Cap Capítulo ítulo 5 Contro Controll de Proce roces sos por Atribu tributos tos En el capítulo anterior se estudió la construcción de gráficos de control para analizar la evolución de una variable cuantitativa continua que fuese el resultado de una medición: longitud, peso, tiempo..., relacionada con la calidad. Sin embargo, a veces no se desea controlar el valor de una magnitud medible sino simplemente si el producto es adecuado o no lo es o, en general, si se posee o no se posee cierto atributo. Este Este tipo tipo de medi medici ción ón,, a trav través és de pres presen enci cia a o ause ausenc ncia ia de atrib atribut utos, os, tien tiene e ciertas ventajas sobre el control por variables del tema anterior:
• Suele ser más sencillo y rápido. Por ejemplo, es más rápido comprobar comprobar si una pieza pasa por cierto calibre que medir su longitud exacta.
• Permite resumir las características de varias variables. Un artículo o servi-
cio puede ser defectuoso o no dependiendo de un conjunto de variables y no de una sola. No se controla una característica medible sino la ausencia o presencia de un atributo (rechazo/no rechazo).
• Al usar la información de si el artículo es o no defectuoso, defectuoso, contiene simultáneamente la información de la capacidad del proceso (variabilidad intrínseca al proceso productivo) y las tolerancias.
85
Sin embargo, tiene el inconveniente de que es menos preciso, pues ignora mucha información. No es lo mismo saber que el artículo es defectuoso que saber que su longitud es dos milímetros mayor que su límite de tolerancia. Existen varios gráficos que permiten monitorizar la evolución de este tipo de informac información. ión. En unos se observa observa la evoluci evolución ón de la proporción proporción de artículos defectuosos en sucesivas muestras de tamaño n tamaño n (cada (cada elemento observado es/no es defectuoso, o tiene/no tiene cierto atributo; por ejemplo, una llamada es o no es fallida), mientras que en otros se observa la evolución del número de defectos que aparecen en cada unidad de medida (cada unidad de medida puede tener más de un defecto o más de un atributo, por ejemplo, en cada minuto se puede recibir más de una llamada).
5.1 Gráfico ficos P En este gráfico se muestra la evolución de la proporción de individuos que tienen tienen cierto atributo. atributo. Por ejemplo, la proporc proporción ión de artículos artículos defectuosos, defectuosos, la proporción de llamadas telefónicas que quedaron bloqueadas, la proporción de clientes clientes que presentan presentan una reclamación, reclamación, etc. Llamarem Llamaremos os p a esta proporción. Veamos primeramente el contexto estadístico en el que nos encontramos. encontramos. Supongamos un proceso que opera de manera estable (bajo control) y cuyo resultado resultado es un artículo o un servicio. Supongamo Supongamoss que en ese estado la probabilidad de que un artículo sea defectuoso sea p sea p.. Supongamos que en un instante ti analizamos un tamaño muestral ni (número de piezas producidas o número de clientes a los que se ha prestado el servicio), el número de artículos (o servicios) defectuosos será di , que será una variable aleatoria al depender de los elementos n elementos n i concretos que hayan caído en nuestras manos en ese instante. Por tanto, la proporción de artículos defectuosos de cada muestra, que denotaremos por pˆi = di /ni será una variable aleatoria. En general se tendrá que pˆi = p. El valo valorr p es un valor poblacional, mientras
86
que pˆi es sólo una estimación de p obtenida con n i observaciones. El objetivo del gráfico P será comprobar si la evolución de los valores pˆi observados son compatibles con un valor poblacional p, y por tanto la diferencia entre el valor observado pˆi y el poblacional p se debe sólo a la variabilidad muestral. Supongamos, además, que en esta situación de estabilidad el proceso evoluciona de manera independiente; es decir, la probabilidad de que se produzca un artículo o servicio defectuoso es independiente de si el anterior artículo o servicio fue o no defectuoso. Bajo estos supuestos de estabilidad e independencia, la probabilidad de que cada artículo sea defectuoso es siempre la misma e igual a p. Cada artículo producido puede entonces asociarse a una variable aleatoria de Bernoulli que tome valor x i = 1 si el artículo es defectuoso (P (xi = 1) = p) o x i = 0 si es aceptable (P (xi = 0) = 1
− p). Por
tanto, el número de unidades defectuosas di de un total de ni unidades es una variable aleatoria Binomial con función de probabilidad
P (di = r) =
ni r
pr (1
ni −r
− p)
; r = 0, 1, . . . , ni .
