Bab 4 Solusi Deret untuk Persamaan Differensial r a s a b differensial Pada BAB ini akan dibahas mengenai penyelesaian persamaan h menggu menggunak nakan an metode metode deret. deret. Selain Selain itu juga juga dibaha dibahass tentan tenk tangg bentuk bentuk persamaan differensial yang solusinya berupa deret polinom, 3 misalnya polinom 1 Legendre, fungsi Bessel dan lain sebagainya. 2 0 2 4.1 4.1 Metod etode e Dere Derett m e Tinjau suatu persamaan differensial yangs dinyatakan dengan y = 2 xy. Yang 1 dimaksud solusi dari persamaan differensial adalah bentuk fungsi y yang 0 memenuhi memenuhi persam p ersamaan aan differensial differens ial tersebut. tersebut. Untuk Untuk memperoleh memperoleh solusi dari 2 suatu persamaan differensial 2 metode yang cukup sederhana digunakan adalah fi lnyaa untuk dengan mengintegra mengintegralk lkan. an. Misalny Misa untuk persamaan persamaan differensia differensiall y = 2xy l dapat dituliskan sebagai berikut u k dy a (4.1) c dx = 2xy =⇒ dyy = 2 xdx �
�
kemudian bila persamaan tersebut diintegralkan maka akan diperoleh dy = 2x dx y ln y = x 2 + C
� �
2
y = e x
+C
(4.2) 2
= C ex �
2
Jadi solusi dari persamaan differensial y = 2 xy adalah y = C ex . Dalam penggunaan metode deret untuk memperoleh solusi persamaan differensial, maka bentuk solusi suatu persamaan p ersamaan differensial dimisalkan dimisalkan berupa �
75
76
BAB 4. SOLUSI DERET UNTUK PERSAMAAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL DIFFERENSIAL
suatu deret pangkat (polinom) dalam x (Ingat bahwa umumnya umumnya fungsi-fungsi kontinu dapat dinyatakan sebagai deret suatu polinom). Artinya dimisalkan solusi suatu persamaan persamaan differensia differensiall yang yang berbentuk berbentuk ∞
2
3
y = a 0 + a1 x + a2 x + a3x + . . . =
�
an xn
(4.3)
n=0
Dengan mengambil bentuk fungsi y seperti tersebut, tersebut, maka maka dapat dengan mudah diperoleh bentuk y , yaitu �
�
y =
dy d = (a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + . . .) dx dx
� s a r
(4.4)
∞
na x a b h k Kemudian bila bentuk deret y dan y tersebut disubstitusikan ke persamaan 3 akan diperoleh differensial yang dimaksud, yaitu y = 2xy maka 1 0 a + 2 a x + 3a x + 4a x + . . . = 2x 2a + a x + a x + a x + . . . 2 = 2 a x + 2a x + 2a x + 2a x + . . . m e Sehingga diperoleh hubungan sebagai s berikut 1 0 a = 0 2 2 2a −→ a = a fi 23aa = = 2a = 0 −→ a = 0 l u 4a = 2a = 2a −→ a = a k 2 c a ... 2
3
= a 1 + 2 a2x + 3a3x + 4a4 x + . . . =
n
n−1
n=1
�
�
1
2
3
2
4
3
�
0
1
0
1
2
2
2
2
3
3
3
3
4
�
1 2
0
3
1
4
2
2
0
3
0
4
0
dan seterusnya Secara umum dapat diperoleh bentuk ungkapan untuk a n , yaitu
0,
nan = 2an
2
−
=
⇒
an =
untuk n ganjil
2 an 2 , untuk n genap n
(4.5)
−
Dengan koefisien an yang diperoleh tersebut maka bentuk solusi y dapat
4.1. 4.1.
77
METODE METODE DERET DERET
dituliskan dalam bentuk y = a 0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + . . . 1 1 = a 0 + 0 + a0 x2 + 0 + a0 x4 + 0 + a0 x6 + . . . 2 6 4 6 x x = a 0 1 + x2 + + + . . . 2 6
�
∞
= a 0
x2m m! m=0
Dalam hal ini, a 0 adalah konstanta integrasi sebagaimana konstanta C pada solusi persamaan differensial yang diselesaikan dengan metode integral yang telah dibahas sebelumnya.
r a s Contoh a b Tinjau persamaan differensial yang dinyatakan dengan xy = y . Gunak Gunakan an h k dengan solusi metode deret untuk menentukan solusinya dan bandingkan 3 yang diperoleh dengan cara non-deret. 1 0 Misalkan Misalkan b bentuk entuk solusi y (x) dalam deret pangkat pangkat x2 dinyatakan dengan y (x) = 2 a x . Dengan Dengan mendifferensia mendifferensialk lkan an deret tersebut akan akan diperoleh y = m e s na x . Selanjutny xy = na x . Dengan demikian perSelanjutnyaa diperoleh diperoleh 1 0 dalam bentuk 2 samaan differensial tersebut dinyatakan 2 fina x = a x l u k a x + 2a x + 3a a x + 4a x + . . . = a + a x + a x + a x + a x + . . . c Dengan demikian berarti diperoleh konstanta-konstanta a sebagai berikut �
∞
� �
n
n
�
n=0 ∞
∞
n
n−1
�
�
n=1
n
n=1
∞
∞
�
n
n
n=1
1
n
2
2
3
3
4
�
n
n
n=0
4
0
1
2
2
3
n
a0 = 0 a1 = a 1 = 2a2 = a 2 = 3a3 = a 3 = . . . dst.
⇒ a = konstanta sembarang ⇒ a = 0 ⇒ a = 0 1 2 3
Maka bentuk solusi persamaan differensial tersebut adalah ∞
y =
� n=0
an xn = a 1x
3
4
4
78
BAB 4. SOLUSI DERET UNTUK PERSAMAAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL DIFFERENSIAL
Bila digunak digunakan cara non-deret non-deret (integra (integral) l) untuk untuk menyel menyelesaik esaikan an persamaan persamaan differensial tersebut, maka dapat dilakukan dengan cara pemisahan variabel dy dx xy = y = = y x ln y = ln x + ln C = ln C x = y = C x �
dengan C adalah konstanta.
4.2 4.2
⇒ ⇒
Polin olinom om Lege Legend ndre re
Dalam analisa persoalan fisis sering dijumpai persamaan differensial yang bentuknya sebagai berikut (1
r − x )y − 2xy + l(l + 1)y = 0 s a 2
��
�
a b h k
(4.6)
dengan l adalah adalah konstan konstanta. ta. Persamaa Persamaan n differensia differensiall dengan bentuk seperti persamaan persamaan 4.6 dinamakan dinamakan persamaan persamaan differensia differensiall Legendre. Legendre. Persama Persamaan an differensial tersebut akan banyak dijumpai manakala kita menyelesaikan persamaan differensial parsial dalam sistem koordinat bola. Solusi persamaan differensial Legendre tersebut adalah berbentuk polinom yang dikenal sebagai sebagai polinom Legendre. Legendre. Untuk Untuk mendapatk mendapatkan an bent b entuk uk solusi dari persamaan persamaan Legendre Legendre tersebut, tersebut, dapat digunak digunakan an metode deret sebagaimana bagaimana yang telah telah dibahas pada bagian sebelumnya. sebelumnya. Misalka Misalkan n solusi untuk y berbentuk deret pangkat dalam x , yaitu
2 m e s
3 1 2 0
1 (4.7) 0 2 y masing-masing adalah Sedangkan bentuk y 2 dan y = a + 2 a x +fi 3a x + 4a x + . . . + na x + . . . l (4.8) y = 2 a + u 6 a x + 12a x + 20a x + . . . + n(n − 1)a x + . . . k a y , y dan y ke persamaan Legendre (persamaan 4.6) akan Substitusi c bentuk memberikan y = a 0 + a1x + a2 x2 + a3 x3 + . . . + an xn + . . . �
��
�
1
2
3
2
��
2
3
4
�
(1
2
−x )
− 2x
4
2
3
n
5
n−1
3
n−2
n
��
2a2 + 6 a3 x + 12a4 x2 + 20a5 x3 + . . . + n(n
2
3
n−1
a1 + 2 a2 x + 3a3 x + 4a4x + . . . + nan x
n−2
− 1)a x n
+ l (l + 1) a0 + a1 x + a2 x2 + a3x3 + . . . + an xn = 0
yang bila disusun akan menjadi
(2a2 + a0 l(l + 1)) + (6 a3 2a1 + a1l(l + 1)) x +(12a4 2a2 4a2 + a2 l(l + 1)) x2 + . . . + ((n + 2)(n + 1) an+2 n(n 1)an 2nan + l(l + 1) an ) xn + . . . = 0
−
−
−
−
−
−
4.2. 4.2.
79
POLINOM POLINOM LEGEND LEGENDRE RE
Dengan demikian diperoleh persamaan-persamaan untuk koefisien-koefisien dari x , yaitu 2a2 + a0 l(l + 1) = 0 6a3 + a1 (l2 + l 2) = 0 12a4 + a2 (l2 + l 6) = 0 . . . dst.
− −
yang memberikan ungkapan untuk nilai konstanta a sebagai berikut
− l(l +2 1) a r (l − 1)(l + 2) a a = − a s (4.9) 6 a l(l + 1)( l − 2)(l + 3) b (l − 2)(l + 3) a = − a = ha 12 4! a2 =
0
3
1
4
2
dst
n
Sedangkan untuk koefisien x diperoleh
3 1 2 0
k
0
− n − n)a = 0 (4.10) 2 m sehingga diperoleh e (l − n)(sl + n + 1) a = − 1 a (4.11) n n ( + 2)( + 1) 0 2 Hal ini berarti untuk n genap, koefisien a dapat dinyatakan dalam a , se 2 dangkan untuk suku yang ganjil Perhatikan fi a dapat dinyatakan dalam a . Perhatikan ldifferensial yang dibahas dalah persamaan diffebahwa karena persamaan u rensial orde dua, maka berarti ada dua konstanta sembarang yang muncul k a (dalam hal ini a dan a ). Dengan demikian solusi dari persamaan Legendre c dapat dinyatakan dalam a dan a , yaitu: (n + 2)(n + 1)an+2 + ( l2 + l
n+2
2
n
n
n
0
n
0
1
0
− −
1
1
l (l + 1) 2 l (l + 1)( l 2)(l + 3) 4 y = a0 1 x + x ... 2! 4! ( l 1)(l + 2) 3 ( l 1)(l + 2)(l 3)(l + 4) 5 x + x + a1 x 3! 5!
