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CAPÍTULO 9
ESPACIOS AFINES Y AFINIDADES
§ 9.1 INTRODUCCIÓN Hasta el momento hemos podido “hacer geometría” a partir del álgebra lineal al precio de resignar algunas cosas. Es por ejemplo evidente que existe cierta desprolijidad en el tratamiento 2
3
de puntos y vectores en y . Además hemos tenido que restringir nuestro estudio de isometrías y semejanzas a aquellas que dejan fijo al origen de coordenadas. Para solucionar esto introduciremos introduciremos el e l concepto de espacio afín. a fín. 3
La idea es considerar por separado puntos y vectores. Es decir, pensaremos como conjunto de 3
puntos y por otra parte pensaremos como espacio vectorial vecto rial real. ¿Cómo relacionaremos los puntos con los vectores? En el capítulo 3, definimos vectores como clases de equivalencia de segmentos orientados de
y allí observamos que las coordenadas del vector AB
son
x B x A , y B y A .
3
Dicho
informalmente “obtengo el vector AB restando los puntos B y A”. Podemos pensar entonces que
si al punto A le sumo el vector AB obtengo el punto B. Formalicemos estas ideas.
Definición Sea E un conjunto no vacío y V un espacio vectorial real de dimensión finita. Decimos que E es un espacio afín asociado a V si existe una función : E V E tal que si notamos A v al correspondiente del par A, v tenemos:
1) A u v A u v , A E , u , v V . 2) Para todo A, B E , existe un único v V tal que A v B . Llamaremos puntos Llamaremos puntos a los elementos del conjunto E y si A v B , escribiremos v B A . Diremos que la dimensión la dimensión de E es la dimensión de V .
Observación Pensando en términos geométricos en podríamos decir que la suma A v consiste en aplicarle al punto A una traslación de vector v. Desde este punto de vista la igualdad 3
1) de la definición nos dice que Tv Tu Tu v donde hemos notado con Tv a la traslación de vector v. Cuando definimos espacio afín elegimos las propiedades 1) y 2) para caracterizar este concepto. Naturalmente no son éstas las únicas propiedades que verifican los espacios afines. Veamos algunas otras.
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Propiedades 1) A A , A E . 2) B A C B C A , A, B, C E . 3) A B B A , A, B E . 4) B A v B v A B A v , A, B E , v V . 5) B A C D sii B C A D .
Dem: 1) Como A E , por la propiedad 2) de la definición existe un único vector v tal que A v
A v A como queríamos. A . Entonces A A v A v A
Dejamos la demostración de las demás propiedades a cargo del lector así como su interpretación geométrica.♣
Ejemplo Sea E
n
y V n . Si A a1 , , an es un punto y v x1 , , xn es un vector,
definimos A v como el punto de coordenadas a1 x1 , , an xn , es decir la “suma usual” en
n . Es claro que n es un espacio afín asociado al espacio vectorial n .
Si consideramos la recta que pasa por A A y tiene vector director v obtenemos los puntos de d e la forma A v ,
A v
es decir los puntos que se obtienen sumándole a A los A
vectores de L v .
v
Generalizamos esta idea en la siguiente definición.
Definición Sea E un espacio afín asociado a V y S E , S . Decimos que S es una variedad lineal si existe un subespacio S V de V tal que S es un espacio afín asociado a S V con la suma restringida a S S V . Decimos en este caso que S tiene direcc tiene dirección ión S V .
Observación Se sigue inmediatamente de la definición que para todo A de S y todo u de S V , A u es un punto de S .
152
153 Además dado un punto A en S , podemos escribir S X E : X A v con v SV y SV
v V : v X A con X S .
Recíprocamente, dado un subespacio S V de V , el conjunto S X E : X A v con v SV es una variedad lineal con dirección a S V .
