33
3.6. El circuito de un par de nodos. Ejemplo 3.6. (6aE). (Igual a Ejemplo 1-4, 5aE). Determine la tensión, la corriente y la potencia asociaas con caa elemento el circuito e la !igura 3.14a. &igura 3.14
1
1$" #
30
R1 3" #
1
R$
15
+ 1 v - 30
1$" #
R1 3" # i1
a)
1
R$
15 i$
%)
a) 'ircuito e un solo par e noos. %) e asignan una tensión y os corrientes
De!ini De!inimos mos primer primero o una tensió tensión n v y elegimos e manera ar%itraria su polaria, como se e*i%e en la !igura 3.14%. Dos corrientes, +ue !luyen en los resistores, se escogen con!orme a la conención e signos pasia tales corrientes se inican tam%in en la !igura 3.14%. Determinar Determinar cual+uier corriente corriente i1 o i$ nos posi%ilita o%tener un alor e v. De tal moo, nuestro siguiente paso es aplicar la /0' a cual+uiera e los os noos el circuito. 'asi siempre es ms claro aplicarla en el noo en el +ue se locali2a la re!erencia e tensión positia e ese moo, igualamos a cero la suma alge%raica e las corrientes +ue salen el noo superior 120 i1 30 i 2 0 #l escri%ir am%as corrientes en trminos e la tensión v meiante la ley e *m i1
30 v ; i2 15 v
o%tenemos 120 30 30 v
30 15 v 0
/a solución e esta ecuación para v consiste en 90 45 v
0 ; v
90 45
2V
#l recurrir a la ley e *m o%tenemos i1 G1 v 30 2 60 A
; i2 G2 v 15 2 30 A
#*or #*oraa puee puee calc calcul ular arse se la poten potenci ciaa a%sor a%sor%i %ia a en caa caa elem element ento. o. En los los os os resistores
EE-y0
34
P R1 G1 v
2
30 22 120 W y
PR 2 G2 v
2
15 2 2
60 W
y para las os !uentes P120 A
2 120
v i120 A
240 W ;
P30 A
v i 30 A
2 30 60 W
uesto +ue la !uente e 1$" # a%sor%e $4" 7 negatios, sta suministra en realia potencia a los otros o tros elementos el circuito. De manera similar, similar, escu%rimos +ue la !uente e 3" # est en realia a%sor%ieno potencia en e2 e suministrarla. 8/o anterior resulta ra2ona%le o esperao9 En era es inesperao, puesto +ue por lo general pronosticamos +ue una :!uente; actuar como una !uente e potencia en un circuito. in em%argo, como *emos isto en este ejemplo, no siempre tiene +ue ser el caso. rctica 3.6. (6aE). Determine v en el circuito e la !igura 3.15. &igura 3.15 +
5#
1#
v
6#
-
1 i10
6 0 ; 10 i10
i10
#ems tenemos aplicano la ley e *m i10
v
10
; i 1 0
v
10
ustituyeno 10
v
v
2v
10
10
10
; v
100 2
50 V
Ejemplo 3.=. (6aE). (Igual a Ejemplo 1-5, 5aE). E). Dete Determ rmin inee el alor alor e v y la potencia suministraa por la !uente e corriente inepeniente e la !igura 3.16.
EE-y0
35
&igura 3.16 +
i6
>
i X
$ i X
$4 m#
v
>
-
e asigna una tensión v y una corriente i6 en un circuito e un solo par e noos +ue contiene una !uente epeniente. ?eiante la /0', la suma e las corrientes +ue salen el noo superior e%e ser cero, por lo +ue i6
2 i X
0! 024 i X 0
De nueo, o%sere +ue el alor e la !uente epeniente ($ i X ) se trata como si !uese cual+uier otra corriente, aun cuano no se conoce su alor eacto *asta +ue el circuito *aya sio anali2ao. # continuación aplicamos la ley e *m a caa resistor v
i6
6 10
3
;
i X
v
2 10 3
or lo tanto v 6 10
3
2
v 2 10
3
0! 024
v 2 10 3
0
y por ello !024 4 14!4 V v 600 0!02
'ual+uier otra in!ormación +ue +ui2 +ueramos eterminar para este circuito se o%tiene a*ora con !acilia, por lo general en un solo paso. or ejemplo, la potencia suministraa por la !uente inepeniente es, P $4 $4 @ 14,4 A ","$4 @ ",346 7 (346 m7) y la corriente +ue !luye *acia la erec*a en el conuctor central superior es i @ -","$4 B (14,4C$ A 1"3) @ - ","16 #, o 16, m#. rctica rctica 3.=. (6aE). (Igual a Ejercicio 1-1$, 5aE). ara el circuito e un par e noos e la !igura 3.1= etermine i A, i B e iC .
