FÍSICA III – ELECTROMAGNETISMO – ELECTROMAGNETISMO
M. Sc. FRANCISCO SÁNCHEZ GUTIERREZ
1.1Carga 1.1 Carga eléctrica: Es la cantidad de electricidad que tiene un cuerpo. Se mide en Coulomb. El electrón tiene la siguiente cantidad de electricidad: electricidad:
Existe una carga eléctrica existe a su vez una interacción con otra que sufre esta interacción a través del campo eléctrico creado por la primera. 1.1.1 Conductores y aislantes:
Conductores: Materiales que permiten el libre flujo de electrones (dejan pasar carga eléctrica), generalmente son materiales metálicos.
Aislantes o Dieléctricos: No metálicos, no dejan pasar la carga eléctrica (Entre las bandas de valencia y de conducción energéticamente se encuentran alejadas ).
En un conductor los electrones de la banda de conducción: son los electrones que saltan de un átomo a otro. En los aislantes los electrones mas externos están fuertemente ligados al núcleo atómico o la capa externa esta “completa”. Semiconductores son aquellos materiales que tienen ambas propiedades.
1.1.2 Ley de Coulomb Dos cargas del mismo signo se repelen o interaccionan con una fuerza de repulsión Dos cargas de distinto signo se atraen o sufren una interacción de atracción. La dirección de la fuerza esta en línea recta que une a ambas cargas, la interacción es directamente proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia de separación.
|| |
1
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En forma de módulo:
En forma vectorial:
||| |⃗||⃗|| ⃗ ⃗
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1.1.3 Campo eléctrico: Una carga produce un campo eléctrico a su alrededor que se manifiesta cuando se coloca otra carga y esta sufre la interacción de Coulomb. Forma vectorial:
Forma general:
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
Si la carga es positiva => F tiene el mismo sentido que E Si la carga es negativa => F tiene sentido contrario a E a) Campo producido por una distribución de carga puntual:
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
Entonces el campo total producido por n cargas es la sumatoria algebraica de los campos eléctricos:
Cuando la carga se encuentra distribuida a lo largo de una línea esta se denomina densidad lineal de carga:
(carga por unidad de longitud)
Cuando la carga se encuentra distribuida a lo largo de una superficie esta se denomina densidad superficial de carga:
1.2. Ley de Gauss 2
(carga por unidad de superficie)
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Dada una distribución de carga cualquiera, la envolvemos en una superficie imaginaria que encierra la carga. A continuación examinamos el campo eléctrico en diversos puntos de esta superficie imaginaria. La ley de Gauss es la relación entre el campo en todos los puntos de la superficie y la carga total encerrada dentro de la superficie. Para esto inicialmente se define “flujo eléctrico” e léctrico” 1.2.1. Flujo eléctrico: Es la densidad de líneas del campo eléctrico en la superficie de la superficie imaginaria de Gauss, se define por:
Concepto de ley de Gauss: Esta ley afirma: El flujo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga encerrada encerrada por dicha superficie dividido la permitividad eléctrica del aire o del vacío.
∫
Divergencia Divergencia del vector E: El teorema de la divergencia transforma integrales de superficie en integrales de volumen, en nuestro caso:
E d s E dv
Densidad volumétrica de carga: Sea la magnitud. La densidad volumétrica de carga se define como : q
dq dv
. La carga q es,
q q dv
Reemplazando las anteriores ecuaciones en la ecuación de la ley de Gauss, se obtiene.
E dv
1
0
q
Ya que E y q son continuas =>
E
q o
(1º ecuacion de maxwell en su forma diferencial)
Si q = 0
E 0
3
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La ley de Gauss se utiliza con mucha falicidad en el cálculo de campo electrico de situaciones de gran simetria, en cuanto a la geometria de las carga y del campo electrico.
1.3. Potencial electrico electrico (estatico o electroestatico) electroestatico) Recordando el concepto de trabajo mecanico: Si sobre un sistema actua una fuerza y el sistema se mueve => se afirma que la fuerza realiza un trabajo mecanico: W = escalar
⃗ ⃗ ∫ ∫
El potencial electroestatico electroestatico se define como el trabajo mecanico por unidad de carga que se realiza en contra del campo electrico. V = Potencial
(escalar)
a) Potencial electrico producido por una carga puntual q a una distancia a de la carga:
b) Potencial eléctrico en un punto producido por n cargas puntuales: V = V 1+V 2+..+V n
c) Potencial de una distribucion distribucion continua de carga c -1) -1) Carga distribuida linealmente con una densidad lineal de carga λ,
En forma general:
4
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En forma vectorial:
| |
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c-2) Carga distribuida en una superficie δ = dq/ds)
Forma vectorial:
δ
Forma general:
δ
1.4. Gradiente de potencial: potencial: Se entiende por gradiente a la variacion de alguna magnitud fisica con respecto al espacio.
Gradiente en coordenadas Cartesianas:
Gradiente en coordenadas cilíndricas:
Diferencia de potencial:
5
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1. Comparación entre la fuerza eléctrica y la fuerza gravitatoria. a) Calcule la fuerza eléctrica de repulsión entre dos protones colocados a una distancia entre si de 1 cm. +q p1
F12
F21
r
Datos: r = 1 [cm] = 0.01[m] q p2 = q p1
+qp2
| | * ]
Cálculos:
Luego de realizar cálculos aritméticos se obtiene 24
F 12 2.31 x10
N
b) Calcule la fuerza gravitatoria de atracción entre los dos protones del inciso (a)
Usando la formula:
Se obtiene:
Resultado:
F g 1.86 x10 N 60
c)¿Cuál es el cociente entre la fuerza eléctrica y la gravitatoria?