La media y varianza de esta variable son bien conocidas, E (di ) = ni p Var(di ) = ni p(1
− p)
Como puede verse, ambos parámetros, media y varianza, dependen sólo de p, por lo que para analizar la evolución del número de artículos defectuosos no es necesario construir un gráfico de control para la media y otro para la variabilidad, como ocurría en el control por variables, sino que con un gráfico de control del parámetro p es suficiente. El gráfico se realiza tomando muestras de tamaño ni (no tienen por qué ser todas de igual tamaño) y contando el número de artículos defectuosos di . Nuestro interés está en la evolución de la proporción de artículos defectuoso, es decir, pˆi =
di número de defectuosos en la muestra i-ésima = ni tamaño muestral de la muestra i-ésima 87
Entonces, la proporción de artículos defectuosos en un total de n i unidades puede escribirse como pˆi =
· ··
di x1 + + xn = = x¯ ni ni i
y es, por tanto, una media muestral de variables de Bernoulli. Es fácil, entonces, deducir las siguientes propiedades E ( pˆi ) = p p(1 p) Var(ˆ pi ) = ni
−
y, si ni es suficientemente grande, podremos aplicar el Teorema Central del Límite y utilizar que, aproximadamente, pˆi
− ≈ N p,
p(1 p) ni
.
El gráfico de control P sirve para ver la evolución de este estadístico pˆi a medida que se van recogiendo muestras consecutivas de tamaño n i . Como en gráficos anteriores, el gráfico P tiene los siguientes elementos
−
LCS = E ( pˆi ) + 3 Línea Central(LC ) = E ( pˆi )
LCI = E ( pˆi )
Var(ˆ pi ) (5.1)
3 Var(ˆ pi )
tomándose como límite inferior el cero si resultase un valor negativo. Si la proporción de unidades defectuosas p es conocida, el gráfico de control será
− − −
LCS = p + 3 Línea Central(LC ) = p
LCI = p
3
p(1 p) ni (5.2)
p(1 p) ni
Puede verse que los límites de control no son, en general, dos líneas rectas, sino que variarán con el tamaño muestral n i . Esta variación se necesita para 88
asegurar que en cada momento existe una probabilidad del 99.7% de estar entre los límites si el proceso está bajo control. En el caso de p conocido, los pasos a seguir para la construcción del gráfico son: 1. Tomar muestras de tamaño muestral ni . El tamaño muestral se decide según las características de cada caso. El tamaño muestral debe ser elevado, tanto para que la aproximación a la normal sea buena, como para dar oportunidad a que aparezcan piezas defectuosas. De esta forma, el 99, 7% de los valores estarán dentro de los límites de control cuando el proceso esté en estado de control. Las muestras suelen tomarse a intervalos regulares de tiempo, aunque el tamaño muestral no necesita ser el mismo. 2. Dibujar el gráfico con las especificaciones mostradas en (5.2). 3. Calcular la proporción de artículos defectuosos en cada muestra: pˆi =
di . ni
4. Representar los valores pˆi ordenados en el tiempo en el gráfico e interpretarlo.
Ejemplo 1:
Los diodos para un circuito impreso son producidos de forma continua en cierto proceso industrial. Un operario va tomando aleatoriamente diodos de la cadena de producción y va comprobando si son defectuosos o aceptables. Como la cadena no tiene un ritmo de producción constante (sigue un ritmo de producción denominado just-in-time, donde el ritmo de la cadena se va determinando según el nivel de stock final e intermedio), el ritmo de inspección no es tampoco constante. El operario, por tanto, no toma siempre 89
Muestra
Diodos Inspeccionados Diodos Defectuosos
pˆi
1
126
8
0,063
2
118
10
0,085
3
122
10
0,082
4
129
9
0,070
5
124
10
0,081
6
136
10
0,074
6
136
10
0,074
7
119
9
0,076
8
127
9
0,071
9
114
20
0,175
10
127
11
0,087
11
119
12
0,101
12
115
5
0,043
13
110
11
0,100
14
103
6
0,058
15
108
10
0,093
16
116
4
0,034
17
119
7
0,059
18
118
8
0,068
19
107
10
0,093
20
113
13
0,115
Total :
2370
192
Tabla 5.1: Datos del ejemplo 1
90
Gráfico P para defectos 0,2
3,0SL=0,1566 n o i t r o p o r P
0,1 P=0,08000
-3,0SL=0,003437
0,0 0
10
20
Sample Number
Figura 5.1: gráfico P para muestras de tamaño desigual ( p conocido)
la misma cantidad de diodos para realizar la inspección. La Tabla 5.1 muestra el tamaño de las muestras recogidas y el número de diodos que resultaron defectuosos. Se sabe por la información histórica del proceso, que si sólo actúan causas no asignables (azar), se espera que el 8% de los diodos sean defectuosos. Se quiere construir un gráfico de control para la proporción de diodos defectuosos. El gráfico se muestra en la figura 5.1. En dicho gráfico puede verse cómo los límites de control, aunque están usando el mismo valor p = 0, 08 tienen distinto ancho, debido a que las muestras son de distinto tamaño. Existe un punto fuera de control que habrá que investigar. Algunas aplicaciones informáticas permiten realizar un gráfico con límites de control que sí son líneas rectas. Para ello utilizan como tamaño muestral en las fórmulas (5.2) el promedio de los tamaños muestrales; es decir, usan, en lugar de n i
k
n ¯ =
i=1
ni
k
Cuando no hay un valor de p conocido es necesario estimarlo con unas 91
muestras iniciales. Estas muestras deben estar recogidas cuando el proceso se encuentra en estado de control. Los pasos a seguir para la construcción del gráfico en este caso son: 1. Tomar k muestras (al menos 20) de tamaño muestral n i (i = 1, . . . , k). 2. Calcular la proporción de artículos defectuosos en cada muestra di . ni
pˆi =
3. Calcular una estimación del valor poblacional p a través de la proporción total de defectuosos: p = ¯
k i=1
di
k
ni i=1
.
¯ Este valor de p constituirá la línea central del gráfico de control. Si durante este periodo de recogida de información el proceso ha estado bajo control, este estimador será un buen estimador de p. Este estimador es mejor que promediar los diferentes valores de pˆi , es decir: ˆ p =
k
p ˆi
i=1
k
,
pues en este promedio no estamos teniendo en cuenta que cada muestra tiene tamaño muestral distinto y, por tanto, precisión distinta. 4. Calcular los límites de control de manera que si el proceso está bajo control, y basándonos en la normalidad, sólo 3 de cada mil muestras estén fuera de los límites. Esto es equivalente, utilizando las propiedades de la distribución normal, a poner los límites en tres desviaciones típicas. Por tanto, el gráfico de control tiene las características siguientes:
− − −
LCS = p¯ + 3 Línea Central(LC ) = p¯
LCI = p¯
92
3
¯ ¯ p(1 p) ni p(1 ¯ p) ¯ ni
(5.3)
5. Dibujar el gráfico con la línea central y los límites de control y colocar los valores pˆi ordenados en el tiempo. Si algún valor estuviese fuera de los límites habría que rechazar dicha muestra y repetir el proceso con las restantes. Una vez que se tiene un gráfico con todos los valores dentro de los límites pueden considerarse éstos válidos y puede utilizarse el valor ¯ estimado p para posteriores muestras.
P Chart for defectos 0,2
3,0SL=0,1580 n o i t r 0,1 o p o r P
P=0,08101
-3,0SL=0,004009
0,0 0
10
20
Figura 5.2: gráfico P para muestras de tamaño desigual ( p desconocido)
Ejemplo 1 (continuación):
Con los datos del ejemplo 1 y sin utilizar el valor de p = 0, 08, se obtendría un valor estimado de p = ¯
−
¯ Los limites serán p¯ 3 p(1
±
192 = 0, 081 2370
(5.4)
√
p)/n ¯ i = 0, 081 0, 819/ ni (se usa el limite inferior
±
0 si resulta un numero negativo). La figura 5.2 muestra el nuevo gráfico de control. 93
P Chart for defectos 0,2
3,0SL=0,1511 n o i t r o p o r P
0,1 P=0,07624
-3,0SL=0,001346
0,0 0
10
20
Sample Number
Figura 5.3: gráfico P para muestras de tamaño desigual ( p desconocido) muestra 9 eliminada del cálculo de los límites de control
En este gráfico se vuelve a apreciar que hay un punto fuera de control. Por tanto la estimación de p hecha en (5.4) no es adecuada. Si eliminamos la muestra 9 del análisis y rehacemos el gráfico se tiene la nueva estimación:
− 20 = 0, 076 − 114 √ ¯ − p)/n ¯ = 0, 076 ± 0, 795/ n . y los nuevos límites serán p¯ ± 3 p(1 ¯ p =
192 2370
i
i
La figura 5.3
muestra el nuevo gráfico. En esta ocasión todos los puntos se encuentran dentro de los limites, por lo que la estimación de p puede utilizarse para controlar el proceso en posteriores muestras.
Al no ser los límites constantes se ha de tener cuidado para interpretar tendencias y rachas en estos gráficos. Un procedimiento para simplificar la interpretación de las gráficos P es el uso de valores estandarizados. En este caso los valores representados en el gráfico son: z i =
−− pˆi
p
p(1 p) ni
94
p se utiliza en lugar de p si este valor es desconocido. Para estos valores donde ¯ transformados se tiene E (z i ) = 0 Var(z i ) = 1 y por tanto el gráfico estandarizado tiene por límites de control central 0.
±3 y linea
Como puede observarse, la construcción del gráfico se resume a la obtención de una buena estimación de p. A partir de entonces, y una vez fijada la estrategia de muestreo (tamaños muestrales, frecuencia, criterios para determinar que una pieza es defectuosa), lo que hay que hacer para controlar estadísticamente el proceso es: 1. Tomar una muestra de tamaño n i 2. Calcular los LCS y LCI con ese valor n i y colocarlos en el gráfico 3. Contar el número de piezas defectuosas di y calcular la proporción sobre el total de la muestra pˆi . 4. Colocar este valor pˆi en el gráfico y verificar si el proceso está bajo control En un gráfico P, la capacidad se define como el porcentaje de piezas no defectuosas que produce el proceso cuando está bajo control. Esta cantidad es (1
− p), por tanto la estimación de la capacidad es ¯ Capacidad Estimada = (1 − p).
Es posible, sin embargo, encontrar algunos textos donde se utiliza p como medida de la capacidad.
95
5.1.1 Estrategias de Agrupamiento Los gráficos de control para la proporción de no conformes están basados en general en la inspección de toda la producción realizada durante un determinado periodo de tiempo (por ejemplo un día). Es por ello que la frecuencia de muestreo determina el tamaño del subgrupo. Sin embargo existen diversas estrategias a la hora de considerar el tamaño n del subgrupo. 1. Tomar n de forma que Pr(d es decir que Pr(d = 0) < 1
≥ 1) ≥ γ,
− γ , donde d tiene distribución binomial de
parámetros n y p. Por lo tanto, tomar n de forma que n > log
− 1 1
−
γ p
2. Tomar n suficientemente grande de forma que el ARL( p1 ) sea 2, para una variación en la proporción de p 0 a p 1 . Esto implica, en gráficos k-sigma, que p0 (1 n = ( p1
− p )k − p )
2
0
0
2
3. Si p es pequeño, considerar n de forma que LCI > 0. Esto se consigue si n > k2
1
− p
p
para gráficos de control k-sigma.
5.2 Gráficos NP Se aplica al mismo tipo de procesos que en el caso anterior. La diferencia está en que, en lugar de contabilizar proporción de artículos defectuosos en una muestra, se considera el número de artículos defectuosos. En general, es útil si: 96
(a) el número es más relevante que la proporción, (b) el tamaño muestral es constante. Aunque matemáticamente sería posible construir un gráfico NP con tamaño muestral variable, su interpretación sería complicada, por lo que este tipo de gráficos se utiliza exclusivamente con muestras de tamaño constante ni = n, i = 1, 2, . . . . Llamemos di al número de artículos defectuosos en una muestra de tamaño n. El gráfico de control será:
−
LCS = E(di ) + 3 Línea Central(LC ) = E(di )
LCI = E(di )
Var(di ) (5.5)
3 Var(di )
Sea p la proporción total de defectuosos que produce el proceso. Entonces di sigue una distribución binomial de media np y varianza np(1 p). Si n es
−
grande, dicha distribución puede aproximarse a la normal. Por tanto, para n elevado, aproximadamente, di
∼ N (np,
− − − − np(1
p)).
Por tanto el gráfico de control NP será: LCS = np + 3 LC = np LCI = np
np(1
3 np(1
p) (5.6)
p)
y si la aproximación a al normal es buena, contendrá al 99.7% de los datos si el proceso está bajo control. De nuevo, si el límite de control resultase negativo se usaría al valor cero. Para construir el gráfico de control es necesario estimar p, salvo que se conozca ya su valor. Al igual que en el caso anterior, tanto el nivel medio como la variabilidad dependen sólo del parámetro p, por lo que un solo gráfico será suficiente para controlar el proceso. Para construir el gráfico se siguen los siguientes pasos: 97
1. Se toman k muestras de tamaño n. El numero de muestras k debe ser elevado (más de 20). También el tamaño muestral n debe ser grande (mayor de 50) y han de tomarse consecutivamente y a intervalos iguales. 2. Contar el número de artículos defectuosos en cada muestra di 3. Contar el número total de defectuosos d1 + d2 + medio de defectuosos por muestra: p = ¯
k
d 1 i=1 i = nk n
k i=1
k
di
=
··· + d y hallar el número k
d¯ n
¯ p. ¯ ⇒ d = n
¯ Este valor d será un buen estimador de np, media del proceso, si el proceso ha estado bajo control durante esta etapa de recogida de infor p será la linea central del gráfico de mación. Este valor medio d¯ = n¯ control. 4. Se calculan los límites de control a tres desviaciones típica, obteniéndose:
−
p + 3 LCS = n¯ p LC = n¯ p LCI = n¯
n¯ p(1
3 n¯ p(1
− p)¯
(5.7)
− p)¯
p y los límites de control. 5. Se dibuja el gráfico trazando la línea central en n¯ Los límites de control serán ahora constantes, al ser constante el tamaño muestral n. 6. Colocar los valores di de forma secuencial. Si alguno se encuentra fuera de los límites de control habrá que eliminarlo y volver a reconstruir el gráfico con las muestras restantes. La capacidad se sigue definiendo de la misma manera que en los gráficos P, es decir (1
− p). Por tanto la estimación de la capacidad es ¯ Estimación de la capacidad = (1 − p) 98
Muestra
Número de Artículos Artículos Defectuosos
pˆi
1
50
3
0.06
2
50
5
0.10
3
50
5
0.10
4
50
1
0.02
5
50
10
0.20
6
50
4
0.08
7
50
2
0.04
8
50
5
0.10
9
50
6
0.12
10
50
4
0.08
11
50
1
0.02
12
50
0
0.00
13
50
4
0.08
14
50
6
0.12
15
50
2
0.04
16
50
2
0.04
17
50
3
0.06
18
50
4
0.08
19
50
2
0.04
20
50
5
0.10
21
50
4
0.08
22
50
5
0.10
23
50
2
0.04
24
50
4
0.08
25
50
2
0.04
Total
1250
91
Tabla 5.2: Datos del ejemplo 2
99
NP Chart for defectos 1
10
3,0SL=9,151 t n u o C e 5 l p m a S
NP=3,640
0
-3,0SL=0,000 0
5
10
15
20
25
Sample Number
Figura 5.4: Gráfico NP para el número de defectuosos ( n constante)
Ejemplo 2:
Se desea construir un gráfico de control NP para controlar un proceso que fabrica un chip que se insertará en una tarjeta de telefonía. Se tienen 25 muestras, cada una formada por 50 chips. El número de chips defectuosos en cada una de las muestras se muestra en la Tabla 5.2. El gráfico de control que resulta se encuentra en la figura 5.4. En él puede apreciarse que hay una observación fuera de control por lo que habrá que eliminarla antes de considerar que la estimación de p es definitiva y pueda ser utilizada para analizar posteriores muestras. En este gráfico el LCI es cero, pues el valor que se obtiene aplicando la fórmula correspondiente es negativo: LCI =
−1.87.
Tras la eliminación de la muestra 5 se obtiene el gráfico de control de la figura 5.5, donde ya todos los puntos parecen estar bajo control.
100
NP Chart for defectos (muestra 5 omitida) 1
10
3,0SL=8,697 t n u o C e 5 l p m a S
NP=3,375
0
-3,0SL=0,000 0
5
10
15
20
25
Sample Number
Figura 5.5: Gráfico NP para el número de defectuosos (n constante) y límites de control calculados sin la muestra 5
5.3 Gráfico C A veces, el interés no reside en el número de artículos defectuosos sino en el número de defectos en un artículo o unidad de medida o, en general, el número de sucesos o atributos observados por unidad de medida. Por ejemplo, en una película fotográfica interesa controlar el número de defectos por centímetro cuadrado. En un cable de fibra óptica interesa el número de defectos por metro o kilómetro, o el número de averías detectadas por kilómetro una vez enterrado. En una centralita interesará controlar el número de llamadas por hora o minuto. En un puesto de atención a clientes, interesa el número de clientes que llegan por unidad de tiempo. La diferencia respecto al caso de control del número de artículos con cierto atributo es el soporte en el que se observan los sucesos. Mientras que antes el soporte es discreto: muestra de n elementos, ahora el soporte es continuo: tiempo, longitud, superficie. Este tipo de control tiene interés cuando:
101
• Las disconformidades aparecen de forma continua (burbujas en vidrio,
defectos en una placa, arañazos en plásticos, cortes en cables, llegada de clientes a un puesto de servicio...).
• Los defectos pueden encontrarse por simple inspección a pesar de ser debidas a causas muy diversas.
Este tipo de control es muy frecuente cuando el proceso es un servicio. Por ejemplo, interesa controlar el número de clientes atendido por unidad de tiempo, número de quejas por día, número de llamadas recibidas en cierto servicio telefónico, número de llamadas bloqueadas en un día, número de llamadas atendidas por una centralita en una unidad de tiempo, número de fallos diarios en un equipo de intercomunicación, número de altas diarias en un servicio, etc. Esta variable que se quiere controlar puede definirse como: número de
sucesos en un intervalo de longitud fija . Si el proceso es estable y los sucesos ocurren de forma independiente (la llegada de un cliente a un servicio no depende de cuántos clientes han solicitado ese servicio en esa unidad de tiempo, la rotura de un cable en un punto dado es independiente de si el cable se ha roto en otro punto) entonces el número de sucesos en un intervalo de longitud fija seguirá una distribución de Poisson . Si X es una variable con distribución de Poisson de parámetro λ, el valor medio de dicha distribución es también λ. Por ejemplo, el número medio de defectos por cm2 en una placa metálica, o número medio de clientes por día. La varianza de esta distribución es también λ. Una propiedad interesante de la distribución de Poisson es la de aditividad; es decir, si el número de sucesos en un intervalo es una distribución de Poisson de parámetro λ, el número de sucesos en n intervalos es una Poisson de parámetro nλ. Si λ es elevado, la distribución de Poisson se aproxima bastante a la normal. Por tanto, si tomamos una unidad de medida suficientemente grande, podremos utilizar la distribución normal como referencia. Entonces, el número de defectos
102
por unidad de medida D (o no-conformidades) será, aproximadamente, D
∼ N (λ,
√
λ).
(5.8)
De nuevo, conociendo un parámetro, λ, se tiene control sobre la media y la variabilidad del proceso. Bastará, entonces, con un solo gráfico de control. Sea Di el número de sucesos observado en un intervalo de longitud fija. Un gráfico de control para controlar la evolución de esta variable será:
−
LCS = E(Di ) + 3 LC = E(Di ) LCI = E(Di ) y de acuerdo con (5.8), se tiene que
Var(Di ) (5.9)
3 Var(Di )
√
LCS = λ + 3 λ LC = λ LCI =
√ λ−3 λ
(5.10)
Si el LCI resultase negativo se usaría el valor cero. Si λ no fuese conocido habría que estimarlo con un conjunto de datos preliminares, procedentes del proceso en estado de control. En este caso, el gráfico se construiría de la siguiente forma: 1. Seleccionar la unidad de medida, de manera que en tal unidad se detecten por término medio al menos cinco ocurrencias (averías, defectos, clientes,...), para que la aproximación a la normal sea buena. De esta forma los límites de control tendrían al 99.7% de las observaciones en estado de control. 2. Tomar k muestras (al menos 20) a intervalos regulares de tiempo y contar el número de ocurrencias en cada muestra D i . 3. Estimar λ con el número medio de ocurrencias observadas: ¯ λ =
103
k i=1
k
Di
.
Hectómetro
1 2
3
4
5
6 7
8
9 10 11 12
N. de defectos
5 2
7
12
10
3 6
4
3
7
2
10
Tabla 5.3: Datos del Ejemplo 3
¯ Si el proceso ha estado bajo control durante esta etapa, el valor λ será un buen estimador de λ = número medio de ocurrencias. Este valor se usará entonces como linea central del gráfico. 4. Calcular los límites de control a tres desviaciones típicas. El gráfico resultante será:
√
¯ +3 λ ¯ LCS = λ ¯ LC = λ ¯ LCI = λ
−3
√ ¯
(5.11)
λ
Si el límite inferior es negativo se sustituye por el valor cero. 5. Dibujar el gráfico y colocar los valores Di de forma secuencial. Si alguno está fuera de control se elimina y se recalcula el gráfico. La capacidad del proceso se define por λ : número medio de defectos y se estima con ¯λ, por tanto Estimación de la capacidad = ¯λ
Ejemplo 3:
Un fabricante de cable de fibra óptica desea controlar la calidad del cable mediante un gráfico de control C. Para ello toma como unidad de medida los 100 metros e inspecciona el número de defectos que encuentra: microfisuras, arañazos externos, poros, etc. La inspección está altamente automatizada, inspeccionándose el 100% del cable. La tabla 5.3 muestra el resultado de 12 unidades (1200 metros).
104
C Chart for número de defectos por unidad 15 3,0SL=13,21 t n 10 u o C e l p m 5 a S
C=5,917
0
-3,0SL=0,000 0
5
10
Sample Number
Figura 5.6: Gráfico C para el número de defectos por hectómetro
El número medio de defectos es ¯ 71 = 5, 92 λ = 12 que es la linea central del gráfico. El límite de control superior es LCS = ¯λ + 3 y el inferior ¯ λ
−
¯ 3 λ =
¯ 13, 21 λ =
−1, 38 ⇒ LCI = 0.
La figura 5.6 muestra el gráfico de control donde están representadas las observaciones de la Tabla 5.3.