EE-y0
36
&igura 3.1= +
5,6 #
i A
v X
i B
iC
",1 v X
$#
-
3! 6 v X i A
v X
54
1"
1"
1
1
1
10
1"
9
3 A ; iB
v X
v X
0! 1 v X
1"
0 ; 3! 6 0! 1 v X
9 6 90
2 0
v X 0 v X
0! 1 54
3! 6
54 V
6#90
5! 4 A ; iC
54 6A 9
v X 9
Ejempl Ejemplo o 3.. (6aE). (Igual (Igual a Ejerci Ejercicio cio 1-13, 1-13, 5aE). ara el circuito e la !igura 3.1a, encuentre i1, i$, i3 e i4. &igura 3.1 i1
i$
",$ v1
$,5 #
- v1
+
+ v1 -
",$ v1 i3
a)
i1
i3
$,5 #
# i1"
i$
",$ v1 #
'
i4
i1
F
D
i$
F
$,5 # + v1 -
'
D i3
%)
i4
i4
c)
EE-y0
3=
a) 'irc 'ircui uito to e un solo solo par par e noos noos %) 'irc 'ircui uito to con los los punt puntos os marca marcaos os como auiliares c) 'ircuito uelto a i%ujar. i%ujar. De a cuero con la ilustración, este circuito es poco i!Gcil e anali2ar , por lo +ue eciimos primero olerlo a i%ujar, espus e marcar los puntos #, F, ' y D como en la !igura 3.1%, y por Hltimo en la 31.c. De!inimos tam%in una corriente corriente i1" +ue circula por el resistor e 1" anticipnonos al uso e la ley e 0irc**o!! e corriente. inguna e las corrientes +ue se esean resultan eientes e inmeiato a partir el iagrama el circuito, por lo +ue consieramos o%tenerlas a partir e la ley e *m. 'aa uno e los tres resistores tienen la misma tensión ( v1) entre sus etremos, asG +ue sumamos simplemente las corrientes +ue !luyen *acia el no o ms a la erec*a. v1
100
2! 5
v1
0! 2 v1
10
v1
25
0
i1
0! 2 v1
i10
2 10 5 3 A
e i3
i10
2! 5 i 4
5 2! 5 0! 5
"A
Ejercicio Ejercicio $=. (6aE). (Igual a ro%lema $4, 5aE). Determine Determine la potencia a%sor%ia a%sor%ia por caa elemento e circuito e la !igura 3.61, si el control para la !uente epeniente es a) ",1 i X %) ", iY . &igura 3.61
5#
+ v -
1" m iY
4" m i X
EE-y0
3
10
%$100
3
10 10
1
; 40
%$40 10
25
3
a) #plicano #plicano la /0' /0' al noo noo one se se encuentra encuentra la !uente !uente epenie epeniente nte tenemos tenemos 5 0! " i X
5 v
i X 0 ; 5 0! "
i100
0! "
1
1
25
100
25
0
2&" 5
v i5 A
v2
P 25
0! " i X 0! "
2&" 25
"! 90 A ; P0
25
100
25
3! 2 1 4
0
0
100 2&" V
1!" 1! "
P 100
v2
2&"2
R100
100
&&3 W
3!09 10 3 W ' 3!0 3!09(W 9(W
25
R25
v
500
1390 W ;
2&"2
v
; 5 v
500 1! " v 0 ; v
P5 A
v
vi
2! 4& 10 3 W ' 2!4& (W
" "! 90 2&
%) #plicano la /0' al noo superior tenemos 5 i100
iY
0 ; iY 5 i100
#plicano la /0' al noo e la !uente epeniente tenemos 5 0! " iY
iX
5 4 0! " i100 9 1! "
9 v
0 ; 5 0! "
i100
i X
v
v
100
25
1! " 4 100
i10 100
5 i100
i X i100 0
0 ; 9 1! " i100
0 ; 9 v
1! "
1
100
25
i X 0
0
0 ; 9 5" 10 3 v 0
EE-y0
3K
v
9 5" 10
3
155! 2 V ; i X
P5 A
v
155! 2
25
25
155! 2 5
vi
6! 21 A ; i Y
&&6 W ; P 100
P 25
v2
155!2
R25
25
0! " iY 0! " 3! 45 2! &6 &6 A ;
v
5
5
100
v2
155!2 2
R100
100
155! 2 100
3! 45 A
241 W
2
963W
155! 2 2! &6 &6
P 0
42" W
Ejercicio $. (6aE). (Igual a ro%lema $5, 5aE). roporcione i X en en el circuito e la !igura 3.6$. &igura 3.6$ i1
5 >
$" >
4 m#
3i1
i X
v
5 10
3
4 10
v 4
3
10
3 i1
3
v 10
v
20 10
4 10 3
3
i X
0 ; v
3
3 i1 0 ;
16 10
4 10
3
3
1 10
3
4 10
20 v 4
10
12 i1 ; v
3
4 10
3
3
3 i 1 0
3 i 1
16 12 10 3 i1
