Capítulo 5
Teoría cuántica de Schroedinger
Deficiencias de la teoría de Bohr. • La teoría de Bohr produjo una explicación plausible del átomo de H, pero no pudo explicar … o Las diferencias entre las intensidades de las líneas espectrales La multiplicidad de algunas líneas o o La formación de agregados microscópicos
• Diferencias fundamentales entre la mecánica clásica y la mecánica cuántica
Mecánica Clásica
Mecánica Cuántica
Es determinista
Principio de incertidumbre incertidumbre
λ=? Δx
r r
m
r=r(t) λ
Δ
Propiedades de la función de onda El problema de la mecánica cuántica es determinar la función de onda Ψ para un sistema físico cuando sus grados de libertad están limitados por la acción de fuerzas externas. Propiedades
• Ψ: no tiene interpretación física. 2 • Ψ : es ∝ probabilidad de la posición. • Ψ compleja es una buena elección porque
Ψ = A + iB
donde i =
−1
2
Ψ = Ψ * Ψ donde Ψ * = A − iB Ψ * Ψ = ( A + iB )( A − iB ) = A 2 + B 2 ∞
•
∫ Ψ
−∞
Ψ
2
dx debe ser finita.
∝
densidad de probabilidad de encontrar el sistema descrito por Ψ.
Es conveniente normalizar Ψ de modo que ∞
2 Ψ ∫ dx = 1
−∞
Ecuación de onda clásica
∂ 2 y ( x, t ) 1 ∂ 2 ( x, t ) = 2 ∂ x 2 ν ∂t 2 Es la ecuación para una onda viajera. Esta es una ecuación diferencial de segundo orden cuya solución origina familia de funciones y ( x, t )
= φ ( t ± x ν )
φ (t − x ν representa ondas hacia +x
φ (t + x ν
representa ondas hacia –x
• La perturbación puede ser de cualquier forma y no solo sinusoidal. • Igualmente valida para un pulso o un tren de on das o superposición de ondas. Aplicación para una onda viajera x
y ( x, t )
=
−iω ( t − ) ν Ae
Representa un tren de onda de amplitud constante y monocromática (y es una función compleja) e − iθ
= cos θ − isenθ
De modo que podemos escribir y ( x, t )
= A cos ω (t − x ν − iAsenω (t − x ν
Esta es la solución general para una onda viajera. Ecuación de Schrödinger En mecánica cuántica se adopta una función de onda que tiene propiedades similares. De modo que asumimos una función del tipo
Ψ ( x, t ) = Ae donde
ω = 2πν
y
x − iω t − ν
λ =v ν
Entonces podemos escribir
Ψ ( x, t ) = Ae
x − 2πi νt − λ
También sabemos que
E = h ν
= 2π ν h 2π λ= = p
entonces,
p
Ψ ( x, t ) = Ae
i − ( Et − px )
es la función de onda para una partícula libre con energía total E y momento p moviendose en dirección +x. A partir de esta solución vamos a derivar una ecuación que nos permita describir sistemas más complejos, como electrones en un átomo.
• Derivando Ψ(x,t) con respecto a x i
∂Ψ i − ( Et − px ) = A( − p ) − e ∂ x i 2 − ( Et − px ) ∂2 Ψ i = A( − p ) 2 − e 2 ∂ x i − ( Et − px ) ∂ 2ψ p 2 Ψ = − 2 Ae 2 ∂ x
∂ 2 Ψ p 2 =− 2 Ψ 2 ∂ x
(1)
• Derivando Ψ(x,t) con respecto a t iE ∂Ψ( x, t ) = − Ψ ( x , t ) ∂t escribiendo E =
p
( 2)
2
2m
+ V
( 3)
luego E Ψ =
p 2 2m
ΒΨ + V Ψ
( 4)
∂Ψ ∂Ψ = i i ∂t ∂t ∂ ΒΨ Ψ = − ∂ x
E Ψ = −
2
p
2
2
2
sustituyendo en (4) 2 2 ∂Ψ ∂ Ψ =− + V Ψ ∂t 2m ∂ x 2
Esta es la ecuación de Schrödinger. La ecuación de Schrödinger no puede derivarse de ningún principio… es un principio en sí misma.
Ejercicios 1. Verificar que la ecuación de Schrödinger es lineal. Si Ψ1 y Ψ2 son soluciones de la ecuación de Schrödinger, entonces Ψ(x,t) = C1 Ψ1 + C2 Ψ2 también es solución. 2. Verificar que la función de una onda viejera satisface la ecuación de Schrödinger (V=cte; ω=cte; V=0) para una partícula libre. 3. Verificar la validez de la ecuación de Schrödinger para un oscilador armónico. ( F = − Kx ) si
Ψ ( x, t ) = Ae
− ( km 2 ) x 2
e
−( i 2 )
k t m
Interpretación (de Born) de las funciones de onda.