5.4 Gráficos U El gráfico U se utiliza cuando no es posible tener siempre la misma unidad de medida para contar el número de defectos (o no-conformidades, o clientes, 105
etc...). Entonces, se controla el número medio de defectos por unidad de medida. Por ejemplo:
• Los elementos a analizar pueden contener un número variable de uni-
dades: por ejemplo dos rollos de película fotográfica no tendrán exáctamente la misma longitud, diferentes láminas de vidrio tendrán distinta superficie.
• Es difícil tomar mediciones a intervalos iguales de tiempo: el inspector
puede estar dedicado a varias tareas, por lo que es necesario un esquema más flexible.
Si llamamos c i al número de defectos (u ocurrencias de cierto suceso) en la muestra i-ésima y ni al tamaño de dicha muestra (número de metros del cable, número de unidades de tiempo, número de cm2 de superficie analizada...). El número de defectos por unidad de medida será: ui =
ci Número de defectos en n i unidades = ni Número de unidades en la muestra
(5.12)
La variable c i es una variable de Poisson de parámetro: λi = n i λ donde λ es el número medio de sucesos por unidad. Por tanto: E(ci ) = λi = n i λ, Var(ci ) = λi = n i λ. Esta variable u i es, entonces, un promedio de variables tipo Poisson, donde los sucesos se observan en intervalos de longitud distinta. Si el valor de n i es suficientemente grande, la variable aleatoria u i será, por el Teorema Central del Límite, aproximadamente normal. El gráfico de control de la variable ui será:
−
LCS = E(ui ) + 3 LC = E(ui ) LCI = E(ui )
106
Var(ui )
3 Var(ui )
(5.13)
y si la aproximación a al normal es buena, contendrá al 99.7% de las observaciones. De (5.12) se obtiene que E(ci ) ni λ = = λ. ni ni Var(ci ) ni λ λ Var(ui ) = = = n2i n2i ni E(ui ) =
El gráfico de control será, entonces,
−
LCS = λ + 3 LC = λ LCI = λ
3
λ ni (5.14)
λ ni
Si la media λ es desconocida, se puede estimar con valores preliminares de ui . La media de la distribución del número medio de defectos se estimará con número total de defectos u¯ = = número total de unidades Entonces
Var(ui ) =
u ¯ ni
k i=1
k i=1
ci ni
.
Y el gráfico de control U con los límites estimados será
−
LCS = u¯ + 3 LC = u¯ LCI = u¯
3
u¯ ni (5.15)
u ¯ ni
El LCI será cero si la fórmula anterior diese un valor negativo. En resumen, el gráfico se construirá de la siguiente manera: 1. Se toman k muestras de tamaños ni , i = 1, . . . , k y se cuenta el número de defectos c i de cada muestra y el número medio por unidad de medida de cada muestra u i = ci /ni . 107
2. Se calcula la media del numero medio de defectos por unidad de me¯. Si el proceso ha estado bajo control, este estimador u ¯ será un dida u buen estimador de λ y será la linea central del gráfico. 3. Se calculan los límites de control a tres desviaciones típicas de la línea central
−
LCS = u¯ + 3 LC = u¯ LCI = u¯
3
u¯ ni (5.16)
u ¯ ni
Estos límites varían con el tamaño muestral. Al igual que ocurría con los gráfico P, dado que los límites de control no son constantes, la interpretación de rachas y tendencias se ha de hacer con cautela. Una posible opción sería representar el gráfico normalizado; es decir, representar los valores z i =
−
ui
u¯ u ¯ ni
en un gráfico donde la línea central es cero y los límites LCS=3 y LCI=-3. La capacidad del proceso se define como u¯, por tanto Estimación de la capacidad = u¯
Ejemplo 4:
Un operario inspecciona la calidad de unos circuitos impresos (arañazos, bandas incorrectas, grosor no uniforme, etc.). Los circuitos que inspecciona son muy diversos. Según el tipo de circuito se apunta su superficie y el número de defectos. Tras inspeccionar 12 placas obtiene los datos de la Tabla 5.4. El número total de defectos es 42 y la superficie total 451. Por tanto u¯ =
42 = 0, 093 451 108
U Chart para el número de defectos 0,3 3,0SL=0,2416 t n 0,2 u o C e l p m 0,1 a S
U=0,09313
0,0
-3,0SL=0,000 0
5
10
Sample Number
Figura 5.7: Gráfico U para el número medio de defectos por cm2 Superficie (cm2 )
50
50
34
38
54
Número de defectos
4
3
4
4
4
22 22 25 50 3
5
3
4
34
34
38
2
2
4
Tabla 5.4: Datos del Ejemplo 4
Los límites de control dependen de cada placa, al tener superficies distintas. La figura 5.7 muestra el gráfico de control donde se representan los valores de u i (u1 = 4/50,...,u12 = 4/38) del número de defectos por cm2 . En el gráfico se observa que el proceso está en estado de control.
