Física General II
Estática de Fluidos
CAPITULO III
Optaciano L. Vásquez García
3.1 P OPIE!"!E# !E !EFI&I'IO&E#
LO#
FL$I!O#
%
La mecánica de fluidos es una ciencia que se ocupa del estudio de los fluidos en movimiento y/o en reposo y los efectos que ellos producen sobre los entornos que lo rodean los que pueden ser superficies sólidas u otros fluidos. Esta ciencia se ramifica en varias especialidades tales como aerodinámica, hidráulica, ingeniería naval, dinámica de gases y procesos de flujo. iene relación con la estática, cinemática y dinámica de los fluidos, ya que el movimiento de un fluido se produce debido al desequilibrio de las fuer!as que act"an sobre #l. $ara dar base al análi sis se aplica los principios y leyes tales como% leyes de &e'ton del movimiento, leyes de la termodinámica, principio de conservación de masa, principio de conservación de la energía, entre otros.
ESTÁTICA DE FLUIDOS
En el estudio del movimiento de los fluidos, las propiedades más importantes y utili!adas son la viscosidad y la densidad. $or otro lado tambi#n es necesario observar el efecto de la tensión superficial así como las prop iedades de tensión de vapor.
3.1.1
!e(inici)n de Fluido
(n flu ido se def ine como una sustancia que cambia su form a continuamente siempre que esté sometida a un esfuerzo cortante, sin importar que tan pequeño sea . En contraste un sólido e)perimenta un despla!amiento definido cuando se somete a un esfuer!o cortante. La figura *.+ muestra #ste efecto, en la figura *.+a, el bloque sólido cambia su forma hasta un abcd a grado rectangular La figura muestra la construcción de una presa para almacenar agua,determinado allí se observa las de inmensas fuerzas ab’c’d cuando se le aplica una esfuer!o de presión ejercidas por el agua cortante . En contraste si este elemento fuera un fluido ver figura *.+b, no e)istirá un - fijo ni aun para un esfuer!o cortante infinitesimal. En lugar de esto persiste una deformación continua siempre que se aplique esfuer!o cortante .
203
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Optaciano L. Vásquez García no tiene un significado preciso, pues el n"mero de mol#culas en un volumen cualquiera está cambiando continuamente. Este efecto cobra importancia si el volumen unidad es mucho mayor que el cubo de espaciamiento molecular. 1i la unidad de volumen es demasiado grande es probable que haya una variación en la distribución global de partículas. Esta situación se observa en figura *.4, en donde la densidad
ρ
= δm δV
volumen escogido, 0, aparece función del de ella en puede apreciarse 5
que hay un volu men δV por debajo del cual las variaciones moleculares tienen importancia, análogamente por encima de
a0
δV 5
b0
Fi*ura3.1
+ a) Sólido sometido a una fuerza cortante, (b) Fluido somet ido a una fuerza cortante.
1eg"n las formas físicas de e)istencia de la materia los fluidos pueden ser líquidos figura b0 y gaseosos figura c0. Los fluidos líquidos tienen volumen definido pero no una forma definida por el contrario, los gases no tienen volumen ni forma definida.
Los fluidos líquidos son incompresibles debido a que presentan cambios peque2os en su densidad a pesar de estar sometidos a grandes presiones. $or otro lado los fluidos gaseosos son altamente compresibles es decir no pueden considerarse constante.
las variaciones microscópicas tambi#n es importante. Entonces la densidad se e)presa
ρ
= lim δV →δV 5 δV *.+0
3onde el volumen δV para todos los fluidos.
Fi*ura 3.2.
El (luido co,o ,edio continuo 1e sabe que todos los fluidos están compuestos por mo l#culas las que se encuentran en movimiento aleatorio, estas mol#culas están muy separadas en los gases mientras que están pró)imas en los líquidos. La distancia entre mol#culas es mucho mayor que el diámetro molecular. 3ebido al continuo movimiento molecular la densidad
203
5
es igual a +678 mm*
Variación de la densidad con
el volumen escogido . $or otro lado debido a que los problemas ingenieriles est#n relacionados con dimensiones físicas mucho mayores quo el volumen
3.1.2
δm
δV 5
la
densidad
puede
considerarse como una función puntual y las propiedades del fluido pueden considerarse como variabas continuas. (n fluido con estas características se le llama 9edio :ontinuo. En estas condiciones la densidad se escribe
ρ ( x,,y z, t )
=
lim
δ V →δ V 5
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ρ ( x, y , z , t )
=
dm dV
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γ
=
W V
*.40
*.B0
Las unidades de la densidad en el 1; es el
Las unidades de son el &/m *0 en el 1; y lb/pie*0 en el sistema británico. $or otro lado, debido a que w F mg F CVg , la ecuación B0 puede escribirse
-ala I.
ensidad
de
γ
algunas
g = mg V =ρ
sustancias
#ustancia ielo "lu,inio "cero 'ore Plata Plo,o Oro Platino
/+*, 3.103
6,8+> 4,> >,?@ ?,84 +6,A ++,* +8,* 4+,B Estos valores cambian ligeramente con la temperatura debido a que el volumen de una sustancia cambia con la temperatura.
3 .1 .3
!ensidad r elati4a + Cr La densidad relativa de una sustancia es el cociente entre la densidad de una sustancia y la densidad de otra sustancia considerada como patrón. $ara el caso de los fluidos líquidos la densidad patrón considerada es la del agua a BD: en tanto que para los gases e considera la densidad del aire, es decir
ρr
=
*.A0
3 .1 .6
Presi)n + p La presión ejercida por un fluido sobre un recipiente, es una magnitud tensorial que e)presa la dis tribución normal de una fuer!a sobre una determinada superficie. Lo de magnitud tensorial implica que la presión tiene m"ltiples puntos de aplicación y una manifestación normal a la superficie. $ara determinar la presión consideremos un fluido contenido dentro de una superficie 1 tal como se ve en la figura *.*. 1i se divide a la superficie en elementos de área -A cuya dirección es
∆A = ∆An ,
en
donde n ,
es un vector unitario perpendicular a la superficie, la fuer!a que
∆F⊥ . ejercerá el fluido sobre - A es Entonces la presión no es más si no la fuer!a por unidad de área, esto es
ρ sus ρw *.*0
En donde el subíndice sus se refiere a la sustancia y el subín dice w se refiere al agua.
