I.G.B.
Resumen Finanzas 2012-1
CAPM:
– Supuesto empresas similares implica que los beta de proyecto sean iguales – Cuando se habla de deuda libre de riesgo, su beta asociado es 0 si empre 1 – El beta del mercado es siempre
̅ ̅ ̅
– Posición larga: Comprar barato y Vender caro – Posición corta: Vender caro y Comprar barato
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Alternativas 1. Se tienen dos tipos de acciones, Value (V) y Growth (G). Se sabe que el mercado está compuesto por un 60% de acciones V y un 40% de acciones G. Las acciones V tienen un retorno y volatilidad menor (dan datos), las G tienen retorno y volatilidad mayor (dan datos). (faltan los datos, que no me acuerdo, pero no parecen relevantes). De las siguientes afirmaciones, son correctas: I. II. III.
El beta de la acción de G es mayor o igual a la del portafolio de mercado. La acción G tiene más o igual riesgo diversificable que el portafolio de mercado La razón de Sharpe (premio por unidad de volatilidad) de G es menor o igual que la del portafolio de mercado
I) El retorno según el CAPM esta asociado al nivel de riesgo, por ende una de las acciones debe tener un beta mayor al mercado, dado que sabemos que G tiene un retorno mayor, entonces se deduce que su beta es mayor. Si un mercado contempla sólo dos acciones y con esto se forma el portafolio de mercado una de estas tiene que tener un mayor retorno que el mercado y la otra un menor (dado que el mercado es una combinación de las acciones).
II) El riesgo diversificable es el riesgo que se puede resolver diversificando el portafolio, el que no es intrínsico del mercado:
El portafolio de mercado no tiene riesgo diversificable, por lo tanto cualquier acción debe tener igual o mayor riesgo diversificable, dado que el mercado tiene 0 y no se puede tener riesgo diversificable negativo. III) La razón de Sharpe es
. La máxima razón de S p la tiene el mercado (es una
forma de encontrar el portafolio de mercado) por ende toda acción debe tener una razón de Sharpe menor o igual a la de mercado.
2. Una empresa pesquera consume 100.000 barriles de petróleo al año, los que actualmente cuestan 50 dólares el barril. Si ese precio se mantiene, la empresa estima utilidades para el próximo año de 20 millones de dólares. Sin embargo, la empresa decide contratar un forward para el precio del barril con tal de fijar hoy un precio de 55 dólares el barril en un año más para 50.000 barriles. Suponga ahora que el precio del petróleo el próximo año resulta ser 70 dólares por barril. Calcule l a nueva utilidad de la empresa.
Costo actual: Costo próximo año: Costo aumenta en $1.250.000
3. El dólar está avaluado en $500. Un bono del banco central que vence en un año más, vale hoy el 95% de su valor cara. Un bono del tesoro norteamericano que también vence en un año más, vale hoy el 97% de su valor cara. Calcule cual es el valor estimado más cercano para el dólar en pesos en un año más. a) b) c) d)
$490 $500 $510 $520
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() * 4. Se tiene un proyecto con ingresos de 100 y gastos de 50 a perpetuidad. Se sabe que los ingresos se descuentan a un 10% y los gastos al 8%. Se quiere evaluar un proyecto que cada 4 unidades de ingresos tenga 2 de gastos. La tasa que debería usarse es: a) b) c) d)
Menor que 8% Entre 8% y 10% Mas que un 10% (13.33%) No se puede determinar
√
5. Usted no tiene riquezas pero tiene una capacidad para realizar buenas inversiones. Si usted invierte I en t=0, logra generar en t=1. Además sabe que existe un banco que tiene una tasa de préstamo de 10% y una tasa de ahorro de 5%. ¿Cuál es el máximo consumo que puede tener en tiempo 1? a) b) c) d)
$2 ($1,23) $4 $6 $8
( √ ) √ * √
6. Se tiene que el beta de un fondo mutuo es 2. La tasa libre de riesgo es 0,05. El retorno del fondo mutuo es de 0,25. Además se tiene una acción con retorno de 0,1. ¿Cuál es el beta de la acción?
{
7. Se tienen dos Bonos, B1 y B2. Los dos tienen la misma TIR igual a un 5%. B1 paga 100 en un año más, en cambio B2 paga en 1 años más y en 3 años más. ¿Cómo tienen que ser y entre si para que ambos bonos tengan el mismo precio? a) b) c) d)
Para B1:
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Para B2: Luego
se
tiene
Probando
en
las
alternativas, se cumplen a) y b).
8. La función de utilidad de una persona es , donde es el consumo hoy y su consumo mañana, y su riqueza inicial es 90. Puede endeudarse a una tasa de 0,08. Esta persona puede realizar dos proyectos: A requiere invertir 100 hoy y se reciben 120 mañana, y B requiere invertir 100 hoy y se reciben 110 mañana. El consumo óptimo hoy * de esta persona está en el rango: El VAN de A: El VAN de B:
Como tengo $90 de riqueza inicial, tengo = La clave está en que no le interesa consumir en (U no depende de ), por lo que consumirá todo en . Los dos proyectos tienen VAN positivo, por lo que la persona realiza los dos proyectos y luego se endeuda para consumir todo en .
9. Un equipo de fútbol A quiere hacer un proyecto que invierte 100 y recibe X todos los años a perpetuidad. Se sabe lo siguiente: Tasa libre de riesgo 0,05, tasa de mercado 0,2 Un equipo de fútbol B tiene acciones con tasa 0,3 y su relación deuda/capital es 2/1 El proyecto del equipo A se quiere financiar con 50% deuda y 50% capital propio. Determine el X mínimo para que el proyecto tenga VAN positivo.
