UNIVERSIDAD NACIONAL “SAN LUIS GONZAGA” DE ICA
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO
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CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIOS
1
UNIVERSIDAD NACIONAL “SAN LUIS GONZAGA” DE ICA
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO
AUTORIDADES UNIVERSITARIAS Dr. Alejandro Gabriel ENCINAS FERNÁNDEZ Rector
Dr. Mario Gustavo REYES MEJÍA Vice - Rector Académico
Dr. Máximo Isaac SEVILLANO DÍAZ Vice Rector de Investigación y Desarrollo
CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIOS DIRECTORIO Mag. Frediberto MALDONADO ESPINOZA DIRECTOR GENERAL
Mag. Manuel CUPE LUNASCO DIRECTOR ACADÉMICO
Mag. Francisca Martha GARCÍA WONG DIRECTOR ADMINISTRATIVO
COORDINADORES DE UNIDADES ACADÉMICAS Mg. César LOZA ROJAS U.A. DE MATEMÁTICAS
Dr. Juan PISCONTE VILCA U.A. DE CIENCIAS NATURALES
Mg. Jaime QUINTANA BERAMENDI U.A. DE RAZONAMIENTO
Mg. Frediberto MALDONADO ESPINOZA U.A. DE HUMANIDADES
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CONTENIDO
UNIDAD 1 UNIDAD 2 UNIDAD 3 UNIDAD 4 UNIDAD 5 UNIDAD 6 UNIDAD 7 UNIDAD 8
UNIDAD 1 UNIDAD 2 UNIDAD 3 UNIDAD 4 UNIDAD 5 UNIDAD 6 UNIDAD 7 UNIDAD 8
UNIDAD 1 UNIDAD 2 UNIDAD 3 UNIDAD 4 UNIDAD 5 UNIDAD 6 UNIDAD 7 UNIDAD 8
UNIDAD 1 UNIDAD 2 UNIDAD 3 UNIDAD 4 UNIDAD 5 UNIDAD 6 UNIDAD 7 UNIDAD 8
ALGEBRA EXPRESIONES ALGEBRAICAS, TEORÍA DE EXPONENTES PRODUCTOS NOTABLES – DIVISIÓN ALGEBRAICA FACTORIZACIÓN - FRACCIONES ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON UNA VARIABLE INTRODUCCION A LAS ,MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LOGARITMO – RELACIONES BINARIAS FUNCIONES LIMITES. CONTINUIDAD Y DERIVADAS DE FUNCIONES
PAGINA 04 05 10 14 19 22 27 32 39
ARITMETICA
44 45 49 53 57 62 65 70 74
RAZONAMIENTO VERBAL
SERIES VERBALES Y TÉRMINOS EXCLUÍDOS ANALOGÍAS I
77 78 88 96 103 106 127 111 117
RAZONAMIENTO MATEMATICO ORDEN DE INFORMACIÓN OPERADORES MATEMATICOS INDUCCIÓN, DEDUCCION Y CRIPTOARITMETICA METODOS OPERATIVOS SUCESIONES Y SERIES ANALOGIAS , DISTRIBUCIONES, VERDADES, MENTIRAS Y PARENTESCO PLANTEO DE ECUACIONES EDADES
126 127 130 133 136 139 143 146 149
LÓGICA CONJUNTO NUMERACIÓN DIVISIBILIDAD FRACCIÓN MAGNITUD PORCENTAJE ESTADISTICA
EL TEXTO SECUENCIAS TEXTUALES Y TIPOS DE PREGUNTAS LA PALABRA FORMACIÓN DE LA PALABRA RELACIÓN ENTRE PALABRAS SINÓNIMO Y ANTÓNIMOS
3
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO Ejemplo: 4 UNIDAD Nº 01
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(1) P ( x; y ) 2 x x
EXPRESIONES ALGEBRAICAS. TEORÍA DE EXPONENTES. POLINOMIO
EXPRESIÓN ALGEBRAICA Es el conjunto de variables (representadas por letras) y/o constantes (números); ligados por las diferentes operaciones algebraicas (Adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación) o una combinación de éstas en un número limitado de veces. Ejemplo: 1 5 4 2 (1) P( x; y ) 5 y 2 x y 63
(2) R( x; y; z ) 5 z
(3) P( a ) 3a
5a
x (4) P ( x; y ) 4 5
3/ 4
1 , si n 0 n Definiéndose así: b b , si n 1 .b.b. ... .b , si n 2 b n factores Exponente entero negativo
n
b
1
b a b
n
n
b .b 2.
3
y
CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Por su naturaleza se clasifican en: Expresiones Algebraicas Racionales (E. A. R.). Se caracterizan porque los exponentes de sus variables son números enteros positivos (Racionales Enteras) ó negativos (Racionales Fraccionarias). Ejemplo: 3 4 3 a) P( x ) 4 x 7 x 8 x 1 b) Q( x; y ) 6 x
5
2 3
2x y
3x
b b
n
m
m
b
nm
b
nm
1
b
mn
b ℝ 0
3. Distributiva respecto a la multiplicación n
a . b n
n
a .b
4. Distributiva respecto a la división
n n a a n b b
,
b ℝ 0
5. Potencia de una Potencia
bn
5
3 2 3 2 2 c) R( x; y; z ) 2x 6 x y 9 xy z Expresiones Algebraicas Irracionales (E. A. I.). Se caracterizan porque los exponentes de alguna(as) variable(s) son fracciones o las variables están afectadas por radicales.
n
División de Potencias de igual base
Variables
Coeficiente
Exponentes
5 4
b a
Teoremas de la Potenciación en . Sean n,m∊ℝ, 1. Multiplicación de Potencias de igual base
PARTES DE UN TÉRMINO ALGEBRAICO Todo término algebraico presenta tres partes, las cuales son: Coeficiente, variables y exponentes:
x
b ℝ 0 n ℤ+
n
2 m 2n1
(3) S( x ) 18
Potencia
n
b P
base
y4
(2) R( x ) 5a x
y 3 2 x 3x y
exponente
8
TÉRMINO ALGEBRAICO Es la mínima expresión algebraica en la cual aparecen exclusivamente las diferentes operaciones algebraicas a excepción de la adición y sustracción. Ejemplo: 2 3 (1) P( x ) 12 2 x
3 2
4
POTENCIACIÓN.
3
Observación 1.1. a. En una expresión algebraica la variable no se encuentra como exponente. b. Una expresión algebraica posee un número finito de términos. c. A las expresiones no algebraicas se les denominan trascendentes.
y 3 x1 / 2 15
TEORÍA DE EXPONENTES Es la parte del Álgebra que tiene por objeto el estudio de las clases de exponentes que existen y las relaciones que se dan entre ellos
(2) P( x ) 88 1/ 4
1/ 2 4
m
b
n.m
RADICACIÓN índice
n Signo de operación
a R
Raíz n-ésima Cantidad subradical o radicando
5
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO n R n a R a ; n ℝ 0;1 .
Bases iguales en división m
Radicando cero
n
:
1 ; 0
n ℝ
0 0
m m n n m a n a a donde a ℝ, {m, n} ℝ Propiedades: 1) Multiplicación
n
a
E2)
m
3)
a.
b
Distributiva respecto de la división n a n a b ℝ 0 b n
a n.m a
m n 1 n
m
n
a a a .....n a n
a
m n 1 n
m
n
a a a ..... n a n
a
n 1
, n = par
m radicales
n
m
n
a a a ..... n a n
a
( an b ) p c
x
a
y
x y ; a 0 a 1
E3) x
x
a
y
n xn n a
x y ; a 0 , x 0 , y 0 , x 1, y 1
POLINOMIO DEFINIDO SOBRE UN CAMPO NUMÉRICO Un polinomio está definido sobre un campo numérico, cuando sus coeficientes pertenecen al conjunto numérico asociado a dicho campo. Se consideran tres campos numéricos: ℚ, ℝ y ℂ Ejemplo: 6 2 P( x ) 2x 5 x 3 , está definido en ℚ
m n 1 n
mnp x
Los polinomios según el número de términos pueden ser: Monomio.- Es el polinomio de un término. Binomio.- Es el polinomio de dos términos. Trinomio.- Es el polinomio de tres términos.
n 1
m radicales
n
c
P( x ) 3 x 6 x 10 1 4 5 3 3 4 P( x; y ) x x y 7 y 3 4
Casos especiales de radicación Si a ℝ , {m, n} ℝ 0;1 , se cumple que:
n
x
POLINOMIO Es toda expresión algebraica racional entera (E. A. R. Entera), definida sobre un determinado campo numérico (respecto a sus coeficientes). Ejemplo : 5 3 2
Raíz de una raíz
n m
a
E4) x
b
4)
p
Distributiva respecto de la multiplicación n n n
a .b
b
x
x
2)
a
m.p
n
ECUACIONES EXPONENCIALES Teorema: x x x x x E1) x n x n
Exponente racional
n.p
a
x
n 1
Q( x )
2
2 x 5 x 4 , está definido en ℝ 2
R( x ) 3 x 3 x 2i 1 , está definido en ℂ ( i
, n = impar
1)
m radicales
Propiedades adicionales Introducción de radicales
m. n
m
a.n b
m
an b
n
a .b
m. n
n
a .b
1
polinomio
Bases iguales en multiplicación m
x
a n
6
x
b p
x
c
mnp x
NOTACIÓN POLINÓMICA Si un polinomio tiene una sola variable “x”, su notación es: n n1 n 2 2 P (x) a x a x a x ... a x a x a n n n1 n 2 2 1 0 a 0 n Donde: n Z+, n es el grado del polinomio. a n ; a n 1 ; a n 2 ; ... ; a 2 ; a 1 ; a 0 : son coeficientes del
( an b)p c
a n : es el coeficiente principal, independiente.
a
0
: es el término
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Casos particulares n = 1: P1 ( x) a 1 x a 0 ; a 1 0 se llama polinomio lineal. 2
n = 2: P2 ( x ) a 2 x a 1 x a 0 ; a 2 0 se llama polinomio cuadrático. 3
3 2 4
semejantes. (2)
3 x3 y 2 z 4 ; x3 y 2 z 4 ;
;
2 2 3 5 a b c ; 5
P( x ) a n x n a n 1 x n 1 a n 2 x n 2 ... a 2 x 2 a 1 x a 0
son
términos
2 1 a 2 b 3 c 5 ; a 2 b 3c 5 ;son términos
semejantes. GRADO DE UN POLINOMIO Es la principal característica de un polinomio, el cual está dado por los exponentes que presentan sus variables. Se consideran dos clases de Grado: Grado Relativo (G.R) Cuando se considera a una sola variable de la expresión. a. En un MONOMIO.Es el exponente que tiene la variable en mención. b. En un POLINOMIO.Es el mayor exponente que tiene la variable en mención entre todos sus términos. Grado Absoluto (G.A) Cuando se consideran a todas las variables de la expresión. a. En un MONOMIO Es la suma de todos los exponentes de las variables que presenta el monomio. b. En un POLINOMIO Es el mayor grado absoluto de todos sus términos. Ejemplo: 7 5 6 1.- P( x; y ) 8 x y G.R(x) = 5 ; G.R(y) = 6 ; G.A.(P) = 9 4 3 3 6 2.- P( x; y ) 2 x y 5 x y G.R(x) = 4; G.R(y) = 6 ; G.A.(P) = 11 Observación Dados los polinomios P(x) de grado “m” y Q(x) de grado “n”, donde m > n, se tiene:
Gr P( x ) Q( x) m
Gr P( x ) Q( x ) m
Gr P( x ) Q( x ) m n
Gr P( x ) r m . r m Gr r P( x ) r
Si P ( x ; y ) 2 x y 3xy
coeficiente principal, a término n 0 Independiente, se tiene: a. La suma de los coeficientes de P(x) se obtiene haciendo x =1 es decir:
coef . P( x ) P( 1 ) b. El término independiente de P(x) se obtiene haciendo x = 0 es decir:
T.I.P( x ) P(0) c. Si a n 1 , el polinomio se denomina “Polinomio Mónico”. POLINOMIOS ESPECIALES Polinomio Homogéneo. Es aquel polinomio de dos o más términos y más de una variable donde dichos términos tienen igual grado absoluto. A su grado absoluto se le denomina grado de Homogeneidad Ejemplo: 9 5 3 4 4 3 5 (1) P( x; y ) 5 x y 2 x y 3 x y 2 2 3 3 (2) R( x; y; z ) x y y z xz
Polinomio Ordenado. Es aquel polinomio donde los exponentes de una determinada variable aumentan o disminuyen en cada término según que la ordenación sea CRECIENTE O DECRECIENTE. Ejemplo: 10 4 3 2 2 3 4 P( x; y ) 2 x 3 x y 5 x y 3 xy y . Ordenado en forma creciente respecto a “y”; Ordenado en forma decreciente respecto a “x”.
P( x; y ) 2xy 6 5 x
VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA Es el valor que se obtiene al reemplazar la variable o variables de la misma, por sus valores numéricos definidos. Ejemplo : 8 3 2
Con a n 0 ; a
Polinomio Completo. Es aquel polinomio donde los exponentes de una determinada variable aparecen todos desde el mayor hasta cero. Ejemplo: 11 2 4 3 P( x ) 3 4 x x 3 x 2 x , Completo
Gr P( x ).Q( x ) m n
3
2
TÉRMINOS SEMEJANTES Dos o más términos son semejantes si poseen las mismas variables y exponentes, no interesando la naturaleza de sus coeficientes. Ejemplo : 6 (1) 2 x y z
2
Observación. Sea P(x) un polinomio de grado “n” de la forma :
n=3: P3 ( x) a 3 x a 2 x a 1 x a 0 ; a 3 0 se llama polinomio cúbico
3
P(2 ;1) 2 ( 2) ( 2) 3( 2)( 2) = 64+ 48 = 112
3
3
2 2
4 x y , Completo en x
Observaciónes 1. Si el polinomio es completo en una variable y su grado relativo es “n” entonces el número de términos del polinomio es n + 1 Nº de términos de P(x)=Grado de P(x)+1
entonces el valor de P( 2 ; 2)
En efecto: Reemplazamos x =2, y = - 2 en el polinomio, se obtiene
2. En todo polinomio completo y ordenado de una variable, la diferencia de grados (en valor absoluto) de dos términos consecutivos es igual a la unidad.
7
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO Grado ( tk ) Grado ( tk 1) 1
PREGUNTAS PROPUESTAS Nº 1
Polinomios Idénticos. Son aquellos polinomios del mismo grado y en las mismas variables, donde sus respectivos términos semejantes tienen igual coeficiente. Ejemplo: 12 Dados: 3 3
P( x ) ax
bx c
Q( x ) mx
9 8 1. El valor de “p” es: p 0.0625
A) 250
n
3
40
x x 2 3
23
x 2 x 2 3
0
0
toma “n”, es: A) 5 B) 3
K
4 x3 x 4 x
de “x”, es: A) 2 B) 6
el valor que
E) 2
C) 1
El exponente final
1
D) 0
E) 3
5. Luego de reducir la expresión
K 12 n
2 6 4 6 8 6 2n 6
, n 10 El valor que
2 6 36 4 6 n 6
toma la expresión es: A) 2n B) 4 C) 3
que toma “K”, es: A) 1 B) 2
0
2 P( 2; 2) ( 4 2) (6 4) ( 2) (12 2) (2) ( 2) 0
D) 4
2
x x x x x
6. Al simplificar K 2 n 3
Para: ( x;y ) ( 2;2 )
0
C) 6
2
xn
4. Al reducir la siguiente expresión
P(3; 2) (3 2)2 ( 3 2)2 26 Para ( x; y ) (3; 2 ) Q(3; 2) 2(3 2 22 ) 26
P(1; 2) (2 2) (3 4) (1)(6 2) (2) (2)
E) 1
4
x 2 x 2015 x 2015 x 2015
P(1; 1) (1 1) (1 1) 4 Para ( x; y ) (1; 1) Q(1; 1) 2(12 12 ) 4
2
se
3. Al reducir la siguiente expresión
2
Si P( x ) 0 se cumple: Para: ( x; y ) (1; 2)
E) 512
reduce a la unidad, el valor de “n”,es: A)3 B) 8 C) 4 D) 2
Ejemplo : 13
Polinomio idénticamente nulo. Es aquel polinomio que tiene todos sus coeficientes iguales a cero Observación. Un polinomio es idénticamente nulo si su valor numérico resultante siempre es igual a cero, para cualquier sistema de valores asignados a sus variables Ejemplo : 14 2 Dado P( x; y ) ( 2x y ) (3x 2y ) x( 6x y ) 2y
D) 256
3 02015 b b 99 b b b 2n veces
b 0 b 2
Si P(x) Q(x), se cumple: a = m ; b = n ; c = p
2 2 2 2 Dados: P( x; y ) ( x y) ( x y ) Q( x; y) 2( x y ) ; Si P(x) Q(x) Se cumple: 2 2
C) 1024
2. Si la expresión
nx p
Observación Dos o más polinomios del mismo grado y en las mismas variables son idénticos, si los valores numéricos resultantes de dichos polinomios son iguales, para cualquier sistema de valores asignados a sus variables. P( x; y ) Q( x; y ) P(a; b ) Q(a; b) a; b ℝ
B) 128
20.6
7. Al simplificar P
toma “P” es: A) 47 B) 48 8. Si el grado de: F
D) 1
625 2 n3 625 5
2 n 3
5 2 24 5 2 n3 5 2
C) 3
6 n 1 6 n 6
E) n
n
D) ½
E) 5
7 n2 7 n 1 7n
C) 49
D) 50
x, y a 2 x 2 a y 3
el valor
el valor que E) 51
es 3. El grado de
Qx, y a 2 x a 3 y 32 a ,es: A) 5
9.
B) 3
Al desarrollar “S” : S
C) 9 4
D) 6 4
E) 4
4
x 3 x 3 x 3 4 x 3 el 99 radicales
exponente final de “x”, es: A) 54º B) 36º C) 48º
8
D) 32º
E) 60º
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO 10. Si se cumple que:
KK
KK
1 4 5
además K 5 54 5
a aa aa a
según ello uno de los valores que puede tomar “ a ”, es: A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 11.
Si GRx = GRy = 64;
P x, y x a
aa
n
valor de a, es: A) 16 8 B) 32 2
12.
20. Si se sabe que el grado de P.homogéneo es 5, entonces el grado de Q, es: P = xm+1 (yn–1 + zm–n); Q = xm+1 (yn+1 + zm+n) A) 9 B) 10 C) 12 D) 5 E) 11
aa a 2y
C)
Si la expresión Px
32
16 p el D)
8
3 4
ana
30
E)
8
x n 20 6 x
x n 8 12 x 2n
16
2
es racional
fraccionaria, el mayor valor que puede tomar “n”, es: A) 20 B) 15 C) 30 D) 22 E) 18 13.
En el siguiente polinomio, se sabe que el triple de la suma de coeficientes es 343 veces el término independiente
Px 1 3x 22n 5 x 7 2 4 x 7 el valor de “n”, es: ,
A) 5
B) 2
C) 4
D) 1
E) 3
14.
Un “cartero” de 104 cartas por repartir, reparte “x” y 3 más, luego el doble de lo anterior y 4 más y finalmente la tercera parte de las restantes ¿Cuántas le quedan aún por repartir? A) 27+2x B) 64 – 2x C) 32 + x D) 16 – 3x E) 60 + x
15.
Si el polinomio P(x) = (ab–ac+d2)x4 + (bc–ba+4d)x2 + (ca– cb+3) Es idénticamente nulo, donde d –3, calcular el valor de f A) 0
1 4 3 , es: a b c
B) 6
C) 4
D) 2
E) 1
16. Si el grado de los polinomios P y Q son iguales a 3 y 4 respectivamente, y se conoce que el grado de la expresión
P P
7
Q5
2n
5
Q4
n 3
A) 6 17.
; es igual a 4. El valor que toma n, es:
B) 9
C) 5
D) 8
E) 2
Si el grado, entero y positivo, del siguiente monomio es 2n
M x 2 n x 5 7 3x 2n 3 nx n , entonces el coeficiente del monomio es: A) 26 B) 27 18.
C) 24
D) 25
E) 28
Reducir la siguiente expresión si se sabe que es racional 2
entera m 1 x 1 m 1 n 1 x 1 x 1 A) 2x B) 2x + 2 C) 2x -1 D) 2x+3 E) 2x + 1 19.
Si {a, b, c, d} ℕ y además:
P x x b
a
cc 3b
xa
b
2a
x 2 a 31 x 6
d
2
... abcd ,
es un polinomio completo y ordenado (b>1), su término independiente, es: A) 100 B) 20 C) 50 D) 60 E) 72
9
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO Identidades de Argand UNIDAD Nº 02
PRODUCTOS NOTABLES – DIVISIÓN ALGEBRAICA POLINOMIO
( a 2 m a m b n b 2n ) ( a 2 m a m b n b 2 n ) a 4m a 2 m b 2 n b 4 n Casos Particulares:
PRODUCTOS NOTABLES Cuadrado de un binomio. 2 2 2 ( a b ) a b 2ab
2
Nota: ( a b )
2
2
2
(b a)
4
4
2
(a b) (a b) 8ab(a b )
2
(a b c ) a b c 2(ab ac bc )
Cubo de un binomio . 3 3 2
2
3
2
3DESARROLLADA
(a b) a 3a b 3ab b
3
3
(a b) a 3a b 3ab b
3
3
FORMA
3
( ab ac bc ) 2 a 2 b 2 a 2 c 2 b 2 c 2 2 abc ( a b c ) ( a b ) 2 (b c) 2 (a c ) 2 2(a 2 b 2 c 2 ab ac bc) a
2 b 2 c 2 ab ac bc 1 (a b) 2 (b c ) 2 ( a c) 2 2
( a b) 3 (b c ) 3 (c a ) 3 3(a b )(b c ) (c a )
Igualdades condicionales. 2 2
3
(a b) a b 3ab(a b)
( a 2 b 2 c 2 )( x 2 y 2 z 2 )
Identidades auxiliares
2
Cuadrado de un trinomio 2 2 2 2
(a b) a b 3ab(a b)
( ax by cz ) 2 (ay bx) 2 (bz cy ) 2 (cx az ) 2
2
( ax by ) 2 (ay bx) 2 ( a 2 b 2 ) ( x 2 y 2 )
(a b) (a b) 4ab
3
a 3 b 3 c 3 3abc ( a b c ) (a 2 b 2 c 2 ab ac bc )
(a b ) (b c ) (a c ) abc (a b c ) (ab bc ac )
3
( x 2 x 1) ( x 2 x 1) x 4 x 2 1
Identidades de Lagrange
(a b) (a b) 2(a b ) 2
2
Identidades de Legendre. 2 2 2
2
( x 2 xy y 2 ) ( x 2 xy y 2 ) x 4 x 2 y 2 y 4
Identidades de Gauss.
( a b ) a b 2ab
FORMA SEMI DESARROLLADA
Cubo de un trinomio
a b c 0 a b c 2 (ab bc ac )
abc 0 a b c
3
3b (a c) 3c ( a b ) 6 abc 3 3 3 3 2 2 ( a b c ) a b c 3a b 3a c 3ab 2 3b 2 c 3ac 2 3bc 2 6abc
Diferencia de cuadrados. m n m n 2m 2n (a b )(a b ) a b Caso Particular: ( a b ) ( a b ) a
2
b
2
Suma y diferencia de cubos.
Casos Particulares:
( a b ) ( a 2 ab b 2 ) a 3 b 3
( a b ) ( a 2 ab b 2 ) a 3 b 3
10
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
a b c 0 a b c 2(a b a c b c )
4
4
4
2
2 2
4
4
4
b c ) 2(a b c )
Observación 2.1:
a,b,c ℝ: Si a 2 b 2 c 2 ab ac bc a b c a,b,c ℝ: Si a 3 b 3 c 3 3abc a = b = c a+b+c = 0 a,b,c ℝ: 2n 2n 2n n n n n n n Si a b c a b a c b c Entonces: a = b = c
DIVISIÓN POLINOMIAL Algoritmo de la división: Sean D( x ) ; d( x ) dos polinomios no constantes. Al efectuar
D( x ) d( x ) se obtienen dos únicos polinomios q( x ) y R( x ) tales que cumple: D( x ) d( x ) . q( x ) R( x )
( a m b n ) ( a 2 m a m b n b 2 n ) a 3m b 3n ( a m b n ) ( a 2m a m b n b 2 n ) a 3m b 3n
2 2
2 ( a b c ) 3 a 3 b 3 c 3 3 ( a b c ) ( ab ac bc ) 3 abc a b c 0 (a
2
3 abc
a b c 0 (ab ac bc ) a b a c b c
2
3
( a b c )3 a 3 b3 c 3 3 ( a b ) ( a c ) ( b c )
( a b c ) 3 a 3 b 3 c 3 3a 2 ( b c )
3
2
2
Donde: D( x ) : Polinomio
dividendo, d( x ) : polinomio divisor, q( x ) : polinomio cociente y R( x ) : polinomio residuo o resto.
Además:
Grad R( x) Grad d( x )
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO
MÉTODOS PARA DIVIDIR POLINOMIOS
Método de Guillermo Horner.Dividir
b D( x ) ( ax b) q ( x ) R ( x) x (a q ( x)) R ( x ) el a cociente queda multiplicado por “a”. Su esquema es:
a 0 x m a1 x m1 a 2 x m2 a 3 x m3 ... a m
( n 1)
mn,
Donde:
con
a
coeficientes
principales
a 0 y b 0
a
Igual signo
b
b
Signo cambiado
b
a
0
0 0
s
b
b
0
a
0
+
b
0
a
1
s
2
+
a
s
2
c b 1 1
1
s
3
2
0
a
+
3
c b 0 3 c b 1 2
+ +
a
+
(n+1) coef.
1
c
c
3
Donde: c
0
c
mn
r 1
r ....... r 2 n
n coeficientes
s
Ordenando y completando los polinomios: D(x) = 20x4 + 47x3 + 55x2 + 58x + 13 d(x) = 5x2 + 3x + 6 Por tanto :Q(x) = 4x2 + 7x + 2 y R(x) =10x + 1
4
7
c
2
3
c . .
n 1
coeficientes
10 5
55 58 13 24 21 42 6 12 2 10 1
Regla de Paolo Ruffini Se utiliza cuando el divisor es de primer grado o transformable a él. Por el algoritmo de la división:
procede:
8x3 4x 2 2x 3 2x 1
Hacemos: 2x – 1 = 0 x = 3
1 2
RESOLUCIÓN
47 12
n 1
aplica cuando el divisor es
Halle el resto de la división
2
1 1 1 R 8 4 2 3 2 2 2 2
Ejemplo : 7 Aplicando el método de Horner divida 20x4 + 47x3 + 58x + 55x2 + 13 entre 3x + 6 + 5x2
35 5
c
Ejemplo:8
0 ; c 1 ; c 2 ; 2 1 b b 0 0 0
20
3
Procedimiento: (1) Se iguala el divisor a cero (2) Se despeja la parte que convenga. (3) Se reemplaza este valor despejado en el dividendo y lo que se obtiene es el resto.
b
20 5
c
transformable a la forma (ax+b) y se m n
Propiedades: 1. Gr(cociente) = Gr(Dividendo) – Gr(divisor) 2. Gr(Residuo) < Gr(divisor) 3. Gr(Residuo)MÁXIMO = Gr(divisor) – 1
5 3 6
c 1
0
b R P .También se a
del residuo
s
c
2
Teorema del resto
3
(m-n+1) coeficientes del cociente
a
c2
En toda división de la forma P(x) entre (ax + b), el resto se determina mediante el valor numérico
c b 2 1
2
c
n
s c
a
a a a a a
m
n
0
n 1
a
s
c
a
3
b
c1
c 1
0
b
a
a
2
b
a0
a
3
a
2
c b c b 0 1 0 2
1
b
s 1
a
b
(m+1) coeficientes del cociente
b
a 1
0
b
0 0 Esquema:
a
coeficientes
b0 x n b1 x n1 b2 x n2 b3 x n 3 ... bn
x
Ejemplo : 9 Halle el 2
x
x 3
55
resto 2
de
la
división
4
x2 7
2
x x4 Hacemos: x2 + x – 4 = 0 x2+ x = 4 R= (4-3)55 + (4-2)4+ 7 R = 24 COCIENTES NOTABLES Son casos especiales de división exacta, entre divisores binomicos de la forma: Exponente
n
w z
n principal
w z Bases
11
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w m z n es un cociente notable entonces se cumple: wpzq
Si
m n N º de p q
tér min os de su desarrollo
PREGUNTAS PROPUESTAS Nº 2
1. El resultado de:
4a a 1 a 1 a a 1 a 2 a 1 a 2 a
Exponente principal
es:
Para la obtención del desarrollo de un cociente notable se usa el método del HORNER y se presentan 3 casos:
A)
a3
B) 6ª
n
w z w n1 w n2 z w n 3 z 2 z n1 w z
2. El valor simple de A) 4.2
Para cualquier valor de n la división es exacta 2doCASO:
wn z n w n 1 w n2 z w n3 z 2 z n 1 w z
3. Sean:
3
F
x a x x a x a x a x a 3 5
5
3 4
3 3
3 2 2
3
3
12
x
9
2 6
3 3
a4
ax a x a x a
wz
t k ( Signo ) ( w) n k ( z ) k 1 ;
1 k n
donde el signo se determina así: Si el divisor es de la forma (w – z) entonces todos los términos del cociente son positivo (+) Si el divisor es de la forma (w + z) entonces los signos de los términos del cociente son intercalados, es decir
Si k es # impar el signo es ( ) ( w z ) ( ) Si k es # par el signo es
D) 1
C) 7
E) 7
B) 11
C) 4
10
D) 9
9
4
9
xz z2 1 Hallar: z y x y z y .
A) 1 6.
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Si: P x 1 x x 2 x 3 . El valor de P 1 x , es: A)
1 x
B)
1 x1
C)
1 1x
D)
1 x 1
E) X
7. Calcular: “ A C ” si la división:
4 x 5 4 x 4 3x 3 Ax 2 3x C 2x2 x 2
deja como resto:
2 x 5 A) 4
B) –4
C) 7
D) –7
8. Considerando el siguiente esquema (HORNER):
2
2
1
4
a
b
L
I
Z
1
1
1 3
12
E) 1
2 x y 2 z y 2 M z x z x y
4
TÉRMINO GENERAL DEL DESARROLLO DE UN COCIENTE NOTABLE El término que ocupa el lugar “k” en el desarrollo del cociente notable n n w z se calcula por la fórmula:
es: E) 2
y 2 x 2 3xy y x 2 x y 2
11
5. Si:
3
D) 3
5a 2
a;b;c / a b c abc .Reduzca
A) 10
es un cociente notable entonces halle su
x a desarrollo. Aplicando el primer caso, se tiene:
E)
12 8 Evaluar: x y 2x y .
4. Si:
Ejemplo:10 15 5 Si
C) 2.5
B) 3
Si n es par, la división es exacta
a
B) 1.5
A) 2
3er CASO:
x
6a 3
S 1 1 ab 1 1 bc 1 1 ac a a b b b c c a c
Si n es impar, la división es exacta
wn z n w n1 w n 2 z w n 3 z 2 z n1 wz
D)
3 2 2 3 E a b a b ab a 4 b4
1er CASO: n
a2
C)
E) 3
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L I Z ab
A) 1
C) 1
B) 5
D) 11
E) 14
que el término:
mx 4 nx 3 x 2 x 6 es exacta; x2 x 2
9. Si la división:
m2 n2 ?
A) 5
10. Al efectuar:
B) 10
C) 15
Q( X ) 8x
D) 37
E) 40
20 5x8 4 x 4 3 2x4 1
B) 2
B) 3
E) 5
D) 6
E) 7
12. Hallar el resto de la división:
3
ax 2 bx 13 ax2 bx 11 A) 40
B) 41
ax 2 bx 10 C) 42
2
13
D) 28
dando el valor del cociente cuando x toma el valor de “4” A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
D)
es el único factor
primo del polinomio siguiente:
Halle el valor de A)1
a 2 b3 c 2
B) 3
C) 4
D) -5
E) -4
19. Halle el residuo de la siguiente División si a≠0 2
2ax 4 (a 2 2b) x 3 (2ab 2) x 2 (a b 1) x b 2 ax 2 bx 1 A)
R( x ) ax 2
B)
R( x ) bx 2
C)
R( x ) x 2
D)
R( x ) x 2
E)
R( x ) x 5
20. Sean : a
x 3 5 3 x 3 4 2 x 33 5 x 3 2 2x 9 x
A)
f ( x) (ax 2 bx c )
E) 26
13. Dividir:
14. El residuo de:
de su desarrollo tiene por grado
p x 20 x19 x18 .x17 x16 x15 ..... x 1 ( x)
D) 4
C) 8
18. Si
cuadrático
x 2n3 3x 2n 2 x 2n 4 5x 2 x 1 , es:
11. El resto de A) 5
C) 3
Se sabe
Halle:
R x S Q x Coef A) 1
t 5
x nm y np xm y p
absoluto 42; el t(8) tiene por grado absoluto 45 y por grado relativo a “y” 21. El valor de “m”, es: A) 20 B) 5 C) 4 D) 2 E) 3
entonces el valor de:
17. Dado el siguiente cociente:
Además A) -5955 E) 2022
bc; x2
b ca; y2
a a b; z2
xy xz yz 67, x y z 2011 B) -5895
C) -5789
D) 2011
x 1 7 2 x 1 4 5 x 7 x x 2
6 x 1 5x 6
B)
6x 7
E)
x6
C)
6 x 7
15. Hállese “m” y “n” si:
P x 9 x 3 mx 2 nx 1900 . Es divisible por “
x 2 100 ”
A) 900 y 19 B) 19 y 900 E) 18 y 900
C) 900 y 20 D) 20 y 900
16. Determine el valor de “m” en el cociente notable
x 5m1 y12m 5 x m 5 y m 1 A) 10
B) 6
C) 7
D) 8
E) 12
13
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO UNIDAD Nº 03
FACTORIZACIÓN – FRACCIONES
FACTORIZACIÓN Es un proceso de transformaciones sucesivas, que consiste en expresar un polinomio como una multiplicación indicada de polinomios primos llamados factores primos. FACTOR ALGEBRAICO DE UN POLINOMIO Se dice que f(x) de grado n 1 ; es un factor algebraico de P(x) si existe un polinomio g(x) tal que: P(x) = f(x) .g(x), es decir, f(x) es un factor algebraico de P(x) si la división de P(x) entre f(x) es exacta Ejemplo : 1 Si P(x)= (x+1)(x+3) , entonces sus factores algebraicos son : x+1; x+3; (x+1)(x+3) , puesto que :
( x 1) ( x 3 ) (x 3)
El orden de multiplicidad o las veces que se repiten los factores primos son: De orden 3 el factor (x-1) De orden 2 el factor (x+1) 2 De orden 4 el factor ( x x 5 )
2 De orden 2 el factor ( x 1) MAXIMO COMUN DIVISOR DE POLINOMIOS (M.C.D.). El Máximo Común Divisor (M.C.D.) de dos o más polinomios es el polinomio de mayor grado contenido como factor, un número entero de veces, en dicho polinomio. Para calcular el MCD se factorizan los polinomios y el MCD está dado por el producto de los factores comunes con su menor exponente
MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN. No existe un método específico para factorizar una expresión algebraica ya que esta puede hacerse por dos o más procedimientos conocidos también como criterios o métodos.
Método del factor común Se utiliza cuando los términos del polinomio tienen un factor que le es común, este puede ser monomio o polinomio. Si estuviesen elevados a un exponente, se extrae el que está elevado al menor exponente. Ejemplo : 4 Al factorizar : 3x2 y3 – 6xy4 se obtiene: 3x2 y3-6xy4 =3xy3 (x-2y)
Método de la Agrupación de Términos Se agrupa los términos del polinomio de manera que cada grupo tenga un factor común monomio y todos los grupos tengan un factor común polinomio Ejemplo : 5 Al factorizar :P(x,y) = 5x2 y – 10xy2 –6x+12y se obtiene: P(x,y) = 5xy (x-2y)–6(x-2y)= (x-2y) (5xy-6)
Método de las Identidades Para factorizar por este método, se transforma el polinomio dado en una de las identidades estudiadas en productos notables, (trinomio cuadrado perfecto, diferencia de cuadrados, suma o diferencia de cubos, etc) para luego reemplazarlo por sus factores. Ejemplo : 6 Al factorizar : m2 -9n4 , se obtiene: m2 -9n4 = (m)2 – (3n2)2= (m+3n2) (m-3n2)
x 1 es exacta;
Observaciones 1. Todo factor algebraico tiene grado positivo. 2. Un polinomio de grado positivo es factor algebraico de sí mismo. 3. No se considera como factor algebraico a uno o cualquier constante. 4. Si se cambia de signo a un número par de factores, la expresión no se altera FACTOR REDUCTIBLE EN UN CAMPO NUMÉRICO Un polinomio P(x) de grado n > 1, es reductible en un campo numérico, si el polinomio se puede descomponer sobre este campo en una multiplicación de dos o más polinomios de grado menores que n Ejemplo : 2 2 es reductible en ℚ, es decir P( x ) x 4 ,
P( x ) ( x 2)( x 2) 2
P( x ) x 3 ,
es
reductible
en
ℝ,
es
decir
en
ℂ,
es
decir
P(x ) ( x 3 )(x 3 ) 2
es P( x ) x 4 , P( x ) ( x 2i)( x 2i)
reductible
FACTOR PRIMO EN UN CAMPO NUMÉRICO Un polinomio es primo sobre un campo numérico, cuando no se puede transformar en el producto de dos polinomios sobre el mismo campo numérico Observaciones: Dado el polinomio: P ( x ) ( x m ) ( x n ) ( x p )
Ejemplo : 7 Al factorizar : a6 – 8a3 b2 + 16b4, se obtiene : a6 – 8a3 b2 + 16b4 = (a3 )2 –2 (a3) (4b2) + (4b2)2 = (a3 – 4b2)2
Método del aspa simple Se utiliza para factorizar trinomios de la forma: 2n n 2n n m
P( x ) ax
ax2n
n ( F . A.) ( 1)( 1)( 1) 1 2. El número total de factores de P(x) está dado por:
± bxn ( ±)
a1xn
n (T .F .) ( 1)( 1)( 1)
( )
I n
a2x
Ejemplo : 3 Sea el polinomio factorizado:
P( x) ( x 1 ) 3 ( x 1 ) 2 ( x 2 x 5 ) 4 ( x 2 1 ) 2 2
bx y cy
2m
y se expresa: P(x) =
1. El número de factores algebraicos de P(x) es igual a:
2
Sus factores primos son ( x 1) ; ( x 1) ; ( x x 5) ; ( x 1)
14
bx c o P( x;y ) ax
P( x ) ax
2n
)
±c
± (.)
± c2
n n n 2 bx c a x c a x c 1 1 2
±c1 a2xn ±c2 a1xn
± bxn
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO Ejemplo :8 Si P(a,b) = 10 a2+ 21b2 - 29ab entonces halle sus primos P(a,b) = 10 a2- 29ab+21b2 5a -7b - -14ab 2a -3b - 15ab
factores
- 29ab
P(a,b) = 10a2-29ab - 21b2 = (5a - 7b ) (2a - 3b ) Sus factores primos son: (5a - 7b ) y (2a - 3b )
Método del aspa doble.Se utiliza para factorizar polinomios de la forma:
P( x;y ) Ax
2n
Ax
n m
n
n
Cy
2m
n
Dx Ex
2m
m
F y se expresa:
n
Cy
m
Dx
m 1x
C yIII
I
1x
2n
n m
Bx y
Bx y
Ax
Ax
2n
Ey
II
n m 2m n m Bx y Cy Dx Ey F n m n m A x C y F A x C y F 1 1 1 2 2 2
m
A x
C y
2
F
1x
F
2
Ejemplo: 9 Si P(a,b) = 12 a2 – 10ab – 12 b2 +17a - 58b – 40 entonces sus factores primos P(a,b) = 12a2
-12b2
-10ab
4a
17a -58b
I
- 40 -5
III
II
3a
Método de la evaluación binomial.Se utiliza para factorizar polinomios con una variable y de cualquier grado que acepten factores binomios de la forma ( x b ) ó ( a x b ). Ceros de un polinomio( Raíces).Si a la variable de un polinomio le asignamos un valor, al reemplazar y operar resulta cero, dicho valor es un cero o raíz del polinomio y el binomio que se forma al unir la variable con dicho valor cambiado de signo será un factor del polinomio. Ejemplo:11 Si en el polinomio P(x) = 3x3 + 5x2 – 8x ,elegimos x = 1, se tiene: P(1) = 3(1)3 + 5(1) – 8(1) = 0. Luego x = 1 es un cero o raíz de P(x) y (x-1) es un factor de P(x). Determinación de los posibles divisores de un polinomio Se consideran dos casos: Caso I: Si el coeficiente principal es la unidad (polinomio mónico) se eligen todos los divisores del término independiente con doble signo, del polinomio ordenado en forma decreciente y completo Caso II: Cuando el coeficiente principal no es uno se considera todas las fracciones con doble signo, obtenidas al dividir los divisores del término independiente entre los divisores del coeficiente principal del polinomio ordenado en forma decreciente y completo. Nota: Se usa el Método de Ruffini y/o Horner hasta llegar a un coeficiente adecuado y aplicar cualquier otro método. Ejemplo:12 Al Factorizar P(a)=a3 –6a2 –7a + 60 los posibles ceros racionales son: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 Evaluando obtenemos: 1
8
P(a,b) = 12a2 – 10ab – 12b2 + 17a -58b – 40 = (4a – 6b – 5)(3a + 2b + 8) sus factores primos son: (4a -6b – 5) y (3a +2b + 8)
a=4
4 1
a = -3
-3 1
Aspa Doble Especial Se utiliza para factorizar polinomios de la forma: 4n 3n 2n n
P( x ) Ax
Bx
Cx
Dx E
En particular, polinomios de 4to. grado de la forma: 4 3 2
P( x ) Ax Bx Cx Dx E
4 Se aplica un aspa simple en los términos extremos Ax y E 2 El resultado se resta del término central Cx Se expresa la diferencia en dos factores y se colocan debajo del término central Luego se aplican dos aspas simples, y se toman horizontalmente Ejemplo:10 Al Factorizar P(x) = 6 x 4 13x3 7 x 2 6 x 8 se ob t i e n e :
6 x 4 13x3 7 x 2 6 x 8 3x 2
-5x
4
2x 2
-x
-2
P(x) = ( 3x2 – 5x + 4 ) ( 2x2 - x - 2 )
SDT: 7x 2 ST : -2x 2 F : 7x 2 - 2x 2 5x 2
a=5
5
-6
-7
60
4
-8
-60
-2
-15
0
-3
15
-5
0
5
1 0 Luego: P(a) = a3 –6a2 – 7a + 60 = (a - 4) ( a +3) ( a – 5) Cambio de variable Se utiliza cuando al efectuar operaciones convenientes en el polinomio a factorizar se obtienen expresiones iguales, las cuales se reemplazan por una sola variable, facilitando su factorización. Ejemplo: 13 Al factorizar : P(x) = (x-2)2 ( x-3) (x-1) -2, se tiene P(x) = ( x2- 4x + 3+1) ( x2- 4x + 3 )-2 Hacemos el cambio de variable: x2-4x +3 = a , P(a) = ( a+1) (a) –2 P(a) = a2 +a –2 P(a) = ( a+2) (a -1) Reponiendo la variable original P(x) = (x2 -4x + 5) (x2 - 4x +2) Método de quita y pon Se utiliza cuando un polinomio contiene términos no factorizables pero que al sumar y restar una misma expresión lo convierte en una diferencia de cuadrados.
15
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO Ejemplo : 14 Al factorizar : P(x) = x4 +4, se tiene: P(x) = x4 + 4x2 + 4 – 4x2 P(x) = ( x2 + 2 )2 – 4 x2 P(x) = ( x2 – 2x + 2) (x2 + 2x + 2)
el grado de P(x) es menor que el grado de Q(x), es decir n < m, si no lo fuese, se efectúa la división, de modo que se obtenga un polinomio entero más una fracción propia.
La fracción algebraica
Ejemplo : 17
Sumas y restas especiales Se utiliza para obtener expresiones que reagrupando generen trinomios de la forma x2 + x + 1 ó x2 - x + 1 u otra conocida de manera que nos facilite la factorización Ejemplo: 15 Al factorizar Q(x) = x5 + x –1, se tiene Sumando y restando: x2 se tiene Q(x) = x5 + x2 – x2 + x – 1 = x5 + x2 – ( x2 – x + 1) = x2( x3 +1) ( x2 – x + 1)= x2( x+1) ( x2 – x +1) – (x2 – x + 1) Q(x)= ( x2- x + 1) ( x3 + x2 –1)
FRACCIÓN ALGEBRAICA Una fracción algebraica racional es el cociente indicado de dos expresiones algebraicas habiendo por lo menos una variable en el denominador. Ejemplo: 16 3 2
5x 3x 1 4 xy 3z , 2 2 2 x 3x 2 x y
grado de P(x) es mayor que el grado de Q(x), luego dividiendo obtenemos que
x 2 2x 6 14 x4 x2 x2 La fracción algebraica racional debe ser irreductible, en caso de no serlo previamente se realiza la factorización y las simplificaciones del caso Ejemplo : 18 La fracción algebraica
3
2
Donde el dividendo recibe el nombre de numerador y el divisor, denominador.
x 11 x 31 x 21
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES Simplificar una fracción consiste en transformar la fracción dada en otra equivalente, tal que, ésta última sea una fracción irreductible.
a b a
d b e
ac d b adf bcf bde
d f bdf c e a.c .e 3) x x b d f b . d. f 2)
4)
b a
a b
c b c
c d
a b
x
d c
ad bc
o también
( x 1)( x 2 10 x 21)
La fracción algebraica debe presentar en el denominador un polinomio factorizable, lo cual hace que se puedan presentar los siguientes casos: Caso 1. Cuando en el denominador se presentan factores de primer grado de la forma ( x a) . En este caso deberá de asumirse tantas fracciones parciales de
A (xa)
como factores de primer grado existan.
A1 A2 A3 An 2 3 ( x a) (x a) (x a) ( x a )n
a b ad c bc d
DESCOMPOSICIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS EN SUMA DE FRACCIONES PARCIALES Para la descomposición de una fracción algebraica racional en suma de fracciones parciales, se debe tener en cuenta las siguientes consideraciones: Que la fracción sea propia, es decir, dada la fracción algebraica
a x n an 1 x n1 a1 x a0 P( x ) n m , Q( x ) bm x mm1 x m1 b1 x b0
16
( x 3)( x 4)
Caso 2. Si el denominador contiene factores de primer gado repetidos de n la forma ( x a ) Para este caso deberá de asumirse n fracciones parciales de la forma
OPERACIONES CON FRACCIONES 1)
( x 3)( x 4) x4 ( x 1)( x 3)( x 7) ( x 1)( x 7)
la forma
Regla para simplificar fracciones: a) Se factorizan los miembros de la fracción. b) Se eliminan los factores comunes.
P( x) x 2 7 x 12 es propia, Q( x ) x 3 11x 2 31x 21
pues el grado de P(x) es menor que el grado de Q(x), en este caso factorizamos y obtenemos que:
x 2 7 x 12
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPO DE POLINOMIOS (M.C.M.). El Mínimo Común Múltiplo de dos o más polinomios es el polinomio de menor grado posible que contiene un número entero de veces, como factor a dichos polinomios Para calcular el MCM se factorizan los polinomios y el MCM se formará con el producto de los factores comunes y no comunes con su mayor exponente
P ( x) x 2 2 x 6 es impropia pues el Q ( x) x2
Caso 3. Si el denominador presenta factores cuadráticos no repetidos de 2 la forma ( x bx c ) . En este caso deberá asumirse fracciones parciales de la forma
Ax B x 2 bx c Caso 4. Si el denominador presenta factores cuadráticos repetidos de la 2 n forma ( x bx c ) .
UNIVERSIDAD NACIONAL “SAN LUIS GONZAGA” DE ICA
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO Para este caso deberá de asumirse n fracciones parciales de la forma A1 x B1 A2 x B 2 A3 x B 3 An x B n x 2 bx c ( x 2 bx c ) 2 ( x 2 bx c ) 3 ( x 2 bx c ) n Observación Los valores A1 , A2 , A3 , , An ; B1 , B2 , B3 , , Bn ; son expresiones numéricas o coeficientes que se determinan utilizando uno de los siguientes criterios: De los polinomios idénticos Dando valores particulares (adecuados) a la variable x
PREGUNTAS PROPUESTAS Nº 3 1. Al factorizar el polinomio: P(a, b) = a2 – 4 + 2ab + b2,un factor primo; es: A) a+b+2
B) b – 2
C) a+b – 4
D) a + 2 E) b + 2
2. Al factorizar : P(m,n) = mn4 - 5m2 n3 + 4m3 n2 - 20m4n, el número de factores primos; es: A) 4
B) 3
C) 5
D) 2
E) 6
3. Al factorizar:
P ( x, y ) x 3 y 2 x 3 y x 2 y x 2 y 3 xy 3 xy 2 2 x 2 y 2 , la suma de sus factores primos; es: A) 3 x 3 y xy 1 B)
3 x 2 y xy 2
C) 4 x 2 y xy D) 5 x 3 y xy E) x
4
3
y xy 1
4. Al factorizar:
P ( x ) 8 x 5 40 x 4 56 x 3 8 x 2 64 x 32 número total de factores algebraicos; es: A) 17 B) 18 C) 68 D) 71
el
E) 72
5. Factorice el polinomio:
P ( x ) x 4 7 x 3 11 x 2 7 x 12 en una expresión de la forma: P ( x ) ( ax 2 b )( cx 2 dx e ) Entonces el valor de ( e c d ) a b ; es: A) 4 B) 9 C) 16 D) 25
E) 36
6. Al factorizar:
P ( x ; y ; z ) 6 x 2 7 xy 2 y 2 10 xz 6 yz 4 z 2 uno de los factores primos; es: A) 2 x y z B) 2 x
x 2 y z
3 y z C) D) x y 3 E) x y 1
7. Al factorizar:
P ( z ) 12 z 4 56 z 3 89 z 2 56 z 12 de factores primos; es: A)3 B) 4
C) 5
D) 6
el número E) 7
8. Al factorizar el polinomio P(x) = x(x – 1) (x + 2) ( x- 3) + 8 indicar el valor de verdad: I. Tiene 2 ceros racionales II. Tiene 3 factores primos mónicos III. Tiene 2 factores cuadráticos. A) VVV B) VVF C) VFV D) VFF E) FVF 9. Al factorizar el polinomio:
2 2 2 2 P( x ) ab x m mx a b , un factor primo; es: A) ax–bm
B) ax – b
C) x+b
D) ax+b
E) ax+2b
17
UNIVERSIDAD NACIONAL “SAN LUIS GONZAGA” DE ICA
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO 10. Luego de factorizar: P(x) 20x4 +19x2 - 6 las proposiciones verdaderas; son: I. Un factor primo de P(x) es 2x+1. III. El término independiente de un factor primo es -1 B) I y II
C) I y III
x2 1 A Bx C x 3x2 3x 2 x 2 x2 x 1 El valor de " 3 A B C " ; es: 3
II. La suma de coeficientes de un factor primo es 11. A) Sólo I
18. En la siguiente igualdad de fracciones parciales de la forma:
D) I,II y III
A) 1
B) 2
C) 3
E) Sólo II 19. Descomponer la expresión:
11. Luego de factorizar por aspa doble especial al polinomio: P(x) = x4 + 3x3 – 5x2 + mx – 2 se obtiene el siguiente esquema: x2
ax
E) – 6
12. Al factorizar: P(x, y, z) = x4 yz + xy4 z + xyz4 – y3 z3 – x3 z3 – x3 y3, un factor primo es: A) xyz2 B) y2 –x2 z2 C) x2-y2 +z D) x2 – yz E) x2 + y2 – z 13. Al factorizar F(x) = a3 x3 + a2 x2 b + a2 x2c + a2 x2 d + abcx + abdx + acdx + bcd., el número total de factores es: C) 9
D) 8
E) 10
14. Al factorizar: P ( x )=12x5 + 8x4 - 45x3 - 45x2 + 8x + 12. La suma de los factores primos es: A) 5x – 3
B) 9x + 3
C) 9x – 3
D) 8x – 1
E) 3x – 2 15. Si los componentes de la fracción
F
x 4 5 x 3 ( a 2) x 2 10 x 12 x 4 5 x 3 (a 2) x 2 10 x b
común de la forma x A) 21
16. Si
m
2
B) 23
x 2 ( y z) 2 2
( y z) x
de E = m + n + m.n es: A) 1 B) x
2
admiten un factor
mx 6 , el valor de “a+b+m” ; es: C) 18
D) 19
; n
y2 z 2 x2 2 yz
C) y
D) z
E) 14
el
valor
E) xyz
17. Al simplificar
b 2b 2 b 2 3b 2 2ab 2 2 a b a b2 a b a b a 2 b2 F 4b a b a b a a b a b obtiene: A) a
18
B) – a
C) a/b
D) – a/b
x2 5 8x2 17x 10
en fracciones parciales cuyos numeradores son: A, B y C. Sean los polinomios: P ( x ) x 3 m 5 x 2 1 1 x 6 + C entonces el grado del MCM de P y Q; es: A) 2 B) 4 C) 5 D) 6
x bx 1 Si a < b entonces el valor de “a + b + m” ; es: A) 5 B) – 5 C) 6 D) 7
B) 6
E) 5
Q(x) x 3 m 1 x 2 x m 3 donde: m= A + B
-2
2
A) 3
x3
D) 4
, se
E) - a/2
E) 3
20. Sean: " a , b , c " números diferentes y:
P(x) x x x xd (x a) (x b)(x c) x a x b x c Entonces el valor de: A) -2
B) -1
a2 b2 c 2 ; es: P (a ) P (b ) P (c ) C) 0
D) 1
E) 2
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ECUACIÓNES DE PRIMER y SEGUNDO GRADO CON UNA VARIABLEINECUACIONES
UNIDAD Nº 04
ECUACIONES Primer grado: Llamada también ecuación lineal con una variable, es aquella equivalente a la forma: p x q 0 ; donde p, q ℝ
y
q ≠ 0
entonces x
Métodos para resolver ecuaciones de segundo grado: Factorización: Cuando el polinomio cuadrático puede ser expresado como un producto de factores, se aplica la propiedad: a.b=0 a=0 b=0
Completación de cuadrados.2 Cuando el polinomio px qx r 0 se transforma en un trinomio cuadrado perfecto, obteniéndose; luego: 2
m
n n 0 (m n m
2
m n,
2 Una ecuación cuadrática: px qx r 0 resolverse aplicando la siguiente fórmula:
2p
puede
,
2 donde q 4pr , recibe el nombre de discriminante. Discusión de las raíces: Si: 0 , las dos raíces son reales y diferentes
Si: 0 , las dos raíces son reales e iguales Si: 0 , las dos raíces son complejas (no existen raíces 2
reales) y se cumple: px qx r 0 , x ℝ
se
puede
escribir
Propiedades de las raíces de px2+ qx + r = 0
q p
Suma de raíces: S x1 x 2
Producto de raíces: P x1 . x 2
Diferencia de raíces: x1 x 2
Suma de las inversas de las raíces:
r p
q 2 4 pr p
q 1 1 x1 x 2 r
DESIGUALDADES Si a ; b ℝ entonces se denominan desigualdades a las expresiones que, con sus símbolos correspondientes se indican en el cuadro siguiente: SIMBOLO
DESIGUALDAD a es menor que b
a b ab a b ab
a es menor o igual que b a es mayor que b a es mayor o igual que b
Observaciones: 1. Es común identificar una desigualdad con su símbolo correspondiente. 2. a b y a b se denominan desigualdades estrictas. 3.
a b y a b se denominan desigualdades no estrictas.
4. Las relaciones , , y , son relaciones de orden.
P ) a b a b 0
P ) a b a b 0
P ) a b a c b c
P ) a.b 0 a b
ac bc P ) a b c 0 a b 5 c c
ac bc P ) a b c 0 a b 6 c c
1
2
q q 4pr
(1)
2
Propiedades:
n)
Fórmula general
x
ecuación
como: x Sx P 0
q y la ecuación es p
consistente limitada. 2. Si p ≠ 0 y q = 0 entonces x = 0 y la ecuación es consistente limitada. 3. Si p = 0 y q = 0 entonces x toma infinitos valores y la ecuación es consistente ilimitada. 4. Si p = 0 y q ≠ 0 entonces x no existe y la ecuación es inconsistente o absurda. Segundo grado Llamada también ecuación cuadrática, es aquella equivalente a la forma: 2 px qx r 0 , donde p, q, r ℝ.
Producto de las raíces: P x1 .x2 La
Análisis de una ecuación de primer grado con una variable, de la forma: px +q =0 1. Si p ≠ 0
S x1 x2
Suma de las raíces :
Formación de una ecuación cuadrática Conociendo sus raíces x y x se puede construir la 1 2 ecuación cuadrática aplicando:
3
2
4
1 1 b a
a c b d P ) a b c d 7 ac bd 2
P ) a y b tienen igual signo : a b a b
2
8
P ) a y b tienen igual signo :a b 9
1 i ) a 0 a 0 P ) 10 ii) a 0 1 0 a
1 1 a b
P ) a b a b 11
( x x1 ) ( x x2 ) 0 x 2 ( x1 x2 ) x x1 .x 2 0 ... ( 1 )
19
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO
INTERVALOS
Se denominan intervalos a los siguientes conjuntos de números reales: Inecuaciones Son desigualdades que contienen una o más variables.
Propiedades: o Para ecuaciones:
P ) a ℝ: a 0 1
INTERVALO
Inecuación de primer grado con una variable Es aquella equivalente a una alguna de las formas siguientes: px+q>0; px+q<0; px+q≥0 ; px+q≤0; donde p , q єℝ Inecuación de segundo grado con una variable Llamada también inecuación cuadrática, es aquella equivalente a alguna de las formas siguientes: 2 2 px qx r 0 ; px qx r 0 ; 2
SIMBOLO
x ℝ / a x b
a;b
x ℝ /a x b
a;b
x ℝ /a x b
a;b
px qx r 0 ; px qx r 0 ; donde p , q єℝ .