#plicano la /0' al noo superior tenemos v
5 10
3
4 10
3
i 1 0
EE-y0
4"
ustituyeno el alor e v 16 12 10 3 i 1 5 10
3
4 10
16 20
3
10
5
4 10
i1
&
16
i1 0 ;
3
5 12 5
3
10
5
12
3
5
i1 0 ; 4 10
4 A ' $A ; i X i 1 &
3
4 &
i1 4 10
& i 1
3
i 1 0
0
$A
Ejercicio $K. (6aE). (Igual a ro%lema $6, 5aE). 'alcule la potencia a%sor%ia por caa elemento en el circuito e un par e noos e la !igura 3.63. &igura 3.63
=#
#
#
=#
#plicano la /0' al noo superior tenemos " & i4
15 v
i6
1
1
1
4
6
12
i 12
0 ; 15
0 ; 15 v
v
v
v
R4
R6
12
3 2 1 12
0
0 ;15
v
2
0
v 15 2 30 V
EE-y0
41
P" A
P6
P12
30 "
v i"
v2
302
R6
6
v2
302
R12
12
240 W ; P 4
150 W ; P& A
&5! 0 W ;
v2
302
R4
4
30 &
v i &
225 W
210 W
240 225 150 210 &5! 0 0
P
Ejercicio 3". (6aE). (Igual a ro%lema $=, 5aE). Determine la potencia +ue a%sor%e el elemento A en el circuito e la !igura 3.64 si es a) un resistor e 4 > %) una !uente e corriente inepeniente e $" m#, con !lec*a e re!erencia *acia a%ajo c) una !uente e corrie corriente nte epenien epeniente, te, con !lec*a !lec*a e re!ere re!erenci nciaa *acia *acia a%ajo, a%ajo, marca marcaaa como como $ i X ) una !uente e tensión inepeniente e 6" J, J, re!erencia B en la parte superior. superior. &igura 3.64
" m#
i X
3" m#
>
A
. #plicano la /0' al noo superior tenemos "0 10
3
30 10
50 10
3
v
P X
3
i X 0 ; 50 10
i X
4 1 4 10
50 10
0 ; v
3
v2
402
R X
4 103
3
3
v
v
1 10 3
4 10 3
4 10
0
3
40 V
5
0!4W'400$W
%) A es igual a una !uente inepeniente e corriente e $" m#, con la !lec*a irigia *acia a%ajo. #plicano la /0' al noo superior tenemos "0 10
3
v 1 10
3
30 10
3
20 10
v 30 10
3
3
1 10 3
0 ; 30 10
3
v 1 10 3
0
30 V
EE-y0
4$
30 20 20 10 10 v i 20$A 30
P20$A
3
0! 6 W ' 60 6 00 $W $W
c) A es igual a una !uente !uente epeni epenient entee e corrien corriente, te, con la !lec*a !lec*a irigi irigiaa *acia a%aj a%ajo o y con con alo alorr e contr control ol e $ i X . #plicano la /0' al noo superior tenemos "0 10
v
50 10
v
3
30 10
1 10 3 3
1 10 3
1 10 3
16! 6& V ; i X
3
P2 ix
2v
3
50
v 2i x
2
3
50 10 3
0 ; 50 10
3v
3
0
1 10 3
v
50
50 10
1 103
3 1 10 3
556 10
3
3
A
3
3
W ' 556 $ W
) A es igual a una !uente !uente inepenien inepeniente te e tensión tensión e 6" J, J, con re!erencia re!erencia B en la parte superior. superior. #plicano la /0' al noo superior tenemos "0 10
v
3
1 10
3
30 10
i X 10 10 3 A
3
P 60V
i X
0 ; "0 10
60 10 10
3
60 1 10
3
3
30 10
3
i X 0
0! 6 W ' - 600 $W
Ejercicio 31. (6aE). (Igual a ro%lema $, 5 aE). i el elemento A e la !igura 3.65 (igual a la !igura 3.64) es una !uente e corriente inepeniente, con la !lec*a irigia *acia arri%a, marcaa como iS , a) 8'unto ale iS si si ninguno e los cuatro elementos e circuito a%sor%e potencia9 %) ea el elemento A una un a !uente e e tensión inepeniente, inepen iente, con la re!erencia B en la parte superior superior y marcaa como vS . 8'unto ale vS si si la !uente e tensión no a%sor%e potencia9 + v
" m#
>
3" m#
A
iS
+ -
vS
-
a)
%)
no a%sor%e potencia la corriente por el es igual con cero. #plicano #plicano la /0' al noo superior tenemos.
