Taller: Taller: Módulos de apoyo para las asignaturas propedéuticas de la Facultad de Ingeniería de la UAEM, con la TI Voyage. Voyage. Eugenio Díaz Barriga Arceo, José Ismael Arcos Quezada Facultad de Ingeniería, UAEM e-mail: eugeniu!"otmail#com eugeniu!"otmail#com,, ismael$arcos!msn#com %esumen: El &resente taller tiene como &ro&'sito desarrollar m'dul m'dulos os au auili iliare aress &ara &ara di(ers di(ersos os c)lcul c)lculos os *ue a&arec a&arecen en +recuentemente en las asignaturas de eometría Analítica, )lculo In+initesimal . )lculo Multi(aria/le de la Facultad de Ingeniería de la UAEM# ontar con un recurso de ésta índole índole en el sal'n de clase clase &ermite &ermite en+ocar las acti(idade acti(idadess a dar m)s es&acio al &lanteamiento . resoluci'n de &ro/lemas0 adem)s el estudiante &uede recurrir a él como un tutor al cual consultar durante su estudio en casa# Introducción.
1as siguientes acti(idades tienen como marco los cursos *ue se o+recen en las materias &ro&edéuticas de la Facultad de Ingeniería de la UAEM# 2e a&ro(ec"an de manera nota/le las +acilidades de c)lculo, tanto sim/'lico c'mo numérico, con *ue cuenta la 3I 4o.age# .age# 3í&ica 3í&icamen mente, te, al tra/a tra/a5ar 5ar desde desde una &ers&e &ers&ecti cti(a (a (ector (ectorial ial los cursos cursos de eometría Analítica . )lculo de una . (arias (aria/les, &ermiten agilizar los c)lculos *ue de otra +orma se lle(an muc"o tiem&o de aula ., a (eces oscurecen la discusi'n &rinci&al del modelo, modelo, &ro/lema o e5ercicio e5ercicio *ue se "a &lanteado &lanteado en el aula# aula# Adem)s, se "a cuidado *ue las acti(idades generen comandos *ue la 3I 4o.age no tenga de antemano construidos, con el o/5eto de o+recer un cam&o donde el estudiante &ueda ir estructurando sus &ro&ias "erramientas seg6n sus necesidades necesidades de c'm&uto# 2e a/ordan desde o&eraciones como el &roducto interno de dos (ectores 7*ue &ueden ser tam/ién +unciones (ectoriales8, )ngulo entre (ectores, longitud de arco &ara +unciones (ectoriales, cur(atura e integrales do/les . tri&les# 2e es&era *ue las "erramientas se etiendan "acia otras necesidades 7&roducto eterno (ectorial, trans+ormadas integrales, soluci'n de ecuaciones di+erenciales de &rimer orden, etc#8
Actividad: nora de un vector, vector, !ngulo entre vectores real realiz izaa la sigu siguie ient ntee acti( acti(id idad ad aui auili li)n )ndo dote te de la calc calcul ulad ador oraa 3I 49AE, em&leando los comandos *ue se encuentran en los men6s de )lculo 7F;8 . 9tros 7F<8# Instrucciones:
=# "ora de un vector. Em&leando el m'dulo de )lculo, constru.e un comando 7ll)malo &or e5em&lo norm3d(a, b, c) 8 *ue nos entregue la norma de un (ector de tres com&onentes: norm;d 7 a, b, c8 = a > + b > + c > ># #roducto punto de dos vectores. onstru.e a"ora un comando 7ll)malo &or e5em&lo pint(a, b, c, d, e, f) 8 *ue nos entregue el &roducto interno de los (ectores (a, b, c) . (d, e, f): p int7a, b, c, d , e, f 8 = a ? d + b ? e + c ? f ;# $ngulo entre dos vectores. Em&leando los dos comandos *ue "as construido, "a/ilita en la calculadora un comando *ue nos entregue el )ngulo entre dos (ectores 7ll)malo &or e5em&lo angvect(a, b, c, d, e, f) 8: angvect 7 a , b, c, d , e, f 8 = cos −= 77 p int7 a , b, c, d , e, f 88 @7 norm ;d 7 a , b, c 8 ? norm ;d 7 d , e, f 888 Una (enta5a de los comandos *ue "emos creado es *ue nuestras com&onentes &ueden ser +unciones *ue de&endan de alg6n &ar)metro 7&or e5em&lo del &ar)metro t 8# E%ploración de los coandos de&inidos. 4amos a e&lorar la &otencia de los comandos recién de+inidos# =# alcula la norma de los (ectores siguientes: a# 7=,>,-=8 /# 7t, >t, -t8 c# 7<,, =-t8, en t C, =, -> d# >t?7>,;,8, t ar/itrario# ># alcula el &roducto interno entre las siguientes &are5as de (ectores: a# 7=,>,;8 . 7>, ->, C8 /# 7<,C,=8 . 7;,-=,>8 c# 7>t, t->, =@t8 . 7>,;,->8 ;# alcula el )ngulo entre las siguientes &are5as de (ectores: a# 7=,=,=8 . 7=,C,C8 /# 7>,>,>8 . 7=,=,C8 c# 7=,C,=8 . 7C,=,=8 d# 7C,=,>8 . 7C, ;,<8 e# 7t, >t, ;t8 . 7t-=, >t-=, ;t-=8
Actividad: longitud de arco y reparaetri'ación. realiza la siguiente acti(idad auili)ndote de la calculadora 3I 49AE, em&leando los comandos *ue se encuentran en los men6s de lge/ra 7F>8, )lculo 7F;8 . 9tros 7F<8# Instrucciones:
=# (ongitud de arco. Em&leando el m'dulo de )lculo, constru.e un comando 7ll)malo &or e5em&lo longarc(x, y, z, t, a, b) 8 *ue nos entregue la longitud de arco de una cur(a &arametrizada (x(t), y(t), z(t)) desde t = a "asta t = b: b longarc 7 x, y , z , t , a, b8 = ∫ 7 x F 7t 8, y F 7t 8, z F 7t 88 dt t = a ># )eparaetri'ación. onstru.e a"ora un comando *ue "aga la re&arametrizaci'n, igualando la (aria/le s, *ue re&resentar) a la longitud de arco, con el comando anterior tomando como límite su&erior a la (aria/le t . entonces des&e5ando t en términos de s . su/stitu.endo esto en cada uno de las com&onentes: repalongar c 7 x, y , z , t , s, a 8 = H x 7t 7 s 88, y 7t 7 s 88, z 7t 7 s 88G s =
t
∫
T =a
7 x F 7T 8, y F 7T 8, z F 7T 88 dT
Actividad: radio de curvatura y curvatura. realiza la siguiente acti(idad auili)ndote de la calculadora 3I 49AE, em&leando los comandos *ue se encuentran en los men6s de lge/ra 7F>8, )lculo 7F;8 . 9tros 7F<8# Instrucciones:
=# )adio de curvatura. Em&leando el m'dulo de )lculo, constru.e un comando 7ll)malo &or e5em&lo rcurv(x, y, z, t)8 *ue nos entregue el radio de cur(atura de una cur(a &arametrizada (x(t), y(t), z(t)): rcurv 7 x, y , z , t 8 =
rcurn 7 x, y , z , t 8 rcurvd 7 x, y , z , t 8
donde se de+inan &re(iamente: ;@ >
dx > dy > dz > + + rcurn 7 x, y, z , t 8 = , dt dt dt >
dg d > h dh d > g rcur =7 g , h, t 8 = ⋅ > − ⋅ > . dt dt dt dt rcurd 7 x, y , z , t 8
=
7 rcur =7 y , z , t 8
+ rcur =7 z , x, t 8 + rcur =7 x, y, t 88
># *urvatura. onstru.e a"ora un comando *ue "aga el c)lculo de la cur(atura de una cur(a &arametrizada (x(t), y(t), z(t)): curv 7 x , y , z , t 8
= = @ rcurv 7 x , y , z , t 8
Actividad: Integrales do+les y triples realiza la siguiente acti(idad auili)ndote de la calculadora 3I 49AE, em&leando los comandos *ue se encuentran en los men6s de )lculo 7F;8 . 9tros 7F<8# Instrucciones:
<# Em&leando el m'dulo de )lculo, constru.e un comando 7ll)malo &or e5em&lo dbint(f, x, y, a, b, c, d) 8 *ue nos entregue la integral do/le de una +unci'n f(x, y) , con inter(alos de integraci'n [a, b] &ara x, [c, d] &ara y# En la de+inici'n de tu comando las integrales se (an a anidar sucesi(amente, de modo tal *ue re+le5e el c)lculo siguiente: db int7 f , x, y , a, b, c, d 8
b d dx = ∫ x =a ∫ y =c f 7 x, y 8 dy
# Em&leando el m'dulo de )lculo, constru.e un comando 7ll)malo &or e5em&lo triint(g, x, y, z, a, b, c, d, e, f) 8 *ue nos entregue la tri&le integral de una +unci'n f(x, y, z), con inter(alos de integraci'n [a, b] &ara x, [c, d] &ara y, [e, f] &ara z # b d f g 7 x, y, z 8dz tri int7 g , x, y, z , a, b, c, d , e, f 8 = ∫ ∫ dy dx x = a y =c ∫ z =e Una (enta5a de los comandos *ue "emos creado es *ue nuestras (aria/les de integraci'n son mudas# 9tra (enta5a ser) *ue &odremos intercam/iar tam/ién el orden de integraci'n# Adem)s se &ueden a&ro(ec"ar &ara calcular integrales en di+erentes ti&os de coordenadas, tan s'lo multi&licando &or el +actor adecuado al integrando corres&ondiente# E%ploración de los coandos de&inidos.
4amos a e&lorar la &otencia de los comandos recién de+inidos# =# alcula con el comando &ara la integral do/le el )rea de la regi'n del &lano limitada &or las cur(as Γ = : y > = K − x . Γ > : y > = K − K x # r)+ico:
En nuestro caso, la +unci'n a integrar es f(x, y) = ! Deseamos calcular entonces:
K K− x dy dx − = K−K x dy dx 7esto ∫ x=C ∫ y =C ∫ x =C ∫ y =C
>
K− y e*ui(alentemente ∫ y = −; ∫ K − y x = K >
;
>
a&licando
simetría8
o
dy # dx
El orden de integraci'n &odemos cam/iarlo 7&rimero integrar con res&ecto de x . luego con res&ecto a y8# 9/ser(a *ue, en cada una de las integrales sucesi(as, los límites de integraci'n de la integral m)s interna &ueden *uedar en términos de la (aria/le eterna# %ealiza los c)lculos a mano . com&rué/alos con el comando de la calculadora 3I 49AE *ue "as de+inido &ara la integral do/le# 2i deseas realizar el c)lculo seg6n la &rimera o&ci'n *ue "emos enunciado, e5ecuta la línea de comando siguiente: "#((dbint(,x,y,$,%,$,s&rt(%'x))'dbint(,x,y,$,,s&rt(%'%#x),s&rt(%'x)))!
Lara la segunda o&ci'n &uedes realizar el c)lculo mediante la línea de comando siguiente: db int7=, y, x,−;,;, 7K − y M >8 @ K,K − y M >8 !
En am/os casos el resultado ser) ;># 9/ser(aci'n: cuidado con los signos 7-8 *ue utilizas &or*ue no es lo mismo usar el signo 7-8 de la tecla gris *ue el signo 7-8 de la tecla negra 7consulta el manual de la calculadora &ara conocer la di+erencia8# ># Determinar el centro de masa del s'lido "omogéneo limitado &or las su&er+icies: >
>
>
Ω= : x + y + z = =N, Ω >
>
>
>
: x + y = ; z , con z ≥ C#
r)+ico:
9/ser(amos *ue se trata del cuer&o acotado in+eriormente &or el cono Ω > : x > + y > = ;z > . su&eriormente &or la es+era Ω= : x > + y > + z > = =N # Lor la simetría del &ro/lema, sa/emos *ue la a/scisa . la ordenada del centro de masa son C0 *ue la +unci'n *ue nos da la densidad del cuer&o es g 7 x, y , z 8 = ( , con una constante &ositi(a, .a *ue el s'lido es "omogéneo# Luede a&ro(ec"arse o no la simetría del s'lido &ara "acer los c)lculos 7en la +igura se "a re&resentado el "a/er etraído la &arte contenida en el &rimer octante8# 1as su&er+icies se intersectan a la altura z >, en el cilindro x > + y > = => #
Lara atacar el &ro/lema contamos con (arias alternati(as: a8 )lculo mediante coordenadas rectangulares /8 )lculo mediante coordenadas cilíndricas# c8 )lculo mediante coordenadas es+éricas a8 )lculo mediante coordenadas rectangulares 2e &lantea la siguiente integral tri&le &ara el c)lculo de la masa del s'lido:
=>− x ) = <∫ ∫ x = C y =C =>
=N− x − y ∫ = z = ; x + y
>
>
>
>
(dz > dy dx
Lara las coordenadas del centro de masa * ( xm , ym , z m ) , se re*uieren adem)s:
=>− x =N− x − y ∫ ∫ = ) x = ∫ (xdz dy dx , x = − => y = − =>− x z = x + y ; =>− x =N− x − y => ∫ ∫ = ) y = ∫ (ydz dy dx , . x = − => y = − =>− x z = x + y ; =>− x =N− x − y => ) z = ∫ (zdz dy dx = x = − => ∫ y = − =>− x ∫ z = x + y ; >
=>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
Lara o/tener entonces las coordenadas &edidas mediante: xm =
) x )
, ym =
) y
. z m
)
=
) z )
#
/8 )lculo mediante coordenadas cilíndricas# Oaciendo el cam/io a coordenadas cilíndricas tenemos lo siguiente: ) =
> =N−r ∫r =C ∫ =C ∫ z = r ; <
>
π
θ
(rdz d θ dr #
3am/ién se &lantean entonces:
> =N−r > ) x = ∫ ∫ ∫ r (r cosθ dz d θ dr , r =C =C z = ; < > =N− r ) y = ∫ ∫ ∫ r (r > sinθ dz d θ dr , . r =C = C z = ; < > =N− x ) z = ∫ ∫ ∫ r (zrdz d θ dr r =C = C z = ; <
>
π
θ
>
π
θ
>
π
θ
c8 )lculo mediante coordenadas es+éricas A"ora mediante el cam/io a coordenadas es+éricas: )
= ∫=
3am/ién se &lantean entonces:
<
r C
π π ∫ ∫ θ = φ = >
;
C
C
(r > sin φ d φ d θ dr
) x ) y
>π π ; ; = ∫r =C ∫θ =C ∫ φ =C (r sin φ cos θ d φ d θ dr , <
>π π ; ; = ∫r =C ∫θ =C ∫ φ =C (r sin φ sin θ d φ d θ dr , . <
π >π ) z = ∫ ∫ ∫ ; (r ; cos φ d φ d θ dr φ = C r = C θ = C
<
%esultados: ) =
=>D7; − K
; 8π
( , ) x
= ) y = C , ) z = =>Dπ ( # 1as coordenadas del centroide son ;
;
entonces: xm = y m = C, z m = ; −
;
≈ >#;NN##
Conclusión.
1as "erramientas generadas con los men6s de lge/ra, )lculo . 9tros de la 3I 4o.age &ueden ser em&leadas mu. creati(amente en el aula &ara di(ersas acti(idades 7/6s*ueda de &atrones, e&loraci'n de &ro&iedades, resoluci'n de di(ersos &ro/lemas . e5ercicios, tutores en la soluci'n de &ro/lemarios, entre otros8# Menci'n a&arte merecen las &osi/ilidades gr)+icas *ue o+rece la 3I 4o.age, *ue no "an sido a/ordadas a*uí, &ero *ue &ueden generar un am/iente de a&rendiza5e rico en modelaciones, cu.o c'm&uto &uede (isualizarse analítica . numéricamente con algunas de las "erramientas desarrolladas en este taller#
Bibliografía: Arcos, I. (2009). )lculo multi(aria/le &ara estudiantes de ingeniería# Editorial Pali# Arcos, I. (2008). )lculo in+initesimal &ara estudiantes de ingeniería# Editorial Pali# Arcos, I. (200). eometría analítica &ara estudiantes de ingeniería# Editorial Pali#
3eas Instruments 7>CC8# 4o.age >CC ra&"ing calculator# uide /oo#