Factorización: En el cual se usan las siguientes propiedades: a , b
a;
x ℝ / x a
:
x ℝ / x a
4. a . b 0 (a 0 b 0) (a 0 b 0 )
Completando cuadrados: En el cual se usan las siguientes propiedades: a , b 1. b 0 a 2 b a
ba b
2. b 0 a 2 b a
ba b
2
3. a b b 0
b a
b
4. a 2 b b 0
b a
b
Al resolver 2 x 5 x 3 0 , se tiene:
5 3 x x 0 2 2 2
2
ambos miembros se tiene: 5 25 3 25 x2 x 2 16 2 16
Sumando:
2
5 1 5 1 5 1 x x x 4 16 4 4 4 4 3 x x 1 2 Ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto Valor absoluto El Valor Absoluto de un número real "a" se denota por a y se define:
a ; a0 a a ; a0
Ejemplo: 12 -5 = 5 ; 10 = 10 ;
20
2 π
π 2
a
b
a
-
2
P ) a ℝ : a
a
3
2
4
a a b b
P ) a .b a . b 6
7
a a
P ) a b a b a b 8
P ) a b b 0 a b a b
9 Ejemplo : 13 Al resolver: 2x - 4 = 5x - x2– 6, se tiene a = b b 0 (a = b a = -b)……. P9 2x-4 = 5x-x2 – 6 5x-x2-6 0 (2x-4 = 5x-x2 -6 2x - 4 = -5x + x2 + 6) x2 - 5x + 6 0 (x2 - 3x + 2 =0 x2 - 7x+10=0) (x-3)(x-2) 0 (x-2)(x-1) = 0 (x-5)(x-2) = 0 x2, 3 (x = 2 x = 1) (x = 5 x=2) x2, 3 x1, 2, 5 C.S = 2
-
1
2
3
5
+∞
a +∞
P ) a b a b a .b 0
P ) a ℝ:
+
+∞
a2
2
+
a a
-
P ) a ℝ: a 2 a
5
2
b +
:
Ejemplo:11
5 4
a
b
-
;a
x ℝ / x a
P ) b 0 :
Dividiendo (:2)
–
a;
2. a . b 0 (a 0 b 0) (a 0 b 0 ) 3. a . b 0 (a 0 b 0 ) ( a 0 b 0 )
a
;a
x ℝ / x a
1. a . b 0 (a 0 b 0) (a 0 b 0 )
–
–
2
Para resolver este tipo de inecuaciones podemos aplicar los siguientes métodos:
REP. GRÁFICA
ℝ +∞
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO o
Para inecuaciones:
P ) a b a2 b2
PREGUNTAS PROPUESTAS Nº 4
1
P ) a b b 0 b a b 2
1. Al resolver la ecuación en x:
P ) a b b 0 b a b
x
3
a 2 b2
P ) a b a b a b 4
5
A)
P ) ab a b 6
P ) a b (a b) (a b) 0
P ) Si a 0 b a x b x máx a ; b 8
Ejemplo : 14 Al resolver: x2 - 6x+8 4 – x, se tiene: a b b 0 -b a b x2 - 6x + 8 4 - x 4-x 0 -(4-x) x2-6x + 8 4-x x 4 x-4 x2 - 6x + 8 x2 - 6x + 8 4 - x x 4 x2- 7x + 12 0 x2 - 5x + 4 0 x 4 (x-4)(x-3) 0 (x-4)(x-1) 0 x <-, 4 {(x <-, 34, +>) x 1, 4} x1, 34 cs=1, 34
ab 2
4
+∞
B) 2ab
C)
2 ab
D) a+b
E) b
2mx 3 3mx 2 2m 3 , se reduzca a una de primer x 1 x 1 grado, es: A) 2 B) 1
C)3
3. Al resolver la ecuación: es: A) 2a/7
B) 3a/35
D) 4
E) 6
5x a 6x 4 , el valor de x, 5x a 6x C) 3a/17
D) a/3
E) 4a/5
4. Al resolver la ecuación en x:
1 1 9 )( 2 x 3n 4m) . Una solución es: x 3n x 4 m 2
A) m+3n
3
a 1 3b se
2. El valor de “m” para que la ecuación:
(
1
a b 1 x 2x 1 , a b 2( a b ) a b
obtiene:
P ) a b a b a b
7
B) 2(m+3n) C) m-3n
D) 2m+3n E) 2(2m-3n) 2
5. La suma de soluciones de la ecuación: x 2 x 3 0 , es: A) 1 6. Si:
B) 0
C) 3
D) 2
E) 6
a; b es el conjunto solución de la ecuación: x 2 197781x 197771 0 . El valor de 2
2
2 2
“ a b a b 2ab (a b 1) ” A) 81
B) 36
C) 25
D) 100 2
E) 64 2
7. Sean x1 y x2 raíces de la ecuación: x 3ax a 0 , tal 2
2
que: x1 x 2 175 , el valor de a, es: A) 4
B) 1
C)
8. Al resolver la ecuación: solución, es:
A)3 2
B) 3
7
D) 16
5
E)
x 1 3 x 2 1 , la mayor
C)2 2 1
D) 2 2
E )2 2 2
3 1 3 9. Si al resolver la inecuación: , se obtiene x 1 x 1 x un conjunto solución de la forma: a , b c, , entonces el valor de “a+b-c”, es: A) -2 B) -3 C) 4
D) 6
E) -8
2
10. Si la ecuación: x 3 x (m 1) 0 tiene raíces complejas, 2
y la ecuación 3 x 5 x m tiene raíces reales. El valor entero de “m” para el que se cumplen ambas condiciones es: A) -3 B) -1 C) 2 D) -2 E) 3
21
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO 11. El conjunto solución de la inecuación:
x 2
x 4 es:
A) IR
x3
,
2
x x4
B)
UNIDAD Nº 05
C ) 1;3
D) 2;4
A)<0;1>
B)0;1
13. Al resolver la ecuación:
0;1
C)
x3 x 1 3
x 2 1
D) <0;2> E) <1;4> 3
x 2 1 8 , la suma 3 x 1
de sus soluciones, es: A) 20
B) 19
C) 16
D) 14
E) 12
x5 1 3 14. Si: x ; y m; n . El valor de “3mn”, es: x2 2 2 A) 142
B) 141
C) 144
D) 143
E) 136
2
15. En la inecuación: x a 3 x 5 0 , el número de valores enteros de “a”, tal que se verifique la inecuación para todo
x R , es:
A) 20
B) 18
C) 22
D) 14
E) 10
16. Si el intervalo solución de la inecuación:
x 2 m n x mn 3x 2 2 x 1
0 es 3,5 y m 2 mn 0 , D) 16
E) 10
17. El conjunto solución de la inecuación: 2 x 6 x 2 2 x 4 x 3 , es:
B ),2
C ) 0,1
D),5
x
x
18. Al resolver: 9 9 10.3 , el conjunto solución,
B )0,2
C ),0
es:
D)1,2
E ) 2,4 19. Al resolver la inecuación:
x 5 x 1 , se obtiene x6 x3
como conjunto solución, el intervalo
, a b, c
A) 2
B) 4
entonces el valor de 3a+b-c, es: C) 6
D) 8
E) 10
2
20. Siendo m y n, raíces de la ecuación: 2 x 3 x 5 0, el valor
m2 n2 de: E , es: m 1 n 1 A) 1/2
22
MATRIZ Se llama matriz al arreglo u ordenamiento de elementos cualesquiera, dispuestos por filas (horizontales) y columnas (verticales). Representación:
a11 a 21 a A 31 a m1
a12
a13
a 22 a 32
a 23 a 33
a 2n a 3n
a1n
a m2
a m3 a mn
mxn
Notación:
A a , también se utiliza: ij mxn A a / a f ( i; j ) ; 1 i m; 1 j n ij mxn ij ORDEN DE UNA MATRIZ El orden de una matriz está dado por el producto de m x n, donde “m” indica el número de filas y “n” el número de columnas Ejemplo : 1
3 8 B 3 0 Es una matriz de orden 3 por 2 4 1 3 x 2
Matriz Nula: Si todos los elementos son iguales a cero
0 0 0 0 0 0 0 0 , 0 0 0 0 0 Matriz Fila: Cuando la matriz esta formada solo por una fila
M 1 3 5 1x3
5 E ) , 2 A)0,2
DE
CLASES DE MATRICES
entonces el valor de mn, es: A) 8 B) 125 C) 9
5 A) , 2
SISTEMAS
E ) 0,3
x3 x 3,
12. El conjunto solución de la inecuación: es:
MATRICES Y ECUACIONES
B) 1/5
C) 4
D) 5
E) -8
Matriz Columna: Si la matriz presenta solo una columna
6 N 10 11 3 x1 Matriz Rectangular: Cuando el número de filas es distinto del número de columnas. Matriz Cuadrada: Cuandola matriz, tiene el mismo número de filas y columnas. (m = n)
1 3 A 5 7 2x2
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO ELEMENTOS DE UNA MATRIZ CUADRADA
3 0 0 0 4 0 0 0 7 3x3
1 5 6 Diagonal Secundaria 2 8 7 3 4 9 Diagonal Secundaria TRAZA DE UNA MATRIZ CUADRADA Es la suma de los elementos de la diagonal principal. Sea
1 5 6 A 2 8 7 3 4 9
Matriz Escalar: Es aquella matriz diagonal donde todos los elementos de la diagonal principal son iguales a un número diferente de cero.
3 0 0
Traza (A) = 1 + 8 + 9 = 18
1 T 7 A 5 9 2x 3 7
5 8
2 8 9
1 0 0 1 0 0 1 0 I ; I 2 3 0 1 0 0 1 3 x3
,
3x2
Donde A T se lee “matriz transpuesta de A”. IGUALDAD DE MATRICES Dos matrices A y B del mismo orden son iguales si los elementos de las mismas ubicaciones son iguales, es decir:
mxn
Si A a ij
mxn
y B b ij
Matriz Triangular Superior: Es aquella matriz cuadrada, donde todos los elementos ubicados debajo de la diagonal principal son “cero”.
3 2 1 0 5 8 0 0 6 3 x 3
entonces:
Matriz Triangular Inferior: Es aquella matriz cuadrada, donde todos los elementos ubicados por encima de la diagonal principal son “cero”.
A B a b , i, j ij
ij
3 0 0 2 5 0 4 4 1 3 x 3
ALGEBRA DE MATRICES Adición de Matrices:
y ij mxn
Sean A a Luego:
B b ij mxn
Matriz Simétrica: Una matriz cuadrada A es simétrica si y sólo si es igual a su T traspuesta, es decir: A A Ejemplo : 2
A B a b ; i; j ij mxn ij
Multiplicación de un escalar (constante) por una matriz:
mxn
Sea A a ij
, k ℝ, luego:
kA ka ; i; j ij mxn
Multiplicación de Matrices: Sean
A a y B b ij mxn ij nxp
mxp
Luego: AxB C c ij
n
donde :
0 0 3 3x3
Matriz Identidad: Es la matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal principal son iguales a “uno”.
TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ
1 A 2
0 3 0
c ij
aikbkj
k 1
MATRICES ESPECIALES Matriz Diagonal: Es aquella matriz cuadrada, donde al menos uno de los elementos de la diagonal principal es diferente de cero y los demás elementos son todos ceros.
2 3 4 3 5 6 4 6 7 3 x 3
Matriz Antisimétrica: Una matriz cuadrada A es antisimétrica si y sólo si es igual T al opuesto de la traspuesta, es decir: A A Ejemplo : 3
4 3 0 4 0 5 3 5 0 3 x 3 DETERMINANTE Es un valor numérico asociado a una matriz cuadrada. Asi sea la matriz cuadrada A, el determinante de A, se denota por
A
o por D(A) Determinante de orden 2 Posee dos filas y dos columnas. Se multiplica los elementos de la diagonal principal y a este resultado se le resta el producto de los elementos de la diagonal secundaria.
23
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO DIAGONAL SECUNDARIA (–)
a1 a2
A
b1 b2
Método de reducción: Cuando se elimina una de sus variables efectuando las operaciones convenientes y sumando miembro a miembro.
DIAGONAL PRINCIPAL (+)
Método de la igualación: Cuando de ambas ecuaciones se despeja una misma variable, para igualar los otros miembros.
D (A ) a b a b 1 2
2 1
Método de sustitución: De una ecuación se despeja una de las variables y la expresión resultante se reemplaza en la otra ecuación.
Determinante de orden 3: Posee tres filas y tres columnas. Se calcula aplicando la regla de Sarrus Por filas y columnas. Para ello se colocan las dos primeras filas (columnas) debajo (a la derecha) del determinante y luego se multiplican en diagonal de izquierda a derecha, donde las diagonales que van hacía abajo se les resta las que van hacía arriba
a A a a
1
2 3
b b b
1
2 3
c c c
1
2 3
a
b
c
(-) (-)
a
b
c
(-)
1
2
1
2
a3 b3 a b a
1
2
b
1
2
c
1
2
Método de Determinantes: Cuando se aplica la regla Cramer Regla de Cramer Consiste en resolver un sistema de ecuaciones utilizando los determinantes.
a1 x b1 y c1 a 2 x b2 y c 2 = Determinante de x = x
3
c
1
(+)
c
2
(+) (+)
D( A ) a b c a b c a b c a b c a b c a b c 1 2 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1 1 3 2 2 1 3 (–) (–) (–)
a1
b1
c1
A a2 b2 c 2 a3 b3 c 3
a1
b1
c1
a1
y
S
= Determinante de y =
Se tiene que:
PROPIEDADES: 1. det(A)=det(At) 2. Det(A.B)=Det(A).Det(B) 3. Det(A n)=(Det(A))n SISTEMAS DE ECUACIONES Sistema de ecuaciones Es un conjunto de dos o más ecuaciones de varias incógnitas que se satisfacen simultáneamente para los mismos valores de dichas incógnitas. Sistemas de ecuaciones lineales Son aquellos sistemas cuyas ecuaciones son de primer grado. Sistemas de ecuaciones de Primer grado con dos incógnitas Tienen la forma:
a x b y c a1 x b1 y c1 2 2 2 Para resolver estos sistemas se utilizan generalmente los siguientes métodos:
24
a
c
a
c
1
2
;
2 1
2
a
b
a
b
1
2
1
2
S
Discusión de la solución de un sistema de ecuaciones con 2 incógnitas: Dado el sistema:
(+) (+) (+)
D( A ) a b c a b c a b c a b c a b c a b c 1 2 3 3 1 2 2 3 1 3 2 1 1 3 2 2 1 3
2
1
y x x ; y S
b b
1
= Determinante del sistema =
b1
a2 b2 c 2 a2 b2 a3 b3 c 3 a3 b3
c c
a x b y c a1 x b1 y c1 2 2 2 El sistema compatible determinado, si se cumple
a1 b1 a2 b2 El sistema es compatible indeterminado o existen infinitas soluciones, cuando
a1 b1 c1 a2 b2 c 2 El sistema es absurdo o incompatible ( no hay solución), cuando se cumple
a1 b1 c1 a2 b2 c2 Dado el sistema:
a x b y c a1 x b1 y c1 2 2 2
1. Si 2. Si
S
0 ; el sistema es compatible determinado.
0 y 0 , el sistema es compatible S x y indeterminado o existen infinitas soluciones 3. Si 0 y 0 y 0 , el sistema es absurdo o S x y incompatible ( no hay solución).
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO Observación : Dos o más sistemas son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.
Sistemas de ecuaciones de primer grado con tres incógnitas Tienen la forma:
axbycz d 1
1
2
2
1
1
que M N I , donde I: Matriz identidad, entonces el valor
a xb yc z d
de “
2
2
a1 b1 c1 S a2 b2 c 2
d1 b1 c1 x d2 b2 c 2
a3 b3 c 3
d3 b3 c 3
;
x
a1 b1 d1 z a2 b2 d2 a3 b3 d3 x S
,
b-a
c
A) 1
”, es: B) – 1
C)-1/2
D) - 3
E) -1/3
1 2 0 2 ; N= 3 3 y MX=MN-NX 3 4
2. Dada la matriz M=
entonces la TRAZ(X), es: A) -24 B) -10 C) 12
D) 18
E) 24
5 -3 5 -7 y B= , además 6 7 4 5
3. Sean las matrices A=
a1 d1 c1 y a2 d2 c 2 a3 d3 c 3 y
y S
z z ,
S
Discusión de la solución de un sistema de ecuaciones con 3 incógnitas: 1. Si 0 , el sistema es compatible determinado. S 2. Si 0 y 0 , el sistema es S x y z compatible indeterminado. 3. Si 0 , y alguno o todos los , , 0 , el S x y z sistema obtenido es incompatible.
a 0 2 b y N= b c , si se cumple b c
1. Sean las matrices M=
a xb yc z d
3 3 3 3 Para resolver estos sistemas se usan métodos similares a los usados en los sistemas de ecuaciones con dos variables. Para el método de Cramer, definimos:
Se tiene que
PREGUNTAS PROPUESTAS Nº 5
Sistemas de ecuaciones no lineales Son aquellos sistemas donde alguna o todas las ecuaciones no son lineales. Ejemplo: 4 2 2
x y 2 ... (1) x y 2 ... ( 2)
Este tipo de sistemas generalmente se resuelven utilizando los métodos de sustitución o igualación, productos notables y/o factorización.
X A B X , la suma de los elementos de la diagonal secundaria de la matriz “X”, es: A) 4 B) 5 C) 8 D) 0 E) 3 1 2 , la 1 1 suma de los elementos de la diagonal secundaria de h C ,
4. Sea el polinomio h x =x -2x-1 y la matriz C= 2
es: A) -2
B) 0
5. Dada la matriz
C) 2
D= aij
2x3
D) 4
E) 5
definida por:
3 ;si i j 4 entonces la suma de todos sus i j ;si i j 4
aij
elementos enteros es: A) -12 B) -10 6. Dada la matriz
C) -8
M= mij
- 4j mij = i ; i+j<4 2ij ; i+j 4
2x3
D) -6
E) -4
definida por
, entonces la suma de todos sus
elementos enteros es: A) 11 B) 18
C) 28
D) 32
E) 38
7. Si M-N es una matriz nula y M+N es una matriz escalar
1 a 1 b 1 x y donde: M= a 1 1 c 1 , N= x 1 z , entonces b y z 1 c 1 1 el valor de c+b-a es: A) 0 B) 2
C) 3
D) 5
E) 7
15-2x 11 10 8. Al resolver la ecuación 11-3x 17 16 =0 , el valor de
7-x x2 +1, es: A) 15
B) 16
C) 17
14 13 D) 18
E) 21
25
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO 3 2 5 9. Al resolver la ecuación 7 3 x =9 , el valor de “x2 +1”, es: 4 2 3 A) 17
B) 26
C) 37
D) 50
E) 65
1 x 0 10. En un antiguo texto, se encuentra la matriz: A= 0 0 y 0 0 z - 6 2 T y el producto A .A la última columna, la cual es 2 , la -1 suma de los elementos de la matriz A, es: A) -2 B) 0 C) 2 D) 4
E) 5
11. Determine los valores del parámetro “n”, para que el sistema:
5x=7-ny n 9 5 x+y= 5 A)
D)
5;5
B)
4;4 E)
C)
5;5
5
(2 3a )x (2b 3) y 2 (a 16) x (4b 1) y 6 A) 36
es: B) 16
C) 25
D) 9
E) 49
x+y+2z=3 ay+z=b
entonces el valor de (a+b)2 es: A) 1/4 B) 1/9 C) 1/16
D) 4/9
E) 9/4
xz=6 x 14. Al resolver el sistema: x+y =1000 ; el valor de “y”, es: z x+y =100 B) 4
C) 5
D) 7
E) 9
15. Si x 0 ;y 0 es la solución del sistema:
4e2 xe y e xe y 5e ; entonces el valor de " x 0 -y 0 " , es: 2x y x y e e e e 2e A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
x x y 6 , el menor y x y 10
16. Al resolver el siguiente sistema: valor de “x.y”, es: A) 15 B) 10
26
C) 6
D) -6
E) -15
D) 2
E) 1
3x 2 4y 2 11
18. Al resolver el siguiente sistema:
2 2 x y 13
de soluciones de dicho sistema, es: A) 5 B) 4 C) 3
, el número
D) 2
E) 1
x 2 xy y 2 5 , x xy y 7
19. Si x 0; y 0 es la solución del sistema
entonces el mayor valor de x 0 y 0 , es: A) 5
B) 4
C) 3
x; y; z
D) 2
E) 1
verifican el
x y2 = 2 2 1 y z2 y sistema: = 2 2 1 z 2 z x = 2 2 1 x A) 5
entonces el valor de
13. Si el sistema x+2y-z=1 , admite infinitas soluciones,
A) 2
mayor valor entero positivo de “x”, es: A) 5 B) 4 C) 3
20. Cuantas ternas de números reales tenga solución única, es:
12. Si el sistemas de ecuaciones es compatible indeterminado:
(a b) 2
x 2 y 4 4 xy 2 32 0 , el xy 4
17. Al resolver el siguiente sistema:
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO
UNIDAD Nº 06
Cologaritmo El Cologaritmo de un número real N 0 en una base “b” es el Logaritmo de la inversa del número en la misma base. También es equivalente al logaritmo del número en la misma base precedido del signo menos.
LOGARITMO.- RELACIONES BINARIAS
Colog b N Log b
Antilogaritmo.Se denomina antilogaritmo en una base “b” al número que dio origen al logaritmo, es decir : x AntiLog x b b Propiedad
LOGARITMO DEFINICIÓN: Se llama logaritmo de un número real N 0 en una base dada
b 0 y b 1 … al número x al que debe elevarse la base b de modo que se cumpla b
x
N , es decir:
AntiLog b
x
log N x b N , N 0 , b 0 , b 1 b
log N x
Logaritmo o exponente
b
Sistema de logaritmos.Se denomina sistema de logaritmos al conjunto de valores formado por los números positivos de la expresión x log N . Los más utilizados son: b 1. El sistema de logaritmos naturales, hiperbólicos o neperianos, cuya base es el número trascendente 2,718281..... = e Notación: LnN : “Logaritmo neperiano de N” ( log N ln N ) e 2. El sistema de logaritmos decimales, vulgares o de Briggs, cuya base es el número 10 Notación: Log N :“Logaritmo de N en la base 10”
Propiedades:
a
b
P ) log b 1 0 2
P ) log b M.N log b M log b N , M 0 , N 0 3
M log b M log b N , M 0 , N 0 4 N n P ) log bm N n log b N , N 0 5 m P ) log b
P ) log b N log bn N n , N 0 6
log N a
P ) a 7
P ) a 8
log b c
N, a 0 a 1 c log b a , a 0 , c 0
P ) log b N 9
log a N ó log b N . log a b log a log a b
P ) log b N 10
1 ó log b N . log N b 1 log N b
log a N P ) log a N , a0,b0 11 b 1 log a b P ) log b M log b N M N 12
b)
log b N1 log b N 2 N 1 N 2 , N 1 ; N 2 0 , b 0 , b 1
Solución de una ecuación logarítmica. Consideremos la ecuación logarítmica : log P( x ) log Q( x ) , entonces para obtener la solución b b de esta igualdad se debe seguir los siguientes pasos : a) P( x ) 0 Q( x ) 0 b 0 b 1 …… (Sa) b) Los posibles valores de la incógnita se hallan de la ecuación P( x ) Q( x ) . ……………………… (.S b)
c) C.S. = S S a b Inecuaciones logarítmicas Si log b N1 log b N 2 o log b N1 log b N 2 Entonces para encontrar el Conjunto Solución (C.S) se procede a: Se garantiza la existencia de los logaritmos con : N1 0 , N 2 0 , b 0 , b 1 …….. ( S1)
P ) log b 1 1
N N
a) log b N a b N , N 0 , b 0 , b 1
base ( b 0 b 1 )
Log b
Ecuaciones logarítmicas Se llama ecuación logarítmica a las ecuacionesdonde por lo menos, una incógnita está afectada por el operador logarítmico, es decir:
Número (N > 0)
.
N1 Log b N
Dependiendo del valor de la base se presentan dos casos: Caso I: Siendo: 0 b 1 , Si: log N log N 0 N N b 1 b 2 1 2 ……..( Scaso I ) Si: log N log N N N 0 b 1 b 2 1 2 Caso II: Siendo: b 1 , Si: log N log N N N 0 b 1 b 2 1 2 ……. ( Scaso II ) Si: log N log N 0 N N b 1 b 2 1 2 C.S = S1 ScasoI C.S = S1 Scaso II Caso Particular.Sea la inecuación Log b M 0 , entonces se cumple
b 0M1 0 b 1 M 1 RELACIONES Par Ordenado Un par ordenado es un conjunto de dos elementos considerados en un determinado orden, si los elementos del par ordenado son a y b, al conjunto se le denota por ( a ; b ) , donde a es la primera componente y b es la segunda componente, y se define de la manera siguiente : (a ; b) = {{a} ; {a,b}}
27
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO Teorema: Dos pares ordenados son iguales si y solo si sus primeras componentes son iguales entre sí, así como sus segundas componentes.Esto es: (a , b) = (c , d) a = c b = d Su negación:(a , b) (c , d) a c b d
R1 3; 2 , 4;2 , 5; 2
Producto cartesiano Dados dos conjuntos no vacíos A y B, el producto cartesiano de A por B (en ese orden) se denota por AxB y se define de la manera siguiente AxB = { (a , b) / a A b B } Es decir: (a ; b) AxB a A b B; siendo : A : Conjunto de partida, y B : Conjunto de llegada
Todas éstas son relaciones entre A y B, por ser subconjuntos de AxB, y se pueden escribir por extensión y por comprensión.
R2 3;1 , 5;1
R3 x; y AxB / x y 6 4; 2 , 5;1
R4 x; y AxB / x y 2 4; 2
Mostrando sus gráficas:
n( AxB ) n(BxA ) n( A ).n(B)
denota por R : A B
B
A 3
Propiedades: 1. En general el producto cartesiano no es conmutativo: AxB BxA 2. El número de elementos de A x B es igual al número de elementos de B x A y se obtiene por: Ejemplo: 1 Si A = { 2,4 } y B = { 3, 5, 6 }, luego : n(A)=2 y n(B)=3 entonces, n(AxB)= (2)(3) = 6 elementos, siendo A x B = {(2;3),(2;5),(2;6),(4;3),(4;5),(4;6)} , y B x A = {(3;2),(3;4),(5;2),(5;4),(6;2),(6;4)} Por tanto : A x B B x A Definición (Relación binaria) Dados dos conjuntos A y B llamados conjunto de partida y conjunto de llegada respectivamente, se denomina relación binaria de A en B , a todo subconjunto R del producto cartesiano A x B ; es decir : R es una relación de A en B R A x B , y se
R2
R1
4
A
B
1
3
2
4
5
1
2
5
Diagrama sagital
Tabla de doble entrada
B
R3
2 1 3
4
5
A
Diagrama cartesiano Número de elementos de una Relación p Si n(AxB) = p entonces existen 2 relaciones de A en B.
Observaciones: 1. Si A y B son dos conjuntos y P(x , y) una proposición Relaciones Triviales A x B , entonces es una relación entre A y B, llamada abierta , con x A, y B, y (a , b) A x B , tal que P(a , b) es verdadera, entoncesR = (A, B, P(x ; y))se denomina relación nula. relación entre A y B , siendo R el conjunto : R = {(a;b) Si R =AxB , entonces A x B es una relación entre A y B, AxB/ P(a;b) es verdadera}. llamada relación total. Dominio (Relación). Sea R : A B , entonces 2. Si R = (A, A, P(x ; y)) se dice que P(x , y) define una relación Dom(R) = {x A / y B, (x;y) R} en A, o que R es una relación en A. 3. Si A = B , se dice que R es una relación en A y se escribe R : A A ó R A x A. 4. Sea: R =(A, B, P(x,y)) una relación, el conjunto de elementos (a ; b)AxB para los cuales P(a ; b) es verdadera, se denomina conjunto de soluciones de R. Simbólicamente: R = {(a;b) AxB/ P(a;b) es verdadera}. 5. El conjunto solución de la relación Rentre A y B es un subconjunto de AxB por está razón la solución de R puede representarse en el diagrama de coordenadas cartesianas AxB
Rango (Relación). R : A B , entonces, Ran(R) = {y B / x A, (x;y) R}
Ejemplo: 2 El dominio y Rango de la relación R de A en B, si A ={2,3,7} y B = {5,6,4} y R {( x , y ) A B / x es divisor de y } Como :
A B {( 2 , 5 ), ( 2 , 6 ), ( 2 , 4 ), ( 3 , 5 ), ( 3 , 6 ), ( 3 , 4 ), ( 7 , 5 ), ( 7 , 6 ), ( 7 , 4 )}
R {( 2,4 ), ( 2,6 ), ( 3,6 )} Luego: Dom
.
( R ) { 2 , 3 } y Ran ( R ) { 4 , 6 }
Representación gráfica de una relacion binaria La representación gráfica de una relación R entre A y B está formado por todos los puntos del diagrama de coordenadas de AxB correspondiente a los pares ordenados que pertenecen al conjunto R. Ejemplo: Dados los conjuntos A={3,4,5} y B= {1,2} luego : A B {( 3,1), ( 3,2 ), ( 4,1), ( 4,2 ), ( 5,1), ( 5,2 )} y son relaciones de
Propiedades de las relaciones definidas en un conjunto. Si R A x A, entonces : R es Reflexiva en A x A ( x ; x ) R Ejemplo: 3 Sean A = {1,2,3,4} y las relaciones:
A en B :
En R1 se observa x A : ( x, x ) R . Es decir :
28
R1 {(1,2),(3,3),(3,4),( 4,4),( 4,1),( 2,2),(1,1) } R2 {(1,1), ( 2,2 ), (3,4), ( 4,3), (4,4 ) }
UNIVERSIDAD NACIONAL “SAN LUIS GONZAGA” DE ICA
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO 1 A (1,1) R1
;
3 A (3,3) R1 ;
Grafica de relaciones de ℝ en ℝ 1. Gráfica de relaciones de la forma 2 R ( x ; y) ℝ / y mx b Tienen por gráfico una línea recta con pendiente “m” y ordenada “b”.(Fig “a”)
2 A ( 2,2 ) R1
4 A ( 4,4) R1
entonces R1 es reflexiva en A En R 2 se observa que 3 A sin embargo (3,3) R2 entonces R 2 no es reflexiva en A. R es simétrica en A x,y A :( x ; y )R ( y ; x )R Ejemplo: 4 Dado el conjunto A ={1,2,3} y las Relaciones en A R1 {(1,2), ( 2,3), ( 2,1), ( 3,2), (1,1) } y
R2 {(1,2),( 2,1), (3,3), (3,1) } . Veamos R1
En
vemos
2. Gráfica de relaciones de la forma: 2 R ( x ; y ) ℝ / y ax 2 bx c ó
R ( x ; y) ℝ
2
/ x ay
2
by c .
Tienen por gráfica una parábola Completando cuadrados de obtiene:
(1,2) R1 ( 2,1) R1 ;
que
( 2,3) R1 (3,2) R1
( x h ) 2 4 p ( y k ) ó ( y k ) 2 4 p ( x h) con vértice paralelas al eje Y V ( h;k ) respectivamente.(Fig”b”) y (Fig”c”).
entonces R1 es simétrica en A En R 2 vemos que (3,1) R2 pero (1,3) R2
y
eje
X
Tiene por gráfica una circunferencia
R es transitiva en A
x 2 y 2 Dx Ey F 0 , completando cuadrados
Si:
x ,y,z A :( x ; y )R ( y ;z )R ( x; z )R
para x, y se obtiene: ( x h) 2 ( y k ) 2 r 2 de C(h, k) y radio “r” (Fig “d”) 2 2 2 También: x y r , donde C(0, 0)
Ejemplo: 5 Sean el conjunto A = {1,2,3,4} y las relaciones en A: R1 {(1,2 ), ( 2,2 ), ( 2,1), (1,1) }
R2 {(1,2), (2,3), (1,3), (3,1), (1,1) } . Veamos: En R1 observamos que:
4. Gráfica de relaciones de la forma: 2 R ( x ; y ) ℝ / Ax 2 By 2 Cx Dy E 0 , A B
( 2,2) R1 ( 2,1) R1 ( 2,1) R1 ( 2,1) R1 (1,2) R1 (2,2 ) R1
R (x ; y ) ℝ
( 2,1) R1 (1,1) R1 ( 2,1) R1
2
/ Bx 2 Ay 2 Cx Dy E 0 , A B
entonces R1 es transitiva en A
Tiene por gráfica una elipse Completando cuadrados para x e y se obtiene:
En R 2 observamos que :
( x h) 2 a2
(1,2) R2 ( 2,3) R2 (1,3) R2
( y k)2 b2
( 2,3) R2 (3,1) R 2 ( 2,1) R 2
( x h) 2 b2
( y k )2 a2
1
5. Gráfica de relaciones de la forma: 2 R ( x ; y ) ℝ / Ax 2 By 2 Cx Dy E 0 , A B
entonces R 2 no es transitiva en A
R ( x ; y) ℝ
R es reflexiva en A
R de equivalencia en A R es simétrica en A y
( x h) 2
Ejemplo: 6 Sea el conjunto A ={1,2,3,4} y la relación
a
R (1;1),(2;1),(1; 2),(2; 2),(3; 3),( 4 ; 4)
Se tiene que la relación R es reflexiva, simétrica y transitiva. Entonces R es una relación de Equivalencia en A.
/ By 2 Ax 2 Cx Dy E 0 , A B
2
( y k )2 b
2
1
ó
m0
Relación Binaria en ℝ Diremos que R es una relación binaria en ℝ y escribiremos; 2 R:ℝ ℝ ó R ℝ x ℝ, si R es un subconjunto deℝ .
2
/ x R y ; Rℝ = ℝ x
( y h) 2 b
2
( x h) 2 a2
1
(Fig “f”)(Fig “g”) V(h;k) Y
Y
RELACIONES EN LOS NUMEROS REALES
2
2
Tiene por gráfica una hipérbola Completando cuadrados para x e y se obtiene
R es transitiva en A
Simbólicamente: R ( x ; y ) ℝ
1 ó
(Fig “e”)
(1,3) R2 (3,1) R2 (1,1) R2
al
3. Gráfica de relaciones de la forma 2 R ( x ; y ) ℝ / x 2 y 2 Dx Ey F 0
entonces R 2 no es simétrica en A
m 0 4p< 0 k
X
h
k
4p > 0
V(h;k) X
h
ℝ
29
UNIVERSIDAD NACIONAL “SAN LUIS GONZAGA” DE ICA
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO Fig “a”
Fig “b” PREGUNTAS PROPUESTAS Nº 6
Y
Y
4p< 0
r
h
h
X
h k
x log24 36
1. Si
C(h;k)
k
V(h;k) k
A) – 1
B) – ½
4p > 0
E) 2
A) 3
C) – 3
3. Si el logaritmo de
C(h;k) (h;k)
k-b h+a X
B) 1
D) – 1
E) 2
Y
k+b
h
, se
obtiene:
Fig “d”
Y
h-a
D) 1
N log2 3 log6 3 log3 2 log6 2 log3 6 log2 6
Fig “c”
k
C) ½
2. Al simplificar la siguiente expresión:
V(h;k)
k+b
, entonces el valor de:
xy 1 ,es: x
M X
log6 12
ey
h-a
h+a k-b
35 9
4
47 14 5 29 3 x A) 4
X
B) 3
15
en base
27
. Calcule: C) 9
, es igual a:
2 x 10
logx 3
D) 27
E) 2
4. Determinar el producto de las raíces que satisfacen la ecuación :
Fig “e”
Fig “f”
2 logx 4 3 log8 x 5 A) 64 5. Si:
B) 32
C) 16
D)8
E) 4
,
N logb anti logb co logb anti logb b 1
entonces el valor de la expresión:
Y
2
h-a
R logb N b co logN b N co log 1 b N
k+b
b2
, es:
N
A)– 2
(h;k) k-b
2
X h+a
B) – 1
C) 0
D) 1
E) 2
1
6. Si:
log x2 2 log 1y 8
. Calcule:
log y x
2
A) 32
C) 8
B)4
Fig “g” 7. Al resolver:
x1 log x
100 x2
D) ½
E) ¼
, su conjunto solución es
a ; b luego el valor de A) 1000
8. Si:
T
b a
; es:
B) 100
x; y R
C) 10
2
D) 1/100 E) 1/10
,
/ x 2 y 2 4 x2 4 y 2 0
Entonces el conjunto solución de:
Ran T Dom T ,
es:
A)1 30
B )0;1; 2
C )2
D )0
E )
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10
9. Luego de resolver:
log x
10
log 7
log x
1
x2
,
se obtiene:
A)5
B )8
C )9
D )7
x; y R
R
x; y R
N R
por
E )6
/ x2 2x y 2 0
2
/ x 1 y 1
el área determinada
A) 11
1 2 logx 2 log4 10 x
2 log4 x
C) 9
E) 7
4 , entonces la medida del
2
/ x y 2
2
/ x2 y 2
R T , es:
B )8
D )4 1 u 2
E )4 2 u 2
1 u2 2
C ) 2 u 2
y
/ x 2 2x y 2 0
2
/ y x
, luego el área determinada
C)
2 2 1 2 1 D) E) 4 2 2
5x
log5 x
anti log5 6
B) 625
C) 3125
x; y R
2
D) 15625
E) 1
/ x 2 xy 2 y 4 0
19. Calcular el valor de “x” que satisface la ecuación:
A) 5/8 20. Si
x log 5 log 6 , su conjunto solución,
4 2
2
2
B) ¾
A 1; 3 ; 5 ; 7
x; y A
B ) ; 0
C ) ; 2
D ) ;1
log
C) 3/8
2
4 2
D) ¼
2 2 E) ½
, se define la relación :
, entonces
/ 8 es múltiplo de x y
T es una relación. A) Sólo Reflexiva C) De Equivalencia
es:
B) Sólo Transitiva D) Simétrica y Transitiva
E) Sólo simétrica
0
14. Sea:
T
A
2 ; 3 ; 4 , si definimos en A la relación:
x; y A
los elementos de A) 5
E) 1
A)R B )R 4 C )R 4 D )2; 4 E )4
x log
13. Al resolver la inecuación logarítmica:
E)
D) 2
2
18. Dada la relación: R
T
A) ;1
1 log16 9
, es:
A) 125
D) 12
A)2 2 u 2
logb 3 ab
Entonces el complemento del rango de R, es:
área determinada por:
x log 1 2
1
C)8
1 2 B) 2 2
ecuación:
12. Sean las relaciones:
x
17. Indique el cociente entre el mayor y menor valor de “x” de la
11. Halle la suma de las soluciones de
x; y R T x; y R
log a 3 ab
B) 3
RS
por
A)
C ) 2 u 2
D ) 2 u 2 E ) 1 u 2
R
1
x; y R S x; y R
, es:
B) 8
M
R
y
2
A) 3 u 2 B ) 3 u 2
A) 10
Calcule:
tiene por raíces a y b.
16. Dadas las relaciones:
10. Dadas las relaciones:
N
x2 8x 3 0
15. Si la ecuación:
log x x 2 1
B) 9
2
, entonces la suma de
/ x2 y 1
Dom T Ran T C) 6
D) 8
, es: E) 7
31
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO UNIDAD Nº 07
Ejemplo : 2 Dados los conjuntos A = {5 ;7 ; 9} y B ={11 ; 15 ; 17 ; 19} y f : A B una función definida por f ( x ) 2 x 1 , luego :
FUNCIONES
f
= {(5 ;11), (7 ; 15), (9 ; 19)}
A
DEFINICIÓN (FUNCIÓN) Se dice que la relación f : A B (relación binaria de A en
( x; y) f ( x; z)
.7 ..9 .
f yz
Es decir la función fes una relación que hace corresponder a un elemento de A un único elemento de B (dos pares ordenados distintos no pueden tener la misma primera componente).
f
A
cumple:
R(f)
Es decir : Una relación
de correspondencia de la función y se dice que y es la imagen de x a través de f. A las primeras componentes de los pares ordenados de la función se les denomina pre-imagen y a las segundas componentes imagen.
DOMINIO (FUNCIÓN): Sea
f :AB
Dom ( f ) D f x A / y B ( x ; y ) RANGO (FUNCIÓN): Sea
f :AB
Ran ( f ) R f y B / x A ( x ; y )
f A
f B
Ejemplo : 1 Dados los conjuntos A = {a, b, c, d} y B = {1,2,3,4,6}. Consideremos las relaciones de A en B definidas por:
R
1
{( a , 2 ), ( b , 3 ), ( c , 6 )}
R
2
{( a , 2 ), ( b , 3 ), ( c , 6 ), ( d , 2 )}
R
3 {( a , 2 ), ( b , 3 ), ( c , 6 ), ( a , 3 )}
Al analizar si las relaciones dadas son funciones o no, resulta :
{( a , 2 ), ( b , 3 ), ( c , 6 )}
Dom(R1) = {a, b, c} Ran (R1) = {2, 3, 6} Como para cada elemento x del Dominio existe un único elemento y de B, entonces la relación R1 es una función. Lo mismo para la relación R2 Si embargo en la relación R3 observamos que existen dos pares ordenados (a,2) y (a,3) que tien en la misma primera componente. Luego la relación R3 no es una función.
f A x B es
una
x A , ! y B tal que y
La función
B
.c
el nombre de conjunto de partida y el conjunto B el conjunto de llegada. Si ( x ; y ) f , se escribe y f (x) que se denomina regla
1
f
D(f)
Observaciones: 1. Si f : A B es una función de A en B, el conjunto A recibe
R
Dom ( f ) A A
f (a) b f (a) c b c
3.
APLICACIÓN Una función f se llama aplicación de A en B, si y solo si,
B
Siendo f una función de A en B se
2.
.b
a
.11 .15 .17 .19
.5
B) es una función de A en B , sí y solo sí, f verifica : 1. f A x B 2.
B
f
aplicación
de
A
en
B
f (x)
FUNCIONES REALES donde A es un conjunto cualquiera y
f :AB ,
Bℝ, se llama función real. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL La función f : A B , donde A, B ℝ ,se denomina función real de variable real. FUNCIONES ESPECIALES 1. Función Polinomica .Es aquella función definida por la regla de correspondencia : n n 1 n 2 f ( x) a x a x a x a . n n 1 n2 0 Donde a ℝ, x ℝ y n ℤ
i
2.Función Identidad.Es aquella función definida por la regla correspondencia. f(x) = x, x ℝ, se obtiene cuando n = 1 , an=1 y a0 = 0 Donde: D ℝy R ℝ
f
de
f
También se le denota por la letra I, así : I (x) = x. Su gráfica es la recta y = x, que pasa por el origen de coordenadas como se muestra en la fig (a): 3.Función Constante.Es aquella función cuya regla de correspondencia esf(x) = c, c ℝ. Se obtiene cuando n = 0 , a 0 y a c n 0 Donde : D ℝ y R { c }.
f
f
Su gráfica es la recta horizontal y = c, como se muestra en la fig (b). 4.Función Lineal.Es aquella función, cuya regla de correspondencia esf (x) = mx + b
32
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO ; m 0 . Se obtiene cuando n=1 , a m y a b an = n 0 m. Donde. D ℝ y R ℝ . Su Gráfica es una línea
f
f
recta con pendiente “m” y ordenada “b”, como se muestra en la fig(c). Y
Y
D ℝ; R k ; f
f
yc
f
6. Función Cúbica: Es aquella función cuya regla de correspondencia es
f ( x) ax 3 bx 2 cx d ; a 0 se obtiene cuando n = 3,
a a , a
yx
;si a > 0 o R ; k ; si a < 0
n 1
n caso:
b , a
c y a d
n2
0
.
En
cualquier
D ℝ y R ℝ
f
f
X
X
f ( x) x 3 (ver fig “d”)
Gráfica de caso particular:
7. Función Raiz Cuadrada.Es aquella función con regla de correspondencia es :
f ( x) x ; x 0 .Así: Df Fig(a)
Fig(b)
0;
y R 0; f
( ver fig “e” ) Y
Y
Y
y x3
y mx b
y X
x
X
X
Fig(c) 5. Función Cuadrática.Es aquella función, cuya regla de correspondencia es : 2 f ( x ) ax bx c ; a 0 Su gráfica es una parábola. Completando cuadrados de obtiene: (x – h)2 = 4p(y – k) con vértice V(h, k) paralelas al eje Y y al eje X respectivamente. Y
Y
0 a0
0 a0 h X V(h;k)
V(h;0)
X
(fig “d”)
(fig “e”)
8. Función Valor Absoluto Es aquella función correspondencia f ( x) x ;
con
regla
de
xℝ. Así D ℝ y R f 0 ; f
x , x 0 x , x0
Por definición de valor absoluto: x
Así la gráfica de la función valor absoluto es la recta y = –x si x<0 y la recta y=x , si x 0 . Y
y x
k
Y
X
Y
k V(h;k)
a0 0
a0 0 V(h;0)
h
X
X
33
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO 9. Función máximo entero.Una función f: ℝℤ , tal que
f x x
se llama función
máximo entero, donde: R ℤ. f f
Por tanto f es Inyectiva Determinando R :
D ℝ y
Si n ≤ x < n+1, n
f
ℤ
10. Función signo.-
Una función f : ℝ
2x 1 x2 xy 2y 2x 1 2y 1 2 x xy 2y 1 x (2 y ) x 2 y 1 R ℝ - { 2 } f 2 y Redefiniendo f: ℝ - { 2 } ℝ - { 2 }, f es Suyectiva y por tanto Partiendo de y
1, 0,1
tal que:
1 , x 0 f ( x ) Sgn( x ) 0 , x 0 se llama función signo 1 , x 0
f es Biyectiva ÁLGEBRA DE FUNCIONES 1. Igualdad de Funciones.Dos funciones f y g son iguales si se cumple que: f(x) = g(x) ; xDf = D g Ejemplo : 4
D ℝ y R {-1 , 0, 1}
f
f
2 xy 4 x y 2 2 xy x 4 y 2 5 x 5 y xy
Y
Y
Si f(x) =
y sgn ( x ) X
X
f g ( x ; y ) / y ( f g ) ( x) f ( x ) g ( x ) x D f D g
fig “g”
CLASES DE FUNCIONES Sea f : A B una función con A D
f
Función Inyectiva.f : A B es inyectiva
x x A : x x f ( x ) f ( x ) 1
2
1
2
1
2
x x A : f ( x ) f ( x ) x x
1 2 1 Función Suryectiva.f : A B es suryectiva R f B
y B , x A /
2
1
2
f ( x) y
Función Biyectiva.f : A B es biyectiva
f es inyectiva y f es suryectiva
Ejemplo : 3 Sea:
f : ℝℝ
una función definida por
veamos si f es biyectiva: D ℝ-{-2} f Sean x , y ℝ - { - 1 }, veamos si se cumple :
f ( x) f ( y ) x y Partiendo de :
2 x 1 2y 1 x2 y2
(2 x 1) ( y 2) ( x 2 ) (2 y 1)
34
( x 1)( x 4)
2. Adición de Funciones. Si f y g son dos funciones con dominios; D f y Dg, entonces se define la nueva función suma “f + g” como: fig “f”
y g(x) =
entonces analice f = g Df = [1,+>[4,+ > = [4,+ > Dg = <-,1] [4,+ > como los dominios no son iguales, entonces f g.
f ( x)
2x 1 , x2
cuya regla de correspondencia es: (f + g)(x) = f(x) +g(x) con: Df+g = Df D g Ejemplo : 5 Si f ={(2;6),(1;4),(3;2),(5;7)} y g={(0;-1),(1;2),(2;2),(3;5),(4;3)}. entonces halle f + g Tenemos: Df = {2;1;3;5} y D g = {0;1;2;3;4} Df+g = Df D g = {1;2;3} Luego: x Df+g = {1;2;3} [1;f(1) + g(1)] = (1;4+2) = (1;6) f + g [2;f(2) + g(2)] = (2;6+2) = (2;8) f + g [3;f(3) + g(3)] = (3;2-5) = (3;-3) f + g Por tanto f + g = {(1;6),(2;8),(3;-3)} 3. Sustracción y multiplicación de funciones.Si f y g son dos funciones con dominios D f y D g, entonces se definen las nuevas funciones diferencia “f – g” y producto “f .g” , como :
f g ( x ; y ) / y ( f g ) ( x) f ( x ) g ( x ) x D f D g
f . g ( x ; y ) / y ( f . g ) ( x) f ( x ) . g ( x ) x D f D g cuyas reglas de correspondencia son: (f – g) (x) = f(x) – g(x) (f . g)(x) = f(x) .g(x) con: D(f – g) = Df Dg D(f . g) = Df D g
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO Ejemplo : 6 Si f = {(1;-3),(3;-2),(4;5),(5;1)} y g = {(1;-2),(3;0),(2;0),(4;3)}. Entonces halle f – g y f . g Tenemos: Df = {1;3;4;5} Dg = {1;3;2;4}Df-g = Df Dg = {1;3;4} f – g = {(1;f(1) – g(1), (3;f(3) – g(3),(4;f(4) – g(4)} = {(1;-3+2),(3;-2-0),(4;5+3)}= {(1;-1), (3;-2),(4;8)} Además: Df.g = Df Dg = {1;3;4} f . g = {(1;f(1) . g(1), (3;f(3) . g(3),(4;f(4) . g(4)} ={(1; 6),(3; 0),(4;-15)}
Ran ( f ) Dom ( f )
f°g Ejemplo : 8 Si f = {(1;2),(2;3),(3;4),(4;5)} y g = {(0;1),(1;1),(2;4),(3;9)}. entonces halle f º g. Dg = {0;1;2;3} Rg = {1;4;9} Df = {1;2;3;4} Rf = {2;3;4;5}
n factores
D D D
n f f f f Luego el dominio de cualquier potencia entera positiva de f tiene el mismo dominio que la función f.
a) Si x = 0 D g g(0) = 1 Df ( f º g ) (0) = f (g(0)) = f(1) = 2 (0,2) f º g
División de Funciones.Si f y g son funciones con dominios D f y D gentonces se define la nueva función cociente
b) Si x = 1 D g g(1) = 1 Df ( f º g ) (1) = f (g(1)) = f(1) = 2 (1,2) f º g
f como: g
c) Si x = 2 D g g(2) = 4 Df ( f º g ) (2) = f (g(2)) = f(4) = 5 (2,5) f º g d) Si x = 3 D g g(3) = 9 Df (3,9) f º g Luego: f º g = {(0;2),(1;2),(2;5)}
f f f ( x) x D f Dg g ( x) 0 ( x ; y ) / y ( x) g g g ( x ) Ejemplo : 7 Si f ={(1;4),(2;5),(3;6),(4;-6),(5;5)} y g = {(0;-3),(1;0),(2;0),(3;8),(4;1)}. entonces halle f/g Como: Df = {1;2;3;4;5} y D g = {0;1;2;3;4} Además:
x D
g
/ g x 0 = {1;2}
FUNCION INVERSA Definición.Sean A y B conjuntos no vacíos y
f (x)
y
f :A B
una función
. Se define la función inversa
de f, denotada por f , como la función f *
: B A tal que
x D f , y D f : f ( y ) x
{3;4}
6 3 , 8
- 6 , 4, 1
=
inyectiva tal que {1;2;3;4} – {1;2} =
f ( 3) f(4) f , 4, 3, g g ( 3 ) g(4)
y =f(g(x))
g(x)
Dom (g)
Ran ( g)
x
OBSERVACIONES 1) f 2 = f .f n 2) f f . f . f . f f ; n ℤ
D
f
g
Observaciones:
Rpta.
Composición De Funciones La composición de f con g, denotada por f º g ( se lee f compuesta con g), es la función de los elementos x D , tales que g(x) D , cuya regla de correspondencia f g es: ( f º g ) ( x ) = f(g(x)) y cuyo dominio es:
D f g ( x D g / g ( x) D f x D g g ( x) D f
1. f f ( y ) f f ( y) f ( x ) y , y B 2. f f ( x ) f f ( x) f ( y ) x , x A
Ejemplo: 9 Sea la función f definida por f ( x )
1
1
1 x
Con: D x ℝ / 1 0 ; 0 1 ; f x 1. Veamos si f es inyectiva:
Graficamente: Sean los conjuntos A, B y C y las funciones f y g, tal que: g : AB y f : BC entonces f º g : AC Es decir:
D
f ºg
D A y R g
f ºg
R B f
Partiendo de
1
1 x
1
1
:
1 x
1 x1
x x
1 2 Por tanto f es Inyectiva,
1
1
1 x2
2
35
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO 2. Hallando f *
x
De y 1 1 y 2 1 1 1 1 y 2 x x
x
x
1
Por tanto : f * ( x )
1 x
2
; y D
f ( x) 3 x f ( x) e
1 1 y
2
Y
x ℝ / x 1= 2
f*
f ( x) 2
x
ℝ - {-1 ; 1} FUNCION EXPONENCIAL La función exponencial de base ”a” se define por: x f ( x ) a , a ℝ - {1} ; D ℝ f x Características de f ( x ) a cuando a 1;
Y
f (x) a
D ℝ f
f Interceptos con los ejes :
( 0 ;1) Es Inyectiva X Es estrictamente creciente
x1 x2 , x1 , x 2 D f a x1 a x2
Características de f ( x ) a
X
x
R 0;
Si
(0,1)
x
cuando a 0 ; 1
f ( x) a x
Función Logarítmica Definición : Sea a 0 , a 1 , se llama función logarítmica de base “a” denotada por y f ( x ) log x , x 0 , a la inversa de a la función exponencial de base “a” y Es decir : y log x x a a Por lo tanto : x Dom ( log x ) Ran ( a ) ℝ 0 ; a x Ran ( log x ) Dom ( a ) ℝ ; a Características de f ( x ) log x , cuando a 0 ;1 a
f ( x) a
Y
D ℝ f
x
Y
D 0; f
R 0;
f Interceptos con los ejes:
R ℝ f Interceptos con los ejes:
( 0 ;1) X
( 1; 0 )
Es Inyectiva Es estrictamente decreciente
Es estrictamente de X creciente
f ( x ) log x a
Si
x1 x2 , x1 , x2 D f a x1 a x2
Observación : Muchos problemas que surgen en la naturaleza necesitan de una función exponencial cuya base es un número irracional simbolizado por “e”, el cual tiene un valor aproximado de e = 2.71828182845 x La gráfica de la función exponencial natural f ( x ) e Siendo “e” un valor comprendido entre 2 y 3 , la gráfica x x de f ( x ) e estará entre las gráfica de f ( x ) 3 y f ( x) 2
36
x
Es Inyectiva
x 1 log a x 0 x 1 log a x 0 0 x1 x 2 log a x1 log a x 2 Características de f ( x ) log a x cuando a 1;
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO Y
f ( x) a
x
D 0; f
PREGUNTAS PROPUESTAS Nº 7
R ℝ
f Interceptos con los ejes:
( 1; 0 )
f ( x ) log x a
X Es estrictamente creciente Es Inyectiva
1. Sea la función f x ax b , a b constantes y “x” un número real cualquiera. Los pares ordenados (0; 3); (2;2) y (3;R) corresponden a los puntos de la función, entonces el valor de R es: A) 1 B) ¾ C) 1;3 D) 2 E) 5 2
2.
Si f es una función definida por f x 2 2 x 2 , el dominio de f es: A) ℝ B) x / 4 x 4 C) 2;2
D)
x 1 log a x 0 0 x1 x 2 log a x1 log a x 2
x 1 log a x 0
2;
E)
R 2; 2
3. Si f es una función definida por y=f(x); tal que
f x x 2 6 x el dominio de f es: A) 2;4
B) 2;6
C)
2;4
D)
2;6
E) 6; 4. Si f es una función definida por f x
x2 , el rango de f x 3
es:
2 D) 2 ;1 3 3
A) R 1 B) R 1 E)
C) R
5. Dadas las funciones f y g cuyas reglas de correspondencia 2 son f(x)=-3(x-1)2+6 , g 2 x 1 3 , entonces x
R f R g , es: A) 2;6 B) 3;6
; 3
C) 6; D)
E) 3;6 6. El valor de “p” para que el conjunto de pares ordenados de f 2;3 ; 1;3 ; 2;P 6 sea función, es:
A) -5
B) – 4
C) - 3
D) 2
7. Si f es una función definida por f x de f es: A) ; 1 B)
E) - 1
x2 x 2 1
el dominio
1; 0
1;1 1;
D) R 1,1
C)
; 1 U;1
E) ϕ
8. Si f es una función definida por f x
1 1 x 2 x
el
dominio de f es: A) D)
; 1
R
B) R 0 E)
R 1;1
C) 1;1 0
37
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO x 3 , el dominio 2x 1
9. Si f es una función definida por f x
20. En la siguiente tabla aparecen valores de las funciones F y H.
de f es: B)
1 ; 2
A)
C) R 1 ;4 2
D)
R 3;
10. Si la función parabólica f x, y R / y ax bx c pasa por los puntos A=(1,2); B=(-1;12); C=(0;4),entonces el valor de
2
2
a b c , es:
E) 5
x
B) - 2
C)- 3
D) – 4
E) - 5
12. Dada la función f x ax b; x R donde a y b son constantes reales, si f(x+y)=f(x)+f(y) , x; y R , y si f(x-2)=6, el valor de a +b es: A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
13. Si M 2;6 ;1;ab ;1;4 ; 2;a b ;3;4 es una función, el valor de:
a2 b2
es:
A) 12
B) 16
C) 32
D) 26
E) 27
14. Sea una función definida en el conjunto de los números reales, por f(x)=ax+b y además f(1)=-1; f(-3)=-13, el valor de (3a-2b), es: A) 17 B) 16 C) 15 D) 19 E) 23 15. Si f es una función definida por f x x 2 6 3 , el rango de f es: A) R 7;1 B) R C) R 0 D) 7;1 E) 1; 16. Si f(x)=x2+2; g(x)=x+a, el valor de “a” de modo que (f°g) (3) =(g°f)(a-1) es: A) -8 B)-8/7 C)-7/8 D) 1/7 E) 1/8 2
17. Si F ( x 1) x 1 y G( x 1) x , entonces el valor de
F (G ( 1) G ( F (1)) , es: A) – 1
B) - 2
C)0
D) 2
E) 1
2
18. Si: F (2 x 1) 4 x 4 x y G ( x 2) F ( 2 x ) , el valor de
F .G 0 , es
E 5
14
A) 17
B) 18
C) 19
D) 20
E) 21
19. Si “f”, es una función definida
xf ( x) x 1; x 1 entonces el valor de: ;x 1 4
por: f ( x )
K
f (500) 3 f (580) , es: f ( 0)
A) -1
B) 2
38
C) 3
D) 4
E) 5
5 8 7
6 7 8
7 6 6
8 5 5
(H F ) F 2 (6) , es: H H
Entonces el valor de K A) 1
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 11. El valor máximo de la función f, si la regla de correspondencia es: 2 2 2 f x 1 x 2 x 3 es A) - 1
x F (x) H (x)
E) ℝ
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
UNIVERSIDAD NACIONAL “SAN LUIS GONZAGA” DE ICA
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO UNIDAD Nº 08
LIMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS DE FUNCIONES
Lim f x f L x x 0 5 Lim x Lim gx M x x 0 g
M0
;
x x 0
n
Lim f(x) n Lim f ( x ) , n Z x x0 x x0
6 LÍMITES
7.
Definición:
a ; b se
Dada una función f definida en el intervalo abierto
dice que L es el límite de la función f en un punto “x0” (x0 no necesariamente pertenece al dominio de f), si para cada ε > 0, es posible, hallar un valor positivo δ (delta) que depende de ε (épsilon), tal que:
x D f 0 x x 0
f ( x) L
Lim
n
x x 0
f x n Lim f x n L ; n Ζ , n 2 ; Lim f x
Lim b f x b x x 0
8
n
L IR
x x 0
x x 0
bL ; b 0 ; b 1
Lim f(x) L Lim f(h x 0 ) L ; Donde h = x – x0
9.
x x0
h 0
Se dice que L es el límite de f(x), cuando “x”se aproxima (tiende) a “x0” (x x0) y se escribe como:
Limf(x)L.
xx0
En forma
APLICACIÓN DE LOS TEOREMAS
2
1. Lim 2x 2 3x - 1 2 Lim x 3 Lim x Lim 1
simbólica:
x -1
Lim f(x) L
x -1
x -1
2 - 12 3- 1 - 1 -2
x x0
ε 0, 0 / x D f 0 x x 0 f(x) L ε
2. Lim 4 20x 1 4 Lim 20x 1 4 20 4 1 4 81 3 x4
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL LÍMITE Consideremos el arco de la curva y = f(x), sobre el cual se ubica el punto (x0 , L)
3. Lim
x 4
3x 2 5x 2
Lim 3x 2 5x 2
x2
x3 2
x 2
Y L+
Lim x 3 2 x2
y = f(x)
4.