−
−
−
− −
− ...
(4.12)
Secara umum, deret tersebut konvergen untuk x 2 < 1 sedangkan bila x 2 = 1 deret tersebut menjadi bersifat divergen. divergen. Dalam Dalam ban banyak yak penggunaanny penggunaannyaa di bidang fisika, nilai x adalah kurang dari satu.
80
BAB 4. SOLUSI DERET UNTUK PERSAMAAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL DIFFERENSIAL
Tinjau kasus untuk l = 0, untuk kasus ini maka bentuk fungsi y yang merupakan solusi dari persamaan Legendre dituliskan menjadi y = a 0 [1
− 0 + 0 − 0 + . . .] + a
1
2! 4! 6! x + x3 + x5 + x7 + . . . 3! 5! 7!
Terlihat bahwa deret a0 bersifat konvergen (karena nilainya menuju suatu bilangan tertentu) sementara deret a1 bersifat divergen. divergen. Kemudian Kemudian bila ditinjau untuk l = 1 maka bentuk solusi persamaan Legendre adalah
−
y = a 0 1
x2
4
6
−x −x
. . . + a1 [x
− 0 + 0 − . . .]
deret a0 akan bersifat divergen untuk x2 = 1 sedangkan deret a 1 sebaliknya akan akan bersifat bersifat konver konvergen. gen. Hal yang sama dapat dianalisa dianalisa untuk nilai l yang lainnya, lainnya, yang yang akan akan memberik memberikan an hasil bahwa untuk suatu niai l tertentu, maka deret yang satu akan bersifat konvergen untuk x 2 = 1 sedangkan yang lainnya akan bersifat divergen. Jika diambil deret yang konvergen sebagai solusi dari persamaan differensial Legendre, maka artinya untuk suatu harga l tertentu terdapat suatu polinom yang menjadi solusinya. solusinya. Misalny Misalnyaa untuk untuk l = 0, polinom yang diperoleh adalah y = a0 , dengan a0 adalah konstanta konstanta sembarang. sembarang. Biasany Biasanyaa dipilih agar y = 1 untuk x = 1. Dengan Dengan demikian untuk untuk l = 0 maka konstanta a0 = 1. Sedangk Sedangkan an untuk l = 1, deret yang konvergen adalah deret a1 . Da Dapat pat diper diperole oleh h untuk untuk l = 1 bahwa polinom yang diperoleh adalah y = a 1 x. Agar Agar y (x = 1) = 1 maka haruslah a1 = 1 sehingga polinom yang didapat adalah y = x . Untuk l = 2 diperoleh bahwa y = a 0 (1 3x2 ). Agar y (x = 1) = 1 maka haruslah a 0 = 12 sehingga polinom yang didapat adalah y = 12 (1 3x2). Demikian seterusnya dapat diperoleh untuk berbagai harga l yang tertentu. tertentu. Untuk Untuk setiap harga l tertentu terdapat polinom yang men jadi solusi persamaan differensial Legendre tersebut. Polinom ini biasanya biasanya dinyatakan dengan P l (x) dan disebut sebagai Polinom Legendre (jenis pertama). Konstanta l sering disebut sebagai orde (order ) dari polinom Legendre tersebut (namun beberapa referensi menyebutnya sebagai derajat (degree ), karena mengacu pada pangkat terbesar dari variabel x). Terdapat erdapat juga polinom Legendre jenis kedua namun karena tidak terlalu sering digunakan dalam analisa persoalan fisis, maka jenis kedua tersebut tidak dibahas dalam tulisan ini. Dari uraian di atas diperoleh bahwa P 0 (x) = 1, P 1(x) = x dan P 2(x) = 1 (3x2 1). Berikut ini diberikan bentuk polinom Legendre untuk beberapa 2 harga l
2 m e s
− −
l u k a c
3 1 2 0
r a s a b h k
1 − 0 2 2 fi
−
−
P 0 (x) = 1 P 2 (x) = 21 (3x2 1) P 4 (x) = 81 (35x4 30x2 + 3)
− −
P 1 (x) = x P 3 (x) = 21 (5x3 3x) P 5 (x) = 81 (63x5 70x3 + 15x)
− −
(4.13)
81
4.3. FUNGSI PEMBANG PEMBANGKIT KIT UNTUK UNTUK POLINOM LEGENDR LEGENDRE E
Selain cara yang diuraikan di atas, ada cara lain untuk memperoleh bentuk P l (x) dengan menggunakan rumus yang disebut rumus Rodrigues yaitu 1 dl 2 P l (x) = l (x 2 l! dxl
l
− 1)
(4.14)
Contoh
Tentukan bentuk polinom Legendre orde 2 (P 2 (x)) dan orde 3 ( P 3 (x)). Untuk memperoleh bentuk P 2 (x) maka dapat digunakan rumus Rodrigues sebagaimana persamaan 4.14 dengan mengambil nilai l = 2. Hal ini berarti akan diperoleh
r a s a 1 d 1 d P (x) = (x − 1) = (x − 2x + 1) b 2 2! dx 8 dx h 1 d 1 d 1 k = (4x − 4x) = (12x − 4) = (3x − 4) 32 8 dx 8 dx 1 Demikian halnya untuk memperoleh P (x) dilakukan 2 0 sebagai berikut 2 1 d 1 d m(x − 3x + 3x − 1) P (x) = (x − 1) = dx 2 3! dx 48 e s 1d 1 d = (6x − 12x 1 + 6x) = (30x − 36x + 6) 48 dx 48 dx 0 1 2 1 = (120x − 2 72x) = (5x − 3x) 48 fi 2 l an plot beberapa Padaa Gambar Pad Gambar 4.1 u ditunjukk ditunjukkan b eberapa polinom Legendre Legendre P (x) k untuk l = 0, 1, 2, 3, a 4 dan 5. Terlihat erlihat bahwa bahwa P (x) adalah merupakan fungsi c genap atau 0 dan P (x) adalah fungsi ganjil untuk l genap untuk l bilangan 2
2
2
2
2
2
2
4
2
2
3
2
2
3
3
3
3
2
3
3
3
6
4
2
3
2
5
3
4
2
2
3
3
l
l
l
bilangan ganjil.
4.3
Fungsi Pem Pembangkit bangkit untuk untuk Polinom Polinom LegenLegendre
Fungsi berikut ini dinamakan fungsi pembangkit untuk polinom Legendre, yaitu 1 , untuk h < 1 Φ(x, h) = (4.15) 1 2xh + h2
√ −
||
82
BAB 4. SOLUSI DERET UNTUK PERSAMAAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL DIFFERENSIAL
r a s a b h k
3 1 Gambar Gambar 4.1: 4.1: Plot polinom polinom Legendre Legendre untuk untuk l = 0, 1, 2, 3, 4, 5. 0 2 2 mderet pangkat memberikan Fungsi tersebut bila diuraikan dalam e s xh + h Φ(x, h) = 1 − 2 1 1 0 2 = 1 + (2xh − h ) + (2xh − h ) + . . . 2 2 2! fi 1 3 l= 1 + xh − 2 h + 8 (4x h − 4xh + h ) + . . . u k = 1 + xh + h ( x − ) + . . . a c
�
2
�
1/2
−
2
13 22
2
2 3 2 2
2 2
2 2
3
4
1 2
∞
2
= P 0 (x) + hP 1 (x) + h P 2 (x) + . . . =
�
hl P l (x)
l=0
Hal ini menunjukkan bahwa fungsi yang bentuknya seperti pada persamaan 4.15 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari polinom Legendre. Contoh
Tinjau tiga buah vektor yaitu r, R dan d, di mana R = r + d dan θ menyatakan sudut antara vektor R dan r. Jika suatu fungsi skalar dinyatak dinyatakan an k dengan V = dengan k adalah konstanta dan d = d , nyatakanlah V dalam d
||
83
4.3. FUNGSI PEMBANG PEMBANGKIT KIT UNTUK UNTUK POLINOM LEGENDR LEGENDRE E
polinom Legendre. Dengan menggunakan aturan cosinus dapat dinyatakan bahwa d = d = R
| | | − r| =
√
R2
−
2Rr cos θ + r 2
= R
1
−
r r 2 cos θ + R R
Selanjutnya berarti k V = = d
k R
− 1
r 2 cos θ + R
r 2 R
��
−
k = 1 R
r r 2 cos θ + R R
2
2
1/2
−
r a s a b h k
Perhatikan bahwa bentuk yang ada dalam kurung siku dapat dinyatakan sebagaimana persamaan 4.15. Dengan menggunakan substitusi variabel h = r dan x = cos θ, maka dapat dituliskan R
√
3 1 2 0
d = R 1 2hx + h2 = Φ k k 1/2 V = 1 2hx + h2 = Φ R R l k k r P l (cos θ) hl P l (x) = = = k R l=0 R l=0 Rl
− −
� ∞
−
2 m e s
∞
�
∞
� l=0
r l P l (cos θ) Rl+1
1 0 Salah satu sifat penting dari polinom Legendre adalah bahwa polinom 2 Legendre Legendre dapat digunakan digunakan untuk unt uk mengekspans mengekspansik ikan an polinom lain. Misalny Misalnyaa 2 suatu polinom dalam x , f (x)fi dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari l polinom Legendre, artinya dapat dinyatakan u k (4.16) c a f (x) = c P (x) ∞
�
l
l
n=0
Contoh
Nyatakan polinom f (x) = x 2 + 2x gendre.