5.5 Comentarios sobre las curvas OC para gráficos de control por atributos Curva OC para el gráfico p en el ejemplo 1.
109
En el ejemplo 1, dábamos como estimación de p del proceso bajo control ¯ 0, 076. el valor p = Si tomamos una muestra de tamaño n = 120, y consideramos pˆi =
di n
la curva característica del gráfico de control nos representa
| ∼ Bin(n, p))
OC ( p) = P (LCI < pˆi < LCS di
es decir la probabilidad de no detectar un cambio en la fracción disconfor¯ valor p. me del proceso desde su valor nominal p al El cálculo de de esta probabilidad se puede realizar en base a la distribución binomial, ya que
| ∼ Bin(n, p))
OC ( p) = P (nLCI < di < nLCS di
¯ = 0, 125, esto supone Por ejemplo si la fracción disconforme pasa de p a p aproximadamente un incremento de ‘2σ’ en la fracción disconforme. En tal caso nLCI = 0, 41 y nLCS = 17, 87, por lo que
| ∼ Bin(120, 0, 125))−P (d ≤ 0, 41|d ∼ Bin(120, 0, 125)) = 0, 761
OC (0.125) = P (di < 17, 87 di
i
i
Esta probabilidad es muy alta sobre todo si la comparamos con la probabilidad de detectar una variación ‘2σ’ en un gráfico x¯ con subgrupos de tamaño 120. La forma de la curva característica para este gráfico P para muestras de diversos tamaños se puede ver en la figura 5.8.
Curva OC para el gráfico NP en el ejemplo 2 p = 3.375 con límite de En el ejemplo 2, dábamos como valor válido de n¯ control superior, LCS=8.697. Tomamos ahora un nuevo lote de 50 chips y sea 110
OC Curve (P Chart); variable: defec Control Limits: UCL=0,149305 LCL=0,003177 1,0 0,9 ) r 0,8 o r r E a0,7 t e b ( e0,6 c n a t p e0,5 c c A f 0,4 o y t i l i b0,3 a b o r P0,2
N=39 N=99 N=119 N=139 N=179
0,1 0,0 0,0
0,1
0,2 0,3 0,4 Process Shift to Percent Defective
0,5
0,6
Figura 5.8: Curva Característica (OC) para el gráfico P del ejemplo 1 y diversos tamaños de muestra n
di el número de chips defectuosos. La curva característica del gráfico de control nos representa
| ∼ Bin(n, p))
OC ( p) = P (LCI < di < LCS di
es decir la probabilidad de no detectar un cambio en el número medio de piezas no conformes del proceso cuando la proporción de piezas disconfor¯ valor p. mes varía desde su valor nominal p al Por ejemplo, si el número medio de piezas no conformes varía de 3.38 a 7, esto supone una variación de poco más de 2σ, tenemos
| ∼ Bin(50, 0.14)) = 0, 740
OC (0.14) = P (di < 8.697 di
Curva OC para el gráfico C en el ejemplo 3 Curva OC para el gráfico u en el ejemplo 4
111
OC Curve (Np Chart); variable: defetuosos Control Limits: UCL=8,697094 LCL=0,000000 1,0 0,9 ) r 0,8 o r r E a0,7 t e b ( e0,6 c n a t p e0,5 c c A f 0,4 o y t i l i b0,3 a b o r P0,2
N=50 N=15 N=25 N=35 N=45 N=55 N=65 N=75
0,1 0,0 0
5
10 15 20 Process Shift to Number Defective
25
30
Figura 5.9: Curva Característica (OC) para el gráfico NP del ejemplo 2
OC Curve (C Chart); variable: n.defec Control Limits: UCL=13,213926 LCL=0,000000 1,0 0,9 ) r 0,8 o r r E a0,7 t e b ( e0,6 c n a t p e0,5 c c A f 0,4 o y t i l i b0,3 a b o r P0,2
0,1 Plot 1
0,0 5
10 15 Process Shift to No. Defective
20
25
Figura 5.10: Curva Característica (OC) para el gráfico C del ejemplo 3
112
OC Curve (U Chart); variable: n. defec Control Limits: UCL=0,242461 LCL=0,000000 1,0 0,9 ) r 0,8 o r r E a0,7 t e b ( e0,6 c n a t p e0,5 c c A f 0,4 o y t i l i b0,3 a b o r P0,2
0,1 0,0 0,00
Plot 1 0,05
0,10 0,15 Process Shift to Rate Defective
0,20
0,25
Figura 5.11: Curva Característica (OC) para el gráfico u del ejemplo 4
113
