UNIVERSIDAD DE LA COSTA C.U.C
FACULTAD DE INGENIERÍA
Derivadas Aplicadas a la Vida Real 1
Bryan AlgarínCantillo
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Elisa Camargo Jiménez
[email protected] 3
July Lubo Vacca
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Ingeniería Civil, Ingeniería Ambiental, 3Ingeneria Ambiental Calculo Diferencial LD
En otras Palabras la Derivada es la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto cualquiera FIG (1.0)
I Resumen Las derivadas de una función es un instrumento aplicada apl icada a mu chas r amas de las matemáticas ti cas y de Otr as ciencias. Se Se constitu constitu ye en una h errami enta matemática ti ca muy im por tante, tan te, que nos sir sir ve por Ej emplo, para el estudi estudi o del cálcul o dif erencial e in tegral, tegr al, como tam bié n par a realizar real izar un a Represent Representacióngr acióngr áf ica de f un cion es. es. En el sigu ient e proyecto de aul a se estu estudi diar ará áy mencionar átodo lo r elacionado con l a derivación, deri vación de fu nci ones matemáti cas como: las. No obstante, se conocerá su aplicaci apl icaci ón en l a vida vi da coti dian a, sus car car acterísticas pri nci pales pal es y su r epresentaci epresentaci ón grá gr áf ica par a de esta esta manera r econocer todo lo que abar ca este este tema en el ár ea de cálcul o dif erencial e integral .
También podemos Anexar que la Derivada de una Función es uno de los dos conceptos centrales del cálculo. El otro concepto es la antiderivada o integral; ambos conceptos están relacionados por el teorema fundamental del cálculo. La derivada de una función en un punto "a" surge del problema de calcular la tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa "a", y fue Fermat el primero que aportó la primera idea al tratar de buscar los máximos y mínimos de algunas funciones. En dichos puntos las tangentes han de ser paralelas al eje de abscisas, por lo que el ángulo que forman con éste es de cero grados. En estas condiciones, Fermat buscaba aquellos puntos en los que las tangentes fueran horizontales
Palabras claves: Derivación, cálculo, funciones,
grafica, cálculo diferencial, cálculo Integral, vida cotidiana aplicación.
La función f(x) continúa en el intervalo abierto I, se define la derivada en el punto "a" como: II Abstract The deri deri vative of a f unction is a tool applied to many br anches of math emati cs and Other sciences. sciences. I t is a very very i mpor tant math emati cal tool th at helps us to Example, to study the differential and integral calculus, as for a Graphi ng. I n th e next next classroom classroom proj ect will study and will mention anything related to the derivation, deri deri vation of mathematical mathematical f unctions as:. as:. H oweve owever, r, your application will be known in everyday life, their main characteristics and their graphical representation thus recognize everything covered this topic in the area area of diff erential erential and integral calculus.
¿QUE PAPEL JUEGA LA DERIVADA EN LA VIDA REAL? Cada vez que prendes tu teléfono celular, cuando vez que un edificio resiste el embate del viento, la aguja que se mueve en el velocímetro del automóvil todo eso son las derivadas funcionando.
Key words:Derivation, calculation, functions, graphics, differential calculus, integral calculus, daily life application.
En ingeniería te sirven para calcular:
Durante este proyecto de aula, iremos clasificando como podremos Utilizar la derivada en distintas ramas, tanto en partes de la ciencia, como en casos de la vida real o laboral:
III Inicial Con Consulta a Varios papers Inicialmente Definiremos a la Derivada; Así: la Derivada es la pendiente de la recta tangente del Grafico en un punto “x”.
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Como varía la temperatura en un tubo cuando aumenta la presión (refrigeradores) Cuánta fuerza necesitas para revolver una mezcla a velocidad constante en función de cómo varía su densidad al aumentar los ingredientes (una fábrica de mantequilla de maní)
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CASOS DONDE PODEMOS USAR LA DERIVACIÓN EN LA VIDA REAL
En la Física: La variación de la aceleración en función a la pérdida de masa y empuje en el despegue de un cohete espacial La variación de la cantidad de radiación del carbono14 en función del tiempo cuando mides la edad de los fósiles Los corrimientos en frecuencia de la luz que llega de las estrellas en función de la distancia para ayudar a conocer su edad y/o distancia
Siempre que tenemos algún problema en la vida cotidiana en la que necesitamos hacer un cálculo, lo resolvemos inmediatamente ya sea por una simple multiplicación, división, adición o sustracción, es decir, no se requiere de una matemática avanzada. Pero si nos involucramos en un Ambiente profesional, dependiendo de las profesiones, una forma de ahorrar tiempo seria teniendo un método en específico.
Estos son algunos de los casos más cotidianos del uso de la derivada:
En Administración:
La administración se basa a veces en la estadística o en los datos contables para dirigir el curso de las acciones empresariales en base a los datos del pasado; por ejemplo:
En función a la demanda de los años anteriores de un juguete y del crecimiento poblacional y varianza del poder adquisitivo en el año, determinar la producción de cada juguete.
En la Vida Cotidiana:
Ejemplos de algunos casos donde se requiere el uso de las derivadas:
Muchas veces, en la vida de todos los días con la ayuda del sentido común, estamos derivando sin darnos apenas cuenta, Ejemplo:
Es Útil en la Construcción de contenedores. En minimizar y Maximizar Formulas que nos ayuda a calcular las dimensiones de un objeto construido. Calcular la velocidad de un objeto que cae a través de una rampa con un determinado ángulo de inclinación. Para comprender temas muy complejos, por ejemplo la resistencia de materiales
Caso 1:
Quieres comprar un auto y solamente te dan como dato que acelera durante el arranque a 3 metros por segundo cada segundo. Pero te interesa conocer el espacio que necesitas recorrer para pasara 120km/h, y el tiempo que necesitas para ello.
Si sabemos por ejemplo que los campeones de 100 metros lisos corren esa distancia en unos 10 segundos, al calcular la velocidad promedio de 10 metros por segundo (36 km por hora) estamos haciendo una derivada, bajo el supuesto de que la velocidad fuera constante (velocidad promedio). quieres comprar un auto y solamente te dan como dato que acelera durante el arranque a 3 metros por segundo cada segundo. Pero te interesa conocer el espacio que necesitas recorrer para pasar a 120 km/h, y el tiempo que necesitas para ello:
Caso 2:
Cuando prendes el calefactor y tu habitación comienza a calentarse, esa "variación de temperatura con respecto al tiempo, o a la distancia" la puedes representar por una derivada.
Caso 3:
Cuando vas al mercado y descubres que subieron el precio de las patatas, esa " variación en el precio con respecto al mes pasado" la puedes representar por una derivada. Caso 4:
Pensemos en una persona que cae a un río cuyas aguas se encuentran a muy baja temperatura. Es claro que la temperatura corporal será función del tiempo que la persona permanezca en el agua y claro también es que la función será decreciente al haber pérdida de calor del cuerpo hacia el agua tendiendo el mismo a alcanzar la temperatura del agua dada la
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diferencia de masa entre ambos. Sin embargo en este problema resulta vital conocer la rapidez de disminución de la temperatura del cuerpo que por cierto no es lineal. La disminución podría ser más rápida al principio de la caída e ir luego en lenteciéndose, ocurrir exactamente lo contrario, etc.
A)Determine el nivel de producción donde se maximizan las utilidades Si estudiamos el inciso aquí lo que nos piden es hallar un número de productos que se deben producir para que las utilidades sean máximas. Pero para sacarlo tenemos que hallar primero la utilidad que es el ingreso menos costo, pero antes habría que determina cual es el ingreso y cuál es el costo, que es muy simple, solamente debemos multiplicar el precio de demanda por el número de unidades que sería “q”, así obtendríamos el ingreso, y para hallar el costo total habría que multiplicar el costo promedio por el número de unidades “q” luego de hallados el ingreso y el costo, para hallar la equivalencia de la utilidad, estos dos simplemente se restan, todo esto lo podemos llevar a cabo si tenemos en cuentas las ecuaciones dadas anteriormente, así lo dicho previamente en operaciones matemáticas seria así:
A continuación daremos un ejemplo de que las derivadas pueden aplicarse en mucho de los campos de la vida, y unos de estos campos puede ser incluso el de la economía, para comprobar lo dicho previamente, les damos a conocer un ejercicio Justo antes de postular el ejemplo del sector de la economía, cabe inculcar o resaltar que la aplicación de las derivadas tiene una tendencia a lo que es el tema de la optimización y la razón de cambio, pero para este ejemplo se verá más bien relacionado con lo que sería la optimización puesto que nos pedirán maximizar ciertas funciones, así.
Pero cómo se desconocen las dos variables de “costo” e “ingreso” pues las hallamos teniendo en cuenta las ecuaciones dadas anteriormente:
Ejemplo 1
Supóngase que la función de Demanda (p) para el producto de una empresa comercializadora es: p= demanda
Entonces se tiene que:
()
Y la función de costo promedio (Ĉ) es:
Ĉ=costo promedio Dónde:
Ahora calculemos el costo total:
Y también cabe decir que tanto (P cómo Ĉ) están expresadas en dólares por unidad
SOLUCION Antes de comenzar a realizar el problema es importante identificar y aclarar que:
Ahora hallamos Finalmente la Utilidad:
A) Determine el nivel de producción donde se maximizan las utilidades B) Determine el precio al cual ocurren las utilidades máximas C) Determine las Utilidades máximas.
( )
Ahora una vez obtenida la función objetivo, la cual se desea obtener un máximo, procedemos a derivarla, para así luego de obtener una “U´”, Igualarla a cero y despejar “q” para obtener el número de unidades que maximizan la función de Utilidad. Así:
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IV Bosquejo y Graficas
Ahora igualamos la función derivada a cero, tal que podamos despejar a “q” y obtener el número de unidades que se desea obtener para maximizar las utilidades
(FIG:1.0) V BIBLIOGRAFÍA
B) Determine el precio al cual ocurren las utilidades máximas:
Páginas Web:
Cómo nos piden es el precio, y ya poseemos la función de demanda que nos dan en el encabezado del problema y además poseemos la equivalencia de “q” sola mente remplazamos el valor de “q” en la función de demanda (equivalente al precio unitario de un producto)
()
P=220 P= 220 Dólares por unidad
C) Determine las Utilidades Máximas:
Cómo ya poseemos la función de utilidad, simplemente sustituimos la equivalencia de “q” en dicha fórmula.
() ()
De esta manera podríamos comprobar cómo las derivadas nos ayudan en una situación económica, financiera, y no solo en esto, sino también en otros campos, así de esta manera demostramos los fines del cálculo diferencial.
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http://www.monografias.com/trabajos pdf4/derivadas-orden-superior/derivadasorden-superior.shtml http://laderivada.wikispaces.com/file/view/ wLa+derivada.pdf http://www.slideshare.net/y355y/definicion -de-derivada http://www.forosperu.net/showthread.php?t =263132 http://www.taringa.net/posts/info/1384671/ Derivadas-Matematicas.html http://carmesimatematic.webcindario.com/g raficas.htm http://es.scribd.com/doc/55924506/Trabajode-Derivadas http://www.slideshare.net/XapoX/aplicacio nes-de-la-derivada-en-el-mundo-real http://www.youtube.com/watch?v=WOTo3 3yo0Rc
