5-1
Cálculo da Perda de Carga
5 CÁLCULO DA PERDA DE CARGA 5.1 Perda de Carga Distribuída 5.1.1 5.1.1 Fórmula Universal Aplicando-se a análise dimensional ao problema do movimento de fluidos em tubulações de seção circular, encontra-se a seguinte expressão para a perda de carga, niversal: conhecida como fórmula u niversal
∆H =
f
L V 2 D
(5.1)
2g
onde: L é o comprimento do encanamento em m; V é a velocidade média do fluido em m/s; D é o diâmetro da canalização em m; f é o fator de atrito; ∆H é a perda de carga em m. A Equação 5.1 pode ser escrita também em termos de vazão Q:
∆H =
8 ⋅ f ⋅ L ⋅ Q 2 π
2
(5.2)
⋅ D5 ⋅ g
5.1.1.1 O fator de atrito f O fator fa tor de atrito atri to f, sem dimensõ dime nsões, es, é função f unção do núm número ero de Reyno Reynolds lds e da rugosi rugosidade dade relativa. A espessura ou altura k das asperezas (rugosidade) dos tubos pode ser avaliada determinando-se valores para k/D. Conforme já visto no capítulo 4, o número de Reynolds qualifica o regime de escoamento em laminar (Re < 2.000), turbulento (Re > 4.000) ou crítico. O regime completamente turbulento (rugoso) é atingido com valores ainda mais elevados do número de Reynolds, existindo, portanto, uma segunda zona intermediária, conhecida como zona de transição (Figura 5.1). Os valores do fator de atrito f são obtidos em função do número de Reynolds e da rugosidade relativa, tendo-se em vista o regime de escoamento. Regime laminar → f = f (Re ) Regime turbulento liso → f = f (Re ) Regime turbulento turbulento de transição entre o liso e o rugoso → f = f ( Re,
k D
)
Regime turbulento rugoso → f = f (
k D
)
Figura 5.1
5-2
Cálculo da Perda de Carga
5.1.1.2 Determinação do fator de atrito
f
Em vez de consultar o Diagrama de Moody-Rouse, como se fez tradicionalmente em Hidráulica, foi introduzido, neste curso, o método de cálculo proposto pelo Prof. Podalyro Amaral de Souza da EPUSP, o qual consiste em criar alguns adimensionais para a obtenção do fator de atrito. A definição desses adimensionais depende do tipo de problemas existentes no projeto de condutos forçados. A seguir são apresentados os problemas típicos do projeto de encanamentos encontrados na prática e a sua solução, na forma de algoritmos:
a) Problema tipo 1 – Cálculo de Q Dados: ∆ H , L, D, k , ν , g Incógnita: Q ? D
2g ⋅ D ⋅ ∆H
ν
L
1. Calcular
R
2. Se
64 → ir para o passo 8; ≤ 400 → regime laminar → f = R f
f
=
2
R
f
3. Se 400 < 4. Se
R
f
R
f
< 800 → região crítica → não se calcula o f → Fim.
> 800 → regime turbulento → calcular
R
f
D / k −2
2,51 → ir para o 2 log f = − 5. Se ≤ 14 → regime turbulento liso → D / k R f passo 8; R
f
k 2,51 R f + 6. Se 14 < < 200 → regime turbulento misto → f = − 2 log D / k 3,71D R f → ir para o passo 8; k 7. Se ≥ 200 → regime turbulento rugoso → f = − 2 log 3,71D D / k R
f
8. Calcular
Q
1 2
⋅ D ⋅ g ⋅ ∆H = π ⋅ ⋅ 8 f L 2
5
9. Fim
b) Problema tipo 2 – Cálculo de ∆ H Dados: Q, D, L, ν, k , g Incógnita: ∆H ?
