CAPITULO 16 16-1 Los resultados (16-3) (16_7) y (16-17) se obtuvieron con base en corrientes fila mentales. Demostrar que se obtienen estos mismos resultados suponiendo corrientes distribuidas constantes. 0 Jd Rˆ 0 d R .B ( ) ( ) 4 c R 2 4 c R3 Rˆ Rˆ d R R ( ) d 2 d d 2 3 R R R R B 0 Br Ar d Rˆ 1 d d d d 2 R R R R R J J d J d B 0 0 ( 0 ) 4 c 4 c R R 4 Ar
0 4
c
Jd R
B r Ar Jd A 0 4 c R d 1 d R R A 0
0 J d 4 c R
1 d 1 d R R
x
y
16-3) Una inducción determinada y de la forma B y 2 x 2 yˆ f x, y, z zˆ donde α y β son ctes. Encontrar la forma mas general posible para la función f. Encontrar la J densidad de corriente y verificar que corresponde a una distribución de corriente constante.
B 0 x y 2 y 2 z f x, y , z 0 y x fz 0 y 2 x2 f 2 2 z y x x
df 2 2 dz g x, y x y f 2 z 2 z g x, y y x B o J x z z y B 2 xˆ 2 yˆ 2 2 g x, y zˆ y x x y Bz B y B y B x B x B z yˆ B xˆ zˆ z x y z y x z g g x yˆ 0 2 3 z B xˆ 2 3 zˆ 2 3 y 2 3 y x y x x y z g x g B xˆ 2 3 yˆ 2 3 z zˆ 2 3 2 3 y y x x x y y B x 1 z g g J yˆ 2 3 z zˆ 2 3 2 3 y xˆ 2 3 o o y z x x x y J 0
1 z g g x 2 3 xˆ 2 3 2 3 y zˆ J 2 3 z yˆ o x y y y x x z y x J 0 comprobaci ón que la distribución de corrientes son constantes .
16-6 Repetir el cálculo que condujo a (16-30) para un punto de campo con coordenadas (z, ) en lugar de simplemente (0, ). Demostrar que el A obtenido da la misma B que se encontró en el ejercicio 14-2.
A
0 I ds 4 c R
r ˆ az r z zˆ R 2 2 ( a z ) 2 I ds I dz zˆ
I 2 A 0 4 11 l
A
0 I 4
dz zˆ 1
( 2 (a z ) 2 ) 2 ( 2 a 2 2al 2 l 22 ) 2 a l 2 1
ln(
( 2 a 2 2al12 l1 )
1 2
a l1
zˆ
Az I (l 2 a) (l1 a) B 0 2 ( ) 1 4 ( 2 (l a) 2 ) 2 ( 2 (l a) 2 ) 12 2 1 I B 0 ( sen( 1 ) sen( 2 )) 4 B
16-8) Una circunferencia de radio a esta sobre el plano xy con su centro en el origen . Una corriente la recorre en el sentido en que aumenta el ángulo polar φ’. Encontrar una expresión para el vector A producido en un punto arbitrario P(x,y,z). Escribirlo en una función de sus coordenadas rectangulares y expresarlo como una integral con respecto a φ’. No evaluar la integral. Suponer ahora que el punto de campo esta sobre el eje z y evaluar la integral para demostrar que si el punto de campo se encuentra sobre el eje se obtiene (14-18).
16-8)
Ids ' o A 4 R ˆ a sin r ' a cos ' x ˆ yy ˆ zz ˆ r xx R r r ' ˆ R x a cos ' x R
2
R
2
'
a cos
x
x
2
2 xa cos
R x Id s ' Iad Id s ' Iad o Ia A 4 2
y
x 0
z A y
ˆ x
z
sin
y
'
2
Ay
z
ˆ x
2
2
cos
'
'
ˆ y
Ay
; By
z
Bx
o Ia 4
ˆ y
A x z
z A x
Ay Ax Ax ; Bz z x y
x 0
cos ' d ' 12 2 z
y 2 z 2 2a x cos ' y sin '
2
3/2
o Iaz 2 cos ' d ' Bx 2 2 2 4 0 x y z 2a x cos ' y sin ' 3 / 2
By
o Iaz 4
Ia Bz o 4
2
x 0
sin ' d '
2
y 2 z 2 2a x cos ' y sin '
2
x 0
sin ' d '
2
y 2 z 2 2a x cos ' y sin '
3/2
3/2
2
x 0
cos ' d '
2
y 2 z 2 2a x cos ' y sin '
3/2
Si P(0,0, z) Ia 2 sin ' xˆ cos ' yˆ d ' A o 1/ 2 4 0 a2 z2
2
z 2 2a x cos sobre el eje z.
2 o Ia cos ' d ' Bx z 4 0 x 2 y 2 z 2 2a x cos ' y sin ' 1/ 2 2
cos
ˆ x
No hay componente z. Bx
2
a sin
sin
ˆ ' y ' cos ' y cos ' y sin
a sin
y
'a
y 2 el punto
ˆ y
2a x
2
2
Si se tiene B A B
2
ˆ ' '
2
'
16-9)Un cuadrado de lado 2ª descansa sobre el plano xy con su centro en el origen y circulando en sentido contrario al de las manecillas del reloj si se observa de las z positivas. Encontrar A para todos los puntos dentro del cuadrado. ¿Cuánto vale A en el centro?
R r r' r xxˆ yyˆ r ' x ' xˆ ayˆ R x x ' xˆ y a yˆ
R x x ' y a Ids ' A o 4 R C1 C2 C3 C4 2 1/ 2
2
A1
oI 4
A2
oI 4
A3
oI 4
A4
oI 4
dx ' xˆ
a
x x ' a
2
a
x x '
y a dy ' yˆ
2 1/ 2
2
2 1/ 2
a
y a dx ' xˆ
a
2
y a dy ' yˆ
2 1/ 2
y a
2 1/ 2
a
x x ' a
x x ' a
2
16-10) Encontrar el A producido en cualquier punto del eje z por una corriente en el arco circular que se muestra en la figura 14-9.¿Por qué este resultado no daría el valor correcto de B que se encontró en el ejercicio 14-7?
r
ˆ d s ad oI' ˆ ad ' A z2 a2 4 o aI ' A 1/ 2 4 z 2 a2 ˆ aI ' 2 o A 1/ 2 4 z 2 a2
ˆ zz
r '
ˆ a
R
ˆ a ˆ zz
R
z
A
2
2
a
z
o
2
2
1/ 2
aI ' a
2
1/ 2
ˆ
16-11) Un cilindro infinitamente largo tiene una sección circular de radio a y su eje a lo largo del eje z. Una corriente constante, I, se distribuye uniformemente por su sección en la dirección positiva de z. Utilizar (16-23) para encontrar A en todo lugar. Si se expresa el A fuera del cilindro en la forma (16-33), ¿cuál es el valor de A sobre el eje z?
16
16
B
B
23
o
a
I
o
S
ˆ z
enc
I
B
a
da
S z
0
o
o
z
I
d
o
ln
ln
2
d
2
I
2 o
I
O
z
z A A
A
4
2
A . ds
A
33
o
ˆ
a
16-12 Se enrolla un alambre en forma de hélice con ángulo de inclinación sobre la superficie de un cilindro de radio a, de modo que se forma N vueltas completas. Si el alambre conduce una corriente I, demostrar que la componente axial del potencial
(
0I
) ln N tan 1 ( N tan ) 2
1
2
2 producido en el centro de la hélice es Demostrar que este valor es el mismo que aquel producido por una corriente I en un alambre de la misma longitud del cilindro en dirección paralela al eje y sobre la superficie exterior del cilindro .Mostrar por que tiene que ser así. r z r
Id
s
Id
s
a
r R R
c
o
x ˆ
s
t a n (c o s a
a
a
t a
c o
( 1
Az
d
R
Az Az
a
Ia
(
0
n
ˆ s e
t
I t 4
0
(
I
0
2
( 1
2
N
d
n
I
n
a
a n
a n
4
2
N
0
0
n
x ˆ
t a
Ia d
4
t a
x ˆ
n
s
2
Az
R
a a N
N
N
t an
t
t
an
an
0
16-13) Encontrar A para los cilindros coaxiales con corrientes iguales y opuestas que se describen en el ejercicio 15-7. Expresar la respuesta en función de Ao, el valor sobre el eje. Si fuera posible, hacer A = 0 fuera del cilindro exterior y encontrar el valor de Ao correspondiente.
