DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD
Variable aleatoria.- Una variable aleatoria X es una función cuyo dominio es el espacio muestral S y cuyo rango es un subconjunto de los números reales R, que tiene asociada a su conjunto de valores una función de probabilidad. Las variables aleatorias se denotan por letras mayúsculas X, Y, etc para distinguirlas de sus posibles valores dados en minúsculas.
Variable aleatoria.- Una variable aleatoria X es una función cuyo dominio es el espacio muestral S y cuyo rango es un subconjunto de los números reales R, que tiene asociada a su conjunto de valores una función de probabilidad. Las variables aleatorias se denotan por letras mayúsculas X, Y, etc para distinguirlas de sus posibles valores dados en minúsculas.
Si el rango X es el conjunto de los números números enteros enteros Z o un subconjunto de Z, la variable aleatoria de denomina discreta EJEMPLOS DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
Experimento
Variable aleatoria
Valores posibles V.A
lanzamiento de un dado dos veces
L a suma de puntos
2,3,4,5,6,7,8,9,10,1 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 1,12
lanzamiento de una moneda dos veces
El número de caras
0,1,2
Inspeccionar un embarque de 20 chips
Cantidad de chips defectuosos
0,1,2,….,20
Funcionamiento de un restaurante durante un día
Cantidad de clientes
0,1,2,3…….
Si el rango X es el conjunto de los números números reales R o un subconjunto de R, la variable aleatoria se se denomina denomina continua
Ejemplos variable aleatoria continua Experimento Experime nto
Variable aleatoria aleator ia
Valores posibles posibl es V.A
Funcionamiento de la caja de la universidad u niversidad
Tiempo en minutos, destinado por cada usuario Cantidad de onzas
X>=0
Envasado de una botella de bebida gaseosa Proyecto para construir el corredor Lima Norte Ensayar un nuevo proceso químico
0<=x<=13,5
Porcentaje de avance del proyecto
0<=x<=100
Temperatura cuando se lleva a cabo la reacción deseada (min
160<=x<=200
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD.la distribución de probabilidad de una variable aleatoria es una función que asigna a cada evento definido sobre la variable aleatoria la probabilidad de que dicho evento ocurra
Distribución de Probabilidad para una variable aleatoria discreta . Ilustraremos el concepto con un ejemplo : EJEMPLO Se lanza dos veces una moneda y se observa el número de apariciones cara. Determine la distribución de probabilidad para X. Solución
Valores de X:x i
f(xi)
SS
0
f(0)=1/4
CS
1
f(1)=2/4
SC
1
CC
2
Elementos de S
f(2)=1/4
EJEMPLO Se lanza dos dados y se observa la suma de puntos. Determine la distribución de probabilidad para X. Solución
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
X
f(x)
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
7
REPRESENTACIÓN GRÁFICA
probabilidad
2 __ 3 __ 4 __ 5 __ 6 __ 5 __ 4 __ 3 __ 2 1 __ 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36
2
3
4
5
6
7
8
1 36
9 10 11 12
X
En este ejemplo la distribución es simétrica. 8
Entre los requisitos para una distribución de probabilidad discreta tenemos que:
0 f(x) 1 f(x) 1 x
Valor Esperado .- Sea X una variable aleatoria discreta con distribución de probabilidad f(x), , el valor esperado o medio de X es:
E ( x)
xf ( x) x
Varianza .- Sea X una variable aleatoria discreta con distribución de probabilidad f(x), la varianza de x es:
E ( x ) E ( x ) 2
2
2
2
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD BINOMIAL Características: Existen sólo dos resultados posibles para cada ensayo “éxito o fracaso” La probabilidad de un éxito es la misma para cada ensayo Existen n ensayos donde n es una constante Los n ensayos son independientes. Los ensayos que satisfacen estos supuestos se llaman ensayos de Bernoulli. La distribución de probabilidad para una variable aleatoria Binomial está dada por:
n x n x f ( x) b( x; n, p) p q ( ) x para x=0,1,2....n
np 2
npq
Donde: p: Probabilidad de éxito para cada ensayo q = 1-p : Probabilidad de fracaso n: número de pruebas X: Número de éxitos en n pruebas La media y varianza la definimos por:
1.La Fundación Nacional de las Ciencias de Estados Unidos, informa que el 70% de los estudiantes de Postgrado que obtienen grados de doctorado en ingeniería en ese país son ciudadanos de otros países. considere el número de estudiantes extranjeros en una muestra aleatoria de 25 estudiantes de ingeniería que recientemente obtuvieron su doctorado. Determine: A)p(x=10) B) p( x 5) C)Media y desviación estándar de x 2.El 60% de los postulantes prefieren las matemáticas .¿Cuál es la probabilidad de que mas de la mitad de los postulantes que forman una muestra de 5 personas, elegidas aleatoriamente del total de postulantes, prefieran matemática?
DISTRIBUCIÓN MULTINOMIAL Características: El experimento consiste en n pruebas idénticas Existen k resultados posibles de cada prueba Las probabilidades de los k resultados son denotados por p1, p2...pk se mantienen constantes a lo largo de todos las pruebas donde p1+p2+...+pk=1 Las pruebas son independientes Las variables aleatorias de interés son x1,x2,.....xk en cada una de las k categorías de clasificación.
n!
f ( x1 x2 .... xk )
p p ....... p x1! x2!..... xk !
p1 p2 ..... pk 1
n x1 x2 ..... xk
Donde:
x1 1
x 2 2
xk k
número de pruebas
xk :
número de ocurrencias del resultado k en n pruebas La media y la varianza de la variable aleatoria multinomial xk son respectivamente: 2 np (1 p ) np
Ejemplo Una fábrica de pinturas envía a su distribuidor autorizado 40 galones de pinturas de 4 clases diferentes: brillante, semibrillante, satinado y mate .El distribuidor autorizado estima que el 10% de los galones de pinturas son brillantes, 50% son semibrillantes, 20% son satinados y otros 20% son mates. Calcule la probabilidad en que 4 galones sean brillantes, 24 sean semibrillantes, 10 sean satinados y 2 sean mates. Calcule el número esperado de galones satinados en la muestra
DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMETRICA Características: -Muestreo sin reemplazo, esto es seleccionar aleatoriamente n elementos diferentes de N elementos de la población. -Consideremos una población de N unidades, de los cuales “a” poseen ciertas características y “N-a” no la poseen. Si se hacen “n” extracciones al azar, sin reemplazo entre la población, cada extracción es subsecuente es dependiente y la probabilidad de éxito cambia en cada extracción. En estas condiciones si deseamos obtener x unidades del tipo “a”( éxitos) en la muestra al azar de tamaño “n”, el número de éxitos en este caso se llama variable hipergeométrica .
a N a x n x f ( x) h( x; n, a, N ) N n
Media y varianza
a n N 2
na( N n)( N a) N 2 ( N 1)
En una fiesta hay 20 personas 14 casadas y 6 solteras. Se eligen 3 personas al azar ¿Cuál es la probabilidad de que las 3 sean solteras?
DISTRIBUCIÓN DE POISSON Características: - Proporciona un modelo para la frecuencia relativa del número de “eventos poco comunes” que ocurren en una unidad de tiempo, área, volumen, etc. Como por ejemplo el ejemplo el número de accidentes fatales por mes en una planta de producción, el número de defectos visibles en un diamante, etc. -La probabilidad de un evento que ocurra en una unidad de tiempo, área o volumen es la misma para todas las unidades -El número de eventos que ocurren en una unidad de tiempo, área o volumen es independiente del número de los que ocurren en otras unidades. -El número medio (o esperado ) de eventos en cada unidad se denota por la letra griega lambda , . x
f ( x ) :
e
x!
es el número medio de eventos en una unidad de tiempo, área o volumen
=2.71828...... La media y la varianza de una variable aleatoria de Pois s on s on, respectivamente
2
1.Suponga que llegan en forma aleatoria una serie de llamadas a la central de pedidos de una empresa de cemento con un promedio de tres llamadas por minuto. Calcular la probabilidad de que en el periodo de un minuto a) no ocurra llamada alguna b) ocurran al menos 4 llamadas
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA En muchos casos nos interesará medir el tiempo transcurrido antes de que ocurra un evento, por ejemplo el tiempo que un cliente debe esperar en una cola para ser atendido , el tiempo que tarda en fallar un equipo, etc.
La distribución de probabilidad para la variable aleatoria x está dada por: Media y varianza
2
a p aq p 2
x 1 a x a p q f ( x ) a 1
x=a, a+1,a+2.... Donde: p:Probabilidad de éxito q:1-p x:Número de pruebas hasta que se observa el a-ésimo éxito
Ejemplo: Sí la probabilidad de que un cierto dispositivo de medición muestre una desviación excesiva es de 0,05, ¿cuál es la probabilidad de que; a) el sexto de estos dispositivos de medición sometidos a prueba sea el tercero en mostrar una desviación excesiva?, b) el séptimo de estos dispositivos de medición sometidos a prueba, sea el cuarto que no muestre una desviación excesiva?.
6 1 5 3 3 0,05 0,95 0,0530,953 0,001072 a) f (6) 3 1 2 7 1 6 4 3 0,95 0,05 0,9540,053 0,0020 a) f (7) 4 1 3
DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA Es un caso especial de la distribución de probabilidad negativa, cuando “a” es igual a 1. La distribución de probabilidad para una variable aleatoria geométrica está dada por
f ( x) g ( x; p) pq
x 1
x=1,2.....
Donde x número de ensayos hasta que se observa el primer éxito Media y varianza ,
Media y varianza
2
1
p q p 2
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS.-Se dice que una variable aleatoria es continua cuando el conjunto de posibles valores es todo un intervalo de números. Muchas variables aleatorias que se observan en la vida real constituyen claros ejemplos de variables aleatorias continuas: El tiempo de espera X ( en minutos) para culminar un trabajo, la velocidad de un automóvil, la cantidad de alcohol en la sangre de una persona, la intensidad de la luz solar a una hora determinada, el pH de un compuesto químico, etc.
Ejemplo: Se seleccionan aleatoriamente 100 remesas de la bodega de un bus interprovincial y éstas se agrupan de la siguiente manera:
PESO EN Lb
CANTIDAD DE REMESAS
150-155
3
155-160
8
160-165
20
165-170
40
170-175
23
% 40
20
150
175-180
5
180-185
2 100
155
160
165
170
175
180
185
Peso Lb
¿Cuál es la probabilidad de que una remesa seleccionada al azar, tenga un peso superior a 165 Lb?
PESO EN Lb 150-155 155-160 160-165 165-170 170-175 175-180 180-185
CANTIDAD DE REMESAS
3 8 20 40 23 5 2 100
%
Prob.=%=Area
40
20
150
155
160
165
170
175
180
185
Peso
PESO EN Lb
CANTIDAD DE REMESAS
150-155
3
155-160
8
160-165
20
165-170
40
170-175
23
175-180
5
180-185
2 100
%
Prob.=%=Area
40
20
150
155
160
165
170
175
180
185
Peso ¿Cuál es la probabilidad de que una remesa de la MUESTRA, tomada al azar, tenga un peso superior a 165 Lb?
PESO EN Lb
CANTIDAD DE REMESAS
%
150-155 155-160 160-165 165-170 170-175 175-180 180-185
3 8 20 40 23 5 2 100
Prob.=%=Area
40
20
150
155
160
165
170
175
180
185
¿Cuál es la probabilidad de que una remesa, seleccionada al azar, tenga un peso superior a 165?
Peso
¿Cuál es la probabilidad de que una remesa de la POBLACION, seleccionada al azar, tenga un peso superior a 165 Lb?
%
Prob. (muestra)
40
POBLACION 20
Muestra
150
155
160
165
170
175
180
185
Peso
Conocida (DATOS) Desconocida!!! ¿Qué hacemos, entonces?
¿Cuál es la Probabilidad de que una remesa de la POBLACION, seleccionada al azar, tenga un peso superior a 165 Lb? Función de y = f(x) densidad %
165
165
170
f ( x)dx
Peso
Esa área es la probabilidad pedida; también puede interpretarse como el porcentaje total de remesas (no sólo de la muestra) con un peso superior a 165 Lb.
¿Qué es una función de densidad? La Distribución de Probabilidad o función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua X, es una función f(x), tal que la probabilidad de que X tome un valor en el intervalo [a,b] esta dada por dada por:
p(a x b)
b
f ( x)dx a
Area bajo la curva de f(x) entre a y b.
IMPORTANTE: La probabilidad de que la variable X tome un valor determinado, es CERO:
P ( X a)
a
f ( x)dx 0
Para que f(x) sea una función de densidad, debe satisfacer las siguientes condiciones:
f ( x) 0 x
Proposición:
f ( x)dx
1
Si X es una variable aleatoria continua, para dos números cualesquiera a y b con a < b tenemos:
p(a x b) p(a x b) p(a x b) p(a x b) Función de Distribución Acumulativa Sea F(x) la función de distribución acumulativa para una variable aleatoria continua X
F ( x) P ( X x)
x
f (t )dt
Si X es una variable aleatoria continua, para dos números cualesquiera a y b con a < b tenemos:
p(a x b)
b
f ( x)dx F (b) F (a) a
La función de densidad para una variable aleatoria X, también está dada por:
f ( x)
F ( x) d ( x)
La función de densidad para una variable aleatoria continua X, que modela alguna población de datos de la vida real, por lo regular es una curva continua. Valor esperado y varianza para variables aleatorias continuas Media de una densidad de probabilidad
E ( x)
2
E ( x
xf ( x)dx
)
2
( x
)
2
f ( x)dx
2
x f ( x)dx
2
Ejemplo. El diámetro en centímetros de unos balines metálicos para uso Industrial , es una v. a continua X, cuya función de densidad está dada por:
a) Obtenga el valor de la constante c. b) Halle la desviación estándar , media y mediana
Ejemplo. Un ama de casa permite a sus hijos pequeños mirar televisión un máximo de 200 horas por mes (incluyendo sábados y domingos). Y sólo después de terminar sus tareas escolares. Ella lleva un control riguroso del tiempo que sus hijos mantienen la televisión encendida cada mes, de modo que se trata de una v.a Continua que medida en unidades de 100 horas , tiene la siguiente función de Densidad de probabilidad:
Determine la probabilidad de que, durante un mes cualquiera, los niños vean la La televisión: a) Menos de 120 horas b) Entre 50 y 100 horas c) Calcule la media y varianza
Ejemplo.
Suponga que la función de densidad de ventas semanales de un cereal (en toneladas)
2(1 x) f ( x) 0
0 x 1
en
otros
casos
a)Obtenga la función de distribución acumulada (F(x)) . b)Calcule , P ( x 0,5) es decir F(0,5) c)Calcule
P (0,25 x 0,5)
d)Calcule E(x) y desviación estándar.
PRINCIPALES DISTRIBUCIONES CONTINUAS
Distribución Normal
Entre las distribuciones continuas la más importante es la llamada distribución normal.
•
Fue introducida por Carl Friedrich Gauss (1777
1855) a
–
principios del siglo XIX en su estudio de los errores de medida. Desde entonces se ha utilizado como modelo en multitud de variables (peso, altura, calificaciones...), en cuya distribución los valores más usuales se agrupan en torno a uno central y los valores extremos son escasos.
DISTRIBUCIÓN NORMAL • Función de densidad:
Está caracterizada por dos parámetros: f La media, μ, y la desviación típica, σ.
( x)
1
e
( x )2
2 • CARACTERÍSTICAS: – Gráfico con Perfil de Campana – Simétrica con respecto a la media – Asintótica al eje de las x,-
2
2
f ( x)
1
2
e
( x )2
2 2
N(μ, σ2): Interpretación probabilística
Entre la media y una desviación típica tenemos aprox. 68% de las observaciones Entre la media y dos desviaciones típicas aprox. 95%
Tipificación
Dada una variable de media μ y desviación típica σ, se denomina valor tipificado, z , de una observación x , a la distancia (con signo) con respecto a la media, medida en desviaciones típicas:
z
x
DISTRIBUCIÓN NORMAL TIPIFICADA o ESTANDAR • FUNCIÓN:
f ( z )
1 2
2
( z 2 ) e
• VARIABLE ALEATORIA z se describe como el número de desviaciones típicas entre x y μ.
z
• CARACTERÍSTICAS: – Media Aritmética = 0 – Desviación Típica = 1
z
x
0 1
Nos permite así comparar entre dos valores de dos distribuciones normales diferentes, para saber cuál de los dos es más extremo
La distribución f (Z) se encuentra tabulada en la tabla de distribución normal estándar. En esta tabla podemos determinar los valores de Z o la probabilidad de determinado valor Z.
La Distribución Normal Tipificada está tabulada, permitiendo determinar probabilidades en intervalos, sin necesidad del
1.Haga uso de la tabla de Distribución Normal, determine las siguientes probabilidades:
2.Si x es una variable que se distribuye normalmente con media y desviación estándar, hallar el valor de k tal que:
P ( x k ) 0,95 3.Calule el valor de la variable aleatoria normal estándar z, llámesele z0 tal que:
Aproximación de la Distribución Binomial mediante la Distribución Normal.
Cuando n es muy grande, los cálculos de las probabilidades binomiales resultan laboriosos, en la obtención de los coeficientes binomiales y potencias de p y q. La distribución normal resulta una buena aproximación de las distribuciones binomiales cuando n es grande y p no necesariamente pequeño
i) ii ) iii ) iv ) v)
p ( X k ) p (
k 0,5 np npq
k 0,5 np
p ( X k ) p ( z
npq
p ( X k ) p ( z p ( X k ) p ( z p ( X k ) p ( z
z )
k 0,5 np
)
npq k 0,5 np npq
k 0,5 np npq
)
)
k 0,5 np npq
)
Ejemplo Un fabricante vende lámparas en cajas de 1000. ¿Cuál es la probabilidad de que alguna caja contenga no más del 1% de lámparas defectuosas, si se considera el proceso de producción como un experimento Binomial con p=1% (la probabilidad de que alguna lámpara sea defectuosa)? Sol
PRINCIPALES DISTRIBUCIONES CONTINUAS: Distribución exponencial: Exp(λ) Función de densidad:
f ( x) e
x
0, x 0 -Se utiliza con frecuencia para modelar la duración (vida de personas, animales o componentes físicos; duración de huelgas, recesiones económicas, etc.) o el tamaño (duración de llamadas, tamaño de yacimientos, etc.)
Características: – Esperanza o valor esperado 1 2 – Varianza 2
1
– Su función de distribución acumulada es: 0 x 0 F ( x ) P ( X x ) x x 0 1 e
Ejemplo. Un operador de una estación de bomberos observó que la demanda de agua en determinada hora del día, se puede representar mediante un v.a que se Distribuye exponencialmente cuyo promedio es de 100 pies3/s a) Calcule la probabilidad de que la demanda sea mayor que 200 pies en un día Seleccionado al azar b)¿cuál es la capacidad máxima de suministro de agua que debería conservar en circulación la estación en esa hora para que la demanda sea mayor que la Capacidad de suministro, con una probabilidad de 0,01?
Ejemplo: Suponga que el tiempo de respuesta X en cierta terminal de computadora en línea (el tiempo transcurrido entre el fin de la consulta del usuario y el principio de la respuesta del sistema a esa consulta) tiene una distribución exponencial con tiempo esperado de respuesta igual a 5 segundos. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de respuesta se encuentre entre 5 y 10 segundos?
Distribución exponencial: ejemplo • Datos: – E ( X ) = 1 / λ = 5 segundos •
:. λ =0,2
Obteniendo la distribución acumulada: =0,865 0 , 2 (10) F(10)=
1 e
– –
P(X<=10)=F(10)=0,87 La probabilidad de que el tiempo de respuesta esté entre 5 y 10s es: P ( 5 <= X <=10) = F(10) F(5) = .
•
–
1 e
0 , 2 (10)
1 e
0 , 2 ( 5 )
0,233
Distribución de probabilidad uniforme Suponiendo que se selecciona al azar un número x, a x b . La representado por un punto en el intervalo función de densidad de x, se representa 1
b a, para por un rectángulo donde la altura es asegurar que el área debajo del rectángulo sea igual a
1. Una variable aleatoria de este tipo se denomina variable uniforme y su función de densidad es:
a
b
Una variable aleatoria de este tipo se denomina variable uniforme y su función de densidad es: 1 f ( x) b a 0
si en
a x b otro
Donde:
a b 2
2
(b a) 12
2
caso
EJEMPLO Una compañía manufacturera ha inventado una máquina con gran eficiencia de combustible que combina el lavado a presión con la limpieza a vapor. La máquina está diseñada para suministrar siete galones de limpiador por minuto a 1000 libras por pulgada cuadrada para el lavado a presión. En realidad la máquina suministra una cantidad aleatoria entre 6,5 y 7,5 galones por minuto suponga que x, la cantidad de limpiador suministrado es una variable aleatoria uniforme con densidad de probabilidad. a)Calcule la media y desviación estándar b)Calcule la probabilidad de suministrar más de 7,2 galones de limpiador por minuto.
Ejemplo. La temperatura de destilación del petróleo es importante en la determinación de la calidad final del producto. Suponga que x es una v.a con distribución uniforme en el intervalo [150,300]. Suponga que el costo para producir un galón de petróleo en miles de soles es c1. Si el aceite es destilado a una temperatura menor a 200º, el producto obtenido es vendido a c2 ; si la temperatura fuera superior a 200º, el producto es vendido a c3. ¿cuál es la ganancia promedio Por galón?
