UNIVER UNI VERSID SIDAD AD NACIONAL DE CAJ CAJA A MA MARCA RCA FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL PROFESIONAL DE INGENIERI INGENIERIA A HIDRAUL HIDRAULICA ICA CICLO ACADEMICO 2017-I
CINÉTICA DE UNA PARTICULA Segunda Ley del Movimiento
CINÉTICA CINÉTIC A DE UN PUNTO PUNTO MATERIA MATERIAL L 0. INTRODUCCION 1. Cinética.- Parte de la Mecánica que estudia las relaciones existentes entre las fuerzas que actúan sobre una partícula y su movimiento, dado por la Segunda Ley del Movimiento o Segunda Ley de Newton; Así, tenemos: tenemos:
F
ma
d
d t
p
Donde: m es la masa de la part rtíícula la,, co con nsid ideerad adaa consta tan nte par araa velocidades pequeñas ( v << c).
2. Como en la Cinemática se ha estudiado la aceleración en diferentes sistem sist emas as de co coor orde dena nada dass re refe feren rencia ciale les, s, la fu fuerz erzaa pu pued edee exp expres resar arse se en coordenadas: cartesianas, intrínsecas, polares, cilíndricas, esféricas, etc.
CINÉTICA CINÉTIC A DE UN PUNTO PUNTO MATERIA MATERIAL L 0. INTRODUCCION 1. Cinética.- Parte de la Mecánica que estudia las relaciones existentes entre las fuerzas que actúan sobre una partícula y su movimiento, dado por la Segunda Ley del Movimiento o Segunda Ley de Newton; Así, tenemos: tenemos:
F
ma
d
d t
p
Donde: m es la masa de la part rtíícula la,, co con nsid ideerad adaa consta tan nte par araa velocidades pequeñas ( v << c).
2. Como en la Cinemática se ha estudiado la aceleración en diferentes sistem sist emas as de co coor orde dena nada dass re refe feren rencia ciale les, s, la fu fuerz erzaa pu pued edee exp expres resar arse se en coordenadas: cartesianas, intrínsecas, polares, cilíndricas, esféricas, etc.
1. LEY DE NEWTON EN COORDENADAS CARTESIANAS
F R
ma
F x i F y j F z k m a x i a y j a z k
i
i
i
Así, tenemos: F x
F y
F z
ma x
ma y
ma z
m
d vx d t
m
m
2
d vz dt
2
d t 2
dv y dt
m
d x
m
d y 2
dt 2
m
d z dt
2
2. MOVIMIENTO RECTILINEO Si, la fuerza resultante que actúa sobre una partícula tiene la misma dirección y línea de acción durante todo el tiempo; dicha part pa rtíc ícul ulaa es esta ta ob obllig igad adaa a mo move verrse sob obrre un unaa líne neaa rec ecta ta y normalmente se denomina Movimiento Rectilíneo. Casos: A. Fuerza es constante constante ( F = constante constante ). B. Fuerza en función del del tiempo ( F = F(t) ). C. Fuerza en función de la rapidez ( F = F(v) ). D. Fuerza en función de la posición ( F = F(x) ).
2. MOVIMIENTO RECTILINEO A. FUERZA CONSTANTE ( F = Constante): F
ma
m
2
dv dt
m
d x 2
dt
Por condiciones iniciales: si, para t 0 = 0, tenemos: x = xo ^ v = vo
Se obtiene: v
x
F
t
m
F
t
v
C 1
2
2m
x
C 1t C 2
vo
xo
F m
t
vo t
F 2m
2
t
Caso particular: Caida Libre: F = W (peso) ^ a = g (aceleración de la gravedad) y
v
yo
vot
v
1 2
2
gt
gt
Por condiciones iniciales: si, y o= 0 ^ vo= 0 y
1
2
gt
2
v
gt
2. MOVIMIENTO RECTILINEO A. FUERZA CONSTANTE ( F = Constante):
Ejemplo 01.- Una partícula de 10 kg de masa se está moviendo en el seno de un campo de fuerzas constantes dado por: F 30i 40 j 50k ( N ) . Si se tiene que la partícula parte del reposo en la posición (3, 5, -4), determinar:
a) la posición y la velocidad de la partícula para el instante de tiempo t = 2 s; b) b) la posición cuando la partícula esté moviéndose con una rapidez de 15 2 (m / s)
2. MOVIMIENTO RECTILINEO A. FUERZA CONSTANTE ( F = Const.): Ejemplo 02.- El collarín de 4 kg de masa sube por la barra lineal con una rapidez de 2,0 m/s, en el instante en que se aplica una fuerza horizontal P a través de una cable horizontal. Si el coeficiente de fricción cinético entre el collarín y la barra es de 0,2; determinar la magnitud de la fuerza P para que el collarín duplique su rapidez al deslizarse 1,0 m de distancia.
