico que describen los cuerpos prescindiendo de su inercia (masa) y de la interacción con otros cuerpos (fuerzas aplicadas), es decir sin analizar las causas que lo producen. e : espacio

Y A 1

0

1

Xo

0 Sistema de Referencia

F1 A

F4

B) 10k E) 15k

Trayecto

e

d  X



X

X : Vector posición t : Intervalo de Tiempo

F3

A) 12k D) 18k

d : desplazamiento o cambio de posicion

t1

F2

recorrido

__

6 0

3 0

 Cinemática  Estática  Dinámica

t2

f

x

MOVIMIENTO MECÁNICO Es el cambio de posición que experimenta un cuerpo con respecto a un sistema de referencia en el tiempo.

C) 15k

Elementos del movimiento. CINEMÁTICA Móvil.- cuerpo en movimiento respecto a un sistema de referencia. Trayectoria.- Línea continua que describe un de las punto material en movimiento respecto a un

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME LA MECÁNICA.- Es la más antigua Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

109

GRUPO INGENIERÍAS sistema de referencia. . Espacio recorrido (e).- Longitud de la a) Posición vs Tiempo trayectoria. Distancia (d).- Magnitud escalar, que se define X como el modulo o tamaño del vector desplazamiento. ( d )

Tg  V



Xo

MEDIDAS DEL MOVIMIENTO Velocidad Media .Magnitud vectorial cuyo modulo representa : b) Velocidad vs Tiempo

Vm 

d X  t t

A = Espacio recorrido

A o

Z

Y d

d

t Movimiento Simultáneo t1 t2

Dos móviles tendrán movimientos simultáneos si empiezan y terminan sus trayectos (movimientos) al mismo tiempo ,luego los tiempos empleados por cada móvil ,serán iguales.

t t t

1 2 Movimiento no Simultáneo Dos móviles tendrán movimiento no simultáneo cuando una de ellas se adelanta en la partida, luego el segundo móvil tarda en partir entonces; los movimientos empleados por cada móvil serán diferentes . T1= tiempo del móvil que partió primero. T2= tiempo del móvil que partió atrazado  T= tardanza del móvil atrazado.

Cruce o encuentro de dos móviles Se dice de aquellos movimientos rectilíneos que se acercan con velocidades opuestas.

t

Posición de una partícula

d o xo

XF

d  X f  Xo

x X F  X o  Vt

e  V1  V2 

Tiempo de encuentro

simultáne

Alcance entre dos móviles o veloz da alcance a otro mas lento Un móvil

GRÁFICAS DEL MOVIMIENTO: Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

t1  t 2  t

t1  t 2  t

A X

A = X2 –X1

V

e t

Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU) Movimiento cuya trayectoria es una línea recta, los espacios recorridos son directamente proporcionales a los intervalos de tiempo empleado. Su velocidad es constante (modulo, dirección y sentido) durante el movimiento. v: velocidad e e: espacio recorrido V t: tiempo empleado t Ley de kepler : “el vector posición describe áreas iguales en tiempos iguales ”

A

t

V

Velocidad Media Promedio (Vmp).- Es la rapidez uniforme con la cual el móvil se desplazaría sobre su trayectoria. Vmp =

Pendiente =

110

GRUPO INGENIERÍAS Se pueden presentar dos casos. Tiempo de alcance

t

simultáne o

Caso 1: si VA > VB entonces el móvil “A”se acercará continuamente al móvil “B”, si los movimientos son acelerados, el ACERCAMIENTO MÁXIMO se produce cuando las velocidades finales de A y B se hacen iguales.

e  V2 -V1 

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV)

VfA  VfB (acercamiento

MRUV.- Movimiento en el cual la velocidad cambia en módulo aumentando o disminuyendo progresivamente.

máximo)

Caso 2: si VA < VB entonces “A” se alejara continuamente de “B”, si los movimientos son acelerados, el ALEJAMIENTO MÁXIMO se produce cuando las velocidades finales de A y B se hacen iguales

Aceleración lineal(a) .- Es una magnitud física vectorial, mide la rapidez de cambio que experimenta la velocidad en modulo.

V  V (alejamiento máximo)

fA fB Vo = velocidad inicial. a= Vf  Vo Vf = velocidad final Gráficas del movimiento t = intervalo de tiempoLas observaciones que deben t del MRUV. Características

hacerse en toda gráfica son:  Correspondencia entre parámetros (ejes)  Área debajo de la gráfica.  Pendiente en algunos puntos de la gráfica. Posición de una partícula en MRUV:

 La velocidad varía uniformemente con respecto al tiempo.  La aceleración permanece constante.  El móvil recorre espacios diferentes en tiempos iguales.  Los movimientos pueden ser acelerados (+a)o desacelerado(-a) .

Y a v

Formulas físicas

X

o I) II)

III) IV)

V)

Vf = Vo +at

X

V V e O f t 2

Xo: Posición inicial (t=0)

a) Posición vs. Tiempo 1 X f  X O  VOt  at 2 Vo: Velocidad inicial (t=0) x 2

1 e  Vo t  at 2 2 2

m = Tg: pendiente en el punto Parábola

2

Vf  Vo  2ae

Tangente

1 d n  v0  a(2n  1) 2

VA

X t

 V  tg

A

b) Velocidad Xvs. Tiempo

X0

MÍNIMO Y MÁXIMO ACERCAMIENTO En un movimiento rectilíneo con igual sentido.

A

Luego: m  Tg 

B




VB

Vo

111

t

t

v

m = Tg: pendiente de la recta m  Tg 



A

t1

v  aceleracion t

 a  tg t2

t

GRUPO INGENIERÍAS

Además: posición.

A  X 2  X1

Cambio

de

I)

Espacio y distancia en Vx t (en general)

Vf = Vo + gt

1 h  Vo t  gt 2 2

III)

V En el intervalo [a,b]:

e  A1  A2  A3

A3

A1 a

b

t

d  A1  A 2  A 3 (-)

a

A  V f  Vo

A t1

Cambio de velocidad t2

IV)

h

 Vf  Vo  2

2

2

g

De

Hmax

(+)

tb

ts Vs

H max

2

V  o 2g

Tsubida = Tbajada Vsubida = Vbajada De subida : g(-) De bajada : g(+)

Vb

t

CAÍDA LIBRE Definición: Es aquel movimiento vertical que realizan los cuerpos sometidos a la acción de su peso (fuerza de atracción ejercida por la tierra sobre los cuerpos que la rodean). “Todos los cuerpos, independientemente de su masa y volumen, caen con la misma rapidez en el vacío” Consideraciones:

EL PLANO INCLINADO Y EL MOVIMIENTO RECTILÍNEO Un cuerpo dejado libre en un plano inclinado “liso” posee una aceleración (CAMPO EFECTIVO), que es uno de los componentes de la aceleración de la gravedad. g*=gsen g*=gsen

 Se desprecia la fricción del aire.  Se consideran alturas pequeñas, comparadas  con el radio terrestre (6400 km)  El movimiento de caída libre es un caso especial del MRUV, donde el espacio recorrido CAÍDA LIBRE corresponde a la altura (h) y la aceleración es ACELERADOS “g” (aceleración de la gravedad igual a 9,8 2 m/s ). g  La aceleración de la gravedad “g”, en la práctica, varía inversamente proporcional con la altura.

g


112

g*= intensidad del campo efectivo

VERTICAL

a

FORMULAS ESCALARES DE CAÍDA LIBRE Son análogos a las del MRUV

θ

a g g*= g+a

EN

t

Vf  Vo  2gh

V 0 V 0

c) Aceleración vs. Tiempo

a

II)

SISTEMAS

 El observador dentro del ascensor, tiene aceleración a .  Para el observador, la partícula tiene una aceleración

GRUPO INGENIERÍAS efectiva (g*) Concepto. Es aquel movimiento compuesto que diferente a “g”. tiene como trayectoria una línea curva denominada PARÁBOLA. Y

CAÍDA LIBRE Y EL MÉTODO VECTORIAL. Fórmulas Vectoriales: h  Vo t 

1 gt 2 2

1 III) h  V o t  gt 2 2

2

2

II)

Vf  Vo  2gh

IV)

V f  Vo  2 g h 2

VSen

I)

VCos

2



g

V Hmáx



 VCos



X D

OBSERVACIONES:  Se usa (-g) en las ecuaciones I. III y IV PROCEDIMIENTO: porque el vector g, siempre está dirigido a) En el punto inicial del movimiento parabólico, se traza un eje “x” horizontal y un eje “y” hacia abajo. vertical. b) Se descompone la velocidad inicial del PROCEDIMIENTO: movimiento parabólico en los ejes “x” e “y”. a) Trace un sistema de ejes “x” e “y” en el inicio del movimiento. x b) Use las fórmulas, observando el sentido de y c) En el eje “y· se puede usar cualquier los vectores: velocidad ( V ) o desplazamiento ecuación de la caìda libre (MRUV) vertical ( h ) (hacia arriba (+) o hacia abajo ()). V V V  V  gt

V  Vcos 

f

Definición. Es aquel movimiento que resulta de la composición de dos o más movimientos simples, estos pueden ser: MRU, MRUV, MCU, MCUV, y otros. Principio de independencia de los movimientos.-

o

1 h  Vo t  gt 2 2

MOVIMIENTO COMPUESTO

En el eje “x” (MRU) :

V  Vsen

f h o t 22 2 Vf  Vo  2gh

e=Vt

OBSERVACIONES:  El tiempo en “x” es igual en “y”  Vx permanece constante  Si el cuerpo sube, usar (-g) Enunciado por Galileo; “Cada movimiento  Si el cuerpo baja, usar (+g) componente es una fenómeno físico MOVIMIENTO PARABÓLICO Y EL MÉTODO independiente de los demás movimientos” “El intervalo de tiempo es común para cada VECTORIAL movimiento componente” Este método simplifica y reduce el número de MOVIMIENTO PARABÓLICO ecuaciones; se aplica generalmente cuando en el punto de lanzamiento la velocidad está inclinada hacia arriba y el punto final del movimiento parabólico está por debajo del punto inicial. En el paso c) se usa las fórmulas vectoriales de Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

113

GRUPO INGENIERÍAS (  ):

caída libre. MOVIMIENTO PARABÓLICO EN UN PLANO INCLINADO LISO

Y

gSen  h



V



S  S  R R

c) Velocidad lineal o tangencial (Vt).Magnitud vectorial igual al arco recorrido por el móvil en cada unidad de tiempo. g

VT 



S t

X d) Velocidad angular (W).- Magnitud vectorial Se emplean los mismos pasos: a), b), c), d) igual al desplazamiento angular en cada  En c) usar las ecuaciones escalares o unidad de tiempo. Se representa por un vectoriales; en éstas ecuaciones la única vector perpendicular el plano de rotación, variación es la aceleración “g”, en su lugar cuyo sentido se determina por la Regla de la debe emplearse una de las componentes de mano derecha. “g”:  W  g*=gsen  t Relación entre las velocidades tangencial y g*:”Aceleración de la gravedad efectiva” o angular; “Intensidad de campo efectivo”.  Si el plano inclinado fuera rugoso no debe VT  WR emplearse estos criterios. e) Período (T).- Intervalo de tiempo constante que tarda una partícula en recorrer la misma MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME trayectoria. Su valor indica el tiempo empleado por cada vuelta o revolución. Concepto: Es aquel movimiento que tiene como trayectoria una circunferencia, en el cual la Tiempo empleado T  partícula recorre arcos iguales, por consiguiente número de vueltas barre ángulos iguales en tiempos iguales. f) Frecuencia (f).- Inversa del período. Su valor indica el número de vueltas por cada unidad ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO CIRCULAR de tiempo. Relación entre la velocidad angular, el periodo y la frecuencia: w Vt

R

o 

f  R

Vt

Unidades:

1 número de vueltas  T tiempo empleado

1  R.P.S.  Hertz S

S

1 1  R.P.M.  R.P.H. min hora el período y a) Desplazamiento Lineal (S).- longitud de Relación entre la velocidad angular, arco de la circunferencia que recorre el móvil.

la frecuencia:

2

W  2 . f

W angular (  ).- Ángulo T central correspondiente al arco descrito por el móvil. Se mide en Radianes. Relación entre desplazamiento lineal (S) y Propiedades en el M.C.U angular 1) “Todos los puntos de un cuerpo rígido en

b) Desplazamiento


114

GRUPO INGENIERÍAS rotación, poseen la misma VELOCIDAD ANGULAR”

1

2

1 at t 2 2

S  Vo t 

3

V f  Vo  at t

W1  W2  W3

W f 2  Wo 2  2

Vo  V f  t S



2

s n  Vo 

2

3

V1  V2  V3  V4  V5

Wo  W f  t 2

1  n  0   (2n  1) 2

2

1 5

W f  Wo  t

Vf =Vo +2at S

2

2) “Cuando se tienen dos discos unidos por una faja de transmisión o en contacto tangencial, todos los puntos de la periferia de los discos tienen igual VELOCIDAD TANGENCIAL”

4

1   Wot  t 2 2

1 at (2n  1) 2

Aceleración Angular (  ).- Magnitud vectorial que mide la rapidez de cambio de la velocidad angular que experimenta una partícula. Se representa por un vector perpendicular al plano de rotación.

w w

w

o MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE Aceleración   Tangencial   (at).-f Magnitud vectorial VARIADO (MUCV)  t que mide la rapidez de cambio tque experimenta Concepto.- Es aquel movimiento que tiene como la velocidad tangencial (lineal) en módulo. trayectoria una circunferencia en el cual la Vf  Vo partícula aumenta o disminuye progresivamente  VT a  t at   su velocidad angular; por consiguiente se mueve t t con aceleración angular constante. Descomposición Rectangular de la wf  Aceleración Lineal.- Como se muestra en la figura, la aceleración lineal (a) esta en función de wo dos componentes rectangulares: aceleración at tangencial (at) y aceleración centrípeta (ac)

a



ac 

vo

vf

S

Aceleración Centrípeta (ac) .- Magnitud vectorial que mide la rapidez de cambio que experimenta la velocidad en dirección (y sentido). Apunta al centro de la circunferencia

Ecuaciones del MUCV Son análogas a las del MRUV: LINEAL ANGULAR

a 

2

V  ac 

 WR 

2

 a  W 2R c

c R Relación Angular y la R entre la Aceleración Aceleración Tangencial.

at   .R

at  

ACELERACIÓN TOTAL en cualquier punto mediante el Teorema de Pitágoras:


115

GRUPO INGENIERÍAS

2

a

23.



2

a t  ac



PROBLEMAS DE APLICACIÓN Halle el espacio recorrido (e), 





2 m/s



e) (6 i +8 j +10 k ) m/s ; 10

2

m/s

el 25.



desplazamiento ( d ) y su módulo  d  , desarrollado por un móvil al ir desde “A” hacia “B” por la trayectoria mostrada en la figura.

La figura mostrada representa el movimiento de los autos A y B. Halle la distancia (en m) que los separa en el instante t = 9 s. 

B(7; 5)

y(m)



D) (3 i +5 j +4 k ) m/s ; 10

x

A) 100 B) 85 C) 95 D) 90 E) 80

Trayectoria

(m)

20

A

10 B

x(m)

3

6

A(1; -3) 



-20

A) 10 m; (6 i + 8 j ) m ; 10 m 



B) 14 m; (-6 i + 8 j ) m ; 14 m

26.





C) 14 m ; (6 i + 8 j ) m ; 10 m 



D) 10 m ; (6 i + 8 j ) m ; 14 m







x ( m)

E) 14 m ; (-8 i + 6 j ) m ; 10 m 24.

Un móvil desarrolla un MRUV cuya gráfica posición vs. tiempo, se muestra en la figura. Halle la rapidez (en m/s) del móvil correspondiente al punto P.

PARÁBOLA

2

Si un móvil empleó 5 s en ir desde la posición





A (4 i - 2

j









A) 1,0 3,0 D) 3,8

posición B (19 i +18 j +26 k ) m. Determine la velocidad media y su módulo. 





A) ( 4 i +3 j +5 k ) m/s ; 11m/s 







27.



B) (5 i +3 j +4 k ) m/s ; 5

2 m/s



C) (3 i +4 j +5 k ) m/s ; 5

2



116

1

B) 2,0

C)

E) 4,2

t (s)

El movimiento de una partícula que se mueve en el eje “x” está descrito por la gráfica posición vs tiempo, mostrada en la figura. Calcule su velocidad media en el intervalo t   0 ; 10 s

x(m)

m/s


 P

1

+ 1 k ) m hasta la

t (s)

GRUPO INGENIERÍAS para t=0. B. La posición del móvil en t=4 s.

1 0 2 4 

A) – 1,8 i m/s 

C) + 1,8 i m/s

81 0

1 2

t (s)



B) + 0,2 i m/s 

D) – 0,2 i m/s



E) + 1,0 i m/s 28.

Se tiene las gráficas a-vs-t y v-vs-t de un móvil que en el instante t=0 tiene una posición X0=-39 m. ¿Cuál será su posición en el instante t= 7 s?

2

2

A) 2 m/s ; -8 m/s; -1 m B) 3 m/s ; -8 2 m/s; -1 m C) 4 m/s ; -4 m/s; -2 m D) 3 2 2 m/s ; -7 m/s; 1 m E) 2 m/s ; 8 m/s; 1 m 30.

De la llave de un caño malogrado que está 

a 7,2 j m de altura cae una gota de agua cada 0,1 s. Cuando está por caer la tercera gota, se termina de malograr el caño y sale un chorro grande de agua. ¿Cuál deberá ser la velocidad con la que sale el chorro para que alcance a la primera gota, en el preciso momento que esta choque con el piso? 

(g = – 10

j

m/s²)



A) –1,8 j m/s 

C) –2,2 j m/s



B) –2 j m/s 

D) –2,4 j m/s



E) –3 j m/s 31.

Desde el piso se lanzan dos pelotitas, la 

primera con una velocidad de +30 j m/s y

A) 1,0m B) 0,0 m C) 3,0 m D) 3,8 m E) 4,2 m 29.



Dado el grafico x – vr – t para un móvil, se pide determinar: A. La aceleración del móvil y su velocidad


117

la segunda 2 s después pero a +40

j

m/s. ¿Qué distancia las separa cuando la primera llega a su altura máxima?

GRUPO INGENIERÍAS 

(g = – 10 j m/s²) A) 80 m

B) 25 m

C)

10 m D) 15 m 32.

E) 45 m

Hallar la rapidez con la que se debe lanzar una pelotita verticalmente hacia A)



abajo para que se desplace -100 j m durante el cuarto segundo de su

32 5

34. A) 25 m/s

B) 35 m/s

C) 45 m/s

D) 65 m/s

Durante una carrera se observa que una motocicleta salta en A a un ángulo 0 de 60 con la horizontal. Si la motocicleta toca el suelo a una distancia de 20 pies, determine la rapidez aproximada con que iba viajando justo antes de dejar el suelo. Ignore el t a m a ñ o

B)

16 3

pies/s

16 5

m/s

E)

16 3

m/s

35.

C)

Se lanza un proyectil con una rapidez VO = 50 m/s, perpendicular al plano inclinado como se muestra en la figura. Halle el tiempo de vuelo. (g = 10 m/s²) A) 8,5 s B) 10,5 s C) 12,5 s D) 7,5 s E) 3,5 s

E) 55 m/s 33.

pies/s

pies/s

D)



movimiento. (g = – 10 j m/s²)

16 5

VO

37ºtrayectoria En la figura se muestra la parabólica de un proyectil. Halle el  ángulo 

V0



10 m

10 m A) 30º

30 m B) 27º

d e

C) 45º D) 53º

l a

36. Un proyectil sigue la trayectoria mostrada en la figura; calcule la altura H (en m).

m otocicleta en los cálculos. considere (

g  32 pies / s 2 )

E) 60º



(g = –10 j m/s²)

B 

V0 Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

118



53º

H

VB  15

GRUPO INGENIERÍAS

37.

con una frecuencia de 600RPM, si el perno P se desprendiera en el instante mostrado. ¿Con que velocidad y en que dirección saldrá disparado?

A) 5,50 B) 7,25 C) 8,75 D) 12,40 E) 15,00 Teléfono patea una pelota sobre una pista inclinada sin rozamiento con una 0 rapidez de 20 m/s y un ángulo de 60 , tal como se muestra en la figura adjunta. Hallar la distancia PQ (en m)(considere 2 g= 10 m/s ).

  B) 14    A) 14 

0,7m

  D) 14    C) 14

 

E) 14 

38.

A) 50 m

B) 40 3

D) 10 3

E) 80

C) 40

Determine la máxima altura sobre la pared a la que el bombero puede lanzar agua desde la manguera, si la rapidez del agua en la tobera es Vc=100 pies/s;

  37 0 ; h1  3 pies ; d  120 pies ; considere ( g

 32 pies / s

2

40. Un disco D esta girando uniformemente con una velocidad angular de 4 rad/s, cuando el hoyo del disco pasa por la vertical de la piedra “P”, esta piedra es soltada observándose que de todos modos lográ pasar por el hoyo del disco, halle la altura mínima “H” desde la cual se soltó la piedra. A) 0,75m P B) 1,00  C) 1,25 H D) 1,50 D E) 1,75 41. En la figura, determine la frecuencia del engranaje menor cuando el mayor gire con una frecuencia de 600RPM. A) 200RPM B) 300 C) 600 D) 900 2m 3m E) 1200

)

42. Hallar la velocidad angular de “C” , RA = 1 cm, RB = 4 cm, RC = 6 cm, A =3 rad/s A) 2 rad/s B)  rad/s C) 3 rad/s D)4 rad/s E) 5 rad/s

A) 57 pies B) 50 pies C) 40 pies D) 30 pies E) 60 pies

43. 39. Se muestra una rueda de madera que gira Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

119

A B

C

En la figura, el cilindro hueco de 3m de largo gira a razón de 180 RPM. Si se

GRUPO INGENIERÍAS dispara una bala por una de las bases, perforando la otra base cuando el cilindro giró 8º. Hallar la rapidez de la 47. bala.

d) 20 s

e) 25 s

Un ventilador alcanza su velocidad máxima de trabajo de 900 R.P.M. en 40 s. si al “encenderlo" inicia su movimiento con aceleración constante, calcular cuantas revoluciones completa en el primer minuto de su movimiento. a) 600 rev 200 rev d) 300 rev

a) 400 m/s d) 205 44. La

b) 405 e) 305

c) 300

48.

barra de longitud “L” desciende resbalando entre la pared y la superficie horizontal. Si para el instante mostrado el punto P tiene una rapidez de 3 m/s. ¿conque rapidez se mueve el punto Q en ese instante?

45.

La velocidad angular de la volante de un auto aumenta a razón constante de 2400 R.P.M. a 4800 R.P.M. En 30 s; ¿la aceleración angular del auto en radianes por segundo al cuadrado será? Rsta:……………….

46.

Un ventilador gira con velocidad correspondiente a una frecuencia de 900 R.P.M. al desconectarlo, su movimiento pasa a ser uniformemente retardado, hasta que se detiene por completo después de dar 75 vueltas. ¿Cuánto tiempo transcurre desde el momento en que se desconecta el ventilador hasta que se detiene por completo? a) 5 s b) 10 s c) 15 s Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

120

c)

e) 500 rev

Unambito juega en la rampa de espiral tal como se muestra en la figura; si su rapidez es de 12 m/s y está aumentando 2 uniformemente a 8 m/s , determine la magnitud de la aceleración centrípeta y la aceleración total en este instante. ( r1  24m )

A) 2 m/s B) 2 m/s C) D) E)

A) 2 m/s B) 4 m/s C) 3 m/s D) 6 m/s E) 5 m/s

b) 400 rev

144; 12 14; 12 2

6; 10 m/s 2 10; 6 m/s 2 8; 6 m/s

49. El carrusel que se muestra en la figura gira de manera que tiene una celeridad de 40 m/s el cabo de 8 segundos. Si parte del reposo y describe un MCUV. Determine: a) Hallar la aceleración transversal. Para un el instante de que la celeridad es de 20 m/s y su curvatura es de 10 m. b) Hallar la aceleración normal. c) La aceleración total.

GRUPO INGENIERÍAS II.

La plataforma inicialmente está en reposo.

F

Pero al aplicarle una fuerza a la plataforma, esta se pone en movimiento mientras que la persona por inercia se resiste a cambiar su movimiento y tiende a mantenerse en el mismo lugar. Segunda Ley de Newton Rsta:

5m / s 2 ;40m / s 2 ;5 65m / s 2

Veamos cuál es la condición que se debe cumplir para que un cuerpo acelere o desacelere.

DINÁMICA CONCEPTOS PREVIOS Inercia: Es una propiedad de todos los cuerpos, por la cual éstos tienden a mantener su estado de reposo o de movimiento con velocidad constante.

Del gráfico mostrado, el bloque se mantiene en reposo sobre una superficie horizontal donde la fuerza de gravedad es equilibrada por la reacción del piso.

Fg V

La inercia que posee un cuerpo puede ser comparada con la de otro por medio de su MASA, es decir que mientras más masivo sea el cuerpo, mayor será su inercia.

V=0

Pero si la superficie R no estuviese no existiría ninguna fuerza que equilibre a la fuerza de gravedad, esto provocaría que la esfera caiga La inercia se manifiesta en los cuerpos como una aceleradamente (caída libre). resistencia que éstos ofrecen cuando se les trata de cambiar su velocidad. Conclusión: ¿Cómo se manifiesta la inercia?

Para entender mejor esto, veamos los siguientes Para que un cuerpo acelere (cambie su casos: velocidad) en él debe presentarse una fuerza resultante no nula la cual originaría su I. Plataforma con la persona encima de ella aceleración. avanza con velocidad constante.

v

La experiencia demuestra que mientras mayor fuese la fuerza resultante sobre el cuerpo mayor será la aceleración que éste adquirirá.

La aceleración que un cuerpo puede adquirir es Cuando choca con el obstáculo se directamente proporcional a la fuerza resultante e interrumpe el movimiento de la plataforma inversamente proporcional a su masa. pero la persona por inercia continuará avanzando.


121

Fg

GRUPO INGENIERÍAS trayectoria curvilínea alrededor de la tierra. Despreciando la interacción con los otros planetas, podríamos considerar a la trayectoria como una circunferencia; como en la dirección además: “FR” y “ a ” tienen la misma dirección. tangencial no hay fuerzas, la velocidad se mantiene constante en módulo, pero Dinámica Rectilínea continuamente cambia de dirección, por lo tanto el satélite experimenta aceleración, la cual debe Es aquella rama de la dinámica en la cual el ser causada por una fuerza resultante no nula. objeto de estudio son aquellos cuerpos que Al observar el D.C.L. notaremos que la fuerza describen trayectorias rectilíneas. resultante es la fuerza gravitatoria, la cual en Dinámica Circunferencial todo instante apunta al centro de la trayectoria que describe el satélite (centro de la tierra). Es aquella rama de la dinámica en la cual el objeto de estudio son aquellos cuerpos que Conclusión: describen como trayectoria una circunferencia. Para que un cuerpo describa un movimiento Para comprender esto consideremos el circunferencial, éste debe experimentar una movimiento de un satélite alrededor de la tierra. fuerza resultante no nula dirigida hacia el centro de la circunferencia a la que se denomina V “FUERZA CENTRÍPETA (Fcp)”, la cual causa una aceleración dirigida hacia el centro de la circunferencia denominada “ACELERACIÓN CENTRÍPETA (acp)”. V

a



FR m

FR = m a

De la 2da Ley de Newton: FR = m a

Fcp = m acp

V

La aceleración centrípeta mide el cambio en la dirección de la velocidad tangencial en el tiempo. Matemáticamente: V

Haciendo el diagrama de fuerzas:

a cp 

V2 r

 2 r

Fg

Donde: V : rapidez tangencial o lineal (m/s)  : rapidez angular (rad/s) r : radio de la circunferencia

Fg Fg

Luego:

Fcp Fg

Podemos observar que el satélite describe una Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

mV 2  Fcp  m  2 r r

Observación: En un movimiento circunferencial el segmento

122

GRUPO INGENIERÍAS que une el centro de la circunferencia con la partícula barre ángulos a medida que transcurre el tiempo; esto lo podemos caracterizar mediante una magnitud escalar llamada: “RAPIDEZ ANGULAR” (). Matemáticamente:

V r 

t

02. Los cuerpos A y B mostrados en la figura se encuentran conectados por medio de una cuerda. Si el sistema se encuentra en reposo en la posición mostrada, determine la aceleración del cuerpo B sabiendo que A adquiere una rapidez de 5 m/s después de ascender 10 m a lo largo del plano. Diga también cuánto tiempo emplea A en desplazarse esos 10 m. Considere que la acelera-ción es constante.

L

V V  

 t

Unidad:

A) 4m/s²; 4 s C) 2 m/s²; 2 s E) 6 m/s²; 10s

 rad     s 

También sabemos que a través del trayecto se cumple:

V 

V2    r t t

03. El bloque mostrado en la figura tiene una masa de 20 kg y posee una aceleración de magnitud a = 10 m/s². Calcule la magnitud de la fuerza F1. (µk=0,2)(g=10 m/s)

a

V = .

Por lo tanto:

V 2 r   r r

53º

µk

A) 206N B) 106N C) 306N D) 180N E) 80N

2



F2 = 150N

F1

r

a cp

B) 1, 25 m/s²; 4 s D) 2,5 m/s²; 4 s

acp =  . r 2

PROBLEMAS DE APLICACIÓN 01. Al lanzarse un disco sólido sobre la superficie de un lago congelado, este adquiere una rapidez inicial de 25 m/s. Determine la distancia que recorre el disco hasta detenerse, si el coeficiente de fricción cinética entre el disco y el hielo es 0,25. (g = 10 m/s²) A) 120 m

B) 125 m

D) 625 m

E) 250 m

04. Se tienen dos bloques unidos por una cuerda inextensible, como se observa en la figura. Si los coeficientes de rozamiento entre los bloques m1 y m2 con el plano inclinado son 0,20 y 0,25 respectivamente, hallar la magnitud de la aceleración del sistema. (m1 = 2 kg; m2 = 1 kg) (g = 10 m/s²)

C) 130 m


m2 m1

37º A) 4,26 m/s² 123

B) 3,26 m/s²

GRUPO INGENIERÍAS C) 2 m/s² E) 6 m/s²

D) 1 m/s²

D) 5 N

05. En el sistema mostrado en la figura, determine la magnitud de la fuerza “F”, para que la masa “m” ascienda con una aceleración de magnitud “a”. (Las poleas tienen peso despreciable) A) B) C) D) E)

ag/2 mg/2 m(2a+g) m(a-g)/2 m(a+g)/2

A) B) C) D) E)

09. El sistema mostrado en la figura, tiene una aceleración de magnitud a = 30 m/s². Si la masa de la esfera es 10 kg, determine la magnitud de la fuerza entre la superficie vertical lisa y la esfera. A) B) C) D) E)

g F

m 06. En el sistema mostrado en la figura, se tienen los bloques “1” y “2” inicialmente en reposo. Si cortamos la cuerda que une al bloque “1” con el piso, hallar la magnitud de la aceleración que adquiere el sistema y la rapidez con la cual llega el bloque “2” al piso. (m1 = 2 kg; m2 = 3 kg) 2 m/s²; 3m/s 2 m/s²; 6m/s 3 m/s²; 3m/s 4 m/s²; 6m/s 5 m/s²; 6m/s

2

E) 20,5 N

125 N 100 N 75 N 225 N 80 N

37º

a

10. Hallar la magnitud de la aceleración del sistema mostrado en la figura, para que el bloque de masa “m” permanezca en reposo respecto del carro de masa M. A) B) C) D) E)

13,3 m/s² 5,3 m/s² 2 m/s² 7 m/s² 15 m/s²

g m

F M

53º

11. Calcule la magnitud de la aceleración (en 2 m/s ) que tiene un cuerpo de masa 10 kg, si se encuentra sometido a la acción de las 











9m fuerzas F1  5 i  3 j y F2  7 i  2 j 07. Determine la magnitud de la fuerza entre los A) 1,3 B) 2,3 C) 13 bloques “A” y “B” de masas 30 kg y 20 kg D) 2,0 E) 7,0 respectivamente, mostrados en la figura. Considere que las superficies son lisas 12. La figura muestra dos fuerzas de magnitudes F1=600 F2=400 F1 = 12 N y F2 = 5 N, que actúan sobre el A B N N cuerpo de masa 5 kg. Calcule las magnitudes y y de de la fuerza neta sobre el cuerpo (en N) A) 420N B) 380N C) 480N su aceleración (en m/s²). D) 500N E) 600N F1 m A) 13; 1,6 08. En la figura mostrada, determine la magnitud B) 13; 2,6 de la tensión en la cuerda que une los C) 15; 2,6 bloques (1) y (2). Considere que las D) 10; 2,6 superficies son lisas. F2 E) 2,6; 16 (m1 = 5 kg; m2 = 15 kg) 1

Cuerda 1 A) 3,25 N

2 B) 12,5 N

13. Calcule la magnitud de la aceleración angular que tiene un disco, sabiendo que es capaz de F = 25 N triplicar su velocidad angular luego de dar 400 vueltas en 20 s C) 6,25 N


124

GRUPO INGENIERÍAS A) 2 rad/s² C) 3 rad/s² E) 5 rad/s²

B) 1 rad/s² D) 4 rad/s²

14. Un cuerpo parte del reposo desde un punto “A” describiendo un movimiento circular, acelerando a razón de 2 rad/s². En cierto instante pasa por un punto “B”, y 1 segundo después pasa por otro punto “C”. Si el ángulo girado entre los puntos B y C es /2 rad, calcular la rapidez angular al pasar por el punto “C” y el tiempo transcurrido desde “A” hasta “B”.

1 1 (+2) rad/s; ( -2) s 2 4 1 1 B) (-2) rad/s; (+ 2) s 2 2 1 1 C) (+2) rad/s; ( - 2) s 4 3 1 D)  rad/s; s 2 1 1 E) (3+1) rad/s; ( - 2) s 2 3 partícula se mueve describiendo

17. Para el instante mostrado en la figura, el radio de curvatura es (50/3) m. La esfera tiene una masa 0,2 kg. Si la resistencia ejercida por el aire tiene una magnitud de 0,4N y es contraria a la velocidad, determine el módulo de la aceleración tangencial (en m/s²) para dicho instante. A) B) C) D) E)

8 10 7 9 6

10 m/s = V

g

A)

18. Una esfera de 2 kg se lanza bajo cierto ángulo con la horizontal. Si el aire ejerce una 

resistencia constante de -5 i N, determine la magnitud de la aceleración tangencial y el radio de curvatura para el instante en que su    velocidad es V   6 i  8 j  m / s.    

15. Una una circunferencia con movimiento uniformemente variado de acuerdo a la siguiente ley:  = 7 + 3t² - 5t, donde “” está en radianes y “t” en segundos. Calcule su rapidez angular al cabo de 5 s de iniciado su movimiento A) 6 rad/s B) 10 rad/s C) 25 rad/s D) 8 rad/s E) 7 rad/s

A) 6,5 m/s²; 12,5m B) 7,5m/s²; 12,5 m C) 3,5 m/s²; 12,5m D) 1,5 m/s²; 2,0 m E) 7,0 m/s²; 4,0 m 19. Una esfera de masa 1,5 kg describe la trayectoria curvilínea mostrada en la figura. Si para un instante dado su velocidad es      V   8 i  6 j  m / s. y el aire ejerce una  



16. La figura muestra un cuerpo de masa 5 kg unido a una cuerda inextensible e ingrávida y de 8m longitud, girando sobre un plano vertical. En el instante mostrado en la figura, calcule las magnitudes de la tensión de la cuerda y de la aceleración angular.

A)

(10/3)

2

B)

(10/3)

3

C) (10/3)

5

V = 16m/s A) 390 N;2rad/s² B) 290 N; 1 rad/s² C) 200 N; 1 rad/s² D) 100 N; 2 rad/s² E) 80 N; 3 rad/s²

8m 37º

o


D) 5

3

E)

3

Horizontal

125



fuerza de resistencia F  5 i N , determine para dicho instante la magnitud de la 2 aceleración (en m/s ) de la esfera.

4



V

g


Para el instante que se muestra en la figura, el aire ejerce una fuerza de resistencia opuesta al movimiento de magnitud 16N sobre la esfera de masa 4 kg. Si el dinamómetro “D” indica 40 N, determine las magnitudes de la fuerza centrípeta y de la fuerza tangencial respectivamente. A) B) C) D) E)

21.

16N;18N 16N;14N 16N;16N 18N;17N 13N;12N

cuerda (1). ideales.

2 mg 3 2 mg C) 5 2 mg E) 7 A)

D

53º

g

Tres bloques mostrados en la figura, de masas iguales a 100 g, se encuentran sobre una superficie horizontal lisa unidos por cuerdas livianas, inextensibles y de longitudes iguales a 1m. Si el sistema se hace girar alrededor del eje vertical con rapidez angular constante  = 2 rad/s, hallar la magnitud de las tensiones (en Newton) T1, T2 y T3 respectivamente.

T1

D)

poleas

1 mg 2 4 mg 3

g

R

O

k= 1/4

37° R

m

T2

m

T3

m

P

A) 2.4; 2; 1.2 B) 3; 2.4; 5 C) 1; 2; 4.2 D) 2; 1; 0.5 E) 4; 3; 5 22.

B)

las

23. Un niño de 25 kg desliza sobre una superficie esférica, pasando por P con una rapidez de 4 m/s. Determine en ese instante el módulo de su aceleración. (g=10 m/s2; R=4 m).

w

0

Considere

A) 2 m/s2 4 m/s2 D)

4 2

B) m/s2

2 5

m/s2

C)

E) 5 m/s2

A partir del sistema mostrado determine 24. En el esquema de la figura las masas de la el módulo de la fuerza de tensión en le polea y del cable son despreciables y no hay rozamiento entre el cable y la polea. Hallar la aceleración del bloque m0 y la tensión del cable que une los bloques m1 y m2. El coeficiente de rozamiento entre los bloques y el plano inclinado es  .


126

GRUPO INGENIERÍAS cero. 90°<   180°  c) negativo.

El trabajo es

TRABAJO NETO O RESULTANTE Es igual a la suma algebraica de todos los trabajos efectuados por las fuerzas exteriores que actúan sobre el cuerpo.

WNETO =  Fs w o WFR = WTOTAL WNeto = WF1 + WF2 + WF3 + WF4 = FR × d

F3

F2   TRABAJO MECANICO

trayectoria

d 

F1

F4

Se denomina trabajo, desde el punto de vista de REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL TRABAJO la física, a una magnitud escalar determinada por el producto de la intensidad de una fuerza en A) Cuando la fuerza es constante. la dirección del desplazamiento por el módulo de dicho desplazamiento. F

ÁREA = F.d W = F.d

F

WF

= ÁREA

W B)

Cuando la fuerza es variable.

d

WF = F.cos d

F

Unidades:

W = N.m W = Jo ule s (J) W = Dina .c m. = Ergio

WF

EQUIVALENCIAS Casos particulares: 0°   < 90° a) positivo.  = 90° b)



El trabajo es



El trabajo es


127

W = ÁREA BAJO LA CURVA

d

GRUPO INGENIERÍAS

1Joule  10 7 Ergios  0.102kg.m  07376 1b  pie

P=

1kg  m  9.8 Joules  9.8  10 7 Ergios

W t

J  MKS : s eg. = watts o vatio  CGS : Ergio s  s eg.

gr  cm  980 Ergios 1kgf  9, 8 N FUERZAS CONSERVATIVAS Es el trabajo en que se realizan en las posiciones iniciales y finales , a este tipo de fuerzas se les llama “fuerzas conservativas”. Además en una trayectoria cerrada, el trabajo que realiza la fuerza conservativa es cero. I

UNIDADES COMERCIALES

C.V. = Caballo de vapor H.P. = Caballos de fuerza = Horse Power Kw = Kilowatts = Kilovatio

F d

EC =

F

mv 2 2

F EQUIVALENCIA F

II

1 kw

WFI  trabajo de la fuerza siguiendo la trayectoria I

= 1 0 0 0 watts

WFI  trabajo de la fuerza siguiendo la trayectoria II

1 c.v. = 7 3 5 watts = 7 5 kg. m/s 1 H.P. = 7 4 6 watts = 7 6 kgf.m/s

Si: (WF )I  (WF )II  "F " es una fuerza conservativa

1 watts = 0 .1 0 2 kg. m/s

POTENCIA MECÁNICA

UNIDAD ESPECIAL

Magnitud física escalar que nos indica la rapidez 1Kw - h = 3.6 × 10 6 Joule = KilowattHora con que la que puede realizar una trabajo. También se dice que la potencia es el trabajo por EFICIENCIA O RENDIMIENTO DE UNA unidad de tiempo. MÁQUINA () W d P= P = F.v P = F.  t La eficiencia es aquel factor que nos indica el t máximo rendimiento de una máquina. También se puede decir que es aquel índice o grado de P = Po te nc ia perfección alcanzado por una máquina.

W = Trabajo t = Tie mpo F = Fue rza v = Ve lo c idad c o ns tante o

Potencia Entregada P.E.

MOTOR H.P.

Potencia Perdida (P.P.)

ve lo c idad me dia UNIDADES


Potencia Útil (P.U.)

=

128

P.U. × 100% P.E.

GRUPO INGENIERÍAS Además:

P.E. = P.P. + P.U.

EPG = mgH

W.U = W.E.

ENERGÍA MECÁNICA    

mg

H

Es la capacidad que tiene un cuerpo para poder realizar un trabajo. Se denomina energía a la medida de todas las diferentes formas de movimiento B) Energía Potencial Elástica (EPK ) .- Es existentes. La energía es una magnitud escalar. la energía que tienen los resortes o muelles Existen diversas formas de energía asociada cuando están estirados o comprimidos. a las formas de movimiento, así tenemos:

1.

E PK =

1 2 kx 2

E. Cinética  E. Mecánica E. Potencial Gravitatoria E. Potencial Elás tica  2. 3. 4.

A

E. Interna

E. Electromagnética E. Química

E. Nuclear 5. 6. E. Atómica UNIDADES: La energía en el Sistema Internacional (S. I.) se mide en Joules (J). CLASES DE ENERGÍA Energía Cinética (E C ) .- Es la energía que tienen los cuerpos en movimiento.

PRINCIPIO DE LA CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA Si sólo fuerzas conservativas actúan sobre un cuerpo en movimiento, su energía mecánica total permanece constante, para cualquier punto de su trayectoria, o sea, que la energía mecánica del cuerpo se conserva. “La energía no se crea ni se destruye, sólo se transforma”.

v

TEOREMA DEL TRABAJO TOTAL O NETO Y LA ENERGÍA CINÉTICA

m

Energía Potencial (E P ) .- Es aquella energía La variación de la energía de un sistema, es igual adoptada debido a la posición de los cuerpos. a la suma algebraica de los trabajos (trabajo neto) de todas las fuerzas (conservativas y Algunos tipos de energía potencial son: disipativas) que actúan sobre dicho sistema. A) Energía Potencial Gravitatoria (EPG ) .- Cuando un cuerpo se encuentra a una determinada altura respecto a un nivel de referencia mantiene latente su capacidad de realizar trabajo debido a su peso. Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

129

WNETO = ECFinal  ECInicial

WNETO = EC

GRUPO INGENIERÍAS N de magnitud. Si la fuerza que mueve al automóvil es constante, ¿Cuál es el trabajo que ella realiza? A) 100 kJ B) 200 kJ C) 300 kJ D) 500 kJ E) 800 kJ

TEOREMA DEL TRABAJO DE LAS FUERZAS NO CONSERVATIVAS  WFNC  Y LA ENERGÍA MECÁNICA El trabajo realizado por las fuerzas no conservativas diferentes al peso (fuerzas elásticas y eléctricas) sobre un cuerpo o sistema es igual a la variación de la energía mecánica.

03.

WFNC = EMFinal - WMInicial Además: 

El cuerpo de la figura, de 20 kg de masa, se suelta a partir del reposo. Recorre una distancia de 4,5 m antes de chocar con el resorte, que no está deformado inicialmente. Si éste se deforma 50 cm hasta detener el cuerpo, y el resorte tiene una constante de rigidez de 1600 N/m, calcule el coeficiente de fricción cinética que existe entre el cuerpo y la superficie.

Trabajo que realiza la fuerza de fricción será:

Wfr = fr .d

Wfr = Nd PROBLEMAS PROPUESTOS 01.

Hallar el trabajo realizado por la fuerza F cuando el carrito de 5Kg se desplaza de A hacia B con velocidad constante. Determine además el trabajo efectuado por el peso( 

 30 0 ) A)

0,5

B)

0,7

D)

0,45

E)

0,25



04.

Una fuerza

C)

0,79



F  (300 i)N

arrastra un

bloque de 200 kg de masa, una distancia de 25 m sobre una superficie horizontal. Si 

J A) 40J; - 40J 0J D) 80J; - 40J 02.

B) 40J; 40J

C) 40J;

E) 40J; 80J

Un automóvil de 1 500 kg de masa acelera desde el reposo hasta alcanzar una rapidez de 20 m/s, recorriendo una distancia de 200 m a lo largo de una carretera horizontal. Durante este período, actúa una fuerza de rozamiento de 1 000


130

la fuerza de fricción es



f K  (200 i) N

, ¿cuál es el trabajo neto realizado sobre el bloque?, ¿cuál es la magnitud de la aceleración del bloque? 2 A) 2 500 J ; 0,1 m/s B) 2 500 J ; 2 0,5 m/s 2 C) 7 500 J ; 0,5 m/s D) 6 000 J ; 2 1,5 m/s 2 E) 250 J ; 0,5 m/s


¿Qué trabajo neto se realiza sobre el bloque, para desplazarlo 50 m sobre el piso horizontal liso?

37°

30 N

A) 1000 J D) 500 J

B) 0 C) 400 J E) 2000 J

E) 9 800 J

arc cos( 10 / 10)

La fuerza F paralela al eje x, que actúa sobre una partícula, varía como la muestra la figura “F vs. x”. Si el trabajo realizado por la fuerza cuando la partícula se mueve en la dirección x, desde x0 = 0 hasta “xf” es 70 J, ¿cuál es el valor de xf?

20

xf 5

10

x (m)

Un motor tiene que elevar un ascensor de 1 -10 000 kg de masa, que se halla en reposo sobre el suelo, hasta que alcanza una rapidez de 3 m/s a una altura de 12 m. A) 12 m B) 16 m C) 20 m ¿Cuánto trabajo tendrá que realizar el D) 15 m E) 18 m motor? 10. Un ascensor tiene una masa de 1 000 Asumir que la fuerza sobre el ascensor es kg y transporta una carga de 800 kg. Una constante en todo momento y que g = 10 fuerza de fricción constante de 4 000 N m/s². retarda su movimiento hacia arriba, ¿cuál A) 36 000 J B) 124 500 J debe ser la potencia entregada por el C) 4 600 J D) 72 000 J motor para levantar el ascensor a una E) 9 200 J rapidez constante de 3 m/s? 

08.

10 / 3)

F (N)

Calcule el trabajo neto realizado sobre un esquiador de 70 kg de masa que desciende 50 m por una pendiente de 16º sin rozamiento. (g = 10 m/s²) A) 8 400 J B) 5 600 J C) 2 000 J D) 4 900 J

07.

E) 100 J ; 09.

50 N

06.

D) 250 J ; arc cos (





Una fuerza F  (30 i  40 j) N actúa sobre partícula que experimenta un

   d   6 i  2 j  m.  



desplazamiento

Encuentre el trabajo realizado por la 11. 

fuerza 

entre

F sobre la partícula y el ángulo 

F y d.

A) 200 J ; arc cos

( 10 /10)

B)

75 J ; arc cos

( 10 / 5)

C)

50 J ; arc cos

( 10 / 5)


A) 36,4 kW

B) 59,3 kW

C) 64,9 Kw E) 47,2 kW

D) 24,6 kW

Un auto de 1500 kg de masa acelera uniformemente desde el reposo hasta alcanzar una rapidez de 10 m/s en 3 s. Encuentre la potencia media (en kW) entregada por el motor en los primeros 3 s y la potencia instantánea (en kW) entregada por el motor en t = 2 s. A) 25 ; 30 C) 15 ; 20 E) 25 ; 27,5

131

B) 25 ; 33,33 D) 15 ; 30


A) D) 13.

abandonar la superficie circular en el punto B; b) la distancia vertical y recorrida por el paquete hasta llegar al punto A.

¿Cuál es la eficiencia de un motor que pierde una potencia equivalente a la tercera parte de la potencia útil? 25% B) 30% C) 50% 75% E) 80%

Una esfera de 200 g de masa se lanza verticalmente hacia arriba con una rapidez de 30 m/s ¿Cuál es la relación entre su energía cinética y su energía potencial luego de 2s de haberse lanzado? (g = 10 2 m/s )

1 2

A)

B)

1 4

C)

A)

25 m 12,5m D) 15 m

1 3 D) 14.

1 6

E)

1 8

16.

Un bloque de 10 kg de masa se une a un resorte, de constante de rigidez K = 10³

N , como se ve en la figura. El resorte se m

B) 50 m

C)

E) 18 m

Un motor eléctrico de 80% de eficiencia requiere 3 kW para accionar una bomba hidráulica de 73,5% de rendimiento la que a su vez bombea agua hacia la azotea de un edificio a razón de 0,54 m3/min. Halle la altura del edificio. (g=10m/s2). a) 5 m

b) 10 m

c) 15 m

d) 20 m e) 25 m comprime una distancia de 9 cm e inmediatamente se suelta desde el 17. Un motor eléctrico de 80 % de rendimiento reposo. Calcule la rapidez máxima que requiere 6KW para impulsar una bomba alcanza el bloque durante su movimiento. centrifuga de 73,5 % de rendimiento, la cual a su Considere que las superficies son lisas. vez eleva agua desde la planta baja hacia el

P.E.

tanque de un edificio situado en su azotea a razón de 0.54 m3/min (caudal). ¿Qué cantidad de pisos tiene el edificio, si cada uno de ellos tiene = Posición de2, 5 m de altura? (g= 10 m/s2)

equilibrio

k

A) 0,9 m/s C) 0,5 m/s E) 1,3 m/s 15.

9 cmB) 0,3 m/s

D) 0,7 m/s

a) 15 pisos b) 8 pisos c) 17 pisos d) 5 pisos e) 16 pisos 18. Un hombre aplica una fuerza de 40 N, a un bloque de madera en reposo, de tal manera que este acelera a razón de 2 m/s2. Halle la potencia desarrollada por el hombre en 4 segundos.

A) 180 W D) 150 W

Un paquete se suelta desde el reposo en el punto C de una superficie circular lisa como 19. se indica en la figura. Determine: a) la velocidad del paquete justo antes de


132

B) 120 W E) 130 W

C) 160 W

Un motor recibe una potencia de 6 kW, si su eficiencia es de 75 % ¿Qué trabajo realiza al jalar un bloque durante un

GRUPO INGENIERÍAS minuto? A) 720 kJ 270 J D) 760 kJ 20.

B) 700 kJ

u k  0,2. ¿a qué distancia de B se

C)

detendrá el objeto?

E) 270 kJ

Determine que altura h puede alcanzar el carro de 200 kg sobre el plano inclinado curvo D si se lanza desde B con una celeridad suficiente justo para alcanzar la parte superior del lazo en C sin abandonar la vía. El radio de curvatura en C es de 10 m.