Ejemplo Sea E , V 2 , A 1, 2 y SV L 1,1 . Hallemos la variedad S que pasa 2
por A A en la dirección de S V . Sabemos que S X : X A v con v SV . Pero S V , : . Entonces 2
S
X 2 : X 1 , 2 con x , y 2 : x 1 , y 2 con .
x 1 En resumen S es la recta cuyas ecuaciones paramétricas son . y 2 Siguiendo estas líneas de razonamiento, este contexto teórico podríamos desarrollar toda la 2
3
geometría analítica de y . A partir de este ejemplo es natural que demos una definición de recta en un espacio afín.
Definición Sea E un espacio afín de dimensión n. Llamamos recta a una variedad lineal de dimensión 1, llamamos plano llamamos plano a una variedad lineal de dimensión 2 y llamamos hiperpl llamamos hiperplano ano a una variedad lineal de dimensión n 1 .
Ejercicio Verificar que si E y V 3 , una variedad de dimensión 2 es efectivamente un plano lo que hace que la definición precedente sea un generalización natural. 3
Nota Si consideramos E (o E ) y V 3 (o V 2 ), podemos reconstruir toda la geometría euclidiana. Esto significa que si ignoramos por completo los conocimientos adquiridos 3
2
3
en el curso de geometría de primer año, podemos definir el espacio como , las rectas como las variedades lineales de dimensión uno y los planos como las variedades lineales de dimensión 2. No es difícil comprobar que con estas definiciones definiciones se verifican las propiedades básicas de la geometría euclidiana que en los textos de geometría clásicos reciben el nombre de axiomas de incidencia. A modo de muestra veamos que se cumplen el axioma según el cual dos puntos determinan una recta. Lo haremos en el contexto más general en el que estanos trabajando, es decir en un espacio espac io afín.
153
154
Proposición Sea E un espacio afín asociado a V y sean A y B dos puntos de E . Entonces existe una única recta que contiene a A y B.
Dem: Sabemos que existe un único vector u tal que A u B . Consideremos SV L u y S
X E : X A v con v SV . De acuerdo a la observación que sigue a la definición de
variedad lineal, se tiene que S es una varie riedad dad lineal y como omo dim S V 1, S es una recta. Es claro que A, B S (basta tomar v y v u ). Veamos ahora la unicidad. Si existe una recta S a la cual pertenecen A y B, existe entonces un subespacio S V de V , tal que S X
E : X A v con v SV y SV v V : v X A con X S . Tomando X B ,
tenemos que u S V y como S es una recta, di dim S V 1. Por lo tanto SV L u SV y de aquí que S X E : X A v con v SV S . Concluimos la unicidad como queríamos.♣ Veamos ahora como introducir el concepto de paralelismo en espacios afines.
Definición Sea E un espacio afín asociado a V y sean S y S dos variedades lineales con direcciones S V y S V respectivamente. las si SV S V o SV S V . Decimos que S y S son parale son paralelas Obsérvese que SV S V sii S y S son variedades lineales paralelas con igual dimensión.
Ejercicio Probar que el paralelismo entre variedades lineales de la misma dimensión es una relación de equivalencia.
Proposición Sea E un espacio afín, S una variedad lineal de dimensión n y A E . Entonces existe y es única la variedad lineal S' de dimensión n que pasa por A A y es paralela a S.
Dem: Comencemos por la existencia. Notamos por S V a la dirección de S . Ahora consideramos S X
E : X A v con v SV . Dejamos a cargo del lector probar que S' es la variedad
lineal buscada.
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155 Vamos ahora por la unicidad. Suponemos que existe una variedad lineal S de dimensión n que pasa por A A y es paralela a S . Probemos que S S . Ya que ambas variedades lineales son paralelas a S y tienen la misma dimensión que S podemos podemos afirmar que son paralelas entre sí y al tener la misma dimensión, ambas tienen dirección S V . Por otra parte X S , X A v S V porque S V es la dirección de S y por tanto X A v , con v S V . Entonces X S . Recíprocamente X S , existe v S V tal que X A v . Teniendo en cuenta que A S y que S V es la dirección de S se tiene X S . En consecuencia S S .♣
Observación En el caso particular de que n 1 el teorema anterior es la proposición conocida como axioma de Euclides. Tengamos en cuenta que en este marco teórico dejó de ser un axioma pasando a ser un teorema.
