C5 Lucrare sisteme

Cuprins Datele de intrare Logica sistemului Barlow-Proschan Birnbaum structural Calculul MUT, MDT

Verificare solutii la refacere lucrare sisteme Paul Ulmeanu

15 Mai 2011


Cuprins Datele de intrare Date de intrare (x 4 = 0) Date de intrare (x 4 = 1) Relatii utile Logica sistemului K vs. T Lista traseelor Diagrama bloc sistem Probabilitatea de succes Barlow-Proschan Probabilitatea de succes x 1 = 1 Probabilitatea de succes x 1 = 0 Birnbaum structural Identificarea vectorilor critici ai componentei 4 Calculul MUT, MDT


Cuprins Datele de intrare Date de intrare (x 4 = 0) Date de intrare (x 4 = 1) Relatii utile Logica sistemului K vs. T Lista traseelor Diagrama bloc sistem Probabilitatea de succes Barlow-Proschan Probabilitatea de succes x 1 = 1 Probabilitatea de succes x 1 = 0 Birnbaum structural Identificarea vectorilor critici ai componentei 4 Calculul MUT, MDT


Cerinte si premize



Structura logica a sistemului: obtinerea traseelor minimale atunci cand se cunosc taieturile minimale si reciproc


Cerinte si premize





Structura logica a sistemului: obtinerea traseelor minimale atunci cand se cunosc taieturile minimale si reciproc Etapele evaluarii verificarii solutiilor


Cerinte si premize






Etapele evaluarii verificarii solutiilor



Calculul indicatorilor structurali


Cerinte si premize






Etapele evaluarii verificarii solutiilor



Calculul indicatorilor structurali



Propunerile si analiza subiectelor pt. consultatii se realizeaza in continuare conform http://energ.curs.pub.ro/2010


Date de intrare (x 4 = 0) Date de intrare (x 4 = 1) Relatii utile

Date de intrare



Sistemul analizat are un numar de sase componente binare, identice si independente, fiecare avind probabilitatea de succes p si intensitatea de defectare λ



Date de intrare





Sistemul analizat are un numar de sase componente binare, identice si independente, fiecare avind probabilitatea de succes p si intensitatea de defectare λ Logica sistemului este precizata prin indicarea unui set de trasee minimale, respectiv a unui set de taieturi minimale (ambele in doua ipoteze precizate: cand o componenta este in stare de succes, respectiv aceeasi componenta in stare de insucces)



Date de intrare







Sistemul analizat are un numar de sase componente binare, identice si independente, fiecare avind probabilitatea de succes p si intensitatea de defectare λ Logica sistemului este precizata prin indicarea unui set de trasee minimale, respectiv a unui set de taieturi minimale (ambele in doua ipoteze precizate: cand o componenta este in stare de succes, respectiv aceeasi componenta in stare de insucces) Construirea modelului face apel la tehnici algebrice prezentate la curs.



Date de intrare: trasee minimale cand

x 4

=0

In cazul in care x 4 = 0 (componenta 4 in stare de insucces), traseele minimale ale sistemului devin: T 1 = {1, 2} T 2 = {1, 3} T 3 = {2, 3} T 4 = {5, 6}



Date de intrare: taieturile minimale cand

x 4

=1

In cazul in care x 4 = 1 (componenta 4 in stare de succes), taieturile minimale ale sistemului devin:

  1, ¯2, ¯5, ¯6 K = ¯   ¯ ¯ ¯ ¯ K = 1, 3, 5, 6   ¯ ¯ ¯ ¯ K = 1, 3, 5, 6 1 2 3



Relatii utile

a  a = a; a  0 = 0; a  1 = a; a  ¯ a = 0; ˙ = 1; a+0 ˙ = a; a+¯ ˙ a = 1; a+1 ¯a ˙ b = a+¯ ˙ a  b = b + ˙ b a+ ¯ ˙ b a  b = ¯ a+ ¯ ˙ b = ¯a  b a+ ˙ c ) = a  b + ˙ a  c a  (b +


K vs. T Lista traseelor Diagrama bloc sistem Probabilitatea de succes

˙ K 2 + ˙ K 3 Multimea taieturilor K in cazul x 4 = 1 este: K = K 1 + Multimea traseelor in acest caz se obtine din relatia logica InsuccesSistem = SuccesSistem. ¯ = K 1 + ˙ K 2 + ˙ K 3 = K 1  K 2  K 3 K unde: ˙ +5 ˙ +6 ˙ 1  ¯2  ¯5  ¯6 ⇒ K 1 = 1+2 K 1 = ¯ ˙ +5 ˙ +6 ˙ K 2 = ¯ 1  ¯3  ¯5  ¯6 ⇒ K 2 = 1+3 ˙ +5 ˙ +6 ˙ K 3 = ¯ 2  ¯3  ¯5  ¯6 ⇒ K 3 = 2+3 ˙ +5 ˙ +6) ˙  (1+3 ˙ +5 ˙ +6) ˙ = 1+5 ˙ +6 ˙ +2 ˙ 3 K 1  K 2 = (1+2 ˙ +6 ˙ +23)(2 ˙ ˙ +5 ˙ +6) ˙ = 12+13 ˙ ˙ ˙ +6 ˙ K 1  K 2  K 3 = (1+5 +3 +23 +5 Rezulta multimea traseelor minimale in acest caz: T 1 = {1, 2} ; T 2 = {1, 3} ; T 3 = {2, 3} ; T 5 = {5} ; T 6 = {6} . Observatie : S-au pastrat notatiile pentru: T 1 , T 2 si T 3 . S-a continuat notatia incepand cu T 5, T 4 fiind deja alocat (x 4 = 0).



