Compendio ejercicios

Profesor: Alejandro Fernánd ez Ayudante: Mª Angélica Malhu e

Índice

2004

INDICE

GUÍA Nº1: “Estadística Descriptiva Univariada” .......................... ....................................... .......................... ................. 3 GUÍA Nº2: “Estadística Descriptiva Bivariada” .......................... ....................................... .......................... ................. 19 GUÍA Nº3: “Teoría de las Probabilidades” Probabilidades” ......................... ...................................... .......................... ........................ ........... 27 GUÍA Nº4: “Variables Aleatorias Discretas” ......................... ....................................... ........................... ................... ...... 49 GUÍA Nº5: "Variables Aleatorias Continuas" ....................... ........... ...................... ...................... ....................... ............. 69 GUÍA Nº6: “V.A.C.: Cambio de Variables” ......................... ....................................... .......................... ..................... ......... 93 GUÍA Nº7: “Vectores Aleatorios” ......................... ....................................... .......................... ......................... ........................ ........... 99 GUÍA Nº8: “Inferencia: Estimación Puntual”............. Puntual” ......................... .......................... ........................... ................. .... 118 GUÍA Nº9: “Inferencia: Intervalos de Confianza” ................................................. 134 GUÍA Nº10: Nº10: “Inferencia: Test Test de Hipótesis” ......................... ....................................... .......................... ................... ....... 147

Probabilidades y Estadística s

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Índice

2004

INDICE

GUÍA Nº1: “Estadística Descriptiva Univariada” .......................... ....................................... .......................... ................. 3 GUÍA Nº2: “Estadística Descriptiva Bivariada” .......................... ....................................... .......................... ................. 19 GUÍA Nº3: “Teoría de las Probabilidades” Probabilidades” ......................... ...................................... .......................... ........................ ........... 27 GUÍA Nº4: “Variables Aleatorias Discretas” ......................... ....................................... ........................... ................... ...... 49 GUÍA Nº5: "Variables Aleatorias Continuas" ....................... ........... ...................... ...................... ....................... ............. 69 GUÍA Nº6: “V.A.C.: Cambio de Variables” ......................... ....................................... .......................... ..................... ......... 93 GUÍA Nº7: “Vectores Aleatorios” ......................... ....................................... .......................... ......................... ........................ ........... 99 GUÍA Nº8: “Inferencia: Estimación Puntual”............. Puntual” ......................... .......................... ........................... ................. .... 118 GUÍA Nº9: “Inferencia: Intervalos de Confianza” ................................................. 134 GUÍA Nº10: Nº10: “Inferencia: Test Test de Hipótesis” ......................... ....................................... .......................... ................... ....... 147


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Guía Nº1 Estadística D escri escri ptiva Uni vari ada

GUÍA Nº1

“Estadística Descriptiva Univariada”

Ejercicio Nº1:

La razón precio/ganancia de una emisión de acciones es la razón del precio por acción de la emisión mas reciente, sobre la ganancia por acción. Se tienen 44 datos de esta índole y suponga que k = 8 (número de clases). 25,8 14,3 16,9 18,1 40,2 15,2

14,8 30,5 39,7 20,0 16,2 17,7

26,0 20,0 18,3 45,5 14,9 14,7

17,2 19,5 15,8 44,3 18,5 17,4

19,8 19,2 50.6 15,1 23,6 19,7

17,1 23,4 17,8 16,8 21,3 14,5 20,8

18,7 16,4 15,5 20,0 15,7 15,6 19,4

a) Calcular a) Calcular y y usando l a tabla de f r ecuenci cuenci a

Primero debemos multiplicar los datos por 10 para que queden datos enteros.  Rango = dato mayor - dato menor = 506 - 143 = 363  Rango muestra = Rango + Unidad = 363 + 1 = 364  Ancho del intervalo = I = Rango muestra / k = 364/8 = 45,5  46  Exceso = (I · k) - Rango muestra = (46 · 8) - 364 = 4  Límite inferior = L i = dato menor - E/2 - ½ = 140,5 Clase C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8

MCi 163,5 209,5 255,5 301,5 347,5 393,5 439,5 485,5

Limites ni Ni Fi 140,5 – 140,5 – 186,5 186,5 23 23 0,52 186,5 – 186,5 – 232,5 232,5 11 34 0,77 232,5 – 232,5 – 278,5 278,5 4 38 0,86 278,5 – 278,5 – 324,5 324,5 1 39 0,89 324,5 – 324,5 – 370,5 370,5 0 39 0,89 370,5 – 370,5 – 416,5 416,5 2 41 0,93 416,5 – 416,5 – 462,5 462,5 2 43 0,98 462,5 – 462,5 – 508,5 508,5 1 44 1 nidi = 51  nidi² = 207 Probabilidades y Estadística s

di 0 1 2 3 4 5 6 7

nidi 0 11 8 3 0 10 12 7

nidi² 0 1111 16 9 0 50 72 49

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Guía Nº1 Estadística D escri ptiva Uni vari ada

y = MC0 + I(nidi)/n

= 163,5 + 46·51/44 = 216,8 /:10 = 21,68 ² = varianza = I² [(nidi²)/n - ({nidi}/n)²]

= 46² [207/44 - (51/44)²] = 7111,9   = desviación estándar = 84,3/10 = 8,43

b) Calcular el i nter valo y k , donde k=1,2,3. Cuente el número de medici ones que se ubi can dentr o de cada interval o y compar e estos r esul tados con algun a inf ormación empírica previa de 68%, 95% y 100% de disperción. y  k , donde k=1,2,3   

Para k = 1  216,8  1·84,3  Límite: 132,5 - 301,1  38 datos Para k = 2  216,8  2·84,3  Límite: 48,2 - 385,4  39 datos Para k = 3  216,8  3·84,3  Límite: -36,1 - 469,7  43 datos

Para comparar con la información empírica dada, se debe determinar un porcentaje con relación al total de datos; para k=1 se tiene 38/44 = 86,4% de dispersión, lo cual es comparable solamente con el 68% de dispersión. Los datos están mas agrupados para k=1. Se distingue que se realiza el análisis sin corregir los datos.

Ejercicio Nº2:

Con el fin de tomar medidas adecuadas para combatir el alcoholismo se realizó una encuesta en los liceos de Santiago y algunas Universidades, obteniéndose: que el 100% de los hombres, que han bebido lo han hecho antes de los 24 años, el 94% antes de los 20 años, el 90% antes de los 16 años, el 74% antes de los 12 años y el 23% antes de los 8 años. Mientras que en las mujeres que beben se sabe que el 100% de ellas habían bebido antes de los 24 años, el 91% antes de los 20 años, el 86% antes de los 16 años, el 41% antes de los 12 años y el 37% antes de los 8 años. Considere I = 4 años. a) Consideran do que el 61% de los bebedores eran hombr es. ¿Cuál es la edad promedio de comienzo en l os alcohóli cos? Probabilidades y Estadística s

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Clase C1 C2 C3 C4 C5


Limites de edad 4 – 8 8 – 12 12 – 16 16 – 20 20 – 24

MCi

FiH

f iH

FiM

f iM

6 10 14 18 22

0,23 0,74 0,9 0,94 1

0,23 0,51 0,16 0,04 0,06

0,37 0,41 0,86 0,91 1

0,37 0,04 0,45 0,05 0,09

 = edad promedio de comienzo de los alcohólicos = 0,61·  H + 0,39·  M 



= 0,61·10,76 + 0,39·11,8 = 11,16  H = edad media de comienzo de los hombres alcohólicos = 1/n (ni MCi) = (f iH MCi) = 10,76  M = edad media de comienzo de las mujeres alcohólicas = (f iM MCi) = 11,8

b) ¿Qué por centaj e de var iación podr ía atr ibuirse a la diferenci a de sexo?

Vintra = variabilidad al interior de los grupos = (total de hombres · H²) + (total de mujeres · M²) Total personas = 0,61·16,86 + 0,39·26,04 = 20,44  H² = (f iH MCi²) -  = 132,64 - (10,76)² = 16,86  M² = (f iM MCi²) -  = 165,28 - (11,8)² = 26,04 2

H

2

M

Vinter = variabilidad entre los grupos = (total de hombres ·  ) + (total de mujeres ·  ) - (  T)2 2

2

H

M


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Total personas = [0,61·(10,76)² + 0,39·(11,8)²] - (11,16)² = 0,38 Entonces, el 1,83% (0,38/20,82 = 0,0183) de la variación total se atribuye a la diferencia de sexo. Note que la varianza total corresponde a 20,82.

Ejercicio Nº3:

Se poseen los siguientes datos de altura (en pulgadas) de una muestra de 100 estudiantes. Altura Frecuencia

59,5 – 62,5 62,5 – 65,5 65,5 – 68,5 68,5 – 71,5 71,5 – 74,5 5 18 42 27 8

a) Encuentr e la altu r a media de los estudi antes, la moda y la mediana.

Clase C1 C2 C3 C4 C5

MCi 61 64 67 70 73

Limites 59,5 – 62,5 62,5 – 65,5 65,5 – 68,5 68,5 – 71,5 71,5 – 74,5 I=3 nidi = 15

ni 5 18 42 27 8 100 

f i 0,05 0,18 0,42 0,27 0,08

Ni 5 23 65 92 100

Fi 0,05 0,23 0,65 0,92 1

di -2 -1 0 1 2

nidi² = 97

 = altura media de los estudiantes = MC0 + I(nidi)/n = 67 + 3·15/100 = 67,45

Mo = clase modal, la mayor ni  C3: n3 = 42 = Li + I·(d1)/(d1 +d2) = 65,5 + 3·24/(24 + 15) Probabilidades y Estadística s

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 


= 67,35 d1 = nCMo - nCMo-1 = 42 - 18 = 24 d2 = nCMo - nCMo+1 = 42 - 27 = 15

Me = clase mediana, F i  0,5  C3: F3 = 0,65 = Li + (n/2 - NCMe-1)·I nCMe = 65,5 + (100/2 - 23)·3 42 = 67,43 b) Cal cul e la vari anza muestr al, desviación estándar , rango i ntercuar tílico, rango per centi l, coeficiente de vari ación y P 70 .

² = varianza muestral = I² [(nidi²)/n - ({nidi}/n)²]

= 9 [97/100 - (15/100)²] = 8,5275   = desviación estándar = 2,92

RSQ = Rango intercuartílico = (Q3 - Q1)/2 = (69,61 - 65,64)/2 = 1,99  Q3 = clase quartil 3, Fi  0,75  C4: F4 = 0,92 = Li + (n·i/4 - NCQ-1)·I nCQ = 68,5 + (100·3/4 - 65)·3 27 = 69,61  Q1 = clase quartil 1, Fi  0,25  C3: F3 = 0,65 = Li + (n·i/4 - NCQ-1)·I nCQ = 65,5 + (100·1/4 - 23)·3 42 = 65,64 RP = Rango percentil = P90 - P10 = 71,28 - 63,33 = 7,95 Probabilidades y Estadística s

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




P90 = clase percentíl 90, Fi  0,90  C4: F4 = 0,92 = Li + (n·i/100 - NCP-1)·I nCP = 68,5 + (100·90/100 - 65)·3 27 = 71,28 P10 = clase percentíl 10, Fi  0,10  C2: F2 = 0,23 = Li + (n·i/100 - NCP-1)·I nCP = 62,5 + (100·10/100 - 5)·3 18 = 63,33

P70 = clase percentíl 70, Fi  0,70  C4: F4 = 0,92 = Li + (n·i/100 - NCP-1)·I nCP = 68,5 + (100·70/100 - 65)·3 /27 = 69,05 CV = = = =

coeficiente de variación /  2,92/67,45 4,3%

c) I nterpr ete el signi ficado e importanci a de cada un o de los r esul tados calculados anteriormente.

La muestra es bastante homogénea, ya que el coeficiente de variación es pequeño, lo cual implica que los datos se encuentren mas concentrados. Y la clase modal y la mediana se concentran donde hay mayor frecuencia de los datos, lo que significa que teniendo estos datos se puede saber bien, como se comporta la muestra. Además, se sabe que  > Me > Mo lo cual implica que los datos tienen un sesgo positivo (asimetría positiva), es decir existe un leve corrimiento hacia la izquierda.


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Ejercicio Nº4:

La siguiente tabla muestra las ventas diarias (MUS$) de una cadena de negocios entre los meses de Enero y Febrero de 2000, considere n = 60. Clase C1 C2 C3 C4 C5

MCi 160 240 320 400 480

Ventas 130 – 190 210 – 270 290 – 350 370 – 430 450 – 510

ni 3 9 12 25 11

Ni 3 12 24 49 60

Fi 0,05 0,20 0,40 0,82 1,00

f i 0,05 0,15 0,20 0,42 0,18

di -3 -2 -1 0 1

a) Se pide calcular el promedio de ventas diar ias, la moda y mediana, analizando l a asimetr ía de los datos.

 = promedio de ventas diarias = MC0 + I(nidi)/n = 400 + 60·(-28)/60 = 372 Mo = clase modal, la mayor ni  C4: n4 = 25 = Li + I·(d1)/(d1 +d2) = 370 + 60·13/(13 + 14) = 398,8  d1 = nCMo - nCMo-1 = 25 - 12 = 13  d2 = nCMo - nCMo+1 = 25 - 11 = 14 Me = clase mediana, F i  0,5  C4: F4 = 0,82 = Li + (n/2 - NCMe-1)·I nCMe = 370 + (60/2 - 24)·60 25 = 384,4 Con los calculos anteriores se sabe que   Me  Mo entonces, existe un corrimiento hacia la derecha, es decir, el sesgo es negativo, distinguiéndose una asimetría negativa en la distribución de las ventas, concentrándose hacia los valores altos de las ventas diarias. Probabilidades y Estadística s

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Ejercicio Nº5:

El promedio global de cierta asignatura es de 80. Los 60 hombres que tomaron el ramo obtuvieron un promedio de 84, en cambio las mujeres sólo consiguieron una media de 70. a) ¿Cuántas mu jer es cur saron el ramo?

 =  1 n1 +  2 n2

n1 + n2  80 = 84·60 + 70·n2  n2 = 24 60 + n2  24 mujeres cursaron el ramo 2 b) Si l as mujeres tuvi er on un a desviación estándar de 7 y los hombres ( X i )/n = 7225 ¿Qué gr upo fue más homogé neo los hombr es o las mu jeres?

CV mujeres = /  = 7/70 = 0,1 2 = (Xi2)/n -

²

= 7225 - (84)2 = 169   = 13  CV hombres = 13/84 = 0,155

 El grupo de las mujeres es más homogéneo, ya que tiene un C V menor lo cual

implica que los datos están más concentrados.

Ejercicio Nº6:

Sea X una variable estadística tal que x2 = 2 y  = 1. Sea Yi = aXi2 + b, con a,b  IR  a  0. Además se sabe que ( Xi4)/n = 10. a) Encuentr e la media de Y.

x2 = (Xi2)/n -

 2  2 = (Xi2 )/n - 1  (Xi2 )/n = 3 Probabilidades y Estadística s

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= = = = =


[Yi]/n [(aXi2 + b)] / n [(aXi2 ) +  b] / n a (Xi2 )/n + b(1)/n 3a + b

b) Calcule

2 y

y2 = 1/n Yi² - Y 2 = 1/n (aXi2 + b)² - (3a + b)2 = 1/n (a²Xi4 + 2abXi2 + b²) - (9a² + 6ab + b²) = 1/n (a²Xi4) + 1/n(2abXi2) + 1/n(b²) - (9a² + 6ab + b²) = a2 (Xi4)/n + 2ab(Xi2)/n + b²(1)/n - (9a² + 6ab + b²)

= a210 + 2ab3 + b² - 9a² - 6ab - b² = a2

Ejercicio Nº7:

Un encuestador al tomar una muestra de datos, registra con “O” cuando una persona no responde a la pregunta sobre cierta característica X. Del total de n datos una proporción p de ellos están registrados con “O”. Un analista recién ingresado a la oficina de censos procesa la información considerando los valores “O” obteniendo que:  = 21,6 ; n2 = 87,1 Basado en esta información y conociendo que se efectuaron 200 encuestas y que la proporción p fue del 10%, calcule la verdadera media y varianza de las encuestas que entregaron respuestas.

 = (Xi)/n  21,6 = Xi /200  Xi = 4320  La verdadera media sería = 4320/180 = 24 2 = (Xi2)/n -  2  87,1 = 1/200 Xi2 - (21,6)2  Xi2 = 110732  La verdadera varianza sería = 110732/180 - 24 2 = 39,18


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Ejercicio Nº8:

Se clasifica a los trabajadores de un mineral en 3 categorías, mayores de 35 años, entre 25 y 35 años y menores de 25 años, obteniéndose la siguiente información respecto de su productividad en Kgs. Categoría [ 20 - 25 ] [ 25 - 35 ] [ 35 - 40 ]

Nº de trabajadores 200 260 300

Productividad Media 40 60 70

Desviación Standard 7 5 4

a) Calcul e la pr oductivi dad media global.

 =  (nº trabajadores i · prod.mediai) Total trabajadores = 200·40 + 260·60 + 300·70 200 + 260 + 300 = 58,68

b) Calcul e la vari abilidad de la productivi dad.

VT = Vintra + Vinter = 171,25  Vintra = variabilidad al interior de los grupos = promedio ponderado = (nº trabajadores i · i²) Total trabajadores = 200·7² + 260·5² + 300·4² 200 + 260 + 300 = 27,76  Vinter = variabilidad entre los grupos = (nºtrabajadoresi  i2 ) - (  T)2 Total trabajadores = 200·(40)² + 260·(60)² + 300·(70)² - (58,68)² 200 + 260 + 300 = 143,49 Probabilidades y Estadística s

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c) ¿Quépor centaj e de la var iabil idad total es explicada por la diferenci a de edad entre los estr atos o entr e las categorías?.

Vinter /VT = porcentaje de explicación = 143,49/171,25 = 84%  La variabilidad total observada para los 760 trabajadores se puede explicar en un 84% para la diferencia de edad en las distintas categorías. d) ¿Qué gr upo es más homogé neo? Ju stifique.

CV1 = /media CV2 = /media CV3 = /media = 7/40 = 5/60 = 4/70 = 0,175 = 0,083 = 0,057  El grupo 3 tiene un coeficiente de variación más pequeño lo cual implica que sea el grupo más homogéneo, donde los datos están más concentrados.

Ejercicio Nº9:

Existen 3 métodos para representar la medida del contenido de manganeso en piezas acero SAE 1045. Estos métodos consisten en tomar muestras de tamaño 10 cada una para llevar a cabo sus respectivos análisis. Suponiendo que las medidas universales bajo condiciones estándares adecuados arrojan un contenido real de manganeso de 80 y los tres métodos arrojaron los siguientes valores: Método 1 : 87, 74, 78, 81, 78, 77, 84, 80, 85, 78. Método 2 : 86, 85, 82, 87, 85, 84, 84, 82, 82, 85. Método 3 : 84, 83, 78, 79, 85, 82, 82, 81, 82, 79. Observación : todos los valores son porcentajes amplificados. a) Cal cul e la media y varianza de la muestr a de los mé todos en conj un to (mixta).

 T = (  1 +  2 +  3)/3

= (80,2 + 84,2 + 81,5)/3 = 81,97


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VT = Vintra + Vinter = 11,25  Vintra = [ (tamaño muestra i · i²)]/total muestra = (10·14,76 + 10·2,76 + 10·4,65)/30 = 7,39 2  Vinter = [ (tamaño muestra i  )]/total muestra - (  T) = [10·(80,2)² + 10·(84,2)² + 10·(81,5)²]/30 - (81,96)² = 3,86 2

i

b) Discuta l a pr ecisión y la exacti tud de los mé todos.

Analizando exactitud: tenemos que el promedio real es 80, entonces: Método 1: 80,2 – 80 = 0,2 Método 2: 84,2 – 80 = 4,2 Método 3: 81,5 – 80 = 1,5  El método 1 es más exacto, ya que tiene la menor diferencia con el promedio real. 

Analizando precisión: CV1 = 0,048 CV2 = 0,02 CV3 = 0,026  El método 2 es más preciso, ya que tiene menor C V y por lo tanto es el más homogéneo, es decir que sus datos se encuentran mas concentrados. 

Ejercicio Nº10:

Suponga que al tomar una muestra  x1, x2, ... , xn de tamaño n, se conoce su media y desviación estándar. Pruebe que al sufrir los datos transformaciones de carácter lineal de la forma Y = ax + b con a,b  IR  a  0, su media y varianza se comporta de la siguiente manera :  = a  + b y y2 = a2x2

= = = = =

[Yi]/n [(ax + b)] / n [(ax ) +  b] / n a [x]/n + b[1]/n a + b


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y2 = (Y²i)/n -  2 = 1/n (ax + b)² - (a  + b)2 = 1/n (a²x² + 2abx + b²) - (a²  2 + 2ab  + b²) = 1/n (a²x2) +1/n (2abx) + 1/n (b²) - (a²  2 + 2ab  + b²) = a2(x2)/n + 2ab(x)/n + b²(1)/n - a²  2 - 2ab  - b² = a2(x2)/n + 2ab  + b² - a²  2 - 2ab  - b² = a2(x2)/n - a²  2 = a22

Ejercicio Nº11:

Se tomó una prueba a 5 cursos de física, arrojando los siguientes resultados, para los cuales se pide determinar la media y varianza de la asignatura. Curso 1 2 3 4 5

Nº de alumnos 60 65 51 68 55

Promedio

Varianza

55 45 48 68 46

47 55 40 30 28

 = (nº alumnosi · promedioi)

Total alumnos = 60·55 + 65·45 + 51·48 + 68·68 + 55·46 60 + 65 + 51 + 68 + 55 = 15827/299 = 52,93

VT = Vintra + Vinter = 119,34  Vintra = (nº alumnos i · i²) Total alumnos = 60·47 + 65·55 + 51·40 + 68·30 + 55·28 299 = 40,184


15





Vinter =  (nº alumnosi  ) - (  T)2 Total alumnos = 861441 - (15827/299)² 299 = 79,15 2

i

Ejercicio Nº12:

Para estudiar la influencia de una vitamina (tratamiento) en el aumento diario del peso en ciertos animales, se dispuso del siguiente experimento: A un grupo de 36 de ellos, cuyo aumento promedio sin vitaminas era de 1,34 kg., se les dio una dieta rica en vitaminas, con esto se consiguió que los aumentos de peso fuesen incrementados en un 40%. Otros 14 animales, cuyo aumento promedio diario era de 1,5 kg., se usaron como grupo control con dieta normal y su incremento diario no varió. A un tercer grupo de 30 animales, se les dio una dieta pobre en vitaminas, y se observó que cada animal de este grupo disminuyó en 0,3 kg. Si el aumento promedio diario de todos los animales antes de ser sometidos al tratamiento era de 1,7 kg. a) Determine el peso promedio de los animales del tercer grupo antes del tratamiento.

 =  1 n1 +  2 n2 +  3 n3

n1 + n2 + n3  1,7 = 1,34·36 + 1,5·14 + 30·  3  80

 3 = 2,23

b) Deter mi ne el peso promedio de todos los ani mal es despué s del tr atamiento.

 = peso promedio después del tartamiento = 1,34·1,4·36 + 1,5·14 + (2,23-0,3)·30 80 = 1,83


16



c) Si l as desviaciones estándar de los tr es grupos antes del tr atamiento son 0,31 kg., 0,18 kg. y 0,53 kg. r especti vamente. Cal cul e las desviaciones estándar total antes y despué s del tr atamiento.

VT antes tratamiento = Vintra + Vinter = 0,32306  T antes tratamiento = 0,568  Vintra = (ni · i²) n = 36·0,31² + 14·0,18² + 30·0,53² 80 = 0,15425 

Vinter =  (ni  ) - (  T)2 n = (36·1,34² + 14·1,5² + 30·2,23² - (1,7)² 80 = 0,1688 2

i

VT después tratamiento = Vintra + Vinter = 0,2191  T después tratamiento = 0,468  Vintra = (ni · i²) n = 36·(0,31·1,4)² + 14·1,18² + 30·0,53² 80 = 0,1957 

Vinter = (ni  ) - (  T)2 n = (36·(1,34·1,4)² + 14·1,5² + 30·(2,23 - 0,3)² - (1,83)² 80 = 0,0234 2

i

d) ¿Qué por centaj e de la var iabilidad total es explicada por los gr upos y entr e los gr upos, antes y despué s del tr atami ento?.

Vintra antes tratamiento /VT = 0,15425/0,32306 = 0,4774 Vintra después tratamiento /VT = 0,11957/0,2191 = 0,8931


17



La variabilidad total observada para los 80 animales se puede explicar en un 48% para cada grupo antes del tratamiento y en un 89% después del tratamiento. 

Vinter antes tratamiento /VT = 0,1688/0,32306 = 0,5225 Vinter después tratamiento /VT = 0,0234/0,2191 = 0,1068  La variabilidad total observada para los 80 animales se puede explicar en un 52% entre los grupos antes del tratamiento y en un 11% después del tratamiento.