Se calcula la rentabilidad real del equipo B y a esta tasa de descuento descontamos el proyecto del equipo A (supuesto “empresas” similares) .
10. Un portafolio con varianza 0,09 cuyo riesgo está completamente diversificado. El retorno de mercado es 15%, la varianza de mercado es de 0,36. La tasa libre de riesgo es 8%, calcular el retorno del portafolio. a) b) c) d)
menos de 10% entre 10 y 11% entre 11 y 12% más de 12%
( )
11. Si le ofrecen 200 en T=1, 210 en T=2, 220,5 en T=3 y así sucesivamente creciendo a la misma tasa por 15 años, ¿cuánto estaría dispuesto a recibir en T=1 para que no le importara? La tasa de descuento es de 50% anual compuesta continua. a)
menos de 300
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b) c) d)
entre 300 y 400 entre 400 y 600 más de 600
Acá hay que tener cuidado de aplicar directamente la formula de crecimiento constante, ya que los tiempos están desfasados en un periodo. También hay que tener en cuenta que la tasa es “compuesta continua” :
*
12. Empresa que tiene utilidades de 1.000 , 100 acciones, ROE = 0,15 y r = 0,1 anuncia dividendos de 10 a la eternidad. ADEMÁS anuncia que reinvertirá 25% de utilidades. Dado lo anterior: ¿Cuánto sube el precio de la acción? Precio inicial:
Precio después del anuncio:
Sube 20 pesos, es decir crece un 20%.
Desarrollo: TIP: I3 último semestre antes del examen con Cortázar 1. Durante el último año, la crisis económica ha afectado el valor de muchas activos. La acción de General Motors, bajo de US$25 a US$5, el índice S&P500 que representa una cartera de acciones diversificada de EE.UU, bajo de 1500 a 900 y el índice IPSA, que representa una cartera de acciones diversificada en Chile, bajo de 3300 a 2300. Se sabe que el beta de la acción de GM es 1,77; que la razón deuda/capital de GM hoy es de 5 y que el beta de la deuda de GM es de 0,5. Además, la tasa libre de riesgo en EE.UU es de 4% anual (en US$) y en Chile es de 6% (en $) y el retorno esperado del índice S&P500 (en US$) es de 14% anual, mientras que el del índice IPSA (en $) es de 18% anual. El dólar vale hoy $650 y un forward dólar, permite asegurar hoy una compra o venta de dólares en un año más a $662,5. Suponga que los dividendos esperados para el próximo año son siempre (tanto en EE.UU como en Chile) un 5% del valor de las acciones de este año (en US$ o en $ respectivamente) y que existe una tasa perpetua de crecimiento para los dividendos futuros para el activo “i” que antes
de la crisis era gi y que ahora después de la crisis es gc. Suponga que no hay impuestos. Y que las teorías financieras (eficiencia de mercado, CAPM, Mogglianni-Miller, etc.) son validos. Considere que los índices S&P500 e IPSA son buenas aproximaciones de las carteras de mercado accionaria en EE.UU y Chile respectivamente. a) Determine el retorno esperado a un año (en US$ y $) de inversiones en el IPSA.
* *
Por enunciado r IPSA$ = 18%
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b) Determine la TIR mínima para que proyectos de inversión típicos en GM creen valor. Primero calculamos el ß desapalancado, de forma a obtener el beta de los activos (para calcular proyectos de inversión). La razón D/E = 5 y cuando nos dicen beta de la acción, nos están hablando del beta del patrimonio (1,77) y el beta de la deuda es 0,5, luego:
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c) Determine gi y gc para GM, S&P500 e IPSA. gi=gc.
Y tenemos las rentabilidades para cada índice:
2. Una empresa financiada 100% con acciones tiene una utilidad de $1.000.000 y reparte el 100% a sus accionistas (100 acciones). La tasa de riesgo de las acciones es 20%. a) ¿Cuál es el precio de la acción?
[] [] +[]
No existe crecimiento y la tasa de riesgo es 20%:
b) ¿Cuál es el precio de mercado de la empresa? Valor de mercado es:
Si la empresa ahora pide una deuda para comprar la mitad de las acciones (retorno de la deuda = 10%) c) ¿Cuál es el retorno de las acciones?
Al comprar 50 acciones con deuda ahora queda la empresa con Deuda/Patrimonio de:
[] Luego el retorno, según esta estructura será:
d) ¿Cuál es el nuevo precio de la acción?
