Departemen Departemen Teknik Informatik Informatikaa Fakultas Teknologi Industri Institut Teknologi Bandung
Nama :………………… :………………………… ……… NIM :………………………… T.tangan:…………………………
Kuis ke-6 IF2! Matematika Diskrit "# $K$% Dosen: Ir. &inaldi Munir' M.T. &a(u' ! Desem(er 2))# *aktu: 6) menit 1.
Tentukan +umla, simpul pada graf seder,ana (ila mempunyai 20 buah sisi dan tiap simpul (erdera+at sama. ")% Jawab:
emma +a(at tangan: d "v% 2/ E / vV
d "v% 2 . 2) #) vV
$etiap simpul (erdera+at sama 0aitu (erdera+at r ' dan +ika n adala, +umla, simpul pada graf terse(ut' maka: nr #) 1umla, simpul pada graf seder,ana terse(ut adala, n = 40 / r ,
r > 0 dan r Z positif dan habis membagi 40 ntuk r ' maka n #)3 akan ter(entuk graf tidak ter,u(ung 0ang
masing-masing simpuln0a (erdera+at ' +umla, sisin0a adala, #)42 2) "memenu,i% ntuk r = 2' maka n 2)' akan ter(entuk graf lingkaran dengan sisi 2) "memenu,i% ntuk r 5' 6' ' 7 tidak mungkin se(a( ,asil pem(agian "#)4r % tidak (ulat. ntuk r 8 2' maka graf seder,ana dapat ter(entuk +ika +umla, sisin0a ke9il dari +umla, sisi graf lengkap dengan dera+at r . 1ika le(i, maka graf terse(ut (ukanla, graf seder,ana. r "dera+at% "dera+at%
n "simpul%
Maksimum sisi 0ang diiinkan agar ter(entuk graf seder,ana
Keterangan
Memenu,i se(a( 2) ≤ 45 Memenu,i se(a( ! ; ; . 4 2 2; 2) ≤ 2 Tidak memenu,i ; ! ! .# 4 2 ) se(a( 2) 8 ) Tidak memenu,i ) # # .5 4 2 6 2) 8 6 .. . .. . ... .. . <% ntuk r 0ang le(i, (esar lagi tidak akan mungkin lagi ter(entuk graf seder,ana se(a( +umla, simpuln0a akan le(i, ke9il se,ingga maksimum sisi 0ang diiinkan +uga semakin ke9il. #
)
) . 7 4 2 #!
Jadi r yang memenuhi ada!ah "1, 2, 4, 5#, dan $um!ah simpu! di da!am g%af ada!ah "40, 20, 10, #. 2. Diketa,ui matriks ketetanggaan "adjacency matrices% dari se(ua, graf tidak
(erara,:
) ) )
)
)
)
)
)
) )
=am(arkan dua (ua, graf 0ang isomorfik 0ang (ersesuaian dengan matriks ketetanggaan di atas. ")% Jawab: &$awaban tida' tungga!, sa!ah satunya sepe%ti di bawah ini( 2 1
1
2
3 5
4 5
).
3
"a% >paka, K 5 memiliki sirkuit ?uler@ $irkuit Aamilton@ "(% langi pertan0aan "a% untuk K #
4
")%
Jawab:
$irkuit ?uler terdapat pada graf tak (erara, 0ang semua simpul pada graf terse(ut (erdera+at genap. $etiap graf lengkap adala, graf Aamilton "memiliki sirkuit Aamilton% (a) K13
Memiliki sirkuit ?uler se(a( setiap simpul pada K 13 (erdera+at 2 "genap%3 Memiliki $irkuit Aamilton se(a( K 13 adala, graf lengkap "setiap graf lengkap adala, graf Aamilton%. (b) Tidak memiliki sirkuit ?uler se(a( setiap simpul pada K 14 (erdera+at 5 "gan+il%. K 14 Memiliki $irkuit Aamilton se(a( K 14 adala, graf lengkap.