−2
−2
5-3
Cálculo da Perda de Carga
1. Calcular
R
=
4Q
⋅ ⋅
π D ν
2. Se R ≤ 2.500 → regime laminar →
f =
64
→ ir para o passo 8;
R
3. Se 2.500 < R < 4.000 → região crítica → não se calcula o f → Fim. 4. Se R > 4.000 → regime turbulento → calcular
R 0 ,9 D / k
5,62 5. Se ≤ 31 → regime turbulento liso → f = − 2 log R 0,9 D / k o passo 8; R 0 ,9
−2
→ ir para −2
k + 5,62 6. Se 31 < < 448 → regime turbulento misto → f = − 2 log → 0 , 9 D / k 3,71D R ir para o passo 8; R 0,9
k 7. Se ≥ 448 → regime turbulento rugoso → f = − 2 log 3,71D D / k R 0 ,9
8. Calcular ∆H =
−2
8 ⋅ f ⋅ L ⋅ Q 2 π
2
⋅ D5 ⋅ g
9. Fim
c) Problema tipo 3 – Cálculo de D Dados: Q, ∆H , L, ν , k, g Incógnita: D ? 1. Calcular
M =
4⋅Q k ⋅ π ⋅ν
0,2
e
N =
1 128g ⋅ Q 3 ⋅ ∆H ν
π
2. Se N ≤ 1.200 → regime laminar →
3
⋅L f =
181 1, 25
N
→ ir para o passo 8;
3. Se 1.200 < N < 2.100 → região crítica → não se calcula o f → Fim. 4. Se N > 2.100 → regime turbulento → calcular
N 2 M
4,15 5. Se ≤ 17 → regime turbulento liso → f = − 2 log N 0,937 M passo 8; N 2
6. Se 17 <
N 2 M
< 236 → regime turbulento misto →
−2
→ ir para o
5-4
Cálculo da Perda de Carga
0,38N 1, 042 4,15 f = − 2 log + 0,937 M N 7. Se
N 2 M
−2
→ ir para o passo 8;
0,38 N 1,04 2 ≥ 236 → regime turbulento rugoso → f = − 2 log M
8. Calcular
1 5
8 ⋅ f ⋅ Q ⋅ L = 2 ⋅ π ⋅ ∆ g H 2
D
−2
9. Fim
EXERCÍCIOS-EXEMPLOS 5.1 Um reservatório está sendo alimentado diretamente de uma represa, conforme mostra a figura abaixo. Determine o nível d´água NA2 do reservatório, sabendo-se que o nível d´água da represa está na cota 50 m. Dados: Q = 200 l/s k = 5 mm D = 400 mm L = 750 m ν = 1,01 x 10-6 m2/s Solução: Para determinar a cota NA2, é necessário calcular inicialmente a perda de carga
∆H. Portanto, trata-se do problema tipo 2.
- Cálculo da velocidade: Q 4 × 0,2 V = = 2 = 1,59 m/s A π × (0 ,40) - Cálculo do Nº de Reynolds: V ⋅ D 1,59 × 0,4 R= = = 629.703 > 4.000 ⇒ regime turbulento ν 1,01 × 10 −6 - Cálculo do adimensional R 0 ,9
R 0, 9 D / k
629.7030,9 = = 2071 > 448 D / k (400 / 5)
:
⇒ regime turbulento rugoso
- Cálculo de f : −2
−2
k = − 2 log 5 = 0,0409 f = − 2 log D ⋅ × 3 , 71 3 , 71 400 - Cálculo da perda de carga:
5-5
Cálculo da Perda de Carga
× 750 × (0,20) = 9,90 m ∆H = 8 ⋅ 2f ⋅ L5⋅ Q = 8 × 0,0409 2 5 π ⋅D ⋅ g π × (0,40) × 9,81 NA2 = 50,00 – 9,90 = 40,10 m 2
2
5.2 Determine a vazão transportada pela adutora que liga uma represa e um reservatório, conforme mostra a figura. Dados: L = 360 m D = 0,15 m k = 0,00026 m ν = 10-6 m2/s Solução: A
incógnita é a vazão ∴ é problema do tipo 1.
- Cálculo da adimensional R
f
=
D ν
⋅
2g ⋅ ∆H ⋅ D L
=
0,15 2 × 9,81 × 9,3 × 0,15 = 41.360 > 800 −6 × 10 360
- Cálculo do adimensional R
f
D / k
41.360 = 71,7 (0,15 / 0,00026 )
=
f :
R
R
f
D / k
⇒ reg. turbulento
:
⇒ 14 < 71,7 < 200 ⇒ reg. turbulento misto
- Cálculo de f : −2
−2 k 2 , 51 0 , 00026 2 , 51 = − 2 log f = − 2 log + + = 0,0233 ⋅ × 3 , 71 3 , 71 0 , 15 41 . 360 D R f - Cálculo da vazão:
∆H = Q=
8 ⋅ f ⋅ L ⋅ Q 2 π π
2
2
⋅ D5 ⋅ g
⇒ Q=
π
2
⋅ D 5 ⋅ g ⋅ ∆H 8 ⋅ f ⋅ L
× (0,15)5 × 9,81 × 9,3 = 0,0319 m3/s ou 31,9 l/s 8 × 0,0233 × 360
EXERCÍCIOS PROPOSTOS E5.1 A tubulação que liga uma represa e um reservatório tem 1.300 m de comprimento e 600 mm de diâmetro e é executada em concreto com acabamento comum (k = 0,4 mm). Determinar a cota do nível d´água (NA1) na represa sabendo -se que a vazão transportada é de 250 l/s e que o nível d´água no reservatório inferior (NA2) está na cota 10,00 m. Desprezar as perdas localizadas e adotar νágua = 10-6 m2/s.
Cálculo da Perda de Carga
5-6
E5.2 Para a instalação da figura, determinar o valor de a, sabendo-se que a vazão é 10 l/s e que o conduto é de ferro fundido novo (k = 0,25 mm).
E5.3 O conduto da figura tem rugosidade k = 0,25 mm e o diâmetro D = 150 mm. Determinar o comprimento L do conduto, sabendo -se que está escoando uma vazão de 50 l/s. Desprezar as perdas localizadas e adotar νágua = 10 -6 m2/s.
E5.4 Determine a vazão que escoa através da tubulação que interliga dois reservatórios, conforme mostra a figura abaixo .Dados: L = 150 m k = 0,0035 mm D = 200 mm νágua = 10-6 m2/s
5.1.2 Fórmulas Práticas Embora a fórmula universal seja recomendada para o cálculo de perdas distribuídas, algumas fórmulas práticas são aceitas largamente até hoje, tendo em vista as confirmações experimentais. Dentre elas, são apresentadas as duas mais empregadas atualmente:
5-7
Cálculo da Perda de Carga
a) Fórmula de Hazen-Williams (1903) É uma fórmula que resultou de um estudo estatístico com grande número de dados experimentais e é expressa pela seguinte equação: J = 10,643
Q1,85 C 1 ,85 D 4 ,87
.
(5.3)
ou, em termos de vazão: Q
(5.4)
= 0,279 ⋅ C ⋅ D 2,63 ⋅ J 0,54
onde: Q é a vazão em m3/s; D é o diâmetro da tubulação em m; J é a perda de carga unitária em m/m; C é o coeficiente que depende da natureza
(material e estado) das paredes dos tubos. A Tabela 5.1 mostra alguns valores do coeficiente C .
A perda de carga total é dada por: ∆H
= J x L
(5.5)
onde ∆H é a perda de carga em m e L é o comprimento da tubulação em m. Esta fórmula pode ser satisfatoriamente aplicada para qualquer tipo de conduto e de material. Os seus limites de aplicação são os mais largos: diâmetro de 50 a 3.500 mm. Tabela 5.1 – Valor do coeficiente C . Tubos Aço galvanizado (novos e em uso) Cimento-amianto Concreto, bom acabamento Concreto, acabamento comum Ferro fundido, novos Ferro fundido, em uso
C
125 140 130 120 130 90
b) Fórmula de Fair-Whipple-Hsiao (1930) São fórmulas recentes, estabelecidas para os encanamentos de pequeno diâmetro (até 50 mm). Para todas as equações abaixo, Q é a vazão m3/s, D é o diâmetro em m e J é a perda de carga unitária em m/m.
• Canos de aço galvanizado conduzindo água fria. J = 0,002021
ou,
Q
Q1,88 D
4 ,88
= 27,113 ⋅ J 0,532 ⋅ D 2,596
• Canos de cobre ou latão conduzindo água fria.
(5.6) (5.7)
5-8
Cálculo da Perda de Carga J = 0,000874
ou,
Q
Q 1,75
(5.8)
D 4 , 75
= 55,934.D 2,71.J 0,57
(5.9)
• Canos de cobre ou latão conduzindo água quente. J = 0,000704
Q
Q 1,75
(5.10)
D 4, 75
= 63,281.D 2,71.J 0,57
(5.11)
Da mesma forma que a fórmula de Hazen-Williams, a perda de carga to tal é dada por: ∆H
= J x L
(5.5)
onde ∆H é a perda de carga em m e L é o comprimento da tubulação em m.