Cele doua ipoteze din enunt

Remarca: T 1 , T 2 si T 3 nu se modifica ca urmare a x 4 = 1 ⇒ x 4 = 0. Ca urmare T 1 , T 2 si T 3 nu contin componenta 4 si sunt primele trei trasee identificate ale sistemului.



Lista traseelor minimale ale sistemului

Remarca: Sistemul are 6 trasee minimale: T 1 = {1, 2} , T 2 = {1, 3}, T 3 = {2, 3}, T 4 = {5, 6}, T 5 = {4, 6} si T 6 = {4, 5}.



Diagrama bloc a sistemului si evidentierea traseelor minimale



Pentru un sistem ’2/3’, probabilitatea de succes este P 2/3 = 3p 2 − 2p 3

Rezulta probabilitatea de succes a sistemului P = P 2/3 + (1 − P 2/3 )P 2/3 = 2(3p 2 − 2p 3 ) − (3p 2 − 2p 3 )2 P = 6p 2 − 4p 3 − 9p 4 + 12p 5 − 4p 6


Probabilitatea de succes x 1 = 1 Probabilitatea de succes x 1 = 0

Calculul factorului de importanta structurala Barlow-Proschan pentru componenta 1

1



I BP (i = 1) =

0

sau

(∂ P /∂ p1 )p dp

1

I BP (i = 1) =

 0

(P x 1 =1 − P x 1 =0 ) dp

In continuare se prezinta calculul in cele doua cazuri: x 1 = 1, respectiv x 1 = 0.


Cazul

x 1

=1




Pentru un sistem ’2/3’, probabilitatea de succes a sistemului este P 2/3 = 3p 2 − 2p 3

In cazul x 1 = 1, probabilitatea de succes va fi P x1 =1 = P 2/3 + (1 − P 2/3 )(2p − p 2 )


Cazul

x 1

=0




In cazul x 1 = 0, probabilitatea de succes a sistemului va fi P x1 =0 = P 2/3 + (1 − P 2/3 )p 2

Rezulta P x 1 =1 − P x1 =0 = (1 − P 2/3 )(2p − 2p 2 ) = 2p (1 − p )(1 − 3p 2 + 2p 3 ) P x 1 =1 − P x1 =0 = −4p 5 + 10p 4 − 6p 3 − 2p 2 + 2p Rezulta: 1 I BP (i = 1) = 0 −4p 5 + 10p 4 − 6p 3 − 2p 2 + 2p dp I BP (i = 1) = −4/6 + 10/5 − 6/4 − 2/3 + 2/2 = 3/2 − 4/3 = 1/6 Observatie: Oricare ar fi fost logica acestui sistem, 6 i =1 I BP (i ) = 1. Sistemul fiind simetric, toate componentele au acelasi factor: I BP (i ) = 1/6.

 






Identificarea vectorilor critici ai componentei 4

Calculul factorului de importanta structurala Birnbaum pentru componenta 4

ϕ

I B (i = 4) = nϕ (4)/2n−1 = nϕ (4)/25

Trei reguli aplicate simultan: R 1 : sistemul in stare de succes (cel putin unul din cele sase trasee ale sale sa fie activ); R 2 : componenta 4 in stare de succes; R 3 : x 4 = 1 → x 4 = 0 implica sistemul trece din starea de succes in starea de insucces.

R 1

si

R 3 :

traseele



T 1 , T 2

inactive

si

T 3

Daca cel putin unul din traseele T 1 , T 2 sau T 3 este functional, atunci componenta 4 nu poate fi critica, intrucat schimbarea sa x 4 = 1 ⇒ x 4 = 0 nu aduce schimbarea starii sistemului din succes in insucces, intrucat exista cel putin o alta solutie (traseu) care poate prelua indisponibilitatea componentei 4:

R 1

si

R 3 :

traseele



T 1 , T 2

inactive

si

T 3

In total sunt 4 astfel de variante (cea din slide-ul anterior si urmatoarele trei) :

R 1

si

R 3 :

traseele



T 1 , T 2

inactive

si

T 3

R 1

si

R 3 :

traseele



T 1 , T 2

inactive

si

T 3



si R 3 : similar traseul T 4 = {5 6} inactiv, dar una dintre componentele sale trebuie sa fie disponibila R 1

,

Componentele 5 si 6 sunt listate in traseele T 4 , T 5 si T 6 . Componenta 4 este listata in traseele T 5 si T 6 . De aceea, traseul T 4 se discuta acum, separat de T 1 , T 2 , T 3 , intrucat componentele 1, 2, 3 nu sunt listate in trasee care implica componenta 4. Alaturat componenta 6 este disponibila.



si R 3 : similar traseul T 4 = {5 6} inactiv,dar una dintre componentele sale disponibila R 1

,

Aici componenta 5 este disponibila.



