PD_PRO1 Curso probabilidad unad

Probabilidad I Programa desarrollado

Área de Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnológicas

Cuatrimestre TRES

Programa de la asignatura:

Probabilidad I Clave: 050910311

Febrero de 2011

Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología

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SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA Alonso Lujambio Irazábal

SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN SUPERIOR Rodolfo Tuirán Gutiérrez

PROGRAMA DE EDUCACIÓN SUPERIOR ABIERTA Y A DISTANCIA COORDINACIÓN GENERAL Manuel Quintero Quintero

COORDINACIÓN ACADÉMICA Soila del Carmen López Cuevas

DISEÑO INSTRUCCIONAL Karla Contreras Chávez

EVALUACIÓN Y ACREDITACIÓN DE PROGRAMAS EDUCATIVOS Karina Montaño

AGRADECEMOS LA COLABORACIÓN EN EL DESARROLLO DE ESTE MATERIAL A: Mtra. Haydeé Gómez Díaz y Mtro. Salvador Bernardo Martínez Jiménez

Secretaría de Educación Pública, 2011


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Tabla de contenidos

I. Información general de la asignatura __________________________________________ a. Ficha de identificación _____________________________________________________ b. Descripción ______________________________________________________________ c. Propósito _______________________________________________________________

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II. Fundamentación de la asignatura ____________________________________________ 8 III. Competencia(s) a desarrollar _______________________________________________ 8 IV. Temario _________________________________________________________________ 8 V. Metodología de trabajo ____________________________________________________ 10 VI. Evaluación _____________________________________________________________ 11 VII. Materiales de apoyo _____________________________________________________ 12 VIII. Desarrollo de contenidos por unidad _______________________________________ 14 UNIDAD 1. INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD _______________________________ Propósito de la unidad ______________________________________________________ Competencia específica _____________________________________________________ Presentación de la unidad ___________________________________________________ 1.1. Fundamentos__________________________________________________________ 1.1.1. Importancia de la probabilidad _________________________________________ Actividad 1. ¿Por qué aprender probabilidad? __________________________________ 1.1.2. Experimento aleatorio ________________________________________________ 1.1.3. Eventos simples y compuestos _________________________________________ 1.1.4. Espacio muestral ____________________________________________________ Actividad 2. Construye conceptos a través de ejemplos ___________________________ 1.1.5. Técnicas de conteo __________________________________________________ Actividad 3. Construye conceptos a través de ejemplos ___________________________ Actividad 4. Espacio muestral de un experimento ________________________________ 1.2. Enfoques para el cálculo de probabilidades __________________________________ 1.2.1. Enfoque clásico _____________________________________________________ 1.2.2. Enfoque de frecuencia relativa _________________________________________ 1.2.3. Enfoque subjetivo ___________________________________________________ 1.3. Reglas básicas ________________________________________________________ 1.3.1. Regla general para suma de eventos ____________________________________ 1.3.2. Regla para suma de eventos excluyentes_________________________________ Actividad 5. Probabilidades de uno o más eventos _______________________________ Evidencia de aprendizaje. Reflexión sobre el respeto a las reglas de tránsito ____________ Consideraciones específicas de la unidad _______________________________________ Fuentes de consulta ________________________________________________________ Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología

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14 14 14 14 14 15 16 16 18 19 22 22 31 31 32 32 33 34 35 35 38 40 41 42 43


UNIDAD 2. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD _____________________________________ Propósito de la unidad ______________________________________________________ Competencia específica _____________________________________________________ Presentación de la unidad ___________________________________________________ 2.1. Cálculo de probabilidades ________________________________________________ 2.1.1. Definición de probabilidad _____________________________________________ Actividad 1. Aplicaciones de probabilidad simple y condicional _____________________ 2.1.2. Axiomas de probabilidad ______________________________________________ 2.1.3. Teoremas de probabilidad_____________________________________________ Actividad 2. Axiomas y teoremas en el cálculo de probabilidades ___________________ 2.2. Probabilidad condicional _________________________________________________ Actividad 3. ¿Por qué nace la probabilidad condicional? __________________________ 2.2.1. Definición de probabilidad condicional ___________________________________ Actividad 4. Reglas para el cálculo de probabilidades condicionales _________________ 2.2.2. Eventos independientes ______________________________________________ Actividad 5. Eventos independientes _________________________________________ 2.2.3. Teorema de Bayes __________________________________________________ Actividad 6. Teorema de Bayes _____________________________________________ Evidencia de aprendizaje. Aplicación del teorema de Bayes en las reglas de tránsito _____ Consideraciones específicas de la unidad _______________________________________ Fuentes de consulta ________________________________________________________

45 45 45 45 45 46 47 47 48 49 50 51 51 55 57 60 61 68 69 71 72

UNIDAD 3. MODELOS DE PROBABILIDAD DISCRETOS ___________________________ Propósito de la unidad ______________________________________________________ Competencia específica _____________________________________________________ Presentación de la unidad ___________________________________________________ 3.1. Modelos de probabilidad _________________________________________________ 3.1.1. Modelos determinísticos vs. probabilísticos _______________________________ 3.2. Variable aleatoria discreta ________________________________________________ 3.2.1. Definición de variable aleatoria discreta __________________________________ 3.2.2. Distribución de probabilidad ___________________________________________ 3.2.3. Valor esperado y varianza de una variable aleatoria discreta __________________ 3.3. Modelos de probabilidad para variables aleatorias discretas _____________________ 3.3.1. Modelo Binominal ___________________________________________________ Actividad 1. ¿En qué áreas se aplica el modelo Binomial? _________________________ Actividad 2. Aplicación de la distribución Binomial _______________________________ 3.3.2. Modelo de Poisson __________________________________________________ Actividad 3. ¿En qué áreas se aplica el modelo Poisson? _________________________ Actividad 4. Aplicación del modelo Poisson ____________________________________ 3.3.3. Modelo Hipergeométrico ______________________________________________ Actividad 5. ¿En qué áreas se aplica el modelo Hipergeométrico? __________________

73 73 73 73 74 74 76 77 78 79 82 82 84 85 86 88 89 90 92


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Actividad 6. Aplicación del modelo Hipergeométrico ______________________________ Evidencia de aprendizaje. ¿Quién ganará las elecciones? __________________________ Consideraciones específicas de la unidad _____________________________________ Fuentes de consulta ______________________________________________________

93 94 96 96

UNIDAD 4. MODELOS DE PROBABILIDAD CONTINUOS ___________________________ 98 Propósito de la unidad ______________________________________________________ 98 Competencia específica _____________________________________________________ 98 Presentación de la unidad ___________________________________________________ 98 4.1. Variables aleatorias continuas ____________________________________________ 100 4.1.1. Definición de variable aleatoria continua _________________________________ 100 4.1.2. Función de densidad de probabilidad ___________________________________ 100 Actividad 1. Ejemplos de funciones de densidad _______________________________ 102 4.1.3. Función de distribución de probabilidad _________________________________ 103 4.2. Modelos de probabilidad para variables aleatorias continuas ____________________ 103 4.2.1. Distribución uniforme continua ________________________________________ 104 4.2.2. Distribución normal _________________________________________________ 106 Actividad 2. Importancia del modelo normal en la estadística ______________________ 109 Actividad 3. Valores y parámetros para el cálculo de probabilidades ________________ 110 4.2.3. Distribución normal estándar__________________________________________ 111 Actividad 4. Aplicación del cálculo de probabilidad normal ________________________ 113 Evidencia de aprendizaje. Modelando las ganancias de una empresa ________________ 115 Consideraciones específicas de la unidad ______________________________________ 117 Fuentes de consulta _______________________________________________________ 117


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I. Información general de la asignatura a. Ficha de identificación División

Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología

Nombre de la licenciatura o ingeniería

Licenciatura en matemáticas

Nombre del curso o asignatura

Probabilidad I

Clave de asignatura

050910311

Seriación

Probabilidad II

Cuatrimestre

Tercero

Horas contempladas

72

b. Descripción La probabilidad es una rama de la matemática empleada para modelar diversas situaciones en donde está presente el azar o la incertidumbre, como ejemplo tenemos diversas situaciones presentes en las ciencias económico-administrativas, en las ciencias de la salud, en las ciencias naturales y en sí en casi todas las disciplinas, así como en la vida cotidiana: cuando un inversionista enfrenta riesgos al elegir una acción, un agricultor al proceder a la siembra, una compañía de seguros al asegurar un auto, una población ante la amenaza de inundación y una empresa de transporte en el riesgo de perder la carga. Por otro lado es preciso mencionar que la probabilidad juega un papel muy importante en la inferencia estadística, ya que muchas decisiones se toman usando solo una pequeña parte de la información de una población, por ejemplo en la salud de un enfermo se determina a partir de una pequeña muestra de su sangre, o la calidad de un proceso de producción, seleccionando una muestra de los artículos producidos. En estos procesos la probabilidad mide los riesgos inherentes a la incertidumbre debida a la información contenida en la muestra. Este curso de probabilidad proporciona las bases para calcular la probabilidad de enfrentar estos riesgos. El enfoque de la asignatura se basa en la probabilidad clásica y la probabilidad relativa, donde los experimentos aleatorios presentan resultados con la misma probabilidad de que suceda y cuando las muestras para obtener el resultado posible son de tamaño grande, respectivamente. Al finalizar, se podrá utilizar y seleccionar reglas básicas, cálculo de probabilidad y modelos probabilísticos para poder predecir los resultados posibles, en situaciones donde se presenta un cierto grado de incertidumbre. La asignatura, que se encuentra dentro del tercer cuatrimestre de la licenciatura de Matemáticas, te permitirá conocer diversos enfoques y sentar las bases para aplicar axiomas, teoremas en el cálculo de probabilidades, así como aplicar algunos modelos de probabilidad básicos que son de gran utilidad en la mayoría de los problemas de inferencia estadística. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología

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La probabilidad se encuentra relacionada con otras áreas del conocimiento, por lo que será base para otras asignaturas como Probabilidad II, Estadística, Análisis combinatorio y Procesos estocásticos. Por ejemplo, la estadística es una medición cuantitativa de fenómenos y su relación es que la probabilidad estudia la posibilidad de que ocurra un cierto evento dentro de un estudio estadístico. En la unidad 1. Introducción a la probabilidad. Se estudiaran los diferentes enfoques para el cálculo de probabilidades y las reglas básicas. En la unidad 2. Teoría de la probabilidad. Se abordan los axiomas y teoremas para el cálculo de probabilidades y probabilidades condicionales. En la unidad 3. Modelos de probabilidad discretos. Se estudian los modelos de probabilidad para variables aleatorias discretas: Bernoulli, Binomial, Hipergeométrico y Poisson. En la unidad 4. Modelos de probabilidad continuos. Se estudian modelos de probabilidad para variables aleatorias continuas: uniforme continua, normal y normal estándar. Al finalizar, el egresado será capaz de interpretar los resultados de los análisis de la información para establecer concordancias y diferencias en la toma de decisiones.

c. Propósito El propósito de la asignatura es formar profesionales competentes en el uso de la probabilidad, con un conjunto de habilidades que posibiliten el conocimiento, de acuerdo con propósitos concretos y en contextos específicos que promuevan el aprendizaje y el crecimiento individual, la interacción y la convivencia en su vida académica y social. Por lo tanto en el curso: 

Identificarás los conceptos básicos de probabilidad como experimento aleatorio, espacio muestral, eventos, probabilidad clásica, relativa y subjetiva que fundamentan el cálculo de probabilidades.



Aplicarás las técnicas de conteo, para hallar el número de ocurrencias de un evento en los resultados posibles.



Utilizarás axiomas y teoremas para el cálculo de probabilidades de eventos simples, compuestos, independientes y dependientes.



Utilizarás los modelos probabilísticos para el cálculo de probabilidades de un experimento aleatorio considerando las propiedades de su función de distribución y sus valores asociados.



Identificarás una función de densidad a través de sus características.



Identificarás las propiedades de distribución uniforme continua y de una función de probabilidad acumulada para una variable continua.



Aplicaras el modelo normal y normal estándar para el cálculo de probabilidades, apoyándote en tablas de normal estándar.


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II. Fundamentación de la asignatura El estudio de la probabilidad en el perfil del egresado es fundamental, dada la importancia y la frecuencia de su aplicación en la vida cotidiana y en otras áreas de la ciencia. Además, en el diseño curricular de la carrera, el conocimiento adquirido en esta asignatura, será base para el aprendizaje significativo de otras áreas, por ejemplo la Estadística. Por otro lado, la verdadera utilidad de la probabilidad es cuando se aplica. Utilizarla para tomar decisiones cundo se tiene fenómenos de mucha incertidumbre, saber si un evento sucederá y el grado de predicción son importantes en la toma de decisiones, por ejemplo para tener el control de ganancias o de perdidas sobre fenómenos aleatorios que suceden en la industria, en la ciencia, en la educación, etc. Además, para poder obtener los resultados probabilísticos correctos de diversos experimentos o fenómenos aleatorios, es importante que se comprenda bien los conceptos, las propiedades, axiomas y teoremas que presenta la teoría de la probabilidad, pero como toda área de la matemática, su verdadero entendimiento llega en la aplicación de lo que se presenta teóricamente, a través de ejercicios y actividades que deberás desarrollar, por lo tanto para lograr los objetivos de la asignatura y sobre todo, lograr un aprendizaje significativo, el curso de Probabilidad se desarrolla con enfoque práctico con base en casos reales que ocurren en nuestro alrededor.

III. Competencia(s) a desarrollar Utilizar modelos probabilísticos para medir los parámetros de incertidumbre de diversos eventos por medio de distribuciones, variables aleatorias discretas y continuas mediante las técnicas de probabilidad.

 Identificar los principios básicos de la probabilidad para obtener los resultados de un experimento aleatorio por medio de las técnicas de conteo y las reglas básicas.



Utilizar axiomas y teoremas de la probabilidad para resolver eventos independientes mediante la aplicación de la teoría de Bayes y la probabilidad condicional.



Utilizar modelos de probabilidad discretos para el análisis de eventos a través del valor esperado y la varianza de las variables aleatorias discretas.



Utilizar los modelos de probabilidad continuos para el análisis de eventos a través de variables aleatorias continuas y con el uso de tablas de cálculo de probabilidad.

IV. Temario Unidad 1. Introducción a la probabilidad 1.1.

Fundamentos 1.1.1. Importancia de la probabilidad 1.1.2. Experimento aleatorio


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1.1.3. Eventos simples y compuestos 1.1.4. Espacio muestral 1.1.5. Técnicas de conteo 1.2.

Enfoques para el cálculo de probabilidades 1.2.1. Enfoque clásico 1.2.2. Enfoque de frecuencia relativa 1.2.3. Enfoque subjetivo

1.3.

Reglas básicas 1.3.1. Regla general para suma de eventos 1.3.2. Regla para suma de eventos excluyentes

Unidad 2. Teoría de la probabilidad 2.1. Cálculo de probabilidades 2.1.1. Definición de probabilidad 2.1.2. Axiomas de probabilidad 2.1.3. Teorema de probabilidad 2.2. Probabilidad condicional 2.2.1. Definición de probabilidad condicional 2.2.2. Eventos independientes 2.2.3. Teorema de Bayes Unidad 3. Modelos de probabilidad discretos 3.1. Modelos de probabilidad 3.1.1. Modelos determinísticos vs. probabilísticos 3.2. Variable aleatoria discreta 3.2.1. Definición de variable aleatoria discreta 3.2.2. Distribución de probabilidad 3.2.3. Valor esperado y varianza de una variable aleatoria discreta 3.3. Modelos de probabilidad para variables aleatorias discretas 3.3.1. Modelo Binomial 3.3.2. Modelo de Poisson 3.3.3. Modelo Hipergeométrico

Unidad 4. Modelos de probabilidad continuos Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología

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1.1. Variables aleatorias continuas 1.1.1. Definición de variable aleatoria continua 1.1.2. Función de densidad de probabilidad 1.1.3. Función de distribución de probabilidad 1.2. Modelo de probabilidad para variables aleatorias continuas 1.2.1. Distribución uniforme continua 1.2.2. Distribución normal 1.2.3. Distribución normal estándar

V. Metodología de trabajo La asignatura Probabilidad I está conformada por cuatro unidades de aprendizaje: fundamentos y prácticas de la probabilidad. Cada unidad contiene un bloque de ejercicios prácticos sobre aspectos probabilísticos enfocados en diversos contextos con la intención de formarte con competencias matemáticas. La metodología de enseñanza es el Aprendizaje Basado en el Estudio de Casos y la verdadera comprensión del marco teórico de la probabilidad, llega con la aplicación de sus fundamentos teóricos, por lo tanto el marco de trabajo de este curso se basa en el desarrollo de ejercicios y actividades que dirige al alumno en su proceso de aprendizaje, con el propósito de que al término del curso, sean capaces de analizar y aplicar axiomas, teoremas, modelos probabilísticos, etc., en la solución de problemas específicos. Para poder cumplir con el propósito anterior, se presenta el diseño de contenidos de manera sencilla y organizada, que permitirá dirigir adecuadamente al alumno en su proceso de aprendizaje, además junto con ellos, se presentan bloques de ejercicios y actividades que deberán resolver, los cuales están planteados en base a sucesos reales, para que el alumno alcance las competencias definidas y adquiera con ello un aprendizaje significativo. Las actividades están diseñadas para la reflexión, análisis, participación o colaboración grupal, es por ello que para alcanzar el objetivo de cada actividad se debe cumplir adecuadamente las instrucciones que se presentan y utilizar las herramientas que se proponen en cada actividad y que provee el aula. Se presenta un foro por unidad y tiene la finalidad de interactuar entre compañeros, a través de un planteamiento y análisis del tema, donde pondrán proponer sus puntos de vista e incluso debatir con base en la reflexión y así poder llegar al final a un conceso grupal. En cada una de las unidades temáticas se presentan autoevaluaciones que permitirán identificar fortalezas o debilidades en relación al tema visto. Se recomienda que, para la realización de los ejercicios se acompañe de un cuaderno y lápiz, ya que muchos de ellos se deberán realizar operaciones matemáticas para llegar a la respuesta correcta. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología

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También se utilizan la Wiki para construir, de forma grupal, conceptos relacionados al tema, con base en investigaciones previas, a la participación. Las actividades y las evidencias de aprendizaje serán revisadas y retroalimentadas por su Facilitador(a) del curso. Dicha revisión se centrará en la evaluación, como un proceso de revisión de los avances y dificultades que presentan a la hora de trabajar los contenidos y en la retroalimentación (tanto en las actividades como en el foro), de manera que el experimentar caminos de solución, que no siempre llevan a una respuesta correcta, sea una oportunidad de aprendizaje.

VI. Evaluación En el marco del Programa de la ESAD, la evaluación se conceptualiza como un proceso participativo, sistemático y ordenado que inicia desde el momento en que el estudiante ingresa al aula virtual. Por lo que se le considera desde un enfoque integral y continuo. Por lo anterior, para aprobar la asignatura de Probabilidad I, se espera la participación responsable y activa del estudiante así como una comunicación estrecha con su facilitador para que pueda evaluar objetivamente su desempeño. Para lo cual es necesaria la recolección de evidencias que permitan apreciar el proceso de aprendizaje de contenidos: declarativos, procedimentales y actitudinales. En este contexto, la evaluación es parte del proceso de aprendizaje, en el que la retroalimentación permanente es fundamental para promover el aprendizaje significativo y reconocer el esfuerzo. Es requisito indispensable la entrega oportuna de cada una de las tareas, actividades y evidencias, así como la participación en foros, wikis, blogs y demás actividades programadas en cada una de las unidades, dentro del tiempo especificado y conforme a las indicaciones dadas. La calificación se asignará de acuerdo con la escala establecida para cada actividad, por lo que es importante que el estudiante la revise antes de realizar la actividad correspondiente. A continuación presentamos el esquema general de evaluación. Recursos y herramientas

Valor

Actividades formativas (envíos a taller y tareas)

30%

Interacción en el aula y trabajo colaborativo (foro, y

10%

base de datos) E-Portafolio. Evidencias de aprendizaje y

50%

autorreflexión Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología

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Examen final

10%

Cabe señalar que, para aprobar la asignatura, se debe de obtener la calificación mínima indicada por la ESAD.

VII. Materiales de apoyo Bibliografía básica Johnson, R. y Kuby, P. (2006). Estadística elemental. México: Thomson Paraninfo, S. A. Triola, Mario F. (2006). Estadística elemental. México: Addison Wesley Longman. Ruiz, Elena y Ruiz, Elvia. (2007). Probabilidad y estadística. México: McGraw-Hill Interamericana. Walpole, R., Myers, R. H. y Myers, Sharon. (2007). Probabilidad y estadística para ingenieros. Pearson Education.

Bibliografía complementaria Evans, M. J. (2005). Probabilidad y estadística. Reverte. Gamiz Casarrubias, Beatriz E. (2003). Probabilidad y estadística con prácticas en Excel. México: Just in time Press. Lincoln L. Chao. (2000). Introducción a la estadística. México: Compañía Editorial Continental. Spiegel, Murray R. y Stephens, Larry J. (2002). Estadística, México: McGraw-Hill. Devore, Jay L. (2005). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. México: Thomson. H.T. Hayslett, Jr. (1987) Estadística simplificada. México: Grupo editorial Sayrols.

Fuentes cibergráficas http://www.uaim.edu.mx/web-carreras/carreras/CALIDAD/04TRIM/PROBABILIDAD.pdf http://www.vitutor.com/estadistica.html http://www.fisterra.com/mbe/investiga/probabilidades/probabilidades.asp http://www.zweigmedia.com/MundoReal/tutindex.html http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/amarillo.htm http://www.csanpablo.com.ar/apuntes_archivos/fisica_archivos/probabilidad_y_%20estadistica.PDF http://www.itchihuahua.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/amarillo.htm http://www.aulafacil.com/CursoEstadistica/CursoEstadistica.htm Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología

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http://www.cmat.edu.uy/~mordecki/notas_probabilidad.pdf http://www.matematicas.unam.mx/lars/libros/cip.pdf http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/28/matematicas-28.html http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001065/html/contenido.html


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VIII. Desarrollo de contenidos por unidad UNIDAD 1. INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD Propósito de la unidad Al finalizar la unidad: 

Identificarás los resultados posibles de un experimento aleatorio utilizando la técnica básica de conteo.



Obtendrás la probabilidad de un evento simple y de dos o más eventos.

Competencia específica Identificar los principios básicos de la probabilidad para obtener los resultados de un experimento aleatorio por medio de las técnicas de conteo y las reglas básicas.

Presentación de la unidad Uno de los objetivos del estudio de la ciencia es que el estudiante comprenda los fenómenos que ocurren a su alrededor y poder predecir los efectos que de ellos se derivan. De lo anterior, nace la importancia del estudio de la probabilidad. Para esto, es necesario que el estudiante aprenda hacer análisis cualitativo y cuantitativo de situaciones que se le presentan, pero para su interpretación es necesario emplear estrategias que surgen de la probabilidad. De acuerdo con este planteamiento, la presente unidad ofrece elementos teóricos básicos sobre experimentos aleatorios, eventos, técnicas de conteo, probabilidad de conteo, nociones clásica y frecuencial de la probabilidad y las reglas básicas para calcular probabilidades, incluidos en las lecturas complementarias y en los ejercicios, pero el hilo conductor son las actividades que, como estrategias de enseñanza, permiten el logro de los aprendizajes a través de la práctica.

