Problemario Parte I 1.
Calcule f g h; f(x)= x4 + 1, g(x)= x – 5, h(x)=
2.
Exprese las siguientes funciones en forma f g F(x)=
3.
G(x)=
Exprese las siguientes funciones en forma f g h: 4.
H(x)=
5.
Si f(x) = 3x + 5 y h(x)= 3x 2 + 3x + 2, deduzca una función , tal que f g = h
Trace la gráfica de la función
6.
de los siguientes limites: a)
b) c)
7.
8.
9.
Determine los siguientes límites:
10.
y defina el valor de cada uno
Determine las asíntotas horizontales y verticales de cada curva. Compruebe su trabajo graficando la curva. 11.
H(x) =
12. F(x)=
Halle los límites cuando x y x -. Con esta información y las coordenadas al origen, forma un esquema aproximado de la gráfica de las funciones siguientes. 13.
Y= (x + 5)5(x - 3)4
14.
Y= x2(x - 2)(1 - x)
15.
Determine
Explique porque cada una de las funciones siguientes es discontinua en el punto citado. Trace la gráfica de la función. 16.
F(x)=
17.
F(x)=
18. Determine
a= 1
a= 3
los puntos en que f(x) es discontinua y trace su gráfica.
F(x) =
19. ¿Para
F(x) =
20.
que valor de la constante c la función f es continua?
Halla los valores de c y d para los que h es continua H(x) =
Problemario Parte II
1.
Calcula la derivada para cada una de las siguientes funciones: a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
u)
v)
w)
x)
2.
Cuando se considera el flujo de sangre por una arteria, cabe suponer que dicha arteria es un tubo cilíndrico de radio R y longitud L. Debido a la fricción con las paredes del vaso, la velocidad x de la sangre es máxima a lo largo del eje central del tubo y disminuye cuando aumenta la distancia r del eje, hasta que se vuelve 0 en la pared. La relación entre v y r se expresa mediante la ley de flujo laminar, que establece que
En que
es la viscosidad en la sangre y P la diferencia
de presión entre los extremos de la arteria: Si P y l son constantes, es función de r y su dominio es [0, R]. Encontrar: a) La ecuación de rapidez instantánea del cambio de la velocidad con respecto a r b) La velocidad a la que fluye la sangre en r= 0.002, =0.027, R=0.008, l= 2, y P=4000 (considere que las unidades son consistentes c) El gradiente de velocidad en r= 0.002
3.
Si se mantiene una sustancia a una temperatura constante, su volumen, V, depende de su presión, P. Además, la compresibilidad isotérmica se define como
. Se encontró que el volumen V, en metros cúbicos, de una
muestra de aire a 25°C se relaciona con la presión P, en kilo pascales, de acuerdo con la ecuación
. Encuentre:
a) La rapidez del cambio de V con respecto a P, cuando P=50 kPa b) La compresibilidad en ese punto
4.
La ecuación de movimiento s= f (t) = t 2 -8t +9 expresa la posición de una partícula. En dicha expresión, t se dan segundos y s en metros. Calcule la velocidad y la rapidez a los 2 segundos.
5.
Un modelo matemático para estudiar la variación de la población mundial P ha supuesto que la misma esta expresada por P (t)= , con P en miles de millones de personas y t en años. Tomando t= 0 en el año 1987, a) Calcula la tasa de variación instantánea de la población en el año 1987 b) Calcula la población prevista para el año 2005 y la tasa de variación de ese año c) ¿En que tiempo se duplicaría la población existente en 1987 y cuando alcanzaría los 15,000 millones?
6.
La población P de una colonia de bacterias con espacio y alimentos ilimitados, varia con el tiempo de acuerdo a la expresión : P (t)=Ce Kt con C y K constantes, t en horas y K en 1/hora. a) Si en el instante inicial t= 0 la población era de 1000 bacterias y al cabo de 1 hora la misma se duplicó, determina los valores de C y K b) Encuentra la velocidad v de crecimiento de la población en función de t y determina el instante de mínima velocidad c) Calcula la población al cabo de 2 horas y la velocidad de crecimiento en ese instante.
7.
Para cada una de las siguientes funciones, deduce la ecuación de la recta tangente y la recta normal para el punto dado. a) Y= x2 en el punto P(1,1)
b) Y = 3/x en el punto P(3,1)
c)
d)
e)
en los puntos (1/2, 2), (3,3) y (5, √13)
, P(0,4)
, P(1,-2)
8.
