COMPENDIO ACADÉMICO 2
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
INTROD UCCIÓN :
Muchas veces escuchamos expresiones como: “ha estudiado mucho es muy probable que ingrese a la universidad”, “el cielo está despejado es poco probable que llueva”, etc. Frecuentemente el término probabilidad se usa para indicar duda o incertidumbre sobre lo que ocurrirá. La práctica demuestra que existen acontecimientos que no se pueden predecir, sin embargo si es posible estimar el probable resultado.
Al lanzar el dado se obtiene como único resultado probable 1 punto. EXPERIMENTO ALEATORIO
Es toda prueba o ensayo cuyos resultados no pueden predecirse sin realizar previamente la prueba, ya que consta con más de un resultado posible. Ejemplo
"¿Qué será más probable: obtener una bola roja o una bola blanca, al sacar una bola de la caja?"
:
R B B B B
No podemos predecir qué resultado saldrá ya que podría ser: 1, 2, 3, 4, 5 ó 6 puntos. Es, sin duda, más probable obtener una bola blanca; ya que en la caja hay más bolas blancas que rojas. Para este ejemplo, que no es muy complicado, se deduce que la probabilidad de sacar una bola blanca es 4/5.; mientras que la probabilidad de sacar una bola roja es sólo 1/5, ¿pero cómo obtenemos estos resultados?; o más aún ¿qué significan? Precisamente en esta parte explicaremos todo ello. Conceptos Previos EXPERIMENTO D ETERMINÍS TICO
Es toda prueba o ensayo cuyo resultado puede predecirse sin realizar previamente la prueba, ya que consta de un único resultado posible. Ejemplo
:
EXPERIMENTO MUES TRAL
Es el conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.
Ejemplo : Experimento aleatorio: “Lanzamiento un dado”. Espacio muestral: 1, 2, 3, 4, 5, 6
de
Número de elementos del espacio muestral: n 6 EVENTO O S UICES O
A,
B, C, ...
Es cualquier subconjunto de un espacio muestral. Se denota con las primeras letras del alfabeto (mayúsculas). Ejemplo
:
Experimento aleatorio: “Lanzar un dado” Evento: “Obtener un puntaje impar” 1, 2, 3, 4, 5, 6 A 1, 3, 5 www.antorai.com.pe
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ACADEMIA ANTONIO RAIMONDI
Siempre los primeros, dejando huella
n A 3
n 6
Luego: P
n A n
1 4
Rpta.
D EFINICIÓN D E PROBABILID AD
Si “A” es un evento de un espacio muestral, entonces la probabilidad de ocurrencia de “A” se denota por P(A) y está dado por la relación. P A
N de casos a favor de A n A N total de casos posibles en n
Ejemplo 03: Si se lanzan dos dados, uno de color blanco y otro de color rojo, ¿cuál es la probabilidad de obtener 7 puntos en total? a) 2/18 b) 1/4 c) 1/6 d) 3/7
e) 1/12
Ejemplo 01:
Solución:
Si se lanza un dado, ¿cuál es la probabilidad de obtener un puntaje impar? a) 1/3 b) 1/6 c) 4/5 d) 1/2 e) 2/3
Cuando tengamos experimentos en los que se lanzan dos dados es recomendable usar el siguiente esquema:
dado rojo
Solución: Experimento aleatorio: “Lanzar un dado” Espacio muestral: 1, 2, 3, 4, 5, 6 n 6 Evento: “Obtener un puntaje impar” A 1, 3, 5 n A 3 Luego:
P
n A 3 n 6
1 2
Rpta.
¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos monedas se obtenga en ambas sello? a) 1/3 b) 5/6 c) 1/5 d) 1/4 e) 1/2 Solución: monedas
los
posibles
2
3
4
5
6
1
2 dado blanco
3
4
Este resultado indica que se obtuvo 1 punto en el dado blanco y 6 en el rojo
5
6
Ejemplo 02:
Al lanzar dos resultados son:
1
Casos totales: 1,1 2,1 3,1 6,1
1, 2 , 1, 3 , ... , 1, 6 , 2, 2 , 2, 3 , ... , 2, 6 , 3, 2 , 3, 3 , ... , 3, 6 ,
,
6, 2 , 6, 3
, ... , 6, 6
n 36
Casos a favor: A 1, 6 , 2, 5 , 3, 4 , 4 , 3 , 5 , 2 , 6 ,1
n A 6 c c s s
c s c s
Luego: P
n A 6 n 36
1 6
Rpta.
Ejemplo 04:
Una caja contiene 4 esferas azules y 5 esferas rojas: : c,c , c, s , s,c , s, s n 4 I. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer muestral una esfera, esta sea azul? Suceso : A s, s n A 1 Espacio
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www.antorai.com.pe
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RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
II. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer dos esferas, ambas sean rojas? III. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer 5 esferas, dos sean azules y 3 rojas? a) 4/9 ; 5/18 ; 10/21 b) 4/9 ; 5/18 ; 11/21 c) 4/9 ; 5/18 ; 13/21 d) 4/9 ; 4/36 ; 10/21 e) 5/9 ; 5/18 ; 10/21
Casos totales: R1 A1 , R1 A 2 , R1 A3 , A1 A 2 ,... 98 36 2 1 N de casos a favor 10 5 P N de casos totales 36 18 9
N° de casos totales C 2
III. Probabilidad de que al extraer 5 esferas, 2 sean azules y 3 rojas.
Solución: A A R R R
I. Probabilidad de que al extraer una esfera sea azul: A A A A R R R R R
P
4 3 5 4 3 5! 9 8 7 6 5 2!3 !
A
A A A A R R R R R
# de azules = 4 # de rojas = 5 # total = 9 Como al extraer una esfera se quiere que sea azul: Número de casos a favor = 4 (porque hay 4 azules) Número de casos totales = 9 4 (porque hay 9 esferas en total) P 9 II. Probabilidad de que al extraer dos esferas, ambas sean rojas: R
A A A A R R R R R
R
P
5 4 5 9 8 18
Análogamente se deduce: N° de casos 9 8 7 6 5 9 C5 126 5 4 3 2 1 N° de casos a favor 4 3 5 4 3 4 5 C2 C3 60 2 1 3 2 1
De las 4 azules sacar 2
10 60 21 126 PROPIEDADES
P
Se observa que cualquier grupo de 2 esferas rojas que podemos formar con las 5 esferas rojas que tenemos representa un caso a favor, luego: 54 5 N° de casos a favor C 2 10 2 1 Al extraer dos esferas podría salir cualquier de los grupos de 2 que podemos formar con las 9 esferas: www.antorai.com.pe
De las 5 rojas sacar 3
Rpta.
Si “A” es un evento definido en , entonces: 0 P A 1
Cuando: P(A) = 0, se dice que A es un evento imposible; porque nunca va a ocurrir. Ejemplo Evento A: “Obtener un puntaje mayor que 7 en el lanzamiento de un dado”.
Si denotamos a las esferas como: R 1 , R 2 , R 3 , R 4 , R 5 , A1 , A 2 , A 3 , A 4 Casos a favor: A R1R 2 , R1R 3 , R1R 4 , R 2 R 3 ,...
totales
Cuando: P(A) = 1, se dice que A es un evento seguro; porque siempre ocurre. Ejemplo Evento A: “Obtener un puntaje menor que 7 al lanzar un dado”
Probabilidad por complemento: Si “A” es un evento definido en el espacio muestral , entonces: 37
ACADEMIA ANTONIO RAIMONDI P A 1 P A' donde: P(A): Probabilidad de que ocurra el evento A. P(A’): Probabilidad de que no ocurra el evento A.
Ejemplo 05: Calcular la probabilidad de obtener al menos una cara en el lanzamiento de 3 monedas. a) 1/8 b) 1/4 c) 3/8 d) 7/8 e) 5/8
Siempre los primeros, dejando huella Aplicando la propiedad por complemento - Probabilidad de que Juan resuelva: 1/3 Probabilidad de que no resuelva: 1 – 1/3 = 2/3 - Probabilidad de que María resuelva: 2/5 Probabilidad de que no resuelva: 1 – 2/5 = 3/5 Como: P sea resuelto P no resuelto 1 que María no resuelva
que Juan no resuelva
P sea resuelto
2 3
c c c c s s s s
c c s s c c s s
c s c s c s c s
3 5
Rpta.
P A y B 0
n 8
donde: P A o B : Probabilidad de que ocurra A o B Eventos independientes: Se dice que dos eventos son independientes cuando la ocurrencia de uno no afecta a la ocurrencia del otro, entonces se cumple: P A y B P A P B
Como el complemento (lo contrario) de obtener al menos una cara es no obtener ninguna cara (puros sellos). Hallemos la probabilidad de obtener puros sellos. A sss n A' 1 1 Luego: P A' 8 1 7 Entonces: P A 1 8 8 La probabilidad de obtener al menos una 7 cara es 8 Ejemplo 06: Las probabilidades que tienen Juan y María de resolver un mismo problema son 1/3 y 2/5 respectivamente. Si ambos intentan hacerlo, señale la probabilidad de que el problema sea resuelto. a) 2/5 b) 3/5 c) 1/4 d) 3/4 e) 11/15
2 5
Eventos mutuamente excluyentes: Se dice que A y B son eventos mutuamente excluyentes cuando ambos no pueden ocurrir a la vez, entonces se cumple: P A o B P A P B
ccc , ccs , csc , css , scc , scs , ssc , sss
Resolución:
3 1 5
P sea resuelto 1
Resolución:
donde: P A y B : Probabilidad de que ocurra A y B.
Ejemplo 07: Una bola se extrae al azar de una caja que contiene 4 bolas blancas, 5 bolas rojas y 2 bolas azules. Determinar la probabilidad de que sea azul o roja. a) 2/11 b) 10/11 c) 5/11 d) 4/11 e) 7/11 Resolución: Del enunciado: www.antorai.com.pe
38 A A R R
Se extrae una bola
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RAZONAMIENTO MATEMÁTICO RM o RV es 0,85, ¿cuál es la probabilidad de que estudie ambos a la vez? a) 0,1 b) 0,2 c) 0,3 d) 0,4 e) 0,5
P azul
2 11
P roja
5 11
Como no es posible que la bola sea azul y roja a la vez (eventos mutuamente excluyentes), entonces: 7 2 5 P azul o roja Rpta. 11 11 11
Resolución: Como Angélica puede estudiar RM y RV a la vez, los eventos “estudiar RM” y “estudiar RV” no son mutuamente excluyentes, entonces: P RM o RV P RM P RV P RM y RV
0,85 0,75
P RM y RV 0, 40 La probabilidad de que estudie ambos cursos a la vez es 0,40.
Ejemplo 08: Calcular la probabilidad de obtener sello al lanzar una moneda, y un puntaje impar mayor que 2 al lanzar un dado. a) 2/3 b) 1/12 c) 1/6 d) 2/11 e) 5/6 Resolución: Sabemos que al lanzar una moneda: 1 P sello 2 Como al lanzar un dado los posibles resultados son: : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6
Los casos a favor son: 3 ; 5 2 1 Luego: P impar 2 6 3 Como obtener sello en la moneda no afecta a que se obtenga un puntaje impar mayor que 2 en el dado, entonces: 1 1 1 Rpta. P sello e impar > 2 6 2 3
Nota : Cuando dos sucesos A y B no son independientes: P A y B P A P B/A donde: P B/A : Probabilidad de que ocurra B, asumiendo que ya ocurrió el suceso A.
Ejemplo 10: En una caja hay 15 fichas, de las cuales 10 están pintadas de rojo y el resto de blanco. Una persona extrae dos fichas, una por una. Halle la probabilidad de que ambas sean de color rojo. a) 4/9 b) 3/7 c) 5/9 d) 4/7 e) 2/7 Resolución: Del enunciado:
B B B B R R R R R R R R R R R
Nota : Cuando dos eventos A y B no son mutuamente excluyentes, es decir pueden ocurrir a la vez: P A o B P A P B A y B
Ejemplo 09: La probabilidad de que Angélica estudie RM es 0,75 y la probabilidad de que estudie RV es 0,50. Si la probabilidad de que estudie www.antorai.com.pe
0,50 P RM y RV
1º
2º
R
R
N de rojos = 10 N° de blancos = 5 N° total = 15
Nos piden: 2do rojo, asumiendo 1er 2do P y P 1er rojo P que en la primera rojo rojo salió rojo
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ACADEMIA ANTONIO RAIMONDI
Siempre los primeros, dejando huella para saber qué canasta contiene a las canicas que pesan más?
