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PRINCIPIOS DE ENERGÍA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO – MOVIMIENTO – Parte Parte 1
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3. PRINCIPIOS DE ENERGÍA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO MO VIMIENTO 3.1. El principio de energía. En hidráulica elemental se sabe que la energía total del fluido de cualquier línea de corriente que pasa a través de una sección de canal se puede expresar como la altura total que es igual i gual a la suma de la elevación por encima del nivel de referencia (cabeza de posición), la altura de presión (cabeza de presión) y la altura o cabeza de velocidad. Por ejemplo, con respecto al plano de referencia, la altura total H de una sección O que contiene el punto A en una línea de corriente del flujo en un canal de pendiente alta (Figura 3.1) 3.1) se puede expresar de la siguiente siguiente manera:
= + cos+ 2
(Ecuación 3.1)
en la cual z A = elevación del punto A por encima de un plano de referencia, d A = profundidad del punto A por debajo de la superficie del agua, θ = ángulo de inclinación del fondo del canal, y V A2/(2g ) = carga de velocidad del flujo que pasa por el punto A.
Figura 3-1. Bosquejo que define la e nergía de un flujo gradualmente variado en canales abiertos.
En general, cada línea de corriente que pasa a través de una sección de canal tendrá una altura de velocidad diferente, debido a la distribución no uniforme de velocidades en flujos reales. Solo en un flujo paralelo ideal con distribución uniforme de velocidades la altura de velocidad puede ser idéntica para todos los puntos de la sección transversal. En el caso del flujo gradualmente variado, sin embargo, para propósitos prácticos, puede suponerse que las alturas de velocidad para todos los puntos de la sección del canal son iguales y, con el fin de tener en cuenta la distribución no uniforme de velocidades, puede utilizarse el coeficiente de energía (coeficiente de Coriolis ) para corregir este efecto. efecto. Luego la energía energía total en la sección del canal es:
=+cos+ 2 =++ 2
(Ecuación 3.2)
Para canales con pendientes bajas, θ ≈ 0 . La energía total en la sección del canal es:
(Ecuación 3.3)
Ahora si se considera un canal prismático con pendiente pendiente alta (Figura 3.1). La línea que representa la elevación de la altura total de flujo es la línea de energía. La pendiente de esa línea se conoce como gradiente de energía, representada por Sf . La pendiente de la superficie del agua se representa por Sw y la pendiente del fondo del canal por S0 = = sen θ . En el flujo uniforme, Sf = = S w = = S 0 = sen θ . (Recuérdese que para ángulos pequeños tan sen si está medido en radianes) ≈
≈
Como la energía por unidad de peso (N ( N m/N) se expresa en unidades de longitud, entonces los elementos de la ecuación de energía total se expresan de la siguiente forma: H = altura total de sección z = altura de posición y = altura de presión α V²/ V²/ (2 g) g) = altura de velocidad siendo Siendo: z + y la altura piezométrica
⋅ ⋅
el coeficiente de Coriolis
De acuerdo con el principio de conservación de energía, la altura de energía total en la sección (1) localizada aguas arriba debe ser igual a la altura de energía en la sección (2) localizada aguas abajo. Docente: Ing. Jorge Buitrago
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En el caso de un fluido ideal, la energía en (1) es igual a la energía en (2). Para el caso de un fluido real hay una pérdida de energía entre (1) y (2). En realidad no es energía perdida, sino transformada a calor debido a la fricción. En este caso, la ecuación de la energía para el tramo (1) y (2) se representa como:
+ cos+ 2 = + cos+ 2 +ℎ + + 2 = + + 2 +ℎ + + 2 = + + 2 =
(Ecuación 3.4)
Esta ecuación es aplicable a flujos paralelos o gradualmente variados. Para un canal de pendiente pequeña, ésta se convierte en: (Ecuación 3.5)
Cualquiera de estas dos ecuaciones se conoce como ecuación de energía. Cuando hf = 0 y = = 1, la ecuación 3.5 se convierte en: (Ecuación 3.6)
Ésta última es la muy conocida ecuación de energía de Bernoulli.