− 1 sebagai kombinasi linier polinom Le-
Dengan memanfaatkan bentuk polinom Legendre yang telah diketahui sebagaimana persamaan 4.13, maka dapat dinyatakan 3 P 2 (x) = x2 2
− 12 =⇒ x
2
2 1 = P 2 (x) + 3 3
84
BAB 4. SOLUSI DERET UNTUK PERSAMAAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL DIFFERENSIAL
Selanjutnya Selanjutnya karena P 1(x) = x , dan P 0 (x) = 1 maka dapat dinyatakan bahwa f (x) = x 2 + 2x
− 1 = 23 P (x) + 13 + 2 P (x) − P (x) 2 1 = P (x) + P (x) + 2 P (x) − P (x) 3 3 2 2 = − P (x) + 2 P (x) + P (x) 3 3 2
1
2
0
0
Artinya c 0 =
4.4
0
1
1
0
2
− 23 , c = 2, c = 23 dan koefisien c lainnya sama dengan nol. 1
2
Sifa Sifatt Reku Rekurs rsif if Poli Polino nom m Lege Legend ndre re r
a s a b h k
Hubungan rekursif menunjukkan menunjukkan kaitan antara polinom orde tertentu dengan polinom orde lainnya. Beberapa hubungan rekursif yang penting adalah
3 1 2 0
lP l (x) = (2l 1)xP l 1 (x) (l 1)P l 2 (x) xP l (x) P l 1 (x) = lP l (x) P l (x) xP l 1 (x) = lP l 1 (x) (1 x2 )P l (x) = lP l 1 lxP l (x) (2l + 1) P l (x) = P l+1 (x) P l 1 (x) (1 x2 )P l 1 (x) = lxP l 1 (x) lP l (x) �
−
�
−
−
− −
−
−
�
−
�
−
2 m e s �
−
−
�
�
−
−
− −
�
−
−
(4.17a) (4.17b) (4.17c) (4.17d) (4.17e) (4.17f )
1 0 2 4.5 Orto Ortogo gona nali lita tass dan dan Norm Normal alis isas asii Polin olinom om 2 fi Legendre l u Ingat bahwa k dua buah vektor A dan B yang saling ortogonal (tegak lurus), a dari kedua vektor tersebut hasilnya adalah nol, yaitu yang maka dot c product −
−
dinyatakan dinyatakan sebagai
3
�
Ai Bi = 0
i=1
Kedua vektor yang saling tegak lurus tersebut dikatakan ortogonal satu sama lain. Konsep Konsep ortogonal ortogonalitas itas pada vektor vektor tersebut juga dapat dijumpai dijumpai untuk untuk fungsi. fungsi. Dua buah fungsi fungsi real A (x) dan B (x) dikatakan ortogonal pada selang (a, b) jika b
� a
A(x)B (x)dx = 0
4.5. ORTOGONALIT ORTOGONALITAS AS DAN NORMALISASI POLINOM LEGENDRE LEGENDRE 85 85
Sedangkan jika fungsi A(x) dan B (x) adalah fungsi kompleks, maka syarat ortogonalitas antara fungsi A (x) dan B (x) dalam selang (a, b) adalah dinyatakan dalam ungkapan b
�
∗
A (x)B (x)dx = 0
a
di mana A (x) menyatakan konjugat kompleks (complex conjugate ) dari fungsi A (x). Jika terdapat sekumpulan fungsi A n (x) dengan n = 1, 2, 3, . . . dan ∗
b
r(4.18) a s a b maka dikatakan bahwa fungsi A (x) adalah kumpulan fungsi ortogonal dalam h k sin nx yang interval [a, b]. Con Contoh toh kumpulan fungsi ortogonal ortogonal adalah fungsi 3yang telah diketahui ortogonal dalam interval [ −π, π], karena sebagaimana 1 bahwa 2 0 � n 0, 2 jika m = sin nx sin mxdx = (4.19) m π, jika m = n e s 1 Hal yang sama juga berlaku pada polinom Legendre yang ortogonal pada 0 interval [−1, 1] sebagaimana yang akan ditunjukkan berikut ini. 2 2 Tinjau suatu fungsi y yang merupakan polinom Legendre, y = P (x), bila fi fungsi y tersebut disubstitusikan ke persamaan differensial Legendre (persa l u maan 4.6) maka diperoleh k a d P (x) dP (x) c − 2x (1 − x ) + l(l + 1) P (x) = 0
�
∗
∗
An (x)Am (x) dx =
a
0, konstanta = 0 ,
�
jika m = n jika m = n
�
n
π
� π
−
l
2
d = (1 dx
⇒
2
l
l
dx2
dx
2
�
− x )P (x) l
l
(4.20)
+ l(l + 1) P l (x) = 0
Selanjutnya untuk polinom Legendre orde yang lain yaitu P m(x) dapat dinyatakan nyatakan sebagai d (1 dx
2
�
− x )P (x) m
+ m(m + 1)P m (x) = 0
(4.21)
Jika Jika persamaan persamaan 4.20 dikalik dikalikan an dengan dengan P m(x), sedangk sedangkan an persamaan persamaan 4.21
86
BAB 4. SOLUSI DERET UNTUK PERSAMAAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL DIFFERENSIAL
dikalikan dengan P l (x) kemudian keduanya dikurangkan maka akan diperoleh d d (1 x2 )P l + P ml(l + 1) P l P l (1 x2 )P m + P l m(m + 1)P m = 0 dx dx d d P m P l (1 x2 )P l (1 x2)P m + [l(l + 1) m(m + 1)] P l P m = 0 dx dx d (1 x2 )(P m P l P l P m + [l(l + 1) m(m + 1)] P l P m = 0 dx
P m
�
− −
�
− − �
−
−
�
−
�
−
�
−
−
Selanjutnya bila diintegralkan dalam interval [ 1, 1], maka 1
� − � � − d (1 dx
x2 )(P m P l
−
�
1
�
− P P l
−
1
d (1
x2 )(P m P l
�
1
�
− P P l
(1
2
+ [l(l + 1)
− m(m + 1)] P P l
m
dx = 0
r a s + ([l(l + 1) − m(m a + 1)] P P ) dx = 0 b h k − m(m + 1)] P P dx = 0 + [l(l + 1) 3 1 2 0 0 2 + [ l(l + 1) − m(m + 1)] P P dx = 0 m e s 1
� �
m
−
m
l
m
1
−
�
�
− x )(P P − P P m l
l
m
1
� �
1
1
−
l
m
l
m
1
−
1
1
−
Sehingga diperoleh
1 0 2 l(l + 1) − m(m + 1)] [ 2 fi
1
�
P l P m dx = 0
l u Karena suku dalam kurung siku persamaan di atas umumnya tidak sama k a dengan nol c(kecuali bila l = m), maka yang harus selalu bernilai nol adalah 1
−
integral tersebut dengan demikian didapat bahwa 1
�
P l P m dx = 0 kecua ecuali li jik jika l = m
(4.22)
1
−
Telah ditunjukkan sebelumnya bahwa sembarang polinom orde n dapat din, maka nyatakan sebagai kombinasi linier dari polinom Legendre orde artinya
≤
1
� 1
−
P l (x).(sembarang polinom berorde < l )dx = 0
(4.23)
4.5. ORTOGONALIT ORTOGONALITAS AS DAN NORMALISASI POLINOM LEGENDRE LEGENDRE 87 87
Jika suatu fungsi yang dinyatakan dinyatakan dengan A(x) dan fungsi tersebut terdefinisi pada interval [a, b], dan besar fungsi tersebut dalam interval [ a, b] itu adalah N 2 maka hal ini dapat dinyatakan dalam bentuk b
�
b
� |
A (x) 2 dx = N 2
∗
A (x)A(x)dx =
∗
a
a
(4.24)
|
Artinya jika fungsi A (x) tersebut dibagi dengan N , maka besarnya menjadi 1. N 1 disebut sebagai faktor normalisasi. Untuk polinom Legendre, dengan memanfaatkan salah satu hubungan rekursif rekursif sebagaimana sebagaimana yang telah telah dijelask dijelaskan an pada bagian bagian terdahulu terdahulu,, dapat dinyatakan lP l (x) = xP l (x) P l 1 (x) −
r a s da a bila persamaan tersebut dikalikan dengan P (x) kemudian diintegralkan b lam interval [−1, 1] maka akan diperoleh h k 3 l (P ) dx = xP P dx − P 1 P dx (4.25) 0 2 2di ruas kanan persamaan 4.25 Perhatikan bahwa integran pada suku kedua m orde l dengan polinom Leadalah perkalian antara suatu polinom Legendre e gendre orde l − 1 dan telah diperoleh sebelumnya yaitu pada persamaan 4.23 s bahwa hasil integralnya sama dengan nol. Dengan demikian berarti 1 0 2 2 fi P P dx = 0 l u k di ruas kanan pada persamaan 4.25 dapat diselesaSedangkan suku pertama a ikan dengan menggunakan cara integrasi parsial (dengan memisalkan u = x c �
�
−
−
l
1
�
1
l
1
�
2
1
�
�
l l
1
−
�
l l−1
1
−
−
1
�
�
l
l−1
1
−
dP l dan dv = P l P l dx = P l dx = P l d(P l ); yang yang berarti v = dx 1 [ P l ]). Maka dapat diperoleh 2 �
1
� 1
−
x xP l P l dx = [ P l (x)]2 2 �
1
1
−
− 12
�
P l d(P l ) =
1
�
[P l ]2 dx
1
−
1 1 = [P l (1)]2 + [ P l ( 1)]2 2 2
−
−
1 2
1
� 1
−
[P l (x)]2 dx
88
BAB 4. SOLUSI DERET UNTUK PERSAMAAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL DIFFERENSIAL
Telah diketahui bahwa untuk nilai l yang genap maka polinom P l (x) adalah berupa fungsi genap dan dapat diperoleh bahwa P l (1) = 1 sehingga [P l (1)]2 = 1. Sedangka Sedangkan n untuk nilai l ganjil maka polinom P l (x) adalah fungsi ganjil dan dapat diperoleh bahwa P l ( 1) = ( 1)l sehingga [P l ( 1)]2 = 1. Dengan demikian 1 1 1 xP l P l dx = 1 [P l (x)]2 dx 2
−
�
�
−
−
1
−
−
� 1
−
Akhirnya persamaan 4.25 dapat dinyatakan sebagai berikut 1
� � ⇒ l
2
[P l (x)] dx = 1
1
−
1 2
[P l (x)]2 dx
1
−
−
1
=
1
�
[P l (x)]2 dx =
1
2 2l + 1
−
3 1 2 0
r a s a b h k
yang dapat dapat dipandang sebagai sebagai normalisasi normalisasi dari polinom Legendre. Legendre. Maka Maka bila sifat ortogonal dan normalisasi digabungkan menjadi satu ungkapan, akan diperoleh ungkapan ortonormal untuk polinom Legendre yaitu yang dinyatakan
2 m e s 0 1
1
�
P l (x)P m(x) dx =
2 2 −fi l u k c a 1
−
0,
jika l = m
2 , 2l + 1
�
(4.26)
jika l = m
Karena polinom-polinom Legendre merupakan merupakan kumpulan yang ortogonal lengkap pada selang [ 1, 1], maka kita dapat mengekspansi suatu fungsi (kali ini tidak harus berupa polinom) yang terdefinisi pada interval [ 1, 1] dengan menggunak menggunakan an deret Legendre. Legendre. Carany Caranyaa sama dengan saat kita menggunamenggunakan kan deret Fourier Fourier untuk mengekspansi mengekspansi suatu fungsi. fungsi. Misalk Misalkan an suatu fungsi yang dinyatakan dengan f (x) yang terdefini pada interval [ 1, 1] maka jika fungsi f (x) tersebut akan diekspansikan menggunakan deret Legendre maka artinya artinya fungsi f (x) tersebut dinyatakan dinyatakan sebagai kombinasi linier dari polinom p olinom
−
−
∞
Legendre f (x) =
�
cl P l (x) dengan c l adalah koefisien yang akan dicari. Bi-
l=0
la fungsi f (x) tersebut dikalikan dengan polinom Legendre P m (x) kemudian diintegralkan dalam selang 1 sampai 1 maka akan dapat dinyatakan
−
1
� 1
−
1
∞
f (x)P m (x)dx =
� � cl
l=0
1
−
P l (x)P m (x)dx
4.5. ORTOGONALIT ORTOGONALITAS AS DAN NORMALISASI POLINOM LEGENDRE LEGENDRE 89 89
Selanjutny Selanjutnyaa dengan dengan menggunak menggunakan an sifat ortonorma ortonormalita litass polinom Legendre, Legendre, maka didapat 1
�
1
∞
f (x)P m (x)dx =
� � cl
l=0
1
−
⇒c
=
m =
P l (x)P m (x)dx = c m
1
2 2m + 1
−
2m + 1 2
(4.27)
1
�
f (x)P m(x)dx
1
−
Contoh
r a s a b h k
Tinjau suatu fungsi yang didefinisikan dalam interval [ 1, 1] dinyatakan dengan ungkapan 0, untuk 1 < x < 0 f (x) = 1, untuk untuk 0 < x < 1
−
−
3 1 Fungsi tersebut dapat dinyatakan dinyatakan sebagai kombinasi kombinasi linier polinom Legendre. 0 2 Koefisien c dapat dihitung sebagai berikut 2 2l + 1 m c = f (x)P (x)dx e 2 s 1 dengan demikian diperoleh 0 2 2 1 1 1 c = f (x)P fi(x)dx = dx = l 2 2 2 u k a 3 3 3 c = c f (x)P (x)dx = xdx = Ekspansikan fungsi tersebut dalam polinom Legendre.
