ECUACIONES DE LAGRANGE El propósito de esta guía es introducir y familiarizar al lector con el planteo de problemas de dinámica haciendo uso de las ecuaciones de Lagrange como una poderosa ayuda a la hora de abordar problemas que bajo la concepción newtoniana desembocarían en una difícil resolución. Recalco que los problemas tratados aquí, pueden ser resueltos de igual manera empleando las ecuaciones cardinales de la dinámica de una manera no muy difícil. Esto brinda una ayuda extra al que recién se inicia en la dinámica avanzada ya que podrá verificar sus resultados con facilidad. Apostamos aquí a que se logrará mayor comprensión de la aplicación del método si primero vemos trabajar a las ecuaciones. Por ello cambiamos el orden de enseñanza clásico y empezamos con los ejemplos, dejando el teórico en el apéndice para que aquel lector curioso pueda responder a su intriga, puesto que en clases se ha visto lo básico para empezar a trabajar. Sin más preámbulo presentamos aquí la dichosa ecuación:
(
) ̇
Donde Q = fuerza generalizada, T = energía cinética, q = coordenada generalizada, t = tiempo. Si las fuerzas que obran sobre el sistema puede suponerse que provienen de un potencial, la ecuación anterior se escribir de la manera siguiente: ( ̇
)
L es la función lagrangiana y vale T – V, donde T es la energía cinética y V es la energía potencial. Las energías aquí son determinadas mediante una configuración de desplazamientos virtuales adoptada a priori. Cabe recordar que el porqué de las ecuaciones de Lagrange, su validez, condiciones y formulación están tratados al final de esta guía para facilitar su comprensión.
Metodología de ataque de un problema mediante ecuaciones de Lagrange Trataremos en los siguientes ejemplos, problemas que tienen que ver con dinámica de partículas para continuar más adelante con problemas del solido rigido. En general, para sistemas de partículas, recomiendo el siguiente plan de ataque, el cual me parece apropiado para la comprensión de los aspectos teóricos llevados a la práctica:
[ECUACIONES DE LAGRANGE] Mecánica Analítica 1.2.3.4.5.6.7.8.9.-
Dibujo y planteo del problema Determinación del número de partículas N que consideraremos en el sistema Obtención de las ecuaciones de ligadura (g) Verificación de independencia de las ecuaciones de ligadura Deducción de los grados de libertad del sistema (k = 3N-g) Elección de las coordenadas generalizadas Obtención de las coordenadas cartesianas en función de las coordenadas generalizadas Obtención de V, T y L Planteo de las ecuaciones de Lagrange.
En lo que sigue, utilizaremos estos pasos en cada uno de los ejercicios.
EJEMPLOS DE APLICACION CINEMATICA DEL PUNTO
PENDULO SIMPLE Y X
Encontrar la ecuación de movimiento dela masa m que oscila, con pequeñas amplitudes, en el plano vertical x y colgada mediante un hilo inextensible y de masa despreciable.
θ L
m
Seguiremos los pasos propuestos anteriormente:
Determinación del número de partículas: N=1 Obtención de las ecuaciones de ligadura
Verificación de independencia de las ecuaciones de ligadura: (
)
El rango de J es 2, igual al número de ecuaciones de ligadura, por lo cual concluimos que las ecuaciones de ligadura son independientes. Aarón José Soutadet – Ecuaciones de Lagrange- Mecánica analítica- Ing. Civil.
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[ECUACIONES DE LAGRANGE] Mecánica Analítica
Deducción de los grados de libertad del sistema: g = número de ecuaciones de ligadura = 2 Numero de grados de libertad = 3N-g = 3-2 = 1 GDL Elección de las coordenadas generalizadas: Como ya se vio, se escogerán aquellas que mejor representen los cambios energéticos del sistema. En este caso, como tenemos 1 GDL, debemos escoger una sola coordenada generalizada, que según nuestro criterio, será q = θ. Obtención de las coordenadas cartesianas en función de las coordenadas generalizadas:
Obtención de V, T y L: La energía cinética del sistema estará representada por ( ̇ ̇
( ) ( ) ( ) ( )
̇ ̇ ̇ ̇ (
( )
̇ ) ̇ ̇ ̇ ̇ ( ))
̇
La energía potencial será: Por ultimo, el lagrangiano resulta: ̇
Planteo de las ecuaciones de Lagrange: (
) ̇ En este problema tenemos sólo una coordenada generalizada por lo cual escribimos: ( ̇
) ̇
̇ ( ̇
̈
)
( ) Finalmente nos queda: ̈
( )
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[ECUACIONES DE LAGRANGE] Mecánica Analítica ̈
( )
Para pequeñas oscilaciones se verifica:
Por lo cual para pequeñas amplitudes podemos aproximar el sino del ángulo, con el ángulo mismo, quedándonos finalmente la ecuación diferencial que rige el movimiento de m: ̈
PENDULO ELASTICO
Y Encontrar la ecuación de movimiento dela masa m que oscila, en el plano vertical x y colgada mediante un hilo elástico y de masa despreciable.
