TRILCE
Capítulo
15
CERTEZAS - MÁXIMOS Y MÍNIMOS CERTEZAS
INTROD UCCIÓN UCCIÓN E n una com compete petenc ncia ia de habilid habi lid ad m ental, se se presentaron 3 concur concurs santes : Juan C arlos, arlos, M artha y G ari. ari . L a competenci competenci a consistía istía en indicar ind icar cuántas veces veces como om o m íni mo habría que extraer una bola para pa ra tener la segurid eguridad ad de contar por po r lo menos con con una bola roja roj a sabi sabi endo que en la bols bo lsa había hab ían n 10 bolas bo las rojas roj as,, 7 negras y 8 verdes. *
hábi l e inteligente, inteligente, contestó rápidam rápi dam ente sin pens p ensar 1. P ues di jo que con suert suerte e la primera prim era bola Juan Carlos : N iño hábil extraída puede ser roja.
*
seria y metódi metód i ca, contestó contestó 3; pues p ues di j o que la pri mera y segunda segunda pueden se serr de colo colores res di stintos ti ntos y la Mart ha : N i ña seria tercera ya puede ser roja.
*
m ás gordi to de los lo s tres, pícaro, pí caro, pero p ero no menos meno s i nteligente, nteli gente, contestó contestó 16; a lo que los otros concurs concursantes se G a r i : E l más rieron; pero G ari les dijo di jo que si si suponía uponí a que q ue prim ero sali salieran eran las bolas de colores di ferentes ferentes al roj o estas serían 15 y que después con toda seguridad la siguiente sería roja.
¿Q ¿Q uié ui é n cree Ud, que tenía la razón y ganó el concurso? concu rso? Ejemplo 1 a) .... un naipe naipe de color olor rojo? rojo? E n una urna depositamos depositam os 8 esferas blancas, blancas, 7 roj as y 9 azules. C uantas uanta s esferas habrá que qu e extraer extraer al azar y como
b) ... . dos naipes naipes de diamante diamantes s?
mínimo para tener la certeza de haber extraído ... c) a) U n par del del mismo color color.
.. .. tres tres naipes naipes de espadas?
d) .. .. dos diamantes di amantes y tres tres corazones orazones? e) .. .. una una espada y cuat cuatro ro tréb trébole oles s?
b) Por lo menos uno de cada color color..
Ejemplo 3 c)
Tres azul azules es.
En una caja depositam depositam os 50 es esferas, numeradas del 1 al 50. ¿C uántas esferas habrá que q ue extraer al azar y com como o m íni mo para tener la certeza de haber sacado ...
d) U n color color por completo ompleto.. a) .. . una es esfera fera con con numer numerac ación ión par? e) U na azul y tres tres rojas. rojas.
b) .. . una esfer esfera a que utilice la cifra cifra 5 en su numerac numeració ión? n? c)
Ejemplo 2 Se tiene una una baraja baraj a de naipes nai pes ( 52 naipes, 13 de cada cada palo) .
.. .. dos es esferas cuya numerac numeración ión esté estén n com com prendida prendida s entre 30 y 40?
d) .. .. tres tres esferas feras múltiplos de 6?
¿C uántas cartas se deberán deberán extraer al azar azar y com como o míni m íni mo para tener la certeza de haber extraído ...
e) .. .. una esfera fera cuy cuya a numeración ió n no no sea mayor que 10?
17 7
R az. M atemático
M Á X I M O S Y M ÍN I M O S
INTRODU CCIÓN L uis le dice a M athías : "E n el bolsillo de mi pantalón hay 20 monedas de un sol y 10 monedas de 5 soles". Ve y extrae monedas de él, hasta que salga una moneda diferente a la que extraíste anteriormente y el dinero que salga será para ti. *
¿Cuál es la mínima cantidad de dinero que puede tener M athías?
*
¿Cuál es la máxim a cantidad de dinero que puede tener M athías?
M uchas veces un ejercicio puede tener, según los datos planteados, varias respuestas en un rango de valores, lo cual puede llevar a pedir una solución máxima o una mínima.