l
1
�
l
l
1
−
1
0
� � �
1
0
1
0
−
1
1
2
1
1
1
2
−
5 c2 = 2
1
1
� � �
5 f (x)P 2 (x)dx = 2
−
4
0
1
0
3 2 x 2
−
1 dx = 0 2
. . . dan seterusnya . . .
sehingga dapat dinyatakan ∞
f (x) =
� l=0
1 3 cl P l (x) = P 0(x) + P 1 (x) 2 4
− 167 P (x) + . . . 3
90
BAB 4. SOLUSI DERET UNTUK PERSAMAAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL DIFFERENSIAL
4.6
Fungsi ungsi Legen Legendre dre Terasos erasosias iasii
Persamaan differensial berikut sangat erat kaitannya dengan persamaan Legendre: m2 2 y=0 (1 x )y 2xy + l(l + 1) (4.28) 1 x2 Solusi persamaan tersebut adalah ��
−
�
−
y = (1
− −
2 m/2 m/2
−x )
dm [ P l (x)] dxm
(4.29)
yang disebut sebagai fungsi Legendre terasosiasi (associated associated Legendre Legendre funm ctions ) dan dilambangkan sebagai P l (x). Jadi fungsi fungsi Legendre terasosia terasosiasi si dapat diperoleh dari fungsi Legendre dengan cara
r a s d a P (x) = (1 − x ) x)] [ P ( b (4.30) dx h Selain Selain itu fungsi Legendre terasosiasi terasosiasi juga dapatk diperoleh diperoleh menggunak menggunakan an 3 rumus Rodrigues: 1 0d 1 P (x) = x −1 (1 − x ) 2 (4.31) dx 2 l! 2 Bentuk lain dari fungsi Legendre terasosiasi m yang sering muncul adalah dalam e bentuk variabel trigonometri. Bila digunakan digunakan substitusi variabel θ di mana s x = cos θ ke dalam persamaan 4.28 maka dapat diperoleh 1 0 1 − x = 1 − cos θ = sin θ 2 2 fiy = dy = dy = − 1 dy l dx d(cos θ) sin θ dθ u k 1 d − 1 dy = 1 − cos θ dy + 1 d y d dy y = a = − cdx sin θ dθ sin θ dθ sin θ sin θ dθ sin θ dθ dx m l
m l
2 m/2 m/2
m
l
m
2 m/2 m/2
l
l+m
l+m
2
2
2
l
2
�
��
Dengan demikian persamaan 4.28 menjadi 2
sin θ
− 1 sin θ
cos θ dy 1 d2 y + sin2 θ dθ sin θ dθ2
d2 y = dθ2 1 d = sin θ dθ
⇒
⇒
−
2
2
2
−
1 dy 2(cos θ) sin θ dθ m2 y = 0 + l(l + 1) sin2 θ m2 cos θ dy y = 0 + + l(l + 1) sin θ dθ sin2 θ dy m2 y = 0 sin θ + l(l + 1) dθ sin2 θ
− − −
91
4.6. FUNGSI LEGENDRE LEGENDRE TERASOSIA TERASOSIASI SI
Dengan demikian bentuk lain dari persamaan 4.28 adalah 1 d sin θ dθ
dy sin θ dθ
+ l(l + 1)
−
m2 y=0 sin2 θ
(4.32)
yang solusinya adalah P lm (cos θ). Terlihat bahwa fungsi Legendre P l (x) ataupun P l (cos θ) tidak lain adalah bentuk fungsi Legendre terasosiasi untuk nilai m = 0.
Ortogonalitas fungsi Legendre Terasosiasi Tinjau kembali persamaan 4.28, dua suku pertama pada ruas kiri persamaan tersebut dapat dituliskan dalam bentuk sebagai berikut
r a s d a (1 − x )y − 2xy = (1 − x )y b dx h k Karenanya persamaan 4.28 dapat dituliskan dalam bentuk 3 1 d m 0 y=0 (1 − x )y + l(l + 1) − (4.33) dx 1 −2x 2 P (x) yang merupakan solusi dari Tinjau suatu polinom Legendre terasosiasi m e persamaan persamaan differensial differensial Legendre terasosiasi terasossiasi (persamaan 4.33). Maka Maka dapat dinyatakan 1 0 d d(P 2 m ) P = 0 (1 − x ) 2 + l(l + 1) − dx dx − x 1 fi l sedangkan jika ada fungsi u legendre terasosiasi lainnya yang dinyatakan de k ngan P , maka berarti c a 2
��
2
�
2
2
m l
2
�
2
�
m l
2
2
m l
µ λ
d (1 dx
−
µ 2 d(P λ ) x) + λ(λ + 1) dx
µ2 P λµ = 0 2 1 x
− −
Jika bentuk persamaan differensial dalam P lm dikalika dikalikan n dengan fungsi P λµ dan sebaliknya persamaan differensial dalam P λµ dikalikan dengan fungsi P lm dan kemudian keduanya dikurangkan maka akan diperoleh bentuk berikut P µλ µλ
+
d (1 dx
− x )P − P dxd (1 − x )P m − µ l(l + 1) − λ(λ + 1) − P P 1−x
2
�
ml
ml ml
2
2
2
2
ml ml
�
µλ
µλ µλ =
0
92
BAB 4. SOLUSI DERET UNTUK PERSAMAAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL DIFFERENSIAL
µ m di mana P ml ml dan P µλ µλ masing-masing menggantikan notasi P l dan P λ serta d(P lm) d(P λµ) P ml dan P µλ masing-masing menggantikan notasi dan . dx dx Karena d d d P µλ P ml (1 x2 )P ml P ml (1 x2 )P µλ = (1 x2 )(P µλ µλ ml µλ P ml ml P µλ ) dx dx dx maka persamaan tersebut di atas dapat dituliskan kembali dalam bentuk d m 2 µ2 2 P ml λ(λ + 1) P ml (1 x )(P µλ µλ P ml ml P µλ ) + l (l + 1) ml P µλ µλ = 0 dx 1 x2 Kemudian bila persamaan tersebut diintegralkan terhadap x dalam interval [ 1, 1], maka akan menjadi �
�
−
�
−
�
−
−
�
−
1
d (1 dx
�
�
−
2
�
−
�
− −−
−
−
s a r
a b h m − µ k l(l + 1) − λ(λ + 1) − P P dx = 0 1 − x 3 1 0 Untuk nilai m = µ , persamaan di atas menjadi 2 2 d (1 − x )(P P − P P ) m + [l(l + 1) − λ(λ + 1)] P P dx = 0 e s 1 0 (1 − x )(P P − P P ) + [l(l + 1) − λ(λ + 1)] P P dx = 0 2 2 fi Suku pertama di l ruas kiri persamaan tersebut sama dengan nol, dan dengan unilai l dan λ yang sembarang akan diperoleh ungkapan yang demikian untuk k menyatakan sifat ortogonalitas fungsi Legendre terasosiasi yaitu a c 1
�
− x )(P
µλ µλ P ml
�
− P
ml ml P µλ )
−
1
2
�
2
2
1
−
ml ml
dx+
µλ µλ
1
1
�
2
�
�
mλ mλ ml
ml ml mλ
1
−
2
�
�
mλ mλ ml
ml ml mλ
� �
mλ mλ
ml ml
mλ mλ
1
−
1
1
ml ml
1
−
1
−
1
�
P lmP λm dx = 0 un unttuk l = λ
�
1
(4.34)
−
Persamaan 4.34 menunjukkan bahwa untuk setiap nilai m , maka fungsi P lm membentuk suatu kumpulan yang ortogonal. Bila dilengkapi dengan sifat normalisasi polinom legendre terasosiasi, maka dapat dinyatakan 1
� 1
−
P lm P λm dx =
2 (l + m)! δ l,λ l,λ 2l + 1 (l m)!