X θ ξ
LO
m
Modelamos el hilo mediante un resorte colocado en algún punto arbitrario del hilo. De esta forma el hilo es inextensible, salvo en la región que contiene al resorte. Seguiremos nuevamente los pasos descriptos anteriormente:
Determinación del número de partículas: N=1 Obtención de las ecuaciones de ligadura
Verificación de independencia de las ecuaciones de ligadura: En el problema planteado no hay necesidad de responder este punto ya que solo contamos con una ecuación de ligadura. Deducción de los grados de libertad del sistema: g = número de ecuaciones de ligadura = 1 Numero de grados de libertad = 3N-g = 3-1 = 2 GDL
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[ECUACIONES DE LAGRANGE] Mecánica Analítica
Elección de las coordenadas generalizadas: Se escogen aquellas que mejor representen los cambios energéticos del sistema. En este caso elegimos ξ (que tiene que ver con la elongación del resorte) y θ. Obtención de las coordenadas cartesianas en función de las coordenadas generalizadas: ( ) ( ) Obtención de V, T y L: La energía cinética del sistema estará representada por ( ̇ ̇ ̇ ̇ ̇
̇( ̇ ̇
̇
( ) ̇
̇
( (
̇(
) ̇
(
[ ̇
̇ )
( ) ( ) ( ) ) ( ) )
(
) ̇ ]
(
)
̇ )
( ) ̇
)
( ) ̇
̇
La energía potencial será:
Por último, el lagrangiano resulta: [ ̇
) ̇ ]
(
(
)
Planteo de las ecuaciones de Lagrange: (
) ̇ En este problema tenemos dos coordenadas generalizadas por lo cual escribimos: (
(
̇
)
̇
)
) ̇
( ̇
(
) ̇
) ̇ ̇
(
(
(
) ̈
)
Finalmente nos queda:
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[ECUACIONES DE LAGRANGE] Mecánica Analítica ̇ ̇
) ̈
(
Haciendo el mismo procedimiento para la coordenada ξ: ̇ ̇ ( ̇
̇ (
̈
) )
Remplazando en la ecuación de lagrangiana resulta: ̈
̇ )
(
̇ )
(
Notar que si hacemos ξ = 0 en las ecuaciones precedentes obtenemos: ̈
( ) ̇
Que son precisamente ecuaciones de movimiento de un péndulo simple en la dirección tangencial y radial respectivamente.
PENDULO DOBLE Y X Θ1
L1
(x1, y1)
m1 Θ2
L2 m2 (x2, y2)
Determinación del numero de partículas: N=2 Obtención de las ecuaciones de ligadura o Para la masa m1
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[ECUACIONES DE LAGRANGE] Mecánica Analítica o
Para la masa m2
(
)
(
)
Verificación de independencia de las ecuaciones de ligadura: (
)
El rango de J1 es 2, igual al número de ecuaciones de ligadura, por lo cual concluimos que las ecuaciones de ligadura para la masa m1 son independientes. Ídem para masa m2. Deducción de los grados de libertad del sistema: g = numero total de ecuaciones de ligadura = 4 Numero de grados de libertad = 3N-g = 6-4 = 2 GDL Elección de las coordenadas generalizadas: Se escogen aquellas que mejor representen los cambios energéticos del sistema. En este caso proponemos a los ángulos θ1 y θ2 para ocupar el puesto. Obtención de las coordenadas cartesianas en función de las coordenadas generalizadas:
Obtención de V, T y L: La energía cinética del sistema estará representada por ( ̇
̇ )
( ̇
) Siendo las velocidades respectivas: ̇
( ) ̇ ( ) ̇ ̇
̇ ( ) ̇ ( ) ̇ ̇ ̇
( ) ̇ ( ) ̇
Finalmente se tendrá para la energía cinética total: ̇
(
̇
̇
̇ ̇
(
))
La energía potencial será: (
)
Por ultimo, el lagrangiano resulta: ̇
( (
̇
̇
̇ ̇
(
))
)
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[ECUACIONES DE LAGRANGE] Mecánica Analítica
Planteo de las ecuaciones de Lagrange: (
) ̇ En este problema tenemos dos coordenadas generalizadas por lo cual escribimos: (
( ̇
) ̈
(
)
) ̇
( ̇
) ̇
̇
[ ̈
̇ ̇
(
(
(
) ̇( ̇
)
)
̇)
(
(
)]
)
Resultando finalmente para θ1 (
̈
)(
̈
)
(
)
̇
(
)
̇)
(
)]
Efectuando el mismo procedimiento para θ2 (
̇
̈
)
)
̇ ̇
(
̇
̇
[ ̈
(
̇ ̇
( ̇( ̇
)
(
)
)
Lo que finalmente nos queda: ̈
(
̇
)
(
)
Además, si consideramos pequeñas oscilaciones y verificamos para la condición particular que y las ecuaciones se simplifican como sigue: ̈
̈
̈
̇ (
̇ (
)
)
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[ECUACIONES DE LAGRANGE] Mecánica Analítica
OSCILADORES ACOPLADOS y x
Solucion:
Determinación del número de partículas: N=2 Obtención de las ecuaciones de ligadura o Para la masa m1
o
Para la masa m2
Verificación de independencia de las ecuaciones de ligadura: Está a la vista la independencia de las mismas Deducción de los grados de libertad del sistema: g = número de ecuaciones de ligadura = 4 Numero de grados de libertad = 3N-g = 6-4 = 2 GDL Elección de las coordenadas generalizadas: Adoptaremos x1 y x2 Obtención de las coordenadas cartesianas en función de las coordenadas generalizadas: En este caso particular de movimiento unidimensional ambas coordenadas se corresponden. Obtención de V, T y L: La energía cinética del sistema estará representada por ̇
̇
La energía potencial estará dada por la contribución de la energía potencial elástica de cada resorte: (
)
(
)
(
)
Por último, el lagrangiano resulta:
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[ECUACIONES DE LAGRANGE] Mecánica Analítica
(
̇ ) ̇
(
(
)
(
)
)
Planteo de las ecuaciones de Lagrange: (
) ̇ Tenemos dos coordenadas generalizadas. Para x1 tendremos: (
) ̇
̇ ̇
( ̇
(
)
̈
)
(
)
Resultando finalmente para x1 ( ̈
)
(
)
Efectuando el mismo procedimiento para x2 ( ̇
)
̇ ̇
( ̇
)
̈
(
)
(
)
Lo que finalmente nos queda: ̈
(
)
(
)
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[ECUACIONES DE LAGRANGE] Mecánica Analítica
PARTICULA EN TRAYECTORIA CICLOIDAL y
2a
x
Determinación del numero de partículas: N=1 Obtención de las ecuaciones de ligadura
(
√( (
)
))
Verificación de independencia de las ecuaciones de ligadura: La independencia esta a la vista. Deducción de los grados de libertad del sistema: g = numero de ecuaciones de ligadura = 2 Numero de grados de libertad = 3N-g = 3-2 = 1 GDL Elección de las coordenadas generalizadas: Escogemos q = θ. Obtención de las coordenadas cartesianas en función de las coordenadas generalizadas: ( ) ( ) Obtención de V, T y L: La energía cinética del sistema estará representada por ( ̇ ( ̇ ̇ ̇ ̇
[ ̇ ̇
̇ ̇ ̇
̇
̇ )
( )) ̇ ( )
( )]
( ) ( )
̇ (
)
La energía potencial será: (
)
Por ultimo, el lagrangiano resulta: ̇ (
)
(
)
Planteo de las ecuaciones de Lagrange: (
) ̇ En este problema tenemos sólo una coordenada generalizada por lo cual escribimos: Aarón José Soutadet – Ecuaciones de Lagrange- Mecánica analítica- Ing. Civil.