Pro blemas de pesos y costos
1. Si un ki lo de naranja contiene desde 4 hasta 8 naranjas, ¿C uál es el mayor peso que puede tener 4 docenas de naranjas?
3. Se compran libros que cuestan desde S/. 10 hasta S/. 20 c/u, y se venden a precios que varían desde S/. 25 hasta S/. 35. Si se venden 10 libros, ¿C uál es la ganancia máxi ma? ¿C uál es la ganancia mí nima?
Resolución:
Resolución:
Pr obl emas de operaci on es ari tm é ti cas 2. Si una bolsa de caramelos contiene desde 50 hasta 60 caramelos, ¿C uál es la m enor cantidad d e bolsas que debo adquirir, si deseo comprar 600 caramelos?
Resolución:
1. El número 143 se divi de en 2 números de dos dígitos cada uno. Si uno de ellos es el menor posible, ¿C uál es éste?
Resolución:
Not a impor tante: G anancia = Precio de venta Precio de costo En la relación anterior: *
L os valores máxi mo y mínimos de ganancia se obtienen: G anancia = Precio de venta Precio de costo máxima máximo mínimo G anancia = Precio de venta Precio de costo mínima mínimo máximo
17 8
2. U n banco tiene 7 sucursales en una ci udad y hay 70 empleados en ellas. Si ninguna oficina ti ene menos de 8 empleados, ni m ás de 14, ¿C uál es el menor número de empleados que puede haber en 6 oficinas?
Resolución:
TRILCE
3. Si " A " tiene un valor entre 4 y 5; y "B " tiene un valor entero entre 20 y 40, ¿entre qué valores estará
B ? A
Ejemplo de color ación de mapas: Pili desea pintar el siguiente mapa de modo que no existan 2 zonas conti guas ( con un lado común) del mi smo color,
Resolución:
¿C uál es el menor número de colores que ella deberá utili zar?
Pro blemas diversos Resolución: Ejemplo de caminos: L a figura muestra una red de cami nos medi ante la cual se desea ir de a "A " a " B" con no más de 3 paradas intermedias en otras ciudades. Si los números representan los dí as que demora ir de una ciudad a otra, ¿C uál es el menor número de días que tomará ir de "A" a "B? 9
C
F 1
2 3
A
5
B
6 1
4
5 D
5
E
2
G
Resolución:
17 9
R az. M atemático
EJERCICI OS PROPU ESTOS Enunciado I D e un juego de naipes ( 52 naipes, 13 de cada palo) , ¿cuántas hay que extraer como mínimo para tener la certeza de
10.
... tres esferas comprendidas entre 80 y 110, que sean impares?
haber obtenido ... 01. ... un naipe de color negro? a) 1 d) 27
b) 2 e) 25
a) 91 d) 100
b) 94 e) 108
c) 96
c) 266
E n u n c i ad o I I I D entro de una urna depositamo s 6 esferas blancas, 8 ne-
02. ... dos naipes de trébol?
gras, 12 roj as y 15 amari llas.
¿C uántas esferas se deben
extraer al azar y como míni mo para tener la certeza de haber a) 39 d) 42 03.
b) 40 e) 43
c) 41
.. . tres naipes pares de color negro? a) 40 d) 43
b) 41 e) 44
c) 42
04. .. . dos corazones y 1 diamante? a) 40 d) 43 05.
b) 41 e) 44
c) 42
.. . tres espadas y 2 tréboles? a) 40 d) 45
b) 42 e) 41
c) 43
Enunciado II
obtenido ...
11. .. . un par de uno de los colores? a) 2 d) 5
b) 4 e) 8
c) 6
12. .. . cinco esferas rojas? a) 16 d) 34
b) 30 e) 33
c) 32
13. .. . dos negras y tres amari llas? a) 29 d) 35
b) 30 e) 33
c) 32
14. .. . dos blancas y cuatro rojas?
D entro de una urna depositamos 120 esferas numerad as del 1 al 120, ¿cuántas esferas hay que extraer como mínimo para tener la certeza de haber obtenido ...