L-
x1
5 x 1 x0
x0+
X
Como el límite de f(x) cuando x x0 es el número real L, es decir que para cada ε >0 (tan pequeño como se quiera) debe existir un número δ >0 de tal manera que los puntos (x, f(x)),
x (x 0 δ, x 0 δ) ; debe de estar en el interior del rectángulo comprendido entre las rectas de ecuaciones: L1 : x = x0 - δ ,L2 : x =x0+ δ , L3 :y =L- ε , L4 : y = L +
x x 0
x x 0
4.
x x 0
Lim f(x) g(x) Lim f x Lim g x L M
x x 0
x x 0
Lim f(x) g(x) Lim f x x x 0
x x 0
0 K 0 ; ; K 0
0
si K 0 K ;
5 21 5 2 25
K 0 ;
K
(si K 0)
K si K 0
;
K ;
; si 0 K 1 0 K ; si K 1
0 0
Lim k f x k Lim f x k L
xx0
;
K
0 ; si K 0
; si K 0
FORMAS INDETERMINADAS:
entonces se cumple que: 1. Lim k k
3.
x 1
4
FORMAS DETERMINADAS Si K IR y K 0, entonces:
ε
TEOREMA: Sean f y g dos funciones reales de variable real tal que Lim f(x) L , Lim g(x) M y k IR una constante
2.
Lim x3 1 . Lim x 4 2
x
Lim x 1x 2 3 4 Lim 5 x 1x 2 5 x 1 3
f(x)
x0 -
32 2 52 2 4 2 = 6 3 23 2
L
x x 0
x -1
x x0
Lim gx L M x x 0
;
; 0 .
;
00 ;
; 1 ;
0 ;
Si en el cálculo del límite aparece alguna de éstas formas lo que se hace es levantar la indeterminación de la siguiente forma. 1. Si se tiene el límite de un cociente de dos funciones polinómicas f(x) y g(x) y
lim
x x0
f ( x) 0 . Se procede a g ( x) 0
levantar la indeterminación, para lo cual hay que factorizar y
39
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO simplificar factores de la forma (x – x0 ) tanto en el numerador como en el denominador
Geométricamente:
NOTA:
Y f(x)
a n b n (a b)(a n 1 a n 2 b a n 3 b 2 a n 4 b 3 ... b n 1 ) n ℤ, n par o impar
L
a n b n (a b )(a n 1 a n 2 b a n 3 b 2 a n 4 b 3 ... b n 1 ) n ℤ, n impar
Ejemplo : 1 Si f ( x )
1 1 x
2 1 x
2
entonces halle el valor de lim f x x1
RESOLUCIÓN
1 2 1 2 Lim (Indeterminado) x 1 1 x 1 x 2 0 0 1 2 1 x 2 Lim = Lim 2 x 1 1 x 1 x x 1 1 x 2 x 1 1 Lim 2 x 1 1 x 1 x
x0
X X
II) Limite por la izquierda de x0 Consideremos una función definida en el intervalo abierto a , x 0 . Se dice que L es el límite lateral de f cuando x tiende hacia “ x ” por la izquierda y se denota por: 0
lim f ( x) lim f ( x) L
x x0
x x0
x x0 y se define de la siguiente manera: Geométricamente:
Y
L
2. Si en el numerador y/o denominador intervienen radicales, se procede a levantar la indeterminación, lo cual se consigue racionalizando el numerador y denominador NOTA: n a n -1 n a n 2 . n b n a n 3 . n b 2 n n ab a b n n 1 ... b Teorema 10.
f
f(x)
f
X
x0
x
El límite de f existe y es único, cuando x tiende al valor de “ x ”, 0
n a n -1 n a n 2 . n b n a n 3 . n b 2 si y sólo si existen los límites laterales y además son iguales n n a b ab lim f ( x) L lim f ( x) L lim f ( x ) n n 1 x x0 x x0 x x0 ... b
Ejemplo : 3
3. Para facilitar el cálculo de limites indeterminados de la forma
0 y es conveniente hacer uso de la regla de L’ 0 Hospital, lo cual se podrá aplicar cuando se vea el estudio de derivadas de funciones reales de variable real. LÍMITES LATERALES I) Limite por la derecha de x0 Consideremos una función f definida en el intervalo abierto x 0 ; b . Se dice que L es el límite lateral de f cuando x tiende hacia “ x 0 ” por la derecha, lo que se denota por :
lim f ( x) lim f ( x ) L y se define de la siguiente
x x0
x x0 x x0
Lim f(x) L 0, () 0 / si 0 x - x f (x) - L
40
x2
i ) Lim f x Lim 6 x 6 2 4 x 2 x 2
o
x 2x 2 x2 4 Lim x 2 x 2 x 2 x 2
ii) Lim f x Lim x 2
x<2 Lim x 2 4
x 2
manera: x x o
x2 4 ; si x 2 entonces halle el valor de Si f x x2 6 x ; si x 2 Lim f x , si existe
como:
Lim f x 4
x 2
Lim f x Lim f x
x 2
x 2
,
entonces
existe
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO f (x)
CONTINUIDAD Definición: Sea I⊂ℝ, se dice que f : I →ℝ / y = f(x) es continua en un punto x I si se , cumple que: 0
Y f(x)
(x;f(x))
0 , 0 / x I x x 0 f ( x) f ( x 0 )
LT
Definición: Sea I⊂ℝ, se dice que f : I→ℝ / y = f(x) es continua en un punto x I si se ,cumple que: 0 i) f ( x0 ) existe ii)
LS
LN
f(xo)
P
0
xo
x
X
lim f ( x ) , existe ; y
x x0
iii) lim f ( x ) f ( x 0 )
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
x x0
DERIVADA Definición: Sea f : I⊂ℝ → ℝ/ y = f(x) una función, la derivada de la función f denotada por f´, es la función definida por:
f ' ( x ) lim
h 0
f ( x h) f ( x ) h
, si el límite existe.
En consecuencia: i) La pendiente de la recta secante
L es: S
f ( x) f ( x 0 ) m S tan x x0 ii)
La pendiente de la recta tangente L
Definición: Si f‘( x ) existe entonces se dice que la función f es una función derivable ∀x∊I⊂ℝ.
mT tan lim
x x0
T
es:
f ( x) f ( x0 ) f ' ( x) x x0
Definición: Sea f : I→ℝ / y = f(x) una función y sea x 0 I un punto, la REGLAS DE DERIVACIÓN DE FUNCIONES ALGEBRAICAS Sean f,g : I⊂ℝ ℝ / y1 = f(x) , y2 = g(x) dos funciones derivada de la función f es la función denotada por f ’, tal que derivables en todo punto x I y sea c ℝ , entonces se su valor de la función en el punto x 0 I está dada por: cumple las siguientes propiedades. f ( x) f ( x 0 ) i) f ( x ) x f ' ( x ) 1 f ' ( x ) lim , si este límite existe.
x x0
x x0
x .
0 Derivadas laterales Definición: Si la función f está definida en x 0 , entonces la derivada por la izquierda de f es x 0 se denota por
f ' ( x0
f ( x) f ( x 0 ) ) lim , si existe el limite x x0 x x0
por f ' ( x 0
de
f
en
x 0 se
iii)
f ( x ) g ( x ) ' f ' ( x ) g ' ( x ) v) ( f ( x ).g ( x )) ' f ' ( x).g( x ) f ( x).g ' ( x )
iv)
'
1 g (x)
vi)
g ' (x) ; g (x) 0 2 g (x)
'
vii) f ( x ) g ( x ) . f ' ( x ) g ' ( x ) . f ( x ) ; g ( x ) 0
g (x) 2 f g ' x f ' g x g ' x g (x)
viii)
Definición: Si la función f está definida en x 0 entonces la derivada por la derecha
f (x ) c f ' ( x) 0 ( c f ( x )) ' c . f ' ( x )
ii)
Definición: Si f ‘( x ) existe, entonces se dice que f es derivable en el punto 0
denota
f ( x) f ( x0 ) ) lim , si existe el limite x x0 x x0
Teorema: La función f es derivable en el punto x 0 , si y solo si, las derivadas por la izquierda y por la derecha de x 0 existen y son iguales. Es decir:
f ' ( x0 ) f ' ( x0 ) Teorema: Si la función f es derivable en el punto x 0 , entonces f es continua en el punto x 0 .
'
ix) f n( x) n f n 1(x ) . f ' ( x) ; n Z
'
x) e f ( x ) ef ( x ) . f ' ( x )
xi) xii)
f (x)
' 2 f ' (fx()x )
ln ( f (x ) ) '
f ' (x ) f ( x)
' f ( x) f (x) xiii) a a . ln a . f ' ( x ) ; a 0 ; a 1
xiv)
f (x) '
f (x ) . f ' ( x) f (x)
41
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO 3x 2 ; x 2 es derivable en x= 2 entonces el mx n; x 2
11. Si f x
PREGUNTAS PROPUESTAS Nº 8
4 x4 9 x3 3x2 5 x 3
1. Al calcular lim
3x4 9 x3 9 x2 3x
x 1
A) 2/3
B) 7/3
valor de “m+n” es: A) 15 B) 20
se obtiene:
C) 0
D) 1
x 2 nx 3 x 3n n 2 27 entonces la suma de los x n xn
2. Si lim
valores de “n” es: A) 1 B) -1
C) 0
x2 1
3. Si lim
x 1 ax
2
D) 6
B) -2
C) 0
D) 1
A) x
h0
A) a
B) 2
C) b
D) x
E) h
2x 4 entonces el valor de x
valor de fl(2) es: A) 5 B) 0
“a.b” es: A) 85
lim f ( x ) es: C) 2
D) ∄
C) 1
E) 1
B) 90 3
15. Al Calcular lim A) 1/3
6. Si lim
A) a+b
B) a/b
C) 1
D) a-b
x 2 2.3 x 1
x 12
E) 0
D) 3
lim f ( x ) es: B) -32 2
9. Al calcular lim
x2 4 x 3 B) 2
E) -35
2
x 2x 6 x 2x 6
x 3
A) -1/3
D) 22
C) -3
se obtiene:
D) -1
E) 1/3
42
B) 6
el valor de A) 2/a
C) -11
D) 15
C) 12
D) 1/9
E) 11
E) 4
f
,
b ( ) es: a
B) 4/b
C) a-b
x2 a2 x x2 a2 x B) 2/a
D) a+b
E) 0
) entonces el valor de f l(0) es:
C) 0
D) 1
E) a
x 2 sgn( x 2 1 1); x 2 18. Sea la función f x 1 ( x 4 sgn( x 2 1 1)); x 2 5 entonces el valor de A) 2
x3 10. Si f x entonces el valor de f’(2) es: 2x 5 A) 5
se obtiene:
x
A) 2a C) 30
E) 70
Si f(x)= (a b ) a y b son constantes, entonces
17. Si f ( x ) ln(
x 2
A) -20
16.
E) 5
8. Sea f x (2 x 3 x ). 1 x entonces el valor de 2
B) 1/8
D) 80
5
x 4 x2 x 1 ;x 1 7. Si f x es continua, entonces el x 1 A; x 1 valor de “A” es: A) 8 B) 7 C) 6
E) 7
, entonces el valor de
C) 100
x 1
f ( x) 1 1 entonces el valor x 0 x f (ax ) f (bx) de E lim es: x 0 x
E) 3
D) no existe
además f es derivable en todo
x2
B) 0
D) 0
1 3 2 ax 4 x ; x 2 14. Si la función está definida por f(x)= bx 3; x 1 2
5. Sea la función f(x)=
A) 3
C) x/2
3 4( x 1) 2 ; x 2 f es continua, entonces el x 3; x 2
E) 5
f ( x h) f ( x) ; h 0 es: h
entonces el valor de E lim
B) 7
13. Si f(x)=
f : R R / f ( x) ax b; a 0
4. Dada la función
E) 7
x2 1 entonces el valor de f’(x) es: x 2 2
es A) 2
D) 0
12. Si f(x)=
E) 5
L; L 0 entonces el valor de “a+b”
2x b
C) 10
E) 5/7
B) 4
lim f ( x ) es:
x 2
C) 5
D) 1
E) 0
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19. Si f ( x 3) g ( x ) además f’(5)=8, entonces el valor de gl(4) es: A) 2
B) 4
20. Sea g ( x ) f ( todo A) -2
C) 5
D) 1
E) 0
x2 1 ) si f es una función diferenciable en x 1
con fl(1)=2, entonces el valor de g l(0) es: B) 2
C) -3
D) 1
E) 0
43
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CLASES DE PROPOSICIONES
1. PROPOSICIONES SIMPLES (PS) UNIDAD Nº 01
DEFINICIÓN: Es una ciencia formal que trata de las leyes, modos y formas del raciocinio humano. Establece si la conclusión es consecuencia de las premisas, es decir, si es válida una inferencia.
PROPOSICIÓN (P): Es una oración aseverativa, declarativa completa con un significado definido de la cual puede decirse si es verdadera (V) o falsa (F), por lo que se le llama proposición cerrada, en caso contrario, se le llama proposición abierta, la que se convierte en cerrada cuando los elementos arbitrarios o variables se sustituyen por elementos definidos o cuando es cuantificable. Los valores de verdad de una proposición son: Verdadero (V) y Falso (F). Ejemplo p : 13 7 20 PV; PVVD; Prop. Cerrada
q : 3! 3 r : x 7 12
PF; PVVD; Prop. Cerrada Prop. Abierta; PVVND
EXPRESIÓN NO PROPOSICIONAL (ENP): Es una frase que no es proposición abierta o cerrada. Se consideran como expresiones no proposicionales a las interrogaciones, exclamaciones, emociones, sentimientos, órdenes, directivas, etc. Ejemplo ¡Vamos! Deténgase ahí Te amo ENP, es un sentimiento CONECTIVOS PROPOSICIONALES (CP): Son términos que se usan para relacionar una o más proposiciones: CONECTIVO PROPOSICIONAL FUNDAMENTAL
No … …y… …o… (incluyente)
SÍMBOLO
~ Λ
o…o… (excluyente)
Si … entonces … si y sólo si …
Son aquellas que no poseen conectivos proposicionales. Se simbolizan mediante letras minúsculas o letras minúsculas con subíndices. El valor de verdad de las proposiciones simples no lo determina la lógica sino las ciencias particulares, o los hechos, o las circunstancias con las cuales están relacionadas. Ejemplos p : La vista es el órgano de la visión, PS, PSF, PS cerrada. q : 3x 7 5 , PS, PS abierta.
LÓGICA
→ ↔
REGLAS
r : x R, 2x 8 23 , PS, PS cerrada
2. PROPOSICIONES COMPUESTAS (PC) Son aquellas que poseen por lo menos una proposición simple y un conectivo proposicional. Es común identificar una proposición compuesta con el símbolo que se le ha asignado. Ejemplo 2 x 8 3 7 , PC, PC abierta.
4 2 3 ! 6 , PC, PCV, PC cerrada.
TABLAS DE VALORES DE VERDAD (TVV) Es un diagrama en el que se presenta y visualizan el valor
de verdad de una PC cerrada, o las posibilidades de valor de verdad de una PC abierta; en el cual, el: N° de columnas = N° de PS (cerradas o abiertas) n
n n valores verdaderos y falsos. 2 2
TIPOS DE PROPOSICIONES COMPUESTAS ELEMENTALES: Se llaman elementales a las que poseen a lo más 2 PS y un CP
.
NEGACIÓN p V F
Es el más débil de todos Tienen igual potencia entre si, pero son más potentes que . Para indicar el conectivo dominante (CD) de una proposición compuesta se recurre al uso de los signos de puntuación o agrupación. Deben usarse el menor número de signos de puntuación o de agrupación Son igualmente potentes entre si, pero son más potentes que los anteriores, vale aquí la indicación anterior.
0
N° de filas = 2 n N de PS abiertas
PS P
q
V V F F
V F V F
~ p F V
CONJUNCIÓN
DISYUNCIÓN INCLUSIVA
DISYUNCIÓN EXCLUSIVA
p Λ q
p ν q
p q
V V V F
F V V F
V F F F
En una proposición compuesta predomina la de mayor potencia, salvo que los signos de puntuación o de agrupación indiquen lo contrario.
45
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO PS p
q
V V F F
V F V F
CONDICIONAL
BICONDICIONAL
p → q
p ↔ q
V F V V
V F F V
Se leen: ~ p : no p; es falso que p; no es cierto que p, no es verdad que p. p q : p y q; p a la vez q; p pero q; p sin embargo q; p aunque q; p no obstante q; … p q : p o q; p y/o q
p q : o p o q; p o q pero no ambas p q : Si p entonces q; p es condición necesaria para q.
p q : p si y sólo si q; p es condición necesaria y suficiente
Donde: p es el antecedente y q es el consecuente
para q.
CLASES DE PROPOSICIONES COMPUESTAS ABIERTAS: Una proposición abierta es una: Tautología (T) Si y sólo si en su TVV, todos los valores de verdad del conectivo dominante son V. Contradicción (C) Si y sólo si en su TVV, todos los valores de verdad del conectivo dominante son F. Contingencia Si y sólo si en su TVV, todos los valores de verdad del conectivo dominante hay por lo menos una V y una F. IMPLICACIÓN (I) (P implica Q) (P→Q es una tautología), lo que se denota con P Q . Ejemplo
P:p qr P Q.
Si
y
Q: p q p r
entonces
NO IMPLICACIÓN (P no implica Q) ( P Q no es una tautología), lo que se denota con
P Q.
INFERENCIA Definición: Es una estructura de proposiciones en donde a partir de una o más proposiciones llamadas premisas se obtiene otra que es la conclusión, haciendo uso de las IN y de las EN. Ejemplos 1. 4 9 9 17 4 17 2. Todas las mujeres son mortales. Maritza es mujer. Por lo tanto, Maritza es mortal. EQUIVALENCIA (E) (P es equivalente a Q) ( P Q es una tautología), lo que se denota con P Q . NO EQUIVALENCIA (P no equivalente a Q) ( P Q no es una tautología), lo que se denota con P Q . EQUIVALENCIAS NOTABLES (EN) Doble Negación ( DN ): p p p p Idempotencia ( Idem ): p p p p p p Conmutatividad ( Conm ): p q q p p q q p Asociativa ( Asoc ) : p q r p (q r) (p q) r p q r p (q r) (p q) r Distributividad ( D ): p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r) De Morgan ( DM ): (p q) p q (p q) p q Condicional ( Cond ): p q ( p q) (p q) ( q p) Bicondicional ( B ): p ↔ q (p q) (q p) ( p q) ( q p) (p q) ( p q) De Absorción ( Abs ): p (p q) p p ( p q) p q p (p q) p p ( p q) p q De La Disyunción Exclusiva ( DE ): p q (p q) (p q) (p q) (p q) De La Complementación ( Comp ): p p T p p C T C C T De La Identidad ( I ): pT p pCC pT T pCp
IMPLICACIONES NOTABLES (IN)
MODUS PONENDO PONENS (MPP):
p q p q
MODUS TOLLENDO TOLLENS (MTT):
p q ~ q ~ p
MODUS TOLLENDO PONENS (MTP)
p q ~ p q p q ~ q p
LEYES LÓGICAS Son las I N y las EN.
TRANSFORMACIÓN Y SIMPLIFICACIÓN PROPOSICIONES Transformar una proposición es convertirla en equivalente más sencilla, de ser posible.
SIMPLIFICACIÓN (s)
pqp pqq
SILOGISMO HIPOTÉTICO (SH)
p q q r p r
46
DE otra
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO Simplificar una proposición es transformarla en otra equivalente que posea el menor número de proposiciones simples y de conectivos proposicionales, haciendo uso de la EN.
CUANTIFICADORES: CuantificadorUniversal: Se denomina así a la expresin: “Para todo … se verifica …”, y se por “ ”.
1. AL marcar verdadero o falso según corresponda: I) le
simboliza
CUANTIFICACIONES: A partir de las proposiciones abiertas se pueden obtener proposiciones cerradas, por ejemplo, mediante el proceso de cuantificación, es decir, usando cuantificadores.
CuantificaciónUniversal en la variable x: Se denomina así a la expresión: “Para todo x se verifica p (x)”, y
se le simboliza por
x : p (x).
Cuantificación Existencial en la variable x: Se denomina así a la expresión: “Existe al menos un x tal que se verifica p (x)”, y se le simboliza por (x).
x / p
, se obtiene:
IV) A) VVVV
B) VFVF
C) VFFF
D) FVVV
2. Si la proposición
es falsa, al
determinar el valor de obtiene: A) VFVV
B) VFVF
E) FFFF
y C) VVVF
respectivamente, se D) FVFV
E) FFFF
3. En el enunciado “Ni eres galán de telenovela ni estrella de rock”; su negación equivale a: A) No es cierto que seas, galán de telenovela y estrella de rock. B) Eres galán de telenovela y estrella de rock C) No eres galán de telenovela o no eres estrella de rock D) Eres galán de telenovela o estrella de rock E) Eres galán de telenovela o no eres estrella de rock 4. Dadas las proposiciones lógicas
Variante de la Cuantificación Existencial en la variable x: Se denomina así a la expresión: “Existe un único x tal
II) III)
Cuantificador existencial: Se denomina así a la expresión: “Existe al menos un … tal que se verifica … “, y se le simboliza por Variante del Cuantificador Existencial Se denomina así a la expresión: “Existe un único… tal que se verifica “y se simboliza por
PREGUNTAS PROPUESTAS Nº 1
que se verifica p(x) ” y se le simboliza por: ! x / p x Negación de Cuantificaciones:
x : p(x) x / p(x) x / p(x) x : p(x)
Al simplificar: A)
, se obtiene: B)
C)
D)
E)
es F entonces
5. Si la proposición los valores de verdad de:
VALOR DE VERDAD DE LAS CUANTIFICACIONES: a) Una cuantificación universal es V si y solo si son V todas las proposiciones particulares asociadas a la proposición abierta que forma parte de ella. b) Una cuantificación existencial es V si y solo si es V alguna de las proposiciones particulares asociadas a la proposición abierta que forma parte de ella.
I. y
II. III. son respectivamente: A) FVF B) FFF
C)VVV
D)VVF
E)FFV
6. De los siguientes esquemas proporcionales: I.II.- ~ p ~ q p q
~ p ~ q ~ q ~ p q q IV.- p q p ~ q q III.-
son equivalentes: A) I y II
B) I, II y III C) II,III y IV D) II y III E) I y III
7. Si la proposición es F , entonces el número de valores verdaderos del conectivo
47
UNIVERSIDAD NACIONAL “SAN LUIS GONZAGA” DE ICA
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO dominante de la tabla de verdad de es: A) 0
B) 1
C) 2
13.
D) 3 F
8. Si la proposición:
E) 4 es V entonces
s q p s ,
los valores de verdad de:
(s q ) ( p s ) y ~[p~s] respectivamente, son:
A) VFV
B) FF F
C)VVV
D)FVV
E) VFF
y las siguientes proposiciones
9. Si I.
14.
De la proposición: “si no tengo plata entonces no voy al cine” se concluye que: A) Si no tengo plata, no voy al cine B) Si voy al cine, tuve plata C) Si no voy al cine, no tuve plata D) Si tengo plata, no voy al cine E) Si tengo trabajo, iré al cine
Al simplificar ~ ~ p q ~ p q p ~ q se obtiene: A) p ~ q
C) ~ p q
B) ~ p q
D) ~ p q
E) p q
II.
15. De los siguientes esquemas:
q r ~ p r
III.
p p q p ~ p q ~ r ~ r ~ p ~ q
IV. V. VI. Si M es el número de proposiciones lógicas verdaderas, N es el número de proposiciones lógicas falsas, entonces la relación correcta entre los valores de M y N es: A) M>N B) 2M=N C) M
esta definida por la TVV
En el orden dado las que son tautología (T), contingencia (S) o contradicción (C) : A) T ,C ,S B) T, S , C C) C ,T , S D) S , T , C E) S , C , T ; p # ~ q p q ~ p. Al
16. Si : p q p ~ q simplificar:
p q p q # p q se obtiene:
A) ~ p q
B)
D) ~ p ~ q
C)
E)
17. Si el conectivo proposicional “*” , está definido por la TVV:
Entonces al construir la TVV de Conectivo dominante se obtiene: A) 2V B)3V C)2F 11. Si
en su D)4F
E)4V
es una raíz de
Entonces al construir la TVV de (p*q) *~p, se obtiene una: A) Tautología B) Contradicción C) Contingencia D) Equivalencia E) Implicaciòn 18. Al negar y simplificar: x / p ~ q x / ~ p q
. se
obtiene: A)
B)
D)
E)
C)
mediante pq ~ p ~ q. Al pq q pp ~ p se obtiene:
19. Si se define el operador Entonces el menor valor positivo de m es 5. Entonces el número de proposiciones falsas, es: A) 0 B)1 C) 2 D) 3 E) 4
simplificar M A)
B) q
C)r
D)
E)
20. Si la siguiente proposición es falsa: 12. Si
es falsa, al determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I.-(p Chile se encuentra al este de Argentina entonces el número de proposiciones verdaderas, es: A)0 B)1 C)2 D)3 E) 4
48
II.-(
) )
III.-(t se obtiene: A) VFV
(p
(p )
) )
(p ) B)FVF
C)FFV
D)FVV
E)VFF
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO Sub Conjunto Propio (Sp)
A sp B A B B A
UNIDAD Nº 02
TEORÍA DE CONJUNTO
Conjunto: Es un término no definido, porque es un concepto de primer orden. Los conjuntos se simbolizan con letras mayúsculas o letras mayúsculas con subíndices. Los elementos del conjunto se escriben entre llaves y separados por puntos y comas. Ejemplos A = { -12 ; -3 ; 0 ; 4 ; 7 } y n(A) = 5 = número de elementos de A B = { x ℝ / x2 – 4 = 0 } = { – 2 ; 2 } DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS: Por Extensión: Cuando es posible dar una lista explícita de todos sus elementos. Ejemplo
A 2; 4; 6 n( A ) 3
Por Comprensión: Cuando es posible enunciar una propiedad P (Relación de definición) que caracterice a sus elementos y que lo denotamos con: A x U / P( x ) , donde: U es el conjunto universal; P(x) es la relación de definición, y que se lee: A es el conjunto de los objetos x de U, tales que, dichos x cumplen la propiedad P. Ejemplo
Comparabilidad (Comp) A comp B ↔ A ⊂ B ∨ B ⊂ A No Comparabilidad (Comp)
A comp B A B B A Igualdad ( = ) A = B ↔ A⊂B ∧ B⊂A x : x A x B P.1. P.2. P.3.
No Igualdad ( ≠ ) A≠B↔A⊄B ∨B⊄A P.1. A :
2
CONJUNTOS ESPECIALES Conjunto Vacío: Es el que carece de elementos. Se le simboliza por { } o por , y
n 0
Conjunto Unitario: Es el que consta de un solo elemento. Conjunto Finito: Es el que consta de n elementos diferentes y nℕ Conjunto Infinito: Es el que no es finito. Conjunto Universal (U): Es el conjunto formado por todos los elementos de la teoría en discusión.
A
DIAGRAMAS Diagramas de Venn Son regiones planas limitadas por líneas geométricas cerradas de forma triangular, rectangular, circular, elíptica, etc. Ejemplo
.y B .x
A x ℕ / x 7 13 6
B x ℤ / x 64 0 8 ; 8
A : A A AB : A B B A ABC : A B B C A C
A o
.x
A
B
A sp B ; A B
A=B
Diagramas Lineales Permiten visualizar algunas relaciones entre conjuntos enlazándolos mediante segmentos de recta (verticales uoblícuos). Ejemplo B ó ● A A B A = B Diagrama de: Carrol Lewis
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS Dados los conjuntos A, B y C, se tiene: Inclusión ( )
A
Veitch:
Ac
A
A B x : x A x B , se lee:A está incluido en B,
C
A está contenido en B; A es subconjunto de B.
Ac
B
Total
Bc
n ( X A) 2
n ( A)
n ( X A X ) 2 n ( A) 1
Propiedades 1.
D
A : A
Total
2. A : A A 3. ABC : A B B C A C
No Inclusión ( ⊄ )
A B x / x A x B
Disjunto (disj) A disj B
x : x A x B
OPERACIONES CON CONJUNTOS
POTENCIACIÓN: P( A ) x / x A , donde:
X P( A ) X A Equivalentemente X ∉ P(A) X ⊄A
49
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO P.1. A : P( A ) P.2. A : A P( A ) P.3. A : n( P ( A)) 2
n( A)
n( X A )
P.4. AB : A B P ( A) P ( B ) P.5. AB : A B P ( A) P ( B )
REUNIÓN O UNIÓN: A B x/x A donde: x ( A B ) x A x B
x B
b.2. A A A
De la Complementación c c.1. A A U
c.2. A A
c c.3. A
c
A B x / x A x B , donde
Si A comp B:
c
A
De la Conmutatividad d.1. A B B A
x ∉ (A B) x ∉A x∉B INTERSECCIÓN:
De la Idempotencia b.1. AUA A
d.2. A B B A
De la Asociatividad e.1. A B C A (B C ) ( A B ) C e.2. A B C A (B C ) ( A B ) C
A B A A B B
A B A B
De la Distributividad f.1. A ( B C ) ( A B ) ( A C) f.2. A ( B C ) ( A B ) ( A C) De “De Morgan”
Si AcompB:
c
c
c
c
c
c
g.1. ( A B ) A B
A B
A B
SUSTRACCIÓN O RESTA:
SUSTRACCIÓN SIMÉTRICA:
A B x / x A x B
AB x / x A x B x / ( x A x ∉ B ( x ∉ A x B
COMPLEMENTACIÓN RELATIVA: A B A x / x B x ∉ A B
COMPLEMENTACIÓN ABSOLUTA:
A U A x / x U x ∉ A A ' U c
A
.y
h.3. A ( A B ) A
c
h.4. A ( A B ) A B h.5. A ( A B ) A ( A B ) Sustracción
c
.x B . y A
c
h.2. A ( A B ) A B
i.1. A B A B ( A B ) B
COMPLEMENTACIÓN:
g.2. ( A B ) A B Absorción: h.1. A ( A B ) A
.x Ac
i.2. A B i.3. A ( B C ) ( A B ) ( A C ) i.4. A ( B C ) ( A B ) ( A C ) i.5. A ( B C ) ( A B ) ( A C ) i.6. A A i.7. A U i.8. i.9.
A
Conjunto Potencia j.1. P ( A B ) P ( A ) P (B ) j.2. P ( A B ) P ( A ) P (B ) Diferencia Simétrica k.1. A A k.2. A A
ALGEBRA DE CONJUNTOS Propiedades. De la Identidad
A A
A U U
A
A U A
50
k.3. A B B A k.4. A B C A ( B C ) ( A B ) C K.5. A ( B C ) ( A B ) ( A C ) k.6. A B ( A B ) ( B A ) K.7. A B ( A B ) ( A B )
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO NÚMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO P.1. AB : A B n(A B) n(A) P.2. AB : A B
n(A B) n(A) n(A B) P.3. A B C : A ( B C ) ( A B) ( A C ) P.4.
A B C : A ( B C ) ( A B) ( A C )
PREGUNTAS PROPUESTAS Nº 2
2
2
2
2
1. Dados A a b c ; d e B c 1; d e 4;5 si A=B, A es unitario, c a b y son no negativos. El valor de
d P.5. A B C : A B C n ( A B C ) n ( A) n ( B) na( Cb) c e , es:
P.6. A B C : A B C
n(A B C) n(A) n(B) n(C) n(A B) n(A C) n(B C) n(A B C)
P.7. n P( A B) 2
n ( A B)
nP( A) P(B)
A) 12
B) 11
C) 10
D) 13
E) 7
2. El número de subconjuntos propios que tiene el conjunto potencia de A 5;12; 5;12;5; 12 , es: 16
A) 2
1 B) 2 32 1
C) 2
64
D) 2
64
1
E) 2
64
3. Sea el conjunto A 3; 4;5 entonces es falsa: A) 3 P A
B) 4;5 P A
D) 4;5 P A
C) A P A
E) A
4. Sean los conjuntos A, B y C tales que n E 93 ,
n A n B 41 , nC 48, n A B C 9 , nB C A 7 , nA B C 18 Entonces, n A B C A) 3
es:
B) 5
C) 4
D) 6
5. Dados los conjuntos: U 1;0;1;2;3;4 ;
B 2;3;4 Si .
E) 7
A 1;0;1
;
M x U / x A x B ;
N x U / x B x A , entonces M N es:
A) 0
B) ø
C) A
n A 1
6. Si
y
B n 1;2 m 3 y de
K mn p
A) 10
B) 14
BC
D) B donde
E) U
A 2 p; m
,
C n 5;2 p 1 entonces el valor es: C) 11
D) 13
E) 12
A, B, C se tiene los siguientes datos: y nBxC 98 n A n C 26 , el
7. Dados los conjuntos
n AxB 84 ;
número de subconjuntos propios de B es: A) 1023 B) 511 C) 283 D) 63 8. Si M, N
E) 127
y P son conjuntos tales que: M N P
al
simplificar
M P N P M N P N M ,
obtiene: A) M
B)N
C)P
D) N-M
se E)P-N
9. Si A es un conjunto de 8n elementos , B un conjunto de 5n elementos y tienen 2 n 1 elementos comunes; además
n A B n B A 12 ; entonces el número de
subconjuntos propios que tiene A B , es: A) 121 B) 125 C) 123 D) 127
E) 129
51
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO 10. Dado: A 1; 2; 1; m; n; p y las proposiciones:
1;2 A 1;2; m A 1 A m; n A 1; 1 P A PA
A
A
El número de proposiciones falsas, es: A) 1 B) 2 C) 3 D) 4
17. De un grupo de alumnos, se observa que los que practican futbol también practican básquet y los que no practican futbol son 220; además los que no practican básquet ni vóley son 129 y los que practican básquet o vóley pero no futbol son 7 veces los que practican futbol; entonces el número de alumnos que conforman el grupo, es: A) 220 B) 225 C) 228 D) 230 E) 233
E) 5
11. Un grupo de 100 chicas consta de 70 morenas y 30 rubias; de las rubias 25 tienen ojos azules y el resto tienen ojos pardos, de las morenas 55 tienen ojos pardos y el resto tienen ojos azules. Entonces la diferencia de chicas morenas de ojos azules y rubias de ojos pardos es: A) 10 B) 12 C) 8 D) 6 E) 9 12. En un salón de clases de 120 alumnos se sabe que hay 30 hombres provincianos; hay 40 mujeres limeñas y el número de mujeres provincianas excede en 10 al número de hombres limeños. El número de hombres que hay en el aula, es: A) 20 B) 30 C) 40 D) 50 E) 60 13. En un salón de clases donde hay 60 alumnos, se observa que 6 veteranos usan bigotes y 4 mujeres veteranas usan falda; 32 veteranos no usan falda; 9 mujeres usan falda y 8 hombres usan bigotes. El número de no veteranos que no usan bigotes ni falda, es: A) 15 B) 19 C) 16 D)20 E) 17 14.
En una competencia atlética con 12 pruebas participaron 42 atletas, siendo los resultados: 4 conquistaron medalla de oro, plata y bronce; 6 de oro y plata, 8 de plata y bronce; 7 de oro y bronce. El número de atletas que no conquistaron medalla, es: A) 18 B) 20 C) 23 D) 24 E) 25
15. Si A y B son conjuntos comparables no vacíos. El número de subconjuntos propios del conjunto potencia de A es 255, además B tiene tres elementos más que A, entonces la cantidad de subconjuntos propios no vacíos que tiene B, es: A) 62 B) 25 C) 10 D) 30 E) 20 16. En una encuesta realizada a 400 estudiantes sobre la preferencia de un determinado curso A, B y C ; 195 estudiantes prefieren el curso A ; 180 el curso B; 180 el curso C y 25 los tres cursos; entonces los estudiantes que prefieren solamente dos cursos, es: A) 101 B) 105 C) 113 D) 107 E) 109
52
18. En un salón de clases, 35 alumnos aprobaron matemática, 35 alumnos aprobaron comunicación y 43 aprobaron historia. El número de alumnos que hay en el aula de clase, si 20 alumnos aprobaron los tres cursos y no hay alumnos que hayan aprobado exactamente dos cursos y que hayan sido desaprobados en los tres cursos, es: A) 73 B) 70 C) 65 D) 60 E) 55 19. En una encuesta a 1000 estudiantes de Universidades Particulares (U.P) y Universidades Nacionales (U.N) sobre su creencia en Dios, se obtuvo: De los 600 hombres sólo 200 son creyentes de (U.N) ; 150 son ateos de los cuales 50 son de (U.P) Las mujeres ateas de (U.P) es la mitad de los hombres ateos de (U.N) Hay 400 creyentes de (U.P) entonces el número de mujeres de (U.N) es: A) 200 B)120 C) 180 D) 105 E) 133 20. A una fiesta asistieron 200 personas, de las cuales 60 no fueron con zapatillas. Se observó que algunos tomaban gaseosa, pero lo curioso fue que todos los que tomaban gaseosa fueron con zapatillas y ninguna mujer tomaba gaseosa. Si 8 tomaban gaseosa y el número de hombres con zapatillas fue el triple del número de mujeres con zapatillas. Entonces el número de hombres que no tomaban gaseosa y que fueron con zapatillas, es: A) 77 B) 87 C) 78 D) 98 E) 97
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO UNIDAD Nº 03
NUMERACIÓN
21 25
Luego:
(8 )
41 210 (5 ) ( 3)
De donde, afirmamos que: “En una igualdad de dos números, a mayor numero aparente le corresponde menor base y viceversa”.
Es la parte de la Aritmética que se encarga de estudiar a los números en su formación, escritura y lectura para lo cual el hombre ha ideado los sistemas de numeraciones, el cual es un conjunto de reglas, principios y convenios, que sirven para formar a los números y operar con ellos. NÚMERO: Es un ente matemático que nos permite cuantificar los elementos de la naturaleza, el cual nos da la idea de cantidad, su representación gráfica geométrica es un número. Actualmente se usa el sistema de escritura Indo – Arábico. Ejemplo: 5 = cinco = five = PRINCIPALES PRINCIPIOS DEL SISTEMA POSICIONAL DE NUMERACION Principio del Orden Toda cifra de un número posee un orden, el cual se lee de derecha a izquierda, enumerándoseles empezando del orden uno. No debemos confundir el ORDEN con el LUGAR que ocupa la cifra. Al indicar lugar nos referimos a su ubicación enumerándolas de izquierda a derecha, empezando del primer lugar. Ejemplo: En el siguiente numeral 5847, se observa:
tres
dos
5
8
4
1er
2do
3er
Por convención, cuando la cifra es mayor que 9 se utilizan letras griegas para su representación: = 10 ; = 11 ; = 12 ; = 13; . . . . .
Nombre
Base
uno
(13 )
Cifras – Dígitos – Guarismos
Binario
0; 1
3
Ternario
0; 1; 2
4
Cuaternario
0; 1; 2; 3
5
Quinario
0; 1; 2; 3; 4
6
Senario
0; 1; 2; 3; 4; 5
7
Heptanario
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6
8
Octonario
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7
9
Nonario
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8
10
Décuplo
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9
11
Undecimal
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; (10)
12
Duodedimal
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; (10); (11)
Máxima
7 4to
0; 1; 2; 3; 4; . . . . . . .; (n-1) Significativas
Se denomina Base de un Sistema de Numeración, a todo número entero positivo mayor que uno, la cual nos indica la cantidad de unidades mínimas necesarias de un cierto orden para poder formar una unidad del orden inmediato superior. La base también nos indica el número de símbolos (llamados cifras), con que cuenta el sistema para poder formar los números en ella.
Conclusión:
Representar 21 unidades simples:
Cifra < Base
Representación literal de los números Cuando no se conocen las cifras del número éstos se pueden representar mediante letras.
ab 10; 11; 12; 13;......... 99
mnp 9 100 9 ; 1019 ; 102 9 ;................888 9
xyzw7 1000 7 ; 10017 ; 1002 7 ;.............6666 7
Ejemplo:
Numeros Capicúa:
Base 8
Son aquellos en las cuales las cifras equidistantes son iguales:
aa 21 =
Base 5
23
Toda cifra que forma parte de un número es un número entero menor que la base. Así en el sistema de base “n”, se pueden utilizar “n” cifras diferentes las cuales son:
- La cifra 4 es de orden dos y ocupa el 3er lugar. - La cifra 8 es de orden tres y ocupa el 2do lugar. Principio de la Base
21
(13 )
2
LUGAR
Base 10
2(10 )3(11)
Ejemplo:
Observación:
ORDEN Cuatro
PRINCIPALES SISTEMAS DE NUMERACION
25(8)
;
aba
; abba 7 ; abcba 9 ;
abccba 5
Valor Absoluto y Valor Relativo de una cifra: El valor absoluto de una cifra es el valor que tiene por su figura que representa.
Base 3
El valor relativo de una cifra es el valor absoluto con las unidades de orden al cual pertenece. 21 = 41
(5)
21 = 210
(3 )
53
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO VA = 1
Procedimiento: Divisiones sucesivas.
VR = 7.103
Ejemplo:
VA = 9
Representar 867 en el sistema octonario. 867
1
5 7 8 9 4
8
3
108
VR = 9.101
8 4
VA = 7 VR = 1.105
13
8
5
1
867 = 1543(8)
Descomposición polinómica de un numero
Casos especiales de cambio de base:
La descomposición polinómica de un numeral es la sumatoria de los valores relativos de sus cifras.
Primer caso: de Base “n” a Base “n k”, k N.
La descomposición polinómica nos permite hallar el equivalente en el sistema decimal. Ejemplos:
-
Procedimiento: El número se descompone en bloques de k cifras a partir del orden cero. Cada bloque se descompone polinómicamente y el resultado es la cifra en la nueva base.
*
42 = 4.101 + 2 = 12
*
278(9) = 2.92 + 7.91 + 8 = 233
Ejemplo:
*
4232(5) = 4.53 + 2.52 + 3.51 + 2 = 567
*
27364(x) = 2x4 + 7x3 + 3x2 + 6x1 + 4
Expresar 101112202122(3) en el sistema de numeración de base 9. Como la nueva base es 9 = 32, cada bloque tiene que ser dos cifras.
Casos Particulares
10
11
12
20
21
22
1.3 + 0
1.3 + 1
1.3 + 2
2.3 + 0
2.3 + 1
2.3 + 2
3
4
5
6
7
8
1. Cuando el numero tiene todas sus cifras iguales.
aaa ....... aaa ( n )
a nk 1 n 1
k cifras
101112202122(3) = 345678(9)
2. Para bases sucesivas: - Si a 1 entonces N=
a k .n
ab
b ( a k 1) a 1
ab k veces
ab
ab(n)
6
Si a = 1 entonces N = n + b . k
-
(n)
abc ( n ) .n 3 def
abcdef
(n)
abcd ( n ) .n 2 ef ( n )
abcdef
( n)
ab ( n ) .n 4 cdef
5 2
02
2
12
2
1
1
0
1
0
1
100
( n)
101
6452(8) = 110100101010(2) PROPIEDADES ADICIONALES: A) Numero expresado en bases sucesivas
1b
Caso 1: de Base “n” a Base 10.
1c
Procedimiento: Descomposición polinómica
Ejemplo:
1x (n)
4576(9) = 4.93 + 5.92 + 7.91 + 6 = 3390 Caso 2: de Base 10 a Base “n”
a b c .......... x n
1a
a0
a . b . c .... k . n
2 2 2
2
(n)
Cambio de Bases:
54
4 2
5
0 3
110
abcdef
*
4
6 2
3. Descomposición polinómica por bloques abcdef(n) ab(n) .n 4 cd (n) .n 2 ef (n)
*
Segundo caso: de Base “nk” a Base “n”, kN. Procedimiento: - Cada cifra del número se convierte al sistema de base “n” mediante las divisiones sucesivas. - Cada conversión debe tener “k” cifras, de no ser así se completa con ceros a su izquierda. Ejemplo: Expresar 6452(8) en el sistema de numeración de base 2. Resolución: Como 8 = 23, cada conversión debe tener tres cifras.
0 1
010
UNIVERSIDAD NACIONAL “SAN LUIS GONZAGA” DE ICA
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO b0
a b a a a .... a P
c0
" b" sumandos
k 0( n ) B) Numero formado sólo por cifras máximas.
( n 1)( n 1)( n 1)......( n 1) ( n ) n k 1
“k” cifras
CUATRO OPERACIONES Se conoce con el nombre de cuatro operaciones a una parte de Aritmética que comprende el estudio de las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división; en el conjunto de los números naturales y luego por extensión en el conjunto de números enteros. Una operación aritmética será: Directa o de composición: cuando señalados dos números cualesquiera, se obtiene un tercer número como único resultado de dicha operación. Inversa o de descomposición; cuando conocido el resultado de una operación directa y uno de los números que intervino en dicha operación, se halla el otro número. Adición (+) Es una operación directa, en la cual para dos números cualesquiera llamados sumandos, se obtiene un tercer número llamado suma o suma total. a+b=S Donde: *a y b : Sumandos *S : Suma Sustracción (-) Es una operación inversa a la adición en la cual para dos números llamados minuendo y sustraendo se obtiene un * * tercer número llamado diferencia tal que si: * M-S=D S+D=M Donde: *M : Minuendo *S : Sustraendo *D : Diferencia TEOREMA Si: a > b y
abc cba mnp m + p = 9 y n = 9 En general:
Donde: * a : Multiplicando * b : Multiplicador * P : Producto Observaciones: Una multiplicación se considera como una adición abreviada, donde los términos: multiplicando y multiplicador, son llamados factores. Algoritmo de la Multiplicación:
2
3
5
8 4
2
1
8
1
3
6
5
1
5
8
3
4
producto parcial producto parcial suma de productos
parciales
División () Es una operación inversa a la multiplicación, en la cual, para dos números llamados dividendo y divisor (este último diferente de cero), se encuentra un tercer número llamado cociente, de modo que el producto del divisor y el cociente sea el dividendo. Dd=q
→ D= d x q
Donde: D : Dividendo d : divisor (d 0) q : cociente En conclusión: Cuatro Operaciones Aritmética
Directas
* Adición (+) *Multiplicación (.)
Inversas
* Sustracción (-) * División ()
COMPLEMENTO ARITMETICO (C.A.) Se llama así, a lo que le falta a un número para ser igual a la unidad del orden inmediato superior. Representación: Sea:
N
(n )
un número de “k” cifras, entonces:
abc(n) cba(n) xyz(n) x + z = n - 1 ; y = n-1 Multiplicación (x) Es una operación directa, en la cual para dos números llamados multiplicando y multiplicador, se obtiene un tercer número llamado producto, el cual es igual a sumar tantas veces el multiplicando como lo indique el multiplicador.
7
C . A. N ( n ) n
k
N( n)
Ejemplos: * C.A (24) = 102 --- 24=76 3
* C. A.(1329 ) 9 1329 7579 Método Práctico: A la primera cifra significativa de menor orden, se le resta de la base y a las demás cifras de la izquierda se le resta de la
55
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO máxima cifra de la base. Estas diferencias obtenidas serán las cifras correspondientes en el C.A. del número. Si hay ceros después de la última cifra significativa, éstos quedan en el C.A. Ejemplos: *
C . A 999102346
*
C.A 6 6 7145000(7) 5220007
= 7654
DIVISION ENTERA Es un caso particular de la división, en la que todos los términos son números enteros. Donde conocido un número (Dividendo), al ser dividido por otro (divisor) se obtenga un tercer número (Cociente) tal que su producto con el divisor sea igual o se acerque lo más posible al dividendo. I. División Exacta Se cumple que el dividendo es igual al producto del divisor por el cociente.
PREGUNTAS PROPUESTAS Nº 3
1. El valor de “x” para que el número 62X 6 7 sea un nùmero cubo perfecto, es: a) 1 b) 2
24 19 19 19
II. División Inexacta Es la división entera en la que el producto del divisor por el cociente es diferente al dividendo.
= 5589
24 veces 19 (n)
D=d•q Donde: D, d, q Z
d0
y
a) 10
División Inexacta por Defecto Cuando el producto del divisor por el cociente (cociente por defecto: q) es menor al dividendo. El número de unidades que le falta a dicho producto para ser igual al dividendo, se le llama residuo por defecto (r). d•q
D=d•q + r
División Inexacta por Exceso Cuando el producto del divisor por el cociente (cociente por exceso:
q
e
) es mayor al dividendo. El número de unidades
que excede dicho producto al dividendo, es llamado residuo por exceso re.
dq
e
D
D d qe. re
Propiedades de la División Inexacta 1. 0 < Residuo < d Residuo mínimo = 1 Residuo máximo = d – 1
2.
r r d e
3.
qe q 1
e) 5
3. El valor de “n” si se cumple que:
d0
y
d) 4
2. Después de haber dividido 102 entre el nùmero“d”, se repite la operación con un dividendo y divisor dos veces mas pequeños y se obtienen un residuo inferior en 12 unidades al residuo anterior. Entonces la suma de todos los “d” tales que existan, es: a) 170 b) 165 c) 175 d) 185 d) 122 e) 55
D = d •q Donde: D, d, q Z
c) 3
b) 11
c) 12
d) 13
e) 14
4. Una progresión aritmética empieza en 111, termina en 514 y tiene a) 2
términos, entonces el valor de “a” es: b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
5. Si al cubo de un número natural, se resta el cuadrado de dicho
número se obtiene
. La suma de todos los
posibles. a) 55
b) 44
c) 666
d) 33
e) 66
6. En una división entera el dividendo es 542 y el cociente12. La suma de todos los números que pueden servir de residuo. a) 90 b) 100 c) 80 d) 87 e) 90 7. Si al cubo de un numero natural se resta el cuadrado de dicho número, se obtiene un número digito positivo entonces dicho digito es: a) 1 b) 2 c) 5 d) 6 e) 4 8. El complemento aritmético de un número capicúa de 4 cifras es otro capicúa de tres cifras. Entonces el mayor de los números capicúas, es: a) 1646 b) 1121 c) 9978 d) 9889 e) 9496
ALGORITMO DE LA DIVISIÓN
D d r
q
9. En la siguiente progresión aritmètica
D d qr
Llamado Algoritmo de Euclides
56
número de términos, es: a) 14 b) 15
c) 12
;; d) 19
, el e) 20
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO 10. El mayor número de tres cifras de base “b” es llevado a la base “b+1”, entonces la cifra correspondiente a las unidades de orden 1 del número escrito en base “b+1” , es: a) 1 b) 2 c) b d) b-1 e) b+1 11. La edad de Jaimito es un numero de dos cifras y la edad de su hijo tiene los mismos dígitos pero en orden invertido. Las edades de dos nietos coinciden con cada una de las cifras de la edad de Jaimito. Se sabe, además, que la edad del hijo es a la edad del nieto mayor como 5 es 1. La suma de las dos cifras de la edad de la esposa del hijo sabiendo que es la mitad de la edad de Jaimito, es: a) 6 b) 8 c) 10 d) 11 e) 18 12. Un número se representa por 281 y 253 en dos sistemas de numeración cuyas bases son dos números enteros consecutivos. Dicho número en base 10, es: a) 305 b) 255 c) 303 d) 403 e) 235 13. Al convertir a) 0,530552 e) 053
0,
7
c) 0,530
d) 0, 432
15. Lo que le falta a: N= b(b 1)(a 1) para llegar a 1000 es
abb
; el valor de (a + b), es: b) 7
c) 10
d) 8
e) 9
16. Al convertir 0,7 a base 8, se obtiene: a) e)
0, 546318 0, 546318
b) 0,5463
c) 0,543
b) 3
d) 0,5632
En general se tiene: o
n nk
, nZ
; donde
Observaciones: 1. Cero es múltiplo de todos los números enteros. 2. Por convención el primer múltiplo de un número es el mismo número. 3. No existen múltiplos de números negativos. 4. Si existen múltiplos negativos o 5 abcd (n) n d Ejemplo : 2
Divisor Se dice que un número B 0 es divisor del número A, cuando
= 212, es: c) 4
d) 5
e) 6
y recorre 270 km llegando al
. El número de Km. que tendrá que recorrer
para llegar al km a) 20
0
18. Un automóvil recorre km.
0
39 13 por que 39 3 13 ; 54 6 por que 9 6 54
13X 5(8) 8 5
17. El valor de a + b si: a)2
Preliminares Definición: Parte de la teoría de los números que tiene por objeto estudiar las condiciones que debe tener un número para que sea divisible por otro. Divisibilidad.Un número entero A es divisible por otro número entero positivo B, si al dividir A por B el cociente es entero y el residuo es igual a 0 Multiplicidad.Se dice que A es múltiplo de B ó divisible por B, cuando A contiene a B, un número entero y exacto de veces. o Notación: A B ; A Bk, k Z Ejemplo : 1
0 125 por que 0125 0
14. En una progresión aritmética se sabe que: t3 + t6 = 57 ; t5 + t10 = 99; el termino t10, es: a) 18 b) 32 c) 39 d) 67 e) 87
a) 6
DIVISIBILIDAD-NÚMEROS PRIMOS
0
a base 7, se obtiene:
b) 0,53053053.......
UNIDAD Nº 04
b) 30
n
o
o
o
P .nnn n ; d) 90
e) 120
19. ¿El mayor número entero positivo que dividido entre 21 da como cociente y residuo 2 números pares consecutivos, es: Dar la respuesta como la suma de sus cifras. a)8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16 20. La suma de los 13 primeros términos de una serie aritmética es 260 .El lugar que ocupa 1199, si el tercer término es 8, es: a) 150 b) 300 c) 200 d) 250 e) 400
A = n ; n ∈Z . B
PRINCIPIOS DE LA DIVISIBILIDAD
o
, es: c) 60
B lo divide en forma entera y exacta. Esto es:
1
o o
o o
o
3
2
n ; nZ o P4 n z z ; z Z o ( n. z )
o
P . n n n
P .n n n ;
o
k
o o P . n n ; k Z 5
0
0 n P6. n k; k ; n n. k
P7 .
0
0
0
0
N a ; N b; N c N mcm(a; b, c )
P8 . Número divisible por diversos módulos con igual residuo: 57
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO o
o
o
o
N a R ;N b R;N c R N mcm ( a;b; c ) R
P9. En toda división
entera inexacta el dividendo será múltiplo
del divisor más el residuo por defecto o múltiplo del divisor menos el residuo por exceso: o o
D d r
; D d r
d
e
o
P
10 .
o
o
Divisibilidad por 11 Un número será divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de sus cifras de orden impar con la suma de sus cifras de
0
0
Divisibilidad por 7 Todo número será divisible por 7 cuando al multiplicar sus cifras de derecha a izquierda por los coeficientes 1, 3, 2, -1, -3 y –2...
o
o
(n a)(n b) n a b
la suma o diferencia de ellos dé como resultado un 7 , en caso contrario nos determinará el residuo de dividir dicho número por 7. Dado el número: N = a b c d e f
N = 7 + {(2d + 3e + f) – (2a + 3b + c)} Ejemplo : Para el número: N = 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 -2 -3 -1 2 3 1
0 A B rd AB 0 A B re 0
P16 . Problemas con fechas
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD Son reglas prácticas que nos permiten saber a priori cuando un número es divisible por otro; en caso contrario nos determina el residuo. Los principales son:
Divisibilidad por
n
dividir dicho número entre 2 Divisibilidad por 3 y/o 9
y/o 5
.
=
N a b c d e f 4
0
n
0
n n Todo número entero será divisible entre 2 y/o 5 ; cuando el número formado por sus “n” últimas cifras sea divisible entre
n
4... la suma o diferencia de ellas de como resultado un 13 ; en caso contrario nos determinará el residuo de dividir dicho número por 13. Dado el número:
n
y/o 5 , en caso contrario nos determina el residuo de
Divisibilidad por 13 Todo número será divisible por 13 cuando al multiplicar sus cifras de derecha a izquierda por los coeficientes 1, -3, -4, -1, 3 y
2 y/o 5
n
=
4 r
4
Ejemplo: {1072; 1732; 1892; 2000; 2004}.
7
; Todo año bisiesto es 4
=
4
7 3
7
7 2
41
Año bisiesto (366) =
81
Año comercial (360) =
0
7 {(12 +21 + 8)-(6 + 12 + 5) }
345678 = 7
7 1 ;
-2 -3 -1 2 3 1
0
P15 . Números no divisibles
58
* 2 7 5 4 8 6 9 ((9 + 8 + 5 + 2) – (6 + 4 + 7)= 11 + 7 Tiene por residuo 7
0 m n b , si m es par 0 P14 . (n b )m 0 n bm , si m es impar
2
5 r
5
y
y 2
5
52
0
n
5
31 x
31 x y 7 01
Año civil (365) =
0
P12 . (n b )m n bm , m Z P13
orden par da como resultado un 11 ; en caso contrario determina el residuo de dividirlo entre 11. Ejemplo : 5 0 Sea N a bc d e f N 11 ( f d b) (e c a)
GENERALIZACION DEL BINOMIO DE NEWTOM
o
9
o
Entonces B n Ejemplo : 3
23
“Sean A y B dos números enteros tal que A B n ; además: A no es múltiplo de “n”; A y n no tienen divisores comunes, excepto 1,
Suma de sus cifras
o
Ejemplo : 4 Dado el número: 12345674
Principio de Arquímedes
11 .
N9 → abc de f 9 N3 → abc de f 3
N M y M A .B N A N B
P
Todo número será divisible por 3 y/o 9 cuando la suma de sus cifras da como resultado un múltiplo de 3 y/o 9, en caso contrario nos determina el residuo de dividir dicho número entre 3 y/o 9. Dado el número: N = abcdef
3 -1 -4 –3 1
N 13 ( 4a 3b c 4d 3e f )
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO Ejemplo : 7 Para el número:
También: D(N) = DP(N) + DNP(N) D(N) = DP(N) + 1 + DC(N) D(N) = DS(N) + DC(N) Donde : DP : divisores primos ; DNP : divisores no primos DC : divisores compuestos; DS : divisores simples
4 5 6 7 8 9 4 3 –1 –4 -3 1
0
456789 13 (16 15 6 28 24 9) 0
0
0
13 18 13 13 5 13 5 0
13 8 r = 8 Divisibilidad por 33 ó 99 Un número será divisible por 33 ó 99 cuando al separarles en bloques de 2 cifras de derecha a izquierda y efectuar la suma algebraica de dicha cifras se obtiene 33 ó 99.
MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD) Es el mayor de los divisores comunes de dos o más números. Ejemplo: Sean los números 8; 12 y 20, donde: Sus divisores comunes son: 1; 2; 3 y 6 Luego: MCD (12, 18, 24 ) = 6 El mayor número que divide a 12; 18 y 24 a la vez es 6. FORMAS PRÁCTICAS PARA DETERMINAR EL MCD i) Descomposicion simultánea 20 4
Divisibilidad por 33
Sea
el
número
N =14 0 5 0 9 3 8
PESi
Número Primo Absoluto Un número primo es un número entero positivo mayor que uno, que tiene solamente dos divisores diferentes: el número mismo y uno. Ejemplo : 8 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17. Los números primos son números simples. El 1 no es número primo, pero 1 es número simple. El 1 es número singular. Números Primos entre sí (PESI) Son dos o más números que admiten como único divisor común a uno. Ejemplo : 9 (3 y 7); (4; 8 y 3); (12; 13 y 37), etc. Números compuestos Son aquellos números naturales que tienen más de 2 divisores. Ejemplo : 10 4; 6; 12; 28; 111 Descomposición Canónica de un Número Natural (Factores primos) Se llaman factores primos a los números primos que son divisores de un número compuesto Relaciones entre los Divisores de un Número Compuesto Sea N un número compuesto que tenga por descomposición canónica N = apx b qx cr x ..., donde: a, b, c, .. son primos absolutos diferentes pqrExponentes de los factores primos. La cantidad de divisores de N se denota y se determina por: D(N) = (p+1) (q+1) (r+1) ... La suma de divisores de N, se denota y se determina por: p 1 q1 r 1
1 b 1 c 1 . . ... a 1 b 1 c 1
La suma de las inversas de los divisores de N, está dado por : S(IN)= El
S(N) N
producto de D (N )
P(N ) N
5
MCD (20; 15) = 5
NÚMEROS PRIMOS
a
15 3
º
N = 14 + 5 + 9 + 38 = 66 = 33
→
S (N)
-
los
divisores
de
N
está
dado
por:
ii) Por descomposición canónica Sean los números: A = 26 . 35 . 54 B = 24 . 53 . 72 MCD (A;B) = 24 . 53 “Se toman los factores primos comunes elevados a sus menores exponentes “ iii) Divisiones sucesivas o algoritmo de euclides Para hallar el MCD(A,B) se procede de la siguiente manera: Se divide el número mayor entre el menor obteniéndose un cociente(C) y un residuo (R), se divide el número menor entre R obteniéndose un cociente (C1) y Un residuo (R1) y así sucesivamente se procede hasta encontrar un residuo cero. El ultimo residuo diferente de cero es el MCD(A,B). Esquema: COCIENTE ()
A
RESIDUO
C
C1
C2
C3
C4
C5
B
R
R1
R2
R3
R4
R
R1
R2
R3
R4
0
donde: A B , y MCD(A,B) =MCD(B,R)= MCD(R,R1) =MCD(R1,R2) =MCD(R2,R3)=MCD(R3,R4)= R4 R3 = C5R4 ; R2 = C4R3 + R4; R1 = C3R2 + R3 ; R =C2R1 + R2 B = C1R + R1 ; A = CB + R PROPIEDADES DEL MCD 1. El MCD nunca es mayor que uno de los números 2. Si el menor de los números es divisor común de los otros, entonces el MCD será ese menor número. 3. El MCD de 2 números primos entre sí es uno. 4. MCD (A; B; C) =d Se cumple: MCD (An ; Bn ; Cn ) = dn MCD
A B C d ; ; n n n n
MCD(A; B; E; F) = MCD (M ; N) Donde: M = MCD ( A;B) ; N = MCD(E;F)
59
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO También: MCD( A;B;E;F) = MCD(A; MCD(B;E; F) MCD(A;B;C) = d
A p ; d
B q ; d
C r d
P.6 MCM
P.7
A B C 1 . ( A ; B ; C) ; ; n n n n
MCM(A , B) A
A=p.d ;B=q.d ;C=r.d A , B y C son múltiplos de “d” y p, q , r PESI
MCM (A, B) B s
DIVISORES
12 18 24
1; 2; 3; 4; 6; 12 1; 2; 3; 6; 9; 18 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24
p
PESI q
RELACIONES ENTRE EL MCD Y MCM PARA 2 NÚMEROS Se sabe: A B : d MCD(A;B) = d q2 q1 PESi
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO ( MCM.) Es el menor múltiplo común de dos o más números
A = MCD(A;B)xq1 ; B = MCD(A;B)xq2 MCM(A;B) = MCD(A;B)xq1 xq 2
A . B = MCD . MCM
Ejemplo : 12 Hallando el MCM (8 ; 12), se tiene: 0
INDICADOR DE UN NÚMERO O FUNCIÓN DE EULER Indicador de un Número.- Es la cantidad de números primos menores que un número N. Su notación es (N). El indicador de un número primo P es : ( P – 1 ). Para hallar el indicador de un número compuesto N:
8 8;16;24,32;40;48;56;... 0
12 12;24;36,48;60;... Múltiplos comunes: 24 ; 48, …. MCM ( 8 ; 12 ) = 24
Observación: Múltiplos comunes de A ; B y C = Múltiplos del MCM de (A;B;C) FORMAS PRÁCTICAS PARA DETERMINAR EL MCM i) DESCOMPOSICIÓN SIMULTÁNEA Ejemplo: 20 15 5 4 3 3 4 1 4 1 1 MCM ( 20 ; 15) = 5 x 3 x 4 = 60 ii) POR DESCOMPOSICION CANONICA Sean los números A = 26. 35. 54 B = 24. 53. 72 MCM ( A ; B) = 26. 35. 54. 72 “Se toman los factores primos comunes y no comunes elevados a sus mayores exponentes” Ejemplos: A = 24 . 3 B = 22 . 5 MCM ( A ; B) = 24 . 3 . 5 PROPIEDADES del MCM P.1. El MCM nunca es menor que alguno de los números
o
P.2. Para 2 números A y B donde: A = B = B . K MCM (A , B) = A P.3. El MCM de dos números primos entre sí, es el producto de dichos números. A y B son PESI MCM (A ; B) = A . B P.4. MCM (A ; B ;C ; D) = MCM(M;N) M = MCM(A ; B); N = MCM( C ; D) P.5. MCM(nA;nB;nC)= n . MCM(A; B; C)
60
Si N a .b .c ... ; siendo a, b y c primos absolutos diferentes, entonces:
(N) a
1
(a 1)b
1
(b 1)c
1
1 1 1 (N) N 1 1 1 ... a b c
(c 1)... ; o también:
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO 12. La suma de las dos últimas cifras al expresar 5259 en base 24, es: a) 20 b) 22 c) 24 d) 26 e) 28
PREGUNTAS PROPUESTAS N° 4 1. El resto que se obtiene al dividir la expresión:
M 2 3k 1 2 6k 4 2 3 entre 7, es: a) 1
b) 3
c) 5
2. La suma de las cifras del menor número 0
d) 7
e) 9
14. Se sabe que A=12 x 30 ptiene el triple de la cantidad de divisores de B = 12 px 30. Si M = 7 n+2 + 7n tiene (3p-19) divisores compuestos entonces el valor de, es: a) 3 b) 2 c) 1 d) 0 e) 5
abcd , tal
, es:
que: abcd 19 y cd C. A. ab a) 15
b) 17
c) 19
d) 21
e) 23
3. Una persona durante todos los días del mes de octubre desayuna: Pavo, panetón o chocolate a un costo de cada caso de 15, 11 y 6 nuevos soles respectivamente. Si su gusto diario no excede de 16 nuevos soles. El número de mañanas que desayunò chocolate, si durante todo el mes gasto 269 nuevos soles, es: a) 10 b) 14 c) 16 d) 19 e) 20 4. Si 6210abcdx ( 9) 2 a) 4
b) 5
28
5. Al efectuar 3828 7 , el residuo, es: a) 4 b) 2 c) 3
d) 7
16. El menor valor posible de (A + B). si M .C.M .63 A;9B 12096 y M .C.M .91A;13 A 104
d) 5
b) 79
c) 80
e) 8
e) 1
6. Al calcular el M.C:D. mediante el algoritmo de Euclides de
a3 b b los números: 2a b y o 2a z , se obtuvo 2 3 3 por cocientes sucesivos 2, 3, 4, 2 y 3 en ese orden determinar a2+b2 , si la tercera división se hizo por exceso, se obtiene: a) 70 b) 77 c) 88 d) 90 e) 99 7. En un salón de 50 alumnos se observa que la séptima parte de las mujeres son rubias y 11va parte de los hombres usan lentes. El número de hombres que no usan lentes, es: a) 16 b) 18 c) 20 d) 22 e) 24 8. Al naufragar observa que colombianos a) 95
15. Al calcular el M.C.D de los números a2b y cd 6 por el método del algoritmo de Euclides, se obtuvo por cocientes a 2; 3; 1 y 5. El valor de a + b + c + d , es: a) 17 b) 18 c) 19 d) 20 e) 21
a) 76
, el valor de x es: c) 6
13. Si (22n+3 )(53n+2 ) tiene 204 divisores cuadrados perfectos, los divisores que son cubos perfectos, son: a) 80 b) 82 c) 84 d) 86 e) 88
un barco en el cual viajaban 200 personas se de los sobrevivientes 1/7 son casados, 3/5 son y 1/3 son marineros. Los que murieron, son: b) 100 c) 105 d) 120 e) 130
d) 82 0
0
, es: e) 88 0
17. Sabiendo que m ≠ n ≠ p y; mnp 5; npm 4; pmn 7 el valor de m + n + p es: a) 14 b) 15 c) 17 d) 18 e) 19 18. Al calcular el M.C.D. de 2 números A y B por el método del algoritmo de Euclides se observó que los dos primeros residuos fueron 54 y 36. Además la suma de cocientes sucesivos fue 17, ni el memoral A es el mayor posible, ¿Cuál es el valor? a) 2852 b) 2752 c) 2952 d) 2972 e) 2978 19. Al efectuar
555 ..... 5 7
, el residuo, es:
1802 cifras
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 3
20. Si 32 X 3 XX 11 2 , el valor de x es: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3
e) 4
9. El valor de (a+b), sabiendo que los cocientes sucesivos al calcular el M.C.D. por el algoritmo de Euclides de los números a 1ab y a 2 b 10 fueron 1; 1; 1; 3 y 2, es: a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 10. Dados A =3nx42 , B=32 x4n , sabiendo que el M.C.M. de A y B es 1728 y n>2 , el valor de n es: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 11. A un terreno de forma rectangular de 952 m. de largo y 544 de ancho se le quiere cercar con alambre sujeto a postes equidistantes de manera que disten entre 30 y 40 m. además que corresponda un poste a cada vértice y otro en cada uno de los puntos medios de los lados del rectángulo, el número de postes que se necesitan, es: a) 76 b) 85 c) 88 d) 90 e) 98
61
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO Ejemplo:
UNIDAD Nº 05
Halle el MCD y el MCM de: 4 ; 21 ; 44 .
FRACCIÓN
10 45 80
1) Es cualquier par de números enteros positivos m y n, al cual generalmente se le denota por
m ; donde n 0 y m n , m y n n
m 0 n
2)
7 81 13 (PESI) : ; ; 20 16 45
NÚMEROS DECIMALES Números Decimales Es la expresión en forma lineal de un valor determinado en el sistema de base 10 que posee parte entera y otra parte no entera, separados por una coma”. Pueden obtenerse dividiendo el numerador por el denominador de una fracción. Según se generen por fracciones puede ser:
FRACCIONES EQUIVALENTES Dos o más fracciones son equivalentes si tienen igual valor y se obtienen de una fracción irreductible. Ejemplo :
Decimal Exacto: Una fracción irreductible dará origen a un decimal exacto cuando en su denominador se observan sólo potencias de 2, potencias de 5 o en todo caso potencia de 2.5
términos de la fracción,
FRACCIÓN IRREDUCTIBLE Son aquellas fracciones cuyos
términos son primos entre sí
1 2 3 4 1. k ; k 1;2;3; 2 4 6 8 2. k CLASIFICACIÓN DE FRACCIONES Por comparación respecto a uno Pueden ser: Propia: Cuando su valor es menor que uno, es decir mn. Por su denominador Pueden ser: Ordinaria o comunes: Cuando el denominador no es potencia de diez. Ejemplo:
2 5 8 ; ; ; ... 5 7 11
;
7
;
11
10 100 100
A
Por comparación de los denominadores. Homogéneas :Cuando tienen igual denominador Heterogéneas: Cuando tienen diferente denominador.
MCD . a MCD . b
a
Sean las fracciones irreductibles.
x
0, abc
;
x 0, mnpq 2 .5 4 4
x 0, abcd 2 .53 4
0, abc
abc 1000
Ejemplo:
1) 0,32
32 432(9 ) 2) 0,432(9) 3) 100 1000(9 )
0,32 (8 )
32 (8 ) 100 ( 8 )
Decimal Inexacto Decimal Periódico Puro: Una fracción irreductible dará origen a un decimal periódico puro cuando en su denominador se observan factores diferentes de potencias de 2; 5 ó en todo caso de 10.
2n f ; b 5m donde (n, m y p) Z+ b 10 p
;
a 3 MCD(a 1 ; a 2 ; a 3 ) ; b 3 MCM(b 1 ; b 2; b 3 )
;
a 3 MCM(a1; a 2 ; a3 ) b3 MCD(b1; b 2;b 3 )
2 2
;
a .3 b3
Ejemplo : 1)
1 0, 3 3
2)
2 0,18 11
a1 a ; b1 b
62
Regla: La cantidad de cifras decimales exacta que origina una fracción irreductible viene dada por la mayor potencia de 2 ó 5 contenida en el denominador.
a
b
MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE FRACCIONES
a a MCD 1 ; 2 b1 b 2 a a MCM 1 ; 2 b1 b 2
3/4 = 0,75 ; 2/5 = 0,4
Fracción Generatriz
; ...
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES Simplificar una fracción reductible es transformada a una fracción irreductible equivalente, eliminando el MCD de sus términos.
B
Ejemplo:
23 . 52
Decimales: Cuando el denominador es una potencia de diez. Ejemplo:
3
2n a f ; b 5 m ; Donde (n, m y p) Z+ b 10 p
Regla: Para hallar la cantidad de cifras decimales que hay en el período, basta saber en cuantos nueves como mínimo esta contenido el denominador.
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO TABLA DE LOS NUEVES 2
9 99 999 9999 99999 999999
3 32.11 3 3 . 37 32. 11.101 32. 41.271 33. 7.11.13.37
n° de cifras 9 3;9 11 27 ; 37 101 10141 ; 271 7 ; 13
1 2 3 4 5 6
1 0, abc ; porque 27 esta contenido como mínimo en 3 27 nueves.
2 0, mnpqr ; porque 41 esta contenido como mínimo en 5 41 nueves.
1 0,abc...xyz 11 . 37 . 41 . 7 30 cifras 2 3 5 6 M.C.M (2; 3; 5; 6) = 30 cifras
Fracción generatriz:
abc 0, abc 999
0 , abc
n
0, abc n
abc n 1000 n
aval exacto
abc n
n 1n 1n 1n abc xy n abc n
0, abc xy n
n 1n 1000 n
aval periódico puro
aval periódico mixto
| Ejemplos : 14
325 0,325 0,68 1005
número decimal
número pentaval
N
1 5
3 5
2
1 5
3
3 5
4
...
13 8 1 ( 5) N 0,1313 ... 0, 13(5 ) 0,3 ( 5) 44 24 3 (5 )
Ejemplo :
1) 0,24
24 99
3) 0,1234
2) 0,32(8 )
1234 9999
32(8) 77 (8 )
4) 0, 234 ( 7 )
234 ( 7 ) 666 ( 7 )
Decimal Periódico Mixto: Una fracción irreductible dará origen a un decimal períodico mixto, cuando en su denominador se observan también factores potencias de 2; 5 ó 10 entre otros. 2n a m, n, p Z f ; b 5m p b 10 otros Ejemplo :
11 0,1 2 90
;
11 0.36 30
Regla: Para hallar la cantidad de cifras periódicas y no periódicas que origina una fracción irreductible, se sigue como los casos anteriores aplicados a la vez.
1 0, abcdmnp 2 4.53.37 1 0, abcmn 3 2 .11 1 0, abcdemnop........xyz 2 3.5 2.11.101.7
12 cifras 2 4 6 M.C.M. (2,4,6) = 12 cifras Fracción Generatriz :
0,abcd
abcd ab 9900
Números Avales Son aquellos números no enteros, expresados en sistemas de numeración diferentes al decimal en los cuales se cumple:
63
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO 5 5 2 121 36 48 75 3600 10. Al simplificar A , se 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 3 4 5 n
EJERCICIOS PROPUESTOS N° 5
1. Si
1 2 3 ... n n 1 0, a 2 b 2 n 1 2 3 ... n n 1
obtiene:
entonces el valor máximo de " a b n " , es: A)
Dar la respuesta como la suma de sus cifras. A) 5 B) 6 C) 7 D) 8
E) 9
a2 b2 2. Si 0, a 1b 1 entonces la suma de los 99 valores de “a”, es: A) 19 B) 10
3. El valor de E A) 0,52
C) 13
D) 7
3,666...
B) 0,125
0,91666... 10
C) 0,825
B) 91
C) 343
, es: E) 0,137
N 0,3kk 3 , es: 303
D) 192
E) 101
5. Se tiene una sucesión de círculos cuyos radios miden
1 1 1 1 cm ; cm ; cm ; cm ;... , la suma de las áreas de tales 2 4 8 círculos, es: A)
B) 1π/2
D) 2
C) 2π/3
B) n
E) 4π/3
6. Diez personas constituyen una empresa que produce una ganancia, la que al repartirse, uno de ellos recibe 1/5 de la ganancia; otro, 1/6 del resto, y los otros ocho recibieron cada uno S/. 42 000. La ganancia total, es: Dar la respuesta como la suma de sus cifras. A) 17 B) 13 C) 6 D) 14 E) 9 7. Un obrero empezó a machacar piedra el día 1° de junio, trabajando 2 días seguidos y descansando el tercero. Un segundo obrero empezó a machacar el día 15 del mismo mes y año, trabajando todo los días. Al calcular el día en que los dos operarios tenían machacado igual volumen de piedra, sabiendo que el primero machacó, por día de trabajo, 2 metros cúbicos, y el segundo, 9/5 de metro cúbico, se obtiene: A) 21 de julio B) 22 de julio C)23 de julio D)25 de julio E) 24 de julio
9. El ultimo denominador de f
187 83
fracción continua simple, es: Dar la respuesta como sus tres quintos. A) 12 B) 16 C) 20
64
al transformarla a
D) 7
E) 8
3 4
D)
n 4
E)
1 2
12. Al considerar las fracciones ordinarias equivalentes a denominador de la fracción de menores
términos tal que la suma de los mismos sea un múltiplo de 42 comprendido entre 250 y 600, es: A) 64 B) 150 C) 300 D) 288 E) 144 13. Un tanque puede ser llenado por un caño A en 4 horas y por un caño B en 8 horas, en cambio un caño C lo vacía en 20 horas. Si se abren los 3 caños a la vez, el tiempo en que se llena el tanque, es: A) 2
3 h 7
B) 4
1 h 3
C) 3
1 h 13
D) 2
7 h 13
4 h 7
E) 3
14. Se tiene una fracción ordinaria propia irreductible cuyo denominador excede al numerador en 4 unidades. Si se agrega 4 unidades a ambos términos de la fracción, la fracción resultante excede en 16/117 a la fracción dada. La suma de los términos de la fracción dada, es: A) 7 B) 19 C)9 D) 11 E) 14 15. Se tiene 1500 botellas de 1/2 litro y 1320 botellas de ¾ de litro. El número de litros que se pueden establecer, es: Dar como respuesta la suma de las cifras de la cantidad de botellas de 6/5 de litro. A) 8 B) 10 C)13 D) 7 E) 4 16. Si
bc 8
b 1 2b b a b
0,02b c 7 y 1
b 1
entonces el
1 1
1
1
b 1
8. Al sumar los números 0,532 8 y 0,43 9 en base 12, se obtiene. Dar la respuesta como la cifra de orden “-3”. A) 1 B) 10 C) 7 D) 9 E) 11
C)
11. La menor fracción mayor que 5/12 tal que al sumar “n” veces el denominador al numerador y n veces el numerador al denominar, se obtiene como nuevo número 2, es: A) 3/7 B) 8/19 C) 9/13 D) 11/23 E) 8/15
1,041 6 , el
2
D) 0,115
4. La suma de los valores que toma N en: A) 524
E) 11
n2 8
valor de “a + b”, es: A) 11 B)8
C) 14
1 b ... D) 5
E) 3
17. La suma de las cifras de la diferencia de los términos de la fracción equivalente a 13/9 tal que la diferencia de sus términos sea el mayor número capicúa posible de 3 cifras iguales, es: A) 29 B) 3 C) 12 D) 19 E) 21
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO 18. Compré un objeto y observé que el dinero que no gasté es los 9/13 de lo que gasté. La parte de lo que me queda debo agregar para volver a tener lo que tuve al inicio, es: A)9/7 B) 3/2 C) 13/9 D) 8/5 E) 4/3 19. Una fábrica pone en venta un cierto número de artículos. En la primera venta lo hace con las 3/5 partes y después le hacen un pedido de los 7/8 de lo que queda; sin embargo antes de atender el pedido se le malogran 240 artículos y ahora solo pueden aterdender los 4/5 de la cantidad pedida. La cantidad de artículos que se vendieron, es: Dar la respuesta como la suma de sus cifras. A) 7 B) 11 C)9 D) 2 E) 13 20. Tres amigos, Pedro, Samuel y Tito tienen 216 monedas. El tercero le dice al primero: Si yo te diera la cuarta parte de mi total, tendríamos las mismas cantidades. Y el primero le dice: Samuel, si yo te doy la mitad de mi total, tendrías lo mismo que Tito. El número de monedas que posee Pedro, es: Dar la respuesta como la diferencia de sus cifras. A) -3 B) 8 C) 5 D) -1 E) 4
UNIDAD Nº 06
MAGNITUD-PROPORCIONALIDAD
Es todo aquello susceptible de variación (aumento o disminución) y que puede ser medido. CANTIDAD Es el valor de un estado particular de la magnitud, posee 2 partes: valor numérico y unidad de medida. Ejemplo : MAGNITUD
CANTIDAD
TIEMPO
100 hr
LONGITUD
20 mt
TEMPERATURA
30 °C
PESO
60 Kg
RAZÓN Es la comparación de dos cantidades correspondientes a una misma magnitud y de la misma especie. Tipos: Razón ARITMÉTICA: a–b=r Ejemplo:
45 – 18 = 27
45 excede a 18 en 27
unidades Razón GEOMÉTRICA:
a k b
Ejemplo :
60 4 15
60 es el cuádruplo de 15
Observación Cuando se menciona simplemente la razón de dos cantidades, consideraremos la razón geométrica. Notación: a antecedente b consecuente r valor de la razón aritmética k valor de la razón geométrica SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES Es la igualdad de dos o más razones geométricas que tienen el mismo valor
a b
k ;
c d
k
; e k ; x k
f
y
a c e x k b d f y a = bk ; c = dk ; e = fk ; x = yk NOTACIÓN a, c, e, x antecedentes b, d, f, y consecuentes k razón o constante de proporcionalidad
65
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO PROPIEDADES
a c e x Si : = = = = k b d f y P1:
acex bdf y
P2 :
a c e x b d f y
P3 : a
n
PROPORCIÓN GEOMÉTRICA DISCRETA O DISCONTINUA
a b
4
cn en x n
n
n
entonces se cumple:
k
k
b d f
n
y
n
b
b c
c d
kn
b = dk2
PROPIEDAD: En : a c
b
→ P1 :
bd
b
d
c
P2 :
d
ab a b
cd
a b
c d
NOTACIÓN: a, c: antecedentes ; a, d : términos extremos b, d: consecuentes ; b, c : términos medios a, b: términos de la primera razón c, d: términos de la segunda razón PROPIEDADES 1. En toda proporción aritmética, la suma de los términos extremos es igual a la suma de los términos medios: a + d =b+c 2. En toda proporción geométrica, el producto de los términos extremos es igual al producto de los términos medios: a .d = b .c CLASIFICACIÓN PROPORCIÓN ARITMÉTICA DISCRETA: a–b =c – d ; bc : “d” cuarta diferencial de a, b, y c Ejemplo : La cuarta diferencial de 20, 12 y 15 : 20 – 12 = 15 – x x = 7 PROPORCIÓN ARITMÉTICA CONTINUA: a–b=b–d ; b=c “b” media aritmética o media diferencial de a y d; “d” tercia o tercera diferencial de a y b Ejemplo : La tercera diferencial de 20 y 16 : 20 – 16 = 16 – x x = 12
PROPORCIÓN GEOMÉTRICA CONTINUA: a b ; bc b d “d” tercia o tercera proporcional de a y b “b” media geométrica o media proporcional de a y d Ejemplo : La tercera proporcional de 625 y 125 :
625 125 125 x
x 25
Ejemplo : La media
324 x 225 x
proporcional
de
324
y
225
x 324 . 225 x 270
PROMEDIOS (MEDIA) Dadas las siguientes cantidades ordenados en forma creciente: a1; a2; a3; . . . ; an, se llama promedio (P) a una cantidad referencial que se calcula haciendo ciertas operaciones entre ellas y se cumple la siguiente condición: a1 TIPOS:
P an
a a a
Media Aritmética: MA 1
2
n
n
Media Geométrica: MG n a a a 1 2 n Media Armónica: MH
n 1 1 1 a a a
1 2 n PROPIEDADES P1 Si al menos 2 de las cantidades ai son diferentes entonces MH < MG < MA P2 a1 = a2 = . . . = an → MA = MG = MH Para 2 números (b < a): Se cumple : P3 b< MH< MG < MA < a P4 MA . MH = MG2 →MG 2
MA . MH
P5 (a – b) = 4( MA + MG) (MA – MG) P6 MA a b
2
P7 MG P8
MH
a.b 2 1 a
66
;b c
cd
PROPORCIÓN Es la igualdad de dos razones de la misma clase CLASES Proporción Aritmética: a – b = c – d Proporción geométrica:
d
CONTINUAS
c = dk
a
c
144 6 x 1 24 x
k
a c
“d” es cuarta proporcional de a, b y c Ejemplo: La cuarta proporcional de 144 ; 24 y 6 :
SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES (S.R.G.C.E.)
a
Ejemplo : La media diferencial de 50 y 30 : 50 – x = x – 30 x = 40
1 b
MH
2ab ab
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO Para 3 números a, b y c: P9 MA
Se cumple:
Clasificación Reparto Proporcional Directo Para repartir una cantidad “N” en tres partes (puede ser más) que sean D.P. a tres números dados “a”, “b” y “c”, se multiplica dicha cantidad por cada uno de los otros y se divide por su suma; esto es: Sea “x” la parte de N que corresponde a “a”, “y” la parte de N que corresponde a “b”, “z” la parte de N que corresponde a “c”, por definición de magnitudes D.P. se tiene que:
abc 3 3
MG abc
P10
P11 MH
3abc ab ac bc
MAGNITUDES PROPORCIONALES
Dos magnitudes son proporcionales cuando al variar una de ellas en una razón entonces la otra también varía en la misma razón. Clasificación: Magnitudes Directamente Proporcionales: Notación: D.P. ó . Sean las magnitudes A y B tales que: A : a1 ; a2 ; a3 ; . . . ; an B : b1 ; b2 ; b3 ; . . . ; bn Entonces, se puede afirmar que A es directamente proporcional a B, si se cumple que:
a a a a A k 1 2 3 .... n B b b b b 1
2
Es decir : A(DP)B
A k B
3
A B
k
A DP B B DP C A DP C B es cons tan te
B A .C
A DP B B I. P C A I. P C B es cons tan te
k
B .C
k A A I. P B B IP C A DP C B es cons tan te B . A . C k
A DP B A DP C A DP (B . C) A I.P B A I.P C A I .P (B . C) 2
6
A DP
x+y+z x y z N x y z = = = =K → = = = a+b+c a b c a+b+c a b c Donde; N = x + y + z, entonces se cumple que: i)
N x a.N x abc a abc
ii)
b. N N y y abc b abc
III)
c.N N z z abc a bc c
REGLA DE COMPAÑÍA
También:
2
Por propiedad:
Reparto Proporcional Inverso Para repartir un número N en partes I.P. a otros números dados a,b y c; se invierten los números dados y luego se reparten el número N en partes D.P. a estos inversos.
n
Magnitudes Inversamente Proporcionales: Notación: I.P. Sean las magnitudes A y B tales que: A : a1 ; a2 ; a3 ; . . . ; an B : b1 ; b2 ; b3 ; . . . ; bn Entonces, se puede afirmar que A es inversamente proporcional a B, si se cumple que: A . B = k A . B = k = a1 . b1 = a2 . b2 = a3 . b3 = . . . = an . bn Es decir: A(IP)B A . B = K
A DP B B DP
x y z K (constante ) a b c
6
3
3
C A DP B B DP
C
3
C B cons tan te
Observaciones: 1. Las magnitudes D.P. van de más a más o de menos a menos 2. Las magnitudes I.P. van de más a menos o de menos a más.
REPARTO PROPORCIONAL Es una regla que tiene por objeto repartir una cantidad en partes, directa o inversamente proporcional a dos o más números dados.
Objetivo.- La regla de compañía tiene por objeto repartir la ganancia ó pérdida generada en un negocio, entre sus socios integrantes. Este reparto se hará proporcional a los capitales depositados y al tiempo que estuvieron impuestos respectivamente en dicha actividad. Clases La regla de sociedad o compañía puede ser simple o compuesta. Compañía Simple: Se presentan tres casos: Capitales y tiempos iguales En este caso se divide la ganancia o pérdida entre el número de socios. Capitales iguales y tiempos diferentes En este caso no se considera el capital, y se reparte la ganancia o pérdida en partes D.P. a los tiempos. Tiempos iguales y capitales diferentes En este caso, no se considera al tiempo y se reparte la ganancia o pérdida en partes D.P. a los capitales. Nota.- si las ganancias (pérdidas) son iguales para cada socio; los capitales y los tiempos respectivos son inversamente proporcionales. Compañía Compuesta Es cuando los capitales y los tiempos son distintos, se reparte la ganancia o pérdida en partes proporcionales a los productos de los capitales por los tiempos.
REGLA DE TRES Es una aplicación de la proporcionalidad que consiste en calcular el valor desconocido de una magnitud relacionada con dos o más magnitudes, esta puede ser: regla de tres simple o regla de tres compuesta. Regla de tres simple (R.3.S) Cuando intervienen dos magnitudes proporcionales de las cuales se conocen tres valores, dos de una magnitud y la tercera de la otra magnitud y se debe calcular el cuarto valor. La regla de tres simple puede ser: R.3.S directa o inversa, según sea la proporcionalidad que ligue a las magnitudes
67
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO R.3.S.D. Cuando las magnitudes que intervienen son directamente proporcionales ( D.P.) R.3.S.I. Cuando las magnitudes que intervienen son inversamente proporcionales ( I.P.) Regla de tres compuesta (R.3.C) Cuando intervienen más de dos magnitudes. Se toma como referencia la magnitud en la cual se ubica la incógnita, ésta se compara con cada una de las demás indicándose si son D.P. ó I.P. OBSERVACIONES: 1. Cuando intervienen la magnitud número de obreros y rendimiento se multiplican porque son I.P. y se reemplaza por una sola magnitud que sería el rendimiento total. 2. Cuando se tiene el número de días y las horas diarias, ambas se multiplican porque son I.P. y se reemplazan por una sola magnitud que sería el tiempo 3. Igualmente si tenemos las dimensiones largo, ancho espesor de una obra y su respectiva dificultad todas se multiplican y se reemplazan por la magnitud obra porque son I.P. 4. Los factores comunes de una misma columna se pueden cancelar. 5. Para resolver un problema de regla de 3 compuesta se compara una de las magnitudes por ejemplo, número de personas) con las otras magnitudes para establecer si son directas o inversamente proporcionales, se aplica la regla correspondiente. 6. Cuando la obra se hace por etapas, se procede de la manera siguiente: 7. Se prescinde de la magnitud obras y se compara la magnitud número de personas con las otras magnitudes, tal como en el ejemplo siguiente: P (nº personas) 25 25 31 38
P.h d
O (nº de obras) total O1 O2 O3
P1 . h . d i
Hd (nº de horas diarias) 25 5 10 x
25 . 25 25 . 5 31 . 10 38 . x x 5
EJERCICIOS PROPUESTOS N° 6
1. Si 9 es la cuarta diferencial de
a, b, c , con b c y 30 es
la tercera diferencial de 3a y 45, entonces el máximo valor entero
de
A) 11
"b",
es:
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15
2. En una proporción continua, la suma de los términos de la primera razón es a la suma de los términos de la segunda razón como 3 a 1. Si la suma de los 4 términos es 3600, la media proporcional es: A) 650 B) 360 C) 675 D) 450 E) 340 3. En una reunión se observó que por cada 3 mujeres había 7 hombres, y que el número de hombres excede al número de mujeres en 28. La relación de hombres y mujeres si se retiran 14 parejas A) 2/5 B) 1/3 C) 5/1 D) 2/7 E) 2/3 4. La media aritmética de
ab y ba
es 66. Si se cumple que
a 2 b 2 90, la media geométrica de " a" y " b" , es: A) 3 2
B) 3 3
C) 3 6
D) 3 7
5. Se tienen 3 magnitudes A, B, C tales que e I.P. a
E)
A
29
es D.P. a
C
B. Si cuando A 10 tenemos B 144, C 15, 2
entonces el valor de A, cuando B C , es: A) 4
B) 8
6. Sean las magnitudes A y proporcionalidad y en el correspondientes: A 12 20 x+1 B 15 x y El valor de A) 69
C) 12
D) 16
E) 15
B que cumplen cierta relación de cuadro se muestran sus valores y + 12 z
z–1 w
45 4
3 60
y z w x ,es: B) 51
C) 72
D) 56
E) 85
7. En una obra se observa que faltando 54 días para su culminación fueron despedidos 10 obreros; pero a 12 días para la culminación se contratan “n” obreros para cumplir con el plazo original. La suma de cifras de “n”, es: A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12 8. Un reloj se adelanta 8 minutos en cada hora y otro reloj se atrasa 5 minutos en cada hora. Si se ponen ambos a la hora, al cabo de 6 horas, el número de minutos en que diferencia la hora que marca cada reloj, es: A) 78 B) 54 C) 62 D) 48 E) 72 9. Kelly inició su negocio con S/. 5000 y a los 4 meses acepta a César como socio, quien aporta S/. 6000. Dos meses después, Meche se une al negocio aportando S/. 4000. Si al cabo de un año de iniciado el negocio se decide liquidarlo con una ganancia de S/. 1650, lo que ganó (en soles) Kelly, es: A) 600 B) 720 C) 750 D) 500 E) 900
68
UNIVERSIDAD NACIONAL “SAN LUIS GONZAGA” DE ICA
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO 10. Si la gráfica muestra los valores que toman 2 magnitudes A y B entonces x+y, es:
B x
19. En una serie de tres razones geométricas equivalentes continuas, el primer antecedente es al último consecuente como 27 es a 1. Si la suma de los términos de la última razón es 540 entonces la suma de los consecuentes, es: A) 1755 B) 3615 C) 1665 D) 1620 E) 1215
8 y 12 A) 12
B) 10
18
36
C) 15
D) 18
A E) 20
11. La razón aritmética de dos números enteros positivos es a su producto como 0,64 veces su razón geométrica es a su suma. La razón aritmética de los dos menores números que cumplen dicha condición, es: A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 12. Si
la
media
aritmética
ab 41; ab 47; ab53; ab59; ab 65 entonces el valor de A) 20 13. Si
18. Dos números cuya media armónica es 44,8 son proporcionales a dos números pares consecutivos. Si la suma de los pares consecutivos excede a la diferencia de los mismos en 28, el mayor de los números, es: A) 42 B) 46 C) 48 D) 44 E) 40
B) 22
a b,
de es
los
un
20. Para hacer una obra, el primer día trabaja un obrero, el segundo día se incorporan 3 obreros, el tercer día se incorporan 5 obreros, el cuarto día 7 obreros y así sucesivamente durante “n” días. Si la obra la pueden realizar “n” obreros en 46 días, el valor de “n”, es: A) 11 B) 12 C) 15 D) 22 E) 44
números
múltiplo
de
99
es:
C) 48
a c , a b 2(c d ), b d
D) 24 siendo
la
E) 18 constante
de
proporcionalidad igual a 1/c y la suma de términos de la proporción igual a 60. El valor de la media aritmética de los extremos, es: A) 9 B) 22 C) 12 D) 32 E) 40 14. Si 30 obreros realizan una obra en 30 días entonces el número de obreros que se necesitan para hacer el doble de la obra en 16 días, es: A) 40 B) 62 C) 60 D) 70 E) 75 15. Un obrero al pintar una pared rectangular cobra “N” soles, pero indica que si cada lado de la pared se duplica tendría que cobrar 144 soles más. Lo que cobraría si cada lado de la pared se reduce a su mitad, es: A) S/. 72 B) S/. 48 C) S/. 36 D) S/. 40 E) S/. 12 16. La razón entre la media armónica y media aritmética de dos números es de 48 a 49. Si la razón aritmética de los números es 7, el mayor número, es: A) 24 B) 20 C) 16 D) 28 E) 25 17. En una fiesta la cantidad de hombres es a la cantidad de mujeres como 5 es a 3 y, la cantidad de personas que baila es a la que no baila como 7 es a 3. El número de mujeres que están bailando, si se sabe que la tercera parte de los hombres que no baila usa lentes y la cantidad de personas que no baila es mayor que 50, pero menor a 100, es: A) 66 B) 50 C) 24 D) 84 E) 42
69
UNIVERSIDAD NACIONAL “SAN LUIS GONZAGA” DE ICA
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO Nota : UNIDAD Nº 07
a El "a por ciento más " de N 1 N 100
PORCENTAJE-INTERÉS
Tanto por cuanto de un número: a por b El porcentaje o tanto por ciento es el número de unidades que se toma de cada 100 y se considera como un caso particular de la regla de tres simple o de las fracciones decimales Notación: La frase “por ciento” se representa por %. y 1 = 100% Uno por ciento El uno por ciento de una cantidad es una de las cien partes en que se puede dividir dicha cantidad. Es decir si “a” IN +, el uno por ciento de “a” es
a 100
= a por
ciento. Por lo tanto si se quiere calcular el “b” por ciento de “a”, se calculará
b.a 100
En general “a” por ciento de N = a% de N =
a N 100
a por b = Nota :
a a por b más 1 b APLICACIONES COMERCIALES Para las transacciones comerciales cotidianas, los términos, definiciones y fórmulas que generalmente se usan, son: Pf = Precio fijado o precio de lista (PL) o de catálogo : Es el valor en que debe venderse una mercadería por parte de su productor, o del comerciante que la revende. Es un precio fijado, que se puede vender: a) Sin descuento (Dc) o rebaja (R) y está dada por :
Ejemplo : 1 20% de 80 es:
20 100
P P G P f
80 16
Nota: Toda cantidad referencial respecto a la cual se va a calcular en porcentaje se considera como 100%. : a=1.a=100%.a Propiedades: Para encontrar que tanto por ciento representan “a” respecto a “b” se plantea del modo siguiente:
a b
.100%
a b c N 100 100 100
P D P P GD f
y D r %.P
c
f
a a DU a1 a2 1 2 % 100 Dados los aumentos sucesivos: a1 %, a2 %, a3%, ....,an%; el aumento único se calcula: AU= 100 a1 100 a 2 100 a 3 100 a n 100 % 100 n 1
a a AU a1 a2 1 2 % 100 Ejemplo : 3 Al realizar los aumentos sucesivos del 10%; 20% y 30% equivale a un aumento único de: 100 10 100 20 100 30 AU= 100 % 71.6% 2 100
70
v
c
c
P = Precio de venta con descuento o rebaja.
v Luego diremos que
P P P P D
DU= 100 100 a1 100 a2 100 a3 100 an % n 1 100
c
, donde :
v
Dados los descuentos sucesivos: a1 %, a2 %, a3%, ....,an%; el descuento único se calcula:
v
donde: PC = Precio de costo o precio de compra G = Ganancia = r% . Pc PV = Precio de venta : Es el valor en que se vende una mercadería sin rebaja o descuento Dc = Decuento Comercial o rebaja (R) = r% . Pf
20
x 100 % 25 % 80 El “a” por ciento de “b” es igual a “b” por ciento de “a” a%N + b%N + c%N = (a + b + c ) %N a%N - b%N = ( a – b )%N N + a%N = (100 + a)%N N – a%N = (100 – a)%N El a% del b% del c % de N es:
c
b) Con descuento (Dc) o rebaja (R) y está dado por
Ejemplo : 2 Qué tanto por ciento de 80 es 20:
a b
f
f
v
c
Otros términos comerciales y fórmulas:
P P A D A D G A Aumento D G v
c
c
c
c
P P G g g gastos v
c
P P P P P p pérdida c
v
v
c
GB G N g GB Ganancia bruta GN GanancianetaGN = GB
–g
g = GB - G N
INTERÉS Se denomina interés o rédito a la ganancia que produce una cantidad llamada capital al ser prestado durante un cierto tiempo y a una tasa (porcentaje) fijada.
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO Clases de interés En una operación comercial se presentan dos clases de interés: Interés simple Es cuando el capital permanece constante, es decir el interés que produce dicho capital no se acumula. Interés compuesto Es cuando el interés o ganancia que origina el capital en cada unidad de tiempo (período) se incrementa a dicho capital. Elementos de la regla de interés: Capital(c): Suma de dinero u otro bien que se presta o impone Tiempo(t): Número de años, meses o días durante los cuales se presta o invierte el capital. Tasa de Interés (r): Es el % de ganancia del capital tomado generalmente en forma anual. Interés(I): Es el beneficio que se obtiene al prestar un cierto capital. Fórmulas del interés simple: Para r% anual
I
c .r. t
I
100
c .r.t 1200
t, en meses
t, en años
M C I
I
c.r .t 36000
t, en días Año Comercial
c .r . t
C M I
I
36500 t, en días Año Normal
Elementos que intervienen en el descuento. Plazo (t) Es el tiempo que falta desde la fecha en que se negocia el documento hasta la fecha en que vence, generalmente está expresado en días. Valor nominal (Vn) Se llama así, a la cantidad de dinero que figura escrito en el documento. Valor efectivo o Actual (Va) Es la suma que se recibe en efectivo, por el documento en el momento de negociarlo o en la fecha de vencimiento.Es decir:
Va= Vn – D
I MC
M= Monto I
DESCUENTO Descuento (D) Disminución que se hace al importe de un documento de crédito en función de una tasa de interés, por el tiempo que falta desde la fecha efectiva hasta la del vencimiento. Documentos de créditos Son por ejemplo: letra de cambio, pagaré, vales etc; los cuales son promesas de pago. Letra de cambio Es un documento de crédito mediante el cual una persona o empresa, denominada acreedor (girador o librador) manda a otra persona que es la deudora (o aceptante) a que firme el documento y se comprometa a pagar una cierta cantidad de dinero en un determinado plazo, con o sin intereses.
c .r . t 36600
t, en días Año Bisiesto
Fórmula del interés compuesto:
n
M C ( 1 r % )
, donde: D = Descuento Tasa de interés (r) o tasa de descuento Es el porcentaje de beneficio respecto a cierta cantidad. Fecha de giro (F.G.):
Es el día en que se firma la letra.
Fecha de vencimiento (F.V.) Es la fecha en la que el documento vence y en la cual de deberá hacer efectiva. Fecha de descuento (F.D.) Es el día en que se paga la letra antes de la fecha de vencimiento. Tipos de descuento:
donde la tasa de interés (r) debe ser de acuerdo al período de capitalización y “n” es el número de períodos.
IC = M – C
donde: IC = Interés compuesto M = Monto C = Capital inicial
k.t
Descuento racional ( Dr ) Es el interés que produce el valor actual de una letra, desde el día en que se hace el descuento hasta el día de su vencimiento. Llamado también descuento interior o descuento matemático. Cálculo del descuento: Fórmulas para el Descuento Bancario y el Descuento Racional:
t . r . n V 0 0063
b
“t” en días
r
t . r . a V 0 0063
D
“t” en meses
D
t . r . 0a 021 V
r
“t” en años
“t” en meses
D
t . r . a V001
r
D
t . r . n 0 021 V
“t” en años Equivalencias de la tasa de interés: 5% mensual = 60% anual , (1 año = 12 meses) 12% trimestral = 48% anual , ( 1 año = 4 trimestres) 8% semestral = 16% anual , ( 1 año = 2 semestres) 20% cuatrianual = 5% anual , (Cuatrianual = 4 años) 14% bianual = 7% anual , (Bianual = 2 años)
b D
t . r . n V001
b
D
i M C 1 k r i tan to por ciento donde 100 k períodos de tiempo que tiene 1 año
Descuento bancario ( Db ) Es el interés que produce el valor nominal de una letra, desde el día en que se hace el descuento hasta el día de su vencimiento. Llamado también descuento exterior o descuento abusivo.
“t” en días 71
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO Propiedades:
EJERCICIOS PROPUESTOS N° 7
Va Va D Dr Va Dr Va D , Va Va b r r r b b b b 1. Un trabajador observa que su salario ha sido descontado en un 20% entonces el porcentaje que debe aumentarse con respecto a su actual salario para que reciba nuevamente su salario original es: A) 16% B) 10% C) 12% D) 20% E) 18%
Db Dr Var Vab
D .r . t Db Dr r 100
“t” en años.
Vn . r . t r.t 1200
Dr
V .r.t Dr n 100 r.t "t" en años
Db . Dr Db Dr
Vn
2. En una granja el 25% del número de pavos es igual al 70% del número de conejos. Si en total se ha contado 480 patas entonces el número de pavos es: A) 149 B) 140 C) 120 D) 90 E) 98 3. Determine el porcentaje de un número, que tiene por 20% al 40% de 60 es el 72% de otro número que tiene por 40% al 60% de 20 A) 10% B)19% C) 13% D) 17% E) 18%
Vn . r . t r.t 36000
Dr
t en meses
t en días
4. El señor Franklin Maldonado tiene una granja de animales del cual el 40% son cerdos, el 30% son ovejas y el resto otros animales. Si vendiera el 30% de los cerdos y el 70% de las ovejas entonces se desea saber en qué el porcentaje disminuiría el total de sus animales, es: A) 30% B) 70% C) 20% D) 33% E) 55%
2 2 Vn . r . t D Dr b 100 100 r .t “t” en años
5. Dada la siguiente expresión
100 . V Va r
n
100 r . t
n a
2 a
v
v
1 a
V
v
ac inu a
Cambio de letras Consiste en reemplazar dos o más letras por una letra única cuyo valor actual deberá ser la suma de los valores actuales de las respectivas letras. Se cumple:
Vencimiento común Es el caso particular del cambio de letra que consiste en reemplazar varias letras por una letra única cuyo valor nominal sea la suma de los valores nominales de dichas letras; además la tasa de todas las letras la misma, en conclusión hallaremos el tiempo único de vencimiento común de dicha letra única. n
tu
Vn .t u Vn i . t i
Luego,
i 1
Vn i . t i
,
de
donde
:
Vn V t V n 1 1
t u
t V
n 2 2
V
n 1
V
n
n
t ... V t 3
V
n 3
2
3
n n n
... V
n n
nn
ti= t1 ; t2 ; ...; tn Son los respectivos tiempos de imposición. n
V
. . .
n n
3 n
V
2 n
n1
V
V
i
72
i n
V1
n
V
A.B 2 C D3
. si “A”
aumenta en un 20% y “B” disminuye en un 20%. Entonces el tanto por ciento varia la expresión “E”, es: A) Aumenta en 76.9% B) disminuye en 76.9% C) aumenta en 23.2% D) disminuye en 23.2% E) no varía 6. Don Pedro se dedica a la venta de jugo natural de naranja. Él tiene una máquina que exprime grandes cantidades de naranjas. Lamentablemente en este negocio, se desperdician las cáscaras, lo que constituye una merma en su producción. Entonces el número de kilogramos de naranja que deberá comprar Don Pedro, si desea preparar un lote de jugo que pesa 195kg y en el proceso de producción se tiene una merma del 22%, es: A) 245kg B) 190 C) 270 D) 220 E) 250 7. A un artículo cuyo precio de lista es el doble del precio de costo, se le hace una rebaja del 25%. Entonces el porcentaje de la utilidad con respecto a su precio de compra, es: A) 20% B)50% C) 25% D) 12% E) 22% 8. Sí un fabricante reduce en 4% el precio de venta a los artículos que fabrica para que aumente en 8% la cantidad total de sus ingresos entonces para que ello ocurra el ´porcentaje en que tendrá que aumentar sus ventas, es: A) 20.2% B) 5.5% C) 2.5% D) 12.5% E) 12%
;
n2
V ; . . . . ;
n1
V ;
V
ni
V
donde : tu = t = tiempo único son los respectivos valores nominales
E
9. Un importador vendía a S/ 210 un producto que traía de Europa ganando el 20%, cuando el Euro costaba S/ 3.50. Ahora, el Euro ha subido a S/ 3.52 y además el precio de producto en Europa ha aumentado en un 20%. Entonces el precio deberá vender en la actualidad dicho artículo para que gane el 25%, es:
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO A) S/ 254 B) S/ 364.5 C) S/ 224.15
D) S/ 264 E) S/280
10. Una persona compró cierta cantidad de artículos a S/ 60 cada uno; si los vendió con una ganancia neta de S/ 1200 y los gastos ascendieron al 20% de la ganancia bruta, si el total que recaudo es S/ 2400 entonces el número de artículos que compro, es: A) 25 B) 15 C) 20 D) 30 E) 40 11. Se tiene un capital tal que el monto producido en 5 meses es los 8/9 del monto producido en 10 meses y si el monto producido en 7 meses es S/ 3600 entonces dicho capital, es: A) S/ 2000 B) 3000 C) 4500 D) 2500 E) 1600 12. La señorita Jessica Dongo desea comprar un automóvil que cuesta S/ 25000, quien se desvaloriza uniformemente cada año en S/ 1000. Si el 11 de octubre del 2014 depositó la suma de S/ 15000 en un banco a una tasa de interés del 6%. Entonces con el monto obtenido, el año en que comprará el automóvil (considerar el año civil 365 días sin excepción, es: A) 02-12-20 B) 15-01-20 C) 04-02-20 D) 16-01-20 E) 25-11-20
el 13 de noviembre. Sabiendo además que el valor nominal de la letra es igual a la suma de los valores nominales de las letras reemplazadas, entonces el tiempo en que vencerá la letra única, es : A) 6 de octubre B) 11 de octubre C) 12 de noviembre D) 18 de octubre E) 20 de noviembre 19. Una letra de cambio de S/ 4800 pagadera el 12 de setiembre fue descontada el 20 de junio del mismo año, a una tasa de 15%. Si el banco cobró el 1% de comisión y el 2.5% por cambio de plazo entonces el valor actual de dicha letra, es: A) S/ 4460 B) 5444 C) 4464 D) 4520 E) 4517 20. El valor nominal de una letra es los 3/5 del valor nominal de una segunda letra, ambas se han descontado al 25%, la primera por 1mes y 12 días y la segunda por dos meses. Si el descuento de segunda letra ha sido S/ 1850, entonces el descuento de la primera letra, es: A) S/ 770 B) 810 C) 777 D) 977 E) 999
13. Un capital se coloca a interés simple durante “n” meses a un r% mensual. Si se deposita S/ 200 más se hubiese ganado S/ 40 más, siendo “n” y “r” enteros consecutivos. Entonces para que el capital se duplique a un interés simple bimestral, el tiempo máximo al que será impuesto el capital , en meses, es: A) 16 B) 20 C) 30 D) 50 E) 25 14. Un capital se presta al 5% mensual de interés simple y después de 10 meses produce un monto de S/ 12000. Si el interés ganado se vuelve a prestar a la misma tasa. Entonces los meses que deben transcurrir para que produzca un monto igual al capital, es: A) 10 B) 14 C) 9 D) 15 E) 20 15. Se tiene dos capitales en la relación de 3 a 1. Si el capital mayor se impone al 5% anual y el capital menor al 1% bimestral y se sabe que luego de 1 mes y 20 días la suma de los montos ascenderán a S/ 96 700 entonces el interés que genero el capital menor, es: A) S/ 200 B) 100 C) 250 D) 888 E) 160 16. Dos empleados de un banco descuentan una letra al 5%, a 9 meses de vencimiento. Si uno de ellos lo hace según el descuento bancario y el otro lo hace según el descuento racional, resultando así una diferencia de 27 soles. Entonces el valor nominal de dicha letra es: A) S/ 19 970 B) 19 9930 C) 20 940 D) 18 890 E) 19 920 17. Una letra ha sido descontada 4 meses antes de su vencimiento. Si por ello se recibió el 84% de su valor nominal entonces la tasa de descuento es: A) 50% B) 30% C) 60% D) 48% E) 48% 18. Se desea reemplazar tres letras por una sola una de ellas esS/ 8400 que vence el 2 de octubre, otra de S/ 6700 que vence el 5 de setiembre y una última de S/ 9600 que vence
73
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO En una TDF con intervalos UNIDAD Nº 08
ESTADISTICA
Es la ciencia que proporciona los métodos, pautas y procedimientos, para recolectar, analizar, clasificar e interpretar la información obtenida de las características de una serie de datos que se presentan en ciertos individuos y objetos; para la toma de decisiones frente a situaciones de certidumbre e incertidumbre. ORGANIZACIÓN DE LOS DATOS CUANTITATIVOS Los datos no agrupados o agrupados se organizan y se presentan en una tabla de distribución de frecuencias (T.D.F.), la que comprende frecuencias absolutas y relativas para intervalos que cubren toda la amplitud de datos. Los resultados también se presentan mediante gráficos o diagramas. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL a) Media o Media Aritmética: x o Ma 1. Para datos no clasificados:
c) La Moda: xˆ o Mo 1. Para datos no clasificados: Mo Valor del xi que más veces se presenta : Mo x i Que corresponde a la mayor frecuencia f i
d 1 f i f i1 d f i f i1 . C ; 2 LI lim ite inf erior d d 1 2 i del I i LIMe
: Mo LI i
INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD EXPERIMENTO ALEATORIO Es aquel cuyo resultado no es predecible de forma absoluta Ejemplo 1 Lanzar un dado y observar el resultado Se tiene a) Espacio muestral: S o
S 1; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; n S 6
b) Evento
A Salga un puntaje menor que 3 y mayor que 1
A 2 ; A B ; n A 1, A es un evento unitario
n
Ma
xi i 1
n
c) Suceso 2 A , un suceso es 2
; x i x 1 ; x 2 ; x 3 ;...; x n
d) Evento seguro B Salga un puntaje del 1 al 6 1; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 S e) Evento contrario
2. Para datos clasificados: k
Ma
xi . fi i 1
k
fi
k
fi
i 1
fi
xi ; hi ;
fi
c
A Salga un puntaje diferente a 2 1; 3 ; 4 ; 5 ; 6 S A
n
i 1
3. Para datos clasificados:
x'i . fi Ma fi
En una T.D.F. con intervalos b) La Mediana: ~ x o Me
f)
Evento mutuamente excluyentes
A B
DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD
P A
1. Para datos no clasificados:
Ejemplo
x n1 ; si n es impar 2 x xn 1 2 Me , si n es par 2 para : x1 x 2 x3 ... x n
P A
2. Para datos clasificados: 3. Para datos clasificados:
f 2
fi Me xi
n f n Fi F m Fi1 . C 2 2 ;2 Me LI i fi LI i LI Me Lim . inf . del I i C tamaño del I i
74
d1
n A n S 1 6
PROPIEDADES DE LAS PROBABILIDADES a) 0 P A 1 P S 1 P 0 b) A B P A B P A P B P A B 0 c)
A B P A B P A PB P A B
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO EJERCICIOS PROPUESTOS N° 8
Intervalos
1. De la siguiente tabla de distribución de frecuencias simétrica: Intervalos
fi
hi
[10;20
[30;40
al hallar A) 10
50;60
20
C)11
[9;13
18
[13;17
42
8. Si los puntajes obtenidos por 60 estudiantes en un examen, ninguno tuvo menos de 16 puntos ni más de 40 puntos, siendo el ancho de clase constante entonces la cantidad de estudiantes que han obtenido nota entre 20 y 32, es: A) 30 B) 31 C) 32 D) 33 E) 34
f 3 n , se obtiene: B)10,1
15
21;25
[20;30
25
[5;9
[17;21
0, 2
[40;50
fi
D)11,1
E)11,2
Intervalos
fi
2. Si en una ánfora hay 5 bolas negras y 4 bolas blancas entonces la probabilidad al extraer 3 bolas sean del mismo color, es: A) 3/5 B) 1/6 C)5/6 D)3/4 E) 1/5
0,1 0,2 0,25
3. Si la media aritmética de 5 alumnos es 20 años y ninguno de ellos es menor de 19 años entonces la edad máxima que puede tener uno de ellos, es: A) 22 B) 23 C) 24 D) 25 E)26 4. Dada la siguiente tabla, tomada a 120 jóvenes sobre sus edades: Intervalos
hi
[10;12
2a 0,15
a 0,20
3a 0,05
A) B)
Si el ancho de clase es constante entonces el número de personas comprendidas entre 15 y 20 años, es: A) 58 B) 60 C) 64 D) 66 E) 68 5. Si la media aritmética de 71 números pares consecutivos es 148 y si de estos eliminamos los 12 primeros y 15 últimos números entonces la media aritmética de los restantes, es: A) 148 B) 137 C)145 D)151 E)213 6. Si de una baraja de 52 cartas, se extraen al azar 5 cartas entonces la probabilidad de que 3 de ellas sean negras y 2 rojas, es: A) 13/40 B) 1625/4998 C) 41/203 D) 1325/4999 E) 25/48 7. Si en la tabla adjunta, la distribución es simétrica entonces la diferencia entre la media y mediana, es: A) 0 B) 1 C)2 D)3 E)4
hi
[28; 0,15
12 9. Si una persona escribe al azar un numero de tres cifras, entonces la probabilidad de que escriba un numero par que empieza con 5, es: A) 1/9 B) 1/6 C) 1/18 D) 5/18 E) 1/4 10. El promedio aritmético de las edades de 4 alumnos es 15 años. Ninguno de ellos tiene menos de 13 años y todos tienen edades diferentes. La edad máxima que puede tener el mayor, es: A) 15 B)17 C)18 D)19 E)20 11. Si una urna U contiene 3 bolas blancas y 4 bolas rojas, y otra urna V contiene 4 bolas blancas y 5 bolas rojas y si extrae al azar, una bola de una de las dos urnas entonces la probabilidad de que la bola extraída sea roja , es: A) 71/96 B) 71/126 C) 65/43 D) 57/98 E) 66/129 12. Dada la siguiente distribución de frecuencias:
[ Li Ls
xi '
hj
Hi
[40;60
50
0,075
p
[60;80
m
0,015
q
[80;100
90
0,25
r
[100;120
n
0,25
s
120;140
130
0,275
t
total
v
w
z
75
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO Al calcular, m + n + r +s se obtiene: A) 180 B) 184 C) 182,7 D)181.2
17. La siguiente tabla muestra la distribución de edades de E)113
13. De acuerdo a la tabla mostrada, al calcular la moda, se obtiene: Intervalos
niños de un aula. Si f 2 f 4 4, el valor de
50
h4 es:
hi
EDAD
2
15
[50;60
8
16 17
0,12
[60;70
4
[70;80
10
18 19
0,28
80;90
6
A) 0,16
[40;50
A) 71
B) 73
C) 74
14. En la siguiente tabla: se sabe
D) 81
E) 76
h1 h5 ; h2 h4 ;
B) 0,17
Ii
[10;20
D) 0,19
x'i
fi
[50;70
70;80
E) 0,20
Fi 50 70
[12;18 [18;24 24;30
50
A) 44
total
C) 0,18
[0;6 [6;12
[20;40 [ 40;50
10
x' 3 x´2 f 4
fi
Puntaje
hi
18. De la tabla adjunta determina el valor de
h5 h2 :
determinar la suma de
fi
100 120 170
B) 45
C) 46
D) 47
E) 48
100 19. De la tabla adjunta la moda es:
A) 1/9
B) 1/6
C) 1/18
D) 5/18
E) ¼
Ii
15. De acuerdo a la tabla mostrada, la moda es:
fi
Ii
Fi
[10;15
15
[15;20 [ 20;25 [25;30
35
30;35
A) 20
60 82
C) 23,125
A) 21,2
D) 24,08
E) 21,3
8
[17;24 [24;31
10
[31 : 38
7
B) 21,3
Ii [ ;
C 10 ; entonces la mediana, es :
[ ;
C) 45
D) 51
C) 21,4
4 D) 21,5
E) 21,6
Fi
hi
[ ;20 >
[ ;
B) 42
14
fi
f1 8; x3 . f 3 1260; h3 0,21; f 2 f 5 62; H 6 0,96; A) 40
5
20. De la siguiente distribución de frecuencias con ancho de clase constante, la mediana es 36 entonces al determinar la moda, se obtiene:
16. En la distribución simétrica de 7 intervalos de igual amplitud se conocen los siguientes datos, en base a los cuales se pide reconstruir la distribución de frecuencias, siendo
44 ;
E) 23 A) 39,1
76
[3;10 [10;17
[38 : 45 38;45
100 B) 22,5
fi
B) 39,2
39 0,28 33 C) 39,3
D) 39,4
E) 39,6
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO UNIDAD Nº 01
EL TEXTO
EL TEXTO TEMA
IDEA PRINCIPAL
Se expresa en una frase nominal sin núcleo
Se expresa en una oración
Solo expone. No afirma ni niega
Expresa el texto en forma global
Afirma o niega algo
Expresa lo más importante
TÌTULO
Se expresa en frase nominal, generalmente antecedido de un artículo
Solo da nombre o identifica el tema
Presenta un asunto particular o especifico
LA JERARQUIA TEXTUAL EL TEXTO COMO ARQUITECTURA El texto está gobernado por un principio de jerarquía. Las ideas presentes en el texto no tienen todas el mismo estatus; hay entre ellas una relación jerárquica, de tal modo que una idea goza de primacía o se pone de relieve frente a las demás. LA NOCIÒN DE JERARQUÌA El principio de jerarquía textual da sentido y justifica preguntas tales como” ¿Cuál es la idea principal o medular del texto?”, “El autor nos habla fundamentalmente sobre…” Comprender que un texto está gobernado por una idea principal (la de mayor jerarquía) es el primer paso de una estrategia de lectura comprensiva. La idea principal se expresa con un enunciado que condensa la parte más significativa del texto y es el desarrollo del tema central (el concepto clave del texto). Por ejemplo, un texto puede tener como idea central la siguiente proposición: “El pilar de la teoría de Darwin es el principio de la selección natural”, y como tema central “La selección natural en la teoría darwiniana”. EL RESUMEN El resumen de un texto resulta de la operación cognitiva de síntesis y se define por su esencialidad y brevedad. Sobre la base de un texto mayor, el resumen es un texto
78
de menor extensión que condensa las ideas más importantes. Debe tenerse en cuenta que el resumen no debe agregar información que no esté presente en el texto. En tal sentido, el resumen no puede dar un comentario ni ser una evaluación del texto. El gran valor del resumen consiste en que es una herramienta de doble valor: es una estrategia de comprensión y de redacción. Quien hace buenos resúmenes revela fina comprensión y, a la vez, indica que es capaz de producir textos. EL PROCESO DE LA LECTURA ¿CÒMO DEBEMOS LEER? La lectura es un proceso destinado a captar la intención comunicativa que gobierna el texto. Debemos leer unidades de información para construir el significado integral (holístico) del mensaje. En el proceso de lectura se debe evitar: º La captación subléxica o meramente léxica del texto. Esto es, la lectura de palabra por palabra. º La subvocalización como una actividad inconsciente. La lectura es un procesamiento visual, no es auditivo. º Las constantes y desordenadas regresiones. Los retrocesos constantes en la lectura son inadecuados porque alejan al lector de la dinámica del texto y, de ese modo, obstaculizan la lectura comprensiva. º El ritmo uniforme, monótono. El buen lector lee el texto con un ritmo variado que trata de adecuarse a la dinámica de las ideas desplegadas en la lectura. º El lector debe tratar de tener pocas fijaciones por línea. La palabra fijación es un término técnico que, en psicología de la lectura, se refiere al número de palabras que el lector puede captar en un instante. LA CLAVE DE LA INTERPRETACIÒN La clave en el proceso de lectura es la interpretación. La interpretación consiste en plantear una hipótesis acerca de la intención comunicativa del texto. El lector construye su hipótesis conforme recorre su lectura y ese proceso es tan importante que se podría decir que la lectura es una reconstrucción del texto. ESTRATEGIAS DE LECTURA COMPRENSIVA LA TÈCNICA DE LOS PARÈNTESIS ANGULARES Todo párrafo está constituido por oraciones o unidades informativas. Gracias a un reconocimiento de las palabras claves se podrá reconocer la idea central, se podrá dar cuenta de información valiosa o, se podrá contar con una síntesis de lo más resaltante en el texto. ANÀLISIS VERTICAL O PROFUNDO Esta estrategia consiste en percatarse del contenido y la función de todas las ideas del texto, lo que nos conduce a valorarlas en su justa dimensión. En la lectura vertical el lector trata de aprehender las ideas más relevantes del texto.