F 12 F g
1.24x1036
2.- Electrón en un campo eléctrico uniforme. ¿Cuál es el valor de la aceleración de un electrón 4
en un campo uniforme de 2x10 N/C?¿Cual es la dirección y sentido de la aceleración?
6
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Datos:
-19
e = 1.6 x 10 C -31
me = 9.1 x 10 kg Cálculos:
Poniendo datos, tenemos
(Por la segunda ley de Newton)
Reemplazando datos se obtiene el siguiente resultado
Con sentido contrario al campo eléctrico 3.- Esferas suspendidas
a) Dos pequeñas esferas metálicas idénticas cada una de masa m poseen cargas iguales y están suspendidas mediante hilos aislantes de longitud l. Pruebe que en equilibrio el ángulo de cada uno de los hilos forma con la vertical satisface la relación 3
2
2
sen θ/cosθ = q /16πε0mgl .
l
T
Ty
Tx r=2lSin
Fe m g
7
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∑ ∑
Como el enunciado dice que deben estar en equilibrio entonces se debe comprobar que
.
Dividiendo 1 y 2 miembro a miembro:
LQQD.
b) Si m = 0.0001 kg y l =10 m ¿Cuál debe ser el valor de q si se llega al equilibrio cuando la separación centro a centro entre ellas es de 3 cm?
ar sin(
=>
r
2l
) 0.0856
Remplazando los datos conocidos en
Se obtiene: -9
q = 5.29 x 10 C
8
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4.- Punto de equilibrio: Dos cargas, una de 40 nC y otra de -10 nC están localizadas a 1m de de separación. a) ¿ En que punto el campo eléctrico es cero? -q2
q1
r
E (-) (-)
E (+) (+)
x-r
x
Para que el campo eléctrico total sea cero E(+)=E(-) Igualando
Simplificando:
Por simple inspección de la anterior ecuación, esta igualdad se cumple para x = 2 m, es decir el punto se encuentra a 1 m de la izquierda de la carga negativa y a 2 m ala izquierda de la carga positiva b)
¿Cuándo una carga de prueba positiva en el punto en que E =0 esta en equilibrio inestable?
5) Cargas en un cuadrilátero. Cuatro Cuatro cargas iguales q están colocadas en las esquinas esquinas de un cuadrilátero de lado a. a) ¿Cuál es el modulo, dirección y sentido del campo eléctrico en cada esquina? q1
q2
q3
q4
q1 = q2 = q3 = q4 = q
9
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para q1:
Modulo:
Dirección:
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√ √ (√ √ )) (√ √ )) √ √ + √ √ * √ √ * ‖ ‖ √ √ *+ √ √ *+ ‖ ‖ √ √ √ √ * √ √ √ √ *
b) Hallar E en el centro del cuadrado
Por la simetría del sistema este campo es nulo
2.1 Conductores y aislantes. a) Dentro del conductor el campo electrostático es igual a cero. La carga inducida por una carga real q r tiene la misma intensidad pero con 10
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signo contrario, entonces el campo eléctrico por las cargas inducidas tiene la misma intensidad del campo eléctrico externo pero con sentido contrario, dentro del conducto el campo neto es cero. b) Dieléctricos: Son materiales no conductores que se usan en la fabricación de capacitores. Al fenómeno de ordenación y orientación de los átomos de un dieléctrico cuando se sumerge dentro de un campo eléctrico se llama polarización. Las cargas ligadas de un dieléctrico, de acuerdo a la ley de Coulomb se polarizan, es decir, la parte positiva de los átomos se acercan a la carga negativa de las placa y viceversa, si el campo eléctrico es producido por un par de placas cargadas En estos casos se puede describir al campo eléctrico como:
En el dieléctrico aparecen cargas inducidas en menor proporción que las placas Carga inducida: es el exceso de carga provocado cuando un cuerpo cargado se acerca a otro provocando un exceso de carga en el primer objeto. Esta carga inducida crea un campo eléctrico opuesto, entonces el campo total dentro del dieléctrico es menor al campo de las placas.
2.2. Suceptibilidad eléctrica eta (η) Se entiende como el grado de sensibilidad que tiene un dieléctrico para polarizarse y se define como:
De aquí se obtiene otra definición para el campo eléctrico:
a
se le denomina coeficiente dieléctrico Ke =
Ke =
= permitividad eléctrica del medio permitividad eléctrica del vacio.
11
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Ke = 100 Implica que,
y
Unidades de :
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2.3. Vector desplazamiento desplazamiento eléctrico
Se define como el producto de por el campo eléctrico:
Si: =>
Este vector desaplazamiento es función solamente de las cargas reales y no de las inducidas, aunque en el sistema existan dieléctricos que se polarizan.
Asi también obtenemos otra definición para el campo eléctrico:
Con la definición de flujo eléctrico y la ley de Gauss se tiene:
Si
12
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=>
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∮
(cuando hay dieléctricos)
Este solo depende de la carga real.
2.4. Vector Polarización. Este vector es igual al cociente del momento dipolar eléctrico por la unidad de volumen. P = qd P = qi d
Vector polarización: Se define:
El modulo se define:
En forma vectorial:
̂
P es función del campo eléctrico y solo hay p cuando hay un dieléctrico.
Resumen:
Suceptibilidad eléctrica
Ke =
Constante dieléctrica
Pemitividad del medio
13
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2.5. Capacitancia y Condensadores: Condensadores:
Un condensador esta formado por dos partes metálicas, una cargada positivamente y la otra negativamente con la misma intensidad, es decir la carga total es igual a cero. Un condensador almacena energía eléctrica Sirve como protección a descargas no deseadas También sirve como dispositivo para cambiar la frecuencia de las ondas electromagnéticas en una antena receptora o emisora
Existen diferentes tipos de condensadores: a) Por el dieléctrico No polarizados Electrolíticos (polarizados) b) Por su forma Placas planas Esféricos Cilíndricos La capacitancia de un condensador se entiende como la capacidad de almacenamiento que tiene dicho condensador.
