INTRODUCCIÓN Una carga impulsiva consta esencialmente de un impulso principal, el cual generalmente es de corta duración como el que se muestra en la Fig. 4.1. Las explosiones ex plosiones y las ráfagas de viento son excitaciones de este tipo, que pueden ser idealizados por formas simples como se verá en párrafos posteriores. La respuesta del sistema sujeto a carga impulsiva no llega a alcanzar el estado estacionario de vibración; debido a que la respuesta máxima es alcanzada en un lapso corto de tiempo, antes de que la fuerza de amortiguamiento pueda absorber gran parte de la energía de vibración del sistema. Por esta razón, se considera solamente la respuesta no amortiguada en esta sección. Este capítulo sirve para estudios posteriores en los que las cargas son más complejas y para abordar los métodos numéricos. Utilizando ecuaciones diferenciales se determina la respuesta de un sistema sujeto a carga impulsiva en dos fases: la fase de vibración forzada, que abarca el tiempo de excitación, y la fase en vibración libre, que continúa al finalizar la acción de la carga impulsiva. p(t) p(t)
t
Fig. 4.1 Excitación del tipo carga impulsiva
CARGA IMPULSIVA RECTANGULAR El primer caso en analizar es la respuesta de la estructura sujeta a una carga impulsiva de tipo rectangular como la que se muestra muestra en la Fig. 4.2. 4.2. La ecuación que que gobierna el movimiento, es: mu&& + ku
(4.1)
= p (t )
Donde p(t) se define por
po , p(t)= 0 , p(t)
0≤ t t
>
≤
t1
t1
p(t)
p0
t t1
t-t1
Fase I
Fase II
Fig.4.2 Impulso Rectangular Con las condiciones iniciales en reposo u (t ) = u& (t ) = 0 , el análisis se realiza en dos fases: Fase I
La fuerza es aplicada instantáneamente y permanece constante durante esta fase. La solución particular para la ecuación diferencial es: u p (t )
=
po
(4.2)
k
Y la solución complementaria es: uc (t )
= A ⋅ cos ω n t + B ⋅
senω nt
(4.3)
La solución total es la suma de ambas soluciones anteriores: u (t )
= A ⋅ cos ω nt + B ⋅ senω nt +
po k
(4.4)
Aplicando las condiciones iniciales a la ec. (4.4) se determinan las constantes A y B, y la ecuación de respuesta para esta fase es: u (t )
=
po k
(1 − cos ω nt ) ,
0 ≤ t ≤ t 1
(4.5)
Fase II
La ecuación de respuesta para la fase de vibración libre esta dada por: u (t )
=
u (0) ⋅ cos ω nt +
u& (0) ω n
senω nt
(4.6)
y para t>t1, tenemos, u (t ) = u (t 1 ) ⋅ cos ω n (t − t 1 ) +
Cálculo de los máximos
u& (t 1 ) ω n
senω n (t − t 1 ) , t − t 1 ≥ 0
(4.7)
Es evidente, que para este tipo de impulso rectangular, la respuesta máxima ocurrirá siempre en la fase I , si t 1 ≥ T 2 correspondiente a cargas de larga duración y el factor de respuesta en este caso es Rd =2 : n
uo
=
2
po
(4.8)
k
Para cargas de corta duración, la respuesta máxima ocurre en la fase de vibración libre y está dada por:
uo
=
u& (t ) ω n
2
1
Con la velocidad final de la
+ u ( t 1 )
2
(4.9)
po fase I u& (t ) = 1 k
ω n ⋅
senω nt 1
y
2π ω n = T n
en la ec. (4.9)
se tiene:
uo
=
2
po k
⋅ sen
Rd = 2 ⋅ sen
π ⋅ t 1
,
T n
t 1
≤
T n 2
(4.10)
π ⋅ t 1
(4.11)
T n
Por tanto, se observa que el factor de respuesta dinámica varía como una función T seno de la duración del impulso para t 1 < 2 , ver Fig.4.5. n
CARGA IMPULSIVA TRIANGULAR El segundo caso a analizar es el impulso triangular decreciente de la Fig.4.3, el análisis de la respuesta se realiza análogamente al análisis de la carga impulsiva p(t)
p0
t
rectangular.