El mismo, el precio de la acción no cambia por la estructura de la empresa:
3. Tienes 10 MM de patrimonio y pides 20 MM al banco con r f = 5% anual. Luego inviertes los 30 MM en acciones de beta=0,8, r A = 10% y la varianza del proyecto es de 20%. ¿Cuál es el beta de tu patrimonio y su rentabilidad y la variabilidad? Para el proyecto
( ) ( )
CAPM proyecto:
CAPM patrimonio:
La varianza del patrimonio:
4. Existen dos bonos bullet que vencen en 2 años más. El bono A tiene una TIR del 5% y el bono B una TIR del 4%. Ambos son valorados al 100% de su valor cara. Existe la posibilidad de tomar posición larga y corta en ambos. Te pedían buscar una forma de hacer arbitraje, en la que se ganara un millón en t = 1 y t = 2. A
0 -1
1 0,05
2 1,05
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[] ] [ * [] B
-1
0,04
1,04
Solución: Comprar 108 A y Vender 108 B
5. Suponga que el precio de hoy (en t = 0) del bono A, que paga 200 en T=3, es de 160. Asimismo, suponga que usted sabe que la tasa cero (o spot) anual vigente para flujos a un año es 5%, pero no conoce las tasas para flujos a 2 y 3 años. En este mercado se transa también un bono B que tiene los siguientes flujos de caja. Bono T=1 T=2 B 200 400 Determine el precio máximo y precio mínimo que podría alcanzar el bono B de modo de impedir oportunidades de arbitraje. Solución: Bono T=0 T=1 T=2 T=3 A -160 200 B -X 200 400 -
Sabemos que
Si hacemos f 23 = 0, f 12 = 0,19, luego reemplazando:
Por otro lado, si hacemos f 12 = 0, f 23 = 0,19, luego reemplazando:
6. Se tiene un fondo mutuo. Los datos entregados son los siguientes: VA = $ 100
Tasa libre de riesgo = 4% El Negocio crece con Pr = 0,6 y su valor cuota es de $140 y el negocio cae con Pr = 0,4 y su valor cuota es de $90. Existe una oportunidad de invertir con una duración de 1 año. Inversión Inicial (I0) de $100 millones, la totalidad del dinero es capital propio (100%) y el Beta 1,5. Si el negocio es favorable tiene un ROE de 50%, y si es desfavorable tiene un ROE de -15%. Preocupado por las pérdidas que pudiesen ocurrir en el negocio, ¿cuánto sería el máximo dispuesto a pagar por un seguro, de manera de recuperar el 100% de la Inversión (VAN)?
Calculamos la rentabilidad de la empresa:
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Ahora se puede obtener la rentabilidad del mercado (r m) para posteriormente determinar la rentabilidad del proyecto (r p)
( ) ( )
Por otra parte el retorno de la inversión de tiene dos escenarios: Negocio favorable:
Negocio desfavorable:
7. Existen dos tipos de acciones en el mercado chileno: Acciones Retorno esperado Desviación estándar L 0,15 0,2 S 0,25 0,4 La tasa libre de riesgo es del 9% y se sabe que el 60% de las acciones son del tipo L y el 40% es del tipo S. L y S no están correlacionadas. Además existen dos fondos mutuos: Fondo Restricción Desviación estándar F Solo puede tener L 0,15 H Ninguna 0,15
( )
a) ¿Cuál es el retorno esperado y la desviación del mercado chileno?
b) ¿Cuál es el retorno esperado y el Beta del fondo F?
El Fondo F tiene por lo que hay que buscar un portafolio que tenga la misma varianza. Vemos que porcentaje del fondo puede ser de L y completamos el resto con libre de riesgo.
CAPM:
c) ¿Cuál es el retorno esperado y el Beta del fondo H?
El Fondo H no tiene restricción de L o S pero si tiene que cumplir buscamos la combinación de acciones que maximice su rentabilidad.
Lo que queremos maximizar es la rentabilidad, que está dada por: Por otra parte se debe cumplir que:
Por lo tanto, se debe resolver el siguiente problema:
, luego
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( ) * () Resolviendo por Lagrange:
Esto en Y estos dos resultados en Luego:
8. Hay dos activos, A y B. Si Chile gana el mundial, el activo A va a valer 3; si Chile pierde, el activo A valdrá 1. El activo B, por otra parte, valdrá 10 si Chile gana y 20 si Chile pierde. El valor de mercado del activo A hoy es 1. La tasa libre de riesgo es 0,1 y la rentabilidad del portafolio del mercado es 0,2. Considere que los resultados del fútbol son independientes del mercado. a) ¿Qué probabilidad le asigna el mercado al evento de que gane Chile?
La probabilidad que chile gane es “ p”:
b) ¿Cuánto debería valer hoy el activo B?
9. Se tiene una acción que entrega los siguientes dividendos. El Div1=10, Div2=9, Div3=8,1 y así hasta la eternidad. La tasa de descuento es de 20%. De termine el precio de la acción en 8 meses más.
*
La tasa de crecimiento es
Para calcular el precio de la acción en el mes 8 tengo que descontarle al precio total, los dividendos que ya se entregaron:
Luego, el precio de la acción en 8 meses más será:
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10. Las empresas A y B venden el mismo producto. Cada una espera vender 1.000 unidades el próximo año (pero este número es incierto). Ambas empresas han fijado su precio de venta en $5.000 por unidad, y cerraran sus operaciones a fin del año. La empresa A tiene un costo fijo de $3.000.000 sin costos variables, mientras que B no tienen costos fijos, pero si tiene un costo variable de $3.000 por unidad producida. La tasa de interés libre de riesgo es 10%, y el retorno del portafolio de mercado es 20%. Ninguna de las dos empresas tiene deuda. Las acciones de A tienen un beta de 1,5, pero las acciones de B no se transan en el mercado por lo que no se conoce su beta. Calcule: a) La tasa de descuento apropiada a las acciones de la empresa A
( ) [] [] []
b) El valor de las acciones de A:
c) La tasa de descuento apropiada a las acciones de la empresa B
Para B, debemos encontrar primero el riesgo de sus flujos, o la tasa asociada a ellos. Esta la despejamos de , descomponiendo sus flujos, separando los costos variables de los fijos:
d) El valor de las acciones de B:
11. (Examen de grado 2005 1) (VPN y acciones) Nuevo negocio de fábrica de calzado, corto plazo. Solo evaluar a un año plazo. inversión inicial. Cada par se vende a 15 mil con costo variable 5 mil, f. caja op. al final del año. 2 Estados posibles de la economía: o Expansión: Venta de 8000 pares o Receso: 2000 pares o Con igual probabilidad de ocurrencia. . Para financiar inversión se emiten 10 mil acciones, las cuales tendrán derechos sobre el 50% de los flujos futuros que genere el negocio. ;
a) VPN del proyecto: Inversión Ing. Ventas Costo Variable Ventas Total
T=0 -25.000.000
-25.000.000
T = 1(Expansión)
T = 1 (Receso)
15.000*8.000 -5.000*8.000 80.000.000
15.000*2.000 -5.000*2.000 20.000.000
( ) []
b) Precio de equilibrio de la acción y la rentabilidad que esperan los accionistas. Rentabilidad accionistas:
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() * * [] Precio equilibrio acción:
I4 2011 2
1.
