UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO FACULT ACULTAD DE D E ING. IN G. CIVIL, SISTEMAS SISTEM AS Y ARQUITECTURA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
COLUMNAS
CURSO: -
Resistencia de Materiaes II
-
In!. O"ar C#r#nad# $%#eta.
-
&es's Mi!%e Oi(a Mera
DOCENTE: ALUMNO: CÓDIGO: )*+)-C Lambayeque, 22 de julio del 2013
.
RESISTENCIA DE
[COLUMN
Taa de c#ntenid# 1 INTRODUCCIÓN ........................................................................................................... ...... 3 2 Defniciones ........................................................................................................... ........... 4 2.1 Colum!................................................. Colum!.................................. .............................................. ................................................... ........................ .... .............................. "
/.).) C#%"nas Lar!as0 .......................................................................................................................................... 1 /.)./ C#%"nas Inter"edias0 ................................................................................................................................. 1 2.2 Com#o$%!m&'%o................................... Com#o$%!m&'%o................ ................................... ....................................... ........................................ ................... ............................. ( 2.3 C!$)! *$+%&*! ................................ .............................................. ........................................... ............................................ ....................................... ........................... ... ........... ,
2."
E-*'%$&*&!
................................ .............................................. ........................................... ............................................ ....................................... ........................... ... ......... /
2.(
Lo)&%u '0'*%&!
.................................... ..................................................... ...................................... ...................................... ................................. .......................... .......... ...
3 Fórmula de Euler ara columnas lar!as o mu" es#el$as ...................................................... % 3.1
LIMITACIONES DE LA FORMULA DE EULER
.................................... ..................................................... ................................. ........................... ........... 14
4 Columnas de &on!i$ud in$ermedia' Formulas em(ricas .................................................... 12 ".1
O%$o5 m6%oo5 #!$! *olum!5 &%'$m'&!5. .................................... ..................................................... ................................. ........................ ........ 13 1.).) M2t#d# de T.3. ns#n. ............................................................................................................................ )5 1.)./ M2t#d# de Ran6ine-G#rd#n. ...................................................................................................................... )1 1.).5 M2t#d# de R#s-7r%nner. ............................................................................................................................ ) 1.).1 M2t#d# de Desarr## de c8"9%t# a 9artir de :;99ein <)==>?. ............................................................... )> 1.).+ M2t#d# de F8r"%a de Tred!#d ................................................................................................................ )= 1.). M2t#d# de F8r"%a de Osten@ed............................................................................................................... )= 1.). F8r"%a de a As#ciaci8n A"ericana de In!enier#s de Ferr#carries ......................................................... /* 1.).> F8r"%a de C#%"n Researc4 C#%nci
RESISTENCIA DE
[COLUMN
Taa de c#ntenid# 1 INTRODUCCIÓN ........................................................................................................... ...... 3 2 Defniciones ........................................................................................................... ........... 4 2.1 Colum!................................................. Colum!.................................. .............................................. ................................................... ........................ .... .............................. "
/.).) C#%"nas Lar!as0 .......................................................................................................................................... 1 /.)./ C#%"nas Inter"edias0 ................................................................................................................................. 1 2.2 Com#o$%!m&'%o................................... Com#o$%!m&'%o................ ................................... ....................................... ........................................ ................... ............................. ( 2.3 C!$)! *$+%&*! ................................ .............................................. ........................................... ............................................ ....................................... ........................... ... ........... ,
2."
E-*'%$&*&!
................................ .............................................. ........................................... ............................................ ....................................... ........................... ... ......... /
2.(
Lo)&%u '0'*%&!
.................................... ..................................................... ...................................... ...................................... ................................. .......................... .......... ...
3 Fórmula de Euler ara columnas lar!as o mu" es#el$as ...................................................... % 3.1
LIMITACIONES DE LA FORMULA DE EULER
.................................... ..................................................... ................................. ........................... ........... 14
4 Columnas de &on!i$ud in$ermedia' Formulas em(ricas .................................................... 12 ".1
O%$o5 m6%oo5 #!$! *olum!5 &%'$m'&!5. .................................... ..................................................... ................................. ........................ ........ 13 1.).) M2t#d# de T.3. ns#n. ............................................................................................................................ )5 1.)./ M2t#d# de Ran6ine-G#rd#n. ...................................................................................................................... )1 1.).5 M2t#d# de R#s-7r%nner. ............................................................................................................................ ) 1.).1 M2t#d# de Desarr## de c8"9%t# a 9artir de :;99ein <)==>?. ............................................................... )> 1.).+ M2t#d# de F8r"%a de Tred!#d ................................................................................................................ )= 1.). M2t#d# de F8r"%a de Osten@ed............................................................................................................... )= 1.). F8r"%a de a As#ciaci8n A"ericana de In!enier#s de Ferr#carries ......................................................... /* 1.).> F8r"%a de C#%"n Researc4 C#%nci
[COLUMN
RESISTENCIA DE
1.).)* M2t#d# AISC. ......................................................................................................................................... /)
) CO&U*N+, C+R-+D+, ECENTRIC+*ENTE .................................................................... 23 (.1
L! 07$mul! ' l! S'*!%'
.................................... ..................................................... ...................................... ...................................... ................................. ................ 2"
/ 0REDI*ENCION+*IENTO DE CO&U*N+, CO&U*N+, ........................................................................ 2 ,.1
Colum! '
M!'$!......................................... M!'$!................. ........................................ ...................................... ...................................... ........................... ........... ........ 2/
.).) M2t#d# 9ara 9redi"ensi#nar c#%"na de "adera .................................................................................... /
,.2
Colum! ' A*'$o
.................................... ..................................................... ...................................... ...................................... ................................. .......................... ..........
