COMPENDIO ACADÉMICO 2
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
CUBOS QUE SE TOCAN
A continuación presentamos una serie de figuras, donde cada una tiene una sucesión de cubos exactamente del mismo tamaño, estando cada cubo en contacto con otros, dicho contacto es entre Áreas, ósea caras de los cubos veamos algunos ejemplos:
Ejempl o 1
3 áreas son las que están en contacto con el cubo 5 Rpta. : B
Ejempl o 3 ¿Cuántas áreas del cubo 7, están en contacto con los demás cubos?
En la figura se tiene un sucesión de cubos. ¿Cuántas áreas del cubo 4 están en contacto con los demás cubos?
a) 1 d) 4
b) 2 e) 6
c) 3
Solución: a) 3 d) 5
b) 4 e) 6
c) 2
Solución: Como se observará el cubo 4 está debajo del cubo 2, además tiene dos caras que no están en contacto con los cubos 6 y 1; como todo cubo tiene 6 caras, entonces el cubo 4 tiene cuatro caras que están en contacto con cubos 2, 3, 5 y 7.
4 áreas son las que estan en contacto con el cubo 4
Rpta. : B
Ejempl o 2 ¿Cuántas área del cubo 5, están en contacto con los demás cubos?
Como se observará el cubo 7 tiene dos de las caras que están en contacto con los cubos6 y 4.
2 áreas son las que están en contacto con el cubo 7 Rpta. : B
CONTEO DE CARAS Y S UPERFI CI ES
Instrucciones.- Indique superficies que posee continuación:
usted el número de el objeto dibujado a
Ejemplo: El objeto que aparece a la derecha tiene 1 superficie superior, 2 inferiores, 4 exteriores y 3 interiores, o sea 10 en total. 1 Superficie Superior 2 Superficies Exteriores
a) 2 d) 4
b) 3 e) 6
c) 5
Solución: Como se observará el cubo 5 está debajo del cubo 1, además tiene tres caras que están en contacto con los cubos 4, 1 y 6 www.antorai.com.pe
1 Superficie Inferior 2 Superficies Exteriores
3 Superficies Inferiores 1 Superficie Inferior
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ACADEMIA ANTONIO RAIMONDI
Siempre los primeros, dejando huella 7. ¿Cuántos cubos tienen una sola cara libre? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 0 8. El número total se superficies de la figura es:
1. Utilizando 12 piezas iguales se arma el sólido mostrado. ¿Cuántas piezas están en contacto con por lo menos otras ocho? a) 1
a) 13 d) 10
c) 3 d) 4 e) 0 2. ¿Cuántos cubos escondidos y cuántos cubitos con 2 caras libres hay en el gráfico? a) 6 y 1 b) 6 y 3 c) 5 y 6 d) 6 y 5 e) 6 y 6 Figura I. 4
1 6
9
5 12
14 17 20
Los ejercicios que siguen a continuación, se refieren a la Figura I. 3. ¿Cuántos cubos faltan? a) 3 d) 7
b) 4 e) 5
c) 2
4. ¿Cuántos cubos se ven a simple vista? a) 10 d) 13
b) 14 e) 12
c) 15
5. ¿Cuántos cubos escondidos hay? a) 6 d) 9
b) 7 e) 11
c) 8
c) 55
9. ¿Cuántos cubos tienen 2 de sus caras en contacto con los demás? a) 3 d) 1
b) 2
b) 11 e) 12
b) 4 e) 0
c) 2
10. Se corta un cubo de 4cm de arista en cubitos de 1cm de arista. Si se mantienen iguales formando el cubo total. ¿Cuál de las siguientes alternativas es falsa? a) Se le puede ver sólo una cara a 24 cubitos. b) Se le puede ver sólo dos caras a 24 cubitos. c) Se le puede ver sólo tres caras a 8 cubitos. d) Se le puede ver sólo a lo menos una cara a 56 cubitos. e) Sólo dos de las alternativas anteriores son verdaderas. 11. La arista de un cubo mide 3cm. se pintan todas las caras y enseguida, se corta en cubitos de 1cm3. Entonces: I. Todos los cubitos tienen por lo menos una cara pintada. II. Sólo un cubito no tiene caras pintadas. III. Hay 12 cubitos que tienen dos caras pintadas. De estas afirmaciones: a) Sólo I es verdadera. b) Sólo II es verdadera. c) Sólo III es verdadera. d) Sólo I y II son verdaderas. e) Sólo I es falsa. 12. Se pintan las caras de un cubo y luego se corta el mismo en 64 cubitos. ¿cuántos cubitos no tendrán ninguna cara pintada? a) 4 d) 8
b) 12 e) 10
c) 0
PROBLEMAS PROPUESTOS DE CONTEO DE SUPERFI CI ES
1. Hallar la cantidad de superficies en el sólido siguiente:
6. ¿Con qué cubos está en contacto el cubo 18? a) 17, 16, 19, 15, 10 c) 20, 11, 21, 19, 15 e) 17, 19, 21, 15, 10 136
b) 17, 19, 21, 16, 10 d) 22, 19, 16, 9, 11
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COMPENDIO ACADÉMICO 2 a) 15 d) 19
b) 14 e) 16
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO c) 18
2. Hallar el número de superficies en el siguiente sólido:
6. Un cubo tiene dos tipos de agujeros, uno cuadrado y otro en forma de cruz (formado por cuadrados idénticos al anterior). Si ambos atraviesan por completo el sólido. ¿Cuántas superficies se podrán contar? a) 36 b) 37 c) 38 d) 39 e) 40
a) 15
b) 14
d) 19
e) 16
c) 18
7. ¿Cuántas superficies se pueden contar en el sólido? a) 27 b) 26
3. ¿Cuántas superficies no se observan a simple vista?
c) 25 e) 24 e) 23
8. ¿Cuántas superficies cóncavas se pueden contar en el sólido? a) 7 a) 8
b) 7
d) 5
e) 9
c) 6
b) 6 c) 8 d) 9
4. ¿Cuántas superficies se pueden observar a simple vista?
e) 10
9. ¿Cuántas superficies convexas se pueden contar en el sólido? a) 14 b) 16 c) 15 a) 10
b) 8
d) 11
e) 12
c) 9
d) 17 e) 13
5. ¿Cuántas superficies se pueden contar en el sólido? a) 20
10. ¿Cuántas superficies que no cuadrangulares se observan a simple vista? a) 24
b) 21
b) 10
c) 22
c) 9
d) 23
d) 8
e) 24
e) 7
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sean
137
ACADEMIA ANTONIO RAIMONDI 11. ¿Cuántas superficies tiene el sólido? a) 10 b) 8 c) 14
Siempre los primeros, dejando huella 17. Encontrar el número de caras del siguiente sólido: a) 19 b) 18 c) 15
d) 16
d) 17
e) 12
e) 16
12. Hallar el número de superficies de: a) 8
PROBLEMAS PROPUESTOS DE CONTEO DE CUBOS
b) 10 c) 12 d) 14 e) 16 13. ¿Cuántas superficies tiene el sólido? a) 14 b) 12 c) 16 d) 8 e) 10 14. ¿Cuántas superficies tiene el sólido? a) 8 b) 18
1. ¿Cuántos cubitos se observan a simple vista? a) 21 b) 20 c) 19 d) 18 e) 17 2. ¿Cuántos cubitos no se observan a simple vista? a) 6 b) 9 c) 8 d) 7 e) 5
c) 15 d) 16 e) 12 15. Determinar el número total de áreas en el siguiente sólido: a) 19 b) 17 c) 16
3. ¿Cuántos cubitos se cuentan en total en la figura? a) 87 b) 78 c) 76 d) 81 e) 70
d) 18 e) 20 16. Encontrar el número de caras del siguiente sólido: a) 10
4. ¿Cuántos cubitos en el cual tres de sus caras están en contacto se cuentan en la figura? a) 17 b) 29
b) 9
c) 21
c) 12
d) 20
d) 8
e) 18
e) 11 138
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COMPENDIO ACADÉMICO 2
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
5. ¿Cuántos cubitos en el cual 5 de sus caras están en contacto se cuentan en la figura?