Calculul factorului de importanta structurala Birnbaum pentru componenta 4 Pentru fiecare din cele 4 variante enumerate mai sus referitoare la T 1 ,T 2 ,T 3 exista cate doua variante referitoare la T 4 . In total: 4x 2 = 8 vectori critici. Rezulta: ϕ I B (i = 4) = 8/25 = 0.25 Observatie. Lista vectorilor critici pentru componenta 4: V 1 = (!1, !2, 3, 4, !5, 6) ; V 2 = (!1, !2, 3, 4, 5, !6) V 3 = (!1, 2, !3, 4, !5, 6) ; V 4 = (!1, 2, !3, 4, 5, !6) V 5 = (1, !2, !3, 4, !5, 6) ; V 6 = (1, !2, !3, 4, 5, !6) V 7 = (!1, !2, !3, 4, !5, 6) ; V 8 = (!1, !2, !3, 4, 5, !6).



Reprezentare grafica V 1 , V 3 si V 5 sunt vectori critici si pentru componenta 5. V 2 , V 4 si V 6 sunt vectori critici si pentru componenta 6. Reprezentarea

grafica este alaturata. Rezulta ca sistemul are 8 · 6/2 = 24 vectori critici: 6 sunt cu 4 componente indisponibile si 2 disponibile, restul de 18 vor fi cu 3 componente indisponibile si 3 disponibile.


Verificare

Calculul frecventei asteptate de intrerupere a nivelului de succes a sistemului Pentru calculul frecventei ν , tinand seama de etapele parcurse pana in prezent, vom utiliza relatia: 6

 ν = I (i ) · ν s

B

i

i =1

Intrucat toate componentele sunt identice, avem ν 1 = ν 2 = ... = ν 6 = λp . I B (i ) = ∂ P /∂ p i = P x i =1 − P xi =0 = −4p 5 + 10p 4 − 6p 3 − 2p 2 + 2p


Verificare

Calculul timpului mediu de succes al sistemului Timpul mediu de succes al sistemului este: MUT = P /ν S

Probabilitatea de succes a sistemului este: P = 6p 2 − 4p 3 − 9p 4 + 12p 5 − 4p 6

Frecventa asteptata de intrerupere a nivelului de succes a sistemului este: ν s = 6λp (−4p 5 + 10p 4 − 6p 3 − 2p 2 + 2p )


Verificare

Calculul timpului mediu de insucces al sistemului Timpul mediu de insucces al sistemului este: MDT = Q /ν S

Probabilitatea de succes a sistemului este: Q = 1 − P = 1 − 6p 2 + 4p 3 + 9p 4 − 12p 5 + 4p 6

Frecventa asteptata de intrerupere a nivelului de succes a sistemului este: ν s = 6λp (−4p 5 + 10p 4 − 6p 3 − 2p 2 + 2p )


Verificare

Exemplu numeric

Fie p = 0, 6 si λ = 10−4 (1/h). Se obtin: I B (i ) = −4p 5 + 10p 4 − 6p 3 − 2p 2 + 2p = 0, 16896 ν s = 6 · 0, 16896 · 0, 6 · 10−4 = 6, 08256 · 10−5 (1/h) P = 6p 2 − 4p 3 − 9p 4 + 12p 5 − 4p 6 = 0, 876096 MUT = P /ν = 0, 876096/(6, 08256 · 10−5 ) ∼ = 14403, 4 (h) MDT = Q /ν = 0, 123904/(6, 08256 · 10−5 ) ∼ = 2037 (h)


Verificare

Verificare Sistemul are 26 = 64 stari: i) 1 stare cu toate cele sase componente in stare de insucces (indisponibile) ; ii) 6 stari cu cinci componente in stare de insucces si una in stare de succes ; iii) 15 stari cu patru componente in stare de insucces si doua in stare de succes (din care 6 critice); iv) 20 stari cu trei componente in stare de insucces si trei in stare de succes (din care 18 critice) ; v) 15 stari cu doua componente in stare de insucces si patru in stare de succes ; vi) 6 stari cu o componenta in stare de insucces si cinci in stare de succes ; vii) 1 stare cu sase componente in stare de succes.

C5 Lucrare sisteme

Recommend Documents