EE-y0
43
"0 10
3
30 10
i S
3
50 10 3 A ' - 50 $A
0 ; i S
%) #plicano la /0' al noo superior tenemos "0 10
v S
3
1 10
3
30 10
3
0 ; v s 50 10
3
1 10 3 50 50 V
Ejercicio 3$. (6aE). (Igual a ro%lema $K, 5aE). a) #pli+ue las tcnicas el anlisis e un solo par e noos en el noo erec*o superior e la !igura 3.66 y etermine i X . %) Lra%aje a*ora con el noo i2+uiero superior y proporcione v. c) 8Mu cantia e potencia genera la !uente e 5 #9 &igura 3.66 5#
+
$#
$ i X
v
=#
3
K
i X
v
3
&
v
v
0 ; 12 v
9
12 9 4
1
1
3
9
2& V ; i X
0 ; 12 v
v
2&
R9
9
4 9
0
3A
%) 2
v"
2 i X 5 0 ; 2
R"
3
v"
"
0 ; v"
v"
"
2 3 5 0
3 " 24 V
c) v"
v5
v 0 ; P gen 5
v5 i 5
24 v5
2& 0 v5
3V
3 5 15 W
EE-y0
44
Ejercicio 33. (6aE). Encuentre la potencia +ue a%sor%e el resistor e 5 en la !igura 3.6=.
&igura 3.6=
1 5#
+
$
5 v1
v1
-
5
1 5#
5 v1
+
$
5
v1
-
5
5 v
v
5 v1
3
5 50 3 15
v 5
0 ; v1
0 ; 5
&5 P 5
v2
42
5
5
2 3 42 15
v ; 5
v
10
3
3
v 0 ; v
v
v 5
0
5 15
&5
42
42
V
2
63" 10 3 W '63"$ '63"$W W
Ejercicio 34. (6aE). 'alcule la potencia +ue suministra caa !uente inicaa en la !igura 3.6.
EE-y0
45
&igura 3.6
$#
5
3#
5
5
v
v
v
5
5
5
0 ; 11
3v 5
v i2 A 1"! 33 2 36! & W ; P6 A P3 A
11 5
0 ; v
3
1"! 33 V
v i 6 A 1"! 33 6 110! 0 W
v i 3 A 1 " "!! 3 3 3 55! 0 W
Ejercicio 35. (6aE). 'on re!erencia a la ta%la $.3, 8cuntas millas e alam%re e co%re sólio el nHmero $ se re+uieren para +ue con el segmento e alam%re e la !igura 3.6K, inicao en gris, se o%tenga i1 @ 5 #9 &igura 3.6K
",5 1" #
1 i1
v 5 V ; i1
v 1
0 ; 10
i1 v
0! 5 Ra
; Ra
v 1
5 0
; 5 v 0
v 0! 5 i 1
5 0! 0! 5 5
i 1
5
0! 5
EE-y0
46
De la ta%la $.3 o%tenemos para un alam%re e co%re sólio cali%re $ una resistencia e 65,3 por 1 """ pies. Lam%in tenemos +ue 1 pie es igual a 1K,4 A 1"-6, e tal manera +ue la longitu el alam%re gris es L Ra
Ra
0! 5
R L
65!3#1000
&! 66 66 pi pies ;
66 1"9! 4 10 LRa &! 66
6
1! 45 451 10 3 $i $ illas
Ejercicio 36. (6aE). En el circuito e la !igura 3.=", si v @ 6 J, etermine iS . &igura 3.=" -
v
+
1
5 iS
$
v
1
2
i S
v 5
6
0 ; 6
2
iS
6 5
0 ; i S 6 3
6 5
1! " A
3.&. )uentes independientes independientes conectadas en serie y en paralelo. Ejemplo 3.K. (6aE). Determine cules e los circuitos e la !igura 3.$" son lios. &igura 3.$" R
+ 5J -
+ 1" J -
a)
+ $J -
+ 14 J -
%)
1# R
5#
3#
R
1# c)
)
a) a ) Ejemplos e circuitos con !uentes mHltiples, algunos e los cuales iolan las leyes e 0irc**o!!.
El circuito e la !igura 3.$"a consiste en os !uentes e tensión en paralelo. El alor e caa !uente es i!erente, por lo +ue iola la /0L. or ejemplo, si un resistor se pone en paralelo con la !uente e 5 J, J, tam%in est en paralelo con la !uente e 1" J. J. /a tensión real sus etremos es por tanto am%igua, y o%iamente no *ay posi%ilia e construir el circuito como se inica. i intentamos construir un circuito e este tipo en la ia real, ser imposi%le locali2ar !uentes e tensión :ieales; toas las !uentes el mun o real tienen una resistencia interna. /a presencia e este tipo e resistencia permite una i!erencia e
EE-y0
4=
tensión entre las os !uentes reales. De acuero con lo anterior, el circuito e la !igura 3.$"% es per!ectamente lio. El circuito e la !igura 3.$"c iola la /0' no resulta claro +ue la corriente !luya en realia a tras el resistor R. En contraste, el circuito e la !igura 3.$" no iola ninguna ley !Gsica. in em%argo, la eliminación el resistor originarGa un circuito sin sentio, puesto +ue tenrGamos 5 # en serie con 3 #, lo cual iola la ley e 0irc**o!! e corriente. rctica 3.. (6aE). Determine v en el circuito e la !igura 3.$1 com%inano primero las tres !uentes e corriente. &igura 3.$1 +
5#
v 1"
1#
1"
6#
-
1" #
v 1"
1"
5 1 6 10 A
i R
10
v
v
v
10
10
5
; v 10 5 50 V
Ejercicio 3=. (6aE). ?eiante ?eiante com%inaciones com%inaciones e !uentes !uentes en serie, serie, calcule i para los os circuitos e la !igura 3.=1.
&igura 3.=1 +
1#
v
-
1 i
3#
3#
&igura 3.=1 a)
EE-y0
4
1#
1#
9
3#
=# + v -
$#
1 i
3,5 #
3,5 #
3,5 #
&igura 3.=1%)
1#
v
ieq
1 i
1 3 3 1A ; i
i eq 1 A
%) + v -
$#
1 i
=#
i 2 & 9 A
Ejercicio 3. (6aE). 'alcule v para caa uno e los circuitos e la !igura 3.=1, com%inano primero las !uentes.
R i 1 1 1 V
v
R i 1 9 9 V
%)
Ejercicio 3K. (6aE).'alcule E).'alcule la corriente corriente enominaa enominaa i en caa uno e los circuitos e la !igura 3.=$.
EE-y0
4K
&igura 3.=$ 5
1" J
+ - 1$ J
+ -
6J
- +
+ -
i
1$ J + -
1 > +
1" J
+ -
i
3J
$J
a)
%)
1" J
+ -
v 12 2 10 V
1 >
10
v
i
1 10
R
3
10 10 10
3
A
'10$A
%) i
1K J
+ -
v 12 10 3 19 V
5 i
v
19
R
5
3!"A
Ejercicio 4". (6aE). 'alcule la potencia a%sor%ia por caa uno e los resistores e 16 e la !igura 3.=3.
&igura 3.=3 5J - +
1" J
+ -
16
$#
16
=#
EE-y0
5"
15 J + -
16
16
5#
i
P 16
v2
152
R16
16
14!06W
Ejercicio 41. (6aE). ara el circuito e la !igura 3.=4, calcule i si a) v1 @ v$ @ 1" J y v3 @ v4 @ 6 J. %) v1 @ v3 @ 3 J y v$ @ v4 @ $,5 J. c) v1 @ - 3 J, v$ @ 1,5 J, v3 @ - ",5 J y v4 @ ". 1$ + v1
-
+ v4
i
+
-
v$
-
$
v3
+
v1
v2
v3
; Req 12 2 14
v4
Req
+ veq
i
-
a) v eq 10 10 6 6 " V ; i
veq
"
Req
14
0! 5&1 A ' 5&1 $A
EE-y0
51
%) veq
3 2! 2! 5 3 2! 5 0 ; i 0
c) veq
1
1 V ; i
3 1! 5 * 0! 5 0
&1! 4 10 3 A '' - &1!4 $A
14
Ejercicio 4$. (6aE). En el circuito e la !igura 3.=5, elija v1 para o%tener una corriente i X e e $ #. &igura 3.=5 - 1,5 J 1 1 + 3J
+ -
v1
+ -
i X
3#
1
-$#
1
i11
4,5 J + -
v X v11
RX i X
R11 i 11
v1
+ -
i X
1#
1
1 2 2 V ; i x 1 i11 0 ; i11 i X 1 2 1 3 A
1 3 3 V ; - v1
v X
v11
0 ; v1
v X v11
2 3 5V
Ejercicio 43. (6aE). Determine la tensión v en el circuito e la !igura 3.=6.
