CAPITULO 6 CAPACITANCIA ELÉCTRICA 1. CONDENSADOR O CAPACITOR Consideremos
dos
conductores
inmersos
en
un
dieléctrico
homogéneo. El conductor M 2 lleva una carga positiva, y M 1 una carga de igual magnitud pero negativa. No existen otras cargas presentes y la carga total del sistema es cero.
Se sabe ahora que la carga llega a la superficie como una densidad de carga superficial y también que el campo eléctrico es normal a la superficie equipotencial. Dado que M 2 lleva la carga positiva, el flujo eléctrico se dirige de M2 a M1, y M2 tiene el potencial más positivo. Dicho de otra manera, debe realizarse trabajo para llevar una carga positiva desde M 1 hasta M2. E
++ - - - Dieléctrico + + ---+ + -- Q -- + Q ++ -- + M + --- M1 --- +++ 2 ++ -+ + -- --+ ++ ++ -
Figura (61)
Dos conductores cargados con cargas opuestas M 1 y M2 rodeado por un dieléctrico uniforme.
A una contribución contribució n de este tipo se le llama CAPACITOR CAPACIT OR o CONDENSADOR.
192
Es un sistema formado por dos conductores, colocados uno cerca de otro y que tienen cargas de igual magnitud pero de signo contrario. Los conductores que contienen la carga positiva +Q y –Q –Q respectivamente se denominan armaduras o placas. La armadura o potencial más alta es la armadura positiva y la que está a potencial menor en la armadura negativa.
2. CAPACITANCIA (C). Es la razón entre la magnitud de la carga en cualquiera de los conductores, la magnitud de la diferencia de potencial entre ellos.
C 1 Faradio F
106 F
;
1C 1V
pF 10 F 12
Si V es la diferencia de potencial entre M 2 y M1, entonces definiremos la capacitancia de este sistema de conductores como el cociente de las magnitudes de la carga total de los conductores, y la diferencia de potencial que existe entre ellos. C
Q
.... ...... .... .... .. 63
V
C = capacitancia capacitancia eléctrica. Q = se determina determina por medio de una integral de superficie sobre el conductor positivo.
E.d S
S
Q
Q
S .E.d S
..... 64
193
V = se determina llevando una carga unitaria positiva de la superficie negativa a la positiva V
E.d
.......
65 65
reemplazando (2) y (3) en (1) se tiene:
C
S . E.d S E.d
: permitividad del medio homogéneo.
La
capacidad del capacitor no depende de la carga, pero si
depende de dos factores fundamentale f undamentales: s: 1) La diferencia geométrica de las armaduras, donde se incluye el tamaño, la forma y la separación. 2) Las propiedades del medio que contienen a las armaduras o el medio que lo rodea (aire, dieléctrico, vacío, etc).
CLASES DE CAPACITORES
1. Capacitores de placas paralelas Supongamos que tenemos dos placas paralelas de igual área A y queremos calcular calcular la capacidad.
Superficie gaussiana S
1
+ + + + + +q + + + + +
E
d
180º
d
Sea:
Figura (62)
A : área de d e cada placa. plac a.
194
-
2
d : distancia entre las dos placas Q : carga de cada placa.
Q A
: densidad superficial de carga.
Cálculo del campo eléctrico. Consideremos una superficie gaussiana S en forma de un pequeño cilindro, cuyas bases tienen un área a y una de las cuales se halla dentro de la placa. Aplicando la ley l ey de Gauss Gaus s a S.
E.d S S
Q 0
......
q .a cargaque carga que encierra encierra S
66
El flujo a través del área lateral es nulo, por ser el campo paralelo a dicha superficie. El flujo a través de la base del cilindro que se halla dentro de la placa también es nulo, por ser nulo el campo dentro de un conductor. Por lo tanto, el flujo a través de la superficie cerrada S se reduce al flujo a través de la base entre las placas y como el campo eléctrico es normal y constante en esta base tenemos:
a
E cos 0º .dS
E.a
Pero
q 0
q 0
E. a
Q A
a
E.dS
. a 0
E a dS E E
q 0
E .a
q 0
0
Q A. 0
....... 67
195
Cálculo de la diferencial de potencial Tomemos dos puntos en las placas. La diferencia entre los puntos (1) y (2) está dado por: V1 V2
1
2
E.d
1
1
1
2 E.d cos180º 2 E .d E 2 d Ed
V1 V2 E.d ........
68
Ahora bien, considerando (4) en (5), se tiene: V1 V2
Q.d A. 0
C
V
Q.d A. 0
A. 0 d
Q V
C
A. 0 d
2. Capacitor esférico Consta de un cascarón esférico de radio b y carga (-Q) concéntrico con una esfera conductora más pequeña de radio a y carga Q. Encontrar su capacitancia. -Q
E dS
Vb
E
a
Q Va
dr
b
Figura (63) Como el campo fuera de una distribución de carga simétrica esférica es radial y está dado por
196
Er
K .Q
campo entre las esferas a r b
2
r
la diferencia de potencial entre las esferas será:
a
b
dV
a
b
Er dr b
1 1 1 Va Vb dr KQ KQ 2 a r ra a b ba Va Vb V KQ ab b
C
K .Q
b a ab
KQ
ab K b a
3. Capacitor cilíndrico Un condensador cilíndrico de radio a y carga Q es coaxial con un cascarón cilíndrico más grande de radio b y carga (-Q). Encontrar la capacitancia de este capacitor si su longitud es . -Q b
Vb
Q a
Va
b a
r
Q
Va
b
Figura (64)
Como a y b , se desprecia los efectos
de borde. En este
caso el campo es perpendicular a los ejes de los cilindros.
197
La diferencial de potencial entre los dos cilindros será: b
b
Vb
Va a E r .d r a Er .dr ........ 69
Er
2 K
r
;
a r
b campo debido al cilindro interior
Reemplazando en (69):
Vb
b
Vb Va
V
b
Va a Er .dr a
2K
2 KQ
r
b a
ln
b a
dr
2K a
dr r
2K ln r
b Vb Va V 2K ln a
ln
2 K
b 2 K ln a
Q V
b a
;
Q
C
C
b a
2 K ln
4. COMBINACIÓN DE CAPACITORES a) COMBINACIÓN EN SERIE c1
v1
+Q
c2
v2
+Q
-Q
-Q
a
+ +Q ++ + + + +
c1 -
-Q
b
+ +Q ++ + + + +
v
Figura (65)
Supongamos que tenemos dos capacitores con capacidades C 1 y C2 que inicialmente están descargados y que luego se conectan a una batería. Cuando se conectan a la batería se
198
c2 -
-Q
c
produce una transferencia de electrones de la placa izquierda de C1 a la placa derecha de C 2, una cantidad equivalente de carga negativa es obligada a salir de la placa izquierda de C 2, y deja en ésta un exceso de carga positiva. La carga negativa que sale de la placa izquierda de C 2, se acumula en la placa de la derecha de C1, donde otra vez una cantidad de carga equivalente de carga negativa sale de la placa izquierda. El resultado de todo esto es que todas las placas derechas ganen una carga de –Q mientras que todas las izquierdas tienen una carga de +Q.
V
V1 V 2
Q
Q1
Q
C Q C 1
C 1
C
C1 1
C1 n
U
C1
i 1
V 2 2
Q2
Q
C 2 C 2
Q Q1 Q2
;
1
C 2
1
C i
C1 C 2 C C 1 2
199
b) COMBINACIÓN EN PARALELO v -
+
+Q 2
-Q2
v -
+
+Q 2
-Q2
v
Figura (66) Las placas de la izquierda de los capacitores se conectan por un alambre conductor al terminal positivo de la batería y están, por lo tanto, al mismo potencial que el terminal positivo. De igual manera, las placas de la derecha están conectadas al terminal negativo de la batería, y por ello, se conectan al mismo potencial que el terminal negativo. Cuando los capacitores se conectan primero en el circuito, los electrones se transfieren a través de la batería de las placas de la izquierda a las placas de la derecha dejando a las primeras cargadas positivamente y a las segundas negativamente. La fuente de energía para la transferencia de electrones es la energía química interna almacenada en la batería, la cual se convierte en energía eléctrica. El flujo de carga cesa cuando el voltaje a través de los capacitores es igual a la batería. Los
200
capacitores alcanzan su carga máxima cuando se interrumpe el flujo de carga. Si Q1 y Q2 son las cargas máximas de los capacitores, la carga total Q, almacenada por los dos capacitores será: Q
Q1 Q2
CV C1V
C1 C2 2 C C1 C2
U
C2V
V 2
5. ENERGÍA ALMACENADA EN LOS CAPACITORES En un circuito, los condensadores son dispositivos que almacenan energía. Supongamos que tenemos un condensador conectado a los bornes de una fuente. +Q -Q +q c -q
S
vv'
v'
Figura (67)
Al cerrar el interruptor S, se inicia el proceso de carga del condensador, es decir se transfiere carga de una placa a la otra hasta que la diferencia de potencial de una placa a la otra sea igual, pero de polaridad opuesta a la que produce en la fuente. Cuando se ha alcanzado esta etapa cesa el flujo de carga total ±Q en cada placa y voltaje Vf , que es numéricamente igual al voltaje de la fuente.
201
Analicemos una etapa intermedia en este proceso, cuando la carga en cada placa es ±q
(q
< Q) y el voltaje V (V < Vf ). En este
instante t, se cumple: V
q
C U qV
.......70
Después de un tiempo dt, la carga en la placa se incrementa en dq, produciéndose un cambio en la energía potencial almacenada dada por la ecuación: dU
U
0
dU
d qV 1
C
q
0
q C
dq dW
q dq
..........
U
Q
71
2
2 C
..... 72
El incremento de la energía potencial se debe esencialmente al trabajo que realiza la fuente sobre el sistema de cargas. La fuente original de energía (caso de una batería) es la energía química que se transforma en energía eléctrica. C
Q
V
Q CV
Luego en (72), se tiene:
U
Q2 2C
CV 2 C
2
U
1 2
CV 2
..... 73
Para el caso de un condensador de placas paralelas se tiene: V1 V2
1
2 E . d
V E.d
202
E
Pero
V
Q A 0
Q A 0 A 0
.d
C
d
Q V
C
A 0 d
ahora, reemplazando en (73): U
1 1 A 2 CV 2 0 Ed 2 2 d
U
A 0 d
2
E
2
Como Ad es el volumen de la región entre las placas del condensador que está ocupada por el campo eléctrico. Luego: U
Ad
1
haciendo u U Ad
0 E 2
2
1
u
u
densidad de energía del campo
U
2
2
0 E
0
E 2 V
2
.......
74
dV ; V volumen
U = es la energía por unidad de volumen almacenada en la
región del campo.
u
J m3
La ecuación (74) tiene validez general y es aplicable a cualquier configuración del campo.
203
6. FUERZAS ENTRE LAS PLACAS DE UN CONDENSADOR
Para calcular la fuerza eléctrica F que se ejerce sobre un conductor se debe efectuar una traslación infinitesimal
d
del
conductor, es decir se debe realizar un trabajo dW F .d ya que el
operador debe ejercer una fuerza opuesta a la fuerza F entre los conductores (ejemplo en un condensador de placas paralelas). Con el objeto de relacionar el trabajo dW a la variación de la energía del sistema, se debe saber si sólo el operador realiza trabajo o si existe otros agentes externos de otro tipo que intervienen (ejemplo máquinas que mantienen eventualmente a los conductores a un potencial constante). De acuerdo a esto se presentan dos casos:
a) Desplazamiento realizado cuando los conductores están aislados (a carga constante). En este caso tenemos: dW dU Q ......... 75 U Q = energía almacenada en el sistema manteniendo la carga
constante.
dW F .d ......... 76
si hacemos
d dW
dx
F .dx
......... 77
204
Teniendo en cuenta que (75) = (77)
F .dx dU Q
como
U Q
F
d dx
UQ
F
dU Q dx
........ 78
Q2 2C
Q2 Q2 2 dx 2C d
F
Q
2
2C
2
1 Q 2 C 2 dC 2 dx C dx d
dC dx
b) Desplazamiento realizado cuando los conductores están puestos a un potencial constante por intermedio de una máquina (fuentes de poder)
En este caso se observa que a lo largo del desplazamiento d , no solamente el operador realiza trabajo, sino también las máquinas
que
deben
mantener
los
potenciales
de
los
conductores constantes. Si llamamos dW ' al trabajo de las máquinas, entonces debe cumplirse que: dUV
dW dW '
......... 79
U V = energía almacenada en el sistema manteniendo el
potencial de los conductores constantes.
205
Como la energía:
UV
dUV
1
1
n
Q V
2 i 1
i
.......... 80
i
n
V dQ i
2 i 1
i
.......... 81
como dQi del conductor varía, la máquina debe suministrar el trabajo V i dQi para mantener V i constante, luego para realizar la misma operación con todos los conductores, el trabajo realizado por la máquina será: dW '
n
V dQ i
.......... 82
i
i 1
Reemplazando (82) en (81), dUV
1
dW ' 2
dW ' 2 dUV ......... 83
Ahora haciendo (83) en (79): dUV
dW 2 dUV
dW F .d ......... 85
Luego:
F .d dU V
F .dx UQ UV
d
Ahora bien, si
.... 84
Pero:
dW dUV
dx
dUV Q2 2C
;Q
C 2 V 2 2C
F
CV
dU V
......... 86
dx
Q2 C 2 V 2 UV
V 2 2
C
206
Operando con (86):
F
dU V dx
d dx
UV
V 2 V 2 dC C 2 dx dx 2 d
F
V 2 dC 2 dx
6. FUERZAS Y MOMENTOS DE ROTACIÓN Mostraremos ahora como puede determinarse la fuerza sobre uno de los elementos del sistema de cargas a partir de la energía electrostática. Supongamos que tenemos un sistema aislado formado
por
varias
partes
(conductores,
cargas
puntuales,
dieléctricos) y que una de estas partes tenga un pequeño
desplazamiento, d r , debido a la influencia de las fuerzas eléctricas
F que actúan sobre ella. El trabajo realizado por la fuerza eléctrica
sobre el sistema bajo estas circunstancias es:
dW
F .d r F x i Fy j Fz k .d x i d y j d z k
dW F x dx Fy dy
Fz dz
............87
Debido a que el sistema está aislado, el trabajo se hace a costa de la energía electrostática U; esto es: dW dU
............ 88
Haciendo (87) = (88)
207
dU F x dx Fy dy Fz dz U dx U dy U dz y z x U U U F x Fy F z x y z dU
En este caso F es una fuerza conservativa, y
F
U
si el elemento considerado está restringido a moverse de tal forma que gire alrededor de un eje, entonces la ecuación (24) puede ser reemplazada por la siguiente:
dW
donde :
. d
.......... 89
es el momento eléctrico, d es el desplazamiento
angular.
Expresando a y d en función de sus componentes se tiene:
1 , 2 , 3
d
;
d1 , d 2 , d 3
Haciendo (88) = (89):
dU
. d
De donde se obtiene que: 1
U 1 U x Q
F x
U 1 Q
1
El sub índice Q indica que la carga total permanece constante (el
sistema está aislado) durante el desplazamiento d r ó d .
208
Cuando todas las cargas se encuentran en las superficies de los conductores, y estos se mantienen a potenciales fijos por medio de fuentes de energía externa (por medio de baterías). Supongamos que una de las partes del sistema se mueva bajo la influencia de las fuerzas eléctricas que actúan sobre ella y el trabajo realizado (por el sistema y las baterías) estará aún relacionado con la fuerza. El trabajo en este caso será: dW
donde:
dWb dU
............ 90
dW b = trabajo suministrado por las baterías.
La energía electrostática U de un sistema de conductores cargados está dado por: U
1
n
Q
2 j 1
j
potencial
j
;
j
si parte del sistema es desplazado mientras el potencial de todos los conductores permanece fijo: dU
1
n
dQ
2 j 1
j
j
Además, el trabajo proporcionado por las baterías, dW b es el trabajo necesario para mover cada uno de los incrementos de cargas dQ j desde el potencial cero hasta el potencial del conductor apropiado, esto es: n
dQ
dWb
j
j
j 1
209
Por lo tanto:
dWb
2 dU
......... 91
Hacemos (90) = (91)
2 dU dU dU
dW
dW dU
U U U Fy F z x y z dW dU F x dx Fy dy Fz dz
F x
En forma semejante al caso anterior, se encuentra que: 1
U 1 U x
F x
U 1
1
El sub índice indica que el potencial es constante.
Ejemplo. Un capacitor de placas paralelas separados una distancia d tiene la región entre las placas llena de un bloque sólido dieléctrico con permitividad
. Las placas tienen un largo
y
un
ancho a . Las placas se mantienen a una diferencia de potencial constante dimensión
V , si el bloque de dieléctrico se saca a lo largo de la
hasta que solo la longitud x permanece entre las
placas. Calcule la fuerza que tiende a arrastrar el bloque a su posición inicial. Solución
210
El campo eléctrico será igual a E
V d
en todas partes entre las
placas. U U
1
2
V
1 2
E 2 dV
+
E 2 dV
0 E
d
V
2
-
x
2
V V dax 0 a d x 2 d 2 d 2 da V U x 0 0 x 2 d 2 2 ad V ad V U 0 x 2 d 0 2 d
U
dx
x
x
a
d
0
0 2 U 0 V F ad E A x 2 2 d K 0 K 1 0 E 2 A F 2
Luego:
2
7. CONSECUENCIAS FÍSICAS Supongamos que tenemos un sistema de conductores todos aislados o todos a potencial constante y que liberemos uno de los
211
conductores
dW
del
el
se
va
a
desplazar,
el
trabajo
F . d será positivo.
Como: Se
sistema,
F . d
concluye
d U Q dU V que
d UQ
0
ó
dUV 0
a
lo
largo
del
desplazamiento realizado. Se ve entonces que si todos los conductores del sistema son aislados, sus desplazamientos bajo la acción de fuerzas electrostáticas tienden a disminuir la energía del sistema; mientras que si todos los conductores se mantienen a potenciales constantes; estos desplazamientos tienden a aumentar la energía al sistema. Si se realiza:
W Q
disminuye U sistema.
W V
aumenta U sistema.
8. CAPACITORES CON DIELÉCTRICOS DIELÉCTRICO . Es un material no conductor, como el caucho, el vidrio, el papel encerrado.
Cuando un material dieléctrico se inserta entre las placas de un capacitor aumenta la capacitancia. Si el dieléctrico llena por completo el espacio entre las placas, la capacitancia aumenta en ct ri ca un factor adimensional K, al cual se le llama c o n st an te d ielé .
212
dieléctrico C 0
C
Q0
V 0
Q0
Q0
V
C 0
K
V 0 K
Figura (68) Consideremos un capacitor de placas paralelas de carga Q 0 y capacitancia C0 en ausencia de un dieléctrico. La diferencia de potencial en el capacitor a medida que se mide por medio mediante un voltímetro será V 0
Q0 C 0
Se observa que el circuito del capacitor está abierto, es decir, las placas del capacitor no están conectadas a una batería y no puede fluir carga a través de un voltímetro ideal. Por lo tanto, no hay trayectoria por la cual pueda fluir la carga y se altere la carga del capacitor. Si después se inserta un dieléctrico entre las placas, se observa que la lectura del voltímetro disminuye en un factor K hasta un valor V, dado por: V
V 0 K
..........
92
213
como V
V 0 , entonces K 1
Puesto que la carga Q0 en el capacitor no cambia se concluye que la capacitancia debe cambiar al valor dado por: C
Q0 V
Q0 V 0
K
Q0 V 0
C0 K
K C
K C 0
...... 93
C0 = capacitancia en ausencia del dieléctrico. De (93) se observa que la capacitancia aumenta en el factor K cuando el dieléctrico llena por completo la región entre las placas. Para un capacitor de placas paralelas se tiene que C 0
0 A
d
,
entonces: C C C
K 0 A d 0 A d A
.......... 94 .......... 95
d
De las ecuaciones (94) y (95) se observa que c se hace muy grande al disminuir d, sin embargo en la práctica, el valor mas bajo de d está limitado por la descarga eléctrica que puede ocurrir a través del medio dieléctrico que separa las placas. Para cualquier separación dada d, el máximo voltaje que puede aplicarse a un capacitor sin producir una descarga depende de la resistencia dieléctrica (intensidad de campo eléctrico máximo) del dieléctrico,
214
la cual para el aire es igual a 3 x 10 6 V/m. Si la intensidad de campo en el medio supera a la resistencia dieléctrica, las propiedades aislantes del medio se deterioran y el medio empieza a conducir. La mayor parte de los materiales aislantes tienen resistencias dieléctricas y constantes dieléctricos mayores que las del aire.
Ventajas que brinda un dieléctrico
Aumenta la capacitancia de un capacitor.
Aumenta el voltaje de operación máximo de un capacitor.
Puede proporcionar soporte mecánico entre
las placas
conductoras.
9. ENERGÍA ALMACENADA EN UN CAPACITOR CON DIELÉCTRICO Supongamos que tenemos un capacitor de placas paralelas que se carga con una batería hasta una carga Q 0. Después se quita la batería y una placa de material que tiene una cantidad dieléctrica K se inserta entre las placas. Se quiere hallar la energía almacenada en el capacitor antes y después de insertar el dieléctrico +
Q0
C0 Q0
C0
+
E K
-
dieléctrico V0
Figura (69)
215
Puesto que V 0
Q0 C 0
, la energía almacenada será:
U 0
1 Q0
2
2 C 0
Después que se quita la batería y se inserta el dieléctrico entre las placas, la carga en el capacitor permanece igual. Por consiguiente, la energía almacenada en presencia del dieléctrico será: 2
1 Q0
U
1 Q0
U
C KC0
2 C 2
2 KC0
U
1 Q0
2
K 2C0
U 0 K
U 0 K
Puesto que K > 1, la energía final es menor que la energía inicial en
un
factor
1/K.
Esta
energía
faltante
puede
explicarse
observando de que cuando se inserta el dieléctrico dentro del capacitor, éste es atraído hacia el interior del dispositivo. Un agente externo debe efectuar trabajo negativo para evitar que la placa acelere. Este trabajo es simplemente la diferencia U U 0 . Alternativamente el trabajo positivo hecho por el sistema sobre el agente externo es U 0 U .
W
U U 0 U
216
PROBLEMAS RESUELTOS DE CAPACITANCIA ELÉCTRICA 1) Una nube tormentosa tiene una carga de 900 C y un potencial de 90 Mv con respecto al terreno, a 1 km mas abajo. a) ¿cuál es la capacitancia del sistema?, b) ¿cuántas energía se almacena en esa tormenta? Solución: Q V
900C 90 MV 90 x106 V
a) C
Q V
900 90 x10
6
C 10 x106 F C 10 F b) U
U
QV 2
900 x 90 x10
6
2
4.1 x10
10
J
2) ¿Cuánta energía se almacena en una esfera metálica de 12 cm de radio cuando se coloca en ella una carga de 4.0x10 -5 C? Solución R
Q 105 C
12 cm
Para una esfera se cumple: V
Q 4 0 R
9 x10 x 10 9
5
2
12 x 10
750000V
217
C
5
Q
10
V
750000
C 1.33 x104 F C 1.33 x10 F 5
U U
Q
10 5
2
2C
3.76
2
2 x1.33 x 10
11
J
3) Un cable coaxial con conductor interno de 3 mm de diámetro y blindaje exterior de 8 mm de diámetro tiene un potencial de 1 kv entre los conductores; a) cual es la capacitancia de
10 m de cable?, b) ¿cuánta energía se
almacena en un tramo de 10 m del cable?, c) ¿cuánta energía se almacena en un tramo de 1 km? Solución Se sabe para un cable coaxial: c
longitud
Vb Va
Datos:
2 E 0 ln b / a
a = 3 mm b = 8 mm Vb – Va = 1 Kv = 1000 V
a) C = ? C 10
C
Para L = 10 m
2 8.85 x 10
5.67
12
ln 8 / 3
c 5.67 x10 10 F
x 1010 F
218
b) U = ? U U
Para L = 10 m
cV 2 2
5.67 x 10 1000 10
2
2
2.83 x 104
J
Para L = 1 km = 1000 m C
1000
C
cV 2 2
12
ln 8 / 3
5.67
U U
2 8.85 x 10
8 c 5.67 x10 F
x 10 8 F
5.67 x 10 1000 8
2
2
0.0283 J
4) Dos esferas conductoras concéntricas de 7.0 y 18 cm de radio respectivamente, adquieren cargas iguales, pero opuestas, de 4.2 x 10-8 C, ¿cuánta energía se almacena en el sistema? Solución R1 = 7 cm
Q = 4.2 x 10-8 C
R2 = 18 cm
Hallando la diferencia de potencial Se sabe que para una esfera: Er
kQ
V2 V1
r 2 r2
r
Er dr
1
1 V kQ r2
r 2
kQ
1
r 2
r
dr
kQ
1
r
r 2
r 1
1
r 1
219
V
V V
r 2 1 1 9 x 109 4.2 x 10 8 2 2 18 x10 7 x10 3300V V
1 4 E0 r1 Q
1
Luego, entonces: QV
U U
2
4.2 x10 3300 8
2
6.93 x105
J
5) Aproximadamente ¿cuánta energía se almacena en un cubo de 5 cm de lado que está a 1.0 m de distancia de una carga puntual de 5 x 10 -4 C de magnitud? Solución Vcubo E
1.25 x104 1
4 0 r
U Volumen
4
1
2
4
1.25 x10 m
3
4.5 x106
N c
0 E 2 2
8.85 x10 4.5 x10 12
U
U
2
5 x10 4 C
9 x10 5 x10 9
q
.
q
6
2
2
0.011 Joules 1.1 x10 2 Joules
6) Una esfera metálica aislada de 15 cm de radio está a un potencial de 5000 V, ¿cuál es la carga de la esfera?, ¿cuál es la densidad de energía del campo eléctrico fuera de la esfera? Solución
220
a. Para una esfera Q
V
Q
8.33 x 108 C
4 0 R
5000 9 x10
Q
9
0.15
b. Para r > R
E
U
1
.
Q
4 0 r 2
2
32
0 r 4
Q2
R
2
Q2
8
2
U
0
0 E 2 2
u dU dv 4 r 2 dr dv dU udv u 4 r 2 dr
R U dv
U
U
Q2
U
R
32
dr r 2
2
0 r
4
4 r dr
1 2 8 0 r R Q2
1 1 2 8 0 R Q2
Q2 2
8
0 R
Reemplazando datos: 2
8.33 x10 U 2.08 x10 8 8.85 x10 0.15 8
4
12
U
J
2.08 x104 J
7) Las placas de un capacitor de placas paralelas tienen 600 cm² de área y están a 0.2 cm de distancia, la diferencia de potencial entre ellos es de 800 V, a) ¿cuál es el campo entre las placas?, b) ¿cuál es la carga en cada placa?, c) ¿cuál es la fuerza que ejerce el campo sobre una de las placas?. d) Suponga que se tira de dos placas
para separarlas de
modo que la distancia entre ellas aumenta 10%, ¿cuál es el
221
cambio de energía almacenada?, ¿es esto consistente con la respuesta c? Solución a) E ? V E.d
b) C Q c) E F
0 A d
V
E
d
8.85 x10
800
12
4 x 105 2
0.2 x 10
4 x 600 x10
q Cd
0.2 x10
Q
; dF
m
2.655 x1010 F
2
CV 2.655 x1010 F 800
V
2.124 x10
7
C
E dq
q dq Cd
Q2 2 Cd
2.124 x10 C 7
F F
2 2.655 x10
10
F 0.2 x10
2
4.25 x102 N
d ) Al inicio U 0 U0
2 5
8.496 x10
cuando se suman d' d C'
2
2
J
d = 10% d = 0.1 x 0.2 cm = 0.02 x 10 -2 m
d 0.2 0.02 0.22 cm 0.22 x10 2 m
0 A d'
Q C 'V '
U'
2.655 x10 800 12
2
CV
12
4
0.22 x10
V'
C 'V '2 2
8.85 x10 600 x10 Q C'
2.124 x10
2.44 x1010 F
7
2.44 x 10
10
2.44 x10 880V 10
2
2
880V
2
9.347 x105 J
U U ' U 0 9.347 x105 J 8.496 x10 5 J U 8.5 x106 J ...1
222
De la parte (c) se tiene que: F 4.25 x 102 N
Entonces: W
U
4.25 x 102 N 0.22 x 102 m
F d
W 8.5 x 106 J
... 2
Entonces: como (1) = (2) , entonces (1) es consistente con la parte “C”.
8) Suponga que un electrón es una esfera de radio R con su carga distribuida uniformemente en su superficie, ¿cuál es el campo eléctrico fuerza del radio R?, ¿cuál es la energía electrostática total almacenada en el campo? Suponga que toda la superficie electrostática b es la única energía responsable de la energía en reposo del electrón, ¿cuál debe ser el radio R del electrón? Solución a) E
b) u
U
Q 2
0 E 2 2
Q2 8 0
Q2 324 1
R
r2
c) U mc 2 Q2 8 0 R
para r R
;
4 0 r
2
0 r 4
dr
m
mc 2
U
;
Q2 8 0 r
R
2
32
0
R
2
4 r 4
r
dr
Q2 8 0 R
0.9 x1030 Kg ; Q
udv
Q2
C 3 x108
1.6 x1019 C carga del
electron
223
Q
R
R
1.421 x1015
8 0 mc
2
2
1.6 x10 8 8.82 x10 0.9 x10 3 x10 19
2
12
30
8
2
9) Calcule la capacitancia del sistema de placas en paralelo, ¿puede representarse este sistema con dos pares paralelos de placas de la mitad del área total conectados en serie o en paralelo? Solución a. En serie C1
0 A
C 2
1
0 A C C
C1
C 2 2
1
0
0
A
1
2
A
2
2
2
0 A 1 2 2
A
1 . 2
A
b. En paralelo
1
1
A/2
A/2 C1
C1
2
C1
0 A 1 2 4
1 . 2
2
A/2
C 2
A/2
0 A 1 2 4
1 . 2
224
0 A 1 2 C C
C1
C 2 2
4
1 . 2
0 A 1 2 4
1. 2
2
0 A 1 2 2
1 . 2
10) Dos placas grandes y delgadas de metal de área A y espesor “d” que tienen cargas Q y –Q respectivamente, se
colocan paralelamente a una distancia D entre sí, suponga que una placa sin carga delgada de la misma superficie y espesor se coloca entre ellas de tal manera que la distancia entre ellas y la placa
con +Q es “x”, ¿cuál es la
capacitancia del sistema combinado como función de x? Solución
0 A C 1 x Se sabeque : C 2 0 A D ( x d ) C e
C1 C 2
C 2 0 A 0 A x D ( x d ) C e 0 A 0 A x D ( x d ) A C e 0 D d
A
A
A
C1
C2 -Q
Q
C1
-Q
x D-(x+d) d
d
d
D
11) Un capacitor de placas paralelas de 10 mm² y 5 mm de separación tiene un voltaje entre las placas de 300v y se introducen los siguientes materiales: aire, papel, neopreno,
225
baquelita y titanato de estroncio, ¿cuál es la carga del capacitor en cada caso? Solución Aire : k 1.005 C
Q
k 0 A d
12
1.005 x 8.82 x 10
x 10 x 104
3
5 x 10
1.776 x 1012 F
C.V 1.776 x 1012 F 300 Q 0.3 x 1010 J
Papel : k 3.7 C Q
k 0 A d
C
k 0 A d
C
k 0 A d
C
12) Un
4
5 x 10
6.54 x1012 F
Q 2 x10 9 J
k 6.7 6.7 x 8.82 x 10 x10 x 10 12
4
3
5 x 10
x10 F 300 4
1.1859 x104 F
Q 3.6 x10
9
J
k 4.9
4.9 x 8.82 x 10
12
4 x10 x10
3
5 x 10
C.V 8.673 x10 12 F 300
8.673 x1012 F
Q 2.6 x10
9
J
k 3.32
Titanio :
Q
x10 x 10
3
C.V 1.1859
Baquelita :
Q
12
C.V 6.54 x1012 F 300
Neopreno :
Q
3.7 x 8.82 x 10
k 0 A d
3.32 x 8.82 x 10
x10 x 10 4
3
5 x 10
C.V 5.876
capilar
12
x1010 F 300
consiste
en
2
5.876
x1010 F
Q 1.8 x10 7 J
cascarones
esféricos
concéntricos de radios r 1 y r 2. Calcule la capacitancia si el espacio entre los cascarones se llena con un dieléctrico
226
cuya constante es K, si el primer capacitor tiene aire entre los cascarones y tiene una carga Q y si el espacio se llena con el diléctrico ¿cuál es el cambio de energía? Solución
Q
KE dA
0
KE 4 r
E
Q
2
Q
0 r 2
4 K 0 r
2
V V12
Además: V C
r 1
Q 4 K
Q V
0
r1
V1 V2 Q
4K
C
0
r2
Q
r2 r 1
4K 0
r1.r 2
4 K 0 r1r 2
r2 r 1
Al inicio: la energía: U0
Q2 2C
con dielectrico Q
;
U F
Después U F
, C ' Ck
Q2 2C '
Q
2
2 kC0
U U F U 0 Como k 1
constante
1Q
1 Q
2
k 2C0
2
k 2C
Q
2
2C
1 1 2C k Q
2
1 k 0
2 1 k Q U k 2 C U 0 disminuye
227
13) Un capacitor de placas paralelas L x L de área y separación entre las placas D<
C C 0 C 1
L/2
L/2
K0
K1
D
C0 C 1
E Q
E ' Q
D D
K0 0 L / 2 L D K1 0 L / 2 L D
K 0 E0 L2 2D
K1 0 L
2
2D
Ahora bien:
C0 C 1 K 0 0 L2 K1 0 L2 0 L2 C K0 K 1 C
2 D
0 L
2D
2D
2
C
2 D
K0 K 1
14) Un capacitor de placas paralelas tiene un área L x L y separación entre placas D << L. Se rellena con un dieléctrico no uniforme, cuya constante dieléctrica varía linealmente a través (ver figura). En x = 0, K=K0 y cuando x=L, K=K1. Podemos expresar
K como función de x:
228
K
K K x K 0 1 0 . Considere que las placas del capacitor L
se dividen en un conjunto de capacitares conectados en paralelo y que las placas son bandas con una anchura dx y calcule la capacitancia. K=K0
K=K1
D
X
0
L
Solución
K1 K0 x L
K
K 0
K
K 0 K1 K 0
dC
E dA D
;
E
C
L
0
K 0
D 0 L L
x
L
L
dA
L
K 0
L dx
K=K1
D
K=K0
L dx
d
C
C
0 L 0 L x 2 L2 K0 x K1 K 0 L D K 0 L K1 K 0 L D 0
C
L L 0 K 0 K1 2 D
D
0
K0 K1 K0
x L
dx L
15) Un capacitor
C
K 0 K 1 0
2
L2
D
de placas paralelas tiene área L x L y
separación entre placas D<
229
de una placa a la otra (ver figura). En la placa inferior, la constan te dieléctrica es K 0 mientras que en la superior es K1. Si Y es la distancia medida hacia arriba, a partir de la
K K y placa inferior, entonces K K 0 1 0 . Considere que D el capacitor es una serie de capacitares conectados en serie y calcule la capacitancia. Solución
Y L
K=K1 D
D
K=K0
dy
K1 K0 y D K 0 dA K 0 L2 C
K
dy
1
Ce
1
Ce 1
Ce
1
Ce
K0
1
dC
K0 K1 K 0
y D
dy
D
0
dy
0 L2 K1 K 0
1
K 0 L
D
2
ln 0 L2 K1 K 0 D
0 L2 K1 K 0
ln
0 L
2
ln y
D
K
D
dy
D
0
K K 0 K1 K 0
K0 D
y
D
D
K1 K 0 0
K0 D
K1 K0
ln
K1 K0 K0 D
K 1 K 0
0 L2 K1 K 0 C e K D ln 1 K 0
230
PROBLEMAS PROPUESTOS DE CAPACITANCIA
1) En la figura, cada condensador C3 = 3 µF y cada condensador C 2 = 2 µF Calcular: a. La capacidad equivalente entre A y B. b. La carga de los condensadores C3 y C2 próximos a los puntos A y B; si V AB = 900 voltios. c. Calcular la diferencia de potencial V12 si V AB = 900 voltios.
A
C3
C3
Respuestas:
C3 1
a ) C AB
1 µF
b) Q2 6 x104 C C2
C2
Q3 9 x104 C
C3
c) V12
100 voltios
2
B C3
C3
C3
2) Considere el agrupamiento de cuatro condensadores C 1 = 3 C; C2 = C; C3 = 2C; C4 = 3C. C2
C3
1
2 C1
C4
a. Calcular en función de C la capacidad equivalente entre los puntos 1 y 2. Calcular dicha capacidad si C = 2 µF.
231
b. Si se mantiene una diferencia de potencial V12 = 2000 voltios. Calcular las cargas Q 1, Q2, Q3 , Q4 y las tensiones V1, V2, V3, V4 de cada uno de los condensadores en función de C y V 12. c. Reemplace el tramo de C2 y C3 por un condensador
de
capacidad X, ¿para qué valor de x la capacidad equivalente entre 1 y 2 es igual a x?. Calcular
las cargas de los
condensadores de capacidad C 1 x y C 4. 3) Un condensador de 1 µF y otro de 2 µF se conectan en paralelo a una línea de 1200 V. a. Hállese la carga y el voltaje de cada condensador. b. Los condensadores cargados se desconectan de la red y ellos entre sí, y se vuelven a conectar con las láminas de distinto signo juntas. Calcúlese la carga final de cada uno y su voltaje. 4) Suponga que se mantienen una diferencia de potencial de 100 voltios entre las placas de un condensador de placas paralelas de 1.0 F, ¿qué fuerza exterior se requiere para mantener las placas a la distancia fija de 10 -3 m? R: F
1
CV 5 N 2d 2
5) Cuatro cargas puntuales iguales q = 2 nC, deben ser colocadas en los vértices de un cuadrado de (1/3)m de lado, una por una. Halle la energía en el sistema después que cada carga ha sido colocada. R: 108 nJ, 292 nJ, 585 nJ.
232
6) Se mantiene una distribución de cargas positivas colocadas en un medio de constante dieléctrica K entre K
dos planos paralelos infinitos separados
P X
una distancia 2a. Considere que el plano -C
x=0 está a un potencial cero. a. Calcular el campo eléctrico
0
C
E(x) en
todo punto M. Considere los casos en que el punto M esté en el interior y exterior de la distribución. b. Calcular el potencial eléctrico V(x) para todo punto M. c. Grafique E(x) y V(x). 7) Se mantiene un condensador de placas paralelas de área S, llenado
parcialmente
material
con
dieléctrico
un
d
0
de b
permitividad
E.
Si
V
es
la
diferencia de potencial entre las placas. Calcular: a. La carga Q del condensador. b. La capacidad del condensador. c. La energía almacenada en el condensador. d. Los campos eléctricos en la región dieléctrica y en el vacío E1 y E2 respectivamente. e. La densidad de carga superficial en la región con vacío y en la región con dieléctrico
1 y 2.
233
8) Se mantiene un condensador plano, formado por dos placas de 10 x 15 cm separadas por una capa de mica de 1 mm de espesor, constante dieléctrica 6 y rigidez dieléctrica de 120 kV/cm. Calcular la máxima carga que admite dicho condensador. R : 9.55 µC 9) Se mantienen dos condensadores de 3 y 5 µF que se cargan respectivamente
a 1.5 y 3.2 kV. Después de cargados se
montan en paralelo. Calcular las cargas y tensiones de cada uno del sistema. R.
Q1
7.7 x103 C
Q2
12.8 x 103 C
10) Entre las placas de un condensador de área “A” y separación “d” se ubican tres
dieléctricos
de
iguales
Q
1
dimensiones como se muestra en la
2
figura: a. Usando
las
condiciones
de
-Q
contorno apropiadas, determinar el potencial eléctrico, campo eléctrico y vector desplazamiento de los dieléctricos. b. Determinar la polarización y las densidades de carga de polarización en el dieléctrico de permeabilidad E 1. c. Calcular la capacidad del sistema.
234
11) ¿Cuál es la capacidad del siguiente condensador mostrado en la figura?
d 2
K2
K1
K3
d
d
12) Se coloca un dieléctrico de “constante” K que varía linealmente entre las placas de un condensador de placas paralelas cargadas con + y - . La constante K vale K 1 y K2 en los puntos de contacto con las placas del condensador. Demuestre que la capacidad del condensador es igual a: C
Donde:
0 A K 2 K 1 d ln K 2 / K 1
A = área de las placas d = separación entre placas
Sugerencia: Considere que K (x) = ax+b (ecuación de una recta). Calcular a y b aplicando las condiciones de contorno para K(x). Teniendo
en
cuenta
condensador vale: E
que
0 K
el
campo
eléctrico
dentro
del
, calcule luego la capacidad.
235
13) Se forma un condensador de dos placas paralelas metálicas de lados a y b separadas por una distancia d; entre ellas existe el vacío, ellas se mantienen a una diferencial de potencial V, mediante una batería. Enseguida se introduce una placa de material dieléctrico de constante K = 2, espesor
d 4
entre las
placas del condensador y paralela a ellas. Calcular despreciando los efectos de borde, la fuerza que ejerce sobre el dieléctrico.
b
x
a
Sugerencia: Para una distancia x del sistema puede ponerse así. C3
C1
C2 C 1
x
C3 C1
K 0 b x a
C2
236
Calcule la capacidad C equivalente y aplique la expresión F x
dU dx
1 2
V 2
dC dada en la sección V.4 de este capítulo. dx
14) Dos condensadores
R: F x
0 aV 2 14 d
de capacidades iguales
a C 0 están
1
conectadas en paralelo a una tensión V 0, enseguida se introduce un dieléctrico de constante K a uno de ellos de modo que llene completamente el espacio entre sus placas. Calcular: a. La tensión final V en los condensadores en función de V y K. b. La diferencia de energía que existe entre la situación final y la inicial. R:
a) V
2V 0
K 1
K 1 K 1
b) U C0 V02
15) Dos esferas conductoras, idénticas, de radio R son tangentes en 0. Ellas están cargadas y en equilibrio electrostático. Admita que la carga superficial está dad por
0 cos2 . Calcular:
a. El potencial de las dos esferas. b. La capacidad del conjunto. c. La fuerza de repulsión de las dos esferas.
237
a) V
X
0
2 0 R 30
3 R 2
R: b) C 4 0 c) f x
2 2 R 0
30
16) Las dimensiones de un condensador plano son: longitud , ancho a; cargado con Q coulombios y está lleno de un material dieléctrico de constante K. Encontrar la expresión de la fuerza que tiende a colocar al bloque nuevamente en su lugar cuando solo queda de éste dentro del condensador una distancia x.
Q
R:
d
-Q
17)
X
F
d K 1 Q 2 i 2a 0 K 1 x
Un cable coaxial de radio interior a y exterior b se introduce
verticalmente en un baño de dieléctrico líquido. Se aplica un voltaje V al cable. Demostrar que el líquido entre los conductores interno y externo se eleva a una altura h definida por:
0 K 1V 2 h . Por encima de la superficie del líquido K y b g b 2 a 2 ln a
son la constante dieléctrica y la densidad del líquido respectivamente.
238
2