1.1. Fundamentos La matemática sirve para modelar situaciones que se presentan en la vida cotidiana o en otras áreas de la ciencia, pero al tratar de modelar los fenómenos de la naturaleza o sociales, se han encontrado con que hay situaciones que obedecen a un modelo determinista y otros que obedecen a un modelo aleatorio, por ejemplo, es difícil representar el fenómeno de que una persona de bajos recursos y que pertenece a una nación con problemas sociales tenga un accidente o no en el próximo año. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología

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La probabilidad propone la forma de resolver estos conflictos que se presentan, la cual radica en calcular una medida numérica que representa la posibilidad de que ocurra un evento de un fenómeno o experimento aleatorio, el cual a través de observaciones o a recolección de datos puede determinar los resultados donde la mayor parte de ellos son inciertos y dependen del azar. Los resultados de un experimento forman un conjunto llamado espacio muestral que no es más que la colección de todos los resultados posibles de un experimento. Además, se hace uso de propiedades y técnicas donde habría que contar el número de veces que pueden ocurrir todos los sucesos que se desean observar, para ello, se utilizará el principio fundamental de conteo. Por lo anterior, en este tema, se expone los conceptos básicos y que son considerados fundamentos del estudio de la probabilidad, es decir, son necesarios para la comprensión y la aplicación del cálculo de probabilidades, las funciones de distribuciones y modelos probabilísticos que se presentarán en los siguientes capítulos.

1.1.1. Importancia de la probabilidad Sin duda alguna, todos nos hemos enfrentado a la incertidumbre. Tanto en la naturaleza como en nuestra moderna sociedad, infinidad de fenómenos presentan diversos resultados y son impredecibles. Por ejemplo, tenemos los fenómenos ambientales como terremotos, tornados, huracanes, nevadas, heladas, inundaciones, etc. Estos son parte de nuestra vida cotidiana; aunque, nadie puede determinar con precisión cuándo van a ocurrir, lo que sí podemos hacer, tomando en cuenta los datos históricos, es estimar qué tan posible es que sucedan. En nuestra sociedad, la probabilidad es usada en la medicina, la biología, la agricultura, la economía, la demografía, la meteorología, la política, etc. En sus inicios, la probabilidad jugó un papel muy importante en el estudio de los juegos de azar y apuestas. También la probabilidad tiene un uso importante en la medición de riesgos, como es el caso de las compañías de seguros de auto, vida y marítimos, entre otros. Por ejemplo, para saber si un automovilista sufrirá un accidente, una compañía de seguros determinará y evaluará la posibilidad de que suceda, determinará la pérdida económica para poder implementar una prima de seguro que sea suficiente en caso de que suceda, además considerará tener un riesgo capital mínimo, para que sea rentable y se pueda generar un negocio.


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Actividad 1. ¿Por qué aprender probabilidad? Propósitos 

Activar la reflexión sobre la importancia de la probabilidad.



Incrementar los conocimientos sobre los conceptos básicos de probabilidad con los integrantes del grupo con el fin de llegar a acuerdos comunes y consensos colectivos.



Propiciar una situación comunicativa a través del debate y los acuerdos comunes.

Instrucciones 1. Lee el subtema1.1.1. Importancia de la probabilidad y luego analiza la importancia de estudiarla. Puedes ampliar tu información con una búsqueda en Internet. 2. Posteriormente, reflexiona sobre tus hallazgos y participa en el foro respondiendo la pregunta ¿Por qué debemos aprender probabilidad? 3. Define tu postura y replica al menos a uno de tus compañeros. (Todas las posturas son válidas, siempre y cuando estén argumentadas). 4. Espera la retroalimentación por este mismo medio.

1.1.2. Experimento aleatorio Definición: Experimento o fenómeno aleatorio es un experimento que puede dar lugar a varios resultados sin que pueda ser previsible, antes de realizar el experimento, determinar con certeza cuál de estos resultados va a ser observado. Definición: Experimento no aleatorio (Determinista) es un experimento en el que se obtiene siempre el mismo resultado. Ejemplo: Si lanzamos un objeto desde la misma altura y bajo las mismas condiciones ambientales, ¿cuál será su velocidad? Correcto, siempre será la misma, y además la podemos calcular con la siguiente expresión.

Ejemplo 1. Un oficial de tránsito encargado de un crucero debe de entregar a sus superiores un reporte diario del número de infracciones levantadas. El experimento consiste en observar en un turno de ocho horas cuántas boletas de infracción entregó el oficial de tránsito.


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a. ¿Es un experimento aleatorio? b. ¿Hay distintos resultados posibles? c. ¿Es posible prever el número de infracciones por turno? Tus respuestas deben de ser a) sí b) sí y c) no. Por supuesto que es un experimento aleatorio. Ejemplo 2. Un mayorista en artículos eléctricos, para tomar la decisión de adquirir un lote de 100 lámparas, selecciona del lote, al azar, 10 de ellas y las prueba. Acepta el lote si hay al menos 9 en buen estado. (Es decir si hay 9 o 10 en buen estado) a. ¿Es un experimento aleatorio? b. ¿Hay distintos resultados posibles? c. ¿Cuántos resultados puede haber? d. ¿Es posible prever el número de lámparas en buen estado? Tus respuestas deben de ser a) sí, b) sí, c) 11 y d) no. Por supuesto que es un experimento aleatorio. Ejemplo 3. El próximo domingo juegan la final de un torneo los dos mejores equipos. Nos interesa el resultado de esta final. a.

¿Es un experimento aleatorio?

b.

¿Hay distintos resultados posibles?

c.

¿Cuántos resultados puede haber?

Tus respuestas deben de ser a) sí, b) sí, y c) 2. Por supuesto que es un experimento aleatorio y uno tiene que ganar y el otro perder; solo hay dos resultados posibles.


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Ejercicio 1. De las siguientes situaciones, determina si es un experimento aleatorio o determinista. Experimento

Respuesta

1. El movimiento de un coche cuando está en espera, al prender la luz verde del semáforo. 2. Lanzar un producto al mercado. 3. El resultado de un juego de basquetbol. 4. Las consecuencias del tiempo con relación al frente frío. 5. Volumen de un litro de agua a 0° C. 6. Lanzar una pelota al aire. 7. Aprobar un examen. 8. Los nacimientos de bebés en días nublados. 9. Introducir la mano en un vaso de agua. 10. El libro preferido de los alumnos de un grupo de probabilidad.

1.1.3. Eventos simples y compuestos Definición: Se llama evento simple o suceso aleatorio a la observación de un resultado en un experimento aleatorio. Se llama evento compuesto a la observación simultánea de dos o más resultados en un experimento aleatorio. Los eventos los denotaremos con letras mayúsculas como A, B, C, D, E,… que denotan conjuntos. Si estos eventos o conjuntos contienen un solo elemento, se llaman eventos simples; si contienen más de un elemento, se llaman eventos compuestos. Ejemplo 1. Un salón de fiestas ofrece a sus clientes tres tipos de menú: Básico (1), Gala (2) y Ejecutivo (3), de los cuales pueden elegir entre el “4T” (Ensalada, Sopa, Plato Fuerte y Postre) o el “3T” (Ensalada, Sopa y Plato Fuerte). Representemos el evento aleatorio “Los clientes prefieren el menú básico”.


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A = {(1, 4T), (1,3T)} ¿Así que tenemos un evento simple o compuesto? Si tu respuesta fue compuesto estás en lo correcto. Ahora representemos algunos eventos simples. a) El cliente prefiere el Básico de 3T

B ={ ( ,

)}

b) El cliente prefiere el Ejecutivo de 4T

C ={ ( ,

)}

Si tus respuestas fueron: a) B = {(1, 3T)}

y

b) C = {(3, 4T)} es correcto.

Ejercicio 2. Completa los siguientes enunciados con las palabras que están en la parte superior. Evento-simple determinista

Evento-compuesto Suceso

Experimento -aleatorio

Experimento-

Un______________ puede dar lugar a varios resultados, sin que puedan ser previsibles. Se llama _____________ a la observación de un resultado en un experimento aleatorio. El ________________es el resultado de la observación de un experimento. Un _________________ es aquel donde se obtiene el mismo resultado. Se llama _____________ a la observación simultánea de dos o más resultados en un experimento aleatorio

1.1.4. Espacio muestral Definición: Se llama espacio muestral al conjunto de todos los resultados posibles en un experimento aleatorio. Al espacio muestral lo denotaremos con la letra S (de space, en inglés), cabe mencionar que también se puede representar por la letra E o por la letra griega Ω y que la elección del símbolo a utilizar depende del autor. En este contexto, utilizaremos el símbolo S para representar el espacio muestral.


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Ejemplo 1. En el ejemplo del salón de fiestas, nuestro espacio muestral tendrá seis resultados posibles: Representamos el espacio muestral S= {(1, 3T), (1,4T), (2, 3T), (2,4T) {(3, 3T), (3,4T)} Podemos también usar un diagrama de árbol para representar S: Menú

Tipo

#

3T

1

4T

2

3T

3

4T

4

3T

5

4T

6

1 Básico

2 Gala

3 Ejecutivo


20


Ejercicio 3. De los siguientes 3 casos, identifica el espacio muestral de cada una de las situaciones presentadas. Si es necesario, dibuja el diagrama del árbol para representar S. A continuación relaciona las siguientes columnas. Situación 1. Sea dos niños (A, B) y cuatro dulces (1, 2, 3, 4). Se reparte solo un dulce a cada niño. Situación 2. Sea tres jóvenes (A, B, C) y tres señoritas (1, 2, 3), en una pista de baile. Situación 3. Sea dos bebes (A,B), tres chupones ( 1,2,3) y cuatro diferentes listones para el chupón (L1,L2,L3,L4). a) {(A,B),(A,1)(B,1),(A,2)(B,2),(A,3)(B,3)(A, 4),(B,4)} b) {(A,1)(B,1),(A,2)(B,2),(C,1)(C,2)(A,3),(B, 3),(C,3)} c) 12

( ) Número de resultados del espacio muestral de la situación 3. ( ) Representación del espacio muestral S de la situación 1

d) 9

( ) Representación del espacio muestral de la

e) 8

situación 2

f)

{(A,1)(B,1),(A,2)(B,2),(A,3)(B,3),(A,4),(B, 4)}

g) 24

( ) Número de elementos del espacio muestral de la situación 2 ( ) Número del espacio muestral de la situación 1.


21


Actividad 2. Construye conceptos a través de ejemplos Propósitos Al finalizar la actividad, el alumno podrá: 

Ejemplificar los conceptos básicos de la probabilidad.



Colaborar y sociabilizar y llegar a un consenso en su investigación.

Desarrollo Los estudiantes construirán un Wiki de conceptos básicos de la probabilidad a través de ejemplos que observen a su alrededor. Serán capaces de ejemplificar conceptos como experimento, suceso, evento, etc., de manera colaborativa con los demás integrantes del equipo. Instrucciones 1. El maestro organizará equipos de 4 integrantes y les asignará a cada equipo algunos de los conceptos siguientes: Experimento aleatorio, suceso, experimento determinista, evento simple, evento compuesto y espacio muestral. 2. Observa a tu alrededor e identifica algún caso real que pueda ejemplificar los conceptos asignados. 3. Ponte de acuerdo con tu equipo y selecciona el o los ejemplos a exponer en el Wiki. 4. De acuerdo al equipo asignado y los conceptos solicitados por el maestro, podrás agregar o modificar solo la parte que le tocó construir a tu equipo. 5. Por último, revisa cada una de las aportaciones de los demás equipos y, si deseas, podrás agregar o modificar el contenido de los demás equipos.

1.1.5. Técnicas de conteo Las técnicas de conteo pertenecen a una rama de las matemáticas llamada análisis combinatorio y son expresiones matemáticas que facilitan el enumerar los resultados de un experimento aleatorio, sobre todo cuando es difícil contar o representar con diagramas de árbol. Para conocer la probabilidad de que suceda un evento, en donde se presenta en gran número de resultados posibles y difíciles de contar, se convierte en casi imposible sin estas técnicas de conteo, ya que con la utilización adecuada de estas técnicas, obtendremos el número total de posibles resultados, suficiente para que podamos encontrar la probabilidad de que suceda un evento. Por lo tanto, en este tema estudiaremos las permutaciones y las combinaciones, que se consideran base en el cálculo de probabilidades. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología

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Permutaciones Definición: Una permutación es un arreglo ordenado (es decir, el orden es importante) de m elementos distintos seleccionados de un conjunto X = {x1, x2,...,xn}, el cual tiene n elementos, en donde m

n.

Ejemplo 1. En el Senado de la República se desea elegir una comisión de dos senadores para la “Educación Superior”. Para tal fin se registraron tres senadores: Beltrones (B), García (G) y Zoreda (Z). La comisión está integrada por un Presidente y un Secretario. ¿De cuántas formas puede integrarse la comisión? La respuesta es de seis formas, a saber: BG, BZ, GB, GZ, ZB y ZG Observa que BG no es igual a GB ya que en el primero Beltrones preside y en el segundo es secretario. Ejemplo 2. Considera el conjunto con las letras M = {m, o, r, a}. ¿Cuántas palabras distintas pueden formarse con las cuatro letras? Dado que el orden es importante la m ocupa el primer lugar, la o el segundo, la r el tercero y la a el cuarto. Si cambiamos las letras de lugar, cambiará el sentido de la palabra, por ejemplo roma, ramo, rmao, armo, amor. ¿Cuántas palabras puedo formar? Nótese que rmao no tiene significado, pero lo consideraremos como una palabra. Si tu respuesta fue 24, es correcta. Vamos a representar las 24 permutaciones (Tabla 1): Para el primer lugar tenemos cuatro posibilidades, al elegir una letra quedan tres posibilidades para el segundo lugar, para el tercero dos posibilidades y una sola para el cuarto lugar. Lugar

1

2

3

4

r

a

a

r

o

a

a

o

r

o

o

r

r

a

o

r m

a m


23


a

r

a

m

m

a

r

m

m

r

o

a

a

o

m

a

a

m

m

o

o

m

r

o

o

r

r

m

m

r

m

o

o

m

r o

a

m

o r a

m

o a r Tabla 1. Permutaciones de 4 letras.

Ejemplo 3. Considera el mismo conjunto con las letras M = {m, o, r, a}. ¿Cuántas palabras distintas pueden formarse ahora con dos letras? Usando el mismo razonamiento para el ejercicio anterior tendríamos 4 x 3 = 12 Para el primer lugar tenemos cuatro posibilidades, al elegir una letra quedan tres posibilidades para el segundo lugar. Puedes observar en la tabla anterior los 12 resultados, en la primera y segunda columna. Expresión para el cálculo de permutaciones. Representamos por nPm el número de arreglos ordenados de m elementos distintos seleccionados de un conjunto X el cual tiene n elementos.


24


nPm = n x (n – 1) x (n-2) x…x (n-m+1) En el ejemplo 3, se observan cuatro elementos distintos en M, es decir, n = 4 y deseamos formar palabras de 4 elementos, por lo que m = 4 entonces el número de permutaciones se calculará de la siguiente forma: 4P4 = 4 x (4 – 1) x (4-2) x…x (4-4+1) 4P4 = 4 x (3) x (2) x (1) = 24 Nota en el diagrama de árbol del ejemplo que para el primer lugar podemos asignar las cuatro letras, pero para el segundo lugar solo podemos asignar tres letras debido a que ya hay una en el primer lugar y no se permite repetir; de igual forma para el tercer lugar solo podemos asignar dos y para el cuarto una. Notación factorial. Se define el factorial por la expresión n! y representa el siguiente producto: n! = n x (n-1) x (n-2) x…x 1 Podemos representar la expresión para el cálculo de permutaciones usando notación factorial: nPn = n!

,

Para n>m

Ejemplo 4. Consideremos que se tiene cuatro placas informativas diferentes para cuatro macetas disponibles ¿De cuántas formas diferentes se puede colocar las placas en las macetas? Si tu respuesta fue 24, es correcta. Para este ejemplo, se tiene que n=4 placas y m=4 macetas, sustituyendo se tiene =

, donde el factorial de (0)!=1

Por lo tanto =

=

=4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24


25


De lo anterior observa que, cuando n=m, podemos aplicar directamente la fórmula nPn = n!, y utilizando la notación factorial tenemos el resultado inmediato. 4P4= 4!=4 X 3 X 2 X 1 = 24 Ejemplo 5. Considera el mismo conjunto con las letras del ejemplo 3, M = {m, o, r, a}. ¿Cuántas palabras distintas pueden formarse ahora con dos letras? Utilizando nuevamente la fórmula y dado que n=4 y m=2 tenemos que

=

=

=

= 12

Ejemplo 6. Supón que hay diez candidatos para los puestos de presidente, vicepresidente, secretario y director de relaciones públicas. ¿De cuántas formas pueden llenarse estos cuatro puestos? En este problema, n=10 y r=4. Obviamente hay 10 formas de ocupar el primer puesto. Una vez que esto se ha hecho, quedan nueve candidatos; por lo tanto, hay nueve formas de ocupar el segundo puesto. De manera semejante, hay ocho formas de ocupar el tercer puesto y siete formas de ocupar el último puesto. Entonces, el número total de formas o permutaciones para ocupar las cuatro posiciones teniendo diez candidatos es 10 X 9 X 8 X 7 = 5040 lo cual es el producto de cuatro factores. La misma respuesta se obtiene si se utiliza la ecuación alterna. 10P4 =

10 ! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6! = 10 X 9 x 8 x 7 = 5040

(10-4)!

6!


26


Combinaciones Definición: Una combinación es un subconjunto de m elementos distintos seleccionados de un conjunto X con n elementos. El número de distintas combinaciones o subconjuntos de m elementos que podemos formar de un conjunto con n elementos lo denotaremos por Cm, n. Dado un conjunto con n elementos distintos. X = {x1, x2,...xn} del cual nos interesa seleccionar m elementos distintos (es decir, no los repetimos) en donde m

n. Nota que no es importante el orden.

Ejemplo 1. En un proceso de producción se requiere seleccionar dos artículos de cuatro, en los que se supone que hay dos defectuosos. ¿De cuántas formas podemos seleccionar dos artículos? Denotemos los dos artículos buenos con las letras B1, B2 y los dos artículos defectuosos, con las letras D1, D2. Así que el Conjunto X está representado por cuatro elementos X = {D1, D2., B1, B2 }; los posibles subconjuntos están dados por: {D1, D2.}

{ D1, B1 }

{D1, B2.}

{D2, B1 }

{D2, B2.}

{ B1, B2 }

Observa que no importa el orden, es decir, el conjunto {D1, D2.} es el mismo que {D2, D1.}. Ejemplo 2. Supón que diez personas son candidatas para la mesa directiva de cierto distrito escolar. Debe de elegirse tres componentes para la mesa directiva. ¿De cuántas formas pueden seleccionarse tres personas entre 10 candidatos? Supón que las personas están denotadas por {A, B, C, D, E, F, G, H, I, J}. Para este ejemplo el orden en el cual se selecciona a estas tres personas para la mesa directiva no se considera, por lo que se tiene las siguientes combinaciones: {A, B, C} {A, B, J.}

{A, B, D} {A, C, D}

{A, B, E.}

{A, B, F}

{A, C, E.} … {G, H, I}

{A, B, G.}

{A, B, H}

{G, H, J.}

{H, I, J}

{A,B, I }

El resultado final será 120 formas de combinar los elementos de los 10 candidatos. Relación entre permutaciones y combinaciones. En el ejemplo 1 el número de subconjuntos de dos elementos seleccionados de un conjunto con cuatro elementos fue: {D1, D2.}

{D1, B1}

{D1, B2.}

{D2, B1}

{D2, B2.}


{B1, B2}

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Sin embargo, si el orden fuera importante tendríamos: {D1, D2.}

{D1, B1}

{D1, B2.}

{D2, B1}

{D2, B2.}

{B1, B2}

{D2, D1.}

{B1, D1}

{B2, D1.}

{B1, D2}

{B2, D2.}

{B2, B1}

Para calcular el número de permutaciones sustituimos en la fórmula n=4 y m=4

Obtenemos el valor de 4P2 = 12 permutaciones como observamos anteriormente. Si deseamos calcular el número de combinaciones tendremos que quitar las que se repiten dividiendo este resultado entre dos. (En el caso general entre m!) Observa:

Por lo que el valor de 4C2 = 6 combinaciones como se mostró antes. Ejemplo 3. Nuevamente considera el conjunto del ejemplo 2, utiliza la ecuación anterior para encontrar cuántos subconjuntos podemos formar. Sea n=5 y m=2, por lo que:

Ejemplo 4. Considera el mismo ejercicio del ejemplo 3. ¿De cuántas formas pueden seleccionarse tres personas para la mesa directiva de entre 10 candidatos? Se tiene que n= 10 y m= 3, por lo que:


28


Observa que utilizando la ecuación anterior, será más fácil obtener el número de combinaciones. Ejercicio 4. De los siguientes enunciados, calcula el número de veces en que un evento suceda. Utiliza las técnicas de conteo de “Permutaciones”. Experimento 1. Supóngase que se tiene un equipo de 6 alumnos en la materia de probabilidad, ¿de cuántas formas diferentes podemos seleccionar a dos alumnos de tal forma que cada uno tenga el rol de jefe y el otro de líder?

Respuesta a) 12 b) 30 c) 18 d) 720

2. De cuántas maneras se puede sentar a 2 niñas y 4 niños en una fila de seis asientos.

a) 720 b) 8 c) 20 d) 180 a) 60

3. Se ha contratado a 5 empleados para la empresa Cineaqui, ¿de cuántas formas diferentes podemos repartir a los empleados en 5 diferentes puestos?

b) 25 c) 24 d) 120 a) 10

4. Un estudiante tiene que seleccionar una de las 4 materias optativas; una actividad extraescolar entre danza, teatro, música, y guitarra, y entre uno de los siguientes idiomas, inglés, francés e italiano ¿De cuántas formas distintas puede escoger?

b) 35 c) 48 d) 78 a) 640

5. ¿De cuántas maneras diferentes se puede colocar ocho libros distintos en un librero?

b) 40320 c) 20160 d) 5040


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Ejercicio 5. De los siguientes enunciados, calcula el número de veces en que un evento suceda. Utiliza las técnicas de conteo de “Combinaciones”. Experimento

Respuesta

Respuesta correcta

a) 12 1. En una familia de 4 hijos se tiene una niña y tres niños ¿De cuantas formas podemos seleccionar dos niños de los cuatro?

b) 6 c) 20 d) 24

2. González tiene 15 libros. Solamente puede llevarse cuatro de ellos en su mochila. ¿Cuántos grupos diferentes de libros puede seleccionar de los 15 libros?

a) 1365

3. En la clase de Probabilidad hay 20 estudiantes. ¿De cuántas formas puede seleccionarse de entre esta clase a un comité de tres estudiantes?

a) 720

4. Si se cuenta con 14 alumnos que desean colaborar en una campaña pro limpieza de la Universidad, ¿cuántos grupos de limpieza podrán formarse si se desea que cada uno de ellos conste de 6 alumnos?

a) 1287

5. Halla el número de palabras de 4 letras diferentes que pueden formarse con las letras de la palabra “factor”.

a) 320

b) 32760 c) 1250 d) 2720 b) 970 c) 1140 d) 1320 b) 2162160 c) 13755 d) 3003

b) 16 c) 24 d) 15


30


Actividad 3. Construye conceptos a través de ejemplos Propósitos Al finalizar la actividad, el alumno podrá: 

Reconocer dónde se puede aplicar la probabilidad.



