azonament Mate temáti tico
R
A sociación E du cativa FL O R E S Tercera E d ició n , 2 01 2 . Todo To do s los D erech erechos os R eservad eservad o s. E sta pub p ub licació n n o p u ed e ser rep ro du cid a, ni en to d o ni en pa rte, n i regi eg istrad a en , o tran sm itid a p o r, u n sistem a d e recuper ecup eraci ación de inform nform ación , en ningun ng un a form form a y po r n in gú n m edi ed io, sea m ecán ecá n ico, fo to q u ím ico, electró n ico, m agn ag n éti ético, electr ectro ó p tico, p o r fo to cop co p ia, o cu alq u ier o tro, sin el p erm iso p revi ev io d e la e ed d ito rial.
Raz. M at em át i co
I N T R O D U C C I ÓN ÓN D esd esd e el p rim er in stan te en q ue a pa reció el h om bre, bre, to d o su pequ pe qu eño eñ o m un d o circun d an te le est estaba ab a hab h abl lan do de M atem atem áti ática :la di stancia de su cueva al r í o, el gr up o d e anim ales que veía, la altu ra para p ara alcan zar lo s fruto s silvestres ; y en e n fin , to d o cuan cu an to le rod eab ea b a n o h acía sin o con co n d u cirlo p o r u n cam in o in evit evitab le : calcul cu lar, ar, con co n tar, ar, m edi ed ir, com co m p arar, es deci d ecir, razon azo n ar m atem atem áticam ent en te. H abí ab ía naci n acid o, p u es, la M atem atem áti ática ju nto nto con el h o m b re; n o p o rqu e el h o m bre bre la hu h u bier biera a in ven tado, ad o, sin o p o rqu e es in h erent eren te al a l len gu aje d e la n atu atu raleza. E lvo cab lo razon ar, ar, sign ifica o rd enar en ar las id eas ea s y d edu ed u cir con co n secuen secue n cias o co n clu sio n es. D e m an era era q u e e el lRazonamiento M atem ate m ático ti co será será el e l d iscu scu rrir p o r ciert erto s cam in o s ajeno en o s a lo s conve con ven n cio n ales ha ciend en d o u so d e la M atem atem áti ática. L a cur cu rio sid ad y la n ecesid ad h an sid o lo s acicates cates qu e, a tr través av és del de ltiem p o, h an im p u lsado sad o al h o m b re a fo rm u lar respu estas y a d ar so lu cio n es. E s así q u e, d e m an era era i in n vo lu n taria, su rge el Razonam iento ien to M atemá atem ático ; com o aqu a qu el cam ino qu e nos n os perm ite con du cirno s a través de m ed io s d iver ve rsos sos a lo s con co n ven ve n cio n ales. P o r ejem p lo, u tilizand zan d o art a rtificio s,atajo s,regl eg las p rácticas, ca s,etc. etc. S ien d o la m atem ática u n va v asto cam po de es e stud io y elRazonam iento ien to M atemático part p arte d e el e lla, éste resulta u n a h erram ien ta q u e d ifiere de d e lo s m an ejo s hab ha b itu ales, p or lo cual cua l, segm ent en tarem arem o s su co n teni en id o en d eterm erm inad na d o s ítem s d e estu d io. H em o s alud id o a la cu rio sid ad y n ecesid ad com o estím ulo o incen tivo p ara ara el e lho m bre en ellogr og ro d e ciert ertas m etas. E s est esta m ism a n necesi ecesid ad q u e in spiró a lo s d o cent cen tes en este trab ajo. R esul esu lta sin gu larm en te e espe speci cial q u e la p u b licació cació n d el p resen te m ateri aterial coi co in cid a co n la cel ce leb raci ac ió n d el vigési gé sim o q u in to ani an ivers versari ario d e la O rgan ización T R IL C E en elám bit bito educa ed ucat tivo. N u estra in in stitu ció n com co m p ro m etid a p o r b rin d ar elm ejo r servicio a sus su s edu can d o s,y en e n el m arco d e las festivid ad es de d e sus ien to M atemático . efem efem érid es, tien e la satisfacci ac ció n d e h acer ace r llegar eg ar a la co c o m u n id ad estu d ian tilel p resen te vo v o lu m en d e Razonam iento E lin terés erés qu e no n o s ani an im a al po n er en tu s m ano an o s este vo lu m en es evid ent en tem ent en te acad ém ico; in terés erés qu e asum e la no n o tabl ab le im p o rtan cia y tr trascend ascen d enci en cia qu q u e alcan za elcon co n o cim ient en to d elRazonam iento ien to M atemá atem ático act actu alm en te; in terés erés que qu e pr p retend en d e col co lm ar tu s exp ectati ativas va s en razón d e las di d ificul cu ltad es qu q u e se en e n cuen cu ent tran en elcom co m p lejo cam in o al con co n o cim ien to d e és é sta m ater ateri ia; in terés erés en ti y en to d o s lo s alu m n o s q u e p pr retend en d en y t ti ienen en en la t ten enaz az con vicció n d e a ab b rirse paso pa so en el fascin an te á ám m b ito d elRazonamiento M atem ático ti co . E ltexto exto h a sido p ens en sad o y elabo ab o rad o en razón d e tu s exigen tes necesid ad es,p or lo qu e esperam o s que qu e se trad u zca en el texto exto id ó neo ne o y com co m p añ ero ero in separ ep arab abl le en el p ro ceso ceso d e tu p repar ep araci ació n. L o fro n d o so y lo com co m p lejo d e n u estra m ater ateri ia d e e est stu d io n o s lleva a d istrib u ir sus con co n teni en id o s agrup án d o lo s de la sigu ien te m anera anera : Razonam Razonam iento L ógico, ógico, Razonam Razonam iento Algebr aico, Razonami ento Ar itm é tico, Razonam iento Geom é trico, Razonam Razonam iento Abstracto . R esul esu lta e evi vid en te, p u es, la a am m p litu d d e lo s con co n ten id o s y la co m p lejid ad d e lo s tem as, p o r lo q u e el trab ajo d e r reso esol lu ció n ten d rá co m o sop o rte un u n a p u n tu al y pr p recisa ref referen erenci cia teó teó rica p ara ot o to rgar ga r solven ve n cia a la sol so lu ció n a la qu q u e se arrib e. E lp resent esen te tr trab ajo p retend en d e, p o r end en d e, con co n ver ve rtirse en elm an u alq u e p erm erm ita co m p lem ent en tar eltrab ajo en elau la y fu era era d e la m ism a, en la p reparaci ep aració n acad aca d ém ica, y ser eltexto exto en el q u e e en n cuen cu ent tres, tan to en el aspect aspe cto teór eó rico com co m o p rácti áctico, el ap o yo y so p o rte q u e n ecesitas.
TRILCE
C ap ítulo
OR DEN D E INFO INFORR M ACI N E n este cap ítu lo n o s enco en con n trarem o s con co n d iverso verso s tip o s d e ejerci ercicio s en cuya cu ya resolu ció n d ebem eb em o s tener en er en cuen cu ent ta siem p re lo sigu ien te : 1. 2.
La infor nform m ación qu e no s da el prob prob lem a necesi necesita ser ser orden orden ada . S e deb d ebe e veri verificar qu e la respu respuest esta fin al qu e hal h allem o s cum p la con co n las co co n d icio n es d el p ro blem a.
H em o s divid id o elp resent esen te cap ca p ítu lo d e m o d o q u e sea fácilid ent en tificar eltip o d e o rd enam en am ient en to y las reg regl las qu q u e d ebes eb es respe respet tar p ara su resol eso lu ció n . E sta d ivisi visió n es la sigu ien te : A. B. C. D. E ..
O rdenam iento Lineal. O rdenam iento C ircular. R elación de d atos (cuad ros de afi afirm acion es) es). P rincipio de Su po sición . R elacion es Fam iliares ares. .
A.
O RD R D EN E N A MI M I EN EN TO TO L I NE NE A L a ) O r d e n am am i en en t o C r e c i en en t e o D e cr c r e ci ci en en t e : E n estos prob prob lem as encon trarem arem os elem entos entos relacion ado s de m ayor a m eno r o d e m ás a m eno s. P ara ara e es sto s pro pro blem as debe de bem m o s tener en er en cuent cue nta a lo sigui gu ient en te : D ecir : "A " no es m ayo r qu e "B "B ". E qu ivale a q ue "A " pu ede ed e ser ser m enor en or o igual gu al qu e "B "B ": D ecir : "A " no es m enor en or que "B" "B " E qu ivale a q ue "A " pu ede ser m ayo r o igual gu al qu e "B "B ".
Ejemplo 1 : La ciud ad X tien e más habitan tes que la ciud ad W. La ciud ad W tiene m enos habitantes que la ciudad Y pero más qu e la ciud ad Z. Si X tien e meno s habitan hab itan tes qu e Y. Y. ¿Quéciud ad tien e más habitan hab itan tes?
a) X
b) Y
c) W
d) Z
e) N i n gu n a
Ejemplo 2 : Sabiendo que : Ricardo n o es mayor qu e Miguel. * Ricardo * And rea no es mayor que Tito. * Tito no es el mayor. * Jackie es mayo r qu e Ricardo. Ricardo. * Tito es mayo r qu e Jackie. Jackie. ¿Cuáles de las siguien tes afir m acion es son correctas? cor rectas? I. M iguel es el mayor. II. Ricardo es el menor. III. Jackie Jackie es mayor que An drea.
a) S ól o I
b ) S ólo I I
c) I y I I
d ) S ól o I I I
e) N i n gu n a
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R az. M atemático
b . O r d e n am am i en e n t o L a t er er a l : L os prob prob lem as de "Ord enamiento Lateral " son fáciles de d e id id en tificar pu es no n o s presen present tarán elem en to s orden ad o s de la sigu ient en te m an era era : Izq zqu u ierd erda a
D er e rech echa a
O este
E ste
O ccid en ent te
O rien te
D ebem os tener pres presen ent te : * "A " está a la d erech erecha a d e "B "B " es diferen erent te d ecir qu e "A "A " está jun to y a la d erech erecha a d e "B "B ". * "A " está e en n tre " "B B "y " "C C " n o n ecesari ecesariam ent en te sign ifica q u e " "A A " estará en el m ed io y ju n to a e el llo s (ad yacen ya cent tes).
Ejemplo 3 : En u na carrera intervienen 7 participantes. participantes. L os jueces jueces determinan que no puede haber em pates. pates. Sabiendo Sabiendo que: esto d etrás de M anuel. * L ucho llegó 1 pu esto * Nan cy ll egó 2 p uestos detr ás de Katty. K atty. l legó 5 p uestos detr ás de M anu el. * Percy llegó * Qu ique iq ue llegó l legó 1 p uesto d etrás de Percy. Percy. Lu ego, Roberto ll egó: egó:
a) E n tr e M an an u el y K at ty. d ) D esp u é s d e Per cy.
b ) En tr e N an cy y K atty. e) A n tes d e M an an u el .
c) D o s p u esto s d etr ás d e N an cy.
Ejemplo 4 : Un postulante a la U.N.M .S.M . compr a 6 libr os y los ubica en en un estante estante de su su bib lioteca. lioteca. A d em ás : tica está estássiemp re ju nto y a la i zquier da d el de Álgebra. * El l ibr o d e Ar itm é * El li bro de Fí sica sica está estássiemp re ju nto y a la izqu ierd a del li br o d e R.M . * El l ibr o d e Geom etrí a está estáa a la izqu ierd a del de Álgebra. * El l ibro ib ro de Trigo no m etría estáa estáa la derecha d erecha d el d e Ar itm é tica y a la izqu i zquierd ierd a del lib ro de Física. Ind icar (V) o (F) según según cor respond a : E l l i b r o q u e e stáa l a d er ech a d e l o s d em ás, es el l i b r o d e R. M . ( ) * * El libro libro que estáa la izqui izquie erda de los los demá demás, es es el lib libro ro de de Aritmé Aritmé tic tica. ( ) * El cuart uarto o libro libro conta ontando de desde el ext extre remo mo dere dereccho es es el libro libro de de Álg Álge ebra. bra. ( ) * El quinto quinto libro libro cont conta ando de desde el extre extremo mo izqui izquier erdo do es es el libro libro de Fí sica. ica. ( ) B.
O RD R D E NA N A M I EN EN TO TO C ER ER R A D O E n es e sto s casos lo s elem ent en tos est estarán arán o rd enad en ad o s d e m an era era qu q u e fo rm en u n a figur gu ra cerr cerrad a. D ebem eb em o s tener en er en cuen ta lo sigui gu ient en te : F D
Fren rent te a “ A ”o d iam etralm en ent te o pu est o B
E
C
A la der d erech echa a de “ A”están “ C ”y “ E”
A Ju n to y a la Jun izq zqu u ierd rda a de “ A ”está “ B”
Ejemplo 5 : Seis amigos se se sientan alred edor de u na m esa esa circular con seis asientos asientos di stri bui dos simé tri camente. Si se sabe sabe qu e : * An a se se sienta sienta jun to y a la derecha de Betsy y frente a Cecilia. sienta ju nto a Betsy. Betsy. * Dani el no se sienta * Eduardo no se sienta sienta junto a C ecilia. ecilia.
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Si Fernan do es el el más anim ani m ado de d e la reuni reu nión. ón. ¿Dónde se sienta? a) E n t re C eci l i a y E d u ar d o. d ) Fr en te a B etsy.
b ) Fr en te a D an i el . e) En tr e C eci l i a y D an i el .
c) En tr e B etsy y C eci l i a.
Ejemplo 6 : Ocho amigos se sientan sientan alrededo r d e un a mesa circul circul ar con ocho asientos distribu ido s sim sim é tricamente. Se sabe sabe que : * Felipe y Glad ys se se sientan jun tos. * Dani el no se sienta jun to a Berenice ni a ssu u izqui erda. * Ana se sienta sienta a la derecha de Bereni ce y a la izquier da de Ena. * Carl os no se se sienta sienta jun to a Ena ni a Glady s. * Hé ctor llegó ll egó un po co retr asado asado a la reu nión. ni ón. * Am igos del mismo sexo no se sientan ju ntos.
FLORES
FLORES
¿Dónde se sienta H é ctor ? a) Fr en te a D an i el . d ) Ju n to a G l ad y s. C.
b ) Ju n to a E n a. e) N o se p r eci sa.
c) En tr e Fel i p e y B er en i ce.
R EL EL A C I ÓN ÓN D E D A TO TO S (C (C U A D R O S D E A FI F I R M A C I O N ES ES ) E n esto s p ro blem as encon en con trarem arem o s elem ent en to s qu e est están relacio n ad o s b ajo u n m ism o p atr atrón p ero ero co n d iferen erent tes caracterí características. ca s. D ebem eb em o s ten er en cu en ta lo sigu ien te : * L a car ca racterí acterística d e " "A A " sólo la ten d rá " "A A "· n o p o d rá exi ex istir o tro e el lem en to co n la m ism a car ca racterí acterística. * L lám ese car ca racterí acterística a lo s distrito s do n d e vi v iven ve n , las fo rm as de d e m o vilizarse, zarse, las carreras profesi profesio n ales qu q u e sigu en , etc. ... Ejemplo 7 : Artu ro, Bru no, Carlos y Dante viven en los siguientes siguientes distritos : Barr anco, anco, L ima, M agdalena agdalena y San Borja, pero no necesariam necesariam ente en ese ese orden . Ad emás cada uno t iene un a ocupación diferente: D ibu jante, Electricista, Period Period ista y Vend Vend edor. Se sabe sabe que : * Artu ro no es Vendedor ni vi ve en en L ima. Period ista vive en Bar ranco. * El Period * Carl os es dib ujante. * El Electricista Electricista vive en L ima y es mu y amigo d e Dante. B ar arr ran anco co
Lim a
M ag agdal dal. Sn. B or orj ja D ibujante
Elec ect tric. Pe Per riodista Vende Vendedor dor
A rtu ro B runo C arlos D ante ¿Quié ¿Qui é n viv e en Bar ran co?
a) A r tu r o. d ) D an te.
b ) B r u n o. e) N o se p u ed e d eter m i n ar.
c) C ar l o s.
Ejemplo 8 Ci nco p ersonas, An drea, dr ea, Carla, Car la, In é s, Jé ssica ssica y Lau ra, tr abajan en u n restaur ante. Du ran te cada turn o, cada persona debe realizar un a de las cinco fun ciones : Cajera, Cocin era, M esera, esera, Recepcionista Recepcionista o Supervisora, d e acuerdo acuerdo a las siguien tes condi ciones :
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R az. M atemático
* * * * *
And rea puede trabajar como Cocinera o Rece Recepcionista pcionista.. Carl a puede trabajar com o Cajera, M esera esera o Recepc Recepcion ion ista. Iné s puede tr abajar com o C ajera, C ocinera o S uper visora. Jé ssica ssica pued e trabaj ar com o Cocin C ocin era o Su per visor a. Lau ra puede trabajar com o M esera esera o Rece Recepcion pcion ista. C ajera
C ocinera
M esera
R ec ecepc epci ionista Super Supervi visor ora a
A ndr ndrea ea In és C arla Jéssi Jé ssica L aur aura a
Si C arla no es asignada asignada par a trabajar com o cajera en un determ inad o tur no, ¿quié n po dr árealizar di cha activid activid ad? I. Andrea.
s. II.In é
ssi ssi ca. III. Jé
IV. Laura .
a) S ólo I .
b ) S ól o I I .
c) S ól o I I I .
d ) S ól o I y I I .
e) S ól o I I I y I V.
Si C arla es asignada asignada p ara trabajar como Cajera en u n d etermi nado tur no, ¿cuá ¿cuáles de las siguientes afirm aciones, con respecto respecto a dicho tu rn o, deben ser verdaderas? I. Andrea será seráas asigna ignada da como Recepc Recepcionis ionista. ta. II. Iné s será seráas asignada ignada com o C ociner a. III. III. L aura será seráas asignada ignada como como M esera. esera. a) S ólo I .
D.
b ) S ólo I I .
c) S ól o I I I .
d ) S ól o I y I I I .
e) S ólo I I y I I I.
P RI RI N CI CI PI P I O D E S UP U P O SI SI C IÓ I ÓN E n esto s pro pro blem as deb em o s sup o n er a m aner an era a d e hi h ip ó tesis la respu respuest esta y ver v eri ificar qu e cum p la co n to do s lo s d ato ato s del de l enu nciado. ad o. P o r lo tan to se trata d e ap a p licar ca r la sigu ien te est e strategi eg ia.
Cuando un probl ema tenga una sola r es espues puesta ta y es esta ta se encuentre en un conjun conjun to pequeñ o de posibi lid lidades, ades, pod emo emoss descartar descartar candi datos a ser solu ción, si al supo ner que alguno d e ellos lo es, llegamo llegamo s a una contradi cc cción. ión. Es Esta ta form a de razonar razonar se llama PRINCIPIO D E SUPOSIC IÓ IÓN N Ejemplo 9 : Un sultán pro puso el siguient siguient e problem a a un reo. "H e aquí aquítres tres cofres : uno ro jo, otro azul y otro b lanco. Cada un o tiene una inscripción : En el r ojo dice : "L a llave de la celda estáen estáen este cofr cofr e". En el azul dice : "L a llave de l a celda no estáen estáen este cofre" El blan co dice : "L a llave de la celda no está estáen en el cofre ro jo" De las tres inscrip cion es, una es cierta. ciert a. Si er es capaz de adiv in ar en cu ál estála estála llav e te dejar élib re" ¿Quécofr e debió deb ió elegir el reo ?.
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EJERCICIOS PROPUESTOS 01 . E n ciert erta prueba, prueba, R osa obtuvo m enos pun tos que M arí aría;Laur La ura a m eno s pu ntos ntos que L ucía;N oem íelm ism o p u n taje qu e Sar S ara; a; R o sa m ás pun pu n taje qu e So S o fía; L aur au ra el m ism o q ue M arí aría y N oem í m ás que L ucía. ¿Q uién ob tuvo uv o el m enor en or punt pu ntaj aje? a) R os osa d ) L au au ra
b ) N oe o em í e) S ar ara
c) S o fía
0 2 . E n u n a carrera era p part articip aron 5 a at tletas : S an d ro, L u is, Iván vá n , R o b ert erto y G ab riel. A ltérm érm in o d e la car ca rrera era cad ca d a u n o llegó en u n p ues ue sto d iferen erent te y se sabe sab e q qu ue : * R ob ert erto llegó a ntes ntes qu e Lu is, pero pero d espu espu és qu e G ab riel. * San dro dro no llegó antes que Iván. * Iván llegó en tercer pu est esto. S eg ú n lo exp u esto, esto, ¿cu áles áles d e las las sigu ien tes afi afirm acio n es son ver v erd d ad eras? eras? I. R ob ert erto llegó en segund egu nd o lugar ug ar. II. Iván vá n llegó an tes qu e L u is. III. S an d ro llegó eg ó en e n q u in to lu gar ga r. a) S ó lo I c) Sólo Iy III e) Só S ó lo III
b ) S ó lo II y III d) Sólo I y II
03 . E n un edificio de 4 p isos viven 4 am igos cada cada un o en u n p iso d iferen te, b ajo las sigu ien tes con co n d icio n es : * Javier n o p u ede ed e su su bir bir las escal escaleras eras por po r razon es d e salu d . * Pabl Pa blo vive en e n el pis piso inm edi ed iato ato su per pe rior al p iso d on d e vive E rick. ¿C u áles de lo s sigu ient en tes enu en u n ciad o s d eben eb en ser siem p re verdaderos? I. C arl arlos vive en el segund egu nd o piso. II. C arlo s vive en el cuart cu arto p iso. III. C arlo s vive en el segun segu n d o o en el cuart cu arto p iso. IV. E rick vi v ive en el tercer p iso. a) Iy II d) IIy III
b )IIIy IV e) Sólo I
c) S ól ólo III
0 4 . Tres Tres am igas ga s : M aría, L u cía e Irene en e viven en u n ed e d ificio d e 5 p isos, d o n d e lo s otr otro s d o s pisos están vací va cío s. S abi ab iend o qu e M arí aría vive m ás arriba qu e Irene y q que ue L u cía, y ad a d yacen ya cent te a lo s do s pisos vacío s. ¿C u áles de d e las sigu ien tes es cor co rrecta? a) b) c) d) e)
M aría v vi ive en en e el ltercer ercer p iso. L u cía vive en el p rim er p iso. E lcuar cua rto p iso está vací v acío. L ucía vive m ás arriba qu e Irene. M arí aría vive en elcuar cua rto p iso.
05 . C uat ua tro herm anos an os viven en un edif edificio d e cuat cua tro pisos. A rtu ro vi v ive en e n el e lp rim er p iso,M ario vive m ás abaj ab ajo q u e Jorge y W illy vive vive u n p iso m ás arr arriba qu e M ari ario. ¿E n q u é pi p iso vive W illy? a) E n el el2 do do. b ) E n el el3 ro. c) E n el el4 to. d ) E n el el1 er ero. e) N o se pu ede d eterm erm inar 06 . C uatr uatro am igos se se si sientan entan a lreded or de u na m esa esa red o n d a en la q u e h ay cu atr atro sillas d istrib u id as sim étricam ent en te: Sabem os que : * Pedro Pedro n o se si sienta jun to a Lu is. * José est está en tretenido enido viend o com o los otr otros tres d iscuten scuten . Segú n est esto po dem os afirm ar : a) b) c) d) e)
José y Juan Jua n se sientan entan jun tos. L u is y Jos Jo sé n no o se s si ient en tan jun to s. N o es ci ciert erto qu e Jos Jo sé y Juan no se sientan entan jun tos. Ped ro se si sient en ta ju n to y a la der d erecha echa d e Jos Jo sé. Ped ro se sienta enta en tre José y Juan Ju an. .
0 7 . C u atr atro am igos go s: Juan Jua n , L u is, Ped Pe d ro y C arl arlos se se si sient en tan alr alred ed o r d e un a m esa circu lar u bicán bicán d o se sim étricam ent en te. Se sabe sabe qu e : * L o s cuatr cuatro u san gor go rro d e d iferen erent te co lo r (azul, ro jo, verd verd e y blan co). * Juan est está f fr rente ente al qu e u us sa go rro rojo. * Pedro Pedro n o se sienta junto unto a Juan. * C arl arlo s,eld e go rro az a zul y eld e go rro verd verd e viven en la m ism a calle. ¿Q u ién está frent en te a L u is y q qu u é col co lo r d e go rro u sa? a) Juan - rojo c) C arlos - azul azul e) Juan Jua n - azul
b) C arlos - blanco anco d) Pedro Pedro - verde
08 . R aú l, C arlo s, Pe d ro y B ru n o ti tien en d iferen eren tes ocu paci pa cion es y se sab sabe e qu e : * R aúl aú ly elgasfitero ero son am a m igos go s del m ecánico. * C arl arlos es am igo del m ecáni ecánico. * E lcom erciante ante es fam ilia d de e B run o. * E lpintor es m uy am igo de Pedro Pedro y del m ecáni ecánico. co. * R aúles com erciante. ¿C u ál es la o cup ació n d e C arl arlo s? a) M ecán ico c) G asfitero e) Faltan d ato ato s
b ) P in to r d ) C o m ercian te
09 . Se ti tiene cinco equ ipo s, cada un o con un nú m ero ero d iferen erent te de d e in tegrant egran tes. A d em ás se se sabe sab e qu q u e: * E l equ ipo azul tiene cuatr cuatro integr ntegran ant tes m ás que qu e el equ eq u ip o ro jo.
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R az. M atemático
* *
E lverd verd e ti tiene en e tr tres in tegran egran tes m ás qu e el ro jo. E lequ ipo negro negro tiene d os integr ntegrant antes es m eno s qu e el verde. S ise in tegr eg ra o tro equ eq u ip o, ¿en q u é lu gar ga r ent en tre lo s dem ás p o d rá u b icarse, sitam b ién tiene en e un u n n ú m ero di d iferen eren te d e in tegran egran tes qu e lo s dem ás? a) E n tre el e lver ve rd e y el azul zul. b ) En E n tre el e lro jo y el n egr eg ro. c) En E n tre el e lam arillo y el e lrojo. d ) E n tre el e lver ve rd e y el n egr eg ro. e) E n tre el rojo y el e lazul zul. 10 . S eis am igos go s: A , B , C , D , E y F se si sient en tan alreded or de u n a m esa ci c ircu lar co n seis asien to s di d istrib u id o s sim étricam ent en te. Adem ás : * D no se se s si ienta junto unto a B . * A se si sienta enta jun to y a la d erecha erecha d e B y fr frente ente a C . * E no se sienta junto unto a C . ¿E n tre qu q u ién es se se sien ta F ? a) C y E d) C y A
b) C y B e) B y E
c) A y D
1 1 . U n restau ran te d e com co m id a cri crio lla ti tiene en e 3 cocin eras eras : S o lan ge, C aro aro la y Y esenia, cada cad a u n a d e las cual cua les va 2 veces vece s po r sem an a, sin coi co in cid ir n in gú n d ía. S e sabe sab e : * S o lan ge sólo p u ede ed e ir a t tr rabaj ab ajar viern ern es, lu n es o m art artes. * L o s viern ern es C aro aro la pr p repar ep ara a su pl p lato ato favo rito. * Yeseni Yesenia no pu ede ir los sábado sábado s. S i el restau ran te at a tien d e sól só lo d e lu n es a sábad sáb ad o. ¿C u ál es elo rd en d e at a tenci en ció n d e las cocin eras eras du ran te la s sem em ana ? a) S C Y Y S C c) Y S C Y S C e) YS Y SC C
b) S Y C C Y S d )S S Y Y C C
14 . ¿Q uién com prar prará á los zapat zapatos os? ? a)C arla. d) Luisa.
b) D e) A
c)C
13 . C inco chicos chicos rind en u n exa m en, ob teniénd eniénd ose los sigu ien tes resul esu ltad o s : * B enito obtuvo obtuvo un punto punto m ás que D aniel. * D anielobtuvo un punto punto m ás que C arlos. os. * E nri nrique obtuvo obtuvo do s puntos puntos m enos que D aniel. * D aniel obtuvo obtuvo d os pu ntos ntos m enos que A lbert berto. O rd ena en a d de e m an era era creci crecient en te, e in d ica qu ién o btu btu vo el el m ayor pu ntaj ntaje.
15 . Tani Tan ia ti tiene en e inter nterés és en com prar : a) b) c) d) e)
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U n vest vestido. U n par de guant guantes es. . U n par de zapat zapatos. os. U na blusa. usa. U n vest vestido o blusa. usa.
1 6 . K elly,R u th y C arl arla son am igas. U na es so ltera, era, o tra es casad a y la ter tercer cera a es viu d a (n (n o n ecesari ecesariam ent en te en ese orden). Se sabe que : * C arl arla es soltera. era. * L a vi v iud a y K elly tienen en en ocu paci pa cion es diferent erentes es. . E nton nton ces : a) K elly es viu d a. c) C arl arla es viud a e) R u th es sol soltera
b ) K elly es e s soltera. era. d) R uth es viuda
17. U n est estudiant udiante, e, un m édico y un abogado com entan *
"Yo ahorr ah orro en Inter nterba banc" nc", ,dice elm édico édico a R ob ert erto.
*
T ito com enta : "E lbanco q ue m ás interés m e paga es el S cot co tiab an k".
*
b) Benito e) Enri Enrique
c) C arlos
E l abo ab o gad o d ice : "M i secret ecretari aria lleva m i d in ero ero al al BC P". P".
*
E ltercer ercer pers person aje se llam a Jos Jo sé.
¿C óm o se llam a el estu d iant an te? a) R ob o b erto
b ) R ob o b erto o Jo sé
c) Jo sé
d ) T ito o Jo sé
e) T ito 18 . C ua tro jóv ene s: R ob ert erto, R icardo cardo , R enzo y R aú l, estu d ian u n a carrera carrera d iferent eren te en tre In gen ge n iería d e S istem as,C o n tab ilid ad ,H isto ria y F ilo sofí sofía en d iferent eren tes u n iver ve rsid ad es: P acíf acífico, C ató ató lica, Lim Lim a, U P C , n o neces ne cesar ari iam ente ente en ese ese or o rden . Y se sab sabe e que: q ue: *
a) Alber berto d) D aniel
b)Tani ania. c) C ecilia. e)C arla o Tani Tania.
qu e cad a u no de ellos ah orra en un B anco an co d iferent erente e:
1 2 . S e tiene en e real realizar 5 activid ad es (A ; B ; C ; D y E ) u n a p o r d ía, d esde esd e el e l lu n es ha h asta el e l viern viernes. es. Si : * B se r real ealiza después después de D . * C se realiza 2 d ías después de A . * D se r real ealiza jueves ue ves o viernes. ernes. ¿Q u é acti activid ad se realiza el e lm iércoles? a)E d) B
ENUNCIADO C uat ua tro am igas salen d e com pras, pras, y s se e s sab abe e qu e cada u na qu iere ere com co m p rar un a p rend en d a d istin ta : U n p ar de zapat zap ato s,u n a blu sa, u n vestid o y u n p ar de gua g uan n tes. A dem de m ás se se tiene la inform nform ación de qu e : * C eci ecilia n o n eces ecesi ita zapat zapatos. os. * Luisa c com om prar prará un ves vestido nuevo. nuevo. * C arl arla le dice a Tania : Lo s guantes guantes que vas a com com prar prar tienen en en q u e ser b lan cos. co s. S e pregunt pregun ta :
R enzo es am igo del filósofo ósofo y d del elqu e est estud ia en la C atólica. ca.
* * * * ¿Q
L a carr carrera era d e H istori oria ú nicam ente ente se ofr ofrece en la d elP acífico. co . R aúl est estud ia en la d e L Li im a, do nd e no se ofr ofrece la car ca rrera d e F ilo sofía. R ob ert erto n o estud ia en la C atólica. R icardo n o estu d ia F ilo sofía n i In gen ierí ería d e S istem as. as. u ién estu d ia f fi ilo sofí sofía y q u é e est stu d ia R aú l?
a) Ri R icar ca rd o - F ilo sofía. b ) R aú l - C o n tab ilid ad . c) R o b erto - In gen ge n iería d e Si S istem as. d ) R o b ert erto - C o n tab ilid ad . e) R icardo - C o n tab ilid ad . 19 . C inco a m igos (A , B , C , D y E ) viven en la m ism a calle en 5 casas ca sas con co n tigu as : S i se sabe q u e : * A vive a la derec derecha ha d e B y su su casa casa no qued a contigua a la d de e C ni en u n extrem o. * Par Pa ra ir de la casa casa de B a la de d e D hay ha y qu e pasarfrente ente a o tras 2 casas. casa s. P ara ara d eterm in ar el lu gar ga r en q u e vive casa un u n o co n respecto a lo s dem ás es necesari necesario saber ab er qu e : I. E vive junto unto a D . II. A vive a la izq uier uierd da d e C . a) b) c) d) e)
I pero pero n o II II. II pero pero n o I. I. Iy II a la vez. v ez. Io II II instan táneam án eam ent en te. Faltan datos. datos.
2 0 . E n u na carr carrera era com pit piten 5 am igos go s,A nton nton io llegó a ntes ntes q u e A rm an d o, q u ien llegó en cu arto lu gar ga r. S i A rsenio llegó inm ediat ediatam ent en te d espu espu és que A nselm o y A lbert berto es elo tro p articip an te. P ara d eterm eterm in ar elo rd en exact exa cto d e llegad ega d a de d e lo s 5 am a m igo s, es necesar ne cesari io saber sabe r q u e : I. A rsenio enio llegó d espu espu és qu e A nton nton io. II. A nselm o llegó ant an tes que A nton nton io. a) b) c) d) e)
I pero pero n o II II. II pero pero n o I. I. Iy II a la vez. v ez. Io II II instan táneam án eam ent en te. Faltan datos. datos.
21 . So bre bre las edad es de cinco h erm erm ano s se sabe sabe qu e : * Joaquín tiene un año m enos que Jai Jaim e. * Jaim e tiene un año m enos que C arlos. os. * Faust Fausto tiene dos años m ás que Jai Jaim e y * Joaquín tiene dos años m ás que R obert oberto. S i se sabe que q ue Jaim e acaba acab a d e cum plir la m ayor ayo ría d e edad. ¿Q uién o qu iénes de los ci cinco herm herm ano s son m eno res de edad? a) Fau sto - C a rlo s. c) Fau st sto -R o be berto. e) C arlo s - R o b erto.
b ) Jo aq aq uí uín - C a rlo s. d ) Jo aq aq uí uín - R o be berto.
2 2 . E n u n a carrera era p art articipan pa n 6 chicas, cas, o bten bteni iénd én d o se lo s sigu ien tes resu ltad o s : * A na no llegó en un lugar im par. * C arm arm en llegó equi eq uidis distant an te a Fabi Fa bio la y a B etsy,qu ien llegó eg ó en ú ltim o lu gar ga r. * E lena en a deb d eber erá á en trenar en ar m ás si d esea ob tener en er eltítulo. ¿E n qu é lu lu ga res llega ro n D ian a y Fa bio bio la, respect espe ctivam va m en te? a) 2 º y 3 º d) 1º y 4º
b) 1º y 2º e) 3º y 4º
c) 3 º y 2 º
2 3 . A Jesica, R oxan ox an a, V an essa essa y P ilar, ar,les d icen "L a Fl F laca" aca ", "L a C hat ha ta", a","L a C on eja" y "L "L a N egra" egra" aunq au nq ue a ni n ingu na d e ellas en ese or o rd en. en . A dem ás se sabe sabe que : * "L a C on eja" le di d ice a P ilar qu e "L "L a C hat ha ta" est está con grip e. * R oxan a, a qu ien le dicen "La N egra" egra", , es am iga de "L a Fl F laca" aca ". ¿A qu ién le di d icen "L a C h ata" ata"? ? a) A Va V an essa b ) A R ox o xan a c) A Je Jesica d ) A P ilar e) Van Va n essa essa o Jesica 24 . E n un sanat an atorio se en cuen tran inter nterna nado do s un cojo, un m anco, un ciego y u n sordo, ordo, cuyos no m bres bres son : C o rn elio, C am ilo, A n an ías y Eu lo gio, gio, au n q u e no no n ecesar ecesari iam ent en te en este or o rd en. en . Se sabe sabe qu e : * C am ilo, el cojo y el m anco com part parten la m ism a cam a. * C o rn elio, el ciego y el so rd o f fue uer ro n a p asear con sus enam orada orada s. * E lcojo, elciego y A nan na n ías asi asisten albaño ba ño con regu larid ad . * E lsordo,elciego y A naní na nías asi asisten a la m ism a h ora ora al com edo r. * E lciego es un hincha incon dicion alde A lianza L im a, en cam bio C am ilo es fanát an ático d e la U , qu e es el m ejor equi equ ip o d el Per Pe rú . ¿Q uiénes com en a la m ism a ho ra adem ás de A nan ías? as? a) C am ilo y E ulogio. b) C am ilo y C ornel ornelio. c) A nan ías y C ornel ornelio. d ) C ornel ornelio y E ulogio. e) A nan ías y E ulogio. 25 . A licia, C arm en , Fran ci y E d ith , tien en d iferen eren tes p ro fesio n es : P erio d ista, M éd ico, co , K in esió lo ga y M atem ática y vi v iven en las ciud ades ad es X , Y, Z y W . Se sabe sabe qu e : * Franci Francino vive en en X ni en Y. * El m édico vive en X .
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* A licia vive en en W . * E dith es K inesióloga. * La peri period ista nun ca ha em igrado grado d e Z. ¿Q u é p ro fesió n tien e A licia? a) A bo bo gad a c) Per Periodista e) M atem ática
b ) M éd ico d) Kinesióloga
26 . U n cho que en cadena de 6 carros es es ori originad o p or un a im p ru den de n te par p arad ada a d e S u san q u ien tiene en e carr carro azul. E l au to blan co d e S on ia es e stá a d yacen te al de C lara ara y B árba árbar ra. A n d rea n o t ti iene en e carr carro a az zu l y cho có a C lara. ara. U n carr carro r roj ojo cho có a A nd rea. S abi ab iend en d o qu e h ay 2 carr carro s ro jo s, 2 azules,un o blan co y un o ve rde, y que q ue d os autos autos del m ism o co lor no p u ed en estar ju n to s. H allar eltercer au to q u e ch o ca y su ch o fer. a) S on ia - blanco. an co. b) A nd rea - azul. c)C lara ara - rojo. d) C lara ara - azul azul. e) S o n ia - verde. verde . 27 . C inco am igos : A ; B , C , D y E se si sientan entan alreded or de un a m esa circular y se se sabe q ue : * L as 5 sillas se se en cu en tran d istribu id as sim étr étricam en te. * A se s si ienta junto unto a B . * D no se se s si ienta junto unto a C . Po dem os afirm ar con cert certeza eza q que ue : I. D se si sienta enta jun to a A . II. E se sient en ta ju n to a C . III. B se sient en ta ju n to a D . a) S ól ó lo I d )Iy III
b ) S ól ólo II e) To da das
c) Iy II
ENUNCIADO U n grupo de 4 person as: A , B , C y D tiene en e com o p rofes ofesi ion es:I, J, K y L ; viven ve n en las ciu d ad es: E ,F,G y H . Sab iendo que : * C no vive en E nien F. * J vive en E . * D no reside en G . * D es es K . * I vive en G . * A vi v ive en H S e pregunt pregun ta : 28 . ¿Q ué prof profes esi ión ti tiene A ? a) I d) L
b) J e) J o K
c) K
29. ¿D ónde resi eside D ? a) I d) H
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b) F e) E o H
c) E
3 0 . Jul Ju lio in vita a cenar cen ar a sus am igos go s :V io leta,M ó n ica,C ésar, F red d y y A lb erto ; éste ú ltim o n o p u d o asistir. L o s asisten tes se sien tan alred ed o r d e u n a m esa circul cu lar con co n seis asien to s d istrib u id o s sim étr étricam ca m en te. * Julio se s si ienta enta jun to a F Fr reddy ed dy y C ésar ésar. * Frent Frente e a Fred Freddy dy se sienta enta V ioleta. * Junto a un ho m bre bre no se encuentra el asi asiento vacío. ¿A d yacen te a qu iénes én es se se sient en ta Fr F redd ed d y? a) Julio y V ioleta. b) M ó n ica y A lber be rto. c) M ón ica y C ésar ésar. d) Jul Julio y M ón ica. e) Vi V io leta eta y C ésar. 31 . D e los prof profes esor ores es de R .M . se s sabe abe q ue : * Pedro Pedro es m ayor que José, José, pero pero m enor que Lu is. * R ené es m enor que Pedro y m ayor que Tito. * Jorge orge es m ayor que Pedr Pedro. o. * Luis es m ayor que Jes Jesús ús. . Po dem os afi afirm ar con con cert certeza: eza: a) b) c) d) e)
Jorge Jorge es m ayor que L uis. R ené es es m enor que Jos José. é. N o es ciert erto q ue Jo rge sea sea m ayor que T ito. Lu is es m ayor que Tito. M ás de u na es cor corr rect ecta.
32 . Jéss Jéssica es es m ás alta qu e A lexand ra y m ás gorda gorda q ue C arm arm en.C arm arm en es m ás alta qu e K Kat atiuska uska y m ás delgada qu e A lexand ra. S i K atiuska es m ás baja q ue Jéss Jéssica y m ás gorda gorda qu e A lexan dra. dra. ¿Q uién uién es m ás alta y m ás del de lgad a q ue K ati atiu ska? a) Jéssica. b ) C ar arm en . c) A lexan exandr dra. a. d) Jessica y C arm en. e) Jess Jessica y A lexan exa n d ra. 3 3 . E n u n a m esa circular h ay seis asient en to s sim étricam ent en te col co lo cad o s, an te la cual cu al se sient en tan 6 a am m igas ga s a ju gar ga r m o n o p o lio. S iL u cía n o está sentad sentad a al a llad o d e L eti eticia n i d e Ju an a. M aría n o está al a l lad o d e C ecilia n i d e Juan Ju an a, L eti eticia n o está a al l lad o d e C ecilia n i d e M aría, Iren e est e stá ju n to y a la d erecha erech a d e L eti eticia. ¿Q u ién está sent sen tad a ju n to y a la izq u ierd erd a d e M aría? a)Lucí Lucía. d) C ecilia.
b) Leticia. c) Irene. ne. e) Faltan dat da tos.
3 4 . Felipe, pe ,M arco, arco,Ped ro,D ani an iely C arl arlos har ha rán un a encu e ncues est ta en cin co d istrito s de L im a : La L a M o lin a,S an Isid ro,P u ebl eb lo L ib re, L in ce y M ira flo res, cad ca d a u n o en u n d istrito d iferen eren te. Y se sabe sabe qu e : * Felipe irá a L a M olina, na , pero pero M arco arco la har h ará á en su p rop rop io d istrito. * L as suegras uegras de Pedro Pedro y D anielviven en S an Isidro, dro, p o r lo cua cu alello s no n o acep cep tan ir a ese e se d istrito.
*
M arco arco vive en L ince y es elún ico qu e encuest encuesta en su d istrito. * D aniel vive en P ueblo L ibre. bre. ¿D ón de en cuesta C arl arlos? a) M o lin a c) S an an Isid ro e) P u ebl eb lo L ib re
b ) M iraflo res d ) L in ce ce
3 5 . R om m el, A lex, L uis y E du ardo ardo pract practican los si siguient guientes es d ep o rtes: F ú tb o l, A tleti etism o, N ataci atació ón y T Ten en is;y v vi iven ve n en lo s dist distrito s d de e L o s O livo s, B reñ a, Sa n B o rja y M ira flo res. Se sabe que : * Lu is no vive en L os O livos ni en B reña. * E latleta vive en L os O livos vo s. * R om m elvive en en M iraflores ores. . * E du ardo ardo es Futbol Futbolista. * El nadado r nunca ha em em igrado de San B orj orja. ¿Q ué dep ort orte pract practica R om m el? a) N atación b) A tletism o c) Fú tbol d) Tenis e) B asketbal ball
ENUNCIADO C in co am igas ga s:A n a,P ilar,C arla, D ian a y E lena, en a, estu d ian cada cad a u n a u n id io m a d iferente erente en tre in glés, p o rtu gu és, fran cés, ru so y al a lem án . A n a qu q u isiera estu d iar in glés en lu gar ga r d e fran cés. P ilar le h a p ed id o a C arla el e lteléfo éfo n o d e su p ro fesor eso r de r ru u so. D iana an a n no oe es stud ia alem án y s se e ha d isgus gu stad o co n la qu e estu d ia p o rtu gués. gu és. 36 . ¿Q ué idiom diom a estu dia dia D ian a y qu ién est estud ia ingl ng lés, és, respect espe ctivam va m en te? a) b) c) d) e)
A lem án - D iana. ana. Inglés - D iana . A lem án - P ilar. In glés - P ilar. ar. N ingu na d e las A nter nteri iores.
3 7 . M arcar arcar la rel relació n im p o sible : a) b) c) d) e)
P ilar - alem án. P ilar - p o rtugu ug u és. Elena - alem án. E lena - po rtugu és. és. P ilar - ru so.
38 . So bre bre un a m esa esa h ay un lapicero, un a crayola y u n plum ón. Si sabem os que : * A la izqu ierd erd a d de e la crayo crayo la h hay ay u n lapi ap icero. cero. * A la der d erecha echa d elplum ón est está el qu e pinta nta azul. * A la izqu ierda erda d el qu e p pi in ta a az zul está e el l q ue p in ta verde. * A la derec derecha ha d elque p inta nta roj rojo h ay un plum ón . ¿Q ué o bjeto e es stá a la d erecha erecha d e to d os?
a) El plum ón rojo. c) C rayol ayola az azul. e) Lap La p icero azul a zul.
b) L apicero roj rojo. d) C rayol ayola roja.
3 9 . S eis am igas ga s viven en u n edi ed ificio d e tres pisos,en elcual cu al h ay d os dep artam ent en to s po r p iso. S i se sab sabe e qu e : * E ldepart departam ento de P se encuent encuentr ra m ás abajo qu e elde N . * Para Para ir deldepart departam ento d e Q aldepart departam ento d e R neces ne cesar ari iam ent en te h hay ay q u e b baj ajar 2 p iso s. Po r lo tant an to po dem os afirm ar qu e : a) b) c) d) e)
R vive en e n eltercer ercer p iso. N o es ciert erto qu e S viva en eltercer ercer p iso. S vive en el segun do piso. N o es ci ciert erto qu e R viva en e n eltercer ercer p iso. R y P n o viven en elm ism o pis piso.
4 0 . E n u n a carrera era p part articip an tres par pa rejas de espo e spos so s: lo s V id al, lo s M ejía y lo s Espi E spin o za. * L o s espos espo so s llegar ega ro n an a n tes qu e sus respectivas esesposas. * L a señora señora E spino za llegó ant an tes qu e el seño r V idal da l. * E lseño r M ejía no n o llegó p rim ero ero y fue superado superado po r una dam a. L a seño señ o ra V id al llegó eg ó q u in ta, ju n to d espu és qu e su esposo. ¿E n q u é p u esto llegar ega ro n el seño r y la seño señ o ra M ejía respect espe ctivam va m en te? a) 4 - 6 d) 2 - 6
b) 3 - 6 e) 2 - 4
c) 3 - 4
4 1 . E n u n a m esa circul cu lar de 7 sillas se se sient en tan a d iscut cu tir cuat cua tro o brer brero o s :A , B , C y D y tr tres em plead o s :X , Y, Z . Sab iendo que : * N ingún em pleado se si sienta jun to a o tro em pleado. * B se sienta enta jun to a D , pero Z no se si sienta enta jun to a ello s. ¿C u ál(es) de las sigu ien tes af a firm acio acio n es son so n cor co rrectas? ectas? I. E ntr ntre D y Z ha y po r lo m eno s 2 asi asientos. entos. II. X se sient en ta ju n to a B . III. A se sien ta ju n to a Y. a) S ó lo I d) Só lo III
b ) Iy II e) Iy III
c) S ó lo II
42 . C in co p ers erso n as ejer ejercen cen d iferen eren tes p ro fesio n es: V eteri erin ario, M édi éd ico, In gen iero, ero,A b o gad ga d o y M atem atem áti ático. V iven ve n en ciu d ad es d istin tas : Iq u ito s,A yacu ya cuch cho, o, Juliaca, aca , Lim a,H uancayo. * Fran Franci cisco viaj viajará ará a Iqu itos, ciud ad qu e n no o con oce, p ara part p articip ar en u n con co n greso d e vet ve terin ario s. * Pabl Pa blo es el m ejor am igo d el M édico y viajará ará a A yacu ya cuch cho o p ara vi v isitar al In gen ge n iero. * E lM atem ático no vive en Juliaca y a E nri nriqu e no le gust gu stan lo s ani an im ales.
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*
José José Luis no vive en en L im a y R ubén tam poco vive en Lim a. * E l que vive en en Lim Lim a es M édico y el A bo gado vive en H uancayo uancayo. . * R u b én d esearí esearía ser in gen iero ero y q u isiera era vivir en H uancay uancayo. o. ¿Q uién vive en H uancayo? a) Rubén. Rubén. b)Pabl Pablo. d )Fran Franci cisco. e) E nriqu e.
c) José Luis.
43 . A un a fi fiest esta fueron fueron inv invi itadas ad as 3 par p arej ejas de en am orad orados os y d e el e llo s se se ti tien e la sigu ien te in fo rm ació n : * H ay d os peruan peruan os, do s argent argenti ino s y do s brasi asileños. * Juan es peruan peruan o y la espo espo sa d de e O rland o es bras brasi ileña. * N o hay dos hom bres bres de la m ism a naci nacionalidad. * N o h ay una parej pareja de espos esposos os de la m ism a nacion alid ad . ¿Q u é naci n acio n alid ad tiene en e O rlan d o y qu q u e naci n acio n alid ad tiene en e la espo esp o sa de A n to n io ? a) b) c) d) e)
A rgenti gentino - Peruan Peruan o. B rasileño eñ o - A rgen tin o. Perua Peruano no - B rasi asileño. eñ o. B rasi asileño - Perua Peruano no. . A rgen tino - B rasileño. eñ o.
4 4 . D o n P ascual,qu e ha h a reci recibid o la vi v isita d e sus 7 sob rin o s: A ; B ,C , D , E ,F y G les ha p ro m etid o d arl arles su p ro pin pin a siem p re y cuan cu an d o se fo rm en en fila in d ia o ob b edeci ed eciend en d o las s si igu ien tes con co n d icio n es : * A debe u bicarse inm ediatam ente delante ante de E . * D no pu ede ubicars arse delante de A. * G debe u bicarse cuarto y d elante de E . * F no puede ubicars arse prim ero. ¿C u ál d e las sigu ient en tes afi afirm acio n es es ver ve rd ad era? era? a) b) c) d) e)
E C F B A
se ub icará detr detrás de D . se ub icará det d etrás de F. se ub icará del d elante ante de E . se ubicar ubicará delante ante de C . se ub icará cará del de lant an te de F.
4 5 . G ab riela, M ó n ica y C arolin a tien en d iferen erent tes aficio n es y gu sto s en d ep o rtes (vol (vo ley, aer aeró b icos co s y teni en is),L iteratu ra (n o vel ve la, p o esía y d ram a),L icor co res (vin o,p isco sco y C erveza) y col co lecci eccio n es (llaver ve ro s, cer cerám icas ca s y lib ro s). Se sabe que : * A M ónica no le agrada elvoley. ey. * A la q u e le agr a grad ada a el e lteni en is, gus gu sta d el p isco. * L a q ue colecci eccion a llaveros averos lee d ram as. as. * A la q ue le gu sta el voley tom a cervez cerveza. a. * G abr ab riela d isfru ta cuan cu and d o ju ega teni en is o lee p o esía. * C arol arolina coleccion a libros. bros. ¿C u ál d e las las sigu ien tes alt alterna tiva s, m u estr estra u n a asoci soc iació n in cor co rrect ecta?
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a) b) c) d) e)
M ón ica - cer cerám ica. M ónica - vino. M ónica - dram dram a. C arol arolina - no vela. G abr ab riela - pisco.
4 6 . E n u na reu reun n ió n se encuen encu ent tra un u n C arpi arpin tero, ero,u n E scritor, or, u n S astre y un u n M aestro. E llo s se llam an (aun au n qu e n no o n ecesariam ent en te e en n el o rd en d ad o ) : C arl arlo s, E n riqu e, Jorge Jorge y G erar erardo do. . A dem ás se sabe sabe que : * C arl arlos y elC arpi arpinter ntero o est están eno jado s c con on G erar erardo. do. * E nri nrique es am am igo del M aest aestro. * E lE scrito r es fam iliar d e G erar erard d o. * E lSastre es m uy am igo d e Jorge Jorge y delM aest aestro. * C arl arlo s h ace añ o s qu e escr escribe libros d e H isto ria. M ien tras qu e el e lsastre es e s ... G erardo erard o es ... a) E nri nriqu e - M aest aestro. b ) E nriqu e - C arpi arpint nter ero. o. c) Jorge Jorge - M aest aestro. d ) Jorge Jorge - C arpi arpint nter ero. o. e) E n riqu e - E scrito r. 4 7 . C in co p rim o s : Fran Fran cisco, S ebast eb astián , A d rián , S an d ra y K iara se sient en tan en u n a m ism a fila d e seis bu tacas aca s ju n tas de u n cine. ne . S i se sab sabe e qu que : * S ebastián no se si sienta enta jun to a S andr an dra, a, pero pero hay un a p per ers son a s sent entad ada a en cad a u uno no de sus lados. ad os. * K iara, ara, se sient en ta en un o d e lo s extrem o s d e la f fi ila. * A d rián se sient en ta 3 bu tacas a la izqu ierd erd a de d e K iara. ara. * H ay dos d os but bu tacas entr entre Fran Franci cisco y la bu taca vacía. * S and an d ra se si sient en ta en el qu in to asient en to a p art artir d e d o n d e está sentad sentada a K iara. ara. ¿Q u é asi a sien to, a part p artir d e do d o n d e está K iara, está vací v acío o? a) Pri Prim ero d ) S ex exto
b) Segundo Segundo c) Ter Tercero e) Q u in to
48 . E n u na reun reun ión del D irectori orio d e un a em pres presa a se se en cuen cu en tra el p resid en te, el vicep ce p resid en te, el secr secretario y un u n tr trab ajad o r d e la em p resa, cuyo s n o m bres (n o n ecesariam ent en te en ese orden orde n ) son : E m ilio, R icardo, S am uel e Ino cencio. * Sam uely eltrabajador son m uy am igos. gos. * R icardo cardo es prim o del secretari ario. * E m ilio y el vicepresi cepresid ent en te no n o se llevan eva n bien. en . * E l presi presid en te y el trab ajad ajad or so so n am igo s d e In o cenci cen cio. * E lsecretari ario se llam a E m ilio. ¿Q u ién es so so n e el l p resid en te y el trab ajad o r? a) b) c) d) e)
Sam uel- R icardo. ardo. Sam uel - Ino cenci cencio. Ino cenci cencio - Sam uel. Ino cencio - R icardo cardo. . R icardo cardo - E m ilio.
4 9 . S ob re u na m ism a fi fila d e u n tabl ab lero ero de ajedrez se ti tiene seis p iezas o rd enad en ad as de tal tal m an era era q qu u e cum cu m p len las sigu ien tes co n d icio n es : * A dyacentes dyacentes al rey y al peó n h ay un lugar vacío en co m ú n . * E lalfilestá a la izqu ierd erd a d e la d am a. * E lcaballo e es stá a la d der erecha echa d e los dem ás y jun to a al l peón. * La torr orre est está a la derecha derecha de la da m a y jun to a u na casi ca silla vacía. ¿C u ál d e las sigu ien tes pr p ro p o sicio n es es co rrecta? ecta? a) b) c) d) e)
E n tre la to to rre y el e lrey h ay u n lu gar ga r vací va cío. E ntr ntre la torr torre y la d am a h ay u n luga r vacío. E ntr ntre elrey y la d dam am a h hay ay u n lugar ug ar vacío. E l alfiln o está a la izqui zqu ierd erd a d e lo s dem ás. E lcabal cab allo está con tiguo gu o a un lugar ug ar vacío.
5 0 . S eis autom óvi óv iles num erad erados os del 1 al 6 par pa rticipan pa n en u n a co m p eten etenci cia de d e la fó fó rm u la 1. 1 . S id elresultad o fin al d e la car ca rrera era se sabe sab e qu que : * L os tres prim eros eros lugar ug ares es los ocu pan pa n aut au tos con nu m eraci eración im par. par. * E l auto auto 2 llegó inm ediatam ente ente despu despu és del 1. * L a di d iferen erenci cia en la num n um eraci eración entr entre el segund egu nd o au to y el e lq u in to es 3. * L a di d iferen erenci cia en la num n um eraci eración entr entre el segund egu nd o au to y el e ltercero ercero es 2. 2. ¿C u ál d e las sigu ien tes af a firm aci ac io n es es co rrecta? ecta? a) E l aut au to co n el nú m ero ero 4 llegó en q uint uinto o p uesto. b ) E l auto auto con elnú m ero ero 5 llegó pri prim ero. ero. c) E laut au to con elnú m ero ero 6 llegó ant an tes qu e elaut au to co n elnú m ero 2 . d ) E l aut au to co n el nú m ero ero 3 llegó d os pu est estos antes antes qu e el auto auto con elnú m ero ero 1. e) E l aut au to qu e tiene el nú m ero ero 2 llegó pri prim ero. ero. 5 1 . C uat ua tro a am m igas (E va, M arí aría, C arm arm en y Tri Trini) ni) salen a b ailar con co n cu atr atro am igo s (P ab lo, R aú l,D am ián y Lu L u is).
7 5 2 . M an u el, M igu el y A lb ert erto tienen en en d iferen erent tes aficio n es y gu sto s en fú tb o l(C ristal,U ,A lian za). Li L iteratura (N o vela, P o esía, Per Pe rio d ism o ) Lico Licor res (G (G in , p isco, cerveza) cerve za) y C igar ga rrillo s (D u cal, W in sto n y N o rto n ). Se sabe sabe qu e : * M iguel no sim pati patiza con la " "U U ". * A lsocio d el C ristal le gu sta e el lG in . * E lqu e fum a D ucal es Peri Period ista. * El de la "U " tom a C erveza. * E lhinch a d e A lianz an za tr trabaj ab aja en "L a R epú blica". ca". * M anuel an ueldisfruta uta cuan do juega C ristalo lee a N erud erud a. * A lberto fum a W inst nston. ¿C u ál es la p ro fesió n d e M iguel gu el y q u é cigar ga rrillo fu m a? a) b) c) d) e)
Peri Period ista ; D ucal Poeta ; W inst nston Poeta , D ucal ucal Perio d ista ; W in ston . Perio d ista ; N o rto n.
ENUNCIADO R en ato, Javi Ja vier, er, A n to n io y S an tiago son son escrito r, h isto riad o r, p eri erio d ista y filó sofo au n q u e n no o n ecesari ecesariam ent en te en ese or o rd en. en . To do s ello s fum an , except excep to u no y s su u s m arcas arcas d e cigarrillo s preferid o s so so n H am ilto n , W in sto n y P rem ier. * E lqu e prefiere ere H am ilton es vecino del de lfilósofo y no es p erio d ista . * A nto nto nio nio estud ió co n el his histo riad or en e l colegio y siem p re ha h a pr p referi erido fu m ar W in sto n. * A l escr escrito r no le gu sta lo s H am ilton po rqu e p pr refiere ere cigar ga rrillo s m ás fu ertes com co m o P rem ier. * Javier es m ás joven q ue el peri period ista y nu nca ha fum ado. * E l escr escritor es R enato y es m ás joven q ue el que fum fum a H am ilton . 5 3 . ¿Q u ién es elescr escrito r?
A lo largo d e la vel ve lad a, las cu atr atro chi ch icas hab h ab rán b ailad o, en tre m u chas, ch as, las sigu ien tes pi p iezas; u n val va ls, u n ro ck, u n b o lero y u n tan go. go . A la salid a, h icieron las sigu ien tes afi afirm acio n es : Eva : D isfru té m ás bai b ailan d o el val va ls con P ab lo, q u e el el rock con R aúl aú l. M ar ía : C ua nd o b ailaba el vals con D am ián , no s qu edam ed am o s so lo s en la p ista. veré a bai ba ilar un bo lero ero con Pabl Pa blo. Trin i : N un ca m ás volveré Carmen : L uis m e d ió un pisotón otón m ientr entras bailábam áb am os el b o lero. C u an d o b ailaron el tan go, go , ¿qu ién era la p arej areja d e C arm en? a) L u is
b ) P ab lo
c) D am ián
d ) R aú l
e) B ailó sol so la
a) R en en ato. b ) Javier. c) A nt n to n io. d ) S an an tiago. e) N o se pu ede deter determ m inar na r. 54 . M arcar arcar lo verdader verdadero o: a) b) c) d) e)
Javier es filó so fo y fu fu m a P rem ier. R enat ena to es histori oriador ad or y fum a P rem ier. S ant an tiago es peri period ista y no n o fum fum a. A nton nton io es period ista y fum a W inston . R enat ena to es escr escritor y fum a H am ilton .
5 5 . S e va a m o ntar ntar u na escena escena teatr eatralcon cinco in tegran egrant tes: es: E m ilio, S eb asti astián , M an u el, el, G en ara y Trán sito ; repr ep resent esen tan d o cin co p ap eles : Juez, Ju ez, A b o gad ga d o, F iscal scal, Test Testigo y A cusado cusado , sabiend o adem a dem ás que cad a u no ten d rá u n a car ca racterística d iferent eren te : Fu rio so, Tra Tran q u ilo, E n o jad o, A legr eg re y Triste. Se sabe sabe qu e :
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R az. M atemático
* * * *
E lJuez est estará ará tr tranqu an qu ilo en escena. escena. G enara enara ser será Fiscal. E l papel pa pel de Test Testigo alegre egre se se lo d ieron eron a M anuel an uel. Sebastián n o será el A cusado cusado en esce escena na p or que ten d ría q u e esta estar triste. * A Tránsi Tránsito le dieron eron elpap elde A bo gado y no est estará Fu rio sa. M arq arq ue la o p ció n correcta : a) b) c) d) e)
G enara enara est está enojada. E m ilio hará hará d e Juez. Juez. M anuel an uel est estará ará tranqu an qu ilo. S ebastián h ará ará de Juez. G ena ra est estará ará tranqu an qu ila.
56 . S eis am igos go s :A ,B ,C ;D ;E y F viven en un edif edificio de 3 pis piso s q ue tienen en en d o s dep artam ent en to s p o r p iso. S i se sabe q u e : * Tres Tres dep art artam entos entos tienen ven tana a u na aven ida b ien tran sitad a y lo s ot otro s tres a u n ap acib le jiró n . * D vive en el tercer ercer pis piso y está can sad o d el ruid uid o p ro d u cid o p o r el in ten sivo tráfico. co . * F vive en un piso m ás arr arriba q ue B , y ést éste m ás arr arriba qu e E . * A le gu sta con tem p lar el tráfi áfico d esde su su b alcón . S o n ciertas : I. B vive en el segu nd o pis piso co n vent v entan ana a al jirón . II. C vive en elp rim er p iso con ven tana an a a la a aven ven id a. III. E vive en el tercer ercer piso co n ven tan a a la ave a ven n id a. a) S ól ólo I d) Sólo III
b ) I y II e) Todas
c) Iy III
ENUNCIADO A n d rea, ea , P au la, E lena, en a, S an d ra y L u z tienen en en d istin tas ocu p acio n es : actriz, b ailarin a, can ca n tan te, escu escu lto ra y p in to ra, p ero no neces ne cesar ari iam ent en te en ese ord ord en. en . Tod To d as ellas viven en u n m ism o ed ificio, p ero en e n p isos di d iferent eren tes : 1 ; 4 ; 7 ; 1 0 y 1 2 . * La qu e vive en el piso 4 conoce a la actriz y no es p in to ra. * A nd rea es am iga de la ba ilari arina y vive vive en el piso 1 0. * Pau la es m ás alta qu e E lena y q ue la pintor ntora, a, y vive en el p iso 1 2 . * E lena es la escul escultora ora y es m ás alta qu e la que q ue vive en el p iso 4. 4. * La cantant cantante vive en elpiso 1 y es m ás alta qu e San dra. dra. 57 . ¿Q uién es la p intor ntora? a? a) A ndrea ndrea. . d) Luz. Luz.
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b) C ynthia. c) Sandra. e) N o s se e puede puede det determ inar nar.
5 8 . ¿C u ál d e las si sigui gu ient en tes afirm acio n es es verd verd ader ad era? a? a) b) c) d) e)
A n d rea es e s actriz y vive en e n el p iso 10 . E lena en a es e s escul esculto ra y vive en e n el p iso 1. L u z es p in to ra y vive en el pis piso 1 2 . P au la es actr actriz y vive vive en e n el p iso 12 1 2. S andra an dra es bailari arina y vive vive m ás arr arriba qu e E lena .
59 . Tres Tres pers person as apellidada da das s B lanco, an co, R ub io y C astaño añ o se con ocen en u na reun reun ión . Poco P oco despu és de h acers acerse las p resentacio n es,la d am a h ace n o tar : * E s m uy curi curioso qu e nuest n uestros apellido s sean B lanco, R ub io y C astaño, añ o, y qu e no s hayam ha yam os reun ido aq u í tres per pe rson as con co n e ese se colo r d e cab ca b ello. * Si que lo es es d ijo la p erso erso n a q u e ten ía el p elo ru b io , p ero ero h abí ab ía o bservad bservad o qu e nad n ad ie tiene en e el col co lo r d e pel p elo q u e cor co rrespo n d e a su ap a p ellid o. * ¡Es ver verdad!E xclam ó q u ien se apel ap ellidab da b a B lanco. an co. S ila d am a n o tiene en e el p elo C astañ o, ¿de q ué colo r es el pelo de R ub io? a) R u b io c) N egro e) P lom o
b ) B lan co d ) C astañ o
E N U NC NC I A D O : C in co socio s, A rm an d o, B eat ea triz, C ecilia, D an te y E rn esto, h an com co m p rad o u n e ed d ificio d e seis p isos. C ad a socio v vi ivirá en u n p iso d iferen te d el ed ificio y el e l p iso restan te ser será p ara su o ficin a. L a u b icaci cac ió n d e lo s so cio s y d e la o ficin a e en n el ed ificio se rea real lizará de d e acu a cuerd erdo o a las sigu ien tes con co n d icio n es: * A rm and o vivirá do s pisos m ás arr arriba q ue B eatriz, pero pero d o s piso s m ás aba jo qu e C ecilia. * L a ofi oficina d eberá eberá est estar en u n p iso ad yacente al depart departam ento d e A rm ando. 6 0 . S ila o ficin a est e stará u b icad ca d a en e n el tercer p iso, ¿cuál ¿cu áles de de las sigu ien tes afi afirm acio acio n es so so n ver ve rd ad eras? I. D ant an te y E rnesto vivirán en pis pisos ad yacent yacen tes. es. II. B eat ea triz y E rn esto vivirán en p isos ad yacen ya cent tes. III. C eci ec ilia vi v ivirá en en el ú ltim o p iso. a) S ó lo I b ) S ó lo II c) S ó lo III d ) S ó lo I y II e) Só S ó lo II y I II II
Claves l ave ves s 01.
c
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02.
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a
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d
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59.
b
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60.
c
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TRILCE
C ap ít ul ulo o
J UE UEG GOS DE I N GEN I O A.
T R A NS N S M IS I S I ON O N ES ES H : H o rario
; A H : A n tih o rario
AH
H
H
H
A
B
A H
B
AH B
A H
C om o A es m ás grande que B, E n to n ces :
H
A da m enos vueltas que B
L as rue rueda das s ubi ub icad cadas as en un m ism o eje giran a la m ism a velocida dad d y en el m ism o sen ent tido
H
A m bo bos s recor ecorr ren la m ism a cant can tid ad d e d ien ent tes
Ejemplo : S i la ru ru ed a A d a 4 vu eltas. ¿C u án tas vuel vu eltas dar da rá la ru ru eda ed a B ?
A
B
40 d ien ent tes
n
A
4 40 VB
V
A
VB
# # # #
20 d ien tes
n
B
V
d e di d ientes de A d e di d ientes de B d e vuel vu eltas de A d e vuel vu eltas de B
:n A : nB :V A :V B
B
20
8 vu vu eltas
Ejemplo : ¿Cuántas ru edas giran gir an en sentido sentid o contrar con trar io a la ru eda A? D
C
B A
F
G
H
AH
H
E
Resolu Resolu ción : AH D
H
AH B
H A
H AH
G
E
Contr aria a la rueda "A" son son : B , D, E y G . Respuesta Respuesta : 4 r uedas 23
R az. M atemático
B.
C ER I L L A S Ejemplo : La figu ra está estáfor for mad a por 1 2 pali tos de fósforo. fósforo. ¿Cu ántos hay qu e mo ver com o m í nim o para o btener 3 cuadrad os del mi smo tamañ o?. (N o dejar cabo suelt suelt o)
Resolu Resolu ción : 1 2 1 2 3
3
Respues Respuesta ta : 3 palitos Ejemplo : ¿Cuántos nt os pali tos hay qu e mo ver com o m í nim ni m o par a obtener ob tener una verdad ver dad era iguald igu aldad? ad?
Resolu Resolu ción :
Respues Respuesta ta : 1 palito C.
PA RE R E N TE TE S C O Ejemplo : ¿Quié ¿Qui é n es el único ni co bisnieto bi snieto del abuelo abu elo del pad re de José ? Resolu Resolu ción : S u b isab u elo
S u ab u elo
S u p ad re
Jo sé
A bu elo d elPa Padr dre e de d e José Ú ni nico co b isniet eto o d e est e ste seño señ o r es Jos Jo sé Respuesta Respuesta : J osé Ejemplo : Sentado Sent ado s a la mesa están 2 padres, pad res, 2 h ijo s y un ni eto. ¿Cuántas per sonas com o m í ni m o están r eun idas? id as? Resolu Resolu ción : Para qu e exista el mínim o n úmero de per sonas, 1 p ersona deber ácump lir 1, 2 o m ás roles dentro d e un a famil ia, así enton ces un h ijo p uede ser ser pad re a la vez. vez. A bu buel elo A
P ad re
B
P ad re
C
Respuesta Respuesta : 3 per sonas
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TRILCE
D.
R EL EL A C IÓ I ÓN D E TI EM EM P O Ejemplo : Si el m añ ana an a del d el pasado pa sado m añ ana an a es L u n es. ¿Qu éd í a será ser áel antea an teaye yerr d el m añ ana an a del d el p asado asad o m añ ana an a de d e hace h ace 2 días? Resolu Resolu ción : Considerando Considerando : A : Ayer (-1) AA : Anteayer (-2) M : M añ ana (1 ) PM : Pasado M añ ana (2 ) H : H oy (0) Lu ego ego :
A AA AA
AA
A
H
M
PM
M PM
-3
-2
-1
0
1
2
3
Ento nces cuando decimo s el mañ ana (1) d el pasado pasado m añ ana (2) es Lu nes, nos referim os a que: 1 + 2 = 3 es Lun es. es.
H oy -3
-2
-1
0 Vi
1 Sa
2 Do
3 Lu
No s pr eguntan egun tan : El anteayer (-2), (- 2), del m añ ana (1 ), d el pasado m añ ana (2 ), d e hace 2 días (-2 ), n os refer im os a que : -2 + 1 + 2 - 2 = - 1 es es ...... ......... ..... ..
E.
A
H oy
-1 Jue ves Jueves
0 V ier Vi ern n es
Respuesta Respuesta : Jueves C ON O N ST STR U CC C C IO I O NE N ES Co loq ue los número número s del 1 al 9, u no por cí rculo, d e maner a que las sum sum as de los número número s de cada lado sea igual a 17. Dar com o r espuesta la suma d e los número s que van en los l os vé rtices. rt ices.
Resolu Resolu ción : Pr im er M é t od o Del gráfico tenem os : y c
b
17 a x
17 d
e
f
z
17
x
y
a
b
17
y
z
c
d
17
z
x
e
f
17
+
x + y + z+ x + y+ z+ a+ b + c+ d + e+ f= 5 1 .. ... . (1 ) Per ero o a + b + c + .. .... .. + f + x + y + z es es la suma de de : 1 + 2 + 3 + ... + 9 = 4 5 Enton ces al reemplazar en (1) tenemos : x + y + z + 45 = 51 x + y + z= 6
Segu nd o M é t od o L a sum sum a real es : 1 2 3 ...... 9 9 10 45 2 La suma suma supue supuessta : 17 + 17 + 17 = 51 Esto quier e decir q ue hay un exceso exceso de 5 1 - 45 = 6 y se debe a qu e los númer númer os colocados en los vé rti ces se repit en (fueron contados contados en 2 oportunidades). oportunidades). Por lo tanto tanto x + y + z = 6
25
R az. M atemático
E J ER ER C I C I O S P R O P U E S TO TO S 0 1 . ¿C u án tas ru edas ed as giran en sent sen tid o an a n tih o rari ario ?
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
06 . ¿C uán tos palitos hay q ue q uitar com o m ínim o para para ob tener sólo 3 cuadrado cuadrado s del m ism o tam año qu e los o rigin ales? (N (N o d ejar cab o suel sue lto )
a) 2 d) 5
b) 4 e) 6
a) 4 d) 2
c) 3
0 2 . ¿C uánt uá ntas as rueda ue das s giran en senti sentido op uesto a la rued rued a A?
b) 3 e) 5
c) 6
07 . ¿C uán tos palitos hay que m over com o m ínim o para para q u e la fi figu ra p ase de d e la p o sició n I a la p o sició n II?
(I)
(II)
A
a) 1 d) 4 a) 4 d) 2
b) 5 e) 6
B
C
08 . ¿C uán tos palitos hay que m over com o m ínim o para para q u e la igu ald ad in cor co rrecta q u e se d a a co n tin u ació n , se con viert erta en u n a igual gu ald ad verd verd ad era? era?
Z a) 5 d) 2
a) 9 d ) 10
b) 45 e) 3 0 0
a) 1 6 d ) 10
30 d ien ent tes
b) 8 e) 7
60 d ien ent tes
80 d ien ent tes
c) 1 2
05 . ¿C uán tas cer cerillas hay q ue m over com o m ínim o para para o bten btener er u n a verd verd ad era era igual gu ald ad? ad ?
26
b) 4 e) 1
c) 3
c) 2 7 0
0 4 . S i la r rued ued a " "A A " da 4 8 vu eltas. ¿C uánt uá ntas as vuel vu eltas m ás qu e " "D D " da "C "? D A C B 40 d ien ent tes
c) 3
c) 3
0 3 . L a fi figur gu ra m u estra lo s engr eng ran ajes :A ,B ,C ,...,Z d e 8; 8 ;1 2 ; 1 6 ;....;6 4 d ien tes resp respect ecti ivam va m en te; si"A " d a 7 2 vu eltas po r m inu to. ¿C uánt uá ntas as vueltas dará dará Z en m edia edia h ora? ora? A
b) 2 e) 5
09 . La herm herm ana delhijo de la h erm erm ana delhijo delherm herm ano de m i pad re es m i: a) T ía b ) H ija c) H er erm an an a d) Sobri Sobrina e) M adre 10 . C on siete m on edas se form orm a la cruz m ostrada . ¿C uán tas m on edas hay qu e cam biar de p osición para para obtener obtener un a cruz con el m ism o n úm ero de m on edas en cad a brazo? brazo? (D ar el m ín im o valo r)
TRILCE
a) 3 d) 4
b) 2 e) 5
c) 1
1 1 . E l o tro d ía en lo s jard ard in es d el p arqu arqu e escu escu ché a d o s p erso n as la sigu ien te co n ver ve rsació n : "Ten en cuen cu en ta qu e m i m adr ad re es la suegra suegra d e tu padr pa dre" e". . ¿Q ué par pa rentes entesco co u ne a las 2 p ers erson as?
a) 1 7 d ) 11
b) 15 e) 1 0
17 . ¿Por lo m enos cuántos núm eros deben ser ser cam biado s de po sición par pa ra que q ue las sum sum as de los nú m eros eros un ido s p o r u n a lín ea recta ecta sean igu ales y ad em ás sea sean n la m áxim a sum sum a po sible?
a) 6 d) 9
b) 7 e) 5
c) 8
8
6
a) Pad re -hijo. b) T ío - sobri obrino. c) H erm anos anos. . d) Abuel Abuelo - nieto. e) Pad Pa d rin o - ah ijad o. 12 . E n u na reun reun ión se encuen tran pres present entes es un abu elo, u n a ab u ela, 2 pad pa d res,2 m ad res,2 espos espo so s, 2 espos espo sas, u n a tí tía, 1 n u era, era, 1 n ieto, u n a n ieta, u n cuñ ad o y u na cuñada. ¿C uá ntas ntas pers person as com o m ínim nim o se se encuen tran p resent esen tes en la reun reu n ió n ?
c) 9
4
2
10
14 a) 6 d) 4
b) 3 e) 2
12 c) 5
1 8 . C o lo q u e las cifras del d el 1 al 8 en lo s círcul cu lo s de lo s dos do s cuad cu ad rad o s pa ra q u e lo s tres vér vé rtices de d e lo s trián gu lo s pequeños sum en lo m ism o. ¿C u ál es esa esa sum a, si es la m eno en o r p o sib le?
1 3 . S id ent en tro d e tres d ías ocur ocu rrirá q qu u e elm añ ana an a d del elant an tes de ayer delayer delp asado m añan añ ana ad de e ayer será erá ju eves. ¿Q ué día día fue el pasado m añan a del m aña na d el ayer de hace ha ce 3 d ías? a) M ar a rtes c) M iérco les e) Lu nes
b ) Ju eves d ) D o m in go
14 . Sab iendo qu e elm añana d elanteayer anteayer del m añan a de pasado m aña na será jueves. ueves. ¿Q ué d ía fue el ant a nteayer eayer del de layer del m añan añ ana ad de e ha ce 2 d ías? a) V iern es c) D om o m in go e) M art artes
b ) M ar a rtes d ) S áb ad o
1 6 . C oloq ue los nú m eros eros del 1 a al l 9, un o po r círculo, de m anera anera qu e las sum as de los núm eros eros de cada lado d el trián gu lo sea igu al a 20 2 0 . D ar com co m o respu esta la sum a d e los nú m eros eros qu e van en los vért vértices
b) 14 e) 1 3
c) 1 2
1 9 . S i la rued rued a "A "A " da 20 vuel vu eltas. ¿C u án tas vuel vu eltas da la rued a "E"?
b ) L u n es d ) Ju eves
1 5 . H ace 2 d ías se cum plía qu e el an teayer del ayer de m añana era m art artes. es. ¿Q ué día d e la sem ana an a será, cuan do a p art artir de ho y trans an scurran tant an to s días com o lo s días qu e p asan d esde el ayer ay er d e an a n teayer ea yer hast ha sta el e ld ía d e ho h o y? a) L u n es c) Ju eves e) D om ingo
a) 1 0 d ) 11
A 6
a) 2 5 d ) 40
B 4
b) 30 e) 3 5
C 3
D 5
E 4
c) 2 8
20 . Si elm añana delpasado pasado m añana delayer ayer de m añana d e hace h ace 3 d ías es m iérco ércol les. ¿Q ué d ía ser será á el ayer del pasado m aña na d elm aña na de pasado pasado m añana? a) L u n es c) S áb ad o e) M art artes
b ) M iérco les d ) D om om in go
21 . ¿C uán tos palitos debem os retirar com o m ínim o para para d ejar 6 en la figu ra?
27
R az. M atemático
a) 4 d) 7
b) 5 e) 1 7
c) 6
27 . E lpasado pasado m añana delayerdelm añana es Lu nes. nes. ¿ ¿Q Q ué d ía será será el e lan teayer ea yer de h ace 2 d ías?
22 . Si elm añana d elm añana d elayer delpasado pasado m añan a d el m añ an a d el ayer aye r será erá ju eves. ¿Q u é dí d ía será d ent en tro d e 4 d ías? a) L un un es es d) V iernes
a) M iérco les c) M ar a rtes e) V iern ern es
b ) L u n es d ) S áb ad o
28 . ¿C uán tos palitos hay q ue q uitar com o m ínim o para para ob tener en er 2 cuad rados ad os de diferent erente et tam am año? añ o? (N (N o dej de jar cab ca b o suel su elto ).
b ) D o m in go go c) S áb áb ad ad o e) Jueve Jueves s
2 3 . S i"A " gira en e n senti sentid o an tih o rario, ¿en q u é sent sen tid o giran "B " y "C "C " respect espe ctivam va m en te?
A
B
b) 2 e) 5
c) 3
2 9 . E n la figur gu ra d di istrib uir uir lo s n ú m ero ero s d el1 a al l12 d e m o d o qu e la sum a d e los nú m eros eros qu e s se e h hal allan en cada lado ad o del de l cuad rado ad o sea 2 2. D ar com o r res espu pu est esta la s sum um a d e los núm eros eros que van en los vért vértices, ces, (a + b + c + d)
C a) b) c) d) e)
a) 1 d) 4
H orari orario - A n tih orari orario. H orar orari io - H orar orari io. A n tih o rari ario - H orari orario. A n tih o rario - A n tih o rario. No s se e m u ev even .
a
b
d
c
24 . ¿En qu é sent senti ido se m overán overán los engrana engrana jes 30 ; 52 ; 7 1 ? (H (H o rario : H ; A n tih o rario : A ) 1
2 3
a) H ,H ,H c) A , A , A e) H ,A ,H
4 5
6 7
8 9
b ) A ,H , H d ) A , A ,H
¿C uán tos palitos se deb en m over com o m ínim o p ara ara ob tener ene r 13 2? b) 2 e) 0
c) 3
a) 3 d) 5
28
c) 1 1
b) 2 e) 4
1
c) 1
2
3 4
6 5
a) 4 y 1 0 d) 11 y 6
b) 10 e) 1 3
c) 1 0
31 . Pa ra qu e el sistem a de en gran gran ajes se m ueva ¿qu é ru ed a(s) se d eb e(n) e(n ) reti etirar?
26 . E n la figura gura m ostrada hay 22 palitos delm ism o tam año y fo rm a. S i cam biam o s d e po p o sició n 2 p alito s. ¿C uál es elm áxim o nú m ero ero de cuadrado cuadrado s que res resul ultan en la figu ra?
a) 9 d) 12
b) 22 e) 1 8
30 . ¿C uánt uá ntos os palitos de fósforo oro se tend rán q ue m over ov er com o m ín im o p ara q u e la sigu ien te igu igu ald ald ad result esulte verdadera?
25 . E n la sigui gu ient en te ope o per ración :
a) 1 d) 4
a) 1 2 d ) 16
b) 5 y 10 e) 5 y 1 1
7
8
9 10
c) 1 3 y 1
13 11 12
TRILCE
32 . Si elm aña na d elpasado m añan a,delayer delanteayer anteayer d e hace h ace 2 d ías fu e m iérco ércol les. ¿Q ué d ía ser será á el m añan añ ana a de d ent en tro d e 3 d ías? a) L u n es c) M iérco les e) Sábad Sá bad o
c) H orar orari io - H orar orari io. d ) H o rari ario - A nti ntih o rari ario. e) A n tih o rari ario - H o rari ario. 3 8 . E n el e l sigui gu ient en te sistem a de d e en granaj gran ajes, ¿cuán ¿cu án to s giran en senti sentid o h o rario ?
b ) M ar a rtes d ) Ju eves
33 . M i T ía Ju lia es la h erm erm ana de m i m adre. adre. M art artha es la h erm erm ana an a d e m i tía, p ero ero n o es m i tía. ¿Q ué p arent arentes esco co existe entr entre m i herm ano an o E du ardo ardo y M art artha? a) b) c) d) e)
So bri brino - T ía. H ijo - M adre. adre. Pri Prim o - Pri Prim a. H erm ano - her herm ana. ana. No s se e s sabe abe. .
a) 3 d) 5
3 4 . S e sabe qu e la sigui gu ient en te o per pe ració n es inco rrecta. ¿C uán tos palitos com o m ínim o deben cam biar biar de p o sició n p ara qu q u e la o p eraci eració n sea co rrecta?
b) 4 e) 6
c) 2
39 . Si el anteayer anteayer de m añan a de pasado pasado m añan a ser será á vierne viernes. s. ¿Q ué día día fue ayer? ayer? a) M iérco les c) S áb ad o e) M art artes
b ) L un un es d ) Ju eves
40 . ¿C uán tos palitos hay qu e ret retirar com o m ínim o para para qu e n no o qu ede ed e n ni ingún ng ún triángu án gul lo?
a) 2 d) 4
b) 3 e) 5
c) 1
3 5 . E l seño eñ o r L azo ti tiene en e d o s h ijos ún ú n icam ent en te, ésto s a su su vez so n p ad res d e Juan Jua n y M arco, arco, respectivam ent en te. ¿Q uién uién es el ú n ico so brin o d el p ad re d el p rim o herm ano an o d el hij hijo d el padr pa dre e de M arco? arco? a) Ju an c) M ar ario e) Iván vá n
b ) E lS r. L azo d ) M ar arco
3 6 . ¿Q ué es respect especto a m íelabuel ab uelo m aterno erno del de lm ellizo d e L eone eo nel l, si la m ad re de d e Leo L eone nel l es la her h erm m ana an a de de m i herm herm ano gem gem elo? a) A bu bu elo d ) P ad re
b ) H ijo e) Y ern o
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
4 1 . E n la sigui gu ient en te f fi igur gu ra se realiza algun gu n o s m o vim ient en to s d e lo s pa lito s para p ara fo fo rm ar do d o s figu ras id én ticas cas a la o rigin al p ero ero m ás pequ pe qu eñas. eñ as. H allar elm eno r nú m ero ero d e pal pa litos que se debe deb e m over ov er p ara lo grar dicho ch o o b jeti etivo. vo .
c) T ío
3 7 . S ielengr en gran anaj aje V se m u eve en sent en tid o an a n tiho rari ario h acia d o n d e gi g iran lo s engr eng ranaj an ajes X V Iy X X IIIrespectivam va m ent en te.
a) 6 d) 9
b) 7 e) 1 2
c) 8
4 2 . E n la fi figu ra, ¿cuán ¿cu án to s d isco sco s giran en senti sentid o h o rario ? O bs : n N I
II
III
a) N o gira tod o el sistem a. b ) A n tih o rari ario - H o rari ario.
IV
(4n ) d iscos
a) 7 n + 2 d ) 9n
(2n + 1 ) di discos scos
b) 6n + 3 e) 9 n + 1
(6 n) di discos scos
c) 7 n + 1
29
R az. M atemático
43 . Jorge Jorge es elún ico com padre pa dre delpadr pa dri ino del ún ico h ijo d e la m ad re d de e R icard card o. S iJorge tam bién es hijo ú nico. nico. ¿Q u é p arentesco arentesco tiene en e e el l b isnieto eto d el p ad re d de e Jo rge, con R icardo cardo ? a) N ieto d ) H ijo
b ) H erm an o c) P ad ad re e) T ío
4 4 . U b ica lo s nú m eros : 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; ..... ; 9 en las casi ca sillas, sin repet ep etir, d e m aner an era a q u e en cada cad a a as sp a d el m o lino la sum a s sea ea la m ism a. E nton nton ces la sum a m ínim a será :
a) 1 3 d) 12
b) 15 e) 1 4
b) 8 e) 1 1
c) 9
46 . ¿C uán tas rued as se m ueven en sentido ho rari ario?
(2 n-1) ru ed edas as a) (n - 5 ) d ) (n - 2 )
a) D om o m in go c) M iérco les
b ) (n + 3 ) e) (n + 1 )
e) M art artes 49 . C oloq ue los n úm eros eros d el 1 al 12 en los círculos pequeños de m odo que cada aro aro sum e lo m ism o. H ay 4 aros, cada cad a un o engarz en garza 6 círculo s. ¿C uál uá l es esta sum a?
a) 4 4 d ) 38
30
c) 3 9
5 0 . G ild d er estaba ab a m iran d o u n retrato ato y algui gu ien le p regu eg u n tó :"¿D e q u ién es es e esa sa fo to grafía?",a lo q u e él con co n testó : "S i soy hi h ijo ún ú n ico; co ; p ero el p ad re d e éste h o m bre es el hij hijo d e m i p adr ad re". e". ¿D e qu ién era era la fo to grafía qu e est estab a m iran d o G ild d er? er? a) b) c) d) e)
De De De De De
élm ism o su su tío su padre su pri prim o su su hijo
5 1 . C o lo car en lo s 12 casillero ero s lo s núm nú m ero ero s d el 1 al a l 12 ; sin repet ep etición , de m od o qu e la sum a de d e los nú m eros eros d e las do s filas sea sea la m ism a sum a y la sum a d e lo s n ú m ero ero s d e las 6 colu m n as sea la m ism a sum a, d istin ta a la an terio r. D ar com o r res espu pu est esta elm eno r prod prod ucto d e 3 nú m eros eros ub icado s en u na m ism a f fi ila.
a) 1 2 d ) 20 b) 5 e) 1 0
b) 40 e) 4 1
c) (n + 2 )
47 . ¿C uál uá les elm eno r nú m ero ero d e pal pa litos de fósforo qu e se se deb en m over ov er par pa ra cam biar la d irección de la n ave?
a) 3 d) 8
b ) S áb ad o d ) L u n es
c) 1 6
45 . M e pregunt preguntar aron on :¿C uán tos herm ano s tengo y respo espo nd í: Tengo 8, pero pero conm igo n o som som os 9; po rqu e som som os 6 y som os 4 y ad em ás porqu porqu e s soy oy el últim o y el pri prim ero. ero. ¿D e cuánt cuá ntas as pers perso n as se ha bla? (S in co ntar ntarm m e a m í) a) 7 d) 10
4 8 . S i el d ía d e ayer ay er fu ese com o h o y, faltarí arían 3 d ías par pa ra ser lu n es. ¿Q ué día día ser será á elayer del pasado m añan a de m aña na de hoy?
c) 6
b) 14 e) 2 1
c) 1 6
TRILCE
52 . ¿C uán tos palitos se se deben d eben cam biar de p osición com o m ín im o d e la sigu ien te figu ra, p ara ob o b ten er 4 trián gu lo s eq u ilá teros con co n gruen gru en tes?