−
(4.35)
4.7. 4.7.
93
METODE METODE FROBE FROBENIU NIUS S
4.7 4.7
Metod Metode e Froben robeniu iuss
Banyak persamaan differensial yang solusinya tidak dapat dinyatakan dalam ∞
�
deret pangkat yang berbentuk
an xn melainkan dalam bentuk misalnya
n=0
∞
�
y =
an xn+s seperti jika solusi suatu persamaan differensial berbentuk
n=0
√ y = x sin x = x
1/2
−
sin x
∞
solusi berbentuk
�
x 3 + . . . . Untuk kasus ini berarti penggunaan 3!
an xn tidak akan memberikan hasil yang benar.
n=0
r a s a b h k
Tinjau suatu persamaan differensial yang dinyatakan dengan x2 y + 4xy + (x2 + 2)y = 0 ��
�
� 3 ∞
1 0 2
dengan menggunakan solusi yang berbentuk y =
an xn+s , maka dapat
n=0
dinyatakan
� m 2 ∞
s
s+1
y = a 0 x + a1 x
s+2
+ a2 x
+ . . . =
e s
an xn+s
n=0
�
1 + . . . = (n + s)a x 0 2 = ( s − 1)sa x + s(s 2 + 1)a xs − 1 + ( s + 1)(s + 2)a x + . . . fi l s − 1)a x = (n + s)(n + u k a c s−1
y = sa 0 x
s
∞
�
s+1
+ (s + 1)a1 x + (s + 2)a2 x
n
s+n−1
n=0
y
��
0
s−2
1
1
s
∞
�
n
n+s−2
n=0
(4.36)
Selanjutnya bila bentuk deret tersebut disubstitusikan ke persamaan diffrensial yang dimaksud maka akan dapat dinyatakan ∞
� n=0
∞
n+s
(n+s)(n+s 1)an x
−
+4
� n=0
∞
n+s
(n+s)an x
�
+
n=0
∞
an x
n+s+2
+2
� n=0
an xn+s = 0
(4.37) Ruas kiri persamaan tersebut dapat disusun sebagai deret pangkat dalam variabel x. Dengan Dengan pangkat pangkat sama dengan s, s + 1 , s + 2 , . . . , s + n. Karen Karenaa ruas kanan persamaan tersebut sama dengan nol, hal ini memberikan bahwa masing-masing koefisien deret pangkat tersebut haruslah sama dengan nol.
94
BAB 4. SOLUSI DERET UNTUK PERSAMAAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL DIFFERENSIAL
Tinjau suku xs , koefisiennya adalah s(s 1)a0 + 4sa0 + 0 + 2 a0 . Kare Karena na koefisien ini harus sama dengan nol, maka diperoleh
−
s(s
2
− 1)a + 4sa + 2a = 0 =⇒ (s − 3s + 2)a = 0 0
0
0
0
untuk nilai a0 sembarang, maka bagian yang dalam kurunglah yang harus sama sama dengan dengan nol, nol, hal ini memberi memberik kan persama persamaan an s2 3 s + 2 = 0 yang disebut disebut sebagai persamaan persamaan index. Bila persamaan persamaan indeks ini diselesaik diselesaikan an akan diperoleh nilai s = 1 atau s = 2. Selanjutnya tinjau suku x s+1, koefisiennya adalah (s + 1)sa1 + 4(s + 1)a1 + 0 + 2 a1. Koefisien Koefisien ini juga harus sama dengan nol untuk untuk nilai s yang telah diperoleh diperoleh sebelumny sebelumnya. a. Dengan Dengan menggunak menggunakan an nilai s = 1 yang diperoleh dari persamaan indeks sebelumnya, maka diperoleh
−
−
−
−
r a s 2a = 0 =⇒ a = 0 a b h Kemudian bila ditinjau suku x , koefisiennya dapat dinyatakan dalam benk tuk (n + s)(n + s − 1)a + 4(n + s)a + a + 2a . Koefisien ini juga harus 3 sama dengan nol untuk nilai s = −1, hal ini 1 memberikan persamaan 0 (n − 1)(n − 2)a + 4( n − 1)2a + a + 2 a = 0 n + n − 2 + 2 = −a =⇒ a 2 m a untuk n ≥ 2 a = − =⇒ e s n(n + 1) 1 a = 0, maka ini berarti untuk n yang ganjil karena telah diperoleh bahwa 0 2 untuk n yang genap, a dapat dinyatakan dalam pastilah a = 0, sedangkan 2 a . Jadi dapat dinyatakan fi bahwa l a a u a = − − = k 2. 3 3! a a a a c a = − = = 4.5 2.3.4.5 5! 1
1
s+n
n
n
n−2
n
n
n
n
n
n−2
2
n
n−2
n−2
1
n
n
0
2 4
a6 =
0
0
2
0
0
− a7!
0
dan seterusnya sehingga solusi y (untuk nilai s =
−1) adalah
∞
y =
�
an xn+s = a 0 x
1
−
n=0
2
−
= a 0 x
− x
− a3! x + a5! x 0
x 3 x 5 + 3! 5!
−
0
3
+ . . .
a0 . . . = 2 sin x x
(4.38)
4.7. 4.7.
95
METODE METODE FROBE FROBENIU NIUS S
Tahap berikutnya adalah mencari bentuk solusi y untuk nilai s = 2. Tinjau suku kedua (koefisien xs+1 ). Koefisienny Koefisiennyaa dinyatak dinyatakan an dengan (s + 1)sa1 + 4(s + 1) a1 + 0 + 2a1 . Substitusi nilai s = 2 akan memberikan hubungan
−
−
2a1
− 4a + 2a = 0 =⇒ 1
1
a1 = sembarang
Kemudian tinjau suku ketiga (koefisien x s+2, koefisiennya dinyatakan dinyatakan dengan (s +2)(s + 1)a2 + 4(s +2)+ a0 + 2a2 . Substitusi nilai s = 2 akan memberikan hubungan
−
r a s a b h k yatak Selanjutnya bila ditinjau suku x , yang yang koefisienny koefisiennyaa dinyat din akan an dengan dengan (n + s)(n + s − 1)a + 4( n + s)a + a + 2a , bila 3 digunakan nilai s = −2 1 akan dihasilkan 2 0 2 a + a + 2 a = 0 (n − 2)(n − 3)a + 4( n − 2) m e (n − 5n + 6)a + (4 n − s 8)a + 2 a + a = 0 1 a (n − n) = −a 0 a =⇒ a = − 2 n(n − 1) 2 fi l u bahwa untuk n genap a dapat dinyatakan dalam Dengan demikian diperoleh k a sedangkan untuk n ganjil, a dapat dinyatakan dalam a , yaitu c a a0 + 2 a2 = 0 =
⇒
− a2
0
a2 =
s+n
n
n
2
n−2
n
n
n
n
n
n
n−2 n
n
n−2
2
n−2
n−2
n
n
0
n
1
a a − (2)(1) =− 2! a a a = − =− (3)(2) 3! a a a = − = (4)(3) 4! a a a = − = (5)(4) 5! a2 = 3
4 5
0
0
1
1
2
0
3
1
. . . dan seterusnya
96
BAB 4. SOLUSI DERET UNTUK PERSAMAAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL DIFFERENSIAL
Maka solusi untuk nilai s =
−2 dapat disusun dalam bentuk
∞
y =
�
an xn+s
n=0
2
−
= a 0 x
2
−
= a 0 x
− a2! − a3! x + a4! x + a5! x − a6! x − a7! x + . . . − 2!1 + x4! − x6! + . . . + a x − 3!x + x5! − x7! + . . . 0
1
−
+ a1 x
1
2
4
1
2
0
3
− 1
1
4
5
3
5
−
1
x 2 x 4 2 = a 0 x 1 + 2! 4! a0 cos x a 1 sin x = + x2 x2 −
0
−
−
x 6 + . . . + a1 x 6!
2
−
x
x 3 x 5 + 3! 5!
−
x 7 + . . . 7!
r (4.39) a s a umum tidak sama Perlu diingat bahwa konstanta konstanta pada persamaan 4.38 b secara nilainya dengan konstanta pada persamaan 4.39. h k dimaksud diperoleh deSolusi lengkap dari persamaan differensial yang 3nilai s = −1 dan solusi yang ngan menjumlahkan solusi yang diperoleh untuk 1 diperoleh untuk nilai s = −2, yaitu 2 0 y = y + y 2 m C C C e (4.40) = sinsx + cos x + sin x x x x C 1 C = 0 sin x + cos x x x 2 2 Metode yang dijelaskan fi di atas dinamakan sebagai metode Frobenius. lpenyelesaian persamaan differensial menggunakan metode Secara ringkas u Frobenius dapat k dirangkumkan sebagai berikut: a c bentuk solusi berupa deret pangkat y = a x . • misalkan
s=−1
1 2
1 2
s=−2 2 2
3 2
2 2
∞
n
n+s
n=0
• selesaikan persamaan index untuk memperoleh nilai s yang memenuhi. • cari solusi y untuk masing-masing nilai s . • cari solusi lengkap y . s
Contoh 1
Dengan menggunakan metode Frobenius, carilah solusi persamaan differensial x 2 y 6y = 0 ��
−
4.7. 4.7.