Responda las 2 preguntas independientes
a) Una empresa reparte el 100% de sus utilidades en forma de dividendos. El mercado estima que las utilidades de la empresa crecerán 5% anualmente para siempre. El dividendo del próximo (año 1) será $10. La empresa anuncia que entregará un dividendo extraordinario de $5 el próximo año por una única vez (adicional al programado de $10). Como la empresa ya está repartiendo el 100% de sus utilidades, para financiar este dividendo emitirá acciones el próximo año (justo antes de pagar el dividendo, pero sin derecho a recibir los dividendos del año 1). De este modo los accionistas antiguos recibirán $15 el año 1. Considere que la tasa de capitalización de las acciones (antiguas y nuevas) es 10% y que ambas tienen los mismos derechos. Determine los dividendos correspondientes a los años 2 y 3 que recibirán los accionistas antiguos y el precio de la acción justo después del anuncio. Solución: Para el dividendo extraordinario: P
VP
10
10%
VP
5%
0
VP
200
Div
r g
Div P r g 510% 5% 0,25
D1
D2
D3
D4
10
101,05
101,05
101,05
5
0,25
0,251,05
0,251,05
15
10,25
0,251,05 10,7625
11,300625
11,86565
2
D5 101,05
3
4
2
3
Bajo condiciones ideales, la política de dividendos es irrelevante, es decir, el precio no cambia.
b) El Activo A tiene un retorno esperado de 20% y una desviación estándar de 30%. El Activo B tiene un retorno esperado de 10% y es libre de riesgo. Suponga que súbitamente aparece el Activo C que tiene un retorno esperado de 8% y una desviación estándar de 6% y que este nuevo activo no altera en nada la combinación riesgo retorno de los portafolios óptimos de ningún inversionista. Finalmente, desaparece el activo B, y nuevamente no cambia la combinación riesgo retorno de ningún inversionista. Determine (si es que se puede) la correlación entre el activo C y el activo A. Solución: Como C no altera los portafolios óptimos, se concluye que C es combinación lineal de A y B.
r C w Ar A w B r B De hecho: 4 8 % 20 % w A 10% w B w B 2w A 1 5
I.G.B.
2
Además sabemos que:
2
0
B
:
2
C
2
C
2
w A A
2
2
w A A
2
2
w B B
2w A w B A B AB , pero B es libre de riego
6%2 w2 30%2 w A
A
w A 0,2 w B 0,4 : w A w B 1 w A 0,2 w B 1,2 : w A w B 1
1 tenemos que:
Reemplazando en
A2 Finalmente, tenemos que Cov A, C 1 0 0 AC
2
2
w A A
2
2
2
A w A A
A C
0 w A
ok
w A A B w B 2
2
0,230%
2
2
Cov A, C
0,2
30% 4
1
0,2
2
2. Una mina producirá oro en 1 año más. La cantidad de oro que se extraerá es incierta y depende de aspectos geológicos (ley de mineral) y técnicos, pero su valor esperado es 10.000 onzas-troy. El oro tiene un beta de 0,6 y un precio esperado en 1 año más de US$1.500 la onza-troy. La tasa libre de riesgo es 5% y el retorno esperado del mercado es 15%. Hoy hay que decidir de la tecnología de extracción. Existen 2 tecnologías: Tecnología 1: Requiere una inversión de US$1.000.000 en 1 año más, pero no hay otros costos. Tecnología 2: No requiere inversión inicial, pero existen costos a ser pagados en 1 año más: se debe cancelar US$X por onza-troy extraída y además utilizar 1 barril de petróleo por onza-troy de oro extraída. El precio esperado del petróleo en 1 año más es US$100 y el petróleo tiene un beta de 1,2. Se estima que los retornos del oro y el petróleo no están correlacionados. Determine: a) X para que la empresa valga lo mismo con cualquiera de las dos alternativas. Solución: Para que las dos alternativas valgan lo mismo: VAN Tec1 VAN Tec2 Calculamos el retorno de los ingresos dado por ventas del oro y petróleo: r oro 5% 0,615% 5% 11%
r pet
5% 1,215% 5% 17%
Los ingresos dependen del riesgo del oro, los costos fijos de la tecnología 1 y el costo X de la tecnología 2 no dependen del mercado sino de la extracción, por esto se descuentan a la tasa libre de riesgo y el costo del petróleo depende del riesgo del mismo:
VAN Tec1 VAN Tec2
1.000.000
10.000·1.500
1 r f
10.000·1.500
1 r oro
1.000.000
10.000· X
1 r oro
1 5%
10.000· X
10.000·100
1 r f
1 5%
10.000·100 1 17%
1 r pet
X 10,2564$
b) El retorno esperado de las acciones usando la tecnología 1. Solución: Como la firma no tiene deuda, entonces: r E r A :
VP A
10.000·1.500 1.000.000 1 r A
1.000.000 1 5%
10.000·1.500 1 11%
r
A
11,1455% r E
c) El retorno esperado de las acciones usando la tecnología 2 y el X calculado en a)
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Solución: Como la firma no tiene deuda, entonces: r E VP A
r A
10.000·1.500 100 10,2564
r A
:
10.000·1.500
1 r A
10.000·10,2564
1 11%
1 5%
10.000·100 1 17%
10,6384% r E