2
./.) Secci8n de a c#%"na................................................................................................................................. /= ././ M2t#d# 9ara 9redi"ensi#nar a c#%"na de acer# ................................................................................... /=
,.3
Colum! ' Co*$'%o A$m!o
.................................... ..................................................... ...................................... ...................................... ........................ ....... 34
.5.) M2t#d# 9ara 9redi"ensi#nar c#%"nas de c#ncret# ar"ad# ................................................................... 5) .5./ C#n#cid# B%................................................................................................................................................. 5) .5.5 C#n#cid# B% M% ....................................................................................................................................... 55
Eercicios de Reoramien$o ............................................................................................. 34 5 6I6&IO-R+F7+............................................................................... ........................... 35
B!ina /
) INTRODUCCIN
Una columna en ingeniería estructural es un elemento estructural que transmite, a través de compresión, el peso de la estructura sobre otros elementos estructurales que se encuentran debajo. Estas pueden ser diseñadas para resistir las fuerzas laterales laterales del viento o de los movimientos movimientos sísmicos. Las columnas son frecuentemente frecuentemente usadas para soportar vigas o arcos sobre los cuales las partes superi superiore oress de las las parede paredess o tecos tecos desca descansa nsan. n. Las Las primer primeras as colu columna mnass eran eran construidas
de
piedras,
sacadas
de
una
pieza
simple
de
roca,
usualmente rot!ndolas sobre un aparato parecido a un torno. "tras fueron creadas de m#ltiples secciones de roca, pegadas con mortero o en seco. Las columnas modernas son construidas de acero, concreto vertido o prefabricado, o de ladrillo. Luego pueden ser revestidas en una cubierta arquitectónica o dejadas sin cubrir. En el presente trabajo abordaremos la clasificación $ métodos para dimensionar una columna, como vimos en el p!rrafo anterior este elemento estructural cumple un rol fundamental en edificaciones, es por eso que este modesto trabajo va evocado para a difundi d ifundirr algunos conceptos $ metodología de desarrollo de los mismos. Esperando que este trabajo sea del agrado del lector, así también como parte de su aprendizaje aprendizaje o reforzamiento reforzamiento de lo que a continuación continuación se ver!.
COLUMNAS
B!ina 5
C#%"na s / De@inici#nes /.) C#%"na. La columna es un elemento sometido principalmente a compresión, por lo tanto el diseño est! basado en la fuerza interna, conjuntamente debido a las condiciones propias de las columnas, también se diseñan para fle%ión de tal forma que la combinación así generada se denomina fle%ocompresión. &eg#n el uso actual de la columna como elemento de un pórtico, no necesariamente es un elemento recto vertical, sino es el elemento donde la compresión es el principal factor que determina el comportamiento del elemento. Es por ello que el predimensionado de columnas consiste en determinar las dimensiones que sean capaces de resistir la compresión que se aplica sobre el elemento así como una fle%ión que aparece en el diseño debido a diversos factores. 'abe destacar que la resistencia de la columna disminu$e debido a efectos de geometría, lo cuales influ$en en el tipo de falla. Las columnas en este trabajo la dividiremos en( 2.1.1 Columnas Largas: &e dice una columna larga cuando su longitud es ma$or de )* veces la
menor dimensión transversal $ su esbeltez mec!nica se ma$or igual a )**. 2.1.2 Columnas Intermedias: &e dice una columna larga cuando su longitud es ma$or a )* veces la
menor dimensión transversal $ su esbeltez mec!nica se encuentre entre +* $ )**. En algunos casos las columnas cortas también forman parte de esta clasificación se dice columna corta cuando no cumple que su longitud es ma$or a )* veces COLUMNAS la menor dimensión transversal-.
La diferencia entre los tres grupos vienen determinadas por su comportamiento, las columnas largas se rompen por pandeo o fle%ión lateral las intermedias, por
B!ina 1
una combinación de aplastamiento $ pandeo, $ las columnas cortas, por aplastamiento. 2.2
C#"9#rta"ient# /entro de los requisitos fundamentales de una estructura o elemento
estructural est!n( equilibrio, resistencia, funcionalidad $ estabilidad . En una columna se puede llegar a una condición inestable antes de alcanzar la deformación m!%ima permitida o el esfuerzo m!%imo. El fenómeno de inestabilidad se refiere al pandeo lateral, el cual es una defle%ión que ocurre en la columna véase 0igura +- cuando aparece incrementa el momento flector aplicado sobre el elemento, el aumento de la defle%ión agranda la magnitud del momento flector, creciendo así la curvatura de la columna asta la falla este caso se considera inestable. 1or ello la resistencia de la columna sometida a compresión tiene dos límites, el de resistencia para columnas cortas $ el de estabilidad para columnas largas véase 0igura )-. La estabilidad es así el nuevo par!metro que define adem!s de la resistencia $ la rigidez.
0igura ). /isminución del esfuerzo de trabajo a compresión seg#n la esbeltez de la columna. 2imosen3o $ 4oung, 5***, p. 565-
COLUMNAS B!ina +
2.3
crtica
Car!a
La deformación de la columna varía seg#n ciertas magnitudes de cargas, para valores de 1 bajos se acorta la columna, al aumentar la magnitud cesa el acortamiento $ aparece la defle%ión lateral. E%iste una carga límite que separa estos dos tipos de configuraciones $ se conoce como carga crítica 1 cr véase 0igura 5-.