16-13 (a)
B d a A ds S C A A zˆ A d s A 0 l A l C
A 0 A
oI ' d ' 2a 2 0
o I 2 4a 2 I 2 A 0 o 2 4a I 2 A 0 o 2 zˆ ; a 4a
A 0 A A A
o I
2a
A(a ) A 0
oI 4
2
ld
A dl A(a)l A( )l
oI
2 ld a
I A(a ) A( ) o ln 2 a oI ln 2 a I A( ) A(0) o o ln 4 2 I A(b) A(0) o o ln 4 2 A( ) A(a )
;a b a b a
oI A dl A(a)l A( )l a 2
A( b ) A( )
oI 2 2 2 c b
c2 2 ld 2 2 c b
c2 b ' d ' b ' d '
2 2 b2 oI c ln 2 2 c 2 b 2 b 2 2 2 b2 oI A( ) A(b ) c ln 2 2 c 2 b 2 b 2 A( b ) A( )
A( ) A(0)
2 2 b2 oI oI b oI ln c ln 4 2 a 2 c 2 b 2 2 b 2
; b c
A(c ) 0 2 2 b2 oI oI b oI ln c ln 4 2 a 2 c 2 b 2 2 b 2 2 2 b2 I I b oI A(0) o o ln c ln 4 2 a 2 c 2 b 2 2 b 2
0 A(0)
16-14 Un plano de infinito de corriente coincide con el plano xy .La densidad de corriente tiene magnitud constante K y va en dirección positiva de y .encontrar el potencial vectorial A en todo lugar .Si no es posible hacer que se anule en el infinito, expresarlo en función de su valor en el plano de corriente. 1 A B 0 Kxˆ 2 Az Ay K 0 y z 2
A debe de ser independiente de x,y Ay K 0 z 2 K Ay 0 z z0 2 0 Kz0 0 Kz A yˆ 2 2 Kz A A 0 0 yˆ 2 16-15 Una esfera de radio a contiene una carga total Q distribuida uniformemente en su volumen. Se le hace girar alrededor de uno de sus diámetros a velocidad angular constate .Suponer que la distribución de corriente no se ve alterada por la rotación y encontrar A en cualquier punto sobre el eje de rotación.
J v v r 0 z zˆ cos xˆ senyˆ v 0 cos rˆ senˆ rrˆ v 0 rsenˆ 0 Jd A 4 v r r zzˆ r cos xˆ senyˆ R cos ~ x senyˆ zzˆ
R 2 z2
1 2
4a 3 ch 3 3Q ch 4a 3 3q J 0 rsenˆ 4a 3 a 2 0 3Q0 senˆ 2 A r sendrdd 1 4 0 0 0 3 2 2 2 4a ( z )
Q
A
0 30
a 2
sen ( senxˆ cos yˆ )r drdd 2
1 2 2 0 0 0
16 2 a ( 2 z ) A=0 para cualquier punto del eje de rotación
3
CAPITULO 17 17.2) En una cierta región, la inducción de función del tiempo esta dada por B B0 t / zˆ siendo B0 y constantes. Encontrar A. suponer que le potencial escalar es cero y encontrar E a partir de A. utilizar este valor para evaluar el miembro izquierdo de (17-8) y así demostrar directamente que es igual al miembro derecho. R\= tenemos que B B0 t / zˆ B A
,
( A) da
da d d zˆ '
'
'
2
2
0
0 0
,
A ds
C
,
B da A ds C
ds d ˆ '
A d ' B0 t / ' d ' d ' A * 2
B0 t 2
B0 t ˆ 2 d d E ds dt dt A ds B t dA d B0 t E ˆ 0 ˆ dt dt 2 2 A
17-3) Supóngase que la corriente en el ckto. recto, infinitamente largo, C’ de la figura t 13-5 está dada por I I o e , siendo I o y constantes . Encontrar la fem inducida que se producirá en el ckto. rectangular de la misma figura. ¿Cuál es la dirección de la corriente inducida? d B dt ε B dl I o
B 2 o I '
B B.A BA
B o I ' / 2
I e t B o o En cualquier punto. 2 d B BdA B bd o I o e t 2
d B B
b o I o e 2
t
bd
d a ln d
o I o e t d a ln 2 d La corriente inducida iria en contra de las manecillas del reloj.
d dt
b
17-4) Un cable recto infinitamente recto largo que conduce una corriente cte. I, coincide con el eje z. Una espira circular de radio a descansa sobre el plano xz, con su centro sobre el eje x positivo a una distancia b del origen. * Encontrar el flujo a través de la espira si ahora esta se mueve con rapidez cte. V, en dirección paralela al eje x y alejándose de I. Encontrar la ε inducida en ella. ¿Cuál es la dirección de la corriente inducida?
b ' cos
B
0
d
B
d
da
S
b
d '
'
I ' o 2 d dt
I o 2
B da
S
c os
I o 2
da
S
da
a
'
0
b
b
'
2
d
b
v
2
I o 2
'
'
z
b
2
'
2
a
d dt
2
b
vb b
2
17.5) Encontrar la fem. inducida en la espira de la figura cuando esta rotando de manera tal que t 0 ,mientras que , en forma simultanea, B esta oscilando a la
a
misma frecuencia , es decir , B xˆB0 cos(t ). ¿es posible escoger la constante 0 y de modo que la fem. Inducida sea simple igual a cero? R/= tenemos que t 0 y B B0 cos(t ) xˆ
B da
da cos( ) ddz
, donde a b
B0 cos(t ) cos( )ddz 0 0
a b
B0 cos(t ) cos( )ddz 0 0
B0 cos(t )ab cos( )
ind
B0 ab cos(2t 0 ) cos( 0 ) 2 d d B ab 0 cos(2t 0 ) cos( 0 ) dt dt 2
ind abB0 sen(2t 0 )
17.7) Una inducción uniforme B es paralela al eje del un cilindro no magnético de radio a y constante dieléctrica k e . Si le cilindro gira alrededor de su eje a velocidad angular constante ,, paralela a B, encontrar la dolarización producida dentro del cilindro y la carga superficial en la longitud l del mismo. R\= tenemos que
V r 0 ˆ ' E m V B B 0 ˆ
P k e 1 0 B 0 ˆ b P nˆ Pn b k e 1 0 0 B Q 2L Q b da
Q 2 0 k e 1 0 a 2 L
17.8). Un cascaron esférico de radio a rota alrededor del eje z a velocidad angular constante, , .se encuentra dentro de una inducción uniforme que esta sobre el plano xz a un Angulo de con el eje de rotación .encontrar el capo eléctrico inducido en cada punto de laesfera. F qE q V B R/= B B cos( ) xˆ sen( ) yˆ E V B
V zˆ ˆ
V cos( ) ˆ sen( )ˆ ˆ
V V
E
sen( )ˆ sen( ) sen( ) xˆ cos( ) yˆ Bsen( ) cos( ) cos( ) sen( ) sen( ) zˆ
17.9) Encontrar el valor de m producido por un generador homo polar de un metro de diámetro, girando con una velocidad angular de 3600 revoluciones/minutos en un inducción de 0.1 tesla. R/= ' Tenemos que E m V B V r
E m Bˆ '
, tenemos que = 3600 rev/min. = 60 rev/min. B = 0.1 tesla
a
B d 0
2
Ba 2 1 volt seg 60rev 2 1 1 m 4.7123volt seg rev 2 2 2 10 m 2
17.14) Un freno electromagnético de corriente parasita consiste en un disco de conductividad y grosor d que gira alrededor del eje que pasa por su centro y es normal ala superficie del disco. Se aplica una B uniforme perpendicular al plano sobre una pequeña superficie a 2 localizada a una distancia del eje. Demostrar que el momento de torsión que tiende a disminuir la velocidad del disco en el instante en que esta es esta dado aproximadamente, por B 2 2 d .
U B
U i momentodipolar area i B V r 0 E V B E V B E Br
ind
E ds
ind
B rdr
0
ind ind
I
B 2 2 IR
ind
R B 2d I 2
R
l
area
a 1 ad d
B 2 dda 2 B 2
17.15) Un disco conductor muy delgado de radio a y conductividad descansa sobre el plano xy con su centro en el origen. Una inducción espacialmente uniforme se encuentra presente y esta dada por B B0 cos(t ) zˆ . Encontrar la densidad de corriente inducida, J f , producida en el disco. R/= tenemos que B B0 cos(t ) zˆ Para J f E
E ds
d d B da dt dt
E (2 ) E (2 )
E
d dt
a 2
B
,
da d d
, ds dˆ
0
0 0
cos(t ) dd
d B0 cos(t ) 2 dt
aB0 sen(t ) 2
Jf
1 aB0 sen(t ) 2
17.18) Utilizar (17-46) para encontrar la inductancia mutua de los circuitos que se muestran en la figura. ¿Es consistente esta respuesta con el resultado del ejercicio 173? (Clave supóngase que la porción recta va de –L a L, siendo L muy grande y pásese al limite L lo mas tarde que se pueda en el calculo. R/= M jk
0 4
Cj Ck
ds j ds k R jk
;
r ´ y
´ r xxˆ yyˆ
ˆ ( y y ´) y ˆ R xx
R x2 y y ˆ ds ´ dyy ˆ dyy ˆ ds dxx
M jk
0 4
M jk
M jk
x
dy ´dy 2
y y
L 0 dy lim L 4 L
0 4
dy lim L
0 2L lim L ln 4 0 d
jk
M jk
0 lim L b ln 4
0 d a b ln 4 d
2L dy d a
2
2L d 2L d a
0 d a lim L b ln 4 d 2
1 2
´1 2 2
2
M jk
M
yy
2
2
b
M jk
dy
L y x 2 y L ln 1 2 x y L 2 y L
4L 0 dy lim L 2 4 x
´x
M jk
´2
1 ´2 2
b ln
2
2
M jk
0 d a b ln 4 d
17.19) Las corrientes antipara léelas infinitamente largas y el rectángulo de la figura esta en el mismo plano. Los dos lados de la longitud B son paralelos a la dirección de la corriente. Encontrar la inductancia mutua entre el circuito de las corrientes opuestas y rectángulo. Verificar que en el límite adecuado el resultado se reduce al de los ejercicios previos.
R/=
M jk
0 4
CC
ds ds R
r xxˆ yyˆ
;
; r yyˆ
R2 x 2 y y
ˆ , ds 2 dyy ˆ ds1 dyy
,
0 dxxˆ dyyˆ dyyˆ dxxˆ dyyˆ dyyˆ M jk 1 1 4 2 2 2 2 22 x y y x y y
M jk
L 0 dy dy lim L 4 2 L x 2 y y
1 2
lim L
0 2L lim L b ln 4 Dd
M jk
0 4 L2 b lim L ln 4 D d d a
M jk
L
dydy
x
2
y y
1 2 2
2
2
M jk
2
2L D d a
b ln
D d d a 0 lim L ln 4 d D d a D d d a 0 b ln 4 d D d a
M jk
L
0 b 0 b 2L 0 2L 2L 2L dy ln lim L ln dy ln dy ln 4 x x 0 x y b 0 b 2
M jk
2
2
2L d
b ln
4 L2 d D d a
ln
1 2 2
1 2 2
ˆ dyy ˆ ds dxx
R1 x 2 y y
;
2
2
2L d a
b ln
2
17.20) Una bobina toroidal de N vueltas tiene u radio central del toroide igual a b y el radio de su sección circular es a. demostrar que su auto inductancia es 1 0 N 2 b b 2 a 2 2 .
R/= tenemos que LI y que B da
0 IN b b 2 a 2
1 2
L I
1 0 IN b b 2 a 2 2 L I
L 0 N b b2 a 2
1 2
17.24) Dos cascarones cilíndricos conductores, coaxiales e infinitamente largos, conducen corrientes de igual magnitud pero en direcciones opuestas. Si el radio del cascaron interior es a y del exterior es b, encontrar la auto inductancia de sección de longitud l de este sistema. R/= Tenemos que el campo de inducción para un cilindro es
B ds u 0 I
B 2 u 0 I u I B 0 ˆ 2
u0 I 2
l
0
b
a
1
u 0 Il b ln 2 a
B. A LI
u 0 Il b ln LI 2 a
L
u0l b ln 2 a
L u0 b ln l 2 a
CAPITULO 18 18-4) Utilizar el hecho de que la energía entre circuitos dada por (18-8) debe ser positiva para demostrar que la inductancia M12 L1L2 . (18 8) D f xy
1 1 2 2 L1I1 M12 I1I 2 L2 I 2 2 2 f xx f yy 0 Um
2
D U I 1I 2 U I 12I 1 U I 11I 1 0 2
U L1I1 M 12 I 2 I1 2U M12 U I1I 2 I1I 2
U L2 I 2 M12 I1 I 2
2U L1 I1I1
2U L2 I 2 I 2
D M12 L1 L2 0 2
2
M 12 L1L2 M
L1L2
18.5) Una auto inductancia L, una resistencia R, y una batería fem están conectadas en serie. Utilizar consideraciones de energía para demostrar que la corriente i satisface la ecuación diferencial L (di/dt)+Ri = b . Suponer que i 0 y que se retira la batería del circuito. Resolver la ecuación resultante y encontrar el tiempo de relajación de éste problema. 0 di dt di Ri L dt di dt L Ri Si L t ln i R 0 Ri L
ie
R t L
R L
18.6) Considere una situación al vacío en la que E y B tienen el mismo valor numérico en sus unidades apropiadas. En otras palabras E=x volt/metros y B=x tesla. Encontrar la relación u m /u m de sus densidades de energías respectivas y evaluar su valor numérico.
Ex Bx 1 1 U Uc 0E 2 0 x2 c ? 2 2 Um 2 2 B x 1 Um 0 x2 U 2 0 2 0 F H FH 2 c 0 0 8.85 *10 12 * 4 *10 7 1.112 *10 7 2 1x 2 Um m m m 20
18-7) Un conductor cilíndrico largo magnético de radio b tiene un conductor coaxial de radio a perforado en su centro, es decir, que es como el de la fig. (18-1) con el conductor en la región y todos los demás al vacío conduce una corriente I distribuido horizontalmente. Encontrar la energía, magnética asociada con la inducción un trozo de longitud L del conductor.
J
I I 2 A b a2
I enc
2 a 2 I b 2 a 2
I enc
I a b2 a2
Um Um Um
2
I enc J 2 a 2
2
B
Um 0
b
4 b 2 a 2
oI L
2
a4 2 a a
d
3
B2 2 o 8 2 b 2 a 2
4 b 2 a 2
8 2 b 2 a
o I 2L
4 b 2 a 2
2
2
4
2 2 a 2a 2
2 2 a 4 2 2ld 2 a
4 2a 2 a 4 ln 2 4
4
2
2 2
b4 a4 b a 3 ab 2 a 4 ln 4 a
2 2
oI L
oI
2
4
2
a2 2 oI
b a ab 2 a 4 ln b a 3 a 4 ln a 4 4
2
um
4 b a
oI 2 b 2 a 2
b
oI 2L
2
figura 18-1 I 2 a2 B o 2 2 b a 2
b
a
18.8) Una bobina toroidal enrollada apretadamente con N vueltas tiene radio central b y el radio de su sección circular es a. encontrar la energía magnética cuando descula una corriente I por sus vueltas y demostrar que esto llevara a la misma auto inductancia que se encontró en el ejercicio 17-20. Si a b demostrar que L se vuelve aproximadamente a la misma que para el caso de un solenoide ideal muy largo de longitud 2b . ¿Resulta esto razonable?
a 2 0IN dd m 2 0 0 b cos
a b tan 0IN 4 1 2 m d 1 tan 2 0 b2 2 2 b 0
B. ds 0 I
B 2 0 I
0 I 2 b cos BA B
2 2
0IN d m 2 2 4 2 0 b 2 a
1 2 2 2 m 0IN b b a 1 2 2 2 2 m 0IN b b a
Um
I m 2
1 2 2 2a 0 I N b b Um 2 0 I 2 N 2 b b 2 a 2 1 2 LI 2 2 1 L 0N 2 b b 2 a 2 2 2
2
Si a b
1
2
a2 L 0 N 2 b 1 1 2 b
1
1
a2 L 0 N b b 1 2 b 2
2
2
2
0 N 2b
18.10) Un método muy común para fabricar cables coaxiales es utilizar un conductor xterior muy delgado, es decir que los radios b y c de la figura 18-1 son casi iguales. Demostrar que en estas circunstancias la contribución de conductor exterior a la auto inductancia es aproximadamente, así demostrar que (18-34) es consistente con el resultado encontrado en el ejercicio 17-24. I B 2 0 I enc 0 enc 2
2 b2 I enc J 2 b 2 I I 1 2 c b 2 c2 0 I B 2 2 2 c b
c4 c4 0 I 2 2 2 2 2 2 c 2 c 2 2 2 2 2 2 2 4 2 c 2 b 2 8 c b c 2 4 2 c 4 c 1 2 2 2 2 0 I 0 I Um 2c 2 2 ddz c ln c b 3c b 2 2 2 2 2 2 2 b 4 4 c b b 4 c b Um
1 2 1 B 20 2
2
0 I 2
0 I 2l 0lI 2c 2 2 2 2 2c c b 8 c 2 b2 Um 16 c 2 b 2 1 2 0lI 2c 2 LI 2 8 c 2 b 2 L
0lc 2 4 c 2 b 2
18.11) Generalizar (18-39) y (18-40) para el caso de mas de dos circuito en un sistema. 18 39 Fm U m I Corrientes constantes
18 40 Fm II M 1 I j d j 2 j 1 dU m I j d j ; dU B I j d j 2dU m j 2 j dU total dU m dU B dU m Fm U t U m I 1 1 1 1 U m j I j M jk I j I k I j0 M j 0 k I k I j0 M jj 0 I j cons tan te 2 j 2 j k 2 2 j Um
k j U m I j0 M j0 k I k cons tan te
U
m I
j0U m
I
I j0
Fm I j I k j M jk k j
I
k j0
k
j0
M jk
18.12) Utilizar (18-41) para encontrar la fuerza sobre c de la figura 13-5, y verificar que el resultado es el mismo que se obtuvo en el ejercicio de 17-24. Tomando el resultado del problema 17-19 tenemos
ds .ds M 0 4 c c R
r yyˆ r xxˆ yyˆ
ˆ ds dyy ˆ dxx ˆ ds dyy
R xxˆ y y yˆ
R x 2 y y
2
1
2
b L a L 0 dyyˆ . dyyˆ dxxˆ dyyˆ . dyyˆ dxxˆ M jk lim lim 4 0 L L d 2 y y 2 12 b L L d a 2 y y 2 12 b L a L 0 dydy dydy M jk lim lim 4 0 L L d 2 y y 2 12 b L L d a 2 y y 2 12 d a M jk 0 b ln 2 d d a II 0b ln d a la d II 0b 1 1 Fm II 0 ln d 2 d 2 d 2 d a d II 0ba Fm Newton. 2 d a
18-14) Encontrar la fuerza sobre el círculo de radio b que se muestra en el figura. Dejar la respuesta en forma de integra pero verificar que se reduce el resultado del ejercicio 13-8 bajo las condiciones apropiadas.