Colaborar y sociabilizar para la obtención de ejemplos.

Desarrollo Los estudiantes agregarán en el Wiki de la “Etapa1” ejemplos de casos reales donde se pueda aplicar la probabilidad. Instrucciones 1. Entra al Wiki y revisa los ejemplos de aplicaciones propuestas por tus compañeros, en caso de que las haya. 2. De forma individual, investiga en alguna fuente de información dos casos reales (en las áreas de economía y finanzas, ingeniería y las ciencias naturales) diferentes a los presentados por tus compañeros en los que se pueda y se deba aplicar la probabilidad para prevenir un evento. 3. Agrega tus ejemplos al final del contenido actual del Wiki.

Actividad 4. Espacio muestral de un experimento Propósitos Al finalizar la actividad, el alumno podrá: 

Identificar el espacio muestral de un experimento.



Desarrollar habilidades para la obtención de espacio muestral.

Desarrollo El estudiante analizará el experimento para obtener el espacio muestral. Instrucciones 1) Encuentra y representa en forma gráfica el espacio muestral de los dos siguientes experimentos.

Experimento 1. Un fabricante de cámaras produce tres modelos diferentes (MOD1, MOD2, MOD3) y cuatro accesorio distintos (ACCE1, ACCE2, ACCE3, ACC4). Cada accesorio puede utilizarse junto con cualquiera de los tres modelos de cámara. Cada combinación accesorio constituye un punto muestral.


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Experimento 2: Un investigador de mercado entrevista a una familia de cuatro personas, dos hijos adolescentes y sus padres, para determinar si les agrada (A) o desagrada (D) un nuevo producto. Fórma una secuencia con la respuesta del padre, la madre, el hijo mayor y el segundo hijo. Encuentra y representa en forma gráfica el espacio muestral de este experimento.

2) Al terminar, crea un archivo Word con la respuesta de los dos experimentos y envíalo a la Sección de tareas. 3) Espera los comentarios del Facilitador(a).

1.2. Enfoques para el cálculo de probabilidades Hay tres enfoques para el cálculo o estimación de la probabilidad de que un evento suceda. Seleccionar uno de los tres enfoques dependerá de la naturaleza del problema. A continuación te presentamos sus planteamientos generales para que puedas identificar el enfoque que debes aplicar en un determinado evento.

1.2.1. Enfoque clásico El enfoque clásico o "a priori" fue estudiado por Laplace, matemático y astrónomo francés a quien a los 24 años se le llamó "el Newton de Francia" por algunos de sus descubrimientos. Motivado por estimar probabilidades en los juegos de azar, desarrolló para la teoría de probabilidades el enfoque clásico que se emplea cuando los espacios muestrales son finitos y tienen resultados igualmente probables. Este enfoque supone condiciones ideales en un experimento aleatorio y por lo tanto su uso es limitado, aunque nos brinda bases sólidas para el cálculo de probabilidades. Este enfoque es un enfoque teórico y no requiere de llevar a cabo el experimento para estimar la probabilidad de ocurrencia de un evento aleatorio.

Sin necesidad de realizar el experimento aleatorio se obtiene por razonamiento lógico el número de resultados posibles de ese experimento y análogamente el número de resultados en que es posible se obtenga el evento A. P(A)

A es un evento de un espacio muestral S Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología

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P(A) representa la probabilidad de que ocurra el evento Ejemplo 1. Supongamos que se tiene una caja cerrada con 16 lápices, 3 rojos, 3 verdes, 4 amarillos y 6 rosas. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un lápiz de color amarillo? Sea el suceso A: Sacar un lápiz de color amarillo Los casos favorables al evento A: 4 Casos posibles: 16

P  A 

4 4   0.25  25% 33 4 6 16

Por lo tanto la probabilidad de sacar un lápiz de color amarillo es del 25 %.

1.2.2. Enfoque de frecuencia relativa El enfoque de la frecuencia relativa se basa en la experimentación, se le conoce también como enfoque “a posteriori”. Éste supera las limitaciones del enfoque clásico, que se limita a situaciones en las que hay un número finito de resultados igualmente probables. Este enfoque es empírico y no teórico. Requiere realizar el experimento para estimar la probabilidad de ocurrencia de un evento aleatorio. Se realiza n veces un experimento aleatorio y se observa la frecuencia de ocurrencia del evento A, se define la probabilidad de A por: P(A)

A es un evento de un espacio muestral S P(A) representa la probabilidad de que ocurra el evento A

Ejemplo 1. Se lanza 1000 veces una moneda y da como resultado 529 caras, entonces la frecuencia relativa de que salga una cara es

P  A 

n( A) 529   0.529 n 1000


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Si en otros 1000 lanzamientos resultan 493 caras, tenemos que la frecuencia relativa de los 2000 lanzamientos totales es de

P  A 

n( A) 529  493   0.511 n 2000

De acuerdo con la definición, si se continuara de esa manera, se acercaría cada vez más a un número que representa la posibilidad de obtener una cara en un solo lanzamiento de la moneda, es decir, a solo 0.5.

1.2.3. Enfoque subjetivo En el enfoque subjetivo o intuitivo, en algunas situaciones, se presentan situaciones en las cuales no es posible realizar experimentos repetitivos y los resultados tampoco son igualmente probables. A diferencia de los dos enfoques anteriores que son objetivos y se sustentan en la teoría o en la experimentación, la probabilidad subjetiva tiene que ver con el criterio personal para medir la posibilidad de ocurrencia de un evento aleatorio, que se hace con base en ciertos criterios o experiencias sobre casos semejantes. Como se mencionó anteriormente, esta probabilidad no se basa ni en aspectos teóricos ni tampoco en la experimentación. De hecho no es objeto de estudio de la teoría de probabilidad; sin embargo, es muy útil en experimentos que no es posible repetir y en los que los posibles resultados no son equiprobables. Ejemplo 1. Probabilidad de que hoy llueva. Ejemplo 2. Probabilidad de que una persona se case este año. Ejercicio 6. De los siguientes enunciados, selecciona cuál de las tres formas utilizarías para calcular la probabilidad de que el evento suceda. Enfoque clásico o a priori

Enfoque de la frecuencia relativa

Enfoque subjetivo o intuitivo

1. Probabilidad de que hoy llueva. 2. Probabilidad de que salga un número par al lanzar un dado. 3. Probabilidad de que caiga sol al lanzar 1000 veces una moneda. 4. Probabilidad de que tu amiga se case este año. 5. La probabilidad de que, al lanzar una tachuela cuya Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología

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forma es irregular, ésta quede sobre su cabeza o acostada.

1.3. Reglas básicas Contar es suficiente en muchos de los casos en donde se desea conocer la probabilidad de que suceda un evento, pero, conforme el problema es más complejo, resultan necesarias varias reglas para auxiliar en la determinación de probabilidades. Por ejemplo, en ocasiones tendremos que analizar situaciones donde suceden simultáneamente eventos, por lo que se necesita expresar y encontrar la probabilidad de que suceda un evento a raíz de la presencia de varios eventos simultáneos; por lo tanto, en este tema se analizan algunas reglas básicas acerca de la unión de dos o más eventos y la intersección de eventos que también serán base para el cálculo de probabilidades.

1.3.1. Regla general para suma de eventos Suponiendo que P(A) y P (B) representan las probabilidades para los dos eventos A y B, entonces la probabilidad P(A U B) de que ocurran A o B, se obtiene por: P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A A

B)

B es el evento de que sucedan simultáneamente los eventos A y B, es decir, son eventos que no son

mutuamente excluyentes. Ejemplo 1. Para obtener licencia para conducir, es necesario aprobar tanto el examen teórico como el práctico. Se sabe que la probabilidad de que un alumno apruebe la parte teórica es 0,68, la de que apruebe la parte práctica es 0,72 y la de que haya aprobado alguna de las dos partes es 0,82. Si se elige un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que apruebe el examen para obtener licencia? Sea A: aprobar la parte teórica, (P(A)=0,68) Sea B: aprobar la parte práctica, (P (B)=0,72) Sea A B: aprobar la parte teórica y la parte práctica, (P (A B) = (?) Sea AUB: aprobar la parte teórica o la parte práctica P(AUB)=0.82, es decir, en esta última basta con que haya probado alguna de las dos partes.


35


Usando P(A U B) = P(A)+P(B)-P(A B), se despeja P(A B), ya que es el dato que se desea conocer, por lo tanto tenemos P(A B)=P(A)+P(B)-P(AUB) Sustituyendo tenemos que P(A B)=0,68+0,72-0,82=0,58= 58%

Por lo tanto, la probabilidad de que el alumno seleccionado al azar pase el examen para obtener su licencia es de 58%. Ejemplo 2. En una muestra de 500 estudiantes, 320 dijeron tener un estéreo, 175 dijeron tener una TV y 100 dijeron tener ambos. Si un estudiante es seleccionado aleatoriamente. a) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga solo un estéreo? b) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga solo una TV? c) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga alguno de los dos? Se considera los siguientes conjuntos Sea S: tener estéreo Sea T: tener TV Sea S

: tener estéreo y TV

Para cada inciso se tiene: a) P(S) = 320 /500 = .64. entonces 0.64 es la probabilidad de tener un estéreo. b) P(T) = 175 /500 = .35. entonces 0.35 es la probabilidad de tener una TV. c) Sea P(S

) = 100 /500 = .20. entonces 0.20 es la probabilidad de que tengan estéreo y TV.

Utilizando la fórmula se tiene: P(S U T) = P(S) + P(T) - P(S

) = 0.64 + 0.35 - 0.20 = 0.79

Entonces, la probabilidad de que tengan TV o estéreo o ambos es de 0.79.


36


Ejemplo 3. Un estudio de 500 alumnos que toma uno o más cursos de álgebra, física y estadísticas, durante un semestre reveló el siguiente número de alumnos en las materias indicadas: Álgebra

329

Física

186

Estadística

295

Álgebra y Física

83

Álgebra y Estadística Física y Estadística

217 63

¿Cuántos estudiantes cursan las tres materias? Sea A: tomar clase de Álgebra, ((A)=329) Sea B: tomar clase de Física, ((B)=186) Sea C: tomar clase de Estadística, ((C) = 295) Sea A∩B: tomar clases de Álgebra y Física ((A∩B)=83) Sea A∩C: tomar clases de Álgebra y Estadística, ((A∩C)=217) Sea B c: tomar clases de Física y Estadística, ((B∩C)=63)

Sea A∩B∩C: toma los tres cursos, ((A∩B∩C) =?) Sea AUBUC: toma uno o más cursos ((AUBUC)= 500) Para obtener el resultado se utilizará la siguiente fórmula: P(A U B U C) = P(A) + P(B) +P (C) - P(A Despejando P(A P(A

B) - P(A

C) - P(B

C)- P(A

B C)

B C) se obtendrá el número de estudiantes que cursan las tres materias

B C)= P(A) + P (B) +P (C) - P(A

B) - P(A

C) - P(B

C)+ P(A U B U C)

Sustituyendo P(A

B C)= 329 + 186 + 295 -83 -63 -217 - 500

Por lo que P(A

B C) =53 que es el número de alumnos que cursa álgebra, física y estadística.


37


Nótese que la probabilidad (empírica) de que un estudiante curse las tres materias es 53 500

1.3.2. Regla para suma de eventos excluyentes Definición: Dos eventos o más son mutuamente excluyentes si no pueden suceder al mismo tiempo, como los eventos los representamos con conjuntos, entonces: A, B son excluyentes si y solo si A

B = Ø.

En la fórmula 1.3.3.- 1 si A y B son conjuntos disjuntos o mutuamente excluyentes, o sea que no pueden ocurrir en forma simultánea, la probabilidad de P(A

B) = 0, entonces la probabilidad P(A U B) de que

ocurran A o B se obtiene por: P(A U B) = P(A) + P(B) Ejemplo 1. Sea S el evento de que asistas a una universidad estatal y P el evento de que asistas a una universidad privada. Considera que no asistirás a ambas simultáneamente. Si la probabilidad de que asistas a una universidad estatal es de 0.4 y a una universidad privada es de 0.25. ¿Cuál es la probabilidad de que asistas ya sea a una universidad estatal o a una privada? Tenemos que los eventos son excluyentes, es decir, solo asistirás al estatal o al privado, pero no a ambas, apliquemos la siguiente fórmula P(S U P) = P(S) + P(P)= 0.4 + 0.25 = 0.65 La probabilidad de que asistas a la estatal o privada es 0.65. Ejemplo 2. Supón que se tiene una urna con 50 papeles de colores, los cuales son 15 rojos, 5 morados, 9 verdes, 11 naranjas y 10 azules. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un papel rojo o un papel azul? Sea los siguientes eventos. A: sale un papel rojo B: sale un papel azul AUB: sale un papel rojo o azul


38


Entonces se tiene que P(A)= 15 = 0.3 50 P (B) = 10 = 0.2 50 Utilizando la fórmula correspondiente tenemos que P(A + B ) = P(A) + P(B) =0.3 + 0.2 = 0.5 Por lo que la probabilidad de sacar un papel rojo o azul es de 0.5 Ejemplo 3. Sea el evento A de sacar diez de calificación en la materia de probabilidad, B el evento de sacar nueve y C el evento de sacar ocho. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un diez o un nueve o un ocho en la materia? Nota que los eventos son mutuamente excluyentes, es decir que solo puede suceder uno de ellos, por lo que tenemos P(A)= 1 / 10, P(B) = 1 / 10 y P(C) = 1/10, y utilizando la fórmula se tiene P(A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) = 1/10 + 1/ 10 + 1/10 = 0.3 Por lo tanto la probabilidad de sacar un 10 o un 8 o un 7 es de 0.3. Ejercicio 7. De los siguientes enunciados, calcula la probabilidad de que suceda el evento. Utiliza las reglas básicas de cálculo de probabilidades. Experimento 1) Considera los siguientes eventos

Respuesta a) 20/52

A= {extraer un as de una baraja}

b) 12/52

B= {Extraer una espada}

c) 16/52

¿Cuál es la probabilidad de extraer un as o una espada o ambas? 2) En Cinepolito presentan las películas Amanecer, Barbie, Cómplices, Duende, Esperanza y Familia en espera, llegan 2 amigos y deciden escoger una de ellas. ¿Escribe la probabilidad de al menos algunos de ellos escoja la película “Familia en espera”?

d) 2/52 a) 20/36 b) 11/36 c) 2/6 d) 7/12


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3) Supón que la probabilidad de que asistas a la universidad es de 50%, de que trabajes tiempo completo es de 60%, y la probabilidad de que asistas a la universidad y trabajes tiempo completo es del 30%. ¿Cuál es la probabilidad de que asistas a la universidad o trabajes tiempo completo?

a) 0.8 b) 0.35 c) 0.5 d) 0.7

4) La probabilidad de que un hombre esté vivo dentro de 25 años es de 3/5 y la probabilidad de que su esposa lo esté es de 2/3. Calcula la probabilidad de que al término de ese plazo al menos uno esté vivo.

a) 2/5 b) 1/5 c) 4/15 d) 13/15

5) Supón que tienes que elegir entre tres talleres extracurriculares: “guitarra”, “manualidades” y “danza”, y la probabilidad de que vayas a uno de estos es de 0.35, 0.30 y 0.20, respectivamente. Supón que solo puedes asistir a uno de estos. ¿Cuál es la probabilidad de que asistas a algunos de estos talleres?

a) 0.60 b) 0.55 c) 0.25 d) 0.85

Actividad 5. Probabilidades de uno o más eventos Propósitos Al finalizar la actividad, el alumno podrá: 

Analizar las reglas básicas del cálculo de probabilidades.



Desarrollar habilidades para la obtención de la probabilidad a través de suma de eventos.

Desarrollo Los estudiantes encontrarán las probabilidades de que suceda un evento o más de un experimento aleatorio. Instrucciones 1) Encuentra las probabilidades del siguiente caso. Resuélvelo en tu libreta.


40


CASO: En la ciudad de Perote, en un mes, se realizó el siguiente estudio de las propiedades que los novios pueden tener antes del matrimonio, las cuales se reportaron en la siguiente tabla:

Coche

Casa

Novio

17

5

Novia

10

2

Encuentra las probabilidades de que, cuando se casen dos personas: a) El novio tenga coche. b) El novio tenga coche y casa. c) La novia tenga casa y coche. d) El novio tenga coche o casa. e) El novio tenga casa y la novia coche.

2) Al terminar, copia el resultado de cada inciso en un archivo de Word y envíalo a la Sección de tareas. 3) Espera los comentarios del Facilitador(a).

Evidencia de aprendizaje. Reflexión sobre el respeto a las reglas de tránsito Propósitos Al finalizar la actividad, el alumno podrá: 

Identificar las probabilidades de que suceda un evento a fin de tomar una postura crítica ante los principios probabilísticos a través de la utilización de las reglas básicas de la probabilidad.

Desarrollo: Dado el caso de estudio sobre las reglas de tránsito, reflexiona cómo afecta en los resultados la falta de cumplimiento de dichas reglas.

Procedimiento: 1) A continuación lee con cuidado lo siguiente:

Cuando circulas en automóvil o microbús por las calles de la ciudad, te has preguntado: Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología

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¿Qué pasaría si en un crucero conglomerado no funcionaran los semáforos? Cuando un peatón atraviesa la calle y un automovilista le silva. ¿Por qué lo hace? ¿Cuántas personas se ponen el cinturón de seguridad? ¿Cuántos accidentes automovilísticos suceden en la ciudad? ¿Cuántas muertes o heridos hay en los accidentes? Analiza lo aprendido en esta unidad y reflexiona si podrías contestar cada una de estas preguntas a través de los principios y conceptos básicos de la probabilidad. Si tu respuesta fue afirmativa, ¿podrías ayudar al sistema de tránsito de tu localidad a disminuir estos problemas? 2) Con base en las anotaciones del punto anterior, elabora un reporte en Word con tu “Reflexión” de no más de una cuartilla sobre el estudio de este caso que incluya: 

Breve introducción al caso.



Incluye de manera narrativa las respuestas dadas a las preguntas anteriores.

3) Concluye al final de tu reporte sobre la importancia de aplicar la probabilidad en estos eventos. 4) Envía el archivo a la Sección de tareas. 3) Espera los comentarios del Facilitador(a).

Consideraciones específicas de la unidad La asignatura de Probabilidad I desarrolla el pensamiento analítico mediante la solución de problemas reales basados en el enfoque clásico y el enfoque de la frecuencia relativa. Para cumplir con los propósitos de la Unidad 1. “Introducción a la probabilidad” se ha diseñado diversas actividades y ejercicios destinados al desarrollo de destrezas o habilidades para la solución de problemas donde se desea conocer los resultados de un experimento aleatorio. De acuerdo con este planteamiento, la unidad ofrece, a través de las temáticas y las lecturas, elementos básicos sobre la probabilidad, pero también actividades para ejercitarse en su práctica. Para lograr los propósitos y desarrollar las competencias, es indispensable que el estudiante realice todas y cada una de las actividades previstas en la unidad, vinculando así la teoría con la práctica.


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Para guiar las acciones que tendrá que realizar el estudiante y facilitar su identificación, a continuación se presentan los íconos que corresponden a las actividades y ejercicios de la Unidad: Ejercicios. Son actividades formativas que tienen como función la activación de conocimientos relacionados con las temáticas de la propia unidad. Estos no cuentan con valor numérico pero sí son indispensables para avanzar en los procesos de aprendizaje. Actividades de aprendizaje. Las actividades de aprendizaje además de tener un valor formativo cuentan con un valor sumativo. A través de su realización se ejercitan habilidades, destrezas y actitudes que permiten la aplicación de métodos y técnicas en situaciones de aprendizaje y que más tarde serán aplicadas en contextos académicos y sociales. Foro de debate. El foro es un espacio de debate académico que contribuye al desarrollo del pensamiento crítico. En este esquema, el estudiante tendrá que defender sus puntos de vista a través de argumentos sólidos y compartir sus opiniones y aportaciones con otros compañeros para llegar a acuerdos comunes sobre conceptos, teorías y perspectivas teóricas. En este espacio también se desarrollan actitudes de tolerancia y respeto hacia los demás.

Fuentes de consulta Anderson, David R. y Sweeney, Dennis J. (2008). Estadística para administración y economía. Cengage Learning Latin America. Devore, Jay L. (2005). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. México: Thomson. Evans, M. J. (2005). Probabilidad y estadística. Reverte. Gamiz Casarrubias, Beatriz E. (2003). Probabilidad y estadística con prácticas en Excel. México: Just in time Press. Hayslett, H. T. Jr. (1987) Estadística simplificada. México: Grupo editorial Sayrols. Johnson, R. y Kuby, P. (2006). Estadística elemental. México: Thomson Paraninfo. Lincoln L. Chao. (2000). Introducción a la estadística. México: Compañía Editorial Continental. Ruiz, Elena y Ruiz, Elvia. (2007). Probabilidad y estadística. México: McGraw-Hill Interamericana. Spiegel, Murray R. y Stephens, Larry J. (2002). Estadística. México: McGraw-Hill.


43


Tripla, Mario F. (2006). Estadística elemental. México: Addison Wesley Longman. Walpole, R., Myers, R. H. y Myers, Sharon. (2007). Probabilidad y estadística para ingenieros. Pearson Education. Fuentes cibergráficas http://www.uaim.edu.mx/web-carreras/carreras/CALIDAD/04TRIM/PROBABILIDAD.pdf http://www.vitutor.com/estadistica.html http://www.fisterra.com/mbe/investiga/probabilidades/probabilidades.asp http://www.zweigmedia.com/MundoReal/tutindex.html http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/amarillo.htm http://www.csanpablo.com.ar/apuntes_archivos/fisica_archivos/probabilidad_y_%20estadistica.PDF http://www.itchihuahua.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/amarillo.htm http://www.aulafacil.com/CursoEstadistica/CursoEstadistica.htm http://www.cmat.edu.uy/~mordecki/notas_probabilidad.pdf http://www.matematicas.unam.mx/lars/libros/cip.pdf


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UNIDAD 2. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD

Propósito de la unidad Al finalizar la unidad el estudiante: 

Reconocerá la importancia de la utilización del cálculo de probabilidades.



Analizará algunos axiomas y teoremas como base para el cálculo de probabilidades.



Identificará la independencia de eventos.



Analizará diferentes situaciones donde podrá aplicar la regla de probabilidad condicional.



Obtendrá la probabilidad de un experimento utilizando el teorema de Bayes.

Competencia específica Utilizar axiomas y teoremas de la probabilidad para resolver eventos independientes mediante la aplicación de la teoría de Bayes y la probabilidad condicional.

Presentación de la unidad Utilizando los conceptos básicos de la unidad 1 y en especial las reglas de conteo, es posible calcular la probabilidad de cualquier evento en un experimento particular simple, pero, cuando un problema es complejo, resultan necesarias varias reglas, para auxiliar en la determinación de las probabilidades. La presente unidad ofrece elementos teóricos sobre el cálculo de probabilidades, que nos permitirá encontrar probabilidades en situaciones difíciles, a través del estudio y análisis de axiomas y teoremas, los cuales son base de las reglas probabilísticas y, por consiguiente, son fundamentos en el cálculo de probabilidades. Todo lo anterior está incluido en las lecturas y ejercicios, que permitirán el logro del aprendizaje a través de la práctica.