97
METODE METODE FROBE FROBENIU NIUS S
∞
�
Misalkan solusinya berbentuk y =
an xn+s , maka diperoleh
n=0
∞ �
y =
�
(n + s)an xn+s
1
−
n=0
dan
∞ ��
y =
�
(n + s)(n + s
n=0
− 1)a x n
n+s−2
Dengan Dengan demikian demikian persamaan persamaan differensia differensiall tersebut tersebut dapat ditulisk dituliskan an dalam bentuk
r a − 6a x = 0 s (n + s)(n + s − 1)a x a b h Dari koefisien x (untuk n = 0) diperoleh diperoleh hubun hubungan gan k 3 a sembarang (s(s − 1) − 6)a =⇒ s = 3 atau s = −2 dengan 1 0koefisien suku x akan Selanjutnya jika digunakan nilai s = 3, maka dari 2 diperoleh persamaan 2 ⇒ a = 0 12a − 6a = 0 e = m s sedangkan dari koefisien suku x 1 diperoleh 0 2 20a − 6a = 0 =⇒ a = 0 2 fi dan secara umum (untuk koefisien suku x ) akan diperoleh l u k (n + 3)(n + 2)a − 6a =⇒ a = 0 a c Hal ini berarti untuk untuk nilai s = 3 akan diperoleh bahwa semua a = 0 kecuali ∞
�
n
n+s
n
n+s
n=0
s
0
0
s+1
1
1
1
s+2
2
2
2
s+n
n
n
n
n
untuk n = 0 (a0 = 0). Dengan Dengan demikian demikian bent b entuk uk solusi fungsi y untuk nilai s = 3 adalah
�
∞
y =
�
∞
n+s
an x
=
n=0
�
an xn+3 = a 0 x3
(4.41)
n=0
Kemudian jika digunakan nilai s = 2, maka untuk koefisien suku x s+1 akan diperoleh ((s + 1)s 6)a1 = 0 = a1 = 0
−
−
⇒
demikian pula seterusnya sehingga didapat bahwa secara umum a n = 0. Hanya a0 yang tidak sama dengan nol, namun perlu diingat bahwa secara
98
BAB 4. SOLUSI DERET UNTUK PERSAMAAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL DIFFERENSIAL
umum a0 untuk s = 3 yang telah digunakan di atas tidak sama dengan a0 untuk nilai s = 2 (agar lebih jelas, deret untuk s = 2 menggunakan deret b). Dengan demikian bentuk solusi y untuk nilai s = 2 adalah
−
∞
y =
�
− −
∞
n+s
bn x
�
=
n=0
bn xn
2
−
b0 x2
=
n=0
Maka solusi persamaan differensial tersebut adalah b0 y = a 0 x3 + 2 x
(4.42)
(4.43)
Contoh 2
r a s a bensiall berbentuk Dengan Dengan memisalk memisalkan an bentuk solusi persamaan persamaan differensia differ berbentuk y = h k dan y = a (n+ a x , maka dapat diperoleh y = a (n+s)x 3 1 s)(n + s − 1)x . 0 2 y , y dan y ke persamaan differensial yang dimaksud Substitusi bentuk deret y, 2 akan memberikan m e 4a (n + s)(n + s − 1)xs + 2a (n + s)x + a x = 0 1 0 s)(n + s − 1) + 2 a (n + s)) x (4a (n + 2 + a x = 0 2 fi Untuk nilai n = l 0, maka koefisien x akan memberikan persamaan sebagai u berikut k a 4 ca s(s − 1) + 2a s = 0 =⇒ 4a s − 2a s = 0 Dengan menggunakan metode Frobenius, tentukanlah solusi persamaan differensial 4xy + 2y + y = 0. ��
�
∞
�
∞
n
n+s
n=0
∞
�
�
n+s−1
n
��
n=0
n+s−2
�
�
n
n=0
��
∞
� �
n+s−1
n
n+s−1
n
n
n+s
n=0
∞
n
n+s−1
n
n
n+s
n=0
s−1
0
0
0
2
0
⇒ diperoleh s = 12 atau s = 0
=
Tinjau kondisi untuk nilai s = 0, persamaan koefisien suku x 0 memberikan a0 4a1 (1)(0) + 2 a1 (1) + a0 = 0 = a1 = 2 dan jika ditinjau untuk koefisien x n 1 maka akan diperoleh bentuk koefisien an , yaitu
⇒
−
−
4an (n)(n
− 1) + 2a (n) + a n
n−1 =
2
⇒ a (4n − 2n) + a a =⇒ a = − 2n(2n − 1)
0=
n n
n−1 =
n−1
0
4.8. 4.8.
99
FUNGSI FUNGSI BESSEL BESSEL
Dengan Dengan demikian demikian diperoleh diperoleh bentuk solusi y untuk nilai s = 0 adalah y
s=0
= a 0 + a1 x + a2x2 + a3 x3 + a4 x4 + . . .
− − − √
1 1 1 3 1 x + x2 x + x4 . . . = a 0 1 2 24 720 40320 2 3 4 x x x x ... = a 0 1 + + 2! 4! 6! 8! ( x)2 ( x)4 ( x)6 ( x)8 ... = a 0 1 + + 2! 4! 6! 8! = a 0 cos x
−
−
−
√
−
√
− √
√
−
(4.44)
r a s a b h k
Selanjutnya tinjau untuk kondisi s = 21 , akan diperoleh persamaan dari koefisien x n 1 sebagai berikut −
bn =
− 2n(2b n + 1) n−1
3 1 0 2 y = b x + b x + b x + b x + b x + . . . 2 1 1 m1 x + 1 x − . . . x e − = b x − x + 6 120 362880 s 5040 1 1 1 1 1 x − x + x − ... = b x − x + 0 3! 5! 7! 9! 2 √ 2 = b sin x fi (4.45) l uumum persamaan differensial tersebut adalah Dengan demikian solusi k a √ √ (4.46) c y = y + y = C cos x + C sin x
Dengan Dengan demikian demikian diperoleh diperoleh bentuk solusi y untuk nilai s = 21 adalah
1
s= 2
0
0
0
1/2
1/2
1
3/2
2
5/2
3/2
1/2
3
7/2
4
5/2
3/2
5/2
9/2
7/2
9/2
7/2
9/2
0
4.8 4.8
1
s= 12
s=0
2
Fungs ungsii Bess Bessel el
Persamaan Bessel adalah persamaan differensial yang berbentuk: x2 y + xy + (x2 ��
�
2
− p )y = 0
(4.47)
di mana p adalah konstanta yang dinamakan orde dari fungsi Bessel yang menjadi menjadi solusi persamaan persamaan Bessel tersebut. tersebut. Nilai Nilai p dapat berupa pecahan dan dinamakan orde fungsi Bessel.
100
BAB 4. SOLUSI DERET UNTUK PERSAMAAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL DIFFERENSIAL
Karena x(xy ) = x2y + xy , maka persamaan Bessel dapat dituliskan lagi sebagai x(xy ) + (x2 p2 )y = 0 (4.48) �
�
��
�
�
�
−
Selanjutnya Selanjutnya dengan menggunakan menggunakan metode Frobenius, dimisalkan dimisalkan solusinya ∞
berbentuk y =
�
an xn+s , akan dapat diperoleh
n=0
∞ �
y =
� � � �
an (n + s)xn+s
1
−
n=0 ∞
an (n + s)xn+s
r a s a a (n + s) x (xy ) = b h k x(xy ) = a (n + s) x 3 1 2 04.48, maka akan diperoleh: Bila disubstitusikan kembali ke persamaan 2 a (n + s e x a x ) m + (x − p ) =0 s 1+ a x − p a x = 0 a (n + s) 0 x 2 2 fix , maka akan diperoleh persamaan a s − a p = 0 Bila ditinjau koefisen l u s = ± p dengan nilai a sembarang. Kemudian bila ditinjau yang memberikan k koefisien x a, maka akan diperoleh hubungan c �
xy =
n=0 ∞
�
�
2 n+s−1
n
n=0 ∞
�
�
2 n+s
n
n=0
∞
∞
�
2 n+s
n
2
2
n=0
∞
�
n
n+s
n=0
∞
2 n+s
n
� �
n=0
∞
�
n
n+s+2
2
n=0
n
n+s
n=0
s
0
2
0
2
0
s+1
a1 (1 + s)2
− a p 1
2
⇒ a (1 + 2s) = 0 =⇒ a = 0
=0 =
1
1
Sedangkan bila ditinjau koefisien x s+2, akan diperoleh persamaan a2 (2 + s)2 + a0
− p a = 0 =⇒ a ((2 + s) − p ) = −a =⇒ a = − 4(sa + 1) 2
2
2
2
2
0
0
2
yang berarti a2 dapat dinyatakan dalam a0 . Secara Secara umum bila diterusk diteruskan, s+n maka untuk koefisen x akan dapat diperoleh an (n + s)2
− p
2
⇒ a = − (n +a s) − p
+ an 2 = 0 = −
n
n−2 2
2
4.8. 4.8.
101
FUNGSI FUNGSI BESSEL BESSEL
Jika ditinjau kasus untuk nilai s = p , maka
− (n +a p) − p n−2 2
an =
2
=
− n(na + 2 p) n−2
Karena telah diperoleh bahwa a1 = 0, maka berarti semua nilai an untuk n ganjil akan sama dengan nol dan yang ada hanyalah nilai a n untuk n bilangan genap. Artinya dapat digunakan notasi lain dengan mengganti n menjadi 2n sehingga a2n 2 a2n 2 a2n = = 2n(2n + 2 p) 22 n(n + p) −
−
−
−
Selanjutnya dengan memanfaatkan bentuk fungsi Gamma sebagaimana yang telah diuraikan pada BAB terdahulu, maka koefisien an dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi Gamma
r a s a a Γ(1 + p) a a = − =− b 2 (1 + p) 2 Γ(2 + p) h a a a Γ(1k + p) a = − = = 3 2 (2 + p) 2!2 (1 + p)(2 + p) 2!2 Γ(3 + p) 1 a a 0 a = − =− 3!2 (3 + p) 3!2 (1 + p)(2 +2 p)(3 + p) 2 a Γ(1 + p) =− m 3!2 Γ(4 + p) e s . . .dan seterusnya 1 0 Dengan Dengan demikian demikian diperoleh diperoleh bentuk solusi untuk nilai s = p sebagai berikut 2 2 x 1 1 fi y − =a x Γ(1 + p) Γ(1 + p) Γ(2 + p) 2 l x 1 u x 1 k − + + . . . 2!Γ(3 a + p) 2 3!Γ(4 + p) 2 c (4.49) x x 1 1 0
2
2
4
3
0 2
2
0
0
4
4
4
6
0
6
6
0
6
s= p
0
p
2
4
p
=a0 2 +
p
2
6
−
Γ(1 + p)
x 1 Γ(3)Γ(3 + p) 2
− Γ(1)Γ(1 + p) Γ(2)Γ(2 + p) 4
2
x 1 Γ(4)Γ(4 + p) 2
6
2
+ . . .
