6. Cálculo de fuerzas de membrana en cáscaras con simetría axial (JJG – Universidad del Valle – Febrero 27 /2006)
Una cáscara es un elemento estructural curvo que tiene una de sus dimensiones (espesor) significativamente menor que las otras dos. Se utilizan generalmente para recipientes (con formas cilíndricas, esféricas, cónicas y toroidales) y para cubiertas (domos, paraboloides hiperbólicos, etc). Las fuerzas de membrana son aquellas que están contenidas en el plano del elemento. Estas fuerzas generalmente se especifican por unidad de longitud, de tal manera que los esfuerzos son iguales a las fuerzas divididas por el espesor. En cáscaras con simetría axial es posible calcular las fuerzas de membrana utilizando sólamente ecuaciones de equilibrio, como se muestra a continuación. 6.1 Ecuaciones de equilibrio para calcular los esfuerzos de membrana Considérese un elemento estructural delgado que tiene simetría respecto a un eje (Figura 6.1). Un elemento diferencial de área está comprendido entre dos paralelos y dos meridianos. Si se traza un plano vertical que contiene uno de los meridianos, el radio de curvatura del lado del elemento que coincide con el meridiano se denomina R1. Por otro lado, la distancia entre el elemento y el eje de simetría en la dirección del centro de curvatura se denomina R2 y su proyección en un plano horzontal R.Dada la simetría del problema se puede demostrar que las fuerzas de membrana cortantes son iguales a cero.
R1
R1
Ø R2 R
d
R2
Si
R
d
Q
Figura 6.1. Cuerpo con simetría axial y elemento diferencial de área
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La tarea consiste en determinar las fuerzas de membrana normales S1 y S2, en las direcciones de los meridianos y de los paralelos, respectívamente. Si se corta el cuerpo con un plano horizontal definido por el angulo , se puede dibujar el diagrama de cuerpo libre ya sea de la parte inferior o superior del cuerpo. Suponga que Q es la fuerza resultante sobre la parte inferior del cuerpo, la cual se calcula considerando todas las fuerzas externas actuantes como pesos, presiones y reacciones. Si se estudia el equilibrio de la parte inferior y se hace una suma de fuerzas verticales y se iguala a cero se obtiene la siguiente expresión Fv Q 2RS1 sin 0 de donde se obtiene Q Q . (6.1) S1 2R sin 2R2 sin 2 Para hallar S2 es necesario plantear una ecuación de equilibrio en la dirección normal del elemento diferencial de área, cuyos lados tienen como longitud R1d y Rd (Figura 6.1). Si denominamos Z la componente de la presión en la dirección normal (la cual es igual a la presión hidrostática si está presente, o es igual a la proyección en la dirección normal del peso por unidad de área del elemento) la ecuación de equilibrio es la siguiente Fn ZR1dRd 2S1 Rd (d / 2) 2S 2 R1d (d / 2) sin( ) . La cantidad sin() en el último término se escribe para proyectar las fuerzas en los lados meridionales, contenidas en un plano horizontal, a lo largo de la dirección normal. Si se reorganiza y simplifica la expresión anterior se obtiene S S (6.2) Z 1 2 . R1 R2 Mediante las ecuaciones (6.1) y (6.2) es posible determinar las fuerzas de membrana en cáscaras con simetría axial. 6.2 Ejemplos Cilindro sometido a presión interna uniforme p La presión uniforme dentro del cilindro es autoequilibrante y para hallar la solución no es necesario considerar las reacciones en los apoyos. En este caso Z = p, R1 , R2 = R, el radio medio del cilindro y=90,. Dado el corte a-a mostrado en la Figura 6.2 Q R 2 p Si se reemplaza Q en la ecuación (6.1) se obtiene R 2 p pR . S1 2R 2 Mediante la utilización de la ecuación (6.2) se obtiene luego S 2 pR
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S1
S1
R
a
a p
Figura 6.2. Cilindro sometido a presión interna p Cilindro sometido a su peso propio Se supone que el cilindro está apoyado en su base (Figura 6.3). Dado un corte con un plano horizontal, la fuerza Q que actúa sobre la parte superior es debida sólamente al peso propio del recipiente, por tanto Q 2Rty donde es el peso específico del material del recipiente, y es la coordenada que define la sección a-a y t es el espesor. Si se hace una suma de fuerzas verticales para la parte superior se obtiene Fv 2Rty 2RS1 0 de donde S1 ty . Como no existe una componente de la presión en la dirección normal, Z = S2 = 0.
y
Q a
a S1
S1 R
Figura 6.3. Recipiente cilíndrico sometido a su peso propio
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Cono sometido a su peso propio Considere el cono de la Figura 6.4 sometido a su peso propio, con un espesor de pared t y un peso específico .
R2
S1
S1
R
W
h
y h0
Re
Re
Figura 6.4. Cono sometido a su peso propio
Para esta geometría se puede establecer la siguiente relación tg ( ) cos( ) La reacción Re en el apoyo es igual al peso total del cono, es decir R2 y
Re (h / cos( ))2 (h / 2)tg ( )t h 2 t tg ( ) / cos( )
donde h es la altura total del cono. El peso de la parte inferior del cono W se calcula así W y 2 t tg ( ) / cos( ) . Por tanto, si se hace una suma de fuerzas verticales para la sección mostrada en la Figura 6.4, válida para y>ho, se obtiene Fv 0 2RS1 cos( ) W Re de donde t tg ( )(h 2 y 2 ) t (h 2 y 2 ) S1 , y h0 2 R cos 2 ( ) 2 y cos 2 ( ) Si el corte con el plano horizontal está por debajo del apoyo, la reacción Re no entra en el diagrama de cuerpo libre y la fuerza de membrana S1 se puede calcular así t y S1 , y h0 . 2 cos 2 ( ) Para calcular S2 es necesario recurrir a la ecuación (6.2). La presión Z es igual al peso por unidad de área proyectado en la dirección normal, es decir
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Z t sin( )
por tanto
S 2 t sin( ) R2 t y tg 2 ( ) . Cono sometido a presión hidrostática
a l(h-y)
S1
S1
R2 R
W
h
y h0
Re
Re
Figura 6.5. Recipiente cónico sometido a presión hidrostática Se conservan las dimensiones del ejercicio anterior. El peso específico del líquido se denomina l. Dado el corte de la Figura 6.5, la fuerza vertical Q es igual al peso del líquido en la parte inferior, más la presión en la sección de corte multipicada por el área, menos la reacción en los apoyos, que es igual al peso de todo el líquido contenido en el cono. Por tanto Q W l (h y)R 2 Re l R 2 y / 3 l (h y)R 2 l a 2 h / 3 Q l (h 2 y / 3)R 2 l a 2 h / 3
La suma de fuerzas verticales para la parte inferior del cono da como resultado Fv 2RS1 cos( ) Q 0 de donde se obtiene (h 2 y / 3)R 2 l a 2 h / 3 S1 l , y h0 . 2R cos( ) Si el corte del cono es en la parte inferior, la reacción en el apoyo no interviene en el diagrama de cuerpo libre, y los esfuerzos S1 se calculan así
S1
l (h 2 y / 3)R 2 , y h0 2R cos( )
Las fuerzas S2 se calculan mediante la ecuación (6.2) con el reemplazo de Z l (h y )
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con lo que se obtiene
S 2 ZR2 l (h y) y tg ( ) / cos( )
válida para todo y. Esfera sometida a presión interior uniforme
p S1 R
S1 p
Figura 6.6. Esfera sometida a presión interior uniforme p Para una esfera tanto R1 como R2 son iguales al radio de la esfera R. Además, en este caso la presión Z es igual a la presión interna p. Dado el corte de la Figura 6.6, una suma de fuerzas verticales es así Fv 0 2R sin( )S1 sin( ) p ( R sin( )) 2 en donde la fuerza Q hacia abajo es igual a la presión multiplicada por el área de corte proyectada en un plano horizontal. De la ecuación anterior se obtiene
S1
p ( R sin( )) 2 pR 2 2R sin 2 ( )
Mediante la ecuación (6.2) se obtiene luego S2
pR . 2
Esfera que contiene un líquido Se desea calcular las fuerzas de membrana a que está sometida una esfera que contiene un líquido cuyo peso específico es . Para efectuar este cálculo es necesario conocer el volumen de un casquete de esfera definido por un ángulo , el cual está dado por la siguiente expresión
Vca
2R 3 3
cos( ) sin 2 ( ) 1 cos( ) . 2
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S1
R(1+cos())
S1
R W
Figura 6.7. Esfera sometida a presión hidrostática Una suma de fuerzas verticales para la parte inferior de la esfera mostrada en la Figura 6.7, válida para ángulos < 0 es así Fv W ( R sin( )) 2 R(1 cos( )) S1 2R sin 2 ( ) 0 de la cual se puede obtener la fuerza de membrana S1 S1
R 2 (6 5 cos( ) cos(2 )) sec 2 ( / 2) 12
, 0
Luego, mediante la aplicación de la ecuación (6.2) se obtiene S2 S 2 ZR2 S1 R 2 (1 cos( ) S1
R 2 (3 7 cos( ) 2 cos(2 )) sec 2 ( / 2)
, 0 12 Para obtener las fuerzas de membrana arriba de los apoyos se aplica la ecuación (6.1) pero con la adición de la reacción en el anillo, igual al peso total del contenido de la esfera, por tanto 4R 3 Fv W ( R sin( )) 2 R(1 cos( )) S1 2R sin 2 ( ) 0 3 de donde se obtiene R 2 (1 2 cos( )) cot 2 ( / 2) S1 , 0 . 6 Luego se calcula S2 mediante la ecuación (6.2) R 2 (5 4 cos( )) cot 2 ( / 2) S2 6 S2
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6.3 Concentración de esfuerzos en las discontinuidades Cuando se presenta un cambio de geometría súbito en una cáscara, las contribuciones de fuerza cortante y momento flector son importantes. Por ejemplo, si se considera un recipiente cilíndrico sometido a una presión interna uniforme con una tapa semiesférica, los cambios de radio de cada parte, cilíndrica y esférica, son respectívamente (Figura 6.8)
rc
pr 2 pr 2 (1 / 2), re (1 ) t t
Como se puede apreciar estos desplazamientos radiales son diferentes y como las partes están unidas en la junta por soldadura el desplazamiento que se produce toma un valor intermedio. Se generan entonces fuerzas cortantes y momentos flectores con los cuales se garantiza que existe continuidad tanto en los desplazamientos radiales como en sus pendientes. Si el recipiente está construído de un material dúctil y no está sometido a carga de fatiga, durante el diseño no es necesario considerar estos efectos.
re
rc
Figura 6.8. Fuerza cortante que se genera en una junta cilindro-esfera
6.4 Problemas propuestos 1. Determine el centroide del área generatriz de un casquete esférico y con base en el teorema de Pappus calcule el volumen del casquete. 2. Demostrar mediante integración que la fuerza vertical estáticamente equivalente a la presión uniforme que actúa sobre un casquete esférico es igual a la presión multiplicada por el área horizontal proyectada. 3. Determinar los esfuerzos de membrana en una esfera sometida a su peso propio. 4. Determinar los esfuerzos de membrana en el toroide mostrado sometido a : a. presión interna uniforme, b. presión hidrostática y c. peso propio.
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R
a
Figura 6.9. Geometría del toroide
5. Determinar el espesor necesario de una esfera de 6 m de diámetro que soporta una presión interna de 300 psi y contiene un líquido cuyo peso específico es de 1.2 gr/cm3. La esfera está apoyada en un anillo definido por un ángulo de 60 grados respecto al eje vertical de la esfera. Se trabaja con un acero A36 y se utiliza un factor de seguridad de 1.8. 6. Determine las fuerzas de membrana en un cono que gira a una velocidad angular constante. 7. La esfera ilustrada contiene un líquido de peso específico γ . Calcule las fuerzas de membrana S1 y S 2 en la sección diametral a-a, localizada inmediatamente arriba del anillo de apoyo.
R a
a
Figura 6.10. Esfera del problema 7 8. Suponga que una cubierta cónica está sometida a una carga uniforme por unidad de superficie de la cubierta igual a 2000 N/m2. Calcule el espesor necesario del cono si el material tiene un esfuerzo de fluencia de 250 MPa, se utiliza un factor de seguridad de 1.5 y el criterio de Von Mises.
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