23.

a) 50 m d) 20 m 21.

b) 40 m e) 30m

A) 10 m

B) 5 m

D) 53 m

E) 23 m

Determine la medida del ángulo “”, si la esfera llega como máximo al punto “B” B considere superficies lisas ( g  10 m/s 2 ). a) 16º b) 30º c) 37º d) 53º e) 74º

c) 60 m

Determinar el radio de curvatura más pequeño de la vía en su punto más bajo, si el carro se abandona en la cresta de la caída. Desprecie la fricción.

C) 40 m

V  20 m/s

 R  15m

IMPULSO ( I ) Se llama también ÍMPETU o IMPULSIÓN y es una magnitud física vectorial que mide el efecto de una fuerza que actúa sobre el cuerpo durante un tiempo muy pequeño denominado instante, produciéndole un desplazamiento del cuerpo en la dirección de la fuerza promedio (F) por el lapso de tiempo ( t ) es igual al impulso (I). a) 220 m d) 210 m

22.

IMPULSO = ÍMPETU = I = F T

b) 2 40 m c) 260 m e) 230 m

Un pequeño objeto es soltado desde el punto A de una rampa curva liza, e ingresa por B a un plano horizontal áspero, donde el coeficiente de fricción cinética es


Donde:

133

GRUPO INGENIERÍAS Por la 2ª ley de Newton: F = m.a

F = fuerza que actúa sobre el cuerpo. t = lapso o intervalo que dura la acción de la fuerza.

F = m.  

VF  V0   t 

I = CF  C0

UNIDADES:

I = N.S ó kg.h ó dina.S

Fuerza variable

F(N)

F(N)

A)

I

I

t (s ) t1

t2

0 = C

C0 = CF

m.V0 = m.VF

t2

El área bajo la recta o la curva de “F” representa al módulo del impulso. CANTIDAD DE MOVIMIENTO (

Para una partícula: Como:

I= 0

t (s )

t1

I = C

El impulso es igual a la variación de la cantidad de movimiento. Conservación de la cantidad de movimiento Si el impulso sobre una partícula es cero, la cantidad de movimiento se conserva:

Representación Gráfica del Impulso F = constante

F. t = m.VF - m.V0

C)

VF = V0

Una partícula conserva su cantidad de movimiento si su rapidez no cambia. B)

Para un sistema de partículas:

Es una magnitud física vectorial a la cual se le conoce también como momentun lineal. Cuando un cuerpo de masa (m) se mueve con una velocidad definida por el producto de su masa por su velocidad.

m1

m1 V1 m3

V1 m3 m

C = m. v

V3

V

V

2

2

C = kg.m/s ó gr.cm/s

Inicialmente C 0 = m 1 V1 + m 2 V 2 + m 3 V 3

Relación entre el impulso y la cantidad de movimiento.

Cm

VF F

m a

F

m

t Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

134

Finalmente C F = m 1 V1 + m 2 V 2 + m 3 V 3

C0 = CF

Consideremos el caso de una partícula con Recuerde que: aceleración en un movimiento rectilíneo.

V0

V3

2

2

UNIDADES:

F

m

dx dt

dC dV m dt dt

GRUPO INGENIERÍAS Y para calcular el valor del impulso: dI  Fdt Para una fuerza constante: Aplicando el cálculo integral:

I   Fdt

2)

EC(Antes) = EC(Después)

3)

C(Antes) = C(Después)

4)

Coeficiente de restitución e = 1

CHOQUES O COLISIONES

2. Choques inelásticos: Son aquéllos en que los cuerpos quedan parcialmente deformados Se denomina choque al fenómeno físico en el después del choque y la energía cinética no cual 2 ó más cuerpos interactúan de tal es constante. manera que producen fuerzas impulsoras en el instante del evento. OBSERVACIONES: Conservación de la Cantidad de 1) Hay deformación parcial. Movimiento en los Choques. 2) EC(Antes)  EC(Después) En todo choque, en el instante de la colisión, aparecen fuerzas de acción y reacción, las 3) C(Antes) = C(Después) cuales, para el sistema de las dos partículas 4) Coeficiente de restitución 0  e  1 que chocan, son fuerzas internas que se anulan, por tanto “en todo choque se conserva la cantidad de movimiento”, o 3. Choques completamente inelásticos: Se llaman también choques plásticos y son sea: aquéllos en que la deformación de los cuerpos es total y la energía cinética no es Cantidad de mov. = Cantidad de mov. constante. Antes del choque

Después del choque

Coeficiente de Restitución (e).- La relación entre la velocidad relativa de las partículas después del choque, (velocidad de separación) y la velocidad relativa antes del choque (velocidad de acercamiento) se llama coeficiente de restitución.

e=

3)

C(Antes) = C(Después)

4)

Coeficiente de restitución e = 0

V.R. des pués del choque V.R. antes del choque

PROBLEMAS PROPUESTOS

Clasificación de los Choques: Los choques se clasifican según se conserven o no durante el choque, la energía cinética, según esto se tiene: 1.

OBSERVACIONES: 1) Hay deformación total (explosión, etc.). 2) EC(Antes)  EC(Después)

Choques elásticos: Llamamos así cuando la energía cinética del sistema se conserva.

OBSERVACIONES: 1) No hay deformación.


01. La cabeza H de un martillo con peso de 0,125 lb se está moviendo verticalmente hacia abajo a 64 pies/s cuando golpea la cabeza de un clavo de masa insignificante y lo inserta a un bloque de madera. Encuentre el impulso sobre el clavo si se supone que el agarre en A es suelto, el mango tiene masa insignificante y el martillo permanece en contacto con el clavo mientras este alcanza el reposo. Desprecie el impulso causado por el peso de la cabeza del martillo durante el contacto con el clavo.

135

GRUPO INGENIERÍAS E) 85 () N.s; 8 500 N 05. Un niño de masa 30 kg que está parado sobre una pista de hielo lanza una pelota de 600 g con una velocidad de V = 10() (m/s). Despreciando la fricción entre el niño y el hielo, encuentre la velocidad del niño (en m/s) luego que lanza la pelota. A) 0,5() B) 0,2() C) 0,5() D) 2,0()

A) 0,25 m/s D) 0.25 m.s

B) 0,25 lb.s C) 0,25 lb/s E) 0.25

E) 0,2()

06. Un bloque de masa 10 kg es soltado desde una altura de 20 m respecto de una balanza de resorte, impactando sobre ella. Si el impacto dura 0,5 s, ¿cuál es la lectura media de la balanza? A) 400 N B) 300 N C) 500 N

D) 200 N E) 250 N 02. Una bala de masa 5 g impacta horizontalmente en una tabla con una rapidez 07. Un hombre de masa “m” está parado sobre un carrito de masa “M = 9m” que se mueve de 500 m/s. Producto de las irregularidades con una rapidez de 15 m/s, en la dirección de la tabla, la bala se desvía de la horizontal mostrada en la figura. Si el hombre comienza un ángulo “”, emergiendo con una rapidez a moverse a 5 m/s, respecto al carrito, en de 100 m/s. Si el espesor de la tabla es de dirección contraria, ¿cuál es la nueva 80 cm y la pérdida de energía es de 599,97 J, velocidad (en m/s) del carrito? ¿cuál es el ángulo de desviación producido? M A) 45º B) 53º C) 60º A) 17,2 () m D) 37º E) 30º B) 17,2() m C) 15,5() 03. Una esfera de masa 100 g es abandonada D) 15,5 () desde una altura de 20 m respecto al piso. Si al impactar contra el piso, éste ejerce un E) 14,5 () impulso de 3 N.s, ¿con qué rapidez (en m/s) rebota la esfera? A) 5 B) 6 C) 10 08. Desde el extremo de una plataforma móvil de D) 12 E) 15 masa 80 kg, inicialmente en reposo, un niño de 40 kg corre hacia el otro extremo con una 04. Una pelota elástica de masa 250 g que se rapidez constante de 1m/s, respecto de la mueve a una rapidez de 20 m/s, tal como se plataforma, tal como se muestra en la figura. muestra en la figura, impacta con una pared Determinar la velocidad de la plataforma y el vertical y rebota con una rapidez de 14 m/s. desplazamiento del niño, si la plataforma Determine el impulso (en N.s) y la fuerza (en mide 6 m. N) que le da la pared a la pelota, si la interacción duró 1/100 s. A) 8,5() N.s; 8 500 N B) 8,5 ()N.s; 850 N C) 8,5() N.s; 8 500 N D) 8,5() N.s; 850 N Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

136

6m

GRUPO INGENIERÍAS

A) B) C) D) E)

m/s. Si la pérdida de energía producida hasta que impacta con la pared es de 25 J, ¿cuál es la rapidez con la que rebota de la pared instantes después de impactarla, si el coeficiente de restitución es de 0,6?

1/3 m/s (); 2 m 1/3 m/s (); 4 m 3 m/s (); 4 m 3 m/s (); 2 m 1/3 m/s (); 4 m

A) B) C) D) E) F)

18 m/s 25 m/s 12 m/s 20 m/s 15 m/s

09. Una pelota de masa 150 g impacta sobre una V superficie horizontal rugosa con una rapidez de 48 m/s formando un ángulo de 53º con la horizontal. Si la rapidez con la que rebota es de 14 m/s y forma un ángulo de 53º con la vertical. Determine la magnitud de la fuerza media que recibió la pelota durante el 12. Se lanza horizontalmente, tal como se impacto, si éste duró 0,05 s. muestra en la figura, una masa M1 = 4 kg con una rapidez de 15 m/s y aceleración de 5 2 A) 51 N B) 102 N m/s , sobre otra masa M2 = 16 kg, la cual se C) 150 N D) 75 N encontraba en reposo. Si al cabo de 2 s, M1 E) 93 N impacta con M2, determine la distancia que recorrerán ambas masas, si luego del 10. Dos cuerpos de masas M1 = 7 kg y M2 = 3 impacto M1 se incrusta en M2. kg se encuentran separados inicialmente 50 m, y se mueven en sentidos contrarios a la largo de una superficie horizontal. Si luego de A) 1,8 m M2 un tiempo de 2 s chocan entre sí, M1 B) 2,5 m quedándose unidos, determine la rapidez C) 5,0 m luego del impacto, sabiendo que la rapidez inicial de M1 es de 15 m/s. D) 7,5 m E) 10 m

10 m/s

15 m/s

ANTES DEL CHOQUE

A) 7,5 m/s C) 15 m/s E) 10 m/s

7 m/s

8m/s

13. En la figura se muestra una esfera de 300 g de masa que es lanzada horizontalmente con una rapidez de 40 m/s sobre una cuña de masa 400 g, la cual se encontraba inicialmente en reposo. Si la cuña se desliza sin fricción, y la esfera rebota verticalmente, determine la altura máxima que alcanzaría la esfera desde el impacto.

DESPUÉS DEL CHOQUE

A) 30 m B) 20 m C) 50 m D) 15 m E) 40 m

B) 13,5 m/s D) 12 m/s

11. En el instante mostrado en la figura, la 14. En el sistema que se muestra en la figura, el ángulo “” que forma la rapidez con el piso al rapidez de la esfera, de masa 100 g, es de 30 Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

137

=1/

GRUPO INGENIERÍAS momento del impacto es 37º. Si al rebotar, la rapidez forma un ángulo de 45º, determine el coeficiente de rozamiento, sabiendo que el coeficiente de restitución es igual a 5/9.

A) B) C) D) E)

0,25 0,80 0,50 0,60 0,30

luego de 1s. Sale de ella. Determine el coeficiente de restitución entre los dos cuerpos si el choque con la base de la caja duró 0, 1s.

3m/s



45º

0,3m A) 1/3 D) 1/9

B) 1/6

C) 1/8 E) 3/7

=0

15. Una pelota es lanzada horizontalmente contra un plano inclinado, el cual forma un ángulo “” con la horizontal. Si el coeficiente de 19. Cuando un bloque de 2kg choca contra una pared, experimenta la acción de una fuerza rozamiento de la pared es de 1/3, y el que varia según la gráfica ¿Qué tiempo coeficiente de restitución equivale a 12/13, estuvo el bloque en contacto con la pared?: si determinar el valor del ángulo “”. (e = 0,8) A) 53º B) 45º C) 30º D) 60º E) 37º

F(KN) 2 15m/s



16. Un instante antes del choque, la cantidad de =0 -2 t(s) A) 34s B) 3,4s C) 34 x 10 s movimiento del proyectil, tiene un valor de -4 D) 34ms E) 3,4 x 10 s 20N.s Determine la máxima cantidad de calor 20. Una bala de masa “m” se dispara contra un disipado durante el choque si se sabe que el bloque de masa M como se muestra en le bloque acelera al máximo cuando es figura. Después de la colisión el centro de desplazado 60cm. masas del conjunto (m + M) se desplaza hasta una altura h, encuentra la velocidad de la bala en función de m, M y h. A) 200J D) 350J

B) 220J

A)

C) 240J E) 370J

B) M  m 2gh M

17. Dos esferas se jebe de 1kg y 3kg deslizan sin fricción sobre una superficie horizontal, con rapidez de 5m/s y 1m/s respectivamente (moviéndose en la misma dirección). Si colisionan frontalmente, determine la máxima energía potencial elástica que adquiere el sistema durante la colisión. A) 2J B) 4J C) 6J D) 8J E) 10J 18. Se lanza una pequeña esfera dentro de una caja vacía de superficies internas lisas y Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

Mm gh M

Mm 2gh M M  m gh D) M 3 Mm E) 3gh M C)

21. Usando un bate, una pelota de 100g es impulsado con 1N.s, determine la rapidez de la pelota después del impacto.

138

GRUPO INGENIERÍAS que une el Sol con el planeta), son iguales en tiempos iguales”.

A)0,6m/s B)0,7m/s C) 0,8m/s D) 0,9m/s E)1m/s

t

B

A Perihelio A1

A2

Afelio

D

t

C

MOVIMIENTO PLANETARIO

A) Teoría Geocéntrica (Ptolomeo).De esta ley se puede deducir: Fue sustentada por Claudio Ptolomeo, A1 = A2 V2 > V1 astrónomo de Alejandría. Según esta teoría, Donde: la Tierra es el centro del Universo, alrededor del cual giraban el Sol y cada planeta se Velocidad en el tramo AB = V1 mueve con M. C. U. <

V = Velocidad media en el tramo CD

2 B) Teoría Heliocéntrica.Esta teoría fue publicada en el libro “De Revolutionibus Orbium Caelestium” en el año * En conclusión: Un planeta se mueve con 1542, enunciado por el monje polaco Nicolás mayor velocidad cuanto más cerca al Sol esté. Copérnico (1473 – 1543), quien sostuvo que  Tercera ley o ley de los períodos.- “El cuadrado de los períodos de revolución, la Tierra giraba sobre su eje y alrededor del cuando un planeta gira alrededor del Sol, es Sol, lo mismo que los demás planetas. directamente proporcional al cubo del radio vector medio”. C) Teoría Actual.Esta teoría se basa en la Teoría Heliocéntrica y fue enunciada por el gran matemático T2 astrónomo de Praga, Johannes Kepler, quien = K r1 R2 R3 formuló tres (03) leyes fundamentales del movimiento planetario.

Leyes de Kepler.- Kepler, luego de un examen y análisis cuidadoso de las observaciones astronómicas hechas por su maestro Tycho Brahe, formuló las siguientes leyes:

GRAVITACIÓN UNIVERSAL

Se llama así a la atracción entre los diferentes cuerpos del universo. Ley de la gravitación Universal  Primera ley o ley de las órbitas.“La fuerza de atracción gravitatoria entre dos “Los planetas giran alrededor del Sol en cuerpos en el Universo es directamente órbitas elípticas encontrándose el Sol en uno proporcional al producto de sus masas e de sus focos”. inversamente proporcional al cuadrado de las distancia de separación entre los mismos”.

1

a + b = c + d (propiedad de la elipse) 

m1

Segunda ley o ley de las áreas.- “Las áreas barridas por una radio vector (segmento


139

2

F

F d

m2

GRUPO INGENIERÍAS

F= 

Constante de Gravitación Universal “G”.Llamada también constante de Cavendish. 110 años después de la publicación de la Ley de Gravitación de Newton, se pudo efectuar la medición de “G” y, el primero en hacerlo fue Henry Cavendish. En el año 1797, utilizando para ello una balanza de torsión, el valor de “G” en el S. I. es:

Gravedad “g”.- La aceleración de la G.m 1 .m 2 2gravedad varía en relación inversa a la d altura; es decir, a mayor altura, menor aceleración de la gravedad.

RT

h

MT

m F

g0

M.K.S : G  6 .6 7 × 1 0 1 1 N.m 2 /kg 2 C.G.S : G  6 .6 7 × 1 0 8 dina.cm 3 /gr2

d

Intensidad de Campo Gravitatorio (g) Es una magnitud física vectorial que se define como la relación de la fuerza resultante por cada unidad de masa en un punto del campo. El vector “intensidad” del campo tiene la misma dirección y sentido que la fuerza resultante gravitatoria.

R T = Radio te rre s tre g 0 = Ac e le rac ió n de la grave dad e n la s upe rfic ie te rre s tre g = Ac e le rac ió n de la grave dad a altura h

"M"

MT = Mas a de la Tie rra

g

m0

m = Mas a s ituada a una altura m s o bre la s upe rfic ie te rre s tre

d

F = Fue rza de atrac c ió n

F=

G.M.m 0 F G.M d2 g= = = m0 m0 d2

G.m.MT d2

Como : d = R T + h

Además

F = P = m.g g = ac e le rac ió n de la grave dad F = fue rza de c o ntrac c ió n gravitato ria

 m.g = G.m.MT  (R T + h)2  Se tiene :   g = G.MT ...(1 )  (R T + h)2 

M = mas a ge ne rado ra de l c ampo m 0 = mas a afe c tada de l c ampo G = c o ns tante de Cave ndis h UNIDADES:

Si (h = 0) el cuerpo estaría en la superf. g = g 0

N/kg. ó m/s 2 

Variación

de

la

Aceleración


de

la

140

g

GRUPO INGENIERÍAS

g=

G.MT ...(2 ) R T2

Poniendo “g” en función de “ g 0 ”

 RT  g = g0   2 ...(3 )  h + RT 

75% del área total de su círculo. Determine la relación de sus radios. A) 1/2 B) 3 C) 4 D) 7/3 E) 9/4 03. Halle el módulo de la fuerza de atracción gravitacional entre dos esferas uniformes de radios R1 y R2, y densidades 1 y 2, cuando están en contacto (G: Constante de Gravitación Universal).

Para (3):

R T = 6 3 7 0 km.

A)

GR12 R22 1 2

g 0 = 9 .8 m/s 2

B)

GR13 R23 (1  2 )

C)

162 R13 R32 (1  2 ) G

Algunos valores conocidos: -

Radio de la Tierra:

-

Volumen de la Tierra:

D)

R T = 6370 km. E)

VT = 1 .0 9 × 1 0 2 7 cm 3 -

Masa de la Tierra:

MT = 5 , 9 8 × 1 0 2 4 kg -

16 2 3 3  R1 R2 1 2 G 9 162 R13 R 32 1 2 G 9 (R1  R 2 )2

Densidad de la Tierra:

D T = 5 .5 gr/cm 3 PROBLEMAS PROPUESTOS

04. Dos masas se atraen con una fuerza de 160 N. si la distancia entre ellas se duplica y la masa de una se triplica, ¿Cuál es la nueva fuerza entre las dos? A) 150 N B) 100 N C) 120 N D) 60 N E) 160 N

01. Suponga que la trayectoria elíptica mostrada en la figura representa la órbita 05. La distancia entre la Tierra y la Luna es 60 R. ¿A qué distancia de la tierra un cuerpo de la Tierra alrededor del Sol. Si el colocado en la línea que une la Luna y la trayecto de A a B dura 2,4 meses, ¿qué Tierra estará en equilibrio si la masa parte del área total, limitada por la elipse, terrestre es 81 veces la masa de la Luna? es el área sombreada? (R = radio de la Tierra) . A) 30 R B) 54 R C) 48 R D) 36 R E) 18 R B 06. El peso de una persona en la superficie terrestre es de 810 N. la altura sobre la Sol superficie terrestre, en la cual, el peso de A) ½ B) 1/3 dicha persona es de 90 N, mide: (R= radio 2/3 de la Tierra) . D) 1/5 E) ¼ A) 9 R B) 3 R C) 2R 02. Un planeta tiene dos satélites que giran D) R E) R/2 concéntricamente en trayectorias circulares. Uno de ellos tiene periodo de 07. Calcular la aceleración centrípeta con que se mueve un satélite artificial de la Tierra, por 27 días, el otro emplea 6 días en barrer el

Tierra AC)


141

GRUPO INGENIERÍAS una órbita circular que se encuentra a un tercio del radio terrestre sobre la superficie de la tierra. (g=aceleración de la gravedad en la superficie terrestre) A) 3g B) 4g C) 9g/16 D) g/8 E) 2g

el área A 2 . ¿Cuál es el período, en años terrestres del cometa? A A2 B

08. En la figura mostrada, un planeta se demora 4 meses terrestres en hacer el recorrido AB. ¿Qué tiempo empleara el recorrido CD?

A1

A) 7,2 D) 3,6

B) 9,0 E) 6,0

C) 4,0

12. Si el radio vector del planeta mostrado, barre de “O” a “P”

1 del área total orbital en 30 5

días. ¿Cuánto tiempo en días tardará el planeta en moverse de P a Q? A) 8meses 16meses D) 12meses 09.

B) 4meses

P

C)

E) 20meses

A

Dos planetas de masa M1 y M2 giran alrededor de una estrella “E”, en órbitas circulares de radios R1 y R2 respectivamente. Si R2 = 3R1 y el período del planeta M1 es de 100 días. Hallar el período del planeta M2

O

A) 45 D) 100

B) 60 E) 150

C) 90

13. En la figura, hallar el período del planeta “1”, sabiendo que el planeta “2” tiene un período de 400 días alrededor de la estrella llamada. 2 1

2R

A) 519dias D) 550dias

B) 500dias E) 400dias

R

C) 600dias

A) 100 días B) 120 días C) 141 días 10. Si se describe un pequeño planeta cuya D) 145 días E) 150 días distancia al Sol fuese 9 veces la de la tierra, 14. La figura muestra la órbita elíptica de un ¿Cuánto tiempo en años tardaría en recorrer planeta que gira alrededor del sol con un su órbita alrededor del Sol? periodo igual a 3 años terrestres. Si el A) 27 años B) 25 años C) 20 años planeta demora 6 meses terrestres en ir del D) 15 años E) 10 años punto A al perihelio y 2 años 6 meses terrestres en ir del punto B a la afelio, ¿qué 11. La elipse de la figura muestra la trayectoria parte de la elipse es el área sombreada?. de un cometa alrededor del Sol. Si el tiempo de viaje es 4 meses y el área A1 es 8 veces Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

142

GRUPO INGENIERÍAS A

Ramas de la Mecánica de Fluidos

s o l

a fe lio

p e r ih e lio

A) 1/6 D) 473

 Estática  - Hidrostática   de MECÁNICA  - Neumostática Fluidos  DE  Dinámica FLUIDOS  - Hidrodinámica  de   - Neumodinámica  Fluidos 

B) 1/8 E) 273

C) 3/4

15. Se muestra la órbita de un planeta alrededor de una estrella. Hallar el tiempo que emplea en ir de A a B, si C a D demora 140 días. S = La Hidrostática: Es la parte la mecánica de fluidos que estudio a los cuerpos en reposo. área barrida. B Sol

S/4

La Neumostática: Es la rama de la mecánica de fluidos que se encarga de estudiar el comportamiento de los gases en estado de reposo.

A

2S

La Hidrodinámica: Es la rama de la mecánica de fluidos que es encarga de estudiar los líquidos en movimiento. Cuando los líquidos fluyen, sus moléculas componentes se mueven describiendo curvas llamadas líneas de corriente.

C D

A) 70 días B) 560 días D) 87 días E) 17,5 días.

C) 30 días

16. ¿Cuál es el periodo del planeta mostrado, Si La Neumodinámica: Estudia a los gases en AB = 2 meses? movimiento. FLUIDOS Sol

C

S 5S

Es toda sustancia que se deforma continuamente cuando se le somete a un esfuerzo cortante o tangencial, aun por muy pequeña que sea esta.

A B

Pueden dividirse en líquidos y gases. DIFERENCIAS ENTRE LÍQUIDOS Y GASES

A) 2 meses B) 20 meses C) 30 meses D) 24 meses E) N.A.

MECÁNICA DE FLUID0 S Es la parte de la Física que estudia el movimiento de los fluidos (líquidos y gases), y que tiene la finalidad de analizar el comportamiento y efectos físicos que originan los fluidos en el estado de reposo y en el estado dinámico.


143

LÍQUIDOS Las fuerzas de cohesión entre sus moléculas son intensas Son prácticamente incompresibles Ocupan un volumen definido Tienen superficie libre (limitatoria)

GASES Las fuerzas de cohesión entre sus moléculas son casi nulas Son compresibles No tienen volumen definido No tienen superficie libre (limitatoria)

GRUPO INGENIERÍAS Adquieren la forma del recipiente que los contiene

OBSERVACIONES:

No tienen forma definida y tratan de ocupar la totalidad del recipiente que los contiene

 

Fuerzas iguales pueden ejercer presiones diferentes Fuerzas diferentes pueden producir presiones iguales

FUERZAS CONCENTRADAS Son fuerzas resultantes ideales que se suponen actúan en un solo punto.

F

HIDROSTÁTICA DENSIDAD (  ) Es una magnitud escalar cuyo valor nos indica la masa por unidad de volumen que posee un cuerpo:

FUERZAS DISTRIBUIDAS

=

Son fuerzas que actúan en toda una superficie o Donde: m a lo largo de una recta. V * Las fuerzas distribuidas son las que mas se UNIDADES: aproximan a las fuerzas reales. S.I:

q

: :

m V Masa de la sustancia Volumen del cuerpo

kg/m 3

g/m 3 ; lb/pulg 3 ; lb/pie 3 ; etc.

Otras:

DENSIDAD RELATIVA ( r ) Es la razón de dos densidades, es una cantidad adimensional.

L PRESIÓN

r =

Es una magnitud física tensorial que expresa la distribución normal de una fuerza sobre una superficie.

A B

r =

s us tancia H 2 O

r : es adimensional

La magnitud tensorial implica que la presión tiene PESO ESPECIFICO (  ) infinitos puntos de aplicación y manifestación Magnitud escalar que se define como el cociente normal sobre todas las superficies. del peso de un cuerpo entre su volumen.

Presión =

Fuerza Normal Area

UNIDADES: S.I.

W V

Donde: W

:

Peso

del

V

:

Volumen

del

cuerpo

Pascal  1 Otras:

=

N

 1Pa

m2 kg/cm 2 ; g/cm 2 ; etc.

cuerpo UNIDADES: S.I:

1bar  10 5 Pa

Torricelli  1 torr  1atm Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

Otras:

144

N/m 3

kg/m 3 ; kg/lt ; g/cm 3 ; etc.

GRUPO INGENIERÍAS GRAVEDAD ESPECIFICA (S) Es un peso específico relativo, respecto al agua para los sólidos y líquidos.

SA 

A H 2O

B

SB 

H 2O

SC 

C H 2O

;

Si A es sólido

;

Si B es líquido

;

Si C es un gas

h1

P2  liq gh 2 P1  liq gh1

P2  P1  liq g(h 2  h1 ) P2  P1  liq gH P  liq gH Donde: H  h 2  h1

RELACIÓN ENTRE EL PESO ESPECÍFICO Y NOTA LA DENSIDAD Se sabe que:

h1 = h 2

Si:

m W  ; y  V V

P2  P1 = 0  P2  P1

  g

Entonces:

h2 H

Indica que las presiones hidrostáticas son iguales a una misma profundidad.

PRESIÓN HIDROSTÁTICA VASOS COMUNICANTES Es la presión que soporta todo cuerpo sumergido en forma parcial o total en un líquido en reposo Son recipientes de diversas formas, relativo. comunicados entre sí por su base. Si por una de las ramas se vierte un solo líquido, La presión hidrostática se debe a la acción de la la altura que alcanza dicho líquido en todas las gravedad sobre el líquido. ramas del recipiente es la misma. líquido Esto es debido a que si un líquido se halla en reposo, las presiones en todos los puntos correspondientes a un mismo nivel es la misma. h P Como: h1  h 2  h 3

P1  P2  P3  P4

Área

Pres ión =

Fuerza W gV g A h = = = Area A A A

P = gh PRINCIPIO FUNDAMENTAL HIDROSTÁTICA

h1

DE

LA

1

h2 2

h3 3

4

 En el caso de tener un tubo inclinado “La diferencia de presiones hidrostáticas entre con cierto líquido, la presión se determina los puntos situados en un mismo líquido en tomando la altura vertical. reposo relativo es igual al producto de la densidad del líquido por la altura entre dichos puntos por la gravedad” Presión en el fondo

P  H Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

145

H

h

GRUPO INGENIERÍAS

P   h sen 

E  líq gVS ó

* Se llama líquidos inmisibles a aquellos que E   líq VS cuando se juntan no llegan a mezclarse. Los E menos densos tienden a subir a la superficie y NOTA: los demás tratan de quedarse en el fondo. Todo cuerpo totalmente sumergido desaloja un A  B  C volumen de líquido exactamente igual al suyo.

P   Ah A   B h B   C h C

C

hC

B

hB

A

hA

VCUERPO S UMERGIDO

= VLÍQUIDO DES ALOJADO

VASOS COMUNICANTES CON DOS LÍQUIDOS FLOTACIÓN INMISIBLES Se dice que un cuerpo está en flotación cuando Sea un tubo en U nuestro vaso comunicante. Si está en contacto únicamente con fluidos y en una de sus ramas echamos mercurio (Hg), además está en reposo. entonces alcanzará el mismo nivel. Si a continuación echamos agua en una de sus Centro de Flotación ramas, las superficies de mercurio quedan a Se llama así al centro de gravedad de la parte sumergida del cuerpo. En este punto se supone distintos niveles. que actúa el EMPUJE. Leyes de Flotación H 2O

1ª Ley: “Si el peso específico del cuerpo es mayor que el del líquido en el cual se sumerge, entonces el cuerpo se hunde hasta el fondo, con

h2 h1

Hg

1

P1  P2

2

una aceleración a ”

Hg

 H 2O h1   Hg h 2 NOTA: ¿Para otro nivel encima del elegido, se cumplirá la misma relación? La respuesta es NO

 líq a  1   cuerpo 

  g 

a L

E

C VC W

“Pues las presiones son iguales a un mismo 2ª Ley: “Si el peso específico del cuerpo nivel solo cuando se tiene un mismo líquido” es igual a la del líquido en el que se sumerge, entonces el cuerpo flota entre dos aguas. PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES

 C   líq “Todo cuerpo sumergido parcial o totalmente en un líquido recibe una fuerza vertical de abajo 3ª Ley: “Si el peso específico del cuerpo es hacia arriba, denominada EMPUJE cuyo valor es menor que el peso específico, entonces el igual al peso del líquido desalojado”. cuerpo se sumerge con una Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

146

GRUPO INGENIERÍAS multiplicar la fuerza que se le comunica. Sus aplicaciones se dan para levantar cargas pesadas.

aceleración a ”

 líq  a a   1g  cuerpo    L

E

C

F1 F  2 A1 A2

VC a W

A1 e 2  A2 e 1

PESO APARENTE Se llama así a la diferencia entre el peso real de PRESIÓN ATMOSFÉRICA un cuerpo, (peso medido en el vacío) y el empuje La presión atmosférica se ejerce en todas direcciones y con igual intensidad, en un mismo del fluido en el que se encuentra el cuerpo. punto.

V1

Peso en el aire: aire  1, 3 g/cm 3

1

Wa = Wr  E

EXPERIENCIA DE TORRICELLI Llenó de mercurio un tubo delgado de 1 m de largo, tapó uno de sus extremos y luego lo V E 3 invirtió, sobre el recipiente que contenía también 3 mercurio. Entonces pudo notar que el mercurio  Cuando tenga un cuerpo sumergido en no se vació completamente. líquidos inmisibles, el empuje se obtendrá de la * Si esta experiencia se realiza a nivel del mar se siguiente manera: observa que la altura del mercurio que queda en E T  E1  E 2  E 3 el tubo es de 76 cm. E T  1 V1  2 V2  3 V3 Luego:

V2

2

 El empuje hidrostático en recipientes acelerados, es perpendicular a la superficie libre de líquido y dicha superficie se inclina tal como se muestra.

Patm  76 cmx(13, 6 g/cm 3 ) PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Calcule la diferencia de presión entre los centros de los tanques A y B.

a

mg a  g tan 

mg PRINCIPIO DE PASCAL “Un líquido transmite en todas direcciones, la presión que ejerce sobre él, sin disminuir su valor” F P0

PRENSA HIDRÁULICA Es una máquina simple que tiene por objetivo Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

147

A) 120 Kp

B) 1000 Kp

C) 257 Kp

GRUPO INGENIERÍAS D) 500 Kp E) 250 Kp D) 3,5 kPa E) 4,2 kPa 02. Un bloque cubico de madera de 10 cm. De arista y de densidad relativa 0.5 flota en un 05. Una esfera hueca de densidad “  ” y 0 recipiente con agua. se vierta aceite de diámetro exterior “D” se encuentra sumergido densidad relativo 0.8 hasta que la superficie dentro de un líquido de densidad “  ”. Cuál superior de la capa de aceite se encuentre 4 cm. Por debajo de la cara superior del será el diámetro interior de la esfera? bloque. Determinar: El espesor de la capa de    B)    C) aceite; la presión en la cara inferior. A) D 3 0 D3 0 2 A) 5cm; 50 Kp/m B) 5 cm; 50 0 0 2 Kp/cm 2   0 C) 5mm; 50 Kp/mm D) 4cm; 50 D3 2 Kp/m 0 2 E) 4mm; 50 Kp/mm D) D 3

03. Expresar la profundidad sumergida X, en función del peso específico del cubo y el peso específico del fluido.

  0 

E)

D3

 0 . 0

06. En la figura se muestra un recipiente conteniendo tres líquidos no miscibles. Determine la presión hidrostática que soporta el fondo del recipiente. (g = 9,8 m/s²) 3 3 agua = 1, 0 g/cm aceite = 0,8 g/cm 3 mercurio = 13,6 g/cm A) B) C) D) E)

33,712 KPa 44, 820 KPa 30, 220 KPa 25,220 KPa 33,720 KPa

40cm

Aceite

40 cm

Agua

20 cm Mercuri C  ) S B) X  ( C ) S 3 C) L L  X  ( C )S 2 L   E) X  ( L ) S 3 X  ( L )S C C

07. Un buzo que se encuentra sumergido en un lago soporta una presión total de 3,5 atm. Determine la profundidad a la que se encuentra dicho buzo. (ρLago= ρAgua ; Patm= 5 10 Pa ; 2 g = 10 m/s )

A) X  (

D)

A) 15 m D) 30 m

04. Un ladrillo de plomo de dimensiones 5 cm, 10 cm y 20 cm, descansa en un piso horizontal sobre su cara más pequeña, ¿Cuál es la magnitud de la presión que ejerce el ladrillo sobre el piso? 3 2 (ρPb = 2,7 g/cm ; g = 10 m/s ) A) 1,5 kPa B) 2,3 kPa C) 5,4 kPa Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

B) 20 m E) 35 m

C) 25 m

08. Se tiene un tubo en U parcialmente lleno con un líquido de densidad relativa  . Por una de sus ramas se añade aceite de densidad relativa 0,8 hasta una altura de 12 cm. Cuando el sistema se equilibra la interfase aire/aceite está a 6 cm sobre la interfase líquido/aire. Halle  .

148

GRUPO INGENIERÍAS A) 0,4

B) 0,8

A) B) C) D) E)

C)

1,6 D) 4,8

E) 9,6

09. El paquete de instrumentos mostrados en la figura pesa 5000 KP. Calcule la tensión en el cable si el paquete está sumergido por completo en agua de mar, la cual tiene una densidad relativa de 103.

450 Pa 900 Pa 1800 Pa 3600 Pa 7200 Pa

a h

11. El tubo en forma de “U” mostrado en la figura, contiene tres líquidos no miscibles A, B y C. Si 3 las densidades de A y C son 500 y 300 kg/m respectivamente. Determine la densidad del líquido B. A) B) C) D) E)

3

800 kg/m 3 200 kg/m 3 1600 kg/m 3 2200 kg/m 3 2400 kg/m

5cm 25cm

A

C

B 12. Un tubo en forma de U, el cual tiene brazos de secciones transversales A y 2A, contiene cierta cantidad de agua (ver figura). Halle la altura que sube el nivel derecho del agua cuando por la rama izquierda ingresa aceite, que no se mezcla con el agua, y ocupa un volumen de 12 cm de altura. A

agua = 1, 0 g/cm 3  aceite = 0,8 g/cm A) 3,1 cm B) 3,2 cm C) 3,3 cm D) 3,4 cm E) 3,5 cm

2A

3

A) 3343 Kp 3343 KN D) 3343 Kpa

B) 3343 Pa

C)

E) 3343 Gpa

10. En la figura se muestra un ascensor que sube con una aceleración de magnitud 2 2 m/s . Dentro del ascensor hay un recipiente que contiene agua hasta una altura h = 30 cm. Determine la presión hidrostática en el fondo del recipiente. (g = 10 m/s²)


20cm

10cm

AGUA

149

15

GRUPO INGENIERÍAS 13. El barómetro que se muestra en la figura contiene mercurio (ρ = 13,6 3 g/cm ) hasta una altura de 26 cm (Patm = 76 cm de Hg). Calcule la presión (en kPa) ejercida por el vapor de agua en el balón. 2 Vapor de Agua (g = 10 m/s ) 68 42 24 12 5

26cm

cuando está sumergido completamente. 3 Determine la densidad (en g/cm ) del líquido desconocido. 2 (g = 10 m/s ) A) 1,7 D) 1,5

Hg

4m 5m 6m 8m 1m

C) 1,3

17. La esfera de densidad “” está sumergida entre dos líquidos no miscibles A y B, de 3

densidades 2 y 1,2 g / cm respectivamente, tal como se muestra en la figura. ¿Cuál es la densidad de la esfera para que la mitad de ella se encuentre en el líquido más denso?

14. ¿En qué punto de la varilla “MN”, a partir de “M” será necesario aplicar la fuerza vertical “F” para que la varilla de longitud L = 9m, articulada a émbolos de masa despreciables permanezca horizontal? (A2 = 2A1).

A) B) C) D) E)

B) 1,8 E) 1,6

F M

N

A) B) C) D) E)

3

0,8 g/cm 3 1,6 g/cm 3 1,8 g/cm 3 3,2 g/cm 3 2,4 g/cm

B A

18. La figura muestra un cubo flotante del cual sobresale las (2/5) partes de su volumen. Agua Encuentre la relación DS/DL. (DS = densidad del sólido, 15. ¿Cuál es la presión pA? La densidad relativa DL = densidad del líquido) del aceite es 0.8 y la densidad relativa del A) 5/2 mercurio 13.6. B) 2/5 C) 5/3 D) 3/5 E) 2/3

A1

Líquido

19. ¿Qué porcentaje de un cubo de madera A2 flotará en un recipiente que contiene aceite, sabiendo que la densidad de la madera 3 es de 0,6 g/cm y la densidad del aceite 3 0,8 g/cm . A) 10% D) 75%

20. Dos bloques de 20 N y 80 N de peso e igual volumen, flotan tal como se muestra en la figura. Determine la deformación del resorte. (K=10 N/cm)

A) 33 Kp B) 33 Pa C) 80 Kp D) 80 Kpa E) 70 Pa 16. Un cuerpo de masa 8 kg, pesa 60 N en el agua y 50 N en un líquido desconocido, Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

B) 25% C) 50% E) 80%

150

A) 3 cm

GRUPO INGENIERÍAS B) C) D) E)

2

= 10m/s )

3,5 cm 1 cm 7 cm 5 cm

A) B) C) D) E)

–32J –36J –46J –48J –96J

A) B) C) D) E)

1 rad/s 0,8 rad/s 0,5 rad/s 0,4 rad/s 0,1 rad/s



F

21. Un cilindro de radio “R” y longitud “L” es colocado longitudinalmente sobre un líquido de densidad “ρ”. Se observa que el cilindro queda sumergido hasta una altura h=R/2, en 24. Determine la rapidez angular con la que equilibrio. Determina la masa del cilindro. debe girar el eje de rotación (AB),mostrado en la figura, de tal forma que la cuerda que sostiene a la esfera  3 2  2 forme un ángulo de 16º respecto de la A) ρLR   B) ρLR  4  vertical cuerpo=7líquido; a= 3 m, L=25 m,  3 2 g=10 m/s .

 3    3 4 

 3 3   D) ρLR2   2   4 3   3  3 2 2  E) ρLR   2   3 

C) ρLR  2



25. Determine la magnitud de la fuerza elástica del resorte, si la esfera de 1kg de masa y 3 800 kg/m de densidad se encuentra en 22. ¿Qué tiempo empleará un cuerpo de 3 equilibrio tal como se muestra en la figura. masa 8 kg y densidad 800 kg/m en llegar 2 (g = 10 m/s ) a la superficie libre del agua, si se deja en libertad en el punto A mostrado en la A) 0,83 N figura? 2 B) 0,90 N (g =10 m/s ). C) 72,91 N D) 0,80 N A) 0,8s H2O E) 2,08 N B) 2s C) 3s D) 4s 26. En la figura, hallar la presión del gas A, si el E) 5s líquido que se encuentra dentro del tubo es 3

23. El cubo mostrado en la figura tiene 40 cm de arista y está flotando en agua ( = 3 1000 kg/m ). Si se le aplica una fuerza 

vertical F hasta que se sumerja completamente. ¿Cuánto trabajo desarrolló la fuerza de empuje? 3 (Considere que: cubo=500 kg/m y g Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

151

mercurio (Hg = 13,6 gr/cm ). Considerar la presión atmosférica igual a100 KPa y g = 10 2 m/s ) A) 116,8 Kpa D) 113,6 Kpa

30º

B) 236 Kpa E) 6800 kpa

C) 6900 Kpa A

53º

100 cm 50 cm

GRUPO INGENIERÍAS

CALORIMETRÍA Y TERMODINÁMICA CALORIMETRIA 27. En el sistema mostrado, el agua se encuentra en equilibrio; si el área del émbolo 2 móvil es de 0,01 m . Hallar la presión del gas Se encarga de estudiar el calor transitorio que 2 “B”. (Considerar g = 10 m/s ) puede pasar de un cuerpo a otro. CALOR El calor (Q) es la energía que se transmite de un cuerpo a otro, solamente a causa de una diferencia de temperaturas entre los cuerpos. Siempre se transmite del más caliente al más frío.

A) 120 PA D) 500 PA

B) 1000 PA E) 250 PA

UNIDADES La Caloría (Cal): Representa la cantidad de calor que se debe suministrar a 1g de agua para elevar su temperatura en 1ºC. Además: 1 Kcal = 1000 cal . Kcal : se lee kilocaloría

C) 2000 PA

28. En el sistema de vasos comunicantes de la figura, las densidades de los líquidos A y C son A y C respectivamente. Hallar el peso específico del líquido B, para que el nivel del líquido C, se mantenga como se muestra en la figura.

HA

HB

A

B 

C

 A gH A A) HB  A gH A H B sen   C gH B D) H B cos 

B)

 C gH B H A sen 

CAPACIDAD CALORÍFICA (C) Es la cantidad de calor que debe ganar o perder un cuerpo para elevar o disminuir su temperatura en un grado.

C 

Q Cal J Kcal , , T º C º C º C

CALOR ESPECIFICO (Ce) Es la cantidad de calor por unidad de masa que necesita cierta sustancia para generarle una variación de 1ºC

Ce = C)

Q m.ΔT

cal J , g . º C Kg . º C

CALOR ABSORBIDO POR UN CUERPO (Q) Es la cantidad de calor que absorve un cuerpo sin generarle un cambio de estado. E)

 B gH B H A cos 


Q  m.Ce.t TEMPERATURA DE UNA MEZCLA (EQUILIBRIO TERMICO)

152

GRUPO INGENIERÍAS También conocido como la ley cero de la termodinamica. Dos cuerpos que se encuentran a la misma temperatura se encuentran en equilibrio termico. Esto quiere decir que no existirá trasnferencia de calor entre ellos.

vierte agua caliente

Calorimetro meq

T1  T2 T1 A

B T2

meq = masa de agua del calorimetro

Q

A

EQUIVALENTE MECANICO DEL CALOR Con este y otros experimentos, James Joule encontró que una determinada cantidad de trabajo era equivalente a una cantidad de calor. Demostrándose:

B Te

1 cal  4,18 J 1J  0,24 cal

T2  Te  T1 PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE LA CALORIMETRIA De la conservación de la energía el calor ganado por un cuerpo será igual al calor perdido por el otro.

ESTADO DE LA MATERIA

CALORIMETRO DE MEZCLAS Es aquel recipiente ideal que no permite que entre o salga calor de él. El calorimetro de mezclas es usado para determinar los calores especificos de los cuerpos utilizando el principio fundamental de la calorimetria.

T2

Q  meq .CeH2O .T

CAMBIO DE FASE Es aquella transformación física que experimenta una sustancia pura al recibir cierta cantidad de calor; cuando está saturada. En consecuencia durante un cambio de fase la sustancia se ordena molecularmente adoptando nuevas propiedades físicas y perdiendo otras.

Sublimación directa metal

Te

T2  T1

agua T1

SÓLIDO

Qganado  Qperdido agua

Vaporización

Licuación Fusión

GASEOS

LÍQUIDO

metal

Solidificación

mH2O .CeH2O .(Te  T1 )  mmetal .Cemetal .(T2  Te )

Condensación

Sublimación Inversa

PUNTO TRIPLE

EQUIVALENTE EN AGUA DEL CALORIMETRO Cuando el calorimetro es real, este puede Es la temperatura en la cual cohexisten los tres absorver calor, entonces la cantidad de calor que estados de la materia: sólido, líquido y gaseoso a puede absorver un calorimetro o ceder; se condiciones de 273K y 611Pa de presión. compara con cierta masa de agua que produzca CALOR LATENTE DE TRANSFORMACIÓN el mismo efecto. (CL) Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

153

GRUPO INGENIERÍAS Es la cantidad de calor que debe ganar o perder La temperatura se puede medir indirectamente un cuerpo para cambiar de fase sin alterar su basándose en toda una serie de propiedades temperatura. físicas de los cuerpos. Pues cuando un cuerpo varía su temperatura también varía su volumen, CALOR LATENTE DE FUSIÓN (CF) densidad, longitud, resistencia eléctrica, Es la cantidad de calor por unidad de masa para elasticidad, etc. pasar del estado sólido al estado líquido

CF  80

cal g

ESCALAS TERMOMÉTRICAS: Para medir la temperatura se establecen escalas de medición, tomándose para ello puntos fijos de CALOR LATENTE DE VAPORIZACIÓN (CV) referencia que generalmente son puntos de Es la cantidad de color por unidad de masa para congelación y ebullición del agua u otro elemento pasar del estado líquido al estado gaseoso. de características conocidas.

C V  540

cal g

CLASIFICACIÓN DE LAS ESCALAS Fahrenheit Kelvin Celsius

CALOR TOTAL DE TRANSFORMACIÓN (QT) Es la cantidad total de calor que necesita para Ebullic ió n cambiar su estado de l agua

Rankine

373

100

212

672

273

0

32

492

0

273

460

0

QT  m.CL

m: masa

CAMBIO DE FASE PARA EL AGUA Co nge lac ió n de l agua Hielo 1g a 0ºC

T(º C) Ce ro Abs o luto

100

A. Escalas Relativas: 1) Escala Centígrada o Celsius: Esta escala presenta dos puntos fijos al nivel del mar. – Congelación del agua: 0 ºC – Ebullición del agua: 100 ºC.

EQUIVALENTE MECÁNICO DE CALOR

80

180

720

2) Escala Fahrenheit: Q(cal)

Es un factor de conversión que permite obtener cierta cantidad de calor obtenido conociendo el trabajo total realizado. El primero en medir el equivalente mecánico de calor fue Joule. 1cal = 4,18J 1J = 0,24cal TERMOMETRÍA Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

– Sitúa los 0 ºF a la temperatura obtenida en una mezcla de agua, hielo y sal amoniacal. – Punto de fusión del NaCl y el hielo: 0 ºF – Temperatura del cuerpo humano: 100ºF – Punto de congelación del agua: 32 ºF – Punto de ebullición del agua: 212 ºF B. Escalas Absolutas: 1) Escala Kelvin: Esta escala denomina cero absoluto a la temperatura mínima que se ha

154

GRUPO INGENIERÍAS logrado conseguir, la cual es 273 º C y cuyo TC TF TK TR    intervalo de un grado es igual al de la escala 5 9 5 9 Celsius. – Es la escala absoluta correspondiente a la DILATACIÓN escala relativa Celsius. – Considera el Cero Absoluto, 0 K, como el límite Es el fenómeno físico por efecto del calor que inferior posible de temperatura: 0 K =– 273 ºC consiste en el cambio de dimensiones que – Punto de congelación del agua = 273 K experimenta un cuerpo, al aumentar o disminuir – Punto de ebullición del agua = 373K sus distancias intermoleculares, cuando varía su temperatura. 2) Escala Rankine: Esta escala denomina cero absoluto a la temperatura mínima que se ha logrado conseguir, la cual es 460 º R y cuyo intervalo de un grado es igual al de la escala Celsius. – Escala absoluta correspondiente a la escala relativa Fahrenheit (tienen las mismas divisiones). – Considera también el cero absoluto: 0 ºR =– 460ºF. (Aproximadamente equivale a 0 ºR). – Punto de congelación del agua = 492ºR. – Punto de ebullición del agua = 672ºR.

Relaciones deducidas a partir del gráfico: C0 F  32 K  273 R  492    100  0 212  32 373  272 672  492 C  0 F  32 K  273 R  492    100 180 100 180 Simplificando:

C F  32 K  273 R  492    5 9 5 9 ESCALAS ARBITRARIAS (X)

X a C F  32 K  273 R  492     b  a 100 180 100 180 a: punto de congelación del agua b: punto de ebullición del agua VARIACIÓN DE TEMPERATURA T  Tf  T0 Tf

:

Temperatura final

T0 :

Temperatura inicial

FÓRMULA PARA VARIACIONES DE TEMPERATURA:


DILATACIÓN LINEAL ( L ) Es el cambio de longitud que experimenta un cuerpo que tiene una dimensión como principal, debido al cambio de temperatura. Analicemos una varilla sometida a un incremento de temperatura desde T0 hasta Tf , que definiremos como T  Tf  T0 . Podemos notar que se da lo siguiente: Es tado Inicial (a T0 ) L0 Es tado Final (a Tf ) L0

L

Lf El incremento en longitud se define como la diferencia entre las longitudes final e inicial: L  L f  L 0 … (1)

Donde:

L0

:

Longitud inicial

: Longitud final Lf También se define como: L  L 0 T … (2) Donde: : Coeficiente de dilatación lineal  Variación de temperatura T : Longitud final: De la relación (1) podemos afirmar que: L f  L 0  L Sustituyendo con (2): L f  L 0  L 0 T , factorizando: L f  L 0 (1  T) … (3) DILATACIÓN SUPERFICIAL ( A )

155

GRUPO INGENIERÍAS

Af  A0 (1  T)

Proceso termodinámico AB

DILATACIÓN CÚBICA ( V ) Vf  V0 (1  T) TERMODINÁMICA CONCEPTO DE TERMODINÁMICA La termodinámica trata acerca de la transformación de energía térmica en energía mecánica y el proceso inverso, la conversión de trabajo en calor. Puesto que casi toda la energía disponible de la materia prima se libera en forma de calor, resulta fácil advertir por qué la termodinámica juega un papel tan importante en la ciencia y la tecnología. En este capítulo se estudiarán dos leyes básicas que deben obedecerse cuando se utiliza energía térmica para realizar trabajo. La primera leyes simplemente volver a postular el principio de la conservación de la energía. La segunda ley impone restricciones sobre el uso eficiente de la energía disponible.