t1
t-t1
Fase I
Fase II
Fig. 4.3 Impulso Triangular Fase I
La función que describe la carga durante esta fase es p(t ) = po ⋅ (1 − t t 1 ) . La solución particular a la ecuación de movimiento para esta carga es: u p (t ) =
po k
(1 − t t 1 )
(4.12)
Aplicando en la solución general las condiciones iniciales en reposo se determinan las constantes de integración A y B obteniendo la ecuación de respuesta para esta fase:
u (t ) =
po senω nt
k
ω nt 1
− cos ω nt −
t t 1
+ 1
(4.13)
Fase II
Evaluando la ec. (4.13) para el desplazamiento y la velocidad en t=t 1 (fin de la primera fase) se tiene: u ( t 1 ) =
po senω nt 1
k
ω nt 1
− cos ω n t 1
(4.14) u& (t 1 ) =
po ⋅ ω n cos ω nt 1
k
ω nt 1
+
senω nt 1 −
1
ω nt 1
Y sustituyendo en la ec. (4.6) se obtiene la respuesta en vibración libre para la fase II . El máximo valor de desplazamiento, u 0 , es calculado evaluando la ecuación de respuesta para el tiempo en el cual la velocidad es cero. Para cargas de corta duración ( t 1<0.4T n) la respuesta máxima ocurre durante la fase II de vibración libre, de lo contrario ocurre durante la fase I . El valor del factor de deformación R d está tabulado para varias duraciones de carga en la Tabla 4.1.
t1/T
0.20
0.40
0.50
0.75
1.00
1.50
2.00
Rd
0.60
1.05
1.19
1.38
1.53
1.68
1.76
Tabla 4.1. Factor de deformación para carga impulsiva triangular
CARGA IMPULSIVA TIPO SINUSOIDAL La Fig. 4.4 ilustra este tipo de carga (impulso de onda sinusoidal). El análisis de la respuesta es también realizado en dos fases:
Fase I
Durante esta fase la estructura está sujeta a una carga armónica, empezando desde el reposo. La respuesta no amortiguada, que incluye tanto el estado-transitorio como estacionario, está dada por la ec. (4.6):
u (t ) =
po
1 2
k 1 − (ω ω n )
[senω t − (ω ω n )senω nt ],
p(t)
(4.15)
0 ≤ t ≤ t 1
p(t)= p0 sen ωt
p
0
t t1
t-t1
Fase I
Fase II
Fig.4.4 Impulso de una mitad de onda sinusoidal Fase II
El movimiento en vibración libre que tiene lugar en esta fase depende del desplazamiento u ( t 1 ) y de la velocidad u& ( t 1 ) presentes al final de la expresado como:
u (t ) = u (t 1 ) ⋅ cos ω n (t − t 1 ) +
u& ( t 1 ) ω n
senω n (t − t 1 ) ,
t − t 1
≥
0
fase I y
puede ser
(4.16)
Para el ingeniero estructural la respuesta máxima producida por la carga impulsiva es de mayor interés que la respuesta tiempo-historia completa. El tiempo en el cual ocurre el desplazamiento máximo es calculado igualando a cero la primera derivada de la ec. (4.15): d u dt
=
0=
po
⋅
1
k 1 − (ω ω n ) 2
⋅ (ω ⋅ cos ω t − ω ⋅ cos ω nt )
De donde: cos ω t = cos ω n t
de aquí ω t =
2π n ± ω n t
n = 0,±1,2,3...
(4.17)
Esta expresión es válida sólo mientras t ≤ π , es decir la respuesta máxima ocurre mientras la carga impulsiva esta actuando. Para la condición de carga en la que la frecuencia de excitación se aproxima a la frecuencia natural, el tiempo en el cual la respuesta máxima ocurre está dado poniendo n=1 y utilizando el signo negativo en la ec.(4.17), la cual da: ω t =
2π 1 + (ω n
(4.18)
ω )
La amplitud de respuesta máxima se obtiene reemplazando la ec.(4.18) en la ec.(4.15), el resultado es válido sólo para ω t ≤π , para el cual ω ω n < 1 . Para ω ω n > 1 , la respuesta máxima ocurre en la fase de vibración libre. El desplazamiento inicial y la velocidad inicial para esta fase se calcula reemplazando ω t 1=π en la ec.(4.15): p 1 ω π u (t 1 ) = o ⋅ sen ⋅ ( 0 − ⋅ ) k 1 − (ω ω n ) 2 ω n ω ω n (4.19) u& ( t 1 ) =
po
ω
⋅
k 1 − (ω ω n ) 2
⋅ ( −1 − cos
π ω ω n
)
La amplitud de esta fase está dada por la ec. (4.9), y sustituyendo los valores u (t 1 ) y u& (t 1 ) en ésta se tiene: p o
uo
Para
=
k
1 − (ω ω n )
ω ω n > 1
,
2
ω
⋅
ω n
⋅
2 + 2 cos
π
t > t 1 el factor de respuesta de
Rd =
uo p o
k
=
2 ⋅ ω ω n 1 − (ω ω n )
2
RESPUESTA AL MOVIMIENTO DEL SUELO.