Los factores que influ$en en la magnitud de la carga crítica son la longitud de la columna, las condiciones de los e%tremos $ la sección transversal de la columna. Estos factores se conjugan en la relación de esbeltez o coeficiente de esbeltez, el cual es el par!metro que mide la resistencia de la columna. /e esta forma para aumentar la resistencia de la columna se debe buscar la sección que tenga el radio de giro m!s grande posible, o una longitud que sea menor, $a que de ambas COLUMNAS formas
se reduce la esbeltez $ aumenta el esfuerzo crítico.
B!ina
/.1 Ecentricidad 'uando la carga no se aplica directamente en el centroide de la columna, se dice que la carga es e%céntrica $ genera un momento adicional que disminu$e la resistencia del elemento, de igual forma, al aparecer un momento en los e%tremos de la columna debido a varios factores, ace que la carga no act#e en el centroide de la columna véase 0igura 7-. Esta relación del momento respecto a la carga a%ial se puede e%presar en unidades de distancia seg#n la propiedad del momento+, la distancia se denomina e%centricidad. 'uando la e%centricidad es pequeña la fle%ión es despreciable $ cuando la e%centricidad es grande aumenta los efectos de fle%ión sobre la columna.
COLUMNAS B!ina
/.+ L#n!it%d e@ecti(a La longitud efectiva combina la longitud real con el factor defijación de e%tremos Lt 8 9L fue deducida para el caso de una columna con e%tremos articulados, o libres de girar. En otras palabras. L en la ecuación representa la distancia no soportada entre los puntos con momento cero. &i la columna que soportada en otras formas, la fórmula de Euler se puede usar para determinar la carga crítica, siempre que :L; represente la distancia entre puntos con momento cero. < esta distancia se le llama longitud efectiva de la columna, Le. Es obvio que para una columna con e%tremos, pero en f igura =>d-. 1ara la columna con un e%tremo fijo $ uno empotrado que se analizó arriba, se encontró que la curva de defle%ión fue la mitad de la de una columna con sus e%tremos articulados, cu$a longitudes 5L $ así tenemos m!s ejemplos con sus valores de longitud efectiva. 1ara calcular la longitud efectiva se usaran las siguientes relaciones : a. 'olumnas con e%tremos de pasador( Le89L8 ).*L- 8 L b. 'olumnas con e%tremos fijos( Le89L 8 *,?=Lc. 'olumnas con e%tremos libres( L,89L 8 5.)*Ld. 'olumnas con pasadores fijos $ el otro fijo( L,89L8*.6*L-
COLUMNAS B!ina >
5 F8r"%a de E%er 9ara c#%"nas ar!as # "% esetas La fórmula de Euler es v!lida solamente para columnas largas $ calcula lo que se conoce como @carga critica de pandeo@, esta es la #ltima carga que puede soportar por columnas largas, es decir, la carga presente en el instante del colapso. La columna articulada en sus e%tremos, inicialmente recta omogénea, de sección transversal constante en toda su longitud se comporta el!sticamente. 1uede tener dos posiciones de equilibrio( recta o ligeramente deformada. &e aplica una fuerza orizontal A para $ de esto podemos inferir lo siguiente(
∑ M
Corte
M
=
0
= − Py 2
d y
M
− Py
/e la ecuación de la el!stica d x2 = = EI E I se obtiene. 2
d y 2 dx
P EI
Baciendo que k 2 = P
se escribe
EI
2
d y 2 0 2 + k y = dx
Es una ecuación diferencial de segundo "rden cu$a solución es y = A cos(kx) + Bsen(kx)
0 = A cos(0) + Bsen(0) A = 0
1ara %8L, $8* por lo tanto COLUMNAS
0 = Bsen(0)
C no puede ser * así que, sen 9L 8 *
B!ina =
La solución general seria(
kL = nπ P EI
=
nπ L
2 EI π P =
n
2
2
L
/onde n describe todos los modos de pandeo, pero generalmente se toma n 8 ), resultando la fórmula( 2
2 EI Pπ= L
5.) LIMITACIONES DE LA FORMULA DE EULER Una columna tiende a pandearse siempre en la dirección en la cual es m!s fle%ible. 'omo la resistencia a la fle%ión varia con el momento de inercia, el valor de l en la fórmula de Euler es siempre el menor momento de inercia de la sección recta. La tendencia al pandeo tiene lugar, pues, con respecto al eje principal de momento de inercia mínimo de la sección recta. La fórmula de Euler también demuestra que la carga crítica que puede producir cl pandeo no depende dc la resistencia del material, sino de sus dimensiones $ del módulo el!stico. 1or este motivo. /os barras de idénticas dimensiones, una de acero de alta resistencia $ otra de acero suave, se pandearan bajo la misma carga crítica, $a que aunque sus resistencias son mu$ diferentes tienen pr!cticamente el mismo módulo el!stico.
1ara que la fórmula de Euler sea aplicable, el esfuerzo que se produzca en el pandeo no debe e%ceder al límite de proporcionalidad. 1ara determinar este esfuerzo, se sustitu$e en la fórmula el momento de inercia por
P A
=
E π
(
L
2 2
r
)
El valor 1F< es el esfuerzo medio en la columna cargada con su carga crítica, $ se llama esfuerzo crítico. &u límite superior es el esfuerzo en el límite de proporcionalidad . La relación LFr se llama esbeltez mecánica , o simplemente
esbeltez, de la columna. 'omo una columna cargada a%ialmente tiende a pandearse respecto del eje G mínimo, para allar la esbeltez de una columna se divide la longitud equivalente o efectiva entre el radio de giro mínimo de la sección recta. 1or conveniencia, se definen como columnas largas o mu$ esbeltas aquellas a las que se puede aplicar la fórmula de Euler. La esbeltez mínima, que fija el límite inferior de aplicación de La fórmula dc Euler, se obtiene sustitu$endo en la ecuación los valores conocidos de límite de proporcionalidad $ del módulo el!stico de cada material.