3.2. Energía específica. La energía específica en una sección de canal se define como la energía por unidad de peso del agua en cualquier sección de un canal, medida con respecto al fondo de éste. De acuerdo con la ecuación 3.2, con z=0, la energía específica se convierte en:
o, para un canal de pendiente pequeña y
=cos+ 2 =+ 2
(Ecuación 3.7)
= 1, la ecuación se convierte en
(Ecuación 3.8)
La cual indica que la energía específica es igual a la suma de la profundidad del agua más la altura de velocidad. Para propósitos de simplicidad, el siguiente análisis se basará en la ecuación 3.8 para un canal de pendiente pequeña. Como V=Q/A, la ecuación 3.8 puede escribirse como E = y + Q 2/(2g A2). Puede verse que, para una sección de canal y un caudal Q determinados, la energía específica en una sección de canal sólo es función de la profundidad de flujo. Cuando la profundidad de flujo se grafica contra la energía específica para una sección de canal y un caudal determinados, se obtiene una curva de energía específica, como se muestra en la Figura 3.2. Esta curva tiene dos ramas, AC y BC. La rama AC se aproxima asintóticamente al eje horizontal hacia la derecha. La rama BC se aproxima a la línea OD a medida que se extiende hacia arriba y hacia la derecha. La línea OD es una línea que pasa a través del origen y tiene un ángulo de inclinación igual a 45°. Para un canal de pendiente alta, el ángulo de inclinación de la línea OD será diferente de 45°. En cualquier punto P de esta curva, la ordenada representa la profundidad y la abscisa representa la energía específica, que es igual a la suma de la altura de presión y y la altura de velocidad V 2/2g.
Figura 3.2.Curva de energía específica
La curva muestra que, para una energía específica determinada, existen dos posibles profundidades, la profundidad baja y 1 y la profundidad alta y 2 . La profundidad baja es la profundidad alterna de la profundidad alta, y viceversa. En el punto C, la energía específica es mínima. Por consiguiente, en el estado crítico es claro que las dos profundidades alternas se convierten en una, la cual es conocida como profundidad crítica y c. Cuando la profundidad de flujo es mayor que la profundidad crítica, la velocidad de flujo es menor que la velocidad crítica para un caudal determinado y, por consiguiente, el flujo es subcrítico. Cuando la profundidad de flujo es menor que la profundidad crítica, el flujo es supercrítico. Por tanto, y 1 es la profundidad de un flujo supercrítico y y 2 es la profundidad de un flujo subcrítico. Docente: Ing. Jorge Buitrago
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Si el caudal cambia, existirá un cambio correspondiente en la energía específica. Las dos curvas A’B’ y A"B" (Figura 3.2) representan posiciones de la curva de energía específica cuando el caudal es menor y mayor, respectivamente, que el caudal utilizado para la construcción de la curva AB. La observación y análisis de la curva de energía específica, para un caudal dado y un canal de sección constante, permite establecer las siguientes características:
Para un punto P cualquiera de esta curva, la ordenada representa la profundidad de la lámina de agua, y , y la abscisa representa el valor correspondiente a la energía específica para dicha profundidad, igual a la suma de la profundidad de la lámina de agua, y , y la altura o carga de velocidad, V2/2g. La curva muestra que en el punto C el valor de la energía específica es mínimo. A partir de la ecuación de energía específica, se muestra que para una energía específica mínima el flujo es crítico y la profundidad correspondiente se conoce como la profundidad crítica. Esta curva presenta dos ramas, la AC y la BC. La rama AC se aproxima asintóticamente al eje horizontal y hacia la derecha. La rama BC se aproxima a la línea OD hacia arriba y hacia la derecha. La línea OD pasa por el origen y tiene un ángulo de inclinación igual en principio, a 45°. La curva muestra que, para una energía específica dada, hay dos posible profundidades: una profundidad y 1, de nivel bajo con flujo rápido (NF>1), y una profundidad y 2 , de nivel alto con flujo lento (N F<1). Es decir, para un mismo valor de la energía específica, cuando se transporta caudal constante por un canal, dicho caudal puede transportarse con una profundidad baja o alternativamente con una profundidad alta; estas dos profundidades se conocen como profundidades alternas. Si el caudal transportado aumenta, la curva de energía específica se desplazará hacia la derecha y si disminuye su desplazamiento será hacia izquierda. La línea que une todos los puntos con profundidad crítica, de las diferentes curvas de energía específica para diferentes caudales, permite definir dos zonas: la zona superior corresponde a la zona de flujo lento o flujo subcrítico y la zon a inferior corresponde a la zona de flujo rápido o flujo supercrítico.