Ciclo termodinámico.- Es una sucesión de estados o procesos de tal forma que el sistema al final vuelve a su estado inicial. Ciclo ABCA

Sistema termodinámico.- Es aquella porción de materia que puede considerarse limitada por una superficie cerrada real o imaginaria. La región no incluida en el sistema constituye el exterior o alrededores o ambiente.

Energía interna de un gas ideal (U).- Es .la suma de las energías cinéticas de traslación, vibración y rotación de todas las moléculas que componen determinada masa de gas ideal, esta Estado de un sistema.- Es una situación magnitud depende de la temperatura absoluta (T) determinada del sistema definida por los valores y de la cantidad de gas (n) de sus variables termodinámicas (presión, volumen, temperatura, etc), en el diagrama PV U   E K( traslación)  E K( vibración)  E K ( rotación) se representa por un punto,





Para un gas monoatómico formado por “n” moles la energía interna es: 3 U  nRT 2 Para un gas diatómico formado por “n” moles la energía interna es: 5 U  nRT Estado “A" 2 P1 V1 T1 Donde: Proceso termodinámico.- Es una sucesión continua de estados que el sistema experimenta R=constante universal de los gases = 8,31 J cal cuando es estimulado externamente, en el 2 mol  K mol  K diagrama PV se representa por una curva continua. Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

156

GRUPO INGENIERÍAS

R  8,31

J cal 2 mol  K mol  K

Para gases monoatómicos: He, Ne, Ar, Kr, Xe:

Cp  5 R ; Cv  3 R y 2 2

K

Cp 5  Cv 3

K

Cp 7  Cv 5

T = temperatura absoluta (K)  U = U2 – U1

Para gases biatómicos:

La variación de energía interna (  U) no depende de la trayectoria

Cp  7 R ; Cv  5 R y 2 2 k = constante adiabática

Trabajo realizado por un gas (W).- Para que un gas efectúe trabajo necesariamente debe cambiar su volumen ya sea expandiéndose o comprimiéndose, que se realice mayor o menor cantidad de trabajo depende del proceso que se siga al cambiar de volumen, en un diagrama PV el trabajo está representado por el área que está entre la gráfica y el eje horizontal.

PRIMERA LEY DE LA TERMODINÁMICA.- En todo proceso termodinámico el calor que entra o sale de un sistema será igual al trabajo realizado por el sistema o sobre él, más la variación de la energía interna.

Q  W  U Si el volumen aumenta W(+) Si el volumen disminuye W(-)

Q = Calor que entra o sale. W = Trabajo realizado por o sobre el sistema.  U = Variación de la energía interna.

Capacidad calorífica molar.- Debido a que todo gas puede ser calentado o enfriado manteniendo la presión o volumen constante, entonces existirá 2 tipos de capacidad calorífica. Uno a presión constante y el otro a volumen constante siendo el primero mayor que el segundo y su diferencia nos determina la constante universal de los gases (R). Cp = Capacidad calorífica molar a presión constante Cv = Capacidad calorífica molar a volumen constante Cp > Cv y Cp – Cv = R


Convención de signos:

() : Re alizado por el sistema W () : Re alizado sobre el sistema 

Q() : Ganado por el sistema () : Perdidopor el sistema U() : Aumenta () : Dismin uye PROCESOS TERMODINÁMICOS:

157

GRUPO INGENIERÍAS Proceso termodinámico, es la secuencia de estados por los cuales se obliga a pasar a la III. Proceso Isotérmico (T = cte).- En este sustancia de trabajo para que se permita la proceso, se hace evolucionar a la sustancia conversión de calor en trabajo. desde un estado inicial hasta otro final, manteniendo su temperatura constante. I. Proceso isobárico.- En este proceso se hace evolucionar a un sistema desde un estado inicial hasta otro final manteniendo en todo instante la presión constante. (1) W = P  V (2) Q = n CP  t (3)  U = n CV  t Vf Vi  (4) (Ley de Charles) Tf Ti

U=0 Q=W V  V (2) Q  2,3Pi Vi Log f   Pi Vi Ln f V  i   Vi

(1)

(5) Diagrama P – vs – V

V  V  (3) W  2,3Pi Vi Log f   Pi Vi Ln f   Vi   Vi  (4) Ley de Boyle – Mariotte: PiVi = PfVf

IV. Proceso Adiabático (Q=O).- Es aquel proceso termodinámico, en el cual se hace evolucionar a la sustancia desde un estado inicial hasta otro final sin adición ni sustracción de calor.

Área = A = P(Vf - Vi) Área = A = P  V Área = A = W = Trabajo II.

  

Proceso Isócoro (V = cte).- Es aquel proceso termodinámico, en el cual una sustancia evoluciona desde un estado inicial hasta otro final manteniendo su volumen constante. (5) Diagrama P - V

(1) Q = O  W = -  U (2)  U = nCV  t P V  Pi Vi Cp (3) W  f f ;k 1 k Cv (4) Pi Vi k  Pf Vf k NOTA: La pendiente de la curva adiabática es mayor que la pendiente de la curva isotérmica.

(1) W = 0  Q =  U (2) Q = n CV  t

(3)  U = nCV  t (4) Ley de Gay – Luzca Pf Pi  Pf Pi


SEGUNDA LEY DE LA TERMODINÁMICA.A)

B)

158

Ningún cuerpo es capaz de entregar calor en forma espontánea a otro cuerpo de mayor temperatura, existiendo la posibilidad de forzarlo a ello si es que; previamente en él se invierte trabajo. No existe máquina térmica que sea capaz de

GRUPO INGENIERÍAS III. Compresión Isotérmica (C – D) IV. Compresión Adiabática (D – A)

convertir en forma continua todo el calor en trabajo. C) No existe ninguna máquina térmica cuya eficiencia sea del 100%.

Relaciones: Q1 Q 2  T1 T2

MÁQUINA TÉRMICA

n Carn o t  1 

T2 T1

n Carnot  n Ciclo Es aquel dispositivo que transforma parte del calor que recibe en trabajo mecánico, está constituido por una fuente caliente (caldera u EJERCICIOS PROPUESTOS horno), que entrega calor (Q1) a la máquina y otra fuente fría (condensador o sumidero de Determine la temperatura a la cual la lectura de calor), donde se expulsa el calor residual (Q 2). El un termómetro Fahrenheit, es trabajo útil que se obtiene de la máquina térmica exactamente el doble que la obtenida es W = Q1 - Q2 con un termómetro Celsius. Representación esquemática y cálculo de la eficiencia de una máquina térmica.

A) 300 ºF B) 320 ºF C) 320 ºC D) 400 ºC E) 160 ºF Un termómetro de mercurio tiene una escala que marca 0 ºX cuando la temperatura es de -10 ºC y marca 220 ºX para 100 ºC. ¿Cuántos grados X corresponden a la temperatura promedio del cuerpo humano de 37 ºC? A) 94º B) 100º D) 120º

Q  Q2 n 1 Q1

W n Q1

C) 114º E) 125º

Una varilla de vidrio y otra de acero tienen la misma longitud a 0 ºC, y a 100 ºC sus longitudes se diferencian en 0,2 mm. Determine la longitud de cada varilla a 0 ºC. (Los coeficientes de dilatación lineal CICLO DE CARNOT.- Es aquel ciclo con el cual -6 para ambos materiales son: acero=410 una máquina térmica tendría la máxima -1 -6 -1 ºC ,vidrio=510 ºC ) eficiencia, está constituido por dos procesos isotérmicos y dos procesos adiabáticos, su A) 1 m B) 2 m C) 3 m eficiencia sólo depende de las temperaturas D) 4 m E) 5 m absolutas de los focos entre los cuales opera. n  1

Q2 Q1

T: temperatura absoluta I. II.

Se tienen dos varillas “A” y “B” cuyos coeficientes -6 -1 de dilatación lineal son A = 1,210 ºC -6 -1 y B = 1,810 ºC . La longitud en función de la temperatura para ambas varillas, se muestra en la figura. Determine la relación de las longitudes iniciales “LOA / LOB”. L (cm)

Expansión isotérmica (A – B) Expansión Adiabática (B – C)


A B

L

159

OA

L OB 0

3 0º 6 0º

T( º C

GRUPO INGENIERÍAS interno en un tubo de 2,1 cm de radio externo. El anillo inicialmente está a 15 ºC. ¿Hasta que temperatura se deberá calentar el anillo para lograr el objetivo? El coeficiente de dilatación lineal del -3 -1 anillo es 10 ºC . A) 1/4 D) 3

B) 1/3 C) 1/2 E) 4

A) 45 ºC C) 55 ºC 65 ºC

B) 50 ºC D) 60 ºC E)

En la figura se muestra la variación relativa de la longitud de dos barras de materiales A y Una placa metálica de 100 g y coeficiente de -4 -1 B en función de la variación de sus dilatación lineal 10 ºC recibe 400 calorías de energía calorífica temperaturas T con respecto a la incrementando su área en 1%. Halle el temperatura ambiente. Si las dos barras calor específico (en cal/gºC) de la placa. tienen la misma longitud inicial L0 a la temperatura ambiente, ¿para qué A) 0,04 B) 0,08 C) 0,016 incremento de temperatura la diferencia D) 0,02 E) 0,30 de sus longitudes será de 0,07 % de la longitud inicial L0? Un motorcito desarrolla una potencia 1kW al accionar unas paletas que agitan el agua contenida en un recipiente. ¿Qué cantidad de energía (en kcal) se le L 3 habrá proporcionado al agua de 1 10 L0 minuto? Considere que toda la energía 2 suministrada por el motor es absorbida por el agua. A





1 J  0,24 cal

1

A) 10,2 14,4 D) 14,4

B

B) 12,2

C)

E) 18,6

Una masa de 300 g de vapor de agua a 100 ºC B) 60ºC C) 70ºCT(ºC) se enfría hasta obtener hielo a 0 ºC. ¿Cuántas kilocalorías se le sustrajo en el proceso? (El calor latente de La base de una plancha eléctrica es una placa de vaporización del agua es 540 cal/g y el aluminio que tiene un área de 200 cm² a calor latente de fusión del hielo es 80 la temperatura de 20 ºC. Calcule el cal/g) aumento del área de dicha base (en A) 180 B) 196 C) 216 cm²) cuando la plancha está D) 226 E) 230 funcionando a 170 ºC. -5 -1 (aluminio = 2,3 10 ºC ) Un recipiente de capacidad calorífica despreciable contiene 40 gramos de A) 0,23 B) 0,46 C) hielo a -20 ºC. ¿Cuántos gramos de 1,15 agua a 100 ºC se debe verter en el D) 1,38 E) 2,12 recipiente, para obtener finalmente agua líquida a 0ºC? Se desea insertar un anillo de 2 cm de radio A) 18 B) 20 C) A) 50ºC 20 40 D) 80ºC

60 E)80 100 90ºC


160


específico del cuerpo D) 36

(en cal/gºC).

E) 42

A) 0,5 B) 1,0 C) 1,5 Un estudiante mezcla dos cantidades de un D) 2,0 E) 2,5 mismo líquido que están a diferentes Un recipiente térmicamente aislado contiene 200 temperaturas. La masa y la temperatura g de agua a una temperatura de 25 ºC. del líquido más caliente son tres veces Si se añade 20 g de hielo a una la masa y la temperatura del líquido más temperatura de -5 ºC. Determine la frío, respectivamente. La temperatura temperatura de equilibrio (en ºC) de la inicial del líquido frío es 25 ºC, entonces mezcla. la temperatura de equilibrio de la mezcla es: A) 6,2 B) 8,2 C) 9,6 A) 32,5ºC B) 42,5ºC D) 15,2 E) 16,4 C) 53,5ºC

D)

Constantes y equivalencias usadas en este capítulo: 5 R = 8,31 J/mol K; 1 atm = 10 Pa; 1 cal = 4,2 J

62,5ºC

E) 65,0ºC

El comportamiento de La temperatura de un cuerpo de masa 0,5 kg en función del Un tanque cilíndrico de acero, lleno de helio, calor recibido, es tal como se muestra tiene un pistón que puede moverse en la figura. Determine los calores libremente. Cuando se altera la específicos (en cal/gºC) en las fases temperatura del gas el volumen varía, sólido y líquido respectivamente. manteniendo la presión a 1 atm, se tomaron lecturas de varios valores del volumen del gas para diferentes T (ºC) temperaturas, los resultados se muestran en la gráfica, a partir de estos 120 datos experimentales, estime el número de moles de helio en el cilindro. A) 0,1 B) 0,2 C) 0,3 40 D) 0,4 E) 0,5 A) 2 ; -10 3 C) 5 ; 3 D) 6 ; 4

100

B) 4 ; 320 3 200

Q (Kcal)

E) 6 ; 5

V (litros)

6,0 5,8

Determine la cantidad de calor que se le debe suministrar a 20 g de hielo a -20 ºC para llevarlo hasta vapor a 120 ºC. A) 14 400 cal B) 14 800 cal C) 15 000 cal D) 15 200 cal E) 15 900 cal

5,6 0,54

5,4 5,2 5,0 4,8

En un calorímetro cuyo equivalente en agua es 20 g se tiene 40 g de agua a 20 ºC. Si se introduce en el agua un cuerpo de 80 g a 50 ºC, la temperatura final de equilibrio es de 40ºC. Halle el calor Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

0,46

4,6

0

161

10

20 30 40 50 60 70 80 T (ºC)

GRUPO INGENIERÍAS Se calienta un gas monoatómico de modo que se dilata a presión constante. ¿Qué porcentaje del calor suministrado al gas pasa a incrementar su energía interna? A) 10 % B) 20 % C) 30 % D) 40 % E) 60 %

En un motor diesel, el aire contenido dentro del 3 cilindro de 810 cm se encuentra a 27 ºC, se comprime hasta un volumen final 3 de 40 cm . El sistema es adiabático y reversible, el aire se comporta como un gas ideal. Halle la temperatura final del aire. (  = 1,5 )

Se tiene 4 moles de gas helio contenidos en un cilindro de acero inoxidable a una temperatura de 27 ºC, el sistema se calienta a volumen constante hasta una temperatura de 227 ºC. ¿Qué cantidad de calor ha transferido al gas para incrementar su temperatura? ( CV = 12,5 Se J/mol ) A) 3 5 00 J B) 5 000 J C) 7 500 J D) 9 500 J E) 10 000 J

A) 1 700 ºC ºC D) 1 550 ºC 800 ºC

B) 1 077 ºC

C) 1 500 E) 1

tiene nitrógeno en un cilindro de acero y se le proporciona 560 J de calor, el nitrógeno se expande isobáricamente. Halle el trabajo realizado por el gas. A) 100 J B) 140 J C) 160 C D) 180 J E) 200 J

Calcular el trabajo realizado por 1 moles de un gas ideal que se mantiene a 27,0 ºC Un gas ideal se comprime lentamente a una durante una expansión de 3,0 litros a presión constante de 2 atm, de 10 litros 12,0 litros. (Ln 2 = 0,7) hasta 2 litros. En este proceso, algo de A) 1 446 J B) 1 745 J C) 2 700 J calor sale y la temperatura desciende. A D) 3 490 J E) 5 235 J continuación se agrega calor al gas, manteniendo constante el volumen, y se Un gas monoatómico ideal con volumen inicial de dejan aumentar la presión y la 3 2 m y una presión de 500 Pa se temperatura. Calcule el flujo de calor expande isobáricamente y alcanza un total hacia el gas. El proceso se muestra 3 volumen de 4 m y una temperatura en la figura como el trayecto ABC. (Ln 5 de 120 K. Luego se enfría a volumen = 1,6) constante hasta que su temperatura es P de 60 K. Finalmente se expande a (atm) presión constante hasta un volumen de C A) – 1 000 J 3 P>((at C m) 8 m . Calcule el calor total realizado por B) – 1 200 J el gas en este proceso. C) – 1 600 J A B A) 1 000 J B) 1 500 J C) 2 D) + 1 200 J PA 000 J E) + 1 600 J V D) 2 500 J E) 5 000 J VC VA (ℓ) Un recipiente provisto de un émbolo liso, contiene un gas ideal que ocupa un Una máquina térmica sigue el siguiente ciclo –3 3 volumen igual a 5 x 10 m , a una termodinámico representado en el plano presión de 100 kPa, ¿qué cantidad de P-V, halle el trabajo neto desarrollado en P(Pa) trabajo realiza el gas sobre el émbolo el ciclo. cuando se expande isobáricamente de 4000 27 ºC hasta 87 ºC? A) 100 J A) 1 J B) 10 J C) 50 J B) 200 J D) 100 J E) 1 000 J C) 300 J 1000 Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

162

0,2

0,6

V(m3)

GRUPO INGENIERÍAS D) 400 J E) 600 J

define:

q  N e  (Cuantización de la carga) Halle el calor que absorbe un generador térmico en cada ciclo, si tiene un rendimiento “n” N = Número entero y desarrolla el siguiente ciclo. N = Número de electrones transferidos

A) B) C) D) E)

Po Vo n 2Po Vo

P

Si q(+)  El cuerpo pierde electrones. Si q(-)  El cuerpo gana electrones. Si q = 0  El cuerpo no gana ni pierde electrones.

2Po

n 3Po Vo n 4 Po Vo

Po

n 5 Po Vo

Vo

LEYES DE LA ELECTRICIDAD

V Ley Cualitativa o de las atracciones y 3Vo repulsiones:

1.

Atracción

n

+ ELECTROSTÁTICA: CAMPO ELÉCTRICO – FUERZA ELÉCTRICA

F

Repulsión

F

+

ELECTROSTÁTICA Concepto.- Es una parte de la electricidad que tiene por finalidad analizar los diferentes fenómenos físicos originados por las cargas eléctricas o cuerpos cargados en estado de reposo. Carga Eléctrica.- Es una propiedad que se asigna a las partículas elementales del átomo con la finalidad de establecer interacciones electromagnéticas. ¿Qué cantidad de electricidad o carga eléctrica poseen las partículas elementales? 

Electrón: 1 e  = -1,6 . 10



Protón: 1 p  = +1,6 . 10



-19

coulomb

-19

coulomb

º

Neutrón: 1 n = 0 coulomb

¿Cómo se mide la cantidad de carga eléctrica que está en un cuerpo conductor? Siendo los electrones libres los que se desplazan, la carga presente en un conductor se Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

163

+ Repulsión

F 2.

F

–

–

–

F

F

Ley Cuantitativa o de Coulomb +Q1

F

F

-Q2

d F

K Q1

Q2 2

d Donde: (Cargas puntua Q1 , Q2: Cargas eléctricas o esferas d = distancia K = Constante física de las propiedades dieléctricas del medio que rodea a las cargas. Experimentalmente: 1 K 4 a

GRUPO INGENIERÍAS

 a   0  a : Permisividad eléctrica absoluta  : Constante dieléctrica

Se define: E

2

(Coulomb) N.m2  : Permisividad eléctrica del aire o vacío

 0 :8,85.101 2

Unidades en el SI: F  Newton (N) q1 y q2  Coulomb (C) d  Metros K  9 .109

F q0

E

Q F K 2 q0 d

Línea de fuerza.- Son denominadas también línea de campo eléctrico, sirven para descubrir en forma gráfica la acción de un campo eléctrico. Estas líneas fueron ideadas por Faraday quien convencionalmente estableció que toda línea de fuerza sale de una carga positiva e ingresa a otra carga negativa.

N.m2 C2

+

CAMPO ELÉCTRICO Concepto.- Es una forma de existencia de la materia que permite la transmisión de interacciones eléctricas entre dos cuerpos cargados. En la naturaleza toda partícula o cuerpo necesariamente posee carga y campo eléctrico.

-

Campo eléctrico saliente

Campo eléctrico ingresante

REPULSIÓN:

F +q Acción de “Q” sobre + “q” valiéndose de un medio material +Q llamado “Campo Intensidad del campo eléctrico.- Es la “Carga eléctrica” eléctrico” característica vectorial de un campo eléctrico que se mide en base a la fuerza que por unidad de carga se manifiesta sobre una partícula ATRACCIÓN: expuesta a la acción del campo eléctrico.

E=0

+

Campo disperso

F +q0

+

E

Campo concentrado

Q Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

164

GRUPO INGENIERÍAS Propiedades de las líneas de fuerza: 1.

A mayor número de líneas de fuerza el cuerpo conductor tendrá mayor cantidad de carga eléctrica, y así mismo su campo eléctrico será más intenso.

uno de ellos, por ejemplo a “Q”, asociamos toda la energía del sistema al otro (en este caso a “q”) decimos entonces que el cuerpo o partícula adquiere una energía potencial debido a su interacción eléctrica con otro. Veamos:

2.

Nº líneasde fuerza  Cantidadde carga eléctrica La intensidad de campo eléctrico resultante siempre es tangente o colineal a toda línea de fuerza y por ese motivo las líneas de fuerza nunca llegan a cortarse entre sí.

d

+q

+q P

Fel Fext +q

Lugar alejado (  )

E Línea de fuerza

E

Al colocar la partícula electrizada con +q en el Línea depunto “P”, dicha partícula adquiere una energía fuerza potencial eléctrica, donde:

U (q ) 

3.

Todo campo eléctrico uniforme es decir que posee el mismo módulo y propiedades físicas viene a ser por un conjunto de líneas de fuerzas paralelas entre sí.

+ +

4.

–

E

–

+

–

+

–



E =Cte

Toda línea de fuerza siempre es perpendicular a toda superficie conductora esto es debido a que para cada carga positiva existe su correspondiente carga negativa. POTENCIAL ELÉCTRICO

U : Energía potencial eléctrica La energía que adquiere q (energía del sistema) se debe al trabajo que realiza un agente externo al llevar lentamente “q” desde el infinito (lugar lejano) hasta el punto P. Dicho de otra manera, es la energía que invierte un agente externo para obtener la configuración deseada. Asimismo, si soltamos una partícula electrizada con +q en el punto “P” la fuerza eléctrica (o el campo eléctrico) realizará un trabajo sobre dicha partícula en donde se puede demostrar que: F

el WP  WPcampo  U(q) 

Si en el punto “P” se hubiese colocado una partícula electrizada con q1, q2 o qn, notaremos que la energía que adquiere dicha partícula es proporcional a su cantidad de carga eléctrica, o que es lo mismo.

Observemos el siguiente caso.- Para las partículas electrizadas, si consideramos fijos a Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

KQq F  Wext P d

165

U(q) D. Pq

GRUPO INGENIERÍAS



la cantidad de carga por unidad de carga eléctrica que adquirirá una partícula electrizada al ubicarse en dicho punto.

U (q )  Cte  V q

La constante de proporcionalidad “V” se denomina potencial eléctrico del punto considerado. Además:

Luego; tenemos:

Q Q

q

dB



P

A

dA

B

d

KQ  d A   KQ  VB  d B  VA 

U (q ) Vp   q

F Wext P



Fel W

……… ( * )

Vp: Potencial eléctrico en el punto “P”. q: Cantidad de carga de la partícula ubicada en el punto “P”.

dA  dB VA  VB " A" está a mayor potencial eléctrico que " B"

Si: dA = dB ; se cumple que VA = VB “Todos los puntos que están a igual distancia de una partícula electrizada estará a igual potencial eléctrico”

Joule  voltio(V) Unidad: coulomb De la expresión anterior, obtenemos que:

POTENCIAL ELÉCTRICO DEBIDO A VARIAS CARGAS

F

el U(q)  Vp . q  WP

Q1

d1

También:

Vp 

dn d3

KQ d

Qn

Q3

Vp  V1  V2  ...  Vn

De esta última expresión notamos que el potencial eléctrico en un punto del campo eléctrico no depende de la cantidad de carga de la partícula ubicada en dicho punto, sino que la carga del cuerpo que establece el campo (Q) y la distancia (d) por ello plantearemos que: El potencial eléctrico (V) en un punto es una magnitud escalar que caracteriza enérgicamente un punto del campo eléctrico, su valor nos indica Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

P

d2

Q2

KQq U (q ) Vp   d q q

VP 

(suma escalar)

KQ1 KQ2 KQn   ........  d1 d2 dn

NOTA: Así como para el cálculo de la U(q) se considera el signo de la cantidad de cargas de las partículas, para el cálculo del potencial eléctrico

166

GRUPO INGENIERÍAS también debemos considerarlo por lo tanto, sí: Q  0  Vp  0 ; Q  0  Vp  0 El potencial eléctrico puede ser positivo ( + ) o negativo ( - ) el potencial eléctrico disminuye en la dirección de las líneas de fuerza.

Del gráfico: d A  d B  VA  VB  Se tiene una diferencia de potencial entre A y B (VA  VB )

Usando la definición, el potencial eléctrico en “A” y “B”, es: F

C

VA 

B A VA  VB  VC Todos los puntos de un campo eléctrico y que están al mismo potencial eléctrico determinan una superficie llamada “superficie equipotencial”.

F

WAel q

y VB 

WBel q

F

F

 VA  VB 

WAel WBel  q q

F

 VA  VB 

B M

+

S1 N

Como la partícula “q” se traslada lentamente, entonces, estará en todo momento en equilibrio cinético, por tanto: FR ii) VA  VB  VC n eto WAB  WAB 0

i) VP  VM  VN

C

Pero:

Generalmente, en el estudio de los fenómenos eléctricos no nos van a interesar mucho el potencial eléctrico en un punto del campo eléctrico sino tan solo la diferencia de potencial entre dos puntos de dicho campo. Pero para nuestro posterior estudio lo vamos a relacionar principalmente con el trabajo realizado por el campo eléctrico ( W Fel ) entre dichos puntos. DIFERENCIA POTENCIAL Consideremos lo siguiente:

A dA

……. (  )

P

Líneas de fuerza A S2

el WAB  VAB q

Fext dB

El traslado Es lento Fel Fel Fext +q +q B

F

F

neto ext el WAB  WAB  WAB 0



F

F

el WAext B   WAB

De la ecuación (  ) podemos interpretar que la diferencia de potencial entre dos puntos, se define como el trabajo de la fuerza eléctrica (trabajo del campo) entre dichos puntos por unidad de carga. En la práctica a la ecuación (  ) se escribe como: F

WAelB  q(VA  VB )  qVAB

+q q : Cantidad de carga de la partícula que se Lugar muy traslada. lejano A partir de esto se deduce que el trabajo de la Fel (trabajo del campo) sólo depende del potencial inicial (en A) y el potencial final (en B), por lo


167

GRUPO INGENIERÍAS tanto no depende de la trayectoria seguida por la partícula. OBSERVACIÓN: Para un campo eléctrico homogéneo las superficies equipotenciales son planos paralelos. En el siguiente gráfico se muestra un esquema de ello. V1

Zona de mayor potencial

V2

V3

V4

+Q

Fel

B

(VA  VB ) d AB

Unidades: (VA – VB) : Voltios (V)

V m EJERCICIOS PROPUESTOS E

E =Cte

+

A

 E

01. Hallar la carga eléctrica de 10 electrones: -19 A) -16.10 coulomb -19 B) 16.10 coulomb -19 Zona de C) -1,6.10 coulomb -18 menor potencial D) -1,6.10 coulomb -18 E) -6,25.10 coulomb

02. Hallar cuántos electrones existen en una carga eléctrica de 100 coulomb 18 Fel= QE A) 625.10 electrones 18 B) 6,25.10 electrones 18 C) 62,5.10 electrones Nos representan planos 20 D) 625.10 electrones equipotenciales 10 Recordemos que el potencial eléctrico disminuye E) 625.10 electrones en la dirección de las líneas de fuerza, entonces se verifica: 03. Dos cargas de 50 μC y 60 μC interactúan con una fuerza de repulsión de 3 N. Calcular V1  V2  V3  V4 la distancia que están separados A) 3 m B) 6 m C) 9 m D) 12 m E) 1 m Al colocar partículas electrizadas al interior del campo, experimentan fuerza eléctrica (F el ) , lo 04. Dos cargas puntuales se rechazan con 50 N; cual los obliga a desplazarse: a las partículas ( + el módulo de una de las cargas se triplica, el ) de mayor a menor potencial mientras que a las de la otra carga se duplica y las distancias partículas ( - ) de menor a mayor potencial. que las separa, también se duplica. Hallar el nuevo valor de la fuerza eléctrica Del gráfico, al colocar una pequeña esfera “A” A) 85 N B) 55 N C) 25 N con +Q, el campo (mediante Fel) desarrolla D) 35 N E) 75 N trabajo mecánico hasta “B” el cual se puede evaluar por: 05. En la figura, la distancia se reduce a la mitad y cada una de las cargas se duplican, Fel campo entonces la nueva fuerza eléctrica es : WAB  WAB  Fel . d AB -

 (QE)d AB.......... ....(  )

O por: Fel campo WAB  WAB  Q(VA  VB )......... ..(  )

( )  ( )

A) 120 N

B) 160 N

D) 320 N

E) 110 N

90 N (QE)d AB  Q(VA  VB )


168

C)

GRUPO INGENIERÍAS 06. En la gráfica, la carga +4q es reemplazada por otra carga +q. ¿Qué debe ocurrir con la distancia “d” para que la fuerza de repulsión eléctrica permanesca constante F F +q +4q d Debe de duplicar su valor Debe de cuadruplicar su valor Debe de reducir su valor a la

A) B) C)

+q

a

B

a

+q

a

+q

a

A) 10 N B) 10

2N

C) 15

2N

E) 20 N 2N m i t 10. Las tres cargas de la figura están sujetas, si la carga “A” ase suelta indicar la dirección de d su desplazamiento D) 20

D)

Debe de reducir su valor en un 2 5 %

E)

Debe de aumentar en un 35%

07. Las cargas q y -q se atraen con 10 N. Hallar la fuerza eléctrica total sobre la carga central +4 q

+q

-q

d

A) ↑ D) ←

d

A) 10 N B) 20 N C) 30 N D) 40 N E) 50 N

B) ↓ E) ↗

C) →

11. ¿A qué distancia de +q, la fuerza eléctrica resultante sobre -Q se anula?

08. Hallar q, para que toda carga Q, colocada en A quede siempre en equilibrio +18 C

+q

A

3m

A) 24 μC

B) 36 μC

D) 32 μC

E) 82 μC

C)

72 μC

09. Calcular la fuerza eléctrica total sobre la carga B;

K

A) d/2 D) d/6

6m

q  10 N a2

B) d/3 E) d/4

C) d/5

12. En los vértices de un triángulo geométrico equilátero se colocan cargas iguales +q y éstas se repelen con una fuerza eléctrica de 10 N. Hallar la fuerza eléctrica total en cualquiera de las cargas A) 10

3N

B) 10

2N

C)

10 N D) 20 N

E) 0

13. En la figura, si la distancia “d” se reduce a la Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

169

GRUPO INGENIERÍAS mitad, entonces el campo eléctrico E:

M=1 kg; E= 5 N/C; q=2C; g=10 m/s

A) Se cuadruplica B) Se reduce a la cuarta parte C) Se duplica D) Se reduce a la mitad E) Permanece constante

A) 10 20

2N

3N

B) 10

2

C)

2N

D) 20 3 N E) 10 N 14. En los vértices de un Δ equilátero de lado L, se colocan cargas iguales +q. Hallar la 18. Se tiene una carga de 5 μC, se desea intensidad del campo eléctrico total en el averiguar el potencial eléctrico en un punto baricentro del Δ. K=constante de Coulomb “P” ubicado a 3 m de la carga A) KqL D) Kq

B) Kq/L E) F.D.

2

C) 0

3m

Q

P

A) 10 kV B) 15 kV C) 45 kV D) 5 kV E) 50 kV

15. Se tiene una esfera metálica de 1 m de radio cargada eléctricamente con +Q. Hallar la intensidad del campo eléctrico en un punto 19. Hallar el potencial eléctrico en el punto “P” del triángulo equilátero de lado “L” de la superficie de la esfera. +3 q K = constante de Coulomb 2

A) KQ

B) KQ

D) Q/K

E) F.D.

C)

K/Q L

L

16. Hallar el peso de la carga para que ésta permanesca en equilibrio -2q

P

L

A) Kq/L D) 2Kq/L

B) 5Kq/L C) 3Kq/L E) -2Kq/L

20. Halle el potencial eléctrico en el punto “Q” sabiendo que Q=-10 μC y q = 5 μC (r = 3 m) q

A) E/q D) ME

B) Eq C) q/E E) F.D.

r

17. Hallar la tensión “T” de la cuerda. Existe equilibrio Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

Q

170

r

O

GRUPO INGENIERÍAS A) -15 kV D) -10 kV

B) 15 kV C) 10 kV E) 0

25. Hallar el trabajo para trasladar la carga de “+3q" desde la posición mostrada hasta el punto “B”

21. A cierta distancia “d” de una carga puntual el potencial eléctrico es 1 600 V y el campo eléctrico es 400 N/C. Hallar “d” A) 2 m B) 4 m C) 6 m D) 8 m E) 10 m 22. Halle el potencial eléctrico en el centro del

B

L

L

2

cuadrado de lado L

+3q

L 2

+q

L

+q

2

2

A) 2Kq /L

2

B) Kq /L

2

2 Kq2/L2

D) Cero E) 3 2 kq /L 26. Calcular el trabajo para trasladar una carga q= 10 C desde el punto “M” al punto “P” C)

2

-q

-q

L

+2q

+3q

2

A) Cero B) Kq/L C) 2Kq/L D) 3Kq/L E) 5Kq/L

M

N

P

23. En la figura calcular el potencial eléctrico en el punto “M” q1=7μC, q2=-4μC, q3=6μC q q1

q2

5m

M

2m

3

3

12.10 V

q3

3m 3

A) 6.10 V

B) 9.10 V

3

20 V 30 V 40 V A) 200 J B) -200 J C) 400 J D) -400 J E) 100 J

C)

3

D) 15.10 V

E) 10 V

24. El potencial eléctrico en P es de 200 voltios. Hallar el trabajo realizado sobre q = 3C al trasladarlo desde el infinito hasta el punto P

27. Halle el potencial eléctrico en el centro del exágono regular de lado “L” +q -q L

-q

+q

q Q P

+q

A) Kq/L D) Cero A) 200 J B) 400 J C) 600 J D) 800 J E) 300 J


-q B) 3Kq/L C) 6Kq/L

E)

3 Kq/L

28. Calcular el trabajo para trasladar la carga

171

GRUPO INGENIERÍAS q0=10 C desde A hasta B q0

A) 92 µJ B) 94 µJ D) 98 µJ E) 90 µJ B

A

Determine aproximadamente la capacidad equivalente, en F, entre los puntos “a” y “b” en el sistema mostrado.

3m

a

-Q

4m A) 400 J B) 4 kJ C) 500 J D) Cero E) 5 kJ

C) 96 µJ

+Q

b

29. Hallar el potencial eléctrico en el punto “M”, siendo “M” punto medio Q

9 F 7 F

3 F 6 F

A) 2,7 6

B) 3

D) 10

E) 12

5 F 8 F 4 F 3

6 F

C)

a M

Para la red mostrada, halle la lectura del voltímetro ideal (VA – VB ), en V.

a

A

4 F Q

Q

A) KQ/a D) 4KQ/a 50.

B) 2KQ/a C) 3KQ/a E) 5KQ/a

A)

1 µF µF D) 4µF

b

B) 2 µF E) 5 µF

12 V

12 F

En el sistema de capacitores mostrados en la figura, halle la capacitancia equivalente entre los terminales a y b, si la capacitancia de cada uno de los capacitores es 2 µF.

a

V

20 V

B A) –12

B) 12

D) 16

E) 24

C) 14

C) 3 ELECTRODINÁMICA

En la figura se muestra un sistema de ELECTRODINÁMICA: Parte de la electricidad capacitores. Si la diferencia de que estudia las cargas en movimiento sobre los potencial Va b es 12 V, halle la energía cuerpos conductores. acumulada en el capacitor de 3 µF. CORRIENTE ELECTRICA.- Está determinada a por el movimiento de las cargas eléctricas debido a la presencia de un campo eléctrico. 2µF 2µF 2µF 172 Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302 3µF

51.

b

GRUPO INGENIERÍAS INTENSIDAD DE LA CORRIENTE 2. PARALELO: ELECTRICA.- Está dada por la mitad de carga eléctrica que atraviesa la sección recta de un conductor en la unidad de tiempo.

I

q t

Coulomb Segundo

, Ampere (A) =

LEYES DE KIRCHHOFF: 1RA. LEY: “Ley de Nodos”

RESISTENCIA ELECTRICA.- Es la dificultad que ofrece un cuerpo conductor al desplazamiento de las cargas eléctricas a través de su masa. * Representación:

I2

Ii  I2  I3

VA

2 n

  . K R 1I . R

; ohmios () I

V

3

R3

R 

*

V=I.R

1   2   3  I R 1  I R 2  I R 3

Si por un alambre conductor circula una corriente de intensidad 16 mA, determine el número de electrones que atraviesan la sección transversal del conductor en 0,1s.

1. SERIE:

14

A) 10 17 D) 10

R e  R1  R 2

B) 10

15

E) 10

C) 10

18

16

En la figura se muestra una pastilla de grafito. Si lo conectamos a través de un circuito a través de los terminales 1 y 2, se determina una resistencia de 72 , ¿Cuánto será su resistencia eléctrica al conectarlo entre los terminales 3 y 4?

18 4 9 8

R2


ASOCIACION DE RESISTENCIAS Resistencia equivalente (Re).- Es aquella capaz de reemplazar a un conjunto de resistencia.

5

e

k 1

A

V R

R2

1

L

LEY DE OHM

I

*

LEY: “Ley de Mallas” V2DA. B

+q

A

E L A

R1 I3

I1

LEY DE POULLIET

R  .

1 1 1   Re R1 R2

6

A

3

B

2a

3 Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

173

2 a

1

6a 4

GRUPO INGENIERÍAS A) 1 Ω D) 5 Ω

B) 2 Ω E)10 Ω

C) 3Ω

D) 2 cm

01. En el circuito resistivo mostrado en la figura, “RV” es una resistencia variable. Determine las resistencias fijas R1 y R2. La gráfica muestra la variación de la intensidad de corriente en función de la resistencia variable RV.

2

E) 5 cm

2

03. Cuando el cursor se coloca en “P”, el amperímetro ideal indica 3 A y cuando se coloca en “M” indica 1 A. Determine cuánto indicará el amperímetro al colocar el cursor en “Q”.

L

I1

L

Q

P

M

1 RV

15V

Cursor

R1

R R2

I 1 (A)

A

5 A) 0,5 A D) 3 A

B) 1 A C) 1,5 A E) 4,5 A

04. En la asociación de resistores, mostrados en la figura, calcule la resistencia equivalente entre “A” y “B”.

3

1

RV (

0

A

A) 1 Ω, 1 Ω C) 1 Ω, 2 Ω E) 4 Ω, 1 Ω

B) 2 Ω, 2 Ω D) 2 Ω, 1 Ω

2

2

2

2

4

A) 2 Ω B) 5 Ω C) 6 Ω 2 02. Un alambre de 1000 m de longitud y D) 8 Ω E) 10 Ω –6 resistividad 5.10 Ω.m está conectado a un voltaje de 100 V ¿Cuál debe ser el área de 05. En la figura se muestra una rama que es su sección recta transversal si queremos parte de un circuito eléctrico. El potencial en que circule una corriente de 2A por el el punto “A” es 10V, determine el potencial alambre? en el punto “B”. A) 0,2 cm

2

B) 0,5 cm

2

C) 1 cm


2

174

B

GRUPO INGENIERÍAS

I = 2A

08. En el circuito eléctrico mostrado en la figura, ¿Cuál es la lectura del voltímetro

3

2

A

20V A) 25 V D) -15 V

B) -25 V E) 10 V

i d e a l ?

C) 15 V

06. En el circuito eléctrico mostrado en la figura, determine las intensidades de corriente que circula por la fuente de voltaje y por la resistencia de 4

2

B

5V

3V

V 4

3

.

I 2

20V

4

A) 0 V C) 1 V

B) 0,5 V

A A) 5 A, 15A C) 5 A, 5 A E) 10 A, 10A

B) 15 A, 5A D) 15 A, 15A



V

5 V

07. En el circuito eléctrico mostrado en la figura, calcule la lectura del amperímetro ideal y la corriente que pasa por la resistencia de 3 .

4 D) 2 V

6V

A 2

3

A) 2 A , 4/3 A C) 2 A, 2 A E) 2/3 A, 2A

B) 2 A , 2/3 A D) 4/3 A , 2 A


E) 3 V

09. En el circuito eléctrico que se muestra en la figura, se conoce que el voltímetro ideal indica 20 V. Determine la lectura del amperímetro ideal.

6

A) 3 A D) 9 A

2V

6

B) 5 A E) 11 A

C) 7 A

10. En la figura se muestra parte de un circuito. Si el voltímetro ideal marca 41 voltios, determine la resistencia interna del amperímetro, si este indica 2 amperios.

175

GRUPO INGENIERÍAS de 30 V, y la potencia y el calor disipado por la resistencia de 4  durante 5 minutos.

I V A) 0,25 Ω C) 1 Ω

B) 0,5 Ω D) 1,5 Ω

A) 200 W, B) 420 W, C) 100 W, D) 210 W, E) 105 W,

A

20

420 W, 200 W, 210 W, 100 W, 50 W,

30 kJ 60 kJ 30 kJ 30 kJ 30 kJ

E ) 13. Un hervidor eléctrico cuya resistencia es 800 , 2se conecta a una fuente de 200 V. Determine el tiempo que se necesita para queΩ0,5 litros de agua eleve su temperatura en 24 ºC. (1J=0,24cal) 11. El circuito mostrado en la figura se denomina puente Wheastone. Determine la lectura del voltímetro ideal.

A) 10 s B) 50s D) 200 s E) 1 000 s

C) 100 s

14. Una bombilla eléctrica presenta la siguiente especificación técnica: 50 W – 100 V. Determine la potencia eléctrica que disipará la bombilla cuando la conectemos a una fuente de 20V.

24 V

2

6

A) 1 W D) 4 W

4

A) S/. 7,25 C) S/. 4,75 E) S/. 7,50

A) 8 V B) 16 V C) 24 V D) 32 V E) 48 V 12. En el circuito mostrado en la figura, determine la potencia que entrega la fuente

4

C) 3 W

15. ¿Cuál es el costo mensual de energía que origina un televisor a color de 150 W al tenerlo encendido durante 5 h diarias? (cada kw.h V cuesta S/. 0,30)

8 12

B) 2 W E) 5 W

B) S/. 5,75 D) S/. 6,75

ÓPTICA ECUACIONES PARA ESPEJOS ESFERICOS 1) ecuacion de los focos conjugados o de descartes:

1 1 1   f p q

10V

30V 15 Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

176

2)

AUMENTO LINEAL (A)

GRUPO INGENIERÍAS

A

altura de la imagen hi  altura del objeto h0

A

q p

I

f 

f=I

Flujo luminoso total emitido por un foco

REFRACCION DE LA LUZ INDICE DE REFRACCION ():

c  V

 TOTAL  I

V  .f f = constante

 = 5,890 x 10

m

4  agua  3 3  vidrio  2

aire  1

LEYES DE LA REFLEXION Y REFRACCION

n1 . sen î  n2 . senRˆ

d2



4d 2 d2

f=I

d

-7

A esfera

f=4I ILUMINACIÓN Es la cantidad de energía radiante que recibe una superficie por unidad de área.

E

f A

Ley de la Iluminación “La iluminación es directamente proporcional a la intensidad del foco luminoso e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre el foco luminoso y la superficie iluminada”.

ecuaciones para lentes

E1 

Ecuación de focos conjugados

I d

E2 

2

E1  E 2

I1 f = distancia focal q = distancia de la imagen a Op d = distancia del objeto al Op

r1

h q tamaño IMAGEN   i p tamaño OBJETO h 0

Potencia de una lente (P)

cos 

Normal

1 m



I2

I2

r2

P r2 2

eyes de la Reflexión El ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión.

1 f

1 DIOPTRIA =

I1 r12

Aumento Lineal (A)

P

d2

Fotómetros

1 1 1   f p q

A

I

rayo reflexión. incidente

î  ángulo de incidencia rayo reflejado

r = ángulo de

i r

Intensidad de un foco luminoso

î  rˆ Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

177

GRUPO INGENIERÍAS ECUACION DE ONDA DE LOVIS DE BROGLIE

m

h V

h mV E  mC 2 

DILATACION DEL TIEMPO

t 

t 0 1

V2 C2

t = intervalo de tiempo en movimiento. t0 = intervalo de tiempo en reposo (tiempo propio).

MASA RELATIVISTA

m

m0 1 V

2

C2

m0 = masa en reposo (masa propia). m = masa relativista (masa en movimiento). PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Determinar en km, el valor de un año - luz que es la distancia que recorre la luz en un año, expresar el resultado en términos de 12 10 km. A) 3,46 B) 4,46 C) 5,46 D) 7,46 E) 9,46 02. La eficiencia de una lámpara es de 1,24 lumen/watt, si su potencia es de 100 watts ¿Cuál es la intensidad de la lámpara (en candelas, cd) a través de un ángulo sólido de 4 stereorradianes? A) 11 B) 21 C) 31 D) 41 E) 51

metro de altura. Si se quiere fotografiar la torre DE de 31 m de alto. ¿a qué distancia x (en m) de la cámara debe situarse el espejo? D A) 16 B) 12 B C) 8 D) 4 A E) 2 E x 58 m C desea 04. Un excursionista determinar la altura de un árbol usando la reflexión de la luz en las aguas de un lago que dista d = 3m de la base del árbol. Para eso navega el lago hasta una posición desde donde puede divisar la copa, como indica la figura. El excursionista tiene una estatura Ode 1,8 m EO’ = 2 m y O’L = 37 m; estimar la altura (en m) del árbol. L d E O’ 05. Para el esquema mostrado, calcular la altura que debe tener el espejo plano en la pared vertical, para que la persona (P) puede ver a la muchacha (Q) íntegramente. Donde H = 1,8 m. (P) A) 0,8 M (Q) B) 0,9 M espejo H C) 1,0 M D) 1,1 M E) 1,2 M d d 06. En el esquema mostrado, calcular la altura mínima que debe tener el espejo plano en la pared vertical, para que la muchacha de estatura 1,5m pueda ver el árbol de 6m de altura íntegramente en el espejo. A) 1,2m B) 1,3m C) 1,4m D) 1,5m E) 1,6m

d 2d 03. Se tiene una cámara fotográfica situada en 07. La figura muestra tres espejos planos A, B y el punto A, delante de un espejo BC de un C y un rayo que forma 20° con el espejo A; Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

178

espej

GRUPO INGENIERÍAS luego de tres reflexiones el rayo luminoso 11. En la figura el ángulo entre los rayos de luz emerge. Determine la medida A del ángulo . incidente y reflejado es 90°. Determinar el 20° ángulo cuando la superficie de reflexión esté A) 20° B B) 30° en el plano horizontal y la dirección del rayo  C) 40° i incidente no cambia. D) 50° E) 60° r A) 30°

C B) 37° 08. Determine el ángulo diedro  que debe de C) 53° 15° formar los espejos planos, para que el rayo D) 60° reflejado en el segundo espejo forme 90° E) 90° 12. Una persona de 1,70 m de estatura, tiene con el incidente. sus ojos a 1,60 m del piso. Determine el A) 125° ángulo mínimo “” que debe formar el espejo B) 135° con la horizontal, para que pueda ver sus C) 105° pies en dicho espejo, si éste dista 1,2 m de  D) 115° los pies de la persona. 20° E) 145° 20°

A) 73,5° B) 63,5° C) 33,5° D) 53,5° E) 43,5°

09. La figura muestra dos espejos formando un ángulo de 60°. Si se hace incidir un haz de luz sobre el espejo (1) con un ángulo de 20°. ¿Cuál es el ángulo que forman el haz (2) reflejado y el incidente?

Espejo 1,70 m  1,20 m

13. Un observador se ubica a 90cm de un espejo cóncavo de 40cm de radio de curvatura. Si el observador se acerca al 20° espejo a razón de 10cm/s, mientras observa su imagen; ¿en cuánto tiempo (en s) dejará (1) de ver su imagen? A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 10. Se muestra dos espejos planos, que forman E) 9 un ángulo diedro de 60° ¿A qué distancia del vértice, el rayo reflejado se cruzará con el 14. Determinar la velocidad de la luz en sodio rayo incidente mostrado? (AV = 4cm). cuyo índice de refracción es 4. 7 7 a) 7,5x10 m/s b) 7,7x10 m/s c) A) 4 cm 7 7,9x10 m/s B) 2 cm 7 7 R1 d) 8,1x10 m/s e) 8,3x10 m/s C) 3 cm A) B) C) D) E)

40° 50° 60° 70° 80°

D) 4 3 cm E) 8 3 cm

V

A

15. La velocidad de la luz en un material “A” es 20% menos que en el vacío. Hallar el índice de refracción del material. a) 2/3 b) 1/3 c) 3/4 d) 3/5 e) 5/4 16. Si el tiempo que demora un rayo de luz en


179

GRUPO INGENIERÍAS atravesar perpendicularmente una lámina de un material “x” de 3mm de espesor es -11 1,5x10 s. Hallar el índice de refracción del material “x”. a) 1,1 b) 1,2 c) 1,3 d) 1,4 17. Un objeto de 10 cm de tamaño se ubica a 21 cm delante de un lente convergente de 14 cm de distancia focal. ¿Cuál es el tamaño de la imagen?

NOTAS

e) 1,5

A) 20 cm B) 5 cm C) 1 cm D) 40 cm E) 2,5 cm 18. La figura muestra un estanque que contiene agua hasta una profundidad h; en el fondo yace una moneda. Una persona introduce un palo con un ángulo 53° con la vertical con la finalidad de darle un golpe a la moneda, si el palo se clava a 21cm a la derecha de la moneda. Determine la profundidad h. Palo

A) 16 cm B) 36 cm C) 45 cm D) 18 cm E) 24cm

53°

AIRE

B

AGUA h moneda

C

21cm 19. Un objeto de 10 cm. de tamaño esta ubicado a 1m de un lente convergente de 2 m de distancia focal. Señalar que tipo de imagen forma el lente y que tamaño tiene.

A) B) C) D) E)

Real ; Virtual; Real ; Virtual; Virtual;

20 cm 20 cm 10 cm 30 cm 10 cm


180

GRUPO INGENIERÍAS


181

GRUPO INGENIERÍAS QUIMICA, la química es la ciencia que se ocupa del estudio de la materia, su composición, su constitución, sus propiedades físicas y químicas, transformaciones que sufre y las leyes que gobiernan dichos cambios,

ecosistema natural. DIVISION DE LA QUÍMICA La química se divide de la siguiente manera.

