171794631-Trabajo-de-Columnas-Resistencia-de-Materiales-II.doc

UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO FACULTAD DE ING. CIVIL, SISTEMAS Y ARQUITECTURA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

C!LUMNAS

CURSO: -

Resi Resist sten enci ciaa de de Mat Mater eria iale less IIII

-

In. In. !"ar !"ar C#r# C#r#na nad# d# $%l# $%l#eeta. ta.

-

&es' &es'ss Mi Mi%e %ell !l !li(a i(a Me Mera

DOCENTE:

ALUMNO:

CÓDIGO: )*+)-C Lambayeque, 22 de julio del

.

6COLUMNAS7 COLUMNAS7

RESISTENCIA DE MATERIALES II

Tala de c#ntenid# 1 2

INTRODUCCIÓN ................................................................................................................. 3 2.1

Colum!......................................................................................................................................

/.).) 4 C#l%"nas Laras0 ................................................. ............................................................................. ........................................................ ...................................................... ................................. ....... 1 /.)./ C#l%"nas Inter"edias0 ............................................... ......................................................................... ........................................................ .................................................. .......................... ...... 1 2.2 5 Com"o#$!m%&$o......................................................................................................................... 2.3 C!#'! (#)*(! ................................................................................................................................

3

2.4

+

2.5

E,(&$#%(%-!- ..............................................................................................................................

Fórmula de Euler ara columnas lar!as o mu" es#el$as ...................................................... /.1 /.1

4



LIMI LIMITA TACI CIO ONES NES DE DE LA LA FOR FORMU MULA LA DE EULE EULER R ................................................................................

Columnas de &on!i$ud in$ermedia' Formulas em(ricas .................................................... 4.1

O$#o m$o-o "!#! (olum! %$&#m&-%!. ............................................................................. 1.).) 1/ 1.)./ 1.).2 1.).1 1.).+ 1.). 1.). 1.).3 1.).4 1.).)* 1.).)*

)

CO&U*N+, C+R-+D+, ECENTRIC+*ENTE .................................................................... 23 5.1

/

M5t#d# de T.6. ns#n. &# 7ns#n. ....................................................................... ............................................................................................. .................................................. ............................... ... )2 M5t#d# de Ran8ine-G#rd#n. ................................................. .............................................................................. ........................................................ ........................................ ............. )1 M5t#d# de R#s-9r%nner. R#s-9r%nner. ................................................. ........................................................................... ....................................................... ................................................. .................... ) M5t#d# de Desarr# ll# del c:";%t# a ;artir de <=;;lein >)443?. ......................................................... ............................................................... ...... )3 ................................................. ......................................................... ........ /* F:r"%la de la As#ciaci:n A"ericana de Inenier#s de ................................................. ....................... ........................................................ ............................................. ............... /* F:r"%la del C#l%"n Researc7 C#%ncil ................................ ................................ ............................................... ........................................................................... ............................ /* F#r"%la Del Str%ct%ral StailitB Researc7 C#%ncil M5t#d# AISC. AISC. .......... ............... .......... .......... .......... ........... ........... .......... .......... .......... .......... ........... ........... .......... ......... ......... .......... ........... ........... .......... .......... .......... .......... ........... ........... ......... .... /)

L! 3#mul! -& l! S&(!$& ...........................................................................................................

0REDI*ENCION+*IENTO DE CO&U*N+, CO&U*N+, ........................................................................ +.1

Colum! -& M!-&#!....................... M!-&#!................................... ....................... ...................... ....................... ....................... ...................... ..................... .................... ............. ... 2 .).) M5t#d# ;ara ;re di"ensi#nar c#l%"na de "adera ..................................................................... .................................................................................... ............... /

+.2

./.) ././ Colum! -& A(&#o .....................................................................................................................

+./

2

Secci:n de la c#l%"na..................................... c#l%"na......................................................... .................................................. ........................................................ .......................................... ................ /4 .2.) M5t#d# ;ara ;redi"ensi#nar la c#l%"na de acer# ..................................................................... ................................................................................... .............. /4 .2./ .2.2 Colum! -& Co(#&$o A#m!-o ..................................................................................................

 

Eercicios de Reor5amien$o ............................................................................................. 34

C!LUMNAS

@ina /



Tala de c#ntenid# 1 2

INTRODUCCIÓN ................................................................................................................. 3 2.1

Colum!......................................................................................................................................

/.).) 4 C#l%"nas Laras0 ................................................. ............................................................................. ........................................................ ...................................................... ................................. ....... 1 /.)./ C#l%"nas Inter"edias0 ............................................... ......................................................................... ........................................................ .................................................. .......................... ...... 1 2.2 5 Com"o#$!m%&$o......................................................................................................................... 2.3 C!#'! (#)*(! ................................................................................................................................

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2.4

+

2.5

E,(&$#%(%-!- ..............................................................................................................................

Fórmula de Euler ara columnas lar!as o mu" es#el$as ...................................................... /.1 /.1

4



LIMI LIMITA TACI CIO ONES NES DE DE LA LA FOR FORMU MULA LA DE EULE EULER R ................................................................................

