Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias y Tecnología
ANÁLISIS NUMÉRICO (TRABAJO DE INVESTIGACIÓN)
Temas: -Método de Punto Fijo Multivariado -Método del descenso brusco Estudiante: Sarah Daniela Chila Ovando Carrera: Ing. Química Fecha: Viernes, 6 de Diciembre de 2017 Docente: Dr. José A. Soruco Maita
Cochabamba-Bolivia
Punto fijo multivariable
El método del punto fijo también se puede extender de manera simple para aplicarlo a un sistema de ecuaciones no lineales. El sistema de ecuaciones por iterar se obtiene reagrupando cada una de las ecuaciones para obtener un sistema de ecuaciones que separa en el lado izquierdo cada una de las variables; en el lado derecho se inserta una aproximación de cada variable, y así se calculan los nuevos valores. Éstos se usan para dar, a su vez, nuevos valores, y el proceso se repite en forma iterativa [Nieves et al., 2002], [Burden et al., 2002]. Si el método es adecuado, los valores se aproximan cada vez más a la solución verdadera. Si se parte del siguiente sistema de ecuaciones
la fórmula general del método se obtiene reacomodando el sistema de ecuaciones como:
En forma iterativa, el sistema simplemente queda de la siguiente forma:
La solución verdadera x* satisface la ecuación,
Restando la ecuación (2.11) de la ecuación (2.12) se llega a,
Usando el teorema del valor medio en el lado derecho de la ecuación se tiene
donde ζ es un vector de valores entre x* y xr . Si se define εr = x *-xr la ecuación anterior será:
y, si todos los valores de |G′(ζ )|<1, entonces el error en cada variable decrecerá paso a paso. Para |G′(ζ )|>1 el error será creciente. Ejemplo: Para efectos de comparación, se aplica el método de punto fijo multivariable al sistema de ecuaciones del ejercicio 2.6, con las condiciones iniciales x 0 =1, y0 =1 y z0=1, es decir, el siguiente sistema de ecuaciones:
Solución. Despejando de la primera ecuación la primera variable y así sucesivamente, el sistema iterativo tiene la siguiente estructura,
Numéricamente, la primera iteración se obtiene sustituyendo en forma simultánea todas las condiciones iniciales en el sistema de ecuaciones anterior. Así se obtiene:
La forma de sustitución anterior se conoce con el nombre de método de Gauss. Una variante conocida con el nombre de “método de Gauss Seidel” utiliza las soluciones que se van calculando en las siguientes ecuaciones; es decir, una vez que se calcula el valor de una variable, se utiliza inmediatamente en las
ecuaciones sucesivas. Con este esquema, el sistema iterativo queda de la siguiente forma:
Con este método se obtienen los siguientes resultados en la primera iteración
La tabla 2.8 muestra los resultados utilizando ambos métodos de punto fijo multivariable.
Análisis numérico. José Alberto Gutiérrez Robles, Miguel Ángel Olmos Gómez, Juan Martín Casillas González. Universidad de Guadalajara. Cap.2 Solución de ecuaciones no lineales. Método de punto fijo multivariable; Gauss y Gauss-Seidel. pág.55
Método del descenso brusco
Un modelo de Programación Lineal (PNL) es aquel donde las variables de decisión se expresan como funciones no lineales ya sea en la función objetivo y/o restricciones de un modelo de optimización. Esta característica particular de los modelos no lineales permite abordar problemas donde existen economías o deseconomías de escala o en general donde los supuestos asociados a la proporcionalidad no se cumplen. En este sentido el método del gradiente (conocido también como método de Cauchy o del descenso más pronunciado) consiste en un algortimo específico para la resolución de modelos de PNL sin restricciones, perteneciente a la categoría de algoritmos generales de descenso, donde la búsqueda de un mínimo esta asociado a la resolución secuencial de una serie de problemas unidimensionales. Los pasos asociados a la utilización del método del gradiente o descenso más pronunciado consiste en:
Ejemplo del Método del Gradiente Considere el siguiente modelo de programación no lineal sin restricciones. Aplique 2 iteraciones del método del gradiente a partir del punto inicial X0=(1,1).
Luego de realizar la segunda iteración se verifica que se cumplen las condiciones necesarias de primer orden (d1=(0,0)). Adicionalmente se puede comprobar que la función objetivo resulta ser convexa y en consecuencia las condiciones de primer orden resultan ser suficientes para afirmar que la coordenada (X1,X2)=(2,1) es el óptimo o mínimo global del problema.
Bibliografía.
Análisis numérico. José Alberto Gutiérrez Robles, Miguel Ángel Olmos Gómez, Juan Martín Casillas González. Universidad de Guadalajara. Cap.2 Solución de ecuaciones no lineales. Método de punto fijo multivariable; Gauss y Gauss-Seidel. pág.55 Investigación de Operaciones. Método del Gradiente (Cauchy) o del Descenso más Pronunciado (Programación No Lineal). http://www.investigaciondeoperaciones.net/metodo_del_gradiente.html