Ejercicio Nº13:

Una empresa fabrica cubiertas para proteger cierto instrumento. La variable crítica es el encogimiento de la cubierta. La empresa explora dos diferentes materiales para fabricar su producto. Para predecir hace un estudio basado en los siguientes datos: Material Tipo A Tipo B

Datos (% de encogimiento) 0,28 0,24 0,33 0,30 0,35 0,18 0,26 0,24 0,16 0,33 0,08 0,12 0,07 0,03 0,03 0,09 0,06 0,05 0,04 0,03

Sea L = 35,56(  ² + ²) la pérdida y se propone tomar la decisión en términos de ella. De acuerdo a los datos disponibles, ¿cuál es el material más adecuado?. LA = 35,56(  ² + ²) = 35,56(0,267² + 0,00366) = 2,665   A = 1/n XiA = 0,267  ² = 1/n XiA² -  ²A = 0,00366 LB = 35,56(  ² + ²) = 35,56(0,06² + 0,00082) = 0,1571   B = 1/n XiB = 0,06  ² = 1/n XiA² -  ²A = 0,00082  El material más adecuado será el tipo B debido a que es el que produce menos

pérdida en el material. Probabilidades y Estadística s

18



GUÍA Nº2

“Estadística Descriptiva Bivariada”

Ejercicio Nº1:

La tabla muestra las edades y la presión sanguínea de 12 mujeres adultas: Edad X Presión sanguínea Y X 

56 141 147 153

42 125 128 122

72 167 160 153

36 118 119 117

63 149 155 143

47 128 132 124

55 49 38 42 68 60 155 140 113 140 158 150 145 150 117 143 146 160 150 115 137 152

56 42 72 36 63 47 55 49 38 42 68 60 147 125 160 118 149 128 150 145 115 140 152 155

a) Encontr ar los coeficientes del modelo de regresión l ineal

 = a  + b donde a,b son los coeficientes del modelo de regresión lineal a = Cov(X,Y) x2

 = 147 + ...+ 155 = 140,3 12 Cov (X,Y) = 1/n (XiYi) - (   ) = 7491,2 - (52,3·140,3) = 153,5 2 x = [(Xi -  )2]/n = 1/n Xi2 -  2 = 34416/12 – (52,3)2 = 132,7

 = 56 + ... + 60 = 52,3


12

19


Guía Nº2 Estadística Descrip tiva Bivariada

 a = 1,157  b = 79,79 b) Calcule el coeficiente de corr elación. ¿Ex iste r ealmente una tendencia lineal?

 = coeficiente de correlación

= Cov (X,Y) x y

= 153,5/(11,51·14,75) = 0,904 2 2 2  y = 1/n Yi -  = 19901,8 - (140,3) 2 = 217,71  y = 14,75  X e Y están altamente correlacionados, entonces existe una asociación lineal entre

las variables debido a que la correlación lineal es de 0,904 (mayor que 0,7), dado que la correlación mide el grado de asociación lineal entre dos variables, además esta correlación es positiva lo cual esta implicando que las variables sean directamente proporcionales. c) Estime l a pr esión sanguínea de una mujer que tenga 45 añ os de edad.

Y = aX + b  Y = 1,157·45 + 79,79 = 131,85  132 de presión sanguínea.

Ejercicio Nº2:

A continuación se presentan los valores experimentales de la presión de una cierta masa de gas y los valores correspondientes al volumen. Volumen V (in3) Presión P (lb./in2)

54,3 61,2

61,8 49,5

72,4 37,6

88,7 28,4

118,6 19,2

194,0 10,1

De acuerdo a los principios termodinámicos, debería existir una relación entre las variables de la forma: PV = C. Encuentre los valores de C y , para determinar la ecuación anterior.


20



PV = C aplicando ln   ln (PV ) = ln C  ln P + ln V  = ln C  ln P = ln C -  lnV Si Y = aX + b  ln P = Y; ln V = X ; - = a; ln C = b V 54,3 61,8 72,4 88,7 118,6 194,0

P 61,2 49,5 37,6 28,4 19,2 10,1

X = ln V 3,99 4,12 4,28 4,49 4,78 5,27

Y = ln P 4,11 3,90 3,63 3,35 2,95 2,31

a = Cov(X,Y) x2

 = 3,99 + ... + 5,27 = 4,49

 = 4,11 + ...+ 2,31 = 3,375 6 Cov (X,Y) = 1/n (XiYi) - (   ) = 14,89 - (4,49·3,375) = -0,26

6

x2 = [(Xi -  )2]/n = 1/n Xi2 -  2

= 121,98/6 - (4,49)2 = 0,17

 

a = -1,52 b = 10,19

Por lo tanto: b = ln C  10,19 = ln C  C = 26635,5 -  = a   = 1,52


21



Ejercicio Nº3:

La siguiente tabla entrega la distribución de 62 niños normales de acuerdo con el área superficial del cuerpo (1º columna) y la proteína circulante de la sangre (1º fila). MC jP MCiA 149,5 169,5 189,5 209,5 229,5 249,5

A\P 140 - 159 160 - 179 180 - 199 200 - 219 220 - 239 240 - 259

n j f  j

124,5

154,5

184,5

214,5

244,5

110 - 139 140 - 169 170 - 199 200 - 229 230 - 259

4 1

5 0,081

1 7 8 4 1 21 0,339

5 12 6

23 0,371

1 4 4 1 10 0,161

2

1 3 0,484

ni 1 17 27 14 2 1 62

f i 0,016 0,274 0,435 0,226 0,031 0,016

a) Anal ice independencia entr e A y P.

Sea: f i. = ni/n f  j = n j /n f i j = nij/n Si elijo (3,2)  f i j = f 32 = ni j /n = 8/62 = 0,129  f i = f 3 = n3 /n = 27/62 = 0,44  f  j = f 2 = 21/62 = 0,339  f i · f  j = 0,44 · 0,339 = 0,149  0,129 = f i j  A y P no son independientes b) Calcule el coeficiente de corr elación mu estr al.

 = Cov (X,Y) xy

= 233,56/(17,89·29,61) = 0,44  A = 1/n (ni MCi) Probabilidades y Estadística s

22



= 1/62 (11786,2) = 190,1 







P = 1/n (n j MC j)

= 1/62 (10989) = 177,2 Cov (X,Y) = 1/n (nij MCi MC j) - ( A P ) = 33919,28 - (190,1·177,2) = 233,56 2 A = 1/n (ni MCi2) - A 2 = 1/62 (2260415,5) - (190,1) 2 = 320,3  A = 17,89 2 P = 1/n (n j MC j2) - P 2 = 1/62 (2001145,5) - (177,2) 2 = 876,7  P = 29,61

c) ¿El área superf icial del cuerpo afecta la pr oteína circul ante de la sangr e?

Como  es menor que 0,7 y no cercano a 1, lo cual implica que no hay una relación lineal directa, lo que indica que el área superficial del cuerpo no afecta mucho a la proteína circulante en la sangre, pero al ser la correlación positiva ambas variables son directamente proporcionales, es decir, si la proteína circulante en la sangre aumenta entonces al área superficial del cuerpo también aumentará.

Ejercicio Nº4:

En el prestigioso Hospital de la Florida, a 50 pacientes se le administra una sustancia que se identifica con la letra C en miligramos, considerando como segunda variable la edad E medida en años, tal como se muestra en la siguiente tabla de contingencia. d j di E \C -2 20 -1 30 0 40

-2

-1

0

1

2

15

20

25

30

35

4 2

2 6 2

2 3 5

1 4

1


ni 8 13 11 23


1 2


2

50 60

n j

6

12

3 2 15

6 2 13

2 1 4

13 5 50

a) Calcular el pr omedio de las vari ables C y E. C = MC0C + IC (d jn j)/n

= 25 + 5(-3/50) = 24,7

E = MC0E + IE (dini)/n

= 40 + 10(-6/50) = 38,8

b) Calcular V C y V E

C2 = IC2 [[(d j2n j)/n - ((d jn j)/n)2]

= 25[65/50 - (-3/50)2] = 32,41  x = 5,69

E2 = IE2 [(di2ni)/n - ((di ni)/n)2]

= 100[78/50 - (-6/50)2] = 154,56  y = 12,43

c) H all ar el coefici ente de cor relación l ineal de la muestr a y el coefi ciente de deter mi nación, expl icando que signi ficado tiene dicho cálcul o.

 = (did j nij)/n - ((dini)/n) · ((d jn j)/n) x(medias) y(medias)

= (43/50) - (-6/50)(-3/50) 1,1385·1,2432 = 0,6025

Como la correlación es menor que 0,7 podemos decir que no existe una relación funcional lineal entre las variables, además el coeficiente de determinación (el cuadrado de la correlación) 0,36%, nos explica solamente un 36% de las variables, el resto es aleatorio. Además, al ser la correlación positiva ambas variables son Probabilidades y Estadística s

24



directamente proporcionales, lo cual indicaría que al aumentar la edad de los pacientes la cantidad de sustancia C también aumenta.

d) Calcular las medias condici onales de C y E.

Promedio condicional de E Media E(1) = 23,33 Media E(2) = 33,33 Media E(3) = 40,00 Media E(4) = 46,92 Media E(5) = 47,50

Promedio condicional de C Media C(1) = 18,75 Media C(2) = 22,30 Media C(3) = 25,90 Media C(4) = 28,07 Media C(5) = 29,00

e) Calcular las vari anzas condici onales de C y E .

Varianza condicional de E Varianza E(1) = 22,22 Varianza E(2) = 88,88 Varianza E(3) = 146,66 Varianza E(4) = 67,45 Varianza E(5) = 118,75

Varianza condicional de C Varianza C(1) = 17,18 Varianza C(2) = 29,29 Varianza C(3) = 12,81 Varianza C(4) = 21,30 Varianza C(5) = 14,00

f) Encontr ar l a descomposición de la vari anza, tanto para C como para E .

Varianza intra Vintra E = 95,03 Vintra C = 20,12

Varianza inter Vinter E = 59,52 Vinter C = 12,28

g) Deter mi nar cual distr ibuci ón mar ginal es más homogé nea.  

x/  = 0,23 y/  = 0,32

Al analizar el coeficiente de dispersión para cada variable, podemos distinguir que la distribución marginal de X es más homogénea debido a que los datos están mas concentrados (menos dispersos), dado que el coeficiente de dispersión de X es más Probabilidades y Estadística s

25



pequeño. Además, la desviación estándar de X es menor que la de Y, por lo cual, la curtosis de X es mas aguda, en cambio la de Y es mas achatada.

h) Deter mi nar si la var iabil idad de la cantidad C depende de la edad.

La variabilidad corresponde a la descomposición de la varianza total. Notemos que la varianza intra es mayor que la varianza inter, lo que está indicando que existe mucha variabilidad al interior de los estratos (los puntos están mas dispersos). Si determinamos un porcentaje de variabilidad con respecto a la varianza inter, obtenemos que Vinter/Vtotal = 0,37. Entonces, hay variabilidad dentro de los estratos, indicándose que la cantidad depende de la edad. i) Comente si la canti dad pr omedio de sustancia C disminu ye con la edad de los pacientes.

La afirmación es falsa, ya se distinguió en la correlación que las variables son directamente proporcionales, y si además, se ven los cálculos de los promedios condicionales de la variable C se puede apreciar que estos aumentan a medida que aumenta la edad. j) ¿Cuál es l a canti dad de sustancia C media cuando los pacientes ti enen entre 30 y 50 añ os?.

L a cantidad de sustancia C media entre 30 y 50 años corresponde a la cantidad de sustancia C media para los pacientes de 40 años y es de 25,9 miligramos.


26



GUÍA Nº3

“Teoría de las Probabilidades”

Ejercicio Nº1:

Una lotería tiene N números y un solo premio. Un jugador compra n billetes de un solo sorteo y otro jugador compra un solo billete durante n sorteos consecutivos, de manera que los dos jugadores apuestan la misma cantidad. casos favorables



IP(JA gane) =



IP(JB gane en 1 sorteo) =



casos totales 1

=

n N

N C

1  IP(JB no gane en 1 sorteo) = 1 =    N  N   1  IP(JB no gane en los n sorteos) = 1    N    1   IP(JB gane al menos en 1 sorteo) =  1      N   1

n



n



C

Ejercicio Nº2:

Una caja contiene 12 bolitas, de las cuales hay 5 blancas y 7 negras. Se sacan 2 bolitas y se vuelven a la caja. Se sacan otra vez 2 bolitas y se vuelven a la caja, y así se continúa hasta efectuar 3 extracciones.


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Profesor: Alejandro Fernánd ez Ayudante: Mª Angélica Malh ue

Guía Nº3 Teoría de las Probab ilidades

Caja 12 bolitas:  5 blancas  7 negras a) Deter mi nar la probabil idad de sacar 2 boli tas negras en cada uno de los 3 primeros lanzami entos. 3

  7         2   IP(2N) =   12   = 0,032  3,2%      2     

b) Deter mi nar la probabili dad de sacar una pareja de una bl anca y una n egra en cada una de las extraccion es. 3

  7  5    1 1   IP(1B  1N) =      = 0,15  15%   12         2  

Ejercicio Nº3:

Se escogen al azar 3 lámparas, de un total de 15 lámparas, de las cuales 5 son defectuosas. Sean 15 lámparas:  5 defectuosas  10 no defectuosas a) Deter mi nar la probabil idad de que nin gun a sea defectuosa.


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 10     3  IP(Ninguna defectuosa) =  15  = 0,26  26%    3 

b) H b) H all ar l a probab pr obabii l i dad de que exactame exactament nte e una se sea def def ectuosa. ctuosa.

 5  10     1 2 IP(1 sea defectuosa) =    = 0,49  49%  15     3  c) E c) E ncuentr e la pr obabil obabil i dad que un a por l o menos menos se sea def def ectuosa. ctuosa.

IP(al menos 1 sea defectuosa) defectuosa) = 1 - IP(ninguna IP(ninguna sea defectuosa) = 1 - 0,26 = 0,74  74%

Ejercicio Nº4:

De experiencias previas, una compañía aérea sabe que el 60% de los pasajeros en vuelo matinal pide desayuno caliente, mientras que los restantes lo piden frío. Para cada uno de estos vuelos, el avión dispone a bordo de 72 desayunos calientes y 48 desayunos fríos. En una mañana 110 pasajeros toman el avión. Determine la probabilidad de que que cada uno de los pasajeros pasajeros reciba el desayuno desayuno adecuado.

 72  48     66 44 IP(66 cal.  44 fríos) =    = 0,262  26,2%  120     110 


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Ejercicio Nº5:

Se sacan tres bolitas de una caja, que contiene 20 verdes, 30 negras y 70 azules; si salen de distinto color se procede a extraer una bolita de la caja 1, que contiene 40 rojas y 60 blancas; si salen dos bolitas de color verde se procede a extraer una bolita de la caja 2, que contiene 30 rojas y 70 blancas; en caso contrario se procede a extraer e xtraer una bolita de la caja 3, que contiene 20 rojas y 80 blancas. a) D a) D eter ter mi ne la probabil i dad que l a boli ta extr aída se sea r oja.

IP(R) = = = = 





IP(R/C1)·IP(C1) + IP(R/C2)·IP(C2) + IP(R/C3)·IP(C3) 0,4·IP(C1) + 0,3·IP(C2) + 0,2·IP(C3) 0,4·0,149 + 0,3·0,068 + 0,2·0,783 0,2367  23,67%

 20  30  70      1 1 1 IP(C1) = IP( color) =     = 0,149  120     3   20  100     2 1 IP(C2) = IP(2 verdes) =    = 0,068  120     3  IP(C3) = 1 - IP(C1) - (C2) = 0,783

b) Si b) Si la l a boli bol i ta ex ex tr aída es es bl anca, determ determii ne la pr obabil obabi l i dad que hubi hu bie ese sali al i do de l a caj caj a 2.

IP(C2/B) = IP(B/C2)·IP(C2) IP(B) = 0,7 · 0,068 Probabilidades y Estadística s

30



1 - 0,2367 = 0,062  6,2%

Ejercicio Nº6:

Hay seis urnas que contienen 12 esferas, entre blancas y negras. Una de ellas tiene 4 esferas negras, dos tienen 6 esferas blancas y las tres restantes resta ntes tienen 8 esferas negras. Se elige una urna al azar y se extraen 3 esferas (sin sustitución) de dicha urna; de estas, 2 son blancas y 1 negra. ¿Cuál es la probabilidad de que la urna elegida contuviera 6 esferas blancas y 6 negras?. IP(U2  U3 / 2B  1N) = IP((2B  1N)  (U2  U3)) IP(2B  1N) = IP((2B  1N)  U2) + IP((2B  1N)  U3)) IP(2B  1N)  6  6   6  6        1  2  1  1 2 1  .    . 6  12  6  12      3    3  =   6  6     4  8    8  4           2 1     2 1   2 1 1    2 3  .       .      . 6  12  6   12   6   12             3 3         3   = 0,4128  41,28%

Ejercicio Nº7:

Con el motivo de financiar sus respectivos presupuestos de inversiones, las empresas “SM S.A” y “MS S.A”, S.A”, planean una una emisión de bonos bonos para que sean vendidos vendidos en el mercado primario. Cada una de estas empresas contempla en su emisión dos categorías de bonos de acuerdo al valor nominal de cada uno de ellos. La empresa “SM S.A” emite 12 bonos de 10 [um] y 6 bonos de 20 [um], mientras que la empresa “MS S.A” emite 8 bonos de 10[um] y 8 bonos de 20 [um]. Si se considera que ambas Probabilidades y Estadística s

31



emisiones están a la venta en el mercado primario, a cargo de la misma persona y en forma exclusiva, quien ofrece indistintamente los bonos ya que recibe la misma comisión independientemente del nombre de la empresa y que todos los papeles financieros ofrecen las mismas características (en cuanto a plazos, intereses, prestigio de la empresa, etc.) de modo que no existan preferencias de los compradores por adquirir bonos de “SM S.A” o “MS S.A” a) ¿Cuál es la pr obabi lidad de que una de las dos empr esas logre el financi ami ento de su presupu esto de inversiones a l as 12:00 h oras, si hasta ese momento el vendedor ha recaudado 240 (um)?

 20  14     8 8 IP(LFMS  LFSM) =      34     16 

 20  14      12  6  = 0,3432  34,32%  34     18 

b) Si un comprador decide adquir ir el equi valente a 20 (um) en bonos de un a categoría y 10(u m) en bonos de la categor ía restante. ¿Cuál es la pr obabi l idad de que las 20 (um) sean exclusivamente parte de la recaudación par a la empr esa “SM S.A.”?

Sólo se pide que las 20 (um) sean parte de la recaudación de la empresa “SM S.A.”, por lo tanto las 10 (um) pueden ser parte de la recaudación de la misma empresa o la otra. Además, los bonos no son transados por fracciones, al igual que cualquier producto. Entonces, necesariamente las 20 (um) y las 10 (um) deben corresponder a sus correspondientes categorías. Las 10 (um) son una restricción.

 6  8  20      1 0 1 IP(Recaudación sean para SM S.A.) =     = 0,2138  21,38%  34     2 


32



Ejercicio Nº8:

Hugo, Paco y Luis comparten un solo teléfono. Hugo y Luis reciben el mismo número de llamadas, y Paco recibe la mitad de las llamadas de Hugo. Por motivos de trabajo ellos salen con la siguiente frecuencia: Hugo está afuera el 50% del tiempo, en cambio Paco y Luis el 25% cada uno.

Sea:  H: 2X  P: X  L: 2X TOTAL: 5X

IP(H) = 2/5

IP(P) = 1/5

IP(L) = 2/5

IP(E/H) = 0,5 IP(NE/H) = 0,5 IP(E/P) = 0,75 IP(NE/P) = 0,25 IP(E/L) = 0,75 IP(NE/L) = 0,25

a) Deter mi ne la probabi lidad que no esténi nguno par a responder el telé fono.

IP(A) = IP(ninguno este) = IP(NE  H) + IP(NE  P) + IP(NE  L) = IP(NE/H)·IP(H) + IP(NE/P)·IP(P) + IP(NE/L)·IP(L) = 0,5·2/5 + 0,25·1/5 + 0,25·2/5 = 0,35  35% Probabilidades y Estadística s

33



b) Determine la probabil idad que estéla per sona a l a que se llama.

IP(B) = = = = =

IP(este la persona a quien se llama) IP(E  H) + IP(E  P) + IP(E  L) IP(E/H)·IP(H) + IP(E/P)·IP(P) + IP(E/L)·IP(L) 0,5·2/5 + 0,75·1/5 + 0,75·2/5 0,65  65%

c) Deter mi ne la pr obabilidad que haya tres llamadas segui das para una persona.

IP(C) = = = =

IP(haya 3 llamadas seguidas para la misma persona) IP(H)³ + IP(P)³ + IP(L)³ (2/5)³ + (1/5)³ + (2/5)³ 0,136  13,6%

d) Deter mi ne la pr obabi lidad que haya tres llamadas segui das para tr es personas distintas.

IP(D) = IP(haya 3 llamadas seguidas para distintas personas) = IP(H)·IP(P)·IP(L) + IP(H)·IP((L)·IP(P) + IP(L)·IP(H)·IP(P) IP(L)·IP(P)·IP((H) + IP(P)·IP(H)·IP(L) + IP(P)·IP(L)·IP(H) = (2/5 · 1/5 · 2/5)·6 = 0,192  19.2%

+

Ejercicio Nº9:

Un canal de comunicación transfiere datos binarios. Debido a un ruido en la transmisión algunas veces al transmitir un 0 es recibido como 1 y viceversa. La probabilidad de que un 0 transmitido sea recibido como un 0 es del 94%. La probabilidad de recibir un 1 dado que se envió un 1 es del 91%. La probabilidad de enviar un 0 es del 45%.


34



IP(0 bicicleta 0.5 T) = 0,45

IP(1T) = 0,55

IP(0R /0T) = 0,94 IP(1R /0T) = 0,06 IP(0R /1T) = 0,09 IP(1R /1T) = 0,91

a) Deter mi ne la probabil idad de r ecibir un 1.

IP(A) = IP(recibir un 1) = IP(1R  1T) + IP(1R  0T) = IP(1R /1T)·IP(1T) + IP(1R /0T)·IP(0T) = 0,91·0,55 + 0,06·0,45 = 0,5275  52,75% b) Deter mi ne la probabil idad de que se haya tr ansmi ti do un 1, dado que se r ecibi ó un 1.

IP(B) = IP(se haya transmitido un 1 dado que se recibió un 1) = IP(1T/1R ) = IP(1R  1T) IP(1R ) = IP(1R /1T)·IP(1T) IP(1R ) =

IP((1R /1T)·IP(1T) IP(1R /0T)·IP(0T) + IP(1R /1T)·IP(1T) = 0,91·0,55 0,5275 = 0,95  95%


35



c) Deter mi ne la probabili dad de er rar en l a transmisión.

IP(C) = = = = =

IP(errar en la transmisión) IP(1R  0T) + IP(0R 1T) IP(1R /0T)·IP(0T) + IP(0R /1T)·IP(1T) 0,06·0,45 + 0,09·0,55 0,076  7,6%

Ejercicio Nº10:

La señora X ha observado que su esposo llega sobrio tantas veces como llega ebrio, y que llega algo bebido aproximadamente el doble de las veces que lo hace sobrio. Mientras que el señor X llega todas las semanas una noche tarde a su casa entre las 11 :00 PM y las 3 :00 AM ya sea sobrio, algo bebido o ebrio. Su tiempo de llegada depende en forma probabilística de la condición en que viene y éstas son : Condición Sobrio Algo bebido Ebrio

11:00 - 12:00 0,80 0,15 0,05

Tipo de llegada 12:00 - 1:00 0,20 0,50 0,30

1:00 - 3:00 0,00 0,35 0,65

Sea:  S: X  AE: 2X  E: X Total: 4X


36



IP(S) = 1/4

IP(T1/S) = 0,8 IP(T2/S) = 0,2 IP(T3/S) = 0,0

IP(AE) = 1/2

IP(T1/AE) = 0,15 IP(T2/AE) = 0,50 IP(T3/AE) = 0,35

IP(E) = 1/4

IP(T1/E) = 0,05 IP(T2/E) = 0,30 IP(T3/E) = 0,65

a) Una n oche la señ ora X oye abri r se la puer ta a l as 12:34 A M . Encuentr e la pr obabi lidad que en esa noche el señ or X venga ebri o.

IP(A) = IP(venga ebrio dado la hora de llegada) = IP(E/T2) = IP(T2  E) IP(T2) =

IP(T2/E)·IP(E) IP(T2/S)·IP(S) + IP(T2/AE)·IP(AE) + IP(T2/E)·IP(E) = 0,3·1/4 0,2·1/4 + 0,5·1/2 + 0,3·1/4 = 0,2  20% b) Encuentr e la probabil idad de que un día en que ll ega tarde lo haga entr e las 1:00 y 3:00 AM .

IP(B) = IP(llegar en T 3) = IP(T3  S) + IP(T3  AE) + IP(T3  E) = IP(T3/S)·IP(S) + IP(T3/AE)·IP(AE) + IP(T3/E)·IP(E) = 0 + 0,35·1/2 + 0,65·1/4 = 0,33  33%


37



Ejercicio Nº11:

Se dice que las personas tienen suerte el 40% de las veces y que no son afortunados el 55% de las oportunidades. También se comenta que las personas que no tienen suerte, el 60% de las veces no son afortunadas.

IP(S) = 0,4

IP(NS) = 0,6

IP(A/S) = 0,45 IP(NA/S) = 0,55 IP(A/NS) = 0,4 IP(NA/NS) = 0,6

a) Calcular la probabilidad de que las per sonas tengan suer te y sean af ortun adas .