COLUMNAS
B!ina ))
1or debajo de este valor, como se indica en la figura ?, en la parte punteada de La curva de Euler el esfuerzo que daría la carga de Euler e%cederla al límite de proporcionalidad, por Lo que para LFr H )** la fórmula de Euler no es aplicable, $ a$ que considerar corno esfuerzo crítico el Iimite de proporcionalidad. La curva muestra también que el esfuerzo critico en una columna disminu$e r!pidamente cuando aumenta la esbeltez, por lo que al pro$ectar una pieza de este tipo, conviene que la esbeltez sea la menor posible. 0inalmente se debe observar que la fórmula de Euler da la carga crítica $ no la carga de trabajo. 1or ello es preciso dividir la carga crítica entre el correspondiente factor de seguridad, que suele ser de 5 a + seg#n el material $ las circunstancias, para obtener el valor de la carga admisible.
1 C#%"nas de L#n!it%d inter"edia, F#r"%as e"9ricas Lo visto anteriormente es aplicable para columnas del cual la esbeltez mec!nica sea ma$or que el valor para el que el esfuerzo medio alcance el límite de proporcionalidad. < continuación veremos un gr!fico para ver la zona de las columnas intermedios en relación a las columnas largas $ cortas
COLUMNAS B!ina )/
&e an desarrollado mucas fórmulas empíricas para las columnas intermedias de acero, por ser un material mu$ empleado en las estructuras. &e e%aminan en primer lugar, $ luego se ver! la aplicación a otros materiales. En uno de los métodos propuestos el de Jla teoría del doble módulo” se generaliza la aplicación de la fórmula de Euler a las columnas intermedias, con esfuerzos sobre el límite de proporcionalidad, sustitu$endo el módulo el!stico constante E por un módulo reducido E , es decir, P A
=
E π
2 2
( r) L
El módulo reducido E , que también se llama módulo de tangente o tangencial, es la pendiente de la tangente al diagrama de esfuerzo>deformación en el punto que corresponde al esfuerzo medio en la columna. Esta fórmula proporciona una curva que empalma las dos gr!ficas representativas dc las columnas cortas $ largas.
en
la proporcionalidad esfuerzo>deformación, los ensa$os reales
demuestran una gran concordancia con la curva teórica.
1.) Otr#s "2t#d#s 9ara c#%"nas inter"edias. 4.1.1 Método de .!. "o#nson.
Este método consiste en ajustar una recta a los valores medios de la serie de numerosos ensa$os graficando los valores de 1F< así poder encontrar el valor de rotura por pandeo, generando una ecuación de la siguiente forma(
COLUMNAS
P
= Lσ − C A r
B!ina )5
En donde σ es e (a#r 9ara Lr H *
4.1.2 Método de $an%ine& 'ordon.
Kordon sugirió una fórmula empírica para los elementos comprimidos basada en datos e%perimentales. Dan3ine modificó la fórmula de Kordon. La demostración siguiente desarrolla el razonamiento para esta fórmula. 2
2 EI Pπ= L
y se aplica a los puntales
FE = Carga crítica de Euler.
FU =Última carga compresiva = (σ U ·! y se aplica a las columnas. σ U = "ltima tensi#n de compresi#n. = $rea de la secci#n.
Dan3ine sugirió que una columna cargada falla en su parte intermedia debido a la compresión $ al pandeo en m!s o menos grados. /e acuerdo con datos e%perimentales, se encuentra que una predicción razonable de la carga crítica es dada por la fórmula siguiente. F R
= 1 + F E
1 F U
Aue arregl!ndola queda F R COLUMNAS
=
F E F U
F E + F U
B!ina )1
F R = Carga crítica de %an&ine &abemos que(
F U A
= σU
2 EI π =
F E
L2
Entonces(
σ R Aπ F
=
U
( L r )
2
2
EA
E A + σ U A L ( r )2
π
2
/e esta manera aciendo acomodos( P = A
σU
(
1 + φ L
2
r
) /onde la forma mu$ utilizada de esta e%presión, que se a llamado Dan3ine> Kordon, es(
H )J
/onde
)/1
2
) I < ? )>)*5
I
detallaremos
a
continuación un gr!fico de comparación entre Euler $ Dan3ine.
COLUMNAS
B!ina )+
4.1.3
Método de $os&(runner.
El método Dos>Crunner )5?- es el utilizado como base de c!lculo del método que se utiliza en el presente pro$ecto de 9Mpplein. Es una base estructural a la que 9Mpplein le incorporó el an!lisis térmico. La base de c!lculo es la misma que el anterior sobre la carga crítica de Euler pero en sus c!lculos tiene en cuenta adem!s la e%centricidad. Nsta tiene en cuenta la provocada por la desviación entre la pared interna $ e%terna de la columna $ adem!s la e%centricidad del centro de la columna respecto a los e%tremos pandeo inicial-. < partir de aí elaboró una serie de gr!ficos adimensionales para el c!lculo de las columnas.