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[ECUACIONES DE LAGRANGE] Mecánica Analítica ( ̇
) ̇(
̇ ( ̇
̈(
)
) ̇
) ( )(
̇
( )
)
Finalmente nos queda: ̈(
̇
) ̈(
( ) ̇
)
( )
( )(
̇
)
( )
Péndulo Vertical Sea m un punto de masa en una barra sin masa de longitud l que a su vez se fija a una bisagra. La bisagra oscila en la dirección vertical de acuerdo con h(t) = ho cos (ωt). Determinar el lagrangiano y la ecuación de movimiento. m Bisagra
Pistón
θ L
h(t )
Solución:
Determinación del número de partículas: N=1 Obtención de las ecuaciones de ligadura ( )) ( Verificación de independencia de las ecuaciones de ligadura: La independencia está a la vista. Deducción de los grados de libertad del sistema: g = número de ecuaciones de ligadura = 2 Numero de grados de libertad = 3N-g = 3-2 = 1 GDL
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[ECUACIONES DE LAGRANGE] Mecánica Analítica
Elección de las coordenadas generalizadas: Como ya se vio, se escogerán aquellas que mejor representen los cambios energéticos del sistema. En este caso, como tenemos 1 GDL, debemos escoger una sola coordenada generalizada, que según nuestro criterio, será q = θ. Obtención de las coordenadas cartesianas en función de las coordenadas generalizadas: ( )
Obtención de V, T y L: La energía cinética del sistema estará representada por ( ̇
( ) ̇ ( ) ̇ ( ) ( ) ̇) ( ) ( ) ( )̇ ̇
̇ ̇
(
( ̇ (
̇ )
)
̇
(
)
(
( ) ̇ ( ) ( )̇)
)
La energía potencial será: ( ) Por ultimo, el lagrangiano resulta: [
̇
(
( ( Planteo de las ecuaciones de Lagrange:
)
)
(
)
( ) ( )̇
]
(
) ̇ En este problema tenemos sólo una coordenada generalizada por lo cual escribimos: (
̇
̈
)
)
̇ ̇
(
̇
( [
(
̇
)
)
(
(
)
( )̇]
( )
)
Finalmente nos queda: ̈
( )
(
)
( )
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[ECUACIONES DE LAGRANGE] Mecánica Analítica Realizando la sustitución pequeños desplazamientos se verifica ̈
y teniendo en cuenta además que para se tiene: (
(
))
Advertimos que si el pistón estuviera en reposo, obtendríamos la ecuación de movimiento del péndulo ordinario: ̈
ECUACIONES DE LAGRANGE APLICADAS A CUERPOS RIGIDOS Encontrar la ecuación de movimiento del cuerpo de la figura, el cual está suspendido de “o” y gira por la acción de un momento M. Solución:
y
Recordemos que un cuerpo rígido en el espacio sin vínculos tiene habilitados 6 grados de libertad, por lo cual el plan de ataque de problemas de cuerpo rígido es similar a lo que venimos haciendo, solo que esta vez, el número de coordenadas generalizadas a adoptar será´ 6N-g, donde N es la cantidad de cuerpos que conforman el sistema en estudio y g es el número grados de libertad que restringimos.
x o CG
φ
M
Para este problema en particular tendremos:
Determinación del número de cuerpos que conforman el sistema: N=1 Grados de libertad restringidos: 5 (El cuerpo está permitido a rotar solo respecto a z, además su centro de giro no puede desplazarse en ninguna dirección, por lo cual tenemos 2 restricciones de giro + 3 restricciones de desplazamiento = 5 en total) Grados de libertad del sistema y coordenadas generalizadas: g=5 Numero de grados de libertad = 6N-g = 6-5 = 1 GDL que se corresponde precisamente con la coordenada φ. Obtención de Energías (cinética o cinética y potencial según corresponda) y Fuerzas Generalizadas (si corresponde). La energía cinética del sistema estará representada por ̇
Donde I = Momento de Inercia del cuerpo con respecto al eje de rotación. Aarón José Soutadet – Ecuaciones de Lagrange- Mecánica analítica- Ing. Civil.
