UNIVERSITATEA TITU MAIORESCU Facultatea de INFORMATICĂ
Conf. univ. dr. VALENTIN GÂRBAN
Curs pentru învăţământul la distanţă
BUCUREŞTI – 2017 2017
CUPRINS ............................................... ...................................................................... ............................................. ............................................ .................................2 ...........2 CALCUL DIFERENŢIAL ŞI INTEGRAL....................... INTEGRAL............................................. ............................................ .........................5 ...5 UNITATEA DE ÎNVĂŢARE Nr. 1 - Şiruri şi serii de numere şi de funcţii...... ............6 Lecţia Lecţia 1 - Şiruri de numere reale. Puncte limită. Convergenţă…................ Convergenţă…................ ................. 8 Şiruri de numere reale.................................................... reale.................................................................................................… .........................................….....8 .....8 Şiruri în k ........................................... ................................................................. ............................................ ............................................ ..............................10 ........10 Probleme rezolvate............. rezolvate.............…………………………………………………. …………………………………………………..................12 .................12 Test de autoevaluare... autoevaluare...……………………………………………………….. ………………………………………………………................. ............... 19 Lecţia 2 - Serii de numere reale şi complexe. Criterii de convergenţă. convergenţă. Proprietăţi .....20 Serii de numere reale........................................ reale.............................................................. ............................................ .........................................20 ...................20 Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenţă.……………………………...............21 convergenţă.……………………………. ..............21 Serii cu termeni t ermeni oarecare. Serii absolut convergente, alternate, semiconvergente..........26 semiconvergente..........26 Criterii de convergenţă pentru convergenţă pentru serii cu termeni oarecare ................…………… ................……………............27 ............27 O peraţii cu serii numerice. numerice...................... .............................................. ............................................... ............................................ ...........................28 .....28 Serii în k . Serii de numere complexe.................................................. complexe.......................................................................... ........................29 29 Probleme rezolvate............. rezolvate.............…………………………………………………. ………………………………………………….................31 ................31 Test de autoevaluare... autoevaluare...……………………………………………………….. ……………………………………………………….................43 ...............43 Temă de control....................................... control............................................................. ......................................... ................... ...............................44 Lecţia 3 - Şiruri de funcţii. Serii de funcţii.................................... funcţii.......................................................... .............................. ........ ...46 Şiruri de funcţii................................ funcţii...................................................... ............................................. ......................... ...........................…...46 ...........................…...46 Serii de funcţii........................................ funcţii.............................................................. ............................................ ............................................ .............................. ........ 49 Probleme rezolvate............. rezolvate.............…………………………………………………. ………………………………………………….................52 ................52 Test de autoevaluare... autoevaluare...……………………………………………………….. ……………………………………………………….................59 ...............59 Lecţia 4 - Serii de puteri................................................. puteri....................................................................... ............................................ .............................60 .......60 Serii de puteri.......................................... puteri.................................................................. .............................................. ............................................ ...........................60 .....60 Operaţii cu serii serii de puteri........................................ puteri.............................................................. ............................................... ...................................62 ..........62 Serii Taylor şi Mac-Laurin.................. Mac-Laurin........................................... ............................................... ............................................ ..............................63 ........63 Probleme rezolvate............. rezolvate.............…………………………………………………. …………………………………………………..................63 .................63 Test de autoevaluare... autoevaluare...……………………………………………………….. ………………………………………………………..................69 ................69 Temă de control............................ control.................................................. ............................................ ............................................ ........................................70 ..................70 Bibliografie pentru Unitatea de învăţare nr.1........................................ nr.1.............................................................. ...........................72 .....72 UNITATEA DE ÎNVĂŢARE Nr. 2 – 2 – CALCUL DIFERENŢIAL ÎN
n
.................73
Lecţia 5 - Funcţii vectoriale de variabilă vectorială. Limite. Continuitate.................. Continuitate.................. 74 Funcţii vectoriale. Limite. Continuitate................................................ Continuitate................................................……………….. ………………...74 .74 Derivate parţiale de ordinul I........................................... I................................................................. ............................. ....... ..................77 Derivate parţiale de ordin superior. Diferenţiabilitate, diferenţiala ................................79 Formula lui Taylor pentru funcţii de două variabile...................... variabile... ......................................... ..................................83 ............83 Extremele libere ale funcţiilor de mai multe variabile.....................................................84 variabile.....................................................84 Probleme rezolvate............. rezolvate.............…………………………………………………. …………………………………………………..................85 .................85
2
CUPRINS ............................................... ...................................................................... ............................................. ............................................ .................................2 ...........2 CALCUL DIFERENŢIAL ŞI INTEGRAL....................... INTEGRAL............................................. ............................................ .........................5 ...5 UNITATEA DE ÎNVĂŢARE Nr. 1 - Şiruri şi serii de numere şi de funcţii...... ............6 Lecţia Lecţia 1 - Şiruri de numere reale. Puncte limită. Convergenţă…................ Convergenţă…................ ................. 8 Şiruri de numere reale.................................................... reale.................................................................................................… .........................................….....8 .....8 Şiruri în k ........................................... ................................................................. ............................................ ............................................ ..............................10 ........10 Probleme rezolvate............. rezolvate.............…………………………………………………. …………………………………………………..................12 .................12 Test de autoevaluare... autoevaluare...……………………………………………………….. ………………………………………………………................. ............... 19 Lecţia 2 - Serii de numere reale şi complexe. Criterii de convergenţă. convergenţă. Proprietăţi .....20 Serii de numere reale........................................ reale.............................................................. ............................................ .........................................20 ...................20 Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenţă.……………………………...............21 convergenţă.……………………………. ..............21 Serii cu termeni t ermeni oarecare. Serii absolut convergente, alternate, semiconvergente..........26 semiconvergente..........26 Criterii de convergenţă pentru convergenţă pentru serii cu termeni oarecare ................…………… ................……………............27 ............27 O peraţii cu serii numerice. numerice...................... .............................................. ............................................... ............................................ ...........................28 .....28 Serii în k . Serii de numere complexe.................................................. complexe.......................................................................... ........................29 29 Probleme rezolvate............. rezolvate.............…………………………………………………. ………………………………………………….................31 ................31 Test de autoevaluare... autoevaluare...……………………………………………………….. ……………………………………………………….................43 ...............43 Temă de control....................................... control............................................................. ......................................... ................... ...............................44 Lecţia 3 - Şiruri de funcţii. Serii de funcţii.................................... funcţii.......................................................... .............................. ........ ...46 Şiruri de funcţii................................ funcţii...................................................... ............................................. ......................... ...........................…...46 ...........................…...46 Serii de funcţii........................................ funcţii.............................................................. ............................................ ............................................ .............................. ........ 49 Probleme rezolvate............. rezolvate.............…………………………………………………. ………………………………………………….................52 ................52 Test de autoevaluare... autoevaluare...……………………………………………………….. ……………………………………………………….................59 ...............59 Lecţia 4 - Serii de puteri................................................. puteri....................................................................... ............................................ .............................60 .......60 Serii de puteri.......................................... puteri.................................................................. .............................................. ............................................ ...........................60 .....60 Operaţii cu serii serii de puteri........................................ puteri.............................................................. ............................................... ...................................62 ..........62 Serii Taylor şi Mac-Laurin.................. Mac-Laurin........................................... ............................................... ............................................ ..............................63 ........63 Probleme rezolvate............. rezolvate.............…………………………………………………. …………………………………………………..................63 .................63 Test de autoevaluare... autoevaluare...……………………………………………………….. ………………………………………………………..................69 ................69 Temă de control............................ control.................................................. ............................................ ............................................ ........................................70 ..................70 Bibliografie pentru Unitatea de învăţare nr.1........................................ nr.1.............................................................. ...........................72 .....72 UNITATEA DE ÎNVĂŢARE Nr. 2 – 2 – CALCUL DIFERENŢIAL ÎN
n
.................73
Lecţia 5 - Funcţii vectoriale de variabilă vectorială. Limite. Continuitate.................. Continuitate.................. 74 Funcţii vectoriale. Limite. Continuitate................................................ Continuitate................................................……………….. ………………...74 .74 Derivate parţiale de ordinul I........................................... I................................................................. ............................. ....... ..................77 Derivate parţiale de ordin superior. Diferenţiabilitate, diferenţiala ................................79 Formula lui Taylor pentru funcţii de două variabile...................... variabile... ......................................... ..................................83 ............83 Extremele libere ale funcţiilor de mai multe variabile.....................................................84 variabile.....................................................84 Probleme rezolvate............. rezolvate.............…………………………………………………. …………………………………………………..................85 .................85
2
Test de autoevaluare... autoevaluare...……………………………………………………….. ………………………………………………………................100 ..............100
Lecţia 6 - Funcţii implicite. Extreme condiţionate............................. condiţionate...................................................... ............................. 101 Funcţii implicite...................... implicite............................................ ............................................ ............................................. ...........................................1 ....................101 01 Dependenţă Dependenţă funcţională................................ funcţională...................................................... ............................................ ............................................ ...................... 102 Extreme condiţionate........... condiţionate................................. ............................................ ....................................... ...............................................103 ..............................103 Probleme rezolvate............. rezolvate.............…………………………………………………. …………………………………………………................105 ...............105 Schimbări de variabile şi de funcţii. Probleme rezolvate............... rezolvate..................................... ................................113 ..........113 Test de autoevaluare... autoevaluare...……………………………………………………….. ………………………………………………………................118 ..............118 Temă de control....................................... control............................................................. ............................................ ............................................ .......................... .... .119 Bibliografie pentru Unitatea de învăţare nr.2.................................... nr.2.................................................................121 .............................121 CALCUL UL INTEGR AL UNITATEA DE ÎNVĂŢARE Nr. 3 – 3 – CALC …………………….122 Integrale improprii improprii şi integrale cu cu parametri …………………….
Lecţia 7 - Integrale improprii....................................... improprii............................................................. ............................................ ............................124 ......124 Definiţii şi proprietăţi ale integralelor improprii.................................................. improprii....................................................... .........124 ....124 Integrale improprii din funcţii pozitive................................... pozitive............................................ .......................................127 ..............................127 Integrale improprii din funcţii oarecare................................. oarecare....................................................... ........................................ ..................129 129 Integrale improprii şi serii numerice................................. numerice........................................................ ............................................. ......................130 130 Probleme rezolvate............. rezolvate.............…………………………………………………. …………………………………………………................131 ...............131 Test de autoevaluare... autoevaluare...……………………………………………………….. ………………………………………………………................136 ..............136 Lecţia 8 - Integrale cu parametri.................................... parametri............................................................. ............................................... .......................138 .138 Integrale cu parametri pe intervale compacte.............................. compacte.................................................... ..................................138 ............138 Integrale improprii cu parametri...................................... parametri............................................................ ............................................. ........................139 .139 Integrala lui Euler de speţa a doua.................... doua ............................................. ............................................... ....................................142 ..............142 Integrala lui Euler de prima speţă......................... speţă............................................... ............................................. ...................................143 ............143 Probleme rezolvate............. rezolvate.............…………………………………………………. …………………………………………………................145 ...............145 Test de autoevaluare... autoevaluare...……………………………………………………….. ………………………………………………………................150 ..............150 Temă de control....................................... control............................................................. .......................................... .................................................151 .............................151 Bibliografie pentru Unitatea de învăţare nr.3.................................... nr.3.................................................................154 .............................154 nte egr ale curbili ni niii , i nt nte egr ale mult ultii ple le,, UNITATEA DE ÎNVĂŢARE Nr. 4 – 4 – I nt ........................................... ..............................1 ........15 55 Integrale de suprafaţă, formule integrale............. integrale...................... ......... .....................
Lecţia 9 - Integrale curbilinii...................................... curbilinii............................................................ ............................................ ..............................156 ........156 Noţiuni teoretice............................ teoretice.................................................. ................................................ ............................................ ..................................156 ............156 Probleme rezolvate............. rezolvate.............…………………………………………………. …………………………………………………...............160 ..............160 Test de autoevaluare... autoevaluare...……………………………………………………….. ………………………………………………………...............170 .............170 Temă de control.................................. control....................................................... ........................................... ............................................ ................................172 ..........172 Lecţia 10 – 10 – Integrala Integrala dublă..................................... dublă........................................................... .............................. ........ ...........................174 Noţiuni teoretice............................ teoretice.............................. ......................................... ............................................................... ......................................174 ................174 Probleme rezolvate............. rezolvate.............…………………………………………………. …………………………………………………...............180 ..............180 Test de autoevaluare... autoevaluare...……………………………………………………….. ………………………………………………………...............187 .............187 Lecţia 11 – 11 – Integrala Integrala triplă.. trip lă....................... ........................................ ......................................... ............................................ ..............................189 ........189 Noţiuni teoretice............................ teoretice.................................................. ............................................ ............................................ .................................... .............. 189 Probleme rezolvate............. rezolvate.............…………………………………………………. …………………………………………………...............195 ..............195
3
Test de autoevaluare...………………………………………………………...............206
Lecţia 12 – Integrale de suprafaţă..................................................................................208 Noţiuni teoretice............................................................................................................208 Probleme rezolvate.............…………………………………………………...............214 Test de autoevaluare...………………………………………………………...............226 Lecţia 13 – Formule integrale.........................................................................................228 Noţiuni teoretice............................................................................. ...............................228 Probleme rezolvate.............…………………………………………………...............230 Test de autoevaluare...………………………………………………………...............242 Temă de control............................................................................................ .................244 Bibliografie pentru Unitatea de învăţare nr.4................................................................246 Chestionar feedback......................................................................................................247
4
UNIVERSITATEA TITU MAIORESCU, BUCUREŞTI FACULTATEA DE INFORMATICĂ ÎNVĂŢĂMÂNT LA DISTANŢĂ CALCUL DIFERENŢIAL ŞI INTEGRAL
Calcul diferenţial şi integral este una din disciplinele de fundamentale care, pentru profilul INFORMATICĂ, este impusă de către Agenţia Naţională pentru Asigurarea Calităţii în Învăţământul Superior (ARACIS) ca fiind esenţială pentru pregătirea studenţilor şi pentru depăşirea procedurilor de evaluare şi acreditare. Modul de prezentare a acestui material are în vedere particularităţile învăţământului la distanţă, la care studiul individual este determinant. Pentru orice nelămuriri faţă de acest material vă rugăm să contactaţi tutorele de disciplină care are datoria să vă ajute oferindu-vă toate explicaţiile necesare. Disciplina Calcul diferenţial şi integral îşi propune următoarele obiective specifice: Însuşirea noţiunilor fundamentale şi a algoritmilor specifici de rezolvare a problemelor privind şiruri şi serii numerice şi de funcţii, limită, continuitate, calcul diferenţial (una sau mai multe variabile), calcul integral; Formarea şi dezvoltarea bazei matematice a studenţilor pentru disciplinele fundamentale şi de specialitate din anii superiori; Formarea şi dezvoltarea aptitudinilor şi deprinderilor de analiză logică, formulare corectă şi argumentare fundamentată, în rezolvarea problemelor tehnico -economice şi de specialitate; Formarea şi dezvoltarea capacităţilor de abstractizare, generalizare şi sinteză; Identificarea corectă a tuturor dimensiunilor unei probleme matematice precum şi a procedurilor ce pot fi utilizate pentru rezolvarea acesteia; O comparaţie critică a metodelor de rezolvare evidenţiind, eventual, calea optimă de soluţionare.
Vă precizăm de asemenea că, din punct de vedere al verificărilor şi al notării, cu adevărat importantă este capacitatea pe care trebuie să o dobândiţi şi să o probaţi de a rezolva toată tipologia de probleme aplicative aferente materialului teoretic prezentat în continuare. De aceea vă recomandăm să parcurgeţi cu atenţie toate problemele rezolva te şi să rezolvaţi problemele propuse prin testele de autoevaluare si temele de control; fiţi convinşi că examenul final apelează la tipurile de probleme prezente în secţiunile menţionate anterior. SUCCES! Coordonator disciplină: Conf. univ. dr. Valentin Gârban Tutori: Asist. univ. drd. Zanfir Veronica
5
UNITATEA DE ÎNVĂŢARE Nr. 1 – ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE ŞI DE FUNCŢII Obiective urmărite: 1. Însusirea noţiunilor fundamentale din domeniul şirurilor şi seriilor de numere şi de funcţii. 2. Formarea si dezvoltarea bazei matematice a studenţilor pentru disciplinele fundamentale si de specialitate din anii superiori; 3. Formarea deprinderilor de modelare matematică a unor probleme de natură informatică, tehnică sau economică, cu utilizarea cunostinţelor însuşite.
Rezumat: În această unitate de învăţare sunt prezentate, pe parcursul primelor două lecţii, principalele noţiuni cu caracter teoretic referitoare la şirurile şi seriile de numere reale ( , k ) şi de numere complexe ( , k ) şi algoritmii specifici de rezolvare a problemelor care se referă la şiruri şi serii de numere: noţiunile de convergenţă şi limită a unui şir de numere (reale sau complexe) şi de convergenţă şi sumă a unei serii de numere; criterii de convergenţă pentru şiruri şi serii de numere (reale, complexe din k ); algoritmi pentru calculul limitelor de şiruri, în corelaţie cu criteriile de convergenţă studiate; metode de calcul pentru determinarea sumei a numeroase clase de serii numerice convergente. În următoarele două lecţii sunt prezentate principalele noţiuni teoretice referitoare la convergenţa şirurilor şi seriilor de funcţii, a seriilor Taylor şi de puteri, precum şi algoritmii cei mai des întâlniţi pentru rezolvarea problemelor specifice referitoare la tematica acestor lecţii: convergenţa simplă şi uniformă a şirurilor şi seriilor de funcţii, asemănările şi deosebirile dintre aceste noţiuni; transferul proprietăţilor de continuitate, derivabilitate, integrabilitate, existenţă a primitivelor termenilor şirurilor şi seriilor de funcţii uniform convergente asupra funcţiei limită, respectiva sumei seriei; criterii, metode şi algoritmi de rezolvare a problemelor de convergenţă simplă şi uniformă a şirurilor şi seriilor de funcţii şi aplicaţii ale lor; un studiu dezvoltat al seriilor de puteri şi al seriilor Taylor şi Mac-Laurin, cuprinzând rezultatele fundamentale referitoare la raza, intervalul şi multimea lor de convergenţă şi natura convergenţei lor pe mulţimea de convergenţă, proprietăţile sumei unei serii
6
de puteri pe intervalul de convergenţă, (continuitate, derivabilitate, mărginire, integrabilitate Riemann, existenţa primitivelor), aplicarea acestor proprietăţi la calculul sumei unei serii de puteri şi la dezvoltarea a numeroase funcţii uzuale în serie de puteri. Organizarea materialului este următoarea: la începutul fiecărei lecţii sunt prezentate pe scurt principalele rezultate teoretice, formule şi algoritmi de r ezolvare pentru problemele specifice temei studiate; urmează un număr semnificativ de probleme rezolvate, care acoperă întreaga gamă a noţiunilor teoretice şi algoritmilor de rezolvare prezentaţi anterior; în finalul fiecărei lecţii este propus un test de autoevaluare şi la sfârşitul unităţii de învăţare una sau două teme de control, problemele propuse fiind variate şi ordonate după gradul lor de dificultate şi acoperind întreaga tematică studiată în unitatea de învăţare respectivă. Materialul trebuie par curs în ordinea sa firească prezentată în cuprinsul unităţii de învăţare, inclusiv în porţiunea referitoare la aplicaţii. Metoda de studiu va fi cea specifică disciplinelor matematice, cu utilizarea expresă a adnotărilor făcute cu creionul pe tot parcursul textului. Se recomandă întocmirea unui caiet de probleme. Pentru fiecare tip de exerciţiu se recomandă identificarea algoritmului şi descompunerea acestuia în etape succesive. Se recomandă studierea soluţiilor problemelor rezolvate şi rezolvarea completă a problemelor propuse în testele de autoevaluare şi în temele de control propuse.
Cuvinte cheie: Convergenţă şi limită a unui şir de numere (reale sau complexe) sau de funcţii, convergenţă şi sumă a unei serii de numere sau de funcţii , convergenţa simplă şi uniformă a şirurilor şi seriilor de funcţii; serii de puteri, serii Taylor, serii Mac-Laurin, rază, interval şi multime de convergenţă, transferul proprietăţilor termenilor asupra limitei sau sumei.
Timp de studiu: Timpul mediu necesar parcurger ii şi însuşirii noţiunilor teoretice, algoritmilor practici de rezolvare a problemelor, formării deprinderilor practice de rezolvare şi dobândirii competenţelor anunţate este de aproximativ 2-3 ore de studiu pentru fiecare lecţie, într -un ritm constant, pe toată durata semestrului. Se adaugă un timp mediu aproximativ egal pentru rezolvarea Testelor de autoevaluare si a Temelor de control.
7
LECŢIA 1 - ŞIRURI DE NUMERE REALE. PUNCTE LIMITĂ. CONVERGENŢĂ 1. Siruri de numere reale Definiţia 1.1.1. Fie şir ul xn n de numere reale. Un număr real a se numeşte punct limită al şirului considerat, dacă în orice vecinătate a sa se află o infinitate de termeni ai şirului. Notându-se cu L mulţimea punctelor limită pentru şirul xn n , marginea superioară a mulţimii L se va numi limita superioară a şirului, iar marginea inferioară a mulţimii L se va numi limita inferioară a şirului considerat. Se va scrie: sup L limsup xn şi inf L liminf xn . n
n
Exemple
n 1) Şirul cu termenul general xn sin , n , are ca puncte limită pe 4
1,
2 2
, 0,
2 2
, 1. 1
2) Şirul cu termenul general xn , n
*
n limsup xn liminf xn 0 , şirul fiind convergent. n
, va avea L 0 , deci
n
Definiţia 1.1.2. Şirul xn n se numeşte convergent , dacă există un număr x, astfel încât pentru xn
0, n
, astfel încât pentru
n n să se verifice
x . Numărul real x cu pro prietatea de mai sus se numeşte limita şirului xn n şi se va
scrie lim xn x . n
Dacă un şir xn n este convergent, limitele sale superioară şi inferioară sunt egale. Definiţia 1.1.3. Un şir care are limita infinită sau un şir pentru care cele două limite, inferioară şi superioară, sunt diferite se numeşte şir divergent . Teorema lui Weierstrass. Orice şir monoton şi mărginit este convergent.
8
Teorema Cesaro-Stolz . Fie şirul an n oarecare şi bn n monoton crescător de
numere pozitive, cu lim bn n
lim
n
an bn
. Atunci, dacă există
an 1 an
lim
n
bn 1 bn
, va exista şi
şi cele două limite vor avea aceeaşi valoare.
Consecinţa 2. Dacă an n , bn n sunt două şiruri de numere reale cu proprietăţile: n
b
1) lim n
k
, bn
*
,
n
;
k 1
2) lim an a . n
Atunci
a1 b1 ... an bn
lim
Criteriul radicalului Dacă şirul an n lim
n
n
a1 a2 ... an
a.
b1 ... bn
n
este
convergent
şi
are
termenii
lim an .
lg a1 lg a2 ... lg an
n
n
de unde rezultă lg lim
atunci
n
Indicaţie de rezolvare Se aplică teorema Cesaro-Stolz pentru şirurile lg an n şi bn lim
pozitivi,
n
n
lim lg an
n
a1 a2 ... an
n . Atunci
lim lg n a1 a2 ... an
n
lim lg an , n
lg lim a şi de aici cerinţa pro blemei. n
n
Criteriul raportului Dacă şirul an n are termenii pozitivi, atunci lim
n
limită există. Criteriul majorării Dacă an a bn şi lim bn n
0 , atunci
lim an
n
n
an
lim
n
an 1 an
a.
O reciprocă a teoremei Cesaro -Stolz Dacă an n , bn n sunt două şiruri de numere reale cu proprietăţile:
1) bn
*
, bn
2) lim
n
3) lim
bn1, n ;
an bn
;
bn
n bn 1
b
\ 1 .
9
, dacă ultima
Atunci
lim
n
a n 1 a n bn 1 bn
.
Criteriul general de convergenţă al lui Cauchy. Condiţia necesară şi suficientă ca un şir xn n să fie convergent este ca pentru 0 , n , astfel încât pentru
n n şi pentru p
*
să se verifice x n p
k
2. Şiruri în k
Fie
x x1, x2 ,..., xk xi
xn .
i 1, k . ___
,
k
Elementele lui
se
numesc puncte sau vectori . Observaţie. Pe mulţimea k se definesc oper aţiile de adunare şi înmulţire cu numere reale prin 1) x y x1 y1, x2 y2 ,..., xk y k , x , y k
2) x x1, x2 ,..., xk , x
k
, ,
k
,
.
are o structură de spaţiu vectorial peste corpul K . ,
Definiţia 1.3.1. Fie X k . O aplicaţie numeşte produs scalar pe mulţimea X , dacă
: X
X K , K
,
se
1) x, x 0, x X , x , x 0 x 0,0,...,0 k 2) x, y x, y x, y , x, y X , K 3) x1 x2 , y x1, y x2 , y , x1, x2, y X ____
4) x, y y, x , x, y X , unde complex y, x . Pentru K condiţia x, y y, x , x, y X . Observaţie. Pe spaţiul vectorial
4)
din k
, ,
k
x, y
x y . i
i
i 1
10
____
y, x
definiţia
este conjugatul numărului
produsului
scalar
devine
se introduce produsul scalar de forma
Definiţia 1.3.2. Fie X
k
. O aplicaţie
: X
se numeşte normă pe X ,
dacă
1) x 0 x 0,0,...,0 k 2) x x , x X , K 3) x y x y , x, y X . Observaţie. Pe
k
produsului scalar prin x
, ,
2
se introduce norma x, x ,
x
k
2
: X
definită cu ajutorul
.
2 2 2 . x x x ... k 1 2 2 Definiţia 1.3.3. Fie a k şi r . Mulţimea punctelor x k pentru care x a 2 r se numeşte sfera deschisă cu centrul în a şi de rază r . Definiţia 1.3.4. Fie a k şi r . Mulţimea punctelor x k pentru care x a 2 r se numeşte sfera închisă cu centrul în a şi de rază r . Observaţie. În cazul în care a sfera deschisă devine mulţimea punctelor x pentru care x a r x a r , a r . Notaţie. Vom nota cu Br a sfera cu centrul în a şi raza r . Definiţia 1.3.5. Mulţimea A k se numeşte deschisă, dacă pentru a A există o sferă deschisă Br a A .
Rezultă că x
Exemplu
în
__ Intervalele I k x x1, x2 ,..., xk ai xi bi , i 1, k sunt mulţimi deschise k , 2.
Definiţia 1.3.6. Fie a k . O mulţime V k se numeşte vecinătate a punctului a, dacă există o mulţime deschisă inclusă în V şi care-l conţine pe a. Notaţie. Vom nota cu V a mulţimea tuturor vecinătăţilor lui a. Definiţia 1.3.7. Fie A k . Un punct a se numeşte punct de acumulare pentru A, dacă V V a verifică V \ a A . Definiţia 1.3.8. Se numeşte şir în prin f n an , n
, unde an
k
, k
*
, o aplicaţie f :
an1 , an2 ,..., ank
k
.
Notaţie an n . Exemplu
Şirul an n ,
n 1n , n , an sin 2 n 11
*
este din
2
.
k
, definită
k
Definiţia 1.3.9. Şirul an n din încât
0, n pentru care an a0 2 , Observaţie. Pentru an , a0 k avem k
a
a0i
ani
2
ni
a0i
an
n n .
a0 2
a
ni
k
este convergent dacă şi numai dacă
, i 1,2,..., k , sunt convergente în
an n
Definiţia 1.3.10. Şirul
a0i .
i 1
Din aceste inegalităţi rezultă că un şir din
n
, astfel
k
i 1
şirurile componente ani
k
este convergent , dacă există a0
k
din
se numeşte şir Cauchy dacă pentru
0, n , astfel încât pentru n n an p an . 2
şi pentru
Teorema 1.3.11. Condiţia necesară şi suficientă ca un şir
convergent este ca el să fie şir Cauchy în
k
.
p
an n
*
din
să avem k
să fie
.
3. Probleme rezolvate 1.4.1
Să se determine punctele limită pentru următoarele şiruri:
a) u n a d) u n
1n 1
n
cos n n ; b) u n 1 ; c) u n sin ; n n 4 1
1n n n e) un 1 cos n
n n 1
.
Indicaţie de rezolvare 1
1
a
n
a) pentru n număr par, un deci, punctele limită sunt a şi
1
a
1
1
a
n
; pentru n număr impar un a
a;
;
1
b) e şi ; e
c) 1, d) 1, 1;
2 2
, 0,
2 2
, 1; 2k
, deci lim u2k 2 . Pentru n 2k 1 k 2k 1 avem u2 k 1 0 , deci lim u2k 1 0 . Se obţin punctele limită 2 şi 0.
e) pentru n 2k avem u2k 2 k
1.4.2
Să se determine limitele inferioară şi superioară pentru următoarele şiruri
12
a) a n
1 1
n
1n
2 1
b) a n n
n 2n 1
;
sin 2 n ;
1n
n
4
n 1 1 c) a n 1 1n cos n . 2 n 2
Indicaţie de rezolvare a) se determină punctele limită ale şirului; pentru n număr par n 3 n 1 an 1 , iar pentru n număr impar a n ; deci, mulţimea 2n 2 2 2n 1 2 3 1 3 punctelor limită este L , , de unde rezultă că lim sup a n şi 2 2 2 n 1 lim inf a n ; n 2 1 b) lim sup a n 2 şi lim inf a n ; n 2 n 3 e c) limsup an e 1 şi lim inf an . n 2 2 n 1.4.3 Folosind teorema lui Weierstrass să se studieze convergenţa următoarelor şiruri: nn a) a n ; b) an a an 1 , a 0, a0 0 ; 2 n! 1
2 a a n 1 , a 0 0, 0 a 1 ; c) an an 1 , a 0, a0 0 ; d) a n 2 2 2 an 1
a
e) a n1 an 1 a n , 0 a0 g) an
an 1 bn 1
, bn
1 ; f) an 1
an 1 2 bn 1
2 an 1
, 0 a0
, a0
1
b0 .
2 3 Indicaţie de rezolvare a) şirul an n este cu termeni pozitivi, iar raportul
an 1 an
1
n 1
n 1 n
n
n
n
1 1 1 e 1, n n 1 n n 1 1
*
,
de unde rezultă că şirul este monoton descrescător. Cum toţi termenii sunt pozitivi, şirul va fi mărginit inferior de 0, deci este convergent.
13
Pentru calculul limitei, dacă
lim a n , introducând limita în relaţia de recurenţă
n
n
1 a n 1 a n 1 , se va obţine 0 e , de unde 0 ; n 1 n b) şirul an n este un şir de numere pozitive şi monoton crescător, demonstraţie ce se poate realiza prin inducţie matematică după n. Presupunând că ar exista lim a n , 1
n
aceasta va trebui să verifice relaţia de recurenţă, adică 1
1 1 4a
2
a , de unde
2
a 0
1 1 4a
. Cum 2 0 nu convine, termenii şirului 2 2 fiind pozitivi, rezultă ca limită posibilă 1 . Cum şirul este crescător, adică a n 1 a n şi şi se obţin
a1 a
an ,
n
,
, n 2 , rezultă
an 1 an
a1
1,
an
a an
1, de unde
a an
a.
Din relaţia de recurenţă ridicată la pătrat se va obţine a n2 a a n1 , adică a an 1 an a 1, n * , adică şirul este mărginit superior, deci este an an convergent, iar 1 este limita sa; c) convergent; d) convergent; e) convergent; 2 1 2 3 , deci f) cum a0 0 rezultă că an 1, n şi an 1 an 1 şirul este mărginit. Pentru studiul monotoniei, se consideră
1 1 4 2 a a a a an an 2 , a a n 1 n1 n 2 n 1 n n 1 deci an 2 an are acelaşi semn cu an an 2 . Deoarece a2 a0 0 , rezultă că subşirul a2k k este monoton crescător. Similar, deoarece a3 a1 0 , subşirul a2k 1 k este descrescător. an 2 an
1
Cum ambele subşiruri sunt şi mărginite rezultă că există limitele lor, de forma lim a2 k , 2 lim a2k 1 .
k
k
În acelaşi timp a2 k 1 1 relaţii
de
recurenţă,
2 a2 k
obţinem
, a2k 2 2
1
1
2 a2k 1 2 1
14
,
1
. Trecând la limită în cele două
1
2 2
,
echivalent
cu
2 0 . Dacă 1 2 , rezultă că 1 2 2 , adică 1 0 , ceea ce este fals. Rezultă 1 2 , deci şirul este convergent; a b a 2 b0 b0 , a1 b1 . În continuare se g) a1 0 0 a0 , b1 0
2
1 1
2
2 3 demonstrează prin inducţie matematică an
an 1 bn 1 bn , n , deci putem scrie a0 a1 ... an ... bn bn 1 ... b1 b0 . Rezultă că există 1 lim an şi n
2
lim bn şi trecând la limită în relaţiile de recurenţă, obţinem
n
1
2.
1.4.4
Folosind teorema Cesaro-Stolz, să se calculeze următoarele limite: 1 1 1 ... 1 p 2 p ... n p n n; 2 a) lim n ; b) lim c) ; , 1 0 lim p n n n 2 n n p 1 1 1 1 1 1 ... 1 ... 2 n 2 n ; e) lim d) lim ; n n ln n n 1
f) lim
2
... n n
n
1 a b
a ; g) lim n n c d c
b a n b . ... 2 d c n d 2
n n Indicaţie de rezolvare a) Cu notaţiile din teorema Cesaro-Stolz se consideră a n rezultă lim a n 0 ;
n, bn 2 n , de unde
n
b) c)
1
;
p 1 a an lim n 1 n bn 1 bn
lim
n
1 n 1
0; 1
d) lim
n
a n1 a n bn1 bn
n 1 n ln n 1 ln n lim
1;
1
e) lim
n
f) 0; g)
a c
an 1 an bn 1 bn
n 1 n n 1 n lim
.
1.4.5
Să se calculeze limitele următoare: n n! n n a) lim n! ; b) lim ln n ; c) lim ; n n n n
15
lim
n
n 1 n n 1
2;
Indicaţie de rezolvare n 1! ; a) lim n n! lim n n n! ln n 1 1; b) lim n ln n lim n n ln n
c)
1 e
;
1.4.7 Utilizând criteriul general de convergenţă al lui Cauchy, să se demonstreze convergenţa şirurilor: sin a sin a1 sin a 2 2 ... n n ; a) u n 2 2 2
b) un
cos a1
1 2
cos a2 23
...
cos an
n n 1
1
1
1
1
2
3
4
n
...
1
;
c) u n 1 ... 1n1 ; d) u n e) u n f) u n g) u n
1
1 4 1
25 1 1 2
cos x 3
h) u n 1
47 1 36 1 23
1 2
1
2
1
... ...
cos 2 x 3
1 3n 1 1 3n
1 n
1 nn 1
...
2
...
n 1n 4
2
;
;
cos nx 3
;
n
;
.
Indicaţie de rezolvare a) fiind dat 0 arbitrar fixat, se va căuta un rang n
n n
p
, astfel încât pentru
*
să se verifice u n p u n sin an p sin a 1 1 un p un n n11 ... ... n p n 1 n p 2 2 2 2 şi pentru
1 1 1 n 1 1 ... p 1 n 1 2 2 2 2 1
1
2 p 1 2
16
1
1 1 1 2n 2 p 2n 1
ln 1 1 şi cum lim se poate găsi un rang, de exemplu n 1, pentru care 0 n 2 n ln 2 un p
1
un
2
n
*
, n n , p
c) u n p u n
1 n 1
1 n2
, deci şirul este conver gent;
... 1 p 1
1
; dacă p este număr par,
n p
atunci un p
un
1
n 1
1
n2
...
1
n p 1
1
n p
1 1 1 1 1 1 ... n3 n 4 n p 1 n p 1 2 n n
1
n 1 1
n 1
1
n2 1
n p
1
n2 1
n 1
1
n4
1
n 4
...
1
n p 2
1
n p 2
1
n p
.
Dacă p este impar, atunci 1 1 1 1 1 un ... n p n 1 n 2 n 3 n 4
un p
1
n 1 1
n 1
1
n2
n
un d)
unde u n p
1
n2
1
n 4
...
1
n p 2
1
n p1
1
n p1
.
Cum lim un p
1
1
n 1
1 1 1 , pentru care
0 , se poate găsi un rang
, n n , p
n 1 1 1 u n 1 3 4
*
n
, deci şir ul este convergent;
1 1 1 , 4 7 1 3n 1 1 3n 3 1 3n 1 1 1 1 1 1 u n ; 3 1 3n 1 3n 3 p 3 1 3n n 1
1
1
...
e)
17
1
de
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 3 2 5 3 6 4 7 5 8 n n 3 n 1 n 4 1 1 1 1 1 1 1 . 3 2 3 4 n 2 n 3 n 4
un
Rezultă convergent. 1.4.12 bn
u n p
1 1 1 1 1 u n , deci şirul este 3 n 2 n 3 n 4 n
Să se arate că dacă lim a n n
a şi Bn bn1 bn2 ... b2n cu
0 are limita egală cu b, atunci lim a n 1 bn 1
n
a n 2 bn 2 ... a 2n b2n a b .
Indicaţie de rezolvare lim an
n
a 0,
n1
n n1 să rezulte a n a . De asemenea, din lim Bn b rezultă că Bn b ,
,
astfel încât pentru
n
Cum şirurile
an n
n n2 .
şi Bn n sunt convergente, ele sunt mărginite, adică
M 1 0 , astfel încât an M 1 , n n3 şi M 2 0 , astfel încât Bn M 2 , n n4 . Se notează a n a n şi Bn b n şi se consideră n max n1 , n2 , n3 , n4 .
Atunci an 1 bn 1 ... a2 n b2 n a b
n 1 a bn 1 ... 2 n a b2 n a b
n1 bn 1 ... 2n b2n a Bn a b n 1 bn1 ... 2n b2n
a Bn
b M a ,
unde M max M 1 , M 2 . Rezultă lim a n 1 bn 1
n
a n 2 bn 2 ... a 2n b2n a b .
18
4. TEST DE AUTOEVALUARE
1
Folosind criteriul lui Cauchy, să se demonstreze divergenţa şirurilor : 1 1 a) u n 1 ... ; 2 n 1 1 1 ... b) u n sin n ; c) u n . 1 2 n
2
Să se studieze convergenţa şirurilor: 2 a xn , a , a 0 , cu x 0 0 ; a) xn 1 a xn
b) xn 1 xn2 2 xn 2, n 1, x1 1, 2 ; 3
c) xn21 3 xn 2, n 1, x1 ; 2
d) xn 1 3 3
1 xn
, n 0, x0
3.
Să se arate că şirul an n definit prin an
1 2 n 1 1 ... 1 n 1 n 1 n 1
este convergent şi să se calculeze limita sa.
1 4 Să se arate că şirul cu termenul general a n 1 n n n 1 1 şi să se deducă inegalitatea 1 e 1 . n n 1 5
Să se calculeze limitele următoare: 1 a) lim n n 1n 2 ...2n ; n n a 1a 2...a n , a 1 . b) lim n n n!
19
n 1
este convergent
LECŢIA 2 - SERII DE NUMERE REALE ŞI COMPLEXE. CRITERII DE CONVERGENŢĂ. PROPRIETĂŢI 1. Serii de numere reale Definiţia 1.5.1. Fie a n n un şir de numere reale şi s n n un şir definit prin: s1 a1, s2 a1 a2 ,..., sn a1 a2 ... an . Se numeşte serie de numere reale asociată
şirului a n n , simbolul
a
n
, iar sn n se numeşte şirul sumelor sale parţiale.
n 1
Seria
a
n
de numere reale se numeşte convergentă şi are suma s, dacă şi numai
n 1
dacă şirul sumelor parţiale s n n este convergent şi are limita s;
a
n
s
n 1
lim sn . Seria
n
a
n
de numere reale se numeşte divergentă, dacă şirul sumelor parţiale este divergent.
n 1
Criteriul general de convergenţă al lui Cauchy
a
n
este convergentă
0, n , astfel încât
n 1
a n1
... a n p , n n , p
*
.
Pentru p 1 se obţine:
Criteriu necesar de convergenţă. Condiţia necesară, dar nu şi suficientă, ca o serie
a
n
să fie convergentă este ca lim a n n
n 1
0.
Exemplu
Seria
1
n n 1
este divergentă, cu toate că lim
n
20
1 n
0.
2. Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenţă pentru serii cu termeni pozitivi Criteriul I al comparaţiei
Fie
a şi b
n
n
n 1
două serii cu termeni pozitivi, astfel ca an bn ,
n n0 .
n 1
Atunci:
a) dacă seria
b
n
este convergentă, seria
a
n
va fi convergentă
n 1
n 1
b) dacă seria
a
n
este divergentă, seria
n 1
b
n
va fi divergentă.
n 1
Criteriul II al comparaţiei
Fie
a n şi
n 1
an 1
bn două serii cu termeni pozitivi, astfel ca
an
n 1
bn 1 bn
n n0 . Atunci:
a) dacă seria
b
n
este convergentă, seria
a
n
va fi convergentă
n 1
n 1
b) dacă seria
a
n
este divergentă, seria
n 1
b
n
va fi divergentă.
n 1
Criteriul la limită
Fie
n 1
a n şi
bn două serii cu termeni pozitivi, astfel ca lim
n
n 1
an bn
K .
Atunci: a) dacă 0 K , cele două serii au aceeaşi natură
b) dacă K 0 , iar seria
b
n
este convergentă, seria
a
a
va fi convergentă
n 1
n 1
c) dacă K , iar seria
n
n
este divergentă, seria
n 1
b va fi divergentă. n
n 1
21
,
Criteriul rădăcinii (al lui Cauchy)
Fie
a
n
o serie cu termeni pozitivi. Dacă există un număr natural N şi un număr
n 1
q 0,1 , astfel încât pentru
dacă
n
n N să avem
q 1 , seria este convergentă, iar
n
an
n
an
an 1, n N , seria este diver gentă. Corolar
Fie
a
n
o serie cu termeni pozitivi şi lim
n
n 1
. Atunci:
a) dacă 1 , seria este convergentă b) dacă 1 , seria este divergentă c) pentru 1 , criteriul nu se aplică. Criteriul raportului (al lui d Alembert)
Fie
a
n
o serie cu termeni pozitivi. Dacă există un număr natural N şi un număr
n 1
q 0,1 , astfel încât pentru
dacă
an 1
1, an Corolar
n N să avem
an 1
an
n N , seria este divergentă.
Fie
q 1 , seria este convergentă, iar
a n o serie cu termeni pozitivi şi lim
a n1
n
n 1
an
. Atunci:
a) dacă 1 , seria este convergentă b) dacă 1 , seria este divergentă c) pentru 1 , criteriul nu se aplică. Exemple
1) Se consideră seria convergentă şi că limsup
1 2
un 1 un
n
1
1
3
2
2
1 3
2
1, iar liminf n
... un 1 un
1 2
n
1 3
n
... . Să se arate că ea este
1.
Indicaţie de rezolvare
1 1 . n n 3 n1 2
Seria are aceeaşi natură cu seria Cum
1 n
1 n
2 3 convergenţa seriei.
1 n
2
1 n
2
1 n 1
2
,
n
22
, din criteriul I de comparaţie rezultă
1 3n un 1 2 n
n par
pentru
pentru
lim sup
u n1 un
1, 1
2) Să se arate că seria n
un 1
1, iar lim inf n
un
un
n impar
n
lim sup
u n 1
2
un 1 un
2
3 n 1 2 2 n 2 1 3 3
iar lim inf n
1 22
2 2 ...
u n1 un
1 2n
pentru
n par
pentru
n impar
0 1.
2 n ... este divergentă şi
1.
Indicaţie de rezolvare
Seria are aceeaşi natură cu seria 1 2
n
1 2 n , care este divergentă, deoarece n n1 2
2 n 2n , n . 2 n pentru 1 pentru pentru n par u n1 2n1 pentru n par un 1 2 u pentru n impar n n pentru 2 2 n1 pentru pentru n impar 2 Rezultă Rezultă că lim sup
un 1
1 , iar lim inf
un 1
0 1.
n un un Observaţie. Criteriul raportului dă numai condiţii suficiente de convergenţă şi divergenţă, aşa după cum rezultă din exemplele anterioare. n
Criteriul logaritmic
Fie
a
n
o serie cu termeni pozitivi. Dacă există un număr natural N şi un număr
n 1
ln q 1, astfel încât pentru
ln
dacă
n N
să avem
ln n
gentă. 1, n N , seria este diver gentă.
23
an
ln n
1 an
1
q 1 , seria este convergentă, iar
Corolar
ln
Fie
a n o serie cu termeni pozitivi şi lim
1
an
n ln n
n 1
. Atunci:
a) pentru 1 , seria este convergentă b) pentru 1 , seria este divergentă c) pentru 1 , criteriul criteriul nu se aplică. Criteriul lui Kummer
a
Fie
n
o serie cu termeni pozitivi. Dacă există un şir de numere cn n
*
şi
n 1
N număr natural şi un număr 0, an c c este convergentă. n a n 1 0, n N , seria n 1
un
a Dacă cn n cn 1 0, n N , şi seria an 1
1
c
astfel
încât
este divergentă, atunci
n 1 n
seria
a
n
este divergentă.
n 1
Corolar
Fie şirul cn n
*
, astfel încât seria
1
c n 1
este divergentă. divergentă. Atunci seria cu
n
termeni pozitivi
a
n
este:
n 1
a a) convergentă, dacă lim cn n cn1 0 ; n an1 a b) divergentă, dacă lim cn n cn1 0 . n a n1 E xemp xemplu
Se consideră seria
n
n a , a 0 . În acest caz, c n
n 1
n , iar seria
1
c n 1
este
n
, a 1; n 1 a 2an a a lim cn n cn 1 lim , a 1; divergentă; n n an 1 a n 1 2, a 1, de unde rezultă că seria este convergentă pentru a 0,1 . 2
24
Criteriul Raabe-Duhamel
Fie
a
o serie cu termeni pozitivi. Dacă există un număr natural N şi un număr
n
n 1
an 1 1, seria este an 1
1, astfel încât pentru n N să avem
n
an 1 1, n N , seria este divergentă. an 1
convergentă, iar dacă n Corolar
Fie
a n
1 . Atunci: an1
a n o serie cu termeni pozitivi şi lim n n
n 1
a) pentru 1 , seria este convergentă b) pentru 1 , seria este divergentă c) pentru 1 , criteriul nu se aplică. Criteriul de condensare al lui Cauchy
Fie
u
n
o serie cu termeni pozitivi şi descrescători, iar a n n un şir divergent de
n 1
numere naturale, astfel încât şirul cu termenul general
seriile
an
a n1
să fie mărginit. Atunci
u şi a a u n 1
n
n 1
a n 1 a n
n
an
au aceeaşi natură.
n 1
Observaţie. Şirul a n n se alege cel mai frecvent ca fiind an satisface condiţiile criteriului de condensare.
25
2n , n , care
3. Serii cu termeni oarecare. Serii absolut convergente, serii alternate, serii semiconvergente
u
Definiţia 1.7.1. O serie cu termenii oarecare
n
se numeşte absolut convergentă,
n 1
dacă seria modulelor
u
este convergentă.
n
n 1
Definiţia 1.7.2. Dacă seria
u
n
este convergentă, dar seria modulelor
n 1
u
n
este
n 1
divergentă, seria se numeşte semiconvergentă. Teorema 1.7.3. O serie cu termeni oarecare absolut convergentă este convergentă.
Observaţie. Reciproca teoremei nu este adevărată, deoarece există serii convergente, dar care nu sunt absolut convergente.
Exemplu:
Seria lui Riemann
1n
n 1
iar pentru
1 n
, pentru
1 este absolut convergentă,
1 este semiconvergentă.
Observaţie. Seriile cu termeni pozitivi sunt absolut convergente. Criteriile de convergenţă stabilite la seriile cu termeni pozitivi sunt valabile şi pentru seriile absolut convergente. Teorema 1.7.4. Dacă într -o serie absolut convergentă se schimbă ordinea termenilor în mod arbitrar, obţinem o nouă serie absolut convergentă cu aceeaşi sumă.
Observaţie. Teorema este valabilă şi pentru seriile cu termeni pozitivi care sunt absolut convergente. Teorema lui Riemann. Într-o serie de numere reale, semiconvergentă, se poate schimba ordinea factorilor, astfel încât seria obţinută să aibă ca sumă un număr dat. Exemplu
Fie seria semiconvergentă S 1
1 2
1
1
1
3
4
2n 1
...
1 2n 2
... .
Se pot schimba termenii în ordinea 1
1 2
1
1
1
1
1
4
3
6
8
2n 1
...
iar noua serie are suma
1 2
S . 26
1 22n 1
1 22n 2
... ,
4. Criterii de convergenţă pentru serii cu termeni oarecare Criteriul lui Dirichlet
Dacă seria
a
n
se poate scrie sub forma
n 1
u
n
vn , unde şirul u n n este
n 1
monoton şi mărginit, iar seria
v
n
a
este convergentă, atunci seria
n
este convergentă.
n 1
n 1
Criteriul lui Abel
Dacă seria
a
n
u
se poate scrie sub forma
n 1
n
v n , unde u n n este un şir de
n 1
numere pozitive descrescător şi convergent la zero, iar seria
v
n
are şirul sumelor parţiale
n 1
mărginit, atunci seria
a
n
este convergentă.
n 1
Exemplu
Să se arate că seria x 2k , k
1 1 ... 1 sin nx este convergentă pentru 2 n n n 1
.
Indicaţie de rezolvare 1
Şirul cu termenul general u n
1 2
... n
1 n este monoton descrescător şi
convergent la zero (utilizând teorema Cesaro-Stolz), iar seria
sin nx are şirul sumelor n 1
n
parţiale
măr ginit,
deoarece
sin kx k 1
n
k 1
sin kx
1 sin
x
, x 2 k , k .
2
27
cos
1 cos n x 2 2 ,
x
2 sin
x
2
de
unde
Definiţia 1.7.5. Se numeşte serie alternată o serie de forma
1n u n ,
unde
n 1
uk 0,
*
k
.
Criteriul lui Leibniz
1
Dacă într -o serie alternată
n
u n şirul u n n este monoton descrescător şi
n 1
are limita zero, atunci seria este convergentă.
5. Operaţii cu serii numerice
Fie
a
b
şi
n
n 1
a
două serii. Atunci seriile
n
n
bn ,
n 1
n 1
a
n
bn şi
n 1
c
n
, unde cn
a1 bn a2 bn1 ... an b1 se numesc, respectiv, suma, diferenţa şi
n 1
produsul seri ilor
a şi b . n
n
n 1
n 1
Dacă seriile
a
n
şi
n 1
b
n
sunt convergente şi au sumele A şi B, atunci seria
n 1
a
n
bn este convergentă şi are suma A B .
n 1
Teorema lui Abel
Dacă seriile
a , b n
n 1
n
şi seria produs
n 1
sunt, respectiv, sumele lor, atunci A B C .
c
n
sunt convergente şi dacă A, B, C
n 1
Teorema lui Mertens
Dacă seriile
a , b sunt convergente şi cel puţin una dintre ele este absolut n
n 1
n
n 1
convergentă, atunci seria produs
c
n
este convergentă şi A B C .
n 1
28
Teorema lui Cauchy
Dacă seriile
a , b sunt absolut convergente, atunci seria produs c n
n
n 1
n
n 1
n 1
este absolut convergentă. k
6. Serii în
. Serii de numere complexe k
Fie şirul an n de elemente din
şi
s1 a1 s2
a1 a2
...
sn
a1 a2 ... an
...
Şirul sn n se numeşte şirul sumelor parţial e pentru seria
a . n
n 1
Definiţia 1.9.1. Seria
a este convergentă, dacă şirul sumelor parţiale este n
n 1
convergent. Suma seriei este limita şirului sumelor parţiale. Criteriul general al lui Cauchy
Seria
a de elemente din
k
este convergentă dacă şi numai dacă pentru
n
n 1
n p
a
0 , n , astfel încât
, n n şi p
k
k n 1
*
.
2
Consecinţă. Dacă seria
a de elemente din n
k
este convergentă, atunci
n 1
lim an
n
2
0 , iar aceasta reprezintă o condiţie necesară, dar nu suficientă de convergenţă a
unei serii. Definiţia 1.9.2. Se numeşte şirul sumelor parţiale pentru seria de numere complexe
z , şirul s n
n n
, definit prin
n 1
s1 z1;
s2
z1 z 2
...........
sn
z1 z2 ... z n
...........
29
Definiţia 1.9.3. Seria
z de numere complexe este convergentă, dacă şirul n
n 1
sumelor parţiale este convergent.
Teorema 1.9.4. Seria de numere complexe
z , unde z n
n
an i bn ,
pentru
n 1
n , este convergentă dacă şi numai dacă seriile de numere reale
a şi b n
n 1
sunt convergente. Dacă
z
n
n
n 1
este convergentă şi are suma s a i b , atunci a
n 1
a
n
n 1
şi b
b . n
n 1
Criteriul lui Cauchy
Seria de numere complexe
z
este convergentă dacă şi numai dacă
n
n 1
0, n , p * .
astfel încât
zn 1 z n 2 ... z n p
, n n şi
Definiţia 1.9.5. Fie
z o serie de numere complexe. Dacă seria de numere reale n
n 1
z
n
este convergentă, spunem că seria
n 1
z este absolut convergentă. n
n 1
Teorema 1.9.6. O serie de numere complexe absolut convergentă este convergentă.
Definiţia 1.9.7. Seriile de numere complexe convergente, pentru care seria modulelor nu este convergentă se numesc serii de numere complexe semiconvergente.
Teorema 1.9.8. Seria de numere complexe
z , unde z n
n
an i bn este absolut
n 1
convergentă dacă şi numai dacă seriile de numere reale
a n 1
convergente.
30
n
şi
b sunt absolut n
n 1
7. Probleme rezolvate 1.10.1
Să se arate că următoarele serii sunt convergente şi să se determine sumele
lor:
a)
1 3
1
1
9
n
... 1n 1
3
... ; b)
c)
n a 1 2 n a
1 a
2
a
2
...
n a
n
..., a 1 ;
n a 1 , a 0 ;
n 1
d)
1
a n a n 1
, a
; e)
\
n 1
f)
2n 1 2n 1
4n
n 1
2
1
n 2
ln 1
; n2 1
.
Indicaţie de rezolvare a) Şirul sumelor parţiale are termenul general n
1 1 1 1 1 1 3 lim s 1 , n 1 s n ... 1 n 1 n 3 9 4 3n 3 1 3
deci seria este convergentă şi are suma s
b) s n
1
2
a
2
a
...
n a
n
1 4
;
. Pentru calculul limitei şirului sumelor parţiale se n
2
x x consideră funcţia f x ... , x . Atunci s n f 1. a a a x
În acelaşi timp, n
x 1 x x n 1 a n x 1 n n 1a a n 1 a f x n s n . 2 n x a x a a 1 a a 1 a
Deoarece a suma s
a 2
1 , rezultă
lim s n
n
a
1 a
;
1 a c) s a
a 1;
31
2
şi astfel seria este convergentă şi are
1
d) a n
an
1
a n 1
s n
seria este convergentă şi are suma s
1
a 1
1
a 1
1
a n 1
lim s n
n
1
a 1
, deci
;
1 e) s ln ; 2 f) s 1 .
1.10.2
Să se însumeze seriile următoare date prin termenii generali: 1 a) u n n n 1; b) un , k ; n n 1 ... n k 4n
c) u n
e) u n
arctg
n
g) u n
4
2
2n 9 1 2
; d) u n
n!
; f) u n
x 1 x 2 ... x n arctg
n n 1 lnn 1 ln n , n 1 ; h) u n ln n lnn 1
2 n
2
;
;
n 2 n 1
2
.
n!
Indicaţie de rezolvare a) sn n 0 , deci pentru lim n n
s 0 ;
1 1 1 1 s b) u n ; k nn 1...n k 1 n 1...n k k k ! 2 2 c) n 4 2n2 9 n 1 2 n 1 2 ;
rezultă un
an b
cn d
1
1
5
s ;
2 2 2 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2
d) s
1 x 1
; 1
e) arctg
1
n2 n 1
arctg
n n 1 1 1 n n 1
1
1
n
n 1
arctg arctg sn
6
arctg1 arctg
1
n 1
1
1
arctg n n 1 1 1 1 n n 1
s 32
lim sn
n
arctg1
4
;
f) u n arctg 1
g) u n
ln n
n
2
2
arctg
1 1 1
lnn 1
s n
1
n 1 1 ln 2
arctg
1
n 1
1
lnn 1
s
s
lim s n
n
lim s n
n
; 4
1 ln 2
;
h) s lim sn 27 e . n
1.10.3
Folosind criteriul lui Cauchy, să se demonstreze convergenţa seriei
1
n , 2 . n 1
Indicaţie de rezolvare an 1 ... an p
1
n 1
...
1
...
n n 1
1
n p
1
n 1
1
n p 1 n p
2
...
1 2
n p
1
1
n
n p
1 n
,
deci seria este convergentă.
1.10.4
Utilizând criterii de comparaţie, să se stabilească natura următoarelor serii:
a)
n
2
3n 5
n 1
1
e)
1 2
... n
n 1
g)
a n 1
n
n
n 1
2n sin
; b)
n!
n
n
n 1
1
n ; f)
; c)
n n 1
1 n
n
; d)
1
n
n 1
, a 1 ; h)
n 1
a n
3
n 1
n 1 a ... a , a 0 ;
1
i)
7n
n 2 ln1
, 0 a 3 .
33
1
; n 2
n 1 n n
;
Indicaţie de rezolvare
a) se consideră u n
7n n
2
3n 5
1
şi v n
; cum lim
3
n
n2
un vn
7 0, ,
v
rezultă că cele două serii au aceeaşi natură şi cum seria
este convergentă, şi seria
n
n 1
u
este convergentă;
n
n 1
1 2
n
1 2
1
n n
n
n n
2
b) u n ... 2
n
iar seria
v
vn ,
u
este convergentă, deci şi seria
n
n
este convergentă;
n 1
n 1
c) divergentă; d) convergentă; 1
e) u n
1 2
...
1 n
n
1
v n şi cum seria n
v
n
este divergentă rezultă că şi
n 1
seria
u
n
este divergentă;
n 1
1
n
f) pentru a 1, seria devine
care
2
este
convergentă;
pentru
n 1
a 1 un
1 n
vn şi cum seria
a convergentă; pentru
v
n
este convergentă rezultă că şi seria
1
n 1
1 a 1 a
n
v
1 a
n1 a
este
n 1
1 a
n
vn
şi cum seria
n
n 1
n 1
a 0,1 u n
u
n
este divergentă, rezultă că şi seria
n 1
n 1
seria este divergentă, ea fiind
u
1
n ; n 1
34
n
este divergentă; pentru a 0 ,
g) u n
1 a
n
n
n
1 v n pentru a 1 seria este convergentă; a
1 an
pentru a 1,1 se compară cu seria
1
n
; cum lim
n
n 1
n a
n
n
1 0, rezultă că
seria va fi divergentă; pentru a 1 , seria este divergentă, ea fiind
1
n 1 ; n 1
h) divergentă; i) convergentă. 1.10.5
Să se stabilească natura următoarelor serii de numere pozitive
1
ln n
a)
n
; b)
n 2
n2
n 1 an , a 0 ; n n 1
an
n
1 1 , a 0 ; a a c) d) ; , 0 n n n n 1 n 1
e)
n
n 1 n a n
n
n n n ; 1
, a 0 ; f)
n 1
n 1
tg
g)
n
n 1
i)
an
n
p
a , a 0, ; h) 2 n
, a 0, p
n
an b , a, b, c, d cn d n 1
;
n 1
j) a
2 e 2 e ... 2 e a , a 0 ; 3
n
n
n2
n!2 ; l) 2n! n1
k)
m)
an
n!
n
1 a n , a 0; n 1!
n 1
, a 0 ; n)
n 1
p)
n n 1
n 1
an n!
, a 0 o)
1 ln an 1 ln n n
, a 0 ; r)
nln x , x 0 ;
n 1
n t) ; u) n! e n1 1
3
1
ln n
ln ln n
2n! 2 n n 1 4 n!
. s)
n 1
n 1
a a 1 ... a n 1 n!
35
1
n
, a 0,
;
\ a ;
a a r ... a nr r v) , a, b b r ... b nr r n 1 a 1 3 ... 2n 1 w) , a . 2 4 ... 2n n 1
b, r 0,
;
Indicaţie de rezolvare a) convergentă;
b) lim n un a e , de unde rezultă că pentru a n
pentru a
1 e
seria este divergentă; pentru a
1 e
1 e
seria este convergentă, iar n2
, un
1 1 1 n ; n e
c) convergentă; n
n
un
lim a 1
1
a , de unde rezultă că pentru a 1 seria este n convergentă, pentru a 1 seria este divergentă, iar pentru a 1 se obţine seria d) lim
n
n
1 1 care este divergentă; n n 1 a 1 e) lim n u n , de unde rezultă că pentru a 1 seria este convergentă,
n
2 pentru a 1 seria este divergentă, iar pentru a 1 , u n f) convergentă;
1 , deci seria este divergentă;
g) lim n un lim tg a tg a , deci pentru a 0, seria este n n n 4 convergentă, pentru a , seria este divergentă, iar pentru a , 4 4 2 2 lim u n e a 0 , deci seria este divergentă; n
h) pentru a c seria este convergentă, pentru a c este divergentă; i) lim
n
u n 1 un
a , deci pentru a 1 seria este convergentă, pentru a 1 seria este
divergentă, iar pentru a 1 se obţine seria armonică generalizată convergentă pentru p 1 şi divergentă pentru p 1 ;
36
1
n n 1
p
, care este
j) lim
u n 1
n
un
a , deci pentru a 1 seria este convergentă, pentru a 1 seria este
divergentă, iar pentru a 1 avem
un
1
1 2 e n1 ; deoarece e 1 n
n 1
, rezultă că
1
1
e n 1
u n 1
1
1
u n 1
n
un
1 1 n
şi din criteriul III de comparaţie, seria este
1
n
n 1
divergentă;
k) convergentă; l) convergentă; m) convergentă; n) convergentă; ln
o) lim
n
pentru x
1 e
1
an
ln n
ln x , de unde rezultă că pentru x
1 e
seria este convergentă, iar
1
seria este divergentă; pentru x , se obţine seria armonică divergentă; e
p) pentru a e seria este convergentă, iar pentru a e seria este divergentă; ln
r) divergentă, deoarece lim
n
1
an
ln n
0;
s) divergentă; n
1 n e 1 u 1 n t) n n 1 1 ; 1 un 1 n n 1
se consideră funcţia f : 0, R , definită prin f x limita acesteia în punctul x 0 , se va obţine: lim f x
x0
e 2
e 1 x x x
şi se determină
u n
1 1 1 1 lim f 1, u n1 e n n 2
lim n
n
deci seria este divergentă; u) pentru a seria este divergentă, pentru a seria este convergentă; v) pentru r b a seria este convergentă, pentru r b a seria este divergentă; w) pentru a 2 seria este divergentă, pentru a 2 seria este convergentă.
37
1 3 ... 2n 1
Pentru a 2 , se utilizează inegalitatea
2 4 ... 2n
1 2 n
, de unde rezultă că
2
1 1 3 ... 2n 1 2 4 ... 2n 4n , deci seria este divergentă.
1.10.6
Să se studieze natura seriei armonice generalizate:
1
n ,
.
n 1
Indicaţie de rezolvare 1 lim 0 , deci seria este divergentă. n n Pentru 0 an n 0 este şir descrescător, deci seria armonică
Pentru
0
generalizată are aceeaşi natură cu seria
k
2 k 2
21
2 1
k
, care este seria
k 1
k 1
geometrică cu raţia 21 . Deci, pentru 21
1 1 seria este divergentă, iar pentru
1 1 seria este convergentă. 1.10.7
Să se stabilească natura seriilor alternate:
a)
1
n 1
n 1n1
n
n 1
b)
1
n 1
n 2
;
10n 1 a 10 n 2 a ... 10 a a 10
n 1
c)
1n1
2n 1
1
1
3
n 1
d)
2
1
2
n
1
n
, a 0
;
...
1 n
1
1
n
1
...
Indicaţie de rezolvare
a) şirul cu termenul general u n un 1 un
n 2 2n 2 n 2 n 1
n 1n 1 n
n 2
n 2
1
este un şir descrescător, deoarece 1
1 , lim un lim 1 n n n n
lui Leibniz, seria este convergentă;
38
n 1
0 , deci conform criteriului
b) lim u n a
10 n
1 a 0 , deci seria este divergentă; n
9 10
n
c) convergentă;
9
2
d) u n 1n 1 , şir descrescător şi convergent la zero, deci seria este n
convergentă.
1.10.8 Să se studieze convergenţa absolută şi semiconvergenţa seriilor cu termenii oarecare:
a)
sin nx
n
3
n 1
d)
e)
, x
; b)
2
sin n ; c)
n 1
n 1
n 1
1
n a
,
an
n 1
\
;
n
n 1
, a an
1 a , a 1; f) 1 a n
cos nx
2n
, a
2
, x
;
;
n 1
an
nn 3 unde a este un şir mărginit 2 sin x , x h) 1 i) 1 n 1 g)
n n
n 1
n
n 1
2n
n 1
j)
n 1
n 1
n 1
a a 1 ... a n 1 n!
, a
\
1
n n 1
.
Indicaţie de rezolvare 1 a) u n n şi utilizând criteriul I de comparaţie, seria este absolut convergentă; 3 b) divergentă; c) absolut convergentă; d) pentru 1 seria este absolut convergentă, pentru 0 seria este divergentă, deoarece nu se verifică condiţia necesară de convergenţă a unei serii, iar pentru 0,1 , seria este semiconvergentă, utilizând criteriul lui Leibniz; e) pentru a 1 seria este absolut convergentă, iar pentru a 1 seria este divergentă, deoarece lim u n 0 ; n
f) pentru a 1 seria este divergentă, deoarece lim u n 0 , iar pentru n
a
\ 1,1 seria este absolut convergentă;
39
g) seria este absolut convergentă, deoarece u n
an
M
;
n n 3 n se utilizează criteriul raportului pentru seria modulelor şi obţinem că pentru
h)
2
, k , k , seria este convergentă şi pentru 4 4 3 x k , k , k x k , este divergentă; pentru se obţine seria 4 4 4 x k
convergentă
1
n 1
n 1
1 n 1
;
i) semiconvergentă; j) pentru seria modulelor se aplică Raabe-Duhamel şi obţinem că pentru a 0 seria este absolut convergentă, iar pentru a 0 seria modulelor este divergentă. Pentru a 0 avem not a a 1 ... a n 1 n a 1 a ... n a 1 1 1n bn , n!
n!
unde bn bn 1
0,
na
n
. Am obţinut seria alternată
n 1 bn ,
pentru care
n 1
1, pentru a 1 ; deci, în acest caz şirul bn n este crescător şi limita este
bn n 1 nenulă, deci seria este divergentă. Pentru a 1, 0 şirul bn n este descrescător şi se demonstrează că are limita
zero. Pentru aceasta, fie bn
u1 u2 ... un
, bn 1
u1 u2 ... un 1
. n 1 Rezultă că un n bn n 1 bn 1 şi înlocuind pe bn şi pe bn 1 vom obţine un a bn 1, n . Cum şirul bn n este descrescător şi mărginit inferior, el n
este convergent, deci şirul un n este convergent. Fie
lim bn ,
n
1
lim un şi trecând la limită în cele două relaţii de recurenţă
n
obţinute anterior, rezultă că
0 . Utilizând criteriul Leibniz, seria
n 1 bn este
n 1
convergentă.
1.10.9 Să se arate că: a) suma dintre o serie convergentă şi una divergentă este o serie divergentă; b) există serii divergente a căror sumă este o serie convergentă.
40
Indicaţie de rezolvare
a
a) fie
n
o serie convergentă şi
n 1
b
n
o serie divergentă; dacă seria
n 1
a
n
bn ar fi convergentă, atunci diferenţa dintre aceasta şi seria
a
n
ar fi o serie
n 1
n 1
b
convergentă, dar diferenţa este seria
n
, care este o serie divergentă; rezultă că seria
n 1
a
n
bn este divergentă;
n 1
b) seriile
1
n
,
n 1
1
n 1
sunt divergente, dar suma lor este seria cu suma
n 1
egală cu zero, deci este o serie convergentă.
1.10.10
Să se efectueze produsul seriilor absolut convergente
1
n!
şi
n 0
n 0
n
1
1
şi să se deducă de aici suma seriei
n!
1n
n 0
1 n!
.
Indicaţie de rezolvare
Seria valorilor absolute este
1
n! pentru ambele serii. Pentru aceasta, şirul sumelor n 0
parţiale este 1
1 1!
1 2!
...
1 n!
convergent către e, de unde rezultă că ambele serii sunt
absolut convergente. Din Teorema lui Cauchy seria produs suma ei verifică C A B . 1 n Dar cn 1 1 n!
Deci,
1n
n 0
1.10.11
1 n!
c
n
este absolut convergentă şi
n 0
0 C 0 . Cum A e B 0 .
=0.
Se dau şirurile an n , bn n definite prin formulele de recurenţă:
an 1
an
bn 2
, bn 1
2 an bn an
bn 41
, n , a0
a b b0 0 .
a) Să se demonstreze că cele două şiruri sunt convergente şi că au aceeaşi limită .
b) Să se studieze natura seriei
bn .
n 0
bn n 2
Indicaţie de rezolvare a) se demonstrează că şirul an n este monoton descrescător de termeni pozitivi, iar este monoton crescător, prin inducţie matematică; notând 1 lim a n şi n
lim bn şi trecând la limită în relaţiile de recurenţă, rezultă că
n
1
2 ;
b) seria numerică
bn este cu termenii pozitivi şi aplicându-se criteriul
n 0
raportului, rezultă că este convergentă.
1.10.12
a)
Să se studieze natura seriilor complexe cos n i sin n
n2
n 1
b)
,
0 , 2
cos np i sin np
n
n 1
,
2k , k p
0,1,..., p 1.
Indicaţie de rezolvare
a) seriile de numere reale
cos n
n unde rezultă şi convergenţa seriei complexe;
2
şi
n 1
b) pentru seria
n 1
1 n n
cos np
n
n 1
sin n n
2
sunt absolut convergente, de
se aplică criteriul Dirichlet, considerându-se şirul
descrescător la zero şi seria *
n 1
Rezultă seria
cos np având şirul sumelor parţiale mărginit.
n 1
cos np
n
convergentă. Similar se arată convergenţa seriei
n 1
deci seria de numere complexe va fi convergentă.
42
sin np
n
,
8. TEST DE AUTOEVALUARE
1
Să se stabilească natura seriilor cu termenii oarecare:
a)
sin n cos n 2
n
n 1
b)
sin nx
n
n 1
, x
;
;
1 1 ... 1 sin nx ; 2 n n n 1 3n n ln 2 e d) ; 1 2n ln 3 e n 1 c)
e)
n
1
n 2
f)
n
ln n
ln n ln1
n 1
g)
n
1 n 1
n 1
n
1
,
;
1 ln1 2 ; n n 1
.
n
2
Să se demonstreze că seria
x n
n! este absolut convergentă, pentru orice n 0
s x real. Dacă este suma s x y s x s y , x, y .
x
43
seriei,
să
se
stabilească
relaţia
9. TEMĂ DE CONTROL
1
Să se arate că şirul cu termenul general a n
1
1
2
n
1 ... ln n este
convergent.
2
Să se studieze convergenţa şirurilor definite prin: x a) xn 0, xn 1 n , n 0, x0 1 ; 1 xn
b) xn xn 1 0, n , xn21 xn2 , n ; c) 0 xn 2, 2 xn xn 1 1, n . 3 Să se arate că şirul definit prin termenul 1 1 1 an ... este convergent şi să i se calculeze limita. n 1 n 2 nn
... sin . n 1 2n
n
4
Să se calculeze lim sin
5
Să se calculeze limitele şirurilor următoare din
a)
n
ln n ,
n 1! n! n
n 1
general
2
n
n 1 n k 1 k cos b) sin , . n n n n k 1 k 1 n
6 xn
Să se demonstreze convergenţa şirului cu termenul general:
1
1 2
1 3
1 n
2
n 1, n 1
şi să se arate că limita sa aparţine
intervalului 2, 1 .
7
Ştiind că
1
n n 1
2
2 6
, să se calculeze
n n 1
44
1 2
n 1
2
.
p
1 3 ... 2n 1 1 8 Să se studieze convergenţa seriei , ştiind 2 4 ... 2n q n n 1 1 1 3 ... 2n 1 1 că . 2 4 ... 2n 2 n 2n 1
a1 Fie şirul definit prin . an an 1 , 0, n 2
9
a) Să se demonstreze că şirul an n este convergent şi să se calculeze
lim a n .
n
b) Să se studieze natura seriei
an .
n 1
10 xn 1
2 a xn a xn
a) Să se studieze convergenţa şirului x n n cu x 0 0 şi definit prin , a , a 0.
b) Să se studieze convergenţa seriei
x
n
a.
n 1
11
1 n 1 Să se studieze natura seriei 1 , din n n n 1
12
Să se calculeze sumele următoarelor serii de numere complexe
2n 3 1 a) i 1 2 1 n n n n n n 1
3n 1 n 2n b) n i . n 2 ! 3 n 1
45
2
.
LECŢIA 3 - ŞIRURI DE FUNCŢII. SERII DE FUNCŢII 1. Şiruri de funcţii Fie familia de funcţii f I definite pe aceeaşi mulţime X şi cu valori reale. Dacă mulţimea indicilor I este mulţimea numerelor naturale, atunci avem un şir de funcţii. Notaţie: f n n . Un şir de funcţii este echivalent cu o familie de şiruri de numere.
Definiţia 2.1.1. Un punct a X este punc t de convergenţă al şirului de funcţii dacă şirul numeric f n a n este convergent.
f n n
Mulţimea punctelor de convergenţă ale şirului de funcţii f n n se numeşte mulţimea
de convergenţă a şirului f n n . Exemple
1) Şirul de funcţii f n x x n , n , are mulţimea de convergenţă intervalul
1,1 . 2) Şirul de funcţii f n x
x n
, n 2
*
, are mulţimea de convergenţă
.
Definiţia 2.1.2. Fie f n n un şir de funcţii definite pe mulţimea X şi având mulţimea
x A , atunci s-a stabilit o corespondenţă x f x a mulţimii A în mulţimea numerelor reale. Funcţia f x definită prin f x lim f n x , x A , se numeşte funcţia limită pe mulţimea A a şirului de convergenţă A. Dacă f x este limita şirului numeric f n x , n
n
de funcţii considerat. Exemple
1) Şirul de funcţii f n x real lim f n x 0 n
x n n!
are mulţimea de convergenţă
şi pentru orice x
f x 0, x . nx 1
2) Şirul de funcţii f n x a n 2 , n , a 0 , este convergent pentru orice x x real şi are funcţia limită f x lim f n x a , x . n
Definiţia 2.1.3. Se spune că şirul de funcţii f n n este simplu convergent pe X către
x X şi pentru 0 f n x f x , n n , x .
funcţia f , dacă pentru
Exemplu
46
există un număr n, x , astfel încât
Şirul de funcţii f n x f x 0 ,
Rezultă n
2
x 4 n
2
definit pe
este convergent pe
x . Se caută un număr n, x , astfel încât
x 4
n, x
x2
x 4 n
2
către funcţia
, n n , x .
.
Definiţia 2.1.4. Se spune că şirul de funcţii f n n este uniform convergent pe X către
0 n n şi x X .
funcţia f , dacă pentru
există un număr n , astfel încât f n x f x
,
Observaţie. Un şir de funcţii uniform convergent este şi simplu convergent. Reciproca nu este adevărată.
Propoziţia 2.1.5. Dacă şirul de funcţii f n n , definit pe mulţimea X , satisface condiţiile f n x
an , x X , n , unde an n este un şir de numere pozitive cu
limita zero, atunci şirul f n n converge uniform către funcţia constantă zero.
Corolar Dacă pentru un şir de funcţii f : X R şi un şir de numere reale
f n x f x funcţia f .
f n n definite pe o mulţime X , există o funcţie an n , an 0 , pentru care lim a n 0 , astfel încât n
an , x X , atunci şirul de funcţii f n n converge uniform către
Criteriul lui Cauchy Şirul f n n de funcţii f n : X f : X
dacă şi numai dacă:
converge uniform pe X către funcţia
0 , n pentru care
f n x f m x
, n, m n şi x I .
Teorema 2.1.6. Fie f n n un şir de funcţii uniform convergent pe X către funcţia f .
Dacă toate funcţiile f n sunt continue în punctul a X , atunci şi funcţia limită va fi continuă în punctul a. Observaţii: 1) În cazul în care a X X , teorema 2.1.6 este valabilă sub forma mai generală: dacă şirul de funcţii f n n este uniform convergent pe X \ a, unde a X X şi dacă toate funcţiile f n sunt continue în punctul a , atunci şirul de funcţii f n n este uniform convergent pe X şi limita sa este continuă în a. 2) Teorema 2.1.6 rămâne valabilă dacă funcţiile f n sunt continue la stânga (la dreapta) în punctul a şi atunci funcţia f va fi continuă la stânga (la dreapta) în punctul a.
47
3) Condiţia ca şirul de funcţii f n n să fie uniform convergent pe mulţimea X este
numai suficientă, nu şi necesară, pentru ca funcţia f să fie continuă într -un punct a. Exemplu
Fie şirul de funcţii f n n definite prin f n x x n , x 0,1 . Pentru acesta, lim x n
n
0 f x , x 0,1 . Funcţia
f şi
funcţiile f n sunt continue, dar şirul de
funcţii considerat nu este uniform convergent. Corolar Un şir f n n de funcţii continue pe X , uniform convergent pe X , are limita o funcţie continuă pe X . Teorema Dini. Dacă şirul de funcţii f n n , f n : I , este simplu convergent către funcţia f : I , unde I este un interval compact şi dacă f n n este monoton în
fiecare punct al lui I , iar funcţiile f n şi f sunt continue pe I , atunci convergenţa şirului este uniformă. Teorema 2.1.7. Fie I un interval mărginit şi f n n un şir de funcţii derivabile, definite
pe I . Dacă f n n converge uniform către f şi şirul derivatelor f n n converge uniform pe I către o funcţie g , atunci funcţia f este derivabilă pe I şi f x g x ,
x I .
Observaţie Reciproca acestei teoreme nu este adevărată. Un şir de funcţii f n n poate fi uniform
convergent către funcţia f , cu f n derivabile şi f derivabilă, fără ca şirul derivatelor f n n să fie uniform convergent. Exemplu sin nx , x 0,2 este uniform convergent pe 0,2 către funcţia Şirul f n x n f x 0 , termenii şirului şi funcţia limită sunt derivabili pe 0,2 , dar şirul derivatelor f n x cos nx nu este convergent pe 0,2 . Teorema 2.1.8. Dacă f n n este un şir de funcţii continue, uniform convergent pe un
interval a, b către funcţia f , atunci:
b
lim
n
b
f x dx f x dx . n
a
a
Exemplu
Şirul de funcţii f n x către funcţia f x 0 .
cos nx n
definit pe 0, este uniform convergent pe 0,
48
Avem
1 n
/ 2
cos nx dx
0
1 n
2 sin nx 2 0
1
n
n
2
sin 2
0 , când n .
2. Serii de funcţii Definiţia 2.2.1. Seria f1 f 2 ... f n ... , unde f1, f 2 ,..., f n ,... este un şir de funcţii definite pe aceeaşi mulţime X , se numeşte serie de funcţii .
Notaţie:
f . n
n 1
Pentru orice x 0 X avem seria numerică
f x , n
0
serie care poate fi
n 1
convergentă sau divergentă.
Definiţia 2.2.2. Mulţimea punctelor x X pentru care seria
f este n
n 1
convergentă se numeşte mulţimea de convergentă a seriei
f . n
n 1
Exemplu
Cu şirul de funcţii f n x
x n n!
, x , n 0,1,2,... se formează seria de funcţii
x n
n! , care are mulţimea de convergenţă , . n 0
Definiţia 2.2.3. Seria de funcţii
f este simplu convergentă pe n
X către o funcţie
n 1
dacă şirul sumelor parţiale s n n , sn către f , pentru orice x.
f ,
f 1 f 2 ... f n este simplu convergent pe X
Funcţia f definită pe X se numeşte suma seriei
f . n
n 1
Definiţia 2.2.4. Seria de funcţii
f este simplu convergentă pe n
X către
o funcţie
n 1
0 şi pentru x X există un număr n, x , astfel încât pentru orice n n, x să avem f 1 x f 2 x ... f n x f x .
f , dacă pentru
Exemplu
49
sin nx
, x , este simplu convergentă pentru orice x real. 2 n n 1 Pentru a demonstra aceasta, fie şirul sumelor parţiale:
Seria de funcţii
s n x
sin x 2
1
sin 2 x 2
2
...
sin nx n
2
sn x
1 2
1
1 2
2
...
1 n
2
un ,
unde şirul cu termenul general u n este convergent.
Definiţia 2.2.5. Fie seria de funcţii
f n , f n : X
, pentru n
*
.
n 1
Seria
f este uniform convergentă pe B A X , unde n
A
este mulţimea de
n 1
convergenţă simplă, dacă şirul sumelor parţiale s n n este uniform convergent pe B.
Definiţia 2.2.6. Seria de funcţii
f este uniform convergentă pe n
X către o funcţie
n 1
f , dacă pentru
0 , n , astfel încât pentru orice n n să avem f1 x f 2 x ... f n x f x
, x X .
Exemplu
Fie seria de funcţii
x n , x 0,
n 0
s n x 1 x ... x
n
1
1 x
x n 1 x 1
seria este uniform convergentă pe 0,
1 2
1
. Pentru aceasta, şirul sumelor parţiale 2
converge uniform către funcţia f x
1 1 x
, deci
.
Criteriul general de convergenţă uniformă
Seria de funcţii
f
n
este uniform convergentă pe X
dacă şi numai dacă
n 1
0, n n n , p
, *
astfel ,
încât
f n1 x f n 2 x ... f n p x ,
x A .
Criteriul lui Weierstrass
Fie şirul de funcţii f n n , f n : X şi an n un şir de numere reale strict pozitive. Dacă f n x an , x X , n , şi dacă seria de numere
50
a , a n
n
0 este convergentă, atunci seria de funcţii
f x este uniform convergentă n
n 1
n 1
pe X . Exemplu
Fie seria de funcţii
1
n , x 1, . Aceasta este uniform convergentă pentru x
n 1
x 1, , a 1, ,
orice x 1, , deoarece pentru 1 x
n
1
n
a
, iar seria numerică
1
n
a
cu a x ; deci,
este convergentă.
n 1
Teorema 2.2.7. Fie şirul de funcţii continue f n n , f n : X
. Dacă seria
f este uniform conver gentă pe
X către f , atunci funcţia f este continuă pe X .
n
n 1
Teorema 2.2.8. Fie seria de funcţii
f
n
uniform convergentă pe X către funcţia f .
n 1
Dacă funcţiile f n sunt derivabile pe X şi seria derivatelor
f este uniform convergentă n
n 1
pe X către funcţia g , atunci funcţia f este derivabilă pe X şi f g .
Exemplu
Seria
cos nx n
n 1
cos nx n
3
0,2 ,
1 n
3
f x
n 1
, x 0,2 , este uniform convergentă pe
. Seria derivatelor este
sin nx
n
n 1
deoarece
3
sin nx n
2
sin nx
n2
1
n2
2
0,2 ,
deoarece
, care este uniform convergentă pe
. Notând cu f x suma seriei considerate vom avea
, x 0,2 .
Teorema 2.2.9. Fie seria de funcţii
f
n
n 1
uniform convergentă pe a, b către
funcţia f . Dacă funcţiile f n sunt integrabile pe a, b, atunci funcţia f este integrabilă pe b
b
a
n 1 a
a, b şi f x d x f n x d x . 51
Observaţie. Teorema serveşte nu numai pentru calculul integralei definite a unei serii de funcţii, ci şi a primitivelor pe orice interval conţinut în mulţimea de convergenţă uniformă a seriei considerată. Exemple cos x cos 2 x cos nx 1) Seria trigonometrică f x 1 2 2 ... 2 ... este uniform 1 2 n convergentă pentru orice x real. sin x sin 2 x sin nx Rezultă că f x d x C x 3 ... . ... 3 3 1 2 n n 2) Seria de funcţii 1 x x 2 ... x ... este uniform convergentă pentru orice
x 1,1 şi ar e suma
1 1 x
. Deci, pentru x 1,1 avem
1
x
x 2
x n
1 x d x C 1 2 ... n ... ln 1 x C . Pentru x 0, C C ln 1 x
x 1
x2
...
2
xn n
...,
x
1.
3. Probleme rezolvate
, f n x x n 1 x n
Să se arate că şirul de funcţii f n n , f n : 0,1
2.3.1
este convergent, dar nu este uniform convergent pe 0,1 . Indicaţie de rezolvare Pentru x 0,1 lim f n x 0 , deci şirul de funcţii este simplu convergent către n
funcţia constantă f x 0,
x 0,1 .
Pentru a arăta că nu este uniform convergent către f , se consideră x n 1 pentru care f n xn , n . 4 Să se arate că şirul de funcţii f n n , f n : 1,
2.3.2 f n x
n
2
1 sin 2
n
2 1/ n 0,1,
, definite prin:
nx nx este uniform convergent.
Indicaţie de rezolvare 0 f n x
n n
2
2
1 sin 2
1 sin 2
n
n
n
nx
52
nx
2
1 2 n
2 n2
2 2 2 n
2 n
.
Utilizând teorema anterioară pentru a n
2 n
0 , rezultă că şirul de funcţii
converge uniform către funcţia constantă f x 0 .
2.3.3
Să se arate că şirul de funcţii f n n , f n : 0,
, f n x
1 n
e nx
converge uniform către funcţia f x 0, x 0, .
2.3.4 Să se arate că şirul de funcţii f n n este uniform convergent pe intervalul indicat, pentru: x 2 x , x 1, ; b) f n x , x 3,4 ; a) f n x 2 4 x n n x
c) f n x
x n
1 x 2n
, x 1, ; d) f n x n
cos nx n
2
1
, x 0, .
Indicaţie de rezolvare 1 1 x 2 a) 0 2 0 , de unde şirul de funcţii converge uniform a n 4 2n 2n n x către funcţia constantă zero; b) f x 0 ; 1 1 c) 0 f n x n a n n 0 f x 0 ; 2 2 d) f x 0 . 2.3.5 Să se arate că şirul de funcţii f n n converge simplu, dar nu converge uniform: x , x 0, ; a) f n x x n x n , x 0,1 . b) f n x 2n 1 x Indicaţie de rezolvare a) lim f n x 0 , deci şirul de funcţii converge simplu către f x 0 ; pentru n
x n
1
f n x , n , deci şirul nu converge uniform; 2
53
1
1
2
n
b) f x 0, x 0,1 şi f 1 . Se alege x n 1 0,1, pentru care 1
2n 1 1 e f n xn 1 1 1 , deci şirul nu converge uniform. n n e 1 n
2.3.6
Să se arate că şirul de funcţii
n
f n x
2 k sin
k 1
1 3
k
x
f n n ,
f n : 0,
, definite prin
nu este uniform convergent.
Indicaţie de rezolvare Se arată că nu se verifică criteriul lui Cauchy, adică
n
,
xn 0, şi
f n p x f n x
şi pentru x x n sin
1 3n 1 xn
şi luând p n
*
pn
2 n 1 sin
0 , astfel încât pentru f n p xn f n xn
cu 1
3 n 1 x
... 2 n p sin
1 3 n p x
2 32n 1
sin 3n 1n ,..., 2
sin
1 3n p xn
sin 3 p n 1 1 p n 1 2
f 2 n x f n x
2n 1 1
n
... 22n 1 1
2n 1 1 2 4 ... 1n 1 2n 1 . 2
2.3.7 n
f n x
Să se arate că şirul de funcţii
f n n ,
f n :
, definite prin
cos kx
k k 1 este uniform convergent şi limita sa este o funcţie continuă pe
.
k 1
Indicaţie de rezolvare Se aplică criteriul lui Cauchy. cos n 1 x cos n 2 x cos n p x ... f n p x f n x n 1 n 2 n 2 n 3 n p n p 1
1
n 1 n 2
1
n 2 n 3
...
54
1
n p n p 1
1
n 1 1
n 1
1
n2
1
n2
1
n p 1
1
n3
1
n 1
...
1
n p
1
n p1
.
Deci, şirul de funcţii este uniform convergent, iar funcţiile f n fiind continue pe rezultă că limita şirului va fi o funcţie continuă pe . Să se studieze convergenţa şirului de funcţii f n n , f n : 0,1
2.3.8 prin f n x
x n
,
n
*
n
,
, definite
.
Indicaţie de rezolvare Funcţiile f n sunt continue pe intervalul compact 0,1 . x n
0 , deci şirul este simplu convergent către funcţia constantă f 0 n continuă. De asemenea, şirul de funcţii considerat este monoton descrescător în fiecare punct x 0,1 , deci conform Teoremei Dini, şirul este uniform convergent. lim
n
2.3.9
Să se determine mulţimea de convergenţă, A, pentru următoarele serii de
funcţii:
1 1 a) n n 1
n
n 1 x , x 1 2x
1 1 x 2 n b) 1 2 ln n 1 x n 2
1 ; 2
\
n
, x
;
c)
2 x 2 x ... 2 x , x 0 ; 1/ 2
1/ n
n 1
d)
1
n ln 1 a , a 0, x n
x
;
n 1
2n 2 5
2n 1
n
x , x 1 ; e) 2 x 1 2 2 7 3 2 n n n 1 f)
n 1 x 5
n 0
g)
n 0
2n sin
x 3n
2n
, x 0 ;
, x
;
55
h)
cos nx enx
n 0
i)
, x
;
n!
x , x 0 . n
n 1
Indicaţie de rezolvare 1 a) pentru x \ arbitrar fixat, se consideră seria numerică 2 n
f x , unde n
n 1
n
1 1 x . Pentru aceasta se studiază convergenţa absolută, utilizând f n x 1 n 1 2 x criteriul rădăcinii. Rezultă că lim
n
1 x
n
f n x
1 x 1 2 x
, de unde seria este absolut convergentă pentru
2 0, 1 1 , 2 seria este divergentă, 1 x ,0 , x . Pentru 2 2 3 3
1 2 x deoarece nu este verificată condiţia necesară de convergenţă a unei serii;
b) lim pentru
f n 1 x
n
f n x
x
\ 0 .
1 x 2 lim
n
1 x
2
ln n ln n 1
Pentru x 0 , se obţine seria alternată
n 2
1 x 2 1 x
2
1n
1,
1 ln n
, care este convergentă.
Rezultă că mulţimea A de convergenţă a seriei de funcţii este ; c) deoarece lim n x 1 şi x 0 , rezultă că de la un anumit rang n0 , termenii n
seriei de funcţii vor avea acelaşi semn, căci 2 n x 0, n n0 . Se va obţine, astfel, o serie cu termenii pozitivi, pentru care se aplică criteriul Raabe-Duhamel. f x 1 ln x , de unde rezultă că pentru x e seria este convergentă, lim n n n f n 1 x pentru x e este divergentă, iar pentru x e seria este divergentă, utilizând criteriul al
doilea de comparaţie cu seria divergentă
1
n . n 1
De asemenea, pentru x 2 seria este convergentă, deoarece f n 2 0 . Rezultă mulţimea de convergenţă A= 2 e, ; d) pentru a 0,1 A . Pentru a 1 A 1, . Pentru a 1, A 2, ;
56
1 1 1 e) A ,1 , , ; 3 2 2 f) A ,1 1, ; g) A ; h) A 0, ; i) A . 2.3.10
Fie
x, x 0,1 f x 2 x, x 1, 2
funcţia
f x f x 2 . Fie F x
şi
având
proprietatea
3n
4
4 n x . Să se arate că: f n
n 0
a) F este continuă pe ; b) F nu este derivabilă pe
.
Indicaţie de rezolvare a) f este continuă pe intervalul compact 0,2 şi subunitară. Cum ea este periodică de perioadă 2, rezultă că este subunitară pe , deci mărginită.
Se demonstrează că seria de funcţii
3n
4 f 4 x u n
n
n 0
n
este uniform
n 0
convergentă 2
3 3 sn x u1 x u2 x ... un x f x f 4 x f 4 2 x ... 4 4 n
3 f 4n x 4
Aplicând criteriul de convergenţă al lui Cauchy, se obţine:
3 sn p x sn x 4 3 4 3 4
n 1
n 1
3 f 4n 1 x ... 4
n p
f 4n p x
p 1 n 1 3 3p 3 3 1 ... 4 1 4 4 4 4
n 1
4 0,
pentru n ;
rezultă că şirul sumelor parţiale este uniform convergent, deci seria este uniform convergentă şi F este continuă;
57
k , astfel încât k 4 m x k 1
Notăm
fixat. Atunci 4m x
arbitrar fixat şi m
b) fie x
m
k 4
, m
m
k 1 4m
k 4
m
x
k 1 4
m
şi deci există
.
m x m .
Fie numerele reale 4n m , 4n m . Pentru m n 4 n m
4 n m 4 nm k 1 k 4 nm 1.
Pentru n m 4 n m
4 n m 4 nm nr . par .
Pentru n m 4 n m
4 n m 4 n m
caz, nu există nici un număr întreg cuprins între ele.
Din acestea rezultă f 4
n
m f 4 m n
1 4
mn
, de unde rezultă că, în acest
4n m , n m şi deci: 0, n m
n
n
3 f 4n 3 f 4n F m F m m 4 m 4 n 0 n 0
n
m
m
n
3 3 f 4n m f 4n m 4n m 4 4 n 0 n 0
2
m
3 1 3 1 3 m m 1 m 2 ... 4 4 4 4 4 4 2 m 3 m 1 3 3 3 1 ... 4 1 4. 4 4 4 4 F m F m , deci F nu este Cum lim m m 0 , rezultă că lim m m m m 1
derivabilă pe
.
58
4. TEST DE AUTOEVALUARE 1
Să n
f n x
se
arate
1
k sin kx, x 3
că
şirul
de
funcţii
, este convergent pe
f n n ,
definite
prin
, iar limita sa este o funcţie continuă,
k 1
cu derivata continuă pe
.
Să se arate că şirul de funcţii f n : 0,1 , f n x n x e nx
2
1
1
converge, dar lim f n x dx n
2
0
f x dx . lim 0
n
n
Să se arate că şirul de funcţii f n n , definite prin
3 f n x
nx
1 n x 2 2
, x 0,1 converge neuniform pe 0,1 , dar 1
lim
n
4
1
f x dx . f x dx lim n
0
0
n
n
Să se determine mulţimea de convergenţă şi uniform convergenţă a seriei
x
x x , 0 x 1 . Să se determine suma seriei. 1 nx 1 n 1 x n 1
5
Utilizând criteriul lui Weierstrass, să se studieze convergenţa seriilor de
funcţii:
a)
1
n
x3 4
, x
;
x n 1 cos nx , x ; b) e 1 n n 1 n 1 n 1
1 n
3
c)
x n 1
1 2
2
n
, x
d)
n 1
a n sin
1 n
3 x
2
; , x 0, a
3.
59
LECŢIA 4 - SERII DE PUTERI 1. Serii de puteri
a x , a n
Definiţia 2.4.1. O serie de forma
n
n
, se numeşte serie de puteri .
n 0
Observaţie. Mulţimea de convergenţă a unei serii de puteri conţine cel puţin un punct şi anume punctul x 0 , pentru care seria de puteri este convergentă şi are suma a 0 . Există serii de puteri care au mulţimea de convergenţă formată dintr -un singur punct şi există serii de puteri convergente pentru price x real. Exemple
1) Seria de puteri
n! x
n
este convergentă numai în punctul x 0 , deoarece
n 0
1 şi deci lim n!x0 .
pentru orice x 0 0 există un rang n pentru care n x0
x n
n!
2) Seria de puteri
n
este convergentă pe
, deoarece pentru orice
n 0
x0 R
u n 1 un
x0 n 1
0 pentru n .
Teorema I a lui Abel
Pentru orice serie de puteri
a x , a n
n
, există un număr
n
0 , finit sau
n 0
infinit, pentru care : a) seria este absolut convergentă pe intervalul b) seria este divergentă pentru x
, ;
c) pentru orice r 0, seria de puteri este uniform convergentă pe r , r . Numărul se numeşte raza de convergenţă a seriei, iar , intervalul de convergenţă. Observaţie. Teorema lui A bel nu spune nimic în legătură cu convergenţa sau divergenţa seriei de puteri în punctele din capetele intervalului de convergenţă. Teorema 2.4.2 (d A lembert)
Fie seria de puteri
a n x n . Dacă lim
n 0
n
de convergenţă a seriei de puteri va fi:
60
a n 1 an
finită sau infinită, atunci raza
1 , 0 ; 0, ; , 0. Teorema 2.4.3 (Cauchy-H adamard)
Fie seria de puteri
a
n
x n . Dacă lim sup n a n finită sau infinită, atunci n
n 0
raza de convergenţă a seriei de puteri va f i:
1 , 0 ; 0, ; , 0. Corolar 2.4.4. Suma unei serii de puteri este o funcţie continuă pe intervalul de convergenţă. Corolar 2.4.5. Suma unei serii de puteri este uniform continuă pe orice interval compact conţinut în intervalul de convergenţă.
Teorema 2.4.6. Fie seria de puteri
a
n
x n convergentă în intervalul , .
n 0
Seria formată cu derivatele termenilor săi,
n a
n
x n1 va avea acelaşi interval de
n 1
convergenţă. Corolar 2.4.7
Dacă s x
a
n
x
n
şi
x
n 0
n a
n
x n1 , atunci
s x x ,
n 1
x , . Corolar 2.4.8. Suma seriei formată cu derivatele termenilor unei serii de puteri este o funcţie continuă şi derivabilă pe intervalul de convergenţă.
Corolar 2.4.9. Dacă
a n x n este o serie de puteri cu raza de convergenţă
,
n 0
atunci:
a) seria formată cu derivatele de ordinul
n
ale termenilor seriei are aceeaşi rază de
convergenţă;
b) suma s a seriei
a
n
x n este indefinit derivabilă pe intervalul de convergenţă
n 0
şi derivata de ordinul n este egală cu suma seriei derivatelor de ordinul n pentru orice x , .
61
a
Teorema 2.4.10. Dacă
x n este o serie de puteri cu raza de con vergenţă ,
n
n 0
atunci pentru orice interval închis a,b , seria de puteri poate fi integrată termen
cu termen şi
f x d x
a
n
x
n
d x , unde f x
n 0a
a
Exemplu
1
Seria
b
b
n
n 0
x 2 n1 2n 1
Seria derivatelor
an x n .
n 0
are raza de convergenţă
1n x 2n
1.
are aceeaşi rază de convergenţă şi are suma
n 0
f x
1 2
, deci suma seriei iniţiale este s x C arctg x . Pentru x 0 ,
1 x C 0 s x arctg x .
2. Operaţii cu serii de puteri
Fie două serii de puteri
a
n
n
x şi
b
n
x n cu razele de convergenţă 1 şi
n 0
n 0
2 . Atunci:
a) suma celor două serii de puteri este tot o serie de puteri
a
n
bn x n , care
n 0
are raza de convergenţă
min 1 , 2 . Dacă A x , B x sunt sumele celor două serii de
puteri
şi
S x
este
suma
seriei
an bn x n ,
atunci
n 0
S x A x B x ,
x , ;
b) diferenţa celor două serii de puteri este tot o serie de puteri care are raza de convergenţă
min 1 , 2 ;
a
n
bn x n ,
n 0
dacă D x este suma seriei
an bn x n , atunci D x A x B x , x , ;
n 0
c) produsul celor două serii de puteri este tot o serie de puteri: a0 b0
a0 b1 a1 b0 x ... a0 bn a1 bn1 ... an b0 x n ... , 62
care are raza de convergenţă min 1 , 2 ; dacă P x este suma seriei produs, atunci T x A x B x , x , ;
d) câtul a două serii de puteri A x şi B x , b0 0 , este o serie de puteri
C x
c
n
x n , cu coeficienţii definiţi de egalitatea A x B x C x .
n 0
3. Serii Taylor şi Mac-Laurin Fie f : I o funcţie indefinit derivabilă pe intervalul I şi fie un punct x0 interior lui I . F ormula lui Taylor pentru funcţia f în punctul x0 este: f x f x0
x x0 1!
x x0
f x0 ...
n
n!
f n x0 Rn x , x I .
Dacă şirul Rn x n , pentru x X I este convergent către zero, atunci seria
1
n!
f n x 0 x x 0 n numită seria Taylor a funcţiei f
în punctul x0 este
n 0
convergentă pentru x X I către funcţia f . Formula
f x f x0
x x0
f x0 ...
x x0 n
f n x0 ...
1! n! numeşte formula de dezvoltare a f uncţiei f în serie Taylor în jurul punctului x0 .
se
Teorema 2.4.11. Seria Taylor a funcţiei f în jurul punctului x0 este convergentă într -o
vecinătate V a lui x0 , dacă derivatele de orice ordin f n sunt egal mărginite pe V , adică f n x M ,
x V .
Observaţie. Dacă x 0
1
n!
0 , atunci seria
f n 0 x n se numeşte serie Mac
n 0
Laurin pentru funcţia f .
4. Probleme rezolvate 2.5.1
Să se determine mulţimea de convergenţă pentru următoarele serii de puteri:
a)
1 2 x n
n
; b)
n 1
n 1
1 1 d) n n 1
2
n2 n
n
x ; e)
n 0
1 1 ... 1 x n ; g) f) 2 n n 1
x n n
3
n
ln a
n
n
;
n 1
n
n!
; c)
x n
x n , a 0 ; 1
1n1 x 1 n ;
n 1
63
n
h)
n
n
n
x 3 ; i)
n!
n
n
x 3n .
n 1
n 1
Indicaţie de rezolvare 1 1 a) , ; 2 2
1
b) lim n
1
lim
1
3
şi
intervalul
de
2 3 2 n 3 n n 3 1 3n convergenţă este 3,3 ; pentru x 3 şi pentru x 3 seria este divergentă, deoarece nu n
n
n
n
este verificată condiţia necesară de convergenţă a unei serii, deci mulţimea de convergenţă este 3,3 ;
c) lim n n
1
n
n
lim
n
1
n
0 şi deci mulţimea de convergenţă este
;
1 1 d) , ; e e e) ; f) 1,1 ;
g) se consideră seria de puteri
Să se determine raza de convergenţă pentru seriile de puteri:
a)
an x n , unde a2 n
1
n
n 1
b)
x 1 , şi se obţine mulţimea de
n 1
convergenţă 0,2; h) – 3; i) e 3, e 3 .
2.5.2
an y n , y
nn
n! x
n
, a2 n 1
1 2
n 1
;
.
n 1
Indicaţie de rezolvare 1
a) lim sup n a n şi ; avem n lim
n
2n
1
n
1,
lim
n
2 n 1
1 2n 1
1 2
max 1,
64
1 1; 2
1
an
b) lim
n
a n 1
1
lim
n
1
1 1 n
n
. e
2.5.3
a x
Dacă raza de convergenţă a seriei
n
este
n
0, , să se găsească
n 0
raza de convergenţă a seriilor de puteri următoare:
a)
anm
n
x , m
*
; b)
n 0
c)
an x nm , m
*
;
n 0
an
1 a n 0
x n . n
Indicaţie de rezolvare
a) lim
n
an a n 1
1
a nm
lim
n
a nm1
lim
n
m
an
m ;
a n1
m
b) se notează y x , rezultă că seria de puteri
a y n
n
are raza de convergenţă
n 0
, deci seria este absolut convergentă pentru
y
x m
x m x m ,
deci raza de convergenţă a seriei
an x nm , m
*
este
1 m ;
n 0
c) 1 max ,1 . 2.5.4 Să se determine mulţimea de convergenţă şi suma următoarelor serii de puteri:
a)
1
n1
n 1
c)
1 n 0
n
x n n
; b)
x 3n1 3n 1
1 n 1
n
x 2n1 2n 1
;
; d)
n 1 x
n
;
n 0
Indicaţie de rezolvare a) se calculează raza de convergenţă a seriei de puteri. a n 1 lim n1 lim 1 1. Intervalul de convergenţă este n a n n n 1 Se studiază convergenţa în capetele int ervalului.
65
1,1 .
Pentru x 1 , se obţine seria numerică alternată
1n1
n 1
convergentă, iar pentru x 1 se obţine seria
1 n
, care este
1
n , care este divergentă. n 1
1,1 .
Deci, mulţimea de convergenţă a seriei este Fie f x suma seriei de puteri. Atunci f x
1
n 1
x n 1
n 1
1
, x
1 x
1.
Prin integrare, se obţine f x ln 1 x C , x 1,1 . Pentru determinarea constantei de integrare C , se consideră x 0 , de unde se obţine C 0 . Prin urmare, f x ln 1 x , x 1,1 . Deoarece seria de puteri este convergentă şi în punctul x 1 , rezultă că funcţia f x este continuă în acest punct şi f 1 lim ln 1 x ln 2 ; x 1
b) mulţimea de convergenţă este 1,1. Fie f x suma seriei de puteri. Atunci f x
n 1 x 2n
n 0
1 1 x
2
, x
1 . Deci, f x arctg x C şi pentru x 0 se
va obţine C 0 , deci suma seriei de puteri este f x arctg x , x 1,1 . Cum seria de puteri este convergentă şi în capetele intervalului de convergenţă, rezultă f 1 arctg 1
c)
şi f 1 arctg1
; 4 1,1. Notând cu f x suma seriei de puteri,
4 mulţimea de convergenţă este
rezultă f x
1n x 3n
n 0
1 1 x
3
, de unde 2
1 2x 1 x 1 f x d x ln arctg ; 6 x2 x 1 3 3 6 3 1 x3 d) mulţimea de convergenţă este 1,1 . Pentru calculul sumei seriei de puteri se
1
1
pleacă de la seria de puteri
x , care are suma n 1
n 0
g x
x 1 x
g x
rezultă că suma seriei de puteri este f x
1 2
1 x 1
1 x 66
2
;
n 1 x n 0
n
,
2.5.5
x n
n
Să se demonstreze că seria
este convergentă pentru orice x 1,1,
2
n 1
iar suma ei f verifică ecuaţia 1 x , x 0,1 . 1 x f 1 x x f x ln
x
Indicaţie de rezolvare a lim n1 1 1, deci intervalul de convergenţă este n a n
Pentru x 1 , se obţine seria
1
n
2
1,1 .
, care este convergentă.
n 1
Pentru x 1, se obţine seria alternată
1n n
n 1
Deci, mulţimea de convergenţă este
Se consideră f x
x n
n
2
1,1.
f x
n 1
Fie g x
x n
n
n 1
g x
n 1
, convergentă, cu Leibniz.
2
x n 1
n 1
x n1 n 1
1 x
x f x
x n
n . n 1
, x 0,1 .
Rezultă că g x ln 1 x .
x f x ln1 x 1 x f 1 x ln x şi se verifică ecuaţia dată.
2.5.6
Să se arate că seria de puteri
convergentă pe
1n x 3n 1 este 2 3 5 6 ... 3 1 3 n n n 1
şi că suma ei verifică ecuaţia f x x f x 0,
x
.
Indicaţie de rezolvare lim
n
a n 1 an
0 , deci seria de puteri este convergentă pe
1n x 3n Notându-se cu f x 1 , rezultă 2 3 5 6 ... 3 1 3 n n n 1
67
.
1n x3n 1 x2 x5 f x ... n 2 3 ... 3 1 2 2 3 5 n 1
1 x3n 2 f x x 2 3 ... 3n 3 n2
n
şi prin înlocuire se verifică ecuaţia dată. 2.5.8 Să se determine o serie de puteri convergentă pe să verifice ecuaţia x f x f x x f x 0,
şi astfel încât suma f a ei
x
.
Indicaţie de rezolvare
Se caută f de forma f x
a
n
x n . Derivând de două ori termen cu termen,
n 0
obţinem: f x
n an x
n 1
şi f x
n 1
nn 1a n x n2 ,
n 2
pe care înlocuindu-le în ecuaţia ce trebuie verificată, rezultă identitatea
a1
n a 2
n
an 2 x n 1 0, x .
n 2
De aici rezultă că a1 0, n2 an an 2 0, n 2,3,... , adică a 2k 1
k 0 şi a2k 1
Pentru a 0
11
1 k 1
pe
k
a0 4
x 2 k
4
k
k !
.
68
2
k
k !
2
, k
.
, care este o serie de puteri convergentă
5. TEST DE AUTOEVALUARE 1 Să se determine mulţimea de convergenţă şi suma următoarelor serii de puteri:
a)
1
n 1
2n 1 x
2 n2
; b)
n 0
x 4n3
4n 3 ; n 1
c)
n 1n 2n 3 x
n
;
n 0
d) 1
a a 1 ... a n 1 n!
n 1
2 Fie un polinom P
x n
P n n! , x
x n , a .
X .
Să se calculeze suma seriei de puteri
.
n 0
3 Să se arate că funcţiile: a) f x sin x, x ; b) g x cos x, x
;
c) h x e x , x , se pot dezvolta în serie de puteri pe seriile Mac Laurin corespunzătoare.
şi să se determine
4 Să se arate că funcţiile următoare se pot dezvolta în serie de puteri şi să se găsească dezvoltarea, precizându-se intervalul în care aceasta este adevărată: a
a) f x 1 x , x 1, a \ 0,1,2,... ; b) f x arcsin x, x 1,1 . x
n 1
n
n
5
Să se demonstreze inegalitatea e
6
Să se calculeze, utilizând formula lui Taylor, limita lim
x 0
1 x
x
69
1
n!
.
,
.
6. TEMĂ DE CONTROL 1 Să se demonstreze că seriile următoare sunt convergente pe mulţimile indicate, iar sumele lor sunt funcţii continue pe aceste mulţimi:
a)
sin nx
4
2
, x
x sin 2n 1 x b) , x ; 2 n 1 2n 1 n
n 1
c)
an
n , 0 x , unde seria numerică a x
n
este absolut convergentă.
n 1
n 1
2 Este posibil ca o serie de funcţii continue pe o mulţime X să conveargă neuniform pe această mulţime către o funcţie continuă ? 3
Este posibilă derivarea termen cu termen a seriilor:
n 1 x2 nx2 a) e e , x 0,1 ; n 1 1 1 1 4 2 2 4 2 ln 1 n 1 x , x 0,1? b) ln 1 x ln 1 n x 2 2 2 1 n n n2
4
Este posibilă integrarea termen cu termen a seriei:
2 2 n 1 x 2 2 n2 x 2 2 x n e n 1 e , x 0,1? n 1
5
Să se arate că seria
x
n
x 2n x n1 x 2n2 converge neuniform pe
n 1
0,1 şi totuşi
n 2 n n1 2 n2 d x x x x x n1 0 1
6
Fie seria de puteri
1
x
n
x 2 n x n1 x 2n2 d x .
n 1 0
x 2 n
2n 1 . n 0
a) Să se determine mulţimea de convergenţă şi să se calculeze suma ei.
70
b) Să se arate că suma seriei de puteri, S , verifică ecuaţia diferenţială 1 2 x 1 x 2 S x . S şi ecuaţia funcţională x S x S x 1 x 2 1 x 2 7
Să se dezvolte în serie de puteri următoarele funcţii 8 2 x a) f x 2 ; x 8x 15 2 x x 2 b) f x ; 2 1 x 1 x
c) f x ln 2 3 x x ; 2
d) f x
1 1 x
2
;
e) f x ln x 1 x 2 ; arcsin x
f) f x
2
g) f x h) f x i) f x 8 demonstreze 1
a)
1 x ln 1 x
; 1 x 1 x cos
1 2 x cos x 1 x 2
1 2 x cos x
x 1
b) lim
0
;
2
2
.
Folosind dezvoltarea în serie de puteri a funcţiilor de sub integrale, să se
ln 1 x
0
;
0
d x
2 12
ln 1 x x
;
d x
2 6
.
71