M jk
cos j k d j d k o ab 2 2 4 0 0 c 2 a 2 b 2 2ab cos j k 1/ 2
F II ' M jk M F II ' zˆ C
abII ' 2 2 cos j k d j d k F o 4 0 0 C c 2 a 2 b 2 2ab cos j k 1/ 2 abII ' F o cos j k 12 c 2 a 2 b 2 2ab cos j k 4 cos j k d j d k zˆ abII ' F o |3 / 2 4 c 2 a 2 b 2 2ab cos j k
2c d d zˆ 3 / 2
j
k
18.15) Utilizar el resultado del ejercicio 17-25 para encontrar la fuerza sobre el circulo de radio b de la figura 17-14 cuando los dos círculos se encuentran muy lejos uno del otro.
ab M jk 0 4
cos j k d j dk
2 2
c 0 0
2
a 2 b 2 2as cos j k
1
2
r b cos k xˆ senk yˆ czˆ r a cos j xˆ sen j yˆ R a cos j b cos k xˆ asen j bsenk yˆ czˆ
ab Fm 0 4
2 2
0 0
ab Fm 0 4 Fm
cos j k d j dk
2 2
cos 0 0
j
d d k
j
1 2 c a 2 b 2 2ab cos j k 2 c
k lim c
c
c 2 a 2 b 2 2ab cos j k
3
2
0 ab cos j k d j dk 0 0 4
18-16) Un resorte largo es flexible de longitud L cuelga verticalmente con su extremo superior firmemente sujeto. Tiene n vueltas por unidad de longitud y el radio de su
sección circular es a. Se cuelga una masa m del extremo inferior del resorte. Se hace pasar una corriente I por el resorte para ayudarle a resistir el peso sin que se estire o se encoja. Si se desprecia la masa del propio resorte, demostrar que 1/ 2 I I / na 2mg / o . Hacer todo esto de dos maneras usando (18-39) y (18-43). 18 39 F U 18 43 F U m
m
m
m
I
Se puede tratar como si fuera un solenoide
L o n 2 S Um
1 2
LI
2
1 2
o
n 2 a 2 I 2
La corriente es cte. lo que cambia es la longitud del resorte. U m 1 ˆ 2 ˆ mgz ˆ Fm o n 2 a 2 I 2 z z
2mg
I
o n 2a 2 1 na
I
18
2mg
o
43 Fm U m
LI : I L 2 1 2
Um LI
permanece constante
2 2 2 U m 21 L 2 2L 2 o n 2 a 2 L 2 1 Um 2 o n 2a 2
F
2 2 2 2 2 o n a
2 n 4 2 2 a 4 I 2 F o zˆ 2 o n 2a 2 2
o n 2 a 2 I 2 mg 2 2mg I o n 2a 2 I
1 2mg na o
LI o n 2 a 2 I
18.17) Una bobina delgada y larga de longitud l, sección S y n vueltas por unidad de longitud, conduce una corriente I. Se le coloca a largo del eje de un anillo circular de radio a que conduce una corriente I . Si es el desplazamiento del centro de la bobina al centro del anillo, medido a lo largo del eje de la bobina, encontrar la fuerza sobre la boina en función de .
U m I conts
dmenz B z .S.# devueltas nBSdz B z
0 I a2
2 4 a z 2
3 2 2
U m I I d
B. A
l 2
l 2
II 0 na S dz 1 II 0 na 2 S 3 2 2 2 2 2 2 2 l a z l 2 a 2 U m Fm I
Um
2
l2 l2 1 Fm II 0 nSa 2 2 a 2 l 2 1 a 2 l 2 2 2 2 1 1 1 Fm 0 II nSa 2 3 3 2 a 2 l 2 2 a 2 l 2 2 2 2
1
2
l 2
a 2 l
2 2
1
2
1
2
18.20) Un cascaron cilíndrico delgado y largo de radio a conduce una corriente I en la dirección de su eje. Encontrar la fuerza por unidad de longitud sobre el. ¿Tiende esta fuerza ase que el cascaron explote o se aplaste? ¿Cuál es la fuerza total sobre un segmento de longitud l del cascaron?
Fm
U m r
B ds 0 I
B 2 0 I B
0 I ˆ 2
U m I d
B. A
d
I0 2
x
a
dl
I 2 0 l d I 2 0 l x Um ln 2 a 2 a x
U m I 2 0l x I 2 0l a ln x 2 x a 2 x 2 Fm I 0 a l 2 x
Fm
Para cualquier punto en el espacio.
