CHEZ L MÊE ÉDITEUR Ouvrages de la même colection ( Maîre e mahéaques pues) pg 4 cuu
Coeco Mae de mamaque aque, sus c Ph. ARLET . ONS : NTRODCTON A LANALYSE NRQE ATRCELE ET A OTISATION. L cus p Ph. ARET. 1 98, 8 8 gs L ccs p Ph. ARE J . HOAS. 1 982 1 44 pg pgs s PROBABTÉS ET STATSTQE.
p
ès à ps L cus p . ACNHAASTELE 24 pgs L ccs p . ACNHAASTELLE 2 pgs 2 ès à ps L cus p . ACNHAASTELLE . ACNHAASTELE ELE L ccs p . ACNHAAST
. FLO. 1982 . uFO 1982
LO. 98 LO. 98. TROCT TROCTON ON A LANALYS LAN ALYSEE NRQE DES DE S QATONS QATONS AX DÉRIV DÉRI V ARTILLES. L cs p P. AVART J. . HOAS. 98 98 2 6 pg pgs s L ccs p P . AVART . HOAS. 98. NALYSE FONCTONNELLE ALQE L cus p . RZS. 1 982 24 pgs pgs L ccs p RZS . RONEL, 98.
Aue ouages : gg hus hus s s 19 7 7 198, 19 8, PROBLÈES 'ANAYSE. gg p . ATHER 981 264 pgs ATHATQES AQÉES ET CALCLATRCES RORAABES. gu c . 57 58 59 p L LOO . ocQELLER. 982 264 pgs ATHATQES ATHATQES AR INFORATIQE INDIV IDELLE p EHN!N EHN!N . A BOWC. L c h h cpgph cpgph us 982,
48 pgs
ATHATIQES AR INFORATIQE NDVIDELLE, p ABOWICZ . EHNIN. pp s 1982 128 pgs uRs DE ATHATQES, p J ASS. . Facue cu
gs ups cs cp 1978, 1978 5 ,
84 pgs hs p . osEA. 976 QUATONS DFFÉRENTELES Ms hs 56 pgs pgs ES ÉQATONS AX DÉRIVÉES ARTELLES. phsu cu s u cus p . oLOBO 976 196 pgs
sous la directon de
DIEUDONNÉ et P. MAL IA IAVIN VIN de 'sttt
Z
CACU DFFÉRENTE
MASSON
Pa ew Yok Ban an Mexo Sao Palo 1983
Tous drois d raducio dadapao d rproducio pa ous pocédés ésrvés pou ous pays. La loi du mars 97 auorisa aux rms ds aiéas 2 3 d larcl du pat u ls «copis ou rproducos sicm ésvés usag pivé du copis o dsiés u usao collciv» d'aur pat, u ls aayss s cous caios das u u d'xmp d'llusrao «ou pésaio ou rproducio égra ou paill fai sas l cosm d l'auur ou d ss ayas dro ou ayas caus s lici lici » aliéa d d l'aricl ). C pésao ou poduco pa uu pocédé u so so cosiua doc u co faço sacoé par ls aricls 2 suivas du Cod péa
© Msson Pris, 983 ISN
MASSON S . MASSO ISHI US c ORAMASSO S MASSON AA ORI Sp.. MASSON IORS IORA MASSON O B Lda
2-25-7979-5
2 d Sai-Grmai 728 Pas Cdx 2 Cdx 6 33 as 8 Sr w York . 22 Bam Ba ms s 1 1 , Barco Barcoa a 8 Via Giova Pascoli 2 2 33 Milao aoa 383 Coloia apols Mxico 8 F Ru a Csar Csaroo Moa Moa Jr 6 6 22 So Pauo S P
INTRODUCTION AU COURS D'ANALYSE
NLSE HUE e esee e ges ge mp
es e es e pes : rges e chgee e es ge ts es, rges e r ss e sge ge ec e pe e s cee gse ree ss perre e e ses jes prcp e e e e rche Ds e xvm sce es ses ses p es cs ees Ds gge ere se re es hème dexee e es pes s es eae me e ece es pcs pr pr h eabe abe.. Ls s exs ece e c s e seee rs e s pprche ses es g hes es e cc es ss pprches pre se e rche ree e se d'a L es sses ces es gee p e e d mmm d'a Ps gree se pere e r es cs c s rees cees rse rse e e cees c ees rees Les pprs e ces f emae pr e es rs es s s e cee ce e ssce. Les s eres ere s e cse cse e hse e peee pee e ps e ce ce ph e cpexe es r mae e ces s pe cre es s x res prees Lse e ss esece ge es ss e ces s s s e es ps ps ppre pr psser e e s s g g Le cc es prs s re ees ee s es se e es pes e e cre Lrse e e ers es s es spes pprsse. pprsse. ù e r e e cge e echeee rs seses e pssge pssge e e e pprîr pprîree es es c cs s ges js jsces ces es hes hes e cc cc e se. es ps e e se s e ece s ce cs es es s e cece e rse e cper c per re es e s e 00 00 200 pges chc pge e s see cee Ig rs se e rer e se Spece c ee se se cpee cpee he e se cr e e ee sre psse re e ç pee
ITRODUCTIO AU COURS D'ALGÈBRE
Lg 's s vimt disii idédt, mis f odmt t ot ot o 'sm ds mthé· mti, t so dévo mt d ds s diès és été it ssité t digé s sois d'ts disiis mthémtis
K (6 vo.V 38 L.
algébses de tous les temps) peu paraîe 'OO 'O O KO KO ('un des plus illustres algébses en opposition avec e phénomène ben connu de a pépondéance de plus en plus grande de 'Algèbe 'Algè be dans es mathématques mat hématques acuelles acuel les ce quon a pu appeler appel er « agébrsaion agébr saion » de Analyse de la Géométe et de a Topooge. En éalité, cete pépondérance est due au fait que les algébstes ont su néch leus echeches sous inuence des pates des mathmatques où elles elle s pouvaent apporte un un appui décs Un exemple hstorque ypque est lévouon de Algèbre lnéae et muinéae qu pou deven un outl fondamenal en Anayse onctionnee a dû commence par se débaasser du faras des caculs de déterm nans et de matrices qui encombraent inutiement au sèce De même on sai que 'Agèbe commutative es née dune pat avec es démonstrations pa Dedekind et Webe des théoèmes ondamentau de a Théoie des nombres et de a Théorie des coubes agé briques et de 'aue avec es découvertes de Hibert sotant a Théorie des invariants de nerminables nerminables cacus o ele senlisait E son esso à pati de 92 es concomian avec 'esso simutané simut ané à par de a même même époque époque de a a Géoméie agébrique agébri que e de a Géomée anayque don ele forme la base Ces donc dans espi de Konecer quest édgé ce Cours dAgèbe; ne compren pas une seue dénion ni un seul ésulat d'Algèbe pue qui na une application dans un autre pate des mahématques et on a veilé à ce que les éudiants s'en endent compe dan toute a mesue du possbe Pou le pemier volume consacé à lAlgèbe linéaie et mu inéaie cela ne posat pas de pobème car il sagit à de ce que on peu appeer le �pa quotdien» de tout mathématicen qul s'occupe d'Ahméique d'Anayse onctionne de Géométe diéentelle de Topoog agébique ou de Mécanque quanque Les deu aues voumes sont dvisés en tois chapites don deu consacés respectveme à la Théore des goupes e à a Théoie des nombres algébiques son déjà essentelement d chapires dapplcations de lAgèbe Le rosième qui traite des parties élémenares 'Agèbe commutative a pou domançs pincipau dapplicatons a Théorie des nombr et la Géométe algébque Le nveau pus élevé de cete denière na pas pemis den nc une parte appéciable dans le tete ni dans les eecces mais on a essayé de sgnaler à q: coresponden coresponden « géométquemen» de nombeuses notions puement algébiques de c théore théore losque cea n'egeai pas 'ntoduction dun trop gand nombe de noions nouve
J O
TABLE DES MATIRES
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Avant-propos Index des notations
différentiele Notion de différentiele
l 3
.... ..... ..... Prlmnres . .. . rentelle.Exe rentelle.Exemp mples les 2. Rè Règl gles es de c clc lcl l . .
.
Théorèmes de la moyenne
8
Prlmnres . . . . ... .. . . . . .. . .... . . . . . . . . .. Prlmnres Torèm Torèmee des des ccrossemens n nss . . . ...... .. . . . . 2 Rcproqe d torème 2 2 cp. .. .. . . . ... .. . .. . . .. 3. ondton ncessre et ssnte por qne pplcon so de clsse n crtère de convergence norme . .. . .. ... .. .. . . . . . . 5. orème de r ...... . . .. . .... .. . . .. .. . . 6 Intgron des fonctons rgles r gles et e t orème ondmenl ondmenl d d clcl ngrl . .. . .. ....
.
oion d diéomorphisme Résolution d'équations . .
. .. ... .. . ... ... .. . . . . Prlmnres ... .. . .. .. . . . . ......... . .. . . . . omorpsme .. ... 2 Enonc d torème torème dnverson dnverson locle locle ... . .... ... . .. . . .. . .. s de l dmenson ne . ... . . . . .... . . . . . .. ... ... ... Preve d orème d'nverson locle locle . . . . . . . . .............. .. ..... ... 5 Le torème des fonctons mplctes ..... . . .. . ..... .. . .. . .... . . .
Diférentielles dordre surieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . renelles sccessves. sccessves.Torème Torème de cwr c wr ...... ... . . .. . . . . .. ... Règless de clcl . . . . . . .. ...... . .... Règle Formle le de Tylor Tylor .... Form . ... . .... . .... . . . .. . . .
44
re de ylor. Anlytct Anlytct . .... ... .. . . . . ...... . .. ... ... .. ....
ntons de lexponentelle . . . . . . . Proprts Proprt s de lexponentelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . rope n prmètre domorpsmes lnrs . ........ Eqons drenelles lnres omogènes coecenens coconstns . . lcl explîce des soltons . .. .... . . ..... . ... coec cen ens s cons consnts nts ... .... ..... . . . Eqons drentelles lnres omogènes dordre coe . . . . . ol olt ton onss ornes ornes o prod prodq qes es de
Fonction exponentielle Equations diérentielles linéaires coecients constants
. . . . .
Puit intégra Equations diérentieles linéaires
.
mnres .. .. . . ... .... Podt ntgrl . tons tons dr drente entelles lles ln lnres res omo omogènes gènes tons drenelles lnres vec second memre ons drenelles lnres d'ordre
. .
. . . . .
. . . . . . . . .
8 8 2 2 2 2 22 26 26 26 2 27 28 3 33 33 36 5 47
4 7
8 52 53
55 57 59
5 5 6 65
66
B ÈR
6
Chmps de eteurs qutions dientielles . 2 3. 4 5
7 0 0
amps d vcturs t éuat amps éuations ions diérntill diérntills s auton autonoms oms .. xistnc t unicité ds courbs intégrals ... éndanc ds conditions initials ..... amps a mps d vc vctu turs rs complts . ...... roup u paramèr d diéomopsm
Conjugison et oodonnes loles
70 72 7 78
82
... . Préliminairs •-conjgaison t coodonnés . . . Rppré rés snt ntat atio ionn lo loca call du dunn ap appli lica cattio ionn d déérn nti tiab abl l . . . .. ..... . . 2. R lmm mm d d Mor Morss- Pal Palais ais .. .. . . 3 L l camps d vcturs . 4 Linéarisation ds camps
.
.
..
.
.
.
.
.
.
87
9 0 0
Sousrits dientibles Sous-variétés diérntiabls . .. .. ... .. . . . . . 2. spac tangnt .
3 3 9 7 7
3 Applications diérntiabls . . . . . . . . ... .
Clul des ritions
82 82 84
02
. x xtr trm maa libr librs. s. x xtr trm maa liés liés . . ..
onditions du scond ordr pour un xtrmum . ...... .. ... ...... spa pac css d d cou courb rbs s.. ua uati tion onss d dul ulr rL Lag agra rang ng . .. .... .... .. . . . 3 s 4 . atur d léuation dulr-Lagrang . . . .... . . . 5 t dun appication diérntiab . . 6 . nvarianc dun Lagrangin . . téorèm rèm dmmy dmmy otr 7. L téo 2.
02 04 06 0 33 5 6
Appndic A ...... . . .. . .
20 spes de Bnh et pplitions multilinies 20 20 d Ba Banac . . . . spacs d 2 Appplic icat atio ionns liné linéai air rss cont contin inu uss . 2. Ap .. . . . . .. .. . . . . 23 3. Applications multilinéairs continus 24 Isomorp orpisms isms cannius cannius .. ... 4. Isom
Appnd App ndic ic B hoème du point e de Bnh
25 25
Appndic . .
L mthode de Newton
28 28
Apndic D
30 30 30 3 3
hoèmes dinesion globle
. Appliations strictmnt monotons . téorèm rèm d HadamardHadamard- év évyy 2. L téo Appndic Rdutions des endomophismes linies
Téorèm d Hamiltonayly Rédu duct ctio ionn .. . 2. Ré lxponntill . 3 Surctivité d lxponntill
3 4 34 34 3 4 34 35 36
B È F ................. Equatons dérentelles lnéares coecents pérodques Les opérateurs de moodrome ... 2. thorme de Lapouo Appedce
Le théorème destence et de dépendance par rappor au condons nal d uons des équatons dérenteles Appedce G ....
Appedce H ...................... Smplcté de SO
Prm Prmare aress 2 Smplct de SO 3 ...
Bblographe nde alphabétque
37 8 4 4 42 42 42 42
4 4
CONTENTS Preew Idex of otatos Noto of derate 2. Mea aue theorems 3 Noto of deomorphsm Implct fucto theorem 4. Hgher derates 5. The expoetal fucto Lear dereta euatos wth costat coecets 6. The tegra product. Lear dffereta equatos 7 Vector elds. Dereta equatos 8. Cougacy ad local coordates Dereta sumafolds . Cacuus of aatos A P PEN PENDI DICE CES S A Baach spaces of mutlear mappgs B. Cotractg mappg prcpe C Newtos method D Gloa erse fucto theorems E Reducto of the ear edomorphsm ear dereta equatos wth perodc coecets G. Exstece of solutos of dereta equatos ad ther depedecy wth respect to ta data H S () s a smpe group Refereces dex
F
7
la mémoire de Renée Gal/ai et de Gaston Roux, Jean Houlle.
Tois pesonnes qui m'ont appis la plupat des choses utiles que je connas Deu ensegnants comme on nen voit plus guèe
AVAN-PROPOS Il y a quelques années la commission des enseignemens de lUniversié Perre et Marie-Curie élaborai un programme minimum pour l'unié densegnemen de Calcul diéreniel : Noion de diérenielle. Classe e Symérie de la diérenielle seconde Formule de Taylor plusieurs variables) Foncions implicies Cas du rang consan Equaions diérenielles héorème d'exisence e dépendance des condiions iniiales e de paramères, dans le cas lipschizien Ce livre couvre ce programme e un peu plus Les appendices son de deux sores Ou bien ce son des rappels de noions éran gères au calcul diéreniel propremen di e qu'on a inclus an de rendre le exe auonome ou bien ce son des complmens quon peu négliger lors d'une première ecure Les références son noées ainsi ( chap. »renvoie la parie ou la for mule) du paragraphe du chapire Si le numéro du chapire es omis, c'es quon renvoie au chapire en cours Les références bibliographiques son indiquées complèemen dans le corps du exe si elles ne son uilisées qu'une fois Sinon on menionne le nom de l'Aueur (pluô qu'un numéro e la lise alphabéique, qui fgure la n de ce livre inique ouvrage correspondan Il se rouve quil n'y a pas dambiguïé :on na reenu qu'un seul ouvrage par Aueur Oure que e livre peu servir de supor lenseignemen du cerifca de Calcul diéreniel, il es conçu comme une inroducion des ouvrages plus avancés els que celui de Abraham e Marsden, auquel il doi beaucoup Enn l'aeur de ces lignes se doi de remercier Monsieur le Professeu Professeurr Paul Malliavin qui a su vaincre sa paresse e sans qui ce livre n'aurai jamais vu le our l remercie aussi Monsieur le Professeur El Mabsou, qui a bien voulu reire e manuscr e prévenir ceraines faues Laueur adresse aussi ses endres excuses sa Femme e ses Fils pour les avoir rusrés dun emps dû normalemen, la vie familiale
à
à
à
à
à
à
à
à
à
NDEX DES NTATONS nsmb ds rs psitfs
tt
< < b
nsm nsmbl bl ds ds rs rs tls qu b nsmbl ds r rlsls tls qu sup n supriur ma1 pus grand ds nmbrs a . appan nrs u riprqu d a in d apain dnqu d E dans rmtur rmt ur d nsmb nsmb xp xpnnt d t snus yprbqu sus yprbliqu spa tr tr * E da d E E mpxit d l r E E E F: nsmb ds appiatns nairs ntnus d Edans F nd (E (E E E E E grup ds bitns nairs ntinus d E dans L E S n grup unimdulair d . E $ smm dirt ds E rr )) ny nyau au d 'appiatin 'a ppiatin inar inar d drmnan d 'ndmrpism inar tr (f tra d lndmrpsm nair transps s d appiat a ppiatin in ina inar r tf transp nrm dans nrm V Ba r u Ba bu urt d nt a t d rayn r prduit saair u rmtn appatn atn linar linar adint d app : sp spr r usu usu d dimnsin dimnsin O gp gna d Dja di dirntil rntil dn d n a D appliatin di dirnti rnti d dri d a fnn fnn T appiatin tangn tangn d d n grad gradin d d a nin f DJ dffrni pari ratimn à a èm arab Ck ass Ck è(U; F nsmb ds app appat atns ns d lass Ck d U dans F [a b] ]a b
le,,: !f fllle
C'
norme def
E) grup ds dimrpsms d ass C d E dans E * X mag du amp d tur X pa appiatin drnt M spa tangnt n à a susart M.
m
r
1
NOTION DE DFFÉRENTIELLE
Ce chapre es consacr la dfniion de a difrenelle e ses proprs lmenares qu ne fon pas nervenr les noons despace comple e dngraon
naes as c char s sacs cr s aréé « . . ») s ds sacs rés E cs rs sr crs K R C. L'adc aré arééé « ») ») ra s s sés c ccra cs sacs arcr a r d E sra é E s cx é s s aïés Lrs Lrs srs srs sacs sacs r das ê écé s ssd s s csrs sr ê crs
Dffentee xepes c f: R R s déra a E R s xs r ré a aJjhh fa. dé a as d ss r aca f a h f aJj a rrr rrr d f: R" R n > 1 c dsr ar cr h d ?; as a ad a éérasa ééras a f a h fa f ah ah // h 0 ad aç ç a a : 1 fa sa :
O
+
Dto U r d d ré E f aca d U das ré O d s déra déra a E U s xs aca aca éar coninu L E E; f a h fa fa Lh / h E = O h-o
E
a ss h ass r a h E U s s k E E arrar ré . s U s un our a k U s s s ass haa h k das a dé s xs s s fa]t. s déré déré ar k) [fa t k fa]t _o s dc r assrr cé d ss U r O a a a dér dér d a a Dfa cs éé d E; Df Df ak sa a déré d f sa cr k. O a dc
+
+
+ k 1=
Df Df a k = d f a
1 . 2
+
ù r d dr s cr cr déré s s d f a k E r = O as c à ars rés d ara ré dé dé sr sa d ér s d ) s o O a dc f a + h a + Dfah h ,
O
+
+ Df Df ah aara c arxa d a rr rdr h rès das sa d a Remarque 3 3 a La dé d a dér déd ds rs d E a çss ar ds rs éas éas (r 2 6) U dr r car s s a a
OO IÉRE
L
de E e F so hagées ha gées O vée sas ee ue demeu demeuee déeale déeale e ue sa d d é eelle eel le e es es eoe D) S S e aule E e F so de dmeso fe la dfée dféea a lé e déed as as des omes a elles so oues éuvalees vo A 2 7, e lhyohse de oué de Di{) es sueue sueue a oue alao léae es oue oue vo A 2 7 b O sa sa A ) ue ue s E = K E; E ; F) s'de s'def fe e à F a lsomohsme aoue LE!E F) E F As Df(a sdee à Df(a , u es aue aue ue le veeu dévé usuel ) a D) =
f + t 1 0 = )
lé ae oue o ue S e oue la oe de de E es dédue S F = K D) es ue fome léae E ; K) s'dee à E a lsomohsme lsomohsme aoue aoue du odu éeu alos E* = E D) es lmage du veeu gad ) aelé le gade gade de e E E E* e D) e aaésé a gad ) = Df) ou ou de Noos Noo s ue gad gad f(a déed du odu éeu hos ads ue D) 'e déed as l'al ao léa l éae e D D) das ) Matie aobienne S E = K" F = K la mae de l'alao les ases aoues es ue mae mae à lges e n oloes O laelle la mae jaoee de e Nous aedos à e déeme les élémes ala o dffé dfféea eale le e es e s oue o ue e a D) éa oue o ue e e alao lm + ) = ) éoue ausse tER. t ou t = ]
v
v
La oo de déeelle séed aux esaes aes e ela a e gade moae e Physue e e éaue o mé f ue alao de Soe U u ouve ouve du du esae esae ae E do lev le v asso as soé é es omé d ue ue es déeale déeale e U das u esae ae F do lev assoé es omé O d ; F elle ue E U sl exse L E + h = ) + L h + h
ee oo se ame à elle elave aux ev à a a le hox doges fixe das E e F ee lauelle ous ous lmeos a ela smlfe les oaos suesso des hes) S f U - F es oue e haue haue o de de louve louve U de E E o d d ue de oe D0 = f es de lasse C0 ou smleme C das U e l l sea ommode de S es déeale déeale e haue haue o de U o d ue es déea déeale le das U. Sl e es défe a x.Dx) saelle as lalao lal ao D D de louve U das lev omé E; F) défe la déeelle de e l sea ommode de ose D = D f S D es oue ou les oologes de U e deE F) dées a leus omes o d ue es oûme oûme déeal déeale e ou de de lasse lasse C 1 ou smleme C 1 das U. S es ue ae as éessa ées saeme eme ouvee de de E E o d ue F es dféeale dféeale dfféeale es C ) du es C ) das s es la eso à d'ue alao dfféeale ouve oea das F Ditio 4 4
e E F ) Soe Soe E = F = R2 omés a ( 1 = x + e S = ) e = ) o a + ) = ) + = +y , défe a + 1 + 1 ) +o 1 ) Pusue Il o Il = • 1 + = alos o ) = o o As es déeal déealee e e Df(a h = 1 + • + 1 ) ; e soe ue sa mae jaoee e es xEMLE
y
y
y
Il l Il lIl l l ·
�
y
I
'a ss A lesa lesae e E = C 1[ l ] des des oos oos u [ ] R osséda ue dévée b 'a = u oue es omé a u + u Lesae F = C[ Il des foos So E E F lala lalao o u asso assoee à oues [, ] - R es omé a
3
RÈGLS ALL
u( ) u() v u abu évid ti f(u) 0 0 u() évidt t d tati i u h u a ti a f(u h) f(u) h h , h h 2 uh vidt t iéai
t t tiu a
h c " h c 2 U c h " 1 2 U c] h • Daut at h < h co coz < h c•z t u h h d a é ut t diétiab u t Df(u) h = h 2 u h h
2 Règes de ccu Diérti du appicatio iéair cotiu 2
aiati iéai tiu F t diétiab da E t a diéti Df( a) u tut a t f(a h) f(a) fh f h h ) éduit é
E
Diérti du appicatio a cotiu 2 2
u u ééat it F u aiati ai ati a tiu f() = b ù F F t dié diétiab tiab da t Df(a) Si atiui t tat a diéti diéti t u Nu v u a éiu t vai i t t déi u u uvt onnee U t ixat i U t a x d d F R, U = ui dijit d dux itva vid t B 0 u t f 1 u B.
L
=
Appicatios biiéairs cotius 2 3.
Sit E E t F ti .v é t b E F u aiati biiéai tiu E t a vi . b t diétiab diétiab da d a E a vau h = (h , h ) E E d a z b(a)h b(h , a2 ) b(a h 2) diéti a (a a2 ) t t Db(a)h
h) b(a) b(h a) uiu b(a h) u b(h h) = h Mai a éut d
ba , h ba, h) b(h h) i uit d t
D h b(h h) < b · h h < b h h ] < l b Généasaon a a uv. uv. Sit t F d .v é t .. F. t t dié diétiab tiab tut t ut i t a (a , a) t a vau h = (h, h) d a diétiab t
D a)h = a , a 1 h , a ,
Trac du appicatio diértiab 2 4
Sit F u aiati diétiab t v é. uv d t é = i diétiab tiab a titi titi f d t dié t a diéti t a titi d a diéti d La uv t évidt
x
a paue Su Su u it u a a d Hibt Hi bt t u u a it déduit déduit d duit itiu itiu Si t u ua é é d tut d adt u ti tha p u thé thé d a jti. jti. Su u it it u ti ti jti u du adit d f uéiu uéiu F F adit d d f t a jti df(a) h = ad fa) a) h h Df(a) f(a) h = Df a)h t u u t ut ut a p df(a) ad (a), h
K
iéarité d a dirti 2 5
Sit U u uvt vid du v é é f t g dux aiati d U da u v. é é F Si k k déi kf k g U F a (kf kg) g) ) ) kf() k g() u
K
OIO D E DIREIELLE
E
tut d U O é a u f t g t déta a U t d ê d + t u
Dkf
k'Dga a)) . + k'g) a) = kDfa) + k'Dg
L d aat déta a da U t d u t d ê d d aat ê aat C d U d F t C U F F Diéreniele dune appliaion omposée 26
St F t t é S Stt f u aat du u utt U d da F ué u é déta a E U. St g u aat du ut d F tat U da Su g déta b fa) g t d d éta éta a t
Dg Dg f a) = Dg a o Da)
d dt t é d aat éa tu t u Dgb) t Dfa).
+ h) t b = a) O a a hth g) gb) + Dgb) - b) + r b) t d a éa éaté té d Dgb) t d hth r b =rDfaa)-)b)h +/sh) -ùb O O sh) tat l l /1 1 PRUV
= fa
=
h I l = 0, on a
g a h) - g g a) - Dgb) g Dgb) Dfa)h = a = Dgb)sh) + r - b) Mt u = h . Dad Dgb)sh) � Dgb) sh) t u Dgb)sh) = h . ut état dé > ut h h a tt u u - b = Dfa)h + sh) � Dfa) e h 1 Y b / h � Dfa) e Daut at a tuté tuté d a 1 3 e.) ta b h éut (y b) = h a = h 0
Il
l
Il
+ l
c
+
ppicain anene. Su U F déta da U Laat a) a) Df Dfa) a) h tat Tf U F F t dé a T a h) = réain éé ééri riq ue Du u u d déta d d iner réain a tàd u aat déta c t u c) = a. O ut tét c) ) = h ut c) a du d à tat St c à Da thé éédt a u u fc : F a a f d a u c t déta déta t tu tat à t 3 b.) Df c) D c ) = Dfa c)') = Df D fc) c) = Df a)) c) = Dfa a)) h .
T a au u é du t du u t du tut t u é é a a du t t t du tut d tt a Tgg T o T T t d u t aé d u thé éédt ét T tu aat t a d ê d D a a Dg = Dg Dg Df t a
DgD Dg D
Appiation dans une somme som me direte direte 2 27 7 St F = F F u dt d.. é é 1 6) Dé a p F F a j jtt . ) t a : F F t u at d à tu dt tut at t u à u d a u t éa à . aat f du ut U du .. é da F ét ) . . f ) t a a d f). u ù
-
2 8)
!
f f
n
f = i
H
RÈGLES DE ALL héorèe - f e ffren reniable iable en a
5
U i ee eulemen eulemen i f f le n Dan ce c c n ii n
Df(a) D Df f (a), . . , D(a) , c e eàà ir iree
Dfa)
nL
i o D(a) .
rst st C 1 das U si t smt s � . . . st PRUE s sc c mmdat d thrèm d d dir dirtiat tiat ds appcatis cmp
ss t ds rm rms s (2 . ).
D
" f . , fm m st dirta a ièm g d sa matric aci (v (vir ir 3 st a a matric aci aci d : " NUNCE. S
ormue de Leibniz 9 - Sint E, F F2 t ds v rm rms s U vrt d E, U F 1 t g U F2 ds appcats difrtias U (rs p C 1 das U) b F 1 F appcat air ct isss b g : U par bf g. rs rs st d dr rti tia a (rsp C 1 das U) t Dph bDf h g h g + bf D h pr h E.
PRE. st app g appcat cat cm cmps ps f g
bf g. L thrèm rst
ars d thrèm d drtiat ds appcatis cmpss d 2 7 . t d 2 . 3. :
Dp h Db, g o D g h h Dg h bDf h, h, g g b bf f D h . Dbf, g o Df
Cs pri cuie cuiers rs - Si E K 1 3 3 b. mtr Df h sdtifi a prdt hf' d scaair h K par vctr drv f' mêm Dh hg' La frm frm d Lii Lii scrt dc aisat h p'
=
bf' f',, g + bf, g' .
Si F F K t bu, = u v rtrv asi a rm d a driv d prdt f g d cts cts va var rss mris : fg ' f g '. Si F F 2 st spac rit t dt d s prdit scaair s t si b st prdit vctri tit ( g ' f' g + f g' O tit frm aag pr prdt scaair
+
Appicaion dénie sur une somme direce
·
Diérentiees pariee Sppss E sit a smm drct E E dv rms t U sit vrt d appicati d d U das v v rm F scrt dc . f 1 , ; cst fct d n varas E, . . . , E
•
. ss 2 Il Il
Lappicat
E . . _ , , , . . . F
]] st appcati cmps [a ièm cmpsat st rmpac par cmps o ù . .. , _ , 1 .. . st vdmmt appicat cti d E das a smm drct drct E1 . . . E rst o st di das vrt Ç U d E ctit . cstdr r o st drtia app sa s a dif difrti S appicati (2 . cstd a drti part d f par rapprt a -ièm vara a pit , t a t D f f ; cst mt d F . S E . . . E K D ( app ps cassmt cassm t a driv driv parti parti par rapprt rappr t
OIO E DIREIELLE
la ime vaiae vaiae au oit Cest la déivée usuelle usuel le ") de a fotio uméiu vaeus vetoieles ) = 1 . 1 ) au oit = O a ote aussi ) Pa Pa exem exeme, e, si R R est déie a a ) = si ) aos D b) est la déivée déivée e b de Ysi e de si si • b) ; soit 2 os b). e même D b) est a déivée s i ) soit os b). eveos au as gééa et ses otatios
X
XN
Si f
e freniable en a al al r cacune e freniele reniele pariee pariee D f(a) r = , . n exie e i = ( ( . ) E E n a
héorème
Df(a) =
1
D( ( ) .
. 0 0 . 0 dé osidéée e 2 7 Si i E E est est lietio 0 . o a ) = ) sote ue est ue aiatio afe do D) D ) = i 2) a emie atie ésute alos du théome de difféetiatio des aiatios voi 2 2) PREVE
omosées et
(2 (2 2) 2)
D ) = D o ) ) ) = D) o i . 7 , ais si E E est a oetio su a -ime omosate déj osidéée e 2 7, évidemme t = o i o e théome de dié diéetiatio etiatio des aliatios omo o a évidemmet sées et (2 2) 2) etaet D) = D) o i o = D ) o do D = D ) ) D
existee des déivées déivées atiell a tielles es etae as as la diéetiail diéetiailité. ité. Pa exemle exemle si lo lo ed ed : R R déie a Ü , ) 1
Remarque
) =
si = = 0 la fotio est ule ou = 0 es = 0 do D o, o) = D o o) = Si était diff difféetiae e o o) sa diéetiele diéetiele e e oit oi t seait do ule, das da s le théome é édet et lo lo auait ) = o où Il h = Poutat si = 3 ), o a 3 , t)/ 1 h = 225 ui e ted as ves zéo ave ieux ! a foti fotio o eut osséde des déivées atieles e e u oit sas ête otiue : osidée e o o) la fotio si 0 si = = 0 . a aiso de ette ette athologie » et et ue lexistee lexistee des déivées atieles e o o) gaatit existee des tagetes tagetes oigie des oues o) et o o ) ui sot es ite ite setios seti os de a a sufae sufae déuatio déuati o = ) ave les la lass = 0 et = 0 mais uele e dit ie ie su e omotemet de a suf sufae ae lextéieu de es las 0
Il
O
z
est C 1 das V alos les diéetieles diéetieles atieles le sot aussi Si est eet (22) mote ue D ) = D) o déed otiûmet de ous démotes ultéieuemet ue éioue a 2)
Remarque
RÈGLES DE ALL
7
Calcu de a matrice jacobienne jacobienne 23
m s diffriab das r c Si = ( . , ) " j () () ( ) , m " a a, m ccpa a ièm ig a ièm d sa mari c jacbi a s D J(a) PUV.
jabi a s a maric jacbi jacbi 'après 2 7 a ièm ig d a maric jabi
a d J : " . après 2 1 0 0 a maric jacbi d J a s D J(a), J(a), . . . D" J(a) ", csidrs a crb difr ici ar pr. Si (e) s a bas cai d ", cmps o c (t) = (a iab c t a + t e " appicai cmps (a t e e) (a + tt e) e) = (a ppis 3 . b hrèm d di di friai r iai ds appicais appicai s cmpss, pis a ass ss
t
=0
D(a)e D(a)e =
� (a + t e)
(a) .. , D m( a) = D (a)
ici appicai impra das a prai
nci n m " e f nci m une f nci nci n freniable en b = a m(a) Dfi freniable en a e f : une () m() A l r D F(a) = " Db D a nin nin F " par () = f () Théorème du changement de variabes 2 4 4 - Sien ien
P PV V S i : " m s dfii par g() = g (), (), gm(), ars F = o g L hrèm hrèm
d diff diffriai r iai ds appicais appicai s cmpss d DF(a) = Dg(a) o Dg(a) Dg (a). Dg(a) = D(b) o Dg( s dcrir a maric jacbi d F a s ga a prdi ds marics jacbis b d g a, marics d s prssis s ds par hrèm prcd. prcd.
M.
O s prps d cacr s dris paris d F 2 di par
( y) = h() s(y) h s s diriabs O s ramè a hrèm prcd psa g y) = h() g 2 (, y) = s(y isi F(, y) = g g (, y), g ( ( y) y) , ( y) + D 2 (u)D g 2 (, y) , D F(, F(, y) = D (u)D g ( ( y) y) D 2 F(, y) = D (u)D 2 g ( y) D2 (u)D 2 g2 ( Ù a ps pr abrgr, u = g (y), g 2 ( y) ais D g ( y = h () D g 2 (, y) = 0, D 2 g ( y) = 0 D 2 g 2 ( y) = s(y) isi D F(, y) = D (u) h'(), D 2 F(, y) = D 2 (u)s'(y)
2
THÉORMES DE LA MOYENNE
Ce chaptre est consacr a gnasaton du thorème classque des accossements finis concenant les fonctons numrques ntre autes applcatons on dmontre le toème fondamenta du calcul ntgal
émes
f ct à vars rs d t ct sr sgmt a b t drvab drvab a b[b[ L thrèm cass ds accrssmts s dt st c E ]a b t f(b) - f(a) (b a) a) ff (c) trms gmtrs, ca sg st t f(c) d grah d f a tagt st st araè araè a sgmt gat s s trmts a f(a) c f(c) t b f(b) d c grah matat mata t ss s mêms mêms hthèss st ct ct à vars vars das R n 2 a t das
n
rrt rr t gmtr rcdt t êtr dat dat : sr à grah « tr-bch t r-bch » a tagt t t t êtr araè araè à sgmt sgmt gat g at d ts d grah. m m : [ d d ar = cs s trts atrmt thrèm ds accrssmts s. F st acat ct t drvab sr das v rm F, t trrtr rs cmm a st rs a vtss à stat t d d t t mb das das F La vtss « a cm cmt t rr » st st ss scd mb art d mêm tms rmr dcrv drt t sa vtss « a cmtr » st à cha stat a ms ga à c d rmr. st tt c scd mb sgra d t d dart s vt rmr. ds ca rgr rgr
2 R
[a b
a b[
f(a) g(t)
f(a)
Téoème des ccossemets s
< b, F un ev n rm, f : [a, b] F e : a, a, b] b] R eux applicai plicai n c c ninue ur a, b] b] e f ffreniable ur ]a, ]a , b[ b [. Sup Supp n que
Téorèe . . - S ien ien a e b eux rel rel el el que que a
o ur a Il f '(t) Il � g '(t) po u
o rs < t < b. A lo r
(b) Il f(b)
f (a )
(a ). Il � g (b) g(a).
u t v st d rs ts a < u < v < b a st cts a t b thrèm thr èm s s ddra (v) - f(u) � g(v) - g(u) s f t g st f(v) asat tdr u vrs a t v vrs b ss rstat dat ars f(v) - f(u) - g(v) - g( u) M > O arta gs [a u b = v s m m m (u + v)2 Lgat tragar mtr sr v a ds sgmts [u m m v f(v) - f(m) - g(v) - g(m) M 2
PUV Ns as as mtrr mtrr s
f(m)
- f(u) - g(m) - g( u) M2
a b c dd cs d sgmts gat st ras trs rcd s m tc O btt st d sgmts [an bn ts a b a � . . � an < bn � � b bn an = (b - a)j2n t f(bn) - f(an) - g(bn) - g(an)] Mj2n f(b
sgs ar artagat
HORME DES AROISSEES IS
9
ers n êe nt w a b[ et e a. et b. cnerent ers M2" l (b.) -(w) l ( w) -(a.) l (b(b.).) - (w) (w) (a.) D(w)(b. w) (b.-w)l D w) (w - a.) (w - a.) (b.. -w) (b.-w)- ( w) ( w - a.) ( w - a.).) ( w) (b l D(w) b.b. - w w - a. ( w) b. - w w- a. (b. w) ( w - a.) = D( w) ( w)(b.- a.)(b. a.) Dsns es dex ebres ar b. - a. (b - a)2" e asns tendre ers n bt a cnradcn M(b - a) � D(w) - ( w) Il en e n éslte e e
n
Lntn cndt a érèe récédent, at dner e des ass v d"n C déar dans ne nelle drecn snt erses dans e eent d mo se rad ar n térèe s r, dn n rera la re re dans H art art ou dnn nné é :
appli g : [a, b eux appli cai n c cai c ni ninue nue Supp n que p ur u [a [a,, b] b],, à lexclu lexclui i n peu peuêre êre e ceux un enemble n n mbr mbrable able,, f e g ien fren reniable iable e e que I l f( Il ( . Alr f(b) f(a I l g(b) g (a) Thoèm 1 . 2 S ien/ : [a, b] b] F, F, ù F e un un v n rm, e
Cooa 1 3 S i f : [a, b F une ap appli lica cai i n c n nin inue ue an un v n rm, p p an
une rive f( p ur une u ]a, b[. Supp n qu iill exie une c c nane k ele que u a, b[ Alr f( f( k p ur f(bb f(a k (b a
Il
Il
PV. - rendre
(t(t)) k t dans .
Ns allns sser antenan e nes ls nécssareent
est déne sr n ert V dn e.. nré E
U F e freniab reniable le an U e i le egmen [a, b . b : } e ex xr rmi mi a b U e c c nenu an U al al r Cooa 1 4. - Sif:
f(bb f(a \ f(
�� l sup
D/ [( 1 a
=
{
- .a +
b] 1 b a
Le térèe de dérentan des acatns csées aé à t E [ 0 ] N h( h(tt) ( t) a t b dnne h(t) D ( - t)a tb(b - a) n a dnc I h(t) s D I · b - a t l daer n rlaçant a ar 0, b ar , ar h t k ar s D[ 11·11 b - a 1 PV.
=
O� �
Convx 1 . 5 5 - n d n ssensble V dn .. es cnexe s els e sen V e seen es jn es dans V.
a b
U
Thoèm ds accossmns Thoèm accossmns ns pou po u s convxs 1 . 6. S ien un uve uver r c c nvex nvexee u unn v n rm E, f une appcai pcai n freni reniable able e e an un v n rm rm F S S exie k ell e
U quee Il Df(u Il k p qu p ur u u U al al r I f( f(bb - f(a) Il k . 1 b - a po us a , b E o u ur to o ur P nséence édae de 1 Cooa 1 7 - S ien U un uver uver c ne nexe xe un v n rm E, E,f f une appl plicai icai n freniab reniable le e U an un v n rm F F Al A l r, p ur u a b c U n a Il f(b f(a Df(c) . b - a sup U Il Df(u Df(c 1 b a :
Il ,
U.
0
HRÈMES DE LA MYEE
P P Al Al 1 . à u f(u
dffénl nll l Df(u D - Df(c u don la dffé
D
Paon à d alaon d éla éédn.
2
2 2 hp Théorèe Soin oin U un ouvr onnx dun ev norm no rméé E E f un un a aai aion on dférniab érniabl l alorf onan. d U n un ev normé F Si Df(u) = our ou u d U alor P xo xon n a dan U dégnon a B lnmbl d b U l fb = fa P P onn onn 1 3. ha 1 B fmé dan U a a, o d B n Récpque du théème
x
.
dn bol o onn dan U d ayon o C bol onx a 6 6 bol on o n B a o o dan U Comm B f(y f(x = f(a n o ony d n pa pa d U onnx alo B = U. 3 d d écesse écess e e suse pu pu quue ppc s de csse cs se
non a 2 10 10 d ha on U n o d la omm d . d' nomé n alaon d U dan dan n . nomé n a C dan U ) on alo l dénll dénll all D f U on C dan U o allon o la éo.
Théorèe A v l noaion idu idu uoon uoon qu l d dférni arill xin
=
n ou oin x (x x) x) d d n a E Alor Alor f C n a.
U
U qu l aliaion Df U (E; F oin oninu h a. 1 l d mon Î Dk fa hk d O ha
a h P P a a la foml foml Dfa Df(a . énon
gx = f(x fa k Î Dk f(a (xk - ak Alo Dk g(x Dk f(x - D k fa P l dffénll all on onn n a à o > 0 oond > 0 x dan la l a bo o o d n a d ayon l Dk gx � k 1 l ésl d . 6
n
l g(x � kÎ ! g(x x a an - g(x xk a an ! n � x a � x a k es aba f(x = f(a + Î D f(a(x a + o x - a
n
Comm
D
U cèe de cvegece ufme
U un ouvr onnx onnx dun d un ev norm norméé E f f U F un ui dali aion aion dférni érniabl abl dan un espce de Bnch F Suoon qu xi un u n oin a d l qu la ui ui (a) onvrg onvrg ; 2 la ui Df Dfn U (E; F onvr on vrg g unormémn unormémn ur haqu haq u born d U vr un aliaion g (E ; F Alor Alor our haqu haqu x la ui fn( onvrg onvrg vr un limi limi qu q u lon l on noraf( nora f(x) x).. C onvr on vrgn gn unorm unorm ur haqu ar Théorèe 4 . Soin
born onvx d En f
i f fférniabl érniabl Df Df
= g
HORÈME DE ARD P P ot n bol
1 4 por tot x E on a
ort d ntr a t d rayon > ontn dan V apr
B
I f(x) - /(x) [f(a) - /(a) p I Df(u) D/(u) x a onrg t l a t D(u) onrg nformémnt r la t P P la l a t (a) t (a) onrg Co mm est o mpet lm f.(x) = f(x) t. C raon f.(x) t n t d Cahy d Comm nmnt montr a onrg n n pont dn bol ort d V ll onrg nformémnt r tt bol Lnmbl d pont u d V o f(u) onrg t don ort t frmé dan V. Comm l ontnt ontnt a t V t onn, l oïnd a a V. Atrmnt dt lm f(u) = f(u) t por tot u E V. égnon nor par n part boné oexe d V, d damtr = p li apr 1 4 la rlaton 4 4 ) t nor alabl alabl a x E t par t (a) I + p /(x) Il : l Ja) (a) l fv(x) - /(x Cla montr f onrg nformémnt dan P lm l m Df g o n a prnon prnon lnégalté 4 . ) t t faon faon tndr tndr p r + P l f(x) f(a) - [/(x) - f(a) Il p g(u) - D/(u) · x - a . P la l a onrgn onrgn d D/ t nform r à tot e > orrpond orrpond n n N tl q > N tl mpl p l g(u) D/(u) I < e atr part por q an ho, l t r' x - a mpl I /(x) /(x) - /(a) /(a) Dfa) (x a) I e x - a
4 )
B
B
B
B
Lnégalté tranglar t l négalté préédnt préédnt montrnt mont rnt alor alor l f(x) - f(a) - g(a)(x - a) I ; 3 e x a An An t dérn dérntabl tabl n a t Df(a) = g(a)
D
n n dédt l théorm ant
U un ouvr onnx dun ev normé E f un ui daliaion fférniabl d U n un espace e Baach F Suoon qu 1 xi xi un u n oin a d U l qu la éri J(a) onvr on vrg g ; ) la éri L Df onvrg unormémn ur haqu borné d U vr un aliaion S U (E ; F Alor la éri J(x) onvrg our haqu x d U vr un limi qu lon nora h(x). C onvrgn unorm ur haqu ari borné onvx d U Enn Enn h dférni érniabl abl t Dh D h = S oin Théoèe. .3 Soin
5 Téoème de d Déitio 5 1 ot V R n applaton applato n dér dérntabl ntabl dn d n ort V d R P dan R n dt a E V t n poit itique d l rang d lapplaton lnéar Df(a) t
<
Dé Déit itio io. . 5 5 non R d on prodt alar l C prodt alar défnt la norm t la dtan dtan ll. n déplamnt d R ra n applaton an d R dan R onrant tt dtan onnon-no a a E R t h > h > ormon
p
= [a a a + h
O
[a a + h
n appllra paé d R tot tranformé d P par n déplamnt. L olm d paé t par défnton h.
TÉORMS D LA MONE
Déitio 5 3.3. o-mbl o-mbl E d R" d mr mr ll i o > corrod rcorm rcorm d Ear E ar d aé aé do la omm d olm iférir iférir �.
L lcr morr mo rra a ir dxrcic dxrcic la réio d d famil famill l déombrabl déo mbrabl dmbl En = 2 . . , d mr ll mbl d mr ll rcorir E ar d aé do la omm d olm olm moidr moidr �2"]. �2"] .
Soit f U - R" un aation d la C dun ouvrt U d R dan R". Alor limag f(C d ln lnmb mbl l C d d oint ritiqu d f t un nmbl d d mur
héoèe de ad 5 4.
nul nul d d R".
o us boeos au a u casp = La r r dicil dic il i p > oir . ilor] ous ous omm o d coor PUV. re étape Pao R" ar l cb d côé do l omm doé ir R" la réio déombrabl déo mbrabl d c cb. ar 5 3 il f doc d ror limag ar d la ari d oi crii co da l dr x d mr ll ll Qi c cr r ralaio ral aio o cor or cb l b ié [ ] ". l r ror la l a mr d ll. 2 tape oi oi E C Pi rag Df) < Df) R" oac d dimio dimi o . l xi x i doc hyrla aa ar jx do la dircio coi Df) R" R" ixo > 0 ro y da la bol or �) d cr d rayo rayo � ar ar . . o a fy) ) + Df)y ) + b �) - où b( : Df) Dfu) d r zéro ac �, i Df coi doc la l a diac diac fo mémet mémet cot c otueue su ee com co mpact Comm ) + D ) y - ) E , o oi d fy) lhy lhyrla rla domié domié ar � b( Aii Bx, �) ié ié r r l dx hyr hyr la la aralll aralll do do la dia diac c � b( qu e f(y) ar ar mor fy) - f) : Df( ) · 1 y - x 1 . En sor sorte que da la bol d cr cr f) d rayo a où a Df(u) rémé , ) ié da cylidr droi do la ba lircio d ac la bol d cr f) d rayo a do la har 2 � �). l clair , )] cor cor da aé aé d d R" do l ôé aralll o d logr a b do l côé rdiclair d logr 2 b �) L olm d l aé
n
u
n 2 � a" • b e étape Parago chac d côé d cb ié ari égal. obi " cb d côé . Chac dx dx co da bol d rayo � héorm d Pyhagor Crai dr x co lmbl d d oi crii Lr Lr imag imag ar lalicaio lalica io doc doc co co dar dar la 2 éa éa da da aé d olm 2 n an b l rél ) co da la réio da l " aé aé do la l a omm d olm 2 n • a" b b d r zéro i + 0 oici lim lim alicaio, d grad imorac rai rai d héorm héorm d accroim fii
Itég to des foctos foctos égées égées et téoème fodmet fodmet du ccu tég t ég Itégto
espaces e aach o l ac d c aragrah aragrah o o d espaces
<
octio e ecaie. 61. oi F ac ac d aach aach b a boré d R écoo [a b] rall ar d oi a = a
an b
3
GRA DES S RGLES E HRÈE DAEA
G , X
,X
X,
dss ecters C 1 • • C d e F La fct f a ] F , dée par f(x) = C a sappele pr < a f(x) C2 pr a < a • (x) C pr a e fct fct e escaer. esemble de ces fct fctss sera té t é a ], F dex fc fcs s e escaer e prd pr dtt pa scaare scaar e d'e fct fct e escaler La smme de dex st des fct cts s e escaler srte qe a ], F est e e Pr P rs s a premère premère assert Set g a ], F ; sppss qe f(x = C p a x < a 0 e g (x) pr x < 0 j rms e sbds de a ] e sérat etre a et ass terae de cette cette bds bds f et g st cstates dc ass f + g les pts a a car qe co co est e rme la rme a ] pss f o sspp fx) est car S fE a de la cergece cergece frme frme sr [a ]
,
octo églée 6. 2. espace 9[a ], F des fcts réglées es e cmpt de espace rmé a ], F] F] e fct réglée est dc mte frme de s d égé éee ee fc ct tss e escaer. xempe e ft ft cte c te h [a ] est ég te sr e cmpac cmpac a b h es fmémet cte. tt eter > 0 rpd p Chss d dc p > 0 tel qe h(x) h ) s x [a ] et 1 x 1 < p bds a a < a < < a ele qe a - a 1 < p p 0 . t défsss J par Jx = ha pr a x < a (x) = ha ) pr a x < a: . pr a x a demmet h co et a ste de fcts e escaer cerge fmémet ers h sr a ]
·
E
,
pr égae d'ue foctio e ecaie. 6.3 S fx) = pr a_ x a ltégrae de f etre a et est par dét
G , x < a fx) =
C
(a - a C
fx) d O érfe sas pee qe a ], F est éare. éare. ate ate part part légat légatéé traglare traglare das F mplqe D , ( - a) a) f 1 co Lappcat éare est dc cte. s l sère mbre u etre a et t sas pee qe fx)) dx fx) dx + fx) dx fx =
""
v
lrqe < u, e dédt dédt a reat dte de Chases) f(x)dx f(x)dx + f(x)dx pr ts u [a ]
S l l cet ce t de pser
iw
v E
égae due focto églée. 6 4 S fE � est mte frme de ste de fcts e scaer sca er a ste s te cege. eet eet éta état t éare éare ce est e ste s te de Cachy de F Puq u F t compe ( ) cerge (cest prq les espaces de ce paragraphe st des espaces de aach) fat m ) e déped pas de la ste tlsée t lsée pr apprc apprcher her f frméme f rmémet t : s est e atre ste cergeat cer geat ers f a f c + J gP co ted ers ér s p dc < J - ( gP) l ( - a) co ted ers ér é r s p + est par cséqet lgtme lgtm e de dér ltégra l tégraee de f etre a et par
,
f
= f dx = !! ff)
HORMES DE LA MOY
4
Les popiétés siates résltet de 6 . a) : � et néae néae eet, si resp ) est e site de octios e escaie coegeat iomémet ers la octio églée f resp ), alors + coege iormémet ers f + et / ) lm + ) = lim li m + ) = lim ) + / lim /) (f + ) e même (kf k (f si k est scalaie és lte sas peie de l'iégalité aaloge por les octios b) Il /) � (b a l f li u qi éslte applicatio liéaire co e escalier et de la cotiité de X l X F patiie est e applicatio tie c La relatio de Chasles sbsiste sbs iste po po les oct octios ios églées églée s éicatio éica tio aisée) , si L K cops des scalaies) est e applicatio liéaie cotie et si f E � alos L o f est e octio églée et L [ /) = ![ eet si s i est e site si te de octios octios ![ J eet e escalie coergeat iormémet ers alos est églée et coerge iormémet iormémet es
-
L
L
Piitive due foctio égée. 65. Soi Soit e octio déiie s iteralle a b) [qo e sppose pls écessaiemet boré ales das , et églée s tot itealle ermé boré de (a, b)
ot dabord, coeos de pose comme e 6 particlier
O
si si
u v
uu
E a b) et si <
Soit ombre om bre xe abit a bitai aie e)) de a b) O appelle appe lle pimi p imitie tie de la la o octi ctio o déiie e e x E a, b) pa )
t) d
emaqos dabord qe bie q'il existe a pioi pioi e iité de primitie primit iess déped de ) dex primities 1 et de e dièet dièet qe par p ar e costate eet eet,, la relatio rel atio de Chasles etaîe ) ) =
X
t)dt -
ate pat pat si est es t cot coti ie, e, o a Théoèe. PEUVE
2
t)dt
X
)d
Un rimiiv rimiiv G dun fonion oni on oninu oninu d la la 1 G
Chases et 6 . . o a 'après la relatio d e Chases
+ h ) ) ) ) h
h -
e t le théorè théorème me réslte alos de
qi ted ers éo si h
)
) dt
t) ) d t
h Il
h � sp
o pisqe est cotie
t) )
D
Soin E F dux du x a a d d Banah Bana h U un 1 ouvr d E f : U - F un aliaion d la Si x + y E U our ou E [ 1] alor
Théoèe fodaeta fodaetall du calcu itégal. 6. 6 f(x f(x + y)
= f(x) +
0
Df(x + y) y . d.
R S S RLS RM M
5
P P ) ) = f(x + y pr 0 � � 1 S 0 < 1 < e thérème de dffére tat de applcat cmpée etrae etrae ( = Df(x + y)y. é ) = f(x =D x + y)y Dx + sy) y ds pr 0 � t � 1 aprè e thérème précédet, a h ( =D
P.
pr 0 < 1 < Pa Parr te te ) h( thérème d pa parag ragrap raphe he 2 ( = 0 pr 0 < < 1 e t l e thérème etr e tra ae e = ctate pr 0 < < elat at ecre pr 0 � 1 , p p ee et t ct cte e a ) ) = ) dc ) = ) ce pr pre e thérème
D
3
NOTION DE DIFFÉOMORPHISME RÉSOLTION DÉQATIONS
Ce cape es consac a souon dquaon ) usque exsence de sou ons es obenue gâce a convegence dappoxmaons successves, e cade es ceu des espaces compes C'es pourquoi es espaces de ce captre sont tous des espaces de Banac
à
émes
# O
S S R R e alca alca cûme dff dfféreable éreable elle qe (a l ese dc dc eralle er / ea a garde sge csa sf sf r er les dées) dées) As es es crssae crssae sr e réalse e bec bec de sr leralle er er J ) S es es asse asse s s de ja cesdre s J léqa fx a dc e sl F ) are ar sa qe F : J es cûme dfféreable e qe e fc fc C de ) ) ) . La sl F 1 ) es dc e Ces ce ce résla résl a classqe qe s alls all s gééralser
Dfféomopsmes
Déitio 1 1 Se U er d e e rmé E, V er d e rmé rm é F s r V s es e bec bec O d qe alca f U V es dffémrhsme de U sr 1 e s e lalca lalc a erse er se s de classe C
t
g dfmsm de dffémrhsme d demla C are magare z M
>
s R 2 z 2 0 } sr C R
t
d démrhsm émrhsmee U V es es hmémrh hmémrhsme sme,, car e 1 ca 1). as hmémrhsme de classe C s dfféreables dc ces 1 3 ca es as écessareme df dffémrhsme, émrhs me, car 1 e e as êre déreable As es hmémhsme hmém hsme de classe C de R sr R efs 1 1 es as déable lrge
Remarque 1
S U es as de de e s : U V es démrhsme alrs E e F s smhes arcler lers dmess s égales s elles s es eff effe le érème é rème de de dff dfférea ére a des alcas alca s cms c msées, ées, alqé al qé d eraîe DF u) o Du d s u As D) E F) ssède ers D u F F E) Défiitio t remarque 1 O d qe qe U V es éale e de classe C s es de de class C e s Dfu (E F) es smrsme smrsme de E sr F r u U. démrhsme de classe C es dc éale a récrqe es eace f 8 R R cs 8 s 8 R { es éale car cs cs ss dé Dfp dé p # O. s c cs Remarque 1 . 3 3
=
S L MS
7
ts st pas démrpsm, ca l st pas ct. a as st lt R R st tr trp p ga gad d l l sbst sbstta tat t l lrt rt U R { 0 < < 2 } applcat dt dt d dmpsm mpsm d U s ( U ) Cla c cd dtt a a ésltat damtal sat
2
Ecé du téème dves cae
E
St U r d d spac d aac E E appcat d cass 1 d U das spac d aac F S pt U, D) st smrpsm d E sr F alrs l st sag sag t d t sag rt J d ) ts 1 J st démrpsm d cass 1 . ps a détl a pt () J d lappcat rs st dé pa D 1 ) D) 1
E
R 1 Pss ) térèm pécéd arm q éqa () admt st pr s stt cs c s ass s d b t s é ass s d
as de a dmes e
s als démt l téèm drs cal sq la dms d E t d F st r étap. A Acc s tats d téèm téèm bss pt spps ) ) 0 1 E F t D) D) d l s s d mplacr ) pa pa () D D) ) ) ( (). ). cr rs sp pd d 0 tl < mpq Psq q D D st ct ct 8 E ]0 c 2e étap. Ps D) D) < 8 Ps t das la bl rt B ) d ctr t d ay t sppss ) = ) Ps D) d d l térèm damtal d calc tégra tégra cap. 2) mpq
(3
0
e
(x)) I l = = l fx + y) - f(x
f
Df x
+
t . y) y d t
D ) D)d
Il
8 . 1 8)
As 0 t s jc jc sr B, ts matat q lmag par d la bl B /2) ctt bl B pr o < < 8)/4 étap ss B( ) La b rmé ( /2) d ls lspa pac c E d nson stt cmpa cmpact ct a ct ct Ï, Ï, /2) - Il ) ni s Il attt dc sa b ér pt ds q st pt térr d la bl S /2 l téèm damta d cacl tégal t D() d traît
()
8 1
D() D() d
8)/)/22 2 As ) ) z ) () La b ér pt dc êtr att sa tèr tèr d B /2) q Pss Pss k ) 4e étap. ts q k < t 1 k 1 ass ptt
NOTION NOTION IÉOOR IÉOOR ROTION ROTION ÉQATIONS ÉQATIONS
8
pur que x0 + y < e2 cest pble calcul tégral eraîe I x + y) f(x) - Y l
B ej2)] Le érème fdametal du
Df + ) - Df()y d
l i
e par sute lf(x + y) Il l f(x + y) - f(x) - Y + lf(x) - + Y Il (x0) + k - k k f(x0 Y + + k) f(x) - l l Puisque 1 + k - k < la défi défii ii i de x0 mtre que f(x) Pss s B e/2) 1 B r) Cest u isiage uer de car est es t e éape. Ps J f( f( es ue biecti biecti rs que l'applicai ciue ciue après ce qui précède f ierse es cue Si y y + k J il existe x, x + h els que f(x), y + k f(x + h) après a Il f(x + h) f(x) Il l ) h , d Y + k - Y Y 1 k - < J est ue mémrpie de classe résumé: l rese mrer que f est es t diff différeable éreable et que sa s a diéreti diéretielle elle e y est Dff )] u e le fers pas ici car la preue preue 'est 'e st pas plus dic dicle le e dmesi d mesi ie e elle el le sera dée au paragrape paragrape suat
=
. 2. O peu smplfier la e étape. émtrs dabrd u lemme qui us Raqu 3 .2 sera utile ultérieuremet pur daures s
Soi i A un sousns sousnsmbl mbl dun du n v nom E. Si Si laf lafonion : A R s s dférniabl érniabl So voir 1 ha. 1) résn un minimum n un oin a iériur à A alors Df(a)
=
P P Si Si h E Pusquil Pusqu il exise u uer cea a e cteu das , alrs a + h pur et asse pet La fcti diéreiable f(a + h) R est dc miimale d f(a + h) pur c ar h est arbtrare Df(a)h, et Df(a) d
= O
=
Ceci Ceci prué prué e puisque E es de dimes e utes les rmes de E st équialetes Appedice A. 2 7 .) O peut dc suppser qul exise sur E u prdui iéreur el que < X X désse le carré de la rme La fcti x < f(x) - f(x) - est dc miimale pur x = x0 cris que sa déreelle e x0 es ulle O biet règle de f(x0) f(x0) - Leibi 2 9. cap cap Df(x0) t puisque Df(x0) es iersible iersibl e f(x0)
O
Rarqu 3. 3. La preue preue précédee présete deux icéiets ic éiets abrd ab rd elle uilise uili se de dimesi e ir . ieudé p pur la récipr récipr la cmpacé lcale de E, qui es de que u espace rmé lcaleme cmpact est de dimesi ie] suite suite elle e furit furit pas u algritme permeat dapprcer eectieme eectieme la slui. La preue qui sui a u affracir de ces faiblesses
euve du téoème dveso oce Cee Ce e fs fs E et st s t des espaces de aac quelcques quelcques La preue a écesster u certai mbre mbre déapes
u u
Ivrio d'u ioorphi d'pac d'pac d Baach Baac h 1 Lesemble G L (E ) des sm sm 1 psmes de E sur es u uert uert de (E; ) et lapplicai : de GL (E; F) d GL E) es cue
PRUV U ÉORM IVRSO LOL
9
G L (E ; ) supposé non vid, sinon ou On pu supposr E F n si GL E) s coninu qui sui s rivial, lapplicaion u u d Y(E; F dans Y(E ; E) aur qu limag invrs invrs d GL G L (E; E) par c c applicaion. appl icaion. GL (E ; ) ns aur oi u GL (E; E) Y(E ; E) Nous allons monrr qu u + GL (E; E) si Po ur simplir, désignons désignons par lappicaion idniqu id Puisqu u s h < u Pour nvrsibl qu u + = + u 1 i suf d prouvr posr posr u ) qu 1 - s invrsib si = u Il � l u < Pour ca inspironsnous d la formul ) 1 + + , où x R, 1 < , considé considérons rons a sui sui X Y(E ; E) car [voir X 1 = + . . , X + + + . C's un sui d Cauchy d Y(E A24] on a Il Xv q Xv l = v + + v + q � l llp + · · + l v q qui nd E) s comp Puisqu qu (E ; E) comp [ voir voir A 2 3 X convrg rs éro si p + car l l < Puis 1 rs un imi X ais ( ) o X " = a composiion s coninu voir A 3 4] r 1 0 si + donc ) X = X s l'invrs chrché d . ardons ls mêms noaions monrons qu J s coninu coninu o u lim (u + ) ) ( 1 o u = lim · · + ) u 1 . PE PEVE VE..
Puisqu + · + l � Il l nd nd vrs vrs zéro zéro si +
+ · · · + il l � � h · 1 1 u On a donc donc bin li m I J(u J( u + h ) - J(u) J( u) l O.
u o h 1
4 2 prnon prnonss ls noaions noaions du paragr paragraph aph 2. étap. Comm au paragraph paragraph 3, on pu pu supposr a Of(a) = 0 E Do) = id . étap. Posons ) = x ). ). On a o) o) = 0, Do) = O. Puisqu D s coninu, il xis donc r > o l qu x E Bo, 2 r) impiqu (x) � 2. L héorèm d d la moynn 6.6. chap 2], applicabl dans la boul Bo, 2 r), qui s convx, monr qu I ) l = Il ) o ) � x 2 < insi Bo Bo 2 r) Bo r) Prnons Bo r) ; nous nous alons voir quil quil xis B(o B(o 2 r) uniqu qu qu ) ) = , s--di s --dir r ) = , si lon a posé h(x) = + ). udions h i B Bo 2 r), on a ) ll � l l + ) Il � 2 r s donc un appi aion d Bo 2 r dans llmêm l lmêm aur aur par, 6 chap. chap. 2), 2) , appliqué dans dans la bou bou Bo 2 r), donn I h(u) ) ll ll ) ) ) I l � l u 2. Ainsi s un u n conracion conracion d Bo 2 dans l-mêm. après héorèm du poin x d anach [Appndic ] xis donc donc un un Bo 2 r) un sul l qu qu ) = cs-dir ) = . n résu qu i xis Bo, r) Bo, 2 r xis étap. étap. onrons qu s 2lipschiinn, c's--dir qu, pour ous , Bo r) ) r 1 ) Il � 2 l 'après la 2 éap on pu écrir = ), = ) Bo 2 r Avc la déniion ) + ) d , on n dédui l u l � Il ) ) Il + I f(u) ) Il , PEVE
THÉOÈME
c
et.
y
isque puisq
I g ( u ) - g (v) I l
� Il u
v 1 /2 , I
u
-
v Il
�
I 1 ) 1 ( Y)
2 . f(u) - f(v) 'est -àd (v ) I l ; c'est à dire
� 2 Y . étap. onrons qu 1 s d cas C 1. Puisqu [f(x) 1 s la composé ds pplicaions coninus f J voir 4 ] ll s coninu On a donc pu choisir nombr r ial assz pi pour qu [f(x) 1 xis sur Bo 2 r) ; d pus, sa coninuié monr qui is un K o l qu I l [DW 1 � K sur Bo 2 Cci posé, soin + k Bo r) ors = ) + = on dans Bo 2 ) ) On a
3
NOON E ÉOMORPSME RÉSOLUTON ÉQUONS
1 (y k - 1 (y (y - f(x f(x] 1 k = (x ) x f(x] f(x - x = f(x] 1 f(x ) f(x - f(x f(x ) f(x - f(x (x ] f( as x - f(x - f(x s t pusqu st 2pschti 2 pschti k (x ) x k = r 1 ( Y k r 1 (y k 2 résut qu 1 st différtll t qu 1 ( y = f(x 1 Ca sécrt cor 1 f qui st cotiu comm comm composé dappcatios cotus. cot us.
D
a cotuté d f st sstil Ais f : R R déi par x si x (x x2 ( x f(x = X st dffértiabl t o) Cpdat 'xst pas dintrval ouvrt cotat o sur qul f sot vrsi vrsib b l l prouvr) coollaie : Théoèe divaiace du doaie 4 4 So Soin in U un ouvr ou vr dun a d Banah E f U - F un alaion éal d la C dan un a d Banah F Alor ( U un ouvr d F PUVE. Coséquc mmédiat du théorèm précédt par hypothès u st u isomorphsm d E sur F pour tout u d U
{
Reaque 4 3.
5 Le téoème des foctos foctos mpctes
tudos a a foctio foctio f : R R dé par f(x y x2 y2 - f(a b = 0 il xist u itrval cotat a t u itrval B a b 0 t f(a cotat b ts quà chaqu x corrspod u uiqu y B satisfaisat f(x y y . Cla dét dé t u focto focto x y = (x B vérat fx g(x O as as cas prést 2 2 g(x x O aurat pu assocr au ombr a u autr ombr c éga c à - b t qu f(a c Nous Nou s aurios aurio s obtu u u autr foct focto o égal c à t qu fx (x . O dit qu chacu chacu ds foc focto toss t st dé dé impicitmt imp icitmt par par l'équato f(x y = i ous avios choisi a = l ut été mpossbl d trouvr u t foctio déi su u trval ouvrt cotat a Plus gééram gééram sot équatios (x y 0 = , à icous y =(y 1 • • • y dépdat d n paramètrs x (x 1 , • • x upposos qu (a b = 0 = pou c oditos puto attachr à chaqu x vois a (a 1 • a t b (b 1 • bm ous quls coditos s équatios J(x y 0 ? théorèm qui va ou d a u y uiqu t vos d b vérifiat s occupr do u critèr simp pour répodr à ctt qusto
E
m
m
m m
m
F Suoon qun (a, h E U V, la d dférni érni arill arill D D f(a, h E F G) oi iomorhim d F ur G Alor i xi un voiinag A d a, un voiinag d f(a, f( a, h aaion uniqu g 1 A , d la C , l qu, our ou (x, w E A aifx, g (x, w = w PEUVE. appcato < U V E dé par <(x y = xf(x y st cass C 1 t sa dértil dértil (a b st s t doé doé par
F
dux a a d Banah, U un ouv ouv Théoèe de foctio iplicite 5 1. Soin E dux d E, V un ouvr ouvr d f un un aliaion d la C 1 d U V dan un a d Banah
<(a b( k (a b 2 f(a (a bk b k pour E, k F Pusqu 2 f(a b st u somorphism <(a b st égamt dvrs k 2 f(a b 1 k ' - (a b '] pour E, k
E
L ÉRM S S MS
3
après héorèm dvrso dvrs o ocal s u déomorphsm d cass 1 du vosag d sur u vosag d b u à rédur c vosag d b o pu supposr u cs produ du vosag ouvr V d par u vosag ouvr W d déomorphsm vrs s évdmm d la form x .x g 1 x ) app ao g 1 W V s lappcao lapp cao ch chrché rché..
coroar qu su répod à la quso posé pos é das roduc roduco. o. oollaie 5 2 Ga ado don n le hypothèe de de 5 1 . et up uppoon en oute que f(a f(a b) =
o l exte un vonage A de a un onage B de b et une applcaton unque g : A e clae C tel que fx g(x) p pu u tout x A De pl plu u
=
Dg(x)
D(x g(x)) g(x)) o D x g(x) D(x
B
x
PUV su d prdr gx g 1 x o) B g 1 A { o }. aur par e héorèm d dérao ds appcaos composés appqué à x gx) do D gx) + Ddx gx) Dç]x O as pusqu pusqu D s cou cou D b vrs
o
=
(x y vos d aors 4 . 1 cha chap p 3) mpl mplqu qu qu D x gx) s vrs. a drèr drèr
D
ar du coroar résu résu
eaque 5 3 3 K ou C s E K F = K m s = /1 • • • ) a codo D b vrs xprm qu dérma d d a marc marc doéém occu a a -èm g laèm colo s D b b s pas u
r r
+
Soent et F deux deux epace de Banach U un ouv ouvet et de et f : U F une héoèe 5 4 - So
•
app pplcat lcaton on de clae C Faon le hypothèe uvante : J(a) a) et ujecte ujecte en a U a) DJ( b) exte un ouepace de Banach de tel que ot la oe decte du noyau e Df(a) et de E E•• Alo f(U) content un vonage ouvet de f(a)
E
PUV. Osrvos
daord qu pusqu D) E F) s cou so oyau E 1 u sousspac frmé d Cs Cs doc u spac d d aach. aa ch. marquos su qu hypohès b s supru s E s d dmso ou s cs spac d Hlr daprès héorèm d a proco o pu prdr pour E orho ompém d E1 . possèd u Cc posé daprès a déo d E appcao V E1 E F possèd ér par cou D ) E F qu s u somorphsm. s hypohèss ds ds éorèm éor èmss 5 . . so doc doc vérés vérés V) co ouvr W x xh hé é 5 . .
c
D
5. - Nous a e applicatio 5 . 5. aos os mor morrr sur u u xmp xmp comm l héorèm héorèm 5 . 4. u srvr à prouvr xsc d d souo so uos s déquaos déquao s dérls. dérls. E s spac d aach o ds focos u : [o R d class 1 ormé par ut) 1 sup 1 ut) éudé ( . 5. Appdc A) F s lspac d aach l sup 1 1 o ds ocos ocos cous g o 1 ] R mu d a orm orm d a a covrg covrgc c u u or orm m ap app pc ca ao o E F s s dé dé par par fu) t ut) + ut) ous o us avos vu 1 . 5. chap. chap. ) qu s d class qu Do) Par coséqu D o o Do) du prm prmv v d g surcv daprès 6 5 cha1 p. 2) g [o s lmag par Do) o o sa o saqu qu s sda das s [o a aur uree pa par r E r Do) s s sm m d dss o oc cos os osa os as s E s s l sousspac sousspac d aach d E do s ééms so s o s focos focos u d gra u sur [o o a évdmm E E E
E
Cuu j
I
3
E ÉMRPSME RÉSLU ÉQUS
aprè aprè hé héorè orèm m 5 . 4 x x donc o qu o vér g (x) 1 pour pour ou ou o aor aor x x [o qu u'(t) t. u 2 (t = g(t pour our o o ote 5.6. Nou rvndron ur héorèm héorèm d foncn foncn mpc mpc ur coroar coroar au chapr Conjugaon coordonné oca cur néré rouvra à appndc appn dc C un agorhm agor hm d conrucon d a racn dun équaon f(x o, qu améor condérabmn agorhm du héorèm d anach ué dan a pruv du héorèm dnvron oca nfn nfn appndc donn dux héorèm dinerion obae
4
DIFFÉRENTIELLES DORDRE SUPÉRIEUR
Ce chaptre est consacr aux dffrentelles dordre supreur dune applcaon dfren ae, aux règes de calcu es concernant e la ormue de Talor
à
1 Dffts succssvs èm d cwz f : U F un appiation diérntiab. ot E t F ds .v. normés U un ouvrt d E f La di diérnti érntil l d st un appliation d louvrt U dans l . v. normé !E; F) On put don s dmandr si Df st diérnti diérntiabl abl n a U ou mêm n tout point d U Dénon 1 . 1 .
On dit qu fest eux fs retabe retabe e a U si Df st diérntiab
f(a)) Cst un élémnt d !(E; !E; F) quon diérntil l d D Dnn a st noté D f(a n a. a diérnti appl a retee retee see e fe a.
in ntndu a dénition nxig pas q Df xist n tout point d U sut qu Df soit déni sur un voisinag ouvrt U ' U d a t soit di diérntiabl érntiabl n a. i Df U !E; F) st diérntiabl n haqu point d U on dit qu st dux ois diérntiab dans U. i st l as u U - D 2 f(u) st un appliation D 2 f U !E; !; F) retee see e f l s put alors qu D 2 soit F), , quon appl la retee ontinu dans U ; sil n st ainsi on dit qu f est e e ass assee C 2 as U vdmmnt vdmm nt s dux propriétés propriét és suivants suivants sont équivalnts a) st la lass lass 2 dans U stt diérntiab diérntiab dans U t Df st d lass C 1 dans U b) s applons qu !E; !E; F) st anoniqumnt iso Inrpraon 2 mop à l.v. nomé 2 (E voir mop voir 4 Appndi A imag d D f(a) !E E; F) tt isomorphism st s t don don un appliation bilinéair ontinu d E E dans F qui st dans déni par (h (h k) D f(a f(a)) h k D 2 f(a) fait orrspondr à h E lélémnt D 2 f(a)h d !E; F) t limag limag d k E par tt tt drnièr drnièr appliation st D 2 f(a) f(a) h k qu lon notra 2 D f(a)(h k)
x
upposons f dux fois fois diérntiab n a Appiquons la formul formul . ) du hapitr à Df :
Cacu
D 2 f(a)h
0
d Df(a + t h) = D(D D(Df) f) (a) h = dt
On obtint ainsi un éémnt d !E; dont a vaur n k E st d Df(a th)k D f(a) (h k) = dt
+
ais touours daprès la formu ap. , Df(a Par co nséquent, D 1 f(a) . ( h, k)
=
� . dds f(a
+
t h
+
th)k
s . k)
lr = s o·
t h sk)
s o
34
RETELLES ORRE SUPREUR
pnons lapplicaion blinéa coninu b : E 1 E F d 3. chap. chap. a (a , a 1 , ) son dux élémns d E 1 E, on a vu qu Db(a h = 1 a + b(a applcaion Db b(a , ). applcaion 1 E E E F) chap. ) a dénll xs donc s donc un applcaon lnéa lnéa connu. con nu. ap chap. ll s consan. C consan s lélémn D f(a E 1 E F) don la valu sulsélémns 1 ) , ) d E E sD f(a(h, ) = b(h, k + b(k , h , comm on l voi auss n ulsan 3. XM AATO ÉA OT 4
v
Théoèe de chwaz 1 . 5 S f U E F e e deux fo dférenable érenable en a U, alor Il f(a + u + f(a + u) f(a + + (a) f(a)(u, u + end ver zéro u e enden ver zéro En parculer parculer f(a) e une fore blnéare érque f(a) f(a) (u, (u, f(a). u)
v v pour ou u, v E.
v
v v
v
Pus Pusqu qu Df s difféniabl n a, à ou o cospond un o l qu l x l naîn Df(a + x - Df(a D f(a x Il �:. 1 x Choisssons u v d nom inféi à posons f(a(u (u,, v g(u = f(a + u + v f(a + u f(a + v + f(a D f(a nons comp d la gl d dénaon dun applicaion lnéai coninu u N D f(a (u, v, on a DgCu Df(a + u + v Df(a f(a + u D f(a v [Df(a f(a + u + v Df(a D f(a(u + v ] [Df(a + u Df(a D f(au] , naîn Il Dg (u) I l � 2 �:.( 1 1 u I l + I v I l ). Applquons l hé héo om m 4 chap. chap. à g dans la boul Bo l u l) Puisqu g(o o on obin g (u = Il g (u g Jo (11 (11 u l + l v 11).1 u .(1 u l + v , la pm pai du héom n ésul. Puisqu f(a + u + v f(a + u f(a + v + f(a s syméqu n u v, il n s donc d mêm d D f(a(u, v PVE.
6
6
énissons mannan ls dénlls do qulconqu n pnan ls noaons du débu s un applcaon dun dun ouv ouv U dun .v. nomé E dans un .v. nomé F onvenon que l'exp l'expre re o onn « fe une fo o déren érenab able le » gn gn ee « f e Déto 1 7 Convenon dérenable ». Nou alon dénr, par récurrence ur l'ener n o, l'exp l'expre re o onn «f « f e n fo dféren érenabl ablee dan dan U » e e la dféren érenele ele f(a) d'or d'ordr dree n de f en a U
·
appelo appelon, n, à ce ce effe, que l' l' noré de applca applcaon on lnéa lnéare re con connue nue de E dan ' ' noré (E F) de applcaon (n 1)néare connue de E E(n E(n 1 fo) o) dan F e canonque canonqueen en oorphe oorphe à (E (E F) vor 4 2 Append Appendce ce A Cec rap rappelé, pelé, o n d d que f n fo dfféetabe e a U 'l exe un vonage vonage ouver ou ver U U de a où f e n 1 fo fo dféren érenable able en chaq c haque ue pon, pon , e l'applcaon l'applcaon u U 1 f(u) de U dan F) e dférenable érenable en a a a dérenele de 1 f au pon a e noe f(a) e 'appee a dfféetelle d'ode n de f a. C'e un éléen de h) E e e noé noéee f(a).(h , , h) E E (E (E F) F) "(E F), F), e a vaeur en (h , h) 1 Expre Ex preo onn égale, d'aprè d'aprè la dénon dénon êe, êe, à f) (a) (a) h ).(h, , h). e leceur vérera vérera l'équvalence de la la dén non on précédene avec ave c la uvane f e n fo dérenable en a elle e dérenable dan un vonage ouver U U de a, e Df U (E F) e (n 1) fo d dférenabl érenablee en a. S fe fe n fo d dférenable érenable en chaque chaque pon po n de U on que f f n fo dfféetable da U S' en e an, u f(u) dén une applcaon f U (E F), qu'on appele
c
c
ÉRENELLES SUESSVES TÉORÈME E WARZ
35
l p pplcton plcton D f et contnue contnue dn dn on dt que f es de l dérenele d'rdre n de S l lecteu vée l'équvlence de cette dé dént nton on vec l uvnte : f et casse C dans e lecteu de cle C dn f et de cl clee C dn et Df Df et de cle C dn Obevo Obevon n que, q ue, puquun puqu unee pplcto plctonn dféentble en un pont et et contnue contnue en ce pont, une ppcton pcton n fo dféentbl éentblee et e t de cl c le e C"
.
F. 1 8 La néarité d la dérntaton montr qu ls appcatons Les espaces F. d cass cass ormnt ormnt un un .v. on notra notra U U F) n particulir U st f : U F d spac ds appications contnus d U dans F Lntrsction Lntrsction U U F) s not U F) ss éémnts sont ls ls applications f : U F qu sont d class class pour tout ntr n > O. On dt quun tl élémnt st d ass ou c qui rvnt au mêm st infinint ntiab c'stdir n ois diférntiab pour tout n
E
EE
.
Généralsan du hérèe de Schwarz 1 9 S f : U E F et n fo d déentble en lo lo D f() !(E; F) et une pplcton nlnée yétque. Auteent dt, pou tou h t > h E et pou toute tou te peutton peutton de ente ente { 1 . , n }, on D f h > h)
= D f hs
l
hsn )
. . La quston n s pos qu qu pour n 2 t l théorèm 5 y répond s n = 2 upposons donc n 3 t prouvons théorèm par récurrnc n l supposant vrai pour n ar hypothès D " fa DD" f a 'autr part • st valurs dans l sous spac E ; F) d • E F ormé ds applcatons n )-lnéars symétrqus. Par a h " E; E; pour h 1 E t sut D "fah 1 DD" f a D " fa h 1 • • • h = D"fa h 1 h • • • h st un fonctio fonctionn symétriqu symétri qu d h , • h la prmutaton prmutaton lass l nombr nombr , , théorèm théo rèm st donc démontré. démont ré. la prmutaton n lass pas ll nombr 1 ll ll st l produt d prmutatons lassan la ssantt par un prmutaton échangant ls ntrs t 2 n lassant 3 . . n s. L théorèm sra donc démontré s l'on prouv qu D " fa h 1 h h n c c ang pas lorsquon échang h fa ; donc n appliquant théorèm t h as Dfa = D • fa théorèm 5 D "
=
=
c
sot n os 1 10 upposons qu f : U E Cacu de D o s df dférntabl érntabl n n a U n appquant appq uant d açon açon répété la l a ormul ormul 1 2 chap. cha p. on obtnt a générasaton suvant suvant 3 d ( 3 t h D " fa h h = dd . . . dd f a + ( 1 {1 ln où h h Ctt ormul ormul ramèn l calcul d D " fa clu ds dérivés succssivs dun oncton d variabls réls t 1 • • • t t vaurs dans F L nombr nombr d d drot d . l) généralis généralis la notion d dérivé dérivé d f dans la drcton d'un vctur h d E otons d"fa opératon qu assoc h 1 • • • h E" c nombr d drot ququfos la dérvé d Gâtau dordr n d au pont a] ous allons démontrr [on lappl ququfos un généralsaton du théorèm théorè m du paragraph 3 du chaptr 2
Ïll
1 Supp hérèe 1 1 Supps sns ns que que a) d"f x exte dn un vonge ouvet de f(x) ! (E ; F pou tout x de f(x x ot contnue contnue Alo f et de de cle cle C en et f( f( c) f(
E
Df(
36
IRLLS ORR SURUR
=
onrons par récurrnc sur . i ) st dérivabl dérivabl n n o pour ou ou U t pour pour out out E sa dérivé d dérivé d) ) dépnd dépnd continûmnt d Posons où o t I I ass pttt pour qu U Aor pt Aorss + s t ) st dérivab n t o sa dérvé d ) , qui nst nst aur aur qu qu a dérvé dérvé n d ) s coninu. L héorèm
PEVE.
+
+
+
fondamntal du cacul ntégral ntraîn donc Par sui ) ) d) + )
=
I
I
d
+ h )
) d) d
d
+ )d.
l d + ) d) d
qui s un o puisqu d) s connu n Ains D D xis, ll s égal à d) Ds Ds donc don c contin con tinu u n upposons upposo ns héorèm établ pour pour Par hypothès, t t daprès héorèm fondamnta du calcu inégral d 1 h ) - d d 1) 1 .. . , ) D 1 ) D 1 ) ) = d
I
+
d + ) . . . , 1 ) d .
On n dédut [D 1 + ) ) d) 1 ) l
I
+ )) d) )d Il h . . . I I · ) ) d . I l d + ) d d
Puisqu d s continu n , lnégral tnd vrs éro avc h l n résut qu D 1 + h) D 1 ) d) o I D ) xist donc l s égal à d) d ) t l s donc conn co nnu u n .
2
Règes de ccu
Appicaion inéaire coninue 21 i s un applcation linéar contnu contnu d .v. normé dans l.v. normé F on sat cha chap. p. ) qu sa dérntil dérntil st constant. onc D = o pour n t s d class class
_
Appicaion biinéaire coninue 2 2 on E E t F tros .v. normé norméss t t F un application bnéar coninu. On sat 4) qu D st différntiab t qu D st un constant. onc D o pou pourr 3 t s d ca cass ss
Rège de d e einiz einiz 2 . oin F 1 , F t ds d s v. v. normé normés,s, U un ouvrt d U F U F ds appicaons d lass F F un applcaon biinéa contnu. cont nu. énissons comm comm n 9. chap lappcaton U _ par ), ), ). ). Aors Ao rs s d cass cass
RLS LUL
3
Slon chap t diénta diénta n a U Suppoon f t g d cla C Slon on a
PEVE
t p(a bf(a g(a bf( a g( a. 4 a conéqunt conéqunt D t contnu contn u t t d ca C 1 Nou allon démont l théoèm pa écunc n uppoant vai pou Suppo fatt copond on f t g d ca C applicaton !(; F 1 F !( qui fa !( F t F lappcaton inéai continu bAh, d dan , t contnu t inéai aut pat f t g ont d cla 1 uiqu l théoèm t admi pou vf( g(x bf(x bf(x g(x t d cla qu x vf( k ii n éut qu bf(x x g(x g(x t d cla 1 onc dapè a fomul On mont d mêm qu x bf( 4 D t d cla c la t t d ca ca C . 4 puv mont qu qu lon put mpac mpac « d ca ca C » pa a puv pa « foi d dénta nta » dan dan 'énoncé du théoèm
x
Dfférnlls d'rdrs supérurs dun prdu 25. S f t g ont dux fonction à vau numéiqu déni u un ouvt où l ont d C la èg pécédnt mont qu lu poduit f g t d ca C n appliquant ca C oi la ègl d d dévaton dévat on dun podut on vot vo t qu la dévé dévé èm t d a fom fom n n (f g L A qnp n q gq q= O où cocint A qn ont d contant indépndant d f t g. Spécaon c fonction n choiiant f(x , g(x = , où a t b ont d calai Apè impifcaton la omu pécédnt dvint a I A q• a q bq uqu a t ont aita cocint A qn ont cux cux d d a fomu fomu du nôm : A qn = ! /n q ! q ! . Ani n n (fg n q gq (
=
=
6
puv d la généalaton uvant t laé à a dcéton dcéton du lctu lctu ou l hypo a puv thè thè d 3) la déntl déntl dod d t donné pa pa n p(x p(x ( .. . = I I b [Dq f(x( n q g(x( .
q
où I t étndu aux patton d ( 1 " n dux ounml t qu i i t in q· On put donn à ctt xpon un fom fom mla mla à cl d Soit ym opéation d ymétaton qui ait copond à A ! "( F) lapplcaton linéai ymétqu ym A dén pa ym (( 1 . . I A h , h n l tout pmutaton d { , , } n tnant compt du où la ommation t étndu à tout théoè théoèm m d Schw Schwa azz ) lxpo lxp onn pécédnt pécédnt condn condn n n D " ym I b(D g q
6
s
Dfférnlls d'appcans cpsés 2 7 - Soient E F et G troi v. normé, U n overt de E et V n overt de F. Sppoon qe U V et g V G oient dex pplition de le C lor g et i de le C
:
:
On at déà déà 6 chap qu f t g ont dénta ao g f t au t qu (g f (x = gf(x f(x PEVE.
38
ÉRNLLS ORR SPÉRUR SPÉRUR
S f et g sont de classe Dg et f sont sont contnues lapplcaton composée composée � Dg () est donc contnue Comme Df() lest auss la omule pécédente monte que D(g of) est contn contnue ue g of est donc de classe émontons le héoème héoème pa écuence écuence en le l e supposant va pou n 1 Supposons f et g de classe Dg et f sont donc de classe et dapès lhpothèse de écuenc écuencee lapplcat lapp lcaton on composé � Dg[f() st de class • Df lest auss aute pat lapplcaton ! ( F) !( ; F) F) !(; qu at coesponde à A E !(F et B !( !(F ; !(; leu composé A o B est contnue et l néae onc dapès la ègle ègle de Lenz � Dg f() o Df() est de classe 1 et g o est de classe
x
Remarque Sous les hpothèses du théoème pécédent et avec la noton de oncteu oncteu tangent omule T ntodute en 6 chap 1) on a T( g of) = T g o T f pa applcaton épétée de la omule T(g of of)) = Tg o T T n ésultat ésult at analogue en temes de D est passale passalement ment pus pus complqué complqué
l q
D ( g of) () () (h •• • h) = L I D g[ f() () D f()(h \ D f()(h \ h h)) \ , • • • h ) • • • D où la somme I est étendue aux n r ! r pattons de h h en q sousensemles comptant espectvement r 1 • • r éléments et dont les h sont angés dans l'ode cossant de leus ndces S lon pose pou aége ( !), (D D f) () (h 1 • • • h ) () (h (h h D f() (h h ) D f() (h D f() h ) en utl ut lsant sant le théoème de Schwaz Schwaz et la smétsat smé tsaton on sm la omule c-dessus pend la ome condensée
D ( g 0 f) =
nJI
n
!