1. QUIMICA GENERAL. Es la que estudia los IMPORTANCIA DE LA QUÍMICA Cualquier aspecto de nuestro bienestar material fundamentos o principios básicos comunes a depende de la Química, porque esta ciencia todas las ramas de la ciencia química. proporciona los medios adecuados que lo hacen 2. QUIMICA DESCRIPTIVA – Estudia las posible y así, por ejemplo, en lo que se refiere a nuestros medios de locomoción, la Química propiedades y la obtención de cada sustancia suministra aceros especiales y aleaciones química pura en forma particular. Podemos ligeras. subdividirla en: La química es considerada una ciencia central,  Química Inorgánica.– La química por que sirve de apoyo a otras ciencias y a los inorgánica se encarga del estudio estudiantes de la física, la biología, la ecologla integrado de la formación, composición, geología, la agronomía, la medicina, etc. Atraves estructura y reacciones químicas de los de ella se satisfacen muchas necesidades elementos y compuestos inorgánicos. humanas en diferentes áreas o campos de la  Química orgánica.– Estudia los actividad humana. compuestos del carbono, sean estos naturales o sintéticos. Se le conoce  En la medicina, la química ayuda en la tambien como la química de la vida. síntesis de los diferentes fármacos como los





 

antibioticos, vacunas, vitaminas, hormonas, es la rama de la etc. para el tratamiento y mejoramiento de la 3. QUIMICA ANALITICA.– química que tiene como finalidad el estudio de salud en general. Asimismo la terapia génica la composición química de un material o y el conocimiento del genoma humano que muestra, mediante diferentes métodos de contiene todo el material genético de nuestro laboratorio. Se divide en química analítica curpo, se apoya fundamentalmente en cuantitativa y química analítica cualitativa técnicas químicas  Cualitativa.– Estudia las técnicas para En la nutrición, permite sintetizar identificar las sustancias químicas en una sustancias llamadas saborizantes, muestra material o los elementos químicos colorantes para que los alimentos mejoren presentes en un compuesto sus propiedades y no se deterioren en corto tiempo.  Cuantitativa.– estudia las técnicas para En la agricultura, gracias a los productos cuantificar las sustancias químicas puras quimicos como los abonos fertilizantes y en una muestra material o el porcentaje en plaguicidas que se han sintetizado se peso que representa cada elemento en un satisfacen las necesidades nutricionales compuesto. cada vez crecientes aumentando la 3. QUIMICA APLICADA.– Por su relación productividad de los suelos. con otras ciencias y su aplicación practica, podemos subdividirla de la siguiente manera: Estudia la composición, En el área textil se ha logrado sintetizar  Bioquímica.– estructura y funciones de las moléculas fibras artificiales como el nylon, rayón, etc. complejas que forman sistemas biológicos, e En el área del medio ambiente, se han intervienen en procesos químicos vitales, logrado mejorar técnicas que permiten el como la fotosíntesis, digestión, respiración, tratamiento y control de las sustancias reproducción, circulación, etc. contaminantes que afectan severamente al


182

GRUPO INGENIERÍAS  



  

Fisicoquímica.– Es una subdisciplina de la PRÁCTICA química que estudia la materia empleando PROBLEMAS PROPUESTOS conceptos físicos y químicos. Química industrial.– Estudia la aplicación 01. Estudia de la composición química de un de procesos químicos y los insumos para la material o muestra, mediante diferentes obtención de productos químicos sintéticos a métodos de laboratorio gran escala. A) Química analítica Petroquímica.– Estudia la aplicación de B) Físico –química procesos y principios químicos para obtener C) Química general los productos industriales a partir de los D) Química analítica cualitativa derivados del petróleo. E) Química inorgánica Geoquímica.– Estudia la composición química de la tierra. 02. La expresión “En una reacción química la Astroquímica.– Estudia la composición masa permanece invariable”, nos estamos química de los astros. refiriendo a una: Fármaco–química.– Estudia las A) Ley B) Hipótesis propiedades de las sustancias químicas y su C) Postulado D) Observación acción benéfica sobre los seres vivos. E) Experimentación . HISTORIA DE LA QUÍMICA

1.

03. Si observamos que el hielo flota sobre el agua y razonamos que se debe a la menor HISTORIA EN LA ANTIGÜEDAD. masa del hielo; entonces estamos ante una: Antiguamente, los Egipcios, hindúes, chinos, A) Ley B) Hipótesis griegos y romanos hicieron sus C) Postulado D) Observación observaciones sobre la materia y los E) Experimentación fenómenos químicos, relacionándolas con comentarios y especulaciones religiosas, 04. De las siguientes proposiciones: astrológicas y mitológicas. En ese periodo (1) La química es una ciencia teórica. no se conocía el nombre de la QUÍMICA, ya (2) La química estudia la materia y energía. que esta ciencia, como tal, es una ciencia (3) La química estudia los cambios de joven, por lo que en esa época solo eran energía relacionados a las afirmaciones que pertenecían especialmente transformaciones de la materia. a la física. Es(son) correcta(s): A) Solo I B) Solo II C) Solo III Ósea que al inicio esta ciencia estaba D) I y II E) II y III relacionada con la magia y el misterio. Fueron los filósofos griegos, primero Leucipo y luego Democrito los que plantearon la 05. El CO2 es estudiado por al química. existencia de una partícula límite en la A) Inorgánica. B) Analítica conformación de la materia. Posteriormente C) Orgánica D) Fisicoquímica Epicuro apoya esta propuesta y se habla de E) Cualitativa la materia no continua. Por otro lado Empedocles pregona que la materia 06. Según el método científico, cuando decimos: realmente esta formada por cuatro “Los dinosaurios desaparecieron de la tierra elementos como el aire, el agua, la tierra y el debido al impacto de meteoritos con nuestro fuego y su discípulo Aristóteles postula la planeta”, nos referimos a un o una: continuidad de la materia. A) Ley B) Hipótesis C) Postulado D) Observación E) Experimentación.


183

GRUPO INGENIERÍAS 07. Mediante la................... sometemos a prueba en forma controlada a los fenómenos; y la generalización de los resultados se enuncia mediante una................... A) Ley – observación. B) Experimentación – ley C) Observación – experimentación. D) Hipótesis – Ley E) Ley – Experimentación.

séptima unidad básica: el mol. Las unidades del SI constituyen referencia internacional de las indicaciones de los instrumentos de medición, a las cuales están referidas mediante una concatenación interrumpida de calibraciones o comparaciones. Llamamos sistema de unidades a las medidas patrón que se usan para cuantificar la materia, además estas medidas patrón deben ser reconocidas a nivel internacional.

08. Cuando decimos: “La energía no se crea ni se destruye, solo se transforma de una forma u otra”, nos referimos a una: A) Ley B) Hipótesis C) Postulado D) Observación E) Experimentación. 09. Indique el número de proposiciones no correctas. (1) Al estudiar la naturaleza, los científicos buscan explicaciones siguiendo un conjunto de procedimientos que se conoce como método científico. (2) Para estudiar un hecho, es preciso someter a prueba las explicaciones mediante la observación controlada que se llama ley. (3) A la explicación tentativa pero razonable se le conoce como hipótesis. A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

MAGNITUDES FUNDAMENTALES MAGNITUD FISICA LONGITUD MASA TIEMPO INTENSIDAD DE CORRIENTE ELECTRICA TEMPERATURA INTENSIDAD LUMINOSA CANTIDAD DE SUSTANCIA

MAGNITUD FISICA AREA VOLUMEN

Es el proceso por el cual mediante el uso de instrumentos apropiados, se puede cuantificar todo lo que llamamos materia. El proceso de medir o cuantificar materia es muy importante en nuestra época, ya que todo lo que nos rodea es suceptible de ser medido en la actualidad.

DENSIDAD

El Sistema Internacional de Unidades (abreviado SI, del francés: Le Systéme International d'Unités), es el sistema que se usa en casi todos los países. Se instauró en 1960, a partir de la Conferencia General de Pesas y Medidas, durante la cual inicialmente se reconocieron seis unidades físicas básicas. En 1971 se añadió la Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

184

SÍMBOLO

METRO KILOGRAMO SEGUNDO

m Kg s

AMPERE

A

KELVIN

ºK

candela

cd

mol

mol

MAGNITUDES DERIVADAS

MEDICIÓN.-

SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES.

UNIDAD

FUERZA PRESION TRABAJO ENERGIA CANTIDAD CARGA ELECTRICA FRECUENCIA

o

UNIDAD

SÍMBOLO

Metro cuadrado Metro cúbico

m2 m3

Kilogramo por metro cúbico

Kg m3

NEWTON PASCAL

N Pa

JOULE

J

DE Coulomb

HERTZ

C Hz

MAGNITUDES COMPLEMENTARIAS

GRUPO INGENIERÍAS MAGNITUD FISICA LONGITUD ANGULO PLANO ANGULO SÓLIDO

UNIDAD

MASA 1 Kg = 1 lb = 1 onza = 1 U.T.M. = 1 slug = 1 T.M. =

SÍMBOLO

METRO

m

radian

rad

Estereorradi án

sr

1000 g = 16 onzas = 2 835 g 9 807 Kg 1,488 U.T.M. 1 000 Kg

2,2 lb 453,6 g

SUBMULTIPLOS

MULTIPLOS

TIEMPO 1 semana = 7 días PREFIJOS DEL SISTEMA INTERNACIONAL 1 día = 24 horas DE UNIDADES. 1 hora = 60 minutos = 3600 segundos Son para formar los nombres y símbolos de los 1 minuto = 60 segundos múltiplos y submúltiplos decimales de las magnitudes del Sistema Internacional de METODO DE CONVERSIÓN DE UNIDADES. Unidades, especialmente los de longitud y masa. Se basa en la equivalencia de una unidad de medida con otra, para ello usaremos el método de conversión unitario. prefijo símbolo equivalencia 18 EXA E 10 15 PETA P 10 12 FACTOR UNITARIO.– Es el método utilizado TERA T 10 9 para para resolver problemas de química en el GIGA G 10 6 que se incluye conversión de unidades MEGA M 10 3 empleando factores de conversión o KILO K 10 2 equivalencias entre diferentes unidades. HECTO H 10 FORMAS DE LA MATERIA DECA da 10 0 UNIDAD ––– 10 Según Albert Einstein (físico universal) determino –1 Deci d 10 que la materia se divide en dos formas: –2 Centi c 10 1. FORMA CONDENSADA.– Llamada también –3 Mili m 10 materia condensada. Es la sustancia o –6 Micro 10  cuerpo material, posee dos características –9 Nano n 10 imprescindibles: Masa y volumen –12 Pico P 10 (extensión). Ejemplo: –15 Fento f 10  Cuerpos gigantes del espacio sideral. –18 atto att 10  Agua, sal de mesa, azúcar, alcohol, etc.  Tiza, aire, cuaderno, lapicero, borrador, EQUIVALENCIAS ENTRE SISTEMAS DE etc. MEDIDAS 2. FORMA DISPERSADA.– Llamada materia LONGITUD dispersada. Es la que se conoce como 1m = 10 dm = 100 cm = 1000 energía. Ejemplo: mm 5  Luz, ondas de radio y TV, rayos X, 1 Km = 1000 m = 10 cm calor, etc. 1 milla náutica = 1852 m  energía calorífica 1 milla terrestre = 1609 m –8 –10  energía eléctrica 1 Ángstrom (Å) = 10 cm = 10 m 1 yarda = 3 pie = 36 pulgadas ¿QUE ES LA MASA DE UN CUERPO 1 pie = 12 pulgadas = 30,48 cm MATERIAL? 1 pulgada = 2,54 cm –4 –6 La masa, es la cantidad de materia contenida en 1 micra () = 10 cm = 10 m un cuerpo y se mide en unidades apropiadas Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

185

GRUPO INGENIERÍAS (gramo, kilogramo, libra, tonelada, etc.).

la siguiente ecuación:

ENERGIA Es una forma o cualidad intangible de la materia que causa un cambio o interacción de cuerpos materiales; en otros términos, es la capacidad para realizar trabajo. Por lo tanto todo cambio físico, químico o nuclear que ocurre en cuerpos materiales es causado por la energía.

m = f

m i

v 1-  f c

  

2

ESTADOS DE LA MATERIA

La energía puede ser de los siguientes tipos:  Energía mecánica: Cinética o potencial.  Energía calorífica.  Energía luminosa.  Energía eléctrica.  Energía nuclear.  Energía electromagnética. RELACION ENTRE MASA Y ENERGIA Albert Einstein (físico Alemán), en 1905 en su El cuerpo material se presenta en el universo en obra “TEORIA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD” cuatro estados: planteo que la masa y la energía son dos formas de la materia que están íntimamente 1. ESTADO SÓLIDO relacionadas mediante la siguiente ecuación: Características 2  Poseen forma y volumen definido. E=m .c  Las partículas solo poseen movimiento E= Energía almacenada de un cuerpo de vibración debido a que Fr < Fc material de masa m  Es incompresible. m = masa de un cuerpo material c= Velocidad de la luz (300 000km/s). Los valores que toma para las unidades 2. ESTADO LÍQUIDO. Características de energía, se presenta en el cuadro:  Poseen volumen definido y forma variable. E m c 8  Las partículas vibran y resbalan unas Jolule Kg 3x10 m/s 10 sobre otras debido a que Ergio G 3x10 cm/s F r = Fc  Compresibilidad casi nula Otra de las cosas que debemos recordar es que no solo existe la liberación de energía de un cuerpo material al exponerlo a la velocidad de la ESTADO GASEOSO. Características luz con exponente 2. Si no que cuando trata  Poseen forma y volumen variable. de alcanzar valores de velocidad luz menor que  Sus partículas se encuentran muy dicha constante la masa inicial del cuerpo no es separadas y con movimiento de igual que cuando este adquiere velocidades traslación debido a que semejantes a la luz expresada al cuadrado. Si Fr > Fc. no que aumenta.  Alta compresibilidad Cabe señalar que según la teoría de la relatividad, la masa inercial de un cuerpo aumenta con el aumento de su velocidad, según Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

186


ESTADO PLASMÁTICO EL ESTADO PLASMÁTICO es un estado de alta energía, donde la materia esta totalmente ionizada en forma de cationes y electrones libres.

4.

ESTADO DEL CERO ABSOLUTO.– Es un estado de la materia teórico, ya que en el las moléculas o los átomos que conforman la materia se encontrarían en un estado de reposo absoluto (teóricamente hablando). Se supone que este estado se alcanza a valores de 0 °K de temperatura.

composición interna o molecular:  Propiedades físicas.– Son aquellas propiedades que impresionan a nuestros sentidos sin alterar su estructura o composición interna o molecular. A la vez estas propiedades pueden ser extensivas o intensivas. o Propiedades extensivas.– El valor medido de estas propiedades depende de la cantidad de masa o cuerpo material. Son aditivos (se suman). Aquí tenemos a la inercia, peso, volumen, área, presión de un gas, calor agregado o perdido. o Propiedades intensivas.– El valor medido de estas propiedades no depende de la cantidad del cuerpo material o su masa. No son aditivos. Aquí tenemos la densidad, temperatura de ebullición, color, olor, sabor, calor latente de fusión, reactividad, energía de ionización, electronegatividad, etc.

CAMBIOS DE LOS ESTADOS DE LA MATERIA CONDENSADA Los cambios de estado físico de la materia dependen de factores o fenómenos externos como la temperatura y la presión. En el siguiente grafico se indica los cambios y los nombres que reciben dichos cambios de estado

PROPIEDADES DE LA MATERIA



1. PROPIEDADES GENERALES Son las propiedades que presenta todo cuerpo material sin excepción y al margen de su estado físico., así tenemos: o Masa.– Mide la cantidad de materia. o Volumen.– un cuerpo ocupa un lugar en el espacio. o Impenetrabilidad.– El espacio ocupado por un cuerpo no puede ser ocupado por otro al mismo tiempo. o Divisibilidad.– Todo cuerpo puede dividirse en fracciones cada vez más pequeñas. o Porosidad.– Todo cuerpo posee espacios intermoleculares. o Peso.– Todo cuerpo es atraído por acción de la gravedad.

CLASIFICACION DE LA MATERIA Existen diversos tipos de cuerpos materiales que se presentan en la naturaleza bajo diversas formas y tamaños. A continuación se muestra una tabla adaptada, de la clasificación general de la materia.

2.

PROPIEDADES ESPECÍFICAS O PARTICULARES. Son propiedades particulares que caracterizan a cada sustancia, permite su diferenciación con otra y su identificación. A su vez las propiedades especificas pueden ser químicas o físicas dependiendo de sí se manifiestan con o sin alteración en su Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

Propiedades químicas.– Son aquellas propiedades que se manifiestan al alterar su estructura interna o molecular, cuando interactúan con otras sustancias

187

GRUPO INGENIERÍAS MATERIA

Esta constituida por átomos de elementos diferentes (o moléculas heteroatomicas), por lo tanto, son susceptibles a descomponerse en sustancias sencillas en cuanto se refiere a su constitución atomista.

MEZCLA

H2O NaCl C12H2 2O11 C2H5 OH HCl.

Agua azucarada Agua del mar Aire seco Agua gaseosa Acero

MEZCLA Es la reunión de dos o mas sustancias químicas en cualquier proporción, donde las propiedades de los componentes se conservan, ósea no hay combinación química; por lo tanto, son susceptibles a la separación por medios mecánicos o físicos (análisis inmediato). Se clasifican en: 1.

MEZCLA HOMOGÉNEA O SOLUCIÓN Es aquella que a simple vista o con ayuda de instrumentos como el microscopio, no se puede diferenciar la separación de sus componentes; por lo tanto, constituye una masa homogénea, pues cualquier porción que se tome tendrá la misma composición y propiedades.

2.

MEZCLA HETEROGÉNEA Es aquella, que a simple vista o con ayuda de instrumentos, se diferencia la separación de sus componentes y cualquier porción que se tome tendrá composición y propiedades diferentes.

HETEROGENEA

HOMOGENEA

Cu. Ag O2 P4 S8

SUSTANCIA COMPUESTA

SUSTANCIA ELEMENTO

SIMPLE

O

SUSTANCIA QUIMICA

MATERIA DISPERSA O ENERGIA

MATERIA CONDENSADA

Agua turbia Leche Pintura Gelatina Jarabe

PRÁCTICA PROBLEMAS PROPUESTOS

1. SUSTANCIA QUÍMICA O ESPECIE QUÍMICA Es todo cuerpo material homogéneo con su composición química definida (posee formula o representación simbólicA) y por lo tanto, sus propiedades específicas o propias, como por ejemplo: la densidad, solubilidad, reactividad, 2. punto de ebullición, etc., son constantes a determinadas condiciones. Se clasifica de la siguiente manera: 1. SUSTANCIA SIMPLE Esta constituida por átomos de un mismo elemento (o molécula monoatómicA), por lo tanto no pueden descomponerse en otras más sencillas 3. 2.

SUSTANCIA COMPUESTA


188

Los………. Se químicos. A) Compuesto. C) Átomos. E) Molécula.

obtienen

por

medios

B) Materia D) Elemento

Cual es la relación donde existe solamente sustancias puras. A) Azúcar, agua de caño, latón. B) Agua d4estilada, tinta, hielo. C) Hielo, antimonio, estaño D) Papel, ácido muriático, agua regia. E) Acero. Bronce, oxigeno. Es una propiedad extensiva: A) Inercia B) Maleabilidad C) Tenacidad D) Ductibilidad

GRUPO INGENIERÍAS

4.

5.

E) Dureza.

E) Crecimiento de una planta

Es A) B) C) D) E)

10. Cual no es un fenomeno fisico

una propiedad de metales y aleaciones: Ductibilidad Expansibilidad Compresibilidad Viscosidad Tensión superficial.

A) Sublimacion del yodo B) Separacion del cloruro de sodio del agua de mar C) Fundicion del metal hierro D) Oscurecimiento de plata en medio de oxigeno La ley de la conservación de la materia y E) Ruptura de un vaso de vidrio energía fue dada por: A) Meyer B) Joule 11. La separacion de componentes de una C) Lavoisier D) Einstein mezcla liquida en base a la diferencia de sus E) Dalton puntos de ebullicion, se llama:

6.

El………. está constituido de átomos de A) Levigacion igual número atómico. B) Decantacion A) Compuesto. B) Elemento C) Destilacion fraccionada C) Molécula. D) Materia D) Lixiviacion E) Átomos. E) Destilacion simple

7.

Marcar verdadero (V) o falso (F):  Un elemento está constituido siempre de átomos iguales en masa y carga nuclear ( ).  La masa es una propiedad específica de la materia. ( )  Todo compuesto químico es sustancia ()  Toda sustancia es compuesto químico( )  La viscosidad es un propiedad de los fluidos ( ) A) FFVFV B) FVFVF C) VVFFV D) FFFFV E) VVFVF

12. Se desea separar eter y agua, que son liquidos inmiscibles. Que metodo utilizaria A) B) C) D) E)

Decantacion Cromatografia tamizado Centrifugacion Coquificacion.

13. La mezcla de agua salada, eter, agua azucarada y un trozo de hielo seco, es:

A) Quinario, trifasico 8. El paso del estado gaseoso a liquido se B) Quinario tetrafasico C) Hexario, trifasico llama: D) Cuaternario difasico A) Licuación B) Fusión E) Ternario, difasico C) Solidificación D) Vaporización E) Sublimación directa 14. Señale las propiedades intensivas de la materia. 8. Señale la materia que no posee masa. A) Viscosidad, peso especifico A) Cuaderno B) Lapiz B) Conductividad electrica, presion C) Borrador D) Calor C) Temperatura de ebullicion, calor transferido E) Agua D) Olor, inercia E) Impenetrabilidqad, masa 9. Cual no es un fenómeno quimico. A) Disolucion de azúcar 15. Identificar si es fenómeno químico (Q) o B) Fermentación de la glucosa fenómeno físico (F) C) Oxidación del hierro ( ) Fermentación de las uvas D) Respiración ( ) Tala de arboles Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

189

GRUPO INGENIERÍAS ( ) Corroer con ácido ( ) Hervir agua ( )Alear metales A) FFFQQ B) FQQQF B)

C) QFFFQ

9 3 c E) c 5 5 21. Sometemos a una explosión nuclear 2 g de 11 masa y observamos la emisión de 18 x 10 Joules de energía. Indique el porcentaje de masa que no se transformó en energía. A) 100% B) 99% C) 90% D) 2% E) 1% D)

D) QQQFF

C) E) QFQF 16. Un elemento “Q” radioactivo tiene una masa de 120 kg y al desintegarse parte de él libera 2.7 EJ de energía. ¿Qué porcentaje del elemento “Q” no se desintegró? A)75%. B) 44%. C)25% D) 56%. E)5% 17.

ESTUDIO DEL ATOMO MODELOS ATÓMICOS MODELO ATOMICO DE JOHN DALTON. Recordar que esto ha sido extraído de textos de la ciudad de Lima, pero no se debe tener en cuenta por que Dalton no dejo modelo atómico, sino una referencia sobre la llamada Teoría Atómico molecular, para lo cual el consideraba a los átomos como simples esferas pequeñas.

En un reactor de fisión nuclear se dispone de 20 g de combustible nuclear, si en la 14 etapa de fisión se desprenden 5.4x10 J de energía. Determinar la masa no desintegrada de dicho combustible. A)6 g B) 16 g C) 4 g D) 14 g El modelo referido da a conocer un modelo E) 8 g atómico basándose en cuatro postulados de los cuales solo uno de ellos actualmente es valido. 18. Durante una explosión termonuclear se consumió 7,2 gramos de plutonio. 1. La mínima parte de la división de la materia ¿Qué energía en Joule se libero? 13 13 es el átomo y se caracteriza por ser A) 8,14 x 10 B) 8,16 x 10 14 14 C) 6,46 x 10 D) 6,48 x 10 indestructible, indivisible e impenetrable 9 E) 2 x 10 (actualmente falso). 2. Un elemento esta formado por átomos 19. La masa en reposo de 5 gramos de una similares, especialmente de igual masa, partícula cósmica, ¿En cuantos gramos se tamaño y otra cualidad, pero difieren de los habrá incrementado, si su velocidad llega a átomos de otros elementos (Actualmente ser los 2 de la velocidad de la luz? 3 falso). A) 2 gramos B) 6,7 gramos 3. Por mas violenta que sea una reacción C) 3,1 gramos D) 1,7 gramos química, el átomo permanece indestructible, E) 0,4 gramos indivisible e impenetrable. (actualmente falso) 20. Un cuerpo en reposo tiene una masa 21 combinación química es un equivalente a 9 x 10 ergios, al lanzarlo al 4. una reordenamiento de átomos en proporciones espacio aumenta su masa en 5 gramos. Hallar la velocidad final del cuerpo. numéricas simples (Actualmente valido) 5 5 A) 5 c B) c C) c Para Dalton los Átomos eran esferas macizas y 9 3 compactas y cuya combinación química siempre


190

GRUPO INGENIERÍAS eran en proporciones enteras como lo que ocurre El experimento se denomino PAN DE ORO y en el agua, en donde 2 átomos de hidrogeno se Ruthenford bombardeo con partículas alfa una lamina de oro y pudo comprobar que la gran combina con un solo átomo de oxigeno. mayoría atravesaba la lamina, mientras que el resto se desviaba de su trayectoria normal. Hacia finales del siglo XIX, se recubrió que los Gracias a esto Rutehenford deduce que el átomo átomos no son indivisibles, pues se componen posee un núcleo y por ese motivo nos señala un de varios tipos de partículas elementales. La nuevo modelo atómico primera en ser descubierta fue el electrón en el año 1897 por el investigador Thompson, quien EN 1909, Ruthenford, Hans Geiger y Ernest Marsden realizaron el siguiente experimento recibió el premio Nobel de Física de 1906. EL MODELO ATOMICO DE THOMPSON El átomo es de forma esférica con masa compacta y carga positiva distribuida homogéneamente, dentro de la esfera se encuentran incrustados los electrones con un movimiento vibratorio y la cantidad de energía negativa suficiente como para poder neutralizar la carga positiva de la esfera. Por lo tanto todo átomo es neutro.

Explicación del fenómeno:  El átomo tienen una parte central llamada núcleo, diminuta, de carga positiva, compacta, muy densa, debido a que en el se concentra toda la masa.  El campo eléctrico generado por el núcleo es muy intenso y causa la desviación de los rayos  mediante repulsión eléctrica.  El átomo es casi vacío, ya que los electrones ocuparían espacios grandes cuando giran en torno al núcleo.

EXPERIMENTO DE RUTHENFORD Y DESCUBRIMIENTO DEL NÚCLEO ATOMICO El núcleo del átomo se descubre gracias a los trabajos realizados en la Universidad de Manchester, bajo la dirección de Ernest Rutehnford entre los años 1909 y 1911. el experimento realizado consistía en dirigir un haz de partículas de cierta energía contra una plancha metálica delgada; de las probabilidades que tal barrera desviara la trayectoria de las partículas, se dedujo la distribución de la carga eléctrica interior de los átomos.


191

GRUPO INGENIERÍAS EL MODELO ATOMICO DE RUTEHNFORD El átomo es un sistema dinámico, con un núcleo de carga positiva y los electrones girando alrededor siguiendo trayectorias circulares y concéntricas a una gran velocidad, de tal modo que se neutralicen las fuerzas de atracción eléctrica que ejerce el núcleo.

ERROR EN EL MODELO DE RUTHENFORD Según la física clásica toda partícula electrizada que se mueve con velocidad variable o sea con aceleración pierde constantemente energía y se acerca al núcleo hasta destruirse, pero eso no sucede en el átomo y es lo que solo puede ser explicada con la mecánica cuántica actual. Hay dos dificultades básicas en el modelo atómico de Ruthenford: 1. Un átomo emite ciertas frecuencias características de radiación electromagnéticas y no otras. 2. Que según Ruthenford, los electrones están sujetos a la aceleración centrípeta. De acuerdo con la teoría de electromagnetismo de Maxwell, las cargas aceleradas centripetamente que giran con frecuencia deben irradiar ondas electromagnéticas de igual frecuencia. Desafortunadamente lo propuesto por la física clásica conduce al colapso del átomo. Conforme el electrón gira irradia energía

RADIACIONES ELECTROMAGNETICAS (R.E.M). Cuando se observaron los rayos catódicos y los rayos canales, se descubrieron gracias a que poseían masa, es decir que poseían origen corpuscular. Pero existen otras emanaciones de rayos que no poseen masa ni carga eléctrica. Así tenemos:  Rayos X.  Luz visible.  Rayos Gamma.  Ondas de radio y TV. Todos ellos transportan energía en forma de campos eléctricos y magnéticos

ONDAS ELECTROMAGNETICAS. Es la propagación de la energía generada por una perturbación vibracional que viaja a través de un medio sin desplazarlo. Una onda electromagnética, se origina por una perturbación en un campo magnético o un campo eléctrico; por lo cual dichos campos oscilan perpendicularmente entre sí y viajan a través del espacio a la misma velocidad de la luz (C).

CARACTERÍSTICAS DE LAS ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS:

1.

LONGITUD DE ONDA ( ‫)ג‬ Indica la distancia entre dos crestas adyacentes o la distancia correspondiente a un ciclo u oscilación completa (distancia entre dos nodos alternos), puede medirse en el sistema MKS en metros o CGS en cm, o bien en Ángstrom, dependiendo de la REM. -8

-10

1A° = 1x10 cm = 1x10 1 nm = 10 A° -9 1 nm = 1x10 m λ = 550 nm = 5500 A°


192

m

GRUPO INGENIERÍAS

2.

AMPLITUD (A) Es la distancia del eje de simetría hasta la cresta (amplitud positiva) o hasta el valle (amplitud negativa). En el caso de las radiaciones visibles, está relacionada con la brillantez o intensidad de la luz.

3.

FRECUENCIA ( f ) Es el numero de longitudes de onda (oscilaciones completas o ciclos) que atraviesan un punto dado por unidad de tiempo. La frecuencia de una onda electromagnética es constante, solo depende de la fuente emisora; por lo tanto, no varia cuando la radiación pasa de un medio material a otro.

f 

numero _ de _ ciclos tiempo _(t )

la unidad de la frecuencia es

f 

ciclos  s 1  Hertz seg


193


VELOCIDAD ( c = v ) Indica la rapidez con la que se desplaza la onda electromagnética. Las ondas electromagnéticas en el vacío viajan a la misma velocidad de la luz. Para cualquier onda que viaja con cierta velocidad, la longitud de onda y la frecuencia se relacionan así:

c f



c f

Relacionando las energias se tiene:

E  m  c2 E  h f Entonces se tiene la siguiente igualdad:

m  c2  h  f c m  c2  h   h mc  


194

GRUPO INGENIERÍAS



h mc

FUENTES LUMINOSAS Y ESPECTROS Llamamos espectros a la distribución ordenada por longitudes de onda que puede observarse directamente al ojo desnudo mediante un espectroscopio o fotografiarse en blanco y negro Tambien se tiene que la energia de un foton o en color en un espectrógrafo. es : ESPECTRO VISIBLE. Cuando hacemos pasar un haz de luz blanca a través de un prisma de vidrio, se observa la descomposición de la luz blanca en sus colores que la componen. A este fenómeno se le conoce como dispersión de la luz y la banda coloreada se conoce como espectro visible, E = Energia de un foton llamado así por que el ojo humano la puede h = constaante de planck percibir. De todo esto podemos afirmar que la luz blanca h = constamnte de planck = 6,63x10 -34 J.s es una mezcla de radiaciones monocromáticas de diferentes longitudes de onda, que ordenados h = constamnte de planck = 6,63x10 -27 erg.s de menor a mayor longitud de onda son: violeta, azul, verde, amarillo, anaranjado y rojo. h = constamnte de planck = 4,14x10 -15 eV.s ONDAS HERTZIANAS 5. PERIODO (T) Es el tiempo que demora en realizar un ciclo o recorrer una longitud de onda. Es Ondas de inversamente proporcional a la frecuencia. radio

6.

AM Onda larga

FM

Ondas de TV.

Microondas

Rayos infrarrojos

Espectro visible

Rayos ultravioleta

Rayos X

1 1  1  s f s

Rayos gamma

T

Rayos cósmicos

hc E 

El espectro visible es continuo por que entre la banda de colores no hay ninguna sombra oscura NUMERO DE ONDAS ( ) A través de la dispersión de la luz visible Es el numero de longitudes de onda o mediante un prisma se forma el espectro visible: numero de ciclos presentes en una distancia de 1 cm. Esto equivale a la inversa del valor de su longitud de onda expresada en cm.

f

f 

1 1   cm 1  cm


195

GRUPO INGENIERÍAS Cada color del espectro de la luz blanca esta en un rango de longitudes de onda que aquí para efectos de cálculo diremos que son: Rojo λ = 700 nm Anaranjado λ = 650 nm Amarillo λ = 600 nm Verde λ = 550 nm Azul λ = 500 nm Índigo o añil λ = 440 nm Violeta λ = 390 nm

fuerzas que actúan sobre el se cancelan. Las únicas fuerzas que actúan sobre el electrón son la fuerza de atracción eléctrica (FA) y la fuerza centrífuga (FC) que se produce por el movimiento circular. r = Radio de la orbita

COLOR DE LOS CUERPOS. El color de los cuerpos depende de la radiación que absorbe y de la radiación que refleja. El color monocromático que refleja es el color del cuerpo que percibe el ojo humano. Así, un cuerpo de color rojo, al ser irradiado con luz blanca o espectro visible, refleja la radiación Fa + Fc = 0 ........... (I) roja y absorbe el resto de radiaciones. Un cuerpo es de color negro si absorbe todas las Por ley de Coulomb: radiaciones monocromáticas, no refleja ninguna (+e) (-e) radiación monocromática. Se considera que el Fa = negro es ausencia de color. r2 Un cuerpo es blanco si refleja todas las radiaciones monocromáticas.

2 = -e r2

Por movimiento circular: ESPECTRO ELECTROMAGNÉTICO TOTAL. El espectro magnético total es tan grande que es mv 2 Fc = necesario ordenarlas de acuerdo a su longitud de r onda o según su frecuencia. Cabe recordar que el espectro visible solo forma una pequeña Reemplazando y simplificando en la ecuación I banda del espectro electromagnético total. tenemos : MODELO ATOMICO DE NIELS BORH e2 v2 = ... (II) En 1913 Bohr desarrollo un modelo atómico r m abandonando las consideraciones de la física clásica y tomando en cuenta la teoría cuántica de Donde: Max Planck. Bohr no desecho completamente el modelo velocidad tangencial del electrón atómico de Ruthenford, sino que incluyo V = –28 m= masa del electrón = 9,109 x 10 g. restricciones adicionales. e = carga del electrón = carga del El Modelo atómico de Bohr esta basado en los protón siguientes postulados, que solo son validos para –10 =4,8 x 10 u.e.c. (unidad átomos de 1 solo electrón. electroestática de cargA) El átomo base es el Hidrógeno neutro. PRIMER POSTULADO: El electrón gira SEGUNDO POSTULADO: alrededor del núcleo en trayectoria circular en Orbitas o niveles permitidos. El electrón en estado de equilibrio, debido a que todas las forma estable, solo debe girar en regiones Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

196

GRUPO INGENIERÍAS ETotal

permitidas llamadas niveles u orbitas, donde el momento angular (L) esta cuantizado en la siguiente expresión:

L  n. Asimismo

= Epotencial +

Ecinetica

h 2 L = m. r. V

Donde n = 1, 2, 3, 4..........+α

Tenemos para Ecuación: En =

E1 n

la

aplicación

la

siguiente

;

Donde E1 = – 13,6 eV o –313,6 Kcal/mol Te daremos las siguientes formulas para Para calcular Energia del electron en un determinar la distancia entre el centro del átomo determinado nivel: y un nivel de energía determinado, asimismo tenemos la velocidad de los electrones ubicados  13,6  21,79 x10 12 ergios en determinado nivel En  eV  2 2 n n a0 (n)2 n = Z Donde: ( n ) = nivel de energia –16 Donde a0 = 0,529  1 electrón voltio = eV = 1,6 x 10 Joule. 8 2,2 x 10 cm v = . Z n n

 

CUARTO POSTULADO: Emisión y absorción de energía.– El átomo emite o absorbe energía únicamente cuando el electrón realiza transiciones electrónicas de un nivel a otro. Por cada salto electrónico se emite o absorbe solo un fotón o cuanto. Cuando salta de un nivel de mayor energía a otro de menor energía, se produce la liberación de un fotón o cuanto. Caso contrario se absorbe energía.

Para calcular radio atomico: 2

Rn = 0,53 (n) A° ( n ) = nivel de energia -8 -10 1A° = 1x10 cm = 1x10 m TERCER POSTULADO: Niveles estacionarios de energía.– Mientras que el electrón gira en un nivel u orbita permitida, no emite ni absorbe energía, por que dichas orbitas son estados estacionarios de energía cuantizada, es decir, cada orbita tiene una energía definida:


 

197

GRUPO INGENIERÍAS

EL EFECTO FOTOELÉCTRICO Consiste en la emisión de electrones por un material cuando se hace incidir sobre él una radiación electromagnética (luz visible o ultravioleta, en general). A veces se incluyen en el término otros tipos de interacción entre la luz y la materia:

La energía del fotón emitido o absorbido se obtiene de la siguiente manera: ΔE = Enivel alejado - Enivel



ΔE = 13, 6 eV 

1 2

 nalejado

-

cercano

  2 ncercano  1

E FOTON  ESUPERIOR  E INFERIOR

1

 foton

 1 1   RH  2  2 n   inf erior nsuperior  5

5

RH = 1,1x10 (1/cm ) = 1,1x10 cm

-1

MODELO ATOMICO DE ARNOLD SOMERFIELD En 1915, Arnold Somerfield crea un nuevo modelo atómico, el cual es uno de los modelos Por ley de la conservacion de la energia mas aceptados en la actualidad En la actualidad a quedado demostrado que un planteamnso: átomo es mecánico y cuántico a la vez y que las líneas espectrales que representan a los niveles de energía se dividían en otras líneas mas finas, foton 0 c debido a que los electrones ocupan ciertas regiones energéticas dentro de un mismo nivel, llamadas subniveles de energía, que se designan con las letras s, p, d, f Pero o

E

W  E

E  h f


198

GRUPO INGENIERÍAS

E

Y se sabe:

hc 

1 E  mv2 2 Pero:

Luego teniendo la siguiente igualdad se tiene:

W0  h  f 0

Donde f0 = se llama frecuencia umbral y es la minima frecuencia que debe poseer el foton incidente para arrancar fotoelectrones. Por lo tanto:

1 hf  W0  mv2 2

Si el foton incidente f < f0 no se produce el efecto fotoelectrico.

hc 1  W0  mv2  2

Si el foton incidente f ≥ f0 si se produce el efecto fotoelectrico. Según la ecuacion :

Donde: h = constamnte de planck = 6,63x10 -34 J.s h = constamnte de planck = 6,63x10 -27 erg.s h = constamnte de planck = 4,14x10 -15 eV.s m = masa del electron v = velocidad de fotoelectrones Ec = energia cinetica maxima W0 = funcion trabajo, que es la minima energia para vencer la fuerza de atraccion del metal sobre el electron.

E  W0  Ec hf  hf0  Ec

hc hc   Ec  0

El W 0 es caracteristico de cada metal, tal como se indica a continuacion

A mayor frecuencia ( f ) sera mayor la energia cinetica de los electrones emitidos.


199

GRUPO INGENIERÍAS D) Thompson – Sommerfeld. E) Rutherford – Thompson. 2.

El modelo de Thompson se le conoce como: A) Átomo vacío. B) Budín de pasas. C) Átomo perfecto. D) Racimo de uvas. E) Esfera maciza.

3.

El núcleo de un átomo fue descubierto por: A) Thompson. B) Dalton. C) Rutherford. D) Bohr. E) Sommerfeld

4. El efecto fotoeléctrico fue descubierto y descrito por Heinrich Hertz en 1887, al observar que el arco que salta entre dos electrodos conectados a alta tensión alcanza distancias mayores cuando 5. se ilumina con luz ultravioleta que cuando se deja en la oscuridad. La explicación teórica fue hecha por Albert Einstein, quien publicó en 1905 el revolucionario artículo “Heurística de la generación y conversión de la luz”, basando su formulación de la fotoelectricidad en una extensión del trabajo sobre los cuantos de Max Planck. Eso permitió que Einstein y Millikan fueran condecorados con premios Nobel en 1921 6. y 1923, respectivamente.

2.

Los rayos catódicos están compuestos por electrones. B) Según el Modelo de Thompson, en el átomo, los electrones están distribuidos en una esfera cargada positivamente. C) El modelo atómico de Rutherford explica bien la experiencia de los rayos catódicos. D) Según la teoría atómica de Dalton no deben existir los isótopos. E) El modelo atómico de Bohr fue desarrollado para átomos monoeléctricos.

Los rayos canales fueron descubiertos por: A) Thompson. B) Bohr. C) Crookes D) Goldstein. E) Konrad. La palabra griega ÁTOMO significa: A) Mínima parte C) Pequeñito. E) Microscópico.

1.

B) Indestructible. D) Sin división.

Los electrones y neutrones descubiertos por: A) Thompson – Chadwick. B) Bohr – Crookes. C) Goldstein – Einstein.

han


¿Cuál de las siguientes proposiciones es falsa? A)

EJERCICIOS TEORIA ATOMICA. 1.

El número atómico nos indica la cantidad de: A) Neutrones. B) Protones. C) Piones. D) Mesones. E) Átomos. Con respecto a los rayos canales indicar lo incorrecto: A) Son un haz de electrones. B) Viajan en sentido contrario a los rayos catódicos. C) Son rayos positivos D) Se emiten del anodo E) Transportan carga positiva

7. sido

200

Ordenar las radiaciones alfa, beta, gamma, de acuerdo al poder de penetración. A) Alfa > gamma > beta. B) Alfa > beta > gamma. C) Gamma > alfa > beta. D) Gamma > beta > alfa. E) Beta > alfa > gamma.


9.

La teoría atómica de Dalton, enuncia: moléculas. A) Los átomos que forman un elemento son C) Los átomos son indivisibles. diferentes entre sí. D) Los elementos están constituidos por B) El átomo es la mínima porción de la iones. materia y es indivisible. E) La última partícula de un compuesto es C) Las propiedades radiactivas del átomo un fotón. son consecuencia de la inestabilidad del núcleo. 15. Los rayos catódicos están formados por: D) En el átomo los electrones giran A) Protones. B) Neutrones. alrededor del núcleo según órbitas C) Mesones. D) Electrones. concéntricas. E) Neutrinos. E) El número atómico representa el número de protones que encierra el núcleo. 16. Los rayos alfa, están constituidos por: A) Electrones. B) Núcleos de helio. Los rayos que producen fluorescencia al C) Protones. D) Neutrones. chocar con superficies de ZnS, son: E) Antineutrones. A) Los rayos canales. B) Los rayos anódicos. 17. Los rayos beta, están constituidos por: C) Los rayos catódicos. A) Núcleos de helio. B) Protones. D) Los rayos solares. C) Electrones. D) Neutrones. E) Los rayos luminosos. E) Bariones.

10. Durante la producción de rayos catódicos. ¿Qué otros rayos se producen? A) Los rayos anódicos. B) Los rayos gamma. C) Los rayos alfa. D) Los rayos beta. E) Los rayos alfa y beta. 11. ¿Qué radiaciones no tiene carga eléctrica? A9 Alfa. B) Beta. C) Gamma. D) Ionizantes. E) Catódicas. 12. ¿Qué radiaciones negativo? A) Beta. C) Gamma. E) Catódicos.

se

orientan

al

polo

18. Los rayos anódicos, están formados por: A) Protones. B) Neutrones. C) Electrones. D) Neutrinos. E) Bariones. 19. “Al rededor del núcleo se distribuyen los electrones girando en forma circular y concéntrica al núcleo”, corresponde a uno de los postulados del: A) Modelo atómico de Rutherford. B) Modelo atómico de Thompson. C) Modelo atómico de Borh D) Modelo atómico de Bohr – Sommerfeld. E) Modelo atómico de Sommerfeld.

B) Alfa. D) Solares.

20. La teoría que plantea el postulado de que “Los electrones en la órbita más cercana al núcleo tienen menor energía que aquellos en órbitas más alejadas del núcleo” es la: 13. ¿Qué científico propuso que los electrones A) Teoría atómica de Bohr. ocupan órbitas elípticas? B) Teoría atómica de Rutherford. A) Rutherford. B) Thompson. C) Teoría atómica de Thompson. C) Sommerfield. D) Bohr. D) Teoría atómica de Sommerfeld E) Wein 21. Teoría atómica de Dalton. ¿Qué afirmación es incorrecta? 14. La teoría atómica de Dalton, sostiene que: A) Rutherford: el electrón en una órbita no A) Los átomos de un mismo elemento son absorbe ni emite energía. distintos. B) Broglie: El electrón tiene B) Los elementos están constituidos por comportamiento corpuscular y Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

201

GRUPO INGENIERÍAS C) D)

E)

ondulatorio a la vez. Bohr: La fuerza centrífuga se compensa con la atracción nuclear. Dalton: Por más violenta que sea una reacción química, el átomo permanece indestructible indivisible e impenetrable. Thompson: Los electrones “flotan” en una nube positiva. 27.

EJERCICIOS TEORIA CUANTICA. 22. Cual es la velocidad de un electron en cm/s, si su longitud de onda es de 6,62 A°. -28

( m electron = 9,1x10 g y -27 h = 6,62x10 erg . s ) 8

A) 2,2 x 10 cm/s 8 C) 1,1 x 10 cm/s 12 E) 4,4 x 10 cm/s

8

B) 1,5 x 10 cm/s 8 D) 3,3 x 10 cm/s

23. Calcular la energia que se libera cuando un to do electron cae del 5 al 2 nivel cuantico a una frecuencia de 2 MHz -28

A) 78,16 x10 J -28 C) 80,26 x10 J -28 E) 77,46 x10 J

-28

B) 79,56 x10 J -28 D) 75,15 x10 J

24. Entre un foco encendido y una persona que se encuantra a 96 m de distancia, la 8 radiacion de una luz emitida posee 2x10 crestas de onda. Cual es el valor de la frecuencia de dicha radiacion en MHz. 8

A) 6,25 x10 MHz 8 C) 3,25 x10 MHz 8 E) 5,25 x10 MHz

8

B) 1,25 x10 MHz 8 D) 8,25 x10 MHz

25. Una emisora de radio situada a 90 km de una casa de estudios, genera una señal de radio con frecuencia de 0,7 MHz. Cuantas crestas de onda hay entre la emisora y la casa? A) 210 B) 64 C) 112 D) 90 E) 100

Hallar la longitud de onda de una partícula que tiene una cantidad de movimiento igual a A) 2 cm D) 4 cm

1,32 x 10 B) 0,5 cm E) 1 cm

–26

g.

cm s C) 5 cm

28. Calcular en cm la longitud de onda asociada a una persona de 60 kg que se desplaza a 18 km/h –34 –28 A) 2,21 x 10 B) 3,6 x 10 –4 –28 C) 3,4 x 10 D) 2,29 x 10 –9 E) 3,36 x 10 29. Determinar cuál es la longitud de onda asociada a electrones cuya velocidad es la cuarta parte de la velocidad de la luz. 8 Velocidad de la luz = 3 x 10 m/s –7 –10 A) 6,63 x 10 m B) 6,63 x 10 m 4 8 C) 3 x 10 m D) 4,8 x 10 m –12 E) 9,71 x 10 m

30. Un metal de aluminio se ilumina con radiacion UV de 300 nm. Si la funcion de trabajo del aluminio es de 4,08 eV. Cual es la energia cinetica maxima de los fotoelectriones expulsados? . Sabiendo que hc = 1240 eV. nm. A) 0,03 eV B) 0,04 eV C) 0,05 eV D) 0,06 eV E) 0,07 eV 31. Se necesita luz de 650 nm de longitud de onda para provocar una emision de electrones de una superficie metalica. Cual es la energia cinetica maxima de los electrones emitidos, si la superficie es bombardeada con luz de longitud de onda de 450 nm.

26. Un auto se desplaza a una velocidad de 20 Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

m/s y origina una longitud de onda de De –47 Broglie de : 3,315 x 10 nm Determinar la masa del auto –9 1nm = 10 m A) 900 kg B) 800 kg C) 600 kg D) 1 000 kg E) 1 200 kg

202

A) 0,01x10 -17 J B) 0,04x10 -17 J C) 0,06x10 -17 J D) 0,08x10 -17 J

GRUPO INGENIERÍAS E) 0,09x10 -17 J 32. Cual es la frecuencia de la radicacion -8 ultravioleta de 3000 A° ( 1A°= 1x10 cm ) 33. Cual es el periodo de una radiacion ultrvioleta de 300 nm ( 1 nm = 10A° ) 34. Cual es el numero de ondas de una radiacion UV de 3000 A°. 35. Si la longitud de onda de una luz roja es 650 nm. Determine la frecuencia de radiacion y la energia en joules de un foton de esta radiacion monocromatica. 36. Determinar la longitud de onda de una radiacion electromagnetica, al caer el electron del tercer al segundo nivel en el atomo de hidrogeno, según la serie de 5 -1 Balmer. ( RH = 1,1x10 cm ). 37. Que tiempo demora en llegar a la tierra las imágenes de TV de la superficie del planeta Marte transmitida por la nave Curiosity ubicado en ese planeta que se encuentra a 200 millones de kilometros de la tierra.

nivel a otro. Por cada salto electrónico se emite o absorbe solo un fotón o cuanto. Cuando salta de un nivel de mayor energía a otro de menor energía, se produce la liberación de un fotón o cuanto. Caso contrario se absorbe energía.

La energía del fotón emitido o absorbido se obtiene de la siguiente manera: ΔE = Enivel alejado - Enivel cercano



ΔE = 13, 6 eV 

1 2

 nalejado

-

  2 ncercano  1

38. En un panel de energia solar se absorve por 2 12 horas de funcionamiento 100 J/m , MODELO ATOMICO DE ARNOLD Cuanrtos fotones de longitud de onda de SOMERFIELD 3000 A° se absorve en 6 horas si el area 2 En 1915, Arnold Somerfield crea un nuevo total es 5 m . modelo atómico, el cual es uno de los modelos mas aceptados en la actualidad En la actualidad a quedado demostrado que un 39. Un aparato de LASER tiene una potencia átomo es mecánico y cuántico a la vez y que las electrica de 0,6 J/s y emite una luz cuya líneas espectrales que representan a los niveles longitud de onda es 500 nm,. Cuantos de energía se dividían en otras líneas mas finas, fotones emite por cada segundo de debido a que los electrones ocupan ciertas funcionamiento?. regiones energéticas dentro de un mismo nivel, llamadas subniveles de energía, que se designan con las letras s, p, d, f 40. Cual es al energia cinetica de un fotoelectron emitido por el cesio al recibir una radiacion de longitud de onda igual a 5000 A°. La longitud de onda critica para el cesio es de 6600 A°. CUARTO POSTULADO: Emisión y absorción de energía.– El átomo emite o absorbe energía únicamente cuando el electrón realiza transiciones electrónicas de un Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

203

EJERCICIOS

GRUPO INGENIERÍAS átomo, los electrones están distribuidos en una esfera cargada positivamente. H) El modelo atómico de Rutherford explica bien la experiencia de los rayos catódicos. I) Según la teoría atómica de Dalton no deben existir los isótopos. J) El modelo atómico de Bohr fue desarrollado para átomos monoeléctricos.

TEORIA ATOMICA. 2.

Los rayos canales fueron descubiertos por: A) Thompson. B) Bohr. C) Crookes D) Goldstein. E) Konrad.