06.
.. . una esfera con numeración que termine en cero? a) 12 d) 109
b) 100 e) 110
c) 108
07. .. . una esfera de cifras iguales? a) 109 d) 111
b) 100 e) 108
c) 110
09.
b) 61 e) 103
b) 35 e) 36
c) 37
15. .. . por lo menos una de cada color? a) 32 d) 38
b) 34 e) 37
c) 36
16. D entro de una urna depositamo s 12 esferas rojas, 15 blancas, 20 negras, 36 azules y 52 verdes, ¿cuántas esferas hay que sacar como mínimo para estar seguro de haber extraído 12 de uno de los colores?
08. .. . una esfera con numeración par? a) 60 d) 80
a) 33 d) 39
a) 50
b) 55
d) 102
e) 58
c) 56
c) 70 17. C esitar tiene en una urna 12 fichas numeradas del 1 al
.. . dos esferas cuya numeración estén comprendidas entre 50 y 70?
12, ¿cuál es el mínimo número de fichas que ha de extraer para tener la certeza de haber obtenido 3 fichas numeradas consecutivas?
a) 99 d) 105
18 0
b) 101 e) 102
c) 103 a) 2
b) 4
d) 7
e) 9
c) 6
TRILCE
18. En una bolsa hay 9 bolas blancas, 8 bolas rojas, 12
a) 2
b) 3
bolas azules, ¿cuántas bolas como mí nim o se deben
d) 5
e) 6
c) 4
extraer al azar para tener la certeza de haber obtenido 3 bolas del mismo color?
24.
L a figura muestra una red de cami nos mediante la cual se va de A a B pasando a lo m ás una vez por las otras
a) 7
b) 6
d) 22
e) 21
c) 12
ci udades.
Si los números representan los dí as que
demora ir de una ciudad a otra. ¿Cuál es la diferencia entre el máximo y el mínimo número de días que se
19. Se tiene un mazo de 52 cartas ( 13 de cada palo) ,
tomará ir de A a B ?
¿cuántas cartas hay que sacar como mínimo para estar
9
seguro de haber obtenido una carta con numeración par y de color rojo? a) 38
b) 27
d) 41
e) 42
1
12
4
A
c) 40
5
3
3
4
2
B
10
20. U na urna contiene 18 bolas negras, 14 rojas y 17 blancas, la menor cantid ad que debe sacarse para obtener al menos una de cada color es :
21.
a) 35
b) 31
d) 38
e) 36
c) 29
25.
a) 5
b) 6
d) 8
e) 9
c) 7
D os ki los de manzanas contienen desde 20 hasta 35 manzanas, ¿cuál será el mínim o peso que tendrá 140 manzanas?
En un juego de tiro al blanco, ¿cuánta es la diferencia entre lo máximo y mínimo que se puede obtener con 3 tiros si cada zona permite un máximo de 2 tiros, si los disparos deben dar en el tablero?
a) 8 kg
b) 8,5 kg
d) 12 kg
e) 16 kg
c) 9 kg
26. Pepe dispone de pesas de 1, 2, 4, 8, 16, etc. kg cada una. Si él desea equilibrar un peso de 341 kg utili zando el mínim o número de pesas posibles,
¿cuál o cuáles
de las siguientes afi rmaciones son verdaderas?
10 9 8 7 5 1
I.
Pepe debe utilizar 4 pesas en total.
II.
L a pesa de 4 kg es parte de la solución.
II I. L a pesa de 8 kg es parte de la solución.
a) 25 d) 24
b) 22 e) 36
c) 20
Se compran camisas cuyo precio unitario varía desde S/. 12 hasta S/. 21 y se vende cada una a un precio que varía desde S/. 18 hasta S/. 25. ¿Cuál es la máx im a gananci a que se puede obtener por la v enta de 3 cami sas? a) S/. 18 d) S/. 45
23.
b) S/. 12 e) S/. 16
c) S/. 39
D ados 9 rectángulos como muestra la figura, ¿cuál es el mínimo número de colores a emplear de modo que no se tengan dos rectángulos pintados del mismo color juntos?
b) Sólo II
c) I y II
d) II y III
e) Todas 27.
22.
a) Sólo I
Si un kilo de naranjas contiene desde 6 hasta 8 naranjas, ¿cuál es el mayor peso que pueden tener 4 docenas de naranjas?
28.
a) 6 kg
b) 7 kg
d) 10 kg
e) 16 kg
c) 8 kg
Tres naranjas pesan desde 3 hasta 4,8 K g. ¿C uál es el máximo número de naranjas que puede haber en 12 K g? a) M enos de 40
b) Entre 40 y 50
c) Entre 50 y 60
d) Entre 60 y 70
e) M ás de 70
18 1
R az. M atemático
29. U n tablero de aj edrez consta de 64 casilleros, como muestra la fi gura. Si el caballo puede mo verse 3 casilleros por vez (2 en lí nea recta y el tercero hacia un costado pero no en di agonal) , ¿cuál es el mí ni mo número de movimientos que requiere el caballo para pasar del casillero G
1
3
2
al G
3
4
4
?
5
longitud de un estante en el cual quepan todos sus libros, si por los menos hay uno de cada espesor? a) T
b) Ty x
c) Ty y + x
d) T x x + y
e) T x1543.
6
7
8
A B C D E F G H
35. U n grupo de 456 personas va a elegir un presidente. Si se presentan 5 candi datos para el puesto, ¿cuál es el menor número de votos que puede obtener uno de ellos y obtener así más que cualquiera de los otros 4? a) 90
b) 229
d) 24
e) 16
36. ¿C uál es el máxi mo valor de la siguiente expresión?
R a) 1 d) 4
c) 92
b) 2 e) 5
2
1 ( x 1) ( x 3)
c) 3
30. U na caja d e manzanas contiene desde 30 hasta 40 frutas. Si el precio de compra varí a desde 8 y 12 soles por caja y se pueden vender desde 15 hasta 25 soles la caja, ¿cuál será la máxima ganancia a obtener por la venta de 120 manzanas?
2
a) 1
d)
1 2
b) 2
c)
2
2 3
e) 0
37. U na caj a de naranja s contiene desde 20 hasta 25
31.
a) 60
b) 72
d) 62
e) 68
c) 51
soles por caja y el precio de venta varía entre 20 y 25
U n vaso de yogurt contiene, según la marca, desde 20 hasta 35 calorías.S i la di eta de M aría le permi te desayunar sólo yogurt, en una cantidad de 140 calorías, ¿cuál será lo máximo que ella gastará si cada vaso cuesta desde 1, 7 hasta 3, 5 soles? a) 20, 5
b) 24, 5
d) 28
e) 25
unidades. Si el precio de compra varía entre 10 y 15
c) 22
soles por caj a,
¿cuál será la máxi ma gananci a a
obtenerse por la venta de 100 naranjas? a) S/. 50
b) S/. 60
d) S/. 80
e) S/. 10
38. ¿C uál es el máximo valor que puede alcanzar la expresión?
M
32. Si dos números suman 1, ¿cuál será el máxim o valor que puede tener su producto?
a) 1
d)
1 2
7 b) 8 e)
c) S/. 75
1 c) 4
1 8
50 5 (x
a) 20
b) 10
5 3
e) 16
d)
5)
2
c) 5
39. ¿C uántas veces hay que ti rar un dado para tener la seguridad de haber obtenido 10 veces la misma cara?
33.
A l adquirir cierto vehículo, un comprador recibe 5 llaves, a saber: de la puerta, el encendido, la guantera, la maletera, el tanque de gasoli na, ¿cuántas veces tendrá que probar las llaves como mínimo para saber con certeza la correspondencia entre llaves y chapas? a) 5
b) 15
d) 8
e) 14
c) 10
34. K arina tiene una colección de libros de "T " tomos. Si el más ancho tiene "x" cm, de espesor y el más delgado tiene " y" cm de espesor, ¿cuál debe ser la mí ni ma
18 2
a) 54
b) 53
d) 55
e) 50
c) 52
40.Se tiene 4 candados y 2 llaves; si sé que cada llave abre sólo un candado, ¿cuántos intentos como m ínim o se debe realizar, para determinar con seguridad la llave correspondiente? a) 4
b) 5
d) 7
e) 8
c) 6
TRILCE
41.