2.1. Cálculo de probabilidades Recordemos que la predicción y el azar representan herramientas útiles para el diseño e interpretación de encuestas o interpretación de información general y conforme se aumenta el grado de dificultad para interpretar los resultados de un fenómeno aleatorio, se necesita de nuevas herramientas para poder interpretar eficientemente la información.


45


Por lo anterior, a lo largo de de esta unidad, se conocerá los conceptos básicos de la teoría de la probabilidad, a través del análisis de sus propiedades, axiomas y teoremas, que serán fundamentos para el cálculo de probabilidades. Además, se presenta la probabilidad condicional y eventos independientes, donde se realiza un análisis de cómo obtener la probabilidad de un evento cuando intervienen dos o más eventos. Para poder entender y emplear mejor estos conceptos, se propone una serie de ejemplos y ejercicios contenidos en cada subtema de esta unidad.

2.1.1. Definición de probabilidad Definición de probabilidad. Si un experimento aleatorio tiene un espacio muestral S con n resultados posibles que corresponden a n eventos mutuamente excluyentes E1, E2,…, En la probabilidad es una función P que toma valores en el espacio muestral S y le asigna un valor en el conjunto

[0,1] y su

regla de correspondencia cumple con las siguientes propiedades: Para cualquier Ei en S: 1) P(Ei) ≤ 1 2) P(Ei) ≥ 0 3)

=1

Cálculo de probabilidad de un evento A. Sea A un evento que sucede si uno de los k eventos E1, E2,..., Ek sucede entonces: P(A) = P(E1) + P( E2)+ …+ P( Ek)


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Actividad 1. Aplicaciones de probabilidad simple y condicional Propósitos Al finalizar la actividad el alumno podrá: 

Ejemplificar los conceptos básicos de la probabilidad simple y condicional



Colaborar e incrementar sus cocimientos sobre el tema de probabilidad simple y condicional.



Identificar aplicaciones donde podría aplicar la probabilidad simple y condicional

Instrucciones 1. Elabora una nueva entrada en tu blog, considerando lo siguiente: 

Observa tú alrededor e identifica diversos eventos que pasas en tu ambiente familiar, laboral o en tu sociedad y clasifícalos de acuerdo al cálculo de probabilidades simples y condicionales.



Una vez identificados tus eventos, da un ejemplo propio de probabilidad simple y otro de probabilidad condicional.



Concluye argumentando en dónde aplicarías la probabilidad simple y la probabilidad condicional.

Recursos de apoyo 

Buscadores de Internet, revistas, libros, etc.

Criterios de evaluación: 

Orden y claridad



Relación correspondiente a los conceptos vistos



Planeación de acuerdo a los pasos indicados



Conclusión argumentada correctamente

2.1.2. Axiomas de probabilidad Los axiomas en la teoría de probabilidad constituyen la base para deducir a partir de ellas un amplio número de resultados. La letra P como se mencionó antes se utiliza para designar la probabilidad de un evento, siendo P(A) la probabilidad de ocurrencia de un evento A en un experimento. Axioma 1. Si A es un evento de S, entonces la probabilidad del evento A es: 0 ≤ P(A) ≤ 1 Como no podemos obtener menos de cero éxitos ni más de n éxitos en n experimentos, la probabilidad de cualquier evento A, se representa mediante un valor que puede variar de 0 a 1. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología

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Axioma 2. Si dos eventos son mutuamente excluyentes, la probabilidad de obtener A o B es igual a la probabilidad de obtener A más la probabilidad de obtener B. P(A U B) = P(A) + P(B) Axioma 3. Si A es un evento cualquiera de un experimento aleatorio y A’ es el complemento de A, entonces: P(A’) = 1 - P(A) Es decir, la probabilidad de que el evento A no ocurra, es igual a 1 menos la probabilidad de que ocurra.

2.1.3. Teoremas de probabilidad TEOREMA 1. Si A es un evento nulo o vacío, entonces la probabilidad de que ocurra A debe ser cero. Demostración: Si obtenemos la probabilidad de A U B, por un lado A y B son mutuamente excluyentes, por lo que A

B = Ø = A; por otro lado, A U B es igual con B, ya que A es vacío, entonces:

P(A U B) = P(A) + P(B) => P(B) = P(A) + P(B) siendo esto posible si y solo si P(A) = 0 TEOREMA 2. La probabilidad del complemento de A. A’ debe ser p(A’)= 1 – p(A) Demostración: Sabemos que la probabilidad de P(S) = P(A U A’) = 1; por otro lado, A y A’ son mutuamente excluyentes por lo que P(A

A’) = 0 entonces:

P(A U A’) = P(A) + P(A’) - P(A

A’) = P(A) + P(A’) – 0 = 1

Despejando P(A’) obtenemos que P(A’) = 1 - P(A)


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Ejercicio 1. Analiza cada una de las definiciones y contesta verdadero(V) o falso (F), según corresponda de acuerdo a los fundamentos del cálculo de probabilidades.

Respuesta

Respuesta correcta

1) La probabilidad es una función P que toma valores en el espacio muestral S y le asigna un valor en el conjunto [0,1], su regla cumple con la propiedad > 1. 2) Sea A un evento que sucede si uno de los k eventos E1, E2,…, Ek sucede entonces: P(A) = P(E1) X P( E2) X … X P( Ek). 3) Si dos eventos son mutuamente excluyentes, la probabilidad de obtener A o B es P(A U B) = P(A) + P(B). 4) Si A es un evento nulo o vacío, entonces la probabilidad de que ocurra A debe ser cero. 5) Si A es un evento cualquiera de un experimento aleatorio y A’ es el complemento de A, entonces, P(A’) = 1 + P(A).

Actividad 2. Axiomas y teoremas en el cálculo de probabilidades Propósitos Al finalizar la actividad el alumno podrá: 

Identificar los axiomas y teoremas para el cálculo de probabilidades.



Aplicar adecuadamente los conceptos vistos en el tema 2.1, para el cálculo de probabilidades en eventos simples y compuestos.

Desarrollo Los estudiantes revisaran el material expuesto en el tema “2.1. Cálculo de probabilidades” y posteriormente resolverán los siguientes problemas, utilizando los axiomas y teoremas en el cálculo de probabilidades simples y compuestas. Procedimiento 1) Para cada uno de los siguientes problemas, encuentra la probabilidad simple o compuesta según sea el caso, utilizando lo expuesto en el tema “2. 1 Cálculo de probabilidades”. En cada ejercicio argumenta por qué utilizas algún axioma o teorema, para el cálculo de su probabilidad, es decir, explica cómo llagaste a tus resultados.


49


a. Se registra que en un grupo de alumnos de acuerdo a su aprovechamiento durante todo el año, la probabilidad de que pase un alumno el examen de “Enlace” es del 75%. ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno no pase el examen? b. Se tiene que en una agencia de autos, el vendedor Juan tiene una probabilidad de sacar el premio del vendedor del mes de 35%, y Pedro tiene una probabilidad de sacar el premio de vendedor del mes del 20%. ¿Cuál es la probabilidad de que Juan o Pedro saque el premio del mejor vendedor? c. Sea que se indique E1 es el evento de que asistas al balneario público y E2 al evento que asistas al balneario privado. Considera, que no asistirás simultáneamente a ambas. Si la probabilidad de que asistas a un balneario público es del 30% y al balneario privado es del 18%, entonces ¿cuál es la probabilidad de que asistas a un balneario este fin de semana? 2) Una vez terminados tus ejercicios, pásalos a un archivo de Word. 3) Sube tu archivo a la sesión de tareas. 4) Espera la retroalimentación de tu Facilitador(a) y si es necesario corrige tus ejercicios. Criterios de evaluación: 

Orden y claridad



Habilidades procedimentales



Resultado correcto



Justificación o interpretación de su resultado

2.2. Probabilidad condicional El concepto de probabilidad condicional fue desarrollado por el reverendo inglés Thomas Bayes (17021761), cuyo trabajo fue leído póstumamente, en 1763. Bayes da la primera definición rigurosa y explícita de sucesos o eventos de los cuales se tiene información previa de la ocurrencia de algunos de ellos, lo cual cambia el sentido de la probabilidad clásica. Un ejemplo de ello se puede apreciar en los juegos de azar, supóngase que se lanza un dado pero los resultados del experimento aleatorio no son equiprobables como lo menciona la teoría clásica de probabilidad, imagina un dado cargado de forma tal que uno de sus números no tiene ocurrencia, esto es muy fácil modificar, simplemente se colocan contrapesos al número que deseamos “no ocurra”. En general en la práctica tenemos idea de la posibilidad de ocurrencia de algunos eventos, o bien usamos escenarios de cómo se comportaría un evento si ocurriera otro evento. En economía es frecuente plantearse escenarios, por ejemplo, qué probabilidad existe de aumentar las utilidades de una empresa si se incrementan las tasas de interés. En esta sección aplicaremos estos conceptos para estimar Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología

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probabilidades de eventos que están relacionados con otros eventos y su ocurrencia modifica su probabilidad de ocurrencia. Imagina que en un dado no ocurre un número impar, ¿cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado aparezca un dos? Es claro que nuestro espacio muestral se reduce a tres resultados y la probabilidad P(“aparezca un dos”) = 1/3 en lugar de 1/6 como sucedería en un dado normal.

Actividad 3. ¿Por qué nace la probabilidad condicional? Propósitos Debatir e intercambiar opiniones y experiencias con los compañeros(as) de grupo sobre el surgimiento de la probabilidad condicional y la importancia de su estudio. Instrucciones En este espacio podrás compartir experiencias, puntos de vista, opiniones sobre la probabilidad condicional. Es importante tu participación y el intercambio de experiencias para construir conocimiento. 1. Comenta con tus compañeros(as) en el foro lo que ha significado este tramo de aprendizaje para llegar a acuerdos y consensos comunes a partir de las siguientes preguntas: o

¿Qué entiendes por probabilidad condicional?

o

¿Por qué nace la probabilidad condicional?

o

¿Consideras importante que existan definiciones y propiedades ya fundamentadas para la solución de problemas probabilístico-condicionales?

2. Revisa las respuestas de tus compañeros(as) y replica a dos de ellos, argumentando por qué estás de acuerdo o en desacuerdo con ellos. Criterios de evaluación: En el foro se considerarán los siguientes criterios:  Pensamiento crítico  Asociación de ideas  Participación creativa y oportuna  Relevancia de la participación  Contenido de la participación

2.2.1. Definición de probabilidad condicional Sean A, B dos eventos pertenecientes a un espacio muestral S, con A ≠ Ø. Se define probabilidad condicional P(B|A), que se lee probabilidad de que suceda B, dado que sucedió el evento A, o la probabilidad de que ocurra B, condicionado a que haya ocurrido A. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología

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Ejemplo 1. Los resultados de un estudio a una población de 50,000 mujeres muestran que el 83.45% puede esperar vivir hasta la edad 65 años, mientras que el 61.32% puede esperar vivir hasta la edad de 80 años. Dado que una mujer tiene 65 años, ¿cuál es la probabilidad que ella viva hasta la edad de 80 años? Solución El espacio muestral es el conjunto de las 50,000 mujeres. Definimos a los subconjuntos A y B del espacio muestral, como: A=todas las mujeres que viven al menos 65 años. B=todas las mujeres que viven al menos 80 años. Entonces la probabilidad de que ocurra que una mujer de 65 años, viva 80 años está dada por P(B|A). Como B es un subconjunto de A, B ∩ A=B, entonces

P( B A ) 

P(B  A) P(B) 61.32    0.73 P(A) P(A) 83.45

Así, una mujer de 65 años tiene una probabilidad de 0.7348 de vivir 80 años. Ejemplo 2. En un supermercado por aniversario, había una canasta con manzanas y naranjas para regalar



a los clientes. El 40% de la gente tomó solo una manzana, el 60% tomó solo una naranja y el 25% tomó naranja y manzana. Encuentra las siguientes probabilidades: a) Si se selecciona una persona al azar y se observa que está comiendo manzana, ¿cuál es la probabilidad de que haya tomado una naranja? b) Si se selecciona una persona al azar y se observa que está comiendo naranja, ¿cuál es la probabilidad de que haya tomado una manzana? Solución Tenemos los siguientes eventos M: Evento de que se tome una manzana. Por lo que la P(M)=0.40 N: Evento de que se tome una naranja. Por lo que la P(N)=0.60 y además la probabilidad de que se haya tomado una manzana y naranja es P(M∩N)=0.25.

Aplicando la regla de probabilidad condicional se tiene que: a) P( N / M ) 

P( N  M ) 0.25   0.625 P( M ) 0.4


52


b) P( M / N ) 

P( M  N ) 0.25   0.416 P( N ) 0.60

Ejemplo 3. En un grupo de 15 personas, 7 personas padecen de presión alta y 8 no. Escogemos al azar 2 personas para someterlas a un tratamiento, en el supuesto de que hemos identificado que una de las dos personas tiene presión alta: ¿Cuál es la probabilidad de que…? a) La otra padezca también de presión alta b) Al menos una padezca presión alta c) La otra no padezca presión alta Solución Definamos los siguientes eventos: A= La persona padezca presión alta N= La persona padezca presión normal Observe también que la P(A) = 1 – P(N). Ahora, representemos nuestro problema con ayuda de un diagrama de árbol. Primera persona 8 con presión normal P(P1N)=

7 14

15

= P(P2N/P1N) 7 14

8 14

Primer persona P(P1A)= con presión alta

Segunda persona con presión normal dado que la primera tiene presión normal

Segunda persona con presión alta dado que la primera tiene presión = P(P2A/P1N)normal

Segunda persona con presión normal dado que la primera tiene = P(P2N/P1A) presión alta

7 15

6 14

Segunda persona con presión alta = P(P2A/P1A) dado que la primera tiene presión alta

De acuerdo a la definición de probabilidad condicional tenemos: Se requiere la probabilidad de que la primera persona tenga presión alta y la segunda presión alta por lo que necesitamos encontrar P(P1 A ∩ P2A).

Por definición de probabilidad condicional se tiene que

P( B / A) 


P( B  A) P( A) 53


Por lo tanto, sustituyendo y despejando de la formula anterior tenemos que P(P1 A ∩ P2A) = P(P2 A / P1A) P(P1A) =

6

*

14

7

6

=

* 15

15

7

=

14

6

1

*

15

=

2

3

1

=

15

= 0.2

5

a) Para este, recuerde que la P(A) = 1 – P(A’), por lo tanto P(A) = 1 – P(N) Esto quiere decir que al menos uno tendrá presión alta entonces, analizando el diagrama de árbol y utilizando el teorema 2, del tema 2.1.3., se tiene que:

P(A) = 1- P(N) = 1 -

8 15

.

7

= 1 -

14

8 15

.

1

= 1-

4

=

15

2

11

=

0.733

15

P(P1 A ∩ P2N) = P(P2 N / P1A) P(P1A)

b) Para este caso se deberá calcular

8

=

7

4

* 14

= 15

= 0.266

15

Ejercicio 2. Resuelve los siguientes ejercicios de probabilidad condicional y posteriormente selecciona la respuesta correcta. Respuestas 1) Se tienen 10 lapiceros, tres de ellos ya no tienen tinta. Se selecciona 2 aleatoriamente. ¿Cuál es la probabilidad de que los dos lapiceros tengan tinta?

Respuesta correcta

a) 0.7 b) 0.49 c) 0.6666 d) 0.47

2) La universidad del valle cuenta con tres carreras: administración, derecho y medicina. Se desea realizar una excursión a Taxco, por lo que se somete a selección. La siguiente tabla muestra los resultados. Adm

Der

Med

Abstin

25

20

8

12

15

10

2

8

a) 0.25 b) 0.38 c) 0.45 d) 0.65

Sí No

Se selecciona un alumno al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que sea de administración, sabiendo que voto por que “sí” se realizará la excursión? 3) En una agencia de autos, se reportaron 70 coches vendidos, de los cuales son grandes y chicos. De los Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología

a) 0.51 b) 0.4285

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grandes se vendieron 25 blancos y 15 rojos y de los chicos 10 blancos y 20 rojos. ¿Cuál es la probabilidad de que, dado que se compró un auto rojo, éste sea grande?

c) 0.3525 d) 0.482

4) En un torneo de atletismo, donde se reportó la asistencia de 120 personas, 48 de los que van saben lanzar la jabalina, 36 de ellos saben lanzar la bala y 12 de ellos saben lanzar los dos. Si escogemos un deportista al azar ¿cuál es la probabilidad de que sepa lanzar la bala, sabiendo que lanza la jabalina?

a) 0.6

5) En un embarque de uvas se tiene las siguientes cantidades:

a) 0.25

- El 30 % son rojas con semilla semilla

- El 10% son rojas sin

- El 40% son verdes con semilla semilla

- El 20% son verdes sin

b) 0.4 c) 0.45 d) 0.25

b) .0.1 c) 0.40 d) 0. 09

Se selecciona una uva roja, ¿cuál es la probabilidad de que sea sin semilla?

Actividad 4. Reglas para el cálculo de probabilidades condicionales Propósitos Al finalizar la actividad el alumno podrá: 

Identificar las reglas para el cálculo de probabilidad condicional.



Aplicar adecuadamente las reglas en problemas específicos para el cálculo de probabilidades condicionales.



Interpretar los resultados con base en la probabilidad condicional.

Desarrollo: Los estudiantes revisarán el material expuesto en el tema “Probabilidad condicional” y a continuación resolverán los siguientes ejercicios utilizando las reglas de probabilidad condicional. Procedimiento 1)

Realiza los siguientes tres ejercicios utilizando la regla para el cálculo de probabilidad condicional. a. De acuerdo a un estudio de una población rural, el 55% de las personas termina la educación media superior y el 25% termina la educación a nivel superior. Si una


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persona termina el nivel medio superior, ¿cuál es la probabilidad de que una persona termine el nivel superior o profesional? b. En una academia, el 30% de los alumnos practican natación, 40% tenis y el 15% ambos. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona escogida al azar y que se identifica su práctica en natación también practique tenis? c. En una población pequeña se hace el siguiente estudio donde se informa de cuántas mujeres y hombres mayores de edad tienen coche y arroja los siguientes resultados. Coche

No coche

Total

Hombre

150

80

230

Mujer

75

195

270

Total

225

275

500

i) Calcula las intersecciones de probabilidades que faltan en la siguiente tabla y termina de llenarla: Recuerda que la probabilidad de un evento es P(E)= h /n donde h es el número de elementos de la muestra y n es el total de elementos del espacio maestral. Coche

No coche

Hombre Mujer

0.46 0.15

Total ii)

Total

0.55

1.0

De la tabla anterior contesta las siguientes preguntas:  ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer y tenga coche?  ¿Cuál es la probabilidad de que una persona de esa población tenga coche?

iii)

Utilizando probabilidad condicional contesta las siguientes preguntas  ¿Cuál es la probabilidad de que si una persona tiene coche sea hombre? 

¿Cuál es la probabilidad de que si una persona no tiene coche sea mujer?

2) Una vez terminados tus ejercicios, pásalos a un archivo de Word. 3) Sube tu archivo a la sesión de tareas. 4) Espera la retroalimentación de tu Facilitador(a) y si es necesario corrige tus ejercicios. Criterios de evaluación: 

Orden y claridad


56







Resultado correcto




2.2.2. Eventos independientes Se dice que dos o más eventos son independientes en S, cuando la probabilidad de que ocurra uno no es influida por la ocurrencia de otro. Si A y B representan dos eventos y si la ocurrencia de A no afecta a la ocurrencia de B, y la ocurrencia de B no afecta a la ocurrencia de A, entonces se dice que A y B son independientes. En este caso, la probabilidad de que ocurran A y B es igual al producto de sus respectivas probabilidades, y se expresa así: P(A

B) = P(A) P(B).

Es decir, si A y B son eventos independientes, se tiene que P(A/B)=P(A). Ejemplo 1. Una compañía ha determinado que el 2% de los celulares que vende están defectuosos. Si una persona compra dos celulares de la compañía recientemente, ¿cuál es la probabilidad de que de ambos estén defectuosos? Definimos dos eventos: A= Compra de un celular defectuoso B= Compra de un segundo celular defectuoso Representemos también este problema con el diagrama del árbol y señalemos los dos eventos

Defectuoso

0.02

0.02 Defectuoso No defectuoso

Defectuoso

0.98

0.02

No defectuoso 0.98 No defectuoso

0.98


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La probabilidad de que el celular esté defectuoso es P(A)=P(B)=0.02. Como la compra de uno de ellos no influye en el otro, la probabilidad de que ambos sean defectuosos está dada por P(A∩ B)= P(A) ∩ P(B)= (0.02) (0.02) = 0.0004 Ejemplo 2. Una planta puede producir semillas amarillas o verdes. Dos plantas son “cruzadas” (una poliniza a la otra). Cada planta tiene dos genes para cada color y cada uno de estos genes tiene una probabilidad de un ½ de pasarlo a la semilla. Los dos genes, G y Y, que recibe la semilla determinan su color. Las plantas contribuyen con sus genes independientemente una de la otra. La semilla será verde si ambas plantas contribuyen con un gen V. ¿Cuál es la probabilidad de que al cruzarse la semilla sea verde? Definimos los eventos: A=si la planta 1 contribuye con un gen G. B=si la planta 2 contribuye con el gen G. Como las plantas contribuyen con un gen independientemente una de otra, la probabilidad está dada por

P(B  A)  P(B)P(A)  (0.5)(0.5)  0.25. Así, un cuarto de todas las semillas producidas por estas plantas serán verdes. Ejercicio 3. A partir de los siguientes pares de eventos, identifica aquellos que sean dependientes o independientes.  Respuestas 1. En una escuela, el 30% de los alumnos tiene problemas de lectura, el 15% tiene problemas de escritura y el 8% tienen tanto problemas lectura como de escritura.

Respuesta correcta

Dependientes Independientes

A= Los que tienen problemas de lectura B= Los que tienen problemas de escritura 2. A= El primer hijo es hombre B= El segundo hijo es hombre 3. En una compañía se contrata personal con estudios y sin estudios universitarios para realizar el mismo tipo de trabajo.