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[ECUACIONES DE LAGRANGE] Mecánica Analítica Para las fuerzas generalizadas se tenía:
⃗
∑ ⃗
lo cual equivale a determinar el trabajo
efectuado cuando nuestra coordenada varía una cantidad
:
Lo que implica que
Planteo de las ecuaciones de Lagrange: (
) ̇
En este problema tenemos sólo una coordenada generalizada por lo cual escribimos: ( ̇ ̇ ̇
) ( ̇
)
̈
Por lo cual resulta: ̈
Péndulo compuesto
y x o a
Determinación del número de cuerpos que conforman el sistema: N=1 Grados de libertad restringidos: 5 (El cuerpo está permitido a rotar solo respecto a z, además su centro de giro no puede desplazarse en ninguna dirección, por lo cual tenemos 2 restricciones de giro + 3 restricciones de desplazamiento = 5 en total) Grados de libertad del sistema y coordenadas generalizadas: g=5 Numero de grados de libertad = 6N-g = 6-5 = 1 GDL que se corresponde precisamente con la coordenada φ. Obtención de Energías (cinética o cinética y potencial según corresponda) y Fuerzas Generalizadas (si corresponde). La energía cinética del sistema estará representada por CG
Deducir la ecuación diferencial del movimiento de un péndulo compuesto y encontrar el periodo para pequeñas oscilaciones. (a = distancia entre el punto de suspensión “o” y el centro de gravedad “CG”). Solución:
φ
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[ECUACIONES DE LAGRANGE] Mecánica Analítica ̇ Donde I = Momento de Inercia del cuerpo con respecto al eje de rotación. Para la Energía Potencial, tomando como referencia una línea horizontal que pasa por el centro de masa, se tendrá: ( ) ̇
(
)
Planteo de las ecuaciones de Lagrange: (
) ̇
̇ ̇
( ̇
)
̈
̈ Finalmente, para pequeñas oscilaciones: ̈ O de otra manera: ̈ Donde ω es la frecuencia = 2π/T, y T es el periodo, el cual, para pequeñas oscilaciones, sera: √
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[ECUACIONES DE LAGRANGE] Mecánica Analítica
Barra rígida oscilando entorno a una articulación L Masa =m a
Solución:
Determinación del número de cuerpos que conforman el sistema: N=1 Grados de libertad restringidos: 5 (El cuerpo está permitido a rotar solo respecto a z, además su centro de giro no puede desplazarse en ninguna dirección, por lo cual tenemos 2 restricciones de giro + 3 restricciones de desplazamiento = 5 en total) Grados de libertad del sistema y coordenadas generalizadas: g=5 Numero de grados de libertad = 6N-g = 6-5 = 1 GDL que se corresponde precisamente con la coordenada φ correspondiente a un desplazamiento virtual hacia abajo. Obtención de Energías (cinética o cinética y potencial según corresponda) y Fuerzas Generalizadas (si corresponde). La energía cinética del sistema se determina en base al teorema de König para cuerpos rígidos: ̇
Donde I = Momento de Inercia del cuerpo con respecto al eje de rotación, VG = velocidad del centro de masas y ̇ = velocidad angular respecto al centro de rotación. De esta forma tenemos: ̇ ̇ ( ̇) ( ) ̇ Para la determinación de la Energía Potencial, consideraremos que el resorte sin comprimir tiene una longitud lo y que cuando se le suma la barra se comprime una cantidad Δ. De esta forma se tendrá para un desplazamiento hacia abajo: (
)
Sabiendo además que en la posición de equilibrio se verifica (por suma de momentos, respecto a la articulación, igual a cero):
Reemplazando se tendrá:
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[ECUACIONES DE LAGRANGE] Mecánica Analítica
Luego, el lagrangiano L será: ̇
Planteo de las ecuaciones de Lagrange: (
) ̇
( ̇
) ̇
̇ ( ̇
)
̈
̈
Finalmente, para pequeñas oscilaciones: ̈ O de otra manera: ̈ Donde ω es la frecuencia = 2π/T, y T es el periodo, el cual, para pequeñas oscilaciones, será: √
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[ECUACIONES DE LAGRANGE] Mecánica Analítica
Disco Oscilante Deducir las ecuaciones de movimiento del sistema y encontrar el periodo natural, sabiendo que el disco es homogéneo y de masa m y está obligado a rodar sin resbalar en su propio plano. Además, en la posición de equilibrio, los resortes se encuentran sin estirar.
k
k
R/2 R
Solución:
Determinación del número de cuerpos que conforman el sistema: N=1 Grados de libertad restringidos: 5 (El cuerpo está permitido a rotar solo respecto a z, además su centro de giro no puede desplazarse en ninguna dirección, por lo cual tenemos 2 restricciones de giro + 3 restricciones de desplazamiento = 5 en total) Grados de libertad del sistema y coordenadas generalizadas: g=5 Numero de grados de libertad = 6N-g = 6-5 = 1 GDL que se corresponde precisamente con la coordenada φ correspondiente a un desplazamiento virtual hacia la derecha. Obtención de Energías (cinética o cinética y potencial según corresponda) y Fuerzas Generalizadas (si corresponde). La energía cinética del sistema se determina en base al teorema de König para cuerpos rígidos: ̇
Donde I = Momento de Inercia del cuerpo con respecto al eje de rotación, VG = velocidad del centro de masas y ̇ = velocidad angular respecto al centro de rotación. De esta forma tenemos: ̇ ̇ ( ̇) ( ) ̇ Energía Potencial [
) ]
(
Luego, el lagrangiano L será: ̇
Planteo de las ecuaciones de Lagrange: ( ̇
)
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[ECUACIONES DE LAGRANGE] Mecánica Analítica
(
) ̇
̇ ̇ ( ̇
)
̈
̈ Finalmente, para pequeñas oscilaciones: ̈ O de otra manera: ̈ Donde ω es la frecuencia = 2π/T, y T es el periodo, el cual, para pequeñas oscilaciones, será: √
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[ECUACIONES DE LAGRANGE] Mecánica Analítica
EJERCICIOS PROPUESTOS PARTICULAS ACOPLADAS EN CONFIGURACION CIRCULAR m
𝑠𝑖
k
k 𝜑𝑖
m
Encontrar las ecuaciones de movimiento tomando como coordenadas generalizadas a los ángulos correspondientes a las coordenadas si que describen los arcos entre partículas.
m
k k
m
Cilindro circular sobre guía vibrante Encontrar las ecuaciones de movimiento del sistema sabiendo que el cilindro de radio r y masa m rueda sin resbalar y que el bloque de masa M está obligado a seguir una guía vertical sin fricción.
φ
x m, r
R M k
Sistema vibrante carro – péndulo. a
k M
L m
k
Encontrar las ecuaciones diferenciales de movimiento para pequeñas oscilaciones del sistema sabiendo que los dos resortes de constante k se unen al péndulo simple sujetándolo a las paredes y a una distancia “a” del punto de suspensión.