Ejercicio En un espacio afín E de dimensión n asociado al espacio vectorial V consideramos un punto A y los planos y que pasan por dicho punto y tienen direcciones S L u , v y T
L w, t .
1) Si n 3 y u, v , w, t es un conjunto LI, probar que A (es decir que existen dos planos con un único punto en común). 2) Si n 3 , demostrar que y tienen al menos una recta en común.
§9.2 ESPACIOS EUCLIDIANOS Para poder desarrollar la geometría euclidiana tal cual la conocemos necesitamos introducir la 3
noción de distancia. En el capítulo 3 vimos que la distancia entre dos puntos A y B de es la
norma del vector AB . Por lo tanto necesitamos una norma en nuestro espacio vectorial V . Consideraremos entonces aquellos espacios afines asociados a espacios vectoriales con producto interno.
Definición Sea E un espacio afín asociado a un espacio vectorial V . Decimos que E es un espacio euclidiano si V es un espacio vectorial euclidiano.
155
156
Definición Sea E un espacio euclidiano asociado a V y sean A y B dos puntos de E . ia entre A y B al número real B A y lo notaremos d A, B . Llamamos distanc Llamamos distancia
Observación La función d : E E definida por d A, B B A cumple las siguientes propiedades:
1) d X , Y 0 , X , Y E y d X , Y 0 sii X Y . 2) d X , Y d Y , X , X , Y E . 3) d X , Z d X , Y d Y , Z , X , Y , Z E . En otras palabras la función distancia que definimos en estos espacios euclidianos cumple las mismas propiedades que en la geometría euclidiana clásica. Su verificación es sencilla. La noción de perpendicularidad de la geometría euclidiana clásica también puede generalizarse a espacios afines. Haremos un breve esbozo de esto dejando los detalles técnicos a cargo del lector.
Definición Sea E un espacio euclidiano asociado a V y sean S y S dos variedades lineales con direcciones S V y S V respectivamente. Decimos que S es ortogona es ortogonal l aa S si SV S V o SV S V . icular a S si S es ortogonal a S y S S . Decimos que S es perpend es perpendicular Se desprende de la definición que la relación de ortogonalidad es simétrica. Dejamos a cargo del lector verificar que estas definiciones incluyen los casos de rectas ortogonales, rectas perpendiculares y recta perpendicular a un plano de la geometría euclidiana. Veamos el siguiente resultado con el que finalizamos la sección.
Proposición Sean E un espacio euclidiano de dimensión n asociado a V , S una variedad lineal de dimensión p y A S . Entonces existe una única variedad lineal T tal que T es ortogonal a S y A T y dim T n p . Dejamos que el lector intente escribir la demostración o en su defecto la busque.
156
157
§9.3 TRANSFORMACIONES AFINES Tal como dijimos en la introducción, uno de los objetivos de este capítulo es abordar el estudio de las isometrías y semejanzas sin restringirnos a aquellas que dejan fijo el origen. Para ello necesitamos introducir nociones similares a las de isometría vectorial y semejanza vectorial en el contexto de espacios afines. Comencemos por introducir el concepto de transformación afín que jugará un rol similar al que jugaba el de transformación lineal en espacios vectoriales. Primeramente observemos lo siguiente.
Observación Se considera el espacio afín a fín E asociado a V n . Sea T : n n n
una transformación lineal y A, B y C tres puntos alineados de . Como E V , podemos pensar n
a T como una función en el espacio afín , por tanto notando u OA , v OB , y w OC , n
podemos identificar T u con OT A , T v con OT B y T w con OT C .
Como A, B y C están alineados, se tiene que existe un real tal que AC AB . Entonces:
OC OA OB OA
w u v u
y como T es transformación lineal, se tiene
T w u T v u T w T u T v T u . Con la identificación mencionada
tenemos OT C OT A OT B OT A y por ende T A T C .T A T B . Esto significa que T A , T B y T C están alineados.
y
C B
T(C) T(B)
A w
T(A)
v u
T(w) T(v)
T(u)
x
O
157
158 En resumen hemos probado que si A, B y C están alineados entonces T A , T B y T C están
alineados y que si AC AB , entonces T A T C T A T B . Utilizando la notación u
B A si A u B , podemos reescribir esto de la siguiente forma: si C A B A ,
entonces T C T A T B T A . Elegiremos esta propiedad para definir a las que llamaremos transformaciones afines y por conveniencia lo haremos sólo para E . n
Definición Sea f : n n una función. Decimos que f es una transformación transformación afín (o más brevemente una afinidad una afinidad ) si para toda terna de puntos A, B y C tales que C A B A se tiene f C f A f B f A .
Nota Se desprende inmediatamente de la definición que las afinidades llevan puntos alineados en puntos alineados. Además, de la observación previa a la definición se deduce que las transformaciones lineales son afinidades. También es sencillo probar que la composición de dos afinidades es una afinidad, que la función identidad de
n
en
n
es una afinidad y que si f es una afinidad biyectiva, entonces f 1
también es una afinidad. Es de esperar que la familia de las transformaciones afines contenga otras funciones además de las transformaciones lineales. Si esperamos que las afinidades nos ayuden a estudiar todas las 2
isometrías del plano euclidiano ( ) sería razonable pensar que dichas isometrías son afinidades. Sabemos que las isometrías que dejan fijo al origen son transformaciones lineales y por tanto son afinidades. Intentemos incluir a las isometrías del plano que no dejan fijo al origen. Comencemos investigando que sucede con las traslaciones. Para ser coherentes con la definición anterior lo n
haremos en . Dado que aún no hemos definido la traslación en este contexto lo haremos a continuación. El lector podrá convencerse sin dificultad que la definición que sigue es natural.
Definición Sea v un vector de . Llamamos traslación de vector v a la función T : n n , n
v
definida por T X X v . v
Proposición Las traslaciones son transformaciones afines.
158
159
Dem: n Sea v0 un vector de y T : n n la traslación de vector v0 .
v0
Si A, B T
v0
y
C son
tres
puntos
n
de
tales
C Tv A B A C v0 A B A
v0
que
C
A B A , entonces
A v0 B A (*).
vector v0 puede ser escrito de dos formas distintas como v0 B v0 B v0
v0
el
y como
A v0 A . Igualando y aplicando la propiedad 5) enunciada en la sección 9.1 tenemos
B A B v0 A v0 . T
Pero
0
Sustituyendo
en
la
igualdad
(*)
se
obtiene:
C A v0 B v0 A v0 Tv C Tv A Tv B Tv A . 0
0
0
0
Esto prueba que es T es una afinidad como queríamos.♣ v0
Corolario Sea v0 un vector de y T : n n una transformación lineal. n
Entonces T T es una afinidad. v0
Dem: T y T son afinidades y la composición de dos afinidades es una afinidad. ♣ v0
Tenemos una familia interesante de afinidades, a saber las que son composición de una transformación lineal y una traslación. El teorema siguiente nos mostrará que en realidad éstas son todas las afinidades que existen.
Teorema Sea f : n n una transformación afín. Entonces existe una transformación lineal T : n n y existe un vector v0 de tales que f T T . Además T y v0 son únicos. n
v0
Dem: Existencia Debemos encontrar una transformación lineal T y un vector v0 que verifiquen f
T T . Si se cumpliera esta igualdad y aplicáramos f al punto O 0, , 0 , tendríamos v 0
f O T T O T T O . Ahora bien el O 0, , 0 pensado como vector, es el vector nulo v0
v0
y como T es transformación lineal se tendría que el vector nulo es fijo por T . En esta notación, T O O . y sustituyendo se obtiene f O T T O T O O v0 v0
159
v0
v0 , donde en la
160 última igualdad hemos pensado nuevamente al punto O como y luego a v0 como un punto. Este tipo de identificación identificación de puntos y vectores es usual en este contexto y de aquí en más no haremos este tipo de aclaraciones y utilizaremos libremente la notación. A esta altura esperamos que sea claro para el lector que todo esto es formalmente correcto e incluso que funciona bien para manipulaciones algebraicas trabajando a nivel de coordenadas. Tenemos entonces que si existe un vector v0 en las condiciones pedidas, v0 debe ser f O y por 1
tanto T debe ser T f . El lector verificará sin inconvenientes que T v0
1
v0
T v0
.