La figura anterior muestra un ejemplo de uno de los gr!ficos de Dos>Crunner. 2ienen en cuenta los siguientes par!metros( )> la relación entre el espesor de la columna $ su di!metro e%terior. El ejemplo de la figura anterior tmFda8 *.) COLUMNAS
B!ina )
5> la esbeltez reducida λ =
λ R D donde los par!metros son( π E O
a. O 8 esbeltez mec!nica de la columna $ se calcula mediante la fórmula( /onde L es la longitud física de la columna e i radio de giro L
λ=
i
&iendo G $ < el momento de inercia $ el !rea de la sección transversal respectivamente. b. D/ es la capacidad #ltima a compresión del material. c. E* es el módulo de elasticidad del material. +> P3r es el valor de la tensión admisible, es el valor que buscamos a partir de D/ teniendo en cuenta las disminuciones por esbeltez reducida $ por e%centricidades referidas. 7> m es el valor de la e%centricidad referida de la columna. &e calcula mediante la siguiente e%presión(
De + Di
e
m=
k , donde
e = e1 + e2
$ e1
=
2
− t siendo De
Di el
di!metro e%terior e interior respectivamente $ tmin el espesor mínimo de la sección $ e5 es la desviación de la pared e%terior de la columna en su longitud media respecto a los e%tremos. 1uede interpretarse como pandeo inicialk
W
= A /onde Q es el módulo resistente de la sección $ < es el !rea de la
sección. &abiendo que el módulo resistente es igual al momento de inercia dividido por el radio, la fórmula anterior queda simplificada a la siguiente e%presión 2
k =
D e
+ D
2
i
8 De
COLUMNAS B!ina )
4.1.4 Método de )esarrollo del *+muto a artir de -lein /1.
La base de la prueba de cómputo de la capacidad de carga de las columnas de fundición a temperatura ambiente se basa en la teoría a partir de DosF Crunner )5?-. 1ara su uso pr!ctico se desarrolló un diagrama adimensional de la capacidad de tensión portante. 1ara poder utilizar el procedimiento a partir de DosF Crunner, es necesario conocer la curva tensión> deformación. La capacidad de carga a temperatura ambiente ser! proporcional a temperaturas m!s altas. Ggualmente los coeficientes relativamente altos de una aleación de fundición gris van acompañado a la temperatura ambiente también de rigideces superiores en temperaturas altas. Rediante probetas se realizaron ensa$os de tensión deformación en función de diferentes temperaturas realizados en pruebas de laboratorio $ se obtuvo la siguiente gr!fica(
COLUMNAS B!ina )>
4.1.
Método de +rmula de redgold
Es una de las m!s antiguas. &e la conoce desde )66?. 0ue adoptada por Kordon para representar los resultados e%perimentales de Bodg3inson, si bien posteriormente fue modificada por Dan3ine. La tensión media compresora PU admitida, seg#n este autor, deber! ser(
&iendo a $ b dos constantes, función del material utilizado. El Gnstituto
4.1.5
Método de +rmula de 6sten7eld
/ata de )66. La 0atiga 'rítica para el acero de construcción, seg#n este autor, se e%presa así(
Esta par!bola es tangente a la curva de Euler en O 8 )55,= $ da lugar a Los coeficientes de seguridad a adoptar, seg#n "stenfeld, se sit#an entre 5.= $ +
COLUMNAS
B!ina )=
4.1.8 +rmula de la 9so*ia*i+n 9meri*ana de Ingenieros de erro*arriles
En este caso, las fórmulas se refieren a la 0atiga admitida PU.
4.1.
+rmula del Column $esear*# Coun*il /C$C
que, seg#n esta organización, fija el límite entre el
pandeo el!stico e inel!stico. &eg#n el valor de O de la columna de acero se aplicar!(
4.1.
ormula )el tru*tural tability $esear*# Coun*il /$C
Este organismo propuso en )S?, como consecuencia de sus resultados e%perimentales, un conjunto de fórmulas distintas, seg#n material, tipo de perfil $ proceso de fabricación. /e entre todas ellas, la m!s utilizada para construcciones de acero es la denominada nT 5.
/efiniendo a
se aplican las siguientes reglas(
COLUMNAS B!ina /*
4.1.10 Método 9IC.
El
2π 2 C c
=
E
σ PC
/onde E es el módulo de elasticidad 5** K1a para la ma$oría de los tipos de acero$ σ PC es el esfuerzo en el pun lo de cedencia para el tipo particular de acero empleado. 1ara columnas dc longitud efectiva L, $ radio dc giro mínimo r, cl
σT
=
12π 2 E
σ T , est! dado por 2
L 23 e r
Vótese que ésta es la fórmula de Euler con un factor de seguridad de 5+F)5 8).5.- 1ara LeFr H 'r, el
B!ina /)
Le
3
5 r r FS = + − 3 3
3
8C c
Le
8Cc
"bsérvese que el factor de seguridad es ) .5 cuando L eFr 8 c $ disminu$e al aumentar la relación de esbeltez. La
σ T variación de con LeFr para diferentes
tipos de acero se muestra
COLUMNAS B!ina //
+ COLUMNAS EKCENTRICAMENTE
CARGADAS
Las columnas se suelen diseñar para soportar cargas a%iales, $ las fórmulas que se an e%puesto lo an sido con este criterio. &in embargo, en ocasiones las columnas pueden estar sometidas a cargas con una determinada e%centricidad, por ejemplo, cuando se remaca una viga al ala de una columna en la estructura de un edificio. La fórmula de la secante que se estudia lo veremos a continuación es especialmente adecuada para tales casos, pero su aplicación numérica es tan engorrosa que suele emplearse con frecuencia el procedimiento simplificado que se indica a continuación &e estudia la columna e%céntricamente cargada como si fuera, en lo que se refiere a los esfuerzos, un elemento 'orto cargado e%céntricamente. 1ero para eliminar la posibilidad del pandeo, de manera que pueda despreciarse el efecto de la fle%ión en el brazo de momento de la fuerza o carga e%céntrica, se limita el esfuerzo m!%imo de compresión a la carga unitaria calculada con una cualquiera de las fórmulas e%puestas en las secciones anteriores.
J
En donde
H
II J II I
J
es la carga unitaria de seguridad, calculada por una de las fórmulas
dadas de las columnas tomando como radio de giro para la determinación de la esbeltez siempre el menor, aunque la e%centricidad no sea en esa dirección-, l momento de inercia correspondiente al eje con respecto al que se produce la fle%ión eje W>W en la 0ig. ))- $ & el módulo resistente respecto del mismo eje. Los modernos criterios de diseño an refinado el planteamiento de m!%imo COLUMNAS esfuerzo para incluir los momentos, llamados secundarios, que se introducen
debido a la
defle%ión del eje neutro el llamado efecto 1>X-. Estos efectos toman la forma, mu$ B!ina /5
frecuentemente, de ecuaciones de interacción, que intentan sopesar la importancia relativa del esfuerzo a%ial $ del esfuerzo por fle%ión.
+.) La @8r"%a de a Secante La fórmula de Euler fue deducida suponiendo que la carga 1 siempre seaplica pasando por el centroide del !rea transversal de la columna, $ que iacolumna es perfectamente recta. En realidad esto no es realista, $a quelas columnas fabricadas nunca son perfectamente rectas, ni la aplicación de la carga se conoce con gran e%actitud. Entonces, en realidad las columnas nunca se pandean de repente m!s bien comienza a doblarse, aunque siempre en forma mu$ insignificante, inmediatamente después de aplicarla carga. El resultado es que el criterio real para aplicación de la carga se limita $a sea a una defle%ión especificada de la columna, o no permitiendo que el esfuerzo m!%imo en la columna rebase un valor admisible. 1ara estudiar este efecto aplicaremos la carga 1 a la columna, a una corta distancia e%céntrica e del centroide de la sección transversal. Esta carga en la columna es COLUMNAS
equivalente. Est!ticamente a la carga a%ial 1 $ a un momento de fle%ión R8 1e.
B!ina /1
'omo se ve, en ambos casos los e%tremos < $ C est!n soportados de modo que son libres de girar est!n articulados-. 'omo antes, sólo se considerar!n pendientes $ defle%iones pequeñas, $ que el comportamiento del material es el!stico lineal.
v es plano de simetría para el !rea transversal. /e acuerdo con el diagrama de cuerpo Libre de la sección arbitraria, el momento interno en la columna es M
= − P (e + v)
&e puede considerar que estas
columnas
de
madera est!n articuladas en su base $ empotradas en las vigas en sus e%tremos superiores. La fle%ión de las vigas ar! que las columnas estén cargadas e%céntricamente En
consecuencia
la
defle%ión es 2
EI
d v 2 = − P (e + v ) . dx
/e la ecuación diferencial de 5do grado resolvemos $ tenemos( v = C 1 sen(
P P x) − e x) + C 2 cos( EI EI
Utilizamos las condiciones de frontera $ obtenemos C 2
=e
e 1 − cos P L EI C 1 = sen P L EI
Desolviendo obtenemos que la curva de defle%ión de la siguiente manera( COLUMNAS
B!ina /+
v e tan P
L
EI
(
2
xx 1cos
P
sen
P
) (
EI
EI
/ebido a la simetría cuando %8 LF5 obtenemos el valor m!%imo. vmax
= e sec P EI L − 1 2
El esfuerzo m!%imo se puede allar al tener en cuenta que se debe tanto a la carga a%ial como al momento. El momento m!%imo est! en el centro de la columna M = P (e + vmax )
M = P .e.sec P
L EI
2
El esfuerzo m!%imo es de compresión $ su valor es P M .c M
=
A
+
I
= P + P .e.c sec P EI L 2 I A 2 'omo el radio de giro es r = I / A $ de esto podemos σ max
deducir la fórmula de la secante:
σ max
2
= P 1 +e.c2sec L A r
P EA
COLUMNAS B!ina /
BREDIMENCIONAMIENTO DE COLUMNAS .)
C#%"na de Madera
Las columnas de madera pueden ser de varios tipos( maciza, ensamblada, compuesta $ laminadas unidas con pegamento. /e este tipo de columnas la maciza es la m!s empleada, las dem!s son formadas por varios elementos. 5.1.1
Método ara redimensionar *olumna de madera
La ecuación de an!lisis se realiza seg#n los esfuerzos $ se e%presa de forma simple tal como lo indica la Ecuación + 1ar3er $
J
II
)
D#nde0 II H IIIIIIII II IIIIIII IIIII.
II H
II H IIIIIIII IIIIIIIII I IIIIIII. II H IP II I II H IIIIIIII II IIIIIII I IIIII8I,
II H
I
�� = �������� ��������� � �����ó � �� = �������� ��������� ���� ���������ó � �������� � ����
/H IIIIII II IIIIIIIIIII II II IIIIIII III'I0 H I Q RI Q )onde:
)J
� P I
I H /� I
IH
P
COLUMNAS I
�
B!ina /
I ��� = �������� �� ������ ��
�
� I /
< ? ����� ���ú� ∶
��� =
Done: ��� =0!3 mae"a c#as$%$caa& 0!418 mae"a 'n$a con eamento& ; < m+dulo de elasti*idad= L < longitud sin arriostrar= d < menor dimensi+n de la se**i+n trans>ersal.
� =0!8 mae"a ase""aa& 0!85 secc$ones c$"c'#a"es& 0!* mae"a #am$naa con eamento&
./
C#%"na de Acer#
El diseño de las columnas de acero se basa en la desigualdad de la ecuación del diseño por estados límites $ se presenta en la forma indicada en la ecuación Y-. La esencia de la ecuación es que la suma de los efectos de las cargas divididas entre la resistencia minorada debe ser menor o igual a la unidad &egui, 5***-.
II I )
II
D#nde0 �� +��� ∶ ∶∶ ∶ = ,'ma e #os e%ectos e ca"as& ���� = -es$stenc$a $sm$n'$a e #a co#'mna
P'$8l'5 u5!o5 #!$! *olum!5
COLUMNAS Secci#nes trans(ersaes t9icas de c#%"nas de acer#
B!ina />
Secci#nes trans(ersaes t9icas de c#%"nas de acer#
5.2.1 e**i+n de la *olumna La resistencia correspondiente a cualquier modo de pandeo no puede desarrollarse si los elementos de la sección transversal son tan delgados que se presenta un pandeo local. 1or lo tanto e%iste una clasificación de las secciones transversales seg#n los valores límite de las razones anco>espesor $ se clasifican como compactas, no compactas o esbeltas. En general, dentro de los límites de los m!rgenes disponibles $ teniendo en cuenta las limitaciones por espesor, el diseñador usa una sección con el radio de giro m!s grande posible, reduciendo así la relación de esbeltez e incrementando el esfuerzo crítico. Kalambos, Lin, $ Zonston, ) &egui, 5***-
5.2.2 Método ara redimensionar la *olumna de a*ero 1ara perfiles que no se encuentren en las tablas de cargas para columnas debe usarse un procedimiento de tanteos. El procedimiento general es suponer un perfil $ luego calcular su resistencia de diseño. &i la resistencia es mu$ pequeña insegura- o demasiado grande antieconómica-, deber! acerse otro tanteo. Un enfoque sistem!tico para acer la selección de tanteo es como sigue( [
&eleccionar un perfil de tanteo.
[ 'alcular 0cr $ \c 1n para el perfil de tanteo. COLUMNAS
B!ina /=
[
Devisar con la fórmula de interacción, si la resistencia de diseño es mu$ cercana al
valor requerido puede ensa$arse el siguiente tamaño tabulado. /e otra manera, repetir todo el procedimiento. &egui, 5*** I
Si 0
III
*,/ H
I
I
Si 0
III
I
II III
I
*,/ H
I
>
J <
I
/III
I
=
J<
? ) II II
?)
II II II
D#nde0 �� = ����� ����� �� ���������ó � ��������& � �� = ����� ����� �� ������! ��� �� = ��� �� ∶ ∶ ��& �� = ������� ������� ��������& �� = ������� ������� ����������! ��� �� = ��� �� � & �� = �������� �� �������� ��� �����& � �� ∶ ∶ = �������� ������ �� ������&
∶ = �������� �� ��������ó�! ��� = 0!85& ��� = 0!*0 .
.5
C#%"na de C#ncret# Ar"ad#
Las columnas de concreto armado pueden ser de tres tipos que son( [
Elemento reforzados con barras longitudinales $ zuncos.
[
Elementos reforzados con barras longitudinales $ estribos,
[
Elementos reforzados con tubos de acero estructural, con o sin barras longitudinales, adem!s de diferentes tipos de refuerzo transversal
1ara las columnas de concreto armado, la cuantía de acero 7 oscila entre ) $ 6] con un mínimo de 7 barras longitudinales Vilson $ Qinter, )7-.
COLUMNAS B!ina 5*
2ipos de columnas de concreto armado. Vilson $ Q inter, )7, p.5* Rc'ormac, )?, p.7S-
5.3.1
Método ara redimensionar *olumnas de *on*reto armado
E%isten dos tipos de métodos para predimensionar las columnas de concreto armado, el primero es una apro%imación, $a que se basa en la carga a%ial #nicamente, debido a que esta carga es f!cil de obtener por métodos apro%imados para c!lculos preliminares de pórticos. El segundo método es m!s preciso $ est! basado en la carga a%ial $ el momento flector conocido, valores que son los necesarios para diseñar una columna.
5.3.2
Cono*ido ?u
E%isten una gran variedad de fórmulas para predimensionar columnas con ' u conocido, solo se presenta dos tipos. )todo sugerido por *ilson y +inter Las dimensiones de las columnas se controlan principalmente por cargas a%iales, aunque la presencia de momento incrementa el !rea necesaria. 1ara columnas interiores, donde el incremento de momento no es apreciable un aumento del )*] puede ser suficiente, mientras que para columnas e%teriores un incremento del =*] del !rea sería apropiado Vilson $ Qinter, )7-.
COLUMNAS
B!ina 5)
)todo sugerido por rnal y E pelboim El !rea de concreto armado puede estimarse por la fórmula
/onde(
Tipo de columna
Esquina
*,5*
Borde
*,5=
Central
*,56
/iagrama de interacción para la resistencia nominal de una columna Vilson $ Qinter, )7, p.577-
COLUMNAS
B!ina 5/
5.3.3 y Mu
Cono*ido ?u
Este método est! basado en el empleo de !bacos basados en diagramas de interacción de resistencia que definen la combinación de carga a%ial $ momento flector de falla para una columna determinada, con un intervalo completo de e%centricidades desde cero asta infinito. Los pasos para obtener las dimensiones &on( 'alcular la e%centricidad I
a-
H
I
II I
b-
&eleccionar la cuantía de acero ^8I*,*5 *,*+_ $ calcular H
c-
escoger un valor tentativo para o / $ escoger el !baco con H
0.85��P
Q /
I/
oI HI
U
dI
I
calcular el valor
o con el valor de o / del paso anterior $ trazar una I
I
I
I
línea radial que represente este valor
H I
e-
donde corta la línea radial
I
I
I o con la curva ` leer el correspondiente
I
calcular el !rea requerida
f-
g- 'alcular I H I I H R
I
II*.>+ I
V
1 I
I
U
-
&i es necesario revisar el valor tentativo de para obtener una sección bien
proporcionada
COLUMNAS
U
8 I*,?)_o si es el mismo valor para / Vilson $ Qinter, )7-.
imensiones mínimas de una columna de concreto armado
5*%5* o +*%+* para zona sísmica.
B!ina 55
EWercici#s de Re@#rXa"ient# Ejercicio 1
Escoger el perfil + m$s ligero para una columna de ,m de longitud con e-tremos empotrados ue /a de soportar una carga de 012 &* con un coeficiente de seguridad de 034. El límite de proporcionalidad es de 022'a y E= 022 5'a. Resolución(
2enemos una carga crítica de Euler de 5S* 3V.
= 4� (���������� ���������)
>
II H
H
� ∶ ∶ = 2.
E 8 5** K1a
2
2
5
/ónde la carga de trabajo es 5,=5S*- 8 ?S= I
<+I)*3 ?<1?2
� ∶ ∶2
∶ 2
= (200�10* )��2
= 5!4�10 �4 5!4�10 ��4 I
H
Escogemos Q5** % +?(
I H 1*,= II
100 = 40�
100
H ,1I)* II
1***
4
�
'onsiderando el límite de proporcionalidad(
+I)*5 H 55+I)* I H 55+II 3 2 2 /**I) *
Escogemos un Q5** % +?(
H 1+>* II
I H 1*,=II
2
.0 Seecci#na"#s %n 9er@i /** 5 COLUMNAS
I
B!ina 51
Ejercicio 2
Cuatro $ngulos de 622-622-62mm se unen mediante placas en celosía para formar una secci#n compuesta3 como se indica en la figura. plicando las especificaciones de la 78C3 con σ'C=092'a3 determinar la longitud m$-ima ue puede tener si /a de soportar una carga de 422&*. :Cu$l debe ser la longitud libre entre $ngulos3 de manera ue su esbelte; sea3 como m$-imo3 igual a las tres cuartas partes de la correspondiente compuesta<
a
la
secci#n
/+*""
Resolución:
/+*" "
S
L)**)**)*
2enemos los datos( 18==* 3V Ppc85* R1a L8 1ara el !ngulo( de tabla <8)5* mm5 r85*,7mm l8)SS%)*?mm?
K K )* *
%856,5mm 1ara la sección compuesta( G8Gi
COLUMNAS di8 ?,6mm
B!ina 5+
G87),SS%)*? )5*%?,65- 8 7),S?%)* ? <8
1I)=,I) H )*)II *
H R 1<)=/*? La relación de esbeltez límite es( / / II H R
/ /
IIII
/=*)*
/ H H
)/
II
)/II /
II
/
I
H
II
= /5< ?
?
Deemplazando valores obtenidos( II )/ / +**)*5 I /5<
? 'umple b- LeFr 8 )5=,6 'c 8))S
L 8 Le 8 )5=,6)*)-
8 !"#2
%$80�10
1ara obtener la separación libre entre !ngulos( IV 5 II 5 I 1 I 1 = ( ) = (125!8) = *4!35 /e donde( L 8 7,+=+*,7- 8 2$&m
erificamos que el esfuerzo P m!% Paplicado II V
< ?/ H Z)* � Q [ / V
II ����
/I
V
5
>I I < + 5 < 3 ?II 5J? �� = Q >II = 1!? /=*I)* <=1,5+ II H H H )*5 I I /2 I /<))? [ Z) Q ),=
+**I)*5 ������������ = =
80�10 = 5 ���
COLUMNAS
B!ina 5
Ejercicio 3
Un perfil +>2-6? va emplearse como columna con una longitud de 9m. @a columna soporta una carga a-ial de 0>2 &* y una e-centricidad de >2&*3 ue act"a sobre el eAe B. eterminar la e-centricidad m$-ima de carga de >2&* usando el m)todo del m$-imo esfuer;o y la f#rmula lineal de la ecuaci#n( I
H ))* Q *.1>5 <
?
I
Desolución( /e la tabla, las propiedades del perfil Q+?*%)57 son( <8 )S )**mm 5 &%8 5++*%)*+mm+ r $8 7mm
I
H
=* **
8 =,S 8
H)5*
I
+*H
*4
1odemos aplicar la fórmula lineal( I I ��� = 110 0!483 ( ) = 110 0!483(*5!) = 3! ���
1ara calcular la e%centricidad usamos el criterio del m!%imo esfuerzo( 5
IH
J
H 5,-)* H
I
/e donde( I H *,)->I
COLUMNAS
5
/* )* J 55 * )*
)-)**I)* Q
H H IIII
J
/55*)*
I <5* )*
?
B!ina 5