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[ECUACIONES DE LAGRANGE] Mecánica Analítica
INTRODUCCION A LAS ECUACIONES DE LAGRANGE Ligaduras. Concepto y clasificación. En capítulos anteriores, se comprendió que para la determinación del movimiento de un cuerpo rígido, disponíamos, en términos generales, de las llamadas ecuaciones universales, o ecuaciones cardinales de la dinámica: ( ) ⃗
⃗⃗̇
Del Teorema de la cantidad de movimiento
( ) ⃗⃗⃗
⃗⃗̇
Del Teorema del Momento Cinético
( )
Del Teorema de las Fuerzas Vivas
Donde
⃗ Es la resultante de las fuerzas exteriores que obran sobre el cuerpo. ⃗⃗̇ Es la derivada primera respecto del tiempo de la cantidad de movimiento. ⃗⃗⃗ Es la resultante de los momentos externos ⃗⃗̇ Es la derivada primera respecto al tiempo del momento cinético Es el trabajo neto de todas las fuerzas que obran en el sistema Variación de energía cinética.
En conjunto, las ecuaciones (1), (2) y (3) representan 7 ecuaciones escalares. De esta manera, el movimiento con 6 grados de libertad (correspondiente al solido rígido en el espacio) quedaba completamente definido con las 6 primeras expresiones. Sin embargo, al referirnos, por ejemplo a sistemas conformados por varios cuerpos rígidos, es necesario aumentar el número de ecuaciones disponibles Y debido al aumento de incógnitas a determinar. En tales casos, recurrimos a la consideración de las ligaduras del sistema (aquellos vínculos que 𝑟⃗𝑖𝑗 𝜔 ⃗⃗ restringen ciertos grados de libertad). 𝑟⃗𝑗 ʘ Por ejemplo, para las partículas que conforman un disco que rueda, se 𝑗 𝑟⃗𝑖 tendrá (dado que el cuerpo es o considerado rígido) que la distancia 𝑖 entre dos cualquiera de ellas no varía. Aarón José Soutadet – Ecuaciones de Lagrange- Mecánica analítica- Ing. Civil.
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X
[ECUACIONES DE LAGRANGE] Mecánica Analítica En este caso, dado un sistema de referencia cartesiano y con origen arbitrario en algún punto “o”, como lo muestra la siguiente figura, se tendrá: (⃗
⃗ ) (⃗
⃗)
Donde Cij es el módulo de ⃗ De esta manera, la expresión anterior constituye una de las ecuaciones de ligadura del disco (Recordar que “•” representa producto escalar). Ligaduras hay de distintas clases, por ejemplo, podemos considerar una partícula vinculada que se mueve sobre una superficie conocida ( ): ⃗⃗
⃗
⃗ Recordando, de las lecciones de análisis matemático, que el gradiente de una superficie conforma un vector perpendicular a la misma en un punto, podemos expresar la normal ⃗⃗ como el gradiente de la superficie por un multiplicador λ desconocido aun: ⃗⃗
( ) Empleando la (1) de las ecuaciones cardinales, tenemos además: ∑⃗ ⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗ ⃗ ⃗̈
⃗
( ) ⃗ De donde surgen las tres ecuaciones escalares siguientes: ̈ ̈ ̈
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[ECUACIONES DE LAGRANGE] Mecánica Analítica Es decir, hasta aquí tenemos 3 ecuaciones con 4 incógnitas X, Y, Z y λ. Ahora es el momento en el que debemos recurrir a la condición de ligadura, que para este problema en particular, será (
)
Ya que se obliga a la partícula a moverse solidaria a la superficie. Cabe acotar que las constantes de integración que surgen de las ecuaciones diferenciales (2 por cada una, 6 en total) se eliminan introduciendo condiciones iniciales. Otro ejemplo, lo constituye una partícula sometida al campo gravitatorio que se desliza sobre una superficie esférica: Punto critico de separación
Fase Activa 𝑎
Fase Inactiva Trayectoria de la partícula
En este caso la ligadura se expresa de la forma:
Pues en ningún momento hay algo que impida que la partícula se “despegue” de la superficie, como ocurre después del punto crítico. Con los ejemplos vistos anteriormente, ya estamos en condiciones de empezar a clasificar las ligaduras. Decimos que una ligadura es holónoma cuando es factible dar su expresión de la forma (⃗ ) (⃗ ⃗ ) (⃗ como ocurría en el ejemplo 1: ⃗) y también en el ejemplo 2 ) con la expresión ( . A este tipo de ligadura también suele darse el nombre de “Ligaduras Finitas”. En el ejemplo 3, en cambio, la forma de la expresión de ligadura es diferente ya que en este caso se nos presenta en forma de inecuación. Cuando no podamos expresar la ligadura como ( ⃗ ) , diremos que la misma es no holónoma o anholónoma. Por otro lado, si la ecuación de ligadura contiene al tiempo de manera explicita, diremos además que se trata de ligaduras reónomas. Caso contrario, serán esclerónomas.
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Página 24
[ECUACIONES DE LAGRANGE] Mecánica Analítica Cabe aclarar que también podemos clasificar las ligaduras en unilaterales y bilaterales. En las primeras, las fuerzas de ligadura tienen un solo sentido, lo que da como resultado que su ecuación sea una desigualdad. El ejemplo 3 constituye un caso de ligadura unilateral en el que se pueden diferenciar dos fases. Una fase activa con ( ⃗ ) y otra fase inactiva en la que se verifica (⃗ )
. Extendiendo un poco más la clasificación, llamaremos ligaduras geométricas a aquellas que no dependen de la velocidad pero si de las posiciones y del tiempo (como son las ligaduras finitas). Por otro lado, una ligadura cinemática será una ligadura bilateral dependiente de la posición, de la velocidad y del tiempo. Además podemos subdividirlas en cinemáticas integrables y en cinemáticas no integrables. El primer caso será si la misma puede ser obtenida por derivación de una ligadura geométrica, por lo que deberá cumplirse: (
(⃗ ) ⃗̇
) ̇
̇
̇
̇
̇
⃗̇ ∑ ⃗⃗̇
Es decir, que ∑
̇
⃗⃗̇
debe ser una diferencial exacta.