3 .1 .5
Peso especí(ico + El peso específico de una sustancia se define como el peso por la unidad de volumen de una sustancia. Esto es
p=
∆F⊥ ∆A *.@0
$or otro lado, si se quiere determinar la presión en un punto, los elementos -G se hacen cada ve! más peque2os, es decir
p=
203
∆F⊥ lim ∆A ∆A→6
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p=
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dF⊥ dA *.>0
Las unidades de presión en el 1; es el &/m 4 unidad conocida como el $ascal
+$a F + &/m4 *.?0 $or otro lado e)isten otras unidades como% dina/cm4H Ig/m4H gr/cm4H lb/pie
a0
un
b0 eterminación del módulo del módulo de elasticidad
8)dulo de elasticidad 4olu,9trico +E 4
$uesto que dVV, es a dimensional, la unidad de !" son las mismas que de la presión.
Fi*ura 3.3 !resión ejercida fluido sobre una superficie 3.1.7
por
odos los fluidos se pueden comprimir mediante la aplicación de fuer!as de presión y en el proceso se almacena energía de la forma elástica. Es decir los fluidos se e)panden al dejar de aplicar las fuer!as aplicadas convirtiendo su energía almacenada. Esta propiedad elástica se define mediante el módulo de elasticidad volum#trico, cuyo valor se determina utili!ando un cilindro y un embolo al que se le aplica una fuer!a como se muestra en a figura *.Ba. 1i el cilindro es rígido y contiene un volumen V1 de flu ido, la acción de F produce un aumento de la presión del fluido y hace que el volumen disminuya hasta un valor V. ra!ando una gráfica presión p0 vs VV1 como se ve en la figura *.Bb, el módulo de elasticidad es la pendiente de la curva en un punto dado. Es decir
!V
=−
dp
dV V+ *.80
203
Fi*ura 3.5.
3 .1 .:
Viscosidad + J :uando se observa el movimiento de fluidos se distinguen dos tipos básicos de movimiento. El primero es el flujo laminar aquel movimiento regular en el que las partículas del fluido parecen desli!ar unas sobre otras en capas o láminas. El segundo llamado flujo turbulento es un movimiento caracteri!ado por la aleatoriedad del movimiento de las partículas observándose remolinos de varios tama2os. $ara determinar la viscosidad consideremos el flujo laminar de un fluido real que está confinado a moverse entre dos placas de e)tensión infinita, como se ve en la figura *.A
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Fi*ura 3.6
∆"∆t = ∆y∆α ∆α ∆" = ∆t ∆y
eformación de un fluido bajo la acción de una fuerza cortante La placa superior se mueve con velocidad constante " , por efecto de la fuer!a cortante aplicada , será.
τ
Ft
*.+B0
. El esfuer!o cortante
Llevando al límite ambos lados de la ecuación *.+B0, resulta
= ∆lim ∆F÷ = dF A→ 6 ∆A dA
dα dt
*.+60
=
lim
∆t→ 6
=
d" dy
*.+A0 1i el fluido es ne'toniano, el esfuer!o cortante es proporcional a la rapide! de deformación, esto es
3onde, -A, es el área del elemento de fluido en contacto con la placa. En un intervalo de tiempo -t, el elemento se deforma tal como se muestra en la figura. La rapide! de deformación está dada por
rapide! de deformación
Optaciano L. Vásquez García
τ α
∆α = dα ∆t ÷ dt
τ
*.++0
dα dt
α dt
= µ d = µ d" dy
*.+@0
$or otro lado de la figura *.A se observa además que la distancia -# entre los puntos
En donde es la constante de proporcionalidad y se le llama $coeficiente de "iscosidad din%mica&
9 y 9K es
∆ # = ∆ "∆ t *.+40 $ara ángulos peque2os la dis tancia - # puede e)presarse como
∆# = ∆y∆α
* . + * 0 ;gualando las ecuaciones *.+40 y *.+*0, resulta
En el 1; la viscosidad se e)presa en '(sm) y en el sistema c.g.s. absoluto la unidad es el grcm(s unidad llamada como poise La viscosidad no depende en gran medida de la presión. 1in embargo se observa que la viscosidad de un líquido disminuye con un aumento en la temperatura mientras que en un gas ocurre lo contrario. La e)plicación de estas ten dencias es la siguiente% en un líquido las mol#culas tienen una movilidad limitada con fuer!as cohesivas grandes presentes entre mol#culas. (n aumento en la temperatura disminuye la cohesión entre mol#culas disminuyendo la pegajosidad del fluido, es decirlasunmol#culas descenso tienen en la viscosidad. En un gas una alta movilidad y generalmente están separadas e)istiendo poca cohesión. 1in embargo las mol#culas interact"an chocando unas con otras dando lugar a una disminución en la viscosidad.
3.1.;
Viscosidad c ine,ática + M 1e define como la ra!ón entre la viscosidad dinámica y la densidad.
203
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ν
=
∑ F ⇒= 6
µ ρ
p4
E#-"-I'" !E FL $I!O#
=
p*
+ +4 γdz
*.460 Las ecuaciones *.+?0 y *.+80, indican que no hay variación de presión en dirección hori!ontal, mientras que la ecuación *.460 indica en dirección vertical si hay variación de la presión dicha variación depende de la densidad del fluido, de la aceleración de la gravedad y de la diferencia de alturas. 1in embargo en el límite cuando dz, tiende a cero, la ecuación *.460 se escribe
(n fluido se considera estático si todas sus partículas permanecen en reposo o tienen la misma velocidad constante con respecto a una distancia de referencia inercial. En esta sección se anali!ará la presión y sus variaciones a trav#s del fluido así como se estudiará las fuer!as debidas a la presión sobre superficies definidas.
3.2.1
p4−( dxdy − =ds cos θ ) ( p) * dx
z
*.+>0
3.2
Optaciano L. Vásquez García
Presi)n en un punto $ara determinar la presión en un punto interior a un fluido consideremos un elemento de fluido en forma de cu2a como se muestra en la figura *.@. 3ebido a que la cu2a esta en reposo relativo no hay fuer!as cortantes y las fuer!as que e)is ten son perpendiculares a las superficies.
p4
=
p*
*.4+0 :omparando la ecuación *.+80 y *.460, se deduce que
p+
=
p4
=
p* *.440
La presión en cualquier punto interior a un fluido es independiente de la orientación.
3.2.2
Fi*ura 3.7.
"lemento de fluido en forma
de cu#a Gplicando las ecuaciones de equilibrio seg"n las direcciones mostradas y teniendo en cuenta que F * pA, resulta
−6 ∑ F =⇒ x
pA
=
pB
∑ F ⇒= 6 y
p+
=
pB +( +4 dydz ) (
=p)A
+ 4
dydz
*.+?0
p−+ ( dxdz )()
p*= dxds senθ
p* *.+80
203
Variaci)n de la presi)n en un (luido en reposo. Ecuaci)n (unda,ental de la
. del gráfico se ve que sobre el elemento act"an las fuer!as de presión perpendicularmente a las caras.
dW
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Optaciano L. Vásquez García dirección hori!ontal. $or el contrario la ecuación *.4A0 muestra que en la dirección vertical si e)iste variación en la presión
3.2.2.1. Variaci)n de la presi)n en un (luido inco,prensile 1e ha demostrado anteriormente que la presión e)perimenta variaciones en la dirección vertical, además
Fi*ura 3.:.
"lemento de fluido en forma
de paralelepípedo. 3ebido a que el elemento de fluido está en equilibrio, se cumple.
se ha mostrado que lade presión depende de de la densidad así como la aceleración la gravedad y como la gravedad varía con la altura entonces afectará a la presión. 1in embargo, para propósitos ingenieriles se puede considerar a la aceleración de la gravedad como una constante, de otro lado como se trata de un fluido incompresible la densidad es constante entonces la ecuación *.4A0 se escribe.
dpz dz
∑F =6 x
px ( dydz )
∂p − px +( ) x dx÷ ∂x
dydz
*.4@0 G partir de este resultado, se observa que un incremento en la elevación dz,
positi"o0 corresponde a una disminución en la presión dp, negati"o0. 1iendo p1 y p) las presiones en los punt os z1 y z), respectivamente, la ecuación *.4@0 puede integrarse obteniendo
*.4*0
y
p y ( dxdz )
=6
∂p − p y +( ) y dy÷ ∂y
dxdz
=6
∂p y =6 ∂y
∫
p4
p+
dp z
p4
z
= − ρg ∫z 4 dz
=
+
p+ − ρg ( z 4
− z+ ) *.4>0
*.4B0
∑F =6 z
pz ( dxdy )
constante
=6
∂p x = 6 ∂x
∑F
= −ρ g =
− +pz ( ∂∂)pzz dz÷ −dxdy =
$or otro lado, si el recipiente está abierto en la parte superior como se ve en la Nigura *.?, la presión a cualquier profundidad + * z1 z) es
dW
p = p6
∂p z = − ρg ∂z
+ ρg+ *.4?0
*.4A0 Las ecuaciones *.4*0 y *.4B0 indican que no e)iste variación en la presión en la
203
3onde po es la presión atmosf#rica, + es a profundidad medida a partir de la superficie libre.
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Optaciano L. Vásquez García se le aplica una fuer!a F esta provocará una presión adicional en el fluido, presión que se transmite seg"n la ley de pascal hasta el embolo de área A) produciendo una fuer!a F dada por
F p = =+ A+
F A4
⇒4 = F4
A4 F+ A+
*60 $uesto que d+ PP d4 entonces la fuer!a F será mayor que F. En la figura *.8b se muestra el agua en un recipiente formado por partes de diferentes formas En una primera observación, pareciera que la presión en el recipiente mayor es más elevada y que como consecuencia de #sta presión el agua deberá alcan!ar mayor altura el recipiente más peque2o. Esto se conoce como parado.a +idrost%tica. La presión sólo depende de la profundidad, por tanto el líquido debe encontrarse a la misma altura en todas las partes del recipiente.
Fi*ura 3.;
Variación de la presión en un fluido incompresible
(sualmente a la presión p se le llama presión absoluta y a la resta de p y po se le llama presión manom#trica esto es
p m an
= ρg+ *.480
!rincipio de !ascal. 3ebido a que la presión en un fluido sólo depende de la profundidad, cualquier incremento en la presión en la superficie se debe transmitir a cualquier punto en el fluido. Este efecto fue descubierto por primera ve! por Olaise $ascal y se le conoce como -rincipio de -asca# y establece% $%n cambio en la presión aplicada a un fluido encerrado en un depósito se transmite íntegramente a cual&uier punto del fluido ' a las paredes del recipiente &ue l contiene= Prensa idráulica> (na de las aplicaciones más importantes del principio de pascal es la prensa hidráulica representada en la figura *.8a. :onsiste en dos cilindros de diferentes diámetros d1 y d) d+ PPP d 40 interconectados y llenados con un fluido los que llevan #mbolos de áreas A1 y A). 1i al #mbolo A 1
203
a0 b0
Fi*ura 3.? +a La prensa *idr+ulica utilizada para multiplicar fuerzas, (b) vasos comunicantes
3.2.2.1. Variaci)n de la presi)n en un (luido 'o,prensile
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La variación de la presión en un fluido compresible se puede determinar, tambi#n a partir de la ecuación *.4A0. 1in embargo, antes de proceder a la integración, es necesario e)presar la densidad del fluido en función de cualquiera de las otras variables de la ecuación de estado. En muchos líquidos, la densidad depende muy d#bilmente de la temperatura. 1in embargo, la presión y la densidad están relacionadas por el módulo de elasticidad volum#trico
Optaciano L. Vásquez García
ρ
*.*A0 1ustituyendo la ecuación *.*A0 en la ecuación *.4@0, resulta
dp dz
dp !V = − dρ ρ
;ntegrando la ecuación *@0, teniendo en cuenta nuevamente que la aceleración de la gravedad es constante, obtenemos
∫
p ρ 6 ρ = p6 1ustituyendo la ecuación *.*40 en la ecuación *.4@0, resulta
p
p6
=−
ρ6 g p6
∫
z
z6
3e donde, se obtiene
−
p
=
p6 e
ρ6 g ( z − z6 ) p6
*.**0 La ecuación **0 nos da la variación de la presión de un gas con la altura a temperatura constante. 1i el gas ideal tiene un gradiente de temperatura e)presado por
/
=
/6
+
βz *.*B0
3onde o, es la temperatura en un nivel de referencia z * 00 y Q es una constante que para atmósferas normales Q F 7 6,66@A 2m hasta la estratosfera. 3e la ecuación de estado se tiene.
203
=−
g 3
z
∫ (/ 6
gdz + βz )
6
g
3.2.3
dz
dp p
/6 β3 p= p 6 /6 + βz
p = − ρ 6 g p6 dp p
p p6
Ninalmente se obtiene
*.*40
∫
pg
= − 3( /6 + βz ) *.*@0
*.*+0 1i este módulo es constante, entonces la densidad es función "nicamente de la presión. $or otro lado, en el caso de los gases ideales, la densidad depende de la presión en la forma
dp dz
p 3 ( /6 + β z )
=
*.*>0
Presi)n asoluta @ , ano,9trica Los valores de la presión se deben establecer respecto a un nivel de referencia. 1i este nivel de referencia es el vacío, las presiones presiones se denominan abso#utas, y cuando se toma como srcen la presión atmosf#rica local, la presión se denomina presi4n manométrica. La figura *.+6 muestra los orígenes y las relaciones de las unidades de las escalas más frecuentes. La presión atmosf#rica normal es la presi ón medida a nive l del mar, la que se toma el valor de 1 atm ó 560
mm de 7g . :uando la presión se e)presa por la altura de una columna líquida, se refiere a la fuer!a por unidad de área en la base de la columna del líquido. La variación de la presión de un líquido con la altura se e)presa como%
p = p6
+ ρg+
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Fi*ura 3.10 elación entre presión absoluta ' la presión manom-trica 3 .2 .5
El A ar),etro El barómetro es un dispositivo que nos permite medir la presión atmosf#rica local consiste en un tubo de vidrio cerrado por uno de sus e)tremos y abierto por el otro, a este tubo se le llena con mercurio y despu#s tapado el e)tremo abierto se invierte en una cubeta de mercurio, como se muestra en la figura *.++. El espacio vacío que se forma en la parte superior del tubo contiene "nicamente vapor de mercurio, cuya presión a temperaturas ordinarias es muy peque2a de tal manera que se puede despreciar. 1i se comien!a en #ste punto y
Fi*ura 3.11
diag (b)) ba róram me trao es& ciuem+ en tí fitic co o1 1 (c barómet ro con escala para la l e c t u ra de la p re s i ó n atmosf-rica1 (d) presión sobre el 2g.
se aplica la hidrostática se tiene
patm
= p"apor7g, + = 7gγ + + patm = γ7g +
6 7gγ
arómetro de mercurio inventa do por /orrice lli0 (a)
+ 3 .2 .6
8an),etros Los manómetros son dispositivos que sirven para medir la diferencia de presión. En general e)isten muchos dispositivos llamados manómetros que nos permiten determinar diferencias de presión positivas o negativas siendo uno de estos el manómetro en (, mostrado en la figura *.+4.
203
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3.2.7
b0
3anómetro de tubo en %, utilizado para determinar presiones manom-tricas.
$ara determina la presión en el punto G, se utili!a la ley fundamental de la hidrostática, esto es, los puntos 9 y & están a la misma presión entonces
p8
= p'⇒ +p A =γ w++w p6 γ 7g +7g p A − p6 = γ 7g +7g − γ w +w p A, man
+.
$artir de un menisco cualquiera y e)prese la presión en sus respectivas unidades y seguir la continuidad del tubo.
4.
1umar algebraicamente a esta presión el cambio de presión que a parece en las mismas unidades desde un menisco a otro m%s sí el pró)imo está más abajo y menos sí este más alto0.
*.
:ontinuar así hasta que alcance el otro e)tremo manómetro e igualar e)presión a la presión aquel punto.
se del la en
Fuerzas
a0
Fi*ura 3.12
Optaciano L. Vásquez García
= γ 7g +7g − γ w +w
3onde ' y Rg son los pesos específicos de los fluidos agua y mercurio, respectivamente $ara resolver problemas que involucran manómetros se sigue el procedimiento.
203
es necesario especificar% la magnitud, dirección y sentido a si como su línea de acción de la fuer!a resultante. En esta sección se estudiará las fuer!as debidas a la presión sobre superficies planas y curvas, sumergidas en líquidos.
3.2.7.1 Fuerza
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F3
= ( p 6 + ρg+) ∫ dA9 A
= ( p 6 + ρg+ ) A9
F3
*.B+0 El punto de aplicación de la fuer!a resultante centro de presiones 0 se determina utili!ando el criterio de que. !#
momento F3 con respecto a #os e.es x 4 y es igua# a# momento de# con.unto de fuerzas distribuidas respecto a# mismo e.e x 4 y . 1iendo el vector de posic ión de respecto al punto 0 y
Fi*ura 3.13. Fuerza *idrost+tica sobre
r
F3 con
el vector
de
dF , respecto al mismo punto,
posición de se tiene
una superficie plana sumergida La
fuer!a debida a la presión que act" a
sobre el elemento de área superior de la superficie es
dF
x 2 F3
dA , de la cara
A
*.B40
= − pdA9 y 2 F3
*.*?0
dA 3ebido a que la dirección positiva de es perpendicular a la superficie y dirigido hacia fuera, el signo menos de la ecuación *.*?0 indica que la fuer!a dF act"a en contra de la superficie, es decir en dirección opuesta a
= ∫ ypdA A
*.B*0 Teempla!ando la magnitud de F3 y el valor de la presión a una profundidad + en la ecuación *.B40, tenemos
dA .
