TAREA 3 – ESPACIOS VECTORIALES
Emerson Emerson Quintero Quintero Elkin Xavier Hernández. Sandr Sandr a Milena Sarmient Sarmient o. Julián Andrés Osorio. Yazhir Guzman Gonzalez.
TUTOR Alex Al exand and r a Cast illa il la Tan g GRUPO: 208046_117
UNIVERSIDAD UNIVERSIDAD NACIONAL AB IERTA Y A DISTANCIA – UNAD ALGEBR AL GEBRA A LINEAL L INEAL NOVIEMBRE 2018
INTRODUCCIÓN
La solución de los sistemas de espacios vectoriales encuentra una amplia aplicación en la ciencia y la tecnología. Es por eso, que, dentro de los planes de estudio de las carreras de ingeniería de la UNAD, en la materia Algebra lineal, se incluya el tema los diferentes axiomas, operaciones y propiedades relacionadas con espacios vectoriales para la realización de demostraciones matemáticas. Recordemos que en las últimas décadas el Algebra Lineal se ha convertido en una parte muy importante de las matemáticas, aportando significativamente al desarrollo con sus aportes a las ciencias informáticas, ya que todo gira actualmente en torno a los sistemas computacionales. Por otra parte, estas herramientas de aprendizaje se convierten en un referente muy valioso, que brindan un acompañamiento muy interesante en este tipo de educación autónomo. La presente actividad está relacionada con la realización de diferentes ejercicios presentados en el Algebra Lineal, tales como espacios vectoriales, combinación lineal, independencia y dependencia lineal, espacios generadores, rango de una matriz, base de un espacio vectorial.
OBJETIVOS
✓
Identificar conceptos de sistemas de ecuaciones lineales, eliminación gaussiana, factorización LU, la matriz inversa, rectas en
R3,
planos, espacios
vectoriales, entre otros, ponerlos en práctica reconociendo su importancia y aplicabilidades. ✓
Entender claramente todas las operaciones que podemos poner en práctica y con las cuales realizaremos soluciones a problemas presentados, utilizando las herramientas apropiadas.
EJERCICIO 1 presentar un mapa conceptual que ilustre uno de los siguientes contenidos: Axiomas (suma y multiplicación) de los espacios vectoriales, Combinación lineal, Independencia y dependencia lineal, Espacios generadores y Rango de una matriz.
Elaborado por: Elkin Hernández.
Elaborado por: Sandra Sarmiento.
Elaborado po r: Emerson Quintero.
Elaborado por: Yazhir Guzman.
Ejercicio 2. Demostraciones matemáticas a partir del uso de axiomas, propiedades y op eraciones relacionadas con espacios vectoriales. Dados: a) X = < 1,3,5 >; Y = < 2,4,5>; Z= <1,0,2> vectores que pertenecen a un espacio
vectorial V, demuestre el axioma número 2 denominado Ley conmutativa de la suma de vectores. Probaremos el axioma número dos, para ello realizaremos una suma entre dos vectores de forma arbitraria, la cual llamaremos S, en este caso tomaremos los vectores Y y Z. S=Y+Z S = (2,4,5) + (1,0,2) S = (2+1,4+0,5+2) S = (3,4,7) Ahora veremos la suma del vector S y X, S+Z=Z+S (3,4,7) + (1,3,5) = (1,3,5) + (3,4,7) (3+1,4+3,7+5) = (3+3,3+4,7+5) (4,7,12) = (4,7,12) Queda demostrada la ley conmutativa.
b) Siendo α y β variables escalares, demuestre el séptimo y octavo axioma para
espacios vectoriales usando los vectores del espacio vectorial V del punto anterior. Use valores de 3 y 4 para α y β respectivamente. α (X + Y + Z) = α X + α Y+ α Z
(Primera ley d istributiva) (α + β) X = α X + β X (Segunda ley distributiva) . ✓
Sumaremos los vectores X, Y, Z
X + Y + Z = (1,3,5) + (2,4,5) + (1,0,2) X + Y + Z = (1+2+1,3+4+0,5+5+2) X + Y + Z = (4+7+12) ✓
Ahora demostraremos la primera ley distributiva con α=4.
α(X+Y+Z) = α(X) + α(Y) + α(Z)
4(4,7,12) = 4(1,3,5) + 4(2,4,5) + 4(1,0,2) (16,28,48) = (4,12,20) + (8,16,20) + (4,0,8) (16,28,48) = (4+8+4,12+16+0,20+20+8) (16,28,48) = (16,28,48) Por lo tanto, podemos decir que se cumple la primera ley distributiva. ✓
Ahora demostraremo s la segunda ley distributiva con β=3 y α=4
(α + β) Z = α(Z) + β(Z)
(4+3) (1,0,2) = 4(1,0,2) + 3(1,0,2) 7(1,0,2) = (4,0,2) + (3,0,6) (7,0,14) = (7,0,14) Queda demostrado que se cumple la ley distributiva para β=3 y α=4
Ejercicio 3. Demostraciones matemáticas a partir del uso de conjuntos generadores y combin ación lineal.