1 1 = , maka solusi y ter2 p Γ(1 + p) 2 p p! sebut dinamakan dinamakan fungsi fungsi Bessel Bessel jenis pertama orde p yang dituliskan sebagai J p (x), yaitu x 2n+ p ( 1)n J p (x) = (4.50) n n p Γ( + 1)Γ( + + 1) 2 n=0 Jika kemudian digunakan nilai a0 =
∞
�
−
102
BAB 4. SOLUSI DERET UNTUK PERSAMAAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL DIFFERENSIAL
Fungsi Bessel jenis pertama J p( x) 1.2 1
J 0(x ) J 1(x )
0.8
J 2(x ) J 3(x )
0.6 )
x
J 4(x )
0.4
(
p
J 0.2
0 -0.2
r a s a b x h k p = 0, 1, 2, 3 dan 4. Gambar 4.2: Plot fungsi Bessel jenis pertama untuk 3 1 Contoh Con toh plot fungsi Bessel jenis p ertama ertama untuk unt 2 0uk beberapa nilai p ditunjukkan dalam gambar gambar 4.2. Terlihat erlihat bahwa 2 fungsi Bessel untuk semua semua orde kecuali kecuali nol merupakan fungsi yang melalui titik pusat koordinat (0 , 0). m e Solusi persamaan Bessel juga dapat diperoleh untuk nilai s = − p dan s secara langsung bisa menggunakan persamaan 4.50 dengan mengganti nilai 1ini dinamakan sebagai fungsi Bessel jenis kedua, p menjadi − p. Bentuk solusi 0 2 yaitu 2 x (−1) fi) = J (x (4.51) l Γ(n + 1)Γ(n − p + 1) 2 u k Untuk p a yang bukan bilangan bulat, fungsi J (x) adalah berupa suatu cdiawali oleh x , sedangk deret yang sedangkan an fungsi J (x) adalah berupa deret -0.4 -0.6
-2
0
2
∞
p
6
8
n
�
−
4
n=0
10
12
2n− p
p
p
p
−
p
yang diawali suku x . Hal ini berarti keduanya adalah solusi yang berbeda sehingga solusi lengkap persaman Bessel adalah kombinasi linier dari kedua solusi solusi tersebut tersebut.. Namun Namun jika jika nilai nilai p adalah adalah bilangan bilangan bulat, bulat, maka maka beberapa suku pertama dari deret J p (x) adalah nol dan ternyata J p (x) dapat dinyatakan dalam bentuk J p p (x), yaitu −
−
J p (x) = ( 1) p J p (x) −
−
−
untuk p bil. bulat
(4.52)
hal ini berarti J p (x) bukanlah solusi yang berbeda dari J p (x) untuk nilai p bilangan bulat. Untuk keadaan ini solusi kedua bukanlah deret Frobenius (melainkan mengandung bentuk logaritma). Karena J p p (x) bernilai berhingga −
4.8. 4.8.
103
FUNGSI FUNGSI BESSEL BESSEL
di titik asal ( x = 0) sedangkan J p (x) bernilai tak hingga di titik asal, maka biasanya muncul untuk aplikasi yang tidak melibatkan daerah titik asal. Meskipun J p (x) dapat menjadi solusi kedua jika p bukan bilangan bulat, namun solusi kedua lebih umum dinyatakan dalam bentuk kombinasi linier dari J p p (x) dan J p (x). Kombinasi linier ini dinyatakan dalam bentuk fungsi Neumann (N p (x)) ataupun fungsi Weber (Y p (x)). Fungsi Neumann ataupun fungsi Weber dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut −
−
−
N p (x) = Y p p (x) =
cos(πp )J p (x) J p (x) sin(πp)
−
−
(4.53)
r a s a b h k
N p (x) ataupun Y p (x) disebut sebagai fungsi Bessel jenis kedua (Bessel function of the second kind ). Solusi umum dari persamaan Bessel (persamaan 4.47) dituliskan sebagai kombinasi linier dari fungsi Bessel jenis pertama dan fungsi Bessel jenis kedua, yaitu
3 1 y = AJ (x) + B N N (x) atau y = AJ Y (x) (x) + B Y (4.54) 0 2 Sebagaimana ditunjukkan dalam gambar 2 4.2, fungsi Bessel jenis pertama m � 0 melalui titik pusat koordinat untuk p = dan kemudian berosilasi seba e s itudo yang mengecil gaimana gaimana fungsi sinus namun dengan dengan amplitudo ampl mengecil untuk untuk nilai x yang membesar (seperti teredam). 1 Terlihat juga bahwa untuk J (x) bentuk 0 fungsiny fungsinyaa mirip mirip dengan dengan bentuk fungsi cosinus cosinus teredam. Nilai x yang mem 2 buat nilai fungsi Bessel sama 2 dengan nol disebut sebagai nol (atau akar) dari fi fungsi Bessel. Jika pada fungsi trigonometrsi sinus dan cosinus, nilai nolnya l diperoleh untuk nilai x u yang teratur (yaitu pada nilai x = nπ ), pada fungsi k dapat dinyatakan seperti itu dan harus dihitung Bessel nilai nolnya tidak a secara numerik atau c biasa juga disajikan dalam tabel. p
p
p
p
0
Fungsi Pembangkit untuk Fungsi Bessel Sebagaimana untuk polinom Legendre, ada juga bentuk fungsi pembangkit untuk untuk fungsi fungsi Bessel. Bessel. Fungsi pembangkit pembangkit untuk fungsi Bessel mempunyai mempunyai bentuk sebagai b erikut erikut ∞
Φ(x, t) = e
(x/2)( x/2)(tt−1/t) /t)
=
�
p= p=−∞
J p (x)t p
(4.55)
104
BAB 4. SOLUSI DERET UNTUK PERSAMAAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL DIFFERENSIAL ∞
x
Pembuktiannya Pembuktiannya adalah sebagai berikut (dengan mengingat bahwa e =
� n=0
∞
e
(x/2)( x/2)(tt−1/t) /t)
= e
xt/2 xt/2
e
x/(2 x/(2tt)
−
=
� k=0
∞
∞
∞
∞
(xt/2)k k!
xk tk ( x)m(t) = k !m! k=0 m=0
�� − �� − �� −
m
−
∞
( x/2t)m m! m=0
�− 1 2
( 1)mxk tk (x)m(t) = k !m! k=0 m=0
xn ): n!
m
−
k+m
1 2
k+m
r a t s a b h k m k Perhatikan bahwa untuk suku t , yang berarti = , maka ungkapan di 3 atas dapat dituliskan dalam bentuk 1 0 2 2 (−1) (−1) x x ≡ J (x) = m k !k ! 2 e 2 (k !) s 1 0 t akan diperoleh jika k − m = p , maka demikian demikian juga untuk suku 2 2 fi l x (−1) (−1) u x ≡ J (x) = k k !(k + p)! 2 2 (k + p)!k ! c a ∞
∞
( 1)m x = k !m! 2 k=0 m=0
k+m
k−m
0
∞
k
∞
2k
k
� � k=0
2k
2k
2
0
k =0
p
∞
�
k
2k + p
∞
�
k=0
k
2k+ p
2k+ p
p
k=0
Bentuk Integral Fungsi Bessel Dengan menggunakan bentuk fungsi pembangkit untuk J p p (x), dan menggunakan substitusi t = e iθ , maka dapat dinyatakan ex(t
1/t) /t)/2
−
iθ
−iθ
= e x(e e )/2 = e ix sin θ = cos(x sin θ ) + i sin(x sin θ) −
4.8. 4.8.
105
FUNGSI FUNGSI BESSEL BESSEL
Dengan demikian dari persamaan 4.55 dapat dinyatakan ∞
cos(x sin θ) + i sin(x sin θ) =
� � � �
J p (x)t p
p= p=−∞ ∞
=
∞
iθ p
J p (x)(e ) =
p= p=−∞
J p (x)(eipθ )
p= p=−∞
∞
=
�
J p (x)(cos pθ + i sin pθ )
p= p=−∞ ∞
=
∞
J p (x)cos( pθ ) + i
p= p=−∞
−
−
−
∞
cos(x sin θ) =
� �
J p (x) sin( sin( pθ )
r a s (x) = ( −1) J a (x), cos( pθ ) = b h k 3 1 2 0 p= p=−∞
Selanjutnya Selanjutnya dengan menggunakan hubungan J p cos( pθ ) dan sin( pθ ) = sin( pθ ), maka
−
�
J p (x)cos( pθ )
p= p=−∞
p
p
2(x) + J (x)cos( pθ) J (x)cos(mθ) + J = m e s J (x)cos(−mθ) + J (x)cos( pθ ) = J (x) + 1 0 2 karena untuk indeks k yang 2 genap berlaku J (x) cos( cos(−kθ ) = J (x) cos( cos(kθ ), fi maka dapat dinyataka dinyatakan n l u k cos( cos(2 pθ) (4.56) c ax sin θ) = J (x) + 2 J (x) cos(2 1
−
∞
m
0
m=−∞ 0
� �
p
p=1 p=1
∞
∞
�
m
−
m=1
p
p=1 p=1
k
k
−
∞
�
0
2 p
p=1 p=1
Sedangkan suku kedua (suku bagian imajiner) dapat dituliskan sebagai berikut ∞
sin(x sin θ) =
� �
J p (x)sin( pθ ) =
p= p=−∞
p negatif p negatif
∞
=2
p=1 p=1
�
J 2 p 1 (x) sin((2 sin((2 p −
J p (x)sin( pθ ) +
�
J p (x)sin( pθ)
p positif p positif
− 1)θ) (4.57)
106
BAB 4. SOLUSI DERET UNTUK PERSAMAAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL DIFFERENSIAL
Perhatikan bahwa persamaan 4.56 dan 4.57 dapat dipandang sebagai uraian deret Fourier dari fungsi cos(x sin θ ) dan fungsi sin(x sin θ). Deng Dengan an mememanfaatkan sifat ortogonalitas fungsi sinus dan cosinus, jika persamaan 4.56 dikalikan dengan cos kθ kemudian diintegralkan dari 0 sampai π maka akan diperoleh 1 π
π
�
cos kθ cos(x sin θ)dθ =
0
J k (x) 0
untuk k = 0, 2, 4, . . . untuk k = 1, 3, 5, . . .