D entro de una urna depositamos caramelos de lim ón,
47.
En una urna hay fichas rojas, blancas y azules, si las
caramelos de naranja y caramelos de licor, y la suficiente
roj as son 48 y éstas son 16 veces las blancas, siendo
cantidad de cada tipo,
las azules a las blancas como 5 es a 1, ¿cuántas fichas
¿cuántos caramelos se deben
extraer como mínimo para tener la certeza de haber
habrá que extraer al azar y como mínimo para obtener
sacado un par de caramelos del mismo sabor?
un color por completo?
a) 2
b) 3
a) 63
b) 65
d) 5
e) 6
d) 64
e) 67
c) 4
42. E n una caja hay 10 pares de guantes utilizables de
48.
c) 62
Se forma un cubo soldando 12 pedazos de alambre de
color negro y 10 pares de guantes utilizables de color
3 cm de longitud cada uno. Si una hormiga parte de
roj o, ¿cuántos guantes hay que sacar, para estar seguro
uno de los vértices y sigue caminando a lo largo de las
de obtener un par de guantes utili zables del mismo
aristas, ¿cuál es la máxi ma distancia que puede recorrer
color?
antes que vuelva a tocar un vértice por segunda vez, si no puede recorrer una arista dos veces?
43.
a) 3
b) 16
d) 20
e) 21
c) 38 a) 24 cm
b) 21 cm
d) 15 cm
e) 12cm
c) 18 cm
Se tiene 3 cajas, en una hay 6 esferas blancas, 6 esferas roj as y 6 esferas negras. En otra, hay 6 conos blancos,
49.
D entro de una caja depositamo s 120 bolas numeradas
6 conos rojos y 6 conos negros, y en la tercera caja hay
del 1 al 120, ¿cuántas hay que extraer como mínimo,
6 cubos blancos, 6 cubos rojos y 6 cubos negros, ¿cuál
para obtener 1 bola con numeración impar y múltiplo
es el menor número de objetos que se deben extraer
de 3, comprendida entre 30 y 50?
de las tres cajas para tener la certeza de haber extraído necesari amente entre ellas un par de esferas, un par de
a) 117
b) 118
conos y un par de cubos, todos del mismo color?
d) 101
e) 119
a) 10
b) 11
d) 13
e) 14
c) 32
c) 110
50. U na bolsa contiene caramelos: 20 de lim ón, 15 de naranja, 18 de manzana y 12 de piña. ¿Cuántos caramelos hay que extraer al azar para tener la seguridad
44.
Se tiene 120 fichas numeradas del 1 al 120, ¿cuántas
de obtener por lo menos 4 de cada sabor?
fichas se deben extraer para tener la certeza de contar con 2 fichas que tengan 2 dí gitos y que estos dos dí gitos
a) 48
b) 57
sean i guales?
d) 37
e) 28
a) 112
b) 111
d) 113
e) 109
c) 114
51.
c) 17
En una urna hay 160 bolas, por cada 3 bolas blancas hay 20 negras y 17 roj as. ¿C uántas bolas se deben extraer al azar y como mínimo para tener la certeza de
45.
U n dado tiene 2 caras pintadas de color azul; 3 caras
haber obtenido dos negras y 3 rojas?
pintadas de rojo y una cara de negro. ¿C uál es el míni mo número de veces que debe lanzarse
a) 8
b) 95
este dado para obtener 2 caras rojas?
d) 17
e) 92
a) M enos de 5. c) Entre 10 y 15.
b) M á s de 8.
52.
c) 22
U n ki logramo de duraznos contiene desde 8 hasta 12 duraznos. El precio de los más grandes varía desde 2
d) 2.
hasta 3,5 soles cada kilo y el de los más pequeños
e) 2 ó más.
entre 1 y 1,5 soles el kilo. Si L ucía compra 4 docenas 46.
Emi lia reparte entre sus 5 hij os desde 50 hasta 75 soles
pagando lo máximo posible e Irene la misma cantidad
de propi na semanales. Si C atty reparte entre sus 4
con el mínimo posible de dinero, ¿cuál es la diferencia
hijos, desde 40 hasta 80 soles de propi na semanales.
de lo pagado por ambas?
¿C uál es la máxi ma diferencia que puede existir entre lo que recibe un hij o de Emi lia y uno de C atty? a) 5
b) 6
d) 10
e) 15
a) 28
b) 17
d) 14
e) 16
c) 21
c) 8
18 3
R az. M atemático
53. Si en una urna hay 48 bolas numeradas consecutivamente del 4 al 51, ¿cuántas bolas com o mínimo debemos de extraer al azar para tener la certeza de haber extraído 7 bolas numeradas con un número impar? a) 29 d) 30
b) 31 e) 19
c) 27
57. E n una bolsa oscura hay caram elos de "n" sabores di ferentes y lo suficiente: ¿cuántos caram elos se deben extraer al azar y como míni mo para tener la certeza de haber obtenido 10 de uno de los sabores? a) 10n
b) 9n
d) 10
e) 10n + 1
1
c) 9n + 1
54. U na bolsa contiene caramelos: n de limó n, ( n 1) de
58. En una urna se tiene (2p q) fichas verdes y (3p + 2q)
naranja, ( n 2) de piña y (n 3) de mango. ¿C uántos caramelos como mínimo hay que extraer al azar para tener la seguridad de haber extraído por lo menos 3 de
fichas roj as, ¿cuántas fichas se deben sacar para tener la certeza de haber extraído "3p" fichas de uno de los colores?
cada sabor? ( n > 6). a) 2n d) 4n
b) 3n
1
c) 3n 1
a) 3p + q
b) 4p + q
d) p
e) 5p + q
q
c) 5p q
e) 3n + 1 59. En una urna se tiene (P
Q ) fichas rojas y (P + Q )
55. Se tiene un dado donde tres de sus caras tienen el
fichas azules, ¿cuántas fichas se deben sacar para tener
mismo color y el resto de caras de colores diferentes, ¿cuántas veces hay que lanzar el dado para tener la seguridad de haber obtenido el mismo color 4 veces?
la certeza de haber extraído "P " de uno de los colores? a) 2P d) 2Q
a) 12 d) 15 56.
b) 18 e) 20
c) m
2
e) m
18 4
2
m 1
b) m
1
d) m
2m
P
e) P + Q
c) P Q
60. D e un juego de naipes ( 52 cartas, 13 de cada palo),
deben extraer para tener la certeza de haber sacado "m" de una de las clases? 2
b) 2P + Q
c) 13
Se tiene fichas de "m " clases di ferentes y la cantidad suficiente de cada clase, ¿cuántas com o m ínimo se
a) m
Q
2 2
2m
m 1
¿cuántos naipes hay que extraer al azar y como mínimo para tener la seguridad de haber conseguido dos naipes que sumen 10? a) 35
b) 30
d) 32
e) 34
c) 31
TRILCE
laves Claves 01.
d
31.
b
02.
c
32.
c
03.
d
33.
c
04.
b
34.
c
05.
b
35.
b
06.
d
36.
b
07.
d
37.
c
08.
b
38.
b
09.
c
39.
d
10.
e
40.
b
11.
d
41.
c
12.
d
42.
e
13.
d
43.
c
14.
c
44.
d
15.
c
45.
e
16.
c
46.
d
17.
e
47.
d
18.
a
48.
a
19.
d
49.
b
20.
e
50.
b
21.
b
51.
b
22.
c
52.
b
23.
b
53.
c
24.
e
54.
b
25.
a
55.
c
26.
b
56.
d
27.
c
57.
c
28.
a
58.
c
29.
c
59.
a
30.
e
60.
e
18 5