En los siguientes problemas, ¿cuántos cubitos hacen falta para formar un sólido compacto?
a) 66
10.
b) 68 c) 70 d) 64 e) 62 6. ¿Cuántos cubitos no se observan a simple vista? a) 105 b) 100 c) 95 d) 80
a) 173
b) 171
d) 172
e) 175
c) 174
11.
e) 85 7. ¿Cuántos cubitos se cuentan en total en la figura? a) 192 b) 220 c) 187 d) 210
a) 122
b) 124
e) 185
d) 125
e) 130
c) 120
12. 8. ¿Cuántos cubitos se observan a simple vista? a) 79 b) 68 c) 69 d) 72 e) 70
9. ¿Cuántos cubitos tienen sólo una de sus caras en contacto con otro?
a) 102
b) 106
d) 100
e) 156
c) 110
13.
a) 6 b) 7 c) 8 d) 5 e) 9 a) 73 d) 80 www.antorai.com.pe
b) 75 e) 76
c) 72 139
ACADEMIA ANTONIO RAIMONDI EN LOS SIGUIENTES PROBLEMAS DETERMINAR EL NÚMERO DE CUBITOS EN CADA FIGURA 14. a) 48 b) 49 c) 50 d) 51 e) 52
Siempre los primeros, dejando huella a) 35 b) 36 c) 31 d) 27 e) 29 20. a) 52
15. a) 90 b) 92 c) 91
b) 53 c) 54 d) 55 e) 48
d) 93 e) 94 16.
21. a) 35 b) 36
a) 38
c) 37
b) 37
d) 41
c) 40
e) 55
d) 39 e) 41 17. a) 28 b) 32 c) 31 d) 29
22. a) 81 b) 82 c) 78 d) 77 e) 79
e) 30 23. 18. a) 100 a) 31
b) 99
b) 32
c) 78
c) 33
d) 77
d) 34
e) 67
e) 35 19. 140
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COMPENDIO ACADÉMICO 2
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
a) 48 b) 49 c) 50 d) 51 e) 52
Figura I.
2
25. 1
a) 56
3
b) 67 c) 78 d) 64 e) 76
7
5
10
Los ejercicios que siguen a continuación, se refieren a la Figura I. 1. ¿Cuántos "cubitos" forman la figura?
26. a) 48 b) 47 c) 46 d) 45 e) 49 27. a) 28
a) 10
b) 12
d) 14
e) 16
c) 13
2. ¿Cuántas superficies horizontales tiene el sólido? a) 2
b) 3
d) 5
e) 6
c) 4
3. ¿Cuál es el número total de caras que tiene la figura? a) 12
b) 13
d) 15
e) 16
c) 14
b) 27
4. ¿Con qué cubos se toca el cubo 11?
c) 29
a) 9, 10 y 12 c) 9, 10, 12 y 6 e) 5, 10, 12 y 7
d) 30 e) 31
b) 8, 10 y 12 d) 8, 10, 12 y 6
5. ¿Cuántas caras del cubo número 8 están en contacto con los demás? 28. a) 97 b) 94 c) 98 d) 99 e) 100
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
6. Hallar el número total de superficies en la siguiente figura: a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 8 7. Hallar el número de caras del sólido:
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ACADEMIA ANTONIO RAIMONDI
Siempre los primeros, dejando huella
a) 12
b) 241
b) 10
c) 345
c) 16
d) 567
d) 18
e) 135
e) 14 8. ¿Cuántas superficies cóncavas se presentan en el siguiente sólido? a) 8 b) 9 c) 10 c) 11 e) 7 9. ¿Cuántas superficies convexas se pueden contar en el sólido? a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15 10. ¿Cuántas superficies no se pueden observar a simple vista? a) 13 b) 14
13. ¿Cuántos cubitos se cuentan en total en la figura? a) 61 b) 62 c) 60 d) 58 e) 78 14. ¿Cuántos cubitos se necesitan para formar un sólido compacto?
a) 265
b) 264 c) 661 d) 262 e) 263
29. ¿Cuántos cubitos tendrá una columna de un cubo compacto?
c) 15
a) 5
d) 16
b) 6
e) 17
c) 7 d) 8
11. ¿Cuántos cubitos se necesitan para formar un sólido compacto? a) 61
e) 9
30. ¿Cuántos cubitos se necesitan para formar un cubo compacto?
b) 62 c) 63
a) 120
d) 65
b) 130
e) 66
c) 160 d) 140
12. ¿Cuántos cubitos se necesitan para formar un cubo sólido?
e) 170
a) 234 142
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