&igura 3.=6 ($) +
1$ m#
","3 v X v -
1" >
(1) + 3,5 m# v X
1 >
1 m#
- 3 m#
-
EE-y0
5$
oo (1) 3
1 10
3 10
v X
3
i X
0 ; i X
2 10
3
2 10
3
3
0 ; i v
RX i X 1 10
3
A ' - 2 $A
2V
oo ($) 12 10
3
0! 03
2 v
3! 5 10
iv
1 0 10 3 R10 i v 10
51! 5 10
51! 5 10 3 A ' - 51!5 $A 3
515 V
Ejercicio 44. (6aE). (Igual a ro%lema 43, 5aE). El circuito e la !igura 3.== contiene arios ejemplos e !uentes e corriente y e tensión inepenientes conectaas en serie y paralelo. a) Determine la potencia +ue a%sor%e caa !uente. %) 8# +u alor e%e cam%iarse la !uente e 4 J para reucir la potencia +ue suministra la !uente e 5 # a cero9 &igura 3.== -5#
$J + -
3# +
-4#
4J
1$ #
+
-3J
+ -
3J
$J + -
1#
+ 6J 4#
4#
P2 V
2 v5 A
4 0 v5 A
+
v2 V i 5 A
3 0 ; i4 V
v4 A i 4 A
K#
- = J+ 4J
1$ #
2 5 10 W
4 2 6 V ; P5 A P4 A
5 4 i4 V
3#
v5 A i5 A
6
5
30 30 W
4 4 16 W
5 4 3 4A ;
P4 V
v4 V i4 V
4 4 16 W
EE-y0
53
4 v3 A
3 0 ; v3 A 4 3 & V ; P3 A P12 A
v3 A i3 A &
3
21 W
3 12 12 36 W
v3 V i 12 A
3 i3 V 12 0 ; i3V 12 3 9 A ; P3 V
v3 V
i3 V
3
9
2& W
P 10 30 16 16 21 36 2& 0
%) i
=
$J + -
0
+
(5 #)
-$J (4 J)
P 5# = "
3.". ,esistores en serie y en paralelo. Ejemplo 3.1". (6aE).(Igual a ejemplo 1-6, 5aE) Ntilice las com%inaciones e resistencia y !uente para eterminar la corriente i e la !igura 3.$3a, asG como la potencia +ue entrega la !uente e " J. &igura 3.$3a i
1"
=
5
- 3" J +
+ " J -
+ -
$" J
rimero intercam%iamos las posiciones e los elementos en el circuito, tenieno cuiao e preserar el sentio apropiao e las !uentes, como se ilustra en la !igura 3.$3%. El siguiente paso consiste entonces en com%inar las tres !uentes e tensión en una !uente e+uialente e K" J, J, y los cuatro resistores en una resistencia e+uialente e 3" , como en la !igura 3.$3c. De tal moo, en lugar e escri%ir "0 10 i
30 & i
5i
20 " i
0
tenemos simplemente 90 30 30 i 0
EE-y0
54
y e esa manera encontramos +ue i
$" J
i
1"
90 30
3A
i
=
+ -
" J
- 3" J +
+ -
+ K" J -
5
3"
&igura 3.$3% &igura 3.$3c a) 'ircuito en serie con arias !uentes y resistores. %) /os elementos se uelen a orenar para una mayor claria. c) Nn e+uialente ms simple. ara ara calcul calcular ar la potenc potencia ia +ue la !uente !uente e " J +ue aparece aparece en el circui circuito to ao entrega al circuito, resulta necesario regresar a la !igura 3.$3a sa%ieno +ue la corriente es igual a 3 #. /a potencia eseaa es en ese caso " J A 3 # @$4" 7. 7. Es interesante aertir +ue ningHn elemento el circuito original +uea en el circuito e+uialente. rctica 3.K. (6aE). Determine i en el circuito e la !igura 3.$4. &igura 3.$4 5J
15
$5
i
- +
5J
+ -
+
5
5J
5J
5J
5J
- +
- +
+ -
15
$5
i
45
15 J 5
i
veq Req
15 45
i
+ -
0!33 !333A 3A ' 333$A
EE-y0
55
rctica 3.1". (6aE). Determine v en el circuito e la !igura 3.$6 com%inano primero las tres !uentes e corriente y espus los os resistores e 1" &igura 3.$6 +
5#
1"
v 1#
1"
6#
-
5#
1#
+ v -
6#
Req
10 10 10 10
5
1"
1"
1" #
+ v
Req
-
; v
Req i 5 10 50 V
Ejemplo 3.11. (6aE). (Igual a Ejemplo 1-=, 5aE). 'alcule la potencia y la tensión e la !uente epeniente e la !igura 3.$=a. &igura 3.$=a +
6#
v X
i3
3 K
15 ",K i3
4# 6
6
-
&igura 3.$=% +
$#
v
-
&igura 3.$=c
3 K
i3
+
i3
",K i3
1
",K i3
v
$#
3
6
-
a) 'ircuito multinoo. %) /as os !uentes e corriente inepenientes se com%inan en una !uente e $ #, y el resistor e 15 en serie con los os resistores e 6 en paralelo se sustituyen por un solo resistor e 1 . c) Nn circuito e+uialente simpli!icao.