3. Suponga que Ud. Desea realizar una inversión con el horizonte de 1 año, para lo cual tiene la posibilidad de invertir en 3 bonos de descuento de plazos 1, 2 y 3 años. A la fecha, la estructura de tasas de interés es la siguiente: Plazo Tasa 1 4,6% 2 4,8% 3 5,0% a) Calcule la estructura de tasas forward (f 12, f 23 y f 13) Esquema de estructura de tasas:
1 1
0
1
1 r
1
f 13
2
1
f 12
f 23
2
1 r
3
1
3
2
r
3
2
1 r 2 2 1 4,8%2 1 r 1 1 f 12 1 r 2 f 12 1 1 5,0003% 1 r 1 1 4,6% 1 r 3 3 1 5%3 2 3 1 r 2 1 f 23 1 r 3 f 23 1 1 5,4011% 1 r 2 2 1 4,8%2 2
1 r 1 1 f 13
2
1 r 3
3
f 13
1 r 3 3 1 r 1
1
1 5%3 1 5, 2006% 1 4,6%
Suponga que Ud. Estima que la única razón por la que las tasas de interés son crecientes es debido a premios por liquidez, los que se espera se mantengan en el futuro. b) Calcule la rentabilidad esperada durante el primer año si invirtiera en: i) Bono a 1 año: B1 1 4,6% 1.046 Rentabilidad de B1 4,6% r 1 ii) Bono a 2 años: B2
1 r 2 2 1 r 1
1 4,8%2 1 4,6%
1,050003 Rentabilid ad de B2
5,0003% f 12
1,054011 Rentabilid ad de B3
5,4011% f 23
iii) Bono a 3 años: B2
1 r 3 3 1 r 2 2
1 5%3 1 4,8%2
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¿A qué es igual dicha rentabilidad en cada uno de los 3 casos? Es igual a la tasa forward: f t 1,t
Suponga ahora que Ud. Estima que no existen premios por liquidez y que la hipótesis de las expectativas se cumple: c) Responda b): Del esquema de estructuras de tasas de la parte a) sacamos las siguientes relaciones:
i) Bono a 1 año: 1 r 1 r 1 1 4,6% r 4,6%
1 r 2 2 1 r 2 2 1 4,8%2 ii) Bono a 2 años: 1 r r 1 1 4,6% 1 f 12 1 f 12 1 5,0003% 1 r 3 3 1 r 3 3 1 5%3 r 1 1 4,6% iii) Bono a 3 años: 1 r 1 f 13 2 1 f 13 2 1 5,2006%2 Bajo la teoría de las expectativas, la estructura esperada de tasas (spot) dentro de un año es la estructura de tasas forward. Por lo tanto: la rentabilidad en cualquiera de los 3 casos es la misma (4.6%).
4. En un mercado hay N activos riesgosos y además un activo libre de riesgo. Dos agentes racionales y con distintos grados de aversión al riesgo, tienen inversiones en este mercado. El inversionista A tiene invertidos $200 en el activo libre de riesgo, $100 en el activo i=1 y $200 en el activo i=2, además de muchas otras inversiones en activos del mercado de las cuales Ud. no posee el detalle. El inversionista B tiene $300 en el activo libre de riesgo, $200 en el activo i=1, además de muchas otras inversiones en activos del mercado de las cuales Ud. no posee detalle. Inversionista A B
Libre de riesgo 200 300
i=1 100 200
i=2 200 ?
Otras inversiones No hay detalle No hay detalle
a) ¿Cuál de los dos inversionistas es más averso al riesgo? La teoría dice que si los inversionistas son racionales, las proporciones de sus inversiones en activos riesgosos del mercado deben ser iguales (con proporciones nos referimos a los wi ). Si vemos las inversiones de ambos agentes en el activo i=1, vemos que B invierte el doble que A. Luego como las proporciones son las mismas, podemos concluir que B posee una riqueza equivalente al doble de A. Finalmente, siguiendo esta relación entre las riquezas, para que ambos sean igual de aversos al riesgo, B tendría que invertir en el activo libre de riesgo el doble de lo que invierte A, es decir, $400. Sin embargo, sólo invierte $300. Como la inversión de A es mayor que la de B (con respecto a sus riquezas), podemos decir que el inversionista A es más averso al riesgo que B.
b) ¿Cuánto tiene invertido el inversionista B en el activo i=2? Como lo indicamos en la pregunta anterior, B tiene el doble de riqueza que A, por lo tanto invierte el doble de lo que invierte A en cada uno de los activos riesgosos (pues las proporciones son iguales). De esta manera, podemos afirmar que B tiene invertido $400 en el activo i=2.
c) ¿Cuánto tiene invertido el inversionista B en el activo i=3?
I.G.B.
Es imposible saberlo pues se necesita la información con respecto a la inversión de A en ese activo, o bien, detalles del resto del mercado (riqueza de A o B, número de activos, etc.), sin embargo sabemos que tiene que ser el doble del monto que invierta A.
d) Si el valor de mercado de la empresa i=1 es $10 millones, ¿Cuál es el valor de mercado de la empresa i=2? Observando las inversiones de cada uno de los inversionistas racionales, vemos que ambos invierten en el activo riesgoso i=2 el doble de lo que invierten en i=1. Por lo tanto, se puede concluir que la empresa i=2 es valorada doblemente en relación a la empresa i=1, y con esto, el valor de mercado de la empresa i=2 sería de $20 millones.
e) “Todos los portafolios eficientes en este mercado tienen la característica que si se duplica la volatilidad se duplica el retorno esperado”. Diga si es verdadero o falso.