Luego de estas reflexiones previas estamos en condiciones de iniciar la demostración formal del teorema.
1
Sean v0 f 0 y T T f . Probemos que T es una transformación lineal. v0
Observemos previamente que para todo X , T X f X f O . n
1
En efecto T X T f X T f X T v0
v0
X
Si
n
y
,
v0
f X f X v
0
f X f O .
T X f X f O f O X
O f O
f O f X f O f O f X f O . Entonces T X f X f O
y como f X f O f X v0 T
1
v0
f X
T f X T X , se concluye que T X .T X (1). 1
v0
También podemos reescribir la igualdad f X f O f X f O obtenida arriba como f X f X 1 f O (2) lo que nos será de utilidad. Probemos ahora que si X ,Y n , T X Y T X T Y . Por cierto, tenemos que T X Y f X Y f O f X Y f Y f Y f O
f X Y f Y T Y . Basta probar que f X Y f Y T X . Veamos: f X f
X
Y X 2 12 .Y X
y
f
es
una
transformación
afín
Y f X 2 f 12 .Y f X . Además por (2), f 12 .Y 12 f Y 12 f O y
X f 1 . X f X 2 f O .
f X
como
Sustituyendo
se
tiene
que
Y f X 2 f O 2 12 f Y 12 f O f X 2 f O f X 2 f O
f Y f O 2 f X 4 f O f X Y f X f Y f O . Entonces f X Y f Y f X f O T X como queríamos. Concluimos que T X Y T X T Y y por (1), T es una transformación lineal.
160
161 1
Finalmente T T f f T T y la prueba de la existencia está completa. v0
v0
Unicidad Sean v0 , v1 n y T 0 y T 1 transformaciones lineales tales que f T T0 T T 1 . v0
v1
Entonces f O T T0 O T T1 O T T0 O T T1 O O v0 O v1 v0 v1 v0 v O 1 O
v0 v1 , y de aquí que T T0 T T 1 . y componiendo con T v0
1
v0
v0
se obtiene T0 T 1 .♣
Corolario Sea f : n n una afinidad. Si f O O , entonces f es una transformación lineal.
Dem: Hemos f X
probado
en
la
demostración
del
teorema
que
si f es
una
afinidad,
Y f X f Y f O y f X f O f X f O . Como f O O , se
tiene f X Y f X f Y y f X f X .♣
§9.4 ISOMETRÍAS AFINES Nos dedicarem ded icaremos os ahora a estudiar las iso metrías y semejanzas (que no hemos definido aún) en el 2
n
3
espacio afín . Nos interesan particularmente y . Dado que en este contexto tenemos definida la distancia es razonable definir las isometrías como lo hacemos habitualmente en los cursos de geometría.
Definición Sea f : n n una transformación afín. Decimos que f es una isometría afín (o isométrica) si para todo par de puntos A y B de también una afinidad isométrica)
n
se tiene
d f A , f B d A, B . 2
3
Si pretendemos que los espacios afines y sean el contexto adecuado para estudiar las isometrías que conocemos de la geometría clásica es lógico que probemos que las isometrías afines gozan de las mismas propiedades que éstas.
161
162 Es inmediato que la composición de dos isometrías afines es una isometría afín y también que las isometrías vectoriales son isometrías afines porque son transformaciones lineales (y por ende afinidades) y además conservan distancias. Veamos además que las traslaciones son isometrías afines y algunas consecuencias de esto.
Observaciones n
n
1) Sea un v0 vector de y A, B dos puntos de . Probemos que la traslación de vector v0 es una isometría afín. Sabemos que las traslaciones son afinidades por lo que basta probar que conserva distancias.
Entonces d T A , T B d A v0 , B v0 v v 0
0
B v0 A v0
B A
d A, B lo que
prueba que las traslaciones son isometrías afines. 2) Dado que las isometrías vectoriales y las traslaciones son isometrías afines, podemos asegurar que si T : n n es una isometría vectorial y v0 es un vector de , entonces T T es una n
v0
isometría afín. El lector seguramente debe sospechar ya que el recíproco de esta afirmación también es cierto. Lo probaremos pro baremos en la siguiente proposición.
Proposición Toda isometría afín se puede escribir de forma única como composición de una isometría vectorial con una traslación.
Dem: Sea f : n n una isometría afín. Por ser f f una afinidad sabemos que existe una única transformación lineal T y un único vector v0 tales que f T T . v0
Tenemos
que
1
T T f , v0
entonces
si A
y B
son
dos
puntos
de
n ,
1 1 f A , T f B d f A , f B d A, B donde hemos usado v0 v0
d T A , T B d T
que f y T
1
v0
son isometrías afines.
Hemos probado que T conserva distancias y sabemos del capítulo 8 que una transformación lineal que conserva distancias es una isometría vectorial, lo que concluye la prueba.♣
Ejercicios 1) Mostrar que toda isometría afín es una u na función biyectiva. n
2) Probar que las isometrías afines de forman grupo con la composición. 3) Si f : n n es una isometría afín y f O O entonces f es una isometría vectorial. 162
163
§9.5 SEMEJANZAS AFINES Es momento de enfocar nuestra atención hacia las semejanzas. Comencemos por las homotecias. Si A es un punto de , es un real distinto de 0 y X es el correspondiente de X en la 2
homotecia de centro A y razón , entonces AX AX . Escribiendo esto con la notación de espacios afines se tiene X A X A , o lo que es lo mismo X A X A . Usaremos esto como definición definición de homotecia. Como definición de semejanza usaremos la que se utiliza usualmente en los cursos de geometría.
Definición Sean A y , 0 . Llamamos homotecia Llamamos homotecia afín de centro A y razón , , a la n
función H A, : n n , definida por H A, X A X A .
Definición Sea f : n n una afinidad y . Decimos que f es una semejanza afín de razón , si para todo par de puntos A y B de se tiene d f A , f B . d A, B . n
Es inmediato a partir de la definición que toda isometría afín es una semejanza afín de razón 1.
Ejercicios 1) Probar que toda homotecia afín de razón es una semejanza afín de razón . 2) Probar que H A , es biyectiva y que su inversa es H A, 1 . Sabemos que en la geometría clásica las semejanzas son composición de isometrías con homotecias. No sorprenderá entonces que enunciemos la siguiente proposición.
Proposición Toda semejanza afín se puede escribir como composición de una isometría afín con una homotecia afín. En consecuencia toda semejanza afín se puede escribir como composición de una isometría vectorial, una traslación y una u na homotecia afín.
Dem: Sea f : n n una semejanza afín de razón . Tomemos un punto cualquiera A de
n
y definamos g : n n por g H A , 1 f . Entonces H A , g f . Sólo falta probar que g es una isometría afín.
163
164 En
efecto,
para
todo
par
de
puntos
d g X , g Y d H A, 1 f X , H A, 1 f Y
X
y
Y
de
n
se
tiene
que
1 d f X , f Y 1 d X ,Y d X ,Y
y por lo tanto g conserva distancias. Además g es una transformación afín por ser composición de transformaciones afines. Concluimos que g es una isometría afín y hemos probado que toda semejanza afín se puede escribir como composición de una isometría afín con una homotecia afín. Como toda isometría afín es composición de una isometría vectorial y una traslación, se deduce toda semejanza afín se puede escribir como composición de una isometría vectorial, una traslación y homotecia afín.♣
Nota En la demostración queda claro que el punto A puede elegirse arbitrariamente. Esto muestra que la descomposición descripta en el teorema no es única.
Ejercicios 1) Mostrar que toda semejanza afín es u na función biyectiva. n
2) Probar que las semejanzas afines de forman grupo con la composición.
164