IP(A) = = = = =

IP(tenga suerte y sea afortunada) IP(A  S) IP(A/S)·IP(S) 0,45·0,4 0,18  18%

b) Cal cul ar la probabil idad de que las per sonas tengan suerte, si se sabe que son afortunados.

IP(B) = IP(S/A) = IP(A  S) IP(A) =

IP(A/S)·IP(S) IP(A/S)·IP(S) + IP(A/NS)·IP(NS)

=

0,45·0,4 0,45·0,4 + 0,4·0,6 = 0,43  43%


38



Ejercicio Nº12:

Un sistema de alarma computarizado para plantas industriales está diseñado de manera que avise la presencia de problemas de alto riesgo cuando al menos 2 de 3 componentes se activan (C 1, C2, C3). La probabilidad de activación es del 70, 85 y 90% respectivamente. Se sabe que la activación de C 3 es independiente de las otras dos, mientras que la probabilidad de que se active C 2 dado que se ha activado C 1 es del 95%. ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema avise?. IPC1   70

IPC 2   85

IPavise  IP C1

IPC3   90

 C  C  IP C  C  C  IP C  C  C  IPC  C  C  IP C  C  C  IP(C  C )·IP(C )  0,665  0,1  0,0665 IPC  C  C   IP(C  C )·IP(C )  (0,7  0,665)  0,9  0,0315 IPC  C  C   IP(C  C )·IP(C )  (0,85  0,665)  0,9  0,1665 IPC  C  C   IP(C )  IP(C / C )·IP(C /(C  C ))  0,7  0,95  0,9  0,5985 c

2

c

3

1

c

1

2

3

1

2

3

1

2

1

2

3

C

2

3

1

3

1

c

2

3

C

1

1

3

C

c

1

c

2

2

2

3

1

2

3

2

1

3

1

2

IP(avise)= 0,0665 + 0,0315 + 0,1665 + 0,5985 = 0,863

Ejercicio Nº13:

Una fábrica tiene tres sedes S 1, S2, S3, de las cuales, S 1 produce tres veces de lo que produce S3 y la cuarta parte de S 2. La S2 produce artículos defectuosos en 10%, la S 3 en 5% y S 1 en 8%. Sea:  S1: Produce 3X  S2: Produce 12X  S3: Produce X TOTAL: 16X


39

3



IP(S1) = 3/16

IP(S2) = 12/16

IP(S3) = 1/16

IP(B/S1) = 0,92 IP(D/S1) = 0,08 IP(B/S2) = 0,90 IP(D/S2) = 0,10 IP(B/S3) = 0,95 IP(D/S3) = 0,05

a) Deter mi nar la probabil idad que un cl iente compre un ar tícul o y le resul te bueno.

IP(A) = = = = =

IP(un cliente compre un artículo bueno) IP(B  S1) + IP(B  S2) + IP(B  S3) IP(B/S1)·IP(S1) + IP(B/S2)·IP(S2) + IP(B/S3)3·IP(S3) 0,92·3/16 + 0,90·12/16 + 0,95·1/16 0,906  90,6%

b) Si el artícul o compr ado es defectuoso, ¿Cu ál es la probabili dad que lo hu bi er a fabricado S2?.

IP(B) = IP(S2/D) = IP(D  S2) IP(D) = IP(D/S2)·IP(S2) IP(D) =

0,10·12/16 0,08·3/16 + 0,10·12/16 + 0,05·1/16 = 0,805  80,5%


40



Ejercicio Nº14:

En la USM, el departamento de extensión está interesado en auspiciar un concierto basado en la experiencia del año pasado, se consideran tres niveles, donde el primer nivel N1 comprende el 30% del alumnado, el segundo nivel N 2 corresponde al 50% del alumnado y el último nivel N 3 tiene el 20% del alumnado. Se estimó a priori que del N1 asistirían al evento el 25%, del N 2 asistirían el 35% y del N 3 asistirían el 40%. Si se selecciona al azar a 2 alumnos.

IP(N1) = 0,3

IP(N2) = 0,5

IP(N3) = 0,2

IP(A/N1) = 0,25 IP(NA/N1) = 0,75 IP(A/N2) = 0,35 IP(NA/N2) = 0,65 IP(A/N3) = 0,40 IP(NA/N3) = 0,60

a) Calcular l a probabil idad de que ni nguno de los dos alu mnos asista al concierto.

IP(A) = IP(ninguno asista) = IP(NA  N1) + IP(NA  N2) + IP(NA  N3) = IP(NA/N1)·IP(N1) + IP(NA/N2)·IP(N2) + IP(NA/N3)·IP(N3) = 0,75·0,3 + 0,65·0,5 + 0,6·0,2 = 0,67  IP(ninguno de los dos asista) = 0,67·0,67 = 0,448  44,8% b) Sabiendo que dos alumnos asisti rán al concier to, calcul ar la probabilidad de que asista el 40% de los alumnos.

IP(B) = IP(N3/A) = IP(A/N3)·IP(N3) IP(A) = 0,4·0,2 Probabilidades y Estadística s

41



0,25·0,3 + 0,35·0,5 + 0,4·0,2 = 0,24  IP(dos alumnos (N3/A)) = 0,24·0,24 = 0,059  5,9%

Ejercicio Nº15:

Una Isapre clasifica a sus afiliados en 3 estratos socioeconómicos: alto, medio y bajo. Se sabe que la producción de afiliados de clase alta es igual a la de clase media, mientras que la proporción de afiliados de clase alta es la tercera parte de los de la clase baja. Sus estadísticas indican que, el porcentaje de licencias médicas otorgadas a sus afiliados de clase alta es el triple de los de la clase media, por otro lado, al a clase baja se otorga el doble de licencias que a la clase media. El porcentaje de licencias otorgadas por la Isapre a sus afiliados, en total, es de un 20%. Se seleccionan 2 afiliados al azar. Sea:  Alto: X  Medio: X  Bajo: 3X Total: 5X Para confeccionar el arbolito necesitamos establecer:  0,2X(alta) + 0,2X(media) + 0,6X(baja) = 0,2  Si X(alto) = 3X(media) y X(baja) = 2X(media) A través de estas igualdades podemos determinar  X(media) = 0,1  X(bajo) = 0,2  X(alto) = 0,3


42



IP(A) = 0,2

IP(M) = 0,2

IP(B) = 0,6

IP(CL/A) = 0,3 IP(SL/A) = 0,7 IP(CL/M) = 0,1 IP(SL/M) = 0,9 IP(CL/B) = 0,2 IP(SL/B) = 0,8

a) ¿Cual es la pr obabi lidad de que ni nguno estécon licencia?

IP(A) = IP(SL) = IP(SL  A) + IP(SL  M) + IP(SL  B) = IP(SL/A)·IP(A) + IP(SL/M)·IP(M) + IP(SL/B)·IP(B) = 0,7·0,2 + 0,9·0,2 + 0,8·0,6 = 0,8  IP(dos afiliados SL) = 0,8·0,8 = 0,64  64%

b) Si ambos están con licenci as. ¿Cuál es la pr obabil idad que sean de la cl ase alta?.

IP(B) = IP(A/CL) = IP(CL  A) IP(CL) =

IP(CL/A)·IP(A) IP(CL/A)·IP(A) + IP(CL/M)·IP(M) + IP(CL/B)·IP(B) = 0,3·0,2 0,2 = 0,3  IP(ambos (A/CL)) = 0,3·0,3 = 0,09  9%


43



Ejercicios Nº16:

Una persona tiene que efectuar una mantención diaria en el proceso, teniendo 24 horas de labor continuada; debido a la pérdida por no uso del sistema. Si se sabe que el 5% de las veces el proceso tiene una falla en el primer período, si esta se produce hay un 25% que falle en el segundo período, en caso contrario hay un 35% que falle.

IP(F) = 0,05

IP(NF) = 0,95

IP(F/F) = 0,25 IP(NF/F) = 0,75

IP(F/NF) = 0,35 IP(NF/NF) = 0,65

IP(F/FF) = 0,25 IP(NF/FF) = 0,75 IP(F/F NF) = 0,35 IP(NF/F NF) = 0,65

IP(F/NFF) = 0,25 IP(NF/NFF) = 0,75 IP(F/NF NF) = 0,35 IP(NF/NF NF) = 0,65

a) Determinar la probabil idad que en tr es per íodos consecutivos el sistema f alle dos veces.

IP(A) = IP(falle dos veces) = IP(NF  F  F) + IP(F  NF  F) + IP(F  F  FN) = 0,95·0,35·0,25 + 0,05·0,75·0,35 + 0,05·0,25·0,75 = 0,106  10,6% b) Si el sistema no f all a en el ter cer per íodo, deter mi nar la probabilidad que no haya fal lado antes.

IP(B) = IP((NF1  NF2)/NF3) = IP(NF3)  IP(NF2)  IP(NF1) IP(NF3) = IP(NF3/NF2  NF1)·IP(NF2/NF1)·IP(NF1) Probabilidades y Estadística s

44



IP(NF3) = 0,65·0,65·0,95 0,75·0,25·0,05 + 0,65·0,75·0,05 + 0,75·0,35·0,95 + 0,65·0,65·0,95 = 0,586  58,6%

Ejercicio Nº17:

Un avión lanza 3 cohetes a una nave con las siguientes probabilidades de dar en el blanco: para el primer cohete 1/3 y para los siguientes cohetes, 1/2 si el anterior dio en el blanco y 1/4 si el anterior no dio en el blanco. Se pide determinar la probabilidad de que al menos dos tiros den en el blanco dado que el primer tiro no dio en el blanco. Suponga que: IP(Ai) es la probabilidad de dar en el blanco el tiro i y IP(Bi) es la probabilidad de no dar en el blanco el tiro i.

IP(A1) = 1/3

IP(B1) = 2/3

IP(A2/A1) = 1/2 IP(B2/A1) = 1/2

IP(A2/B1) = 1/4 IP(B2/B1) = 3/4

IP(A3/A2A1) = 1/2 IP(B3/A2A1) = 1/2 IP(A3/B2A1) = 1/4 IP(B3/B2A1) = 3/4 IP(A3/A2B1) = 1/2 IP(B3/A2B1) = 1/2 IP(A3/B2B1) = 1/4 IP(B3/B2B1) = 3/4

IP[(A2  A3)/B1] = IP(B1  A2  A3) IP(B1) = IP(B1)·IP(A2/B1)·IP(A3/A2 ∩ B1) IP(B1) = 2/3·1/4·1/2 2/3 = 0,155  15,5%


45



Ejercicio Nº18:

Un inversionista estima que la probabilidad de que un proyecto sea rentable es de 0,65. Para asegurarse contrata los servicios de dos analistas externos que evalúan el proyecto en forma independiente. El historial del analista I, permite suponer que evaluará el proyecto como rentable, cuando en realidad lo sea con probabilidad 0,90, mientras que la probabilidad que lo evalúe como rentable cuando no lo es, es de 0,05. El historial del analista II garantiza que evalúa como rentables proyectos que si lo sean un 85% de las veces y evalúa como rentables aquellos que no lo son en un 10%. IP(ER/R) = 0,90

IP(R) = 0,65

IP(NER/R) = 0,10 I IP(NR) = 0,35

IP(ER/NR) = 0,05 IP(NER/NR) = 0,95

IP(ER/R) = 0,85

IP(R) = 0,65

IP(NER/R) = 0,15 II IP(NR) = 0,35

IP(ER/NR) = 0,10 IP(NER/NR) = 0,90

a) Determine l a pr obabil idad de que ambos anal ístas evalúen el proyecto como rentable.

IP(ER) = = = = =

IP(ER ANALISTA I)  IP(ER ANALISTA II) [IP(ER  R) + IP(ER  NR)]I · [IP(ER  R) + IP(ER  NR)]II [IP(ER/R)·IP(R) + IP(ER/NR)·IP(NR)]I · [bis]II [0,9·0,65 + 0,05·0,35] · [0,85·0,65 + 0,1·0,35] 0,3539  35,39%


46



b) Si el proyecto evaluó rentabl e por ambos analistas, deter mi ne la pr obabilidad de que sea r entable.

IP(R/ER) = IP(R/ER ANALISTA I)  IP(R/ER ANALISTA II) = [IP(ER  R)]I · [IP(ER  R)]II IP(ER) IP(ER) = [IP(ER/R)·IP(R)]I · [IP(ER/R)·IP(R)]II IP(ER) IP(ER) = [0,9·0,65] · [0,85·0,65] [0,9·0,65 + 0,05·0,35] [0,85·0,65 + 0,1·0,35] = 0,9131  91,31%

Ejercicio Nº19:

Cuatro máquinas automáticas envasan el mismo producto en frascos de vidrio que son depositados en un transportador común. El rendimiento de la primera máquina es de dos veces mayor que el de la segunda y tres veces mayor que el de la tercera. La segunda máquina produce el doble de la cuarta. Se sabe que los porcentajes de envases hechos correctamente por la primera, segunda, tercera y cuarta máquina son 62%, 75%, 98% y 70% respectivamente. Se toma al azar del transportador un frasco de vidrio, el cual resultó no estar correcto. Determine la probabilidad que este envase haya sido hecho por la máquina 1. Sea:  M1: 12X  M2: 6X  M3: 4X  M4: 3X Total: 25X


47



IP(M1) = 12/25

IP(M2) = 6/25

IP(M3) = 4/25

IP(C/M1) = 0,62 IP(NC/M1) = 0,38 IP(C/M2) = 0,75 IP(NC/M2) = 0,25 IP(C/M3) = 0,98 IP(NC/M3) = 0,02

IP(M4) = 3/25

IP(C/M3) = 0,70 IP(NC/M3) = 0,30

IP(A) = IP(M1/NC) = IP(NC  M1) IP(NC) = IP(NC/M1)·IP(M1)  [IP(NC/Mi)·IP(Mi)] =

0,38·12/25 0,38·12/25 + 0,25·6/25 + 0,02·4/25 + 0,30·3/25 = 0,6477  64,77%


48

Profesor: Alejandro Ferná ndez Ayudante: Mª Angélica Malhu e

Guía Nº4 Variables Aleatorias Discretas

GUÍA Nº4

“Variables Aleatorias Discretas”

Ejercicio Nº1:

Suponga que X es una variable aleatoria discreta con función de cuantía: X f(X)

-2 0,1C

-1 0,2C

0 0,6C

1 0,5C

2 0,4C

4 0,2C

a) Deter mi ne C para que X sea una distri buci ón de probabilidad.

Para que X sea una distribución de probabilidades se debe cumplir que:  f(X) = 1  f(-2) + f(-1) + f(0) + f(1) + f(2) + f(4) = 1  0,1C + 0,2C + 0,6C + 0,5C + 0,4C + 0,2C = 1  C = 1/2 b) Obtenga I P[X < 1], I P[-2 < X < 2], I P[X 2 / X > 0].

IP(X < 1) =  f(X < 1) = 0,1C + 0,2C + 0,6C = 0,45  45% IP(-2 < X < 2) =  f(-2 < X < 2) = 0,2C + 0,6C + 0,5C = 0,65  65% IP(X  2 / X > 0) = IP[(X  2)  (X > 0)] IP(X > 0) =

0,4C + 0,2C 0,5C + 0,4C + 0,2C = 0,54  54%


49



c) Calcule I E[X ] y V[X] .

IE[X] =  Xif(X) = -2·0,1C + -1·0,2C + 1·0,5C + 2·0,4C + 4·0,2C = 0,85 V[X] = 2 - {IE[X]}2 = (4·0,1C + 1·0,2C + 1·0,5C + 4·0,4C + 16·0,2C) - 0,85² = 2,2275

Ejercicio Nº2:

Se tienen tres funciones de cuantía, dadas a continuación, se pide determinar E[X], si n1=20 y n2=80, además se sabe que f(X 1) comienza en un tiempo 0. f(X1) = n1 · n1-1 n1 + n2 n1 + n2 - 1 f(X2) = 2n1 · n2 n1 + n2 n1 + n2 - 1 f(X3) = n2 · n2-1 n1 + n2 n1 + n2 - 1 IE[X] = 0·f(X1) + 1·f(X2) + 2·f(X3) = 2 n1 · n2 + 2n2 · n2-1 n1 + n2 n1 + n2 - 1 n1 + n2 n1 + n2 - 1 = 2n2 · (n1 + n2 - 1) (n1 + n2 ) (n1 + n2 - 1) = 2n2 n1 + n2 = 2·80 20 + 80 = 1,6


50



Ejercicio Nº3:

Se tiene una caja con 40 bolitas rojas, 30 bolitas verdes y 30 bolitas azules. Sea X una v.a.d. que corresponde al número de bolitas rojas extraídas de la caja con devolución. Si se extraen 3 bolitas: a) Calcular (X )

IP(R) = 0,4  IP(NR) = 0,6 f(X0) = IP(ninguna bolita roja) = 0,6·0,6·0,6 = 0,216 f(X1) = IP(1 bolita roja) = 0,4·0,6·0,6 + 0,6·0,4·0,6 + 0,6·0,6·0,4 = 0,432 f(X2) = IP(2 bolitas rojas) = 0,4·0,4·0,6 + 0,6·0,4·0,4 + 0,4·0,6·0,4 = 0,288 f(X3) = IP(3 bolitas rojas) = 0,4·0,4·0,4 = 0,064 V(X) = 2 - (IE[X])² = 2,16 - (1,2)² = 0,72   = 0,84  IE[X] =  Xif(Xi) = 0·f(X0) + 1·f(X1) + 2·f(X2) + 3·f(X3) = 0,432 + 2·0,228 + 3·0,064 = 1,2  2 =  X²if(Xi) = 0·f(X0) + 1·f(X1) + 4·f(X2) + 9·f(X3) = 0,432 + 4·0,228 + 9·0,064 = 2,16 b) Deter min ar la I P(0 X 3 / X I E [ X ] )

IP(0  X  3 / X  IE[X]) = IP(0  X  3 / X  1,2) = IP(0  X  3  X  1,2) IP(X  2) = IP(X = 2) IP(X  2) = f(X2) / [f(X2) + f(X3)] = 0,288/(0,288 + 0,064) = 0,818  81,8% Probabilidades y Estadística s

51



Ejercicio Nº4:

Una empresa lanza al mercado tres tipos de ofertas con las siguientes probabilidades de obtener éxito: para la primera oferta 1/3 y para las siguientes ofertas 1/2 si la anterior oferta tuvo éxito y 1/4 si la anterior oferta no tuvo éxito. Suponiendo que las probabilidades condicionales se mantienen para las siguientes ofertas. a) Deter mi ne la función de cuantía de la v.a.d. don de X es el número de veces que obtuvo é xito con las ofertas.

IP(E1) = 1/3

IP(NE1) = 2/3

f(X0) f(X1) f(X2) f(X3)

= = = =

IP(E2/E1) = 1/2 IP(NE2/E1) = 1/2

IP(E2/NE1) = 1/4 IP(NE2/NE1) = 3/4

IP(E3/E2E1) = 1/2 IP(NE3/E2E1) = 1/2 IP(E3/NE2E1) = 1/4 IP(NE3/NE2E1) = 3/4

IP(E3/E2 NE1) = 1/2 IP(NE3/E2 NE1) = 1/2 IP(E3/NE2 NE1) = 1/4 IP(NE3/NE2 NE1) = 3/4

IP(ningún éxito de oferta) = 2/3·3/4·3/4 = 3/8 IP(1 éxito de oferta) = 1/3·1/2·3/4 + 2/3·1/4·1/2 + 2/3·3/4·1/4 = 1/3 IP(2 éxito de oferta) = 1/3·1/2·1/2 + 1/3·1/2·1/4 + 2/3·1/4·1/2 = 5/24 IP(3 éxito de oferta) = 1/3·1/2·1/2 = 1/12

b) ¿Cuánto se esper ar ía que obtu vier an é xito con las ofer tas?

IE[X] = = = =

 Xif(Xi)

0·f(x0) + 1·f(x1) + 2·f(x2) + 3·f(x3) 1/3 + 10/24 + 3/12 1


52



Ejercicio Nº5:

De una urna que contiene seis bolitas rojas y cuatro negras se extraen cuatro al azar. Siendo X una variable aleatoria que indica el número total de bolitas rojas sacadas: a) Obtener l a esper anza y la vari anza de X para l os dos ti pos de extraccion es. 

Con devolución: X ~ Bin (n , p) n=4 p = 0,6

 n   4  f(Xi) = IP(X = k) =   pk (1 - p)n k =   0,6k (1 - 0,6)4 k  k   k   4  f(X0) = IP(X = 0) =   0,60 (1 - 0,6)4-0 = 0,0256  0   4  f(X1) = IP(X = 1) =   0,61 (1 - 0,6)4-1 = 0,1536  1   4  2 f(X2) = IP(X = 2) =   0,6 (1 - 0,6)4-2 = 0,3456  2   4  f(X3) = IP(X = 3) =   0,63 (1 - 0,6)4-3 = 0,3456  3   4  f(X4) = IP (X = 4) =   0,64 (1 - 0,6)4-4 = 0,1256  4  IE[X] =  Xif(Xi) = 0·0,0256 + 1·0,1534 + 2·0,3456 + 3·0,3456 + 4·0,1256 = 2,384  IE[X] = np = 2,4 V(X) = = = = 

2 - (IE[X])²  X²if(Xi) - ( Xif(Xi))²

6,656 - (2,384)² 0,97  V(X) = np(1 - p) = 4·0,6·0,4 = 0,96

Sin devolución: Probabilidades y Estadística s

53



X ~ Hip (N, M, n) N = 10 (total de bolitas) M = 6 (bolitas rojas) n = 4 (muestra de extracciones)

 M   N  M   6   10  6  IP(X) =     =     x n x 4 x  x           N   10      n    4  f(X0) = IP(X = 0) = 0,0047 f(X1) = IP(X = 1) = 0,1143 f(X2) = IP(X = 2) = 0,4286 f(X3) = IP(X = 3) = 0,3810 f(X4) = IP(X = 4) = 0,0714 IE[X] =  Xif(Xi) = 0·0,0047 + 1·0,1143 1·0,1143 + 2·0,4286 2·0,4286 + 3·0,3810 3·0,3810 + 4·0,0714 = 2,404  IE[X] = nM = 4·6 = 2,4 N 10 V(X) = = = =

2 - (IE[X])²  X²if(Xi) - ( Xif(Xi))²

6,4 - (2,4)² 0,64  V(X) = nM(N - M) ( N - n ) = 4·6(10 - 6)(10 - 4) = 0,64 N2 (N - 1) 100(10 - 1)

b) Come b) Comente nte la r el ación ación entr e l as dis di str i buciones buci ones que se ori or i ginan gi nan de acuer acuer do al ti po de extr xt r acción.

El principal comentario que se puede realizar corresponde a que al sacar las bolitas rojas con devolución y sin devolución, se obtiene la misma esperanza.


54



Ejercicio Nº6:

Un grupo de 50 senadores de cierto país pa ís son elegidos al azar entre un total de 100. a) H a) H all al l ar l a probabi pr obabi l i dad de que los l os dos senador senador es de una un a de las l as ciud ci udades ades esté esté n entr nt r e los el el egidos gi dos..

X: número de senadores escogidos de una misma ciudad X ~ Hip (N, M ,n) N = 100 (total (total de senadores) M = 2 (senadores de una de las ciudades) n = 50 (muestra de senadores elegidos de cierto país)

 2  100  2     x 50 x   = IP(X = 2) =    100     50 

 2  98      2  48  = 0,247  25%  100     50 

b) D b) D eter ter mi nar l a probabil i dad de que ni nguno ngu no de l os dos senadore nador es de l a ciudad ciu dad escog escogii da estéentr ent r e l os elegi el egidos. dos.

X: número de senadores escogidos de una misma ciudad X ~ Hip (N, M ,n) N = 100 (total (total de senadores) M = 2 (senadores de una de las ciudades) n = 50 (muestra de senadores elegidos de cierto país)

 2  100  2     x 50  x  IP(X = 0) =   =  100     50 

 2  98      0  50  = 0,247  25%  100     50 


55



Ejercicio Nº7:

Un fabricante de automóviles compra sus motores a un proveedor que recibe estrictas especificaciones de él. Cada mes, recibe un lote de 40 motores. Para asegurarse de la calidad de ellos, el fabricante toma una muestra de 8 motores, y acepta el lote solo si ningún motor presenta serias faltas a la especificación. Si existen 3 motores con falta en el lote. Calcule la probabilidad de que el lote sea aceptado. X: cantidad de motores con falla X ~ Hip (N, M ,n) N = 40 (total de motores) M = 3 (motores con falla) n = 8 (muestra de motores)

 3  40  3     x 8 x   = IP(X = 0) =    40     8 

 3  37      0  8  = 0,502  50,2%  40     8 

Ejercicio Nº8:

Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero ha agregado 6 tabletas de narcóticos a un frasco que contiene 9 tabletas de vitaminas que son muy similares en apariencia. Si el oficial de aduana selecciona 3 tabletas aleatoriamente para analizar. a nalizar. a) ¿Cu ¿Cuá ál es l a pr obabi l i dad de que qu e todas l as tabl etas sean de n ar cóti cóti cos, y cuá cu ál es la probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesión ilegal de narcóticos?.

X: cantidad de tabletas de narcóticos X ~ Hip (N, M ,n) N = 15 (total de tabletas) M = 6 (tabletas de narcóticos) n = 3 (muestra de tabletas a nalizar por el oficial)


56



 6  15  6     x 3 x   = IP(X = 3) =    15     3 

 6  9      3  0  = 0,0439  4,39%  15     3 

  6  15  6     x  3  x   3   = 0,815  81,5% IP(X  1) =     X 1   15         3   b) Si el viaj ero reali za siempr e el m ismo procedimiento con 6 f r ascos de una caja de 25 y en i nspección de aduanas se r ealiza para verificación, en todas las cajas, un muestr eo de 4 fr ascos elegidos al azar, que se revisan compl etamente y l uego se devuelven a la caja. ¿Cuál es la probabilidad de que el viajer o sea ar restado si é ste pasa 25 caj as por la aduana?. 

X: frascos con narcóticos por caja X ~ Hip (N, M ,n) N = 25 (total de frascos) M = 6 (frascos con narcóticos) n = 4 (muestra de frascos con narcóticos por caja)

IP(1  X  4) =

4



X 1



  6  25  6     x  4  x     = 0,6936  69,36%      25         4  

X ~ Bin (n , p) n = 25 p = 0,6936

 25  IP(X = 1) =   0,6936 (1 - 0,6936) 24  1  = 8,12·10-12  81,2·10-11 %


57



Ejercicio Nº9:

Se sabe que una partida de 40 artículos hay 3 deteriorados. Determinar cuántos artículos deben ser inspeccionados (selección aleatoria), para que con una probabilidad de al menos 0,9 se encuentre por lo menos uno de los tres artículos defectuosos. X: artículos deteriorados X ~ Hip (N, M, n) N = 40 (total de artículos) M = 3 (artículos deteriorados) n = muestra desconocida

 M   N  M  IP(X  1) =     x n x       N     n   3   37  =     + n 1 1       40     n 

 0,9

 3   37   3   37      +      0,9 n 3 n 2 2  3           40   40      n    n 

Realizando un tanteo, para determinar el n que cumpla con la condición, tenemos que para n = 20 la IP(X  1) = 0,8846, para n = 21 la IP(X  1) = 0,9019 y para n = 22 la IP(X  1) = 0,9174. Por lo tanto, se deben inspeccionar al menos 21.

Ejercicio Nº10:

Jorge y Luis, aficionados al fútbol, están discutiendo sobre sus jugadores favoritos. Jorge cree que el delantero Iván Zamorano es uno de los grandes jugadores en el mundo. Zamorano tiene un promedio de 0,4 goles por disparos al arco en la temporada. Luis no comparte la opinión de Jorge. Ante esto, Jorge le apuesta US$ 10 a que Zamorano obtendrá por lo menos 2 goles durante los próximos 5 disparos al arco. a) ¿Cuál es el número esper ado de goles? Probabilidades y Estadística s

58



X: número de goles X ~ Bin (n , p) n=5 p = 0,4 IE[X] =  XiIP(X = xi) = np = 2 b) ¿Cuál es el valor esperado de l a apuesta par a Jorge?, ¿Lui s aceptar á l a apuesta?.

 n   5  f(Xi) = IP(X = k) =   pk (1 - p)n-k =   0,4k (1 - 0,4)5-k  k   k  f(X0) = IP(X = 0) = 0,07776 f(X1) = IP(X = 1) = 0,2592 f(X2) = IP(X = 2) = 0,3456 f(X3) = IP(X = 3) = 0,2304 f(X4) = IP(X = 4) = 0,0768 f(X5) = IP(X = 5) = 0,01024 IP(X  2) = IP(X = 2) + IP(X = 3) + IP(X = 4) + IP(X = 5) = 0,3456 + 0,2304 + 0,0768 + 0,01024 = 0,66304  66,304% Por lo tanto, el 66,304% es la probabilidad de que hayan por lo menos 2 goles cada 5 disparos al arco, es la probabilidad de que Jorge gane US$6.6304. Considerando estos resultados Luis no aceptaría la apuesta dado que estaría ganando menos que Jorge.

Ejercicio Nº11:

Para decidir acerca de un proyecto de remodelación de un sector de la ciudad, una corporación decide seleccionar al azar 20 unidades habitacionales del sector. Si el 40% de ellas está en mal estado se procede a la remodelación, en caso contrario no. a) ¿Cuál es la pr obabi li dad qu e se reali ce la remodelaci ón, si el 36 % de las vivi endas estáen mal estado?.

X: numero de viviendas en mal estado Probabilidades y Estadística s

59



X ~ Bin (n , p) n = 20 p = 0,36

 n  k   p (1 - p)n-k  k  8  k  20  20  =    0,36k (1 - 0,36)20-k k  8  k  = 0,437  43,7%

IP(X  8) =

n

b) ¿Cuál es la pr obabi li dad que no se haga l a r emodelación, si el 50% estáen mal estado?.

X: numero de viviendas en mal estado X ~ Bin (n , p) n = 20 p = 0,5

 n  k   p (1 - p)n-k  k  0  k  7  20  =    0,5k (1 - 0.5)20-k k  0  k  = 0,132  13,2%

IP(X  8) =

7

Ejercicio Nº12:

Se desea utilizar un proceso de fabricación de piezas con un porcentaje de defectuoso no superior al 1%, se controla el proceso durante una hora seleccionando 10 piezas al azar de un número alto de piezas correspondiente a la producción del período. La producción media por hora es de 9000 piezas. Si falla una o más piezas de las 10 escogidas se detiene el proceso y se procede a un examen cuidadoso. Si la probabilidad real de producir piezas defectuosas es del 1%, determine la probabilidad de que el proceso sea examinado. X: piezas defectuosas Probabilidades y Estadística s

60



X ~ Bin (n , p) n = 10 p = 0,01 IP(X  1) = = = = =

 n  k   p (1 - p)n-k  k 1  k  10  10    0,01k (1 - 0,01)10-k  k 1  k  1 - IP(X = 0)  10  1 -   0,010 (1 - 0,01)10-0  0  0,0956  9,56% n

Ejercicio Nº13:

Se tendieron mil trampas para langostas, en las que se atraparon 1200 langostas. Considerando que el número de langosta por trampa es una v.a.d. se pide determinar la probabilidad que una trampa contenga dos o más langostas. X: número de langostas por trampa X ~ P ( )  = 1200/1000 = 1,2 IP(X  2) = 1 - IP(X  1) = 1-

1

 k  0

= 1-

1

 k  0

 e  k

k ! k 1, 2 1,2 e

k !

= 1 - 0,6626 = 0,337  33,7% Ejercicio Nº14:

En una encuesta hecha para averiguar los errores de ortografía que realizan los estudiantes en sus apuntes, se detectó que en 500 páginas cometían aproximadamente


61



1000 errores. Si consideramos 5 páginas, encuentre la probabilidad de que en 2 o más de ellas haya más de 3 errores en cada una. 

X: número de errores por página X ~ P ( ) =2

IP(X  3) = 1 - IP(X  3) = 1-

3

 k  0

= 1-

3



 e  k

k ! k 2 2 e k !

k  0

= 1 - 0,86 = 0,14 

Y: número de páginas Y ~ Bin (n , p) n=5 p = 0,14

IP(Y  2) = 1 - IP(Y  2) 1  5  = 1 -    0,14k (1 - 0,14)5-k k  0  k  = 0,15  15%

Ejercicio Nº15:

El promedio de demandas a una compañía de seguro es de 3 demandas por día. a) Encontr ar cu ál es l a probabi lidad que en una semana se pr esenten a lo menos 5 días, 2 o 3 o 4 demandas 

X: número de demandas diaria X ~ P ( ) =3

IP(X = 2,3,4) =

4

 k  2

 e  k

k ! Probabilidades y Estadística s

62



= 32 e-3 + 33 e-3 + 34 e-3 2! 3! 4! = 0,22404 + 0,22404 + 0,16803 = 0,6163 

Y: número de días de la semana Y ~ Bin (n , p) n=7 p = 0,6163

 n  k   p (1 - p)n-k  k  5  k  7  7  =    0,6163 k (1 - 0,6163)7-k k  5  k  = 0,27473 + 0,14697 + 0,33669 = 0,4554  45,54%

IP(Y  5) =

n

b) Determinar la pr obabilidad que en un mes, a l o menos 15 días y a lo más 22 días, el número de deman das esté entre 3 y 6 demandas. 

X: número de demandas diaria X ~ P ( ) =3

IP(3  X  6) = IP(X = 4,5) =

5

 k  4

=

5

 k  4

 e  k

k ! 3 3 e k

k !

= 0,16803 + 0,10082 = 0,26885 

Y: número de días del mes Y ~ Bin (n , p) n = 30 p = 0,26885


63



 30    0,26885k (1 - 0,26885)30-k  k 15  k  = 0,00584  0,58%

IP(15 ≤ Y ≤ 22) =

22

Ejercicio Nº16:

Un bosque de alerce está zonificado como se muestra en la figura. Para realizar un estudio, cada zona está subdividida en parcelas de 40000 mts² de área. En la región 1 (R 1), el número promedio de árboles por parcelas aptos para ser explotados es de 1,5; mientras que para la región 2 y región 3 dicho promedio es de 0,8 y 1,2 respectivamente. Determine en cada caso la probabilidad de tener 10 parcelas con al menos 2 árboles aptos para ser explotados, considerando el siguiente diagrama. 3000 mt 1000 mt

R 2 1000 mt

R 3

R 1

800 mt

340 mt

104 mt

Sea: R 1: 800000 mts²  20 parcelas R 2: 680000 mts²  17 parcelas R 3: 520000 mts²  13 parcelas

Xi: número de árboles aptos para ser explotados, por parcelas, en la región i 

X1 ~ P (1,5)  IP(X1  2) = 1 - IP(X1  1) = 1 -

1

 k  0



X2 ~ P (0,8)  IP(X2  2) = 1 - IP(X2  1) = 1 -

1

 k  0


k

1,5 e

1, 5

k ! k 0, 8 0,8 e k !

= 0,4422 = 0,1912

64





X3 ~ P (1,2)  IP(X3  2) = 1 - IP(X3  1) = 1 -

1

 k  0

k

1,2 e

1, 2

k !

= 0,3374

Yi: número de parcelas en la región i 





 20  Y1 ~ Bin (20 ; 0,4422)  IP(Y1 = 10) =   0,442210 ·0,557810 = 0,154  10   17  Y2 ~ Bin (17 ; 0,1912)  IP(Y2 = 10) =   0,191210 ·0,80887 = 0,0003  10   13  Y3 ~ Bin (13 ; 0,3374)  IP(Y3 = 10) =   0,337410 ·0,66263 = 0,0016  10 

Ejercicio Nº17:

Sea X1 y X2 variables aleatorias discreta, las cuales se distribuyen como una Poisson, es decir: X 1 ~ P(1) y X2 ~ P(2). a) Deter mi nar la f unci ón generador a de momento para X , X 1 y X 2.

X ~ P() X1 ~ P(1) y X2 ~ P(2). x(t) = IE[etx] =  etx f(xi) =





e

tx

 e 

x 0

= e





 x 0

=

e



e

 x 0

- a

x

x! t x (e ) x! x (a ) x!

= e e donde a = et = e(u) donde u = et - 1 Para X1 y X2 es la misma solución, la única diferencia que se debe tener en cuenta es que para X1:  = 1 y para X2:  = 2


65



b) Deter mi nar la f unci ón generador a de momento para X 1 + X 2

x1x2(t) = IE[etx]

= = = =

IE[et(x₁+ x₂)] IE[etx₁ etx₂] e₁(u) e₂(u) e(₁ + ₂)(u)

donde u = e t - 1

Ejercicio Nº18:

Suponga que el número de autos X que pasan a través de una máquina lavadora entre las 4:00 PM y las 5:00 PM de un viernes tiene la siguiente distribución: X IP(X = x)

4 5 6 1/12 1/12 1/4

7 1/4

8 1/6

9 1/6

Sea g(x) = 2X - 1 una función que representa la cantidad de dinero que el gerente paga al encargado de la máquina lavadora de autos. Determinar la ganancia esperada en este período de tiempo. IE[g(x)] = = = = =

g(x)f(x) (2X - 1)f(x) (2X - 1) IP(X = x)

7·1/12 + 9·1/12 + 11·1/4 + 13·1/4 + 15·1/6 + 17·1/6 12,67

Ejercicio Nº19:

Supongamos que la función generadora de momento de X es de la forma: x(t) = (0,4et + 0,6)8


66



a) Deter mi nar la funci ón generadora de momento de Y = 3X + 2

y(t) = IE[ety]

= = = = =

IE[et(3x + 2)] IE[e(3xt + 2t)] IE[e3xt e2t] e 2t IE[e3xt] e 2t (0,4e3t + 0,6)8

Se distingue que: x(t) = (aet + b)c tiene una forma Binomial siempre, donde X ~ Bin (n = c , p = a), estableciéndose su función generadora de momento como: (pe t + q)n = IE[etx]; por lo tanto, la función generadora de momento dada x(t) = (0,4et + 0,6)8 se distribuye como una Binomial de parámetros (n = 8 , p = 0,4). b) Determi nar la I E[ X]

IE[X] = dx(t) /t=0 dt = d (0,4et + 0,6)8 dt = 8(0,4et + 0,6)7 0,4et = 8(0,4 + 0,6)7 0,4 = 3,2

Ejercicio Nº20:

Sea X una variable aleatoria discreta con función generadora de momento: x(t) = e2(u) ,donde u = et - 1 a) Deter min ar la V(X)

X ~ P () x(t) = e(u)

donde u = e t - 1


67



 

=2



IE[X²] = d²x(t) dt²

IE[X] =  = 2 /t=0

= d²(e2(u)) donde u = e t - 1 dt² = 2ete2(u) + 2e t2ete2(u) donde u = e t - 1 = 6 V(X) = IE[X²] - (IE[X])² = 6 - 4 = 2 b) Deter min ar I P(2 X 9)

X ~ P () =2 IP(2  X  9) =

9

 x 2

x

2 e

2

X!

= 0,594


68


Guía Nº5 Variables Aleatorias Contin uas

GUÍA Nº5

“Variables Aleatorias Continuas”

Ejercicio Nº1:

La vida de un transistor particular en un osciloscopio puede ser expresada de la siguiente manera, donde X representa la duración de un transistor en horas. f(x) = 100a /X² , 100 < X < +  a) Encuentr e a de modo que f(x) sea una f.d.p.

Para que f(x) sea f.d.p. se debe cumplir:

 

f(x) = 1 



 



10 0

f(x)I(x)X = 1 100a /X² X = 1 

100 a 10 0 X-2X = 1  -100 a X-1 100 = 1  100/100 a = 1  a = 1 

b) Deter mi ne la fu nción de distri bución.

FX (x) = =

 

x

 x

10 0

f(x)I(x)X 100/X²X x

= 100 10 0 X-2X = -100 X-1 10x 0 = -100 X-1 + 1 = 1 - 100/X Probabilidades y Estadística s

69



c) ¿Cuál es el ti empo esper ado de vida?.

IE[X] = =

 



 

10 0

Xf(x)I(x)X X100/X² X 

= 100 10 0 X-1X = 100 ln(x)  =  100

d) ¿Cuál es la pr obabilidad de que un tr ansistor dure más de 200 hor as?

IP(X ≥ 200) = =

 



20 0



20 0

f(x)X 100/X² X

= -100 X-1  20 0 = -100/ + 100/200 = 1/2  50% e) Si se sabe que un tr ansistor du r a más de 220 hor as, ¿cuál es la pr obabi li dad de que dur e entre 160 y 240 hor as?

IP(160 < X < 240 / 220 < X) = IP(220 < X < 240) IP(220 < X) =

 

24 0

22 0

100/X²X



100/X² X = (-100 X-1) 22 0

24 0 22 0

(-100 X-1)  22 0 = -100/240 + 100/220 -100/∞ + 100/220 = 1/12  8,3%


70



Ejercicio Nº2:

Sea f(x) = kX(X - 4) I(0,4)(x). Se pide: a) Encontr ar k par a que f(x) sea un a f unción de densidad probabil ísti ca.

Para que f(x) sea f.d.p. se debe cumplir: 



 



k 0 (X² - 4X)X = 1

f(x) = 1 

f(x)I(x) X = 1

 4

0

kX(X - 4)X = 1 4

k[X³/3 - 4X²/2] 04 = 1  k[64/3 - 64/2] = 1  -k32/3 = 1  k = -3/32 

b) Deter min ar I P(1/2 < X < 3/4 / X > 2/3)

IP(1/2 < X < 3/4 / X > 2/3) = IP(2/3 < X < 3/4 ) IP(X > 2/3) =

 

3/ 4

2/3 4

2/3

3/32 X[4 – X]X 3/32 X[4 – X]X

= (4X²/2 - X³/3)

3/ 4 2/3

(4X²/2 - X³/3) 42 / 3 = 0,0197  1,97%


71



Ejercicio Nº3:

Sea X una variable aleatoria continua que representa la vida en horas de un cierto dispositivo electrónico. Su función de densidad probabilística es f(x) = 20000/X 3 para todo X > 100, en cualquier otro caso su función es cero. Se pide determinar el valor esperado de duración del dispositivo. IE[X] = = =

  



Xf(x)X

 

X(20000/X3)X

10 0



20000/X2X

10 0



= 20000 10 0 X-2X  = -20000 X-1 10 0 = 20000/100 = 200  el dispositivo electrónico dura en promedio 200 horas.

Ejercicio Nº4:

Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad probabilística: f(x) = X²/3, para todo -1 < X < 2 , en cualquier otro caso su función vale cero. Se pide encontrar el valor esperado de g(x) = 4X + 3.

IE[g(x)] = =

 



g(x)f(x)X



2

1

= 1/3

(4X + 3)f(x)X



2

1

(4X³ + 3X²) X

= X4/3 + X³/3 = 8

2

1


72



Ejercicio Nº5:

Se dice que una variable aleatoria tiene una distribución de Weibull, encontrar F X(x, , ), si su función de densidad es: 

 -1 -[ x /  ]

f(x, , ) = ( /  ) X

FX (x, , ) =

 

x



e

a

IR+(x)

f(x,  ,  )I(x)X

x

 -1



-[ x /  ]

a

= 0 ( /  ) X e X Sea: u = (X/)  u = (X/) -1 1/X x

= 0 e-uu = - e -u = - e -[x /  ] = 1 - e -[ x /  ] a

x 0 a

Ejercicio Nº6:

El tiempo total, medido en unidades de 100 horas, que un adolescente escucha su estéreo durante un año es una v.a.c. cuya modelación está dada por: f X (X)



1



e

    X  1 k 

con   0

I (0, ) (X)

a) En cuentr e k par a que f X (X) sea una f.d.p.

Para que f X(X) sea una f.d.p. se debe cumplir: 1 =





0

1



e

    X  1 k 

X  1 = -



1 =

1e

     X  1 k 

       1  k 

 0

1 - k

2  k = 1 - 2 Probabilidades y Estadística s

73



b) Considerando = 4, encuentr e la probabilidad de que el ti empo total en h oras, que un adolescente usa su esté r eo dur ante un añ o sea entr e 3 y 8 unidades.

IP(3  X  8) =

8

1

3

4



e

X / 4

X

= -e-X/4 83 = e-3/4 - e-2 = 0,337  33,7% c) Calcule la media de la v.a.c. Y = 60X 2 + 39X donde Y es igual al número de ki lovati os-hora que se gastan anual mente.

IE[Y] = IE[60X2 + 39X] = 60 IE[X2] + 39 IE[X] = 60·32 + 39·4 = 2076 2



IE[X ] =



IE[X] =

 



X



0



0

2

X



e

e

X / 

X / 

X = (3) 2 = (3) 42 = 32

X = (2)  = (2) 4 = 4

Ejercicio Nº7:

Supóngase que la probabilidad de toparse con un compañero conocido en la Universidad al salir del Campus hasta tomar la micro, se puede distribuir en forma uniforme durante los aproximadamente 400 metros de este recorrido. a) Plan tee la f.d.p. y la funci ón de distribución corr espondiente al enunciado.

Sea f(x) la función de densidad probabilística f(x) = 1/(b - a)I(x) = 1/400 I [0,400](x) Sea F(x) la función de distribución Probabilidades y Estadística s

74


F(x) =



x






f(x)I(x)X =

x

0

1/400 X = X/400

b) Cal cul e la pr obabilidad de encon tr arse con u n compañ er o entre los 50 y 150 metros de la tr ayectori a.

IP(50 < X <150) = =

15 0

 

50

15 0

50

f(x)X 1/400 X 15 0

= 1/400 50

X

= 1/400 X 15500 = 150/400 - 50/400 = 0,25  25% c) Cal cul e la probabilidad de encon tr arse con un compañ er o en l os primeros 100 metros o en l os últi mos 200 metr os del r ecorr ido.

IP(X  100) + IP(X  200) = IP(0 < X < 100) + IP(200 < X < 400) = =

10 0

 

0 10 0

0

f(x)X +



1/400X + 10 0

= 1/400 0

40 0

20 0



f(x)X

40 0

20 0

X + 1/400

1/400X



40 0

20 0

X

= 1/400 (X 100 0 + X 4020 00 ) = 1/400 (100 - 0 + 400 - 200) = 3/4  75% d) Si se decide pasar al casino de la univer sidad, siendo el ti empo que se demor an en atender un a variable aleatori a que tiene un a distribución exponenci al, con media de 4 minu tos. ¿Cuál es la probabil idad de que un un iversitar io sea servido en menos de 3 mi nu tos, al menos en 4 días de un total de 6. 

X: tiempo en ser servido X ~ Exp ( ) IE[X] = 4 = 1/   = ¼ Probabilidades y Estadística s

75


IP(X  3) = =

  

3


f(x)X

0 3

e -x X

0 3

= 0 (1/4)e -x/4X = -e -x/4 30 = 1 - e -¾ = 0,53 

Y: número de días Y ~ Bin (n , p) n=6 p = 0,53

 n  k   p (1 - p)n k  k  4  k  6  6  =    0,53k (1 - 0,53)6 k k  4  k  = 0,40  40%

IP(Y  4) =

6

Ejercicio Nº8:

Se ha comprobado que el tipo de vida de cierto tipo de marcapasos sigue una distribución exponencial con media de 16 años. a) Deter mi ne la probabi lidad de que a una persona a la que se le ha i mplantado este mar capasos se le deba r eimpl antar otro antes de 20 añ os.

X: vida del marcapasos X ~ Exp ( ) IE[X] = 16 = 1/   = 1/16 IP(X  20) =



20

0

f(x)X Probabilidades y Estadística s

76


= =

 

20

0 20

0


e -x X

(1/16)e -x/16X

= -e -x/16 020 = 1 - e – 20/16 = 0,7135  71,35% b) Si el mar capasos lleva funcionando cor r ectamente más de 5 añ os en un paciente, calcul e la probabil idad que haya que cambi arlo antes de 25 añ os.

IP(X < 25 / X > 5) = IP(5 < X < 25) IP(X > 5) =



25

5

1 -

(1/16)e -x/16X



5

0

(1/16)e -x/16X

= (-e – 25/16 + e – 5/16) 1 - [-e -x/16 50 ] = (-e – 25/16 + e – 5/16) 1 - 1 - e – 5/16 = 0,7135  71,35%

Ejercicio Nº9:

En una ciudad, capacidad diaria de energía eléctrica (en millones de kilowatt-hora) puede considerarse como una v.a.c. que tiene distribución gamma con  = 3 y  = 2. Si la planta de energía tiene una capacidad diaria de 12 mill.de kilowatt-hora.

a) Determi ne la pr obabi lidad de que é ste abastecimi ento de energía sea inadecuado en un día cual qui era y en una semana cualqui er a. Probabilidades y Estadística s

77



X: capacidad diaria de energía X ~  (,) IP(X  12) = = = =

 -1  X / 

X e

12



  ()

0

1

12

Xe

0

3

12

Xe

  

0

2

X / 3

(2)

X

X / 3

9

4

X

X

Sea u = X/3  X = 3u

u e-u u

0

= e-u (-u - 1) 04 = e-4(-5) + 1 = 0,90842  90,842% IP(sea inadecuado en una semana cualquiera) = (0,90842) 7 = 0,51051 b) Deter mi ne l a pr obabilidad de que en al menos 5 y a l o más 8 días del mes, el abastecimi ento de energía sea inadecuado.

X: días del mes que el abastecimiento es inadecuado X ~ Bin (n , p) n = 30 p = 0,90842

 n  k   p (1 - p)n k k  5  k  8  30  =    0,90842k (1 - 0,90842)30 k k  5  k  = 4,06·10 -17

IP(5  X  8) =

8



c) Deter mi ne la probabi lidad de que sean n ecesari os 15 días par a que el abastecimi ento de energía sea i nadecuado por tercer a vez.


78



X: días del mes que el abastecimiento es inadecuado X ~ Pascal

 x  1 

IP(X = 15) =   pk (1 - p)x k  k  1 

 15  1   0,908423 (1 - 0,90842)153  3  1 

= 

= 2,374·10 -11

Ejercicio Nº10:

Una remesa de municiones de pequeño calibre se acepta como satisfactoria, si de una muestra de 10 disparos a lo más 2 se alejan más de 2 cm. del centro de un blanco a una distancia de 3 m. Si la función de densidad r (distancia del centro del blanco a un impacto dado), viene dada por la siguiente función, se pide determinar la probabilidad de aceptar la remesa: 2

f(r) = 2re-r / (1 - e-9) 

,0 < r < 3

r: la distancia del centro del blanco a un impacto dado

IP(r  2) = =

 

3

2 3

2

f(r)I(r)r -r

2

2re / (1 - e-9) r -9

-r

2

= [1/(1 - e )](-e ) 32 = -e-9/(1 - e-9) + e-4/(1 - e-9) = 0,02  2% X: número de disparos X ~ Bin (n , p) n = 10 disparos p = 0,02 2  n  IP(X  2) =    pk (1 - p)n k k  0  k  


79



 10    0,02k (1 - 0,02)10 k  k  0  k  = 0,99  99% =

2

Ejercicio Nº11:

El Certamen de Probabilidades y Estadística se dividirá en tres etapas con una duración determinada de cada una, donde las variables X i son independientes y se distribuyen como una exponencial. La duración media registrada en cada etapa corresponde a 4, 5 y 10, para cada una de las etapas respectivamente. a) Encontr ar la fu nci ón gener adora de momento par a las tres etapas.

X: duración de cada etapa X ~ Exp() IE[X] = 1/  Para X1: IE[X1] = 4  1 = 1/4  Para X2: IE[X2] = 5  2 = 1/5  Para X3: IE[X3] = 10  3 = 1/10





-xt - x e e  X = /( - t) 0 Por teorema de variables independientes tenemos: Sea Z = X1 + X2 + X3 Z(t) = X1(t) · X2(t) · X3(t) = [(1/4)/(1/4 - t)] · [(1/5)/(1/5 - t)] · [(1/10)/(1/10 - t)] = 1/200[(1/4 - t)·(1/5 - t)·(1/10 - t)]

X(t) =

b) Calcular l a I E[ total] y V(total).

IE[total] = IE[X1 + X2 + X3] = IE[X1] + IE[X2] + IE[X3] = 4 + 5 + 10 = 19 V(total) = V(X 1) + V(X2) + V(X3) = 1/1² + 1/2² + 1/3² = 4² + 5² + 10² Probabilidades y Estadística s

80



= 141

Ejercicio Nº12:

X ~ N(0,1) Se pide determinar: a) IP(X 1,423)

IP(X  1,423) = = = = = = Z 1,42 1,423 1,43

1 1 1 1

- IP(X  1,423) -  ([a - ]/) -  ([1,423 - 0]/1) -  (1,423)  (-1,423) 0,0774  7,74%  (-Z)

1,423 - 1,42 = 0,003 1,43 - 1,42 = 0,01

0,0778 0,0778 - (-1,423) = K  (-1,423) 0,0764 0,0778 - 0,0764 = 0,0014

 0,003/0,1 = K/0,0014  K = 0,0004   (-1,423) = 0,0778 - K = 0,0778 - 0,0004 = 0,0774

b) I P(1,256 < X < 1,624)

IP(1,256 < X < 1,624) = = = = = =

IP(X  1,624) - IP(X  1,256)  ([a - ]/) -  ([b - ]/)  ([1,624 - 0]/1) -  ([1,256 - 0]/1)  (1,624) -  (1,256) 0,9478 - 0,8955 0,0523  5,23%

Ejercicio Nº13:


81



El diámetro de cierto eje se supone distribuido N(2,79 ; 0,01 2) medidos en centímetros. Los límites de especificación son 2,77 ± 0,03 cm. a) Si se pr oducen 1000 ejes, ¿cuántos se esper an defectuosos?.

X: diámetro del eje X ~ N (2,79 ; 0,01 2) 2,77 - 0,03 < X < 2,77 + 0,03  2,74 < X < 2,80 IP(defectuoso) = IP(X  2,74) + IP(X  2,80) =  ([a - ]/) + 1 -  ([b - ]/) =  ([2,74 - 2,79]/0,01) + 1 -  ([2,80 - 2,79]/0,01) =  (5) + 1 -  (1) = 0 + 1 - 0,841 = 0,159  15,9%  si se producen 1000 ejes, entonces los defectuosos son 159 ejes b) ¿Quépr obabi lidad hay de que a lo más 2 mediciones de ejes se desvíen en más de 0,02 cm. r especto de la media en u na mu estra de tamañ o 10?. 

X: diámetro del eje X ~ N (2,79 ; 0,012) 2,79 - 0,02 < X < 2,79 + 0,02  2,77 < X < 2,81

IP(desvíe más de 0,02 cm.) = IP(X  2,77) + IP(X  2,81) =  ([a - ]/) + 1 -  ([b - ]/) =  ([2,77 - 2,79]/0,01) + 1 -  ([2,81 - 2,79]/0,01) =  (-2) + 1 -  (2) = 0,0228 + 1 - 0,9772 = 0,0456 

Y: mediciones de ejes que se desvían Y ~ Bin (n , p) n = 10 p = 0,0456

IP(Y  2) =

2

 k  0

 n  k   p (1 - p)n k  k  Probabilidades y Estadística s

82



 10    0,0456k (1 - 0,0456)10 k  k  0  k  = 0,991  99,1% =

2

Ejercicio Nº14:

Se sabe que en una población formada por 1000 dispositivos electrónicos, la resistencia a la humedad posee una distribución normal de parámetro  = 100 y 2 = 16. ¿ Cuál es la probabilidad que en una muestra sin reposición de tamaño 200 extraída de tal población, se encuentre un 85% de los dispositivos con resistencia a la humedad comprendida entre 96 y 108 unidades?. 

X: dispositivos electrónicos con resistencia a la humedad X ~ N(100 , 4²)

IP(96 < X < 108) = = = = = = 

IP(X  108) - IP(X  96)  ([a - ]/) -  ([b - ]/)  ([108 - 100]/4) -  ([96 - 100]/4)  (2) -  (-1) 0,9773 - 0,1587 0,8186  81,86%

X: dispositivos electrónicos con resistencia a la humedad X ~ Hip(N, M , n) N = 1000 (total dispositivos electrónicos) M = 818,6 (dispositivos electrónicos con resistencia a la humedad) n = 200 (muestra de dispositivos electrónicos)

IP(X = 170) = IP(X = 200·0,85)


83



 M   N  M  =     x  n x      N     n 

 818,6   1000  818,6     200 170  170      1000     200 

= 

= 0,033  3,3%

Ejercicio Nº15:

Una fabrica de ampolletas produce un tipo de ampolletas, cuya vida útil se puede asociar a una v.a.c. normalmente distribuida. Se sabe que el 6,68% de las veces las ampolletas duran más de 9200 hrs. y un 97,62% de las veces duran más de 6400 hrs. a) Encuentre los parámetros de distr ibuci ón

IP(X  9200) = 0,0668  1 - IP(X  9200) = 0,0668   ([9200 - ]/ ) = 0,9332   – 1 (0,9332) = ([9200 - ]/)  1,50 = ([9200 - ]/)

IP(X  6400) = 0,9772  1 - IP(X  6400) = 0,9772   ([6400 - ]/) = 0,0228   – 1 (0,0228) = ([6400 - ]/)  -2 = ([6400 - ]/)

Despejando este sistema de ecuaciones se obtiene:  = 800  = 8000

b) Deter mi nar la probabilidad que la vida úti l de la ampoll eta dur e más de 9600 hrs. Probabilidades y Estadística s

84



X: vida útil de la ampolleta X ~ N (800 ; 8000²) IP(X  9600) = 1 - IP(X  9600) = 1 -  ([9600 - 8000] / 800) = 1 -  (2) = 1 - 0,9772 = 0,0228  2,28%

Ejercicio Nº16:

Se sabe que en el planeta Mercurio, las radiaciones solares se pueden modelar como una distribución normal. En varios años de estudios en el mes de Septiembre, se determinó que el 26,42% de las veces las temperaturas son mayores que 135 ºC y que el 48,38% de las veces las temperaturas son menores que 100 ºC. a) Encuentre los parámetros de la distr ibuci ón

IP(X  135) = 0,2642  1 - IP(X  135) = 0,2642   ([135 - ]/) = 0,7358   – 1 (0,7358) = ([135 - ]/)  0,63045 = ([135 - ]/)

IP(X  100) = 0,4838   ([100 - ]/) = 0,4838   – 1 (0,4838) = ([100 - ]/ )  -0,040619 = ([6400 - ]/)

Despejando este sistema de ecuaciones se obtiene:  = 102,118  = 52,155 b) Determine la probabil idad que en un mes de septi embr e, al menos 16 dí as y a lo más 20 días la temperatur a en M er cur io fluctúe entr e 80 y 125 ºC. 

X: temperatura en Mercurio X ~ N ( 102,118 ; 52,155²)


85


IP(80 < X < 125) = = = = = = 


IP(X  125) - IP(X  80)  ([a - ]/) -  ([b - ]/)  ([125 – 102,118]/52,155) -  ([80 – 102,118]/52,155)  (0,43873) -  (-0,42408) 0,66957 - 0,33575 0,3338  33,38%

Y: días del mes Y ~ Bin (n , p) n = 30 p = 0,3338

 30    0,3338k (1 - 0,3338)30 k  k 16  k  = 0,0247  2,47%

IP(16  Y  20) =

20

Ejercicio Nº17:

Se puede ajustar una máquina de refrescos de modo que llene los vasos con un promedio de  onzas por vaso. Si el número de onzas por vaso tiene una distribución normal con una desviación estándar igual a 0,3 onzas. a) En cuentr e el valor de de tal modo qu e los vasos de 8 onzas se derr amar án el 1% de las veces.

X: número de onzas por vasos X ~ N ( ; 0,3²) IP(X  8) = 0,01  1 - IP(X  8) = 0,01   ([8 - ] / 0,3) = 0,99   – 1 (0,99) = [8 - ]/0,03  2,3263 = [8 - ]/0,03   = 7,3 b) Con la distr ibución anter ior, deter mi ne l a probabi lidad de que en 30 ventas de bebi das, l a máquina sólo di spense menos de 7 onzas a más de 5 vasos. Probabilidades y Estadística s

86




X: número de onzas por vasos X ~ N (7,3 ; 0,3²)

IP(X  7) = = = = 


 ([a - ] / )  ([7 - 7,3] / 0,03)  (-1)

0,1587

Y: número de vasos Y ~ Bin (n , p) n = 30 p = 0,1587

 30    0,1587k (1 - 0,1587)30 k  k  6  k  = 0,338  33,8%

IP(Y  5) =

30

c) Suponga que la máqui na se ajustó de modo qu e ll ene los vasos de 8 onzas con un promedio de 7,2 onzas por vaso. Determi ne las probabil idades de que en u n día cual qui er a, el quinto vaso vendi do sea el primero que produce derr ames, y sea el tercero que no pr oduce der rame.

X: número de onzas por vasos X ~ N (7,2 ; 0,3²) IP(X  8) = 1 - IP(X  8) = 1 -  ([8 - 7,2] / 0,3) = 1 -  (2,666) = 1 - 0,9962 = 0,0038  IP(derrame) = 0,0038 y IP(no derrame) = 0,9962



Y ~ Pascal IP(5º es el 1º que se derrame) = IP(Y = 5) Probabilidades y Estadística s

87



 y  1  =   (1 - p)y-k p k  k  1   5  1  =   0,99624 · 0,0038  1  1  = 0,0037  0,3% 

Y ~ Pascal IP(5º es el 3º que no se derrame) = IP(Y = 5)  y  1   (1 - p)y-k p k =   k  1 

 5  1   0,0038 2 · 0,99623  3  1 

= 

= 8,6·10-5  8,6·10-3%

Ejercicio Nº18:

En una operación de conexión de computadores, se unen por los extremos 4 tipos de cables, uno del tipo C 1, uno del tipo C 2 y dos del tipo C 3, (en el orden C 1-C3-C2-C3). La máquina i, con i = 1, 2, 3 produce el cable tipo Ci y una variable normal es una buena aproximación para explicar la variabilidad en la longitud en metros de los cables. Las tres máquinas trabajan independientes y conducen a las siguientes medias y desviaciones estándares: Máquina 1 2 3

Media 10 12 20

Desviación 0,5 0,5 1,0

La longitud total del conjunto montado debe juzgarse contra una especificación de 62 ± 3 metros.

a) Encuentr e el % de conj un tos montados que no satisfaga l as especif icaciones.

X: conjunto montado


88



X ~ N ( ; 2)  X ~ N (62 ; 4,5) 62 - 3 < X < 62 + 3  59 < X < 65   = 1 + 2 + 23 = 10 + 12 + 40 = 62 2 2 2  V(x) = 1 + 2 + 43 = 0,5² + 0,5² + 4·1,0² = 4,5 IP(59 < X < 65) = IP(X  65) - IP(X  59) =  ([a - ]/) -  ([b - ]/) =  ([65 - 62]/ 4,5 ) -  ([59 - 62] / 4,5 ) =  (1,414) -  (-1,414) = 0,9213 - 0,0787 = 0,8426  84,26%  el 84,26% satisface las especificaciones de los conjuntos montados, entonces el complemento corresponde al 15,74% que no cumple con las especificaciones. b) Deter mi ne la probabilidad de que en 10 conjun tos a lo menos 8 satisfagan la especificación.

X: conjunto montado X ~ Bin (n ; p) n = 10 p = 0,8426 10  n  IP(X  8) =    pk (1 - p)n k k  8  k  10  10  =    0,8426k (1 - 0,8426)10 k k  8  k  = 0,7998  79,98%

Ejercicio Nº19:

En una competencia de tiro al platillo se disparan 100 tiros por cada competidor, y gana el que hace mas impactos. El competidor A tiene una probabilidad de 0,8 de acertar en cada tiro que efectúa, y el competidor B tiene una probabilidad de acierto de 0,7. Si el resultado de cada tiro es independiente de los demás, calcule la probabilidad de que en la próxima competencia de este tipo. a) A haga más de 90 puntos.


89



Sea X: jugador A, una v.a.d. y X ~ Bin (100 ; 0,8) que podemos aproximar a una distribución Normal: X ~ N ( ; 2)  X ~ N (80 ; 4²)   = IE[X] = np = 80  V(X) = np(1 - p) = 16 IP(X > 90) = = = = = =

1 - IP(X  90) 1 -  ([a + ½ - ]/) 1 -  ([90 + ½ - 80]/4) 1 -  (2,625) 1 - 0,9957 0,0043  0,43%

b) A y B hagan más de 90 puntos cada un o.

Sea X: jugador B, una v.a.d. y X ~ Bin (100 ; 0,7) que podemos aproximar a una distribución Normal: X ~ N ( ; 2)  X ~ N (70 ; 21)   = IE[X] = np = 70  V(X) = np(1 - p) = 21 IP(X > 90) = 1 - IP(X  90) = 1 -  ([a + ½ - ]/) = 1 -  ([90 + ½ - 70] / 21 ) = 1 -  (4,474) = 0 Como sabemos que la probabilidad que A realice mas de 90 puntos es del 0,43% y la probabilidad que B realice mas de 90 puntos es de 0%, entonces la probabilidad que A y B realicen mas de 90 puntos cada uno sería 0, porque: IP((X(A) > 90) ∩ (X(B) > 90)) = IP(X(A) > 90) · IP(X(B) > 90) = 0 c) Que el ju gador B gane al j ugador A.

Para que el jugador B gane al jugador A, el jugador B debe tener más puntos que el jugador A, entonces: IP(B > A) = IP(B - A > 0) B - A ~ N ( ; 2)  B - A ~ N (-10 ; 37) Probabilidades y Estadística s

90





 = IE[B - A] = IE[B] - IE[A] = 70 - 80 = -10



V(B - A) = V(B) + V(A) = 21 + 16 = 37

IP(B - A > 0) = = = = = =

1 - IP(B - A  0) 1 -  ([a + ½ - ]/) 1 -  ([0 + ½ + 10] / 37 ) 1 -  (1,7262) 1 - 0,9499 0,042  4,2%

Ejercicio Nº20:

De los primeros 3000 nacimientos en 1997 en Chile, 1578 fueron niñas. Determine la probabilidad de obtener 1578 niñas o más en 3000 nacimientos, suponiendo que los eventos nacimiento de un niño y nacimiento de una niña son igualmente posibles, y que el resultado de cualquier nacimiento es independiente de los resultados de otros nacimientos. Sea X: Nacimiento de niñas, una v.a.d. y X ~ Bin (3000 ; 0,5) que podemos aproximar a una Normal: X ~ N (  ; 2)  X ~ N (1500 ; 750)   = IE[X] = np = 1500  V(X) = np(1 - p) = 750 IP(X  1578) = 1 - IP(X  1578) = 1 -  ([1578 - ½ - 1500] / 750 ) = 1 -  (2,830) = 1 - 0,998 = 0,002  0,2%

Ejercicio Nº21:


91



Una compañía aérea, observa que en promedio el 12% de las plazas reservadas no se cubren, decide aceptar reservas por un 10% más de las plazas disponibles en aviones de 450 plazas. Determine la proporción de vuelos en que algún pasajero con reserva no tiene plazas. Sea X: Pasajeros con reservas, una v.a.d. y X ~ Bin (n ; 0,88), donde n = 450 + 0,1*450 = 495, que podemos aproximar a una Normal: X ~ N (  ; 2)  X ~ N (435,6 ; 52,272)   = IE[X] = np = 435,6  V(X) = np(1 - p) = 52,272 IP(X  451) = 1 - IP(X  451) = 1 -  ([451 - ½ - 435,6] / 52,272 ) = 1 -  (2,061) = 1 - 0,9804 = 0,0196  1,96% Ejercicio Nº22:

Un barco vende 200 boletas para un crucero a las Islas Canarias. Sin embargo, el barco tiene una capacidad de residencia para 198 personas, pues en promedio el 1% de los clientes no aparecen en el momento de la salida. Determine la probabilidad de que todos los que acuden a la hora de salida del barco tendrán una residencia. Sea X: Número de cupos o residencia, una v.a.d. y X ~ Bin (200 ; 0,99) que podemos aproximar a una Normal: X ~ N (  ; 2)  X ~ N (198 ; 1,98)   = IE[X] = np = 198  V(X) = np(1 - p) = 1,98 IP(X = 198) = IP(198 - ½  X  198 + ½) =  ([198 + ½ - 198] / 1,98 ) -  ([198 - ½ - 198] / 1,98 ) =  (0,355) -  (-0,355) = 0,6388 - 0,3612 = 0,278  27,8%

GUÍA Nº6


92


Guía Nº6 V.A.C.: Cambio de Variable

“V.A.C.: Cambio de Variables” Ejercicio Nº1:

Sea X una v.a.c. con f.d.p. f(x) = 2X 2 y sea Y = (2X + 1) I IR (x). Se pide encontrar la f Y (y) Sea: g(x): g-1(x):

IR  IR X  Y = 2X + 1 IR  IR Y  X = (Y - 1)/2

g-1(y) = ((Y - 1)/2) = 1 2 Y Y -1  f Y (y) = f (g (y)) · (g-1(y) /y) · I(g-1(x))(y)

= 2[(Y - 1)/2]2 · 1/2 · IIR (y) = (Y - 1)2/4 · I IR (y)

Ejercicio Nº2:

Sea X una variable aleatoria con distribución N(0,1), se pide determinar la función de densidad probabilística para Y si se define:

1  X Y =  1  X

2

,X  0

2

,X 0

X ~ N(0,1) f(x) = 1/(1/2 2 ) e -1/2[ (x – ) /]² = 1/(1/2 2 ) e -1/2 (x) ²

Sea: g(x): IR   ]-,1[ 


93


X




Y = 1 - X²

g-1(x): ]- ,1[  IR  Y  X = -(1 - Y)1/2  g-1(y) = (-(1 - Y)1/2) = ½ (1 - Y)-1/2 Y Y  f Y1 (y) = f (g-1(y)) · (g-1(y) /y) · I(g-1(x))(y) = 1/(1/2 2 ) e -1/2 (1 -Y) · ½ (1 - Y)-1/2 · I ]-,1[ (y)

Sea: g(x): IR +0  [1,+[ X  Y = 1 + X² 

g-1(x): [1,+ [  Y 

IR +0 X = (Y - 1)1/2

g-1(y) = ((Y - 1)1/2) = ½ (Y - 1)-1/2 Y Y  f Y2 (y) = f (g-1(y)) · (g-1(y) /y) · I(g-1(x))(y) = 1/(1/2 2 ) e -1/2 (Y - 1) · ½ (Y - 1)-1/2 · I ]1,+[ (y)  f Y (y) = f Y1 (y) + f Y2 (y)

Ejercicio Nº3:

Sea X una variable aleatoria con distribución N(0,1), se pide determinar la función de densidad probabilística para Y si se define:

1  X Y =  X - 1 2

2

,X  0 ,X 0

X ~ N(0,1) f(x) = 1/(1/2 2 ) e -1/2[ (x – ) /]² = 1/(1/2 2 ) e -1/2 (x) ²  Sea: g(x): IR   ]-,1[ Probabilidades y Estadística s

94


X




Y = 1 - X²

g-1(x): ]- ,1[  IR  Y  X = -(1 - Y)1/2  g-1(y) = (-(1 - Y)1/2) = ½ (1 - Y)-1/2 Y Y  f Y1 (y) = f (g-1(y)) · (g-1(y) /dy) · I(g-1(x))(y) = 1/(1/2 2 ) e -1/2 (1 -Y) · ½ (1 - Y)-1/2 · I ]-,1[ (y)

Sea: g(x): IR +0  [-1,+[ X  Y = X² - 1 

g-1(x): [-1,+ [  IR +0 Y  X = (Y + 1) 1/2 g-1(y) = ((Y + 1)1/2) = ½ (Y + 1)-1/2 Y Y  f Y2 (y) = f (g-1(y)) · (g-1(y) /y) · I(g-1(x))(y) = 1/(1/2 2 ) e -1/2 (Y + 1) · ½ (Y + 1)-1/2 · I ]-1,+[ (y) Y1

( y)

I- ,-1( y)

Y1

( y)  f Y2 ( y)

I- 1,1( y)

Y2

( y)

I1,( y)

f   f Y (y) = f f 

Ejercicio Nº4:

Sea X una variable aleatoria que se distribuye como una N(0, ²), determine la función de densidad probabilística de Y, si se define:

2X  1 X - 6

Y = 

2

,X  0 ,X 0

Sea: g(x): IR   ]-,1[ X  Y = 2X + 1 -1 g (x): ]- ,1[  IR  Y  X = (Y - 1)/2 


95



 g-1(y) = ((Y - 1)/2) = 1/2 Y Y  f Y1 (y) = f (g-1(y)) · (g-1(y) /dy) · I(g-1(x))(y) = 1/(1/2 2 ) e -1/2 [(Y-1)/2]² · ½ · I ]-,1[ (y)

Sea: g(x): IR +0  [-6,+[ X  Y = X² - 6 

g-1(x): [-6,+ [  IR +0 Y  X = (Y + 6) 1/2 g-1(y) = ((Y + 6)1/2) = ½ (Y + 6)-1/2 Y Y  f Y2 (y) = f (g-1(y)) · (g-1(y) /y) · I(g-1(x))(y) = 1/(1/2 2 ) e -1/2 (Y + 6) / ² · ½ (Y + 6)-1/2 · I ]-6,+[ (y)

f   f Y (y) = f f 

Y1

( y)

Y1

(y)

Y2

( y)

, I -  ,-6( y)



f Y2 (y)

, I - 6 , 1( y) , I1 ,( y

Ejercicio Nº5:

Sea X una variable aleatoria que se distribuye como una N(µ,1) y sea Y = X². a) Deter mi nar la f unción de densidad probabilística para y.