Dependientes Independientes Dependientes Independientes

A= Sea malo el desempeño de una persona con estudios B= Sea bueno el desempeño de una persona sin estudios Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología

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4. Se lanza dos dados:

Dependientes

A= Números dobles en los dados= {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}

Independientes

B= Números pares en los dados= {(2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(4,4),(4,6),(6,2),(6,4),(6,6)} 5. Sean los eventos:

Dependientes

A= de que una mujer se case antes de los 30 años, donde P(A)=0.5

Independientes

B= de que un hombre se case antes de los 40 años, donde P(B) = 0.6, y la P(A∩B)=0.4 6. Se lanza una moneda al aire:

Dependientes

A= En el primer lanzamiento sale sol

Independientes

B= En el segundo lanzamiento sale águila 7. A= Ser el mejor cantante de pop

Dependientes

B= Tener ojos azules

Independientes

8. A= Estar ebrio mientras se maneja un automóvil

Dependientes

B= Tener un accidente fatal

Independientes

9. A= El señor Suárez recibió un aumento de salario

Dependientes

B= La esposa del señor Suárez se compró un vestido

Independientes

10. En una carrera de caballos corren tres veces dos caballos A y B.

Dependientes Independientes

A= En la primera carrera gane el caballo A B= En la tercera carrera gane el caballo B

Ejercicio 4. Encuentra la probabilidad de los siguientes problemas, utilizando la definición de eventos independientes. Respuestas 1. La Sra. Martínez y su esposo tienen 60 y 65 año respectivamente. La probabilidad de que un hombre de 65 años viva otros 10 años es de 45% y la probabilidad de que la mujer viva otros 10 años después de 60 años es de 60%. ¿Cuál es la probabilidad de que tanto la señora Martínez como su esposo continúen vivos dentro de 10 años?

a) 0.25

2. En una carrera de automóviles, corren 3 autos A, B, C, la probabilidad de que ganen una carrera es P(A)=0.5, P(B)=

a) 0.3


Respuesta correcta

b) 0.27 c) 0.44 d) 0.38

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0.3 y la P(C)=0.4. Si los automóviles corren dos veces ¿cuál es la probabilidad de que en la primera carrera gane A y en la segunda gane C?

b) 0.15 c) 0.11 d) 0.2

3. Una constructora, tiene 3 propuestas diferentes de casas para diseñar. Llegan dos arquitectos y eligen una casa al azar para diseñar. ¿Cuál es la probabilidad de que elijan la misma casa?

a) 0.25 b) 0.11 c) 0.5 d) 0.33

4. En un juego de disparo, se encuentran jugando Juan y Luisa, desean tirar al blanco y se les da solo dos oportunidades, por lo que deciden tirar cada uno un tiro. La probabilidad de que Luisa tire al blanco es de 1/4 y de que Juan acierte es de 2/5. ¿Cuál es la probabilidad de que Juan y Luisa le den al blanco?

a) 0.10

5. Se lanza dos veces un mismo dado, ¿cuál es la probabilidad de que salga en los dos lanzamientos un número par?

a) 0.33

b) 0.55 c) 0.30 d) 0.43

b) 0.49 c) 0.25 d) 0.11

Actividad 5. Eventos independientes Propósitos Al finalizar la actividad el alumno podrá: 

Explicar que son los eventos independientes.



Identificar la relación existente entre los eventos independientes y su cálculo de probabilidades en los experimentos aleatorios.



Colaborar y sociabilizar para llegar a un consenso en su investigación.

Desarrollo Los estudiantes construirán un Wiki a través de lectura e investigación de conceptos relacionados a eventos independientes y la relación que existe con los experimentos aleatorios. Procedimiento 1) Investiga en libros o en ligas de Internet publicadas por alguna universidad, qué es: - Evento independiente - Evento dependiente - Evento aleatorio - Evento conjunto Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología

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- Regla de la multiplicación para los eventos dependientes e independientes - Probabilidad conjunta - Ejemplo de probabilidad conjunta - Otros conceptos que identifiques relacionados a eventos independientes 2) Entra al Wiki y lee detenidamente la investigación que han realizado ya tus compañeros(as) (en el caso de que seas el primero empieza con una introducción de tu investigación). 3) Si lo consideras necesario, podrás agregar nuevo material o modificar algo que ya esté escrito, con el objetivo de mejorar el contenido. 4) Al final, construye un ejemplo sencillo de cálculo de probabilidad de un experimento aleatorio relacionado a eventos independientes. Recursos de apoyo 

Buscadores de Internet y libros.

Criterios de evaluación 

Trabajo en equipo



Esquematización de conceptos




2.2.3. Teorema de Bayes El teorema de Bayes es una respuesta a la teoría tradicional de probabilidad que se fundamenta en experimentos repetibles y que tienen un soporte empírico. El teorema de Bayes permite probabilidades subjetivas, aunque es útil para modificar nuestras probabilidades subjetivas con la información obtenida en un experimento aleatorio. En la realidad es posible realizar estimaciones de la probabilidad de un evento basadas en el conocimiento subjetivo a priori. El teorema de Bayes nos permite revisar estas estimaciones en función de la evidencia empírica. Ejemplo 1. En un proceso de producción sabemos por experiencia la capacidad de nuestros equipos, suponte que una empresa cuenta con tres equipos. El equipo A1 produce el 30%, el equipo A2 el 50% y el equipo A3 el 20 %. Es fácil obtener esta información de los registros de la empresa. También se conoce la calidad de cada equipo el equipo: A1 produce 5 % de artículos defectuosos, el equipo A2 10% y el equipo A3 solo 2%. En términos de probabilidad, ¿qué conocemos?: Dados los datos anteriores se tiene que: Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología

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-

La producción del equipo A1 es 30 %, por lo que la probabilidad de que un articulo sea producido por A1 es P(A1)=0.3.

-

La producción del equipo A2 es 50%, entonces la P(A2)=0.5.

-

La producción del equipo A3 es 20%, entonces la P(A3)=0.2.

Sea D el evento de obtener un artículo defectuoso. Observa que esta probabilidad no es conocida; sin embargo. conocemos la probabilidad de que un artículo sea defectuoso si es producido por un equipo por lo que: -

La producción de defectuoso del equipo A1 es 5%, por lo que la probabilidad de que un artículo defectuoso sea producido por A1 es P(D /A1)=0.05

-

La producción de defectuoso del equipo A2 es el 10%, entonces P(D/A 2)=0.1

-

La producción de defectuoso del equipo A3 es el 2%, entonces P(D/A 3)=0.02

Además, observa que ∑ P(A i ) = 1 y que la P (A i ∩ A j ) = 0, es decir, son excluyentes. Para mejor compresión representemos el problema con un diagrama de árbol. Consideremos D= El evento de producir artículos defectuosos y B= El evento de producir artículos bueno

P(D/A1) 0.3

P(A1) P(A2)

0.05

P(B/A1)

0.95

P(D/A2)

0.1

P(B/A2)

0.9

P(D/A3)

0.02

0.5

P(A3) 0.2

P(B/A3)

0.98

Ahora calculemos la probabilidad conjunta dado que, para que un artículo sea defectuoso, debe de suceder lo siguiente: Es defectuoso y proviene del equipo A1 corresponde al evento

D

A1

o es defectuoso y proviene del equipo A2 corresponde al evento D

A2

o es defectuoso y proviene del equipo A3 corresponde al evento D

A3


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Entonces observa que: P(D) = P(D

A1) + P(D

A2) + P(D

A3)

Usando la definición de probabilidad condicional obtenemos que:

P( D / A1) 

P( D  A1) P( A1)

P( D / A2) 

P( D  A2) P( A2)

P( D / A3) 

P( D  A3) P( A3)

Despejamos para cada caso

P( D  A1)  P( D / A1) P( A1)

= 0.015 P( D  A2)  P( D / A2) P( A2)

= 0.05 P( D  A3)  P( D / A3) P( A3)

= 0.004 Vamos a organizar la información anterior en una tabla de doble entrada, completando los datos que faltan: D

B

Total

A1

0.015

0.285

0.300

A2

0.050

0.450

0.500

A3

0.004

0.196

0.200

Total

0.069

0.931

1.000

Ahora podemos conocer la probabilidad de cualquier suceso como la probabilidad total de que un artículo salga defectuoso es P(D) = 0.015 + 0.05 + 0.004 = 0.069 Teorema de Bayes. Si un experimento aleatorio tiene un espacio muestral S con n resultados posibles que corresponden a n eventos mutuamente excluyentes A1, A2,…, An, tal que S = A1 U A2 U ….U An Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología

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El conjunto {A1, A2,…, An} es una partición del espacio muestral S

Sea B un evento en S ≠ Ø, del que se conocen las probabilidades condicionales

,

,…….,

,

Entonces la P(B) =

Ejemplo 2. De acuerdo con los datos de un banco, 40% de sus clientes tienen tarjeta de crédito. Un cliente es seleccionado aleatoriamente para un estudio sobre el uso de la tarjeta de crédito. Es conocido después que el cliente seleccionado se encontraba sin empleo. También 3% de sus clientes con tarjeta de crédito y 10% sin tarjeta de crédito se encontraba sin empleo. Encuentre las probabilidades de que: a) Al seleccionar una persona al azar tenga empleo b) Al seleccionar una persona al azar no tenga tarjeta de crédito c) Si al seleccionar una persona al azar y se observa que tiene empleo. ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga tarjeta crédito? Solución: Definimos los eventos de la siguiente manera: CT=cliente con tarjeta de crédito ST=cliente sin tarjeta de crédito SE=cliente sin empleo CE=cliente con empleo Dada la información tenemos que: P(CT)=0.40 porque 40% de los clientes tiene tarjeta de crédito. P(ST)=0.60 porque 60% de los clientes no cuenta con tarjeta de crédito. P(SE|TC)=0.03 porque dado que 3% se encuentra sin empleo sabiendo que cuenta con tarjeta de crédito. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología

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P(SE|ST)=0.1 porque dado que 10% se encuentra sin empleo sabiendo que no cuenta con tarjeta de crédito. Representemos la información con un diagrama de árbol:

SE

0.03

P(SE/CT)

P(CT) 0.40 CT CE

0.97

P(CE/CT)

SE

0.10

P(SE/ST)

CE

0.90

P(CE/ST)

P(ST)

ST

0.60

Representemos a través de una tabla de doble entrada las probabilidades de que sucedan ambos eventos. Utilicemos la definición de probabilidad condicional donde tenemos que

P( SE / CT ) 

P( SE  CT ) P(CT )

P( SE / ST ) 

P( SE  ST ) P( ST )

Y despejando la intersección de los eventos y calculando, para cada caso se tiene que

P(SE  CT )  P(SE / CT ) P(CT ) = (0.03) (=.40) = 0.012

P(SE  ST )  P(SE / ST ) P(ST ) = (0.1) (0.60)

= 0.06

Ahora organicemos la información anterior en una tabla de doble entrada, completando los datos que faltan:

SE

ST

CT

Total

0.06

0.012

0.072


65


CE

0.54

0.388

0.928

Total

0.60

0.40

1.000

También recordemos que por probabilidad total de un evento se tiene que es la suma de sus intersecciones, por ejemplo para este caso: P(SE) = P(SE CT) + P(SE ST) Ahora conociendo esta información, calculemos las probabilidades de cada inciso a) La probabilidad de que al seleccionar una persona tenga empleo P(CE) = 0.54 + 0.388 = 0.928 b) La probabilidad de que al seleccionar una persona no tenga tarjeta de crédito es P(ST)= 0.06+0.54=0.60 c) Se selecciona una persona al azar y se observa que tiene empleo. ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga tarjeta?

El teorema de Bayes nos dice que: Por lo que dicha probabilidad se obtiene dividiendo la probabilidad de ST y CE entre las suma de las probabilidades de las intersecciones. P( ST/CE) = P(CE/ST)P(ST)

∑(P(CE/ST) P(ST)

=

P( CE ∩ ST) P(ST ∩CE) + ( CT∩CE)

Observe que los valores de intersección ya los tenemos calculados y representados en la tabla, por lo que solo debemos sustituir: P(ST/CE)=

0.54

_ = 0.58189

0.54 + 0.388 Así que la probabilidad de que no tenga tarjeta de crédito, dado que se observó que tiene empleo es 0.58189. Ejemplo 3. Una compañía de seguros tiene tres tipos de seguros para auto. 45% de sus clientes son de cobertura básica. La probabilidad de un cliente de cobertura básica tenga un accidente y llame a la Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología

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compañía es de 0.12. Otro 30% de sus clientes son de cobertura media. La probabilidad de que tenga un accidente un cliente de cobertura media y llame a la compañía es de 0.25. Finalmente, 25% de los clientes son de cobertura total. La probabilidad de que tenga un accidente un cliente de cobertura total es de 0.50. Encuentre la probabilidad de que un cliente tenga un accidente y llame a la compañía durante este año, y este tenga un seguro cobertura total. Definimos como los conjuntos: B=clientes de bajo riesgo. M=moderado riesgo. H=alto riesgo. Llamemos C al evento de que un cliente tenga un accidente y llame a la compañía. El hecho de ocurra un accidente es independiente de qué tipo de cliente sea, entonces

P(C)  P( C B )P(B)  P( C M )P(M )  P( C H )P(H) P(C)  0.054  0.075  0.125  0.254 Así, la probabilidad de que un cliente de alto riesgo llame, está dada por



P( H C ) 

P(C  H)P(H) 0.125   0.492. P(C) 0.254

Ejercicio 5. Encuentra la probabilidad de los siguientes problemas utilizando el teorema de Bayes.



Respuestas 1. Una revista está conformada por 3 artículos del mismo autor. En el 85% de las líneas del primer artículo no se detectaron errores de escritura; del segundo artículo 90% y del tercero 95% tampoco se detectaron errores. El primer artículo tiene 125 líneas, el segundo 150 líneas y el tercero 175 líneas. Supongamos que elegimos una línea al azar y observamos que no tiene ningún error. ¿Cuál es la probabilidad de que sea del segundo artículo? 2. Sean A, B, y C enfermedades y P un síntoma que aparece con cualquiera de las tres enfermedades. Las enfermedades son excluyentes y su estudio indica que P(A)= 0.02, P(B)=0.01 y P(C)= 0.005 y P(H/A)=0.75, P(H/B)= 0.8 y P(H/C) = 0.95. Dado que se presentó el síntoma H, la probabilidad de que provenga de la enfermedad B es: Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología

Respuesta correcta

a) 0.2341 b) 0.3331 c) 0.4311 d) 0.2901

a) 0.02775 b) 0.54231 c) 0.03512 d) 0.4522

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3. En una agencia de autos, 4% de los hombres y el 1% de las mujeres tienen más de 6 ventas de autos en un mes. Además, 60% de los empleados son mujeres. Si se selecciona al azar un empleado y ha realizado más de 6 ventas ¿cuál es la probabilidad de que el empleado sea mujer?

a) .0.3333

4. En un horno de microondas, la probabilidad de que se queme un paquete de palomitas que dispone de una alarma es de 0.1. La probabilidad de que suene la alarma si identifica que se está quemando es de 0.97 y la probabilidad de que suene si no se está quemando nada es de 0.02. Suponiendo que haya sonado la alarma. ¿Cuál es la probabilidad de que no se haya quemado nada?

a) 0.111

5. Una prueba diagnóstica para la diabetes tiene un CFP de 4% y un CFN del 5%. Si la prevalencia de la diabetes en la población donde se usa es del 7% ¿cuál es la probabilidad de que sea diabético un individuo en el que la prueba dé positiva?

b) 0.5 c) 0.2727 d) 0.25

b) 0.157 c) 0.97 d) 0.223

a) 0.996 b) 0.272 c) 0.641 d) 0.57

Actividad 6. Teorema de Bayes Propósitos Al finalizar la actividad el alumno podrá: 

Identificar el teorema de Bayes



Aplicar adecuadamente el teorema de Bayes para el cálculo de probabilidades en problemas específicos.



Interpretar los resultados con base en el teorema de Bayes.

Desarrollo Los estudiantes revisarán el material expuesto en el tema “Teorema de Bayes” y a continuación resolverá el siguiente ejercicio utilizando las reglas de probabilidad condicional. Procedimiento 1.

Resuelve el siguiente problema utilizando el teorema de Bayes; además, desglosa los pasos que realizaste para el cálculo de la probabilidad. PROBLEMA: Una empresa turística que les proporciona a sus trabajadores un premio por su gran desempeño en todo el año planea invitarlos a un viaje a Acapulco o a Cancún ya sea por avión o autobús. Haciendo un estudio se conoce que la empresa repartió el 30% de boletos para tomar un avión y


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que de estos el 40% son para Cancún. Además, se tiene que, de los boletos que son para autobús, el 70% tiene como destino Acapulco. Representa los datos a través de un diagrama de árbol y una tabla de doble entrada, antes de encontrar las probabilidades de los siguientes incisos. Utiliza el teorema de Bayes. a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona escogida al azar tenga un boleto de avión con destino a Acapulco? b) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona escogida al azar tenga boleto de autobús con destino a Cancún? c) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que se dirige a Acapulco tenga un boleto de avión? 2. Una vez obtenidos los resultados, pásalos a un archivo de Word. 3. Sube tu archivo a la sesión de tareas. 4. Espera la retroalimentación de tu facilitador y si es necesario corrige tu ejercicio. Criterios de evaluación 

Orden y claridad






Resultado correcto



Justificación o interpretación de su resultado.

Evidencia de aprendizaje. Aplicación del teorema de Bayes en las reglas de tránsito Propósitos Al finalizar la actividad el alumno podrá: 

Identificar los eventos independientes y condicionales antes de aplicar la solución de un problema.



Identificar el teorema de Bayes como una herramienta importante para la solución de problemas específicos.



Utilizar las reglas de cálculo de probabilidad, axiomas y teoremas propuestos en esta unidad para la solución de casos de las reglas de tránsito.

Descripción general De los problemas que existen en las reglas de tránsito, reflexiona en lo siguiente: ¿Qué pasa si conocemos con anterioridad? 1.- La probabilidad de accidentes de: microbuses, taxis y automóviles. 2.- El porcentaje de que suceda un accidente por alcoholismo, imprudencia y cansancio físico. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología

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3.- El porcentaje de que los semáforos estén funcionando mal y suceda un accidente. Los anteriores son algunos casos que podernos resolver utilizando la probabilidad condicional, con la identificación de eventos independientes y la utilización adecuada de los teoremas y axiomas del cálculo de probabilidades. Desarrollo El estudiante, para comprender mejor la utilización de los axiomas y teoremas, analizará el siguiente caso propuesto, donde se involucra algún problema con relación a la violación de las reglas de tránsito: CASO. En un institución gubernamental de tránsito, se detectó que, de todos los vehículos que circulan en la ciudad, el 15% son taxis, 30% son microbuses y 55% automóviles. El registro de las infracciones da a conocer que por no respetar las reglas de tránsito, los accidentes recaen en el 8% en taxis, el 12% en microbuses y el 7% en automóviles. Reflexiona y responde a las siguientes preguntas. Justifica tu respuesta. a) El evento de que un accidente sea de un taxi o el evento de que un accidente sea de un automóvil ¿son eventos independientes? b) El evento de que un vehículo sea un microbús y el evento de que un vehículo tenga un accidente ¿son eventos condicionales? c) ¿Consideras poder utilizar el teorema de Bayes para encontrar la probabilidad de que, si sucedió un accidente, sea por culpa de la violación de las reglas de tránsito de un taxista? Procedimiento 1. Lee con atención el caso propuesto en esta actividad. 2. Contesta las tres preguntas de la reflexión del caso, justifica tus respuestas a través de los axiomas y teoremas vistos en esta unidad. 3. Representa la información que tienes a través de un diagrama de árbol y una tabla de doble entrada. 4. Ahora calcula las siguientes probabilidades: a) Selecciona un automóvil al azar ¿cuál es la probabilidad de que no tenga un accidente dado que es un taxi? b) De la infracción diaria se toma una al azar y se observa que es de un accidente. Calcule la probabilidad de que haya sido de un microbús. c) Si la boleta de infracción seleccionada al azar no resultó ser accidente, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido por un automóvil? 5. Una vez terminada tu actividad y cuando estés seguro de que cumple los puntos anteriores, pásala a un archivo de Word. 6. Espera la retroalimentación del Facilitador(a). Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología

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Criterios de evaluación La actividad tiene un valor de 25% y se considerarán los siguientes aspectos: Habilidades procedimentales 

Orden y claridad



Organización del trabajo



Esquematización de las probabilidades del caso




Habilidades actitudinales 

Análisis de casos



Apertura al cambio

Consideraciones específicas de la unidad En el proceso de tu aprendizaje, a través de la realización de lecturas, investigaciones, ejercicios, actividades y foros, te recomendamos que a medida que avances en el estudio tomes nota de los aspectos más importantes y registres tus dudas. No olvides que el Facilitador(a) te ayudará a comparar los resultados, superar las dificultades, corregir errores. Te recomendamos también que leas los textos, las explicaciones de cada ejemplo, que realices tus ejercicios y las propuestas de trabajo detenidamente, que retrocedas si es necesario para recordar conceptos, definiciones y los fundamentos de la probabilidad, como las reglas, propiedades, axiomas y teoremas que te ayudarán a resolver los problemas que se te presenten. Para cumplir con los propósitos de la Unidad 2. Teoría de la probabilidad se han diseñado diversas actividades y ejercicios destinados al desarrollo de destrezas y habilidades para resolver problemas específicos, donde haya un grado de incertidumbre en los efectos de fenómenos que se nos presentan a nuestro alrededor. Con el fin de guiar las acciones a realizar y facilitar su identificación, a continuación se presentan los íconos que corresponde a las actividades y ejercicios de la unidad:


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Ejercicios. Corresponden a diferentes actividades de tipo formativo para la activación de conocimientos relacionados con las temáticas de la propia unidad. Estos no cuentan con valor numérico pero sí son indispensables para avanzar en los procesos de aprendizaje. Actividad de aprendizaje. Las actividades de aprendizaje tienen un valor formativo, ya que a través de su realización se ejercitan habilidades, destrezas y actitudes que permitan la aplicación de métodos y técnicas en situaciones de aprendizaje y que más tarde serán aplicadas en contextos académicos y sociales. Foro de debate. El foro es un espacio de debate académico que contribuye al desarrollo del pensamiento crítico y al desarrollo de la capacidad argumentativa. En este esquema, tendrás que defender tus puntos de vista a través de argumentos sólidos y compartir opiniones y aportaciones con otros compañeros para llegar a acuerdos comunes sobre conceptos, teorías y perspectivas teóricas. En este espacio también se desarrollan actitudes de tolerancia y respeto hacia los demás.

Fuentes de consulta Corral, M. J. (2009). Comunicación y vida. México: Edere. Devore J. L. (2005). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. Thomson. David R. Anderson, Dennis J. Sweeney, (2008). Estadística para administración y economía. Cengage Learning Latin America. Evans, M. J. (2005). Probabilidad y estadística. México: Reverte. Ronald Walpole, Raymond H. Myers, Sharon Myers (2007). Probabilidad y estadística para ingenieros. Pearson Education. Fuentes cibergráficas Álvarez Muro, Alexandra. (s/f). Oralidad y cotidianidad. http://elies.rediris.es/elies15/cap11.html Stefan Waner, Matemáticas finitas y Cálculo aplicado, Consultado el 18 de abril en: http://www.zweigmedia.com/MundoReal/tutindex.html Instituto Tecnológico de Chihuahua, consultado en el 18 de abril en: http://www.itchihuahua.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/amarillo.htm


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UNIDAD 3. MODELOS DE PROBABILIDAD DISCRETOS Propósito de la unidad Al finalizar la unidad el estudiante: 

Distinguirá una variable aleatoria de una continua.



Determinará los valores de los parámetros en los modelos probabilísticos y calculará probabilidades, interpretando sus resultados.



Identificará los modelos de probabilidad como el Binomial, Poisson e Hipergeométrico, así como las propiedades de una función de probabilidad.



Obtendrá la probabilidad de un experimento utilizando el teorema de Bayes.



Representará en forma de tabla, gráfica o función una distribución de probabilidad discreta.

Competencia específica Utilizar modelos de probabilidad discretos para el análisis de eventos a través del valor esperado y la varianza de las variables aleatorias discretas.