Ecuación para portafolios eficientes del mercado: r p
p
E r m
r
f
r f
m
r p Retorno esperado del portafolio. E r m r f Volatilida d del portafolio. Donde: p Depende del retorno esperado y la volatilidad del mercado. m r f Retorno esperado del activo libre de riesgo. Vemos que si un portafolio duplica la volatilidad: r p Sin embargo: r p
*
2·r p
2
p
E r m
*
p m
2 E r m
r r f
f
r f 2·r f
m
Por lo tanto, podemos concluir que la aseveración en cuestión es falsa.
f) “Si en este mercado no hubiera un activo libre de riesgo, entonces los incrementos en premios por riesgo no serían proporcionales a los incrementos en volatilidades de los portafolios eficientes”. Diga si es verdadero o falso. Cuando en el mercado no existe un activo libre de riesgo, los portafolios eficientes ya no describen una recta, si no, una parábola de la forma:
Como vemos, los incrementos en premios por riesgo no son proporcionales a los incrementos en volatilidades de los portafolios eficientes. Por lo tanto, la aseveración es verdadera.
5. Pregunta 5 a) Un activo entrega flujos en todos los períodos entre T=0 y T=100. Sabemos que cada flujo es un 10% mayor al flujo del período anterior y que el flujo en T=2 es de $50. Calcule el valor del activo si la tasa de descuento es 10% por período. Solución: Primero encontramos el valor del flujo en T=0: C 2
50$
41,3223$. 2 1,1 Luego, el valor presente del activo estará dado por:
C 0
1 10%2
I.G.B.
10 0
VP i 0
C 0 1 g
i
1 r i
10 0
i 0
C 0 1 10%
i
1 10%i
10 0
C 0 101·C 0 4.173,553719$. i 0
b) Una inversión ofrece 6% de interés anual, compuesto semestral, mientras otra inversión ofrece x% de interés anual, compuesto continuamente. Ambas inversiones vencen en la misma fecha. Determinar x para que ambas inversiones sean equivalentes. Solución: Dado una inversión de A, el retorno al término de un periodo t será para cada opción:
6% 6% interés anual, compuesto semestral: R1 A1 2
2 t
x %·t
x% interés anual, compuesto continuamente: R2 Ae Para determinar el valor de x, basta con igualar ambos retornos. De esta manera tenemos:
2 t
6% 2 x %·t A1 x% ln1,03 5,91176% Ae 2
c) Una firma puede vender hoy una propiedad en $100 o esperar al próximo año, fecha en que la propiedad puede que valga $150 o $50 con igual probabilidad. Los costos de venta son $X y se incurren si y sólo si se vende la propiedad, y en el mismo instante de la venta. Si no se vende la propiedad este o el próximo año, la propiedad será expropiada con pago cero. La tasa de descuento relevante es 10%. La firma no está obligada a vender la propiedad y puede esperar a conocer el precio de venta vigente en el año antes de tomar su decisión si la vende ese año o no. Determine el rango de X para que la mejor opción sea hacer el proyecto el próximo año. Solución: Se debe pensar el problema en 4 casos: 1) X 50 :
VP VenderHoy 100 X VP VenderEn1 Año Luego, para cualquier valor de siempre mayor que el segundo. 2) 50
X
1 2
150 X 12 50 X 100 X 1,1 1 10%1
50, conviene vender hoy, ya que el primer valor es
X 100 :
VP VenderHoy 100 X
VP VenderEn1 Año
1 2
150 X 0 1 10% 1 2 1
75
X 2
1,1
Para saber si conviene postergar, buscamos un valor de X que, estando en el intervalo entre 50 y 100, cumpla lo siguiente:
I.G.B.
VP VenderHoy VP VenderEn1 Año 75 100 X
X 2
1,1
110 1,1 X 75 0,5 X 35 0,6 X 58,333 X
Luego, conviene esperar para 58,333 3) 100
X 100
X 150 :
VP VenderHoy 0
VP VenderEn1 Año
1 2
150 X 0 1 10% 1 2 1
75
X 2
1,1
Se ve que para cualquier valor de X mayor a 100 y menor a 150 se cumple que el valor de postergar es mayor a cero por lo que conviene postergar. 4) 150
X : En
este caso claramente siempre va a convenir que se expropie la propiedad.
En resumen se tiene lo siguiente: X 58,333 Conviene vender hoy. 58,333
X 150 Conviene
150 X Conviene que sea
esperar.
expropiada.
d) Un depósito de $100 a 94 días ofrece una tasa de interés equivalente a la tasa LIBOR, la que es actualmente de 6% base Actual/360. Determine el pago al vencimiento del depósito. Solución: La tasa equivalente a una tasa LIBOR de 6% base Actual/360, para un periodo de interés de 94 94 días es: 1 ·6% 1,015667 360 Por lo tanto, el pago al vencimiento del depósito es: P 1,015667·100$ 101,5667$
e) El proyecto A requiere invertir $100 en T=0 y recibir $240 en T=1. La tasa de descuento apropiada al proyecto es 20%. Suponga que la firma tiene $0 en caja, el derecho al proyecto, y decide obtener los $100 requeridos para el proyecto por deuda al 10%. Determine la tasa de descuento para los accionistas. Solución: Una forma de determinar la tasa de descuento para los accionistas es igualando la tasa de descuento de los activos (proyecto), con la suma ponderada de las tasas de descuento de los pasivos (deuda) y del capital (accionistas). Para realizar lo anterior es necesario conocer las proporciones entre pasivos y capital:
Activos
Pasivos Patrimonio
Caja VAN pro yecto Deuda Patrimonio Por enunciado sabemos que: Caja = $100 (préstamo solicitado). Deuda = $100 (aún no se aplican intereses porque no ha transcurrido tiempo).