X ~ N(µ,1) f(x) = 1/(1/2 2 ) e -1/2[ (x – ) /]² = 1/(1/2 2 ) e -1/2 (x-) ² Sea: g(x): IR +0  IR +0 X  Y = X² 

g-1(x):

IR +0  IR +0 Y  X = Y1/2 Probabilidades y Estadística s

96



g-1(y) = (Y1/2) = ½ Y-1/2 Y Y  f Y1 (y) = f (g-1(y)) · (g-1(y) /Y) · I(g-1(x))(y)

= 1/(1/2 2 ) e -1/2 (Y^(1/2)

– μ) ²

· ½ Y-1/2 · I IR +(y)

Sea: g(x): IR   IR + X  Y = X² 

g-1(x):

IR +  IR  Y  X = -(Y1/2)

g-1(y) = ((Y + 1)1/2) = -½ Y-1/2 Y Y  f Y2 (y) = f (g-1(y)) · (g-1(y) /Y) · I(g-1(x))(y)

= 1/(1/2 2 ) e -1/2 (-(Y ^(1/2)) – μ) ² · ½ (Y)-1/2 · I IR + (y)  f Y (y) = f Y1 (y) + f Y2 (y) b) Determi nar I E[ Y] y la I P(Y

²)

IE[Y] = IE[X²] = V(X) + (IE[X])² = 1 + ² IP(Y  ²) = IP(X²  ²) = IP(-  X  ) = IP(X  ) - IP(X  -) =  ([ - ] /) -  ([- - ] /) =  (0) -  ([-2/1) = - (1 -  (2)) =  (2) - 1

Ejercicio Nº6:

Suponga que la variable aleatoria X se encuentra distribuida uniformemente en (1,3). Probabilidades y Estadística s

97



a) Deter mi nar la función de densidad probabilística para Y = 3X + 4

X ~ U(1,3) f(x) = 1/(b -a) I(1,3)(x) = 1/(3 - 1) I(1,3)(x) = 1/2 I [1,3] (x) g(x) = Y = 3X + 4  X = (Y - 4)/3 g-1(y) = ((Y - 4)/3) = 1/3 Y Y  f Y (y) = f (g-1(y)) · (g-1(y) /y) · I(g-1(x))(y) = 1/2 · 1/3 · I[7,13] (y) = 1/6 · I[7,13] (y) b) Deter mi nar la función de densidad probabil ística para Y = e X

X ~ U(1,3) f(x) = 1/(b -a) I(1,3)(x) = 1/(3 - 1) I(1,3)(x) = 1/2 I(1,3)(x) g(x) = Y = e x  X = ln(y) g-1(y) = (ln(y)) = 1/Y Y Y  f Y (y) = f (g-1(y)) · (g-1(y) /Y) · I(g-1(x))(y) = 1/2 · 1/Y · I(e , e3)(y)

GUÍA Nº7 Probabilidades y Estadística s

98


Guía Nº7 Vectores Aleatorios

“Vectores Aleatorios”

Ejercicio Nº1:

La siguiente tabla presenta la función de densidad probabilística conjunta de X e Y (v.a.d.). Y\X 3 6

-2 0,27 0 0,27

0 0,08 0,04 0,12

2 0,16 0,10 0,26

3 0 0,35 0,35

0,51 0,49 1

a) Deter mi ne las f.d.p. margi nal de X y de Y

f(X = -2) = f(x,y) = 0,27 + 0 = 0,27 f(X = 0) = f(x,y) = 0,08 + 0,04 = 0,12 f(X = 2) = f(x,y) = 0,16 + 0,1 = 0,26 f(X = 3) = f(x,y) = 0 + 0,35 = 0,35 f(Y = 3) = f(x,y) = 0,27 + 0,08 + 0,16 + 0 = 0,51 f(Y = 6) = f(x,y) = 0 + 0,04 + 0,1 + 0,31 = 0,49 b) Calcular I P(X = -2 / Y = 3), I P(X = 2 / Y = 6), I P(X = 0 / Y = 3)   

IP(X = -2 / Y = 3) = f(X = -2 / Y = 3) = f(X = -2 , Y = 3) = 0,27 = 0,53 f(Y = 3) 0,51 IP(X = 2 / Y = 6) = f(X = 2 / Y = 6) = f(X = 2 , Y = 6) = 0,10 = 0,2 f(Y = 6) 0,49 IP(X = 0 / Y = 3) ) = f(X = 0 / Y = 3) = f(X = 0 , Y = 3) = 0,08 = 0,16 f(Y = 3)

0,51

c) Calcul ar l a Cov(x,y)


99



Cov(x,y) = IE[XY] - IE[X]IE[Y] = 6,84 - (1,03·4,47) = 2,24  IE[X] = Xf(x) = (-2)·0,27 + (0)·0,12 + (2)·0,26 + (3)·0,35 = 1,03  IE[Y] = Yf(y) = (3)·0,51 + (6)·0,49 = 4,47  IE[XY] = XYf(x,y) = (-2·3)·0,27 + (0·3)·0,08 + (2·3)·0,16 + (3·3)·0 + (-2·6)·0 + (0·6)·0,04 + (2·6)·0,1 + (3·6)·0,35 = 6,84 d) Calcular I E[ Y / X = 2] y V(Y / X = 2)

IE[Y / X = 2] = = = =

Yf(Y = y / X = 2)

(3)f(Y = 3 / X = 2) + (6)f(Y = 6 / X = 2) 3·(0,16/0,26) + 6·(0,1/0,26) 4,15

V(Y / X = 2) =  (Y - IE[Y / X = 2])² f(Y / X = 2) = [(3 - 4,15)² · 0,16/0,26] + [(6 - 4,15)² · 0,1/0,26] = 2,13 e) Calcul ar l a cor relación entre x e y

 = Cov(x,y) XY

= 



2,24 2,05·1,49 = 0,73 V(X) = IE[X²] - (IE[X])² = (4·0,27 + 0·0,12 + 4·0,26 + 9·0,35) - (1,03)² = 4,209  X = 2,05 V(Y) = IE[Y²] - (IE[Y])² = (9·0,51 + 36·0,49) - (4,47)² Probabilidades y Estadística s

100



= 2,249  Y = 1,49

Ejercicio Nº2:

Se desea determinar la IE[Y/X] para la función de densidad probabilística f(x,y) = X(1 + 3Y²)/4, para 0 < X < 2 e 0 < Y < 1, en cualquier otro caso la función vale cero. 1

2

  f(x,y) (Y/X)X Y =   (X(1 + 3Y²)/4)(Y/X) X Y =   ((Y + 3Y³)/4)X Y =  [((Y + 3Y³)/4)X] Y =  [(Y + 3Y³)/2] Y = 1/2 [  YY + 3  Y³Y]

IE[Y/X] =

0

0

1

2

0

1

0

0

2

0

1

2

0

0

1

0

1

1

0

0

4

= 1/2 [Y²/2 + 3Y /4]

1 0

= 1/2 [1/2 + 3 /4] = 5/8

Ejercicio Nº3:

Sea f X (x,y) = K(20 - X - Y)I(x,y) la función de densidad conjunta, donde 0 < 2X < Y, e Y < 4X < 8 Se pide:


101



a) En contr ar K par a que f X (x,y) sea una f.d.p.b.c.

Para que f X(x,y) sea f.d.p.b.c. se debe cumplir: f X(x,y) = 1     









  f X (x,y)I(x,y) YX = 1   K(20 - X - Y) YX = 1 K  [(20Y - XY - Y²/2) ] X = 1 K  (80X - 4X² - 16X²/2 - 40X + 2X² + 4X²/2) X = 1 K  (40X - 8X²) X = 1 2

4X

0

2X

2

4x 2x

0 2 0

2

0

K (20X² - 8X³/3)  K (80 - 64/3) = 1  K 176/3 = 1  K = 3/176 

2 0

= 1

b) Deter mi nar la f unci ón de densidad margi nal de f X (x) y f Y (y).

f X (x) = =

 



 4X

2X

f X (x,y)I(y) Y K(20 - X - Y) Y

= K (20Y - XY - Y²/2) 42 xx = 3/176 (80X - 4X² - 16X²/2 - 40X + 2X² + 4X²/2) = 3/176 (40X - 8X²) I(0,2) Probabilidades y Estadística s

102


f Y(y) = =

 




f X (x,y)I(x) X

 y/2

K(20 - X - Y) X +

y/4



2

y/4

K(20 - X - Y) X

= 3/176 (20X - X²/2 - YX) yy // 24 + 3/176 (20X - X²/2 - YX) 2y / 4 = 3/176 (10Y - Y²/8 - Y²/2 - 5Y + Y²/32 + Y²/4) + 3/176 (40 - 2 - 2Y - 5Y + Y²/32 + Y²/4) = 3/176 (5Y - 11Y²/32) I(0,4) + 3/176 (38 – 7Y + 9Y²/32) I(4,8) c) Calcular f Y /X=1 (y)

f Y/X=1 (y) = f X (x,y)I(y) f X (x)I(y) = 3/176 (20 - X - Y) I(2X,4X) /X=1 3/176 (40X – 8X²) I(0,2) = (20 - 1 - Y) I(2,4) (40 - 8) I(0,8) = 1/32 (19 - Y) I(2,4) d) Calcular I E[ Y/X=1] y V(Y/X=1)

IE[Y / X=1] = =

 



 4

2

Yf Y/ X=1 (y)I(y) Y Y(19 - Y)/32 Y

= 1/32 (19Y²/2 - Y³/3) 42 = 1/32 (304/2 - 64/3 - 38 + 8/3) = 2,979 V(Y / X=1) = IE[Y² / X=1] - (IE[Y / X=1])² 

=

 

= = = =

1/32 (19Y³/3 - Y ⁴/4) 42 - 2,979² 1/32 (1216/3 - 64 - 152/3 + 4) - 2,979² 9,208 - 8,874 0,334

=

 4

2

Y²f Y/ X=1 (y)I(y) Y - (IE[Y / X=1])² Y²(19 - Y)/32 Y - 2,979²


103



e) Ca e) Calcular lcular I P(-2 P(-2 Y 3 / X = 1)

IP(-2  Y  3 / X = 1) = = =

  

3

f Y/X=1 Y/X=1 (y) I(y / x=1) Y

2

3

(19 - Y)/32 I(2,4) Y

2 3

(19 - Y)/32 Y

2

= 1/32 (19Y - Y²/2) 32 = 1/32 (57 - 9/2 - 38 + 2) = 0,515  51,5% f ) Calcular IP(2 Y 3 / X 1)

IP(2  Y  3 / X  1) = IP(2  Y  3  X  1) IP(X  1) =

3

1

2

y/4

   1

f X (x) X

0

=

f X (x,y) XY

3

1

2

y/4

  3/176 (20 - X - Y) XY (40X – 8X²) 8X²) X  3/176 (40X – 1

0

=



3

2

[(20X - X²/2 - YX) (20X² - 8X³/3)

=



3

2

1 y/4

] Y

1 0

(39/2 - 6Y - 7Y²/32) Y 52/3

= (39Y/2 - 3Y² - 7Y³/96) 52/3 = 0,3623  36,23%

3 2


104



Ejercicio Nº4:

Sea f(x,y) = KXY IIR (x,y), (x,y), donde R = {(x,y)  IR² / 0  2X  Y  3X  6}

a) En a) En contr contr ar K par par a que f X (x ,y) se sea una un a f.d.p.b.c. X (x,y)

Para que f X(x,y) sea f.d.p.b.c. se debe cumplir: f X(x,y) = 1     





  f X (x,y)I(x,y)YX = 1   KXY YX = 1 K  [XY²/2) ] X = 1 K  (9X³/2 - 2X³) X = 1 K  (5X³/2) X = 1 



2

3X

0

2X

2

0 2

3x 2x

0

2

0

5K/2 (X4/4) 20 = 1  5K/2 (4) = 1  K = 1/10 

b) Dete b) Deterr mi nar la fu nción nción de de densidad nsidad margi nal de f X X (x) y f Y Y (y).

f X (x) = =

 



 3X

2X

f X (x,y)I(y) Y XY/10 Y


105


= = = = f Y(y) = =


XY²/20 32xx 9X³/20 - 4X³/20 5X³/20 X³/4 I(0,2)

 



 y/2

y/3

f X (x,y)I(x) X XY/10 X +



2

XY/10 X

y/3

= YX²/20 yy // 32 + YX²/20 2y / 3 = (Y³/80 - Y³/180) + (4Y/20 - Y³/180) = (Y³/144) I(0,4) + (Y/5 - Y³/180) I(4,6) c) Enco c) Encontra ntrarr la I E[X ] y I E[Y]

IE[X] = =

 



Xf X (x)I(x) X

 2

0

X X³/4 X

= X4/20 = 1,6 IE[Y] = =

  



 4

0

2 0

Yf Y (y)I(y) Y YY³/144 Y +

4



6

Y(Y/5 - Y³/180) Y

4

6

= 0 Y4/144 Y + 4 (Y²/5 - Y4/180) Y = Y5/720 04 + (Y³/15 - Y5/900) 64 = 64/45 + 216/15 - 64/15 - 216/25 + 256/225 = 4,05 d) Calcule d) Calcule la I P(1/2 P(1/2 X +Y 1)

IP(1/2  X+Y  1) = IP(1/2 - Y  X  1 -Y) 3X

    XY/10 YX =

1/ 3

1/ 4

1/ 6

1/ 8

1 / 2 X

XY/10 YX +

1/ 4



1/ 6



3X

2X

XY/10 YX +

1 X

2X


106



1/ 6



=

1/ 8

XY²/20 X

3X 1 / 2 X

+

1/ 4



1/ 6

XY²/20 X

3X 2X

+

1/ 3



1 X XY²/20 X  2X 1/ 4 = 0,000402  0,0402%

e) Calcul e la Cov(x,y)

Cov(x,y) = IE[XY] - IE[X]IE[Y] = = =

2

3X

  XY XY/10 YX - IE[X]IE[Y]  X²Y³/30 X - IE[X]IE[Y]  19X5/30 X - (1,6·4,05) 0

2X

2

3X

2X

0 2 0

= 19X6/180 = 0,27

2 0

- (1,6·4,05)

Ejercicio Nº5:

El consumo de agua y combustible de una empresa procesadora de alimentos en su proceso industrial se pueden asociar a un vector aleatorio bidimensional continuo, cuya f.d.p.c. está dada por: f(a,c) = KA 2C2 I(a,c), donde R = {(a,c)  IR 2 / C + A  1, C + A  10, A  0, C  0}; A medida en miles de galones por minuto y C en miles de galones por hora. Entonces, ¿Las variables están relacionadas positivamente?.


107



Para determinar si las variables están relacionadas positivamente la Cov(a,c)  0, pero antes de calcular la covarianza se debe encontrar el valor de K. 





 10  A

     

f(a,c) = 1 

1



0

1

1 A

f(a,c)I(a,c)CA = 1

10  A

2 2 A C CA + 1 A  K = 0,00018



0

10  A

    10

KA2C2 CA +

1

0

10  A

10

1

0

KA2C2 CA = 1 A2C2 CA = K -1

Cov(a,c) = IE[AC] - IE[A]IE[C] = 16,07 - 4,28·4,28 = -2,25 

10  A

10

10  A

  KA3C2 CA   = K  A3/3 [(10 - A)3 - (1 - A)3] A + K  A3/3 (10 - A)3 A

IE[A] =

1

1 A

0

KA3C2 CA +

1

0

1

10

0

1

= K·60,8 + K·23744,57 = 4,28 

10  A

1

10

10  A

  KA C CA +   KA2C3 CA = K  A2/4 [(10 - A)4 - (1 - A)4] A + K  A2/4 (10 - A)4 A

IE[C] =

2 3

1 A

0

1

0

10

1

1

0

= K·611,7 + K·23197,82 = 4,28


108





10  A

10  A

  KA C CA +   KA3C3 CA = K  A3/4 [(10 - A)4 - (1 - A)4] A + K  A3/4 (10 - A)4 A

IE[AC] =

1

10

3 3

1 A

0

1

0

1

10

0

1

= K·448,60 + K·88837,11 = 16,07 Ejercicio Nº6:

Sea f(x,y) = (X + Y)/6000, donde 0 < X,Y < 20 a) Deter mi nar la f unci ón de densidad margi nal de f Y (y)

f Y(y) =







f X (x,y)I(x) X 20

= 1/6000 0

(X + Y) X

= 1/6000 (X²/2 + YX) 020 = 1/300 (10 + Y) I(0,20) b) Calcular I P(X 12 / Y = 8)

IP(X  12 / Y = 8) = =

12

 

0 12

0

f X/Y=8 (x) I(x / y=8) X 1/360 (X + 8) I(0,20) X 12

= 1/360 0



(X + 8) X

= 1/360 (X²/2 + 8X) 120 = 0,467  46,7% f X/Y=8 (x) = f X (x,y)I(x) f Y (y)I(x) = (X + Y)/6000 I(0,20) /Y=8 (10X + Y) I(0,20) = (X + 8) I(0,20) 20(10 + 8) I(0,20) = (X + 8) I(0,20) 360 Probabilidades y Estadística s

109



Ejercicio Nº7:

Sea X una variable aleatoria continua e Y una variable aleatoria discreta tal que la función conjunta de probabilidades está dada por: f(x,y) = XY e-2X ,0 < X e Y  IN Y! a) Encontrar f Y (y), además compr uebe que su resul tado es cor r ecto

f Y(y) = =

 



 

0

f (x,y)I(x) X (XY e-2X)/Y! X

 = 1/Y!  = 1/Y!



0

(XY e-2X) X



2Y+1 (XY e-2X) X · (Y + 1) 2Y+1 (Y + 1) = 1/Y! · 1 · [(Y + 1)]/ 2Y+1 = (Y + 1) (Y + 1) 2Y+1 = 1/2Y+1 I(IN) 0

Para comprobar el resultado se debe cumplir que: 



f Y(y) = 1 

y0





1/2Y+1 = 1

y 0







(1/2)Y (1/2) = 1

y0

 

1/2 (1/(1 - 1/2)) = 1 1 = 1  f Y(y) = 1/2Y+1

b) Encontrar f X / Y=2 (x)

f X/Y=2 (x) = f (x,y)I(x) f Y (y)I(x) = (XY e-2X)/Y! I(IR +) /Y=2 1/2Y+1 I(IN) = (X2 e-2X)/2! I(IR +) /Y=2 1/22+1 I(IN) = 4X2 e-2X I(IN) Probabilidades y Estadística s

110



c) Obtener I E[ X / Y = 2] 

 =  =  = 4

IE[X / Y = 2] =

 

0



0

Xf X/Y=2(x)I(x) X X4X²e -2X X 4X³e -2X X



4-1 -2X X e X 0 = 4 (4)/24 = 4 · 3! / 24 = 3/2

Ejercicio Nº8:

Dada la densidad conjunta de X e Y, se pide encontrar la función de densidad condicional de X dado Y: X

f X, Y (x, y) 

e

Y

 e Y

Y

X  0; Y  0

f X/Y (x) = f (x,y)I(x) f Y (y)I(x) = (e-X/Y e-Y)/Y 

X  -X/Yf (x,y)I(x) -Y 

= (e

e )/Y



 -X/Y (e-Y-X/Y e-Y)/Y X 0

= (e e )/Y (e-Y)/Y (-Ye-X/Y) = (e-X/Y e-Y)/Y (e-Y) = (e-X/Y)/Y

 0


111



Ejercicio Nº9:

Sean X e Y variables aleatorias independientes, cuya función de densidad probabilística conjunta esta dada por: f Y (x1,x2) = e -X1 e-X2 I(IR +,IR +), siendo Y1 = X1 + X2 e Y2 = X1/(X1 + X2). Se pide determinar la función de densidad probabilística marginal de Y 1 e Y2. X,Y ~ Exp(1)  f Y (x1,x2) = e-X1 e-X2 = e-(X1 + X2) I(IR +,IR +) Sea: Y1 = X1 + X2 Y2 = X1/(X1 + X2)

X1 = Y1Y2 X2 = Y1 - Y1Y2 = Y1(1 - Y2)



1 1  Y , Y     = det   J  2 2       ( X X X ) /( X X ) X /( X X ) X X  1  2 1 1 2 1 1 2   2 2 = - X1/(X1 + X2) - (X1 + X2 - X1)/(X1 + X2) = - (X1 + X2)/ (X1 + X2)2 = -1/ X1 + X2 = -1/ Y1 f Y (y1,y2) = f Y (x1,x2) J = f Y (Y1Y2 , Y1(1 - Y2)) J = e-(Y1 Y2 + Y1 - Y1 Y2) ·1/Y1 = e-Y1/Y1 = 1/(eY1Y1) 1

1

2

2

f Y1 (y1) = =

 



0 y1

0

f Y (y1,y2) I(y1) Y2 1/(eY1Y1 ) Y2

= Y2 /(eY1Y1) = 1/eY1 I(IR +) f Y2 (y2) = =

 



0

y2

0

Y1 0

f Y (y1,y2) I(y2) Y1 1/(eY1Y1) Y1


112



Ejercicio Nº10:

Durante años en un test de conocimientos se efectúan 2 evaluaciones con 3 preguntas cada una. Los rendimientos en las 6 preguntas se pueden asociar a una v.a.c. X ~ N 6 (,) donde X = [X 1, X2, X3, X4, X5, X6] en que Xi se asocia al resultado de la pregunta i con i = 1, 2, ..., 6. La evaluación 1 corresponde a la suma de las preguntas impares y la evaluación 2 corresponde a la suma de las preguntas pares.

 = [10, 12, 9, 14, 13, 11]

     =     

4

2 3

1

0

5

1

2

0

4

0

4

6

0 5

  1  2   0   2  6  0

a) Deter mi ne la probabilidad que la evalu ación 2 sea mayor que 32 

Evaluación 1: A ~ N( A , A²)  A ~ N(32 , 15) A = IE[X1 + X3 + X5] = IE[X1] + IE[X3] + IE[X5] = 10 + 9 + 13 = 32 A² = V(X1 + X3 + X5) = V(X1) + V(X3) + V(X5) + 2Cov(X1,X3) + 2Cov(X1,X5) + 2Cov(X3,X5) = 4 + 4 + 5 + 2·0 + 2·(-3) + 2·4 = 15



Evaluación 2: B ~ N( B , B²)  B ~ N(37 , 23) B = IE[X2 + X4 + X6] = IE[X2] + IE[X4] + IE[X6] = 12 + 14 + 11 = 37 B² = V(X2 + X4 + X6) = V(X2) + V(X4) + V(X6) + 2Cov(X2,X4) + 2Cov(X2,X6) + 2Cov(X4,X6) = 5 + 6 + 6 + 2·2 + 2·1 + 2·0 = 23


113



Entonces: IP(B  32) = 1 - IP(B  32) = 1 -  ([a - ]/) = 1 -  ([32 - 37]/ 23 ) = 1 -  (-1,043) = 0,8515  85,15% b) Deter mi nar la probabil idad que la evaluación 2 sea mayor que la evaluación 1

(B - A) ~ N(B-A , B-A²)  (B - A) ~ N(5 , 42) IP(B  A) = IP(B - A  0) = 1 - IP(B - A  0) = 1 -  ([a - ]/) = 1 -  ([0 - 5]/ 42 ) = 1 -  (-0,772) = 0,78  78%  B-A = IE[B - A] = IE[B] - IE[A] = 37 - 32 = 5  B-A² = V(B - A) = V(B) + V(A) - 2Cov(A,B) = V(B) + V(A) - 2Cov(X 1 + X3 + X5 , X2 + X4 + X6) = 23 + 15 - 2[Cov(X 1,X2) + Cov(X1,X4) + Cov(X1,X6) + Cov(X3,X2) + Cov(X3,X4) + Cov(X3,X6) + Cov(X5,X2) + Cov(X5,X4) + Cov(X5,X6)] = 38 - 2·[1 - 2 + 0 - 1 + 0 + 2 + 0 + 0 - 2] = 42

Ejercicio Nº11:

Sea X = (X1,X2) un vector aleatorio bidimencional distribuido con una normal bivariada (X ~ N(  , ) tal que X 1 y X2 están correlacionados positivamente y además verifican: IP(X1  1) = 0,84134; IP(X 2  6) = 0,02275; V(X 1) = 1; V(X2) = 2; V(X1 / X2 = x2) = 0,75.