Presentación de la unidad En general, podemos dividir el estudio de la probabilidad de acuerdo a las características de la información contenida en un experimento aleatorio. En algunos experimentos, el número de resultados posibles del experimento aleatorio que conforman su espacio muestral es un número finito, es decir, podemos enumerar y contar los resultados posibles, y a esto se le llama espacios muestrales discretos. En otros el número de resultados es infinito y es imposible contar, a estos se les llama espacios muestrales continuos. Generalmente, podemos distinguir un espacio muestral discreto cuando realizamos conteos como el número de personas que se presenta a un evento, el número de accidentes de tránsito en un día, el número de nacimientos en un hospital, el número de resultados en el lanzamiento de un dado, etc. En un espacio muestral continuo los resultados en general representan mediciones de tiempo, superficie, volumen, como el peso o la estatura de una persona o el tiempo de vida de una lámpara de luz. En esta unidad se presentan los modelos de probabilidad discretos y se distinguen los modelos determinísticos, por otro lado se define, reconoce y distingue la variable aleatoria de la continua.


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Un modelo matemático es una representación de la realidad, en particular los modelos de probabilidad representan experimentos aleatorios, para este fin emplea variables, parámetros y una relación o función que contiene a esa variable que nos facilita el cálculo de probabilidades. En especial en esta unidad abordaremos los temas de valor esperado y varianza de una variable aleatoria discreta para los modelo Binomial, Poisson e Hipergeométrico. Para entender los modelos de probabilidad discretos o distribuciones de probabilidad discretas empezaremos esta unidad comparando los modelos determinísticos con los probabilísticos identificando los elementos de un modelo de probabilidad, siendo los elementos más importantes las características del experimento aleatorio, su variable aleatoria, sus parámetros y su función para el cálculo de probabilidades, también conocida como distribución de probabilidad. Los modelos de probabilidad nos presentan una relación que nos permite obtener la probabilidad para cada uno de los valores que puede tomar la variable aleatoria. Esta relación se conoce como función de probabilidad o función de distribución de probabilidad, la cual aprenderás a representar en una función, en una tabla o en una gráfica. Presentaremos varios ejemplos para emplear estos modelos de probabilidad y se propone una serie de ejemplos y ejercicios contenidos en cada subtema de esta unidad. Todo lo anterior está incluido en las lecturas y ejercicios, que permitirán el logro del aprendizaje a través de la práctica.

3.1. Modelos de probabilidad Definición de modelo. Un modelo constituye una representación abstracta de un cierto aspecto de la realidad y tiene una estructura que está formada por los elementos que caracterizan el aspecto de la realidad modelada y por las relaciones entre estos elementos.

3.1.1. Modelos determinísticos vs. probabilísticos En los modelos deterministas o determinísticos todos los datos del problema se conocen con absoluta certeza esto no es así en los modelos probabilísticos. Ejemplos de modelos determinísticos. En el área de investigación de operaciones se plantea el problema de control de inventarios que radica principalmente en optimizar los costos de operación y producción y tomar decisiones de ¿cuánto se debe comprar?, ¿cuándo se debe comprar? El contar con un inventario implica costos de almacenamiento de preparación, de merma o daño. El no contar con un inventario implica un costo de oportunidad y retraso en la producción y venta. Los modelos de control de inventarios buscan optimizar la función de costo que se relaciona con estos factores.


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En las matemáticas financieras podemos calcular con precisión la tabla de amortización de una deuda si conocemos el plazo, la tasa de interés y el número de pagos. Una característica de estos modelos es que la información es conocida y los resultados son iguales siempre que usemos la misma información. Ejemplos de modelos probabilísticos. En el control de la producción se requiere inspeccionar los artículos producidos; cuando se producen grandes cantidades, el proceso se hace complejo y costoso. Una solución se tiene en el muestreo aleatorio. Se toman muestras de los artículos producidos y con base en la información contenida en estas se toman decisiones. A diferencia de los modelos deterministas no se cuenta con certeza con la información necesaria para tomar decisiones. Un riesgo presente en el control de la producción es que al tomar muestras la información muestral no se observe evidencia de un proceso fuera de control, o bien puede suceder que se observen artículos defectuosos y el proceso esté bajo control, dicho de otro modo no se conoce el total de artículos defectuosos producidos y la información disponible es solo una parte del total de artículos producidos. En este ejemplo, la variable de interés es el número de artículos defectuosos en la muestra. En la medicina frecuentemente se toman muestras de sangre para determinar la salud de una persona. Las técnicas usadas realizan un conteo de algunas características en la sangre; sin embargo, existen riesgos de concluir que una persona está enferma cuando realmente está sana, o bien concluir que está sana cuando realmente está enferma. En este ejemplo la variable aleatoria podría ser el número de glóbulos rojos por cm3. Una característica de los modelos de probabilidad es que las muestras tomadas son siempre diferentes, es decir, presentan un patrón aleatorio. Otra característica es la incertidumbre y riesgo presentes debido a la aleatoriedad generada por el muestreo aleatorio. Los modelos de probabilidad nos permiten medir los riesgos de tomar estas decisiones. En esta asignatura abordaremos modelos para variables aleatorias discretas y modelos para variables aleatorias continuas. Los modelos de probabilidad nos presentan una relación que nos permite obtener la probabilidad para cada uno de los valores que puede tomar la variable aleatoria. Esta relación se conoce como función de probabilidad o función de distribución de probabilidad.


75


Ejercicio 1. Analiza cada uno de los enunciados y evalúa si se trata de un modelo probabilístico contestando falso (F) o verdadero (V) Respuesta 1) Obtener el monto de los activos de una empresa, que dispone de información sobre Pasivos y Capital, requiere de un modelo probabilístico… 2) El encargado del control aéreo requiere conocer el promedio de llegadas de aviones por un periodo determinado de tiempo, y para tal fin puede usar un modelo de probabilidad... 3) El secretario de salud pública requiere estimar el número de casos de cáncer uterino en las mujeres mayores de 40 en los próximos 6 años, para tal fin se apoya en un modelo de probabilidad… 4) El jefe del D.F. requiere conocer el número de personas por hora que viaje en el servicio de transporte colectivo Metro en la Ciudad de México. Usa un modelo de probabilidad para tal fin… 5) Calcular el tiempo que tarda en caer un objeto desde un edificio requiere de un modelo probabilístico…

3.2. Variable aleatoria discreta Una característica de los modelos es que para representar la realidad usan variables, en particular los modelos de probabilidad para representar experimentos aleatorios, requieren de variables que asumen valores al azar, lo que les da el nombre de variables aleatorias. En esta unidad estudiaremos las variables aleatorias relacionadas a experimentos aleatorios cuyos resultados son finitos o numerables, por lo que les llamamos variables aleatorias discretas. Dado un experimento aleatorio y su correspondiente espacio muestral se denomina variable aleatoria discreta a una función X que le asigna a cada elemento del espacio muestral S un número en el conjunto Rx = {s ɛ S | X(s) ɛ

}. El conjunto Rx se conoce como rango o recorrido de la variable aleatoria x. Los

valores en Rx de la variable aleatoria corresponden a eventos numéricos relacionados con los resultados del experimento aleatorio. Ejemplo 1. Considere el experimento aleatorio que consiste en observar a dos personas que regresan de viaje en la terminal internacional del aeropuerto en la Ciudad de México y que, al pasar por la aduana deben de oprimir un botón que se puede encender en rojo o en verde. Si es rojo, se les detiene para una inspección completa; si es verde, no pasan inspección. El espacio muestral asociado a este experimento es S = {RR, RV, VR, VV}. Si nos interesa la variable aleatoria que describa, pasar el semáforo en verde para la pareja, observamos que esta variable puede tomar tres valores posibles: 0: no pasa ninguno, 1: pasa uno Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología

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de los dos, 2: pasan los dos. Entonces Rx = {0, 1, 2} y la función X tiene la siguiente regla de correspondencia:

RR

0

RV

1

VR

2

VV

X:S ------------------------------- Rx Ejercicio 2. Resuelve los siguientes ejercicios determinando el rango o recorrido Rx de la variable aleatoria que se describe y selecciona la respuesta correcta. Respuestas

Respuesta correcta

1) Se lanzan dos dados y se observa la suma de los a) Rx = {0,1,2} puntos que muestran. b) Rx = {2,4,6,8,10,12} c) Rx = {1,3,5,7,9,11} d) Rx = {2≤ x≤ 12|x ɛ Z} 2) El 20% de los científicos en energía nuclear ha desarrollado algún tipo de cáncer. Un grupo de 5 científicos es sometido a pruebas para determinar indicios de cáncer. La variable aleatoria es el número de científicos en el grupo de 5 que resulta positiva la prueba (es decir tienen indicios de cáncer).

a) Rx ={1} b) Rx ={1,2,3,4} c) Rx ={0,1} d) Rx ={0,1,2,3,4,5}

3.2.1. Definición de variable aleatoria discreta Dado un experimento aleatorio y su correspondiente espacio muestral, se denomina variable aleatoria discreta a una función X que le asigna a cada elemento del espacio muestral S un número en el conjunto Rx = {sɛS | X(s)ɛ}. El conjunto Rx se conoce como rango o recorrido de la variable aleatoria x. Los valores en Rx de la variable aleatoria corresponden a eventos numéricos relacionados con los resultados del experimento aleatorio. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología

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3.2.2. Distribución de probabilidad Definición de distribución de probabilidad. La distribución de probabilidad de una variable aleatoria X es una función que proporciona a cada uno de los valores de la variable aleatoria X:

x1, x2,…, xn una

probabilidad y debe cumplir con las siguientes propiedades: Para cualquier valor de X en Rx 1) P(x) ≤ 1 2) P(x) ≥ 0 3)

=1

Una distribución de probabilidad puede ser expresada mediante una tabla, una función o bien una gráfica, como se muestra a continuación. En el ejemplo 1 anterior si consideramos que cada uno de los resultados del espacio muestral es igualmente probable entonces: P(RR) = P(RV) = P(VR) = P(VV) = Asignaríamos probabilidades a los valores de X en Rx observando los eventos o sucesos equivalentes: Para el evento de x = 0 el suceso equivalente es {RR} Para el evento de x = 1 el suceso equivalente es {RV, VR} Para el evento de x = 2 el suceso equivalente es {VV}

X 0 1 2

P(X) 0.25 0.5 0.25

Tabla de distribución de probabilidad La tabla anterior se conoce como Distribución de Probabilidad para la variable aleatoria X, observa que las propiedades dadas en la definición se cumplen.


78


P(X) 0.6 0.4 0.2

0 0

1

2

Gráfica de la distribución de probabilidad Representación por una función de probabilidad o distribución de probabilidad para el ejemplo 1. P(X=x) = 2Cx (0.5)x (1 – 0.5)2-x para X =0,1,2 Ejercicio 3. Resuelve los siguientes ejercicios representando en una tabla la distribución de probabilidad correspondiente. Respuestas 1) Se lanzan dos monedas y se observa el número de caras que muestran. Se representa la tabla con el valor de la variable aleatoria como abscisa y su probabilidad como su ordenada. (x, P(X)).

a) {(0,0.5), (1,0.25),(2,0.25)}

2) El 20% de los científicos en energía nuclear ha desarrollado algún tipo de cáncer. Un grupo de 5 científicos es sometido a pruebas para determinar indicios de cáncer. La variable aleatoria es el número de científicos en el grupo de 5 que resulta positiva la prueba (es decir tienen indicios de cáncer).

a) Rx ={1}

Respuesta correcta

b) {(0,0.25), (1,0.5),(2,0.25)} c) {(0,0.25), (1,0.25),(2,0.5)} d) {(0,0.5), (1,0.5),(2,0.5)}

b) Rx ={1,2,3,4} c) Rx ={0,1} d) Rx ={0,1,2,3,4,5}

3.2.3. Valor esperado y varianza de una variable aleatoria discreta Definición. Sea X una variable aleatoria discreta con una distribución de probabilidad P(X), se define el valor esperado, media o promedio de X por: E[x] = Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología

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Observa que si P(x) es una descripción exacta de las frecuencias relativas para una población de datos, entonces E[x] = μ la media o promedio de la población. Ejemplo 1. Se selecciona un empleado al azar entre 5, 000 empleados que trabajan para un armadora de coches. Sea X=el número de faltas por año del empleado seleccionado. La función de distribución de probabilidad de la variable X está dada por la siguiente tabla: X

1

2

3

4

5

6

7

P(x)

0.013

0.07

0.25

0.15

0.08

0.03

0.008

Una manera de ver esta situación es pensar que valores de la variable X representan a la población, es decir, algunos son 1’s en la población, otros son 2’s,…, y finalmente unos son 7’s. Una vez que hemos modelado a la población, podemos caracterizarla a través de la media de la siguiente manera. Desde que P(1)=0.02, sabemos que (0.01)(5,000)= 50 de los empleados faltan un día, y análogamente con los demás valores de X. X

1

2

3

4

5

6

7

P(x)

0.02

0.17

0.39

0.25

0.13

0.03

0.01

Número de

100

850

1950

1250

650

150

50

empleados

Calculando el valor medio de la variable X,

E[x]     xp(x) 1(0.02) 2(0.17)... 7(0.01)  3.43. x

Así, este último valor representa la media del número de días que falta un trabajador por año.



Ejemplo 2. Una compañía fabricante de aviones pequeños (50 pasajeros o menos), realizó un estudio sobre el equipaje de mano con usuarios de este tipo de aviones. Al fabricante le gustaría saber acerca del espacio mínimo para el equipaje de mano debido a que el espacio es un punto crucial en aeronaves pequeñas. A continuación se muestra la información que obtuvo: Número de

1

8

18

41

22


8

2

80


pasajeros Volumen

0

1

2

3

4

5

6

del equipaje(ft3) Para modelar esta situación representamos como X a los pies cúbicos, la cual representa a los usuarios. La función de distribución de probabilidad la encontramos en la siguiente tabla X

0

1

2

3

4

5

6

P(x)

0.01

0.08

0.18

0.41

0.22

0.08

0.02

Un espacio razonable necesario para el equipaje de mano es la media de la variable X, la cual está dada por:

E[x]     xp(x)  0(0.01)1(0.08)... 6(0.02)  3.07. x

Definición. Sea X una variable aleatoria discreta con una distribución de probabilidad P(X), se define la varianza de X por:

 V[x] = E[(x- μ)2 ] = Observa que si P(x) es una descripción exacta de las frecuencias relativas para una población de datos, entonces V[x] =

la varianza de la población.

Ejemplo 1. Si X representa el número de faltas que un empleado tiene durante un año, con la función de distribución de probabilidad del ejemplo 1 (sección anterior), para la cual =3.43, tenemos que,

V[x]   2   (x  ) 2 p(x) x

 (0.01)(1 3.43) 2  (0.08)(2  3.43) 2 ... (0.02)(6  3.43) 2  3.07. La desviación estándar de X es =2.24. Tanto la varianza como la desviación estándar miden qué tan dispersos se encuentran los valores de una población.


81


Ejercicio 4. Resuelve los siguientes ejercicios calculando el valor esperado y la varianza de las siguientes distribuciones de probabilidad. Respuestas 1) Suponga ahora que se lanzan tres monedas y la variable aleatoria es el número de caras Y p(y)

0 0.125

1 0.375

2 0.375

3 0.125

Respuesta correcta

a) E(x) =

1.0

V(x) = 1.5

b) E(x) =

1.5

V(x) = 0.75

c) E(x) = 1.75 0.937

V(x) =

d) E(x) = 0.937 V(x) = 1.75 2) En un proceso electoral se observa que uno de los candidatos tiene al 80% de votantes a su favor. Si se seleccionan 5 personas del padrón electoral al azar ¿cuál es el valor esperado y la varianza del número de votantes a favor del candidato? Y p(y)

0 0.00032

1 0.0064

2 0.0512

3 0.2048

4 0.4096

a)

E(x) =

4

V(x) = 0.8

b)

E(x) =

1.6

V(x) = 8

c)

E(x) = 0.80

V(x) = 5

d)

E(x) = 5.00 V(x) = 1.00

5 0.32768

3.3. Modelos de probabilidad para variables aleatorias discretas Un modelo es una representación de la realidad, un modelo de probabilidad representa un experimento aleatorio, en esta unidad estudiaremos los modelos de probabilidad más frecuentemente usados en la práctica relacionados con experimentos aleatorios discretos. El modelo binomial es ampliamente usado en control de calidad en la industria, la medicina, la electrónica, etc. El modelo Poisson y el modelo Hipergeométrico comparten con el modelo binomial que cada resultado puede tener o no una característica, a la que se le denomina “éxito”. Por ejemplo, un artículo producido puede ser “bueno” o “defectuoso”, un elector puede votar “en contra” o “a favor”. En un modelo binomial nos interesa el número de éxitos en una muestra, y en Poisson, el “número de ocurrencias o éxitos” en una unidad especificada de tiempo, volumen, o superficie. En un modelo Hipergeométrico nos interesa también el número de éxitos en una muestra, pero la probabilidad de éxito no es constante como en el caso de binomial.

3.3.1. Modelo Binominal El modelo binomial es empleado en situaciones en donde nos interesa conocer una suma de éxitos o una proporción en una población. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología

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Como ejemplos tenemos la proporción de votantes de toma de decisiones, en la práctica requieren conocer algunas características de una población la suma de elementos o la proporción de elementos de la población involucran la selección de una muestra aleatoria de una población. En donde el interés del investigador es que cumple con una característica que se requiere observar, si un elemento de la población presenta esta característica le llamamos un éxito. Corresponde a un experimento aleatorio que tiene las siguientes características:  Se realizan n ensayos o pruebas de forma idéntica.  Cada ensayo tiene dos posibles resultados: éxito o fracaso.  Los ensayos son independientes, es decir, el resultado de un ensayo no depende de los ensayos anteriores.  La probabilidad de éxito (p) no varía de una prueba a otra.  La probabilidad de fracaso es q = 1- p  La variable aleatoria es el número de éxitos en los n ensayos. Su función de distribución de probabilidad está dada por: P(X=x) = nCx (p)x (1 – p)n-x El rango o recorrido de la variable aleatoria X es {0,1, 2,…, n}  Todo experimento que tenga estas características diremos que sigue el modelo de la distribución Binomial.  A la variable X que expresa el número de éxitos obtenidos en los n ensayos del experimento, la llamaremos variable aleatoria Binomial. Ejemplo 1. Supón que 20% de todas las computadoras producidas por una compañía necesitan un servicio durante su periodo de garantía. Sea X el número de computadoras, entre 15 seleccionadas aleatoriamente, que necesitarán un servicio. Entonces si X tiene una distribución binomial con n=15 y p=0.2 a) La probabilidad de que a lo más 8 necesiten servicio es 8

P(X  8)   n Cx ( p)(1 p)15x x 0

P(X  8)15 C0 (0.2)(0.8)15 15 C1 (0.2)(0.8)14  ...15 C8 (0.2)(0.8) 7 P(X  8)  0.999 b) La probabilidad de que exactamente 8 necesiten servicio es:




83


P(X  8)15 C8 ( p)(1 p)158  0.003 c) La probabilidad de que al menos necesiten servicio es

P(X   8) 1 P(X  7)  115 C0 (0.2)(0.8)15 15 C1 (0.2)(0.8)14 ...15 C8 (0.2)(0.8) 8 P(X  8)  0.004 Ejercicio 5. Resuelve los siguientes ejercicios para la distribución binomial y selecciona la respuesta correcta.



Respuestas

1) En el ejercicio 4.1 obtenga los parámetros de la distribución binomial y calcule su valor esperado y varianza que están dados por E(x) = np V(x) = npq 0.8 y compare con los resultados de este ejercicio. 2) El 20% de los científicos en energía nuclear ha desarrollado algún tipo de cáncer. Un grupo de 5 científicos es sometido a pruebas para determinar indicios de cáncer. La variable aleatoria es el número de científicos en el grupo de 5 que resulta positiva la prueba. (Es decir tienen indicios de cáncer). ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno tenga cáncer?

Respuesta correcta

a) n=3 p=0.5 b) n = 3 p= 0.8 c) n= 3 p = 0.2 d) n=3 p= 1.0

a) P(x≥1)=1 – P(x=0) =0.672 b) P(X=1) = 0.4096 c) P(X<1) = 0.3277

Actividad 1. ¿En qué áreas se aplica el modelo Binomial? Propósitos Debatir e intercambiar opiniones y experiencias con los compañeros(as) de grupo sobre las aplicaciones del modelo Binomial y las condiciones para aplicarlo. Instrucciones 1. En este espacio podrás compartir experiencias, puntos de vista, opiniones sobre el modelo de probabilidad Binomial. Es importante tu participación y el intercambio de experiencias para construir conocimiento. Comenta con tus compañeros lo que ha significado este tramo de aprendizaje para llegar a acuerdos y consensos comunes a partir de las siguientes preguntas: o

¿En qué áreas de la vida real se aplica el modelo Binomial?

o

¿Qué características se deben presentar para aplicarlo?


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o

Como todo modelo de probabilidad, ¿qué condiciones deben cumplirse?

2. Revisa las respuestas de tus compañeros(as) y replica a dos de ellos, argumentando por qué estás de acuerdo o en desacuerdo con ellos. Criterios de evaluación En el foro se considerarán los siguientes criterios:  Pensamiento crítico  Asociación de ideas  Participación creativa y oportuna  Relevancia de la participación  Contenido de la participación

Actividad 2. Aplicación de la distribución Binomial Propósitos Al finalizar la actividad el alumno podrá: 

Identificar los modelos de probabilidad binomial.



Aplicar adecuadamente la distribución de probabilidad en problemas específicos para el cálculo de probabilidades con este modelo.



Interpretar los resultados con base en el contexto del problema.

Desarrollo Dado un problema que requiera de una distribución binomial identificar los valores y parámetros para el cálculo de las probabilidades correspondientes Procedimiento Realiza los siguientes tres ejercicios utilizando una distribución binomial. a. Una tienda departamental tiene un sistema de cuatro alarmas que funcionan en forma independiente, cada una tiene una probabilidad de detectar a un intruso de un 95%. Sea Y la variable aleatoria el número de alarmas que detectan al intruso ¿puede afirmarse que se trata de un problema para ser resuelto con una distribución binomial? 

Obtén la probabilidad de que al menos una alarma detecte a un intruso e interpreta.

b. En una consulta sobre la equidad de género, el 30% de la población afirma que no existe equidad de género. Se toma una muestra al azar de 10 personas y se Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología

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observan los que opinan en contra de la equidad. ¿Se puede aplicar el modelo binomial a este problema? 