5 7 . E scriba en cada cu adr ad ro los nú m eros eros del 1 a al l8, con la con d ició n d e qu q u e la d iferen eren cia en tre do d o s nú m ero ero s veci vecino s no sea nu nca m enor que 4 . H allar la sum a d e los extr extrem o s.
a) 8 d) 6 a) 5 d) 3
b) 1 e) 4
c) 2
b) 7 e) 1 0
c) 9
5 8 . ¿C uánt uá ntas as rued as giran en senti entido ho rari ario?
53. E n e el l sigu ient en te sistem a h hay ay 9 0 e en n granaj gran ajes, ¿cuá l es la d iferencia e en n tre el n ú m ero ero d e en grana jes qu e gir giran en sen tid o h o rario co n lo s qu e gir giran en sen tid o an tih o rario ? a) 2 d) 4
b) 3 e) 0
c) 1
59 . E n u n ciert erto m es existen 5 viernes, ernes, 5 sábad áb ad os y 5 d o m in gos go s. ¿Q u é dí d ía será el 8 d el sigui gu ient en te m es?
a) 1 d) 4
b) 2 e) 0
c) 3
54. Si el día de m añana fuese uese com com o pasado pasado m añana, en to n ces faltarían 2 d ías a p artir d e h o y p ara ser dom ingo. ¿Q ué d ía de la sem sem ana será erá elm aña na delayer de h oy? a) S áb ad o c) D om o m in go e) M iércoles
b ) M ar artes d ) D o m in go
6 0 . O bserve bserve U d . la sigui gu ient en te fi figur gu ra :
b ) V iern es d ) Ju eves
55. E n u na r reu eun n ió n e es stán p resentes u n b isabu ab u elo, 3 h ijo s, 3 p ad res, 2 n ieto s y un u n b isn ieto. C ad a un u n o lan zó d o s d ado ad o s o bten bteni iend en d o en tre to do s 17 pu nto nto s. S i tod os excep to el bis bisabu ab u elo o btu btu viero ero n el m ism o valo r c cad ad a u n o y la can tid ad d e per p ers so nas na s reuni eu nid d as es la m ín im a. ¿C u ál es elm áxim o valo r o bten bteni id o p o r el bis bisabu ab u elo ? a) 9 d) 5
a) L u n es c) M iérco les e) S ábad o
b) 7 e) 1 0
c) 1 1
¿C u án to s p alito s d e fó sfo ro hab ha b rá q u e reti etirar co m o m ínim o para para que solam ente ente qu eden nu eve cuadrado cuadrado s, sin alterar su eje d e sim etría? a) 4 d) 7
b) 5 e) 8
c) 6
5 6 . ¿C uánt uá ntos os palitos se se d deben eben retirar com o m ínim o, par pa ra ob tener en er u na figu ra fo fo rm ad a p or sól sólo o 5 cuad rad os igu ales?
a) 3 d) 6
b) 4 e) 8
c) 5
31
R az. M atemático
Cl ave ves s
32
01.
c
31.
b
02.
a
32.
b
03.
c
33.
b
04.
b
34.
c
05.
b
35.
d
06.
e
36.
d
07.
a
37.
d
08.
d
38.
b
09.
d
39.
a
10.
b
40.
c
11.
b
41.
c
12.
b
42.
d
13.
e
43.
d
14.
a
44.
b
15.
b
45.
b
16.
b
46.
b
17.
b
47.
a
18.
c
48.
d
19.
b
49.
c
20.
d
50.
e
21.
c
51.
e
22.
d
52.
d
23.
e
53.
b
24.
d
54.
d
25.
b
55.
c
26.
e
56.
b
27.
c
57.
c
28.
b
58.
d
29.
c
59.
a
30.
c
60.
a
C apít ul ulo o
HABILIDAD OPERATIVA INTROD UCCIÓN UCCIÓN A ln iñ o Tr Tr i l c i t o se le pid pid e qu q u e o b tenga en ga com o respuest espu esta 6 en cada cad a fila, u tilizand o cual cua lqu ier oper op eraci ació n m atem áti ática co no cid a ¿C ó m o reso lvió vió el n iñ o trilcito el sigu ien te d esaf esa fio ?
1
1
1
2 3 3 4 4
3
5
5
5
6
6
6
7
7
7
8
8
8
9
9
9
2
2 4
6 6 6
Respuesta : .................... C o m o us u sted n otar otará á el niño T r i l c i t o t tien e qu q u e ut u tilizar sus hab h ab ilid ad es aritm éti éticas ca s co co n u n ra zon am ient en to q u e le perm p erm ita reso lver ve r el desaf de safi io. E n con secuen cia el capí cap ítu lo q ue d esarr esarro llam o s aho ra, titu lad o com o "H a b i l i d a d O p e r a t i v a " con co n siste en e n d esar esa rrolla r p ro b lem as aritm éticos, co s, algeb ráicos, co s, geo m étricos, co s, q u e ap a p arent aren tem ent en te son o p erativo s; pero con co n in gen io y hab h ab ilid ad en las o peracio nes, se po d rá resol resolver d e m aner an era a m ás si sim ple y m eno s oper op erat ativa. A cont co nti inu ació n d esarr esarro llam o s algun gu n o s pro pro blem as par pa ra q ue usted tenga en ga la id ea m ás clara de d e lo qu e trata el e l tem a. 01. Se sabe sabe que :
R O M C H IP 9999999 R O M C H IE 8765432 C alcul cu lar :
S
C H I P E R O M E
Resoluc Resoluc ión : P ara reso resol lver ve r éste pr p ro b lem a o b serven ve n lo sigui gu ient en te :
1 8
9
S um u m an 9
1 17
99
S u m an 9
1 48 6
99 9
S u m an 9
33
R az. M atemático ático
A plicand o en el pro pro blem a : R O M C H IP 99 99999 99999 99 = R O M C H IE 8 7 6 5 4 3 2
Sum an 9 Se d educe : R = 1 ; O = 2 ; M = 3 ; C = 4 ; H = 5 ; I= 6 ; E = 7 L uego, reem plazand azand o tenem os :
1 1 2 3 4 5 6 P 9 9 99 9 9 9 = 1 2 3 45 6 7 87 6 5 43 2
+ 1 E nton ces ces : P = 8 P id en :
S
C H I P E 4 5 6 8 7 R O M E 123 7
S 30 2 4 13
13
0 2 . H allar la sum a d e las cifras d el resultad o d e la sigui gu ient en te serie :
988 99988 ... 88 98 8 9988 ... 98 sum andos andos
Resoluc Resoluc ión : A com od am os con con venientem ente ente a los sum sum and o s y luego a cada uno u no le sum sum am os 12, para para hacer m ás fácil la sum sum a.
1 º
8 8
2 º
9 8 8
3 º
9 9 8 8
4 º
9 9 9 8 8
9 8 º9 9 9
(12 )
1 0 0
(12 ) (12 )
1 0 0 0 1 0 0 0 0
(12 )
9 9 8 8
1 0 0 0 0 0
(12 ) 1 0 0
0 0 0 0
1 1 1
1 1 0 0
N otam os que cada cada s um ando aum enta en u n a cifra, eso d ecir q u e la q uiere deci su m a fi fin al ten drá 1 00 cifras
A la sum a fin al le restam o s la can tid ad d e do d o ce (12 ) qu e hem h em o s sum ad o, par pa ra así h allar la sum a ver ve rd ad era era : 10 0 cifra ras s
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
0 7
0 6
(98 12 12) )
1 0 9 9
2
4
S um a real
10 0 cifras
S um a d e cifras : 9 5( 5(1 ) + 0 + 9 + 9 + 2 + 4 = 1 19 19 03. Se sabe que : 2 2 95 9995 ... .....TR ILC E 99 5 2 95 sum andos andos
C alcul cu lar : T R + I L + C E
34
Resoluc Resoluc ión : O b serven lo sigui gu ient en te :
2
2
95 = 9 5 = 9 0 2 5
10 995
2
C on secutivo de del l9
2
= 99 5 = 9 90 0 25
10 100 0 2
C on onse secut cutivo del 99
2
9995 = 9 9 9 5 = 9 9 90 0 0 2 5
10 00
C on secutivo de del l99 999 9
A pliqu em o s est esto en el problem a : 9 5
2
=
9 9 5
2
=
9 9 0 0 2 5
9 9 9 5
2
=
9 9 9 0 0 0 2 5
9 9 9 9 5
2
=
9 9 9 9 0 0 0 0 2 5
9 9 9 9 9 52
=
9 9 9 9 9 0 0 0 0 0 2 5
2
=
9 9 9 9 9 9 0 0 0 0 0 0 2 5
9 9 9 9 9 9 5
9 0 2 5
95 sum andos
T R I L C E
S um and an d o c/u d e las 6 últim as co co lum nas na s se obt o bti iene :
* 95( 95(5) 5) =
P id en :
475
R I L C 9 0 1 3 7
E * 95(2) + 47 =
T
237
C * 95(0) + 23 =
23
10
E
5
1
9
L * 9 + 94(0) + 2
=
11
I * 9 + 93(0) + 1
=
10
R * 9 + 9 + 92(0) + 1
=
19
T
0 4 . S i: a + b + c = 0 C alcul cu lar :
N
a bc
b ac
c ab
Resoluc Resoluc ión : De la con dición dici ón se despeja : * b + c= a * a + c= b * a+ b= c Reemp Reemp lazando :
35
R az. M atemático ático
N N
a bc a
a
b ac
c ab
b c b c
N 1 1 1 3 05 . D edu zca elvalo r de x, sabiend abiend o x 1 y adem adem ás : x 1 3
3
2
x 1
Resoluc Resoluc ión : H acem acem os un cam bio d e vari variable : x 1 a
a 3 2 3 a
a2 9 2 3a
a 2 9 6a a 2 6a 9 0 (a 3 )2 0
a 3 0 a= 3 Luego : x 1 3 x 1 9 x 10
x 10 0
06. Si:
x y x y 12 y ; y 0
A dem ás : M
x
y x y
Resoluc Resoluc ión :
D at ato o : 12 y
x y x y x
P id en :
x
M
y x y
12 y (M ) x y x y x y x y d iferen cia de cuadrados
36
12 y (M ) x 12 y (M ) x
2
y x
y x
2
y
y
12 y (M ) 2 y
M 1 6
0 7 . ¿En ¿E n q ué cifra term erm in a el resultad o d e la sigui gu ient en te exp e xpr resió n? S (43 44 42 43 ) 675 42 46 41 51 40
Resoluc Resoluc ión : P ara ara resolver ést éste p ro b lem a d ebem eb em o s tener en er en cuen cu ent ta lo sigui gu ient en te : n 1º (N º im par) N º im par n 2º (N º par) N º par p ar
3º ....5 4 º ....6 5 º ....1
n n n
....5
n 1
N úm eros ....6 C íclico cos s
....1
A plicand o en el problem a : S (43
44
42 43 ) 675 42 46 41 51 40
Im par
Par
S (Im par Par) .....5 .....6 .....1 S (Im par) .....5 .....7 S .....5 .....7
S .....8 0 8 . ¿En ¿E n q ué cifra term erm in a el resultad o d e la sigui gu ient en te exp e xpr resió n? TR ILC E
A (22222 )(44444 )
Resoluc Resoluc ión : P ara resol eso lver ve r este pr p ro b lem a hay h ay q u e tener en er en cuen cue n ta lo sigui gu ient en te : 1
2 2 2
2
3
24
2 4
8 16
2
5
2
6
2
7
28
32
2
9
10
64
2
128 256
2
11
212
512 1024 2048 4096
o 4
de esto se deduce que : 2 .......6 E n el pro pro blem a :
TR ILC E
A 2222 2
(44444)
o
4 o 4
A .....2
A ........6 0 9 . C alcule el val va lo r d e la sigui gu ient en te exp ex p resió n : A 0 ,27 3 0 ,81 0,73 2 0,73 3 2,19 0 ,27 2
Resoluc Resoluc ión : O rden and o la expres expresi ión tenem os :
37
R az. M atemático ático
3 2 2 3 A 0,27 2,19 0,27 0,81 0 ,73 0,73
A (0 ,27 )3 3(0,27 )2 (0,73 ) 3(0,27 )(0,73 )2 (0,73 )3 Sab em os : a 3 3 a 2 b 3 ab 2 b 3 (a b )3
A (0 ,27 0,73 )3 A (1,00 )3
A 13 1 10 . C alcular : E 3 99 100 101 10
3
9 10 11 10
Resoluc Resoluc ión : Trab Trabaj ajand an d o p o r p artes : 3 3
9 10 11 10
(10 1)(10 )(10 1) 10
D iferen erenci cia de de cuadrados 3
3
(10 2 1)(10 ) 10
(10 3 10 ) 10 10
R eem plazand azand o en la exp resi esión : E 3 9 100 101 10 10 E 3 (100 1)(100 )(100 1) 100
D iferen enci cia de d e cuad cu adr rad ado os E 3 (10 0 2 1)(10 0) 10 0
E 3 (100 3 100 ) 100 100
38
EJERCICIOS PROPUESTOS 0 1 . S i:
0 7 . ¿En ¿E n qu é cifra ter term m ina el resul esultad o d e : 4 ... ...P E R U 44 444
E (23 7 12 5 ) 115 2 26 3 31 6 ?
24 sum andos
H allar : P + E + R + U a) 1 0 d ) 15
a) 7 d ) 10
b) 1 8 e) 1 7
b) 8 e) 1 1
c) 1 6 0 8 . C alcule la sum a de d e cifras del resultad o : 2 2 111 E 111 .. .1113 ...1111
02. H allar : S + U + K + Y,si:
9
9
9
9
9
9
9
9
50 cifras ras
9
9
c) 9
21 sum sum andos
a) 2 0 4 d ) 208
b ) 2 16 e) 3 1 2
50 cifras ras
c) 2 1 2
09 . C alcular :
a) 1 7 d ) 16
9
9
9
9
R 75 2 999999
S
U
K
Y
Y d ar com o resp resp u esta la sum a d e las cifras del d elresultad o.
c) 1 9
a) 5 2 d ) 62
b) 1 8 e) 2 0
03 . C alcular (a + b), b), si sabe que qu e : 2
3
b ) 54 e) 5 6
10. R educi educir : E 8 4 6 26 626 1
4
a 5 b 5 a 5 b 5 ... ...ab a 67 sum andos
a) 2 d) 7
b) 4 e) 9
a) 5 d ) 125
b ) 10 e) 6 2 5
c) 2 5
c) 5 1 1 . H allar el valo r d e :
R 4
04 . C alcular :
C A M PE O N S e sabe sabe qu e :
C A M P E O N 9999999 ...4321568 a) 6 8 3 d ) 6 94
c) 6 0
b) 6 8 1 e) 6 5 6
c) 6 9 2
a)
3 4
b) 1
d)
5 6
e) 2
4 6 26 1 5 7 37 1
c)
1 4
12. R educi educir : 0 5 . C alcul cu lar el p ro d u cto d e las cifras d el resul esu ltad o d e efectu ar : E
a) 3 d) 2
37 3737 373737 andos) ...(159 sum andos) 53 5353 535353
b) 5 e) 1
c) 4
J 1 a) 5 1 d)
49 2
1 1 1 1 1 1 ......1 2 3 4 50
b ) 25 e)
c) 2 8 ,5
51 2
13. C alcular : a + b + b 0 6 . S i:
S i: abb 999 ......378 a) 7 b) 8 d ) 10 e) 1 1
R C H I 492 C H I M 615 C alcul cu lar :
c) 9
1 4 . S i:
0 ,R O M C ,H I ; 0 = cero (D ar co co m o respu esta la sum a d e las cifras de d e la part p arte d ecim al).
H allar las 3 ú ltim as cifras de de N 15 6
a) 2 5 d ) 27
a) 1 8 8 d ) 178
b) 2 8 e) 2 9
c) 2 6
N 37 5 ...62 5 N 42 7 ...02 1
b ) 2 43 e) 1 2 5
c) 1 7 2
39
R az. M atemático ático
2 2 . S i:
1 5 . S i:
35 35 3 3 3535 ... ...A V A
1 12 123 ... ...abc 90 1234
2 0 sum andos
9 sum andos
H allar :
H allar :a + b + c
A + V + A a) 1 2 d) 8
b) 5 e) 1 6
c) 1 7
a) 5 d) 8
1 6 . ¿C u ál es la úl ú ltim a cifra d el p ro d ucto ucto ? 3
3
3
3
b) 3 e) 9
2 3 . S i: 3
S (1 1)(2 1)(3 1)(4 1)...(20 1)
a) 0 d) 3
b) 1 e) 6
a) 2 5 d ) 81
8 2 sum andos 28 sum 8 2
2
8
2
8
2
N
E
N
a) 1 8 d ) 19
A
b ) 17 e) 1 5
c) 1 6
18 . U sand o exclusivam ente ente "4 "4 cifras 4" (4444 44 44) ) qué qu é nú m ero ero es im p o sib le fo rm ar,u sar só lo las 4 o p eraci eracio n es bási b ásicas. a) 1 5 d ) 16
b ) 11 e) 1 7
2
2 2 2 2 (15 25 35 ... 95 ) ...ab
C alcul cu lar : b a
c) 2
17. H allar: N + E + N + A en :
2
C ( 11 1.. .1) H ( 22 2... 2) 15 cifras ras
21 .
d) 0
e) x 2
a) 2 2 5 d ) 125
b) 2 5 5 e) 1 2 0
2
c) 1 5 5
2 5 . Ind icar en qu é cifra ter term m ina el resultad o d e :
A 77 7 98 33 333 99 9 99 b) 2 e) 5
c) 3
S i en tot total al hay 222 22 2 sum and os
c) 9 6
a) 4 d) 7
b) 5 e) 8
c) 6
2 7. 7 . H allar : L + U + C + H + O S i:
c) 1
4 4
6
4
6
4
4
6
4
6
4 6
4
6
4
6 4
6
4
6
L U
C
H
O
S i: 2
6 0 cifras ras
40 4040 404040 40404040 ... 37 3737 373737 37373737
2 0 . ¿C uál uá l es el resul esultado ad o d e la expr exp resi esió n? E = (x a) (x b) b ) (x c) c) ... (x z) x b) x
I ( 33 3... 3)
3 0 cifras ras
C alcul cu lar la sum su m a d e las cifras del d el resul esu ltad o d e : (C + H + I)
S i: 1a 2a 3a ... 9 a bc1
a) x
c) 8 6
26 . E fectúe la op eración y dé d é com com o res respu pues est ta la sum sum a d e cifras de d el resul resultad o :
(a b c) sum andos
b ) 1 53 e) 1 1 0
b) 4 9 e) 3 2
24. Se sabe sabe que :
a) 1 d) 4
c) 5
19 . H allar : a a a ... a
a) 3 1 5 d ) 53 6
c) 1 0
2
2
2
15 25 5 35 45 ... ...m a 4 1 sum andos
H allar : m + a+ m + a a) 1 2 d ) 10
40
b) 7 e) 1 4
c) 1 5 a) 1 8 d ) 16
b) 1 9 e) 2 2
c) 2 0
80 sum sum andos
2 8 . C alcular la sum a d e las cifras del d el resultad o d e :
E
a) 4 d ) 10
1 30 35 40 45 62 5 25
b) 5 e) 8
36 . S 4 3 5 17 257 65537 1 a) 2 5 6 d ) 128
b ) 5 12 e) 1 0 2 4
c) 6 4
c) 6 3 7 . S i:
2 9 . C alcular la sum a d e cifras del d el resultad o d e : M (888889 )2 (111112 )2
1
2
3
4
5
6
11 1 11 5 11 6 21 1 21 5 21 6 ... ....m n 2005 sum andos
H allar : (m n )n m
a) 6 0 d ) 72
b) 8 0 e) 8 6
c) 8 4 a) 1 7 5 d ) 625
b ) 2 00 e) 5
c) 2 2 5
30. Si: (a b c)2 a 25 C alcul cu lar : A ba 3 cb2 4 ac acb a) 2 0 9 3 d ) 1 09 0
b ) 2 00 0 e) 2 3 2 0
3 8 . S i: 1 12 123 ... ...abc 68 1234
c) 2 0 8 8
9 sum andos andos
C alcul cu lar : E (a b c)2 31. C alcular: A + B + C + D S ise sab sabe e:
Y d ar com o resp resp u esta la sum a d e las cifras del d elresultad o.
A B C D 999999 ......992468 a) 1 3 d ) 17
b) 1 5 e) 1 0
c) 7
a) 1 2 d ) 14
b) 9 e) 1 5
3 9 . H allar la sum a d e las cifras del d el resultad o d e:
E 243 24 3 1001001001 . ... 20 cifras ras 1
32 . C alcular a + b en : (509 )2 (605 )2 (706 )2 (802 )2 ....ab a) 8 d ) 11
b) 9 e) 1 2
c) 1 0
a) 1 8 4 d ) 175
b ) 1 78 e) 2 0 0
E 999974 999995
(176 )2 (276 )2 (376 )2 (476 )2 ....ab b) 1 3 e) 4
c) 1 5
a) 5 4 d ) 55
b ) 61 e) 5 9
5(a b c d ) a b cd b) 9 6 e) 2 4 0
c) 1 6
3 5 . S i:
6 4 M 5 7 8 C am biar d e po sició n al a lgun o s núm ero ero s d e la exp resi esió n "M " y det d eterm erm ina r el m áxim o valo valo r ent en tero ero d e d icha exp resió n . a) 7 1 d ) 61
b) 7 5 e) 7 6
c) 5 8
4 1 . C alcular el valo r d e "E "E " y dar d ar com o respu espu est esta la sum a d e sus sus cifras :
34. Si: ....3518 9999 .....abcd C alcul cu lar :
a) 4 8 d ) 4 60
c) 1 8 0
4 0 . C alcule la sum a de d e cifras del de l resultad o d e :
33 . H allar : a + b
a) 1 4 d ) 10
c) 1 3
E a) 2 d ) 11
425 375 160625 625 625 b) 6 e) 1 5
c) 7
4 2 . H allar la sum a to tal d e to d o s lo s núm ero ero s d e 20 2 0 cifras cuya sum a d e cifras sea sea 1 79 . (D ar com o respuest espu esta la sum a d e sus ci cifras) a) 1 6 9 d ) 145
b ) 1 80 e) 1 6 5
c) 1 7 0
3
43. Si: N ...376 C alcular : "a + b + c" en :
c) 7 7
N a) 9 d ) 15
3
N 6 N 9 ... N 90 ...abc
b ) 10 e) 1 3
c) 1 2
41
R az. M atemático ático
44. C alcular : G + I+ N + A
50. R educi educir : 1
L 1
1 2
1 2 3 1 2 3 1
1 1 1 1 1 1 1 .... 4 9 16 25
.... 1
88 sum sum andos
1 10000
1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 3
G IN A a) 1 4 d ) 17
b ) 15 e) 1 6
c) 1 2
a)
10 0 10 1
b)
10 0 2001
d)
10 1 10 0
e)
2001 10 0
(1984)(2016) 25 6 (95 9)(1041) 1681
N (999 ...9992 ) (999 ...998 )
5
(n 3 ) cifras ras
A
b ) 64 e) 1 0 2 4
10 1 20 0
5 1 . C alcular el valo r d e "N "N " y dar d ar com o respu respuest esta la sum a d e sus su s cifras en :
45 . R esol esolver ver :
a) 3 2 d ) 25 6
c)
a) 9 n + 1 8 d)9n - 29
c) 1 2 8
b) 9n - 20 e) 9 n + 2 0
(n 3 ) cifras ras
c) 9 n + 2 7
5 2 . H allar la sum a d e las cifras de la sum a to to tal d e : 4 6 . S i:
92 992 9992 2 ...
A B C D E F 999 . ...999 ....634528
92 sum andos
"n " cifras ras
n 6 C alcul cu lar :
a) 1 0 1 d ) 105
A B C D E F
b) 1 0 6 e) 1 0 2
c) 1 0 3
2
5 3 . S i: 3,4205 10 a 0,000 ...0034205
a) 4 d ) 25
b) 9 e) 3 6
c) 1 6
(b 2) cifras ras
C alcul cu lar : (5 + 3a)
47 . C alcular :
531438 531444 9 727 731 4
M 12
a) 4 d) 1
b) 3 e) 9
a) 3b 3 b + 18 18 c) 3b 3 b + 14 e) 3b + 15
c) 2 5 4 . S i:
m
2
48 . C alcular : (a b a) 2
2
2
99 99 9 ... ...aba 9 b ) 1 44 e) 5 0 0
1 22
c) 4 0 0
.... 1
a) 9 8 ,4 9 d ) 9 8 ,5 0
42
1 2
b)
1 3
d) 2
e)
1 5
a) 3
1 99
2
4
4
1 10 0 2
b ) 9 9 ,5 0 e) 1 0 0
c) 9 9 ,4 9
5
1 ab
m 2 n 2 ab 2 2 2 2 m n a b
12 1 12 12 1 12 12 3
ab
; n
E
49 . C alcule la sum sum a : 1
1
C alcul cu lar el val va lo r de "E ", si:
49 térm érm ino s
a) 3 6 0 d ) 42 0
b ) 3 b + 10 10 d ) 3 b + 1 2
c)
1 4
5 5 . S i: m n 32
(abc4 )
...6
a) 9 0 0 d ) 450
b ) 6 00 e) 9 9 0
c) 1 8 0 0
Adem ás : 2
n ...(x 5 ) ( 99 9...99 )
58 . H allar el valo r de "A " 224 226 50626 1
A
n cifras ras
4
9 5
8
C alcul cu le : x a) 1 d) 3
b) 9 e) 6
a) 1 d ) 225
c) 7
b) 2 e) 2 2
c) 1 5
5 9 . S i: 5 6 . Ten em em o s : 2
N 23 .....92 7
2
a b 11 2
N 25 .....22 5
2
(....) (....) 111 2
H alle las 3 ú ltim as cifras de d e N 42 y de d e com o respu espues est ta la sum a d e d ichas chas cifras.
2
(.......) (.......) 1111
a) 1 0 d) 9 x 2 y 2 11 1..... 11 ; x ,y N 10 0 cifra ras s
H allar la sum su m a d e las cifras del d el resultad o d e x + y a) 1 2 d ) 82
b) 2 6 e) 1 0 0
b ) 15 e) 1 2
6 0 . S im plificar : E 3
c) 3 5
57 . H allar el resul esultado ad o de M y dar da r com o res respu pues est ta la sum sum a d e sus sus cifras.
c) 1 3
a) 1 d) 5
(1 1023 1025 ) 9 111
b) 2 e) 7
37 32
4
c) 3
2
M (m m m ....m )
100 veces
Adem ás : m
2 20
2 4 10 82 6562 ... 1
21 fac act to res
43
R az. M atemático ático
Claves l ave ves s
44
01.
b
31.
d
02.
b
32.
c
03.
d
33.
e
04.
a
34.
b
05.
e
35.
c
06.
d
36.
a
07.
b
37.
c
08.
a
38.
b
09.
b
39.
c
10.
a
40.
d
11.
d
41.
c
12.
e
42.
a
13.
d
43.
b
14.
a
44.
a
15.
e
45.
e
16.
a
46.
a
17.
c
47.
b
18.
b
48.
c
19.
b
49.
a
20.
d
50.
c
21.
e
51.
d
22.
b
52.
c
23.
a
53.
c
24.
b
54.
a
25.
b
55.
e
26.
a
56.
e
27.
c
57.
a
28.
d
58.
a
29.
d
59.
c
30.
c
60.
d
TRILCE
C ap ít ul ulo o
4
M T OD O IND INDUU CTIV TIVOO
E l M ÉT ey es a part p artir d e la o b servaci va ció n d e lo s h echo ech o s, m ed ian te la gen eral eralizació n d el com co m p o rtaÉT O D O I N D U C T I V O crea leyes m ient en to o b servad o ; en realid ad , lo qu e realiza es un a es e sp ecie d e gene ge ner ralizació n, sin qu e p o r m ed io d e la ló gica pue p ued da con co n segui segu ir u n a d em o stració n d e las citad as leyes eye s o con co n ju n to d e con co n clu sio n es. E stas con co n clu sio n es po d ría n ser falsas y, y, al m ism o tiem p o, la ap a p licaci ca ció n p a rcia l efect efectu ad a d e la ló gica po p o d ría m an tener en er su val va lid ez; p o r eso, el mé to do i ndu ct i vo neces ne cesi ita u na cond co nd ició n ad icio n al, su apl ap licació n se cons con sid era era vál v álid a m ient en tras no n o se encu e ncuen ent tre ni n in gún gú n caso q ue no cum pla el el m o delo p rop ues uest to.
C as aso o 1
C as aso o 2
C as aso o G eneral
C as aso o 3
C asos Part P articu cul lares R azon azonam am ien ent to In d uctivo
Ejemplo 1 ¿C uánt uá nto o s triángu án gul lo s hay ha y en e n la figur gu ra m o strad a? 1 2 3
18 19 20
RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN : A n alizand o p o r p art artes, tenem en em o s : Caso 1 1 trián ángu gul lo = 1 2 1
Caso 2 4 trián gu gul lo s = 2 2
1 2
Caso 3 1
9 trián gu gul lo s = 32
2 3
45
R az. M atemático ático
E n el prob prob lem a : 1 2 3 20 2 = 400 tr triángulos 18 19 20
Ejemplo 2 H allar la sum a d e las cifras del d el resul esu ltad o d e : E
( 9 9 9 .... 9 9 5)2 101 cifras ras
RESOLUCI ÓN : A n alizand o po r p art artes, tenem en em o s :
95
Result Res ult ado
2
99 5
2
999 5 2 2 9999 5
Sum a de cifras
9025
1
9 7
990025
2
9 7
99900025
3
9 7
9999000025
4
9 7
100
C an ant tid a d de ci cifras "9" (999 ...99 5 )2 10 0 cifra ras s
Ejemplo 3 C alcul cu lar : R
1 2 4 8 16 ...... andos RESOLUCIÓN 40 sum andos 1 sum ando ;R 1
2 1 1
2 sum andos ;R
12 2
3 sum andos ;R
2
1
1 24 2 3 1
4 sum andos ;R
1 2 4 8 2
40 sum andos;R
4
1
1 2 4 8 ....... 2 40 1
46
9 7 = 90 7
TRILCE
Ejemplo 4 ¿D e cuánt cuá ntas as m aner an eras as diferent erentes es se se pued p ued e leer la p alabr ab ra "S "S E B A S T IÁ N "? S E
E
B
B
A
A
S I A N
S
T
I
A
N
T
I
A
N
T
I
A
S
T
I
A
A
S
T I
N
A
S
T
B
A
N
I A
N
N
A N
N
RESOLUCIÓN C u and an d o la pal p alabr ab ra tiene en e :
S :1 letra S
1
1 for orm m as 2 0
S E :2 letra ras s S
E E
1
2 for orm m as 2
S E B :3 letra ras s
1
1
S E B
E B
4 for orm m as 2
2
B
S E B A : 4 letras
1
S E B A
E B
A
B A
8 for orm m as 2
3
A
E n el pro pro blem a :
S E B A S T IA N :9 letras
1
2 8 = 25 6 fo rm a Ejemplo 5 ¿C uánt uá nto o s p un to s d e cont co ntact acto hab h abr rá en la figur gu ra 20? 2 0?
F ig. g.1 1
F ig.2
F ig.3
F ig. g.2 20
RESOLUCIÓN
3 pun tos de con cont tacto = 3
1 = 3(1) 1
Fig. 1 9 pun tos de cont ontact acto = 3 Fig. 2
2
2
3 = 3(1+ 2) 2
3
2
47
R az. M atemático ático
18 punt pun tos de contacto = 3
6 = 3(1+ 2 + 3 ) 3
F ig. 3
3(1+ 2+ 3+ .....+ 20) = 630 20
2
Fig. 20
48
2
21
4
TRILCE
EJERCICI EJERCICI OS PRO PUESTOS PUESTOS 0 1 . H allar la sum a d e las cifras del d el resultad o d e:
E
2 ( 111 .. ... .111 )
0 6 . ¿D e cuánt cuá ntas as m aner an eras as diferent erentes es se pued p ued e leer la p alabr ab ra "I N G R E S O "?
I
9 cifras ras
a) 8 1 d ) 49
b) 1 0 0 e) 1 2 1
I N
G
c) 6 4
G
E
2 ( 100 .. ... .005 )
b) 9 e) 8
c) 1 0
G
E
O
I N G
G
R E
S O
I
N
R
S
a) 1 9 0 d ) 220
1 05 cifras
a) 1 1 d ) 12
N
R
0 2 .H allar la sum a d e las cifras d el resul esu ltad o d e la sigui gu ient en te exp resió n :
I
R E
E
S O
b ) 1 80 e) 2 1 0
S O
O
c) 2 0 0
0 7 . ¿D e cuánt cuá ntas as m aner an eras as diferent erentes es se pued p ued e leer la p alabr ab ra "I N G R E S O "? (L as letras están sim étricam cam en te di d istrib u id as).
0 3 . ¿C uánt uá nto o s triángul án gulo s habr hab rá en e n la figur gu ra d e po p o sició n 20 ?
I
I N
N G
Fig. 1
Fig. 2
G R
F ig. 3
R E
a) 1 9 0 d ) 2 00
b) 2 4 0 e) 2 1 0
E S
c) 4 2 0
S O
O
04 . ¿C uán tos ro m bo s hay en total otal en la figur gura a m ostrada? ad a? a) 1 0 d) 8
b) 7 e) 9
c) 1 1
08 . ¿D e cuánt cuán tas m aneras aneras diferent entes es pued e ir una un a per p ers son a d e P a Q uti utilizand an d o siem pre pre el cam ino m ás co co rto ? P
1 2 3 a) 7 8 4 d ) 1 02 5
28 29 30
b ) 1 00 0 e) 9 8 1
Q
c) 9 0 0
a) 9 6 0 d ) 462
0 5 . ¿D e cuánt cuá ntas as m aner an eras as diferent erentes es se pued p ued e leer la p alabr ab ra "I N G R E S O "?
I N G R
N G
R E
c) 3 2 1
09 . ¿D e cuántas cuántas m aneras aneras diferent erentes se pu puede ede ir de A a B sin ret retro ceder en n ingú n m o m ento ento ? (S o lam ent en te se pu ed e ir en la d irecció n E ste S ur) ur) A
G R
E S
b ) 8 32 e) 9 2 4
R E
S O
a) 1 6 d ) 20
b) 2 4 e) 3 0
B
c) 1 4 a) 3 8 0 d ) 390
b ) 3 34 e) 3 0 0
c) 3 6 0
49
R az. M atemático ático
10. ¿D e cuán tas m aneras se pu ed e leer la pa lab ra "TUMEJOROPCIÓN "? T
U
1 4 . ¿D e cuánt cuá ntas as m aner an eras as diferent erentes es se pue p ued d e leer la p alabr ab ra R A Z O N A R " ? "
R
U
A
M
Z
E
E
J
A
O
J
O
J
O
Z O
N
N
O
A
O N
A
R
R
O
O
P
P
C
Z
P
C
C
I
C
I
I
O
a) 2 0 d ) 32
b) 1 8 e) 4 0
c) 1 6
1 5 . ¿C uánt uá nto o s pa pal lito s serán erán neces ne cesari ario s para fo rm ar la figur gu ra d e la po sició n 10 , sigui gu iend en d o la secu secuen enci cia m o strad a?
O N
a) 1 2 0 d ) 36 0
b ) 2 40 e) 2 1 0
;
c) 1 8 0 P1
1 1 . H allar la sum a to to tal d el sigui gu ient en te ar a rregl eg lo :
a) 1 6 0 8 d ) 1 52 6
1
2
3
4
12
2
3
4
5
13
3
4
5
6
14
4
5
6
7
15
12
13
14
15
b ) 1 72 8 e) 1 8 0 4
23
c) 1 6 2 4
O M O
R
M
R
b ) 41 e) 2 8
b) 2 8 0 e) 4 2 0
M
a) 1 8 n d ) 45n
b) 2 7 n e) 5 4 n
a) 3 0 0 d ) 90 0
a) 1 2 7 d ) 130
(33 ......34 )2
b) 1 2 8 e) 1 2 5
c) 1 2 9
1 8 . H allar la sum sum a de d e cifras d e :
E
( 99 9.... .. 99 )2 100 cifras ras
O R
c) 3 2
111 ... 111 222 .... 222 .
b ) 1 00 e) 2 0 0
c) 3 6 n
R
R
200 cifras ras
(666 ......666 )2
2 1 cifras ras
a) 1 8 0 0 d ) 720
b) 9 0 0 e) 1 0 8 0
100 cifras
c) 1 8 0
1 9 . H allar la sum a d e las cifras del de lproduct prod ucto P :
1 3 . C alcular la sum a de d e las cifras del de lresultad o d e M :
"6 n " cifras
P M
c) 3 2 0
1 6 . C alcular "M " y dar da r com o respu espu est esta la sum a de d e sus cifras.
O
O
R
R
M
M
P3
O
A
O
a) 4 0 d ) 36
R O
R
P2
E
R
R
a) 2 2 0 d ) 380
;
1 7 . C alcular la sum a d e cifras del d el resultad o d e ef efect ectu ar :
1 2 . ¿D e cuánt cuá ntas as m aner an eras as diferen erent tes se pued p ued e leer la p alabr ab ra "A M O R " ?
R
;
22 .. ... .22 9 ..... .99 99 8 10 1 cifras
a) 7 0 0 d ) 909
b) 7 0 7 e) 8 0 8
10 1 cifras
c) 7 0 9
c) 4 5 0 2 0 . H allar la sum a d e las cifras del d el resultad o d e:
1010101 .... .10 . 1 19 6 1 cifras ras
a) 5 2 0 b) 3 2 0 c) 2 9 0 d ) 480 e) 3 1 0 2 1 . ¿D e cuánt cuá ntas as m aner an eras as diferent erentes es s se e p o d rá leer la p alabr ab ra
50
TRILCE
"C A L L A D O "?
"C O M P U T A D O R A "?
C A
A
L
L
A
A
D
A
D
O
D
O
a) 5 2 d ) 50
L A D
O
O
b) 4 8 e) 4 9
D O
O a) 2 5 2 d ) 290
c) 4 4
2 2 . C alcular el val va lo r d e "S "S ", si:
S
"n " sum andos 1 3 3 5 5 7 .... n
12
22
32
C
O
M
P
U
T
O
M
P
U
T
A
M
P
U
T
A
D
P
U
T
A
D
O
U
T
A
D
O
R
T
A
D
O
R
A
b ) 2 56 e) 2 8 0
2 7 . ¿D e cuánt cuá ntas as m aner an eras as diferent erentes es se pued p ued e leer la p alabr ab ra "S E B A S T I Á N " ? S
.... n 2
S E
S E
B
a) n d) n
b) 4
c) 2 8 0
E B
A
c) 4 n
A S
n2 e) n
2
B A S
S
T
T I
T I
A
I A
A
N
2 3 . ¿C uánt uá nto o s triángu án gul lo s hay ha y en e n la sigui gu ient en te fi figur gu ra? a) 1 7 d ) 38
b ) 23 e) 4 7
N
N
c) 3 0
2 8 . ¿C u án tas cerillas se ut u tilizan p ara fo rm ar la figur gu ra 5 0 ?
200 199 198
a) 1 6 0 0 d ) 1 80 0
4 3 2
b ) 1 59 8 e) 1 6 3 4
1
c) 1 7 9 9
Fig1 Fi g1
24 . C alcular la sum a to to tal d e to d o s lo s elem ent ento o s d el sigui gu ient en te ar a rregl eg lo n u m éri érico : 3 6 9 12 60
6
9
12 15
63
9
12 15 18
66
12 15 18
21
a) 2 5 5 0 d ) 2 50 0
b ) 48 0 0 0 e) 3 60 60 0 0
69
b ) 1 22 5 e) 2 4 5 0
c) 5 1 0 0
1 ero
1
2 do
3
3 ro
7
nº
?
c) 2 4 0 0 0
2 5 . H allar la sum a d e las cifras del d el resultad o d e: R
F ig3
29 . U n p apel se dob d ob la d e la si siguiente form orm a :
60 63 66 69 11 7 a) 3 9 00 0 d ) 2 70 70 0 0
F ig2
. ... ..00 007 999 9 ..... .99 20 0 1000 3 49 7 99 201 cifra ras s 20 0 cifra ras s
a) 4 b) 2 c) 1 d) 5 e) 3 26. ¿D e cuán tas m an eras eras se pu ede leer leer la pa lab ra
¿C uánt uá nto o s d o bleces tend en d rá la enési en ésim a vez? a) 2 n
1
b) 2 n
1
c) n 2
1
d) 2 n 3 e) 2 n 2 30 . S i una un a per pers son a des d esea ea viajar de A a B po r los cam cam ino s
51
R az. M atemático ático
rep resentad esentad o s po r lín eas y so lam en te p ue d e d esplazarse azarse h acia arrib a o h acia la d erecha. erecha . B
3 4 . E n la sigui gu ient en te secuen secu enci cia gr g ráfi áfica, h allar eln ú m ero ero to tal d e cuad cua d rad o s d e la figur gu ra 60 6 0.
,
,
Fig.1 A ¿D e cuán cu án tas fo rm as di d iferentes erentes po d ría hace h acer r d icho viaje? a) 4 1 d ) 51
b ) 46 e) 5 6
c) 4 8
a) 1 2 0 d ) 240
, ........
Fig.2
F ig.3
b) 2 0 0 e) 2 4 1
c) 1 0 0
3 5 . ¿C uánt uá nto o s triángul án gulo s hay en la fi figur gu ra m o strad a?
3 1 . H allar la sum a to tal en el sigui gu ient en te ar a rreglo nu m éri érico : 1 3 5 7
19
3 5 7 9
21
5 7 9 11
23
7 9 11 13
25
... ... ... ...
... 37
19 21 23 25
20 19 18 a) 3 7 8 0 d ) 1 65 0
b ) 1 70 0 e) 1 5 0 0
c) 1 9 0 0
a) 7 7 d ) 87
32. ¿D e cuán tas m aneras se pu ed e leer la pa lab ra "TRILCE "? T R I L C
a) 7 5 d ) 80
R
b ) 65 e) 7 0
L
3 6 . ¿C uánt uá nto o s pal pa lito s hay en la sigui gu ient en te co const nstrucció n ?
I L
C E
L C
E
c) 5 0 1 2 3
3 3 . ¿D e cuánt cuá ntas as fo rm as di dis stin tas s se e lee " E S P E R A N Z A ", u n ien d o círcul cu lo s consecu con secut tivo s en el sigu ient en te ar a rreglo ?
E S S P P P E E E E R R R R R A A A A N N N Z Z A
a) 1 9 9 d ) 399
18 19 20
b) 2 7 5 e) 2 9 9
b ) 75 e) 6 4
c) 3 4 9
37 . ¿C uántos triángulos del m ism o tam año com o m áxim o se po p o d rán fo rm ar al u n ir lo s cent cen tro s de de lo s círcul cu lo s en la figu ra 2 0 ?
F ig. g.1 1
a) 8 1 d ) 70
c) 8 8
R I
C E
b) 7 6 e) 7 9
T
I L
3 2 1
F ig. g.2 2
F ig.3
c) 3 5 a) 5 1 2 d ) 361
b) 4 0 0 e) 4 4 1
c) 4 8 4
3 8 . H allar la sum a d e las cifras del d el resultad o d e:
E
99 9 ... .... ..99 9 12 50 cifras
a) 9 0 0 d ) 450 52
b) 3 6 0 e) 5 4 0
c) 6 3 0
TRILCE
3 9 . H allar la sum a d e las cifras del d el resultad o d e:
M
a) 3 0 d ) 28
66 6. ... ..66 35 "n " cifras ras
a) 3 n b) 3n + 1 d) 3(n 3(n + 2) e) 3(n 3(n 1)
b ) 14 e) 5 2
c) 3 2
45 . C alcular :
c) 3 n
1
200
99 9 ... ... 9984 0 ..... .01 10 6 25 6 100 cifras ras
101 cifras ras
4 0 . H allar la sum a d e las cifras del d el resultad o d e:
S
a) 1 0 d ) 70
2
( 99 9.... ..94 ) 20 cifras ras
a) 9 0 d ) 8 10
b) 2 7 0 e) 1 9 0
b ) 20 e) 1 0 0
c) 6 0
46. ¿C uán tos rom bos del tam año y form orm a indi ndicado cado (u n ien d o lo s cent cen tro s d e 4 circun cu n ferenci erenc ias) se pued pu ed en con co n tar en la figur gu ra m o strad a?
c) 1 8 7
41 . ¿C uán tos arcos arcos de 60º 6 0º se se fo rm arán arán en la fi figur gura a 4 0, al u n ir lo s cen tro s de d e lo s círcul cu lo s?
;
;
F (1) a) 4 2 0 0 d ) 5 10 0
;
F (2 )
F (3 )
b ) 4 60 0 e) 3 6 0 0
c) 4 8 0 0 1 2 3
4 2 . H alle elto tald e pal pa labr ab ras "D I O S " qu que e hay h ay en elsigui gu ient en te arreglo literal ral :
1
D
D 3
b ) 4 94 9 e) 3 7 4 9
c) 4 9 5 1
S
I O
2
a) 4 7 5 0 d ) 4 85 1
98 99 100
D
I O
4
4 7 . E n la figur gu ra se m uestran m filas y m colum nas na s d e ani an illo s ent en trela zado zad o s. S i el nú m ero ero to tal d e pu p u nto nto s de in ters ersecció n es 140 14 0 . H allar : m
S
I O D
S IO
10
S D
I O
3 4
2
1
S
m
1
a) 6 8 d ) 3 01
b) 2 9 9 e) 8 8 8
c) 9 2
2 3 4
4 3 . ¿D e cuán cu ánt tas m aner an eras as di d istintas ntas se se p ued e leer la pal pa labr ab ra "R E C O N O C E R " si se p u ed en rep etir letras?
m
N O C E
C
R
E R
b) 2 5 6 e) 2 5 8
a) 1 1 d) 8
C
E
R
a) 1 2 8 d ) 2 88
O
R
48 . ¿D e cuán cuánt tas m aneras aneras se pued e leer"R A D A R " ,u n iend en d o letras vec v eci in as?
c) 2 1 6
R
4 4.¿D 4.¿D e cuán cu án tas m an eras eras di d istintas ntas se pu p u ed e leer la pal pa labr ab ra "JES SIC SIC A "? J S I
S
C
R
A
R
A
R
A
D
A
R
A
R
A
R R
S I
C A
R
R
E
I
c) 9
E R
E
b ) 10 e) 1 2
I C
A
a) 1 8 2 d ) 243
b ) 81 e) 2 3 4
c) 3 2 4
53
R az. M atemático ático
49. ¿D e cuán tas m aneras se pu ed e leer la pa lab ra "TRILCITO "?
5 3 . H allar la sum a d e las cifras del d el resultad o d e: 999 1000 1001 1002 1
T T R T T R
a) 3 0 d ) 32
I R T
b) 2 9 e) 3 1
c) 2 8
T R I L I R T T R I L C L I R T T R I L C
I C L I R T
5 4 . ¿D e cuánt cuá ntas as m aner an eras as diferent erentes es se pue p ued d e leer la p alabr ab ra "YESSICA "?
T R I L C I T I C L I R T
Y
T R I L C I T O T I C L I R T
E E E
a) 2 5 5 d ) 23 0
b ) 1 27 e) 1 8 5
S S S S S
c) 6 3
S S S S S S S I I I I I I I I I C C C C C C C C C C C
50 . ¿C uál es el m áxim o núm n úm ero ero d e pun tos de inter nters secc ecci ión d e 50 5 0 rectas secant secan tes? a) 1 2 7 5
b ) 1 20 0
d ) 1 22 0
e) 1 2 2 5
A c) 1 1 7 6
a) 6 9 6 d ) 729
51 . ¿D e cuá ntas ntas m an eras eras dif diferen eren tes se p ue d e leer la exp resió n "A M O R A R O M A "? (L as letr etras est están sim étr étricam cam ent en te d istrib u id as) A
M O R A
F ig. 1
R
R O
A R
O
O
F ig. 3
a) 4 n + 1 d) n
b) 4 n e) 4 + n
c) 2 n + 1
5 6 . E n el e l sigui gu ient en te ar a rregl eg lo n u m érico, h allar "x"
M 1
A
2 3
b ) 3 60 e) 3 2 0
F ig. 2
R
R
M
a) 2 2 4 d ) 29 2
c) 8 2 1
55 . L a sum sum a del núm nú m ero ero d e triángu los de la figur gura a "n "n + 1" y el e ln ú m ero d e cuad cu ad riláter átero o s de la fi figur gu ra "n 1" 1 " es :
O
A
R
b) 7 8 1 e) 7 0 0
M O
R
A A A A A A A A A A A A
c) 2 7 2
3 5
4 7
8
12 20
5
18
9
19 37
16
20 39
76
28 48
52 . ¿D e cuán cuánt tas m aneras aneras diferent erentes se se pu ede leer en form orm a con co n tín u a la p alab ra R E C O N O C E R p ud iénd én d o se rep repet etir pud letras? ras?
x R
R E
R
C E
R
b ) 3 54 0 e) 3 2 0 0
C
C
a) 21 216
b) 42 218
d) 21 217
e) 42 217
c) 23 218
R E
C E
R
R E
O
E R
C
N
C
R E
O
O
E
a) 3 6 0 0 d ) 4 90 0
C
C
R
R E
O
E
R
R E
5 7 . ¿C uánt uá nto o s triángul án gulo s hay en la fi figur gu ra m o strad a? R
E R
R
c) 4 2 0 0
20 19 a) 1 0 7 d ) 117
54
b) 9 7 e) 9 6
4 3 2 1 c) 7 7
TRILCE
58 .C alcule el nú m ero ero de rom bo s con sólo un cuadrad cuadrad o p equ eq u eño eñ o en su in teri erio r,q u e se fo rm an alu n ir lo s centr centro s d e to d o s lo s cuad cua d rad o s d e la figur gu ra sigui gu ient en te :
60 . ¿C uánt uá nto o s pun to s de tan gencias hay en la sigui guient ente e figu ra?
1 2
1
2
a) 3 1 0 0 d ) 3 40 0
3
4
5
3
20 21
100 101102103
b ) 2 60 0 e) 2 5 5 0
a) 6 6 0 d ) 661
c) 2 5 0 0
b ) 6 80 e) 6 5 0
c) 6 9 0
5 9 . C alcular el val va lo r d e "R" "R ", si:
R
(n 2) (n 1)
(n
2 ) (n
n
1)
3 2
3 2
1 1
a)
n2 n 1
b)
n3 n 1
d)
n3 n4
e)
n3 n2
c)
1 2
n 5 n3
55
R az. M atemático ático
Claves l ave ves s
56
01.
a
31.
c
02.
b
32.
c
03.
e
33.
d
04.
c
34.
e
05.
d
35.
a
06.
c
36.
d
07.
d
37.
b
08.
e
38.
d
09.
b
39.
a
10.
b
40.
e
11.
b
41.
c
12.
e
42.
a
13.
a
43.
b
14.
a
44.
b
15.
e
45.
a
16.
e
46.
d
17.
a
47.
a
18.
b
48.
c
19.
b
49.
a
20.
e
50.
e
21.
b
51.
c
22.
b
52.
a
23.
a
53.
c
24.
c
54.
d
25.
c
55.
a
26.
a
56.
e
27.
e
57.
e
28.
c
58.
c
29.
b
59.
d
30.
d
60.
e
TRILCE
C apít ul ulo o
5
PLANTEO DE ECUACIONES
A lum n o U d . d ebe eb e saber sab er q ue las m atem atem áti áticas es u n lengu en guaj aje, po r lo tant an to pu ede ed e ser escr escrito y sob re to d o leíd o. E l o b jetivo d e este capí ca pít tulo es enseñar enseñ arl le a U d . cóm o trans an sfo rm ar nuest nu estro lengu en guaj aje com co m ú n al lengu en guaj aje m atem atem áti ático. Y así po d er plant an tear una un a ecuació n. ¿Q u ées un a ecu ec u ac i ón ? E s una un a relació n d e igual gu ald ad qu e se establ ab lece ent en tre do d o s expres expresi io nes ne s m atem áticas que tienen ene n com o m ínim o un a vari variabl ab le. E sta igu ald ad p u ed e ver v eri ificarse o n o y si es qu e se verifica, esto o curre para p ara un u n val va lo r d e su vari v aria b le o u n d eterm in ad o con co n ju n to d e val v alo res asignad gn ad o s a sus var va riab les. ¿C óm o p l an t ear u n a ecu ec u ac i ón ? 1. L eer el prob probl lem a d os veces veces. . La pri prim era para saber saber de que se se trata. La segunda segunda de m anera m ás lenta para para pod er analizar prof profund und am ente. 2 . Id ent en tifiq u e a q u é rep repr resent esen tará nu n u estra in cógn có gni ita y separ sepa re lo s dat da to s. 3 . R elacio nar na r lo s dat da to s con co n la incó gni gn ita. 4 . B u scar d o s expr exp resio n es con la p art articip ació n d e la in cógni cóg nit ta en un o d e ello s o en lo s d o s, qu e rep repr resenten lo m ism o e igual gu alar (E cuaci cua ció n fo rm ad a). a). 5 . R esol esolver la ecuaci ecua ció n. 6. C om prob prob ar los resul esultado s. Para Para un mejo r t rabajo no s ejerci ejerci taremos en la parte de tr aducción de expresio nes verbales a lenguaje simbólico. a) E l do ble de un núm ero au m entado en si siete.
b ) E l do ble de la sum sum a de d e un nú m ero con siete.
c) E l triple de d e un nú m ero ero d ism inu id o en seis.
d ) E l trip le de d e la d iferen erenci cia d e un u n nú m ero ero con co n seis.
e) L a m itad de un núm ero d ism inuido nuido en cuatr cuatro.
f) L a m itad d e la di d iferencia de d e un núm nú m ero con cuatro.
57
R az. M atemático ático
g) U n núm ero aum entado en en sus sus
h) U n núm núm ero aum aum ent entado en
2 . 3
2 . 3
i) C inco nco m enos 3 vec veces un núm ero.
j) C inco nco m enos de 3 vec veces un núm ero.
k) Yo tengo eng o en e n d inero 2 veces ve ces lo que qu e tú ti tienes ene s.
l) Yo tengo en d inero nero 2 veces m ás de lo que qu e tú ti tienes.
m ) E l triple de d e la m itad d e la sum a de d e un nú m ero ero con siete.
n ) E l triple de d e la sum a d e la m itad d e un nú m ero ero con siete
ñ) E l exces exceso o d e un núm ero sobre sobre de 10 es 5.
o) U n núm ero excede excede a 40 tant tanto com o 60 exc excede a dicho nú m ero.
p) E l cuadrado uadrado d e la sum sum a de dos núm eros. os.
q ) L a di d iferenci erencia d e los cuad cuad rados ad os de d os núm eros. eros.
r) E l cuadr cuad rado ad o de la sum a d e tres núm eros eros con con secutivos.
s) L a sum a d e cuadrado cuadrado s de tres núm eros con con secut ecutivos.
t) L a m itad del cuadr cuad rado ad o d e la di d iferenci erencia de d e 2 núm n úm eros. eros.
58
TRILCE
PROBLEMAS RESUELTOS 1.
E l preci precio d e un helad o es la m itad d e su su p recio aum entado en 5. ¿C uánt uá nto o cuestan 1 0 hel he lad o s? 4.
Resoluci Resoluci ón : P recio d el h elad o : x D el prob prob lem a :
pH
x
pH 2
x 2
Nos piden :
100 10 0 cm 50 cm 2 S i elprom prom edio de hijos que ti tiene una u na p arej areja au m enta 3 , éste ser sería d e 13 1 3 h ijo s. 10 ¿C uál uá l es el prom edi ed io d e hi h ijo s qu e tiene en e una u na p arej areja?
en sus
5
Resoluci Resoluci ón : P rom edio d e hijos = X D el prob prob lem a :
5
x 5 2 x = 10 x
X
3 (X ) 13 10 X = 10
Nos piden :
Nos piden : 10( : 10(pH pH )
P rom edio d e hijos = 10 10 (x) 10 (10 ) 100
2.
E l triple del núm nú m ero ero de alum no s es igual a los
3 del 10
núm ero de alum nos aum entados en 27. ¿C uál es el núm nú m ero ero d e alum no s? Resoluci Resoluci ón : N úm ero de alum nos : x
5.
E n el cam peo nato nato d escent escentralizado ad o la canti cantid ad de go les q u e m eti etió la U alC ristal y A lian za fu e 1 2 en to tal. S ila q u in ta p arte q u e le m eti etió alC ristales igua gu ala la sépt sép tim a p arte d e lo s qu e le m etió al A lian za. ¿C u án to s gol go les le m eti etió al C ristal? Resoluci Resoluci ón : To talgo les : 1 2
D el prob prob lem a:
3(x)
3 (x ) 27 10
3 x 3 x 27 10 x = 10 Nos piden : N úm ero de A lum nos = 10
3.
Tres Tres velas tienen en en lo ngi ng itu d es qu e se diferenci en cian en 1 cm con secut ecu tivam va m ent en te y las tres alturas su su m an tant an to com co m o la del m edio m ás 200 cm . ¿C u ál es la lo n gitu d d e la m itad d e la vel v ela in term ed ia?
G oles qu e m etió alC ristal x
G oles qu e m etió alA lian za (12 - x)
D el prob prob lem a :
x 12 x 5 7 7x = 60 - 5x x= 5 Nos piden : x= 5
Resoluci Resoluci ón : M edida d e la vela m enor = x cm cm M edida de la vela interm erm edia = (x + 1)cm 1)cm M edida d e la vela m ayor = (x + 2) cm D el prob prob lem a : x + (x + 1) + (x + 2) = (x + 1) + 200 (3x + 3) = (x + 1 + 200) 2x = 198 cm x = 99cm 99cm L uego ueg o la vel ve la inter nterm m edi ed ia m id e : (x + 1) = 100 cm cm
59
R az. M atemático ático
EJERCICI EJERCICI OS PROPU ESTOS ESTOS 01 . A cierto n úm ero par p ar se le sum sum a los dos núm eros pares pares qu e le p reced en y lo s do s im pa res qu e le siguen gu en , o bten bteni iénd o se en to tal 96 8 un id ad es. es. E lp ro d u cto d e lo s dígito s d el n ú m ero ero p ar en referencia es : a) 1 6 2 d ) 15 0
b ) 1 20 e) 6 3
c) 3 6
02 . D os pers person as acuer acuerda dan n repar repart tirse una sum a de d e di d inero nero en la relació n d e 7 es a 3; 3 ; p ero lu ego eg o d ecid en h acer ace rlo en p artes igual gu ales, p o r lo q u e un u n o d e ello s devu de vuel elve al al o tro 3 60 so les. ¿C u ál fue la su m a repar repa rtid a? a) 1 2 0 0 d ) 1 80 0
b ) 1 50 0 e) 2 0 0 0
c) 1 6 5 0
03. U n ho m bre bre com com pró pró u n rel reloj y una cadena a igual precio . P asad o al a lgún gú n tiem p o, vo lvió a com co m prar o tro relo j y o tra cad ca d ena, en a, ésta 9 0 soles m ás ba b a rata ata q u e la prim era era y aqu a qu él 60 so les m ás car caro o qu e el prim ero ero ; resul esu lta n d o el p reci ec io d el relo j el d o b le q u e el e l d e la cadena. ¿C uán to cost costó la segunda egun da cadena? caden a? a) 2 4 0 so les c) 1 8 0 so les e) 200 soles
b ) 3 0 0 so les d ) 1 5 0 so les
04 . E n un a m ansi ansión elnúm ero de d am as adultas es al de varon varon es adul ad ultos com o 3 es a 2. S ielnúm nú m ero ero de d e dam as no ad u ltas y el de varon es no ad ult ulto s so so n respect espe ctivam va m ent en te el e ltrip le y el e ld o b le d e las d am as ad a d u ltas y lo s var va ro n es ad u lto s respect espe ctivam va m ent en te y en to tal viven 72 personas. ¿C uánt uá nto o s varo varo nes ne s no ad ulto s hay ha y en la m ans an sió n? a) 1 0 d ) 20
b ) 15 e) 2 4
c) 1 6
0 5 . H allar el m eno r d e 3 en tero ero s cons con secutivos vo s, si sabem ab em o s
3 del d el m eno en o r, su m ad o s con co n la ter tercer cera part p arte del d el 4 núm nú m ero ero m edio, equi equ ivale al m ayor ayo r. qu e lo s
a) 2 2 d ) 38
b ) 21 e) 2 0
c) 2 4
06 . A un a fiest esta asisten 2 00 pers person as, as, m itad ho m bres bres y m itad m ujeres eres; ; 50 ho h o m bres bres son m ayo res de ed ad y hay tant tantas person as m ayores ayores de ed ad com o m ujeres eres m enores enores de edad. ¿C uán tas m ujeres eres son m eno res de ed ad y cuántas cuántas m ayores ayores de edad?
60
a) 7 5 y 2 5 c) 6 0 y 4 0 e) 65 y 35
b) 80 y 20 d ) 50 y 50
07 . Tres Tres am igos A , B y C tienen junt un tos 56 caram caram elos. S i B tiene 6 caram elos m enos que A y 4 caram caram elos m ás que C. H allar cuán cuá n to s caram caram elo s tienen en en ju n to s 2 d e el e llo s. a) 3 2 d ) 36
b) 2 8 e) 4 0
c) 3 4
0 8 . S i yo p erd erd iera era 5 soles y tú tú 7 soles, nu estras cant can tid ad es sería n igu ales. ¿C uánt uá nto o tengo, en go, si ent en tre lo s 2 ten tenem em o s 30 so les? a) 2 0 d ) 16
b) 1 5 e) 1 4
c) 9
0 9 . Yo tengo en go elcuád cuá d ru ple de d e lo q ue t tú ú tienes. en es. Si S itú tuv tuvi ieras eras S /. 5 m ás de lo qu e tienes, en es,yo tend en d ría 2 veces m ás de d e lo q u e tú tú tend en d rías. ¿E n cu án to se di d iferen erenci cian n u estras cant can tid ad es? a) S /. 1 5 d) S/. 60
b ) S /. 3 0 e) S/. 20
c) S /. 4 5
10 . E n u na hu ert erta se se ob serva erva que el núm ero ero d e patos patos excede exced e en 8 al nú m ero ero d e pavo pa vos s; adem ad em ás, si incluim o s 12 pavo s m ás y qui q uitam os 10 patos, patos,enton enton ces elnúm nú m ero d e pav p avo o s sería el e l trip le d el n ú m ero ero d e pat p ato o s. ¿C uál uá l es el nú m ero ero d e pat pa to s? a) 1 0 d) 9
b) 8 e) 1 7
c) 1 2
11 . A un a reuni reun ió n asistiero ero n 20 0 perso nas, na s, si el pri prim er caba llero ero b ailó con 11 d am as, el segund egu nd o con 12 , el tercer ercero o con co n 1 3 y así sucesivam va m ent en te hast h asta qu q u e el ú ltim o bai ba iló con to d as las dam da m as. ¿C uán tos ho m bres bres con con curr curriero n? a) 1 0 0 d ) 90
b) 9 5 e) 8 5
c) 1 0 5
1 2 . U na piez pieza a de tela tiene 20 2 0 m etro s d e lo ngitud . E n una un a 2 segun egu n d a com pra pra qu e se hiz hizo, se ad a d qu irió lo s d el 3 rest esto qu e h abía abía qu ed ad o d espu espu és d e la la p rim era era com pra. pra. S abi ab iend o que q ue en las d o s com pras pras se ad qu irió la m ism a lo n gitud . ¿C uánt uá nto o s m etro s se com prar praro o n la pr p rim era era vez? a) 7 d ) 13
b) 9 e) 8
c) 1 5
TRILCE
13 . U n gran gran jero ero tiene en e u n to to tal d e 56 5 6 aves ave s ent en tre p o llo s, pat pa to s y pavo pa vos s. S i tuviera era 3 po llo s m ás, 7 pat p ato s m eno s y 5 p avo s m ás, tend en d ría la m ism a cant can tid ad d e cada cad a tipo d e aves. ave s. D ar com o respu espues est ta el núm nú m ero ero de p ato s. a) 1 6 d ) 30
b) 2 6 e) 2 4
c) 1 4
14 . E n u na reuni reunión hay 5 hom bres bres m ás que m ujeres, es, luego llegaron egaron un grupo up o d e pers person as cuyo cuyo núm nú m ero ero es igual al d e lo s h o m b res in icialm ent en te presen present tes, d e m o d o qu e en la reu reuni nió ó n to d o s están en pa reja y h ay 5 0 ho m bres bres en to tal. H allar el n ú m ero de d e m u jeres eres in icialm ent en te pr p resent esen tes. a) 2 0 d ) 32
b) 2 5 e) 3 5
c) 3 0
15 . C aperuci aperucita R o ja va po r el bo sque qu e llevando evan do una un a cest cesta con m an zanas zana s p ara ara su su abu a bu elita. S i en el cam in o la d etiene en e el lo bo y le pr p regun egu n ta :¿C u ánt án tas m anz an zanas an as llevas eva s en tu cesta? C aper ap eruci ucita respo respo nd e : "L levo tant an tas decenas de cenas com o el núm ero de do cenas m ás uno ". ¿C uánt uá ntas as m anz an zanas an as llevab a C aper ap eruci ucita en su cest cesta? a) 3 0 d ) 60
b) 6 e) 1 8 0
c) 2 0
16 . U n m atrim on io que qu e tiene 2 hijos acordó acordó pesarse y lo h iciero ero n d el m o d o sigui gu ient en te. S e pesar p esaro o n lo s pad res y resultó 1 2 6 kg.; kg.; d espués espu és el papá pa pá con el h ijo m ayo r y resul esultó 10 6 kg.;y po p o r últim o la m am á con co n elhijo m eno r y resu resu ltó 8 3 kg. S e sabe sabe que qu e elhijo m ayor ayo r pesa 9 kg. m ás que qu e elm eno r. D eterm erm ine cuán to pesa el hijo m ayo r. a) 3 6 kg d ) 5 6 kg
b ) 2 7 kg e) 4 7 kg
c) 2500 2500 kg
1 8 . E n una u na reu reuni nió n se cuent cuen tan tant an to s cabal caba llero ero s com o tr tres veces al núm nú m ero ero d e dam d am as, d espués espué s que qu e se retiran 8 par pa rejas, el n úm ero ero d e cab allero ero s que qu e aún a ún qu edan ed an, , es igual gu al a 5 veces eld e dam d am as. ¿C u án to s cabal cab alleros hab ha b ían in icialm en te? a) 3 6 d ) 30
b) 4 8 e) 1 6
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
20 . U n vagón con arena arena y cem cem ento pesa pesa 50 kg.Si por cada 3 kg d e arena arena se tiene 5 kg de cem ento ento y po r cada kg del d el peso d el vagó n vacío se tiene en e 9 kg d e arena. D eterm erm ina r la can tida d d e cem ento ento qu e con tiene el vagón. a) 3 0 kg d ) 2 0 kg
b ) 2 5 kg e) 4 0 kg
c) 1 5 kg
21 . U na m ula y un caballo llevan sob sob re sus sus lom os pesad pesados os sacos aco s. L a m u la le di d ice al cabal cab allo : "S i yo to m ara do s sacos saco s de d e lo s tu yo s,m i carga sería el d o b le d e la tu ya" ya ". E lcab cab allo le d ice a la m u la :"E lcierto, per pe ro siyo to m ara d o s sacos co s d e lo s tu yo s nuest nu estras car cargas ga s se igua gu alarían ". ¿C uánt uá nto o s sacos hay ha y en to tal? a) 2 0 d ) 23
b ) 21 e) 2 4
c) 1 8
2 2 . E n un u n rect rectángul án gulo,ellargo argo excede al a lancho an cho en 2 20 0 m etro s. S i el an cho se red u ce en su tercera ercera part p arte y su largo se red u ce a su m itad , el p erím etro d el n u evo ev o rectán gul gu lo
5 d el p erím etr etro o rigin al. 9 In d icar el an cho ch o o rigin al d el rectá ectán gu lo.
es lo s
a) 1 2 d ) 40
b ) 16 e) 1 5
c) 2 0
c) 4 5 kg
17 . R epartim os 5800 kg de azúcar azúcar en 3 m ercado s. E n el pri prim ero ero d ejam o s 20 0 kilo s m ás qu e en el segund egu nd o, y en eltercero un a q uinta nta par p art te m eno s que en elsegund egu nd o. ¿C uánt uá nto o s kg dej d ejam o s en el tercer ercero ? a) 2800 2800 kg b) 3200 3200 kg kg d) 1600 kg kg e) 1400 kg kg
1 9 . E n ciert erta acad em ia cad a sal saló n ti tiene en e carpe carpet tas para para 9 alum no s, pero si se agr a grega ega 2 carpe carpet tas m ás ento ento nces po d rían sent en tars arse 8 alum no s en cada cad a carpeta. H alle la cant can tid ad d e alum no s de u no d e lo s salo nes de de la academ ia. (D ar co co m o respuest espu esta la cifra d e decen d ecenas) as)
c) 3 2
23. E n u na reuni reunión ón un o s em piez piezan an jugan jugan do , otr otros char cha rlan d o y el resto b ailan d o. L o s q u e bai b ailan son la cuar cua rta part p arte de d e lo s reun eu n id o s. D espu és 4 de d e ello s d ejan el ju ego eg o p o r el b aile, u n o d eja la ch arla p o r el ju ego eg o y 2 d ejan el b ail aile p o r la charl ch arla, con lo cua cu alresul esu lta ent en to n ces que qu e bai b ailan tant an to s com o juegan ueg an y juegan ue gan tant an to s com o cha rlan . ¿C u án tas pers p erso n as asistieron a la reun reu n ió n ? a) 1 2 d ) 28
b ) 15 e) 3 0
c) 2 4
24 . E l d ob le d e lo qu e m e fal faltarí aría p ara ara tene tener r lo qu e tú tú tend en d rías,sies qu q u e yo te d iese S /.5 ,serí sería igual gu al a 6 veces ve ces m ás de lo que qu e tengo. ¿C uánt uá nto o tengo en go, , si tú ti tienes en es 3 veces ve ces m ás de lo q ue yo tengo? a) S /. 1 0 d )S /. 5
b ) S /. 2 0 e) S /. 5 0
c) S /. 4 0
61
R az. M atemático ático
25 . S e ha of o frecido a 20 p arej arejas de novi n ovio s do s pavo s po r par pa reja. S i en el m o m ent en to d e la repar repa rtició n se ob o b serva erva qu e hab h ab ían d esap esap areci arecid o ciert erta can tid ad d e p avo s, o rd enánd ená nd o se traer tant an to s pavos pavo s co co m o la m itad d e lo s que qu edaron edaron , m ás 4 pavos pa vos. . ¿C uánt uá nto o s pavo s se o rd enar ena ro n traer? aer? a) 8 d ) 20
b ) 12 e) 2 4
c) 1 6
26 . E n un u n p art artido U vs A lianza Lim Lim a, 800 0 p erson as hacen ap u estas sobr sob re cuál cu ál sería el e l gan ga n ad o r. A l com co m enzar en zar, las apue ap ues stas favo recen al A lianz an za L im a en la pr p ro po rció n d e 3 : 2 , q u ed an d o al fina l favo av o rab le a la U en la pro pro po rció n d e 4 : 1. D iga cuán to s hinchas nch as de A lianz an za L im a se pasar p asaro n a la U. a) 7 0 0 d ) 3 20 0
b ) 1 80 0 e) 2 6 0 0
c) 5 0 0
27 . L os alum no s d e un colegio se reúnen. eún en. V iene un bus, b us,y se lleva 11 0 var va ro n es, y la relació ació n ent en tre ho h o m bres y
3 . E n el e lsigui gu ient en te bu b u s se van 9 0 10 m ujeres eres y la rel relació n d e hom ho m bres bres a m ujeres eres qu e qu edan ed an 3 es . 7 H allar elto tal d e al a lu m no s (h o m b res y m ujeres) eres) qu e se qu edar ed aro o n en la reun ió n. m u jeres restan tes es
a) 5 0 0 d ) 30 0
b ) 4 00 e) 3 2 0
c) 4 5 0
28 . E n 2 ofi oficinas A y B de d e un u n M inisteri erio h abí ab ía en e n el año añ o d e 194 2 un ciert erto n úm ero ero d e em pleado s. E n 19 43 se aum entaron 5 em pleados a A y 6 a B , resul esu ltan d o ésta con el d o ble nú m ero ero d e fun cio nar na rio s qu e A . En 1944 se aum entaron aron 2 a B y qued qu ed aro aro n 4 cesantes cesantes en A , resu ltan d o esta esta o ficin cin a co n la tercera tercera p arte d e fu n cio n ario s q u e B . ¿C uánt uá nto o s em plead o s habí hab ía en las 2 of o ficinas na s en 1942 19 42 ? a) 9 d ) 39
b ) 22 e) 4 2
c) 3 1
29 . A veriguand o el núm ero d e m iem bros bros de una un a fam ilia, un hijo var va ró n respon respon d e : "Tengo Ten go el e l d o ble de h erm erm ano an o s qu e her h erm m anas" an as"; per pe ro una un a h ija co ntes ntest tó : "M is herm herm ano an o s son el trip le de d e m is herm an as". as". E lto tal d e m iem b ro s d e esta fam fam ilia es es : a) 1 5 d) 8
62
b ) 13 e) 4
c) 7
30 . L a sum sum a de tres núm eros es 160 . U n cuar cuart to de la sum sum a d el m ayo r y el m edi ed iano an o eq uivale al m eno en o r d ism inu id o
1 de d e la d iferencia erencia en e n tre el e l m ayo ay o r y el el 2 m eno r se sum sum a el nú m ero ero d el m edi ed io, el resul esultad o es 5 7. H allar lo s núm ero ero s. D ar com o res respu pues est ta el m eno r.
en 20 y si a
a) 5 0 d ) 40
b) 2 4 e) 4 8
c) 3 6
3 1 . 24 alum no s se di d isfrazaro n d e K iko,C hilind rina o C havo. ha vo. S ab iend en d o q u e lo s alq u ileres son 1 7 0 soles, 2 5 0 soles y 28 0 so les cada un o respectivam ente. ente. ¿C uánt uá nto o s se di d isfrazaron azaron d e C ha vo, sabi ab iend o qu e 8 d isfraces fu ero ero n d e m ujer ujer y q u e gast ga staro aro n 5 05 0 so les? a) 3 d) 6
b) 1 3 e) 1 0
c) 7
32 . U n alum no h ha a obteni obtenido 420 punt p untos. os. Si se le aum entan 7 pu n to s m ás po r cada cad a pregu pregunt nta a co ntes ntest tad a tend tend ría que qu e hacer ha cer 2 p regunt egun tas m eno s para para o btener btener el el m ism o p un taje. aje. ¿C uál uá l es el núm nú m ero ero d e pr p regunt egu ntas as que cont con test estó ? a) 1 5 d ) 13
b) 1 2 e) 1 4
c) 1 0
3 3 . A l d ar un a pr p ráctica de m atem atem áti ática ob servé ervé qu e fallé tan tas pregun pregu n tas com o acer ace rté, p ero ero n o co n testé tan tas com o pun taje saqué. saqué. L as p rácticas tienen en en 2 0 p regu eg u n tas q u e se califican can así a sí: 1 0 p un to s si si está b ien respon espo n d id a. 2 p un to s si est á m al respond espo nd id a. 0 pu nto nto s no cont con testad a. ¿Q ué pu ntaj ntaje al a lcancé? a) 8 p ts. d) 12 pts.
b ) 1 0 p ts. e) 20 pts.
c) 1 6 p ts.
34 . E n un a caja vacía que p esa esa 150 gram os deposi depositam os 1 0 esferas ro jas, 1 5 esferas blan cas y 1 2 esferas azul azu les; se sabe sabe que qu e un a esf esfera bl b lanca p esa esa 2 gram gram os m ás que un a roja; un a esfera era azul, 4 gram gram o s m ás que qu e u na ro ja, 4 y un u n a esfera blan ca tiene en e un u n peso p eso igual gu al a lo s del 5 p eso de d e una u na azul. L as esferas eras del m ism o colo r tienen en en igu al p eso. H allar elp eso to tal en gram o s de d e la caja con co n las esferas en su in terio r. a) 4 5 0 d ) 300
b) 2 8 0 e) 3 2 0
c) 2 5 0
TRILCE
35 . U n asunt asunto o fue som som etido a vo tación por po r 600 pers person as y se perdi perdió, ó, ha biend o vo tad o de n uevo las m ism as pers person as so so bre bre el m ism o asunto asunto fue gan ado ad o el caso caso p o r el d o ble de d e vo v o to s por po r el qu e se hab h abí ía p erd erd id o y la nu eva m ayo ría fue fue con respe espect cto a la an teri erio r com o 8 es a 7. ¿C uán tos cam cam biaron aron de o pinión ? a) 1 4 0 d ) 1 20
b) 1 5 0 e) 9 0
c) 1 3 0
36 . E n lugar de cam inar na r a lo largo argo d e lo s 2 lados ad os de u n rectángu án gul lo (lad o m eno en o r y m ayo r).M o isésd ecid e hacer h acerl lo p o r la d iago n al, aho ah o rránd án d o se así d e cam ca m inar na r la m itad del lado ad o m ayor ayo r. H allar la razó razón n ent e ntr re el lad o m eno en o r y el lad o m ayo r d el rectá ectá n gu lo .
1 2 4 d) 5 a)
2 3 5 e) 6 b)
c)
3 4
b) 6 0 e) 1 2 0
c) 1 0 0
38 . U n ganadero ganadero com pró pró 30 caballos m ás que vacas vacas y tant an to s cerd o s com co m o vacas va cas y caba llo s ju nto nto s, p agand aga nd o p o r las vacas va cas eld o ble qu q u e po p o r lo s cab cabal allo s, ad em ás po r 2 vacas va cas pagó tanto, anto,com o po r 7 cerdo cerdo s y gastó lo m ism o tanto anto en vacas com com o en cerdo cerdo s. ¿C uánto uánto s anim ales com pró? pró? a) 2 4 0 d ) 1 20
b) 1 8 0 e) 2 0 0
c) 1 4 0
39 . L a sum sum a d e las tres cifras de u n núm n úm ero es 16. L a sum sum a d e la cifra d e las cent cen tena en as y la cifra d e las decen de cen as es es el trip le d e la ci cifra d e las uni un id ad es, y si al n ú m ero se le resta 9 9 , las cifras se in vierten . H allar el nú m ero. ero. a) 4 3 6 d ) 4 75
b) 6 2 7 e) 7 5 4
b ) 18 e) 1 2
c) 2 7
4 1 . E n 2 habi ha bitacio nes hay ha y un to tald e 90 fo cos de lo s cuales hay ha y un ciert erto núm n úm ero ero de d e fo cos p rend id o s. L uego ueg o se prend prend en tant tantos os foco foco s com o el nú m ero ero de fo cos p rend en d id o s excede exced e al d e lo s ap aga d o s, resultan d o el núm nú m ero ero d e fo cos prend prend id o s el d o ble de lo s apaga ap agad d o s. ¿C u ánt án to s estab an p rend en d id o s in icialm ent en te? a) 5 0 d ) 60
b ) 55 e) 6 5
c) 4 5
42 . U na piez pieza a rec rect tangular de papel p apel de 30cm 3 0cm po r 100 cm se agrand ará ará par pa ra fo fo rm ar otr otro rectángu án gul lo d e ár á rea igual gu al al d o b le d e la o rigin al, p ara el e llo, se a ñ ad e u n a ti tira d e igual gu al ancho an cho en to d o s lo s bo rd es. H allar elan cho d e la ti tira en e n m etro s. a) 1 0 d ) 20
37 . U na pers person a qu iere ere com prar prar 45 0 p elotas otas o po r el m ism o m o nto nto 50 po lo s y 50 sho rts. S i al final na l com pró pró el m ism o n úm ero de ob jetos de cada cad a clase. ase. H allar el nú m ero ero d e sho rt y po p o lo s com prado prad o s al final na l. a) 8 0 d ) 90
a) 9 d ) 24
b ) 0 ,0 1 e) 0 ,2
c) 0 ,1
43 . U n grupo grupo d e m on o s est está di d ivid ido en d os bandos; band os; la o ctava par pa rte d e ello s alcuad cua d rad o se so so laza en elb o sq ue, ue , m ientr entras que qu e lo s otro s doce do ce juegan ueg an en el cam po. po . L a m ayor cantidad de m onos on os que po dem os tener es : a) 4 8 d ) 56
b ) 64 e) 4 0
c) 3 2
44. U n com andante andante dis dispon e sus sus tropas form orm ando un cuad rad o y ve que le qu eda n fuer fuera a 36 ho m bres bres. . E nton nton ces po ne un ho m bre bre m ás en cada cada lado del cuad rado ad o y ve que qu e le faltan 75 ho m bres par pa ra com pletar el cuad rado. ad o. ¿C uánt uá nto o s ho m bres bres habí ha bía en ellad o d elprim er cuad rado ad o y cuán to s ho m bres bres hay ha y en la tro pa? pa ? a) 5 0 y 30 30 6 1 c) 5 6 y 30 30 6 0 e) 50 y 2 950
b ) 5 5 y 30 30 61 d ) 6 0 y 30 30 0 0
4 5 . D e cada vér v ért tice de un u n cart cartó n rect rectangul an gular d e 72 cm
2
de
área área se cor cort tó u n cuadr cuad rado ad o de 2 cm de lado ad o para para luego fo rm ar una un a caja abi a bier ert ta d e 32 cm 3 de volum en. ¿C u ál era el el p erím etr etro d el cartó n o rigin al?
c) 5 7 4
40 . D e do d o s cajas que co nti ntienen en en lap icero cero s, el segu n d o con tiene en e el d o ble qu q u e el prim ero, ero, cuand cua nd o se saca saca igual gu al canti cantid ad d e am bo s, lo que qu e cont co nti iene en e el segund egu nd o es el trip le d el p rim ero, si agregam grega m o s 2 7 lap iceros ceros a lo q u e qu eda ed a en el p rim ero ero ob tend en d ríam o s tan to s lap icero s com co m o tení en ía el e l segun segu n d o al p rin cip io. ¿C u án to s lap iceros ceros con co n ten ía al a lp rin cip io la pr p rim era caja? caja?
a) 4 8 cm d ) 3 2 cm
b ) 3 6 cm e) 3 0 cm
c) 4 5 cm
46 . H ace ace m uchos años pod ían com prar prars se pavos a S/. S/. 10; p ato ato s a S/ S /. 5 y po p o llo s a S/ S /. 0 ,5 0 . S ip u d ieron com co m p rarse arse 10 0 ani an im ales con 10 0 soles entr entre pav p avo o s,p ato s y po llo s. ¿C uá nto nto s fu ero ero n lo s po llo s? a) 7 0 d ) 80
b ) 86 e) 7 5
c) 9 0
63
R az. M atemático ático
4 7 . U n ed ificio ti tiene en e 4 pi p iso s;el n úm ero ero d e hab ha b itacio nes ne s d e cada cad a pis piso son n úm ero ero s co co n secuti ecutivos vo s crecient en tes;y cad ca d a h ab ita ció n d el ed ificio tien e tan tan ta s vent ven tan a s com o h ab itacio n es hay ha y en el respect espe ctivo p iso. S iel n ú m ero de de vent ven tanas an as del de l últim o pis piso y el nú m ero ero d e hab h abi itacio nes ne s d el pri prim er piso sum an 69 . ¿C u ánt án tas hab h abi itacio nes ne s hay ha y en el últim o pis piso ? a) 5 d) 8
b) 6 e) 9
5 2 . S i la figur gu ra repr ep resenta esenta u n cuad cua d rad o, calcular su su área. área. 2 z
1 xy
4 x 1
c) 7 3 (y z)
4 8 . U n pat pa tio tiene en e fo rm a rect rectan gul gu lar, si tuvi uv iera era 3 m etro s m ás de largo argo y 4 m etros m ás de ancho an cho sería 192 19 2m
2
m ás gran grand d e; si tuvi uv iera era 4 m etro s m eno s d e largo argo y 3 m etro s m eno s d e ancho, an cho, serí ería 158 15 8 m L as dim ensi en sio n es d el pat pa tio son so n : a) 1 0 m y 20 20 m c) 2 0 m y 30 30 m e) 10 m y 40 m
2
m ás pequeños. pequeños.
b ) 3 0 m y 40 40 m d ) 1 0 m y 30 30 m
49 . U n granj granjero ero am arr arra su su vaca en la esqu esqui ina d e su su casa. casa. É lo b serva q u e sila cuer cu erd d a fu fu era era al a largad a en e n 1 0 m , ella p o d ría ab a b arcar car cua cu atro veces ve ces el área o rigin al. E n to n ces la lo n gitu d o rigin al d e la cuer cue rd a es : 10
m 3 d ) 20 m
a)
b) 5 m
c) 1 5 m
e) 1 0 m
3 n ú m ero de d e lib ro s igual gu al a lo s del d el nú m ero ero d e libro bro s 4 ant an teri erio res a 10 1 0 p o r 7 sol so les. V end en d iénd én d o lo s to d o s a 2 p o r 3 soles gan é S /. 6 4 soles. ¿C uá nto nto s lib ro s com pré? pré? b ) 70 e) 6 5
51. En una reuni reunión
c) 6 3
1 de d e lo s asi asisten tes so so n h o m b res, 5
64
b ) 2 20 e) 2 4 0
c) 1
53 . U n grup grupo o d e abej ab ejas, cuyo n úm ero ero er e ra igual gua l a la raí raíz cuad rad a d e la m itad d e to d o el e l enjam enjam bre se se po só 8 sobr sob re un jazm ín, habi ha biend en d o d ejad o at a trás a de tod o 9 su en jam bre, bre, só lo un a ab eja d el m ism o enjam enjam bre bre revo ev o lo teab ea b a en e n to to rn o a un u n lo to, atr atraíd a po p o r el zum b id o d e una de sus am igas que qu e cayó im prud prud entem ente ente en la tram p a d e la fl flo r. ¿C uánt uá ntas as abej ab ejas se po p o saro n en e n el jazm ín? a) 6 4 d ) 72
b) 3 6 e) 8
c) 6
en un rect ectángulo uno de cuyos cuyo s lado s m ide 30m y el
3 del d ellad o d elcuad cua d rad o, elsegun egu n d o lo te se ven d e 5 en 12 40 0 soles a razón razón d e S /. 2,5 2,5 el m etro cuad rado. ad o. H allar el lad o d el terreno en o cuad cu ad rad o. o tro
a) 7 0 d ) 65
c) 1 8 0
b) 8 0 e) 4 5
c) 6 0
5 5 . E n la figura qué d iám etro d ebe tene tener r "B ". S i se sab sabe e qu e cuan d o "A " d a 10 1 0 vu eltas "B " d a ocho o cho y "C "C " d a seis.
luego ue go llegan ega n u n n úm ero ero d e per p erson sonas as igual gu al al d e las m ujeres eres pres present entes es, , aum entand o elnúm nú m ero ero d e ho m bres bres en 30 , y hay enton enton ces un nú m ero ero d e m ujeres eres qu e excede al d e lo s ho m bres bres en un nú m ero ero igual gu al al d e las m u jeres in icia lm en te pr p resent esen tes. H allar el nú m ero ero d e per p erson sonas as actu alm ent en te pr p resentes. esentes. a) 1 2 0 d ) 20 0
b) 4 e) 1 6
5 4 . U n terr erreno cuad rad o se vend e en do d o s lo tes,el pri prim ero ero
50 . C om pré pré ci cierto núm n úm ero ero d e libros bros a 4 po r 2 soles y un
a) 6 0 d ) 62
a) 9 d ) 25
A
C
B
47 cm
a) 1 2 d ) 10
b) 1 5 e) 8
c) 2 0
TRILCE
5 6 . E xp ed ició n : P lan eta L B ió lo go : P ro feso r K In fo rm e : "E l terce r d ía vim os os seres extraño añ o s,aunq au nq ue tienen en en 20 d edo ed o s en to to tal, com o no sotr otro s, tienen una un a extrem idad da d m eno s y un d edo m ás en cad a ext ex trem id ad ,lo q u e les da d a po p o r cierto, u n aspect a specto o espantoso". ¿C u án tas extr extrem id ad es tienen en en lo s seres del de l p lan eta L ? a) 3 d) 6
b) 4 e) 7
c) 5
57 . U n anci an ciano d eja alm ori orir una un a herenci herencia de 2 m n sol so les a un ciert erto n úm ero ero d e par pa rientes. entes. S in em bar ba rgo m go m de esto s renu en u ncian a su part p arte y ent e nto o nces, cada cad a un u n o d e lo s restan tes se ben ben eficia en e n n so so les m ás. ¿C uánt uá nto o s so so n lo s par pa rient en tes? a) n d ) 2m
b) m e) m + n
c) 2 n
59 . U n ed ificio const co nsta de d e 16 d epart epartam entos, uno un o s de d os h ab itacio acio n es y o tro s de 3 h ab itacio acio n es. L a renta renta m ensual ensua l d e lo s d epar epa rtam ento ento s con 3 habi ha bitacio nes ne s es d e 50 00 so les m ás que la rent renta a d e lo s peq ueñ o s, y pro pro d ucen un to tal d e 1050 10 50 00 so les po r m es. H allar la ren rent ta m ens en sua l d e lo s d epar ep art tam ent en to s m ás p equ eq u eño eñ o s,siel to tal con co n segui segu id o d e ello s es de 1 2 5 0 0 0 so les por po r m es. a) S /. 1050 10 500 0 b) S /. 1750 17 500 0 c) S /. 1300 13 000 0 d ) S /. 16 500 50 0 e) S /. 12 50 0 60 . S e tiene un cam po rectangu lar cuyo perí perím etro es 160 16 0 m . L a super sup erf ficie de d e éste terr erreno en o es e stá conf co nfo o rm ad o p o r 117 11 7 ár á rbo les equid equid istant an tes cada cad a uno u no a 4 m . H allar el largo y an a n cho ch o respect esp ecti ivam va m ent en te del d el terreno en o, si en cada cad a vért vértice hay ha y un u n ár á rbo l. a) 5 5 y 2 5 m c) 5 0 y 3 0 m e) 64 y 16 m
b) 6 0 y 2 0 m d ) 48 y 3 2 m
58 . S e ha h a cons con struido un m uro uro : elpri prim er día día se hizo 1m 3 m ás la noven n oven a par p art te d e lo que qu e qued q ued aba po r hacer; hacer; el segun do día día 2 m 3 m ás la noven novena a parte de lo que q u ed ab a, eltercer ercer dí d ía 3 m 3 m ás la no n o vena par pa rte d e lo qu e qued qu eda a y así sucesivam ente. ente. C alcular el vol vo lum en d el m uro uro sabi ab iend o qu e to d o s lo s d ías se se hi h izo la m ism a can tid ad d e la o bra. a) 96 m 3
b) 64 m 3
d) 42 m 3
e) 81 m 3
c) 72 m 3
65
R az. M atemático ático
Claves l ave ves s
66
01.
c
31.
a
02.
d
32.
b
03.
d
33.
c
04.
c
34.
a
05.
e
35.
b
06.
a
36.
c
07.
c
37.
d
08.
e
38.
c
09.
c
39.
c
10.
e
40.
b
11.
b
41.
a
12.