2
4.
erli,atkan dengan ketidaksamaan ?uler (a,Ca graf (erikut planar' lalu gam(arkan graf planar terse(ut se(agai graf (idang. b
c
a
d e
f
"!% Jawab:
Diketa,ui: Maka:
e ) dan n 6
5n - 6 ) 5.6 6 ) 2 (enar 1adi graf terse(ut adala, graf planar. =am(ar graf (idangn0a "mungkin ada 9ara penggam(aran lain%: e
!. Di suatu negara terdapat (ua, stasiun teleEisi. emerinta, menetapkan aturan (a,Ca dua stasiun teleEisi 0ang (er+arak !) km tidak (ole, (eroperasi pada saluran frekuensi "UHF % 0ang sama. Ta(el di (aCa, ini memperli,atkan +arak "km% antar stasiun teleEisi. "a% =am(arkan graf 0ang memodelkan persoalan ini. 1elaskan pula arti setiap simpul dan sisi pada graf anda. "!% "(%
Berapa (an0ak frekuensi (er(eda 0ang di(utu,kan (agi ketu+u, stasiun T terse(ut sesuai dengan aturan emerinta,@ Termasuk kategori mana persolan ini@ ")%
5
2 5 # ! 6
-
2 ;! -
5 ! 2! -
# 2)) ! )) -
! !) )) 2)) 2) -
6 )) 6) 2!) 22) )) -
25) #! 6) ;) 25! 2) -
Jawab:
"a% ermodelan dengan =raf
$impul merepresentasikan stasiun teleEisi. $isi merepresentasikan (a,Ca dua (ua, simpul 0ang ter,u(ung ole, sisi terse(ut tidak (ole, (eroperasi pada saluran frekuensi 0ang sama se(a( +arak keduan0a G !) km "(% Ban0ak frekuensi 0ang (er(eda adala, adala, minimum 5 dan maksimum ersoalan ini termasuk ke dalam kategori eCarnaan =raf
6. $e(ua, po,on #-ary tinggin0a !. Tanpa menggam(arkan po,onn0a' ,itung +umla, maksimum seluru, simpul di dalam po,on terse(ut. Berapa +umla, maksimum seluru, daunn0a@ ")% Jawab:
Diket: n #' , ! Maka: 1umla, maksimum seluru, simpul # n $ 56! simpul h
n
!
#
1umla, maksimum seluru, daun n, #! )2# daun
#
. $e(ua, turnamen 9atur diikuti ole, !))) orang peserta. Berapa (an0ak pertandingan 0ang ,arus diadakan sampai ditemukan seorang +uara +ika turnamen menggunakan sistem gugur' 0aitu peserta 0ang kala, tidak perna, (ertanding lagi' dan peserta 0ang menang akan melaCan pemenang pertandingan lainn0a@ =raf apa 0ang ter(entuk@ ")% Jawab:
ersoalan dapat dimodelkan dengan po,on (iner teratur. Daun men0atakan pemain' simpul dalam "termasuk akar% men0atakan pemenang pertandingan. $impul dalam (erarti +uga total (an0ak pertandingan 0ang dilakukan sampai men+adi +uara. i (an0akn0a simpul dalam t (an0akn0a simpul daun $etiap pertandingan menggugurkan seorang pemain' dan pada ak,irn0a ,an0a ada satu pemenang. Maka (erlaku ,u(ungan: i=t– 1adi (an0akn0a pertandingan adala, !))) #777 pertandingan =raf 0ang ter(entuk adala, po,on (iner teratur. ;. Berapa (an0ak sisi ,arus di(uang dari graf ter,u(ung dengan n (ua, simpul dan "!% m (ua, sisi untuk meng,asilkan po,on rentang@ Jawab: Diket: n (ua, simpul' m (ua, sisi
Maka: >gar men+adi po,on merentang' +umla, sisi 0ang ,arus di(uang adala, : "m n H % sisi persamaan men9ari tali ,u(ung 7. Misalkan adala, po,on n-ary dengan ! se(agai akar dan upa-po,onn0a adala, ' 2' …' n. "a% Definisikan skema untuk penelusuran "re#rder dan "#st#rder dari po,on terse(ut. "'!% "(% Tentukan ,asil penelusuran "re#rder dan "#st#rder dari po,on #-ary (erikut ini: "'!% $
%
F
&
!
'
E
H
K
*
+
,
.
6
"a% $kema penelusuran po,on preorder
"i% kun+ungi akar "ii% kun+ungi 1 se9ara "er#rder ' / se9ara "er#rder ' …' n se9ara "er#rder .
postorder
"i% kun+ungi 1 se9ara "#st#rder ' / se9ara "#st#rder ' …' n se9ara "#st#rder
"ii% kun+ungi akar "(% Aasil penelusuran po,on #-ary : $0 %0 '0 0 E0 F0 0 H0 &0 K0 *0 +0 0 .0 , Preorder postorder : '0 0 E0 %0 0 H0 F0 K0 *0 0 .0 +0 ,0 &0 $