Recordando dicho concepto del análisis, llamamos ecuaciones diferenciales exactas a aquellas de la ) ( ) forma ( que verifica la existencia de una función con derivadas parciales continuas tal que ( ) ( )y ( ) ( ) donde respectivamente ( ) y ( ) representan las derivadas parciales de ( ) respecto a x y respecto a y. ) ( ) ) Notar que ( es una ecuación diferencial exacta porque ( ( ) es la diferencial exacta de ( ) y lógicamente para que satisfaga ( ) ( ) es suficiente que ( ) sea una constante C. De esta manera la solución general de la ecuación diferencial exacta será de la forma ( ) = C. Además, si la función tiene sus derivadas y continuas en un disco abierto R, entonces el orden de derivación es irrelevante cumpliéndose
=
para todo (x,y) de R. La condición de exactitud será, por lo anterior,
Para ejemplificar, estudiemos el movimiento de un disco que rueda sin resbalar sobre una superficie plana como lo muestra la figura: Z Y 𝜔 ⃗⃗
R θ X
φ
G
(X,Y) C
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La restricción impuesta a este sistema es que el disco, además de permanecer en un plano vertical, puede moverse únicamente paralelo a su plano medio. Es decir, no puede haber movimiento del disco de manera perpendicular al mismo. Debe quedar en claro que la condición anterior, la cual implica que la velocidad de su centro de masa debe estar siempre contenida en el plano del mismo y paralela al plano de apoyo, no impide que el disco pueda pasar por cualquier punto (x,y) del plano XY, por lo tanto no se trata de una restricción geométrica. Estamos restringiendo cinemáticamente al disco. Así, podemos escribir, como ecuación de ligadura: ⃗ Con ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ). Por lo cual tendremos de manera escalar y según la figura anterior: Recordar que en el cálculo del determinante, ⃗⃗ tiene dos componentes ( ̇ y ̇ ). Aquí se expuso solo el resultado.
Esto es, ̇
̇ ̇
̇
̇
A las cuales podemos sumar De esta manera tenemos el sistema: ̇ { ̇
̇
} ̇ y remplazando
Multiplicando la primera línea por {
̇
̇
̇
{ } por ̇
̇
}
̇ ̇
Donde la segunda línea se obtuvo remplazando ̇ De la primera ecuación se obtiene:
por
llegamos a
{ }
̇
por lo cual
y
.
Remplazando en la segunda ecuación: ̇
̇
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[ECUACIONES DE LAGRANGE] Mecánica Analítica Como conclusión podemos decir que la ligadura, por lo general es no integrable y el sistema será no holónomo, salvo el caso puntual en que la trayectoria sea recta e y=x. Diremos para completar, que además las ligaduras pueden ser estacionarias o no estacionarias. Las primeras solo dependen de la posición y NO del tiempo. Las segundas, dependen del tiempo de manera explícita y por lo tanto también son reónomas. Resumiré lo explicado en el siguiente cuadro:
FASE ACTIVADA f=0
UNILATERALES f>=0
FASE DESACTIVADA f>0
INTEGRABLE (sistema holonomo) LIGADURAS CINEMATICAS f=f(ri,vi,t) FFF E r b quí u ó
NO INTEGRABLE (sist. Aholónomo)
ESTACIONARIAS f=f(ri) (Sist. Esclerónomo)
BILATERALES GEOMETRICAS f=f(ri,t) (Sist. Holónomo)
NO ESTACIONARIAS f=f(ri,t) (Sist. Reónomo)
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FORMULACION ANALITICA A esta altura, cabe distinguir, dos formas de encarar un problema:
Según la Mecánica Newtoniana Según la Mecánica Analítica (o Lagrangiana)
Un sistema de N partículas desvinculadas posee 3N grados de libertad (x1, y1, z1,… …. xn, yn, zn). Si existen ligaduras holónomas, de manera tal que tengamos k ecuaciones de ligaduras independientes, nos quedarán solo 3N-K grados de libertad o coordenadas independientes. En el caso de la mecánica newtoniana, el planteo consiste intentar encontrar las 3N + k incógnitas totales resolviendo 3N + k ecuaciones (que incluyen las de ligadura). La mecánica analítica, por su lado, intentará resolver el problema empleando una ecuación por cada grado de libertad. Es decir, 3N - k ecuaciones para 3N - k incógnitas. Claro está que bajo esta concepción, no podemos determinar las fuerzas de ligadura (como por ejemplo tensiones en una cuerda inextensible) ya que no figuraran dentro de las ecuaciones planteadas. Enfocaremos todo el resto del estudio según la visión lagrangiana.
INDEPENDENCIA DE LAS ECUACIONES DE LIGADURA. Para determinar el número de grados de libertad, debemos, prioritariamente, verificar la independencia de las k ecuaciones de ligadura. Por tal fin, confeccionaremos la matriz jacobiana y mediante una comparación de su rango con el número de ecuaciones de ligaduras comprobaremos la dependencia funcional. En general se tendrá que:
Si el rango de la matriz jacobiana es igual al numero de ecuaciones de ligaduras, entonces estas serán independientes entre si. Si el rango de la matriz jacobiana es menor al número de ecuaciones de ligaduras, entonces algunas de éstas serán redundantes.
Si es posible armar el Jacobiano (determinante de la matriz jacobiana), se tendrá en general:
Si | | Si | |
entonces las ecuaciones serán funcionalmente dependientes entonces se verificará independencia funcional.
Aquí no hacemos distinción entre dependencia lineal y no lineal. El método es igualmente valido en un caso o en otro.
