UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ÁLGEBRA LINEAL LINEAL (E-LEARNING)
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD UN AD
ÁLGEBRA LINEAL (E-LEARNING)
UNIDAD 1 – CICLO DE LA TAREA 1
Presentado a: CARLOS ANDRES VEGA CARDENAS Tutor
Entregado por: JHON EVER HERNANDEZ RIVEROS Código: 80065640
OSCAR IVAN PERDOMO OLARTE Código: 80216080
Grupo: 208046_193
OCTUBRE – 2017
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INTRODUCCIÓN Las matrices y los determinantes son herramientas del algebra que facilitan el ordenamiento de datos, y son llevados a la práctica mediante problemas hipotéticos, los cuales nos brindan la teoría aplicable en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales, además de las muchas aplicaciones en el campo de la física. Para comprender la finalidad y la aplicación de los Vectores, Matrices y Determinantes, el estudiante debe reconocer algunos aspectos que son fundamentales para abordar el estudio de la Algebra Lineal, por eso se presenta a través de ejercicios prácticos el afianzamiento de dichos conceptos.
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Desarrollo de la actividad
= , = , ∙
1. Se tiene los vectores
. Halle:
a) La magnitud y la dirección de cada vector respecto al eje x y represéntelo en una gráfica. b) El vector suma de
y el vector resta
c) El producto escalar
d) La proyección de u sobre v Solución.
Tenemos los vectores dados por el enunciado.
a)
=25 ; =34
La magnitud y dirección (con respecto al eje x positivo) de vectores en R 2 estarán dados por:
|| = ; =−
NOTA: Para el cálculo de la dirección, se debe primeramente saber en qué cuadrante está ubicado el vector dado, para saber si habrá que añadirle o no (o 180°) a la dirección calculada.
=25 ||= 5 2 =√ 2 54=√ 29≅5,39 =− 25≅21,8°
El signo negativo de la dirección lo que nos dice es que está por debajo del eje x positivo, lo que tendría sentido dado que el vector u se encuentra en el cuarto cuadrante. Por lo tanto, debemos restarle el valor obtenido a 360°
=360°21,8°=338,2°
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=43 ||= 3 4 =√ 9 16=√ 2 5=5 =− 43=− 43≅53,13° =53,1°180°=233,13°
Dado que el vector se encuentra en el tercer cuadrante, debemos sumarle que el vector quede con la dirección del eje x.
(o 180°) para
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b) Debemos encontrar los vectores suma y resta.
534] =62 =25 43=[2 =25 43=[25 34] =82
c) El producto escalar entre dos vectores nos dará un escalar.
∙=25 ∙43=5 ∙ 32∙4 ∙=158=7
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d) El ángulo entre los dos vectores estará dado por:
Despejando, nos queda qué:
∙=|| |∙cos =− |∙| | =− √ 279∙ 5 =− √ 279∙ 5≅105,1°
Reemplazando, teniendo en cuenta lo obtenido en literales anteriores, tenemos qué:
d) La proyección de u sobre v La fórmula para calcular la proyección de u sobre v, está dada por:
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= ∙|| ∙ = 725 ∙43 =01,,8142
Reemplazando, teniendo en cuenta lo obtenido en literales anteriores, tenemos qué:
2. Dadas las matrices:
= = = Calcule si es posible: a) A .B.C
b) Ct (2B-A) c) A 2, B 2, C2 Solución
21 32 . 14 20 109 46 . 13 23 14
a) A.B.C A.B=
=
(A.B).C=
b)
=
Debemos primero realizar las operaciones dentro del paréntesis para luego multiplicarlo con la matriz transpuesta de C. Operaciones dentro del paréntesis
2 =2∙14 20 21 32
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2 =28 40 21 32 0 3 2 =22 810 42 2 =7 63 =13 23 41 2 =13 23 ∙07 63 41 13 2 =34 21 ∙07 63 1 ∙0 3 ∙7 1 ∙3 3 ∙ 6 2 =34∙0 2∙ 7 3 ∙3 2∙ 6 ∙0 1 ∙7 4 ∙3 1 ∙ 6 318 2 =021 014 912 07 126 = , 2, 3 2 3 =1 2 . 1 2 = =14 20 . 14 20 = = 13 23 14 . 13 23 14 = Matriz transpuesta de C.
Efectuamos la multiplicación.
c)
No es posible realizar ésta operación, dado que el número de columnas la primera matriz C debe coincidir con el número de filas de la segunda matriz C.
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=
3. Sea la matriz:
Halle: a) El determinante b) La matriz inversa c) La matriz adjunta Solución.
2 4 2 = 44 31 32 a) El determinante
| | =1248824326=6 b) Para encontrar la matriz inversa, podemos utilizar la siguiente fórmula:
− = | 1| ∙( )
Dado que ya tenemos el valor del determinante de la matriz A, debemos ahora encontrar la matriz adjunta de A (que también es lo que nos piden en el punto C). La matriz cofactores estará dada en forma general por:
Donde
,
, =1+ ∙,
es la matriz que resulta al quitar a la matriz A la fila i y la columna j.
Definido lo anterior, procedemos a encontrar cada componente de la matriz adjunta de A.
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2 4 2 + , =1 ∙44 31 32=1∙3 ∙21∙3=63=3 2 4 2 + , =1 ∙44 31 32=1∙4 ∙24∙3=18 12=4 2 4 2 + , =1 ∙44 31 32=1∙4 ∙14∙3=412=8 2 4 2 + , =1 ∙44 31 32=1∙4 ∙21∙2=182=6 2 4 2 + , = 1 ∙44 31 32= 1 ∙ 2 ∙24∙2 =48=4 2 4 2 + , = 1 ∙44 31 32= 1 ∙ 2 ∙14∙4 = 1216 =14 2 4 2 + , = 1 ∙44 31 32= 1 ∙ 4 ∙33∙2 =126=6 2 4 2 + , = 1 ∙44 31 32= 1 ∙ 2 ∙34∙2 = 16 8 =2 2 4 2 + , =1 ∙4 3 3=1∙2 ∙34∙4=616=10 La matriz cofactores será:
412 3 4 8 =66 42 1014
Para la fórmula de la matriz inversa, se necesita la matriz adjunta, que será la transpuesta de la matriz de cofactores.
=( ) =
Reemplazando de la fórmula, tenemos que la matriz inversa de A será:
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− = | 1| ∙( ) − = 16 ∙ 34 64 62 8 14 10 6/6 6/6 − = 3/6 4/68/6 4/6 2/6 14/6 10/6 − = / // // // c) La matriz adjunta La matriz adjunta de A ya se encontró en el literal anterior.
=
4. Dado los puntos
, , y
4. Dados los puntos A(-3,5) y B(5,-6) a) ¿Qué coordenadas tiene el punto P que se encuentra en el eje y, que equidista de los puntos A y B en 4 unidades? Grafique dAP = dPB = 4 dAP= A(-3, 5) P(0, y)
d= x x y y dAP= 0 3 y5 dAP= 3 y 10y25 dAP= 9 y 10y25 dAP= y 10y34
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dPB= P(0, y) B(5, -6)
d= x x y y dPB= 50 6y dPB= 5 3612yy dPB= 25 3612yy dPB= 6112yy 1034= 6112 1034 = 6112 1034=6112 1012=6134 22=27 = 2722 =1.227 b) ¿Qué coordenadas del punto medio? Grafique
= + = + = 352 =1 = 5 26 = 12 = 0,5 , ,
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Grafica.
5. Calcule el valor de la inversa de la matriz dada, y compruebe su respuesta.
= − = | 1| . Solución.
Determinante
| | = =
Adjunta
Adjunta de la transpuesta
=
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Inversa
− = − . 2
7=−−
− −
Comprobación
. − 2 7 72 . − = 72. 72 72 72 + − − − −
−+ − − −
=
La multiplicación de A por la matriz inversa de A encontrada nos da la matriz identidad.
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CONCLUSIONES Como resultado del desarrollo de este trabajo hemos aplicado los conceptos vistos en la Unidad 1, cuyo contenido puntual es la solución de matrices, vectores y determinantes, y a través del mismo hemos ejecutado de manera exitosa todos los problemas planteados para la actividad, logrando así afianzar los conocimientos teóricos adquiridos a través del material bibliográfico.
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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Algebra Vectorial . (s.f.). Obtenido de Algebra Vectorial: https://es.slideshare.net/algvctse10/algebra-vectorial26963398 Matriz inversa (determinante, traspuesta y matriz adjunta o de cofactores) . (s.f.). Obtenido de Matriz inversa (determinante, traspuesta y matriz adjunta o de cofactores): https://www.youtube.com/watch?v=F3LRqwy7WAI Vitutor/algebra lineal . (s.f.). Obtenido de Vitutor/algebra lineal : http://www.vitutor.com/algebralineal.html