La Capacitancia C de un capacitor se define como
V =
Trabajo por unidad de carga para ir de – a + en sentido opuesto a .
Esta magnitud se define como como el cociente cociente de la carga dividiendo dividiendo al potencial eléctrico existente entre las dos parte metálicas, sin embargo su valor solo depende de:
Dimensiones del capacitor Dieléctrico existente entre las dos partes.
Sus unidades son:
2.6 Calculo de capacitancia.
a) Condensador de placas planas y paralelas (dieléctrico aire
Como la distancia entre las dos placas es pequeña. Estas placas paralelas que componen el condensador son planos infinitos desde la perspectiva de cualquier punto de la región entre placas.
14
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Así obtenemos:
A = superficie de las placas
d = distancia de separación entre las placas Para un dieléctrico cualquiera (
b) Condensador esférico: Usando la ley de gauss :
∮
(definición de producto escalar)
Como E es constante:
b-a = espacio vacío entre las dos esferas Y también de la formula de voltaje:
Remplazando Remplazando el campo eléctrico y poniendo los limites:
15
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Y de ahí también se obtiene la capacitancia:
Para otro dieléctrico (
c) Condensador cilíndrico: a
= radio de la parte interior
b = radio de la parte exterior b - a = radio del espacio vacío h = altura del cilindro
En otro dieléctrico
(Constante)
2.7. Conexión de condensadores a) Forma serie En esta conexión la carga real q no es la sumatoria de las cargas inducidas V = V 1+V 2+V 2+…+V n
=>
De ahí obtenemos que:
(para dos condensadores )
b) Forma paralela La carga se repite. Todas las cargas son reales en una conexión en paralelo: q = q1+q2+q3+…+qn
16
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1. Dos láminas conductoras con cargas opuestas tienen numéricamente la misma densidad de carga superficial y están separadas por un dieléctrico de 5mm de espesor y coeficiente dieléctrico 3. La intensidad del campo eléctrico resultante en el dieléctrico es de es 10
6
V/m. Calcular: a) El vector desplazamiento eléctrico en el dieléctrico b) La densidad superficial de carga libre sobre las láminas conductoras. c)
La polarización en el dieléctrico
d) La densidad superficial de carga inducida sobre la superficie del dieléctrico e) La componente de la intensidad del campo eléctrico debida a la carga libre 17
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f)
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La componente de la intensidad del campo eléctrico debida a la carga inducida. Respuestas:
a)
Como:
=>
b)
c)
18
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e)
f) La componente del campo eléctrico debido a la carga inducida.
2.
μ
Dos lamina conductoras paralelas, separadas una distancia de 5 mm, reciben densidades superficiales de cargas iguales y opuestas de 20 C/m2. El espacio comprendido entre las lamina está ocupado por dos capas de dieléctrico. Una de 2 mm de espesor y coeficiente dieléctrico 2 y la otra de 3 mm de espesor y coeficiente dieléctrico 3. Calcular: a) La intensidad del campo eléctrico en cada dieléctrico. b) El desplazamiento eléctrico en cada uno c)
La densidad superficial de carga inducida sobre cada dieléctrico.
Respuestas. a)
E 1
k e o
19
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Por simple inspección: 5 N E 2 7.3 x 10 C
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b)
D1 1 E 1 6 C D1 20 x10 2 m
D2 2 E 2 6 C D2 20 x10 2 m
1.94 1.94
3. El papel dieléctrico en un condensador de hoja metálica. Tiene 0.005 cm de espesor. Su coeficiente dieléctrico es de 2.5 y su rigidez dieléctrica es de 6
50*10 [V/M].
μ?
a) ¿Qué superficie de papel y de hoja de estaño se necesita para construir un condensador de 0.1
b) Si la intensidad del campo en el papel no excede de la mitad de la rigidez dieléctrica ¿Cual es la máxima diferencia de potencial que puede aplicarse al condensador? condensador? c) Calcúlese la resistencia del dieléctrico si su resistividad es de 1014 -m] Respuestas: a) Para darle la forma de un cuadrado (hoja cuadrada):
20
√ √
= 0.48 [m]
Ώ
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b) E=½E
c)
R = (P L)/A L)/A
4.
Ώ Ώ μ u df d l d L
Un condensador de 20 armaduras del condensador carga se conectan a las de un condensador descarga de 5
μ lul
a) La carga inicial del sistema
b) La diferencia de potencial final entre las armaduras de cada condensador c) La energía final del sistema d) la disminución de energía cuando se conectan los condensadores. Respuestas: a)
b)
=>
μ μμ
b) Energía final de sistema:
21
μ μ u dl
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c)
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5. La capacitancia de un condensador de radio puede varias desde desde 50pF hasta hasta 950 pF girando girando el mando desde 0º hasta 180º. Con el mando puesto en 180º el condensador se conecta a una batería de 400V. Después de la carga se desconecta el condensador de la batería y se retrocede el mando a 0º. a) ¿Cuál es la carga en el condensador? b)?cual es la diferencia de potencial entre las armaduras del condensador cuando el mando indica 0º? c)¿Cuál es la energía del condensador en esa posición? d) ¿ Que trabajo es necesario para hacer girar el mando, si despreciamos el rozamiento?
Respuestas: a)
b)
22
d d d d d
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d) 180º:
=>
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μ μμ
6. Un condensador de 1[μF] y otro de 2[μF] se conectan en paralelo a una línea de 1000V. Calcular la carga de cada condensador y su voltaje Respuestas: a)
Cada capacitor esta conectando a la misma batería => V = V1 = V2 = 1000[V]
7. Calcular en la red de la figura:
a) La carga sobre cada condensador b) La diferencia de potencial entre sus armaduras c) La energía total almacenada en los tres condensadores condensadores Respuestas: a)
b) De
Despejando se obtiene:
23
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c)
3.1.