2.

La palabra griega ÁTOMO significa: A) Mínima parte C) Pequeñito. E) Microscópico.

B) Indestructible. D) Sin división.

41. Los electrones y neutrones descubiertos por: F) Thompson – Chadwick. G) Bohr – Crookes. H) Goldstein – Einstein. I) Thompson – Sommerfeld. J) Rutherford – Thompson.

han

sido

42. El modelo de Thompson se le conoce como: A) Átomo vacío. B) Budín de pasas. C) Átomo perfecto. D) Racimo de uvas. E) Esfera maciza. 43. El núcleo de un átomo fue descubierto por: A) Thompson. B) Dalton. C) Rutherford. D) Bohr. E) Sommerfeld 44. El número atómico nos indica la cantidad de: A) Neutrones. B) Protones. C) Piones. D) Mesones. E) Átomos. 45. Con respecto a los rayos canales indicar lo incorrecto: F) Son un haz de electrones. G) Viajan en sentido contrario a los rayos catódicos. H) Son rayos positivos I) Se emiten del anodo J) Transportan carga positiva 46. ¿Cuál de las siguientes proposiciones es falsa? Los rayos catódicos están compuestos por electrones. G) Según el Modelo de Thompson, en el

47. Ordenar las radiaciones alfa, beta, gamma, de acuerdo al poder de penetración. F) Alfa > gamma > beta. G) Alfa > beta > gamma. H) Gamma > alfa > beta. I) Gamma > beta > alfa. J) Beta > alfa > gamma. 48. La teoría atómica de Dalton, enuncia: F) Los átomos que forman un elemento son diferentes entre sí. G) El átomo es la mínima porción de la materia y es indivisible. H) Las propiedades radiactivas del átomo son consecuencia de la inestabilidad del núcleo. I) En el átomo los electrones giran alrededor del núcleo según órbitas concéntricas. J) El número atómico representa el número de protones que encierra el núcleo. 49. Los rayos que producen fluorescencia al chocar con superficies de ZnS, son: F) Los rayos canales. G) Los rayos anódicos. H) Los rayos catódicos. I) Los rayos solares. J) Los rayos luminosos. 50. Durante la producción de rayos catódicos. ¿Qué otros rayos se producen? F) Los rayos anódicos. G) Los rayos gamma. H) Los rayos alfa. I) Los rayos beta. J) Los rayos alfa y beta.

F)


51. ¿Qué radiaciones no tiene carga eléctrica? A9 Alfa. B) Beta.

204

GRUPO INGENIERÍAS C) Gamma. E) Catódicas. 52. ¿Qué radiaciones negativo? A) Beta. C) Gamma. E) Catódicos.

D) Ionizantes.

se

orientan

al

polo

B) Alfa. D) Solares.

53. ¿Qué científico propuso que los electrones ocupan órbitas elípticas? A) Rutherford. B) Thompson. C) Sommerfield. D) Bohr. E) Wein 54. La teoría atómica de Dalton, sostiene que: F) Los átomos de un mismo elemento son distintos. G) Los elementos están constituidos por moléculas. H) Los átomos son indivisibles. I) Los elementos están constituidos por iones. J) La última partícula de un compuesto es un fotón. 55. Los rayos catódicos están formados por: A) Protones. B) Neutrones. C) Mesones. D) Electrones. E) Neutrinos. 56. Los rayos alfa, están constituidos por: A) Electrones. B) Núcleos de helio. C) Protones. D) Neutrones. E) Antineutrones. 57. Los rayos beta, están constituidos por: A) Núcleos de helio. B) Protones. C) Electrones. D) Neutrones. E) Bariones. 58. Los rayos anódicos, están formados por: A) Protones. B) Neutrones. C) Electrones. D) Neutrinos. E) Bariones.

G) H) I) J)

Modelo atómico de Thompson. Modelo atómico de Borh Modelo atómico de Bohr – Sommerfeld. Modelo atómico de Sommerfeld.

60. La teoría que plantea el postulado de que “Los electrones en la órbita más cercana al núcleo tienen menor energía que aquellos en órbitas más alejadas del núcleo” es la: E) Teoría atómica de Bohr. F) Teoría atómica de Rutherford. G) Teoría atómica de Thompson. H) Teoría atómica de Sommerfeld. 61. Teoría atómica de Dalton. ¿Qué afirmación es incorrecta? F) Rutherford: el electrón en una órbita no absorbe ni emite energía. G) Broglie: El electrón tiene comportamiento corpuscular y ondulatorio a la vez. H) Bohr: La fuerza centrífuga se compensa con la atracción nuclear. I) Dalton: Por más violenta que sea una reacción química, el átomo permanece indestructible indivisible e impenetrable. J) Thompson: Los electrones “flotan” en una nube positiva.

EJERCICIOS DE RADIACTIDAD. 62. ¿Qué entiende por radiactividad natural?. A) La descomposición espontánea del átomo de radio. B) La descomposición espontánea del núcleo de un átomo. C) Una reacción química espontánea. D) La emisión de electrones de su capa electrónica. E) La emisión de átomos de radio de alta penetrabilidad.

59. “Al rededor del núcleo se distribuyen los 63. Marca con (V) la afirmación correcta y con (F) la afirmación incorrecta. electrones girando en forma circular y  Las partículas beta corresponden a concéntrica al núcleo”, corresponde a uno electrones. de los postulados del:  En una reacción nuclear los electrones de F) Modelo atómico de Rutherford. Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

205

GRUPO INGENIERÍAS valencia juegan un papel importante.  Las partículas alfa corresponden a núcleos de Helio.  La radiación gamma corresponde a cierto tipo de radiación electromagnética.  Fisión es sinónimo de unión y fusión equivale a división. A) VFVVF B) VVFFF C) FFVVV D) VFVFV E) FVFVF 64. Los rayos emitidos por una fuente radiactiva pueden desviarse por un campo eléctrico. ¿Cuál de las siguientes sentencias, es (son) verdadera(s)? a. Los rayos alfa se desvían hacia la placa negativa. b. Los rayos beta se desvían hacia la placa positiva. c. Los rayos gamma no se desvían. A) I, II, III. B) I, II. C) I, III. D) II E) III

A) Electrones. C) Neutrones. E) Mesones

69. Un isótopo del cobalto (Co) es utilizado en radioterapia para algunos tipos de cáncer. Escriba los símbolos nucleares de tres tipos de isótopos del cobalto (Z=27) en los que hay 29, 31 y 33 neutrones, respectivamente. 55 58 33 A) 28Co , 31Co , 27Co 56 31 60 B) 27Co , 27Co , 27Co 29 31 60 C) 27Co , 27Co , 33Co 56 58 60 D) 27Co , 27Co , 27Co 70. Señalar el producto “X” en la reaccion nuclear siguiente, al balancear el numero de masa y atomico.

239 93

65. ¿Cuál de las siguientes propiedades corresponden a las radiaciones gamma (γ)? A) Su carga es +1 B) Su carga es –1 C) Su masa es 1 D) Son partículas de masa muy pequeña. E) Son radiaciones electromagnéticas.

66. Marque lo incorrecto relacionado a la radiactividad: A) Los rayos beta son electrones. B) La radiación gamma es energía. C) Los rayos alfa se emiten desde los niveles pero los beta, desde el núcleo. D) Los esposos Curie descubrieron el Polonio y el Radio. E) Los rayos alfa son positrones.


A)

4 2

C)

0 1

E)

1 0

Np239 94 Pu  X

He



B) D)

1 1

4 2



H

n

71. Identificar elproducto “X” en la reaccion nuclear siguiente.

212 84 0 1

A)

67. ¿Qué concepto no se emplea en el modelo atómico actual? A) Naturaleza dual de la materia. B) Ecuación de onda. C) Órbitas elípticas. D) Principio de incertidumbre. E) Números cuánticos. 68. En la nube electrónica del átomo, se encuentran:

B) Protones. D) Neutrinos.

C)

0 1

E)

1 0

e



Po208 82 Pb  X B) D)

1 1

4 2



H

n

72. Señalar el producto “X” en la reaccion nuclear siguiente .

206

GRUPO INGENIERÍAS

20 11 A)

1 1

C)

0 1

E)

4 2

20 Na10 Ne  X

H

B)



D)

4 2 1 1

MODELO ATOMICO ACTUAL ESTUDIO DEL ATOMO Si bien es cierto que todos los modelos anteriormente descritos no son satisfactorios por completo, el modelo atómico actual se aproxima bastante bien a las experiencias hasta hoy efectuadas. Este es un modelo netamente matemático y probabilístico basado en los siguientes principios:

He

p



73. Completar la ecuacion nuclear para la sintesis del elemento curio

239 94

1 1

A)

Pu  24He242 96 Cm  X

H

C)

1 0

n

E)

4 2

He

74. Completar emisión α. ……….. →

1.

B) D)

1 1

4 2

p

 1  λ= h.   m. v



adecuadamente 82

Pb 211 +

la

siguiente

2.

α

75. Dadas las siguientes transmitancias por una serie de desintegraciones α y β. Cuantas desintegraciones α se han producido. 3. 229 213 → + ……. + ……… Ra Bi 88 80

239 al ser 94 bombardeado por una partícula α, origina un nuevo núcleo y libera un neutrón. Cuántos neutrones tiene el nuevo núcleo

Pu

76. Un isotopo radiactivo

77. Si el núcleo de

92

U 235

DUALIDAD DE LA MATERIA Fue emitida por Louis de Broglie, quien sostiene que así como la energía presenta un carácter dual de onda y de partícula, entonces las partículas como el electrón también deberían poseer esa dualidad de onda–partícula, solo que a diferencia de una onda electromagnética esta es una onda que va asociada a un movimiento de los electrones y no es irradiada por él. Donde: λ = Longitud de onda m = masa v = velocidad.

NIVELES ESTACIONARIOS DE ENERGIA. Fue enunciado por Bohr y dice, cuando un electrón puede circular indefinidamente alrededor del núcleo sin emitir energía, debido a que su orbita contiene un numero entero de longitud de onda de De Broglie. PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE O PRINCIPIO DE HEISEMBERG. Werner Heisemberg plantea que: “Es imposible conocer con exactitud y al mismo tiempo la posición y el momento del electrón”.

emite una partícula

EL ATOMO

β. Que núcleo se producirá.


207

GRUPO INGENIERÍAS Un átomo es la unidad mas pequeña de la materia capaz de participar en una reacción química. Es considerado como un sistema energetico en equilibrio, debido a que las cargas positivas del núcleo son iguales a las cargas negativas de la nube electrónica. Actualmente el átomo se describe mediante un modelo matemático y probabilístico. ESTRUCTURA DEL ÁTOMO. La estructura del átomo moderno comprende al Núcleo atómico y a la nube electrónica. 1.

NÚCLEO. Es la parte central, muy pequeño y de carga positiva, contiene aproximadamente 200 tipos de partículas denominadas nucleones, de los cuales los mas importantes son: + Protón (p ).- son bariones de carga positiva. Sus caracterísitcas se describen en el cuadro abajo señalado. Neutrón (nº).- partícula subatómica con ausencia de carga. Los protones y los neutrones son denominados nucleones fundamentales. El núcleo atómico concentra casi la totalidad de la masa atómica (99,99 % de dicha masa). En otras palabras es la zona de mayor densidad en el átomo, cuyo valor 14 3 aproximado es de 2,44 x 10 g/cm .

2.

NUBE ELECTRÓNICA.- Llamada también, envoltura o zona extra nuclear, es la zona negativa que rodea al núcleo en ella se encuentran los electrones. constituye el 99,99 % del volumen atómico, donde se encuentran los electrones ocupando ciertos estados de energía (orbitales, subniveles y niveles).


208

GRUPO INGENIERÍAS

PARTICULAS SUBATOMICAS FUNDAMENTALES Son todas aquellas que están presentes en cualquier átomo. Los átomos y la materia en general presentan 3 partículas subatómicas fundamentales:  Protones  Neutrones  Electrones. Las características fundamentales de estas partículas subatómicas son las que se muestran en la tabla que se muestra a continuación. PARTICULA PROTÓN NEUTRON ELECTRÓN UBICACIÓN Núcleo Núcleo Nube electrónica + 0 – SÍMBOLO p n e MASA CARGA ELÉCTRICA SPIN

GRAMOS u.m.a Absoluta relativa

ESTABILIDAD VIDA MEDIA DESCUBRIDOR



–24

1,672 x 10 1,007 –19 + 1,6 x 10 C +1 38017 Estable 32

10 años Ernest Ruthenford

–24

1,675 x 10 1,008 0 0 38017 Inestable (fuera del núcleo) 1000 s. James Chadwick

–28

9,11 x 10 –4 5,5 x 10 –19 –1,6 x 10 C –1 38017 Estable 21

10 años J. J. Thompson

HADRONES.– El termino hadrón significa partícula de interacción fuerte; son partículas pesadas en comparación con los leptones. Están construidas por ciertas partículas elementales llamadas QUARKS. Se agrupan en dos grandes familias: Bariones y mesones.

Estabilidad de las partículas subatómicas fuera del sistema atómico: PARTÍCULA TIEMPO DE VIDA ELECTRÓN  (INFINITO) PROTÓN  (INFINITO) 1000 SEGUNDOS NEUTRO (16,66 MINUTOS) Luego de 1000 segundos, el neutrón decae o se desintegra en protón y electrón


209

GRUPO INGENIERÍAS

NUCLIDO NÚCLIDOS.Un átomo está caracterizado por la constitución de su núcleo y específicamente por el número de protones y neutrones, por lo tanto es todo átomo de un elemento que tiene una composición nuclear definida. Cualquier núclido puede ser representado con una letra mayúscula excepto la A o la Z. La representación de un núclido se acompaña de superíndices y subíndices que representan lo siguiente: 1. Numero atómico o carga nuclear (Z).- Es el número de identidad, viene a ser el numero de protones existentes en el núcleo atómo de un elemento. En un átomo neutro: + Z=p =e 2. Número de masa (A).- Es el numero total de partículas fundamentales en el núcleo de un átomo protones y neutrones). A = z + nº El nombre “numero de masa” se debe a que los protones y neutrones son las partículas fundamentales con mayor masa en un átomo y determinan prácticamente casi toda la masa atómica. TIPOS DE NUCLIDOS. ISOTOPOS Son también llamados “Hilidos”, son nucleidos de un mismo elemento químico, por lo tanto poseen igual número de protones pero diferente numero de neutrones y por ende diferente numero de masa. Los isótopos poseen propiedades químicas similares, pero propiedades físicas diferentes. En resumen: Z1 = Z 2 A1 ≠ A2 n1 ≠ n2

ISOBAROS Son núclidos que pertenecen a elementos diferentes, poseen igual número de masa, diferente número atómico y diferente numero de neutrones. Ósea que tienen igual numero de nucleones fundamentales.

ISOTONOS Son núclidos que pertenecen a elementos diferentes, poseen igual numero de neutrones, diferente numero de masa y diferente numero atómico

ISOELECTRONICOS Son aquellos núclidos que poseen igual número de electrones sin importar su número atómico o su carga eléctrica.

Son nuclidos con propiedades físicas y químicas diferentes.

Son nuclidos con propiedades físicas y químicas diferentes.

Son nuclidos con propiedades físicas y químicas diferentes

En resumen: Z1 = Z 2 A1 ≠ A 2 n1 ≠ n2

En resumen: Z1 = Z 2 A1 ≠ A 2 n1 ≠ n2

En resumen e1 = e2 = ..... = en

Representación de un átomo neutro y un ión: La representación del núclido puede ser con cualquier letra del abecedario latino excepto la A o la Z. A Z

En±q0

A Z

DONDE: E, X = Elemento cualquiera de la tabla periódica. A = Numero de masa o numero másico. Z = Numero atómico 0 n = numero de neutrones. q = Carga eléctrica Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

210

Xn±q0

GRUPO INGENIERÍAS el principio de exclusión de Pauli: las que no están sujetas a este principio son los bosones y a las que sí lo están se las llama fermiones.

Partículas subatómicas.

Fuente

Una partícula subatómica es una partícula más pequeña que el átomo. Puede ser una partícula elemental o una compuesta, a su vez, por otras partículas subatómicas, como son los quarks, que componen los protones y neutrones. No obstante, existen otras partículas subatómicas, tanto compuestas como elementales, que no son parte del átomo, como es el caso de los neutrinos y bosones.

:http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsica_de_part %C3%ADculas

Partículas elementales Los físicos de partículas se han esforzado desde un principio por clasificar las partículas conocidas y por describir toda la materia y sus interacciones. A lo largo de la historia de la física han existido muchas partículas que en su momento se han definido como indivisibles, tales como los protones y neutrones, que más adelante se ha demostrado que si lo son. Después de diferentes teorías atómicas y nucleares, en la actualidad se usa el llamado modelo estándar para describir la materia que constituye el universo y sus interacciones. De acuerdo con el modelo estándar, existen seis tipos de quarks, seis tipos de leptones y cuatro tipos de bosones. Estas partículas están divididas en dos grandes categorías

por Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

Partículas compuestas Los físicos de partículas denominan como hadrones a las partículas que se componen de otras más elementales. Los hadrones están compuestos de quarks, de antiquarks y de gluones. La carga eléctrica de los hadrones es un número entero, por lo que la suma de la carga de los quarks que los componen debe ser un 10 entero. La interacción fuerte es la que predomina en los hadrones, aunque también se manifiestan la 11 interacción electromagnética y la débil. Las partículas con carga de color interactúan mediante gluones; los quarks y los gluones, al tener carga de color, están confinados a permanecer unidos en una partícula con carga 12 de color neutra. La formulación teórica de estas partículas la realizaron simultánea e independientemente Murray Gell-Mann y George Zweig en 1964, en el llamado modelo de quarks. Este modelo ha recibido numerosas confirmaciones experimentales desde entonces. Los hadrones se subdividen en dos clases de partículas, los bariones y los mesones. Los bariones son partículas que contienen tres quarks, algunos gluones y algunos antiquarks. Los bariones más conocidos son los nucleones; es decir, los protones y neutrones, además de otras partículas más masivas conocidas como 13 hiperones. Dentro de los bariones existe una intensa interacción entre los quarks a través de los gluones, que transporta la interacción fuerte. Como los gluones tienen carga de color, en los bariones las partículas que lo contienen cambian rápidamente de carga de color, pero el conjunto del barión permanece con carga de color 14 neutra. Los bariones son también fermiones, por lo que el valor de su espín es 1/2, 3/2,.... Como todas las partículas, los bariones tienen su partícula de antimateria llamada antibarión, que se forma con

211


la unión de tres antiquarks. Sin contar con los D) 45 protones y 35 neutrones. nucleones, la mayoría de bariones son 13 inestables. 81. Un elemento posee 28 electrones y 31 Los mesones son partículas formadas por un neutrones, por lo tanto su número atómico y quark, un antiquark y la partícula que las une, el su número de masa son respectivamente: gluon. Todos los mesones son inestables; pese a A) 59 y 31. B) 31 y 28. ello pueden encontrarse aislados debido a que C) 28 y 31. D) 28 y 59. las cargas de color del quark y del antiquark son E) 31 y 59 opuestas, obteniendo un mesón con carga de color neutra. Los mesones son además bosones, 82. Un anión divalente es isoelectrónico con ya que la suma de los espines, de sus quark1 e isótono con 35 . antiquark más la contribución del movimiento de 17 19 estas partículas es un número entero. Se conoce también que el mesón posee interacciones ¿Cuántos nucleones fundamentales posee fuertes, débiles y electromagnéticas. el anión? En este grupo se incluyen el pion, el kaón, la J/ψ, A) 36 B) 35 C) 19 y muchas otras. Puede que existan también D) 37 E) 18 mesones exóticos, aunque no existe evidencia experimental de ellos. 83. Determinar el numero de protones electrones y neutrones de:

Cl

K

EJERCICIOS DE NUCLIDOS

78. Uno de los componentes más dañinos de los residuos nucleares es un isótopo radiactivo 90 del estroncio 38Sr ; puede depositarse en los huesos, donde sustituye al calcio. ¿Cuántos protones y neutrones hay en el núcleo del Sr-90? A) 90, 38 B) 38, 90 C) 38, 52 D) 52, 38 E) N.A. 79. Para la siguiente especie iónica: , señale lo incorrecto:

45 21 Sc

29

Cu 63

84. El siguiente elemento tiene 34 neutrones Hallar el numero atómico (Z) y el número másico (A).

6 X 4 E 3X 85. Si el siguiente elemento tiene 21 neutrones. Hallar el número atómico.

X 9

3

86. Si un elemento se representa

A) B)

Es un catión trivalente En su núcleo hay 21 protones y 24 neutrones C) Contiene 66 partículas fundamentales D) Contiene 18 electrones E) Su carga nuclear es 21 80. Un elemento tiene A = 80, puede poseer por lo tanto: A) 80 protones y 35 neutrones. B) 115 protones y 80 neutrones. C) 35 protones y 45 neutrones. Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

E 4X

2 X 10

E

6 X 4 2

y se sabe que tiene 30 protones. Hallar el numero de masa.

87. Si el número de masa (A) es el doble que el número atómico. Hallar el número de neutrones del siguiente átomo.

212

GRUPO INGENIERÍAS

4X E X 10

93. En el núcleo de un átomo. La relación de neutrones es a protones como 6 es a 4. Si su número másico es 90. Cuanto es el 88. Cual de los siguientes átomos tiene igual numero atómico (Z). 39 número de neutrones que: 19 K 94. Un ion con carga (-2) posee 66 electrones y 64 neutrones. Cual es el número de masa A 40 88 A) 19 K B) 39Y de la especie. C) 20 Ca

E) 10

40

D) 9

K 19 95. La semidiferencia entre la neutrones y protones de un 200 además es isóbaro del 60 Hallar su carga nuclear. A) 30 B) 40 D) 50 E) 70

Ne 20

E.

89. Señalar cuantos son isoelectrónicos. 3 13 Al

2 20 Ca

9

F 1

16

8

O 2

C) 60

96. Un átomo presenta la siguiente relación n° 3 . Hallar el número de masa si el + = P 1, 5 átomo tiene 20 electrones. A) 60 B) 50 C) 40 D) 30 E) 20

S 2

A)0 C) 3 E) 5

cantidad de átomo es 60,

B)2 D)4

97. Si para un átomo se cumple:

90. Cuantos son isótonos: 40 20 X

21

A 42

22

L45

19

Z 39

23

M 45

0

A = 2 Z.n

Determine los neutrones si tiene como números de masa 40. A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E) 30

98. La semidiferencia entre el número de neutrones y el número de protones de un átomo con un número de masa 77 es igual a 2,5. Determinar el número de electrones que presentara el catión de carga 2 de dicho 91. Si los siguientes átomos son isótopos. Hallar átomo. el promedio de sus números de neutrones. A) 34 B) 37 C) 38 4K 4 K 2 D) 24 E) 54 A)0 C) 3 E) 5

K 9

X

B)2 D)4

Y

2 K 1

92. La diferencia de cuadrados del numero de masa y número atómico de un átomo es 1640 determinar el número de protones si posee 10 neutrones Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

99. La suma de los números másicos de los 5 isótopos de un elemento es 360, si el promedio aritmético de sus números de neutrones39. Hallar el número de electrones de uno de sus aniones de carga 3.

213

GRUPO INGENIERÍAS A) 33 D) 36

B) 34 E) 37

C) 30 I. II. III. IV.

2 quarcks iguales 1 quarck “up” y 1 quarck “down” 1 quarck y 1 antiquarck 2 antiquarcks

100. En un átomo, la diferencia de cuadrados del numero másico y numero atómico es igual a 384. el núcleo posee 24 quarks “Down” referido a las partículas neutras. ¿Cuál es A) I B) II C) III el numero total de quarks “Up” referidos a D) IV E) II y III. los nucleones fundamentales? A) 32 B) 30 C) 42 D) 28 E) 40 105. Si un anion trivalente posee 54 leptones fudamentales y 76 bariones neutros compuestos, determine el numero de masa. 101. Para la siguiente especie ionica, marcar lo incorrecto. A) 76 B) 127 C) 54 D) 130 E) 22 15 3

31

P

106. De las siguientes particulas subatomicas positron, neutron, proton, electron, pion, identifique el par que esta constituido por 3 quarcks cada uno.

I. Posee 18 leptones fudamentales. II. Posee 46 quarcks “ arriba “ III. Posee 50 quarcks “ abajo” A) I B) II C) III D) I y II E) I y III 102. Una de las particulas no pertenece al grupo de leptones I. II. III. IV. A) I D) IV

Neutrino Electron Muon Pion B) II E) III y IV.

A) proton, electron. B) electron; pion. C) positron; neutron D) neutron; proton E) neutron; pion

C) III

103. Indicar verdadero (V) o falso (F) según se el caso:

LOS NÚMEROS CUÁNTICOS

Son valores numéricos, que sirven para I. Los quarks forman todos los hadrones determinar la ubicación del electrón en la nube II. Son hadrones: proton, neutron y electrónica. Estos números derivan de la solución matematica de la ecuación de meson pi (π) III. El meson pi (π) es mas pesado que el Chrodinger y estos números son: electron. IV. La fuerza que predomina en el nucleo 1.- Número cuántico Principal (n).- Determina es la fuerza fuerte, que no es electrica el tamaño de la nube electrónica. Cuanto mas grande es “n”, mayor es la distancia entre un ni magnetica. electrón en el orbital respecto del núcleo y en consecuencia el orbital es mas grande y menos A) FFFF B) FFVV C) VVVV estable. Toma los valores: D) VVFF E) FFFV n: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

104. Los mesones pi (π) y K se componen de : Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 302

214

GRUPO INGENIERÍAS 2.- Número cuántico secundario (l).- llamado tambien número cuántico del momento angular, expresa la forma de los orbitales. Sus alores dependen del número cuántico principal (n).

4.- Número cuántico spin (s).- Indica el sentido de rotación del electrón sobre su propio eje.

3.- Número cuántico magnético (ml).- Describe la orientación del orbital en el espacio dentro del subnivel. Sus valores dependen de (l) .

s = +1/2

s = -1/2

ORBITAL O REEMPE Es la región del espacio atómico en donde existe la máxima probabilidad de encontrar al electrón. Un orbital puede contener a lo más dos electrones CLASES DE ORBITALES: Orbital lleno (2 electrones apareados)

Orbital semilleno (1 electrón desapareado)

Orbital vacio El orbital atómico es un estado de energía permitido para un electrón en el modelo de la mecánica cuantica del átomo. El termino “orbital” también se utiliza para describir la distribución espacial del electrón. A un orbital también se le llama REEMPE, por que es la Región de Espacio Energético de Manifestación Probabilística del Electrón. Ejemplos : Subnivel

s p d f g

ℓ

0 1 2 3 4

Número orbitales 1 3 5 7 9


de

Número máximo de electrones 2 6 10 14 18

215


Nivel de energía (n) Contiene a los electrones con semejante alejamiento máximo promedio respecto al núcleo Tipo

ℓ

Sharp (s)

0

Forma orbital

Representación z

x y

Esférica

Principal (p)

z

z

1

y

y

Dilobular

x

x

y x

py

px Difuso (D)

z

pz

2 Tetralobular

undamental (f)

3 Octolobular

El nivel de energía es la región que contiene a los electrones con semejante alejamiento promedio respecto al núcleo atómico. Los niveles de energía son infinitos, siendo 7 los niveles principales que se designan de la siguiente manera. Q Espectroscopia K L M N O P Q ... O P N Cuantica(n) 1 2 3 4 5 6 7 ...... M L K 2 Número de electrones por nivel = 2n 2 Número máximo de orbitales por nivel = n Número de subniveles por nivel = n Aumenta la energía + Ejemplos : Núcleo 1 2


216

3

4

5

6

7

Nivel

GRUPO INGENIERÍAS

Número de subniveles

Número máximo de orbitales

1

1 (s)

1(1s)

2

2 (s y p)

4(1s + 3p)

3

3(s, p y D)

9(1s+3p+5D)

4

4(s, p, d y f)

16(1s+3p+5d+7f)

CARACTERÍSTICAS DE LOS NÚMEROS CUÁNTICOS N .C .

Principal

C arac teríst ica Sí m bolo Va lores perm itid os N úm ero de v alores D es crib e pa ra el orbita l D ete rm ina para el ele ctrón

n

Se cun dario o Az im utal (*)

M a gnético

D e s pin electrón ic o



m

ms

1; 2 ; 3; 4 ; 5; 6 ; 7; ... 0; 1 ; 2; 3 ; ... (n-1) T eóric am ente in finito T am a ño N iv el de ene rg ía

n F orm a Su bnivel de ene rg ía

- ; ...; 0; ... +



+ 1 ; - 1 2 2

2 +1

2

O rientac ión es pac ial

N o e stá as ociado

O rb ital (R EE M P E)

Se ntid o de giro alre dedo r d e su eje propio

* ℓ : También se llama número cuántico del momento angular Se le conoce con el nombre de el “PRINCIPIO DE LA MÁXIMA MULTIPLICIDAD” y establece REGLA DE HUND “En un mismo subnivel los electrones tratan de ocupar el máximo de orbitales posibles, por lo tanto no se podrá llenar un orbital si existen otros vacíos


217

GRUPO INGENIERIAS

3d Z2 2 orbitales llenos 1 orbital semilleno

2p5 px

py pz

3

2

5

Según su energía : 4s < 3dxy = 3dz < 6pz

4 electrones apareados 1 electrón desapareado

Degenerados

Según su estabilidad: 4s > 3dxy = 3dz > 6pz PRINCIPIO DE EXCLUSIÓN DE W. PAULI En un mismo átomo no pueden existir dos o más Degenerados electrones que presenten los cuatro números Una especie es paramagnética si presenta cuánticos iguales. Al menos se deben diferenciar orbitales semillenos. Si no los tiene es en el número cuántico spín. diamagnética. Horario

A ntih orario

S pin es paralelos (Inesta ble s)

EJERCICIOS DE NUMEROS CUANTICOS

S pin es antipara lelos (Esta ble s)

107. Cada uno de los siguientes grupos de números cuánticos describe un electrón en un átomo. Señale el de menor energía. A) (3, 2, 1,-1/2) B) (5, 1,-1,+1/2) C) (2, 0, 0,+1/2) D) (4, 2, 2,+1/2) E) N.A.

ENERGÍA RELATIVA (E.R.) La energía asociada a las regiones orbitales depende de la suma de los números cuánticos principal y azimutal E.R. = n + ℓ

108. Una de los posibles valores de n,l,m,s para PROPIEDADES un electron en la sub capa 4d son: 1. A menor energía relativa, mayor estabilidad A) (4, 2, 0,+1/2) B) (4, 3,+1,+1/2) de los orbitales atómicos C) (4, 3,0,-1/2) D) (4, 2, +3,+1/2) 2. Los orbitales de un mismo subnivel son E) (4, 3,-1,-1/2) “degenerados” porque tienen la misma energía relativa 3. Si dos o más orbitales presentan igual suma 109. Uno de los componentes más dañinos de los residuos nucleares es un isótopo radiactivo “n+ℓ" , entonces su energía aumenta en el 90 del estroncio 38Sr ; puede depositarse en orden creciente de “n” los huesos, donde sustituye al calcio. ¿Cuántos protones y neutrones hay en el Ejemplo : Ordenar de mayor a menor estabilidad núcleo del Sr-90? : Orbital n ℓ n+ℓ A) 90, 38 B) 38, 90 3dxy 3 2 5 C) 38, 52 D) 52, 38 4s 4 0 4 E) N.A. 6pz 6 1 7


1

110. Que valor del numero cuantico “n” es el que permite solamente orbitales tipo s,p,d? “Ingresa directo a la UNAMBA con una preparación de calidad”

GRUPO INGENIERIAS A) 2 C) 4

B) 1 D) 3

117. Sí n = 3, qué valores puedo tomar l; y sí l = 2 qué valores puede tomar m A) 0, 1, 2 ; -2, 0, +2 B) 0, 1, 2 ; -2, -1, 0, +1, +2 C) 0, 1, 2 ; -1, 0, +1 D) 0, 1, 2 ; +5 E) 1, 2 ; 0

E) 5

111. Cual de los orbitales es el de menor energía. A) 5d xy B) 6 p z B) C)

7s E) 5s

C)

D)

4 f xyz

118. Indique la alternativa donde los cuatro números quánticos están bien escritos: A) 1, 0, 1, +-1/5 B) 5, 0, 5/2, +1/2 C) 4, 3, -3, +-1/2 D) 2, 2, -1, +-1/2 E) 3, 2, -3, +-1/2

112. Que estado cuántico es posible. A) (2, 0,-1,1/2) B) (2, 0, 0,-1/2) C) (4, 3,-4,-1/2) D) (5, 1,-2,-3/2) E) (6, 5,-3,1/2)

119. Cuales son los números cuánticos del electrón que posee mayor energía del átomo de rubidio (z=37). 113. Un átomo posee 3 capas energéticas. A) 5, -1, 0, +1/2 B) 5, 3, 0, -1/2 Indicar el máximo valor entero de (n/l) + C) 5, 0, 0, +1/2 D) 4, 3, -3, -1/2 (m/s). E) 4, 0, 0, -1/2 A)2 B)5 C) 3 D)4 120. Un átomo posee en número másico que es E) 1 el doble de su número atómico. Determinar los 4 probables números cuánticos del 114. Hallar el máximo valor de J en último electrón de la configuración S electrónica, si posee 11 neutrones. , para todo m ≠0, si J  (n  l ) / m A) 3 0 0 +1/2 B) 2 1 0 -1/2 pertenece a la capa M. C) 3 0 1 -1/2 D) 3 2 1 +1/2 E) 0 1 0 +1/2 A) 5 B)2



C) 7 E) 15



121. Un átomo A presenta 5 orbitales “p” +1 apareados, el ión B es isoelectronico con -1 el ión A . Determinar los números quánticos que corresponden al último electrón del átomo B. A) 5, -1, 0, +1/2 B) 4, 0, 0, +1/2 C) 5, 0, 0, +1/2 D) 4, 3, -3, -1/2 E) 4, 0, 0, -1/2

D)1

115. En los reempes existe la mayor probabilidad de encontrar como máximo…. Electrones. A)2 B) 6 C) 8 D) 1 E) 4 116. Si el número cuántico principal es 4, ¿Cuáles serán los valores permisibles del número cuántico magnético? A) 0, 1, 2, 3, 4 B) 0, 1, 2, 3 C) - 4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4 D) - 3, -2, -1, 0, +1, +2, +3 E) - 2, -1, 0, +1, +2 F) Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 304

122. Un elemento presenta tres isótopos, hallar el número de orbitales desapareados de cualquiera de los tres isótopos, sabiendo que la suma de los números de masa es igual a 195 y el promedio de sus neutrones es 31. A) 2 B) 1 C) 0 D) 3 E) 5 2

“Ingresa directo a la UNAMBA con una preparación de calidad”

GRUPO INGENIERIAS distribución responde a la notación cuántica: 123. ¿Cuáles son los números cuánticos que caracterizan el estado atómico en el cual un electrón tiene la energía mínima? A) n = 1, l = 0, m = 0, s = +-1/2 B) n = 2, l = 1, m = 0, s = +1/2 C) n = 1, l = 0, m = 0, s = - 1/2 D) n = 1, l = 0, m = 0, s = +1/2

1   6; 2;  1;   . Por lo que no se cumple 2  para el elemento: a. b. c. d. e.

124. Determine la energía relativa del ultimo electrón de un átomo que posee 56 protones y su carga eléctrica es –4. A) 4 B) 5 C)6 D) 7 E) 8

130. En el nivel cuántico principal n=4, se pueden acomodar electrones como máximo.

125. Determine cuales son los números cuánticos del antepenúltimo electrón de un átomo cuyo numero de masa es 12 y su numero de neutrones es la mitad del numero de sus protones. A) 3 2 D) 1 2

B) 5 2 9 E) 2

Pertenece a la familia del cobalto Es un metal representativo to Pertenece al 6 periodo Corresponde al grupo 8 B Es un metal pesado

A) 2. B) 32.

C) 7 2

C) 16. D) 10. E) 8.

126. Determine el numero de electrones de un átomo cuyo ultimo electrón posee los siguientes numero cuánticos 4,0,0, - ½. A) 20 B) 21 C) 21 D) 23 E) 25

ESTUDIO DEL ATOMO CONFIGURACIÓN ELECTRÓNICA DISTRIBUCIÓN ELECTRONICA

127. ¿Cuál es el numero cuantico magnético del ultimo electrón de un átomo ionizado tripositivamente si posee 40 como numero de masa y su numero de neutrones es 29. A) -1 B) 1 C) + 2 D) -2 E) 0

128. Determine el numero de orbitales desapareados de un átomo que presenta un ultimo electrón con los siguientes números cuánticos 5, 2, 0, ½. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 129. El último electrón de un átomo en su Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 304

3


GRUPO INGENIERIAS

Consiste en ordenar a los electrones de un sistema atómico de acuerdo al principio de formación de AUFBAU (El verbo alemán Aufbauen significa construir) el cual establece que los electrones deben ordenarse de menor a mayor energía. Dos átomos son isoelectrónicos si tienen la misma configuración electrónica

Niveles

1

2

3

4

5

6

7

Capas

K

L

M

N

O

P

Q

s2

s2

s2

s2

s2

s2

s2

p6

p6

p6

p6

p6

p6

d10

d10

d10

d10

f 14

f 14

32

32

S U B N I V E L E S

Número máximo de electrones por nivel

2

8

18

Niveles completos Capacidad máxima

2

8

8

Niveles incompletos 32

18

18

50

72

98

OTRA FORMA 1s2

2s2 2p6

[He]

3s2 3p6

[Ne]

4s2 3d1 04p6

[Ar]

5s2 4d1 05p6

[Kr]

6s2 4f1 45d1 06p6

[Xe]

7s2 5f1 46d1 07p6

[Rn]

Ejemplo: Realizar la distribución electrónica del azufre (Z=16) N i v el

1 s2

2 s2

S ub niv el p

C o nti en e 3 ni v el es

3

6

2

2

1s 2s 2p

6

2

3 s 3p

4

s2 p

4


C o nti en e 5 s ub niv el es

4

[H e]

[N e]

[N e] 3s 2

3p 4


GRUPO INGENIERIAS C) 0,1,2 E) 1,2,2

EJERCICIOS DE CONFIGURACION ELECTRONICA.

D) 2,0,0

136. Indique el número mínimo y máximo de electrones que tiene un átomo que solamente posee dos sub niveles “S” llenos: A) 4 – 10 B) 8 - 12 C) 4 – 9 D) 4 – 11 E) 8 – 10

131. ¿Cuál es el orden correcto de los siguientes subniveles de energía? A) 1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 4s B) 1p, 2p, 3s, 3p, 4p, 3d C) 1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 3d D) 1s, 2s, 3s, 4s, 4p, 3p E) 1s, 2s, 3p, 3s, 4p, 3s

137. La diferencia del número de masa de dos isótonos es 12 y la suma de sus números de electrones es 18. Determinar la configuración electrónica de los isótonos con menor número atómico, si la carga de cada uno de ellos es +2 y -2 respectivamente. 2 2 6 2 3 A) 1s 2s 2p 3s 3p 2 1 B) 1s 2s 132. Hallar la configuración electrónica del átomo 2 2 6 2 2 C) 1s 2s 2p 3s 3p X si posee 32 neutrones: 2 2 3 D) 1s 2s 2p 2 2 2a 1 E) 1s 2s a 32

X

A) B) C) D) E)

2

2

6

2

6

2

10

1

138. La suma del número másico de 3 isótonos es 126 y la suma de los números de neutrones es 60. Hallar la configuración electrónica de uno de los isótonos si su carga es -1. 2 2 6 2 3 A) 1s 2s 2p 3s 3p 2 2 6 2 6 2 1 B) 1s 2s 2p 3s 3p 4s 3d 2 2 6 2 6 2 2 C) 1s 2s 2p 3s 3p 4s 3d 2 2 6 2 6 2 3 D) 1s 2s 2p 3s 3p 4s 3d 2 2 6 2 6 2 8 E) 1s 2s 2p 3s 3p 4s 3d 139. Indicar en orden decreciente de sus 1 12 energías a los siguientes orbitales: 4s , 5f , 6 9 3p , 4d 6 9 1 12 A) 3p , 4d 4s , 5f , 1 12 6 9 B) 4s , 5f , 3p , 4d 12 9 1 6 C) 5f , 4d , 4s , 3p 1 6 9 12 D) 4s , 3p , 4d ,5f 12 9 1 6 E) 5f , 4d ,4s , 3p

1s 2s 2p 3s 3p 4s 3d 4p 2 2 6 2 6 2 10 5 1s 2s 2p 3s 3p 4s 3d 4p 2 2 6 2 6 2 1 1s 2s 2p 3s 3p 4s 3d 2 2 6 2 6 2 9 1s 2s 2p 3s 3p 4s 3d 2 2 6 2 6 2 10 2 1s 2s 2p 3s 3p 4s 3d 4p

133. Indique el número mínimo y máximo de electrones que tiene un átomo que solamente posee dos sub niveles llenos: A) 1 – 10 B) 6 – 12 C) 4 – 9 D) 4 – 10 E) 6 – 9 134. Cual es el numero de protones de un atomo que posee 5 electrones en su cuarto nivel? A) 31 B) 33 C) 35 D) 37 E) 40

135. Cuantos electrones desapareados cada uno de los siguientes iones: -2 -1 +2 S , Cl , Ni , respectivamente? Numero atomico (Z) S = 16; Cl = 17; Ni = 28 A) 0,0,2 B) 2,1,0 Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 304

140. Hallar el número máximo y mínimo de electrones que pueda tener un átomo que solamente posee 6 sub niveles llenos. A) 29 y 20 B) 20 y 29 C) 28 y 20 D) 19 y 29 E) 27 y 20

hay en

141. Hallar el número mínimo y máximo de 5


GRUPO INGENIERIAS electrones que pueda tener un átomo que solamente posee 2 niveles llenos. A) 29 y 10 B) 10 y 28 C) 28 y 9 D) 10 y 20 E) 20 y 28

149. Un átomo neutro posee 40 neutrones y su número de masa es el triple de su número de protones Hallar el número de subniveles llenos que posee el catión divalente, de dicho átomo. A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 7

142. Hallar el número de masa de un átomo que posee 51 neutrones y que solamente posee 4 electrones en la 5ta capa. A) 210 B) 101 C) 20 9 D) 102 E) 202

150. Un elemento posee 3 electrones en la tercera capa ¿Cuantos electrones tienen sus subcapas principales? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

143. Un catión divalente posee 18 electrones en los subniveles difusos. Indique cual será el número de protones que posee dicho átomo. A) 45 B) 46 C) 47 D) 48 E) 49

151. La última notación confígurativa de 5 un átomo es 5p . Si en el núcleo tiene 60 neutrones Determine su número de numero de masa. A) 110 B) 111 C) 112 D) 113 E) 114

+2

144. El ion X tiene carga nuclear 22, entonces determine el número de electrones que se hallan en los subniveles principales. A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14

152. Determine el numero de neutrones de un átomo de número de masa 80 y su 1 distribución electrónica termina en 4p . A) 48 B) 49 C) 50 D) 51 E) 47

145. Si un átomo “X” posee un número de masa 108 y el número de neutrones es 60. Determine cuantos electrones presenta en 153. Un elemento tiene como número de masa los subniveles difusos. 24 y 14 neutrones. Determine el número de A) 5 B) 10 C) 15 subniveles completamente llenos. D) 20 E) 25 A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 146. Cuál es el número atómico de un elemento que tiene 14 electrones en la capa N. 154. Cierto elemento tiene 12 electrones en la A) 42 B) 43 C) 44 capa "N", cuántos electrones presenta en D) 45 E) 46 sus sub niveles "s". A) 12 B) 14 C) 10 147. Una distribución indica los primeros D) 8 E) 16 5 subniveles "s" llenos. Cuál es el posible número atómico máximo. A) 54 B) 56 C) 52 A) 75 % B) 44 % D) 50 E) 51 C) 25 % D) 56 % E) 5 % 148. Cuantos subniveles completamente llenos presenta un átomo de Z = 32. A) 12 B) 13 C) 14 CLASIFICACIÓN PERIODICA DE D) 15 E) 16 Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 304

6

LOS


GRUPO INGENIERIAS

ELEMENTOS QUÍMICOS SEMANA 08 GENERALIDADES El descubrimiento de un gran número de elementos y el estudio de sus propiedades puso de manifiesto las semejanzas que había entre algunos de ellos. Esto indujo a los químicos a buscar una clasificación de los elementos, no solo con objeto de facilitar su conocimiento, sino, y más importante, para facilitar las investigaciones y los avances en el conocimiento de la materia.

A1

W

A2

X

A2 =

A3

Y

A 2 + A3 2

OCTAVAS DE NEWLANDS Newlands, descubrió que al ordenar los elementos según su peso atómico, el octavo elemento tenía propiedades similares al primero, el noveno al segundo y así sucesivamente, cada ocho elementos, las propiedades se repetían, lo denominó ley de las octavas, recordando los EVOLUCIÓN DE LA TABLA PERIODICA periodos musicales. Pero las octavas de Desde la antigüedad, los hombres se han Newlands no se cumplían siempre, tras las preguntado de qué están hechas las cosas. El primeras octavas la ley dejaba de cumplirse. primero del que tenemos noticias fue un pensador griego, Tales de Mileto, quien en el TABLA PERIODICA DE MENDELEIEV siglo VII antes de Cristo, afirmó que todo estaba En 1869, Mendeleiev publicó su tabla periódica. constituido a partir de agua, que enrareciéndose Había ordenado los elementos siguiendo su peso o solidificándose formaba todas las sustancias atómico, como lo hizo Newlands antes que él, conocidas. Con posterioridad, otros pensadores pero tuvo tres ideas geniales: no mantuvo fijo el griegos supusieron que la sustancia primigenia periodo de repetición de propiedades, sino que lo era otra. Así, Anaxímenes, en al siglo VI a. C. amplió conforme aumentaba el peso atómico creía que era el aire y Heráclito el fuego. (igual que se ampliaba la anchura de la gráfica de Meyer). Invirtió el orden de algunos LAS TRIADAS DE DOBEREINER elementos para que cuadraran sus propiedades Ya en 1829, un químico alemán, Döbereiner, se con las de los elementos adyacentes, y dejó percató que algunos elementos debían guardar huecos, indicando que correspondían a cierto orden. Así, el calcio, estroncio y bario elementos aún no descubiertos. formaban compuestos de composición similar y con propiedades similares, de forma que las En tres de los huecos, predijo las propiedades de propiedades del estroncio eran intermedias entre los elementos que habrían de descubrirse las del calcio y las del bario. Otro tanto ocurría (denominándolos ekaboro, ekaaluminio y con el azufre, selenio y teluro (las propiedades ekasilicio), cuando años más tarde se del selenio eran intermedias entre las del azufre descubrieron el escandio, el galio y el germanio, y el teluro) y con el cloro, bromo y iodo (en este cuyas propiedades se correspondían con las caso, el elemento interrmedio era el bromo). Es predichas por Mendeleiev, y se descubrió un lo que se conoce como tríadas de Döbereiner. nuevo grupo de elementos (los gases nobles) Esta "ley" establecía que los elementos se que encontró acomodo en la tabla de podían ordenar en grupos de tres, de modo que Mendeleiev, se puso de manifiesto no sólo la el peso atómico de uno de ellos es la media veracidad de la ley periódica, sino la importancia aritmética del peso atómico de los otros dos. y utilidad de la tabla periódica. Un cambio de paradigma en el estudio Triada de Dobereiner sistemático de las propiedades de los elementos químicos fue dado por el descubrimiento de 7 Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 304 “Ingresa directo a la UNAMBA con una preparación de calidad”

GRUPO INGENIERIAS la Ley Periódica de los elementos químicos. En 1869, el químico ruso D. Mendeleiev (1834 – 1907) defendió la tesis de que una variación regular en las propiedades de los elementos químicos se podía observar si estos se ordenaban en un orden creciente de los pesos atómicos.

Hacia 1830, se conocían cincuenta y cinco elementos, es decir se había duplicado en treinta años la cifra de elementos descubiertos en más seis milenios de práctica humana. Dos factores contribuyeron de forma decisiva a este vertiginoso crecimiento: la aplicación del invento de Volta, la pila de corriente eléctrica, para conducir la descomposición de las sustancias; y La edificación de la tabla periódica de la introducción de las técnicas espectrales al Mendeleiev no solo dio lugar a la clasificación de análisis de muestras de minerales los elementos químicos en familias o grupos sino convenientemente tratadas. que posibilitó la predicción de la existencia de elementos químicos aún no descubiertos y de las El principal problema que quedaba pendiente de ser resuelto consistía en aclarar la forma en que propiedades que estos debían exhibir. La sorprendente correspondencia entre estas se enlazan los átomos en la estructura particular predicciones y los descubrimientos de nuevos de la sustancia y edificar un sistema de símbolos elementos que se producirían en los años y notaciones que permitieran una comunicación subsiguientes demostró la validez de la ley universal. periódica y constituyó un estímulo para la realización de estudios de nuevas correlaciones Durante la elaboración de este libro, Mendeléiev en la tabla propuesta. Su fama por estas intentó clasificar los elementos según sus realizaciones del intelecto no han dejado espacio propiedades químicas. En 1869 publicó la para el conocimiento del hombre que a los 56 primera versión de la tabla periódica. En 1871 años de edad renuncia a su cátedra universitaria publicó una versión corregida en la que dejaba en rechazo a la dictadura zarista. Una segunda huecos para elementos todavía desconocidos. dirección observada en la investigación se Su tabla y sus teorías ganaron una mayor cuando posteriormente se relaciona con el descubrimiento de nuevos aceptación descubrieron tres de estos elementos: el galio, el elementos químicos, toda vez que tales sustancias constituían los bloques unitarios a germanio y el escandio. partir de los cuales se formaba la amplia Entre las investigaciones de Mendeléiev también variedad de los compuestos químicos. hay que mencionar el estudio de la teoría química de la disolución, la expansión térmica de Si en la Antigüedad fueron conocidos siete los líquidos y la naturaleza del petróleo. En 1887 elementos metálicos (oro, plata, hierro, cobre, emprendió un viaje en globo en solitario para estaño, plomo y mercurio) y dos no metales estudiar un eclipse solar. (carbono y azufrE); el esfuerzo de la alquimia En 1890 abandonó la universidad como medieval sumó el conocimiento de otros cinco consecuencia de su postura política partidaria de (arsénico, antimonio, bismuto, zinc y fósforo); y el reformas sociales. En 1893 fue director del siglo XVIII, con el estudio de los gases, dejó departamento de Pesas y Medidas de San como fruto el descubrimiento de cuatro nuevos Petersburgo, cargo que desempeñó hasta su elementos (hidrógeno, oxígeno, nitrógeno y muerte. cloro) mientras el análisis de minerales aportaba Los primeros trabajos de Dimitri Ivanovich la identificación de nueve metales (cobalto, Mendeleiev datan de 1860 y sus conclusiones platino, níquel, manganeso, tungsteno, fueron leídas en 1869, en la Sociedad Química molibdeno, uranio, titanio y plomo); en total a las Rusa. Él mismo resumió su trabajo en los puertas del siglo XIX eran conocidos 27 siguientes postulados: elementos químicos.  Si se ordenan los elementos según sus 8 Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 304 “Ingresa directo a la UNAMBA con una preparación de calidad”

GRUPO INGENIERIAS pesos atómicos, estos muestran una evidente periodicidad.  En 1894, William Ramsay descubrió un gas  Los elementos semejantes en sus al que denominó argón. Este es propiedades químicas poseen pesos atómicos monoatómico, no presenta reacciones semejantes (K, Rb, Cs). químicas y carecía de un lugar en la tabla.  La colocación de los elementos en orden a Inmediatamente supuso que debían existir sus pesos atómicos corresponde a su otros gases de propiedades similares y que valencia. todos juntos formarían un grupo. En efecto,  Los elementos más difundidos en la poco después se descubrieron los otros naturaleza son los de peso atómico pequeño. gases nobles y se les asignó el grupo cero. Estos elementos poseen propiedades bien definidas.  Todos los huecos que dejó en blanco se  El valor del peso atómico caracteriza un fueron llenando al descubrirse los elementos elemento y permite predecir sus propiedades. correspondientes. Estos presentaban  En determinados elementos puede corregirse propiedades similares a las asignadas por el peso atómico si se conoce el de los Mendeleiev. elementos adyacentes. En cuanto a las inexactitudes que se le atribuyen La tabla periódica moderna consta de siete a la tabla de Mendeleiev se encuentran las períodos y ocho grupos. siguientes:  Período: cada franja horizontal.  No tiene un lugar fijo para el hidrógeno.  Grupo: cada franja vertical.  Destaca una sola valencia.  Familia: grupo de elementos que tienen  El conjunto de elementos con el nombre de propiedades semejantes. tierras raras o escasas (lantánidos) no tiene ubicación en la tabla, o bien, se ponen todos juntos en un mismo lugar, como si fueran un VENTAJAS Y DEFECTOS DEL SISTEMA DE solo elemento, lo cual no es cierto. MENDELEIEV  No había explicación posible al hecho de que unos períodos contaran de 8 elementos, Con el paso de los años y producto de los otros de 18, otros de 32, etc. nuevos descubrimientos en la disciplina química,  La distribución de los elementos no está al modelo de Mendeleiev se le fueron siempre en orden creciente de sus pesos reconociendo sus aciertos pero también algunos atómicos. defectos. Entre las ventajas se encuentran las siguientes:  Corrigió los pesos atómicos y las valencias TABLA PERIÓDICA MODERNA de algunos elementos, que no tenían lugar En el presente siglo se descubrió que las en su tabla, tal como eran considerados propiedades de los elementos no son función hasta entonces. periódica de los pesos atómicos, sino que varían periódicamente con sus números atómicos o carga nuclear. He aquí la verdadera Ley periódica moderna por la cual se rige el nuevo sistema: "Las propiedades de los elementos son función periódica de sus números atómicos"  Señaló las propiedades de algunos elementos desconocidos, entre ellos, tres a los que llamó eka–boro, eka–aluminio y eka– LEY PERIODICA ACTUAL silicio. 9 Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 304 “Ingresa directo a la UNAMBA con una preparación de calidad”

GRUPO INGENIERIAS IIA

En 1913, J. Mosseley, luego de realizar trabajos de investigación con los rayos X, generados por diversos metales descubre la ley natural:

IIIA IVA VA

LAS PROPIEDADES DE LOS ELEMENTOS QUÍMICOS ES UNA FUNCION PERIÓDICA DE SU NUMERO ATÓMICO, ES DECIR, VARIAN EN FORMA SISTEMATICA O PERIÓDICA CON LA CARGA NUCLEAR.

