-347-
•
OSCILACIONES.
CAPITULO: 15 .
PROBLEIIAS
1.~
Un blQque de
~. O
kg estira un re sorte 1 6 CM • part i r de su
posici6n no det or.ada .
S. quita el bloque y s e susplnde uv
cuerpo de 0.50 kg del _i.Mo resorte.
Si entonces .e suel t.
el resorte. ¿eu'l es s u periodo de MoviMiento? ~:
MI *
~
kg.
Xl a 0.16 M.
m z 0.5 ka.
Solyci6n: El periodo de Moví.iento de un
T*;:211.!f. Po~
la ley de Hooke
s .b.~o l
(1)
que:
resort~
8 1:
-348-
o, (J)
p"ro De
•
Jd~ lo::
ec ua c ion e s (2) y (3) obte neao s ..
~
"'1&/ 111
"
11
9.8/0.16 ~
2"S kg /a
luego d e la ecua c i 6 n ( 1 ) t en a.os: T
2
•
..
J ,o.s
" 0.2"8 seg. T
~
0.2"8 se g.
2.· Una masa de 2.0 k g . e .u s pe n d e d e un re so rte. . u spen di d o a bajo d e l a ma sa , e stira e l
300 "
Un c uerpo de resorte 2 .0
Si se quita e l cuer p o de 300 g Y se pone a o sc ilar l a a asa , encontr a r el pe r iodo del .j
ento.
Soluc i6n : Lo
periodo es:
[.1
••
co nst ... nte k
(M
• .,),
k
"...!!.&.-. "
k
,,~ 2 . 000
•
•
•
o b tien e de:
•
•
"0/3 o •
• .80
"0/3
Reemplazando valores en T :: 2
•
,j2000 2000 x 990
11
(1):
,. l
" 0.73 lIeg.
T " 0. 73 s eg.
.-._ .-..-.. -.--.r. ..,
L.
~o vi
-3493.- Un pequeno cuerpo de masa 0.10 kg está ejecu ta ndo miento arm6nico simple de amplitu d 1.0 m y
~n
p~riodo
~ovi
0.20 seg
(a) ¿Cuál es el valor máximo de la f uerza que obrat sobre él? (h) Si las oscilaciones son producidas
m o ~iante
un re
sorte, ¿cuál es la c onstante de fuerza del r es orte? m.;;O.lkg.
Soluci6 n:
...
"X
"1 m
.h
T " 0.2 seg.
.
"
?
)
c te
K "
1 f •
f
•
T
"
2lf
ff ,
,
98.69 kg/seg
= (98.69)(lm) kg/seg
r máx
98.69N ~oducidas
h) S i las osci laciones son
.
r K. dond e r mh K. •h • k k ~.-
,
"
k
o'"
kA
r
9 9.69
A
1
9B.69
•
mediante un r esorte
,
•
N
•
Un cuerpo oscila con movimiento arm6nico simple d e acuerdo con la eeuaci6n x " 6.0 cos(3lft ~ ~ )m. 3
Calcular (a) la elon ga e i 6n , raci6n par a el ti e mpo t fase,
(b) la velocidad y ( e ) la
" 2 seg.
a eel~
Encontrar ta mb i é n (d) l a
(e) la fr e cu e ncia v , y (f ) el periodo del movimiento.
Solución: (a) l a ecuación d e la elongación en el movimiento arm6nico simple e s: x=Acos(oottÓ) En el problema para t
" 2 seg. tenemos :
(1)
-)50ot .. 6 c os ( 3 JI t + ft 1 3) " 5 cos(3ft ot 2 • ft 1 3) " 3111 lb ) l . velocid oad ser.i ; • Jo se n ( 3l1 t 11/3) • - d.
,•
~
"
["
~
g,
~
Col
serd611 + .
~
,,]
~
J3 ... /seg.
a c e lera c i ón serA;
" •
•
•
d.
d'
" ~ •
" "
(3 11 ) C:0 5 (3JI't
",
".
~
. /seg
( d) Y (e) Ellnaulo de fase 6
,
•
11
13 )
y la frecuencia angular w se
obtie nen ide ntifi c an do tlr.inos en lal ecuaciones (1) y ( 2 ); de donde;
6 " 11/3 rad., (d)
El periodo es ;
Rp t ... :
( .)
•
~
eb)
•
~
•
Co)
•
(d)
T "
-
2 'lV311 " 0.1i6 le, .
(d)
,
~
,
9Ilfi./ug.
21. . • • ./3 ud z
rad /s eg .
211/ w "
l. _
( e) w "311
(E) t
w " 3 11
/sea
.&, .
. ovi.iefl~o
pa c to al punto x " O; para t 0.37 c .
y una .aloeidad caro .
. 'anto
e. de 0.25/se"
Si la freeu aDeia del lIIovi
datar_i n ar (a ) el pe riodo, (b)
la
(d) la elo ngación para
(arbitrario). (e) la v-eloeidad para el tie . po
(arbit rario), (f) la .eloeidad .1oti.a. (al l. aceleración
.¡oti.a. (h) la elon,aeión para t dad para t
" 3.0 seg .
So lución :
f
.)
ar.6nieo l i na.l con res
" O tie ne un a alongoaeión ot "
frecuencia anlular. (e) la a.plitvd. t
••d
rad/.e,
0 . 66
5.- Una poart1euloa ejecuta un
u n ti e.po t
"
T ::
T
1
•
" 0.25 H 1
0. 25
.. sel.
.,
2
" 3.0 saa, e (i) la •• loci
b)
•
T
"•
T
eos( wt
. )
•
,
)( ( t )
.,
d.
•. h • , • •
...
c uand o
dv
"
hl
il
. •, /
• • •
• • • •
0. 3 7
•,
)sen
,
•,
f
~
'"
Aws e n wt
'" a
......
t)
'" Ay 2eos y t
'" Ay
,
• ,,•
•
0 . 37
•
•
0.9 1 c ~ /s
(
)
,•
0. 9 1
Ae os y t
0 . 37 eos
[~
(3l]
O
•
( O. S 8 ) s en (
• • • •
l a e lon g aci 6 n
,"
• J
O
O
0. 58
tie ne v
,•
". •,
0 . 58
•
,
0 . 37 (
(0.3 7 )(
• • -
fl
,
., " . ., ., " . .,
• • • • • • •
rr
•
e o s (w t)
,.
c uan do
)
par a
• •, • • ,
•
r ad /s e g.
,•, . ,. • , , • • , oo . ., •
dl
"
,•
• •
"
-351-
_. • , • ,.
0. 58 s e n( 3
0 . 5 9 c _/ s
,• , ,,
)
. /
,
J
-352~
-
pdrticulas ejecutan
"o~
amplitud y
~i~m~
ar~6nicos
simples de la
lobre la misma linea recta.
fre c ~encia
Se
una con la otra cuando eatán moviéndos e en sentido o
cru~ an
puesto ca da tud.
~ovi.ientos
ve~
que
¿cuAl es la
~
elonga c i6n es la mitad de su ampli
dif~ren cia
de fase ent re ellas?
Soluciono tn la figura se muestra la soluci6n
gr~fica
del
proble.a, P y Q son las dos partlculas y se en (u entra que la dIferencia de fase es :
Soluci6n
¡,[¡alít i ca s abellos que 11 y W son iguales.
p
•
O
" • " • pero
d.
"
O
H
, ,
• "ec u aci6n " • O,
-------
00'
w<
0'
( w!
•
,/2 ( dato) obten~mos
co s wt = 1 /2 , se n wt =
JI
(D (2)
" ,
co& wt
.,¡-;;;. de
la e c ua c i 6 n
( 2):
11 / 2
, • ,,
= A(cos
00'
li t
, - .fi """'2
co s 6
s en
_ s e n wt sen6 )
, d e do n de:
,.
O Reso l viendo l a e c u ac i 6 n d e se gu nd o g ra d o obte nem os: Rpta : ,. - Un
bl~que
se e n cu e ntr a en un a supe rfi cie h or izo nta l q u e se
está mo v ien d o ho r izon t alme n te co n un mo v imien t o a rm ón i co
ar~5n¡co
si~~ l e
de
- JSJ-
fr~c uen ci a
El coefi c iente de roza. le n to
dos osc i laciones P?I' segundo. enll'e el bl o que y
est ~ tico
el
plano es de 0.50 . tud para que el bloque no deslice sobre l a Dat o s:
r
~
s~perf~ciel
.... :.: os e/ seg. u 0.5
Soluci5n: l.a sup e rficie
hu~!
zo ntal s e mueve co n Dovimien to
armóni c~
Como e l
~imple .
',--< <
-, '
bloque eltá en equ i librio re s pecto a la sueprficie
horiz o~
tal, la fricción e n tre ista
' :..:;..;¡ , .......................
el blo que ser ti i gual a
y
.L;¡
fuerza restauradora. r
"
f
•
u mg
%
k
kx
"
(umg)/x
La frecuencia será:
de donde:
Rpta:
A "
3.1
11.
10
-,
•.
8.- Un bloque se encuentra sobre un imbolo q ue se esti Moviend o
ver t i c alDente con un movimiento arm6nico ~ imple de periodo 1.0 seg. (a)
¿Para qué amplitud del moví.i e nto se separará n
el bloque y el émbolo? (b) Si el imbolo tiene una aDplitud de 5 . 0 . nI, ¿cuil ser á la frecuencia • .1xi.4 para la cual el bloque y el émbolo estarán en contacto continuamente? Solución: ( a) Para uque se cUlllpla dicha condición la fuerza restaUI ·l dora debe ser igual al peso del bloque. kx : mg _- __ - ____ (l) de d o nde k " mg/x por otro lado sabemos que el peri o d o T
T
d , d ond e :
•
" jf
-----------
,..g;; • 2nJf ,. , • :-4-" .' •, • •
(2)
mg/x
T'
"
'"
0.2S m.
p •.
-354-
(b)
Cu ~ nd o
~
la a.pl i tud es
c m, l a f r ecuen c i a
, )98,0
f
Rpt., :
(. )
'" • f
(b)
=
ser~:
= 1.'1 osc/se t .
1.12 o sc/se g .
9. - Un relorte un iform e, c uy a lo ngi t ud al no e s ta r d ef o r ma d o e s
El re sorte se co r ta en
1, tiene una const a nte de fuer z a k . l o n~ i tud e s
do s partes, c u yas siend o 11 = n1
n o d e formad as s on 1
y n e s u n en te r o.
2
y 11' 1 ¿C u¡le s so n l a s co n star.
tes de fue r za correspondientes k
y k '] e n fu nc iÓn de n y dr 1 k7 Verificar el result a do p ara n = 1 Y n : ~.
SolyciÓn:
Si se toman ambo s r esortes como s i e st u vi e s e n oo n ectado s en
,
serie:
pero:
1 1 k'1
•
k, luego e n
,
•
k
(a)
k,
•
, ------
•
(' )
k,
" k, l'1 k ']
l,k1
"', ,
, I
,, •
k,
1
n
=~
"
-
k
, •~ "
1
t
k = ~
, k
par a
n
, , r; = • "
= 1
indi c ¡nd o no s qu e el res or te ha sido cortado por la mi to d .
n = en
:
k(n+l)
"
-355-
", • , ", • "o •
."
" , . ," "
,, •
f
.uestr~
en
lIiento .
•
•
l~
, I
•
m
•
,•,
m
k
Fig. 1S-22.
La s s uper fi c i e s c ar ec e n de ro za -
Si los resor t e. t ie ne n
re . pec t iy a ~ .n te
co n St ~ n l es
ciÓn de • e s :
, tI an'logo eléctrico de este si'tella es una conexiÓn de 40. capacitore. en paralelo). m
501uci6n:
L~
fuerza r necesaria para estirar un re sorte e-
quivalente al
~ostrado
-------" r •
r •
• pero
•
•
en la fl1ura ser': (1)
d, don4e:
k
" • " ---- ---
DI (ver fil. 2)
- 356-
,r
r
r
. ~
"
•
que la frecue n cia es:
3 ~L ~m~s
f:2~jf k por su valor obtene mos el
Rccmplaz~n d o
11. Los res o rtes se mo se
fijan a h ora a m y a so p ortes f i j os
e n la rig.
~up.st r a
resul t ~do .
15-23.
~o
que la f r ecuen -
De ~ os tr ar
cia d, osc ila ción e n e s t e c as o es:
,
, j', .
~
.,..-;
111
es und conex i ó n d e dos
~istema
~a pac'tore~
k,
m ;•.,,"¡.:-; , :".,-,.,.'.
(tI anilogo eléctrico de est e
...
.~~- ". :-:,':
e n serie).
Solución; La cons tante de un resorte estA dada po r: k "
,r
Las fuerzas necesa rias para comprimir l os resortes 1 y 2 serin;
r,
"
k
,x ,
r, .
y
Para deformarse ambos resortes a la vez deber i
aplicarse u-
na fuer:.a. Co mo ambos resortes se deforaan igualmente.
"
Luego: Lo
r
~
~
", •
~
" k
2
frecuencia será: f
. , "
Jf ~
,
•
lx
, ,.
,r
~
,, • k, • ,
1, •• "
12. Las frecuencias de vibraci6n de los
~tomos
en los s61idoa ,
a temperaturas normales, son del o rden de 10 nese que los
~tomos
" Iseg, mediante
estuvieran co nectados entre
l~ag!
s~
resortes. Supóngase que un solo átomo de plata vibra con esta fr~~~n"cia y que t o do s los otros ~to.os se encuentran
-357-
en reposo.
Calcular entonces la const ant e de fUArta de un
solo resorte.
Una
con tiene 6.02 x 1 0
1101
23
de
pl~td
tiene un a lIasa de 108 g Y
átomos.
"
~!
•
f " lO/ses. 1011 gr (peso molecular de la plata) 2J átomo & ?or m~l " 6.01 x 10
N
Sol%i6n:
•
La frecuencia de vibraci6n de un át o mo de plata será: 1
f
(1)
T,
donde m es la masa d. un át o mo de plata:
,
m •
N
o
Ii . O 2
x 10
23
Atomos/mol
Reemplazando en (1) el valor de ,
"nH f
k"
y
Ii
despejando k tenelios:
•
2 M
" 110 lit/m
o Rpt. :
10:
"
710 III t / •.
13. [1 extrello de una de las r a.as de un di ap a s6n que
ejec uta
lIovi.iento armónic o s imp le de frecuencia 1000/ s e g tiene u na amplitud d e 0. 40 mm.
No tomando en cu enta e l
am orti gu~
.iento, encontra r (d ) la .¡xi.a dcele r a ción y la IIIAxi .ll a ve l oc id ad de la punta de la rama, y ( b ) la velocidad y la aceleración de la punt a de la ra ma cua ndo tie n e una elo ngación de 0.20 111111. Solución: (a) Como la n energia me c' n i c a t ot a l
2'
mv
,
d,
de dond e :
se cons erv a te ndr emos:
------
po r otro lado s a bemos q u e; f
"
~•
./f -------
(2)
De la s e c ua cio n es (1) y ( 2 ) ob te n em os: V
:
•
2n
f J,,2_ x 2
---- ( l ) . d o n de :
( 1)
-358-
=
v
v
v
m~x
=
cuando K = O
•
•h '+
=
2' fA
Ld a c eleraci6n se rj :
•
d, -d'
d. d,
d.
"
= lb) Cuando x = 0.2 mm.
.Rpt.a:
(. )
(b)
x
10 - ~
•
d 11 m/seg.;
'+
•
211(1000)~
t
..
- --
2
2
1600 w m/ seg -2 = 2 x 10 m, de las ecua cio n es
~
VIII~X
= t 0.8 "m/seg .
•• h
•
•
1 .600
• •
•
0.5611
•••
(Ij)
•
III/Ies
,
,• . /." ,,
•
BOO
2
111. Un relorte de constante de suspe ndid o verticalmente.
mIse,
fuer~a
19.6 nt/ m s e en cu entra
De su extremo libre se suspende
un c uerpo de 0.20 kg de .asa y se suelta.
Sup 6 n gllse que el
r eso rte estaba sin esti r ar ant .. s de q ue .. 1 c u e r po SI SOltara. y encuént re se qu é ca nt id ad ba j ar¡ e l cu e rpo a pa rti r de la poaici6n inicial.
Ha l l a r
tamb i é n l a frec u e n c ia y a.pli-
tud del movi.i e nco ar.6nico ai. p le r es u lt a n t e. Solvci6n: Como e l
s istem a es co n s e -
vat iv o la ene r gla mec l ni ca total ae cons er v a r!. lu ego: 1
'2 kx
2
" .g x
(1)
La am p l itud se r¡: x ~
~ - c2 ,--,x,-,!0-¡"C ,y,,-!,"",8C k 19.6
la frecuencia es:
• 0.2
111.
• -359-
)1 9.6 "
r •
O. ,
Rpta:
1.,
.. " 0.2
1ft.
e.g.s f
"
•
1.6 C. g.,
15. Un bloque de 35 . 6 nt estA suspendido d e un resorte que tiene una
constante de fU OI I'l:.1I de 526 nt/m
Se
el bl oque , desde abajo, un a b ala q ue p esa
~i,para
O. ~ ~5
co n tra
nt con una
velocidad de 1 52 mlseg, la cua l queda ahogada en e l bloque.
(a) Encontr ar la amplitud del movimiento arm6nie o s imple (b) ¿Qué fra cci6 n d, la e neril .
!! \J lt"ot •.
nal d ,
r~
cinética or igi -
la bala queda alma c enada en e l oscilador arm6 ni co? \
¿Se pier de energía en este pr oc eso? E xplique su res puesta. So luci6n:
K " 526 N/ .. P
" 35.6N
Pa " O.ijij5 N
v
o IV
1 52 mIs
Ca ri~\da d d , mo v i miento des -
a) Cantidad de lIovílllento
•
an te s del c hoque IlISV B
" •
• •, , , •
.
., ' ,. • ••, •
• •
lIIasa
Y
~
v.l oc id ad de l
s
"• Co~o
d. 1 bl oque
v e loci dad d. lo b a la inici a l
. O
de l
des pu é s - el
fin al
b loq ue fin a l
,
i ~ pa cto
e n (t);
ma Ya = Y'(m S
do n d e
es t Olla d o
.
~
l a bala q u ed a in c res t .d a en e l b I o
,
y '
"
b, l a
( repas o)
q ue :
v'
bloqu e inicia l
de h
.
Y, '"
------ O,
lIasa d. lo bala
•• "
,pués del cho que-
v'
t
m3 '
j u sto el, la pos i c i 6 n d e e qu i l i b r i o l u e go
-360-
., •
m
" ., , " -'-
,
-eVe
,
,
8
• •
"• • , " "
•
(0.~IIS)( lS 2) 0 .1I~5
•
,
m"
1 . 9 mIs.
• mh , <-
Taltlbién: donde
,
h
T
•
w
donde:
j~T
,
w
, • ,
,
jP!/a , .fj ,k • ,bloq . v
j
(1. 9)
,, ~a
:
"
'T
,
b)
3S.6
t
0.16
0.~1I5 9.'
•
fracci6n de enera!a
,
35.6
52 •
ci n~t ica:
0.15e
•
f[k
4k del oscilador
,
t:
,
k
de la bala
1/2 kx 1
'2 reempla~ando
"
• •
,
2 donde:
,
II V
x
~
a mplitud: A
k : con3tante d e l reso r te
valores:
(526)(0.16)2
0.1I ~ 5 x ( 1 52)2
:: 0.0 1 2e
9.,
f t: 16. Po r
k
o r i gi n a l
~
1 .2 \
lo que se r e fiere a l a s o s cilac i o n es v er tical e s pu ede
considerarse que un a utoll6vi l está mo n ta d o sobr e un
rc ~~r r~
Los muelles de un ci e r to au t o se aj us tan de t a l manera que las vibraciones t ie n en u n a f recue n cia 3 por seg u n do. ¿C uá l es la const ante de fuerza del re so rte s i el auto pe3a 3200 lb ? ¿Cuá l será la frecuen ci a de vibr a ci6n cuando viajan en
- 36 1-
) b?
r
I'lHO S
J c , p. s .•
:ijQlyci6 r)! (~l
La
e"pl'e ~ a
[ ,'ecllencia » e
,, • k
f
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IOU.J/..t '
d, dono e
,
k
,auto
c . p. s '
J
p~ :'
,
"
),l <),.:u;,<;\ón
,r ,
"
J , 200
, j
>.
, f
w,
o',
to,
Sglución; ( a) LilI frecuenc i ill
5" ex p r esa por 1 .. e <: u"cl ó " :
3 , 2 00/32
k '
~
~
3 , 60 ;;)
10 T
,
,.
l b/ p1g.
(b) Cuando v a n en el auto 5 p d s aj ero»o medi o de 1 60 lb , la ma s a rá ; M
,. f
•32 5 ( 1 6 0 )
3 , 200
frecull ncia se1".1 :
,
Rpt 11
,Á,
1
:
'"
!...
}
2
f
"
,
slug ,
lb/plg.
2.61 c.p.s.
'" ,
2. 61
C •
I
.IIll9..<'
,
" , " f So l .;"
..é.ll:
Ld
"
f recue ncia f
pl, (elongaoci6n lI¡¡xima) e . p. s .
pes o
El 11
pl g.
Y se le e
fre c uen c ia de 2 oscila·
¿Cuánto pesa el
32 lb ( fuerza máxima)
,
lo
Se encuent1"ilI que un paquete colgado de la ba
segundo,
r
~e ·
i
la nza oscila vertic a lme nte con una ci ones po r
res o rt e
p. s
La esca la de una balan:r;a de 1"esorte t ie ne deOa32 lb.
un o co n un pes o
que sobra e l
1 25
n"
cad~
tot a l
,
. 60 0 x
(a) k " 3,600
(b)
11.
,
t
es: "
d,'
paquete e s:
mg
,
-.!.,
.
,
, 2T 4 f ~
p" quete?
-36 2Lu e go:
W
~
111& "
o btenellloa la k
kg / (~,ff2l
co nst~n t e
r/x ;
~
(2)
del re sor te
•
lb/pie.
32/(~/12l
valores en (2) obte ne.os:
M ee~pl~~ando
w=
32 x 1 2 x 32 2 1 X 11 X 2
219. ~
lb
9
..
,
18. Partiendo d. la te. (con 1/2 kA
15 - 1 7 para la co n se rva ci6n de la ene r gia
t) obtener la elongaciOn en funció n de l
t
po .ediante inte er. ci 6n d e t c. 15-18 .
te. 15 - 18.
Co~p.ra r
, 1
Sab e aos que
111.,
2
t
,
1 10, 2
2
donde ~
• •
- - - -
(1)
pode.os tOlllar v con si g no positivo o neJativ o. (I)
tie.
con la
/
Sohci 6 0 :
de
l~
La ecuaci ó n
se con"ie" t c en:
y sabhnd o que
o lo q "e es l o lIi. ao: JI
"
A co .( wt + 6)
19. Cu an do 1. elo na. ción e. la .itad d e le
ció n de
t~
.~pljtud .
¿q ua frac-
eoe rat. t otal ee cin¡tica y qu' f re ce ión e. po -
tencial en el ao_t.tento ar.6nt co sj.ple7
¿ P ~re
qui elonga-
ción la e n e rat • • • • ttad cintt ica y . i t .d potencia17 Sgly ci6o:
(a) La fracción de energta cin 'tica e.:
, t
do nd e:
•
- )6)-
, 1
,
1"1 ,'
par" ;
x·' )
~
=
x
•
Al ?
2
r.
kA ¡2
\/"loros en ( 1 ) o bt"n c mos:
ReemplaZIIL\do
,
31<,, e _ , -2 _16 _
r
n
kA
, J
•
Ju ego
•
K
J
"
E
, . K
"/ 5\
do E.
L. e n el'g!1I p ot"f'nci al se rá :
,
K
"•
u =
E -
(b)
Sabeoo:; q u e : U
:
~
r
- -- ----
_ JE/4 = [ / 4
~
, ,.,,
, 2 • , • , , kx ) I gu alan d o las ec u ac io nes , k. , • kA' U
( ')
U = 2 5\
6
(J)
E
,-
(, )
(3) y (4 ) obt e n emos:
AJ2 • • ..,---
d. d o nd e:
•
(. )
Kp t " :
(b)
20 . (al Oemostrar que en un
de L.
,•
, 5\
•
" V2/2
•
m o Yi~i. nt o
U
•
a rm 6 n ico
15'
E
s i~ p le
l • • ne r-
gla potenc ial m.dia es i g u a l . l a ene r g!a ciné t ica me dia cuando el promedio
.e
t o ma co n respec t o al tiempo pa ra u n
periad, del movimi ent o , y q ue c ada promedio es ig ual a 1/4 kA
]
(v6as e la f i g . 15 - 9a) . (b) De mostrar q ue cu.nd o .1
promedio se
to~a
co n r es pe cto 1 la pos i c i 6n en e l
trans c u r -
so ce un ciclo, la e nergia potencial Media es igual 11 2 1/6 kA Y que la e n erg! a cinitica media .5 igual a 1/310,,2 (véase 1. fig.
15-9b).
( e) Explicar flsica me nte por qui
so n diferentes los dos resultados anteriores (a y b).
-)64-
--,..,-, , ,
,,
,
",,
,,"•,.
•,,
- 1/2 kA
U "'" ",,' wt
JI: ,. Km,1x
, , ,, , ,, , ,I , t ,
,
2
"'"
•
, w'
T/2
,
Km.1x" Um1x _1/ 2 kA
~I
",
\~ ~}>
\
.,
., E
,
'. L'
o
K~
'
u•
",
"
,,
,
Kt U ,.
,
',
•
t
,
,
l .• '
-,.--
, ,
~
¡\+& \
-. "
\ /
•
/
, f
~
i
• E
,i"> \
;-,*
~""
/
\
/
x
o
~ 1.1!S..lkn :
(a) Cuand 'J el
prollledio se toma con respecto al
trans~urso
de un periodo del mo v i_ient o ,
tr ar.
~ K
u
. .
u'"
:! ~
kA 2
.
dio de le
p.,,.
Jflfinici6n e l
... alor medio eS :
pero
U• •
"
,
coo wt,
•
U
.h
.
tiempo e n el
pide demos-
donde :
.1 valor medio de U,
. 5
~e
[, '" , 1....!!.!.]
y Km es el valor lIIe-
-]65-
u
•
1
r~
" Tt
O
[,
IIIAx
," .,
.-"
~~(']
:;"" :
.. .
)
•
'"
U. Por otro l¡¡do:
,
; .!.
pero K •
mU
,
.----
,
kA']
1"
m ohlene~os:
de las ecuaciones (1) y ( 2 ) U
m
lb) Cuando
.,
promedio
toda
00
" ¡ " 1 ,~ ,
~
1 kA
U
•
tl)
kA l
,.
o
~
m
,
-
1
(-A )
f
A
.21
,
Ud x
!
lI
']A
.
o
-
,
A
m,
1 1\ ']
,
!~
o
},; (A2- .' )
,• 2!).: ., • ~ " ' 1
( e ) Los r e su lt a d o s de e s el
po,iei6!1
_
-A
~
~
~ y. "
!.
?A A 2
,• , - ~ _ A J A Kd X -A •
_
,.
1 kA 2
ID
A
U
•
t o .. a 10m ,:, ~<;ree to pide demo!>'
.,
,
:<
6
..
;.!.,
ea~ r b o
e l camb i o de
"j I
j ¡ le r e ntes p Ol' que ,, 110
( a ~
de e n e r ei n e n e re I ~
IC.' )
~~.'
~."
uAid a J
un l d~~
~e
ti e .po y el o t r o e s
de l o n e i tu d .
-36621.
(~)
D e mo~trar
que l a .
r e laci on es generalea pa ra al periodo
y la frecuencia de cUalq u iar movi mi ento arm &n ico T
• •
= 211 V
si~pl.
son:
•
~
v
y
•
(b) Demostrar que l a . r e l a ci on .s , a n e r a las para el periodo y la frecuencia d. u n lII o v i .i e nto a r mó n i co angula r simple c u~lqui e r~
T •
s o n:
2~ rf
v
y
•
$ 01ucI6n: (a) El periodo en un .ovl. i a nto ar.ónico ai.ple es:
,
Sabem o s también que: x~Aco s
(2)
(wt"'6)
d 2x 2 • • - - , - " - AII COII (wt ... 6 ) de
"
las ecua c ion e s
(2)
- a' ....
T" 2f1Jr.
y
1uelo
z
Q. .... coa ( wt
101
-v--;;;
an l1o l ~
qu e e n (a) y sabiendo que
... 6 j ¡
•• Dbtenalllos:
obtene ~ o.:
y
(b) P roce d iendo en t orna Q
(3)
(3)
T,. 211¡-:-r
"
23. Un pindulo si .pl a da 1.00 111 d e lo ngi tud ha c e 100 oscilacio
Da s completas en 204 se g e n cierto lugar. lo r de la
~celeraci6n
¿C u Al
es el va
d e la gravedad en es e punto?
Solución: Encontrar e mo .
el per iodo de un péndulo simple , l a
co.po n e~
te tangencial es la f uerza re s tauradora que obra sob r e m y
-)67que tiende a regresarla a .u posiciÓn de equlibrio.
.
",
Su valor es: r~-lIIgsenQ
-----
~longaci6n
la
(t)
según el
arco es x : LQ y para ingulos pequenos es casi ~ovimiento
~oniendo que sen Q
r
~
- mg
Q
Uf'
rectilíneo.
- !1
:
L
,
,
So
", ,
T 9
"
.' ..t' ..
......
x = _ kx ( c dr'act erl s ticd del lIIo vimient o
armónico simple). El perlodo es: !
=
~=
2l!
Despej3ndo
,
,,_ 2 L
,
...
,,
g r3vedad,
"
.1
•
•
120"1100)
(2)
lo ec uacion (1) obtenemos:
, .... ,,
9."9 .. /lI eg
••
Rpta:
2".
-~-- -
9."Q . /
,
¿Cull es la lo ngitud de un péndulo simple cuyo periodo ea
exaCt3m .. nt e de 1 seg en un lugar en d o nde g = 9.8 1 m/se g ? Sol !,!%i60:
,
S. sa be :
•
"/.
.-'-'-,-"
1
•
9. e 1
, .'•
1
:
"0 . 21.18
11
s
2 " .8 cm !
l'
m.
25. Demostrar que la mixima t e nsiÓn d e la cu erda de un pén dulo simple, cuando la a mp litu d Qm es p e q u e n a, es mg(1
t
Q! l.
¿En qué posición del p é ndul o es mlx i ma la ten s i Ón? Soluci6n: Co ~ o
"1
es conservatorio 1 ,
~iste.a
1 . ,•, ' ~
es decir:
t
mg L(t - cos 9) :
,,
2 mL w
t
meL( t
- cos Q)
ene rgfa total s e c on se r
_gL(t - c o s 9 ) 111
&
mg L(t - c o s Qm)
de donde: Aplicando
" l~
,:
-)68-
~ (cos
Q -
T
= mg (3 co"
•
l
------
)( 1)
segunda l e y de Newt o n: g
Reempla¡o;~ndo
cos ,
(1)
en (2) tendremos:
g
2 cos g
m
•
2
mw L -------- (2)
:
)
-------- ----
(3)
LiI posición en la coal T es máxima se obtiene;
dT d9"= -
T
...
3 m,
I:en
," ,
mgO .. 2 co",
O,
d, dond e
O
'm l
;
pero
,m
'0'
,2
"
1
-
(_m_ l
" ml
2
,
"
26. (a) ¿Cuál es la f r ec ue ncia d e o n p é nd u l o si mple d e 2.0 m de
longit o d? (b) S u p o niend o
p eq u e ~ a s
a mp li t udes,
¿cu á l
s eria
s u frecu en c ia en un el e v "'d or q u e fue ra a c e leran d o h acia a rriba a ra¡o;6n de 2.0 mls eg 2 ? (e) ¿Cuá l sería s u f r ecu e nc i a en c aída libr e? Soluc i 6n: (a)
La f re c uencia es :
.2. '"
j.s
= 0. 3 5 s e g
-1
2
(b) Cua ndo el elevador a cel e ra ha c i a a r r iba la bo l a d el
p é~
dul o tiene u n pes o aparente (P) y e s su co mp onent e t a n.¡enc i a J
la q u e or igin a el mov imien t o arm6nico simple .
- 369-
El p e so apa r ent e será : P - IIlg " ma,
p
= m(8
a)
t
La f uerz a re s taur a dora es :
,.
,
r ,
p
r ,
. (, • a);.e/L
".
,
-
" ", k. -
f re c uencia s erá:
.
'
f
1 = 2i
) 9.8,+
Cua nd o e l
2
.
1
)
f
•
,•
p
)
2i
- - - -
( 1)
= 0 . 39 s eg - 1
p énd ulo es tA en c a lda libr e a = - g .
P = m(g - g) " O, co mo n o h ay fu e rza restauradora no existi rá en e st e caso movimi e nt o armóni co sim p l e, y la frecuenc i a ser á nul a.
Rpta :
(. )
f
"
0 .35 s e g-
(b)
f
"
( .39 s e g
1
-1
f
=
O
28. ¿Cuál es el periodo de un péndulo formado a r ticulif'\oo regla de 1 !!Iet ro dO' modo que p uede gi ra r
un"
librement e alr'ede-
dar de un e j e h o ri zo ntal que pasa po r su e x tremo? ¿Por un e je e n la mñrca 65 cm? ¿Por u no en la ,lIarca 60 cm? Soluci 6n:
El momen to
restuur ~dor
para un a elongaci ón gul a r
,
M,d oo.
, "O
a:~
9 es (p aril áng:.t-
los pequeilo s ).
,,
p
"
'"
, , - M,' , ,
donde k
lig d
di sta nci a d. 1.
articulaci6n .1 cen-;:ro
,."
masa Sabemos t alll b i"n q ... e :
Y
,
la
01 problema 21 vj mo fc' que:
J- ~: 2WJ-.i.:.(~~~~. J M~d
t
2w
T "
2
= 2W j f
-37 0 uando la regla estA a rticulada d e s u extremo:
~ 2 l; j~~:j~ 1.
•
k,-.-· a 1
s eg .
6~
d
l n el s e g u ndo c a so:
~
0.65 - 0 . 5
~
O . l~
m.
El mome n to de ine r c i a resp e c t o a e s ta n ueva a rt ic u l a ci6n se ~b tiene
aplicando el te o r em a de 5 t ei mer.
x
Hd
T
2
2
+ Icrn • HI O . 15 l
n)'
1 " gd
En el te r c e r
~
2
/;
Hx
n
c a so:
d.
2
2
o . l OE-
+ HL / 1 2
0. 1 06 H 9. 8 x 0 . 1 5
H.
:. 1. 85se g .
0. 5·0.1 rn
0. 6 -
0.0935 H ,~
..
obtien e T • 2 , 3 2 seg.
RpTal
IT• 1. 6~
s e g, 1 .85 seg , y 2.32 seg.1
29 . D"m ostrar qu e si se mont a u na regl a u nifo rm e , d e l on g it ud 1 , de maner a que p u eda girar alre de dor de un e j e
ho r i ~ ontal
perp e ndicular a l a r e g l a a un a di stanc ia d del c en t r o de ma s a, e l
periodo tie n e un valor mínimo c u and o d
~ 1/...¡12'. 0. 2891.
~oluciÓD:
El mom ento de in e rcia de la r egla resp ect o a un eje situado ~
u na distancia d e su centro de ma ,a e s: ¡:Icm+ Md2 "
t
Hd 2
•
" ,
12
{L
Sa bemos que el p e rio do es:
..¡
12 Sd
La condici6n para que T sea un mi nim o es que:
~::
dd
O
y que:
>
O
-3 11 -
'H
dT
dd
[~12~'~'---,-~,~'~'J O
d
<
• l. '1
el! dee il:
1 'g d •
_ O.
d :Lf J l i
Al ohte ner d'1T/dd'1 , encontramos que e s
un a cantidad mayor
que ~ero , con lo que se demuestra que el ~prlodo es un mIni
'0. Otra manera de d e terminar que es un mI nim o es:
Pa ra
d < [./
112
dT Idd <
d ;>
v"'i"2
dr/ad> O
[. /
O
lo que demuest r a que se produce un .¡ oimo: 3 1. Un aro c ir cular de r a d io ., pie s y peso a lb s se c u elga en
un clavo horiton t al.
Ca) ¿Cull es su frecuencia de osc ila-
c16n para un movimiento d e pequena amplit u d7 (b) ¿Cu'l es la l o ngitud d.l péndulo si.pIe equivalent.?
(a ) La frecuencia
Soluci6n:
f
:
~
"2
(1)
I
•
p er o 1
HR 2
MR
f
es:
2 3
2MR
1
, "
1
<
'.
:
0.47 ,eg
-,
,
"
'.
(b) La l o ngitud del péndulo simple equivale nte se obtiene igualando los periodos:
•
T
n¡z¡;,
,
T
y
•
,.
JI/Mgd
, <-- • --¡¡¡¡- • . , • , • , '1HR '1
I
d. donde: Rpt a:
'1
Kd
.)
f
'b)
L
:
0.4"
2R
pies
seg- 1
4 pies
32. Una es fera s61ida d e 2 . 0 kg de
ta suspendida de un al ambre.
~asa
y O.JO
Encontr~r
~
de
di~metro
e!
el pe riodo de osei
-312 laci6n angula r
para pequ@nos desplazamiento s si el momento
de rotaci6n que se r equiere para torcer el alambre es de 6.0 x 10 ~:
-, n t-m/rad i ! n .
•
~
:1 kg, D '" 0.3 DI. 3 k '" 6.0 x 1 0n t -m / r a d i$n
11
Solud6n: [1
torcido e jerce sob r e
ala~b r e
l a esf@ra $611da un mo_e n to re s taurador.
,.
-
( 1)
kO
SabeDlos taDlb i i n qu e :
,. -
Luego: Por
kO
a ~~ l ogla
T
-- (2 ' ¿, • -
, "" , • ¡.E....! ,,'
1 • •
l-}
0 - 0.3 (
"
k 1
"
co n e l mov imi e n to a rm6 n i c o si mp le lin e al :
VIik ---- ---
2"
:c
M- 2k
(3)
2 per o ¡ :: 2HR /5,
T •
=
T
Rpta:
11"
211
! \5
2-:-~x~,~.~(~O~.~'~/'~' ,-' 3
= 1 0.87 seg
x 6.0 x 10-
1 0.87 seg.1
J3. [1 balancl n de un rel oj
~·ib ra
con una amplitud angular de
radia n es y un per iodo de 0 . 50 s eg.
Enc ontra r (a) la
m!
xillla veloc·1dad angular del balancin. (b) la velocidad IIngu lar d el bala n cl n cuando su desplaza.iento es de ,,/2 radi a nes, y ( e ) la aceleración a ngular del balanc!n cuando su de spla zaDll e nt o es de
"/~
r adi anes.
So},ución: (al SabeDlos que g • " v
donde
=~; dt ~
de (2):
o
...
- g
.. .1x
•
w
o
•
cos( ~
sen (w" o
o
t
•
~)
(1)
,1 -- -- - - ( 2 )
" 2n /T ~ 2 "/0 . 5" 12.56 rad /s eg.
w
lb) Cuand o g "
•
x 1 2 . 56 " 11/2,
39.~4
rad/seg.
• -)71
,,,
•
11 COS (w
~:
"
" o,. ~
Jlj
11': 0::;( 10<
=-
o
,', "• -
= ~ ..:
Rpt. :
,. ,.
~
•
9
t
+ 16 ' ),
...
O
g
(.o~
m4x
,
, " , o
rad/s eg .
3~. 1 1
1"
o
t
t
6)
<;os( " t t 6 )
o
cos (w
, o
•
"
.)
"
31 rlld/seg
)
-
". h " •
'b)
3~.
~
•
"
12 .
"o
Cuando g 11 / 4
," , • " "" 'O' • - , • V1/.
d, donde
•
O
"
(c)
,
... o
)
3 9.4" rad/seg.
,
3 4 .12 rad/flOlg
r ad/se g
"
a
Los el ectr o n es en un o$cl loscop io s o n desv iado por la De
ci6n de dos camp os eléctrico. mutua me nte perpendiculares mane r ll tal , que en un tie mpo c ualqui era "
el
d~
de~~ l azam i en
to estA dad o por j(
~
y::
10f t .
~os
A
su
t!cuaci6n cua n do
do
Cl =-
t a l.
A cos( .. (
(al Describir la tray ec toria de 10$ ( b)
O°.
el e ctr one~
cuan d o
y de t ermina r (e) Cuan-
:: 90° ,
501uc16n:
( a ) c uand o
Y La ec ua c i6n la s
a
=- 0° ,
A cos (Io< 1
=-
t
X
O)
COS
\l l
(1)
,&"C O $
10/ 1
(1)
A :
l a t r ay ectori a se obt i ene e l i mina ndo
~e
t
de
ecu a ciones (1 ) Y (2) :
encon t ra ~ os
~
x
(ecuaci6n d e u na rec ta d e
y
~5 c
de pend i e " -
te) . (b) cuand .,
30 c , x :: "
Q::
~
y z ,\(J:JCOS wt
de las
"y
,
" ~ u a c ¡ o n es
se n wt
~
X'j
"( c a '
- sen wt ) /2 ( 3) y
J"'í " t
~
x
,
( ~ )
x2
' J)
cos ( wt
y :: A c o, (w t
t
30 C
)
wt C05 3 0 - se n wt s.n 3 0 )
'"
)
y s ab i en d o qu e : ob t enetaos :
,, 2 ~ O ( ec u aci ó n de u n a elipse)
-3H(:':) CUdn!:-!) y :
,, d,
la~
+
Y
290° ,
A COS (wt
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A cos wt
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90) '" A sen wt
• (5) y (6) obteflemos: 2 2 se n wt) : A (ecu,ci6n de una circun'" A (cos wt ~
cC~dcio nes
2
,
2
fer e ncí"l, ~o ,
si la .'SS de un resorte .5 no es inslgnific,nte pero es p! quefla compdrada con la M,sa • del objeto sus pendid o del re-
J( ••mo /J)/k.
De-
1.., condici6n 111.11«
m
sor te, el periodo del movi$ient o es T '" 2 .ost ra r este ¡'esulta do.
(Sugerencia:
es equiv,lente a la suposic i6n de que el resorte se e.tira unifo r. e.ente en la direcci6n de . u longitud. ) Sol uci6n: EJ
perio d o del sistema serA:
donde" es la .esa oscila t o ria efectiva del Silte-
", . En cualqui er inst a nte c a da elenento de la .as a • del bloque tiene i g ual ve locidad y por esta
r a~6n
co ntribu )e total. e n t e a la fIIasa Olcilator i ,
v
. f ect iv a
del sist e.a, no a s l el r eso rt e p orque en este en u n ins ta nte cualqui era su veloc ida d e n c a da pa r te es d i f er e nte, v a riando desd e c er o e n la pa r t e supe r ior, hasta un a ve locidad v, igual a la q u e t i e n e el bl o q ue e n ese i n st a nt e. Encontr.refllos l a co n t r i buc i6 n d el reso r t e . l a nasa e f e ctiva , analita n do s u e n er gía c i n ét ica. pletane n te u n i f orme t e ndr e mos: v'
y'
'" cy difer enci and o obte-
'" c v , para u n e l e . ento de lo ngi tud dy ' , la ener -
BIa cinética es:
Sust ituyend o las do s ecuaciones anteriore3 e integrando:
- 3 75 -
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1
l u ego 1" ",as('l
ef,, ~'t lV"
•
del sistema .s er i :
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H Re e mpl a ~a n do
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M e n ( 1 ) o bt e n emu s que el p e rio d o e s:
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