F
3 que act"a sobre La fuer!a resul tante toda la placa se puede obtener integrando sobre toda la superficie la ecuación *.*80. Esto es
F3
= ∫ xpdA
∫
x2 ( p6 + ρ ) g+( A = ) x p6 + ρ g+ dA A
x2
=
= − ∫ pdA9 A
x2
*.*80
+
A
∫ xdA A
=x *.BB0
eniendo en cuenta que la presión es una función de la profundidad y esta dado por p F po S Cgh0, la ecuación *.*80 se escribe
F3
= ∫ ( p 6 + ρg+ ) dA9 A
1iendo
x
y2 ( p6
+ ρ) g+( = ∫ )y
la distancia al centroide, además
A
*.B60 $uesto que la supe rficie se encuentra hori!ontal todos los puntos de ella están a la misma profundidad h, entonces
203
y2
=
+
A
∫ ydA A
p6
+ ρg+ dA
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y2
❑
=y *.BA0
Las ecuaciones *.BB0 y *.BA0 indican que la fuer!a resultante está dirigida perpendicularmente a la superficie hacia abajo y act"a en el centroide de la placa.
3.2.7.2.
Fuerza
:onsideremos ahora el caso general de una superficie plana inclinada sumergida como se muestra en la figura *.+B, locali!ada en un plano inclinado un ángulo U con respecto a la hori!ontal. El plano VW contiene a la superficie. $ara encontrar la fuer!a resultante se divide a la superficie en elementos de área dA. 3ebido a que el fluido esta en reposo no e)iste esfuer!os cortantes, entonces la fuer!a actuará perpendicularmente a dA. Esto es
❑
∫
∫ ρgysenθ dA k
F =− p0 dA k −
A
y es la distancia al centroide.
3onde
dF
Optaciano L. Vásquez García
A
❑
F =− p 0 dA k − ρg sen θ
∫ y dA k
A
*.B?0 eniendo en cuenta la definición de centroide
∫ ydA
yC A =
, resulta
F =− p 0 A k − ρg A yC s enθ k *.B80 3e la
figura *.+B, se observa que , entonces la ecuación anterior se escribe
hCG= y C senθ
F =−( p 0+ ρg hCG ) A k
*.A60 La magnitud de la fuer!a resultante ejercida por los fluidos sobre la superficie es
= − pdA9 *.B@0
eniendo en cuenta que la presión a una profundidad + es p * po : Cg+, la ecuación *.B@0 se escribe
=−
dF
p6
+ ρ 6 g+ dA9
= −( p 6 + ρ 6 gysenθ
dA9 *.B>0
La fuer!a resultante sobre toda la superficie se obtiene integrando la ecuación B@0, esto es
❑
∫ ( p + ρgy sen θ ) dA k
F =−
0
*.A+0 Gsumiendo que la presión en el centro de pC = p0 + ρg hCG , gravedad la ecuación *.A+0 se escribe
3e la figura se tiene ade más que + * y senU, entonces
dF
F =( p0 + ρg hCG ) A
A
203
F= pC A *.A40
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Fi*ura 3.1 5. Fuerza *idrost+tica sobre una superficie plana inclinada Las coordenadas del punto de aplicación de la fuer!a resultante :entro de presiones0 se determinan utili!ando el principio de momentos. El cual establece que%
Optaciano L. Vásquez García
y CP pC A = pC A y CG+ ρgsenθ I Gx
y CP= y CG +
!# momento de #a fuerza resu#tante con respecto a #os e.es x o y es igua# a# momento de #as fuerzas distribuidas respecto a #os mismos e.es(
ρgsenθ IGx pC A *.AB05
La coordenada x CP se obtiene tomando momentos con respecto al eje y, esto es
La coordenada y CP se obtiene tomando momentos con respecto al eje ), esto es
❑
∫
x CP p C A = x ( p0 + ρgh) dA A
❑
∫
y CP pC A =
y ( p0 + ρgh ) dA
A
¿p ❑
¿p
❑
0
❑
❑
A
A
∫ x dA + ρgsenθ∫ xy dA
∫ y dA + ρgsenθ∫ y dA 2
0
A
A
x CP p C A = p0 A x CG+ ρgsenθ I xy *.AA0
y CP pC A = p0 A y CG+ ρgsenθ I xx
❑
*.A*0
3onde
I xx=
∫y
3onde
2
dA
, es el momento
= I Gx + A y CG) 2
xx
, es el producto
de inercia área. (tili!ando de 1teiner, el de producto de inerciael teorema se escribe
A
( I xy = IGxy + A x C y C ❑❑)
de inercia de área respecto al eje x. (tili!ando el teorema de 1teiner el momento de inercia se escribe
(I
∫
I xy= xy dA A
❑
, en esta ecuación
I Gx
es el momento de inercia de área respecto a un eje que pasa por el centro de gravedad de la compuerta. La ecuación A40 se escribe
y CP pC A = p0 A y CG + ρgsenθ ( I Gx + A y CG )
en
esta
x CP p C A = p0 A x CG+ ρgsenθ ( I Gxy + A x CG y CG ) x CP p C A = p0 A x CG+ ρgAsenθ x CG y CG + ρgsenθ IGxy
2
p ρg h CG CG ρgsenθ I Gxy (¿¿ + + x CP) pACxA =¿
p
0
y CG+ ρgsenθ I Gx (¿¿ 0 + ρgsenθy y CGp) AA =¿ CP
,
ecuación I Gxy es el producto de inercia de área respecto a los x e y que pasan por el centro de gravedad de la compuerta. La ecuación *.AA0 se escribe
C
x CP p C A = pC A x CG + ρgsenθ I Gxy
p
(¿ ¿ 0 + ρg hCG ) A y CG + ρgsenθ I Gx y CP pC A =¿
203
Estática de Fluidos
Física General II
x CP= x CG +
Optaciano L. Vásquez García
ρgsenθ I Gxy pC A *.A@05
Las ecuaciones *.AA0 y *.A@0 indican que el centro de presiones esta mucho más abajo del centroide, tal como lo muestra la figura *.+A.
a0 b0
Fi*ura 3.16. Localización del centro de
Fi*ura 3.17 +a Vista de una superficie curva 4 (b) vista de la distribución de caga sobre 4 ' las componentes de la fuerza distribuida sobre la superficie curva.
presiones
3.2.7.3.
Fuerza
:uando la placa sumeria es curva, la presión que act"a perpendicularmente, cambia de dirección continuamente, y por consiguiente, el cálculo de la magnitud de la fuer!a resultante F R y su locali!ación centro de presiones0 es más difícil que para el caso de una superficie plana, pero puede determinarse con facilidad mediante el cálculo de sus componentes hori!ontal y vertical, respectivamente. :onsidere las fuer!as sobre la porción curvada GO mostrada en la figura *.+@a. 1obre cada elemento de superficie dA, se puede calcular la magnitud, la dirección al elemento0, y la locali!ación de normal la fuer!a de presión por medio de los principios anteriores, y estas conducirán a la distribución de presión indicada, que se puede reducir a una "nica fuer!a resultante F R , de componentes, FH y
FV
, seg"n se muestra en la figura
*.+@b.
203
El análisis del cuerpo de fluido GO: mostrado en la figura *.+>, permite el cálculo de las componentes de la fuer!a resultante ejercida por la superficie GO, '
FH
y
'
FV
, sobre el fluido, y
posteriormente las respetivas e iguales y FV , opuestas F H y
Fi*ura 3.1: . 5+lculo de las componente s de la fuerza *idrost+tica sobre una superficie curva 3el diagrama de cuerpo libre estático se tiene,
Estática de Fluidos
Física General II
∑ F =F x
BC
Optaciano L. Vásquez García
− F 'H = 0 ⇒
❑ ' H
F = F BC *.A>0
∑ F =F y
' V
− F AC−W ABC= 0 ⇒
❑
FV' = F AC+ W ABC *.A?0 3e la incapacidad del cuerpo libre de fluido de soportar esfuer!os cortantes se '
FH
desprende que con
F BC
colineal
y que con
la
debe ser colineal '
FV
debe ser
resultante
de . El análisis anterior reduce el problema a cálculo de la magnitud y de la locali!ación F BC , F AC y W ABC . $ara de
F AC y W ABC
F AC se usa los determinar F BC y m#todos usados para determinar fuer!as sobre placas planas sumergidas, en tanto W ABC es el peso del cuerpo libre que del fluido y act"a necesariamente sobre su centro de gravedad. La fuer!a resultante sobre un área como la descrita, se puede obtener por la aplicación de los m#todos de la sección anterior. 1e encontrará que la componente hori!ontal F H pasa por el centroide de la proyección vertical el área, y que la componente vertical pasará a trav#s del centroide de la proyección hori!ontal del área. E)iste otra t#cnica mediante la cual los ingenieros obtienen las componentes de las fuer!as resultantes producidas por distribuciones de presión sobre superficies curvas. El m#todo puede aprenderse utili!ando a figura *.+?, la presión puede variar de cualquier manera desde pA en A
; pero de hasta p; en la presión sobre cualquier elemento área dA , es perpendicular a dA. La fuer!a diferencial sobre dA es pdA , y el ángulo U define la pendiente de dA con relación al conjunto de ejes x e y.
203
Fi*ura13.;.
! eterminación
de la componente *orizontal de la fuerza *idrost+tica.
La componente *orizontal de esta fuer!a paralela al eje ), es
dF H = dFsenθ= pdAsenθ *.A80 La fuer!a resultante hori!ontal sobre la superficie se obtiene integrando la ecuación anterior, esto es
∫
∫ pdAsenθ
F H = d F x=
*.@60
3e la figura puede observarse que la proyección de dG sobre el plano perpendicular a ) es senθdA . El elemento de fuer!a sobre el área proyectada es pdAsenθ que tiene tambi#n la dirección del eje ). proyectando cada elemento sobre un plano perpendicular a ) es equivalente a proyectar toda la superficie como u todo sobre el plan. 3e aquí que%
La componente *orizontal de la fuerza debida a las presiones sobre una superficie curva es igual a la fuerza debía a las presiones &ue se ejercería sobre la pro'ección de la superficie curva. "l plano vertical de pro'ección es normal a la dirección de la componente.
Estática de Fluidos
Física General II
Optaciano L. Vásquez García
∫ pd A =∫ γhd A
Oajo estas consideraciones la ecuación A80 se escribe
FV =
xy
xy
*.@@0
∫ pd A =∫ γzd A = γ∫ zd A
F H=
yz
yz
*.@+0 eniendo
en
cuenta
que
∫
zd A yz e,
la
ecuación @60 se escribe
F H = γ z CG A yz , proy *.@40 $ara encontrar la línea de acción de la componente hori!ontal de la fuer!a que act"a sobre la superficie curva, se usa el teorema de momentos, eso es
z C F H =∫ γ z d A yz 2
zC=
1
FH
∫γz
2
$ero hd A xy es el volumen de fluido situado verticalmente por encima del elemento de área, entonces
FV =γ ∫ dV = γV
1
z CG= A z
yz
*.@>0 $or lo tanto% La componente vertical debida a las presiones sobre una superficie curva es igual al peso del fluido situado verticalmente por encima de la superficie curva ' e6tendida *asta la superficie libre. La línea de acción de la componente vertical se determina igualando los momentos de las componentes diferencias verticales, respecto a un eje convenientemente elegido, con el momento de la fuer!a resultante respecto al mismo eje, esto es
xC F V = γ
d A yz
∫ xdV *.@?0
*.@*0 3onde
x C , es la distancia desde el eje y
FV , al a la línea de acción de rempla!ar la ecuación @@0 en la ecuación @>0, resulta
La componente "ertica# de la fuer!a, paralela al eje !, es
dF V = dFcosθ= pdAcosθ *.@B0 1umando las componentes seg"n el eje ! de las fuer!as sobre a superficie curva se obtiene
∫
∫ pdAcosθ
FV = d F V =
*.@A0 3e la figura *.+8, se observa que la proyección de dA sobre el plano perpendicular a z es cosθdA , con lo que la ec. @B0 se escribe
203
xC=
1
V
∫ xdV *.@80
Es decir la fuer!a vertical pasa por el centroide del volumen de fluido real imaginario que se e)tiende por encima de la superficie curva hasta la superficie libre real o imaginaria.
Estática de Fluidos
Física General II
Fi*ura 3.1?.
3.3
eterminación de componente vertical de fuerza *idrost+tica
la la
AO%"&-EB +E8P$CE % FLO-"'IO&. 3.3.1
Flotaci)n. :uando un cuerpo se encuentra total o parcialmente sumergido en un fluido e)perimenta una fuer!a ascendente que act"a sobre #l llamada fuerza de empuje o flotación . La causa de esta fuer!a es la diferencia de presiones e)istentes sobre las superficies superior e inferior. Las leyes de boyante! o empuje se enuncian% +X
4X
Optaciano L. Vásquez García
(n cuerpo sumergido en un fluido e)perimenta una fuer!a de flotación empuje0 verticalmente hacia arriba igual al peso de fluido que desaloja. (n cuerpo que flota despla!a un volumen de fluid equivalente a su propio peso.
$ara demostrar la primera de #stas leyes consideremos un cuerpo totalmente sumergido en un fluido como se muestra en la Nigura *.46.
Fi*ura 3.20 . 5uerpo cerrado, sumergido completamente en un fluido La superficie de cuerpo se ha dividido en dos partes una superior G(O y la inferior G9O, mediante una curva, dibujada en línea de tra!os.
'
d F B = d F V −d F V '
d F B = p dA − pdA d F B =( p0 + γ h2 ) dA −( p0 + γ h1 ) dA d F B = γ ( h2− h1 ) dA
d F B =γhdA *.>60 eniendo en cuenta que hdA = dV , es el volumen del elemento diferencial, se tiene
203
Estática de Fluidos
Física General II
d F B = γdV
(n análisis similar probará que para un cuerpo que flota, tal como se muestra en la figura *.4+, la fuer!a de flotación viene e)presada en la forma
Gl integrar la ecuación anterior resulta
∫
Optaciano L. Vásquez García
∫
FV = d F V = γdV
FV =γ V deslzdo *.>*0
FV = γ V
Gl evaluar el equilibrio estático del *.>+0
3onde , es el peso específico del líquido considerado en este caso constante y Y es el volumen del cuerpo sumergido. $ara encontrar la línea de acción de la fuer!a de flotación se toma momentos de la fuer!a diferencial alrededor de un eje conveniente y se iguala al momento de la resultante con respecto al mismo eje, esto es
cuerpo se observa que el peso Z, debe ser igual a la fuer!a de flotación o empuje FV , por tan to. =n cuerpo que f#ota desp#aza un "o#umen de f#uido equi"a#ente a su propio peso . Eso es
W=γ V ! 3onde%
γ
*.>B0 ,es el peso específico del
fluido desalojado y V ! el volumen sumergido volumen GO:30.
y C F V =∫ γydV Gl rempla!ar la ecuación *.>+0 en la ecuación anterior resulta
y C=
1
V
∫ ydV *.>40
En esta ecuación y C , es la distancia del eje a la línea de acción de la fuer!a de flotación, que en este caso es la distancia del eje al centroide del volumenH por tanto.
La línea de acción de la fuerza de flotación pasa a trav-s del centroide del volumen de fluido desplazado. Esto es válido tanto como para cuerpos sumergidos así como para cuerpos que flotan en fluidos. Gl centroide se le da el nombre de centro de flotación. Esta información acerca de la magnitud la línea de acción de las fuer!as de flotación se conoce como primer principio de flotación de Grquímedes, ya que fue #l quien lo descubrió en el a2o 446 antes de :risto.
203
5uerpo sum ergido Fi*. 21. parcialmente en un fluido lí&uido $or otro lado, cuando el cuerpo flota en la superficie de separación de dos fluidos inmiscibles como se muestra e la figura *.44, la fuer!a de flotación sobre un prisma vertical de sección recta dA, es
Estática de Fluidos
Física General II
3.3.2
d F B =( p2− p1 ) dA d F B =[ ( γ 1 H + γ 2 h2 ) −γ 1 ( H −h1 ) ] dA d F B =( γ 2 h2 + γ 1 h1 ) *.>A0
3onde γ 2 y γ 1 son los pesos específicos de los fluidos denso y menos denso respectivamente. Gl integrar la ecuación anterior resulta
F B= γ 2
∫ h dA + γ ∫ h dA 2
1
1
F B= γ 2 V 2 + γ 1 V 1 *.>@0
Optaciano L. Vásquez García
Estailidad de cuerpos su,er*idos La estabilidad puede demostrarse evaluando la estabilidad vertical de un cuerpo flotante. 1i el cuerpo se eleva una distancia peque2a, la fuer!a de flotación disminuye y el peso del cuerpo regresa a #ste "ltimo a su posición original. $or otro lado, si un cuerpo flotante se hunde un poco, la fuer!a de flotación aumenta y regresa al cuerpo a su posición srcinal. Esto indica que un cuerpo flotante tiene estabilidad vertical porque una desviación peque2a respecto a su posición de equilibrio da lugar a una fuer!a de restauración :onsideremos ahora la estabilidad rotacional de un cuerpo sumergido mostrado en la figura *.4* en la parte a0 el centro de gravedad = del cuerpo está arriba del centro de flotación : del volumen despla!ado, y una rotación angular peque2a produce un momento que continuará impulsando la rotaciónH por tanto, el cuerpo es inestable y se vuelca. 1i el centro de gravedad está por debajo del centro de flotación como en la parte c0 una rotación angular peque2a produce momento restaurador y el cuerpo enun este caso es estable. En la parte b0 se observa la estabilidad neutral en el que el centro de gravedad coincide con el centro de flotación. Esta situación se observa en aquellos casos en donde la densidad es constante en todos los puntos del cuerpo sumergido.
Fi*ura 3.2 2. 5uerpo flotando en la interface de dos lí&uidos inmiscibles $ara ubicar la fuer!a de flotación se toma momentos respecto a un eje convenientemente elegido esto es
y C F V =γ 1
∫y
1
d V 1 +γ 2
∫y
2
dV 2 Fi*ura 3.23 "stabilidad de un cuerpo sumergido0 (a) inestable1 (b) neutral1 (c) estable
γ 1 y C 1 V 1+ γ 2 y C 2 V 2 yC= γ 2 V 2+ γ 1 V 1 *.>>0
Ghora se considera la estabilidad rotacional del cuerpo flotante. 1i el centro
203
Física General II
Estática de Fluidos
de gravedad está por debajo del centro de flotación, el cuerpo es siempre estable ver figura *.4*c. 1in embargo, e)iste algunas situaciones en el cual el cuerpo puede ser estable si = está por encima de : esta situación se muestra en la figura *.4Ba. :uando el cuerpo gira, el centro de flotación del volumen de fluido despla!ado se mueve a un nuevo punto :K, que se muestra en la figura *.4Bb. 1i el centro de flotación se despla!a lo suficiente, surge un momento restaurador y el cuerpo es estable. Esto lo determina la altura metac-ntrica >8 definida como la distancia desde = hasta el punto de intersección de la fuer!a de flotación antes de la rotación con la fuer!a de flotación despu#s de la rotación. 1i >8 es positiva como se muestra, el cuerpo es estableH si =9 es negativa 9 está debajo de =0 el cuerpo es inestable.
Optaciano L. Vásquez García flotación del volumen compuesto, tomamos momentos como sigue
xV
= x 6V6 + x+V+ − x 4V4 *.>?0
3onde Y6 es el volumen original por debajo de la línea de flotación, Y + es el área 3[E multipl icada por su longitud y Y4 es el área G[O multiplicada por la longitud. 1e supone que la sección transversal es uniforme de modo que la longitud # es constante. La cantidad x´ 0 es la coordenada ) del centro de flotación, es cero. La mejor manera de representar los dos t#rminos restantes es con integrales, esto es
= ∫ xdV − ∫ xdV
xV
V+
V4
*.>80
dV =x tan dA α es el dV = − x tandA α es el volumen + y volumen 4, donde dA = #dx . Entonces la Entonces
ecuación *.>80 se escribe 4
α
xV xV
= tan A∫ x = tan α ? 6 +
4
α
dA + tan
∫
A4
/*.?60
3onde ; 6 es el momento de inercia del área de línea de flotación alrededor de un eje que pasa por el srcen [. El área de línea de flotac ión sería la longitud GE multiplicada por la longitud # del cuerpo si # es constante. 3e la figura puede observarse además que se puede escribir
x
= 28 tan α ,
Fi*ura 3.25 "stabilidad de un cuerpo flotante0 (a) posición de e&uilibrio1 (b) posición girada.
28 Y = ? 6
$ara determinar una relación cuantitativa de =9 utilicemos la figura *.4A. $ara esto determinemos la coordenada x del centro de flotación del fluido despla!ado x´ . Esto puede hacerse considerando que el volumen es igual a la suma del volumen de fluido srcinal más el volumen de la cu2a cuya área transversal es 3[E, menos la sección en forma de cu2a restada que tiene área de sección transversal G[O. $ara ubicar el centro de
203
*.?+0 Ninalmente se obtiene
>8
=
4
α
x dA = tan
?6 −2> V >.?40
3e la ecuación anterior si =9 es positiva es cuerpo es estable. 3ebe indicarse
∫
A
x dA
Física General II
Estática de Fluidos
Optaciano L. Vásquez García
además que aunque la deducción fue reali!ada para un cuerpo de sección uniforme los resultados son válidos para cualquier cuerpo en general.
Fi*ura 3.26 Sección transversal uniforme de un cuerpo flotante 3.5
-"#L"'IO& % O- "'ID& !E 8"# "# L$I!"# Fi*ura 3.27. Variación de la presión 3.5.1 Liquido ao aceleraci)n
con la profundidad en un fluido con movimiento acelerad *orizontalmente. 3ebido a que el movimiento es como un sólido, los esfuer!os cortantes se desprecian, entonces la segunda ley de &e'ton en dirección vertical nos da
∑ F y =" y d F 2− d F 1−dW =" ( 0 ) p2 dA− p 1 dA = ρgdV
( p + p ) dA − p 0
0
dA = ρghdA
p= ρgh *.?*0 La ecuación anterior establece que la variación de la presión en dirección vertical es la misma que la de un fluido en reposo relativo.$ara determinar la variación de presión en la dirección hori!ontal, se considera el 3:L en la posición hori!ontal tal como se muestra en la figura *.4@, y se aplica la segunda ley de &e'ton, esto es
203
Estática de Fluidos
Física General II
∑ F =" x
Optaciano L. Vásquez García
$gθ =
x
h1 − h 2 x = # g *.?A0
d F 1− d F 2=( d") x
La ecuación *.?A0 indica que cuando el fluido es sometido a una aceleración constante, la superficie libre del fluido es un plano inclinado de pendiente constante y dependiente de la aceleración.
( p + γ h ) dA −( p + γ h ) dA= ρdV ( 0
1
0
2
ρg ( h1− h2 ) dA = ρg#dA ( x) h1−h2 x = # g *.?B0
Fi*ura 3.2:. Variación de la presión en
3e la figura se observa además que
h −h ( 1 2) #
dirección *orizontal en un fluido sometido a aceleración constante
es la pendiente de la
superficie libre, esto es
3.5.2
203