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Corriente Eléctrica: Es el flujo de cargas eléctricas que atraviesan una superficie de área “A”.
El sentido de la corriente eléctrica es el opuesto al movimiento de los electrones. Este sentido esta dado por el movimiento de los huecos positivos, si este sent ido es constante entonces entonces la corriente se denomina continua, si no se denomina alterna. A este tipo de corriente también se la denomina estacionaria:
3.1.1. Definición de la intensidad de corriente: i =dq/dt Si la corriente es constante: i = q/t Su unidad es: [C/S] = A Si la corriente cambia con el tiempo puede expresarse como: i = i0 Sin(t)
3.1.2. Densidad de corriente: ( )
24
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El modulo de J es igual igual a la corriente eléctrica eléctrica dividido entre la superficie superficie que atraviesa esta corriente: J = di/dA Su sentido es aquel dado por el de los huevos positivos.
Unidades de J:
3.1.1.3. Conductividad ( ) y Resistividad ( ) Eléctricas Son propiedades de todo material, así los aislantes tienen una baja conductividad, en cambio, los metales tienen una alta conductividad, el inverso de la conductividad conductividad se denomina resistividad.
Resistencia:Dificultad para el paso de una corriente Es definida como:
L L L
Y a veces Entonces:
f
=>
La conductancia esta definida por:
G = Conductancia. Unidades:
dd dudd
3.2. Ley de ohm
25
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El voltaje entre dos puntos a y b es igual a la intensidad de corriente que circula entre dichos puntos por la resistencia eléctrica R que existe entre los dos puntos: V=iR
3.3. Efecto Joule
El paso de la corriente eléctrica, o sea el movimiento de electrones, produce una disipación de energía calorífica, este efecto se denomina efecto joule. Esta disipación disipació n es debida al rozamiento de los electrones con los átomos vecinos y con ellos mismos => cuando mas delgado es el conductor el efecto es mayor a una cierta corriente eléctrica. Potencia eléctrica: Potencia : P = v i. Por Ohm: P = R i 2 ya que v = i R Unidades: [watts] = [w] =[J/s] En los fenómenos eléctricos también se cumple el principio de la conservación de la energía: Potencia de entrada = potencia de salida.
3.4. Valor promedio de una función continua:
̅
Valor promedio de una voltaje armónico en un periodo T: = 0
Valor eficiaz:
3.5. Circuitos de corriente continua
26
√ √ √ √
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Son trayectorias cerradas que sigue una corriente continua, la trayectoria cerrada posee resistencia eléctrica y fuentes de energía. La fuente que entrega energía eléctrica al circuito se denomina Fuerza Electromotriz o F.E.M. Las corriente circula circula del borne negativo a positivo positivo en el interior de las fuentes. 3.6. Ecuaciones Fundamentales de los circuitos: a) Ley de Ohm: V = R i b) Ley de las mallas de Kirchhoff
La ley de las mallas o de los voltajes afirma afirma que la sumatoria sumatoria algebraica de las fem’s en una malla es igual a la suma del producto IR que existe en la malla. c) Ley de Kirchhoff de la corrientes o de los nudos: Las corrientes que ingresan a un nudo son iguales a las corrientes que salen de dicho nudo:
3.7. Resistencia en serie y en paralelo Las resistencias eléctricas pueden conectarse en la forma serie y en la forma paralelo: V = I Req Resistencia en Serie:
Resistencia en paralelo:
27
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1. Una corriente eléctrica esta dada por donde esta en amperios y te esta en segundos, ¿Cuál es l carga total conducida por la corriente desde t = 0 a t = 1/120 s?
Datos:
? ddd
Solución: Analizando la grafica de la función se hace evidente que se necesita integrar, entonces se usa la formula conocida i = dq/dt. Resolviendo la ecuación diferencial integrando en ambos miembros se obtiene :
28
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∫ ( ( ) :
=>
Volviendo a la variable original y poniendo los limites correspondientes se obtiene:
2. Una barra de distribucion de cobre tiene una seccion transversal de 5 15 y conduce una corriente por unidad de superficie (llamada densidad de corriente) de
. a) ¿Cuál es la corriente total en la
barra de distribucion?, b)¿Cuánta carga pasa por un punto dado en la barra por hora?
Datos:
A = 75
Solución:
29
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i = JA
b)
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Se requiere la cantidad de carga en un intervalo de 1 hora(3600 segundos), entonces se puede usar la ecuación i = dq/dt, integrando en el intervalo requerido.
d d d d | *
3. Calcule la resistencia de 0 a 20 ºC de un alambre de plata de 40m de largo que tiene un área de sección transversal de . Datos: T = 20ºC A=
Solución: Utilizando la formula:
Se tiene:
4.
Un alambre metálico de 12 de resistencia se corta en tres pedazos iguales que luego se colocan lado a lado para formar un nuevo alambre cuya longitud es igual a una tercera parte de la longitud original. ¿Cuál es la resistencia de este nuevo alambre?
30
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Entonces se obtiene:
3A Sabiendo que:
?
Lnicial
L 1 RFinal Final 3 R Inicial AFinal 3 A 9 Resulta que: R Inicial = 1.33
5.
Un voltaje de 0.9[V] se mantiene entre los extremos de un alambre de tungsteno de 2
1.5[m] de largo que tiene un área de sección transversal de 0.6 mm . ¿Cuál es la corriente en el alambre?
?
Datos:
Solución:
Ω
?
31
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Utilizando la formula:
Sustituyendo los valores:
6.