VIA VIIA VIIIA

Metales alcalinos térreos Metales térreos o Boroides Carbonoides Nitrogenoides Anfigenos o calcógenos Anfígenos Gases nobles o raros

Esta tabla periódica fue diseñada por el químico alemán Werner, en base a la ley de Mosseley y Bloque B la distribución electrónica de los elementos. Grupo Familia IB IB DESCRIPCIÓN GENERAL DE LA TABLA IIIB PERIDICA ACTUAL. 1. Existen 109 elementos químicos IVB reconocidos por la IUPAQ y están VB ordenados según su número atómico VIB correspondiente en forma creciente. VIIB Existiendo 90 elementos químicos naturales, el primero es el Hidrógeno y el VIIIB ultimo es el Uranio. El resto de elementos químicos son conocidos como transuránicos y son artificiales. 2. la TPA esta dividida en filas y columnas; 7 La base filas y 16 columnas. fundamental de 3. Las filas representan a los periodos y estos la Química a su vez el número máximo de niveles de General se basa energía que poseen los elementos que se en el estudio de encuentran en dicha filas. la TPA 4. Las columnas representan los grupos o familias. Es el ordenamiento de los elementos en columnas, estos elementos tienen propiedades químicas similares, por presentar similar disposición de sus electrones externos (electrones de valenciA) 5. Los grupos se pueden ordenar en dos grandes bloques a los cuales se les considera como bloque “A” y bloque “B”.

Bloque A Grupo Familia IA Metales alcalinos

2

0

2

1

2

2

2

4

2

5

2

6

ns p ns p

ns p 2 3 ns p ns p ns p ns p

Distribución 1 10 ns (n–1) d 2 10 ns (n–1) d 2 1 ns (n–1) d 2 2 ns (n–1) d 2 3 ns (n–1) d 1 5 ns (n–1) d 2 5 ns (n–1) d 2 6 ns (n–1) d 2 7 ns (n–1) d 2 8 ns (n–1) d

Distribución 1 0 ns p


10


GRUPO INGENIERIAS PROPIEDADES DE LOS ELEMENTOS QUIMICOS 2.

3.

4.

CARÁCTER METALICO (C.M.) o Electro– 5. RADIO ATOMICO: se considera como la positvidad, es la capacidad para perder distancia del núcleo hasta el nivel externo. electrones o para oxidarse. El elemento metálico al oxidarse provoca la reducción de 6. RADIO IONICO: se define en forma análoga otra sustancia por lo que se llama agente al radio atómico, pero en átomos ionizados. reductor o simplemente reductor. En general para cualquier elemento: – + RI anión  RA  RI catión CARÁCTER NO METALICO (CNM): Es la capacidad para perder electrones o para 7. ENERGIA DE IONIZACION (EI) o reducirse. El elemento no metálico al POTENCIAL DE IONIZACION (PI): es la reducirse provoca la oxidación de otra mínima energía requerida para quitar un sustancia por lo que se llama agente electrón del nivel externo de un átomo en oxidante. estado gaseoso y transformarse en catión. El proceso es endotérmico porque absorbe o ELECTRONEGATIVIDAD (EN): es la fuerza gana energía. relativa de un átomo para atraer electrones 8. AFINIDAD ELECTRONICA (AE): es la de enlace hacia su núcleo al unirse energía emitida (generalmentE) o energía químicamente con otro átomo absorbida (casos especiales) cuando una especie gana un electrón en estado gaseoso.


11


GRUPO INGENIERIAS


12


GRUPO INGENIERIAS

EJERCICIOS DE TABLA PERIODICA 155. La configuración electrónica de un elemento 2 2 4 es 1s 2s 2p Con esta información se puede afirmar que dicho elemento:

respectivamente 3,6 y 7electrones de valencia. De acuerdo con lo anterior, J, L y R deben ser elementos A) Boroides calcógeno halógeno. B) Metal C) Halógeno

gas inerte metal

térreo. calcógeno.

D) Calcógeno halógeno

metal.

E) Gas inerte

halógeno

térreo

A) es un gas noble. B) tiene 4 electrones de valencia. 159. De acuerdo con el siguiente diagrama de la C) pertenece al cuarto período de la tabla tabla periódica, la dirección y sentido de las periódica. flechas indicaría el aumento de sólo una de D) tiene incompleto el segundo nivel. las siguientes propiedades, indíquela. E) se ubica en el grupo cuarto de la tabla periódica

156. La configuración electrónica de un elemento 2 2 2 es 1s 2s 2p . Con esta información se puede afirmar que dicho elemento I) tiene cuatro electrones de valencia II) tiene incompleto su segundo nivel III) se ubica en el grupo cuarto de la tabla periódica Es(son) correcta(s) A) sólo I

B) Densidad atómica. C) Potencial de ionización. D) Radio atómico.

B) sólo II

E) Valencia.

C) sólo III D) sólo I y II

160. Los siguientes compuestos caracterizados como se indica

E) I, II y III

157.

A) Electronegatividad.

8O, 9F y 17Cl…

A) Presentan gran afinidad electrónica. B) Poseen baja energía de ionización. C) Tienen el mismo radio atómico. D) Son isoelectrónicos con el neón (Z=10)

I) KBr: iónico. II) HI: covalente polar. III) CO2: covalente apolar. IV) SO2: covalente polar. ¿Cuáles de estas caracterizaciones son correctas? A) Sólo I y III

E) Son elementos halógenos.

B) Sólo II y IV

158. Los átomos J, L y R presentan

C) Sólo I y II


fueron

13


GRUPO INGENIERIAS D) Sólo III y IV E) I, II, III y IV 161. Indicar a que periodo y grupo pertenecen los siguientes elementos: A) Cl (z=17) B) V (z=23) C) Se (z=34) D) Ca (z=20) E) Mn (z=25) F) Cu (z=29) G) Cr (z=24) 162. Indique la pareja incorrecta A) Dobereiner  Triada B) Mendeleiev  Número atómico C) Newlands  Octavas D) Werner  Tabla larga E) N.A 163. Indique que elemento no va acompañado del nombre de su respectiva familia: A) K  Alcalino B) At  Halógeno C) Se  Calcógeno D) Al  Boroide E) As  Anfígeno 164. En que grupo existe un elemento que no corresponde al grupo: A) Cl, Br, I B) O,S,Se C) He, Ra,Ar D) Au, Ag, Cu E) Li, Na, K 165. Se tiene un elemento anfígeno que pertenece al segundo periodo indique la configuración electrónica del elemento, si su carga es -1. 2 2 4 A) 1s 2s 2p 2 2 5 B) 1s 2s 2p 2 2 3 C) 1s 2s 2p 2 2 6 1 D) 1s 2s 2p 3d 2 2 6 2 5 E) 1s 2s 2p 3s 3p

A) Fe, agua, aire. C) Ca, Br, Cl. E) H, Hg, He

B) Pb, Hg aire. D) Au, Fr, Ra.

168. ¿Que tipos de sub niveles presenta un átomo cuyo elemento químico se encuentra en el tercer periodo? A) Solamente s B) s, p,d C) s y d D) s, p, d y f E) Solamente p 169. El lutecio (z=71) esta ubicado en la tabla en el periodo: A) 5 B) 6 C) 7 D) 4 E) 2 170. En que grupo se encontrará un elemento con dos orbitales apareados en sub niveles p. A) I A B) VI A C) III A D) IV A E) VII A 171. Hallar el valor de z para un elemento que es halogeno y pertenece al 4 to periodo. A) 25 B) 35 C) 36 D) 24 E) 32 172. Cual es el número de neutrones para un elemento con un número de masa 34 que pertenece al tercer periodo del grupo de los carbonoides. A) 25 B) 20 C) 17 D) 34 E) 22 173. A que grupo pertenece un elemento E, cuyo -3 -1 ión E es isoelectronico con el 17Cl . A) Alcalino. B) Anfígeno C) Alcalino terreo, D) nitrogenoide E) Gas noble

174. Si el penultimo electrón de un átomo tiene los siguientes números cuánticos: 3,1,0,-1/2; ¿en que grupo estará el elemento que posee dicho átomo, pero ionizado con -3? A) II A B) VIII A C) III B 167. Indique el grupo que contiene 3 elementos: D) IV B E) I B 1 solido, 1 liquido y 1 gas. 14 Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 304 “Ingresa directo a la UNAMBA con una preparación de calidad” 166. Indicar cual representa a un gas noble 2 1 2 A) 2p y B) 2p x C) 1s 2 2 D) 4p z E). 2s

GRUPO INGENIERIAS D) VB

E) VIA

175. Un elemento X pertenece al grupo VII A y al 181.Un átomo presenta en su último nivel de tercer periodo de la tabla periódica moderna, energía 3 electrones. ¿Cuál es el además para 18 neutrones; determinar el probable grupo de este elemento químico? número de masa de un átomo que es A) IIIA B) IVA C) VA isóbaro con X. D) VIIB E) VIA A) 31 B) 32 C) 33 D) 34 E) 35 182. Determinar el periodo y grupo de un 176. El radio atómico en una familia o grupo de la elemento químico que tiene un número tabla periódica: atómico igual a 13. A) Disminuye a medida que aumenta el A) 3 – IIIA B) 4 – IA número atómico. C) 5 – IIA D) 4 – IIIB B) Aumenta a medida que aumenta el E) 4 - IA número atómico. C) No se observa ninguna secuencia 183. El ultimo electrón de un átomo presenta los apreciable. siguientes números cuánticos 5,1,0, - ½ . D) Todos tienen el mismo radio atómico. Determine a que grupo de la TPA pertenece E) No se ha podido determinar estos. el átomo en mención. A) IIIA B) VA C) IVA D) VIA E) VIIA 177.Determine el número de electrones que posee un átomo que pertenece al 3° 184. Ubique en la tabla periódica actual el grupo periodo y al grupo de los alcalinos térreos y periodo de un elemento cuyo átomo neutro de la Tabla Periódica actual. presenta cinco orbitales apareados en el 4 ° A) 11 B) 12 C) 13 nivel de energía. D) 20 E) 22 A) 4 – VB B) 5 – VIIIB C) 5 – IA D) 6 – VIB 178.Cual de los siguientes elementos químicos E) 5 - VIIIB pertenece al grupo de los calcógenos: A) O B) F C) I 185. Se ha determinado que un átomo “X” es D) Na E) Ca 36 179.El átomo de un elemento químico pertenece al grupo de los calcógenos y al 5° periodo de la TPA. Determine el número de masa del elemento si posee 54 neutrones. A) 52 B) 54 C) 100 D) 106 E) 110. 180.El ultimo electrón de un átomo posee los siguientes números cuánticos: 2,1,0, ½. Determine a que grupo de la TPA pertenece el elemento químico en mención. A) IVA B) IVB C) VA Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 304

isótono con el 16

F

. Además el elemento

“X” se encuentra en el tercer periodo y en el grupo VIIA de la TPA. Hallar el numero masico del átomo “X” A) 36 B) 35 C) 34 D) 37 E) 38

ENLACES QUÍMICOS INTERATOMICOS GENERALIDADES La teoría atómica nos dice que todos los 15 “Ingresa directo a la UNAMBA con una preparación de calidad”

GRUPO INGENIERIAS cuerpos que percibimos con nuestros sentidos son el resultado de la asociación o unión de enormes cantidades de átomos. Si admitimos la existencia de los átomos, también tendremos que admitir la presencia de una fuerza de atracción o enlace capaz de mantenerlos unidos.

GRUPO IIIA 2 2 6 2 1 13Al = 1s 2s p 3s p  3s__ p __ __ __ Notación Lewis

Existe una relación estrecha entre estabilidad y energía. los sistema más estables son los que contienen menos energía. Ésta es una característica común a todo el universo. Según esto, los agregados atómicos son más estables que los átomos aislados, porque contienen menos energía. esto ocurre porque, al formarse el enlace, los átomos liberan energía, pero, ¿por qué ocurre esto?, ¿qué diferencias existen entre el enlace covalente y el electrovalente?, ¿por qué los gases nobles no se combinan tan fácilmente, etc. Clasificacion General De los quimicos.Los enlaces químicos se clasifican en: I.- Enlace químico interatómico II.- Enlace químico intermolecular

GRUPO VA =

Al  s__ p __ __ __

Notación Lewis

GRUPO VIIA =

 s__ p __ __ __

F

Notación Lewis

GRUPO IIA 2 2 6 2 12Mg = 1s 2s p 3s 

enlaces

Notación Lewis

3s__ p __ __ __

Mg

ENLACE QUIMICO.GRUPO IVA Es la fuerza que mantiene unido a los átomos, 2 2 2 p  2s__ p __Y__ __ 6C = 1s 2s DEL OCTETO ESTABILIDAD moléculas o iones para lograr sistemas más REGLA estables. En el enlace químico los átomos ELECTRONICA buscan lograr la configuración de un gas noble. Los elementos que presentan una estabilidad Notación Lewis electrónica perfecta son los llamados gases NOTACIÓN DE FORMULA DE LEWIS Representación Convencional de los electrones de valencia, (electrones de la última capa) GRUPO VIA mediante el uso (  ) ó (x) que se coloca =  s__ p alrededor del símbolo del elemento.

C

__ __ __

NOTACION LEWIS DE ALGUNOS ELEMENTOS QUIMICOS REPRESENTATIVOS GRUPO IA 1 = 1s 1H Notación Lewis



Notación Lewis

GRUPO VIIIA

1s__

= __ __

H


16



3s__ p __


NotaciónLewis

GRUPO INGENIERIAS Los elementos que presentan una estabilidad electrónica perfecta son los llamados gases nobles, porque sus estructuras electrónicas 2 6 completan las orbitas s y p del ultimo nivel de energía (electrones de valencia); excepto el helio tiene dos electrones de valencia. Las configuraciones electrónicas de estos elementos son:

He Ne Ar Kr Xe Teoría del octeto (Kossel) El alemán Walther Kossel propuso que los átomos al combinarse tienden a adquirir una configuración electrónica del gas noble mas cercano, regalando o aceptando electrones. Regla del octeto.– cuando ocurran enlaces químicos, los átomos tienden a adquirir una configuración con ocho electrones de valencia. Ejemplo. De acuerdo a la regla del octeto, al elemento sodio, cuya configuración electrónica es: 2 2 6 1 Na 1s , 2s , 2p , 3s Le sobra un electrón para que su configuración electrónica sea parecida a la del gas noble mas 2 2 6 cercano, el neón (Ne: 1s , 2s , 2p ). Por lo tanto el estado de oxidacion del sodio es: +1.

Existen excepciones: Como todo modelo, las estructuras de Lewis y la regla del octeto, son solamente una herramienta que permite proponer la estructura de los compuestos. Sin embargo, la naturaleza es complicada y no siempre se cumplen las reglas inventadas para simplificarla. Hay compuestos que no satisfacen la regla del octeto ni ninguna otra regla. Por ejemplo el NO, que es un gas subproducto de la combustión de la gasolina en los automóviles y uno de los contaminantes más importantes de la atmósfera, tiene 11 electrones de valencia. Dado que la regla del octeto demanda que los electrones se acomoden por parejas, al tener un número impar de electrones de valencia, este compuesto no puede satisfacerla. Existen compuestos estables que tienen como átomo central a uno con menos de ocho electrones. Tal es el caso de algunos compuestos con los siguientes elementos: 1. El Hidrogeno máximo alcanza 2 electrones en su ultimo nivel por lo que a este caso se le conoce como Teoría del Dueto o Teoría del dos. 2. En el caso del Be alcanza 4 electrones al reaccionar con los halogenos. 3. El boro tiene tres electrones de valencia, que al compartirse con los electrones del flúor completa seis electrones a su alrededor.

Hidrogeno

Berilio

Boro

Podríamos escribir la estructura del BF3 con un Teoría del octeto (Lewis) enlace doble entre un flúor y el átomo de boro. Los átomos pueden alcanzar su configuración de De esta forma tanto el boro como los tres átomos gas noble compartiendo electrones, lo que de flúor cumplirían la regla del octeto. Sin origina el enlace covalente. embargo, la evidencia experimental indica que los enlaces entre el boro y el flúor son 17 Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 304 “Ingresa directo a la UNAMBA con una preparación de calidad”

GRUPO INGENIERIAS sencillos. Aquí es importante resaltar que la evidencia experimental es más importante que lo que se pueda predecir con la teoría. Así, el experimento indica que el compuesto BF 3 se tiene que tratar como un compuesto que no satisface la regla del octeto. La regla del octeto no se cumple en una gran cantidad de compuestos, como en aquéllos en los que participan el boro o el berilio a los que se les llama compuestos deficientes de electrones, porque tienen menos electrones de valencia que un octeto. Existen otros compuestos moleculares en los cuales alguno o algunos de sus átomos tienen con más de ocho electrones a su alrededor. El fósforo y el azufre son dos ejemplos. El fósforo tiene cinco electrones de valencia y el azufre seis. Cuando se combinan con algún elemento de la familia de los halógenos (flúor, cloro, bromo y iodo) pueden compartir diez (Ej. PF5) y hasta doce electrones. (SCl6), que se muestran en la Figura.

VA, VIA y VIIA Cuya diferencia de electronegatividades debe estar dada:  EN  1,7 Ejemplos: Sal común (NaCl), Cal viva (CaO), Sulfato de Sodio (Na2SO4), hidróxido de potasio (KOH). 1.- ENLACE IONICO.Llamado también enlace electrovalente, se caracteriza por la transferencia de electrones entre un elemento metálico generalemente de los grupos IA y IIA con los átomos de elementos no metales de los grupos VA, VIA, VIIA. Nota: Los ejemplos de la notación de los puntos de Lewis se desarrollan en clase PROPIEDADES GENERALES DE LOS COMPUESTOS IÓNICOS.  A temperatura ambiente son sólidos de alta pureza, malos conductores de la electricidad, solubles en solventes polares como el agua.  Son frágiles y quebradizos.  Fundidos (en estado líquido) o disuelto en agua (solución acuosA) son buenos conductores eléctricos, a esta disociación en IONES se llaman ELECTROLITOS.  Son sólidos cristalinos. Grafico representativo de un enlace químico Iónico (Grafico exclusivo – Solo en clases):

A esta situación se le conoce como expansión 2.- ENLACE QUIMICO COVALENTE del octeto. El enlace Covalente es la fuerza electromagnética, principalmente eléctrica, que ENLACE QUIMICO INTERATOMICO surge cuando los electrones compartidos son atraídos por los núcleos de los átomos enlazados. Esta fuerza es más intensa. 1.- ENLACE QUIMICO IONICO  Los compuestos covalentes pueden ser  El enlace iónico es una fuerza electrostática líquidos, gaseosos o sólidos a temperatura de atracción entre un catión y un anión que ambiente. se forman previa transferencia de electrones  Forman moléculas. de valencia, generalmente dados entre los átomos metálicos de los grupos IA y IIA con  Los átomos covalentes unen los átomos no metálicos para formar moléculas. los átomos no metálicos de los Grupos Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 304

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GRUPO INGENIERIAS Ejemplos: Agua, metano azúcar. TIPOS DE ENLACES COVALENTES a. Según el número de electrones aportados  Covalente Normal: cada átomo aporta un electrón para formar el par electrónico enlazante, por lo tanto se efectúa en orbitales desapareados.  Covalente Coordinado o Dativo: consiste en que el “par electrónico enlazante” es aportado por un solo átomo. b.

Según el número de pares electrónicos enlazantes  Enlace Simple: Consiste en un par electrónico enlazante entre dos átomos. X–Yó XY  Enlace Múltiple: Consiste en 2 o más pares electrónicos enlazantes. X=Y X  Y Enlace doble Enlace triple

primario, que se forma entre elementos de la misma especie. Los átomos, al estar tan cercanos uno de otro, interaccionan los núcleos junto con sus nubes electrónicas empaquetándose en las tres dimensiones, por lo que quedan rodeados de tales nubes. Estos electrones libres son los responsables que los metales presenten una elevada conductividad eléctrica y térmica, ya que estos se pueden mover con facilidad si se ponen en contacto con una fuente eléctrica. Presentan brillo y son maleables. Los elementos con un enlace metálico están compartiendo un gran número de electrones de valencia, formando un mar de electrones rodeando un enrejado gigante de cationes. electrón de la valencia, no comparten estos electrones con los átomos vecinos, ni pierden electrones para formar los iones. En lugar los niveles de energía externos de los átomos del metal se traslapan. Son como enlaces covalentes.

Según el tipo de Orbital Molecular II.-ENLACES INTERMOLECULARES.Son fuerzas de atracción entre moléculas. Estas Enlazantes fuerzas son las responsales de las propiedades Son de dos tipos: SIGMA (  ) Pi (  ) de las sustancias. Entre ellas tenemos: a). FUERZAS DIPOLO-DIPOLO.POLARIDAD Y APOLARIDAD DE ENLACE a) Enlace Covalente Polar: Es aquel que Son las fuerzas de atracción entre moléculas surge entre los átomos de elementos polares. su origen es electrostático y se pueden diferentes, donde la compartición del par entender en función de la Ley de Coulomb. c.

electrónico enlazante no es equitativo (es desigual), por la diferencia de electronegatividad. 0 < en < 1.7. Excepción: HF, BF. b) Enlace Covalente Apolar: Compartición equitativa (igual) de los electrones enlazantes entre dos átomos. Átomos iguales, EN = 0 . 3.- ENLACE QUIMICO METALICO.Un enlace metálico es un enlace químico que mantiene unidos los átomos de los metales entre sí. El enlace metálico es característico de los elementos metálicos, es un enlace fuerte, Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 304

Enlace puente hidrógeno.- estas fuerzas se producen por la atracción que tiene el átomo de hidrógeno hacia los átomos de mayor electronegatividad (N, O, Cl, F). este enlace es una características en los enlaces intermoleculares del agua que predominan en el estado líquido y sólido. En la figura se muestran los dípolos generados como en el caso de las moléculas del agua.

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GRUPO INGENIERIAS afirma que I) En un enlace iónico los átomos comparten un par de electrones. II) La molécula de Cl2 tiene en su estructura seis pares de electrones no compartidos. III) Si los electrones de un enlace covalente se comparten por igual, el enlace es polar. Es (son) correcta(s): A) sólo I 2.- FUERZAS DE DISPERSION.B) sólo II Son fuerzas que se generan por los dípolos C) sólo III temporales inducidos en los átomos o moléculas. D) sólo I y II E) I, II y III 3.- FUERZAS IÓN-DÍPOLO.Es la fuerza de atracción entre un ión (catión, 188. El enlace químico de la molécula de HCl se anión) y una molecula polar caracteriza porque: 4.- FUERZAS DE VANDER WAALS.Son fuerzas débiles entre moléculas no polares debido a la atracción entre los núcleos positivos y las nubes electrónicas. Como ejemplo tenemos los enlaces intermoleculares del estado gaseoso.

EJERCICIOS DE ENLACE QUIMICO 186. Un enlace covalente cumple con una o más de las siguientes condiciones: I) Se forma entre átomos con gran diferencia de electronegatividad. II) Se forma por compartición de electrones. III) Se forma exclusivamente entre átomos iguales. Es (son) correcta(s) A) sólo I B) sólo II C) sólo III D) sólo I y II E) I, II y III 187. Con respecto al enlace químico, se Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 304

A) Se comparten electrones a pesar de que sus electronegatividades son diferentes. B) Es covalente pero las electronegatividades de sus átomos no juegan ningún papel. C) Los electrones del enlace se comparten por igual entre H y Cl. D) El cloro capta completamente el electrón del átomo de hidrógeno. E) El enlace es covalente coordinado. 189. Determinar la estructura de Lewis de las siguientes moléculas. A) Metano (CH4) B) Ácido sulfídrico (H2S) C) Dióxido de azufre (SO2) D) Etanol (C2H5OH) E) Ión nitrato (NO3-) F) Ácido nítrico (HNO3) 190. El principio de exclusión de Pauli indica que: A) dos electrones en un átomo excluye la posibilidad de tener dos electrones con los cuatro números cuánticos iguales. 20

B) en un átomo todos los electrones se “Ingresa directo a la UNAMBA con una preparación de calidad”

GRUPO INGENIERIAS distribuyen al azar.

A)

C) en un átomo los electrones tienen distintas energías. D) en un átomo los electrones se ubican prioritariamente de manera que tengan distinto espin. E) cada uno de los electrones que se ubican en un átomo lo hace desde los niveles más externos a los más internos. 191. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa? A) Los gases nobles no reaccionan. B) El radio atómico de un elemento es mayor que el de su catión. C) La electronegatividad es la capacidad de ceder electrones. D) Los elementos más electropositivos son los alcalinos. E) El flúor tiene menor efecto pantalla que el bromo. 192. Indique la estructura de Lewis para el KCl, H2SO4, NH3. 193. Que tipo de enlace tienen compuestos: A) Br2. B) SeO2 D) SO3. E) H2SO4. G) MgCl2. H) Metano J) HCl K) NaI

los siguientes C) NH3. F) Agua I) H2 L) LiF

194. A la unión de un metal mediante electrones libres se le conoce como enlace: A) Iónico. B) Metálico C) Covalente D) Electro Valente E) Fuerzas dipolo dipolo 195. Se dice que es un enlace iónico cuando la diferencia de electronegatividad es mayor a: A) 1.7 B) 2.7 C) 1.5 D) 2.9 E) 2

196. No es característica de los compuestos iónicos: Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 304

En solución acuosa conducen la corriente eléctrica. B) A condiciones ambientales son sólidos. C) Sus enlaces son de naturaleza eléctrica. D) Poseen altos puntos de fusión y ebullición. E) Los electrones son compartidos por los átomos. 197. El tipo de enlace que tiene el cloruro de sodio es: A) Iónico. B) Metálico C) Covalente D) Electro Valente E) Fuerzas dipolo dipolo

198. Señale el compuesto que solo posee enlaces covalentes: A) LiCl B) CaCO3 C) H2SeO4 D) KAsO3 E) BaO 199. ¿En cual de las siguientes moléculas encontramos dos enlaces covalentes coordinados? + A) NH4 B) HNO3 C) H2SO4 D) H2O E) SO2 200. Determine el número de enlaces covalentes normales, dativos, múltiples y simples que posee el siguiente compuesto: Br2O5 A) 3, 4, 1, 5 B) 2, 4, 0, 6 C) 1, 3, 4, 5 D) 2, 4, 2, 5 E) 3, 3, 0, 6 201. Determine el número de pares solitarios de la siguiente molécula: H2SeO4 A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11 202. Determine compuestos normales: I .- H2SeO3 III.- Cl2O A) 0 D) 3

cual de los siguientes solo tienen enlaces covalentes

B) 1 E) 4

II.- Cl2O7 IV.- HNO3 C) 2

203. La combinación de A ( Z = 19) y B (Z = 35) formara un compuesto: 21 “Ingresa directo a la UNAMBA con una preparación de calidad”

GRUPO INGENIERIAS I.- binario diatomico II.- ionico III.- Covalente no polar. IV.- insoluble en agua probablemente V.- Covalente polar. Es (son) correcto(s): A) II y III B) I y II C) IV y VI D) III y IV E) I, III y IV 204. De las siguientes sustancias: NH3, CH4, KCl, BaCl2 y O2 ¿Cuántas son iónicas? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

208. ¿Qué elemento al combinarse con el bromo formara un bromuro de la forma MBr2? A) Mg B) Na C) Ar D) S E) N. 209. Cuando el elemento Magnesio (grupo IIA), se combina con el elemento cloro (grupo VIIA). Cada átomo de Magnesio: A) Pierde un electrón B) Pierde dos electrones. C) Gana un electrón D) Gana dos electrones. E) No gana ni pierde electrones.

205. En los siguientes compuestos iónicos, determinar respectivamente el número de electrones transferidos. I.- CaS II.- K2SO4 III.-Al2O3 A) 1, 1, 3 B) 2, 2, 6 C) 2, 6, 2 D) 2,2, 3 E) 2, 1, 3

210. El concepto mas apropiado de enlace químico es:

206. Si el elemento A pertenece al 4° periodo y grupo IIA y un elemento B posee carga nuclear igual a 7 ¿Cuál es el tipo de enlace que forman dichos elementos? A) Ionico B) Covalente polar C) Covalente apolar D) Covalente simple E) Covalente multiple.

211. La valencia de un elemento se puede entender como: A) El número de electrones del nivel más interno. B) El número de niveles de energía. C) El número atómico. D) Una capacidad o fuerza de combinación de los átomos. E) La relación masa/volumen.

207. Construya las estructuras Lewis de las siguientes especies químicas y luego determine: a) Numero de enlaces simples b) Numero de enlaces multiples. I) SO2 II) H2CO3 III) HCN A) Simples 4 y múltiples 3 B) Simples 3 y múltiples 2 C) Simples 6 y múltiples 1 D) Simples 3 y múltiples 3 E) Simples 6 y múltiples 3


A) La atracción de los iones. B) La unión de las moléculas. C) La unión de los átomos en las moléculas o en los agregados atómicos. D) La transferencia de electrones de un átomo a otro E) La afinidad electrónica.

212. Cuando se unen el litio con el bromo para formar el bromuro de litio, su enlace es: A) Covalente normal. B) Covalente coordinado. C) Electrovalente. D) Metálico. E) N.A.. 213. Identifica el par de elementos que se unen por covalencia: A) Ag-O B) K-H C) Fe-Cl D) S-O E) N.A. 22 “Ingresa directo a la UNAMBA con una preparación de calidad”

GRUPO INGENIERIAS C) Sólo enlace electrovalente. D) Sólo enlace covalente. E) N.A.

214. Los átomos se unen por enlace iónico, si: A) Tienen más de 4 electrones de valencia. B) Los dos tienen alta afinidad electrónica. C) Su electronegatividad es muy diferente. D) Tienen ambos gran volumen atómico. E) Tiene igual electronegatividad. 215. De las siguientes parejas de fórmulas, identifica aquella en que las uniones sean ambas covalentes polares: A) H2O – Cl2 B) CO2 - KCl C) Na2O – HCl D) HCl – NH3 E) FeO – SO2 216. La fuerza de atracción que hay entre los átomos de los metales se llama enlace: A) Covalente polar B) Iónico C) Metálico D) Covalente coordinado E) N.A. 217. No es característica de los componentes covalentes: A) Son malos conductores del calor y la electricidad. B) Tienen altos puntos de fusión y ebullición. C) Están formados por átomos de igual o parecida electronegatividad. D) La unidad estructural de las sustancias covalentes es la molécula. E) Se disuelven en sustancias covalentes: Eter, alcohol, acetona, etc. 218. En la representación siguiente, indica los tipos de enlaces que existe: O

O

H

O

H

S O A) B)

FORMACIÓN Y NOMENCLATURA DE COMPUESTOS INORGÁNICOS VALENCIA De acuerdo a la concepción clásica proviene del latín VALENTÍA, que significa vigor, capacidad o aptitud que poseen los átomos de un elemento para combinarse químicamente con otros, pero en la actualidad la interpretación más aceptable es aquellas que nos indica a la valencia como una representación de la cantidad de electrones que el átomo de un elemento puede dar, recibir o compartir con otro átomo cuya cantidad es un número entero que carece de signo. NUMERO DE OXIDACION El Número de Oxidación (N.O.) es conocido como estado de oxidación y es un parámetro numérico que presenta signo el cual nos representa la carga real o aparente que adquieren los átomos de un elemento al formar enlaces químicos con otros. OBSERVACIÓN : 1.– El signo del N.O. queda determinado por la comparación de las electronegatividades de los átomos enlazantes. 2.– En muchos casos se verifica : VALENCIA = |N.O.|

Reglas de los números de oxidación (N.O).Regla 1:

Todo elemento al estado puro, su N.O. es cero

Covalente polar y covalente coordinado. Electrovalente y covalente.


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GRUPO INGENIERIAS Regla 2:

El N.O. del hidrógeno al combinarse es +1, excepto en los hidruros metálicos donde es –1 El N.O. del oxígeno al combinarse es –2, excepto :  Cuando forma peróxidos en donde es –1  Cuando se combina con el flúor en donde es +2  Cuando forma protoxidos

Regla 3:

N.O = Regla 4:



1 2

En toda molécula estable (simple o compuesta), el N.O. es igual a cero. Por tanto se cumple : (NO) = 0



Regla 5:

El N.O. de todo ion, positivo o negativo, es igual a su carga relativa Ejemplo: +1 x

H2 S  1(2) + x = 0  x = -2

FUNCION QUIMICA Una función química, es un conjunto de átomos que le asignan propiedades similares y las caracterizan de los demás. GRUPO FUNCIONAL Se denomina Grupo Funcional a todo agregado de uno o más átomos de una molécula que confiere a éstas unas propiedades y un comportamiento químico característico. Por ejemplo : Función Óxido Ácido Hidróxido

  

Grupo Funcional –2 O +1 H –1 OH

Por ejemplo : Función óxido NiO, óxido de níquel (II) Mn2O3 , óxido de manganeso (III) Función oxácido HNO3, ácido nitríco HClO4, ácido perclórico, etc.

x

+1

P H3  x + 1(3) = 0  x = -3 x

Función hidróxido Fe(OH)2, hidróxido de hierro (II) Pb(OH)4, hidróxido de plomo (IV), etc. CLASIFICACION DE LAS FUNCIONES QUIMICAS INORGANICAS

+1

N H3  x + 1(3) = 0  x = -3

x

Las funciones químicas inorgánicas se pueden clasificar de la siguiente manera : 1.

FUNCIONES HIDROGENADAS.– Estos son compuestos que se originan de la combustión con el hidrógeno en la etapa inicial de su formación.

2.

FUNCIONES OXIGENADAS .– Estos son compuestos que se originan de la

+1

Sb H3  x + 1(3) = 0  x = -3 Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 304

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GRUPO INGENIERIAS combinación del oxígeno en la etapa inicial hepta: 7 etc..... de su formación. Si hay un solo átomo del elemento en la fórmula, entonces se omite el prefijo Amono@ REGLAS BASICAS DE NOMENCLATURA QUINTA REGLA PRIMERA REGLA Al formar un compuesto se deben unir Para nombrar a un ion monoatómico negativo se respectivamente un ion positivo (catión) y un ion coloca primero el nombre del elemento y luego negativo (anión), realizan el Aaspa, de tal manera se usa el sufijo “URO” que el número de oxidación resulte cero.

E + Q  Ey Qx SEGUNDA REGLA Para nombrar a un ion monoatómico positivo de Si x e y son pares se simplifican un número de oxidación, solamente se usa el nombre del elemento. Ejemplos : +x

NOMENC LATURA

VIIA

VIA

VA

IVA

TIPO

ORDEN

TERCERA REGLA Para nombrar a un ion monoatómico positivo que tiene más de un número de oxidación utilice: A. Sistema Stock : Primero se menciona el nombre del elemento y luego entre paréntesis la valencia en números romanos. B. Sistema Común : Se utiliza las terminaciones “OSO” e “ICO” de la siguiente manera :

-y

+x

-y

 E yO x

SEXTA REGLA Para indicar el nombre del compuesto se empieza por el negativo y se termina con el positivo. COMPUESTOS OXIGENADOS OXIDOS BASICOS.Son compuestos binarios formados combinación de un metal y el oxígeno. Metal + oxígeno

por la

óxido básico

En estas reacciones las valencias de los elementos se intercambian entre ellos y se ponen como subíndices. Cuando la valencia es par se simplifica. Su fórmula general es:

CUARTA REGLA SISTEMA ESTEQUIOMÉTRICO Emplea prefijos numerales cuando en una sustancia existen varios constituyentes idénticos. Los prefijos numerales indican la cantidad de átomos que hay de cada elemento en el compuesto y son : mono: tri: penta:

1 3 5

di: tetra: hexa:


M2OX Donde M es un metal y “x” la valencia del metal (el 2 corresponde a la valencia del oxígeno). Para la nombrar estos compuestos, podemos utilizar las nomenclaturas: estequiométrica, Stock y tradicional:

2 4 6 25


GRUPO INGENIERIAS Monóxido de dilitio Li2O

compuestos, podemos utilizar las nomenclaturas: estequiométrica, Stock o tradciional.

Óxido de litio Monóxido de diyodo

Óxido lítico l2O MgO

Óxido de yodo (I) Anhídrido hipoyodoso

N2O NiO

OXIDOS ACIDOS Son compuestos binarios formados por la combinación de un no metal y oxígeno. Se les conocía también como anhidridos en la nomenclatura tradicional. No metal + óxigeno

SeO2

óxido ácido

Su fórmula general es: NM2OX

Br2O5

Donde NM es un no metal y la “x” la valencia del no metal (el 2 corresponde a la valencia del oxígeno). Igualmente las valencias de los elementos se intercambian entre ellos y se ponen como subíndices.

Para

la

nomenclatura

de

estos


26


GRUPO INGENIERIAS siguiente: M(OH)V Donde: M : símbolo del metal V : valencia del metal OH : grupo oxidrilo

I2O7

En este caso, la formulación de estos compuestos se efectúa escribiendo en primer N. estequiométrica: Heptóxido de dibromo lugar el símbolo del elemento meal y a N. stock: Óxido de bromo (VII) continuación dentro del paréntesis el grupo N. tradicional: anhidrido perbrómico oxidrilo y luego la valencia del metal como suíndice del paréntesis. PEROXIDOS.Para la nomenclatura, se pueden utilizar: Se caracterizan por llevar el grupo PEROXI  La Nomenclatura estequiométrica 2– 2– ( – O–O –) también representado O2 .  La Nomenclatura Stock Los podemos considerar como óxidos con más  La Nomenclatura Tradicional oxígeno del que corresponde por la valencia de este elemento. Ejemplos de Nomenclatura: Ejemplos:

Br2 O7

Dihidróxido de níquel

Na2O2 , peróxido de sodio H2O2, peróxido de hidrógeno

Ni (OH)2 2–

El subíndice 2 del oxígeno en (O2 ) no se puede simplificar por la propia naturaleza del anión peróxido.

Hidróxido de níquel (II) Hidróxido niqueloso Trihidróxido de aluminio

HIDRÓXIDOS Los hidróxidos son compuestos ternarios que contienen un metal unido a uno o varios aniones oxidrilo (OH ). Podemos decir tambien que los hidróxidos se forman de la reacción:

Al(OH)3 Al(OH)3

Hidróxido de aluminio Hidróxido alumínico

Oxido básico + agua → hidróxido Ejemplo: Sn(OH)2

CaO + H2O → Ca (OH) 2

224

La ecuación nos muestra la formación del hidróxido de calcio, a partir de la reacción del oxido de calcio con el agua. En su forma simplificada los hidróxidos, también lo podemos escribir con la fórmula Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 304

OXACIDOS SIMPLES 27


GRUPO INGENIERIAS cuando estemos emitiendo la nomenclatura Son compuestos ternarios que en su estructura clásica. presentan hidrógeno,no metal, oxígeno. Teoricamente provienen de la unión de un La nomenclatura estequiométrica, consiste en anhidrido (óxido ácido) con el agua: nombrar en primer lugar la palabra oxo precedida de los prefijos di–, tri–, tetra–, etc. en el caso de Anhidrido + agua Oxácido que el subíndice del oxígeno en la fórmula del ácido sea 2, 3, 4, etc. A continuación se Ejemplo: escribe el nombre del elemento central en forma abreviada unido a la terminación ATO y tras SO2 + H2O H2SO3 indicar entre paréntesis el grado de oxidación con el que actúa dicho elemento, se añade "de La ecuación anterior nos muestra la formación hidrógeno". del ácido sulfuroso a partir de la reacción del Algunos ejemplos: anhidrido sulfuroso y agua.  Oxoclorato (I) de hidrógeno: HClO  Tetraoxoclorato (VII) de hidrógeno: HClO4 Un oxácido en general, se puede representar:  Trioxosulfato (IV) de hidrógeno: H2SO3  Trioxocarbonato (II) de hidrógeno: H2CO3 HxNMyOz La nomenclatura Stock se nombra como ácido Donde: oxo (precedida de los prefijos di–, tri–, tetra–, etc. H : Hidrógeno en el caso de que el subíndice del oxígeno en la NM : símbolo del no metal fórmula del ácido sea 2, 3, 4, etc.), el nombre del O : oxígeno x,y,z : subíndices que señalan la atomicidad de elemento y la terminación ICO seguida de la valencia entre paréntesis y en números romanos. cada elemento participante en la fórmula Algunos ejemplos Ácido tetraoxosulfúrico (VI): H2SO4 En este caso el oxígeno actúa con índice de   Ácido dioxonítrico (III): HNO2 oxidación –2, el hidrógeno con índice de Ácido trioxocarbónico (IV): H2CO3 oxidación +1, por lo que conocida la fórmula y  teniendo en cuenta que el índice de oxidación Los ácidos se pueden obtener: resultante para una molécula ha de ser nulo, a. A partir del óxido ácido o anhídrido resulta sencillo determinar el número de correspondiente sumándole una molécula de oxidación correspondiente al elemento central agua (H2O). NM, que será siempre positivo. b. A partir del anión y el catión, esta última forma tiene la ventaja de su uso para las Las reglas de la nomenclatura tradicional sales correspondientes. consisten básicamente en lo siguiente: El nitrógeno sólo forma ácidos oxácidos con  Ácido hipo............ oso  para el grado de la valencias 3 y 5. oxidación menor, o valencia menor. Aquí podemos ver algunos ejemplos de fórmulas  Acido ..........……. oso  para el inmediato con su nombre según superior  La nomenclatura estequiométrica  Acido ….……...... ico  para el siguiente  La nomenclatura Stock  Acido Per……...… ico  para el grado de La nomenclatura Tradicional oxidación más alto. respectivamente: La nomenclatura depende del cuadro que se utiliza para los anhídridos, siempre y Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 304

28


GRUPO INGENIERIAS Trioxonitrato (V) de H HHidrógeno HNO3

Acido trioxonitrico (V) Acido Nítrico

ORTO

ANHIDRIDO + 3 H2O

Ejemplo: P2O5 + 3H2O

H6P2O8

H3PO4

En esta ecuación, se forma el ácido ortofosfórico a partir del anhidrido fosfórico con tres moléculas de agua. Hay “orto” ácidos que son más corrientes que los monohidratados (“meta”) y que suelen nombrarse sin especificar el prefijo “orto”, tales como el ácido fosfórico (H3PO4), el ácido silícico (H4SiO4) y el ácido bórico (H3BO3).

HClO

POLIÁCIDOS Son oxácidos que provienen teoricamente de la unión de varias moléculas de anhidrido con una molécula de agua. Ejemplo: Formación del ácido dicrómico HBrO4

2CrO3 + H2O

OXACIDOS POLIHIDRATADOS Son oxácidos que resultan teoricamente de la unión de un anhidrido con varias moléculas de agua. Los más importantes son aquellos formados por los elementos de valencia impar: P, As, Sb y B. También pueden formarse estos ácidos a partir de algunos elementos no metales de valencia par. Para la nomenclatura se intercala entre la palabra ácido los prefijos: meta, piro, orto y el nombre del no metal terminado en el sufijo correspondiente (de la nomenclatura tradicional), según el cuadro: PREFIJO META PIRO

NO METAL VALENCIA IMPAR ANHIDRIDO + 1 H2O ANHIDRIDO + 2 H2O


H2Cr2O7

Hay algunos metales de comportamiento anfótero que también forman ácidos, como el cromo y el manganeso: Fórmula N. tradicional CrO3 + H2O = H2CrO4 Ácido crómico 2CrO3 + H2O = H2Cr2O7 Ácido dicrómico FORMACION DE ANIONES DERIVADOS DE OXACIDOS. + El catión siempre será H , su subíndice será aquel que compense las cargas negativas del anión. Para formar el anión colocamos el elemento con su estado de oxidación y el oxígeno con el suyo (–2). El subíndice del oxígeno será el primer número natural con el que se consigue que la carga del anión sea negativa. Ejemplo: 6+ 2– Anión sulfato:  S O  por tanto  = SO4  El ácido será  H2SO4 Ejemplos de nomenclatura Si se trata de nombrar el oxácido de 29 “Ingresa directo a la UNAMBA con una preparación de calidad”

GRUPO INGENIERIAS fórmula H2SO4

EL HIDRÓGENO SIEMPRE TIENE VALENCIA – 1. Por ello en este caso se coloca a la derecha.

Se identificará primero el elemento central que en este caso es el azufre; consultando las valencias se observa que puede actuar con dos números de oxidación positivos distintos +4 y +6. Se concluye que actúa con el número de oxidación +6 (el mayor) en la formación de este compuesto. Según la nomenclatura tradicional será, pues, el ácido sulfúrico. Si se emplea la nomenclatura sistemática su nombre será tetraoxosulfato (VI) de hidrógeno. 

HClO: el Cl puede actuar con los siguientes grados de oxidación positivos: +1, +3, +5, +7. Para determinar con cuál interviene en este caso se recurre a la condición de electroneutralidad:  1(H) + n(Cl) – 2(O) = 0  Luego n(Cl) = +1.  Será pues el ácido hipocloroso, o lo que es lo mismo, el oxoclorato (I) de hidrógeno.

Fórmula

N. sistemática

NaH

Monohidruro de sodio

FeH2

Dihidruro de hierro

SnH4

Tetrahidruro de estaño

FeH3

Trihidruro de hierro

N. stock Hidruro de sodio Hidruro de hierro (II Hidruro estaño (IV) Hidruro de hierro III)

N. tradicion al Hidruro sódico Hidruro ferroso Hidruro estánnic o Hidruro férrico

SrH2

TIOACIDOS Son oxácidos que han sufrido la perdida consecutiva de “O” que han sido reemplazadas por los “S”. Ejemplo: Acido de Tioácidos NOMENCLATURA origen derivados CLASICA H2SeO4 H2SeO3S Acido Tioselénico H2SeO2S2 Acido ditioselénico H2SeOS3 Acido tritioselénico H2SeS4 Acido Sulfaselénico Acido Selénico

MgH2

COMPUESTOS HIDROGENADOS TlH3

HIDRUROS METALICOS Los hidruros son compuestos binarios formados por un metal e Hidrógeno. Su fórmula general es: MHX Donde E es el elemento y la x la valencia del elemento. Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 304

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N

GRUPO INGENIERIAS H2Se ..................Seleniuro de hidrógeno Ejemplos de formulación: Si se trata de averiguar la fórmula del ácido clorhídrico, inmediatamente habremos de HIDRUROS ESPECIALES reconocer que es una combinación binaria de cloro e hidrógeno en disolución acuosa (ac). Cuando el Elemento es un NO METAL puede Por ser el H+ el catión o el de valencia positiva y – ser: el Cl el anión, se escribirán, pues, en este orden: HCl (ac)  N, P, As, Sb, B que actúan con valencia 3 Si se trata del mismo compuesto, pero sin estar  C, Si, que actúan con valencia 4 en disolución acuosa, por lo tanto será: HCl. Véase los siguientes ejemplos: Se ha dicho cloruro de hidrógeno y no hidruro de Fórmula N. sistemática N. N. cloro, pues para la nomenclatura el orden de stock tradicional prioridad que rige es inverso al de la formulación NH3 Trihidruro de – Amoniaco (se nombra en primer lugar el elemento situado nitrógeno más a la derecha en la fórmula). PH3 Trihidruro de – Fosfina Ejemplos: fósforo Sulfuro de hidrógeno: .........H2S AsH3 Trihidruro de – Arsina Ácido fluorhídrico: ............. HF (ac) arsénico BH3 Trihidruro de – Borano . NOMENCLATURA DE IONES Y CATIONES boro SbH3 Trihidruro de – Estibina . CATIONES antimonio Los cationes se forman al perder un elemento, o CH4 Tetrahidruro – Metano grupo de elementos, uno o varios electrones de de carbono la capa de valencia. SiH4 . Tetrahidruro – Silano Se nombran anteponiendo la palabra catión o de boro ion. HIDRACIDOS Las combinaciones binarias del hidrógeno con los elementos F, Cl, Br, I, S, Se, Te, reciben el nombre de hidrácidos, pues tales compuestos, en solución acuosa, se comportan como ácidos. Por esta razón, cuando se hallan disueltos en agua se nombran anteponiendo la palabra ácido al nombre abreviado del elemento (que junto con el hidrógeno forma la combinación), al que se le añade la terminación hídrico. Los referidos elementos actúan en tal caso con su número de oxidación más bajo: –1 para los cuatro primeros (F, Cl, Br, I) y –2 para los tres últimos (S, Se, Te). El hidrógeno funciona con valencia +1. Sólo tienen nomenclatura tradicional. Ejemplos de nomenclatura: HI........................Yoduro de hidrógeno HBr(aC) .............Ácido bromhídrico Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 304

Ejemplo: +  H .........................Ion hidrógeno +  H3O ....................catión hidronio u oxonio 2+  Fe .....................Ion hierro (II) o ion ferroso 3+  Fe .....................Ion hierro (III) o ion ferrico +  NH4 ...................Ion amonio ++  Ca ................... Ion calcio ANIONES Los aniones son especies químicas con carga negativa. Pueden ser aniones monoatómicos o aniones poliatómicos. Aniones monoatómicos: Para nombrarlos se usa la terminación –uro. Ejemplo: –  H ………………………………….. ion 31


GRUPO INGENIERIAS  

hidruro – Cl cloruro 3– N nitruro

Resultan de la combinación de un hidrácido con …………………………………..ion un hidróxido ……………………………………ion Hidrácido + hidróxido

Aniones poliatómicos.Proceden en su mayoría de ácidos que pierden sus hidrógenos. Se nombran de de acuerdo a la tabla, teniendo en cuenta la cantidad de valencias del elemento, respectivamente: Acido Ión Hipo oso Hipo ito Oso Ito Ico Ato (Hi) per (Hi) per ato

sal haloidea + agua

Para nombrar estos compuestos, se cambia la terminación “HIDRICO” del ácido por “URO”, seguido del nombre del metal terminado en el sufijo correspondiente. Ejemplo: la formación del cloruro de sodio HCl + NaOH

NaCl + H2O

EJERCICIOS DE NOMENCLATURA QUIMICA

SALES.219. Hallar el grado de oxidación de los Las sales resultan de la combinación de un ácido elementos marcados con negrita: y una base: HCl, HNO3, KMnO4, H2SO4, Na2TeO3, ClO3 Acido + hidróxido sal + agua  2 , Cr2O7 Las sales se clasifican en: 220. El estado de oxidación para el S. Mn y Cl en a.- Oxisales neutras.el ácido sulfuroso, permanganato de potasio Una oxisal neutra se caracteriza por no contener y clorito de sodio es: en su estructura grupos hidrógeno ni oxidrilo en A) 4, 7, 3 B) 2, 5, 1 su estructura. C) 6, 4, 3 D) 4, 5, 3 E) 2, 7, 3 Oxiácido + hidróxido oxisal + agua Ejemplo: NaClO, hipoclorito de sodio b.- Oxisales ácidas.Se caracterizan por contener en su estructura al hidrógeno (H) entre el catión y el anión. Ejemplo : NaHCO3 Hidrogeno carbonato de sodio c.- Oxisales básicas.Se caracterizan por contener en su estructura al grupo oxidrilo (OH)entre el catión y el anión

221. Determine el numero de oxidación del Bromo en el NaBrO4 A) -1 B) +5 C) +1 D) +3 E) +7 222. ¿En cual de los siguientes compuestos el número de oxidación del nitrógeno es +5? A) NH4OH B) NO2 C) HNO3 D) NH4NO2 E) N2O 223. Escribir los nombres y formulas de los siguientes compuestos:

Ejemplo: Mg(OH)ClO4 , hidroxi perclorato de magnesio. d.- Sales haloideas.Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 304

1. CaO…………………….. 2. Al2O3…………………………………. 32


GRUPO INGENIERIAS

3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19.

Au(OH)3…………………. Ca2SiO4…………………………………… Cu2CO3 …………………………………… BH3…………………………………… HF …………………………………… P2O3…………………………………… NH4NO3 …………………………………… N2O5…………………………………… Ca(O2)2 …………………………………… SiH4…………………………………… H4As2O5 …………………………………… H3AsO2S2…………………………………… N2O3 …………………………………… NH4CN…………………………………… HTcO4 …………………………………… Al(ClO3)3…………………………………… Ca3N2 ……………………………………

20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46.

BeClCN…………………………………… Fe(HCO2)2 …………………………………… SnSiS3…………………………………… H2TeO4 …………………………………… Al4(SiO4)3…………………………………… CaKAs ……………………………… Ni(OH)3…………………………………… Au2(CrO4)3 …………………………… CuFe(NO2)5 …………………. Fluoruro de boro……………….. Permanganato de potasio ………… Ácido selenhídrico …………… Trioxobromato(V) de hierro(II) Trihidróxido de niquel ………… Ortoborato de calcio y sodio…… Anhídrido silícico ………… Ditiosulfito férrico ……………….. Trioxomanganato(IV) de estaño(II)…. Peróxido de cadmio………… Fosfato de cinc y plata………… Anhídrido yódico…………… Dicromato de sodio…………… Hiponitrito de plata………… Metafosfato de rubidio ………… Ditioperclorato cobáltico…. Hidróxido de estaño(II) …………… Dicromato


47. 48. 49. 50. 51. 52.

niqueloso ……… Cloruro estannico ………… Hipoyodito de rubidio…………… Ácido metabórico……………… Suliciuro de boro…………… Metasilicato de calcio ………… Tetraoxoseleniato(VI) de hierro(II)

224. Los anhídridos (óxidos no metálicos) son sustancias formadas por la reacción de: A) El sodio con el hidrógeno. B) El oxígeno con el sodio. C) El oxígeno con un elemento no metálico. D) El oxígeno con un elemento metálico. E) N.A. 225. Los óxidos básicos son compuestos formados por la reacción entre: A) Un ácido y una base. B) El oxígeno y un elemento no metálico. C) El oxígeno y el carbono. D) El oxígeno y un elemento metálico. E) N.A. 226. Cuando arde una vela de tal manera que puedan pesarse todos los productos de la combustión, se debe encontrar que: A) Los productos pesan menos que la vela. B) Los productos pesan mas que la vela. C) Los productos pesan igual que la vela. D) El peso de los productos depende de la constitución de la vela. E) El peso de los productos depende de la calidad de la combustión.

227. Identifica la fórmula del óxido que está mal escrita: A) K2O B) CO2 C) Ni2O3 C) Al2O3 E) NaO2 228. Una de las siguientes fórmulas de óxido contiene al elemento más electronegativo: A) Fr2O B) Cl2O5 C) F2O D) I2O3 E) N.A. 33

229. Identifica la afirmación incorrecta: “Ingresa directo a la UNAMBA con una preparación de calidad”

GRUPO INGENIERIAS A) Óxido básico + agua ácido oxácido B) Óxido + metal óxido básico C) Ácido binario + base sal haloidea + agua D) Ácido oxácido + metal sal oxisal + hidrógeno E) Hidrógeno + metal hidruro 230. ¿Cuál de los siguientes nombres no corresponde a la fórmula adjunta? A) Hg(OH)I : yoduro básico mercúrico B) CaHPO4 : fosfato ácido de calcio: C) CuSO3 : sulfato cúprico D) H2O2 : agua oxigenada E) H2Cr2O7 : ácido bicrómico

235. A qué nombre corresponde el siguiente compuesto H2 Cr O4 a. b. c. d. e.

Fe2 O3 Mg O a. b. c. d. e. 237. El

P2 O5 S O2

a. b. c. d. e.

Cr O3

K2 O

1 2 0 4 3

nombre

Al 2 (SO4 ) 3

233. Elige el compuesto que contenga un no metal pentavalente. A) Óxido sulfúrico B) Ácido carbónico C) Peryodato de sodio D) Clorato de potasio E) Sulfato de bario 234. Indicar el nombre correcto de los siguientes compuestos:

Ácido cromoso Ácido per crómico Ácido hipo cromoso Ácido crómico Ácido di crómico

236. De los siguientes óxidos ¿Cuántos forman hidróxidos?

231. ¿Cuál de los siguientes radicales no tiene el nombre correcto? = A) SO3 : sulfato = B) AsO4 : arseniato C) MnO4 : permanganato = D) Cr2 O7 : dicromato = E) PO4 : fosfato 232. La fórmula del nitrato de mercúrico es: A) HgNO3 B) HgNO2 C) Hg(NO3)2 D) Hg(NO2)3 E) Hg2NO3

sulfhídrico; fosfonio Hidróxido férrico; ácido sulfuroso; fosfato de calcio

e.

correcto

del

compuesto

es:

Sulfito de aluminio (III) Sulfuro de aluminio Bisulfato de aluminio Sulfato de aluminio Sulfito alumínico

238. Determine el nombre verdadero de los siguientes compuestos: Na2 O2; ; HF; NH4NO3

Fe(OH)3; H2SO3; Ca3(PO4)2 a. b. c. d.

a.

Hidróxido ferroso; ácido sulfuroso; fosfato de calcio Hidróxido ferroso; ácido sulfhídrico; fosfato de calcio Hidróxido férrico; ácido sulfuroso; fosfonio Hidróxido ferroso; ácido


b. c. d. 34

Óxido de sodio; Ácido fluorhídrico; Nitrato de amonio. Peróxido de sodio; Ácido fluorhídrico; Nitrito de amonio. Peróxido de sodio; Ácido fluorhídrico; Nitruro de amonio. Peróxido de sodio; Ácido fluorhídrico; Nitrato de amonio.


GRUPO INGENIERIAS e.

Dióxido de sodio; Hidruro de fluor; Amino Amonio.

(II)-(III), Trióxido de dihierro d.

239. ¿Qué estado de oxidación tiene el fósforo en el fosfato de calcio? a. b. c. d. e.

5 3 2 6 7

hierro (II) e.

242. Una formula no está nombrado.

-1

a. b. c. d. e.

241. Identifica cada una de las fórmulas propuestas considerando el orden siguiente: nombre vulgar o comercial, notación STOCK y notación IUPAC

Fe2 O3

Nombre vulgar o comercial Hematita

Ca O Fe3 O4

Notación STOCK Óxido de hierro (III) Óxido de Calcio

Magnetita

a.

Cal viva, Trióxido

Notación IUPAC

CaPO4 Ca3(PO4)2 CaHPO4 Ca3(PO3)2 Ca5P2

244. Una de las siguientes sales no está clasificado correctamente según su composición. a. b. c. d. e.

NaCl Na2CO3 NaKSO4 NaH2PO4 CuSO4.5H2O

: : : : :

a. b. c. d. e.

El ácido tiofosfórico El ácido pirofosfórico El ácido metafosfórico El ácido ortofosfórico El ácido trifosfórico

sal básica sal neutra sal doble sal acida sal hidratada

Monóxido de Calcio Tetróxido de 245. La combinación de un mol de anhídrido trihierro fosfórico con tres moles de agua forma:

de dihierro,

Óxido de hierro (II)-(III) b.

c correctamente

a. AgNO3: Nitrato de plata b. CaCO3: carbonato de calcio c. FeSO3: sulfato ferroso d. NaF: fluoruro de sodio e. KClO3: clorato de potasio 243. El fosfato de calcio forma la mayor parte de los huesos de los animales y del hombre. Su fórmula es:

I ión yoduro -1 BrO3 ión bromato -2 CO2 ión carbonito -2 HPO4 ión fosfato ácido ClO -1 ión clorito

FORMULA

Yeso, Óxido de hierro (II), Dióxido de Trihierro (II)

240. Indicar la relación incorrecta. a. b. c. d. e.

Cal, Óxido de hierro (II), Óxido de

Cal viva, Óxido doble de hierro (II)(III), Trióxido de dihierro

c.

Cal apagada, Óxido doble de hierro


246. ¿Cuál de los siguientes ácidos del fósforo está acompañado de su fórmula correcta? 35


GRUPO INGENIERIAS A) B) C) D) E)

Pirofosfórico Ortofosfórico Metafosfórico Fosforoso Hipofosfórico

: : : : :

H4P3O7 H3P2O4 HPO3 H3P2O2 H2PO4

247. Se llama cal viva: A) Al óxido de calcio, CaO B) Al carbonato de calcio anhidro, CaCO3 C) Al hidróxido de calcio, Ca(OH) 2 D) Al calcio, Ca, caliente. E) A un mineral, calcáreo. 248. Indica el radical ácido que es trivalente: A) Sulfato B) Piroborato C) Carbonato D) Hipoclorito E) Ortofosfito 249. Uno de los siguientes nombres no corresponde a la fórmula adjunta, identifícalo: A) HClO2 äcido cloroso : B) Cr(OH) 3 hidróxido crómico : C) HNO2 ácido nítrico : D) KMnO4 permanganato de potasio : E) Br2O3 óxido de cromo :

arsénico en el acido piroarsénico y del nitrógeno en el acido nítrico, respectivamente? A) +2; +3 B) +2; +7 C) +3; +5 D) +5; +3 E) +5; +5 254. ¿Cuál de los siguientes compuestos no tiene su fórmula correcta? A) Peróxido de sodio : Na2O2 B) Nitrato de oro (III) : Au(NO3)3 C) Acido fosfórito : H3PO4 D) Bromito de potasio : KBrO2 E) Clorato de sodio : Na2ClO3 255. ¿Cuál de los siguientes iones está mal nombrado? -4 A) Pirofosfato : P2O7 -3 B) Fosfato : PO4 -2 C) Carbonato : CO2 D) Cloruro : Cl E) Sulfato acido : HSO4

250. El agua oxigenada cuya fórmula es H2O2 pertenece a la función química: UNIDADES QUÌMICAS DE MASA A) Hidruros B) Peróxidos C) Óxidos ametálicos D) Óxidos metálicos Son las diferentes unidades que se emplean para E) N.A. expresar la masa de las sustancias y su relación con el numero de partículas contenidas en ella 251. El nombre del compuesto Fe(OH) 3 según la (átomos, moléculas, iones, protones, etC). nomenclatura stock es: A) Hidróxido ferroso Para el dominio de las unidades químicas de B) Hidróxido de hierro (II) masa debes saber lo siguiente: C) Hidróxido férrico Conceptos básicos: D) Trihidróxiluro de fierro E) Hidróxido de hierro (III) La UNIDAD DE MASA ATOMICA (uma) es la unidad que se utiliza para medir la masa de los 252. ¿Cuántos de los siguientes óxidos son de átomos y compuestos químicos. carácter acido y de carácter básico 12 respectivamente? 1 1 uma = de la masa del 6 CO2, Mn2O7, Br2O, CO, MgO, Au2O3 12 A) 2 y 4 B) 1 y 5 C) 3 y 3 D) 4y 2 E) 5 y 1 SU EQUIVALENCIA EN GRAMOS ES LA 253. ¿Cuál es el estado de oxidación del 36 Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 304 “Ingresa directo a la UNAMBA con una preparación de calidad”

C

GRUPO INGENIERIAS SIGUIENTE: 1 u.m.a = 1,66 x 10

–24

gramos

262. MOL-GRAMO.- es el peso molar de un compuesto o sustancia simple, expresada en 23 Los demás términos a tener en cuenta son los gramos y que contienen 6.023x10 siguientes: entidades de estas especies. 256. MASA ISOTÓPICA.– Es la masa de cada uno de los isótopos de un Atomo o elemento CONDICIONES NORMALES (C.N).Las químico. condiciones normales, indican una presión de 1 atmosfera y la temperatura de 0ºC Los isótopos del oxigeno son los siguientes: VOLUMEN MOLAR.- Es el volumen que ocupa 1 LOS mol de cualquier gas en conciciones normales de ISÓTOPOS 16 17 18 presión y temperatura DEL 8 8 8 OXIGENO COMPOSICIÓN CENTESIMAL.SON Su masa Es la cantidad de masa de un elemento o 1716117 171711 18 isotópica es: compuesto en cien gramos de muestra y se expresa en porcentaje en masa. 257. NÚMERO DE AVOGADRO (NA).- Es el FORMULA EMPÍRICA Y MOLECULAR número de partículas contenidas en un mol. Su valor es: FORMULA EMPÍRICA (FE).- Es la expresión 23 NA = 6.023x10 que muestra los elementos presentes y las relaciones de las diferentes clases de átomos. 258. MOL.- Es la cantidad de sustancia que Es la contiene tantas entidades elementales FÓRMULA MOLECULAR (FM).(átomos, moléculas, iones u otras partículas) expresión que muestralos números de átomos como exactamente hay en 12 g del isótopo exactos de cada elemento en una molécula. del carbono-12 Pasos para determinar las fórmulas empírica 259. PESO ATOMICO PROMEDIO.– y molecular.Representa la masa relativa promedio del  Se determina el número de átomoátomo de un elemento. Se obtiene de la gramo (át-g) de cada elemento siguiente manera: participante: Át-g = m/P.A m, masa del elemento en gramos A1 (%)1 + A 2 (%)2 + .........An (%)n PA = P.A, peso atómico del elemento 100

O

O

O



260. MASA MOLECULAR.- Llamada también peso molecular, es la suma de las masas presentes en la molécula 261. ATOMO-GRAMO .-Es el peso atómico del elemento expresado en gramos y que 23 contiene 6.023x10 átomos del mismo. Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 304

 37

Se divide entre el menor valor encontrado a todo los valores obtenidos, debiendose lograr un valor entero, en caso contrario, se multiplica adecuadamente hasta obtener un número entero. Para determinar la fórmula verdadera se debe calcular el valor de K, cual será un


GRUPO INGENIERIAS número entero, de acuerdo: K = MFM/MFE

1 mol de átomos = P.A (gramos) = 1 At-g = NA = 6,022 x 1023 átomos

Donde: MFM, peso molecular de la fórmula molecular PROBLEMAS TIPOS: MFE, peso molecular de la fórmula 01. En 200 moles de hierro, determinar el empírica. número de átomos que existe en dicha La fórula empírica se halla, mediante la muestra. P.A (Fe = 56) relación: 02. Se tienen una muestra de 20 gramos de oro. ¿cuántos átomos existen endicha muestra?. FM = K(FE) P.A (Au=197) Donde: 03. ¿Cuánto pesa 1 átomo de hidrógeno?. P.A FM, fórmula molecular (H=1) FE, fórmula empírica 04. Un joven de la Universidad le regala a su enamorada una medallita de plata pura cuyo PROBLEMAS TIPO: peso es de 275 gramos. La joven le dice 01. El Boro tiene dos isótopos; B–10 y B–11, que le dara lo que le pida si logra determinar con masa atómica relativa de 10,01 uma y el numero de átomos de plata presentes en 11,01 uma respectivamente. La abundancia la medallita. [P.A(Ag) = 107 uma] del B–10 es 20 %. ¿Cuál es el peso 05. En 500 mol de sodio metálico, determinar el atómico promedio de Boro?. numero de átomos que existe y cuantos gramos existe en dicha muestra. 02. Un átomo posee cuatro isótopos, con sus respectivas masa atómicas: 100, 102, 104 y 06. Si se tiene una muestra de 230 gramos de 106 uma respectivamente y además se sodio metálico. Determine cual es la sabe que de cada 10 000 átomos de dicho muestra de litio metálico que posea el mismo elemento, 50 son del primero, 100 del numero de átomos que la muestra del sodio. segundo y 500 del tercero. Determine el Peso atómico promedio del elemento en 07. Determine el numero de átomos–gramos de mención. cromo que existen en 200 gramos de cromo (masa atómica del Cr= 52 uma) 03. El cromo natural esta formado por 4 isótopos cuyos porcentajes son 4,31% de Cr–50; 83,76% de Cr–52; 9,55% de Cr–53 y el En caso de que el problema se presente con resto es Cr–54. Las masas isotópicas son datos sobre moléculas: respectivamente 49,496 u, 51,940 u, 52,941 u y 53,939 u. Indique el peso atómico o masa atómica promedio del 1 mol de moléculas = (gramos) Cromo natural 23 = 1 Mol-g

Las Ecuaciones que se usan para determinar las unidades químicas de masa son las siguientes: En caso de que el problema se presente con datos sobre átomos:


= NA = 6,022 x 10

moléculas

PRÁCTICA PROBLEMAS PROPUESTOS 01. ¿Cuántos átomos–gramo contiene 96 g. de azúfre? P.A. (S=32) 38 “Ingresa directo a la UNAMBA con una preparación de calidad”

GRUPO INGENIERIAS A) 1/3 D) 1/6

B) 3 E) 9

C) 1,5

A) 23 D) 20

B) 25 E) 18

C) 21

02. Hallar la masa de 5 At–g de fósforo. P.A. (S=31) A) 6,2g B) 3,1g C) 115g D) 155g E) 131g 03.

04.

05.

06.

07.

08.

10. Una mezcla que posee hierro y carbono pesa 400g. y contiene 15 átomos–gramo. ¿Cuántos gramos de carbono contiene la mezcla? A) 280 B) 120 C) 300 Una masa de 112 g. contiene 4 átomo– D) 200 E) 100 gramo de un elemento. Hallar el peso atómico del elemento. 11. ¿Cuántos neutrones posee 81 g de aluminio: A) 448 B) 56 C) 560 27 P.A. (Al) = 27 D) 28 E) 30 13 Al ? 24 A) 3 No. B) 6 mol C) 8,4x10 24 Calcular el número de átomos contenidos en D) 14 No. E) 25,2.10 un hilo de plata que pesa 270 g. P.A.(Ag= –23 108) 12. Una molécula de C3Hn pesa 7.10 g. 23 A) 5 mol B) 6,023.10 Calcule el valor de n. Considere No = 19 23 C) 2,5 No. D) 3,0115.10 6 x 10 , P.A. ( C=12, H=1) 22 E) 1,23.10 A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8 23 Calcular el peso de 30.115.10 átomos de sodio. P.A. (Na=23) 13. Hallar la masa de una molécula de etano A) 4,6g B) 230g C) 46g C2H6. P.A. ( C=12, H=1) –22 –23 D) 115g E) 56,5g A) 5.10 g. B) 2,5.10 g. –23 –22 C) 5.10 g. D) 2,5.10 g –20 Hallar la masa de un átomo de aluminio en E) 5.10 g gramos. P.A. (Al=27) ’23 –22 A) 1,33.10 B) 6,5.10 14. ¿Cuántos átomos contiene 132 g. de gas –23 ’22 C) 4,5.10 D) 2,7.10 propano C3H8? P.A. (C=12, H=1) ’23 E) 3,5.10 A) 3 No. B) 11No. C) 33No. D) 142No. E) 6No 23 Una cantidad de 12,046 x 10 átomos de un elemento pesan 60 gramos. Calcular el 15. Una muestra de un mineral que pesa 600 g. peso atómico del elemento. contiene 70% de hierro, 20% de Carbono y A) 120 B) 60 C) 30 el resto es de azufre ¿Cuántos átomos D) 45 E) 22,5 contiene la muestra? P.A.(Fe=56, C=12, S=32) Una mezcla contiene 112 g. de hierro y 96 g A) 18,625 No. B) 6,125 mol 23 de azufre. Calcular el número de átomos– C) 19,375 No. D) 11,625.10 24 gramo en la mezcla. E) 38,75.10 P.A.(S=32, Fe=56) A) 3 B) 2 C) 5 16. La composición centesimal del cianato de D) 7 E) 10 amonio, NH4CNO, es: P.A.: H = 1 ; C = 12; N = 14 ; O = 16

09. Una masa de 115g. posee 5 mol–g de XH3. Calcular el peso atómico de X. Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 304

A) 10% C ; 6,7 % H ; 56,7 % N ; 26,7 % O B) 20% C ; 6,7 % H ; 46,7 % N ; 26,7 % O

39


GRUPO INGENIERIAS C) 40% C ; 6,7 % H ; 26,7 % N ; 26,7 % O D) 30% C ; 6,7 % H ; 36,7 % N ; 26,7 % O E) 5% C ; 3,3 % H ; 6,7 % N ; 85 % O

A) 2,5 D) 10

B) 5 E) 12,5

C) 7,5

25. Calcular el número de electrones que existe 17. Una muestra que pesa 508g. contiene en una muestra de 128 g. de Oxígeno 23 30,115.10 átomos de cobre. Calcular el % A) 18N B) 4 C) 45 de cobre en la muestra. D) 64 E) 9 P.A. (Cu=63,5) 26. ¿Cuántos neutrones existen en 92 g de A) 32,5% B) 50% C) 75% 23 11Na ? D) 85,7% E) 62,5% A) 12N B) 24 C) 48 18. Se tiene 0,0197 g. de un metal precioso de D) 56 E) 58 o peso atómico 197 y radio atómico 1,5 A . 27. Una molécula de un compuesto orgánico Si con dicha muestra se hace un hilo tan contiene 2 átomos de hierro. Si el delgado que el grosor es un átomo. Calcular compuesto posee 7% de hierro. ¿Cuál es el la longitud del hilo en Km. peso molecular del compuesto? P.A.(Fe=56) 15 6 6 A) 12.10 B) 18.10 C) 15.10 A) 1200 B) 1300 C) 1400 9 10 D) 12.10 E) 18.10 D) 1500 E) 1600 19. ¿Cuántas molécula–gramo contiene 68g. de amoniaco NH3? P.a. (N=14, H=1) 28. Que masas de nitrato férrico y nitrato de A) 2 B) 1,5 C) 3 calcio se deben tomar respectivamente para D) 2,5 E) 4,0 que posean igual numero de iones nitrato? P.A.(N=14, Fe=56, O=16, Ca=40) 20. Calcular la masa de 5 mol–g de N2O3. A) Por 121g. De nitrato férrico hay 82 g. De P.A. (N=14, O=16 ) nitrato de calcio A) 760 B) 380 C) 280 B) Por 363g. De nitrato férrico hay 41g. De D) 140 E) 350 nitrato de calcio 21. Un mililitro de agua contiene 10 gotas. C) Por 363 g. De nitrato férrico hay 82g. De ¿Cuántas moléculas contiene 36 gotas? nitrato de calcio P.A. ¿H=1, O=16) D) Por 121g. De nitrato férrico hay 123 g. 23 24 24 A) 1,2.10 B) 1,2.10 C) 12.10 De nitrato de calcio 23 22 D) 12.10 E) 1,2.10 E) Por 121g. De nitrato férrico hay 82g. De 23 nitrato de calcio 22. Calcular la masa de 30,115 x 10 moléculas de benceno C6H6. P.A. (C = 12, H=1). A) 390g. B) 780g. D) 146g. E) 345g.

29. En un recipiente cerrado se tiene 88g. de C3H8 y 180g. de C2H6. Calcular el número de moles de la mezcla. P.A.(C=12, H=1) 23. Un mineral que pesa 2 toneladas contiene A) 4 B) 5 C) 6 80% de Ca3(PO4)2. ¿Cuántos kilogramos de D) 8 E) 10 fósforo se puede extraer del mineral? P.A.(Ca=40, P=31, O=16) 30. Una mezcla de CO2 y CO que pesa 500g. A) 160 B) 320 C) 480 contiene 15 mol. Calcular el número de D) 80 E) 640 moles de CO2 en la mezcla. 24. ¿Cuántos átomos–gramo de oxígeno P.A.(C=12, O=16) contiene 300g. de MgSO4? P.A. (Mg=24, A) 7,5 mol B) 8 mol C) 5 mol S=32, O=16) D) 10 mol E) 2,5 mol 40 Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 304 “Ingresa directo a la UNAMBA con una preparación de calidad” C) 146g.

GRUPO INGENIERIAS A) 2,24L. B) 1,12 L. C) 6,72L. 31. Una mezcla de Fe2O3 y Cu2O contiene 8 D) 44,48L. E) 3,36L. moles de moléculas y 34 moles de átomos. Calcular el peso de Fe2O3 en la mezcla. 38. ¿Qué volumen a condiciones normales P.A.(Fe=56, O=16, Cu=63,5) ocupa el oxígeno que se libera al A) 160g B) 320g C) 640g descomponer 49g. de KclO3? D) 750g E) 800g. P.A.(K=39, Cl=35,5, O=16) A) 13,44L. B) 1,12L C) 22,4L. 32. ¿Cuántas moléculas de agua se pueden D) 6,72L. E) 3,36L. obtener por calentamiento de 8 g. de Ca3(PO4)2 . 5H2O ? 39. ¿Cuántas moléculas contiene un recipiente P.A.(Ca=40, P=31, O=16, H=1) de 33,6 litros de CH4 a condiciones A) 0,1 B) 1 mol normales? 22 23 23 C) 10No. D) 6,023.10 A) 12,046.10 B) 9,0345.10 23 24 E) 10 C) 6,023.10 D) 1,8069.10 24 33. En 62,48 milimoles de sulfato de cobre E) 3,6138.10 decahidratado ¿Cuántos gramos de agua hay? A) 11,246 B) 10,361 C) 22,386 40. Un recipiente de 250ml. pesa 425g. Si se D) 20,723 E) 30,981 llena con un gas a condiciones normales pesa 425,625g. Calcular el peso molecular 34. En 600g. de MgSO4: del gas. I. Hay 120g. de magnesio A) 28 g/mol B) 56 g/mol 23 II. Hay 30,115.10 átomos de azufre. C) 14 g/mol D) 70 g/mol III. Hay 10 at–g. de oxígeno E) 35 g/mol P.A.(Mg=24, S=32, O=16) 41. La densidad de un gas desconocido a Son correctos: condiciones normales es 1,54 g/l. Calcular el A) I y II solamente B) I solamente peso molecular del gas desconocido. C) II solamente D) I, II y III A) 14,54 g/mol B) 34,496 g/mol E) II y III solamente. C) 17,25 g/mol D) 51,744 g/mol E) 29,08 g/mol 35. ¿Qué peso de metano (CH4) contiene el mismo número de moléculas que 3,5g. de 42. ¿Qué masa de NH3 se puede formar con 35 nitrógeno gaseoso? litros de Hidrógeno gaseoso a condiciones P.A.(C=12, H=1, N=14) normales? P.A.(N=14, H=1) A) 6,4 B) 1,6 C) 3,2 A) 17,5 g. B) 17,6 g. C) 17,7 g. D) 0,8 E) 2 D) 18,1 g. E) 18,5 g. 36. Calcular el peso de óxido férrico que contiene el mismo número de átomos que 43. Un recipiente cerrado de 179,2 L. contiene a 6,4g. de anhídrido sulfúrico condiciones normales una mezcla de P.A.(Fe=56, S=32, O=16) oxígeno gaseoso y monóxido de carbono. La A) 5,12 g. B) 51,2 g C) 10,24 g masa de la mezcla es 244 g. Calcular el D) 6,36g. E) 25,6 g. peso de Oxígeno en la mezcla. A) 84 g. B) 160 g. C) 80 g. 37. ¿Qué volumen a condiciones normales D) 75 g. E) 122 g. ocupa 13,2g de gas propano C3H8? Pesos atómicos: (C=12, H=1) 44. ¿Qué alternativa presenta mayor masa 41 Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 304 “Ingresa directo a la UNAMBA con una preparación de calidad”

GRUPO INGENIERIAS de un gas a condiciones normales? A) 10 L. de H2 B) 4 L. de CO2 C) 5 L. de NH3 D) 6 L. de O2 E) todos son iguales. 45. La densidad del hidrocarburo CnH2n+2 a condiciones normales es 2,59 g/L. Calcular la atomicidad del hidrocarburo. A) 11 B) 14 C) 8 D) 17 E) 5 46. ¿Qué masa de H2S tiene el mismo número de moléculas que 70 L. de nitrógeno gaseoso a condiciones normales? A) 106,25g. B) 53,125g C) 159,375g D) 25g E) 85g. 47. Calcular el porcentaje de carbono en el etano C2H6 . P.A. (C=12, H=1) A) 60% B) 75% C) 80% D) 25% E) 49% 48. Señale la composición centesimal del ácido sulfhídrico. P.A. (S=32, H=1) A) 30%H, 70%S B) 20%H, 10%S, 70%O C) 5,88H, 20,12%S, 74%O D) 5,88%H, 94,12%S E) 50%H, 50%S 49. Determine el porcentaje de agua en el sulfato de Magnesio dihidratado ( M =156). A) 23,07% B) 46,15% C) 92,3% D) 76,93% E) 53,85%

ESTADO GASEOSO DE LA MATERIA ESTADOS GASEOSOS.– Es el estado de la materia que se caracteriza por no tener forma ni volumen definidos. El comportamiento de un gas queda determinado con su presión, volumen y temperatura (P, V y T) GAS.- Es toda sustancia que a temperatura ambiente se encuentra en el estado gaseoso GASES IDEALES.Los gases ideales son aquellos que se encuentran a altas temperaturas y a bajas presiones. Ecuación de un gas ideal:

PV = nRT

(1)

Donde: P : presion absoluta del gas T: temperatura absoluta del gas (en ºK) V: volumen del gas (en L) R: constante universal de los gases R = 0.082 atm-L/mol-ºK n: número de moles del gas

n= m/ M

(2)

m: masa del gas M : masa molar del gas De la ecuación (2) en (1), se obtiene

50. Un mineral contiene 90% de Fe2O3 ¿Cuál es PV = m RT M el porcentaje de hierro en el mineral? P.A. (Fe=56, O=16) A) 70% B) 60% C) 63% Si : D = m/v D) 75% E) 82% Entoces: 51. Unos huesos que pesan 6 Kg. Contiene 75% de fosfato de calcio ¿Qué peso de fósforo PM = DRT existe en los huesos? donde P.A. (Ca=40, P=31, O=16) D: densidad del gas (en g/L) A) 0,9 Kg. B) 4,5Kg. C) 1,75 Kg. D) 1,25 Kg. E 2,7 Kg. ECUACIÓN GENERAL DE GASES Se cumple cuando la masa del sistema 42 Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 304 “Ingresa directo a la UNAMBA con una preparación de calidad”

GRUPO INGENIERIAS gaseoso es constante variando la presión, el volumen y la temperatura.

V(L)

P1V1 P2 V2 = T1 T2

Isobarico

PROCESOS RESTRINGIDOS DEL GAS IDEAL 1. LEY DE BOYLE MARIOTE (PROCESO ISOTÉRMICO) Cuando la masa y temperatura de un gas permanece constante. Donde la presión absoluta varía en forma inversamente proporcional al volumen. PV = CONSTANTE P1V1 = P2 V2

P Atm

T (K)

Ejemplo: ¿Qué volumen ocupará 15 l. de gas cuando se caliente de 27ºC a 73ºC y presión constante? Rpta.:_________

Isoterma 3.

V (L)

P P P = constante  1 = 2 T T1 T2

Ejemplo: Un volumen de 5l. de un gas es comprimido desde 1Atm hasta 10 Atm a temperatura constante. ¿Cuál es el volumen final? Rpta: _________

2.

Gráficamente:

P Atm

LEY DE CHARLES (PROCESO ISOBÁRICO) Se cumple cuando la masa y presión de un gas permanece constante variando el volumen en forma directamente proporcional a la temperatura absoluta.

Isocoro

V V V = constante   1 = 2 T T1 T2

T (K)

Gráficamente:


LEY DE GAY – LUSSAC (PROCESO ISÓCORO O ISOMÉTRICO) Cuando la masa y el volumen de un gas son constantes entonces la presión absoluta varía en forma directamente proporcional a la temperatura absoluta.

43

Ejemplo: Se tiene un gas a –33ºC se calienta hasta 27 ºC y a 10 Atm. de presión sufriendo un proceso isométrico. ¿Cuál es “Ingresa directo a la UNAMBA con una preparación de calidad”

GRUPO INGENIERIAS su presión inicial? Rpta.: ________


A) 14,1L D) 49,2L

B) 26,6L E) 85,2 L

C)37,5L

06. Dadas las afirmaciones, indicar la alternativa falsa: A) El gas ideal es el modelo de gas que cumple los postulados de la teoría cinética molecular. B) Una de las propiedades de los gases es su elevada entropía C) Los gases presentan grandes espacios intermoleculares D) Los gases están dotados de una gran energía cinética E) La compresibilidad de los gases es nula a condiciones invariables de temperatura.

01. Respecto al comportamiento de los gases, se tienen las afirmaciones  Los gases poseen gran energía cinetica  Los gases son altamente compresibles a temperatura constante  Las especies gaseosas , presentan grandes espacios intermoleculares, a ello se debe su alta compresibilidad  Los gases presentan alta entropia ¿Cuántas son correctas? 07. Calcular la temperatura en ºC para la A) VFVF B) FFVF C) FVFV muestra cuya temperatura es 122 ºF. D) VFVV E) FVFF A) 120 B) 50 C)–40 D) 73 E) 200 02. En la relacion siguiente I.Isocorico a. Presión constante 08. Un termómetro mal fabricado marca 104 ºC II.Isotérmico b. Temperatura constante para la ebullición del agua y 2 ºC para su III.Isobarico C. Volumen constante congelación. ¿Cuál será la temperatura real Los pares correctos son: cuando este termómetro marque 83.6 ºC? A) Ia; IIc;IIIb B) Ia; IIb; IIIc A) 82.05 B) 60 C) 80 C) Ic; IIa; IIIb D) Ic; IIb; IIIa D) 73 E) 145 E) Ib; IIa; IIIC 09. Indicar la alternativa incorrecta: A) La temperatura a 100ºC es equivalente a 212 ºF. B) La equivalencia de 672 ºR en ºK es373 C) Las escalas relativas no parten del cero absoluto. D) En la escala Celsius cuando la presión exterior es 1 atm, indica 100 ºC. E) La escala ranking se inicia en el cero 04. A 280ºK , se tiene 160 L de un gas, éste al absoluto. pasar a C.N duplica su volumen ¿Cuál fue la presión manómetrica incial en 10. ¿Que temperatura marca un termómetro si su lectura en la escala Celsius es el 20% de atmosferas? su lectura en la escala Fahrenheit? A) 1.75 atm B) 1.50 atm C)1.10atm (responda en la escala absolutA) D) 1.25 atm E) 1.05 atm A)278 B) 160 C) 240 D) 373 E) 287 05. El volumen en litros de 54 g de gas venenoso cianuro de hidrógeno (HCN) a 27 °C y 11. Cierto gas ocupa 20 litros a 4 atm. ¿qué 758 mm Hg es : volumen ocupará a 2 atm? Considerar 03. En un cierto punto de la superficie de la tierra, se tiene un sistema gaseosocuya presión barométrica es el 75 % de de la presión atmosférica normal. Si la presión interna del gas es 380 mm de Hg. A) 1.75 atm B) 1.50 atm C)1.10atm D) 1.25 atm E) 1.05 atm


44


GRUPO INGENIERIAS temperatura constante. A)40 L C) 50 L C)60 L 19. Una muestra de 452 ml de gas cloro se D) 70 L E) 80 L calienta desde 22ºC hasta 187ºC a presión 12. Cierta masa de gas helio ocupa 300 Ml a – constante, ¿cuál es el volumen final? 50 ºC y mediante un porceso isobárico se A) 705 ml B) 750 C) 850 incrementa la temperatura hasta llegar a 173 D) 609 E) 500 ºC ¿Cuál es le volumen final? 20. Isocóricamente la presión de un gas aumenta A)55 mL B) 60 mL C) 500 mL en 2 atm. Si la temperatura aumenta de 27ºC a D) 600 mL E) 550 mL. 227ºC. Hallar la presión final. A) 3 atm B) 5 C) 7 13. Determinar la temperatura en grados Celsius D) 9 E) 11 de 10 moles d Egas a 4 atm de presión que ocupa 50 litros. 21. Isocóricamente la presión de un gas se A) 29 ºC B)28 ºC C) –28 ºC cuadruplica, si la temperatura inicial es 27ºC. D) –29 ºC E) 58 ºC. Hallar la temperatura final. A) 927ºC B) 627ºC C) 427ºC 14. Hallar el número de moles de un gas. D) 629ºC E) 509ºC Sabiendo que se encuentra encerrado en un recipiente de 3 litros a la presión de 0,82 atm 22. 8 litros de gas a 2 atm y 127ºC es calentado y a la temperatura de 27 ºC. generándose una expansión hasta un volumen A) ½ mol B) 1 mol C) 0,1 mol de 20 litros y 527ºC. Hallar la nueva presión. D) 2 mol E) 4 mol A) 2 atm B) 3,2 atm C) 1,6 atm D) 4,5 atm E) 0,9 atm 15. Se tiene 600 ml de gas propano, luego de un proceso isotérmico la presión se triplica. ¿Cuál 23. Cuando la presión de un gas se triplica y el es el nuevo volumen? volumen disminuye en 1/4 . Si la temperatura A) 100 mL B) 150 C) 200 inicial es 127ºC. Hallar la temperatura final. D) 250 E) 350 A) 427ºC B) 527ºC C) 627ºC D) 727ºC E) 777ºC 16. Cierto gas se encuentra a la presión de 5 atm ¿Hasta qué presión debe comprimirse en un 24. 42 litros de gas de 2000 mmHg y 527ºC es proceso isotérmico para reducir su volumen a trasladado a otro recipiente de 120 litros a la mitad? 227ºC. Hallar la presión final. A) 1 atm B) 15 C) 5 A) 437,5 torr B) 875 torr D) 20 E) 10 C) 450 mmHg D) 900 mmHg E) 225 mmHg 17. Isotérmicamente la presión de un gas aumenta en 2 atm, si el volumen varía de 30 a 20 litros. 25. La densidad de un gas es 10 g/L a 10 atm de Hallar la presión final en atm. presión y 127ºC. Calcular la densidad del gas A) 2 atm B) 4 C) 6 en condiciones normales. D) 8 E) 10 A) 1,47 g/L B) 1,42 C) 1,293 D) 1,5 E) 1,3 18. Un volumen de oxígeno midió 360 ml a 27ºC. El gas se enfrió a –23ºC, manteniendo la presión constante. Determinar el volumen del gas a la nueva temperatura. A) 400 ml B) 540 C) 220 REACCIONES QUIMICAS D) 500 E) 300 45 Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 304 “Ingresa directo a la UNAMBA con una preparación de calidad”

GRUPO INGENIERIAS BALANCEO DE ECUACIONES QUÌMICAS ………… Reacción química o cambio químico implica  CaCO3 (s)  CaO (s) + CO2 (g) transformación en la estructura interna de la  materia, como consecuencia unas sustancias NH4NO3  N2O + 2H2O (reactivos, reactantes o reaccionantes se transforman en otras sustancias distintas 3. REACCIONES DE SUSTITUCIÓN O (productos). DESPLAZAMIENTO SIMPLE.– Cuando un elemento desplaza a otro elemento que se ECUACIÓN QUÍMICA.– Es la representación de encuentra formando un determinado una reacción química. Las ecuaciones químicas compuesto así ocupa su lugar. dan los resultados de la experimentación. Una A + BC  AC + B ecuación química correcta: 1. 2.

3.

4.

Zn (s)+ H2SO4 (aC)  ZnSO4 (aC)+H2 (g) Mediante símbolos y fórmulas representa a Cl2 (g) + 2KBr (aC)  2KCl (aC) + Br2 (l) las sustancias participantes. Los reactivos se indican a la izquierda de la flecha y los productos a la derecha de la 4. REACCIONES DE DOBLE SUSTITUCIÓN O DOBLE DESPLAZAMIENTO.– Conocidas flecha. Se utiliza una flecha como también como reacciones de "metátesis" son abreviatura de la palabra "produce". aquellas en que los compuestos intercambian Debe cumplir con la "Ley de la Conservación sus iones. de la Materia"; es decir debe estar balanceada. En lo posible debe indicar el estado físico de AB + CD  AD + BC BaCl2(aC)+Na2SO4(aC)BaSO4(s)+2NaCl (aC) las sustancias participantes: sólido (s), líquido (l), gas(g), solución acuosa (aC). AgNO3(aC) + NaCl(aC)  AgCl(s) + NaNO3 (aC)

Zn (s) + H2SO4 (aC)  ZnSO4 (aC) + H2 (g) TIPOS DE REACCIONES QUÍMICAS.

Dentro de este tipo de reacciones están consideradas las de neutralización o Reacciones ácido – base, en las que se produce sal y agua.

Las más comunes son:

HCl (aC) + NaOH (aC)  NaCl (aC) + H2O (l) 1. REACCIONES DE SÍNTESIS DE 2HNO3(aC)+Pb(OH)2(aC)Pb(NO3)2(aC)+2H2O COMBINACIÓN O DE ADICIÓN.– En las que dos o más sustancias se combinan para formar REACCIONES DE OXIDO–REDUCCIÓN.– Son una nueva sustancia. reacciones en las cuales las sustancias experimentan cambio del número de oxidación, A + B + C + ……….  ABC ….. por pérdida o ganancia de electrones. Los electrones no se crean ni se destruyen en las reacciones químicas entonces la oxidación y la 2Al (s) + 3Cl2 (g)  2AlCl3 (s) reducción siempre se producen simultáneamente SF4 (g) + F2 (g)  SF6 (g) en las reacciones "Redox". N2O5 (g) + H2O(l)  2HNO3 (aC) I2 + HNO3  HIO2 + NO2 + H2O 2. REACCIONES DE DESCOMPOSICIÓN.– En las que un compuesto se descompone en dos o más sustancias. Este proceso generalmente OXIDACIÓN.– La oxidación es un incremento se produce por acción del calor. algebraico del número de oxidación y ABC ………  A + B + C 46 Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 304 “Ingresa directo a la UNAMBA con una preparación de calidad”

GRUPO INGENIERIAS corresponde a la pérdida real o aparente de electrones. Ej: 4+ Sº – 4ē  S – +7 Cl – 8ē  Cl AGENTE OXIDANTE Y AGENTE REDUCTOR. 

AGENTE OXIDANTE.– Es la sustancia que se reduce por que al ganar electrones obliga a otra sustancia a perderlos o sea a oxidarse. AGENTE REDUCTOR.– Es la sustancia que se oxida, por que al perder electrones obliga a otra sustancia a ganarlos o sea a reducirse.



BALANCEO DE ECUACIONES QUÍMICAS Una ecuación está balanceada cuando el número de átomos de los reactantes es igual al número de átomos de los productos. Entre los diferentes métodos de Balanceo se tienen: 1. Método del Tanteo. 2. Método de los Números de Oxidación o Electrón Valencia. 3. Método de las Semireacciones o del Ion Electrón.

Balancear las siguientes ecuaciones de acuerdo al metodo del tanteo: 1.

NaNO3 + KCN  NaCN + KNO3

2.

AgCN + KCN  KAg(CN)2

3.

Fe + CuSO4

4.

Ag2SO4

 Cu + FeSO4

+ FeSO4

 Ag +

Fe2(SO4)3  KBr + I2

5.

KI + Br2

6.

KI + H2O2 + HCl  I2 + KCl + H2O

7.

Fe + HI

 FeI3 + H2

8.

C6H12O6

+

O2

 CO2

+

H2O.N° 121 –Telf. 322577–Anexo 304 Av. Arenas 9. C6H12 + O2  CO2 + H2O. 10. KClO3 +

HCl

 KCl + Cl2 +

47


GRUPO INGENIERIAS

BALANCEO DE ECUACIONES POR EL METODO REDOX KMnO4

+

HCI

Na2Cr2O7 + HgS +

HCI +

H2SO4

+ H2S

S +

NaClO3

CoCl2

+

HNO3 P4 S

+

+

+

+ +

NaCl +

S

+ H20

+

KCl

H20 +

H20

+

H20

H2O

HNO3

+

I2

H2S 

NO

+



HBrO3

+

+

NaOH

Co(OH)3 + HNO2 + NaCl

 Na2CrO4

SO2

H2SO4 

KI



 K2SO2

KOH

H20

+

H2O

HI 

S

+

Zn(NO3)2

SO2 +

NO2

+

+

Co2O3

FeCl3 +

KMnO4 + H2SO4 

KClO3 +

+



I2

+ NaOH

+

NO

 NaCl + H2SO4

H2O

+

+

NO +

+

KMnO4 +

+

SnO2

HI03

+

S

H3PO4

+

+



KOH



+

MnCl + H230  + N2+3Cu+3H S D) 3CuO+2NH 2 2O 2NaHCO Na2H CO 3  3+CO2 + H2O + CrE) (SO ) + S + O 2 4 3 2

 K2SO3

KOH

HNO3  +

HNO3

FeSO4

H20

HNO3

KNO3 +

HCl

+

S

Na2CO3 +

H2SO4

KI





KCI

Cr2O3 +

S02

HgH2Cl4

+

NaClO +

CoCl2

Sn



H2SO4

+

KCl +

 NaHSO4

HNO3

ZnS

+



H2S

KClO3

+

FeCl2

S

+

H2SO4 + H2S

+ +

+

+

CO2

NH3 +

+

H20

H2O H2O

H2SO4 H2SO4

+ +

H2O I2

MnSO4 + K2SO4 + I2 KHSO4

H2SO4  

HNO2

+

MnSO4

Fe2(SO4)3 Na2SO3

+ +

+

+ Cl2

HBr

+

KCl

+

H2O +

H20 H20 H2O

PRÁCTICA PROBLEMAS PROPUESTOS 01. La descomposición de un compuesto químico en sus elementos por acción del 03. Una de las siguientes reacciones no es de metatésis o de doble des plazamiento: calor se denomina: A) 2KBr+Pb(NO3)  PbBr2+2KNO3 A) Ionización. B) Na2S+Fe(ClO3)2  FeS+2NaClO3 B) Sublimación C) KNO3+Na  K+NaNO3 C) Electrólisis D) BaCl2+H2SO4  BaSO4+2HCl D) Pirólisis. E) 2KHS+Ag2CrO4  2K2CrO4+ 2AgHS E) Autólisis. 02. Una de las siguientes reacciones es de 04. Cuantas reacciones de combustión se muestran a continuación: metatésis ¿Cuál es?  4Fe+S8  4FeS2 A) 2H2+O2  2H2O  CH4+2O2  CO2+H2O B) C3H8+5O2  3CO2 +4H2O  2KClO3  2KCl+3O2 C) H2S+Ca(OH)2  CaS +2H2O 48 Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 304 “Ingresa directo a la UNAMBA con una preparación de calidad”

GRUPO INGENIERIAS H2SO4+HNO3+KMnO4  HNO3+ H2O  C2H5OH+2O2  CO2+3H2O A) 0 B) 1 C) 2 + MnSO4+ K2SO4 D) 3 E) A) 5:3 B) 3:5 C) 5:1 05. Determine los estados de oxidación del D) 2:5 E) 3:1 fósforo en: PH3, P2O3, KHPO4, H3PO3 A) +3;+3;–5;+5 B) –3; +5; –3; –3 13. indique el coeficiente del ácido sulfhídrico, al C) –3;+3;+5;+3 D) +3;+3;+3;+3 balancear: E) +3;+5;–5;+5 H2S + K2Cr2O7 + H2SO4  S + Cr2 (SO4)3 + K2SO4 + H2O 06. Indicar el coeficiente del agua en la siguiente A) 1 B) 2 C) 3 reacción: D) 4 E) 5 K2Cr2O7+HI  KI+CrI3 +I2+H2O. A) 2 B) 3 C) 5 D) 6 E) 7 EJERCICIOS DE REACCIONES 07. Al balancear, la suma de coeficientes es: H2S + NH4OH  (NH4)2S + H2O A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2

QUIMICAS 263.

Balancear las siguientes

ecuaciones por el método redox.

08. Después de balancear indique el producto de los coeficientes mínimos enteros. H2SO4+NH3  S+ HNO3+H2O. A) 1008 B)1009 C)1010 D)1012 E)1120

HNO3  H 2 S  NO  S  H 2 O Cu  HNO3  Cu( NO3 ) 2  H 2 O  NO

09. En la reacción química determine el número de electrones transferidos: HNO3+H2S  NO+S +H2O. A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10

FeCl 3  H 2 S  FeCl 2  S  HCl HNO3  I 2  HIO3  NO2  H 2 O

10. Cuál es el coeficiente del agente oxidante en la reacción mostrada HNO3 + I  HIO3 + NO + H2O. A) 8 B) 9 C) 12 D) 10 E) 15

K 2Cr2O7  H 2O  S  SO2  KOH  Cr2O3

S  HNO3  SO2  NO  H 2O

SnCl4  FeCl 2  SnCl2  FeCl 3

11. Balancear la ecuación química y calcular el producto de los coeficientes del oxigeno y el agua. KMnO4+H2O2  MnO2+KOH+O2+ H2O. A) 5 B) 6 C) 8 D) 12 E)24

KMnO4  HBr  KBr  MnBr2  H 2 O  Br2

12. Cual es la relación del coeficiente del agente oxidante y del agente reductor en la ecuación dada: Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 304

49


GRUPO INGENIERIAS en una razón de números enteros y sencillos.”

ESTEQUIOMETRIA Definición.Es el estudio de la relaciones cuantitativas de los reactivcos y productos de una reacción química. LEYES ESTEQUIOMETRICAS Estas relaciones pueden ser de (ponderales) y volumen (volumétricas)

4.

masa

LEYES PONDERALES Y VOLUMÉTRICAS DE LAS COMBINACIONES QUÍMICAS LEYES PONDERALES Son leyes que relacionan la masa de las sustancias que participan en una reacción química. Estas leyes se cumplen a cualquier temperatura y presión de las sustancias, y son:

LEY DE LAS PROPORCIONES RECÍPROCAS O LEY DE RITCHER Llamada también ley de las proporciones equivalentes, expresa: “Si dos sustancias reaccionan independientemente con el mismo peso de uno tercero, las dos sustancias reaccionaran entre si con los mismos pesos o bien con múltiples o submúltiplos de estos”

LEYES VOLUMÉTRICAS Son leyes que relacionan el volumen de las sustancias que participan en una reacción química. Estas leyes se limitan a sustancias gaseosas que deben estar a la misma temperatura y presión (condición de Avogadro)

1.

LEY DE CONSERVACIÓN DE LA MATERIA 1. O LEY DE LAVOISIER. “La materia no se crea ni se destruye” ó “En toda reacción química la masa de los reactantes es igual a la masa de los productos”

2.

LEY DE LAS PROPORCIONES DEFINIDAS O LEY DE PROUST Llamada también ley de la composición constante, expresa: “Cuando dos o más elementos se combinan para formar un determinado compuesto, lo hacen en una relación, en peso invariable”. En consecuencia cualquier exceso quedará sin reaccionar.

LEY DE LOS VOLÚMENES DE COMBINACIÓN O LEY DE GAY – LUSSAC Esta ley consta de dos principios: a) Siempre que dos más gases intervienen en una reacción química, las proporciones de sus volúmenes pueden expresarse como números enteros y sencillos. b)

El volumen total de los gases reaccionantes es mayor e igual al volumen total de los gases resultantes.


Otra forma de expresar esta ley es: Un compuesto puro consiste siempre en los 01. ¿Cuántos gramos de ácido sulfúrico se requieren para disolver 5 g de Fe y formar mismos elementos combinados en la misma sulfato ferroso, con desprendimiento de proporción en masa. hidrógeno? A) 8,57 B) 8,75 C) 7,85 D) 7,58 E) 5,87 3. LEY DE LAS PROPORCIONES MÚLTIPLES O LEY DE DALTON 02. ¿Cuántos gramos de magnesio se requieren “Si dos elementos forman más de un para preparar 250 gramos de hidrógeno?. compuesto, la masa de uno de ellos Según : permanece constante y la del otro varía 50 Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 304 “Ingresa directo a la UNAMBA con una preparación de calidad”

GRUPO INGENIERIAS Mg + H2O  Mg(OH)2 + H2 A) 600 g B) 6000 g C) 3000 g D) 900 g E) 300 g

3

0.7 g/cm . (P.A. H=1, C=12). C8H18(l) + O2(g) CO2(g) + H2O(g) A) 1080,7 B)10807 C) 5403,5 D) 540,35 E) 108,07

03. En una reacción química se producen 9 g de hidrógeno. Hallar la masa de potasa caústica 09. La cinta de magnesio reacciona con una solución de ácido clorhídrico de densidad de producida en kg, según la reacción química: 3 1.18 g/cm y 36% en peso. La reacción es: K + H2 O KOH + H2 Mg + HCl MgCl2 +H2 A) 504 B) 252 C) 0.252 ¿Qué volumen de solución de HCl se D) 5.04 E) 0,504 necesita para producir 600 g de hidrógeno? A) 8,57 B) 8,75 C) 51,55 L 04. Luego de balancear las ecuaciones : D) 7,58 E) 5,87 aZn + bHCl  cZnCl2 + dH2 eCH4 + fO2  gCO2 + hH2O 10. Se hacen reaccionar 100 g de sodio con determinar : exceso de agua. ¿Qué volumen de gas a+b+c Q = hidrógeno se producirán a 2 atm y 27ºC. e+f +g P.A: (H:1, O:16, Na:23) A) 5 B) 3 C) 2/3 Na + H2O NaOH + H2 D) 2 E) 1 A) 1.23 L B)11.07 L C) 12.3 L D) 110.7 L E)123 L 05. ¿Cuántas moléculas de amoniaco se necesitan para producir 2.5 Kg de cloruro de amonio? (P.A. H:1, Cl: 35.5, N: 14). La 11. Se queman una mezcla que contiene 40 g de gas metano (CH4) y 180 g de pentano reacción es: HCl + NH3 NH4Cl 25 (C5H12). Determinar el volumen de oxígeno a A) 281.14 B)2,81NA C) 2,81x10 24 condiciones normales que se requiere para D) 28,1 NA E) 2,81x10 la combustión completa de esta mezcla. P.A (C:12, H:1, O:16) 06. Qué masa de hierro se obtendrá al hacer CH4 + O2 CO2 + H2O reaccionar Fe con 2.4 mol–g de oxígeno en C H + O CO2 + H2O 5 12 2 la formación del óxido, según la reacción : Fe + O2 

Fe2O3

A) 112 L D) 5.60L

B)560L E) 1120L

C) 448 L

A) 747 B) 1,493 C) 74,7 D) 14.93 E) 149,3 07. Se tiene un mineral que contiene 34.8% de pirita (FeS2), si este se reduce a trozos 12. ¿Cuántos gramos de oxígeno pueden ser obtenidos mediante un calentamiento de 4 pequeños y se queman en presencia de aire mol–g de clorato de potasio, según : para formar Fe2O3. ¿Cuántos gramos de KClO3  KCl + O2 oxígeno gaseoso, se requiere para procesar A) 96 g B) 192 g C) 384 g 2.5 Kg del mineral pirita?. (P.A; Fe:56, S:32, D) 48 g E) 46 g O:16). La ecuación es: FeS2 + O2 Fe2O3 + SO2 34. Cuántos litros de NH3 se producirán a partir A) 638 B) 319 C) 6,38 de 60 litros de nitrógeno, según D) 63,18 E)3,19 N2 + H2  NH3 A) 120 L B) 140 L C) 60 L 08. ¿Cuántos gramos de dióxido de carbono se D) 80 L E) 170 L obtienen de la combustión completa de 5 L 13. ¿Cuántas moles de MnO2 son de isooctano líquido, su densidad es 51 Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 304 “Ingresa directo a la UNAMBA con una preparación de calidad”

GRUPO INGENIERIAS necesarias C.N.? MnO2 + HCl A) 2 mol–g D) 4 mol–g

para producir 44,8 L de Cl2 a  MnCl2 + Cl2 + H2O B) 3 mol–g C) 1 mol–g E) 5 mol–g

19. Un mineral contiene 90% de Fe2O3. ¿Cuál es el porcentaje de Hierro en el mineral?. (Fe = 56; O = 16) A) 63% B) 60% C) 6,3% D) 75% E) 82%

14. En el siguiente proceso halle cuántos litros de óxido carbónico a C.N. se obtiene si 20. Unos huesos que pesan 6 kilogramos tratamos 0,150 kg de carbonato de calcio contiene 75% de fosfato de Calcio. ¿Qué peso de fósforo existe en los huesos?. CaCO3 + HCl  CaCl2 + CO2 + H2O (Ca = 40; P = 31; O = 16). A) 36,3 B) 63,3 C) 3,63 A) 0,9 kg B) 4, 5 kg C) 1, 75 kg D) 33,6 E) 3,36 D) 1,25 kg E) 2, 7 kg 15. Cuando el fósforo blanco (P4) reacciona con el cloro gaseoso (Cl2), se obtiene el tricloruro 21. ¿Cuántos gramos de zinc (MA = 65) se de fósforo (PCl3) . Si se desea producir 20 g requiere para reaccionar con suficiente de PCl3 a C.N, ¿qué volumen de cloro será cantidad de acido sulfúrico y producir 20 necesario? mol–g de hidrogeno, de acuerdo a la m.A(Cl) = 35,5 siguiente ecuación? A) 3,6 L B) 4,1 L C) 4,9 L Zn + H2SO4  ZnSO4 + H2 D) 5,3 L E) 5,8 L A) 1.30 B) 1300 C) 0.130 D) 13.1

E) 13

16. ¿Qué volumen de aire que contiene 20% en 22. ¿Cuántos gramos de acido nítrico se volumen de oxígeno será necesario emplear requieren para obtener 160 g de azufre de para producir la combustión completa de 10 acuerdo a la siguiente ecuación: MA(S) =32, L de C3H8? MA(N) = 14.? C3H8 + O2  CO2 + H2O HNO3 + H2S  NO + H2O + S. A) 100 L B) 150 L C) 200 L A) 220 B) 0.220 C) 21 D) 250 L E) 300 L D) 210 E) 260 17. Se tiene una muestra de mineral blenda que pesa 9.70 g ; éste contiene 40% de ZnS (blenda), al someterlo a tostación, ¿Qué cantidad de ZnO se obtendrá?, según: ZnS + O2  ZnO + SO2 A) 34,9 g B) 64,8 g C) 124 g D) 1,94 g E) 3,31 g

23. ¿Cuantas moléculas de cloro se obtendrá a partir de 4900 g de acido sulfúrico, de acuerdo a la siguiente ecuación química: MA(S) = 32?. H2SO4 + KMnO4 + KCl  MnSO4 + K2SO4 + Cl2 + H2O A) 31.25 B) 3125 C) 3.125 D) 312.5 E) 0.3125

18. Hallar el volumen de aire que se necesita 24. ¿Cuántos gramos de peróxido de hidrogeno a 27º C y 1.8 atm. Se requiere para obtener para la combustión de 3 L de acetileno 560 L de oxigeno a C.N. de acuerdo a: (C2H2) y el volumen de dióxido de carbono KMnO4 + H2SO4 + H2O2  MnSO4 + O2 + respectivamente K2SO4 + H2O Aire (O2 = 20%, N2 = 80% ; en volumen) A) 6 L; 37,5 L B) 37,5 L; 6 L 25. Cuantos litros de SO2 se obtendrá a partir de C) 6 L; 35,7 D) 35,7; 6 L 121 L de O2, de acuerdo a la siguiente E) 6 L; 57,3 L reacción: 52 Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 304 “Ingresa directo a la UNAMBA con una preparación de calidad”

GRUPO INGENIERIAS FeS2 + O 2  Fe2O3 + SO2 A) 880 B) 120 D) 98 E) 38

Es el componente que se disuelve, por lo general se encuentra en menor proporción, la solución puede contener más de un soluto y además da el nombre a la solución.

C) 88

SISTEMA DISPERSO SOLUCIONES

2.

DISPERSIONES: Es el ordenamiento de las partículas de un cuerpo en el seno de otro cuerpo, lo que se reparte se denomina “fase dispersa” y quien permite la dispersión se denomina “fase dispersante”.

Solvente (STE) : Es el componente que disuelve, por lo general se encuentra en mayor proporción, la solución sólo puede contener un solvente. El solvente más utilizado es el agua (solvente universal) debido a que disuelve a casi todas las sustancias debido a su alta constante dieléctrica, y a la polaridad de su molécula.

UNIDADES FÍSICAS DE CONCENTRACIÓN CLASIFICACIÓN DE LAS DISPERSIONES Según el tamaño de la partícula dispersa, las 1. Porcentaje en masa (% m) Expresa la masa de soluto que hay en 100 dispersiones se clasifican en: suspensiones, gramos de solución soluciones y coloides. 1.

2.

3.

SUSPENSIONES Es un tipo de dispersión que tiene como característica la sedimentación, ello es debido a la poca afinidad que existe entre la fase dispersa y la fase dispersante. Tamaño de partícula: d > 1 μm

2.

COLOIDES Es un tipo de dispersión donde las partículas dispersas llamadas “MICELAS” se encuentran en constante movimiento tipo zig – zag, lo cual le da estabilidad al coloide, este movimiento se denomina “BROWNIANO”; otra propiedad importante de los coloides es la difracción de los rayos de la luz, fenómeno llamado “EFECTO 3. TYNDALL” Tamaño de partícula : 1 nm < d < 1 μm

Porcentaje en volumen (% V) Expresa el volumen del soluto que hay en 100 mL de solución

Porcentaje masa en volumen (% m/V) Expresa la masa en gramos de soluto en 100 mL de volumen de solución

SOLUCIÓN Es un tipo de dispersión homogénea, también se le denomina dispersión fina, en la solución se mezclan dos o más especies químicas (átomos, iones, moléculas). Tamaño de partícula : d < 1 nm

COMPONENTES DE LA SOLUCIÓN: 1. Soluto (STO) : Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 304

4. 53

Masa de soluto en volumen de solución Cuando la concentración se expresa en “Ingresa directo a la UNAMBA con una preparación de calidad”

GRUPO INGENIERIAS mg/L, esta expresión es equivalente a una parte por millón (ppm)

UNIDADES QUÍMICAS DE CONCENTRACIÓN 1.

2.

3.

inmiscibles. III. Las suspensiones sedimentan. IV. Los aerosoles son dispersiones de gas en líquido V. El agua puede presentar un sistema unitario trifasico. A) I y II B) I C) I, II y III D) I, II y IV E)V 03. Se mexcla 400 kg de HCl al 28% con 100kg de Hcl 40%, calcular la concentración de la solución final. A)31.20% B)30.4% C)36.5% D) 29.6% E)28.5%

MOLARIDAD (M) 04. Que volumen de agua se debe agregar a Es el número de moles del soluto por litro de 400g de alcohol etílico al 80% para bajarlo al solución. 20%?. A) 800 ml B)1200 ml C)300 ml NORMALIDAD (N) D)180 ml E)2500 ml Es el número de equivalentes–gramo de soluto por litro de solución. 05. Calcular la molalidad de la solución preparada con 60g de MgSO4 10H2O y 64g MOLALIDAD (m). de agua. (PM MgSO4=120, H2O=18) ES el número de moles de un soluto por A) 0.8 B) 1.2 C) 1.6 unidad de masa en Kg de agua o solvente D) 2.0 E) 2.4

PRÁCTICA 06. Cuántos mililitros de solución de cloruro de PROBLEMAS PROPUESTOS sodio 3M se requieren para reaccionar con 01. Cuantas proposiciones son incorrectas: 3.4g de AgNO3 en cristales y formar AgCl? (PM AgNO3 =170)  Se llama disolución a una mezcla A) 6.7 B) 5.4 C) 4.8 homogenea. D) 3.6 E) 2.2  El agua es el solvente en una solución que contiene mas alcohol que agua.  Si dos sustancias se separan por medios 07. Cual es el volumen de ácido sulfurico 0.2N que se requiere para neutralizar 1.85g de físicos, entonces no formaban una Ca(OH)2? PM Ca(OH)2=74. solución. A) 250 ml B) 200 ml C)150 ml  Al agua se le conoce como disolvente D) 100 ml E)50 ml universal. A)1 B) 2 C) 3 08. Calcular la normalidad de una solución D) 4 E) 0 sabiendo que 2 litros de la misma contiene 410 g de H2SO3. (PA: S=32, O=16) 02. Indicar las proposiciones incorrectas: A)1 B) 2 C) 3 I. Según el tamaño de partículas D) 4 E) 5 dispersas: Solución>coloide>suspensión. II. Las soluciones liquidas: pueden ser 09. Que volumen de HNO3 0.8N se requiere para neutralizar 250 ml de KOH 4N. entre componentes miscibles o 54 Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 304 “Ingresa directo a la UNAMBA con una preparación de calidad”

GRUPO INGENIERIAS A) 500 ml B) 800 ml D) 1250 ml E)1400 ml

C)1500 ml

A) 0,1 D) 0,4

B) 0,2 E) 0,5

C) 0,3

17. Se va a llenar una botella de 12 L con H2SO4, 6M. ¿Qué volumen de H2SO4 18M, habrá que añadir a la botella antes de llenarla con agua? A) 1 L B) 2 L C) 3 L D) 4 L E) 5 L

10. Se disuelven 63.2g de KMnO4 en agua hasta completar un volumen de 40 litros. Calcular la molaridad de la solución. (K=39, Mn=55, O=16) A)0.1 M B) 0.01 M C) 0.001 M D) 1M E) 0.2 M 18.

¿Cuál es la molaridad de una solución que contiene 21,2 g de Na2CO3 disueltos en 100 mL de solución? A) 1 mol/L B) 2 mol/L C) 3 mol/L D) 4 mol/L E) 5 mol/L

11. Hallar la normalidad de la solución resultante al mezclar 80 ml de HCl 0.2 N con 120 ml de HCl 4N. A) 3.5 B) 2.5 C) 2.0 19. Se disolvieron 4 moles de acido sulfúrico en D) 1.5 E) 0.8 200 mL de agua. ¿Cuál es la modalidad de la solución? 12. Una solución diluida se obtienen agregando A) 24 mol/kg B) 28 mol/kg 500 ml de agua a 2 litros de HBr 2M. Se C) 20 mol/kg D) 22 mol/kg extraen 800 ml de esta solución. Calcular el E) 18 mol/kg volumen de agua que se debe agregar a la última 20. Se disolvieron 80 g de NaOH en agua hasta solución para obtener una solución al 10% en completar un volumen de 250 mL de peso y densidad 1.07g/ml. PM HBr= 81. solución. ¿Cuál fue la normalidad de la A) 0.12 l B) 0.24l C) 0.36 l solución? D) 0.48 l E) 0.52 l A) 8,5 Eq/L B) 8 Eq/L C) 6 Eq/L 13. ¿Cuál es la normalidad de una solución de D) 6,5 Eq/L E) 7 Eq/L hidróxido de sodio que pesa 200 g que se 21. Determínese la molaridad de una solución disuelve en suficiente agua hasta completar que contiene 292 g de HCl, disueltos en 5 litros de la disolución? cantidad suficiente de agua, hasta alcanzar A) 0,5 B) 1 C) 1,5 un volumen de 2500 mL de solución. D) 2 E) 2,5 A) 3,6 mol/L B) 4,2 mol/L C) 3,2 mol/L D) 6,6 mol/L 14. Cuál es la molaridad de una solución E) 5,5 mol/L preparada por disolución de 212 g de Na2CO3 en cantidad suficiente de agua para 22. Hallar la M y N de una solución de 2000 ml que contiene 400 gr de NaOH. hacer 2 500 ml de solución? A) 0.5– 5 B) 5 –5 A) 0.24 B) 0.6 C) 0.8 C) 50 –0,5 D) 0.05 –0,5 D) 1.8 E) 6.5 E) 500 –50 15. Una muestra de una solución contiene 21 g de metanol y 32 g de agua. ¿Cuál es la 23. ¿Cuantos gramos de una solución de NaCl al 15 % se necesitan para extraer 38 gramos fracción molar del metanol en la solución? de NaCl? A) 0.26 B) 0.12 C) 0.38 A) 253 g B) 186 g C) 134 g D) 0.45 E) 0.8 D) 318 g E) 400 g. 16. ¿Cuántos moles de acido sulfúrico hay en 24. Se añade 12 L de ácido clorhídrico 8 M a 8L 200 ml de una solución 2N de este acido? de ácido clorhídrico 2.5 M. Hallar la 55 Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 304 “Ingresa directo a la UNAMBA con una preparación de calidad”

GRUPO INGENIERIAS normalidad resultante. A) 4.8 B) 5.8 D) 8.8 E) 10.8

32. Hallar la molalidad de una solución acuosa 3 cuya densidad es 2 g/cm , con una concentración del 20% en masa de cloruro 25. Se tiene 12 L de una solución al 15% en férrico. (Cl=35.5, Fe=56) volumen de HCl ¿–Cuántos litros de agua A) 1.11 B) 1.23 C) 1.53 debemos agregar para obtener otra solución D) 1.82 E) 1.92 al 4% en volumen de HCl? A) 33 D) 38

B) 3.3 E) 3.9

C) 6.8

C) 55

26. Se mezclan X g de una solución al 20% de NaOH con Y g de una solución al 4% de NaOH, de tal manera que resulta 400 gr de otra solución al 8% de NaOH. Hallar los valores de X e Y. A) 200 – 400 B) 420 – 355 C) 500 – 625 D) 100 – 300 E) 100 – 500 27. Se tiene 5000 ml de una solución 0.8 molar de HCl ¿Cuántos litros de agua debemos agregar para obtener otra solución al 0.02 molar de HCl? A) 195 B) 5 C) 235 D) 4 E) 213 28. Se tiene una solución acuosa cuya densidad 3 es 1.2 g/cm con una concentración al 20% en masa de NaOH. Hallar la M, N y m. A) 6 – 5 – 7.25 B) 6 – 6 – 6.25 C) 5 – 5 – 7.5 D) 4 – 6 – 6.25 E) 4 – 6 – 6.5

33. ¿Cuántos gramos de KOH se tendrá que disolver en agua para obtener 700 mL de solución 3N de hidróxido de potasio? A) 300.2 B) 200.2 C) 117.6 D) 471.2 E) 472.3 34. Una disolución del 22 % de sulfato de aluminio tiene por densidad 1.253 g/mL. ¿Determíne para esta solución su molalidad? A) 0.32 B) 0.41 C) 0.82 D) 0.17 E) 2.3 35. Determine el número de equivalentes – gramo de soluto en 100 ml de solución de BaCl2 2,5 N. A) 0,15 B) 0,25 C) 0,5 D) 0,75 E) 0,1 36. Encuentre los gramos de soluto que se requieren para la preparación de 250 ml de solución AgNO3 0,5 N. A) 400,5 B) 220,5 C) 315,5 D) 624,3 E) 815,4

29. Cuantas moléculas de ácido sulfúrico existen en 2500 ml de una solución 2 normal de ácido sulfúrico. 37. Deseamos preparar 0,1 litros de una 25 –20 A) 15.05 x 10 B) 15.05 x 10 disolución de sulfato de cobre al 0,2 M. 20 24 C) 15.05 x 10 D) 15.05 x 10 ¿Cuántos gramos de sulfato de cobre se 23 E) 15.05 x 10 necesitara? (PA Cu= 65) A) 3,22 g B) 6,22 g C) 4,22 g 30. Determine la fracción molar del soluto, si la D) 5,22 g E) 1,22 g molalidad de la solución es 2. A) 0.74 B) 0.85 C) 0.12 38. Determine la normalidad de 220 g de H2SO4 D) 0.034 E) 0.22 en 5 litros de solución. A) 1,2 B) 4,5 C) 0,9 31. ¿Cuál será la molalidad de una disolución de D) 2,2 E) 1,8 carbonato de sodio que pesa 5.3 g disueltos en 250 g de agua? 39. ¿Qué peso de cloruro de sodio es necesario A) 0.2 B) 0.3 C) 0.25 para preparar 500 ml de una solución 4 D) 0.84 E) 1.4 molar? 56 Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 304 “Ingresa directo a la UNAMBA con una preparación de calidad”

GRUPO INGENIERIAS Peso atómico: Na = 23, Cl = 35,5. A) 117 Kg B) 58,5 Kg C) 117 Kg D) 17,7 Kg E) 58,5 Kg 40. ¿Cuántos moles de sulfato de hierro III contiene 1 Kg de este compuesto? Peso atómico: hierro= 56; azufre = 32; oxígeno = 16. A) 25 B) 250 C) 2,5 D) 0,25 E) 0,025

acuerdo a IUPAQ 1979 y IUPAQ 1993, además debe hallar el número de carbonos primarios, secundarios, terciarios y cuaternarios de cada uno de los compuestos. Asimismo debe hallar el numero de enlaces sigma (σ) y enlaces pi (π).

1. Nombre IUPAQ:

41. ¿Cuántos gramos de una sal deberán disolverse en 315 gramos de agua para darnos una solución al 25% en masa? A) 78,75 B) 105 C) 315 D) 75 E) 125 42. Calcule la concentración molar y normales de una solución que se prepara disolviendo 2,65 g de Na2CO3 y se afora 250 ml. A) 0,2 M 0,1 N B) 0,2 M 0,2 N C) 0,1 M 0,1 N D) 0,1 M 0,05 N E) 0,1 M 0,2 N 43. Una mezcla de etanol en agua en la proporción de 500 ml de etanol por 1500 ml de agua tiene una concentración porcentual en volumen del: A) 30,0% B) 2,5% C) 35,0% D) 25,0% E) 3,5% 44. 5 litros de una solución de NaOH esta formada con 400 gramos de dicha sal. ¿Cuál es su molaridad? A) 5 M B) 0,5 M C) 0,2 M D) 2 M E) 3 M

C1= C2= C3= C4=

σ = π =

2. Nombre IUPAQ:

C1= C2= C3= C4=

σ = π =

3. 45. Se tiene una solución al 2 N de H2SO4. Determine la molaridad de dicha solución. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6

Nombre IUPAQ:

C1= C2= C3= C4=

INTRODUCCION A LA QUÍMICA ORGÁNICA PRÁCTICA

σ = π =

PROBLEMAS PROPUESTOS Colocar el nombre correspondiente de Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 304

57


GRUPO INGENIERIAS Nombre IUPAQ:

C1= C2= C3= C4=

4.

σ = π =

Nombre IUPAQ:

C1= C2= C3= C4=

σ = π =

7. Nombre IUPAQ:

C1= C2= C3= C4=

5.

σ = π =

Nombre IUPAQ:

C1= C2= C3= C4=

σ = π = 8.

Nombre IUPAQ:

C1= C2= C3= C4=

σ = π =

6.

9. Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 304

58


GRUPO INGENIERIAS Nombre IUPAQ: Nombre IUPAQ: C1= C2= C3= C4=

σ = π =

σ = π =

C1= C2= C3= C4=

13. 10. Nombre IUPAQ: Nombre IUPAQ:

C1= C2= C3= C4=

σ = π =

C1= C2= C3= C4=

σ = π =

14. Nombre IUPAQ: σ = π =

C1= C2= C3= C4=

11. Nombre IUPAQ:

C1= C2= C3= C4=

σ = π =

12. Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 304

15. Nombre IUPAQ:

C1= C2= C3= C4=

σ = π =

16. 59


GRUPO INGENIERIAS Nombre IUPAQ: Nombre IUPAQ:

C1= C2= C3= C4=

C1= C2= C3= C4=

σ = π =

σ = π =

20. Nombre IUPAQ:

C1= C2= C3= C4=

17. Nombre IUPAQ:

C1= C2= C3= C4=

σ = π =

σ = π = 21.

Nombre IUPAQ:

C1= C2= C3= C4=

18. Nombre IUPAQ:

C1= C2= C3= C4=

σ = π =

σ = π =

19.


22.

60



C1= C2= C3= C4=

σ = π = 25. Nombre IUPAQ:

C1= C2= C3= C4=

σ = π =

23. Nombre IUPAQ:

C1= C2= C3= C4=

26. Nombre IUPAQ:

σ = π =

C1= C2= C3= C4=

σ = π =

24. 27.

Nombre IUPAQ:

C1= C2= C3= C4=

Nombre IUPAQ:

σ = π =


C1= C2= C3= C4=

61

σ = π =



28.

CH3  CH3 CH3 – CH – CH2   CH3 – C – CH2 – CH2 – CH – CH2 – CH3  CH3

Nombre IUPAQ:

C1= C2= C3= C4=

σ = π =

C1= C2= C3= C4=

σ = π =

31.

Nombre IUPAQ: σ = π =

C1= C2= C3= C4= 29.

CH3 CH3   CH3 – C – C – CH2 – CH3  CH3 CH

Nombre IUPAQ:

C1= C2= C3= C4=

σ = π =

CH3

CH3

32. Nombre IUPAQ: C1= C2= C3= C4=

30.


62

σ = π =


GRUPO INGENIERIAS

33.

CH3 C2H5   CH3 – CH2 – C – CH2 – C – CH3   CH2 C2H5  C2H5

CH2  CH3 – CH = C – CH2 – CH2 – CH  CH2  CH3

36. Nombre IUPAQ: ____________________________ _______

Nombre IUPAQ:

CH3 C2H5   CH3 – C – CH2 – C – CH3   CH3 CH3

CH3  CH  C – CH – CH – CH2 – CH – CH = C     CH3 CH2 CH CH3  CH3

34.

37. Nombre IUPAQ:


C1= C2= C3= C4=

C1= C2= C3= C4=

CH3 – CH = C – CH2 – CH – CH = CH2   C2H5 CH CH3

CH3



σ = π =

CH2  CH2 = CH – CH – CH  CH2 – CH2 – CH3

35.

C1= C2= C3= C4=

σ = π =

C1= C2= C3= C4=

σ = π =

C1= C2= C3= C4=

38.

63



CH3 CH3 \ / CH3 CH   CH3 – CH – CH – CH – CH – C = CH3   C2H5 C3H7

σ = π =

C1= C2= C3= C4=

41.

39.

Nombre IUPAQ:

CH3 – CH = CH – CH – C = C – CH – CH3   CH3 CH  CH2 Nombre IUPAQ: σ = π =

C1= C2= C3= C4=

40.

σ = π =

C1= C2= C3= C4=

CH3

C2H5  CH2 – CH – CH – CH – CH = CH2  CH2  CH2  CH3

42. Nombre IUPAQ: σ = π =

C1= C2= C3= C4=

Nombre IUPAQ:

C1= C2= C3= C4=

CH3 C2H5   – CH – C = CH – C – CH3   C2H5 C3H7

CH3

σ = π = 43.

CH2  CH  – CH = CH – C – CH = CH – CH3  C(CH3)3

Nombre IUPAQ: C1= C2= C3= C4= Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 304

64

σ = π =


GRUPO INGENIERIAS

44.

C2H5  CH3 –CH –CH2 –CH =CH –CH = C –CH3  C2H5

Nombre IUPAQ:

Cl  CH3 – CH = CH – CH  CH3 A) 2 – cloro – 4 penteno B) 2 – cloropenteno C) 4 – cloro – 2 – penteno D) 4 – cloro – 4 metilpenteno E) 1 – cloro – 1 – metil – 2 buteno 50. Nombra el siguiente compuesto orgánico

C1= C2= C3= C4=

σ = π =

45. Halle la masa molecular del siguiente hidrocarburo: 3 – metil – 1 – pentino A) 79 B) 80 C) 81 D) 82 E) 83 46. La fórmula global del 2 – etil – 2 – penteno es: A) C7H12 B) C7H16 C) C7H17 D) C7H14 E) C7H13

CH3 – CH2 – C – CH2 – CH – CHCl – C  CH   CH2 CH3 A) 5 – cloro – 2– etil – 4 metil – 6 – ino – 1 – hepteno B) 3 – cloro – 6– etil – 4 metil – 6 – hepten – 1 – ino C) 5 – cloro – 2– etil – 4 metil – 1 – hepten– 6 – ino D) 3 – cloro – 6– etil – 4 metil – 6 – hepten– 1– ino E) 5 – cloro – 2– etil – 4 metil – 1 – hepteno – 6– ino

47. El hidrocarburo 2,3 – octadien–5.7–diino 51. El nombre IUPAC del compuestos: tienen……….….átomo por molécula CH3 – C  C – C(CH3)3 es: A) 13 B) 14 C) 15 A) Metilhexiletino D) 16 E) 17 B) 3,4,4 – trimetil hexino C) 4,5,5 – trimetil hexino 48. Nombrar el siguiente compuesto orgánico D) 3,4,4 – trimetil – 2 – hexino CH2 =CH –CH–C  C–CH –C C–CH2 –CH3 E) 4,5,5 – trimetil – 2 – hexino   CH3 C2H5 52. Asignar la nomenclatura IUPAC para el siguiente hidrocarburo A) 6 – etil– 4 – metil – 2 – decen – 4,5 diino CH2 = CH – CH2 – CH – CH = CH2 B) 5 – etil– 8 – metil – 9 – decen – 3,6 diino  C) 3 – metil– 6 –etil – 1 – decen – 4,7 diino CH3 D) 6 – etil– 3 – metil – 1 – decen – 4,7 diino E) 8 – metil– 5 – etil – 9 – decen – 3,6 diino A) 3 – metil – 1,5 – hexeno B) 3 – metal – 1,5 – hexadieno 49. El nombre IUPAC del compuesto es: C) 5 – metil – 1,5 – hexeno D) 5 – metil – 1,5 – dihexeno 65 Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 304 “Ingresa directo a la UNAMBA con una preparación de calidad”

GRUPO INGENIERIAS E) 3 – metil – 1,5 – hexedieno

B) 3 – etil – 5 – metil – 2,4 – octadieno C) 3 – etil – 5 – metilocta – 1,3 – dieno

53. ¿Cuál de los hidrocarburos siguientes es el 1,3 – butadieno? COMPUESTOS AROMATICOS A) CH3 – (CH2)2 – CH3 B) CH  C – C  CH Definición.- un compuesto aromático o areno es C) CH  C – CH = CH2 un compuesto orgánico cíclico conjugado que D) CH2 = CH – CH = CH2 posee una mayor estabilidad debido a la E) CH3 – C  C – CH3 deslocalización electrónica en enlaces π. Para 54. Indicar el nombre IUPAC de: determinar esta característica se aplica la regla de Hückel (debe tener un total de 4n+2 CH3 CH3 electrones π en el anillo) en consideración de la   topología de superposición de orbitales de los CH2 CH2 estados de transición.[2]   Para que se dé la aromaticidad, deben cumplirse CH3 – CH – (CH2)4 – CH – CH3 ciertas premisas, por ejemplo que los dobles enlaces resonantes de la molécula estén A) 3,8 – dimetil decano conjugados y que se den al menos dos formas B) 2,7 – dietil octano resonantes equivalentes. La estabilidad C) 2 – etil – 7 metil nonano excepcional de estos compuestos y la D) decano explicación de la regla de Hückel han sido E) 3,5 – dimetil decano explicados cuánticamente, mediante el modelo 55. El nombre correcto de cada uno de los de "partícula en un anillo". siguientes alqueninos es: CH3 – C  C – CH2 – CH = CH – CH3 CH2 = C(CH3) – C = C – CH3 CH  C–C(CH3) = C(CH3) – CH3 A)

2–hepten–5–ino; 2–metil–1–hexen–4– ino; 3,4–dimetil –3–pentero B) 5–hepten–2–ino; 2–metil–5–penten–2– ino; 1–hepten – 4 – ino C) 5–hepten–2–ino; 2–metil–1–penten–3– ino; 1–hepten–4–ino D) 2–hepten–5–ino; 2–metil–1–penten–3– ino; 3,4–dimetil – 3 – penten – 1 – ino E) 2–heptin–5–eno; 1–hexen–4–ino; 3– Dos formas diferentes de la resonancia del hepten –6– ino benceno (arriba) se combinan para producir una estructura promedio. 56. El nombre del compuesto siguiente es: CH2  CH3  CH3 – CH – CH = C – CH = CH2  CH2  CH2 – CH3 A) 3 – etil – 5 – propil – 1,3 – hexadieno Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 304

Grupo arilo.-

66


GRUPO INGENIERIAS Polisustituido



Derivados monosustituidos.-



Si hay más de dos grupos en el anillo benceno sus posiciones se deben indicar mediante el uso de números, la numeración del anillo debe ser de modo que los sustituyentes tengan el menor número de posición; cuando hay varios sustituyentes se nombran en orden alfabético. Cuando alguno de los sustituyentes genera un nuevo nombre con el anillo, este pasa a ser el nombre padre y se considera a dicho sustituyente en la posición uno (Ej: 1-amina-2-yodo benceno / 2-yodo anilina / orto-yodo anilina).

Disustituidos.Cuando hay dos sustituyentes en el anillo bencénico sus posiciones relativas se indican mediante números o prefijos, los prefijos utilizados son orto-, meta- y para-, de acuerdo a la forma: orto- (o-): Se utilizan en carbonos adyacentes. Posiciones 1,2. meta- (m-): Se utiliza cuando la posición de los carbonos son alternados. Posiciones 1,3. para- (p-): Se utiliza cuando la posición de los sustituyentes están en carbonos opuestos. Posiciones 1,4. Nombre un compuestos polisustituido del benceno atendiendo su nomenclatura.

  

Benceno como radical El anillo benceno como sustituyente se nombra fenilo. Cuando está unido a una cadena principal es un fenil.

NOTA: Los ejercicios se resolverán en clase


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GRUPO INGENIERIAS

FUNCIONES OXIGENADAS

sencillos, a un átomo de oxígeno (O). El grupo funcional es R–O–R (alcoxi).Los radicales ( R ) que se unen al oxígeno pueden ser iguales o diferentes. Pueden considerarse derivados de la molécula de agua en la que dos grupos alquilos reemplazan a los dos hidrógenos. R-O-R’, R-OAr, Ar-O-Ar’ Nomenclatura.- Existen dos maneras de dar nombre a estos compuestos. Los éteres simples se nombran los grupos alquilo o arilo en orden alfabético, luego se agrega la palabra éter Ejemplos: CH3 – O – CH2 – CH3, etilmetiléter

Son compuestos orgánicos ternarios que contienen oxígeno, carbono e hidrógeno: donde el oxígeno forma parte de un grupo de átomos denominado grupo funcional, el cual es determinante en las propiedades del compuesto. Las principales familias son: Funciones oxigenadas simples: Alcoholes, Ácidos, Aldehídos, Cetonas. Funciones oxigenadas compuestas: Éter, Ester, Anhídrido. CH3 – CH2 – O – CH2 – CH3, Etanol Acetona Ester 2

dietiléter

3.- FUNCIÓN ALDEHÍDO (R – CHO) Aldehído es una palabra compuesta que significa alcohol deshidrogenado. Son compuestos carbonílicos más simples,donde un grupo alquilo (o Arilo) y un átomo de hidrógeno están unidos al átomo de carbono del carbonilo – CO – en el carbono primario. Los aldehídos son compuestos orgánicos caracterizados por poseer el grupo Se consideran derivados de la molécula de agua funcional – CHO. Nomenclatura.- Los nombres sistemáticos al reemplazar uno de sus hidrógenos por R . según IUPAC se formanreemplazando la o final del hidrocarburo correspondiente (el de cadena Nomenclatura: Se nombran como los más larga que contenga al grupo –CHO) por la hidrocarburos de los que proce-den pero con la terminación al. terminación -ol, e indicando con el número localizador más bajo posible la posición del grupo H–CHO metanal ó formaldehído alcohólico. Si hay más de un grupo OH, se utiliza la terminación diol, triol, ... indicando con CH3–CHO etanal ó acetaldehído números los lugares donde se colocan. 1.-FUNCIÓN ALCOHOL (R-OH).- Los alcoholes son compuestos orgánicos que presentanel grupo funcional oxhidrilo o hidroxilo, - OH, el cuál está enlazado a átomos de carbono únicamente con enlaces simples. La fórmula general de un alcohol es: R – OH donde R es ungrupo alquilo.

Ejemplos: 1.CH3–OH Metanol (alcohol metílico) 2.CH3–CH2–OH Etanol (Alcohol etílico) 3.CH2OH–CH2OH Etanodiol

CH3– CH – CH2 – CHO butanal CHO– CH2 – CH2– CH2– CHO pentanodial NOTA: Mas ejercicios en clase

4.- FUNCIÓN CETONA (R–CO–R’) Son compuestos carbonílicos más simples, cuya fórmulageneral es R – CO – R’, pudiendo ser 2.- FUNCIÓN ETER (R–O–R’).Se llaman los radicales alifáticos oaromáticos. El grupo éteres los compuestos formados por dos carbonilo de las cetonas, a diferencia delos radicales unidos entre sí, mediante enlaces aldehídos no se enlaza a ningún átomo de hidrógeno. O Si R = R’ : cetona simétrico 68 Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 304 “Ingresa directo a la UNAMBA con una preparación de calidad” 4.CH2OH–CHOH–CH2OH propanotriol

GRUPO INGENIERIAS Si R ≠ R’ : cetonaR C R asimétrica Nomenclatura:Para nombrar los cetonas tenemos dos alternativas:Nombrar los dos radicales que están unidos al grupocarbonilo por orden alfabético y a continuación la palabracetona. Ejemplo: CH3 – CO – CH3 propanona o acetona CH3–CO –CH2–CH2 –CH3 2- pentanona

R” 3.- NITRILOS.Son compuestos orgánicos ternarios formados por carbono, hidrógeno y nitrógeno. Son derivados de los ácidos carboxílicos. Los nitrilos presentan el grupo funcional “CIANO” (-CN). Nomenclatura.- para nombrar se inicia con el nombre del hidrocarburo correspondiente seguido de la palabra “nitrilo”


COMPUESTOS ORGANICOS NITROGENADOS

01.- Nombrar los compuestos: 1.- AMINAS.Son derivados alquilicos o arilicos del amoniaco (NH3). Son compuestos ternarios formados por carbono, hidrógeno y nitrógeno. El grupo amino I) II) CH3 - N N (NH2-) es característica de las aminas primarias. | H Aminas primarias: R-NH2 CH3 Amina Secundaria: R-NH-R’ Aminas tercearias: R-N-R’ III) CH3 ─ (CH2)10 ─ CH2NH2 R” Nomenclatura.Para nombrar aminas, se nombra el nombre del radical terminado en “IL”, seguido de la palabra amina.

A) ciclo pentilamina ; dimetilciclo pentilamina; dodecilamina B) azaciclopentano ; etilciclo pentilamina ; undecilamina C) azaciclopentano ; dimetilciclo pentilamina; decilamina 2.- AMIDAS.D) ciclo pentilamina ; etilpentilamina ; Son compuestos orgánicos cuaternarios dodecilamina formados por carbono, hidrógeno, oxígeno y E) azaciclopentano; dimetilciclopentilamina; nitrógeno. Son derivados de los ácidos Dodecilamina carboxilicos, los que pierden el grupo oxidrilo para ser reemplazados por el grupo amida. 02.- Identifique un par que contenga una amina primaria y una amina secundaria. Nomenclatura.- Para nombrar una amida se cambia la terinación “ILO” del radical acilo por A)CH3─CHOH CH2 ─NH2 ; CH3NH3 “AMIDA”. Si hay sustituyente en el átomo de B)CH3─(CH2)─CH2NH2;(CH3─CH2─CH2)2NH nitrógeno, su posición se indica con la letra “N”, por cada átomo sustituido y se enuncia al C)CH3- NH-C3H7; ─ NH ─ comienzo. Amida primaria: R-CO-NH2 D)CH3CH2CH2NHCH2CH3; CH3CH2,CH2, NH2 Amida secundaria: R-CO-NH-R’ Amida tercearia : R-CO-N-R’ E) NH ; (oy- NH -Q Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 304

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GRUPO INGENIERIAS 03.- ¿Cuál es el nombre del compuesto mosNH trado? CH3 ─CH2 ─ CO CH3 CH3 CH3 No es cierto : I II A) Es un compuesto cuaternario CH3─ CH ─ N ─ CH — CH3 ─ NH3 B) Se trata de una amina oxigenada C) Es una amida secundaria A) N-metil -N -isopropil sec-butilamina D) En el amoníaco se han sustituido dos hiB) 2-metil -3-etil hexanoamina drógenos por dos propanoilos. C) E) Su nombre es dietanamida D) 2,3,4 -trimetil hexanoamina 09,- Nombrar : E) N-metil -N -isopropil isobutilamina CH3 CH3─(CH2)6─ CH─N 04.- Nombrar : I CH2─CH3 CH2 ─ CH2─ CH2 NH2─ C ─ NH2 CH3 I I II NH2 NH2 O A) 2 -(N-metil-N-etilamino) nonano (I) (II) B) metil etil nonil amina A) dipropilamina ; úrea C) N-etil-metii nonilamina B) 1,3-propandiamina ; carbodiamida D) 8 -(N-metil-N-etilamino) nonano C) dipropilamina ; carbamida E) nonil isopropilamina D) propanoamida ; metilamina 10.- La sustancia: E)diaminopropano ; úrea CN 05.- Identifique la pareja incorrecta : A) CH ≡ C — CN : cianuro de eiinilo B) CH3 — CH2 — CN : nitrilo propiónico C) Fe(CN)6K3 : ferricianuro de potasio Se denomina : D) NC— CH2 — CH2 — CN : succinonitrilo A) ácido ciano antrasenoico E) CH3— (CH2)8— CN : isooctilonitrilo B) cianuro de antracenilo C) ϫ-ciano antraceno 06.- La reacción del CH3 CH2CI con el amo-niaco D) Cianuro de α -naftilo produce : E) β- ciano fenantreno A) atanoamida D) cianuro de etilo 11.- Marque verdadero (V) o falso (F) según B) etanonitrilo E) metil etil amina convenga : C) etilamina ( ) N ≡ C ─ CH2 — CH2 - COOH : Ac. 3-cianopropanoico C≡N ─CH2─NH2 ( ) N ≡ C — CH2 - COOH: Na Ác. cianoetanoico el producto es el bencilamina. ¿Cuál es peso CH2 molecular? ( ) CH2 CH — C ≡ N: cianuro de CH2 ciclobutilo A)54< M <96 D)96< M <110 07.- En la reacción química : C2H5OH

B)36< M <72

E)72< M <105

08.- Respecto a la estructura mostrada : CH3─ CH2 ─ CO Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 304

( ) CH3 – CH2 - CH - C ≡ N : 2 ─cloro I butano nitrilo Cl 70


GRUPO INGENIERIAS A) VFVF D) VVVF

B) VFFV C) VVVV E) FVFV

el producto final es : A) C4H9 NH2 D) C4H7 NCI B) C4H9 CONH2 E) (C4H7 )4NCI C) C4H7 NH2

12.- ¿Qué nombre tiene el compuesto? NH

16.- En las reacciones : I. CH3 ─ CH2 ─ Cl + NH3

OH NH ─ CH3 CH3

II.

─ CONH2 +Br2 + 4KOH

(I) (II) Los productos principales son : A) metil difenii amina ; aminol A) anilina ; benceno B) 4-(N-fenilamino) tolueno ; metil aminol B) etilamina; anilina C) 4-(N-fenilamino) metilbenceno ; metil fenol C) etanoamida; anilina anilina D) butilamina; hexanoamida D) metil fenil tolueno ; anilinol E) dietilamina; hexilamina 17.- ¿Cuáles son los productos principales en E) 4-(N-fenilamino) tolueno ; 2-(N-metil amino)fenol las reacciones dadas? 6H I. CH─ CH ≡ OH — C ≡ N 13.-¿Cuánto pesa una molécula del compuesto 4H mostrado y cómo se llama? II. CH3 — CH2 — C ≡ N O CH3 ─ (CH2)16 — C A) butanoamida ; propanoamida N ─ CH3 B) butilamina ; propilamina I C) cianuro de butilo ; cianuro de vinilo CH3 D) etil cianuro ; propil cianuro -22 A) 3,18.10 g ; N-metil octanoamida E) etano nitrilo ; hexilamina B) 2,26.10-22 g ; N,N-dietil hexadecanoamida 18.- Calcular el peso molecular de los comC) -23 D)1,26.10 g;N,N-dietil hepatadecanoamida puestos que se dan a continuación. -22 E)4,16.10 g; N,N-dimetil octadecilamina CN CONH2 14.- ¿Cuál es el nombre común del siguiente compuesto? CN O (I) (II) CH3 ─ (CH2)7 – C A) 144 : 172 B) 126 ; 196 C) 148 ; 127 NH─ D) 186 ; 132 E) 157 ; 190 19.- ¿Cuál es la fórmula de la úrea y del cianuro de tetracontilo? (en ese orden) A) (NH2)2CO ; C40H81CN B) (NH2)CONH2 ; C4H9CN C) NH2COONH2 ; C40H79CN D) (NH2) - COOH ; C40HglCONH2 E) NH2CONH2 ; C41H81)CONH2

A) N - fenil pelargonamida B) N - ciclohexil caproamida C) N - fenil caproamida D) N - fenil succinamida E) N - ciclohexil pelargonamida 15.-En la reacción completa : NH2 Cl + Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 304

20.- Los 71

aminoácidos

tienen carácter


GRUPO INGENIERIAS anfotérico por : P.A. H = 1 : C = 12 ; O = 16 ; N = 14 A) el grupo -CO- y el grupo -NH., A) 15% B) 22% C) 33% B) el grupo -COOH y el grupo -NH2 D) 40 % 5) 28% C) ser cuaternarios 27.- No corresponde la fórmula al nombre adD) ser heterocíclicos e insaturados E) sus enlaces electrovalentes y covalentes junto : coordinados. A) CO(NH2)2 úrea B) HCN cianuro de hidrógeno 21.- ¿Cuánto pesan en kg 20 moles de C) CH3NH2 metilamina dimetilamina?P.A. H = 1 ; C = 12 ; N = 14 D) Ar – NH2 anilina E) C2H5NH2 : etanoamina A) 1,4 B)0,9 C)0,3 D)0,06 E) 2,6 28.- La fórmula del butironitrilo (cianuro de 22.- Calcular el volumen de N2 a 27 ° C y 758 propilo) es : mm Hg que se obtiene al analizar en un A) C3H5N B) C4H7N C) C5H9N nitrómetro 30 g de úrea. D) (CH3)3 N E) CH3N P.A. H=l ;C= 12 ;N =14; 0=16 29.- El valor de la atomicidad de la trimetilamina A) 3,3 ᶩ B) 6,6 ᶩ C) 9,6 ᶩ D) 12,3 ᶩ E) 5,2 ᶩ es : 23.- En nombre IUPAC del A) 9 B) 11 C) 13 D) 15 E) 8 O II CH3 30.- El indicador naranja de metilo y el rojo congo CH3─CH2─CH2─C─ N CH2─CH2─CH3 cambiar, de color frente a ácidos y bases, por su estructura son : A) g-metil -3 -hexanonitrilo Alaminas B) nitritos C) sales de diazonio B) α- metil etii propilamina D) amidas E) aldheídos C) N -metil -N- propilbutanamida D) ciamuro de metildipropilonio E) úrea 24.- ¿Cuántos kg de acetamida se produce mediante hidratación de 4,1 kg de cianuro de metilo (acetonitrilo)? P.A. H= 1 ;C= 12 ;N= 14:0= 16 A) 5,9 B)6,3 C)7,8 D) 9,6 E) 4,2 25.- Es propiedad de las aminas A) Son ligeramente acidas por sus hidrógenos B)La estereoquímica del grupo amino es octógonal. C) Son gases muy venenosos aunque de olor agradable. D) Poseen carácter básico o alcalino E) Son compuestos cuaternarios. 26.- El porcentaje de nitrógeno en la anilina, C6H5NH2 es : Av. Arenas N° 121 –Telf. 322577–Anexo 304

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GRUPO INGENIERIAS


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Compendio 2015-II Grupo Ingenierias

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