I.G.B.
Además: VAN pro yecto I 0
C 1
$
100
1 r
240$
1 20%
$.
100
Despejando el Patrimonio obtenemos: E Caja VAN proyecto D 100$. Luego como: Capital Deuda
D
1
E Capital y Pasivos (Deuda) están en la misma proporción. Entonces: A·r A
D·r D E ·r E
r E
A·r A
D·r D
200·20% 100·10%
E
30%
100
f) El retorno esperado de la deuda de una firma es 10% y el retorno esperado de sus acciones es 20%. La firma tiene 60% de deuda y 40% de capital. La tasa de impuestos es 20%. Determine a qué tasa habría que descontar los activos de la empresa. Solución: El procedimiento es similar al de la pregunta anterior, pero al existir impuestos, estos afectan directamente a la deuda. La deuda se ve reducida por los beneficios tributarios que esta situación trae, por lo que la tasa a la que habría que descontar los activos (WACC) es: r D · D r D · D· r E · E r D ·1 · D r E · E WACC r activos
D E
10%·1 20% ·60% 60% 40%
D E
20%·40% 60% 40%
D E
D E
12,8%
6. Suponga una economía de 2 tiempos, libre de riesgo. Una persona tiene función de utilidad U C 0 , C 1 C 0·C 1 y dispone de $100 para consumir hoy (T=0), pero además sabe que recibirá otros $100 en T=1 (por ejemplo producto de una jubilación que le pagaran en ese momento). Suponga que no hay mercado de capitales. a) Determine la tasa marginal de sustitución de la persona en función de C 0 y C 1 :
dU
Solución:
TMS C 0 , C 1
dC 0 dU
C 1 C 0
dC 1
b) Si el Gobierno propusiera subir los impuestos de tal manera que reduciría una utilidad de consumo hoy a cambio de subirle $X en su jubilación en T=1, ¿Cuánto tendría que ser X para que a la persona le diera lo mismo? Solución: Sin propuesta: U 100,100 100·100 10.000$. 1 Con propuesta: U 100 1,100 X 99·100 X $. 2 Para que a la persona le diera lo mismo debemos igualar (1) y (2): 10.000 10.000 99100 X X 100 1, 01$. 99
c) Supongamos ahora que la persona tiene disponible el Proyecto A cuyo flujo F en T=1 depende del monto de la inversión, I , que realice, de acuerdo a F 1 I 2 , I 300. (Considere que el gobierno no implemento b). ¿Cuál es la inversión optima que realizaría a persona? Solución: 1
Se puede determinar el consumo de mañana de la persona como: C 1
100 F 100 1
2
I .
I.G.B.
Sabemos que I C 0
100 I 100 C 0 .
utilidad de la persona es: U C 0C 1
Luego C 1
100
C 0 100 100 C 0
Derivando e igualando a cero obtenemos: U 3C 0
2
100 C . Por lo tanto, la 2
0
C 2
3
0
200C 0
2
10.100C 0
400C 0 10.100 0
C 01 33,83 C 11 4.478,47 U 1 151.507 C 02 99,5 C 12 100,25 U 2 9.974,88
Luego, tenemos como soluciones:
, Por lo tanto nos quedamos con el primer valor, con lo que la inversión óptima es:
U 1
U 2
I
100 C 01
100 33,83
66,17.
d) Suponga que antes que la persona realice su inversión optima en el proyecto A se le presenta la oportunidad de invertir (en vez de, o adicionalmente a, su inversión en el Proyecto A) en un proyecto B que consiste en invertir Y para obtener en T=1 un flujo G de acuerdo a G1 ZY . Determine el rango de valores para Z para que lo óptimo sea no invertir nada en el proyecto B. Solución:
1
Tal como vimos en a), TMT A es creciente en I y TMT B es constante en Z . La persona invierte únicamente en el mejor de los dos proyectos (dado Z ), pues no conviene eliminar la última unidad de inversión en desmedro de invertir en el otro proyecto. En conclusión, la decisión óptima en este caso es elegir A o B (pero no ambos), por lo que buscamos el valor de Z tal que la utilidad que generan ambos proyectos sea la misma; *
U A
U B
100
* I
100
*2
I
100 66,17100 66,172 151.507
100 Y 100 ZY *
Derivamos e igualamos a cero la segunda expresión, para calcular la inversión óptima Y ; dU B dY
0
100 Y · Z 0
1· 100 ZY
100 Z YZ 100 ZY 2 ZY 100 Z 100 *
Y *
Reemplazando Y en
U B e
50
50 Z
igualándolo con U A ;
U *
U B Y
*
A
50 50 100 50 100 Z 50 151.507 Z Z 50 · Z 50 50 50 Z 151.507 Z 50 Z 1501 Z 151.507· Z
2.500 Z 2 Z 1 151.507· Z 2.500 Z Se descarta
Z 2
2
2
Z 1 58,58 Y 1* 49,14 146.507 Z 2.500 0 Z 2 0,017 Y 2* 2.891,17 0
, ya que nos entrega un
Z ; 58,58.