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*
Un resistor se construye con una barra de carbón que tiene un área de sección 2
transversal uniforme de 5[mm ]. Cuando un voltaje de 15V se aplica entre los extremos de la barra, hay una corriente de 4 [mA] en la barra. Encuentre a) la resistencia de la barra y b) su longitud. Datos:
=5
a)
Utilizando la formula:
Remplazando valores:
b)
Utilizando la formula:
Remplazando valores:
32
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L
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R A
Sabiendo que la resistividad del carbono es 3
R = 5.36 x 10 m
7.
[
a) Encuentre el voltaje entre los puntos a y b de la figura. b)Encuentre las corrientes que circulan por las resistencia de 3 1
U1
.
3hm_5%
3 Ω.
V2
3
10 V
0
R1 5.1 Ω. V1 5V
R2 Ω. 6.8
3
Aplicando Kirchhoff para mallas se o btiene el siguiente sistema:
Resolviendo el sistema se obtienen los siguientes valores:
=>
Por simple inspección se obtiene que la resistencia equivalente es igual a 56/15. Utilizando estos datos: a)
33
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= 1.55[A]
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= 3.05 [A] = 1.48[A]
8. En el circuito de la figura encuentre la corriente en cada una de las resistencias, el voltaje a través de la resistencia de 200 resistencias. 5
y la potencia disipada por cada una de las
V2 360 V
V1 40 V 4
2
R5 200
R1 78.7
R3 20
80 Ω. 0
Por la aplicación de Kirchhoff para mallas se obtiene:
Resolviendo el sistema sistema se obtienen los valores:
Voltaje a través de 200
34
.:
V3 80 V
3
R2 69.8
Ω.
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9. a) Con argumentos de simetría halle la corriente que pasa por cada una de las resistencias en la configuración de la figura. Todos los resistores tienen la misma resistencia r. b) halle la resistencia equivalente entre los puntos a y b.
I
a
c
b I
d a) Como las resistencias son iguales, la corriente I que ingrese por a se divide en tres
u d u d l * *
ramales por igual, entonces:
Cuando la corriente llega a c se divide en dos corrientes iguales (I/6), y al llegar al punto d llegan dos corrientes ( I/6 + I/6) =
y es la que llega a A.
Luego para la trayectoria se tiene:
Por lo tanto se puede determinar que la resistencia equivalente será:
35
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Otra forma:
Dada la figura, intersectando un plano diagonal al sistema, entonces tenemos que:
R
R
2R
2R
R
2R
2R R R R R
Haciendo un corte transversal se obtiene: o btiene: I
a
2R
R Requiv
Requiv
R Este sistema es equivalente a: a 36
R
R
R
2R
b
I
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3R
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3R
R
b
R
Y a la vez es equivalente a:
Rb
3R
Ra Rc
R
* * Donde:
Aplicando la primera ley de Kirchhoff:
Aplicando la segunda ley de Kirchhoff:
Se obtiene:
Por lo tanto:
(Corriente que pasa por cualquier resistor)
b)
Para hallar la resistencia equivalente ya tenemos el siguiente circuito: Rb Ra
3R
Rc
R
Que a su vez también es equivalente a: R/5
3R 37
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Ra 3R/5 R Calculando la resistencia equivalente obtenemos:
Como esta resistencia equivalente solo representa a la m itad del cuadrado:
4.1. Introducción
38
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Las líneas de campo magnético B son cerradas no tienen nacimiento ni fin, eso se debe a la no existencia de monopolos magneticos. magneticos. 4.2. Ley de Gauss para el magnetismo:
∮
(2º ecuación de Maxwell forma integral)
B 0 (2º ecuación de Maxwell forma diferencial)
La última ecuación ha sido obtenida aplicando el teorema de la divergencia que afirma,
B d s B dv
Una corriente electrica estacionaria estacionaria produce un Campo B estatico de la mismo forma que una corriente electrica no estacionaria produce un campo B variable en el tiempo. 4.3. Fuerza magnetica sobre una carga móvil:
̇
Sabiendo que la fuerza centrípeta hace que una masa m tenga un movimiento circular, de igual manera que la fuerza magnética, por lo tanto.
Velocidad angular:
Frecuencia angular:
2 f f
q B 2 m
Periodo: T
2 m
q B
4.4. Fuerza de Lorentz: si en una región coexisten 2 campos uno B y el otro E sobre una partícula carga de masa m actúa una fuerza debido al campo eléctrico y otra a cause de el campo magnético. Esta fuerza total es la fuerza de Lorentz.
Unidades de B: B = Densidad de flujo magnético = [web/m^2] = [T] 4.5. Calculo de campo magnético: magnético: 4.5.1. Ley de Biot-Savart / Laplace.
39
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√ √ [ ] √ √ √ √
i = corriente que produce B dl = vector elemental en el conductor cuyo sentido es el de la corriente r = vector que va desde dl hasta el punto donde se calcula B.
a) Campo B producido por una i rectilínea y finita:
En el punto medio:
Extremo derecho (a = 0)
Extremo izquierdo(a = L)
b) Campo producido por una corriente circular de radio a en un punto situado sobre el eje z:
Campo B muy lejos, Z muy grande:
B=0 c) Campo B producido por un solenoide de radio a que tiene n vueltas, longitud L y lleva una corriente i:
√ √
40
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4.6. Ley de Ampere:
√ √ √ √ ⃗
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Ampere afirma: la circulacion del campo magnetico B en un camino cerrado es igual a producto de u 0 multiplicado por la corriente que encierra dicho camino, se aconseja entonces calcular B utilizando esta ley en los siguientes casos: Alambre rectilineo muy largo
Campo magnetico dentro del solenoide muy largo:
Campo magnetico en un cilindro maciso de radio R que lelga una corriente i: Region 0<= r<= R
1.
