CENTRO DE ENSEÑANZA TÉCNICA Y SUPERIOR
Escuela de ingeniería.
Calculo Multivariable
Proyecto final “Derivación parcial y multiplicadores de Lagrange”
Presentan: Esteban Beltrán Martínez 19286 Edgar Mauricio Díaz López Jiménez 19257 Miguel Ángel Gasca Díaz 19499 Ulysses Emilio Vázquez Félix 19981 Albert Sanchez 19824
Tijuana, B.C., 5 de diciembre del 2013.
Introducción
A lo largo de la historia, la curiosidad ha llevado al ser humano a explorar hasta los rincones menos esperados, alcanzando desde hace ya algunos años lugares que están fuera de nuestro mundo y que en el pasado se pensaban inalcanzables. La carrera espacial que se inició durante la guerra fría entre la extinta Unión Soviética y los Estados Unidos abrió un nuevo mundo de investigación al que científicos han dedicado su vida entera y distintos países se han sumado. Pero, ¿Qué es lo que ha hecho posible la exploración espacial? Uno de los factores que ha sido de más ayuda es la ciencia de la cohetería. Sí indagamos un poco más en la ciencia de la cohetería nos daremos cuenta de que en realidad se necesitan considerar diversos factores para lograr poner algo en órbita. Uno de los principales problemas a los que se enfrentan los ingenieros es el hecho de que sale muy costosa la producción de un cohete que impulsará algún objeto al espacio, por ende les resulta más económico producir un cohete con la menor masa posible, pero que garantice que será capaz de atravesar la atmósfera terrestre. Tenemos que entonces tener en cuenta variables tales como la masa, carga útil (como lo son la tripulación y el combustible) y la velocidad que deben alcanzar los motores que impulsarán el cohete en cuestión. Numerosos cohetes están diseñados para usar tres módulos en su ascenso al espacio. Un primer gran módulo impulsa inicialmente el cohete hasta que se consume su combustible, y en este momento el módulo es expulsado para reducir la masa del cohete. El segundo y el tercer módulo, más pequeños, funcionan de modo semejante para poner la carga útil del cohete en órbita alrededor de la Tierra. La meta en este caso es determinar las masas individuales de las tres etapas que se tienen que diseñar para minimizar la masa total del cohete para que pueda alcanzar la velocidad deseada.
Desarrollo
Primero, es importante establecer una ecuación que permita calcular la velocidad final que alcanzará el cohete. Para ello es necesario apoyarse de la siguiente modelación matemática que nos indica el cambio de velocidad resultante de la aceleración para un cohete de un solo módulo que consuma combustible a una razón constante:
() donde:
es la masa del motor del cohete, incluyendo el combustible inicial, es la masa de la carga útil, es el determinado por el diseño del cohete (específicamente, es la factor estructural
razón entre la masa del cohete sin combustible y la masa total del cohete con carga útil),
es la velocidad (constante) de escape con respecto al cohete. Aquí es importante considerar que la masa del cohete irá disminuyendo conforme se expulsan los módulos. Además, se puede suponer que
y son constantes
y por lo tanto se debe considerar inicialmente que la masa del motor del cohete tiene masa
y su carga útil una masa = ; esto se puede generalizar
para el segundo y tercer módulo.
Dado que el cohete a analizar consta de tres módulos, se puede inferir que el cohete alcanzara su velocidad final al expulsar los tres módulos que lo impulsan. Dicha velocidad final se alcanzará al sumar los incrementos de velocidad que se generen en cada etapa (cada que se desprenda un módulo termina una etapa), se puede expresar matemáticamente de la siguiente manera:
Ya que se conoce como varía la velocidad en función de la aceleración y la masa, se pueden desarrollar las ecuaciones propias de cada etapa. Inicialmente el motor del cohete tiene una masa
y una carga útil = . Al sustituir en
la ecuación [1], se obtiene el incremento de la velocidad en la primera etapa:
) ( ( )
Ahora simplemente se desarrolla la ecuación algebraicamente:
() () ] [ ] [ Aplicando propiedades de los logaritmos:
( ) ( ) ( ) ( ) [ ] 3 Para la segunda etapa se considera la masa del motor del cohete y se desprecia el valor de , dado que dicho módulo fue expulsado al finalizar la etapa anterior, entonces la carga útil sería . De igual manera se sustituye en la
ecuación [1] para obtener el incremento de velocidad en la segunda etapa:
() (() ) () () [ ] [ ] Aplicando propiedades de los logaritmos:
( ) ( ) ( ) ( ) [ ] 4
Al último se considera la etapa tres, que consta de una masa del motor
y una carga útil . Igual que los casos anteriores, se sustituyen estos valores en la ecuación [1] y se procede a hacer el desarrollo algebraico:
() () () [ ] () ] [ Aplicando propiedades de los logaritmos:
( ) ( ) ( ) ( ) [ ] 5
Por último, al sustituir las ecuaciones [3], [4] y [5] en la ecuación [2], se obtiene una expresión para calcular la velocidad final:
] [ ][ ] [ [ ] 6
La expresión anterior nos servirá para poder calcular la masa mínima de los módulos sujeta a la restricción de alcanzar la velocidad final deseada (Ecuación
6).