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO PREGUNTAS PROPUESTAS N° 1
I. Los hombres y mujeres que en nuestros días son
tiempo para todo lo que se propone realizar. El estéril no comprende cuando trabaja el fecundo, adivina el ignorante cuando estudia el sabio, y es sencillo: trabajar y estudiar siempre, por hábito, sin esfuerzo. Descansan de ejecutar, pensando, descansan de pensar ejecutando: conversar aprender lo que otros saben; al reír de otros, aprender a no equivocarse. Aprenden siempre, aun cuando parece que descansaran, porque de toda actividad propia o ajena, es posible sacar una enseñanza y ello permite obrar con más eficacia, puede tanto puede el hombre cuando más sabe.
enviados al espacio exterior y los pioneros norteamericanos que hace años se trasladaban al lejano oeste tienen muchas cosas en común. Ambos, los pioneros y los viajeros espaciales, iban a la exploración de territorios desconocidos aventurándose en regiones en las que nadie había estado antes. Los viajeros del espacio, igual que los pioneros, se 1. El mejor título para el texto es: enfrentaban a múltiples riesgos que desconocían. A) Lo irreparable del tiempo perdido Pero los métodos utilizados por los pioneros para sus B) El hombre y el tiempo desplazamientos eran muy diferentes de los que utilizan C) El tiempo y el trabajo hoy en día los viajeros espaciales. Las rudimentarias D) El mérito de los hombres carretas tiradas por caballos o yuntas de bueyes E) El valor del tiempo permitían a los pioneros desplazarse a velocidades muy por debajo de las que alcanzan hoy los poderosos III. III. Las rodillas de Barbie -muñeca articulada más famosa cohetes lanzados al espacio. del mundo- se han convertido en un buen Aun así, había ciertos elementos similares en ambos componente en la fabricación de dedos artificiales tipos de viajes: la vida en el interior de una capsula humanos. Jane Bahor, cirujana del centro Médico de espacial y la que hacían los pioneros en sus carretas la Universidad Duke, las ha usado desde hace tres entoldadas suponían grandes penurias y dificultades. años para rehabilitar a quienes han perdido algún dedo. El año pasado, tras experimentar con una ESTRATEGIAS DE COMPRENSION DE LECTURA: PRIMER PASO: Lectura detenida del texto. paciente en 1996, Bahor solicitó a la empresa Mattel SEGUNDO PASO: Identificamos las ideas temáticas y la fabricante de Barbie- articulaciones de las rodillas sub temas. de la muñeca para utilizarlas como prótesis en varios 1. En el párrafo 1, la idea temática es: pacientes que habían perdido uno de sus dedos. La …………………………………………………………... firma quedó tan impresionada que le envió las y el subtema 1 es: ……………………………..……… articulaciones gratis. Quienes llevan estos dedos 2. En el párrafo 2, la idea temática es: artificiales los doblan de la misma manera que la ………………………………………………………... pierna de una Barbie y los mantienen contraídos y el subtema 2 es: ………………………………….. hasta que los regresan a la posición normal. La 3. En el párrafo 3, la idea temática es: posibilidad de doblar los dedos les permite escribir ………………………………………………..………. con una pluma, sostener una taza e incluso conducir y el subtema 3 es:………………………………... un vehículo. Para la doctora Bahor, "que hagan algo 4. En el párrafo 4, la idea temática es: tan simple como eso es un gran adelanto". Tema: ____________________________ ………………………………………… y el subtema 4 es: …………………………….……………………….... Idea principal: ____________________________ ____________________________ TERCER PASO: Reconocemos el tema a partir de los subtemas e identificamos la idea principal. Título: ____________________________ 1. EL TEMA GENERAL ES: ………………………………………………………………… IV. IV. Con las palabras huracán (del taíno, idioma que se 2. EL TEMA CENTRAL ES: habla en algunas islas del Caribe) y ciclón (del inglés ………………………………………………………………… cyclone) se designa un mismo fenómeno 3.EL TÍTULO O RESUMEN ES: meteorológico que consiste en enormes masas de …………………………………………………………………. aire caliente que se forman durante el verano en las 4. LA IDEA PRINCIPAL DEL TEXTO ES: costas orientales de los continentes, aproximadamente 10º al norte del ecuador. Cuando la ………………………………………………………………... temperatura del agua es de 26º Celsius, ésta se .…..………..………………………………..………………… empieza a evaporar, al subir, el aire caliente desplaza al aire frío, que desciende. El movimiento de la Tierra II. Todo instante perdido lo está para siempre; el tiempo es hace que el aire gire y forme un remolino que avanza lo único irreparable y por el valor que le atribuyen puede hacia el norte. Cuando este remolino supera los 118 medirse el mérito de los hombres. Los perezosos viven kilómetros por hora se le denomina ciclón o huracán. hastiados y se desesperan no hallando entretenimiento Un fenómeno similar, pero más breve, se llama para sus días interminables; los activos no se aburren tromba cuando ocurre en el mar y tornado cuando nunca y saben imaginarse para centuplicar los minutos ocurre en tierra. Un tornado es una columna oscura de cada hora mientras que holgazán no tiene tiempo para de cientos de metros de altura que se mueve a hacer cosa alguna de provecho, al laborioso le sobra 79
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO velocidades de hasta 50 kilómetros por hora y que destruye todo lo que encuentra a su paso en una franja de unos cien metros de ancho por cuarenta de longitud. Se forma en muy poco tiempo y dura sólo unos minutos. Tema: _______________________________ Idea principal: __________________________ __________________________ Título:
___________________________
V. Es muy vieja la versión de que los paquidermos les
temen a los ratones, pero es totalmente falsa, a pesar de que se hayan dado explicaciones del porqué de ese miedo. Se ha dicho, por ejemplo, que si un ratón llegara a meterse en la trompa de un elefante, éste no podría respirar. Pero, como cualquier animal que siente tapada la nariz, le quedaría el recurso de respirar por el hocico, aparte de que le resultaría bastante fácil expulsar al ratón con un estornudo. En los circos y en los zoológicos se ha visto cómo los roedores pasan junto a los paquidermos, sin que éstos sean presas de un ataque de pánico. Además, un elefante -que tiene un olfato muy sensible- no permitiría que su trompa fuera confundida con una guarida de roedores. Tema: _________________________________ Idea principal:
________________________ ________________________
Título:
________________________
VI. La malaria o paludismo es una de las enfermedades
más devastadoras del planeta. Cada año afecta a unos 400 millones de individuos, con resultado de muerte para dos millones de ellos. Las víctimas principales son los niños del Tercer Mundo. El agente causante de la enfermedad es Plasmodium, un parásito intracelular que se transmite por la picadura de mosquitos infectados. Varios intentos de erradicar esta enfermedad durante el último siglo han fracasado. Ellos se explica, en buena medida, por la aparición de parásitos resistentes contra insecticidas en los mosquitos vectores. Ante esta situación, los científicos se esfuerzan por hallar nuevas soluciones para detener el desarrollo de la enfermedad, en particular la búsqueda de una vacuna contra la malaria. Pero esa vía no ha dado los frutos esperados. Se impone, pues, volver al estudio de la biología de Plasmodium con el fin de poder diseñar otras estrategias más eficaces. El ciclo biológico del parásito comprende varios estudios, que se desarrollan en dos huéspedes diferentes: un huésped vertebrado (desde reptiles hasta humanos) y un insecto que actúa como vector (el mosquito Anopheles). La malaria se transmite a través de la picadura de un mosquito infectado que
80
porta el protozoo Plasmodium en estadio de esporozoito en las glándulas salivares. El mosquito introduce su probóscide en la piel del huésped buscando un capilar con sangre y deposita, debajo de la piel, saliva que contiene los esporozoitos de Plasmodium. Desde aquí los esporozoitos migran a la sangre en pocos minutos; el torrente sanguíneo los transporta hasta el hígado. Se desconoce por qué los esporozoitos de Plasmodium se detienen en el hígado, el único órgano que son capaces de infectar. Tema: _____________________________ Idea principal: _____________________________ _____________________________ Título:
_____________________________
VII. En 1932 Rudolf Carnap, publicó en la revista
Erkenntnis un ensayo titulado La superación de la metafísica mediante el análisis lógico del lenguaje. En 1960 añadió unas notas en que precisó que usaba el “término metafísica” según el uso común en Europa, que alude a un pretendido conocimiento que trasciende lo empíricamente fundado, es decir, un saber que va más alla de lo accesible a la observación. Lo cierto es que el blanco de su arremetida contra las “preposiciones sin sentido” de la Metafísica fue Martín Heidegger. Para Carnap, metafísicas como la de aquel son “un sustituto del arte”. El arte aludido era la “poesía”. Concluía Carnap refiriéndose a Friedrich Nietzche, quien “en la obra en que expresó más enérgicamente lo que otros expresaron a través de la Metafísica… (el Así habló Zaratustra) no seleccionó una equivoca forma teórica sino abiertamente la forma del arte, del poema”. Para Carnap, en síntesis, Metafísica equivale a poesía. Pero, como reveló Hannab Arendt: Heidegger dijo lo suyo. Él, quien de hecho, fue un estudioso de Nietzsche (como no lo fuera Carnap), respondió que en efecto –Metafísica y poesía mantienen íntima vinculación, que incluso dimanan de una misma fuente, sin llegar a ser idénticas. Esta fuente es el pensar, que, entendido al modo de Descartes, comprende al sentir. 1. En el texto EMPÍRICAMENTE se usa en el sentido de un conocimiento basado en lo: A) práctico B) observable C) estadístico D) efectivo E) acostumbrado VIII. El cerebro es el órgano de la conducta. Todo lo que
hacemos, sentimos o pensamos es el resultado de
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO la actividad fisiológica del cerebro. Además, es un órgano plástico, capaz de asimilar las experiencias a través de cambios, poco conocidos aún, de su estructura biológica. A está plasticidad se debe la gran influencia que las experiencias pasadas tienen sobre el control de la conducta y la importancia del aprendizaje en nuestro organismo. Con todo, las propiedades biológicas básicas del cerebro nos vienen dadas por la herencia, manifestándose poco a poco en el curso del desarrollo y de la maduración. Por tanto, la herencia y el ambiente determinan las características biológicas del cerebro y lógicamente influyen sobre la conducta y la mente humana, aún en sus desviaciones. En consonancia con lo anterior, podemos afirmar que las enfermedades mentales son enfermedades del cerebro y dado que este posee numerosas funciones, habrá también muchas enfermedades. Teniendo en cuenta la íntima conexión que, en el cerebro, se establece entre herencia y ambiente, es natural que en algunos casos sea difícil averiguar el origen de la enfermedad. El principio, las enfermedades más conocidas, como la depresión, la esquizofrenia o las demencias, parecen debidas a alteraciones químicas del funcionamiento cerebral, mientras que las formas anómalas de reaccionar ante los problemas de la vida pueden tener su origen en experiencias o aprendizajes incorrectos. En el primer caso, el tratamiento será químico, y reorientativo en el segundo. Sin embargo, el desconocimiento que aún existe en cuando al origen de este tipo de males hace que el tratamiento no alcance siempre el éxito que desearían tanto el médico como el paciente. 1. Si consideramos las importantes funciones que cumple el cerebro, podemos concluir que: A) Si estas disminuyeran, habría enfermedades mentales. B) Todo lo que hacemos o pensamos es producto de su actividad. C) Asimila las experiencias a través de alteraciones estructurales. D) Toda nuestra vida interior depende directamente de él. E) La depresión podría deberse a ciertos cambios químicos. IX. Marx ciertamente no, pero sí algunos socialistas
sostenían la idea de que en el fondo, “todos los hombres son iguales” y que las diferencias de individuo a individuo no son sino los lamentables efectos de las desiguales condiciones de vida. Es, desde luego, un hecho cierto que las grandes desigualdades existentes entre los adultos de una
generación deben atribuirse en su mayoría a la influencia de su entorno social. Pero de esto no se sigue que en condiciones iguales- los hombres llegarían a ser “eternamente iguales”. Lo único que con ello se haría posible es que pudieran desarrollar integralmente la totalidad de sus disposiciones respectivas, por lo demás absolutamente desiguales y plurales. Esta diversidad y variedad solo se han venido desacreditando hasta aquí por el hecho de que con harta frecuencia se hayan invocado para legitimar el dominio (y la explotación). Solo que las cualidades que se “premiaban” de este modo diferían según se tratara de la época. 01. Que, en el fondo, todos los hombres son iguales: P) es una afirmación de Marx. Q) es una concepción liberal. R) es una idea de todos los socialistas. S) es una idea de algunos socialistas. T) se debe al entorno social. X. “El hombre del principio del Paleolítico era nómada
y no usó vestidos a causa de la benignidad del clima. Lo prueban los dibujos y pinturas de esta época que hemos hallado; vivía al aire libre, cerca del mar o de los ríos, y cazaba animales de mediano tamaño, dadas las frágiles armas de que disponía. La principal, para la defensa y la guerra era el hacha de mano, que consistía en un trozo de sílex tallado a golpe con otra piedra. La raza característica es la llamada de Neanderthal, de baja estatura y cráneo alargado. Hacia mediados de este periodo se inicia una glaciación. El hombre deja de vivir al aire libre para buscar abrigo en cuevas, preferentemente situadas en lugares elevados. Con el clima cambian también los animales, y el hombre caza entonces principalmente renos, de los que obtiene pieles, para vestirse y grasa para pintar, mezclándola con arcilla”. 1. Según el tema, se afirma que el hombre no usó vestido y esta afirmación se puede corroborar en la pintura: A) De los bodegones. B) Rupestre C) De los murales D) Del neolítico. E) Del ocaso del Paleolítico. XI. El delfín no es solo un amigo del hombre, sino
también del arte musical. Encuentra placer en escuchar las notas de una sinfonía y, especialmente, las tonalidades de los instrumentos hidráulicos; no se asusta de la presencia del hombre sino que se le aproxima, sale al encuentro 81
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO de las embarcaciones, salta alegremente a su alrededor, nada con ella y porfía y se desliza a su lado cuando navegan a toda vela. Bajo el reinado del divino Augusto, un animal de esta especie, que moraba en el Mar Lucrinico, amaba muy tierna y extremadamente al hijo de un e hombre que, desde las Bayanas, iba a la escuela de Piteoli. A la hora del mediodía, se quedaba este allí mismo, le llamaba con el nombre de Simón y le hacía acercarse, siempre hacia, con pequeños pedazos da pan que llevaba consigo para este fin. Me avergonzaría de contar esta historia si no se encontrara relatada en los escritos de un mecenas, Fabianus, Flavius y de muchos Otros. A cualquier hora del día, solo con que el niño lo llamara, acudía él presuroso, con la mayor celeridad de sus aletas, desde las profundidades, por muy apartado y oculto que se encontrara, y se le acercaba, comía de su mano y le ofrecía su dorso para que se sentara sobre él, después de esconder las puntas espinosas de sus aletas, recogiéndolas como un estuche”.
sin fin (vida - muerte - reencarnación) es alcanzar el nirvana. Acceden al nirvana los sabios que, como Buda, llegan al conocimiento perfecto, tras una larga serie de existencias terrestres. Para ello es preciso haberse desprendido de todo apego al mundo, ser capaz de difundirse en el Gran Todo Universal, de fusionarse con el Cosmos. El nirvana no es un paraíso, un cielo como el de la religión cristiana. Es más bien, un estado de reposo absoluto, de eterna calma. Por tanto, quien entra en el nirvana ya no se reencarna, no conocerá más el dolor. Se habrá librado para siempre del mal, del error y de todos los sufrimientos de la vida terrestre. Las innumerables representaciones de Buda difundidas por todos los rincones de Asia nos muestran un rostro que refleja una gran serenidad: para los budistas, es la expresión de un ser que ha alcanzado la felicidad suprema, la luz del conocimiento perfecto, la sabiduría, en toda la plenitud de esta palabra.
1. El título probable sería: A) El delfín B) El delfín y sus amigos. C) El niño y el delfín. D) La fantasía del delfín. E) El delfín y el arte musical.
1.
La temática que desarrolla el autor es: A) El Budismo. B) La reencarnación. C) El paraíso budista. D) La naturaleza del nirvana. E) La sabiduría perfecta.
XII. “Se le reprochaba a Tales su pobreza la cual
2.
La idea que expone el contenido más importante del texto es: A) La felicidad y el nirvana budista. B) El nirvana es un estado de sosiego imperecedero. C) El nirvana y la realización existencial. D) El proceso para llegar al nirvana transita por tres estados. E) El dolor es opuesto a la felicidad efímera.
3.
El título adecuado es: A) El nirvana es una fase transitoria a la felicidad. B) Nirvana: alcances y posibilidades. C) El nirvana es un estado de regocijo. D) El nirvana como expresión de la eterna felicidad. E) La imperecedera felicidad espiritual.
demostraba que al parecer la filosofía no sirve de nada. Según la historia, su capacidad para interpretar los cielos le permitió saber en pleno invierno que en el año siguiente habría una gran cosecha de aceitunas. Como disponía de algo de dinero, depósito unas sumas. Reservándose el uso de todas las prensas de aceite de Quios y de Mileto, que alquiló a bajo precio porque nadie pusó contra él. Cuando llegó la época de la cosecha y había mucha necesidad de utilizarlas todas, las alquiló al precio que quiso y reunió mucho dinero. De este modo demostró al mundo que los filósofos pueden hacerse ricos fácilmente si lo desean pero que su ambición es de otro tipo”. 1. Según el texto anterior, Tales: 1. siempre vivió en la pobreza. 2. fue un personaje de ficción. 3. fue un filósofo griego. A) Solo 1 B) 1 y 2 C) Solo 2 D) 1 y 3 E) Solo 3 XIII. Pero, ¿qué es Nirvana, que siempre se evoca al hablar del Budismo? Según esta religión, todo ser vivo se reencarna, tras su muerte, en un nuevo cuerpo para llevar en él una nueva existencia más o menos feliz; sin embargo, el dolor siempre está presente. El único medio de escapar de este círculo
82
XIV. Para Piaget, el desarrollo intelectual no es un
simple proceso fisiológico que tenga lugar automáticamente. Piaget tampoco consideraba el desarrollo cognitivo como algo que podamos asegurar bombardeando sin más al niño con experiencias y ofreciéndole un medio estimulante. Estrictamente hablando, Piaget no fue ni un maduracionista (alguien que cree que el tiempo y la edad determinan el desarrollo intelectual) ni un ambientalista (alguien que cree que el desarrollo de una persona está determinado primordialmente por el ambiente social o físico). Antes bien, Piaget fue un interaccionista. Esto es, creía que el desarrollo
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO cognitivo es el resultado de la interacción de factores tanto internos como externos al individuo. Para Piaget el desarrollo cognitivo es el producto de la interacción del niño con el medio ambiente, en formas que cambian sustancialmente a medida que el niño evoluciona. 1. El título del texto es: A) El papel del ambiente en el desarrollo. B) La interacción ambiente - maduración. C) La orientación científica de Piaget. D) El desarrollo intelectual del niño según Piaget. E) El ambientalismo y maduracionismo. 2.
El asunto del texto es: A) El desarrollo cognitivo. B) El desarrollo fisiológico. C) El desarrollo maduracionista D) La evolución del niño. E) El ambiente físico-social.
3.
El enunciado que resume mejor el texto es: A) Piaget creía que el tiempo y la edad determinan el desarrollo intelectual. B) Piaget estaba convencido que el desarrollo de una persona no está determinada por el ambiente social y físico. C) Piaget afirmaba que el desarrollo intelectual es un simple proceso fisiológico. D) Piaget fue un maduracionista, pero no un ambientalista. E) Para Piaget el desarrollo cognitivo es el producto de la interacción del niño con el medio ambiente.
XV. Controversia es la discusión de una pregunta en la
cual las opiniones chocan. Se ha señalado a la ciencia como un proceso inquisitivo, pero debido a que las conclusiones derivadas de la inquisitiva pueden ser diversas, la ciencia implica tanto la inquisitiva como la controversia. Este hecho es tan verdadero, que la controversia constructiva es el más importante mecanismo de la ciencia. La historia muestra que los logros científicos, así como los adelantos técnicos que producen han crecido en un clima de libertad por las controversias y en cambio se han registrado y aún extinguido cuando hay dificultades para el debate libre. 1. Un título adecuado para el texto es: A) La ciencia implica la inquisitiva y la controversia B) La controversia y la ciencia C) La controversia positiva y el debate libre D) La controversia y las dificultades para el debate libre E) La controversia y los adelantos técnicos
XVI. La esquizofrenia es un grave transtorno mental o
gran psicosis, que implica pérdida de contacto con la realidad y una desorganización o desintegración temporal o permanente de la personalidad. Derivado de "esquizo", "separación" y "frenia", "mente", el nombre alude a una separación entre la mente y la realidad. La esquizofrenia es la forma más corriente de enfermedad mental y comprende la cuarta parte de todos los enfermos mentales hospitalizados. El esquizofrénico rechaza el mundo exterior y se introvierte en su propio mundo. Sus actos se acomodan a este mundo imaginario y por ello son tan difíciles de interpretar. Su lenguaje puede ser mutilado e ininteligible, y sus actos totalmente inadecuados a su situación externa, puesto que son motivados por su mundo fantástico y su incapacidad para percibir la realidad de un modo normal. La esquizofrenia no es propiamente una enfermedad sino más bien una serie de síntomas complejos que rodean a muchas formas de transtornos mentales. Es extremadamente difícil tratar las causas. Medios que parecen pertinente en algunos casos no tienen aplicación en otros. El esquizofrénico es una persona que en apariencia ha sido incapaz de hallar el modo de adaptarse a una situación dolorosa y ha terminado por rechazar el mundo exterior a favor de su propia versión interior. También se cree que existen factores orgánicos relacionados con la esquizofrenia. En los últimos decenios, se ha avanzado mucho en el conocimiento y tratamiento de la esquizofrenia y es mayor el índice de recuperaciones totales que parciales. En el tratamiento es esencial la atención de un siquiatra calificado lo más pronto posible. 1. ¿Cuál es el tema del texto? A) Los transtornos mentales. B) La personalidad y sus problemas. C) Las causas de la esquizofrenia. D) Los factores condicionantes esquizofrenia. E) La esquizofrenia.
de
la
2.
¿Cuál es la idea principal? A) El esquizofrénico rechaza la realidad en que vive. B) La esquizofrenia es un conjunto de transtornos mentales. C) El avance en el tratamiento de la esquizofrenia es notorio. D) La esquizofrenia es una gran psicosis que te separa de la realidad. E) La esquizofrenia tiene causas difíciles de tratar.
3.
¿Cuál es el título más apropiado? A) La personalidad esquizofrénica y sus secuelas B) El mundo del esquizofrénico. C) Una explicación acerca de la esquizofrenia 83
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO D) Las diferentes anomalías mentales. E) Las alteraciones mentales y la personalidad XVII. Si para hablar de herencia nos tenemos que
remontar a todos los caracteres que quedan fijados en el momento de la fecundación. Todos los demás incorporados posteriormente a la individualidad son ya adquiridos y por ende no hereditarios, ¿cuál de estos caracteres se manifestarán y serán mostrados por nosotros? Este es un problema complejo por naturaleza, ya que son el genotipo y el medio ecológico los que condicionan que determinados caracteres lleguen a tener realidad. El fenotipo representa ya el producto de la predisposición genotípica y de los efectos del medio. A medida que el nuevo ser va actualizando las potencias genotípicas para construir el fenotipo, que es el resultado, repetimos, de influencias ambientales, de modo que incluso al nacer, el individuo presenta una amalgama de influencias hereditarias y no hereditarias. En una generación determinada, a pesar de que falten o estén poco acusados, los caracteres, es necesario decirlo, la naturaleza de los organismos conserva la posibilidad de desarrollarlos; tan cierto es esto, que en las siguientes generaciones puede aparecer, cuando cuenten con la presencia de condiciones favorables a su desarrollo. 1. El tema del texto es: A) El ser humano. Factores que influyen en su desarrollo psicosomático B) Herencia y generación C) El hombre y la inflación genotípica D) La herencia E) Ser viviente. Factores ecológicos y fenotípicos XVIII. Dentro de las ciencias sociales o humanas, la
educación por referirse al hombre y a su transformación es aquella que requiere completarse y auxiliarse con el aporte de varias disciplinas, entonces, surge la estructuración de nuevas disciplinas como por ejemplo, una probable efebogogía o ciencia de la educación del adolescente o adulto joven. El fundamento para la presencia científica de la efebogogía es que la etapa de la vida del hombre que corresponde a la adolescencia y que dura entre cinco a ocho años tiene características propias que requiere tratamiento científico específico: una prueba incontrovertible para ello es la existencia de la psicología del adolescente como disciplina autónoma. En consecuencia, la adolescencia es una etapa de la vida del hombre que exige auxilio científico para una mejor educación. En resumen, la realidad educativa y la parcelación de esta por
84
ciencias cada vez más sutiles propician y justifican el estudio de las ciencias auxiliares de la educación. 1. La idea principal del texto es: A) La conceptualización de las ciencias humanas B) La estructuración de una probable efebogogía C) La importancia de la educación del adolescente D) La justificación de la psicología del adolescente E) La necesidad de ciencias auxiliares de la educación XIX. El
filósofo griego Heráclito (540-480 a.C., aproximadamente), nacido en la ciudad de Éfeso, en el Asia Menor, pensaba que los cambios constantes eran los rasgos básicos de la Naturaleza. "Todo fluye", dijo Heráclito en una oportunidad, dando a entender que todo está en movimiento y nada dura eternamente. Por eso no puedo "descender dos veces al mismo río", pues cuando desciendo al río por segunda vez, ni yo ni el río somos los mismos. Heráclito también señaló el hecho de que el mundo está caracterizado por constantes contradicciones. Si no estuviéramos nunca enfermos, no entenderíamos lo que es estar sano. Si no tuviéramos nunca hambre, no sabríamos apreciar estar saciados. Si no hubiera nunca guerra, no sabríamos valorar la paz, y si no hubiera nunca invierno, no nos daríamos cuenta de la primavera. Tanto el bien como el mal tienen un lugar necesario en el Todo, decía Heráclito. Y si no hubiera un constante juego entre los contrastes, el mundo dejaría de existir. "Dios es día y noche, invierno y verano, guerra y paz, hambre y saciedad", decía. Emplea la palabra Dios, pues es evidente que se refiere a algo muy distinto a los dioses de los que hablaban los mitos y las religiones. Para Heráclito, Dios no es "alguien" sino "algo" que abarca a todo el mundo. Dios se manifiesta precisamente en esa Naturaleza llena de contradicciones y en constante cambio.
1.
El tema del texto es: A) La idea de Dios dentro del pensamiento griego antiguo. B) El pensamiento filosófico de Heráclito de Éfeso. C) El cambio como rasgo básico de la naturaleza de una cosa. D) Las contradicciones como fuerza motivadora del universo. E) El juego filosófico entre los contrastes, según Heráclito.
XX. Alaska no entrega sus riquezas fácilmente, es un
país salvaje y algunas veces brutal; sin embargo, los partidarios del desarrollo le han hecho frente al desafío. Ellos creen que el continuo progreso de la
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO civilización depende de un continuo establecimiento de combustibles y minerales. Por eso dicen: “Solo dennos la oportunidad y los sacaremos y todos se beneficiarán”. Pero los partidarios de proteger el ambiente dicen: “Alaska no es solo un depósito de combustible y minerales. Es una región de belleza natural, inigualada, una de las últimas grandes regiones solitarias que quedan”. Estos partidarios los hay en todas las formas y tamaños, moderados y extremistas, equilibrados y fanáticos, muchos de ellos se opusieron con encono al oleoducto. Temían un gran derrame de petróleo y los efectos que estos tendría en la ecología, también les preocupaba que el oleoducto obstaculizara las rutas migratorias del caribú y perturbara a las zonas de cría de algunas especies de aves raras. Ciertos grupos dicen que ningún desarrollo debería permitirse, que Alaska debería permanecer inexplotada como un vasto parque nacional. 1. El mejor título para el texto es: A) Riqueza petrolera de Alaska B) Alaska, un lugar inexplotado C) La fauna y flora de Alaska D) La explotación de Alaska E) Alaska, país salvaje y brutal XXI. El
Alzheimer es una enfermedad senil como consecuencia de la degeneración y muerte de las neuronas. La pérdida irreversible de estas células nerviosas, viene asociada a otros transtornos cognitivos: pérdida del lenguaje y razonamiento lógico, anulación de la capacidad de orientación y reconocimiento, e impedimento para realización de las tareas más simples. La enfermedad es irreversible y puede llevar a la muerte en un periodo de 4 a 16 años. Su incidencia aumenta con la edad y no es rara a partir de los 60 años. A los 80 años afecta a un 30%; y a los 90 afecta a casi la mitad de los ancianos. Los familiares son quienes más sufren al notar que el enfermo va deteriorándose hasta llegar a ser íntegramente dependiente de los demás, como si se tratara de un niño. 1. La idea principal del texto es: A) El Alzheimer es un mal que tiene como consecuencia la muerte de las neuronas. B) El Alzheimer es una enfermedad de la senectud cuyo origen radica en la alteración y muerte de las células nerviosas. C) El Alzheimer es una enfermedad que degenera en la muerte de neuronas. D) El Alzheimer origina la muerte cerebral irreversible. E) El Alzheimer es consecuencia de transtornos cognitivos.
XXII. Lo pedagógico no es problema exclusivo de los
pedagogos, ni siquiera de los docentes, es algo de interés y responsabilidad de todos.
Así como la salud no es cuestión que atañe solamente a los médicos, sino a todos, a la comunidad y a cada uno. Porque nos preocupa que no haya conciencia pública sobre educación por algo muy simple: los recursos humanos que tiene un país, son los profesionales, los técnicos, los especialistas, los operarios, los artesanos, los consumidores, los productores, etc. Un país existe sobre la base de recursos naturales, pero es la calidad del personal humano la que da cuenta del destino de tales recursos. Y es esta calidad humana, principalmente resultado de la educación, el potencial humano de un país es producto de la educación. 1. ¿Cuál sería el título más adecuado para la presente lectura? A) Importancia de la educación B) Educación, responsabilidad de todos. C) La potencia de la educación D) La medicina y la educación E) La salud responsabilidad de todos XXIII. Una
parte muy importante del patrimonio monumental de España se encuentra precisamente en los pueblos o en las zonas rurales próximas a ellos, que fueron centros de actividad económica en épocas antiguas. La prehistoria española cuenta con yacimientos antiquísimos en el valle del Guadalquivir, donde pudo registrarse la presencia humana hace ya un millón de años. En el valle del Manzanares, muy cerca de Madrid, hombres del Paleolítico cazaron elefantes y ciervos en los períodos interglaciales. Un cementerio de elefantes fue hallado por el marqués de Cerralbo en las inmediaciones del pueblo de Medinaceli. Junto a los huesos del Elephas Antiquus pueden verse hasta hoy las hachas de sílex de sus cazadores. Todas las grandes eras de la Prehistoria están documentadas en la península Ibérica pero el momento de mayor esplendor corresponde a los períodos del Paleolítico que llevan los nombres de auriñacense y magdaleniense, la época de las pinturas rupestres. Se puede decir que el arte rupestre es un descubrimiento español. En el año de 1829, un hidalgo de Puente San Miguel, pueblo santanderino situado cerca de Santillana, realizó un hallazgo que había de tener trascendentales consecuencias para la ciencia de la Prehistoria, apenas iniciada por entonces en Europa. Don Marcelino Sanz de Sautuola era aficionado desde hacía tiempo a buscar armas de piedra y otros objetos que testimoniaran la existencia de un hombre antiguo, anterior a la Historia. Un día, unos cazadores le dijeron que, a poca distancia de Santillana del Mar, había una cueva en la que había entrado su perro. Se dirigió a ella acompañado de su hija María, una niña de doce años. Mientras él se quedaba a la puerta de la cueva examinando unos restos, la 85
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO pequeña entró con una luz en la gruta y al ver las pinturas del techo exclamó desde dentro: “¡Papá, toros!”. Así se descubrió la cueva de Altamira. 1. La idea principal del fragmento es: intermedio A) Un hidalgo de Puente San Miguel era aficionado al arte rupestre. B) En el valle de Manzanares fue hallado un cementerio de elefantes. C) Todas las eras de la Prehistoria están documentadas en la península Ibérica. D) Una niña descubrió la cueva de Altamira. E) a y b 2. Un título apropiado para el fragmento sería: A) Cementerios de elefantes B) La cueva de Altamira C) Hallazgos de la Prehistoria en España D) Los períodos auriñacense y magdaleniense E) Todas las anteriores XXIV. Según Platón, el hombre no puede percibir la
realidad de las cosas, lo que el hombre ve o siente no es más que el reflejo imperfecto de una realidad espiritual que le es posible alcanzar por medio de la razón, y esa realidad se llama "idea" o "forma". La idea más perfecta es Dios, que es el origen y el fin de las cosas. El hombre posee un alma inmortal que la muerte libera de su envoltura corpórea, y después de sucesivas encarnaciones el alma se reintegra a Dios, que es el bien. Durante la vida, la felicidad del hombre tiene por base la virtud; y la sociedad organizada que es el Estado, tiene por fin la justicia y como medio la educación. 1. El título más apropiado para el texto es: A) Los valores humanos según los platónicos. B) La imperfección de la realidad espiritual. C) El concepto de Dios en la Antigüedad. D) La concepción platónica de la realidad. E) La envoltura corpórea contiene al espíritu inmortal. XXV. Si hay algo en común entre los niños y los
adolescentes es que ninguno se escapa del consumismo. Así lo demuestra la encuesta "Los niños y el consumo", donde a pesar de la crisis económica, los chicos – por ejemplo – ven la forma de renovar su vestuario y calzado en la primera oportunidad que les dan, ya sea una vez al mes (16%),cada tres meses (23,5%) o semestralmente (19,7%). Los adolescentes del estrato social alto son los mayores consumidores en potencia, ya que el 41,4%, como manifiestan, sólo consumen importaciones de Estado Unidos, mas no nacionales. Al momento de decidir qué comprar, el 16,8% de los adolescentes está influenciado por la publicidad y la moda. De esa manera, indica el estudio, 60 de cada 100 encuestados eventualmente cuentan con dinero 86
suficiente para sus gastos, obteniendo en su mayoría de propinas o, en el caso de los niños y adolescentes de provincias, del trabajo, lo que les permite satisfacer gran parte de sus necesidades superficiales y de vanidad. 1. La idea principal del texto es: A) El consumismo en los niños y adolescentes. B) El consumismo en la juventud. C) El consumismo es un aspecto común entre niños y adolescentes. D) El consumismo y la satisfacción de las E) El consumismo y la realidad social. XXVI.El deseo de viajar a las estrellas es antiguo, pero el
hombre no consiguió escapar a la atracción gravitatoria terrestre hasta 1957, cuando la URSS puso en órbita el primer satélite espacial; desde entonces, el hombre ha puesto los pies en la Luna y por medio de sondas espaciales ha explorado gran parte del Sistema Solar. Todos estos éxitos no habrían sido posibles sin la invención del motor cohete o de reacción. Un motor cohete se basa en la ley de Newton de la acción y reacción, según la cual, si se hace fuerza sobre un objeto, éste ejerce sobre nosotros una fuerza igual y de sentido contrario. Un motor cohete consiste en un recinto hermético provisto de una tobera en uno de sus extremos. Si se quema combustible en su interior, los gases que se producen se ven forzados a escapar a gran velocidad por la tobera y, como consecuencia de la ley de Newton, ejercen sobre el motor una fuerza neta igual y de sentido contrario que los impulsa. El resultado es que el motor se desplaza en un sentido y los gases en otro. Para conseguir una fuerza constante, existe un dispositivo que suministra continuamente una mezcla explosiva al interior de la cámara de reacción. Como en el espacio no hay aire, los motores cohete deben ir provistos de un depósito de combustible y otro de comburente que lo ayude a arder. 1. El título del texto es: A) El significado de la conquista espacial. B) El hombre y sus logros espaciales. C) La aplicación de una hipótesis de Newton. D) El funcionamiento del motor cohete. E) El motor cohete y la conquista solar. XXVII. El sida es una enfermedad causada por el virus de
inmuno deficiencia humana (VIH) el cual destruye el sistema inmunológico del hombre dejándolo a merced de contraer enfermedades e infecciones. Un sistema inmunológico sano contiene diferentes tipos de glóbulos blancos, entre estos se encuentran los linfocitos B y T. Las células T ayudan a las células B y producen anticuerpos que combaten a los organismos causantes de la enfermedad. Estas células T se denominan “asistentes”, otras células T, conocidas como “supresoras” trabajan para detener
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO esta lucha contra la invasión. Están presentes en una proporción de dos a uno mientras que en una persona con sida las células supresoras sobrepasan a las asistentes. Se pueden detectar anticuerpos del virus en la sangre por medio de las pruebas de Elisa y Western Blot. Un resultado positivo significa que la persona ha sido infectada por el virus y puede tener o no síntomas de la enfermedad pudiendo contagiar a otras personas por vía sexual, compartiendo agujas hipodérmicas y donando sangre. Tener sida significa que la persona ha desarrollado una forma de la enfermedad. 1. El tema central del texto es: A) La diferenciación entre el VIH y el sida B) El contagio del sida C) El uso de las pruebas de detección del sida D) La causa del sida E) El sida y la destrucción del sistema inmunológico
XXIX.Del
mismo modo que la materia inerte se descompone en átomos y moléculas, la materia viva se reparte en pequeñas masas distintas, las células. La célula única del ser simple (protozoario) o la célula aislada del ser pluricelular, colocadas en un medio conveniente, presentan un conjunto de propiedades que se resumen con el nombre de vida, esta vida se encuentra unida al conjunto celular y todo aquello que altera al funcionamiento del conjunto, lesionado o suprimiendo la totalidad o una parte esencial, ocasiona más o menos rápidamente la muerte. La célula repara una lesión poco importante, pero muere por una lesión autónoma. Puesto que si existen formas vivas más simples que la célula, los virus, causa de ciertas enfermedades, solo pueden vivir como parásitos en el interior de otras células vivientes.
XXVIII. El objetivo de la ciencia es sustituir o ahorrar en
experiencia por medio de la reproducción y anticipación de hechos en el pensamiento. La memoria es más manejable que la experiencia y a menudo basta para alcanzar el mismo objetivo. Esta función económica de la ciencia, que llena toda su vida, resulta manifiesta ya a primera vista; y en cuanto se reconoce, desaparece todo misticismo en materias científicas. La ciencia se comunica mediante la enseñanza, con el fin de que un hombre pueda beneficiarse de la experiencia de otro y se ahorre el trabajo de acumularla por sí mismo; así, para ahorrar trabajo a la posterioridad, se almacena en las bibliotecas las experiencias de generaciones enteras. El lenguaje, instrumento de esa comunicación, es él mismo una disciplina economizadora. Las experiencias se analizan o descomponen en otras más sencillas o más conocidas, y luego se simbolizan con alguna pérdida de precisión. Los símbolos lingüísticos son por ahora de uso limitado a territorios nacionales, y sin duda lo estarán aún por mucho tiempo. Pero el lenguaje escrito se está metamorfoseando gradualmente, orientándose hacia unas ideas de característica universal. Hace mucho tiempo que no es ya mera transcripción de la palabra hablada. Las cifras, los signos algebraicos, los símbolos químicos, las notas musicales, los alfabetos fonéticos, pueden considerarse como partes ya formadas de esa característica universal del futuro; son en cierta medida resueltamente conceptuales y de uso casi internacional. El análisis de los colores tan psíquicos como fisiológico, ha adelantado ya lo suficiente como para hacer perfectamente viable un sistema internacional de los signos cromáticos. 1. El mejor título para el texto es: A) El papel global del lenguaje. B) La economía de la ciencia. C) La ciencia y su aprendizaje. D) La importancia de aprender a leer. E) Los cambios históricos en el lenguaje.
4.
¿Qué título le convendría mejor al texto? A) Acerca del átomo B) El misterio de la vida C) Los virus y las enfermedades D) La materia inerte E) La vida celular
XXX.El Budismo existe desde hace unos 2500 años y a
lo largo de este periodo ha sufrido cambios profundos y radicales. Su historia se divide en cuatro periodos. El primero es del budismo antiguo, que se ocupa de cómo los individuos pueden alcanzar el control de sus propias mentes. Es un Budismo cuyo ideal de santidad es una persona sin ataduras y que jamás nacerá de nuevo en este mundo. El segundo periodo se inicia con la conquista de Asia Oriental por el Budismo, y en él se intenta conocer la verdadera naturaleza de las cosas. El ideal en esta época es una persona que desea salvar a todos los seres humanos y que espera llegar al final a ser un "Buda todopoderoso". El tercer periodo ve la clave de la iluminación en armonía con el cosmos y se sirve de antiguos métodos mágicos y ocultos para conseguirla. Durante esta etapa, se establecen centros de pensamientos budistas en China. Los últimos 1000 años del Budismo se pueden agrupar en un cuarto periodo. 5.
El tema gira en torno a: A) La historia del Budismo. B) La periodificación histórica del Islamismo. C) Las religiones y el Budismo. D) Los cuatro periodos en la vida de Buda. E) Los budistas ante la Historia.
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO XXXI.
Vargas Llosa reúne, visible o secretamente, varias líneas de creación, varias tendencias que señalan su linaje literario, y la misma curva progresiva de sus obras anuncian un proceso en estas relaciones. Su interés básico en observar al individuo en la acción especial de la aventura, tiene la resonancia de un mito, porque compromete a la realidad toda, desde su fantasía, así como Vargas Llosa, el mundo está comprometido en la acción del personaje. Las novelas de Vargas Llosa son de estirpe flaubertiana por el culto pasmoso de una objetividad minuciosa, como por la ausencia total del narrador en los personajes de la obra. De algún modo, Vargas Llosa también prosigue, transmitiéndola, una tradición narrativa latinoamericana, donde el individuo está determinado o definido por su doble medio social geográfico. 6. El título del texto es: A) La novela de caballería y Vargas Llosa B) La minuciosidad por obras de Vargas Llosa C) Multiplicidad de vertientes literarias de Vargas Llosa D) Vargas y la tradición narrativa latinoamericana E) La acción del personaje y Vargas Llosa
SECUENCIAS TEXTUALES Y TIPOS DE PREGUNTA
UNIDAD Nº 02
A. SECUENCIAS TEXTUALES 1. DEFINICIÓN
Son estructuras abstractas o superestructuras globales que se pueden presentar alternadas o entrelazadas a los largo de un texto. Estas secuencias hacen referencia, sobre todo a la intencionalidad del autor, pero, además, se caracterizan por tener unas expresiones lingüísticas determinadas y suelen aparecer en situaciones comunicativas diferentes. Las secuencias textuales básicas son cuatro: narración, descripción, argumentación y exposición. 1.1. SECUENCIAS TEXTUALES Y TIPOS DE
DISCURSO Al analizar un texto tenemos que tener en cuenta las secuencias o la modalidad discursiva que predomina en él. En el proceso de construcción de un texto, normalmente, aparecen distintas clases de secuencias textuales, aunque generalmente predominará una de ellas, lo que permite inscribir el texto en uno de los tipos. 1.1.1.
TEXTO NARRATIVO Es un escrito que tiene por objetivo primordial transmitir información de hechos imaginarios o reales. Es característico del texto narrativo el dinamismo, el movimiento y la riqueza de verbos. Puede ser objetivo o subjetivo. Combina la descripción, el diálogo y la exposición.
1.1.2.
TEXTO DESCRIPTIVO Es aquel que representa determinados objetos o hechos de la realidad y detalla sus características. Generalmente se describen objetos, personas, lugares, animales, escenas.
2. CLASES DE TEXTOS DESCRIPTIVOS
A. DESCRIPCIÓN CIENTÍFICA Es propia de los textos científicos y técnicos. Tiene una finalidad informativa. Pretende mostrar la realidad como es. Utiliza un lenguaje objetivo y no riguroso. Ejemplo “En la Mancha abundan lagunas pequeñas. Algunas son de agua muy salada rodeadas de escaza vegetación.” B. DESCRIPCIÓN LITERARIA Es propia de los textos literarios. Tiene una finalidad estética. El emisor no se preocupa tanto de reflejar la realidad sino de dar cuenta de los efectos que esa realidad produce en su ánimo; 88
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO por eso, la descripción pierde en minuciosidad y exactitud y se llena de valoraciones personales que transmiten al receptor las emociones y sentimientos de quien hace la descripción. Ejemplo: “Este que veis aquí, de rostro aguileño, de cabello castaño, frente liza y desembarazada, de alegres ojos y nariz corva…”
Formas de plantear este tipo de pregunta. - El tema del texto es: - El asunto que trata el autor es: - El autor expone un tema referido a: Preguntas por la idea principal Con este tipo de pregunta se detalla la idea más importante de lo expuesto por el autor. En algunos casos, la respuesta se presenta en la forma de oraciones textuales, ubicadas al principio o al final del texto. Pero también hay opciones que sin ser una transcripción fiel, transmiten la misma información. Formas de plantear este tipo de preguntas. - La idea desarrollada es: - ¿Cuál es la afirmación principal del texto? - El autor del texto pretende centralmente:
C. TEXTOS ARGUMENTATIVOS Es un tipo discursivo en el que el autor manifiesta una postura o posición respecto de un determinado tema y lo sustenta a través de argumentos. Los textos argumentativos utilizan las herramientas discursivas de la narración, descripción y la exposición. 3. ESTRUCTURA
Semejantes a los expositivos: Tesis, argumentos y conclusiones a. TEXTO EXPOSITIVO Este tipo de texto tiene como propósito aportar información sobre un tema determinado de manera ordenada y objetiva. b. TEXTO CONVERSACIONAL Interviene un diálogo para el intercambio de ideas entre dos o más personas. TEXTO NARRATIVO
TEXTO DESCRIPTIVO
TEXTO DIALOGADO
TEXTO EXPOSITIVO
Intención comunicativa
Relata hechos que suceden a unos personajes
Cuenta cómo son los objetos, personas, lugares, animales, sentimientos...
Reproduce literalmente las palabras de los personajes.
Explica de forma objetiva unos hechos.
Defiende ideas y expresa opiniones.
Responden a:
¿Qué pasa?
¿Cómo es?
¿Qué dicen?
¿Por qué es así?
¿Qué pienso? ¿Qué te parece?
Modelos
Novelas, cuentos, noticias...
Guías de viaje, novelas, cuentos, cartas, diarios...
Piezas teatrales, diálogos en cuentos y novelas, entrevistas...
Libros de texto,artículos de divulgación, enciclopedias...
Artículos de opinión, críticas de prensa...
Verbos de acción.
Abundancia de adjetivos.
Acotaciones, guiones, comillas...
Lenguaje claro y directo.
Verbos que expresan opinión
Tipo de lenguaje
TEXTO ARGUMENTATIVO
4. TIPOS DE PREGUNTAS EN LA COMPRENSIÓN
LECTORA. a. PREGUNTAS POR INTERPRETACIÓN Tienen por objetivo medir la habilidad del lector para determinar aspectos generales del texto: tema, idea principal y título; asimismo, evaluar la comprensión sobre cuestiones particulares vinculadas con las ideas secundarias y sus derivaciones. Afirmaciones expuestas (textual o equivalente), inferencias, un término o locución y relaciones. b. POR SU GENERALIDAD Preguntas por el tema Esta pregunta pretende evaluar si el estudiante ha captado el asunto que básicamente desarrolla la lectura
c. Preguntas por el título El título de un texto debe incluir el resumen de toda información importante contenida en la lectura. Debe ser una expresión clara, concisa y debe contener el tema. Formas de plantear este tipo de pregunta - ¿Cuál será el título más adecuado para el texto? - ¿El mejor título para el texto anterior sería? - ¿Qué título expresa lo leído? 5. PREGUNTAS POR SU PARTICULARIDAD (ideas
secundarias) Con este tipo de interrogantes se busca medir la comprensión de las ideas que complementan, precisan o especifican la información central. Las preguntas por ideas secundarias pueden adoptar diversas derivaciones: a)
Preguntas por afirmaciones expuestas (textual o equivalente) Una pregunta por afirmación expuesta será textual cuando lo señalado en la opción resulte literal a lo planteado en el texto, incluso manejando los mismos términos. Y será equivalente cuando lo expresado en la opción y lo planteado en el texto coincidan en el contenido a pesar de no haberse manejado las mismas expresiones.
b)
Preguntas por inferencias Las preguntas por inferencias tienen por propósito encaminarnos a establecer una afirmación que no siendo expresamente propuesta en la lectura resulta concordante y coherente con la información contenida en el texto. Las preguntas por inferencias, se resuelven a partir de la información propuesta por el autor, pero se dirigen a ideas no expresas en el texto. No pueden considerarse como correctas aquellas alternativas que contengan información textual, ni las que excedan el ámbito tratado en la lectura.
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO Clases de inferencias: Deducción e Inducción Las inferencias se realizan cuando, partiendo de un contenido afirmado, se elaboran deducciones o inducciones. Las deducciones suponen que si se explican algo general se puede inferir un caso particular. La inducción se hace presente cuando la ocurrencia de varios casos equivalentes nos permite inferir una regla general. Formas de plantear este tipo de preguntas Del texto se infiere que: Del texto se deduce que: Del texto se colige que: Del texto se deriva que: Tácitamente se entiende que: Preguntas por un término o locución. Este tipo de preguntas está encaminado a interrogar por cierto uso especial o determinado sentido que el autor haya atribuido a algunos de los términos o locuciones. El contexto en que se manejan nos permitirá delimitar el significado que el autor busca atribuirles. 6. FORMAS DE PLANTEAR ESTE TIPO DE
PREGUNTAS a) En el texto el término relegado puede ser reemplazado por b) En el texto, la frase “vuelta de tuerca” connota. c) Preguntas por relaciones Estas preguntas consisten en evaluar la capacidad del examinado para descubrir el tipo de relación existente entre determinadas ideas contenidas en el texto, que presentan algún nexo o vehículo específico. Forma de plantear esta pregunta
La relación entre rebelión y explotación es de:
Preguntas por Incompatibilidad Son aquellas preguntas que inquieren por una afirmación contraria u opuesta a lo expresado en el texto. Formas de plantear este tipo de pregunta Una idea incompatible a lo expresado en el texto es………. Una proposición opuesta a lo planteado por el autor es…………. 7. PREGUNTAS DE EXTRAPOLACIÓN
Las preguntas por extrapolación suponen el adecuado manejo por parte del lector de las preguntas de interpretación. Asumiendo este supuesto, y a partir de él, las preguntas de extrapolación consisten en la habilidad para inferir las posibles modificaciones que ocurrirán en el pensamiento del autor, si hipotéticamente variarían las premisas, condiciones, etc., del texto.