:
Campo B dentro de un toroide:
a) Un conductor en forma de un cuadrado de lado L = 04[m] conduce una corriente I = 10 A. Calcule la magnitud y dirección del campo magnético en el centro del cuadrado. b) SI este conductor se forma como una sola vuelta circular y conduce la misma corriente ¿Cuál es el valor del campo magnético en el centro? (3)
I
L/2 (4) L
(2) 41
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L/2 (1)
Solución: a) Usando la formula:
√ √ √ √ √ √
Con esta formula obtenemos el campo en (1):
Como el campo magnético es igual en los 4 lados se hace la siguiente relación: Así se multiplica el campo magnético 1 por 4 y se remplazan valores numéricos:
Finalmente se obtiene:
b)
a B
Obtenemos el radio a de la siguiente relación:
Remplazando valores numéricos se obtiene:
42
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2. Determine el campo magnético en un punto P localizado a una distancia x de la esquina de un alargo alambre doblado en ángulo recto, como muestra la figura. Por el alambre circula una corriente I. A
B
P
x
Solución: Por simple inspección se observa que el campo magnético producido por el segmento BA es cero, entonces se procede a analizar el resto del segmento. Graficamos la solución del problema: x
.P
y
ds ∞-y
I θ
De lo cual se obtiene que |ds| = dy Entonces:
̂ | |
Por otro lado tenemos:
Entonces:
Remplazando en la formula de campo c ampo magnético obtenida:
Simplificando:
Integrando:
Resultado Final:
3. El segmento de alambre en la figura conduce una corriente I = 5 [a] y el radio del arco circular R =3 [cm]. Determine la magnitud y dirección del campo magnético en el origen. 43
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I (1)
(2) R P
I
|⃗̂ | (3)
Utilizando la formula:
Por simple inspección se observa que el campo en (1) y en (3) es igual a 0. Así obtenemos el campo magnético:
4. Por una delgada tira metálica muy larga de ancho w circula una corriente I a lo largo de su longitud, como se ve en la figura. Determine el campo magnético en el punto externo P a una distancia b de un extremo. z
w
I
P y
b di x
Visto desde otra perspectiva: Z
z’ dy
. y
di
Utilizando la formula:
Relacionando con el gráfico:
w
Remplazando los siguientes valores en la formula original: 44
b
P
dB Y
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Z -> z’ B -> dB I -> di Se obtiene:
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*
Como tenemos dos variables dentro de la integral se las relaciona entre si de la siguiente forma:
Remplazando las nuevas relaciones y definiendo la i ntegral:
Se obtiene:
Resultado final:
5. Un alambre tiene la forma de un cuadrado de lado L, halle en modulo y dirección el campo magnético en el punto P, a una distancia x del centro del cuadrado a lo largo de su eje cuando la corriente en el lazo es I.
I L
.
x
P
Analizando un cuadrante: dl C
Y I
√ √
L/2
r
45
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B Z
x
P
X
* * * * * *
Por la ley de Biot-Savart (Laplace) se obtiene: obtiene:
De donde se obtiene:
Relacionando con el gráfico obtenemos que:
Entonces:
Por lo tanto el campo magnético total en el segmento BC:
Obteniendo:
Como se sabe que que el campo producido por los segmentos AB, BC, BC, CD y DA son iguales en magnitud y dirección se sobrepone los campos magnéticos (principio de superposición), es decir se multiplica por 4 el campo magnético total en el segmento BC para obtener el campo magnético total:
* ,
46
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Resultado final:
*
5.1. Fenomeno de induccion electromagnetica: Según Biot-Savart, Ampere y otros, una corriente eléctrica produce un campo magnetico, en general un fenomeno electrico produce un fenomeno magnetico, el camino inverso tambien es posible, es decir un fenomeno magnético produce uno electrico.
5.2. Fuerza electromotriz inducida inducida en una barra conductora en movimiento movimiento
v V x B d l
5.3. Ley de Faraday
47
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Esta ley afirma que si el flujo magnetico ( m ) en un sistema electromagnetico es funcion del tiempo, entonces se genera una Fem cuyo valor matematicamente matematicam ente se lo encuentra a partir de la siguiente ecuación:
Donde:
⃗
5.4. Fuerza electromotriz inducida en un cuadro conductor que tiene movimiento de rotación:
=>
Si se tienen n vueltas en el cuadro:
5.5. Ley de Lenz:
Se genera un voltaje en un sistema electromagnetico cuando el flujo es funcion del tiempo, este voltaje es igual al cambio de flujo con respecto del tiempo con signo negativo, este signo significa que el sistema electromagnetico reacciona oponiendose al cambio.
=>
5.6. Autoinductancia de un solenoide:
5.7. Inductancia mutua:
48
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5.8. Inductancia, auto inductancia e inductancia mutua El campo de un solenoide es:
ul
El flujo magnético total es:
()
Su auto inductancia (La):
Inductancia mutua:
i = M12 (di/dt)
M12 =
= inductancia mutua de 1->2
M12 =
= inductancia mutua de 2->1 M12= M21 =M
Circuitos L-C
ddd*
5.9. Energia en una inductancia va-b = L(di/dt) P=vi P = dw/dt = Va-b i W = ½ L i2 49
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En un dondensador la energia almacenada es: Econd.= ½ q2/C
5.10. Corrientes en torbellino o de Focaut En la longitud a-b existe un movimiento de carga a causa de una fuerza magnetica, como el disco tiene rotacion, este longitud sal de la region de campo magnetico, ferua la fuerza magnetica es cero, en consecuencia las cargas vuelven a su posicion, originando de esta manera corrientes en torbellino. Para disminur las corrientes en torbellino en los transformadores, el nucle de hierro esta forma por laminas muy delgadas unidas por un material aislante.