Columnas de &on!i$ud in$ermedia' Formulas em(ricas .................................................... 4.1

O$#o m$o-o "!#! (olum! %$&#m&-%!. ............................................................................. 1.).) 1/ 1.)./ 1.).2 1.).1 1.).+ 1.). 1.). 1.).3 1.).4 1.).)* 1.).)*

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CO&U*N+, C+R-+D+, ECENTRIC+*ENTE .................................................................... 23 5.1

/

M5t#d# de T.6. ns#n. &# 7ns#n. ....................................................................... ............................................................................................. .................................................. ............................... ... )2 M5t#d# de Ran8ine-G#rd#n. ................................................. .............................................................................. ........................................................ ........................................ ............. )1 M5t#d# de R#s-9r%nner. R#s-9r%nner. ................................................. ........................................................................... ....................................................... ................................................. .................... ) M5t#d# de Desarr# ll# del c:";%t# a ;artir de <=;;lein >)443?. ......................................................... ............................................................... ...... )3 ................................................. ......................................................... ........ /* F:r"%la de la As#ciaci:n A"ericana de Inenier#s de ................................................. ....................... ........................................................ ............................................. ............... /* F:r"%la del C#l%"n Researc7 C#%ncil ................................ ................................ ............................................... ........................................................................... ............................ /* F#r"%la Del Str%ct%ral StailitB Researc7 C#%ncil M5t#d# AISC. AISC. .......... ............... .......... .......... .......... ........... ........... .......... .......... .......... .......... ........... ........... .......... ......... ......... .......... ........... ........... .......... .......... .......... .......... ........... ........... ......... .... /)

L! 3#mul! -& l! S&(!$& ...........................................................................................................

0REDI*ENCION+*IENTO DE CO&U*N+, CO&U*N+, ........................................................................ +.1

Colum! -& M!-&#!....................... M!-&#!................................... ....................... ...................... ....................... ....................... ...................... ..................... .................... ............. ... 2 .).) M5t#d# ;ara ;re di"ensi#nar c#l%"na de "adera ..................................................................... .................................................................................... ............... /

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Secci:n de la c#l%"na..................................... c#l%"na......................................................... .................................................. ........................................................ .......................................... ................ /4 .2.) M5t#d# ;ara ;redi"ensi#nar la c#l%"na de acer# ..................................................................... ................................................................................... .............. /4 .2./ .2.2 Colum! -& Co(#&$o A#m!-o ..................................................................................................

 

Eercicios de Reor5amien$o ............................................................................................. 34

C!LUMNAS

@ina /



) INTR!DUCCI

Una columna en ingeniería estructural es un elemento estructural que transmite, través de compresión, el peso de la estructura sobre otros elementos que se encuentran debajo. Estas pueden ser diseñadas para resistir las laterales del viento o de los movimientos sísmicos. Las columnas frecuentemente usadas para soportar vigas o arcos sobre los cuales las superiores de las paredes o tecos descansan. Las primeras columnas construidas

de

piedras,

sacadas

de

una

pieza

simple

de

roca,

usualmente rot!ndolas sobre un aparato parecido a un torno. "tras fueron de m#ltiples secciones de roca, pegadas con mortero o en seco. Las modernas son construidas de acero, concreto vertido o prefabricado, o de Luego pueden ser revestidas en una cubierta arquitectónica o dejadas sin En el presente trabajo abordaremos la clasificación $ métodos para una columna, como vimos en el p!rrafo anterior este elemento estructural un rol fundamental en edificaciones, es por eso que este modesto trabajo evocado para a difundir algunos conceptos $ metodología de desarrollo de mismos. Esperando que este trabajo sea del agrado del lector, así también como parte de aprendizaje o reforzamiento de lo que a continuación se

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@ina 2


6COLUMNAS7

Column / /.) C#l%"na

La columna es un elemento sometido principalmente a compresión, por lo tanto el diseño est! basado en la fuerza interna, conjuntamente debido a las condiciones propias de las columnas, también se diseñan para fle%ión de tal forma que la combinación así generada se denomina fle%ocompresión. &eg#n el uso actual de la columna como elemento de un pórtico, no necesariamente es un elemento recto vertical, sino es el elemento donde la compresión es el principal factor que determina el comportamiento del elemento. Es por ello que el predimensionado de columnas consiste en determinar las dimensiones que sean capaces de resistir la compresión que se aplica sobre el elemento así como una fle%ión que aparece en el diseño debido a diversos factores. 'abe destacar que la resistencia de la columna disminu$e debido a efectos de geometría, lo cuales influ$en en el tipo de falla. Las columnas en este trabajo la dividiremos en( 2.1.1 Largas:

Columnas

2.1.2 Columnas Intermedias:

&e dice una columna larga cuando su longitud es ma$or a )* veces la menor dimensión transversal $ su esbeltez mec!nica se encuentre entre +* $ En algunos casos las columnas cortas también forman parte de esta clasificación se dice columna corta cuando no cumple que su longitud es ma$or a )* veces la menor dimensión transversal-. La diferencia entre los tres grupos vienen determinadas por su comportamiento, las columnas largas se rompen por pandeo o fle%ión lateral las intermedias, por