*
Y
0. Finalmente,
obtenemos el intervalo final:
I.G.B.
e) Suponga ahora que antes que la persona realice su inversión en el proyecto A se abre la posibilidad de hacer depósitos o colocaciones al 10% por periodo. Si alguien le ofreciera comprarle proyecto A, ¿Cuánto es lo mínimo en lo que lo debiera vender? Solución: Mientras exista un mercado de capitales, la persona invertirá lo máximo posible en el Proyecto A gracias a que su TMT es siempre creciente en I. El enunciado dice que I 300, por lo que la persona invertirá 300: 2
El precio mínimo de venta es: VAN A 300
300
1 10%
81.518,18
f) Determine la Riqueza de esta persona Solución: La riqueza en T = 0 es la suma de todos sus flujos descontados: 2
VAN 300
300
1 10%
100
100 1 10%
81.709, 09
g) Determine el consumo óptimo C 0 y C 1. Solución: Igualamos TMS con TMT:
Sabemos de f) que W C 0
Reemplazando
1 en 2 :
C 1
1 10% C 1 1,1C 0 1
C 0
C 1
1,1
81.709, 09
2
1,1C 0 81.709, 09 C 0 1,1 C 40.854,54 C 44.940 1 0
7. Durante todo el año 2010 y 2011 se han estado realizando estudios para determinar la factibilidad de desarrollar un proyecto de inversión. El valor presente al 1 de julio del 2011 de todos los gastos incurridos y pagados es $100. Asimismo ya se recibió una factura por gastos incurridos por $50 los que se dio orden de pagar el 1 de julio de 2012. Si se deseara desarrollar el proyecto se necesitaría invertir en equipamiento $1.000 el 1 de enero de 2012, inversión que tiene una vida útil contable (para efectos de depreciación) de 10 años. No obstante lo anterior, dada la tecnología utilizada se supone que cada 6 años se debería reemplazar el equipamiento, a un costo que se estima se irá reduciendo en 25% cada 6 años. Cada 6 años, los equipos viejos se podrán vender al 10% de su valor de compra. Las ventas asociadas a este proyecto son $150 en diciembre de 2012, las que luego irán subiendo anualmente a razón de 5% anual. Los costos operacionales anuales son $ 75 en diciembre de 2012, los que irán subiendo un 3% anualmente. Si el 1 de enero del 2012 en la mañana, justo antes de realizarse la inversión inicial en equipamiento, se detectara que existe un nuevo costo no considerado antes cuyo VP es C ¿cuál sería el mayor valor de C para que conviniera seguir adelante con el proyecto? Suponga que el proyecto es perpetuo, que la tasa de impuestos corporativos a las utilidades es 20% anual y que la tasa de descuento apropiada para el proyecto es 10% anual. Solución:
I.G.B.
Depreciación lineal:
D
ValorCompr a VidaÚtil
1.000$ 10
100$. Se deprecia en 100
$ año
.
Como reemplaza cada 6 años, entonces el valor restante es de 400$. 6
1ciclo I Dep Venta
VAN
I
· D
1.00010% 1 400
1 r 6 1.00010%1 400 I · D r 1 r 6 6 1 1 10% 1.00010% 1 20% 20%·400 1.000 20%·100 10% 1 10% 6 822,579$ i 1
1 r i 1 1 r 6
i
0,75 150$1 75$1 VAN Total VAN I 1ciclo DepVenta 6 r g v r g c i 0 1 r
VAN I 1ciclo DepVenta 1
0,75
1 r 822,579$ 1
150$1
150$1 20%
6
0,75
r g v
10% 5%
75$1
r g c
75$1 20% 10% 3%
116,364$
1 10%6
Finalmente: C 116,364$. El pago pendiente pero comprometido no debe incorporarse en el cálculo del VAN.
8. A Ud. le piden que analice 4 proyectos de inversión secretos que está considerando realizar la empresa-1, los que son desconocidos por el mercado por lo que el precio de sus acciones no los considera actualmente: o El proyecto A consiste en reemplazar los equipos computacionales de la empresa-1, para lo cual se considera necesario hacer una inversión inicial de $100 para luego gastar $40 anuales durante 10 años. Con esta solución se haría innecesario continuar con el arriendo de servicios externos cuyo costo anual es de $50. Tanto los gastos de equipos computacionales como los de servicios externos son constantes e independientes de los resultados de la empresa.
I.G.B.
o
o
o
El proyecto B consiste en invertir $100 para recomprar sus propias acciones y retirarlas del mercado. El proyecto C consiste en invertir $100 para adquirir acciones por el 1% de la empresa-2. El proyecto D consiste en comprar un bono de una institución que garantiza completamente el pago de sus obligaciones, bono que se transa hoy en la bolsa a un precio de $100. El bono paga 4 cupones trimestrales de $3 cada uno y paga el valor cara de $100 a fin de año.
Para analizar estas alternativas de inversión Ud. tiene la siguiente información o hace los siguientes supuestos: Las empresas-1 y 2 no tienen deuda ni están sujetas a impuestos Las tasas de interés y las rentabilidades esperadas durante los próximos 10 años se pueden considerar constantes La rentabilidad promedio del mercado de los últimos 5 años ha sido 14% anual Un fondo de inversión cuyos activos se asemejan a un portafolio de mercado tiene una rentabilidad esperada para el próximo año de 16% Las acciones de la empresa-1 tienen un beta (del CAPM) = 2 Un fondo de inversión que tiene un 40% de sus activos invertidos en bonos libres de riesgo y el otro 60% en acciones de la empresa-2 tiene un retorno esperado de 22% Indique el VAN y la TIR de cada uno de los 4 proyectos:
Solución: Para el proyecto D se tiene: De la información del bono tenemos que: Bono T=0 T=1 -100 3
T=2 3
T=3 3
T=4 103
∑
Para el proyecto A se tiene: Encontramos la TIR:
Encontramos el VAN de A:
Para el proyecto B se tiene:
La TIR será la de las acciones de la empresa. “Un fondo de inversión cuyos activos se asemejan a un portafolio de mercado tiene una rentabilidad esperada para el próximo año de 16%”: Para B sabemos que:
( )
Para el proyecto C se tiene:
La TIR del proyecto C se obtiene del WACC de la empresa-2:
