CONTROL III Ing. Vicente Peñaranda
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Modelos en variables de estado Todo lo realizad realizado o hasta hasta el moment momento, o, ha sido sido basado basado en la transform transformad ada a de Laplace para convertir las ec. Diferenciales que representan el sistema en una ec. algebraica expresada en términos de la variable compleja s. Con Con la digi digita tali liza zaci ción ón de los los siste sistema mas s a trav través és de dispo disposi sitiv tivos os digi digita tale les(P s(PC), C), ento entonc nces es es nece necesa sari rio o repr repres esen enta tarr en el domi domini nio o del del tiem tiempo po las las ec. ec. Que Que describen los sistemas de control. Las técnicas en el dominio del tiempo se utilizan para sistemas no lin lineales, varian rianttes en el tiem iempo y mult multiv ivar arib ible les s. Un sistema de control variante en el tiempo es un sistema en el que uno o mas de sus parámetros parámetros pueden variar variar en función del del tiempo. Por Por ejem ejempl plo. o. La masa masa de un proy proyec ectil til,, debi debido do al cons consum umo o del del comb combus ustib tible le durante el vuelo. La representación de los sistemas de control en el dominio del tiempo es una base base fund fundam amen ental tal para para la teor teoría ía de cont contro roll mode modern rna a y la optim optimiza izació ción n de sistemas.
Variables de estado
El estado de un sistema se refiere a las condiciones pasadas, presentes y futuras del sistema. Matemáticamente, es conveniente definir un conjunto de variables de estado y ecuaciones de estado, para modelar sistemas dinámicos.
Ejemplo. Para un circuito circuito RLC serie serie
Ecuaciones de estado
Variables de estado x2(t) se obtiene derivando x1(t), O también también x1(t)=Vc x1(t)=Vc y x2(t)=i(t x2(t)=i(t))
La Ec. diferencial de un sistema de n-esimo orden se escribe como:
Definición de las variables de estado. Las variables de estado deben satisfacer las siguientes propiedades . 1.
En cualquier tiempo inicial t=to las variables de estado x1(to), x2(to),...,xn(to) definen los estados iníciales del sistema.
2.
Una vez que las entradas del sistema para t≥to y los estados iníciales antes definidos son especificados, las variables de estado deben definir completamente el comportamiento futuro del sistema.
Ecuación de salida No se deben confundir las variables de estado con las salidas de un sistema. Una salida de un sistema es una variable que puede ser medida, pero una variable de estado no siempre satisface este requerimiento. Ej. Flujo magnético de un motor en funcionamiento, es una variable de estado que no se puede medir directamente. La ecuación diferencial de estados relaciona la rapidez de cambio en el estado del sistema con el estado del sistema y las señales de entrada.
LCK
LVK X1=Vc(t) X2=iL(t)
Dado el siguiente sistema que se muestra en la figura, escribir las ecuaciones de estado del sistema:
MODELOS EN VARIABLES DE ESTADO
La representación de los sistemas de control en el dominio del tiempo es una base fundamental para la teoría moderna de control y optimización de sistemas. En el análisis y diseño de los sistemas de control en el dominio del tiempo se utiliza el concepto de estado de un sistema. El estado de un sistema es un conjunto de variables tales que el conocimiento de estas variables y de las funciones de entrada, junto con las ecuaciones que describen la dinámica, proporcionan la salida y el estado futuro del sistemas
Para un sistema dinámico, el estado de un sistema se describe en función de un conjunto de variables de estado [X1(t), X2(t),…Xn(t)]. Estas variables son las que determinan el comportamiento futuro de un sistema cuando se conocen el estado presente de este y las señales de excitación.
• Donde y1(t) y y2(t) son las señales de salida y u1(t) y u2(t) son señales de
entrada.
Un conjunto de variables de estado (X1,X2,…,Xn) para el sistema mostrado en la figura Es un conjunto tal que el conocimiento de los valores iniciales de las variables de estado [x1(to), x2(to),…,xn(to)] en el tiempo inicial to y las señales de entrada u1(t) y u2(t) para t=to, son suficientes para determinar los valores futuros de las salidas y de las variables de estado. Las variables de estado describen la respuesta futura de un sistema, conocido el estado presente, las señales de excitación y las ecuaciones que describen la dinámica.
X(0) condiciones iníciales
Entrada u(t)
Sistema de estado dinámico x(t)
Salida y(t)
El estado de este sistema puede describirse en función de un conjunto de variables de estado (X1, X2), donde X1 es el voltaje del condensador Vc(t) y X2 es igual a la corriente del inductor iL(t). Esta elección de variables de estado es intuitivamente satisfactoria, pues la energía almacenada en la red puede describirse en función de estas variables como:
Recordar
Dada la matriz
transferencia realizadas en la primera parte del curso y después deducir el modelo de estado mediante la función de trasferencia. El modelo de estado de grafo de flujo de señal y el modelo de diagrama de bloques se puede deducir fácilmente a partir de la función de trasferencia del sistema. Sin embargo como se vio antes, existen mas de un conjunto alternativo de variables de estado y, por tanto, hay mas de una forma posible para los modelos de estado de grafo de flujo de señal y de diagramas de bloques. Existen varias formas canonícas de representación en variables de estado. En general se puede expresar una función de transferencia como:
El significado del diagrama de estado es que forma una relacion cercana entre las ecuaciones de estado, la simulacion por computadora y las funciones de transferencia.
Los elementos basicos de un diagrama de estado son similares a los de la SFG convencional, a excepcion de la operación de integracion.
Construcción de diagramas de estados 1.
Un diagrama de estado se puede construir directamente a partir de la ecuación diferencial del sistema. Esto permite la determinación de las variables de estado y de las ecuaciones de estado.
2.
Un diagrama de estado se puede construir a partir de la función de transferencia del sistema. Este paso se define como la descomposición de las funciones de transferencia.
3.
El diagrama de estado se puede utilizar para la programación del sistema en una computadora analógica o para la simulación en una computadora digital.
4.
La ecuación de transición de estado en el dominio de la trasformada de la Laplace se puede obtener a partir del diagrama de estado mediante la formula de ganancia de la SFG.
5.
Las funciones de transferencia de un sistema se puede determinar del diagrama de estados.
6.
Las ecuaciones de estado y las ecuaciones de salida se pueden determinar del diagrama de estado.
De las ecuaciones diferenciales al diagrama de estados
De las ecuaciones diferenciales al diagrama de estados. Ejemplo:
Del diagrama de estados a la función de transferencia:
La función de transferencia entre la salida y la entrada se obtiene a partir del diagrama de estado mediante el empleo de la formula de la SFG y el establecimiento de otras entradas y estados iniciales a cero.
Del diagrama de estados a la ecuación de estado y de salida 1. Elimine los estados iniciales y las ramas del integrador con ganancias s^-1 del diagrama de estado, ya que las ecuaciones de estado y de salida no contienen el operador de Laplace S o los estados iniciales. Para las ecuaciones de estado, relacione los nodos que 2. representan las derivadas de las variables de estado como nodos de salida, ya que estas variables aparecen en el primer miembro de las ecuaciones de estado. La salida y(t) en la ecuación de salida es, naturalmente, una variable de un nodo de salida. Relacione las variables de estado y las entradas como variables de 3. entrada en el diagrama de estado, ya que estas variables se encuentran en el segundo miembro de las ecuaciones de estado y de salida. Aplique la formula de la ganancia de la SFG al diagrama de estado. 4.
Utilizando dX1(t)/dt y dX2(t) /dt como los nodos de salida y X1(t) , X2(t), y r(t) como nodos de entrada, y aplicando la formula de ganancia entre estos nodos, las ecuaciones de estado se obtienen como:
Los términos del numerador representan los factores de la trayectoria de avance en la formula de Mason. Las trayectorias de avance tocaran todos los lazos.
Ejemplo
La función de transferencia de la ecuación de estado. Para determinar la funcion de transferecnia G(s) de un sistema de unica entrada y una unica salida (SISO).
LCK
LVK X1=Vc(t) X2=iL(t)
La respuesta temporal y la matriz de transición de estados Para cuando se desea analizar la respuesta en el tiempo de un sistema se sigue de la siguiente manera.
Por tanto si se conocen las condiciones iniciales X(0) , la entrada U(t) y la matriz de transición Φ(t), la respuesta en el tiempo de X(t) puede calculase
numéricamente. Todo se reduce a calcular la matriz de estados.
Por otro lado
Entonces si se resuelve la inversa a través de A se tiene la solución a la ecuación y por tanto se puede obtener Φ(t)
Sin embargo, el proceso de la inversión dela matriz es poco usual para sistemas de orden superior. Entonces si para la ecuación siguiente se considera la entrada u(t) igual a cero se obtiene
Usando la formula de Mason se obtiene la relación entre las variables de estado Xi(s) y las condiciones iniciales X(0) se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones para un sistema de segundo orden.
Ejemplo Determine Φ(s).
a) usando la inversión dela matriz b) Utilizando SFG y la formula de Mason
a) Método de la inversa
b) Utilizando SFG y la formula de Mason
Factores de la ecuación característica
Con esta matriz ya se puede evaluar, para las condiciones iniciales y la entrada u(t) cero según la ecuación dada.:
MODELOS ALTERNATIVOS DE SFG Y DIAGRAMAS DE BLOQUES MOTOR DE CC CUYA SALIDA ES LA VELOCIDAD EN EL EJE
Se elige x1=y(t) x2=i(t), x3=(1/4)r(t)-(1/20)u(t), donde u(t) es el voltaje de campo
Función de transferencia para el controlador
Armando el sistema de ecuaciones y dejando en forma matricial se tiene:
De lo anterior se puede realizar un nuevo análisis, partiendo de la función de transferencia y aplicando fracciones parciales
Ecuación en variables de esta desacoplado
Forma canónica diagonal La elección de x1,x2,x3,… es
arbitraria