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@ina 1


6COLUMNAS7

una combinación de aplastamiento $ pandeo, $ las columnas cortas, por 2.2

C#";#rta"ient# /entro de los requisitos fundamentales de una estructura o

estructural est!n( equilibrio, resistencia, funcionalidad $ estabilidad . En una columna se puede llegar a una condición inestable antes de alcanzar la deformación m!%ima permitida o el esfuerzo m!%imo. El fenómeno de inestabilidad se refiere al pandeo lateral, el cual es una defle%ión que ocurre en la columna véase 0igura +- cuando aparece incrementa el momento flector aplicado sobre el elemento, el aumento de la defle%ión agranda la magnitud del momento flector, creciendo así la curvatura de la columna asta la falla este caso se considera inestable. 1or ello la resistencia de la columna sometida a compresión tiene dos límites, el de resistencia para columnas cortas $ el de estabilidad para columnas largas véase

0igura ). /isminución del esfuerzo de trabajo a compresión seg#n la esbeltez de la columna. 2imosen3o $ 4oung, 5***, p. 565-

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@ina +

6COLUMNAS7

2.3


Cara

La deformación de la columna varía seg#n ciertas magnitudes de cargas, para valores de 1 bajos se acorta la columna, al aumentar la magnitud cesa el acortamiento $ aparece la defle%ión lateral. E%iste una carga límite que separa

Los factores que influ$en en la magnitud de la carga crítica son la longitud de la columna, las condiciones de los e%tremos $ la sección transversal de la columna. Estos factores se conjugan en la relación de esbeltez o coeficiente de esbeltez, el cual es el par!metro que mide la resistencia de la columna. /e esta forma para aumentar la resistencia de la columna se debe buscar la sección que tenga el radio de giro m!s grande posible, o una longitud que sea menor, $a que de ambas C!LUMNAS

@ina 

6COLUMNAS7


/.1 Ecentricida

'uando la carga no se aplica directamente en el centroide de la columna, se dice que la carga es e%céntrica $ genera un momento adicional que disminu$e la resistencia del elemento, de igual forma, al aparecer un momento en los e%tremos de la columna debido a varios factores, ace que la carga no act#e en el centroide de la columna véase 0igura 7-. Esta relación del momento respecto a la carga a%ial se puede e%presar en unidades de distancia seg#n la propiedad del momento+, la distancia se denomina e%centricidad. 'uando la e%centricidad es pequeña la fle%ión es despreciable $ cuando la e%centricidad es grande aumenta

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@ina 

6COLUMNAS7


/.+ L#nit%d La longitud efectiva combina la longitud real con el factor defijación de e%tremos Lt 8 9L fue deducida para el caso de una columna con e%tremos articulados, o libres de girar. En otras palabras. L en la ecuación representa la distancia no soportada entre los puntos con momento cero. &i la columna que soportada en otras formas, la fórmula de Euler se puede usar para determinar la carga crítica, siempre que :L; represente la distancia entre puntos con momento cero. < esta distancia se le llama longitud efectiva de la columna, Le. Es obvio que para una columna con e%tremos, pero en f igura =>d-. 1ara la columna con un e%tremo fijo $ uno columna con sus e%tremos articulados, cu$a longitudes 5L $ así tenemos

m!s

ejemplos con sus valores de longitud efectiva. a. 'olumnas con e%tremos de pasador( Le89L8 ).*L- 8 L b. 'olumnas con e%tremos fijos( Le89L 8 *,?=Lc. 'olumnas con e%tremos libres( L,89L 8 5.)*Ld. 'olumnas con pasadores fijos $ el otro fijo(

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@ina 3


6COLUMNAS7

2 F:r"%la de E%ler ;ara c#l%"nas laras # "%B La fórmula de Euler es v!lida solamente para columnas largas $ calcula lo que se conoce como @carga critica de pandeo@, esta es la #ltima carga que puede soportar por columnas largas, es decir, la carga presente en el instante del colapso. La columna articulada en sus e%tremos, inicialmente recta omogénea, de sección transversal constante en toda su longitud se comporta el!sticamente. 1uede tener dos posiciones de equilibrio( recta o ligeramente



Corte

0

 2

/e la ecuación de la el!stica

d

dx

2



 EI

se obtiene. d2y

P

   y  2 dx  EI 

Baciendo que k 2 

P

E

d 2 y dx

2

se escribe

 k y  2

Es una ecuación diferencial de segundo "rden cu$a solución es y  Acos(kx)  Bsen(kx)

1ara %8L, $8* por lo tanto 0  Bsen(0)

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@ina 4


6COLUMNAS7

La solución general seria( kL  P EI



n 2

P 

2

2

/onde n describe todos los modos de pandeo, pero generalmente se toma n 8 ), resultando la fórmula( P 

2.) LIMITACI!NES DE LA F!RMULA DE

Una columna tiende a pandearse siempre en la dirección en la cual es m!s fle%ible. 'omo la resistencia a la fle%ión varia con el momento de inercia, el valor de l en la fórmula de Euler es siempre el menor momento de inercia de la sección recta. La tendencia al pandeo tiene lugar, pues, con respecto al eje principal de momento de inercia mínimo de la sección recta. La fórmula de Euler también demuestra que la carga crítica que puede producir cl pandeo no depende dc la resistencia del material, sino de sus dimensiones $ del módulo el!stico. 1or este motivo. /os barras de idénticas dimensiones, una de acero de alta resistencia $ otra de acero suave, se pandearan bajo la misma carga crítica, $a que aunque sus resistencias son mu$ diferentes tienen pr!cticamente el mismo módulo el!stico.
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@ina )*


6COLUMNAS7

1ara que la fórmula de Euler sea aplicable, el esfuerzo que se produzca en el pandeo no debe e%ceder al límite de proporcionalidad. 1ara determinar este esfuerzo, se sustitu$e en la fórmula el momento de inercia por
P A



E 



r



2

El valor 1D< es el esfuerzo medio en la columna cargada con su carga crítica, $ se llama esfuerzo crítico. &u límite superior es el esfuerzo en el límite de proporcionalidad . La relación LDr se llama esbeltez mecánica , o simplemente

esbeltez, de la columna. 'omo una columna cargada a%ialmente tiende a pandearse respecto del eje  mínimo, para allar la esbeltez de una columna se divide la longitud equivalente o efectiva entre el radio de giro mínimo de la sección recta. 1or conveniencia, se definen como columnas largas o mu$ esbeltas aquellas a las que se puede aplicar la fórmula de Euler. La esbeltez mínima, que fija el límite inferior de aplicación de La fórmula dc Euler, se obtiene sustitu$endo en la ecuación los valores conocidos de límite de proporcionalidad $ del módulo el!stico

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@ina ))

6COLUMNAS7


1or debajo de este valor, como se indica en la figura ?, en la parte punteada de La curva de Euler el esfuerzo que daría la carga de Euler e%cederla al límite de proporcionalidad, por Lo que para LDr F )** la fórmula de Euler no es aplicable, $ a$ que considerar corno esfuerzo crítico el Gimite de proporcionalidad. La curva muestra también que el esfuerzo critico en una columna disminu$e r!pidamente cuando aumenta la esbeltez, por lo que al pro$ectar una pieza de este tipo, conviene que la esbeltez sea la menor posible. 0inalmente se debe observar que la fórmula de Euler da la carga crítica $ no la carga de trabajo. 1or ello es preciso dividir la carga crítica entre el correspondiente factor de seguridad, que suele ser de 5 a + seg#n el material $

1 C#l%"nas de L#nit%d inter"edia, F#r"%las e";ricas Lo visto anteriormente es aplicable para columnas del cual la esbeltez mec!nica sea ma$or que el valor para el que el esfuerzo medio alcance el límite de proporcionalidad. relación a las columnas largas $ cortas

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@ina )/


6COLUMNAS7

&e an desarrollado mucas fórmulas empíricas para las columnas intermedias de acero, por ser un material mu$ empleado en las estructuras. &e e%aminan en primer lugar, $ luego se ver! la aplicación a otros materiales. En uno de los métodos propuestos el de Hla teoría del doble módulo” se generaliza la aplicación de la fórmula de Euler a las columnas intermedias, con esfuerzos reducido E , es decir, P A



E 

 r 

2

El módulo reducido E , que también se llama módulo de tangente o tangencial, es la pendiente de la tangente al diagrama de esfuerzo>deformación en el punto que corresponde al esfuerzo medio en la columna. Esta fórmula proporciona una curva que empalma las dos gr!ficas representativas dc las columnas cortas $ largas. deformación, los ensa$os reales demuestran una

1.) !tr#s "5t#d#s ;ara c#l%"nas 4.1.1 Método de .!.

Este método consiste en ajustar una recta a los valores medios de la serie de numerosos ensa$os graficando los valores de 1D< así poder encontrar el valor

P A

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 

L r

@ina )2


6COLUMNAS7

En donde  es el (al#r ;ara Lr H *
P A

r

 110  0.483

r

4.1.2 Método de $an%ine&

Jordon sugirió una fórmula empírica para los elementos comprimidos basada en datos e%perimentales. Can3ine modificó la fórmula de Jordon. La

2 P  L2 y se aplica a los FE = Carga crítica de Euler.

FU =Última carga compresiva = (σ U ·! y se aplica a las columnas. σ U = "ltima tensi#n de compresi#n.

Can3ine sugirió que una columna cargada falla en su parte intermedia debido a la compresión $ al pandeo en m!s o menos grados. /e acuerdo con datos e%perimentales, se encuentra que una predicción razonable de la carga crítica es dada por la fórmula siguiente. F R  F E U Aue arregl!ndola queda F R 

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F E F U F E  @ina )1


6COLUMNAS7

R

= Carga crítica de

&abemos que(

F U   U A

2

F E

L   2

F R 

 L r 

A

2

U



2





2

 

 U

/e esta manera aciendo acomodos( P A



U 1

r 

2

/onde la forma mu$ utilizada de esta e%presión, que se a llamado Can3ine> Jordon, es(  

124

=

1

1 + 18103

/onde

 2 



)

detallaremos

a

continuación un gr!fico de comparación entre Euler $ Can3ine.