• ¿qué describe la función de onda? Las funciones de onda son soluciones a las ecuaciones de Schroedinger y no son cantidades medibles, son entes abstractos. ellas contienen toda la información que el principio de incertidumbre permite conocer acerca de la partícula asociada.
• ¿ qué es lo que ondula? No sabemos y no importa. Las funciones de onda son dispositivos operacionales que sólo adquieren sentido dentro del contexto de la teoría de Schrödinger. Densidad de probabilidad P ( x, t )
= Ψ*Ψ
El postulado de Born, principio de incertidumbre, se expresaría: Si en el instante t se realiza una medición para localizar a la partícula asociada con la función de onda Ψ(x,t) entonces la probabilidad P(x,t)dx de encontrar a la partícula en una coordenada entre x y x+dx es igual a Ψ*Ψdx, de modo que ∞
∫ Ψ Ψ dx = 1 *
−∞
Ejemplo 5-4 Demostrar que Ψ*Ψ(x,t) es necesariamente real y positiva / cero. Ejemplo 5-5 Evaluar la densidad de probabilidad para la función de onda correspondiente al estado de menor energía de un oscilador armónico.
Ψ( x, t ) =
− Ae
km
x 2
2
e
−( i 2 )
k t m
entonces P = ψ *ψ
P = A e 2
P = A e 2
− 2 −
km
km
x 2 2
x 2
Predicciones Clásica
Cuántica
P
P
∞
∫
x = xP x dx −∞
x
P ∝
1
V
2
x
P ∝ e
−
1
x 2
Valores esperados La función de onda y las variables dinámicas. Las variables no tienen cvalores especificos sino esperanzas estadísticas.
Valor esperado para la posición
Medición clásica
Medición cuántica Reemplaza Ni por la probabilidad Pi
N(x) 2
P i = ψ dx ∞
∫
2
xψ dx
x
x =
N x =∑ N + ... ∑N
N1 x1 + ... +
+ N 1
=
−∞ ∞
∫ ψ
x
2
dx
−∞
i i i
2
x
=
∞
∫ xψ
2
dx
−∞
El valor 'esperado' es el centroidde de la distribución
El valor esperado es el centroide de | ψ |2
De este modo se puede evaluar el valor esperado para cualquier variable (f)
f ( x )
∞
=
∫
2
C ( x ) ψ dx
−∞
La evaluación de p es difícil puesto que media el principio de incertidumbre, es decir, no existe p(x). Operadores diferenciales La ecuación de onda de Schrödinger puede derivarse tambien postulando operadores diferenciales asociados a las variables.
p
↔ −i
∂ ∂ x
y E ↔ i
∂ ∂t
∂ [ Ψ( x, t ) ] ∂ x ∂ E [ Ψ( x, t ) ] = i [ Ψ ( x, t ) ] ∂t p [ Ψ( x, t ) ] = −i
Recordemos que,
p 2 2m
+ V ( x, t ) = E
2 − i ∂ + V ( x, t ) = i ∂ 2m ∂ x ∂t
1
∂ 2Ψ ∂ , V ( x t ) i + Ψ = Ψ 2m ∂ x 2 ∂t
−
2
Régimen estacionario En muchas situaciones la energía potencial de una partícula no depende explícitamente del tiempo, V(x,t) = V(x), la solución de la ecuación de Schrödinger puede realizarse mediante el procedimiento de separación de variables
Ψ ( x, t ) = ψ ( x )ϕ ( t ) La ecuación de Schrödinger queda,
−
d 2ψ ( x )
2
2m
dx 2
+ V ( x )ψ ( x) = E ψ ( x)
Esta es la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Sustituyendo la forma supuesta
∂ ψ ( x )ϕ ( t ) ∂ψ ( x )ϕ ( t ) − + V ( x )ψ ( x)ϕ ( t ) = i 2m ∂t ∂ x d ψ ( x ) d ϕ ( t ) − ϕ ( t ) + V ( x )ψ ( x )ϕ ( t ) = iψ ( x )
2
2
2
2
2
2m
dx
2
dt
d ψ ( x ) 1 d ϕ ( t ) − + ψ = ( ) ( ) C = V x x i ψ ( x ) 2m dx ϕ ( t ) dt Ψ( x ) ϕ ( t ) 2
1
2
2
Si elige C=E (la energía total)
−
2
2m
d 2ψ ( x ) dx 2
+ V ( x )ψ ( x) = E ψ ( x)
la solución de la parte dependiente del tiempo es más directa.
d ϕ dt
=
C i
ϕ ( t ) = −
ϕ ( t ) = e − Luego
iE
ϕ ( t )
i Et
Et
Ψ( x, t ) = ψ ( x ) e − i
Esta es la ecuación independiente del tiempo y esta la solución. Finalmente,
d 2ψ ( x ) dx 2 d 2ψ ( x ) dx 2 ψ(x): autofunciones o eigenfunciones.
=
+
2m
2
2m
2
[V ( x ) − E ]ψ
( E − V ( x ) ) = 0
E: autovalores
Para que Ψ sea una solución aceptable debe ser continua, finita, monovaluada.