Para realizar dicho cálculo nos podemos apoyar del método de multiplicadores de Lagrange. Sin embargo, resulta complicado aplicar dicho procedimiento debido a la extensión y complejidad de las ecuaciones obtenidas. Por tanto es recomendable utilizar variables de sustitución que reemplacen lo obtenido dentro de los logaritmos de la
ecuación que modela la velocidad final. Para la aplicación del método, llamaremos entonces a dichas variables de la siguiente manera:
7 8 9 Sustituyendo entonces en la ecuación de la velocidad final [6], obtenemos:
( ) [10] Primeramente es importante decir que, para minimizar la masa, debemos tener ciertas consideraciones. Si damos un vistazo a la ecuación que plantea la velocidad final [10], se puede notar que se está tratando con variables en términos de N i, por tanto ahora nos correspondería expresar la masa de los módulos en términos de
, dicho proceso
no es tan sencillo, p ara esto se debe establecer una relación entre la masa “M” y la carga útil “A”.
Se procede a generar una expresión teniendo en cuenta algunas
consideraciones, la masa mínima puede tomar el valor de 0 (no existen masas negativas) y que la carga útil siempre debe ser mayor que 0 (no se considera enviar 0 carga útil al espacio). Por tanto podemos establecer que:
La expresión anterior cubre todos los requerimientos antes explicados, ya que el logaritmo natural de esa expresión en su valor mínimo es igual a cero al igual que si redujéramos la masa a cero. Para esta parte de nuestro problema se considera la masa de los módulos como:
Del mismo modo, debemos expresar la masa de los módulos en términos de nuestras nuevas variables N i. Después de un cálculo matemático en el que se considera la masa y la carga útil del cohete, se llegan a obtener las siguientes expresiones que relacionan la masa de los módulos con su carga útil:
() 3 () 4 () 5 Para demostrar las igualdades anteriores, se debe sustituir el valor de las variables auxiliares N i en las mismas, el valor de estas variables fue dado por la ecuación de la velocidad final [6]. 1) Al remplazar N1 en la ecuación [13] tenemos:
( ) ()
Aplicando algebra encontramos entonces que:
() ()( ) * + ()( ) ( ) )( ) ( ( ) )( ) ( )( ) ( )( ) ( ()( ) Por último, eliminando factores, queda demostrada la igualdad:
( )
2) Ahora se procede a demostrar la ecuación [14] aplicando el mismo procedimiento:
() () )( ) ( + * ()( ) ( ) )( ) ( ( ) )( ) ( )( ) ( ) ()( ()( ) Quedando demostrada la igualdad:
( )
3) Por último se procede a demostrar la igualdad planteada en [15] haciendo uso del mismo procedimiento:
() () ()( ) * +
()( ) ( ) ) ()( ( ) ()( ) ) ( )( ) ()( ()() Por lo tanto queda demostrada la igualdad:
() A continuación se procede a generar una ecuación que relacione las masas de los módulos y la carga útil con las variables N i. Teniendo que se debe transformar la expresión
en términos de y tomando en cuenta las ecuaciones [11] y [12] se
procede a manipular algebraicamente nuestra expresión de manera que los factores queden ordenados a nuestra conveniencia para poder sustituirlos con las expresiones que relacionan la masa de los módulos con las variables el procedimiento:
. A continuación se muestra
()() Como se aprecia en el procedimiento anterior, se multiplicó por 1 dos veces modificando los factores a conveniencia.