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a. Preguntas por negación Formas de plantear estas preguntas: Si se negara……………….. sucedería que: Si se invirtiera la siguiente idea:………… se pensaría que……………… Si tomáramos como punto de partida una idea contraria a lo expuesto, concluiríamos que……. b. Preguntas por condición supuesta. Forma de plantear este tipo de pregunta: Si en el texto se asumiera el concepto de Y podríamos concluir que………………….. Si…………..entonces……………. Si………….. hubiese…………….. entonces muy probablemente: EJERCICIOS UNIDAD N° 02 TEXTO N° 01 No se concibe que haya padres y madres de familia que permitan que sus hijas, cuya inocencia deben proteger y defender con empeño, se sometan a los bailes modernos, cuyos movimientos desdicen del pudor femenino y que están invadiendo todos los sectores sociales, enviciándolos y corrompiéndolos. El imperio de la moda, cada vez más dictador, domina a las personas ineducadas, pues ofende la moral y las buenas costumbres y ellas siguen sus dictados 1. De acuerdo al tipo de discurso el texto es: A) Descriptivo B) Narrativo C) Expositivo D) Argumentativo E) Conversacional o dialogado Texto N° 02 Uno de los problemas fundamentales de la Psicología es el aprendizaje. Este es definido como un cambio relativamente estable en la conducta a consecuencia de la experiencia, esto es, a partir de la relación entre la conducta y el entorno o ambiente. Los psicólogos estudian el aprendizaje a través de modelos a los cuales llaman modelos de condicionamiento. Vale decir, lo que se denomina condicionamiento es un fenómeno o proceso que simula o representa el aprendizaje, lo que querría decir, en otras palabras, que “condicionamiento” equivale a “aprendizaje”, de modo tal que un “Modelo de condicionamiento” es un “Modelo de aprendizaje”. Como lo sabemos por los celebérrimos experimentos del ruso Iván PetrovichPavlov, cuando un estímulo tal como el sonido de un timbre precede reiteradamente a la mostración o presentación de otro estímulo tal como una porción de comida el primer estímulo comienza a producir, en un momento determinado, ¡El mismo efecto que provoca la comida¡. Las combinaciones entre estímulo como aquellos ilustran, en conjunción con la conducta misma desde luego, las relaciones entre ésta y el ambiente. Por ende, es un “modelo de aprendizaje”
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO 2. De acuerdo al tipo de discurso, el texto es: A) Conversacional B) Narrativo C) Argumentativo D) descriptivo E) Expositivo TEXTO N° 03 Ángela Vicario era la más bella de las cuatro, y madre decía que había nacido como las grandes reinas de la historia con el cordón umbilical enrollado en el cuello. Pero tenía un aire desamparado y una pobreza de espíritu que auguraban un porvenir incierto. Yo volví a verla año tras año, durante mis vacaciones de Navidad, y cada vez parecía más desvalida de su casa, donde se sentaba por la tarde a hacer flores de trapo y a cantar valses de solteras con sus vecinas. “Ya está de colgar en un alambre -Me decía Santiago Nasar- : tu prima la boba”. De pronto poco antes del luto de la hermana, la encontré en la calle por primera vez vestía de mujer y con el cabello rizado, y apenas si pude creer que fuera la misma, pero fue una visión momentánea: su penuria de espíritu se agravaba con los años. Tanto que cuando se supo que Bayardo San Román quería casarse con ella, muchos pensaron que era una perfidia de forastero. 3. De acuerdo al tipo de discurso el texto es: A) Descriptivo B) Argumentativo C) Narrativo D) Conversacional E) Expositivo TEXTO N° 04 - ¿El propósito de nuestra vida es la búsqueda de felicidad? - Sí, sin embargo, cuando se dice que ese es el propósito de la vida se puede malinterpretar: se piensa que lo que se debe buscar es placer y felicidad instantánea. Pero eso no los lleva a ningún lado. El propósito real es lograr felicidad duradera y estable. - Siempre se nos dice que no existe felicidad duraderaNuestra mente tiene la capacidad de lograr estados de felicidad temporal, pero también la capacidad de un estado permanente. Eso es lo que tenemos que desarrollar en nuestra mente. En este mundo, la felicidad es efímera, pero para que sea permanente debemos cultivar paz mental. 4. De acuerdo al tipo de discurso, el texto es: A) Narrativo B) Descriptivo C) Expositivo D) Conversacional E) Argumentativo TEXTO N° 05 El gran PANDA es nativo del noroeste de China. Nadie parece saber gran cosa sobre él o más bien podemos decir que se le conoce desde fines del siglo XVIII en que fue descubierto por el religioso francés A. David. Vive en tupidas selvas de arbustos y bambúes y muy rara vez se deja ver. Que se sepa estos extraños animales llevan una vida solitaria, alimentándose de raíces y tiernos brotes de bambú, y cuando la nieve cubre la tierra que el gran PANDA se acurruca en algún lugar protegido y duerma allí, durante la mayor parte del invierno. Los pandas son dulces y cordiales y a menudo se domestican. Pero si se les molesta, silban como los
gatos, escupen y suelen proferir un gruñido suave como un osito enojado. 5. De acuerdo al tipo de discurso el texto es: A) Narrativo B) descriptivo C) Expositivo D) conversacional E) Argumentativo TEXTO N° 06 En la actualidad, el fútbol es uno de los deportes más, practicados. Y al ser el deporte “rey” mueve una gran masa de personas. Esa masa de personas, debido a la rivalidad entre los distintos equipos, lleva a manifestarse con una enorme violencia. Como en algunos casos: rompiendo el mobiliario del estadio, incluso agrediendo a los deportistas, árbitros, etc. Debido a estas formas debido a estas formas tan violentas, ya no se va al estadio con la misma ilusión sino que se va con cierto temor. En varias situaciones han llegado a morir personas por aplastamientos, o sufrido heridas graves, de bengalas o quemaduras por la quema de asientos del estadio. No solo existe la violencia entre los aficionados a este deporte, sino también entre los propios jugadores, como cuando se agreden unos a otros dándose patadas, codazos, empujones, incluso con violencia verbal. A causa de no saber afrontar el fútbol como el propio juego que es. A consecuencia de la rivalidad de os equipos que se enfrenta y del no saber perder. Pienso que el fútbol, como cualquier otro deporte debería servir para unir las diferencias culturales para sabernos respetar y disfrutar de lo que es el fútbol o el deporte en general. Ojalá que esta costumbre tan violenta tenga fin en todos los deportes. 6. De acuerdo al tipo de discurso el texto es: A) Narrativo B) descriptivo C) Argumentativo D) Expositivo E) Expositivo TEXTO N° 07 La apendicitis es una inflamación aguda o crónica del y rara vez apéndice cecal o vermiforme. La apendicitis puede ser causada por una infección microbiana; sin embargo, uno de los factores preponderantes es un cálculo que obtura la luz del órgano o lo lesiona. El síntoma inicial de la apendicitis es, de manera invariable, el dolor abdominal de tipo visceral, resultante de las contracciones apendiculares. Se acompaña con frecuencias de náuseas, vómitos, hipersensibilidad localizada, fiebre, urgencia para defecar o expulsión de gases. Este dolor visceral es, al inicio, leve, con frecuencia de tipo retortijón y rara vez de naturaleza catastrófica, que dura por lo general de 4 a 6 horas y que puede pasar, sin notarse, en individuos estoicos o durante el sueño. A medida que la inflamación se propaga a la superficie del peritoneo parietal, el dolor se vuelve constante y más intenso
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO 7. De acuerdo al tipo de discurso el texto es: A) Descriptivo B) Expositivo C) Narrativo D) Conversacional E) Argumentativo TEXTO N° 08 En la era primitiva, el trabajo en equipo fue clave en la supervivencia, porque mientras unos se ocupaban de la crianza de los niños y de la alimentación del grupo, otros recolectaban alimentos o defendían a la tribu de animales peligrosos. Charles Darwin decía que los grupos humanos que trabajaban por el bien común sobrevivían en mejores condiciones y más capacidad de tener una descendencia que los que eran egoístas y no formaban parte de ningún grupo. La tierra ha dado muchas vueltas desde entonces, pero la situación sigue siendo la misma. En todas partes, pero sobre todo en la oficina, hay que trabajar en grupo para alcanzar ciertas metas, pero para que los resultados sean aún mejores es indispensable mantener buenas relaciones con los colegas. De esa manera no solo se consigue un mejor producto, sino que además se pone una barrera segura contra el estrés, contra las innecesarias situaciones de tensión y contra esta típica costumbre de trasladar mal humor al hogar. Una buena relación laboral depende de varios factores. Para David Fischman, encargado de la escuela de Empresa de la Universidad Peruana de Ciencias aplicadas, lo principal es la forma como enfrentamos la vida, con una actitud egocéntrica a una de servicios. La gente que vive atrapada por su ego trata de que la admiren, la alaben y solo busca su propio beneficio, tiene una baja autoestima y sube aplastando a los demás. Muy diferente es la actitud de entrega y ayuda, que propicia un ambiente mejor. En mi caso personal, he trabajado en muchos grupos, pero solo en un grupo. En este último se crean lazos de amistad y de cariño muy estrechos, todos se preocupan por ayudar a los demás y si hay algún problema no se busca culpables, se trata de resolver. Se genera un espacio social y de identidad que, por motivos trágicos que desconozco, provoca un óptimo desempeño en la oficina. 8. El tema central del texto es: A) El trabajo grupal y su presencia en la historia. B) El trabajo en equipo sus antecedentes y sus limitaciones. C) La trascendencia del trabajo en equipo en labores de oficina. D) La oficina y los beneficios del trabajo en grupo, según Fischman. E) La importancia del trabajo para la supervivencia. 9. La diferencia entre grupo y equipo radica en: A) La rapidez y seguridad en el trabajo de sus componentes B) La confianza y el respeto hacia el líder. C) El grado de solidaridad y complementación de los integrantes. D) El compromiso de trabajo y la autoestima de los miembros. E) El tipo de trabajo desempeñado y el rol que cumplen sus afiliados.
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10. Es una afirmación que contradice lo mencionado. A) Las personas egocéntricas se caracterizan por tener su autoestima baja. B) El estrés y la tensión son problemas son problemas que se pueden superar si tenemos una buena relación laboral. C) El trabajo se vuelve poco productivo si se hace prescindiendo del equipo. D) El desempeño en la oficina se vería afectado sin el trabajo grupal. E) La eficacia se puede obtener trabajando individualmente y sin lazos emotivos. 11. Una persona de gran capacidad laboral pero de actitud individualista. A) Quedará totalmente vetado para todo tipo de trabajo en la sociedad. B) No podrá desarrollarse en trabajos cuyo ambiente demande mucha interrelación social. C) Podrá dirigir una empresa pero no podrá interrelacionarse con sus socios. D) Logrará eficacia solo en trabajos que exijan menor desgaste físico. E) Podrá ser parte de un equipo solo si oculta su actitud egocéntrica. 12. En el texto la palabra clave se interpreta como A) Complemento adicional. B) Agente fortuito. C) Requisito mediato. D) Factor fundamental. E) Actitud natural. TEXTO N° 09 Siempre he tenido la culpa de que la gente no me trate como una persona mayor. Cometo demasiadas locuras, parece, y la gente cree que eso es falta de madurez. Simplemente me aburre la madurez y creo que esto es una suerte. A mí en todo caso, me ha permitido conocer a muchas personas que viven cometiendo locuras. Siempre son las que realmente me atraen. Creo que nos detectamos. Me detectan a mí, en todo caso. Inés me quería por lo loco que era, pero al mismo tiempo no lo soportaba. Y al final fue peor porque mis locuras empezaron a ser de mayor cuantía. Nuestro París tenía la culpa pero ella no lo soportó y se fue además con un secreto muy profundo. Ella siempre me había protegido de los seres que cometen locuras, y cuando se fue sentí que me había quedado expuesto y que no tardaban en detectarme loco tras loco. Y pensándolo bien, debo reconocer que siempre he sentido una fuerte inclinación por seres de esos que todo el mundo desearías sicoanalizar, inmadurísimos de acuerdo con la legislación vigente. No faltaron incluso graves y hermosas tentativas entre seres que habían cometido muchas locuras e intentaban a aquella última de nunca volver a cometer una locura. Se acaba mal, Se acaba pésimo. Se acaba uno alejado de los seres que más ha querido en su vida.
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO 13. El texto constituye básicamente para el autor. A) Una confesión sincera sobre el mayor defecto en la vida. B) Un reclamo coherente al carácter posesivo de su pareja Inés. C) una justificación a su comportamiento sui generis e incomprendido. D) Un arrepentimiento por el daño que produjo a sus seres queridos. E) Un llamado a otros inmaduros para hacer más locuras infantiles. 14. El término fuerte se entiende mejor como A) resistente B) compacto D) duro D) saludable E) intenso 15. Son verdaderas, según el texto I. Con el tiempo las locuras del personaje se fueron haciendo más extremas. II. Inés no toleró, a la larga, la actitud y el comportamiento de su pareja. III. El personaje rechaza la seriedad porque a su parecer no es divertida. A) Solo III B) Solo I c) Solo II D) II y III E) I, II y III 16. De las relaciones que establece el personaje, se deduce fundamentalmente que. A) Eran personajes raros, tan o más inmaduros que él B) La mayoría tenía el mismo problema de salud mental C) Tendía a compatibilizar mejor con quienes eran como él. D) Le servían de apoyo moral para superar su mal estado. E) eran amistades favorables muy bien vistas por su pareja. 17. Un resultado de un cambio diametral en el comportamiento del personaje implicaría. A) Que Inés nunca se hubiese enamorado de él realmente por ser muy responsable. B) Que sus amistades tendrían un comportamiento muy diferente, de absoluto rechazo. C) Estar completamente feliz al lado de Inés solamente y odiar al resto. D) Vivir contento junto a personas serias y a amigos muy queridos por él. E) Cierta comodidad en la convivencia pero interiormente una gran frustración. TEXTO N° 10 El Merlín que nos ha llegado a través de la tradición artúrica (aquella que gira en torno a la figura del rey Arturo) es una mezcla de adivino y mago, conocedor del tiempo presente, pasado y futuro. Un ser misterioso y poderoso capaz de transformarse en distintos personajes, leñador, pastor o paje, y de encantar o hechizar a los demás, innumerables ejemplos de estos maravillosos poderes, magias y prodigios podemos encontrarlos en la denominada ”materia de Bretaña”,
poblada de los seres más fantásticos y fascinantes que podamos imaginar. Álvaro Cunqueiro, sin embargo, en su novela Merlín y familia, nos presenta la figura del personaje lejos del revestimiento mítico, casi divino, que lo había caracterizado en la Edad Media, y lo humaniza desidealizándolo y convirtiéndolo en una persona de a pie, a la que fácilmente pudiéramos encontrar por la calle. Esta aproximación a la realidadno solo acontece en el caso del mago, sino, en general, con todos los individuos que pueblan sus ficciones: sirenas, princesas, demonios o enanos, que habitan en un mundo desprovisto de cualquier atisbo de idealización literaria. Es más, conviven con personajes que pudieron existir en la realidad, el paje Felipe de Armancia, la cocinera Marcelina, o del obispo de París, y visitan lugares auténticos como Aquitanía, Toledo, Roma o Galicia. Esta mezcla de lugares fantásticos y reales, de personajes auténticos e imaginarios se produce de forma tan natural que sumerge al lector en un mundo tan perfectamente verosímil que el mismo, incluso, puede llegar a sentirse parte activa de él. La cotidianidad del universo mítico es una característica esencial de la obra de Cunqueiro, que toma el poder alusivo del mito, su capacidad evocadora, para después dispersar todo su contenido épico y de este modo, acercar al lector estos seres, distantes e inasequibles en otros tiempos, al remitirnos a un mundo pasado y conscientemente imaginario. El mito se nos presenta, de este modo, cercano en el tiempo y en el espacio, Cunqueiro desmitifica el mito y lo aproxima a la realidad. Los ejemplos son numerosos a lo largo de Merlín y familia. 18. De acuerdo al tipo de discurso el texto es: A) Narrativo B) Conversacional C) Argumentativo D) Descriptivo E) Expositivo 19. El tema del texto es: A) La desmitificación del mago Merlín y de la tradición mítica en la obra de Cunqueiro. B) Merlín y familia una obra de realismo mágico y de la tradición inglesa arturiana. C) La obra de Álvaro Cunqueiro y la importancia que ella otorga a los personajes medievales. D) La cotidianidad del universo mítico como recurso literario ineficaz para la desmitificación de las tradiciones. E) El conflicto entre lo mítico medieval y lo realista cotidiano En la obra de Cunqueiro. 20. Se infiere del texto que la “materia de Bretaña” es: A) Un conjunto de innumerables ejemplos maravillosos. B) Una composición filosófica propia de la Gran Bretaña. C) Un conjunto manuscritos recopilados por los historiadores.
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO D) Un conjunto de relatos propios de la tradición inglesa. E) El nombre genérico de los temas propios de Inglaterra. 21. La palabra atisbo hace referencia a A) Una mirada B) una observación C) una comprobación D) un indicio E) una experiencia 22. ¿Qué efectos trae lo que el autor denomina la cotidianidad del universo mítico. A) El desprestigio de lo imaginario en favor de la realidad. B) La continuidad indistinguible entre la realidad y la fantasía. C) La aproximación del mito a la realidad. D) Un apego sostenido por la distinción entre lo real y lo ficticio. E) E) Una diferencia radical entre lo mítico sublime y lo ideal. TEXTO N ° 11 Me inquietó siempre del Diccionario de la Real Academia la definición de los colores. Amarillo: el color semejante al del oro, el limón, la flor de la retama, etc. A mi modo las cosas desde la América Latina, el oro era dorado, no conocía las flores de la retama, y el limón no era amarillo sino verde. Desde antes me había llamado la atención el romance de García Lorca: “en la mitad del camino cortó redondos y los fue tirando al agua hasta que la puso de oro”. Necesité muchos años para viajar a Europa y darme cuenta de que el diccionario tenía razón porque en realidad los limones europeos son amarillos. Novelístico 23. La afirmación que se infiere del texto sería. A) Los significados de los colores no reflejan la realidad de los mismos objetos. B) Los significados planteados en el diccionario tienen una visión parcializada. C) Que presenta una ambigüedad de los significados en el diccionario. D) El autor no entendió nunca la prosa de García Lorca por ser ambigua. E) E) Los limones europeos tienen más valor que los americanos. TEXTO N° 12 Ciertos críticos entienden su oficio como una cacería de brujas: la función de la crítica será detectar (¿denunciar?) las influencias de otros autores en los textos que analizan. El objeto de esta labor detectivesca es medir la originalidad de un orador. El presupuesto de esta crítica comparativa es el siguiente: es más original el autor que registra menos influencias; en otras palabras, el que erige sus ficciones más a partir de una realidad vivida que una realidad leída que una realidad leída, aquel cuyos demonios son más personales e históricos que culturales: Para el cazador de brujas, el novelista que forma como modelo de un personaje a un hombre de carne y hueso es original, y el que usa como modelo a un hombre de la literatura es un plagiario; la ficción ajena,
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según él , no puede ser una fuente de experiencias creadoras para un escritor; la vida ajena, sí. Lo cierto es que la originalidad de un autor es un problema estrictamente formal, y nada tiene que ver con los materiales que trabaja, con sus temas o fuentes; es algo que depende, únicamente, del tratamiento a que somete, de la escritura y estructura en que encarna esos materiales que toma inevitablemente de la realidad (personal, histórica o cultural). Que el estímulo creador proceda de hechos que experimentó personalmente, o de experiencias históricas, o de libros que leyó, no tiene importancia alguna, y, en todo caso, no es un asunto de ética, sino de psicología. 24. ¿Qué buscan detectar ciertos críticos? La cantidad de personajes literarios extraídos. B) La gran fama sobre el análisis literario. C) Los defectos de composición de los literatos. D) Las influencias literarias de otros autores. E) El estímulo creador de los literatos. 25. Para ciertos críticos, plagiario es el novelista que A) Busca personas principalmente de los centros. B) Usa como modelo un hombre de la literatura. C) Se preocupa por trabajar la estructura de la obra. D) Crea a partir de hombres de carne y hueso. E) Elabora su obra con técnicas de otros autores. 26. El término demonio se entiende como A) Influencia cultural. B) Fuerza literaria C) Modelo novelístico D) Estímulo creador E) Impulso personal 27. El tema abordado por el texto es A) La tendencia de la crítica literaria B) La originalidad de obra literaria. C) Los temas que utiliza el literato. D) Las influencias en la literatura. E) Las fuentes que inspiran al literato. 28. Se deduce sobre el influjo de un literato sobre otro que. A) No permite al artista crear una gran obra. B) Merecer ser censurado por toda la crítica literaria. C) Es un tema que debería ser abordado por los psicólogos. D) No determina el mérito o calidad de la obra. E) Es el reflejo en la manera de escribir y estructurar. TEXTO N° 13 La drogadicción es un problema de salud pública que afecta a muchas personas y tiene amplias repercusiones sociales. Tal vez por eso, muchas personas miran el abuso de las drogas, estrictamente, como un problema social y tienden a describir a la gente que usa drogas como personas moralmente débiles o que tienden tendencias criminales. Creen que las personas que abusan de las drogas son drogadictos que deben ser capaces de dejar de usar drogas si están dispuestos a modificar su comportamiento. Estos no solo han creado estereotipos de las personas que tienen problemas relacionados con las drogas, sino también de sus familias, sus comunidades y de los profesionales de la
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO salud que trabajan con ellos. Usos compulsivos de la droga, y no pueden dejar de usarla por sí mismos La drogadicción sí comienza con el abuso de drogas, cuando un individuo decide conscientemente usar drogas: Pero la adicción no es solamente mucho uso de drogas. Estudios científicos recientes proveen pruebas abrumadoras de que las drogas no solo interfieren con el funcionamiento normal del cerebro al crear fuertes sentimientos de placer, sino también tienen fuertes efectos duraderos sobre el metabolismo y la actividad del cerebro. En algún momento, ocurren cambios en el cerebro que pueden convertir al abuso de las drogas, en adicción, una enfermedad crónica y recurrente. Los drogadictos sufren de ansias y uso compulsivos de la droga, y no pueden dejar de usarla por sí mismos. Necesitan un tratamiento para poder terminar con este comportamiento compulsivo. Debido a la abundancia de datos científicos, hay una tremenda oportunidad para cambiar eficazmente la manera en que el público entiende el abuso de drogas y la drogadicción: Superar los conceptos erróneos y reemplazar la ideología con conocimientos científicos constituye la mejor esperanza para arreglar la gran desconexión, la discrepancia entre los datos científicos y la percepción que tiene el público del abuso de drogas y la drogadicción.
32. Si la adicción a las drogas no fuese considerada como una enfermedad entonces A) El drogadicto necesitaría una rehabilitación en un centro psiquiátrico. B) La drogadicción no sería considerada como un problema social. C) Los estudios científicos la describirían como un malestar pasajero. D) Los drogadictos con tendencias criminales deberían ser encarcelados. E) Los drogadictos dejarían de consumirla gracias su fuerza de voluntad. ---------------------------------------------------------------------------La unidad N° 2 ha sido revisada, corregida y aumentada. Los ejercicios propuestos han sido elaborados por el profesor Luis Eduardo García Rojas docente CEPU – UNICA.
29. La idea medular del texto es. A) El público debe superar su percepción errónea acerca del abuso de drogas y la drogadicción. B) Estudios científicos indican que las drogas interfieren con el funcionamiento del cerebro. C) La drogadicción es un problema que afecta a muchas personas y tiene amplias repercusiones sociales. D) Muchas personas miran el abuso de drogas, estrictamente, como un problema social. E) Los drogadictos sufren de ansias y de uso compulsivo de la droga, y no pueden dejar de usarla. 30. El verbo mirar tiene el sentido contextual de A) observar B) imaginar C) discutir D) describir E) pensar 31. ¿Cuál de los siguientes enunciados es incompatible con el contenido textual? A) El uso de drogas crea un trastorno en el funcionamiento normal del cerebro. B) El abuso de drogas es anterior a la enfermedad crónica conocida como drogadicción. C) Tanto la amistad como el uso compulsivo son síntomas de los drogadictos. D) Si los drogadictos cambiaran su comportamiento, entonces podrían dejar de usar drogas. E) Es erróneo pensar que la drogadicción equivale al uso indiscriminado de drogas.
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO Pueden ser de dos clases: Morfemas gramaticales y Morfemas derivativos. UNIDAD Nº 03
LA PALABRA
1. DEFINICIÓN: La palabra es la unidad de la lengua formada por segmentos con significado. Estos segmentos reciben el nombre de monemas, que pueden definirse como las unidades lingüísticas más pequeñas portadoras de significado. 2.
ESTRUCTURA DE LA PALABRA: A. LEXEMA O RAIZ: El lexema o raíz es el monema que tiene la significación más importante, es decir, el significado léxico.
b.1. Morfemas gramaticales o flexivos (monemas sufijos): Son las desinencias del verbo (tiempo, número, persona, modo, aspecto), sustantivo (género y numero), adjetivo (género y numero). En la palabra “CANTÉ” el morfema gramatical “E” nos indica: número singular, primera persona, tiempo pretérito, modo indicativo. b.2. Morfemas derivativos o afijos: Son segmentos que unidos al lexema permiten formar nuevas palabras. Según la posición que ocupa el afijo, estos pueden clasificarse en:
C A R N E Carn + i + voro
Prefijos o Morfemas Derivativos: Se anteponen al lexema y a menudo tienen origen griego o latino. Modifican el significado de las palabras (humanoinhumano), pero no cambia la categoría gramatical de las palabras (humano=adj./inhumano=adj.). A N A R Q U Í A
En + carn + ar
an
Carn + ic +er +o
+
pref. gr.
arquia raiz. gr.
(a,an = privación)
Raíz o lexema
B. MORFEMA: Son monemas que sirven para completar el significado y constituyen la parte variable de las palabras.
F A C I L Í S I M O
R E N A C E R
Fácil
Re + nac + er
Pref .Lexema Suf. o o M. Deriv Morf. Deriv. (Repetición otra vez)(Acción verbal)
Los morfemas se pueden clasificar en dos tipos: a)
b)
INDEPENDIENTES O LIBRES:Son aquellos que pueden ocurrir solos, carecen de lexemas, por eso carecen de significado léxico. Por ejemplo: Y, en, porque, aunque, etc. Funcionan como morfemas independientes: las preposiciones y conjunciones DEPENDIENTES O LIGADOS: Son los que necesitan obligatoriamente unirse a un monema lexical.
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Sufijos o Morfemas Derivativos: Son segmentos que se posponen a la raíz o lexema. Los sufijos que se añaden pueden ser: diminutivos, aumentativos, despectivos, de origen, gentilicios, de posibilidad, de semejanza, etc.
+
ísimo
Lexema Suf.o Morf. Deriv.(superlativo)
Infijos: Elemento que normalmente no aporta significado, pero tiene una función de enlace dentro de la palabra. C A F E T A L
Café + t + al
LexemaINFIJO Sufijo
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO RAÍCES DE ORIGEN LATINO RAIZ Acidus, Acetum Aurum Corpo, corpus
SIGNIFICADO Acido, vinagre Oro Cuerpo
Damnum
Daño
Docere
Enseñar
Facere Filius
Hacer Hijo, descendiente
Lact
Leche
Locus, loquis Magister Motus Ovum Ped Port Sanitas
Hablar Maestro Movimiento Huevo Pie Transportar Estar sano
Somnus
Sueño
Virus
Veneno
PALABRAS DE LA MISMA FAMILIA Acidez, acibarado, acetado, acético Aurífero, áureo, áurico Corpulencia, corpóreo, corporal Indemne, damnificado, indemnizar Docencia, docente, docericidio Hacedor Filial, filiación Lactofagia, lactato, lactosa, lactante Locutorio, locutor, locuaz Magisterio, magistral Maremoto, terremoto Oval, ovoide, ovíparo Pedestre, pedal Aeropuerto, portuario Sanitario, sanidad Sonámbulo, somnífero, somnoliento Viral, virulento
Polis
Ciudad
Ptero
Ala, aleta
Phragma
Separación
Raqui
Columna vertebral Mirar detenidamente
Skop Tele
Lejos
Therapeia
Cuidado, tratamiento
Trauma, traumato Xilo, xylos Zoo, zoon
PREFIJ O
. proximidad . a, hacia, dirección
G
a-, an-
. sin, no, falta
ab-, absaden(o)aero -
. separación, privación . glándula . aire
L
Dedo
G
ana-
Dips
Sed, saber
Dromo, dromos
Carrera
G
anfi-
Etho
Carácter, costumbre
Gam, game
Matrimonio, boda
L
ante-
Gno, gnosis
Conocer
Iatr
Médico, medicina
Kalo, kali
Bello
Kephal, cephal Khroma, khromato
Cabeza Color
Krypto
Escondido
Lip, lipo
Grasa
Makro
Grande
Meso
Medio
Morph
Forma
Nykto Oligo Onykho Phlebo
Noche Escaso, poco Uña Vena
Phreno
Mente
Dactilar, pterodáctilo Adipsia, dipsómano, dipsomanía Hipódromo, aeródromo, velódromo Etnología, etnocentrismo Exogamia, poligamia, monogamia Agnóstico, precognición, cognitivo Iatrogenia Calipedia, caligrafía, calología Cefalópodo, cefalalgia, encéfalo Cromatografía, policromo, cromógeno Criptogamia, cripta, críptico Liposucción, lípido, lipoma, lipófilo Macroeconomía, macrobio Mesocracia, mesodermo Antropomorfo, zoomorfo, morfología Nictofilia, nictálope Oligopolio, oligocracia Onicofagia Flebitis. Flebotomía Esquizofrenia, frenología
SIGNIFICADO
a-, ad-
Dactil, daktylos
Bradi
Animal
L
G
RAIZ
Madera
PREFIJOS DE ORIGEN GRIEGO (G) Y LATINO (L)
RAÍCES DE ORIGEN GRIEGO PALABRAS DE LA SIGNIFICADO MISMA FAMILIA Presión, gravedad Isóbaro, barómetro Bradicardia, bradilalia, Lento bradipepsia
Baro, barys
Herida
Acrópolis, necrópolis Pterodáctilo, megáptero, helicóptero Diafragma, fragmentación Raquídeo Microscopio, telescopio, endoscopio Telescopio, televisor, teléfono Terapéutico, hidroterapia Traumatismo, traumático Xilografía Zoofobia, zootecnia, zooplancton
G
G G
anti-, antapoauto-
. transposición, inversión . según . de nuevo . contra, fuera de . sobre . ambos, dualidad, doble . alrededor, en torno . precedencia, antes . contra, oposición
benebi-, bis-
. fuera de, lejos . por uno mismo, propio . bien, bueno . dos, dos veces
bradi-
. lento
cata-
. abajo, hacia abajo
L
centi-, cente-
. cien
L
circun-
. alrededor
L
co-, com-, con-
. reunión, agregación . cooperación, en compañía de
G L G G G
L G G
contra-, controdecadeci-
. contra, oposición . diez (diez veces) . diez (décima
PALABRAS DE LA MISMA FAMILIA . adjunto, adyacente, adosar . admirar, adecuar . ateo, analfabeto, anaerobio . abducción, abstraer, abdicar . adenitis, adenotomía . aeronave, aeropuerto, aerostático . anagrama . analogía . anabaptista . anacrónico . anatema . anfibio . anfiteatro . antecámara, antesala, anteojos . antipirético, antipatriota . apogeo, apostasía . automático, autobiografía . benévolo, beneficiar . bienal, bimensual, bicorne . bradicardia, bradipnea . cataplasma, cataclismo . centígrado, centenario . circunferencia, circundar . codirector, colección, coacusado . compadre, convenir, conducir . contradecir, controversial . decalitro, decaedro . decímetro, decibelio
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L
des-
parte) . negación, acción contraria . separación, privación . exceso, demasía
G
di-
. dos
G
dia-
. a través de
L
dis-, di-
G
dis-
G
ec-, ect-
. opuesto a, separación . mal, trastorno, dificultad . en el exterior, por fuera . dentro de, inclusión
L
en-, in-
G
endo-
. dentro
G
epi-
. sobre
equi-
. igual
eu-
. bien, bueno, feliz
L
ex-, es-
.sacar/poner afuera . dejar de ser, privación
G
exo-
. fuera de
L
extra-
. fuera de, más allá
G
hemihiper-
. medio . exceso, superioridad . debajo, inferioridad
L G
G G
hipo-
G
homo-
. igual
L
in-, im-, i-
L
infra-
.negación, privación .debajo, inferioridad
L
inter-
G G G G L
intra-, intrometa-, met miri(a)monomulti-
. entre, en medio . posición interior . despues de, mas allá . diez mil . uno, único . mucho
.deshacer, desconfiar, desvestir . desalojar, desabejar . deslenguado . dimorfo, disílabo, dilema . diacrónico, diáfano, diagnóstico . discontinuo, disentir, discordancia, . disfagia, dispepsia, dislexia .ectoplasma, ectópico . encajonar, enlatar, incluir, importar . endovenoso, endogamia . epidermis, epiglotis, epílogo . equidistante, equivaler . eufonía, eufemismo . extraer, exhumar, expatriar, escapar . exministro, exalumno, exánime . exotismo, éxodo . extraordinario, extrajudicial . hemisferio, hemiciclo . hipertensión, hipérbole .hipótesis, hipotensión . homónimo, homosexual . inacabable, impune, irreal, ilegal . infrahumano, infracción . interpersonal, intercostal . intramuscular, introducido, introito . metafísica, metáfora, metacentro .miriámetro, miriápodo . monomanía . multinacional, multimillonario
L
ob-, oc-, op-
. intensidad, oposición . en virtud de
. oponer . obtener, obnubilado
G
para-
. junto a . contra
. parábola, paralelo . paracronismo, paradoja
L
per-
G
peri-
G
poli-
L
pos-, post-
L
pre-
98
. idea de intensidad . a través . alrededor de . abundancia, pluralidad . ciudad . después de, posterior . anterioridad
L
L
L L
pro-
retro-
. retroceso, para atrás .repetición, otra vez .oposición, negación . para atrás
semi-
. mitad, medio
re-
G
sin-
L
sub-, so-
L L G G L L L L L
super-
. simultaneidad . unión, uniformidad .inferioridad, acción secundaria . bajo, debajo de
supra-
. sobre mucho, exceso . sobre
tele-
. lejos, a distancia
tetra-
. cuatro
trans-, trastri-
.a través de, al otro lado . tres
ultra-
. más allá, al otro lado de . uno
univice-, viz-, vi-
. en lugar de
.pronombre, procónsul . prólogo, progenitura . proseguir, promover, propulsar . refluir, reflujo . reconstruir, rehacer, reabsorción . reprobar . retroactivo, retrospectivo . semisalvaje, semifusa . sincronía, sincrónico . sinestesia, sinergia . subdelegado, subarrendar, soasar . sublingual, subsuelo, subyugar . superpuesto, superfluo . suprasegmental, suprarrenal . teledirigido, teléfono, televisión . tetrápodo, tetrasílabo . transtibetano, trastocar, traslúcido . tripartito, trimotor, trípode . ultratumba, ultramar . unicelular, unísono .vicerrector, vizconde, virrey
SUFIJOS PARA FORMAR SUSTANTIVOS Nº
1
2
EXPRESAN
Diminutivos
Posibilidad
.perdurable, perennes .pericardio, perímetro, perífrasis, .polivalente, polifásico, polidipsia . posponer, posbélico, postgrado . preámbulo, predecir, prefijar
. por, en vez de . ante, delante de . impulso, movimiento
3
Despectivos
4
Abstracción
SUFIJO - ito, - ita - cito, - cita - ecito, - ecita - cecito, - cecita - illo, - illa - ecillo, - ecilla - cecillo, - cecilla
- ble - able - ible - izo, - iza - ote - ero, - era - astro, - astra - ucho, ucha
- anza - ura - ería
APLICACIÓN caminito, bonito, lobito, gatita barnicito, botecito, hombrecito, varicita huesecito, puertecita, buenacito, manecita pececito, lucecita, piececito listillo, pocillo, cigarrillo, bombilla botecillo, varecilla, hombrecillo, silloncillo piececillo, pececillo, lucecilla amable, despreciable deseable, enjuiciable susceptible, imposible enfermizo, plomizo, rojiza grandote, librote, cerote, palote embustero, farolero, faldero, fulera camastro, padrastro, poetastro, hijastra calducho, novelucho, flacucha esperanza, templanza, bonanza gordura, pintura,
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO - ismo
5
6
7
8
Nacionalida d u origen
Profesión u oficio
- ino, - ina - ense - eño, - eña - ota
- ador, - adora - andero, andera - iente - ario, - aria - cultor
Lugar o instalación
-
Superlativos
- ísimo, - ísima - císimo, císima -
9
10
11
ador aduría atorio ería
ante eño, - eña ador, - adora oso, - osa
Semejanza
Agrupación
Intensidad
-
ada ado al ativo
- ado, - ada - ino, - ina - bundo, - bunda
- ego, - ega : - esco, - esca : - ero, - era : 12
13
Relación
Acción
- aje - mento - ción - anza - oso - era
sutura, estructura pillería, tontería cristianismo, oportunismo, ateísmo granadino, avilesina, neoyorquina nicaragüense, bonaerense, costarricense panameño, caleño, hondureña, salvadoreña chipriota, cairota embolador, gobernador, investigadora lavandero, curandera, hilandera escribiente, teniente, paciente, pariente funcionario, bibliotecaria, notario, boticario agricultor, horticultor, avicultor, apicultor aparador, velador, tocador contaduría, pagaduría laboratorio, sanatorio librería, papelería, ferretería, lavandería facilísimo, activísima, tiempísimo, buenísimo felicísima, audacísimo abundante, semejante, tunante, garante hogareño, pastueño, marismeño, ribereña madrugador, trasnochadora, soñadora garboso, perezoso, morbosa, calmosa bandada, granizada, muchachada internado, alumnado trigal, robledal, cenizal, maizal corporativo, administrativo, relativo, rotativo colorado, rosada, blanqueada, azulada albino, cetrino, colombina nauseabundo, vagabunda mujeriego, andariego, veraniega parentesco, burlesca, novelesco, principesco pordiosero, embustero, farolero, verdulera aprendizaje, aterrizaje fundamento, pegamento, medicamento fundación, programación,
14
Verbales
G G G
SUFIJOS DE SUFIJO - algia - anime, animo - bolo - céfalo - ciclo
L
- cida
L
- cola
G
- cosmo
L
- cultura
G L
G
- doja
L
- ducción
G G G G L G
- ectomia - emia - fago - fano - fero - fila - filia, - filo (a) - fobia - fonía, fono
G G G L
- forme
L L G
- fugo - genito - geo
G
- grama
G G
- iasis - ica
G
- latría
G
- lisis
L
- locuo, loquio
G
- logia
G
- metro
G L L G G G
- oma - paro (a) - peto - plastia - pnea - podo (a)
- ar, - er, - ir - ear, - iar, - cer, - ificar - iguar, -izar
fundición, salvación semejanza, bonanza, templanza, esperanza estorboso, canoso, baboso, garboso lloridera, loquera, moridera jugar, beber, morir alardear, confiar satisfacer purificar santiguar, suavizar.
ORIGEN GRIEGO (G) Y LATINO (L) SIGNIFICADO APLICACIÓN dolor cefalalgia de espíritu, ánimo Pusilánime el que lanza cabeza que tiene rueda que mata relativo al cultivo mundo arte de cultivar opinión que conduce cortar sangre comer que brilla que lleva hoja afición, simpatía, atracción rechazo, temor sonido, voz que tiene la forma de que huye o se aleja engendrar, nacido tierra registro presencia relativo a culto, veneración, adoración descomposición, disolución que habla estudio, ciencia medida tumor que engendra que se dirige a construcción Aire Pie
Discóbolo Braquicéfalo Triciclo homicida, infanticida, plaguicida vitivinícola, oleícola, agrícola Microcosmo horticultura, piscicultura Paradoja Introducción, inducción Apendicectomía Anemia Bacteriófago Diáfano aurífero, plumífero clorofila bibliofilia, pedofilia, necrofilia Agorafobia Afonía cuneiforme, filiforme Prófugo, vermífugo Primogénito Perigeo Electrocardiogram a amebiasis, litiasis aritmética, logística egolatría, idolatría pirólisis, electrólisis, hidrólisis Ventrílocuo, soliloquio psicología, toxicología pirómetro, barómetro linfoma, adenoma ovíparo, multípara Centrípeto Dermoplastía apnea, bradipnea ápodo, artrópodo,
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO G
- rea
G
- rragia
G
- scopio
L L G G
- simil - sis, -asis, -osis - sono - tafio - teo
G
- terapia
G
- tomia
L
- voro
G
brotar, fluir Brotar Visión semejante, parecido enfermedad, estado irregular sonido Tumba dios Curación Incisión que se alimenta de
antípoda blenorrea, sialorrea Hemorragia, metrorragia microscopio, telescopio Inverosímil micosis, estenosis, psoriasis, Unísono Epitafio Ateo farmacoterapia, aromatoterapia Craneotomía carnívoro, herbívoro, omnívoro
EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 3
Relacione la raíz griega significado. a. SUPRA ( ) b. SEUDO ( ) c. RETRO ( ) d. POST ( ) e. POLI ( ) f. PERI ( ) g. PARA ( ) h. OLIGO ( ) i. MICRO ( ) j. MESO ( ) k. MEGA ( ) l. INTRA ( ) m. INFRA ( ) n. HIPER ( ) o. HETERO ( ) p. HOMO ( ) q. GLUCO ( ) r. EU ( ) s. EXTRA ( ) t. ERITRO ( ) u. BRADI ( ) v. ANTI ( ) w. TAQUI ( ) x. AMBI ( ) y. AUTO ( )
con su respectivo varios diferente grande pequeño igual debajo azúcar falso fuera exceso al margen rojo lento contra atrás doble escaso después rápido sobre propio dentro bien alrededor medio
Relacione los términos formados con raíces con sus significados: a) CARDIALGIA ( ) Pasión por la bebida. b) NEURASTENIA ( ) Formación de la sangre. c) SÍNDROME ( ) Pérdida del apetito. d) AFASIA ( ) Inflamación de las encías. e) HIDROFOBIA ( ) Enfermedad de los músculos. f) MIOPATÍA ( ) Rapidez cerebral. g) HEMATOPEYESIS( ) Nueva célula. h) ATAXIA ( ) Dolor del corazón. i) ASEPSIA ( ) Tratado del cuerpo. j) OTALGIA ( ) Manifestación de los síntomas. k) ADENITIS ( ) Dolor de oído. l) NEOCITO ( ) Inflamación de la boca. m) SOMATOLOGÍA ( ) Debilidad nerviosa. n) DIPSOMANÍA ( ) Pérdida del habla. o) NOSOFOBIA ( ) Sin orden. p) ANOREXIA ( ) Inflamación de las glándulas. q) FLEBITIS ( ) Temor al agua. r) ESTOMATITIS ( ) Temor a las enfermedades. s) TAQUIFRENIA ( ) Inflamación de la vena. t) GINGIVITIS ( ) Sin infección.
Marcar la alternativa correcta. 1. Qué alternativa es incorrecta en relación a A – AN: a) alopecia: pérdida de cabello b) apoplejía: privación cerebral c) agrafia: pérdida de la escritura d) abulia: pérdida del tacto e) anosmia: pérdida del olfato
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO 2. El prefijo “holo-“, como en la palabra “holocausto”, significa: a) destrucción b) parte c) todo d) fin e) matanza 3. Los afijos de la palabra DESENVAINAR son: a) des-en-vain-ar b) des-en-ar c) vain-ar d) desen-ar e) vain-ar 4. Elija las opciones que solo presentan morfema lexical subrayado correctamente: 1. Hojitas 2. Desarmar 3. Cantante 4. Peruano 5. Infaltable a) 1 y 2 b) 1, 2, 3, y 5 c) 1, 4 y 5 d) 2 y 5 e) 2, 4, y 5 5. Señale donde se evidencia la correcta separación morfológica: a) Re – loj - ero b) A – manera - dos c) Des – camp – ad – o - s d) Mariner - ito e) Bellez– a 6. Relacione lo siguiente: a. Bibliomanía ( b. Cleptomanía ( alcohólicas c. Coreomanía ( los peces d. Crematomanía ( la música e. Dipsomanía ( robar f. Fotomanía ( por el agua g. Hidromanía ( luz h. Ictiomanía ( bailar i. Melomanía ( dinero j. Mitomanía ( libros
) Pasión por mentir ) Deseo por ingerir bebidas ) Fascinación excesiva por ) Fascinación excesiva por ) Impulso incontrolable por ) Fascinación incontrolable ) Deseo irresistible por la ) Obsesión por danzar o ) Deseo obsesivo por el ) Interés anormal a adquirir
7. El número de morfemas derivativos que tiene la palabra “ANTIVIRALES”, es: a) 1 b) 4 c) 2 d) 3 e) 5 8. La serie de palabras que no presenta prefijos es: a) irreprochable – indócil – delimitar b) encadenados – disentir – desmembrar c) irreparable – antimotín – cogenérico d) irradiar – inmaculada – enquistar e) debacle – inauguración – distanciados
9. El número de morfemas derivativos y morfemas flexivos que tiene la palabra “DESORDENADOS”, es: a) 1 - 1 b) 2 - 3 c) 2 - 2 d) 3 - 1 e) 3 - 2 10. Los segmentos significativos DESCONSIDERADA, es: a) de – scon – si – der - ada b) des – consider –a - da c) des – considera - da d) des – consider – a – d - a e) des – consider – ad - a
de
la
palabra
11. Si realizamos muchos ejercicios sufrimos de MIALGIA, etimológicamente significa dolor de: a) huesos b) músculos c) riñón d) nervios e) rodillas 12. Hay seres que se alimentan por medio de la sangre, en término etimológico es considerado: a) fitófago b) antófago c) onicófago d) hematófago e) ovívoro 13. La palabra que no posee prefijo es: a) entrepiso b) predecir d) bicéfalo e) seudópodo
c) despacio
14. Los monemas de la palabra MALHUMORADO, son: a) Lexema + Lexema + Sufijo b) Lexema + Infijo + Sufijo c) Lexema + Lexema + Infijo + Morfema Flexivo d) Lexema + Sufijo + Sufijo e) Lexema + Lexema + Morfema Derivado + Morfema Flexivo 15. Los sufijos de las siguientes palabras respectivamente: GALLINA – PALABREJA – PARDUZCO a) –ina –eja –uzco b) –llina –breja –uzco c) –ina –ja –uzco d) –llina –eja –uzco e) –llina –eja -duzco 16. El número de afijos INUTILIZACIÓN, es: a) 6 b) 5 c) 4
que d) 3
tiene
la
son
palabra
e) 2
17. La palabra que tiene tres morfemas derivativos y dos morfemas gramaticales, es: a) Ilegible b) Desdeñoso c) Desengrasados d) Individualizar e) Indestructibilidad 18. El étimo que no está correctamente definido, es: a) –fila : hoja b) –fobia : rechazo c) –podo : fluir d) –grama : registro e) –scopio : visión
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO 19. Señale la serie de términos que presenten sufijos flexivos. a) juguetón – informar – amenidades b) desmedidos – tabúes – denostar c) imaginé – envolver – agarré d) veteranos – ilegibles – discriminé e) engatusados – informados – robar
28. Relacione correctamente con significados: a. Caco ( ) oculto b. Cox ( ) hurto c. Cripto ( ) superioridad d. Clepto ( ) malo e. Archi ( ) cadera
20. La palabra que tiene un morfema derivativo y un flexivo, es: a) Renacer b) Sobrenombre c)Alumnado d) Mañanita e) Intranquilo
29. La palabra que tiene dos morfemas derivativos y un morfema flexivo, es: a) Adjuntos b) Compadritos c) Autobiografía d) Aeropuertos e) Extralimitar
21. El segmento subrayado en: ESTUDIOS – ÍSIM – O – S. Esun morfema flexivo que indica: a) Género b) Número c)Grado d) Tiempo e) Modo 22. Los segmentos significativos INUTILIZABLE, son: a) I – UN –TI – LI –ZA – BLE b) I –NUTIL – IZA – BLE c) IN – UTIL – IZ – ABLE d) IN – UTIL – IZA – BLE e) INÚTIL – IZ – ABLE
de
la
palabra
30. El número de Morfemas gramatical de la palabra “CARRITOS”, es: a) 3 b) 2 c) 4 d) 5 e) 1
32. La palabra que tiene morfema derivativo que significa “superlativo”, es: a) Esperanza b) Facilísimo c) Amable d) Abundante e) Laboratorio
24. Mi amigo es POTAMÓLOGO, es decir estudia: a) escrituras antiguas b) plantas c) epidemias d) enfermedades e) ríos 25. El horror o miedo a los perros se denomina. a) cinofobia b) cleptofobia c) apifobi d) ailurofobia e) galofobia formativos
están
27. Los significados de las raíces TERAPIA, DACTILO, LACT, BRADI , es: a) cuerpo, pie, mano, pez b) curación, dedo, leche, lento c) cabeza, pie, huevo, branquias d) escondido, dadivoso, lejos, barco e) lento, leche, curación, dedo
102
respectivos
31. Una de las siguientes palabras presenta morfema DERIVATIVO: a) mujeres b) amigo c) papel d) cabezón e) ceniza
23. ¿Qué palabras presentan infijo? a) Ropavejero - mondadientes b) Picotazo – enrojecer c) Acalorados – arenal d) Cubrecama – tijerazo e) Altibajo – calorímetro
26. La palabra cuyos elementos correctamente separados, es: a) Re – tros – pec – tivo b) A – niña – do c) Com – pa – dre. d) Des – un – ir – se e) Per – i – metro
sus
33. La palabra que tiene sufijo que significa “Colectividad, conjunto, abundancia”, es: a) Repartidora b) Colmenar c) Casona d) Blanquear e) Teatral 34. Esquizofrenia, el lexema subrayado significa: a) sonido b) manteca c) barco d) hendir e) seco 35. La raíz PETRO significa: a) Mar b) Follaje d) Carbón e) Vegetación
c) Rocas
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UNIDAD Nº 04
FORMACIÒN DE LA PALABRA
FORMACIÓN DE PALABRAS. Todas las lenguas tienen procedimientos morfológicos de formación de palabras nuevas. Estos procedimientos pueden ser de cuatro tipos: 1) Adición, que comprende la prefijación, la sufijación, la interfijación (todas ellas parte de la derivación) 2) La composición y la parasíntesis. 3) Sustracción que comprende los acortamientos. 4) Combinación que comprende la siglación y la acronimia. 1. Derivación: Proceso mediante el cual transformamos una palabra en otra u otras derivadas cuando le añadimos algún tipo de afijo. Los afijos pueden ser prefijos, sufijos o infijos (interfijos). Por lo tanto, la derivación puede ser de tres tipos: Prefijación, Sufijación e Interfijación, cada uno se corresponde al tipo de afijo añadido. Prefijación: Se forma la palabra añadiendo un prefijo al lexema o raíz de la palabra. Ej.: Caries > anti-caries Sufijación: Se forma una nueva palabra añadiendo un sufijo al lexema o raíz de la palabra primitiva. Ej.: hambre > hambr-una. Interfijación: los interfijos son los elementos átonos que no tienen función gramatical ni significativa, sino solamente morfofonemática, pues sirven para enlazar la base léxica y los sufijos: Ej.: ventorro > vent-orri-illo, café > café-t-al, humo > hum -ar-eda, pie > pie-cec-itos, pan > pan-ad-ero 2. Composición. Unión. Se forma una nueva palabra a partir de la unión de dos o más palabras ya existentes. Ej.: Hispano + América = Hispanoamérica. Composición por yuxtaposición: la yuxtaposición es un concepto que significa junto a, al lado de. Por lo tanto, poner una palabra yuxtapuesta a otra quiere decir ponerlas juntas. Ese es el segundo método para formar palabras compuestas: juntar dos palabras distintas que, al estar juntas, pasan a tener un significado nuevo y diferente del que tenían cada una por separado. Veamos un ejemplo: PALABRA + PALABRA = PALABRA COMPUESTA POR YUXTAPOSICIÓN: Sur este: sureste; Tanto la palabra sur como la palabra este tienen un significado independiente; señalan puntos cardinales. La palabra sureste indica un punto distinto, intermedio entre los dos. Veamos otro ejemplo: PALABRA + PALABRA = PALABRA COMPUESTA POR YUXTAPOSICIÓN Coche cuna cochecuna; En este caso, la palabra compuesta cochecuna es un artefacto que es coche y cuna a la vez. NOTA: TÀMBIEN SON PALABRAS YUXTAPUESTAS LOS TECNICISMOS EJEMPLOS: Cardio + patìa: cardiopatía Helio + terapia: helioterapia Macro + fobia: macrofobia Teo + logo: teólogo Termo + dinámica: termodinámica Xeno + fobia: xenofobia
Composición propiamente dicha: se forman por la unión de dos palabras, simples pero la primera sufre una variación en su forma. Ejemplos: Ala + caído: alicaído Boca + abierto: boquiabierto Punta + agudo: puntiagudo Ceja + junto: cejijunto 2.1 PALABRAS PARASINTÉTICAS O PARASÌNTESIS Las palabras parasintéticas se forman por composición y derivación: quince-añ-ero; como se puede observar, la parasíntesis crea las palabras nuevas por composición y derivación a la vez, por lo tanto contiene tanto prefijos como sufijos: antibacteriano, regordete, precocinado. La forma de elaborar una palabra por parasíntesis consiste en añadir, a la vez, un prefijo y un sufijo; a diferencia de la composición, al separar los elementos constitutivos, no pueden funcionar por separado; por ejemplo en la palabra: entronizar (de en + trono + izar), no existen previamente ni entronar ni tronizar. También se consideran palabras parasintéticas las compuestas a las que se une un sufijo: barriobajero (de barrio + bajo + ero). Ejemplos de palabras parasintéticas Prefijo
Palabra base
Sufijo
Nuevo vocablo
a-
adjetivo: cómodo
-ar
acomodar
en-/em-
adjetivo: borracho
-ar
emborrachar
en-/em-
adjetivo: pequeño
-ecer
empequeñecer
a-
adjetivo: tonto
-ado
atontado
3. Acortamientos UNO de los recursos que ofrece la lengua para abreviar palabras –además de las abreviaturas y de los símbolos, es el acortamiento. Consiste en la supresión de parte de los sonidos o sílabas de una palabra y de las letras correspondientes. A diferencia de otros procedimientos de abreviación, el acortamiento no conlleva necesariamente la creación de una palabra nueva. El resultado (la palabra abreviada) suele ser otra forma de la palabra no abreviada, a menudo con marca sociocultural o contextual. Sirvan como ejemplos los casos de auto (automóvil), bici (bicicleta), boli (bolígrafo), bus (autobús), busca (buscapersonas), cara (caradura), casete (radiocasete), chacho (muchacho), chelo (violonchelo), , cine y cinema (cinematógrafo), cole (colegio), coca (cocaína), corto (cortometraje), cromo (cromolitografía), disco (discoteca), endocrino (endocrinólogo), estéreo (estereofónico), fácu (Facultad), foto (fotografía), frontis (frontispicio), kilo (kilogramo), limpia (limpiaparabrisas), mate (jaque mate), Mate (Matemáticas), metro (metropolitano), micro (micrófono), moto (motocicleta) narco (narcotraficante), otorrino (otorrinolaringólogo), peli (película), polio (poliomielitis), porno (pornográfico), profe (profesor), radio (radiodifusión), súper (supermercado), tele (televisión), termo (termosifón), zoo (zoológico).
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO 4.
Procedimientos por Combinación: Consiste en la mezcla de la sustracción y la adición, incluye la siglación y la acronimia. Siglación: Elimina todo el cuerpo fónico de todos los componentes de una palabra o compuesto menos sus iniciales, para sumar después las iniciales no eliminadas y construir con ellas una palabra nueva (OPEP > Organización de Países Exportadores de Petróleo). Es decir A partir de las iniciales de varias palabras se crea una nueva. (ESO > Educación Secundaria Obligatoria). Acronimia: La acronimia es un procedimiento para la formación de palabras que originariamente consistía en la unión de letras o sílabas del principio y del fin de dos o más palabras que formaban una expresión. El nuevo vocablo resultante recibe el nombre de acrónimo. La palabra ‘acronimia’ está compuesta por las voces griegas: akros (extremo) y ónoma (nombre) y su significado etimológico es el de ‘palabra formada con los extremos de palabras’. Muchos términos del español se han formado de este modo. Así, por ejemplo, la palabra ‘autobús’ se formó por acronimia de automóvil y ómnibus., en ‘telemática’ (telecomunicación + informática), en y en ‘ofimática’ (oficina + informática). Denominada también entrecruzamiento o cruce; elimina parte del cuerpo fónico de la palabra o palabras, para sumar después los elementos no eliminados y construir con ellos una nueva palabra (credivuelo > crédito + vuelo).
EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 4
1. La palabra formada por derivación es A) Cafecito B) Radioescucha C) Sacacorchos D) Anoche E) Ultramar 2. La palabra REVENDISTE se ha formado por: A) Yuxtaposición B) Parasíntesis C) Derivación D) Com. Por prefijación E) Com. Propiamente dicha 3. ¿Qué proceso de formación ocurre cuando se une LEXEMA+ LEXEMA (COMPOSICIÓN) + SUFIJO (DERIVACIÒN)? A) Composición propiamente dicha B) Composición por prefijación C) Composición por yuxtaposición D) Derivación E) Parasíntesis. 4. La palabra ANTITERRORISTA se ha formado por: A) Yuxtaposición B) Parasíntesis C) Derivación D) Com. Por prefijación E) Com. Propiamente dicha 5. La palabra que se ha formado por parasíntesis es: A) Enlodar B) Entretener C) Enrojecimiento D) Comercialización E) Sociolingüística 6. Los segmentos significativos de la palabra INCONMOVIBLE es: A) incon – mov - ible B) in – con – movi – ble C) in - conmov - ible D) in – con- movib - le E) In – con – mov - ible 7. La siguiente palabra CONDISCÌPULO presenta: A) 2 morfemas derivativos y 1 morfema flexivo B) 1 morfema derivativo y 1 morfema flexivo C) 3 morfemas derivativos y 2 morfemas flexivos D) 1 morfema derivativo y 2 morfemas flexivos E) 2 morfemas derivativos y 2 morfemas flexivos 8. La palabra INFINITO se ha formado por: A) Yuxtaposición B) Prefijación C) Parasíntesis D) Composición E) Acortamiento 9. La palabra que no está formada por derivación es: A) Lucecita B) Lloraba C) Desconcentrar D) Esperanza E) Altar
104
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO 10. La palabra derivada que tiene dos morfemas derivativos es: A) Tricampeonar B) Interpersonales C) Malheridos D) Desgrasados E) Semidescompuestos
19. U.E se ha formado por el procedimiento de: A) Siglación B) Prefijación C) Parasíntesis D) Composición E) Acortamiento
11. La palabra que no se ha formado por derivación es: A) Palidecer B) Despintado C) Sinrazón D) Bisnietos E) Vendedor
20. La palabra SORDOMUDO, CAMINAZO, CARDIOPATÌA se ha formado por: A) Prefijación, yuxtaposición, parasíntesis B) Sufijación, parasíntesis, yuxtaposición C) Derivación, composición, parasíntesis D) parasíntesis, derivación, yuxtaposición E) Composición, sufijación, prefijación
12. Las palabras: VIRTUOSISMO, RASCACIELOS Y BOQUIABIERTO se han formado por: A) Prefijación, yuxtaposición y sufijación. B) Sufijación, parasíntesis, y yuxtaposición C) Derivación, composición y parasíntesis. D) Sufijación, yuxtaposición y comp.propiamente dicha E) Derivación, parasíntesis y yuxtaposición.
21. La palabra AVISPERO se ha formado por: A) Comp. Yuxtaposición B) Prefijación C) Parasíntesis D) Derivación E) Comp. Propiamente dicha
13. La palabra ARCHIMILLONARIO es una palabra formada por: A) Composición propiamente dicha B) Composición por prefijación C) Composición por yuxtaposición D) Derivación E) Parasíntesis 14. La palabra VENDEHÚMUS, se ha formado por: A) Derivación B) Composición propiamente dicha C) Composición por yuxtaposición D) Composición por prefijación E) Parasíntesis 15. La palabra que no se ha formado por yuxtaposición, es: A) Altamar B) Anteayer C) Cardiopatía D) Tragaluz E) Rompeolas 16. La palabra ANTIÉTICO se ha formado por: A) Composición por prefijación B) Yuxtaposición C) Sufijación D) Parasíntesis E) Derivación 17. La palabra derivada que tiene morfemas gramaticales o flexivos es: A) Estantería B) Educados C) Libresco D) Espiritual E) Cosmonauta 18. La palabra MENOSPRECIAR se ha formado por: A) Yuxtaposición B) Prefijación C) Parasíntesis D) Composición E) Acortamiento
22. La palabra DESESPERACIÒN se ha formado por: A) Comp. Yuxtaposición B) Prefijación C) Parasíntesis D) Derivación E) Comp. Propiamente dicha 23. La palabra ENCUADERNADO se ha formado por: A) Comp. Yuxtaposición B) Prefijación C) Parasíntesis D) Derivación E) Comp. Propiamente dicha 24. Las palabras formadas por derivación, son: A) Desmayar, agigantar B) Enseñarle, matricida C) Melomanía, expatriar D) Antihigiénico,desatado E) Antibiótico, sobrenatural. 25. La palabra formada por parasíntesis, es: A) Andahuaylina B) Boquiabierto C) Apasionante D) Peregrino E) Padrenuestro 26. Las palabras formadas por yuxtaposición, son: A) Entrelazados, portaminas B) Mediodía, sabroso C) Sinsabores, alarmante D) Dactiloteca, malvarrosa E) Salteadora, agigantar. 27. La palabra CROTORA, SUSURRA, PIPÍA, se a formado por: A) Onomatopeya B) Parasíntesis C) Composición por yuxtaposición D) Composición por prefijación E) Composición propiamente dicha 28. La palabra AGRIDULCE se ha formado por: A) La derivación B) La composición C) La composición por yuxtaposición D) La composición propiamente dicha E) La composición por prefijación.
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO 29. Una de las palabras NO corresponde a la familia lexical. A) Ventisca B) Ventero C) Ventolero D) Aventar E) Ventear
UNIDAD Nº 05
RELACIONES ENTRE PALABRAS
30. Miología, se ha formado por: A) Composición propiamente dicha B) Acronimia C) Yuxtaposición D) Derivación E) Acortamiento 31. Es una palabra formada por composición propiamente dicha: A) Monumental B) Patria C) Irreal D) Auriverde E) sustraer 32. Palabra derivativa que tiene un morfema flexivo: A) Puntapié B) Telaraña C) Entronizar D) Vinagre E) selvática 33. Palabra que no se ha formado por yuxtaposición es: A) Cardiopatía B) Rascacielo C) Entristecido D) Rompemuelle E) Girasol 34. La palabra AGUARDIENTE se ha formado por: A) Yuxtaposición B) Composición propiamente dicha C) Derivación D) Composición por yuxtaposición E) Parasíntesis 35. Las palabras: ENTREACTO, CAMIONERO, PARACAIDISTA, son palabras formadas respectivamente por: A) Sufijación, Prefijación, Parasíntesis B) Prefijación, Derivación, Parasíntesis C) Prefijación, Yuxtaposición, Composición D) Prefijación, Parasíntesis, Derivación E) Prefijación, Prefijación, Parasíntesis 36. Palabra que no se ha formado por composición propiamente dicha es: A) Manuscrito B) Melomanía C) Altiplano D) Santiamén E) Puntiagudo 37. La palabra MISÁNTROPO es: A) Parasíntesis B) Derivación por composición C) Prefijación D) Yuxtaposición E) Propiamente dicha 38. OEA se ha formado por el procedimiento de: A) Derivación B) Yuxtaposición C) Composición propiamente dicha D) Siglación E) Acronimia
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I. RELACIÓNES ENTRE SIGNIFICANTES
1.1. Homonimia Palabras Homófonas Palabras
1.2. Parónimos Craso: gordo, grueso Creso: millonario
Palabras Homófonas Cayo: islote arenoso Callo: dureza de la piel
Parónimos por acentuación
Palabras Homógrafas Sujeto: parte de la oración Sujeto: verbo de sujetar
Ápodo: carece de piel Apodo: sobrenombre
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 5
II. RELACIONES ENTRE SIGNIFICADO Y SIGNIFICANTE
I. Complete las oraciones adecuados por tildación:
2.1. Monosemia Cuyo significante corresponde a un solo significado
2.2. Polisemia Aquellos que tienen más de un significado
III. RELACIONES ENTRE SIGNIFICADOS
3.1. Hiperonimia Son aquellas palabras que nombran de manera general, a
una clase de elementos.
EJEMPLOS Enfermedad
3.2. Hiponimia Son aquellas palabras incluidas dentro del conjunto.
EJEMPLOS Varicela Rubeola Paperas Viruela
3.3. Antonimia Expresan significados opuestos o contrarios
EJEMPLOS NIRVANA Orco Báratro Tártaro Erebo
los
parónimos
1.
Adúltero - adultero – adulteró P) ………………..es quien comete adulterio. Q) Yo………………. la leche con agua. S) Fulano ……………..los resultados de la votación
2.
Artículo – articulo – articuló P) El director ha escrito un buen ……………… Q) …………… las consonantes con dificultad. S) El charlista …………… cuarenta palabras en un minuto.
3.
Célebre – celebre – celebré P) Ramón y Cajal fue un histólogo……………. Q) Quiero que ………. el día de su cumpleaños. S) …….. mis bodas de plata hace unos meses.
4.
Dómine – domine – dominé P) A Luis no hay quien le ……….. en el ajedrez. Q) …………. el tumulto y conseguí hacerme oír. S) El ………... Cabra es una gran creación de Quevedo.
5.
Íntimo – intimo - intimó P) El desdichado ………… con los compinches del suburbio. Q) Enrique es amigo ………………. de José. S) No …………….con nadie, porque estoy escarmentado
6.
Júbilo – jubilo – jubiló P) Don fulano se …………….forzosamente a los setenta años. Q) Si me ……………, será con la mitad de sueldo. S) Todos estábamos rebosantes de …………..
7.
Lícito – licito – licitó P) Yo ………. en la subasta por mero entrenamiento. Q) En cambio, Luis …………….. hasta el remate. S) Es …………….. todo lo que el derecho no reprueba.
8.
Manípulo – manipulo – manipuló P) El ……………… es un ornamento litúrgico. Q) Fulano …………….. a su modo y envió el despacho a su destino. S) Dice Rosa: yo ………….. todos mis negocios.
9.
Prólogo – prologo – prologó P) Yo no …………………… nunca mis novelas. Q) Jack …………… con escasa fortuna el libro de Manuel.
2.3. Sinonimia Son aquellos que tienen un significado similar pero distinto significante
con
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO S) El ……………. de la obra es de un gran escritor. 10. Práctico – practico – practicó P) El campeón …………….. todas las tablas de la gimnasia. Q) Cuando……. la natación, me encuentro más ágil. S) El ………. del puerto nos condujo al muelle 2. Colocar en las líneas punteadas la palabra que corresponde, si es homófono colocar Hf, si es parónima colocar la P, si es homógrafa colocar Hg, a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
Hablando ________________________ Ablando ________________________ Tipo de palabras ________________________ Barra ________________________ Barra ________________________ Tipo de palabras ________________________ Apóstrofo ________________________ Apóstrofe ________________________ Tipo de palabras ________________________ As ________________________ Has ________________________ tipo de palabras ________________________ Azahar ________________________ Azar ________________________ Tipo de palabras ________________________ Arte ________________________ Harte ________________________ Tipo de palabras ________________________ Rebelar ________________________ Revelar ________________________ Tipo de palabras ________________________ Sebo ________________________ Cebo ________________________ Tipo de palabras ________________________
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i.
Consejo ________________________ Concejo ________________________ Tipo de palabras ________________________ j. Aro ________________________ Aro ________________________ Tipo de palabras ________________________ k. Basto ________________________ Vasto ________________________ Tipo de palabras ________________________ l. Haya ________________________ Halla ________________________ Tipo de palabras ________________________ m. Craso ________________________ Graso ________________________ Tipo de palabras ________________________ n. Gula ________________________ Bula ________________________ Tipo de palabras ________________________ o. Incipiente ________________________ Insipiente ________________________ Tipo de palabras ________________________ p. Izo ________________________ Hizo ________________________ Tipo de palabras ________________________ q. Ama ________________________ Ama ________________________ Tipo de palabras ________________________ r. Bala ________________________ Bala ________________________ Tipo de palabras ________________________
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO 3.
Relaciona las palabras según presenten relación entre ellas a. acecinar laxo b. uso contexto c. contesto deshecho d. cura voz e. cose salaz f. solas cura g. solícito asesinar h. lapsus coser i. desecho huso j. vos solicito k. lato lapso
1. ¿Cuál es la alternativa correcta? A) LUNA – LONA: Hiperónimos B) PICO – PICO: Homófonas C) ZUECO – SUECO: Homófonas D) DILACIÓN – ILACIÓN: Sinônimos E) ÉTICO – HÉTICO: Parónimas 2. Coloque verdadero o falso a la relación propuesta: EJÉRCITO – EJERCITÓ : Homófanas BRASERO – BRACERO : Homógrafas ACUSAR – ACOSAR : Parónimas PULSO – PULSO : Homógrafas A) FVVV B) VFFF C) FFVV D) VVVV E) VVVF 3. Los términos CRASO y CRESO son: gordo, grueso / millonario A) Parónimos B) Sinónimos C) Homófonos D) Antónimos E) Hiperónimos 4. Las palabras VÍNCULO y VINCULÓ, son: A) Antónimas B) Sinónimas C) Homófonas D) Homógrafas E) Parónimas 5. ¿Qué tipo de palabras son SABIA y SAVIA? P) Parónimas Q) Homógrafas R) Homófonas S) Sinónimas T) Antónimas 6. Las palabras PREPOSICIÓN y PROPOSICIÓN, por su escritura son: A) Opuestas B) Equivalentes C) Sinónimas D) Parónimas E) Homógrafas 7. ¿Qué clase de términos son VACILO y BACILO? A) Polisémicos B) Homógrafos C) Sinónimos D) Antônimos E) Homófonos 8. Las palabras CALAVERA y CARABELA, son: A) Antónimas B) Sinónimas C) Parónimas D) Hipônimas E) Hiperónimas 9. ¿Qué tipo de palabras son ICE y HICE? A) Sinónimas B) Antónimas C) Homófonas D) Hipônimas E) Polisémicas
10. Los hipónimos de RÉPTIL - MÚSICA son: A) Iguana - balada B) Salsa - boa C) Cocodrilo - ayacuchano D) Rock - lagarto E) Ballena - merengue 11. El hiperónimos de: terco, testarudo, obstinado, necio, es: A) Aburrido B) Virtud C) Defectos D) Valores E) Triste 12. El hipónimo de VERDURA, es: A) Helecho B) Noni C) Plátano D) Albaricoque E) Espárrago 13. Sobre los términos DÍAS - DÍAZ se entiende que: A) Son parónimos B) Son homófonos C) Son homógrafos D) No son sinónimos E) Más de una es correcta 14. Sobre los términos SALAZ y FALAZ se entiende que: A) Son homófonos B) No son homógrafos C) El segundo es antónimo de falaz D) Más de una es incorrecta E) Son parónimos 15. Coloque verdadero o falso en la relación propuesta VEZ –VES: Homógrafas AS – HAS : Homófonas HÁBITO – HABITÓ: Parónimas VINO – VINO: Homógrafas CRASO – CRESO: Homófonas A) FVVVF B) FFVVV C) FVVFF D) FVFVF E) FFFVV 16. Las palabras BECA y BOCA, por el significante se pueden considerar: A) Sinónimas B) Antónimas C) Parónimas D) Homófonas E) Hiperónimas 17. BOXEAR, VOCEAR; CIENTO,SIENTO; SACO,SACO” son: A) Homófanas, parónimos, homófanas B) Homófanas, homógrafas, homógrafas C) Homófanas, homófanas, homógrafas D) Parónimas, homógrafas, homógrafa E) Parónimas, homófanas, homógrafas
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO 18. BOA, BOA; CESURA,CISURA; SOL,SOL” son: A) Homófanas, homófanas, homógrafas B) Homógrafas, parónimas, homógrafas C) Homógrafas, hiperónimos, homógrafas D) Homófanas, homógrafas, hiperónimos E) Homógrafas, homófanas, hiperónimos 19. Los términos PASO y PASO son: A) Homófonas B) Homógrafos C) Parónimos D) Antónimos E) Sinónimos 20. Los términos ALA y ALÁH, por su pronunciación se pueden considerar: A) Parónimos B) Homógrafos C) Sinónimos D) Antónimos E) Homófonas 21. Las palabras ACTITUD y APTITUD son: A) Homógrafas B) Polisémicas C) Homófonas D) Parónimas E) Homónimas 22. La alternativa que guarda la relación correcta, es: A) ARÉ – HARÉ: Antónimos B) HULLA – HUYA: Homógrafos C) REPICA – RÉPLICA: Sinónimos D) CÉLULA – CÉDULA: parónimas E) ABONAR – ABONAR: Sinónimos 23. La alternativa que presenta una relación correcta, es: A) HOYO – ROYO: Homógráfas B) VENAL – VENAL: Homógrafas C) OCASO – OCASO: Parónimas D) FAX – FAS: Hipónimas E) LAZO – LAXO: Antónimos 24. La alternativa incorrecta, es: A) CAPITAL – CAPITAL: Homógrafas B) CIERVO – SIERVO: Homófonas C) PARECER – PERECER: Parónimas D) MOLLERA- MOLLEJA: Homógrafas E) CAUSAL – CASUAL: Parónimos 25. Coloque verdadero o falso a la relación propuesta: INTIMAR – INTIMIDAR : Parónimas v NOTA – NOTA : Homógrafas v BASTA – BASTO : Homófonas f VELAR – VELAR : Homógrafas v A) VFVF D) VVFV
B) FFVV E) FFFF
C) VVVF
26. La alternativa que presenta una pareja de parónimos, es: A) LOZA – LOSA B) AMO – AMO C) GRAVAR – GRABAR D) CONTESTO – CONTEXTO E) CONSEJO – CONCEJO
110
27. Coloca verdadero o falso a la relación propuesta: GALLO – GAYO: Homógrafas ( ) LUNA – LUNA : Antónimas ( ) POZO – POSO : Homógrafas ( ) CIERRA – SIERRA : Sinónimas ( ) A) VFVVV D) FFVV
B) VVVV E) FVFV
C) FFFF
28. La alternativa que presenta una relación incorrecta, es: A) PÍO – IMPÍO: Antónimos B) DESECHO– DESHECHO: Parônimas C) ENTRE – ENTRE: Homógrafas D) HIERBA – HIERVA: Homófonas E) PARTÍCIPE – PARTICIPÉ: Parónimos 29. Coloca verdadero o falso a la relación propuesta: TRÁNSITO – TRANSITO: Parônimas ( ) SUMO – ZUMO: Homófonas ( ) HIERO – HIERRO: Sinônimos ( ) RISA – RIZA: Homófonas ( ) A) FFVV D) FVVV
B) FVFV E) VVFV
C) VFFF
30. La alternativa que presenta una relación correcta, es: A) REBELAR – REVELAR: Sinónimas B) KAN – CAN: Homógrafas C) PRESCRITO – PROSCRITO: Parónimos D) CENADO – SENADO: Antónimas E) BETA – VETA: Parónimas 31. -Coloque verdadero o falso a la relación propuesta: INCIPIENTE - INSIPIENTE: Parónimas HORNO – ORNO: Homófonas INFLIGIR: INFRINGIR : Homógrafas ES – HEZ : Homófonas A) VFVF B) FFVV C) FFFV D) VVFF E) FVFV
( ( ( (
) ) ) )
32. La alternativa que presenta una relación incorrecta, es: A) SEXO – SESO: Homófonas B) CIDRA – SIDRA: Homófonas C) VÓMITO – VOMITO: Parónimos D) CAUCE – CAUSE: Homófonas E) RETO – RITO: Parónimia 33. Coloque verdadero o falso a la relación propuesta: ASAR – AZAR : Homófonas ( ASCENSO – ASENSO : Homófonas ( BIENES – VIENES : Parónimas ( ORA – HORA : Homógrafas ( A) VVVV D) VFFF
B) FFFF E) FFFV
C) VFVF
) ) ) )
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO 34. Las palabras CIMA – SIMA, son homófonas y su significado es: A) Cumbre - cielo B) Altura - extremo C) Cielo - barranco D) Atalaya - altura E) Suelo – cielo 35. “DABLE, DOBLE; BODA, BUDA; HATAJO” son: A) Hiperónimos, parónimas, homófanas B) Hiperónimos, homógrafas, homófanas C) Parónimas, parónimas, homófanas D) Parónimas, hiperónimos, homófanas E) Homófanas, parónimas, homófanas
ATAJO,
UNIDAD Nº 06
SINÒNIMOS Y ANTÒNIMOS
SINÓNIMOS Y ANTÓNIMOS SINÓNIMOS La sinonimia es la similitud de significados entre dos o más palabras de diferente escritura. La sinonimia analiza la palabra, explica su empleo, precisa y enriquece la lengua. Da sentido, fijeza y caudal al empleo de las palabras.
II. Determina el hiperónimo de las siguientes palabras: 1. Jazmín - Rosa Margarita : ____________________ 2. Cabrilla – Lenguado – Caballa:______________ 3. Vaca- toro – cabra: ______________________ 4. Gelatina – flan – budín: ___________________ 5. Casa – departamento - condominio: _________ 6. Toyota – Nissan – Suzuki: _________________ 7. Niñez – juventud – senectud: ______________ 8. Estómago – garganta- corazón: ____________ 9. Sinusitis – neumonía – apendicitis: __________ 10. Padre – primo – sobrino: __________________
En el español hay muchos términos que pueden ser sinónimos, empleados frecuentemente en la lengua coloquial y literaria; por ejemplo: constante, perseverante, tenaz, firme, continuo, empeñoso, durable, inquebrantable y resistente son palabras que pueden aparecer en un mismo texto, estableciendo relaciones similares y en algunos casos iguales.
III. Señala los hipónimos de las siguientes palabras:
SINONIMIA CONCEPTUAL
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
Moneda: _____________________________ Universidades: ________________________ Continente: __________________________ Sentimientos: _________________________ Prenda de vestir: ______________________ Frutas: ______________________________ Maquillaje: ___________________________ Desierto: ____________________________ presidentes:._________________________ Río: ________________________________
El número de sinónimos que posee una realidad o concepto está en relación con el interés que está despierta en la comunidad lingüística. CLASES DE SINONIMIA
También llamada sinonimia completa, total, absoluta o directa. Hace referencia a palabras que evocan conceptos con un idéntico valor semántico, debido a la equivalencia entre los semas que conforman sus conceptos y son permutables en todos los contextos. Esta sinonimia puede ser entendida como denotativa, ya que lo que se emplea es el significado base o significado que brinda el diccionario, la comparación de términos se hace fuera de todo contexto. Ejemplos: * CARPÓFAGO – FRUGÍVORO * MININO – GATO * EBRIEDAD – EMBRIAGUEZ * CUBO – HEXAEDRO SINONIMIA CONTEXTUAL Se da entre aquellas palabras que, sin ser sinónimos en todos los contextos, lo pueden ser en alguno de ellos. Se le conoce como incompleta, parcial, relativa o indirecta. Ejemplos: * Voy hacia el Cusco similar a Vuelo hacia el Cusco. * Él expresó su opinión es similar a Él expresó su creencia.
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO CRITERIOS DE RESOLUCIÓN DE PREGUNTAS 1º. La categoría gramatical y la sinonimia Las categorías que más se emplean, son cuatro: adjetivos, sustantivos, verbos y adverbios. El criterio señala que debe existir correspondencia entre la categoría gramatical de la pregunta y la respuesta. Por ejemplo, el sinónimo de erial es árido y no aridez; de menguar es mermar y no merma. 1. HIGIENE 2. DEVASTAR a) limpio a) desbastar b) aseo b) asolar c) blancura c) anegar d) adorno d) destrucción e) transparencia e) desolación En estas dos preguntas podemos apreciar el empleo de este criterio: el sinónimo de higiene es aseo, siendo los dos sustantivos y no limpio que es un adjetivo; devastar es equivalente a asolar, los dos son infinitivos, y no destrucción ni desolación que son sustantivos. 2º. La especificación y generalización de la denotación Se ha dicho que la denotación es el significado base que hallamos en el diccionario, este significado tiene un alcance o campo de aplicación diferente, dependiendo el término que se emplee. Por ejemplo, la palabra obertura no tiene la misma aplicación que inicio, mientras la primera se refiere a una ópera, la segunda tiene una aplicación bastante amplia, que puede referir un libro, una relación, un combate, una misa, etc. 3. NULO a) censurado b) abolido c) prohibido d) inválido e) refutado
4. AHÍTO a) saciado b) lleno c) satisfecho d) repleto e) ocupado
En la primera pregunta podemos apreciar que el adjetivo ahíto se refiere a la persona que ha comido hasta saciarse, de ahí que su equivalente más apropiado sea saciado; sin embargo, podemos apreciar que las palabras lleno, repleto y satisfecho, también pueden ser consideradas como posibles respuestas; pero debido a su amplitud son solo términos equivalentes en forma parcial. En el caso de nulo, se trata de una palabra general, la cual se refiere a diferentes circunstancias, lo que la hace equivalente a inválido; no obstante, el término abolido pudo haberse pensado como respuesta, pero debido a su particularidad (leyes, normas, costumbres) debe quedar de lado. 3º. Los semas y la precisión léxica Las palabras que forman parte de los significados se consideran semas; por ejemplo la palabra introito tiene como semas a: inicio de la misa. Cuantas más coincidencias existan, mayor precisión y por lo tanto mejor sinonimia. Es importante aclarar, que si las
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palabras están en un contexto, los semas pueden mostrarse «flexibles» a la circunstancia y sufrir alguna variación. 5. Durand dilapidó toda su fortuna. a) gastó b) ahorró c) derrochó d) invirtió e) perdió 6. Se deben patrocinar las actividades culturales. a) proteger b) publicar c) enseñar d) auspiciar e) facilitar La palabra dilapidar hace referencia a gastar con exceso lo que la iguala al término derrochar, pero no dejando de aproximársele el término gastar. En el caso de patrocinar, la idea está vinculada al sema apoyar, lo que nos lleva a pensar en proteger y auspiciar, siendo esta última palabra la más apropiada, ya que el apoyo es con fines publicitarios y financieros. ANTONIMOS DEFINICIÓN: Los antónimos son términos, palabras o vocablos de significados opuestos y significantes diferentes. No debe olvidarse que para que sean antónimos deben pertenecer a la misma categoría gramatical y al mismo campo semántico, al igual que los sinónimos. Ejemplos: 6 - ABSORTO – DISTRAIDO: pertenecen a la categoría gramatical adjetivo y al campo semántico de la capacidad de atención, - GÉLIDO – TÓRRIDO: pertenecen a la categoría gramatical de adjetivo y al campo semántico del medio ambiente. CLASES DE ANTONIMIA ANTONIMIA PARCIAL También llamada antonimia parcial o relativa, se presenta cuando los términos contrapuestos, expresan ideas que no se excluyen en su totalidad o sus campos semánticos no guardan la misma extensión. Ejemplos: * TIBIO- GÉLIDO * NACER- AGONIZAR
*PRÓLOGO- FINAL * AHÍTO- LLENO
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO ANTONIMIA ABSOLUTA Se presenta cuando las palabras contrapuestas tienen un significado totalmente opuesto, o son palabras de un mismo campo semántico, aunque contrarias en sus semas. De tal manera que son excluyentes. Ejemplos: CRITERIOS PARA LA RESOLUCIÓN DE PREGUNTAS 1º Debe considerarse la categoría gramatical de la pregunta y la palabra escogida como respuesta. Ejemplos: * NACER- FENECER * OBESO- HÉTICO
*PRÓLOGO- EPÍLOGO *AHÍTO- HAMBRIENTO
1 ARDOR a) Helado b) Gelidez c) Enfriar d) Apagar e) Húmedo 2. APRISA a) Lento b) Pausa c) Prisa d) Despacio e) Demora
campo semántico dentro de la medicina, lo que permite descartar las palabras unir, pegar y agregar por ser demasiado generales. Por lo tanto, INJERTAR sería el antónimo en este caso por ser la palabra contraria y del mismo campo semántico. En el caso de NULO, se trata de un término genérico cuyo campo semántico es amplio y nos lleva a afirmar que su antónimo es la palabra VÁLIDO. 3º A mayor oposición mejor antonimia. Ejemplos: 5. SALUBRE 6. PEQUEÑO a) Nocivo a) Grande b) Maligno b) Regular c) Letal c) Enorme d) Soso d) Extenso e) Enfermo e) Alto Para el caso de estas dos preguntas, se puede observar que cada palabra presenta más de un posible antónimo, lo que nos lleva a escoger a aquel término que presente mayor oposición, es decir, se excluyan totalmente. La palabra SALUBRE se opone a nocivo y LETAL, siendo este último el que se opone y se aleja más. En el caso de PEQUEÑO, se trata de un término general que tiene como opuestos a GRANDE y ENORME, siendo este último el de mayor oposición, por tanto, es excluyente totalmente.
En estas dos preguntas tenemos un sustantivo y un adverbio, respectivamente. La primera además de ser opuesta a GELIDEZ, se encuentra en la misma categoría gramatical. En el segundo caso, la palabra base significa rápidamente (adv.) y su contrario es la palabra DESPACIO. 2º Debe considerarse lo específico o general del significado de la pregunta y la palabra escogida como respuesta. Ejemplos: 3. AMPUTAR a) Unir b) Pegar c) Suturar d) Agregar e) Injertar 4. NULO a) Actual b) Verdadero c) Promulgado d) Acertado e) Válido Expliquemos cada caso por separado, la palabra AMPUTAR señala el DRAE, que se refiere a cortar una parte del cuerpo. Lo que nos lleva a delimitar su 113
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1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50.
Astuto Abolengo Apócrifo Anfibología Apostacía Aserto Barruntar Basca Burdo Bizarría Convicción Caridad Colofón: Ciclópeo: Catar Cacumen Coerción Chapucero Chalado Chiripa Desacato Desvanecer Desaliñar Dechado Dilección Desaprensión Disonar Deleznable Docto Declive Diferendo Dicterio Ducho Enardecer Engolado Escéptico Escarpado Engranar Estólido Esbirro Fruslería: Falacia Furtivo Felppa Fribolo Huyuyo Felón Himeneo Horadar Imprecar
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Incitar Indeleble Inherente 53. Infausto 54. Incoar 55. Juzgamundo 56. Lenidad 57. Largueza 58. Lagotería 59. Lisonja 60. Luctuoso 61. Marasmo 62. Mullido 63. Munífico 64. Mefítico 65. Manido 66. Mácula 67. Monopolio 68. Nefario 69. Otero 70. Óptimo 71. Oligofrénico 72. Ominoso 73. Patrocinar 74. Prístino 75. Paliar 76. Pobo 77. Pugnar 78. Prolegómeno 79. Perpetuo 80. Panegírico 81. Protervia 82. Punible 83. Resolución 84. Regodearse 85. Recalcitrante 86. Ralea 87. Sumiso 88. Soslayar 89. Séneca 90. Sevicia 91. Solvencia 92. Solaz 93. Tortuoso 94. Versado 95. Verecundo 96. Vindicar 97. Vituperio 98. Yerro 99. 100. Zaherir 51.
EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 6
SINÒNIMOS Y ANTÒNIMOS
52.
Indique la alternativa que contiene el sinónimo respectivo de la palabra subrayada. 1. “Aquel juez fue sancionado por desacato” A) Arbitrariedad B) Desleal C) Insubordinación D) Modoso E) Pusilánime 2. Se deben patrocinar las actividades culturales. A) Proteger B) Publicar C) Enseñar D) Auspiciar E) Facilitar Indique el sinónimo de las siguientes palabras. 3. INHERENTE A) Común B) Connatural C) Oriundo D) Singular E) Auténtico 4. ESCARPADO A) Abrupto B) Curvo C) Sobresalido D) Provechoso E) Inarmónico 5. INFAUSTO A) Afligido B) Indigente C) Desventurado D) Desagradable E) Desesperante 6. MEFÍTICO A) Inodoro B) Corrosivo C) Insípido D) Irrespirable E) Expansivo 7. RECALCITRANTE A) Despiadado B) Exaltado C) Perturbable D) Intransigente E) Beligerante
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO 8. VENAL A) Inocente B) Magnánimo C) Admirable D) Respetable E) Sobornable
9. YERRO A) Desmesura B) Discordia C) Omisión D) Irreflexión E) Desacierto 10. ENGRANAR A) Concentrar B) Aprehender C) Aproximar D) Concatenar E) Fusionar 11. SEÑERO A) Importante B) Individual C) Singular D) Desconocido E) Elevado 12. ESTÓLIDO A) Ignorante B) Inferior C) Sandio O) Desmesurado E) Ofuscado 13. MANIDO A) Obsoleto B) Arcaico C) Falseado D) Trillado E) Averiado
16. ESBIRRO A) Servil B) Alguacil C) Demente D) Caro E) Enemigo 17. LEONINO A) Justo B) Oprimente C) Inocuo D) Gallina E) Zorro 18. DICTERIO A) Beneficio B) Extraviar C) Suspender D) Inferir E) Insultar 19. DIÁTESIS A) Análisis B) Dilatación C) Disposición D) Síntesis E) Discurso 20. RALEA A) Casta B) Ramera C) Hojarasca D) Ambiguo E) Rememorar
Indique el antónimo de las siguientes palabras 1. CONVICCIÓN A) Recelo B) Cobardía C) Desistimiento D) Inestabilidad E) Vacilación
14. DEBEGRIR A) Nublar B) Opacar C) Manchar D) Negrecer E) Obscurecer
2. PRÍSTINO A) Utópico B) Flamante C) Manido D) Inmutable E) Restaurado
15. LUCTUOSO A) Esplendoroso B) Beneficioso C) Triste D) Purificado E) Ostentoso
3. ENARDECER A) Menguar B) Desilusionar C) Apaciguar D) Escatimar E) Amedrentar
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO 4. FRUSLERÍA A) Casualidad B) Futilidad C) Importancia D) Nimiedad E) Intrascendente
13. FELÓN A) Puro B) Pérfido C) Narigón D) Fiel E) Glotón
5. COLOFÓN A) Iniciación B) Prefacio C) Incoloro D) Presentar E) Síntesis
14. VENAL A) Inocente B) Magnánimo C) Admirable D) Respetable E) Probo
6. VERSADO A) Practicante B) Ignaro C) Aprendiz D) Novel E) Aspirante
15. OTERO A) Desfiladero B) Ensenada C) Despeñadero D) Estero E) Hondonada
7. MARASMO A) Asombro B) Atención C) Dinamismo D) Entusiasmo E) Vitalismo
16. REGODEARSE A) Fastidiarse B) Lamentarse C) Retorcerse D) Motejarse E) Retocarse
8. DESAPRENSIÓN A) Preocupación B) Responsabilidad C) Lentitud D) Demora E) Lamento
17. SUMISO A) Indócil B) Orgulloso C) Altanero D) Atrevido E) Impetuoso
9. HORADAR A) Llenar B) Zanjar C) Trepanar D) Obturar E) Atascar
18. DESALIÑAR A) Salpresar B) Encurtir C) Aderezar D) Amenizar E) Salobrar
10. DESVANECER A) Condensar B) Agrupar C) Asomar D) Acercar E) Acudir
19. BIZARRÍA A) Armería B) Caballería C) Cobardía D) Tacañería E) Descortesía
11. RESOLUCIÓN A) Equivocación B) Inquietud C) Gratitud D) Perplejidad E) Animosidad
20. PRELACIÓN A) Desapego B) Postergación C) Preferencia D) Antelación E) Indiferencia
12. PUNIBLE A) Calculable B) Falible C) Perdonable D) Fungible E) Permisible
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 7 UNIDAD Nº 07
SERIES VERBALES 1. ¿Cuál de los siguientes términos no forma parte
Definición: Una serie verbal es un conjunto de palabras que pertenecen al mismo campo semántico. Es una serie de secuencia lógica que guarda una relación determinada entre sí, y están unidas por una idea general o particular. CLASIFICACIÓN: A) SEMÁNTICA: Se divide en: Sinónimos: Es la relación de semejanza que existe en la serie Ej. Triste, apenado; acongojado… (Melancólico) Ofensa, agravio; insulto… (Maldecir)
de la serie verbal? A) Azaroso B) Fortuito C) Estocástico D) Aleatorio E) Farragoso 2. Confiado, reticente; cachazudo, lento; fortuito,
premeditado… A) inicuo, inofensivo B) versátil, constante C) falaz, felón D) cutre, mezquino E) banal, medular 3. Oprimir, subyugar, sojuzgar…
Antónimos: Es la relación contraria que se presenta en el anterior ejercicio Ej. Dilapidador, ahorrador; malgastar… (Guardar) Alegría, congoja; exultación… (Melancolía) B) Por complementación.-se elige el término que de acuerdo a su significado completa una secuencia continua o alternada de palabras. Osado, valiente, intrépido,…. a) temerario b) audaz c) temido d) prepotente e) ceñudo C) por inclusión: se elige el término que de acuerdo a su significado se vincula con el tema común de la serie. a) pintura b) teatro c) literatura d) música e) arte D) por exclusión: se elige el término que de acuerdo a su significado se disocia del tema común de la serie. a) Honesto b) probo c) íntegro d) breve e) honrado E) por analogías: se elige la relación de palabras que exprese una relación semejante o análoga al de la premisa. Docente, educar; medico, curar;….. a) Alumno, aprender b) bebe, dormir c) mecánico, reparar d) hospital, sanar e) actriz, actuar
A) redimir B) enquistar C) devenir D) detentar E) aherrojar 4. Engastar, encajar; recular, retroceder; horadar,
agujerear… A) zaherir, humillar B) tremolar, silenciar C) pungir, animar D) agudizar, moderar E) coligar, reprimir 5. Víbora, ofidio; solípedo, caballo; jerbo, roedor…
A) lobezno, jamelgo B) tiburón, escualo C) panda, oso D) antílope, ñu E) gacela, gamuza 6. Dintel, puerta; avión, fuselaje; hebilla, arnés…
A) portón, muro B) armadura, gola C) pértiga, vara D) recodo, revuelta E) manubrio, manija 7. Determine la palabra que es antónima de
LAMENTABLE, TRISTE y LACRIMOSO. A) Estoico B) Borrascoso C) Lábil D) Flébil E) Bucólico 8. Lujurioso, libidinoso, salaz…
A) parsimonioso B) pendenciero C) deleznable D) oprobioso E) lúbrico 117
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO 9. Abulia, apatía; emulación, imitación; nesciencia,
ignorancia; A) perspicacia, trivialidad B) discreción, insania C) desmaña, erudición D) salacidad, pureza E) frugalidad, templanza
17. Prescindir, soslayar, eludir,
A) esquilmar B) esquivar C) atenuar D) proferir E) emanar 18. Especular, meditar, reflexionar,
10. Ameno, soporífero; pernicioso, proficuo; cándido,
taimado; A) díscolo, repugnante B) ducho, baquiano C) patético, punible D) ampuloso, sencillo E) magnánimo, generoso 11. Pasmado, embobado; gárrulo, facundo; conciso,
breve; A) mohíno, melancólico B) sobrio, desmesurado C) escaso, pingüe D) boyante, extrovertido E) reservado, escarpado 12. ínfimo, irrisorio; pérfido, felón; locuaz, verboso;
A) flébil, marchito B) pertinaz, obstinado C) diligente, ruin D) tenaz, veraz E) disidente, obsecuente 13. Mofa, burla, escarnio,
A) venia B) repulsa C) ludibrio D) jolgorio E) plaga 14. Irrebatible, axiomático, apodíctico,
A) asertivo B) inconcuso C) inope D) insigne E) deleznable 15. Determine la serie compuesta por tres sinónimos.
A) someter, desertar, difamar B) inquirir, impostar, escrutar C) separar, transigir, ceder D) incordiar, odiar, intimar E) luchar, bregar, lidiar
A) evocar B) discurrir C) disuadir D) purificar E) acechar 19. Reflexionar, cavilar, pensar,
A) aterir B) incidir C) dirimir D) cogitar E) recular 20. Terminar, finiquitar, ultimar,
A) zaherir B) implicar C) resarcir D) elidir E) rematar 21. Averiguar, indagar, inquirir,
A) imputar B) escrutar C) redimir D) execrar E) impeler 22. ¿Cuál de los siguientes términos no forma parte de
la serie verbal? A) lívido B) violáceo C) bermejo D) carmesí E) estentóreo 23. ¿Cuál de los siguientes términos no forma parte de
la serie verbal? A) acerbo B) melifluo C) ácido D) pírrico E) salado 24. Aciago, fausto; prosaico, adocenado; exótico,
16. Evidente, manifiesto, ostensible,
A) patente B) refulgente C) afectivo D) efectivo E) veraz
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nativo; A) remolón, diligente B) adusto, afable C) proteico, voluble D) neutral, parcial E) lacónico, locuaz
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A) medroso B) arriscado C) efusivo D) exultante E) tenaz 26. Elija el término que debe excluirse por alejarse del
campo semántico. A) Ceñudo B) Huraño C) Intratable D) Hosco E) Enajenado 27. Reacio, renuente; cicatero, desprendido; temoso,
porfiado; A) poltrón, holgazán. B) apático, abúlico. C) prolijo, cuidadoso. D) díscolo, sumiso. E) próvido, diligente. 28. Perverso, siniestro, protervo,
A) grotesco B) avezado C) avieso D) anómalo E) cáustico 29. Inclemencia, rigor, severidad…
A) nesciencia. B) recelo. C) reticencia. D) reciura. E) recato. 30. Oprobio, injuria, ofensa…
A) contumelia. B) verecundia. C) vericueto. D) sollozo. E) soflama. 31. Mentira, falacia, engaño…
A) Atropelía. B) impostura. C) renitencia. D) grima. E) verecundia. 32. Frágil, caduco, débil…
A) anodino. B) fatuo. C) orondo. D) lábil. E) nimio. 33. Adulación, alabanza, enaltecimiento…
A) emanación. B) elucidación. C) loor. D) elocución. E) filípica.
34. Verídico, falaz; dañino, inocuo; asolado,
A) inopinado. B) inherente. C) enhiesto. D) incólume. E) inoculado. 35. Dignificar, infamar; macular, honrar; restañar,
A) arredrar. B) desangrar. C) desdeñar. D) escindir. E) amenguar. 36. Candidez, niño; cicatería, avaro, sabiduría,
erudito; A) probidad, clérigo. B) claridad, bardo. C) locuacidad, orador. D) hilaridad, arlequín. E) severidad, juez. 37. El hiperónimo de koala, canguro y zarigüeya es
A) monotrema. B) bífido. C) félido. D) marsupial. E) sirenio. 38. Hatajo, jauría, hato,
A) colmena. B) bosque. C) boyada. D) naranjal. E) cardumen. 39. ¿Cuál de las alternativas contiene solo palabras
sinónimas? A) dilatar, aplazar, postergar B) enfundar, cubrir, velar. C) eludir, discriminar, censurar. D) estragar, empinar, asolar E) revocar, incriminar, deponer. 40. Río, cauce, ruta, camino; calle, recodo;
A) ducto, tubería. B) vía, pasajero. C) pez, mar. D) calzada, automóvil. E) imagen, televisión.
TÉRMINOS EXCLUIDOS
Consiste en identificar la palabra que en un conjunto de vocablos o palabras no tiene ninguna similaridad, ni relación semántica con el enunciado, o difiere estructuralmente con el conjunto conformado por las demás alternativas.
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO CLASES: A) DE SINONIMIA: Se excluye el término que no es sinónimo de los demás Ej.: INCRIMINAR: a) Acusar b) Imputar c) Sindicar d) Recriminar e) Inculpar Rpta: D B) DE AFINIDAD SEMÁNTICA: Se excluye la palabra que no comparte el tema coincidente de los demás. Ej.: ÁTICO: a) Copa b) Cima c) Cúpula d) Sombrero e) Coronilla Rpta: D C) DE GÉNERO A ESPECIE: Se excluye el término que no sea una especie perteneciente al género de la premisa Ej.: INSTRUMENTO a) Piano b) Violín c) Tambor d) Charango e) Guitarra Rpta: C D) DE COGENERIDAD: Se excluye la palabra que no sea específica y que no pertenezca al mismo género de las demás. Ej.: CAOBA a) Cedro b) Roble c) Eucalipto d) Pino e) Helecho Rpta: E E) DE CAUSALIDAD: Se excluye el término que no presente la relación de causa - efecto con la premisa o viceversa. Ej.: DESGRACIA: a) Pavor b) Grito c) Abrazo d) Angustia e) Desesperación Rpta: C EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Elija la palabra que debe excluirse por no guardar relación de significado con los demás. a) Trigo b) Arroz c) Café d) Perejil e) cebada 2. Elija el término que guarda relación de significado común con los otros y con el término base. PERFECCIONAR a) Progresar b) Mejorar c) Afinar d) Pulir e) Depurar
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3. Elija el término que guarda relación de significado común con los otros y con el término base .GLORIA a) Fama b) Prestigio c) Popularidad d) Goce e) Celebridad 4. Elija el término que guarda relación de significado común con los otros y con el término base. TUMEFACCIÓN a) Edema b) Herida c) Hinchazón d) Tumor e) Chichón 5. Elija la palabra que debe excluirse por no guardar relación con la palabra base. DEGRADAR: a) Envilecer b) Deshonrar c) Enaltecer d) Humillar e) Deteriorar 6. Elija la palabra que debe excluirse por no guardar relación con la palabra base INTERPELAR: a) Cuestionar b) Implorar c) Inquirir d) Preguntar e) Requerir 7. Elija la palabra que debe excluirse por no guardar relación con la palabra base. CONFABULACIÓN: a) Contradicción b) Maquinación c) Conjura d) Intriga e) Conspiración 8. Elija la palabra que debe excluirse por no guardar relación con la palabra base. INGRESO: a) Admisión b) Asignación c) Entrada d) Renta e) Pensión 9. Elija la palabra que debe excluirse por no guardar relación de significado con los demás. a) Vejar b) Esquivar c) Satirizar d) Mortificar e) Censurar
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO 10. Elija el término que no guarda relación de significado común con los otros y con el término base. MENUDO a) Minúsculo b) Diminuto c) Breve d) Exiguo e) Mínimo 11. Elija la palabra que debe excluirse por no guardar relación de significado con los demás. a) Delicado b) Nimio c) Pequeño d) Exiguo e) Minúsculo 12. Elija la palabra que debe excluirse por no guardar relación de significado con los demás. a) Sanear b) Recuperar c) Recomponer d) Reconstruir e) Erigir 13. Identifique el término que no guarda relación de significado común con los demás. a) Prototipo b) Bosquejar c) Modelo d) Arquetipo e) muestra 14. Identifique el término que no guarda relación de significado común con los demás. a) Sojuzgar b) Someter c) Avasallar d) Oprimir e) Invadir 15. Identifique el término que no guarda relación de significado común con los demás. a) Superávit b) Renta c) Ganancia d) Déficit e) beneficio 16. Identifique el término que no guarda relación de significado común con los demás. a) Homicidio b) Fratricidio c) Suicidio d) Magnicidio e) Parricidio 17. ATENTO a) servicial b) gentil c) afable d) carismático e) caballeroso
18. GLACIAL a) frívolo b) gélido c) congelado d) álgido e) helado 19. ECLOSIÓN a) origen b) génesis c) inauguración d) germen e) fuente 20. DIRECTOR a) manager b) gerente c) administrador d) gestor e) pionero 21. EMBATE a) arremetida b) irrupción c) empellón d) embestida e) acometida 22. PRACTICAR a) profesar b) ejercer c) reiterar d) desempeñar e) ejercitar 23. DISIPADO a) perdulario b) licencioso c) disoluto d) crapuloso e) excéntrico 24. ASOLADO a) destruido b) derribado c) carcomido d) devastado e) demolido 25. DISCRIMINAR a) relegar b) apartar c) marginar d) segregar e) relevar 26. DESPAVORIDO a) sobrecogido b) aterrado c) azorado d) indignado e) horrorizado
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO 27. TRIBULACIÓN a) tragedia b) pesadumbre c) abatimiento d) congoja e) pena
36. ENTENDIDO a) versado b) comprendido c) erudito d) perito e) ducho
28. TRAZAR a) diseñar b) bosquejar c) decorar d) esbozar e) dibujar
37. RESOLUCIÓN a) firmeza b) veredicto c) fallo d) dictamen e) pronunciamiento
29. TRUNCAR a) frustrar b) frenar c) devastar d) estropear e) fracasar
38. PERPETUO a) eterno b) imperecedero c) abundante d) eviterno e) duradero
30. UTILIDAD a) conveniencia b) consenso c) eficacia d) aptitud e) validez
39. PARABIÉN a) pláceme b) congratulación c) enhorabuena d) felicitación e) estima
31. DUDOSO a) polémico b) perplejo c) vacilante d) irresoluto e) titubeante
40. REPRIMIR a) coartar b) domeñar c) coercer d) sofocar e) contender
32. BLASFEMIA a) inmoralidad b) afrenta c) oprobio d) agravio e) vejación 33. CALOR a) veraniego b) festival c) canicular d) efervescente e) caluroso 34. VERÍDICO a) cierto b) laudable c) veraz d) fidedigno e) auténtico 35. VERNÁCULO a) oriundo b) céntrico c) patrio d) nativo e) autóctono
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UNIDAD Nº 08
ANALOGÍAS I
La analogía es una relación de equivalencia entre dos parejas de palabras. Ejemplos: pareja base
pareja análoga
Sastre es a tijeras como carpintero es a serrucho Relación entre agente e instrumento
Las analogías pueden ser de dos clases: horizontales o verticales. Analogías horizontales
Analogías verticales
Cuando la relación entre las parejas 1 y 2 responde a la siguiente fórmula:
Cuando la relación que vincula las parejas responde a la siguiente fórmula:
A : B :: c:d
A : B ::
Se lee:
c :d c
A se relaciona con
Se lee: A es a B como c es a d
como HORA : DÍA ::
B
se
relaciona con d.
a) bimestre : semestre b) mes : año c) siglo : centuria d) edad : época e) tiempo : minuto La pareja análoga es la b, porque la hora es una fracción del día, así como el mes es una fracción del día, así como el mes es una fracción del año.
TORTUGA : LIEBRE :: a) rojo : blanco b) toro : cebú c) lentitud : rapidez d) traicionera : zanahoria e) fidelidad : astucia La pareja análoga es la c, pues la tortuga se caracteriza por su lentitud,
La pareja análoga debe reproducir la relación en el mismo orden y con las mismas categorías gramaticales que la pareja base. A continuación, algunas de las relaciones que se establecen entre las palabras. Sinónimos
estafa : engaño alegría : felicidad
Agente-lugar
hincha : estadio público : auditorio
Objeto-lugar
cuadro : museo libro : biblioteca
Materia-producto
uva : vino leche : queso
Género-especie
árbol : pino flor : margarita
Causa-efecto
golpe : hematoma sismo : pánico
Parte-todo
uña : dedo pétalo : flor
Agente-instrumento
escultor : cincel pintor : brocha
El par análogo, es: 1. FRÍO : CALIENTE :: A) helado : tibio B) burdo : sutil C) cálido : tórrido D) pequeño : grande E) gigante : enorme 2. PÁJARO : JAULA :: A) serpiente : árbol B) rana : lodo C) chacal : monte D) halcón : cielo E) pez : pecera 3. MULA : RECUA :: A) enjambre : abeja B) ciudad : metrópoli C) perro : can D) paloma : bandada E) rebaño : oveja 4. JUNTAR : REUNIR :: A) uncir : dispersar B) reír : sonreír C) pregonar : presagiar D) cantar : canturrear E) ocultar : esconder 5. TREMOR : TEMOR :: A) rubor :vergüenza B) rigor : severidad C) albor : pureza D) honor : palabra E) bochorno : hidalguía 6. EFÍMERO : SEMPITERNO :: A) locuaz : tenaz B) austero : cicatero C) vital : indolente D) lábil : consistente E) duradero : interminable 7. ESTÍMULO : RESPUESTA :: A) estrés : tensión B) dolor : gemido C) morosidad : lentitud D) pelea : gresca E) acicate : duda
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO 8. AMO : SIERVO :: A) juez : fiscal B) noble : plebeyo C) monarca : vasallo D) capital : proletario E) maestro : alumno
17. TEMPLO : DEVOCIÓN :: A) colegio : institución B) camposanto : vitalidad C) jardín : matorral D) laboratorio : experimentación E) universidad : abnegación
9. ESCULTOR : ESTATUA :: A) escritor : ópera B) arquitecto : pintura C) matemático : geometría D) trovador : letrilla E) poeta : oda
18. BÚHO : SABIDURÍA :: A) paloma : paz B) bandera : lealtad C) águila : velocidad D) león : salvajismo E) serpiente : fortaleza
10. MURO : LADRILLO :: A) cerámica : vaso B) tapia : tierra C) metal : clavo D) vidrio : tubo E) puerta : dintel
19. MUSTIO : LOZANO :: A) vital : primordial B) prístino : diáfano C) melancólico : jubiloso D) sereno : impasible E) mendaz : mendicante
11. ÓSCULO : TERNURA :: A) pifia :desaprobación B) abrazo : desamor C) piropo : mujer D) bofetada : advertencia E) ovación : aplauso
20. LUZ : CELEBRIDAD :: A) mar : soledad B) cristal : transparencia C) viento : elasticidad D) tierra : levedad E) aire : pureza
12. SOLILOQUIO : MONÓLOGO :: A) plática : tertulia B) bulla : conversación C) diálogo : método D) sentimiento : vida E) crítica : diatriba
El par análogo vertical, es:
13. HIGO : UVA :: A) madera : clavo B) caña : vino C) nogal : nardo D) luz : intensidad E) sauce : molle 14. SOLDADO : HEROÍSMO :: A) niñez : rebeldía B) anciano : fortaleza C) artista : fruición D) monja : castidad E) escritor : vulgaridad 15. LÁMPARA : LUZ :: A) candelabro : dormitorio B) timbre : sonido C) agua : fuego D) sombra : visión E) monitor : pantalla 16. POBRE : INOPIA :: A) pigricia : holgazán B) enfermo : salud C) magnate : opulencia D) héroe : egoísmo E) trabajador : fábrica
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1. LINCE : LOBO A) burro : Équido B) gato : perro C) mosquito : mosca D) distrito : félido E) rugir : maullar 2. TRISTEZA : DOLOR A) éxito : envidia B) triunfo : orgullo C) alegría : congratulación D) amor : celos E) consuelo : compasión 3. ESCULPIR : COMPONER A) actuar : drama B) domesticar : caballo C) escribir : testamento D) estatua : aria E) pintar : pared 4. ALTRUISTA : SOLDADO A) generosidad : valentía B) crítico : mordacidad C) artista : originalidad D) negligente : desidia E) rico : poder 5. ATEMORIZAR : ADVERTIR A) suplicar : pedir B) temor : terror C) espeluznar : amenazar D) dormir : reposar E) sonreír : gesticular
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15. ENTENDER : REFUTAR A) vaya : guasa B) comprender : impugnar C) inferir : opinar D) deducir : señalar E) juzgar : sentencia
7. AMNISTÍA : ABSOLUCIÓN A) indulto : reclusión B) político : sacerdote C) perdón : culpa D) condonación : deuda E) pena : malhechor
16. GAMO : PUMA A) tablero : silla B) roble : ébano C) tiburón : escualo D) tálamo : camarote E) venado : onza
8. PASTOR : SACERDOTE A) oficial : diana B) madre : familia C) productor : película D) rebaño : grey E) seguidor : partido
17. FÍSICA : GEOMETRÍA A) Anatomía : Pascal B) Galileo : Euclides C) Zoología : Raymondi D) Evolución : Leibniz E) Filosofía : Copérnico
9. AUTISMO : CÁNCER A) niñez : pediatría B) nosología : patología C) psicología : medicina D) hepatitis : gastroenterólogo E) derecho : ley
18. CIMITARRA : ORO A) corcel : caballo B) turbante : vestimenta C) arma : metal D) televisor : mueble E) brújula : objeto
10. MANZANO : NOGAL A) eucalipto : menta B) pero : níspero C) vaca : leche D) manzana : nuez E) jardín : rosa
19. PUEBLO : ÁRBOL A) extranjero : xenofobia B) demofilia : dendrofilo C) acaudalado : plutocracia D) robo: cleptómano E) amigo : reconciliación
11. CARTA : MULTA A) respuesta : pago B) halago : palabra C) ansiedad : agitación D) político : liderazgo E) impuesto : arbitrio
20. PÁJARO : SERPIENTE A) pelechar : mudar B) cantar : cambio C) volar : callar D) migración : selva E) voz : reptar
12. IMPUNE : INTANGIBLE A) astenia : carácter B) mudez : hablar C) humano : morir D) investidura : dignidad E) castigar : tocar 13. CUITA : CATARSIS A) jolgorio : afición B) presión : holgura C) aflicción : purificación D) dolo : lamento E) firmeza : atención 14. TÓRTOLA : CUCULÍ A) gorrión : canario B) víbora : paloma C) ballena : camello D) pulpo : tiburón E) águila : picaflor
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UNIDAD Nº 01
ORDEN DE INFORMACIÓN
1.2.2 ORDENAMIENTO CIRCULAR: En estos casos los elementos estarán ordenados de manera que formen una figura cerrada. Debemos tener en cuenta lo siguiente:
1.1. INTRODUCCIÓN: Este capítulo se caracteriza debido a que los problemas presentan datos e información que es necesaria para ordenar los elementos o sujetos de quienes se habla en un problema determinado. La solución se encuentra relacionando todos los datos entre sí para encontrar una correspondencia. 1.2. TIPOS DE ORDENAMIENTO: Se ha dividido el presente capítulo de modo que sea fácil identificar el tipo de ordenamiento y las reglas que debes respetar para su resolución. Esta división es la siguiente:
Es importante en este caso asumir que todos se ubican mirando al centro del círculo, de tal forma que se puede establecer fácilmente las ubicaciones a la izquierda y/o derecha de cada persona o elemento en la relación.
1.2.1 ORDENAMIENTO LINEAL: 1.2.1.1
ORDENAMIENTO CRECIENTE O DECRECIENTE: En estos problemas encontraremos elementos relacionados de mayor a menor o de más a menos. Para estos problemas debemos tener en cuenta lo siguiente: Decir: "A" no es mayor que "B". Equivale a que "A" puede ser menor o igual que "B" Decir: "A" no es menor que "B" Equivale a que "A" puede ser mayor o igual que "B".
1.2.1.2
ORDENAMIENTO LATERAL: Los problemas de "Ordenamiento Lateral" son fáciles de identificar pues nos presentarán elementos ordenados de la siguiente manera:
1.2.3 ORDENAMIENTO CON CUADROS DE DOBLE ENTRADA O RELACIÓN DE DATOS (CUADROS DE AFIRMACIONES) En estos problemas encontraremos elementos que están relacionados bajo un mismo patrón pero con diferentes características. Debemos tener en cuenta lo siguiente: - La característica de "A" sólo la tendrá "A"· no podrá existir otro elemento con la misma característica. -
Llámese característica a los distritos donde viven, las formas de movilizarse, las carreras profesionales que siguen, etc..
Izquierda – Derecha Oeste – Este Occidente – Oriente Debemos tener presente: - "A" está a la derecha de "B" es diferente decir que "A" está junto y a la derecha de "B". - "A" está entre "B" y "C" no necesariamente significa que "A" estará en el medio y junto a ellos (adyacentes).
127
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO PREGUNTAS PROPUESTAS N° 01
1. En un edificio de cinco pisos viven los amigos César, Oswaldo, Carola, Gilberto y Alejandro. Cada uno en un piso diferente, si se sabe que: Gilberto no vive más arriba que Oswaldo, pero sí más arriba que Alejandro. César no vive más abajo que Carola. Oswaldo no vive más arriba que Carola. Luego se puede afirmar que: A) Oswaldo vive en el 5to piso. B) César vive en el 2do piso. C) Alejandro vive en el 3er piso. D) Carola vive en el 4to piso. E) Gilberto vive en el 4to piso. 2. Cinco turistas de nacionalidades: Chileno, Ecuatoriano, Colombiano, Mexicano y Argentino, están sentados alrededor de una mesa circular con 6 asientos distribuidos simétricamente. Se sabe que: El Chileno se sienta junto al Argentino y al Mexicano. Frente al Mexicano se encuentra un asiento vacío. Junto al asiento vacío no se sienta el Ecuatoriano. Se puede afirmar: A) El Chileno se sienta junto al Colombiano. B) El Ecuatoriano y el Mexicano no se sientan juntos. C) El Argentino se sienta frente al asiento vacío. D) El Argentino se sienta junto al asiento vacío. E) El Ecuatoriano y el Argentino se sientan juntos. 3. Andrea, tiene que escoger entre sus 5 pretendientes al más joven. Si se sabe que: Fernando no es más viejo que Alejandro, ni es menor que Ricardo. Mario es más joven que Alejandro, pero es más viejo que Ismael. Ismael es más joven que Mario, quien es menor que Ricardo. Ninguno de ellos tiene la misma edad. Entonces el elegido, es:
A) Fernando D) Ismael
B) Alejandro C) Ricardo E) Mario
4. Ricardo, Carlos, Susan, Ana, Paola, Daisy, se sentaron alrededor de una mesa circular con 6 asientos distribuidos simétricamente. Si se sabe que: - Ricardo se sienta junto y a la derecha de Carlos y frente a Susan. - Ana no se sienta junto a Carlos. - Paola no se sienta junto a Susan. 128
El lugar donde se sienta Daisy, es: A) Entre Susan y Paola B) Entre Carlos y Susan C) Frente a Ricardo D) Frente a Ana E) Frente a Carlos 5. Alrededor de una mesa circular de cinco asientos, se encuentran las siguientes personas; un ingeniero, un abogado, una economista, una psicóloga y un contador. Si se sabe que: La psicóloga y el contador no se sientan juntos. El ingeniero se sienta adyacente a las dos mujeres. De las siguientes parejas las que se sentarán juntos es: I. Contador – Abogado II. Psicóloga – Economista III. Economista – Abogado A) Solo I B) Solo I y II C) Solo II y III D) Solo III E) Solo II 6. En una competencia de atletismo, la llegada fue de la siguiente manera: Eliana llegó 8 segundos después que Fiorella, pero 5 segundos antes que Marisol. Margarita llega 3 segundos después que Eliana. Lupe llego después que Eliana. Luego podemos afirmar que: A) Lupe llegó en 4to. Lugar. B) Marisol llegó detrás de Lupe. C) Eliana ganó la competencia. D) Lupe llegó en último lugar. E) Fiorella ganó la competencia. 7. José, Pedro, Carlos, César, Alberto y Andrés viven en un edificio de 7 pisos, cada uno en un piso diferente. Si se sabe que: - José vive en un piso adyacente a los departamentos de Pedro y Andrés. - César vive en el tercer piso y José no vive en el quinto piso. - Andrés vive adyacente al piso vacío.
Se puede afirmar: A) Carlos vive en el primer piso. B) Alberto no vive en el segundo piso. C) Andrés vive en el último piso. D) El cuarto piso está vacío. E) Carlos vive en el quinto piso. 8. Cuatro parejas de esposos están sentados alrededor de una mesa circular distribuidos simétricamente. Alberto se ubica frente a Paúl,
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO quien está junto y a la derecha de Lupe; Sebastián está sentado entre dos damas; Lupe no está frente a una dama; Manuel y Rebeca se sientan juntos y las otras damas se llaman Mila y Fiorella, luego la persona que se sienta frente a Sebastián, es: A) Mila B) Rebeca C) Lupe D) Paúl E) Manuel 9. Seis amigas, Graciela, Aries, Marisol, Carola, Susana y Julia, deciden vivir en un mismo edificio de seis pisos, cada una en un piso diferente, pero bajo las siguientes condiciones: Graciela debe vivir más abajo que Julia. Carola y Julia no vivirán en pisos adyacentes. Aries y Susana deben vivir en pisos adyacentes. De las siguientes alternativas la que puede representar el orden relativo en el cual puedan vivir las seis amigas en el edificio, respectivamente, del primer al sexto piso, es: A) Graciela, Aries, Marisol, Carola, Susana y Julia B) Marisol, Graciela, Julia, Carola, Susana y Aries C) Julia, Susana, Marisol, Carola, Aries y Graciela D) Marisol, Carola, Graciela, Aries, Susana y Julia E) Susana, Marisol, Aries, Carola, Graciela y Julia 10. Mila, es mayor que Carola a pesar que es más baja que ella. Rebeca es más baja que Mila a pesar de que es mayor que Carola. Se puede concluir que: A) Mila es más baja que Rebeca. B) Carola es la menor. C) Rebeca es la menor. D) Mila es más baja a pesar de ser mayor E) No es cierto que Mila no sea mayor que Rebeca. 11. Seis amigos, Alison, Alex, Saúl, Soledad, Tania y Valeri, viven en un edificio de seis pisos, cada uno vive en un piso diferente, además, se cumple que: Alison vive en el quinto piso. Valeri vive más arriba que Soledad y que Saúl. Alex y Valeri viven en pisos adyacentes De las siguientes afirmaciones son verdaderas: I. Alex vive en el 3er piso. II. Valeri vive en el cuarto piso. III. Tania vive en el sexto piso. A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo II y III
-
Sandra nunca sube para visitar a cualquiera de sus amigas. La que vive en el segundo piso, sí solo dos amigas cuyas iniciales de sus nombres son consecutivas, viven juntas, es: A) Nancy B) Marlene C) Tania D) Marisol E) Sandra 13. Cinco amigos están sentados uno al lado del otro. Sandro y Pedro se sientan en forma adyacente, Pedro no está al lado de Silvia ni de Juan. Sandro está en un extremo. Si Silvia no está sentada al lado de Manuel. La persona que se sienta al lado de Silvia, es: A) Sandro B) Manuel C) Juan D) Pedro E) Juan o Pedro 14. Bruno Saúl, Nico, Sandro y Mario estaban sentados en fila. Saúl estaba sentado en un extremo de la fila y Nico en el otro extremo, Sandro estaba sentado al lado de Saúl y Bruno al lado de Nico. La persona que estaba sentado al medio, es: A) Bruno B) Saúl C) Nico D) Sandro E) Mario 15. Cuatro amigos: Alex, Fernando, Cristian y David viven en un mismo edificio en diferentes pisos. Si se sabe que: Fernando vive en el primer piso. Cristian vive adyacente a David y Fernando. Alex todo los días va a visitar a David. Es cierto que: A) Fernando vive en el 3er piso. B) David vive en el 2do piso. C) Alex vive en el 3er piso. D) Fernando vive en el 2do piso. E) David vive en el 3er piso. 16. Cinco amigos rinden un examen de historia; si se sabe que: - Beatriz obtuvo un punto más que Diana. - Diana obtuvo un punto más que Marisol. - Edgar obtuvo dos puntos menos que Diana. - Beatriz obtuvo dos puntos menos que Alejandro.
Ordenándolos de manera decreciente, el amigo que ocuparía el 4to lugar, es: A) Beatriz B) Diana C) Edgar D) Marisol
12. Cinco amigas viven en un edificio de 5 pisos, cada una en un piso diferente, se sabe que: Marlene vive 2 pisos debajo de Sandra. Marisol siempre sale para visitar a todas sus amigas. Nancy y Tania no viven juntas.
E) Alejandro
17. Alfredo, Beto, Carlos y Diego son: mecánico, electricista, soldador y carpintero; llevan uniforme blanco, amarillo, rojo y azul. Además: El mecánico derrotó a Beto en sapo. Carlos y el soldador juegan a menudo el bingo con los hombres de rojo y azul.
129
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO -
Alfredo y el carpintero tienen envidia del hombre de uniforme azul, quien no es electricista. El electricista usa uniforme blanco. Entonces el oficio que tiene Carlos es: A) Ingeniero B) Carpintero C) mecánico D) Electricista E) Soldador 18. En un concurso de belleza se presentan representantes de Chile, Argentina, Colombia y Perú. Ellas estudian las siguientes profesiones: Secretariado bilingüe, contabilidad, medicina y educación, aunque no necesariamente en ese orden. Además se sabe que: La representante de Chile no tiene la mínima noción de taquigrafía. Las representantes de Colombia y de Argentina no tienen paciencia con los niños. En un accidente la representante del Perú atendió un parto. La representante de Argentina solo habla castellano. Entonces la que estudia contabilidad, es: A) Chile B) Argentina C) Colombia D) Perú E) Chile y Perú 19. Tres amigos viven en una casa: un gordo, un flaco y un enano y tienen diferentes temperamentos; uno es alegre, el otro es renegón y el último esta siempre está triste. Se sabe que al gordo nunca se le ve reír y el enano siempre está molesto porque lo fastidian por su tamaño. Entonces, de las siguientes afirmaciones es verdadera: I. El gordo es renegón. II. El gordo es alegre. III. El flaco es alegre. (V) IV. El flaco está siempre triste. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo III E) Sólo IV 20. Martin, Bruno, Luis, Vicente y Cesar tienen por ocupaciones: pintor, profesor, bombero, mozo y cirujano y viven en Lince, Vitarte, Comas, Barranco y Miraflores. Ninguno de ellos vive en el distrito cuya inicial es la misma que la de su nombre. Además, el profesor no vive en Comas, Bruno no es cirujano ni pintor y vive en Vitarte. Vicente vive en Miraflores y es amigo del cirujano, del bombero y del mozo. Luis no vive en Comas, no es mozo ni profesor. A Cesar le encanta enseñar. El bombero no vive en Barranco. Martin es alérgico a la pintura. ¿Qué ocupación tiene Vicente? A) Pintor B) bombero C) profesor D) mozo D) cirujano
130
UNIDAD Nº 02
OPERADORES MATEMATICOS
OPERACIÓN MATEMÁTICA Es un procedimeinto que consiste en transformar uno o más números en otros de acuerdo a una regla de definición y, para representarlos, se hacen uso de símbolos llamados operadores matemáticos. OPERADOR MATEMÁTICO: Puede ser cualquier símbolo incluso figuras geométricas. Operación matemática
a
b =
5 a2 – 3ab + b2 Regla de formación
1º Componente Operador matemático
2º Componente
A continuación presentamos dos cuadros, uno con operadores conoos y otros operadores: OPERADORES CONOCIDOS: OTROS OPERADORES OPERACIÓN
OPERADOR
Adición
+
Sustracción
–
Multiplicació n División
Notación pi
OPERADOR * %
x
Grilla
#
Triángulo
∆
Cuadrado
Radicación Logaritmació n Notación sigma
SÍMBOLO Asterisco Tanto por ciento
Log
Rectángulo Integral Alfa Beta Omega
∫
Nabla
Phi
Theta
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO OPERACIONES BINARIAS
PROPIEDAD DEL ELEMENTO INVERSO ( a-1 )
DEFINICIÓN: Es una relación que hace corresponder a cada elemento del producto cartesiano A x A, un sólo elemento del conjunto A. CARACTERÍSTICAS: Sea A , una operación binaria definida en dicho conjunto es una relación que a cada par ordenado del dominio le hace corresponder una única imagen del rango distinguimos:
a A, a 1 A / a a 1 e a 1a
a) Conjunto de partida: El producto cartesiano A x A b) Conjunto de llegada: El conjunto A c) El dominio: A x A d) El rango: Un subconjunto del conjunto A AxA
A
(1,2)
1
(1,3)
2
La regla de correspondencia de una operación binaria se representa por una tabla de doble entrada, un diagrama o con una expresión simbólica y a partir de ello damos solución a las operaciones. En una tabla de doble entrada distinguimos:
Columna de entrada
Fila de entrada ۞
a
b
c
a
a
b
c
b
c
c
a
Cuerpo de la tabla
c
a
a
b
(son los resultados de las operaciones)
Segunda componente
Primera componente PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES BINARIAS Se define el conjunto A mediante el operador , esta puede tener las siguientes propiedades: PROPIEDAD DE CLAUSURA O CERRADURA:
a, b A : a b A PROPIEDAD CONMUTATIVA
a,b A : a b b a PROPIEDAD DEL ELEMENTO NEUTRO (e)
a A, e A / a e a e a 131
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO
1. Si f(x+1)=f(x)+3x-2; f(0)=1, el valor de f(3), es: A) 3
B) 0
C) 2
D) 4
1
= 2 A) 1
E) 6
4
ex ex ; 2 e x e x , 2
x
a
A) 2
B) x
; es: C) e
14 9
A) E) ex
D) 1
D) 2
3. Si: X+3
=x+4,
x
= x – 1, 15
= x + 8, el valor de
A) 7
B) 6
C) 3
D) 2
E) 4
C) 6
D) 1
xy
=y
E) 8
;
x, y R ,si
700
, es:
B) ¡Error! Vínculo no válido.
C)
E) 100
B) 8
, el
valor de P =
A) 1
B) 0
5
C) 2
E) -1
2x+1
2
2
24 7
D) 4
E) 3
C) 0
D) 2
E) 4
x f 4 es: f f x f y , el valor de f 2 y
A) 4
B) 3
C) 2
D) 1
x-1
=
El valor de
A) -1
, además
= 8x+7,
D) 9
x
= X+5
= 2
B) 0
E) 8
N+2
El valor de
A) C) 4
C) 2
D) 4
E) -1
C) 2
+ x – 1, - x +3, 12
, es:
D) -2
E) 1
E) 8
, es:
B) 2
, el valor de “n” es:
entonces el valor de:
14. Si Siendo
2x
13. Si:
a b a b 1 , donde a-1 es el 1 1 inverso de a, el valor de E = 5 2 , es: B) -2
B) 1
E) 4
2x 3 , en la ecuación 2
= 2n
=
D) 2
6
5. En R, se define: A) -4
C) -2
, es:
A) 0
B) C) D)
132
D) 3
= 42, es :
= 4, el valor de
A) 3
a %5 b a b (2%1) (1%2) , es :
4. Se define en R el operador (%):
A) 1
1
= 14x , x > 0, el valor de “n” en
x
12. Se define
7.
es elemento valor de E
11. Si f(x+1)=x2+3x+2; f(0)=1, el valor de f(f(x))= 42, entonces el valor de “x”, es: x
6. Si,
el
,es: C) -1
B) 2
10. Se define
“a”,
8
2n+1
600 _
1
X3+1
A) 4
entonces el valor de:
a
1
Igualdad
x
6
de
B) 0
9. Siendo la 2. Si:
a b a b 4; a 1
8. Se define inverso
PREGUNTAS PROPUESTAS N° 02
= N 2002
21001 x1001! 2 2002 x1001! 2 2002 x 2002! 21001 x1000!
N es:
,
N
= 2.
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO E) 1
n = (n+1)n-1; entonces el valor de:
15. Si
log b 1
¡Error! Vínculo no válido. no válido. Donde; b =104/7, es: A) 2 16. Si: 4x+3;
B) 4
+…+¡Error! Vínculo
C) 3,5
D) 1,75
x - x
C) 5
, es:
1
D) 3
=
x + x
= 7 ; el valor de:
B) 4
INDUCCIÓN, DEDUCCIÓN Y CRIPTOARITMETICA
UNIDAD Nº 03
E) 2,5
= 2(x + 1)+1; además:
x
A) 1
9+
2 Vínculo no3 válido. + ¡Error!
NOTA: La teoría ha sido revisada y los EJERCICIOS DE APLICACIÓN Nº 02 y los EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 01, han sido redactados y corregidos por el Lic. Carlos Luis Gaspar Ayquipa, Docentes del CEPU-UNICA.
E) 2
m n 6 5(n m) , entonces el valor de k 1 (2 (3 (4 ....)))) , es:
17. Si
RAZONAMIENTO INDUCTIVO (INDUCCIÓN) Es una manera de razonar, en el que a partir de la observación de casos particulares, nos conduce al descubrimiento de leyes generales. C A S O
C A S O
C A S O
1
2
1
CASO GENERAL
100 operadores
A) 3
B) 0
C) 2
D) 4
RAZONAMIENTO DEDUCTIVO (DEDUCCIÓN)
E) 1
Es una manera de razonar mediante el cual, a partir de informaciones, casos o criterios generales, se obtiene una conclusión particular.
18. Si la operación # está definida por la tabla: # 1 2 3 1 1 2 3 3 3 1 2 2 2 3 1
Entonces, el valor de A) 3 19. Si
B) 0
C) 4 1 b2
ab a ,
D) 1
E) 2
1
M 2 1 #3 #2
el
valor
DEDUCCIÓN
CASO GENERAL
1
es: CRIPTOARITMÉTICA
de
x
en,
( xx ).2 2 es: A) 2-4
B) 2-3
C) 2-6
D) 2-16
E) 2-8
(2a b)(a c)(3c 2b) a 7 b5 c 2 , entonces el valor de 0 4 5 ,es:
20. Si
A) 48 21. Si:
E=
A) -1
B) 33
n
=
C) 26
D) 28
(3n 33) n27
….
B) 0
3
5
E) 24
, entonces el valor de
7
CASO PARTICULAR
9 … 115
La palabra criptoaritmética proviene de dos voces griegas: KRIPTOS = OCULTO y ARITHMOS = NÚMERO En los problemas de criptoaritmética se debe encontrar una serie de valores escondidosque hagan válida una operación aritmética. En este capítulo utilizaremos las leyesy reglas básicas de las cuatro operaciones fundamentales: adición, sustracción, multiplicacióny división CLASIFICACIÓN: Presenta dos formas: FORMACIÓN DE NUMERALES: Son expresiones simples equivalentes a una cantidad determinada.
es:
C) 2
D) 1
E) 1035
OPERACIONES ARITMÉTICAS: En este caso tal como lo indica su nombre, se representa como suma, resta, multiplicación, división, etc. o como una operación combinada.
133
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO A) 5
B) 1
C) 3
D) 7
E) 2
7. La suma de cifras del cociente en la siguiente división, es:
PREGUNTAS PROPUESTAS N° 03
1. En el siguiente arreglo numérico. La suma de los términos de la fila 50, es:
A) 9750 B) 12500 E) 125000
C) 25000 D) 75200
A) 20
B) 21
C) 26
D) 30
E) 32
D) 7
E) 9
8. Si se cumple: Entonces (a + b), es:
2. Si: A) 5
B) 7
C) 9
D) 6
Entonces el valor de “a”, es: A) 5 B) 1 C) 3
E) 8
3. En la figura mostrada, el número de cuadriláteros, es:
9. El valor de: E = Sabiendo que:
A) 11590 E) 15590
A) 76
B) 78
C) 159
D) 149
B) 12950
C) 13590
D) 12590
10. La cantidad de puntos de contacto en la siguiente gráfica, es:
E) 69
4. Si: Entonces el valor de. R = (x + a)y; es: A) 1 5. Si: efectuar:
B) -3 D) 4
C) 9 E) 25
. Entonces la última cifra del resultado al ; es:
A) 1
B) 3
C) 9
D) 7
E) 5
6. Si se cumple:
Entonces la última cifra al operar la expresión “A”; es: A=
134
A) 1305
B) 2010
C) 2340
D) 2540
E) 5290
11. La suma de los términos delas veinte primeras filas en siguiente triangulo numérico, es:
UNIVERSIDAD NACIONAL “SAN LUIS GONZAGA” DE ICA
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO 18. Si: ; y además 0= cero y las letras diferentes tiene valores diferentes Entonces el valor de, ; es: A) 42567 E) 41552
A) 41100 B) 42100 C) 42340 D) 441000 E) 45100 12. Dado el esquema, el número de bolitas en S14, es:
B) 43472
C) 42472
D) 46347
. Entonces el valor de “p”, es. Además 19. Si: se sabe que:
A) 4
B) 2
C) 7
D) 6
E) 5
20. Si se cumple que: Entonces la última cifra del resultado al operar “M”, es: A) 4095 E) 8191
B) 16384
C) 4096
D) 16383
13. La cifra en la cual termina el resultado de operara “M”, es:
A) 4
B) 3
C) 5
D) 6
A) 2
B) 3
C) 5
D) 7
E) 9
E) 9
14. La suma de cifras del resultado de “R”, es:
A) 230 E) 225
B) 215
C) 235
D) 240
15. Si: ; Entonces: “ a + b + c” es equivalente a, donde:
A) 20
B) 15
C) 12
D) 10
E) 16
C) 125
D) 410
E) 256
16. Si:
El valor de: A) 250 B) 315
17. En la siguiente adición, considerar que a letras diferentes representan cifras diferentes = Entonces el valor de: A) 1567
B) 1547 C) 1376
; es: D) 1637 E) 1552
135
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO
4.2.1.3. CANGREJO COMPUESTO: UNIDAD Nº 04
Esquema:
MÉTODOS OPERATIVOS Datos
O.D
O.I
Operaciones
Operaciones Inversas
V. I
queda queda queda queda queda
4.1. DEFINICIÓN Son artificios que abrevian un planteo tedioso y saturado de cálculos en la resolución de un problema matemático.
….
4.2. CLASIFICACIÓN 4.2.1. MÉTODO DEL CANGREJO: Es llamado así por la característica principal de su procedimiento que consiste en empezar por el final y terminar por el principio.
V. F
4.2.2. MÉTODO DEL RECTÁNGULO: Se utiliza cuando intervienen dos cantidades, una de ellas produce un sobrante y la otra un faltante.
4.2.1.1. CANGREJO SIMPLE: Esquema:
Esquema:
O.D
O.I
Operaciones Directas
Operaciones Inversas
V. I Valor Inicial
Sobrante
Cant. I Datos que faltan
-
Faltante
Cant. II + O
4.2.1.2. CANGREJO MEDIANTE CUADROS: . Esquema: 2
Jugador 3
suma es suma es suma es suma es Valor
Valor
Valor
Nota: Cuando en un problema hay sobrante y faltante (diferentes) estas cantidades se suman (+); pero cuando en un problema hay sólo sobrantes o sólo faltantes (iguales) estas cantidades se restan (-).
4.2.3. MÉTODO DEL ROMBO: Consiste en ubicar la información del problema en los cuatro vértices del rombo, de la siguiente manera: Esquema: Mayor valor por unidad
suma es x
136
)
–
V. F
Jugador
–
Las unidades del sobrante y el faltante deben ser iguales
Los datos que falta representa:
Datos que falta =
Jugador 1
(ganancia +
–
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO
Nº total de elementos
Deben ser iguales las unidades
Recaudación total
–
Menor valor por unidad
C (>) x
– –
=
Ax C -B C-D
Nº mayor
A x D-B D-C
Nº menor B
D (<)
4.2.4. MÉTODO DE LA REGLA CONJUNTA: Se utiliza cuando se presentan varias equivalencias (igualdades), se coloca uno debajo de la otra cuidando que las unidades no se repitan en la columna; si esto sucede se intercambia la igualdad. Esquema: Columna. I
Columna II
A
B
B
C
Luego: (A)(B)(C) = (B)(C)(X)
PREGUNTAS PROPUESTAS N° 04
1. En cierto pueblo se realiza el siguiente trueque: - 5 sacos de papa se cambian por 4 de camote. - 10 sacos de yuca se cambian por 6 de olluco. - 8 sacos de camote se cambian por 3 de olluco. Los sacos de papa se cambian por 2 sacos de yuca, es: A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 1 2. En una feria agropecuaria 7 gallinas cuestan lo mismo que 2 pavos; 14 patos cuestan lo mismo que 5 pavos; 3 conejos cuestan lo mismo que 8 patos. Lo que costarán 4 gallinas si un conejo cuesta 30 soles, es: A) 36 B) 42 C) 60 D) 54 E) 28 3. La semana que trabajo el día lunes, puedo ahorrar S/.30, pero la semana que no lo hago tengo que retirar del banco S/.20. Si después de 15 semanas he podido ahorrar sólo S/.250. Los lunes que trabajó, son: A) 4 B) 10 C) 8 D) 11 E) 9 4. A una fiesta entraron un total de 350 personas entre niños y niñas; se recaudó 1550 soles debido a que cada niño pagó 5 soles y cada niña un sol menos. La diferencia entre el número de niñas y el número de niños, es: A) 100 B) 150 C) 75 D) 60 E) 50 5. Un alumno dice a otro; si quiero comprar 15 chocolates me faltan 10 soles, pero comprando tan solo 10 me sobran 15 soles. El dinero que tenía, es: A) 80 B) 75 C) 48 D) 90 E) 65 6. Cuando a la edad de Michelle se divide entre 3 después de restarle 2, al resultado se le eleva al cubo a continuación se suma 19, luego a la suma se le extrae la raíz cuadrada, para finalmente sumar 5 y elevar al cuadrado, se obtiene 289. Entonces, la edad de Leonel, si éste nació cuando Michelle tenía 5 años, es. A) 17 años B) 12 años C) 20 años D) 21 años E) 22 años 7. Un vendedor de huevos, una cierta mañana vendió los huevos que tenía de una manera muy extraña. Cada hora vendió la mitad de los huevos más 2 huevos, quedándose al final de 3 horas con sólo un 137
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO huevo. Los huevos que vendió esa mañana, se indica en: A) 36 B) 72 C) 35 D) 18 E) 34 8. Cada vez que me encuentro con mi padrino, él me entrega S/.5, luego me duplica lo que tengo ahora; pero luego me pide S/.2 para su pasaje. Hoy día me he encontrado con él, 2 veces consecutivas, terminando con S/.28. Lo que yo tenía al principio, es: A) S/.1 B) S/.2 C) S/.3 D) S/.5 E) S/.10 9. Si se posaron 3 palomas en cada poste, sobrarían 4 postes, pero si se posara una paloma en cada poste, sobrarían 6 palomas. La cantidad de postes, es: A) 6 B) 7 C) 10 D) 8 E) 9 10. En una batalla se observa que cada hora muere la décima parte del total de soldados, si ésta dura 4 horas se tiene que son 59049 los sobrevivientes. El número de soldado con que se inició la batalla, es: A) 90000 B) 720000 C) 656900 D) 72000 E) 9000 11. Se contrata un empleado; por el tiempo de 9 meses; prometiéndole pasar S/.800 más un reloj; pero al cabo de 5 meses se le despide, pagándole entonces S/.200 más el reloj. El precio del reloj, es: A) S/.400 B) 450 C) 500 D) 550 E) 600 12. De la granja de Toñito se pasaron a la granja de Luchito tantas gallinas como el doble de las que habían en esta granja. Al día siguiente se regresaron de la granja de Luchito a la de Toñito tantas gallinas como el triple de las que quedaron la noche anterior. Si ahora Toñito tiene 40 gallinas y Luchito 45. El que ganó y cuántas, es: A) Luchito; 25 B) Toñito; 25 C) Luchito; 20 D) Toñito; 20 E) Iguales; 20 13. Martín trabaja en una compañía en la cuál por día de trabajo le pagan S/.30 y por cada día que falta a sus labores le descuentan S/.10 de su sueldo. Los días que había trabajado, si al final de 40 días adeuda a la empresa la suma de S/.200, es: A) 5 días B) 35 días C) 6 días D) 8 días E) 22 días 14. Un grupo de personas decide ir al teatro, si van a platea les faltan 240 soles y si van a galería les sobra 160 soles. Si invitan a uno les sobraría solo 10 soles, pero si uno de ellos se va sólo les faltaría 40 soles. El número de personas que hay en el grupo, es: A) 5 B) 8 C) 6 D) 7 E) 10 15. Si se forman filas de 7 niños sobran 5 pero faltarían 4 niños para formar 3 filas adicionales de 6 niños. El número de niños, es: A) 72 B) 61 C) 68 D) 116 E) 12 16. Piero tiene 54 canicas que las separa en 3 grupos. Del primero se pasan al segundo tantas canicas como hay en este segundo, luego se pasan del segundo al tercero tantas canicas como la mitad de
138
las que contiene este tercer grupo, obteniéndose así igual cantidad de canicas en cada grupo. Al inicio, el número de canicas que tenía el primer grupo, es: A) 28 B) 30 C) 32 D) 40 E) 26 17. Un tanque lleno de agua, empieza a disminuir su contenido de la siguiente forma: en la primera hora en su cuarta parte y 40 litros más, en la segunda hora se reduce en 3/5 de lo que quedó y se le aumenta 100 litros, y a la tercera hora disminuyó en 1/3 de lo que hay ahora, quedando en el tanque 100 litros; entonces la capacidad del tanque, es: A) 200l. B) 280l. C) 220l. D) 300l. E) 400l. 18. Un vikingo puede beber en 30 minutos 3 vasos de vodka ó 10 vasos de vino blanco, en una hora 24 vasos de cerveza ó 30 vasos de vino rojo, en 2 horas 2 vasos de aguardiente ó 10 vasos de cerveza negra, en 15 minutos 3 vasos de cerveza ó 2,5 vasos de vino blanco, en 45 minutos 2,25 vasos de vodka ó 11,25 vasos de cerveza negra. El número de vasos de aguardiente que podrá beber en 1 hora, en lugar de 20 vasos de vino rojo, es: A) 5 B) 20 C) 4 D).8 E) 2 19. A , B y C juegan a los naipes tal que el perdedor duplica el dinero a los demás. Si perdieron en ese orden, quedando al final cada uno con 32 soles, entonces el número de soles que tenía A más que B, inicialmente, era: A) 26 soles B) 24 soles C) 30 soles D) 16 soles E) 12 soles
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO UNIDAD Nº 05
SUCESIONES Y SERIES
enésimo tiene la forma de un polinomio de segundo grado, así:
a 0; n
tn = an2 + bn + c
Dónde: a; b y c son constantes cualesquiera en n: indica la cantidad de términos o el lugar que ocupa un
I. SUCESIONES: DEFINICIÓN:
término de la sucesión.
Se llama sucesión a la secuencia de términos numéricos, literales o gráficos; ordenados de acuerdo a una ley de formación o criterios lógicos.
a1 ; a2; a3 ; ............; an
Regla práctica para hallar: a, b y c: Sea la sucesión de 2° orden:
t1; t2; t3; t4; ......... halle el t0 y la razón.
TIPOS DE SUCESIONES: Las sucesiones pueden ser: gráficas, literales y numéricas.
C= 1er Orden
A. SUCESIÓN LITERAL: Es un conjunto ordenado de letras de acuerdo a un determinado criterio.
t0
t1
t2
a+b = P0
2do Orden
2a =
t3
P1
t4
P2
r
r
P3 r
Nota: A no ser que las condiciones del problema indiquen lo contrario, en las sucesiones literales no se consideran las letras “CH” y “LL”
de donde tenemos que:
Si 2a = r
a=
r 2
;
Si a + b = P0 b = P0 – a
B. SUCESIÓN NUMÉRICA: Es un conjunto ordenado de números en el que cada uno de ellos tiene un orden designado. Veamos:
Número Ordinal:
1°
Términos de la sucesión
t1
2° t2
3°....... n......... t3 ..... tn ........
Las Sucesiones Numéricas más importantes, son:
y c = t0
C. SUCESIÓN GEOMÉTRICA: Es aquella en la cual la razón geométrica (q) se obtiene como la división de 2 términos consecutivos y generalmente se expresa como un término cualquiera que al multiplicarse por la razón constante nos resulta el siguiente. Veamos:
a) Sucesión aritmética lineal o de Primer orden:
t1 ; +r
t2 ;
t3 ; +r
t4 ; ..........; t
t1
;
t2
xq
;
t3
xq
: t4 ; …. tn xq
xq
En general, el término enésimo (t n) de toda progresión geométrica (razón constante) se calcula mediante la expresión:
+r
En general, el término enésimo (tn) de toda progresión aritmética (razón constante) se calcula mediante la expresión:
tn = t1.qn-1 SUCESIÓN COMBINADA:
tn = t1 + (n -1) r
o
tn = an + b ;
a 0; n
Nota: Si se sabe que: r > 0; la sucesión es creciente r < 0; la sucesión es decreciente
Son sucesiones donde se combina un orden aritmético y geométrico a la vez.
SUCESIÓN ALTERNADA: Son sucesiones donde se alterna una razón cada dos números.
II. SERIES: b) Sucesión polinomial de segundo orden o Sucesión cuadrática: Son aquellas sucesiones en el cual la razón constante aparece en segunda instancia o segundo orden y su término
A. SERIES NUMÉRICAS DEFINICIÓN:
139
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO Donde:
Es la suma indicada de los términos de una sucesión numérica y al resultado de dicha suma se le llama valor de la serie. Veamos:
PRINCIPALES SERIES Y SUMAS NOTABLES:
Sucesión: 2; 4; 8; 16 Luego:
2 + 4 + 8 + 16
=
Serie
30
a) Suma de los “n” consecutivos
Valor de la serie
Entonces:
SERIE ARITMÉTICA: La serie aritmética es la adición indicada de los términos una sucesión o progresión aritmética (P.A).
t2;
t3;
+r
+r
primeros números naturales
S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ....... + n
TIPOS DE SERIES:
t1;
t1: primer término q: razón (0 < q < 1)
S=
n(n 1) 2
de
t4; .......; tn
b)
+r
Suma de los “n” naturales
primeros números impares
S = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ….... + (2n - 1)
En general:
t1 + t2 + t3 + t4 + ......+
Entonces:
tn = t1 tn n 2
Caso Particular S = 1 + 3 + 5+ 7 + 9 + .…... + A
NOTA: Si la suma de los “n” primeros términos de una P.A. de razón “r” es “S” entonces la suma de los”n” siguientes términos de dicha P.A. viene dado por:
Sn = S + r.n2
S = n2
Entonces:
c)
S=
A 1 2
2
Suma de los “n” primeros números pares naturales
SERIE GEOMÉTRICA:
S = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + ….….. + 2n
Es la adición indicada de los términos de una sucesión geométrica.
Entonces:
S = n(n + 1)
Las series geométricas pueden ser:
d)
A. Series Geométricas Finitas:
Suma de los “n” primeros números cuadrados perfectos. S = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + …..... + n2
t1
; t2
; t3 ;
xq
xq
t4; .....; tn xq
Entonces:
xq
En general:
t1 + t2 + t3 + t4 + ...+ tn =
n t (q 1) 1 q 1
e)
B.
t1: primer término q: razón(q 1; q 0) n: número de términos
Series Geométricas Decrecientes de Infinitos términos: En general:
t1 + t2 + t3 + t4 + ... =
140
n(n 1)(2n 1) 6
Suma de los “n” primeros cubos perfectos S = 13 + 23 + 33 + 43 + 53+.....+ n3 Entonces:
Dónde :
S=
S = n(n 1)
2
2
f) Suma de los “n” primeros productos consecutivos (tomados de 2 en 2). S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ......+ n(n+1)
t1 1 q
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO Entonces:
n(n 1)(n 2)
S=
PREGUNTAS PROPUESTAS N° 05
3
g) Suma de los “n” primeros productos consecutivos (tomados de 3 en 3). S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ..... + n(n+1)(n+2) Entonces:
n(n 1)(n 2)(n 3)
S=
1 1 1 1 ........... a1.a2 a2 .a3 a3 .a4 an 1.an +r Entonces:
+r
+r S=
S
2. La letra que continua en la sucesión mostrada es: L; M; M; J; V; S;…. A) J B) L C) V D) M E) D
1 1
3. Las edades de 3 hermanos están en P.G., el producto de todos ellos es 110592 y el más joven de ellos tiene 24 años, la edad que tiene el más viejo es : A) 70 años Q) 80 años R) 96 años S) 81 años T) 72 años
+r
r a1 an 1
i) Suma de inversas de productos de números consecutivos:
Entonces:
D) 55
4
h) Suma de los inversos de productos binarios S=
1. El número que sigue en la sucesión: 42; 44; 64; 84; 77;……..; es: A) 97 B) 81 C) 53 D) 64
nn 3 4n 1n 2
4. Determine el valor de E:
A)
B)
D)
E)
C)
5. El valor de “S” es:
S 48 24 12 6 3
A) 76
B) 86
C) 91
3 3 ... .... 2 4 D) 96
E) 126
6. Determine tres números de una P.A: que aumentado en 2, 3 y 8; son proporcionales a 10; 25 y 50 A) 2,3,11 B) 1,4,10 C) 2,7,12 D) 3,5, 15 E) 1,9,20 7. Dado el siguiente arreglo de números: 1 2
3
4 7
5 8
6 9
10
…………………...................….. La suma de la fila 20 es: A) 400 D) 140
B) 4100 E) 8020
C) 4010
141
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO 8. El valor de:
18. En la siguiente sucesión, determine el primer término negativo de 3 cifras: 120; 113; 106; 99; …. A) -102
A) 15/32 D) 12/25
B) 15/16 E) 1
C) 15/64
9. La sucesión geométrica; 1; x2; 6-x2; ….; el producto de los valores reales de x, es: A) 2 B) -4 C) 6 D) -√2 E) -2 10. Hallar la razón de una P.G. de 7 términos sabiendo que la suma de los 3 primeros términos es 26 y la suma de los 3 últimos es 2106. A) 1
B) 3
C) 6
D) 9
E) 27
11. Dada la sucesión algebraica: P0 (x,y) = x + y P1 (x,y) = x2 + xy + y2 P2 (x,y) = x3 + x2y + xy2 + y3 . . . La suma de los grados de todos los términos de la P10 (x,y) es: A) 132 D) 124
B) 143 E) 116
C) 157
12. El valor que continúa en la sucesión: x-3; 4x-1; 10x2; 22x6; 46x11;…. es: A) 46x11 B) 45x10 R) 48x11 S) 94x17 T) 92x18 13. De la sucesión, 3; 6 ; 29; 258; 3127;… el número que sigue, es: A) 48098 B) 41784 C) 46847 D) 46658 E) 73248 14. En la P.G. 3k +1; k – 3; 2k + 9; … el valor de k, es A) 4 B) -8 C) 8 D) -3 E) -7 15. Al dejar caer una pelota desde una altura de 60m, encada rebote, se levanta hasta los 2/3 de la altura desde la cual cae, la distancia total recorrida hasta que se detiene es: A) 280 B) 360 C) 480 D) 540 E) 300 16. En una P.A. la razón y el número de términos son iguales. La suma de los términos es 156 y la diferencia de los extremos es 30. Determine el primer término: A) 12 B) 15 C) 9 D) 10 E) 11 17. Un número múltiplo de 9 tiene seis cifras en total que están en P.A. creciente. Determine el producto de las dos última cifras. A) 41 B) 42 C) 43 D) 44 E) 45 142
B) -103
C) -104
D) -105
D) -106
19. El número de términos de la sucesión: 6; 15; 28; 45; …; 1891 , es: A) 26
B) 30
C) 36
D) 24
D) 25
20. Al tratar de calcular el término enésimo de una sucesión, un estudiante comete un error y obtiene t n = 4n2 – 8n +3 que corresponde sólo a los términos de lugar impar. Otro estudiante, sobre la misma sucesión, comete otro error y obtiene tn = 4n2 - 4n que corresponde sólo a los términos de lugar par. Determine el término enésimo en dicha sucesión. A) tn = 4n2 - 5n B) tn = 3n2 - 4n C) tn = n2 – 2n D) tn = 2n2 – n E) tn = n2 - n
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ANALOGÍAS, DISTRIBUCIONES, VERDADES, MENTIRAS Y PARENTESCOS
UNIDAD Nº 06
6.1. ANALOGÍAS NUMÉRICAS: Tiene como objetivo averiguar la capacidad y rapidez de las personas, para encontrar las relaciones operativas entre determinados números.
Veraces: Son los personajes que siempre formulan o dicen enunciados verdaderos. Mentirosos: Son los personajes que siempre formulan enunciados falsos. 6.4. RELACIÒN DE PARENTESCO: Las relaciones familiares o de parentesco se usan para elaborar problemas que tiene la capacidad de relacionar y ordenar información. Para su solución es útil hacer un esquema o grafico que nos ayude a ordenar la información dada A. RELACIÓN FAMILIAR:
Medios 1ra fila
........... (
) ..........
2da fila
........... (
) ..........
3ra fila
........... (
) ..........
Son las relaciones entre integrantes de una familia. B. NÚMERO
DE INTEGRANTES DE UNA FAMILIA: Consiste generalmente en hallar la cantidad mínima de personas que integran la familia.
. Extremos 6.1.1. CLASES DE ANALOGÍAS:
En base a su estructura, puede haber 2 tipos de analogías: A. ANALOGÍAS NUMÉRICAS SIMPLES: Se caracterizan por poseer únicamente 2 filas, la primera de las cuales actúa como dato, mientras que en la segunda está el término medio buscado. B. ANALOGÍAS NUMÉRICAS COMPLEJAS: Aquellas que constan de 3 filas, en la tercera de las cuales se encuentra el medio buscado. C. ANALOGÍAS GRAFONUMÉRICAS: Aquellas que consisten en una serie de ordenamientos en figuras o gráficos de diversa índole, manteniendo relaciones analógicas en un número central o en uno de los extremos, que es el medio buscado.
6.2. DISTRIBUCIONES NUMÉRICAS Son aquellas disposiciones de números colocados generalmente en filas y columnas, pero a diferencia de las analogías estas no presentan paréntesis en la parte central y la incógnita no se encuentra necesariamente en el medio. 6.3. PROBLEMAS SOBRE VERDADES Y MENTIRAS: El tema de verdades y mentiras permite descifrar acertijos sobre veraces y mentirosos, es decir, identificar a los personajes hipotéticos que dicen siempre la verdad o siempre mienten, a partir de sus afirmaciones o de terceros. Para identificar a los personajes hipotéticos, utilizaremos el razonamiento por contradicción. Recuerda de dos proposiciones contradictorias una tiene que ser verdadera y la otra falsa
143
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO PREGUNTAS PROPUESTAS N° 06 1. Carlos, Enrique, Manuel, Juan y William participaron en una gran Maraton. Al preguntarles quien fue el ganador ellos respondieron: Carlos: Gano Enrique Enrique: Gano Manuel Manuel: Gano William Juan: Yo no gane William: Manuel miente cuando dice que yo gane Si uno de ellos es el ganador y solo uno dice la verdad, entonces el que gano la competencia es: A) Carlos B) Enrique C) Manuel D) Juan E) William 2. El número que falta es: 25 (20) 15 (75) 3 ( ) A) 4
B) 2
4 25 5 D) 3
A) 81
B) 10
C) 49
9 36 x D) 72
E) 90
5. Hay un solo anillo y tres cajas cerradas de diferente color, rotuladas con los siguientes enunciados: Caja ploma: El anillo no está aquí Caja negra: El anillo no está en la caja marrón Caja marrón: El anillo está aquí. Si solo uno de los enunciados es verdadero, entonces es cierto que: A) En ninguna de las cajas está el anillo. B) El anillo no está en la caja ploma. C) El anillo está en la caja marrón. D) El anillo está en la caja ploma. E) El anillo está en la caja negra. 6. El valor de x es: 5 7 3 A) 10
B) 2
3 4 1
D) 4
A) D)
D) 1
E) 5
2 1
B) 4 E)
C)
11. Cuatro niños tienen 4; 6; 8 y 10 canicas cada uno. Ellos dijeron los siguiente: Andrés: yo tengo 4 canicas Benito: yo tengo 10 canicas. Carlos: Andrés tiene 8 canicas. Daniel: yo tengo 8 canicas. Si solo uno de ellos miente y los otros dicen la verdad, entonces la suma de las cantidades que tienen Andrés, Benito y Carlos, es: A) 18
B) 20
C) 22
D) 24
E) 26
12. El valor de x es:
B) 159
C) 165
D) 176
E) 181
13. Manuel, Carlos y Edwin son tres amigos. Se sabe que dos de ellos pesan 55 kg y siempre mienten, mientras que el peso de la tercera persona es 64kg i siempre dice la verdad. Si Carlos afirma: Manuel no pesa 55 kg, Entonces la proposición correcta es:
E) 0
I. II. III. IV. V. A) I
144
C) 7
9. El parentesco que tiene conmigo el esposo de la abuela paterna del hijo de mi único hermano, es: A) Mi hermano B) Mi primo C) Mi padre D) Mi abuelo E) Mi Tío
A) 140
6 9 x C) 3
B) 3
32 16 x
E) 5
4. El valor de “X” es: 2 3 4
A) 2
8 2 3
( (x)
C) 1
0 1 2
8. El valor de x es: 12 4 2
10. El valor de X es:
3. La comadre de la madrina del sobrino de mi hermana es: A) Mi esposa B) Mi prima C) Mi sobrina D) Mi tía E) Mi madre
1 2 3
7. Una familia consta de 2 padres, 2 madres, 4 hijos, 2 hermanos, 1 hermana, 1 abuelo, 1 abuela, 2 nietos, 1 nieta, 2 esposos, 1 nuera. El número de personas que como mínimo hay, es: A) 7 B) 9 C) 11 D) 14 E) 16
Carlos y Edwin mienten. Manuel y Carlos pesan 119kg juntos. Edwin pesa 64 kg. Manuel dice la verdad. Carlos no pesa 55 kg B) II
C) III
D) IV
E) V
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO 14. Determine el valor que falta, en : 75 36 18
20. El valor de x , es:
(9) 25 (6) 18 ( ) 6
A) 12
B) 14
C) 10
D) 15
E) 9
15. El parentesco que tiene conmigo la hija de la nuera de la mama de mi madre, es: A) Mi tía B) Mi prima C) Mi sobrina D) Mi madre E) No somos parientes
A) 256
B) 64
C) 49
D) 81
E) 121
16. El valor que falta es: 500 100 19 A) 7
100 60 20 B) 5
19 11 C) 3
D) 2
E) 1
17. En un pueblo hay dos razas; los honestos, que siempre dicen la verdad, y los ladrones, que siempre mienten. Un día un turista llega de visita y encontró tres pueblerinos, y al preguntarles por su raza, ellos respondieron lo siguiente: Primero: dos de nosotros somos honestos. Segundo: No es cierto, solo uno de nosotros es honesto. Tercero: Lo que dice el segundo es verdad. Entonces el número de honestos es: A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) Falta información. 18. El número que falta, es:
A) 2
B) 3
C) 1
D) 4
E) 5
19. Dos personas se encuentran dialogando: una de ellas le dice a la otra: yo soy el hijo de la única nuera de tu madre, y la otra responde: si pero yo no soy tu padre. Entonces la relación de parentesco que existe entre los padres de dichas personas es: A) Primos B) Sobrino-Tío C) Cuñados D) Hijo-Padre E) Nieto-Abuelo
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO Ejemplos de aplicación: UNIDAD Nº 07
PLANTEO DE ECUACIONES
DEFINICIÓN: Es la destreza para traducir un problema dada en forma escrita, al lenguaje matemático
Enunciado del problema
Leer Interpretar Simbolizar
FORMA ESCRITA (VERBAL) El triple de un número El tercio de un número El cubo de un número “n” veces tu edad La inversa de un número El doble del recíproco de A
Ecuaciòn (Lenguaje Matemàtico)
FORMA SIMBÓLICA 3.x 1 3
x
1.- Milagros dice: “ Gasté los 2/7 de lo que tenía y S/. 20 más, quedándome con la quinta parte de lo que tenía y S/.16 más. La cantidad de dinero que tenía Milagro, es: A) 38
B) 43
C) 70
E) 96
Resolución: →Sea “x” el dinero que tenía Milagros. →Si gasta los 2/7 de lo que tenía y S/.20 más, le quedan.
2 x x 20 7
5 7
x 20..............I
Por otro lado :
3
x n.x 1
x
2.
1
1A
5
x 16.......... ... II
El quíntuplo de un número aumentado en 10 Un número disminuido en 4 La suma de dos números El producto de dos números
5x + 10
De I y II :
x–4 x+y x.y
5
El doble de la tercera parte de un número
2. X3
→x = 70
7 es a x como 4 es a 9 Los 3/5 de un número es 6 El triple de un número, disminuido en 5 Se resta un número a 9 Se resta de un número 9 El doble de un número más otro El doble de un número restado de otro El número de fresas excede al de moras en 8 La suma de tres números consecutivos El producto de dos números pares consecutivos El exceso A sobre B Un número excede en 7 a otro número Un número es mayor en 8, con respecto a otro Un número es menor en 12 con respecto a otro El cuadrado de la diferencia de dos números El cuadrado de un número, disminuido en 7 Un número excede a 18 A es tres veces más que B
7/x = 4/9 (3/5) x = 6 3x – 5
Milagros tenia S/ 70
146
D) 58
7
9–x x–9 2x + y
x 20
1 5
16
Respuesta C 2.- Divide 1000 en dos partes tales que si de los 5/6 de la primera se resta 1/4 de la segunda se obtiene 10. Calcula la segunda parte:
y – 2x F– M = 8
A) 760
x + (x+1) + (x +2)
Resolución:
x . (x + 2) A–B x–7=y
Sea :
B)437
Pr imera Segunda
C)862
D)387
E)965
parte x parte y
A–8=B
x y 1000.... I
y – x = 12
Del enunciado planteamos las siguientes ecuaciones:
(x – y)
2
x2 – 7 x – 18 A = B + 3B
5 6
x
1 4
y 10.... II
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO Obtenemos: 10 5 1 4 x 4 y 4 (10 ) x y 40 .... III 6 4 3
PREGUNTAS PROPUESTAS N°07 1.
La suma de los dígitos de un número de dos dígitos es 8. Si los dígitos se intercambian, el número que resulta es 18 menos que el número dado. Calcular el producto de las cifras de dicho número. A)13 B)15 C)18 D)20 E)24
2.
Dos cilindros contienen un total de 688 galones de aceite. Si se saca ¼ del contenido del primero y 2/5 del segundo, quedan 30 galones más en el primero que en el segundo. El número de galones que hay en el segundo, es: A)328 B)238 C)360 D)306 E)382
3.
Se tiene un examen de 350 preguntas de las cuales 50 son de matemáticas, suponiendo que cada pregunta de matemáticas se dé el doble de tiempo que a cada pregunta no relacionada, con esta materia. El tiempo que se demorará en resolver matemáticas si el examen dura tres horas, es: A)45 min B)52 min C)62 min D)60 min E)420 min
4.
Para ensamblar 50 vehículos, entre bicicletas, motocicletas y automóviles, se utilizaron entre otros elementos 38 motores y 148 llantas. El número de motocicletas que se ensambló, fue: A)10 B)12 C)14 D)16 E)24
5.
Si a un número le agregamos un tercio de su valor, luego este resultado lo multiplicamos por un octavo del número inicial y por último a este resultado se le quita un sexto del número inicial. Si el resultado de toda esta operación es 2. El número inicial, es:
Sumamos las ecuaciones I y III x
10 3 x 3
x 1040
80
x 240
Reemplazamos el valor de x = 240 en I 240 y 1000 y 760
Luego : La segunda parte es 760
A)5 D)
B)4
3
1 3
C)
4
1 4
E)3
6.
Hoy gané S/.1 más que ayer y lo que he ganado en los dos días es 25 soles más que los 2/5 de los que gané ayer. La cantidad que gané ayer, es: A)S/.15 B)S/.16 C)S/.14 D)S/.17 E)S/.13
7.
Pedro piensa : Si compro “x” cigarrillos me sobrarían “S” soles; pero s compro “S” cigarrillos necesito “B” soles más. La cantidad de dinero que tiene Pedro, es: 2 ( xB S ) ( BS S ) A)S-X B) C) (S x) x D)
2 ( xB S ) (S x)
E)B-S
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO 8.
El vendedor de Artículos “A”, propone vender cada uno al precio de (x + y)2 soles con lo cual obtendrá una ganancia de 12xy soles; pero si vendiese a (xy)2 soles cada uno perdería 4xy soles. El número de artículos que posee, es: A)2 B)3 C)4 D)5 E)6
9.
Tengo cierto número de amigos que se reunieron con el fin de juntar dinero para hacerme un regalo , mientras hablaban acerca de cuánto dinero pondría cada uno , oímos las palabras de dos de ellos. Victor : Si cada uno pone “m-n” soles, nos va faltar “2x+3y” soles para comprar el regalo. Roberto : Antes de que nos falte, mejor es que nos sobre y por eso sugiero que cada uno contribuya con “m + n” soles y a si únicamente nos sobrara “3x-2y” soles. Entonces el número de amigos, es :
5x y n 5x 2 y D) 2n
A)
B)
3x 2 y mn 5x y E) 2n
C)
10 x 2 y 4n
10. Si por 200 soles dieran 6 pelotas mas de las que dan, la docena costaría. s/90. El precio de cada pelota, es: A)s/10 B)s/20 C)s/30 D)s/50 E)s/60 11. Marria reparte 26 chocotejas entre sus 4 sobrinas. Comen cada una de las cuatro, varias chocotejas. Al cabo de una hora Maria comprueba que le queda a cada uno el mismo número. Si la mayor habrá comido tantos como la tercera; la segunda comió la mitad de su número inicial y la cuarta comió tantos como los otras tres juntas . Entonces el número de caramelos que recibió la menor de los sobrinos. A)10 B)13 C)15 D)23 E)47 12. Una persona ha pedido 15 artículos A , 8 artículos B y 9 artículos C, pensando pagar s/1084. Por error se le envía 10 artículos A , 10 artículos B y 9 artículos C, con lo cual debe pagar s/1039. Pero para que el exceso en articulo B no se devuelva se acurda que únicamente se pague los 6/7 del valor de este exceso, pagando en total s/1029. Determine el costo del artículo C A)S/ 50 B)S/ 51 C)S/ 52 D)S/ 53 E)S/ 54 13. Un hospital atiende 300 pacientes por día, a partir de las 9 am, si cada 15 minutos salen 11 pacientes atendidos .Entonces la hora en el que el número de pacientes que faltan atender divide exactamente al número de pacientes atendidos , es: A)3:15 pm B)3:00 pm C)4.30 pm D)2.45 pm E)2.15 pm
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14. Con 518,7 soles se compraron aves entre pavos a 16,15 soles cada uno, gallina a 12,35 soles cada uno y pollos a 11,05 soles cada uno entonces el número de aves que se compraron, es: A)34 B)36 C)38 D)40 E)42 15. Si te doy lo que a ti te falta para tener lo yo tengo, y tú me das todo lo que te pido, que es lo que me falta para tener el doble de lo que tú tienes; resulta que lo mío es a lo tuyo como 5 es 4. Entonces en que relación se encontraban lo que teníamos inicialmente 11 11 11 11 B) C) D) A) 10 7 9 3 E)
11 5
16. Luego de tres partidas de naipes, Maria le dice a Lucero: ”Solo me queda la mitad de lo que tu tenías cuando yo tenía lo que tu tuviste cuando tuve s/ 20.Si lo que tu tenías(cuando tenías lo que ya te dije y lo que hoy tienes suman s/ 70 . Entonces la diferencia de los dineros que tienen Maria y Lucero al final de la tercera partida A)S/.40 B) S/.25 C) S/.30 D)S/.37 E)S/.30 17. Un hombre puede viajar diariamente por tren o por ómnibus. Si va a trabajar por tren en la mañana, el regresa a casa con ómnibus por la tarde; y si regresa a casa por la tarde en tren, el toma el ómnibus en la mañana. Durante “X” días el hombre empleo 9 veces el tren, y el ómnibus lo empleo 8 veces en la mañana y 15 veces en la tarde. Entonces el valor de “X” A) 8 B) 9 C)14 D)15 E) 16 18. En el día de los enamorados un ratoncito sale de su hueco hacia el hueco de su ratoncita dando alegres saltos de 11 cm, al encontrarla con otro regresa dando tristes saltos de 7 cm, pero habiendo recorrido en total 1,23m se detiene a suicidarse. Entonces la distancia que le faltaba aun por recorrer, es: A)26cm B)30cm C)20cm D)32cm E)53cm 19. “Regocijandose los monos, divididos en dos bandos, su octava parte al cuadrado en el bosque se solazan, doce con alegres gritos, atronando el campo están” Entonces el número de monos que hay en la manada en total, si son ms de veinte A)16 B)40 C)42 D)48 E)50
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO 20. Si la altura “h” de un triángulo se aumenta en una longitud “m” .Entonces en cuanto debe disminuir la base “b” del triángulo original, de modo que el área del nuevo triangulo sea la mitad del área del triángulo original. bh bm b (2 m h) B) C) A) hm 2 ( h m) mh
D)
b( m h) 2m h
E)
b( 2 m h) 2( h m )
UNIDAD Nº 08
EDADES
Los problemas de este tipo corresponden al desarrollo de Planteo de Ecuaciones en la aplicación a los problemas sobre edades. 8.1 NOCIONES PREVIAS En los problemas sobre edades intervienen: sujetos, tiempos y edades. 8.1.1 Sujetos.- Son los protagonistas del problema,
y reconocer el número de personas que intervienen. 8.1.2 Tiempo.- Es uno de los elementos más
importantes, pues las edades varían según pasado los años, entonces habrán varios tiempos a los cuales corresponden diferentes edades. Los Tiempos pueden ser:
Presente: Tengo, tienes, tenemos, mi edad es, la suma de nuestras edades es,….
Pasado: Tenía, tenías, tuviste, tuvimos, hace x años la edad de, cuando él tenía, era,.......
Futuro: Tendré, dentro de x años la edad de, si tuviésemos, cuando tú tengas, tendremos,.......
8.1.3 Edad.- Rrepresenta el tiempo de vida de un
sujeto. Podemos expresarlos en años, meses o días. 8.2 TIPOS DE PROBLEMAS Para una mejor resolución de los problemas, clasificaremos los problemas en 2 tipos: 8.2.1 Con un solo sujeto.- Es cuando interviene la
edad de un solo sujeto. 8.2.2 Con varios sujetos.- Es cuando intervienen
las edades de dos o más sujetos. En este tipo de problemas es recomendable utilizar un cuadro de doble entrada.
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO Se dan dos propiedades: i) La diferencia de las edades de dos personas en el transcurso del tiempo es constante. ii) La suma en forma de aspa(X) de edades ubicadas simétricamente son iguales. RELACIÓN CON EL AÑO DE NACIMIENTO Para toda persona, se cumple que la relación de su edad actual, su año de nacimiento y el año actual es el siguiente:
Cuando una persona ya cumplió años en el presente:
Año de Nacimiento + Edad Actual=Año Actual
Cuando una persona aún no cumple años en el presente:
Año de Nacimiento + Edad Actual=Año Actual Nota: Asumiremos como año actual al año en que nos remite como referencia las condiciones del problema.
PREGUNTAS PROPUESTAS N°08
1. Dentro de 20 años, la edad de Rosario será a la de Dina como 4 es a 3. Si hace 13 años la edad de Rosario era el quíntuplo de la de Dina entonces la edad de cada una de ellas es : A) 26años y 16 años B) 28años y 16 años C)16 años y 28años D)30años y 18años E) 32años y 20 años 2. Si al doble de mi edad actual, se le quita mi edad aumentada en 10, se tendría 19. La edad que tengo es : A) 20años B) 23años C) 25años D) 27años E) 29años 3. La tercera parte de la edad de María es 13 años más que la edad de Norma y el quíntuplo de la edad de Norma es 25 años menos que la edad de María. La edad de Norma es : A) 10años B) 9años C) 8años D) 7años E) 19años 4. Lady y su abuelita tenían en 1928 tantos años como indica las dos últimas cifras del año de su nacimiento .La edad de la abuelita cuando nació Lady es : A) 30años B) 40años C) 50años D) 70años E) 90años 5. Elsa es 6 años más joven que Iván. Hace 3 años Ivan tenía el triple de la edad que Elsa tenía entonces. Encontrar la edad de Ivan. A) 10años B) 11años C) 12años D) 13años E) 14años 6. Juan tiene 2 años más que su hermano Roberto y la edad del padre es el cuádruplo de la edad de su hijo Roberto. Si hace 5 años la suma de las edades de los tres era 47 años. La edad actual del Padre es : A) 20años B) 25años C) 30años D) 40años E) 44años 7. Romeo le dice a Julieta: Tú tienes 18 años pero cuando tu tengas la edad que yo tengo, la suma de nuestras edades será 48 años. La edad que tendrá Romeo dentro de 8 años es : A) 15años B) 30años C) 45años D) 48años E) 54años 8.
Tania le dice a Alexa: “Cuando tu tenías 7 años
menos de la edad que yo tengo, yo tenía 3 años menos de la edad que tú tienes y cuando tenga el doble de la edad que tú tienes, nuestras edades sumarán 66 años. La edad que tiene Tania es : A) 20años B) 18años C) 16años D) 14años E) 12años
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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO 9. Dentro de 8 años la suma de nuestras edades será 42 años; pero hace “n” años la diferencia de nuestras edades era de 8 años. Los años en que la edad de uno era el triple de la del otro es : A) 5años B) 10años C) 15años D) 20años E) 25años
16. La edad que tendré dentro de “x” años es a lo que tenía hace “x” años como 14 es 3. Si actualmente tengo 34 años .La edad tendré dentro de x/2 años es: A) 45a B) 40a C) 38a D) 48a E) 54a
10. Saúl le dice a Paul: Tengo el triple de la edad que tu tenías cuando yo tenía la mitad de la edad que tienes y cuando tengas la edad que tengo, yo tendré el doble de la edad que tenías hace 12 años. La suma de nuestras edades es : A) 20años B) 24años C) 28años D) 32años E) 36años
17. Las edades de una pareja de casados suman 83 años. Si se casaron hace 14 años y la edad dela novia era los 5/6 de la del novio. La suma de las edades cuando transcurran tantos años como la diferencia de las edades es : A) 103 años B) 98años C) 108 años D) 93 años E) 113 años
11. Artemio nació en el siglo XIX, y en el año 1984 su edad será igual al número formado por las últimas cifras del año de su nacimiento. La suma de las cifras del año de su nacimiento es: A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 18
18. La edad de un niño será dentro de tres años un cuadrado perfecto, y hace tres años que su edad era precisamente la raíz cuadrada de este mismo cuadrado. La edad que tiene es: A) 2 años B) 4 años C ) 6 años D)1 6 años E) 22 años
12. Cuando Alex le preguntó a Rocío por la edad que tenía, está respondió: tengo el triple de la edad que tu tenías cuando yo tenía la mitad de la edad que tienes y cuando tengas la edad que tengo, tendré tanto como la edad que tendrás dentro de ocho años. La edad de Rocío es: A) 32años B) 34 años C) 36 años D) 40 años E) 72 años 13. La diferencia de los cuadrados de las edades de Lucy y Mary es 49; si Mary le lleva por una año a Lucy, Los años deben pasar para que la edad de Lucy sea un cuadrado perfecto por séptima vez en su vida es: A) 92años B) 94 años C) 96 años D) 97 años E) 100años
A) 2años B) 4 años E) 12 años
C ) 6 años
D )1 0 años
19. Él tiene la edad que ella tenía cuando él tenía la tercera parte de la edad que ella tiene. Si ella tiene 8 años más que él. La edad que tiene ella es: A) 22años B) 24años C ) 36 años D)4 6 años E) 52 años 20. Las edades de Víctor y Maribel son como 3 es a 2, si hace 4 años estaban en relación de 5 a 3. Dentro de cuántos años estarán en relación de 4 a 3 : A) 8años B) 14años C )16 años D)6 años E) 2 años
14. Yo tengo el triple de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes. Cuando tú tengas mi edad actual, entre los dos tendremos 112 años. La edad que tengo es: A) 42años B) 44 años C ) 46 años D) 48 años E) 45 años 15. Un hombre fue metido en la cárcel. Para que su castigo fuera más duro no le dijeron cuánto tiempo tendría que estar allí dentro. Pero el carcelero era un tipo muy decente, y el preso le había caído bien. Preso: Vamos, ¿no puedes darme una pequeña pista sobre el tiempo que tendré que estar en este lugar? Carcelero:¿Cuántos años tienes? Preso: Veinticinco. Carcelero: Yo tengo cincuenta y cuatro. Dime, ¿qué día naciste? Preso: Hoy es mi cumpleaños. Carcelero: Increíble. ¡También es el mío! Bueno, por si te sirve de ayuda te diré (no es que deba, pero lo haré) que el día en que yo sea exactamente el doble de viejo que tú, ese día saldrás. La condena del preso dura: 151
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