5.2 Perda de Carga Localizada Conforme visto no capítulo 4, a perda de carga localizada é devida à descontinuidade da tubulação, chamada singularidade, que pode ser peças especiais de mudança de direção (curva, cotovelo) ou alteração de velocidade (redução, alargamento, registro, etc.). De um modo geral, todas as perdas localizadas podem ser expressas sob a forma V 2 λ = K 2g
onde
(5.12)
é a perda de carga localizada; V é a velocidade de escoamento; K é o coeficiente de perda de carga localizada, obtido experimentalmente para cada caso. A Tabela 5.2 apresenta os valores aproximados de K para as peças e perdas mais comuns na prática. λ
Tabela 5.2 – Valores aproximados de K . Peça Bocais Comporta aberta Cotovelo de 90 ° Cotovelo de 45 ° Curva de 90° Curva de 45° Entrada de borda Saída de canalização Tê, passagem direta Válvula de gaveta aberta
K
2,75 1,00 0,90 0,40 0,40 0,20 1,00 1,00 0,60 0,20
5-9
Cálculo da Perda de Carga
Método dos comprimentos equivalentes (ou virtuais) O método considera que uma canalização que compreende diversas singularidades, sob o ponto de vista de perda de carga, equivale a um encanamento retilíneo de comprimento maior. Para simples efeito de cálculo, o método consiste em adicionar à extensão da canalização, comprimentos tais que correspondam à mesma perda que causariam as peças especiais existentes na canalização. A cada singularidade corresponde um certo comprimento fictício. Os valores de comprimento equivalente correspondentes a diversas peças podem ser encontrados em qualquer manual de Hidráulica. A tabela da página seguinte apresenta os comprimentos equivalentes a perdas localizadas de algumas singularidades.
EXERCÍCIOS-EXEMPLOS 5.3 Calcular o diâmetro de uma tubulação de aço usada (C=90), com 3.000 m de comprimento, que veicula uma vazão de 250 l/s com uma perda de carga de 51 m. Solução:
∆ H = 51 m; Q = 0,25 m3/s J =
∆H L
=
51 = 0,017 m/m 3.000
Q
= 0,279 ⋅ C ⋅ D 2,63 ⋅ J 0,54
D
2 , 63
D
=
Q
0,279 ⋅ C ⋅ J 0, 54 1 2 ,63
Q = 0, 54 0,279 ⋅ C ⋅ J
1 2 , 63
0,25 = 0 ,54 0,279 × 90 × 0,017
= 0,400 m
5.4 Uma canalização de ferro dúctil com 1800 m de comprimento e 300 mm de diâmetro está descarregando, em um reservatório, 60 l/s. calcular a diferença de nível entre a represa e o reservatório, considerando todas as perdas de carga. Verificar quanto as perdas locais representam da perda por atrito ao longo do encanamento (em %). Há na linha apenas 2 curvas de 90 °, 2 de 45° e 2 registros de gaveta (abertos).
Solução:
=>
V =
Curva de 90 °
à
Q = V.A
Q A
=
K =
4 ⋅Q
⋅
π D
2
0,40
=
4 × 0,06 2 = 0,85 m/s π × ( 0,30)
Cálculo da Perda de Carga
5-10
Cálculo da Perda de Carga
5-11
Curva de 45 ° à K = 0,20 Registro de gaveta (aberto) à K = 0,20 Entrada da canalização à K = 1,00 Saída da canalização à K = 1,00 K to t = 2 x 0,40 + 2 x 0,20 + 2 x 0,20 +2 x 1,00= 3,6 Perda de carga localizada total: V 2
(0,85)2 = 3,6 × = 0,133 m λ = K ⋅ 2g 2 × 9,81
Perda de carga distribuída: Fórmula de Hazen-Williams: J = 10,643 ∆H
Q1,85 1 ,85
C D
= J x L =
4 , 87
(0,06)1,85 = 10,643 × 1,85 = 0,0041 m/m 100 × (0,30) 4,87
0,0041 x 1800 = 7,38 m
Perda de carga total: Porcentagem da perda localizada em relação à perda distribuída: ε
= 0,133 = 0,018 ou 1,8% 7,38
5.5 Determinar a carga disponível no chuveiro de uma instalação predial, abastecido por um ramal de ¾’’. Utilizar o método de comprimento virtual e a fórmula de FairWhiple-Hsiao para calcular a perda de carga. Solução:
Aplicando o método dos comprimentos equivalentes às perdas singulares: No ramal (tubulação de ¾’’): Singularidade Comprimento virtual (em m de canalização) Tê, saída do lado 1,4 Cotovelo de 90°, raio curto 0,7 Registro de gaveta aberto 0,1 Comprimento equivalente total no ramal: LVR = 1,4 + 5 x 0,7 + 2 x 0,1 = 5,1 m Comprimento real do ramal: LRR = 0,35 + 1,10 + 1,65 + 1,0 + 0,50 + 0,20 = 5,3 m Comprimento total do ramal: LTR = 5,1 + 5,3 = 10,4 m
Cálculo da Perda de Carga
5-12
Cálculo da perda de carga: Fórmula de Fair-Whiple-Hsiao: J = 0,002021 ∆ H R
= J x L
Q1,88 D
4 , 88
(0,0002 )1,88 = 0,002021 × = 0,0557 m/m (0,01905 ) 4,88
= 0,0557 x 10,4 = 0,58 m
Na tubulação principal (tubulação de 1½’’): Comprimento virtual da tubulação principal: LVP = 0,5 m (entrada normal) Comprimento real da tubulação principal: LRP = 0,9 m Comprimento total da tubulação principal: LTP = 0,5 + 0,9 = 1,4 m J = 0,002021 ∆ H P
= J x L
Q 1,88 D
4 ,88
(0,001)1,88 = 0,002021 × = 0,0390 m/m (0,0381)4,88
= 0,0390 x 1,4 = 0,05 m
Carga geométrica: 1,7 m (da figura) Carga disponível no chuveiro: Hdisp = 1,70 – 0,58 – 0,05 = 1,07 m (caixa d´água cheia)
EXERCÍCIOS PROPOSTOS E5.1 Calcular a vazão que escoa por um conduto de ferro fundido usado (C=90), de 200 mm de diâmetro, desde um reservatório na cota 200 m até outro reservatório na cota zero. O comprimento do conduto é de 10.000 m. Resp.: Q = 0,044 m3/s.
E5.2 Deseja-se transportar 1.130 l/s de água com a velocidade de 1m/s em uma tubulação de 500 m de comprimento, com C=100. Calcular a perda de carga. Resp.: ∆H = 5,5 m. E5.3 O abastecimento de água de uma indústria será feita a parir de um reservatório elevado, que recebe água de uma represa. O consumo máximo diário da indústria é de 800 m3 e a adutora deverá ter capacidade para transportar esse volume em 6
Cálculo da Perda de Carga
5-13
horas. Considerando-se, no projeto, tubo de ferro fundido (C=90), calcular a altura da torre x . Resp.: x = 18,11 m.
5.4 O esquema abaixo mostra uma instalação hidráulica de uma indústria. Pede-se determinar o diâmetro da tubulação do trecho 2. Utilizar fórmula de HazenWilliams. Dados: Trecho 1 Trecho 2 Trecho 3 Lreal (m) 80 160 300 Lequiv. (m) 40 D (m) 0,10 ? 0,20 C 90 120 100 Q (l/s) 50 Pressão em A: 15 m.c.a.
Cálculo da Perda de Carga
5-14
E5.5 No esquema abaixo, o reservatório alimenta simultaneamente uma válvula de descarga e dois chveiros. Pede-se verificar se a válvula de descarga funciona satisfatoriamente.
Dados: Vazão do trecho AB = 2,0 l/s; Vazão da válvula = 1,5 l/s; Adotar registro gaveta; Adotar cotovelo de raio médio; Reduções: considerar comprimento equivalente igual a 0,5 m na tubulação de menor diâmetro; Tubulação de aço galvanizado; Pressão mínima de serviço da válvula = 1,8 m.c.a.
Cálculo da Perda de Carga
E5.6 No esquema abaixo, verificar o funcionamento dos chuveiros.
Dados: - Instalação de aço galvanizado; - Vazão de cada chveiro = 0,2 l/s; - Adotar cotovelo de 90° – raio curto; - Pressão mínima de serviço nos chuveiros = 1,0 m.c.a. - Tubulação de 1¼ ” – registro gaveta; - Tubulação de ¾” – registro globo; - Comprimentos equivalentes nas tubulações: 1¼ ” para 1” – acrescentar 0,5 m na tubulação de 1”; 1” para ¾” – acrescentar 0,5 m na tubulação de ¾”.
5-15
