Método de la Carga Unitaria El Método de la Carga Unitaria puede generalizarse para calcular desplazamientos lineales y rotacionales ocasionados por momentos flectores. M M Δ = Θ= mdx mdx EI EI L L
∫
∫
Donde M es el momento flector en cualquier sección del elemento estudiado, ocasionado por el sistema real de cargas y m es el correspondiente momento flector ocasionado por una carga unitaria (actuando en el punto de interés y en la dirección del desplazamiento buscado). EJEMPLOS
1) En la viga representada calcular θ A , θC y Δ C . Considerar constante la rigidez flexional EI. P A
B C
a
2 A
b
DC
2C Determinamos los momentos flectores (reales) en ambos tramos de la viga propuesta. Tramo AC: M = Pbx/L (x se mide desde el punto A). Tramo CB: M = Pax/L (x se mide desde el punto B). Momentos Flectores por Carga Unitaria A
B
C
A
C
B
1
1
A
C
B
1
Para calcular el giro del punto A, debemos obtener los momentos flectores por carga unitaria. Luego aplicamos en el punto A un momento unitario y encontramos las ecuaciones de momento flector para los dos tramos AC y CB. x x Tramo AC m =1− . Tramo CB m = L L (La variable x se mide a partir del mismo origen y en el mismo sentido que el empleado para determinar el momento flector real). a
Luego, el el giro del punto A será
b
M M θ A = mdx + mdx . Reemplazando M y m EI EI 0 0
∫
∫
a b 2 2 ⎤ Pab ⎛ ⎞ 1 ⎡ Pbx x Pax x ⎜ 3a − 2a + 2b ⎟ (1 − )dx + ( )dx ⎥ = obtenemos: θ A = ⎢ ⎜ EI ⎢⎣ 0 L L L L L L ⎠⎟ ⎥⎦ 6EIL ⎝ 0
∫
∫
Para calcular el giro del punto C, debemos obtener los momentos flectores por carga unitaria. Luego aplicamos en el punto C un momento unitario y encontramos las ecuaciones de momento flector para los dos tramos AC y CB. x x Tramo AC m=− . Tramo CB m=− . L L
(La variable x se mide a partir del mismo origen y en el mismo sentido que el empleado para determinar el momento flector real). a
b
M M θC = mdx + mdx . Reemplazando M y m EI EI 0 0
∫
Luego, el giro del punto C será
∫
a b ⎤ Pab 1 ⎡ Pbx x Pax x obtenemos: θC = ⎢ (− )dx + ( )dx ⎥ = (b − a) EI ⎣⎢ 0 L L L L 3 EIL 0 ⎦⎥
∫
∫
Para calcular la flecha del punto C, debemos obtener los momentos flectores por carga unitaria. Luego aplicamos en el punto C una carga vertical unitaria y encontramos las ecuaciones de momento flector para los dos tramos AC y CB. bx ax Tramo AC m = . Tramo CB m = L L (La variable x se mide a partir del mismo origen y en el mismo sentido que el empleado para determinar el momento flector real). a
Luego, la flecha del punto C será
b
M M θC = mdx + mdx . Reemplazando M y m EI EI 0 0
∫
∫
a b ⎤ Pa2b2 1 ⎡ Pbx bx Pax ax ( )dx + ( )dx ⎥ = obtenemos: θC = ⎢ EI ⎢⎣ 0 L L L L ⎥⎦ 3EIL 0
∫
∫
2) En la viga representada, cuya rigidez flexional EIz es constante, determinar la pendiente y la deflexión vertical en el punto A. Usando el método de la carga unitaria, los desplazamientos buscados son:
w A L; EIz wx/L
1
M
x
x
m1
1
x
m2
El momento flector provocado por la carga real es M=-wx3 /6. El momento flector provocado por la carga unitaria vertical es m 1=-x, y el momento flector provocado por la carga unitaria rotacional es m 2=1. Luego, para cada caso usamos las ecuaciones (*). Δ A V
1 = EIZ
L
4 ⎛ wx 3 ⎞ ⎜− ⎟(− x)dx = wL ⎜ 6L ⎟ 30EIZ ⎠ 0 ⎝
∫
(↓) .
1
4 ⎛ wx 3 ⎞ ⎜− ⎟(1)dx = − wL (El signo menos indica que la rotación del ⎜ 6L ⎟ 24 EI Z ⎠ 0 ⎝ extremo A, es en sentido antihorario, contrario a lo supuesto para la carga rotacional unitaria).
1 Θ A = EIZ
∫
3) Determinar las componentes horizontal, vertical y rotacional del desplazamiento del punto A en el sistema representado. Considerar constante la rigidez axial EI de todas las barras. W=1.2 Klb/pie B
10 pies
C 10 pies
Determinamos los momentos flectores (reales) en las barras del sistema. Tramo AB: M = 0 (x medida desde A . Tramo BC: M = -0.6x2 (x medida desde B
Cálculo del Δ AH : En el sistema descargado, hacemos que actúe una carga unitaria horizontal aplicada en el punto A. Determinamos los momentos flectores debidos a C B la carga unitaria. Tramo AB: m = -x (x medida desde A . Tramo BC: m = -10 (x medida desde B Tramo CD: m = x-10 (x medida desde C D A 1
Luego, Δ AH =
M M M mdx + mdx + EI EI EI AB BC CD
∫
∫
∫
(*)
Reemplazando las expresiones de M y m en la expresión (*), obtenemos: 10 10 10 ⎤ 5000 1 ⎡ A 2 Δ H = ⎢ (0)(− x )dx + (−0.6 x )(−10)dx + (−60)( x − 10)dx ⎥ = EI ⎣⎢ 0 EI ⎥⎦ 0 0
∫
∫
∫
Cálculo del Δ A V : En el sistema descargado, hacemos que actúe una carga unitaria vertical aplicada en el punto A.
B
C
A
D
Determinamos los momentos flectores debidos a la carga unitaria. Tramo AB: m = 0 (x medida desde A . Tramo BC: m = x (x medida desde B Tramo CD: m = 10 (x medida desde C
1 1 ⎡ 7500 = ⎢ (0)dx + (−0.6 x 2 )( x )dx + (−60)(10)dx = − EI ⎢⎣ 0 EI 0 0 10
Luego
Δ A V
∫
10
∫
10
∫
Cálculo del giro θ A : En el sistema descargado, hacemos que actúe una carga rotacional unitaria (momento) aplicada en el punto A. B
C
Determinamos los momentos flectores debidos al momento unitario. Tramo AB: m = 1 (x medida desde A . Tramo BC: m = 1 (x medida desde B Tramo CD: m = 1 (x medida desde C
D
A 1
1 ⎡ 800 Luego θ A = ⎢ (0)(1)dx + (−0.6 x 2 )(1)dx + (−60)(1)dx = − EI ⎢⎣ 0 EI 0 0 10
∫
10
10
∫
∫
En base a los desplazamientos del punto A puede tenerse una buena aproximación a la deformada del pórtico.
4) El momento de inercia I en cualquier sección transversal del arco parabólico representado en el esquema, varía con la relación I = IO sec φ , siendo φ el ángulo entre la dirección horizontal y la dirección tangente. Calcular el desplazamiento del rodillo por efectos del momento flector que genera la carga repartida uniforme w. w (Ton/m) y
ν
P 10 m
1 10 m
x
10 m
(20 x − x 2 ) La ecuación de la parábola respecto a los ejes x, y indicados, es y = . El 10 Mm desplazamiento horizontal del rodillo estará dado por Δ = ds (*), siendo M el EI (S )
∫
momento flector generado por la carga repartida w; m el momento flector ocasionado por la carga unitaria horizontal aplicada en el rodillo y ds el elemento de arco medido en la parábola.
