Vinte problemas resolvidos de Juros Simples 1 - Calcular os juros simples produzidos por $40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a. , durante 125 dias. SOLUÇÃO: Temos: j = P.i.n A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 dias = 0,001 a.d. Agora, como a taxa e o período estão referidos à mesma unidade de tempo, ou seja, dias, poderemos calcular diretamente: j = 40000.0,001.125 = $5000,00 $50 00,00 2 - Um empréstimo de $8.000,00 rendeu juros de $2.520,00 ao final de 7 meses. Qual a taxa de juros do empréstimo? SOLUÇÃO: Temos: j = Pin ; 2520 = 8000.i.7; Daí, vem imediatamente que i = 2520 / 8000.7 Então, i = 0,045 a.m = 4,5% a.m. 3 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende $3.500,00 de juros em 75 dias? SOLUÇÃO: Temos imediatamente: j = Pin ou seja: 3500 = P.(1,2/100).(75/30) Observe que expressamos a taxa i e o período n em relação à mesma unidade de tempo, ou seja, meses. Logo, 3500 = P. 0,012 . 2,5 = P . 0,030; Daí, vem: P = 3500 / 0,030 = $116.666,67 4 - Por quanto tempo um capital de $11.500,00 foi aplicado para que rendesse $1.725,00 de juros simples, sabendo-se que a taxa de juros de mercado é de 4,5% a.m.? SOLUÇÃO: j = Pin 1725 = 11500.(4,5/100).n 1725 = 11500.0,045.n = 3,3333... meses = 3 meses + 0,3333...de um mês = 3 meses + 1/3 de um mês = 3 meses e 10 dias. 5 - Que capital produziu um montante de $20.000,00, em 8 anos, a uma taxa de juros simples de 12% a.a.?
SOLUÇÃO: Temos: M = P(1 + in). 20000 = P.(1 + 0,12.8) = 1,96.P, de onde tiramos P = $10.204,08 6 - Calcule o montante resultante da aplicação a juros simples de $70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias. SOLUÇÃO: M = P(1 + in) M = 70000[1 + (10,5/100).(145/360)] = $72.960,42 Observe que expressamos a taxa i e o período n, na mesma unidade de tempo, ou seja, anos. Daí ter dividido 145 dias por 360, para obter o valor equivalente em anos, já que um ano comercial possui 360 dias. 7 - A que taxa mensal o capital de $38.000,00 produzirá o montante de $70.300,00 em 10 anos, num regime de capitalização cap italização simples? SOLUÇÃO: M = P(1 + in) 70300 = 38000.(1 + i.10), de onde vem: 70300/38000 = 1 + 10.i 1,85 - 1 = 10.i, de onde vem: i = 0,85/10 = 0,085 a.a. = 8,5% a.a. Para achar a taxa mensal, basta dividir por 12 meses, ou seja: i = 0,085 / 12 = 0,007083 = 0,7083 % a.m. 8 - Um capital é aplicado a juros simples de 5% ao semestre (5 % a.s.), durante 45 dias. Após este prazo, foi gerado um montante de $886.265,55. Qual foi o capital aplicado? SOLUÇÃO: Lembrando que a taxa i e o período n têm de ser expressos relativo à mesma unidade de tempo, vem: 886265,55 = P[1 + (5/100).(45/180)], de onde tiramos P = $875.324,00 Nota: Como a taxa i está relativa ao semestre, dividimos 45 dias por po r 180 dias, para expressar o período n também em semestre. Lembre-se que 180 dias = 1 semestre. 9 - Que capital aplicado num regime de capitalização simples a 3% ao bimestre (3% a.b.), por um prazo de 75 dias, proporcionou um montante de $650.000,00? SOLUÇÃO: M = P(1+ in) 650000 = P[1 + (3/100).(75/60)] , de onde tiramos P = $626.506,02 Nota: observe que dividimos 75 dias por 60 dias, para expressá-lo em bimestres, já que 1 bimestre = 60 dias. 10 - Um capital de $5.380,00 aplicado por 3 meses e 18 dias, rendeu $1839,96 de juros ao final do período. Qual Qua l a taxa mensal de juros simples?
SOLUÇÃO: Temos: M = P(1 + in). 20000 = P.(1 + 0,12.8) = 1,96.P, de onde tiramos P = $10.204,08 6 - Calcule o montante resultante da aplicação a juros simples de $70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias. SOLUÇÃO: M = P(1 + in) M = 70000[1 + (10,5/100).(145/360)] = $72.960,42 Observe que expressamos a taxa i e o período n, na mesma unidade de tempo, ou seja, anos. Daí ter dividido 145 dias por 360, para obter o valor equivalente em anos, já que um ano comercial possui 360 dias. 7 - A que taxa mensal o capital de $38.000,00 produzirá o montante de $70.300,00 em 10 anos, num regime de capitalização cap italização simples? SOLUÇÃO: M = P(1 + in) 70300 = 38000.(1 + i.10), de onde vem: 70300/38000 = 1 + 10.i 1,85 - 1 = 10.i, de onde vem: i = 0,85/10 = 0,085 a.a. = 8,5% a.a. Para achar a taxa mensal, basta dividir por 12 meses, ou seja: i = 0,085 / 12 = 0,007083 = 0,7083 % a.m. 8 - Um capital é aplicado a juros simples de 5% ao semestre (5 % a.s.), durante 45 dias. Após este prazo, foi gerado um montante de $886.265,55. Qual foi o capital aplicado? SOLUÇÃO: Lembrando que a taxa i e o período n têm de ser expressos relativo à mesma unidade de tempo, vem: 886265,55 = P[1 + (5/100).(45/180)], de onde tiramos P = $875.324,00 Nota: Como a taxa i está relativa ao semestre, dividimos 45 dias por po r 180 dias, para expressar o período n também em semestre. Lembre-se que 180 dias = 1 semestre. 9 - Que capital aplicado num regime de capitalização simples a 3% ao bimestre (3% a.b.), por um prazo de 75 dias, proporcionou um montante de $650.000,00? SOLUÇÃO: M = P(1+ in) 650000 = P[1 + (3/100).(75/60)] , de onde tiramos P = $626.506,02 Nota: observe que dividimos 75 dias por 60 dias, para expressá-lo em bimestres, já que 1 bimestre = 60 dias. 10 - Um capital de $5.380,00 aplicado por 3 meses e 18 dias, rendeu $1839,96 de juros ao final do período. Qual Qua l a taxa mensal de juros simples?
SOLUÇÃO: j = Pin 1839,96 = 5380.i.108, pois 3 meses e 18 dias = 3.30 + 18 = 108 dias. Logo, i = 1839,96 / 5380.108 = 0,003167 a.d. = 0,3167% a.d. Para obter a taxa mensal, basta multiplicar por 30 dias, ou seja: i= 0,3167% .30 = 9,5% a.m. 11 - Um capital P foi aplicado a juros simples de 15% ao bimestre (15% a.b.), por um prazo de 5 meses e 13 dias e, após este período, o investidor recebeu $10.280,38. Qual o valor P do capital aplicado? SOLUÇÃO: M = P(1 + in) Temos: 15% a.b. = 0,15 a.b. = 0,15/60 = 0,0025 a.d. = 0,25% a.d. (a.d. = ao dia) 5 meses e 13 dias = 5.30 + 13 = 163 dias. Logo, como i e n estão referidos à mesma unidade de tempo, podemos escrever: 10280,38 = P(1 + 0,0025.163), de onde tiramos P = $ 7.304,00 12 - Obteve-se um empréstimo de $10.000,00 , para ser liquidado por $14.675,00 no final de 8 meses e meio. Qual a taxa de juros anual simples cobrada nessa operação? SOLUÇÃO: 8 meses e meio = 8.30 + 15 = 255 dias. Teremos, então: M = P(1 + in) 14675 = 10000(1 + i.255), de onde vem: 14675/10000 = 1 + 255.i 1,4675 = 1 + 255.i 0,4675 = 255.i i = 0,001833 a.d. = 0,1833% a.d. Multiplicando por 360, obteremos a taxa anual: i = 0,001833.360 = 0,66 a.a. Ou expressando em termos de porcentagem, i = 0,66.100 = 66% a.a. 13 - Em quanto tempo um capital aplicado a juros simples de 48% a.a. dobra o seu valor? SOLUÇÃO: M = P(1 + in) Fazendo M = 2P e substituindo os valores conhecidos, vem: 2P = P[1 + (48/100).n] Simplificando, fica: 2 = 1 + 0,48.n 1 = 0,48.n, de onde tiramos n = 2,088333... anos Para obter o período em meses, devemos multiplicar o valor acima por 12 ou seja: n = 2,088333... x 12 = 25 meses. 14 - Determinar o capital necessário para produzir um montante de $798.000,00 no final de um ano e meio, aplicado a uma taxa de juros simples de 15% ao trimestre (15% a.t.).
SOLUÇÃO: M = P(1 + in) Temos: n = 1 ano e meio = 18 meses = 18/3 = 6 trimestres. Portanto: 798000 = P[1 + (15/100) . 6], de onde tiramos P = $420.000,00 15 - Determinar o montante correspondente a uma aplicação de $450.000,00 por 225 dias, à taxa de juros simples de 5,6% ao mês (5,6% a.m.). SOLUÇÃO: M = P(1 + in) 225 dias = 225/30 = 7,5 meses Logo, M = 450000[1 + (5,6/100).7,5] = $639.000,00 16 - Se possuo um título com valor nominal de $15.000,00 com vencimento daqui a 2 anos e a taxa de juros simples corrente é de 28% a.a. , qual o valor atual deste título nas seguintes datas: a) hoje b) daqui a um ano c) 4 meses antes do vencimento. SOLUÇÃO: Vale aqui, definir valor atual , valor nominal e valor futuro do dinheiro. Valor nominal = é quanto vale um compromisso na sua data de vencimento. Valor atual = é o valor que um compromisso possui em uma data que antecede ao seu vencimento. Valor futuro = é o valor que um compromisso possui em uma data posterior ao seu vencimento. a) valor atual do título hoje: M = P(1 + in) 15000 = P(1 + 0,28.2), de onde tiramos P = $9.615,38 b) valor atual do título daqui a um ano: n = 1 ano (faltam 2 - 1 = 1 ano para o vencimento). 15000 = P(1 + 0,28.1), de onde tiramos P = $11.718,75 c) valor atual do título 4 meses antes do vencimento: n = 4meses e i = 0,28/12 = 0,02333 a. m. 15000 = P(1 + 4.0,02333), de onde tiramos P = $13.719,51
17 - João tomou emprestado $20.000,00 de Carlos para pagá-lo após 2 anos. A taxa acertada de juros simples foi de 30% a.a. . Quanto Carlos poderia aceitar, se 6 meses antes do vencimento da dívida, João quisesse resgatá-la e se nesta época o dinheiro valesse 25% a.a. ?
SOLUÇÃO: M = P(1 + in) M = 20000(1 + 0,30.2) = $32.000,00 - este seria o valor a ser pago a Carlos, no final dos dois anos. Para resgatar a dívida 6 meses antes, a uma taxa de juros de 25% a.a. , que é equivalente a 0,25/12 = 0,020833 a.m. , teríamos: 32000 = P(1 + 0,020833.6), de onde tiramos P = $ 28.444,44 18 - João tomou emprestado certa quantia de Carlos à taxa de juros simples de 28,8% a.a.. Sabendo-se que João pagou $2.061,42 para Carlos, saldando a dívida 2 meses antes do seu vencimento e que nesta época a taxa corrente de mercado era de 25,2% a.a., quanto João tomou emprestado e qual era o prazo inicial se os juros previstos eram de $648,00? SOLUÇÃO: Se João quitou a dívida dois meses antes do vencimento, com o pagamento da quantia de $2.061,42 a uma taxa de juros vigente de 25,2% a.a., poderemos escrever: M = 2061,42[1 + (0,252/12).2] = $2.148,00 - este seria o valor do pagamento no final do período total. Como é dito que os juros previstos inicialmente eram iguais a $648,00, concluímos que o valor P inicial emprestado era igual a $2148 - $648,00 = $1.500,00, o que responde à primeira parte do problema. Para calcular o período total n, teremos: 2148 = 1500[1 + (0,288/12).n] 2148/1500 = 1 + 0,024.n 1,432 - 1 = 0,024.n 0,432 = 0,024.n n = 18 meses Nota: observe que a taxa 0,288 a.a. ao ser dividida por 12, transforma-se numa taxa mensal. Daí, o período n encontrado, ser expresso em meses.
19 - João aplicou $10.000,00 à taxa de 30% a.a. pelo prazo de 9 meses. Dois meses antes da data de vencimento, João propôs a transferência da aplicação para Paulo. Quanto Paulo deverá pagar pelo título, se a taxa de juros simples do mercado for de 35% a.a. ? SOLUÇÃO: O valor nominal do título no seu vencimento será: M = P(1 + in) M = 10000[1 + (0,30/12).9] = $12.250,00 Como o título será negociado 2 meses antes do vencimento, quando a taxa de juros do mercado é de 35% a.a. ou seja, 0,35/12 = 0,0292 a.m., vem: 12250 = P(1 + 0,0292.2), de onde tiramos P = $11.574,80 Portanto, o valor justo que Paulo deverá pagar pelo título é $11.574,80. 20 - Quanto tempo deverá permanecer aplicado um capital para que o juro seja igual a duas vezes o capital, se a taxa de juros simples for igual a 10% a.a.?
SOLUÇÃO: Temos: j = 2P j = Pin 2P = P.0,10.n , de onde tiramos n = 20 anos.
Um problema bem simples 3/5 de um capital foi aplicado por 8 meses a uma taxa de juros simples de 18% ao ano e, o restante a 15% ao ano, pelo mesmo período. Sabendo-se que estas aplicações renderam R$ 168,00 de juros no período, podemos afirmar que o capital aplicado foi igual a: A) R$ 1200,00 B) R$ 1300,00 C) R$ 1400,00 D) R$ 1500,00 E) R$ 1600,00 Solução: Já sabemos que um capital P aplicado a uma taxa de juros simples i durante n períodos, produz juros j = Pin. O grande detalhe a ser considerado na fórmula acima é que a taxa i e o período n têm necessariamente de serem expressos em relação à mesma unidade de tempo. Assim é que sei estiver expresso em % ao mês, o período n deve também ser expresso em meses; se a taxa i estiver expressa em % ao ano, o período n deve também ser expresso em anos e assim sucessivamente. No nosso caso, vamos considerar que seja C o capital total aplicado. Teremos então: a) Seja J1 o juro produzido pelos 3/5 do capital C aplicado a 18% ao ano durante 8 meses. Podemos escrever:
J1 = (3/5)C.(0,18).(8/12) Observe que 18% = 18/100 = 0,18 e 8 meses = (8/12) anos. Lembre-se que a taxa e o período devem ser expressos em relação à mesma unidade de tempo, no caso, em anos. Poderia também ser em meses, o que não alteraria a solução, pois neste caso teríamos: J1 = (3/5)C.(0,18/12).8, ou seja a taxa mensal de juros seria 0,18/12 e o período 8 meses. Veja que dá no mesmo.
b) Seja J2 o juro produzido pelo capital restante, aplicado a 15% ao ano durante o mesmo período, ou seja, 8 meses. Se foram aplicados inicialmente (3/5)C, o restante será (2/5)C pois (3/5)C + (2/5)C = (5/5)C = C. Então, poderemos escrever, analogamente:
J2 = (2/5)C.(0,15).(8/12) Sabemos que o total de juros produzidos é igual a R$ 168,00. Logo,
J1 + J2 = 168 Substituindo os valores de J1 e J2 acima, vem que: (3/5)C.(0,18).(8/12) + (2/5)C.(0,15).(8/12) = 168 Basta resolver a equação acima para obter o valor de C. Lembrando que 3/5 = 0,6 e 2/5 = 0,4, vem:
(0,6).(0,18).(8/12).C + (0,4).(0,15).(8/12).C = 168 (0,108).(8/12).C + (0,060).(8/12)C = 168 Colocando o termo comum (8/12)C em evidencia, fica: (8/12)C(0,108 + 0,060) = 168 (8/12).C.(0,168) = 168 (8/12).C = 168/0,168 = 1000 (8/12).C = 1000 C = 1000 / (8/12) = 1000.(12/8) = 12000/8 = 1500. Portanto, o capital aplicado foi igual a R$1500,00, o que nos leva tranqüilamente à alternativa D.
oções de Matemática Financeira IV
N
JUROS COMPOSTOS
O capital inicial (principal) pode crescer, como já sabemos, devido aos juros, segundo duas modalidades a saber: Juros simples - ao longo do tempo, somente o principal rende juros. Juros compostos - após cada período, os juros são incorporados ao principal e passam, por sua vez, a render juros. É também conhecido como "juros sobre juros". Vamos ilustrar a diferença entre os crescimentos de um capital através juros simples e juros compostos, com um exemplo: Suponha que R$100,00 são empregados a uma taxa de 10% a.a. Teremos:
Observe que o crescimento do principal segundo juros simples é LINEAR enquanto que o crescimento segundo juros compostos é exponencial, e portanto tem um crescimento muito mais "rápido". Isto poderia ser ilustrado graficamente da seguinte forma:
Na prática, as empresas, órgãos governamentais e investidores particulares costumam reinvestir as quantias geradas pelas aplicações financeiras, o que justifica o emprego mais comum de juros compostos na Economia. Na verdade, o uso de juros simples não se justifica em estudos econômicos. Fórmula para o cálculo de Juros compostos
Considere o capital inicial (principal P) R$1000,00 aplicado a uma taxa mensal de juros compostos ( i ) de 10% (i = 10% a.m.). Vamos calcular os montantes (principal + juros), mês a mês:
Após o 1º mês, teremos: M1 = 1000 x 1,1 = 1100 = 1000(1 + 0,1) Após o 2º mês, teremos: M2 = 1100 x 1,1 = 1210 = 1000(1 + 0,1)2 Após o 3º mês, teremos: M3 = 1210 x 1,1 = 1331 = 1000(1 + 0,1)3 ..................................................................................................... Após o nº (enésimo) mês, sendo S o montante, teremos evidentemente: S = 1000(1 + 0,1)n De uma forma genérica, teremos para um principal P, aplicado a uma taxa de juros compostos i durante o período n :
S = P (1 + i) n onde S = montante, P = principal, i = taxa de juros e n = número de períodos que o principal P (capital inicial) foi aplicado.
OTA: Na fórmula acima, as unidades de tempo referentes à taxa de juros (i) e do período ( n ), tem de ser necessariamente iguais. Este é um detalhe importantíssimo, que não pode ser esquecido! Assim, por exemplo, se a taxa for 2% ao mês e o período 3 anos, deveremos considerar 2% ao mês durante 3x12=36 meses. N
Exercícios Resolvidos: 1 ± Expresse o número de períodos n de uma aplicação, em função do montante S e da taxa de aplicação i por período. Solução: Temos S = P(1+i)n Logo, S/P = (1+i)n Pelo que já conhecemos de logaritmos, poderemos escrever: n = log (1+ i ) (S/P) . Portanto, usando logaritmo decimal (base 10), vem:
Temos também da expressão acima que: n.log(1 + i) = logS ± logP
Deste exemplo, dá para perceber que o estudo dos juros compostos é uma aplicação prática do estudo dos logaritmos. 2 ± Um capital é aplicado em regime de juros compostos a uma taxa mensal de 2% (2% a.m.). Depois de quanto tempo este capital estará duplicado?
Solução: Sabemos que S = P (1 + i)n . Quando o capital inicial estiver duplicado, teremos S = 2P. Substituindo, vem: 2P = P(1+0,02)n [Obs: 0,02 = 2/100 = 2%] Simplificando, fica: 2 = 1,02n , que é uma equação exponencial simples. Teremos então: n = log1,022 = log2 /log1,02 = 0,30103 / 0,00860 = 35 Nota: log2 = 0,30103 e log1,02 = 0,00860; estes valores podem ser obtidos rapidamente em máquinas calculadoras científicas. Caso uma questão assim caia no vestibular, o examinador teria de informar os valores dos logaritmos necessários, ou então permitir o uso de calculadora na prova, o que não é comum no Brasil. Portanto, o capital estaria duplicado após 35 meses (observe que a taxa de juros do problema é mensal), o que equivale a 2 anos e 11 meses. Resposta: 2 anos e 11 meses.
Exercícios propostos: 1 ± Um capital de R$200000,00 é aplicado a juros compostos de 10% ao ano. Calcule o montante após 4 anos. Resposta: R$292820,00 2 ± Um certo capital é aplicado em regime de juros compostos à uma taxa anual de 12%. Depois de quanto tempo este capital estará triplicado? Resposta: aproximadamente 9,7 anos ou aproximadamente 9 anos e 9 meses. Observe que 9,7a = 9 + 0,7a = 9a + 0,7x12m = 9a + 8,4m = 9a + 8m + 0,4m = 9a + 8m + 0,4x30d = 9a + 8m + 12d. Arredondamos o resultado para maior (9 anos e 9 meses). Nota: log3 = 0,47712 e log1,12 = 0,04922.
1 ± UFRB 2006 - Dois investimentos a uma mesma taxa mensal de juros compostos, porém com capitais iniciais e prazos distintos, resultaram em um mesmo montante. Sabendo que o capital inicial de um dos investimentos é 21 % maior que o outro e que foi aplicado a um prazo de dois meses menor, em termos percentuais, a taxa mensal de juros do investimento é igual a: a) 5% b) 8% c) 10% d) 20%
e) 9% Notas: I - UFRB ± Universidade Federal do Recôncavo Baiano II ± Recôncavo ± é conhecida desde o século XVI como sendo a faixa de terra formada por mangues, baixios e tabuleiros que contornam a Baía de Todos os Santos na BAHIA. SOLUÇÃO: Recomendamos enfaticamente que você revise Juros Compostos. Sejam C0 e P0 os capitais iniciais, aplicados a uma mesma taxa de juros i , por m e n períodos, respectivamente. Supondo que o investimento C0 é o maior, ou seja: C0 > P0 , poderemos escrever de acordo com o enunciado: C0 = P0 + 21% . P0 = P0 + (21/100). P0 = P0 + 0,21. P0 = 1,21. P0 Ainda segundo o enunciado, C0 foi aplicado por um prazo m de dois meses menor, ou seja: m = n ± 2. Já sabemos que um capital M0 aplicado por t períodos a uma taxa de juros compostos i, irá gerar o montante M dado por: M = M0. (1 + i)t. No nosso caso presente, poderemos então escrever: C = C0. (1 + i) m = 1,21. P0. (1 + i)n ± 2 P = P0. (1 + i)n Como é dito no enunciado que os montantes resultaram iguais, então C = P. Igualando as expressões anteriores, vem: 1,21. P0. (1 + i)n ± 2 = P0.(1 + i)n Cancelando o fator P0 que é comum a ambos os membros da igualdade, fica: 1,21.(1 + i)n ± 2 = (1 + i)n Dividindo ambos os membros da igualdade por (1 + i)n ± 2 , fica: 1,21 = (1 + i)2 Apenas para facilitar as contas, vou multiplicar ambos os membros por 100. 1,21.100 = 100.(1 + i)2 121 = 100. (1 + i)2 Considerando que 112 = 121 e que 102 = 100, vem: 112 = 102. (1 + i)2 Lembrando que para x u 0, raiz quadrada de(x2) = x, vem imediatamente que: 11 = 10(1 + i) Dividindo ambos os membros por 10, fica: 1,1 = 1 + i @ i = 1,1 ± 1 = 0,1 Portanto, i = 0,1. Como o enunciado pede o valor de i em porcentagem, teremos que multiplicar por 100 ou seja: i = 0,1.100 = 10% que é a resposta da questão, o que nos
leva tranquilamente à alternativa C.
2 - No ano de 1970, quando o Brasil conquistou o TRI CAMPEONATO MUNDIAL no mês de junho, a nossa população era igual a 90 milhões de habitantes. Neste ano 2006, em junho, mês do provável HEXA CAMPEONATO MUNDIAL, a população segundo dados do IBGE é igual a 190 milhões de habitantes. Nestas condições, pede-se determinar a taxa média de crescimento mensal da população brasileira no período. SOLUÇÃO: Ora, de junho 1970 a junho 2006, transcorreram 2006 ± 1970 = 36 anos, ou seja: 36.12 = 432 meses Considerando que P = P0 . (1 + i)n , onde i é a taxa de crescimento por período nos n períodos, poderemos escrever: 190000000 = 90000000 . (1 + i)432 onde i é a taxa de crescimento procurada. 19 = 9 (1 + i)432 19/9 = (1 + i)432 2,11 = (1 + i)432 Para fazer a conta acima, temos três alternativas: I ± usar logaritmo decimal II ± usar uma calculadora científica (a do Windows serve) III ± usar uma calculadora financeira ( a HP 12C, por exemplo) Vamos utilizar a opção III, considerando-se que este arquivo destina-se à seção Matemática Financeira do site. Observe que a igualdade acima pode ser escrita como 2,11 = 1. (1 + i)432. Tudo funciona como se tivéssemos P0 = 1 e P = 2,11, ou seja: P0 = Valor Presente = PV (Present Value) = 1 P = Valor Futuro = FV (Future Value) = 2,11 Os comandos na HP 12C serão: 2,11 FV 1 CHS PV 432 n i ENTER A calculadora vai apresentar a mensagem RUNNING no visor e apresentará após alguns segundos o resultado procurado: 0,17 Ou seja, a taxa de crescimento mensal da população brasileira no período é igual a 0,17% a.m (0,17% ao mês).
DIVERSOS EXERCICIOS 1- Duas pessoas fizeram uma aplicação financeira. A pessoa ³A´ aplicou R$ 100.000,00, à taxa efetiva de juros de 0,5% a. m. e a pessoa ³B´ aplicou R$ 50.000,00, à taxa nominal de 6% a. a. Em ambos os casos as capitalizações são mensais e os juros serão pagos junto com o principal. Ao final de 1 (um) ano podemos afirmar que: a) O juro recebido pela pessoa ³A´ é maior do que o juro recebido pela pessoa ³B´. b) Não há proporcionalidade entre juros de ³A´ e ³B´. c) A taxa efetiva de juros de ³A´ é maior do que a taxa efetiva de ³B´. d) A taxa nominal de ³B´ é maior do que a taxa nominal de ³A´. e) Os montantes finais são iguais.
Resolução Toda vez que o exercício trouxer uma taxa de juros em uma unidade de tempo (ex: semestral ou anual«) e disser que a capitalização para essa taxa é em outra unidade de tempo (ex: mês ou bimestre«), não podemos usar os valores dados sem antes transformá-los. Isso porque existe diferença entre Taxa Nominal e Taxa Efetiva. Veja: I ± Taxas nominais são aquelas que estão definidas em um período de tempo diferente do período de capitalização (só serve para informar que o regime de capitalização é a juros compostos).
as fórmulas de matemática financeira sempre devemos usar a Taxa Efetiva, e não a Nominal. Por isso vamos aprender a transformar uma taxa nominal em efetiva. N
Pode ser transformada em taxa efetiva por meio do conceito de taxas proporcionais. É muito simples transformá-la: usa-se uma Regra de Três Simples (diretamente proporcional): Exemplo: Taxa nominal = 14% ao ano, com capitalização semestral Como 1 ano tem 2 semestres. A Regra de três fica: 14% 1 ano 14% 2 semestres X 1 semestres (que é o tempo de capitalização dada) Resolvendo: 2.X = 14x1 X = 14/2 Taxa Efetiva = 7% ao semestre
II ± Taxas equivalentes são aquelas referidas a períodos de tempo diferentes, mas que, quando aplicadas a um mesmo capital, pelo mesmo prazo, geram o mesmo montante. Exemplo ± Juros Simples [Fórmula do Juro Simples: M = C (1 + in), onde: M = Montante, C = Capital, i = taxa de juros efetiva, n = período de tempo]: i1 = 12% ao ano i2 = 1% ao mês Se aplicadas a um capital de R$ 10.000,00 por seis meses, o resultado será o mesmo montante, veja:
M = C (1 + in) M1 = 10.000 x (1 + 0,12 x ½) = 10.600 M2 = 10.000 x (1 + 0,01 x 6) = 10.600 Ou seja, as taxas i1 = 12% ao ano e i2 = 1% ao mês são equivalentes, pois geram um mesmo montante ao final de um mesmo período. Agora vamos ver isso com Juros Compostos: Exemplo ± Juros Compostos: Uma empresa aplica R$ 300,00 à taxa de juros composto de 4% ao mês por 10 meses. Fórmula do Juro Composto M= C x (1+i)n M = 300 x (1+0,04) 10 M = 444,0733 Taxa proporcional é uma taxa linear, logo você tem que encontrar a taxa equivalente para 10 meses.
Usando a fórmula dos Juros: J = M - C = C x (1+i)n - C J = C [ (1+i)n - 1] Taxa equivalente = [(1+0,04)10 - 1)] x 100 Taxa equivalente = 48,02% para 10 meses (equivalente a 4% ao mês)
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Leilane Priscila Diz:
maio 3rd, 2009 em 13:45
Me ajude aresolver este exercício por favor A taxa de inflação acumulada em 1999 medida pela IGP-M foi de 20,10.Um investidor afirma ter aferido , em uma aplicação financeira , um rendimento real de 12% ao longo de 1999, usando o IGP-m como índice de inflação.Sua taxa de juros auferida em 1999 foi de aproximadamente: Um abraço Leilane
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Mauro Diz:
maio 29th, 2009 em 20:29
A taxa de inflação acumulada em 1999 medida pela IGP-M foi de 20,10.Um investidor afirma ter aferido , em uma aplicação financeira , um rendimento real de 12% ao longo de 1999, usando o IGP-m como índice de inflação.Sua taxa de juros auferida em 1999 foi de aproximadamente: (1+taxa de juros nominal) = (1+inflação)*(1+taxa real de juros) (1+in) = (1+0.2010)*(1+0.12) 1+in = 1,34512 in = 0,34512 = 34,512%
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Dione Diz:
junho 10th, 2009 em 18:26
AJUUUUUUUUUUUDA PLZ UMA PESSOA APLICOU R$ 90.000 NO MERCADO FINANCEIRO E, APÓS 5 ANOS, RECEBEU UM MONTANTE DE 180,000. QUAL FOI A TAXA ANUAL?
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Mauro Diz:
junho 10th, 2009 em 23:21
UMA PESSOA APLICOU R$ 90.000 NO MERCADO FINANCEIRO E, APÓS 5 ANOS, RECEBEU UM MONTANTE DE 180,000. QUAL FOI A TAXA ANUAL?
juros simples M = C (1 + in) 180000 = 90000 (1+i5) 2 - 1 = i5 1/5 = i = 0,20 = 20% ao ano. No cálculo de juros compostos vc vai precisar de uma calculadora HP. Mesmo com a tabela de fator de acumulação de capital vc não achará o valor, pq a tx de juros vai dar um valor quebrado (14,8698%).
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shirley Diz:
novembro 22nd, 2009 em 16:48
Que capital à taxa de juro composto de 15%a.a, durante 8 anos ,produz juro de R$13500,00?
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Daniele Diz:
novembro 22nd, 2009 em 19:14
O financiamento de 10.000,00 realizado pelo prazo de 63 dias foi fechado com a taxa de juro de 4,75% aos 63 dias. Qual a taxa equivalente com o periodo de 30 dias ?
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Pedro B de Amorim Diz:
novembro 30th, 2009 em 18:30
Quem poderia resolver este problema ? Qual a taxa efetiva trimestral corresp a juros de 30% ao trimestre com Capitalização mensal ?
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Felipe Diz:
janeiro 19th, 2010 em 11:59
Na HP« 30, Enter 3, n, : (dividir), i 100 CHS, Enter PV, FV, + Resultado: 33,1% é a taxa efetiva da tava nominal 30% capitalizada mensalmente.
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Luiz Diz:
fevereiro 20th, 2010 em 20:28
preciso resolver um exercicio de matematica financeira por favor quem souber me ajude ³Uma nota promissoria de valor nominal de $ 140000,00 é resgatada dois (2) meses antes do seu vencimento.Qual o valor pago no resgate, sabendo-se que a taxa de juros simples é de 1,9% ao mês?
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Luiz Diz:
fevereiro 20th, 2010 em 20:29
preciso resolver um exercicio de matematica financeira por favor quem souber me ajude ³Uma nota promissoria de valor nominal de $ 140000,00 é resgatada dois (2) meses antes do seu vencimento.Qual o valor pago no resgate, sabendo-se que a taxa de juros simples é de 1,9% ao mês?
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Andre Diz:
março 5th, 2010 em 21:09
a taxa efetiva trimestral equivalente a uma taxa nominal de 33% ao ano,capitalizada mensalmente será de : Resposta :8,48% Não consegui chegar nesta resposta, se alguém puder resolver valeu
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Mauro Diz:
março 7th, 2010 em 23:16
Que capital à taxa de juro composto de 15%a.a, durante 8 anos ,produz juro de R$13500,00? M = C (1+i)^n 13500 = C (1+0.15)^8 13500 = C 3,0590 C = 4413,17
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Mauro Diz:
março 7th, 2010 em 23:27
O financiamento de 10.000,00 realizado pelo prazo de 63 dias foi fechado com a taxa de juro de 4,75% aos 63 dias. Qual a taxa equivalente com o periodo de 30 dias ? Taxa de juros = 0,0475 a 63 dias Em 63 dias cabe aproximadamente 2 vezes 30 dias 1+0,0475 = (1+i)^2 1,0475^1/2 = 1+i 1,0234 = 1+i i = 0,0234 = 2,34% (valores aproximados)
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Mauro Diz:
março 7th, 2010 em 23:32
a taxa efetiva trimestral equivalente a uma taxa nominal de 33% ao ano,capitalizada mensalmente será de : Taxa nominal = 33% aa -> Taxa efetiva = 0,33/12 = 0,0275 ao mês Em um trimestre cabem 3 meses, portanto n = 3 (1+I ao trimestre) = (1+i ao mês)^3 (1+I) = (1+0,0275)^3 1+I = 1,08479 I = 0,08479 = 8,479% ao trimestre
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Mauro Diz:
março 7th, 2010 em 23:37
³Uma nota promissoria de valor nominal de $ 140000,00 é resgatada dois (2) meses antes do seu vencimento.Qual o valor pago no resgate, sabendo-se que a taxa de juros simples é de 1,9% ao mês?´ 140000/(100 + 2 * 1,9) = V / 100 134.874,75 = Valor resgatado
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Mauro Diz:
março 7th, 2010 em 23:41
Qual a taxa efetiva trimestral corresp a juros de 30% ao trimestre com Capitalização mensal ?
Taxa nominal = 30% ao trimestre com capitalização mensal -> Taxa efetiva = 10% ao mês No trimestre cabem 3 meses, então n = 3 (1+I) = (1+0,1)^3 1+I = 1,331 I = 0,331 = 33,1%
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Mauro Diz:
março 7th, 2010 em 23:45
Que capital à taxa de juro composto de 15%a.a, durante 8 anos ,produz juro de R$13500,00? Respondi anteriormente, mas vi que respondi errado pq não li direito a questão =/, ele quer saber os juros produzidos« Montante = C + juros = (C + 13500) C + 13500 = C (1,15)^8 13500 = 3,059023 C - C 13500 = 2,059023 C C = 6.556,5076
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Carol Diz:
março 15th, 2010 em 13:00
³Uma nota promissoria de valor nominal de $ 140000,00 é resgatada dois (2) meses antes do seu vencimento.Qual o valor pago no resgate, sabendo-se que a taxa de juros simples é de 1,9% ao mês?´ Alguem ajude a resolver
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Mauro Diz:
março 15th, 2010 em 22:56
³Uma nota promissoria de valor nominal de $ 140000,00 é resgatada dois (2) meses antes do seu vencimento.Qual o valor pago no resgate, sabendo-se que a taxa de juros simples é de 1,9% ao mês?´ O enunciado indica desconto racional, ³taxa de juros simples´. Assim, 140.000 / (100 + 2* 1,9) = A / 100
140.000/103,8 = A/100 14.000.000/103,8 = A A = 134.874,75
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Junior Diz:
março 18th, 2010 em 17:36
Por favor se alguem sabe a resposta !!!!! me diga!!! Uma aplicação foi realizada tendo 20% ao mês de juros compostos. A duração foi de três meses. No mesmo periodo a inflação foi de 10% em cada um dos três meses qual a taxa de ganho no periodo???
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Heloana Diz:
abril 1st, 2010 em 23:25
Determinar a taxa semestral de juros paga por um mutuário que tomou um financiamento de R$ 20.000,00 por um prazo de 15 meses e pagou R$ 5.000,00 de juros
y
Antonio Junior Diz:
maio 18th, 2010 em 16:52
Junior, Uma aplicação foi realizada tendo 20% ao mês de juros compostos. A duração foi de três meses. No mesmo periodo a inflação foi de 10% em cada um dos três meses qual a taxa de ganho no periodo???Uma aplicação foi realizada tendo 20% ao mês de juros compostos. A duração foi de três meses. No mesmo periodo a inflação foi de 10% em cada um dos três meses qual a taxa de ganho no periodo??? Resposta: Repare que se vc por mes ganha 20% rendimento e perde 10% INFLAÇÃO, LOGO SEU RENDIMENTO LIQuido É SÓ DE 10%, Faça uma analogia com capital por 100, ok =(100 * (1,1)^3)-100 = 33,1% rend liquido ABÇS fui
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bruna Diz:
junho 4th, 2010 em 17:02
5) Quanto devo pagar por um título que vence daqui a 729 dias, com valor nominal de R$ 90.000,00 se quero taxa de 130% ao semestre? (Valor nominal é o valor de face, ou seja, o montante).
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bruna Diz:
junho 4th, 2010 em 17:04
por favor se souber a resposta, me ajude!!!! 7) Uma taxa de 18% ao ano equivale a que taxa mensal? E ao semestre?
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bruna Diz:
junho 4th, 2010 em 17:05
9) A taxa anual de juros cobrada por uma loja é de 45 %a.a.Determinar a taxa real de juros , se a taxa de inflação resultar em 8 % no mesmo período ?
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bruna Diz:
junho 6th, 2010 em 11:44
preciso das respostas feitas na hp-12c
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Mauro Diz:
junho 9th, 2010 em 15:05
Preciso de uma resposta para seguinte questão (VALOR PRESENTE LIGUIDO). Um apartamento foi colocado a venda pelo valor de R$ 3 milhões a vista, ou em dois anos de prazo, com R$ 800.000,00 de entrada, mais 12 prestações mensais de R$ 180.000,00 e mais 12 de R$ 281.860,00. Admitindo-se que você esteja interessado em adquiri-lo e que tenha recursos para comprá-lo até mesmo a vista, qual seria a sua decisão, se você tivesse também a opção de aplicar seus recursos em um Fundo de Renda Fixa, ou Caderneta de Poupança, a uma taxa de 6% ao mês? Verifique também a sua decisão para taxas de 8% e 10% ao mês?
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Ivanilson Diz:
junho 14th, 2010 em 23:11
Estou precisando de resposta para esta questão. Alguém sabe como resolvê-la? Um projeto de investimento apresenta o seguinte fluxo de caixa: 0 1 2 + + + (4000) 2000 4000 a) Determinar seu VPL, considerando uma taxa de desconto de 10% b) Determinar o seu VPL para taxas de desconto variando entre 0% e 40% c) Trace o gráfico da Curva VP X Taxa de Desconto.
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Ivanilson Diz:
junho 14th, 2010 em 23:14
espero auxilio
y
paula Diz:
junho 19th, 2010 em 21:29
hola necesito que me ayuden con el siguiente ejercicio: suponga que ud durante 8 años y al principio de cada año , ha estado depositando u$ 900 en una cta de ahorro de un bco de la plaza el cual abona el 2% de interes anual para este tipo de cta. ud desea conocer el saldo de dicha cta de 5 años despues de haber hecho el ultimo deposito
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Claudio Fileapa Diz:
junho 21st, 2010 em 15:42
como transformo meses para ano? também pode ser ao contrario.
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lucini Diz:
junho 28th, 2010 em 15:34
ola pessoal preciso de soluçao ,Uma pessoa deposita ?$600,00 no inicio de cada trimestre a 32% aa capitalizados trimestralmente.qual sera o montante passados 3 anos? como eu monto essa conta ,que o resultado e $12.297,18
Ao solicitar um empréstimo em uma financeira, você estará obrigado a pagar um valor maior que o valor que você recebeu emprestado. Este valor pago a mais chama-se juro. O juro é uma forma de produção de renda, através de um certo capital, sem a intervenção de trabalho. Pode-se dizer também, que juro é o preço do risco que o credor corre na operação. Normalmente quanto maior o risco de inadimplência, maior será a taxa de juros cobrada. Obviamente, para uma determinada taxa de juros, quanto maior o tempo de empréstimo, maior será o juro cobrado. Ao trabalhamos com juros, consideramos as seguintes variáveis: y y y y y
C: Capital ou principal, é quantia aplicada ou tomada e mprestada. n: É o período de tempo em que o capital será aplicado. j: É o juro resultante da operação. i: É a taxa percentual aplicada ao capital para a apuração do juro. M: O montante é a soma do capital com o juro produzido em todo o período.
Na modalidade de juros simples o cálculo do juro de cada período é sempre calculado com base no capital inicial. Cálculo de juros simples
Imagine que você tome emprestado, a juro simples, a importância de R$ 5.000,00, pelo prazo de 3 meses, à taxa de 5% ao mês. Qual será o valor que você deverá pagar como juro, decorrido este período de tempo? Qual o montante a ser pago? Embora você possa se utilizar de fórmulas para a resolução deste problema, o ideal é que você consiga abstrair a ideia por trás do mesmo. Ora, se no cálculo de juros simples, o juro de cada período é sempre calculado sobre o valor principal, então basta a nós aplicarmos a taxa percentual ao valor principal para sabermos o valor do juro em cada período e em se tendo este valor, multiplicá-lo pelo número de períodos, para obtermos o valor do juro total. Viu como é simples?
Além disto, o montante será o valor do juro total acrescentado do valor principal. Vamos aos cálculos: O valor do juro em cada período será:
Ou seja ao final de cada período, além dos cinco mil reais emprestados, você estará devendo mais R$ 250,00 correspondente ao juro do período em questão. Compreendida a esquemática por trás do cálculo dos juros, do explicado acima, podemos deduzir várias fórmulas. Quando tivermos o valor do capital, a taxa de juros e o tempo da aplicação, para a obtenção do juro iremos utilizar a fórmula:
Quando tivermos o valor do juro, a taxa de juros e o tempo da aplicação, para a obtenção do valor do capital utilizaremos a fórmula:
Quando tivermos o valor do juro, o valor do capital e o tempo da aplicação, para a obtenção da taxa de juros utilizaremos a fórmula:
Quando tivermos o valor do juro, o valor do capital e a taxa de juros, para a obtenção do tempo da aplicação iremos utilizar a fórmula:
Para o cálculo do montante utilizaremos a fórmula:
As suas variantes são:
e
Utilizando-se destas fórmulas, o problema acima pode ser resolvido da seguinte forma: Identificando-se as variáveis disponíveis, temos:
A calcular temos: y y
j: O valor do juro. M: O valor do montante.
Inicialmente utilizaremos a fórmula:
Substituindo o valor dos termos temos:
Logo:
Para o cálculo do montante utilizaremos a fórmula:
Substituindo o valor dos termos temos:
Portanto:
Ou seja, uma importância de R$ 5.000,00 emprestada a juros simples, pelo prazo de 3 meses, à taxa de 5% a.m. resultaria em juros totais de R$ 750,00 e em um montante de R$ 5.750,00 como já havíamos apurado anteriormente.
MATEMÁTICA FINANCEIRA Conceitos básicos A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplificar a operação financeira a um Fluxo de Caixa.
Capital O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em inglês usa-se Present Value (indicado pela tecla PV nas calculadoras financeiras).
Juros Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos.
JUROS SIMPLES: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial emprestado ou aplicado. JUROS COMPOSTOS: o juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do saldo no início de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também.
O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste ínterim estiver disposta a emprestar esta quantia a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta ab stinência na proporção do tempo e risco, que a operação envolver. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa de juros.
Quando usamos juros simples e juros compostos? A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão incluídas: compras a médio e longo prazo, compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, as aplicações financeiras usuais como Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda fixa, etc. Raramente encontramos uso para o regime de juros simples: é o caso das operações de curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas.
Taxa de juros
A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, para um determinado período. Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da especificação do período de tempo a que se refere: 8 % a.a. - (a.a. significa ao ano). 10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre). Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual a taxa percentual dividida por 100, sem o símbolo %: 0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês). 0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre)
ROS SIMPLES
JU
O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o v alor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula temos:
J=P.i.n Onde: J = juros P = principal (capital) i = taxa de juros n = número de períodos
Exemplo: Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão:
J = 1000 x 0.08 x 2 = 160 Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante. Montante = Principal + Juros Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Número de períodos )
M=P.(1+(i.n)) Exemplo: Calcule o montante resultante da aplicação de R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias. SOLUÇÃO: M = P . ( 1 + (i.n) ) M = 70000 [1 + (10,5/100).(145/360)] = R$72.960,42
Observe que expressamos a taxa i e o período n, na mesma unidade de tempo, ou seja, anos. Daí ter dividido 145 dias por 360, para obter o valor equivalente em anos, já que um ano comercial possui 360 dias.
Exercícios sobre juros simples: 1) Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias.
0.13 / 6 = 0.02167 logo, 4m15d = 0.02167 x 9 = 0.195 j = 1200 x 0.195 = 234
2 - Calcular os juros simples produzidos por R$4 0.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125 dias.
Temos: J = P.i.n A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 dias = 0,001 a.d. Agora, como a taxa e o período estão referidos à mesma unidade de tempo, ou seja, dias, poderemos calcular diretamente: J = 40000.0,001.125 = R$5000,00
3 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros em 75 dias?
Temos imediatamente: J = P.i.n ou seja: 3500 = P.(1,2/100).(75/30) Observe que expressamos a taxa i e o período n em relação à mesma unidade de tempo, ou seja, meses. Logo, 3500 = P. 0,012 . 2,5 = P . 0,030; Daí, vem: P = 3500 / 0,030 = R$116.666,67
4 - Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples?
Objetivo: M = 2.P Dados: i = 150/100 = 1,5 Fórmula: M = P (1 + i.n) Desenvolvimento: 2P = P (1 + 1,5 n) 2 = 1 + 1,5 n n = 2/3 ano = 8 meses
ROS COMPOSTOS
JU
O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte.
Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal.
Após três meses de capitalização, temos:
1º mês: M =P.(1 + i) 2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x ( 1 + i) x (1 + i) 3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x ( 1 + i) x (1 + i) x (1 + i) Simplificando, obtemos a fórmula:
M = P . (1 + i)n Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou seja, taxa de juros ao mês para n meses. Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do período:
J=M-P
Exemplo:
Calcule o montante de um capital de R$6.000,00, aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à taxa de 3,5% ao mês. (use log 1,035=0,0149 e log 1,509=0,1788 ) Resolução:
P = R$6.000,00 t = 1 ano = 12 meses i = 3,5 % a.m. = 0,035 M=?
Usando a fórmula M=P.(1+i)n, obtemos: M = 6000.(1+0,035)12 = 6000. (1,035)12 12 Fazendo x = 1,035 e aplicando logaritmos, encontramos: 12
log x = log 1,035
=> log x = 12 log 1,035
=> log x = 0,1788
=> x = 1,509
Então M = 6000.1,509 = 9054. Portanto o montante é R$9.054,00
Relação entre juros e progressões No regime de juros simples: M( n ) = P + n r P No regime de juros com postos: n M( n ) = P . ( 1 + r ) Portanto: y
num regime de capitalização a juros simples o saldo cresce em progressão aritmética
y
num regime de capitalização a juros compostos o saldo cresce em progressão geométrica
TAXAS EQUIVALENTES Duas taxas i1 e i2 são equivalentes, se aplicadas ao mesmo Capital P durante o mesmo período de tempo, através de diferentes períodos de capitalização, produzem o mesmo montante final. y y y y
Seja o capital P aplicado por um ano a uma taxa anual ia . O montante M ao final do período de 1 ano será igual a M = P(1 + i a ) Consideremos agora, o mesmo capital P aplicado por 12 meses a uma taxa m ensal im . O montante M¶ ao final do período de 12 meses será igual a M¶ = P(1 + im)12 .
Pela definição de taxas equivalentes vista acima, deveremos ter M = M¶. 12
Portanto, P(1 + i a) = P(1 + i m) 12 Daí concluímos que 1 + ia = (1 + im) Com esta fórmula podemos calcular a taxa anual equivalente a uma taxa m ensal conhecida. Exemplos: 1 - Qual a taxa anual equivalente a 8% ao semestre?
Em um ano temos dois semestres, então teremos: 1 + i a = (1 + i s) 1 + ia = 1,082 ia = 0,1664 = 16,64% a.a.
2
2 - Qual a taxa anual equivalente a 0,5% ao mês?
1 + ia = (1 + i m)12 1 + ia = (1,005)12 ia = 0,0617 = 6,17% a.a.
TAXAS NOMINAIS A taxa nominal é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital não coincide com aquele a que a taxa está referida. Alguns exemplos: - 340% ao semestre com capitalização mensal. - 1150% ao ano com capitalização mensal. - 300% ao ano com capitalização trimestral. Exemplo:
Uma taxa de 15 % a.a., capitalização mensal, terá 16.08 % a.a. como taxa efetiva:
15/12 = 1,25
12
1,25 = 1,1608
TAXAS EFETIVAS A taxa Efetiva é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital coincide com aquele a que a taxa está referida. Alguns exemplos: - 140% ao mês com capitalização mensal. - 250% ao semestre com capitalização semestral. - 1250% ao ano com capitalização anual. Taxa Real: é a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionária do período da operação.
Quando uma determinada soma de dinheiro está aplicada a juros simples, os juros são sempre calculados sempre sobre o montante inicial. quando uma soma está aplicada a juros compostos, os juros são calculados não apenas sobre o capital inicial, mas sobre este capital acrescido dos juros já vencidos.
Capitalização composta é aquela em que a taxa de juros incide sobre o principal acrescido dos juros acumulados até o período anterior. Neste regime de capitalização a taxa varia exponencialmente em função do tempo. O conceito de montante é o mesmo definido para capitalização simples, ou seja, é a soma do capital aplicado ou devido mais o valor dos juros correspondentes ao prazo da aplicação ou da divida. A simbologia é a mesma já conhecida, ou seja, M, o montante, C, o capital inicial, n, o período e i, a taxa. A dedução da fórmula do montante para um único pagamento é pouco mais complexa que aquela já vista para a capitalização simples e para facilitar o entendimento, vamos admitir que defrontamos com o seguinte problema: Calcular o montante de um capital de R$ 1.000,00, aplicado à taxa de 4% ao mês, durante 5 meses. Dados:
C = 1.000,00 n = 5 meses i = 4% ao mês M=?
O quadro a seguir permite que visualizemos claramente o cálculo do montante, mês a mês.
Mês (t) 1 2 3 4 5
capital inicio mês (Pt) 1.000,00 1.040,00 1.081,60 1.124,86 1.169,86
juros cor. mês (Jt) 1.000,00 x 0,04 = 40,00 1.040,00 x 0,04 = 41,60 1.081,60 x 0,04 = 43,26 1.124,86 x 0,04 = 45,00 1.169,86 x 0,04 = 46,79
montante final mês (mt) 1.040,00 1.081,60 1.124,86 1.169,86 1.216,65
O valor do montante no final do quinto mês é de R$ 1.216,65. O montante final de cada mês é o valor do capital inicial do mês seguinte. Entretanto, essa forma de cálculo é bastante trabalhosa e demorada. Vamos deduzir uma fórmula que permita um cálculo mais fácil e rápido, partindo do desenvolvimento anterior, sem no entanto efetuar os cálculos ali demonstrados.
M0 = 1.000,00 M1 = 1.000,00 + 0,04 x 1.000,00 = 1.000,00(1 + 0,04) = 1.000,00 (1.04)1 M2 = 1.000,00(1,04) + 0,04 x 1.000,00 x (1,04) = 1.000,00 (1,04)(1+0,04) = 1.000,00(1,04)2 .......... M5 = 1.000,00(1,04)4 + 0,04 x 1.000,00(1,04)4 = 1.000,00(1,04)4(1 + 0,04) = 1.000,00 (1,04)5 O valor do montante no final do quinto mês é dado pela expressão: M5 = 1.000,00 (1,04)5. Como (1,04)5 = 1,21656 m = 1.000,00 x 1,21656 = 1.216,65, que confere com o valor determinado anteriormente. Substituindo cada n da expressão M5 = 1.000,00(1,04)5 pelo seu símbolo correspondente, temos M = C ( 1 + i)n, em que a expressão (1 + i)n é chamada de fator de capitalização ou fator de acumulação de capital para pagamento simples ou único. Na calculadora HP12C a simbologia é a seguinte:
PV = capital inicial FV = montante i = taxa n = prazo/tempo/período HP12C = 1.000,00 CHS PV 4 i 5 n FV = 1.216,65. 1 - Qual o montante de uma aplicação de R$ 15.000,00, pelo prazo de 9 meses, à taxa de 2% ao mês. Dados: C = 15.000,00 n = 9 meses