5.11. Circuitos de corriente alterna Alterna significa un voltaje o corriente que cambia con el tiempo V(t) = Vo Sin(ω t) En un corcuito de corriente alterna el voltaje y la corriente pueden o no estar en fase, esto es si ambas toman su valor maximo al mismo tiempo (en fase) o en diferentes tiempos(desfasados)
5.11. 1. Circuitos c. a., con un resistor R
* ddd t) = Vo/R
En este tipo de circuitos, V(t) e i(t) se encuentran en fase)
5.11.2. Circuitos c.a con un capacitor
i(t)=i0 Cos(ω t)
V(t) = V0 Sin(ω Sin(ω t) Aquí la corriente esta adelantada al voltaje en un angulo de pi/2 o T/4
5.11.3. Circuitos c.a. con inductancia i(t) = -i0*i*cos(ω *i*cos(ω*t) En este circuito la corriente esta retrasada con respecto al voltaje en 90º o T/4 Diagrama de fasores 50
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El voltaje total en amplitud es: VL-Vc=VLC 2 2 V V R (V L V C )
Impedancias( Z es un numero complejo) Z R = R (real) Zc = 1/(ω c j) = - j/(ω c) (imaginario) Z L = L ω J (imaginario)
Y sus modulos |Z R| = R |Z c| = 1/(ω*c) |Z L|=L* ω V R = I m *R V c = I m|Zc| V c = I m / ω c V L = I m L ω V I m R I m ( L 2
2
2
V I m R ( L 2
1
1
) C
) C
2
2
V = I m|Z T T|
5.12. Potencia en circuitos circuitos c.a a) Potencia instantanea P(t) = i(t) v(t) v(t) = Vm Sin (ω t) i(t) = Im Sin(ω Sin(ω t - )
51
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P(t) = Vm Im sin(ω t) Sin(ω t t - )
Potencia media Pmedia = ½ Vm Im Cos() Cos( ) = factor de potencia Este factor toma su valor máximi cuando L ω = 1/(ω c)
Ejemplo Se tiene un circuito con un resistor, un inductor y un capacitor en serie, f = 60[hz], R = 50[], L = 10-2 [H] y c = 47F Hallar el factor de potencia de media, es circuito es alimentado por una fuente alterna cuya amplitud es 120[V] tg() = Im(VL - Vc)/(Im R) tg() =[ L ω - (1/ω (1/ω c)]/R Poniendo datos, obtenemos para el factor de potencia, = 4.29°
F. de Potencia Cos( ) = 0.997
52
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1. Una bobina circular A de 50 espiras de hilo fino y 4 cm 2 de seccion transversal esta colocada en el centro de una bobina circular B, de 20 cm de radio que tiene 100 espiras (o vueltas), las dos bobinas son concéntricas.
a) ¿Cuál es la induccion mutua por unidad de longitud b) Cual es la fem inducida en la bobina A cuando la corriente en la bobina B disminuye a razon de 50[A/s]
Solución:
M AB =
M AB
d mAB mAB di A
MAB =
53
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A i M AB (50 ) s
2.
Un largo solenoide de 1000 vueltas que lleva una corriente de 1 A tiene una longitud de 1[m] en la parte central de este solenoide se encuentra una bobina de 1500 vueltas que encierraun area de 100[cm 2] ¿Cuál es la inductancia mutua M sobre la bobina?
Solucion: B = (n i uo)/l
= B n2*A2 = (n1 i1 uo n2 A2/l
M12 = (n1 n2 A2)/l
M12 = 1.88 x 10-2[H] La induccion solo depende de las dimensiones de la bobina y de la permeabilidad del medio
3. Una bobina rectangular de espiras apretadas y de dimension 10cmx20cm tiene 100 vueltas. La bobina esta frente a un largo conductor rectilineo. El resto del circuito del alambre rectilineo esta muy lejos de la bobina. Hállese la induccion mutua cuando: cuando: a) Cuando el conductor rectilineo dista 10 cm del lado mas proximo a la bobina
d u L L uu L L u
54
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M 21 =2.77x10 -6[H]
2
4. Un disco de 0.1 [m] de área esta girando a 60 rev/s con el eje de rotación perpendicular a un campo magnético de 0.20 [T]. a) si hay 1000 vueltas en el lazo, ¿Cuál es la amplitud del voltaje inducido en el? b) Cuando el máximo voltaje inducido ocurre, ¿Cuál es la orientación del lazo respecto del campo magnético? y B
B B x R
z
V
a)
Como el campo magnético es constante y tenemos un sistema en movimiento se considerara la siguiente variante de la ley de Faraday:
De donde sabemos que:
( )⃗ | |
Como en algún momento estos dos vectores son perpendiculares podemos levantar la operación producto vectorial. Se obtiene:
La magnitud de V es Entonces:
Por lo tanto la fem total entre el centro y el borde es la suma de todas las contribuciones contribuciones como esta:
55
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Se necesita el radio, el cual se obtiene de la siguiente manera:
Remplazando datos numéricos:
Como tenemos 1000 vueltas (o revoluciones):
(Como rev es una unidad a dimensional)
b)
Cuando el máximo voltaje inducido ocurre la orientación del disco va a ser antihoraria (sentido contra las manecillas del reloj), por que la FEM inducida va a ser positiva y el campo magnético va a ser creciente.
5.
Una barra conductora de longitud L se mueve con velocidad v paralela a un largo alambre que conduce una corriente I. Halle la fuerza electromotriz inducida en los extremos de la barra.