114



a) Encuentr e la matr iz de vari anzas y covarianzas

 = matriz de varianzas y covarianzas

V(X ) Cov(X , X ) =   V(X )   1 Cov(X , X ) =   2   1 2 2 =   2   1

1

2

2

1



2

f X1/X2=x2 ~ N(1 + X1X2 (X1/X2) (X2 - 2) ; (1 - X1X2²)X1²)  (1 - X1X2²)X1² = 0,75  (1 - X1X2²) ·1 = 0,75  X1X2² = 0,25  X1X2 = 0,5  (Cov(X1,X2))/(X1·X2) = 0,5  Cov(X1,X2) = 0,5(1· 2 )  Cov(X1,X2) = 2 2

b) Calcule la I P(0 X 2 4 / X 1 = 2)

IP(0  X2  4 / X1 = 2) = f X2/X1=x1 = f X2/X1=2 ~ N(6 - 2 2 + 0,5( 2 1)(2 - 0) ; (1 - 0,25)·2) = f X2/X1=2 ~ N(6 - 2 ; 1,5) =  ([4 - (6 - 2 )]/ 1,5 ) -  ([0 - (6 - 2 )]/ 1,5 ) =  (-0,478) -  (-3,744) = 0,3163 - 0 = 0,3163  31,63%  f X2/X1=x1 ~ N(2 + X1X2 (X2/X1) (X1 - 1) ; (1 - X1X2²)X2²)  X1 ~ N(1 ; 1) IP(X1  1) =  ([1 - 1]/1) = 0,84134  1 - 1 =  – 1 (0,84134)  1 - 1 = 1  1 = 0


115





X2 ~ N(2 ; 2) IP(X2  6) = 1 -  ([6 - 2]/ 2 ) = 0,02275  (6 - 2)/ 2 =  – 1 (1 - 0,02275)  (6 - 2)/ 2 =  – 1 (0,97725)  6 - 2 = 2 2  2 = 6 - 2 2

Ejercicio Nº12:

25  3  5  Sean: X ~ N3 (X , X) con X = [2, 5, 3] y X =  36 6   25  9 3 4  Y ~ N3 (Y , Y) con Y = [-2, 5, 3] y Y =  16  4  25  Además, sea A = 3X1 + 4X2 - 5X3, y sea B = 5Y 1 + 2Y2 + 3Y3. Si se sabe que la Cov(3A,4B) = -24, entonces se pide encontrar la IP(6  A  17 / B = 6). IP(6  A  17 / B = 6) = f A/B=6 ~ N(A + AB (A/B) (B - B) ; (1 - AB²)A²) = f A/B=6 ~ N(11 + -0,0022( 1264 / 646 )(6 - 9) ; (1 0,0022²)1264) = f A/B=6 ~ N(11,009 ; 1263,994) = ([17 - 11,009]/ 1263,994 ) - ([6 - 11,009]/ 1263,994 ) =  (0,1685) -  (-0,1408) = 0,5669 - 0,4439 = 0,1229  12,29%  f A/B ~ N(A + AB (A/B) (B - B) ; (1 - AB²)A²)  A ~ N( A , A²)  A ~ N(11 , 1264) A = IE[3X1 + 4X2 - 5X3] = 3 IE[X1] + 4 IE[X2] - 5 IE[X3] = 3·2 + 4·5 - 5·3 = 11


116



A² = V(3X1 + 4X2 - 5X3)

= 9V(X1) + 16V(X2) + 25V(X3) + 2*12Cov(X1,X2) - 2*15Cov(X1,X3) 2*20Cov(X2,X3) = 9·25 + 16·36 + 25·25 + 24·(-3) - 30·(-5) - 40·6 = 1264





B ~ N(B , B²)  B ~ N(9 , 646) B = IE[5Y1 + 2Y2 + 3Y3] = 5 IE[Y1] + 2 IE[Y2] + 3 IE[Y3] = 5·-2 + 2·5 + 3·3 = 9 B² = V(5Y1 + 2Y2 + 3Y3) = 25V(Y1) + 4V(Y2) + 9V(Y3) + 2·10Cov(Y1,Y2) + 2·15Cov(Y1,Y3) + 2·6Cov(Y2,Y3) = 25·9 + 4·16 + 9·25 + 20·3 + 30·4 + 12·(-4) = 646 Cov(3A,4B) = -24  12Cov(A,B) = -24  Cov(A,B) = -2  AB (A·B) = -2  AB = -2/(A·B)  AB = -2/(35,55·25,41)  AB = -0,0022


117


Guía Nº8 Inferencia: Estimació n Puntual

GUÍA Nº8

“Inferencia: Estimación Puntual”

Ejercicio Nº1:

Sea X1, ..., Xn una m.a. proveniente de una familia: f(x, ) = (1 + )X I[0,1](x) a) En contr ar el estimador de M V para n

n

 f (x , )   (1  )X

Sea: f (x, ) 

i

i 1

i 1

 i

I 0,1 (x)

Aplicando ln a f(x, ), obtenemos:    L(f (x, ))  ln   (1  )X I   (x)        ln    (1  )X I   (x)     n

i

0,1

i 1 n

i

0,1

i 1

 

ln

n

n

i 1

i 1

 (1  )  ln  X

n



 ln(1  )   ln(X i 1

n ln(1  )  



0

i 1

 i

)

 ln(I  i 1

i

i 1

(1  )

(x))



0,1

(x))

n

 ln(X )  0 i

n

-n

 ln(X ) i

i 1

   - 1 -  n 

 L  

0,1

 ln(X )   ln(I 

n/(1  ) 

ˆ

(x )

n

i 1



0,1

n

n

i 1

 L(f (x, ))  

 ln  I 

i

n

i 1

n



 ln(X )   n

i 1

i

2

2

- n/(1  )  2

0, es un máximo


118




 ˆ

MV

- 1 -  n




 ln(X )   , es un estimador de MV n



i

i 1

b) Obtener el esti mador de momentos para  

m1



n

X i 1



n

i

1 = IE[X] =

1



0

Xn

X(1  )X  X = (1 + )/(2 + ) X2+

1 0

= (1 + )/(2 + )

Igualando el momento muestral con el momento poblacional, tenemos: m1 = 1  X n = (1 + )/(2 + )  2 Xn +  Xn = 1 +   ( X - 1) = 1 - 2 X n   = (1 - 2 X n )/( X n - 1) n

ˆ



 ˆ

Momentos



1 - 2X n Xn - 1

Ejercicio Nº2:

X se distribuye con f.d.p. definida como: f x(x,) =  X-1 I[0,1](x) a) Encontr ar el estimador de momentos para 

m1



n

X i 1

i



n

Xn

1

 -1  X =  X+1 /( + 1) 10 = /( + 1) X X 0 Igualando el momento muestral con el momento poblacional, tenemos: m1 = 1  X = /( + 1)   Xn + Xn =   (1 - X n ) = X n   = X n / (1 - X n )



1 = IE[X] =

n


119




 ˆ

Momentos




Xn 1 - Xn

b) Obtener el esti mador de M V par a n

n

 f (x , )    X

Sea: f (x, ) 

i

i 1

i 1

 -1 i

I 0,1 (x)

Aplicando ln a f(x, ), obtenemos:   L(f (x, ))  ln    X     ln   X  

    (x)  

n

-1

i

I 0,1 (x) 

i 1

n

-1

i

I 0,1

i 1



n

ln

n

   ln  X i 1

 

i 1

n

n

i 1

i 1

 -1 i

n

 ln  I  i 1

 ln()   ln(X

 -1 i

)

0,1

(x)

n

 ln(I 

0,1

i 1

n

(x))

n

 ln(X )   ln(I 

n ln()  ( - 1)

i

i 1

 L(f (x, ))  

0



n/ 





(x))

n

 ln(X )  0 i

i 1

ˆ

i 1

0,1

n

-n

 ln(X ) i 1

i

 L  - n/  0, es un máximo   - n  ln(X ) , es un estimador de MV  2

2

2

n

ˆ

MV

i 1

i

Ejercicio Nº3:

Utilizando la distribución de Rayleigh cuya f.d.p. es: f (x,  2 ) 


X



2

2

-X

e 2 I IR  (x) 2

120



a) En cuentr e un estim ador de M V para ² n

 f (x , 

Sea: f (x,  2 ) 

2

i

i 1





)

Xi

n



i 1

2

-Xi2

e 2 I IR  (x) 2

Aplicando ln a f(x, ²), obtenemos:

 X  L(f (x,  ))  ln      e I   X  ln   e  I    -Xi2

n

2

i

2

2

2

i 1

-Xi2

n

i

2

i 1



X i 1



n

2

))

2

 ln  e

2

 ln(X ) -  ln( i

2

)

i 1

n

n

 ln(e

n

i

i 1

- n/



2

n

 X i 1

2 / 4





2

n

  2



ˆ

n

X i 1

2

2



 ˆ

2

2 MV

- 2

2

n

X i 1

n

X



i 1

2 i

2 i

2

8

 n/  4

2 i

2 i

X i 1

 L  ( )

i 1

 ln(X ) - n ln( ) -  X 0

 ln  I -Xi2

)

2 2

i 1

2



n

2 2

i 1

n

i 1

 L(f (x,  



-Xi2

n

i 1

n

i 1



- ln

i



IR

n

ln

2

2

    (x )   

  (x ) IR

2 i



IR

( x)

n

 ln(I i 1

2

2

  ln(I

2



4

(x))

n

i 1

2



IR



IR

(x))

0

n

i

2n

- 2n / 2

ˆ

ˆ

6

 n/  4

ˆ

- n/  4

ˆ

0, es máximo

2n , es un estimador de MV

b) Demuestr e si el estimador es insesgado y asintóti camente insesgado

El estimador es insesgado si: IE ² [  2 ] = ² ˆ

 IE² [  ] = IE²  X   2

n

ˆ

i 1

2 i

2n

 


121



= (1/2n) IE²  X    n

2

i

i 1

= (1/2n)

n

 IEX  2

i

i 1

  X = (1/2n)    X    n

i 1

0

 X  

2

-Xi

2

i

i

2

e 2

2

Sea: u = X²  u = 2X X -X 2

-X2

v = (X /  2 )e 2 X  v = - e 2  2

= (1/2n)

n

 2

2

2

i 1

= 2n² / 2n = ² 2   es insesgado, además podemos determinar que también es asintóticamente insesgado. ˆ

c) Demuestr e que el esti mador es C.E.C.M . 2 El estimador es C.E.C.M. si: Lim IE ² [(  - ²)²] = 0  ˆ

n



Lim IE² [(  n 

ˆ

2

2 2 - ²)²] = Lim (Var( ) + (IE[ ] - ²)²)    ˆ

ˆ

n

2 = Lim (Var( ) + 0)  n  ˆ

= Lim Var  X    n

n

= Lim n 

2 i

2n 



i 1

 (1/4n²) Var   X     n

2

i

i 1

n

2 Var (X i ) = Lim (1/4n²)  n  i 1

4 2  IEX i  - IEX i  = Lim (1/4n²)  n  n

2

i 1 n

= Lim (1/4n²)   n

i 1

   X   X     0

- Xi2

4

i

i

2

e

2 2



 X  

-

 2    2

2

Sea: u = X 4  u = 4X X -X2

-X 2

v = (X /  2 )e 2 X  v = - e 2  2


2

122



n

4 4  = Lim (1/4n²) 8 - 4   n  i 1

= Lim (4n² / 4n²) n  = Lim (²/n) n  = 0 2   es C.E.C.M., además podemos determinar que es consistente simple ˆ

d) Demuestr e si el estimador es suf iciente

El estimador es suficiente si: f(x, ²) = h(xi) · g(²,  2 ) ˆ

f (x,  ) 2



n

 i 1



-Xi2 2

Xi



e 2 I IR  (x)

2

n

n

X I i 1

i

i 1

-Xi2

n



IR

( x)

 (1/ 

2

)e 2

i 1

       X I (x)   (1 /             X I (x)   (1/      = h(xi) · g(²,  2 ) 

n

) e

2n



IR

i 1

         

2 2

-2n

n

i

2 i

i 1

2

IR

i 1

 X  n

-

n

i

2

)e

2

2

ˆ

2

ˆ



 es suficiente 2

ˆ

e) Deter mi ne un estim ador de M V par a

Sea: f (x, ) 

n

n

 f (x , )   i

i 1

i 1

Xi



2

-Xi2

e 2 I IR  (x) 2

Aplicando ln a f(x, ), obtenemos:

 X  L(f (x, ))  ln      e I   X  ln   e  I    -Xi2

n

i

2

2

i 1

i

2

2

    (x)   

  (x) IR

-Xi2

n

i 1

2

2



IR


123



n



ln

X i 1

n

- ln

i



n

 ln  e

2

i 1

-Xi2 2

n

 ln  I

2

i 1

i 1



IR

(x )

2

n

n

 ln(X ) -  ln(



i

i 1

2

 ln(e

)

i 1

n

 ln(X ) - 2n ln() -  X i

i 1

 L(f (x, ))  



0

i 1

- 2n/ 

X

2 /

X

  2

ˆ

i 1



n

2

2



 ˆ

MV

n

X

-3

i 1



  2n/ 

2

4

i

n

X i 1

2

(x))



IR

(x))

0

n

i

2n

i

X

 ˆ

i 1

 L  

2

2



IR

n

  ln(I

3

X

n

2

 

2

n



3

 ln(I i 1

i

i 1



)

n

i 1

2

2 i

n

i 1



2 2

i 1

n



-Xi

n

2

2n

i

- 6n / 2

ˆ

4

ˆ

 2n/  2

ˆ

- 4n/  2

ˆ

0, es máximo


2 i

Ejercicio Nº4:

X es una v.a.c. que se distribuye con f.d.p. f x(x,) = ½ X² -3 e-X/ I IR (x) 

0

a) En cuentr e un estim ador de M V para

Sea: f (x, ) 

n

 i 1

f (x i , )



n

 ½X i 1

2 i



-3

e

- Xi /

I IR  (x) 0

Aplicando ln a f(x, ), obtenemos:

 L(f (x, ))  ln   ½ X    n

2

i

i 1

-3

e

- Xi /

 

I IR  (x)  0


124





 ½ X     n

ln 

2

-3

e

i

- Xi /

0

i 1



n

ln

 i 1



 ln

2

½ Xi



 ln

-3

i 1

i

i 1

i 1

i

i 1

- 3n/ 



0

X

X

 / 

i 1

X

 ˆ



 ˆ

MV

3n/ - 2

n

X i 1



n

X i 1

i

  4

i

i

/ 



IR 0

( x)

n

 ln(I i 1



IR 0

(x))

i

   ln(I i 1

  2

i



IR 0

(x))

0

3n

i

n

i 1

2

I

n

2



n

n

n

i 1



 ln

i 1

n

 ln(X ) - 3n ln() -  X

2

 Xi / 

i 1

n

 L(f (x, ))  

2



e

n

n

i 1

 L  

n

 2ln(X ) - 3 ln() -  X i 1



n

n

½

 

I IR  (x) 

3n

i

3n

 ˆ

2

- 6n ˆ

  ˆ

3

- 3n/  ˆ

2

0, es máximo


b) Anal ice insesgamiento en el esti mador

El estimador es insesgado si: IE  [  ] =  ˆ

 IE [  ] = IE  X   n

ˆ

i

3n



i 1

= (1/3n) IE  X    n

i

i 1

= (1/3n)

n

 IEX  i

i 1

= (1/3n)

  n

i 1

= (1/3n)



0

  /2  n

-3

n

 (



0

i 1

= (1/3n)

3

½ Xi

-3



-3

4-1

Xi e

/2)  4

- Xi /

X

- Xi /

X

e

(4)

i 1


125


= (1/3n)


n

 3 i 1

= 3n / 3n =    es insesgado, además cumple con ser asintóticamente insesgado. ˆ

c) Demuestr e que el esti mador es C.E.C.M .

El estimador es C.E.C.M. si: Lim IE² [(  -)²] = 0  ˆ

n

Lim IE² [(  -)²]



ˆ

n 

= Lim (Var(  ) + (IE[  ] - )²)  ˆ

ˆ

n

= Lim (Var(  ) + 0)  ˆ

n

  = Lim Var   X i 3n   n

n

= Lim  n

 



i 1

(1/9n²) Var    X     n

i

i 1

n

= Lim (1/9n²)  Var (X i )  n

i 1 n

2 2  = Lim (1/9n²) IEX i  - IEX i     n

i 1

= Lim (1/9n²) 

  

= Lim (1/9n²) 

  /2 

n

n

= Lim (1/9n²)  n

= Lim (1/9n²)  n

n

i 1 n



0 -3

4

½ Xi 

0

i 1 n

 (

-3

/2) 

i 1

n

 3



-3

5-1

e

Xi e 5

- Xi /

- Xi /

(5)

X - (3) X - 9

- 9

2

2

2







2

i 1

= Lim (3n²/9n²)  n

= Lim (²/3n)  = 0   es C.E.C.M., además podemos decir que es consistente simple n

ˆ


126



d) Demuestr e si el estimador es suf iciente

El estimador es suficiente si: f(x, ) = h(xi) · g(,  ) ˆ

f (x, ) 

n

 ½X i 1





2 i

-3

e

- X i /

I IR  (x) 0

n

n

 ½ X I

n

2

i

i 1

   ½ X  

i 1

n

2 i

i 1

   ½ X  

I IR  0

n

2 i

i 1

I IR  0



IR 0

( x)

 (1/  )e 3

- Xi / 

i 1

  (x)   (1 /     (x)  (1 /  

 X   n

3

n

) e

3n

)e

  

i

i 1

-3n ˆ





= h(xi) · g(,  )   es suficiente ˆ

ˆ

Ejercicio Nº5:

Sea X1, X2, ..., Xn una muestra aleatoria tomada de la variable aleatoria X que tiene una f.d.p. f x(x) = (1 + )X I[0,1](x), donde   IR + a) Encuentr e el esti mador de M V de (1 + ) -1 basado en la muestr a aleatori a dada anteriormente.

Sea  = 1/(1 + )   = 1/ - 1 Sea: f (x, ) 

n

n

 f (x , )   (1/)X i

i 1

1 /  -1

i 1

i

I 0,1 (x)

Aplicando ln a f(x, ), obtenemos:   L(f (x, ))  ln    (1/)X I   (x)        ln    (1/)X I   (x)     n

1/

-1

i

0,1

i 1 n

1/

-1

i

0,1

i 1

 

n

n

i 1

i 1

 ln(1/)   ln(X

1 /  -1 i

)

n

 ln(I  i 1

n

0,1

(x))

n

 ln(X )   ln(I 

- n ln()  (1/ - 1)

i 1

i

i 1

0,1


(x))

127


 L(f (x, ))  


- n/ - (1/ ) 2



0

n

 ln(X )  0

n

 /  2



-

 ln(X )

n





 ln(X )

-

ˆ

i

i 1

2

2



 ˆ

MV

n/

2

 (2/

4

n

)

 ln(X )  n/



-

 ln(X ) i 1

i

ˆ

i

i 1

n

n

i

i 1

 L  

i

i 1

2

n

 (-2n/ ˆ

3

ˆ

)



- n/ ˆ

2

 0, es un máximo

n , es un estimador de MV.

b) Anal ice si cumpl e con l a propiedad de ser un estimador insesgado

El estimador es insesgado si: IE  [  ] =  ˆ

 IE [  ] = IE -  ln(X ) n     = (1/n) IE -  ln(X )    n

ˆ

i

i 1

n

i

i 1

= (-1/n)

n

 IEln(X ) i

i 1

= (-1/n)

   ln(X ) (1/)X n

i 1

1

0

1 /  -1

i

i

X

Sea: u = ln(X)  u = (1/X) X v = (1/)X1/ -1X  v = X1/ = (-1/n)

n

 - i 1

= n / n =    es insesgado ˆ


128



c) Anal ice la conci stenci a del esti mador

El estimador es C.E.C.M. si: Lim IE [(  - )²] = 0  ˆ

n

Lim IE [( 



n 

ˆ

- )²] = Lim (Var(  ) + (IE[  ] - )²)  = Lim (Var(  ) + 0)  ˆ

ˆ

n

ˆ

n

= Lim Var  -  ln(X ) n         = Lim (1/n²) Var   ln(X )      n

n

i

i 1

n

i

n

i 1

n

= Lim (1/n²)  Var (ln( X i ))  n

i 1 n

2 2  IEln (X i ) - IEln(X i )  = Lim (1/n²)   n

i 1 n

= Lim (1/n²)   n

i 1

  ln 1

0

2

(Xi ) (1/)Xi

1 /  -1

X - (-)

2



Sea: u = ln²(X)  u = (2ln(X))/X X v = (1/)X1/ -1X  v = X1/ n

2 2  2 -   = Lim (1/n²)   n

i 1

= Lim (n² / n²)  n

= Lim (²/n)  = 0   es C.E.C.M., entonces además, es concistente simple. n

ˆ

Ejercicio Nº6:

Suponga que X 1, ..., Xn es una m.a. de una distribución con función de densidad de probabilidad dada por: f(x, ) =  (1 - )X - 1 IIN (x). a) Obtenga el esti mador de los momentos para .

X ~ Geom ( )  IE[X] = 1/ Probabilidades y Estadística s

129




m1




n

X i 1

n

i



Xn

1 = IE[X] = 1/



Igualando el momento muestral con el momento poblacional, tenemos: m1 = 1  X n = 1/   = 1/ X n 

 ˆ

Momentos



1 Xn

b) Obtenga el esti mador de máxi ma ver osimi litud para . n

n

 f (x , )   (1 - )

Sea: f (x, ) 

i

i 1

Xi 1

I IN (x)

i 1

Aplicando ln a f(x, ), obtenemos:   L(f (x, ))  ln    (1 - ) I (x)       ln    (1 - ) I (x)     n

Xi 1

IN

i 1 n

Xi 1

IN

i 1

  

ln

n

n

i 1

i 1

   ln  (1  )

n

n

i 1

i 1

Xi 1

n

 ln  I i 1

 ln()   ln(1  )

X i 1

n

  ln(I i 1

n

 L(f (x, ))  

0

i

n/ 

n

 (X i 1



i

 1)

 ˆ

MV

2

1 Xi

(x))



0

   (X  1)

 1X

i

ˆ

 1/(1  )

2

n

 (X i 1



(1 - )

IN

n

n (1 - )

2



(x))

i 1

i 1

- n/

IN

n

 

2

( x)

n ln()   (X  1) ln(1 - )   ln(I i 1

 L  

IN

i

i

 1) 

-

n ((1- )

 X  0, es un máximo  (1  ) 2

2

2

2

2

, es un estimador de MV Probabilidades y Estadística s

130



Ejercicio Nº7:

Sea X una variable aleatoria continua con función de probabilidad Gamma (1,1/ ). Se toma una m.a.(6) de dicha población, estableciéndose los siguientes estimadores de .

1 = (X1 + X2)/6 + (X5 + X6)/3 ˆ

 2 = (X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6)/6 ˆ

De los dos estimadores propuestos, analice cuál es insesgado . X ~ Gamma (1,1/) = Exp (1/) -X/  f(x, ) = (1/ ) e I IR (x)  IE[X] =   Var(X) =  ² 

0

El estimador 1 es insesgado si: IE  [ 1 ] =   IE [ 1 ] = IE [(X1 + X2)/6 + (X5 + X6)/3 = (IE[X1] + IE[X2])/6 + (IE[X5] + IE[X6])/3 = ( + )/6 + ( + )/3 =   1 es insesgado ˆ

ˆ

ˆ

El estimador 2 es insesgado si: IE  [  2 ] =   IE [  2 ] = IE [(X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6)/6 = (IE[X1] + IE[X2] + IE[X3] + IE[X4] + IE[X5] + IE[X6])/6 = ( +  +  + +  + )/6 =    2 es insesgado ˆ

ˆ

ˆ

Ejercicio Nº8:

Una agencia de gobierno desea estudiar los gastos en alimentación de una familia con base al ingreso mansual. Los datos que se presentan a continuación representan los gastos de alimentación por mes (en miles de dólares), y el ingreso mensual para 15 familias que se seleccionaron al azar en una localidad del centro del país. Probabilidades y Estadística s

131



15

 Ingreso  42 i 1

15

 (Ingreso)

2

15

 Gasto  8,07

 188,08

i 1

15

 (Gasto)

2



5,7733

i 1

i 1

15

 (Ingreso · Gasto)  32,063 i 1

a) Obtenga los estimadores de los coeficientes de la ecuación de regresión esti mada, madiante el m é todo de los M CO e in terpr ete dichos coefi cientes de acuerdo al pr oblema.

Sea: Y: Gasto de alimentación mensual familiar X: Ingreso familiar mensual

   n    n

b1

 

b 0

      

ˆ

1

2

ˆ

2

ˆ

0

1



32,063  (15·(42 / 15)·(8,07 / 15)) 188,08  15·(42 / 15)

(8,07/15)  (0,134·(42/15))



2



0,134

0,163

Entonces, el modelo estimado es:  = b0 + b1X = 0,163 + 0,134X. La primera interpretación que debemos realizar es que ambos coeficientes estimados son positivos, estan relacionados directamente al gasto de alimentación. El intercepto, b 0 = 0,163 (en miles de dólares) corresponde al gasto en alimentación esperado cuando el ingreso familiar es mulo, esto se produce principalmente al consumo básico en alimentación. En cambio, la pendiente b 1 = 0,134 corresponde a la variación del ingreso familiar, es decir, por cada mil dólares que varíe el ingreso familiar (aumentando o disminuyendo) se espera una variación (aumento o disminución) promedio de 0,134 (miles de dólares) en el gasto de alimentación. ˆ

b) Deter mi ne e interprete el coeficiente de deter mi nación r xy



   n    n   2

2

2

 n

2



0,9424


132



La correlación determinada de 0,9424 nos indica que las variables están asociadas linaelmente en un 94%. El coeficiente de determinación corresponde al cuadrado de la correlación; es decir, R² = (r xy)² = 0,888. El 88,8% del gasto en alimentación es explicado a través del ingreso familiar y el 11,2% restante es aleatorio.

Ejercicio Nº9:

Un comerciante lleva a cabo un estudio para determinar la relación entre los gastos semanales de publicidad y las ventas, donde X es el costo de publicidad e Y son las ventas, ambos medidos en miles de dólares.



X

34,167



Y

n

 (X

453,750

i 1

n

 (X i 1

i

 X)

n 1

2

i

 X)(Y  Y) i

n

 (Y  Y)

 149,242

2

i

i 1

n 1

n 1





480,682

3841,477

Con loa datos entregados, correspondientes a la información recopilada durante 12 semanas, se pide que encuentre la ecuación de regresión para predecir las ventas semanales a partir de los gastos en publicidad. Además interprete los coeficientes de regresión estimados. n

b1

  ˆ

1

 (X i 1

i

i

n

 (X i 1

b 0

 X)(Y  Y) i

 X)

       ˆ

ˆ

0

1

n 1

 2

n 1

480,682 149,242

453,750  3,221·34,167





3,221

343,704

Entonces, el modelo estimado es:  = b0 + b1X = 343,704 + 3,221X. La primera interpretación que debemos realizar es que ambos coeficientes estimados son positivos, estan relacionados directamente a las ventas semanales. El intercepto, b 0 = 343,704 (en miles de dólares) corresponde a las ventas semanales esperadas cuando el gasto en publicidad es mulo. En cambio, la pendiente b 1 = 3,221 corresponde a la variación del gasto en publicidad, es decir, por cada mil dólares que varíe el gasto en publicidad (aumentando o disminuyendo) se espera una variación (aumento o disminución) promedio de 3,221 (miles de dólares) en las ventas semanales. ˆ


133

Profesor: Alejandro Fernán dez Ayudante: Mª Angélica Malhu e

Guía Nº9 Inferencia: Intervalos de Confian za

GUÍA Nº9

“Inferencia: Intervalos de Confianza”

Ejercicio Nº1:

El consumo de gasolina de vehículos es aproximadamente normal. Si una muestra aleatoria de 64 vehículos tiene un consumo promedio de 16 [millas/galón] con una desviación estándar de 6 [millas/galón]. Sea X: Consumo de gasolina por vehículo  N(,²)  X = 16 [millas/galon]  Sn = 6 [millas/galon] a) Encuentre un intervalo de confianza del 92% para el consumo medio de gasolina de todos los vehículos de este ti po.

IC para el consumo medio de gasolina (con ² desconocida) IC = [ X  t n-1 ; 1-/2 S / n ] = [ X  t 63 ; 0,96 Sn n /(n  1) / n ] = [16  1,77 · 6 · 1 / 63 ] = [14,66 ; 17,33] b) Con un 95% de confianza, ¿Cuál es el posible er ror si el consumo medio es tomado en 16 [mill as/galón] ?.