(4.58)
Sedangkan bila persamaan 4.57 dikalikan dengan sin kθ lalu diintegralkan dari 0 sampai π , maka akan dapat dinyatakan
r a s a J (x) untuk k = 1, 3, 5, . . . 1 b sin kθ sin(x sin θ)dθ = (4.59) π 0 untu h k k = 0, 2, 4, . . . k 3 1 dan bila kedua bentuk integral tersebut dijumlahkan akan diperoleh ungkapan fungsi Bessel dalam bentuk integral, yaitu 2 0 2 m 1 e J (x) = cos( pθ − x sin teger posi positi tiff (4.6 (4.600) s θ)dθ, untuk p integ π 1 0 2 2 Hubungan Rekursif fi untuk Fungsi Bessel l u Hubungan rekursif pada fungsi Bessel mengaitkan antara fungsi Bessel suatu k orde dengan berikutnyaa ataupun ataupun orde sebelumnya. sebelumnya. Berikut Berikut ini adalah adalah aorde berikutny c beberapa hubungan rekursif yang berkaitan dengan fungsi Bessel π
� 0
k
π
�
p
0
d p [ x J p (x)] = x p J p 1 (x) dx
(4.61a)
−
d x p J p (x) = dx
−
p
−
−x
J p+1 p+1 (x)
2 p J p p (x) x J p 1 (x) J p+1 p+1 (x) = 2 J p (x) p p J p (x) = J p (x) + J p 1 (x) = J p (x) J p+1 p+1 (x) x x J p 1 (x) + J p+1 p+1 (x) = −
−
�
−
�
−
−
−
(4.61b) (4.61c) (4.61d) (4.61e)
4.9. PERSAMAAN DIFFERENSIAL BIASA BIASA DENGAN SOLUSI SOLUSI BERUPA BERUPA FUNGSI BESSEL107
4.9
Persam ersamaan aan Differe Differensi nsial al Bias Biasa a deng dengan an Solusi berupa Fungsi Bessel
Secara umum, persamaan differensial biasa yang berbentuk ��
y +
1
− 2a y + �
x
(bcxc 1 )2 + −
a 2
2 2
− p c x2
y=0
(4.62)
solusinya adalah berupa fungsi Bessel yang dinyatakan dengan y = x a Z p (bxc )
(4.63)
r a s a b h k
dengan Z p adalah fungsi Bessel jenis pertama atau jenis kedua atau kombinasi linier dari keduanya sedangkan a , b , c dan p adalah konstanta. Contoh 1
3 1 0 2 Bila persamaan differensial tersebut dibandingkan dengan dengan persamaan 2 4.62, maka akan diperoleh bahwa m e 1 − 2a 1 =0 s =⇒ a = x 1 2 3 − 0 2(c 2 1) = 1 =⇒ c = 2 2 fi(bc) = 9 =⇒ b = 2 la − p c = 0 =⇒ p = 1 u 3 k a Dengan demikian c solusi persamaan differensial tersebut adalah Tentukan solusi persamaan differensial y + 9xy = 0. ��
2
2
2 2
y = x a Z p (bxc ) = x 1/2 Z 1/3 (2x3/2)
= x 1/2 Contoh 2
J 1/3(2x3/2 ) + N N 1/3 (2x3/2 )
A
B
Tentukan solusi persamaan differensial y + 4 x2 y = 0 dalam bentuk fungsi Bessel. ��
Bila persamaan differensial tersebut dibandingkan denan persamaan 4.62,
108
BAB 4. SOLUSI DERET UNTUK PERSAMAAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL DIFFERENSIAL
a, b, c dan p sebagai berikut maka dapat diperoleh nilai a,
− 2a = 0 =⇒ a = 12 2c − 1 = 1 =⇒ c = 1 (bc) = 4 =⇒ b = 2 − p c = 0 =⇒ p = 12
1
2
a2
2 2
dengan demikian solusi persamaan differensial tersebut adalah y = x a Z p (bxc ) = x 1/2 Z 1/2 (2x) = x 1/2
�A
J 1/2 (2x) + N N 1/2 (2x)
B
�
r a s a Selain J (x) dan N (x), dikenal juga beberapa jenis fungsi Bessel lainnya, b h yaitu: k 1. Fungsi Hankel atau fungsi Bessel jenis 3 ketiga, dinyatakan dinyatakan dengan 1 0 H (x) = J (2x) + i N (x) (4.64) H (x) 2 = J (x) − i N (x) m e 2. Fungsi Bessel hiperbolik hiperbolik atau termodifikasi yang yang dinyadinyas fungsi Bessel termodifikasi takan dalam bentuk 1 0 I (x) = i J (ix) 2 2 (4.65) π fi K (x) = i H (ix) 2 l u Fungsi k Bessel hiperbolik ini adalah solusi dari persamaan differensial yang berbentuk c a x y + xy − (x + p )y = 0 (4.66) Fungsi Bessel Jenis Lainnya p
p
(1) p (2) p
p p
p
p p
p
p
−
p
p+1 p+1
p
2
��
p
�
2
(1) p
2
3. Fungsi Bessel sferis, yang dinyatakan dinyatakan sebagai berikut jn (x) = yn (x) =
hn(1)(x) = j n (x) + i yn (x) hn(2)(x) = j n (x)
− i y (x) n
n 1 d x dx 1 d x dx
− − −
π n J (2n (2n+1)/ +1)/2 (x) = x 2x π Y (2n xn (2n+1)/ +1)/2 (x) = 2x
sin x x n cos x x
(4.67)
4.10. 4.10.
109
ORTOGON ORTOGONALIT ALITAS AS FUNGSI BESSEL BESSEL
4. Fungsi Kelvin, yaitu bern x = bein kern kein
� x = � x = � x = �
J n (i3/2 x)
J n (i3/2 x)
i
n
−
K n (i1/2 x)
i n K n (i1/2 x) di mana
J n (i3/2 x) = bern x + i bein x; dan i
−
n
−
K n (i1/2 x) = kern x + i kein x (4.68)
yang merupakan solusi persamaan differensial x2 y + xy ��
�
2 2
− (λ x
+ n2 )y = 0
5. Fungsi Airy, dinyatak dinyatakan an sebagai berikut 1 Ai(x) = π 1 Bi(x) = π
r(4.69) a s a b h k
� � � � 1 3� � 0 x K 1/3 23 x3/2 3 x I 1/3 23 x3/2 + I 1/3 3
2
−
(4.70)
2 3/2 x 3
2 m y − e xy =0 (4.71) s 1 4.10 Ortogo Ortogonal nalita itass 0 Fungsi ungsi Bessel Bessel 2 2 Salah satu sifat fungsi Bessel fi yang sangat penting diketahui dalam kaitannya l penyelesaian persoalan fisis adalah sifat ortogodengan penggunaan untuk u nalitas. Dalam tulisan ini tidak dibahas penurunannya, dan untuk keperluan k praktis sifat ortogonalitas c a fungsi Bessel disajikan dalam ungkapan
yang merupakan merupakan solusi dari persamaan differensial Airy yang berbentuk b erbentuk ��
1
� 0
xJ p (αx)J p (βx )dx =
0, 1 2 J p+1(α) = 21 J p2 1(α) = 2 p+1 −
1 2
untuk α = β J p (α) , untuk α = β
�
�
2
(4.72)
Sedangkan dalam interval yang lebih umum dapat dinyatakan a
� 0
xJ p (αx/a)J p (βx/a)dx =
0, 1 2 1 2 J p+1(α) = 2 J p 1(α) = 2 p+1 −
1 2
untuk α = β J p (α) , untuk α = β
�
2
�
(4.73)
110
BAB 4. SOLUSI DERET UNTUK PERSAMAAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL DIFFERENSIAL
l u k a c
1 0 2 2 fi
2 m e s
3 1 2 0
r a s a b h k
Paket Soal Bab 4 1. Dengan Dengan menggunak menggunakan an metode deret, carilah carilah solusi umum persamaan persamaan differensial berikut: (a) y = y ��
(b) y
− 2y + y = 0 (c) (x + 2x)y − 2(x + 1)y + 2y = 0 (d) y − 4xy + (4x − 2)y = 0 ��
�
2
��
�
r a s a b h k
3 1 0tukanlah 2. Dengan menggunak menggunakan an rumus rumus Rodrigues, Rodrigues, tentuk ten anlah bent b entuk uk fungsi 2 P (x) dan P (cos θ). 2 mtentukanlah d (xe ) 3. Dengan menggunakan menggunakan aturan Leibniz, tentukanlah e s dx 1 0 2 4. Tunjukkan bahwa bahwa x P (x) dx = 0, untuk m < l . 2 fi l uberikut sebagai kombinas 5. Nyatak Nyatakan an polinom polinom kombinasii linier linier dari polinom Le k gendre: c a ��
2
�
4
3
10
x
10
1
�
m
l
1
−
(a) 3x2 + x
(b) 7x4
− 1.
− 3x + 1
6. Ekspansikan Ekspansikan fungsi-fungsi berikut menjadi deret Legendre: (a) f (x) =
(b) f (x) =
−
1,
1,
0, x,
untuk 1 < x < 0 untuk 0 < x < 1
−
untuk 1 < x < 0 untuk 0 < x < 1
−
111
112
Paket Paket Soal Bab 4
(c) f (x) = (d) f (x) =
0, 1,
untuk 1 < x < a, dengan a > 0 untuk a < x < 1
−
0, √ 1 − x,
untuk 1 < x < 0 untuk 0 < x < 1
−
(e) f (x) = P l (x) �
7. Dengan Dengan menggunak menggunakan an metode Frobenius, Frobenius, carilah solusi umum persamaan differensial berikut: (a) x2 y + xy
�
− 9y = 0
r a s a (d) 2xy b h 8. Carilah solusi persamaan differensial differensial berikutk dalam bentuk fungsi BesBessel: 3 1 (a) xy + 2y + 4y = 0 2 0 (b) 3xy + 2y + 12y = 0 2 1 1 m (c) y − y + 4 + ey = 0 x x s (d) 4xy + 2y + y = 1 0 0 2 9. Persama Persamaan an differensia differ ensiall yang yang menyatak menyatakan an getaran getaran transver transversal sal sebuah 2 tali yang memiliki fi masa jenis yang berupa fungsi linier dari jarak ter l hadap salah satu ujung dinyatakan dengan bentuk y + (Ax + B )y = 0, u A dan B adalah konstant di mana konstanta. a. Tentuk entukan an bentuk solusi umum k a vibrasi vibra csi tali tersebut dalam bentuk fungsi Bessel. (b) x2 y
��
(c) x2 y
��
��
− 6y = 0 − (x + 2)y = 0 − y + 2y = 0 2
�
��
�
��
��
�
�
2
��
�
��
10. Tinjau Tinjau persamaan persamaan differensia differensiall y + e 2x y = 0. Tentuk entukanlah bentuk solusinya. Petunjuk: gunakan substitusi variabel z = e x. ��
