CAPÍTULO 3 SECCIÓN 3.2 El teorema de Rolle y el teorema del valor medio ■ Comprender el uso del teorema de Rolle. ■ Comprender el uso del teorema del valor medio.
Teorema de Rolle El teorema del valor extremo (sección 3.1) establece que una función continua en un intervalo cerrado [ a b! debe tener tanto un m"nimo como un m#ximo en el intervalo. $mbos valores sin embar%o pueden ocurrir en los puntos extremos. El teorema de Rolle nombrado as" en &onor del matem#ti matem#tico co franc's franc's ic&el ic&el Rolle Rolle (1*+,1 (1*+,1-1) -1) proporc proporciona iona las condici condiciones ones que %aranti/ %aranti/an an la existencia de un valor extremo en el interior de un intervalo cerrado.
TEOREMA DE ROLLE ic&ell Ro ic&e Rolle lle mat matem# em#ti tico co fra franc nc's 's fu fue e el pr prime imero ro en pu publi blicar car en 1 11 1 el te teore orema ma qu que e lle lleva va su nombre. 0in embar%o antes de ese tiempo Rolle fue uno de los m#s severos cr"ticos del c#lculo sealando que 'ste proporcionaba resultados erróneos 2 se basaba en ra/onamientos infundados. osteriormente Rolle se dio cuenta de la utilidad del c#lculo.
EXPLORACIÓN Valores Valore s ext extremo remos s en un inte interval rvalo o cer cerrado rado 4ibu5ar un plano de coordenadas rectan%ular en un peda/o de papel. arcar los puntos (1 3) 2 (* 3). 6tili/ando un l#pi/ o una pluma dibu5ar la %r#fica de una func función ión derivable derivable f que empie/a en (1 3) 2 termina en (* 3). 7Existe al menos un punto sobre la %r#fica para el cual la derivada sea cero8 70er"a posible dibu5ar la %r#fica de manera que no &ubiera un punto para el cual la derivada es cero8 Explicar el ra/onamiento.
TEOREMA 3.3 TEOREMA DE ROLLE 0ea f continua en el intervalo cerrado [ a b! 2 derivable en el intervalo abierto ( a b). 0i ƒ ( a ) =ƒ ( b ) entonces existe al menos un n9mero c en (a b) tal que
f ' ( c )= 0 .
DEMOSTRACIÓN 0ea ƒ ( a )= d =ƒ ( b ) . Caso Caso 1: 0i f ( x )=0 '
ƒ ( x x ) =d
para para todo todo x en [a b! f es constante en el intervalo 2 por el teorema +.+
para todo x en
Caso Caso 2: 0uponer que
(a , b ) .
ƒ ( x )> d
para para al%9n al%9n x en (a b). or el teorema del valor extremo se sabe
que f tiene un m#ximo en al%9n punto c en el intervalo. $dem#s como
ƒ ( c )> d este m#ximo no
puede estar en los puntos terminales. 4e tal modo f tiene un m#ximo en el intervalo abierto (a b).
Esto implica que f (c ) es un m#ximo relativo 2 por el teorema 3.+ c es un n9mero cr"tico de f . or 9ltimo como f es derivable en c es posible concluir que f ' (c )= 0. Caso Caso 3: 0i
ƒ ( x )< d
para al%9n x en (a b) se puede utili/ar un ar%umento similar al del caso +
pero implicando el m"nimo en ve/ del m#ximo.
De acuerdo con el teorema de Rolle, puede verse que si una función b]
y derivable en ( a, b), y si
f
es continua en [ a,
ƒ ( a )=ƒ ( b ) , debe existir al menos un valor x entre a y b en
el cual la gráca de f tiene una tangente !ori"ontal, como se muestra en la gura #$% a$ &i se elimina el requerimiento de derivabilidad del teorema de Rolle, f seguirá teniendo un n'mero crtico en ( a, b), pero qui"á no produ"ca una tangente !ori"ontal$ n caso de este tipo se presenta en la gura #$% b$
FIGURA 3. EJEMPLO 1 Il!"tra#$%& del teorema de Rolle Encontrar las dos intersecciones en x de 2 f ( ( x )= x − 3 x + 2 2 demostrar que
f ' ( x )=0 en al%9n punto entre las dos intersecciones en x .
que f es derivable en toda la recta real. :%ualando a ; <( x ) se obtiene Sol!#$%& $dvertir que 2
x −3 x + 2 =0 Igualar f ( ( x ) acero.
( x −1 ) ( x x −2 )=0 Factor .
ƒ (1 )=ƒ ( 2 )=0 , 2 de acuerdo con el teorema de Rolle se sabe que existe al menos una
4e tal modo
c en el intervalo (1 +) tal que
f ' ( c )= 0. ara determinar una c de este tipo es factible resolver la
ecuación f ( x )=2 x −3=0 Igualar f ' ( x )a cero. '
2 determinar que
f ' ( x )=0
cuando x =3 / 2 . $dvertir que el valor de x se encuentra en el intervalo
abierto (1 +) como se indica en la fi %ura 3..
El teorema de Rolle establece que si f satisface las condiciones del teorema debe &aber al menos un punto entre a 2 b en el cual la derivada es ;. Es posible que exista m#s de un punto de estas caracter"sticas como se muestra en el si%uiente e5emplo. EJEMPLO 2 Ilustración del teorema de Rolle
&ea
f ( ( x )= x −2 x 4
2
$ Determ Determinar inar todos todos los valores valores de
c
en el inter interval valo o
2, 2 ) (−2,2 tal que
f ( c )=0 $ '
Sol!#$%& ara empe/ar advertir que la función satisface las condiciones del teorema de Rolle. Esto es f es continua en el intervalo [,+ +! 2 derivable en el intervalo (,+ +). $dem#s debido a que ƒ (−2 ) =ƒ ( 2 ) =8 es posible concluir que existe al menos una c en (,+ +) tal que
f ' ( c )= 0. :%ualando a ; la derivada se obtiene
f ( x )=4 x −4 x = 0 Igualar f ' ( x ) acero. '
3
4 x ( x −1 ) ( x + 1 )= 0 Factor .
x =0,1,−1 Valoresde x para loscuales f ( x ) esigual a cero.
De tal modo, en el intervalo (*+, +), la derivada es cero en valores diferentes de x , como se indica en la gura #$-$
CONFUSIÓN TECNOLÓGICA 6na &erramienta de %raficación puede utili/arse para indicar si los puntos sobre las %r#ficas de los e5emplos 1 2 + son m"nimos o m#ximos relativos de las funciones. 0in embar%o al usar una &erramienta de %raficación se debe tener presente que es posible obtener im#%enes o %r#ficas equivocadas. or e5emplo usar una &erramienta de %raficación para representar 2
f ( x )=1− ( x −1 ) −
1 1000 ( x −1 )
1 /7
+1
.
Con la ma2or"a de las ventanas de visión parece ser que la función tiene un m#ximo de 1 cuando x =1 (ver la fi %ura 3.11). =o obstante al evaluar la función en x =1 se observar# que ƒ (1 )=0.
ara determinar el comportamiento de esta función cerca de
x =1,
es necesario
examinar la %r#fica de manera anal"tica para obtener la ima%en completa.
El teorema del 'alor med$o El teorema de Rolle puede utili/arse para probar otro teorema> el teorema del 'alor med$o.
TEOREMA 3.( EL TEOREMA DEL )ALOR MEDIO 0i f es continua en el intervalo cerrado [ a b! 2 derivable en el intervalo abierto ( a b) entonces existe un n9mero c en (a b) tal que
f ( c )= '
f ( b )−f ( a ) . b− a
DEMOSTRACIÓN ?acemos referencia a la fi%ura 3.1+. @a ecuación de la recta secante que contiene los puntos ( a <(a)) 2 (b <(b)) es y =
[
]
f ( b )− f ( a ) ( x − a ) + f ( a ) b −a
0ea g ( x ) la diferencia entre f ( x ) 2 y . Entonces g ( x ) =f ( x )− y
g ( x ) =f ( x )−
f ( b )− f ( a ) ( x −a )− f ( a ) b −a
Evaluando g en a 2 b se observa que
g ( a )= 0= g ( b ) . Como f es continua en [ a b! se si%ue que g
tambi'n es continua en [ a b!. $dem#s en virtud de que f es derivable g tambi'n lo es 2 resulta ' posible aplicar el teorema de Rolle a la función g . $s" existe un n9mero c en (a b) tal que g ( c ) =0, lo que implica que 0 = g ' ( c )
¿ f ' ( c )−
f ( b )−f ( a ) b −a
4e tal modo existe un n9mero c en (a b) tal que f ( b )−f ( a ) ' f ( c )= b− a
NOTA El t'rmino AmedioB en el teorema del valor medio se refi ere al ritmo de cambio medio (o promedio) de f en el intervalo [ a b!.
El teorema del valor medio fue demostrado por primera ve/ por el famoso matem#tico osep&,@ouis @a%ran%e. =acido en :talia @a%ran%e formó parte de la corte de Dederico El rande en Ferl"n durante +; aos. 4espu's se trasladó a Drancia donde se reunió con el emperador =apoleón Fonaparte quien di5o lo si%uiente> A@a%ran%e es la c9spide de las ciencias matem#ticasB. $unque es posible utili/ar el teorema del valor medio de manera directa en la solución de problemas se usa m#s a menudo para demostrar otros teoremas. 4e &ec&o al%unas personas consideran que 'ste es el teorema m#s importante en el c#lculo (se relaciona estrec&amente con el teorema fundamental del c#lculo explicado en la sección G.G). or a&ora es posible obtener una idea de la versatilidad de este teorema considerando los resultados planteados en los e5ercicios H1 a H de esta sección. El teorema del valor medio tiene implicaciones para ambas interpretaciones b#sicas de la derivada. eom'tricamente el teorema %aranti/a la existencia de una recta tan%ente que es paralela a la recta secante que pasa por los puntos ( a <( a)) 2 (b <( b)) como se indica en la fi%ura 3.1+. El e5emplo 3 ilustra esta interpretación %eom'trica del teorema del valor medio. En t'rminos del ritmo o velocidad de cambio el teorema del valor medio implica que debe &aber un punto en el intervalo abierto ( a b) en el cual el ritmo o velocidad de cambio instant#nea es i%ual al ritmo o velocidad de cambio promedio sobre el intervalo [ a b!. Esto se ilustra en el e5emplo G. EJEMPLO 3 Determinación de una recta tangente
Dada
ƒ ( x ) =5−( 4 / x ) ,
tales que f ( c )= '
f ( 4 )− f (1 ) 4 −1
determinar todos los valores de
c
en el intervalo abierto (, .)
Sol!#$%& @a pendiente de la recta secante que pasa por (1 <(1)) 2 (G <(G)) es f ( 4 )− f (1) 4 −1
=
4 −1 =1 4 −1
=ótese que f satisface las condiciones del teorema del valor medio. Esto es que f es continua en el intervalo [1 G! 2 derivable en el intervalo (1 G). Entonces existe al menos un n9mero c en (1 G) tal que f ' ( c )=1 . Resolviendo la ecuación f ' ( x )=1, se obtiene '
4
f ( x )= 2 =1 x
que implica x =± 2 . 4e tal modo en el intervalo (1 G) se puede concluir que
c =2, como se
indica en la fi%ura 3.13. EJEMPLO 4 Determ$&a#$%& del r$tmo de #am*$o $&"ta&t+&eo 4os patrullas estacionadas equipadas con radar se encuentran a * millas de distancia sobre una autopista como se indica en la fi%ura 3.1G. Cuando pasa un camión al lado de la primera patrulla la velocidad de 'ste se re%istra en un valor de ** millas por &ora. Cuatro minutos despu's cuando el camión pasa al lado de la se%unda patrulla el re%istro de velocidad corresponde a *; millas por &ora. 4emostrar que el camión &a excedido el l"mite de velocidad (de ** millas por &ora) en al%9n momento dentro del intervalo de los G minutos sealados.
Sol!#$%& 0ea t =0 el tiempo (en &oras) cuando el camión pasa al lado de la primera patrulla. El tiempo en el que el camión pasa al lado de la se%unda patrulla es t =
0i s
4 1 = hora. 60 15
s ( t )
( )= 1 15
representa la distancia (en millas) recorridas por el camión se tiene que 5.
2
or tanto la velocidad promedio del camión sobre el trec&o de cinco millas de autopista
es
− ( ) ( ) = − s
Velocidad promedio
1
s 0
15
(
¿
s ( 0 )= 0
1
15
0
)
5 =75 millas por hora. 1 / 15
0uponiendo que la función de posición es derivable es posible aplicar el teorema del valor medio para concluir que el camión debe &aber estado via5ando a ra/ón de -* millas por &ora en al%9n momento durante los G minutos. 6na forma alternativa 9til del teorema del valor medio es como si%ue> si f es continua en [ a b! 2 derivable en ( a b) entonces existe un n9mero c en (a b) tal que f ( b )= f ( a )+ ( b− a ) f ( c ) Formaalternativa del teorema del valor medio . '
NOTA $l reali/ar los e5ercicios de esta sección tener presente que las funciones polinomiales las racionales 2 las tri%onom'tricas son derivables en todos los puntos en sus dominios
3.2 Ejercicios
$
E& lo" e,er#$#$o" - a ( e/0l$#ar 0or 1! el teorema de Rolle &o "e a0l$#a a la !&#$%& a!& #!a&do e/$"ta& a 4 b tale" 1!e ƒ5a6 , ƒ5b6.
| | [− 1
1. f ( x ) =
x
,
1, 1 ]
0olución> x
2. f ( x )=cot , [ π , 3 π ] 2
0olución>
3. f ( x )=1−| x −1|, [ 0, 2 ]
0olución>
4. f ( x )=
√ ( 2 − x / ) , [−1, 1 ] 2 3 3
0olución>
E& lo" e,er#$#$o" 7 a determ$&ar do" $&ter"e##$o&e" #o& el e,e x de la !&#$%& ƒ 4 demo"trar 1!e ƒ ' ( x )=0 e& al89& 0!&to e&tre la" do" $&ter"e##$o&e". 5. f ( x ) = x
2
− x −2
0olución>
6. f ( x )= x ( x −3 )
0olución>
7. f ( x ) = x √ x + 4
0olución>
8. f ( x )=−3 x √ x + 1
0olución>
eorema de !olle E& lo" e,er#$#$o" : 4 -; "e m!e"tra la 8r+$#a de ƒ. A0l$#ar el teorema de Rolle 4 determ$&ar todo" lo" 'alore" de c tale" 1!e ƒ ' ( c )=0 e& al89& 0!&to e&tre la"
$&ter"e##$o&e" mar#ada".
0olución>
0olución>
E& lo" e,er#$#$o" -- a 2( determ$&ar "$ e" 0o"$*le a0l$#ar el teorema de Rolle a ƒ e& el $&ter'alo #errado
2
+ 3 x , [ 0, 3 ]
0olución> 12. f ( x ) = x
2
−5 x + 4, [ 1, 4 ]
0olución>
13. f ( x ) =( x −1 ) ( x − 2 ) ( x −3 ) , [ 1,3 ]
0olución>
14. f ( x ) =( x −3 ) ( x + 1 ) , [−1, 3 ] 2
0olución>
15. f ( x ) =. x
2 /3
−1, [ −8,8 ]
0olución>
16. f ( x ) =3−| x −3|, [ 0,6 ]
0olución>
2
x −2 x −3 17. f ( x ) = , [−1,3 ] x + 2
0olución>
2
x −1 , [−1,1 ] 18. f ( x ) = x
0olución>
19. f ( x ) =senx, [ 0,2 π ]
0olución>
20. f ( x )=cosx , [ 0,2 π ]
0olución>
21. f ( x )=
0olución>
6 x
π
− 4 sen2 x ,
[ ] 0,
π 6
22. f ( x )=cos2 x , [ −π , π ]
0olución>
23. f ( x )=tanx, [ 0, π ]
0olución>
24. f ( x )=secx, [ π , 2 π ]
0olución>
E& lo" e,er#$#$o" 27 a 2 !t$l$>ar !&a ?erram$e&ta de 8ra$#a#$%& 0ara re0re"e&tar la !&#$%& e& el $&ter'alo #errado
0olución>
26. f ( x )= x − x
0olución>
1/ 3
, [ 0, 1 ]
27. f ( x )= x −tanπx ,
0olución>
[− ] 1 1 , 4 4
x
28. f ( x )=
0olución>
2
− sen
πx 6
, [ −1, 0 ]
2:. Movimiento vertical @a altura de una pelota t se%undos despu's de que se lan/ó &acia arriba a partir de una altura de pies 2 con una velocidad inicial de GH pies por se%undo es 2 f ( t )=−16 t + 48 t + 6 a) Ierificar que
ƒ ( 1 )=ƒ ( 2 ) .
b) 4e acuerdo con el teorema de Rolle 7cu#l debe ser la velocidad en al%9n tiempo en el intervalo (1 +)8 4eterminar ese tiempo. 0olución>
3;. Costos de nuevos "edidos El costo de pedido 2 transporte C para componentes utili/ados en un proceso de manufactura se aproxima mediante 1 x C ( x )=10 + x x + 3
(
)
donde C se mide en miles de dólares 2 x es el tamao del pedido en cientos. a) Ierificar que C ( 3)= C ( 6 ) . b) 4e acuerdo con el teorema de Rolle el ritmo de cambio del costo debe ser ; para al%9n tamao de pedido en el intervalo (3 ). 4eterminar ese tamao de pedido. 0olución>
E& lo" e,er#$#$o" 3- 4 32 #o0$ar la 8r+$#a 4 d$*!,ar la re#ta "e#a&te a la m$"ma a tra'" de lo" 0!&to" 5a ƒ5a66 4 5b ƒ5b66. De"0!" d$*!,ar #!al1!$er re#ta ta&8e&te a la 8r+$#a 0ara #ada 'alor de c 8ara&t$>ada 0or el teorema del 'alor med$o.
0olución>
0olución>
!edacci#n E& lo" e,er#$#$o" 33 a 3 e/0l$#ar 0or 1! el teorema de 'alor med$o &o "e a0l$#a a la !&#$%& ƒ e& el $&ter'alo <; =.
0olución>
0olución>
35. f ( x ) =
1
x − 3
0olución>
36. f ( x ) =| x −3|
0olución>
3B. eorema del valor medio Considerar la %r#fica de la función
f ( x )=− x + 5 . a) 4eterminar la 2
ecuación de la recta secante que une los puntos (,1 G) 2 (+ 1). b) 6tili/ar el teorema del valor medio para determinar un punto c en el intervalo (,1 +) tal que la recta tan%ente en c sea paralela a la recta secante. c ) Encontrar la ecuación de la recta tan%ente que pasa por c . d ) 6tili/ar despu's una &erramienta de %raficación para representar < la recta secante 2 la recta tan%ente.
0olución>
3. eorema del valor medio Considerar la %r#fica de la función
f ( x )= x − x − 12 . a). Encontrar la 2
ecuación de la recta secante que une los puntos (,+ ,) 2 (G ;). b) Emplear el teorema del valor medio para determinar un punto c en el intervalo (,+ G) tal que la recta tan%ente en c sea paralela a
la recta secante. c ) 4eterminar la ecuación de la recta tan%ente que pasa por c . d ) 6tili/ar despu's una &erramienta de %raficación para representar < la recta secante 2 la recta tan%ente. 0olución>
E& lo" e,er#$#$o" 3: a ( determ$&ar "$ el teorema del 'alor med$o 0!ede a0l$#ar"e a ƒ "o*re el $&ter'alo #errado
0olución>
40. f ( x )= x , [ 0, 1 ] 3
0olución>
41. f ( x )= x
3
+ 2 x , [ −1, 1 ]
4
−8 x , [ 0, 2 ]
0olución> 42. f ( x )= x
0olución>
43. f ( x )= x
2 /3
, [ 0, 1 ]
0olución>
44. f ( x )=
0olución> 45. f ( x )=|2 x + 1|, [−1,3 ]
0olución> 46. f ( x ) =√ 2− x , [−7, 2 ]
0olución>
x + 1 , [−1, 2 ] x
47. f ( x )= senx , [ 0, π ]
0olución>
48. f ( x )=cosx + tanx , [ 0, π ]
0olución>
E& lo" e,er#$#$o" (: a 72 !t$l$>ar !&a ?erram$e&ta de 8ra$#a#$%& 0ara a6 re0re"e&tar la !&#$%& ƒ "o*re el $&ter'alo b6 e&#o&trar 4 re0re"e&tar la re#ta "e#a&te 1!e 0a"a 0or lo" 0!&to" "o*re la 8r+$#a de ƒ e& lo" 0!&to" term$&ale" del $&ter'alo dado 4 c 6 e&#o&trar 4 re0re"e&tar #!ale"1!$era re#ta" ta&8e&te" a la 8r+$#a de ƒ 1!e "ea& 0aralela" a la re#ta "e#a&te. 49. f ( x )=
0olución>
x x + 1
,
[ ] −1 2
,2
50. f ( x ) = x −2 senx , [− π , π ]
0olución>
51. f ( x ) =√ x , [ 1, 9 ]
0olución>
52. f ( x ) = x
0olución>
4
−2 x 3+ x2 , [ 0,6 ]
73. Movimiento vertical @a altura de un ob5eto tres se%undos despu's de que se de5a caer desde 2 ( ) 4,9 s t =− t + 300 . una altura de 3;; metros es a) Encontrar la velocidad promedio del ob5eto durante los primeros tres se%undos. b) 6tili/ar el teorema del valor medio para verificar que en al%9n momento durante los primeros tres se%undos de la ca"da la velocidad instant#nea es i%ual a la velocidad promedio. 4eterminar ese momento. 0olución>
7(. Ventas 6na compa"a introduce un nuevo producto para el cual el n9mero de unidades vendidas S es
(
( t )= 200 5−
9 2 + t
)
donde t es el tiempo en meses. a) Encontrar el valor promedio de cambio de S(t ) durante el primer ao. b) 74urante qu' mes del primer ao SJ(t ) es i%ual al valor promedio de cambio8 0olución>
De"arrollo de #o&#e0to"
77. 0ea < continua en [ a b! 2 derivable en ( a b). 0i existe c en ( a b) tal que
7. 0ea < continua en el intervalo cerrado [ a b! 2 derivable en el intervalo abierto ( a b). $dem#s suponer que <( a) L <(b) 2 que c es un n9mero real en el intervalo tal que
7B. @a función 0, x = 0 f ( x )= 1− x , 0 < x " 1
{
es derivable en (; 1) 2 satisface <(;) L<(1). 0in embar%o su derivada nunca es cero en (; 1). 7Contradice lo anterior al teorema de Rolle8 Explicar. 0olución>
7. 7Es posible encontrar una función < tal que
ƒ (−2 ) =−2, ƒ ( 2 )=6 y ƒ' ( x )< 1 para toda x . 7or qu'
s" o por qu' no8 0olución>
7:. Velocidad 6n avión despe%a a las +>;; p.m. en un vuelo de + *;; millas. El avión lle%a a su destino a las ->3; p.m. Explicar por qu' &a2 al menos dos momentos durante el vuelo en los que la velocidad del avión es de G;; millas por &ora. 0olución>
;. em"eratura Cuando se saca un ob5eto del &orno 2 se pone a temperatura ambiente constante de ;M D la temperatura de su n9cleo es de 1 *;;M D. Cinco &oras despu's la temperatura del n9cleo corresponde a 3;M D. Explicar por qu' debe existir un momento (o instante) en el intervalo en el que la temperatura disminu2e a un ritmo o tasa de +++M D por &ora. 0olución>
-. Velocidad 4os ciclistas empie/an una carrera a las H>;; a.m. $mbos terminan la carrera + &oras 2 1* minutos despu's. 4emostrar en qu' momento de la carrera los ciclistas via5an a la misma velocidad. 0olución>
2. $celeraci#n $ las >13 a.m. un automóvil deportivo via5a a 3* millas por &ora. 4os minutos despu's se despla/a a H* millas por &ora. 4emostrar que en al%9n momento durante este intervalo la aceleración del automóvil es exactamente i%ual a 1 *;; millas por &ora al cuadrado. 0olución>
3. Considerar la función
f ( x )=3cos
2
( ) πx 2
.
a) 6tili/ar una &erramienta de %raficación para representar < 2
0olución>
¿
ara discusión
(. !a%onamiento &r'(ico @a fi%ura muestra dos partes de la %r#fica de una función derivable continua < en [,1; G!. @a derivada
ƒ '
tambi'n es continua.
a) Explicar por qu' < debe tener al menos un cero en [,1; G!. b) Explicar por qu' ƒ ' debe tener tambi'n al menos un cero en el intervalo [,1; G!. 7Cómo se
llaman estos ceros8 c ) Reali/ar un posible dibu5o de la función con un cero con d ) Reali/ar un posible dibu5o de la función con dos ceros de e) 7Dueron necesarias las condiciones de continuidad de a) a la d )8 Explicar. 0olución>
ƒ ' en el intervalo [,1; G!. ƒ '
ƒ 2
en el intervalo [,1; G!. ƒ '
para efectuar las partes de la
Para "ensar E& lo" e,er#$#$o" 7 4 d$*!,ar la 8r+$#a de !&a !&#$%& ar*$trar$a ƒ 1!e
"at$"a#e la #o&d$#$%& dada 0ero 1!e &o #!m0le la" #o&d$#$o&e" del teorema del 'alor med$o e& el $&ter'alo < ,7 7=. 7. < es continua en [,* *!. 0olución>
. < no es continua en [,* *!. 0olución>
E& lo" e,er#$#$o" B a B; !"ar el teorema del 'alor $&termed$o 4 el teorema de Rolle 0ara demo"trar 1!e la e#!a#$%& t$e&e e/a#tame&te !&a "ol!#$%& real. 67. x
5
+ x 3 + x + 1 =0
0olución> 68.2 x
5
+ 7 x −1=0
0olución> 69.3 x + 1− senx = 0
0olución> 70.2 x −2− cosx =0
0olución>
B-. 4eterminar los valores a b 2 c tales que la función < satisfa%a la &ipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [; 3!. f ( x )=
{
1, x =0 ax + b , 0 < x " 1 2 x + 4 x + c , 1 < x " 3
0olución>
B2. 4eterminar los valores a b c 2 d de manera que la función < satisfa%a la &ipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [,1 +!.
{
a , x =−1 f ( x )= 2,2 −1 < x " 0 bx + c , 0 < x " 1 dx + 4,1 < x " 2
0olución>
Ecuaciones di(erenciales E& lo" e,er#$#$o" B3 a B e&#o&trar !&a !&#$%& ƒ 1!e t$e&e la der$'ada ƒ ' ( x ) 4 #!4a 8r+$#a 0a"a 0or el 0!&to dado. E/0l$#ar el ra>o&am$e&to. 73. f ( x )= 0, ( 2,5 ) '
0olución> 74. f ( x )= 4, ( 0, 1) '
0olución> 75. f ( x )=2 x , ( 1, 0) '
0olución> 76. f ( x )=2 x + 3, ( 1, 0) '
0olución> )Verdadero o (also* E& lo" e,er#$#$o" BB a ; determ$&ar "$ el e&!&#$ado e" 'erdadero o al"o.
S$ e" al"o e/0l$#ar 0or 1! o dar !& e,em0lo 1!e lo dem!e"tre. BB. El teorema del valor medio puede aplicarse a
ƒ ( x )= 1 / x
en el intervalo [,1 1!.
0olución>
B. 0i la %r#fica de una función tiene tres intersecciones con el e5e x entonces debe tener al menos dos puntos en los cuales su recta tan%ente es &ori/ontal. 0olución>
B:. 0i la %r#fica de una función polinomial tiene tres intersecciones con el e5e x entonces debe tener al menos dos puntos en los cuales su recta tan%ente es &ori/ontal. 0olución>
;. 0i ƒ ' ( x )=0 para todo x en el dominio de < entonces < es una función constante. 0olución>
-. 4emostrar que si a > 0 2 n es cualquier entero positivo entonces la función polinomial 2 n+ 1 p ( x )= x no puede tener dos ra"ces reales. 0olución>
2. 4emostrar que si ƒ ' ( x )=0 para todo x en el intervalo ( a b) entonces < es constante en ( a b). 0olución>
2 3. 0ea p ( x )= $ x + %x + C . 4emostrar que para cualquier intervalo [ a b! el valor c %aranti/ado por
el teorema del valor medio es el punto medio del intervalo. 0olución>
2 3 2 (. a) 0ea ƒ ( x ) = x y g ( x )=− x + x + 3 x + 2 . Entonces ƒ (−1)= g (−1)
2
ƒ ( 2 )= g ( 2 ) . 4emostrar
que &a2 al menos un valor c en el intervalo (,1 +) donde la recta tan%ente a < en ( c <(c )) es paralela a la recta tan%ente g en (c g (c )). :dentificar c . b) 0ea < 2 g la función derivable en [ a b! donde ƒ ( a )= g ( a ) 2 ƒ ( b )= g ( b ) . 4emostrar que &a2 al menos un valor c en el intervalo ( a b) donde la recta tan%ente < en ( c <(c )) es paralela a la recta tan%ente a g en (c g (c )). 0olución>
(−&, & ) 2 ƒ ' ( x )<1 para todo n9mero real entonces < tiene al menos un punto fi5o. 6n punto fi5o para una función < es un n9mero real c tal que ƒ ( c )=c .
7. 4emostrar que si < es derivable en 0olución>