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Ejemplo: Verificar la independencia funcional del siguiente conjunto de ecuaciones de ligaduras: (
) ( (
)
)
La matriz jacobiana será:
(
)
Por lo cual (
)
Como el rango de esta ultima matriz es 2(< numero de ecuaciones de ligadura) concluimos (como está a la vista) que existe dependencia funcional. En este ejemplo la última ecuación es redundante. Notar que como la matriz resultó ser cuadrada, es posible calcular su determinante: | | Verificando nuestro resultado anterior.
COORDENADAS GENERALIZADAS Consideremos el siguiente sistema: 𝜑
r
𝐽⃗ X 𝐼⃗ Aarón José Soutadet – Ecuaciones de Lagrange- Mecánica analítica- Ing. Civil.
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La ecuación de vinculación será que expresada de otra manera, ( ) Así, por lo general, es posible determinar la configuración del sistema mediante coordenadas lineales y/o angulares. Si nos concentramos, por ejemplo, en un sistema de referencia cartesiano, debido a las ecuaciones de ligadura, las coordenadas estarán relacionadas y eso dará como consecuencia que aparezcan ecuaciones de movimiento dependientes entre si. De esta manera, si contamos con q coordenadas (angulares y lineales) y p ecuaciones de ligadura, se tendrán en total k = q-p coordenadas independientes. Al conjunto total de todas las coordenadas disponibles, el cual puede contener coordenadas de magnitud angular y/o coordenadas de magnitud lineal, llamaremos Coordenadas Generalizadas q. Así, para el sistema propuesto, la ecuación de ligadura se expresa como ( ) . Veremos más adelante que también tendremos velocidades generalizadas, cuyas dimensiones pueden ser de velocidad lineal o velocidad angular; así como también tendremos fuerzas generalizadas (con unidades de momentos o fuerzas según el caso). Por ultimo para definir la configuración del sistema, se buscará elegir las coordenadas generalizadas independientes que mejor describan los cambios energéticos del sistema. Cabe acotar que, en el sentido amplio, no debería restringirse las coordenadas generalizadas a magnitudes lineales o angulares. Podríamos utilizar por ejemplo cantidades cuyas dimensiones sean de energía.
PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES
Llamaremos desplazamiento virtual a aquel que es acorde con los grados de libertad (compatibilidad de vínculos) pero que no necesariamente es el real. Por ejemplo, supongamos el siguiente sistema en equilibrio y con velocidad nula: 𝑁
𝛿𝑠
𝑁
𝛿𝑠
α
𝑃 β
𝑃 En la figura es el desplazamiento virtual que es distinto del real (que es nulo) y es compatible con las condiciones de vínculo. Además como el sistema se encuentra en equilibrio, se cumple que (Aquí hemos supuesto que la cuerda desliza sobre la polea) Si calculamos ahora el trabajo de las fuerzas tendremos: ∑⃗ ⃗
(Con ‖ ⃗ ‖ Y además podemos dividir la resultante de fuerzas que obran en uno de los cuerpos en fuerzas activas y fuerzas de ligadura: Aarón José Soutadet – Ecuaciones de Lagrange- Mecánica analítica- Ing. Civil.
)
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[ECUACIONES DE LAGRANGE] Mecánica Analítica ⃗
⃗
⃗
En donde ⃗ son las fuerzas de ligadura y ⃗ denota las fuerza activas. Como la cuerda es considerada inextensible y además ⃗⃗ y ⃗⃗ (reacciones normales o fuerzas de ligadura unilateral) son perpendiculares al desplazamiento, se tendrá: ( ) ( ) Que obviamente también será nulo. Cabe acotar que si en nuestro sistema hubiera existido fuerza de rozamiento, el trabajo ya no seria nulo, por lo cual excluiremos de nuestro análisis sistemas en los que intervengan tales fuerzas, salvo que se trate de cuerpos con forma de disco o esferas que rotan sin resbalar. Esto es así ya que la fuerza de rozamiento estará aplicada en el centro instantáneo de rotación, por lo cual en el instante considerado, no habrá desplazamiento en ese punto y el trabajo de dichas fuerzas será igualmente nulo. Dicha esta aclaración y considerando de ahora en más fuerzas de ligadura ideales (aquellas que no realizan trabajo sea cual sea el campo de desplazamientos virtuales), generalizaremos el resultado del ejemplo diciendo que: “Para que un sistema se encuentre en equilibrio, el trabajo virtual realizado por las fuerzas activas ha de ser nulo (condición necesaria y suficiente): ∑⃗
⃗
Ejemplo: En el sistema de la figura nos disponemos a encontrar, mediante el principio de los trabajos virtuales, la tensión de la barra ξ.
T
ξ
T
b
𝑎
P2 P1
Para resolver el problema, primero debemos eliminar la barra ξ y trabajar con el mecanismo de barras articuladas resultante de dicha eliminación. Sabemos que el desplazamiento real de la estructura, (suponiendo materiales indeformables) será nulo. La suma de los trabajos de todas las fuerzas obrantes será nulo. Esto también se verificará si proponemos un campo de desplazamientos virtuales (compatibles con los vínculos), debido a que el sistema esta en equilibrio y además con Aarón José Soutadet – Ecuaciones de Lagrange- Mecánica analítica- Ing. Civil.
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[ECUACIONES DE LAGRANGE] Mecánica Analítica velocidad nula. Como todos los nudos de la estructura están modelados como articulados, propondremos que las dos chapas vinculadas en el nudo de la carga P1 giran ángulos respectivos θ1 y θ2 como lo muestra la siguiente figura:
T
T
δ2 Θ2
b
𝑎
δ1
Θ1
P2 P1
Θ1
λ2
λ1
Θ2
Realizando ahora la suma de los trabajos de todas las fuerzas del sistema: Sabiendo además que ; ; Y además que la relación entre θ1 y θ2 es Resolvemos el sistema quedando finalmente para la tensión T: (
)
Puede verse que en el método de los trabajos virtuales, interesan solamente los cambios de coordenadas sin importar la evolución en el tiempo. En Mecánica Clásica de H. Goldstein se recalca este hecho asignando un valor nulo al tiempo. Es decir dt = 0.