2. MOVIMIENTO RECTILINEO B. FUERZA EN FUNCION DEL TIEMPO ( F = F(t)): F (t )
ma
Donde:
m
dt
2
d x
dt
2
v
2
dv
m
d x 2
dt
dx dt dt d
F (t ) m
Se obtiene:
F (t ) m
t
x t
t
F (t ) m
dt C 1
dt C 1 dt C 2
2. MOVIMIENTO RECTILINEO B. FUERZA EN FUNCION DEL TIEMPO ( F = F(t)):
Ejemplo 03.- Una fuerza en la dirección “x” dada por la relación F = 10sen6t (N) actúa sobre un cuerpo de 5 kg de masa. Si cuando t = 0 s el cuerpo tiene una velocidad de 3 m/s y está en la posición x = 0 m, ¿Cuál es la posición alcanzada por el cuerpo a partir del origen cuando t = 4 s?. Hacer la curva desplazamientotiempo.
2. MOVIMIENTO RECTILINEO B. FUERZA EN FUNCION DEL TIEMPO ( F = F(t)):
Ejemplo 04.- El collarín A de 1 lb esta inicialmente en reposo sobre la barra lisa horizontal mostrada. En t = 0 s, una fuerza F 1 t 2 i 1 t j 1 t 3 k (lb) se aplica al 20 10 30 collarín, ocasionando que éste se deslice a lo largo de la barra. Determine la velocidad del collarín cuando éste llega al extremo derecho de la barra.
2. MOVIMIENTO RECTILINEO C. FUERZA EN FUNCION DE LA VELOCIDAD ( F = F(v)): F
ma
Donde:
m
dt 2
d x 2
dt
2
dv
m
dt
2
dt
F (v )
dv
d x
m
Se obtiene: dv
F (v) v
x
1 m
t C 1
Ecuación: t = t(v), lo cual es mejor encontrar una ecuación de la forma: v = H (t , C 1)
H (t , C )dt C 1
2
2. MOVIMIENTO RECTILINEO Ejemplo 05.- Un avión de carreras aterriza a una velocidad de 100 m/s cuando se despliega un paracaídas de freno. Este paracaídas tiene un área frontal de 30 m 2 y un CD = 1,2 . El avión tiene un área frontal de 20 m2 y un CD = 0,4. Si el avión y el paracaídas tienen una masa conjunta de 8 Mg, ¿Cuánto se tardará en reducir su velocidad de 100 m/s hasta 60 m/s simplemente rodando? Considérese ρaire = 1,2475 kg/m3 e ignórese la resistencia al rodamiento de los neumáticos, y que no hay viento. En el área de Mecánica de Fluidos, se conoce como la resistencia al avance D de un cuerpo a través de un fluido cuya densidad de masa es ρ viene dada por ½CDρv2 A, donde v es la velocidad del cuerpo relativa al fluido, A es la superficie frontal del objeto, y C D es el denominado coeficiente de resistencia al av ance (drag) que se determina, normalmente, mediante experimentación.
2. MOVIMIENTO RECTILINEO D. FUERZA EN FUNCION DE LA POSICION ( F = F(x)): F
ma
m
Donde:
2
dv dt 2
m
d x 2
dt
m
m
d x 2
dt dv dt
F ( x )
Se obtiene:
2 v F ( x ) dx C 1 m x t
x
1 2
dx
2
m
x
F ( x ) dx C 1
1
2
C 2
2. MOVIMIENTO RECTILINEO Ejemplo 06.- El rozamiento (μ=0,10) y un resorte lineal (k=365N/m) oponen resistencia al movimiento del bloque A (P=3580N). Si se suelta el bloque partiendo del reposo con el resorte indeformado, determinar, durante la primera fase del movimiento hacia abajo del plano inclinado: a) el desplazamiento máximo del bloque a partir de su posición de reposo, b) la velocidad del bloque cuando se halle a 4,5 m de su posición de reposo, c) el tiempo que emplea el bloque en llegar a 4,5 m de su posición normal.
2. MOVIMIENTO RECTILINEO.- Aplicaciones Ejemplo 07.- Los bloques A y B tienen pesos de 150 N y 250 N,
respectivamente, y están unidos por una cuerda según se indica en la figura. Los coeficientes de rozamiento cinético valen 0,35 para el bloque A y 0,15 para el bloque B. Durante el descenso de los bloques por el plano inclinado, determinar: a) la aceleración del bloque B, b) la tensión en la cuerda.
2. MOVIMIENTO RECTILINEO.- Aplicaciones Ejemplo 08.- Se tienen los bloques A y B, de 250 N y 225 N de pesos. Si el coeficiente cinético de rozamiento µ k = 0,2 para el cuerpo B y el sistema se libera partiendo del reposo. Durante el movimiento de los cuerpos, determinar: a) la aceleración del cuerpo A, b) la tensión en la cuerda, c) la distancia recorrida por el cuerpo B durante los primeros 5 s de movimiento.
3. MOVIMIENTO CURVILINEO 3.1. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO: COORDENADAS CARTESIANAS
F ma
m(a x i
Donde: F x
ma x
m
dv x dt
F y
ma y
m
F z
ma z
m
dv y dt dv z dt
a y j
a z k )
3. MOVIMIENTO CURVILINEO.- Aplicaciones Ejemplo 09.- Una esfera de 5 kg está unida a una barra vertical
mediante dos hilos, según se indica. Cuando el sistema gira en torno al eje de la barra, los hilos se tensan según se indica, determinar las tensiones de los dos hilos cuando la velocidad angular del sistema es ω = 5 rad/s
3. MOVIMIENTO CURVILINEO 3.2. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO: COORDENADAS NORMAL Y TANGENCIAL
F ma
m( at
Donde: F T
F n
maT
ma n
m
dv dt
m
v
2
an )
3. MOVIMIENTO CURVILINEO 3.2. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO: COORDENADAS NORMAL Y TANGENCIAL
Ejemplo 10.- Un péndulo de 6 m de longitud se mueve en un plano vertical, de tal forma que, en la posición representada en la figura , la tensión en la cuerda es 2 veces el peso de la masa pendular. Determinar para la masa suspendida: a) las componentes tangencial y normal de la aceleración en dicha posición, b) la velocidad correspondiente.
0 37º
L m
Trayectoria
3. MOVIMIENTO CURVILINEO 3.2. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO: COORDENADAS NORMAL Y TANGENCIAL
Ejemplo 11.- Una esfera de 3 kg se desliza por una varilla que está curvada en el plano y
8
vertical 1
2
2
x
y
cuya
forma
puede
estar
descrita
por
la
ecuación
, donde x e y se expresan en metros. Cuando x = 2 m, la esfera se
mueve a lo largo de la varilla con celeridad de 5 m/s que está aumentando a razón de 3 m/s2. determinar las componentes normal (Fn) y tangencial (Ft) de la fuerza que ejerce la varilla sobre la esfera en ese instante.
3. MOVIMIENTO CURVILINEO 3.2. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO: COORDENADAS NORMAL Y TANGENCIAL
Ejemplo 12.- Una esfera que pesa 15 N se desliza por una varilla contenida en un plano vertical y cuya forma queda descrita por la ecuación x 2 2,4 , y donde x e y se miden en metros. Cuando la esfera se halla en el punto (-2,4 ; 2,4), indicado, se mueve a lo largo de la varilla con una celeridad de 4,5 m/s, disminuyéndola a razón de 0,9 m/s2. Determinar las componentes normal y tangencial de la fuerza que en ese instante ejerce la varilla sobre la esfera.
x
2
2,4 y
3. MOVIMIENTO CURVILINEO 3.2. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO: COORDENADAS NORMAL Y TANGENCIAL
Ejemplo 13.- El bloque B de 0,50 kg, se mueve por una guía circular lisa contenida en un plano vertical, según se indica en la figura. Cuando el bloque se halla en la posición representada, su celeridad es de 20 m/s hacia arriba y la izquierda. Si la longitud natural del resorte (k = 25 N/m) es de 30 cm, de terminar la aceleración del bloque y la fuerza que sobre él ejerce la superficie de la guía.
3. MOVIMIENTO CURVILINEO 3.2. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO: COORDENADAS NORMAL Y TANGENCIAL
Ejemplo 14.- Si cuerpo de 2 kg pasa por el punto B en la cima del tramo de la pista circular de su trayectoria con una celeridad de 2 m/s. Calcular: a) la intensidad de la fuerza que hace la pista sobre el cuerpo en B, b) la máxima celeridad con que el cuerpo podría pasar por B sin perder contacto con la pista.
3. MOVIMIENTO CURVILINEO 3.2. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO: COORDENADAS NORMAL Y TANGENCIAL
Ejemplo 15.- La barra OA rota alrededor de un eje horizontal que pasa por O animado de una velocidad angular constante antihoraria de 3 rad/s. Cuando pasa por la posición θ = 0, se le coloca un pequeño bloque de masa “m” a una distancia radial r = 45 cm. Si se observa que el bloque resbala para θ = 50º, calcular el coeficiente de rozamiento estático μ e entre el bloque y la barra.
3. MOVIMIENTO CURVILINEO 3.2. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO: COORDENADAS NORMAL Y TANGENCIAL
Ejemplo 16.- Un cuerpo de pequeñas dimensiones entra en el punto más alto A de la pista circular con una celeridad Vo y aumenta desciende por ella. Hallar la expresión del ángulo β hasta la posición en que dicho cuerpo abandona su trayectoria y se convierte en un proyectil. Desperdiciar el rozamiento y tratar el cuerpo como una partícula.
3. MOVIMIENTO CURVILINEO 3.3. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO: COORDENADAS POLARES
F
ma
m(ar
2 F m r r u r
a )
r u 2r
Donde:
F r
F
mar
mr r
ma
2
m 2r r
3. MOVIMIENTO CURVILINEO 3.3. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO: COORDENADAS POLARES Ejemplo 17.- La barra OA está girando en el plano horizontal con una
5rad / s , mientras el collarín C de velocidad angular constante 2 lb se está moviendo a lo largo de la barra con rapidez constante de , determine la r 10 pu lg/ s . Si en ese instante r 4 pu lg magnitud de la fuerza horizontal ejercida por la barra sobre el collarín
3. MOVIMIENTO CURVILINEO 3.3. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO: COORDENADAS POLARES Ejemplo 18.- El perno A con peso de 1 lb se desliza a lo largo de la guía horizontal fija al girar el brazo OB alrededor del punto O. Si 2 rad / s y y 0,3 rad / s 2 cuando 40º , determinar la magnitud de las fuerzas que ejercen sobre el perno la guía horizontal y el brazo OB en ese instante; desprecie la fricción.
3. MOVIMIENTO CURVILINEO 3.3. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO: COORDENADAS POLARES Ejemplo 19.- La figura muestra dos collarines conectados entre si. Uno
de ellos está obligado a moverse a lo largo de una guía circular por medio de un pasador. En el instante que se muestra, cuando t 0 = 0 s, y0 = 150 mm, v 0y = 300 mm/s y a 0y = 0 mm/s2; determinar las magnitudes de las fuerzas que ejercen la guía circular y el brazo horizontal sobre el collarín A de 0,4 kg de masa; desprecie toda fricción.
3. MOVIMIENTO CURVILINEO 3.3. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO: COORDENADAS POLARES Ejemplo 20.- Un péndulo de 6 m de longitud se mueve en un plano vertical, de tal forma que, en la posición representada en la figura , la tensión en la cuerda es 2 veces el peso de la masa pendular. Determinar para la masa suspendida: a) la velocidad y b) aceleración en dicha posición.
3. MOVIMIENTO CURVILINEO 3.3. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO: COORDENADAS POLARES Ejemplo 21.- Un cuerpo esférico pequeño de masa “m” se libera estando la cuerda bién tensa y θ = 30º. Encontrar la tensión en la cuerda durante el movimiento resultante. (figura adjunta).
3. MOVIMIENTO CURVILINEO 3.2. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO: COORDENADAS POLARES Ejemplo 21.-
SOLUCION: Hipótesis:
0
u
θ
r
L
Eje Transversal (-)
T m
1. La cuerda es inextensible. 2.
“L”, longitud de la cuerda constante.
u
Respuesta:
θ
mg
(+)
Eje Radial (+)
T
mg 3sen 1
3. MOVIMIENTO CURVILINEO 3.3. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO: COORDENADAS POLARES Ejemplo 22.- El carrete S de 2 kg se ajusta con holgura en la barra inclinada cuyo coeficiente de friccion estàtica es μe = 0,2. Si el carrete està ubicado a 0,25 m del punto A, determinar el valor de la rapidez máxima y minima constante que puede tener para que no resbale por la barra.
3. MOVIMIENTO CURVILINEO 3.3. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO: COORDENADAS POLARES Ejemplo 23.- Una masa de 2 kg descansa sobre una barra plana horizontal. La barra comienza a girar en el plano vertical alrededor de O con una aceleración angular constante de 1 rad/s2. Se observa que la masa se desliza respecto a la barra cuando està 30º arriba de la horizontal. Determinar el coeficiente de rozamiento estatico entre la masa y la barra.
3. MOVIMIENTO CURVILINEO 3.4. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO: COORDENADAS CILINDRICAS
F
ma
m(ar
a
a z )
Donde:
F r
F
F z
mar
mr r
ma
ma z
2
m 2r r
m z
3. MOVIMIENTO CURVILINEO 3.4. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO: COORDENADAS CILINDRICAS Ejemplo 24.- Péndulo cónico, un pequeño cuerpo que, suspendido por un cable, lleva a cabo un movimiento circular con velocidad angular constante ω. Determinar: a) la velocidad angular que permite que ángulo que forman el cable de suspensión y la vertical sea θ, b) la tensión en el cable.
3. MOVIMIENTO CURVILINEO 3.4. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO: COORDENADAS CILINDRICAS Ejemplo 25.- Un bloque B está sostenido por una mesa giratoria, la
cual, partiendo del reposo, gira en tal forma que el bloque experimenta una aceleración tangencial constante a t = 4,5 pies/s 2. Si el coeficiente de rozamiento estático entre el bloque y la mesa giratoria es de 0,50; determínese: a) cuánto se tardará el bloque para empezar a deslizarse sobre la mesa y, b) la velocidad v del bloque en ese instante.
3. MOVIMIENTO CURVILINEO 3.4. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO: COORDENADAS CILINDRICAS
Ejemplo 25.- Un collarín de masa “m” recibe una velocidad inicial de módulo Vo sobre la guía circular horizontal hecha de una varilla delgada. Siendo μk el coeficiente de rozamiento cinético, hallar la distancia que recorre el collarín antes de detenerse. (recuérdese que la fuerza de rozamiento depende de solo de la fuerza normal total).
Respuesta:
3. MOVIMIENTO CURVILINEO 3.3. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO: COORDENADAS CILINDRICAS Ejemplo 26.- Un péndulo cónico consiste en una esfera que pesa 100 N sostenida por un hilo de 2,4 m de longitud que gira en torno a un eje vertical con una velocidad angular ω constante tal que mantenga el hilo formando un ángulo de 30º con la vertical. Determinar la tensión T en el hilo y la celeridad lineal v de la esfera.
3. MOVIMIENTO CURVILINEO 3.5. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO: COORDENADAS ESFERICAS Z
F ma
m(a R
a
u
a )
r
P
u
u
r
Donde:
F R
ma R
m R
2
R
2
R sen
2
Y
0
A
X
F
F
ma
ma
m 2 R sen R cos R sen
2
R sen cos ) R m( 2 R