EE-y0
56
Dejamos la !uente epeniente sola y com%inamos las os !uentes restantes en una !uent !uentee e $ #. Jemos emos +ue los os os resi resist stor ores es e 6 estn en paralelo, los cuales se simpli!ican con una resistencia e 3 . uesto +ue los os resistores en paralelo e 6 estn en serie con un resistor resistor e 15 , la resistencia e 3 +ue los sustituye est a*ora en serie con ese resistor. En consecuencia, sustituimos el resistor e 15 y los os e 6 por un resistor e 1 , +ue a lugar al circuito e la !igura 3.$=%. En este punto, punto, porGam porGamos os intentar intentar com%inar com%inar los resistor resistores es e 3, K y 1 . in em%ar em%argo, go, al *acerl *acerlo o asG peremos peremos i3, la cual controla la !uente epeniente. or tanto, elegimos simpli!icar el circuito aHn ms com%inano sólo los resistores e K y 1 , como se inica en la !igura 3.$=c. #l aplicar la /0' al noo superior e la !igura 3.$=c, tenemos 0! 9 i 3
2 i 3
v
6
0
ara eterminar la tensión v en la !uente epeniente, e%emos encontrar primero el alor e la corriente e control i3. Empleano la ley e *m v 3 i 3
lo +ue nos permite calcular 0! 9 i3
2 i3
3 i 3 6
0 ; 0! 6 i3
2 ; i3
2 10 A 0! 6 3
De esta !orma, la tensión en la !uente epeniente (+ue es la misma +ue la tensión en el resistor e 3 ) est aa por v 3 i 3
3
2 0! 6
10 V
Entonces, Entonces, la !uente !uente epeniente epeniente suministra suministra v A ",K i3 @ 1" (",K) ($C",6) @ 3" 7 al resto el circuito. #*ora #*ora %ien, si se nos pie pie la potencia potencia isipa isipaaa en el resist resistor or e 15 , e%emos oler al circuito original. Lal resistor se encuentra en serie con un resistor e+uialente e 3 eiste una tensión e 1" J en el total e 1 en consecuencia, circula una corriente e 5CK e # por el resistor e 15 y la potencia a%sor%ia por el elemento correspone a
P 15
5 9
2
15 4!63W
EE-y0
5=
rctica 3.11. (6aE). En el circuito e la !igura 3.$, encuentre la tensión v. &igura 3.$
+
3#
1"
$ 4
v
4#
1"
$
-
+
=#
4
v
4
$"
=#
Req
1
1
1
1
5 5 1
11
Req
4
4
20
20
20
v
; Req
20 11
1! "1"
Req i 1!"1" !"1" & 12!&3V
Ejercicio 45. (6aE). 'alcule la resistencia e+uialente como se inica en la !igura 3.= si caa resistor es e 1 > .
&igura 3.=
Req
Loas las resistencias espus e la primera resistencia estn en corto circuito por lo +ue la resistencia e+uialente es e 1 > .
EE-y0
5
Ejercicio 46. (6aE). ara el circuito e la !igura 3.=K a) 'alcule la resistencia e+uialente. %) %tenga una epresión para la resistencia e+uialente si el circuito se etiene utili2ano ramas, y caa una e ellas tiene un resistor ms +ue la rama a su i2+uiera. &igura 3.=K
1 1 1
1 1 1
$
1
1
1
1
6 3 2
11
Req
1
2
3
6
6
; Req
3
6 11
545 10
3
545 $
%) 1
1
1
1
1
Req
R1
2 R1
3 R1
N R1
Ejercicio 4=. (6aE). E). Dao Daoss tres tres resi resist stor ores es e 1" > , tres e 4= > y tres e 1 > , proporcione una com%inación (no es necesario utili2ar toos los resistores) +ue prou2ca a) 5 > %) 5= 333 c) $K,5 > .