Obtén la probabilidad de que las diez personas opinen en contra de la equidad de género.

c. En una clínica para el dolor se ha observado que el 90% de los pacientes elimina el dolor con sus terapias. Se seleccionan de los registros de la clínica 10 pacientes a los que se les aplicará la terapia. ¿Cuál es la probabilidad de que todos eliminen el dolor? 5) Una vez terminados tus ejercicios, pásalos a un archivo de Word. 6) Sube tu archivo a la sesión de tareas. 7) Espera la retroalimentación de tu Facilitador(a) y si es necesario corrige tus ejercicios. Criterios de evaluación 

Orden y claridad






Resultado correcto



Justificación o interpretación de tu resultado

3.3.2. Modelo de Poisson El modelo Poisson es empleado en situaciones en donde nos interesa conocer la suma de ocurrencias de un evento en un continuo de tiempo, superficie o volumen. Ejemplos  Un departamento de atención a clientes desea estimar el promedio de llamadas por hora. Entendemos el número de llamadas la suma de ocurrencias en un espacio de tiempo de una hora.  Una tienda de telas tiene interés en estimar el promedio de defectos por metro cuadrado en un lote de telas. Entendemos el promedio de defectos como el parámetro a estimar y un metro cuadrado como unidad de espacio.  Un laboratorio de análisis clínicos realiza estudios en los que requiere contar el número de ocurrencias de plaquetas, leucocitos, neutrófilos, linfocitos, etc., por

con el fin de estimar

el promedio de ocurrencias por unidad de volumen.  Un supermercado se interesa en observar el promedio de clientes que llega a las cajas por hora. Este tipo de situaciones se aborda con el modelo Poisson en teoría de colas. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología

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 El departamento de tránsito está interesado en estimar el promedio de accidentes por semana en un crucero peligroso. ¿Cuál es el parámetro de interés? ¿Sirve el modelo Poisson para representar este problema? El modelo Poisson corresponde a un experimento aleatorio que tiene las siguientes características:  El promedio de ocurrencias por unidad especificada es proporcional al tamaño de la unidad.  El número de ocurrencias es independiente de la unidad especificada  λ es el parámetro de la población a estimar y se conoce como el promedio de ocurrencias por unidad especificada.  La variable aleatoria asociada al experimento es el número de ocurrencias por una unidad especificada, la cual puede ser de tiempo, superficie o volumen.  La suma de variables Poisson es una variable Poisson con la suma de sus promedios. Su función de distribución de probabilidad está dada por:

P(X=x) =

Para valores de x:0,1,2,…..

Media:

E[x] = λ

Varianza

V[x] = λ

Desviación estándar

=

Ejemplo 1. Una compañía de seguros de vida ha determinado que en promedio recibe 4.5 reclamos por seguro de muerte al día. Suponemos que X tiene una distribución de Poisson con =4.5, a) La probabilidad de que ocurran 5 reclamos en un día está dada por:

e 4.5 (4.5) 5 P(X  5)   0.1708 5! b) La probabilidad de que ocurran a lo más 5 reclamos es:

e 4.5 (4.5) x e 4.5 (4.5) 0 e 4.5 (4.5)1 e 4.5 (4.5) 5 P(X  5)     ...  0.7029 x 0 x! 0! 1! 5! 5


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Ejercicio 6. Resuelve los siguientes ejercicios para la distribución de Poisson y selecciona la respuesta correcta. Respuestas 1) El número de defectos en una pieza de mármol tiene una distribución de Poisson con media dos por metro cuadrado. ¿Qué tan probable es encontrar 6 defectos en una pieza de mármol? 2) El número de llamadas por turno nocturno al 911 en una pequeña ciudad es de 3 en promedio. ¿Considera normal observar 10 llamadas en un turno?

Respuesta correcta

a) P(x=6)= .27 b) P(x=6) = .09 c) P(x=6) = .18 d) P(x=6) = .01 a) Sí es probable b) Sí es muy probable c) Es un poco probable d) Es casi imposible

Actividad 3. ¿En qué áreas se aplica el modelo Poisson? Propósitos Debatir e intercambiar opiniones y experiencias con los compañeros(as) de grupo sobre las aplicaciones del modelo Poisson y las condiciones para aplicarlo. Instrucciones En este espacio podrás compartir experiencias, puntos de vista y opiniones sobre el modelo de probabilidad Poisson. Es importante tu participación y el intercambio de experiencias para construir conocimiento. Comenta con tus compañeros(as) lo que ha significado este tramo de aprendizaje para llegar a acuerdos y consensos comunes a partir de las siguientes preguntas: o

¿En qué áreas de la vida real se aplica el modelo Poisson?

o


o

Como todo modelo de probabilidad ¿qué condiciones deben cumplirse?

Revisa las respuestas de tus compañeros(as) y replica a dos de ellos, argumentando porque estás de acuerdo o en desacuerdo con ellos. Criterios de evaluación En el foro se considerarán los siguientes criterios: Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología

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 Pensamiento crítico  Asociación de ideas  Participación creativa y oportuna  Relevancia de la participación  Contenido de la participación

Actividad 4. Aplicación del modelo Poisson Propósitos Al finalizar la actividad el alumno podrá: 

Identificar el modelo de Poisson.



Aplicar adecuadamente las distribuciones de probabilidad en problemas específicos para el cálculo de probabilidades con el modelo Poisson.




Desarrollo Dado un problema que requiera de una distribución Poisson identificar los valores y parámetros para el cálculo de las probabilidades correspondientes Procedimiento Realiza los siguientes tres ejercicios utilizando una distribución de Poisson. a. El número de automóviles que llega a un estacionamiento es de 9 cada hora. ¿Cuál es la probabilidad de que en un periodo de 10 minutos lleguen al estacionamiento más de dos automóviles? b. En un almacén se encontró que la venta de cierto artículo sigue un proceso de Poisson con promedio de cinco ventas por día. ¿Cuál es la probabilidad de que en un día el artículo sea pedido más de 6 veces? c. En la caja de un banco, llegan a pagar, en promedio, ocho clientes por hora. ¿Cuál es la probabilidad que en una determinada hora lleguen a la caja a pagar un máximo de cuatro clientes? Una vez terminados tus ejercicios, pásalos a un archivo de Word. 8) Sube tu archivo a la sesión de tareas. 9) Espera la retroalimentación de tu Facilitador(a) y si es necesario corrige tus ejercicios. Criterios de evaluación 

Orden y claridad





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

Resultado correcto




3.3.3. Modelo Hipergeométrico El modelo Hipergeométrico es empleado en experimentos binomiales cuando no se cumple que los eventos sean independientes y la probabilidad de éxito no se mantenga constante. El modelo Hipergeométrico corresponde a un experimento aleatorio que tiene las siguientes características:  Se realizan n ensayos o se obtiene una muestra de n observaciones sin reponer.  Cada ensayo tiene dos posibles resultados: éxito o fracaso.  Los ensayos no son independientes, es decir, el resultado de un ensayo depende de los ensayos anteriores.  La probabilidad de éxito (p) varía de una prueba a otra.  El valor de p =

es la proporción de éxitos en la población, parámetro de la población a

estimar. En donde N es el total de elementos y r el número de éxitos en la población.  La probabilidad de fracaso es q = 1- p  La variable aleatoria es el número de éxitos en los n ensayos. Su función de distribución de probabilidad está dada por:

siempre y cuando 0 ≤ x ≤ k

P(X=x) = Observa que:

 N es el total de elementos en la población.  n es el tamaño de muestra seleccionado.  k es el número de éxitos.  N-k es el número de fracasos.  x es el número de éxitos en la muestra (valor de la variable aleatoria).  n – x es el número de fracasos en la muestra.  P(X=x) es la probabilidad de seleccionar x éxitos. 

Representa la cantidad de formas para seleccionar una muestra de tamaño n de una población con N elementos en donde N ≥ n.


90


Representa la cantidad de formas para seleccionar n –x fracasos de



un total de N – k fracasos en la población. 

Representa la cantidad de formas para seleccionar x éxitos de un total de k éxitos en la población.

Media:

E[x] = n*

Varianza

V[x] = n*

Desviación estándar

(

)

=

 Una compañía fabrica sistemas con componentes complejos que requieren de un proceso de instalación costoso para realizar pruebas; se solicita un pedido de 10 sistemas y se seleccionan al azar tres de ellos para hacer pruebas. Si una de las pruebas falla, se rechaza el embarque. Observe que la selección se realiza sin reemplazo, es decir, el sistema seleccionado no puede ser seleccionado nuevamente. La probabilidad de éxito cambia de un ensayo al siguiente, para la primera selección se tiene una probabilidad de éxito de

, si se

selecciona un sistema que presenta fallas, la siguiente selección tendrá una probabilidad de y en el caso de que no presente fallas será de

.

Ejemplo 1. Cinco animales de una especie que se pensaba estaba cerca de la extinción en cierta región han sido capturados, marcados y liberados para que mezclaran con los de su misma especie. Después de que ellos han tenido la oportunidad de mezclarse, una muestra aleatoria de 10 animales fue seleccionada. Sea X= al número de animales marcados en la segunda muestra. Si hay en la actualidad 25 animales de este tipo en la región. a) ¿Cuál es la probabilidad que X=2? b) ¿X  2? Los valores de los parámetros son n=10, k=5 (5 animales marcados) y N=25, entonces,




91


Para la parte (a),

P(X  2) 

5

C2 20 C102  0.385 C 25 10

Para la parte (b), 2

P(X  2)  P(X  0, 1 o 2)   k x 0

Cx N k Cn x  0.057  0.257  0.385  0.699 C N n

Ejercicio 7. Resuelve los siguientes ejercicios para la distribución Hipergeométrica y selecciona la respuesta correcta. Respuestas 1) Una agencia de autos recibe un nuevo modelo en el que algunos autos presentan problemas en el sistema de frenos. Si en un lote de 10 autos le envían cuatro defectuosos. ¿Qué probabilidad hay de que los cinco primeros compradores no presenten reclamaciones? Suponga X el número de clientes satisfechos.

a) P(X=5) =

2)

a) 0.0162

Para atender una contingencia médica sólo hay 5 expertos calificados en un grupo de 20 médicos que se presentan para apoyar. Si se seleccionan 10 para atender esta contingencia, qué tan probable es que los 5 mejores estén incluidos.

b) P(X=5) = c) d)

b) 0.3480 c) 0.8838 d) 0.0001

Actividad 5. ¿En qué áreas se aplica el modelo Hipergeométrico? Propósitos Debatir e intercambiar opiniones y experiencias con los compañeros(as) de grupo sobre las aplicaciones del modelo Hipergeométrico y las condiciones para aplicarlo. Instrucciones: En este espacio podrás compartir experiencias, puntos de vista, opiniones sobre el modelo de probabilidad Hipergeométrico. Es importante tu participación y el intercambio de experiencias para construir conocimiento. Comenta con tus compañeros(as) lo que ha significado este tramo de aprendizaje para llegar a acuerdos y consensos comunes a partir de las siguientes preguntas: o

¿En qué áreas de la vida real se aplica el modelo Hipergeométrico?


92


o


o

Como todo modelo de probabilidad ¿qué condiciones deben cumplirse?

Revisa las respuestas de tus compañeros(as) y replica a dos de ellos, argumentando por qué estás de acuerdo o en desacuerdo con ellos. Criterios de evaluación En el foro se considerarán los siguientes criterios:  Pensamiento crítico  Asociación de ideas  Participación creativa y oportuna  Relevancia de la participación  Contenido de la participación

Actividad 6. Aplicación del modelo Hipergeométrico Propósitos Al finalizar la actividad el alumno podrá: 

Identificar el modelo de probabilidad Hipergeométrico.



Aplicar adecuadamente la distribución de probabilidad en problemas específicos para el cálculo de probabilidades con el modelo Hipergeométrico.




Desarrollo Dado un problema que requiera de una distribución hipergeométrica identificar los valores y parámetros para el cálculo de las probabilidades correspondientes. Procedimiento a. Se tiene un grupo de 30 alumnos, de los cuales 5 alumnos están becados por excelencia. Si se selecciona una muestra de 5 alumnos ¿cuál es la probabilidad de que los 5 alumnos de la muestra tengan una beca? b. Al auditar 90 cuentas por pagar de una compañía, se inspecciona una muestra de 10 cuentas. Suponiendo que 15 de las 90 cuentas contiene un error, ¿cuál es la probabilidad de que existan dos cuentas incorrectas en una muestra? c. Supóngase que de 100 cuentas de crédito en un banco, 3 han sido alteradas fraudulentamente. Las alteraciones son bastantes sutiles y sólo una auditaría muy detallada las puede descubrir. Se elige al azar 20 cuentas para una revisión Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología

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detallada. ¿Cuál es la probabilidad de que se descubra al menos una de las cuentas alteradas? Una vez terminados tus ejercicios, pásalos a un archivo de Word. Sube tu archivo a la sesión de tareas. Espera la retroalimentación de tu Facilitador(a) y si es necesario corrige tus ejercicios. Criterios de evaluación 

Orden y claridad






Resultado correcto




Evidencia de aprendizaje. ¿Quién ganará las elecciones? Propósitos Al finalizar la actividad el alumno podrá: 

Identificar las características de un experimento binomial.



Identificar los parámetros correspondientes.



Utilizar la distribución de probabilidad para responder en términos de probabilidad si hay un ganador de una elección usando información preliminar.

Descripción general Es frecuente que, en un proceso electoral, dos o más candidatos afirmen que obtuvieron la victoria: Cómo podemos usar la información de la votación preliminar para determinar: 1.- Si un candidato es ganador aunque no se tengan contabilizados todos los votos. 2.- Si la contienda es muy reñida y no es posible con la información obtenida determinar un ganador. Desarrollo Para una mayor compresión de un experimento binomial, el estudiante analizará el siguiente caso propuesto, donde se involucran problemas con relación a un proceso electoral: CASO. ¿Quién ganará las elecciones? En las pasadas elecciones para una gubernatura dos de los más fuertes candidatos afirmaron que obtuvieron el triunfo. En los primeros minutos del conteo de información preliminar se observaron las siguientes estadísticas: Si consideramos a la variable aleatoria como el número de personas en la muestra preliminar de 6696 que votó a favor del candidato del PRO y suponemos los siguientes escenarios: a) El candidato del PRO ganó las elecciones, es decir, consideramos p > 0.5. b) El candidato del PRO perdió las elecciones, es decir, consideramos p < 0.5. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología

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c) ¿Qué pasaría si p= 0.5? Calcula la probabilidad de que Y > 3348 para cada uno de los incisos anteriores: Reflexiona y responde a las siguientes preguntas, justifica tu respuesta. a) El evento de que un accidente sea de un taxi o el evento de que un accidente sea de un automóvil ¿son eventos independientes? b) El evento de que un vehículo sea un microbús y el evento de que un vehículo tenga un accidente ¿son eventos condicionales? c) ¿Consideras poder utilizar el teorema de Bayes para encontrar la probabilidad de que, si sucedió un accidente, sea por culpa de la violación de las reglas de tránsito de un taxista? Procedimiento 1. Lee con atención el caso propuesto en esta actividad. 2. Contesta las tres preguntas de la reflexión del caso, justifica tus respuestas a través de los axiomas y teoremas vistos en esta unidad. 3. Representa la información que tienes a través de un diagrama de árbol y una tabla de doble entrada. 4. Ahora calcula las siguientes probabilidades: a) Selecciona un automóvil al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga un accidente dado que es un taxi? b) De la infracción diaria se toma una al azar y se observa que es de un accidente. Calcula la probabilidad de que haya sido de un microbús. c) Si la boleta de infracción seleccionada al azar no resulto ser accidente, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido por un automóvil? 5. Una vez terminada tu actividad y cuando estés seguro de que cumple los puntos anteriores, pásala a un archivo de Word. 6. Espera la retroalimentación del Facilitador(a). Criterios de evaluación La actividad tiene un valor de 30% y se considerarán los siguientes aspectos: Habilidades procedimentales 

Orden y claridad






Esquematización de las probabilidades del caso




Habilidades actitudinales 

Análisis de casos



Apertura al cambio


95


Consideraciones específicas de la unidad En el proceso de tu aprendizaje, a través de la realización de lecturas, investigaciones, ejercicios, actividades y foros, te recomendamos que, a medida que avances en el estudio, tomes nota de los aspectos más importantes y registres tus dudas. No olvides que el Facilitador(a) te ayudará a comparar los resultados, superar las dificultades, corregir errores y ampliar el conocimiento. Te recomendamos también que leas los textos, las explicaciones de cada ejemplo, que realices tus ejercicios y las propuestas de trabajo detenidamente, que retrocedas si es necesario para recordar conceptos, definiciones de las variables aleatorias discretas y de los modelos de probabilidad para poder resolver problemas específicos. Para cumplir con los propósitos de la Unidad 3. Modelos de probabilidad discretos se han diseñado diversas actividades y ejercicios destinados al desarrollo de destrezas, así como las habilidades para resolver problemas específicos, donde se presenten funciones de distribuciones discretas. Con el fin de guiar las acciones a realizar y facilitar su identificación, a continuación se presentan los íconos que corresponden a las actividades y ejercicios de la unidad: Ejercicios. Corresponden a diferentes actividades de tipo formativo para la activación de conocimientos relacionados con las temáticas de la propia unidad. Estos no cuentan con valor numérico pero sí son indispensables para avanzar en los procesos de aprendizaje. Actividad de aprendizaje. Las actividades de aprendizaje tienen un valor formativo ya que a través de su realización se ejercitan habilidades, destrezas y actitudes que permitan la aplicación de métodos y técnicas en situaciones de aprendizaje y que más tarde serán aplicadas en contextos académicos y sociales. Foro de debate. El foro es un espacio de debate académico que contribuye al desarrollo del pensamiento crítico y al desarrollo de la capacidad argumentativa. En este esquema, tendrás que defender tus puntos de vista a través de argumentos sólidos y compartir opiniones y aportaciones con otros compañeros para llegar a acuerdos comunes sobre conceptos, teorías y perspectivas teóricas. En este espacio también se desarrollan actitudes de tolerancia y respeto hacia los demás.

Fuentes de consulta Robert Johnson, Patricia Kuby. (2007). Estadística elemental. Internacional Thomson. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología

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Ruiz, E. y Ruiz, E. (2007). Probabilidad y estadísticas. México: Mc Graw Hill. David K. Hildebrand y R. Lyman Ott. (2001). Estadística aplicada a la administración y a la economía. Addison-Wesley Iberoamericana. Michael J. Evans. (2005). Probabilidad y estadística. Jay L. Devore. (2005). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. Thomson.

David R. Anderson, Dennis J. Sweeney. (2008). Estadística para administración y economía, Cengage Learning Latin America.

Ronald Walpole, Raymond H. Myers, Sharon Myers. (2007). Probabilidad y estadística para ingenieros. Pearson Education. William Mendenhall, Richard L Scheaffer, Dennis D Wackerly, Estadisticas Matemáticas con aplicaciones, Grupo Editorial Iberoamerica. Fuentes cibergráficas Stefan Waner. Matemática finitas y Cálculo aplicado. Consultado el 18 de abril en: http://www.zweigmedia.com/MundoReal/tutindex.html Instituto Tecnológico de Chihuahua, consultado el 18 de abril en: http://www.itchihuahua.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/amarillo.htm Pértegas Díaz S., Pita Fernández S. Unidad de Epidemiología Clínica y Bioestadística el 18 de abril en: http://www.fisterra.com/mbe/investiga/distr_normal/distr_normal2.pdf

Francisco Álvarez González, consultado el 18 de abril en: http://ww.uca.es/uca/dpto/C146/pag_personal/f_alvarez/documentos/CC%20Trabajo%20Tema%205.pdf


97


UNIDAD 4. MODELOS DE PROBABILIDAD CONTINUOS

Propósito de la unidad Al finalizar la unidad el estudiante:  Identificará y validará las características que debe tener una función para ser una función de densidad. 

Identificará las propiedades de la distribución uniforme continua y resolverá e interpretará problemas de cálculo de probabilidades.



Calculará probabilidades relacionadas con el modelo normal apoyándose en tablas de normal estándar.

Competencia específica Utilizar los modelos de probabilidad continuos para el análisis de eventos a través de variables aleatorias continuas y con el uso de tablas de cálculo de probabilidad.

Presentación de la unidad Una de las distribuciones de probabilidad continuas más importantes para la estadística es la distribución normal; la gran mayoría de los problemas de inferencia estadística son modelados con esta distribución. En esta unidad abordaremos dos modelos de probabilidad, el modelo uniforme continuo y el modelo normal. A diferencia de una variable aleatoria discreta, un modelo para una variable aleatoria continua toma un número infinito de valores posibles, lo que hace que asignar un valor de probabilidad a un punto específico no tenga sentido. Sin embargo, es posible asignar probabilidades por intervalos. Imagina que en un experimento aleatorio lanzamos dos monedas equilibradas, su distribución de probabilidad para el número de caras tendrá dos resultados posibles X: 0, 1, 2. La probabilidad de que en las dos monedas aparezca cara es 0.25. Ahora imagina que nos interesa el número de caras en el lanzamiento de 10 monedas, es claro que nuestra variable aleatoria tendría once valores posibles y la probabilidad asignada a cada valor posible de la variable aleatoria sería más pequeña, por ejemplo que aparezcan 10 caras es .0009765, si lanzamos 100 monedas la probabilidad de que aparezcan las 100 caras es 0.000000000000000013655. En el caso de una variable aleatoria continua existe un número infinito de resultados en comparación de una variable discreta, por lo que la probabilidad de cada uno de los resultados posibles es un valor prácticamente cero. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología

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Ejemplo Comparando una variable discreta con una continua, supongamos que lanzamos dos monedas equilibradas y graficamos su distribución de probabilidad.

0.6

0.5 0.5 0.4 0 0.3

0.25

0.25

1 2

0.2 0.1

0 0

1

2

Observa que la probabilidad para el valor de x = 0 caras está representada por un rectángulo de altura 0.25 y ancho 1, por lo que su área es de 0.25, así que podemos concluir que la probabilidad de las tres áreas de: 0.25, 0.5 y 0.25 suma uno. En forma análoga para una variable aleatoria continua tenemos un número infinito de valores y para cada valor calculamos la probabilidad para cada pequeño rectángulo de altura f(x) y ancho Ʌx en donde f(x) representa la función de densidad de probabilidad y Ʌx un valor muy pequeño cercano a cero, por lo que la probabilidad en un punto representada como área será f(x) * Ʌx que es casi cero. Sin embargo, la suma de todas estas pequeñas áreas que corresponden al área bajo la curva es igual a uno.


99


4.1. Variables aleatorias continuas Una variable aleatoria continua puede tomar un número de valores infinitamente grande que corresponden a los puntos en un intervalo o intervalos de la recta de los números reales. Los resultados del experimento aleatorio se basan en escalas de medición, como el tiempo, el peso, la distancia, la temperatura, etc.

4.1.1. Definición de variable aleatoria continua Se dice que X es una variable aleatoria continua en un intervalo, si existe una función f(x) (función de densidad de la variable aleatoria continua X) tal que: a. El área bajo la curva f(x) en el intervalo definido para la variable es igual a la unidad. b. La probabilidad de que la variable aleatoria continua X tome valores en un intervalo [a, b] será igual al área bajo la curva f(x) acotada entre a y b. c. La probabilidad en un punto es cero para fines prácticos, por lo que para una variable aleatoria continua no tiene sentido el cálculo de la probabilidad en un punto.

4.1.2. Función de densidad de probabilidad En teoría de la probabilidad, la función de densidad de probabilidad, función de densidad o simplemente densidad de una variable aleatoria continua es una función, usualmente denominada f(x), que describe la densidad de la probabilidad en cada elemento del espacio, de tal manera que la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor dentro de un determinado conjunto sea la integral de la función de densidad sobre dicho conjunto. La revista de la facultad de Ingeniería de Antioquia presenta un artículo sobre el Análisis de decisiones de inversión utilizando el criterio valor presente neto en riesgo (VPN en riesgo) del Dr. Diego Fernando Manotas Duque. El riesgo es modelado con la siguiente función de densidad:


100


Para que la función f(x) corresponda a una función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua, debe cumplir con las siguientes condiciones: 1.-

> 0 para cualquier valor de la variable aleatoria x

2.Considera la siguiente función de densidad

Si calculamos la integral de

en el intervalo [2, 4], esta cumple con las condiciones para ser una

función de densidad de probabilidad de esta variable aleatoria continua.