= , = 23+51 51 32 51 32 R →R 5R 01 27 5 R → 7R1 5 5 0 1 7 |01 21 7 |R →R +2R 1 0 + 23 7
a) Dado el conjunto ) donde Demostrar que S genera a R2
= (5,1) y
✓
Expresaremos los vectores como una matriz.
✓
Reduciremos la matriz por el método de gauss jordan
De lo anterior podemos decir que c= d=
− −
por último, comprobaremos la combinación lineal.
= 57 23+ 237 51 5 23 3∗ 5∗ = 2∗ 577 + 2377 3 5 ∗5 ∗23 = 72 ∗5 +7 23 7 7
= (-3,-2).
3 5 ∗5+ ∗23 = 7 2 ∗5+7 23 7 7 7 = 777 = + = + = ⃑ ⃑
Por lo tanto, concluimos que los vectores
y
generan a
.
b) Dados los vectores y ¿es correcto afirmar que el vector es una combinación lineal de u y v ? Justific ar la respuesta. ✓ Expresaremos a como una combinación lineal de y .
(-11,-9) = u (-6,9) + v (-1,9)
Por lo tanto, podemos concluir que 9u+9v=-9 y -6u-v=-11 9u+9v=-9 U + v=-1 v=-1-u -6u-v=-11 -6u-(-1-u) =-11 -6u+1+u=-11 -5u=-12 u=12/5 Remplazaremos u=12/5 en v=-1-u obtenemos v=-1-(12/5) v=-17/5 por lo anterior tenemos que tenemos que v=-1-u u=12/5 Comprobaremos la transformación lineal (-11,-9) = v (-6,9) + u (-1,9) (-11,-9) = (12/5) (-6,9) –(17/5) (-1,9) (-11,-9) = (-72/5,108/5) - (-17/5 +153/5) (-11,-9) = (-11,-9)
Ejercicio 4 Demostraciones matemáticas a partir del uso de rango de una matriz, dependencia e independencia lin eal.
De la siguiente matriz que agrupa a tres vectores de un espacio vectorial, calcule:
a) b) c) d)
Determinante Rango Matriz escalonada usando Gauss Jordan Justifique desde cada proceso si hay dependencia o independencia lineal.
a) Determinante. Para hallar el determinante se reducirá la matriz hasta hallar la matriz triangular inferior y el determinante será el producto de la diagonal.
73 94 111 ⋮ 00 =7 7 9 11 0 3 =55 +9 ⋮ 0 55 26 0 =7 4 = + 4 13 10 0 0 55 26 0 385 0 371 0 00 550 260 ⋮ 00 = 3=0 85 ∗ 55 ∗ 0 =0 0 73 94 111 ⋮ 00 =7 7 9 11 0 3 =55 +9 ⋮ 0 55 26 0 =7 4 = + 4 13 10 0 0 55 26 0 Se concluye que
.
b) Rango. Para hallar el rango, se igualará a y ver si los vectores son linealmente independientes.
0 385 0 371 00 550 260 ⋮ 00 7 9 =[34 134 ]
Se concluye que como los vectores son linealmente independientes el rango está
.
c) Matriz escalonada. Para llegar a la matriz escalonada, se va a hacer la reducción por el método de Gauss-Jordan, llegando a la diagonal de .
1 73 94 111 ⋮ 00 =7 7 9 11 0 3 =55 +9 ⋮ 0 55 26 0 4 13 10 0 =7 4 0 55 26530 = + 385 1 0 55 0 0 385 0 371 00 550 260 ⋮ 00 55 0 1 2655 ⋮ 00 (0 0 0 ) d) Dependencia o independencia.
✓
De la conclusión y el procedimiento se llegó a det=0 de esto infiere que los vectores son linealmente dependientes.
✓
De la conclusión y el procedimiento se llegó a que el rango es generado por 2 vectores esto infiere que los vectores dados son linealmente dependientes.
✓
De la conclusión y el procedimiento se llegó a que el último renglón es de ceros esto infiere que los vectores dados son linealmente dependientes.
Ejercicio 5 Demostraciones matemáticas a partir del uso de dependencia e independencia lineal.
Determine independencia lineal de los siguientes conjuntos de vectores. a. V1= (0,2,2). V2= (3,3,3). V3= (0,0,4). b. V1= (6,-2, 8). V2= (1/2, 4, 0). V3= (-10, 6, 2). V4 = (2,1,4).