Considerando el IC para el consumo medio (con ² desconocida) Error = t n-1 ; 1-/2 S / n = t 63 ; 0,975 Sn n /(n  1) / n = 1,998 · 6 · 1 / 63 = 1,51


134



c) Deter mi ne un i nter valo de conf ianza del 94% par a la vari anza.

IC para la varianza (con  desconocida)

 (n  1)S (n  1)S  ; IC² =             (n  1)S n /(n  1) (n  1)S =  ;    2

2

n 1;1

2

2

/2

n 1;

/2

2

2

n

n

n /(n  1) 

2

2

63 ; 0,97

63 ; 0,03

 

= [36 · 64/85,74 ; 36 · 64/43,64] = [26,87 ; 52,79] d) ¿De quétam añ o debe ser la mu estr a si queremos tener un 95% de segur idad de que la media no difer iráen más de 0,5 [millas/gal ón] de la media ver dader a?.

Error = t 63 ; 0,975 Sn n /(n  1) / n



0,5 = 1,998 · 6 · 1/(n  1)

0,04167 =  n  577 

1 /(n  1)

Ejercicio Nº2:

De experiencias pasadas se sabe que la desviación estándar de las estaturas de los niños de 5º básico es de 5 cm. a) Se seleccionan 36 ni ñ os, obser vándose una medi a de 130 cm. Con struya un interval o de confianza del 95% para l a estatur a media de la población.

Sea X: Estatura de los niños  N(,²)  X = 130 [cm]   = 5 [cm] IC para la estatura media (con ² conocida) IC = [ X  Z1-/2  / n ] = [130  1,959 · 5/6] = [128,36 ; 131,63] Probabilidades y Estadística s

135



b) ¿Cuál debe ser el tamañ o de la mu estr a par a que el intervalo de confianza [130 - 0,95 ; 130 + 0,95] tenga un 95% de confi anza?.

Confianza = Z0,975  / n

 0,95 = 1,959 · 5 / n  10,31152 = n  n = 107

Ejercicio Nº3:

Un proceso produce bolsas de azúcar refinada. El contenido de las bolsas se distribuye normalmente, con desviación estándar de 12 gm. Los contenidos de una muestra aleatoria de tamaño 25 entregó una media muestral de 198 gm. Encontrar un intervalo confidencial al 95% para los pesos medios de las bolsas producidas por el proceso. Sea X: Peso de bolsas de azúcar  N(,²)  X = 198 [gm]   = 12 [gm] IC para los pesos medios de bolsas de azúcar (con ² conocida) IC = [ X  Z1-/2  / n ] = [198  1,959 · 12/5] = [193,3 ; 202,7]

Ejercicio Nº4:

Un proceso de ensamblaje de tres piezas se puede asociar a la v.a.c. V definida como V = X + Y - Z. En que X  N(X , 2), Y  N(Y , 32), Z  N(Z , 22). Sean 6, 7 y 8 las medias muestrales de tres m.a.(n) provenientes de las distribuciones X, Y y Z respectivamente. Encuentre el mínimo tamaño de la muestra para que se cumpla que: IP( V - 0,5 <  < V + 0,5) = 0,95; donde  = IE[ V ].


136



Supongamos que las v.a. X, Y, Z son independientes, donde V  N(,02) y considerando un IC para la media (con ² conocida).  V = X + Y - Z = 6+7-8 = 5 2 2 2 2 2  0 =  + 3 + 2 = 6  0 =  6 IC = [ V  Z1-/2 0 / n ]  Z1-/2 0 / n = 0,5  Z0,975  6 / n = 0,5  1,96 · 4,8989 = n  n = 93

Ejercicio Nº5:

Se administraron dos nuevos medicamentos (distribuidos aproximadamente normal) a pacientes con un padecimiento cardíaco. El primer medicamento bajó la presión sanguínea de 46 pacientes en un promedio de 11 puntos, con una desviación de 6 puntos. El segundo medicamento bajó la presión sanguínea de otros 51 pacientes en un promedio de 12 puntos, con una desviación de 8 puntos. Sea Xi: Medicamento i (i = 1,2)  N(i,i²)  Primer medicamento: X 1 = 11 y S n1 = 6 con n1 = 46  Segundo medicamento: X 2 = 12 y Sn2 = 8 con n2 = 51 a) En cuentr e un i ntervalo de confi anza del 97% para el pr omedio poblaci onal del pri mer medicamento.

IC para la media del primer medicamento (con 1² desconocida) IC = [ X 1  t n1-1 ; 1-/2 S1 / n ] 1

= [ X 1  t 45 ; 0,985 Sn1 n1 /(n1  1) / n ] = [11  2,279 · 6 · 1/ 45 ] = [8,96 ; 13,04] 1


137



b) En cuentr e un i ntervalo de confi anza del 98% par a la var ianza poblacional del segundo medicamento. IC para la varianza del segundo medicamento (con 2 desconocida)

 (n  1)S IC² =       (n  1)S =   

2

2

2

;

2

n2 1 ; 1

/2

2 2

2

n2 1 ;

2

2

 1)S       /(n  1)

(n 2

n2

n2

/2

2

2

;

(n 2

50 ; 0,99

 1)S 

2 n2

n 2 /(n 2

2 50 ; 0,01

 1)   

= [64 · 51/76,2 ; 64 · 51/29,7] = [48,83 ; 109,89] c) Deter mi ne un i ntervalo de conf ian za del 95% para la di ferencia de media de la pr esión sanguínea, r eali ce el supuesto n ecesari o.

IC para comparación de medias (con i² desconocida y suponemos que son iguales) IC1-2 = [( X1 - X 2 )  t n1+n2-2 ; 1-/2 S p (1/ n1 )  (1/ n 2 ) ]

  (n  1)S  (n  1)S  1 1   = ( X  X )  t    n n 2 n n      n S  n S  1 1    = ( X  X )  t   n n 2 n n         46·36  51·64  1 1    = (11  12))  1,986   46 51 2 46 51      2

1

1

2

2

1

2

95 ; 0,975

1

2

2

1

1

2

2

1

2

  

2

n1

2

n2

95 ; 0,975

1

2

1

2

= [-3,906 ; 1,906] Ejercicio Nº6:

El espionaje industrial es cada vez mayor, Business Week reportó que los primeros empleados de Du Pont exigieron que la compañía química pagara un rescate de diez millones de dólares, o la competencia recibiría el secreto de la compañía para fabricar la Laycra. Se ha estimado que la extorsión corporativa cuesta a las compañías un promedio de más de 3,5 millones de dólares. Si 75 casos de esta naturaleza se analizan y se encuentra un promedio de 3,71 millones de dólares con una desviación estándar de 1,21 millones de dólares. Entonces, determine un intervalo del 96% de confianza sobre la base de una cota inferior para la varianza real de lo que cuesta a las compañías la extorsión corporativa. Probabilidades y Estadística s

138



IC para la varianza (con  desconocida)

 (n  1)S (n  1)S  IC² =  ;            (n  1)S n /(n  1) (n  1)S =  ;    2

2

n 1;1

2

2

/2

n 1;

/2

2

2

n

n

n /(n  1) 

2

2

74 ; 0,98

74 ; 0,02

 

= [(1,21)² · 75/101,074 ; (1,21)² · 75/51,2076] = [1,0864 ; 2,1444] Ejercicio Nº7:

En una empresa eléctrica se elaboran fusibles para subestaciones, cuya característica más importante es su tiempo de respuesta cuando es sometido a cargas específicas. Se lleva a cabo un programa de pruebas para comparar dos tipos diferentes de fusibles obteniéndose los siguientes resultados (en segundos). Tipo 1 40 51 42 53 70 80 42 53 42 63 65 72 --- --Tipo 2 61 79 86 59 92 110 142 92 85 98 102 117 99 85 Sea Xi: Tiempo de respuesta para el fusible tipo i (i = 1,2)  N(i,i²)  Fusible tipo 1: X 1 = 56,083 y S 1 = 13,635 con n1 = 12  Fusible tipo 2: X 2 = 93,357 y S 2 = 21,4139 con n2 = 14 a) Constru ya un intervalo del 96% de conf ianza para el tiempo medio r eal de r espuesta par a cada uno de los ti pos de fusibles.

IC para el tiempo medio de respuesta del fusible tipo i (con i² desconocida) IC1 = [ X 1  t 11 ; 0,98 S1 / n ] = [56,083  2,3281 · 13,635 / 12 ] = [46,919 ; 65,247] 1

IC2 = [ X 2  t 13 ; 0,98 S2 / n ] = [93,357  2,2816 · 21,4139 / 14 ] = [80,299 ; 106,415] 2


139



b) Constru ya un interval o del 90% de confi anza para l a di ferenci a de los ti empos medios de los fusibles.

Primero necesitamos determinar si las varianzas son iguales o distintas para construir un intervalo de confianza. Entonces, mediante un test de hipótesis planteamos: H0 : 1² = 2² Ha : 1²  2² F0 = S1² / S2² = (13,635)² / (21,4139)² = 0,405 Como F0  CR = [0 ; 0,2948]  [3,1975 ; +[ debemos no rechazar la hipótesis nula, con un nivel de significancia del 95%, enonces las varianzas poblacionales para los tipos de fusibles son iguales. Por lo tanto, se construye un IC para la comparación de medias (con i² desconocidas e iguales) IC1-2 = [( X1 - X 2 )  t n1+n2-2 ; 1-/2 S p (1/ n1 )  (1/ n 2 ) ]

  (n  1)S  (n  1)S  1 1    = ( X  X )  t     n n 2 n n        (12  1)·13,635  (14  1)·21,4139  = (56,083  93,357)  1,7109   12 14 2      2

1

1

2

2

1

2

2

24 ; 0,95

1

2

1

2

2

2

1 12



  14  1

= [-49,5672 ; -24,9808] c) Constr uya un inter valo del 92% de conf ianza par a 1 ²/ 2 ².

IC(1²-/ 2²) = [ S12 S22 Fn1-1 ; n2-1 ; /2 ; S12 S22 Fn1-1 ; n2-1 ; 1-/2] = [(13,365)²/(21,4139)² F11 ; 13 ; 0,04 ; (13,365)²/(21,4139)² F11 ; 13 ; 0,96 ] = [0,3895 · 0,3382 ; 0,3895 · 2,8106] = [0,1317 ; 1,0947]


140



Ejercicio Nº8:

Mediante 2 procesos de manufactura se producen cables. Se desea determinar si la resistencia a la ruptura de los cables es diferente para cada uno de los procesos, por lo que se efectúan pruebas de laboratorio sometiendo al cable a tensión y registrando la carga requerida para romperlo, obteniendo los siguientes resultados: X1 X2

105 89

108 82

86 97

103 84

103 97

107 93

124 97

105 111

--120

Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la diferencia de medias a la tensión para cada uno de los procesos. Realice los supuestos correspondientes. Sea Xi: Tensión de los cables para el proceso i (i = 1,2)  N(i,i²)  S1² = 106,125 y X 1 = 105,125 con n1 = 8  S2² = 149,75 y X 2 = 96,67 con n2 = 9 IC para comparación de medias (con i² desconocida y supongamos iguales) IC1-2 = [( X 1 - X 2 )  t n1+n2-2 ; 1-/2 S p (1/ n1 )  (1/ n 2 ) ]

 = ( X  Y )  t   = (105,125  96,67)   1

2

15 ; 0,975

 (n  1)S  (n  1)S    n n 2   2

1

2

1

1

2,1315

2

2

2

1 n1



1 n2

  

 (8  1)106,125  (9  1)149,75    892  

1   8 9  1

= [-3,326 ; 20,236]

Ejercicio Nº9:

Una encuesta de 100 votantes para conocer las opiniones respecto a dos candidatos muestra que 55 apoyan a A y 45 a B. Sea Xi: Votantes que apoyan al candidato i (i = A,B)  Apoyan candidato A: X A ~ Bin(n , p A ) = Bin(100 ; 0,55)  Apoyan candidato B: X B ~ Bin(n , p B ) = Bin(100 ; 0,45) ˆ

ˆ


141



a) Calcular un intervalo de confianza para la proporción de votos de cada candidato, consider ando un ni vel de conf i anza del 95%.

IC de una proporción IC p(A) = [ p A  Z1-/2 p A (1  p A ) / n ] = [0,55  1,96 0,55 ·0,45 / 100 ] = [0,452 ; 0,647] ˆ

ˆ

ˆ

IC p(B) = [ p B  Z1-/2 p B (1  p B ) / n ] = [0,45  1,96 0,45 ·0,55 / 100 ] = [0,352 ; 0,547] ˆ

ˆ

ˆ

b) Cal cul ar cuál deber ía haber sido el tamañ o mu estr al par a que la fracción de 0,55 partidari os de A, permi ti er a afi rmar que ser á elegido con u n 95% de confianza.

IC p(A) = [ p A  Z1-/2 p A (1  p A ) / n ]  0,55 = Z0,975 p A (1  p A ) / n  0,55 = 1,96 0,55 · 0,45 / n  n = 1,96 · 0,497/0,55  n = 3,13  n  3 ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

Ejercicio Nº10:

Muchas empresas grandes utilizan los servicios de empresas consultoras en el proceso de selección de empleados. Para probar el beneficio de tales consultores, la IBM comparó recientemente 100 empleados contratados a través de su propia división de selección de personal, con 150 empleados contratados por intermedio de los servicios de empresas consultoras. Los resultados mostraron que el 55% de los del primer grupo no avanzaron más allá del nivel administrativo intermedio en 7 años de trabajo, mientras que la cifra correspondiente al segundo grupo fue del 60%. Determine intervalos del 95% de confianza para la proporción de personal que superan el nivel administrativo intermedio antes de los siete años en ambos medios de contratación de personal.


142



Sea Xi: Empleados que superan el nivel administrativo contratados por la división i  División interna: X I ~ Bin(nI , p I ) = Bin(100 ; 0,45)  División externa: X E ~ Bin(nE , p E ) = Bin(150 ; 0,40) ˆ

ˆ

IC de una proporción IC p(I) = [ p I  Z1-/2 p I (1  p I ) / n I ] = [0,45  1,96 0,45 ·0,55 / 100 ] = [0,3525 ; 0,5475] ˆ

ˆ

ˆ

IC p(E) = [ p E  Z1-/2 p E (1  p E ) / n E ] = [0,40  1,96 0,60 · 0,40 / 150 ] = [0,3216 ; 0,4784] ˆ

ˆ

ˆ

Ejercicio Nº11:

Durante los últimos años, el sistema bancario ha pasado por una liberación considerable. Lawrence Hopkins, gerente de la división de relaciones con los clientes, ha sido encargado de proporcionar estimaciones de muchos de los indicadores importantes de las aptitudes de los clientes, respecto a estos cambios. Produce especial preocupación la intención que tiene el banco de hacer que las tarifas y otros costos se basen en el saldo promedio diario de la cuenta corriente del cliente. Para la formulación de nuevas políticas operativas, Hopkins toma una muestra de 1200 clientes y halla que 860 se oponen a que se cobre en el extracto mensual de U$2 por cada cheque anulado del depositante, donde el depósito promedio es de U$4533. Este tipo de clientes tienen una desviación estándar de U$1766. Además, por otro lado los negocios locales tienen una desviación estándar de U$104600, apreciándose que 27 negocios locales tenían un saldo promedio de U$364500. Entonces, determine los intervalos del 95% de confianza para la media y proporción de los parámetros de las variables involucradas. Analizando IC de una proporción  Xi: Si el cliente i se opone al cobro por cheque anulado, X i = 1, de lo contrario 0. Donde Xi ~ Bern(1 , p 1 ) = Bern(1 ; 860/1200) ˆ


143



Yi: Si el negocio i es local, X i = 1, de lo contrario 0. Donde Y i ~ Bern(1 , p 2 ) = Bern(1 ; 27/1200) IC p1 = [ p1  Z1-/2 p1 (1  p1 ) / n ] = [0,7167  1,96 0,7167 ·0,2833 / 1200 ] = [0,6912 ; 0,7422] 

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

IC p2 = [ p 2  Z1-/2 p 2 (1  p 2 ) / n ] ˆ

ˆ

ˆ

= [0,0225  1,96 0,0225 ·0,9775 / 1200 ] = [0,0141 ; 0,0309] Analizando IC para la media (con ² conocida)  X1: Depósito del cliente ~ N( 1 , 1²). Donde 1 = 1766  X2: Saldo del negocio local ~ N( 2 , 2²). Donde 2 = 104600 IC1 = [ X 1  Z1-/2 1 / n ] = [4533  1,959 · 1766/ 1200 ] = [4433,13 ; 4632,87] IC2 = [ X 2  Z1-/2 2 / n ] = [364500  1,959 · 104600/ 27 ] = [325064,78 ; 403935,22]

Ejercicio Nº12:

Sea X1, X2, ..., Xn una m.a. proveniente de una familia f(x, ) = (1 + )X I[0,1](x). Se pide encontrar un intervalo de confianza asintótico del 95%, considerando que en la Guía 8 (ejercicio 1) se calculó el estimador por MV para .

 ˆ

MV



- 1 -  n



 ln(X )   n

i 1

i

IC para la estimación de cualquier parámetro


144



 -n    ln f(x, )   I ()  - IE IE   (1  )          IC = [  MV  Z1-/2 1/ n I () ] = [  MV  Z0,975 1/ n /(1  ) ]    n 1  = - 1  1,96  n   ln(X )     2

1

2

2

n (1  )

2

ˆ

1

2

ˆ

2

n

i

i 1

Ejercicio Nº13:

Supongamos que X 1, X2, ..., Xn es una muestra aleatoria de una distribución con función de densidad de probabilidad dada por: f(x, ) = (1 - )X - 1 IIN (x). Se desea determinar la distribución asintótica del estimador de MV de , para lo cual se dispone del estimador, calculado en la Guía 8 (ejercicio 6).

 ˆ

MV



1 Xi


  (X  1)   IE(X  1) n   n n   ln f(x, )       ()  - IE IE     (1  ) 1  (1 - )        n

2



I1

n

i

i

i 1

2

2

i 1

2

2

2

IC = [  MV  Z1-/2 1/ n I1 () ] ˆ

= [  MV  Z0,975 1/ n 2 / (1  ) ] ˆ

1 =   X  n

1,96

1 - (1/X n )  n Xn

 


145


Guía Nº9 Inferencia: In tervalos de Confian za

Ejercicio Nº14:

Sea X1, X 2, ..., Xn una muestra aleatoria de una distribución con función de densidad de probabilidad dada por: f (x, )  X/ e -X / 2 I IR (x) . Determine un intervalo de confianza aproximado del 95% para  y evalúe dicho intervalo si sabe: 2



100

X i 1

2 i



2586,51. Considere el estimador de , calculado en la Guía 8 (ejercicio 3).

 ˆ

MV



n

X i 1

2

2n

i


 X n    ln f(x, )   ()  - IE   - IE          n

2



I1

i 1

2

2

3

2 i

     

- n  n    

- IE

2

2

IC = [  MV  Z1-/2 1/ n I1 () ] ˆ

= [  MV  Z0,975 1/ n 2 /  2 ] ˆ

 X      1,96  =  n  2n      X   2586,51   1,96  =   2·100 2n      2586,51  1,96 2586,51 =  100 2·100   2·100 n

2

i

i 1

n

2

i

i 1

2

2

= [12,679 ; 13,186]


146


Guía Nº10 Inferencia: Test de Hipó tesis

GUÍA Nº10

“Inferencia: Test de Hipótesis”

Ejercicio Nº1:

El espionaje industrial es un problema cada vez mayor. Business Week reportó que los primeros empleados de Du Pont exigieron que la empresa química pagara un rescate de diez millones de dólares, o la competencia recibiría el secreto de la compañía para fabricar la Lycra, la popular fibra utilizada en la ropa interior, en los trajes de baño y en otras prendas. Se ha estimado que la extorsión corporativa cuesta a las compañías un promedio de más de M$ 3,5. Si 75 casos de esta naturaleza se analizan y se encuentra un promedio de M$ 3,71 con una desviación estándar de M$ 1,21. a) Utilizando un nivel de confianza confianza del 95%, 95%, ¿Qué ¿Qué puede decir acerca de la afirmación de lo que cuesta a las compañías la extorsión corporativa?. corporativa?. b) Si se conoce que q ue la verdadera cantidad de dinero que cuesta a las compañías la extorsión corporativa es de M$ 3,8; determine la probabilidad de error tipo II. c) Determine la máxima probabilidad con la cual se rechazaría la hipótesis nula.

Durante los últimos años, el sistema bancario norteamericano ha pasado por una liberación considerable. Lawrence Hopkins, gerente de la división de relaciones con los clientes ha sido encargado de proporcionar estimaciones de muchos de los indicadores importantes de las aptitudes de los clientes, respecto a estos cambios anticipados. Produce especial preocupación la intención que tiene el banco dehacer que las tarifas y otros costos se basen en el saldo promedio diario de la cuenta corriente del cliente. c liente. Para la formulación de nuevas políticas operativas, Hopkins toma una muestra de 1200 clientes y halla que 860 se oponen a que se cobre en el extracto mensual de U$2 por cada cheque anulado del depositante. Estos 1200 clientes tienen un depósito promedio de U$4.533, con un adesviación estándar estándar de U$1.766. Además, de los datos se pudo apreciar que 27 negocios locales tenían un saldo sa ldo promedio de U$364.500, con un adesviación estándar de U$104.600.


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a) Hopkins determina determina que si más del del 70% de los depositantes se niegan niegan al recargo mensual de U$2, la política no se implementará. ¿Apoyan los datos la implementación i mplementación de la política con un 3% de significación?. b) ¿Cuál sería el error que se estaría cometiendo si la verdadera proporción de depositantes que se niegan al recargo mensual de U$2 es de 75%?. c) Hopkins determina determina que si las cuentas corrientes comerciales comerciales tienen por lo menos menos U$325.000, se establecerá un adivisión administrativa para manejar cuentas comerciales. ¿Apoyan los datos la creación de una nueva división administrativa con un 5% de significación?. significación?. Muchas empresas grandes utilizan los servicios de empresas e mpresas consultoras en el proceso de selección de empleados. Para probar el beneficio de tales consultores, la IBM comparó recientemente 100 empleados contratdos a través de su propia división de selección de personal con 150 empleados contratados por intermedio de los servicios de empresas consultoras. Los resultados mostraron que el 55% de los del primer grupo no avanzaron más allá del nivel administrativo intermedio en 7 años de trabajo, mientras que la cifra correspondiente al segundo grupo fue del 60%. El gerente de la división de selección de personal de IBM sostiene que la proporción de contratados a través de su propia división que avanzarán más allá del nivel administrativo intermedio en 7 años de trabajo sobrepasa en más de un 2% a los contratados por empresas consultoras. ¿Qué puede decir acerca de la afirmación del gerente?. En un ensayo clínico para evaluar un medicamento contra el cáncer se compara un grupo placebo (bajo tratamiento artificial) con un grupo tratado con una nueva droga. La variable medida es la disminución de la presión sistólica, obteniéndose un promedio de 3,7 mm. de Hg. y una varianza de 33,9 para el grupo placebo (n = 35); mientras que para para el grupo tratado tratado se tiene un promedio de 15,1 mm. de Hg Hg y una varianza de 12,8 (n = 40). ¿Es eficaz el tratamiento?. Como parte de un programa de capacitación industrial, algunos alumnos son instruidos con el método A, que consiste en adiestrarlos directamente en la maquinaria, mientras que otros son capacitados capacitados con el método método B, implica además la atención personal de un instructor. Si muestras aleatorias de tamaño 10 se toman de grandes grupos de alumnos instruidos con cada uno de estos dos métodos, y los puntajes obtenidos fueron los siguientes. Se pide analizar si el método B es más efectivo.


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Tipo 1 40 51 42 53 70 80 42 53 42 63 65 72 --- --Tipo 2 61 79 86 59 92 110 142 92 85 98 102 117 99 85 Suponga que en cierto proceso para producir fibras de hilo la resistencia a la ruptura de la fibra es una v.a.c. Para reducir costos de producción se prueba un nuevo proceso. En la siguiente tabla se aprecia una muestra del proceso nuevo (N) y una muestra del proceso antiguo (A). A

90 88 99 111

N

88 86 89 84

78 84 106 99

95 80 109 85

97 99 103 132

94 88 105 105

99 91 101 80

102 93 133 85

96 110

a) ¿Se puede decir que el nuevo proceso mejora la resistencia? b) ¿Se puede afirmar que la variabilidad del proceso antiguo es un 10% menor que la variabilidad del proceso nuevo?

Se ha observado que la producción de envases de plástico para almacenar aceite tiene un peso estimado de 120 gr. Si se realiza una pequeña encuesta, detallándose en la tabla los valores de los pesos. ¿Qué puede decir al respecto? 122 123 122 118

121 122 121

125 125 123

126 130 119

118 111 118

119 118 119

120 121 126

124 123 129

122 117 128

Se sabe que la variabilidad en la producción de cilindros de gas es 6,5. Si se selecciona una pequeña muestra aleatoria detallada a continuación. ¿Qué puede decir al respecto? 9,51 9,53 9,45 8,79

9,63 9,68 9,61

9,42 9,52 9,42

9,51 9,64 9,63

9,55 9,44 9,36

9,65 9,52 9,69


9,45 9,64 8,89

9,62 9,44 8,99

9,66 9,54 8,69

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Compendio ejercicios

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