Hay 9 fichas rojas que quedan
10 9 15 14
3 7
Rpta.
Cada canasta tiene 10 canicas a) 1 d) 4
Como se extrajo una ficha quedan 14
b) 2 e) 5
c) 3
Ejemplo 11: Se han vendido 100 boletos de rifa numerados del 001 al 100. Si el número ganador ha resultado par, ¿cuál es la probabilidad de que sea premiada una persona que ha comprado los números 020, 021 y 022? a) 3/20 b) 3/100 c) 1/50 d) 1/25 e) 1/20 Resolución: Se nos dice calcular la probabilidad que gane, sabiendo que el número ganador fue par. Utilizando: casos favorables , tenemos Probabilidad casos totales Casos totales: No son todos los resultados posibles, si no sólo aquellos boletos cuya numeración es par; es decir: Casos totales: 002 ; 004 ; 006 ;...; 100
1. Encontrar la probabilidad que al lanzar un dado se obtenga un valor impar. a) 20% b) 40% c) 50% d) 30% e) n.a. Resolución: Experimento aleatorio: lanzar un dado Espacio muestral: 1, 2, 3, 4,5,6 n 6
Casos favorables: A 1, 3,5 n A 3
P A
n A 3 0, 5 n 6
P A 50%
Rpta.
50 casos
Casos favorables: Son todos los boletos que compró la persona; pero que se encuentran en los casos totales; es decir los pares: Casos favorables : 020 ; 022 2 casos
Probabilidad
2 50
1 25
Rpta.
¡¡Diviértete!!
2. Al lanzar tres la probabilidad iguales? 1 a) 2 1 d) 3
monedas al aire. ¿Cuál es de que las tres sean 1 4 1 e) 5
b)
c)
1 6
Resolución: CCC;CCS;CSC;SCC;SSS;SSC;SCS;CSS D e donde: n 8
A CCC, SSS n A 2 Se tiene 6 canastas que contienen 10 canicas cada una; en cinco canastas las canicas pesan 10 gramos cada una y en una canasta las canicas pesan 11 gramos cada una. ¿Cuántas pesadas como mínimo deben hacerse en una balanza de un solo platillo,
40
P A
2 8
1 4
Rpta.
3. Al abrir un folleto de 100 páginas, calcular la probabilidad que al observar ésta página no termine en cero.
www.antorai.com.pe
COMPENDIO ACADÉMICO 2 9 5 9 d) 4
a)
9 6
b)
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO c)
9 10
e) n.a.
n 36 ; n A 5
Resolución: 1 , 2 , 3 , 4 ........ , 100 De donde: n 100 A página que termina en cero
A 10, 20, 30,.......,100 n A 10 A' pagina que no termina en cero
Entonces: P A' 1 P A 10 P A' 1 100 9 Rpta. P A' 10
4. Una casa está conformado por 11 niños y 7 niñas, si se escoge 4 estudiantes al azar .¿Cual es la probabilidad que todos sean niños? 11 11 11 a) b) c) 102 50 40 11 d) e) n.a. 100 Resolución: 11
Pr obabilidad
C4 18 C4
(# casos fav.) (# Total casos fav.)
11 10 9 8 18 17 16 15 11 Pr obabilidad Rpta. 102 Pr obabilidad
5. Se lanzan dos dados al aire simultáneamente. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 8 puntos? 5 5 5 a) b) c) 4 8 36 5 d) e) n.a. 26 Resolución: er
1 dado 6 5 4 3 2 1
do www.antorai.com.pe 1 2 3 4 5 6 2 dado
P 8 puntos
5 36
Rpta.
6. Para una rifa se venden 20 cupones; Mario compra dos cupones, si se ofrecen dos premios. ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga solo uno de los premios? 9 9 9 a) b) c) 5 8 10 9 d) e) n.a. 4 Resolución: 19 18 10 C2 2 Pr obabilidad 20 20 19 C2 2 9 Pr obabilidad Rpta. 10 7. Se tiene una caja con 3 bolas rojas, 5 bolas blancas y 4 bolas verdes. Determinar cual es la probabilidad de que se extraiga una bola roja ó blanca. 2 5 4 a) b) c) 3 9 9 1 7 d) e) 3 9 Resolución: F 3 P 1 rojo T 12 F 5 P 1 blnaca T 12 Piden: P 1 roja ó 1 blanca P 1 roja P 1 blanca 3 5 8 12 12 12
2 3
Rpta.
8. En una urna se tiene 4 bolas de color rojo, 6 bolas de color verde y 8 bolas de color azul. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una bola sea de color verde o azul? 7 7 7 a) b) c) 9 2 5 7 d) e) n.a. 8 Resolución: Total de bolas: 41
ACADEMIA ANTONIO RAIMONDI n 4 6 8 18 Verde ó azul n A 6 8 14 14 P verde ó azul 18 7 P verde ó azul 9
Siempre los primeros, dejando huella 2 7 1 d) 3
a)
2. Diana quiere pintar un triángulo de la figura. Si escoge uno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que pinte un triángulo que contenga a lo más 2 regiones simples?
15 9 7 d) 20
13 20 11 e) 20
b)
c)
9 10
3. Dos turistas encuentran tres hoteles denominados “A”, “B” y “C”, y se alojan al azar pudiendo estar ambos turistas en un mismo hotel. ¿Cuál es la probabilidad de que el hotel “B” no aloje a ninguno?
42
c)
4 9
4. En una urna se tienen 20 fichas numeradas del 1 al 20. Se extrae una ficha y se sabe que su número es par. ¿Cuál es la probabilidad de que este número sea divisible por 3? 1 3 2 a) b) c) 13 10 10 7 1 d) e) 15 10
Rpta.
1. Se lanza un dado y se sabe que el resultado es n número par. ¿Cuál es la probabilidad de que ese número sea divisible por 3? 1 1 1 a) b) c) 3 4 2 1 1 d) e) 5 6
a)
4 7 5 e) 9
b)
5. Tres cazadores A, B y C están apuntando con sus rifles a un león. La probabilidad de que A acierte el disparo es 4/5, la de B es 3/7 y la de C es 2/3. Si los tres disparan, ¿cuál es la probabilidad de que los tres acierten? 18 17 27 a) b) c) 35 35 35 99 8 d) e) 105 35 6. La probabilidad de que Magali compre una blusa es 0,3 y de que compre una falda es 0,5. Hallar la probabilidad de que compre sólo una de dichas prendas, si la probabilidad de que no compre ninguna es 0,5. a) 0,1 b) 0,2 c) 0,3 d) 0,4 e) 0,5 7. De una caja que contiene 3 bolas negras, 4 blancas y 2 amarillas, se extrae al azar una de ellas. Hallar la probabilidad de que la bola extraída no sea negra. 4 1 5 a) b) c) 7 3 9 4 2 d) e) 3 9 8. Se ubican 5 personas (dos de ellas son Pedro y Walter) en una mesa circular. ¿Qué probabilidad hay de que Pedro y Walter no se ubiquen juntos? 1 1 2 a) b) c) 5 3 4 1 3 d) e) 2 4 9. De 100 pacientes examinados, 20 padecían de artritis, 32 padecían de gastritis y 8 tenían ambos males. Hallar la www.antorai.com.pe
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probabilidad de seleccionar un paciente que padezca de artritis o gastritis. 11 11 17 a) b) c) 25 50 50 13 19 d) e) 50 25 10. En una caja hay 30 bolas del mismo tamaño numeradas del 1 al 30. Si se eligen 3 números al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sean consecutivos? 1 1 2 a) b) c) 147 145 145 1 3 d) e) 155 406 11. Determinar extraer 2 cartas corazones. 1 a) 13 3 d) 28
la probabilidad de que al de una baraja éstas sean 1 2 4 e) 25
b)
c)
1 17
12. A una señora embarazada le diagnostican que tendrá trillizos. ¿Cuál es la probabilidad que el día del parto nazcan 3 mujeres? 1 1 1 a) b) c) 8 4 2 1 1 d) e) 3 16 13. La probabilidad que tiene “A” de ganar a “B” en una partida de ajedrez es igual a 1/3. ¿Cuál es la probabilidad que tiene “A” de ganar por lo menos una de tres partidas? 1 8 1 a) b) c) 27 27 9 19 4 d) e) 27 27 14. De una que contiene 5 focos defectuosos y 6 focos en buen estado se sacan dos focos a la vez. Hallar la probabilidad de que los dos sean buenos. 7 4 7 a) b) d) 9 11 11 8 3 d) e) 11 11 15. En una caja hay 30 fichas numeradas del 1 al 30, todas del mismo tamaño y forma. Si extrae una ficha al azar, ¿cuál es la probabilidad de que ésta sea múltiplo de 3 ó de 5? www.antorai.com.pe
8 15 7 d) 15
a)
13 30 3 e) 10
b)
c)
1 2
16. Se lanzan dos dados al mismo tiempo. Hallar la probabilidad de que la suma de los resultados de los dos dados sea igual a 10 o igual a 7. 1 7 1 a) b) c) 6 12 36 1 7 d) e) 4 18 17. Si se lanzan 3 monedas sobre una mesa, ¿cuál es la probabilidad de que se obtengan 2 caras y 1 sello? 1 1 5 a) b) c) 2 4 8 1 3 d) e) 8 8 18. En una reunión hay 10 hombres y 8 mujeres. Si se eligen 3 personas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que todas sean mujeres? 13 7 8 a) b) c) 102 102 102 15 11 d) e) 102 102 19. Se lanzan 5 monedas al mismo tiempo sobre una superficie lisa. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 3 caras y 2 sellos? 1 7 5 a) b) c) 8 16 16 1 3 d) e) 2 16 20. Suponga que se ha cargado un dado, de manera que la probabilidad que ocurra un número determinado es proporcional al cuadrado mismo. Calcule la probabilidad que se obtenga 4 puntos. 2 4 1 a) b) c) 91 21 91 16 4 d) e) 91 91 21. Un recipiente contiene 4 bolas rojas y 4 bolas blancas; todas del mismo tamaño y material. Si se extraen dos bolas una a una. Calcule la probabilidad de obtener una de cada color. a) Con reposición b) Sin reposición 43
ACADEMIA ANTONIO RAIMONDI 1 3 ; 2 7 1 4 d) ; 2 7
a)
24 2 ; 49 7 8 4 ; e) 49 7
b)
c)
Siempre los primeros, dejando huella 12 2 ; 49 7
22. Al lanzar dos dados, ¿cuál será la probabilidad de obtener 3 como diferencia de los resultados en los dados? 1 1 1 a) b) c) 6 19 12 2 1 d) e) 17 18 23. En una carpeta se van a ubicar 4 hombres y 3 mujeres. La probabilidad de que se ubiquen de forma alternada es: 2 6 3 a) b) c) 35 35 35 4 1 d) e) 35 35 24. Le piden a “Tito” que escriba un número de 3 cifras. ¿Cuál es la probabilidad de que el número escrito por “Tito” esté formado sólo por cifras impares? 1 7 5 a) b) c) 8 36 36 7 5 d) e) 18 18 25. Se tiene dos urnas: en la primera hay 3 bolas azules y 6 rojas, en la segunda urna se tiene 4 bolas azules, 3 rojas y 2 blancas. Si se extrae una bola al azar, determine: a) La probabilidad de que la bola extraída sea azul. b) Si la bola extraída resultó roja, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la primera urna? 7 1 7 3 a) b) c) y y 12 9 24 4 7 2 y 18 3 3 4 5 1 y d) e) y 17 7 18 5 26. En un salón de clase se encuentran 10 niños y 4 niñas. Si se escogen tres estudiantes al azar, ¿cuál es la probabilidad de que dos de ellos sean niños y la otra sea niña? 46 45 36 a) b) c) 73 91 53 49 34 d) e) 81 55
44
27. Un grupo de 12 amigas, entre las cuales se encuentran Juana y María, se van de excursión. Si se decide formar un grupo de 5 personas, calcule la probabilidad de que en dicho grupo siempre estén Juan y María. 12 7 4 a) b) c) 29 28 23 5 9 d) e) 35 33 28. En una canasta hay 4 duraznos, 6 manzanas, 5 naranjas y 3 peras. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir 4 frutas al azar resulten ser del mismo tipo? 25 8 7 a) b) c) 102 1050 1020 16 11 d) e) 511 1020 29. Se colocan aleatoriamente 6 obras en un mismo estante, entre las cuales hay una obra de 4 tomos, otra de 3 tomos, otra de 2 tomos y las restantes de un solo tomo cada una. ¿Cuál es la probabilidad de que los tomos de cada obra estén juntos? (Obs: Todos los tomos son de diferente tamaño) 25 3 2 a) b) c) 2333 2320 2315 7 1 d) e) 2310 2310 30. Una persona lanza 3 dados, y gana si obtiene 8 puntos. ¿Cuál es la probabilidad de ganar? 4 1 1 a) b) c) 9 9 4 7 5 d) e) 72 6 31. Sobre la superficie de una esfera marcamos tres puntos al azar. ¿Cuál es la probabilidad que los tres puntos queden en una misma semiesfera? 1 1 1 a) b) c) 360 4 10 1 d) e) 1 2 32. Se elige al azar un número entre los 200 primeros números enteros positivos. ¿Cuál es la probabilidad de que el número elegido sea divisible por 6 o por 8? 1 1 1 a) b) c) 6 4 15
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COMPENDIO ACADÉMICO 2 d)
1 5
e)
1 8
33. Una bola contiene canicas de colores: 5 blancas, 7 negras y 4 rojas. Calcule la probabilidad de que al extraer 3 canicas, las 3 sean blancas. 3 3 3 a) b) c) 4 16 28 2 1 d) e) 25 56 34. Halle la probabilidad de obtener un número primo al sumar los puntos luego de lanzar dos dados normales. 3 7 5 a) b) c) 17 12 12 16 17 d) e) 36 23 35. Se tiene un circuito de 8 cm de radio. Si ubicamos en su interior un punto aleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad de que este punto esté más cerca o a igual distancia del centro que de la circunferencia? 1 2 2 a) b) c) 5 3 4 3 7 d) e) 7 9 36. En una caja se tiene 4 bolas azules y 6 bolas blancas. Se extrae 3 bolas al azar, una por una (sin reposición). Hallar la probabilidad de que la primera sea blanca, la segunda azul y la tercera blanca. 1 1 3 a) b) c) 5 5 6 5 2 d) e) 6 5 37. En una carrera de caballos participan 3 peruanos, 2 bolivianos y 4 ecuatorianos. Si todos tienen igual posibilidad de ganar, ¿cuál es la probabilidad de que primero llegue un peruano y segundo un boliviano? 1 1 1 a) b) c) 5 6 24 1 1 d) e) 9 12 38. En una carrera de autos participan 4 competidores A, B, C y D. Uno de ellos necesariamente debe ganar. Si la probabilidad de que gane A es el doble de la www.antorai.com.pe
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO B, la de B es la mitad de C y la de D es el triple de A, ¿cuál es la probabilidad que gane A? 1 1 1 a) b) c) 5 6 24 1 2 d) e) 9 11 39. Se extrae una carta de una baraja normal. Calcular la probabilidad de obtener un 4 o un 6. 2 1 2 a) b) c) 9 13 13 1 15 d) e) 9 26 40. Sabiendo que la probabilidad de que ocurra una accidente en 1 km de una carretera es 1/3. ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra al menos un accidente en 3 km de esa carretera? 8 1 1 a) b) c) 27 27 3 19 2 d) e) 27 3 41. Cuatro personas que no se conocen entre sí acuden al cine. En el cine aun quedan 2 filas, de 8 asientos cada una, vacías. Si todos se ubican cada uno en un asiento. ¿Cuál es la probabilidad de que se ubiquen en una misma fila? 12 1 2 a) b) c) 13 13 13 7 5 d) e) 52 52 42. Con 7 médicos y 4 ingenieros se debe formar un comité de 6 miembros. ¿Cuál es la probabilidad que el comité incluya al menos 2 ingenieros? 1 17 53 a) b) c) 2 66 52 1 23 d) e) 3 62 43. 6 parejas de casados se encuentran en una habitación. Si 4 personas se seleccionan al azar, encontrar la probabilidad de que se escojan 2 parejas de casados. 1 1 1 a) b) c) 17 3 2 2 1 d) e) 5 33
45
ACADEMIA ANTONIO RAIMONDI 44. Si se lanza 5 veces un dado, ¿cuál es la probabilidad de que las 5 caras que aparecen sean diferentes? 7 31 1 a) b) c) 23 32 32 7 5 d) e) 54 22 45. Se tienen 2 urnas: en la primera hay 5 esferas rojas y 2 blancas, y en la otra 3 rojas y 5 blancas. Se saca una esfera al azar de cada urna, se hecha en una tercera urna vacía y se revuelven. Si de esta tercera urna se saca al azar una esfera, halle la probabilidad de que esta esfera sea blanca. 7 8 51 a) b) c) 15 15 112 13 8 d) e) 25 21 46. Se lanza “n” veces un dado. ¿Cuál es la probabilidad de no obtener en ningún lanzamiento el número 5? n
a)
6 1 5
1 b) 6
n
5 c) 1 6
49. En una urna se tiene 5 esferas azules numeradas del 1 al 5, y 6 esferas rojas numeradas del 1 al 6. Si a una persona con los ojos vendados se le hace sacar dos esferas de esa urna, ¿cuál es la probabilidad de obtener una esfera azul y una roja cuya suma sea 8? 13 8 4 a) b) c) 50 55 55 5 6 d) e) 53 53 50. De una baraja de 52 cartas se extraen 5 cartas al azar. Calcule la probabilidad de obtener: a) Tres cartas del mismo número, y las otras dos también del mismo número pero diferente que el número que tienen las otras tres. b) Dos rojas y tres negras.
a)
13C 43 12C 42 ; C 262 C 326
b)
2 1 ; 13 7
c)
13C 85 ; C 525 C 52
d)
5 6 ; 52 13
n
n
1 d) 1 6
e) n
5 e) 6
n
47. Una anciana lleva en una canasta dos clases de fruta. Naranjas y limas. Se sabe que el número de limas es la cuarta parte del número de naranjas; y además la tercera parte del número de naranjas están malogradas y de las limas la mitad están malogradas. Si la anciana sin ver mete la mano en la canasta y saca una fruta, ¿cuál es la probabilidad que sea una naranja malograda? 3 4 5 a) b) c) 17 15 16 4 3 d) e) 19 13 48. Se tienen las cifras 1, 2, 3, 5 y 7 y se quiere formar un número de dos cifras de ellas. ¿Cuál será la probabilidad de formar un número múltiplo de 3? 12 1 9 a) b) c) 7 9 25 3 2 d) e) 7 5 46
Siempre los primeros, dejando huella
52 C5
52 C5
52 C5
52 C5
1 1 ; 3 2
51. Se tiene 9 puntos en el espacio, en forma aleatoria se toman puntos para unirlos de 2 en 2, de 3 en 3, de 4 en 4 y así sucesivamente; estos puntos se unen mediante rectas. Calcule la probabilidad de que al unir puntos se puedan formar pirámides de base triangular. 60 63 62 a) b) c) 531 251 251 52 49 d) e) 135 154 52. Tres amigos: Juan, Pedro y Luis entran a una tienda en la cual sólo hay tres marcas de gaseosas: Fanta, Inca Kola y Coca Cola, al ser consultado por la vendedora, ellos dicen que cualquier gaseosa les da igual. ¿Cuál es la probabilidad de que los 3 tomen la misma gaseosa, si la probabilidad de que la vendedora coja cualquier gaseosa siempre es la misma? 1 2 1 a) b) c) 9 5 2 3 1 d) e) 7 5 www.antorai.com.pe
COMPENDIO ACADÉMICO 2
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
53. Se lanzan m monedas a la vez. Calcule la probabilidad de obtener n caras. (Obs. n
n
m 1 b) C n 2
m
m 1 d) C n 4
m 1 a) C n 2
m
n 1 c) C m 3 m
n 1 e) C m 2
54. De una baraja de 52 naipes se sacan 3 naipes en forma aleatoria y al mismo tiempo. Halle la probabilidad de obtener una carta color rojo con número primo, otra color negro con número par y un as? 144 24 72 a) b) c) 5525 5525 5525 d)
12 5525
e)
21 5525
55. Un gato persigue a 3 ratones que huyen hasta esconderse en uno de los 6 agujeros que están frente a ellos. ¿Cuál es la probabilidad de que los 3 ratones se escondan en el mismo agujero, si la probabilidad de que cualquier ratón entre a cualquier agujero siempre es la misma? 1 1 1 a) b) c) 36 20 18 2 3 d) e) 9 16 56. Al ordenar al azar y en fila las 13 cartas de espadas de una baraja de 52 naipes, ¿cuál es la probabilidad de que el as aparezca primero, el 2 aparezca segundo y el 3 aparezca tercero? 1 1 1 a) b) c) 1716 144 156 1 1 d) e) 11 132 57. Un estudiante quiere enviar una carta a sus padres. La probabilidad que el estudiante escriba la carta es 7/10. La probabilidad de que el correo no pierda la carta es 8/10. La probabilidad de que el cartero entregue la carta es 6/10. Dado que los padres no recibieron la carta. ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante no haya escrito? 42 28 63 a) b) c) 73 31 83 www.antorai.com.pe
d)
75 166
e)
82 123
58. Coquito entra a la habitación de sus padres; ellos al verlo no podían escrutar en su mirada qué resultados habían obtenido él y sus tres hermanos en el examen de admisión. La madre ansiosa pregunta: – ¿alguno de ustedes ingresó?– A lo que Coquito asintió con la cabeza. El padre serenamente mirando a su hijo, dijo: entonces la probabilidad de que todos ustedes hayan ingresado es… Si lo que dijo el padre es correcto, determine usted lo que él dijo. (Obs. El padre asigna la misma probabilidad de ingreso a todos los hijos). 1 1 3 a) b) c) 15 46 25 1 2 d) e) 35 45 59. En la maternidad de Lima se hizo un estudio sobre los nacimientos y se obtuvo el siguiente resultado: la probabilidad de que una pareja de esposos tenga mellizos es 0,3 y que tenga trillizos es 0,2. Si de un grupo de 10 parejas se escoge al azar 2 parejas, calcule la probabilidad de que una de las parejas tenga mellizos y la otra tenga trillizos, si además se desea que cada pareja tenga por lo menos un hijo varón. a) 0,0135 b) 0,0215 c) 0,039375 d) 0,0413 e) 0,0515 60. Se lanzan 6 monedas y un dado. ¿Cuál es la probabilidad de que el número que se obtenga en el dado sea igual al número de caras obtenidas? 17 21 31 a) b) c) 128 135 192 13 19 d) e) 164 142 61. En una misma urna se tienen 4 bolas blancas y 5 bolas negras. Si se extrae aleatoriamente 5 bolas una por una, donde las dos primeras extracciones son con reposición y las tres últimas sin reposición, ¿cuál es la probabilidad de que en todas las extracciones se obtengan bolas de un mismo color? 115 729 1123 a) b) c) 3497 4327 3439 47
ACADEMIA ANTONIO RAIMONDI d)
112 2349
e)
157 3402
62. En una urna se tienen 3 bolas azules, 6 blancas, 4 verdes y 2 rojas. Calcule la probabilidad que al extraer 3 bolas al azar: a) Ellas resulten del mismo color. b) Ellas resulten de colores diferentes. 5 6 5 13 8 11 ; a) b) c) ; ; 97 97 91 91 91 91 5 36 19 40 d) e) ; ; 91 91 91 91 63. Dos jugadores que tienen la misma habilidad, juegan una secuencia de partidos hasta que uno de ellos gane 2 partidos seguidos. Determina la probabilidad de que se necesite un número par de partidos para que se termine el juego. 1 1 2 a) b) c) 3 3 4 1 3 d) e) 4 2 64. Un hombre se va a pescar y lleva 3 tipos de carnada, de las cuales sólo una es la correcta para pescar. La probabilidad de que pesque si usa la carnada correcta es 1/3 y 1/5 si escoge la carnada incorrecta. ¿Cuál es la probabilidad de que pesque si escoge una carnada al azar? 14 11 13 a) b) c) 31 45 24 15 12 d) e) 54 65
1. Se tiene 12 ampolletas en un botiquín, de las cuales 9 son buenas, tomándose una por una dichas ampolletas. ¿Cuál es la probabilidad de que al tomar la séptima ampolleta ésta sea la tercera mala? a) 0,1590 b) 0,25 c) 0,428571 d) 0,3 e) 0,0681 2. Una clase contiene 10 hombres y 20 mujeres, de los cuales la mitad de los hombres y la mitad de las mujeres tienen ojos pardos. Encontrar la probabilidad de 48
Siempre los primeros, dejando huella que una persona escogida al azar sea un hombre o tenga los ojos pardos. 1 1 2 a) b) c) 2 3 3 1 4 d) e) 7 5 3. En una carrera de caballos; el caballo Claudio tiene las apuestas 5:1 en su contra, mientras que el caballo Royal las tiene 9:1 a su favor. ¿Cuál es la probabilidad que cualquiera de estos caballos gane? 1 1 11 a) b) c) 3 4 12 32 4 d) e) 15 30 4. Ocho amigos participan en un campeonato de ajedrez. Este grupo está formado por 2 parejas de casados, 3 jóvenes y una chica. Si las mujeres tienen la mitad de la habilidad de los hombres, calcule cuál es la probabilidad que una mujer casada gane. 4 1 2 a) b) c) 13 13 13 7 6 d) e) 13 13 5. Tres hermanas van a cenar con tres amigos. Si todos se sientan en una mesa circular con 6 sillas, ¿cuál es la probabilidad de que las hermanas estén siempre juntas? 4 1 7 a) b) c) 5 5 10 2 3 d) e) 5 10 6. Una urna (I) contiene una bola blanca y 3 negras; la urna (II) contiene 3 bolas blancas y 2 negras y la urna (III) 4 bolas negras y 8 rojas; una urna se escoge aleatoriamente y de ella se extrae una bola. Calcule cuál es la probabilidad que la bola elegida sea de color negro. 89 19 89 a) b) c) 180 180 193 77 15 d) e) 120 60 7. Se quiere ordenar los números del 1 al 6 en el triángulo. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los vértices sea la menor posible?
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COMPENDIO ACADÉMICO 2
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 18
d)
C 12 20
C 12
1 3 1 e) 24
1 6 1 d) 2
a)
b)
c)
1 120
8. En una habitación 10 personas tienen insignias numeradas del 1 al 10. Se eligen 3 personas al azar y se les pide que dejen la habitación e inmediatamente se anotan los números de las insignias. ¿Cuál es la probabilidad de que el número menor de las insignias sea el 5? 2 1 1 a) b) c) 5 6 12 1 9 d) e) 3 10 9. Un juguero, muy creativo, prepara sus jugos utilizando únicamente piña, manzana, naranja, fresa y maracuya. Cierto día me presentó una lista que indicaba todos los posibles jugos que él podía preparar; y elegí uno al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que dicho jugo contenga piña, pero no fresa? 7 8 1 a) b) c) 31 31 31 11 30 d) e) 31 31 10. Una habitación tiene 3 porta bombillas conectadas a un mismo interruptor. De una caja con 20 bombillas, de las que 6 son buenas y el resto defectuosas, se saca al azar 3 bombillas que se colocan en las 3 porta bombillas. Al dar contacto con el interruptor, calcule la probabilidad de que la habitación quede iluminada. 1 11 29 a) b) c) 6 30 30 5 11 d) e) 6 23 11. De un grupo de 20 personas se quiere escoger a 8. Si Luisa y Ángela se encuentran entre las 20 personas, ¿cuál es la probabilidad de que ellas dos se encuentren entre las elegidas? 18
8
C2
a)
20
C8
b)
C8
20
C8
18
C5
20
C8
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c)
15
e)
C 12 20
C 12
12. Se tiene en una urna 8 bolas rojas y 4 bolas blancas. Se saca una bola y se reemplaza por dos bolas del mismo color, luego se saca otra bola. Hallar la probabilidad de que en la primera y en la segunda extracción las bolas sean del mismo color. 28 23 21 a) b) c) 37 39 42 17 7 d) e) 13 39 13. Una caja contiene 4 focos defectuosos y 6 buenos. Se sacan dos a la vez y se prueba uno de ellos, encontrándose que es bueno. ¿Cuál es la probabilidad de que el otro también sea bueno? 1 5 3 a) b) c) 5 9 2 4 4 d) e) 7 9 14. En un casting se seleccionan a 5 varones y 7 mujeres, de los cuales se aceptarán a 4 de ellos. ¿Cuál es la probabilidad de que el grupo aceptado sea mixto? 93 91 90 a) b) c) 97 101 99 1 3 d) e) 2 5 15. Manuel debe viajar a Huaraz, su tierra natal, pero sólo puede hacerlo por ómnibus o por auto. Si se sabe que la probabilidad de que viaje en auto es el triple de la que viaje en ómnibus, y además la probabilidad de que no viaje es 0,4, hallar la probabilidad que realice el viaje en ómnibus. 5 1 7 a) b) c) 7 5 20 4 3 d) e) 20 25 16. En un juego de azar se dispone de 10 números, el jugador debe elegir 3 números sin importar el orden como los elija y marcarlos en la cartilla que va a comprar. Si el juego se realiza y una persona compra una cartilla, ¿cuál es la probabilidad que acierte los 3 números? 49
ACADEMIA ANTONIO RAIMONDI 1 120 7 d) 120
a)
1 60 1 e) 40
b)
c)
Siempre los primeros, dejando huella 1 30
17. Se tiene dos urnas: la primera contiene 3 bolas blancas y 2 negras; y la segunda contiene 2 bolas blancas y 5 negras. Si se selecciona al azar una urna, se saca una bola y se coloca en la otra; luego se saca una bola de esta última, halle la probabilidad de que las dos bolas sacadas sean del mismo color. 903 1680 905 1680 907 d) 1680
a)
b)
e)
de seguir cualquiera ruta. ¿Cuál es la probabilidad de que la canica llegue al punto B?