(D q g o f) ( D ' . . . , D ' " f) ! ! r r . q �n 1 vo L aenel et . atu at u ath oc oc Cam hl h l Soc Soc 3 ( 1 ) ) page 5 o auss H edee Geomet measue theo Spngeelag (16) page sym sym
't
�r +
Inveron dun omophme depace de Banach 28 epenons epenons les notatons nota tons de (4 1 chap 3) G ( F) désgne désgne louvet louve t omé omé pa les somo s omo phsmes de lespace de anach su lespace de anac F ; J désgne lnveson u � u ) qu applque G ( ; F) su GL F )
.. L Lppli plit tion etd et de l le e C et DJ) DJ ).. h =
(E ; F 1 h porh (E
u 1 vdemment osons osons = u o h o u vdemment est lnéae et elle est contnue ca ca A l L h Il I l u h tudons A = J(u + h) - J(u) dapès 4 Appende A J(u) 1 (u + h ) ou o u (u+h)ou o hou (u + h) o h o u o h o u h On a A ( u h ) o [ (u 1 tin ue (4 . 1 . chap continu d'où l A I l (u + h) · 1 u- 1 2 . 1 1 h f. Pu squ e J est con Puiisque chap. 3), (Ù + h ) 1 u s h - o et pa onséquent l A / h l o s h - o Cela monte que que est dé déenta enta 1 1 et que DJ(u) h - u o h o u • ontons que J est de classe A cet eet ntodusons une notaton s a b E !(F !(F ; ) n sote qu notons f(a b) lapplcaton lnéae h � a o h o b de (; F) dans !(F ; ) 1 DJ(u) = f(u u ) On vot que -
f(a b) E ![!( ! [!( F) !(F ; ) (a b) E !(F ) !(F ; ) � f(a b ) h = l a o h o b I l l a b h a est lnéae et qu'elle est contnue ca f(a b) conséquent DJ et contnue ca cest la composée de l'applcaton contnue u � (u u
\
39
RÈGES DE A
x
d GL G L E E dans E) F E d 'appaon onn a a,, fa fa On a don proé q J s d ass Spposons héorèm héorèm éabl sq'à sq'à l'ordr spposons d lass C" n l 'a 'app pp a a b néar onn (a b f(a b on u u-1 s don d lass C 'ar par lapplaon bnéar f((u 1 u- 1 ) s d s d lass daprès dap rès 2 2 l résl d d la règl règl d d Lbnz q q D. : u f lappla plaon on s don d las c•+ Cla dmon q s d lass lass " lap 0
Rema Re maq que ue Son
a E GL E; F h E E; F) s q l a - o h l (a h)h)-- I ( a- 1 o W o a -
kO
< 1 La orml
démonré a (4 1 ha hap p 3 prm prm déablr déabl r q Dk J(a)(h 1 h) = I ( ( o hs l o a o o a o hsk o a 1 où la sommaon s énd énd à os s s prmaons d { , 2 k } l pror]
s
éoo oph phs se e de nerse dun déphse de casse " 2 9 ot f : U V u dféo du ouet ouet U du du e.. oé E su u ouvet V du e oé F Alos classe " 1 du
1
le déo éoop ophs hse e ese f est de classe "
S =Df réd à n dén dénon on ; l n'y a rn à démonrr démonrr J'on sa 1 l résla s réd = [DfoF ] Cla s'ér nor fo 11 nor D = o Dfo 2 h haap 3) q Spposons héorèm éabl por 1 1 An d pror por nos alons mon mon q q s s d ass ass aors Df s d ass Psq f s n arr Psq sq s d d d lass " 1 lhypohès d rérrn d q f s d lass c • - P las s Qan à J no nos s nons d or qll s d d lass 'après lass " Df s d la héor héorèm èm 2 a forml Df o Dfof 1 on onl q Df s bn d lass RVE
c· -
Crllare. 2 10 10 - das le théoèe dves dveso o local localee ch chp p 3) o sup suppose e oute f de classe classe ", " , 1 al alos os f est u d déoop éoophse hse local de classe " " so vese ve se local f est de classe ]
ppcan déne su une smme dce. 2 1 1 Spposons q E so la somm dr ® ® E E d' nrmés so n applaon d'n or U d E dans n normé F Spposons f d ass \ k n lsan 2 1 0 hap 1 héorèm héorèm 2 . onrnan ls applaons omposés on o q haq dférnll parll D U E ; ) xs q'll s d ass C k pls s h = h) h E E on sa sa q
D(a)h
aE U On s propos d ror n orml smblabl por Dk f(a) o d'abord por k = 2 A n sons sons a orm orm ( 1 l D f(a) (h N 2 ) f(a + ! h + h <2 h0 E U lon a por h< hm E Por r assz p a + t h0 f(a + th' + h 2) Df(a hO ) h<2 'aprèss la orm 'aprè orm2 2 2 applqé applqé a a pon a t h la s'ér nor I D(a + r h >)W
(2 2
Df(a)h
E
O
por
ÉRLLS RR SUPÉRUR
0
a a dérs dérs par rappr à ass ass t
= b
( 3)
E F) F) s dérab xpcs br d dr Lappca x E E (x) E E sa d F) sxpr à s r par a r dér ér ( (x) E E E E E F) r ( . )
n=
E E F) F) ( (x) h I () (x) h1 () (x) E E 1 () (a) h a c ba c résa ac (a + t h ) a r r ( ( 1 3)
b b
2 f(a)(N 1 h 2 )
=
n = r,s
I ( (a) (h2 ) 1 O ps () (a) (a) cs éé d E E F) sa êr ca ppdc ] O app dér dér srp à E E E E F ) [4 ppdc par drdr d f a p a. après érè d Scwarz 2 f(a) s r béar syér La r
( 14) 14)
=
( 4) ra dc
r,s
r,s
écaa écaa s dcs dcs d d sa das br d dr b
I f(a) (h1 h2 )
f(a) ( W = rIs W h ) .
rs
s h s h2 s arbrars déd
f(a) (h 1 h2 ) = f(a) (W h 1 ) . a cpsé d appca f(a) a) E F) s dc a Lappca f( (W h 1 ) E E E N (h h2 ) E E E E E E F) F) parcr f() s appca béar d appca f(a) E E s ê ê pas syér Par cr a s ardr d crr f(a) f(a) c s ds éés d ê spac s s r. aa s d cass C\ k a a r r ( 1 4) s ééras ééras sas sas p p : S aa f(a) (h (h . . ) I (a) (h . . . h)
x
=
=
ac ds as éds.
=
=
Cas ù E R" u C". 16 16 as pararap précéd prs E 1 E" R (u E F) s'd ca à F dapr C rs E daprès ès (4 ppd ppdc c ) dc dc E E F) sd à E E F ) csàdr cr à F rés d pararap précéd (a) (a) sd a ê éé d F as e as partuer prra dc écrr (a) (a) s é (a). S r F = Rm ( cm) s s dé dé par s cpsas cpsas das a bas ca ca (x) s cpsas d a r béar 2 f(a) dé sr R" R" (x) = f1 (x) . . . f(x) (a), = 1 r s das s bass cas. à ars das Rm s Ps ééra s cpsas das s bass cas d f(a) s (a) (a) . 1 a s x ...
=
rr
r
x
kk
4
ORMUL YLOR
Frmue de Tyr dédr dr à rdr O s prps dé
n
»
érm dama d cac éra
) ) )
D
)d
m cas a dér dér drd drdr r d
1 i u est ue focti octio o 1 fois dfére éretiabl tiablee due du e variable réelle t et à valeur valeurss Lmm 3 1 s u espace de Baach F o a
u(t)
+ Dut) + · · 1 (1 t )" . D u(t)
(1 t )")" u(t)
O app a r dd b .. cap. ) pra R, F = R , F F ) )k , ) D k ) , k , n pr appca béar c R par y F a pr rés par ésc F R F F prd d Lmm 3 i u est u uee foctio de classe C" + due due vaiable réelle t déie sur u ouvert PR.
E
coteat [, 1 et à ale aleurs urs das u espace espace de Baach F, o a u ( l ) - u( o) u ' (o)
� u(o (o))
· -
-
u"(o)
J1
(1 t ) "
u• + ( t )
dt
k u(t) 1 F est le vecteur dérivé dordre k. PRV. O app érèm dama d cac éra à a c ) (1 )D) + n )) D )
où ukt )
s d cass
·
s mm précéd
0
absss s ypèss d c mm
ue foc octio tio Lmm 3 3 i u est ue
+ 1 fois dfére éretia tiable ble du d ue e vari variable able réee t déie
cote at , , , à val valeur eurss das u es espace de Baach Baach F, et tele quil existe ue sur u ouvert coteat sur costate C aorat D " u(t (t)) pour t 1 o a
PRUV f(t)) f(t
·-
u() u() u u(()
u()
, ( +C1) !
érèm m d capr cap r pra [, [ , O app érè =
1
.
t)"" d" t) d"( (t) ut) + ( 1 - l) · u'(t) + · + ( 1 - t)
n
et
g(t (t)) =
-
C·
) 1 (n .
mm mm 3 1. s pac das s s ypss yp ss d c c érèm
Il f'(t'(t)) l n ! 1 ))"" u• + 1 ((t)t) Il ne ( 1 - t)t)"" rés ) fO Il , ) gO; cs éaé acé
.
,
=
g '( ) .
0
4
IÉRNTILLS ORR SUPÉRIUR
Fmule de ay avec ese inégal 3 4 S f appca d cass " 1 d U d ré ré E das spac spac d d aach aach S s [a a + h] s c da
a
f(a + h) - f(a) - Df(a) h
D f(a)(W
- · - ! D " f(a) (h)" = t)" t)" · D " 1 j(a + t h) (h)" 1 d 0
= =
=
D f(a) f(a)(h (h .. . h)
=
�t�
s das U. après hérè hérè . ds appcas app cas cpsés cp sés a c c u( t) f(a + t h) s d cass " drdr k s c par récrrc sr k pr t sa déré drdr Spps ss s REVE Spp
� �
[a a + h]
{ a + th
s s aa aa dsr ds r 3
}
5 as hérè précéd rpaçs Fmue de ayl avec ese de Lagange 3 5 par s s hyph hyphèss èss sa sas s s + s dérab hyphès hyphès s d d cass xs csa ajr D 1 f() pr U. rs
f(a f(a + h) - f(a) - Df(a)·h
f(a)) (h)" ! D " f(a
� + ) ! · h "
u(t) = f(a + th). s + s dérab u 1 (t) = I D 1 (a + th)(h) 1 � D 1 (a th) h � C . l h
REUV Rprs a c
I
3 s ars dappr 3 3
D
-
dfée éeta tabl blee das das lo louv uve ett héèe 3 . 6. ot f E F ue appcato 1 fos d de e v. oé E et valeus valeu s das u espace espace de Baach Ba ach F f est fos déetable e a alos
Il
fa + h) fa) Dfa) . h
fa) h) h) · - ! D fa)
Il =
h "
REVE H Cara Pr = c s r dar a dé a dér
a. O a prr hérè h érè par rérrc sr sppsa ra pr s dérs appca
g(h) = f(a h) - (a)
- · · D" f(a)(h)"
cacs sa dér. c chrchs a dér d < : h k = Ps D f(a) (E ) s E a
D <(h) =
D f(a)(h + t)
D f(a)(h),
D f(a) f(a) ( ( k k) + D f(a)(k, , k . . . , k) k)
·
+
+ D f(a) (a) (k, (k, ... . . , k ) .
s hérè d Schwar D f(a) s syér s s rs d a drèr s s éax s D<(h) = k D f(a) ( ( h .. . h). S D f(a)(W app ca éar c D f(a( h . h), déd
Dg(h)
=
f
Df(a
- Da · - _ ! D" f(a) f(a) (h)" (h)" 1
ORMUL YLOR
43
>
pps ypès ypès d récrrc récrrc à D déd Dgh = l h 11" - ) ; à l h I l � raî Dgh � h 1 " - • sa rrspd dc térè ds ds accrss accrss ss s ( 1 . 4 cap. ca p. ) b gh = g h gO � e. 1 h I " a b gh = h I " ) L ê résa ara p êr déd d érè précéd as a prx d ypès rp r f psd dér d'rdr n bré sr sa d a » Lsé Lsé d érè érè 3 . 6. cs a éérasa éérasa à rdr rd r n d c dé a ér drdr
>
0
fa + h) fa) Dfa) h = h sàdr 1 fa) + Dfa)h D fa)h) Dfa) h ·
fa h a sa d a à rdr n Il h O p s dadr s c r apprc fa préé caracérs c prèr réps.
E
nicié de d e la frmule frmule de ayr 3 S E F dx spacs d aac f appca d cass " d r U d E das F Sppss xs ds appcas A k k(E ; F, k n syérs s ' a U a
E
fa fa rs D fa) = RUV.
Ak
pr
h k= O k A k . (W = h l ))
k . . n
Pss Bk = 1 A k D fa) La r d ayr 3 . 6 a ra
nk O
s sppss d par ssrac br à br
Bk h k h I l"l" ) .
3 . )
ass h 0 das (3 . ) b B0 . Spp Spps sss B0 rs (3 . ) ) raî raî
- ( 1 Il
Bk 1
11 h
k
k i= + 2 ni= k
= Bk 0 pr k < n
B hY + o ( l h " )
� I B 11 1 h h ")
2
Dss s dx rs par l h l k ass h b Bk = O Ls B s dc s s cs résa acé. acé.
0
résa ac pr s d'dr s dérs dérs sccsss d f orquon ai quf qu f a s dépp d ayr ay r à rdr n s as sa prpréé dappr fa h à o( cr fa o( l h I l ") près caracérs 's c r érè sa dû à R. braa J Rbb (rasrsa apps ad ws ja. 167).
9 S f appca d r U d' Réciprque de a frmule de aylr 3 9 ré E das das ré F ass s ypès ypèss s sa sas s a) xs ds appcas cs a U (E F j = 0 . . n s ax) s syr pr x d U
DÉRLLS DORDR SUÉRUR
b oi oi U h E tl qu x + h oi connu dan un boul ouv d d n x appa t à U. oon a(x)(h 3 ) R(x h) = f(x + h) (h h) uppoon uppoon qu qu pou pou tout U I R(x h) l / h I " o i ù (h) (h h) (x0 '-
i
Alo Alo t d d cla cla C" D f = a pou k = 0 on on = f(x + h) = a(x) + a 1 (x)h + R 1 (x + h). uiqu l R (x h) I = o h a hypohè f(x h onc a 1 = Df t puiqu a a0(x) = f(x) (x) pui f(x + h) =f(x) + a (x)h + on a a0(x) t cntinu cntinu d cla cla 1 . Nou allon allo n démont l héoèm héoèm pou qulconqu n l uppoan uppoan vai pou uiqu (x h) h ) véif véif a(x)) (h) (h) + R(x R(x h ) = R R (x a(x n PV. (.
]
I R (x h) l/ h l ! Il a.(x) l + I R.(x, h) / h " · h o a _ = D 1 f Cci poé écunc nan nan a0 = a poé U i h o lhypohè d écunc t choiion o a pti pou qu la boul d cn d ayon 2 oi dan U non y z E tl qu y I z I t écivon f(x + y + z) d dux façon difént :
eE >
e
f(x + + z) = f(x + y) + Df(x + y)z + . . +
e
1 1 l ! D f(x + y)(z) + + ! a(x + y)(z) + R(x + y z)
pui f(x + y + z) z) = f( f(x) + Df(x)(y + z) + . . . +
1 1 ) D f(x)(y + z + + a(x)(y + z) + R(x y + z)
a outacion mmb à mmb on n déduit 3 . ) g + g (y) + . . + 9 1 (y)(z) 1 + + a( + y)(z) ! a(x)(z) + R(x + y y z) - R(x y + z) = 0
où n tnant compt d la yméi d la fom linéai a(
D D 1 f(x + y) D 1 f(x) a(x)y (z) (z) 1 . 9 1 (y)(z) 1 = ( mpoon mainnan mainnan z I y coch cocht t d d 3 ) véi véi Il [ l / 1 1 y I l" .: � .(x + y) Il a.(x a(x) I + I R(x + y z) / z + 2 1 R(x + z) / y + z I " uiqu a t coninu l pmi tm du mmb d doi nd v zéo i y uiqu (x + y z) (x 0) i y 0 lhypothè b mon qu l cond m nd v zéo mêm pou l toiièm l éul éul alo al o d d 3 ) qu qu i y 0 i y l n d mêm ( y)(z) l / I " 0 I 9 ( ) + g (y) z + . . + 9 (y)( n faian z = 0 on otint g0(y) = o l y donc + 9 ( y)(z) = o I"
32)
g
SÉR AYLR AALYÉ
Chang z n 2 dan tt ratn pu multpn dux mm par t rtran hn mmr à mmr a ratn tnu tnu d la rlatn ntal mutpn mutp n nn nn par dux mmr. mmr. On tnt t nt
gy)z) · ·
3) gn - y) z)" " .
étérn étér n prédé prédé n haant haant g 2 y)z) 2 t On tnt namnt g t y)z)" y aprè 3. la ntran v n fx y) v n f fx) ax)y x)y / y 0 y O ar déntn d la dérntl la gn D fx) ax) t puqu a t ntnu ntnu f t d la C" C" 0
Appicain 313 C réultat t un rtèr mmd pur dédr un applatn t d la C" xmp l'nvr l'nv rnn J : u � u vu n S x GL E), h ) Cndérn par xmp n t x 1 o h n put érr Jx h) L x o h)k o x - Rx h) ù
Rx h) n
-
-
kO L x - o h)k o x
n
A kx) h , , hk) Ls )k xx - o hs o x ) o · o x o hs hsk o x )
h hk F) t ùk la mmatn 'étnd à tut l prmutatn s d { t métrqu métrqu puqu x � x t vdmmnt A kx) E F ) t t ntnu ntnu x � A kx) t ntnu nn Rx h) t d a frm px h)h)" ù px h) "; F) dépnd nt nûmnt d x h) t vér px ) . uqu Jx h) L" A kx)W Rx, h) k D J C " thérèm thérèm 3 9 mntr qu t d la t qu A k .. n pur tut n
ée de Ty Aytcté
Déni Déniin in 4 1 Suppn d la C t alr ll d rmr a D fa)h On l'app a ér ér d ar d d n a a n l'app ququf a ér d aLaurn aLaur n d S étant dnné un nmr nmr r > 0 a ér d alr n a nvrg pur tut h d nrm nrm analtqu n a fa h), n dt qu t analtqu h r t a mm t éga à fa uqu uqu p ur tut ntr n > n a fa h) D fa).h)" Ra h) f t anatqu n a t umnt l rt Ra h) tnd vr vr zér av av .
f0 .
San attardr ur l'étud d applatn analtqu, qu ntturat jt dun ur tut ntr ntn qu la ér d ar put nvrgr an an qu a mm t égal à fa h) d xmp ntérant pur umêm Fncins de casse e nn anayiques 4 2. par
fx)
0
:
Cndérn a fntn f R x > 0 alu alur r .
R dén
4
IRILS RR SUPRUR
s as rr s d a s s ps pas pr x fx) = pr n S x par récrrc sr n D fx) car ars x 3 Qx)fx) Q0 x) Q x) = Q2 x) = 4 6 x Qx) pr s pyô d dré n sasasa a ra d récrrc
>
"
Q x)
( nx ) Q x) x3Qx)
>
La c c s dc pr x Mrs par récrrc sr n éab pr n rs
Spps pss s " () = s éd s n Sp
" () " fx)x x 3 Qx) x>O
x>
déré d s c par y cprs pr = . La c c parcr a déré s dc C • La sér d MacLar d cr éd rs ér ps () . Sa s s dc pas fh) : s pas aay ér. parr d b d brss cs aas Ps Ps s crssa p x a a c c gx) = fx) s d cass décrssa sr R gx) = pr x gx) pr x . ga x) gx gx b) c s rs d Prs b ps pss s hx) = ga b + [ ps ars éa à sr [ b O app app c c « paa paa » [dssr s rap
>
"
5
FONCTION EXPONENTIELLE. ÉQATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS
à
Ce chapitre est consacré lexponent ele exp(A ) d'u n endomorphsme A d'un espac espacee de Banach. On sat que la foncto fonctonn exponentele usuelle E R - e" où E R vérfie vérfie 'équation 'équation dffére dfférente nte le y = y Cette proprété sétend lappl lapplcat cation ion E R - exp( exp(A A ) C'est la clef de la résolution des équatons différentees lnéares coeffcents constants Dans tout ce chapitre est un espace de Banach réel ou complexe Pour simpfier on posera = d = et et s A 8 E nd Ao8 =A nfn, s aucune ambigu!té nen résulte, d
à
G G
à
Détos de expoetee Détos
x
Première déniin 1 1 srs-s d a rréé b c d x r R S A E d E rs a s s = A A s : = I n. n.
0
hérème a suite coverge uoréet sur chaque boré de nd (E et sa liite expA ) vérie Il exp(A ) I l exp Il A l ) PREUVE S S q dx dx rs rs s s s. Darès ( 4 dc ) a
! )
1 1 sp + q - sv I l
d rs zér s q
�
A v 1
( + I) !
A v q
l l , + .. + ( + q) !
0
car cs rs ré d a sér cr I l A /n !.
La s s s dc s s d d acy cr das sac c c d E rs x(A). ass dr q rs das ( 1 ) S l A l R = csa déd
x(A) Sv I R k ! a crc s r sr a b d cr o d ray R d d E ntr aînee I l exp(A ex p(A ) Il x l A Enfin nfin I l s. I l � 1 + . . + Il A 1 "/n ! entraîn D
.
Secnde déniin 1 3 3 Pr A E d E a x(A) =
!
REUVE Darès Darès a r d d bô
+
n • k ! n _ k)
n
=
1
A ± n
Rars -
O O déd
� 1
FONCTION FONCTION EXPONENTIELLE. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES
48
�
f0
(-k1
1
-
I
Il A l l k +
= exp Il A Il r •
n+ 1
Si n - daprès la rm cass = !n !n
(1
-
( 1 +
+
)
� "-0 n
pr R � " pr
0
2. Popits de l'exponentielle
- Il
Lapplcan xp s cnn ; ll s mêm camn camn lpschznn lpschznn : M xp(A) xp(B) � A B l s M majr l A Il B
Coninuité
2 . 1.
D (2 . 2. ppndc ) d ldn ldné é 2. 2 . 4. ppndc (A B) + A " ( A B)B + A (A B) B " + (A B ) B " A " B " = A " � (A n déd l A " B " l � n max ( I l A , l B ) " A B 1 . L hérèm n résl PREUVE
On prvra lérrmn xp s d class
C".
2 . 2 . S B s n smrphsm d E A End ) n a xp(B xp(B AB) = B xp(A)B La cnjgasn X � B • X B s s cnn cmm avc X � X " pr REVE. nr n ;
Commuation avec la conjugaison.
Exponenielle d'une somme de deux opéraeurs qui commuten 2.3.
S Sn n A B End End (E) ls A B = BA rs xp(A + B) = xp(A)xp(B) En parcr xp(A xp(A ) G L (E) sn sn nv nvr rs s s xp( xp( A ) REU REUV VE -
S Sn n 1 3.), 3.), ps ps A B = B A, n a
( �) !" [( 1 ( 1 !]" ( �) · } 1 ·t !. 1 ), ( -o u
xp(A) · xp(B) =
}
sns v = 1 +
l
v
"
" - u
Il � n [max( ll
1 +
u
I l .
lm
1 +
u
v
1 +
=o
=
11 )] " - · 11
A
+
v
- u
B
n
o
+
n
l �
l A l + B l + n
n2
n
2 11 B 11 "
dnc [ ]" � 1 + 2 11 A l
On n déd déd lm Il v "
nd vrs xp 2 11 A l + B I ) s
+
lsns lsns smé d 2 1
�
S s ass ass gra grand nd Il AB Il � n ( l l A I + l B
= lm
= 0 dnc
xp(A)xp(B) xp(A)xp(B) = xp(A + B)
1, ].
S n rmar xp( xp( = MISE EN GARDE
W
n v v xp( A ) s ln lnvr vrs s d xp xpA A )
L résla résla s n n déa déa s A B
B d marc
B A [prndr E
=
es un carré En xp(A) = [exp(A Rema Rema ue ue - T exponentiele es
0
R 2 , A d marc
2Y
ROUPE
49
U PARAMÈR AUOMORPSMS ÉARS
oi i E un es espace pace de d e Banac B anachh de diension n nie ie d Dsi Dsignon gnonss par dé (A ) héèe 2 4 o e (A ) le derinan derinan e la race de nd E) Alors dé exp ) = exp ( A )
ssss sss s bas d d E L déra d A s pyô pyô s s ccs cc s d sa arc dé s dc appca c La dé . 3 ra P
dét [exp(A ) ] = dét
( -
ds dé
( " 1 +
=
!�
[ ( �)J d ét
1
+
rs s rad. Pr ca rards a arc
d
B d (E c p d E csdéra ca B • B c éé d rs dé E R ( C s appca éar c après ( 3 cap cap s dérab s h = (h h E a (Bh (dé) = L dé (B . . B h B B
1
as cas s ccp B = h A dc
( �
dé +
dé + (d (déé) ( )
Par csé
+
G
+ r A
(
iE es un espace espace de nach rel reld de diension ension,, alors dé ex Cllaie 2.5. iEes exp pA ) En pariculier dé : xp() G (E) nes pas surjecie
>
héèe 2.6 oi o i A un endoorphise d'un d' un espace espace d dee Banach Banac h E appli plicaion caion : R G (E) dnie par() ()) pour pour ou ou . par () = exp A) es de classe C e () = A (
Mrs d'abrd s dérab zér Ps /0) = d a ) () s A I l 2 · A /n ! = xp A l - A = . c ) xs xs () () () = A d A A c s s s rés après après . 3) a dc ( + s ) () () L br d dr dr s dérab pr = 0 br d ac s dc ass () = () () ( ()) = () () A Ps A xp( A) c ca sécr sécr .
=
cr () = A (). s s d d cass cass C 1 • a ra ra = A r s s d d cass s d d ê d d s dc d d cass C
u pmète dutomopsmes es Défini Déf inii in n 3 O app rp à paraèr paraèr darpss éars éars d spac d aac E rps d rp add ds rés das rp (E. S 3 Goupe
h
appca h s d p s c XM xxp( ( A) A) A
( + ) = ()() ()() p prr s R
d (E () = d daprès ( . 6
Mrs c xp s cas ééra
FOO POLL ÉQUAOS ÉRLLS LÉARS
hérèe 3.2.
Tou grou oninu h un aramè dauomorhsms linairs dun exp( où nd E) sa d Banah E s d la orm exp( a n orrsonn biunivoqu nr s grous ls ndomorhisms On di qu s l gnraur du grou exp ).
Puiqu coninu on pu inégrr chacun d dux mmbr d nr nr 0 o. cuon cuon l changmn d variabl dan dan l mmb mmbr r d d gauch uiion la propriéé d 6 . 4 chap. ; on obin PRUV
>
+•
d d
Puqu Pu qu onnu onnu on pu cho c hoirir
( d .
> 0 a proch d popourur ququ a
ra
d
oi proch d = . l réul alor alor d 4 . cha p. 3) qu invribl comm comm commu man man m mn n avc avc égalié cidu cidu écri
d. aprè (6.5.
chap. chap. mmbr d droi dérivabl par rappor à ii n n donc d mêm d i l'l'on on po po = , on obin obin = , où commu avc . Cla prm d calculr la dérivé d = xp prm .. n uili uilian an 6. on obin xp xxp . aprè cha chap p donc conan éga à ( ( xp = d Par conéqun = xp
a Pour id on rouv l group group id d homohéi d cnr 0 d rappor poii poi i
LS
t ', + ; ' /
ig. .
0}
b Pour nd R R don a mar maric ic
xp a pour mac in
t
- si n
co
on a id On n dédui qu
. 0 n obn 1 group d roan d cnr
RUP
U
PARAMÈR AUMRPHSMS LÉARS
g.
E
Pour A nd (R ) don a maric
t (t (t A ) a pour matc h
}}
on a A
id On n déduit qu
. h . n ob n · h b n group gro up roa ro aon on ypr yp r o qu. qu d . ch
ig 3
0
E
L fgur monrn dan chacun d c ca lorbt { xp (t A) 0 t R dun poin l a vi à lintan n dépnd qu d a d E R Si lon inrprè t comm mp la poition = (t (t A) 0 à c ctt n nta tant nt () d (tA)0 = A(tA)0 A
=
=d
OIO POILLE ÉQUAIOS IÉREIELLS LÉ LÉAIRS AIRS
Equtos dfféetees ées omogèes
coecets costts
Dén Dé nt tn n 4 O elle éqto dif diféetielle homoge d eme ode à coecets coecets costts e exesso de l ome
d
dt A
4 . )
E
où A est edomohisme d esce de ch e solto de cette éqto est e lictio déetble d itele ds E éit t) A f(t) o o t /.
de R
qe lo iet de Il y doc coesodce bioqe ete lesemble des éqtos qe dé et les lesemble emble des edomohsmes A de
=
E
S K (K = R C éqtio ' A est éqiete à systme de n éqtios scles à n coes
i = 1 n
lesemb semble le des des soltios : E de 4 Rmarqus Rm arqus 43 a) Désigos le 4.. ) ) Il es cl qe si g et qe s k est scle + g et kj Lesemble des soltios éinies sur un êe inteae est do esce ectoiel. S l dmeso de est ie o ésol léqto 4 . ), cestàde toé totes ses soltios s lo exhibe e bse de e telle bse selle systèe onaenta e soutons b) e soltio est cotie c o l sosée déetble déetble coséqet A est cotie et est doc de de clsse C • O ot écece écece qe est est de clsse .
héè héè n nantal antal 4 4 4 Soient n epe epe de nh A d , x0 , 1 n inter vlle o ov ver ertt o fermé ermé ni ni o in inni ni de R, t Alor exite ne pplitio pplition dfér éren entitib ble le df = A f( niq n iqe e f vérnt f(t) t) por t 1 et f(t0 x0• A voir t f(t) xp ( t t0)A . x
=
n t qef q ef et l oltion oltion dén nie ie r r 1 de x x
initilef(t) vé re e l l ondition init = A . x, qi vér ilef(t)
=
. Dissos llcto E t) ex ex( ( t0)A0 demmet ( 0, et le théome 6. mote qe qe ée A Lexstece est démotée. Démotos licité. Si est secod cddt y = - g éie y'(t) Ay(t) o ch. 1 ) : y(tt 0) O Itégos de t0 à s / e tlst l oété de(6 . 4. ch t / et y(
=
=
s) y(s) y(t0) y(s) y( O e dédit l y(s)
I l A l F(s)
A y(t)dt A
y(t)dt
y(t) Il · d t qi emet destme l déée de =
e x p( - I l A 1 . s
O toe (s) o o o sqe (s) doc y(s) o o / a f g
.
y dt .
o et (t0) = o il e éslte (s) = o
ALUL EPLE ES SOLUOS
E
5 a) reos = . Il exste doc e solto de = A dée Cnéquence. 4 5 or tot et ér ért t () = 0 or 0 et 0 rbtrremet xés 0 l est édet qe l res S mtet est terlle qelcoqe de cotet 0 rcto de à ér éree léqto léqt o déretel déretelle le = A et l codto codt o tle 0) 0 Drs lcté elle coïcde doc ec l solto sol to de ( 4). O exrme cel e dst qe les oltos t () de qto A evet ête rologées à tot eter O dt coree qe les solt cor s oltos os mxmles (o rologeb rologebles) les) de = sot dées dées sr tot to t
xx
E
ter. b or cqe lcto ) = 0 de lesce ectore des soltos de = ds lesce E est somorsme desce ectorel effet llcto q à 0 E ssoce ex( - 0)A0 est ecte cté de l olto] srecte srecte exstece de l solto] solto ] et édemmet lére Il e réslte qe dmeso de est égle à cee de
Remarque. 4 6 6 e fos obtee ce qo elle l solto géérle ex( A ) de qto A o orrt crore l résolto ceée Il e est re, cr l sére x A ) I ( A)n et être mlsée à clcler S lo grde l solto solt o sos cette forme forme l y be des qestos xqelles l est dcle de réodre ex ) estelle érodqe
Restetelle borée s
Nos llos motre motre ql est ossble oss ble de remlcer remlcer ex( ex( ) r e e exresso ls smle sm le d mos mos s E est de de dmeso e e
cu expct des soutos Ds tot to t ce rgre E est esce de dm dmes eso o e n.
Lendmrphme e dagnaabe. 51 E ossde doc e bse e } de ecters rores de A, de lers rores corresodtes a : Ae) = a e Il e réslte e) a)e or tot n doc ex( ) e = ex a ) e es ex( a) e sot doc solto solt o de A. Come ls sot sot ombre ombre de = dm E qls sot léremet déedts drs (b . 5) ls formet e bse de lesce des
oltos Ds l rtqe le lers rores a étt détermées o cercer es e r métode des coefcets coefcets détermés e écrt qe ex( a) e ére A .
E
2 elos qe d (E) est lotet ddce Lendmrphme e npen 5 2 s 0 tds qe 0 or p 1 , N . Sl e est s ex( A) se rédt olyôme + + ( ( (N 1 ! L solto géérle ex( A ) de = A er doc ecter dot les comostes sot des olyômes e de degré férer à N.
P
O cercer les coostes de ce ecter r l métode des coecets détermés
XEE ORAT ORATER ER LOTET Lesemble E des olyômes e U à coecets ds
E
de degré n est esce esce ectorel de dmeso sr Comme l dérto r rort à u dme le degé d olyôme p' E s E. L Ll lc cto to D q ssoce à cqe oly ôme p de so olyôme déré p' est doc edomorsme de Comme l dérée me me d olyôme de degré est lle D est lotet ddce n. r coséqet ex() =
E
D · (tD)" (n - ) !
E
Idetos ex() e fst oérer le membre de drote sr p E o obte obtett
1 p(u) + tp'(u) t p (u) . )
OO EPOEELLE ÉQUAOS FÉREELLES LÉARES
54
Ds l me me de y (3 ch 4 ce 'es e qe pu s ex D) es lé e de si T : p p ( )
�
cmlexe xe de dme dm e cas généra su l crps 53 E es dé esce ecel cmle
s cséqe ds le héme de lembess lembess le yôme ccésqe ed p ) dé ( !) de E d E se se p 1 . mhisme ssde es es À .. . , À à cd de es cme ec le de de micé r .. . r
) . O e à edice ee d é s s s E e y de ( ls E; es de dimesi dimesi r e E es smme dece des E E s qeqes cséqeces de ce ésl : ( ) ( ( ;· 1) é é ) E ee ( E; ee ( À; e lsse dc dc E; e di di ée ée s E; ; = les ; cmme (E 0 si i # k e ; ; ee es éidee. Ceci sé, s ls exce sli gééle ex( de léq sqe L ; e qe qe les ; ; cmme, ds 3
;;
ex( ex . . ex ex(
Décms Décm sss E se sel l es es E; E; : L csi de ex( qe s es de mee e éidece e e qe, si k (J 0 dc ex( ee L e(;. ex
x
c c s s ex ex( ( J ss ss me me ex ex(; (; ; + À; l . is isqqe e À; l cm cm me m e cel cel s séc éc ece ece ex( ex( J e e( ( ; ; ex À; l . M Ms s ; ; es es ie i e didi didice ce ; d ds s ex ex ;· es d dcc y yôme ôme e 1 à ceces ds d d (E e de degé ; Nsle de cme cm e ex ex e ; ; O dc démé dém é qe l sl géée
x
m
de es l smme de ce ces s de l me me e e ;( ;( ù ;( ;( es ece d les cmses s des yôme e de degé ée à de de micé r de l e e
(t (t) des poly Crllar Si a . a sont des nobres coplexes dstincts et p (t orr tot t R en entr traî aîne ne p nôes en t légalité p ( t + ·( t po
= .
Méhd praqu d éslun le csise à déemie les les es À ec le de de mlicié r;, s à cheche les yômes ;( méhde des cecies idéemiés. cee cee ed le lyôme ;( ;( de degé r; e à es ds E, le le ls géél e exime qe e ;( éie éie . s smlici e des éqi
si bees i ese des éqis ymiles e 1 d s les ceces ee êe sééme églés à zé c ces éqs s des ideiés O be s sysme déqis ées q eme de déemie cex des ceces des ; q e ee demee deme e bies i i r dee ex ex s s biies biies isqe dim E =
cas généal sur l crps ds és 5 4 ci es esce eciel eciel éel de dime dimes s e
d (E (E.. Cmme yôme de degé e ssde s écesseme ces éeles, éeles, e ise me me d . 3 e slqe sl qe ls N l l ns me mee e cs cmexe Cmmeçs cs espace ecel cmexe à i de Dé Déss ssss s le dE E e ddn produit le mbe cmex cmexee b
x
( ) y (
\
E
( ) ) ) r ) (
ÉQUTOS ÉRETELLES LÉARES HOMOÈES ORRE
E
55
O bie esce esce ecie eciell cmlexe cmlexe E de dimesi q elle l e cmlexié cmlexié de e sus-esce (, 0 : E es ciqueme ismhe à O lideie à E e l'elle lesce lesce de eces éels. Cel eme décie décie lieu de (, 0) e cmme ( ) (, 0 + ( 0) éci + lie de (, ) Déisss mie le cmlexifié de A d (E). Ces ledmhisme A de E ( x + ) A (x) + A () Obse qil lisse i le ss-esce ss-esce ée déii A (x fi s elles cmlexiie de lqi diffeelle ' A lq z A z O éifie éifie ss eie les iéés sies de ses sluis : léqui cmlexifiée elle qe z(O) E E es éelle ces-à ces-à a) e sli t z(t) E E de léqui égleme sli de léqi éelle die z(t) E u t De lus cee sli es égleme b) fci t z(t) (t) + (t) es sli de léqi cmlexifiée si e sele me si s ie éelle (t) e s ie imgiie ue (t) éie léqi éelle es-e à l éslui de léqui ' A ds E ec l cdii iiile (O) 0 E ésls léqui cmlexif c mlexifiée iée z' Az ec l même cdii iiile iéé a cidesss l sli se dc z(O) E sel l méhde du 5 3 Ds l iéé éelle e éie ' = A Ces dc l sli chechée. l s ese à lexime sus me éelle c elle es l smme de eces de l fme e X(t) ù X(t) es lyôme e t, e ù l leu e de A es s céme éelle. Ds l iéé b ci-desss les ies éelle e imgiie de e e X ( t) s slis de ' Si À a b a a b E R, bied dc l li de ' A sus fme éelle e éci qelle qelle es l smm smmee de emes de l fme e cs (bt) X(t) e si (bt) X(t), ù X(t) es lyôme e t à ceficies éels de degé iféie à lde de mlilicié de À. Ds qelqes licis des ésls écédes
E
E
E
E =
=
= =
=
=
E
Equtos dffetees ées omogèes dode coecets costts
Cmmeçs exemle emué à l méciqe.
1 . i de msse m = 1 se me s e die R , elé Oclaeur harnque 6 . 1.
ligie 0 ec ue fce ielle à s disce à 0 à lide d ess exemle]. Si t désige le ems lbscisse d i es e fci t q(t) qi béi à l l li de New q w q, ù es ue cse cse sii siie qi déed du ess] w q 0 cie l déiée secde de éqi q w de q Ns lls l mee à e qi du emie de ice rduct au a u premer rdre ss q mq p ice la rduct sysme diéeiel ce s limulsi du i). équi écédee es éqilee diéeiel léie d emie de
=
=
6 . 2)
q'
=
p,
=
p' =
w q ,
=
ces à-die qà qà e e slui q de léqi cesd e sli (q, p q') de 6) e e qieseme é dée e sli (q, p) de (6. 2) q es e sli de lqui
q + w w q
= O
{
L sli gééle gééle de de (6 . 2) sbie iséme :
=
q(t) = cs wt + b si w t , p(t) w - a a w t + b w tt , e limlsi iiile p(O) w b s biies
=
ù l si iiile q(O) esce R des (q p) selle lesce des hses. S iéê éside ds le fi fi que iégle) i qelcque q(O) p(O) sse ue cube sli ( di ssi ue cbe iégle) e ue sele Ces cubes cubes iégles iégle s s de deux yes yes ligi l igiee (0 0) ed e des ellises de cee cee 0 et d ' é q u a t i o n q 2 + w - 2 p 2
=
a2 + b2.
Ns e qe es les slis s de éide 2 w
OO POIE ÉQUATOS IÉRTILLS ÉAIRS
56
Remaque Doos-ous n oscilleus hmoiques. Lesce des hses es où q (es. p) es osio (es iulso du k-me oi méel. L'évoluio du sysme mécique es égie e sysme diéeie léie homoge à coeces cos s qi = pk P wk 2q 2qkk, .. . Les coubes éges � q() p() so ecoe boées mis elles e so éiodques que s e seuleme s les éodes ielles n/wk so commesubes .e. s ese des e e e ess o o o ouus u uls ls . es que + + c . wn = O
0 0 0
3 O d quue oco n fo Cas généal 6 3 fos s déi déiv vb bee
C es souo sou o d'ue équ équ
o difféeelle lée homoge dode n à coecies a 1 . an coss s ele vée
6 4
a - t )
0 a = 0
où es l dévée k-me de y ésoude cee équo ces ouv ouve e oue ouess es ocos qu l vée. ou ce uso u soss ' l méhode méhode de éduci éducio o u eme ode. osos y . " év demme vée vée e sysme sys me dff dfféee éeell liée li ée homoge hom oge du emie ode à coecies coss
{ '
6 5
0
x
a Xn
X� a X an • Xz
écoqueme i es cl que emie comose due souo de 4) os de 4)
66
1
6 5) es soluio
0
0
6 5) séc = . L Léq équ uio io c cc cé és siq ique ue dé dé k = 0 es ue que k" a k" a 0 comme o e voi iséme écuece su n Ds les ésuls de 5 3. si k es ue ce ce dode r; de ce olyôme l souo gééle de A
P()) où P() es u oyôme es L e(k ) P( oyô me de degé
rr
1 e gd que l emie
66
comose o vo que soluo gééle de es de l même fome P() é u oyôme à vleus scies. O eu ouve choqu choqu de mee liégio de (6 4) à cee d'u sysme du emie ode. oc ue ue méhode do e dome dco débode lgeme le cde ése.
Plynômes df dffférenes cecens cnsan 6 6
e soluo es io fos déeble usque 0 0 66 a" y es diéebe doc es + fos déeible.
eveos à 'équio
y! l
a y< >
n
n
6
leme de oche e oche o vo que es oue souo de ( e à (R C Désgos D l'co lée (o coie qui coesode à f s dévée f e us gééeme D l dévée kme de f o eu cosidée que D
SOLUOS ORÉS OU PÉROQUS D
57
t l ssce kme de loérter D. Léqto 6 sécrt ec ces ottos
D f + D f + · · · + O . résolto est rmeé rmeéee roblme st st : troer l e oy de loérter {D) D + v + + de esce . O dt qe est olyôme ol yôme df d fférete à coecets coecets costts Il est clr cl r qe lesemble e ces oyômes forme e somorhe à ce des oyômes e x E C rtcer qD) dD ). sorte qe E er ( si x) se fcto fctors rsee epx) qx) dx) o ss ( D qD) t à dD) E er qD). Pçosos sr e cors des comlexes et reeos à éqto (6 . écrte sos l forme D) O. Le olyôme se fctorse ctors e comtemet comte met et s k est e de ses rces D) = D k qD). O doc qD) er D Or éémet de er D k rt k o ( ex(k x(k où est e costte rbtrre. s 6 crt ecore qD) ex(k O et coter coter e fctorst q. Chqe éte trodt e costte costte rbtrre. O termé terme de degré (p étes O ot doc ror qe esce ectorel des soltos so ltos de D)f = 0 est est de de dmeso dmeso degr degréé (p) Cherchos e bse de cet esce. Nos llos motrer qe s k est e rce mlte ordre de lors lors ex ex((k est ds er or 0 s . Psqe D k d dse se D) st de roer qe D kex(k O. Or D k xk xk exk exk où le résltt r térto . e réslte réslt e qe qe s k km sot les rces dstctes de ordres de mtlcté resectfs ... lors
···
p
p
E
p
p
p
···
p
ot soltos Il reste rest e à motrer qeles sot léremet déedtes déedtes cestàdre cestàdre qe s s es olyôme oly ômess de de degrés resectfs resectfs 1 .. lors
m
p . . . Pm sot
m
tre P ··· Pm O O e roe r récrrece sr e le sost r or 1: on dse dse es dex membres r ex(k e x(k s o dére (degré p ) fos. Il et = 0 où s est s l e st olyôme de même degré qe ( (k k k ( ( + qe Pi s sq qee k k 0, etc. lhyothse de récrrece etre p 2 ··· Pm 0 doc O. ··· Pm 0 et r ste
#
···
p
7 outos boes ou podques de
E est esce ectorel ectorel comlexe de dmeso et E d E
Cherchos sos qelles codtos es sotos de x x sot totes borées. Drs (5 3) solto sol to géérle est e combso comb so lére des ecters ecters de forme ex(k ( où est olyôme de de degré degré férer férer à ordre de de mtlcté de ler rore k d olyôme crctérstqe de S totes es sotos sot borées d ft qe o t qe les lers + (res . s 0 (res . 0 o ot lm e + orsqe rores sot totes mgres res : k = où E R Reeos ecter soto ex(k ex(k ( ds ces codtos codtos ex(k ( q e et rester boré qe s est de degré degré Loérter est doc dgosble dgos ble et s mtrce ds e bse coeble est dg ( . . où E R Récroqemet s e est s l solto géére de x x, écrte ds bse c desss est ex( ex( . le demer demeree doc bor borée ée O doc roé roé e résltt résltt s stt
>
•
héo héorè rè Por qe totes les soltions de soient bornes ift, t, et il s sft qe q e A
soit diagonasable et qe ses alers ropres soient iaginaires pres
58
OO POEEE ÉQUAOS ÉREEES ÉARES
q x
{ q q
Rmaqu a la base pope cdessus sdeife à C" cvos chacue des cope d Lespace ce sideie sideie ecoe a R 2 " q, p R } Lespa C sous la fome séc e a souo gééae de q cos ( b si ( s ( + b cos (
x
ux oaios ps o ecoa (vo 6 a soluo gééae du sysme de hamoques de féqueces O e dédui :
hérm.
Por qe totes les soltions de
oscillaeus
A soie soient nt péri périodiq odiqes es don doncc bornées bornée s,, fat et st qe A soit diagonalisable et qe ses alers propres soient iaginaires pres e coensrables.
Bbligraphie ou des exposés pus compes su ces quesos o evoie e eceu au aié de Coddgo e N eviso e à ouvage de old, ou dexemple e éc das u sye vivia
6
PRODUT NTÉGRAL ÉQUATONS DIFFÉRNTLLS LNÉARES
C capt st consacré aux équatons dféntls lnéars
cofcnts varabls
Prélimnaes ndomopism m oninu d'un spa d anah Nous avons vu au apir apir 5 un ndomopis u a soluion généa généal l d équaion dif difffénil linéair linéair s s exp( ) , + s don aur pa on sai ( 1 . 3 hap 5 ue exp() nlim + n n un souon app un appoh ohé é d d s la méod méod dulr dulr Nous No us alons a a généraisr uivan un proédé d à ol ol ra ra Cssons d supposr qu s un onsan onsan Si s un appli appliaio aionn onin oninu u dun in in E vian all dans nd (E) poposonsnous d rouv un appiaion dérivab () = () ( ()) pou pou ( ( ) où / C équaion pu p u approhé pa un sysèm sysèm déquaions déquai ons aux dff dfféns éns ni nis s : ( ) ( ) ()) ( ()) , n - 1 , 1 ( < 1 < < . A pair d s équaions on obin
n
() + ( ()( 1 )
us alons monr us mon r qu qu xprssion onvg vs vs la souio so uionn hhé hhé d d () () () () rsqu l pas d la pariion nd vrs zéro Si n pariui 0 1 ( ) ) onsa onsan n la limi ns ns au aur r qu exp() s la soluion d = vé véif ifan an xO .
odut tég
Pdu égral de cs e escaler 1 . 1 . onnonsnous un inrval fmé b] a b éouponsl n n invals par ds poins < 1 · < b donnons nus n ndomrphisms .. nd (E L'ap L'applia pliaion ion : nd (E) déni par ()) pour pour _ 1 s un fonion n sali () 1 pour < 1 , . . , ( voir 6. hap ) Son podui inégra inégra nr b s pa défniion
b
()) = ()d exp( ) . exp( 1 1 ) (
pour n u pndra gard à lodr ds faurs puisqua prioi, n ommun pas Par on sis ommun n pariuir si s onsan, on a () xp + . dapr da prés és . 3 hap 5).
) xp
()d
0
PROU ÉGRAL ÉQUAOS ÉREELLES LÉARES
Remarque On ne change pas le produi inégral en jouan des poins poins de subdivision subdiv ision à ceux de la subdivision subdi vision . n ee ee () ( ) demeure consane consane enre e si < < on a donc, donc, daprès . chap. 5) exp( ) exp( ) ( ) exp( 1 ) ex exp( ) . Soient A et B dex dex fonction onction en ecalier ecalier déne ne r a b] et ale aler r dan dan E. emme 1 Soient
Alor
I
où A I
(B ) I l (b a . ë A B l Il P� (A ) P �(B) = sup Il A(t l por a t b et M max I A I I B l
après la remarue précédene précédene on peu supposer supposer ue e B son consanes sur chacun chacun des inervalles dune même subdivision subdivisi on < . · < = . osons exp( ) exp( exp( B). Alors I () (B) Il = ... . . . I ... .. I ... ... 1 I + . . . + I . . . . . I I 1 1 . . . + I I . I . . + I I . . . I I ilisons lesimée . du chapire 5 e exp I exp I I pour majorer cee dernière expression. On rouve xp( 1 M) exp( exp(� tn M) . . . exp( xp(� tz M ) + . . + I ()(B) Il . 1 A 1 - B 1 Il exp( exp( 1 M) M ) () B exp() B exp( M)exp( M) .. . exp( PREVE
I
l
I
l
1
I
0
-
3 - Supposons Prdui inégral de fncins régées 1 3 Supposons u ue , ] nd (E soi une oncion réglée cesàdire 6 . . chap. ) uelle soi limie uniforme uniforme sur , ] dune suie k de foncions foncions en escalier. après après le lemme précéden Il %( ) %() Il ( ) e . I où M es un major majoran an des k . l en résule ue ( k) es une suie de auchy de nd (E. uisue E es un espace de anach nd (E es comple e ( k) converge. On voi immédiaemen ue sa limie ne dépend pas de la suie k uilisée uilis ée pour approcher . l es donc légiime de dénir ce uon appelle appell e le produi inégral de enre e par
I
l
%() =
1 + ()d
lim %( %(k) . k
Prpriéés du prdui inégra 1 4 ) Si I sup I l () Il pour , la relaion exp()
I
I
exp I enrane
immé imméddiatem iatement ent I l P%(A ) Il .: exp exp(b - ) Il A 1 . con inuié ié à oues les fonci foncions ons réglées e B. B. ) Le lemme 1 . séend par coninu
%( %( ) es inversible. La relaion exp() exp() 1 exp( exp( ) le monre monre immédiae immédiaemen men pour pour une onc oncion ion en escalier escalier : %() exp( ) ... . . exp( exp( ) 1 exp( 1 1 ) .. . exp exp( ) ) . aenion à lordre des aceurs]. La propriéé séend à une onci oncion on réglée uelconue par pa r coninuié. elaion de hasles. videmmen videmmen ( ( ) id)
ÉQUAS ÉREELES LÉARES MES
Si a propriéé précéden précédene e perme de dénir par Avec cee convenion s nd es une foncio foncionn régée défnie sur un inervae l on a anaogue de a reaion de hases P;(A pour a, anon à ordre ds faceurs On e vérfi sans pene pour une foncion n scaier e cas généra sobien par coninuié. e) Le eceur curieux de sexpiuer a noaion 1 + Ad pourra démonrer en sinspiran de (1 . 3 chap 5) ue
>
n
im i= O 1 + orsue e pus p us grand des des pas Mi = ti + 1 de a subdivison = t
< · <
t"
end vers
zéro nfin voici anaogue du héorème (6 5 chap. ui d uue uu e onc onco o co c onu nuee es a dérivée de une ueconue de ses primiives : Si a < < e s [, nd (E es coninue aors f(t) es dérivabe e t) REVE Prenons assez pei pour ue a < t + < . Le produi inégra enre e de endomorphsme consan es évdemmen P/hA(t) exp = + o . aure par e e emme 1 . 2 enrane I l p: h(A) xp sup A(t)
r�s h
ui es un o puisue es connue en résue = 1 + + o. e héo rème résue de a reaon reao n de hases
2 Equatons dffentees naes homogènes
Défnn. 2 1.1 . So Soie ien n /un n ne erv rva ae e de R é éve ven nue ueem emen en R o ouen uenie ierr e : n ndd . On di uu uune ne appicaion di diff fféreniabe éreniabe : l es souion de éuaion déreniee inéaire homogène homo gène du premier ordre A(t) x(t) si ft = pour t
Remarque ) S i es consane nous rerouvons es éuaions éua ions diff différenie éreniees es à coeciens coeciens consans du chapire précéden. xacemen comme au chapre 5 on voi ue ensembe S I de dess souio souions ns es un espace vecorie On aura donc résou éuaion cesàdire rouvé oues ses souions s on exhbe une base de S Si es Ck k � ao es de cass cassee Ck aors rs oue oue souon es de casse casse C 1 comme on e voi immédiaemen imméd iaemen par récurnce récurnce sur k.
hérèe fndaenal 2 2 Soient n espce de Bnch x , 1 n interle de R t et A 1 - nd n n fonction con contin tine e A lors existe exist e ne ppli plicction dférentible f 1 et ne sele tee qe
{
ft) At f(t f(t por t f(tt Xo f( Cette ppüction est de csse C et el est donnée pr f(t =
(A) Xo ·
PRUI IÉRAL ÉQUAIS IÉREIELLES LÉAIRES
62
Lesece Lesece ésle ésle mmédeme de popéé de 4 Moos qe soo doée p le héome es qe S g es secod cdd fomos h(t) <(t) 1 g(t) o ù <(t) <(t) = PU) Ces e foco déble e dps (28 chp 4
g(t)) . h(t) = - <(t) 1 <(t)<(t) g(t) + <(t) g(t Ms <(t) (t)<(t) e g(t) = (t)g(t) doc h(t) = O D'ps (2 chp 2) h es e cose e comme <(t0) 1 o h(t0) x 0 s h(t) = x0 e o be g(t) <(t) <(t) x0 f(t) f(t)
Craire. 2.3. Exactement xactement comme en 45. chap 5, on ot, en prenant 1 = R, que que x(t) = A (t) (t ) x(t) x( t) possèe possèe une une solut soluto onn max maxma male le f : R E ran rantt f(t0 f( t0)) x0 et que toute autre soluton : E rant (t0) = x0 est la restrcton e f à 1 4 Exactement comme en 4.5 chap 5, on ot que Craire 2 4 que l'es l'espac pacee ectorel S es soluto solutons ns maxmal maxmales es f : R E e x(t) x(t) = A (t) x(t) est so somo morrphe à E E S la menson e E est ne une base e S on t souent un sysème ndamena de suins comporte dim E ecteurs soluton on gnra gnrale le ( (A A ) e x(t x( t ) A (t ( t ) x( x(tt ) pen lnarem lnarement ent e la conto contonn nt nta ale le La solut x 0 • Voyons comment ee pen e e A A
hérèm hérèmee d e cmparaisn 2 5 So Soent E un u n espace espace e Banach x0 E 1 u n nteral nterale, e, t 0 1 A : 1 nd (E) et B 1 nd (E) eux fonctons contnues Dsgnons par f 1 E la soluton unque e x(t) A (t) x(t) r ran antt f(t0) x0 pa par : E la so soluton un unque e x(t) B(t)x(t) rant (t0) x0 Alors ( t) (t) � �· . t t 1 · 1 A B 1 1 . 1 1 0 , majorant e A l où A B est la borne supreure sur (t0 t) e I A (s) B(s) I et M un ma et B RUV Le héome fodme doe les epessos de f e g s ese dppl
qe e e emme 1 2
D
Remarque oposos-os dppoche l solo f de x(t) x(t) = (t) x(t) x(t) é f(t0) = x0 ppochos po ce foco coe p e foco e esce é do oé 0 lfome coé sse esece de sbdso t0 < t 1 < · · · < t" = t (E es l foc foco o e esce dée p B(t) B(t) = (t0) ele qe - B < s B : [ t0 t - d (E po t0 � t � t , B(t) B(t) (t"_ (t"_ ) po t"_ t" _ � t � t epe pee de 2 5 t - t0 · 1 x0 M M" (t" 1) . .. [t [t (t0)]x0 ppocheà o o qe
>
ps
6. - O ppele soe P!() l ésole o e oy ésol de léq ermngie 2 . 6. o x(t) (t)x(t) e o oe (a t)
R Ce q pécde e doe c moye pqe po déeme eplceme oc
émos à e dcf e fome héoqeme epce
xpneniee de Dysn. 2 7 So : d E e foco coe Doosos segme [ a b a < b coe ds ele / e so mo mo de de I (t) I po a � t � b t) : a b d (E : S t E a b déssos déssos p écece écece des pplcos t) 1 d (2 . 8)
) n+
R 1 (c = R R s s
R
po n � O
ÉQUAINS DIÉRENIES LINÉAIRS MÈNES 1 Il , pouvé pou n ; 2 8) mplque los Montronss que Montron
Rn
Il
Rn(c, t)
c ·· )
M
n ·
.
1
s
C " n
!
est évdet pou M n ds .
1 ,: 1
l n
" + 1
+ !
63
O
n
Suppososle
n+ 1 M
et l popété est étble étble.. L sute R0(, ) + + Rn( ) covege doc ufomémet su a ] ves ue lmte
S(, ) =
0 R( )
8) etîe et 2 8)
(, )
A(s)) (, A(s (, s) ds
l e ésulte que f) = S(, ) est dévble et quelle quelle vée léquto df dffféetell éetellee Dpès ès ( et lucté o doc f() A()f() vec l codto tle f() Dp
f) P(A P (A ) f de compte P(A) = poche gâce à 2 8) :
Rn( )
Rn( )
· ·
où les Rn sot détemés de poche e
A(sn ) · · A(s)s 1 A(sn)
d s < (
•
tteto à lode des fcteus.
xprssn d a ésvan ad dun ssèm ndamna d suns 2 9 hosssos () xn() u système fod ue bse ds lesp lespce ce E supposé de dmeso dmes o fe fe n Sot x () metl de soluto sol utos s de léqut léquto o dff dfféetelle éetelle x() = A()x) Désgos p X) l mtce n n dot l kème coloe lue de hut e bs est fomée p les compostes de xk() xk()) = P(A) P(A) xk(a) o e dédut X) = R(a, ) X(a) Pusque xk( (a),), xn(a) sot léemet dépedts l mtce X(a) est Pusque les vecteu x (a X(a) 1 • vesble doc R(a ) X( X(a)
e que ce sot so t ésolvte qu t sev à démote démote lexstece des solut solutos os de x( A()x cest cete fomule qu l déteme expctemet s o le boheu dexhbe n solutos léemet dépedtes. A défut due expesso explcte de l ésolvte R(a, ) P(A), l se peut que des po pétés de A() tspsset ds R(a ) oc quelques exemples mpotts
hérèm. 2 10 1 0 S A est une constante, a, t) = xp a)A
mmédte dpès e t ss ss supse. e eet et e p( - a) A x est l soluto x(( ) = Ax() vét l codto tle de léquto déetelle à coecets costts x x(a) x( chp. 5. a) x (vo . . chp. RUV
hérèm 2 1 11 our que C nd (E) commute aec a, t) pour tous a t faut et suft que C commute aec A (t) pour tout t RUV
Supposos que C R(a, 1) R(a, ) C pou tous a Pusque
dd R(a ) A() R(R(a,a, )) ,
o e dédut C A()R( A()R(aa, )) A()R(a A()R(a,, C et comme R( R(aa a) o be C R(a R(a)) R( R(a) a) C pou tout a écpoquemet supposos que CA() A() C pou tout 1 Posos f() C R(a ))
R(a, 1) Pusque
R(a, ) A() R(a ), o
{ë
64
PRU ÉRAL ÉQUTS ÉRTELLES LIRES
Ra t Ra t t CJ CJ = A t t At C Ra Dn et et a utn ut n à ae aeu u dan nd ) de x't = A t xt u e a = C Ra a pu tu tu et n a bie bienn C a t = Ra t C C Ra Ra a a = O Dap uniit j = 0 pu 't
C At A t Ra t A t t Ra t C
=
= + de epae A t t e mpex de At nd ) [ . ap e et ue pu aue t At ap At mmute pu tut t ae a petn annue de u epae e E ue a ut utn n de de z' = Att iant zt0 0 ete ee p ute de 2 1 1 ue EL uppn EL uppn ue ue epae epae de de ana t t e mpex mpex
tut
quee Sot t b une forme blnare contnue ur E our qu héè . So bx y) po pour ur x y E et pou pourr tou tou a a t (.13) b (a t)x (a t)y = bx l faut et l u uf ft qu quee bA t)x y bx bx A t)y t)y = 0 pour x, y E et pour tout tout t ( 14
x
ppenA tt Rae tmembe de aue aue de de 2 1 ) Dap a e de de ebnz 2 x Ra Ra t
REV
=
a p 1) 't b t R Ra a ty t y y bRa t A t t bx y n a 'a = 0, dn 2 ) Ripuement 2 ) ) et et t et jt e dut à a nante a = bx y
=
a et un epae de ibet e ep mpexe), Ra t et na euement ad ad n ntt A * de A e A *t = A t pu ep e p unitae) pu tu a t et euement tu t en e an e pdu aae ep emiten) de deux utin de x't = Atxt
ELES
ne dpend pa de epae e mpetue et-à-de mun dune me me bnae bna e aene n b e un epae dne Aa t e mpetue pu tu a t et euement i
pu x peue
Atx y + x Aty = 0 et pu tut t n dt a ue At et une appiatin nnitmae m
héè d acbhéè acb-u ul. l. . 1 5 Su Supppo poon on E e men menon on nne et ot A 1 nd E une fonction rgle Alor xpp dé (A) = x REUVE
tr
) d
pour po ur a, t 1 dét
= termnant,
trac ace e
a ntn A e en eae en epenant ee natin nat in de 1 1 . n a exp p A PA = exp .. ex
a mue mue ue a de 2 a p ) e du ai ai ue e demnan dun pdu e e pdui de dtemnant de aeu. e a na en dduit. n pend une uie de nn en eae neean un mment e A u a t et n be bee e ue e dtemnant et a tae nt de nn nn n nue
Rappen uun ume de E et une me naie antimtue n nue et ue imae ipue r = d Pu ue pee un ume vv et-àde EL
v v,v,
*
= i aut dn e et ant ue dét = 1 pu ue Dap 2 1 n t dn ue Dap ue e PA A ) pee un ume de pu tu a t aut e ut ue t t 0 p
ÉQUATOS ÉREELES ÉARES AVE EO MEMRE
65
3 Equaos dfls ars avc scod b
Déi 3
Soent E un epce dede nc nc l un ntelle A
:
:
l - nd (E ) et B l -E n d (E) deux oncton contnue On dt que lpplcton déentble f l E ée léquton déentelle lnée du peme ode
t
( 2)
=
+
At + Bt Bt = At
f At Bt pou pou tout tout . oncton B ppe ppelle lle le « econd memb membee
cé. 3 3 t
:
tnt donné
de léquton
E et l exte u plu une oluton f de ( ént
d d érence érence h de deux oluton ée léquton dérentelle lnée omogène At ht ht et ht O. D D p luncté (téoème (téoème .) h 0 pou D
REVE
ht
»
=
=
= =
t tt l éolnte de léquton omogène océe t Att xsc 34 Sot Rt = ou l ome ou llon cerce l l oluton f de ( 2) ént jt = ome ft Rt t t où E et une oncton oncton d déentble nconnue S le econd membre B de ( 2) étt nul e édut à l contnte Cet pouquo cette métode, due à gnge, ppelle métode de l ton de contnte. n tennt te nnt compte de
Rt = At Rtt t on obtent
= Rtt tt t + Rt = Atft + Rt t tt tt Poton cette expeon dn 2) on toue Rt t = Bt. On t que l éolnte Bt n ntégrnt et neble et que Rt t = Rt t o c 1 donc = Rt t Bt t
et en utlnt
Rt tt ft on obtent +
nlement en utlnt l poprété obtent
t
( -
t
R R B B d.
d de 6 cp c p 2) et l elton de Cle 1 .) on
''
= Rtt R tBd
Noton que le econd membe et l omme de l oluton généle Rt de léquton omogène et de l oluton
t
t B d de léquton ( 2) qu nnule pou
= t
Cette denèe dépend lnéement du econd membre B Comme lntégto lnt égtonn u econd membe membe de de ( net p touou ée, ée, on ecout ouent, dn l ptque, à de métode qu otent du cde de ce le (tnomton de plce S l dmenon de E et ne, on peut pocéde n pou ntége léquton 3 2 une o détemné un tème ondmentl de oluton de léquton omogène, on tt t t où le ont de oncton cerce l oluton de 2) ou l ome j L
:
=
d déentble à leu numéque. n écnt que f ée 3 2) on obtent
L t t Bt t Cette Cette équton équton détemne détemne le , c le t oment une be de E. On en en dédu dédu le le Appca Cmpaas d suis. 3 6.
Monton Mont on comment l ormu ormule le ( pemet pemet dméloe l et ou de ypotè e plu ote ote le téoème de de compon 2 (E ) une pplcton cont Soent l un ntelle ntelle un epce de nc A l nd n d (E) nue en l et déentble en k F
:
PROU ÉRAL ÉQUAOS ÉREELES ÉARES
66
Cnsidéns léin d déenielle linéie hmgne dendn d'n me me k E F :
x' t) A( k). x(t)
(3 7
i ft, k) s slin elle qe /0 k ) x 0 ù t 0 E e x 0 E sn dnnés Chehns mmen elle dend de k e el llns s difenielle en k k = k Piqe D 1 t k) A(t k).(t k) n en ilisn le héme de hwz . h 4
Att k0) k0). .t t k0) D D2 t ko ) D2 D (t k0) At k0)D2 (t k0) + D2 A Bt) xt) D 2 t k0) B(t) es ne éqin de l me xt) A(t k0).xt) D 2 t0 k0) 0 t0 k) x0 D At k0)t k0) ve l ndiin iniile xt0) D2 k D' D' ss ( 5 n dn
8
D t k )
to
A(ss k0) (s (s k0 k 0 ds R( s t k0) D2 A(
ù R. k es éslvne de ( n emlçn (t k0 s vle R(t0 R(t0 t k0). x0 e en n s l'biie de x0 x0 n bien ne mle semblble D2 Rt0 t k0) XM
Le ee q qe e me me (3 . 8 hé de s de
'qin de lsilleu hmnie ebé n eme de emen k.ct) ù k es un ei me el e c ne nin nine :
q p
p
wq - kp
Equaons drenees lnares d'ordre Dnnns nns-n -ns s n + nins nines a • az b dénies s Déniin 41 Dn inevlle e à vles dns C On di qne nin n is dienible : C es
slin de lqin dienielle dde y "
4 2 2
+
a ! . y
n
+ . +
an · Y = b ,
si e ses déives j ddes k 1 n viien
j<lt
a (t) \t) + · + ant)(t b(t)
»
t
L nin b es ele ele le « send memb membee de (4 (4 2 e lin bene à i de en nnln b selle léin hmgne ssie 4 2 en Ns llns mene ee éqin à ne qin veielle d emie de l méhde méh de de édin édi n emie emie de (6 h ). sns y x y x y n x n bien
•
4
i es ne slin de (4 2 2 ls l s n es ne slin de (4 éiqemen éiqem en l emie msne dne slin sli n de 4 es ne slin de (4 2 (t) x"(t e 0 Indisns les vees xt e Bt) de msnes eseives x (t) 0 . 0 b(t) e l mie
ÉQUANS FÉRENIELLES LNÉARES RRE 0 0
1 0
67
0 0
A)
.
- an t) 3 s'c ecoe ') dd d
a, _ 1 ( t )
a 1 (t) (t )
= A)) B). adsa es slas de 3 33 e 3 ) o e
hérèe 4 . 5. Etan Etantt onn onns s t0 1 et x0 x-l C l'quaton 4 4 . 2 possèe possèe une solu tion f : 1 C et une seule rant ft0 x0 x0 p n t0) x
=
=
'ntgr gral alee gnra gnrale le e 4 . 2 s'obtent s'obtent en ajoutant joutant une soluto solutonn part partc cul ulère ère hérèe. 4 . 6. L 'nt e cette quaton à l'ntgrale gnrale e l'quaton homogène assoce.
Ce hoème amèe la la solo sol o de l'qao ( 2 à cell cellee de l'qao l'qao homogèe assoce à a echeche de soo acèe acèe
Recherche due u paricuère 4. O alea la mhode de aao de
sae de agage. agage. as ceras cas o ora se a emarqe sae s le secod membre de ( 2) somme L b de sers ocos e s es e soo arcère de lqao ee à a de ( ( 2) e emaa a alos L es e e solo aclèe de ( 2) oc cas ecoe s ace. o à sode qao y " . Cela sembe exge gaos sccesses Mas, daès 5) o e obsee ql sag de deme e co f do a de ème es coe e o aqele f0) f f 0 0)) so ab aes. La omle omle de aylo aec ese ga 3 . cha ) so le oblème
=
)
0) f') + · (t(t
0) +
l
() d
Résui de équai hmgèe. 4.8. exse exse as as comm commee e (6 cha . 5 dex d exesso esso
=
maable maable de de la solo gae Même s 2 oe oeos os sosos coe e so o acère acère o lle de ( . 2). osos y = à ade de de a ormle ormle de eb Lqao sera s era rasorm rasormee e e qao e caclos d même ye où le coece de sea l se e ( . 2) O obeda doc e qao d eele eele lae l ae d'ode 1 e e v es soo so o gale de cee qao
_
e la solo gale de ( 2) sea doe a abare
+ C où C es e cosae
r
de qao homogèe assoce 4. 9. uosos coes n solos /1 • • • , de Wse 4.9
à ( 2) O e dd dd sol sol o oss .. ! 1 > = l . . de lqao ) A ) ). ). a de . ) omos a mace X) ode ode e (2 . )
=
X) Le dema de X) s'aele e wose w) des solos
68
PRDUT TÉRAL ÉQUAS DÉREELLES LÉARES
S Rt0 t) est la matce ésolvate de xt) t) xt) ( ) que xt) ous avos vu (
Rt t) Xt0) X t0) Xt) Xt) t) dét Xt0) dét Xt) Daute Daute at ous savos ( 5 que Doc dét Rt0 t)
)
dét Rt t) ex
t A(s) ds
omme (44 doe mmédatemet t A(s) a 1 (s) l e e ésu ésult ltee
wt) = wt0) ex
a (s) ds
solu toss défes su u u ela mote (Louvlle que s j est ue base de lesace des soluto tevalle leu leu wose e saule saule as su lvese s wt0) 0 alos wt) = 0 ou tout t /
•
hechos à adate la méthode e ésoluto ésolu to oosée e e 6 6 cha cha 5 ou ou la ésoluto ésoluto de léquato hom ogèe ogèe assocée à (4
Pynmes dféenes cecens vaabe
r rr
O se heute à ue emèe dffulté dffulté coceat la costuct co stucto o du esace de solutos soluto s � 0 au lus alos es t de classe n comme comme (4 S les foctos a 1 .. . an sot de clase le mote mmédatemet a écuece su a cote 'est as écessaemet de classe
n 1 et a foto 'aatet as écessaemet à lesace C . Loéateu D
e
eut doc ag que su u sousesace de lesace des solutos Suosos cette dfculté sumotée (a exemle s les a sot de classe C). ssayos l'équat o y + a y + ay 0 sous la fome fome déce das le cas smle n l'équato fos A 1 et A e sot lus des costates O obtet deux D A ) D A) y 0 où cette fos équatos ou déteme A et A :
A 1 + A a 1 et A 1 A A � a . est est l e ésulte que A dot ête soluto de l'équato A � + a A + (A) + a ue équato de catt cest-àde ue équato de la fome + a b. + = 0
z
z2
et Louvlle a moté que gééal elle e stège as a quadatues La echeche des cas atcules où elle stège a quadatues elève de la théoe de alos des cos déetels et débode le cade de ce lve
Reu aux équans hmgènes
cecens cnsan osdéos
léquato
léae et homogèe à coefcet costats
( 4 1
y! n l + a t . y n - + . .
rr
+
an · Y = O .
p(k) = kn + a kn + · + an 0 Suosos que l'équato caactéstque (vo 6 3 cha 5 p(k) ) (k). (k). admette ue ace multle c doe O a doc p(k) (k - ) Substtuos à p le olyôme k - )(k c u) .. . k c u (k). 'est le oly ôme caactéstque due équato de la fome (4 1
r
yn + a (u)y n + . . + an(u)y
) )
qu sot
Daès 6 cha 5 cette équato admet ou solutos les foctos
[ doc auss leus combasos éaes e e e
léaemet déedates Losque u ted ves zéo ces foctos ot ou lmtes
(4 14
t e 1 .
e
ÉQUAOS REELLES LÉARES ORRE
a r
69
lisos le l e héo héome me de comso 2 5 mce (4 4 ormée vec ( ) () () cnvere vers mrce fomée ec . . si - . en e n rése qe qe es sois soi s de(4 de (4 . 3) converen ves celes de (4 1 2) Donc Do nc (4 (4 1 4 oi oi solons léieme idéedes idéedes de (4 . 1 2) On ero erové vé selon n océ océdé dé dû à dlem dlembe be e és de ( 6 3. ch ch. .
Blgraph
e imossibe de doer ne bblorhe même sommire, conce les éqos diférenieles inéres à coefcies vbes dodre (même s 2 !). evoos oefos rié déà cé de Coddnon e evison. O rove ss ne éde des des solos so los érodqes à lendice .
7
CHAMPS E VECTEURS ÉQUATIONS FFÉRENTIELLES
à
Ce apitre est onsaé aux équations dférentelles lexistene de eus soutons et l'étude de a manière dont es solutios dépendent des ondtons ntiaes et déven tuels paramètes
à
Camps de vecters et qatos dffreteles atoomes
Champ Cha mp de veceus. veceus.
a ach E champ de vectes s ove U d espace de aach X:U C, r ? O.
es e applcao E de classe l est bo davo péset à lespt ltepéao svate. de occpe ltée U d écpet de lespace sel. achos à chaqe pot u de U le vectevesse X(t u) de la « molécle » d de passa e u à lsat t. es écaces le epésete pa vece vece « lé » do dog gee u ; cesàde psqe lespace sel est espace ae pa bpo doge u e dextémé u + X(t u).] X(t, u) e déped pas de t o dt qe le de est e moveme pemaet] u X(u) est champ de vece vece s U appelé le champ des vtesses d de pposos qe le movemet sot pemaet. t t) U es léqato hoae de molécle so vectevtesse f(t) à lsat t es ecoe (t). a coassace des ta ectoes de chaqe molécle et de le descpo hoae déeme doc le champ des vesses. Cest le poblème vese q va os occpe : coassa le champ des vtesses d movemet pemae ecostte léqato hoae de haqe molécle.
. . O appelle cobe égale d champ de vece X e appl cao déetable : l U d evalle ovet l da U elle qe (t) (t ) = Xt) po Coubes négraes. t
pso fa fa to t o de classe C 1 sqe X est co, X les les ass ass e est ipso O d ecoe qe es solto de léqao déetelle d peme ode X(). Résode cee éqato cest pa déto, tove totes les cobes égales de X Coassat la posto à lstat t de molécle d de et coassat le champ des vtesses o pet espée qe la taecoe de la moléle se tove déemée. Cela . Ces ce qo eve eve à chech cheche e e e solo : U de ' X() véa () . appelle le poblème de Cachy.
=
=
=
.
r?
iminaion du emps. 3 oet J tevalle ovet ovet U ovet d espace de aach E e X
J x
J
U E e applcao de classe C O. o chaqe t lapplcato u U X(t u) E est champ c hamp de vece s U e moeme d de pécé est pls
J x
=
pemaet e le champ des vtesses déped d emps. U E pa (t u) X( u) e cosdéos Déssos comme U de lespace de aach E (ces lespaceemps. champ de veces de lovet
xJ x
E
véet doc = : = Xu(s) (s) a coséqet t = u(s) = s costate, et les cobes égales de telles qe u(O) = 0
d de). es cobes tégales tégale s s u(s), f(s) de
sécve t H t, (t) e sote qe
% = Xt f(t). a poecto poecto s E de cete cobe cobe é
AMPS E VEEURS E ÉQUAOS ÉREELLES AUOOMES
7
x
ft) E R E est doc solto gle t, ft) sol to de léqto léqt o d déetelle éetelle ' = X(t ). O dt qe cette éqto est o autoom, oosto x éqtos ' = X() dtes autooms, o ù t e ge s exlctemet ds X. Récoqemet s t N f(t) est e solto de ' = Xt, ), los t N t, f(t) est é X(t, ) « déedt d demmet e cobe tégle de . étde des chms de ectes X(t, tems est doc meée à celle des chms de ectes ectes déedts d tems
»
Soet V oet d esce de ch P, U oet oet C , r O o chqe d esce de ch E et X : U x V - E e lcto lct o de clsse C, v E V l'lcto u E U X(u, v) E E est chm de ecte déedt d mète v. Déssos : U x V E x P (u v) = X(u, v), 0 et cosdéos comme chm de ecte s l'oet U x V de lesce de ch E P
mnaton ds d s aramètrs. aramètrs.
.
es cobes tégles t N f(t), v(t) de éet doc f'(t) = Xf(t), v(t), v(t) = O. Doc v(t) = v (costte et f'(t) = Xf(t), v. oecto s E de l cobe tégle f(t), v E E P de est doc solto solt o de léqto d déetelle ' = X(, v) écoqe est meste : s t f(t) est e solto de cette deèe éqto los t N f(t), f(t), v v est e cobe tégle de étde des éqtos déedt de mètes se mèe doc à celle des éqtos toomes = X().
-
r
Réducton au rmr ordr Soet E esce de ch U oet de lesce de ch E E et F : U E e lcto de clsse C, O Cel dét chm de ectes (, y) E U y F(, y) E E f E qe os oteos X. e cobe tégle t N f(t) g(t) E E E de X ée doc f'(t) = g(t), g'(t) = Ff(t), g(t). Cel mote qe f
est déetble et qe f(t) = Ff(t), f'(t). d'tes temes t N f(t) est solto de léqto déetelle d secod ode = F(, '). e océdé est géél l déà déà été été tlsé e 6 ch 5 et (4 ch 6 exemle e éqto d déetell éetellee d'ode : d"
dt "
=F
d
d" , dt !
o X E E
se mèe à système toome s oet de E" = E
···
fE
d
= F( , ... , ") .
Rma Rmarq rqu u.. édcto eme eme ode est s coqe o et mee de de be
des ços système dode n à système d eme ode C'est s qe l'éqto w = 0 de loscllte hmoqe 6 ch 5 séct ' = y, y' = w ; o ss be = w y, y' = - w Cette édcto est odmetle e Mécqe comme lexemle q st le t so çoe
quat quatons ons d d Hamton. Hamton. S esce ectoel ectoel éel eclde E de dmeso e ('esce
de cogto o se doe e octo U de clsse C , à les éelles (le otetel Relos (o 3 ch ch qe s < , est le odt scle de E le gdet gd U(q) U(q), . de U e q E E est dé dU(q) = < gd U(q), Itéessos-os Itéessos- os à léqto de de Newto
= - gd U(q), q égt léolto cos
d tems t d système mécqe coset d'éege otetelle U. Il se mèe à système de eme ode q = , = - gd U(q) s lesc lescee (des hses E E des ostos q et des mlsos Itodsos ec gge l ome symlectqe (blée, lteée et o dégééée w dé dé ee s E E w [(q , ) , ( q , ) = < q , - < q, lle dét somo a(v) E E E selo a( v) = w(X, v) o v E E hsme a E (E E*
-
f
7
AMPS RS ÉQAS ÉRLLS Itodsos to too os s aec Laae Laae a a oc oco o « éee éee totae » Hq, p =
( pp + U(
et chechos mae de sa déetee das 'somophsme cdesss O toe sas pe ad U(q a cosée 'éato de Newto q" - ad Uq s XH X q p. Cest a ome o ome hamoe hamoe édt éao d peme ode des éatos déoto sexpcte das e base ohoomée de E so a om . èH p àH am e eee ax mecac mecaces es qi , - èq ,
m dH m è
Exstee e t des obes tgaes
Appicaion ipch ipchzienn zienne e 21 Rappe Rappeos os e e appc appcato ato X U
F d' oet U e.. omé E da dass e e o omé mé F es dte dte K-pschtze K- pschtzee e s' exse exse ombe K > 0 d' e e e X) - Xy) - y po os demme X es aos coe Le héome de a moye ( chap 2) moe e s X est de casse C exste po chae u de U osa os a V das U te e a esco de X V sot pschtzee O d e X es ocaemet pschtzee.
ou rt 'un spac spac Banac Banac E X E un camp c Thoèe. 2 2 Sont un ourt turs l lpsctzn psctzn Donnonsnous un pont x t prnons r > assz ptt pour qu la un born boul frm B(x) { x E x x r } sot ans Dsgnons par M un suprur X(x) ans ctt boul t posons a rM xst un appl plcat caton on f t a, t a B Alors pour caqu t R l xst Bx x)) fr rn n tabl t un sul t qu f(t) Xf(t) t f(t) 2.3
=
RUV.
(2 4)
a coé de , es codo s (2 se émet ee ft) = Xfs)ds .
Cosdéos espace des des appcatos cotes de [ t0 t0 + ] das B) m de a dstace d de a coeece ome Le sosesembe sose sembe de ses éémes u éa ut0) = 0 e es sos-espace emé emé est doc espace méte compet
S u déssos Tu pa Tut) = 0 +
Tu es coe et Tut0)
=
Xus)ds o t - t demmet
<
0. Dae pat Tu ca, daps dos de M et
rr
M t - 0 M ppe das eeat . 4 o o e f sasa . s e se n pot xe de T S os moos 'e téée de T est e coacto G ea démoté
T u t)
Xus)ds
daps (6 ppe ppedce dce ) )
Doosos u v O a
Tut) Tvt) =
Xus)) - X)) d K
du )
7
S UÉ S OURS ÉRALS emlaçs esectiemet u et a Tu et T das estime cdete :
I T2 ut) T2 t) I K
1
Tus)) T Ts s)) I • d I Tus
1
K • u u ) De che e che btet
cie Tk u T ) est e ctact xELE
=
1
s l) • ds
K 2 t l 2 • u u ) ) 2
t l k ut) Tk t) I K k • u ) at Tk ut) k !
du ) Si k est assez gad a K a)k < k ! et laicati Tk
edmhism e d esace de aach Chechs f : R d (E Sit edmhisme
tele qe ft) = ft) ft) fO) fO)
1. Cea scit
ft)
= +
fs) fs) s
= = orollar 2 - Sent un uert 'un espace e Banach E, X E un champ e ec teurs lpschtzen S et z 2 snt eux slutns e x = X(x) rant la même cntn ntale 0) = 0) = x 0 , alrs et 2 cïncent sur n 2 •
aliqat ali qat la mthde mthde cdte cdte te qe es aximatis axi matis sccessies f0t) 1 t ) = + t + · · · + t / / ! is eximet a t) isii ft) ë = T" f0 de f eximet et l a et e fait qe (e (e ) = e
PREVE
Csqece immdiate de icit
0
=
c
26 a dfiti e sti f U de () lge e Soluton maxmal 26 U si sti f et si ft0) = ft0) t0 Das le caie
cdet f cïcide dc aec f s ce qi stie la temilgie a diti e e sti est maximae si ele est as lgeabe lgeabe M ts qi e existe
Théorèm 2 7 - Tute slutn slutn e x x = Xx) est cntenue ans une slutn maxmale unque
Csids lesembe de ttes es sltis U qi get e sti de f 0 U. La i des est iteae ca cest la i dite ales cteat Ns als di e slti U qi idemmet sea maxi PREUVE
male Si t il existe la tel qe t ss ft) = ft) Si t aatiet à ate iteale lb isqe f et fb ccidet s 0 a t) = Jt) das 2. 4. Dc ft) e ded as de f O a di e alicati f U le ie bie () chaqe t is qele qele ccide s iteae cteat t aec e e slti sl ti f 0
=
Alcaton 28 Le thme cdet emet de ie qe liste de sltis est
exhastie R Chace des sltis j�t) = 0 t R Sit a exemle qati = x2 x R Pt) = a t) t a et t) = (a t) t < a est maximale chaqe cditi iitiae t0, x0) cesd e see de ces sltis : 0 0 1 + l cest f ; X 0 (es < 0 cest (es P), ù a = Cmme () 2 est caemet lischitziee 2 . 6 saiqe et a bie ttes es stis sti s maximales maximal es O tea qe ces stis à excsi de f0 e st as dies s R tt etie Ns es ltieemet qele cditis imse à a dite cette athgie
>=
>
=
74
AMPS E VETEURS ÉQUATOS ÉRETELLES
i hamp d vu X ninu an ê amn phizin unii d uin maxima pu ê n dau
Rmarqu 2 9
=
xmp xmp uain uain 3() 1 adm dux uin maxima diin ft) 0 t . Rain : X() 3 pèd un g(t) ( t - t) pna a vau z pu t t. O. div inini pu Nanmi Nan min n n a a uivan u nu nu n dmnn pa
» x
=
= =
=
=
Théorèm Théorèm (Arza Soent un ouert dimnsion ni, ni , X E oue rt 'un espac espacee e e Banach Ee E e dimnsion un champ e ecteurs continu Alors, pour tout t0 R et tout x0 , l exste au mons une solut soluton on f : e l'quaton x X(x), tele que f(t0) x0, t0
=
=
= = x 1
Traduction Traductio n ds résultats récédnts récédnts our s équations équation s diff différntils dordr qulconqu qul conqu 2
1 .
Rpnn uain dini dd n d 1 5 l F(, F(, . . l). uppn u 'appiain F i iphizinn pa app à nmb d vaiab .. , , an dnn t R , . . n E i xi un uin maxima f un u u f(t) f(t) , , 1 l(t) L u aduia ui-mêm hèm 2 2 n m d'uain dini nn aunm u dpndan d paamè.
p= 1
=
3 Dedae des odos aes
x
L hèm 2 . 2. u pbèm d Cauh an dnn t R U i > 0 az pi, i xi un ub ub ina in a d X uniu dini u t , t + ] pnan t . inn-a pa r(t ). Nu nu ppn dudi a vau pu u t t.
=
r (t, )
mm d Gronwal 3 . 1 Soent u et eux ap applcatons plcatons contnues e a, b, a < b, ans les rels posts ou nuls Supposons qu'l exste un nombre A � tel que (3 . 2)
Alors u(t)
u(t)
(
; A
; A +
(s)s
u(s) u(s) (s) (s) s pour pour a
pour a
t ; b
; t b
i h(t) din mmb d di d 3 . 2, n a h(t) = u(t) v(t) Cmm pa hphè u(t) h(t) v t � 0 n a h(t) h(t) v(t). Pn
REVE
(
C(t)
= h(t)
pui C(t) pu pu n n ddui C(t) 0 pui dniin d C a i h(t) xp
-
v(s)s
t b a ()
= h()
v(s) v(s) s L mm n u a u(t)
. apè a
h(t)
D
Théorèm 3 3 Cas Cas llpschtzen pschtzen Garon Garonss les hypothèses u thorème thorème 2 2 A lors, pour chaque x B(x B (x0) 0),, l exste exste une courbe nt ntgr grale ale (t, x) et une eule e x = X(x), ne sur [t0 a2, a2, t0 t0 + a2] et rant (t0, x) x (t, y) I ; eKIr-o l x y pour x, y B(x0) et 1 t t0 a2 x) (t, En outre outre I (t, x) En partculer x (t, x) est lpschtzenne sur B (x0) (x0 ) unormment unormment en t : I (t, x) (t, ; K / · -
Y
Y
ÉPEAE ES OOS TALES
75
P. P. L a pm pm pat t t ma mat t d . x E B 2 x0) mpa mpa da . pt pt x0 pa pt x t Bx0) pa B2 x) appatt à vt U] mpa da . . mb pa a ct x) dm da B 2 x0) x y E Bx0) ct x) t ct y) vt vt ( à d hamt d tat p Il ct x) - ct c t y) I l · P X t K -pht P ut) -pht a
ut)
=
=
x-y+
L
Xcs x)) - Xcs y))]ds
l x - y i K
1L
I l cs cs x) - cs c s y) ds
?
1
x - y l + K
t thm t d mm d wa wa t t0 t0 t am a a pdt haat t - t X - X
>
1 L d 1 us)
D
Théorè. 34 (cla (class ss Garons les hypothèses u thorème 22, à cec près que nous Nous us saons alors or 2 que X est localement lpschtzen supposons X e classe • No Qutte à rure l'ouert nous pouons encore supposer que X est Klpschtzen pour un certan K Les conclusons u thorème prcent subsstent onc Mas nous alons montrer quen outre, est e classe •
=
P P ' tat a a c t amm ammtt d dt tab ab thm d hwa 1 hap hap t t
X o c taîat
ct x) dd D2 ct x) = DXct x)] o D2 ct
=
av, p ct0 x) x D 2 ct0 x) = 1 Ca dt à td a t u d
dd ut) = DXct x)]ut)
( 3 )
= =
vat ut0) 1 d . Ct C t at d dt a u dt t t DX[ c )] t t t p p d p tt t X t d a C 1 a t hh xt d t t t d ( hap. 6. 6. t-a t -a t x) D
Montrons qu st contnu
ap ( . ha p. 6 appat appa t t t x) t t t mêm d a C p tt x mt x t x) t t mmt t t tat a tab. P DX t c t t pt h a d a b Bx0) t mb 0 a ptt p DXct x) t maj pa mb p tt t t0 t0 ] t tt x E B 2 x0). C p mm c t t 'mb ct x) t - t0 x E Bx0) t mpat. a t t ct x) D X [ct x) t d mmt t mp mpa att à tt tt 0 pd 0 t
!
>
>
( 3 . 6 mp (3 . 7
! >
r
r
p ct x) - ct y) Il I r-ro / 2 p DXc x) - DXct DX ct y) y) l . I rt i 2
ap 3 . 3. c t pht mmt t xt d I x y � ' mp 3 . 6 6 p t (3 . .
> 0 t
HAMPS VURS ÉQUAOS ÉRLLS
76
l
Cnidn a n ntn tn ( x) t ( y) dn pa
(, x) DX c( x)] ,, x)x) , D X c( y)] ( ( y) DX ( y) y) ,
( x) 1 ( y) 1
C nt d tn d'qatin dnt na apè tèm d mpaai 2 5. ap. ap. 6) n a dn
( x) - ((,, y) � p p t tt t
em/2
•
/ sup
0 � a/2 x - y �
Il DX[ c ( t, x)] x)] - DX c ( y)J I � a·e"m1 (2
C't nm nm ntnit ntni t n x .
Montrons qu t x) xs xst t t st ga t x) x).. Pn 8(, h)
n a
c(, x + h) - c(, x) Pq d c X o c t q 8(0, h) c(0, x + h) - c(0 (x + h) x h
( h) h at a t pat d'apè ( . )
r
(,, x)h = h ( n n ddt .9)
(,, h) - ( x ) h (
+
X(s, x
+
Q
h)
Xc(s, x) } ds
DXc((s, x)] (s h)h ds DXc
DX[c(s, x)] [e(s h) - (s x) h] h ] ds ds
+
{ }d
ù Xc( Xc(s x h)] X [c x)] [c(s, x)] - D X c c(s, x) ] e(s h). din P Pq q d' d'ap apè è . x c( x) t ptnn nimmnt n xt C 0 t q e(s x h) c( c(s,s, x) l � C h I p s - 0 < a(2. e(s,, h) c(s, at pat pq X t d a C tan tan dnn > 0 i x xt t n 0 t q 8(s,h) n iit h p q C l l h < n a dn ntan { } � · (s, h) nd nd tm d mmb mmb d dt dt d ( . 9) t dmin pa I { } I � s C h t h .. 0 h t-àd n pa a ppiqn inat inat d nwa n pn ant p a nm nm d mmb d a d maant nt d I DX( ) I l n btnt 9) p A nmb a C h t p v maa
+
>
>
r
x) h � (constan te) . e . ll h Il . c( , x h) - c x) - (, x) n t q D c( x) (, x). Pq c (1, x) c(, x) pèd d dnt pat D c ntn i t d (. ap. ap. 2) q c t d a C •
� c t D c
L t t tva à 'ppnd n pv pv t t ati ma ma nptmnt npt mnt p dii d à J . Rbbn.
Gar ron onss les hy hypothès pothèses es u u tho thorème rème 2 2 2 à cec cec pr près ès que nous Téorè 3 (cass k Ga Alor orss est e classe k suppposons X e classe C, k Al su
ÉPEAE ES OOS AE
7
=
P thèm vint d'êt tabi i k uppn k � thèm thèm it i t vai juu'à juu'à d k 1 t t d a a C t d
t admttn u
d <, x) = X<, x)] n n dduit
d d < x)
= D X [<, , x) ] X< x)]
x)] D 2 < x) x) d D2 x) = D X [< x)]
C ti atin ati n mnt un tèm di dinti n innnu
, <,
D < Puiu X t
d a C k, mmb d dit nt d a ck-· pa appt à tt innnu ap è
, D nt dn d a C 1 I n ut u hpthè d un un , a c_ i n patiui X t C a a t C
< t d
xp( Acaton. 3 it A un ndmphim dun pa d anah E A xp( t d a C '
P P (H Pina Pina Chhn a utin du tèm tèm di dinti n x nd (
= y o x 0 viant nditin initia xO) = = id O) = A n a vu au =
A), ) = A Cmm hamp d vtu hapit 5 u tt utin t x) x, ) (y o x, 0 t d a C tt utin ut in dpnd d açn açn C d a nditin initia A. n pati patiu ui i xp( A ) t t
w X
n put uhait xpiit a d dnti nti d X xpX. ii an dmntatin u'n btint. tant dnn A E nd E dinn pa adA) appiatin d nd E dan nd E di dini ni pa X A o X X o A C't un un appiatin inai ntinu a
adA)X . A X
D) A) A ) d xp n A xpim pa a dint dinti i D) 1 A ) (xp n •
= L
adA)]
u u auin aui n pu ann ditmnt. ditmnt. i h E nd E) a i
L ( " . h A " 2 hA · + h )n
nv nmamnt u tut mpat d nd E a mdu d n tm na t h 1) ! i h) din a mm n vit dn u t inai dmin pa A
( ". e 1 1 1 . C o mme o n a e t q ue I l L I l h) L [l A l + l h l" l A n A )" h ]n ] n ,
A
= e
! ' A I I + il h l
a mnt mnt u xp di dintiab nt iab t u (xp (xp Ah
e li
A
h)
ii
_
!1 h l . e il h l
=
o( l h I l ) ,
AMPS E VEEURS ÉQUAOS FFÉREELLES
78
4
Chmps d vtrs omps
antt dnn dnn un un uvt uvt U dun pa pa d anah ana h E un hamp ha mp d vu Dén Dé ntto on n 4. 4 . 1. an amn a mn iphtin iphti n X u U n d u X t mpt hau ub nta maxma d X t dn u R u nt umn dt pu hau t E R t hau U x un appan diniab f R U van f(t) Xf(t)] f(t) = x0
=
EM. 4 2 apè hap 5 un maxma d uain d
nti inai nt dn u R tut n
=
u E R hamp d vu nan X mpt Pa n êm hap nid u 'uvt U R { 0 } n' pa pa mp mp a un na na un nan n' pa dn pu puu'i indt à f f(t t d pnd a vau nu nu u R n pa mp Nu avn djà vu u hamp d vu X) x2 u 1 t) un na nan n n n pa dni pu t uin ( - t) an an pm xmp hamp n n pa mp pa u manu un pin pin à pa pa R { 0 } (u t nmp an nd xmp hamp t inmp pa u X() t tp vt av n anu ta d pn mai nt un d'uan dnt t nt u un xitnt pu tut vau du tmp t. 't puu nu an dnn uu è d mpud XEME. 4 3
=
=
+
ecteurs localemen ocalementt lpschtzen pschtzen n sur un oue ou ert rt Téorè 4 4 Sot X un champ e ecteurs un espace espace e e Banach E So Sot t f : ] T _ T [ une courbe ntgrale maxmale e X Alors ou ben T+ ou ben T < et ans ce erner cas à tout compact K e cor respon un > 0 tel que f(t K s t > T - En autres terme termess f(t) nt nt par sortr e tout compact La proprt corresponante aut pour T _
w _ = E
Rmaun d'abd u'un ub na maxma t din u un n va dapè dapè 2 . . i ] [ t intva uppn T < Rannn pa abud t uppn u u d 'nn nx pa n pu dn uv un u d nmb nvan v T t u " f(tt) dmu dan K. Puu K mpa ut à xa un u-u d t", n pu f( upp u f(t nv v un pin d K a p hèm h èm 3 . 3 i x x un v U i xit xi t un ub na U Bx0) d un nmb > 0 u pu hau na (t ) dni u - /2 t /2. Pnn n a and pu u - /2 f(tt) U n abutt à a ntadin uvan : a ub na maxma paan pa f( f( t) à intan t" n' dni u pu t puan n put a pn uu'à , 1 an > PEUVE
x
+
D
Inégra mè mè.. 4 5 5 adn ntatn d 4.4. n di u'un ntn h U R
un nta pmè pmè du hamp X u u a ub na f U d X, nt put put dpnd d a uti n f. a nn h f dni u n dpnd pa d t [pa nt ntin in h t un nta pmè an av à ii un è imp pu dd un nt nna xpimnt ub nta
TÈE. n n n nnn h U
mnt Dh() Xx)
=
= 0 pu tut x E U
=
x
U f n crb in un na na pmè pmè a a d d X t u tnt n a h[f(t) h [ f()] h(). n dintant p rappL'rl
PEVE
f()
R d a C 1 un n è d X u
=
Dh [ (t)]f(t)
= Dh[j(t)]X [
AMPS E VEEURS OMPLES
79
Prnn n particulir a n a Dhx) Xx) O Rciprumnt, uppn u Dhx) Xx) 0 pur tut x d V L calcul prcdnt mntr mntr u la drv d d h[f)] t null Cmm dcrt dcrt un ntrvall cnnx, ll rult (2 . chap 2) u h f)] t cntant d (2. Rvnn à la cmpltud d champ d vctur
D
oolla Sot X un champ e ecteurs localement lpschtzen fn sur un ouert U 'un espac espacee e Banach E S X possèe une ntgra ntgrale le premère premère h U R tele que h r) sot compact pour chaque r R alors X est complet
E
Chau curb intral paant par x V rt ur l cmpact h [ hx)] L thrèm rult alr d 4 . D Rmaqus. a) put u la nc ncti tinn h t dn ur un unmbl plu rand u V ur E tut ntr, ntr, par xmpl xmpl il n t an, an , lhpthè lhpthè du thrèm n REVE
u h r) r ) V dit êtr un cmpact d V. b h t di dirntabl, rntabl, l t acl acl d vr u l hpthè hpthè du crllair crll air implunt impl unt u E t d dimnn n
champ d vctur X - z, z - x, x - ) dni ur R { x, x, , z) } x - z) + admt pur intral prmièr hx z) x) 2 + ) 2 + z) 2 car D hX 2 x
xEE
2 z r ) t vd i r < 0 t u ct la phèr d z - x) + 2 z x - z) O Cm h r) 1 2 cntr 0 t d ran r r > 0 l champ X t cmplt
+
Théoè d majoation majoation a ioi. ioi. 7 eprenons eprenons les les hypothèses e 4 So Sotf ] T _ T [ U une courbe ntgrale maxmale e X. Supposons que pour chaque nombre rel T > 0 l exste un compact e U tel que f(t) pour t T Alors T et T +
E
= +
ur luvrt R x V d lpac dd anach an ach R cnidrn cnidr n l champ d vtur vtur X ) ctàdir l tèm = , Xx) uppn u T < + Prnn T > T t rmn rmn l cmp cmpac actt T T] K d R x V aprè l thrèm 44 applu au champ ( X ), la curb intral maxmal T T [ R x V, dni par REVE
x
,), ,), rt d c cmpact Cmm) rt dan K, ct uil xt t u > T > T : n cntradict cnt radictn n avc l at at u ) nt pa dn pur T · êm dmntratn pur T n un majratn a prr f) K dun lutn f ur lntrvall T ntraîn l'xitnc d ctt lutn u tut lintrvall
_
D
n champ d vctur X lcalmnt lpchtzn, dn u E tut ntr t cntant X n dhr dun cmpact t cmplt EE
EVE EVE lutn maxmal vrnt Il f (t ) l
cntant l dtallr) dtallr)
:
A + 1 1 - 1 X 0 Il ,
rnld) Rprnn luatn d d Ntn xEE 4 9
où
A
es t une
D
= rad V() d 5.
t uppn lnri ptntill V partut pitiv lr chau lutin ) t dn ur R tut ntir P REUVE
d d d N tn ct d d rad () u E uatn
brvn brvn dabrd u u lnr ttal , ) daprè 4 5.
: DH DH X < rad V()
l 2 + V() t un ntral prmèr
, rad V() O
80
CHAMPS DE VECTEURS. ÉQUATONS DIFFÉRENTELLES
q(t), q(t) , p(t) p(t) tele que q(O) q0 p(O) = p0 et poso H0 H(q0p0) De � p 2 + U(q) H0 et U(q) � 0 on déduit l p l J2.H, q(t) , p(t) p(t) reste da donc Il q(t) q0 Il <; � · 1 t 11 Par conséquent si 1 t 1 < T a soution q(t), H0 • T I p <i} et i sut dappiquer 4 6. (q, p) l q l < l q0 I + le compact { (q, Considérons la soution maximale
Il
Remarques. 4 . 9 9 On peut montrer que s'i existe une constante k � 0 tele U(q) � aors chaque solution soluti on est dénie sur R tout entier. Par contre, prenons E { q } = R et U(q) U(q) = - q4/2 La solution q(t) = (t peut être proonge jusqu'à t 1 .
- k l q V -
) - 1
e ecteur trouvera dautres critères de complétude dans louv lo uvrag ragee d e R Abraha et J. Marsden (page 71 )
5. Groupes à un paramètre de diff difféomorphismes éomorphism es Les groupes à un paramètre d'automorphismes linéaires dun espac de Banach et eu relation avec es éuations dfférentielles inéaires homogènes à coeffcients constants ont é étudiés en (3 chap 5) Nous allons généraliser cette étude. On appelle groupe à un paramètre t E R de di d iéomorphismes éomorphismes r dun ouvert U dun espace de Banach E une une application applicati on r : R x U u· tele ue : Groupes à un paramètre de diff difféomorphsmes
51.
a) r soit de classe C' , � 1 ; b) pour chaque t E R lapplication r : U U r
dénie par
r(x) = r(t, x), soit un diéo
morphism morphismee ;
r, t E R, soit un groupe à un paamètre de transformations de U : r0 id c'est-àdire r0(x 0(x) = x pour x E U ; ls r = ls + r pour s, t E R, cest-àdire rs r(t, x) = r(t + s x) pour s, t E R et pour x E U r = r0 = id Observons ue le diéomorphisme inverse de r est r car r r = r r(x) = r(t r(t x) E U comme Fixons un point x de U. On peut considérer la courbe t E R dénissant un mouvement dun point dont la position à instant initia 0 est r(O, x) = x et dont a a position à linstant est r(x) Lorbite Lorb ite de ce point poi nt est donc { r (x) : t E R }. c) a famille
o
o
_
,
t
Générateur du groupe
à instant
t=
0 de
5 2
-
On appele vitesse
t r(x r(x)) = r(t, r(t, x)
X(x) de r au point x de U le vecteur-vitesse
d X(x) = _ r(t x) dt
1r � 0 .
On voit donc ue si r est de classe C' r � 1 , on a défini un champ de vecteu X : U E x) On dit que X est e générateur de casse c - 1 dont les courbes intégraes sont t r(t x) (infinitésima) du groupe à un paramètre r (quon appele aussi un ot) xEMPLE
-
A
E nd (E est e générateur du
flot flot
r(x) = e' A .
x.
Théorème 5 . 3. - Le vecteur-vitesse du mouvement dun du n point point à chaque instant est égal au vecteu vec teurr de de la vitesse vi tesse du flot à l'endroit l'e ndroit où se trouve trou ve le poin poin à l'instant considéré En d'autres termes :
ROUPES REUV
À
U PARAMÈTRE E ÉOMORPSMES
8
d d Xs s,, x) s [r, s x)] + r x) s _ dl dl X nratr X dn ot c st n hamp d vtrs vtrs ompt pis pis s orbs ntras ntra s ripromnt n hamp x sont dnis por tot t R Nos aons montrr ripromnt d _ t d
x
3 hap. 5) on ara montr d vtr ompt nndr nndr n ot. n rsm tot omm n 3 xst n orrspondan bnvo ntr s ots sr U t s hamps d vtrs ompts sr U
S
Sot X un champ champ e e ecteurs compl complet et e e classe classe C, C , r sur un oue ouert rt Téorè 'un espace e nach E our chaque x U sgnons par t N t x) la courbe ntgrale maxmale e X tee que (O x) x Alors R U est un groupe à un paramètre e ffomorphsmes e
ondti on d d 5 1 . st s t don vri. c st d ass a ondtion
REUVE 'après 3 1 0
rons a ondto abor abord, d, par d dn nto ton, n, O nos t s R t posons ft) tt + s x) r t + s n a d d ft) t
x por to nst donnons
x) X ft) s, x) rd r x) X[r x)] X[t + s x)
Par onsnt f st a orb intra maxima d vdmmnt d mêm par dnition d , por t N t
X t f) s x) n va s x). après nit tt + s, x) t, s x) Qant a onditon b d 5 st n at n onsn ds ds ondtons t b Pis st d ass C r 1, appaton x N t x) st d ass C Nos avons v st nvrsb nvrs b t t son nvrs nvrs () _ st d ass C n rst bn st n do morphism morphis m d ass C d U sr U D
SS x
R X nst pas ompt, a dmonstraton prdnt montr por ha x0 U i xst n vosna V d x0 ontn dans U t n nt ntrv rva a ] t ts s : U vr V ) - , d
t x) X[t, x) ] por tot x V b por ha t x t ) soit n domorphism d V sr V) c por t, s t + s , on at o s+r·
n rsm s proprits n disant dnit n rm d rop n paramètr d di di omor omorphsm phsmss dans n voisina d x0.
Nots prsnt haptr n ait rr a sto. tr trora ds xposs
ps ompts dans s ovras d ts d . rnod . . Coddnton t N. vinson, d N. Roh Roh t t J awhn. I trovra ass n atr dmnstrato dmnstratonn d thorèm dxistn dxistn dans ovra d H Cartan. nn s ovras d R. braham t . arsdn d W Hrsh t . ma ontnnnt ds dvoppmts rnts d 'td oba ds sstèms dnams.
8
CONJUGASON T COORDONNÉS LOCALS
Ce captre est cosacré a conjugason dans e groupe des déomorpsmes Cette oto est lustée etre autes par e théoème du ag constat et par le théoème du edessemet des champs de vecteus.
lmn n om dnn dnn on a n a -d ppoab ppoab pa dpamn n onna dx on a n monan on n ommn n an nomb d pop nvaan pa dpamn (on ax a da d an mm dx anomaon d pa on ond omm i van 'aon d n ppoab aon d 'a pa n dpam van dpamn. n. C an dx oaon d pan dn on van an d oaon on ax n p nd pon d v d op p nax n ax op dn. d ond xmp xamnon op L (E) d aomophm dn .v. x ndomophm A B nd (E) on on ond omm van van (on (on d « m bab ba b x x L ( B = Commn onna B on mbab on ppo E C" on m ov dn V d nd (E) om m om pa ndom ndomoph ophm m va pop dn (vo ppn ppnd d A V B V on mbab mn on o n mm p p { , " . n 'aomophm 'aomo phm nvo a ba d E om pa v pop d A om pa v pop opondan d B on a bn B • C a aaon aon o o n mhod mh od po d opaon opa on nd (E) dè opaon ommn av a onjaon. C an ndomophm d mbab ndomophm B don a ma dan a ba anon d C" da 'opaon dvaon a pan nè nè n ov noabmn mp mp d da a ( ( da
=
=
•
Â
=
=
va pop on pov om on on n pm a pob pob dnd opaon dvaon a pan k a a où n on an hap no aon no n a op d domophm d a dn pa d anah No nodon a noo No noonn dvan opondan ( onaon ona on no hhon h hon nvaan pmn d dd dd d dxx mophm d E on van van
k-onjgon coodon
dan n pa d anah E,f n appaon d a dn pa d anah E
pa d anah E -conugason on n appaon d a \ � dn pa
dan n pa pa d anah ana h E n d d on -onj x d domo domophm phm E E d a daamm van o omma E
<
<
83
k-OJUASO ET OOROÉES
=
!
dautres termes si f q/ 1
E E
-conjugason ocal 2 La proprété précédente précédente peut n'être n'être vérée ue localement Gardons es notations précédentes. Soient 1 posons ' f f On dt ue et1 sont locaement kconjuguées aux voisinages de et s existe des snages snages ouverts de ' � notés respectvement U U 1 U tels ue U) U1 U 1 ) u ; b les restrctions de à U et e t de de f à U 1 soient k -conjuguées :
\
c
=
=
-
j'
Le composé de déomorphismes étant un difféomorphime la kconjugason locae) est une reaton déuvaence Le dagramme suivant montre uun k-diff -difféomorphisme : est k conjugué à applicaton identue identue : xELE
· i Ir
Nous alons traduire traduire ce u i précèd précèdee en e n termes de coordonnées. coordonnées. oordonnés 3 Soit U un ouvert dun e.v. de dimenson fne fne n sur K nous prendrons prendrons souvent K = R pour xer xer es notations). S i { k } est une bae de chaue élément u de U sécrt de façon uniue k k. Notons k application u � k de U dans K. Les fonctons 1 " sont es e s composantes composantes dune applicaton de U dans dans K ", ui est a restrction à U dun somorphism somo rphismee de sur sur K " : : U - K " u
(u), un n(u) u = (u),
On dit ue ( 1 ") est un système systèm e de de coordonnées lnéaires lnéair es sur U ien entendu U U) est un diéomorphsme. ela nous amène à généraliser a noton de coordonnées coordonnées Nous appelerons appelerons c d domn U e coupe U ) formé par un ouvert U et un diéo morphsme de U sur un ouvert de K ". Les composantes x n ) de sappelent un , "(u) sappellent es coordonnées de u U dans la carte ssèm d coodonns et (u) , consdérée Lapplication inverse U) K " U sappele une pmson d U
c
OUASO E OOROÉES LOALES
84
XELE XELE OOROES OOROES OLARES - Pnn E
> 0 .
= 2 = { (x ) } U = { (x, ) x > 0
E
(x, ) p = x2 2F 2 = ct x 2 t un cat u U u = (x, n app p(u) 8(u) cdnn pa d u. n cntat u 'ma nv pa d dt p = cntant d 2 nt d cc 'ù nm d cdnn cuvn pa dnn aux cdnn ucnu dns c c L cc 'ma pa d'un u d U 'app a cu d ctt u dns d cnt 0 d E = 2 nt dnc cmm d dt n c dnn pa S U K t un nctn nctn n xpn dan n uv cdnn cdnn () u 'n pè pè a a ctu dan dan a cat ( U, ) ) t, pa dntn o • d'un pac d d anach E d dmn St nc un un appcatn appc atn d ca ca d'un uvt U d'un un n n dan un uvt U ' d'un pac d anach E d dmnn Snt U K" un (avc d cdnn cat u U (avc (avc d cdnn x) U ' K m un cat u U (avc ). 'appcatn 'appcatn f o 'app xpn (u a ctu) d dan cat ( U ) 'uvt (U ( U ) d K " dan 'uvt ( V ) d K m ( U , ). C't un appcatn d ca d 'uvt u pa ntuctn t -cnuu à appcatn unt dnc un modè d dan a ca d -cnuan
I
o
.
Diéomorhism loca oordonnés locas Rappn u'un appcatnd ca k � d'un uvt U d'un pac d anach E dan un pac d anach F t
E
app un dmphm ca n U ' xt un vna uvt V d dan U t t u a tctn d à V t un dmphm d V u () ( ).. L thèm d'nvn ca 2 2 cha c hap. p. 3 mu mu an : t un d dmphm ca c a n t umnt a dnt dnt D t un mphm mphm d E u F. Cc app can ntn d . 3
xx
Dén Dénit itio ion n Snt E un v d dmnn n u K, U un uvt d E, a un pnt d U. n
E
app ytèm d cdnn ca n a dnn d n nctn U K d ca x1(u) . . . , x(u) K t un t t u u U x1(u) m mphm phm ca n
I
n ddut mmdatmnt du thèm d'nvn ca u u a a m m u nu vnn d u dnn utat uvant
.
(x , x) est un système e cooronnes locales en a s et seulement s, Théorèm le termnant e la matrce D x(a) x(a) n'est pas nul u encore s, et seulement s, les formes lnares Dx (a), , , Dx(a) forment une base base e l'espace l'espace ual ual E * a ntn nt n d cdnn ca pmt d'xpm cmmdmnt c d -cnuan ca. Rpnn ntatn d 1 2 t t uppn u E t E nt d dmnn n n t nt camnt cnuu aux vna d t 1 u xpn dan d cat aduat nt mêm
a
E
n, U un uvt uvt d d E E U F un dmphm mp hm ca ca n U. Chn Ch n d d cdnn ca . . . ) n = d ytèm d cdnn ca n ca cmp (x = 1 o . x Y o ) t un ytèm
E EL L Snt E t F dux .v d mêm dmnn
d dux d dmp mphm hm t un d dmphm. mph m. n n ut u u dan cdnn cd nn (x) ( ( ) t 'appcatn dntu dntu (cmpa à 'xmp d 1 2) u an an na c c utat n n uppant pu u D t un mphm mph m d E u u F.
2
Repentaton oae dune appaton dffentabe
Sau mntn xp, pac d anach E t F d c paaaph nt d dmnn n n t m u mêm cp K
REPRÉSEAIO LOALE UE APPLIAIO IÉREIALE
85
Cas où ( st suctv. So Sonnt U un ouvrt ouvrt d E un un pplcton d d clss clss k u D sot so t sur su rjctv jc tv n a U Alors st loclmnt k conjugué 1 , d U dns tll u ux vosngs d a t (a à l projcton cnonu K " K m K m K m (x , ... ... m , .. , , . , m . n dutrs trms trms l comportmnt locl d . u vosn vos ng g d d a st clu cl u d s dfférnt dfférntll ll D(a. RUV RUV - Pusu D.) E E ) st surjc surjctv tv dm E dm m Sot (y1, ..., ... , Ym (a Posons x y o pour 1 . , m. On un systèm d coordonnés locls n b (a onc Dx(a Dy(b o D). Pusu D(a st surjctv t u { Dy(b form un s * héorè héorèm m 1 5) ls forms forms lnérs lnér s Dx1 (a (a . . , Dx m(a sont lnérmnt ndépndnts Complétonsls pr m forms lnérs lnér s xm , .., .. , x" d fçon à formr un s d E* lors dprès 1 . 5 (x1 , .. x" st s t un systèm d coordonnés locls locls n Pr constructon lxprsson d f dns cs coordonnés st
r
D marqu. L théorèm théorèm vut ncor n dmnson dmnso n nn n n pourvu pourvu ul xst un sous sous pc frmé E d E tl u E sot l somm drct r D D) ) E l été démontré sous sous ;e ;e hypothès u (5 4 ch p 3, dns dns l l prspctv dun théorèm dxstnc plutt u dns ll nvsgé c dun modèl locl as où ( st njctv. Sont U un ouvrt d E f un pplcton d clss \ � 1 d U dns Supposons u D sot njctv n a E U Alors st locl loclmn mntt k onjugué onjugué ux vosngs vo sngs d a t d f(a à lnjcton cnonu K (x . . (x1 . . , , 0 .. 0 . Autrmnt dt l comportmnt locl d u vosng d a st ncor clu d s dffé ntll Df(a. RUV Pusu Df(a E E E ) ) st njctv njctv dm E dm Sot (x 1, . . x" locls n a S S st un supplémntr d Df(a x" un systèm d coordonnés locls dns prnons un un systèm systèm d coordnnés lnérs lné rs (x� 1 . .. x sur S Alors (x1, ... ... x" x" x x 1, . x st un systèm d coordonnés locls sur U S u vosng d (a 0. énssons U S pr <(u, s) f(u + s L dférntll d u pont (a, 0 vlué sur (h, k) E E S st D<(a, O(h, k) Df(ah + k cst donc un somorphsm d E S sur . énssons ds fonctons y1, .. .. Ym u vosng d b fa pr Y; ; o < 1 pour t Y; xo< pour i + 1 m Pusu D<(a, 0 st un somorphsm t u ls forms forms lnérs lnér s Dx1 (a ndépndnts (a .. . , Dx"(a Dx"(a,, Dx� 1 (a (a .. . , Dx Dx(a (a sont l nérmnt ndépndnts 5 (y , Ym st donc un systèm l n résult u ls D) formnt formnt un s s d *. près 1 . 5 d coordonnés locls sur u vosng d b (a.
x
<(u 0 x(O 0 Pr constructon on Y; o f(u f(u ;(u pour i 1 .. t Y; o ) Y o <(u pour i + 1 . m Lxprsson d dns ls coordonnés (x (y st donc x1 (u, (u, , x"(u x"(u x (u (u . , x(u, 0 .. . 0 . D
L théorèm sétnd sétnd ux spcs spcs d nch d d dns nson on nn n n pourvu u l sousspc sous spc Df(a E d sot frmé frmé t u'l dmtt un supplémntr frmé frmé S L pruv pruv st l l mêm U S Df(a E E S dén pr <(u, s f(u 0 s) st un dfféomorphsm locl u vosng d 0. S st l déomorph déomorphsm sm locl nvrs RASATO
OJUAISO ET OOROÉES LOALES
86
dén vosnge de !(a), 0 os g o f ppe n vosnge over V de a dns U dns Df(a) E 0 } e ndt n déomophsme de ce vosnge sr n vosnge ove de 0 dns Df(a) E
Rang d a 23 ppeons ppeon s 'on 'on ppee ppee ng ng dne dne ppcton née née : E dmenson dmenson de mge de E epenons es noons de 1 2 S f e son k-conjgées 1 q / o f o . Pr conséen Dj (a 1 ) = D'(a') o Df(a) o D (a ) Comme D'(a') e D (a ) son des somophsmes e e rng de Df en a est ég à ce de Df pon a f(a). n dres termes e rng es nvnt pr k congson en ése e f ne pet ête ocemen k congée congée vosnge de a à ne ppcon nére 1 don e ng es évdemmen constn] e s e ng de Df est consn vosnge de a. ne pet êr êree k-conjgée à ne ppcton née Cest ns e f : E R R ne vosnge de zéro c f'(O) = 0 nds e f'() = 3 2 0 s O. ft donc en e e rng de Df sot constnt vosnge de a dn dn es héorè héorèmes mes 2 1 . et 2 2 Cherchonsen rson en e ppcton u A ng Df(u) ne so évdemmen ps conne ee est sem conne nféeremen s ng Df(a) = p os rng Df(u) � p dns n vosnge de a. fet n mner mne r dordre dordr e p de mtrce jcoenne jcoenne de est non n en a Comme dépend n efet connûment de u demee non n dns n vosnge de a. Lorse e rng de Df(a) es ég à dmenson d menson de E njecvé) o de srectvé) pend s ve mxmm sp { dm dm E E dm dm } pon pon a. près semcontné este os constnt vosnge de a. Cest poo généron nree des théorème théorèmess 2 1 e 2 2 es s s vnte
E
Thérè du rang cnstant. 2 3 our quune applcaton U E F e e classe classe C\ C\ k � 1 applcaton caton lnare lnare,, lfaut e t sufft sot localement C kconjugue au vosnage e a U à une appl que le rang e fu) sot gal à une constante r sur un vosnage e a RVE
mnfeste. ne ppcton ppct on nére én ége à s déenee déenee L nécessé es mnfeste.
son ng est consn. consn. nos venons venons de vo vo 22 . 2) e e ng es es nvrn nvrn pr pr k -conjgson émontons ssnce On pet sppose a = 0 f(a) O Chosssons s E e des coodonnées néres ) ) et ) ) tees e Df(a) sexprme pr ) 0 . 0) ces coordonnées coor données et denons E R" e à R v ces S 1 sont es composntes de consdéons 'ppcon U R défne p = (f ). Lexpesson de Df(O) mone e D(O) es dené près 1 = 1 e héorème dnverson oce ( 1 5) en ése e 1 es n sysme de coodonnées oces vosnge de a = O. xpmons dns es coodon ) ) ) . . ) où es ne foncton nées nées ) ) on ro rove ve ) onct on de k don c comme csse de ( . L mce coenne de cete ppcton conent donc spére gche mtrce nté Comme son rng vosnge de a = 0 oc est ég à ot oc 1 1 on en extrt est de détemnnt n. en ése Les fonctons ne dépenden donc ps de D 1 . . ) = 0 por ) . . Y Y Y Y On Posons Y = · Y Y 1 (Y . . Y) otent n nove système de coodonnées oces vosnge de f(a) 0 c ces ) por por xprmons dns es coo fomes son nverses Y 1 ) données on ove 1 ) ) A 1 . 0 . 0). C'est ce ' ft démontrer.
.
..
rr
.
. .
>
dexercce e ÉÉRASATO e dexercce
.
r x rr
>
0
ecer ecer por por démonrer e rést rést géné svn ne sppose ps e ng constnt : So f ne ppcton de csse csse \ � 1 d'n over de R" dns dns R Spposons en n
LE LEMME E RSEALAS
pnt a d ct uvrt l rng d Dfa) st égl à r Alrs f st lclmnt kcnjugué u sng d a à
v h, v) h R Rm - ' st d clss C t DhO) = O [r : Arhm t J. n n rnsvrsl rnsvrsl ppngs nd ws ws njmn njmn Nw r r 967 Pgs 4 t 5]
L l d Mos-alas L thérèm 2 mntr uun nctn f dén sur un uvrt d R à vlurs rélls t d clss C st lclmnt k-cnugué à un pplctn n u vsng dun pnt U Dfa) # O Nus ll llns ns xmnr xmnr c ul n st u vsng dun du n pnt l d d érntll snnul
Pon crqu non dégénéré 3 Snt U un uvrt dun spc d nch E f U R un nctn d clss C On dt u a U st un pint critiqe d f s Dfa) O Suppsns Supps ns u 2 L d dérntll érnt ll scnd D 2 fa) pplé l hessien d f a st n rm rm lnér cntn cntnu u symétru sur E vr 5 ch ch p 4) s s E E E E R) st cnn R) = E E* ) dpr umn umntt sm smrph rph à E; E E R) dprès ès 4 Appndc Appndc A) A) Ct smr 2 2 phsm t crrspndr à D fa) lpplctn lnér cntnu h E D fa) a) h ) E* E* ctt pplctn st un smrphsm d E sur sn dul dul E * n dt u D 2 fa) st nn inlière t u l pnt crtu a st nn déénéré
xE
S E = R l pnt a st un pnt crtu s f'a) = O l st nn dégénéré s
fa) # O Ntns u s st un k-d -démrphsm dun vsng dun pnt p nt crtu a d f dns dns E D 1 a) Pr cnséu cnséunt nt 1 a) st un pnt crtu n Dfo 1 a) = Dfa) o D d f o Autrmnt dt la Ccnaisn cnserve les pints critiqes Suppsns Supps ns u u a st un pnt crtu cr tu nn dégénéré d xmnns l pnt crtu a) d f o On put suppsr pur smplr ls nttns u a a) O S h E n (2 77 chp 4) D 2 f o a)h a)D 2 a)h, D 2 f a) Da Da)) h Da) Da) l Pusu a = 0 st un pnt crtu cl s rédut à D 2 f o ) O) O) h = D 2 fO) DO DO) h, DO) DO) l Cmm DO) st un smrphsm smrp hsm ctt r rmul mul mntr u D 2f o ) (0) st nn sngulèr L pnt crtu a) = 0 st dnc nn n n dégénéré dégénéré a Ccnaisn cnserve dnc la nn déénérescence Cc psé nus llns mntrr u'un nctn f R R d clss C s cmprt u vsng dun pnt crtu nn dégénéré a cmm l prt fa) D 2 fa) fa) h h) d sn
f
= =
=
dévlppmnt d ylr fa fa h) fa) D 2 fa) h, h) h 2 n t nus llns l démntrr dns l cdr plus générl ds spcs d Hlrt rés Cr l pruv u st du à Pls st ntlmnt plus smpl u cll dnné ntlmnt pr rs t u n spplut uà R us puvns suppsr sns nur à l générlté u l pnt crtu a st lrgn d E t u a) O
=
noncé du lmm d MorsPaa 3 2 St f un nctn à vlurs rélls d clss C 2 dén sur un vsng vsn g U d lrgn dn spc d Hlrt
OUASO ET OOROÉES LOALES
88
Supposons u ) 0 u 0 so un pon cu non dégénéé. dégénéé . Aos xs déomophsm d éomophsm oca oca au vosnag d 0 u ) 0 ) D 2 ) )) Commnçons pa éab un mm.
3 3 So ott E un espac espacee e Ban Banach ach S B d (E) est tel que B I l < ao dd (E) ers u l exste une sute e polynmes en B qu conerge ans l'espace e Banach enomorphsme tel que 2 B, et que nous noterons que B U sott un so un fo omor morph phsm sm De plus, exste un osnage U e = d tel qu e classe C e U sur son mage mage
JB Jl JB
[11 - B) + S 2 s o n évnu acn caé d B do sasfa S = [ pos = - S An d pouv pouv son xs xsnc nc nous no us aons ao ns us u s un méhod dap dappox pox o u ca dénssons un su A E nd ) pa écunc écunc : maons succssvs. ou RU R UVE VE -
A0 = 0
n =
0 1
osons a = I B 1 a) onons u I A I < Cs évdn pou n . Supposons éab pou n pouvons- pou n + . An + t l � I B + A 1 ]/ (a a)/ = a u s nféu à pusu 0 < a < . poynm m n B) donc donc n B. B. ) A s un poyn Cs évdn pa écu écunc nc su n à pa d a dénon d A ) a su A convg dans nd E) (A - A A_ )/ ds aons smbabs n mpaçan n pa On a A + - A = (A n 1 n + p . Ajouonss mmbs à mmbs : A n A (A+ p A2_ 2 _ )/. apès s Ai commun dux à dux On pu donc éc
Ja
a
A n + p A = (A n p · - A )(A n + p t A )/ . usu A I < Ja, on n dédu I l A+p - A, l < Ja.l A n p t A \ . poch n poch on obn I Ap - A � )" \1 P A 0 I < a) + usu 0 < Ja < 1 n ésu u A s un su d Cauchy u convg donc vs un éémn S d spac
comp nd ). ) ( 1 - S ) 2 = B. su d a n + dans a aon u dén A pa écunc Aumn d 1 S vé Noons u pusu l A < on a S l < I 1 I < Ans s dans a bou B s B s dans a bou B d cn 1 d ayon < 1 d nd E). a dén d appcaon Q nd ) nd ) d cass dén pa Q(A) = A s DQ(A) h = Ah h A pou h E nd ). n ésu u DQ ( l ) s nv sb. apès héoèm ds fonco foncons ns nvss ( . 9. chap 5) Q s donc un déomophsm d cass dun vosnag U d = d su son mag. nons < assz p pou u s n n à B r) ns au u appcaon appca on B =JB B ) U Aos dapès Q s u nous avons consu. Ca mon uncé d a acn caé pouv u B IJ IJB B s . D
Ja
J
c J
Ja J
c
3 4 On pu suppos u U s un bou ouv d cn Ca pm dappu dappu héo héoèm èm fondamna fondamna du d u cacu néga 6 66 chap. ) dabod à nsu à D
REUVE DU LEE DE OREALAI
)
=
) )
D d
RS-S
Df( x)
=
Df(x) - Df(O)
n n déd
f(x)
D f( f(s sx) x) x ds ds .
D f(s x)(x x)(x,, x) x) dsd .
près l propriéé d d 6 4. chp chp ) on pt donc écrir f(x)
5)
g(x)
89
g(x)(x x) où
x) ) ds ds d . D f(s x
ns st n pplicon d clss k d U dns lspc d nc nchh (E E R) n sit r cnonimn cnonimn isomorph à E (E R) (E E * ) [Appn [Appndic dic A. r pr prodit sclir < d E ind n somorpsm cnon h E < h E. n E) nd (E). Lmg onsénc (E E; R) s cnonimnt somorp à (E ; E) x) d g(x) dns c isomorp isomorpism ism s donné pr g(x)(h ) < A (x) h, por h, E . ( 3 . 6) n pcr
=
f(O) (x (x x) g(O)(x x) < A( A(OO)x )x,, x D f(O
montr A(O) s n isomorphism p 0 st n poin poi n crti non dégénéré dégénéré Ainsi f(x) 3 . A(x) A(x ) x x por x U .
=
(O)) c(x), c(x), os crcons n diéomorphism locl c l c(O) 0 t f(x) Df(O d'p prè rèss 3 . t 3 sà-dir, d' 3 9) 9) A(x)x, A(x)x, x A(O) A(O) c( c(x) x),, cx cx)) . A x)) Ps g s conn, A st ssi ssi dprès dprès3 3 6). 6). Por l'xibr posons B(x) A(0) 1 Ax Qt à rédir U on p donc spposr A(0) A(x) s vosn d A(0) A(O) 1 c'sàdr - B(x) � 1 por x U près l lmm précédnt B(x) possèd n rcin crré R(x). No Nos s lons montrr c(x) R(x)x répond à sion a) c s d clss k. Comm lppl lppl n g én d css \ A B A (O) 1 • A l son ssi d'près 3 . 6) Comm cton rcn crré st l'pplicton composé x B(x) � R(x) = B(x) s d css k b) st n déomorphism locl c(O) O DR(x)) (h x) x) R(x)h por h n sor près l règ d Libnz on Dc(x)h DR(x Dc(O) RO) J B(O) 1 s n somorpism. l st lors d'pplir téorèm dnvrson ocl. R(O)) 0 O in sûr c(O) R(O l rs à montrr c vér vér 3 . 9) 9).. près héorèm d Schw 'près 3 5) n s Schwrz rz chp. 4) D f( ) s symér 'près doc d mêm d g(x). l résl ors d (3 6) A(x) st ég à son don dontt A(x) *. On n A(xx) A(0 A(0) ) o ncor B(x) * A(O) Ax A (O) (O) B( B(x) x) déd B(x) * = [A(0) A(x) * A( On p rmpcr dns dns c drnièr drnièr ro r on n B(x) pr n polynm lcon n B(x). Comm R(x) = J B(x) s limi d'n si d tls polynms lmm précédnt) on ncor R(x) * A(O) A(O)R(x)
«
=
= = = =
=
=
90
OJUAISO E OOROÉES LOALES
=
) ) ) ) ) ) nlmnt ) () ( ) ) = ) ) B) B) = ) ) . ) )
= ) )** ) ) ) ) , =
Rmarqu L lct tov dns Abhm t sd sdn n pgs pgs 75 - 76) n p pv v nco pls cot ms nécsst l ms n v d notons étngès à c lv. crtquess non gnrs gnrs e f sont sols sols oroar. 3 1 0. Les ponts crtque
Sot t f R " > R une fonÙon e classe C , k 1 Supposons que oroar 3 1 1 So f(O) = 0 et que 0 sot un pont crtque non gnr e Alors, l exste sur un osnage e 0 es cooronnes locales (x) où s'exprme par (x ) (x (x ) (x)
·
··
ccté ésé sé p l nomb n ptcl l clss d k-conjgson locl n 0 d st cct dns l l décomposton n somm d cés d l d cés c és ffctés ffctés d sgn s gn ntvnnnt dns fom dt d t D f(O)(h h ) Not L lct tov dts dts pplctons d lmm d osls osl s dns l chpt « Clcl ds vtons ».
aato de champ de veceu onugason dans grou ds déomorhsms. 41 vnons à l k -conjgson dén dén n . t x nottons nottons nos vons tlsés tlsés : : E E st k -conjgé à > E t E > E tls : E1 > E sl xst ds k -déomophsms : E > = ' Cl mpl tos ls k-d -déomophsms E > E sont sont k -conjgé -conjgéss à lpplcton dn dntt :
E
E
"' j �
L k -conjgson st donc n clsscton tès gossè los l soc E t l bt E concdnt. Nos llons l fn. > E d clss k sont conjgés Nos dons dx pplcton : E E t : E > dns l gop ffk E) ds -dfféomophsms d E sl xst E k E) tl dt l pls sovnt « conjg conjgés és » s l contxt évt ls mbgtés] mbgtés] = o o [on dt novx nvnts nv nts ppssnt. S a st n pont x d d los (a) st n pont x n obt obt d ls génélmnt lmg p d ch obt "a) n E N } d st n d . L nomb dobts d péod P cst-àd compnt P élémnts dstncts) st donc n nvnt L lct dén sns pn l noton locl loc l cospondnt n snspnt d 2
onugué d'un sous-grou un aramètr d déomorhsm 4 2 Spposons R E E sot n sosgop à n pmèt E R d dfféomo phsms d E vo 5 chp ch p . n vé mmédtmnt son tnsfomé o o o p E ffk E) n st églmnt n.
x
9
ÉARISAO ES AMPS E VEEURS
F héorèm � [oF,o- 1 (x)] J, O D( 1 x) · � F(tX I = 0 1 D( x ) ( ( x) ar consén * D( champ d vcrs sapp ae e pr < c Noons pis D s d class < s d class class c Cst n xmpl dn champ d vctrs d cass k i ngndr portant n o o F o d cass k. , in ntnd n contrdi pas héorèm 3 . 0 chap. 7). an donné n sos-grop sos-g rop à n paramèr d diéomor diéomorphism phismss o son génératr ) 1 hrchons s ist o présnt n form o i st n dff dfféomor éomorphsm phsm t o 1 pls smp. n paricr pt-on choisir d açon o F o soi n sosgrop n paramèr d transations d E cst sûrmn impossi n tot génératé : n ransation n'a pas d d pont x aors F p n possédr. Si s n poin x d cs-àdir s (t a por to t aors ) = 0 t réc pomn) On d st n point critique . n pon d o n sann pas pint nt réguie réguier r sappl n pi d ; n conormié avc la trminoogi inrodi n 3 1 . isnc is nc d pont crii d d s, nos vnons d voir voir n osrcon à a a ransor ransor maon d , n grop d ransaons. Nos aons or lclemt cs a s. Chrchons à primr son génératr noté à partr d générar d d dférnaion ds applcaons composés nran
a
héorè du dsst 4 3 Soit a upoit régul régulier ier d'u d'u hamp de de eteur eteur X de de lae Ck , k � , déi ur u ouert d'u epae de aah Alor il exite u oiiage ouert de a et u Cdéomor éomorphime phime tel te l que que X oit otat ur parti partiul ulie ier r i R" il exite u ytme de oordoée loale (x x" e a da · O Da e ytme de lequel le ompoate du hamp X ot X X oordoée, o F érit x t x , x ") 'et bie u groupe loal de tralatio
-1
*
2 = ( 1 " 1
prdr n génératéon p spposr a s origin 0 d Soi n sosspac sosspac frmé frmé spplémntar d lsac lsac ngndré ngndré par ) R) E Aors E st st n n vosnag vosnag ovrt ovrt d d 0 dans E Soit ot ca dn pa voir . . cap. Pis st ontn ontn on on pt chosir n vosnag ovrt U d 0 dans E t n in int trv rva a 2 2 ts u) U. Posons U. Pis t sot a rstricion d à s 2 r < t < 2 s d class C\ l n s d mêm d d 3 chap . Chrchons a diéni diénil l d = R E on a n 0 0) Si + ais REUVE - Sans
Qt x
Qn E Q r (t F] G G r u F x G (h k DG( (h(h k D 1 G( h D2 G k DG( D GGss u � ((tt u , [(u donc D 1 G 0, 0) 0) h h ) atr part ( u u ntan D2 G( 0) k k Par consé s n somorphis h k k h nt DG( 0) h somorphism m d R E sr E. après théorèm diéomorp éomorphism hism d U sr dinvrsion oca, t itt à rédir r U G st donc n kdi G(G(Posons U) G 1 chrchons o ,, o -- 1 G 1 o G por r t r d façon à n u F+(u) on obn pas sorr d Q Pis u o o : ( u E x U s + , ] 2 r 2 U tt u d R E Son géné ( imag d F par s donc n transaon u) .( rar s hamp consan 0 <
=
r[
Rmaqus a) On app c théorèm théorèm d rdrssmn o d inéarisaon parc s orbis d on ds droits paraès.
o
OJUASO ET OOROÉES LOALES
92
ig. 4
b) Le théoème de dépendnce C p ppot à x de F(x) se « it » immédi imméditemen tementt su su so so 1 expession < o F o < dns dns cte cte / U, <). c ne ute peuve fot ingénieuse gue dns . Neson).
x
.
hamp de ete eteur ur X d dféretiabl éretiablee u ur R" pode itégrale itégrale pr Corolair mire dot le déretiee ot éairemet idépedate e haque poit d'u oiiag d'u poit régulier de X Soit 0 ce point éguie existe u voisinge de 0 des coodonnées oce REUVE po u composntes 1 . . . ). en ésute ue es fonctio (x . . x") où e chmp < * X pou coodonnées x2 sont des intéges pemièes de < * X voi 4 5 chp. chp. 7) videmme es difféentiees de x2 ... x" sont inéiement indépendntes en chue point en ésute ue o <, i . . . constituent 1 intéges pemièes de X, dont e diéentiees sont inéiement indépendntes en chue point n effet dpès e citè <( ) on 4 5. chp. et 4 si
o
D(x <) ( )X( )
=
D< ( ) X( ) = Dx<( ) D<( 1
=
!
= .
Raqu. fu fudi ditt se gde d'en déduie uun chmp c hmp de vecteus déni su un ouvet ouve t DxJx) D<(< x) X(<
DxJx)(< * X) (x)
ueconue de R" où i n' ps de point citiue possède 1 intéges pemièes dénie su U tout entie et dont es diéentiees en chue point sont inéiement indépendnte 4: oici un conte-exempe si Considéons dns dns R m q 1 q2 , p 1 p2 ) e chmp de vecteus X de composnte p p 2 q 1 - 2 q 2 ) ne possède ps de point citiue su 'ouvet U R }. es fcie de voi 6 1. ch p 5) ue f(m) (p ) + q et g(m) (pz> + q 2 ) 2 sont de intéges pemièes dont es difféentiees Df(m) et Dg(m) sont inéiement indépendnte indépendnte P conte i nexiste ps de toisième ici 3) intége pemièe h tee ue Df(m) Dg(m) et Dh(m) soient inéiement indépendntes en tout point de U. L ison en est ue coue intége de X, issue de chue point a de U est ptout dense dense su e sous-enseme 1 a) g 1 a) Le ecteu e pouve en s'ppuynt su e théoème de coionece : chue oite de ottion du cece C est ptout dense su e cece si r E R est itionne dns e cs ui nous occupe r n s'inspint de ce ui pécède e ecteu pou constuie un conte-exempe su R u'i songe à une oine toiue su uee s'enoue un gunt une oite P conte on peut démonte W pn 9) ue ue es coues intéges dun chmp de 2 vecteus difféentie et sns point citiue de R sont es ignes de niveu f 1 ( r) d'une fonction f R 2 R Cette fonction est donc une intége pemièe lbale Nots. Le poème de cssiction c ssiction p con con ugison dns dns e goupe des difféomo difféomopis pis mes motive untit de echeches contempoines. Le ecteu touve dns Anod) cssiction des points citiues des chmps de vecteus inéies : X : x A(x), où A E nd E). touve dns . Neson) cee des points citiues des chmps de vecteus ueconues. nn Ahm et J sden) et Hisch et S. Sme) foumient oumi ent dinfo mtions mti ons su s u ce sujet sujet
=
=
=
=
9
SOUSVARÉTÉS DFFÉRENTABLES
Ce capte introduit les noons de sousvaiété dféenable d'espace angen en un in dune sousvaiété et dapplication diéentiable dune sousvaété dans une autre.
Souvrt dffretbe
Cnsdrns dns lesprt du cptre prcdent ue deux susensembles dun espce e nc E snt uvlents sls se ddusent ddusent lun l un de lutre pr un dff dffmrps m rpsme me r EE ce ttre les sus-ensembles les plus smples snt ceux u snt uvlents un susespce ectrel u un uvert dun tel t el sus-espce s us-espce n mrceu de curbe u de surce surce de lespce lespce rdnre est gnrlement de ce type Pr cntre un cercle u une spère ne snt ue lc ement mmrpes une drte u un pln S nus sutns les nclure dns ntre tude tude l ut ut « lclser lc lser » l ntn duvlenc duvlencee pr d dffmrpsme don ds sous-vas . St un sus-espce de nc dun espce lasse k de E mdelée sr , s de nc E ne prte M de E est ppele ssvariété de lasse ut pnt m E M pssède un vsnge uvert tel ul exste un k-dfmrpsme r de sur r ) vrint r M) r) On peut dre dr e encre de çn çn uvlente u vlente vr 1 cp 8) uu uu vsnge vs nge de cue cue pnt p nt r) E M n peut truver une crte , ) telle ue r M) Cette dntn gnrle tnt dnn nus nus lmterns dns l sute u cs ù E est es t n espce espce vectrel rel re l de de dmensn dmens n S le sus-esp sus-espce ce es de dmensn dmens n d n dr ue M est une sus-vrt de E de dimesi d u de cdimesi Nus mettrns le plus suvent le ulc ulctf tf « » ; tnt entendu entendu ue ue k 1
=
M
=
Le cercl cerclee unt est une une sus-vrt de dmens dmensn n de
=
{ x }
g
XEM
ut sus-espce e de dmensn d est une une -vrt -vr t de dmens dmensnn
SbUS-VARÉTÉS SbUS-VARÉTÉS DFÉRTALS
94
Coséqucs 2 U M) U) E 2 a) S d n s E t c U M U t U M. Ls susv susvts ts d dms mxm mxm st dc d s uv d E cpum). = { 0 }. c U M b) S d 0, s { 0 } t ' U M) U) 1 du u pt (0) Ls susvts d dms u st dc ds pts dscèt d E cpum). cp um). c) Lmg d'u susv p u dffmphsm f : E E st u sus-vt d mêm dms. dms. ) Pusu dut u hmmphsm d U M su u uvt U) F d u susvt d dms d pssèd cmt s mêms pps tpgus u
=
Os u pt m à u sus-v M d dms As u vsg d st fm d dux pts cxs dss. Cst puu pt d x y) } du x y s ps u susv : pv d g = { x fm d ut cmpsts cxs. mg A d cub f : dt vc dss êm smt pu mg
M M {m}
fO) g. 6. t ù èch du u ft) td vs fO) su t . Au vsg d fO) A - { fO) s fm fm d ts cmpsts cmpst s cxs. cxs .
Scod déio ds sous-vaiéés 3 Pu uu p M d'u spc vct E d dms n s u susvt d dms d fut sut u tut pt m E M pssèd u vsg uv U su u st ds n - d fcts U d css s u a) U M st 'smb ds zs zs cmmus cmmu s à cs fcs c s b) s fms s D f) i . . . n d s m dpdts pu U E U.
c
x
x
a cnditi cnditin n est nécessa nécessaire ire dfs E à à { 0 }. S U ) st c d d dt t s x • x) s s cds cus d E " s fcs x o i d + . . . n vf tvm a b a cnditin est s sisante sant e St m E M Cmpts s fms s Dm) i + n u s s m m dpdts dpdts p ds fms fms s s f1 d fç fç à fm fm u bs d E*. pès ( 5 . chp. 8 f1 . . . ) s u systèm d cds cs su u vsg V U d m L'ppct V E d cmps cmpsts ts f1 • s u dff dff mphsm d V su V) vft c( V M V { 0 }. 0 PRVE
4 Suppss uu p M d E s smb ds zs cmmus Ms gad . 4 à n - d fcts put s f u s dffs ds s ps mt dpdts su M t u putt M s u sus-v. C sg smpm u s g st m chss.
SOUSVAR! SOUSVAR! ÉÉS ÉREALES
95
Sot M nsm nsm ds zéos zéos communs communs ux fonct fonctons ons 1 : ) R t , , R Ls dérnts D t D snnunt su M. Poutnt M st un ous-vété ft chosr , z) = t , ) R nst ps un u nsm ds zéros zéros d xEME. Nous vons vu u ousvété Pourtnt ft u D snnu sur n sut ps prouvr n n dt, ft pro, uun ut foncton foncton 1 nurt ps ft ppons vor 5. chp u s st un ppcton dffént dun ouvt U spc d nch E dns un spc d nch E E un pont a U st dt pont criie rsp égu) d s D a) nst ps ps rs rsp st) sujctv sujctv n pont E s dt un valer rélre rélre d s ) n contnt ps d pont c tu xEME
y
g
Soit g ue appliatio dre Cooai retia tiable ble d'u ouert oue rt de da . Suppoo que que b oit ue aleur aleur rg rgul uli ire re et que que g (b) e oit pa id Alor g (b) et ue ou arit de de od odiimeio meio i .
g P
dntf dntfons ons E E R pr un chox d coodonnés nérs Sont , s composnts d t , ) cs d Posons Aors 1 ) = U : ) 0 = , , t, pusu D) st st su suctv ct v s D) D) D) sont nérmnt né rmnt ndép nd épnd ndnts nts pour pour U. sut mntn mntnnt nt dpp dppur ur . 3 REVE
g
.
maqu (oiièm éniion ou-aiéé). n ft on prouvé : Pou u M sot un sous-vrété d dmson d d E = R", fut t sut u chu pont M poss possèd èd un vosng vosng ouv ouvt t U t t u xst xst un un ppc ppcton ton : U = R" ént a) D) st su sujctv jctv pour U ) M U 1 ) ) pou pou L susnc susnc vnt dêtr monté mo nté L L nécssté nécssté st contnu contnu dns énoncé 3. st un sousv sousvr rété été XEM XEMEE (sHÈRE (sHÈRE).). 1 . 7. L sphè " d R" 1 , 1 ) st d dmnson n t " 1 ), où : 1 , 1 ) R " · R u ut t p ptt st vur éguè d cr D) D) 1 1 ) n put put snnur snnur su "
dntons dnt ons nd R") s s mtrc dns s cnonu Pus dntons ctt mtc un éémnt d R" n snt ss éémnts d guch guch dot t t d hut n s ctu ct u snt f f corcton u smpos smpo s) L group group GL ) ds utomorphsms d R" st un ouvrt ouvrt d R" cr cst mg nvrs nvrs d d ouvrt R { 0 } pr ppcton contnu contnu nd R") détm détmnnt nnt ) 1 Nous ons montrr u group unmodur SL ) = ) formé pr s ndo mophsms d détrmnnt st un un sousvété sousvété d R" R" Lppcton Lppcton st c ) st un poyn po ynm m n s cofcnts d Cst un poynm poynm homogèn d dgé , ) 1 ) ) ) pou pour R nrés nrésut D ) ) so sons ns donc ) = D) = ) P conséunt D) 0 su su SL ) ) = 1 Ans st = D) su ft dpp d ppu u 1 5. vur éguèr éguèr d d U R t suf XEM XEMEE (GRO (GROE E UNMODAIRE). UNMODAIRE). 1 .
n mtc n n symétu possèd nn 1 éémnts dstncts C pmt ddntr nsm ds ndomophsms symétus cst cstdr dr égux ur trnsposé ) R" 1 comm nous vons dnté nd R") R" Consdérons ppcton d Jouvt U G ) d R" dns R" dén pr ) = Cst évdmmnt évdmmnt un un ppct ppcton on C pès pès règ d Lnz, D D ) po po nd E). ontons ont ons u D D ) st suctv suctv n t s s , on n D) = n prn prnn ntt )2 n résut u d st un vur éguè d XEM XEME E (GRO (GROEE ORH ORHOG OGO OA A)) 9
VZ
f
SOUS-VAR! SOUS-VAR! ÉÉS ÉREAES ÉRE AES
96
Comm l goup othogonl (n) d R" n'st ut u 1 d ) . mont u st un un sousviété d R" d dimnson dimnson - n(n + )2 = n(n )2 L puv d d l génést géné ston on suvnt d st issé iss é à l discétion du lctu lctu :
(n)
Soit Soit fue appl appliatio iatio de lae la e Ck d'u ouert de da F Suppoo que Df Dfu) u) oit de ra ragg otat r pour u Alor l'image l'image iere f b uppoée o ide éo éoè èm m . 0.
d'u poi poitt b F et et e ouariété de la laee Ck de de dimeio im ) ) -
rap rap 'appli 'appliai aion on.. . Son Sontt E t dux spcs vctos d dimnson ni
C
U un ouvt d 1 t U un pplcton pplcto n d clss Alos l gph { 1 1 )) dmns on égl à cl cl d E1 U } d st un sous-vété d 1 d dmnson
E
PREVE
. dntons à R v ds coodonnés lnés l nés t sont • •, ) ls compo , x x) U R
snts d L gph d st l'nsm ds ponts • • d l'ouvt 1 d E x • • • x) x ) c'st nco tls u x - ) = r Si lon pos , x comm uns ux onctions onctions . Comm ls D sont lnéimnt lnéim nt ndépndnts ndépndnts nsm ds zéos communs n chu point . 3. ntn ntn l l ésultt ésultt mont u chu chu pont m dun sous-vété possèd un vosng vos ng ouvt U Nous llons mont tl u U sot l gph d'un ppcton comm cdssus Nous uons otnu nsi un utèm cctéiston ds sousvétés d dmnson d localement, c sont ds gphs d'ppcto d'ppc tonn dun dun ouvt d R dns dns un R
}
Soit it M ue ouariété ouariété de de dime dimei io o d de R " { x 1 , , x Quitte o opo poiion ion 2 So à permuter x , x , tout tout poi poitt m M pode u oiiage tel que M oit le graphe . . , 0 da d'ue appliatio d'u ouert de R d = { x p , xd , 0 .. R " = { 0 .. .. 0, xd + ) }
g
}
'pè pèss 3. l xst un vosng U d t n d onctons U R tls u U sot lnsml ds zéos communs ux , ls déntils D étnt lnémnt ndépndnts co mposnts O n put xt d mtc jconn Soit U Rn d 'ppcton d composnts dun d un mnu (n x n d détmnnt non nu Autmnt dt uitt à pmut s s coodonnés d R" on put éc R" = 1 , ) R d Rn d d sot u D R R") sot un somophsm pès l théoèm ds onctons implcts chp 3) l xist un pplicton dun ouvt U d R R dns R" tl u 2 chp f ) = O. Lnsml ds éos d st donc l gph { )) } d . xEE L ccl S 1 { x, ) R x = } st locmnt ms non glo mnt) gph dppctons di diénts d R dns R : S st l éunon ds U S o U 1 { x , > },} , U = { x , } U { x > O } U { x }. Ls U S 1 i = . . 4 étnt s gphs spctis ds pplictons , x - x , PREUVE
j
araéri araéria aion ion 3. Sot un sous-vété d R" d d dmnson Nous vnons détl u chu pont possèd un vosng ouvt U tl u U sot gph dun lpplc ton pplcton dun ouvt V d R dns d Autmnt dt U st limg d lpplcton d d : x V x, x) U R x R " = R" L déntll Dpx) = d s t d d Dx) st
évdmmnt évdmm nt nc nctiv tiv ut ut pt étnt un pplcton contnu d V dns U cst nco nco mun d l topolog topol og nduit nn nn l sticton q, un pplicton continu d V su U mun à U, d l pocton cnonu R = R R R su l pm ctu st con nsi st un homéomophsm homéomophsm d V su U tnu t q o p d o q = d Cl mont u l condton énoncé dns l cnuèm cctéston suvnt ds sous-vétés st nécss nécss :
ESPAE TAGET
9
Cinquim éniion ouvaiéé Pou Pou que M sot sot une une sous-vaiété de de classe classe k
et de dmension d de R" l faut et l sufft que tout pon p ontt M possède un voisinage voisi nage ouvert U dans R" tel que U M sot limage dun ouvet V de R par une applicaton : V U de classe vériant a Dx est inective pou x V b) est un oméomopsme oméomopsme de V su U M muni de la topologie nduite pa R" On dit que V, V , est une paamétrsaton (ou une epésentation paamétque de U M reste à monte monte que la condition condition est sufsan sufsante te PEUV l reste Posons a = m Puisque Da est nectve elle est de rang d et lon peut trouve d composantes de dont les diérentelles sont linéaiement ndépendantes en a. Supposons pour xe les dées que ce soient les d premières Alors s 1 R" = R R" R est la Da est un isomopsme et poecton canonique canoniqu e su le pemie p emierr facteur facteur D o a = 1 o Da dapès le téorème d'inversion locale, o est un dfféomopisme d'un voisnage de a sur son mage dans R Notons encore V ce vosnage et U = 1 o son image applque contnûment V dans louvert U de R" R" Quitte à édue édue V on peut suppose que que U est le podut de louvet U 1 de R } par un ouvet U de } R" ésgnons ésgnon s par par 2 : R" = R R" R" = } R" la projection canonique sur le second facteur S x E V on a x = o x 2 o x Comme 1 o est un dfféomorpisme de V sur U 1 , = 2 o P o ] 1 ( Cela montre que en posant = 1 o x on peut écre x U M est le grape de 2 o o o : U 1 U 2 Le téoème ésulte alors de D 4 Le toe de révoluton T , obtenu en fasa fasant nt touner xEM O DE VOIO) 4 un cercle de ayon autou d'une doite D e son plan stuée à une une dstance d de son so n cente cente est une sous-variété de R n effet prenons pou axe des la drote D et stuons stuo ns le cente du cecle dans le plan = O Le toe est limage de lapplication (8 R x = (d cos cos cos cos 88 y = d cos sin 8 sn R
>r
1
La estiction de cette cette applcaton au a u podut J de deux deux inteval int evalles les de longueur fé fé ieure à 2 est une une paamétrsaton paamétrsat on de T (vércaton mmédate xEME U D Më>ms; 5 Lmage Lmage de de l'applica l'applicaon on x =(cos8 2 (8R 2 cos 2 8 = ( co cos 8 2s s n 2 8, = s snn 8 R est une sous-varété de R La restction de cette applcaton au produit ] [ dun ntervalle de longueur long ueur infé reu à pa ] est en eet une une paramétrsation paramétr sation (le véer véer
x
1x
Mi n gar gar . 6
1
ne courbe de R", c'est-à-dre une applcaton déentable dun
ntevalle de R dans dans R" R" n'a pas pas nécessaremet nécessaremet pou mage mage une une sousvarété ; même si est un oméomorpisme de su f(l Conte Conte-ex -exemp emple le R ( R , à cause du pont e reboussement à lorgne
2
1
Epace taget
Défini Définiion ion.. . Sot M une sous-varété sous-varété de de l'espace vectorel
n vecteu v de est dt
nnt nnt en à M s'l est le vecteu-vtesse en d'une d'une coube tacée sur M et d'orgne C'st-à-dre s'l existe un ntervalle ouvet contenant et une applicaton déentable y : tels que que ( ( M ou ou / yO) = et y'O = v L'ensemble des vecteu tangents en à M s'appelle lespace lespace tangent en à M et se note T M
1
1
SOUS-VAR! SOUS-V AR! ÉÉS ÉRE ÉREALES ALES
9
T M et u epae etoriel d mme meio que M un diff diffomo omo apè pèss la dn dnition ition ., il exste un voisinage ouvet U de et un PRUV a R tels que ( U M R x { 0 On peut supposer sans pisme U R E R nure à la gnrat, que ne courbe y tace sur Met dogine a pou mage o y une courbe tace sur espace vectoriel R x { 0 et d' d'o oig igin inee (m) = 0 et cipoquement ce qui qui mon monte te qu quee T T M e ett l en rsute immdiatement que D(m) T M = R x { 0 ce 1 espace vectore D . R x { 0 de dmenson d = dm M
éoèm 2 2 éoèm
On identie le plus souvent lespace vectrel T M à lespace lespace ane ane passant pa pa et paa lèle lè le à T T M
ig 7. Les dientes dnitions des sousvats conduisent à autant de caractisations de ce tangent. oici cee coespondant coespo ndant à la seconde dnition : l'espace l'espa epreo le otatio de 3. Alor T M et lteretio de oyau de forme liaire Df(m
éoèm 2. 3
Cette intesection est un espace vectorie de même dimenson d que out event donc à prouve que M T Soit y une coube coube tac tacee su M et dorigine Alors y(t) 0 pour t E / n crvant que la diffentiee est nue pou t = 0 on obtient D(m) y(O) = 0 ce qui montre que T PRUV
oici la caact caactri risation sation coespondant coe spondant à la toisi toisième ème dnition des sousvarits éo éoè èm m 2 4 epreo le otatio de 1 Alor lepae taget e m à la ouvarit
de ive iveau au 1 () et le oyau de D(m PRUV
Semblable à cee de de 2 3.
a sp spè ère re de R" = (x 1 x 1 ) est la sousvarit de niveau g 1 ( ) ù g(x . x ) = xî · · x · podit it v E T est caactis pa Dg(m) v = 0 cestàdie < 0 o est le pod scalae usuel de de R On etouve eto uve le fat fat qe T est otogonal otogona l au ayon ayon » de la spèe xM ·
=
epreo le otatio de 1 1 1 Alor lepae taget e m u (u au graphe de et le graphe de D(u. PRUV signons pa 1 1 E 2 et 2 : 1 2 2 les poections cano niques. On exprime quune coube y 1 est tace sur ont vu gap 2
M
=
2 (x, x)) 1 x 2
APPLCAIONS ÉREALES
99
e éva n 2 o y(t = [ n t o y(t] ff fféeo ée o e éivo e y(O = ( O obie n2 o y'(O = Dg(u o n . y'(O i 'expme be e y'(O = n t o y'(O, n2 o y'(O appae a gape de Dg(u [e iveeme] 0
epreo le otatio de 1 1 3 . Soiet V, p) ue paramtriatio de U n M et a V Alor l'epace taget e m pa) à M et Dp (a . R . difféeable éea ble d'oge d'o ge Alo p o e e obe aée PV So 1 V e obe diff M e d'og d'oge e p(a = m So veevee D(p o (0 = Dp(a s'(O dé epae Poin vu paaméaion. 2. 6
veoiel T de dimeo d loe s'(O déi Rd a Dp(a e ieive Ai T = Dp(a Dp(a Rd e il da Tm M e e dex epae o de dmeio d ; l oïide do 0
77 No avo avo v ( ove ove M de E e e ovaéé de de E de même même dmeio e E So epae age e E M e ae e E effe e epea le oao oao de o pe pe o U = M e < = d alo Tm M = D<(m- 1 • E = E C'e ai e lepae age e po eloe la o-vaiéé ovee GL ( de d (E = R" [vo [vo 7] 'e ae e d (E xamio e il e e po ele o-gope de GL ( i o ai de o-vaéé de d (E M
r
o av avo o v v ( ) e le gope modlaie SL ( fomé de edo No opme de R" de déema e e o-vaéé de dmeo de d (R" Ceo o epae age e e = id· Soi N le oepae de d (R" fomé de edomopme u de ae (u lle S exp dége lapplao expoeielle odéo a obe y : R exp( u E GL (, (, u E N e e obe d'oge i i dapè dapè ( ap ap 5) e aé aéee SL ( 'apè 'apè ( 6 ap 5) o vee-vee e e y'(O = u. Lepae SL ( oie do N Comme dm T SL ( = dm SL ( = 2 = dm N o vo e T SL ( = N No appedo léeeme déeme lepae age SL ( e o eloe M
1
1 1
9 No No avo avo v v ( 9) e le gope oogoal ( e e o-vaiéé e dmeo ( de d (R" Ceo epae age age e = d· So le oepae oepae de d (R" fomé de de edomopme aymée = e--die ( = 0 po po R o e le pod alae el Coidé o la obe t R exp( exp( o S F( dége le aé aé alae alae de exp( exp( o R la èg ège e de Lebz Lebz e( e ( 6 ap ap 5) e eae ae F '(t = exp( exp( exp( exp( e l pe e aymée aymée Pa oée F( = F( e moe e la obe y d'oige e aée ( oo dapè dapè ( 6 ap 5) y'(O = L'epae T ( oe do Comme dm T ( = dm ( = ( = dm o vo e T ( = M
1
1
x x 0 i i o o R2" = { q p : q R" p E R " } de la fome ymplee w q p déie pa (voi ap 6 w[(q p (q' p' = q p Le lee moea e le o-gope Sp ( de G L ( , fomé de opéae el e e e o ova vaéé éé de d (R" w[ ) = ( ( l moea a e T Sp ( ( e fomé de applao ymplee fémale e--de de E d ( R el e ( ( )' + [ ( = 0 po ( ( E R
3 Appcaos dtabs
C e ê M
Dénii Déniion on 3 1. Soe M e ovaéé de l'epae l'epae veoel veoel E M e o-vaé o-vaé de de
lepae lepae veoel E e M M e applao O di e e de lae lae il exe voiage ove U de e e applao appl ao U U el ele e e ÎuM ·
SOUS-VARÉÉS DIÉRENABLES
e lasse k en chaue chaue point e M on it ue est e classe classe k M est un ouvet ouvet e E on peut pene pene = et lon etouve a énition éniti on usuelle Appliation linéair tangnt. 3 2 Avec es notations pécéentes D appliue Tr M ans T M, et sa estict estiction ion à Tr M ne épen ue e et non pas u choix e
Soit : 1 - U M une coube tacée su M ]eto oigine Aos Jo est une () = o () pou coube tacée su M et 'oigine ( = ( Comme ou / on on a ce ui ui monte ue D /(m) (O) D ( (O) = ( ) ) = o y) ) ce (O) Tf(r M ne épen pas e f PRV
a estiction e D à Tr M est est onc uniue appication inéaie i néaie T: Tr M Tf( M tele ue Tr (O) = ( ) ifféentiabe tiabe tacée tacée su M et 'oigine ) ) pou toute coube ifféen l applicai liéaie aee e On l'appele la
D
Si M est un ouvet ouvet e E alos Tr f nes ien 'aute ue D( D( consiéée consi éée comme co mme appication appicat ion linéaie e E ans e sousespace D( D( E e E On peut encoe intepéte T r comme l'appication yO) � ( f(m) O) ue nous avions intouite en 2 6 chap ) pécisément sous le nom 'pplicatio 'ppli cationn tangente tangente xM
Comme en 2 6 chap , on a e ésultat suivant ont la l a peuve peuve est imméiate immé iate
Téom Téom ompoit ompoition ion appliation. appliation. 3. 3. Si f M M M et M - M ot de
appliatio de lae Ck de ariété ariété de de lae C\ alor f M - M et et ue ap appliatio de lae Ck et m( o f( m Dif Di fféomopim ouva ouvaiété. iété. 3 . 4. On it ue : M M est un un iéom iéomop ophis hisme me
M M y
e la sousvaiété M su la sous-vaiété sous-vaiété M M si est biective biective et si f et sont iéentiabes On it ue est un ifféomophisme local en M sil existe un voisinage ouvet U e ( su M (pou e su M (pou (pou la topologie topolog ie inuite pa E et un voisinag voisinagee ouvet ouvet la topologie inuite inui te pa E telle telle ue a estiction e à U soit un iéomophisme e U su S'il en est ainsi Tm est biectif biectif ca 1 = iM impliue T f(m 1 Tm = i
MM
M
Si p) est une paamétisation un ouvet U = U iff ifféomophisme éomophis me e a sousvaiété ouvete e Rd su su U
M
=
n M e M aos p est un
epenons ientification n R) R • Si G () l'application Lu n R - n R) énie pa Lug o g est e casse On lappele la tansation à gauche pa le possèe un invese à savoi Lu_ C'est onc un iéomophisme On éniait énia it e a mme manièe une tansation tansat ion à oite R � Supp Suppos oson onss ue ue S () viemment Lu laisse S () invaiante puisue cest un goupe Pa conséuent la estiction e Lu à S () est un ifféomophisme e S () su S () Ce iff ifféomophisme éomophis me tanspote onc l'espace tangent N en i su lespace lespace tangent tangent en autement it i t Tu S () o N On a un ésutat semblable pou () : Tu () =
xM
1=
otatio io prééde préédete, te, i Téom 'invion loal pour l ouvaiété. 3.5. A e le otat bet f et u déomorphime loal m f et bet
Choisissons es es paamétisations paamétisations (p, V et (p e M et e M aux aux voisinag voisinages es espectifs espectifs e et ( Quitte à éuie on peut suppose ue o p( V p( p ( 3 TaP' 1 o o p) Tf(m p T o T est bijectif Soit a p 1 Alos 'apès 3 3 comme composé e biections e théoème invesion ocae pou les espaces vectoies impliue uil existe un voisinage ouvet e a ans (notons-e encoe V et un voisinage voisi nage ouvet 1 1 soit un ifféomotes ue o e p f(m) ans (notonsle encoe PRV
=
=
p
APPLIATOS DÉREABLS
0
psme l en psme en résl réslee qe qe l e omp omposé osé de de déo déomor morpi pisme smess ( ( 1 es n difféomorpsme D Not
e apire n'es qne inrodon à des ovrages ps omples omme ei
de P alavin e eter rovea ass dans . lnor des appliaions direes de e qi péède n pae e démonsaton géoqe péède géo qe d éoème fondamena fondamena de l'agèbre o poynôme P : non onsan possède possède a mons mo ns n rane. On rovera ne ne appaon de 3 5.5. dans lAppende H
10 à
CALCUL DES VARIATIONS
à
C capit st consacé étu s xta un oncton vaus és én su un spac spac vcto vcto noé · On sattac paticuiènt aux spacs ont s éénts sont s cous un spac vcto Ls contons nécssas xtu sxpnt aos pa un éuaton fént léuaton u agang agang L pus souvnt cs ustons ont pou oign s situations cocèts Mécaniu Psu u pésntnt s sétis Linvaianc éuation uagang pa cs sétis s taut pa xistnc intégas pès : cst contnu u téoè Not.
Ext b. Ext l
D D n n on on . S Sen en E n ev nmé ne ne pae pae e E E ne nn nn éne éne e
vae éee On t t qe péente n mmum ea en a s' exte n vsnage vet U e an an E te qe( ( ( p p U n A On éna e a même manèe n maxmm rea ae ae péene n maxmm ea en et eemen eemen péente n n mnmm ea en On qe péen péenee n exemm reaen a ee péente n mnmm n maxmm ea en Le éa éa q a éé étab en 3 . 2 a p 3) :
Pour ur qu quue ue fo otio tio d dféret éretiable iable f A Tom 1 . 2. Po e u poit a niu à A il faut que Df(a) O
(a) Raqu 1 3 La nn D(a) oNREEXME
n extemm eat
R prée préete te u extremum relat relat
0 e néeae e ne pa ante
S R R et éne pa (
= a D() ()
. a 0 n'e pa
S R R e éne pa ) x2 n a 0 . Ptant P tant pen e e vae e e exx gne an n vnage v nage abtae e (0 0 b) S 'n te a ntn D(a) 0 p étemne e extema e et ne pa n vet n et namné examne épaément es vae qe pen a nèe e a ee nèe pe êe A ene pa exempe et ne ae e R 3 N an v mmen e e 'aae a nèe e et aez égèe p péémen 'e ne vaéé e
TEXM
«
»»
u u l l . 4. Sent ne -vaété éenabe e E U n vet e E q
pésene ne n extemm extemm pe , ne ntn én énee U e vae éee On qe pése (ea é en E U a ettn ettn e e U péente n extemm eat en en m. S e n -epa -epae e vete e E et e é éentabe entabe a M et éentabe e D(M)(m) = Dm) M v 2 ap 1 ) . La nn 'ext 'extemm emm é é 'expme n pa D(m) M . Cea n'mpqe évemment pa D(m) xME
0
EXREA LBRES. EXREA LÉS
Supposons pus partcuèrement encore que so sott un un espace euc eucen en e prout scaae sca ae D) v 0 pour v M séct < gra O Autement t La conton D) e gaent e en est ortogona à M Nous aons généase ce ésutat Garons Gar ons les notations ciess ciessus us o our ur que laf lafon ntition on fér éren entitiab able le fprésent fprésent un extremum ex tremum l en m sur la sousvariété M, faut que la restriction e Df Df m m)) à lespac l espacee tangent éom 1 5
i
Tm M soit nue.
Soent v T' M et y 1 une coube érentabe tacée su M ogne et tee que y(O v emment t y(t) t PRU
pou u / et cett cettee oncton oncton e e po M pésente un extremum eat pou t O après e téoème e éentaton es app catonss composée caton composéess 3 3 3 cap cap 9) et 2 on a o onc nc TmU iu n M v m f v = D ) ) [ y (0 O
o
A cacune es es caractés caractésatons atons e espace espace tagent ta gent coespon une taucton e ce ésutat onnons a pus p us ute et pou cea commençons pa un emme
Soient a b b es formes linéaires sur un espace vectoriel E e imension imension n n Supposons que b b b soient inéairement inépenantes et que leurs noyaux soient contenus
Lmm.
k ans celui e a Alors a est combinaison linéaire es b
Comp Compét étons ons es b e açon à orme une base b 1 .. . b e * et so sott a base base uae exste onc es constantes c tees que a I b aute part ntersecton es noyaux e • • • est espace engené pa e On a onc 0 = a(e) cb(e) c s k + Pa conséqu conséquent ent a = . + · · c b. D
PRU.
6. eprenons a secone énition 3. chap 9 es sousvariétés So Soient ient U un ouvert ou vert e E R n es fonctions e classe C éom mulpau Lagang
énies sur U, à valeurs réeles, et ont ont les fére érentieles ntieles sont son t lnéairement lnéaireme nt inépen inépenantes antes en chaque point point e e U n sait que l'ensemble es zéros communs aux est une sousvariété M e R n Donn Do nnons onsno nous us une u ne fonct onction ion féren érentiabl tiablee f U R A lor lors, s, pour quefprésente que fprésente un extremum é en en m U su surr M, ilfaut qu 'il ex exiist stee es co cons nsta tant ntes es c teles que Dfm fm)) c D m) + + CDm)
'apès cap 9 T M est ntesecton es noyau noyauxx es D) D) apès 5, T" M appartent au noyau e D) sut mantenant appque e emme précéent L'extremum e su M est es t paos paos appeé extemum ext emum e soumse aux contrantes c ontrantes g 1 · gk 0 'o e nom extremum é) An e étermner e pont on peut ésoue e système D ) L cc D gim ) C'e C'est st un sys systèm tèmee e + k équato équatons . auque on aont g 1 m = ·· ) j ns à k nconnues mm mn. Les nconnues auxares sappeent licaters de ara arae e D PRU PR U -
k
Appliaon. 1 7 tant onnée une surace M e R 3 'équaton g(x 0 et un pont A R e ess ponts ponts M ont ont a sance sanc e à A est extremum sont onnés par a recerce recerce es extrema e ) < A A astrent à g(m O
D) D) sécrt 2 A ) ga gm Géométquement cea sgne que a
normae à M au auxx pont pontss cerc cercés és passe pa pa A a ass tous ces ponts ne onnent pas nécessae ment eu à un exremum a spère e cente cente A passant par ne reste pas nécessarement u même côté e M ans un vosnage e
Appiaion 18 So ott en enomopsme symétque un espace eucen Rn < x) x ) pour E
04
ALUL DES VARIA VARIAONS ONS
Nous allons monte que E possède une base de vecteus popes de La fonction fonction E - R dénie pa ( = ( est difféentiable lle atteint donc un point 1 Pou touve touve 1 cecons son maximum su la spèe unité (qui est compacte en un les extema extema liés de asteint asteint à ( 1 . apès la ège de Leibni D( = ( ( + ( (,, ( ( et D( D( , pou E La ( 1 ) 1 n elation D( Dg( 1 ) s'écit donc ( ) o ( 1 point de = ( oest maximum est donc un vecteu pope de de valeu pope maximum Si maintenant 1 on a () ( ( 1 ) = c 1 Lespa Lespace ce E invaiant pa et l a esti esticti ction on de à E est encoe encoe un u n endomo otogonal à 1 est donc invaiant pisme symétique symétique Comme dim E dim E , on voit, pa écue écuence nce su la dimension de E, que que E possède une base de vecteus popes de qui sont otogonaux ot ogonaux deux à deux
=
=
Codto d eod ode po extemm evenons à une fonction diéentiable définie su un ouvet U dun espace vectoiel nomé E et à valeus vale us éelles éelles Nous No us avons vu vu que que sipésente sipésent e un un extemum en en , alos D( D( Nous allons all ons obteni ob teni une condition condit ion nécessaie supplémentaie supplém entaie en supposant que est es t deux fois fois diéentiable
Soit f - R une fontion deux foi dérentiable érentiable en m . Si f admet un minimum relat en m, on a fm)X, X) 0 pour X E E RUV Puisque Puis que D( la fomule om ule de aylo ay lo donne ( ( = D (( + r(h) o lim r( h Puisque Puisque admet un minimum ela elatif tif en on a(( h ( + ( ( pou asse petit, disons pou I l I l < e onc onnons-n s-nous ous X E et pen penon onss R tel qu que D ( ( (, (, + r( pou < e onnon t X I < e Puisque D ( est bilinéaie bilinéaie on obtient D ( ( (X, X éorè éorème me 2 1
t (X ivisons les deux membes pa t2 et faisons tende ves zéo On obtient D ( ((X (X X � Si admet un maximum elatif en on a évidement évidement D ( ( (X, X pou X D
Rearqu Rearques es.. Les conditions D( D( = et D D ( ((X (X X pou pou E ne sont pas susantes pou pou que pésente un minimum mi nimum elatif en en Conte-exemple : si : R R
est dénie pa ( ) 3 on a D( ) D (, (X = 2(X Poutant pend des valeus des deux deux signes dans un voisinage abitaie ab itaie de ). ) Supposons que soit tois fois difféent difféentiable iable Si D( D ( = tandis que D ( alosne peut pésente un extemum local en n eet, la fomule fomule de aylo aylo X ( = D ((X, X r(tX) o (X si - donne ( + X Cela monte mont e que le membe memb e de gauce se compote comp ote (au (au signe pès comme t au voisinage voisinage de i l ne ne peut donc este de signe constant
Une oniion suffisane fisane pour un iniu relaif. relaif. 2 . 2 Soitune foction à valeus éelles,
>
de classe C dénie su un ouvet U dun espace de Hlrt Supposons que U soit un ((X (X X pou X E { Alos point citique non dégénéé de et que D ( admet un minimum elatif elatif stict au point c'està-die c'està- die que ( ( < ( pou voisin de et distinct de osePal ais ( 3 . cap 8) il existe un C difféomopisme RUV apès le téoème de osePalais D (( ( local au voisinage de tel que ( et ( + Le téoème en ésulte D
=
x
=
O:DONS DU SEOND ORDRE POUR UN EXREU
n fait fait les yptèses peuvent peuvent ête aff affaibli aiblies es On O n a le ésultat ésul tat suivant
Soent ent un ouert un espace espace e anah , f R une foncton oncton du hoèm 2 3. So S m est un pont crtque, non gnr gnr efe efett s D f(m) foi foi diff diffntiab ntiab Sm f(m) (X, X) > 0 pour X { 0 } , alors f amet un mnmum strct en m
Cmmençns pa un emme f(m) (X, X) � c X pour un e constante constan te c > 0 tee que D f(m) Lmm l exste une pour X
P P Ps Psns ns = D ( Puisque est nn dégénéée lapplicatin E ( ( E* est un ismpisme Si est a nme de l'ismpisme invese n a dnc M ( E ais ( E* = sup ( étant dnné il existe dnc l E de nm nmee 1 tel que ( � ( E* Pa cnséquent () ( aintenant = D ( étant symétique dapès le téème de Scwaz n a 0 < ( t + = t ( + t . + ( pu t E R Le membe de dite est dnc un tinôme du secnd degé en t dnt le disciminant est négatif si est la nme de la fme fme bilinéaie cntinue cntinue (vi 3 . Appendice A n a dnc ( < ( ( ( ( Avec ( ) cela implique I ( n psant 1 I n a dnc bien c (
Y
P
ÉÈ ÉÈ La fmule m ule de ayl et e lemme pécédent pécédent entanent
+ ( D (( + () � + () ù ( Au nmbe 2 cespnd > 0 te que < ( < • I Si I < n a dnc ( + ) � c (
Cnsidéns une fnctin fnctin : R Not Not.. 2 5 Cnsidéns
entane
R deux fis difféentiabe qui ne pssède
itique a nn dégénéé (a) > O Le téème pécédent mnte que a qu'un eu pit itique est un minimum lcal n fait cest un miimum ba Suppsns en effet quil existe b tel que ( ( ( apè apèss le téème de lle il existeait un pint ente a et b ù 'c = O n cntadictin avec avec l'unicité du pint citique a Le aisnnement qui pécède est paticulie aux fnctins fnctins dune vaiable éele Putant le ésultat admet la l a généalisatin suivante que nus admettns : Sit une fnctin à valeus éelles de classe dénie su un espace de Hibet Sup psns que ne pssède qu'un seu pint citique que ce ce pint citique sit si t nn dégénéé et que ( (( ( > 0 pu pu Als( < ( ( pu pu tut tut E distinct de
Les cubes intégaes du camp de vecteu gad snt tutes issues du pint les ecuvent et la estictin de à l'une quelcnque d'ente eles est une fnctin cissante à pati du pint a ans ce qui qui suit nus alns paticulaise paticulaise espace espace E et et la fnctin d d la dmontation
0
AUL DES VARA T TONS ONS
3 spacs d cbs. as dagag
R a b un egment ne applaton y aamété a E de lee V enemble V de e oube oube et évdemment un ev ev u R i k R et enoe de -oube k . ·h et y 1 y en poant k y 1 yk 1y}'z y YV on =défnt une nome natuelle 1L'epae vetoel éel Y + V)Y poède natuel le n eet eet puque et ompat et que y et ont ontnue l y I et l y I l etent boné u On peut don poe y i' up l y l + up l y I l On véie an peine que et une nome On = a b, : V de lae lae et appelée une 1 oube
L'spa s ours lass C • 31 So Soe ent nt V un epae epae vetoel nomé u <
=
=
lapele a nome Suppoon que lepae V oit un epae de Suppoon de ana ne adaptaton immédiate immédi ate de la peuve donn do nnée ée au au l Appen Append de e A mon mont tee que que V et et omple omplett pou pou la n nom omee et et don un epae de ana
Fonions ours. 3 2 On peut ae oeponde de ben de manèe un nombe éel à une -oube Suppoon que V ot un epae eulden eulden on peut pa pa exemple exemple
y
y
longueu eulidenne eulid enne attae à a longueu
y ·
y omme b lu attahe attahe laton lat on y • d
d On peut aui aui J'on inteète
Il
la potion dan dan V à lntant dun pont de mae
1
Ce exemple entent dan le ade uvant auquel nou nou lmiteon Sot V V une oton de lae apelée le laraie) tant donné ; V) alo et une onton ontinue lle et don ntégable et lon dént une fonton L : V en poant
L : R y
C R L y y R y L L yy yd d
=f
( 3 . 3)
Nou allon monte que L et de lae et alule a déentelle Commençon pa un lemme ntéeant en o
=
Soiet et U u ouvert ouve rt du .v orm , Lmm r rniaon niaon sous l sign sign somm somm 3 4 Soi U da u v ormé F. a b, a < b u egmet et f ue appliatio otiue de
b
Suppoo que D f exite et oi otiue. Poo (u
lae C ur U et D(u
a
b
x
D f(t u t.
f(t u t Alor Alor et de
Sot u U Qutte à o un vonage ouvet ae pett de u noté enoe U on peut uppoe que D e ett bonée u u U Soit F lapplation lnéae ontnue DD// uudd apè le téoème ondamental du alul intégal on a UVE
b
u u
f [ u f u DDff ud d D ff u dt = f [ Dz f u d = f [D fu D fud d
+
07
ESPAES DE ORBES ÉQAONS D'LERAGRAN
n résut I (u h) (u) - (h) < (b - a) l h I · sup I D f(, u + h) D f(, u) , a brn supérur st prs pur 0 < < 1 t a < < b as D f st unfrmémnt cntnu sur cmpact x { u tant dnné 0 xst dnc b 0 t qu I h Il < b ntran sup Il l < s. Ca pruv qu = D (u) D Cmm u N D f( , u) d st cntnu st d cass
>
>
f
C
( )
lagrangie grangienn L et de lae lae C alor lappation Théo Théorè rème me 3 5 - Si le la dnie par (33), et d lae C et D h
C (/ ; V R ,
D L( )h(t) D L( )h(t)t pour
E C(/; V et où lon a abrg t (t) (t) en ( )
PRU PRUV V
On va appqur mm précédnt n prnant U
= C(/; V)
F
R
t f(, y) L, y ( ), y() appcatn f st cntnu cmm cmpsé c mpsé dappcatns manfstm manfstmnt nt cntnus x
C(/; C(/; V ) E V E V R
y(), y() N L, y(), y() (, y) N , y(), ntrns qu D f xst t st cntn cn tnu u Pusqu L st d cass C sut d mntrr C (/; V) V) qu D M xst t st cntnu Snt y, h E C(/; On a M(, M( , y + h) - M(, y) 0 h(), h() as appcatn h E C(/; C (/; V) V ) 0, h(), h ( ) E E V E V qu st év dmmnt néar st cntnu car (0 h(), h'() h'( ))) I h( h( ) I h( h ( ) l < h Par cnséqunt D M xst t D M ( , y) h = 0 h(), h(), qu n dépnd pas d y t qu st cntnu n Appquns thérèm d dérntatn ds appcatns cmpsés à f = L M : s h E C(/; C (/; V) V) n btnt y(), y()O, h(), h() Df( y)h DLM(, y)D D M( M(, y ) h = DL, y(),
o
c'stàdr Df( D f(,, y)h y) h D L( ) h() D3 L( )h (3 6) ) h() ( ) , ( ) , y(), y() Pusqu L st d cass n cnstat a pstrr qu D f(, y) dépnd cntnûmnt d (, y) Avc ntr chx d s hypthèss du mm précédnt snt vérés t n btnt
C
f
D( y) h Df(, y) hd c qu cmpt tnu d (3.6) démntr thérèm
C (/; ( /; V)
Gardns s ntatns c-dssus On put s prpsr R cstàdr d chrchr s xtrma d a fnctn L : cstàdr s curbs y qu rnUn poblme d'extremum l 3 7
dnt mnmum u maxmum
f
(y) (y ) = L, y(), y()d
ans a pratqu n rncntr putôt ds prbèms du typ suvant : ruvr par xm p pus curt chmn d à B dans spac ucdn C qu rvnt à chrchr s 1 curbs y drgn t dxtrémté B rndant mnmum l y( ) d
V
V
Pus généramnt étant ét ant dnnés dux pnts pnt s t B d 'spac 's pac snt s nt tracés s curbs truvr un curb y E d'rgn y(a) = A t dxtrémté y(b) B rndant ( y) xtrmum
C(/; C (/; V)V)
08
ALUL DES VARA VARAONS
Nous sommes doc ameés à cece les extema de la estcto de au sousesemble T B = { y 1 ( V ) ya ya = yb yb = B O vo mmédateme que ce sous esemble est u sous-espace ae femé de V) s 0 � u � 1 et s y 2 B o a u y + (1 - uy T B t s n B covege ves 1 ( / V ) au ses de la -ome, o a ya = lm l m Ya e yb = lm l m n b = B O peut ecoe obseve que O 0) et u sous-espace vectoel et que s y0 es u u élémet éléme t xé de T B pa exemple le segme / - B aB - b]ja - b alos B se dédu de O 0) pa la taslao y + y 0 'apès 'apès le éoème de ace 2 2 c ap 1 la estcto de à O 0 doc à B es de classe et la dfféetelle de cette estcto es la estcto à O 0 de DL l fau be vo que la déetelle de la estcto de à T B est ue applcato léae B leu déece h O 0 dapès coue qu opèe su TO 0 s y y + h B l'obsevato cdessus sote que n A B > ( y h A B J ( y = Dyh + h ulsat les téoèmes 1 2 et 3 5 o a doc pouvé le ésulat suvat :
=
Pour que que Théorème. 38. Pour
A, R préete u etemum e , faut que
Lt, t, t ht + L htt 2 Lt,
=
0,
pour pour tout tout h O, O, 0, et età àdi dirre pour pour tout tout h C 1 ; V érat ha
hb
O L'usage quale ue tlle coube du m deémae eémié e B fie u aa ie Cete Cete emologe emologe e dot pas pas due e eeu eeu la codto D ( y 0 est éces
sae pou lexemum mas elle 'es gééalemet pas susate A de déteme les exémales ous allo al loss doe ue fome fome plus maable ma able au éoème pécédet Pou cela ous allos ous ous boe aux coubes y acées su u epace e Hibe V . V * Cela pemeta d'dete V à so dual V * selo V
b
emme emme de Du Du Bos Reymond. Reymond. 3 3 9 Soit 1
da le duald'u duald'u epae de Hilbert V Pour que érat ha
[a, [a, b b * ue fotio otiue à aleur thtt = O quele que que oit oit h C 1 ; V
il faut et ut que oit otate hb = 0, ilfaut
1
P P La codto codt o es évdemme évdemme sf sfsate Pou Pou moe qu'elle est écessae écessae obsevos que que s V* est ue costate, o a ecoe
f B ] h = 0 ( d
f
b a Bd detos V à so dual e peos h B - ] d O a be ha = hb = 0 h est dfféetable e h' B est cotue O dot Cosssos
doc avo
f
0 d t hd Ce qu exge B = pou 1
B - 2 d
09
ESAES DE OURBES ÉQUAONS DUERAGRANGE
oro o rollr re. e. 3 0
Pour que
Soiet A 1 [a, b V et 1 V* dedeuxux foti otio o otiue otiue
A(th(t + (th(t = 0 que uel lee que oit h C (/ ; V rat rat h(a
h(b = 0 il fau autt et il u uft qu quee o oit it dre reti tiabl ablee et que
A < h don PREVE - condion s susnt c Bh Bh [Ah Bh'dt B h dt = B(b) h(b) - B(a(a)) h(h(a)a) = 0
C(t ) = A (s) d On C(t) = A t) donc Ch' + A h = < C h' + < C h < C h ' ntégons n tnnt compt d h(a) h(b) = 0 0 = < C(b C(b)) h(b) < C(a(a)) h(h(a)a) < C h ' dt = C (t )h'(t) + A(t)h(t)J dt Pou mont qul st nécss posons
f
f
f
C(t)]] ht ht)) dt = 0 t dpès l mm pécédnt B(t) - C(t) B(t ) C(t) + constnt onc B' xist t st ég à C' = A Lhypothès ntîn donc
ue extrm extrmale ale Soitt V u epae de Hilbert Soi Hilbert Pour que C (1 ; V oit ue à extr extrm mit itxe xe (a = A et( et(bb = du lagragie L, ilfaut et il u u t que t D t, ( (t t,, Théo Th éorè rème me.. 3 .
