ACADEMIA ANTONIO RAIMONDI
Siempre los primeros, primeros, dejando huella
MOVIMIENTO: MOVIMIENTO: Es el desplazamiento de un punto (móvil (móvil)) respec respecto to a un sistem sistemaa de refere referencia ncia elegid elegidoo como fijo. 'rmulas para re"ordar
Elementos del movimiento: Mvi Mvil: l: Se denomina así a todo cuerpo o punto en movimiento respecto a un sistema de referencia. Sistema de Re!eren"ia: Re!eren"ia: Es aquel aquel luga lugarr de donde donde el el observador aprecia el movimiento. Tra#e" Tra#e"tor toria: ia: Es la línea geométrica que describe el móvil, pueden ser rectilíneo o curvilíneo. Dist Distan an"i "ia: a: Es la long longit itud ud line lineal al desd desdee el punt puntoo de part partid idaa ast astaa el punt puntoo en que que se encu encuen entr traa en un determinado instante.
e &
t&
t
e v
Ejemplo Ilustrativo 'n automóvil que describe una tra!ectoria rectilínea en la cual el móvil recorre metros por cada segundo. *ué *ué dist distan anci ciaa abr abr++ reco recorr rrid idoo desp despué uéss de abe aberr transcurrido - segundos
9 :óvil
e
v&
v. t
2s
2s
2s
m
m
m
Si cogemos un tramo cualesquiera observamos que la razó razónn m/s m/s es cons consta tant nte, e, deno denomin min+n +ndo dose se a ésta ésta velocidad del automóvil.
8
7
i a n c a t i s ;
2s
ur v
ur v v
⇒
=
(m /s
g "ra!ectoria
0as unidades de la velocidad en el S1# MOVIMIENTO RECTI$%NEO &NI'ORME El movimiento se realiza en una tra!ectoria rectilínea, el móvil avanza distancias iguales en tiempos iguales, a esta razón se denomina velocidad del movil. Cara"ter(sti"as: • "ra! "ra!ec ecto tori riaa # rect rectil ilín ínea ea • $elocidad # constante • %ce %celera leracción ión # nula nula t
e
e
e
e
%plicaremos#
e
=
v. t
m - s s
(
=
) 4- m
Rpta)
e
espacio t
2
3ara# v = m /s , t = - s , e =
e = ( - )
t
v
m. m . s
e=
t
***)antorai)"om)pe velocidad
ó
m /s
tiempo
3ara convertir la velocidad de 5m/ a m /s se multiplica por -/26. +
RA-ONAMIENTO MATEM.TICO 3ara convertir la velocidad de m / s a 5m/ se multiplica por 26/-.
COM/ENDIO ACAD0MICO 1
@
-
En resumen:
×
%
26
> →
v%
Dm /
e>
m /s
e%
;el gr+fico se oberva#
26
e%
×
MOVIMIENTOS SIM&$T.NEOS
;espejando# t alcance
2Cam
e v%
=
%$v>
6 am
3ara móviles de magnitud apreciable ! en movimiento# ¬
→
v>
v%
Cuando los mviles se diri2en en sentidos opuestos 0%
2er.
e>
e%
{
e>
e e e
e >
v%
$2
;el gr+fico se oberva#
e>
e%
{
e>
t alejamiento
+5
2
e
t(
(
;
t2 %
v
mp
e to ta l
e2
e,
e(
t to ta l
t2
t,
t(
e e
e e v%
$
{
v % . t v> . t t v% v>
v>
$
do.
e
,
t,
v>
e
e%
v%
<
e
t encuentro
0>
Es la rapidez uniforme con la que un móvil se desplaza sobre una tra!ectoria dada.
{
v % . t v> . t t v% v>
0%
VE$OCIDAD MEDIA /ROMEDIO
e
;el gr+fico#
0> t cruce
e%
43
$>
TIEM/O DE CR&CE
+,
0os movimientos simultaneos pueden ser # A3
e
{
v % . t v> . t e t v% v> e
-
+,
e>
{
v>
Cuando los mviles se diri2en en el mismo sentido
Ejemplo 'na carretera consta de tramos, de 4A 5m ! 2B 5m= si un auto tarda 22 ! 2A en recorrer cada tramo respectivamente.
***)antorai)"om)pe
ACADEMIA ANTONIO RAIMONDI 4A 2B v mp 6 5m / 22 2A
Solu"in:
5m 26 6 & -
6 , 6 m / s
Siempre los primeros, dejando huella e)
d) 26
Rpta)
Si el policía salió al encuentro del ladrón después de A , quiere decir que la distancia que los separa en ese instante del ladrón es# A(2C) & AC5m. ur v policia
VE$OCIDAD /ROMEDIO C&ANDO $AS DISTANCIAS SON I6&A$ES Si los recorridos son iguales e 2 e e la velocidad promedio ( v mp ) es el promedio armónico de las velocidades.
=
2 5m/
ur v ladron = 2C 5m/ AC 5m
%plicaremos el tiempo de %lcance#
v mp
v2
v
2, 5m /
(.v 2 .v , .v ( v 2 .v ,
v , .v (
, C
Rpta)
/ro8lema 'na persona debe llegar a su casa eHactamente cuando sea ?t@ oras ! observa que caminando a razón de 5m/ llega - después ! caminando a B 5m/ llega - antes.
v 2 .v (
Solu"in:
;os móviles separados 4CC m parten al mismo tiempo al encuentro con velocidades de A m/s ! B m/s. ;espués de que tiempo se encontrar+n a) 2 s b) 2 s c) 2A s d) 2- s e) 26 s
Si camina con velocidad 5m/, llegara - oras tarde de la ora eHata "iempo # t + uur v
Solu"in: Am/s
Bm/s
=
t encuentro
e
=
v.t
e
=
(( t
+
-)
I..( 1 )
Si camina con velocidad B 5m/, llegara - oras antes de la ora eHacta
v>
eemplazando ! resolviendo tenemos# 4CCm te t A m / s B m / s
2A s
Rpta)
/ro8lema 7 Face A oras que escapó un ladrón con una velocidad de 2C 5m/ cuando sale en su bGsqueda un policia a 2 5m/. En cu+nto tiempo el policia atrapar+ al ladrón a) 2C b) C c) 2- ***)antorai)"om)pe
5m/
'tilizaremos# e
e v%
=
suuu v
4CC m
%plicaremos#
2C5m /
t %lcance
/ro8lema 1
=
v>
AC 5m
/ara tramos :
uur v2
v%
eemplazando valores#
v2. v
t %lcance
v m p
e
t alcance
/ara 7 tramos :
"iempo # t − uur v
=
B 5m/
e
'tilizaremos# e = v.t e
=
B( t
−
-)
I..( 11 ) +9
RA-ONAMIENTO MATEM.TICO 0os espacios recorridos en los casos ( 1 ) ! ( 11 ) son iguales, luego# ( t +- ) esolviendo# t + 2- = Bt − C
B( t −-) t = A-
⇒
es la ora eHacta
t& 2-
⇒
=
3or otro lado, como e = ( t + - ) eemplazando el valor de ?t&2-@, tenemos# e
=
(2- + -)
⇒
e
=
Fallando la velocidad pedida# v=
BC 5m 2-
=
Espacio
B C 5 m
COM/ENDIO ACAD0MICO 1 /ro8lema 9 'n patrullero de carreteras situado a 266 5m de la frontera con >rasil, recibe la comunicación de que a A6 5m delante de él, unos ladrones est+n fugando en un auto a 4C 5m/. % qué velocidad debe recorrer el patrullero, para alcanzar a los ladrones justo antes de que crucen la frontera a) 2C4,A 5m/ b) 2CC 5m/ c) 2C- 5m/ d) -C,- 5m/ e) KA 5m/ Solu"in: Lrafiquemos el caso#
e v
ur v
=
A 5m/
t
Rpta)
=
4C 5m/
A6 5m
2AC 5m 266 5m
/ro8lema 5 0os ladrones fugando a 4C 5m/ les faltaría para llegar a la frontera# 266 A6 2AC 5m
'n tren con movimiento rectilíneo de largo ?0@ pasa un puente de CC m de largo en 6 segundos. 'na mosca fija en el tren tarda - segundos en pasar el puente.
3odemos allar el tiempo que les tomaría llegar a la frontera# 2AC 5m t ladrones 4C 5m/
Solu"in:
El patrullero para alcanzarlos debe recorrer 266 5m en un tiempo de , luego su velocidad ser+#
0 CC
$patrullero
266 5m
KA 5m/
Rpta)
/ro8lema ; El espacio recorrido por la mosca es de CC m en un tiempo de - s. e mosca C C $mosca & $mosca & 6 m/s t mosca El espacio recorrido por el tren es de (CCJ0) m en un tiempo de 6 s. e tren CC J 0 CC J 0 $tren & $tren & m/s t tren 6 6
"odos los días sale de
0as velocidades de la mosca ! el tren son las mismas, luego# CC J 0 $mosca & $tren 6& 6 0
+;
A m
Rpta)
2# CC pm
=
0ima a
-C 5m /
e%
d
t>
AC 5m /
=
suu v>
e>
***)antorai)"om)pe
ACADEMIA ANTONIO RAIMONDI El ómnibus que va de
Siempre los primeros, dejando huella e B $
3or lo tanto# d = v %.t ⇒ d& -C ( )
El espacio ?e@ lo recorre
⇒
d
=
2CC 5m
Si el ómnibus de 0ima a .t > eemplazando# 2CC& AC ( t > ) ⇒
⇒
t > = ,-
;e ( 1 ) ! ( 11 ) K 0uego# t
& C m
Esto significa que el ómnibus se malogró C min antes de las 22#CC am, es decir# 22 # CC − C min
=
6#(C
/ro8lema <
t& B
⇒
;istancia %># B e
en sentidos contrarios= en el momento que se encuentran ! %na K en llegar a %. Fallar la distancia de % a >. a) 2C 5m b) 2-C 5m c) 26C 5m d) 2AC 5m e) 2CC 5m
t A
Rpta)
a.m.
=
B 4
2 6 C 5 m
/ro8lema + 'n automóvil se dirige de una ciudad ?%@ a otra ?>@, la mitad de su camino recorre a una velocidad de C 5m/ ! la otra mitad a 4C 5m/. Fallar la velocidad media del recorrido. a) C 5m/ b) A- 5m/ c) A 5m/ d) -C 5m/ e) B4 5m/ Solu"in:
Solu"in:
%plicaremos la fórmula para la velocidad media para ambos tramos (de distancias iguales)#
Sea ?t@ el tiempo de encuentro.
t
t
$ mp
$ mp
e
B + e A
4
v 2 .v v2
v
C 4C C 4C ACC 2C C
A 5m/
K
A
El espacio ?BJe@ lo recorre
Rpta)
e B t
! $%na
Fallando la razón de las velocidades#
***)antorai)"om)pe
e B K
Rpta)
/ro8lema = 3ara recorrer un río de 6C 5m de longitud, un bote demora 4 oras en el sentido de la corriente= pero cuando va en contra de la corriente demora 6 oras.
RA-ONAMIENTO MATEM.TICO Solu"in: $b # velocidad del bote $c # velocidad de la corriente Emplearemos#
%
Si se dirige a favor de la corriente 6C
v
COM/ENDIO ACAD0MICO 1
$b
$c 4
$b J $c & AC 5m/
I(1)
$b
$c 6
$c & 2C 5m/ I(11)
$b $b
Sumando ( 1 ) ! ( 11 )#
$b
-C Rpta)
- 5m /
/ro8lema 1 ;os automóviles parten de un mismo lugar en direcciones opuestas, el primero viaja - 5m/ m+s r+pido que el segundo. ;espués de 6 se encuentran a BC 5m el uno del otro.
$2N
=
$2N
=
$+-
$,N
=
$
$+-
$,N
=
$
BC 5m
ecordando la fórmula#
t %lejamiento
e $2N
eemplazando, de acuerdo al enunciado# B C 6 $ - $ esolviendo# $ - $ A$ AC
$ ,N
$& , C
0a velocidad del primer auto es# $ -
++
C -
7) ;os autos arrancan del mismo punto, viajando en direcciones opuestas. 0a velocidad de uno es 6C 5m/ ! la del otro es 4C 5m/. En cu+ntas oras llegar+n a separarse 4- 5m a) b) ,- c) A,- d) e) A ) ;os trenes marcan en sentido contrario ! sobre vías paralelas con velocidades de 2 ! 5m/, respectivamente. 'n pasajero ubicado en el segundo tren, calculó que el primero demoro en pasarle segundos.
$N # $elocidad del segundo ;el enunciado se tiene#
1) 'n tren de CC m de longitud, pasa por delante de una estación de BCC m de largo, a una velocidad de 2AA 5m/.
- 5m /
Rpta)
;) 'n postulante llega a *uillabamba en 4 oras, desde su lejana tierra $ilcabamba, situada a 2- 5m de distancia. 'na parte de su recorrido se trasladó en un caballo que andaba a - 5m/ !, otra en un bus que iba a -C 5m/. , llegando en su auto en C oras. Si al regreso aumenta su velocidad en A 5m/ llegar+ en B oras menos que a la ida.
***)antorai)"om)pe
ACADEMIA ANTONIO RAIMONDI =) 0a casa de un estudiante queda a 6AC m de su colegio ! se desplaza en un bote por un río, cuando va a favor de la corriente se demora C minutos, pero en contra la corriente demora C min.
b) K#CC p.m. e) -#CC p.m.
c) 4#CC p.m.
1)Pulio ace un recorrido de BA 5m a cierta velocidad, al volver por la misma ruta aumenta en 2CQ su velocidad de ida, lo que significa C min menos en la vuelta. % qué velocidad recorrió Pulio su viaje de ida (en 5m/) a) 6C b) KC c) 4d) 4 e) 6A 15)'n tren tarda un tiempo de ?n@ segundos en cruzar completamente a otro tren de CC m de longitud que va a su encuentro. *ué longitud tiene el primer tren, si la rapidez de ambos es de C ! C m/s, respectivamente a) -C n b) ACnRCC c) 4CnR2CC d) -CnRCC e) CnJCC 19)
Siempre los primeros, dejando huella 1<)'na lanca patrullera provista de una radio de BC 5m de alcance parte de :atarani al encuentro de un barco, cu!a velocidad es la quinta parte de la su!a= cuando sus mensajes alcanzan al barco ! éste responde que llegara a :atarani dentro de 2- oras, la lanca regresa inmediatamente ! puede anunciar la noticia a :atarani por medio de su radio - oras después de su partida. Fallar la velocidad del barco. a) BC 5m/ b) - 5m/ c) B 5m/ d) 4 5m/ e) 4C 5m/ 1+)'n automóvil segGn aumenta o disminu!e la velocidad en C 5m/, gana oras o pierde oras. *ué distancia recorre el automóvil a) 2CC 5m b) C 5m c) CCC 5m d) 26 5m e) A 5m 1=)'n ciclista se desplaza con una velocidad constante de 2 m/s ! durante el cruce de un tGnel rectilíneo permanece 4 s completamente dentro de él. es un nGmero entero de 5ilómetros comprendido entre 26C ! 26. 'n bus recorre dica distancia en C min, marcando con una rapidez eHpresada por un nGmero entero de 5m/= ! otro bus recorre dica distancia en A oras, con una rapidez eHpresada como la anterior. , del uno acia el otro. %l encontrarse, el primero a recorrido 2B 5m m+s que el segundo= pero, a partir de ese momento, el segundo cuadruplica su rapidez, llegando ambos al mismo tiempo.
RA-ONAMIENTO MATEM.TICO 75)'n bote tarda A minutos en recorrer, ida ! vuelta, un espacio de BAC m en un río, cu!a rapidez de la corriente es la tercera parte de la rapidez del bote. distante 6C 5m de %. Se cruzan en := después de cruzarse, el primero tarda A oras en llegar a > ! el segundo tarda K oras en llegar a %. % qué distancia de > se produjo el encuentro a) 5m b) B 5m c) AC 5m d) 6 5m e) A 5m
COM/ENDIO ACAD0MICO 1 En cierto treco del camino sube a la moto de un amigo que abía partido del mismo lugar a las C oras C minutos con una rapidez de 2-C m/min. El campesino llega a su destino C minutos antes que si ubiese continuado andando.
1) ;os móviles est+n separados por una distancia de CC metros. Si se desplazan al encuentro con velocidades de BC m/s ! AC m/s respectivamente. %l cabo de qué tiempo estar+n separados 2CC m por primera vez a) 2 s b) 6 s c) 2C s d) 2- s e) 2 s
=) 'na persona sale todos los días de su casa a la misma ora ! llega a su trabajo a las 2C#CC = un día se traslada a triple velocidad ! llega a su trabajo a las 6#CC . % qué ora sale siempre de su casa a) 4#CC b) B#CC c) -#CC d) A#CC e) K#CC
7) 'n tren demora 6 segundos en pasar delante de un sem+foro ! el triple de tiempo en cruzar un puente de ACC m de largo.
1)"odos los días sale de
) 'n tren que pasa por delante de un observador inmóvil, demora 4 segundos ! al pasar por una estación de BC m demora segundos. Fallar su velocidad. a) C m/s b) 2 m/s c) m/s d) m/s e) A m/s 5) 0uis ! %lberto parten de una ciudad a otra, situada a A 5m de la primera= 0uis lo ace con una rapidez de 5m por ora menos que %lberto, llegando a su destino con una ora de retraso.
11)'n ciclista va por una carretera, con una velocidad constante ! observa que el poste 5ilométrico indica ab 5m. 0uego de una ora de recorrido observa ba 5m ! una ora después se encuentra en el 5m aCb .
***)antorai)"om)pe
ACADEMIA ANTONIO RAIMONDI por medio de su radio cinco oras después de su partida del @ ! ?<@, los cuales an de recorrer 26CC m. El caballo % llega a la meta con una ventaja de BC m sobre ?>@ ! 6 segundos antes que ?<@ ! ?>@, luego segundos antes que ?<@. @ a) 2 min b) 2 min C s c) min C s d) min 2C s e) min 19)'n barco ?%@ est+ a AC millas al oeste de otro ?>@. El barco ?%@ se est+ moviendo acia el este a AC millas por ora ! el barco ?>@ acia el norte a C millas por ora. @. Si ?%@ en 2B oras recorre lo mismo que > en C oras, en cu+nto tiempo se encontrarían, si salieran en sentidos contrarios desde ciudades distantes en A-C 5m a) b) A c) 4 d) K e) - 1+)'n tren demora 2 minutos en pasar por delante de ?3amela@ ! - minutos en cruzar un puente de BCC metros.
***)antorai)"om)pe
Siempre los primeros, dejando huella 1=);os trenes cu!as longitudes son 2A4 m ! 2C m marcan sobre vías paralelas en el mismo sentido. Si la velocidad del primero es de A6 m/s ! el segundo demoró -C segundos en pasarlo, calcular en m/s la velocidad del Gltimo tren. a) b) 2c) 2 d) e) - 7)'n alumno desea calcular la distancia entre su casa ! cierta tienda, observando que# caminando a razón de B m/s tarda A segundos m+s que caminando a 6 m/s. @ dividiendo su recorrido en tres partes iguales. El primer tramo lo recorre con una rapidez de BC 5m/, el segundo tramo a C 5m/ ! el Gltimo con C 5m/. Fallar la rapidez media del ciclista. a) C 5m/ b) -- 5m/ c) C 5m/ d) BC 5m/ e) AC 5m/ 77)'n auto se dirige de una ciudad ?%@ a otra ?>@ que dista ?d@ metros con una rapidez ?$@, de ?>@ regresa con ?$/@ ! finalmente de ?%@ emplea ?$/A@ para volver a la ciudad ?>@. Fallar el tiempo total de viaje. a) 4 d/$ b) 6 $/d c) 2A d/$ d) 2 $/d e) 2- d/$ 7);os trenes parten a encontrarse desde poblaciones separadas a 64C 5m, al mismo tiempo. El tren de pasajeros viaja a 6C 5m/ ! el tren de carga a B- 5m/.
RA-ONAMIENTO MATEM.TICO e) 2- m/s ! 2A m/s
COM/ENDIO ACAD0MICO 1
7;)3ara ir de la ciudad % a la ciudad >, 0uisa camina a razón de 4C 5m/ ! para regresar de la ciudad > a la ciudad % utiliza una velocidad de C 5m/. Fallar el espacio %> recorrido por 0uisa, sabiendo que en total su viaje le a tomado C oras. a) AC 5m b) ACC 5m c) A2C 5m d) AC- 5m e) A-C 5m 7<)'n automóvil marca durante 2. Si éste ubiera marcado una ora menos a una velocidad ma!or de 5m/, abría recorrido - 5m menos.
Academia Antonio Raimondi El sistema efectivo para tu ingreso a la universidad.
=7
***)antorai)"om)pe