Dada la información de [13], [14] y [15] se pueden sustituir los factores de la siguiente manera:
()()() () 6 ()()() Con la expresión anterior ahora tenemos la masa de los módulos y la carga útil
, ahora sí nos es viable aplicar el método de multiplicadores de Lagrange, no hay que olvidar que la ecuación 6 solamente puede relacionadas en términos de
ser reducida a cero si se le aplica el logaritmo natural. Por lo tanto, se aplican logaritmos para que la función cumpla con las condiciones de que A > 0 y que la masa no sea negativa:
( ) ()()() A continuación se procede a demostrar que () se minimiza en el mismo lugar que la masa total . Para ello debemos considerar que el cohete debe alcanzar la velocidad final , la cual será la restricción para aplicar multiplicadores de Lagrange. De este modo, consideramos las siguientes ecuaciones:
() () 7 () () 8 () () 9 () () () Ahora se procede a utilizar propiedades de los logaritmos para simplificar la ecuación [17]:
() () ()()() () ()()() 3()()()() ()()()
3()()()() () () () Para la ecuación de restricción se aplica el mismo procedimiento:
() ( ) () ()()() 3 Se calculan las derivadas parciales de ( ), que implica derivar
respecto a cada variable la ecuación [22]:
( ) ( ) 4
( ) ( ) 5
( ) ( ) 6
Se calculan las derivadas parciales de
()
( ) 7
( ) 8
( ) 9
Ahora, simplemente se aplican Multiplicadores de Lagrange para obtener el sistema de tres ecuaciones:
() () ()
3
() () ()
3
() () ()
3
Posteriormente es necesario resolver el sistema, pero si se igualan las ecuaciones [30], [31] y [32], es posible aproximarse a una solución:
∴ 33
en términos de la velocidad final: ( ) ( ) (3) 3() () 3
Después se despejan los valores de
Finalmente la masa mínima que requiere el cohete está dada por la siguiente ecuación:
34
Regresando a la expresión dada por la ecuación [16]:
() ()()() y sustituyendo dados en el procedimiento anterior por la ecuación [34]
podemos obtener lo siguiente:
( ) ()
Quedando de esta forma queda relacionado el valor mínimo de M con la velocidad final:
( ) 35
Finalmente para recapitular todo el proyecto se procederá a resolver un ejercicio con una aplicación práctica: Si se desea poner un cohete de tres módulos en órbita a 100 millas sobre la superficie de la Tierra, se requiere una velocidad final de aproximadamente 17 500 millas/hora. Suponga que cada etapa se construye con un factor estructural una velocidad de escape de
6 millas/hora.
. y
a) Encuentre la masa M total mínima de los motores del cohete como función de A. b) Encuentre la masa de cada módulo como función de A (Los tres tienen tamaños diferentes). Primero se debe encontrar la masa mínima y para ello se empleará la ecuación [35]:
() Después, se sustituyen los valores en la ecuación y se obtiene el valor de M en términos de A:
((.)) () ()
((.) ) 4654863) .(9.4645756 788494954) (..94645756 9.4 89.4
Ahora se considera la masa de cada módulo como función de A y para ello será necesario apoyarse de las siguientes ecuaciones:
7
8 9 34 Como se puede apreciar, es mejor iniciar con debido a que cuenta con menos
variables:
() (.) .64(.) .53 .64 .47 .64 ..4674 3.49 Posteriormente se procede a encontrar : 3.49 3.49 4.49 () 4.49 .64(. 4.49) 4.49 .53 .85 4.49 .53 4.49.85
.53 7.36 36 .7.47 5.6
Finalmente se encuentra
:
. 5.63.49 5.63.4 . () . . .64(. .) . .53 53.64 . .53 .53.64 .47 3.964 964 3. .47 7.3
Otro problema de aplicación que se puede plantear para mostrar el modo de empleo de las ecuaciones obtenidas, y basados en los datos del ejemplo anterior, es el siguiente: “Si el mismo cohete requiere una velocidad de 24700 millas/hora para librarse
de la Tierra, encuentre la masa de cada una de las etapas que minimizaría la masa total de los motores y que permita impulsar una sonda de 500 lb hacia el espacio.”
Para resolver este problema de aplicación, se debe comenzar a resolver a través de las ecuaciones que relacionan la masa con las variables auxiliares N i. Utilizando [9], [10] y [11] y los valores de número de variables):
tenemos (se comienza con
M 3
debido al menor
Para M 3:
5 () . 5 3.944(. 5) 5 .788 97.5 5 . 47.5 5 47. . 6 943.63
Para M 2:
6943.635 () . 6943.635 3.944(. 7443.63) 7443.63 .788 9357.67 7493.63 . 864.4 . . 3 3.64
Y finalmente M 1:
6943.6333.645 () . 6943.6333.645 3.944(. 575.884) 575.884
.788 436.873 575.884 . 35535.43 43 35535. . 535 544.354
Conclusión
Diversos factores son los que se deben considerar a la hora de lanzar un cohete al espacio, podemos darnos cuenta entonces que variables como la masa, la carga útil, el factor estructural y la velocidad final cobran vital importancia. El poder comprender como es que estas variables se relacionan permite entonces realizar estimaciones sobre las magnitudes necesarias para lanzar un cohete en órbita. Aplicar Lagrange para la solución a este problema fue el método más viable, solo se requirió adaptar las ecuaciones (tanto la principal como la de restricción) a términos de variables auxiliares que simplificarían la aplicación del método. Otra parte vital para el desarrollo de la problemática fue la interpretación de la relación entre masa y carga útil como una función logarítmica, ya que esto facilito la asimilación de las expresiones y dio pie a plantear las ecuaciones que generalizan la situación. A través de la realización de los problemas de aplicación, se puede demostrar que las expresiones encontradas sirven para representar problemáticas que se relacionen con la puesta en órbita de cohetes de tres módulos en este caso, quedando así generalizada la situación.