EE-y0
5K
1" >
Req
10 10 10 10 1 10 0
3
10 10 10
3
1" >
3
10 1 10 0
5 10
3
3
5(
%) 4= >
1" >
1 >
Req
4& 10
3
10 10
1 1 10
c) 4= >
1 1
3
3
1 10
1>
5&! 333 10
1 3
1>
1 10
3
5&! 333 (
3
1" > $3,5 >
4= >
1" >
Req
Req
1>
1 >
1 1 4& 10
5 >
1 1
3
23! 5 10 3
4& 10
1 3
10 10
1 3
1 10
3
10 10 3
5 10 3 1 10 3 29! 5 10 3
29! 5( 5(
Ejercicio 4. (6aE). impli!i+ue las rees en la !igura 3." con com%inaciones e resistores y !uentes.
EE-y0
6"
&igura 3."a 4"
1" + 5J -
$"
#
5#
5"
&igura 3."% 5
- +
-5J 5J
1#
+ -
1"
1"
=
1#
1" J
+ -
5
1#
=
Ejercicio 4K. (6aE). 'alcule la resistencia e+uialente el circuito e la !igura 3.1. &igura 3.1 $ > 1 >
3 > 4 >
$ > 3 >
4 >
EE-y0
61
1 >
Req 1 10
3
1 10
1 >
3
1! 5 10
1,5 >
3
2 10
3
$ >
5! 5 10
3
5! 5 (
Ejercicio 5". (6aE). (Igual al ro%lema 3", 5aE). Determine Determine Re+ para caa una e las rees resistias +ue se muestran en la !igura 3.$.
5 1"
Req Req
5" $4
$"
6" 4"
&igura 3.$a. 'aa resistor es e 1"" &igura 3.$%.
$
15
1"
1"
$"
3"
4"
Req
&igura 3.$c
5"
$5"
EE-y0
6$
=1,4
$=1,4
$=3,1
100 100 100 100
50
=3,$
; 50 100 100 250
&1! 4 100 100 2&1! 4
;
=3,1
2&1 2&1! 4 100 100 2&1 2&1! 4 100 100 2&3!1 2&3!1 100 100 2&3!1 2&3!1 100 100
;
&3! 1
250 100
&1! 4
250 100
; &3! 1 100 100 2&3! 1
&3!2
%)
5 1"
5 $4
K"
6"
1"
$"
5 $4
36
$"
1"
1"
14,4"
$"
1"
$"
1K,4"
60 90 60 90
36
;
19!40 19!40 20 19!40 20
K,5
36 24 36 24 9! "5 "5
14! 40
1K,5
; 14! 40 5 19! 40
; 9! 9 ! "5 "5 10 10 19 19! "5 "5
EE-y0
63
c) $
$
$5
$
5"
$5
$5
$5
5"
5"
5"
$ 1$,5
10 40 40 50 50 50 50 50 50
25
;
$$,5
; 15 15 10 10 25 25 25 25 25 25
12! 5
20 30 30 50 50 ; 2 " 12! 5 22! 5
Ejercicio 51. (6aE). (Igual a ro%lema 31, 5aE). En la re +ue se presenta en la !igura 3.3 a) sea R @ " y calcule Req %) etermine R si Req @ " c) proporcione R si R @ Req. &igura 3.3 1"
Req
4"
R
1""
3"
$"
Req
1"
"
1""
3"
6"
1"
Req
Req
"
1""
$"
Req
6"
1"
1""
1""
Req
5"
EE-y0
64
20 40 60
30 60
;
30 60
100 100 100 100 100 100 100 100
50
20
; 20 "0 100
; 50 50 10 10 60 60
%) 1"
1"
R
Req
1""
3"
R
Req
6"
1""
1"
$"
1"
Req
1""
40 20 60
;
9! 6 10
3
60 30 60 30
20
100 R 2 000
"0 10
Req
120 R
"0 R
Req
R + $"
3 200 110 R
1""
100 R 20
; R 20 ;
; "0
R + $"
100
R 20
1 200 10 R 100 R 2 000 R
120
; 6! 4 10
3
30 R
; R
21 3
c) 1"
Req
1""
Req 10
120 Req
Req
1"
Req
10
3"
100 20 Req
2
Req
2
1""
120
3200 110 Req 10 11 113!6
Req
1 20 20 0 10 Req eq
120 Req
100 4 3 20 200 2
6"
;
R e+
2
$"
2 00 000 100 Req Req
Req 10 Req
3 200 0
51!"
EE-y0