(4.20)
ω ω n
⋅ cos
desplazamiento es: π
2 ⋅ ω ω n
(4.21)
La respuesta máxima, como se observa en párrafos anteriores, depende de la relación de duración del impulso con el periodo natural de la estructura. Debido a esto es conveniente el graficar el factor de respuesta Rd en función de t 1 T n para varios tipos de carga impulsiva (Fig. 4.5); este tipo de grafica es conocida como espectro de repuesta de desplazamiento o espectro de respuesta para cargas impulsivas. Generalmente este 2.4 D , a c i m a n i d n o i c a c i f i n g a m e d r o t c a F
2.0
1.6
1.2
0.8
0.4
0 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
Razon de impulso, t1 /T
tipo de gráficas son útiles para predecir los efectos máximos causados por cargas impulsivas que actúan en una estructura simple. Fig.4.5 Espectro de respuesta de desplazamiento para tres tipos de impulso (espectro de choque). Este tipo de espectro de respuesta también sirve para indicar la respuesta de la estructura a un impulso de aceleración aplicada en su base. Si la aceleración aplicada en la base es üg(t), ésta produce una carga impulsiva efectiva de p eff (t) = -mü g(t). Si la aceleración máxima en la base es denotado por ü go el impulso efectivo máximo es p oeff = mü go. El factor de deformación toma la forma de: Rd =
uo
=
(u st ) o
uo p o
k
Reemplazando por poeff : Rd =
uo m ⋅ u&&go k
2
=
ω n ⋅ uo
u&&go
(4.22)
Alternativamente esta ecuación puede ser re-escrita como: t u&&o
R = d u&& go
(4.23)
Donde u&&t o es la aceleración máxima total de la masa. Es evidente que el espectro de respuesta de la Fig. 4.5 puede ser usado para predecir la respuesta de aceleración máxima de la masa, m, a un impulso de aceleración aplicada en la base, también como la
respuesta de desplazamiento máxima debido a carga impulsiva. Cuando es utilizada la Fig.4.5 para este propósito es generalmente designada como espectro de choque.
ANÁLISIS APROXIMADO DE RESPUESTA PARA CARGA IMPULSIVA. El análisis del espectro de respuesta presentado en la Fig. 4.5 conduce a dos conclusiones generales acerca de la repuesta de una estructura sujeta a carga impulsiva: 1. Para cargas de larga duración, por ejemplo, t 1 T n > 1 , el factor de respuesta depende principalmente del valor del incremento de la carga hasta su valor máximo. 2. Para cargas de corta duración, por ejemplo, para t 1 T n < 14 , la amplitud del desplazamiento máximo u o depende principalmente de la magnitud del impulso t 1
∫
aplicado I = p ( t )dt y no es influenciada fuertemente por la forma de la carga 0
impulsiva. El factor de respuesta Rd , sin embargo, es completamente independiente de la forma de la carga debido a que es proporcional a la relación del área del impulso con la amplitud máxima de la carga. Por tanto u o es la medida más significativa de la respuesta y esta ocurre durante la fase de vibración libre. A continuación es desarrollado un procedimiento aproximado para evaluar la respuesta máxima de un sistema sujeto a una carga impulsiva de corta duración. De acuerdo a la segunda ley de Newton, si una fuerza p(t) actúa en el cuerpo de masa m, el valor del cambio de momento del cuerpo es igual al valor de la fuerza aplicada, esto es: d ( m ⋅ u& ) dt
(4.24)
= p (t )
Para una masa constante, la ecuación anterior, resulta:
m ⋅u && = p
(4.25)
Integrando ambos lados con respecto de t : t 2
∫ pdt = m ⋅ (u&
2
− u&1 ) =
m ⋅ ∆u&
(4.26)
t 1
La integral en el lado izquierdo de esta ecuación es la magnitud del impulso, y el producto de la masa por la velocidad es el momentum o cantidad de movimiento, esta ecuación establece que la magnitud del impulso es igual al cambio de momentum. Este resultado es aplicable a un sistema simple, y debido a que la fuerza actúa por un infinitésimo periodo de tiempo los componentes de elasticidad y amortiguamiento no tienen tiempo de responder; es así que, se tiene la respuesta después de la fase de excitación, es decir la respuesta en vibración libre:
u ( t ) = u (t 1 ) ⋅ cos ω n (t − t 1 ) +
u&(t 1 ) ω n
senω n (t − t 1 )
En la cual el término u ( t 1 ) es despreciable por ser extremadamente pequeño y la velocidad u& (t 1 ) = ∆u& . Por tanto, la ecuación anterior se puede escribir como: u (t ) =
1 m ⋅ ω n
t ⋅ p (t ) dt ⋅ senω n (t − t 1 ) ∫ 0 1
t = 0.178 + 0.2 = 0.378
seg
(4.27)