Si f(x)= ax3 + bx2, determine a y b de modo que la grafica de f tenga un punto de inflexión en el punto (1,2)
9.
Grafique las siguientes funciones indicando máximos y m ínimos, puntos de inflexión, asíntotas e intersecciones con los ejes. a)
b)
c)
{
d)
{
Problemario Parte III
Calcule las derivadas parciales indicadas: 1.
F(x,y) = 2x3y + 5x2y2 - 3xy2 a) F121(x,y) b) F211((x,y)
2.
F(x,y,z)= a) Fxz(x,y,z) b) Fyz(x,y,z)
3.
F(w,z)= w2 cos a) F121(w,z) b) F212(w,z)
4.
G(r,s,t) = ln (r 2 + 4s2 - 5t2) a) G132(r,s,t) b) G122(r, s,t)
5.
Calcule la pendiente de la recta tangente a la curva de la intersección de la superficie z= x 2+y2 con el plano y= 1 en el punto (2, 1,5). Dibuje la curva e intérprete está pendiente como una derivada parcial.
6.
La temperatura en cualquier punto (x, y) de una placa delgada es T grados, donde
. Si la distancia se mide en centímetros, calcule la
tasa de variación de la temperatura con respecto a la distancia recorrida a lo largo de la placa en las direcciones positivas del os ejes x y y, respectivamente, en el punto (3,1)
7.
Para la función
calcule:
a) F2(x,0) si x0 b) F2 (0,0)
8.
Si S metros cuadrados es el área de la superficie del cuerpo de una persona, entonces una fórmula que proporciona el valor aproximado de S es S= 2W 0.4H0.7 donde W kilogramos es el peso de una persona y H metros es la altura de una persona. Calcule intérprete los resultados.
Calcule la diferencial total dw 9.
W= 4x3 - xy2 + 3y – 7
cuando W= 70 y H=1.8, e
10. W=
x cos y – y sen x
11. W=
ln(x2 + y2 + z2)
12. W=
xtan-1z -
Demuestre que f es diferenciable en todos los puntos de su dominio realizando lo siguiente:
a) Calcule f(x0,y0) b) Determine 1 y 2 de modo que se cumpla la ecuación. c) Demuestre que las 1 y 2 determinadas en el inciso b tienden a cero conforme (x,y)(0,0) 2 13. F(x,y) = x y – 2xy
14.
Un contenedor tiene la forma de un sólido rectangular y tiene una longitud interior de 8, un ancho interior de 5 m, una altura interior de 4 m y un espesor de 4 cm. Emplee la diferencial total para aproximar la cantidad de material necesario para construir el contenedor.
15. Determine
aproximadamente, utilizando la diferencial total, el mayor erro r al calcular la longitud de la hipotenusa del triangulo rectángulo del ejercicio 36 a partir de las mediciones dadas. También obtenga aproximadamente el mayor error relativo al calcular P
16. La
s=
gravedad especifica s de un objeto está determinada por la formula donde A libras es el peso del objeto en el aire, y W libras es el peso
del objeto en el agua. Si el peso de un objeto en el aire es de 20 lb con un error posible de 0.01 lb y su peso en el agua es de 12 lb, con un error posible de 0.02 lb, calcule aproximadamente el mayor error posible al determinar s a partir de estas medidas. También calcule el mayor error relativo posible.
17. Sean
u= 9x2 + 4y2, x= r cos , y= r sen . Calcule
a) Primero exprese u en términos de r y b) Emplee la regla de la cadena
en dos formas:
18.
Para u, x, y y dadas como en el ejercicio anterior, calcule formas: c) Primero exprese u en términos de r y d) Emplee la regla de la cadena
19.
en dos
En un instante dado, la longitud de un cateto de un triangulo rectángulo es de 10 cm y crece a la tasa de 1cm/min, y la longitud del otro cateto es de 12 cm y decrece a una tasa de 2cm/min. Calcule la tasa de variación de la medida del ángulo agudo opuesto al cateto de 12 cm en ese instante.
20. Una
cantidad de gas obedece la ley del gas ideal con k= 1.2 y el gas está encerrado en un recipiente que se calienta a una tasa de 3°K/min. Si en el instante en que la temperatura es de 300°K, la presión es de 6 atm y decrece a la tasa de 0.1 atm/min, calcule la tasa de variación del volumen en ese instante.