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42.
c
13.
b
43.
a
14.
c
44.
b
15.
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45.
b
16.
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46.
c
17.
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47.
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18.
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48.
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19.
d
49.
e
20.
a
50.
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21.
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51.
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22.
c
52.
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23.
c
53.
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24.
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25.
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55.
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26.
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56.
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28.
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58.
b
29.
b
59.
e
30.
e
60.
d
TRILCE
C apít ul ulo o
6
EDADES
En e est ste cap ca p ítu lo se deb d ebe e tener en er en cuen cue n ta q qu u e en lo s pro pro b lem as in tervi ervienen en en : sujeto s, tiem p o s y edad ed ad es.
S U J E T O S : S o n lo s p ro tago ag o n istas qu e gen ge n eral eralm ent en te son p erson ersonas as y en algun gu n o s casos caso s lo s an im ales, lo s o b jeto s, etc.
T I E M P O S : E s un o d e lo s p unt un to s m ás im p o rtant an tes, pu es si se in terpret erpreta inad na d ecuad ecua d am ente ente el tiem p o m encio nad na d o se com plicará cará la resolució n d el prob lem a. E xpres xpresi io nes com un es usado s en los prob prob lem as. T ení en ía, tení en ías, tení en íam o s,cuan cua n d o é ltení en ía , ha ce 3 a ñ o s,etc. etc. T engo en go, , tienes, en es,tenem en em o s, m i edad ed ad es,tú tuene ue nes s, la sum a d e n u estr estra s ed a d es es, e s, ... , etc. T end en d ré , tenga en gas, s,d ent en tro d e 4 añ o s,él tend en d rá ,tend en d rem o s,etc. etc.
PASADO PRESENTE FUTURO
E D A D : E s un laps ap so d e ti tiem po per pe rteneci en ecient en te a la existenci en cia d e un u n sujeto, se d a gen g ener eral alm ent en te en año añ o s, per pe ro pu ede ed e d arse en d ías o m eses eses. .
"La diferenci a de las edades edades entre dos sujeto s permanece constante"
Para un u n a m ejo r resol eso lu ció n d e lo s p ro b lem as clasificarem carem o s a est e sto s en 3 tip o s :
I.
C u an an do d o i n t er er v i en en e l a ed ed ad ad d e u n so so l o s uj uj et et o E jem plo : 3 par p art tes de lo s año s que tend en d ré den d ent tro d e 2 año añ o s. 4 ¿C uán to s años tend ré d entro d e 10 año s?
1 . H ace 8 añ a ñ o s tení en ía las
II.
C u a n do do i n t e r v i en en e en n l a s ed ed a ad d e s d e 2 o m ás su su j e t o s : A . C o n t i e m p o es es pe p e ci ci f i c ad ad o : Ejemplo : 2 . L as edad eda d es de L ucas y S ebast eb astián est están en la rel relació n d e 5 a 4 respe espect ctivam ente. ente. D entr entro d e 8 año añ o s la edad ed ad qu e tenga en ga S ebast eb astián será el d o ble de d e la ed ad q ue tení en ía L ucas uca s hace ha ce 2 añ a ñ o s. ¿C uál uá l será erá la relació n d e sus edad eda d es den de n tro d e 4 año añ o s?
67
R az. M atemático ático
B . C o n t i e m p o n o es es p ec ec i fi f i c ad ad o : Ejemplos : 3 . R o m m el le d ice a A lex : "Yo tengo en go el triple d e la edad ed ad q ue tú tení en ías cuand cua nd o yo tení en ía la edad ed ad qu e t tú ú tienes" en es". ¿C uánt uá nto o s año añ o s tiene R o m m el, si sus edad eda d es actual ua les sum an 50 año añ o s?
P asado
P resent esente e
Rom m el A lex
4 . Yo tengo en go el d o ble d e la edad ed ad q ue tú tení en ías cuand cua nd o yo tení en ía la edad ed ad qu e t tú ú tienes en es y cuan cua n d o tú tengas en gas el triple d e m i eda d, nues nu est tras edades eda des sum sum arán arán 7 5 añ o s. ¿C uán to s año s tengo ?
P asado
P resente
Fu turo uro
Tú Yo
III .
Cu ando i nt ervi enen : la edad, el el añ o de nacim ient o y el añ o act ual (o añ o de refer enci a) de uno o m ás sujetos. 5 . E n 1 98 4 Jo sé se dio cuent cue nta aq que ue su edad ed ad era era igual gu al al d o ble d del el nú m ero ero fo rm ad o po r las 2 úl ú ltim as cifras del año añ o d e su n acim iento, ento, en ese ord ord en. ¿En qué año nació José? José? A ño d e N acim iento : E dad d e José José : A ño A ctual : N o o lvid ar : S i la p per ers so n a y ya a cum plió año añ o s:
A ño n ac aci im iento +
Ed ad = A ño A ctual
Luego :
6 . E n 19 72 L ady ad y se percat percató qu e su ed ad era era igual gua l a la sum a d e las cifras del d el año añ o d e su naci n acim iento. ento. ¿En q ué año cum plió 5 añ os? A ño d e N acim iento : Edad : A ño A ctual : Luego :
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TRILCE
EJERCICI EJERCICI OS PRO PUESTOS PUESTOS 01 . M ari arilyn d ice :"D entr entro d e 16 año s m iedad eda d será 4 veces la ed ad qu e tenía h hace ace 14 año añ o s" ¿Q ué edad tengo en año s? a) 2 6 d ) 29
b) 2 0 e) 2 4
c) 1 8
02 . H ace 6 año s tenía la m itad de lo s año s qu e tend ré den tro d e 4 año a ño s. ¿C uán tos año s tend ré d dent entr ro de 10 año s? a) 2 8 d ) 26
b) 2 9 e) 1 8
c) 3 2
03 . H ace 10 añ o s tenía la m itad d e la ed ad q ue tend ré den tro d e 8 año a ño s. ¿D ent en tro d e cuán cuá n to s año s tend en d ré el d o ble d e la ed ad que qu e tuve hace h ace 8 año s? a) 1 0 d ) 16
b) 8 e) 3 4
c) 1 2
04 . D entr entro d e 12 año a ño s tend ré la edad eda d q ue tienes y hace 8 año añ o s tení en ía la tercer ercera a par pa rte d de et tu u edad ed ad . ¿C u ánt án to s año añ o s tien es?. a) 3 0 añ o s c) 2 8 añ o s e) 27 año s
b ) 3 2 añ o s d ) 2 4 añ o s
05 . L a edad de L iliana es a la edad de E m ilio com o 4 es a 7 . D ent en tro d e 10 añ o s L ilia na tend en d rá el d o ble ble de d e la edad ed ad que qu e tenía enía E m ilio hace ha ce 5 año añ o s. ¿C uánt uá nto o s año añ o s tiene en e E m ilio ?. a) 1 2 añ o s c) 9 añ o s e) 21 a ño s
b ) 1 4 añ o s d ) 1 0 añ o s
06 . H ace ace 12 año s las edades de 2 herm herm anos es estaban en relació n d e 4 a 3 y actual ua lm ente ente sus sus edad eda d es sum an 59 años. ¿D ent en tro d e cuá nto nto s año añ o s sus eda d es est estarán arán en relació n de 8 a 7? a) 1 0 añ o s c) 8 añ o s e) 6 añ os
b ) 9 añ o s d ) 7 añ o s
07 . A una pers person a en el año 197 5 se se le pregunt preguntó su edad y con testó : "Tengo Ten go en año añ o s la m itad d el nú m ero ero qu e fo rm an las do d o s últim as cifras del d elaño añ o d e m in acim ient en to ". H alla la sum a d e las cifras de d e su ed ad . a) 4 d) 7
b) 5 e) 8
c) 6
0 8 . A l p regunt egu ntar arl le a Yess Y essi ica po p o r su ed e d ad respon espo n d ió : "S i al año añ o en e n que q ue cum cu m plí lo s 16 añ o s le agrega agregan n el añ o en en q u e cu m p lí lo s 20 añ o s y sia est e ste resultad o le restan la sum a d elaño añ o en qu e na cícon elaño añ o actual ua l, o btend btend rán 14". ¿C uál uá l es la ed ad d e Yes Ye ssica? a) 1 2 d ) 27
b ) 18 e) 2 2
c) 1 5
09 . A nd rea le dice a Jesús :Yo tengo 2 4 año s y m iedad es el d o ble d e la ed e d ad q ue tú tení en ías cuand cua nd o yo tení en ía la tercer ercera a pa rte de la ed ad q ue ti tienes. en es. ¿C uá n to s añ o s tien es?. a) 2 4 d ) 27
b ) 18 e) 9
c) 4
10 . Yo tengo 30 año s y m i edad eda d es elsextupl up lo d e la edad ed ad qu e tú tú ten tení ías cuand cua nd o yo tení en ía el e l cuád cuá d rup le d e la ed e d ad q u e tienes. en es. ¿C u án to s añ o s tienes?. en es?. a) 7 d) 6
b ) 28 e) 8
c) 1 3
11 . U n coche ti tiene ah ora ora la m itad de año a ño s que qu e tenía M art artín. cuan d o el coche era era nu evo. H o y M art artín tiene en e 12 año a ño s. ¿C uánt uá nto o s año añ o s tiene en e el coch e? a) 4 d) 5
b) 6 e) 2
c) 3
12 . S on ia le di d ice a S and ra : "T ú ti tienes 18 año s,pero pero cuand o tú ten tengas gas la ed ad qu e yo tengo, eng o, la sum a d e nue n uest stras edad ed ades es será erá 48 4 8 año a ño s". ¿C uán tos año s tend rá S on ia d entro de 8 año s? a) 3 2 d ) 34
b ) 28 e) 2 6
c) 3 0
1 3 . M aría le d di ice a L uis uis : "Yo tengo en go el triple d de e la e ed d ad q ue tú tení en ías,cuand cua nd o yo tení en ía la edad ed ad qu e ti tienes, en es,y cuan cu and do tengas eng as la edad ed ad que qu e tengo, eng o, nu est estras edad eda d es sum sum arán arán 35 años". ¿Q ué ed ad tiene en e L Lui uis? a) 1 0 añ o s c) 5 añ o s e) 20 año s
b ) 1 5 añ o s d ) 2 5 añ o s
14. La edad de Yasm ín y su su enam enam orado orado sum sum an 91 años. años. L a ed e d ad d e ella es el d o ble de d e la ed e d ad qu e tení tenía a su enam orad orado o cuand o Yasm ín tenía la ed ad que qu e él tiene ahora. ¿Q ué edad ed ad ti tiene Yasm ín? a) 5 5 d ) 44
b ) 47 e) 5 2
c) 5 9
69
R az. M atemático ático
15 . L a s sum um a de las edad es actuales de 2 h erm anas es 60 año añ o s, d ent en tro d e 5 añ a ñ o s la m ayo ay o r tend en d rá el d o ble d de e la edad eda d q ue tení tenía la m eno r hace 5 año s. H allar la sum a d e las cifras de d e la ed ad actu actu ald elm ayo ay o r. a) 5 d) 8
b) 6 e) 9
c) 7
16 . ¿Q ué edad ed ad tengo, si la edad eda d q ue tenía hace 10 a ño s es la edad ed ad q ue tend ré den tro d e 50 año s com o 1 es a 4? a) 2 0 d ) 60
b ) 40 e) 3 0
c) 5 0
17 . L a edad de A nd rea es el do ble de la edad que tení tenía S ebastián cuand o A nd rea n ació; y cuand o A nd rea tenga en ga el e l d o ble de d e su pr p ro p ia ed ad , S ebast eb astián tend en d rá 30 30 años. ¿C uál es la ed ad de A nd rea? a) 6 d ) 20
b ) 12 e) 2 2
c) 1 8
1 8 . L as edad ed ades es actua les de C ristina y C arlo s est están en la relació n de d e 5 a 4 respectivam va m ent en te. L a edad ed ad q ue tend en d rá C arlo s den tro d e 5 año añ o s es igual gu al a la ed e d ad qu e tení en ía C ristin a hace ha ce 4 año añ o s. ¿C u ánt án to s año añ o s tení en ía C ristina cuand cua nd o naci na ció C arlo s? a) 8 d ) 11
b) 9 e) 1 2
c) 1 0
19 . D entro d e 10 año a ño s tend ré eldo ble de la edad ed ad que qu e tuve, sitend en d ría lo q u e tengo en go tu ve y tend en d ré, m i ed ad sería e el l trip le d e la ed e d ad q u e tengo en go. . ¿Q ué edad tuve hace 5 años? a) 3 5 d ) 20
b ) 30 e) 1 5
c) 2 5
20 . José le di d ice a W alter : "H ace 21 año s m i eda d era era la m itad d e la ed ad qu e tend rás den tro d e 4 año a ño s,cuan d o yo tenga en ga el d o b le d e la edad ed ad qu e tú tú tienes" en es". ¿Q ué ed ad tiene Jo sé? a) 2 8 a ñ o s c) 3 2 añ o s e) 11 año s
b ) 3 0 añ o s d ) 3 4 añ o s
2 1 . Jud ith t tuvo uvo su p rim er hijo a lo s 25 año añ o s, su segun d o h ijo a lo s 3 0 y 3 añ o s d espu és a su su ter tercer cer hij hijo. S i actual ua lm ente ente ( (20 20 05) 05 ) la sum a d e t to o d as las edad eda d es es 84 . ¿En qué qu é añ o nació Jud ith? a) 1 9 5 9 d ) 1 96 0
b ) 1 96 2 e) 1 9 5 6
c) 1 9 5 8
22 . L as edad edad es de do s personas on as hace "n" "n" año s est estaban en la relació n d e 1 a 3, 3 , actu actu alm ent en te sus ed ad es están en la relació n de d e 4 a 7 . S i d ent en tro d e "2n " año añ o s sus edad ed ad es
70
sum arán arán 126. H alle la sum a de d e sus edad ed ad es dent den tro d e "n" "n" año s. a) 9 0 d ) 98
b) 9 5 e) 9 6
c) 8 0
23 . D entro d e 4 años la sum sum a de las edades de 2 herm herm anos será " "k" k" año añ o s. S i hace ha ce 4 añ o s la ed ad d el m ayo r era era el triple d e la edad ed ad d el m eno en o r. H allar la ed e d ad actual ua ld el m ayo r.
a) d)
k 4 3k
b)
28
4
k 8
c)
3k
32
4
e) 3k - 2
24 . S i hubi hu biera n acido 15 año s antes, es, enton ces lo que qu e m e faltaría act a ctu alm ent en te p ara cu m p lir 78 añ o s,serí sería lo s cin co terci ercio s de la ed e d ad q ue tend en d ría sih ub iese naci na cid o 7 año añ o s después. ¿Q ué edad ed ad tend ré dentr dentro d e 5 año s? a) 3 8 añ o s c) 3 4 añ o s e) 35 añ os
b ) 3 2 añ o s d ) 3 3 añ o s
2 5 . A nto nto nio le di d ice a M arí aría : "Yo tengo en go eld o ble de d e la ed ad q ue tení en ías, cuand cua nd o yo tení en ía la edad ed ad q ue tú tienes, en es, y cuand cua nd o tú t ten engas gas el d o ble d de e la e ed d ad q ue yo tengo, en go, la d iferen erenci cia d e nu estras ed ad es será d e 8 año añ o s". H allar la ed ad d e M arí aría. a) 1 8 añ o s c) 2 4 añ o s e) 32 añ os
b ) 2 1 añ o s d ) 2 8 añ o s
26. Luis A rm ando nació en 19 ab y act a ctual ua lm ente ente ( (20 20 01 ) tiene en e una u na edad ed ad igual gu al a la sum a d e cifras de su año a ño d e na cim iento. ento. ¿Q ué ed ad tiene? a) 1 8 d ) 21
b) 2 3 e) 1 9
c) 2 4
2 7 . C eleste tuv tuvo o a lo s 16 año añ o s qui qu inti ntillizos, ho y las ed ad es d e los 6 sum sum an 8 8 años. añ os. ¿C uán tos año s tiene uno u no de lo s h hi ijo s d de e C eleste?. a) 9 d ) 10
b) 1 5 e) 1 2
c) 8
28 . U n niño que nace nace en el el año 19 ab cum plirá 9 año añ o s en el año añ o 19 ba . ¿Q ué edad cum plió en 1 983 si no es m ás de 10 ? a) 5 añ o s c) 6 añ o s e) 7 añ os
b ) 4 añ o s d ) 8 añ o s
TRILCE
29 . Las edades de 3 herm anos hace hace 2 año s est estaban en la m ism a rel relació n qu e 3 ; 4 y 5. S id ent en tro d e 2 año añ o s serán erán com o 5 ; 6 y 7. ¿Q ué ed ad tiene el m eno r? a) 8 añ o s c) 1 4 añ o s e) 18 a ño s
30. D ent entro de 2 x añ os tend ré 3 veces m ás de los año s que tuve uv e h hace ace x año añ o s. Si S ia lo s año añ o s q ue tuv tuve e agr ag rego lo s qu e tengo en go y lo s que qu e t ten end d ré, o b tend en d ría 84 . ¿Q ué ed ad tend ré dent d entr ro d e lo s m ism o s año añ o s que qu e viví?
b) 4 2 e) 4 5
c) 5 4
32 . D entro de 8 añ os la edad de José será un cuad rado p erfecto, y hace ha ce 1 6 añ o s tu vo la q u in ta p arte d e la raíz de d icho cuadr cua drad ado. o. H alle la ed e d ad d e Jo sé (d é com co m o respuest espu esta la cifra d e un id ad es). a) 8 d) 5
b) 7 e) 4
c) 6
33 . C uand o M anuel nació, E dw in tenía 4 año s y c cuand uand o L u is n ació , M anue an uel l tení en ía 6 añ o s. H o y, celebr eb ran d o el décim o cum pleaño s de L uis, E dw in d ice tener 18 añ os y M anu eld ice tener 15 añ os. ¿C uán tos sum sum an los año s q u e ello s o cul cu lta n ?. a) 2 d) 3
b) 5 e) 6
c) 4
34 . E n elm es de m ayo un est estudiante s sum um ó a los años que tiene to d o s lo s m eses eses que qu e h ha a vivid o, o bteni bteniend o com o resultad o 23 2. ¿En q ué m es nació? a) Ju lio d ) A br b ril
b ) Ju n io e) M ayo
a) 1 8 d ) 19
b ) 17 e) 2 0
c) 1 6
37 . L a edad de N ancy es eldo ble de d e la ed ad que L uis tenía hace ha ce 4 añ a ñ o s. S i la ed e d ad actu al d e L uis y la q ue tend en d rá N ancy dentro de 5 años sum sum an 3 9 año s. ¿C uán tos años año s tuvo N ancy cuando cuan do L uis nació?
b ) 4 8 añ o s d ) 7 2 añ o s
31 . C uan do nació Verón Verón ica, S oledad h abía cum cum plido 30 años. añ os. A ctualm ente ente la sum sum a de d ichas edad ed ad es es 28 año s m ás que la ed ad de M ilagros, agros, qui qu ien acaba d e cum cu m p lir m ed io siglo. ¿C u án to s año añ o s tien e P atr atricia si cuan cu an d o ella n ació ació , V eró eró n ica tení en ía 11 1 1 año a ño s? a) 1 3 d ) 24
b ) 1 añ o d ) 1 6 añ o s
3 6 . Teresa Teresa le d ice a S ilvia : "Yo tengo en go el d o ble d e la edad ed ad q u e tú ten tení ía; cuan cu an d o yo tení en ía la ed e d ad q u e tú ti tienes, en es, y cuand cuan d o tú t tenga enga s la ed ad q ue yo tengo , la sum a d e nu estras edad ed ad es ser será á 5 4 año a ño s". ¿C u ál es la ed e d ad d e S ilvia?
b ) 1 2 añ o s d ) 6 añ o s
a) 8 4 añ o s c) 8 0 añ o s e) 24 a ño s
a) 3 añ o s c) 9 añ o s e) 25 año s
a) 4 d) 7
b) 5 e) 8
c) 6
38 . E l prof profes esor or de R azon azon am iento M atem ático nació en el año de 19 ab , su h ijo en el añ o 19 ba y en el año de 1992 19 92 sus eda d es est estaban ab an en la r rel elació n d e 4 a 1 . D eterm erm inar na r la ed e d ad d el pro pro feso eso r en 19 92 . a) 2 0 añ o s c) 1 8 añ o s e) 24 año s
b ) 2 5 añ o s d ) 1 7 añ o s
39 . M anu el le d ice a G erson : "T ú t ti ienes la ed ad que qu e yo tení en ía cua nd o tú tení en ías la ed ad qu e yo tuve uv e cuand cua nd o tú tú naci na ciste. S ield o ble d de e tu ed ad m eno en o s m iedad ed ad es igual gua l a1 15" 5". . ¿C uánt uá nto s año s tenía M anuel an uel cuan do G ers erso n tenía 8 años? a) 2 0 d ) 23
b ) 21 e) 2 4
c) 2 2
40 . Yo tengo elcuádr cuád rupl up le d e la ed ad que qu e tú tení tenías cuan cuan do yo tení en ía la edad ed ad qu e tú tienes, en es,y cu and an d o tengas en gas el d o b le de m i edad, eda d, la sum a d e nuest n uestras edad es será erá 1 75. 75 . ¿Q ué edad tengo? a) 6 0 añ o s c) 3 0 añ o s e) 43 año s
b ) 2 8 añ o s d ) 4 0 añ o s
41 . M ary ary tuvo en 19 88 tant tantos años com o el prod prod ucto d e las d o s últim as cifras del d el añ o d e su n acim ient en to. ¿C uál uá l es la sum a d e cifras del nú m ero ero que qu e exp resa el año en qu e cum cum plió 15 1 5 año s?
c) A go go sto
2
35 . S ara ara ti tiene "x" "x" año s d e ed ad y José tiene "x " año añ o s. D ent en tro d e 10 1 0 año a ño s, la ed ad d e Jos Jo sé será igual gu al al d o ble
a) 2 6 d ) 16
b ) 22 e) 1 8
c) 2 4
d e la ed ad qu e tend rá S ara, ara, d ism inu id a en 7. H alle la ed ad d e Jo sé.
71
R az. M atemático ático
42 . S i M anu el tuviese ese 27 año s m eno s, el tiem po qu e hu biera era p per erm m aneci an ecid o d u rm iend en d o serí ería la q qu u inta nta p par art te d el tiem p o qu e hub h ub iese perm perm aneci an ecid o d espiert erto si es qu e tuvi uv iese 27 año añ o s m ás. S ien el e ltransc an scurs urso d e su vid a du erm erm e un prom prom edio de 8 ho h o ras diari arias. as. ¿C uán tos año s lleva d urm urm iend o? a) 1 6 d ) 15
b ) 10 e) 2 1
c) 1 2
43 . S i la ed ad que qu e tend ré den tro d e "n" "n" años se se le tom a tan tas veces com o año añ o s tend en d ré y a d icha e d ad se le resta t tan an tas veces ve ces lo s año añ o s q u e tuve uv e h hace ace "n " añ o s, com o a ño s tenía, enía, o btend btend ré 36 veces el valo r d e m i edad. ¿C uánt uá nto o s año añ o s m ás tend ré de aqu a qu ello s año añ o s que qu e tuve? uve ? a) 2 2 d ) 20
b) 9 e) 1 0
c) 1 8
44 . E n elm es de A gost gosto u na persona sum ó a los años años que tiene en e lo s m eses eses que qu e ha h a vivi vivid o y obt o btuvo uvo 226. 22 6. ¿En qué qu é m es nació d icha pers person a? a) Feb rero d ) Ju ni nio
b ) A br b ril e) M arzo
c) M ayo
45 . U n hom bre bre fue condenad o a pri prisión . Para Para que su su castigo fuer ue ra m ás dur du ro no n o le di d ijero ero n cuan cu ant to tiem po tend en d ría q u e estar allí, p ero el car carcelero era un u n tip o m u y d ecen te y el e l p reso le h hab ab ía caí ca íd o b ien. en . Preso: Vam os, ¿no pu edes darm darm e una pequ eña pis pista sobr sob re el tiem p o q u e tend en d ré qu q u e estar en est e ste lu gar ga r? Carcelero: ¿C uánt uá nto o s año añ o s tienes? en es? Preso: 25 Carcelero: Yo tengo eng o 54, 54 , d im e que q ue d ía n aciste. Preso: H oy es m i cum pleaños. eaños. Carcelero: I In creíb le, ¡Tam Ta m b ién es el m ío !, b u eno en o p o r si te sirve d e ayu a yud d a te te d iré qu q u e el e l d ía en q u e yo y o sea exact exa ctam ent en te el e l d o b le d e vi v iejo q u e tú , ese dí d ía sald rás. ¿C uánt uá nto o d ura ura la con d ena d el preso? preso? a) 4 d) 6
b) 8 e) 5
c) 1 2
4 6 . A nd rea d ice :M im ad re tiene 2 veces m iedad ed ad actual ua l, la cual cua les elséxtu plo d e la e ed d ad qu e E rik t ten ení ía, cuan cua n d o yo tenía enía 5 año añ o s m ás de la e ed d ad qu e él tiene; ene ; pero cuand cua nd o yo tenga en ga cuat cu atro veces la ed e d ad d e E rik la sum a d e nu n u estras edades eda des ser será 10 5 año a ño s. S i la m adr ad re de E rik es m ayo r por 3 año s a m i m adre. adre. ¿C uá nto nto s año s le falta a la m ad re de d e E rik par p ara a q ue tenga 70 año s de vida? da ? a) 2 d ) 11
72
b) 5 e) 3
c) 7
47 . N ataly le d ice a V anessa anessa : "C uan do yo tenía tu tu ed ad, ad , M arí aría ten tení ía 1 0 año añ o s" y V anes an ess sa le res respo po nd e : "C uand ua nd o yo tenga en ga tu tu ed e d ad , M arí aría tend en d rá 2 6 añ a ñ o s", M arí aría d ice : "S isum am o s lo s año s qu e us u stedes ed es m e llevan d e ven taja, resultará ará el d o ble d e m i edad ed ad . ¿C uál es la ed ad de la m ayor ayo r? a) 4 0 añ o s c) 3 2 añ o s e) 48 añ os
b ) 3 0 añ o s e) 2 5 añ o s
48 . S e tiene 1 6 alum no s a los cuales se les pide que qu e sum en lo s año s q ue ti tienen en en y lo s año añ o s q ue n a ciero ero n y d icho resultad o es 3200 32 00 8. ¿C uá nto nto s no cum plen plen aú n a ño s en la actua lid ad (2001)? a) 7 d) 9
b) 8 e) 1 0
c) 6
4 9 . N o rm a le di d ice a M ari ariso l:"Tengo Ten go eltriple d e la ed ad qu e tú ten ías, cuand cua nd o yo ten ía la m itad d e la ed e d ad qu e tienes en es y cu cu and an d o tengas en gas la ed ad q ue ten tengo go, , yo tend en d ré el d o ble de d e la ed ad qu e tenías enías hace 12 1 2 año a ño s". ¿C uánt uá nto o sum an las edad es actual ua les? es? a) 6 4 añ o s c) 6 3 añ o s e) 68 añ os
b ) 6 6 añ o s d ) 7 2 añ o s
50 . E n 1 932 93 2 tenía tantos antos año s com o exp resan esan las 2 ú ltim as cifras del de laño añ o d e naci n acim ient en to. A lp o ner ne r en con o cim ient en to d e m i ab u eli elito esta co in cid en cia, éste m e d ejó ejó sorprend sorprend id o al cont co ntest estarm arm e q que ue con su ed ad o currió lo m ism o. M e par pa reció im po sible, per pe ro m i abuel ab uelo m e lo d em o stró . H allar la edad ed ad de m i abu elo en 1930 19 30. . en n el siglo siglo XX . N o t a : Asumir que el nieto nació e a) 6 4 añ o s c) 8 2 añ o s e) 61 añ os
b ) 6 6 añ o s d ) 6 0 añ o s
5 1 . L iliana an a le pregun ta su ed ad al profesor d e R .M . y él p ara ara con fun d irla le respo respo n d e : "S i h ub ieran eran pas pa sad o 2 veces veces m ás lo s añ o s que qu e han h an pasad pa sado, o,m e faltaría la ter tercer cera a pa rte d e los añ os qu e sup sup o ngo qu e pa saron aron pa ra d up licar la ed ad q ue ten tengo, go, y la sum a d de e esta su pu esta edad ed ad actual ua l con m i edad ed ad actual ua l serí ería 80 8 0 año añ o s. ¿Q ué edad ed ad tiene en e el pro pro feso eso r d e R .M .? a) 20 años b) 25 años d) 35 años años e) 18 años años
c) 30 años años
5 2 . U n h ijo le d ice a su p ad re : "L a d iferen erenci cia en tre el cuadrado cuadrado de m i edad y elcuadrado cuadrado de la edad de m i herm herm ana es 95". 95". E lp ad re co n testa : "E s la m ism a qu q u e la d iferencia d e lo s cuad rados ad os de d e m iedad eda d y la de tu m adr ad re". e".(en ese ese or o rden ) ¿Q ué ed e d ad tenía enía el pad pa d re, cuan d o naci na ció su hi h ijo m ayo r?
TRILCE
a) 4 0 añ o s c) 4 7 añ o s e) 36 a ño s
b ) 4 8 añ o s d ) 5 2 añ o s
5 7 . Yo tengo eng o el triple d de e la ed ad qu e tú t tení enías cuand cuan d o yo tení en ía la ed e d ad q u e tú tienes, en es, y cua cu an d o yo tenga en ga el trip le d e la edad ed ad qu e tenías hace ha ce 6 año añ o s, tú tend en d rás 72 año añ o s. ¿C uánt uá nto o s año añ o s tení en ía un u n o d e ello s cuand cua nd o elo tro naci na ció ?
53 . C uan do yo tenga tenga eldo ble de la edad que tení tenía cuand o tú tení en ías la cuart cu arta p arte d e la ed ad q u e ten tend d rás,n u estras edades sum arán arán 40 años. ¿Q u é ed ad ten go, go , si n ue stras ed ad es al sum arlas resul esultan u n nú n ú m ero ero cuad cu ad rad o p erf erfecto y ad em ás tu edad es un núm ero entero expres expresado ado en añ os? a) 4 4 añ o s c) 2 4 añ o s e) 32 a ño s
b ) 2 2 añ o s d ) 1 6 añ o s
b) 2 8 e) 2 2
55 . A yer 14 de Junio de 1 981, 98 1, do s am igas, gas,S ari arita y Tatiana , h iciero ero n lo sigu ien te: S arita sum ó a su añ o d e naci na cim iento ento la ed ad d e Tati Tatiana, an a, y Tati Tatiana an a sum ó a su año a ño de n naci acim iento ento la ed ad d e S ari arita, se sum aro aro n d espu espu és am bo s resul esultad os, o bteni bteniénd énd ose 3 95 1. V en qu e e es stán equi eq uivo vocad cadas as y qu q u e S arita po r d istraíd a o btu btu vo u n resultad o 1 9 73 inco rrectam ent en te si S arita cum plió año añ o s ya éste añ o y Tatiana an a aú n n o. ¿C u ál es la d iferen erenci cia d e las ed ad es de d e S arita y Tati Tatian a? a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 1 8
b ) 14 e) 2 0
c) 1 6
59 . M iedad actuales 4 año s m enos de lo que q ue exact exactam ente repr ep resent esen ta el e ltrip le d e ed ad q u e tení en ías cuan cu an d o yo tení en ía el trip le d e la edad ed ad qu e tienes en es ho y; per pe ro cuan cua n d o tenga en gas s m i edad ed ad , la s sum um a d de e nu est estras edad es será erá 3 37 7a año ño s. ¿Q ué edad tengo? a) 1 4 d ) 12
c) 2 7
b ) 16 e) 1 5
58 . Tu ed ad es el d ob le de aq uella q que ue tenías cuan cuan do yo tuve uv e el d o b le de d e la ed ad qu e tu viste cua nd o cum plí 4 año añ o s. S i nu estras edad ed ad es sum an 32 3 2 año s. ¿Q ué edad tengo? a) 1 2 d ) 18
54 . E n un salón do nde nd e hay 40 alum no s, el prof profes esor or sum a lo s año añ o s d e naci n acim ient en to d e to d o s ello s y luego ue go su m a las edad ed ad es d e lo s 40 al a lum no s; a cont co nti inu ació n sum a lo s 2 resultad o s,o bten bteni iénd én d o se fin alm ent en te 78 7 8 86 8 . S ila sum a se hi hizo ayer ay er. ¿C uánt uá nto o s cum pliero ero n añ o s ya este año ? (C o nsid erar erar el año añ o 19 72) 72 ) a) 2 9 d ) 20
a) 1 4 d ) 20
b ) 16 e) A b su rd o
c) 1 5
60. C uando yo tenía un año m enos de la edad que tú tú tienes ene s, tú tení en ías 5 año añ o s m eno s de la edad ed ad qu e yo tengo en go; ; pero cua nd o tengas en gas la edad ed ad qu e yo teng o ; nu est estras edades sum arán arán 110 año s. ¿Q ué edad tengo? a) 5 2 d ) 54
b ) 54 e) 4 8
c) 5 5
c) 3
5 6 . G uillerm erm o y Fed eri erico hab h abl lan d e sus sus fam ilias: * Po r cierto p regu n ta Fed F ederi erico , ¿de qu é eda d son tu s tres hij hijas? G u illerm o co n testa: E l pro pro d ucto d e sus edad ed ad es es 36 y su sum a, casua casual lm ente ente es igual gua lal núm ero d e tu casa. casa. Tras pen sar u n p po o co Fed Fe d erico le d di ice: m e falta un d ato ato E s verd verd ad , m e hab h abí ía o lvid ad o d e aclararte qu q u e la m ayo r tiene en e oj o jo s verdes. ¿Q u é edad ed ad tiene en e la m ayo r d e las hijas de G u illerm erm o ?
a) 1 1 d) 6
b) 9 e) 8
c) 4
73
R az. M atemático ático
Claves l ave ves s
74
01.
e
31.
a
02.
d
32.
b
03.
c
33.
d
04.
a
34.
b
05.
b
35.
c
06.
c
36.
a
07.
d
37.
c
08.
e
38.
e
09.
d
39.
d
10.
a
40.
d
11.
a
41.
a
12.
c
42.
e
13.
a
43.
c
14.
e
44.
e
15.
d
45.
a
16.
e
46.
c
17.
b
47.
a
18.
b
48.
b
19.
c
49.
e
20.
c
50.
a
21.
b
51.
c
22.
e
52.
e
23.
c
53.
b
24.
d
54.
b
25.
c
55.
b
26.
c
56.
b
27.
e
57.
c
28.
a
58.
c
29.
a
59.
e
30.
b
60.
b
TRILCE
C a pít ul ulo o
M Ó V I LES
7
E n es e ste capí cap ítulo, verem verem o s pro pro blem as de m ó viles enm arcad arcado o s den tro d el m o vim ient en to rectilín eo u nif nifo rm e, d o nd e la acel a celeraeració n es igual gu al a cer ce ro. N o o lvid ar :
D ond e : d D istan cia v V elo cida dad d t Tiem po
d t
V d = v .t
V
d t
d V
t
Adem ás :
T I E M P O D E E N C U E N T RO RO 20m /s
30m /s (2)
(1)
200m E n 1 segund egu nd o junt un to s recorren (20 + 30 ) = 50 m , par pa ra que q ue o curr curra el encuent encu entr ro, jun to s d eben eb en recorr recorrer los 20 0 m que qu e lo s
20 0 50
separa, ent en to nces el tiem po q ue van a em p lear ea r será erá :
4s
tencuentro
d V
1
V
2
T I EM EM P O D E A L C A N C E
30m /s
20m /s
(1)
(2)
100m
E n 1s 1 segun d o la per p ers so na (1) d esco esco ntar ntará á 10m 1 0m = (30 - 20) 20 ), par pa ra que q ue o curr curra el alcance el d escuen escuen to d ebe ser d e 10 0 m . E nto nto nces eltiem po que qu e van va n a em e m plear será erá :
10 0 10
10 s talcan ce
d V1 V 2
75
R az. M atemático ático
N o t a : Para P ara ap licar car t
encue en cuentr ntro
o t
alcan ce
am bo s m ó viles d eben ebe n d e par p art tir sim ultáneam án eam ente. ente.
n iño ha estado ad o cam inan d o d urant urante e 20 h oras oras. . S i hubi hu biera era cam inad o 2 ho ras m eno s, con u na velocidad da d E j em em p l o 1 : U U n ni m ayor en 10 K m /h, hab ría rec recor orr rido 10 km m enos. ¿C u ál es su su velo cid ad ?
Resoluci Resoluci ón : Caso Real
Caso Supuesto
V
X Km /h
V
1
1
(X + 10) Km /h
t1
20 h
t1
18 h
d
2 0X 0X K m
d
18(X+ 10) Km
1
1
Po r cond con d ició n d el pro pro blem a : d
1
d
2
10 K m
20X - 18(X + 10) = 10 X = 95 95 S u velo cidad da d es 95 K m /h
Ejemplo 2 : U n tren d em o ra 3 m inut nu to s par pa ra pasar p asar d elant an te de d e un o bservad o r y 8 m inu to s par pa ra atr atravesar com pletam ente ente un tún el d e 25 0 m d e lo ngit ngitud . C alcul cu le la vel ve lo cid ad d el tren. en . O bs bser ervador vador
t = 3m in
L
L
Para qu e el tren pase delante del observado r la distancia distancia que debe recorrer es su propia longitud
t= 8m in
250m
L
t= 5m in
t= 3m in
El tren va a recorrer recorrer 250m en 5min , por lo tan to su velocidad se será rá::
sale d el C uzco a A requ ipa un aut au to a 40 4 0 K m /h y se cruza to d o s lo s días a las 11 : 00 h con un Ejemplo 3 : Tod o s lo s días sal aut au to q ue sale de d e A requi eq uipa a C uzco a u na velo cid ad d e 35 3 5 K m /h. C iert erto d ía el aut au to q ue sale del d elC uzco encuen en cuent tra m alo grad grado o al o tro a las 12 1 2 : 45 h. ¿A qué qu é ho ra se m alogró ogró ese auto ?
76
TRILCE
Resoluci Resoluci ón : 11:00 11: 00 h 40Km /h
35Km /h
A requ ipa
C uz uzco co 1h 45 m in 1
3 h 4
7 h 4 12: 12 :45 h
40Km /h
35Km /h
t= 1h 45m in
C uz uzco co
d = 70 K m
d
40
7 h 4
A requ ipa
70 K m S e m alogr ogró ó
S i el aut au to qu e salió d e A requ ipa no se hub h ub iese ese m alo grad grado, o, lo s 70K m lo s hub iera era recorr recorrid o a u na velo cid ad d e 35 3 5 K m /h en en un ti tiem po d e
70 35
2 horas , y se h ub iera era enco en cont ntr rad o co n el o tro aut a uto o a las 11 :00 :00 h com o d e costu m bre. Po r lo tant an to en e n el
m o m ento ento q ue se m alo gró gró fal faltaba ab a par pa ra las 11 : 00 h, 2 ho h o ras. S e m alo gró gró a las 11 : 00 h - 2h = 09 : 00 h ebre y una un a to rtuga par pa rten sim ultáneam án eam ente ente d e u n m ism o punt pu nto, o, la to rtuga recorre en cada cad a m inu to 10 m E j em em p l o 4 : U na liebre y la liebr eb re 10 1 0 0m , siam bo s se di d irigen haci ha cia u n m ism o p un to y ad a d em ás la liebr eb re llega a la m eta y regresa egresa do nd e la to to rtuga, ug a, lu ego eg o va v a a la m eta y reg regr resa do d o n d e la to rtu ga y así sucesivam va m ent en te, h asta qu q u e am b o s llegan eg an ju n to s a la m eta. S i la to rtu ga recorr ecorrió 2K 2K m . ¿C u án to s kiló m etr etro s reco rrió la liebr eb re?
Resoluci Resoluci ón : "C u an d o lo s tiem p o s em p lead ea d o s son igual gu ales, las di d istan cias recor eco rrid as so so n d irectam ent en te pr p ro p o rcio n ales a la vel v elo cid ad q u e lleva ev a n "
V to rtu ga 10 m /m in
d
V
d
lieb re
100 m /m in
to rtu ga lieb re
2 km
? km
N o tam o s que qu e la vel v elo cid ad d e la liebr eb re es e s 10 veces veces la vel ve lo cid ad d e la tortu ga, ga ,p o r lo tan to la d istancia to to talq ue recor reco rre la liebr eb re es 10(2km 10(2km ) = 20km
Ejemplo 5 : U n alum no qu iere ere suicid ars arse y p ara ara esto va co n su aut au to a u na velo cid ad d e 30m 3 0m /s directam ente ente cont co ntr ra una u na p ared ared. . S i en un instant an te de d e su su m o vim ient en to to to ca la bo b o cin a y luego ue go d e 2 segund segu nd o s escu escu cha el eco. ¿A qu é d istanci an cia d e la p ared to có la b o cin a? (V elo cid ad d el so n id o : 34 0 m /s) Resoluci Resoluci ón : E l aut au to en 2 segund egu nd o s recor eco rre : 2 30 60 m E l soni son id o en 2 segund segu nd o s recor eco rre : 2 340 34 0 68 0 m
30m /s
310m
60m
Pared
310m
Tocó la bo cina a : 60 + 310 = 370 m de la pared pared
77
R az. M atemático ático
EJERCICIOS PROPUESTOS 0 1 . Juana Jua na se dirige desde d esde su casa a la acad a cadem em ia,en b icicleta, em plean d o u n ti tiem po d e 30 m inu to s; pa ra vo lver, aum au m enta enta su velo cid ad inicial en 4 m /m in, d em o ránd án d o se est esta vez 6 m inut nu tos m eno s. ¿C u ál es la d istan cia q ue reco rrió en to tal? a) 9 6 0 m d ) 8 80 m
b ) 9 20 m e) 9 4 0 m
c) 8 6 0 m
02 . Félix va de A a B en d o s hor ho ras. A lvol vo lver, com o él h a recor eco rrid o 1 1m m ás po p o r m in uto, uto, ha recor eco rrid o eltrayect aye cto en 15 m inutos nutos m enos. enos. H allar la d istan cia en tre A y B . a) 1 0 ,7 5 km c) 8 ,8 4 km e) 9,24 9,24 km
b ) 1 2 ,5 km d ) 1 1 ,5 km
03 . L a rapi rapid ez de 2 m óviles so n ent en tre sí sí com o 3 es a 4. ¿D entr entro de cuán to tiem po est estarán arán sepa rad os u na d istan cia d e 6 0 km , si pa rtiero ero n ju n to s en el m ism o sent en tid o, sabiend en d o ad em ás q ue la d iferen erenci cia d e sus velo cid ad es es d e 10 km /h? a) 6 h d) 9 h
b) 7 h e) 5 h
b ) 1 2 0 km /h d ) 1 3 5 km /h
b) 5 s e) 7 s
c) 6 s
0 6 . Ped ro y Juan Jua n inicialm ente ente sepa separ rad o s una un a d istanci an cia de de 10 30 m , cor co rren al encue en cuent ntr ro elu no d elo tro, a razó razón n de 65 m /m in y 85 8 5 m /m in respect espectivam ent en te, siPed ro salió 2 m in uto uto s ant an tes qu e Juan Ju an y el e lencuen en cuen tro se prod ujo ujo ju sto al m edi ed io d ía. ¿A qué qu é h ora ora se pus pu so a cor co rrer Juan ? a) 1 1 h 3 8 m in c) 1 1 h 4 2 m in e) 11 h 4 9m in
78
b) 20 s e) 5 0 s
c) 4 0 s
08 . D os tr tran sbo rda d ores ores cuyas cuyas lon gitud es so n 1 20 y 1 8 0 m , se despl d esplazan en senti sentid o s con co n trario s y rectilín eo s con velo cid ades ad es de 7 m /s y 23 m /s respectivam ente. ente. ¿C uán to ti tiem po dem oran oran en cruzarse? a) 1 3 s d ) 35 s
b) 10 s e) 3 0 s
c) 2 3 s
09 . A less essand ro y L ucas est están separado eparado s 600 m y part parten al m ism o tiem po al encuent encu entr ro uno u no d el o tro. D espu espu és d e cuán to tiem po est estarán arán separado s 20 0 m etro s po r segun d a vez, si las velo cid ad es de A lessand an d ro y L u cas so n 20m 2 0m /s y 30 m /s respect espectivam ent en te? a) 2 0 s d ) 24 s
05 . A lex y Lu isa di d iscuten acal a calo rad am ente ente en un a de d e las esq esq uinas na s d e la aveni ave nid a A requi eq uipa, pa , d e pront pron to d an po r term erm in ad a su relació ació n p artien d o en d ireccio n es pe rpe nd iculares ares con velo cid ad es d e 1 6 y 12 m /s respect espe ctivam va m ent en te. ¿D espu és d e qu é tiem p o esto s per pe rso n ajes estarán a un a d istanci an cia d e 90m 9 0m , lam entan entand d o su d ecisió n? a) 4 s d ) 4 ,5 s
a) 3 0 s d ) 35 s
c) 8 h
0 4 . V iajand an d o a 100 1 00 km /h u n p ilo to llegarí egaría a su d est estino a la s 1 9 h o ras. V iajan ajan d o a 15 1 5 0 km /h llega ría a las 17 horas. ¿C o n q u é vel ve lo cid ad d ebe eb e viajar si d esea llegar egar a las 18 18 horas? a) 1 2 5 km /h c) 1 3 0 km /h e) 132 km /h
07 . T res aut au to s se d esplazan en un a p ista circular co co n velo cid ad es qu e son p ro p o rcio n ales ales a 4 ; 5 y 7 respectivam ent en te. S i la su su m a de d e lo s tiem po s qu e ha tard ard ad o cada cad a uno u no en d ar una vuel vu elta a la p ista es 2m in 46s. ¿C uál uá l es el tiem po qu e ha h a tard ard ad o elm ás velo z en d ar u na vuel vu elta?
b ) 1 1 h 54 54 m in d ) 1 1 h 57 57 m in
b) 32 s e) 1 8 s
c) 1 6 s
10 . U n tr tren ti tiene q ue recor recorr rer 36 0 km en un tiem po d eter eterm m ina d o. E n la m itad d el traye cto tu tu vo q u e d eten eten erse erse du d u ran te 1 h o ra y en e n el e l resto d el reco rrid o aum entó su velocidad en 2 km /h. ¿C uánt uá nto o tiem po em p leó el tren en el viaje? a) 3 0 h d ) 24 h
b) 20 h e) 2 8 h
c) 2 5 h
11 . D os m óvil óviles separad eparad os por una d istancia d e 12 0m p arten en senti sentid o s opu op u esto s u n o al encu en cuen ent tro d el o tro sim ultán eam ente ente con v elocid ad es d e 4m /s y 6m /s, respect espe ctivam va m ent en te. ¿Lu ego d e cuán tos segun segun d os se se encon traro aro n p o r segu n d a vez, v ez, si ello s llegan eg an a reco rrer lo s 12 0 m y vuel vu elven a su pu p u nto nto d e par p art tid a? a) 1 2 seg d) 30 seg
b ) 1 8 seg e) 36 seg
c) 2 4 seg
12. U n cam ión em plea 8 seg seg en pasar pasar delante ante de un o bservad o r y 3 8 seg en recorr ecorrer una estació n d e 1 20 m d e lo n gitu d . H allar la lo n gitu d d el cam ió n . a) 4 5 m d ) 32 m
b) 38 m e) 6 0 m
c) 3 0 m
TRILCE
13 . D os autos part parten de un m ism o pun to y se se m ueven en en el m ism o senti sentid o co n velo cid ades ad es d e 40 m /s y 20 m /s. D elant an te de d e ello s, a 900 9 00 m , hay ha y un u n ár á rb o l. ¿D espués espué s de qu q u é tiem po lo s m ó viles equ id istan del de l árbo l? a) 4 0 s d ) 18 s
b) 30 s e) 1 6 s
c) 2 0 s
14 . L os m óviles m ostrad os se m ueven con velocidad es constantes. ¿D espués espués de qué ti tiem po 1 di d ista d e B lo m ism o qu e 2 d ista d e A ?
72Km /h 1 A a) 1 0 seg d) 60 seg
108Km /h 2
1500 m
b ) 1 00 00 se seg e) 120 120 se seg
B
c) 8 0 seg
1 5 . S ebas eba stián d ebe eb e recor recorr rer 80 km en 4 h o ras, llegó a la cuar cua rta p art arte d el cam in o y o b servó ervó q ue su velo cid ad m ed ia fu fu e de d e 5km 5 km /h in feri erio r a la q u e deb d ebi ió llevar ev ar. ¿C uál uá l fue la velo cid ad en km k m /h d u rant an te el tiem po qu e le restó , si llegó a la h o ra fijad a? a) 2 0 ,5 d ) 2 1 ,5
b ) 2 2 ,5 e) 2 5
c) 2 1
16 . D os ciclistas pa rten al m ism o ti tiem po y a su m utuo utuo encuent encuen tro de do s ci ciud ades ad es M y N , d istantes antes 500 km y el encuent encu entr ro se pro pro du ce a 20 0 km de M . S i el qu e p artió d e M hu bier biera a p artid o 5 ho ras an tes qu e el o tro, el encuen en cuen tro se h ub iera era pr p ro d ucid o en el e l pu n to m edi ed io del cam ino. ¿C uál uá les la vel v elo cid ad d el qu e part p artió d e N ? a) 2 5 K m /h b ) 2 0 K m /h d) 30 Km /h e) 60 Km /h
d ) 1 9 K m /h
17 . U na pers person a ubic ubicad a entre dos m on tañas em ite un grito y recib e el e l p rim er eco a lo s 3s y el segun segu n d o a las 3,6s. ¿C uál uá l es la separ sepa ració n ent en tre las m o n tañas? añ as? a) 2 0 8 0 m d ) 1 12 12 2 m
b) 204 0 m e) 2 24 24 4 m
c) 1 0 2 0 m
1 8 . E n un a p ista circular de 300 3 00 0 m d o s atletas par pa rten jun to s en senti sentid o cont co ntr rari ario y se cru zan al cabo cab o d e 20 2 0 m in . D espués espu és de 5 m in llega elm ás velo z al pu nto nto d e part p artid a. ¿C uál uá les la vel ve lo cid ad d el o tro en m /m in? a) 1 2 0 d ) 18
b) 3 6 e) 3 0
c) 4 0
19 . Tres Tres trene s par pa rten d el m ism o pun p un to y siguen sob re vías paral p aralelas y en la m ism a d irecció n , el p rim ero ero p arte a las 06 0 6 :0 0 h , elsegun segu n d o a las 07 0 7 :0 0 h y el e ltercer ercero o a las 09 :0 0. S iend o sus velocida des de 25; 2 5; 30 y 40 km /h respect espe ctivam va m ent en te. ¿A q ué ho ra el tercer ercer tren estará en el p un to m edi ed io d e la d istanci an cia q ue separ sepa ra al p rim ero ero y d el segun d o ? a) 1 4 : 2 4 h c) 1 9 : 1 5 h e) 19 : 12 h
b) 1 6 : 32 h d ) 18 : 32 h
20 . U na pers person a d ebe llegar a un u n d eterm erm inad o lugar a las 12 d el m ediod ía y ob serva qu e cam inan do a raz razón ón de 3km /h llegarí egaría 5 ho ras despu después és y cam inan d o a 6 km /h llega eg aría 5 h o ras an an tes. ¿C o n qu é velo cida d d ebe eb e cam inar na r par pa ra llegar a las 12 m ? a) 3 km /h d ) 6 km km /h
b ) 4 km /h e) 2 km km /h
c) 5 km /h
2 1 . D o s m ó viles A y B separ epa rad o s un a distanci an cia "x" "x" par pa rten al encu en cuen ent tro. ¿C o n cuán cu ánt to tiem p o d e an ticip ació n d ebe eb e par p art tir A par pa ra en co n tra rse ju ju sto a la la m ita d d el tra y ecto, si sus vel ve lo cid ad es so so n "r" y "2 r" respect esp ecti ivam va m en te?
x r x d) 8r a)
x 2r x e) 6r b)
c)
x 4r
22 . U n ri rifle es disparad parado o sobr sob re un blanco. D os segun segundo do s d espués espu és de d isp arar arar se se o ye el so n id o d e la bal ba la al a l d ar en el b lan co, sila vel v elo cid ad d e la b ala es 51 5 1 0 m /s. ¿A q u é d istan cia d el b lan co se d ispar spa ró ? a) 4 4 0 m d ) 4 20 m
b ) 4 15 m e) 4 1 0 m
c) 4 0 8 m
23 . U n caballo part parte de d e A en d irecci ecció n d e B , al m ism o tiem po qu e d o s pea to nes part parten d e B en senti sentid o s o pu esto s. E lcabal cab allo lo s encuen encu ent tra a un o en M y al a lo tro en N . S e pi p id e calcul cu lar la di d istan cia A B , sabi ab iend o qu e lo s d os pea to nes m archan archan con la m ism a velocid ad con stant an te m ient en tras qu e el e lcabal cab allo m archa archa a 4 veces esa vel ve lo cid ad y la d istan cia M N es 32km 32km . a) 6 0 km d ) 4 8 km
b ) 3 0 km e) 6 4 km
c) 4 4 km
2 4 . D o s relo jes colo cado cad o s en lo s extrem o s d e una u na calle de de 1804 18 04 m de lon gitud , dan da n las horas horas con con 3 segund os de in terva ervalo. ¿A q u é d istan cia d e un u n o d e lo s relo jes se en cuen cue n tra el p u n to d e la calle d esde esd e el e l cual cu al se oye o ye a lo s do d o s relo jes d ar la h o ra al m ism o in stant an te?
79
R az. M atemático ático
(D ar com o resp resp ues ue sta la m eno en o r d istanci an cia)
d e lo s trenes en es es :
a) 4 0 2 m d ) 5 02 m
a)
b ) 3 92 m e) 6 7 2 m
c) 2 9 2 m
25 . D o s atl atletas etas est están sepa rad o s 15 0m , si corr corren al encuen en cuen tro un o d el o tro, éste se pro pro d uce al a l cabo cab o d e 10 10 segun d o s; per pe ro si cor co rren el u n o en po s del de l o tro, el alcance se pro pro d uce a lo s 30 segun d o s. H allar la vel v elo cid ad d el atl atleta eta q u e d a alcan ce al a l o tro. a) 1 5 m /s d ) 1 0 m /s
b ) 1 6 m /s e) 2 0 m /s
c) 1 8 m /s
26 . U n m uchac uchacho ho sal sale de un p unto "A "A " en un bus a una velo cid ad d e 36 km /h y llega a un u n p un to "B "; él d esea regres egresar ar cam ina nd o a u na v elocid ocid ad d e 4km /h (siguiend o el m ism o cam ino ). S e sabe q ue to d o el recorr ecorrid o d uró uró 10 ho ras. ¿C uán to tiem po est estuvo cam inan do ? a) 6 h d) 9 h
b) 7 h e) 1 0 h
c) 8 h
27 . D o s m ó viles est están separad separad o s po r un a d istan cia d e 75 6m . S i par pa rten al encue en cuent ntr ro un o d el o tro, con rapi ap id ez con stant an te de d e 12 y 3m /s respectivam ent en te. ¿D espu espu és d e qu é tiem po est estarán arán sepa rad os po r un a d istan cia q ue es la m edi ed ia geo m étrica d e lo s espa espaci cio s reco rrid o s p o r lo s m ó viles? a) 3 2 s d ) 24 s
b) 30 s e) 2 8 s
c) 3 6 s
28 . D os m óviles part parten d e d os puntos puntos op uest uestos "M " y "N "N " y van alencuen encu ent tro un o d elo tro. D espu espu és de pr p ro d ucid o el encue en cuent ntr ro el prim ero ero d em o ra 9 h o ras en llegar ega r a "N "N " y el segun d o 16 ho ras en llegar ega r a "M ". H allar la relació n d e sus su s rap id eces. ece s.
3 5 5 d) 8 a)
4 3 5 e) 9 b)
c)
b) 10 h e) 1 2 h
c) 9 h
3 0 . D o s trenes ene s de igua igual l lo ngit ngitud se d espl esplazan con rapi ap id ez con stan te y tar tard d an 6 segun egu n d o s en cruzars uzarse cua nd o viajan en senti sentid o s con co n trario s. S i el d e m ayo ay o r rap id ez tarda 8 segun d o s en pas pa sar to talm ent en te al o tro cuand cua nd o van va n en el m ism o senti sentid o, la relació n ent en tre las rap rap id eces
80
3 7 1 e) 5 b)
c)
5 7
31 . D o s m ó viles se se d irigen un o al encuen en cuen tro d el o tro. In icialm ent en te se encu ent en tran separ ep arad ad o s 19 5 km k m y la velo cid ad d e u n o d e el e llo s es 3 5 km /h ; si se en cuen tran luego ueg o d e 2, 2 ,5 h . ¿C u ál es la vel v elo cid ad d el o tro ? a) 8 0 km /h /h c) 6 0 km /h e) 43 km /h
b ) 5 0 km /h /h d ) 4 0 km /h /h
32 . U n ho m bre bre debe real realizar un viaje de 82 0km en 7 ho ras. as. S i realiza part p arte d el viaje en e n u n avió n a 2 00 km /h y el el rest esto en coche a 55 5 5 km /h. H allar la d istan cia recor reco rrid a en coch co che. e. a) 2 0 0 km d ) 2 40 40 km km
b ) 2 2 0 km km e) 1 90 90 km km
c) 1 8 0 km
3 3 . D o s trenes m archan archan en sentid o cont con trari ario y so so bre vías p aral aralel elas, con velo cida d es de 1 8 y 3 0 km /h respect espe ctivam ent en te. U n pasaj p asajero ero en e l segun segu n d o tr tren calculó q ue el prim ero ero d em o ró en p asar 9 segund segun d o s. ¿C u ál es la lo n gitu d d e est este úl ú ltim o tren? en ? a) 8 0 m d ) 18 0 m
b) 19 0 m e) 1 2 0 m
c) 1 0 0 m
34 . S i al peq ueñ o helicóp tero ero le tom tom a 3s 3 s pasar pasar so bre bre el pu ente. ente. ¿D urante urante cuánt cuá nto o ti tiem po estará ará po p o r enci en cim a d el tren d e 12 0m d e lo ng itud , si a éste éste le to to m ó 18 s cr cruzar com pletam ente dicho p uen te? (C o nsid ere ere que q ue a m bo s m ó viles van a rap rapi id ez co co nstant an te)
3 7
29 . D os m óviles "A " y "B " pasan sim ultánea m ente ente por un m ism o p un to. "A "A " lo h ace en d irecció n S ur a 36 3 6 km /h y "B " en d irecció n E ste a 48 4 8 km k m /h . H alle el tiem po qu e d ebe eb e tr trans an scurr currir par pa ra que qu e am a m bo s est estén separ separad ad o s 720 72 0 km . a) 8 h d ) 11 h
1 7 3 d) 5
60m
a) 5 s d ) 10 s
b) 6 s e) 1 2 s
c) 1 5 s
35 . U n alum no raz razon on a diciend o : sivoy a 80 m /m in llegaré egaré al exa m en 1 ho ra d espués, pe ro si lo h ago a 12 0 m /m in llegaré 1 ho h o ra ant a ntes. es. ¿A q u é vel ve lo cid ad d ebe eb e ir p ara llegar ega r a la h o ra exa e xact cta? a) 9 0 m /m in c) 1 0 0 m /m in e) 102 m /m in
b ) 9 6 m /m in d ) 1 1 0 m /m in
TRILCE
36 . E n un a m arat aratón , el pri prim er lugar cor corr re a razón azón de 4,5km 4,5km /h y le lleva un a vent v entaj aja d e 15km 1 5km al segund egu nd o lu gar ga r, pero éste lo gra alcanzar can zarl lo en 1 h o ra y m edi ed ia. C alcular la vel v elo cid ad d el segun segu n d o cor co rred o r. a) 2 1, 1,7 5 km /h c) 1 1 ,7 5 km km /h e) 18, 18 ,25 km /h
b ) 1 4, 4,5 km km /h d ) 1 6 km /h
37 . C uan do un auto, auto, a rapi rapidez con con stante ante sal sale de d e un a ciud ad a.m .llega eg a a la ciu d ad B a las 11 1 1 a.m a.m .,o tro au to A a las 6 a.m con rapi ap id ez con stant an te saliend en d o d e B a las 8 a. a .m . llega eg ará hasta A a las 12 a. a .m . ¿A qu é ho h o ra se cruzarán uzarán siA di d ista d e B 400 400 km km ? a) 0 9 : 4 5 d) 09 : 20
b) 10 : 0 0 e) 09 : 30
c) 0 8 : 3 0
38 . U n au to m archa archa a 100 10 0 km /h po r una un a carretera paral paralela a la ví v ía d e un u n tren. en . ¿C uánt uá nto o tiem po em pleará eará el aut au to en e n p asar a un u n tr tren d e 400 m de largo, argo, que m archa a 60 km /h en la m ism a d irecció n y sent sen tid o ? a) 9 seg d) 40 seg
b ) 1 8 seg e) 36 seg
b ) 1 2 m /s e) 1 5 m /s
c) 1 0 m /s
40 . D e un pun to "A " part parten d os m óviles sim ultáneam ente h acia el e l p u n to B , d istant an te a 70 0 km , con velo cid ad es con stan te de 2 0 y 50 km /h respect respectivam ente. ente. E l q ue llega prim ero ero regresa egresa in m edi ed iatam atam ent en te h acia A . ¿Q u é espaci esp acio recor eco rrió el m ás lent en to h asta cruzarse cruzarse con el otro ? a) 3 0 0 km d ) 6 00 00 km km
b ) 5 0 0 km e) 4 00 00 km km
a) 6 km /h
b ) 8 km /h
d ) 2 km /h
e)
c) 4 km /h
1 km /h 2
43 . Tri Trilcito cam ina 35 km , un a p art arte a 4km /h y otr otra a 5 km /h. Sihub iera era cam cam inad o a 5 km /h cuand o cam inab a a 4 km /h y viceversa, hubi hu biese ese cam inad o 2 km m ás en en el m ism o tiem po. ¿C uánto uánto tiem po est estuvo cam inan do ? a) 7 h d) 8 h
b ) 7 ,5 h e) 6 h
c) 9 h
4 4 . D o s ciclistas cor co rren en u n a p ista circular un o p o r la p a rte in in terio r y e l o tro p o r la p a rte e xteri xterio r co n velo cid ad es d e 9m /s y 15m 15 m /s respectivam va m ent en te. S i la relació n d e tiem po s en d ar un a vue v uel lta es de 4 a 3. 3. ¿C u álserá será la relació ació n d e tiem p o s ald ar u n a vu vu elta, siel ciclista q ue se en e n con co n trab a en e n la p arte in terio r p asa a la par pa rte ext ex teri erio r y lo m ism o h ace el e lqu e se encon en con traba ab a en en la p arte exteri e xterio r?
c) 2 7 seg
39. D os m óviles A y B dispu tan u na carr carrera era de d e 800 m . S i ventaja llegan alm ism o tiem po a la A da a B 20 0 m d e ventaj m eta; en cam bio sile dan da n 80 m de ven taja le gana po r 20 seg. ¿C uál uá les la vel ve lo cid ad d e A ? a) 8 m /s d ) 9 m /s
C alcul cu larla vel v elo cid ad con co n q u e reco rrió elp rim er trayect ay ecto o.
a)
4 5
b)
12 25
d)
8 11
e)
15 19
c)
11 17
45 . U n m óvil después después de avan zar el 30% de su rec recor orr rido, aum enta su velocidad da d en 4 0% con el que qu e llega 5 ho ras ant an tes.¿Q ué ti tiem p o tarda tarda en e n h acer su recorr recorrid o no rm al? a) 1 0 h d ) 25 h
b) 20 h e) 1 8 h
c) 1 5 h
4 6 . L as sacu sacud d id as caract caracterí erísticas qu e se se prod u cen en un tren se d eben ebe n alpas pa so d e las rued ue d as de un o y o tro tram o d e la vía. S i est e stas tienen en en 7 m d e lo n gitud y se oye oy e 48 gol go lpes cada cad a 30s. 3 0s. ¿C u ál es la v elo elo cid ad d el tren en m /s? (aproxi aproxim ad am ente)
c) 2 0 0 km a) 1 3 m /s d ) 1 2 m /s
b ) 1 1 m /s e) 9 m /s
c) 1 0 m /s
41 . U n m óvil que d ebió cubri ubrir 2 ciud ades A y B en 40 m inu to s se det d etuvo uv o 1 0 m inu to s en su tr trayect aye cto y lu ego
2 de d e su ve lo cid ad a n terio r, llega n d o 2 0 3 m inu to s atr atrasad o. ¿A lo s cuá cuánt nto o s m inu to s se se d etuvo ? p artió con
a) 1 0 d ) 15
b) 2 0 e) 2 5
c) 5
4 7 . L as velo cid ades ad es de Jos Jo sé, D ant an te y V icente so so n igual gua les a 8 ;10 y 6 m /s respect espe ctivam va m ent en te. Part P articip an en u na carrera do nd e D ante ante les da una un a ventaja de 4 0 y 24 m a V icente y José respect espe ctivam va m ent en te. S i la carrera fu e gan ga n ad a po r D ante ante cuand o Jos Jo sé aventaj aventajaba en 14m 1 4m a V icente. ¿En cuánto aventajó D ante a José José en d icho m om ento? a) 8 m d) 7 m
b) 5 m e) 6 m
c) 4 m
4 2 . Pat Pa tricia recorr recorre 36km 3 6km en 8 ho ras, lo s 12 pri prim ero ero s km con un a velo cid ad sup eri erio r en 2km 2k m a la velo cid ad d el resto d el reco eco rrid o.
81
R az. M atemático ático
48. U n cam cam ino de de A a B con sta d e un a subida y un a baj b ajada; ad a; un peat pea tó n qu e se dirige d e A a B reco recor rre to d o elcam ino en 13 1 3 hor h oras as y en elcam ino de regr regreso eso dem o ra 1 h o ra m eno s. S i a la sub subi id a va a 2 km /h y a la ba jada ad a a 3 km /h. ¿C u ál es la lo ngi ng itud d el cam in o ? a) 1 2 km d ) 2 0 km
b ) 1 8 km e) 3 0 km
53 . A l recipien pien te ing ing resa ag ua a razó razó n con stan te d e 3 600 cm /s , ¿co ¿co n qué q ué m ínim a rapi ap id ez cons con stant an te deb e sub sub ir la h o rm iga p o r la sup su p erficie in clin ad a, a p artir d el instant an te m o strad o, p ara ara no ser alcanzad can zada a p o r el agu a?.
c) 3 2 km
20cm 49 . U n cazado cazado r dispara para u na b ala con una velocidad de 17 0 m /s y escucha escucha qu e llega al blanco an co en 5s. ¿A q u é di d istan cia d el cazad o r se encu ent en tra el e l b lan co? co ? C o n sid ere qu q u e la trayect ay ecto o ria d e la b ala es rectilín ea y qu e la vel ve lo cid ad d el soni son id o en el aire es de d e 340 3 40 m /s. a) 57 57 2 m d ) 5 61 m
b ) 5 6 6 ,6 m e) 5 6 4 ,3 m
b ) 7 ,5 s e) 9 s
c) 9 ,5 s
5 1 . L uis hace ha ce un recor recorr rid o d e 264k 26 4km m a ciert erta velo cid ad , al volver po r la m ism a rut ruta a au m enta enta en 10% 10 % su velo cidad da d d e id a, lo qu e signi gn ifica 20m 2 0m in m eno en o s en la vuel vu elta. ¿A q ué velo cid ad corrió en su viaje d e id a, en km /h? a) 6 8 d ) 64
b ) 72 e) 8 1
c) 7 5
5 2 . L a siguiente ente figura m uestra un u n fo fo qu ito encend encen d id o que qu e em erge erge de sde el pis piso m anipu anipu lad o p o r un elem ento ento m ecáni ecán ico a un a rap rapi id ez con stan te, alcan zan d o u na altu ra d o nd e la som so m bra pr p ro yectad a p o r elp o ste al a lcanz can za el pu nto nto m ás baj ba jo d e la par p ared ed. . H allar la relació ació n d e la rap id ez d el fo co respect esp ecto o a la som bra. bra.
Pared
Po ste
1 ,8 m 36cm
3 2 3 d) 4 a)
82
3 8 5 e) 6 b)
30cm 10cm
c) 5 5 8 ,2 m
50 . L a sirena de un a fábr fábri ica suen suen a en fo rm a con tinu a d u ran te 9s. 9 s. U n o b rero ero se dirige h acia la fáb rica en en u n aut au to bú s con un a rap rapi id ez cons con stant an te de 7 2 km /h. ¿C u ánt án to ti tiem p o escucha escuch a d icho o brero la sirena? en a? (C o nsid erar erar la velo cid ad d el so nid o : 3 40 m /s) a) 7 s d ) 8 ,5 s
20cm
54cm
c)
2 3
a) 2,5 cm cm /s b) 5 cm cm /s d) 3,5 cm /s e) 4,5 cm /s
c) 4,8 cm cm /s
54 . D o s corr corredo res "E " y "D " part parten al m ism o ti tiem po del vér vé rtice "A "A " d el trián gu lo equ eq u ilátero átero A B C , un o p o r el lad o A B y el o tro p o r el lad o A C , cuand cua nd o se cruzan están p o r el lad o B C a 10 1 0 m . d el vért vértice C , con tinú an d espl esplazánd azánd ose. C uan d o se cr cruzan po r segun d a vez están a la m itad d el lad o A B . H alle el p erí erím etro d el trián gul gu lo A B C . a) 1 5 0 m d ) 13 6 m
b) 12 0 m e) 1 2 5 m
c) 1 1 0 m
55 . U n a tleta eta tien e qu e recor recorr rer 20 00 m etro s con un a velo cid ad u nifo rm e de d e 8m 8 m /s, en elcam ino tro p ieza con tres ob o b stácul ácu lo s qu e d istan ent en tre sí 1 5 m etro s y le h acen ace n p erd erd er un nú m ero ero d e segun d o s igual gu al a la d istanci an cia (en (en m etr etro s), q u e hab h ab ía recorri recorrid o d esde esd e el lu ga r d e su p artid a. S ab ien d o q u e el cor co rreo llega eg a a su d estin o después d e 415 s. C alcular la p o sició n d el segun d o o b stácul ácu lo (d esde el p un to d e par pa rtid a). a) 4 0 m d ) 65 m
b) 50 m e) 8 0 m
c) 7 0 m
56. D o s nad ad o res part parten al m ism o ti tiem po d e los extrem o s d e una u na pis piscina d e 9 0m d e lo ngit ngitud , con vel ve lo cid ad es de d e 3 y 2m 2 m /s; atr atravi av iesan la p iscin a var va rias veces d uran urant te 12m in. S up on iend o que q ue no se pierd e tiem po al vo ltear ea r, el nú m ero ero d e veces qu e se ha n encon en con trad o será será : a) 2 4 d ) 19
b) 2 1 e) 1 8
c) 2 0
57 . U n estud iante ante va a p ie de la U nivers versidad da d S an M arcos arcos a lo s O livo s. Sal S ale a las 16h 16 h y recor reco rre 70 7 0 m /m in . E n ciert erto p un to d e la car ca rretera era sub e a un m icro cro qu e reco reco rre
1 h. 3 ¿A qu é d istanci an cia d e S an M arcos arcos abo ab o rd ó elest estud iant an te el m icro?
630 m /m in y qu e pasó pasó p or S an M arcos arcos a las 16
TRILCE
a) 15 15 6 5 m d ) 1 57 57 5 m
b) 155 5 m e) 1 60 60 0 m
c) 1 5 9 0 m
5 8 . D o s trenes ene s m archan archan en sentid o cont con trari ario y so so bre bre vías pa ralelas con velo cida d es d e 14 y 2 2 km /h. U n p asajero ero ub icad o en el segun d o tren calculó q u e el pri prim ero ero dem oró oró en pasar pasar 7s. ¿C u ál es la lo n gitu d d e est este úl ú ltim o tren? en ? a) 7 0 m d ) 90 m
b) 60 m e) 5 0 m
a) 1 5 2 m d ) 1 67 m
b ) 1 90 m e) 1 2 0 m
c) 1 7 5 m
60. 60 .U n es e stud iant an te abo a bo rd a to to d o s lo s días un m icro b ús pa ra llega r a su clase a la s 08 : 0 0 h p ero ero h o y perdi p erdió el m icro bú s, y éste p asó 1 6 m inu to s después despu és del pri prim ero ero y ar a rrib ó en el trip le d eltiem p o n o rm al llegan eg an d o a las 08 08 : 28 h. ¿A qu é h o ra p art artió ?
c) 8 0 m a) 08 : 10 h b) 08 : 15 h d) 07 : 58 h e) 07 : 56 h
c) 08 : 05 h
59 . S m ith cond ucía su aut a utom om óvil óvila velocidad da d práct prácticam ente cons con stant an te. Iba Iba acom a com paña pa ñad d o de d e su su espo espo sa, sent en tad o en el asien to veci ve cin o. ¿Te has h as dad da d o cuent cue nto o d e que q ue es e sto s ant an tip áti áticos anu an u ncio s d e la cerve cerveza za Fl F latz atz par pa rece est e star regu eg u larm ent en te espa e spaci ciad o s a lo largo d e la ca c arretera? era? le di d ijo a su m u jer. M e p regu eg u n to a qu q u é di d istan cia est e starán. arán . L a seño eñ o ra S m ith echó u n vistazo a su relo j d e pu p u lsera y contó contó el núm nú m ero ero de an un cio s que qu e rebasaban rebasaban en u n m inut nu to. raro! excl exclam ó Sm ith . S i se m u ltip lica ese ¡Q u é raro! nú m ero ero po r d iez se se o bti btien e ex actam en te n ue stra velo cid ad en kiló m etro s po r ho ra. ¿C u ál es la d istan cia en tre lo s avi avisos? (apr (ap ro x)
83
R az. M atemático ático
Claves l ave ves s
84
01.
a
3 1.
e
02.
e
3 2.
c
03.
a
3 3.
c
04.
b
3 4.
e
05.
d
3 5.
b
06.
b
3 6.
b
07.
c
3 7.
d
08.
b
3 8.
e
09.
c
3 9.
a
10.
b
4 0.
e
11.
e
4 1.
b
12.
d
4 2.
a
13.
b
4 3.
d
14.
d
4 4.
b
15.
b
4 5.
d
16.
a
4 6.
b
17.
d
4 7.
e
18.
e
4 8.
e
19.
a
4 9.
e
20.
b
5 0.
d
21.
c
5 1.
e
22.
c
5 2.
c
23.
a
5 3.
a
24.
b
5 4.
b
25.
d
5 5.
c
26.
d
5 6.
c
27.
c
5 7.
d
28.
b
5 8.
a
29.
e
5 9.
d
30.
a
6 0.
a
TRILCE
C apít ul ulo o
CRON OM ET R A
8 A.
P RO RO B L EM E M A S S O BR B R E C A M PA PA N A D A S O A FI FI N ES ES C uand ua nd o n o s referi erim o s a un u n even e vent to q ue im plica una un a acc a cci ió n, com o cam pana pa nad d as golpes, cont con tacto s segui egu id o s a velo cid ad con stan te, d ebem ebe m o s cons con sid erar erar que qu e el tiem po transc an scur urr rid o es pro pro piam ente ente el e l d e lo s peri perio d o s com pren prend d id o s entr entre con co n tacto acto y co con n tacto, acto, y no n o la d u ració n d el con co n tacto. acto. Ejemplo 1 E n el cam p anar an ari io d e una un a iglesia se se hace ha ce os o scilar el pén pé n d ulo d and an d o tr tres cam pana pa nad d as en seis segund egu nd o s. ¿En ¿E n cuánt cuá nto os segundos egund os se se di d ieron 7 cam panadas? pana das? Resoluci Resoluci ón : 1er 1e r m é tod to d o : G raficando tenem os 1 ºC
i
2ºC
i
3ºC 3º C
S e o bserva qu e en tres cam cam pana pa nad d as hay 2 inter nterval valo s de ti tiem po (I) 2I = 6 seg s eg I = 3 seg seg A ho ra en 7 cam pana pa nad d as habr hab rá 6 inter nterval valo s d e tiem po, po , ento ento nces eltiem po ped id o será erá : 6(3) 6(3) = 18 seg. Finam Finam ente se se deduce ded uce : N úm ero de in terva erval lo s de d e tiem p o (I)
=
N úm ero de cam panadas
1
2 º mé mé to d o : DP N º de cam pan panad adas as
N º de int nter erval valos
3 7
2 6
T iem po 6 seg x seg
2x = 6(6) x = 18s 18seg eg
Ejemplo 2 U n relo j d e par p ared ed ind ica la ho h o ra con co n igual gua lnú m ero ero d e cam pana pa nad d as; par pa ra ind icar las 6 : 00 p.m p.m . d em o ra 9 segund egu nd o s. ¿Q ué ho h o ra ind ica si si d icho relo j ha to cado cad o cam pana pa nad d as durante 18 1 8 segund segun d o s? Resoluci Resoluci ón :
H or ora a
N º de cam pan panadas adas
N º de inter erval valos
Tiem po
E lrelo j in d ica las
85
R az. M atemático ático
B.
P RO RO B L LE E M A S S O B RE R E C AL A L EN EN D A RI RI O S El calendari calendari o a lo l argo de la histor ia : * *
Tod To d o s lo s calend en d ario s están b asad o s en lo s m o vim ient en to s de lo s astro s, p rin cip alm ent en te el sol, la ti tierra y la lu n a. A lo largo d e la h isto ria las di d iferentes erentes civilizacio n es han h an p ro p u esto d istin tas solu cio n es al p ro b lem a d el cóm có m p u to d el tiem po, po , viénd én d o se o b ligad as siem pre pre a establ ab lecer m ecani ecan ism o s d e correcció n. S egún egú n el pred predo o m inio nio d e uno un o u o tro ciclo, lo s calend en d ario s se se pu p u ed en clasificar car en lu n ares, solares y lu n isol solares. H e aq a q u í algun gu n o s ejem p lo s : CALEND ARIO EG IPC IO
D I S T R I B U C I ÓN ÓN D E L A Ñ O 12 m eses eses de 30 días días + 5 días festivo s. 12 m eses eses de 29 días días y 30 días días. . 18 m eses eses de 20 d ías + 5 días. días. 12 m eses eses de 29 d ías y 30 d ías. 5 0 sem anas an as y 3; 4 ó 5 d ías. 12 m eses eses de 29 y 30 días días. .
G R IEG O A ZT E C A IS L Á M IC O H EB R EO C H IN O
C O R R E C C I ÓN ÓN O D E S V I A C I ÓN C ada 1461 14 61 añ os s se e ret retrasa 1 añ o.
C ada 36 u 8 añ os se añ ade 1 m es. es. C orr orreccion es discrecion adas. ad as. C iclo d e 30 añ os con 12 bisiest estos. C orrecció n po r criteri erio s litú rgicos. A ñ os bisiest estos de 13 m eses eses. .
O bservación bservación : E n lo s pro pro b lem as a tratar atar deb de b em o s tener en er a co n sid eració n lo s año añ o s b isiesto s,lo s cu cu ales so so n to to d o s aq u ello s cuya cu yas s do s ú ltim as cifras dan da n un u n n úm ero ero m últiplo d e 4. 4. Ejm : 1 932
32
4
sies b isiesto
1 94 2
42
n o es 4
n o es bisiesto
A d em ás en aq a q uel ue llo s año s que qu e term erm inan na n en 2 ceros só só lo será bi b isiesto si es q ue es m últip lo d e 400 4 00 . Ejm : 1 90 0
no fu e b isiesto
1 60 0
sifue b isiesto
Ejemplo 3 E l1 d e E ner nero o de cierto año fue m art artes. es. ¿Q ué d ía fue el 24 de E ner nero o de ese m ism o año a ño ? Resoluci Resoluci ón : D e lo s dat da to s se se pl p lan tea lo sigui gu ien te :
E N E R O
M art artes 1
M iércol ércoles 2
Jueves 3
V iernes ernes 4
S á bad o 5
D om ingo 6
L un es 7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
el 24 d e E nero fue Ju eves.
Ob servación : D elcuad ro se ob serva erva q que ue lo s grup grupo o s d e 7 d ías s so o n d e M art artes a L un es, es, y no s d am o s cuent cuen ta que q ue d e el1 d e ener en ero o al 24 d e en ero, ero, hay ha y 3 grup grup o s de 7 d ías m ás 3 d ías, esto se cons con sigue gu e haci h aciend en d o lo sigui gu ient en te : 24 21 3
7 3 gr grup up os
M a M i Jueve ueves s
86
de M ar art tes a L un unes es
TRILCE
Ejemplo 4 S i el 8 d e enero de d e 19 12 fue Jueves. Ju eves. ¿Q ué d ía fue en ese ese año añ o el 10 d e Juni Jun io ?
Ejemplo 5 S i el 2 d e febr eb rero ero d e 1935 19 35 fue V iernes. ernes. ¿Q ué d ía fue en ese m ism o año a ño 26 d e D iciem bre? bre?
Ejemplo 6 S i el 12 d e Febr Feb rero ero d e 198 1 980 0 fue fue M iércoles. es. ¿Q ué d ía será el 12 d e Febr Feb rero ero d el año añ o 20 10 ?
Ejemplo 7 S i el16 de O ctubr ub re del año 2004 20 04 fue S ába ábado do. . ¿Q ué d ía ser será 25 de N oviem bre bre del año 2080 20 80? ?
C.
P RO R O B L E M A S S O B RE R E T I E M PO P O TR TR A N SC SC U R RI RI D O L a referen erenci cia en e n éste caso es a pr p ro blem as que qu e en e n su enu en u nciad o establ ab lezcan ezcan un a relació n ent en tre un u n inter nterval valo d e ti tiem p o transc an scurr urrid o y o tro q ue falte po p o r trans an scurrir; d e talm aner an era a q u e am a m b o s inter nterva val lo s su m en u n p eri erio d o con o cid o com o son las 24 h o ras de d e un u n d ía, lo s 7 d ías de d e la sem an a, lo s 3 0 d ías del d el m es de A b ril, lo s 3 6 5 d ías de d e un u n añ a ñ o o rd in ario, etc. etc. H e aqu í alguno gu no s ejem plo s : Ejemplo 8 S i el tiem p o q u e fa falta tran scurrir d el d ía es e s la tercer tercera p arte d el tiem p o tran scurrid o. ¿Q u é ho h o ra es?
87
R az. M atemático ático
Resolución: D e lo s dat da to s se h ace d el sigui gu ient en te d iagr ag ram a :
24 h or oras as Tiem po tran ranscu scurr rrid o
Tiem po q ue falta tra ran n scu scurri rrir
(x)
(2 4 x) H or ora a
D el enu enunci nciado ad o :
x 3 72 - 3x = x 72 = 4x 18 = x
(24 x)
hora es 18 :00 h < > 6 p.m . La hora Ejemplo 9 S ifu era 5 h o ras m ás tarde ard e d e lo q u e es, es,faltarían p ara acab a cab ar eld ía, el trip le d e las ho ras qu qu e hab h ab ían tran scurrid o h asta hace 3 ho ras. as. ¿Q ué ho ra es es? ? Resoluci Resoluci ón : S ea "x" el tiem p o tran scurr scurrid o h asta hace h ace 3 h o ras. E n to n ces "3 x" será eltiem p o q u e faltará para p ara acab ar eld ía d ent en tro d e 5 ho h o ras. A ho ra veam o s el el siguiente esqu esquem em a :
24 h or oras as
x
5h
3h
3x
H or ora a D elgráfico se se deduce : x + 3 + 5 + 3x = 24 R esol esolviend o : x = 4 hora a es : x + 3 = 7 : 00 h La hor Ejemplo 10 ¿A qu é ho h o ra lo s
2 de d e lo q u e qu q u eda ed a d el d ía es e s igual gu al al tiem p o tran scurr scurrid o ? 3
Ejemplo 11 C uand ua nd o sean 2 ho h o ras m ás tarde d e lo qu e es, faltarán par p ara a las 14 : 00 h el e l d o b le del d el nú m ero ero d e m inu to s transc an scurr urrid o d esd esd e las 10 : 00 h. ¿Q ué ho h o ra ser será á dent d entr ro d e 20 m inu to s?
88
TRILCE
Ejemplo 12 Trilcito se casó en e n 19 1 9 9 7 cu cuan an d o la m itad d el tiem p o tran scu scu rrid o d e aq aqu u el añ o er e ra igual gu al a la cuar cua rta part p arte de d e lo q u e faltab a p o r tran scu scu rrir. ¿E n q u é fech fecha a y ho h o ra se casó? ca só?
D.
R EL EL A C I ÓN ÓN EN E N TR T R E L O S R EC EC O R RI R I D O S D E L H O R A R I O Y M I N U TE T E RO RO O bservam o s el siguiente ente esqu esquem em a : 12 11
1
M
10
2
H 30°
9 8
5 d ivisio n es 3
4 7
E n la circun feren erenci cia d e u n relo j h ay : 60 divisiones <
5
6
>
60 m inutos <
>
360º
S im p lificand can d o se ob o b tiene en e :
1 división
< >
1 m inuto
< >
6º
C ada hora hora : E spaci spa cio recor eco rrid o p o r el h o rario = 5 d ivisio n es (E R H ) E sp acio recor eco rrid o p o r el m inu tero ero = 60 d ivisio nes ne s (E R M )
Se d educe : ERH 1 ERM 12
O bservació n :
12
H
M
1
12
2
24
3
36
E sta relació n resp espect ecto o a los espaci esp acio os x rec eco o rrid o s
12
n
12n
12x
89
R az. M atemático ático
Ejemplo 13 ¿Q ué ho ra ind ind ica el relo j m o strad o ? 12 11 M
10
2
9
2 3
H
8
4 7
6
5
Ejemplo 14 ¿A q u é ho h o ra en e n tre las 7 y las 8, 8 , el m in u tero ha h a p asad o a la m arca de d e las 9 tan tan tas di d ivisio n es com o el trip le d e las d ivisio n es q qu u e le falta al h o rario p ara llega eg ar a las 8? 8?
F.
U SO SO D E L A FÓ F ÓR M U LA L A G EN E N ER ER A L
11 (M ) 30(H ) 2
Ejemplo 15 ¿Q u é án gul gu lo fo rm an las m an ecillas d el relo j a las sigui gu ient en tes ho h o ras? I. 08 : 26 h
II. 02 : 48 h
III. 1 2 : 1 8 h
Ejemplo 16 ¿A q ué ho ra ent en tre las 4 y las 5 las agu jas del d el relo j fo rm an un ángu án gul lo d e : I. 80º por pri prim era vez. vez.
90
TRILCE
II. 80º por po r segund a vez
Ejemplo 17 ¿A qu é ho h o ra en tre la 1 y las 2, las aguj agu jas del de l un relo j fo rm an un ángu án gul lo d e 100 1 00 º por po r segun egu n d a vez? v ez?
91
R az. M atemático ático
EJERCICIOS PROPUESTOS 01 . U n rel reloj da 6 cam panadas en 8 segundos. segundos. ¿C uán uánt tas cam pan panadas adas dará dará en 24 segundos? egund os? a) 1 4 d ) 17
b ) 15 e) 1 8
c) 1 6
02 . U n rel reloj da 7 cam panad as en 20 segundos. segundos. ¿En cuántos s segund egundos os dará dará 13 cam pan panadas? adas? a) 4 0 d ) 30
b ) 45 e) 3 2
c) 3 5
03 . U n rel reloj toca tant antas as cam panadas pana das en cada h ora ora com o la ho ra m arca arca en ese instant an te. ¿C uán tas cam cam pan adas ad as tocará ocará en 3 d ías? as? a) 4 6 5 d ) 46 0
b ) 4 63 e) 4 6 8
c) 3 4 8
04 . E l 12 d e E nero d e 1960 fue fue M art artes. es. ¿Q ué día fue el18 d e M ayo d e ese ese m ism o año ? a) M ar a rtes c) L u n es e) M iércoles
b ) Ju eves d ) V iern es
05 . E l9 d e A bri bril de 199 6 fue fue Sábad o. ¿Q ué dí d ía fue el 24 de O ctubr ub re de ese m ism o año a ño ? a) M artes c) L u n es e) S ábad o
b ) M iérco les d ) D o m in go
06 . S i el 19 de Febrer Febrero o de 1992 19 92 fue V iernes, ernes, ent enton on ces el 15 d e M arzo d e 1997 fue : a) L u n es c) M iérco les e) M artes
b ) S áb ad o d ) D o m in go
07 . S i el8 d e Ener E nero o d e 192 6 fue fue L unes un es, , ent enton on ces el15 de M arz arzo d e 1975 197 5 fue : a) L u n es c) Ju eves e) V iern ern es
b ) M ié iérco les d ) M ar a rtes
0 9 . K ike le di d ice a F lo r : "N o s encon trarem arem o s en ellugar ug ar de siem p re, cuan cu an d o las las ho ra s tran scurrid as del d el d ía sean sea n
3 de d e las ho ras qu e fa faltan tran scur scurrir" 5 ¿A qu é ho h o ra fue el encuent encu entr ro ? a) 0 8 : 0 0 d) 08 :30
b) 09 : 0 0 e) 09 :30
10 . S i el14 d e Febrero d e 1992 fue S ábad o. ¿Q ué d ía fue el 19 de A gos gost to de ese m ism o año ? a) M iérco les c) Ju eves e) Sábad Sá bad o
b ) M artes d ) V iern es
11 . U n rel reloj da t tant antas cam panadas pana das e en n cada ho ra com o la h o ra m arca arca en ese in stant an te. ¿C uántas uántas cam cam pan panadas adas dará dará en 2 días? as? a) 2 5 6 d ) 272
b) 3 1 2 e) 3 2 4
a) S áb ad o c) D om o m in go e) M artes
b ) V iern es d ) L u n es
13 . U n rel reloj de m anecillas da tant antas as cam pan adas ad as com o la ho ra m arca arca en en ese ese inst nstante y adem ás da 1 cam panada pana da al pri prim er cuart cuarto d e hora, h ora, 2 cam pan adas ad as el segun do cuar cua rto d e ho h o ra y 3 cam pana pa nad d as par pa ra ind icar el tercer ercer cuart cuarto d e ho h o ra. ¿C uántas uántas cam pan panadas adas dará dará en 1 d ía com pleto? a) 2 8 0 d ) 310
b) 3 0 0 e) 2 9 6
c) 2 2 8
14 . S on m ás d e las 8:00 a.m ., per pero o aún no son las 9:00 a.m a.m . D ent en tro d e 25 m inu to s el tiem p o que q ue fal faltará ará par p ara a las 10 1 0 :0 0 a.m a.m . será
5 del d el tiem p o q u e ha h a tran scurr scurrid o 3
d esd esd e las 8:00 a.m . has ha sta hace h ace 15 m inu to s. ¿Q ué ho ra es es? ?
1 de d e lo s dí días qu e fal faltan 5
a) 8 :2 5 a. a.m . c) 8 : 3 5 a.m . e) 8 : 45 a.m .
lo s dí días tran scur scurrid o s eran
tran scurrir d e ese e se añ o. ¿En ¿E n qu é d ía naci n ació R icard o, siel1 d e E nero d e ese año añ o fue L un es? es?
92
c) 1 4 4
12 . S i el7 d e E ner nero o de 1 972 fue V iernes nes. . ¿Q ué d ía fue el 16 de A bri bril de ese ese m ism o año ?
08 . R icard o nació en 1 972 97 2 a las 06 : 00 h, de un d ía talque qu e
a) L u n es c) S áb ad o e) Jueves
c) 1 0 : 0 0
b ) M ié iérco les d ) M ar a rtes
b ) 8 :3 0 a. a.m . d ) 8 : 4 0 a. a.m .
15. U n rel reloj dem ora ora m 2 1 segu nd o s en to car m 2 cam panadas. panadas. ¿C uántas uántas cam pan panadas adas tocará ocará en (m (m 1) segund egu nd o s?
TRILCE
a) 1 d) 4
b) m e) 2 m
c) 3 m
2 3 . ¿A qu é ho ra en tre las 4 y las 5, las aguj agu jas de u n relo j form orm an un u n ángu lo cuya m edid a es de 60º 6 0º po r pri prim era vez?
16 . Si el5 de M ayo de 1970 fue Lunes. Lunes. ¿Q ué d ía fue el 5 d e A gosto de 1 999? 99 9? a) 0 4 h 1 0 m in a) M ar a rtes c) L u n es e) D om ingo
b ) Ju eves d ) M iérco les
17 . Si el19 d e Agosto d e 1968 fue D om ingo. ¿Q ué d ía fue el 19 de A gosto d e 1989 19 89? ? a) L u n es c) V iern es e) Jueves Jueve s
b ) M ar artes d ) D om o m in go
18. S e sab sab e qu e el cam pa na rio d e un relo j to ca 2
1 de d e ho h o ra, p ero ero 4 cuand o sucede un a ho h o ra en pu nto nto la ind ica con un núm nú m ero ero d e cam pan adas ad as igual al cuadr cuad rado ad o d e la ho ra qu e señ señal ala. ¿C uánt uá ntas as cam cam pa nada na da s to cará d esde las 12:00 12:00 de la no che hasta el m edi edio o día día de d e hoy? h oy? cam pana pa nad d as cada cad a vez qu e trans an scurr curre
c) 04 h 10
10 m in 11
d) 04h 05 m in
e) 04h 04 h 12 9 m in 11 2 4 . ¿A qu é ho ra en tre las 2 y las 3, las aguj agu jas de u n relo j form orm an u n án gulo cuya m edida es de 1 30º por po r segund a vez?
a) 02h 02 h 52
8 m in 11
b) 02h 5 0m in
c) 02 h 49
3 m in 11
d) 02h 51 m in
e) 02h 02 h 47
3 m in 10
25 . ¿Q ué ho ra es en el gráf gráfico m ostrado? ad o? 12
11
a) 6 0 0 d ) 7 22
b) 7 2 0 e) 5 7 2
c) 8 7 2
10
a) S áb ad o c) M iérco les e) V iern ern es
H
7
a) 06h 06 h 11
b ) D om o m in go d ) M artes
2
8
b ) V iern es e) S áb áb ad o
20 . S i el 12 de O ctubr ubre e de 196 4 fue fue S ábad o, entonce on ces s el 25 de D iciem bre bre de 1 992 fue :
M
9
19 . E l 28 de Julio de 1 950 95 0 fue M iércoles. es. ¿Q ué d ía fue el 28 d e Julio d e 19 86 ? a) Ju eves c) M iérco les e) D om ingo
10 m in 11
b ) 0 4 h 13
5 m in 7
4 5
6
b) 06h 1 1m in d ) 0 6 h 12
c) 0 6 h 1 0 m in
3
6 m in 7
e) 06h 13m in 2 6 . ¿Q ué ho ra m arca arca el relo j d e la fi figura? 12
2 1 . ¿Q ué á ángu ngu lo fo rm an las aguj agu jas de un u n rel relo ja las 09 : 26 h? (D ar com o respu espues est ta el ángu lo m eno r)
1
9
a) 1 2 7 º d ) 1 1 7º
b) 1 2 5 º e) 1 4 0 º
a) 2 5 0 º d ) 2 7 1º
b) 8 8º e) 9 0 º
c) 8 8 ,5 º
3 H
c) 1 2 0 º
2 2 . ¿Q ué á ángu ngu lo fo rm an las aguj agu jas de un u n rel relo ja las 04 : 38 h?
2
M
8
7
a) 0 5 h 4 3 m in
3 m in 8 e) 05h 47m in
c) 05 h 45
6
4 5
b ) 0 5 h 46
2 m in 13
d) 05h 42
2 m in 11
93
R az. M atemático ático
27 . ¿A qué qu é ho ra inm edi ediat atam ente d espu espués és de las 2,elho rari ario ad elant an ta a la m arca arca d e las 12 tant an to com o el m inu tero ero ad elan ta al a l h o rario ? a) 0 2 : 2 4 h c) 0 2 : 2 5 h e) 0 2 : 30 h
b ) 02 : 32 h d ) 0 2 : 28 h
a) 5 h 41 4 m in 11
b) 5h 42m in
c) 5 h 42 4 m in 11
d) 5h 4 3m in
e) 5 h 43 5 m in 11 3 2 . ¿A qu é ho ra en tre las 4 y las 5, las aguj agu jas de u n relo j form orm an 90º 90 º por pri prim era era vez?
2 8 . ¿Q ué ho ra m arca arca el relo j d e la fi figur gu ra? 12 1 M
9
2
H
3
8
4 7
5
6
a) 2 h 48 1 m in 11
b) 2 h 49
2 m in 13
1 m in 11
d) 2 h 48
3 m in 11
c) 2h 49
a) 4 h 6 5 m in 11
b) 4 h 5 7 m in 11
c) 4 h 6 3 m in 11 e) 4 h 5 5 m in 11
d) 4 h 5 3 m in 11
33 . ¿C uál es el m eno r ángul ángu lo q ue for form m an las agujas agujas d el relo j a las 6:3 6:3 0 h ? a) 0 º d ) 20 º
b) 1 5º e) 1 8 º
c) 1 0 º
3 4 . S egún egú n el gráf gráfico, ¿qué ¿qu é ho ra es? 12
e) 2 h 46 2 m in 13
11
1
10
2 H
29 . ¿A qué qu é hor h ora a entr entre las 3 y las 4 de d e la m aña añana na las agujas d e un u n rel relo j se opo o po nen ?
9
M
8
a) 3 h 49 1 m in 11
b) 3 h 47 2 m in 11
c) 3h 49 3 m in 11
d) 3 h 48 1 m in 13
7
6
a) 2 :18 3 m in 11
b) 2 :17 3 m in 11 d ) 2 :18 2 m in 11
c) 2 : 1 8 m in
3 0 . ¿A qu é ho ra en tre las 3 y las 4, las aguj agu jas de u n relo j están su p erpuest erpu estas?
e) 2 :19 3 m in 11 35 . ¿Q ué á ng ulo fo rm an las agujas agujas de un relo j a las 18 :16 h?
b) 3 h15 2 m in 11 d) 3 h16 4 m in 11
a) 9 0 º d ) 95 º
e) 3 h16 2 m in 11
b) 9 3º e) 9 2 º
c) 8 7 º
3 6 . ¿Q ué h o ra m arca arca el relo j d e la fi figura? 12
31 . ¿Q ué ho ra es en el gráfico m ostrado ad o ?
M
12
11
9
1 2
1
10
2 3
2
M
3
9 H
8
4
H
7
94
5
S iend en d o : 40 º
e) 3 h 49 2 m in 13
a) 3 h12 6 m in 11 c) 3h16 5 m in 11
3
6
4 5
7
6
5
TRILCE
a) 6h 55
5 m in 11
b) 6h 55
5 m in 13
d) 6h 54
2 m in 11
d) 6h 54
3 m in 11
e) 6h 55
41 . ¿A q ué ho ra inm ediatam ente despu despu és d e las 3 d e la m añan añ ana, a, elm inu tero ero adel ad elant an ta al ho rari ario tant an to com o el ho rari ario ad elant an ta a la m arca arca d e las 12 ? a) 0 3 :3 6 h c) 0 3 :4 8 h e) 03 :30 h
7 m in 13
37 . ¿Q ué ángu lo fo rm an las agujas de un u n reloja las 02:32h? 32 h? a) 1 1 4 º d ) 1 4 4º
b) 1 2 4 º e) 1 1 6 º
a) 8 a.m . d ) 12 m .
12
b ) 8 p .m . e) 2 p .m .
12
2 H
9 M
c) 1 0 a.m .
4 4 . S egún egú n el gráf gráfico, ¿qué ¿qu é hor ho ra es?
1
10
11
3
1
10
2
3
4
3
9
5
6
a) 2 :3 6 m in c) 2 :3 6. 6.5 m in e) 2 :35 .5 m in
b) 2h 55 6 m in 11 d) 2h 54 3 m in 11
4 3 . ¿Q u é ho h o ra es e s .............. si h ace 5 h o ras el tiem p o q u e habí ha bía tr trans an scurrid o d el d ía fue fue d o s veces m eno en o s q ue el tiem po qu e restarí aría par pa ra acab a cabar ar eld ía d ent en tro d e 7 ho ras?
3 9 . ¿Q ué ho ra es en el sigui gu iente ente gráf gráfico? 11
a) 2h 53 6 m in 11 c) 2 h 54 6 m in 11 e) 2h 54 7 m in 11
b) 6 h 45 9 m in 11 d) 6 h 45 5 m in 11
c) 6 h 48 2 m in 11 e) 6 h 44 3 m in 11
42 .¿A q ué ho ra ent e ntr re la s 2 y las 3, 3 , las agu a guj jas de d e u n relo j form orm an u un n án gulo d e 120 º po r segunda egun da vez?
c) 1 0 8 º
38 . ¿A q ué ho ra inm ediatam ente después después de las 06:00 h , el m in u tero ero aven av ent taja al h o rario 1 2 d ivisio n es? a) 6 h 45 3 m in 11
b ) 0 3 :2 4 h d ) 0 3 :3 2 h
8
4
b ) 2 :3 7 m in d ) 2 :3 8 m in
7
4 0 . ¿Q u é ho ra in d ica el relo j m o strad o en e n la figur gu ra? 12 11
1
10
3
6
5
a) 08 :25 3 h 11
b ) 08 :27 2 h 11
c) 0 8 : 2 7 h
d ) 08 :27 3 h 11
e) 08 : 26 h 2
H
9
8
3
4 5 . U n relo j en lu gar de tener en er 1 2 d ivisio nes ne s tiene en e 9 y d a la vuel vu elta un a vez alreded ed edo o r de su eje. ¿Q ué ho ra m arcar arcará á d icho relo ja las 4 d e la tard ard e?
M
7
6
a) 2 :27 3 m in 11
b) 2 : 23 7 m in 11
c) 2 : 27 2 m in 11
d) 2 : 21 2 m in 7
e) 2 : 22 3 m in 11
a) 6 d) 7
b) 4 e) 9
c) 3
4 6 .L a figur gu ra m u estra el reflejo d e u n relo j en u n espej espe jo. E sp ejo M H
95
R az. M atemático ático
Ind iqu e la ho h o ra que q ue es,sielm eno en o r ángu án gul lo q ue se fo rm a es 8 0º. a) 11 :9 1 h 11 c) 10 :3 7 h 11
51 . S i el 25 de A gos gost to de 194 8 fue fue V iernes nes. . ¿Q ué dí d ía fue el 14 de Febr Feb rero de ese m ism o año a ño ? a) L u n es c) M ar a rtes e) M iércoles
b ) 10 :5 2 h 11 d ) 10 :3 6 h 11
b ) D o m in go d ) Ju eves
52 . ¿Q ué ho ra es en la figur gura a m ostrada? ad a?
e) 10 :3 5 h 11
12 11
47. E n un año com ún celebr ebré é m i cum pleaños el 26 d e S etiem b re, qu erem erem o s saber ab er qué qu é dí d ía fu e y p ara ara el e llo sólo sabem o s que qu e es est te año hay m ás días L unes un es que qu e ot otr ros. ¿Q ué d ía será la vísper pe ra d e m i cum pleaño eañ o s?
1
10
2 H
9
3 / 2
M
8
a) L u n es c) M iérco les e) S ábad o
b ) M ar artes d ) D o m in go
7
a) 2 h 2 0 m in
48 . ¿Q ué hor h ora a es según el gráfico?
c) 2 h 21 4 m in 11
16 4 d iv.
M H
4
8
a) 4 : 0 5 h
b ) 4 :04 3 h 15
c) 4 :0 6 h
d ) 4 :04 1 h 15
e) 4 :04 4 h 15 4 9 . U n nu evo relo j tiene en e 16 1 6 d ivisio nes ne s ho hor rari arias y el ho rario gira una u na so la vez en to rno a su eje en un d ía, ad em ás p o r cad a d ivisió n h o ra ria q u e ava a van n za el h o rario, el m inu tero ero d a una u na vuel vue lta com co m pleta. ¿Q u é án gul gu lo fo rm arán las m an ecillas de d icho ch o relo j, si en un relo j n o rm al so n las 6:0 6:0 0 p .m .? a) 8 0 º d ) 10 0 º
b ) 1 20 º e) 9 0 º
c) 6 0 º
50 .U n relo j ind ica la ho h o ra con co n tan tant tas cam cam pana pa nad d as co co m o el nú m ero ero d e h o ras tran scurr scurri id as h hast asta ese instan te. S abem os que para para tocar tantas cam pan panadas adas com com o el triple ple d el tiem po qu e d em o ró ent entr re cam pa na da y cam panada pana da tard ard ó 70 segund segund os. ¿C uán uánt tas cam pan panadas adas dará dará en 40 segundos? egund os? a) 8 d) 7
96
b) 9 e) 6
c) 5
6
b ) 2h 20 2 m in 11 d) 2h 21 1 m in 11
e) 2h 20 3 m in 11
12
3
5 3 . ¿A qu é ho ra en tre las 7 y las 8 de d e la no n o che las agujas de un relo j fo rm an un ángul án gulo d e 100º 10 0º po por r segund egu nd a vez? a) 7 h 56 2 m in 11 c) 7 h 57 3 m in 13
b) 7 h 58 3 m in 11 d) 7 h 56 4 m in 11
e) 7 h 56 5 m in 11 54 . ¿A qué h ora ora inm ediatam ente después de las 16: 16:00 00 h el h o rari ario ad elant an ta al a l m inu tero ero tant an to com co m o el m in uter utero o ad elant an ta a la m arca arca de d e lo s 12? a) 4 h10 7 m in 23 c) 4 h12 3 m in 11
b) 4 h10 10 m in 23 10 m in d) 4 h11 11
e) 4 h12 5 m in 23 55 . U n rel reloj de par pared ed señala la ho ra con igual núm nú m ero ero de cam pana pa nad d as a la h o ra res respect pectiva, siem plea 6 segun d o s en in d icar las 16 1 6 h o ras. C alcule la m ed id a d el ángu lo m eno r qu e form orm an el segund segu nd ero co n el m in uter utero o al term erm inar na r d e in d icar las 18 ho ras. a) 6 0 º d ) 29 º
b) 5 9º e) 1 1 º
c) 5 4 º
TRILCE
1 h o ras s si i se sabe qu e en 4 esto s m o m ent en to s el tiem p o tr trans an scurrid o es e s exced id o en en 5 h o ras po p o r lo q u e falta tran scurrir de del l d ía?
56 . ¿Q ué hora hora ser será dentro d e 5
a) 3 : 4 5 p .m . c) 3 :2 0 p. p.m . e) 2 : 45 p.m p.m .
b ) 3 :2 5 p .m . d ) 2 : 2 0 p. p.m .
57. E n una m añana de sol sol un árbol árbol de 10 3 m al a ltu ra , arr arro ja un a som bra bra de d e 10m 10 m de lon gitud . ¿Q ué ho ra es es? ? a) 10:20 h d) 09:48 h
b) 10:00 h e) 10:10 h
59 . C uan do sean d os hor ho ras m ás tarde arde d e lo que qu e es es, ,faltarán arán par pa ra las 2:0 0 p .m . el do ble d el nú m ero ero de m inu to s tran scu scu rrid o s d esde esd e las 10 :0 0 a. a .m . ¿Q ué ho ra será erá d ent en tro d e veint veinte e m inu to s? a) 1 1: 1:0 0 a.m . c) 1 :0 0 p .m . e) 10: 10 :40 a.m .
b ) 1 2: 2:0 0 a.m . d ) 2 :0 0 p .m .
60 . ¿Q ué hor h ora a es según el gráf gráfico? S i: ºº
15 3º 2 12
c) 09: 09:50 h
1
M
2
5 8 . L o s relo jes de d e "A "A ","B " y "C "C " se sin cro n izaro zaro n a las 12 :0 0 h o ras. S ielrelo jd e "A" "A " se atr atrasa 3 m in u to s por po r h o ra, el d e "B "B " se ad elant an ta 3 m inu to s po rho ra y eld e "C "C " m archa archa correctam ent en te. ¿D ent en tro d e cuán cuá n to tiem po lo s ho rario s de lo s 3 relo jes eq u id istará n en tre sí? a) 48 horas horas b) 60 horas horas c) 72 horas horas d) 80 h oras oras e) 96 ho ras
3
9 8
H
7
a) 7 :5 6 m in c) 7 :5 7 m in e) 7:59 7:59 m in
6
4 5
b ) 7 :5 3 m in d ) 7 :5 4 m in
97
R az. M atemático ático
Claves l ave ves s
98
01.
c
3 1.
b
02.
a
3 2.
e
03.
e
3 3.
b
04.
e
3 4.
d
05.
c
3 5.
e
06.
a
3 6.
b
07.
d
3 7.
e
08.
c
3 8.
b
09.
b
3 9.
a
10.
c
4 0.
a
11.
b
4 1.
a
12.
c
4 2.
c
13.
b
4 3.
a
14.
e
4 4.
d
15.
b
4 5.
c
16.
d
4 6.
c
17.
c
4 7.
b
18.
d
4 8.
e
19.
e
4 9.
e
20.
c
5 0.
b
21.
a
5 1.
a
22.
d
5 2.
a
23.
c
5 3.
d
24.
a
5 4.
b
25.
d
5 5.
a
26.
b
5 6.
e
27.
a
5 7.
b
28.
e
5 8.
d
29.
a
5 9.
a
30.
d
6 0.
c
TRILCE
C apít ul ulo o
9
SUCESIONES
U na sucesió n es un conj con junt un to o rd enad ena d o d e elem ento ento s (pu eden ed en ser núm ero ero s, letras, figuras o u na com binaci na ció n d e lo s casos casos an terio res), d e m o d o q u e ca cad d a u n o o cup cu p e un u n lu gar ga r estab lecid o, tal q u e se pu p u ed a d istin gui gu ir el p rim ero, el segun segu n d o, eltercer ercero o y así su cesi cesivam va m ent en te; acor aco rd e a un a ley d e fo rm ació n o fó rm u la d e recurr recurrenci en cia.
SUCESIO NES NUM ÉRICA S U na sucesió n d e nú m ero ero s reales es un a fun fun ció n f:N R def d efinid nid a en e n elconj co nju nto nto N = {1 , 2 , 3 , ...} d e nú n ú m ero ero s nat natural urales y qu e va to m and an d o val v alo res en el conj con jun to R d e lo s nú m ero ero s reales. U n val va lo r f , n N será represen represent tad o po r tn (n ) llam ad o térm érm ino enés ené sim o o térm érm ino gener gen eral al d e la sucesió n.
N 1
f
R t1
2
t2
3
t3
n
tn
D educi ed ucim o s que qu e hay h ay un a cor co rrespo espo nd enci en cia d e "un "un o a un o " entr entre lo s núm ero ero s natur natural ales a par p art tir d e 1 y lo s térm érm ino s de la sucesió n. Ind icam o s qu e una un a sucesi sucesió n se pu ede ed e consid erar erar com o el rango an go d e una un a fun ció n cuyo d o m inio es elconj con jun to N .
Ejemplo : L a sucesi su cesió n p ara la cual cu al t n
en e co m o térm in o s :6 ; 1 1 ; 1 6 ; 2 1 ; .... 5 n 1 tiene
p ara n : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ........ (n ú m eros ero s or o rd in ales) S e tien e : tn :6 ;11 ;16 ;21 ;........ (t (térm in o s de la sucesió n )
99
R az. M atemático ático
E n lo s sigui gu ient en tes ejerci ercicio s enco en con n trar el n ú m ero ero q u e sigue gu e :
4 ) B ;C ;E ;G ;K ; ...............
1 ) 2 ;3 ;7 ; 1 5 ; 2 8 ;............
2 ) 7 ;9 ; 1 2 ;1 7 ;2 5 ;............
5 ) H allar elp ar de letras que q ue sigue gu e : C E ;G I;K L ;Ñ N ;...........
3 ) 0 ;5 ; 1 8 ;4 7 ; 1 0 0 ; ..............
SUCESION ES ALFANUM ÉRICA S H allar el térm érm ino q ue sigue gu e en cada cad a caso : 4 ) 2 ; 1 ; 1 ; 2 ; 8 ;............... 1 ) 1 B ;1 B ;2 C ;3 D ;5 F ; 8 I ; ............
5 ) 1 ;2 ; 4 ; 4 ;7 ;8 ;1 0 ;1 6 ; .............. 2 ) 1 7 L 2 5 ; 2 5 Ñ 1 6 ; 3 3 Q 9 ; ............
SUCESIONES LI TE ER RALES : S e to m a com co m o b ase 27 letras de del l alfabet ab eto ; n o se con co n sid eran eran las letr etras dí d ígrafas "C "C H " y " "L L L ". E n lo s sigu ien tes ejercicio s hal ha llar la letra q u e sigu e :
S U C E SI SI O N E S G R Á FI FI C A S ¿Q u é figur gu ra sigue gu e en cada cad a caso? 1)
1 ) A ;C ;F ;J ;............ ;
;
;
; .......
2 ) A ;D ;I;O ; ............ 2)
16
;
36
;
64
; ........
3 ) C ;F ;H ;K ;M ;..............
3)
;
10 0
;
; ......
TRILCE
9)
AN ALO GÍAS Y DI STRIBU STRIBU CIO NES E n cad ca d a u n o d e lo s ejerci ercicio s m o strad o s,enco en cont ntr rar eln úm ero q u e falta :
2 7
4
1 8
1)
4
(7) 3
3
(8 ) 1
6
(...) 4
3
6
CÁLC ULO D EL TÉRMIN O ENÉSIMO A . S U C ES E S I ÓN ÓN D E P R I M ER ER O R D E N :
2)
2
(9 )
5
7
(50 )
1
5
(...)
25
1 . E ncont nco ntr rar el térm érm ino qu e ocupa ocu pa la po sició n 20. 2 0. 5 ; 8 ; 1 1 ; 1 4 ;.......
3)
9
(15 )
4
(20 ) 10
6
(...)
2 . E ncont nco ntr rar el térm érm ino qu e ocupa ocu pa la po sició n 100 1 00 2 ; 9 ;1 6 ; 23 23 ;........
5 6
B . S U C ES ES I ÓN ÓN D E S EG EG U N D O O R D E N : 3 . E ncont nco ntr rar el térm érm ino que qu e ocup o cupa a el lugar uga r 20 .
4)
3
2
9
8
3
27
5
4
....
8
6 12
7
5 ....
2
3
4 ; 7 ; 1 2 ; 1 9 ; 2 8 ; ......
5)
3 4 . E ncont nco ntr rar el térm érm ino que qu e ocup o cupa a el lugar uga r 50 .
6)
1 ; 3 ; 8 ; 1 6 ; 27 ; ...... 2
3
9
12 5
5
2
2 6
1 3
4
7)
7
3
2
12
16
2 8
6 4
2
5
8) 2
7
3
6 11 51 6
10 1
R az. M atemático ático
T R I ÁN ÁN G U L O D E P A S C A L Su ces cesi ión de Fi Fibo bo nacci 1 1 10 = 1
1
1
1 11 = 11
1
1 = 1 = 20
2 3
1
5
1 12 = 12 1
1
1 13 = 13 3 1
1
1 14 = 14 6 41 41
1 1
3 4
6 7
1 3
6
5
1 1
2
10 15
21
1 + 2 + 1 = 4 = 22 13 21
1 + 2 + 3 + 1 = 8 = 23 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 1 6 = 24
1
10
35
8
1 4
20
1 + 1 = 2 = 21
5 15
1 6
35
1
21
7
1
N Ú M E R O S TR TR I A N G U L A R E S
F ig (1 (1) ) F ig. (2 (2) )
F ig.(3 (3) )
Fig. (4 (4) )
Número Número de punto s : 1
;
1
; 12
12 2
;
3
23 2
;
6
; 1 2 3 ;
34 2
;
10
; 1 23 4 ;
4 5 2
; ...... ; ...... ; ......
C U R I O S I D A D A C E RC RC A D E L A S U C ES ES I ÓN ÓN D E FI FI B O N A C C I P iensa en d o s nú m ero ero s cualesqu esqu iera era y cons con struye, uye , em pezand pezan d o co n esos núm ero ero s, una un a sucesi sucesió n com o la d e F ib o nacci na cci, es deci de cir en la q ue cada cad a térm érm in o sea la sum a d e lo s do s anter anteri io res. L a sum a d e lo s d iez pri prim ero ero s térm in o s d e tu sucesió n será será o nce veces ve ces el sépt ép tim o térm in o. E sto suced e en la sucesi sucesió n d e F ibo nacci na cciy en cualqu ier o tra que q ue se const co nstruya d e la m ism a m aner an era. a.
10 2
TRILCE
EJERCICIOS PROPUESTOS 01. ¿Q ué núm núm ero s si igue gue? ? 4 ; 5 ;7 ;1 0 ; 1 6 ; 2 4 ;4 0 ; 5 9 ; ...... a) 9 5 d ) 98
b) 9 6 e) 9 9
09. ¿Q ué núm ero continua? 1 7 ;1 9 ; 1 5 ;1 4 ; 1 7 ; 2 3 ; 1 ; 22 2 2 ; ....
c) 9 7
a) - 7 8 d ) 83
b) L R e) M Q
c) 83
10. ¿Q ué núm núm ero si sigue gue? ? 2 ;3 ; 9 ; 8 7 ; .....
0 2 . H allar el par pa r d e letras que qu e si siguen gu en : C ;D ;E ;I;G ;M ;I;O ;...... a) K R d) K R
b ) 1 05 e) 95
a) 8 7 5 4 d ) 8 77 5
c) K Q
b ) 8 74 5 e) 7 2 4 7
c) 7 6 5 3
11 . H allar "x" en :
03 . H allar "x" en :
2
3
2
5
8
4
36 3 a) 1 2 1 d ) 1 44
x
4 6
1 4
b) 6 4 e) 1 6 9
5
x
27
a) 4 d) 2
0 4 . H allar el térm érm ino qu e sigue gu e en e n la sigui gu ient en te sucesió n :
3 x 2 ; 5x 6 ; 8x 12 ; 12x 20 ; ....... b) 15 x 30
d) 17 x 28
e) 17 x 30
a) 1 4 0 d ) 139
06 . H allar "x" en :
5
2
11 4 a) 5 4 d ) 60
3
14
7
20
x
b) 6 4 e) 5 7
5 57 23
c) 7 2
07. Sabiendo endo que : A B es a A D y que E I es X Q , entonces C E es a : a)JK d) H L
b ) IJ e) H K
c) IK
08 . H allar "x" en :
a) 3 7 5 d ) 5 15
b) 4 3 0 e) 4 5 5
b) R e) Q
c) Ñ
4
(18 ) 3
16
(16 ) 2
28 9
(x) 5
b ) 1 42 e) 1 4 3
c) 1 3 7
14 . ¿Q ué térm ino ocupa el lugar 100 ? 1 ; 4 ; 1 0 ; 1 9 ; 3 1 ; ......
c) 8 6 8
9
c) 8
1 3 . H allar la sum a d e lo s 3 tér térm m ino s si sigui gu ientes: entes: 5 ; 7 ; 1 0 ; 1 5 ; 2 2 ; ......
b) 7 8 7 e) 7 9 8
7
b) 3 e) 5
c) 16 x 24
4 ; 9 ; 1 7 ; 2 8 ; 4 2 ;.......
4
2
12 . ¿Q ué letra si sigue? A ; B ; D ; H ; ...... a) P d) O
05 . C alcular el t 24
a) 8 7 8 d ) 8 56
7
6
c) 7 2
a) 18 x 32
1
a) 15 6 8 1 c) 1 4 5 2 4 e) 14 851
b ) 15 3 0 2 d ) 1 4 98 1
1 5 . H allar en la siguient guiente e sucesi sucesió n elpri prim er térm érm ino m ayo r que 100. 0 ; 4 ; 9 ; 1 7 ; 3 1 ; 5 5 ; ........ a) 1 5 2 d ) 112
b ) 1 18 e) 1 2 3
c) 1 5 4
16. ¿Q ué núm núm ero si sigue gue? ? 4 ; 2 ; 2 ; 4 ; ...... a) 1 d ) 16
b) 4 e) 0
c) 2
c) 4 2 5
10 3
R az. M atemático ático
17 . S eñale el grup grupo o alfanu m éri érico q ue sigue : 13ZD 13 ZD 25 ; 16W 16 W H 36 ; 19T 19 T L 49 ; ...... a) 2 2 R T 6 4 c) 2 2 Q R 6 4 e) 22R O 64
b ) 2 2 Q O 64 64 d ) 2 2R S 6 4
18 . H allar en cada cad a caso caso el núm nú m ero que qu e falta :
a) 2 6 d ) 24
45
(50 ) 55
15
(30 ) 45
12
( ) 40
b ) 27 e) 2 2
c) 2 9
25 . S eñale el grupo up o alfanu m éri érico q ue sigue : 5ZA 5Z A 18 ; 17W 17 W C 25 ; 29T 29 T E 32 ; ...... a) 4 1 Q H 3 9 c) 3 9 Q G 3 8 e) 41Q G 39
b ) 4 1 R G 37 37 d ) 4 1 Q H 40 40
26 . C alcul alcular el nú m ero ero qu e con tinú a en la sigui guien en te sucesió n : 1 ; 6 ; 3 0 ; 1 6 8 ; ...... a) 4 6 0 d ) 990
b) 6 3 0 e) 1 3 2 5
2 7 . ¿Q ué val va lo r to m a "x" "x" en la sigui gu iente ente anal an alo gía num n um éri érica? 4 (20 ) 4
19 . ¿Q ué núm ero falta?
a) 1 2 d ) 17
16
(20 ) 24
26
(33 ) 40
18
( ) 12
b ) 14 e) 1 5
c) 1 8
c) 8 1 0
a) 1 6 d ) 12
2
(10 ) 6
3
(x )
b) 1 3 e) 1 8
c) 1 9
28 . ¿C uál es el valor de x? 16
2 0 . S eñal eña le el grup grup o d e letras que sigue gu e : B M D ; C Ñ G ;D P J ; ...... a) E T S d) E R M
b) E Q P e) E T N
c) E Q N
21 . ¿Q ué núm ero falta?
2 (12) 2 3 (10 ) 1 5 ( ) 3 a) 5 0 d ) 36
b ) 52 e) 5 6
c) 4 8
22 . Fed eri erico rep repar art te a sus sus nieto eto s car caram am elo s d el m o d o sigui gu ient en te : a Pau P aul la 2; And A nd rea 7, Seb Se b astiá n 1 2, And A nd ré 17 , A nit nita 22 , así sucesivam ent en te. ¿C u ánt án to s caram caram elo s recib irá el e l n ieto n ú m ero 24 2 4? a) 1 2 3 d ) 11 9
b ) 1 20 e) 1 2 1
c) 1 1 7
2 3 . ¿Q ué p alabr ab ra debe d ebe escr escribirse en el e l espa espaci cio p un tead o ? 31 (C A F E ) 65
a) L E C H E d ) D IH A
49
(........) 71
b ) D IG A e) B E JE
c) D IM E
2 4 . S eñal eña le el grup grup o d e letras que sigue gu e : C T T ; F U V ; IV X ; ...... a) K W Z d ) LV W
10 4
b) K V Z e) LV Z
c) L W Z
4
8
a) 1 d) 4
4 2
b) 2 e) 5
6
9 3
6
x
c) 3
2 9 . C alcular el val va lo r d e x + y en la sigui gu ient en te sucesi sucesió n : 5 ; 7 ; 1 1 ; 1 2 ; 23 ; 17 ; x ; y a) 6 5 d ) 72
b) 6 8 e) 6 9
c( 7 0
3 0 . C alcular la letr etra qu q u e con co n tin u a en e n la sigui gu ient en te secuen secue n cia: A ; A ; B ; C ; E ; H ; ...... a) K d) P
b) M e) X
c) O
3 1 . C alcular la sum a d e cifras del térm érm ino qu e con tinua nu a en la sigu ien te suce su cesi sió n : 1 ; 3 ; 1 3 ; 1 8 3 ; ...... a) 2 8 d ) 22
b) 1 1 e) 1 8
c) 1 3
32 . ¿Q ué térm ino cont onti inua?
A C D G ; ; ; ; ...... B B E H P I R d) K a)
O K O e) I b)
c)
P M
TRILCE
3 3 . In d iq ue la altern ern ativa qu e sigue gu e en e n la seri erie m o strad a:
38 . H allar : x
8
?
4
1
5
3
5 11 5
2 a)
b)
9
x
8
7
b ) 10 e) 8
c) 1 1
e) 39 . H allar el núm nú m ero ero que qu e cont con tinua nu a en la sucesi sucesión : -1 ; 0 ; 0 ; 2 ; 9
3 4 . H allar elvalo r d e x :
8
5
16
2 10
9
4 13
24
6 a) 3 2 d ) 26
11
b) 2 9 e) 3 0
x
c) 3 1
3 5 . In d iq u e la al a lternati ernativa q u e d eb e o cup ar el casillero ero TR ILC E :
3 a) 8 8 d ) 92
4
c) a) 9 d ) 12
d)
6
0
0
0
b) 8 0 e) 9 0
0
5 27 T R IL C E c) 8 7
a) 1 6 d ) 25
b ) 21 e) 2 4
c) 2 2
4 0 . H allar el p ar d e letras qu que e sigue gu e : E A ; ID ; L G ; N J ; ....... a) Ñ P d) Ñ M
b) M R e) O M
c) N M
4 1 . E n la sigui gu ient en te sucesió n , h allar la sem isum a d e lo s 2 pri prim eros núm eros eros que sean, sean, m ayo ayor res a 10 0. 1 0 ; 5 ; 5 ; 1 2 ; 2 8 ; ...... a) 7 5 d ) 150
b ) 1 86 e) 2 0 0
c) 2 2 2
4 2 . H allar la sum a d e las ci cifras del nú m ero ero qu e sigue : 3 ; 9 ; 75 75 ; ......
36 . ¿Q ué fi figur gura a continua?
a) 1 5 d ) 12
b ) 16 e) 9
c) 1 7
43 . D ada ad a la siguient ente e sucesión : a)
d)
b)
c)
e)
3 7 . S eñal eñ ale la al a ltern ern ati ativa q u e con co n tin u a la sigui gu ient en te sucesió n gráfica :
R (1) 1
2
3
R (2 ) 2
4
1
R
3
4
3
R (4 ) 4
16
1
R (5 ) 5
6
3
R (6 ) 6
36
1
(3 )
H allar el val va lo r d e : R R (12 ) (15 ) a) 4 2 1 d ) 425
b ) 4 00 e) 4 4 0
c) 3 9 8
44 . D adas las sucesi ucesiones on es : a)
b)
Sn : 3 ; 3 ; Rn :
c)
d) d)
11 9 27 ; ; ; ....... 3 2 5
3 4 5 6 ; ; ; ; ....... 2 3 4 5
H allar la d iferencia d e lo s térm érm in o s n - ésim o s de de S n y
Rn e)
10 5
R az. M atemático ático
n3 2 a) n 1 d)
n3 b) n(n 1)
n3 1 c) n2
n3 2 n3 2 e) n(n 1) n(n 1)
45 . H all allar el pa r d e letr etra s qu e sigu en en la sigu ien te su cesió n : B ; E ; I ; L ; O ; ...... a) Q y R d) Q y U
b) P y Q e) T y U
c) R y V
4 6 . H allar el térm érm ino qu e con tinú an en la sucesi sucesió n : 6 a
3 a 8 3 a2 d) 16 a)
b)
2
3 2 a 8
;
3 3 3a ; ; a 2 4
c)
3 3 a 2
e) 3 a 2 16
4 7 . B D es a D O co m o A A e s a : a) B B d) H X
b) C I e) E Z
b ) 18 e) 2 1 6 0
c) 7 2
b ) - 16 e) - 7
c) - 4 3
5 0 . E lpaqu pa qu ete de d e la figura 1 est está atad o po p o r un a cuerda de de 70 cm y en el nu do siem pre pre se us usan an 10 cm . de la m ism a cuerda. ¿C u áles la lo ngi ng itud d e la cuer cue rd a q ue se usa par pa ra at a tar el paqu pa qu ete de d e la fi figur gu ra 10 0? (Tod To d o s lo s p aq u etes so so n cúb cú b icos co s e igual gu ales)
F ig. 1
a) 3 0 4 0 cm c) 3 5 4 6 cm e) 3424 34 24 cm
Fig.2
Fig. 3
b ) 3 5 2 0 cm d ) 3 5 4 0 cm
51 . G iova ovann nna a se prop prop on e leer una un a novel n ovela d e la siguiente m an era era : el p rim er d ía 3 p ágina ágina s, el segu n d o d ía 8 p á gin gin a s, el tercer dí d ía 1 5 , el cu arto 2 4 y a sí
10 6
b) 1 3 6 e) 1 6 4
c) 1 7 8
5 2 . D urante vari varias tard ard es d e un m es oto ñal ña l so lía sentarm arm e a la so so m bra bra d e un u n árbol. L a pr p rim era era tar tard d e del de l árbo árbo l cayer caye ro n 9 ho jas d de e las q qu u e recogí 1 ; la segund segu nd a tard ard e cayeron cay eron 1 7 d e las qu q u e recogí recog í3 ; la terc tercera era tarde cayer cay ero on 2 5 d e las qu e recogí 7 ;la cuar cua rta tarde tarde cayeron 33 d e las q ue recogí eco gí1 3 y así a sísucesivam va m ent en te, h asta q ue u na tarde recogí eco gí to d as las qu q u e cayeron ca yeron esa tarde. arde . ¿C uánt uá ntas as hoj ho jas caye cayer ro n esa tard ard e? a) 6 5 d ) 93
b) 8 2 e) 7 3
c) 7 8
5 3 . ¿C uán uá n to s térm érm ino s d e la sigui gu ient en te sucesi sucesió n ter term m in an en cifra 5 ? 1 3 ; 2 2 ; 3 1 ; 4 0 ; ...... ; 9 0 4 a) 8 d ) 11
b) 1 0 e) 1 2
c) 9
5 4 . S e tien e un sucesió n lin eal ea l crecient en te d e n tér térm m in o s
4 9 . E n la sigu ient en te sucesió n , h allar el segun d o térm érm in o n egat eg ati ivo : 3 0 : 3 2 ; 2 7 : 1 6 ; 0 ; ...... a) - 2 0 d ) - 68
a) 1 6 8 d ) 172
c) A B
4 8 . E n la siguient guiente e sucesi sucesió n : 3 ; 3 ; 6 ; 18 ; 7 2 ; 2 16 ; 21 60 ¿C uál uá l d e lo s térm érm ino s d ebe ser reem plazado par pa ra que q ue se fo fo rm e una u na sucesió n? a) 6 d ) 21 6
sucesivam ent en te hast h asta q ue ciert erto d ía se da d a cuen cu ent ta q ue el nú m ero ero d e pági p áginas na s leíd as ese ese dí d ía es 14 veces elnúm nú m ero ero d e dí d ías que ha est estad o leyend eyen d o. H allar elnú m ero ero d e pági p ágin as leíd as en d icho d ía.
d o n d e lo s térm érm ino s de lug ares ares
(n 3) (n 13 ) y 2 3
equi eq uid istan d e lo s extrem o s y ad em ás la d iferen erenci cia d e d icho s térm in o s es 1 6 . S i el térm in o cent cen tral es 16 . H allar el val va lo r de la razón azó n . a) 2 d) 6
b) 4 e) 7
c) 5
55 . E l pri prim ero, el segund egun d o y el sépt épti im o térm érm ino s de una u na prog resió n aritm éti ética fo fo rm an u na p ro gresi gresió n geo m étrica. S i la sum sum a de d e dicho s térm érm in o s es 9 3. H alle su pr p ro d ucto. ucto. a) 3 0 7 5 d ) 3 12 5
b ) 3 14 5 e) 3 3 7 5
c) 3 0 2 5
56 . S ean las sucesi ucesion es : 2 3 ; 2 7 ; 3 1 ; ........ 19 ; 23 1 1 ; 14 ;1 7 ; 2 0 ; ........ ¿C uál uá les el qu into nto térm érm ino com ún a am bas ba s sucesio nes que qu e term inan en 5 5? ? a) 5 2 5 d ) 515
b) 3 3 5 e) 2 7 5
c) 2 1 5
5 7 . E n la sigui gu ient en te figur gu ra se m u estran lo s nú m ero ero s nat na tu rales d istrib u id o s en p asajes en fo rm a d e "ele". ¿C uá l es la sum a d e lo s nú m ero ero s que están en los extr extrem o s d el pasaj pa saje 25 ?
TRILCE
a) 1 3 5 0 d ) 1 30 0
16
9
4
1
17
10
5
2
3
18
11
6
7
8
19
12
13
14
15
20
21
22
23
24
b ) 1 25 0 e) 1 2 0 0
sucesivam ent en te. ¿C uántos uántos m etros habrá habrá avan zad o A rm and ito d el p en ú ltim o al ú ltim o glo b o ?, si al sum ar esa d istan cia con co n el n ú m ero ero d el glo b o qu e le to to carí caría revent reven tar se se o bti btiene 62 5?
c) 1 4 5 0
58 . S e ub ican los si sigui guient entes es nú m eros eros pares pares form an do cuad cua d rad o s con cént cén tricos co s d el sigui gu ient en te m o d o :
42
44
46
48
50
40
14
16
18
20
38
12
2
4
22
36
10
8
6
24
34
32
30
28
26
D eter eterm m in e el nú m ero ero qu e cierr erra el d écim o o ctavo cuadrado. a) 2 5 2 8 d ) 2 73 8
b ) 2 04 8 e) 2 4 5 0
c) 2 3 9 0
a) 4 9 d ) 100
b ) 64 e) 8 1
c) 3 6
6 0 . S id u rant an te 20 2 0 añ a ñ o s, d ebi eb id o a u na situaci ua ció n crítica en la cual lo s hech os han ha n id id o gol go lpea nd o la m ent en te de d e las p erson erson as, u n h o m b re consci co nscien te con co n cien tiza a 5 ho m bres po r año añ o y cada cad a uno u no d e est esto s conci con cienti entiza a un un ind ividu o en ese ese m ism o año. a ño. ¿C uál es elnúm nú m ero ero d e ho m bres bres capaces de transform orm ar su rea real lid ad to m and an d o co n cienci en cia d e lo s hecho s al cabo cab o de 20 años? a) 2 21 c) 2
22
e) 2
20
219
2
2
20
4
2
19
1
b) 218 217 d) 11 20
1
59 . E n una u na ginkana nkan a real realizad a po r la academ ia "T "T R IL C E " (p o r su ani an iversari versario ) el alu m n o A rm an d ito p articip a en en u n con co n curso, curso, en el cual cu al tien e qu q u e rev reven en tar un a cierta cant can tid ad d e glo b o s enum en um erad erad o s. E l p rim ero ero tiene en e la n u m eració n 0 , el segun segu n d o 1 , el tercer ercero o 4 , el cuar cua rto 9 y así sucesivam va m ent en te. P ara reven ev ent tar el p rim er glo b o h ay qu e av avan anz zar 1 m etro y d el pri prim er glo bo al segun do h ay 3 m etro s de d istanci an cia, d elsegund segun d o altercer ercero o hay ha y 5 m etr etro s, d el terc ercero ero a l cu arto 7 m etr etro s y a sí
10 7
R az. M atemático ático
Claves l ave ves s
10 8
0 1.
c
31.
d
0 2.
c
32.
b
0 3.
d
33.
d
0 4.
e
34.
e
0 5.
a
35.
c
0 6.
d
36.
e
0 7.
b
37.
c
0 8.
c
38.
b
0 9.
d
39.
e
1 0.
c
40.
d
1 1.
a
41.
b
1 2.
d
42.
d
1 3.
b
43.
b
1 4.
e
44.
e
1 5.
c
45.
c
1 6.
d
46.
b
1 7.
b
47.
b
1 8.
a
48.
d
1 9.
e
49.
c
2 0.
d
50.
a
2 1.
b
51.
c
2 2.
c
52.
e
2 3.
b
53.
b
2 4.
c
54.
b
2 5.
e
55.
e
2 6.
d
56.
e
2 7.
b
57.
d
2 8.
b
58.
b
2 9.
e
59.
a
3 0.
b
60.
d
TRILCE
C apít ul ulo o
SERIE SE RIESS Y SUM ATO ATORIA RIA S
10
D EFINICIÓN EFINICIÓN : U na serie na serie es la ad a d ició n ind icada cad a d e lo s térm érm ino s de un a su cesi cesió n n um éri érica y al resultad o d e d icha ad ició n se le llam a su m a o val va lo r d e la seri serie. D e acuerdo a cuerdo con esto, si la su cesi cesió n nu m éri érica es es : a1 ; a 2 ; a 3 ; ...... ; a n E n to n ces la serie n u m érica asoci a sociad a a ella será : a1 a 2 a 3 ...... a n
SERIE A RITMÉTICA RITMÉTICA L a serie ar a ritm ética es e s la ad a d ició n in d icad a d e lo s térm in o s de u n a sucesi suce sió n aritm éti ética d e razón razó n con co n sta n te (Est (E sta clase d e sucesi suce sio nes son llam ad as pr p ro gresio n es aritm éti éticas (P. (P. A .)).
a1
a 2 a 3 ...... a n r
r
R azó azón n A ritm ét éti ica C o n stan ant te
EJEMPLO ... E l pro pro fesor d e R M le pi p id ió al niño niño T R IL C IT O q ue su m ará ará las no tas ob tenid enid as po r su s 2 0 co m pañ pa ñ ero ero s en el últim o sim ulacro. acro. L as no n o tas son : 1 6 ;1 9 ; 2 2 ; 2 5 ; ...... ; 7 3 E l pro pro fesor se qu edó ed ó adm ad m irad o d e T R IL C IT O po rqu e lo resolvió p o r 4 m éto d o s d iferent erentes es. . O bserva bserva cóm có m o lo h izo y cuáles so n lo s m éto d o s q ue u tilizó : 1º mé t o d o
S
16 19 22 ..... 67 70 73 89 89 89 L a sum sum a de d e los tér érm m ino nos s equ eq u id istan tes si siem p re es la m ism a
10 9
R az. M atemático ático
C o m o son 20 térm érm ino s, se fo rm an 1 0 par p arej ejas, luego ueg o :
S 10(89) 890
nv iert erto el o rd en d e lo s sum and an d o s 2º mé t o d o : invi
S erie o rigin al:
S 16 19 22 .... 67 70 73
S erie escrita “ alrev revés és” ”: S 73 70 67 .... 22 19 16
2S 89 89 89 .... 89 89 89 20 tér érm m ino s 1º sum ando
2S = 20 (16 (16 + 73)
Ú ltim o sum ando
(16 + 73) 20 S= 2
C antidad de sum sum ando s
D e esta úl ú ltim a exp e xpr resió n po d em o s ded ucir q ue el valo r d e la seri serie se ob o b tiene en e m edi ed iant an te la fó fó rm ula :
D ond e : t1 : 1 er su m an do do t2 : Ú ltim o sum sum ando n : cantidad de sum and os
t tn n S 1 2
3º mé t o d o H alló la ley d e fo rm ació n d e lo s térm érm in o s y lo s o rd enó en ó así :
E n esta 1º 1 º col colum na es est tam os sum sum and o 20 2 0 térm ino s; conocem os esta can ca ntid ad gr graci acias a la suces suce sió n q ue apa a pa rece en e n la 2º 2 º co co lum n a N ó tese en esta 2 º co co lu m na la sucesión : 1 , 2 , 3 , ..., 20 20 3 (1)
22
73
16 19
13
3 (3)
3 (20 )
13
3 (2)
13 13
19 16 22 ... 73 3(1 2 3 ... 20 ) 20(13 ) = 3[1+ 2+ 3+ ...+ 18+ 19 19+ + 20 20] ]+ 260 S 21 21 21 S = 3( 3(10 10 21)+ 260 S = 89 0
11 0
TRILCE
4 º mé t o d o : U tilizó el m éto d o co m b in ato ato rio 1º S = 16 +
2º 3º 4º ....... 2 0 º 19 + 22 + 25 + .... + 73
3 S 16 C
20 1
3
3C
3
20 2
20 ! 18 ! 2!
S 16 20 3
S 890
Ejemplo (1) C alcular la sum a de d e lo s 12 0 p rim ero ero s térm érm ino s d e : 1 ; 2 ; 3 ; - 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; - 8 ; 9 ; 1 0 ; 1 1 ; - 12 ; ...
3 1
Resoluc Resoluc ión :
9 5
5 (1)
11 9
7 (2)
13 (3)
Resolu Resolu ción :
Ejemplo (4) ¿C u án tas bo b o litas hay h ay en la fi figur gu ra 2 0 ? Ejemplo (2) H allar la sum a d e to to d o s lo s elem ent en to s del de l sigui gu ient en te ar a rregl eg lo n u m érico , sih ay 30 3 0 filas :
(1 )
4 4 4 4 4
4 7
7 7
(2 )
(3)
(2 0 )
Resolu Resolu ción :
4 7
7
?
4 7
4
Resoluc Resoluc ión : SERIE G EOM ÉTRICA S
Ejemplo (3) C alcular la sum a d e to d o s lo s núm nú m ero ero s desde la fi figur gu ra 1 h asta la figur gu ra 2 0 .
E l R ey d e la In In d ia, en recon eco n o cim ient en to al in gen ge n io so in ven ve n to real ea lizad o p o r L ahur ah ur Ses Se ssa, d ecid ió recom pen pe n sarlo gen g ener ero osam ent en te, p ara ara lo cual cua l m and an d ó llam arlo a Pal P alacio. E l inven nv ent to con staba ab a d e un u n tabl ab lero ero cuad cua d riculad o con co n 8 casillero ero s po r lad o (es deci d ecir; 6 4 cuad cu ad rad o s en to tal) q u e sim u laba u n cam po d e bat ba talla y 32 3 2 p iezas ezas (16 par pa ra cad a jugad ug ado o r) q u e repr represent esen tab an lo s ejército s en lu cha. ch a. P id e lo qu e qu ieras di d ijo el rey. S o licito q ue se m e de d e 1 grano d e trigo p o r el p rim er casi casillero, y p o r cad cad a ca casillero sigu ien te el e l d o b le d e la can can tid ad an terio r, h asta term in ar con lo s 64 6 4 casilleros. eros. E l R ey ord ord enó que qu e se se cum cum pliese su des d eseo. eo. A l cabo d e un tiem p o lo s calculistas d el p alacio com co m u n icaron al soberan sob erano o que qu e tal ped id o era im po sible. V eam o s :
11 1
R az. M atemático ático
C asillero :
S
2S
1º
2º
3º
4º
......
64 º
8 .... 263 8 .... 263 2 64
1 2
4 2 4
467440 440 7370 955 161 5 grano anos s de trigo S 2 64 1 = 184 467
U n a seri serie geo g eo m étrica es la ad a d ició n in d icad a d e lo s térm érm in o s d e una u na pro pro gres gresi ió n geom geo m étrica. *
S ea la ser serie geom étrica : a1
a 2 a 3 ...... a n r
r
*
a n a1 (rn 1 )
*
Sn
R azón G eom étrica
Ejemplo (7) C alcul cu lar :
a1 (rn 1)
R 7 77 777 ... 77 ... . .7 .
(r 1)
40 cifras
E n el p ro b lem a d e la h isto ria d e el e l A jed rez, se tiene en e la serie.
S = 1 + 2 + 4 + 8 + .... + 2
2
2
2
Resolu Resolu ción :
63
R az azón ón G eom étrica
En dond e : a1 1 n = 64 r= 2
S
1(2 64 1) (2 1)
S 2 64 1 L a T ierr erra, conver con vert tid a d e N o rte a S ur en un sem brad brad o con un a cosecha co secha po p o r año, añ o, tardaría 45 4 5 0 siglo s en pr p ro d ucir sem ejan te can can tid ad d e trigo. go .
S E R I E S N O TA TA B L E S A ) S u m a d e l o s " n " p r i m e r o s n úm úm e r o s n at at u r a l e s consecutivos.
1 2 3 4 ....... n
n(n 1) 2
E j em em p l o ( 5 ) C alcular : S = 1 + 3 + 6 + 12 + ....... + 153 6 Ejemplo (8) C alcul cu lar : R = 0,1 + 0,2 0,2 + 0,3 0,3 + ...... + 1,1 Resolu Resolu ción : E j em em p l o ( 6 ) C in zia le di d ijo a A lessand an d ro : "Te vo y ha h a paga p agar r un a sum a de de d in ero p o r el p rim er cuad cua d rilátero átero q u e en e n cuen cu en tres de d e la sigui gu ient en te fi figur gu ra, y lu ego te iré d up licad n d o d icha su m a po r cada cad a nu n u evo cuad cua d riláter átero o qu e encue en cuent ntr res". S iC inzia le p agó ag ó 12 28 5 soles en to tal, ¿cuán to le pag p agó ó p o r el cua cu arto cuad cu ad rilá tero? ero?
11 2
TRILCE
Ejemplo (9) H allar la sum a to tal d e to d o s lo s elem ent en to s del d el sigui gu ient en te arregl eg lo :
1º
1
2º 3º 4º
2 4 7
E j em em p l o ( 1 2 ) C alcul cu lar :
3 5
8
6 9
10
20º
S 4 (1 3 5 7 ... 19 9)0,010,03 0,05 ...0,19
Resoluc Resoluc ión :
Resolu Resolu ción :
E j em em p l o ( 1 3 ) S e tiene en e el e l sigui gu ient en te ar a rregl eg lo n u m érico : 1
Ejemplo (10) H allar "x" en en la sigu ien te serie : 2 + 4 + 6 + 8 + ..... + x = 930 Resolu Resolu ción :
3
5
7
9
11 13
15
17
C alcular la sum a d e to d o s lo s térm érm in o s q ue hay ha y desde d esde la fila 4 h asta la fila 1 0 . Resoluc Resoluc ión :
B ) S u m a d e l o s " n " p r i m e r o s n úm úm e r o s i m p a r e s consecutivos.
1 + 3 + 5 + 7 + .....+ (2n - 1) = n2
C) Suma de cuadrados de los "n" pri meros números números naturales. 2
2
2
2
2
1 2 3 4 ..... n
n(n 1)(2n 1)
Ejemplo (11) S e sabe sabe qu e : A = 1 + 3 + 5 + ...... + 19 B = 5 + 7 + 9 + 11 + ...... + 21 H allar : B - A
E j em em p l o ( 1 4 ) C alcul cu lar : S = 2 + 3 + 10 + 15 + ...... + 99
Resolu Resolu ción :
Resoluc Resoluc ión :
6
11 3
R az. M atemático ático
Resolu Resolu ción :
Ejemplo (15) C alcul cu lar el val va lo r de de "a", en la sigu ien te ser serie : 1 + 4 + 9 + 16 + ...... + a = 2870 Resoluc Resoluc ión : E j em em p l o ( 1 8 ) S i:
S
n
2 2 2 15 14 13 .. . ... "n " sum andos andos
C alcul cu lar : S S 1 S 2 S 3 S 4 ...... S 15 Resolu Resolu ción :
Ejemplo (16) H alla r el n ú m ero to to tal d e tr trián gul gu lo s que qu e h ay d esde la figur gu ra 1 h asta la figur gu ra 2 0 .
Fig. 1
Fig. 2
F ig. 3
Resoluc Resoluc ión :
E j em em p l o ( 1 9 ) C alcul cu lar : S = 1,001 + 1,008 + 1,027 + .... + 2 Resolu Resolu ción :
D ) Suma de los cubos de los "n" pri meros números números naturales.
n(n 1) 2 2
1 3 2 3 3 3 4 3 ... n 3
Ejemplo (17) H allar la sum su m a to to tal d el sigui gu ient en te ar a rregl eg lo n u m érico : 2
1 2
2
2
2
2
2
3 4 ...... 3 2 4 2 ...... 2 2 3 4 ...... 2 4 ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11 4
E ) S u m a de de l o s " n" n" p r i m e r o s n úm úm e r o s t r i a n g u l ar ar e s consecutivos.
1º
1
10
2
2º
3
10
2
3º
6
10
2
4 º
10
10
2
. . . . . .
10
nº 2
n(n 1) 2
1 1 2 1 2 3 1 2 3 4
1 2 3 4 ..... n
TRILCE
1 3 6 10 15 ...
n(n 1) n(n 1)(n 2) 2 6
E j em em p l o ( 2 1 ) ¿C u án tas bo b o litas hab h ab rá h asta la figur gu ra 2 0 ?
Ejemplo (20) C alcul cu lar :
N
?
1
1 1 1 .... 2 1 1 5 1 9 1 14 6 10 15 3 20 tér térm m ino s
(1 )
(2 )
(3 )
(4) (4)
(20 )
Resoluc Resoluc ión :
Resolu Resolu ción :
S E R I E S E S P EC EC I A L E S
A ) S u m a d e p r o d u c t o s c o m p u e st st o s p o r f ac ac t o r e s c o n se se c ut ut i v o s : Ejemplo (1)
S 1 2 2 3 3 4 ...... 39 40 Resolu Resolu ción :
Ejemplo (2)
S 1 2 3 2 3 4 3 4 5 ...... 38 39 40 Resolu Resolu ción :
Ejemplo (3) H allar la sum sum a to to tal en el sigui gu ient en te esqu esquem em a si h ay 20 2 0 filas. F
: 2
F
: 2 4
1 2
F3 : 2 4 6 F
4
F
: 2 4 6 8
: 2 4 6 8 40 20
11 5
R az. M atemático ático
Resoluc Resoluc ión :
B) Suma de pro ductos comp uestos uestos por factores cuya cuya diferencia diferencia es es constante. constante. Ejemplo (1)
S 1 3 2 4 3 5 ...... 30 32 Resoluc Resoluc ión :
Ejemplo (2) H allar la sum a d e to d o s lo s elem ent en to s en el sigui gu ient en te esquem esqu em a :
15 4
...
3
4
...
2
3
4
...
14
15
14
15
1
2
3
4
...
1
2
3
4
...
1
2
3
4
...
14
15
1
2
3
4
...
14
15
Resoluc Resoluc ión : C) Suma de pro ductos comp uestos uestos por factor es cuya suma es constante : Ejemplo (1)
S 1 20 2 19 3 18 ...... 20 1 Resoluc Resoluc ión :
Ejemplo (2) H allar la sum a d e to d o s lo s elem ent en to s en el sigui gu ient en te esquem esqu em a :
11 6
TRILCE
1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 ... 20
Resolu Resolu ción :
D) Suma de las inversas inversas de los product os comp uestos uestos por factor factor es cuya diferencia diferencia es constante. Ejemplo (1)
S
1 4 7
1 1 ...... 1 7 10 10 13 61 64
1 1 1 ...... 12 9 18 12 60 33
Resolu Resolu ción :
Ejemplo (2)
S
1 66
Resolu Resolu ción :
11 7
R az. M atemático ático
E) Serie geomé geomé tr ica ili mi tada : a 1 S a 1 a 2 a 3 ..... 1 r
D onde :0 < |r| < 1 Ejemplo (1)
1 1 1 1 S ...... 5 25 12 5 625 62 5 Resoluc Resoluc ión :
Ejemplo (2)
S
1 1 1 1 1 1 ...... 2 4 8 16 32 64
Resoluc Resoluc ión :
Ejemplo (3) 1 2 3 4 S 1 2 3 4 ...... 7 7 7 7 Resoluc Resoluc ión :
Ejemplo (4) 1 4 9 16 S 2 3 4 ...... 7 7 7 7 Resoluc Resoluc ión :
11 8
TRILCE
SUMATORIAS C o n sid erem erem o s la sigui gu ient en te sucesió n: a n ; a n 1 ; a n 2 ; a n 3 ; ...... ; a m L a sum a d e lo s térm érm in o s d e la sucesió n será será : a + a a a ...... + a n n 1 + n 2 + n 3 + m
m
ai
i n
L a expr exp resió n en ellad o d erecho erecho d e la igual gu ald ad se d eno en o m ina "su m ato ato ria" y con co n stituye uy e u na fo rm a abr ab reviad a d e es e scribir la seri erie dada. D onde : epresent ta la sum a de d e lo s térm érm ino s d e la fo rm a "a i " de d icha su cesi cesió n. : N o tació n S igm a. N o s represen a i : N o s repr ep resenta esenta u n o d e lo s térm érm in o s de la sucesió n, d epen ep end d iend en d o d el valo r d e "i "i". i
i
ai an i n 1 a a i n 1 i n2 a a i n 2
2do tér érm m ino
i
tér érm m in o gene gener ral
n
m
ai
a
m
1er. tér érm m in o 3 er.tér érm m ino
: Tom a val valores ores desde desde n hast hasta m i n L ím ite in ferio r d e la sum su m ato ria i m L ím ite sup sup erio r d e la sum su m at ato o ria
E j e m p l o : R epr ep resen tar la sigui gu ient en te sum ato ria : 1 + 2 + 3 + 4 + ...... + 30 Resolución : L a sucesió n está fo fo rm ad a p o r to d o s lo s entero ero s po sitivos vo s desde desd e 1 has ha sta 30 3 0. S ea i u n ent en tero cual cua lq u iera cuyo cu yo val va lo r m ín im o es 1 (lím ite in ferio r) y el val va lo r m áxi áx im o es 30 3 0 . (lím ite sup su p eri erio r). 30
Po r lo tant an to la sucesió n in d icada cad a la p o d em o s repr ep resentar com o :
i i1
5
Ejemplo : C alcul cu lar : (2i 1) i 3
Resoluc Resoluc ión : C ad a térm érm ino a sum ar es d e la fo rm a "2i "2i - 1" d o nd e "i "i" to m a val va lo res 3 ; 4 y 5
Par a i 3
Té r m i n o 2 3 1 5
i 4
2 4 1 7
i 5
2 5 1 9 5
(2i 1) 5 7 9 21 i 3
11 9
R az. M atemático ático
E j e m p l o : E xpr xp resar las sum ato ato rias en fo rm a d esarro llad a y cal calcul cu lar el val va lo r d e la sum su m a :
PROPIEDADES 1. Númer Númer o d e té rm in os de l a sumato ri a : m
40
ai
a) i 10
b)
i2 i1
e l n úm ero ero d e tér térm m ino s de la sigui gu ient en te E j e m p l o : H alle el su m ato ato ria : 80
20
c)
(2i 3)
ai
# térm inos = 80 23 + 1 = 58
i 23
i1 3
d)
# tér térm inos = m n + 1
i n
i1
i2 (i 3)
2. Si k es un valor co nstante :
i 0
m
m
in
i n
k ai k a i E j e m p l o : E xpresar xpresar las sum sum as usand o sum ato rias :
Ejemplo : 7
7
i 4
i 4
2i 2 i
a) 1 + 2 + 3 + 4 + ...... + 10 =
rm ino s que dependen d e la var iabl e 3. ai ; bi son t é "i " m
m
m
i n
i n
i n
4
4
4
i1
i1
i1
(ai b i) a i b i b) 17 + 18 + 19 + ..... + 40 =
Ejemplo :
(3i i2 ) 3i i2 constante. k = cte. 4. Sumatori a de una constante. m
k k (# térm inos)= c) 12 2 2 3 2 ...... 20 2
k (m n + 1)
i n
Ejemplo : 8
10 10 (8 4 1) 50 i 4
esdoblando l a sumatoria : 5. D esdoblando i= n ;n + 1 ;n + 2 ; n + 3 ;.......;n + p ;n + p + 1 ;...... m
d) 11 + 17 + 23 + ...... + 191 =
12 0
m
np
m
i n
i n
i n p 1
ai ai ai
TRILCE
En cada caso caso resolver l as siguient es sumator ias : f) 10
a)
80
80
i 2
i 5
(i4 1) i4
(5 i 1) i1
30
g)
10
b)
(i2 20 )
(i3 3i2 3i 1) i 2
i1
100
100
(i4 1) (2 i4 2)
c)
i0
i 0 100
2
(i
2
1)(i 1)
i 0
d)
40
40
26 1 i7 10
i i i1 i9
20
e)
(4 i 3) i 2
12 1
R az. M atemático ático
EJERCICI EJERCICI OS PROPU ESTOS ESTOS 01 . L a sum sum a de 20 núm eros enteros consec consecut utivos es es 430 . ¿C u ál es la sum a d e lo s 20 sigui gu ient en tes? a) 8 3 0 d ) 82 0
b ) 7 20 e) 9 0 0
c) 6 3 0
a) 4 6 5 d ) 910
b) 8 5 0 e) 9 9 9
0 9 . H allar la sum a to to tal si hay ha y 2 0 filas : 1 2
02. A l sum ar 61 nú m eros eros natur natural ales con con secuti ecutivo s el resultad o d a 27 45 . H allar el m ayo r d e lo s sum and an d o s.
3 4 5
a) 7 5 d ) 76
b ) 74 e) 7 7
2 3
4 5
3 4
5
4 5
b ) 24 e) 4 0
a) 2 8 7 0 d ) 2 87 2 10.
b ) 2 78 0 e) 2 8 8 0
c) 2 8 7 5
Se arregl eglan núm eros en form orm a de "diam ante",com o se m uestra en el d iagram agram a
1
c) 1 2
1 1
0 4 . S i:
1 2
1 2 3 ...
2 2
1
990 3 6 9 ... 3 m 630 n
3
2 2
3 2
3 3
2
4
b ) 12 e) 6
c) 7
b ) 2 00 4 e) 8 0 2
c) 2 0 0 6
b ) 9 2 ,8 5 e) 9 3, 3,2 3
c) 2 6 6 0
08 . D ispo nga los núm eros eros natural urales en for form m a ad junt un ta y de ens en segui egu id a el e l últim o térm érm in o d e la fi fila nú m ero ero 3 0. 1 2 4 7
12 2
3 2
4 3
2
3 5
8 12
6 9
13
10 14
a)
n(2 n 2 1) 3
2 c) n(n 2) 3
b)
n(n 2 1) 3
d)
n(n 2 3) 2
2 e) n (n 2) 3
c) 9 8 ,2 5
b ) 2 65 0 e) 2 6 8 0
11
4
¿C uál es la sum a d e los nú m ero ero s e en n e l enésim o diam diam ante? ante?
0 7 . C alcular el valo r d e lo s 100 10 0 pri prim ero ero s térm érm ino s de : 1 , 2 , 3 , -4 , 5 , 6 , 7 , - 8 , 9 , 1 0 , 1 1 , - 1 2 a) 2 6 4 0 d ) 2 67 0
3
1
0 6 . D eterm erm inar na r el valo r d e la siguiente ente sum a : S = 2,01 + 4,04 + 6,09 + ...... + 18,81 18,81 a) 9 0 ,2 8 d ) 9 2, 2,2 8
3
3
1
0 5 . C alcular elvalo r d e : J = 3,01 + 3,02 + 3,03 + ...... + 7 a) 2 0 0 2 d ) 1 20 0
2
4
H allar : m n a) 1 0 d) 8
5
c) 7 3
03 . L a sum sum a de tod tod os los núm eros eros natur natural ales desde "n" "n" has ha sta "5 "5 n" es 12 30 . C alcul cu lar elval va lo r d e "n "n " y dar d ar com co m o respu esta elp ro d u cto d e sus sus cifras. a) 0 d ) 32
c) 8 9 0
15
11 . D o s he rm an as : Pa tty y Pa o la ini inici ciaro aro n an te la p roxi ox im id ad d el veran verano o u n régi régim en d e di d ieta. P atty lo lleva a cabo com iend en d o 13 d urazno uraznos s cada cad a d ía, m ient en tras qu e Pao Pa o la la lleva a cab o com co m iend o 1 d urazno urazno elpri prim er d ía, 2 en elsegun segu n d o, 3 en eltercer ercero o y así a sísucesivam va m ent en te, la d ieta ter term m inó cuan do am ba s ha bían bían com ido la m ism a can ca n tid ad d e du d u razno azn o s. S ila d ieta se in ició el 1 5 de noviem noviem bre. bre. ¿Q ué d ía term erm inó ? a) b) c) d) e)
10 de diciem bre. bre. 11 de diciem bre. bre. 8 de diciem bre. bre. 9 de diciem bre. bre. 12 de diciem bre. bre.
1 2 . E n un a reu reuni nió n to to d o s lo s asi asistentes entes se salud aro aro n con un apr ap retó n d e m ano an o s, sien to tal hu bo 28 apr ap reto nes de m anos anos. . ¿C u án to s asistieron a la reun eu n ió n ?
TRILCE
a) 8 d) 7
b) 6 e) 5
c) 9
1 + 3 + 5 + ..... + (2x + 5) = 900
1 3 . Po r m o tivo s de u n a fi fiesta in fan tilse repart ep artieron u n to to tal d e 16 00 jugu etes entr entre 25 2 5 ni n iño s, d ánd án d o le a cad a uno u no 2 ju ju guet gu etes m ás qu e al a l an terio r. ¿C u án to s ju guet gu etes se se les dio dio a lo s 1 5 p rim ero ero s? a) 8 0 0 d ) 8 10
b) 8 2 0 e) 5 6 0
b) 2 9 e) 3 2
a) 2 d) 3
b) 4 e) 5
c) 6
2 0 . ¿C uánt uá ntas as bo litas blancas an cas hay en la fi figura 20 ?
c) 2 9 0
1 4 . U n abue ab uel lo tiene en e 20 nieto s y repart ep artió ciert erta can tid ad d e caram elo s d e la sigui gu ient en te fo rm a: E l p rim ero ero le di d io 1 0 , al segun egu n d o 12 , tercer ercero o 1 4 y as a sí su cesi cesivam ent en te. ¿C uánt uá ntas as bo lsas d e caram caram elo h a teni en id o que q ue com co m prar prar el ab u elo, si cad a bo b o lsa trae 2 0 car ca ram elo s? a) 3 0 d ) 28
1 9 . H allar elvalo r d e : 3 x ; si :
c) 3 1
(1 )
a) 2 1 1 d ) 214
(2)
(3 )
b ) 2 10 e) 2 2 1
c) 2 0 9
2 1 . H allar las sum as de d e las áreas de d e lo s in fin ito s círcul cu lo s así form orm ad os, to m and o com o diám diám etro el rad io d e la circun cu n ferenci eren cia an terio r.
15 . H allar la siguien guient te sum a (d ar la sum a d e cifras del de l resul esu lta d o ) 2 + 3 + 10 + 15 + 26 + ... + 1295 1295 a) 1 4 d ) 16
b) 1 5 e) 1 7
c) 2 0
16 . U n p rofes ofesor or se se di d io cuenta que q ue a m edida edida que qu e transcur anscurr ría el ciclo, él gastaba ab a m ayo r n úm ero ero d e ti tizas po r sem ana. an a. A sí la pr p rim era era sem ana an a gast g astó 11 tizas, la segun segu n d a 13 13 tizas, zas, la tercera cera 15 1 5 tizas zas y así asísuce sucesi sivam en te. S i elciclo d u ró 3 8 sem an as; y cad ca d a caj ca ja d e ti tizas traía 15 1 5 tizas. ¿C u án tas cajas ab a b rió el p ro fesor eso r d u ran te el e l ciclo p ara com pletar su d ictad o ? a) 1 2 1 d ) 1 19
b) 1 2 0 e) 1 2 3
c) 1 2 2
17 . D os herm anas : K aren aren y M elina, com pran pran cada una el m ism o ál á lb um d e figur gu ritas. K aren aren pega p ega en el e l suyo 1 figur gu rita elp rim er dí d ía,2 en elsegun segu n d o d ía,3 en eltercero ercero y así a sí sucesivam va m ent en te y M elin a p ega 1 0 figur gu ritas cad a día. día. S i am bas com prar praro o n su su álbum bu m el m ism o d ía y M elin a lo llena en a el d ía 1 6 . ¿C u á n tas fi figu ritas le fa fa ltarán a K a ren e se dí d ía p a ra com pletar el suyo? suyo ? a) 1 8 d ) 36
b) 2 4 e) 5 6
12
a) 14 4
b) 16 0
d) 192 19 2
e) 20 0
c) 180 18 0
22 . U na per pe rso na d ebe recor recorr rer 327 5 m y lo s hace de la sigui gu ient en te m an era, era, en el p rim er m in uto uto reco rre "a" m etro s, en el segun egu n d o m in uto uto recor eco rre "2a "2a " m etro s y retro cede ced e 1 0 m , en el tercer ercer m in u to recor eco rre "3a "3a "m y retr etro cede ced e 10 m , en el cuar cua rto m inu to recor eco rre "4 "4 a"m a"m , y retro cede ced e 10m 1 0m , y as a sísu cesi cesivam va m ent en te, llegand ega nd o a la m eta en 21 2 1 m inut nu tos exact exactam ente. H allar "2 a". a )1 5 d ) 30
b ) 20 e) 3 2
c) 2 4
2 3 . H allar la sum a to tal en el sigui gu ient en te arreglo trian gul gu lar :
F1
1 3 5
c) 2 0 7 9
1 2
4
F2
2 3 5
F3
4
F4
6 6
8
F5
18 . C alcular : 11
F20 F2 0
(1 3 5 7 ... 19 )0,1 0 ,2 0,3 ...1
a) 10
b) 1 0
d) 1
e) 1 0 0 0
c) 1 0 0
a) 15 4 8 6 d ) 1 53 53 4 2
b ) 15 4 8 0 e) 1 53 53 9 8
c) 1 5 4 7 0
2 4 . ¿C uánt uá nto o s hexágo hex ágo no s regul egu lares ares se fo rm arán arán al a l uni un ir lo s cen tro s de d e las circun cu n ferenci eren cias, tal q u e en el in terio r de de cada hexágo hex ágo no haya ha ya solam ente ente un a circunf cun ferenci erencia?
12 3
R az. M atemático ático
29 . U na pelota ota de P ing pon g es dejada caer de 24m de altu ra, y cad a vez qu q u e rebo reb o ta se eleva ev a u n a altu ra igual gu al a la m itad d e la altu ra an a n terio r. ¿C uánt uá nto o s m etro s recor eco rrió la pel pe lo ta h asta qu e q ued ue d ó teó ricam cam ent en te estática? ca? a) 4 8 m d ) 24 m
3 0 circu cun nferen erenci cias a) 3 7 0 d ) 36 5
b ) 3 80 e) 3 9 2
b) 96 m e) 1 0 8 m
c) 7 2 m
3 0 . H allar la sum a to to tal d el sigui gu ient en te ar a rreglo nu m éri érico :
c) 3 7 8
1
5 5 7 9 3
2 5 . L u is to d o s lo s días visita a un o d e sus fam iliares ares en o rd en m ás cercano. can o. S i la casa del de l m ás cer cercan cano o está a 1 0 m d e la casa d e L u is y a p artir d e al a llí to d o s se se encuent encu entr ran a 1 0m d e d istanci an cia. ¿C uán to hab rá cam inad o L uis en total otaldespués de hab er visitad o alú ltim o d e sus su s fam iliares, sabi sab iend en d o q u e lu ego eg o d e vi v isitar a u n fam iliar siem p re reto rn a a su casa ca sa y q u e sus fam iliares so so n 9 0 ? a) 9 2 0 d ) 90 0
b ) 9 15 e) 8 7 0
c) 8 5 0
2 6 . G ild er y Li L incol nco ln leen u na n o vela de d e 300 30 0 pági p áginas na s,G ild er lee 1 0 0 p ági ág in as diari diarias y Li L in col co ln 1 0 pág p ági in as el p rim er d ía, 2 0 p ági ág ina s el segun d o d ía, 3 0 el tercer ercero o y a sí sucesivam ent en te. D espués espu és de d e h aber ab er leíd o cuán cuá n tas pági p ágin as, coi co incid irán? án ? a) 1 9 5 0 d ) 1 85 0
b ) 2 00 0 e) 2 1 0 0
9 11 13
19 21 23 25
a) 1 0 6 5 d ) 1 09 5
b) 1 0 45 e) 1 0 7 5
37
c) 1 0 3 5
31 . C alcular : A + B x t érm ér m ino s
111 11 1 113 11 3 115 11 5 ... A 11 1 3 5 .. . B x térm érm ino s
a) 1 5 6 d ) 160
b) 1 5 0 e) 1 5 2
c) 1 5 5
32. Sabiendo endo que : S n 1 2 3 4 5 .... n
c) 1 9 0 0 H allar :
27 . E n una huert huerta h ay 30 3 0 caballones on es, , cada u no d e ellos tiene en e 16m 1 6m d e largo argo y 2, 2 ,5 m d e an cho. D uran urant te el riego el h o rtelan o lleva lo s cubo cub o s de agu a d esde esd e el po zo situad ua d o a 14m 1 4m d elextr extrem o d e la hu h u ert erta y d a la vuel vu elta el el cabal cab alló n po r el surco, el agu a q u e car ca rga cad a vez v ez le sirve p ara pega p egar r u n solo cabal cab alló n . ¿C u ál es la lo n gitu d d e cam in o q u e reco recor rre el h o rtelan o p ara rega regar r to d a la h u ert erta? Nota : E l cam ino com ienza y ter term m ina jun to al po zo. a) 4 2 2 5 m c) 4 1 2 5 m e) 4 2 00 m
7
S S 20 S 19 S18 S 17 S 16 ... S 2 S 1
a) 1 6 4 0 d ) 90
b) 1 2 1 e) 1 3 1
c) 1 1 0
3 3 . H allar la sum a to to tal d el sigui gu ient en te ar a rreglo nu m éri érico : 2
2
1 + 2 2 + 3 2 + 42 + 52 + ...........+ 20 2 2 + 3 2 + 4 2 + 5 2 + ...........+ 20 2 3 2 + 42 + 5 2 + ........... + 20
2
4 2 + 5 2 + ........... + 2 0
2
b ) 4 325 m d ) 4 0 25 m 20
2
2 8 . C alcular elval va lo r d e "S "S ". S i : S 1 3 3 5 7 7 9 11 11 ... 5 9 13 40 tér térm m ino s
a) - 3 3 0 0 d) - 3380 3380
b ) - 3 28 0 e) - 3240 3240
c) 3 0 8 0
a) 4 4 1 0 0 d ) 4 30 0
b ) 42 4 0 0 e) 4 5 4 0
c) 4 4 4 0 0
34 . H allar la sum sum a de :
1 R ( x ) (x 3) (x 5 ) (x 7). ... .. ... "n " sum andos
Par Pa ra : x = (n - 2)
12 4
TRILCE
a) n (2n 1) 1 ) c) 2n (2 n 2 )
b ) 2 n (n 1) d ) n (2 n 3)
4 0 . S i x > 3 ; calcul cu lar elval va lo r d e la sigui gu ient en te seri serie : 1 1 1 R 2 3 ..... x x x
e) n 2 n 3 5 . U n m icro par p art te con 10 pas pa sajero ero s, en el pri prim er par pa rad ero ero suben sube n 4 y baj b ajan 2 , en elsigui gu ient en te suben sub en 8 y baj b ajan 3, en el sigui gu ient en te suben sub en 1 2 y ba b a jan 4 y así a sí sucesivam va m ent en te. ¿C uánt uá nto o s baj ba jaro aro n en elp arad arad ero ero cent cen trald e su recor eco rrid o, si fin aliza con co n 5 6 1 a b o rd o ? a) 8 d ) 11
b) 9 e) 1 2
c) 1 0
3 6 . H allar la sum su m a d e las di d iez pr p rim eras eras filas del d el sigui gu ient en te arreglo n um éri érico.
7
x 4 x 2
x x
x
b)
c)
2
x 7
x 2
x 1
x
e)
2
x 3
4 1 . C alcular la sum a d e to to d o s lo s térm érm ino s del sigui gu ient en te arregl eg lo : 30 29
29
28
28
28
27
27
27
27
1
1
1
1
F2
5 9
1 3 15
d)
x 2
F1
1 3
a)
11
17
F3
19
a) 3 2 2 5
b ) 2 52 5
d ) 1 51 5
e) 4 2 2 5
F4
a) 4 9 6 0 d ) 4 70 0
1 12 1 12 1 12 .... 1 12 2 3 4 n E [1 2 3 ..... n ]
3 7 . H a llar la sum a tota tota l d el sigu ient en te ar a rregl eg lo, si tiene en e 1 0 filas : 3 3 3 3
3 1
2 4
a)
1 n
b)
d)
3 n
e)
3 3
5
3 6
c) 4 9 0 0
4 2 . C alcular elvalo r d e "E "E ". S i:
c) 3 0 2 5
3
b ) 4 980 e) 4 5 0 0
1
3
1 n
2
c)
2 n
2 n2
4 3 . L a sum a d e la últim a fila d elarr arreglo : a) 7 2 3 d ) 7 20
b) 7 2 6 e) 7 2 4
b) 4 2 1 e) 4 2 0
c) 5 6 0
3 9 . C alcular la sum a de d e lo s infi nfinit nito s térm érm ino s d ad o s : 1 2 1 2 1 2 ... 7 7 2 7 3 7 4 75 7 6
a)
1 16
b)
9 16
d)
3 16
e)
5 16
2 3 3 4 5
3 8 . E lpri prim er d ía d e trabaj ab ajo gané gan é S /.3; elsegund egu nd o d ía gané ga né S /. 7 ; el tercer dí día gan ga n é S /. 1 3 ; el cua cu arto d ía gan ga n é S /. 2 1 y así a sísucesivam va m ent en te. S itrab ajé 20 2 0 d ías, ¿cuán ¿cuá n to gan ga n é el ú ltim o d ía? a) 4 4 1 d ) 3 80
1
c) 7 1 0
c)
7 16
4 5 6 7 E s igu al a 2 3 8 0 , ¿cuá ¿cu án tas filas tien e el e l arregl eg lo ? a) 3 5 d ) 40
b ) 38 e) 4 1
c) 3 9
4 4 . H allar el val va lo r d e la sigui gu ient en te serie :
E 1 5 2 6 3 7 ... 10 14 a) 6 1 0 d ) 606
b ) 6 09 e) 6 0 7
c) 6 0 5
4 5 .C alcul cu lar :
S 2 5 13 35 .... 6 36 216 21 6 a) 3 ,8 d ) 2 ,5
b ) 4 ,5 e) 2 ,6
c) 3 ,5
12 5
R az. M atemático ático
encon en con trará al cabo cab o d e "x" año añ o s?
46 . C alcular R en :
R 101 10 2 10 3 10 4 ...... 10 20
a)
10 (10 2 1) 9
b)
10 (10 20 1) 9
c)
10 (10 21 1) 9
d)
10 (10 20 3) 9
V = 1 m /s
B
A
360 m
20
e)
10 (10 1) 3
a) 2 5 0 m d ) 1 6 0m
b) 1 4 0 m e) 2 0 0 m
c) 2 4 0 m
4 7 . C alcular elvalo r d e :
M
a) d)
51. R educi educir :
1 1 1 ... 1 6 9 2 9 12 3 12 15
N 1
1 10 33 36 65 2716
b)
65 2576
e)
65 2176
c)
a)
65 2416
d) 2
65 2376
4 8 . H a lla r el área d el trián gul gu lo , si to d o s lo s cort co rtes son so n hom ogéneos ogéneos. . B 2cm 2
A
10 1 10 0
1 1 1 1 1 1 1 1 .....1 4 9 16 25 10000
202 20 2 10 0 99 e) 200 20 0
b)
c)
5 2 . U n at a tleta se di d ispon spo n e de d e ent en trenar en ar en elcircuito m o strad o em p leand ean d o 10 segun egu n d o s p ara ara ir d e un u n círculo a o tro (en sent sen tid o ho rari ario ),p ero ero cada cad a vez que qu e com p leta m edi ed ia vuelta descansa descansa un tiem po m ayor ayo r en 10 segundo egun do s al q ue viene en e em p leand ea nd o par pa ra ir d e un u n círculo a o tro. L uego ue go con co n tin ú a y para p ara ir d e un u n círculo a ot o tro em p lea el e ltiem p o q ue d escan escansa. sa.¿C u ánt án to ti tiem po habrá ha brá transc an scurr urrid o h asta term inar un d escans escanso o q ue d uró uró 410 41 0 segund os?
C
12 3 4
17 18 19 20
a) 172 cm
2
b) 192 19 2cm
2
d) 180 18 0 cm
2
e) 380 38 0cm
2
c) 19 0 cm
2
49 . C alcular : S
S 1 19 2 18 3 17 ... 19 1
a) 41400 41400 se seg b) 41000 41000 se seg c) 42600 42600 seg d) 43500 43500 seg e) 46 100 0 seg 5 3 . C alcular la sum a d e to d o s lo s térm érm ino s un id o s po r la lín ea d em arcada arcad a hast h asta la fi fila 2 0 . Fila 1
a) 1 2 9 0 d ) 1 3 90
b ) 1 33 0 e) 1 2 2 5
c) 1 0 2 0
1
Fila 2
1
Fila 3
1
Fila 4
5 0 . A n ita u na esfo rzad a at a tleta real realiza su su ent en trenam en am ient en to el cual cua l se encu en cuen ent tra en e n el p un to A y se di d irige h acia el el 4 pu nto nto B , recor eco rriend en d o de d e la d istan cia q u e la sep ara 5 d e B y m arca arca ahí ah í el pu nto nto C . L uego ueg o se di d irige haci h acia A , recor eco rriend en d o
4 de d e la d istan cia qu q u e la sep ara de de A , y 5
m arca arca elpu nto nto D .D espués espu és se di d irige haci h acia C recor eco rriend en d o
4 de d e la d istanci an cia que q ue la separ sep ara a d e C y m arca arca el pu nto nto 5 E y así sucesivam va m en te. ¿A q ué d istan cia de d e B se
12 6
101 10 1 20 0
1
Fila 5 Fila 6
a) 1 5 4 0 d ) 1 74 0
1 1
2 3
4 5
6
b ) 1 62 0 e) 1 8 5 0
3 6
10 15
1 1 4 10
20
1 5
15
c) 1 5 2 0
54 . C alcular : S S
1 22 33 44 ... 3 3 3 3
1 6
1
TRILCE
4 81 4 d) 3 a)
3 16 4 e) 9 b)
c)
3 4
58 . H allar "S"
S 9 18 36 72 .... 20 80 32 0 1280 a) 0 ,1 d ) 1 ,9
5 5 . S i:
f(1) 2 f(2) 2 2
b ) 0 ,7 e) 0 ,9
c) 0 ,6
5 9 . E n el sigui gu ient en te ar a rregl eg lo trián gul gu lo calcular la sum a d e lo s
f(3 ) 2 4 2
térm érm ino s de F 20
f(4 ) 2 6 6 2
1 4
C alcul cu lar :
16
f(1) f(2) f(3) .... f(20 ) a) 2 21 1
b) 2 21 2
c) 2 21 3
d) 2 21 4
49
F ila 1 9
25 64
Fila 2 36
81
Fila 3 100
Fila 4 Fila 20
e) 2 21 6
a ) 8 04 04 4 70 70 d) 805070 805070
b ) 8 04 04 67 67 0 e) 804600 804600
c) 8 46 46 4 70 70
5 6. 6 . D ad os os : S 1 10 11 11 12 12 13 ... 20 21
60 . C alcular "S "
S 2 1 2 2 3 3 4 ... 20 21
S
1 1 1 1 ... 5 10 10 15 15 20 10 0 10 5
H allar : S S 2 1
84 75 84 d) 85 a)
42 75 83 e) 84 b)
c)
42 25
a)
21 100 10 0
b)
8 105 10 5
d)
4 21
e)
4 10 5
c)
7 105 10 5
5 7 . C alcular el val va lo r de la sigui gu ient en te seri serie : S 1 6 7 3 .. ... 2 8 30 térm érm ino s
a) 1 3 78 0 d ) 1 47 47 9 0
b ) 11 7 8 0 e) 1 57 57 8 0
c) 1 2 7 8 0
12 7
R az. M atemático ático
Claves l ave ves s
12 8
01.
a
31.
e
02.
a
32.
c
03.
a
33.
a
04.
d
34.
b
05.
a
35.
c
06.
b
36.
c
07.
b
37.
a
08.
a
38.
b
09.
a
39.
d
10.
a
40.
d
11.
a
41.
a
12.
a
42.
b
13.
d
43.
d
14.
b
44.
c
15.
b
45.
c
16.
c
46.
b
17.
b
47.
e
18.
b
48.
c
19.
d
49.
b
20.
a
50.
e
21.
d
51.
c
22.
d
52.
a
23.
a
53.
a
24.
c
54.
c
25.
d
55.
b
26.
c
56.
a
27.
e
57.
b
28.
d
58.
e
29.
c
59.
b
30.
b
60.
e
TRILCE
C apít ul ulo o
CONTEO DE FIGURAS
1
INTROD UCCIÓN UCCIÓN E l d esarro llo d e la tecno ecn o lo gía en lo s últim o s año añ o s, h a sid o real ea lm ent en te v vert ertigin o so, las pi p iezas, y co m p o n ent en tes de d e lo s aparat ap arato s m o d erno erno s se ha n r red educi ucid o n o tab lem ente ente s su u tam año añ o y adqu ad qu irid o u un n sin fin d e fo rm as, pud pu d iend o colo cársele de m aner an era a ad ecuad a y arm arm o nio sa en espa espaci cio s increí ncreíblem ent en te p pequ equ eño eñ o s. E sto ha sid o po sible graci gracias a que q ue elser hu m ano an o es cap capaz az de real ea lizar y di discrim in ar fo rm as geo ge o m étr étricas y realizar con ellas diseñ diseño o s diver ve rsos para p ara ap a p licar carlo s en la fab ricaci cació n d e m áq u in as y ap arato s em p lead ea d o s en lo s d iferen erent tes cam p o s d el q u e h hace acer r cot co tid ian o. E l p resent esen te cap ítu lo está o rient en tad o en ese sen sent tid o ; al d esarro llo d e las hab h ab ilid ad es de d e d iscrim in a ció n p o rcent cen tu al visual sua l y d e rap id ez m ent en ta l m ed ian te la id en tificació n y el el con co n teo d e las d iver ve rsas fo rm as d e las figur gu ras geo ge o m étricas. I . C O N TE TE O D E S EG EG M EN EN TO TO S 1. ¿C uántos segm segm entos hay en la fi figura m ost ostrada? T
R
I
C
L
E
Resoluci Resoluci ón : P ro cederem o s por po r ind ucció n sobr so bre e el nú m ero ero d e "es "espa paci cio s". T
R e
T
R e
T
I e
R e
T
2
; con 1 espacio s
2 3
1+ 2 =
I e
R e
1 2
1 =
L e
I e
3 4
1+ 2+ 3=
C
L e
; con 2 espacio s
2
e
E e
; con 3 espacio s
2
5 6 2
15 ; con 5 espacio s
E n gene g ener ral : P ara "n "n " espa cio s :
# de segm ent entos os : 2.
n(n n( n 1) 2
¿C uán tos segm segm entos hay en la s si iguiente figura? gura?
E F
D
G
C
H B A
I O
Ñ
N
M
L
K
J
12 9
R az. M atemático ático
3.
¿C uántos segm entos hay en la figura?
1
2
3
4
5
48
49
I I . C O N T EO EO D E TR TR I ÁN ÁN G U L O S 4.
¿C uán tos triángu los hay ha y en las figuras guras m o stradas ad as? ?
I 5.
II
III
IV
Ind icar el nú m ero ero d e triángul án gulo s en la figur gu ra :
# d e trián gu gul lo s :
6.
¿C uán tos triángu los hay ha y en las figuras guras m o stradas ad as? ? a)
# d e trián ángu gul lo s :
b)
1 2
# d e trián gu gul lo s :
3 9 10
I II I I . C O N T EO EO D E C U A D R A D O S 7.
¿C uántos uántos cuadrado cuadrado s hay en cada cada un a de las figuras guras m ostrada s? a)
a a a a a
13 0
a
a
a
a
a # de cuadrado cuadrados s:
50
TRILCE
b)
1 2
# de cuadrado cuadrado s : 3
24 25 26
I V. V. C O N T E O D E C U A D R I L ÁT Á T ER ER O S 8.
¿C uán tos cuadr cuad riláteros eros hay en cad a una u na de las figuras guras m ostradas ad as? ?
a)
# d e cu ad rilát áteros eros en en la a ltu ra
# d e cuad cu ad rilát áter ero o s en la base b ase To tal de cu cua ad riláteros : b)
1 2 3 4 E n la altu ra : 18 19 20 E n la b ase : To tal d e cu ad rilátero eros s: V. C O N TE TE O D E C UB UB O S orm ado ad o po r cubo s sim ples : Caso 1 : C uan do el sólido es un cub o form
n
3 2 1
1 1 1
E n gen g ener eral al :
3
2
1 1
2 1
3
3
1 2
2
1 1 3
2 3
1 2 3
N úm ero tot otal al n(n 1) de cubos 2
1
3 3
2 1
23
n 2 n 1
1 2
n(n 1) 1 2 3 ....+ n 2 3
3
3
3
2
2
13 1
R az. M atemático ático
ua nd o el só lid o es un par pa ralelepíped epíped o fo rm ad o po r cubo cub o s sim ples : Caso 2 : C uand
m
2
p
1 1
2
n 12
N úm ero tot total m n p (m 1)(n 1)(p 1) (m 2)(n 2)(p 2) ...... ...... de cubos A sí sucesi sucesivam ent en te con co n tin uand ua nd o h asta qu q u e un u n o d e lo s facto res sea 1 .
E j e m p l o : ¿C uánt uá nto os c cub ub o s hay en la figura, sabi ab iend en d o qu e en la cons con strucció n se h han an em plead o blo qu es cúbicos (cubo (cubo s sim ples o u nitari ario s) com o el cubo so m bread bread o.
N úm ero ero t tot otal al de cubo s =
V I . C O N T E O D E P A R A L E L E PÍ PÍP E D O S L a fi figur gu ra m ues ue stra un u n par p aral alelepí ep íp edo ed o q ue pu ede ed e estar fo rm ad o ya y a sea po p o r cubo cub o s sim ples o po r par pa ralelepí ep íp edo ed o s sim ples.
m
2
p
1 1
2
n 12
N úm ero de m (m 1) n(n 1) p (p 1) P ar ara a lelep epí íp ed edo os 2 2 2
13 2
TRILCE
EJERCICIOS PROPUESTOS 01 . ¿C uán tos segm entos hay en la figura gura m ostrada? ad a?
06 . ¿C uánt uá nto s cuad riláter áteros que p or lo m eno s tenga u n * en su in terio r h ay en la figur gu ra?
* * a) 2 6 5 d ) 2 74
b) 2 6 0 e) 2 8 0
c) 2 7 0
0 2 . ¿C uánt uá nto o s triángu án gul lo s hay ha y en la figur gu ra ad a d ju nta? nta?
*
a) 3 9 d ) 17
b ) 18 e) 4 0
c) 3 8
07 . ¿C uán tos segm entos entos hay en la figura? gura?
a) 4 6 d ) 50
b) 4 9 e) 5 2
1 3 5 7
c) 4 8
17 19
0 3 . ¿C uánt uá nto o s cuad rad o s hay ha y en to to tal en la figura?
a) 3 7 9 d ) 324
b ) 3 58 e) 3 1 6
c) 3 0 9
08 . ¿C uánt uá nto s triángul áng ulos tienen po r lo m eno s un * en su in terio r? a) 3 2 d ) 35
b) 3 3 e) 3 6
c) 3 4
* 04 . ¿C uán tos segm entos hay en la figura? gura?
* * * * a) 5 2 d ) 55
a) 7 2 d ) 75
b) 7 3 e) 7 6
c) 7 4
b ) 53 e) 5 6
c) 5 4
0 9 . ¿C uánt uá nto o s cuad cua d riláter átero o s hay ha y en la figur gu ra?
1 2 3 4
0 5 . ¿C uánt uá nto o s triángul án gulo s hay ha y en to tal?
12 13 14 15 a) 1 0 5 d ) 100 a) 5 9 d ) 60
b) 6 5 e) 6 1
b ) 1 06 e) 9 5
c) 1 1 0
c) 6 3
13 3
R az. M atemático ático
1 0 . ¿C uánt uá nto o s triángul án gulo s hay en la fi figura m o strad a?
a) 2 9 d ) 32
b) 3 0 e) 2 8
c) 3 1
1 5 . ¿C uánt uá nto o s cuad cua d riláter átero o s h ay en la figur gu ra?
a) 6 6 d ) 69
b ) 67 e) 7 0
c) 6 8
1 1 . ¿C u ánt án to s cuad cua d riláter átero o s hay ha y en la figur gu ra?
a) 9 d ) 12
b) 1 0 e) 1 3
c) 1 1
1 6 . ¿C uánt uá nto o s triángul án gulo s hay en la figura?
a) 6 d) 8
b) 7 e) 9
c) 5
12 . ¿C uán tas letras "U " se pued en contar com o m áxim o en la figur gu ra m o strad a?
a) 5 6 d ) 48
b) 4 2 e) 5 0
c) 3 6
1 7 . ¿C uánt uá nto o s triángu án gul lo s tienen en en en su inter nteri io r p o r lo m eno en o s u n a sterisco? sco ?
* * * a) 1 2 d ) 15
b ) 13 e) 1 6
*
c) 1 4
13 . ¿C uán tos segm entos entos hay en la figura gura m ostrada? ad a?
a) 2 5 d ) 29
b) 2 6 e) 1 9
c) 3 3
1 8 . ¿C u ánt án to s secto res circul cu laresse pu ed e con tar en la f fi igur gu ra?
a) 1 8 0 d ) 15 6
b ) 1 68 e) 1 7 8
c) 1 7 2
1 4 . ¿C uánt uá nto o s triángul án gulo s hay en la fi figura m o strad a?
a) 4 0 d ) 70
b) 3 5 e) 3 0
c) 6 0
1 9 . ¿C uánt uá nto o s segm ento ento s hay ha y en la siguiente ente figura?
1
3
a) 3 1 2 d ) 490
13 4
5
7
9
b) 3 2 4 e) 5 1 4
35 c) 4 2 4
37 39
TRILCE
2 0 . ¿C uánt uá nto o s triángu án gul lo s hay ha y en la figur gu ra, q ue ten tengan gan p o r lo m eno en o s u n a letra
25 . ¿C uántos uántos hexágon os hay en la fi figura? gura?
en su in terio r?
1 2 3 a) 7 d) 9
b) 6 e) 1 0
c) 8 a) 9 5 d ) 100
2 1 . H allar el nú m ero ero to tal d e cuad cua d riláter átero o s.
50 49 48 47
1 a) 2 5 7 0 d ) 2 45 0
b ) 2 60 0 e) 2 5 0 0
2
b ) 1 20 e) 1 1 0
2
1 2 3
3
c) 2 5 5 0
18 19 20
a) 1 7 8 d ) 152
60
3
c) 1 0 5
2 6 . Trazar Trazar las di d iago nal na les que qu e sean po sib les talq ue no corten a n in gun gu n a recta h o rizont zon tal e in in d iq u e cu án to s trián gul gu lo s exi ex isten .
22 . ¿C uán tos ángul ángu los agud os hay en la figura? gura?
1
14 15
b ) 1 85 e) 1 8 0
c) 1 8 8
2 7 . C alcular el n úm ero ero to tal d e pun p un to s de co rte en la fi figur gu ra m ostrad a.
a) 1 8 9 0 d ) 1 87 0
b ) 1 90 0 e) 1 8 8 0
c) 1 9 1 0
1
2 3 . ¿C uánt uá nto o s triángul án gulo s hay en la figura?
1 a) 3 9 2 d ) 3 85
2
3
b) 3 8 8 e) 3 9 0
4
38
a) 3 6 8 d ) 392
39 40
2
3
4
b ) 2 76 e) 3 5 2
5
49 50
c) 2 9 4
28 . D eterm inar elm áxim o núm nú m ero de triángu los en la fi figura gura m ostrad a.
c) 3 9 6
11 10
2 4 . ¿C uánt uá nto o s triángul án gulo s hay en la figura?
1
2
3
18 19
20 2
3
4
1
a) 2 8 5 0 d ) 2 87 4
b ) 2 90 0 e) 2 8 7 0
c) 2 8 6 0
a) 5 5 0 d ) 440
b ) 2 20 e) 3 3 0
c) 2 7 5
13 5
R az. M atemático ático
2 9 . ¿C u ánt án to s cuad riláter átero o s hay ha y en el sigui gu ient en te gr g ráfi áfico? co ?
a) 8 1 9 d ) 821
b) 8 2 0 e) 8 3 1
c) 8 1 4
1 33 . ¿C uán to s segm entos entos hay en la figura gura m ostrada? ad a?
2 3 4
1 19 20
a) 2 5 0 d ) 24 2
b ) 2 43 e) 2 4 7
a) 4 8 0 d ) 485
2
3
4
17 18 19 20
b) 4 9 5 e) 4 9 0
c) 5 0 0
c) 2 4 0 3 4 . ¿C uánt uá nto o s triángu án gul lo s hay ha y e en n el sigui gu ient en te g gr ráfi áfico? co ?
3 0 . C alcular la d iferen erenci cia en tre eln úm ero to tald e hexág h exágo o no s y el e l n ú m ero ero to tal d e p ent en tágo ág o n o s existent en tes en la figur gu ra ad ju nta. nta.
10 1
2
50 49 48
11 3
3 1
a ) 21 1 0 0 d ) 2 10 10 0 0
b ) 21 2 0 0 e) 2 20 20 0 0
2
c) 2 2 1 0 0
35 . ¿C uán to s triángu los que p or lo m eno s tengan un * en su in terio r h ay e en n la figu ra? a) 2 8 d ) 44
b ) 39 e) 3 5
c) 4 2
3 1 . ¿C uánt uá nto o s triángul án gulo s hay en la fi figura m o strad a?
*
*
100
*
4 3
a) 3 2 1 d ) 30 1
b ) 3 10 e) 3 2 0
2 1
a) 6 7 d ) 69
b) 6 8 e) 7 0
*
c) 6 5
3 6 . ¿C uánt uá nto o s cuad cua d riláter átero o s h ay en la figur gu ra ad ju nta? nta?
c) 3 0 0
3 2 . ¿C uán uá n to s cuad cua d riláter átero o s m ás que tr triángu án gul lo s h ay en la figur gu ra m o strad a?
1
2
3
a) 5 0 d ) 56
38 39 40
13 6
b) 5 1 e) 5 4
c) 5 2
TRILCE
3 7 . ¿C uánt uá nto o s triángul án gulo s hay en la figura?
a) 8 2 d ) 85
1
b ) 83 e) 8 6
c) 8 4
4 2 . ¿C uánt uá nto os s sem em icírculo s hay en la figura? ("O " : cen cen tro )
2 3
20 O a) 1 0 1 d ) 94
b) 8 5 e) 9 1
c) 8 7
a) 2 3 d ) 26
3 8 . E n el sigu ien te gráfi gráfico, ha lla r la d iferen eren cia en tre el n úm ero ero d e cua d riláter átero o s y el n úm ero ero d e triángu án gul lo s.
b ) 24 e) 2 7
c) 2 5
4 3 . ¿C uánt uá nto o s pu nto nto s d e cort corte hay en la figura?
1
2
3
4
18
19
20 1
a) 1 8 9 d ) 2 10
b) 1 9 1 e) 2 2 0
c) 1 9 0
39 . ¿C uál es el núm ero total otal de cuad rado s que pu eden fo rm arse tal qu e tenga en gan n sol so lam ent en te com co m o vértices lo s p un to s dad da d o s en la figur gu ra? (L o s pu n to s están igual gu alm ent en te espaci espa ciad o s)
a) 1 5 d ) 18
b) 1 6 e) 2 0
c) 1 7
40 . ¿C uán tos cuad cuad rado ad o s hay en la figura? gura?
a) 1 1 5 d ) 124 44 .
2
3
4
18 19 20
b ) 1 20 e) 1 3 2
c) 1 1 8
E n la siguient guiente e fi figura, gura, hal ha llar el m áxim o núm nú m ero ero de segm ento ento s.
1
2
3
(n 1) n
4
2 a) n 4 n 5
b) n 2 n 6
c) n 2 n 2
d) n 2 5 n 4
e) n 2 3 n 6 4 5 . ¿C uánt uá nto o s arcos arcos hay en la figura adj ad jun ta? 2
3
4
19 1
20
a) 5 4 0 d ) 575 a) 7 2 d ) 70
b) 6 8 e) 6 8
c) 6 4
b ) 5 60 e) 6 1 0
c) 5 7 0
4 6 . C alcular el n úm ero ero to tal d e pun p un to s de co rte en la fi figur gu ra m ostrad a.
4 1 . ¿C uánt uá nto o s sect secto res circulares hay ha y en e n la figur gu ra? ("O " es cent cen tro d e lo s círcul cu lo s)
1
4a
O
a) 2 0 0 d ) 195
4a
2 b ) 1 89 e) 1 9 8
3
19
20
c) 1 7 9
a a a a a a 13 7
R az. M atemático ático
47 . H allar el nú m ero ero tot total al d e ángu lo s agu d os que se encu en cuen ent tran sobr sob re lo s lad o s d del el trián gul gu lo rectá n gul gu lo.
20 a) 1 9 5 d ) 198
3 2 1 1 a) 1 4 6 2 d ) 1 30 2
2 3
b ) 1 26 2 e) 5 0 2
20
b) 1 9 6 e) 1 9 9
c) 1 9 7
5 2 . S i A B es d iám etro, ¿cuán tas sem icor co ro nas na s circulares ares se pu ed en cort cortar? ar?
c) 1 2 8 0
R
4 8 . ¿C u ánt án to s segm ent en to s h ay en to tal en la sigui gu ient en te figur gu ra?
A
B
12 3
a) 1 9 0 d ) 180
18 19 20
b) 2 1 0 e) 1 9 5
c) 2 0 0
53 . ¿C uán to s ángulos agud os hay ha y en la fi figura gura adj a djunt un ta?
a) 1 8 5 d ) 18 8
b ) 1 76 e) 1 8 9
c) 1 9 8
12
3 10
4 9 . ¿C uánt uá nto o s triángul án gulo s hay en la fi figura m o strad a?
12
12 3
3 2 1
11 a) 2 6 5 d ) 235
20 19 a) 3 6 0 d ) 23 8
4 3 2 1
b ) 2 46 e) 2 4 7
b) 3 0 1 e) 2 3 2
c) 2 2 8
5 4 . ¿C uánt uá nto o s cua cuad d rilátero ero s hay en la fi figura m o strad a?
c) 2 4 5
1 2
50 . ¿C uán tos cuad cuad rado s hay en tot total al?
1
4
2 3
5 4
6 18 19 20
a) 1 5 4 d ) 14 7
b ) 1 51 e) 1 4 8
c) 1 5 3
51 . H allar el m áxim o n úm ero ero d e punt pu nto s de inter nters secci ección . E n la fi figur gu ra h a y 20 2 0 circunf cu nferenci erencias as y cu atr atro rectas ectas p ara lelas.
13 8
3
7
a) 5 0 d ) 48
b) 5 1 e) 4 9
c) 5 2
55 . ¿C uán to s segm entos entos hay en la figura? gura?
1
2
3
4
n-2 n2 nn-1 1 n
TRILCE
a)
n (n 13 ) 2
b)
n (n 12 ) 2
c)
n (n 13 ) 2
d)
n 2 13 n 6 2
5 9 . ¿C uánt uá nto os c cua uad d rilátero ero s hay en la f fi igura m o strada? ad a?
e) n(n+ n(n+ 13) 5 6 . E n la f fi igur gu ra, si se p pi inta nta t to o d o el só lid o. ¿C uánt uá nto os c cu u bo s tienen en en 4 caras pin tad as?
a) 6 0 d ) 50
a) 2 d) 5
b) 3 e) 6
c) 4
b ) 45 e) 5 5
c) 4 0
60 . ¿C uántos uántos rayos m ás com prendi prendido do s entre A O B se se tienen en en q u e tr trazar aza r,p ara qu q u e en e n la figur gu ra ha h aya en to tal,2 8 ángu los agu d os?
A 57 . ¿C uánt uá nto o s cuad riláter átero o s (con vexo s) se pued en cont co ntar ar en la sigu ien te figu ra?
O
B a) 2 d) 5 a) 2 5 0 d ) 4 50
b) 5 4 0 e) 4 3 5
b) 3 e) 6
c) 4
c) 4 0 5
5 8 . H allar el to tal d e d di iago ag o nal na les que qu e se pu ede ed e trazar en lo s cua cu ad riláteros ero s d de e la sigu ien te figu ra :
a) 1 1 0 d ) 64
b) 7 2 e) 9 8
c) 6 0
13 9
R az. M atemático ático
Claves l ave ves s
14 0
01.
c
31.
c
02.
b
32.
e
03.
d
33.
e
04.
e
34.
c
05.
d
35.
b
06.
a
36.
b
07.
e
37.
a
08.
d
38.
a
09.
a
39.
e
10.
c
40.
d
11.
b
41.
c
12.
d
42.
b
13.
e
43.
c
14.
b
44.
d
15.
e
45.
c
16.
b
46.
e
17.
d
47.
e
18.
b
48.
d
19.
e
49.
b
20.
c
50.
b
21.
e
51.
d
22.
a
52.
a
23.
b
53.
d
24.
e
54.
b
25.
c
55.
a
26.
c
56.
a
27.
c
57.
c
28.
c
58.
a
29.
e
59.
e
30.
e
60.
c
TRILCE
C ap ítulo
12
OPE PERA RA CIONE CIONESS COM COM BI N A DA S
E ste cap ítu lo p erm erm ite d ar una un a no ció n am p lia y nítid a d e lo s pro pro p io s fun d am ent en to s que qu e ti tienen en en lugar ug ar en las cuat cua tro o per pe racio n es p rin cip ales (ad (ad ició n , sustracció n , m u ltip licació n y d ivisió n ), ad em ás d e o tras o p eracio n es qu q u e im p lican a las ya y a m enci en cio n adas. E s ciert erto qu e la m ayo ay o ría d e lo s pro pro blem as de d e es e ste capí ca pít tulo se pu p u eden ed en resolver por po r ecuaci ecu acio nes; ne s;per pe ro elo b jetivo fu nd am ent en tal d e este cap ca p ítu lo es e s de qu q u e U d . resuel esue lva lo s pro pro b lem as uti utilizand zan d o sólo las 4 o p eraci eracio n es fu n d am ent en tales. A cont co nti inu ació n,p n,p resentam o s 5 pr p ro blem as resuelto s par pa ra qu q u e U d . vea la id ea d e cóm o reso reso lver lo s probl prob lem as, y lu ego h ay un a seri erie d e p ro blem as propu est esto s para para q ue U d . pract practique. qu e. E j em em p l o 1 : ¿E n tre cuán cu án tas pers p erso n as se rep repart artiero ero n S /. 1 8 5 , sicad a u n a recib ió S /. 1 0 y sob so b raron S /. 1 5 ? Resolución D in ero a rep artir C o m o cad a uno u no recibe S /. 10, 10 , enton ces
:
el n ú m ero d e p erso n as es
:
S /. 1 8 5 S/ S /. 15 = S /. 17 0
S /.17 0 = 1 7 10 repart artió ent en tre 1 7 p erson erson as se rep
E j em em p l o 2 : E lcosto d e cada cad a pasaj p asaje en u n m icro es de S /. 5 y p o r cada cad a pasaj p asajero ero qu e baj b aja suben sub en d o s. S ial final na lse ha recau recaud d ad o S /. 30 0 . ¿C o n cuá cu án to s pa pasajeros eros part p artió al in icio, si al fin al llegó eg ó con co n 5 0 p asajeros? eros? Resolución
# d e pasaj p asajero ero s : S /.3 0 0 S /.5
60
S e sabe q ue cada cad a vez ve z qu e baj b aja una u na perso na suben ub en 2. C o m o al par pa rad ero ero final na l llegan 50 perso nas na s, esto qu iere ere d ecir qu e baj ba jaro aro n 60 6 0 50 = 10 y sub sub iero ero n 2 0. D e las 60 per p ers so nas na s, 20 sub iero ero n en el cam ino, no , E n el p aradero arad ero in in icial subi sub ieron 6 0 pasajeros 2 0 = 40 pasajeros E j em em p l o 3 : E n un a b alanz an za d e 2 plati atillo s se tiene en e 38 3 8 esferas eras qu e pesan p esan 25 g c/u y 77 7 7 esferas eras qu e pesan p esan 1 0 g c/u. ¿C u án tas esferas se deb de b en in tercam ercam b iar par pa ra qu q ue se encu en cuen ent tren en equ eq u ilib rio, sabi sab iend en d o q u e d e am a m b o s plati atillo s se saca saca la m ism a can tid ad d e esferas? eras? Resolución G raficando cand o tenem o s :
3 8 esfer eras as de d e 2 5 g. c/u 9 50 g.
7 7 esfer eras as de d e 1 0 g. c/u 7 70 g. 2
1
14 1
R az. M atemático ático
Peso que q ue d ebe tene tener r cada cad a grup grupo o :
950 95 0 770 77 0 2
860 86 0 g
A l pl platillo 2 le falta 860 8 60 - 77 0 = 90 g E n un u n intercam bio, est este grup grupo o gana 25 - 10 = 15 g. E nto nto n ces el n úm ero ero d e inter ntercam cam b io s será :
90 = 6 15
S e han h an inter ntercam cam biado ad o 12 esf esferas. eras.
E j em em p l o 4 : S e com pran pran lim o nes a 2 po r S /. 5 y se se vend en a 3 po r S /. 8. ¿C uánt uá nto o gana ga nar rá si si se vend en 1 180 80 lim o nes? Resolución
COMPRA 3
2 lim . 6 lim .
VENTA
S /. 5 S /. 1 5
3 lim . 6 lim .
2
S /. 8 S /. 1 6
E n ton ces ces, , se d edu ce que q ue : E n 6 lim on es
G ana
S/. S/ .1
E n 180 lim on ones es G ana
S/. S/ .x
x = S /. 3 0 E j em em p l o 5 : U n gal ga lgo p ersigue gu e a u n a liebr eb re qu q u e lleva eva 9 0 salto s de ad elan to, sabi sab iend en d o q u e el e l gal ga lgo d a 7 salto s m ient en tras la liebr eb re d a 6 y q u e 4 salto s de d e la liebr eb re eq e q u ival va len a 3 d el gal ga lgo. go . ¿C u án to s salto s dará dará el gal ga lgo p ara al a lcan zar a la liebr eb re? Resolución Sea: L : S alto d e L iebr eb re G : S alto d e G algo
L uego : S e sabe sabe q ue hay ha y una un a ventaj ventaja de 90L 9 0L A cercam iento: 7 G - 6L E q uiva val len cia: 4L = 3G L = 3K G = 4K
..............(1 ) ..............() ..............()
() y () en (1) 7(4K 7( 4K ) - 6 (3K (3K ) = 10 K
C ad a vez ve z q ue el galgo d a 7 salto s, se acerca a la liebr eb re 10 1 0 K . P ara ara acer a cercarse carse 90( 90 (3K ) = 27 0K E nto nto nces:
7G
10K
x
270K x = 189 G
14 2
TRILCE
EJERCICIOS PROPUESTOS 01 . U n com erciante com com pra pra 500 vasos vasos a S/. S/. 2 cada uno y luego ueg o 6 d o cenas de vasos a S/. S/. 60 cada cad a do d o cena. S i se vend ven d e to d o p o r S /.19 32 ,¿cuá ¿cuánt nto o gana ga nar rá en cad a vaso? a) S /. 1 d) S/. S/. 2,1
b ) S /. 2 e) S/. S/. 1,5
c) S /. 1 ,2
0 2 . Ped Pe d ro tiene en e b illetes de d e S /. 5 0 y Pab P ab lo tiene en e b illetes de de S /. 10 0. S um and an d o lo q ue tienen ene n es S /. 30 00 . S i Ped Pe d ro le d a 12 1 2 b illetes a Pab P ab lo, am b o s tienen en en igual gu al cant can tid ad . ¿C u án to s bi billetes etes tení en ía in icialm en te P ab lo ? a) 8 d ) 12
b) 9 e) 1 8
b) 2 e) 5
b) 30 m e) 4 8 m
c) 3
c) 4 2 m
0 5 . E n un edi ed ificio d e 20 2 0 p iso s, S ebast eb astián vive en elno veno ven o p iso y L ucas en el tercer ercer piso, con co n respect espe cto al p rim er p iso, ¿cuá n tas vece s m ás alej alejad ad o se en cu en tra S ebas eba stián qu e Lucas? L ucas? a) 1 d) 2
b ) 2 ,5 e) 3
c) 3 ,5
06. E n un a fi fiest esta hay 9 9 pers persona s; en un m om ento ento deter determ m inad o 15 1 5 hom h om bres bres y 10 m ujeres no bailan. ¿C u án tas m u jeres h ay en la fiesta? a) 4 9 d ) 47
b) 4 8 e) 5 2
c) 5 0
07 . E n un est estante pued en caber 20 libros bros de R .M . y 15 d e R .V. ¿C uán tos libros bros d e R .M . pu ed en cab er en to do el estante? a) 3 0 d ) 36
b) 4 8 e) 2 4
b ) 0 ,2 5 Kg Kg e) 0 ,7 5 K g
c) 2 K g
09 . U na b otel otella vacía pesa 425 42 5 gram gram o s y llena d e agua pes pe sa 1 17 5 gram gram o s, ¿cuán tas bo tellas sem ejant an tes ser serán án n ecesari ece sarias p ara vaci v aciar ar en el e llas el con co n teni en id o d e un u n b arril d e 2 2 5 litro s? a) 1 5 0 d ) 350
b ) 2 00 e) 3 0 0
c) 4 0 0
1 0 . P ilar tiene "S " so les m ás que L uis. ¿C uánt uá nto o d ebe d arl arle P ilar a L uis, para para que q ue am bo s tengan la m ism a sum a?
0 4 . D e un a p ieza eza d e tela, se ha h a cortado ad o la m itad y luego ueg o la cuart cuarta p arte d el resto, sab sab iend en d o q u e al fin al q u ed aron 2 4 m etr etro s, ¿cuá ¿cu ál es la lo n gitu d to tal cor co rtad a? a) 3 6 m d ) 40 m
a) 0 ,5 K g d ) 1 ,5 K g
c) 4 2
0 3 . U n com erci erciant an te ti tiene en e al a lin icio d el d ía 8 pel pe lo tas de d e S /. 1 cada cad a u na y 4 pel pe lo tas de d e S /. 2 cada cad a una u na. . S i al final na l d el d ía ven ve n d ió S /. 1 2 , ¿cuán ¿cu án ta s pel pe lo tas le sob so b ra n si le queda qu edan n p or lo m eno s una un a pelota ota de d e cada tipo ? a) 1 d) 4
0 8 . U n lad rillo p esa 4 K g, ¿cuánt ¿cuá nto o p esará o tro lad rillo cuyas cuya s d im en sio nes sean la m itad d el lad rillo an terio r?
a)
S 2
b)
S 3
d)
S 4
e) S
c) 2 S
11 . E n u na fuen te habían habían 2 0 pers person as esper esperand and o pa ra llenar en ar un cánt cán taro cad ca d a un u n a d e ellas. L a fu fu ent en te ar a rro ja 9 litro s p o r m in u to y la cap ca p acid ad d el cánt cán taro es e s de 1 8 litros. tros. ¿Q ué tiem po hab rá esper esperad ad o la ú ltim a pers person a p ara ara em pezar a llenar en ar su su cánt cán taro, si cuan cua n d o llegó eg ó se estab a acab and an d o d e llenar en ar el prim ero ero ? a) 3 4 m in c) 3 2 m in e) 36 m in
b ) 3 5 m in d ) 3 0 m in
12 . A lex po see 80 m o ned as de 5 soles, es, y Lu is tiene 110 1 10 m on edas de 2 soles oles, , ¿cuán ¿cuán tas m o ned as deben inter ntercam biars arse par pa ra qu e am bo s tengan la m ism a sum a d e di d inero? a) 2 0 d ) 35
b ) 28 e) 3 0
c) 6 0
13 . U n em pres presar ari io decide en tregar a cada uno de sus trab ajad ajad o res 250 25 0 sol so les. U n o d e ello s es desped de sped id o y el e l to tal es rep repart artid o ent en tre lo s dem ás, recibiend o cada cad a uno un o 30 0 so les. es. ¿C u án to s eran eran lo s trab ajad o res in icialm ent en te? a) 4 d ) 10
b) 5 e) 6
c) 7
c) 4 0
14 3
R az. M atemático ático
14 . S e tiene u n libro bro de A pti ptitud M atem atem áti ática, un o d e L engu en guaj aje, u no d e H isto ria y un u n o d e Fí F ísica. ¿D e cuánt cuá ntas as m an eras di distin tas po p o d rán ext ex traer ae rse lo s lib ro s hast ha sta sacar sacar el d e F ísica? ca ? a) 9 d ) 16
b ) 12 e) 6
c) 1 5 a) 4 d) 0
15 . Se com prar praron 65 vasos vasos a 150 soles cada un o. D espués espués de ven der 17 con una un a gananci gan ancia d e 30 soles por vaso, vaso, se rom rom pieron eron 5. ¿A cóm o d ebo vend er cada u no de los rest estantes antes para para o bten btener er un a gana ga nanci ncia to tal d e 212 2 12 5 sol so les? a) 1 7 5 so les c) 1 6 5 so les e) 205 soles
b ) 1 8 0 so les d ) 1 9 0 so les
1 6 . Par Pa ra cercarun terr erreno cuad rad o se neces n ecesi itan 360 36 0 po stes, es, ¿cuán ¿cuá n to s m ás so so n necesari n ecesario s para cercar cercar o tro ter terr reno en o cuad cua d rad o d e ár á rea 9 veces del de l ant an teri erio r? a) 7 4 0 c) 8 8 0 e) 850 85 0
b ) 7 20 d ) 920
1 7 . D o s cirio s de igual gu al calid ad y d e igual gu al d iám etro d ifieren eren en 16 1 6 cm . S e enciend en lo s d o s al m ism o inst instant an te y d espu esp u és de de cierto tiem p o la lo n gitu d d e un u n o es el trip le d e la lo n gitud d el o tro y a p artir d e ese m o m ent en to, el m ás pequeño pequ eño d ura ura en consum consum irse m edia ho ra. ¿C u ál es la lo n git gitu d in icial d el cirio m ás gra gran d e si este d uró 3 h o ras en to tal? a) 6 0 cm c) 5 4 cm e) 4 8 cm
b ) 6 4 cm d ) 3 2 cm
b ) 24 e) 3 6
c) 2 5
19 . C ada vez que com com pro pro 12 m anzanas anzanas, , m e regal egalan 3 y cada vez que qu e vendo 16 m anzanas regalo 1. 1 . Si S i com pro pro y vend o las m anzanas al m ism o preci precio. ¿C uán tas m anzanas d ebo com prar prar para para ganar 90 m anzanas anzanas? ? a) 4 8 0 d ) 30 0
14 4
b ) 3 20 e) 5 0 0
c) 4 0 0
b) 2 e) 6
c) 3
21 . D o s d epó sitos conti contienen 25 87 y 18 50 litros de d e agua, agu a, resepectivam ent en te. C o n un a bo m ba se traslad a d el p rim ero ero al segund egu nd o 4 litro s d e agua ag ua po r m inu to. ¿D espu espués és de cuánto cuánto tiem po uno un o contend contend rá el do ble de de litro s qu qu e el o tro? ro? a) 1 2 0 m in in c) 1 8 5 m in e) 264 m in
b ) 2 5 0 m in in d ) 2 7 7 m in in
22 . S e qu iere ere cercar un terr erreno de fo rm a cuad rada ad a cuya 2 área área es 7225 m con un a cerca cerca d de e 5 h ileras eras de alam bre. S e desea d esea sab er cuán cu án to cost co stará to d a la o b ra, siel m etro d e alam bre cue cues sta 2 so les y la m ano an o d e obra o bra to tal 15 0 sol so les. a) S/. S/. 3650 b) S/. S/. 3520 d) S /. 327 0 e) S /. 355 0
c) S/. S/. 3850
2 3 . Jesica sale to d o s lo s días de d e su tr trabaj ab ajo a las 19: 1 9:0 00 h y en ese m ism o in stant an te llega su espos espo so y la reco reco ge e en n su a uto uto d irigiénd én d o se a casa. U n d ía Jesi Je sica salió a las 1 8:20 8:20 h y va al en cuen tro d e su espo so q uien uien la encue en cuen n tra en e n elcam in o d irigiénd én d o se a su casa, ca sa,llegan ega n d o 36 m inut nu tos antes antes que qu e de cost costum bre. bre. ¿C uán to tiem po est estuvo cam inan do Jesi Jesica? a) 2 6 m in d ) 2 0 m in
18 . U n óm nibus bu s llegó a su p arad arader ero final con 53 pasajeros, eros, ad em ás se se o bservó du rant an te el trayecto qu e en cada pa rad ero ero po r cada cad a pasaj p asajero ero qu e baj b ajaba ab a sub ían 3 ; si cada cad a p asaje cuest cu esta S /. 0,6 0,6 0 y se recau recau d ó u n to tal d e S /. 3 9 . ¿C o n cuán cu án to s pasaj pa sajero ero s par pa rtió d el p aradero arad ero in icial? a) 2 9 d ) 30
2 0 . Po r err erro r, en vez de m ultiplicar un nú m ero ero po r 10 0, lo d ivid í po r 10 0 y enco n tré com o resul resultad o 23, 2 3,1 1 8. L a d iferencia en tre el n ú m ero ero d e dí d ígito s q u e cor co rrespo n d e a la part p arte en e n tera era d elresultad o ver ve rd ad ero ero y el e lequ eq u ivo cad o es :
b ) 2 4 m in e) 1 8 m in
c) 2 2 m in
24 . D o s bebedo beb edo res de cervez cerveza a A lex y Lui L uis acorda acordar ron dejar de beb er cuand o h ub iesen esen consum ido la m ism a cantidad. da d. C uan do em pezó a beb er A lex, hab ía beb ido L uis 15 vasos; po r cada cad a 4 vasos que qu e bebi b ebió A lex, L uis bebi beb ió 5. 5 . A dem ás, ás, se sabe sabe q ue la capacidad da d d e cada vaso d e A lex es eld o ble de d e cada cad a vas va so d e L uis. ¿C uánt uá nto o s vasos habí ha bía beb id o A lex cuand cuan d o se cum cum plió lo acord acord ado? ad o? a) 1 6 d ) 24
b) 1 8 e) 1 5
c) 2 0
25 . U n alm acenista com pró pró a u n fabr fabri icante ciert erto núm nú m ero ero d e ob o b jeto s igual gu ales, a razón d e S /. 7 2 la d o cena cen a y lo s vend ven d ió d espués espu és a un co m erci erciant an te, a razó razón n d e S/ S /. 70 la d ecen a. E lcom co m erci ercian te ven d ió lo s o b jeto s al p ú b lico a S /. 22 el par pa r y res resul ulta q ue ganó gan ó S /. 12 60 m ás que qu e el alm acen ista.
TRILCE
¿C u án to co b ró el e l fab ricant can te?
eran al p rin cip io ?
a) S /. 2 3 0 c) S /. 2 6 2 0 e) S /. 2 1 2 0
a) 3 d) 6
b ) S /. 2 5 4 0 d ) S /. 2 5 2 0
26 . ¿C uál es el m eno r perí perím etro q ue p ued e tener tener un 2 rectángu án gul lo d e 777 m de d e ár á rea, ea , sisus lad o s exp ex p resad o s en m etros son son nú m eros eros enter enteros? os? a) 1 1 6 m c) 1 2 1 m e) 118 11 8 m
b) 120 m d ) 1 24 m
27 . A ndr nd rea com pra pra lim ones on es a 3 p or 2 sol soles y los vende a 4 p o r 3 soles. P ara gan g an ar 1 10 0 soles d deb ebe e ven d er...... a) b) c) d) e)
130 140 160 180 120
lim lim lim lim lim
ones. ones. ones. ones. ones. ones. ones. ones. ones. ones.
b) 2 0 e) 6 0
c) 3 0
29 . U n a lieb re p ers ersegu id a p o r un galgo galgo lleva y a ad elan tad o s 120 12 0 salto s y da d a 5 salto s m ient en tras el p erro d a 4 ; y com co m o 7 salto s d e la liebr eb re eq uival va len a 5 d el p erro , se desea de sea sab er, ¿cuán ¿cuá n to s sal salto s tend en d rá qu q u e dar d ar éste p ara alcan can zarla? a) 1 2 0 0 d ) 7 00
b) 6 0 0 e) 8 0 0
c) 5 0 0
30 . U n com erciante com pró pró 3 0 tel teléfonos on os m óviles por po r 540 0 soles. S i en la ven v ent ta d e 12 1 2 tel teléfo n o s m ó viles qu iere ere gana ga nar r el precio d e com co m pra de d e 6 teléfo no s m ó viles. ¿A cóm o tend rá que q ue vend ven d er cada u no de ellos? a) S/. 250 d) S/. S/. 280
b) S/. 260 e) S/. S/. 290
c) 1 0
32 . E n el m om ento qu e un m icrob ús part parte, el cob rado r po see 3 2 m on edas ed as de S /. 1 y 2 0 b illetes de S /. 10 . C uan ua n d o llega n al p arad arad ero ero fin al, el cob co b rad o r p o see úni ún icam ente ente 80 8 0 billetes de S /. 10 y al a lgun as m o ned as de de S /. 5 . S e sabe sab e qu q u e el p asaje es úni ún ico y de d e S/ S /. 6 ; y hay h ay qui qu ienes ene s pagar paga ro n con billetes de S /. 10 , con m o ned as d e S /. 5 y S /. 1 . ¿C u án tas per pe rsonas son as viajaron ? N o t a : N o hay pe rson as qu e pagaron pagaron sólo ólo co n m onedas on edas de S/ S /. 1 o sólo con m on edas de S/ S /.5. a) 2 6 8 d ) 281
b ) 2 70 e) 2 4 9
c) 2 5 5
33 . U n carpintero cobra cobra 2 500 soles por po r hacer una cóm od a y 1 50 0 soles po r hacer ha cer un velad o r. C o n las m ader ad eras as qu e le han ha n d ad o, pu ede ed e conf co nfecci eccio nar na r cual cua lq uier d e lo s grupo s que se m enciona. on a. ¿C uál uá l d e lo s grup grup o s le conven con vend d rá m ás?
2 8 . U n to to nel ne l "A " d e 200 2 00 litro s d e capaci cap acid ad , está lleno en o d e vin o d e 14 1 4 sol so les el litro y ot o tro to n el "B ",d e 12 1 2 0 litro s de de cap cap acid ad , está lleno en o d e vin o d e 1 2 sol soles el litro. ¿C u á nto nto s litro s deb de b erían in tercam b iarse arse p a ra qu e la d iferen erenci cia de d e cos co sto s en lo s volú m enes en es de am a m b o s to nel ne les sea 12 00 so les? a) 1 0 d ) 40
b) 4 e) 9
c) S/. 270
31 . U n padr p adre e deja una un a herenci herencia de 17 1 00 0 d ólares ares a sus sus h ijo s. A ntes ntes de efectua ectuar rse el repa ep a rto, m u ere ere un uno de ello s y la sum su m a q u e le co rrespo esp o n d ía se d istrib u ye equ eq u itati ativam va m ent en te ent en tre sus h erm erm an o s qu ienes en es r reci eciben be n enton enton ces 19 0 00 d ólares ares cada cad a un o. ¿C uán uá n to s hij hijo s
a) b) c) d) e)
9 7 5 1 3
velado res. es. cóm odas odas. cóm cóm od as y 3 vel velado res. es. cóm oda y 8 veladores adores. . cóm cóm od as y 6 vel velado res. es.
3 4 . D o s perso nas na s tienen ene n S /. 3 587 58 7 y S /. 9 93 respectivam ent en te. S e po p o n en a ju gar ga r cartas a S /. 7 la part p artid a y, al fina l, la p rim era era per pe rso na qu e h a g an ad o to d as las p artid as, tiene en e el e l cuád cu ád ru p le d e lo q u e tiene en e la segun segu n d a. ¿C uánt uá ntas as part p artid as jugaron ug aron? ? a) 7 b) 8 c) 9 d ) 10 e) 1 1 3 5 . O cho perso nas na s tienen ene n qu e pagar pa gar, po r par pa rtes igual gua les S / . 25 0 00 ; com o algun as de el e llas no pu eden ed en hacer ha cerl lo, cada cad a un o d e lo s restant an tes tiene en e qu e dar da r S /. 1 875 8 75 m ás par pa ra can ca n celar la d eud eu d a. ¿C uán tas pers person as no pagar pag aron on ? a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
3 6 . A un a fiesta as a sistiero ero n 49 5 perso nas na s, la pri prim era era d am a b ailó con co n 1 cabal cab allero, ero, la segun segu n d a con co n 3 , la tercer ercera a con co n 6 , la cuart cu arta co n 1 0 y así a sí sucesivam va m ent en te, h asta q u e la ú ltim a ba b ailó con co n to d o s lo s cab cab alleros. eros. ¿C u án to s cab cab alleros eros acud acu d ieron eron a la fiesta? a) 4 6 5 d ) 470
b ) 4 60 e) 4 4 0
c) 4 5 0
14 5
R az. M atemático ático
37 . U n exam en con sta de 4 pregun pregunt tas, as, la pri prim era era vale 3 p u n to s, la segun segu n d a val v ale 4 , la tercera ercera val va le 6 y la cuart cu arta val va le 7 pu p u n to s. C ecilia con co n testa cor co rrectam ent en te 2 pr p regu eg u n tas, regu larm ent en te un u n a p regu eg u n ta y d eja d e co n testar la restan te. Po r p regu eg u n ta bi b ien con co n testad a reci recib e el elp u n taje aje co rrespo nd ien te, p o r la pregu n ta co n testad a reg u larm en te reci recib b e el p u n taje aje co rrespo n d ien te d ism inu id o en 3 p un to s, y p o r la p regu n ta n o cont co ntest estad a reci recib e cero cero p u nto nto s. C ecilia ap rueba ue ba co n nota nota m ayor que 10. ¿C uál es la m ayor ayo r no ta que q ue p ued e obt o btener ener? ? a) 1 2 d ) 20
b ) 14 e) 1 8
c) 1 6
3 8 . S e tiene u n saló n ilum inad na d o con co n 120 1 20 lum inar na rias y otro a o scuras scuras. . S i se ap a p agan aga n 5 lum inar na rias del de l prim ero ero y se enci en ciend en d en 3 d el segun segu n d o, y si se repi ep ite est e sta o p eració n h asta q u e se ten ten ga igu al can tid ad d e lu m in arias encen en cend d id as, ¿cuál ¿cuá l es esa esa can ca n tid ad ? a) 1 5 d ) 45
b ) 30 e) 2 5
c) 6 0
39 . Se tiene un m ontón d e 64 m onedas de 15 g. cada uno y otr otro d e 44 m on edas de 30 g. cada uno, u no, ¿C uán tos in tercam ercam bio s deb en d arse arse par pa ra q ue, ue ,sin variar eln úm ero ero de m oned as de cada m on tón , am bas adq uieran el m ism o peso? peso? a) 1 5 d ) 12
b ) 16 e) 1 3
c) 1 7
4 0 . M arcos arcos y G isella ti tienen ene n 8 y 4 panes pa nes respe espect ctivam ente ente y d eben eb en com p art artirlo s equi eq uitati ativam ente ente con co n d o s am igo s. Par Pa ra reco recom m p ens en sarlo s,ésto s entr entregan ega n 18 0 soles a M arco arcos s y G isella, ¿cuán ¿cuá n to le to ca a M arcos? a) 90 soles b) 140 soles c) 150 soles d ) 10 0 sol so les e) 12 0 sol so les 41 . C inco am a m igos con con sum ieron eron en u n res rest taurant aurante e po r un 1 valo r d e 400 4 00 soles y d o s de ello s so so lam ent en te ten tení ían 8 1 y del delcon co nsum o. Para ara cub cub rir la di d iferen erenci cia, cada cad a un u no d e 5 lo s restant an tes pagó pa gó po r igual gu al la sum a de de : a) 2 7 0 so les c) 1 3 0 so les e) 160 soles
b ) 9 0 so les d ) 1 8 0 so les
42 . S e ha com prado prado 400 sacos de arr arroz a S /. 45 cada saco, saco, hab iénd ose pagad o S /. 7 p or cad cad a 1 0 sacos sacos y po r kiló m etr etro recorr reco rrid o. ¿C u án to s saco saco s llegaron eg aron m alo grado grad o s, si el reco rrid o to tal fue d e 3 0 kiló m etr etro s y se se tuvo uv o q ue ven d er a
14 6
S /. 18 0 cad a saco, par pa ra tener en er d e gana ga nanci ncia net n eta u n to to tal d e S /. 42 00 0? a) 1 2 d ) 16
b) 1 8 e) 2 0
c) 1 5
43 . U n óm nibus hace hace un viaje de Lim a a H uancayo uancayo y en en u no d e sus reco recor rrid o s, recaud ecau d ó u n to tal d e 78 7 8 4 soles p o r lo s ad u lto s y 36 3 6 0 soles po p o r lo s niñ o s; el p recio d el p asaje asaje p ara ad u lto s y n iñ o s es 28 y 1 2 so les respectivam ente. ente. C ad a vez que qu e baj ba ja un u n n iño sub en 2 ad ulto s y cad a vez que qu e baj b aja u n ad a d ulto sub en 3 n iño s. A dem ás, ás, el ó m nibus bu s llegó a H uan cayo con 20 adul ad ultos y 20 niño s. ¿C o n cuán cu ánt to s adul adu lto s salió el ó m nibu s de L im a? a) 1 2 d ) 11
b) 8 e) 1 3
c) 9
44 . S e qu iere ere cercar un terr erreno de fo rm a cuad rada ad a cuya 2 área área es 1562 15 625 5 m con un a cerca cerca de d e 3 hileras eras de alam bre. S e d esea sab sa b er,¿cuán ¿cuá n to cost co stará to d a la o b ra sielm etro d e alam b re cues cue sta 1, 1 ,5 sol so les y la m ano an o d e obra o bra to tal 4 5 sol so les? a) 4 5 0 0 d ) 2 25 0
b ) 1 80 0 e) 2 2 9 5
c) 2 0 0 0
45 . V anessa anessa es pers perseguida po r su enam en am orad orado o y le lleva 80 80 p asos de d e ven v ent taja. E lla d a 6 p asos m ient en tras élsólo d a 4 ; p ero ero 3 p asos de d e él equi eq uival valen a 5 pas pa so s de el e lla. ¿C uánt uá nto o s pas pa so s d ará ará él par pa ra al a lcanz can zar a Van V aness essa? a? a) 3 6 0 d ) 400
b) 4 8 0 e) 4 5 0
c) 3 8 0
46 . U n com co m erci erciante ante com pra pra art artículos a 3 po r S /. 35 y los vend ven d e a 5 po r S /. 70 . S i lo s 50 ar a rtículo s que qu e le que q ued d an rep re sent sen ta su gan ga n a n cia, ¿cuán ¿cu án to s art artícul cu lo s en to tal com pró? pró? a) 3 0 0 d ) 400
b) 2 5 0 e) 4 5 0
c) 3 5 0
4 7 . U n co m erci erciant an te ad qu irió 1 80 0 cigarr garrillo s im po rtad o s a S /. 0,80 0,80 cad a u no , ha biénd biénd o sele o bsequ iad o 4 cigar ga rrillo s po rcad a cajetilla d e 2 0 u n id ad es qu q u e co m p ró . ¿A q u é p recio ecio d eb e ven v en d er cad ca d a ciga ciga rri rrillo, si el com co m erci ercian te regal ega lará 5 p o r cajetilla y p ro yect ye cta o b tener en er u na gan anci an cia to to tal d e S /. 96 ? a) S/. 0,9 d) S/. S/. 1,2
b) S/. 0,8 e) S/. S/. 0,7
c) S/. 1,0
TRILCE
48 . S ebast ebastián esca escapó pó de su cas casa a y cuando ha d ado 60 p asos, aso s, sale en su pers p ersecu ecuci ció n el p ap á , el cual cu al d a 3 pas pa so s cada vez que S ebas eba stián d a 5 pas pa so s. S ebas eba stián en 11 p asos asos avanza avanza tanto anto com o su su papá pa pá en 7 pas p asos. os. El El papá pap á d a 14 1 4 p asos asos po rm inut nu to.¿Al ¿A lcabo de cuánt cuá nto tiem po d e h ab er salid o el p ap á, S ebast eb astián le h ab rá sacad o 10 0 pasos p asos de ven taja? a) 3 5 m in c) 3 6 m in e) 50 m in
4 9 . U n tran spor spo rtista sol so licitó $ 1 2 p o r el tran spor spo rte de de 7m d e p iedr ed ra y o tro $9 po r 5 m 3 , resul esu ltan d o caros caro s y d esigual gu ales en lo s p recio s. S e les ofr ofreció u n au a u m ent en to igual gu alp ara lo s do s en elim p o rte to tal y en e n la can tid ad d e p iedr ed ra qu q u e van a transpo an spor rtar. A d em ás, la cant can tid ad d e p iedr ed ras y dó lares son n um éri éricam ent en te igual gu ales.A cept cep tad a la con co n d ició n , resultó q u e am b o s tran spor spo rtistas co b raron la m ism a canti cantid ad po r m 3, ¿cuán ¿cu án to s d ó lares cob co b raron 3 por m am bo s transpor anspo rtistas? as? b ) 2 ,4 e) 5 ,6
c) 1 ,5
50 . U n extr extranjero ero se aloja en un H otel otelpagand paga nd o $ 24 diar diari ios p o r elcuar cua rto y $60 $6 0 po p o r elcuar cua rto y co m id a. A lcabo cab o d e 3 6 d ía s, el ext ex tran jero se retira d el H o te l p agan ag an d o $ 1 89 0; sum a en la cual cu al está incluid uid o $ 1 9 2 d e gast ga sto s extr extra s efect efectu u ad o s d u ran te este per pe rio d o. S i el ad m inis nistrad o r le habí ha bía a hecho he cho un a reb rebaj aja d e $ 1 p o r cada cad a $ 1 0, ¿cu ¿cu án to s d ías co co m ió el e l extr extran jero ero en e n el h o tel? a) 2 9 d ) 40
b) 3 0 e) 2 5
16 14 15 16 17
lám lám lám lám lám
paras paras; ; paras paras; ; paras paras; ; paras paras; ; paras paras; ;
S /. 145 0 S /. 165 0 S /. 145 0 S /. 156 8 S /. 165 0
b) 5 e) 7
c) 8
5 3 . U n co m erci erciant an te di d isp o ne d e sei seis b arr arriles lleno en o s d e jugo ug o d e nar na ranj an ja con co n capaci cap acid ades ad es de 15, 1 5, 16, 16 , 18, 18 , 19, 19 , 20 y 31 litro s. A p arta u n o para su u so p ro p io y el e l ju go en lo s b arriles rest restan tes se ven ve n d e a d o s per person son as di distin tas d e talm od o que qu e uno u no de ellos com pra pra exact exa ctam ente eld ob le d e litro s d e ju go q u e el e l o tro. S i to d o s esto s bar ba rriles están cerrados. ¿C u ál es la cap ca p acid ad d el b arril ap artad o ? a) 15 litros c) 1 9 litro s e) Si S in respu esp u esta
b) 18 litros d ) 2 0 litro s
54. C om o el m édico m e recom ecom endó cam inar tod as las m añan añ anas, as, d o y una u na vuel vu elta (a velo cid ad const co nstant an te) a la m anzana en la que qu e vivo. M i m ujer apro apro vecha para para cor co rrer (a vel ve lo cid ad con co n stan te) a lred ed o r d e la m ism a m anz an zana. an a. S alim o s jun to s y llegam o s al m ism o tiem po. po . E lla recor recorr re la m anz an zana an a en el m ism o sent en tid o qu e yo y m e reb rebasa asa d o s veces veces du ran te elreco rrid o. S iella cor co rriera en elsent sen tid o con co n trario,alm ío,¿cuá ¿cu án tas vece veces s se cruzaría conm igo? b) 5 e) 8
c) 6
55 . S i lo s ded o s de la m ano se cuent cuen tan de la siguiente ente m aner anera: 8 2 3
7 4 6 5
1
¿En qu é dedo d edo cae el m ayor cuadr cuad rad o perf perfecto de 4 cifras? ras?
5 2 . E n la p uerta d e u na iglesi esia se encuen en cuent tran habi ha bitual ua lm ente ente 2 m en d igo s, a sab er: er: un a p o b re to to d o s lo s d ías y alterna ernad d am ente ente un ciego y un co jo. U n a persona persona caritati ativa m an d a a su criad a co n S /. 3 1 y le d ice : "S i encu en cuen ent tras a la p o b re y al ciego eg o, d arás a este lo s
3 2 de d e la sum a y lo s a la m u jer. Po r casua casu alid ad 5 5 aq u eld ía están lo s 3 m end en d igo s en la p u ert erta d e la iglesia. ¿C u án to le to có al a l ciego eg o ? lo s
a) 4 d) 7
c) 3 5
5 1 . P ara un u n a in stalació n d e lu z,p id ió u n electricista S /. 1 4 0 p ara ara cad a lám p ara, ara, in cluyen uy end d o el m ater ateri ial y la m ano an o d e obra, o bra, y pen p ensó só gan ga n ar S /. 67 2; per pe ro h izo una u na rebaj eb aja de S /. 14 por po r lám para para y n o ganó m ás que S /. 448 . ¿C uánt uá ntas as lám pa ras se se instalaro aro n y cuán cu án to im po rtó el m aterial eléctrico? co ? a) b) c) d) e)
5 a la m u jer;p ero si está allíelcoj co jo,le d arás 8
a) 6 d) 4
b ) 3 0 m in d ) 4 5 m in
3
a) 1 ,8 d ) 4 ,2
la sum sum a y
a) A n u lar. b) M eñique. c) P u lgar ga r. d ) Ín d ice. e) M edio. edio.
3 de 8
14 7
R az. M atemático ático
56 . Sebast Sebastián com com pró pró (10q (10q + 2) m oned as de 25 cént céntim os y A less essand ro (2q (2q + 10 ) m o ned as d e las m ism as. as. S i jun tam os tod as las m on edas y las cam biam biam os po r m on edas eda s de 10 1 0 céntim o s, el núm nú m ero ero d e éstas ser será: a) 1 2 (q + 1 ) c) q + 1 e) 12 (q (q + 2)
b ) 8 q 10 d ) 3 0 (q + 1) 1)
5 7 . D o s o perario s se ded d edi ican a ro ro blo nar na r vigas con ro blo nes igual gu ales: un o d e ello s ro b lo n a a m ano an o y el o tro con m áqui áq uina. na . E l pri prim ero ero col co lo ca 45 ro blo nes por po r ho ra y el segundo 15 0 en elm ism o tiem po. C uand o em pezó pezó el segun egu n d o, llevab eva b a ro ro bland an d o elprim ero ero 7 ho ras y dej d ejaro aro n el trab ajo cuand cua nd o lo s d o s ha bían bían pu esto el m ism o núm nú m ero ero d e rob lon es. es. ¿C uánt uá ntas as hor ho ras est estuvo uv o ro blo nand na nd o cada cad a o perario ? a) 1 0 y 3 c) 9 y 4 d) 9 y 3
b) 8 y 3 d ) 10 y 4
58 . U na am a de cas casa a con concur curre a una carnicer cería y com com pra pra S /. 30 d e carne carne pag p agan and d o co n un u n bi b illete de d e S/ S /. 10 0. E l car carn icero, aln o ten er sen senci cillo, cru cru za la cal calzada zad a y cam cam b ia el b illete con co n el b o ticar ca rio q u ien le d a b illetes de d e a S /. 1 0 con lo s cuales da vuel vu elto a la seño ra. M inu to s después, despu és, el b o ticar ca rio se perca p ercat ta q u e el e l b illete era falso y recl eclam a al carni carn icero qu q u ien le dev d evu u elve 10 1 0 b illetes etes dé 1 0 . E l carnicero cero p erdió : a) S /. 1 30 30 d) S/. 70
14 8
b ) S /. 3 0 e) S/. 200
c) S /. 1 00 00
59 . Juan y Pabl Pa blo, con sus hijos Tom y D ick com com pran pran libros, bros, cuando han ter term inad o se com prueba prueba qu e cada cada u no ha p agad o p or cada uno u no d e los libro bro s un núm nú m ero ero d e soles igual gu al al nú m ero ero d e libro bro s qu e han h an com p rad o. C ada ad a fam ilia ha h a gast g astad o S /. 65 , Juan Jua n com pró pró un libro bro m ás que qu e Tom y D ick com com pró pró sólo un u n libro. bro. L uego son ciertas: I. Juan com pró pró ocho libros bros. . II. Juan es padr pad re de d e D ick. III. Tom To m es hijo d e Pab P abl lo. a) S ó lo I d ) I y II
b ) S ó lo II e) To d as
c) S ó lo III
60 . D o s com erci erciantes antes im po rtan cho m pas, seis d o cenas el prim ero ero y cuatr cuatro d o cenas el segund egu nd o. U na vez est estuvo la m ercad ercad erí ería en la ad a d uana ua na , se enter enteraron aron qu e tení en ían qu e pa gar im pu est esto s. C o m o tenían po co d inero, nero, el pri prim ero ero paga con co n cinco cho m pas m ás 114 soles y el segundo egun do paga con tr tres chom pas m ás 126 12 6 so so les. es. S e afi afirm a: I. E l preci precio d e cost costo d e cad cada a chom cho m pa es 138 13 8 sol soles. es. II. E l im pues pu est to d e cada cho m pa es 12 soles. es. III. L a d iferen erenci cia d e lo s gasto s en im p u esto s es 264 26 4 sol so les. a) S ó lo I d ) I y II
b ) S ó lo II e) To d as
c) S ó lo III
TRILCE
Claves l ave ves s 01.
a
31.
c
02.
b
32.
a
03.
c
33.
b
04.
d
34.
e
05.
e
35.
c
06.
d
36.
a
07.
c
37.
b
08.
a
38.
a
09.
e
39.
d
10.
a
40.
c
11.
e
41.
b
12.
c
42.
e
13.
e
43.
b
14.
d
44.
e
15.
e
45.
b
16.
b
46.
a
17.
e
47.
a
18.
a
48.
b
19.
a
49.
c
20.
a
50.
a
21.
d
51.
d
22.
e
52.
a
23.
c
53.
d
24.
c
54.
a
25.
d
55.
c
26.
a
56.
d
27.
e
57.
a
28.
d
58.
a
29.
e
59.
e
30.
c
60.
b
14 9
TRILCE
Capítulo
1
CRIPTOARITMÉTICA
L a cri crip to aritm éti ética es un arte q qu ue d desem esem p eñó eñ ó u n im p o rtan te p pap ap el en el d esenvo esen vo lvim ient en to d e la H isto ria. L a cri crip to aritm ética no es m ás que u n ju ego. N o se sabe en qu é épo ca se se invent nve ntó ó ; pero lo s aficion ad os a las vari variedad ed ad es com enzaro enzaro n a inter nteresar esars se p o r ellas en el P rim er C o ngr ng reso In terna ernaci cio n al d e R ecreaci ecreacio nes ne s M atem áticas, qu e se reu reun n ió en B ru selas en 1 93 5 . C rip to viene en e d del el griego eg o "criptus " q u e q u iere ere d ecir o cul cu lto, esco escon n d id o. L a cri crip to aritm éti ética con co n siste en e n reem ee m p lazar las cifras po p o r letr etras en la tran scrip ció n d e u n a o peració n d e ar a ritm éti ética clásica, ca, d e u n a ecu ació ació n . E l p ro b lem a con co n siste en h allar las cifras qu qu e est e stán "b ajo las letr etras". P ara co co m p licar las cosas, cosas, en cierto s si sitio s se pu ede ed e m arcar arcar sim p lem ent en te el lu gar de un a cifra co n u n pu nto nto o un asteri erisco. E n e el l caso ext ex trem o, só lo qu edan ed an asteri erisco sco s. E s fácil ver ve r q u e la crip to aritm éti ética es e s u n p ro ced im ient en to d e cifrar po r sustitu ció n y qu q u e la clave es e s una un a regla m atem ática. ca. L o s enu en u n ciad o s crip to aritm éticos co s son, son , a veces, veces, sedu sed u cto res. S u s so lu cio nes no p resent esen tan d ificul cu ltad es m atem atem áti áticas; pero en cam b io exi e xigen ge n n u m erosísim as hip ó tesis y, en con co nsecuen secue n cia, cál cá lcul cu lo s largos argo s y trab ajo sos qu e im p lican gran gran d es riesgo s d e con co n fusió n . Po r eso, se a acon con seja q ue se ded de d iq uen ue n a e es ste gén gé n ero ero d e p pr ro b lem as só só lo lo s lecto res pacient en tes y m inu cio sos com o ustedes, ed es, alu m no s de Tri Trilce. E l o b jeti etivo d e la crip to aritm éti ética es red escub escu b rir las o peracio n es b ásicas cas de d e ad a d ició n , sust sustra cció n , m u ltip licaci ca ció n , d ivisió n , rad icaci cació n y p o tenci en ciació n . E n lo s p ro b lem as a tratar en este cap ca p ítu lo, se cum p le qu q ue a letr etras igual gu ales le corr co rrespo esp o n d e cifras igu ales y a letras di d iferen tes, cifras di d iferen tes. C ad a letra, cad ca d a asterisco (*), rep resen esen ta u n a cifra. A d em ás, la sum a d e do d o s d ígito s com o m áxim o es 18 , siem pre y cua cuand nd o lo s d ígito s sean igual gu ales (9 + 9) y 17 si es qu e lo s d ígito s so n d iferent eren tes (9 (9 + 8 ). P ara ara q ue este tem tem a sea m ás ent en tend en d ible, lo d ivid irem o s de la sigui gu ient en te m aner an era a: 2
AD ICIÓN ICIÓN
2. Si: (a b)
PA R =
PA R +
IM PA R =
IM PA R +
1. D espués
SA L
de
M AS
169 16 9
C alcul cu lar : 2abab5 5 baba 2
D ebem eb em o s recor eco rd a r las si sigui gu ient en tes regl eg las: PA R +
PA R
Resolución:
IM PA R
IM PA R =
reco reco nstruir uir la
PA R
sigu ien te
sum a
:
d ar elval va lo r d e la sum su m a d e las cifras A L L A da
d el resul esu ltad o d e: M A S A L L A
Resolución:
3. Si: R O M A
AMOR
MMARM
H alla r O M A R y d ar com o respu est esta la sum a d e sus sus cifras. ras.
Resolución:
15 1
R az. M atemático ático
MULTIPLIC ACI ÓN
D IVISIÓN IVISIÓN
D ebem eb em o s tener en er en cuen cu ent ta las sigui gu ient en tes regl eg las: P A R P A R = PA R P A R IM PA R = PA R IM PAR IM PAR = IM PAR 4 . H allar la sum a d e las cifras del d el p ro d ucto ucto : 3
*
*
*
*
*
*
*
5
*
*
*
7 . E n la sigui gu ient en te di d ivisió n , h allar la sum su m a d e las cifras del de l d ivid end o : 2
*
*
*
*
*
*
*
*
*
8
*
*
5
*
8
*
*
*
*
3
*
Resolución: 3
Resolución:
M u ltip lica can nd o M u ltip lica cad do r
D ivid en d o
P ro d u cto s Par Pa rciales
D iviso r
2
5 3
P rod ucto Fina nal l
8
5 . D a d a la sigui gu ient en te m u ltiplicació n, hal ha llar la sum a d e las cifras q u e reem p lazan a lo s asteriscos en lo s prod pro d u cto s p arciales.
*
1
*
3
*
2
*
3
*
*
3
*
2
*
2
*
5
1
*
8
*
3
8
5
8 . H allar la sum a d e las cifras del d el coci co cient en te.
0
Resolución: 6 . L as letras repres represent en tan las cifras de d e u n nú m ero, ero, qu e al al m u ltip licarl ca rle p o r 4 , resulta d e in vert ve rtir el o rd en d e la s cifras en en el p rim itivo. vo .
Resolución:
15 2
R esto o resid u o
Resolución:
R O M PE 4 H allar: P + E + R + O
C o cien ent te
EPM O R
7 2
3
8
TRILCE
9 . H allar la sum a d e las cifras del d el cocient en te si es el m áxi áx im o p o sib le:
3
9
9
9
1 1 .D ar com co m o respuest espu esta la sum a d e las cifras del d el rad icand can d o.
1
6
2
1
1
8
Resolución:
Resolución:
RAD ICA CIÓN CIÓN 1 0 .R econ eco n stru ir la sigui gu ient en te o per pe ració n y d ar com o respuest espu esta la sum a d e las cifras d el rad icand can d o. 2
2
Resolución:
4
S i g n o r a d i c a l : O perador m ate m ático co con n ven cio n al q ue id en ent ti2
4
POTENCIA CI ÓN
1 2 .R econst eco nstruir la sigui gu ient en te o p eraci eració n y d ar com o respuest espu esta la sum a d e las cifras d e: Z+ A + P + A + T+ O
ZO O 2
TOPAZ
Resolución:
fica la sex sext ta o pera ció n aritm ética R adicando R aíz cuad rad ada a 2
4
2
15 3
R az. M atemático ático
EJERCICIOS PROPUESTOS 0 1 . S ab iend en d o q ue a letras igual gu ales le cor co rrespo n d en cifras igual gua les y ad em ás:
N E EN H allar: N + O + S + E a) 1 0 d ) 13
b ) 11 e) 1 4
b) 2 2 e) 2 4
b ) 16 e) 1 5
c) 2 0
0 7 . R econ eco n stru ir la sigui gu ient en te ope o per ració n y d ar com co m o respu respu esta la sum su m a d e las cifras de la raíz.
c) 1 2
02. Sabiendo que: SIN SIN SIN SIN H allar: N + D + S + A a) 2 0 d ) 14
SO S
a) 2 1 d ) 23
NADA
5
5
7
c) 1 7 a) 8 d) 9
0 3 . S i: 1 a b c d e
b) 1 3 e) 1 2
c) 1 0
0 8 . D espués espu és d e reco reconst nstruir uir la si sigui gu ient en te op eraci eració n ,d ar com o respu esp u esta la sum a d e las cifras d e la raíz. aíz.
3 a b c d e 1
H alar:c + e + b + a + d + a
8
2
1
4
2
2
9 a) 2 8 d ) 31
b ) 29 e) 3 2
c) 3 0
0 4 . H allar la sum a d e las cifras del d elprim er pro pro d ucto ucto p arci arcial. 2
a) 1 0 d ) 14
4
3
5
3
b ) 12 e) 1 8
a) 5 d) 8
09. Si : TR ILC E 99 ....291403 ad em ás a letras igual gu ales les co rrespo n d en cifras igual gu ales. es. C alcular : L + E + T + I
0 5 . R econ struir la d ivisió n m o strada ad a y dar d ar co co m o respu espu est esta la sum a d e las cifras del del coci co cient en te.
a) 1 2 d ) 10
3
7
6
1
b ) 13 e) 1 4
6
3
15 4
4
8
b) 1 7 e) 2 1
R
c) 2 0
A
D
A
R
5 C
a) 5 d) 8
11. Si: T R E S
8
8
A
A
C
b) 6 e) 9
DOS
c) 7
C IN C O .
A dem ás: ás: N = 5 y R > D y que qu e a letras iguales le cor co rrespo esp o n d en cifras igu ales. H allar: R + E + T + O + S a) 3 0 d ) 28
R
H allar la sum a d e las cifras de: d e: D R A C A
0 6 . R econ eco n struir la d ivisió n a ad d ju nta nta y d ar com co m o respuest espu esta la sum a d e las cifras del de ld ivid end en d o,sield ivisor es elm eno en o r p o sib le.
a) 2 2 d ) 18
10. Sabiendo endo que :
c) 1 1
3
c) 7
0
c) 1 3
2
b) 6 e) 1 0
b) 2 9 e) 3 2
c) 3 1
TRILCE
1 2 . D e la sigui gu ient en te o ope per ració n , d ar la sum a d e cifras del d ivid end o :
a) 2 0 d ) 21
5
8
3
3
6
2
M
P
E
P
M
O
R
E
c) 2 2
a) 1 6 d ) 19
b ) 17 e) 1 4
E
c) 1 8
1 7 . ¿C uál uá l es la sum a d e cifras del d ivid end en d o y el cocient en te en la sigu ien te d ivisió n ?
a
a
a
2
0
2
4
0
9
9
5
5
b) 426140 d ) 32 6 3 4 0
1 4 . E n la la sigui gu ient en te m ult ultip licació n , h allar la su m a d e las cifras del del p ro d u cto, sicad ca d a rep repr resen ta u n a cifra. 7
2
6
8
1
b) 1 1 e) 1 4
a) 2 6 d ) 36
5
b ) 27 e) 4 1
3
2
5
1
c) 3 1
1 8 . E n la m u ltip licació n , el p ro d u cto to tal es:
a
0
a
b
b
7
7
0
4
1
c) 1 2
1 5 . R econst eco nstruir uir la sigui gu ient en te d ivisió n y d ar com o respuest espu esta la sum a d e las cifras del d elcoci co cient en te, sies elm áxi áx im o p o sib le.
5
b) 1 1 e) 1 4
M
H allar: P + E + R + O + M
b) 2 5 e) 1 9
a) 3 6 18 4 0 c) 3 2 6 3 5 0 e) 316 24 0
a) 1 0 d ) 13
O
3
1 3 . H allar el resul esu ltad o fin al, siel m u ltip licad cad o r tien e 3 cifras igu ales.
a) 1 0 d ) 13
R
a) 3 8 4 9 4 1 c) 3 5 7 0 4 1 e) 426 04 1
b) 295041 d ) 45 5 0 4 1
1 9 . H allar la sum a d e las cifras del d el coci co cient en te.
3
0
3
5
4
6
6
c) 1 2
16 . E n e ste cri crip to gram a , to d as las letr etras rep rep resen tan núm nú m eros eros pri prim os, excepto P que qu e vale 1. 1. a) 1 3 d ) 14
b ) 11 e) 1 5
2 6 2
c) 1 2
15 5
R az. M atemático ático
2 0 . R econ stru ir la d ivisió n y d ar com o respu espu est esta la sum a d e las cifras del d el coci co cien te.
9 7 3
2 4 . R econ struir la d ivisió n m o strad a y d ar co co m o respu espu est esta la sum a d e las cifras d el coci co cient en te.
2
1
1
1
2
1
9
2
,
5
6 a) 8 d ) 12
b) 9 e) 1 1
c) 1 0
a) 7 d) 6
b) 9 e) 1 2
2 5 . R econ eco n stru ir la sigui gu ient en te ope o per ració n y d ar com co m o respu respu esta la sum a d e las cifras d el rad icand can d o. c) 8
21 . Si se cum cum ple que: que:
A PT M A T
3
b ) 21 e) 2 4
7
3
7
ST O P
c) 2 2
2 2 . R econ eco n struir la sigui gu ient en te op o p eraci eració n y d ar com o respu respu esta la sum a d e las cifras d el rad ican d o.
9
T O P tom a su Adem ás S TO su m áxim o valor y O = cero. . H allar: M + O + T + A + S a) 2 0 d ) 23
5
2
1
0
3
a) 2 5 d ) 32
b) 2 7 e) 2 1
c) 3 0
2 6 . R econ struir la d ivisió n m o strad a y d ar co co m o respu espu est esta la sum a d e las cifras d el coci co cient en te.
a) 2 4 d ) 27
b ) 25 e) 2 8
3
I
9
4
9
8
1
1 2
L
I
M
P
I
A
D
A
M
A
E
D o nd nd e: e: M = 3 y L > P H allar: R + O + M + M + E+ L a) 2 0 d ) 26
15 6
b ) 24 e) 3 0
6
2 3 . S ab iend en d o q ue a letras igual gu ales le cor co rrespo n d en cifras igual gua les y ad em ás:
R
c) 2 6
O
c) 2 8
a) 1 5 d ) 18
b) 1 6 e) 1 9
6
3
c) 1 7
27. H allar: a + b + c + d S i: abcd bd bc bd
43904
1184
D o n d e letr etra s igua gu ales son son d ígito s igu ales. a) 1 3 d ) 16
b) 1 4 e) 1 7
c) 1 5
TRILCE
2 8 . H allar la sum a d e cifras del pro pro d ucto.
1
a) 1 8 d ) 19
5
3
4
4
b) 2 1 e) 2 0
6
32. Sabiendo endo que: que:
C H IN E
JA y JAP JA P son cuad cua d rad o s perf perfecto s. H allar: J + E + S + I+ C + A
1
c) 2 4 a) 2 5 d ) 28
b ) 26 e) 2 9
3
2
,
5
4
8
b) 9 e) 1 3
c) 2 7
3 3 . R econ struir la o operaci peració n y dar d ar com o r res espu pu est esta la s sum um a d e las cifras qu e reem p lazan a lo s asteriscos scos () en el rad icand can d o.
5
4
5
6
c) 1 1
p q q r
r
a) 1 6 d ) 19
b ) 17 e) 1 5
p p
r
p
b) 3 0 e) 4 9
a) 2 0 d ) 30
1
b ) 21 e) 3 2
8
8
0
1
8
1
4
8
8
8
c) 2 6
3
b) 1 2 e) 1 5
4
c) 1 8
c) 4 7
3 1 . D espués espu és de recon eco n struir la sigui gu ient en te d ivisió n , d ar co co m o respu esp u esta la sum sum a d e las cifras del d el coci co cien te, siel d iviso visor r es el m eno en o r p o sible.
3 4 . C alcul cu lar la sum su m a d e cifras del d el coci co cient en te, en la sigui gu ient en te d ivisi visió n .
p q
a) 1 1 d ) 14
JA P O N
A S es un cubo cub o per pe rfecto. .
3 0 . S icada cad a letra rep repr resenta esenta un u n d ígito en la d ivisió n y ad em ás a letras igu a les les co rrespo esp o n d en d ígito s igu ales. H allar: 2p + 3q + 5r E n:
a) 3 8 d ) 43
A SIE SIE
Adem ás:
2 9 . D espu espu és de recon recon struir la di d ivisió n m o strad a, d é com o respu esp u esta la sum su m a d e las cifras del de l coci co cien te en en su p arte d ecim al.
a) 1 0 d ) 12
3 5 . D espu espu és de recon struir la d ivisió n d ar co co m o respu espu est esta la sum a d e to to d as las cifras qu e no n o sean ea n 8 .
c) 1 3 a) 7 8 d ) 81
b ) 80 e) 8 2
8
8
9
8
c) 7 9
15 7
R az. M atemático ático
3 6 . E n la sigui gu ient en te d ivisió n , h allar la sum a d e las cifras d el d ivid end en d o :
a) 2 5 d ) 27
7
3
3
1
2
2
1
b) 1 2 e) 1 6
c) 1 4
4 1 . H allar la sum a d e las cifras de d e la raíz en:
5
1
b ) 24 e) 2 6
c) 2 3 a) 1 0 d ) 12 A
M A R I A H allar: M + A + R + I b) 6 e) 7
3
b) 9 e) 1 3
SA M
c) 1 1
9
8
4
2
1
1
b ) 25 e) 2 8
4
6
a) 2 0 d ) 23
4
4
4
0
7
a) 4 d) 7
0
4 0 . R econ eco n struir la sigui gu ient en te d ivisió n y d ar com o respuest espu esta la sum a d e las cifras del d el d ivid end en d o.
8
2
6
3
15 8
1
....T E M
c) 2 2
b) 5 e) 8
c) 6
7
7
7
7
7
a) 1 8 d ) 21
8
1
4 4 . C alcular la sum a d e las cifras del de l d ivid end en d o en: en :
c) 1 8
M
43 . D ad a la siguient guiente e di d ivisió n enter entera a d o nd e cad a p un to rep resent sen ta u n a ci cifra , la sum su m a d e cifras del del d ivisor so r es igua gu al a la sum a d e cifras del d el coci co cient en te e igual gu al al resid u o d e la di d ivisió n . H alle la sum a de d e cifras del d el d ivid end en d o.
b) 2 1 e) 3 0
b ) 17 e) 2 0
M
M + A + T + E + S
3 9 . E n la sigui gu ient en te m ultip licació n , h allar la sum su m a d e la s cifras del d el prod u cto.
a) 1 6 d ) 19
C a lcul cu la r:
c) 2 6
7
5S A
A dem dem ás:
a) 2 4 d ) 27
4 2 . S i:
3 8 . R econ eco n struir la sigui gu ient en te d ivisió n y d ar com o respuest espu esta la sum a d e las cifras del d el d ivid end en d o.
c) 1 1
...A SM
3 7 . S i:
a) 9 d) 8
a) 1 7 d ) 15
b) 1 9 e) 2 2
c) 2 0
TRILCE
45. Sabiendo endo que: que: AB C BCA
C
4
D
4
49. Sabiendo endo que: que:
A B C 2
b) 1 4 e) 1 8
c) 1 6
y
x
y
x
9
0
z
z
9
y
x
x
1
1
x
S icad cad a letr etra es un un d ígito y ad em ás a letr etras igual gu ales d ígito s igu ales. a) 9 0 d ) 72
b) 1 0 0 e) 3 6
c) 1 2 0
4 7 . H allar la sum a de d e las ci cifras del de l p ro d ucto ucto : M u ltip lica can n do M u ltip lica cad d or
7
3
4
C alcul cu lar: A B
a) 5 6 d ) 48
b ) 70 e) 3 7
b) 2 4 e) 1 8
a) 2 8 d ) 32
E
N
D
M
O
R
E
b ) 12 6 7 8 d ) 1 0 56 2
7
A
2
3A
A
A
4 A
A
b) 2 9 e) 2 7
S
5 1 . R econ eco n stru ir la sigui gu ient en te op o p eraci eració n y d ar com co m o respu respu esta el resul esu ltad o d e:
4 8 . R econst eco nstruir uir la sigui gu ient en te d ivisió n y d ar com o respuest espu esta la sum su m a d e las cifras del d el d ivid end en d o.
c) 6 0
a) 10 2 6 5 c) 1 3 5 4 7 e) 10 652
c) 2 0
CB
M O N E Y S e tra ta d e sustitu ir cad ca d a letr etra po p o r u n a d eterm eterm in a d a cifra. ¿Q ué can tid ad d e di d inero ha h a sol so licitad o ?
P ro d u c to
a) 2 3 d ) 21
BC
50 . D e v vi iaje, lejo s de su o ficin a, u n com erci ercian te in glés ad viert erte q qu ue n necesi ecesita rá m ás di d in ero ero p ara ara cum cu m p lir con su proye pro yect cta d a gira. E scrib e po r ta n to a su soci so cio u n escuet escueto m ensaj ensaje que dice :"S end M ore ore M on ey" (m and a m ás dinero). nero). Pero Pero com o n no o d esea esea que q ue n ad ie s se e ent en tere d e la cant can tid ad q u e sol so licita, dispon spo ne su text ex to según segú n el cód igo qu e sólo su so cio cono con o ce:
4 6 . H allar: ar: x . y . z x
AC
C o n la d iferen erenci cia d e q que ue A B C es un n úm ero pri prim o. .
Y q u e a letras igu ales, cifras igu ales. C alcular elvalor de: A + B + C + D a) 1 5 d ) 17
,
a) 5 8 d ) 112
b ) 74 e) 1 0 6
52. Si: R O M C H I 6 C a lcul cu la r:
a) 5 d) 1
b) 4 e) 6
c) 9 2
C H IR O M (O C
H
O
M
cero)
I R
c) 3
c) 3 0
15 9
R az. M atemático ático
5 3 .E n la sig sig u ien te m u ltip licaci ca ció ó n , to d a s la s cifra s d esap esapar areci ecid as so n pri prim o s. (C (C ad a es u n a cifra). H allar la sum a d e las cifras d el p ro d u cto.
a) 2 4 d ) 25
b ) 23 e) 2 2
a) 7 3 d ) 93
b) 9 1 e) 9 4
57 . R eco nstru ir la sigui gu ient en te m ultip licació n y d ar com o respu esta la sum a d e las cifras d el p ro d u cto.
c) 2 0
54 . C om pletar la d ivisión m ostrada ad a y dar da r com o respu espues est ta la sum a d e las cifras del del coci co cient en te.
a) 1 7 d ) 20
5
5
a) 1 3 d ) 16
3
3
3
3
c) 1 5
3
b ) 18 e) 2 1
c) 1 9
6
5
4
4
7
6
4
7
2
2
4
2
6
1
6
4
7
6
4
7
8
7
7
3
a) 1 6 d ) 19
b) 1 7 e) 2 0
7
59. Si: E A U
2
c) 1 8
OCEAN
C alcul cu lar elval va lo r de: de: U N a ) 4 2 47 8 9 c) 5 1 6 7 6 8 e) 728 63 2
D ar co co m o respuest espu esta la sum a d e las cifras del de ld ivid end en d o. c) 2 8
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 33 3 3
D ar com o respu esta la sum a d e cifras d el p rim er m u ltip lican ca n d o .
OCEANO
b) 412133 d ) 32 5 4 3 6
6 0 . R econ eco n stru ir la sigui gu ient en te d ivisió n y d ar com o respuest espu esta la sum a d e las cifras d el coci co cient en te.
56 . S u stitu ir lo s po p o r lo s dí d ígit gito s precisos precisos p a ra q u e rea lizand o las 2 m u ltip licacio cacio n es ob ten ga m o s el resultado ad o anun an un ciad o.
16 0
b) 1 4 e) 1 7
b ) 27 e) 3 0
3
5 8 . R econ eco n stru ir la sigui gu ient en te ope o per ració n y d ar com co m o respu respu esta la sum a d e las cifras d el rad icand can d o.
5 5 . E n la sigu ien te d ivisi visió n , cad ca d a cifra sust su stitu ye a o tra s d iferen eren tes, tratán d o se d e reco n struir las cifras ori o rigin ales.
a) 2 6 d ) 29
5
c) 8 2
a) 3 0 d ) 33
b) 3 1 e) 3 4
7
c) 3 2
TRILCE
Claves l ave ves s 01.
e
31.
d
02.
c
32.
d
03.
c
33.
c
04.
c
34.
c
05.
a
35.
d
06.
c
36.
e
07.
e
37.
e
08.
c
38.
c
09.
a
39.
c
10.
d
40.
a
11.
a
41.
c
12.
a
42.
b
13.
d
43.
c
14.
a
44.
b
15.
d
45.
d
16.
c
46.
a
17.
b
47.
a
18.
e
48.
c
19.
a
49.
b
20.
b
50.
e
21.
c
51.
d
22.
c
52.
b
23.
c
53.
a
24.
c
54.
b
25.
b
55.
d
26.
d
56.
a
27.
a
57.
e
28.
b
58.
d
29.
c
59.
b
30.
c
60.
d
16 1
TRILCE
Capítulo
14
OPE PERAC RACIO IONE NESS M ATE ATEMM TICAS
OP ERACIÓN ERACIÓN MATEMÁTICA E s un p ro ceso ceso qu e co nsiste en e n la transf an sfo rm ació n d e u na o m ás cant can tid ad es en o tra llam ad a resultad o, baj ba jo ciertas reglas o con d icio nes ne s en la cual cu al se d efin e la o per pe ració n . Tod To d a o p eraci eració n m atem atem áti ática p resenta u na regla d e d efinici nició n y u n sím b o lo qu e la id ent en tifica llam ad o o p erad erad o r m atem atem áti ático. O P E R A D O R M A T EM EM Á T I C O E s aqu aq u el sím b o lo que q ue rep repr resenta esenta a una u na o p eraci eració n m atem atem áti ática. N o s per pe rm ite recon eco n o cer a la op o p eraci eració n m atem ática a realizar con co n su respect respe ctiva regl eg la d e d efi efin ició n :
O per peraci ación M atem ática
O perador M atem ático
A d ició n
S u stracc racci ión M u ltip licació n D ivisió n R ad adi icació n V alo r ab solu to
| |
S u m atoria
P ro d u cto ria
|P |
M áx áxi im o en tero
[ ]
L ím ites
Lim
In tegra graci ción
L as op eraci eracio n es m atem áticas arriba m enci en cio nad na d as so so n cono con o cid as un ivers versalm ent en te. En e el l p resent esen te cap ítu lo lo q u e h hace acem m o s es def de fin ir o peracio n es m atem atem áti áticas con o p erado erad o res y regl eg las de de d def efin ició n e el legi eg id o s d e fo rm a ar a rb itraria. E l o p erado erad o r m atem atem áti ático p u ed e ser cual cu alq u ier sím b o lo (in clu so figur gu ras geo m étricas).
E j e m p l o : * ;# ; ;
; ; ;
;.......
L as regl reglas de d e o per pe ració n se bas ba san en las ope o per racio nes ne s m atem atem áti áticas ya d efinid as, veam vea m o s lo s si sigui gu ient en tes ejem plo s:
a b = 3 3a a 2 2b + 5 O perador M atem ático
R egla d e d efin ició n
REPRESENT REPRESENTACI ACI ÓN D E UNA O PERACI ÓN MATEMÁTICA : U na o peració n m atem ática se pued pu ede er repres epresentar entar con un a r regl egla d e d def efinició n, m edi ed iant an te u una na fó rm ula o una un a t tab abl la d e d o ble ent en trad a. A . M E D I A N T E F ÓR ÓR M U L A : E n este caso, la regla d e d efinici nició n está repr ep resenta esenta d a po r u na fó rm ula, en la cual cua l solam ent en te h ay qu e r reco econ n o cer lo s elem ent en to s y reem ee m p lazarlo s en la regla d e d def efin ició n para ob o b tener en er el resultad o b u scado. scad o. E l reem p lazo d el valo r nu m éri érico d e lo s elem ent en to s en la regla d e def d efin ició n pu ede ed e ser u n reem plazo d irecto (com o en el ejem plo 1), 1), o pu ede ed e s ser er un pro pro blem a q que ue p rim ero ero hay ha y qu e d dar arl le fo rm a al valo r nu m éri érico q ue n o s pid en p ara ara luego ueg o
16 3
R az. M atemático ático
recién recon eco n o cer lo s elem ent en to s y reem p lazar en la regla d e d efin ició n .
Ejemplos: 1.
S e def de fine la nuev n ueva a operac o peraci ió n m atem ática en R m edi ed iant an te el o perado r co co m o : ab C alcul cu lar: E
2.
S e d efin e en el con jun to d e lo s núm nú m ero ero s natural naturales.
C alcular: ar: E = 4 # 9
4.
S i se sabe sab e q qu u e: x = 2x + 1 A dem ás: ás: x + 2
=
C alcul cu lar : 3 +
2
S i: x +
x+ 1
3 x 1
+
x+ 2
= 30
A dem ás: ás: 0 = 7 C alcul cu lar: 1 +
5.
2 + 3 + ...... + 11
S e def d efi in e: x1 = A dem ás: ás:
C alcul cu lar:
16 4
2
32
2a # 3 b
3.
3
a 2b 8 b 3a
3x+ 1
x = 9 x2 2+ 1
a3 b2
TRILCE
B . M E D I A N T E U N A TA TA B L A D E D O B L E E N TR TR A D A : P ara ara e es ste cas ca so, tenem en em o s: Fila d e en e n trad a
b * c = ............................ , E jem plo : E n el con jun to : A = {1 ; 2 ; 3 ; 4} se d efine:
C alcul cu lar: E
*
a
b
c
d
a
a
b
c
d
C olum na b d e ent en trad a c
b
c
d
a
c
d
a
b
d
d
a
b
c
d * b = ............................
*
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
(1 * 2)* (2 * 4 ) (3 * 3)* (4 * 1)
P R I N C I P A L E S P RO RO P I E D A D E S D E U N A O P E R A C I ÓN ÓN M A T E M Á TI TI C A : S e def d efine en el e l conj co nju nto nto "A " u na o p eraci eració n rep repr resentad esentad a m edi ed iant an te el o p erad erad o r *. I. CLAUSURA:
a ,b A
a bA
S e to to m a un p ar de elem ent en to s del con ju nto nto A y se rea real liza con ello s la o per pe ració n d efinid a. S i el resultad o d e di d icha o per pe ració n p per ert tenece en ece al con jun to A , ent en to nces se se d di ice q ue la o per pe ració n cum cu m ple la p pr ro pied piedad ad d e clausur au sura o tam bién q ue la o p eraci eració n es cerrad a en el conj co nju nto nto A .
Ejemplos: 1 . S e d efine en N : a b A n álisis: a y b son N E nto nto nces:
2a 2 b
N
N 2(N )2 N
N
N N N N N
N S e ob o b serva erva q u e, p ara ara to d o n úm ero ero nat na tural, el resultad o es e s un n úm ero ero nat na tural. Po r lo tan to, la o peració n () es cerrada ad a en N .
EN TABLAS: S e d efin e en elconj co njun un to : A = {a , b , c , d } 2. *
a
b
c
d
a
d
a
b
c
b
a
b
c
d
c
b
c
d
a
d
c
d
a
b 16 5
R az. M atemático ático
¿C um ple con la p pr ro piedad ed ad d e claus au sura? ura?
3.
Se d def efine en e n elcon ju nto nto : A = {a , b , c ,d }
*
a
b
c
d
a
a
b
c
d
b
b
c
d
e
c
c
d
a
b
d
e
a
b
c
¿C um ple con la p pr ro piedad ed ad d e claus au sura? ura?
II. CONMUTATIVA:
a ,b A a b b a E l o rd en d e lo s elem ent en to s en la o p eraci eració n n o altera el resultad o. Ejemplos:
1.
E n N se define la ad ición : 5 + 8 = 8 + 5 con m u tati ativa en en N . la aadd ició n es conm
2.
E n N se def d efin e la sustracció n : 6 9 9 6 co nm u tati ativa en N . la sustracció n n o es co
E N TA TA B L A S ¿La ¿L a sigui gu ient en te op o p eraci eració n en e n la tab tab la es e s con co n m u tati ativa? va ? 3. *
a
b
c
d
a
a
b
c
d
b
b
c
d
a
c
c
d
a
b
d
d
a
b
c
C R I TE TE RI RI O S D E L A D I A G O N A L S e o rd ena en a la f fi ila y la colu m n a d e e ent ntr rad a. E n el m ism o o rd en y a par pa rtir d el vértice del d el o p erad erad o r. 1. 2. S e traza la d iago ag o n al p rin cip al (d esde esd e el e l vér vé rtice d el o p erad o r). 3. S e verifica qu q u e a am a m b o s lad o s de la d iago ag o nal na l y en fo rm a sim étrica que q ued d en elem ent en to s igual gu ales. 4. S i en to d o s lo s casos lo s elem ent en to s so so n igual gu ales, la o peració n es con m u tati ativa. va . S i al m eno en o s en u n cas ca so un o d e lo s elem ent en to s es d iferen erent te, la o p eraci eració n n o es con m utat utati iva. 5.
16 6
TRILCE
Ejemplo: ¿La ¿L a sigui gu ient en te op o peració n en e n la tab tab la es e s co co n m u tati ativa? va ? 1. *
1
2
3
4
2
3
4
1
2
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
3
4
1
2
3
III. ELEMENTO ELEMENTO N EUTRO (e):
e
A / a a e e a a e : elem ent en to neut ne utr ro
i ) i i )
E n la ad ició n , el elem ent en to n eut eu tro es el cero cero (0 ) E n la m u ltip licació n el elem ent en to n eut eu tro es el u n o (1 )
a 1 a
aa
Ejemplos: 1.
Se d def efin e en el con co n ju n to d e lo s Z
eloperador " " ab
ab3
C alcul cu lar: el elem ent en to n eut eu tro.
EN TABLAS: E n la sigu ient en te tab la, hal ha llar el elem ent en to n eut eu tro. 2. *
1
2
3
4
1
3
4
1
2
2
4
1 2
3
3
1
2
3
4
4
2
3
4
1
e
CRITERIO: 1 . S e ver ve rifica qu q u e la o p eraci eració n sea co n m u tati ativa. va . el l cuer cue rp o d e la tab la se bu b u scan: u n a f fi ila igual gu al a la fila d e en trad a y u n a col co lu m n a igual gu al a la col co lu m n a d e en trad a. 2 . En e D o n d e se in tersect ersecten, en , se enco en con n trará el elem ent en to n eut eu tro "e". e". IV. IV. ELEMENTO IN VERSO:
a A , a
1 / a a1 a 1 a e
Ejemplos: Se d def efine en R : a b
ab2 16 7
R az. M atemático ático
C alcul cu lar: 3
O b s : a 1
1 ; 4 1 ; 6 1
elem
ent en to inver nv ers so d e "a" "a"
OB SERVACI SERVACI ÓN IM PO RTAN RTAN TE 1. S e ver ve rifica qu q u e la o p eraci eració n sea co n m u tati ativa. va . S e bu b u sca el elem ent en to neu ne u tro "e". e". 2. A p licam o s la t teo eo ría d el elem ent en to in ver ve rso. 3. Resolución: V erificand can d o sies con co n m u tati ativa. va . C alculan d o "e" ae a
C alculand an d o "a
1 " 1
e
*
1
3
5
7
1
3
5
7
1
3
5
7
1
3
5
7
1
3
5
7
1
3
5
7
a e
E N TA TA B L A S 2. E n la sigui gu ient en te tab la:
H allar: E
O b s : a
16 8
(3 5 1 ) (11 7)1 7 1
1 elem ent en to in verso verso d e "a" "a"
TRILCE
EJERCICIOS PROPUESTOS 01. Si: a b
a(a b) C alcul cu lar: (2 1) (4 3 ) b ) 4 e) 3
a) 4 d) 2
0 7 . S i:
H P
c) 2
x
n m 2 m n 2 a O b ab b (1 2)
H 15 2
14
3
0 2 . D a do do :
P
C a lcul cu la r:
m
2) O
E val va lu ar : (4 a) 1 8 d ) 24
03. Si:
a 3
b) 1 5 e) 1 0
b 4
n
b) 1 4 6 e) 8 8 2
m 2
C alcul cu lar : E
y
xy xy
C alcul cu lar:
2 4 8 2
a)
1
b)
1 2
d)
1 5
e)
1
c) 1 1 3
3
. 4 (5 (6 ... .)) b ) 2 20 0 e) 1 1 0 0
3
c) 2 0 5
c)
1 5
2
0 9 . S i:
2002 operadores
a) 2 0 0 2 d ) 11
b ) 1 20 e) 6 0
08. Si: x
C alcul cu lar :2 5
04. Si: m
x a) 1 2 5 d ) 81
c) 8
ab a b
a) 1 2 0 d ) 1 10
5 2
b
c) 1 2 0
a
c
ab abc 2
C a lcul cu la r:
0 5 . D ad a la siguiente ente tabl ab la:
*
1
2
3
4
6
1
3
4
1
2
3 1
2
4
1 2
3
3
1
2
3
4
4
2
3
4
1
C alcul cu lar : A
(4 3) (2 1)
a) 1 d) 4
b) 2 e) 4 ó 2
a) 4 0 d ) 43
c) 4 5
1 0 . S i:
b
c
d
a
b
c
d
a
b
c
d
a
b
c
d
a
b
c
d a b c d H allar "x" en: en : [(x b) c] (d d ) (a c) b b) c e) a ó b
b ) 4 4 ,5 e) 4 8
4 2 3
c) 3
0 6 . D ad a la siguiente ente tabl ab la: * a
a) b d) d
4 6 2
c) a
m
m
m
m
5 ; si"m " es im par
2
4 ; si"m " es par pa r
2
H allar : 7 6
b) 1
a) 1 d) 2
c) 0
e) 3
1 1 . S i:
x8
=
3x + 1
16 9
R az. M atemático ático
x+ 3
= 12
C alcul cu lar: 6 a) 4 7 d ) 39
a) 2 d) 1
2x +
7
b) 3 e) 5
16. Si: x =
b ) 40 e) 4 2
c) 5 2
c) 4
x2 + 8
A dem ás :
1 = 2
C a lcul cu la r:
1 2 . S i: a
b
*
M
a2 a 1
a) 7 0 d ) 60
b2 1 b
=
7
b) 5 5 e) 5 0
+
9
c) 3 5
17. Sabiendo endo que: que:
2
c (c 1) C a lcul cu la r:
= (x1 )2 + m
x E fectu ectu ar:
* 2
a)
95 5
b)
12 1 6
d)
10 5 14
e)
12 1 16
c)
E a) m d) 4
81 6
y
x2
x
b) m + 4 e) m
c) 4
1 8 . S i: P
1 3 . S i:
x
x
1 3 x
1
2 1 y
1
x y
P(x) P(y)
P C alcul cu lar: (4 ) P (2)
C a lcul cu la r:
4 2 a) 6 d ) 12
b) 8 e) 9
5 3 c) 1 0
a) 1
b ) 1
d) 2
e)
c) 2
1 2
n (m n )(m n ) A dem ás: ás: (m n) n 2 m n
19. Si: m 1 4 . S i:
a# b
a2 1
; (a
b)
a# b
b2 a
; (b
a)
H allar: 3 2 a) 2 0 d ) 30
C alcul cu lar : 5#( 4#
a) 2 4 d ) 21
b ) 13 e) 1 8
17 )
E
c) 1 6
15 . Se define " " com o:
2 = (a 1)
a H allar "x" en: en :
a) 1 d) 4
x
17 0
= 64
x
4 4 4 ....
n (2 n)2 3 m b) 2 e) 5
2 1 . S i:
x
c) 1 8
20 . C alcular: ar:
S i: m
S i: x Z
b) 2 4 e) 2 1
= x 2 1 = x( x(x + 2)
c) 3
TRILCE
C a lcul cu la r:
27 . Se define:
3 a) 6 4 d ) 36
+
b) 4 9 e) 2 5
2
ba b a ab C alcul cu le : [(9 8 ) 1] 1
2
a
c) 8 1
a) 3 d) 5
22. Sabiendo endo que: que:
M N
P M NP
3
x 1
a) 3
b) 3
d) 4
e) 2
a
x 1 2 3
c)
a
1 3
c) 4
1 x
2
M = 3
4
a)
3n n 1
b)
2n 3(n 1)
d)
2(n 1) 3n
e)
n(n 1) 2
= 64x 63
x
= x2
Adem ás
16 m
C alcul cu le:
2m 2m
29. Si: H allar :
1
C alcule:
2 3 . S i:
x
b) 2 e) 9
28. Si: x
H allar "x" en :
b
2
5
6
....
n
c) 4 n
2
a) 2 d) 1 0
b) 7 e) 9
c) 11
2 4 . S i:
n = 2 + 4 + 6+ 8 + .... + n C alcul cu lar "x" en: en : 3 x1 1
a) 1 7 d ) 289
= 25 6
b ) 16 e) 1 0
c) 2 5 6
= 42 3 0. 0 . D ad o qu qu e:
a) 2 d)
b) 3
1 3
c) 4
ab
e) 5
m
; a
b
n m 2n
H allar el val va lo r d e:
2 5 . S i:
E
x
0
2
x
1
3
a) 1 d) 4
Y la relació ació n gen ge neral es : x
ab ab
n 1
3
x
n
2
4 1
c) 3
n 1
n 1 n 1
n
C a lcul cu la r:
4
b) 1 0 e) 1 2
3 1 . S i: x
3 a) 1 7 d ) 11
8 2
b) 2 e) 7
A dem ás: ás: n > 0 C alcul cu lar: x
5
7
........
99
c) 2 7 a) 2 5 d ) 90
b ) 30 e) 5 0
c) 4 5
26 . Se define:
a b 2a b a E n to nces el val va lo r d e (1 * 2 7 ), es: a) 2 4 d ) 48
b) 8 1 e) 7 2
c) 3 6
3 2 . S i:
x
= x 2 + 2x
C alcul cu lar "x" en: en : x+ 2
= 9 9 99 99 99 99 99 99
17 1
R az. M atemático ático
a) 6 d) 9
b) 7 e) 1 0
c) 8
38 . Si se cum cum ple que: que:
a 33 . Se define:
b
2
a6 6 b
C a lcul cu la r:
x = (x
6)x+ 1
27 64 3 1
C a lcul cu la r:
2
A
a) 0 d) 3
1
2
b) 1 e) 1 2 5 8 1
3
4
100
c) 2 5
a) 2 4 d) 9 39. Si: x
b) 4 e) 8
2
c) 1 6
= 2x
C alcul cu lar el val va lo r d e:
3 4 . S i:
M
2x + 3
1
= x
C alcul cu lar:
+ x 2 2x + 7
3
a)
4
b) 4 2
d)
6
e)
1 4
x x2 c) 3
2
40. Sabiendo endo que: que:
5
S abiend o q ue:
a) 1 0 d ) 34
a# b
= 3
b ) 21 e) 4 0
c) 2 0
b ) 15 e) 1 1
c) 2 3
(x y)
y(y x) ; x ,y ; x y
C alcul cu le e el l val va lo r d e: R
a) 6 d) 9
(99
(2 5 )(5 2) 100)(100 99)
b) 6 e) 1 5
c) 9
a b
2
3 c) 10 4
a) 5
b) 4
d ) 10
e) 1 1
a # b = 2 6a 6a 25b C a lcul cu la r: M = (1# 2) (3# 4) (5# 6) ... (49# 50) a) 1 d ) 49
b t érm ér m ino s
a(a 1)(a 2).... b(b 1)(b 2)
5 7 4 3 b ) 40 e) 4 7
b) 0 e) 2 5
c) 5 0
42 . S e d def efine el op erad erador or # en el conjunt un to: A = {m , n , r , s} de a cuerdo a la tabl ab la a ad d ju nta. nta.
C a lcul cu la r:
17 2
n
"y" op er erad ad or ores es
3 7 . S i:
a) 3 5 d ) 30
m
41. Sabiendo: endo:
36 . Si se cum cum ple que: que:
x
n
2a b 3(b a ) C alcul cu le : (8 16 )
ab ; m 2
A dem ás: ás: x y (x # x # x# ......)
2 3 C alcul cu lar: 4 2
35. Si: a b
a) 1 0 d ) 25
c) 4 5
De I. II. III. IV.
#
m
n
r
s
m
m
s
m
r
n
s
r
n
m
r
m
n
r
s
s
r
m
s
n
las afirm acio n es: E l op erad erador or # es una un a ley de d e com po sición inter nterna. na. E l op erador ad or # es con con m utat utativo. E l elem ent en to n eut eu tro respect espe cto d e # es (s). E l in verso verso d e (s) (s) es n.
TRILCE
C a lcul cu la r:
S on verd ader ad eras as: : a) I d ) IV
b ) Iy III e) To d as
S
c) Iy II
43 . E n el conj con jun to d e lo s nú m ero ero s reales R, R , se d efine m edi ed iant an te: a b = a + b + 1 d e las af a firm acio n es:
16 1 5
I.
II. E l elem ent en to neu n eut tro es e s cero. III. E l o per pe rad o r no es asoci aso ciativo. vo . IV. E l o perad perado o r es con m utat utativo. S o n ciertas : a) I d ) IV
b ) III y IV e) To d as
c) IIy III
b) c) d) e)
E
b ) 14 e) 2 2
(11 3)1 (3 1 6)1
2
1 1
1 4
b)
1 2
e)
1 5
c)
1 3
49 . E n el conjunt un to B = {1 ; 2}, se def d efine la o peraci peración de acuer acu erd d o a la tab tab la ad a d ju n ta.
1
2
1
2
2
2
1
2
In d icar la verd v erda ad (V) (V ) o falseda sed ad (F ) d e las sigui gu ien tes p ro p o sicio n es: I. L a op eració n es cerrada. ad a. II. L a o p eraci eració n es e s aso aso ciati ativa. III. 1 (2 1) = 2 a) V V V d) FV V
b) V F V e) F V F
c) V F F
1 es el elem ent en to inver nv erso so d e a) a)
a) 3 d) 2
b) 3 e) 0
50 . E n elconjunt un to B = {0 ; 1 ; 2 ;3}, se def d efine el op erad erador or m ed ian te la tab la ad a d ju n ta.
c) 2
46 . D ada la tabla:
R D onde: m a) 1 d) 3
0
1
2
3
0
0
p
2
3
1
2
3
4
1
1
2
3
0
1
3
4
1
2
2
2
3
0
1
2
4
1
2
3
3
3
q
r 3
3
1
2
3
4
4
2
3
4
1
1 1 1 1 4 3 2
1 es elinver nv ers so d e m . b) 2 e) 4
c) 0
= 4x 5 A dem ás: ás: a b = 4(a + b) + 3
47. Si: x
1
1
C a lcul cu la r:
(a
1 3 c) 2 3
es asoci a sociati ativa. va .
ab2
1
4 8 . E n el e l conj con jun to d e lo s nú m ero ero s racio nal na les Q , se def d efine el o per pe rad o r tal q u e: a b = 3 ab ab E l elem ent en to n eut eu tro (e) respect espe cto d e es: es:
d)
La o peraci ación es conm con m utat utativa. E xiste elem ento neu tro. N o existe neut neu tro. Par Pa ra cad a elem ento ento existe su inver nv ers so.
45 . Se define: a b C a lcul cu la r:
(a
no no no
a) 1 6 d ) 10
a) 1
44 . E n e el l conj con ju nto d e los nú m ero ero s reales R se defi define el operador se segú n : a b = 0 . ¿Q u é p ro p iedad ed ad veri verifica ? a) La o peraci ación
1 1 3 4
es el in verso verso d e a) a)
1
donde a : elem ent en to in ver ve rso d e "a". "a". S abiendo que es con m utat utativo. C a lcul cu la r:
L a) 1 d) 4
p 1 11 q 1
b) 2 e) 5
c) 6
51 . El operador est e stá d efin id o m ed ian te la tab la:
1
2
3
4
1
1
2
3
4
2
2
3
4
1
3
3
4
1
2
4
4
1
2
3
17 3
R az. M atemático ático
H allar el val va lo r d e "x" en la ecu e cuac aci ió n :
(2 1 3)1 x (4 1 2) 3
1
5 7 . E n el conj co njun un to : A = {s ; o ; f ; i ; a}, a} , se d efi efin e la operación según segú n la tab la ad a d ju n ta.
3
1 donde a : elem ent en to in ver ve rso d e "a". "a". a) 3 d) 1
b) 4 e) 1 ó 2
c) 2
52 . D efinida la op eración m n = m d e lo s núm ero ero s reales R. R. C alcul cu lar: L donde a
3 +
n en elconjunt un to
11 2 3 1
1 : elem ent en to in ver ve rso d e "a". "a".
a) 1 d) 4
b) 2 e) 0
c) 3
53 . D efinida la operaci ación a # b = a + b + 6 en el con co n ju n to R . H allar el in verso verso d e 4 4. . a) 8 d) 10 1 0
b ) 12 1 2 e) 9
c) 16
s o
f
i a
s
s o
f
i a
o
o
f
i a
s
f
i a
s o
f
i
f
i a
s
o
a
a
s
f
i
D e las afi afirm acio n es : I. La o peraci ación es con m utat utati iva. va . II. L a oper op eració n es cerr cerrad a. III. E xiste u un n e el lem ent en to n eut eu tro. S o n verd ader ad eras as: : a) S ó lo I c) I,IIy III e) Tod as
b ) S ó lo II d) Sólo III
58 . E n A = {1 ;2 ; 3 ; 4} se define la o peraci peración m ediant ediante e la tab la ad ju n ta. 1 2 3 4
54 . E n R , se def d efine la oper o peraci ación : mn
m n 2 I. L a op eraci eración es cerrada. ad a. II. L a op eraci eració n es conm con m utat utativa. III. E l elem ent en to neu ne u tro es 1. S o n ciertas: a) S ó lo I c) Iy II e) Tod as
b ) S ó lo II d ) I,IIy III
55 . D efinido elop erado r , en el con jun to d e lo s nú m ero ero s reales R , m edi ed iant an te: 2a b 2 H allar el elem ent en to n eut eu tro respect espe cto d el o p erado erad o r . ab
o
1
4
3
2
1
2
3
4
1
1
3
2
1
4
3
4
1
2
3
4
In d iq u e la afirm aci ació n falsa: a) b) c) d) e)
E xiste un u n elem ento ento neu tro par pa ra esta o peraci peració n. L a o peraci peración es conm utativa. Tod o elem ento d e A tiene un u n invers nverso r res espect pecto de . Si (4 1) x = 3; enton ces ces x = 2. (2 3) (3 (4 1)) 1)) = 4
59 . Si % es un o perado r talque: x % y
x% y
y x
, six y , six y
C alcule: a) 0 d) 1
b) 1 c) 2 e) N o existe
5 6 . S i a y b so so n n núm úm ero ero s enter entero o s, d efinim o s la o operaci peració n "a sterisco" sco " en la f fo o rm a sigu ient en te: a b = 2 a + 3 b, b, d o n d e el signo gn o + repr ep resenta esenta ad ició n . I. 3 4 = 1 8 II. a b = b a, cuand o a n o e es s igual gu al a b . III. 3 (2 4) = (3 2) 4 a) b) c) d) e)
17 4
S ó lo S ó lo S ó lo S ó lo S ó lo
I es co co rrecta. II es co co rrecta. III es correcta. I y II es correcta. I y II III es correcta.
(3 % 4
a) 3 d)
15 2
9%
b) 4
7
2%
2) (0 % 2)
c) 1 2
e) 1 1
60 . E n R se define la op eració n co co m o : a b = a + b + 3 In d iq u e la V erd erd ad (V ) o Fal Fa lsedad sed ad (F ) d e las sigui gu ient en tes p ro p o sicio n es: I. L a o peraci peración es conm utativa. II. L a o p eraci eració n es asociati ativa. va . III. a (1 a) = 3 a) V V F d) FFV
b) V F F e) F F F
c) F V F
TRILCE
Claves l ave ves s 01.
b
31.
e
02.
b
32.
b
03.
b
33.
b
04.
d
34.
d
05.
a
35.
e
06.
c
36.
c
07.
e
37.
b
08.
c
38.
a
09.
b
39.
e
10.
c
40.
d
11.
a
41.
b
12.
e
42.
c
13.
a
43.
b
14.
a
44.
d
15.
b
45.
b
16.
d
46.
a
17.
c
47.
c
18.
c
48.
c
19.
a
49.
b
20.
b
50.
c
21.
a
51.
b
22.
b
52.
d
23.
c
53.
c
24.
e
54.
c
25.
a
55.
e
26.
c
56.
a
27.
d
57.
b
28.
d
58.
e
29.
d
59.
d
30.
a
60.
a
17 5
TRILCE
Capítulo
15
CERTEZAS - MÁXIMOS Y MÍNIMOS CERTEZAS
INTROD UCCIÓN UCCIÓN E n u n a com pet pe tenci en cia d e hab h abi ilid ad m ent en tal, se pr p resentar esentaro o n 3 concu co ncur rsant an tes : Juan Jua n C arlo s, M art arth a y G ari. L a com co m pet pe tenci en cia consi co nsistía en ind icar cuánt cuá ntas as veces com co m o m ínim nim o h abr ab ría que q ue extr extraer una un a bo b o la para p ara tener en er la segurid ad d e con tar p o r lo m eno en o s con co n u n a bo b o la ro ro ja sabien sabiend d o qu e en la bo b o lsa hab ha b ían 10 bo las ro jas, 7 n egras egras y 8 verdes. *
ge n te, con co n testó ráp id am ent en te sin p ensar en sar 1 . P u es di d ijo q u e con co n suerte la p rim era bo la Juan Carlos : N iñ o h áb il e in teligen ext ex traíd a p u ed e ser ro ja.
*
Mart ha : N iña seria y m etó d ica, con co n testó 3 ; p u es di d ijo q u e la p rim era y segu n d a p u ed en ser d e col co lo res di d istin to s y la tercer ercera a ya p u ede ed e ser ro ja.
*
G a r i : E l m ás go rd ito d e lo s tres, p ícaro, p ero ero n o m eno en o s in teligen te, con co n testó 1 6 ; a lo q u e lo s ot o tro s con cursan cursan tes se rieron eron ; p ero G ariles di d ijo q u e si sup o n ía q u e pr p rim ero sal sa lieran las bo las de col co lo res di d iferent eren tes al ro jo estas serían 1 5 y qu q ue d espu és con co n to d a segur segu rid ad la sigui gu ient en te sería ro ja. ¿Q ¿Q uié ui é n cree Ud, que tenía la razón y ganó el concurso? concu rso?
Ejemplo 1 a) .... un n aipe d e co lo r ro jo ? E n un a u rna d epo sitam o s 8 esferas eras blan cas, cas, 7 rojas ojas y 9 azules. C u ant an tas esferas eras hab ha b rá qu q u e extr extraer al azar y com co m o m ín im o p ara tener en er la certeza d e hab h ab er ext ex traíd o ...
b ) .... d o s nai na ipes pe s de d iam ant an tes? es? c) .... tres nai na ipes de espad espa d as?
a) U n par del m ism o color.
d ) .... d o s d iam ant an tes y tres corazo corazone nes s? e) .... un a espad a y cuat cu atr ro trébo éb o les?
b) Por lo m enos uno de cada color.
Ejemplo 3 c) Tres Tres azules. es.
E n un a caja d epo sitam o s 50 esferas, eras,num nu m erad erad as del 1 a l50 . ¿C uánt uá ntas as esf esferas eras hab rá q ue extraer al azar y com o m ínim o p ara tener en er la cert certeza d e h ab er sacad aca d o ...
d ) U n color po r com pleto. a) ... un a esfera era con nu m eraci eració n p ar? ar? e) U na azul y tres ro jas.
b ) ... u n a esfera qu e ut u tilice la cifra 5 en su nu n u m eraci eració n ?
Ejemplo 2
c) .... d o s esf esferas eras cuy cuya a num n um eraci eració n estén com prend prend ida s entr entre 30 3 0 y 40 ?
S e tiene en e una u na b araj araja d e na ipes pe s (5 2 nai n aip es, 1 3 d e cad a pal p alo ). ¿C uánt uá ntas as car cart tas se se debe d eber rán extraer al azar y com o m ínim o p ara ten tener er la certeza d e h aber extr extraíd aíd o ...
d ) .... tres esferas m ú ltip lo s de de 6 ? e) .... una un a esf esfera era cuya num nu m eraci eración no sea m ayo r que qu e 10?
17 7
R az. M atemático ático
M Á X I M O S Y M ÍN I M O S
INTRODU CCIÓN CCIÓN L uis le d ice a M athías : "E n el e l bo lsillo d e m i pant pa ntal aló n h ay 20 m o ned ne d as de un so l y 1 0 m o ned as de 5 so les" es". V e y extrae m o n edas ed as de d e él, h asta q ue salga u na m o ned ne d a d iferent en te a la q ue extraíste ant a nter eri io rm ent en te y el d in ero ero q ue salga será erá p ara ti. * *
¿C uál es la m ínim a cantidad da d d e dinero nero q ue pu ede tener M athías? as? ¿C uál es la m áxim a cantidad de d inero nero que pued e tener M athías? as?
M u chas cha s veces veces un ejerci ercicio p u ed e ten tener er, según segú n lo s dat da to s p lan tead ea d o s, var va rias respu estas en u n rango ran go d e val va lo res, lo cual cua l p u ed e llevar a ped pe d ir un a so so lució n m áxim a o un a m ínim a.
Pro blemas de pesos pesos y costos
1 . S i un kilo d e n aran aranj ja cont co nti iene d esd esd e 4 has ha sta 8 nar na ranj an jas, ¿C uál es el m ayo r peso qu e pu ede tener 4 do cenas de n aranj aran jas?
3 . S e com pran pran libro bro s qu e cuestan d esd esd e S /. 10 has ha sta S /. 20 c/u, y se ven d en a precio s que qu e varí v arían d esde S /. 25 has ha sta S /. 3 5 . S i se ven ve n d en 1 0 lib ro s, ¿C u ál es la gan ga n an cia m áxim a? ¿C uál es la ganan cia m ínim a?
Resolución:
Resolución:
Pr obl emas de operaci on es ari ari tm é ti cas 2. S i una un a bo lsa d e caram elo s conti contiene d esd esd e 50 hasta 6 0 caram caram elo s, ¿C u ál es la m eno en o r canti cantid ad d e bo lsas que qu e d ebo eb o ad a d qu irir, si d eseo com co m prar 60 0 caram elo s?
Resolución:
1. E l núm ero ero 1 43 se divi divide en 2 núm n úm eros de do s dígitos cada cad a un u n o. S iu no d e ello s es el m eno en o r p o sible, ¿C uál uá les éste?
Resolución:
Not a impor tante: G an anan anci cia = P recio de venta P recio de co co sto E n la relació ació n an terio r: *
Lo s valores ores m áxim o y m ínim os de ganancia se se obti obtienen: G an anan anci cia = P recio de vent venta a P recio de co sto m áx áxi im a m áx áxi im o m ínim o G an anan anci cia = P recio de vent venta a P recio de co sto m ínim a m ínim o m áx áxi im o
17 8
2. U n banco b anco tiene 7 sucurs ucursales en u na ciud ad y hay 7 0 em plead o s en ellas. S inin guna gu na o ficin a tiene en e m eno en o s d e 8 em pleados, ead os,ni m ás de 14 , ¿C uál es elm eno r núm nú m ero ero de de em pleados ead os qu e pu ede hab er en 6 ofi oficinas?
Resolución:
TRILCE
3 . S i "A " tiene en e un u n val v alo r ent en tre 4 y 5 ; y "B "B " tiene en e un u n val v alo r ent en tero en e n tre 20 2 0 y 40 4 0 , ¿ent ¿en tre q u é val v alo res estará
B ? A
Resolución:
Ejemplo de color ación de mapas: mapas: P ili d esea pi p intar ntar elsigui gu ient en te m apa ap a d e m o d o qu e no n o existan 2 zon as co co nti ntiguas gua s (con un lado ad o com ún ) del m ism o colo r, ¿C uál uá l es el m eno en o r nú m ero ero d e co lo res qu e ella d eber eb erá á u tilizar?
Pro blemas diversos Resolución: Ejemplo de caminos: L a fi figura m uestra u na red d e cam ino s m edi ed iant an te la cual cu al se d esea ir d e a "A "A " a "B "B " con no m ás de 3 par pa radas ad as inter nterm m edi ed ias en o tras ciu d ad es. S i lo s n ú m ero ero s repr ep resent esen tan lo s d ías qu e dem o ra ir de u na ciud ad a o tra, ¿C uál es el m eno r núm nú m ero ero d e d ías que to m ará ará ir d e "A "A " a "B "B ? 9
C
F 1
2 A
6
3
5
B 1
4 D
5
E
2
5
G
Resolución:
17 9
R az. M atemático ático
EJERCICI EJERCICI OS PROPU ESTOS ESTOS Enunciado I D e un juego ueg o d e nai n aipes pe s (52 nai na ipes,13 d e cada cad a p alo ), ¿cuán tas hay q u e extraer co co m o m ín im o par pa ra tener en er la cert certeza de de h ab er o b teni en id o ... 0 1 . ... un n aipe d e co co lo r negr neg ro ? a) 1 d ) 27
b) 2 e) 2 5
b) 4 0 e) 4 3
c) 4 1
0 3 . ... tres nai na ipes pe s pares d e co lo r n egro egro ? a) 4 0 d ) 43
b) 4 1 e) 4 4
c) 4 2
04 . ... do s coraz corazon on es y 1 d iam ante? ante? a) 4 0 d ) 43
b) 4 1 e) 4 4
c) 4 2
0 5 . ... tres esp esp ad as y 2 tr trébo éb o les? a) 4 0 d ) 45
b) 4 2 e) 4 1
c) 4 3
Enunciado II D entr entro de u na u rna d epo sitam o s 120 12 0 esferas eras num erad eradas as d el 1 al a l120, 12 0, ¿cuánt ¿cuán tas esf esferas eras hay ha y que q ue extraer com o m ínim o p ara tener en er la cert certeza d e h ab er ob o b teni en id o ...
06 . ... una un a esfera era con co n num nu m eració n que qu e term erm ine en cero? a) 1 2 d ) 1 09
b) 1 0 0 e) 1 1 0
c) 1 0 8
0 7 . ... u n a esfera era d e cifras igual gu ales? a) 1 0 9 d ) 1 11
b) 1 0 0 e) 1 0 8
c) 1 1 0
08 . ... una un a esfera era con num nu m eración par? par? a) 6 0 d ) 80
b) 6 1 e) 1 0 3
c) 7 0
09 . ... d os esf esferas eras cuya cuya n um eraci eración est estén co m prend prend id as entr entre 50 y 70 ? a) 9 9 d ) 1 05
18 0
b) 1 0 1 e) 1 0 2
a) 9 1 d ) 100
b) 9 4 e) 1 0 8
c) 9 6
c) 2 6 6
0 2 . ... d o s n aipes pe s d e trébo éb o l? a) 3 9 d ) 42
1 0 . ... tres esf esferas eras com p rend en d id as entr entre 80 y 11 1 1 0, qu e sean im pa res? es?
E n u n c i ad ad o I I I D ent en tro d e una u na urna urna d epo ep o sitam o s 6 esf esferas eras blancas an cas, , 8 n egras, 1 2 ro ro jas y 15 am a m arillas. ¿C u án tas esferas se d eb en extr extraer alazar y com o m ín im o p ara tener en er la cert certeza de h aber ab er o b teni en id o ...
1 1 . ... un par pa r d e uno u no d e lo s colo res? es? a) 2 d) 5
b) 4 e) 8
c) 6
1 2 . ... cin co esferas ro jas? a) 1 6 d ) 34
b) 3 0 e) 3 3
c) 3 2
1 3 . ... d o s negr neg ras y tres am arillas? a) 2 9 d ) 35
b) 3 0 e) 3 3
c) 3 2
1 4 . ... d o s blancas an cas y cuat cua tro ro jas? a) 3 3 d ) 39
b) 3 5 e) 3 6
c) 3 7
15 . ... po r lo m eno s una un a de d e cada color? or? a) 3 2 d ) 38
b) 3 4 e) 3 7
c) 3 6
16 . D entr entro de una un a u rna dep ositam o s 12 esferas eras rojas, 15 b la ncas, nca s, 2 0 n egras, 36 azul azu les y 52 verdes, verd es, ¿cuá n tas esferas eras hay q ue sacar com o m ínim o par pa ra es e star segur egu ro d e ha ber be r extraíd o 1 2 d e un u n o d e lo s colo res? a) 5 0 d ) 102
b) 5 5 e) 5 8
c) 5 6
17 . C esi esitar tiene en u na urna urna 12 fichas num erad eradas as del 1 al 12 , ¿cuá ¿cuál l es el m ínim nim o nú m ero ero de fichas que h a d e ext ex traer ae r p ara tener en er la cert certeza d e h ab er ob teni en id o 3 fichas cha s nu m erad erad as con secutivas?
c) 1 0 3 a) 2 d) 7
b) 4 e) 9
c) 6
TRILCE
18 . E n un a b olsa hay h ay 9 bo las blancas, 8 bo las ro jas, 12 bo las azul azules, es, ¿cuán ¿cuán tas bo las com o m ínim o se d eben ext ex traer ae r al azar par pa ra tener en er la cert certeza d e h ab er ob o b teni en id o 3 bo las del m ism o colo r? a) 7 d ) 22
b) 6 e) 2 1
c) 1 2
19 . S e tiene un m azo azo d e 52 cartas (13 de cad a pa lo), o), ¿cuá ¿cuánt ntas as car cart tas hay q ue sacar com o m ínim o par pa ra estar seguro eguro de hab er ob tenido una un a carta co n n um eraci eración p ar y de d e col co lo r ro jo ? a) 3 8 d ) 41
b) 2 7 e) 4 2
b) 3 1 e) 3 6
c) 2 9
10 9 8 7 5 1
b) 2 2 e) 3 6
c) 2 0
22 . S e com pran pran cam isas cuyo cuyo preci precio uni un itari ario varí varía d esd esd e S /.12 has ha sta S /.21 y se se vend ven d e cada cad a una u na a un preci precio qu e var va ría d esde S /. 18 has ha sta S /. 2 5. ¿C u ál es la m áxi áx im a gan anci an cia qu q u e se se pu ed e ob tene r po r la ven ta d e 3 cam isas? a) S /. 1 8 d) S/. 45
b ) S /. 1 2 e) S/. 16
c) 4
9 1
2
c) S /. 3 9
2 3 . D ad o s 9 rect rectángul án gulo s com o m uestra la figur gu ra, ¿cuáles el m ínim o nú m ero d e col colores ores a em plear de m od o q ue no se tengan en gan d o s rectán gul gu lo s p in tad o s d el m ism o colo r ju n to s?
a) 5 d) 8
12 5
b) 6 e) 9
3
4
4
A 3
2 1 . E n u n ju ego d e tiro al blanco, an co, ¿cuán ta es e s la d iferen erenci cia entre lo m áxim o y m ínim o que se pued e ob tener con 3 tiro s si cad a zon zo n a p erm erm ite un u n m áxi áx im o d e 2 tiro s, silo s d ispar spa ro s d eben eb en d ar en el tab lero?
a) 2 5 d ) 24
b) 3 e) 6
24 . L a figura gura m uestra una un a red red d e cam ino s m ediante ante la cual se va d e A a B pasand o a lo m ás una vez por po r las otras ciud ad es. S i lo s n ú m ero ero s repr ep resentan esentan lo s d ías qu e d em o ra ir d e un a ciu d ad a ot o tra. ¿C u ál es la di d iferencia entre el m áxim o y el m ínim o n úm ero ero d e días que qu e se se tom ará ará ir de A a B ?
c) 4 0
20 . U na urna urna con tiene 1 8 bo las negras negras, , 14 rojas ojas y 17 blan blan cas, la m eno en o r cant can tid ad qu e deb d ebe e sacars sacarse par p ara a o btene btener r al m eno s un a de d e cada colo r es : a) 3 5 d ) 38
a) 2 d) 5
B
10
c) 7
25 . D os kilos de m anzanas contienen d esde esde 2 0 h ast asta 35 m anz an zanas, an as, ¿cuá ¿cuál l será erá el m ínim o p eso eso que qu e tend rá 140 1 40 m anzanas anzanas? ? a) 8 kg d ) 1 2 kg
b ) 8 ,5 kg e) 1 6 kg
c) 9 kg
2 6 . Pepe Pep e di d ispo ne d e pesas d e 1, 1 , 2, 4, 8,16 8,16 , etc. kg cada cad a u n a. S iéld esea eq e q u ilib rar un p eso d e 34 3 4 1 kg k g ut u tilizand zan d o el m ín im o n úm ero ero d e pes pe sas po sibles, es, ¿cuál o cu áles d e las sigui gu ient en tes afi afirm acio nes son verda d eras? I. Pep e d ebe eb e u tilizar 4 p esas en to to tal. II. L a p esa esa d e 4 kg es par pa rte de d e la solució n. III. L a p esa d e 8 kg es par pa rte d e la sol so lu ció n . a) S ó lo I c) Iy II e) Tod as
b ) S ó lo II d ) IIy III
2 7 . S iun kilo d e nar na ranj an jas cont con tiene en e des d esd d e 6 has ha sta 8 nar na ranj an jas, ¿cuál ¿cuál es el elm ayo r peso que q ue p ued en tener tener 4 do cenas de n aranj aran jas? a) 6 kg d ) 1 0 kg
b ) 7 kg e) 1 6 kg
c) 8 kg
2 8 . Tres Tres nar na ranj an jas pesan d esd esd e 3 hasta 4,8 4,8 K g. ¿C uál uá l es el m áxim o n úm ero d e naranj naranjas que pu ede haber en 12 K g? a) M enos de 40 c) Entr Entre 50 y 60 e) M ás de 70
b) Entre 40 40 y 50 d) Entr Entre 60 y 70 70
18 1
R az. M atemático ático
2 9 . U n tab tabl lero ero d e ajed rez con sta d e 64 casillero ero s, com o m u estra la fi figur gu ra . S i el cab allo p u ed e m o verse verse 3 casi ca silleros ero s po po r vez ve z (2 en lín ea rect ecta y el e l tercero h acia u n costad o p ero ero no en d iago na l), ¿cuál ¿cuá l es el m ín im o nú m ero ero d e m o vim iento ento s que qu e requ requ iere ere el cabal caba llo par pa ra p asar sar d el casi ca sillero G
1
3
2
3
al G
4
4
?
5
6
7
8
A B C D E F G H
lo n gitu d d e un u n es e stan te en el cual cua l q uep ue p an to d o s su s lib ro s, si p o r lo s m eno en o s hay ha y uno u no d e cad a espes espe so r? a) T c) Ty y + x e) Tx1 543 .
b ) Ty x d) T x x + y
35 . U n grup grup o d e 45 6 per p ers son as va a elegir un pres presi iden te. S i se pr p resent esen tan 5 cand can d id ato ato s par pa ra el p u esto, ¿cu ¿cuál ál es el m eno r núm ero ero d e votos que pu ede ob tener uno de ello s y ob tener en er así m ás qu q u e cual cu alq u iera de d e lo s otr otro s 4? a) 9 0 d ) 24
b) 2 2 9 e) 1 6
3 6 . ¿C uál uá l es el m áxim o valo r d e la siguiente ente exp resi esió n?
R a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
b ) 72 e) 6 8
c) 5 1
31 . U n vaso d e yogu rt conti contiene, según la m arca, arca, d esde esde 2 0 h a sta 3 5 calo calo rías.S as.S i la d ieta eta d e M a ría le le p erm ite d esayuna esayu nar r sólo yogu yo gur rt,en un a cant ca nti id ad d e 140 1 40 calo rías, ¿cuál ¿cuá lserá lo m áxi áx im o q u e ella gast g astará sicada cad a vaso va so cuest cu esta d esde esd e 1, 1 ,7 h asta 3 ,5 sol so les? a) 2 0 ,5 d ) 28
b ) 2 4 ,5 e) 2 5
c) 2 2
a) 1
d)
1 2
e)
1 c) 4
1 8
b ) 15 e) 1 4
c) 1 0
3 4 . K ari arin a tiene en e un a col co lecció n de d e lib ro s d e "T " to m o s. S iel m ás ancho tiene en e "x" cm , d e espeso espeso r y el m ás delgad o tiene en e "y" cm d e espesor espe sor, ¿cuál ¿cuá l d ebe eb e ser la m ínim nim a
18 2
2
a) 1
d)
1 2
b) 2
c)
2 3
e) 0
37 . U na caja de naranjas con con tiene d esde esde 2 0 h ast asta 25 u nid nid ad es. S i el precio d e com co m p ra var va ría en tre 10 y 15 soles po p o r caja y el p recio d e ven v ent ta var va ría en e n tre 2 0 y 2 5 soles soles p o r caja, caja, ¿cuá l será erá la m áxi áx im a ga n an cia a o bten btener erse se por po r la vent ve nta a d e 10 1 0 0 n aran aranj jas? a) S /. 5 0 d) S/. 80
b ) S /. 6 0 e) S/. 10
c) S /. 7 5
38 . ¿C uál es el m áxim o va lor qu e pu ed e alcanzar canzar la exp resió n ?
M
a) 2 0
b) 1 0
5 3
e) 1 6
d)
50 2
5 (x 5 ) c) 5
39 . ¿C uánt uá ntas as veces veces hay ha y qu e tirar un d ad o p ara ara tener la segur egu rid ad d e haber ha ber obteni obtenid o 10 veces la m ism a cara? cara?
3 3 . A lad q uir uirir ciert erto vehí veh ículo,u n com p rad o r recib e 5 llaves, av es, a sab sa b er: d e la p u erta , el en cen d id o , la gu g u a n tera, la m aletera, el tan q u e de d e gasol ga solin a, ¿cuán ¿cuá n tas veces tend en d rá qu e pr p ro ba r las llaves com o m ín im o par pa ra sab saber er con certeza la co rrespo esp o n d enci en cia en en tre llaves ve s y cha ch ap as? a) 5 d) 8
2
1 (x 1) (x 3 )
32 . S i do s núm eros sum an 1 , ¿cuál ¿cuál será el m áxim o valor qu e pu ede ed e tener ene r su pr p ro d ucto ?
7 b) 8
2
c) 3
30 . U na caja de m anzanas conti contiene desde desde 30 h ast asta 40 fru tas. S i el p recio d e com co m p ra var va ría d esde esde 8 y 1 2 sol so les po r caja y se pued p ued en vend ven d er d esde 1 5 has ha sta 25 so les la caja, ¿cuál será la m áxim áxim a gan anci an cia a o bten btener er por po r la venta de 120 m anzanas? anzanas? a) 6 0 d ) 62
c) 9 2
a) 5 4 d ) 55
b) 5 3 e) 5 0
c) 5 2
4 0 .S e tiene en e 4 cand can d ad o s y 2 llaves; av es; sisé qu e cad a llave av e ab a b re sólo un cand ado, ad o, ¿cuán ¿cuán tos intent ntento s com com o m ínim o se d eb e realizar, p ara d eterm eterm in ar con co n segur segu rid ad la lla ve cor co rrespo n d ient en te? a) 4 d) 7
b) 5 e) 8
c) 6
TRILCE
41 . D entro d e una u rna d epositam os car caram am elos de lim ón, ón , car caram elo s de n aran ja y ca ram elo s de licor co r,y la suf su ficien te cant can tid ad d e cada cad a tip o, ¿cuán to s caram caram elo s se debe de ben n extr extraer com o m ínim o p ara ara tener en er la cert certeza de h aber ab er sacado un par de caram caram elos del m ism o sabo r? a) 2 d) 5
b) 3 e) 6
c) 4
42 . E n u n a caja h ay 1 0 p ares ares d e guan gu an tes uti utilizabl ab les d e col co lo r n egro y 10 1 0 pares de guan gu an tes uti utilizabl zab les de d e co lo r ro jo, ¿cuán ¿cuá n to s guan gu an tes hay ha y qu q u e sacar, sacar,p ara estar segu ro d e o bten btener er un p ar de guan gu an tes uti utilizables del de l m ism o col co lo r? a) 3 d ) 20
b) 1 6 e) 2 1
b) 1 1 e) 1 4
c) 3 2
b) 1 1 1 e) 1 0 9
c) 1 1 4
4 5 . U n d ad o tiene en e 2 caras pintad ntad as de col co lo r azul; 3 caras pintad ntadas as de ro jo y una u na cara cara d e negr n egro. o. ¿C uál es elm ínim o núm nú m ero de veces que qu e debe d ebe lanzarse este dad d ad o par pa ra o b tener en er 2 caras caras ro ro jas? a) M en o s d e 5 . c) Entr Entre 10 10 y 15. e) 2 ó m ás. ás.
b ) M ás d e 8 . d) 2.
4 6 . E m ilia rep repart arte ent en tre sus 5 hij hijo s desde 5 0 h asta 75 7 5 so les d e prop in a sem an ales. S i C att atty rep repart arte ent en tre su su s 4 h ijo s, d esde 4 0 h asta 80 8 0 so les de prop in a sem anal an ales. ¿C u ál es la m áxi áx im a d iferencia qu q u e pu p u ed e exi ex istir ent en tre lo qu e reci recib e un u n h ijo d e E m ilia y u no d e C att atty? a) 5 d ) 10
b) 6 e) 1 5
b ) 65 e) 6 7
c) 6 2
48 . Se form orm a un cubo sol soldand o 12 p edazos edazos de alam bre bre de 3 cm de lon gitud cada u no. S i una un a horm h orm iga par pa rte de un o d e lo s vértices y si sigue gu e cam inand na nd o a lo largo d e las aristas, ¿cuál ¿cu áles la m áxi áx im a di d istan cia qu q u e pu p u ed e reco recor rrer an tes qu e vu elva a to car u n vér v ért tice po p o r segun segu n d a vez, v ez, si no pu ede ed e reco reco rrer un a ari arista d o s veces? veces? a) 2 4 cm d ) 1 5 cm
44 . S e tiene 1 20 fichas num eradas ad as del 1 al 120, 12 0, ¿cuán ¿cuán tas fichas cha s se se d eben eb en extr extraer ae r p ara ten tener er la cert certeza d e con co n tar con co n 2 fichas cha s que qu e tenga en gan n 2 d ígito s y qu e est e sto s do s dígito s sean igua gu a les? a) 1 1 2 d ) 1 13
a) 6 3 d ) 64
c) 3 8
4 3 . S e tiene en e 3 cajas,en un a h ay 6 esferas eras blancas, an cas,6 esferas eras ro jas y 6 esf e sferas eras negras. negras. E n o tra, h ay 6 co n o s b lan cos, co s, 6 co n o s ro jo s y 6 con co n o s n egr eg ro s,y en la terc tercera era caja hay h ay 6 cubo cu bo s blancos, an cos, 6 cu bo s ro jo s y 6 cub cu b o s n egro egro s,¿cuál es el el m eno r núm nú m ero ero de ob jetos que qu e se deben extraer d e las tr tres caj ca jas par pa ra tener en er la certeza d e h ab er extr extraíd aíd o n ecesariam ent en te en tre ellas un u n p ar de d e esf e sferas, eras, u n p ar de cono con o s y un par pa r d e cub cub o s, to d o s d el m ism o co lo r? a) 1 0 d ) 13
4 7 . E n u n a u rn a h ay fichas cha s ro jas, blancas an cas y azules, azules, si las ro jas son 4 8 y ést é stas son 1 6 veces veces las bl b lan cas, siend en d o las azul azu les a las bl b lan cas com o 5 es e s a 1, 1 , ¿cuá n tas fichas cha s hab rá q ue extraer al azar azar y com o m ínim o para para o btener un colo r po r com pleto ?
b ) 2 1 cm e) 1 2 cm
c) 1 8 cm
49 . D entro de un a caj caja depo sitam os 120 bo las num eradas d el 1 al a l 12 0, ¿cuá ¿cuánt ntas as hay ha y qu e extraer com o m ínim o, par pa ra o bten btener er 1 bo la con co n n um eraci eració n im im par pa r y m últiplo de 3 , com prend prend ida entr entre 30 y 50 ? a) 1 1 7 d ) 101
b ) 1 18 e) 1 1 9
c) 1 1 0
50 . U na b olsa co ntiene caram caram elos: 20 de lim ón , 15 de naranj naranja, a, 18 de m anzana y 1 2 d e piña. piña. ¿C uán tos caram elo s hay ha y qu q u e ext e xtraer ae ralazar par pa ra tener en er la segu eg u rid ad de o btener btener po r lo m eno s 4 d e cada sabor sabo r? a) 4 8 d ) 37
b ) 57 e) 2 8
c) 1 7
51 . E n una u na u rna h ay 16 0 bol b olas, as, po r cada 3 bo las blancas hay ha y 20 2 0 negras y 17 1 7 rojas. ¿C uánt uá ntas as bo las se se d eben ebe n extraer ae r al azar y co m o m ínim nim o par pa ra ten tener er la cert certeza de de habe ha ber r o b teni en id o d o s negr ne gras as y 3 ro ro jas? a) 8 d ) 17
b ) 95 e) 9 2
c) 2 2
52 . U n kilogram ogram o de d uraz urazno nos s contiene d esde esde 8 hasta 12 d urazn urazn o s. E l precio d e lo s m ás gran grand d es varí varía d esde 2 h asta 3 ,5 so les cad cad a kil kilo y el d e lo s m ás pequ pe qu eño eñ o s ent en tre 1 y 1 ,5 sol so les elkilo. S i L u cía com co m p ra 4 d o cenas cen as pagan pa gand d o lo m áxim o p o sible e Irene la m ism a canti cantid ad con co n el m ín im o p o sib le d e d in ero, ¿cuál ¿cuá les la d iferen erenci cia de lo pagado por am bas? bas? a) 2 8 d ) 14
b ) 17 e) 1 6
c) 2 1
c) 8
18 3
R az. M atemático ático
53. Si en una urna urna hay 48 bo las num eradas eradas con secuti ecutivam va m en te del d el 4 al a l 5 1, ¿cuán tas bo las co co m o m ín im o d ebem eb em o s de ext e xtraer alazar p ara ara tener en er la certeza de h aber extraído 7 bo las num nu m erad eradas as con u n núm n úm ero ero im par? par? a) 2 9 d ) 30
b ) 31 e) 1 9
a) 1 0 n d ) 10
c) 2 7
54 . U na bo lsa cont co ntiene caram caram elos: n de lim ó n, (n 1) de n aran ja, (n 2) 2 ) d e pi p iña y (n (n 3) de m ango. ¿C ¿C uántos uántos caram elo s com o m ínim o h ay qu e extraer al azar par pa ra tener en er la segur segu rid ad d e hab h aber er extr extraíd o p o r lo m eno en o s 3 d e cada sabo r? (n > 6). 6). a) 2 n d) 4n
b ) 3n e) 3 n + 1
1
c) 3 n
1
55 . S e tiene u n d ad o d on d e tres d e sus sus car caras as tienen el m ism o col co lo r y el e l resto d e car ca ras d e co lo res di d iferen erent tes, ¿cuá nta nta s veces ve ces hay q ue lan zar el d ad o p ara tener en er la segur egu rid ad d e hab h aber er o bteni btenid o el m ism o colo r 4 veces? veces? a) 1 2 d ) 15
b ) 18 e) 2 0
c) m e) m
18 4
2 2 2
m
1
2m
1
b) m d) m
2 2
2m
m
1
b) 9n 1 e) 1 0 n + 1
c) 9 n + 1
58 . E n un a urna urna se se tiene (2p q) fichas cha s verdes y (3p + 2 q) fichas ch as ro ro jas, ¿cuá ¿cu án tas ficha ch as se d eb en sacar saca r p ara tener tener la cer ce rteza d e hab h ab er extraíd o "3 p " fichas chas de d e un u n o d e lo s col co lo res? a) 3 p + q d ) p q
b) 4p + q e) 5 p + q
c) 5 p
q
59 . E n un a urna urna se tiene (P (P Q ) fichas ro jas y (P + Q ) fichas ch as azul azu les, ¿cuán ¿cu án tas ficha ch as se deb d eben en sacar saca r p ara tener en er la cer ce rteza d e hab h ab er extraíd o "P " d e un u n o d e lo s colo res? a) 2P d) 2Q
c) 1 3
5 6 . S e tiene en e fichas ch as de d e "m "m " clases di d iferent eren tes y la can ca n tid ad suficient en te de d e cad a clase, ¿cuán ¿cuá n tas com o m ín im o se d eben eb en extr extraer ae r p ara tener en er la cer ce rteza de d e ha h a ber be r sacad o "m " d e u na d e las clases?
a) m
57 . E n u na bo lsa o scura h ay caram caram elos de "n" "n" sabo res d iferent eren tes y lo suf su ficient en te: ¿cuá ¿cu án to s car caram elo s se deb de b en extr extraer al azar y com o m ínim nim o p ara ara ten tener er la cert certeza de de habe ha ber r o bteni btenid o 1 0 d e uno u no d e lo s sabo ab o res?
Q P
b) 2 P + Q e) P + Q
c) P
Q
60 . D e un juego d e naipes (52 cartas, as, 13 d e cada p alo ), ¿cuánt ¿cuán to s nai na ipes hay ha y qu e extraer alazar y com co m o m ínim o p ara ara tener en er la segur segu rid ad d e hab h aber er con segui egu id o d o s nai na ipes pe s que sum sum en 10? a) 3 5 d ) 32
b) 3 0 e) 3 4
c) 3 1
TRILCE
Claves l ave ves s 01.
d
31.
b
02.
c
32.
c
03.
d
33.
c
04.
b
34.
c
05.
b
35.
b
06.
d
36.
b
07.
d
37.
c
08.
b
38.
b
09.
c
39.
d
10.
e
40.
b
11.
d
41.
c
12.
d
42.
e
13.
d
43.
c
14.
c
44.
d
15.
c
45.
e
16.
c
46.
d
17.
e
47.
d
18.
a
48.
a
19.
d
49.
b
20.
e
50.
b
21.
b
51.
b
22.
c
52.
b
23.
b
53.
c
24.
e
54.
b
25.
a
55.
c
26.
b
56.
d
27.
c
57.
c
28.
a
58.
c
29.
c
59.
a
30.
e
60.
e
18 5
TRILCE
Capítulo
16
AN LISIS COMBINATORIO
E l anál an álisis co co m bina binat to rio es la part p arte d e las M atem atem áti áticas que qu e estud ia el e l nú m ero ero d e o rd enam en am ient en to s o grup grup o s qu e se pued pu eden en fo rm ar co co n las cosas o lo s elem ent en to s.
FA C T O R I A L D E U N N Ú M E R O S ea "n " un n ú m ero en e n tero p o sitivo, vo , el facto acto rial d e "n",se d eno en o ta p o r "n !" o " n " y se def d efin e com co m o el prod u cto d e lo s ent en tero ero s con secut ecu tivos vo s desde desd e 1 hast ha sta n o d esde n h asta la un id ad inclusive.
n! = n = 1
2
3
4
.... (n 1 ) n
Ejemplos: * 1! 1 * 2 ! 1 2 2 *
3 ! 1 2 3 6
*
4 ! 1 2 3 4 24
* *
5 ! 1 2 3 4 5 120 12 0 6 ! 1 2 3 4 5 6 72 0
*
7 ! 1 2 3 4 5 6 7 5040
*
8 ! 1 2 3 4 5 6 7 8 40320
*
9 ! 1 2 3 4 5 6 7 8 9 362880 1 0 ! 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3628800
*
Se observa: 9! 10 ! 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 10 ! 10 9 ! 10 ! 10 9 8 ! 10 ! 10 9 8 7 !
Entonces:
n != (n 1)! n
D e aquí, ob tenem os para para n = 1 1 ! (1 1)! 1 0 ! 1 0 ! L uego, uego , definim os con vencio nalm ente: ente: 1! = 0! = 1
b . R ed ucir:
Ejemplos:
E
cu la r: a. C a lcul
E 15 ! 16 ! 17 ! 2 15! 15 ! 17
(n!)! n ! (n!)! (n! 1)! n!
Resolución;
Resolución:
18 7
R az. M atemático ático
P R I N C I P I O S FU FU N D A M E N T A L E S D E C O N T E O E n lo s ejem p lo s sigui gu ient en tes, n o s d am o s cu cu ent en ta q u e d ad o u n even eve n to p articular (alin ear ea r las 3 esf e sferitas o fo rm ar una un a p areja), estam o s inter nteresad esado o s en co n o cer to d as las m aner an eras as di d istintas ntas en qu e pue p ued d e o currir. P ara ara d eterm erm inar na r las veces que qu e o curre un un d eterm erm inad na d o event even to, har ha rem o s uso uso d e las técnicas de con teo, qu e serán d e gran gran ayu d a en e n est esto s casos. casos. S i ten go 3 esferitas d iferen erent tes, ¿de ¿d e cuán cuá n tas m a neras di d istin tas se p u ed eden en alin ear?
,
,
,
,
,
,
6 M ane aner ras
S itenem os a lo s alum no nos s “ A” ,“ B ”y “ C” , ¿d ¿d e cu ántas m an eras di d istin tas se pu ed ede e form ar u na p ar arej eja? A
A C
B
A
C
B
B C 3 M ane aner ras
1 . PRINCI PIO D E MULTIPLICAC IÓN IÓN (Teorema (Teorema fun dam ental del an álisis comb inator io ) S i un event even to "A " o curr curre d e "m "m " m aner an eras as y par p ara a cad a u na d e estas, o tro event even to "B " o curr curre d e "n" m aner an eras, as, ento ento nces el even to "A " seguid o d e "B "B ", o curr curre d e " m n " m aneras aneras. . Observaciones: * E n este pr p rin cip io, la o cur cu rrenci en cia es e s uno un o a co n tin u ació n d el o tro, es deci d ecir, o curre el e leven ev ent to "A " y luego ue go o cur cu rre el e leven ev ent to "B ". * E ste principio se pued pu ede e gener gen eral alizar par pa ra m ás de do d o s event even to s. Ejemplos: 01 .U na pers person a p ued e viajar de "A " a "B "B " de 3 for form m as y de "B " a "C " d e 2 fo rm as, ¿D e cu cu ánt án tas m aner an eras as d istintas ntas p ued ue d e ir d e "A" "A " a "C " p asand asan d o po r "B " y sin retro ceder ced er? ?
03 .A n a ti tien e 3 b lu sas d iferentes erentes y 4 fald ald as tam tam b ién d iferen erent tes, ¿D e cuánt cuá ntas as m aner an eras as se se pu ede ed e vestir A na? na ?
Resolución: Resolución:
0 4 .¿D e cuánt cuá ntas as m an eras eras diferen erent tes se p ued ue d e sel seleccio na r una un a vo caly una u na co nsonant nsona nte de d e la p alabra abra JE S IC A ? 02 .¿C .¿C uá nto nto s resul resultad o s di d iferen erent tes se se p uede ue den n o bten btener er al lanzar anzar una m on eda y u n dad o sim ultáneam ente?
Resolución:
18 8
Resolución:
TRILCE
05 .¿C .¿C uán tos núm nú m eros eros pares pares de 3 dígi dígitos se se pued p ued en for form m ar con co n lo s dí d ígito s: 1 , 2 , 5 , 6 , 7 , 8 y 9 , sicad cad a d ígito p u ed e em plears earse u n a sola vez v ez? ?
Resolución:
2 . P R I N C I P I O D E A D I C I ÓN ÓN : S i un event eve nto o "A " o curre d e "m "m " m aner an eras as y ot o tro even to "B " o curre d e "n "n " m aner an eras, as, ent en to n ces el event eve nto o A ó B , es decir, n o sim ultáneam ánea m ente, ocurr ocurre de d e "m "m + n" m aneras. aneras. Observaciones: * E n es e ste pr p rincipio, la o currenci en cia n o es si sim ultáneam án eam ent en te, es deci de cir, o curre el even to "A " o el event eve nto o "B "; p ero ero n o am bo s a la vez. ve z. * E ste principio se pued pu ede e gener gen eral alizar par pa ra m ás de do d o s event even to s. Ejemplos: 0 3 .U n pro pro d ucto se vend ven d e en 3 m ercado cad o s: en el1ro.se tiene d ispo n ib le en e n 6 tiend en d as, en el2 d o. en 5 tiend en d as y en e n 3 er. m ercad ercado o en e n 4 ti tiend en d as, ¿D e cuán tas m aner an eras as d istin tas pu ed e a d qu irir un a p ers erso na un art artículo culo d e d icho pro pro d ucto ?
0 1 .U na perso na pu ede ed e viajar d e "A "A " a "B "B " po r vía aér a érea ea o p o r vía terrestre y tien en a su d ispo sició n 2 lín eas ea s aér aé reas ea s y 5 lín eas ea s terrestres,¿D e cuán cu án tas m an eras distin tas pu p u ed e real rea lizar zar el viaje?
Resolución:
Resolución:
0 2 .¿C u án to s resultad o s d iferen eren tes se p u ed en o b tener en er al lanzar anzar un dad o o una m oneda?
Resolución:
PERMUTACIÓN E s un arreglo u o rd enaci ena ció n q ue se pued p ued e fo rm ar co co n u na par pa rte o con to d o s lo s elem ento ento s dispo nibles de u n co njun to. E n u n a per p erm m u tació n , síin teresa eresa el o rd en d e sus elem ent en to s. S e pue p ued d en presen present tar en tres casos: casos: 1 . PERMUTACIÓN PERMUTACIÓN LINEA L : E s un arreglo u o rd enaci en ació n d e elem ent en to s en línea ne a rect recta. S itenem en em o s un con jun to d e cuat cua tro elem ent en to : A = {a , b ,c ,d }, lo s p o sibles arr arreglo s o per pe rm u tacio n es d e este conj co njun un to to m ad o s de 2 en 2 son : ab ; b a ; b c ; cb ac ; ca ; bd ; d b ad ; d a ; cd ; d c V em o s qu e ha y 12 perm utaci utacio nes dis distintas. ntas. S e pu p u ed e llega eg ar a la m ism a respu esta sin ten ten er qu e escri escrib ir to d as las o rd en acio nes po po sib les, si ap licam cam o s el p rin cip io d e m u ltip licaci ca ció n . A = {a , b , c ,d}
4
3
O rdena denac ción de 2 en 2
N úm ero de per perm m utacion ones es po pos sibles = 4
3 = 12
18 9
R az. M atemático ático
D el ejem p lo an terio r, o b tenem en em o s las sigui gu ient en tes con co n clu sio n es: *
E l núm ero de perm perm utaci aciones de 4 elem entos tom ado s de 2 en 2 se se denota denota com com o
*
P
4 2
P
4 2
12 4 3 4 3 2 1 2 1 P
4 2
4! 4! 2! (4 2)!
nú m ero ero d e p erm erm utaci utacio nes de d e "n" "n" elem ento ento s diferent erentes es to m ad o s de "K " en "K ", se calcula co m o : En general: E l núm n K
P
n! (n K )!
; 0K n
Observaciones: * C uand ua nd o se to m an to d o s lo s elem ento ento s d el con jun to par pa ra o rd enar ena rlo s o perm utar utarl lo s (es decir, K = n), n), se di d ice qu e es un a per p erm m utaci utació n d e "n" "n" elem ento ento s y se se deno d eno ta po p o r Pn .
P
n n
P
n! n! n ! (n n)! 0! 1
n n
P n! n
Ejemplos: 0 1 .En .E n un a car ca rrera era p art articipan pa n 4 atl atletas,¿de cuán cuá n tas m aner an eras as d istin ta s pu ed en lleg a r a la la m eta eta , si lleg an u n o a con co n tin u ació n d el o tro ?
Resolución:
02 .U n grup grupo o está form orm ado ad o p or 6 per p erson as y desean fo rm ar u na co m isió n in in tegr eg rad a p o ru n p resid ent en te y un u n secret secretario, ¿D e cuán tas m aneras aneras pued e form orm ars arse d icha com isió n?
Resolución:
04 .¿D .¿D e cuán tas m ane ras se pu eden ord ord enar 6 chicas en u na fila, d e m an era era q u e d o s chicas, en p articul cu la r, n o qu eden ed en jun tas?
Resolución:
05 .En .E n con trar el nú m ero ero to tal d e en e n tero ero s po sitivo s qu e p u ed en fo m arse uti utilizand zan d o lo s dígito s 1, 2 ,3 y 4 ,sin in gú n d ígito ha d e repe repet tirse cuand cua nd o se fo rm a u n n úm ero ero ?
Resolución:
03 .¿D .¿D e cuántas cuántas m aneras aneras, , se p ued en o rden ar 7 niño s en un a fi fila, d e m an era era q ue cua tro n iño s en pa rticular qu eden ed en jun jun tos?
Resolución:
19 0
TRILCE
2 . PERMUTACIÓN PERMUTACIÓN CIRCULA R E s u n ar a rreglo u o rd enaci en ació n d e elem ent en to s d iferent en tes alreded ed edo o r d e un u n o bjeto. E n est e stas ord ord enaci en acio n es n o h ay p rim er ni ú ltim o elem ent en to, p o r h allarse arse to d o s en lín ea cerrad a. Ejemplo: * Perm utar utar "A ", "B " y "C "C " en fo fo rm a circular. NOTA: P ara det d eterm in ar el n ú m ero de d e per pe rm u tacio nes circulares ares de "n" elem ent en to s d istin to s, d eno en o tad o p o r, P C
(n )
, b asta fijar la
p o sició n d e un u n o d e el e llo s y lo s "n 1" 1 " restant an tes po d rán o rd enar en arse se de d e (n (n 1)!m aner an eras. as. Si S i se to m a otr otro elem ento ento com o fijo, las o rd enaci en acio n es de d e lo s restan tes serán segur segu ro u n o d e lo s ya con co n sid erad erad o s. Luego:
PC
(n)
(n 1)!
Observaciones: * Par Pa ra d iferenci en ciar un a p erm erm utaci utació n circular d e o tra, se to m a u no d e lo s elem ento ento s co co m o elem ento ento d e ref referenci en cia y se reco rre en sentid o h o rari ario o an tih o rari ario. S i se en cuent cue ntr ran lo s elem ent en to s en el m ism o o rd en, en , ent en to n ces am ba s p erm u tacio acio nes serán serán igu ales y en caso con co n trario, d iferent erentes. Resolución: * Para Para el ejem plo an teri erior: or:
A
1º C
B
B
2º
A
B
C
3º A
C
C
4º
B
C
A
5º B
A
A
6º
C
B
A p aren arent tem ent en te h ay 6 o rd enam en am ient en to s, lo cual cua l no es ciert erto, po r qu e: sih acem o s girar al 1º o rd enam en am ient en to en sentid o ant an tih o rari ario o bten btenem em o s el o rd enam en am ient en to 3º; y silo h acem o s girar en sentid o h o rario o b tenem en em o s elo rd enam en am ient en to 5º; d e igual gu al fo rm a sial o rd enam en am ient en to 2º lo hacem ha cem o s girar en sent sen tid o ant an tih o rari ario o b tenem en em o s elo rd enam en am ient en to 6º; y si lo hacem ha cem o s girar en sent sen tid o h o rario o b tenem en em o s elo rd enam en am ient en to 4 º. D e to d o es e ste anál an álisis se d educe ed uce qu q u e lo s elem ent en to s A , B y C só lo se pu eden ed en o rd enar en ar d e 2 m aner an eras as d iferen erent tes. Per P ero o si fuer ue ran m ás elem ent en to s, serí ería m ás tedi ed io so m o strar to d o s lo s orden orde n am ient en to s po sib les. E sto n o s con lleva ev a a u tilizar la fó rm u la an a n tes in d icad a. O sea:
PC
(3)
(3 1)! 2! 2
Ejemplos: 01 .¿D e cuá ntas ntas m an eras eras dif diferen eren tes pue d en sen tarse arse alreded or de una u na m esa esa Juan Jua n y sus cinco am igas? gas?
Resolución:
02 .C uatr uatro parej parejas de en am orad orad os, de cuántas cuántas m aneras aneras d iferen erent tes pue p ued d en ub icars carse alreded ed edo o r d e u na fo gat ga ta, de m odo que que: : I. L os hom bres bres y m ujeres qued en alternad ernad os. II. C ada ad a par p arej eja n o se separ separe. e.
Resolución:
19 1
R az. M atemático ático
3 . PERMUTACIÓN PERMUTACIÓN CON ELEMEN TOS REPET REPETID ID OS E s un arr arreglo u o rd enaci en ació n d e elem ent en to s no to d o s diferen erent tes (elem ent en to s repet ep etid o s). S i se tienen en en "n" elem ent en to s d o n d e hay: h ay: en to s repet ep etid o s d e un u n a 1 ra. clase. K elem ent 1
K
2
elem ent en to s repet ep etid o s de u n a 2d a. clase.
en to s repet ep etid o s de u na r - ésim a clase. K elem ent r
E l nú m ero ero d e p erm erm u tacio nes ne s diferen erent tes con "n" elem ent en to s lo s cuales tienen en en elem ent en to s que qu e se rep repi iten, en , se calcula com o sigue: P
n K ,K ,...,K 1 2 r
n! K ! K ! ...... K ! 1
2
r
D o n d e: e:
K K 1
2
.... K r n
Ejemplos:
0 1 .U n estan te tiene en e capaci cap acid ad p ara ara 5 lib ro s de R .M . q ue tienen en en p asta a zul, 4 d e R .V. d e p asta ro ja y 3 d e H isto ria d el Per Pe rú d e past p asta am arilla. ¿D e cuán cu ánt tas m aner an eras as pu eden ed en colo cars carse lo s lib ro s segú n lo s co lo res?
Resolución:
0 2 .Se tienen ene n 1 0 b and an d eras eras do nd e 2 so n ro ro jas,3 b lancas an cas y 5 so n azules, es, ¿D e cuántas cuántas m an eras eras se pu ed en h acer señal seña les po n iend en d o to d as las ban b an d eras en fila?
Resolución:
19 2
0 3 .¿D e cuán cuá n tas m aner an eras as se se pue p ued d en o rd enar en ar las letras de la palabra abra PA PA YA ?
Resolución:
TRILCE
COMBINACIÓN E s un a selecció n o grup grupo o que qu e se pued e fo rm ar con un a par p art te o con to d o s lo s elem ento ento s d ispo nibles d e un conj con jun to. E n un a co m binaci na ció n no inter nteres esa a el o rd en d e sus elem ento ento s. A través av és de un u n ejem plo n o s d arem arem o s cuen ta que q ue h ay u n a estrecha ech a rel relació n ent e ntr re las perm perm u tacio nes ne s y las com b in acio nes. ne s. D ado ad o elcon jun to A = {a, b, c,d }, calcular elnú m ero ero d e per pe rm utaci utacio nes y elnú m ero ero d e com binaci na cio nes de lo s elem ento ento s de "A "A " tom ado s de 3 en 3. Per Pe rm u tacio ne nes s (or (ord d ena m ient entos) os)
C om binacio ne s (gr gru u po s)
abc,ac acb b,bac,bca,cab,cba 6 abd ,adb ,bad,bda ,dab,dba 6 acd ac d ,adc,ca cad d ,cda,dac,dca 6 bcd,bdc,cbd,cdb,dbc,dcb 6 To tal :24 P
abc 1 abd 1 acd ac d 1 bcd 1
4 3
To tal :4 C
4 3
D el ejem p lo an terio r, o b tenem en em o s las sigui gu ient en tes con co n clu sio n es: *
E l núm ero d e com com binaciones de 4 elem entos tom ado s de 3 en 3 se se denota denota por C
*
C ada ad a com binación tiene 6 p erm erm utaci utacion es, es, es d ecir:
4 3
4
4 C 3
P 4 24 3 6 3!
4 C 3
4! (4 3 )! 3!
4! 3!(4 3) 3)! !
ero d e com binaci na cio nes de "n" "n" elem ent en to s to m ad o s d e "K " en "K "K ", se cal calcula com o : En general general : E l nú m ero C
n K
n! K !(n K )!
;
0K n
Observaciones: * C uand ua nd o se to m an to d o s lo s elem ento ento s d el conj con junt un to p ara ara agrup agrup arl arlo s o com binar na rlo s (es d ecir, K = n), n), se dice dice que qu e es una un a com binación de "n" elem entos y : C
n n
n! n! 1 n!(n n)! n! 0! C
*
*
*
C
C
C
n 0
1
1 ; C 1n n ; C nn 1
n n = C k n k
n 0
n n
C
10 7
C 10
C
50 46
C 50
3
4
C 1n C n2 .... C nn 2 n
19 3
R az. M atemático ático
Ejemplos: 01 .¿C .¿C uán tos grupos up os de 4 pers person as se pu eden form orm ar con 6 per pe rson as?
Resolución:
0 2 .Se extraen d o s car cart tas de un a bar ba raja d e 5 2 cart cartas. ¿D e cuán tas m aner an eras as se se pu ede ed e ha cer est esto ?
03 .En u na reun ió n hay 10 h om bres bres y 6 m ujeres eres, , se van a fo rm ar grup o s d e 5 p erson ersonas. as.¿C u ánt án to s grup grup o s d iferen erent tes se form arán, arán, si siem pre pre d eben haber ha ber 3 h om bres bres en en el grupo?
Resolución:
0 4 .U n es e stu d iant an te tiene en e qu e con testar 8 de d e 10 1 0 p regu ntas ntas en un exam exam en: en:
Resolución: I. ¿D e cuán tas m aneras pued pu ed e el est estud iante ante esco esco ger las 8 p regu n tas? II. S i las tr tres pr p rim eras so so n o b ligat ga to rias, ¿de ¿d e cu án tas m aner an eras as pued pu ede e escoger las pregu pregu ntas? ntas? III. S itiene en e qu q ue co n testar 4 d e las 5 prim eras, eras, ¿D e cuán cu án tas fo rm as pued pu ede e escoger las pregun tas?
Resolución:
19 4
TRILCE
EJERCICIOS PROPUESTOS ENUNCIADO "L alo tiene en e 6 p ant an talo nes, ne s, 4 cam isas y 5 p ares d e zapat zap ato o s, to d o s de de d iferen tes col co lo res en tre sí". 0 1 . ¿D e cuánt cuá ntas as m aner an eras as diferent erentes es pu ede ed e vestirse? a) 1 5 d ) 1 20
b) 2 4 0 e) 7 2
c) 6 0
02 . D el enu nciado ad o : ¿D e cuánt cuán tas m aneras aneras diferent erentes puede pu ede vest ve stirse, si 3 d e lo s pan pa n talo nes fueran igu ales? a) 1 2 0 d ) 12
b) 6 0 e) 7 2 0
c) 8 0
0 3 . D elenu nciad o : ¿D e cuá cuánt ntas as m aner an eras as pued pu ede e vest vestirse, si la cam ca m isa blan ca siem p re la usa u sa con co n el e l p an taló n a zul? a) 9 5 d ) 61
b) 8 0 e) 9 1
c) 1 2 0
0 4 . S i d eseas viajar a V enez en ezuel uela y d ispo nes de d e 3 bar ba rcos, 5 avio nes y 4 b u ses (to d o s d iferent erentes ent en tre sí), ¿de ¿d e cuá cu án tas m an eras p u ed es real ea lizar d icho viaje? a) 1 1 d ) 42
b) 6 0 e) 5 1
c) 1 2
ENUNCIADO "D e L im a a Ica, existen 4 cam in o s d iferen erent tes, d e Ica a Tacna Tacna h ay 5 cam ino s tam bién bién d iferen erent tes". 05 . ¿D e cuánt cuán tas m aneras aneras dif diferentes entes se po drá drá ir de L im a a Tacna, Tacna , pas pa sand an d o siem pre pre po p o r Ica? a) 9 d ) 40
b) 2 0 e) 6 2 5
c) 1 2
06 . D el enun en un ciad o : ¿D e cuán tas m an eras eras d iferen eren tes se p o d rá ir d e L im a a Tacna Tacna y regr eg resar,sila ru ta d e regreso d ebe eb e ser dif diferen erent te a la d e id a? a) 4 0 0 d ) 3 99
b) 3 8 0 e) 4 0 1
c) 2 4 0
07 . D e un grup grup o d e 15 p ers erson as que estud ian sólo 2 id io m as cada cad a u no , se sabe qu e 4 d e ello s est estud ian in glés y a lem á n , 5 in glés y fra n cés y lo s ot o tro s só só lo alem án y francés. an cés. S i se qu q u iere ere escoger escoge r 2 p erson ersonas as qu e h agan ag an ju n to s la tr trad u cció n d e un u n a lectu ra a cua lq u iera era d e lo s 3 id io m as m encio nad na d o s, ¿d e cuán tas fo rm as se p u ed e elegir egir? a) 2 8 d ) 48
b) 7 4 e) 1 2 0
c) 9 2
0 8 . D el sigui gu ient en te tabl ab lero, ero, ¿de cu ánt án tas m aner an eras as diferent en tes se pu p u ed e escoge esco ger r u n a casilla b lan ca y u na casi ca silla n egr eg ra d e tal m aner an era a q ue n o est estén en la m ism a ho h o rizo ntal ntal ni vertical ca l?
a) 2 4 d ) 256
b ) 1 20 e) 6 4
c) 3 2
09 . ¿D e cuán tas m an eras eras d iferen eren tes; 2 p eru eru an o s, 3 argen argen tino s y 4 colo m b iano an o s pued pu eden en sentarse en fila d e m o d o que qu e lo s de la m ism a n acio nal na lid ad se sient en te junt un to s? a) 8 6 4 d ) 892
b ) 1 72 8 e) 1 7 0 0
c) 6 8 8
10 . E l aula especi especial de la A cadem ia cons con sta de d e 15 al a lum no s a lo s cu cu ales se se le to to m a el e lexam ex am en fin al. ¿C u án tas op o p cio nes di d istin tas se tiene en e para o cup ar lo s 2 prim ero ero s p ues ue sto s, si no hay ha y em p ate? ate? a) 2 1 0 d ) 205
b ) 2 30 e) 1 8 0
c) 2 4 0
1 1 . ¿C uánt uá nto o s resultad o s po sibles se pu eden ed en o btene btener r en el el lanzam iento ento sim ultáneo de 5 m o ned as y 3 d ad os legales? a) 6 9 3 4 d ) 6 51 2
b ) 6 91 2 e) 6 9 3 6
c) 6 7 8 0
12 .¿D e cu án tas m an eras eras d iferen erent tes se se p ued ue d e vest v estir un a p erso n a q u e tiene en e 6 ternos erno s (igual gu ales), 5 pares d e m ed ias (3 igu ales), es), 2 p ares de d e zap zap ato ato s,8 cor co rb atas (2 igu ales) y 6 cam ca m isas (3 igu ales)? es)? a) 4 2 0 d ) 840
b ) 2 80 e) 1 6 8
c) 2 8 8
13 . S e lan zan tres d ad o s lega les al p iso, ¿de cuá n tas m an eras eras dif diferen eren tes se se p u ed en o bten bten er resultad o s d iferent eren tes en en lo s tres da d ad o s? a) 1 2 0 d ) 130
b ) 1 80 e) 1 1 7
c) 1 4 0
1 4 . U na alum na tiene par pa ra vestirse : 4 bl b lusas; usas; 3 pant pa ntal alo nes ne s, 2 fal fald as, 6 p ares ares de zapat zap ato o s. ¿D e cuán cu ánt tas m aner an eras as se se po d rá vestir con co n ven cio nal na lm ent en te? a) 1 2 0 d ) 72
b ) 60 e) 2 8 8
c) 1 4 4
19 5
R az. M atemático ático
15 . ¿D e cuán tas m aner an eras as diferent erentes es se pod p od rán sentar entar en h ilera 6 a m igas, ga s,siG enara en ara y E u calip ta est e starán siem p re ju ntas ntas y en uno u no d e lo s extr extrem o s? a) 2 4 d ) 12 0
b ) 48 e) 7 2
a) 1 5 d ) 60
c) 9 6
1 6 . ¿D e cuánt cuán tas fo rm as d iferent erentes es se pu eden ed en sentar en u na fila 4 var va ro n es y 4 m u jeres, eres, siL u is (q u e es e s un o d e el e llo s) se qu q u iere sen sent tar ju n to y en e n tre F io rela y D eysi eysi(q ue son so n d o s de de ellas)? A d em ás, cons con sider de rem os que qu e las pers person as d el m ism o sexo n o están jun tas. a) 7 2 0 d ) 8!
b ) 3 60 e) 1 4 4
b ) 1 71 6 e) 1 7 2 8
b ) 4 36 0 e) 1 5 3 8
c) 1 5 3 2
1 9 . ¿Por ¿Po r cuán tas rutas utas diferentes entes se se pued p ued e ir d e A a B ?
a) 1 2 d ) 14
a) 5 3 0 d ) 450
C
a) 1 2 d ) 20
B
b ) 14 e) 2 4
3
3
c) 26 3 10 3 e) 26 25 24
19 6
c) 2 0
b) 3 5 0 e) 3 8 0
c) 3 0 5
b) 8 4 0 e) 6 4
c) 1 2 0
25 . ¿D e cuántas m aneras aneras 3 parej parejas de espo espo sos se se pu eden u bicar bicar en un a m esa circular, si en nin gún gú n m o m ent en to las p arejas estarán separ sepa rad as? a) 1 2 0 d ) 144
b) 1 6 e) 7 2
c) 4 8
26 . C on las frutas utas: : P látano , pap aya, m eló n, piña y m am ey, ey, ¿cuánt ¿cuá nto o s jugo ug o s de d e d iferen erent tes sab sabo o res se po d rán h acer? acer? b) 1 0 e) 3 1
c) 2 5
27 . C uatro p erson as abo rdan un autom óvil en el que hay 6 as a sient en to s. Si S isólo C ésar y S and an d ro saben sab en co nd u cir, ¿de ¿d e cuán tas m aner an eras as d iferent erentes es pu ed en acom aco m o d ars arse para salir d e pa p aseo? seo ?
c) 1 6 a) 2 4 d ) 240
20. La M unic unicipalidad de L im a ha o rdenad o q ue las m o to taxi ax is sea sean n am ari arillas y ten ten gan las pl p laca s co co n 6 car ca racteres (3 (3 letras segu eg u id as de de 3 d ígit gito s). ¿C u ánt án tas pl p lacas aca s diferen erent tes se se p o d rán fo rm ar? ar? (C o n sid erar 26 letr etras d el alfab eto eto ). a) 20 10
b) 1 8 e) 1 6
2 4 . ¿C uá nto nto s arreglo s d iferen erent tes se p ued en hacer ha cer con las letras de la p alabr ab ra "JA "JA PA N A JA "?
a) 1 3 d ) 32 A
c) 2 0
22 . U n total otal de 120 1 20 est estrechadas echad as de m ano se efectuaron uaron al fin ald e un u n a fiesta. S icad ca d a pa p articip an te es es cor co rtés con co n lo s d em ás, ás, el núm nú m ero ero d e pers person as era:
a) 8 1 d) 8
c) 1 6 2 8
18 . Juan , M anu el, C arl arlo s y 5 am igos m ás part participan en un a carr carrera era , ¿de ¿d e cuán tas m aner an eras as d iferen erent tes pu eden ed en llegar egar a la m eta, d e tal m an era qu q u e C arlo s llegu e an a n tes qu e M anue an uel l y éste llegue egu e ant a ntes es que qu e Juan Ju an? ? a) 6 7 2 0 d ) 1 23 6
b) 1 2 0 e) 8 0
23. ¿D e cuántas cuántas m aneras aneras pued e esc escogers ogerse un com ité com puesto d e 3 hom bres bres y 2 m ujeres de un grupo grupo de 7 h om bres bres y 5 m ujeres? es?
c) 2 4 0
17 . U n club tiene 2 0 m iem bros bros de lo s cuales 12 so n m u jeres. eres. ¿C u ánt án tas ju nta nta s d irectivas va s d e 3 m iem bros: P resid en te, vicep resid en te y secret secretari ario p u ed en fo rm arse, arse, si el p resid ent en te d eb e ser u n a m u jer y el vicepresi cepresid ente ente un h o m bre? a) 1 4 2 8 d ) 1 71 8
21 . C on 6 pesas de 1; 2; 5; 10; 10 ; 30 y 70 7 0 kg, ¿cuántas ¿cuántas pesas d iferen erent tes pu ed en o b tener en ers se to m an d o a q uel ue llas de 3 en 3?
2
b) 26 10 d) 26 10
3
2
b) 6 0 e) 3 6 0
c) 1 2 0
28 . ¿D e cuánt cuán tas m aner an eras as d iferent erentes se pu eden sentar entar 10 perso na s en u na m esa esa red redo o nd a d e 6 asi asiento ento s, si 4 están en espera? espera? a) 2 5 2 0 d ) 10 !
b ) 12 0 0 0 e) 1 5 !
c) 2 5 2 0 0
2 9 . A lir 5 p arej arejas de d e espo sos al teatr eatro S egur egu ra, tienen en en m ala suert suerte d e enco e nco n trar so so lam ent en te 5 asient en to s jun to s en un a m ism a fila. ¿D e cuán cuá n tas m aner an eras as distin tas se se pu eden ed en aco m o d ar, si se qu iere ere que qu e po r lo m eno en o s esté sen sent tad o un hom bre bre y una m uje?
TRILCE
a) 2 5 60 0 d ) 25
b ) 30 0 0 0 e) 6 2 5
c) 2 5 6
30 . L a cerradu ra d e la b óved a d e u n b anco con sta d e tres d iscos co co n la num n um eraci eració n d el 1 al a l 10 . S i un am igo d e lo a jen o d esea a b rir la b ó ved ve d a , ¿cuán ¿cu án to s in ten to s in fructuo uctuo sos com o m áxi áx im o ten tend d rá qu e realizar? (L a b ó ved ve d a se ab rirá cu a n d o lo s tres disc disco o s se com binen de m anera anera cor co rrecta). a). a) 1 0 0 0 d ) 8 10
b) 1 2 0 e) 5 1 2
c) 9 9 9
3 1 . C o n cin co ret retazos de d e tela, ¿cuán tas band ba nd eras eras bicolo r se pued en for form m ar?. ar?. S e sab e q u e lo s retazos azo s so so n d e co lo res di d iferen erent tes y la band ba nd era era d ebe tener tener la fo rm a m o strad a.
36 . E n un a reuni reunión se encuentran 5 m ujeres y 8 ho m bres bres. . S i se desea fo rm ar grup grup o s m ixto s d e 5 p erson ersonas, as, ¿de cuántas cuántas m aneras aneras pued en form orm ars arse tales grupos up os de m od o que qu e en cada cad a u no d e ello s est estén siem pre dos do s m ujeres eres? ? a) 5 6 0 d ) 140
b) 2 0 e) 2 5
c) 2 4
32 . C on 7 varon varon es y 4 m ujeres se desea desea form orm ar grupo s m ixto s d e 6 perso nas na s. ¿D e cuán tas m aner an eras as pueden pue den form ars arse tales gru gru po s, de m o do qu e en cad a u no d e ello s exista siem pre pre 2 m u jeres? eres? a) 2 0 0 d ) 2 12
b) 2 0 e) 2 1 0
a) 2 5 d ) 32
b) 5 6 e) 1 6
b) 9 6 e) 1 7 0
c) 2 8
c) 1 2 8
35 . U na clase con sta d e 7 niño niño s y 3 ni n iñas ña s, ¿de cuán tas m aner an eras as di d iferen erent tes elprofesor pu ede ed e escoger escog er un com co m ité de 4 alum nos? a) 1 6 0 d ) 1 44
b) 2 1 0 e) 1 0 5
c) 2 4
38 . H ay 5 candi cand idat da tos para para p resi esiden te d e un club, ub , 6 para para vicepr cep resid ent en te y 3 para p ara secr secret etario. ¿D e cuán cu án tas m an eras se p ued ue d en o cup ar esto s tres cargo cargos? s? b ) 64 e) 9 0
c) 1 2 8
3 9 . A una un a reun reun ió n as a sistiero ero n 30 3 0 per p ers so nas na s. S i se sal salud an est estrechán d ose las m anos, an os, sup on iend o q ue cad a un o es cort cortés co co n ca da un o d e lo s dem ás, ¿cuá ¿cuá ntos ntos apret apreton es de m ano s hubier hubieron on? ? a) 6 0 d ) 120
b ) 4 35 e) 2 0 5
c) 8 7 0
40 . D iez equ ipo s de fútbo útbo l part participan pa n en e n u n cam peo nat na to (u na ru eda, ed a, to d o s co co ntr ntra to d o s). ¿C uánt uá nto o s partid o s m ás se se d eber eb erán án program ar, sillegan ega n 3 equipo equipo s m ás? ás? a) 3 1 d ) 12
34 . D e seis núm nú m eros eros po sitivos y 5 núm nú m eros eros negat nega tivos, se escogen 4 n úm ero ero s al azar y se se m u ltiplican. can . C alcular elnú m ero ero d e fo rm as qu e se pued pu eden en m ultiplicar, d e tal m aner an era a q ue el e l p ro d ucto ucto sea n egat ega tivo. vo . a) 6 0 d ) 1 60
b ) 10 e) 6 4
c) 3 1 2
33 . ¿C uán tos cables de conexión conexión son necesar necesari ios para para q ue p ued ue d an com co m un icarse carse directa m ent en te 2 o ficin as de d e las 8 q ue h ay en u n edi ed ificio ? a) 2 0 d ) 14
c) 1 2 0
37 . H allar el núm nú m ero ero d e señal señales que qu e pu eden form orm ars arse con cinco signo s m ás y m eno s.
a) 1 0 8 d ) 72
a) 1 0 d ) 40
b ) 3 90 e) 2 8 0
b ) 33 e) 2 1
c) 9
41 . S eis eis lad ro nes ne s se se escap an d e la p o licía, y tienen en en 3 escon d ites par pa ra p o d er o cul cu ltarse. arse. ¿D e cuántas cuántas m aneras aneras diferent erentes es com o m áxim o se pu eden ed en o cultar? a) 7 2 9 d ) 720
b ) 8 40 e) 5 1 2
c) 1 2 0
42 . S e tiene 6 n úm eros eros negati negativos y 5 núm nú m ero s po sitivos, ¿de cu án tas m an eras eras se se pu ed en e scoger cua cua tro núm nú m ero ero s, d e tal tal m aner an era a q ue su pro pro d ucto sea p o sitivo? vo ? a) 1 4 0 d ) 180
b ) 1 60 e) 1 7 0
c) 1 7 5
43 . Juan C arl arlo s tiene 5 pan talo nes y 6 cam isas tod os de d istin to s colo res. ¿D e cuán cu ánt tas m aner an eras as pu ede ed e esc e sco o ger las pren pren d as, sabien sabiend d o qu e el pa ntal ntaló n m arr arró n se lo d ebe po ner siem pre pre con la cam isa crem a y vicever viceversa?
c) 1 2 8 a) 3 0 d ) 36
b ) 20 e) 2 4
c) 2 1
19 7
R az. M atemático ático
44. U na m on eda cuyas caras est están m arc arcada s con los nú m ero ero s 2 y 3, 3 , respectivam ent en te, es tirad a 5 veces. D eterm erm inar de cuánt cuán tas m aneras aneras se ob tend rá com com o sum a 12 . a) 1 2 0 d ) 15
b ) 60 e) 1 0
c) 3 0
a) 4 9 0 d ) 480
b) 5 6 0 e) 5 2 0
c) 5 4 6
5 2 . E n el sigui gu ient en te cu cu ad rad o de d e 36 casillas, ¿de cuán cu ánt tas m an eras eras di d iferentes erentes se se pu p u ed e escoger esco ger una un a casi ca silla bl b lan ca y un a negr n egra d e tal m anera anera q ue n o estén en la m ism a h o rizon zo n tal n i vertical ca l?
45 . ¿C uá ntos ntos núm ero ero s im pa res d e 3 cifras, as, se pue den escrib ir con co n lo s dí dígit gito s: 4 , 5 , 7 , 9 y 8 , si n o se pu p u ed en repe rep etir lo s dí d ígito s? a) 2 0 d ) 14
b ) 56 e) 3 6
c) 2 8
46 . S e tiene una urna urna con 9 bo las num nu m eradas ad as. . S e quiere saber ab er, ¿de cuá ntas ntas m aner an eras as po d em o s sacar pri prim ero ero 2 b o las, luego 3 y fin alm ent en te 4? 4? a) 6 3 0 d ) 10 8
b ) 3 06 e) 1 2 6 0
c) 1 0 8 0
47 . ¿C uántos núm eros m ayores ayores que un m illón se pueden fo rm ar con co n lo s dígito s 0; 2 ; 2 ; 3 ; 3 ; 3 y 4? 4? a) 2 4 0 d ) 40 0
b ) 3 80 e) 4 2 0
c) 3 6 0
4 8 . C uat ua tro chi ch icas y do d o s varo varo nes van al a lcine y en cuent cuen tran 6 asien to s ju nto nto s en u n a m ism a fi fila, d o n d e d esean acom acom odars odarse. ¿D e cuán cu án tas m an eras eras di d iferentes erentes pu ed en sentars sentarse, e, silas cua cu atro chi ch icas q u ieren estar ju n tas? a) 1 6 0 d ) 14 4
b ) 72 e) 6 4
a) 3 2 d ) 432
b) 2 1 6 e) 2 8
c) 6 4
53 . ¿C uántas uántas palabras abras se se pu eden hacer con 3 m ayúscul ayúsculas, as, 5 con so nant na ntes es y 4 vo v o cales, es, si cada cad a u na d ebe con tener ene r 3 consona co nsonant ntes es y 2 vocales y com enzar con m ayúscul ayúscula? a ) 20 5 0 0 c) 2 3 2 0 0 e) 20 600
b ) 21 6 0 0 d ) 2 1 95 0
5 4 . E n la figura, se han h an m arcad arcado o o cho par pa rtes equid equid istant an tes sob re la circun feren erenci cia d e u n círculo d ad o. ¿C u án to s cuad cua d riláteros áteros d iferen erent tes po p o d em o s in scr scrib ir en el círculo u sand san d o lo s vértices m arcado arcad o s?
c) 1 2 8
49 . L uis uis tien e 1 0 am igo s, d e lo s cuales cuales in vitará a su m atrim on io solam ente ente a 7. ¿D e cuán cuán tas m aneras aneras puede pu ede h a cer la in vit vita ció n , si d o s d e sus a m igo s están enem en em istad o s y no n o p u ed en asistir ju n to s?
a) 2 1 0 d ) 56
b ) 1 68 0 e) 7 0
c) 1 5
5 5 . C alcular "k" a par p art tir d e: a) 5 6 d ) 44
b ) 64 e) 1 2 8
c) 3 6
n(n 1)!(n 1)!(n 1)! kn(n)!1
50 . ¿C uán tos núm eros eros de 4 cifras se pu eden fo rm ar con las cifras: 1 , 2 , 4 , 6 , 7 y 8 ; d e tal m an era qu e sean sea n m eno res qu e 50 0 0 y no n o p erm erm itiénd o se repe repet ticio nes d e las cifras? a) 1 3 8 d ) 45 4
b ) 3 40 e) 1 8 0
c) 2 8 0
5 1 . Ten go 15 sillas de las cuales 8 son d efectuo sas. ¿D e cuánt cuá ntas as m aner an eras as po d em o s esco escoger ger 5 sillas de las cuales po r lo m eno s 4 sean d efectuo sas?
19 8
a) n d) n + 1
b) 2 e) n 1
1 n
2
c) 1
56 . C o n cuatr cuatro ba nd eras eras de dif diferent erentes es co co lores ores se se d ebe m and ar un m ensaj ensaje de un barco barco a o tro. ¿C uá ntos ntos m ensajes se pu ed en m an da r, si no es o b ligat ga to rio u sar to d as las b an d eras? a) 6 4 d ) 96
b) 4 0 e) 1 6
c) 2 4
TRILCE
57. ¿C uántos núm eros eros m enores enores que 10000 pueden fo rm arse arse co n lo s och o cho o d ígito s:0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 y 7 ? a) 3 2 5 5 c) 4 0 9 5 e) 4195 41 95
b ) 4 17 5 d ) 4 95 0
58 . ¿C uán tos núm eros eros enteros y desiguales m ayores ayores que 10 y m eno res qu e 100 se pu eden form orm ar con las 8 p rim eras cifras no rep itién d o se ni n in gu n a d e el e llas?. (L as cifras d eb en ser con co n tad as a p artir d el 1 ). a) 4 4 d ) 48
b) 5 6 e) 6 0
6 0 . S e qu q u iere ere const co nstru ir u n co llar co co n 12 p erl erlas: * 4 azules. * 2 blanc ancas. * 3 rojas. * 1 verd e. e. * 1 am arilla. * 1 m arró n. n. S iéstas 3 ú ltim as deb d eb en estar ju n tas, ¿cuá ¿cu án to s col co llares se p ued ue d en con feccio n ar? ar? a) 8 5 6 0 d ) 4 03 03 2 0
b ) 7 56 0 e) 8 7 6 0
c) 5 0 4 0
c) 2 4
59 . H allar "x" en:
2 2! 3 3! 4! ... 40 ! 2 4 (x-1) térm érm ino s
a) 4 4 d ) 40
b) 4 2 e) 3 9
c) 4 1
19 9
R az. M atemático ático
Claves l ave ves s
20 0
01.
d
31.
b
02.
c
32.
e
03.
a
33.
c
04.
c
34.
d
05.
b
35.
b
06.
b
36.
a
07.
b
37.
d
08.
c
38.
e
09.
b
39.
b
10.
a
40.
b
11.
b
41.
a
12.
e
42.
e
13.
a
43.
c
14.
a
44.
e
15.
c
45.
e
16.
e
46.
e
17.
e
47.
c
18.
a
48.
d
19.
c
49.
b
20.
c
50.
e
21.
c
51.
c
22.
e
52.
b
23.
b
53.
b
24.
b
54.
e
25.
b
55.
c
26.
e
56.
a
27.
c
57.
c
28.
c
58.
b
29.
b
59.
e
30.
c
60.
a
TRILCE
Capítulo
17
PROBABILIDADES
INTROD UCCIÓN UCCIÓN Co nsideremo s la siguiente situación: situación: D o s am igos go s estud iant an tes no están seguro seguro s de có m o pas pa sar la tar tard d e, si d ivirtiénd én d o se o estud iand an d o. F in alm ent en te, con vienen en en en d ejar que qu e un u n a m o n ed a d ecid a la situ ació n . S isale car ca ra van v an al cin e, sisale sello van va n a ju gar ga r p in g po p o n g; p ero ero sila m o n ed a sale d e can to, ent en to nces est estu d iarán. arán . Po dem de m os ap rend er m ucho de est esta a anécd nécd ota; ota; el senti entido com ún , basánd ose en la exp eri eriencia p asad asad a, no s dice que qu e los am igos go s no van a est estud iar. E s d ecir, po r intui ntuició n sabem ab em o s qu e la m o ned ne d a n nun un ca se qued qu edar ará ád de e can to sino qu e s sal ald rá sello o cara; cara; tam b ién no sotro s tenem en em o s la segu rid ad d e qu q u e son so n igual gu ales las po p o sib ilid ad es de q ue salga cara o sello. E l cálculo d e p ro b abi ab ilid ad es se se basa b asa en e n las su su po sicio nes ne s que qu e h acem o s respecto a cues cue stio nes ne s co co m o : ¿C uál uá l es la prob abi ab ilid ad d e que q ue la m o ned ne d a se qu ede ed e de d e can to ? ¿C uál uá l es la p ro babi ba bilid ad d e que q ue salga cara cara o sello ?. P ara hace h acer r m ás pr p rácti áctica la solu ció n d e e est stas cuest cue stio n es, n ecesitam o s asignar gn ar valo res nu n u m éricos co s a las pr p ro b ab ilid ad es. S up o ngam nga m o s qu e llam am o s P al valo r num nu m éri érico d e la pr p ro babi ba bilid ad d e qu e sal salga cara; cara; per pe ro no so tro s estam o s segur egu ro s d e q ue sald rá car ca ra o sello, ent en to nces elval va lo r d e nu n u estra segu rid ad o certeza tend en d rá el val va lo r d e 2P. 2 P. A cost co stu m b ram o s en gen eral eral a d arle un u n val v alo r fijo, con co n ven ient en tem ent en te le darem d arem o s el val va lo r 1 , es deci de cir 2 P = 1 ; lu ego la p ro b ab ilid ad d e qu q ue salga car ca ra es es 1 1 1 1 1 To tald e cer y la p ro b ab ilid ad d e q ue salga sello es P y ce rteza. eza. 2 2 2 2 Pierre Laplace , em in en te m atem ático francés de d e fin es del d el siglo X V III y pr p rin cip io s del de lX IX , d escri escrib ió en u n a o casi casió n la teo teo ría de prob prob abilidades da des com o "El senti do c omún omún de una per sona, reduci do al cálcu lo ". L as m atem atem áti áticas para para la p ro b ab ilid ad h an teni en id o n o tab le éxi éx ito h asta h o y en e n las cienci en cias, el com co m erci ercio y, en gen ge n eral, se usan en m u cho ch o s cam cam p o s b ases d e nu n u estra civilizació n co m o la in gen ge n iería, eco n o m ía, con co n tab ilid ad , estad ística, ca, física, ca, q u ím ica, ca, etc. etc. y es tan an tigua gu a q u e se uti utilizaba zab a en e n m ú ltip les ju ego s q u e en e n tretení en ían a la clase d o m in an te en gran gran d es cultu ras com co m o E gip to, G recia y R o m a; in clu so en e n la B ib lia se cita q ue en la cru cifixió n d e C risto, sus ro p as fu ero ero n sortead as m ed ian te ju ego eg o s de azar. A sí p ues ue s, el juego ue go es tan ant an tiguo gu o com co m o el h o m b re y d e segur segu ro ya se hací ha cían apue ap ues stas acerca acerca d e la p po o sib ilid ad d e gan ga n ar o p erder erde r, en d icho ch o s ju ego eg o s; este es es el o rigen ge n d e la p ro b ab ilid ad . P
O bserva bserva a tent en tam ent en te el sigui gu ient en te di d iagram a: C O N C E PT P T O D E P R O B A B I L I D A D : O
L atín
“ P ro rob b ab ilitas”
V ero rosi sim ilitu d C alida dad d d e p ro ba babl ble fun d ad ada a en razón razón pr p rud uden ent te
La p pr ro babi ba bil lid ad d e q que ue o curr curra u un n d eterm erm in ad o suceso (A (A ) se d efine com o la r rel elació n en tre el n úm ero ero d e casos favo rabl ab les p ara ara ese e se su su ceso ceso y el n úm ero ero d e casos caso s po sibles en to tal (C ).
[A ]
P
# casos favo ra bles para A # casos po sib les o to tales
N
N
(A )
C a rd in al d el con jun to A
(C )
C a rd in al d el con jun to C
20 1
R az. M atemático ático
Ejemplo: S ise lanz an za un u n d ad o, elcon jun to d e casos po sib les es C = {1; {1 ;2; 3; 4; 5; 6} qu e correspo nd e a las 6 caras caras qu e pu ede ed e pr p resentar esentar el d ad o al ser lan zado. zad o. S i d eseam o s un resultad o o resultad o s pred predet eterm erm inad na d o s (a lo s qu e llam am o s su su ceso ceso s), al conj co nju nto nto d e to d as las po p o sib ilid ad es qu e favo av o rezcan a est e ste resul resultad o lo llam arem o s "con co n ju n to d e casos caso s favo av o rab les". Po r ejem p lo, al lanz an zar eld ad o un a so la vez, v ez, el conj co njun un to d e casos caso s favo av o rabl ab les al suceso "caen "caen en 5 ó 4 " es A = {5 ; 4}
E J E M P L O I L U S TR TR A TI TI V O 1 E nco n trem o s la p pr ro b abi ab ilid ad d e q qu u e al lanzar an zar un d ad o, el resultad o qu e se ob tenga en ga sea 3 . Solución: * * * *
E l experi experim ento ento es lanzar un dado da do al aire. E lconjunt un to de casos casos po sibles es C = {1; 2; 3; 4; 5; 6} N (C ) = 6 E l conjunto unto d e cas casos os favorabl avorables es A = {3} N (A) = 1 E l suceso es: es: sale pun p un taje 3 qu e id enti entificarem carem o s co co n el conj con jun to A . L a probab prob abi ilid ad d e qu q u e el d ad o m ues ue stre el pu ntaj ntaje 3 (P ro babi ba bil lid ad d e A ) será erá : P La
(A )
N (A ) 1 N (C ) 6
E J E M P L O I L U S TR TR A TI TI V O 2 U n a caj ca ja ti tiene en e 10 1 0 0 fo cos, co s, ent en tre lo s cual cua les hay h ay 1 0 fallad o s. ¿C u ál es la p ro b ab ilid ad d e q qu u e al sacar u n a m u estra d e 3 fo cos, co s, lo s 3 sea sean n fallad o s? Solución: * *
E l experi experim ento ento es sacar 3 foco s de un recipiente con 100. 10 0. E l con jun to d e cas ca so s po sibles es el conj co nju nto nto d e to d o s lo s grup grup o s distin to s de 3 fo cos, elegid o s entr entre lo s 10 0. Te n er en cuen cu ent ta q u e 2 grupo grup o s serán erán d istin to s si d ifieren eren en p o r lo m eno en o s 1 fo co) co ), lu ego eg o : (Ten C = {C om binacion es de orden orden 3, de 10 0 elem entos}
N (C ) C 100 3 *
E l con ju nto nto d e casos favo av o rabl ab les es el con jun to d e to d o s lo s grup grup o s d e 3 fo cos, to d o s fallad o s. C o m o hay ha y 1 10 0 fallad o s, el con jun to d e t to o d o s lo s gru po s de 3 fo cos elegid o s entre lo s 10, 10 , luego ue go: : A = {C om binaciones on es de o rden 3 , de 1 0 elem entos}
N (A ) C 10 3 10
P (A )
N (A ) C 3 N (C ) C 100 3
10 (9)(8 ) 3! 2 100 10 0(99 )(98 ) 2695 3!
P R O P I E D A D E S FU FU N D A M E N T A L E S : S i P (A ) es la pr p ro babi ba bil lid ad d e que q ue o curr curra un u n su ceso ceso A , ent en to nces: 1. 0
P (A ) 1 .
2 . L a pr p ro babi ba bilid ad d e que q ue no o curr curra A (S uceso cont co ntr rari ario A ') es : P (A ') = 1 P (A ). 3 . S i U es un suceso q ue siem pre pre será ciert erto ló gicam ente, ente, ento ento nces P( P (U ) = 1 (S iem pre pre o curr currirá). á). 4 . S i es un su ceso ceso qu e n nu u nca o currirá (Ló gicam ent en te im p o sible), e), ent en to nces P () 0 .
20 2
TRILCE
EJERCICIOS PROPUESTOS 0 1.¿C 1.¿C u ál es la p pr ro babi ba bil lid ad d e q que ue al lanzar an zar 2 m o n edas ed as en sim u ltán eo, eo , el resul esu ltad o sea ... I. ....2 caras? II. ... po r lo m eno s una cara? cara? 1 3 ; 4 4 1 3 c) ; 2 4 1 1 e) ; 4 4
2 ; 3 1 d) ; 4
a)
b)
1 2 1 3
02 . C alcular la p pr rob abilid ad de q ue al a l lanzar 3 m on eda s en sim u ltán eo el resultad o sea: I. 2 caras caras y un sello. II. 3 resultad o s igu ales. 3 1 ; 8 8 1 1 c) ; 8 4 5 1 e) ; 8 3
7 3 ; 8 4 3 1 d) ; 8 4
a)
b)
0 3 . In d icar la p pr ro b abi ab ilid ad d e q que ue a l lanzar an zar un d ad o legal ega l, el resul esu ltad o sea: I. 6 puntos. os. II. P untaj untaje no m ayor que 5.
a)
1 1 ; 2 6
b)
1 2 ; 6 3
c)
1 5 ; 6 6
d)
5 5 ; 6 6
e)
5 1 ; 6 3
0 4 . ¿C uál uá les la p ro babi ba bilid ad d e que q ue allanz an zar 2 d ad o s legales el resul resu ltad o sea ... I. ... punt pu ntaje m ayo r que qu e 8? II. ... 6 ó 7 p un to s? 5 1 a) ; 18 36 1 7 c) ; 36 18 7 5 e) ; 18 36
5 11 b) ; 18 36 1 5 d) ; 18 36
0 5 . C alcular la pr p ro babi ba bilid ad d e qu q u e al extraer ae r u na cart carta de de u na b araj araja (5 2 cart cartas, 13 d e cad ca d a pal pa lo ) esta sea: I. C orazón. azón. II. 9 d e trébo éb o l.
a) c)
1 1 ; 52 52
b)
1 9 ; 26 52
d)
3 1 ; 52 52 1 3 ; 4 52
e)
1 1 ; 4 52
0 6 . ¿C uál uá les la p ro babi ba bilid ad d e que q ue al extraer una cart carta d e u n a b araja, aja, el p u n taje d e ést é sta sea ... I. ... m ayor que 8? II. ... un n úm ero p rim o m ayor que 2 ?
a)
2 1 ; 13 52
b)
5 4 ; 13 13
c)
5 5 ; 13 13
d)
3 2 ; 52 13
e)
2 5 ; 13 52
0 7 . H allar la p ro babi ba bilid ad d e o bten btener er un 1 a al l tirar u na vez do s dad os: os:
a)
1 36
b)
5 18
d)
10 18
e)
1 18
c)
11 36
08 . U na u rna cont co nti iene 3 b o las blancas y 5 negras. negras. Se saca un a bo la, ¿cuál es la p ro babi ba bilid ad d e q ue sea negra? n egra?
a)
5 8
b)
1 4
d)
3 8
e)
3 4
c)
1 8
0 9 . S ise lanz an za un d ad o, ¿cuál ¿cuá les la pro pro babi ba bilid ad d e que qu e no salga 6 ?
a)
1 6
b)
4 6
d)
1 3
e)
1 5
c)
5 6
1 0 . S e escr escribe al a lazar un nú m ero ero d e d do os c ci ifras. ¿C uál uá les la pro pro babi ba bilid ad qu e di d icho nú m ero ero sea m últiplo d e 5? 5?
a)
1 5
b)
2 5
d)
5 9
e)
2 3
c)
3 5
1 1 . A larro jar tres dad d ad o s,¿cuáles la p ro babi ba bilid ad d e o b tener en er un 3 ; un 4 y un 5 ?
a)
3 29
b)
1 12
d)
1 72
e)
6 21 5
c)
1 36
20 3
R az. M atemático ático
1 2 . S e lanz an za un d ad o, ¿cuál ¿cuá l es la pro pro babi ba bilid ad d e ob tener un pun taje m ayor que 2 ?
a)
1 2
b)
1 3
d)
5 6
e)
1 4
c)
2 3
1 3 . A l lanzar an zar 3 m o ned ne d as al aire, ¿cuál es la p pr ro babi ba bil lid ad de q qu u e lo s tres resu resul ltad o s sean ea n igu ales?
a) d)
1 2
b)
1 8
e)
1 3
c)
1 4
1 10
1 4 . ¿C uál uá l es la p pr ro babi ba bilid ad d e qu e en un a fam ilia d e tres hijo s hayan d o s niño s y una un a n ni iña? ña ?
a)
3 8
b)
1 16
d)
1 18
e)
5 8
c)
1 9
19 . S e lanzan cuat cuatro m on edas en form orm a s si im ultánea. ¿C uál es la p ro b ab ilid ad d e o ob b tener en er u n sello y 3 caras?
a)
1 4
b)
3 16
d)
3 8
e)
1 16
5 a) 9 d)
7 36
4 b) 9 e)
1 c) 9
5 36
16 . E n una urna urna hay 2 5 bol bo las iguales, es, num erada s del1 al 2 5 . U n a per pe rsona son a extr extrae un u n a bo b o la al azar, ¿cuál ¿cuá l es la prob abi ab ilid ad d e qu e la bo b o la extr extraíd a tenga en ga u n núm n úm ero ero qu e sea m últiplo d e 5? 5?
a)
1 5
1 d) 25
b)
3 25
c)
4 25
2 e) 5
17 . A l efectua r el lanz an zam ien to d e do s d ad o s en fo fo rm a sim ultánea, án ea, d eterm erm inar qué qu é sum a de pu nto nto s es m ás probab prob ab le d e ob o b tener en er. a) 5 d) 8
b) 6 e) 9
c) 7
18. S e lanzan anzan 2 m on edas y un dad o. ¿C uál es la pro pro babi ba bilid ad d e que qu e apar ap arezc ezcan an d o s caras caras y un nú m ero ero im par? par? a) 0 ,5 0 0 d ) 0 ,6 00 00
20 4
b ) 0 ,1 2 5 e) 0 ,1 11 11
c) 0 ,2 5 0
1 8
2 0 . E n un a bar b araj aja d e 52 5 2 n aipes, ¿cuá ¿cuál l es la pr p ro babi ba bilid ad d e o btener una carta d e coraz corazon on es con con un valo r m eno r que 7 o un u n valor m ayor que 1 0? 2 51 1 d) 26
9 52 9 e) 26
a)
b)
c)
10 52
21 . ¿C uál es la p pr ro ba bil bilid ad d e qu e al lan zar un d ad o "cargad cargad o ", el resultad o sea u n n úm ero ero prim o ? (S e carga el d ad o d e tal m aner an era a qu e lo s núm nú m ero ero s par pa res tienen en en el trip le d e p o sib ilid ad es d e p resen tarse arse q u e lo s núm eros eros im pares pares) ) 1 6 2 d) 3
5 6 7 e) 12
a) 1 5 . S e lanz an zan 2 d ad o s legales. es. D eterm erm inar na r la pr p ro babi ba bilid ad qu e el p ro d ucto ucto d e lo s pu ntaj ntajes m o strad o s sea sea u n m ú ltiplo d e 3 .
c)
2 2 . ¿C uál uá l es car cartas de I. ... am II. ... u n
b)
c)
5 12
la p pr ro babi ba bil lid ad d e q qu u e al extr extraer a la vez ve z 2 u n a b araja, éstas sean ea n ... bas de d iam antes? es? t tr rébo éb o l y u un n cor co razón azó n ?
a)
1 13 ; 17 10 2
b)
1 5 ; 26 10 2
c)
1 1 ; 26 16 9
d)
1 1 ; 17 26
e)
2 2 ; 17 10 2
23 . E n un a caja se se dispone po ne d e 18 bol bo las num eradas del1 al 1 8 , sise ext ex traen d o s bo las al azar: I. ¿C uál es la prob prob abilidad da d de o btener btener do s núm nú m eros eros pri prim o s? II. ¿C uál uá l es la pr p ro babi ba bilid ad d e obt o btene ener r d o s nú m ero ero s im pa res? es?
a)
1 2 ; 9 9
b)
2 4 ; 51 51
c)
4 1 ; 17 17
d)
7 4 ; 51 17
e)
1 4 ; 51 51
TRILCE
2 4 . D e un a bar b araj aja se sacan al azar 2 nai n aipes, ¿cuá ¿cuál l es la p ro babi ba bilid ad d e qu e lo s do s naipes pe s sean ea n as a ses? 1 a) 13 d)
1 17
2 b) 52 e)
1 c) 22 1
2 5 . S i se tiran o cho m o ned as, ¿cuál ¿cuá l es la pr p ro babi ba bilid ad d e qu e un a y so so lam ente ente un a presente ente cara? cara? 1 16
b)
1 18
d)
1 32
e)
1 24
c)
1 17
26 . U n avión lanza anza una b om ba sob sobr re un terr erreno cuad rado, en e l cu a l e stá in in scri scrito u n cír círcu lo , ¿cu á l es la p ro babi ba bilid ad d e que q ue la bo b o m ba caiga d ent en tro d elcírculo ?
a) d)
2 2 3
b)
1 4
e)
1 2
c)
4
27 . H allar la p pr rob abilid ad de ob tener po r lo m eno s un 1 a al l tirar un a vez d o s d ad o s.
a) d)
11 36
b)
5 36
e)
1 36
c)
1 6
1 3
2 8 . ¿C uál uá les la p pr ro babi ba bilid ad d e qu e al extr extraer d o s cart cartas de u na bar ba raja( 52 cart cartas, 1 3 d e cad a pal pa lo ), éstas sean u na cor co razón zón y la o tra trébo éb o l?
a) d)
13 10 2
b)
13 10 0
e)
13 51
c
1 4
3 52
29 . S e lanza anza en si sim ultaneo u na m on eda y un d ado legal, ¿cuá l es la p ro b ab ilid ad d e q u e e el l resultad o sea u n núm ero no m ayor que 4 en el dado, acom acom pañado d e sello en la m o ned a? 1 a) 2
1 b) 3
2 d) 3
1 e) 4
3 4
b)
1 5
d)
1 4
e)
1 2
c)
5 8
31 . L as letras de la p alabra abra A R C O S se colo can al azar azar en u n a lín ea, ea , ¿cuál ¿cuá les la pr p ro b ab ilid ad d e qu q u e las 2 vo v o cales qu eden ed en jun tas?
1 51
a)
a)
1 c) 6
30 . José, E rick, B ryan , A nto nio, C ésar ésar, R om m el, M art artha, Jessica y Juan Ju an se si sient en tan alred ed o r d e un u n a m esa circul cu lar. C alcular la p ro babi ba bilid ad d e que q ue R o m m el y Jessi Jessica no no se sien ten ju n to s.
a)
2 3
b)
1 3
d)
1 5
e)
2 5
c)
1 6
3 2 . S eis am igos go s har ha rán cola par pa ra c co o m prar prar pan, pa n, ¿cuál es la probab prob abi ilid ad d e qu q u e S téfano, an o, qu e es uno un o d e el e llo s, sea siem p re el p rim ero ero ?
a)
1 6
b)
2 3
d)
1 2
e)
5 6
c)
1 3
3 3 . E n un bai ba ile de d isfraces, aces, se reúnen eú nen 1 0 m atrim o nio s. S i se eligen ge n 2 p erso erso n as al a l azar aza r, ent en to nces la p ro b ab ilid ad d e que q ue las 2 perso nas na s sean m ari arid o y m ujer es :
a)
1 10
b)
1 10 0
d)
1 20 0
e)
1 50
c)
1 19
34 . U na caja conti contiene 30 bo las num nu m erad eradas as del 1 al 30 , ¿cuál ¿cu ál es la p ro b a b ilid ad d e q u e, al sacar al azar un a b o la, resul esu lte p pa ar o m ú ltip lo d e 5 5? ?
a)
7 10
b)
1 10
d)
7 30
e)
3 5
c)
3 10
3 5 . E n un cierto d epó ep ó sito, se tienen en en 5 b o las azules, azules, tres b o las b lan cas y do s b o la s n egras. ¿C u ál es la p ro b ab ilid a d d e q u e al a l ext ex traer ae r u n a b o la al a l azar aza r, ésta sea b lanca an ca o negr neg ra?
a)
1 5
b)
3 10
d)
1 10
e)
1 2
c)
2 5
3 6 . ¿C uál uá l es la p ro babi ba bilid ad d e q que, ue, al sentar entars se 6 am igas en h ilera,C arla;Jéss Jéssi ica y G raciela estén siem p re ju n tas?
a)
2 5
b)
4 5
d)
1 5
e)
3 5
c)
1 6
20 5
R az. M atemático ático
3 7 . E n un a bo b o lsa se tienen en en 4 b o las ro jas y 6 bo las azules. es. S e ext ex trae al azar 3 bo las, un a po p o r u na. na . ¿C u ál es la p ro b ab ilid a d d e que q ue la ter tercer cera a bo la sea ro ja?
a) d)
1 3 3 4
b) e)
1 4
c)
1 6
2 5
3 8 . D e una u na bar ba raja d e nai n aipes pe s, se extr extraen al azar 3 cartas, ¿cuál ¿cuá l es la p ro b ab ilid ad d e q u e las tres cartas sean d el m ism o palo?
a)
d)
2 17
b)
2 25
e)
11 17
c)
11 25
22 17 25
39 . E n u na reunión se encuentran pres present entes 30 hom ho m bres bres y 2 0 m u jeres. S ise eligen ge n a 2 p erso erso n as alazar, ¿cuá ¿cu áles la prob abi ab ilid ad d e q ue las per p ers so n as elegid as sean varón y m ujer? er? 25 a) 49 d)
12 49
2 b) 50 e)
24 c) 49
1 b) 8 15 e) 81
16 c) 8!
1 4
b)
1 6
d)
1 8
e)
1 5
c)
1 7
42 . D e un a bol b olsa que q ue cont co nti iene 6 bo las blancas,4 n egras y 2 ro jas;se sacan saca n 6 b o las alazar. C alcul cu larla p ro b ab ilid ad de q que ue 3 sean blancas, an cas, 2 n egras egras y 1 ro ro ja. 20 a) 13 d)
20 6
10 19 9
10 0 b) 23 1 e)
20 77
1 10 1
b)
11 10 2
d)
1 1010
e)
1 10 2
c)
1 13
4 4 . S e lanz an za un u n d ado ad o "n" veces. veces. ¿C uál uá l es la pr p ro babi ba bilid ad d e qu e sal salga 2 al m eno s una vez en lo s "n" lan zam ient en to s?
a)
5 6
b)
1 c) 1 6
n
1 6
n
5 e) 1 6
5 6
n
c) n
4 5 . H allar la p pr ro babi ba bilid ad d e hacer ha cer una un a tirad a d de e m ás de 15 en u n ti tiro con 3 dado da do s.
a)
17 12 6
b)
17 10 8
d)
19 21 6
e)
19 10 8
c)
17 54
a)
1 27
b)
6 27
d)
5 18
e)
5 21 6
c)
7 27
4 7 . ¿C u ál es la p ro b ab ilid ad d e qu q u e, al tirar alaire "n" veces ve ces una un a m on eda , se o btenga "n" car caras as? ?
41 . U na b o lsa con tiene 5 bo las blancas an cas y 3 n egras. egras. S i sacam o s 4 bo b o las sucesi sucesivam ente ente y no so n d evuel evu eltas a la b o lsa, ¿cuá l es la p ro b ab ilid ad d e q u e éstas sean alternad erna d am ent en te de d e d iferentes erentes col co lo res?
a)
a)
46 . D o s jugad o res A y B ti tiran 3 da d os cada uno . S i A o bti btiene en e 8 p un to s, ¿cuál es la p pr ro b abi ab ilid ad d e q que ue B obtenga obtenga un n úm ero m ayor de pu ntos? os?
11 50
4 0 . N ueve ue ve per pe rsonas son as se sient en tan al a l azar en círculo. ¿C uál uá l es la p ro ba b ilid ad d e qu e d o s perso perso na s en pa rticular qu eden ed en co n tiguas? gua s? 1 a) 4 13 d) 8!
43 . U n grupo grupo de est estudi ud io est está conform orm ado po r 11 niño s y 7 n iñ as. S i se escoge esco gen n 4 estu d ian tes al al azar, ¿cuál ¿cu ál es la proba bilid ad d e que q ue to d o s sean sean niño s?
15 c) 13
a) d)
1 2
n
1 n
2
n
b)
2 8
e)
1 2n
n c) 8 n
48 . S e lanz an za un d ado ad o "car "cargad o ", d e tal m anera anera qu e lo s n ú m ero ero s im p ares tienen en en el trip le d e p po o sib ilid ad es qu que lo s nú m ero ero s par pa res. es. ¿C uá l es la pr p ro ba b ilid ad d e qu q u e el resultad o sea u n núm ero m ayor ayor que 5?
a)
1 6
b)
1 4
d)
5 12
e)
5 6
c)
1 12
4 9 . Tam ara ara seleccio na al azar d o s nú m ero ero s d iferent en tes d el conj co nju nto nto {8; {8 ;9; 10 } y luego ue go lo s sum sum a.C laud au d ia seleccio na al azar do s nú m ero ero d iferen eren tes d el co n ju nto nto
TRILCE
{3 ; 5 ; 6} y lu ego eg o lo s m u ltip lica. ca. ¿C uál uá les la p ro babi ba bilid ad d e q ue elresultad o q ue o b tiene en e Tam ara ara sea m ayo r qu e el resul esult tad o qu e o bti btiene C laud au d ia?
a)
1 9
b)
2 9
d)
4 9
e)
5 9
c)
7 9
50 . Tres Tres seño ras van a d ar a luz con tod tod a seguri seguridad da d en el m es de Feb rero ero d e u n añ o bis bisiesto. ¿C uá l es la p ro babi ba bilid ad d e qu q u e la fecha d e lo s naci na cim ient en to s de lo s tres b ebés sean sea n d istin to s?
a)
67 6 86 1
b)
76 5 86 1
d)
67 8 86 1
e)
66 6 87 1
c)
75 6 86 1
51 . U na p erson a tira d dos os dad os, uno un o d e ellos es un cubo y el o tro un tetraed ro regul egu lar, to m and an d o el n úm ero ero d e la car ca ra in ferio r cua cu an d o se trata d el tetraed ro, ¿cuá ¿cu ál es la pro pro babi ba bilid ad d e qu e la sum sum a d e lo s nú m ero ero s o bteni btenid dos no sea sea m enor que 5? 3 a) 4
4 b) 5
2 d) 5
1 e) 2
3 c) 5
52 . E n una u na u rna, se intr ntro du cen bo las m arcadas arcadas co co n lo s núm eros 1 , 2 y 3. S e extr extrae un a bo b o la, se an o ta el e lnú m ero ero y se devu d evuel elve a la u rn a. E l p ro ceso se repi ep ite tres veces. ve ces. ¿C uál uá l es la pr p ro b abi ab ilid ad d e obt o bten ener er u na sum a to tal d e 6 pun p un to s?
a)
1 9
b)
1 3
d)
21 25
e)
17 27
c)
7 27
53 . L a p pr ro babi ba bilid ad d e qu e E rica ingrese a la U N I es 0,7 0,7 q u e ingrese a la C ató ató lica es e s 0,4 . S i la p ro b ab ilid ad d e q ue n no o in grese grese a n in gun gu n a e es s 0,1 0,1 2 ,h allar la p ro b ab ilid ad d e qu e ingrese a am a m bas ba s a la vez. a) 0 ,4 2 d ) 0 ,4 8
b ) 0 ,2 2 e) 0 ,5 8
c) 0 ,2 4
54 . U n a b olsa co nti ntiene 4 bo las blancas an cas y 2 negras, negras, o tra b o lsa con co n tiene en e 3 bo las bl b la ncas nca s y 5 negr ne gras. as. S e ext e xtr rae una un a b ola d e cada bo lsa. D eterm erm inar na r la p ro babi ba bilid ad d e que q ue am bas ba s sean blancas an cas. . a) d)
1 2
b)
3 4
e)
1 4 1 3
c)
2 3
5 5 . E n una u na caja hay h ay 1 0 bo b o las de bi b illar, d e las cuales 4 son ro jas. S e to m a t tr res pi piezas ezas al azar aza r. D eterm erm ine la p pr ro bab ilidad da d de que qu e p por or lo m eno s una resul esu lte d e co lo r ro jo.
a)
3 5
b)
2 3
d)
7 60
e)
5 6
c)
10 39
56 . D e un a bol b olsa que q ue cont co nti iene 6 bo las blancas, 4 n egras egras y 2 ro jas, se sacan saca n 6 b o las al a l azar aza r. C alcular la p ro b abi ab ilid ad d e que q ue 3 sean b lancas, an cas,2 n egras egras y 1 ro ja.
a)
16 33
b)
14 23
d)
3 31
e)
4 23
c)
20 77
5 7 . S e escogen escog en al azar 4 sillas ent en tre 10 1 0 , d e las cual cua les 6 son d efect efectu u o sas. H a llar la prob ab ilid ad d e q u e 2 exactam ent en te sean d efectuo sas.
a)
2 5
b)
3 5
d)
6 11
e)
3 7
c)
5 7
5 8 . D iez lib ro s d e lo s cual cua les 6 so so n d e física y 4 d e q quí uím ica, se colo can al azar en u n estan te. D eterm eterm in e la p ro b ab ilid ad d e q qu u e lo s lib ro s d de ef fí ísica qu eden ed en jun jun to s.
a)
1 21
b)
1 42
d)
5 42
e)
21 35
c)
4 9
59. U na m on eda cuyas caras est están m arc arcadas con con los los nú m ero ero s 2 y 3 , respectivam ent en te, es tirad a 5 veces. ¿C uál uá l es la p ro b abi ab ilid ad d e o b tener en er u n to tal d e 12 1 2?
a)
25 16
b)
5 16
d)
6 25
e)
5 6
c)
5 4
6 0 . Tres Tres varo varo nes y do s chicas van al cine y encuent encu entr ran un a fila d e 5 asient en to s jun to s en un a m ism a fila d o nd e desean desean acom od ars arse. D eterm erm inar na r cuál cuá l es la prob abi ab ilid ad d e q ue las chicas n o se sient en ten ju n tas.
a)
2 5
b)
3 5
d)
7 9
e)
4 5
c)
5 8
20 7
R az. M atemático ático
Claves l ave ves s
20 8
0 1.
a
31.
e
0 2.
d
32.
a
0 3.
c
33.
b
0 4.
b
34.
e
0 5.
e
35.
e
0 6.
c
36.
d
0 7.
b
37.
e
0 8.
a
38.
e
0 9.
d
39.
c
1 0.
b
40.
a
1 1.
c
41.
c
1 2.
c
42.
e
1 3.
c
43.
b
1 4.
a
44.
e
1 5.
a
45.
a
1 6.
a
46.
c
1 7.
c
47.
a
1 8.
b
48.
c
1 9.
a
49.
d
2 0.
b
50.
c
2 1.
c
51.
a
2 2.
a
52.
c
2 3.
d
53.
b
2 4.
c
54.
b
2 5.
d
55.
e
2 6.
c
56.
c
2 7.
a
57.
e
2 8.
a
58.
b
2 9.
b
59.
b
3 0.
a
60.
b
TRILCE
Capítulo
18
FRACCIONES
INTROD UCC IÓN IÓN H ISTÓRICA ISTÓRICA E lp rim er con co n o cim ient en to acer ace rca de d e las fraccio n es se pr p ro d u ce haci h acia el añ o 2 0 0 0 a. a . d e C . en E gip to. L o s griego eg o s,q u in ce siglo s d espu esp u és, elab o raron aro n con co n aci a cierto las teo rías an an terio res de d e egi egip cio s y ba b ab ilo n io s e hicieron d e el ellas un a verd v erda ad era cienci en cia.
E L N ÚM ÚM E R O R A C I O N A L S egún egú n sabem ab em o s, las ope o per racio nes ne s de sum a, resta y m u ltiplicació n er e ran inter nterna nas s en el con jun to d e lo s núm nú m ero ero s entero ero s. E s d ecir, el resultad o d e sum ar, restar o m u ltip licar d o s n ú m ero ero s ent en tero ero s es si siem p re un u n n ú m ero ero en e n tero. E n cam ca m b io, esto n o o cur cu rría co n la d ivisió n pu p u es, p o r ejem p lo, el resultad o d e la d ivisió n 8 : 3 no n o es un n ú m ero ero ent en tero. N ecesitam o s p o r tan to un conj con jun to m ayo r d e núm n úm ero ero s dond do nd e tam tam bién tenga eng a cab id a la d ivisió n. E ste conj co njunt un to va a ser eld e lo s núm ero ero s racio nal na les a cuya d efinició n llegarem egarem o s en un u n m o m ento. ento. P ara m ed ir suele ser necesar nece sari io fraccio n ar la u n id ad . D e aq a q u í, surge surge la id ea d e n ú m ero ero fraccio n ario : la m itad , la tercer ercera a p arte ... d e la un u n id ad . L as fraccio n es so so n las exp ex p resio n es nu m éricas de d e lo s núm nú m ero ero s fraccio n ario s. S o n nú m ero ero s fraccio nar na rio s:
1 3 4 1 29 ; ; ; ; 2 5 9 1000 10 0 E n to to d as est estas fraccio nes, ne s, el n um erad erad o r (el n úm ero ero qu e ap arece arece sob re la línea ne a d e fracció n ) es m eno en o r q ue el e l d eno en o m in ad o r (el q u e est e stá d ebaj eb ajo ) y, p o r tan to, son p artes de d e la u n id ad .
To d o en Tod ent tero es e s racio n al y po p o r tan to lo s núm nú m eros fra ccio an rio s com co m plem en tan a lo s en ent ter ero o s da n d o lu ga gar r, en ent tre to d o s, al con ju n to d e lo s núm nú m eros racio n ales.
a b
S e le rep rep resen esent ta p o r la let etr ra Q y es: Q
; a ,b
Z
y
b
0
R E P R ES ES E N TA TA C I ÓN ÓN G R Á FI FI C A D E F R A C C I O N E S D ivid im o s un a uni u nid d ad cual cua lqu iera era en 8 p art artes igual gu ales y luego ue go to m am o s 5 p art artes. E l rectángu án gul lo m o strad o repr ep resenta a d icha un id ad . A sí tenem ene m o s: E lto do < > 8 pa par rtes igua gual les 1
1
1
1
1
1
1
1
8
8
8
8
8
8
8
8
Tom am os 5 part partes
C o n respect espe cto al to tal, lo som b read ea d o repr ep resent esen ta cin co o ctavo av o s y escrib irem o s así:
5 8
20 9
R az. M atemático ático
EJERCICIOS 0 1 .¿C u ál d e las sigui gu ient en tes fraccio nes es la m ayo ay o r?
2 I. 3
1 II. 2
07 .En un saló n d e clase, ase, hay 80 alum no s entr entre ho m bres bres y
3 III. 4
3 del d el to tal son m u jeres eres 5 y d e el e llas, 2 0 tienen en en o jo s azul azu les y el resto n egr eg ro s. A d em ás, la cuart cu arta part p arte de d e lo s var va ro n es tienen en en o jo s azul azu les y el e l resto n egr eg ro s. m ujeres. eres.S e sab sabe, e, ad em ás, qu e
a) ¿Q ué par pa rte del d el saló n ti tiene en e oj o jo s azules? b ) ¿Q ué par pa rte de d e las m ujeres eres con o jo s azul azules representan lo s ho m bres con o jo s azules?
0 2 .¿C uánt uá nto o le falta a 2 para p ara ser igua gu ala 5 ? 5 8
¡No o lvi dar! S ea "D "D " m i d inero. 03 .¿C .¿C uán tos cuar cuart tos hay en 16? 16 ? Gasta 2
D
D
Queda
5 3 8 19
D
25
Gana 2
0 4 .¿C u ál es la fr fracció n qu q u e eq u id ista de de
D
D
5 3
1 2 y ? 3 5
8 19
A h o r a tengo
D
25
05 .¿Q .¿Q ué p art arte de
7 3 es ? 9 7
0 8 .Em .E m ilia va al m ercad ercado o con ciert erta can tid ad d e d iner ne ro y
2 de d e su d iner ne ro. S iaún aú n le que q ued d a 5 0 sol so les,¿cuán to 7 llevó al m ercad ercado o?
gasta
06 .¿C .¿C uán to le sobra sobra a
21 0
4 2 para para ser igua gu al a ? 5 7
TRILCE
MEZCLA
0 9 .M arí aría ti tiene 12 0 so les y com pra un a licuad o ra gas ga stand an d o
3 de su d inero nero ; luego ueg o com pra pra u na plancha an cha ga stand an d o 5 2 del resto. ¿C u án to d ine ro le qu ed ó d espu és d e 3 com prar prar la p lancha? an cha?
1 3 .Se .S e m ezcl ezclan 18 litro s d e vino p uro con co n 1 2 litro s de agu a gua. a. S e ex trae d e est e stas m ezcla 1 0 litro s y se ree reem m p laza lo extr extraíd o p o r a gua; gu a; lu ego eg o se ext ex trae 5 litro s de d e la n u eva ev a m ezcl ezcla y tam bién bién se se reem reem plaza por agu a. ¿En qu é relació n están al fin al el vin o y el agu a?
R E D U C C I ÓN ÓN A L A U N I D A D DE TIEMPO 1 4 .D e u n b arril lleno en o d e vi v in o (1 0 0 litro s en to tal), se ext e xtr rae 1 0 .Seba .Se bas stián hace ha ce un a o bra bra en 4 d ías y A less essand an d ro hace ha ce la m ism a o bra bra en 6 d ías, ¿en qu é tiem po term erm inar na rán la o b ra si trab ajan ju n to s?
1 1 1 1 ; ; ; y cad a vez ve z que qu e se se extr extrae se va 4 5 4 5 reem plazand azand o po r agua. ¿C u án to s litro s de d e vi v in o q u ed ó al fin al?
en su cesi cesió n
1 1 .A lex y R o m m elhacen ha cen una u na o bra. bra. S iA lex, trabaj ab ajand an d o so lo d em o ra 6 d ías, ¿en q u é tiem po h arán arán jun to s la o bra, si R o m m el es el d o ble de d e efi eficiente ente q ue A lex?
12 .G eral eraldine h ace un a ob o b ra en 8 d ías y D iana an a la m ism a o b ra en 1 0 d ías. G eral erald in e em pieza la obr o bra a y 2 d ías d espués espu és recibe la ayu d a d e D iana, an a, term erm inand na nd o jun tas la o bra. bra. ¿En ¿E n qué q ué tiem po se concl con cluyó to d a la obr o bra? a?
21 1
R az. M atemático ático
EJERCICI EJERCICI OS PROPU ES ESTOS TOS 0 1 . ¿A cuán to s terci ercio s es igual gua l 27 ?
a) 8 1
d)
b)
27 3
81 2
e) 1 8
02 . ¿C uán to le falta a
en tre
c) 9
a)
11 84
b)
13 84
d)
12 84
e)
14 84
15 84
c)
07 . E l deno m inad or de un a fracci acción excede al num erado r en 6 . S i el d eno m inad na d o r aum au m enta enta en 4, el valo r d e la
2 2 pa p ara ser igua gu al al coci co cien te d e 3 3
fracci racció n ser se ría
3 ? 4
a)
1 3
b)
1 6
c)
2 9
d ) N o le fal falta n ad a
1 . E n to n ces dicha ch a fracció n es: e s: 6
a)
3 9
b)
2 8
d)
4 10
e)
5 11
c)
8 14
0 8 . ¿C u áles la fracció n o rd in aria q u e resulta trip licad a sise agrega agrega a sus do s térm ino s su den om inad or? or?
e) E s m ayo r qu e el coci co cient en te
5 03 . S i m e deben una cantidad igual a los de 720 y m e 9
a)
1 4
b)
2 13
5 pagan pa gan lo s de lo qu e m e deben, ¿cuán ¿cuán to m e deben 8
d)
5 13
e)
2 9
aún? a) 1 5 0 d ) 20 0
b ) 1 00 e) 1 2 0
a) 4 ,4 d ías. b ) 4 ,8 dí días. c) 2 ,5 d ías. d ) 2 d ías. e) 2 d ías, 2 0 h o ras.
04 . D espu espués és de sacar de u n tanq tanq ue 1 600 60 0 litros de agu a, el
2 1 a . ¿C uánt uá ntos 5 3
litro s hab ha b ía qu q u e añ a ñ ad ir p ara llen ar el tan q u e? a) 320 00
b) 4800 0
c) 2400 24 00 0
d) 1600 0
10 . X iom ara ara ha ce un tr trabajo en 12 d ías y D iego h ace el el m ism o trabaj ab ajo en 60 d ías. D espués espu és de tr trabaj ab ajar jun to s d urante urante 2 d ías, se retira X io m ara. ara. ¿En ¿E n q u é tiem p o term erm in ará D iego la p arte q u e fal falta? a) 2 5 d ías c) 5 0 d ías e) 48 d ías
e) 12 000 00 0 05 . U na p ropi op iedad es de 2 herm herm ano s. L a par p art te del pri prim ero es
7 d e la p ro p ied a d y el va lo r d e la p arte 16
correspo nd ient en te al o tro her h erm m ano an o es e s S /. 63 0 00 . ¿Q ué val va lo r tiene en e la prop iedad ed ad ? a) S /. 1 2 0 0 0 0 c) S /. 1 0 8 0 0 0 e) S /. 1 40 00 0
b ) S /. 1 5 0 0 0 0 d ) S /. 1 1 2 0 0 0
06 . ¿C uál es elqueb rado cuyo valor es m ayor que
m enor que
1 ? 6
S e sabe sabe qu e su su d eno m inad or es 84.
21 2
1 5
09 . A nd rea pu ede h acer una obr ob ra en 8 d ías y B elind a la m ism a ob ra en 12 1 2 dí d ías. ¿En q ué tiem po term erm inar na rán la o b ra si es qu q u e trab ajan ju n tas?
c) 1 2 5
nivel d e la m ism a des d escend cend ió d e
c)
b ) 3 6 d ías d ) 1 4 d ías
1 1 . D e un d epó ep ó sito d e 64 6 4 litro s de vino y 16 litro s d e agu a, se extr extraen 20 litro s de la m ezcla y se reem reem p la za co n agua agu a y nu evam ente ente se sacan sacan 20 litro s d e la nuev n ueva a m ezcl ezcla y son son reem plazad azadas as por agua . ¿C u ánt án to s litro s de vin o y d e agu a gua a h ay en la últim a m ezcl ezcla? a) 3 0 y 5 0 c) 3 6 y 4 4 e) 34 y 46
1 per pe ro 7 12 .
b) 48 y 3 2 d ) 27 y 5 3
2 del d el d in ero 7 q ue le encar en cargaron garon . ¿Q ué par p art te de d e lo q ue q ued ue d a servirá p ara ara rep repo o n er lo p erd erd id o ?
B etty d istraída, da , com o siem pre, pre, perdi perdió ó
TRILCE
2 a) 3 2 d) 5
3 b) 5 5 e) 7
5 part p artes de d e un u n estan q u e está lleno en o con co n agu ag u a, sise 6
1 8. 8 . L as as
2 c) 7
ext extrae lo s
3 del d el con teni en id o, ¿qu é p arte d el estan q ue 8
qued ó vacío?
1 part parte del d el núm ero ero de h om bres bres es 5
13 . E n una u na fi fiest esta la
igu al a lo s
7 del núm nú m ero ero d e m ujeres. es. ¿Q ué pa rte de 9
lo s reu n id o s rep resen tan las m u jeres?
a)
9 22
b)
17 40
d)
5 27
e)
9 44
c)
3 20
3 11
d) 3
b) 3
2 3
e) 3
1 2
c) 3
7 11
5 48
d)
5 8
e)
25 48
a)
2 3
b)
4 3
d)
3 2
e)
5 3
2 0. 0 . L os os
8 d el reco rrid o ? 15 6 b) 13 5 e) 13
15 48
2 5
c)
3 4
3 2 2 2 de del d el trip le d e A es igu ala lo s de A . 5 9 15
¿en cuá n to tiem p o se llen arán las
a) 2 d) 3
2 p artes d el 3
estan q ue? ue ? a) 4 h o ras b ) 5 h o ras c) 6 h o ras d ) 5 h o ras 3 0 m in u to s e) 6 h oras oras 30 m inut nu tos 1 7 .S e llena en a u n recip ient en te d e 8 litro s con con 5 litro s de d e al a lcoh co h o l y el resto con co n agu a gu a . S e ut u tiliza un u n a cu a rta p arte d e la m ezcl ezcla y se reem reem plaza aza con co n agua. agua . ¿C u án to s litro s de d e al a lcoh co h o l q u ed a en el recip ient en te?
c) 5
2 1 . L aur au ra es e s el trip le d e ráp rápi id a qu e L uis uis. S i jun to s hacen ha cen un a o bra en 2 4 d ías, ¿en q ué tiem p o la h arí aría L uis uis trab ajan d o sol so lo ? (E n d ías) b ) 96 e) 5 0
c) 3 2
22 . U n caño A llena u n reci recipiente ente en 5 ho ras, as, un caño B lo llena en a en 8 h o ras,m ient en tras que q ue el d esagüe esagü e C lo vacía en en 6 h o ras. S i se ab ren lo s 3 a la vez vez estan d o el e lrecip ient en te llen o h asta la
1 p art arte, ¿en cuán cu ánt to tiem p o term erm in ará ará d e 3
llen a rse?
a) 6
c) 1,5
b) 7 e) 8
a) 2 5 d ) 100
8 c) 15
16 . D e los tres caño s qu e fluyen a un est estanqu an qu e, un o d e ello s lo p u ed e llenar en ar sólo en 3 6 h o ras, o tro en 3 0 h o ras y el e l o tro en 2 0 h o ras; ab riend en d o lo s tres caño cañ o s a la vez,
b) 2 e) 3,75
c)
H allar el val va lo r d e A .
fracció n d e lo q u e le falta d ebe eb e ava a van n zar p ara llega eg ar a lo s
a) 2,5 d) 3
b)
pa rtes tienen en en m o chilas. ¿Q u é fracció n d e lo s que qu e no no tienen en en m o chi ch ilas, tien en m o chi ch ilas?
1 15. U na persona ya ava avanz nzó ó de d e su reco recor rrid o. ¿Q ué 5
5 a) 12 7 d) 12
23 48
19 . E n un a aula de d e TR IL C E hay 60 est estud iantes antes, , las
14 . Federi Federico pued e hacer una obr ob ra en 1 2 d ías y A m érico pu ede ed e hacer ha cerla m ism a obr o bra a en 10 d ías.Feder Fed eri ico em pieza la o b ra d u ran te 4 d ías, lu ego recibe la a yu d a d e A m éri érico, term erm inand na nd o jun to s la o bra. ¿En ¿E n qu é tiem po term erm inar na rán la part p arte que q ue falta d e la o bra?
a) 7
a)
d) 3
6 19
b) 4
4 19
c)
17 12 0
e) 4
2 3 . D e un u n fr frasco lleno en o d e ácid o, se extrae la cuart cu arta p arte, qu e se reem plaza con co n agu a; d espués, espu és, se vacía las
p artes y se llena en a con co n agu ag u a, p ero ero sólo h asta las
3 4
2 de su 3
capaci cap acid ad . ¿E n q u é rel relació n est e stán m ezclad o s al fin al el ácid o y el agu a?
21 3
R az. M atemático ático
3 a) 16 d)
9 23
23 b) 48 e)
29 . W alter y M art artín p ued en term erm inar una o bra bra en 1 2 d ías. as. D espués espu és de habe ha ber r trabaj ab ajad o jun to s 4 dí d ías, W alter cae enf en ferm erm o y M artín acab a caba a eltrabaj ab ajo en 40 d ías. S iW alter h ub iera era trabaj ab ajad o solo. ¿En ¿E n cuán cuá n to s d ías hu b iera era hecho h echo la o b ra?
16 c) 23
23 9
a) 2 4 d ) 30
2 4 . S i el largo argo d e un rectángu án gul lo d ism inuye nu ye en un qu into nto y el ancho an cho aum au m ent en ta en su m itad , ¿qué ¿qu é par pa rte es el área área in icial respe resp ecto d el área fin al?
1 a) 4 4 d) 5
2 b) 3 5 e) 8
30 . S ia los térm érm ino s de
5 c) 6
1 pa p arte y se 4
llena en a con co n agu ag u a, p ero ero esta vez ve z só só lo h asta lo s
a) 2 0 0 y 50 50 0 c) 1 5 0 y 55 55 0 e) 250 y 450
7 16 7 d) 19
7 18 5 e) 19 b)
c)
5 de d e su 6
5 18
a) 2 2 d ) 20 32 .
b ) 45 e) 2 8
c) 2 0
27 . Se ext extraen 40 0 de d e un u n tan tanq q ue qu e estaba ab a lleno en o has ha sta
2 3 , qu edan ed and d o has ha sta sus . ¿C ¿C u án to s litros ros faltan 3 5
a) 3600
b) 6000
d) 2400
e) 2000
c) 1200
2 8 . L a di d istanci an cia entr entre Li L im a y Truj Trujillo es de 54 0 K m . A lo s
2 de d e la car carretera, a part p artird e L im a,está situ ad a la ciu d ad 3 d e C asm a; a la q uint uinta a p art arte d e la d istanci an cia ent en tre L im a y C asm a, a par p art tir d e L im a, se encuen encue n tra la ciud ad d e C hancay. ha ncay. ¿C uál uá les la di d istanci an cia ent en tre C hancay ha ncay y C asm a?
21 4
c) 2
b ) 72 K m d ) 4 32 K m
2 . 3
D ar com o respuest espu esta la d iferen erenci cia d e lo s térm érm in o s. a) 4 d) 7
b) 5 e) 8
c) 6
33 . U n autom ovilista o bser bserva q ue
1 de d e lo qu e ha h a recor eco rrid o 5
3 de d e lo q u e le falta p o r reco rrer, ¿cuán ¿cu án tas 5
ho ras habr ha brá á em plead o h asta el m om ento, ento, si tod o el viaje lo h ace en 12 h o ras? a) 9 d) 3
p ara llena en ar el tan q u e?
a) 2 8 8 K m c) 3 6 0 K m e) 180 K m
b) 2 8 e) 4
E l prod prod ucto d e los do s térm ino s de u na fr fracció n es
equ eq u ival va le a
sus
b ) 2 0 0 y 60 60 0 d ) 1 0 0 y 60 60 0
2 1 6 . H allar la fr fracció n sies equ eq u ival va lent en te a
26 . U n albañ il y su su ayud ante ante pued en ha cer cer una obr ob ra en 12 d ías. D espués espu és d e ha ber be r trabaj ab ajad o ju nto nto s d urante urante 6 d ías, se retira el ayu d an te y el alb añ ilterm in a lo q u e le falta de d e la obra o bra en 1 0 d ías. ¿En ¿E n cuán cu ánt to s d ías pued pu ede e hacer ha cer el ayud ay ud ant an te to to d a la o bra trabaj ab ajand an d o solo ? a) 2 5 d ) 30
2 le aum entam os 2 núm eros que 5
31 . E n un salón d e 50 alum no s, se observa qu e la sépt sépti im a p art arte d e las m ujer ujeres es so so n ru bias y la o n ceava par pa rte d e lo s ho m bres bres usan lentes entes. . ¿C uánt uá nto o s ho m bres no usan len tes?
capaci cap acid ad . ¿E n q u é rel relació n est e stán m ezclad o s al fin al el agu a y el e lácid o ?
a)
c) 4 0
sum an 7 0 0 resulta u n a fracció n equ eq u ival va lent en te a la o rigin al. ¿C uál uá les son lo s núm eros? eros?
1 2 5 . D e un frasco lleno en o d e ácid o, se extrae la pa p arte y se 5 reem plaza po p o r agua ag ua; ; d espués espu és se vací va cía la
b) 1 5 e) 6 0
b) 4 e) 5
c) 7
34 . Tres Tres ho m bres bres hacen un tr trab ajo en 4 d ías.S abi ab iend o q ue el prim ero ero sólo lo har ha ría en e n 9 d ías y el segund egu nd o en 1 2 . ¿Q u é tiem po tard ard a ría el tercer ercero o trab ajan d o so lo ? (en d ías) a) 1 6 d ) 15
b) 2 0 e) 2 4
c) 1 8
3 5 . A y B pued pu eden en realizar ciert erto trabaj ab ajo en 4 d ías. B y C pu eden ed en h acerl acerlo en 6 d ías y A y C pu eden ed en efect efectuar ua rlo en 8 d ías. ¿Q u é ti tiem p o u tilizarán lo s tres ju n to s en real ea lizar ese trab ajo ?
TRILCE
a) 3 d d) 3
c) 3
b) 4
1 2
e) 1
9 13
4 1 . H allar una un a fr fracció n tal q ue sile agr a gregam ega m o s su su cub cu b o, la sum a q ue resulta es igual gu al al cubo cub o d e la m ism a fracció n m u ltip licad cad a po po r 34 . 9
11 13
3 6 . U na cañería llena una un a pi p iscina en 4 ho ras y otra la pued p ued e d ejar vacía en e n 6 ho ras. ¿E n q u é tiem p o p u ed e llenars en arse e la p isci scin a, si la cañerí cañ ería de desagüe se abre abre 1 ho ra d espu espués és? ? a) 1 1 h o ras c) 9 h o ras e) 13 ho ras
b ) 1 2 h o ras d ) 1 0 h o ras
3 4 4 d) 7
1 2 1 d) 3
2 3 3 e) 4 b)
c)
1 4
b)
4 2 . U n reci recipiente ente está vací va cío
3 7 . S ilvia viajó en a vió n d e L im a a M iam i (vuel vue lo en línea ne a recta). ecta). D espué esp ués s d e la m ita d d el recor eco rrid o se qu ed ó d o rm id a y cuan cu and d o d espertó aún aú n le fal faltaba ab a recor eco rrer la m itad d el cam ino qu e recor recorr rió m ientr entras do rm ía. ¿Q u é part p arte d e la d istan cia en e n tre L im a y M iam i viajó do rm ida?
a)
3 5 3 e) 7
a)
extrae
c)
8 17
3 de lo q u e está lleno. en o. S e 4
3 de d e lo que qu e no se extrae, qu edan ed and d o só lo 25 5
litro s. H allar la ca cap acid ad d el reci ecip ien te. a) 7 0 L d ) 68 L
43 .
b) 72 L e) 6 4 L
D esi esiré gasta
c) 8 4 L
1 1 del d el d in ero ero q ue tiene en e y gan a de d e lo 3 3
q ue qu eda. ed a. S i ha per pe rd id o en to tal 12 d ó lares, ares,¿cuán to ten ía al a l p rin cip io ?
38 .
U n paño pa ño est está d ivid id o en 3 p art artes igual gua les: es: pri principio,
4 2 m ed io y fin . S i lo s del d el p rin cip io y lo s de d el fin al 7 5 1 son n egros y el e lresto b lan co, h alle cuán cu án to m id e del 6 m edi ed io, sila p arte bl b lanca an ca m id e 12. 1 2.
a)
42 0 71
70 d) 71
b) 2
3 1 de d e esto s apr ap ro b aron , d e lo s cual cua les só só lo tu vieron ero n 7 4 no tas m ayores ayores que 1 5. ¿C uánt uá nto o s diero ero n exam exa m en, en , silo s qu e ti tienen en en n o tas arriba de 15 son 6? c) 2 8
40 . E n u na reun reun ió n habí h abían 240 pers perso nas. S e fueron ueron los
3 5 y lu ego lo s d e los que qued aban . ¿C uán tos 5 8 q ued ue d an fi fin alm ent en te en la reu reuni nió n? a) 5 4 d ) 48
b) 3 6 e) 2 4
c) 1 4 4
44 . ¿C uán uá n tos litros de d e vino vino h ay q ue agregar agregar a un bar ba rril d o nd e hay h ay 5 litro s de vi v in o p o r cada cad a 4 litro s de agu a gua, a, par pa ra qu q u e resul resulte un a m ezcla d e 180 1 80 litro s; en d o n d e p o r cad a 9 litro s de m ezcla h ay 7 litro s de vin o ? a) 7 0 d ) 75
e) 0 ,9
b) 5 6 e) 1 6
b ) 1 20 e) 5 4
c) 2 5
2 39 . E n un salón d e "x" alum no s, di d ieron eron exam en y los 3
a) 8 4 d ) 14
a) 1 0 8 d ) 132
c) 3 2
b ) 80 e) 1 0 0
c) 9 0
4 5 . S e vend ven d e u un nt tel eleviso r alcont con tad o ;con lo s
se com pra pra una u na p lan cha y con las
2 del d elim p o rte 3
3 del d el re sto , u n 7
jugu ug u ete; lo qu e que q ued d a se dep d epo o sita en el b anco. an co. ¿C u án to se d epo ep o sitó en el ba nco, nco , si la p lan cha y el jugue ug uet te ju ju nto nto s costaro aro n 7 6 5? a) 1 5 0 d ) 180
b ) 1 60 e) 1 9 6
46 . Yo poseo poseo los
vendo
c) 1 8 5
3 de un a haci h aciend en d a llam ad a "P "P araí araíso". so". S i 5
5 de d e m i par pa rte;cC uál uá les son correctas? 8
9 d e la haci ha ciend a. 40 5 II. M e quedan los de d e m i par pa rte. 8 1 III. Ven dí m eno s de del d el to tal d e la h acien aciend d a. 4 I. M e q ue ued an an
21 5
R az. M atemático ático
a) S ó lo I. c) S ól ólo III. e) IIy III.
5 2 . Tres Tres tub erí erías "A ", "B " y "C "C " fu ncio nand na nd o jun tas, p ued ue d en llenar en ar la m itad d e un tan qu e en cuat cua tro h o ras. S i fu n cio n an sólo "A " y "B "B ",p u ed en llenar en ar to d o elestan q u e en 1 0 h o ras; y si fu n cio n an "B " y "C ", lo llena en a en 1 5 horas.
b ) S ó lo II. d )I y II.
47 . S e d istribuyó 30 0 de d e gaso g asol lin a en e n tre 3 d epó ep ó sito s, en 3 p artes igua gu a les. E l p rim ero se llena en a hast h asta sus su s y el 5 3 segun egu n d o h asta lo s . ¿Q u é fracció n d eltercer d epó ep ó sito 4 se llenará en ará sisu cap acid ad es la sum su m a de d e las capaci cap acid ad es d e lo s 2 pr p rim ero ero s?
¿E n cuá cu án tas ho h o ras llena en ará la tercer tercera a p arte del d el tan q u e la tu b ería "B ", si fu n cio n a sol so la? a) 1 2 h o ras
b ) 8 h o ras
c) 6 h o ras
d ) 9 h o ras
e) 3 ho ras
1 3 11 d) 15 a)
2 5 1 e) 4 b)
c)
27 20
53 .
b) 24
d) 30
e) 27
49 .
2 de d el to ta l. L o s fó sfo ros ros 7 usado s en la pri prim era era son 1 3 m ás que d e la segun segunda da y qu eda ed a en la segund segun d a caja
a) 5 6 y 2 8 c) 2 8 y 5 6 e) 30 y 12
1 de d e lo qu e no n o est está 3
54 .
1 de lo q ue n o se vacía. ¿Q ué p art arte 8 d el vol vo lum en d el d epó sito qu edar ed ará á con líqui qu id o ? llen o, se va vacía
2 7 3 d) 8
2 9 8 e) 27 b)
c)
1 7
50 . ¿C u án tas fr fraccio accio n es prop ias e irred ucti uctibles bles d e d eno m inad na d o r 25 0 exis existen, en , tal qu e su su núm n úm ero ero sea de de 3 cifras? ras? a) 6 0
b ) 45
d ) 30
e) 7 0
c) 1 0
3 de d e lo 5
q u e lleva , en el cua rto suben sub en 5 0 p asaj asa jero ero s y en el el trayect ay ecto al q u in to p aradero arad ero d eja lo s
3 de d e lo s que qu e lleva, ev a, 8
llegan ega n d o a est e ste co n 8 0 p asajero ero s. D eterm in e, con co n cuán cu án to s p asajeros par pa rtió : a) 2 0 0
b ) 1 95
d ) 19 0
e) 3 2 0
21 6
c) 3 0 0
b) 19 y 1 4 d ) 14 y 1 9
2 D e un recipiente, ente, se sab sabe e que qu e está vacío lo s de d e lo 3 2 q ue n o está vací va cío. L uego ue go se extrae de lo q ue n o se 5 1 extr extra e y fi fin alm ent en te n o se elim in a de d e lo qu e se 4 elim in a. S i luego ue go d e est e sto q u ed ó 1 5 litro s de agu a, ¿qu é cap acid acid ad d el recip ien te e stu vo va cío al com ienzo? enzo? a) 35 d) 175
b) 70 e) 75
c) 10
55 . U n o brer brero p uede hacer una ob ra en 9 día;, luego d e 4 d ías recib e un ayu d ant an te, term erm inand na nd o la o b ra en 2 d ías. E l ayu ay u d an te trab ajan d o sol so lo, ¿cuá n to s d ías em p lear ea ría en h acer la o bra? a) 5 d ) 12
5 1 . U n tranví an vía par pa rte co co n ciert erto núm n úm ero ero d e pasajero ero s. E n el p rim er p arad ero d eja la ter tercera cera part p arte, en el segun segu n d o suben sub en 6 5 p asaj asa jero ero s, en el tercero b a jan lo s
4 de d e fó sfo ro s qu e qu eda ed a 7
en la p rim era. era. ¿C u án to s fó sfo ro s tiene en e cad ca d a caj ca ja?
c) 18
S ide u n d epósito que est está lleno
a)
3 8
d el to tal y de d e la segu seg u n d a
4 8 . S e tiene en e un u n b arril lleno en o d e vin o. S e sacan 9 litro s y se reem plazan po r agu a, per pe ro se sacan sacan 9 litro s d e la n ueva ue va m ezcla y tam bién bién se reem p lazan p o ragu a. S ifinal na lm ent en te la relació n ent en tre la can tid ad d e vino y agu a es e s com o 4 es a 5 , h allar la cap ca p acid ad d el b arril. a) 21
S e tiene 2 cajas de fó sfo ro s: se us u sa d e la pr p rim era era
56 .
b) 6 e) 1 8
c) 8
U na p ersona on a dem d em ora ora 80 s, en llegar al segund o n ivel d el aerop u ert erto, subi sub iend en d o p o r la escalera m ecán ica d eteni en id a. S i la escal e scalera estu viera en m o vim ient en to y la perso na d etenid a dem d em o ra 48 s, ¿cuá ¿cuánt nto o d em o rarí aría si cam ina so bre bre la escalera era en m o vim iento ento ? a) 1 5 s d ) 30 s
b) 45 s e) 1 0 s
c) 2 0 s
TRILCE
57 . D o s albañ iles pu eden construir un m uro uro en 2 0 d ías; as; p ero ero tr trabaj ab ajand an d o p o r separado, separad o, un o tardarí tardaría 9 d ías m ás q u e el o tro. ¿Q u é tiem po tard ard ará est este o tro ? a) 3 6 d ías c) 4 5 d ías e) 5 4 d ías
d e lo s
S i se m ueren ueren
1 2 del d el nú m ero ero d e aves, a ves, d el cual cua l son 3 3
p o llo s y el el resto gal ga llin as, ¿cuá ¿cu ál sería la n u eva ev a relació n ent en tre el e l n ú m ero d e p o llo s y gal ga llin as?
b ) 4 0 d ías d ) 4 8 d ías
58 . U n galón de pi p intur ntura a ri rind e para para 30 m
5 9 . E n un corral, la relació n en e n tre el n úm ero ero d e po llo s y el núm nú m ero ero d e gal ga llinas na s es co co m o 3 es a 5 respect espectivam ente. ente.
2
. S i con co n lo s
2 5
a)
19 29
b)
29 19
d)
3 13
e)
11 37
3 2 4 de d e 8 galo nes ne s se ha h a pi p intad ntad o lo s de d e lo s 4 3 5
d e un u n a p ared, ared , ¿cuál ¿cuá l es la sup su p erficie d e di d icha p ared? ared ? a) 720 m 2
b) 27 0 m
c) 135 m 2
d) 13,5 m
e) 15 ,5 m
2
60 . H e gas gastado los
2
2
lo s
c)
13 21
5 de d e m i d in ero. ero. S i en lugar ug ar d e gas ga star 8
5 2 hu h u b iera era gas ga sta d o lo s de d e m i d in ero, tend en d ría 8 5
aho ah o ra 72 7 2 soles m ás de lo q ue tengo. eng o. ¿C uánt uá nto o no gasté? a) S /. 1 00 00 d) S/. S/. 125
b ) S /. 1 0 e) S/. S/. 130
c) S /. 1 20 20
21 7
R az. M atemático ático
Claves l ave ves s
21 8
01.
a
31.
d
02.
c
32.
c
03.
a
33.
a
04.
d
34.
c
05.
d
35.
c
06.
b
36.
d
07.
b
37.
d
08.
c
38.
d
09.
b
39.
b
10.
e
40.
b
11.
c
41.
b
12.
d
42.
a
13.
e
43.
a
14.
c
44.
c
15.
a
45.
d
16.
c
46.
a
17.
e
47.
a
18.
a
48.
e
19.
a
49.
b
20.
d
50.
a
21.
b
51.
b
22.
b
52.
b
23.
d
53.
a
24.
c
54.
b
25.
b
55.
d
26.
d
56.
a
27.
d
57.
c
28.
a
58.
e
29.
b
59.
c
30.
a
60.
d
TRILCE
Capítulo
19
PORC PO RCEEN TAJ ES
TA N T O P O R CUANTO Definición: E s el n úm ero ero d e par p art tes igual gu ales que qu e se to m an d e la uni u nid d ad , d ivid id a en cual cua lq uier n úm ero ero d e par p art tes igual gu ales. Notación: n m
Par Pa rtes q u e se to m an (Tan Tant to ) Total d e p artes (C u an Total ant to )
"E l n por m ", esto signi gn ifica q u e se to to m an "n " p artes po p o r cada cad a "m " p artes. Se lee: "El
Se repr esenta: esenta: Tod To do 1 m
1 m
1 m
1 m
“ m ”p artes ....
1 m
1 m
1 ....
1 m
“ n”p arte rtes s
O sea: sea: n
1 m
n m
Ejemplos:
0 1 .C alcular el 5 p o r 8 d e 24. 2 4.
Resolución:
0 2 .¿Q ué tant an to p o r siete de d e 21 2 1 es e s igual gu al a 30? 3 0?
Resolución:
21 9
R az. M atemático ático
TA N T O P O R C I E N T O Definición: E s el n úm ero ero d e par p art tes igual gu ales que qu e se to m an d e cad a 1 0 0 p artes igual gu ales, en qu e ha h a sid o d ivid id a la un u n id ad . Notación: n 1 00
Pa rtes q u e se to m an (Tan Par Tant to ) Tot To ta ld e p artes (C ien en) )
"E l n po p o r ci cient en to ", esto signi gn ifica q u e se to m an "n " p artes po p o r cad a 1 0 0 p artes. Se lee: "El
Se repr esenta: esenta: Tod o
10 0 par part tes 1
1 1 1 1 1 1 1 .... .... 100 100 100 100 100 100 100 “ n”p arte rtes s
O sea: sea:
n 100
n %
n 100
n%
n 100
n
1 100
OBSERVACIONES: * Tod a cant can tid ad inicial repres epresent enta el 100% 10 0% de sí m ism a. * A tod o aum ento po rcentual se le sum sum a el100% . * A tod o descuen descuen to p orcent orcentual se le rest esta d el 100% 10 0% . * E l 100% equivale a la unidad. A P L I C A C I ÓN ÓN D E L TA TA N T O P O R C I E N T O C u an d o se apl ap lica el tan to p o r cient en to (a% ) a un u n a can ca n tid ad (b ) resulta. a% (b) = c en to d e b es c". Se lee: "E la p o r cient a (b ) c Se escri escri be: 10 0 Ejemplos: 01 .E l80% de 90 es :
Resolución:
02 .En el5to. 5to. C del C olegio T R IL C E hay 45 alum no s, de los cuales el 20% 20 % son m ujeres. es. ¿C uán tos hom bres bres hay en d icho saló n ?
Resolución:
22 0
TRILCE
P O R C E N TA TA J E D E P O R C E N TA TA J E L as pal pa lab ras : "d e, d el y d e lo s" signi gn ifica m atem atem áti áticam ent en te m u ltip licaci cació n . Ejemplos 01 .E l 20% del 80% de 400 es: es:
0 2 .¿Q .¿Q ué p o rcentaje del de l cuád rup le de d e la m itad d el 60 % d e un n úm ero es el30% de los
Resolución:
2 del núm ero? 5
Resolución:
DESCUENTOS Y AUMENTOS SUCESIVOS Ejemplos:
01 .D os descuent descuento o s sucesi ucesivos del 30 % y 40 % . ¿A qu é d escue escu en to in icial equ eq u ival va le?. e?.
Resolución:
02 .Tres increm entos entos sucesi ucesivos del 20 % , 30% 30 % y 50% . ¿A qué qu é úni ú nico aum a um ento ento equ ivale?.
Resolución:
VARIACI ÓN PORCENTUAL Tod To d a can tid ad con co n stan te q u e m u ltip lica o d ivid a se elim in a, trab ajan d o así con co n la p arte resultan te (las variab les). es). Ejemplos:
01 .Si N aum enta en 20% , ¿en ¿en qué por po rcent centaje aum enta la sigu ien te exp e xp resio n ? E
3 N 2 Sen 30 º
0 2 .El .E l área área d el triángul án gulo d ism inu ye en un 28 % , a p esar esar d e que su altura ura au m enta en 6 0% . ¿En ¿E n qu é po p o rcentaje d ism inu ye la b ase?
Resolución:
Resolución:
22 1
R az. M atemático ático
MEZCLA PORCENTUAL Ejemplos: 0 1 .¿C u án to s litro s de a gua gu a se d ebe eb e añ ad ir a 10 1 0 litro s d e alcoh o l qu e es 95 % pu ro, par pa ra o bten btener er un a solució n que sea sea 50% puro? puro?
0 2 .Se .S e m ezclan 30 litro s de a lcoho co ho l al 8 0% con 20 litro s de alcoho coh o l al 50 % . L a co n cent cen tració n d e la m ezcla fi fin al es :
Resolución: Resolución:
22 2
TRILCE
EJERCICIOS PROPUESTOS 01 . C alcular el 20% del 30% del 80% del 50 po r 80 d e 8000. a) 2 4 0 d ) 2 80
b) 2 7 0 e) 2 6 0
c) 2 5 0
02 . Tenía 20 lápices. ces. D i a m i herm herm ano E nri nrique qu e el30% 30 % , a m ipri prim o O rland o el20% y a m iam igo H éct éctor el10% . ¿C uán tos lápices ápices m e qu eda ron ? a) 8 d ) 16
b) 1 4 e) 1 2
c) 1 0
03 . A ctualm ente ente C arm arm en tiene "x" "x" año s, d entro d e 5 añ os, su edad habrá habrá aum entado, en 20% . ¿C uál uá les su edad ed ad actual ua l? a) 2 0 d ) 36
b) 3 5 e) 3 0
b ) 6 7 ,6 % e) 4 0 %
b) 4 8% e) 4 6 %
c) 6 5 ,6 %
c) 4 4 %
06 . D os desc descuentos uentos suces sucesi ivos del 20% y 30% , seguido s po r un increm ento de d e 50% , ¿a qué ún ico aum ento o d escuent escuen to equi eq uival vale? a) 16 1 6% d ) + 1 6%
b) + 2 % e) 8%
c) 12%
07 . S i ellargo argo d e un rect ectángulo aum enta en 50% , ¿en ¿en q ué p o rcentaj centaje se deb de b e red reduci ucir su ancho an cho par pa ra q ue su área se increm ncrem ente en 5% ? a) 2 0 % d ) 30%
b) 1 0% e) 5 %
b ) 9 12 e) 6 7 3
a) 6 4 % d ) 51 %
b ) 30 % e) 4 9 %
b) 15 L e) 1 3 L
b ) 1 2 ,5 L e) 10, 10,0 L
b) 2 0% e) 1 9 %
c) 1 1 ,5 L
1 3 . S i la b ase de d e un u n tr triángu án gul lo d ism inu ye en 30 % , la al a ltura aum enta en en 10% . ¿E n q u é tan to p o r cient en to var va ría el e lárea? a) 2 0 % d ) 24 %
b ) 22 % e) 2 3 %
c) 2 1 %
14 . U na señor seño ra lleva 20 0 0 vasos de vidri drio al m ercado ercado y encuen en cuen tra qu e el e l 1 0% estab a a stillad o, y sól só lo p ud o vend er el 60% 60 % de los buen os. ¿C uánt uá nto s qued aron aron sin ven d er? er? a) 9 7 0 d ) 780
b ) 9 20 e) 1 0 8 0
c) 7 2 0
15 . S i la base b ase de un u n tr triángul án gulo o au a u m enta enta 20 % y la altura ura d ism inu ye 4 0% , ¿en q ué po rcentaje var va ría su área? área? a) A u m en ta 7 2 % b ) D ism in u ye ye 2 8% 8% c) D ism inuye 30% 30% d) A um enta 28% e) D ism inuye nu ye 72% 72 % 16 . ¿E n qu é p o rcentaj centaje e au m en ta el área área d el círculo som breado, si R aum enta 40% ?
c) 4 0 %
R
1m
2m 3m
c) 1 0 L
4m
09 . S i el área área d e u n círculo d ism inu ye 19 % , ¿en q ué p o rcent cen taje d ism in uye uy e su radi rad io ? a) 1 0 % d ) 8%
c) 7 0 %
12 . S i 20 litros de agua con tiene 30% de sal, ¿cuá n to d e agu a se deb e evap o rar pa ra que q ue la nue n ueva va solu ció n contenga contenga 80 % de sal?
08 . S e tiene 2 0 litros de u na m ezcl ezcla d e agua agu a y salal15% 15 % de sal. Par Pa ra ob tener en er un a m ezcla al 60 % d e sal sal. ¿Q ué canti cantidad da d d e agua se deb e evapo rar? ar? a) 1 2 L d) 8 L
c) 7 3 8
11 . S i la lo ngitud de un a circun ferenci erencia d ism inu ye 30% 3 0% , ¿En ¿E n qu é po p o rcentaj centaje d ism inu ye el área área d e su círculo ?.
a) 1 0 ,5 L d) 13, 13,5 L
05 . E n la A cadem ia,el40% son m ujeres, es,el30% de m ujeres y el70 % de h o m bres bres van d e paseo. Lu ego,elpo rcentaje de alum no s que qu e no van al paseo es: es: a) 4 2 % d ) 40%
a) 3 0 0 d ) 684
c) 2 5
04 . E n un a reun ió n, el25% 25 % so n ho m bres bres y elrest esto m ujeres eres. . S ise ret retiran 40% 40 % d e lo s hom ho m bresy el50 % d e las m ujeres, ¿qué ¿qu é po rcentaj centaje de d e las m ujer ujeres es qu e qu q u edan ed an repr ep resentan esentan los hom bres bres que q uedan ? a) 6 0 % d ) 6 8 ,6 %
10 . U n granj granjero ero d e po llos tiene 10 00 h uevos. E l 4% de ést éstos se se rom rom pen y se encuentr encuentra q ue el 5% d e los restan tes son d efectu ectu o sos. ¿C uán tos huevo s pueden pu eden vend ers erse en el m ercado ercado ?
a) 6 9 % d ) 72 %
b ) 40 % e) 8 0 %
c) 9 6 %
c) 1 5 %
22 3
R az. M atemático ático
17 . S i el área área de una esf esfera era aum enta enta 21% , ¿en qu é po rcent cen taje var va ría su vo lum en? en ? a) 1 3 3 ,1 % d ) 2 5%
b ) 36 % e) 3 3 ,1 %
c) 2 5 ,5 %
2
dism inu ye 2 5 6 cm . H all allar el p erím etr etro d el trián gu lo eq u ilátero átero C D E in icia lm en te.
C
E
D
A a) 3 0 m d ) 48 m
b ) 60 m e) 7 2 m
c) 3 6 m
19 . Si "A " aum enta 44% y "B "B " dism inuye 20% ,¿cóm ¿cóm o varí varía la sigui gu ient en te ex e xp resió n ? 1 3 A 2 2B
3
S en 45 º a) 2 % d) 6% 6 % 20 .
b ) 8% 8 % e) 9%
c) 4%
E l7 por 12 d e una cant canti idad es 84. S i lo expres expresam am os en tan to p o r cient en to, 36 equ eq u ival va ld rá al : a) 2 0 % d ) 3 0%
b ) 36 % e) 2 8 %
c) 2 5 %
21 . La sum a de tres núm eros A , B y C es 1870 .A es el30% de B , si B ; y C dis dism inuyen en un 80% y 50% , respect espe ctivam va m ent en te, se hacen ha cen igu ales. C alcular el m ayo r d e lo s nú m ero ero s. a) 1 0 0 0 d ) 1 40 0
b ) 1 30 0 e) 1 2 0 0
c) 1 1 0 0
22 . U n autom autom óvil dem ora ora norm norm alm ente un ci cierto ti tiem po par pa ra llegar ega r d e A a B ; per pe ro llegar ega ría en e n 2 h o ras m eno en o s si si vari variase su su velo cid ad en u n 40% 4 0% . ¿C uánt uá nto o tard ard a est este au to m ó vil en llegar ega r n o rm alm ent en te de A a B? a) 3 h d) 6 h 23 .
b) 9 h e) 7 h
c) 5 h
U n ho m bre bre al m ori orir dispone po ne que d e su su fort ortuna, que asci asciend e a $ 2000 20 000, 0, se ent en tregue el 35% 35 % a su herm herm ano m ayo r y, el 40% 40 % del rest esto a su herm ano an o m eno r; lo restan te a u n asilo. ¿C u ánt án to cor co rrespo nd ió al asilo ?
22 4
b ) S /. 7 8 0 0 d ) S /. 7 6 0 0
24 . S igast gastara ara el30% 30 % deld inero nero que qu e tengo y gan ara ara el28% 28 % d e lo q ue m e qu edar ed arí ía, perderí perdería 156 1 56 . ¿C uánt uá nto o teng tengo o?
18 . S iellado del cuadrado cuadrado A B C D dism inuye 40 % , su área área
B
a) S /. 7 2 0 0 c) S /. 7 4 0 0 e) S/. S/. 7 5 0 0
a) S /. 1 2 0 0 c) S /. 1 3 0 0 e) S/. S/. 1 4 0 0
b ) S /. 1 5 0 0 d ) S /. 1 6 0 0
25 . E n un a reuni eun ió n de jóven es, es, el40% 40 % son m ujeres. es. S i el núm ero ero d e m ujeres eres aum enta enta en 30% y el de los ho m bres bres en 20 % , ¿en qu é po rcentaje aum entó entó el total otal d e los alum no s? a) 1 0 % d ) 24 %
b) 1 2% e) 2 0 %
c) 1 8 %
26 . E n una u na reuni reunió n, el 40% so n hom h om bres bres y el rest esto son m ujeres eres. . D espués ingresan ngresan 7 0 ho h o m bres y sal salen 20 m ujeres eres, , ento ento nces el nú m ero ero de ho m bres bres es el 60 % d el n u evo ev o to tal. ¿Q ué po rcentaje d el nu evo to tal d e d am as so so n las per pe rsonas son as que in in gresar gresaro n d espués? espu és? a) 6 5 % d ) 75 %
b) 6 0% e) 7 0 %
c) 7 2 %
27 . L a cantidad de o nzas nzas de agua que d ebe añad irse a 9 o nzas de una un a m ezcl ezcla d e alcoho l y agua agu a al a l 50% 50 % , para para q ue resulte una u na con centr centració n al 3 0% d e al a lcoho co ho l, es: a) 6 o n zas c) 4 o n zas e) 7 o nzas
b ) 5 o n zas d ) 8 o n zas
28 . S e ti tiene en e 1 0 litro s de so lución alcoh ó lica a l 40 % d e pu reza. Par Pa ra obt o bten ener er un a solució n al a l 60 % d e pu reza. eza. ¿Q ué vo lum en d e sol solución al 70% de p urez ureza a se debe agregar? a) 1 0 L d ) 24 L
b) 18 L e) 2 0 L
c) 1 5 L
29 . S i elradio d e un cono se increm enta en 10 % , ¿en qué p o rcentaj centaje var va ría su vo lu m en? en ? a) 1 1 % d ) 21 %
b) 1 5% e) 2 3 %
c) 1 7 %
30 . U n vended or vende 2 caballos a S/. S/. 600 0 cada un o, gana nd o en el pri prim ero ero el 20% 20 % y en el segun do pierde erde el 20% 20 % del preci precio d e com pra. pra. ¿G ana o pi p ierde y cuánt cuá nto? a) b) c) d) e)
G ana S/. 1000 P ierde S /. 100 0 G ana S/. 5000 P ierde S /. 500 N o gana ni pierde.
TRILCE
31 .
E l gráf gráfico m ues ue stra la d istribu ció n d e lo s gasto s de un un h o ga r. S i d el secto r d e a lim en ta ció n e l 2 5 % correspo nd e a carne carnes s, ¿cuánt ¿cuá nto o s grad grad o s cor co rrespo n d e al secto r car ca rn es?
O tros
40%
A lim ent entos os
a) 1 0 8 ,1 d ) 1 00 00 ,1
10% Lu z
a) 1 0 º d ) 3 6º
30%
b) 1 8º e) 7 2 º
c) 2 5 º
32 . E n u na reuni reunión había 2 5 parej parejas bailand o, adem ás 30 ho m bres bres y 20 m ujeres sentad entado o s. In d icar V o F. ( ) E l 45% de los reunido s son m ujeres. es. ( ) E l50% de los que no bailan son son los hom bres bres que b ail ailan . ( ) Lo s que bailan son son el100% de los que no b ailan. a) V F V d) FV F
b) V V F e) F F F
c) V V V
3 3 . D o s art artículo s "A " y "B "B " se vend ven d en cad a uno u no d e ello s en 12 00 so les, es, ganan gan and d o en elprim ero ero el 20 % d e su costo y perdiend o en e n el segun d o el 20% 20 % d e su su cos co sto. ¿En ¿E n d icho nego neg o cio se ganó o perdió y cuán cu ánt to ? a) b) c) d) e)
c) 1 0 0
35 .S i "a" es el 1 0% d e la sum a d e "c" "c" y "d "d "; ad em ás "c" representa enta el 20 % d e la sum a d e "a" "a" y "d "d ". C alcul cu lar "a : c". a) 1 2 : 1 1 d) 6 :7
b) 11: 12 d ) 11 : 6
c) 6 : 1 1
36 . E n un a reuni reunión , los hom bres bres exceden exceden en 50 % a las m ujeres eres, , si las m ujeres eres aum ent en tan en en 5 % . ¿En qué qu é por p orcent centaje deben d eben aum entar entar los ho m bres bres para para que qu e el to tal de pers person as aum ente ente en 20% 20 % ? a) 3 0 % d ) 80%
b) 2 0% e) 7 0 %
c) 1 0 1 ,3
a) 1 0 d ) 40
b ) 20 e) 2 5
c) 3 0
3 9 . S e tiene 20 litro s de un a so lució n qu e co nti ntiene alcoho coh o l y agua a l 60% 60 % de al a lcoho l. ¿C uánt uá nto o s litro s d e agua ag ua se deb d eben en agr ag regar ega r p ara ara tener en er una un a nuev n ueva a so so lució n al a l 48% 48 % d e alcoho coh o l? a) 5 d) 8
b) 6 e) 9
c) 7
4 0 . E n una u na o ficina h ay 16 1 6 per p ers so nas na s d e las cuales el 25 % so n m ujer ujeres. es. Si S ise desea d esea que qu e el6 0% d elper pe rsonal son al sean ho m b res, ¿cuán tas m u jeres eres se deb en con tratar? atar? b) 2 e) 5
c) 3
4 1 . U n co m erci erciant an te recar recarga ga el preci precio d e un u n ar a rtículo en u n 25% 25 % d e su su costo. S i al vend ven d er hace ha ce un des d escuen cuent to d el 1 2 % , ¿cuá les el p o rcent cen taje d e ut u tilid ad ?
34 . E lx% del y% de un a cantidad es su d éci écim a pa rte, y el y% de 1000 excede excede alx% de 1000 en 300. H allar el x% de (y + 450) 45 0). . b) 2 0 e) 2 5 0
b ) 1 0 1 ,1 e) 1 00 00 ,2
38 . E n una u na reun reun ión hay 1 00 pers person as d e las cual cuales el70% 70 % son m u jeres. eres.¿C u án tas pa rejas deb d eben en llegar ega r a la reu reun n ió n para para qu e el nú m ero ero d e ho m bres bres sea el 60% de las m ujer ujeres? es?
a) 6 d) 4
G ana S/. 100 G ana S/. 80 P ierde S /. 100 P ierde S /. 80 N i gana ni pierde.
a) 1 0 d ) 50
3 7 . U n com erci erciant an te im po rtaba ab a ciert erto ar a rtículo d e EE E E .U U . y lo vend ía a 3 9 soles, es, ganand gana nd o un 20% 20 % ; cuand o po drí dría ad q uirir d ó lares a S /. 6 ,5 . A ho ra tiene en e q u e p a gar 14 soles po r d ó lar y ad em ás el p recio d e fáb fáb rica h a aum entado en en un 10% 10% . ¿A q ué preci precio d eber eb erá á vend v end er en la a ctu alid ad d icho artículo, p ara ara q ue su gana ga nanci ncia sea el 3 0% ?
c) 4 0 %
a) 1 8 % d ) 10 %
b ) 32 % e) 1 3 %
c) 8 %
42 . A José, después de hab er perd perd ido S /. 200 20 0 le qued a el 80% 80 % d el d inero qu e tenía. ¿Q ué cant can tid ad d ebe eb e reci recibir bir José Jo sé par pa ra ten tener er S /. 12 00 ? a) S/. 200 200 d) S/. S/. 500
b) S/. 250 250 e) S/. S/. 400
c) S/. 300 300
4 3 . S e ti tienen en en 3 m ezcl ezclas alcohó co hó licas,la segun egu n d a y la ter tercer cera a en canti cantid ad es iguales y con 6 0% y 20 % de p urez ureza a respect espe ctivam va m ent en te. S i el agu ag u a y el e l alcoh co h o ld e la pr p rim era, era, la ech am o s en la segu nd a y en la ter tercer cera a respect esp ecti ivam va m en te, éstas d o s ú ltim as resu resul ltarían co n 5 0 % d e pu reza. E nto nto nces nce s el po rcent cen taje de d e purez p ureza a d e la prim era era es : a) 2 5 % d ) 75 %
b ) 60 % e) 4 0 %
c) 7 0 %
22 5
R az. M atemático ático
4 4 . S e tiene 30 litro s d e alcoh o l al 30 % , el 40 % d e esta m ezcla se ech a a u n recipien pien te q u e co n tien e cier ciert ta cantidad da d de agua de m od o que qu e se se obt o btiene al a lcoho l al 2 0% . ¿C u án to s litro s d e agu a gua a co n tiene en e este recip ient en te? a) 6 L d ) 10 L
b) 9 L e) 8 L
c) 7 L
45 . S i la base de un rect ectángulo aum enta en 1 0% y el área área no varía es e s por po rq ue la a ltura di d ism inu ye en en : a) 9 1 % 11
b) 10 1 % 11
c) 8 1 % 11
d) 11 1 % 11
e) 7 1 % 11 46 . Ven dí un art artículo en S /. 600 60 0 gan and o el20% 20 % del cost costo, ¿cuán ¿cuá n to m e co stó este ar a rtícul cu lo ? a) S/. 400 d) S/. S/. 480
b) S/. 550 550 e) S/. S/. 500
c) S/. 450
47 . S i un com erci erciante ante dice que gana el 40% 40 % del preci precio d e vent ven ta, ¿qué ¿qu é p o rcentaj centaje del d el costo está gan g anan and do? a) 65 1 % 3 2 c) 54 % 3 e) 67 1 % 4
b) 66 2 % 3 1 d) 66 % 5
4 8 . D o s recip ient en tes A y B con tienen en en vino. no . E l recip ient en te A está lleno en o en su m itad , B en u n ter terci cio d e su vo lu m en. en . S e com pletan las capa capa cida des de A y B con agu a, vertiénd én d o se las m ezclas en u n tercer ercer recip ient en te C . S abi ab iend o qu e la cant can tid ad d e B es eld o ble que q ue la d e A , d eterm in ar elp o rcent cen taje de d e vin o q u e con co n tiene en e la m ezcla en C . (apr ap ro x) a) 3 6 d ) 61
b ) 51 e) 3 9
c) 5 4
4 9 . U n tirad o r d ebe acert acertar en to tal el 60 % d e lo s dispar pa ro s qu e realiza. L e dan d an 8 5 bal b alas y ya ha h a di d ispa rad o 4 5, con co n sigui gu iend en d o 1 9 aci a ciert erto s. ¿Q u é po p o rcent cen taje de d e las bal ba las q u e qu ed a d eb e acertar pa ra cu m p lir el p o rcent cen taje aje req u eri erid o ? a) 6 0 % d ) 8 0%
b ) 70 % e) 9 0 %
c) 6 8 %
50 . S e tiene un a m ezcl ezcla de d e alcoho l y agua, agua , do nd e el25% 25 % es d e alcoh o l. S i agrega agrega m os 12 L d e alcoh o l pu ro, queda qu edar rá un a m ezcl ezcla al 50% 50 % de al a lcoho l. ¿C u án to s litro s de d e agu a gua a h ay en el recip ient en te?
22 6
a) 1 2 d ) 18
b) 6 e) 1 5
c) 8
51 . D e la m esa esa d e un laborat ab orato rio se tom a un recipiente ente q u e co n tien e 40 4 0 litro s de a lcoh co h o l al 1 0 % y se vierte to d o el con ten id o en un segun d o recipien pien te q ue cont co nten ení ía 10 L d e alcoh o l al 20 % . S i luego ue go se agregó 3 8 litro s de alcoh co h o l p u ro. ¿Q ué tant an to po r cient en to d e la m ezcla fi final na l n o es alcoho co ho l puro? a) 4 8 % d ) 54 %
b) 6 4% e) 5 0 %
c) 4 0 %
52 . E n u na reuni eun ión el 30% 30 % son m ujeres, es, d e las cual cuales las casad ca sad as son so n el d o b le d e las sol so lteras, si h ay ta n tas pers person as casada s com o el núm ero d e ho m bres bres. . ¿Q ué po rcentaje d e los ho m bres bres so so n casad casado o s? a) 5 0 % d ) 7 1 ,4 %
b) 6 0% e) 7 2 ,4 %
c) 7 0 %
53 . U na rued rued a de d e caucho tiene un u n d iám etro exter exteri ior de 25 pu lgad as cuand cuan d o el rad io d ism inu ye en u n cuar cu art to d e pu lgad a. E nto nto n ces el nú m ero ero d e revo revo lucio nes qu e la ru eda ed a d ará en un a m illa.. a... a) Se aum aum enta en en 2% . b) Se aum aum enta en en 20% 20% . c) Se aum aum enta en en 1% . 1 % . d) Se aum aum enta en 2 e) Perm anece const constante. 54 . U na tel tela al a l lavars avarse se se encoge el 10% 10 % en el ancho y el 2 0% en el largo, si se sab sab e qu q u e la tel tela ti tien e 2m 2m de ancho an cho. . ¿Q ué lo n gitud d ebe eb e com p rars arse si si se neces ne cesi itan 36 m
2
de tela después pués de lavada? avada?
a) 2 6 m d ) 25 m
b) 20 m e) 3 0 m
c) 1 5 m
55 . ¿En qué qu é po rcentaje se deb e increm ncrem entar el preci precio de un p ro d ucto p ara ara segui seguir r gan an d o lo m ism o, pero otor otorgand gand o un descuent descuento o del 20% ? a) 2 0 % d ) 30 %
b) 2 5% e) 2 4 %
c) 1 8 %
56 . U n litro d e m ezcl ezcla form orm ada po r 75% de alcohol y 25% d e agua agu a pesa 97 0 g. ¿C uánt uá nto o p esa esa un litro d e m ezcl ezcla form orm ada po r 25% de alcoho l y 75% de agua? a) 9 2 0 g d ) 97 5 g
b) 970 g e) 9 9 5 g
c) 9 9 0 g
57 . Si el lado de un cuadrado uadrado aum enta un 20% , su área área 2
aum enta en en 121m . Si ellado dism inuye nuye en 20% . ¿En ¿E n cuánt cuá nto o d ism inu ye su su área?
TRILCE
a) 12 0m d) 99 m
2
2
b) 10 5m
2
e) 103 m
2
c) 10 8 m 2
5 8 . S e ti tiene en e d o s recip ient en tes de 10 litro s cada u no, no ,elprim ero ero con 60 % de alcoho ly elsegund o con 80 % de alcoho l. ¿C uánt uá nto o s litro s deb en inter ntercam cam biars arse par pa ra qu e am a m bo s tengan en gan el m ism o p o rcentaj centaje de d e alcoho co ho l? a) 6 L d ) 5 ,4 L
b) 4 L e) 5 L
60 . E l largo argo d e un rect ectángu lo aum enta 40 % y el ancho d ism in uye uy e en 3 0 % , ent en to n ces el área del d el rectán gul gu lo 2 varía en 50 m . ¿C u álera el área in icial? a) 245 0 m 2 b) 250 0 m 2 d) 225 0 m 2 e) 2200 22 00 m 2
c) 2000 20 00 m 2
c) 7 L
59 . A l vend ers erse un art artículo en 360, 36 0, se gana gan a el 20% 20 % de su preci precio d e cos co sto y el 30 % d e su pr p recio d e ven ta. ¿C u ál es el p recio d e co sto ? a) 1 2 0 d ) 2 10
b) 1 8 0 e) 2 2 0
c) 2 0 0
22 7
R az. M atemático ático
Claves l ave ves s
22 8
1081.
a
1 1 1 1 .
d
1 0 8 2 .
a
1 1 1 2 .
c
1 0 8 3 .
c
1 1 1 3 .
c
1 0 8 4 .
e
1 1 1 4 .
c
1 0 8 5 .
e
1 1 1 5 .
c
1 0 8 6 .
a
1 1 1 6 .
a
1 0 8 7 .
b
1 1 1 7 .
d
1 0 8 8 .
b
1 1 1 8 .
c
1 0 8 9 .
a
1 1 1 9 .
a
1 0 9 0 .
b
1 1 2 0 .
d
1 0 9 1 .
d
1 1 2 1 .
d
1 0 9 2 .
b
1 1 2 2 .
e
1 0 9 3 .
e
1 1 2 3 .
a
1 0 9 4 .
c
1 1 2 4 .
a
1 0 9 5 .
b
1 1 2 5 .
a
1 0 9 6 .
c
1 1 2 6 .
e
1 0 9 7 .
e
1 1 2 7 .
b
1 0 9 8 .
b
1 1 2 8 .
e
1 0 9 9 .
c
1 1 2 9 .
d
1 1 0 0 .
c
1 1 3 0 .
d
1 1 0 1 .
c
1 1 3 1 .
e
1 1 0 2 .
e
1 1 3 2 .
d
1 1 0 3 .
b
1 1 3 3 .
a
1 1 0 4 .
b
1 1 3 4 .
d
1 1 0 5 .
d
1 1 3 5 .
a
1 1 0 6 .
e
1 1 3 6 .
c
1 1 0 7 .
a
1 1 3 7 .
d
1 1 0 8 .
e
1 1 3 8 .
e
1 1 0 9 .
d
1 1 3 9 .
d
1 1 1 0 .
d
1 1 4 0 .
b
TRILCE
Capítulo
Á RE REAA S DE RE REGGI ON ES SOM SOM BRE BREAA DA DASS
20
Ejempl o N º 1 S i A B C D es un cuadr cuad rado ad o de 4 m d e lado ad o y "O "O " es cent centro, enton ces el área área d e la regi regió n som bread breada a es: 4m C C B B R Resolución Res olución :
P o r traslad o d e regi region es som br breadas eadas
O A
4m
R O S
S
A
D
D
A sí tenem en em o s que qu e el área área d e la regi regió n som b read a es e s un triángu án gul lo, qu e es igual gu al a la cuart cu arta par pa rte d el cuad cua d rad o. S
so m b
4
4
2
4
4m
2
Ejempl o N º 2 S i A B C D es un cuadr cuad rado ad o d e 6m de lado ad o y ad a d em ás "M " es punt pu nto o m edio, edio, calcular el área área d de e la región som bread breada. a.
C
B
A
D
M
Resolución: N o o lvid ar: ar:
B
B
G : B ar ari icen cent tro d e ABC
S S G
S
S
S
S A
B M :M ed edi ian ana a rel relat ati iva a AC
A
C
M
S
Á rea S som b =
Á rea A BM = Ár Áre ea BC M
S
C
Á rea A B C
6
D el ejem plo tenem os:
C
B 3S S
3S S A
M
S
2 2 6 3m so m b 12 12
S S
S
S
D
22 9
R az. M atemático ático
Ejempl o N º 3
A B C es un triángu lo de 24 m 2 de d e área. C alcular el área de d e la regi regió n som breada. bread a. B
2b
N
P b A
3a
C
a
M
Resolución: N o o lvidar da r
D el ejem plo tenem o s: B
Q
2S
N
4S
4a
T
a
A
R S
S
Q T R
S
P Q
S
3S
S P
2b
S
b 2S
3a
a
M
C
S
A B M 2 S B C M 3
T
4
P
to tal
8 S 24 m 2 S 3 m
2
S som b 3 m 2
Ejempl o N º 4
Luego:
S abi ab iend en d o q ue A B C D es un rectángu án gul lo, calcular elárea área d e la regió n so m breada breada. . B
A
D
10 m
Resolución: B
C
M
P
S
to tal
2
10 6 30 m 2 2
R S
R
Á rea to tal
S
= b
B
6m
M
C
N
A h
2(S R P M )
som b
Sab iendo que el lado del cuadrado uadrado A B C D m ide 4 m y que M y N son pu nto nto s m ed io s, calcular el área área d e la regió n som breada. breada.
D
10 m
S
Ejempl o N º 5
P
M S
23 0
som b
C 6m
A
S
S R P M
D
TRILCE
Resolución: 2m
B
2m
M
C
R
S
2m
4m
Ejempl o N º 7 C alcular el área área d e la regi regió n som b read ea d a, si A B C D es u n cuadrado uadrado de 10 m de lado, y adem ás M ,N ,P y R son p untos m edios. os.
N
D
4m
M
S = Tri Triángul án gulo rectángu án gul lo (cuart (cuarta part p arte del d elcuad rad o A B C D ) R = S ecto r ci circul cu lar (cuart cuarta p arte d e u n círculo )
S
so m b
S
= r2
2(
C
2m
S A
N
B
)
4
4 2 2 2 4 2 = 16 8 = 8
P
A
D
R
Resolución:
2
= 4 2
S S S
S S
Ejempl o N º 6 C alcular el área área d e la regió n so m bread bread a, si A B C D es un cuadrado uadrado de 8 m de lado. C B
S S S
A l h ace r traslad o d e reg regi io n es, la fi figu ra cu ad rad a d e 10 2 100 m 2 de d e ár á rea se tran sfo rm a en e n u na cru z griega, ega ,
d ivid id a est e sta en e n 5 cuad cua d rito s congruen con gruen tes. A
D
S som b
S to tal 5
100 m 2 20 m 2 5
Resolución:
8
B S
8
C
60° 60 ° 8
30°
T
60°
A
S 8
8
Obs. 1: C uand ua nd o se inter nters secta un a d iago nal na l y una un a m edi ed iana an a 1 el triángul án gulo m ás peque peq ueño ño qu e se se fo rm a es de d el to tal. 12 C B
30°
60°
D 8 S = S ecto ecto r circul cu lar (d o ceava cea va p arte del d el círcul cu lo ). T = Trián gul gu lo equ eq u ilátero. átero.
A
D
2
S
L 3 eq u ilátero 4
S som b =
2S
Obs. 2: C u and an d o se int inters ersecta d o s m edi ed ianas, an as, el trián gul gu lo
B
1 de d el to tal. 20 C
A
D
m ás pequeño que se se form orm a es un
2 8 2 8 3 2 8 4 12 2
64 16 3 32 3
2 16 4 3 3
23 1
R az. M atemático ático
Ejempl o N º 8 Sabiendo que A B C D es un cuadr cuadrado ado d e 4 m de lado y "O "O " es centro d el cuad cua d rad o. C alcular elárea área d e la regió n so m breada. bread a.
Resolución:
C
B
C
B
R 4 R R
O A
2
2
D
Po r Pitágo ág o ras: A
D
4 R
R
Resolución:
16 R
R
D
4m
D el gráfico: co :
2R 4 2
8R R 2 4
3 9 S som b 4 2 Ejemplo Nº 10 C alcular elárea d e la regió egió n som so m b read ea d a, siel d iám etro d e la circunferenci encia m ide 40 m y PD = 24 m . ("O " :cen cen tro d el círcul cu lo )
R 2 2 S som br bra a= 2 = 2
C
2
A
2 4 2 (2 2 )2
O
32 8
Ejempl o N º 9 C alcular el área área d e la regió n so m bread bread a, si A B C D es un cuadrado cuadrado de 4 m de lado y adem ás "O " es cent centro.
D Resolución:
C
C
B
B
P
8(4 )m 2
A O
37° 20 53° 15 O 20
5
D
B
20
P
53° 24
S so m b
23 2
2
2
R
A
2
12 = 8R 3 R 2
4m
A
2
2
C
B
2
(4 R ) R 2
D
b h 5 20 50 m 2 2 2
TRILCE
EJERCICIOS PROPUESTOS 01 .
Si A B C D es un cuadr cuadrado ado de 6 m de lado, entonces onces el área área d e la p art arte som som bread breada a m ide: B C
0 5 . C alcular el área de d e la regi regió n som so m b read a, si el lad o d el cuadrado AB C D m ide 12 12 m . B C
O A a) 8 m 2 d) 18 m 2 02 .
D
b) 12 m 2 e) 20 m 2
B
C
A
D
2
a 2 m 4 2
e)
2a 5
2
m
3a 4
2
5a d) 8
2
b)
a 2 c) m 2
03 .
c) 1 0 m 2
C alcular el área área de la regi región som breada, breada, si A B C D es un cuadrado cuadrado de " "a" a" m de lado.
a)
A
m
2
m
2
06 .
D
a) 36 m 2
b) 30 m 2
d) 32 m 2
e) 48 m 2
E llado del cuadrado cuadrado A B C D m ide "a" "a" m etros, calcular el área área d e la regi regió n so m breada. breada . B
C
A
D
2
2
a)
2 3a m 5
b)
2 a m 4
c)
2 a m2 2
d)
2 a m2 3
e)
2 a m2 6
2
S abiendo end o que q ue ellado delcuadrado cuadrado m ide 20 m ,calcular el área área d e la regi regió n som so m breada. bread a. B C
c) 42 m 2
0 7 . C alcular el área área d e la part p arte som breada, bread a, si el lad o d el cuadrado uadrado es 20 m . B
C
A
D
O A
04 .
a) 180 18 0 m 2
c) 200 20 0 m 2
d) 320 m 2
e) 240 24 0 m 2
D c) 10 0 m 2
Si ellado delcuadrado uadrado A B C D m ide 6 m etros, os,entonces el área área d e la regi regió n som bread bread a m edi ed irá: B C
A a) 12 m 2
b) 16 m 2
d) 9 m 2
e) 20 m 2
08 .
a) 40 m 2
b) 30 m 2
d) 25 m 2
e) 20 m 2
c) 36 m 2
Si ellado delcuadrado uadrado m ide 20 m , ent en to n ces el área d e la regió n som breada será: erá: B
C
A
D
D c) 2 1 m 2 a) 3 m 2
b) 5 m 2
d) 10 m 2
e) 6 m 2
c) 8 m 2
23 3
R az. M atemático ático
09 .
Si A B C D es un cuadr cuadrado ado de 4 m de lado, entonces onces el área área d e la p art arte som bread bread a es: B
C
13 . S i el área área d e la regi región som bread breada a m ide A , enton enton ces el área área del d el cuad rad o A B C D m edi ed irá: ("O " es centro d el cuadrado). B C O
A a) m c)
2
D b)
m 2
A
m 2 2
d) 2 m 2 3
3
e) 4 m 2 9 10 . E l área área del rect ectángulo A B C D es 48 m 2 y "O "O " es cent cen tro d el círcul cu lo. H allar el área d el cua cu ad rilátero átero som so m b read ea d o. B C
a)
3A 2
b) 2 A
d)
8A 3
e)
D
c)
5A 8
8A 5
14 . E l cuadrad cuadrad o A B C D fue divi dividid did o en 9 cuadrad cuadrad itos cong co ngr ruent ue ntes. es. C alcular elárea de la regi regió n som breada, bread a, si el lado ad o d el cuad rad o m id e 6m . B C
O A
D
A a) 10 m 2
b) 12 m 2
d) 24 m 2
e) 30 m 2
c) 15 m 2
11 . S i el lado del cuadrado cuadrado A B C D m ide 4 m , calcular el área área d e la regi regió n som bread bread a. B C
a) 20 m 2
b) 24 m 2
d ) 28 m 2
e) 26 m 2
D c) 1 8 m 2
15. Sa biendo biendo que el área área del rect ectángulo A B C D m ide 120 m 2, ent en to nces el área área d e la regió n so m breada bread a será: erá: B
C
A
D
O
A a) ( 1)m
2
c) (2 1)m e) ( 4 )m
2
D b) ( 3)m
2
d) ( 2)m
2
a) 40 m
2
d) 50 m 2
2
1 2 . E n la fi figur gu ra, h allar el área área d e la regi regió n so m breada bread a si A B C D es un cuadrado cuadrado de lado "b". b". B
b) 45 m 2 e) 60 m 2
16. SiA B C D es un cuadr cuadrado de 60 cm d e lado, ad o, ento ento nces el área área d e la regi regió n som so m breada bread a es : B C
C
A A
2
a)
b 2
d)
11 b 24
23 4
D
2
b)
3b 7
e)
13 b 24
2
c) 7 5 m 2
c) 2
11 b 18
2
a) 4 cm 2
b) 3 cm 2
d) 5 cm 2
e) 2 cm 2
D c) 6 cm 2
TRILCE
17 . Si la diagonal delcuadrado uadrado A B C D m ide 8 m , entonces el área de d e la regi regió n som b read a es: B
21 . C alcular el área área d e la regi región som bread breada. a. L ado ad o d el cuadr cuad rado ad o : 2m
B
C
R A
C
O
O A
D a) 8 4 m
2
b) 4 4 m
2
c) 16 1 m
2
d) 6 3 m
2
b) 2(4 )
a) 2( 2) c) 6 (3 )
d) 4 (2 )
e) 2( 2 )
e) 16 2 m 2 18 . Sab iendo que A B C D es un cuadrado cuadrado y "O " es centro d e d icho ch o cuad cu ad rad o, calcul calcular ar el área d e la regió egió n som breada. breada. B
D
22 . Sab iendo que P y Q son puntos puntos m edios de los lado s d elcuad rant an te A O B . E lárea área d e la regi regió n as a signad gna d a con co n S es 16 m 2. E l área de d e las regio nes ne s som b read ea d as en el in terio r del de l cuad cu ad ran te es: A
C
S
2m O
P 6m
A
a) 9 m
2
d) 8 m
2
2m
b) 8,5 m
2
e) 7,5 m
2
c) 9,5 m
D
2
O
Q
a) 15 m 2
b) 32 m 2
c) 16 m 2
d) 18 m 2
B
e) 12 m 2
19 . Si A B C D es un cuadrado cuadrado d e 12m de lado, entonces el área área d e la par pa rte som bread bread a será: B C
23 . H allar el área área de d e la regi región som bread breada: a:
2 2 A a) 1 8 d ) 48
b) 6 e) 2 4
D c) 1 2
2 3 2 u 3
a)
20 . Si A B C D es un cuadrado cuadrado de 4 m de lado, entonces el área área d e la regi regió n som bread bread a es: B C
c)
3 2 u 2
e) 2 3 O
A
D
a) 4 ( 3 )
b) 4 3
c) 2( 2)
d) 2( 4 )
e) 4 ( 2)
b) 3 u d)
2
2 3 2 u 2
u2 2
24 . ¿Q ué part parte del área área total otal est está som som breada? breada? (A B C D es un p aral aralelo gram gram o) B C
A
D
23 5
R az. M atemático ático
1 4 1 d) 8
2 5 1 e) 3
a)
b)
c)
1 6
2
a 20
d)
7a 24
2m 2m 2m
a) 2 m 2
b ) 2 ,5 m 2
c) 3 ,5 m 2
d) 3 m 2
a 12
e)
7a 12
2m
a) 2 m 2
b ) 2 ,5 m 2
c) 3 ,5 m 2
d) 3 m 2
a 8
2
D A
26 . S i el cuadrad cuadrad o A B C D tiene lo ngitud es en m etro s, ent en to n ces el área área d e la regi regió n som breada bread a es: 2 m 2 m 2m B C
2m
c)
29. ¿Q ué pa rte del área área del cuadrado cuadrado A B C D est está som breada? breada? B C
a)
1 2
b)
2 5
d)
1 4
e)
3 4
e) 4 m 2
A
2
b) 2
25 . S i el cuadrad cuadrad o A B C D tiene lo ngitud es en m etro s, ent en to n ces el área área d e la regi regió n som breada bread a es: 2m 2m 2m B C
A
2
a)
D c)
3 5
30 . Si A B C D es un cuadrado cuadrado d e 4 m de lado, calcular el área área de d e la regi regió n som bread bread a. B
C
A
D
D
2m
a) 12 5
e) 4 m 2 2 7 . E n la fi figur gu ra, hal ha llar elárea área d e la regi regió n som so m breada. bread a. S i: S A B C S A C D 100 m 2
b) 16 9
c) 12 25 9 25 e) 16 9
d) 14 7
3 1 . ¿Q ué fr fracció n d el área área to to tal est está som breada? breada ? C
a
D
3a M
A
B
a) 100 10 0 m 2
b) 40 m 2
c) 70 m 2
d) 80 m 2
e) 50 m 2 28 . A B C D es un cuadrado cuadrado de "a" "a"cm cm de lado, ado , calcular el área área d e la regi regió n som bread bread a. B
C
a)
1 10
b)
7 20
d)
3 5
e)
8 21
c)
32 . L as ci circunf cun ferenci erencias que qu e se m u estran a co nti ntinu ació n tienen en en elm ism o radi rad io (r = 4 m ). C alcular elárea de d e la regió n so m bread bread a. (R , S y T so n pu nto nto s de tan tangen genci cia). a). r
r
S
R
T r
A
23 6
D
5 20
TRILCE
a) 8 2 3
36 . C alcular el área área d e la regi regió n so m bread bread a, si es un cuadrad cuadrad o.
3 2 d) 4 2 3 b) 8
3 e) 2 4 3 c) 8
2 5
33 . S iellado delcuadrado cuadrado A B C D m ide " "a" a"m m etros,entonce on ces s el área de d e la regió n so m breada bread a será será : B C
A
a)
2 2 a m 6
D
b)
2
b) 40 m 2
d) 64 m 2
e) 50 m 2
c) 36 m 2
37. E n la fi figura D A y C B so so n ta ta n ge n tes a la la sem icircun ferencia d e cent cen tro "O ".
2 2 a m 8
S i: D A 4 m y C B 1 m , cal calcul cu lar elárea d e la regi eg ió n som breada. breada.
2
c) a m 2 12
a) 20 m 2
d) a m 2 15
D
2
e) a m 2 10
E C
3 4 . C alcular el área área d el círculo so m bread bread o.
A
R
R A 4m a)
9 2 m 25
b)
9 2 m 16
d)
16 2 m 25
e)
64 2 m 12 5
B
O
4m c)
16 9
B
O
a) 2(5 3 ) m 2
b) 2(4 ) m 2
c) 2( 5 ) m 2
d) 2( 4 ) m 2
e) 2(5 ) m 2
m 2
38 . H allar el área área de la regi región som bread breada, a, si A B C D es un cuadr cuad rado ad o d e lado ad o a 2 m B
C
A
D
35 . H allar la sum a d e las áreas áreas de lo s do s cuad rad os som breados. breados. S i: A B 6 cm C a) A
B
N
c) a
P D a) 6 cm 2
b) 9 cm 2
d ) 16 cm 2
e) 1 3 cm 2
2 a 2 m 2 2
c) 4 cm 2
2
2 m
2
2
2
e) a 2 6
2 b) a 2 m 2 4
d)
a 2 m 2 8
39 . C alcular elárea área de d e la regi regió n som bread breada, a, siA B C D es un rectán ectán gul gu lo. ("O " es cent cen tro d el rectá ectán gul gu lo ). B
P 2 A
8
C
O
6
M
2
D
23 7
R az. M atemático ático
a) 11 m 2 d) 6 m
b) 8 m 2
2
e) 10 m
c) 1 2 m 2 2
40 . C alcular elárea área de d e la regi región som bread breada, a, siA B C D es un cuadrado uadrado cuyo cuyo lado m ide 12 m . B
a) 8 3 3
b) 8 3 3 3
c) 16 3 3
d) 16 2 3 3
e) 16 4 3 3
C
44 . A B C D es un pa ralelog ram o. E l área área de la región sombreada es 12 m2. H allar elárea del d eltrián gul gu lo A B M .
A
Si: BN = 3N M
D
B
c) 3 5 8 3 e) 3 4 3
d) 3 5 3
a) 3 5 6 3
b) 2 5 2 3
N A
41 . C alcular el área área d e la regi regió n som bread breada. a.
4 6
C
D
M
a) 40 m 2
b) 16 m 2
d ) 36 m 2
e) 28 m 2
c) 2 4 m 2
4 5 . H allar el área área d elp aral aralelo gram gram o A B C D , sila d iferen erenci cia d e las áreas de las 2 regio n es so so m breadas bread as es "k" "k". .
16
B
a) 4 64 13
b) 32 8
c) 25 6 43
d) 264 20
C
A
D
e) 4 (72 13 ) 42 .
Sabiendo que P es punto m edio d elarco A B ,h allar el área área de d e la regió n som bread bread a. ( A B : d iám etro ) P
A
a) 4 k d ) 7k
b) 5k e) 8 k
c) 6 k
2
46 . S i A B C D es un paral paralelogram ogram o de "A "A "cm d e á rea . C alcular elárea área d e la p art arte som so m breada bread a en e n cent cen tím etro s.
B 8m
a) m 2 d) 2 m
43 .
b) 3 m 2 2
c) 2 m 2 3
e) m 2 2
A 12
b)
A 30
d)
A 10
e)
A 36
c)
A 24
E n la fi figura, gura, "O " es centr centro del de l cuad rant an te y O B es d iám etr etro d e la circun cu n ferenci eren cia. S i: O B 8 m , h allar el área área d e la regi regió n som breada. breada .
A
60° O 23 8
a)
B
47. Sabi Sabiendo que: que: BE = 3ED ; C F = 3FE y AD = 3D F; y adem ad em ás elárea área de d e la regi regió n som bread breada a m ide 4 m C alcular el área d el trián gul gu lo A B C .
2
.
TRILCE
a) 3 3 m 2
B
E
F
D A
b) 200 m 2
d) 8 6 m 2
e) 1 48 m 2
3 m2 2
e)
3 m
d)
2
c) 10 0 m 2
N
2a
B a
Q
C a
2a 2a
a) 26 m
2
b) 9 m
2
a) 140 m
2
b) 90 m
2
d) 1 0 0 m
2
2 e) 120 12 0 m
c) 180 m 2
52 . H allar el área área de la regi región som bread breada, a, si A B C D es un cuadrado uadrado de lado 2 cm .
a a D
2a
P
M
48. Sabiendo que AB C D es un cuadr cuadrado de 13 m de lado. C alcular elárea área d e la regi regió n so m breada. bread a.
A
3 3 2 m 2
5 1 . C alcular el área de d e la regi regió n som so m b read a, si el lad o d el cuadrado uadrado m ide 30 m y adem ás M , N y P son son puntos puntos m edios. os.
C
a) 80 m 2
c)
b) 2 3 m 2
B
C
A
D
2
c) 1 1 m
e) 25 m 2 13
d) 13 m 2
49 . S egún la fi figura: gura: S S 1
2
16 m
2
, cal ca lcu lar : "r" a)
B
2
cm
2
2 d) cm r
S1 A
a) 8 m d) 4 m
cm 2
3
c)
2 2 cm 3
2 e) cm 6
5 3 . H allar el área área d e la regió n so m breada, bread a, si el lad o d el cuadrado AB C D es 4 m .
C
O
b2m e) 6 m
4
S2
b)
B
C
A
D
c) 1 6 m
5 0 . H allar el área área d el triángu án gul lo equ eq u iláter átero o so m brea bread d o.
64 9 64 d) 25
S i: B P 8 m .
a)
B
2 25 25 e) 64 b)
c)
25 9
M N A
P
C
23 9
R az. M atemático ático
54 . Sab iendo que A B C D es un r rec ect tángulo R S// S//B C , TS //A C , cal ca lcul cu le
S
1 si siend en d o S y S las áreas de d e las regio n es 2 1 S 2
som breadas breadas. . B
C
d)
L 12
2
b)
L 2
e)
L 4
2
2
2
S S S S D
T
b) 1 : 2 e) 1 : 3
1
2
2
c) 3 : 4
a
Q S3 P
S
S2
T b
a
b
a c
c
c
b) 16 m 2 e) 15 m 2
c) 1 2 m 2
59 . H allar el área área d e la regi región som bread breada. a. C
20 m
2 b ) 130 13 0 m
c) 16 4 m 2 e) 15 6 m
a) 10 m 2 d ) 24 m 2
b
2
d) 128 m
2
40 m
2
5 6 . C alcular elárea área d e la regi regió n so m bread bread a, sielancho an cho d el rect ectángulo A B C D m ide 12 cm y M A D es un sec sect tor circul cu lar cuyo án gul gu lo cent cen tral m id e 60 6 0 º. M B C 12
30 m
30 m
2 a) 300 30 0 m
2 b) 600 60 0 m
c) 400 m 2
d) 240 m
D
6 0 . C alcular cular el área de d e la regió n som so m b read ea d a, si el área (AB C D ) = 42 cm cm 2 y G , G
a) 48 ( 3 )
b) 32 ( 3 )
c) 32 (2 3 )
d) 24 ( 3 )
e) 16 2 3
1
2
son bar ba ricentro s (A B C D
es par pa ralelo gram gram o ).
B
C G1
57 . S i A B C D es un cuadr cuad rado y L es su lado, enton ces ces el área área d e la regi regió n so m bread bread a será :
B
A
24 0
2
2 e) 200 20 0 m
A
R S4
b
a
a) 1 4 4 m
12 m 2
S1
B
c
4
H allar: "S "
55 . S i el área área del triángu lo A B C m id e 224 m 2 , ent en to n ces el área área d e la p art arte som bread bread a es:
A
L 6
c)
S S2
A
a) 1 : 1 d) 2 :3
L 8
58 . E n la figura gura m ostrada, ad a, P, Q , R y T son punt pu ntos os m edios, adem adem ás: ás:
S1
R
2
a)
C
D
G2 A
D
a) 40 cm 2 3
b) 20 cm 2 3
c) 1 0 cm 2
d) 2 0 cm 2
e) 7 cm 2
TRILCE
Claves l ave ves s 01.
d
31.
b
02.
c
32.
a
03.
b
33.
c
04.
c
34.
c
05.
b
35.
b
06.
e
36.
b
07.
b
37.
e
08.
a
38.
a
09.
b
39.
a
10.
b
40.
a
11.
d
41.
e
12.
d
42.
a
13.
d
43.
e
14.
a
44.
b
15.
b
45.
c
16.
e
46.
a
17.
e
47.
e
18.
b
48.
d
19.
b
49.
a
20.
e
50.
e
21.
a
51.
b
22.
c
52.
d
23.
d
53.
d
24.
a
54.
b
25.
d
55.
d
26.
b
56.
e
27.
e
57.
c
28.
d
58.
c
29.
d
59.
a
30.
e
60.
e
24 1
TRILCE
Capítulo
2
COM PAR ARAC ACII N CU CUANTIT ANTITAT ATIVA IVA
2 3 . 1 N O C I O N E S B ÁS ÁS I C A S D esd esd e épo cas rem otas otas, , la M atem ática ha est estado ad o en e n la vida del de l ho m bre. bre. Tod o lo q ue le rod rod eaba eab a no n o h acía sino parar, agrupar y cont ar con co n d u cirlo p o r u n cam in o in cip ient en te e in evi ev itabl ab le de d e la M atem atem áti ática: Com parar, . A lcom par pa rar do s con ju n to s de el e lem ent en to s diferen erent tes (d edos ed os y ani an im ales po r ejem p lo ) y qu q u erer erer com u n icarl carlo s, el h o m b re ilu m in a su m ent en te, in ven ve n ta son son id o s y vo v o ces qu e lo llevarán ev arán a cal ca lcul cu lar, ar,in terpretar y enseñ en señar ar par pa ra qu q u e lo ent en tend en d iesen. esen . A sí,sup era su etapa ap a p rim itiva apr ap rend en d iend en d o y tr trans an sfo rm ando an do con stant an tem ent en te la n atu atu raleza de d e acue a cuer rd o a su s necesid ades. ad es. E n la actu actu alid ad , algu n as un u n iver ve rsid ad es están redef ed efi in ien d o el p erfil d el p ro fesio n al q u e d esean esea n q u e in gresen a ellas. E sto a su vez v ez ha o b ligad ga d o a m o d ificar la es e stru ctu ra y co n teni en id o d elexam exa m en d e in greso, greso, en lo s q u e las pregun pregu n tas ya n o sólo se elab o ran p ara estab lecer ece r el n ivel ve ld e con co n o cim ient en to s d e part p arte del d el p o stu lan te, sin o reco n o cer las hab h ab ilid ad es qu e aración cuantitativa esto s p o seen an te situ acio acio n es pol po lém icas con co n text ex tu alizadas. zad as. E lp resent esen te cap ítu lo d e comp aración tien e com o o b jetivo en m ayo r m edi ed id a elde eval e valu ar la hab h abi ilid ad d elalu m n o p ara ara recon recon o cer p rop iedad ed ades es ent en tre lo s n ú m ero ero s, q u e un u n d o m in io de las técni écn icas oper op erat ati ivas. va s. 2 3 . 2 L A H A B I L I D A D M A TE TE M ÁT ÁT I C A D E C O M PA PA R A R C abe ab e in d icar que qu e com co m p arar tiene en e vari v arias acep cio n es; p ero ero p ara lo s fin es de este cap ca p ítu lo, la d efin irem o s co co m o u n a h abi ab ilid ad m atem atem áti ática qu q u e con co n siste en estim ar las diferen erenci cias y sem sem ejan zas ent en tre can tid ades ad es de u na m ism a especi esp ecie. 23 .3 LEY D E TRICO TRICO TOMÍA: TOMÍA: D ad o s dos do s n ú m ero ero s real ea les a y b, b , sólo p u ede ed e hab h aber er ent en tre ello s la sigui gu ient en te rel relació n d e or o rd en : ab
ab
ab
23 .4 COMPARA CIÓN CIÓN CUANTITATIVA: CUANTITATIVA: E s un tip o de ítem con cuyas cuya s pregu pregunt ntas as se se logr og ra eval ev aluar ua r la com co m prensi prensión m atem ática que q ue po see u na person person a, al com par pa rar do s can cant tidade da des s dadas dad as m edi ed iant an te ap roxi ox im ación , cálculo sim ple o senti entido com ún . E lm o d elo d e este ti tipo d e pr p regun egu n tas es: es: S e dan d an do s can cant tidades, da des,alguna gu nas s veces precedi precedidas da s po r un enu nciado, ad o, un a en la col co lum na A y ot o tra en la col co lum na B . S e trata ata de d e com co m p arar estas do s cant can tid ad es y lu ego d iscr scrim in ar, d eber eb erás ás m arcar: arcar: A . S ila cant can tidad da d de A es m ayor ayo r a la de de B . B . S ila cant can tidad da d de B es m ayor ayo r a la de de A . C . S i am b as cant can tid ades ad es so so n igual gu ales. D . S ifalta in fo rm ació n p ara d ecid ecid ir. E . ¡N o d ebe eb e us u sar esta op o p ció n ! Observación: S egú eg ú n la ley d e tr tricot co to m ía sól só lo exi existen tres relacio n es po p o sib les en tre A y B , siésta n o se pu p u ed e est e stab lecer ece r, ent en to n ces se ap a p ela a la alternat erna tiva D ; la ú ltim a alternat erna tiva n o es rel relevan ev an te n i trascen d ent en te, est esta cum cu m p le sólo el p ap el d e d istracto ractor r. V eam os alguno gu no s problem as sob re com par pa ración de cant can tidades da des con con ocidas da s:
24 3
R az. M atemático
E jem p los: Enunciado
Columna A
1
13
17 21
29 1 3
2 3
14 19
18
C o l u m n a B
23 12
29
23 12
18
1 2
1 9
13
14 19
1 4
2004 2005
2003 2004
x
x
Sea x 5 un núm ero p o sitivo
33
2
4
17 21
2
Resolución: 1. S e po dría op erar erar los térm érm ino s de am a m bas ba s colum nas na s, lo cual cua lno s llevarí evaría m ucho uch o ti tiem po. po . R ecuerda ecuerda q ue u n núm n úm ero ero m ixto es la sum a de d e un u n en e n tero ero y u n a fracció n . A = 13
17 21
29
14 19
18
23 12
B = 29
23 12
18
17 21
13
14 19
Por Po r lo tant an to A = B Cl ave C 2. U na form a de d e com par pa rar las expres expresi ion es dada da das s, es calculando an do elvalor de cada colum na: na : A
1 3
1 2
5 6
B
1 9
1 4
13 36
13 6
A m bo s resul esultados ad os tienen en en el m ism o den d enom om inado na do r, sólo debem d ebem os com par pa rar los num erad erador ores es: : 5 13 ,si 9 Po r lo tan tant to A > B Cl ave A
3 y
16
4 ; 13
es u n val v alo r qu e está ent en tre 3 y 4.
3. D ado que qu e no n o pu ede usar calculado ra p ara ara com par pa rar radical adicales, es, se recom recom ienda end a elevar am bos bo s térm érm ino s a un m ism o exp ex p o n en te tal tal q u e se el elim in e el elrad ical. 2
6
3
3
6
2
3
3
2
8
9
Po r lo tan tant to A < B Cl ave B 4 . S ise divi divid en am b as fraccio n es,resultaría ted tedi io so bu b u scar scar la d iferen erenci cia en e n tre am a m b o s cocient en tes dad da d o qu e di d ichas ch as cant can tid ad es son apr ap roxi ox im adam ad am ent en te igual gu ales. es. A n alizand an d o am bas ba s colu m n as se obs ob serva erva qu q u e am bas ba s fraccio n es están fo fo rm adas ad as p o r térm érm in o s con secuti ecutivos vo s. S e pod po d ría probar proba r con nú m eros eros m ás peque peq ueño ño s (Ind ucción M atem ática) par pa ra o bservar lo qu e se pres present enta a al a lcom par pa rarl arlos. 3 2 4 3 Po r u na p ro p iedad ed ad d e las fraccion es,p o dem de m o s co co m par pa rarl arlas m edi ed iant an te la m u ltip licació n en aspa: aspa :
Vem os: os:
3(3) 3) 3(
4(2) 4( 2) 9 > 8
In tent en tem o s con o tro caso : 5 6
4 5 (5) 5
6(4 ) 25 24
E n am bo s, elresul esultado ad o de la p rim era era col co lum na es m ayor ayo r po r lo cual po dem de m os ind ucir qu e : Po r lo tan tant to A > B Cl ave A
24 4
2004 2005
2003 2004
TRILCE
Observación: S ise ap ela al Á lgeb ge b ra, se pu p u ede ed e llegar eg ar a d em o strar la resol eso lu ció n an terio r d e la sigu ient en te fo fo rm a :
2004 2005
2003 (2004 )2 2004
2
(2003 ) (2005) (2004 )
(2004 )2 1
2004 1 2004 1
A B
5 . P ara ara com co m par pa rar cant can tidad da d es d esco esco n o cid as exp expr resadas esada s en fo fo rm a de d e variabl ab les,es con ven ient en te pr p ro bar ba r un ju ego d e valo res p ara dichas ch as variabl ab les,y ver ve r cóm có m o var va ría la rel relació n ent en tre las colu m n as. C o m o "x" es un real ea lp o sitivo, vo , p ro b em o s con co n : 1 2
x = 0 ;1 ;2 ; A
B
0
0
2
1
1
2
2
2
1 2
1 2
S e ob o b serva erva q u e el o rd en n o se m an tien e igu al p ara ara to to d o s lo s valo res supu sup u esto s. P o r lo tant an to, para saber sabe r cuál cuál de las col co lu m n as tiene en e un u n a can ca n tid ad m ayor ayo r se requ requ iere ere de d e m ayor ayo r inform nform ación . Cl ave D
2 2
COM PARACIÓN PARACIÓN C UAN TITATIV TITATIVA A I E n estas pregu pregun n tas se se dan d an do s cant can tid ades, ad es,u n a en la col co lu m n a A y la ot o tra en la col co lum n a B . T ienes en es que qu e det d eterm erm in ar la relació n entr entre am bas y m arcar arcar:
A . S i la canti cantida dad d en A es m ayo ayor r qu e en B . B . S i la canti cantida dad d en B es m ayo ayor r qu e en A . C . S iam b as can tid ad es son igu gual ales. D . S ifalta in fo rm a ció n para p ara po d er d eterm in arlo. E . ¡NO DEB E UTILI ZAR ESTA OPCI ÓN!
Columna A
Columna B
1 h 4 0 m in 3 0 s
9 9 m in 9 0 s
2M
5N
03. Si A excede excede en 10 0 a B .
A
B
04. 04 . S ix excede en 180 18 0 a y.
x 140
y + 1 40 40
xy
y
1 1 7 x+ 2a 2 a+ 15 15 b = 0
1 1 9 x a 3 b = 0
a3 + b 3
(a + b)3
(a x+ x+ b y) y)2 + (a y b x) x)2
(a 2 + b 2 ) (x2 + y2 )
01 . 0 2 . S iM es eltriple de d e N (M y N p o sitivos vo s)
05 . S ix excede exced e en 5 0 al a ld o ble de d e y. 0 6 . S ia y b son p o sitivo s,la solu ció n d e 07.Si a > 0 y b > 0, 08 .
24 5
R az. M atemático
A
09. 09 . E l núm nú m ero ero d e elem entos entos de
{x Z /1 3 x
17 }
B
9 8 4 2
10 .
{x Z / 8
2 x 6}
8 + 2 (3 4)
COM PARACIÓN PARACIÓN CUA NTITATIV NTITATIVA A II E n estas pregun tas,se dan d an d o s cant can tid ades, ad es,u n a en la co col lu m n a A y ot o tra en la co col lu m na B . T ienes en es que qu e det d eterm erm in ar la rel relació n entr entre am bas y m arcar arcar: A . S i la canti cantida dad d en A es m ayo ayor r qu e en B . B . S i la canti cantida dad d en B es m ayo r qu e en A . C . S ia m ba bas s can tid ad es son igu gual ales. D . S ifalta in fo rm a ció n para p ara po p o d er d eterm in arlo. E . ¡NO DEB E UTILI ZAR ESTA OPCI ÓN!
11 .
12 . D ada ad a la exp e xpr resió n : 3x
2y 2y = 5
13 . 2
1 4 . S ir y s son son las raíces ces de (x 3)
9
Columna A
Columna B
7 7 7 2 7 7 5 2
7 78 2
7 7 62
E lvalo r de x cua cuand nd o y= 5
E lvalor de y cua nd o x= 6
78 45 4 78 52 4
78 45 3 78 52 3
r+ s
rs
N úm ero de d e sub subc conjunt untos os de N úm ero d e elem entos de A = {m ;n ; p ; q} B {x N / 2 x 18}
15 .
1 6 . S i: A = {1 ;2 ; 3 ; 4 ;5} B = {1 ;3 ; 4 ; 6 ;7} C = {1 ;3 ; 5 ; 7 ; 9}
n(B C )
17 . L a m eno en o r d e las raíces d e 2
1 8 .S i: a b
0
n(A B C ) n(A B )
(x+ 3) 3)( (x+ 4) 4)( (x 5) 5)= =0
(x+ 2) 2)( (x+ 5) 5)( (x 3) 3)= =0
c
b
100 10 0 m m ás 22 220 0 cm cm m ás 5 00 00 0 m m
90 m m ás 1700 cm
2
b c0
19 .
2 0 . E n la figu ra, s se e tien en d o s circun cu n fereneren cias ta tan gen ge n tes exter e xteri io res
10
O’ O
24 6
2
D istan cia en e n tre lo s cen tro s
L on gitu d de la circun cunf feren enci cia m en eno or
TRILCE
CO MPARACI ÓN CUA NTITATIV NTITATIVA A III E n estas pregu pregun n tas,se dan d an d o s cant can tid ades, ad es,u n a en la co col lu m n a A y ot o tra en la co col lu m n a B . T ienes en es que qu e det d eterm erm in ar la rel relació n entr entre am bas y m arcar arcar: A . S i la canti cantida dad d en A es m ayo ayor r qu e en B . B . S i la canti cantida dad d en B es m ayo ayor r qu e en A . C . S iam b as can tid ad es son igu gual ales. D . S ifalta in fo rm a ció n para p ara po d er d eterm in arlo. E . ¡NO DEB E UTILI ZAR ESTA OPCI ÓN!
21. 21 . 4 nar na ranj an jas = 5 p látanos an os
Columna A
Columna B
1 3 n aran jas
9 p látan o s
2 787
22 .
2 785
2 7862
n (A )
n (B )
24 .
10 doce docenas de dec decen enas as
12 dec decena enas s de doc docen enas as
25 .
15 62
6 93
c
b
ac
b
x+ w
y+ z
23. S i A
B
6 3
2 6 .S i: a b
10 5
b
c
2
0
0
2
2 7 .S i: a bc 0 abc 0 2 8 .S i: L //L //L 1
2
3
x
L1
y L2 z
L3
w
2 9 . S e ti tiene en e u n a esf e sfera inscrita en e n un cubo d e volum en 64 m
30 .
3
Á rea de la sup superf erficie esférica
9km 2
Á rea lat ateral eral d el cu cub bo
9 99 99 H a
24 7
R az. M atemático
CO MPARAC IÓN IÓN CUA NTITATIVA NTITATIVA IV E n estas pregu pregun n tas,se d an d o s cant can tid ades, ad es,u n a en la co col lu m na A y ot o tra en la co col lu m n a B . T ienes en es q ue d eterm erm in ar la rel relació n entr entre am bas y m arcar arcar: A . S i la canti cantida dad d en A es m ayo ayor r qu e en B . B . S i la canti cantida dad d en B es m ayo r qu e en A . C . S ia m ba bas s can tid ad es son igu gual ales. D . S ifalta in fo rm a ció n para p ara po p o d er d eterm in arlo. E . ¡NO DEB E UTILI ZAR ESTA OPCI ÓN! Columna A
Columna B
31. 31 . U na m on eda de "A "A " equi equ ivale a 2,5 2,5
de "B ", un a de d e "B "B " a 0, 0 ,3 d e "C "C " 3 2 .S i7 C U P O S = 8 P O C U S
Ten go :d os m one Tengo ned das de de “ A” , tres de de “ B ”y cu cua atro de de “ C”
Ten go :u na m on ed Tengo eda a de de “ A” , cua cu atro d e “ B” y tres de de “ C”
12 C U P O S
13 PO CU S
n (A
33 .
n (A
34 .
B)
B
n (A ) n(A
B)
C)
3 5 . S i: n (A
B ) 20
n(A n( A)
n (A (A B ) = 8 n (B (B - A ) = 6
n(A B ) n(A B )
3 6 . S i: A * B = A -B A = {1 ;2 ;3 ;4 } B = {1 ;2 ; 5 ; 6 ;7}
3 7 . S i: ax
2
bx c 0 ,tien e d o s ra raíces ces
reales e igu ales
N úm ero de d e elem entos de : BA
N úm ero de d e elem entos de : AB
2b 2
8ac 8a c
3 8 . S i: abc abcd > 0 ab < 0 ac > 0
bc
bd
3 9 . D ad a la fi figur gu ra: A R AO + O B O
R
AB
B
4 0 .S i:3 A = 5B 5B y 7 B = 9C 9C
24 8
E ld ob le d e la lo ng ngi itu d d e
119A
256C
TRILCE
CO MPARAC IÓN IÓN CUA NTITATIVA NTITATIVA V E n estas pregu pregun n tas,se dan d an d o s cant can tid ades, ad es,u n a en la co col lu m n a A y ot o tra en la co col lu m n a B . T ienes en es que qu e det d eterm erm in ar la rel relació n entr entre am bas y m arcar arcar: A . S i la canti cantida dad d en A es m ayo ayor r qu e en B . B . S i la canti cantida dad d en B es m ayo ayor r qu e en A . C . S iam b as can tid ad es son igu gual ales. D . S ifalta in fo rm a ció n para p ara po d er d eterm in arlo. E . ¡NO DEB E UTILI ZAR ESTA OPCI ÓN!
Columna A
(2) 2 )3
41 .
3 + 30 30
10 15
42 .
2
Columna B
(2) 2)2
2
2
1
43 . Si un prod product ucto A se vende vend e a 3 un idade da des s p or 8 so so les y un p rod ucto B se vend ven d e a 4 u n id ades ad es p or 7 so so les.
4 4 .E lcos co sto de un u n artícul cu lo cuan cu an d o se gana $60. 45. 45 . Si a es un n úm ero nat n atural uralde una un a cifra
46. 4 7 .S ix - y = z ,y = 2z 2 z ,z > 0 4 8 .S i a 0 y b 0
1 0 u n id ad es d e A
1 5 u n id ad es d e B
L a gan an anci cia es un cuarto d elco cost sto
L a gana gananci ncia es un q uinto d elp recio de ven vent ta
a3
a
38
aa
M C D (17 ;19 ; 23 ; 29 ; 31 31) )
M C D (2 ; 4)
3x
9z
a4 + b 6
2a 2 b3
B y
z
49. 49 .
yw
CD
AB
w
x M
A
xz
C
B M es m ediana
50. 50 . D ado s los punt pun tos A; A ; B ,C y D , colin eales y con secuti ecutivos vo s, con A C = 10 y B D = 12
24 9
R az. M atemático
CO MPARAC IÓN IÓN CUA NTITATIVA NTITATIVA VI E n estas pregun tas,se dan d an d o s cant can tid ades, ad es,u n a en la co col lu m n a A y ot o tra en la co col lu m na B . T ienes en es que qu e det d eterm erm in ar la rel relació n entr entre am bas y m arcar arcar: A . S i la canti cantida dad d en A es m ayo ayor r qu e en B . B . S i la canti cantida dad d en B es m ayo r qu e en A . C . S ia m ba bas s can tid ad es son igu gual ales. D . S ifalta in fo rm a ció n para p ara po p o d er d eterm in arlo. E . ¡NO DEB E UTILI ZAR ESTA OPCI ÓN! Columna A
51 .
5 20
52 . S i: 22 50 es el2 ,5 % d e "x" "x"
x 45000
x 2
a+ 1
10
5 3 .S i:
a 9
9 ;a0 a
518
Columna B
1 11
5 4 . S i: a = 0 ,1 8 1 8 ...
0 .18
55 .
4 0% 0% d e 2 5
5 6 .S i:
x y
0,2929... a
25% de 40 y x y
x y x
3 4
5 18 (20)
57 . C o m p arar arar las áreas áreas de d e las regio n es som breadas breadas. .
r
r 2
r
58 . C o m p arar arar eld iám etro d e la circun ferenci en cia y la d iago ag o n al d elcuad cu ad rado, ad o, sien d o "L " la lo n git gitu d d e la ci circun cu n ferenci en cia y "L " elperím etro delcuad cu adr rad o.
1
2
59. 59 .
x y 2
6 0 . "L " es u n n ú m ero real: L > 0
25 0
2y
z
Á rea del d elcuad cuadr rado d e p erím etro “ L”
Á rea del trián gu lo eq equ u ilátero d e p erím etro “ L”
1 z
TRILCE
Cl ave ves s 01.
c
31.
a
02.
a
32.
a
03.
a
33.
c
04.
b
34.
a
05.
a
35.
c
06.
b
36.
a
07.
b
37.
c
08.
c
38.
b
09.
b
39.
b
10.
b
40.
b
11.
b
41.
c
12.
b
42.
b
13.
a
43.
a
14.
b
44.
c
15.
c
45.
d
16.
b
46.
b
17.
a
47.
c
18.
b
48.
d
19.
a
49.
c
20.
b
50.
a
21.
a
51.
a
22.
c
52.
c
23.
b
53.
b
24.
b
54.
b
25.
a
55.
c
26.
a
56.
b
27.
a
57.
c
28.
c
58.
b
29.
a
59.
c
30.
b
60.
a
25 1
TRILCE
c) E s necesar nece sari io u tilizar I y II con co n ju n tam ent en te. d ) C ada ad a un o d e lo s dato dato s, po r separ epa rad o, es suf sufi iciente. ente. e) S e necesitan m ás datos. datos. 36 . S i Jorge Jorge le da d a a cada un o d e sus sus so so bri brino s S/. S/. 60 le faltan S /. 1 2 0 . ¿C u án to d in ero ero tiene en e Jo rge? I. S i les di d iera S /. 4 0 a c/u c/u le sob so b rarían S /. 1 0 0 . II. S i les di d iera S /. 7 0 a c/u le faltarían S /. 1 5 0 . a) b) c) d) e) 37 .
E ld ato ato I es suficient en te y el d ato ato II n o lo es. E ld ato ato II es suficient en te y el d ato ato I n o lo es. E s necesar nece sari io u tilizar I y II con co n ju n tam ent en te. C ada ad a un o d e lo s dato dato s, po r separ epa rad o, es suf sufi iciente. ente. S e necesitan m ás datos. datos.
H allar "x". B
A
x
60 ° C
ˆ Bˆ Cˆ 280 º Bˆ II. A E ld ato ato I es suficient en te y el d ato ato II n o lo es. E ld ato ato II es suficient en te y el d ato ato I n o lo es. E s necesar nece sari io u tilizar I y II con co n ju n tam ent en te. C ada ad a un o d e lo s dato dato s, po r separ epa rad o, es suf sufi iciente. ente. S e necesitan m ás datos. datos.
I. b = 7 II. a + 5 es im par. E ld ato ato I es suficient en te y el d ato ato II n o lo es. E ld ato ato II es suficient en te y el d ato ato I n o lo es. E s necesar nece sari io u tilizar I y II con co n ju n tam ent en te. C ada ad a un o d e lo s dato dato s, po r separ epa rad o, es suf sufi iciente. ente. S e necesitan m ás datos. datos.
b a
II.
a 2b
y+ z x
z+ 20 20º º O
3c d
d 8
E ld ato ato I es suficient en te y el d ato ato II n o lo es. E ld ato ato II es suficient en te y el d ato ato I n o lo es. E s necesar nece sari io u tilizar I y II con co n ju n tam ent en te. C ad a u no d e lo s dato dato s, po r separ epa rad o, es suf sufi iciente. ente. S e necesitan m ás datos. datos.
42 . L as edad es actual ua les d e Ped ro y R icardo cardo est están en e n la relació n d e 4 a 7. 7 . ¿C uánt uá nto o s año añ o s tend en d rá Ped P edr ro d ent en tro de 7 añ os? os? I. Pedro Pedro ti tiene 12 año s. II. L a sum a de d e sus sus edad ed ades es actual ua les es lo s
11 de d e la 4
edad de Ped ro. E ld ato ato I es suficient en te y el d ato ato II n o lo es. E ld ato ato II es suficient en te y el d ato ato I n o lo es. E s necesar nece sari io u tilizar I y II con co n ju n tam ent en te. C ad a u no d e lo s dato dato s, po r separ epa rad o, es suf sufi iciente. ente. S e necesitan m ás datos. datos.
43 . H allar "x" ;x 0 I.
a) b) c) d) e)
C
B
1 x 6
1
1 6 1
E ld ato ato I es suficient en te y el d ato ato II n o lo es. E ld ato ato II es suficient en te y el d ato ato I n o lo es. E s necesar nece sari io u tilizar I y II con co n ju n tam ent en te. C ad a u no d e lo s dato dato s, po r separ epa rad o, es suf sufi iciente. ente. S e necesitan m ás datos. datos.
D
I. z = 6 0 º II. O C es es bi bisectriz del d el án gu lo B Oˆ D a) b) c) d) e)
I.
II. x x
3 9 . H allar "x" en la fi figur gu ra. (A O D : ángu lo llano) an o)
A
E ld ato ato I es suficient en te y el d ato ato II n o lo es. E ld ato ato II es suficient en te y el d ato ato I n o lo es. E s necesar nece sari io u tilizar I y II con co n ju n tam ent en te. C ad a u no d e lo s dato dato s, po r separ epa rad o, es suf sufi iciente. ente. S e necesitan m ás datos. datos.
41 . H allar "c".
a) b) c) d) e)
38 . ¿E s par (a + 3) (b + 7)? 7)? ; a ,b Z
a) b) c) d) e)
a) b) c) d) e)
a) b) c) d) e)
I. A B = B C
a) b) c) d) e)
40 . ¿En cuánto cuánto s días se se acabar acaba rá el agua de una un a pi p iscina? I. C ada d ía pierde erde la m itad d e su su volum en m ás 6 litros. tros. II. L a p iscin a ti tiene en e in icialm ent en te 15 1 5 2 4 litro s.
E ld ato ato I es suficient en te y el d ato ato II n o lo es. E ld ato ato II es suficient en te y el d ato ato I n o lo es. E s necesar nece sari io u tilizar I y II con co n ju n tam ent en te. C ada ad a un o d e lo s dato dato s, po r separ epa rad o, es suf sufi iciente. ente. S e necesitan m ás datos. datos.
44 . L a d iferenci erencia d e 2 n úm eros eros es 14 56 0. ¿C uá l es el m enor de d ichos núm eros? os? I. La sum sum a de dichos núm eros es 45440. II. E l du plo d el m ayo r es 6000 60 000. 0. a) b) c) d) e)
E ld ato ato I es suficient en te y el d ato ato II n o lo es. E ld ato ato II es suficient en te y el d ato ato I n o lo es. E s necesar nece sari io u tilizar I y II con co n ju n tam ent en te. C ad a u no d e lo s dato dato s, po r separ epa rad o, es suf sufi iciente. ente. S e necesitan m ás datos. datos.
25 9
R az. M atemático ático
c) E s necesar nece sari io u tilizar I y II con co n ju n tam ent en te. d ) C ad a u no d e lo s dato dato s, po r separ epa rado, ad o, es suf sufi iciente. ente. e) S e neces necesitan m ás datos. datos.
45 . ¿C uánto m ide el el Q P R ?
P
49 . U na casa casa es de 2 herm herm ano s; se qu iere det d eterm inar el valo r d e la part p arte del d el herm ano an o m ayo r.
R
Q I.
PQ
7 d el val va lo r de la casa. 16 II. L a casa est está valo rizada zad a en 7 60 16 d ó lares. ares. I. L a part parte del m eno r es los
3 PR 2
II. P Q = 3 a) b) c) d) e)
E ld ato ato I es suficient en te y el d ato ato II n o lo es. E ld ato ato II es suficient en te y el d ato ato I n o lo es. E s necesar nece sario u tilizar I y II con co n ju n tam ent en te. C ada ad a un o d e lo s dato dato s, po r separ epa rad o, es suf sufi iciente. ente. S e necesitan m ás datos. datos.
a) b) c) d) e)
E ld ato ato I es suficient en te y el d ato ato II n o lo es. E ld ato ato II es suficient en te y el d ato ato I n o lo es. E s necesar nece sari io u tilizar I y II con co n ju n tam ent en te. C ad a u no d e lo s dato dato s, po r separ epa rado, ad o, es suf sufi iciente. ente. S e neces necesitan m ás datos. datos.
50 . D eterm erm inar elvalor de "x" "x"
4 6 . E n un cuar cua rto d e círculo, h allar el per pe rím etro d e "A "A ".
a
A
b + 30 º x
I. a = 3 0 º II. a + b = 75º 75º
B I. Perí Perím etro de "B ". II. Per Pe rím etro d el cuart cu arto d e círcul cu lo. a) b) c) d) e)
a
E ld ato ato I es suficient en te y el d ato ato II n o lo es. E ld ato ato II es suficient en te y el d ato ato I n o lo es. E s necesar nece sario u tilizar I y II con co n ju n tam ent en te. C ada ad a un o d e lo s dato dato s, po r separ epa rad o, es suf sufi iciente. ente. S e necesitan m ás datos. datos. 3
a) b) c) d) e)
E ld ato ato I es suficient en te y el d ato ato II n o lo es. E ld ato ato II es suficient en te y el d ato ato I n o lo es. E s necesar nece sari io u tilizar I y II con co n ju n tam ent en te. C ad a u no d e lo s dato dato s, po r separ epa rado, ad o, es suf sufi iciente. ente. S e neces necesitan m ás datos. datos.
51 . ¿C uál es la m edida d el P ? P
3
47 . D eterm erm inar el valor num nu m éri érico de de a b . I.
3
(a b )
64
II. ab = 2 R
Q
a) b) c) d) e)
E ld ato ato I es suficient en te y el d ato ato II n o lo es. E ld ato ato II es suficient en te y el d ato ato I n o lo es. E s necesar nece sario u tilizar I y II con co n ju n tam ent en te. C ada ad a un o d e lo s dato dato s, po r separ epa rad o, es suf sufi iciente. ente. S e necesitan m ás datos. datos.
4 8 . ¿Es ¿E s "E " el centr centro d e la circunf cun feren erenci cia?
B
a) b) c) d) e)
P
2m
Q
E ld ato ato I es suficient en te y el d ato ato II n o lo es. E ld ato ato II es suficient en te y el d ato ato I n o lo es. E s necesar nece sari io u tilizar I y II con co n ju n tam ent en te. C ad a u no d e lo s dato dato s, po r separ epa rado, ad o, es suf sufi iciente. ente. S e neces necesitan m ás datos. datos.
52 . H allar el volum en de un cubo: I. E l cubo cub o se pu ede ed e di d ivid ir en 2 7 cub ito s, cada cad a uno u no d e 1 cm d e ari arista. II. E lárea to tal d el cubo cub o es 5 4 cm 2.
D
I. A B = 8 0 º = C D II. A B + B C = 1 8 0º a) E ld ato ato I es suficient en te y el d ato ato II n o lo es. b ) E ld ato ato II es suficient en te y el d ato ato I n o lo es. 26 0
II. m
C
E A
I. P Q = Q R
a) b) c) d) e)
E ld ato ato I es suficient en te y el d ato ato II n o lo es. E ld ato ato II es suficient en te y el d ato ato I n o lo es. E s necesar nece sari io u tilizar I y II con co n ju n tam ent en te. C ad a u no d e lo s dato dato s, po r separ epa rado, ad o, es suf sufi iciente. ente. S e neces necesitan m ás datos. datos.
TRILCE
5 3 . ¿C uánt uá nto o s galo nes de d e pin tura ura se necesitan p ara ara pi p intar ntar lo s am bientes entes de una u na casa? casa? I. L a casa casa tiene 6 am bientes. es. II. S and ro pintó uno un o d e los am bientes entes con con 2 galo nes d e pin tu ra. a) b) c) d) e)
E ld ato ato I es suficient en te y el d ato ato II n o lo es. E ld ato ato II es suficient en te y el d ato ato I n o lo es. E s necesar nece sari io u tilizar I y II con co n ju n tam ent en te. C ada ad a un o d e lo s dato dato s, po r separ epa rad o, es suf sufi iciente. ente. S e necesitan m ás datos. datos.
54 . ¿C uánto uánto d inero nero gast gastó P epito en u na sem sem ana? (L (L unes a D om ingo) ngo). . I. C ada ad a uno u no d e lo s d ías gast gastó , el d o ble del d el d ía ant a nteerio r. II. A l in icio d e la sem an a tení en ía S /. 6 0 0 y al a l fin al d el D om ingo le qued aban S /. 96. a) b) c) d) e)
E ld ato ato I es suficient en te y el d ato ato II n o lo es. E ld ato ato II es suficient en te y el d ato ato I n o lo es. E s necesar nece sari io u tilizar I y II con co n ju n tam ent en te. C ada ad a un o d e lo s dato dato s, po r separ epa rad o, es suf sufi iciente. ente. S e necesitan m ás datos. datos.
55 . E ncontr ncontrar el área de un cuadrado. cuadrado. I. Su perím etro es 16. II. S u di d iago nal na l es 4 2 . a) b) c) d) e)
E ld ato ato I es suficient en te y el d ato ato II n o lo es. E ld ato ato II es suficient en te y el d ato ato I n o lo es. E s necesar nece sari io u tilizar I y II con co n ju n tam ent en te. C ada ad a un o d e lo s dato dato s, po r separ epa rad o, es suf sufi iciente. ente. S e necesitan m ás datos. datos.
I. E l área delpentágono O B C D A es 29 m 2 . II. E lárea del de l triángu án gul lo A B D es 21 m a) b) c) d) e)
2
.
E ld ato ato I es suficient en te y el d ato ato II n o lo es. E ld ato ato II es suficient en te y el d ato ato I n o lo es. E s necesar nece sari io u tilizar I y II con co n ju n tam ent en te. C ad a u no d e lo s dato dato s, po r separ epa rad o, es suf sufi iciente. ente. S e necesitan m ás datos. datos.
58 . H allar la sum a d e lo s prim eros eros cien tér térm m ino s de la p ro gresió n ar a ritm éti ética: ca: 2 ; x ; y ; ..... I. x = 9 II. y = 18 a) b) c) d) e)
E ld ato ato I es suficient en te y el d ato ato II n o lo es. E ld ato ato II es suficient en te y el d ato ato I n o lo es. E s necesar nece sari io u tilizar I y II con co n ju n tam ent en te. C ad a u no d e lo s dato dato s, po r separ epa rad o, es suf sufi iciente. ente. S e necesitan m ás datos. datos.
59 . H allar el núm nú m ero ero d e bo tellas que h ay en una un a caja. I. S i se regal regala la ter tercer cera par p art te, qu edan ed an m ás de 14 . II. S i se aum ent en ta en su cuar cua rta par p art te, no llegan ega n a 35 . a) b) c) d) e)
E ld ato ato I es suficient en te y el d ato ato II n o lo es. E ld ato ato II es suficient en te y el d ato ato I n o lo es. E s necesar nece sari io u tilizar I y II con co n ju n tam ent en te. C ad a u no d e lo s dato dato s, po r separ epa rad o, es suf sufi iciente. ente. S e necesitan m ás datos. datos.
60. Si : L //L , h allar "x" 1
2
5 6 . H allar el p erí erím etro d el sigui gu ient en te rect rectán gul gu lo.
L1
a
L2 x
b I. E lárea es E 96 m
I.
18 0 x
II. 2
2
II. L a diagon alm ide 4 13 m a) b) c) d) e)
E ld ato ato I es suficient en te y el d ato ato II n o lo es. E ld ato ato II es suficient en te y el d ato ato I n o lo es. E s necesar nece sari io u tilizar I y II con co n ju n tam ent en te. C ada ad a un o d e lo s dato dato s, po r separ epa rad o, es suf sufi iciente. ente. S e necesitan m ás datos. datos.
a) b) c) d) e)
E ld ato ato I es suficient en te y el d ato ato II n o lo es. E ld ato ato II es suficient en te y el d ato ato I n o lo es. E s necesar nece sari io u tilizar I y II con co n ju n tam ent en te. C ad a u no d e lo s dato dato s, po r separ epa rad o, es suf sufi iciente. ente. S e necesitan m ás datos. datos.
57 . H allar elárea área del rom bo A B C D de la figura: gura: B
A
O
C
D
26 1
R az. M atemático ático
Claves l ave ves s
26 2
01.
c
31.
e
02.
a
32.
e
03.
b
33.
a
04.
c
34.
c
05.
e
35.
e
06.
e
36.
d
07.
d
37.
d
08.
d
38.
a
09.
d
39.
c
10.
d
40.
c
11.
c
41.
c
12.
e
42.
a
13.
c
43.
a
14.
d
44.
d
15.
c
45.
a
16.
e
46.
d
17.
e
47.
c
18.
b
48.
c
19.
d
49.
c
20.
c
50.
b
21.
c
51.
c
22.
b
52.
d
23.
c
53.
e
24.
c
54.
b
25.
a
55.
d
26.
c
56.
c
27.
d
57.
d
28.
b
58.
d
29.
b
59.
e
30.
c
60.
b
ÍNDICE R A Z O N A M I E N T O M A T EM EM Á T I C O
Primer Bim es estre tre
P ág .
C apí ap í tu lo 01 .................. ............ ............ ............. ............. ............ ............ ............ ............ ............. ............. ............ ............ ............ ............ ...... O r d e n d e I n f o r m a c i ó n ............
9
C apí ap í tu lo 02
J u e g o s d e I n g e n i o ........... ................. ............ ............ ........... ........... ............ ............ ........... ........... ............ ............ ............ ........... ........... ............ .......... .......... .......... ....
23
C apí ap í tu lo 03 .................. ........... ........... ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ........... ........... ............ ......... ... H a b i l i d a d O p e r a t i v a ............
33
C apí ap í tu lo 04
Mé to do In du ct ivo
............ ................. ........... ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ........... ........... ............ ............ ............ ............ ............ .......... ....
45
................ ........... ........... ........... ........... ........... ........... ........... ........... .......... ........... ........... ........... ........... ........... ........... ......... .... P l a n t e o d e E c u a c i o n e s ...........
57
C apí ap í tu lo 06 ................................................................................................... ......................................... ......................................................................................... ...............................
67
C apí ap í tu lo 05
Edades
C apí tulo tu lo 07
Móviles
........... ................ ........... ........... ........... ........... ........... ........... .......... ........... ........... ........... ........... ........... ........... ........... ........... ......... .......... ........... ........... ........... ......... ....
75
Segundo Bim es estre tre
C apí ap í tu lo 08
Cr ono met ría ............. ................... ............. ............. ............ ............. ............. ............ ............. ............. ............ ............. ............. ............ ........... ............. ............... ........... ....
85
C apí ap í tu lo 09 .................. ............ .............. .............. ............. ............. ............ ............ ............ ............ .............. .............. ............ ............. ............. ............ ............ ......... ... Sucesiones ............
99
C apí ap í tu lo 10
Series y Sumat ori as .......... ............... .......... .......... .......... ........... ........... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ........... ........... ........ ......... ........ ..
109
C apí ap í tu lo 11 ................ ........... ........... ........... ........... ........... ........... ........... ............ ........... ........... ........... ........... ........... ........... ........... ........... ........... ..... C o n t e o d e F i g u r a s ...........
129
Tercer Bi mestre
Ca pí tu lo 12
Operaciones Comb inadas
............ .................. ........... ........... ............ ............ ........... ........... ............ ............ ........... ........... ............ ............ ........... ........... ......
141
............ .................. ........... ........... ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ........... ........... ............ ......... ...
151
Ca pí tu lo 13
Cr ipt oar it mé ti ca Ca pí tu lo 14
.................. ............ ............ ............ ............ ............ ........... ........... ............ ............ ............ ............ ............ ............ ......... ... Op eracion es Mat emáti cas ............
163
Ca pí tu lo 15
Cer t ezas - Máxi mo s y Míni mo s
.............................. ................................................. .................................. .................................. ........................... ........
177
.................. ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ .......... .... An álisis Co mb inat or io ............
187
Ca pí tu lo 16
Ca pí tu lo 17
Probabilidades
...................................................................................................................... ....................................................................... ...............................................
20 1
Cuarto Bim estre
Ca pí tu lo 18 ................... ............. ............ ............. ............. ............ ............ ............. ............. ............ ............. ............. ............ ............. ............. ............ ............ ............. ......... Fracciones ............
209
Ca pí tu lo 19
Porcentajes
............ .................. ............ ............ ............. ............. ............ ............ ............ ............ ............. ............. ............ ............ ............ ............ ............ ............. ............. ........
219
Ca pí tu lo 20
Áreas de Regiones Somb readas ............................................................... ............................................................................................. ..............................
22 9
Ca pí tu lo 21 ................... ............. ............... ............... .............. ............. ............. ............. ............. .............. ............. ............. ............. ...... C o m p a r a c i ón ón C u a n t i t a t i v a .............
243
Ca pí tu lo 22
S u f i c i e n c i a d e D a t o s .................................... ................................................................................. ........................................................................... ..............................
253