Ejercicio 1. Resuelve los siguientes ejercicios que se describen y selecciona la respuesta correcta. Respuestas Un chofer de autobús con un tanque de 150 litros lo llena al principio de cada semana. Su demanda semanal tiene una frecuencia relativa que crece constantemente desde cero hasta 100 litros y permanece constante entre 100 y 150 litros. Si Y denota la demanda semanal en cientos de litros, la frecuencia relativa de la demanda se puede representar por:

=

a) 1.1 0.05,

1.2 0.95

b) 1.1 0.125,

1.2 0.575

c) 1.1 0.98,

1.2 0.12

y2 / 2, y–½

1.1.- Calcular P(0 0.5) 1.2.- Calcular P(0.5 Una alberca tiene dos bombas, que pueden bombear cada una hasta 10,000 litros de agua Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología

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por mes. La cantidad total de agua bombeada en un mes es variable aleatoria Y (expresada en diez miles de litros) con una función de probabilidad dada por:

y2 / 2,

F(y) =

1.3

1.4

a)

.15

75

b)

0.36

1/4

c)

¼

0.36

2y – y2 / 2 -1 1.3. Calcular la probabilidad de que se bombee entre 8,000 y 12,000 litros en un mes. 1.4. Si se sabe que se ha bombeado más de 10,000 litros en un mes en particular, encuentra la probabilidad de que se haya bombeado más de 15,000 durante el mes.

Actividad 1. Ejemplos de funciones de densidad Propósitos Al finalizar la actividad el alumno podrá: 

Ejemplificar el concepto de funciones de densidad de probabilidad.



Verificar las propiedades de las funciones de densidad.



Colaborar, sociabilizar y llegar a un consenso en su investigación.

Desarrollo Los estudiantes construirán un Wiki de ejemplos de funciones de densidad de probabilidad, identificando sus propiedades. Procedimiento 1. Lee el contenido de “funciones de densidad de probabilidad”, investiga en libros y páginas de Internet confiables funciones que representen densidad de probabilidad, identificando las propiedades para las funciones que investigaste. 2. Ingresa a la wiki y elabora una entrada en Ejemplos de funciones de densidad de probabilidad, incluyendo las propiedades de las funciones de densidad. 3. En el caso de que alguno o algunos de tus compañeros(as) ya hayan escrito algo, lee con atención y respeto sus aportaciones y enriquécelas; además, agrega un diferente ejemplo que hayas encontrado. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología

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4.

Verifica en el mismo wiki, las propiedades de la función de densidad de probabilidad del ejemplo que propones.


Trabajo en equipo



Orden y claridad en su ejemplo expuesto



Identificación de las propiedades



Ejecución de acuerdo a los pasos indicados

4.1.3. Función de distribución de probabilidad Para el ejemplo anterior la función de distribución de probabilidad F(X) = P(X ≤x) se obtiene calculando la siguiente integral:

Por lo que la función de distribución de probabilidad F(X) = P(X ≤x) queda definida por:

Ejercicio 2. Resuelve los siguientes ejercicios que se describen y compara con la respuesta correcta. Respuesta correcta 2.1 Obtén la función de distribución de probabilidad para el ejercicio 1.1.

2.2 Obtén la función de distribución de probabilidad para el ejercicio 1.2.

4.2. Modelos de probabilidad para variables aleatorias continuas


103


En la práctica, los modelos de probabilidad para variables aleatorias continuas más usados son el modelo uniforme continuo, que es ampliamente usado en simulación, y el modelo normal, cuya importancia radica en que nos permite modelar numerosos fenómenos naturales, sociales y psicológicos. Un resultado interesante es que en inferencia estadística la distribución normal se aplica en la mayoría de los problemas en donde nos interesa estimar promedios o proporciones.

4.2.1. Distribución uniforme continua La distribución o modelo uniforme continuo se considera como un experimento aleatorio para obtener una muestra. Cuando se selecciona una muestra aleatoria se requiere que cada observación en la muestra tenga la misma probabilidad de ser seleccionada, dicho de otro modo la probabilidad se distribuye uniformemente a lo largo de un intervalo. Dada una variable aleatoria continua, x, definida en el intervalo [a, b] de la recta de números reales, x tiene una distribución uniforme en el intervalo [a, b] cuando su función de densidad está dada por:

para x en el intervalo [a, b] =0

en cualquier otro punto

Observa que el área por debajo de la función ƒ(x) es un rectángulo con altura

y base (b – a), por lo

que su área es 1. Se define la función de distribución o distribución de probabilidad acumulada a F(x)


104


Ejemplo Estimar el peso de una persona siempre presenta márgenes de error que dependiendo de la báscula pueden variar por gramos o hasta algunos kilos. Considere una báscula digital que nos garantiza un error entre 0 y 1000 g. ¿Qué probabilidad hay de que el peso real exceda a 500 g? Si la distribución del error es uniforme en el intervalo [0, 1000], entonces la función de densidad queda representada por función ƒ(x) con una altura de

.

La probabilidad se calcula integrando el área debajo de ƒ(x) en el intervalo [500, 1000], por observación sabemos que esta área es igual a 0.5, si usamos F(x). P (x≥500) = 1 – P (x≤500) =1 -

= 0.5

Ejercicio 3. Resuelve los siguientes ejercicios que se describen y selecciona la respuesta correcta. En un congreso se fija una hora para registro, los participantes llegan en forma aleatoria uniforme en un intervalo de una hora. 1. Calcula la probabilidad de que una persona llegue en la primera media hora P(X ≤ 0.5).

Respuestas a) 0.5 b) 0.3 c) 0.1 d)

2. Calcula la probabilidad de que una persona aparezca en los últimos 15 minutos P(0.45≤x≤1)


0.7

a)

0.5

b)

0.3

c)

0.25

d)

.5.5

105


4.2.2. Distribución normal La distribución normal fue estudiada por primera vez por el francés Abraham de Moivre (1667-1754). Posteriormente, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) profundizó en el desarrollo de lo que actualmente conocemos como “campana de Gauss”, la cual es usada como función de densidad de la distribución normal. La distribución de probabilidad normal se considera la distribución más importante en inferencia estadística. Está requiere de muestras aleatorias seleccionadas de una población para estimar algunas características numéricas que se llaman parámetros. Ejemplos de parámetros son la (π), o bien cuando nos interesa comparar dos poblaciones de proporciones

(media), la proporción de éxitos

(diferencia de medias) o bien diferencia

.

La distribución de una variable normal está completamente determinada por dos parámetros, su media µ y su desviación estándar Ơ. La densidad de la distribución normal está dada por la siguiente función:

Figura 4. 8

Gráfica de la función de densidad de una normal Figura 4. 9 Se cumple con:

a)

=1

b) f(x) ≥ 0 para cualquier valor de x en Propiedades de la función de densidad. a. Tiene una única moda, que coincide con su media y su mediana. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología

106


b. La curva normal es asintótica al eje de abscisas. Por ello, cualquier valor entre y

es teóricamente posible. El área total bajo la curva es, por tanto, igual a 1.

c. Es simétrica con respecto a su media, por lo que existe una probabilidad de un 50% de observar un valor mayor que la media y un 50% de observar un valor menor. d. La distancia entre la línea trazada en la media y el punto de inflexión de la curva es igual a una desviación estándar. e. El área bajo la curva comprendida entre los valores situados aproximadamente a dos desviaciones estándar de la media es igual a 0.95. En concreto, existe un 95% de posibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo. Definición de distribución de probabilidad para la normal. Sea x una variable aleatoria continua en el intervalo

con densidad dada por la función de la figura 4.1, entonces la probabilidad

acumulada de

se obtiene por:

= La función

=

tiene las siguientes propiedades: a.

0 ≤

≤1

b. c. d. Si

≤

entonces

≤

e.


107


Ejercicio 4. Usando las propiedades de la función de densidad de una distribución normal, resuelve los siguientes ejercicios que se describen y selecciona la respuesta correcta. Respuestas En la ciudad de Puebla se estima que la temperatura máxima en el mes de junio sigue una distribución normal, con media 23° y desviación estándar de 2°. 4.1 Calcular el número de días del mes en los que se espera alcanzar máximas entre 21° y 25°. 4.2 Calcular el número de días del mes en los que se espera alcanzar máximas entre 19° y 27°.

Respuesta correcta

4.1

4.2

4.3

a)

20

27

30

b)

21

25

30

c)

17

19

21

4.3 Calcular el número de días del mes en los que se espera alcanzar máximas entre 17° y 29°. El promedio de los pesos de 100 estudiantes de una universidad es de 70 kg y la desviación típica 3 kg. Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, hallar cuántos estudiantes pesan: 4.4 Entre 67 kg y 73 kg. 4.5 Más de 70 kg. 4.6 Menos de 64 kg. 4.7 Exactamente 64 kg. 4.8 67 kg o menos.

4. 4

4. 5

4. 6

4. 7

4.8

a)

6 8

5 0

2

0

16

b)

6 6

5 2

4

2

32

c)

6 8

2 5

1

0

16

Los resultados de un examen siguen una distribución normal con media 72 y desviación estándar 6. Calcula: 4.9 La probabilidad de que una persona que presenta el examen obtenga una calificación superior a 72. 4.10 La proporción de estudiantes que tienen puntuaciones que no alcanzan a aprobar, si el mínimo aprobatorio es 60.

4.9

4.10

4.11

a)

0.2

0.02 0

0.01

b)

0.5

0.02 5

0.00 5

c)

0.1

.25

0.00 1

4.11 La proporción de estudiantes que tienen una calificación de excelente, es decir, mayor a 90.


108


Actividad 2. Importancia del modelo normal en la estadística Propósitos Al finalizar la actividad el alumno podrá: 

Reconocer la importancia del modelo normal en la estadística.



Identificar las diferentes aplicaciones del modelo normal en la estadística.



Colaborar hasta llegar a un consenso de su investigación y reflexión.

Desarrollo: Los estudiantes participarán en un foro respondiendo a preguntas planteadas con base en el modelo normal de probabilidad. Procedimiento 1. Elabora una nueva entrada en el foro, considerando lo siguiente: 

¿Qué hace que el modelo normal se aplique en diversos problemas?



¿Qué temas aborda?



¿Cuáles son las características del modelo normal?



¿Cómo se representa la función acumulada de una distribución normal? ¿Qué propiedades debe de cumplir?

En función de las respuestas anteriores y además investigado ejemplos donde se aplique la distribución normal, contesta la siguiente pregunta de reflexión: 

¿Cuál es la importancia del modelo normal de la estadística?


Orden y claridad



Análisis de conceptos



Habilidad de relacionar conceptos y fórmulas



Reflexión argumentada


109


Actividad 3. Valores y parámetros para el cálculo de probabilidades Propósitos Al finalizar la actividad el alumno podrá: 

Identificar los valores y parámetros para el cálculo de la probabilidad, donde se presente una distribución normal.



Identificar adecuadamente las propiedades de distribución normal de probabilidad.




Desarrollo Dado un problema que requiera de una distribución normal o normal estándar identificar los valores y parámetros para el cálculo de las probabilidades correspondientes. Procedimiento Encuentra los valores que se te piden en los incisos del siguiente problema. Resuélvelo en tu libreta.

PROBLEMA La venta mensual de refrigeradores domésticos de una compañía, se distribuye normalmente con un promedio de 200 refrigeradores por mes y desviación estándar de 50. a.

¿Cuáles son los valores  y  ?

b.

¿Cómo se obtiene la variable normal estándar Z?

c.

Dado lo anterior calcula P(x<90) usando la distribución normal estándar.

d.

¿Qué probabilidad hay de que las ventas sean menores de 90 refrigeradores?

Una vez terminado, pásalo a un archivo de Word. Sube tu archivo a la sesión de tareas. Espera la retroalimentación de tu facilitador y si es necesario corrige tu ejercicio. Criterios de evaluación 

Orden y claridad






Resultados correctos



Justificación o interpretación de sus resultados


110


4.2.3. Distribución normal estándar Las fórmulas anteriores no se usarán para el cálculo de probabilidades, en lugar de esto aprovecharemos las tablas que existen para el cálculo de probabilidades de una distribución normal. El proceso de estandarización de la variable aleatoria consiste en un “Cambio de Variable” de tal manera que la distribución obtenida con dicho cambio se comporte como normal con media 0 y desviación estándar 1. Sea

una variable aleatoria con distribución normal, media

y desviación estándar, considere la variable

, la nueva variable aleatoria z se distribuye normalmente con µ = 0 y desviación estándar Ơ = 0. La densidad de la distribución normal estándar está dada por la siguiente función:

Propiedades de la distribución normal estándar. 1. Tiene las mismas propiedades de la distribución normal mencionadas en la sección anterior 2. Su media es 0. Ejemplo 4.1. Cada día más se usan las computadoras en el mundo y cada casa tiene al menos una computadora. Esta computadora es usada para trabajo en casa, investigación, comunicación, finanzas personales y entretenimiento, entre otras cosas. Supón que en promedio el número de horas que se usa esta computadora para entretenimiento es de 2 horas por día. Asume que los tiempos para entretenimiento


111


son normalmente distribuidos y la desviación estándar para los tiempos es una media hora. Encuentra la probabilidad de que una computadora personal sea usada entre 1.8 y 2.75 horas por día. Sea X=la cantidad de tiempo (en horas) que una computadora es utilizada para entretenimiento. X  N (2,0.5) donde =2 y =0.5. Entonces:

1.8  2 2.75  2 P(1.8  X  2.75)  P( z )  P(0.4  z  1.5) 0.5 0.5 Buscando en la tabla de la distribución normal estándar (puede consultar esta página



http://www.ucm.es/info/ecocuan/mjm/ectr1mj/Tablas.pdf) los valores para z=-0.4 y z=1.5,

P(0.4  z  1.5)  P(z 1.5)  P(z  0.4)  0.9332  0.3446  0.5886 Así, la probabilidad de que una computadora personal de casa sea usada para entretenimiento entre 1.8 y 2.75 horas es de 0.5886. Ejemplo 4.2. En una nueva compañía de construcción, la edad de los empleados contratados en los últimos 5 años tiene una distribución normal. Dentro de esta curva 68.2% de los empleados, centrado respecto a la media, tiene entre 22.4 y 34.6 años. Encuentre la media y la desviación estándar de los datos. En la figura siguiente se muestra la distribución normal estándar. Como se puede observar 68.2% implica una extensión de 1 respecto a la media. La media es simétricamente colocada entre -1, que equivale a 22.4 años, y 1, que equivale a 34.6 años, así la edad media es:

22.4  34.6  28.5 años 2 De 22.4 a 28.5 años, con una diferencia de 6.1 años, hay 1, por tanto, la desviación estándar:





6.1  3.05 años. 2




112


Ejercicio 5. Usando tablas de distribución normal estándar, resuelve los siguientes ejercicios que se describen y selecciona la respuesta correcta. Respuestas Varios test de inteligencia dieron una puntuación que sigue una ley normal con media 100 y desviación típica 15.

Respuesta correcta

5.1

5.2

5.3

5.1 Determinar el porcentaje de población que obtendría un coeficiente entre 85 y 115.

a)

0.2 0

0.05 0

0.05

5.2 ¿El intervalo de 100 a 130 qué porcentaje contiene de la población?

b)

0.5

0.25

0.68

c)

0.6 8

.34

0.25

5.3 En una población de 1000 individuos, ¿cuántos individuos se espera que tengan un coeficiente superior a 130?

Actividad 4. Aplicación del cálculo de probabilidad normal Propósitos Al finalizar la actividad el alumno podrá: 

Aplicar adecuadamente el cálculo de probabilidad normal apoyándose en el uso de tablas.




Desarrollo Dados dos problemas, calcula las probabilidades correspondientes utilizando la distribución normal estándar. Procedimiento Realiza los siguientes tres ejercicios; utiliza el cálculo de probabilidades de una distribución normal Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología

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estándar. Los ingresos anuales de los trabajadores de una ensambladora de autos siguen, aproximadamente, una distribución normal, con una media de 18,600 pesos y una desviación de 2, 700 pesos. Encuentra la probabilidad de que un trabajador seleccionado al azar tenga: a) Un ingreso anual inferior a 15, 000 pesos b) Un ingreso mayor a 21,000 pesos Una fábrica que produce sobres de té sabe por experiencia que el peso de los sobres está distribuido normalmente. Su promedio es 1.95 gramos, y su desviación es igual a 0.05 gramos. En un paquete que contiene 200 sobres, ¿cuántos pesan 2 gramos o más? ¿Cuántos pesan menos de 2 gramos? Los resultados de un examen presentan una distribución normal, con un promedio de 78 puntos, y una desviación estándar de 6 puntos. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante que presenta el examen obtenga más de 75 puntos? Un veterinario reporta que los hámsters viven un promedio de 40 meses cuando su alimentación se reduce drásticamente y posteriormente se les suministran vitaminas y proteínas. Supón que el tiempo de vida de los hámster bajo estas condiciones se distribuye normalmente con una desviación estándar de 6.3 meses. Encuentre, la probabilidad de que un ratón dado viva: (Nota que μ = 40 y σ = 6.3) a.

más de 32 meses

b.

menos de 28 meses

c.

entre 37 y 49 meses

Una vez terminados tus ejercicios, pásalos a un archivo de Word. Sube tu archivo a la sesión de tareas. Espera la retroalimentación de tu Facilitador(a) y si es necesario corrige tus ejercicios. Criterios de evaluación 

Orden y claridad











114


Evidencia de aprendizaje. Modelando las ganancias de una empresa Propósitos Al finalizar la actividad el alumno podrá: 

Aplicar adecuadamente la distribución de probabilidad normal a problemas de cálculo de probabilidades cuya información es posible representar con un modelo normal.




Desarrollo La compañía BICICLEMEX fabrica y vende bicicletas. Al licenciado Teodoro Lima, gerente de la empresa, le gustaría contar con información sobre sus ventas a futuro para estimar sus ganancias. Sus registros muestran, en las ventas mensuales de los últimos 5 años, la siguiente información:

ENERO FEBRERO MARZO ABRIL MAYO JUNIO JULIO AGOSTO SEPTIEMBRE OCTUBRE NOVIEMBRE DICIEMBRE

RESUMEN DE VENTAS (Millones de pesos) 2006 2007 2008 2009 2.694 2.913 3.111 2.625 3.518 3.733 3.933 2.201 1.502 3.557 2.879 1.283 0.869 2.180 2.623 2.001 3.563 1.110 2.986 2.810 2.940 1.919 2.073 1.220 3.128 2.944 1.207 2.714 2.208 2.395 1.863 4.079 1.860 3.123 2.421 3.513 2.732 3.130 2.380 2.948 2.224 3.117 2.970 2.558 2.597 3.448 0.872 1.324

2010 2.146 3.125 2.009 2.033 2.060 1.942 3.038 2.045 1.857 3.345 2.523 2.566

Como se aprecia sus ventas mensuales fluctúan desde $18,000.00 hasta $4, 079,000. Al obtener el promedio de sus ventas y la desviación estándar de estos cinco años obtiene un promedio de 2.55 y una desviación estándar de 0.8 millones de pesos. Al graficar los datos se observa la siguiente gráfica.


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16 14 12 10 8

6 4 2 0 1.369

1.869

2.369

2.869

3.369

3.869

4.369

Procedimiento a. Obtén el promedio de ventas para cada año, opina sobre el comportamiento de las ventas en esos cinco años. b. ¿Qué porcentaje de las ventas mensuales futuras se espera excedan de 3, 500, 000? c. Para que la empresa funcione adecuadamente sus ventas no deben disminuir de 1, 500,000. ¿Qué probabilidad hay de que esto ocurra? Criterios de evaluación 

Orden y claridad










Habilidades procedimentales 




Esquematización de principios






Hábitos de investigación, estrategias aptas para la resolución de problemas, utilización de métodos de investigación adaptados al objeto de estudio


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Consideraciones específicas de la unidad En el proceso de tu aprendizaje, a través de la realización de lecturas, investigaciones, ejercicios y actividades, te recomendamos que a medida que avances en el estudio tomes nota de los aspectos más importantes y registres. No olvides que el Facilitador(a) te ayudará a comparar los resultados, superar las dificultades, corregir errores. Te recomendamos también que leas los textos, las explicaciones de cada ejemplo, que realices tus ejercicios y las propuestas de trabajo detenidamente, que retrocedas si es necesario para recordar conceptos, definiciones y los fundamentos de la probabilidad como las reglas, propiedades, axiomas y teoremas que te ayudarán a resolver los problemas que se te presenten. Para cumplir con los propósitos de la Unidad 4. Modelos de probabilidad continuos se han diseñado diversas actividades y ejercicios destinados al desarrollo de destrezas y habilidades que serán fundamentales en tu proceso de aprendizaje y que a la vez serán útiles en tu vida cotidiana. Con el fin de guiar las acciones a realizar y facilitar su identificación, a continuación se presentan los íconos que corresponden a las actividades y ejercicios de la Unidad: Ejercicios. Corresponden a diferentes actividades de tipo formativo para la activación de conocimientos relacionados con las temáticas de la propia Unidad. Estos no cuentan con valor numérico pero sí son indispensables para avanzar en los procesos de aprendizaje. Actividad de aprendizaje. Las actividades de aprendizaje tienen un valor formativo ya que a través de su realización se ejercitan habilidades, destrezas y actitudes que permitan la aplicación de métodos y técnicas en situaciones de aprendizaje y que más tarde serán aplicadas en contextos académicos y sociales. Foro de debate. El foro es un espacio de debate académico que contribuye al desarrollo del pensamiento crítico y al desarrollo de la capacidad argumentativa. En este esquema, tendrás que defender tus puntos de vista a través de argumentos sólidos y compartir opiniones y aportaciones con otros compañeros para llegar a acuerdos comunes sobre conceptos, teorías y perspectivas teóricas. En este espacio también se desarrollan actitudes de tolerancia y respeto hacia los demás.

Fuentes de consulta Robert Johnson, Patricia Kuby. (2007). Estadística elemental. Internacional Thomson. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología

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Ruiz, E. y Ruiz, E. (2007). Probabilidad y estadísticas. México: Mc Graw Hill. David K. Hildebrand y R. Lyman Ott. (2001). Estadística aplicada a la administración y a la economía. Addison-Wesley Iberoamericana. Michael J. Evans. (2005). Probabilidad y estadística. Jay L. Devore. (2005). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. Thomson.

David R. Anderson, Dennis J. Sweeney. (2008). Estadística para administración y economía, Cengage Learning Latin America.

Ronald Walpole, Raymond H. Myers, Sharon Myers. (2007). Probabilidad y estadística para ingenieros. Pearson Education. William Mendenhall, Richard L Scheaffer, Dennis D Wackerly, Estadisticas Matemáticas con aplicaciones, Grupo Editorial Iberoamerica. Fuentes cibergráficas Stefan Waner. Matemática finitas y Cálculo aplicado. Consultado el 18 de abril en: http://www.zweigmedia.com/MundoReal/tutindex.html Instituto Tecnológico de Chihuahua, consultado el 18 de abril en: http://www.itchihuahua.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/amarillo.htm Pértegas Díaz S., Pita Fernández S. Unidad de Epidemiología Clínica y Bioestadística el 18 de abril en: http://www.fisterra.com/mbe/investiga/distr_normal/distr_normal2.pdf

Francisco Álvarez González, consultado el 18 de abril en: http://ww.uca.es/uca/dpto/C146/pag_personal/f_alvarez/documentos/CC%20Trabajo%20Tema%205.pdf


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PD_PRO1 Curso probabilidad unad

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