C!LUMNAS

@ina )+

6COLUMNAS7


4.1.3 Método de $os&

El método Cos>Irunner )K5?- es el utilizado como base de c!lculo del método que se utiliza en el presente pro$ecto de 9pplein. Es una base estructural a la que 9pplein le incorporó el an!lisis térmico. La base de c!lculo es la misma que el anterior sobre la carga crítica de Euler pero en sus c!lculos tiene en cuenta adem!s la e%centricidad. Msta tiene en cuenta la provocada por la desviación entre la pared interna $ e%terna de la columna $ adem!s la e%centricidad del centro de la columna respecto a los e%tremos pandeo inicial-. < partir de aí

La figura anterior muestra un ejemplo de uno de los gr!ficos de Cos>Irunner. 2ienen en cuenta los siguientes par!metros( )> la relación entre el espesor de la columna $ su di!metro e%terior. El ejemplo de la figura anterior tmDda8 *.) C!LUMNAS

@ina )


6COLUMNAS7

5>

la esbeltez reducida  

R

 E

donde los par!metros son(

a. N 8 esbeltez mec!nica de la columna $ se calcula mediante la fórmula(   /onde L es la longitud física de la columna e i radio de giroi

&iendo  $ < el momento de inercia $ el !rea de la sección transversal respectivamente. b. C/ es la capacidad #ltima a compresión del material. c. E* es el módulo de elasticidad del material. +> O3r es el valor de la tensión admisible, es el valor que buscamos a partir de C/ teniendo en cuenta las disminuciones por esbeltez reducida $ 7>

por e%centricidades referidas. m es el valor de la e%centricidad referida de la columna. &e calcula mediante la siguiente e%presión( m e  e1  k , donde $ e1

De 

2

i

 siendo D

B

Di el

di!metro e%terior e interior respectivamente $ tmin el espesor mínimo de la sección $ e5 es la desviación de la pared e%terior de la columna en su longitud media respecto a los e%tremos. 1uede interpretarse como pandeo inicialk 

la

W

/onde P es el módulo resistente de la sección $ < es el !rea de

A

sección. &abiendo que el módulo resistente es igual al momento de inercia dividido por el radio, la fórmula anterior queda simplificada a la siguiente k 

C!LUMNAS

e

i

8 D

@ina )

6COLUMNAS7


4.1.4 Método de )esarrollo del *+muto a artir de -.,,lein

La base de la prueba de cómputo de la capacidad de carga de las columnas de fundición a temperatura ambiente se basa en la teoría a partir de CosD Irunner )K5?-. 1ara su uso pr!ctico se desarrolló un diagrama adimensional de la capacidad de tensión portante. 1ara poder utilizar el procedimiento a partir de CosD Irunner, es necesario conocer la curva tensión>deformación. La capacidad de carga a temperatura ambiente ser! proporcional a temperaturas m!s altas. gualmente los coeficientes relativamente altos de una aleación de fundición gris van acompañado a la temperatura ambiente también de rigideces superiores en diferentes temperaturas realizados en pruebas de laboratorio $ se obtuvo la siguiente gr!fica(

C!LUMNAS

@ina )3


6COLUMNAS7 4.1.

Método de +rmula de

Es una de las m!s antiguas. &e la conoce desde )66?. 0ue adoptada por para representar los resultados e%perimentales de Bodg3inson, si posteriormente fue modificada por Can3ine. La tensión media OU admitida, seg#n este autor, deber!

&iend a $ b dos constantes, función del material utilizado. El

para la 'onstrucción en
4.1.

Método de +rmula de

/ata de )6K6. La 0atiga 'rítica para el acero de construcción, seg#n este autor,

Esta par!bola es tangente a la curva de Euler en N 8 )55,= $ da lugar Los coeficientes de seguridad a adoptar, seg#n "stenfeld, se sit#an entre 5.= $ +

C!LUMNAS

@ina )4


6COLUMNAS7

4.1.

+rmula de la so*ia*i+n meri*ana de Ingenieros de

En este caso, las fórmulas se refieren a la 0atiga admitida

4.1.

+rmula del Column $esear*# Coun*il

&e define a(

que, seg#n esta organización, fija el límite entre

pandeo el!stico e inel!stico. &eg#n el valor de N de la columna de acero se

4.1.

ormula )el 9tru*tural 9tability $esear*# Coun*il

Este organismo propuso en )KQ?, como consecuencia de sus resultados e%perimentales, un conjunto de fórmulas distintas, seg#n material, tipo de perfil $ proceso de fabricación. /e entre todas ellas, la m!s utilizada para construcciones

/efiniendo a C!LUMNAS

se aplican las siguientes reglas( @ina /*


6COLUMNAS7

4.1.10 Método

El <&'R 
2

2

 PC

/onde E es el módulo de elasticidad 5** J1a para la ma$oría de los tipos de acero$  PC es el esfuerzo en el pun lo de cedencia para el tipo particular de acero empleado. 1ara columnas dc longitud efectiva L, $ radio dc giro mínimo r, especifica , est! dado por cl <&' que para LDrS'c, el esfuerzo de

T

12

2

  23    r 

2

Tótese que ésta es la fórmula de Euler con un factor de seguridad de 5+D)5 8).K5.1ara LeDr F 'r, el <&' especifica la fórmula parabólica donde el factor de

C!LUMNAS

@ina /)


6COLUMNAS7

  e  e 3   r     r  5  FS    3 3

8

c

8

3

c

"bsérvese que el factor de seguridad es ) .K5 cuando L eDr 8 c $ disminu$e al aumentar la relación de esbeltez. variación de con LeDr para diferentes La

C!LUMNAS

@ina //


6COLUMNAS7

+ C!LUMNAS CARGADAS Las columnas se suelen diseñar para soportar cargas a%iales, $ las fórmulas que se an e%puesto lo an sido con este criterio. &in embargo, en ocasiones las columnas pueden estar sometidas a cargas con una determinada e%centricidad, por ejemplo, cuando se remaca una viga al ala de una columna en la estructura de un edificio. La fórmula de la secante que se estudia lo veremos a continuación es especialmente adecuada para tales casos, pero su aplicación numérica es tan

&e estudia la columna e%céntricamente cargada como si fuera, en lo que se refiere a los esfuerzos, un elemento 'orto cargado e%céntricamente. 1ero para eliminar la posibilidad del pandeo, de manera que pueda despreciarse el efecto de la fle%ión en el brazo de momento de la fuerza o carga e%céntrica, se limita el esfuerzo m!%imo de compresión a la carga unitaria calculada con una

≥

En donde



Σ 

+

 

=

 +  

+



es la carga unitaria de seguridad, calculada por una de las

fórmulas dadas de las columnas tomando como radio de giro para la determinación de la esbeltez siempre el menor, aunque la e%centricidad no sea en esa dirección-, l momento de inercia correspondiente al eje con respecto al que se produce la fle%ión eje > en la 0ig. ))- $ & el módulo resistente respecto del mismo eje. Los modernos criterios de diseño an refinado el planteamiento de m!%imo C!LUMNAS

@ina /2

6COLUMNAS7


frecuentemente, de ecuaciones de interacción, que intentan sopesar la importancia

+.) La :r"%la de la

La fórmula de Euler fue deducida suponiendo

la carga 1 siempre seaplica

pasando por el centroide del !rea transversal de la columna, $ que iacolumna es perfectamente recta. En realidad esto no es realista, $a quelas columnas fabricadas nunca son perfectamente rectas, ni la aplicación de la carga se conoce con gran e%actitud. Entonces, en realidad las columnas nunca se pandean de repente m!s bien comienza a doblarse, aunque siempre en forma mu$ insignificante, inmediatamente después de aplicarla carga. El resultado es que el criterio real para aplicación de la carga se limita $a sea a una defle%ión especificada de la columna, o no permitiendo que el esfuerzo m!%imo en la columna rebase un valor admisible. 1ara estudiar este efecto aplicaremos la carga 1 a la columna, a una corta distancia e%céntrica e del centroide de la sección C!LUMNAS

@ina /1


6COLUMNAS7

'omo se ve, en ambos casos los e%tremos < $ I est!n soportados de modo que son libres de girar est!n articulados-. 'omo antes, sólo se considerar!n pendientes $ defle%iones pequeñas, $ que el comportamiento del material es el!stico lineal. v es plano de simetría para el !rea transversal.

  P (e 

&e puede considerar que estas

columnas

de

madera est!n articuladas en su base $ empotradas en las vigas en sus e%tremos superiores. La fle%ión de las vigas ar! que las columnas estén cargadas En

consecuencia

la

defle%ión es EI

d2 v dx

2

  P (e  v)

/e la ecuación diferencial de 5do grado resolvemos $ v  C 1 sen( e

P

x)  C 2 cos(

P

x) 

Utilizamos las condiciones de frontera $ C 2 

B

C 1 

e 1



se

P L  EI P

L

Cesolviendo obtenemos que la curva de defle%ión de la siguiente C!LUMNAS

@ina /+


6COLUMNAS7 v  e  tan



 P  L  sen  E 2 

P



E



x  cos

P x E

  

/ebido a la simetría cuando %8 LD5 obtenemos el valor   L  vmax  e sec P   E 2  

 

El esfuerzo m!%imo se puede allar al tener en cuenta que se debe tanto a la carga a%ial como al momento. M  P (e  vmax L  M  P .e.sec P   E 2 

El esfuerzo m!%imo es de compresión $ su valor es M



A



I

P P .e.c A



I

L  sec P   E 2 

'omo el radio de giro es r  I / $ de esto podemos deducir la fórmula de la secante: 2



C!LUMNAS

P  e.c  1  r

 L P    A   2 

@ina /


6COLUMNAS7

 @REDIMENCI!NAMIENT! DE .) C#l%"na de

Las columnas de madera pueden ser de varios tipos( maciza, ensamblada, compuesta $ laminadas unidas con pegamento. /e este tipo de columnas la maciza es la m!s empleada, las dem!s son formadas por varios 5.1.1 Método ara ,redimensionar *olumna de

La ecuación de an!lisis se realiza seg#n los esfuerzos $ se e%presa de forma  

+



≤1

D#nde0  =   

 

 =    ò.  =    

 

 =     =    ó  =       ú:   = )onde:

1+ =

∗

2 



C!LUMNAS

∗

 @ina /


6COLUMNAS7  =     

 

  2

(

)onde:  ;0,3 madera *lasi7i*ada< 0,41 madera unida *on = ; m+dulo de elas>*idad< L ; longitud sin d ; menor dimensi+n de la se**i+n

 =0, madera aserrada< 0, se**iones *ir*ulares< 0, madera laminada *on

./ C#l%"na de El diseño de las columnas de acero se basa en la desigualdad de la ecuación del diseño por estados límites $ se presenta en la forma indicada en la ecuación V-. La esencia de la ecuación es que la suma de los efectos de las cargas divididas entre la resistencia minorada debe ser menor o igual a la unidad &egui, 5***-. Σ Σ



 D#nde0 Σ Σ 

H 9uma de los e7e*tos de

 H $esisten*ia disminuida de la

Pl& u!-o "!#! (olum!

Secci#nes trans(ersales t;icas de c#l%"nas de acer# >McC#r"ac, )44,

C!LUMNAS

@ina /3


6COLUMNAS7

Secci#nes trans(ersales J;icas de c#l%"nas de acer# >McC#r"ac, )44,

5.2.1 *olumna

9e**i+n

de

la

La resistencia correspondiente a cualquier modo de pandeo no puede desarrollarse si los elementos de la sección transversal son tan delgados que se presenta un pandeo local. 1or lo tanto e%iste una clasificación de las secciones transversales seg#n los valores En general, dentro de los límites de los m!rgenes disponibles $ teniendo en cuenta las limitaciones por espesor, el diseñador usa una sección con el radio de giro m!s grande posible, reduciendo así la relación de esbeltez e incrementando el esfuerzo crítico. Jalambos, Lin, $ Wonston, )KKK &egui, 5***5.2.2 Método ara ,redimensionar la *olumna de a*ero

1ara perfiles que no se encuentren en las tablas de cargas para columnas debe usarse un procedimiento de tanteos. El procedimiento general es suponer un perfil $ luego calcular su es mu$ pequeña insegura- o demasiado grande antieconómica-, deber! acerse otro tanteo. Un enfoque sistem!tico para acer la selección de tanteo es como sigue( X

&eleccionar un perfil de tanteo.

X

'alcular 0cr $ Yc 1n para el perfil de tanteo.

C!LUMNAS

@ina /4


6COLUMNAS7

X

Cevisar con la fórmula de interacción, si la resistencia de diseño es mu$ cercana al

valor requerido puede ensa$arse el siguiente tamaño tabulado. /e otra manera, repetir todo el procedimiento. &egui, 5***-

Si0 Si0



 



≥ 0,2

=>

< 0,2

=>



8

( 9



+( 



+

  

2





) ≤1 ) ≤1

D#nde0  =    ó  =    ,    =  =    =   ,     =     =    ! =   ó,   = 0,8"#

.2 C#l%"na de C#ncret# Las columnas de concreto armado pueden ser de tres tipos que son( X

Elemento reforzados con barras longitudinales $ zuncos.

X

Elementos reforzados con barras longitudinales $ estribos,

X

Elementos reforzados con tubos de acero estructural, con o sin barras longitudinales, adem!s de diferentes tipos de refuerzo transversal

1ara las columnas de concreto armado, la cuantía de acero 7 oscila entre ) $ 6Z con un mínimo de 7 barras longitudinales Tilson $ Pinter, )KK7-.

C!LUMNAS

@ina 2*

6COLUMNAS7


2ipos de columnas de concreto armado. Tilson $ Pi nter, )KK7, p.5* [c'ormac, )KK?,

5.3.1 Método ara ,redimensionar *olumnas de *on*reto armado

E%isten dos tipos de métodos para predimensionar las columnas de concreto armado, el primero es una apro%imación, $a que se basa en la carga a%ial #nicamente, debido a que esta carga es f!cil de obtener por métodos apro%imados para c!lculos preliminares de pórticos. El segundo método es m!s preciso $ est! basado en la carga a%ial $ el momento flector conocido, valores que son los necesarios para diseñar una columna. 5.3.

Cono*ido

E%isten una gran variedad de fórmulas para predimensionar columnas con ' u conocido, solo se presenta dos tipos. )todo sugerido por *ilson y Las dimensiones de las columnas se controlan principalmente por cargas a%iales, aunque la presencia de momento incrementa el !rea necesaria. 1ara columnas interiores, donde el incremento de momento no es apreciable un aumento del )*Z puede ser suficiente, mientras que para columnas e%teriores un incremento del =*Z del !rea sería apropiado Tilson $ Pinter, )KK7-.

C!LUMNAS

@ina 2)


6COLUMNAS7

)todo sugerido por rnal y E pel boi m El !rea de concreto armado puede estimarse por la fórmula 
 $∗

/onde(
de la columna

Tipo de columna

%

Esquina

*,5*

Borde

*,5=

Central

*,56

/iagrama de interacción para la resistencia nominal de una columna Tilson $ Pinter, )KK7,

C!LUMNAS

@ina 2/


6COLUMNAS7

Cono*ido @u y

5.3.