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[ECUACIONES DE LAGRANGE] Mecánica Analítica Ahora bien, el resultado al que arribamos es válido solo para la estática. Buscaremos ahora una manera de resolver el problema general. Con tal fin haremos uso del principio de D´alembert ya visto en capítulos anteriores: Del primer grupo de las ecuaciones cardinales de la dinámica teníamos que: ⃗ ⃗⃗̇ ⃗⃗̇
⃗⃗
⃗⃗̇ )
⃗
⃗ ∑( ⃗
Nuevamente separando las fuerzas activas de las de ligadura y agrupando nos queda: ⃗) ⃗ ⃗⃗̇ ∑( ⃗ ⃗⃗̇ )
∑( ⃗
∑( ⃗ )
⃗
⃗
Al igual que antes, considerando en nuestra formulación solo sistemas en los que el trabajo virtual de las fuerzas de ligadura sea nulo, nos queda: ⃗⃗̇ )
∑( ⃗
⃗
Por lo cual ∑( ⃗ )
∑( ⃗⃗̇ )
⃗
⃗
A
Donde el primer miembro de A representa el trabajo virtual de las fuerzas activas. Ahora es el momento de introducir las coordenadas generalizadas expresando las coordenadas vectoriales como función de ellas: ) ⃗ ⃗( (1) Con k = 1, 2, 3….Grados de libertad Aplicando la regla de la cadena en esta última expresión obtenemos: ⃗ ⃗ ⃗ ⃗̇ ⃗
⃗
∑
⃗ ̇
⃗
B
Llamaremos a la expresión B velocidad generalizada tal que si posee unidades de longitud, la velocidad generalizada poseerá unidades de velocidad lineal, mientras que si tiene unidades angulares, ⃗ tendrá unidades de velocidad angular. Refiriéndonos ahora a los desplazamientos virtuales, de acuerdo a (1) tendremos:
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[ECUACIONES DE LAGRANGE] Mecánica Analítica ⃗
∑
⃗
Pues como ya comentamos algunas líneas arriba, los desplazamientos virtuales solo se refieren a desplazamientos de coordenadas sin considerar variaciones temporales. Remplazando ahora la última expresión en el primer miembro de A: ∑( ⃗ )
⃗
⃗
∑∑ ⃗
Donde ⃗
∑ ⃗
C
Se llamará de ahora en más fuerza generalizada. Así, cuando es una longitud, de fuerza, y cuando sea un ángulo, tendrá dimensiones de momento.
tendrá unidades
A la expresión C se la suele llamar Ecuaciones de Lagrange de la Estática. De esta manera nos queda, para el primer miembro de A: ∑( ⃗ )
⃗
∑
Por otro lado, para el segundo miembro de A tendremos: ∑( ⃗⃗̇ )
⃗
∑( ⃗⃗̇ ) ∑
⃗
∑(
⃗̇ ) ∑
⃗
[
∑(
⃗ )] ∑
⃗
(2)
Pero también sabemos que:
[∑(
⃗) ∑
⃗
]
∑(
⃗̇ ) ∑
⃗
∑(
⃗)
∑
⃗
Despejando el primer término de la expresión anterior y remplazando en (2), tenemos: ⃗ ⃗ ∑( ⃗̇ ) ∑∑[ ( ⃗ ⃗ ) ⃗ ( )]
(3)
Tomando ahora la expresión B de las velocidades generalizadas y efectuándole la derivada primera con respecto a una coordenada cualquiera (pues después haremos la suma para k coordenadas) obtenemos: ⃗ ⃗ ̇
Por otro lado, la derivada del último término de la (3) resulta ser
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[ECUACIONES DE LAGRANGE] Mecánica Analítica ⃗
⃗
⃗
Remplazando las últimas dos expresiones en (3): ⃗̇ )
∑(
∑∑[
⃗
(
⃗ ) ̇
⃗
⃗
⃗
]
Advertimos además que: ̇
∑(
∑(
Como ∑ (
(
⃗
⃗)
(
⃗
⃗)
⃗̇ )
∑∑[
⃗
⃗̇ )
∑[
⃗
⃗ ̇ ⃗
(
(
⃗
⃗
⃗
⃗
( ̇
̇
⃗ ̇ ⃗
∑(
⃗
⃗
⃗ ))
⃗
⃗ ̇
⃗
(
))
∑(
⃗ )]
⃗
)]
) denota la energía cinética “T”, se tendrá: ∑(
⃗̇ )
∑[
⃗
( ̇
]
)
Rescribiendo por ultimo la expresión A: ∑
∑[
( ̇
]
)
Reordenando: ∑[
(
( ̇
)
)]
Debido a que los desplazamientos virtuales serán distintos de cero y además linealmente independientes entre si, para que se cumpla la última expresión, deberá verificarse: ( ̇
)
D
A las D se las conoce como Ecuaciones de Lagrange de la dinámica. Válidas para cualquier sistema holónomo. Aarón José Soutadet – Ecuaciones de Lagrange- Mecánica analítica- Ing. Civil.
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[ECUACIONES DE LAGRANGE] Mecánica Analítica Además si las fuerzas pueden considerarse provenientes de un potencial escalar V (Sistemas conservativos), podemos escribir: ⃗ ∑⃗
⃗
∑
⃗
∑(
)
∑
(En donde la suma de Vi = V) Remplazando ahora en la D, se tendrá: ( ̇
)
Podemos escribir por lo tanto: (
)
(
)
̇ Por otro lado, como la energía potencial es independiente de la velocidad, la podemos introducir dentro del primer término de la expresión anterior resultando: ( ) ( ) ( ) ̇ Definimos ahora la función L (lagrangiano)* como L = T – V pudiendo escribir finalmente: (
) ̇ A las E se las conoce como Ecuaciones de Lagrange para sistemas conservativos.
E
(*Nota: Se puede demostrar que el lagrangiano no goza de unicidad.)
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