0
mostrar la independencia lineal, se escribirá el vector de
, , 00= + + 0 00= 02+ 33+ 00 0 , 2, 3 4
combinación lineal de
Para hallar los valores de
.
como una
que hacen valido el razonamiento, se
verá en forma de matriz y se hará la respectiva reducción.
02 33 00 ⋮ 00 → 20 33 00 ⋮ 00 = 2 23 34 00 0 2 3 2 4 00 0 0 /2 00 30 04 ⋮ 00 = 00 30 04 ⋮ 00 /3/4 10 01 00 ⋮ 00 0010 =0 =0 =0 0
Se ve que los tres escalares valen , se concluye que los vectores dados son linealmente independientes.
0
Para mostrar la independencia lineal, se escribirá el vector de
como
, , , 00= + + + 0 00= 26 + 1/24+ 106+ 21 0 8 , , ,0 2 4 62 1/24 106 21 ⋮ 00 → 26 1/24 106 12 ⋮ 00 == +3+4 82 04 26 41 00 = +38 0 22 44 0 6 1 0 00 13/216 2628 58 ⋮ 00 = +4 00 13/216 2628 58 ⋮ 00 3/13 2 0 41 20/136 4/131 ⋮ 00 ==16 0 4 20 01 2/13 20/13 4/13 ⋮ 0 40/13 0 02160 2/13 26 3/13 8 0 0 = + 0 02 18/13 1/9 0 0 0 − 00 10 20/131 4/1320/9 ⋮ 00 = 00 10 01 28/9 ⋮ 0 20/9 0 10 01 00 1/18 0 28/9 ⋮ 0 20/9 0 0 1 0 = = = una combinación lineal de
.
Para hallar los valores de
que hacen valido el razonamiento,
se verá en forma de matriz y se hará la respectiva reducción.
Se ve que tres de los escalares depende den vectores dados son linealmente dependientes.
, se concluye que los
Ejercicio 6. Demostraciones matemáticas a partir del uso de axiomas, propiedades y operaciones relacionadas co n espacios vectoriales
Demostrar lo siguiente: Si A y B son matrices, demuestre las siguientes propiedades y comprobar mediante ejemplo: a) Rango (AB)= rango (B t At ) tenga presente el orden de las matrices. Rango (AB)= rango (B t At ) tenga presente el orden de las matrices. Por definición:
→=^ = ∗ = =
Rango de (M)=rango de ( Se dice que: se demuestra que:
b) Si A no es una matriz cuadrada, los vectores fila o los vectores de columna de A serán linealmente dependientes.
> <> > <
✓
Teniendo en cuenta que conjunto de n vectores en
✓
Si m es una matriz m x n y no es cuadrada entonces m
o m
✓
Si m
ym
>, < ,
entonces los vectores fila son m vectores en
teorema de vectores las vectores filas son LD. ✓
Si m
.
.
usando el
entonces los vectores columna son n vectores en
usando el teorema, los vectores columna son LD.
✓
es 10 si n
Por lo cual, si m es una matriz no cuadrada, entonces las vectores filas y los vectores columna son LD.
DEMOSTRACION:
Un conjunto de n vectores es R^m siempre es LD si Sean U1, U2, U3, …, Un, vectores en R^m si
Un, con vectores LD
>
>
entonces los U1, U2, U3, …,
Siendo los vectores:
11 12 13 1 1=121⋮; 2=222⋮; 3=323⋮; =2⋮ > ∃ 11+22+ 33+. . + =0 11 12 13 1 0 1121⋮+2222⋮;+3233⋮ +2⋮ =00⋮ 111+222+⋯+=0 121+222+2=0 11+22+=0 Si
supongamos que
C1, C2, C3… Cn, tales que
Como por hipótesis tenemos mayor número de incógnitas de ecuaciones (m) entonces el SELH tiene solución no trivial y existen escalares c1, c2, c3,no todos ceros. U1; U2; U3…, Un. son LD.
CONCLUSIONES
Un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un espacio vectorial
V
sobre un campo
k
(pueden ser los números reales), es un
conjunto de objetos que se pueden sumar y se pueden multiplicar por los elementos de k, de tal forma que la suma de dos elementos de V es, de nuevo un elemento de V, el producto de un elemento de V por un elemento de k es un elemento de V.
BIBLIOGRAFIA. ✓
Zúñiga, C (2010). Módulo Algebra Lineal. Bogotá, UNAD. Páginas 222 a 226. Recuperado de http://hdl.handle.net/10596/7081 .
✓
Barrera, M. F. (2014). Álgebra lineal. México, D.F., MX: Larousse - Grupo Editorial Patria. Disponible en la Biblioteca Virtual de la UNAD. Páginas 117 a
127.
Recuperado
de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID= 11013215&p00=algebra+lineal