3.3. Criterio para el estado crítico de flujo. El estado crítico de flujo ha sido definido anteriormente como la condición para el cual el número de Froude es igual a la unidad. Una definición más común es que éste es el estado de flujo para el cual la energía específica es mínima para un caudal determinado. Un criterio teórico para el flujo crítico puede desarrollarse a partir de esta definición como se describe a continuación. Como V=Q/A, la ecuación 3.8, la cual es la ecuación para la energía específica en un canal de pendiente baja con
=+ 2 =1− 2 =1−
= 1, puede escribirse como:
(Ecuación 3.9)
Al derivar con respecto a y y al notar que Q es constante,
El diferencial de área mojada dA cerca de la superficie libre (Figura 3.2) es igual a T dy. Ahora dA/dy = T, y la profundidad hidráulica es D=A/T; luego la anterior ecuación se convierte en
=1− =1− 2 = 2 /√
En el estado crítico de flujo la energía especifica es mínima, o dE/dy = 0. La anterior ecuación, por consiguiente da: (Ecuación 3.10)
Este es el criterio para el flujo crítico, el cual establece que en el estado crítico del flujo la altura de velocidad es igual a la mitad de la profundidad =1, lo cual significa que N F =1. Esta es la misma definición de hidráulica. La ecuación anterior se puede representar de la siguiente forma: flujo crítico dada anteriormente (Ecuación 1.5). Si el anterior criterio va a utilizarse en cualquier problema, deben satisfacerse las siguientes condiciones: 1) Flujo paralelo o gradualmente variado, 2) canal con pendiente baja, y 3) coeficiente de energía supuesto igual a la unidad. Si el coeficiente de energía no es igual a la unidad, el criterio de flujo crítico es
2 = 2 2 = cos 2
(Ecuación 3.11)
Para un canal con un ángulo de pendiente grande y un coeficiente de energía , puede probarse fácilmente que el criterio de flujo crítico es (Ecuación 3.12)
donde D es la profundidad hidráulica del área mojada perpendicular al fondo del canal. En este caso, el número de Froude puede definirse como Docente: Ing. Jorge Buitrago
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= cos ⁄
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(Ecuación 3.13)
Nótese que el coeficiente de una sección de canal varía realmente con la profundidad. En la deducción anterior, sin embargo, se supuso que el coeficiente es constante; por consiguiente, Ia ecuación resultante no es completamente exacta. Cuando se tienen canales rectangulares, las distintas expresiones que se utilizan en la hidráulica se pueden simplificar grandemente. En este caso se puede introducir el concepto de caudal unitario (q), como el caudal por unidad de ancho, es decir: q=Q/b, siendo b el ancho del canal rectangular. De esta manera, también pueden establecerse expresiones simplificadas para N F , D, etc. Para el caso del número de Froude, N F se tendrá:
= √ = √ = √ ⁄ = √ = = () =+ 2 =+ 2() =+ 2
Y
En el caso de la energía específica, también para un canal rectangular, se tendría (a partir de la ecuación 3.9):
(Ecuación 3.14)
La expresión de la ecuación 3.14, al ser derivada con respecto a y e igualada a cero, para un valor mínimo de la función, permite obtener la siguiente expresión para la profundidad crítica, y c :
=
(Ecuación 3.15)
=
(Ecuación 3.16)
Si en lugar de q se utiliza la v c, se obtiene que:
Si la energía específica es mínima, la profundidad es la profundidad crítica y por tanto al reemplazar el término de la altura de velocidad en la expresión de la energía se tendrá:
Pero Luego:
=+ 2 = + 2 = 3 = + 2 = 3 2 = 2 = 23
(Ecuación 3.17)
Ejercicio 1. El número de Froude es 0,5 para una profundidad de flujo de 1,20 m. en un canal rectangular. a) ¿Cuál es la profundidad critica para esta rata de flujo; b) ¿Cuál es la profundidad alterna correspondiente? a) y c=0.756 m; b) profundidad alterna =0.506 m Ejercicio 2. El flujo en un canal rectangular tiene una profundidad de 1.0 m y para este flujo corresponde una energía crítica de 1.2 m. a) Identificar si el flujo es subcrítico o supercrítico. b) Encontrar la profundidad alterna. a) El flujo es subcrítico; b) profundidad alterna=0.56 m Docente: Ing. Jorge Buitrago
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Ejercicio 3. Las profundidades alternas en un canal rectangular son 1.20 m y 0.40 m. Encontrar el valor de la profundidad crítica que corresponde a este flujo. yc=0.66 m. Ejercicio 4. Cuando fluye agua en un canal rectangular, N F es 0.6 y y c es 0.5 m. ¿Cuál es la profundidad del flujo?
y=0.703 m
Ejercicio 5. En un canal rectangular fluye agua con una energía específica de 1.20 m y un N F de 0.5. Determinar el caudal unitario. q=1.725 m 3/s/m Ejercicio 6. Cuando fluye agua en un canal rectangular, N F es 0.6 y su profundidad alterna es de 0.40 m, a la cual le corresponde un N F de 1.6. Determinar la profundidad del agua en el canal.
3.4. La energía específica y las transiciones. A pesar de que en general en los problemas prácticos se dice que se tienen canales de grandes longitudes con la sección transversal constante, la realidad es que en la mayoría de los casos es necesario modificar puntualmente dicha sección por diversas situaciones, que muchas veces apuntan a salvar un accidente topográfico o a resolver un problema constructivo. Es muy frecuente que el paso de una sección a otra se realice gradualmente mediante una estructura que se conoce como transición. Esta estructura puede ser muy sencilla o muy compleja, dependiendo de las características de cada sección. Por mencionar las más sencillas podría pensarse que la transición consiste sólo en modificar en un pequeño tramo el fondo o solera del canal o que la transición consiste en pasar de una sección rectangular a otra, pero de sección más pequeña. Utilizando el concepto de energía específica es posible analizar el comportamiento del flujo en la zona donde se presenta la variación de la sección. Para la primera situación se puede suponer que el fondo del canal presenta un levantamiento gradual, tal como se presenta en la Figura 3.3.
Figura 3.3. Comportamiento de la energía específica en las transiciones
También es posible establecer que el flujo aguas arriba del escalón tiene una velocidad y una profundidad, tal como queda indicado con el punto A de la rama ascendente de la curva de energía específica. Se puede asegurar que en este punto el flujo es subcrítico. Por otra parte, la definición de la rama ascendente de la curva de energía específica permite asegurar que en la zona del escalón no hay cambio en la sección del canal, de tal manera que el valor del caudal unitario, q (caudal por unidad de ancho), permanece inalterado. La curva de energía específica está dibujada para un valor de q constante y por tanto cualquier punto de esta curva podrá reflejar o representar el comportamiento del flujo al pasar el escalón. Estas posiciones en la curva se localizan fácilmente, ya que si se desprecian las pérdidas debidas a la fricción, la energía total en la sección 1 ha de ser igual a la energía total en la sección 2, es decir, si se aplica la ecuación de energía (ecuación 3.6) entre los puntos 1 y 2, se tiene:
O sea:
y aplicando la ecuación 3.8 se tiene: O lo que es lo mismo:
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+ 2 = − + + 2 + 2 =∆+ + 2 =∆+ = −∆
(Ecuación 3.18)
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ecuación que permite obtener el valor de la energía especifica en la sección 2 y cuyas soluciones se han representado por los puntos donde la línea E=E2 corta la curva de energía específica. El planteamiento matemático presenta tres soluciones, pero sólo existen dos soluciones físicas reales, representadas por los puntos B y B'; la tercera, representada por el punto B”, es irreal y no tiene significado físico. Las dos soluciones reales anteriores podrían también aplicarse al caso del flujo aguas arriba del escalón y representado en la curva de energía específica por el punto A. Este punto tiene la misma energía específica que el flujo que está representado por el punto A’ y que, se desarrollaría con un nivel bajo o con flujo supercrítico. Ahora la pregunta es: de las soluciones reales representadas por B y por B’, ¿cuál de las dos puede ocurrir? La respuesta sedebe reducir obviamente
a un solo valor; es decir, dado un valor de la profundidad de la lámina de agua en la zona aguas arriba de un escalón (representado en la curva por el punto A), ¿existen dos posibilidades de profundidad en la zona aguas abajo (representados en la curva por los puntos B y B ’) igualmente válidas? De la ecuación de energía poco puede obtenerse sobre este problema, pero sin embargo con la curva de energía específica se puede lograr una buena guía. Como el flujo se mueve sobre el escalón se puede decir que el punto que lo está representando se mueve de A a B o B’. Si cualquiera de los dos puntos B o B’ son posibles, entonces se puede preguntar cual ruta debe seguir el punto que representa el flujo en la curva de energía especifica. La respuesta es sencilla: como el ancho del canal permanece constante, la descarga por unidad de ancho es q y por tanto el nuevo punto que representa el flujo después del escalón, debe permanecer sobre la curva de energía específica que, como se estableció previamente, se dibujó para un valor constante de q. El punto no puede saltar de B a B' porque q tendría un cambio temporal de su magnitud para regresar a su valor original, lo que significaría que el ancho del canal podría haber tenido una variación temporal, situación que no corresponde al problema planteado y que se presenta en la figura 3.4. Es fácil ver que si se presenta este cambio temporal del ancho de la sección se tendrá inicialmente una contracción y luego una expansión que permite volver a la sección original, situación que hace que la energía específica permanezca constante (el ejemplo, por facilidad, se ha presentado sin incluir el escalón).
Figura 3.4. Comportamiento de la energía específica en una contracción. Variación de la superficie del agua.
Esto significa que si el ancho permanece constante, el único camino posible de B a B’ es siguiendo la misma curva de energía específica. Si la trayectoria hubiera seguido la curva de energía específica podría haber caído hasta E 2 y regresar nuevamente. Esta situación solo puede ocurrir si el fondo del canal se levanta por encima de la cota del escalón (el valor preciso para que del punto B se pase al punto C) y nuevamente se vuelva a la altura del escalón, tal como se presenta en la figura 3.4.
Ejercicios: Ejercicio 1. Fluye agua por un canal rectangular con una velocidad de 1.5 m/s y a una profundidad de 0.8 m. Encontrar: el cambio en profundidad y en nivel absoluto producido por: a) un suave ascenso de 10 cm; b) un suave descenso de 10 cm en el nivel del fondo del canal y c) encontrar el máximo ascenso posible para que el flujo pueda mantenerse en las condiciones dadas aguas arriba. Docente: Ing. Jorge Buitrago
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Ejercicio 2. Está fluyendo agua en un canal rectangular a una velocidad de 4.5 m/s y a una profundidad de 0.30 m. Encontrar el cambio en profundidad y en nivel absoluto producido por: a) un suave ascenso de 5 cm en el nivel del fondo del canal; b) un suave descenso de 5 cm en el nivel del fondo del canal; c) también encontrar el máximo ascenso posible para que el flujo pueda mantenerse con las condiciones especificadas aguas arriba. Ejercicio 3. Fluye agua a una velocidad de 1.50 m/s y a una profundidad de 0.80 m. en un canal rectangular de 1.20 m. de anchura. Encontrar el cambio en profundidad y en nivel absoluto del agua producida: a) por una contracción suave en anchura a 1 m. b) por una expansión suave en anchura a 1.40 m.; c) encontrar la máxima contracción permisible en la anchura para que el flujo aguas arriba sea posible como se especificó. a) y=0.1026 m (descenso); b) y=0.0379 m (ascenso); c) b=0.2345 m (contracción máxima) Ejercicio 4. Fluye agua a una velocidad de 4.5 m/s y a una profundidad de 0.30 m. en un canal rectangular de 1.20 metros de anchura. Encontrar el cambio en profundidad y en nivel absoluto del agua producido: a) por una contracción suave en anchura a 1 m. b) por una expansión suave en anchura a 1.40 m. c) encontrar la máxima contracción permisible en la anchura para que el flujo aguas arriba pueda fluir en las condiciones especificadas. a) y=0.0736 m (ascenso); b) y=0.0487 m (descenso); c) b=0.582 m (contracción máxima) Ejercicio 5. Fluye agua en un canal rectangular que encuentra un suave ascenso en el fondo de 10 cm produciéndose aguas abajo un flujo que tiene una profundidad alterna de 0,4464 m y a la que le corresponde un número de Froude de 1.2848. Encontrar las profundidades aguas arriba y aguas abajo. Ejercicio 6. Un canal rectangular de ancho b = 3 metros transporta un caudal de 4,5 m 3/s. En una sección determinada del mismo existe un escalón de = 0,25 metros, para luego volver a la cota de fondo original. El tirante aguas arriba del escalón es de 1,663 metros. Se pide: a) Determinar el tirante arriba del escalón, b) Determinar la altura máxima que puede tener el escalón para no afectar el flujo aguas arriba de la misma. Ejercicio 7. Un canal rectangular de ancho b 1 = 3 metros transporta un caudal de 4,5 m3 /s. En una sección determinada del mismo se produce una contracción puntual del ancho pasando a b 2 = 1.5 metros, para luego volver al ancho original. El tirante aguas arriba de la contracción es de 1.663 m. Se pide: a) Determinar el tirante en la contracción, b) Determinar el ancho mínimo que puede tener la contracción para no afectar el flujo aguas arriba de la misma. Ejercicio 8. Calcular a) la profundidad de flujo y b) la energía específica en la sección 2 en una contracción gradual para un canal rectangular con los siguientes datos: b 1 = 6 m, b 2=5.0m, Q = 60 m 3/s y1 =1.5 m. a) 2.09 m.
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