Este método est! basado en el empleo de !bacos basados en diagramas de interacción de resistencia que definen la combinación de carga a%ial $ momento flector de falla para una columna determinada, con un intervalo completo de e%centricidades desde cero asta &on( 



a-

'alcular la e%centricidad

b-

&eleccionar la cuantía de acero \8G*,*5 *,*+] $ calcular ' = 0.8"∗

c-

escoger un valor tentativo para  o / $ escoger el !baco con  =

d-

calcular el valor

=



 



 



e-

donde corta la línea radial  o

f-

calcular el !rea requerida < g con  =

g- 'alcular  =



(



(

o=

 

o  con el valor de  o / del paso anterior $ trazar una

línea radial que represente este valor

-



 =

 

con la curva ^ leer el correspondiente  .

*



+ 

&i es necesario revisar el valor tentativo de  para obtener una sección bien

proporcionada



(

8 G*,?)]o si es el mismo valor para / Tilson $ Pinter, )KK7-.

imensiones mínimas de una columna de concreto armado

5*%5* o +*%+* para zona sísmica.

C!LUMNAS

@ina 22


6COLUMNAS7

 EKercici#s de Ejercicio 1

Escoger el perfil + m$s ligero para una columna de ,m de longitud con e-tremos empotrados ue /a de soportar una carga de 012 &* con un coeficiente de Resolución(

2enemos una carga crítica de Euler de 5Q* 3T.
E 8 5** J1a /ónde la carga de trabajo es 5,=5Q*- 8 ?Q= (-"103 ) 2 ≥ = / 2 (200109 ≤

= ",410)- 4 ≥ ",410- 4

 100

100

= 40

Escogemos P5** % +?(  = ,-410- 4  = 40,9 

'onsiderando el límite de proporcionalidad( -"103  ≥ = 33"10)3 2 =>  ≥ 33"2 20010

Escogemos un P5** % +?(  = 4"80  2  = 40,9

.0 Selecci#na"#s %n ;eril /**  2

C!LUMNAS

@ina 21


6COLUMNAS7 Ejercicio 2

Cuatro $ngulos de 522-522-52mm se unen mediante placas en celosía para formar una secci#n compuesta3 como se indica en la figura. plicando las especificaciones de la 67C3 con σ'C=082'a3 determinar la longitud m$-ima ue puede tener si /a de soportar una carga de 422&*. 9Cu$l debe ser la longitu libre entre $ngulos3 de manera ue su esbelte: sea3 como m$-imo3 igual a las tres

/+*""

Resolución:

/+*""

S

L)**)**)*

2enemos los datos( 18==* 3T Opc85K* [1a L8 _ 1ara el !ngulo( de tabla


rR85*,7mm ?

lR8)QQ%)* mm

?

 )**

%R856,5mm 1ara la sección compuesta( 8`i 
@ina 2+


6COLUMNAS7

87),QQ%)*?  )K5*%K?,65- 8 7)K,Q?%)* ? <8 `


=

-



4(1920)

= 101

La relación de esbeltez límite es( 2/ 2

2/ 2 (200109 = 11 = + 29010



 

12/ 2

=

23 (

 = 

=>

2

) 

12  2 2

+



23( ) 

Ceemplazando valores obtenidos(  12/ = +  23(

"00103

= 12",8 )

.-8010)-

'umple b- LeDr 8 )5=,6 S 'c 8))Q L 8 Le 8 )5=,6)*)-

8S !"#2

%$1ara obtener la separación libre entre !ngulos(  

*

=

3  ( ) = (12",8) = 4  4

/e donde( LR 8 K7,+=+*,7- 8 2$&m erificamos que el esfuerzo O m!% S Oaplicado 3  =

(

*



*

3



(

8

3

( 



= 1,9

2 

 = 1  2 2



=>  = 1



(94,3")2 2(11)2

"00103 

C!LUMNAS



-8010



1,9

= 103 



@ina 2


6COLUMNAS7 Ejercicio 3

Un perfil +;<2-5; va emplearse como columna con una longitud de 8m. >a columna soporta una carga a-ial de 0<2 &* y una e-centricidad de ;<2&*3 ue act"a sobre el e?e @. Aeterminar la e-centricidad m$-ima de carga de ;<2&*  = 110  0.483 ( )   

Cesolución( /e la tabla, las propiedades del perfil P+?*%)57 son( <8 )Q )**mm5 &%8 5++*%)*+mm+ r $8 K7mm
 

90 00

= 94

8

8S

+*F



F)5*

1odemos aplicar la fórmula lineal(  

1ara calcular la e%centricidad usamos el criterio del m!%imo esfuerzo( !=

Σ  

+

=> -3,10- =

/e donde(  = 0,18

C!LUMNAS

3 + 3 -0  3 10 2-0 10

1.10010)-

3  (3-0 10 )

+ 233010)-

=>  = 

@ina 2

171794631-Trabajo-de-Columnas-Resistencia-de-Materiales-II.doc

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