V
I
r
L
Solución: Dividimos la barra en un diferencial de barra: 56
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x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x V
x x
x
x x
dx x
x
x
I
|| ||| *
Entonces para un diferencial de barra tenemos que:
Por la formula ya conocida de un alambre rectilíneo muy largo:
Remplazando en la ley de inducción de Faraday:
Para tener la fem inducida total integramos: Z x
Resultado final:
57
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6.1. Introduccion Una onda es un fenomeno fisico que se repite tanto en el tiempo como en el espacio, existen dos tipos de onda: La longitudinal cuando la vibración es paralela a la propagacion de la onda y la transversal si la vibracion es perpendicular a la dirección de propagacion Las onda E.M. son transversales, estan formada por dos ondas la electrica(vectorial) y la magnetica(vectorial), que vibran perpendicularmente entre si y con el sentido de la propagacion E H 0 Sin( t k r ) u E
ˆ
B=H H = intensidad magnetica H H 0 Sin( t k r ) u H
ˆ
ω = frecuencia angular [rad/s] k = numero de onda k = 2 /
58
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= longitud de onda
k se mide en [rad/m] La velocidad de la onda E. M. es v = /T = C (velocidad de la luz) v = 3 x 108 m/s en el vacío
6.2. Vector de Poynting
Se define como el producto vectoral de campo E por el campo H S E X H
El sentido de este vector indica el de la propagacion de la onda E.M Tambien calcula la energia por unidad de tiempo y de superficie que transporta la onda electromagnetica S [W/m2] Es decir la dimensión de S vector es de intensidad I = [Potencia/tiempo] [Potencia/tiempo] S
dP ds
u
ˆ
El valor promedio se expresa
S
dP ds
u ˆ
P S d s
6.3. Ecuaciones de Maxwell Maxwell
Las ecuaciones de Maxwell son las leyes de: Gauss, Gauss para el magnetismo, Ampere (mejorada por Maxwell que introdujo el concepto de corriente de desplazamiento) desplazamiento) y Faraday.
Ecuaciones generales de Maxwell Ecuación
Forma Integral
Forma Diferencial
Comentario 59
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1° 2°
3° 4°
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Ley de Gauss No existen monopolos magnéticos Ley de ampere con id Ley de Faraday
Ecuaciones de Maxwell para el aire (vacio):
Ecuación 1° 2° 3°
4°
Forma Integral
H d l
Forma Diferencial
E d s t
Comentario No existen cargas libres en el vacío
Ley de ampere (en el vacío no existen corrientes de conducción) En el vacío = 0
Ecuaciones de Maxwell
=>Si =>Si
Ecuación 1° 2°
3°
4°
60
Forma Integral
Forma Diferencial
Comentario
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1.Dado
a)
M. Sc. FRANCISCO SÁNCHEZ GUTIERREZ
, en el aire, determine
b) .
Solución:
a) Aplicando la cuarta ecuación de Maxwell:
( ) Igualando a la cuarta ecuacion de Maxwell:
61
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b)
Aplicando la tercera ecuacion de Maxwell:
[
[
Igualando componente a componente:
62
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=>
E0
2.Dado: a) b)
M. Sc. FRANCISCO SÁNCHEZ GUTIERREZ
en el aire, determine:
Solución: a)
Aplicando la tercera ecuacion de Maxwell:
( )) ( )) ( ) ( )) )( )) ( 63
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) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( )
Aplicando la cuarta ecuación de Maxwell:
() () ( ) ) ( Igualando componente a componente con la ecuacion ya obtenida:
64
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3.El campo electrico y elcampo intensidad magnética en el vacio o espacio libre están expresados por:
Determina las constantes ecuaciones de Maxwell.
y
en tal forma que los campos satisfagan las
Solución:
Igualando:
Se obtiene:
Para hallar B:
( ( )
Aplicando la cuarta ecuacion de Maxwell:
( ( ) ) 65
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Igualando componente a componente:
Para comprobar que satisface a las ecuaciones de Maxwell ahora se aplica la tercera ecuación de Maxwell:
Igualando componente a componente:
66
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LQQD
4.El campo electrico en el vacio esta expresador por:
a) Determine la direccion de propagacion de la onda b) Calcule
y el tiempo que toma para recorrer una distancia de
c) Trace un esquema de la onda en t = 0, T/4 y T/2.
d) Halle la expresion del campo intensidad magnética
Solución:
Primero se halla
aplicando la cuarta ecuación de Maxwell:
67
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Sabiendo que :
Ahora se aplica la tercera ecuación de Maxwell:
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Igualando componente a componente:
68
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( ) ( )
Para determinar la direccion de propagacion de la onda se halla el vector de Poynting:
Para calcular el tiempo que toma para recorrer una distancia de :
Sabiendo que
69
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Solución: a) b) c)
d)
y
s]
5.En un medio no magnetico:
Halle:
a) (permitividad relativa), b) La potencia promedio en el tiempo que la onda transporta. 2 c) La potencia total que cruza 100 [cm ] del plano x+y=5 Solución:
a)
Aplicando la tercera y cuarta ecuacion de Maxwell se obtiene que:
70
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*() =>
La dirección esta dada por el vector de Poynting:
Entonces se obtiene el promedio de la función:
71
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c)
Usando el gradiente:
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⃗ ⃗ ⃗ ⃗
|| | |
+ √ √ l
6. Encuentre el vector de Poynting sobre la superficie de un alambre conductor recto y muy largo(de radio b y conductividad δ) por que circula una corriente continua I. Verifique el teorema de Poynting.
Por la ley de ohm: V = IR
V=
72
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Hallando el campo B:
7.
l
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En un cable coaxial con aire como dielectrico que tiene un conductor interior de radio a y un conductor exterior de radio interno b existe una ond electromagnetica de 60 MHz de frecuencia. Suponiendo que los conductores son perfectos y el campo electrico es:
a) Calcule K b) Determine el campo intensidad magnetica:
Solucion:
Aplicando la siguiente ecuacion de Maxwell:
73
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74