901 1680
c)
A
B 5 8 3 d) 8
a)
913 1680
19. Una urna contiene 5 fichas numeradas con 1, 2, 3, 4, y 5. Un experimento consiste en lanzar un dado chino (4 caras numeradas del 1 al 4) y extraer una ficha. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una ficha que sumada con el puntaje del dado sea 5? 1 1 1 a) b) c) 6 5 3 3 1 d) e) 5 4
23. Un dispositivo electrónico debe activar las válvulas que se muestran en la figura. Si las probabilidades que se activen están indicadas, ¿cuál es la probabilidad que llegue agua? P1 0, 3
P2 0, 4
tanque P4 0, 2 P3 0, 8
c)
e) 0,579
21. El gráfico muestra canaletas de madera. En el punto A se suelta una canica que se desplaza por las canaletas, al llegar a una bifurcación tiene la misma probabilidad 50
1 4
¿Cuál es la probabilidad que pinte un cuadrado congruente con el sombreado? 5 2 11 a) b) c) 9 3 18 1 13 d) e) 2 18
20. Se escoge al azar un punto interior a un triángulo equilátero de lado 3. Hallar la probabilidad de que su distancia a un vértice sea mayor que 1. b) 0,427
c)
22. A un niño se le pide que pinte un cuadrado de la siguiente figura:
18. Una caja contiene cuatro monedas: una moneda es corriente, la otra moneda tiene dos caras, la otra dos sellos y la última está cargada de modo que la probabilidad de obtener sello es 1/5. Halle la probabilidad de que al seleccionar una moneda y lanzarla se obtenga cara. 17 17 11 a) b) c) 40 30 20 23 21 d) e) 40 40
a) 0,397 0,497 d) 0,597
6 7 3 e) 5
b)
a) 0,0367 0,0582 d) 0,0321
b) 0,0528
c)
e) 0,0123
24. Tania Dispone de 3 pares de zapatos negros y 2 pares de zapatos blancos, 5 www.antorai.com.pe
COMPENDIO ACADÉMICO 2
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
pantalones blancos y 4 pantalones negros, 3 camisas negras y 4 blancas. a) d)
71 315
b)
76 315
e)
74 315
c)
77 315
1 8 1 d) 9
a)
79 315
25. Sobre un plano se han trazado dos circunferencias concéntricas de radio 5 cm y 10 cm respectivamente. Hallar la probabilidad de que un punto marcado al azar en el círculo mayor caiga en la corona circular formada por las circunferencias (suponga que la probabilidad de que un punto incida en una figura plana es proporcional al área de esta figura y no depende de su situación). 1 2 3 b) c) 3 4 2 5 4 d) e) 6 5 26. Dentro de una circunferencia de radio R se marca al azar un punto. Halle la probabilidad de que el punto resulte en el interior de un cuadrado inscrito en dicha circunferencia.
a)
3 3 4 1 d)
a)
b) e)
2
c)
1 2
2
27. Se selecciona al azar un punto P del interior del pentágono con vértice A 0 ; 2 ,
B 4 ; 0 ,
C 2 1 ; 0 ,
D 2 1 ; 4
y
2 17 1 e) 7
b)
c)
2 19
29. Estando en Lima, Raúl y Elena deciden encontrarse entre los días lunes 13 y miércoles 22 de mayo en la ciudad del Cusco, pero acuerdan que cada uno no espere más de 1 día al otro. Calcular la probabilidad de que se encuentren. (Nota: No importa la hora del día que lleguen) 16 15 19 a) b) c) 81 81 81 1 17 d) e) 9 81 30. Considerando que la semana comienza el lunes, ¿cuál es la probabilidad de que al escoger Manuel 2 días del mes de febrero para salir con su enamorada, estos resulten días consecutivos y de la misma semana; si además el 1ro de febrero fue lunes? 4 2 1 a) b) c) 63 63 63 1 5 d) e) 63 21 31. Lobito observa una casa de forma pentagonal desde 2 km de distancia (ver gráfico)
E 0,4 . ¿Cuál es la probabilidad de que APB sea obtuso? E
D
Lobito
A
B
1 2 3 d) 8
a)
C
5 16 e) 5
b)
c)
1 4
28. ¿Cuál es la probabilidad que una persona que avanza de A a C no pase por B?
www.antorai.com.pe A
B
¿Qué probabilidad hay que desde esa distancia puedan verse tres lados de la casa? 1 1 1 a) b) c) 5 6 4 1 1 d) e) 2 8 32. Se escoge al azar un punto X sobre un segmento de recta AB con punto medio O. Halle la probabilidad de que los segmentos 51
C
ACADEMIA ANTONIO RAIMONDI
Siempre los primeros, dejando huella
de recta AX, XB y AO puedan formar un triángulo. 1 1 2 a) b) c) 3 4 3 1 3 d) e) 4 2
enteros. Se lanza una moneda de diámetro 1/2 al azar sobre el plano. Hallar la probabilidad de que la moneda cubra un punto de X. a) 10% b) 15% c) 20% d) 25% e) 30%
33. Al lanzar un dado 2 veces; determinar la probabilidad de que la suma de los resultados obtenidos en su cara superior sea como mínimo 5. Sabiendo que el resultado obtenido la primera vez fue mayor que el obtenido la segunda vez.
37. Carlos y Manuel tiran dos dados y Carlos saca 9. Hallar la probabilidad que tiene Manuel de sacar un número mayor 1 1 2 a) b) c) 5 5 4 3 2 d) e) 5 3
5 8 11 e) 15
1 6 1 d) 18
a)
b)
c)
13 15
34. La víctima de un accidente morirá, a menos que reciba en los próximos 10 minutos una transfusión de sangre tipo A– Rh positivo. Se dispone de 100 donantes, de los cuales sólo se sabe que el 40% tiene sangre de este tipo. Se necesitan 2 minutos para determinar el tipo de sangre del posible donante y 2 minutos más para realizar la transfusión. ¿Cuál es la probabilidad de que se salve, si el hospital dispone de un solo tipo de tipificación de sangre? a) 55,32% b) 57,92% c) 78,36% d) 87,56% e) 95,34% 35. Se tiene un recipiente mostrado en la siguiente figura: 5 cm
como
el
base
2, 5
38. En una caja se tiene 4 bolas de color rojo, 3 bolas de color verde y 2 bolas de color azul. ¿Cuál es la probabilidad que al retirar dos bolas, ambas sean rojas? 1 1 4 a) b) c) 6 5 5 3 2 d) e) 5 9 39. Una urna contiene 4 bolas rojas y 2 negras; otra urna contiene 3 bolas rojas y 5 negras; se extrae una bola de cada bola. Determinar la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean rojas. 1 1 2 a) b) c) 5 5 4 5 1 d) e) 6 9 40. Si se lanzan la probabilidad sellos? 1 a) 2 1 d) 5
al aire 4 monedas. ¿Cuál es de obtener 4 caras y 2 1 3 1 e) 6
b)
c)
1 4
5
Si Popis lanza una moneda de radio 2 cm dentro del recipiente, ¿cuál es la probabilidad que la moneda toque la circunferencia de radio 2,5 cm ubicado en la base? 2 35 34 a) b) c) 5 36 39 2 1 d) e) 3 3 2
36. Considere el plano cartesiano R , y desígnese X como el subconjunto de puntos para los cuales ambas coordenadas son 52
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