L
(t t oi oitt dretiable et que
(3. 2 2))
D3 L t y( t ) , y '( t )
=
y t ) pour t E 1 . D 2 L ,, y( t ) , y
onséqun onséqunc c mmédit mmédit du théo théoèm èm 3 8 t du cooli pécédnt où on pnd A D L t B = D L L'équton L'équ ton (3 ( 3 1 ) pot l nom déqution dlLgng dl Lgng l détmin détmin s s xtéms On obsv qull n ft ps ntvni s vus d y n a t b PREVE
On touv dns H tn pgs 99) un puv puv du lmm d u os o s ymond qui vut non sumnt pou ls spcs spcs d Hil H ilb btt mis ussi uss i pou ls v només
Remrque.
és
C 1 V R sns souci souc i dmpos y(a) A t y(b) = B S pésnt un xtmum n y on D ( y) = stcon d D ( ()) à ou sous-spc n d C ( V pssn p st donc nul Pnons n pticuli ds sous-spcs sous -spcs f f ns F(A B) t ppliquons l théoèm pécédnt On vot qu y dot nco vé ls équtions dul-Lgng st d'ilus évidnt dp d pè èss 3 pou pou qu qu D ( ()) h pou ttuut h E C( V, i fu bin qu n soi ins pou ls h véint h(a) A, h(b) B écpoqumnt si y vé s équtions du-Lgng on put s dmnd si s D ( y) O L lctu étbi qu, pou tout h C( V ) on D(y)h D3 Lb y(b) y'(b) D La y(a), y(a)
e problème de de lextemum bre 3. 3 Soi t à chch s xtm d
t il conclu
Remrque Remrqu e 3 4 4.. A An n d'étbi équion d'u-Lgng d'u-Lgng nous nous v von onss supposé qu l
gngin L étit déni su tout lspc V V s il put s fi qu ls imgs ds coubs y stnt confinés dns un pti d spc V o ls sont tcés s put uss qu vtss (t) dmu comps nt ctns ims st donc souhtb
1
0
CALCU DES VATNS
de restauer l théoème 3 5 sous la seule hypothèse que L ne soit dénie que su I x où 0 est n ouve de V V. Il fat aors étudie y (y) losque y E Q {y E C1(; V): (y(t y'(t E }. Nos allons monte qu Q est un ouvert d C1(/ V). ela aua donc un sens de checher si y E Q L( y R et diérentiabe; et comme a difféentabé est ue popriéé ocale, tous es ésutas de paragraphe subsisteont, en paticli les héorèmes 3 5 et 3 1 Sot y0 Q Donnonsnous 8 > e soit y E C(/ V) e que Il y - y ie' < 8. 'après la dénon de la C1-nore on a donc Il y(t) - y0(t) !v '(t y�(t y�(t !lv < 8 pour !v < 8 et y'(t tout t! D'après a déniion de la norme sur V V, on a donc
$ = I y(t - YCt) + y'(t) - Y(t) < (y(t , y(t (y (t Y(t $
2
8
·
{(y(t y'(t : tE I } este à une distane inféeue à 2 8 I en ésute que lenembe K d compact {(y0(t y(t tE I } e O omme est un ouvrt de V V, on peu choisir 8 assez peit pour que K c O S y E Q la boule de cente y0 et de rayon 8 e C(/; V) est donc encore dans Q qu est bien un ouvet =
�
I faudrai se gader de coe qu'un pobème d'extemm, dont les onnées sont difféentiables, possède nécessairemen une souton diérentiable Voc, à titre récréaf, un contreeemple Un homme, pedu en me, sait qu'il est à une dsance r d'un rvage rectiligne. Mais le bro!illad es s épais qu'i ignore a diecton de cete page Quee est a rote de longueu minimm qu'i doit sive an d'ête sûr de toucher erre? Mathémaiquement Mathémaiqueme nt parlant : touver une courbe d pan d'orgne de longueu minimum et qu coupe toute drote du plan stuée à distance r de 'origne. Laissons a joe au ecteur de juste a soluion cconte : Remarue
-
Fig. On consate que a coube n'est pas diéentiable Penons r Sa ongueu en foncon de 'angle mesué en radians, es 2 n x + 2 tg + (cos x-1• En ajustant x de façon qu'ele soit minimum, on trouve q'ee est égae à 7,28. 7,28. =
4 Natur d équaon dEuragrang Revenons au agrangen L(t q v Nous avons vu que si y : I- V es une extémae, aos tE I D3 L[t y(t) y'(t)] est déivabe omme c'est une fonction de t par inermé diaire e y(t) e de y'(t on a envie d'appique e théorème de difféentiation des fonctions composées Pou qe ce soit égiime, il faut inoduire des hypothèses suppémentires, en supposan que D3 L e y sont diérentiabes. L'équation d'EuerLagange s'écrit aos D13 L( ) + D23 L( . y'(t) + D33 L( y"(t) D es une équaion différentiele du second ordre en y =
NATURE E L'ÉQUAON ULER-AGRANGE
Supposons en oure que D33 L( ) E !( V * ; V soi inversibe dans e domaine de ( ) y(t) y'(t) n posan y v léquaion précédene sécri sous forme dun sysème diffé reniel du premier ordre en ( y v)
y'(t v(t) v(t v(t D33 L( )] D L( ) - D L( ) - D33 D3 3 L( ) v(t v(t) o ( ) t y(t) y'(t)
4 l
Cela condui à a noion suivane
. . . Soi 0 un ouver de V V On di quun lagrangien L 1 x 0 - R (V * ; V es un isomorphisme pour es régulier sil es de classe C e si D 3 3 L(t q, v) E (V t E / q, q , v) E O
grngien rguler
Le extrmal extrmale e 1 du lagragie rguer L ot de lae C • Le tat do do t0 t 0 E 1 et (q0, 0) E 0 il exite u iteralle maximal J /oteat t0 et ue extrmale J - V uique tel que (t0) (t0) 0 • PRV Posons 3 L(t q, v) p o ( q , v) E 0 ; e t q e p éan donnés cherchons v Puisque D33 L( ) es nversible nversible e héor héorème ème ( cha chap 3) des foncions impicies monre que localemen localem en i exise une foncion foncion G de même classe C que D3 L ele que v G (t q, p) Afin décrire équaion dueragrange exprimons que v y' es a dérivée de q y e que ddt D3 L( ) D L( ) On obien le sysème différeniel du premier ordre dq G(t q p ) dt dp D L t q, G(t q, p)] dt Puisque les membres de droie son de casse C ( 3 . chap 3) monre que es soluions son de casse C n paricuier y es de classe C cesàdire que y es de classe C aure par p D 3 L(t q, v) éan de classe C e y de classe C , i es mainenan légiime Thorème 4 3.
=
décrire décri re es équa équaion ionss 4 ) Quan à a secone parie du héorème ces une conséquence immédiae du héorème dexisence e dunicié (3 . 33 chap chap 7
Remqu Remque e 4 4 l nes pas nécessaire que le lagrangien soi réguier pour que es concusions
du héorème . 3 soien vaides Supposons Supposons par exemple que L(t q, v) ne dépenden pas de v Aors D3 es ideniq ideniqueme uemen n nul e léquaion dueragrange due ragrange se se rédui réd ui à D Lt y( t ) 0 qui déni y(t) (t ) impiciemen si D L( ) E (V ( V * ; V es inversible iden oici un aure exempe Supposons que L(t q, v) ne dépende pas de q Alors D es iden iquemen nu e équaion duer-agrange monre que D 3 L t y'(t)] consane se pourra pourra que lon puisse puisse déerminer y'(t) à parir de cee équaion équa ion sans pour auan que D33 L( ) soi inversible Ces e cas si par exemple V es lespace eucidien R e si L( t q, v) v On obien L v D3 L( ) consane; ces-àdire y(t) consane es exrémales y(t) (t ) son donc des droies décries à viesse consane falai sy aendre puisque e pro-
y( t ) d t minimu Pouran le agrangien nes pas régulier car on vérifie que D 33 (v) v O Remrque 5 e héorème 3 résou le probème de Cauchy pour léquaion duer agrange orsque e agrangien es régulier t0 E 1 éan fxé par un poin de V passe ue exrémae y e ue seule de viesse y'(t0) v0 donnée bème dexremum consise à chercher les courbes de ongueur
ALUL DES VARA VARA ONS
poblè me qe nos nous nous étions étion s posé initiaement initia ement Ce téorème ne résot pas po tant e poblème trover une extrémae y tele que ya et yb soient donnés ême si ce denie probème probème est ésol ili l este encoe à vérier vérier qe y réalise effectivement n extemm de Ce sont là des pobèmes qui débordent e cadre de ce livre
Soient N points matéiels nmérotés de 1 à N de masses espectives mi 0 sités dans l'espace eclidien R 3 Notons qJt et vit les positions et leus vitesses espectives à linstant t Supposons q'ils soient somis à des forces forces dérivant dun potentiel U q • • qN de classe dvi de a d ynamque de N ewton s ecvent C es equatns D U 1 mi dt - , q ou Di U étant a différentiele patielle de U reativement à qi E R3 R3 On pet epésente ces N points pa un point niqe q q1, qN d e R 3 N dont a vitesse est v v1 • • vN E R 3 N ntrodisons la force vive T m . v i 2 et le agran gien L R RN R N R déni par Lq v) T - U Alors, les équations de Newton coïncident avec 'éqation d'le-agrange n eet avec des notations évidentes Un exemple de lgngien égule 46
·
donc 0
=
au
dq mi . d
+
=
aqi
d aL d t avi
au au
et aL -
aL . aqi
C'est le p rncp d mondr acton d Hamlton es mouvements d système sont donnés pa es extrémaes de 'intégrae d'action (T - U d t e agangien est églier, ca D 3 3 L a po matrice mi qi Si 'on pose D 3 L p on tove qe les composantes p 1 • PN de p sont Pi mi n'est aute que l'impusion de -ième point matéiel a fonction G d théoème théoème 4 . est très simple vi pjmi e système d premier orde écrit en 4 3 est ici
j j
n posant Hq p
Pi 2/mi Uq il s'écit
Cest a forme forme hamitonienne des éqations d movement (voir chap ). Supposons qe le système se réduise réduise à n point de masse et qu'il ne soit soi t soumis à aucne aucne foce extériee 'équation d'leragrange (o cele de Newton) montre qe a vitesse de ce point reste constante es extrémales sont des droites décites à vitesse constante Ainsi les droites ne sont pas selement les extémales de la longeu sont également également extémales de l'action
·
d ees t d y't
y't t 2 d t oici ne généalisation de ce résltat
Soit L R V V R n lagrangien indépendant de t E R et te que, pour chaque q E V E V Lq v) soit une fome qadratique non dégénérée et positive EMLE 4 7.
E DE AAO DÉEABLE
I
xist, xist, autmnt aut mnt dit un fom fom bilinéai biliné ai symétiqu non dégénéé dégénéé bq tll qu qu L(q, v
qv qv v > 0 si v 0 la fonction q bq étant d class On popos d mont qu tout xtémal y d L d t st un xtémal d d Commnçons pa mont qu si y st un xtémal d L Ly(t) y(t)] n dépnd pas D Ly + D L y D L - D L · y + (D Ly) ais la d t n ff t pantès pantès du mmb d d doit st null d'apès léquation dul- Lagang Lagang daut pat a ègl d Libniz ntaîn D L v D [bq [bq v v] v] v bq . v v = L l st donc
0
t L
ib
i
d Ctt dniè lation t léquation dulLagang pou
L ntannt d d L t; D L L - ; Dz L dt dt = _ 4 L 4 • ddLt + L 1 dt D L - D L - 0 • Cst l'équation dul-Lagang pou l lagangin y st donc un xtémal d voi (H Catan pags 0-06]
1
1
5. Eff Effet dune du ne applaton appl aton dffe dffent ntable able
vnons à l'spac 1 / V ds 1 coubs y I - V Si r : V V st un application d class \ k � lmag r o y dun 1 coub st un 1 coub coub donc r induit un 1 ) ) r y(t)] application V V ( ; V déni pa 1 Puisqu / V st un spac nomé pa la 1 -nom il st légitim d s dmand si st difféntiabl
et e t de lae C et la aleur e h C (/; V de a dféreti éretiee ee au poi poitt C (/ ; V et do doé éee par D D h t � Dt Dt h(t pour pour t sontt d d PREVE 1re étape. - ixons y E 1 ( V Si h E 1 ( V V puisqu Dr y t son 1 1 class l'application t E I Dry( t)]h(t) st d class Cla défnit donc un application L d 1 / V dans luim luimêm êm L(h) t I Dry(t)]h(t) qui st évidmmnt linéai ontons qull st continu l faut touv un onstant A tll qu Il L(h) l :; A h pou tout h O si lon pos A sup Dr[(t ) on a Dry(t)]h(t) I : Dr [y(t)] 11 1 h(t) I : A · l h li e ' · aut pat D ry(t)] y(t) st un fom linéai continu su V qui dépnd conti nûmnt d t Si lon désign pa A la bon supéiu d sa nom losqu tE on a h(t) Il :; Dr y( t)]h(t ) } D r[y(t)( y ( t ) h(t)) + Dr[y(t) h(t) :;Il D r[y(t)(y(t) ) · 1 h(t) I + l Dr[y(t) I h(t) Il :; (A A ) li h n ésumé dapès la déntion d la nom on a I L(y)h et :; A + A ) h lle· 2e étape l st à mont u h ) (y) - L( y) h divisé pa l h l i e ' • tnd vs zéo avc l h l b apè apèss la dénon dénon d la 1 nom il faut mont mont quà 0 donné on put fai cospond un u h < b ntaîn l ( y + h) (t ) (y) (t) Popo Popost ston on 5 1 - Si et de lae C alor
I
>
e>
4
ALUL DES VARA ARAON ONSS
L()h(t) Il = I l [ (t) h(t)] - [ (t)] - D [ (t)h(t) I < s li h lie• po t et ne inéglité nloge po l déivée p ppot à t de ( h) - () () L() L() h ononsnos à monte monte l pemièe l seconde seconde se démontnt démont nt de de l même mnièe ( ; ; V Pisqe et h sont contines, lensemble K = (t) onnonsnos h C ( (t ) sh(t h(t ) : t 0 s 1 } est n compct de V qi contient les imges de et h isqe D est contine Il D [ (t) sh(t)] est boné s K p n nombe A Appliqons l fomle de ylo (3 4. cp 4 (t ) h(t) - [ (t)] - D [ (t)h(t) A - 1 h(t) 1 2 Al Al h c)2 l [ (t) S b < s A 1 on obtient le ésltt poms D
oro orolllli ire re 5 2 Si
e lae C 1
et u omorphime e lae C alor et u omorphime
intennt donnonsnos n lgngien L à l ecece des extem de ) =
1 V V R de clsse C et evenons
L t, t, (t) (t) dt dt
'tre extrmale extrmale e e L e pe pe héo héorè rème me 5 3 - La proprit 'ue ourbe C 1 (/ V) 'tre
pa u ytme e ooroe ooroe hoii hoii ur l'epae V où ee et trae
dentions V à R" Soit ( U, ) ne cte dont le domine U contient limge de s ( U ) pès 5 . , , indit n difféomopisme de et n diéomopisme de U s PREUVE
lensemble des cobes de C 1 ( V dont limge est dns U dns lensemble des cobes de C( R" dont l'imge est dns (U) pès l téoème de diéentition des ppli ctions ctio ns composées composées en écivnt écivnt ( o 1 ) o on D( ) = D [ o ( ) o D () Pisqe D() est n isomopisme cel monte qe D ( ) 0 entne D[ 0 1]() = Atement dit limge de lextémle dns l cte est extémle de lexpession 0 de de cette cte D
téo ème est fot fot impotnt impotnt n mécniqe p exemple il pemet pemet décie les éqtions éqti ons Ce téoème d movement dns n système de coodonnées qelconqes en tilisnt le pincipe de moinde ction ction de milton ononsnos à n exemple simple :
ACCRAT CENTRAE. 4 n point mtéiel de msse m > 2 sité dns n pln R , est somis à n potentiel potentie l U qi ne dépend qe qe de l distnce à l'oigine XEME : MUVEME
Penons des coodonnées polies en 4 6 sécit
8 doigine e lgngien -
U intodit
éqton d'legnge se décompose en dex éqtons sclies d L L L d L = d p' op p' dU pemee s ect m = m - d omme ne ge ps dns L secon de d . . aL = d e sect cons const tnt ntee c, est est e m z = constnte cest 1 . de consevtn moment cinétiqe p ppot à 0 ppelée ssi loi des ies Nos veons pg pgpe pe 7 comment de telles tell es lois loi s de consevtion sinscivent sinscivent dns n cde pls génél
«
NVARIANE DUN AGRANGIEN
Invrnc du rnn
1
Déi Déiiti itio o.. 6 1 Spposons Spposons e le lagan lagangien gien V V ne dépende pas de t E / 1 Ces ce te est commode dintepéte dintepét e es donc ne oncton de classe défnie s V V A ce V V comme lensemble V = V V des copes omés pa n pon de V e pa n vecte tangen à V en ce pont (on consdèe V comme ne sosvaété de V) e lagangen lagangen est donc donc ne foncon foncon s s V S V V est n k déomophsme l défnt (voi . chap 1 ne applcaton angente V V selon
) () () D() D() i est n déomophsme Nos dons dons e est invaant pa ss = atement dt s ( ) = () D() D() po E V E V
Spposons e V = R 3 = { ( 1 ) onnonsnos ne foncon R de casse ne dépendan pas de et consdéons le agangen
M M -
U
R3
4
( ( 1 ) = [ Î + + ] U( ) Alos la tansaon ( ) ( + ) lasse nvaan
ss
o
Téoème 6.2. Si 1 a, b est ne extrém extrémale ale de de L , dextrémit dextrémités és (a) (a) A et (b) B, et si le d dféomorhisme éomorhisme laiss laissee L invariant alors alo rs est encore ne extrémale de L, d'extrémités (A ), (B)
o
Avec Avec les noaons d paagap paagaphe he pécéden pécédentt linvaiance linvaiance se adt ad t pa L(
o
o
Rema Remaque. ue. eacop dates tennent ce éstat po évdent n voci pobabement la aison Spposons e y éalise le mnmm de L(y). Aos y le éase assi pse L(
nest pas sfsane sfsane po gaanti gaanti exémalé exémal é ; elle nest e nécessaie oic ne application spectaclaie d théoème pécéden i monte e des consdé atons d'nvaiance peven épagne ben des calcls
e demipla de Poi Poica caé. é. 6 3 'epace V est le plan R = { ( ) e agang agangen en est 2 la oncon ( x, x + ) dénie s le pod d demplan
>
R { x y) } . pa P { ) : 0 } On se popose de cheche les extémales y dont 'mage est das . 3 1 e étape On voi mmédiatemen e le lagangen est églie 'apès le théoème 4 3 l en ésle 'étan donnés E e E R existe ne exémae y nie tele e y(O) = y'(O) Compexons P en assocant a pont ( ) le nombe compexe + e étape m patie Avec n abs de notaton évdent on pe éce ( z z m () où m magnaie n calc sans sans malce malce mone mone alos e est nvaan nvaan pa la syméte syméte ) ( ) + b où les éels a b d véien a b et pa les homogaphes h : +
>
>
3e tap tapee appelons e ces homogaphes assen globalement nvaan et eles ansfomen a dem-doite 0 0 en ne demdoie = 0 o en n demi
cece centé s laxe des
ALL D ARAONS
appelons enfn enfn uéta uétant nt donné do nné q0 v0 E T où Lq0 v0 = 1 l exste une une omogape omogap e h type cdessus cdessus u u envoe le pont = ( 1 0 en q0 et le vecteu u = 0 su v0 he) = q q du type Dhe) u = v0 v0 4 étape - Cecons lextémale y telle ue y O = e, y 'O) = u [elle est unue dapè létape apès la e étape o y est encoe une extémale Comme elle vée les même ue y, elle concde avec y. condtons ntales o y O = e, ( o y 0) = sy(O ) Pusue y est nvaante pa pa la syéte , son mage est donc la demdote x 0 y O se étape. onnonsnous qo E p et Vo E 2 tels ue Lqo Vo apès létape l exste une extémale n unue véant n(O = q0 n'(O v0 aute pat ( 3 e étape l exste une omogape h telle ue he) = q0 Dhe) u = v0• ap apè èss le téoème téoème 6 . 2. 2. s y est lextémale de la 4e étape h o y est encoe une extémale y 0 = Dhe) u = v0 Comme elle vée vée les mêmes condtons condtons ntale ntaless h o y (O = q0 et h o y ue n on a donc n = h o y [uncté] apès létape 3 l en ésulte ésulte ue toute extémale extémale a pou mage une une dem-dote dem-dote = x0 y 0 ou un dem-cecle de centé su l'axe des x
u u,u,
>
>
Cec posé appelons longueu au sens de Lobatcevs dune coube l
de classe
:
t E [a, b]
N
(x(t)
,
y( t)
EP
x' y2 · d Poposonsnous de cee les coubes de y
C le nombe
longueu » mnmum mn mum ognant o gnant deux deux ponts pont s donnés de Cela amèn amènee à cece les extémales
x
y
= du lagangen lagangen y n combnant les ésultats pécédents et celu de lexemple 7 on vot ue ces coubes ont pou mage les demdotes x x0 y 0 ou les dem 4 7 cecles de centés centés su s u laxe des x S lon appelle dstance (au sens de la géométe de Lobatcevs de deux ponts A et B de la longueu de lextémale lextémale u u les ont, ont , ces demdotes et ces demcecle demcecless jouent le ô ô des dotes de la géométe eucldenne On vot sans pene ue la syméte et les omo gapes h jouent le ôle des déplacements de la géométe eucldenne s'appelle demplan de Poncaé, du nom du matématcen u a ntodut le modèle ue nous venons de déce pou la géométe de Lobatcevs
>
e thoème dEmmy Noethe
Nous allons a llons monte comment lnvaance lnvaance dun lagangen lagangen pa un goupe à un paamète de déomopsmes podut des fonctons u demeuent constantes le long des extémales
s
Dénto Dénto 7 . 1 - On dt uun lagangen L I V V ndépendant de E I est nvaant pa un goupe à un paamète de dfféomo dfféomopsme psmess de V s L est nvaant
pa pa pou tout
ss
7
LE HÉORÈME D'MMY OEHER
Thorème de Noether 7 .2. Soit L n lagangien indéendant e t 1 et invaiant a n goe à n aamèt aamète e s de déomo éo mohismes hism es de V Alos la onction J V V R ,
v
v N
déen éentiel tiele e a atiee tiee de de L R où D L est la d q D Lq dne p q a aot à est constante le lon long de chaqe exté extémale male d d L On dit dit qe c est ne intég intégale ale e mièe de léqation dEleLagange PREVE.
Soi y V un xtréma. Par hypothès L y() y) ()
pas d s crivons q sa dérivé par rappor à s st nll
o
o
J
n dépnd
D L a ( y) ()] + D L a d y) () 0 .
· d' aprs M as, d chwarz, a d = d a thorm
D'ar ar
dur par qua quan n
D L D L On n dédit dd D3 L · y) ()J + D3 L · d a ( y) () = 0 .
Lagrang sécrit
o
Cs-àdir
s o
D3 L[ i y) () 0 . aisons s 0 avc ls ls notaons du héorèm héorèm on a
Remrque
o
D3 L( ), () • i ()
( y) ()
l,
0.
sintrprèt comm l vcrviss pour
décrivant ant son orbi sous l'acion du d u group y() décriv
0 du point
ig 0
E
Spposons qu L so nvarant par n group à un un paramètr d q q + s. a où V Aors y() y() + s y() a Pemie exempe inrince p nion 7 3
s
9
LE TÉORÈE DY OEHER
n t) premre e L
=
1 '1),
ne ép épen en ps ps e
t :
es ne négrle
L ne épen ps e t E / lrs L 1 es nvrn pr e grpe n prmre e rnsn emprees 1 ) t q n n = 0 E R vv f 1 { 1 e érme e Neher enrne n D3 L 1 ( 0) ns nsn ne e ù D ésgne l érenele prelle elve à (u v V Cel sér enre L ( ) n ns sne ne Ltt v(t v(t y'(t y'(t D L(t L(t y(l) (t (t) ns mpe en e lepresn éfnssn , L ne Ces e qn ppelle lnégrle premre e lénerge L rsn en es qe s ln repren leempe 4 6 e le lgrngen népenn emps ( ) = T V linégrle remre rrespnne es ( sgne prés) L + D L v = T V. Ces lénerge le COEVA EVAO O DE 'ERGE) ' ERGE) xEM CO
ü
iliographie n n sr rp remmner C ng re qn es ssré
y rver ne perle mr ér e qe prgrpe ée éillée ll es rns es mpléée pr elle e sn renve merne : le nrôle pml Le leer q me gémére e les prmenes ns les rns l frnçse ser mlé p e ernier pire e P lliin
Appende A
ESPACES DE BANACH ET APPLICATIONS MULTILINÉAIRES as toute la sute le ops K su leuel sot ostuts les espaes vetoels ev e aéé aéé est elu des éels ou des omplexes
Espaces de Banach
om omee.
0 s et seulemet s x Il x + y Il I x I + l k x I k . x Il K et tous x y Ces popétés etaet i i x l - I l y I 1 l x - y
Il x l
kE
O appelle ome o me su u ev E ue ot oto o I l Il : E - R telle ue l x � 0, y pou tout = 0,
ev doté due due ome est dt espae omé omé
xEME 1 2
a O vée ue haue des applatos suvates est ue ome das R" ou C" :
X + · · + X x xn x + xn sup { X , x b Sot Cx l'ev des otos dées su u espae topoloue valeus das K u sot otues et oées Alos I l c sup x 1
{
x
est ue ome appelée ome de la oveee uome uome ou eoe ome 0 c Sot [a b lev des otosdées su u semet [a b a b valeus éelle et possédat e tout pot ue dévée otue otue Alos • sup 1 x 1 sup x 1
e
[]
xe
] =
est ue ome appelée ome O osevea ue l •
<
ll ll + l l
Disn Disnce ce ddu ddui iee dune dune nome nome 3 Sot E u ev omé Pou x y E E poso su E u devet as u espae espae mé mé x y) x - y O vée ue est ue dstae su
ue do u espae topoloue
Espces Espces de Bn Bnch ch.. 4 C'est u ev omé est omplet pou l a dstae dstae dédute
sa ome
XEME 1
5.
C est u espae de aah pou haue des tos omes -dessus - dessus a R (ou C b O sat ue est u espae de aah pou la ome de la oveee uo c otos ue lespae omé a b du 1 2 est u espae de aah Sot ) sute de Cauhy Pusue l l • Il l + l l hau hauee des sute sutess et ( est est u
=
APENDE
site de Cchy Cchy de d e C a commee ce espce es compe (esp (esp. . convee normmn a b b ; comm vers ne onctonresp. g) de C a b Tennt compte de
�x) a) = on
l
f(a - r gt)dt
fx) fx)
1l =
r :t) dt n x) + a) fa )
+
[ft) - gt) ]dt
+ i üa a 1 + I t)t) - gt) 1 d 2 + b a) Il g qi tend ves zro si onc eiste e f' g , c j x) = gt) d. " Ansi ( convere vers por nome C i Cx> x) 1
n
f
•
Soe direce direce despaces nors 1 6
• •
Soient • des espces norms r e même corps de nomes respecives , On vre qe a) e pod ctsen deven n e.v no · et ppel some dee de . . por es opons
•
x x + y y) = x x x y , x + Y) kx) k E K kx x) k x kx
b) Il ( x , • . , x. ) Il = I l x 1 1 1 . + +
c) Bnch.
••
•
e sur E · · E ; rme x, Il . est une no rm est n espce de Bnch si chqe spce E es n espce de
Il
2 Appcans naes cntnues Soient e F de espces norms sr e même cop copss et
ne ppicon inre.
Thorèm Tho rème e 2 1. Les conditions conditions sivantes sont éqivalentes a) est contin continee en tot o oint int ; b) est conti contine ne à lor loriigine ; atrement di dit l lim imag agee de la la ole nité de E est bornée bornée ; c) sup (x) <
d)
sup (x) < 1
atrem a trement ent dit limage de de la shère shère nité de de E est est born bornée ée ;
e) il existe ne constante
PREVE videmment
telle
a b.
ontons qe b c eiste b
>
qe Il f(x) ll � M . x pour tout x E.
0 te qe x b
b x = Cb x) 1 = Cx> ô • videmment ontrons qe = e soit
fx)
. Aors l
p f x) Si x # O j x l est de norme do x et f(x) I l � M 1 x I l encore vrie si x O. nin a rse de y y = Ux y) x -
x
=
.
;
n é g a l it é
ESPAES DE AAH ET APPLATONS ULTNÉARES
J I f(x) ppelle norme f(x) I � l f x l pour
Noe due appicaio iaie coiue 2 2 Le nombre up
de et e note l L preuve prcdente de d = e montre que tout x E ontron que le ppiction linire continue f de E dn F forment un ev not que f f et une normece norme ce qui tifi tifier er on ppellti ppelltion) on) Soient So ient g E F) S E F ) e que F) Si x E, x = 1, on l + g) x x)) l f(x) + g(x) I l � f(x) l + I gx) l � I f + g I donc f + g et continue et I f + g !i � I f + g Dute prt, i k K, J I (k (k.f) .f) x) l k x) = k fx) doù up k f) (x) = 1 k [ up f(x) I l cet-à-dire k f k nfn !i f 0 f(x) = 0 pour tout x = f O
'esp 'e space ace de de Banac Banac E ;
l
2 3 Si Fest F est u espace espace d Baach alor alorss (E F) est e st cop cople le
Linlit /x) PREV So j�) une uite de Cuchy de !(E; F) on x E j(x) J � Il j x montre que nx) et une uite de Cuchy dn F lle donc
1 une limte que lon noter )
l
ontron que et linire
fx + y)
lim
j�x
y) =
lm [üx ) + j�y)]
lim j (x) + lim j(x)
j�(y) = f(x) + f(y)
>
� �
De même f fkk x) kf(x) k f(x) k E K. ontron que que et contine contine A tout � N = l 0 correpond N tel qe l ce-à-dre ix) I � pour l l on edre q ver x) I = p( x - .fix on obtent I p (x) -f(x) � pour x 1 On en dduit dbord I f(x ) I f(x) ;(x + fP x) I � + I � I pour x I = 1 ; donc et continue On en dduit enuite f j � pour � N donc j) convere ver
I l Il
e
Noe d'u podui d'appicaios iaies coiues 2 Soient E F et troi epce norm ur le même corp et u F, : F de ppliction linire continue Leur compoe v0 u : et vdemmet linire et continue Soit x E E x 1. o n I v u(x) v [ ux) v ux) � I v u Pr uite Vo u I � I u
1 - l
l
l
1111 1
1 - 1
1
Isoopise d'espaces os 2 5 Soient E et F deu epce norm ur le même corp ne ppiction E - F e ppele ppele n ioorphme ioorphme depce depce nom) i E F ) f et une bijection et i bijection invere qu et ipo fcto inre) et continue
Toèe Soit f E F ue applicatio liéaire sujectie es coditios suivates sot quialetes : a) f est u isoo isoorp rphi hise se existe deux obres 0 et M 0 tels que m . x I f(x) � M . x I pour tout to ut x E
>
> >
>
l
l
REVE RE VE � onron que a = b Puque f et f ont contnue il eite deu contnte pou 0 e B 0 tele que f ) � A l x our tout x E E et F y) I A
�B[[ ou E F S i x E E poon y (x), en ore que x r ( y) Alor l x B (x (x)) et on x l � f(x) I A [ onron que = a. Linlt I f(x) JI � [ [ x prouve que et continue Lin it m [ x � l f(x) l o ù > 0 montre que Ker (f) { 0 e donc injective et puiqu'elle et uppoe urective cet une bjection Soit y E F Poon x y y ; on y = fx) et m l x I � fx cit (y) I � m y onc r et continue
h
Noes quiaees 2 nient l même topo
Du\
me ur un ev
E ont dite quivlente i elle dfi
3
APENDIE
Thorème. - es contions sivantes sont éqivalentes a ) les deux normes Il 1 et éqivalentes tes 2 sont éqivalen il existe des nombes m 0 et M 0 te tels ls qe qe m li x tot x E ; c) lalication identiqe de E mni de dan danss E mn mnii d dee Il
>
>
PREVE
a et b
videmment
x M J x 2 o 2) est n isomohisme
rlte d thorème prcdent.
D
Cs des espces de dmenson ne 2 7 Thorème S n e e v de dimensi mension on ni niee totes les nomes sont éqivalentes éqivalentes
x e E ct x = x1e1 · x dn ne e xe e de x x dnit ne nome. Si 1 et ne te norme,
Tott vec vece e PRV To
et cli qe x l x l = Il I X; . e l 1 I X · e l l 1 : M . ( l x { e ,
•••,
quee résu sull te qu I e. 1 } . I l en ré
xN
Il
x
1
+ ··· +
x. 1)
= M . l i x Il ,
où
M
= su p
et contine por l topoloie de ,
1 Il x 1 - y 1 x y :; M. x Y . tre prt phèe nit S de E norm pr l, et n enemle ferm et orn donc compct po topoloie ele. omme Il x 1 et contin et poitive r S on 0 et 0 tele qe i nf x O n rm, i exite ien de contnte ca (v oi r 1 1 . ) on a ca
x
> > l 1 por x et le thorème rlte de .
>
D
Thoè Tho ème me - Soient E et F dex e de dimensions nies s le même cos Alos tote ali cation linéaie f E F est contine
e de E e ep. p. F. Choiion Choii on r norme PREU PRE U V Soient ( e [ rep. C)] ne e
x Il
esss us e t s ur F la no r m e a n a ao o gu guee l y I l = I 1 Y 1 1 - On a I l /(x ) l = I X f e) : I 1 X; 1 ci- des estt I 1 X; 1- l /e I l :; A .L 1 X X 1 = A x l . où A sup { (e ) I , (e ll } Ansi f es contine por po r le norme Il donc po tte norme dprè le thorème pcdent. D =
• .
3 Applcatons mltlnaes contnes
•••
Soient E E et F de e.v. r le même corp ne pplco Dnon Dn on 3 1 E F et dite mtiinie iinie i n i l onction jx E E1 x. ) et linire pr rppot à ccne de vile X ttention cel ne inife p qe f e e ne ppliction linire de 1 · dn F]. oien t nom. Alo E · E ne rcre Sppoon en ote o te qe E 1 , E et F oient depce norm l omme diecte de E et il et oiie de pler dppliction mltilnre f E 1 F contine A ce titre voici ne nrlition d thorème l
x x
=
••
•
Thorème. 3 2 es condit conditions ions sivantes sivantes sont éqiva éqivalentes lentes ) f est contine en tot oint de E · · · E ; f est contine contine à loigine 0 0 0 de E · · · E ; c) fx x) est boné s le odit des boles nités x d) f( f(x x x est boné s le odit des shèes nités e) iste ne contante M tee qe f(x , x) M l l x E , x E
a
1 de dess E E ; l = de dess E E ; x o tos les
videmment b ontron qe h = il eite ne contnte b > 0 tele qe x l + + x b = Alo o x1 1 , x 1 � Il b x 1 /n · · b xJn b fx • • • x l . Al (njb"" l / x 1 jn , b xJn f(x (njb PREUVE
4
ESPACES DE ANACH E APPLCATONS ULLNÉARES
vdemme c oos qe d e so M mo de fx 1 x)) Il l or s q ue I x1 l = x x 1 S les x so os o s, les xJ x so so de orme or me 1 doc x 1/ x ! l ;M e p se l x 1 x ;M x . x l ecoe vrfe s l des es l f e a se de
·
2
x''1 . x� (xt X X2 .. x + jx'1 x2 - x x x x l (x t · · x - x + + jx' • . x� • x x� l M [ X X'1 . x + + + x . x� x�__ x - x ]
Lesemble des pplcos mes coes epace , . . 33 fo elle d'e ddo dd o e e d pod pr scle, E m de fo : 1 es vdemm ev os le oeros E E F S E E E os le m e nt " ( E ; F) . n s s im p le lem tero ron imp n o te p { Il j(x 1 • • • , sp Posos f s
sq e x 1 l orsq ) or
x)
= · · = x =
prev vee D'ap près la pre 1 . D'a
e d horème pcde o f(x , x)) : · x 1 . . x, I l p our tous comm e e qe j es be e ome s (E • E ; ) x x. O vre los comme espcee e qe qe comme e 2 3 1 • • E F ) s orm es espce espce de Bch s es espc de d
1,
• •
de Bch.
4 Soe E F e G os ev. oms s e même cops. S j E (E F e EE 3 . 4 c(gg lpplco le compose E G vdemme g F G ), oos c( cg es coe. As c es e pplo de F G) E ds E G) G).. O s qee es blre e (vor 4 qe g o f o me es co e e de ome
g j p cosqe elle
Iomophme aoque
K K ; et canoni Théo éorè rème me.. 4 1. - Soit un e. noré contruit ur le cor K Alor queent ioorhe à fssos ( E E p p vdemme es lre. le es jecve c j j ( 0 por o E K O lle es PREUVE
K E E e x. f, srjec sr jecve ve s x E E posos = x o ù E K vdemme / K ee es coe e 1 .( ) Il t · 1 f Il m o t r e que sa no norr m e I Il = 1 . 0 Théorème. 4 - ; ; F F et canoniqueent ioorhe à k 1 F ·
j E ( E ; . k kE E F ) dé fnissons . p ar /(x 1 xk + 1 ) = f(xk 1 ) x , . xk) 1 F vdemme E + ( E F e es e pplco de E; E; F ds t ( E F l es cl qe es lre. le es jecve, cr j 0 jxk x 1 , xk por os es x . xk xk por o xk O ll llee es es sr srec ecve ve s E ! k 1 ( F F)) e g dssos E k ( E F pr x gx ,) v vd dem emme me j E !kE F f es coe cr PREUVE PREUV E.
-
Si
j
/
x ' . . xk) I llfx , xk + ) = f
; 1 .
f
.
0
Appendce
THÉORME DU POINT FIXE DE BANACH
= =
O ppelle p e de pplc f d esemble E ds lmême on e p a E el qe fa a c c l'e des rss de lmprce de cee cee . S E es e.v. v. e e ppl pplc c de E ds E rsde e 'q E es d reve rver e es ps ess de f +
pplc f Concion 2 S E espce mrqe, d l dsce es e e pplc de pre de E ds E es ppele e c crc rc s'l ese mbre rel 0 1 el qe d , f] ; d, y pr s O ppelle le rppr de crc. s q'e crc es f frmme rmme ce.
Thorème de Bnch. 3 [En ngs contrcng mpping prnciple » oiient E un esace trique col o colee t et f E une ali lication cation d'un oue ou ert rt de E dans E Faisons les hyothèses suiantes ) f est une contraction contraction de ra raort k il existe u nt la distance distance uu E au colentaire colentaire de excède un nobre nob re xe M > o c) d [u, f u ] M ( k )
E
M!
=
M
vdemme fu c crr d[u, u] d [ u, \ sss u pr rcrrece u0 u , u u fu r qe cel ses l f mre q e u s le svs d pr u0 e u Sppss-le bl pr u0 , u , u O d[u u] ;du, u d [ u u] s l es clr qe PREVE
" M = M
d [uP u ] = d [f P u fP u )] I pr 0 p ; n . c d[u,fu ] M.(l M As fu = u e l prpr es ble pr rcrrece. Le même rseme mre ecre qe d [ u u ; l [ M L se u es dc e se de Cchy de V q cvere vers e lme a, psqe E
M M =
P w =
M
w
es cmple Cee lme es ds cr l prcdee ere e s q d u a 're pr e fs p be d, a rs qe a es p fe. efe psqe f es ce u fu erîe a fa e s n S secd p e veel d a, d[f a a f] d a mre qe d a b ) O c b a
erqe E les hyphèses f l're ds le hrème prcde. s de crllres les
x
e
M =
s sperles e mpe qel p
u
Dpendnce d'n prmère 5 Gardons les notations du thorèe rcdent oient T un esace toolog toologiq ique ue et et f T E une alcation satisfaisant aux hyothèses suiantes ) cha chaque que a ali liccation artiee / x f(x t où t T, de de da dans ns E r re les les hyothèses du thorèe de Banach
HÉRÈME DU PON XE DE ANAH
�
pour pour haque x l'appliaion pariee f(x e oninue l'unique poin poin xe xe de / lap lappl pliaion iaion a e oninue Alor i a e l'unique
PV.
a a)
Soiet s T O
=
d [ a) a )] d [ a) a )] d [ a )
oc a a)
(1
�
a)J
a a) [a) a)] - ) [a) a) ] qi ted ves zo si s ted ves
applaion oninue on inue d'un d'un epae érique Une itérée est une contraction. 6 Si f e une applaion ople da dan luiêe luiêe don une iérée f e e une onraion de rappor rappor , alor f poède un poin poin xe unique
n
li m " pès le toème de Bc possède poit fxe a lim f)" )] Pisqe f est cotie fa) im. im. . . lim ). is d [f)" f)), f)" " [) [) ] mote qe lim f 1 ) ) lim n ) = a. f si fb) b o j(b) b ; e b a pisqe j e possède q poit fxe
P.
=
=
théore de de Banach. 7 Comme os l'vos v à popos d to aracre constructi du théore ème divesio divesio locle cp. 3), le toème de Bc pemet de pove l'existece et licit li cit de sotio dqtios is il foi e ote pocd pocd eectif eectif po costie cette soltio p ppoximtios sccessives. L peve d toème de Bc mote qe site f) f) . . . f") covee ves l soltio a de fx) x. lle d apprxman pr xman » d d c c sln par pa r la la sln apprché apprché mote mote ssi qe qe l l « vss da
-
st plnmal n n a ) : M "
a bb R, divble et dot dive vife eos p exemple e foctio f a fx) po ombe fix et po tot x E a b. Spposos Spposo s e qe f ppliqe 6 cp. 2) mote qe a b ds limême. Le toème des ccoissemets is 1 6 fx) - f) x - po tos x y a b. L foctio f est doc e cotctio de a b ds a b et les es cicote motet les ppoximtios sccessives x" de l sotio de fx) x ds les cs espectifs 0 fx) l et - 1 fx) O
< <
<
i l.
<
<
<
i. 1 2
>
L pote de l mtode est ps le qil y pît. Soit à sode e qtio de l fome Fx) 0 ù F a, b R est e foctio divbe tele qe Fa) 0 Fb) 0
-
<
7
APPENDE
q'i xs dx consns posivs
a
ssfisn F ' x 2
por o
n posn x x - t x , t 0 nos somms rmns à chrchr s soions d ) ) . isq isq ' x 1 tF'x on 1 t x 1 t . L procdr nrir s'ppiqr n jsn t por q - t < 1 - t < 1 cr ors sr n conrcion.
onnon on nons-n s-nos os n v E n ppic ppicion ion E roposonsnos d rsodr 'qion x Si xis xis sr E n n norm por q q a E s n spc
Raqu. 8
x
d Bnch s n conrcion ors horèm d Bnch forni n soion. s p q'i xis psirs norms vrifin condiion a cs n pricr cs si E s d dmnson ni. S'i n s insi s condiions sos sqs s n conrcon norm chos nv à chrchr chrchr dns chq cs prcir prcir norm dpndron d ps vns srons c pr n xmp soi x x , . . X R" fx . x R" n R" R" ; R" R"] Sos qs ppicion n [ qs condiions s- n conrc i on ? rnons dbord norm x sp { X } On vo sns pn q
N =
I l x sp J
j
x - Y
où s mric d dns bs cnonq. n condion ssn por q so n conrcon s donc I 1 rnons minnn norm
< por i 1
x
l fx - f( y) l z
n
n condion sfsn s
L
l [ j
- f( y) 1 )2
=
I I L,} xi - y
on s'xprm pr
2 <
Aors
sup p L 1 Lu 1 x � su
por j
< 1
rnons nn norm cdinn
l f(x )
n n j
, ..
= �
l z ,
Lin d Schr nrn x? L x L condion condion d conrc
x
J J 2
=
Y
y
hcn ds condons prcdns s susat por q oi n conron. is cn ns ncssr por ssrr convrnc d si x, x , . . "). L cr consrir ds xmps o chcn ds ros condiions prcdns s rmpi nds q s dx rs n son ps.
u é
Appdic C
LA MÉTHODE DE NEWTON Le horème de Bnch de lppendice B donne un orihme pour rouver les rcines d'une quon ) O Si on pose g) ) + nous vons vu que sous cerines condions l suie u0 gu0) gu0) u gu convere ves lunique rcine a e que M k", o M e 0 son a v daoaon onoa : a de consnes L mhode de ewon pour rouver une rcine de l'quion ) 0 consise à subsi uer à l courbe f) s nene en un poin don bscisse 0 es une pproimion de l rcine a cherche Si a e lcr enre l courbe e e s nene es d'ordre 2. Lppromion 1 dfinie pr lquion linrise ) + D) 1 ) 0 es donc voisine de a à près vor fiure.
- u
< <
<
i. 3.
n irn ce procd on obien une suie dppromions onan onni x 1 consne. A lissue de l n + -iè -ième me pproi n 1 mion a es donc de 'ordre C'es cee mhode que nous lons endre u espces de nch.
< C
C
>
Soit t F dux pa pa d d aa aah h u boul d d rayo d f F 1 u appliatio d la C Faio l hypoth uiat o tat M tll qu Dfx Df( il xit u otat f(y y M x y pour tou tou x y E B fx0 x0 oit oit u iomorphim d d ur ur F t tl qu fx oit il xit x tl qu Df a ptit - [Dfx ) 1 fx xit t la uit x ovrg r luiqu olutio Alor x a d fx o. outr Il a x Il t d l'ordr d e2", où < < t u otat V Soi B une pproimion de rcine cherche Posons 0) 0) ; ou revien à rsoudre en lquion + ) 0 qui s'cr encore + r) ) - Y · Théorème.
E
E
a
9
APPEDE
uppoon que on che que x r E B, o f(x = fx 0 r - Dfx fx r. r Rx r R(xx r R = 0 r ) Aini r doit vifie qution - y Df(x rr.. r - R( Puique Df et continue et que Df(x et un iomophime, Df( x r e t encoe un omophime (4 chp. 3 Aini opteu r - [Df(x r] 1 • [Y u R x r] t be d r e ez peti ou on monte que et une contction de boue B x x b ' dn eemême i on yon et e petit 2 oi oithme thme de contuction du point fie fie de cette contction, te qui et donn dn e thome de Bnch coïncide vec ceui de nonc Commençon p etime g (r (r [Df(x0 r Lidentit A - 1 B 1 A A ) B ente iomophime inie et 'hypothe a du thome entnent li gr gr' l M. r - r · g (r · g(r' g(r' Il·Il · Poon C g ( O i en ute Il g rr Il Il g(r r)) / 1 + : C [ 1 - C . . r ] - 1 • g O) I l + l g( O) I : C . M . r 1 · g r P conquent, i r et 2 MC o gr eite et gr 2 C ue p i E B x x b on p(r(r rr g rr · R x r Rx r + dp e e cooie ch chp p 2) et hypothe a Rx x rr i , dp g(r - gr Yo R du thome
ù
c
+
c
' rrr r
<
0 r) - R(x0 , rr)) Il = I f Rx0 x00 r) + Df(x0 + r) . r - Df(x + r'r').). r' l i : fxx 0 + r) - fx Il Rx fx 0 + r) - Dfx0 f(x + r ) f(x0 + r) D Dx0 x0 ,, r')]. r' I : x0 + r).r r) Il + I l [ Dfx0 f(x
r
[ r -
+
r r - r
n utiint e ut pcdent et hypothe a du thome, on obtient
Il (r (r I l 2 . C . . [ r' r + r r' r ] + 4 C. ! o
.
y
r r
cetàdie (r ( r K r r où K e une contnte poitive indpendnte de et r et infieue à i e t ont ez petit P ieu (r (r Il : I (r - ( Il p ( Il : K r C. mpque - K b rr i C Y E n résumé, e n c h o is is s an t I l y0 I = I l f (x0 ) 1. e p conquen ez pe e e une contctionn de B (x contctio p e thom tho mee de Bnch, pode un unique (x b dn eemême point fie a E B (x (x b qui et imite de uite dfinie p r 0
'
c
p(rn = - [P(xo rn 1 [Yo - R(x rn] = rn - D D(x (x rn rn] r [Dfx rn 1 f(x rn [D [Df fx x r xo rn Poon X = x r nou obtenon etion de cuence nnonce dn e tho me x xn [D x ]] /(X rn 1
=
vuon vitee de conveence p 1 7 chp 2 et hypothe a du thome, on l fx" - fxn Dfx .. xn - Xn X 1 2 Aini X X 1 - Xn I l M . X - X
D . l x, X1 . en ue
2
1 , où
D
de o nt de e t u n m j o
xn x D . x - xn
"" )] - 1 I · M . j (D
D
= + 2 x X
D 1 .D. x 1 x ) P conquent i 'on poe D. x x Df(x (x 1 · fx Il e a = nm xn x = D. D
on obtient
a - xn I n jj
- xn j D . ee
= O(e
Appendice D
THÉORÈMES D'INVERSION GLOBALE
Une application f : R R de classe C 1 , et don t la dérivée dérivée ne sannule sa nnule pas, est un di éomor phisme dun voisinage de de chaque point sur son image. Mais, à moin s dimposer une u ne condition supplémentaire supplémentaire ce nest pas nécessairement un d iff ifféomorphisme de R sur R (songer à Arct g x) Une telle condition pet être de caractère global : par exemp le : lim 1 f(t) 1 = o. Elle peut lJ�o aussi être être de nature nature locale locale ; par p ar exempl exemplee : il existe u n nombre k > 0 tel que f'(x) > k pour tout dernière con dit ion que nous all ons adapter aux espaces espaces de Banach. emr ons on s x C'est cet te dernière quell e peu sécrire de deux façons façons don t chacune va donner lieu à un théorème global
0 tel que [jy - f(x)] [y x ; k y - x) ; b) il existe un no mbre mbre k > 0 tel que 1 [Df(x) - 1 < l jk pour tout x. a) il existe un nombre k >
Applications strictement monotones Dans ce paragraphe H est un espace de ilbert rée l, de produit scalaire ( , ) Avec des modifications modificat ions mineures, lassées à la discrétion du lecteur, les résultats qui suivent sétendent aux espaces esp aces de ilbert complexes. Généralisons la condition a de lintroduction. on ! : H H est dite strictement monotone sil existe un nombre k > 0 tel que Une Un e ap p lili ca t i on fy - jx, y x : k . 1 y - x 1 2 pour pou r tous x, y E
Défn Défnit itio ion n 1 1
(
Si H était un espace de ilbert complexe le membre de gauche pourrait être remplacé par sa nrme, ou par sa partie réelle. réelle. Notons que l'inégalité de Schwarz Schwa rz entraîne
f y Il fy
( 2)
f(x) Il : k Y
x Il
Une application strictement monotone de classe C 1 est un dféomorphisme de classe C 1 de H sur H. Théorème Théorème 1 . 3. �
La preuve preuve va résulter des lemmes suivants Lemme 1 4
1.
La dféren ér entielle tielle de f vére vére
f(x) .y, y : k . l y 1 2 pour tous x, y E H Df(x)
Pour tout t réel et pour pour tous x, y E H on a ( f x + ty - f(x), ty ) : k t 1 11 y 2 Divisons les deux membres par t1 # 0 et faisons tendre t vers zéro en tenant compte de l continuité de u N ( u, y ) . On obtient 5) C PREUVE
que réciproquement , ( 1 . 5) entraîne la stricte monotonicité dont on a ainsi un u n citère Notons que effet on a ( Df(x + ty y, y : k l y 11 2 pour tout t E [0 [0 et tous x y E ntégro local. En effet les deux membres entre 0 et en enant compte c ompte du théorème fondamental du calcul intégr (6 . 6 6 du chap chap 2) et de la propriété d de (7 4. cha ch ap. 2) :
APPND
Df(x
ty)ydt y
D x
+ t ) y y d k
i y 1
Soie ient nt H un un epace epace de Hil Hilbe bert rt réel réel et et L H H. Sup emme emme de xMgrm. 1 6 So poon qu'il exite un nombre k > 0 tel que < x x � k · I x 1 1 pour tout x H. Alor L et un iomorphime et I 1 � 1/ PRV t j jtv tv, , x
0 taîat évdmmnt x O M tn qu H) H ) t u upa upa fmé fmé.. St Yn = L(x ) un ut vgat v Lnégalté d Shwa mt qu Il Lx Il � k x I pu tut x dn l Y yq l L(xP X4 ) � k x x l t x t un ut d Cauhy Puqu t mplt t ntu ntu x vg v u élémt x t L(x) (x ) y
ujtv. L théèm d la la pj pjt tnn mt qu'l ufft ufft d puv M t qu t ujtv. qu lthmplémt A d l.v. fmé H) t éduit { }. Si a A al = a a � k a t l a b a = O 1 • n pat Lx y lnégalté Lapplat léa pèd d un nv 1 x � k x ét y I � k L y) An C t bé t � 1k.
PRV
THÉORM
1 . La lat ( 1 2) mt qu qu t t t tv. v. L lmm 1 .
Dapè l théèm dvaa d vaa t 1 . mt m tnt nt qu ) ) t t u mph m phm m pu tut x Dapè du dma 4 ha p. 3) t d d u dff dffémphm émp hm d la C 1 d u l'uvt F E). l u t mnt qu t ujtv. Pu la l ut d mnt qu E) t fmé fmé u qu t ut pnt p nt ftè ftè b d ) ) appatnt appa tnt ) Il xt un hm t-d u ub tu [ l] H, d la C 1 u , 1 [ pu 0 � t l . Puqu dxtémté ) b tll qu Puqu E > t t un dff dffé é o [ o , : [ , l [ H t d la 1 t Y'U) yt pu mhm d la , 0� S t un ut ut at at d nmb nmb tdant v , . 2) taî
t
t < t
a x)
2
<
o
Cauhy, qu nvg v un pt x La ntuté d taî t)t ulmut Yd(t] b t b appatt b H). (t]
[
Le he de Hadaad-Lev
généalat la dtn b d ltdutn u all bt u éultat dû Jaqu Jaqu adamad 1 906) 906) t Paul Lévy Lévy 1 920)
epace de de anach f E F une appli applica cation tion de clae clae Théorè éorème me.. 2 1 Soient E et F deux e 1 C Suppoon que pour tout x E Dfx I E F) oit un iomorphime et quil exite Alor f et un dféomorphime éomorphime de d e E ur F. un nombre A > 0 tel que Dfx 1 A . Alor
La puv xg pluu étap
Z F une application continue dun epace topologique connexe Z dan F Suppoon quil exite un point z Z et une appication continue Z E tel que z = z x f o [on dt que Soie ient nt x E, fx ee d'unct d'unct des relèvement relèvements. s. 2 2 So
est est un u n reèvement reèvement de . Alor et unique
S
3
HÉORÈS DNVRSON GLOBAL
PRU PRUV V St c" u applcat pédat l mêm ppété qu c' Z t lu djt d lmbl d pt ù c' t c" pt la mêm valu t d cmplém ta B N u all mt qu t B t uvt uvt Puqu Pu qu E t qu Z t cx, l éulta Z S a E ca) = ca) appatt à u uvt U dt lmag pa pa t u vag uvt uvt d ca) ca t u dff dffémpm émpm lcal A A c - U ) c" - U ) u ca) = f [ca) [ca) ca vag uvt d a tu da S b E B c'b) [p c"b)] appatt à u uvt U ' [p U dt lmag pa t u vag v ag uvt d cb) c'b) = fc"b) A c ' U ) c " - U " ) t u vag uvt d b ctu da B
A
A A
A
A
A
f(x) et un point arbitraire de F Alors il existe n chemin 0 ] - E de de cla class ssee C d'or d'oriigine gine () = x qui rel relve ve le segm segmen entt 0 ] F déni par (t) ( t ) + t.. En particulier fest surjective. Soiient ent x E emme. 2 3. - So
y A A x y }' o A < y h o ,a t· St la b upéu d A Mt qu E A Avc u tat évdt, d c y ) o Y = y ) yptè u mplqu dc o y ) y ( ) pu : < dc I l I l : AM ù M t u b upéu d I l : : 1 S t u ut
P V. V. St St lmbl d a E 0 ] tl qu lèv l u cm [O, a[ - d cla C 1 t dg Mt qu t pa vd Dapè l téèm dv lcal l xt u vag lmag pa pa t u vag uvt uvt V d A 1 V ctt u uvt U d dt lmag tvall , s t y t d cla C vaut pu t lèv S a a' E t a a' dapè l lmm ducté l lèvmt d cïcd u a
a v e c c e l u i de }
'
cat d mb tdat v a l téèm d accmt taî
I l p q I l
: A M p
q
v u pt p t b a ctuté ctut é d taî a ut în t d d Caucy t ll cvg v = lm l m ) = b t ) = b t b déf jb) lm Mt pa labud qu 1 myat qu l lmm a établ. Il xt u vag uvt U ' d Y) dt lmag pa t u vag v ag uvt V d y) Puqu tvall uvt pa pa V ctt u tvall + [ Dé a a a + e vdm ( ) 0 : : () • pu p () t y 1 lèv Cc ctdt la déft déft d mt y t d cla C , y 1 )
y
< y
x
1 y
1
:
ace 2.4 cm u F (p ), ct-à-d u applcat ctu [ ] - F (p t applé applé u lact g () cïcd avc xtémté xtém té (l) emm mmee 2. 5 - Un lacet de F dorigine
En particulier particulier f est injective jective
= f(x) se relve suivant un lacet de E d'origine x
O. PUV Qutt à ffctu ctu u u talat put put upp 1 } x { : s : 1 } Nu all mt qu c Z - F déf pa St Z { lèvmt Z - tl qu ( , ) pu c ( s) = s () adm u lèvmt
:
: : 1 ( = ( l 1 =
lmm éulta pat y ) ( Dapè t caqu gmt S E o o 1 N S •• I ) pèd u lèvmt uqu ufft d mt qu pu caqu E ! () tl qu qu ( ) P i s) = s) Il ufft s) t u lac dg dg t dxtémté dxtémté Pu cla cdé mbl A d a E 1 tl qu pu : s a N t s) mt qu pèd l ppété vl Mure/lis mutands l amt du lmm [ [ ] - pa abud qu = up 1
A
3
m
A
: 3
APPENDICE
hau pnt rpt tt ntnu dan dan un vnag uvt dn t lmag pa u vnag uv d ft i] = t œ = a Puu mpa un nm n d uv lmag d nt V lu lu éunn t la éunn éunn d d yt p pndant. Puu pu u un 1 V ' ntnt l'mag d'un lat t lèv lat t lu-mêm un lat d'gn x t lunt Al U u r 1 o ( du èvmn mn u n au u it D a n nad adn n uhaté uhaté fx fx' lmag pa f du gmnt S x t n ntt dux pnt d E d mêm mag mag u l jnt t u n lat y d'gn C la lèv dapè u péèd n n un lat t u x' unu dgn x Cmm lèvmnt dt ê au l gmnt f t dn njv
PRV
+<
t t
ORÈM
xx
>
x
2 . f un bjtn d u F d la C 1 • Puu Df(x)
t nv n ha nt Df 1
[DfoF ] 1 t ntnu 1 t d la C 1
earqe 2.7 2. 7 A pt t un vtmnt t--d un ujtn tll u hau F pèd un vnag uvt V dnt lmag nv t lunn dj djnt nt duv un ul dan l a pént) pént) f éalant un hmémph d hau hau u V A p nétat pa pa évdnt t lhypthè Il D ujtvté té l � u ntan la ujtv
'
A
Appende E
RÉDCTION DS NDOMORPHISMS INÉAIRS St E u pac vctl cmpl d dm n t d (E (E E S B E d (E u t mplmt A B lapplcat cmpé B t lapplcat dqu d
Ao
Thoè d Ho-Cyly
A
Spect et poô O appl pct d d (E mbl d poôe e caractri caractritque tque 1 . 1 caa tl qu a t pa vbl L ppété uvat t équvalt a) appatt au pct d 1 t pa pa édut zé b) l yau d c détmt dét ct u ac du pyôm d valu pp d t u lémt du pct d dé n k dét k ) qu appl plyôm caactétqu d uqu a a dm d chaq chaqu u vau va u pp pp cpd u vctu pp
a
a
e e
a aa A
a
A
S A E Ed E pode pode n valeur pro prope pe dtnte dtnte a • • a de vecteu vecteur r propre correpondant e , e alor ce vecteur forment une bae de E De plu A annule on polynôme caractrtque p emme 2
PRU
A A
Supp qu xt d cala vmt aux dux mmb d ctt éalté éct u fm matcll
tl qu L Applqu ucc O btt lat c qu
a matc n x n t u matc d admd d détmat
aa e
T
a O
e dc t ul l éult · ul t l mt u ba ba d Puqu () a matc d A da ct ba t la matc daa da (a;). a matc d pA t dc la matc daal da [pa J qu t ull puqu l a1 t ac d O a dc b pA
E
emme 1 3 enemble de A Ed E dont le n valeur propre ont dtncte et un Edd (E) ouvert dene dan E
R
h u ba d qut d C"
ddt f à a matc t pa cé E la pmt ddtf
AENDCE
Puque nu mme ur e rp C e pnôme aratértque p de A pède rae nfdue Pur quun quunee rane t mutpe mu tpe fau autt et ut a • a, éventueement nfdue quee t au rane du pnôme dérv p' p' Sent b 1 • b" b"__ 1 e rane de p ; p et p' n t
fi fi
ette de (a bs (b • (b"_ epe et u pnôme mtrque n b 1 • b 1 • et d un pôme en effent de p et p et-dre, en fn de mpte un pnôme P(a . a en e eff ent de a matre de A On a dn défn une appatn pnmae A P a 1 une rane mmune et uemen 0 =
de nd (E) C dan C e ne peut dn annuer ur un uvert de nd (E) an tre dequemet ue Ce et pa e a e vaeur ppe de A t tute dnte f(A O. Il en réute que (A 0 ur e mpémentare de r \0 \0 qu et un uvet dene dan nd E) 0
ut mrphme peut dn tre apprhé dau prè qun e veut par un eaqe endmrphme dagnaabe daprè 1
Th Th ème ème de Haml Hamln nCa Cayle yley. y. 1 4 - Soit
oo p p O
P e ponôme caactéitique de
E nd E
PRV S A appartent uvert deu tute e vaeur prpre nt dtnte n a d pA O Puque appatn A E nd E) Daprè e emm ett ntnue et anue u uvert de den nee ee annue patut. p (A E nd E e
0
2 du emme.
Suppoon que e ponôme caactéitiqu p de
End (E oit e poduit
de deu ponôme p et p pemie ente eu o a) E et a omme diecte de noau E et E2 de p et p De pu E et E ont inYa iant pa ; ponôme caatéit caatéitique, ique, à une con a etiction de à E i adme P comme ponôme tante mutipicatie p
PRV
E.. 1 2 et nvarant par A S x E ar p(A x O Ma A et A mmutent, a E dn AAx pA x 0 et n a ben A x E
que p A E E nMtrn E r veur de
p (A p (A Or dapr e thérème de amtn-Cae �Ap A pA 0 dn pAp1A = 0 et n a ben p 1 ( A x E :· pA A x E • De mme p M trn que E 1 + E E Puque p1 et p nt premer enre eux daprè e thérme de eut ete de pnôme pn ôme l up q + p q 1 . ndoncp ( A q A p(Aq 1 n rte que q e q l xE, p A q 1 A x p 2 Aq(Ax x Pn x2 p A q 1 A x x1 x1 p pA A q z( A x n a x x et. daprè b E E; d) Mntn que = E2 Il rete pruver que E E 2 = S E E E pA x = p pA A x O Puqun a vu au que x 1(A q (A + p( pnô me e e A mmute p(AA q( q(A A et que deux pnôme n a x q A [ p (Ax ] q(A[p(Ax q1A O + q q A A O O e) naement mntrn que e retrtn A 1 et A de A à E et E admettent pur pnôme aratértque repetf et p à une nane mupatve mu patve prè
3
RÉUCTIOS ES EOMORPHISMES LINÉAIRES
Ch ue bae de qu t réu due bae de et due bae de . S S par abu de tat te ere A A 1 e t A le atre repetve de A, A 1 et da le le bae bae et a
Cela tre que le plyôe aratértque de A et le prdut de plyôe aratér tque tq ue et � � de A et A A � St k ue rae d e u all vr quelle quelle e t au au rae de • A k rrepd u veteur prpre # 0 de la retrt A 1 de A 1 A # 0 et A() k () par ( - k) () k) () + (k) epla t par Dv le plyôe p 1 () pa r A : ( A ) k l et applqu le le deux deux ebre ebre . O a p (A) 0 p 1 (A ) (A - k ) ar ; (A k ) 0 ar A() k l rete d p (k) O Ce 0 ela tre que k et rae de • re p. � � et rae de p 1 rep. . Puque et A haque rae de p1 re t t preer preer de ra ra ue et e e � vt que le rae etre eux eux l t pa de de 1 2 t tute le rae de et que leur rdre de ultplté t le e Par équet � ù et ue tate. e lee éted par réurree au a ù e dépe e u prdut de plyôe preer etre eux O a d pruvé le réultat vqué e 3. hap.
-
5
5
kk km . km k
le racine ditincte du olynme caractéritique de Thoème. Soient End k)' lor et omme directe de noyau de Le ont inariant ar et la retriction de à admet our olynme caractéritique n articuler dm dm r .
k '
m
k k' k'
3 Surjecvt de expoetee
5
km
hap. que pur tut X d lexpetelle exp X et verble. é O a vu 2 . 33 hap. prqueet u all vr que pur tut pérateur verble A du epae vetrel de de de e l exte au u X d tel que A exp X et par équet ue té puque pur tut eter n exp X + 2 n ) exp X . .
Supp Supp que A at pur plyôe aratértque P(k) a k) Puque A et a. verble a 0 et l exte C tel que . P a
a 1 A
1
et
( 1 ) 1
Daprè le thérèe de altCayley 0 ; l e rulte exp 1 + par le alul a aque que de expL l + )] Par équet exp[ l ] ex exp A
Adpt le tat du thérèe préédet a retrt A de A adettat e plyôe aratértque (k - k) daprè le preer a l exte
Ca nral
X d tel que expX expX A Pre ue bae de rée par la réu de ba e de • • S
alr e et X répd la quet
e . 0 . 0
A1 . . . . 0 · · ·A A 0
Appendce
ÉQUATONS DFFÉRENTELLES LNÉARES A COEFFCENTS PÉRODQUES
Set espce de ch A R d e ct ct ctie N s sppsers sppsers ds tte site sit e qe A est de péride T 0 A (t + T) (t) pr tt R s es cséqeces de cette hpthèse sr es stis de éqti diféretee iéire x't = A(t). x(t), x(t) E. qesti es es ps trivie cr c r bie s de péride T i e est ps écessiemet de êe des sts Cst déjà fx s A est cstt 7 7 chp.
>
5
Le ope e ooome
Thome La élva é lvate te (a (a t ) de de l'équat l'équat dfée éete tele le t T (a t) pu tut t
ée (a + T
P chp 6) s s qe qe Ra I)R(a et Ra a Dprès 4 chp (ppicti idetiqe de ) ) Psqe A(t) A t + T) t - Ra + T t + D vérife même éqti diéretiee et même cditi iitie R( R(aa + t a + T) 1. Dprès icié
+ T t T) R(a t) 0 CÉQU st géée de x séc t) Ra t) a) n pc A . x siet ttes de péride f(aa T f( Ra a DJ Pr qe es stis de i ft dc qe Ca) Ra a T) se rédise 1. O ppee C(a) opératur d mn Ra
A
drmi de x' A . x ts qe si A est cstt C(a) e e déped ps de
ps e cs gér.
Ce est
Le péateu de mdme t u cjugué et pa céquet l t mme aleu ppe
Thome
PUV
pécéde et reti re ti de Chses pr e prdit i tégr etret Le héme pécéde
T) R(a + T h + T) . Ra + T) R(h a) = Ra b). (a). Ra b) 1 • es e ppes d C st ppees es nmbrs caractéritique d x A . x Si dimesi de est fie et si A est cst es mes cctéristiqes st es e·, es r st es vrs prpres de A Cl>
R(b, h
Thome. .
ut que a
Pu que tute le lut de Ca) C a) pee la la valeu
.
et de péde T faut et
PRUV O e ces écessie. Mtrs qe cet sfis Si a 1 pr prp p iti pcdete mtre qe C(t) 1 p tt mme \t + T t) t) .t) be /t pr tt t D
Chechs si eiste mis e st péridiqe
8
ÉQUTOS FÉRLLS LNÉRS
À COFFCENTS
PROQUS
horme hor me 1 4 G oqe oqe (1883] A haque valeur prpre k de Ca) rrepnd une lutin de x = A x x te tee e que f ftt + T k ft) pur tut t
En partiulier pur p ur qui qu ill exite une lutin nn n n nulle de péride T il faut et uffit que
it valeur prpre de C
Sot 0 un vecteur rore de C(a de vaeur rore k Sot f a outon de x' = A . vérfant f(a) = Aor fa + C(a.f(a) = kf(a) n orte que on oe k.ft, t, et a outon de x = Ax vérfant g ga a = O Darè uncté g(t = jt + - k.f P
g(t = 0 our tout 1. ou ton cdeu et donc de érode érod e croqueent croqueent et une une outon S k = a outon = Caa otre qe a es n veceur roe o e de érode a = {a de Ca) de vaeur rore 0
T
N ou aon vor que e nore caractértque de x geent de varae va rae néar
itt S R ho h o me me 1 5 M Liapo Liaponov nov (1892 (1892 Si
A . x ont nvarant ar chan
unefntin de lae C GL (E unefntin
et de même même péri péride de T que A. Si dan dan lquatin x x = A .x n fait le hange hangement ment de variable t) = St) x tt)) n btient une équatin d dfére érentiele ntiele A dnt lpérateur de mn drmie Ca) et emblable elui Ca) de léquatin initiale.
PUV n cacu édat ontre que y = A
o ù
A [ S S A ] . S •
( 6) 6)
An S et A étant de érode , A et au et on eut arer de oérateur de ono droe C1(a R (a a , o ù R 1 et a réovante de y = A (t t R1 (a (a,, t y ya a = R (a, t S(a. x( x(a a Coe La outon générae de y A y et ( Ra t. x xa a n conan ce (t) = Ra Ra t) x(a on a encore t) = S) t = St Ra réuat et arce que x a et rtrare on trouve R a a t) S t) Ra Ra t) t ) S) Prenon uque S t = a Saa + Sa on en dédut C a a = S(a. C(a) C(a) Sa)
T
D
Cea ontre quétat donnée deu équaton dfférentee néare érodque et de êe érode net a toujour oe de tranfoer une dan autre ar un chan geent de varae néare de érode Cherchon et oe de e raener une équaton y = A y o ù A est contant.
T
2
L thè d Lpv
Siit E un espace ectorie complexe de dmenson inie Lapon ono o (19 S home 2 1 Lap ntinue ue de pri pride de T > O Alr exite au min une Sit A R nd E) une ntin ntin péride de T telle que le hangement hangeme nt de variable fntin S R GL E E)) de lae C et de péri t) St) xt xt)) ramne ramne l'é l'équa quati tinn x = A x une équatin A ù A et ntant
T
i
P So = a a + n oéaer de oodroe de = A . ete Aen end dce ce Prenon S(t e R(a au on un B E nd () te que C(a) e A autreent dt oon xt = R(a, t). e .yt) a reaton I 6) ontre que y vérf vérfe e équaton équat on nou rete à ontrer quee et de érode = By vdeen S et de cae C théorèe 1 1 et a reaton de de Chae Chae our our e rodut ntéga ntéga Puque e r 8 = R(a, a ) e théorèe entranent
e8 R Raa a + ) R S(t + e<TJ8Rt + a e R t a = = e8 R R t a ) = e8 R(t a) S(t
+
D
en que a déternaton ecte de S nécete cee de a réovante et en n de cote en a réouton de équaton x A x on dédut dortante conéquence de ce éutat.
APPENDCE
O caît ca ît 5 3 cha p a fr fr a t ti i gééra g ééra d Forme ds sotions éa é a cc cc ctat B. i _" t var prpr prpr dtct dtct tt lti t ca léair d ctr a ù a E t k rdr liplicité O dédit la ti gééra d t ciai liéair vctr tk St St a ù St t d péri > 0 dc ré Pi Ca 8 alr prpr Ca ct--ir l r caractériti t t l O O app app l pant aractritiqu ic d r céc c rétat iap) Pr tt t d x' x tdt r zér lr 1 + c rp fat t fit parti ré d pat caractériti it égati rp ti)
A
<
cr rvr pé p éié vrg ographie Gmachr t d ch t J. Mawhi
L TÉORM DXSTNC T D DÉNDANC AR RAORT AUX CONDTONS NTALS DS SOLUTONS DS ÉQUATONS DFFÉRNTLLS
) t 3 du pt 7 du t d O pp d ddu t 2 ) dt t pt u td du J R O t xt t dt qut P P t t 9 p p - 9
horè Soient U un ouvert d'un epace de anach E X un champ de vecteur de clae C 1 ur U lor lor pour chaque t E R et chaque chaque E U il eite un voi voiin inage age ouvert ouv ert de dan U un in inte terv rva aee t a t t + a et une application t a t + a[ V U tel que que a oit de clae e C b t = pour x
x
c) d t = X pour t E t a t + a
x
u t d tt u pu upp d d E t qu U t u d t t d 2 qu 1 0 O qu 0 t u p U t [ L
PV
Rpp qu C ( ! ; E ) [p E ) ] d p d d ppt d C p C 1 d d d E u d
up 1 E { ) [ Cg(/ E d d E Il llco
resp. res p.
i f lc1
=
!f
l ! co
+
co]] . i l l co
L
u t qu O) = t u up d CP(! E t d d u p d d t { { U - d ( U qu u f ( u d t u ut d Cg(! E d qu t pt t t p qut tu tu dt du pt d U d t d d d d qu u d
L'aa
!
<
:
+
2 d U pu 1 t U0 t Cc: 0 x + X [x j) ] t d u pu d d u ppt F d ut R U0 CJ ( I U 0 0 d p d R E C( E d p d C( E p F(k
tN
k X
/{ !
Laa a C 1 •
3
Dp p 2 u u tt d t qu d dt t p p tt t t t t u dt F t dt p ppt k t D k x, t 't d 1 2R C: E) qu dt dt qut qut d p p ppd t X [ + ] d C ; E Puqu t tu { + ) t u pt u qu t tu X t ut tu - O u pd
E } f
AENDCE
X < I
ô
4
I
d c u > q Xx j - X y < e i E + f f < 6 r x < 62 / / E ; qu b/2 / qu I réu + / < 6 pur ! dc (kk / k , I up I X x X ii < D (
Il
mr qu D ciu uiqu X différi différi pr rpp D (k, crrpdr éém )] qui - kDXx + éém d Y[ C 0 )] u mr m r cmm pur uiqu DX ci u k DX [x f d ci D q D ci fi puiqu X diff différi, diff différi éri pr rppr à f i h E 1: CJ l E) E ) ( E E qui ci à h cur D (k, h éém d � [ CJ
kDX[x + h
;
E dh
d ( )
vi cmm pur D qu D ciu Lappication H
L ccu précéd mr qu D3 ( = rpdr à h E 1 1::
; urm di D ( fi cr
cur E d E) Lppici éir
ciu D 0 dc urjciv C ( E ) mg d E
''()
ui iciv h' pur E r h c h émé D u mrphim d u urr C(! E) mm d p (, = crir 2. ch p. du hérèm d fci impici impic i di di qu qu pu ruv ruvrr u viig viig ] V d ( d R u ppici d c d viig d qu [k (k V c-àdir pur ( k E
J
ëd [ k ) k X x (k ((
appiaion
pu E /
I
Puqu Pu qu V qu k, ( x + (k ( ( k k k vérifi < < déf défii dc dc u u ppic ppic d k k V d 1 Dprè dfiii d d c C
I
� r [ Hk x k k
k X x + H(k k X <
Dr pr puiqu Hk x E CJ U0 H(k pr u <( x = . dc ié pur cqu k u cu cu égr égr d X drig dri g x dé urr k, k]. Du qucqu d c cur ccd dc ur ici d ur u dm d df dfi i dpr ici ici Dc Hk x ( k dépd p d k Si dédui = /(1, ( )
+
E
dc c m q d H( ) = pu H( = pr ui 1) . ri ( 2) vu d cr pur t puiqu ( mm H d c (1 c m qui d mm pu S
Appndic H SIMPLICITÉ DE SO
(3)
Rppelo que O ( n ) e t le ou-oupe ou-oupe de 0 (n) (n ) fo de let a do t le dtet dtet dt d t (a) = Nou vo vu vu 9 p p 9 que que 0 (3) (3 ) et ue ouvt e x de d (R3) R9. R9 . Nou d veo lole 3 . 5 p p 9 pou dote que G O 3 ) llo utle le toe dveo et u oupe oupe ple =
=
Prélmnar Proposition 1 G = SO (3) est la composante connex de (3 munie muni e de la l a topologi topologiee induite induite par par R 9•
1 = dR'
de la sous-variété
pplto otue dt 0 3 R e ped que deu vleu + 1 et - 1 . o 0 (3) pode u o deu opote oee oteue epetveet epetveet d 1 dt ) = G et dt ( - 1 ) Il uffit do de pouve que G et oee U let a E G et ue otto d'e â utou du e r(l) de l otto dle t . â utou du e e lo t E ] rl) G et u doe et dett a PREUVE -
�
N
Proposition. 1 - On définit un produit scal scalaire aire sur End R") en posant c d = 'd) d est le le transposé de d Trace (c 'd) 1 1 us si si s E R"), on a s o c, s o d = c c d et s c o s , s o d o s - = c d . De plus
pee pte et et dte deu edoope eblble podet eode ulte de ' s - et du ft que deu l e te te 0
PREUVE.
3 Soient E End R") et a b E SO (n Alors = a o o a Corollaire 1 3 implique o a = a o t, o b = b o
+
b o o 1
= 2 L = = a o t· o a 1 . + h o o h 1 , v O 2 l' 2 tl tlo o 2 t llt de w w a o o a , r I v i , llt yt leu que a · a - 1 = ; et lloue e et a e h lt lt tle tle etîe etîe do do
PREUVE.
·
a o o a b o v o b 1 = .
0
2. Smpc SO (3) Théorème Un sous-groupe invariant
H
# 1 de G
=
S O 3) coïncide avec
G
- Peo a E H - { } e ett ue ue otto otto de de D X et u veteu o ul pot p D, o do a(X ) X ot o t r ue otto qu evoe X u u veteu otool otool = rX lo
PREVE. -
h = o a o r- 1 E H
et
b Y =
43
APPENDCE
g g o
o
o o o o
1 Cndn pptn G G dnie p 1 1 videmment et et G H M Mn n e et u di dimrpime mrpime de G u v vn ne e de de p pè è e tème dnve d nvein in e p I ut de dmnte ue et injetve t G Penn une ube y te u G d'ne t vnt n 1 '(1) 1 b 1 . pè me p rp e ett rp yt) y(t y- 1 p e y ' 1 · 1 uppn ue t èe de ebn v a · ! + h et e e -deu entîne r O X X Y Y dn [X X X et [Y ] puiue et ne e duent p à eu eu veteu nvnt nt pt p eu e de ttn n X et pptnne à X et Y à Y Puue et ntmtiue nt mtiue 9 p 9 v X Y Cmme Cmme X et Y nt tn tnu u e e mp mpue ue v = O n et netve dn bieve pè e me dinvein e i eite dn un vine uvet V de te ue V it un un vne v ne uvet de / n vu ue rp ( V) G H. ntn ue e ett un uvetem uvetem de G Puue G et nnee pp pptn tn n u puv ue G = n eet tnt un upe et tntn à ue L" p h tnt un dm dmp pme me de G v p 9 L V et un vine uvet de h ntenu dn H Cette tntn à ue p un ment h O nevnt ement ement dtne eudenne dne dn e u nd en n n vt ue et em
�
T
T
o o o o v oo o o o o o o oo o oo z v(
T o v o o
T
oe - ne mtde mie pemet de dmnte mpt de upe ue te O (2 k + k O
BBLOGRA
of Mechanics éd am am Nw Y 1 BRAHAM M ARS J Foundations of Equations tions d dérent iell ordinaires Mr M 9 ROD -� Equa Cours Cou rs de ca calc lcul ul dére érentiel ntiel 2e éd ma ma a, a, 9 ARA Theory oordinary o ordinary dfeen INO A VO N eentia tia!! equati equa tion ons s M r aw
Nw Yr Yr 9 Eléments éments d'an d'analyse alyse tome DOÉ J El a ar, 196
Fondements de lanalyse moderne ati
matrices rices ha, Nw Yr 99 AMA A MACH CHR R . he the0y of mat equations dynamical systems and linear alg RCH M. W t MA Dferentia
Aadm Nw Yr 19 Géométri étriee d dr rent entielle ielle intr intrinsè insèque que rma ar 9 AAV Géom po/oy y from t he d d fere erentiable ntiable po p o i n t of vi view ew vr Pr rga O OR J J - opo/o a 96 Flos rt LO Topics in dyamis rt ry r 196 rent entiell ielles es ord ordinaires inaires Ma ar 19 OCH N M AWHI J . Equations dr ca/cu/us of of variatio variations ns and and optimal control theory 2 e éd OlN . Lectures on the ca/cu/us ha Nw Yr 190
1
NDEX ALPHABÉTQUE DES MATRES Aroemet (théorème e) 18 1 9. Aroemet Aember méthoe e), 69 Aaté Appato a a ue ue omme omme re rete te 14 14 é é n nee u r ue om omme me re rete, te, 39 ér ére et tab abe e,, éretabe éretabe etre ou-aré ou-arété, té, 99 étae, 26. éare tagente, 100. tr trteme temett moo mootoe toe,, 130. tan tange gete, te, 14 38 1 1 5 Area (théorème ), 74
Equato éretee autoome, 71 éare ae eo membre, 65 é éare are o or rre re 66 éa éar ree homo homogè gèe e,, 6 1. né néaar ree oeet otat 52 55. 35. Epae (; Epae e hae 55. Epae taget 97. Euer-agrage (éuato ), 109 Expoetee, 47 77 Expoat aratértque, 139. Extémae 108 Extremum (reat, é) 02.
Baah (théorème e), 125
Foquet (théorème e), 138 Foton e eaer, 22. mpt mpte e (théor (théorème ème e), e), 30. 30. p pat atea eau u 46. ré rég gée ée,, 23. 23.
Carte oae 83. Chagemet e arabe (théorème u) 7 Champ e eteur, 70 Champ e eteur ompet 78 Cae , , 12 12 . 33 33. ", Compeato u e rée 54 Compoto apato éretabe, 4 37 100 onugao, 82 83 Cougao a e groupe e éomorphme 90. Cooonnée oae), 8 84 Courbe ntégrae, 70 ourbe, 106.
Dem-pa e Poar Poaré, é, 1 1 5 Déomorphme, 26 100. Déomorphme oa, 84. Dérentabté a u ouert 12. an 12.. 12 Déretato ou e ge omme, 106 Dére D éret tee ee,, Déretee D éretee partee, 15 39 e eo o e, e, 33 33.. oorre n Du Bo Remo (emme e), 108. Do (epoeee ), 62.
Emato e ramètre, 71 u em em 0. 0.
)
Gâteaux (érée e), 35. Géérateur u groupe 80 Germe e groupe u paramètre 81. Graen Gronwa (emme e) 74 Groupe u paramètre aut automor omorphm phme e néare, néare, 49 e éomorphme 80 Groupe orthogoa� 95 99 142 Groupe unmouare 95 99
Haamar-é (théorème e), 131 Hamto (éuato e) 71. amto-Cae (théorème e), 134. Heen 87 Intégrae une onton régée 23 tégrae premère, 78 92 Iarane u omae (théorème 30 Iere u éomorphme, 38 39 Iero oae (théorème ), 27 100. Jaoboue (théorème e) 64 agrangen, 106 agrange agrang e arat par u u éomorph éomorphme me 1 1 5 agrange réguer, axMgram (emme e 131 eture a une arte, 84.
X ÉQ
ibiz (frmul d) 15, 36 iui (éèm d) 68 Liapu (érèms d) 38 Lipscizi (applicai) 29, 72
7
Maric jacbi 1 2 Maxmum (miimum) rlai Mr Mr Pal Palais ais (lmm d) 87 Muiplicaur d Lara 103
Nw (méd d) 28 r (érèm d) 6 Nmbr caracérisiqu 37 rm 20 Nau ésvat 62
Opéraur d mdrmi 37 Oscillaur armiqu 55 58 66 71 Paramérisai 83, 8 8 Pi P i criiqu criiq u du du camp camp d c cur ur 9 d'u d'u ci ci 8 8 déé dééé éré ré 8 8 Plôm di diéril 56, 68 Primii du fci rélé, 2 Priip d midr aci 2 Prdi éal 59
Ra csa (érèm du) 86 Ra d a diféti 86 Rdrssm (érèm du) 9 Réduci au prmir rdr 55, 56 66 71 Résla 62 63 Rêm 133 Sard (érèm d) 2 Scwar (érèm d) 34 35 Sui maxima 53 73 Susariéé différiabl Smplciqu (frm u spac) 64 7 99 Ssèm fdamal d sluis 52 62
Talr 42 f frm rmul ul d d 41 42 43 réciprqu d a frmu d 43 séri d Térèm fdamal du calcul iéral 24 Trac du applicai différiabl, 1 2 Valur réulièr 95 95 Variai ds csas (méd d) 65 Wrski 67
ASSO Edtur S-rma a d S-rm 758 Par Par Cdx 6 Dôt la : mar 98
JUV 8 ru Sat-D 75 r 696 Dpt l rr 98
ei îie e éie e iiée D E U O N N É et P MALAVN AGÈB Cours
LGÈBR LI NAIR GOËR G OËR CASSQU Execices, M RTN M.P MALLAVN WARSFEL
par et 1981 148 paes
parr pa et 1981 128 paes
S GROS NS URS RSN RSNA A l O S OXS
Cous MP MALLAVIN
Execices, ZVI VYRH
pa 1981 96 paes
pa et 982 18 paes
ANAYS NGRAION ROBABIIS ANALS O U R I R E ANAYS SECRAL Execices, Cous A P MAAV
pa 2 152 paes
pa 1982 2 paes
ALCU RNL
Cous,
par V 1 5 2 paes
pa r
Execices MABSO
paraître
Le calcul difféentel est sans doute avec l'algèbe linéaie la patie de s Mathématiques la plus sollicitée pa les utilisateus (Physiciens. Mécaniciens ou autes) : echeche et étude des solutions des équations diffé diff éen entielles tielles calcul des vaiations Il set également de base à de nombeuses théoies mathématiques géométie et topologie difféentielles équations aux déivées patielles Issu d'un cous enseigné à lUnivesité PARIS VI et à lUnivesité de PALERME ce live expose les fondements du calcul difféentel dans une pespective moden cest-à-die libéée du ecous systématique a coodonnées Le texte est illusté dexemples concets empuntés le plu souvent à la Mécanique La mati matièe èe de cet cet ouvage peut êt ête e enseignée dans un cous semes de sec second ond cycle et ête ête utile pou l a pépa pépaati ation on au concou concous s de l Ag gation SB
